HOSOYA VE MERRIFIELD-SIMMONS İNDEKSLERİNİN MOLEKÜLER YAPILARDA ANALİZİ Mert Sinan ÖZ T. C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HOSOYA VE MERRIFIELD-SIMMONS İNDEKSLERİNİN MOLEKÜLER YAPILARDA ANALİZİ Mert Sinan ÖZ 0000-0002-6206-0362 Prof. Dr. İ. Naci CANGÜL (Danışman) DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA–2022 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Mert Sinan ÖZ tarafından hazırlanan “Hosoya ve Merrifield-Simmons İndekslerinin Moleküler Yapılarda Analizi” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. İ. Naci CANGÜL Üye: Prof. Dr. İ. Naci CANGÜL İmza 0000-0002-0700-5774 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Musa DEMİRCİ İmza 0000-0002-6439-8439 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Saliha ŞAHİN İmza 0000-0003-2887-5688 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Kimya Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Sebahattin İKİKARDEŞ İmza 0000-0003-2924-5397 Balıkesir Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Recep ŞAHİN İmza 0000-0002-4407-2028 Balıkesir Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Enstitü Müdürü B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;  tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,  görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,  başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,  atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,  kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,  bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 28/07/2022 İmza Mert Sinan ÖZ ÖZET Doktora Tezi HOSOYA VE MERRIFIELD-SIMMONS İNDEKSLERİNİN MOLEKÜLER YAPILARDA ANALİZİ Mert Sinan ÖZ Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. İ. Naci CANGÜL Bu tez çalışmasında genel anlamda benzenoid sistemler üzerinde çalışılarak kimyasal graf teori alanında önemli uygulamaları olan Hosoya indeksi ve Merrifield-Simmons indeksinin hesabına odaklanılmıştır. Başlangıç olarak verilen her iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin ∀𝑘 ≥ 0 için 𝑘 -eşleme sayısını ve 𝑘 -bağımsızlık sayısını hesaplamada kullanılan her biri elde edilen doğal sayı içerikli kare matrisler ile bir vektör çarpımına dayanan iki ayrı metot sunulmuş ve metotların uygulanabilirliği için MATLAB programında kodlar yazılmıştır. Çalışmanın temel kısmı olarak, verilen her iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin Merrifield-Simmons indeksini doğal sayı içerikli matrisler ile bir vektörün uygun bir çarpımı yoluyla hesaplayan metot önerilmiştir. Devamında, iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin bir türü olan çift katlı benzenoid zincirlere özgü Hosoya ve Merrifield-Simmons indekslerinin hesabına yönelik her biri ilgili indeksi hesaplamada kullanılan iki ayrı metot önerilmiştir. Son olarak, 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 sembolleriyle sunulan iki ayrı özel tipteki iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem türüne yönelik hem Hosoya hem de Merrifield-Simmons indekslerinin hesabı, bir matrisin bir kuvveti ile bir vektörün çarpımı şeklinde ifade edilen açık bir fonksiyon olarak sunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Hosoya indeksi, Merrifield-Simmons indeksi, hekzagonal sistemler, benzenoid sistemler 2022, vi + 187 sayfa. i ABSTRACT PhD Thesis ANALYSIS OF THE HOSOYA AND THE MERRIFIELD-SIMMONS INDICES ON MOLECULAR STRUCTURES Mert Sinan ÖZ Bursa Uludag University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. I. Naci CANGUL In this thesis, the focus is on the computation of the Hosoya index and Merrifield- Simmons index, which have significant applications in the field of chemical graph theory, by working on benzenoid systems in general. For ∀𝑘 ≥ 0 of each given cata-condensed benzenoid system, two different methods are presented, each based on the product of square matrices with natural numbers and a vector, used to compute the 𝑘-matching number and 𝑘-independence number, and for applicability of the methods, codes are written in MATLAB. As the main part of the study, a method that