Lineer eliptik kısmi diferensiyel denklemlerde integral operatörler

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölüm ise temel kavramlardan oluşmaktadır. Üçüncü bölümde, ikinci mertebeden 𝐿 ̃ (𝑈 ̃̃ ) = 𝑈 ̃̃ 𝑥𝑥 +𝑈 ̃̃ 𝑦𝑦 + 𝑎𝑈 ̃̃ 𝑥 + 𝑏𝑈 ̃̃ 𝑦 + 𝑐𝑈 ̃̃ = 0 (1.1) lineer kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerini, bir karmaşık değişkenli analitik fonksiyonları bu denklemlerin çözümlerine dönüştüren integral operatörleri tanıtacağız Burada x ve y reel değişken, a, b ve c katsayıları reel analitiktir. Bu maksat için a, b ve c katsayılarını x ve y nin karmaşık değerlerine dönüştürmek uygun olacaktır. Şimdi 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦 değişken dönüşümü ile (1.1) denklemi 𝐿𝑈 = 𝑈𝑧𝑧∗ + 𝐴𝑈𝑧 + 𝐵𝑈𝑧∗ + 𝐶𝑈 = 0 (1.2) formundaki denkleme dönüşür. Bu bölümde (1.2) denkleminin çözümleri için ana hatları ile Stefan Bergman tarafından verilen integral operatör teori özetlenecektir. Dördüncü bölümde üç değişkenli ΔΨ ≡ Ψ𝑥𝑥 + Ψ𝑦𝑦 + Ψ𝑧𝑧 = 0 (1.3) Laplace denkleminin çözümlerinin analitik özelliklerini Bergman-Whittaker integral operatör yardımıyla inceleyeceğiz. Beşinci bölüm sonuç bölümüdür.

This thesis consists of five parts. The The first chapter is the introduction. The second part consists of basic concepsts. In the third part, we will introduce the integral operators that convert analytical functions of a complex variable into solutions of second order linear partial differential equations 𝐿 ̃ (𝑈 ̃̃ ) = 𝑈 ̃̃ 𝑥𝑥 +𝑈 ̃̃ 𝑦𝑦 + 𝑎𝑈 ̃̃ 𝑥 + 𝑏𝑈 ̃̃ 𝑦 + 𝑐𝑈 ̃̃ = 0. (1.1) Integral operators that convert analytic functions of a complex variable into solutions of these equations. Here x and y are real variables, coefficients a, b and c are real analytical. For this purpose, it would be appropriate to convert the coefficients a, b and c to complex values of x and y. Now with the variable transformation 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦 transforms the equation (1.1) into the equation in the form 𝐿𝑈 = 𝑈𝑧𝑧∗ + 𝐴𝑈𝑧 + 𝐵𝑈𝑧∗ + 𝐶𝑈 = 0 (1.2) In this section, the solutions of equation (1.2) will be summarized with the main lines of the integral operator theory given by Stefan Bergman. In the fourth part ,three veriables ΔΨ ≡ Ψ𝑥𝑥 + Ψ𝑦𝑦 + Ψ𝑧𝑧 = 0 (1.3) We will examine the analytical properties of the solutions of the (1.3) Laplace equation with the help of the Bergman-Whittaker integral operator. The fifth part is the conclusion part.