Terai sanısı hakkındaki dıophant denklemler

Abstract

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde ilk olarak sayılar teorisinden, cebirden ve cebirsel sayılar teorisinden bilinen bazı temel kavramlar verilmiştir. Sonrasında ikinci mertebeden tekrarlama bağıntılı diziler, ilkel bölen teoremi, logaritmalarda lineer formlar gibi Diophant denklemlerin modern teorisinde önemli yer tutan kavramlar hakkında bilgiler verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde ((c+1)m^2+1)^x+(cm^2-1)^y=(am)^z Diophant denkleminin bazı koşullar altında tek çözümünün (x,y,z)=(1,1,2) olduğu gösterilmiştir. Dolayısıyla bu denklem için Terai sanısı doğrulanmıştır. Tezin son bölümünde ise Nagell'in 2^x+5^y=3^z ve 4^x+7^y=5^z Diophant denklemlerinin genellemesi olan (n-1)^x+(n+2)^y=n^z Diophant denkleminin tüm pozitif tamsayı çözümleri bulunmuştur. İspatlarda kullanılan materyaller, sayılar teorisindeki elemanter yöntemler, Baker teorisi ve Lucas dizilerinin ilkel bölen teoremidir.

This thesis consists of three chapters. In the first chapter, firstly some fundamental known notions from number theory, algebra and algebraic number theory are recalled. Then the notions such as the second order linear recurrence sequences, primitive divisor theorem and linear forms in logarithms which have and important place in the modern theory of Diophantine equations are given. In the second chapter of the thesis, it was shown that the Diophantine equation ((c+1)m^2+1)^x+(cm^2-1)^y=(am)^z under some conditions has only the positive integer solution (x,y,z)=(1,1,2). So, Terai's conjecture is confirmed for this equation. In the last chapter of the thesis, all positive integer solutions of the Diophantine equation (n-1)^x+(n+2)^y=n^z which is generalisation of Nagell's Diophantine equations 2^x+5^y=3^z and 4^x+7^y=5^z were found. The main tools which are used on the proofs are elementary methods of number theory, Baker's theory and primitive divisor theorem of Lucas sequences.