computes the Merrifield-Simmons index of each given cata-condensed benzenoid system by means of an appropriate product of matrices with natural numbers and a vector is proposed. Afterward, two different methods are proposed for the computation of the Hosoya and the Merrifield-Simmons indices specific to double benzenoid chains, which are a type of peri-condensed benzenoid chains, each of which is used to compute the relevant index. Finally, the computation of both the Hosoya and the Merrifield-Simmons indices for two special types of peri-condensed benzenoid systems represented by 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 is presented as an explicit function expressed as the product of a power of a matrix and a vector. Keywords: Hosoya index, Merrifield-Simmons index, hexagonal systems, benzenoid systems 2022, vi + 187 pages. ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Lisansüstü sürecimin başından itibaren ilerlemiş olduğum yolda sahip olduğu engin akıl, bilgi ve tecrübeleriyle her an yanımda olan, düştüğümde kaldıran, başardığımda daha ilerisine yönelten, danıştığım her konuda önümü görmemi sağlayan, akademik kariyerine imrendiğim çok değerli hocam Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL’e; Hayatımı paylaştığım, gösterdiği sınırsız sevgisi, saygısı, sabrı ve güveni ile bana her koşulda destek olan, güç katan sevgili eşim Hilal GİRGİN ÖZ’e, hayatımın her aşamasında bana maddi, manevi tüm imkanları sağlamak için çalışan, her daim destek olan, sabır gösteren, karşılıksız sayısız fedakarlık yapan kıymetli annem Zuhal ÖZ’e, babam Kadri ÖZ’e ve abim Ulaş ÖZ’e; Gösterdikleri anlayış ile tez sürecimin yanında huzurlu bir çalışma ortamının oluşmasında büyük emekleri olan 2017 yılından itibaren araştırma görevlisi olarak görev yapmış olduğum Bursa Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyesi hocalarıma ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma, ayrıca Makine Mühendisliği Bölümü ve İnşaat Mühendisliği Bölümü’nde görev yapan araştırma görevlisi dostlarıma; Ayrıca, üzerimde maddi ve manevi emekleri olan, isimlerini tek tek bu kısımda zikredemesem de hayatıma bir şekilde dokunan tüm sevdiklerime; Son olarak 2211-Yurt İçi Doktora Burs Programı kapsamında tez çalışmamı destekleyen TUBİTAK’a en içten teşekkürlerimi sunmak isterim. Mert Sinan ÖZ 28/07/2022 iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.......................................................................................................................... i ABSTRACT ............................................................................................................... ii ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ............................................................................................ iii İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... iv SİMGELER DİZİNİ................................................................................................... v 1. GİRİŞ .................................................................................................................. 1 1.1. Tarihsel Gelişim .............................................................................................. 1 1.2. Topolojik İndeks Kavramı ve Uygulamaları................................................... 7 1.3. Hosoya İndeksi ve Merrifield-Simmons İndeksi ............................................ 9 1.4. Literatür Taraması ........................................................................................... 10 1.5. Tezin Amacı .................................................................................................... 13 2. KURAMSAL TEMELLER ................................................................................ 16 2.1. Ön Bilgiler ....................................................................................................... 16 2.2. Benzenoid Sistemler........................................................................................ 20 2.3. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemler ........................................ 