Hecke grupları ve düzgün figürler

Abstract

Bu doktora tezinde 1936 yılında Erich Hecke tarafından tanımlanmış olan Hecke gruplarının normal alt gruplarının özellikleri ve birbiriyle ilişkileri incelenmiştir. 1994 yılında cinsi 1 ile 7 arasındaki tüm normal alt grupların sınıflandırılması yapılmıştı. Son yıllarda cinsi 101’e kadar olan tüm düzgün figürler listelendiğinden bu listelerdeki bilgiler yardımıyla Hecke gruplarının cinsi 101’e kadar olan normal alt gruplarını hesaplamak da mümkün olabilmiştir. 2019 yılında graflarla ilgili bir invaryant olarak tanımlanan omega invaryantı da birer graf olan düzgün figürlerin yeni özelliklerinin elde edilebilmesinde ve dolayısıyla Hecke gruplarının normal alt gruplarının çalışılmasında kullanılmaya başlanmıştır. Bu tezde de omega invaryant yardımıyla çeşitli grup parametreleri arasında ilişkiler kurulmuştur. Bu tezde beş bölüm yer almaktadır. Giriş adı verilen ilk bölümde tezin geri kalan bölümlerinde kullanılacak olan Hecke gruplarının normal alt grupları ve düzgün figürler ile ilgili temel tanım, kavramlar ve teoriler verilmiştir. İkinci bölümde kuramsal temellerden, üçüncü bölümde ise kullanılan materyal ve yöntemden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde, elde edilen sonuçlardan bahsedilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise tartışma ve sonuç verilmiştir.

In this PhD thesis, the characteristics of the normal subgroups of Hecke groups which were defined by Erich Hecke in 1936, and the relations between them are examined. In 1994, all normal subgroups of genus 1 to 7 were classified. Since all regular figures up to genus 101 have been listed in recent years, it has been possible to calculate the normal subgroups of Hecke groups up to genus 101 with the help of the information in these lists. In 2019, the omega invariant, which was defined as an invariant related to graphs, started to be used in obtaining new properties of regular figures, which are graphs, and therefore in the study of normal subgroups of Hecke groups. In this thesis, relations between various group parameters were established with the help of omega invariant. There are five chapters in this thesis. In the first chapter, called the introduction, basic definitions, concepts and theories about normal subgroups of Hecke groups and regular figures, which will be used in the rest of the thesis, are given. In the second part, the theoretical foundations and in the third part, the materials and methods used are mentioned. In the fourth chapter, the obtained results are mentioned. In the fifth and last chapter, discussion and conclusion are given.