Frekans kestiricilerin performans analizi

Abstract

Bu tez çalışması frekans kestiricilerin performans analizi ve çözümsel Cramér-Rao sınırları ile ilgidir. Reel beyaz Gauss gürültü içindeki bir reel sönümlü sinüs (reel sönümlü model) ve kompleks beyaz Gauss gürültü içindeki iki kompleks sönümlü sinüsten (kompleks sönümlü model) oluşan iki zaman serisi veri modeli ele alınmıştır. Her iki veri modeli için genlik, faz, sönüm katsayısı ve frekans parametrelerinin kestirimine ilişkin çözümsel C-R sınır ifadeleri türetilmiştir. İfadeler sınırları toplam örnek sayısı, sinyal gürültü oranı ve sinüsler arası frekans farkının ve sinüslerin sönüm katsayılarının (reel sönümlü model için ayrıca sinüsler arası faz farkının) bir fonksiyonu cinsinden vermektedir. Reel sönümlü modele ait çözümsel C-R sınır ifadeleri sinüsün fazı değişirken incelenmiş ve en kötü ve en iyi durum C-R sınırları ile bu sınırlara karşılık gelen kritik faz değerlerini veren basit ifadeler elde edilmiştir. İfadeler frekans farkının Fourier limitinin altında olduğu durum (alçak frekans durumu) için incelenmiş yeterince büyük toplam örnek sayısı ve küçük sönüm katsayısı varsayımları altında basit kapalı-biçim ifadeler biçiminde sunulmuştur. Basit kapalıbiçim ifadeler alçak frekans durumu için geçerlidir. Kompleks sönümlü modele ait çözümsel C-R sınır ifadeleri frekans farkının Fourier limitinin altında olduğu durum (yakın frekans durumu) için incelenmiş, yeterince büyük toplam örnek sayısı ve küçük sönüm katsayısı varsayımları altında basit kapalı-biçim ifadeler biçiminde sunulmuştur. Basit kapalı-biçim ifadeler sinüsler arasındaki frekans farkının bütün aralığı için geçerlidir. Her iki model için frekans parametrelerinin kestirimi Maksimum Olabilirlik Kestirici (MLE) ve Sönümlü MUSIC (DMUSIC) kestiricisi kullanılarak, özellikle alçak/yakın frekans durumu için, karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Yeterince büyük toplam örnek sayısı ve yüksek sinyal gürültü oranlarında DMUSIC kestiricisinin MLE'ye yakın bir performans sergilediği sayısal örnekler yardımıyla gösterilmiştir. DMUSIC kestiricisi için birinci derece analizi yapılarak frekans kestirimine ilişkin teorik yan ve varyans ifadeleri türetilmiştir. Teorik sonuçlar sayısal örnekler yoluyla desteklenmiştir.This thesis deals with performance analysis of frequency estimators and analytical Cramér-Rao (C-R) bounds. Two time-series data models are considered, a real damped sinusoid in real white Gaussian noise (real damped model) and two damped cisoids in complex white Gaussian noise (complex damped model). Analytical C-R bounds are derived for estimating the amplitude, phase, damping factor and frequency parameters of both two models. The expressions give the bounds in terms of signal-to-noise ratio, total number of data samples, and a function dependent on the frequency difference between the sinusoids and the damping factors of the sinusoids (it is also dependent on phase difference between the sinusoids for real damped model). The analytical C-R bounds for real damped model are examined as the phase of the sinusoid varies, and simple expressions are obtained for the worst case and the best case C-R bounds and for the corresponding critical phase values. Expressions are then presented as simple closed-form expressions for the case of frequency difference is smaller than Fourier limit (low frequency case) and under the assumptions of low damping and sufficiently large number of data samples. The simple closed-form expressions are valid for low frequency case. The analytical C-R bounds for complex damped model are examined for the case of frequency difference is smaller than Fourier limit (close frequency case) and under the assumptions of low damping and sufficiently large number of data samples, and then presented as simple closed-form expressions, which are valid for whole range of frequency difference between the cisoids. Estimation of frequency parameters of both two models is performed by using Maximum Likelihood Estimator (MLE) and Damped MUSIC (DMUSIC) estimator. The performances of both two estimators are comparatively investigated, especially for the low/close frequency case. It is demonstrated numerically that performance of DMUSIC is close to performance of MLE in the case of low damping and sufficiently large number of data samples. First order analysis are provided for DMUSIC estimator and theoretical bias and variance expressions are derived for estimating the frequency parameters. The thoretical results are supported by numerical examples.