21 2.4. İç Noktalı-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemler .......................................... 22 2.5. Benzenoid Zincirler ......................................................................................... 23 2.6. Çift Katlı Benzenoid Zincirler ........................................................................ 25 2.7. Hosoya İndeksi ................................................................................................ 29 2.8. Merrifield-Simmons İndeksi ........................................................................... 29 3. MATERYAL ve YÖNTEM ............................................................................... 31 3.1. Hosoya ve Merrifield-Simmons İndeksleri için Rekürans Bağıntıları ............ 31 3.2. Hosoya Vektörü .............................................................................................. 37 4. ARAŞTIRMA SONUÇLARI ve BULGULAR ................................................. 39 4.1. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin 𝑘-Eşleme Sayılarının Hesaplanması .................................................................................................. 39 4.2. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin 𝑘-Bağımsızlık Sayısının Hesaplanması .................................................................................. 58 4.3. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin Merrifield-Simmons İndeks Hesabı .................................................................................................. 80 4.4. Çift Katlı Benzenoid Zincirlerin Hosoya İndeksinin Hesaplanması ............... 91 4.5. Çift Katlı Benzenoid Zincirlerin Merrifield-Simmons İndeksinin Hesaplanması .................................................................................................. 107 4.6. Bazı Özel Tipteki İç Noktalı-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin Hosoya ve Merrifield-Simmons İndekslerinin Hesaplanması ........................ 129 5. TARTIŞMA ve SONUÇ ..................................................................................... 146 KAYNAKLAR .......................................................................................................... 148 EKLER ....................................................................................................................... 153 ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 186 iv SİMGELER DİZİNİ Simge Açıklama 𝑉 𝑉 köşe kümesi 𝐸 𝐸 kenar kümesi 𝐺 Graf 𝑑(𝑣) v köşesinin derecesi 𝑃𝑗 𝑗 köşeli patika graf 𝐶𝑗 j köşeli devir graf 𝑁𝐺(𝑣) 𝑣 köşesinin komşuluk kümesi 𝑁𝐺[𝑣] 𝑣 köşesini de içeren 𝑣 köşesinin komşuluk kümesi 𝐻𝑗 Benzenoid sistemde bulunan 𝑗. hekzagon 𝐵ℎ ℎ hekzagonlu benzenoid zincir 𝐿ℎ ℎ hekzagonlu lineer benzenoid zincir 𝑍ℎ ℎ hekzagonlu zik-zak benzenoid zincir 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) ℎ naftalinli çift katlı benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏) 6 naftalinli çift katlı lineer benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝜏, 𝛾, 𝜏) 6 naftalinli çift katlı zik-zak benzenoid zincir 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝐺 grafındaki 𝑘-eşleme sayısı 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝐺 grafındaki 𝑘-bağımsızlık sayısı 𝑍(𝐺) 𝐺 grafının Hosoya indeksi 𝑖(𝐺) 𝐺 grafının Merrifield-Simmons indeksi v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1. Benzenoid sistem ............................................................................................... 21 Şekil 2.2. İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem ................................................... 22 Şekil 2.3. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem ..................................................... 23 Şekil 2.4. Benzenoid zincir 𝐵11 .......................................................................................... 24 Şekil 2.5. Lineer benzenoid zincir 𝐿6 ................................................................................. 