Çok katlı analitik fonksiyonların bazı alt sınıflarının özelikleri

Abstract

Bu tez, açık birim disk 𝒰 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| = 1} içinde tanımlı çok katlı analitik fonksiyonların bazı yeni alt sınıflarının özelliklerini incelemektedir. Çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin amacı ve kapsamı ortaya konmuştur. İkinci bölümde, çalışmanın ilerleyen kısımlarında kullanılacak temel tanım ve teoremler sunularak kuramsal bir zemin hazırlanmıştır. Üçüncü bölümde, açık birim disk üzerinde tanımlı çok katlı analitik fonksiyonların diferansiyel yardımıyla tanımlanan belirli alt sınıfları için yöntem ve kullanılan teknik araçlar açıklanmıştır. Bu bağlamda, özellikle 𝒜𝑝 (𝜌, 𝛼, Δ; 𝑣) sınıfı ele alınarak bu sınıfa ait fonksiyonların konvekslik özellikleri, katsayı sınırları, büyüme tahminleri ve yıldızıllık koşulları detaylı biçimde incelenmiştir. Dördüncü bölümde ise ℬ𝑝 (𝜌, 𝛼, Δ; 𝑣) sınıfı üzerine odaklanılmış; bu sınıfa ait fonksiyonların ekstrem noktaları, kesin katsayı sınırları ve bazı yardımcı lineer operatörlerin bu sınıfa etkisi değerlendirilmiştir. Ayrıca bu iki sınıf arasında geçiş ilişkileri kurularak bazı kapsama ve içerme özellikleri ortaya konmuştur. Beşinci ve son bölümde, elde edilen tüm bulgular genel bir değerlendirme çerçevesinde tartışılmış ve gelecekte yapılabilecek olası çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Bu çalışma, Geometrik Fonksiyonlar Teorisi alanında çok katlı fonksiyonların yapısal ve geometrik özelliklerine yönelik katkılar sunmakta, özellikle yıldızıl ve konveks fonksiyon sınıflarının genelleştirilmesine ilişkin yeni yaklaşımlar getirmektedir.

This thesis investigates certain new subclasses of multivalent analytic functions defined in the open unit disk 𝒰 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| = 1}. The thesis is composed of five chapters. In the first chapter, the aim and scope of the thesis are stated. The second chapter provides the fundamental definitions and theorems that form the theoretical basis of the study. In the third chapter, methods and technical tools are presented for the analysis of certain differential-based subclasses of multivalent analytic functions in the unit disk. In particular, the class 𝒜𝑝 (𝜌, 𝛼, Δ; 𝑣) is examined in detail with respect to its convexity properties, coefficient estimates, growth bounds, and starlikeness conditions. The fourth chapter focuses on the class ℬ𝑝 (𝜌, 𝛼, Δ; 𝑣), where the extremal points, sharp coefficient bounds, and the influence of some auxiliary linear operators are analyzed. Relationships between these two function classes are also discussed to identify inclusion and subordination properties. In the fifth and final chapter, all findings are evaluated within a general framework and recommendations for future studies are provided. This study contributes to the structural and geometric analysis of multivalent functions in the field of Geometric Function Theory and introduces new approaches particularly related to the generalization of starlike and convex function classes.