Sonlu cisimler üzerinde Bachet eliptik eğrileri

Abstract

Bu tezde, asal iken sonlu cisimlerinde basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel bir hali olan p p F y2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrileri üzerindeki nokta sayısı, noktaların mertebeleri ve bu eğrilerin grup yapıları incelenmiştir. Birinci bölümde, çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümlerine temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde y2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrilerinin nokta sayıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Üçüncü bölümde bu eğrilerin bir asal iken devirli grup yapısına sahip olduğu; p a 5 (mod 6) p a1 (mod 6) bir asal ve m,n ý+ iken de ya Cn ×Cnm ya da p = n2 ± n +1 olmak üzere Cn şeklinde bir grup yapısına sahip olduğu gösterilmiştir. Bu eğrilerin grup yapısı incelenirken nokta sayısına da bakılmıştır. Ayrıca ’nın ’de bulunup bulunmayışına göre grubun üçüncü mertebeden elemana sahip olup olmayacağı gösterilmiştir.

In this thesis, the number of rational points, their orders, and the group structure of them, on Bachet elliptic curves y2 = x3 + a3 which are the special case of simplified Weierstrass equation over finite fields F where is prime, are studied. p p In the first chapter, the fundamental notions necessary in the second and third chapters are recalled. In the second chapter, some results concerning the number of rational points on Bachet elliptic curves y2 = x3 + a3 are given. In the third chapter, it is shown that the group structure of the rational points on these curves is cyclic when p a 5 (mod 6) is prime; and while p a 1 (mod 6) is prime, it is isomorphic to the direct product of two cyclic groups Cn ×Cnm where m,n ý+ or to the direct product Cn ×Cn with p = n2 ± n +1. While studying the group structure of these curves, the number of points is also discussed. Furthermore, whether the group has a point of order three or not according to a belongs to or not is shown.