24 Şekil 2.6. Zik-zak benzenoid zincir 𝑍6 ................................................................................ 25 Şekil 2.7. Çift katlı benzenoid zincir ................................................................................... 26 Şekil 2.8. Çift katlı benzenoid zincirler için kaynaşma tipleri............................................. 27 Şekil 2.9. Çift katlı lineer benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏) .................................................. 28 Şekil 2.10. Çift katlı zik-zak benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝜏, 𝛾, 𝜏) ................................................ 28 Şekil 3.1. 𝐶6 devir grafı için Hosoya indeksi rekürans ifadesi ............................................ 34 Şekil 3.2. 𝐶6 devir grafı için Merrifield-Simmons indeksi rekürans ifadesi ........................ 34 Şekil 4.1. Teoremler 4.1.3-4.1.5, 4.2.3-4.2.5, 4.3.3-4.3.5 için kullanılacak iç noktasız - yoğunlaştırılmış benzenoid sistem formu türleri ............................................... 40 Şekil 4.2. Teoremler 4.1.6, 4.2.6, 4.3.6 ve Sonuçlar 4.1.7, 4.2.7 için kullanılacak iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem formu türü .................................... 48 Şekil 4.3. İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem .................................................. 57 Şekil 4.4. Bölüm 4.4 ve Bölüm 4.5'te sunulacak olan tüm teoremler ve sonuçlarda kullanılacak olan çift katlı benzenoid zincir formu türleri .................................. 93 Şekil 4.5. Çift katlı benzenoid zincir 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾) .......................................................... 106 Şekil 4.6. Çift katlı benzenoid zincir 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏) ....................................................... 127 Şekil 4.7. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑅𝑛 ............................................... 129 Şekil 4.8. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑷𝒏 ............................................... 130 Şekil 4.9. 𝑅𝑛 sisteminin graf yapısı .................................................................................... 130 Şekil 4.10. 𝑷𝒏 sisteminin graf yapısı .................................................................................... 130 vi 1. GİRİŞ 1.1. Tarihsel Gelişim Modelleme, matematiğin bilinen en eski yazıtları olan “Plimpton 322” ve “Rhind Papirüsü” adlarıyla anılan eserlerin ait olduğu M.Ö 1500-2000 yıllarından bu yana insanların günlük yaşantılarında karşılaştıkları farklı türden problemleri daha kolay ifade edebilmek, daha anlaşılır kılmak, analiz edebilmek, problem bileşenlerinin birbirlerine olan etkilerini daha iyi kavrayabilmek ve problemleri çözebilmek gibi amaçlar doğrultusunda başvurulan en etkili yöntemlerden biri olmuştur. Modelleme, doğa bilimlerinden mühendisliğe, sağlık bilimlerinden sanata hemen hemen tüm alanlarda gerçekte var olan durumun bir simülasyonu olarak karşımıza çıkmaktadır. Graf teori, diğer bilinen ifadesi ile çizge teori, temelde nesneler ve nesneler arasındaki çeşitli ilişkilerin, her bir nesnenin bir köşe ve nesneler arasındaki her bir ilişkinin de bir kenar ile temsil edilerek modellenmesiyle elde edilen ve graf (çizge) olarak adlandırılan yapılar üzerinde çalışmaktadır. Graf teorinin doğuşu ünlü fizikçi Gustav Kirchhoff ve ünlü filozof Immanuel Kant’ın da doğum yeri olan ve 2. Dünya Savaşı dolayısıyla da önemli bir tarihe sahip olan Königsberg şehrine dayanmaktadır. Königsberg halkının bir oyun olarak geliştirdiği ve çeşitli çözümler deneyip sonuç alamadığı, günümüzde “Königsberg’in yedi köprüsü” ismiyle bilinen probleme tüm zamanların muhtemel en üretken matematikçisi olan Leonhard Euler’in ilgisi bu doğuşun başlıca etmeni olmuştur. Problemde Königsberg şehrini 4 adet kara parçası olarak ayıran Pregel nehri üzerinde bulunan 7 adet köprüye odaklanılmaktadır. Problem, herhangi bir kara parçasından başlanarak her köprüden bir ve yalnız bir defa geçmek şartıyla başlanılan kara parçasına ulaşabilecek şekilde bir dolanımın var olup olmadığını araştırmaktadır. 1736 yılında Euler bu formda bir 1 dolanımın var olamayacağı sonucuna büyük ve küçük harf temsilleriyle kurduğu bir model ile ulaşmış ve problemi çözmüştür. Bu çözümde Euler ifade edilen formda bir dolanımın mümkün olabilmesi için de her bir kara parçasına bağlı olan köprülerin sayısının çift sayıda olması gerektiğini belirtmiştir. Bu çözümünü yayımladığı makalesi ise graf teorinin ilk makalesi olarak kabul edilmiş ayrıca Euler teoremi, Euler turu ve Euler grafı kavramlarını da literatüre kazandırmıştır (Balaban 1976). 1840 yılında ise August Ferdinand Möbius tarafından sunulan kral ve öldükten sonra beş çocuğuna miras olarak bırakmak istediği topraklar hakkındaki bulmaca ile düzlemsel graf kavramı doğmuştur. Bu kavram 20. yüzyılda Henry Ernest Dudeney tarafından 3 eve çekilecek gaz, elektrik ve su hatları üzerine olan problemle gelişmiştir. Möbius ve Dudeney tarafından ortaya atılan problemler Kazimierz Kuratowski tarafından ortaya sunulan teorem ile çözüme kavuşmuştur (Gross ve Yellen 2003). Bu süre zarfında Leonhard Euler’in “Königsberg’in yedi köprüsü” problemini çözümünden sonra graf teorinin gelişimi “Königsberg’in yedi köprüsü” probleminin de aslında bir örneğini teşkil ettiği dolanım izleme bulmacaları ile devam etmiştir. 19. yüzyıl başlarından itibaren Louis Poinsot ve Olry Terquem’in bulmacalarında Euler turları bulmaya yönelik çalışmalar görülmeye başlamıştır. Ayrıca, dolanım izleme bulmacaları ile ilgilenen Johann Benedict Listing’in 1848 yılında yayımladığı “Vorstudien zur Topologie” adlı kitabında ilk defa topoloji kelimesi yer almıştır. Topolojik graf teorinin doğuşu ise Euler’in 1750 yılında Christian Goldbach’a göndermiş olduğu mektupta ortaya çıkan ve literatürde Euler’in çok yüzlü formülü olarak anılan formül sayesinde 1800’lü yıllarda olmuştur. 1892 yılında ise Walter William Rouse Ball “Königsberg’in yedi köprüsü” problemini kara parçalarını köşeler, köprüleri de kenarlar olarak temsil ederek graf formunda modelleyen ilk kişi olmuş ve bu problem açıkça bir dolanım bulmacası olarak ifade edilmiştir (Gross ve Yellen 2003). Graf teorinin gelişimi 19. yüzyılda devam ederken ingiliz matematikçi Thomas Penyngton Kirkman çok yüzlüler üzerine odaklanarak “Königsberg’in yedi köprüsü” probleminin graf formundaki üzerinden geçilen kenarların (köprülerin) tekrarlanmaması 2 şartını bir adım daha ileri götürererek köşelerin de tekrarlanmaması şartını eklemiştir. 1855 yılında yayımladığı çalışmasında ise herhangi bir köşeden başlanarak tüm köşelerinden bir ve yalnız bir defa geçilerek başlanılan köşeye dönülebilen turları içeren çok yüzlüleri araştırmıştır (Gross ve Yellen 2003). 1843 yılında quaterniyonları tanımlayarak matematikte olduğu kadar fizikte mekanik alanına da çok önemli katkılar sunan Sir William Rowan Hamilton, quaterniyonlar üzerindeki çalışmaları ile ilişkili olarak Kirkman’ın çalışmalarının özel bir hali üzerinde çalışmıştır. Hamilton bir oniki yüzlünün tüm köşelerinden bir ve yalnız bir defa geçilerek başlangıç köşesine dönen turlar üzerine araştırmalar yapmıştır. 1857 yılında ise “icosian game” adıyla bir oniki yüzlünün bir köşesinden başlayarak tüm köşelerinden bir ve yalnız bir defa geçilerek başlangıç köşesine dönülebilen turları buldurmayı amaçlayan bir oyun geliştirerek ticari olarak satışa sunmuş ve oyununu satmıştır. Kirkman ve Hamilton’ın bu çalışmaları neticesinde Hamilton turu, Hamilton grafı kavramları sadece Sir Rowan William Hamilton’a atfedilerek graf teorideki yerini almıştır (Gross ve Yellen 2003, Barnett 2009). Euler, Kirkman ve Hamilton graflar üzerindeki dolanımlarla ilgilenirken 1847 yılında Gustav Robert Kirchhoff’un elektrik devreleri üzerine yayımlanan makalesi ile graf teorinin fizik alanındaki ilk uygulamaları ortaya çıkmış ve doğrudan olmasa da graflarda belirli alt grafları sayma çabaları başlamıştır. Kirchhoff makalesinde dolaylı olarak graflarda geren ağaç sayılarının bulunmasına öncülük etmiş ve bu keşif literatüre “matris ağaç teoremi (Kirchhoff teoremi)” adıyla girmiştir (Balaban 1976, Gross ve Yellen 2003, Kirby ve ark 2017). Graf teorinin Euler ile doğup Kirchhoff, Kirkman, Hamilton ile çeşitli alanlardaki gelişimi devam ederken farklı bir alana daha sıçraması Francis Guthrie ile olmuştur. 1852 yılında Francis Guthrie İngiltere haritasını boyarken “komşu şehirler farklı renklere boyanmak şartıyla dört farklı renk ile tüm harita boyanabilir” sonucunu keşfederek bu sonucu Augustus De Morgan’ın öğrencisi olan kardeşi Frederick’e sunarak hocasına aktarmasını istemiş, Augustus De Morgan’ın da arkadaşı olan Sir William Rowan 3 Hamilton’a çekinerek yazdığı mektupta bu ifadenin doğru olup olmadığını sormasıyla bu sıçrama gerçekleşmiştir. Bu ifadenin doğruluğu literatüre “dört renk teoremi” olarak girmiş ve birçok denenen yanlış ispattan sonra 1976 yılında bilgisayar teknolojisi ile Kenneth Appel ve Wolfgang Haken tarafından ispatlanmıştır (Harary 1969, Gross ve Yellen 2003, Maritz ve Mouton 2012). 1857 yılına gelindiğinde ise doymuş hidrokarbonların (parafinler ya da alkanlar) izomer sayıları üzerinde çalışan Arthur Cayley 1847 yılında Kirchhoff’un da çalışmalarında dolaylı olarak kullandığı ağaç kavramını ilk defa ağaç terimi şeklinde ifade ederek kullanmış ve kimya alanına taşımıştır. Cayley, doymuş hidrokarbonların karbon iskeletlerinde karbon atomlarını köşeler, karbon atomları arasındaki bağları da kenarlar olarak temsil ederek izomer sayıları üzerinde çalışmıştır. Böylelikle, Cayley her bir doymuş alkan izomerinin bir ağaç yapısı olduğundan yola çıkarak 𝑛 tane köşeye sahip bir doymuş hidrokarbonun izomer sayısını hesaplayabilmek için köşe dereceleri 1 ile 4 arasında değişen 𝑛 köşeli ağaç kombinasyonlarını bulmayı amaçlamıştır. Bu ise ifade edildiği kadar kolay bir problem değildir. Bu sebeple Cayley problemi köklü ağaçlar, her köşe derecesi en fazla 4 olan ağaçlar ve tüm ağaçlar şeklinde sınıflandırarak 1857-1874 yılları arasında 𝐶𝐻4, 𝐶2𝐻6, … , 𝐶11𝐻24 doymuş hidrokarbonlarının izomer sayılarını hatasız şekilde hesaplamıştır. Bu çalışmalarından sonra Cayley 1889 yılında Kirchhoff Teoremi’nin de özel bir hali olan “her pozitif 𝑛 tam sayısı için 𝑛𝑛−2 tane köşeleri 1, 2, … , 𝑛 olarak etiketlenmiş ağaç mevcuttur” teoremini ifade etmiştir. Bu teorem aslında 1860 yılında Carl Wilhelm Borchardt tarafından sunulmuş olsa da Arthur Cayley’e atfedilerek Cayley Teoremi adıyla günümüze kadar ulaşmıştır. Cayley bu çalışmalarıyla graf teorinin ve matematiksel yaklaşımın kimya alanındaki uygulamalarının başlamasına öncü olmuştur (Balaban 1976, Trinajstic 1992, Saoub 2021). Cayley gibi matematikçi olmayan ancak aynı dönemde kimya alanında önemli bilim insanları olarak öne çıkan Friedrich August Kekule, Archibald Scott Couper ve Alexander Mikhaylovich Butlerov tarafından 1858-1861 yılları arasında sırasıyla yayımlanan çalışmalar yapı teorisi adıyla adlandırılan kimya alanında ise kimyasal yapı teorisi adıyla çığır açan bir teoriyi doğurmuştur. Bu teori ile moleküllerin yapısal formüllerine 4 odaklanıp bu yapılar üzerinde çalışarak moleküllerin çok çeşitli özellikleri kimyasal analizlerin zorluklarından kurtulunarak belirlenebilmekte ve analiz edilebilmektedir. Bu teorinin ele aldığı moleküllerin yapısal formülleri atomların köşeler, atomlar arasındaki bağların ise kenarlar olarak temsil edilerek modellendiği graf yapılarıdır. 1860’lı yıllarda bu modellemeyi graf formunda çalışmalarında kullanan ilk kişi olan iskoç organik kimyager Alexander Crum Brown’da kimyasal yapı teorisinin gelişimine önemli bir katkı sunmuştur. Bu gelişmeler neticesinde çalışmalarda genellikle yapı adı ile kullanılmasına karşın graf kelimesi ise ilk olarak Cayley’in de makalelerine ilgi duyup üzerinde de çalıştığı ingiliz matematikçi James Joseph Sylvester’ın invaryant teori ile kimyasal graf teori üzerine 1878 yılında kaleme aldığı makalesinde görülmüştür (Balaban 1976, Bonchev 1991, Gross ve Yellen 2003). 20. yüzyıla gelindiğinde graf teorinin gelişimi başlangıcından daha hızlı olmuştur. 1936 yılında graf teori alanındaki ilk kitap “Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen” ismiyle Denes König tarafından yayımlanmıştır (Harary 1969). Bu süreçte graf teorinin özellikle kimya alanındaki uygulamaları artarak sürmeye devam etmiştir. İlk olarak deneysel izomer saymanın zorluklarından artık kurtulunarak daha etkili yöntemler geliştirilmeye başlanmıştır. 19. yüzyılda Cayley’in ortaya koyduğu çalışmaların devamı olarak 1932-1934 yılları arasında Blair ve Henze tüm alkan ve alkillerin izomer sayılarını hesaplamıştır. İzomer sayılarının sayımı konusunda çığır açan gelişme ise 1935-1937 yılları arasında Macar matematikçi George Polya tarafından geliştirilen teorem ile olmuştur. Teorem aslında 1927 yılında John Howard Redfield tarafından ortaya konmuş olsa da literatüre “Polya’nın sayma teoremi” adıyla girmiştir. Bu teorem ile farklı alanlardaki sayma problemlerinin çözülebilmesinin yanında kimya alanında da izomer sayma problemleri çözülebilmiştir. Polya’nın sayma teoremi ile graf teorinin kimya alanına etkisi önemli ölçüde gelişme göstermiş ve bu teorem grafların sayımı konusuna çok önemli bir katkı yapmıştır (Balaban 1976, Bell 2015). Graf teori kimya alanındaki önemli gelişiminin yanında farklı disiplinlere ait olan birçok çalışmada da etkin şekilde kullanılmıştır. 1936 yılında ruhbilimci Kurt Lewin, bireylerin 5 ömür sürelerini bir düzlemsel graf yapısı olarak modellemiş, graf teorinin psikoloji alanında kullanımına öncü olmuştur. 1949 yılında Richard Feynman tarafından teorik fizik alanında gerçekleştirilen çarpışma çalışmalarında parçacıkların köşeler ile, çarpışmadan sonra parçacıkların izledikleri yolların ise kenarlar ile temsil edildiği graf yapıları modellenerek kullanılmıştır. 1959 ve 1960 yıllarında teorik fizik alanında çalışan George Eugene Uhlenbeck ve ilk nobel ödülü kazanan Çin kökenli bilim insanları olan Tsung-Dao Lee ile arkadaşı Chen Ning Yang tarafından yapılan ayrı çalışmalarda çeşitli moleküllerin köşeler ve bu moleküller arasındaki fiziksel etkileşimlerin de kenarlar olarak temsil edilerek modellenmesiyle graf teori kullanılmıştır. Olasılık teorisindeki Markov zincirlerinin çalışılmasında yönlü grafların kullanılmasıyla graf teori bu alanda da etkisini göstermiştir. Graf teorinin dahil olduğu bir diğer alan ise nümerik analiz olmuş ve matrislerin özdeğerlerinin hesabında yönlü graflar kullanılmıştır. 20. yüzyılın ilk yarısından itibaren günümüzde gezgin satıcı problemi ve çinli postacı problemi adlarıyla bilinen kombinatorik optimizasyon problemlerinin çalışılmasında kullanılan lineer programlama ve yöneylem metotlarında kullanılan ağ yapılarında da graf teori kullanılmıştır. 1962-1965 yılları arasında ağ akışları, matematiksel programlama ve ulaşım ağları konuları üzerinde Lester Randolph Ford, Delbert Ray Fulkerson, Claude Berge ve Steven Vajda tarafından yayımlanan kitaplarda da grafların kullanımı görülmektedir. 1931 yılında ise Oswald Veblen tarafından yayımlanan ve topoloji alanında öncü olan kitapta basit kompleks olarak ifade edilen yapıların da bir graf yapısı olduğu görülebilir (Harary 1969). Buraya kadar olan kısımda görüldüğü gibi graf teorinin 18. yüzyılda başlayıp 20. yüzyılda da devam eden kuvvetli gelişimi gün geçtikçe farklı alanlara yayılmış ve bu gelişim matematikte olduğu kadar fizik, kimya, biyoloji ve bilgisayar bilimleri başta olmak üzere sağlık bilimleri, mühendislik bilimleri, psikoloji, sosyoloji, sanat vb. birçok alanda devam etmiştir. Bu alanlardan matematik temel olarak alındığında diğer uygulama alanlarından en fazla öne çıkanı kimya olarak görülebilir. 20. yüzyılda graf teorinin kimya alanında gerçekleştirdiği gelişimin en önemli adımlarından biri ise 1947 yılında kimyager Harold Wiener’in doymuş hidrokarbonların 6 kaynama noktaları üzerinde yaptığı çalışma ile atılmıştır. Wiener yaptığı çalışmada doymuş hidrokarbonların kaynama noktaları ile dallanma yapıları arasında ilişki kurmuş ve bu ifadeyi yol sayısı olarak isimlendirmiştir. Wiener yaptığı çalışmayı sadece doymuş hidrokarbonlar üzerinde sınırlı tutarak yol sayısı ifadesini sadece döngü içermeyen, bir başka deyişle sadece ağaç yapıları üzerinde geçerli olarak sunmuştur. 1971 yılında ise kimyager Haruo Hosoya yayımladığı makalesinde Wiener’in ifadesini hem ağaç yapıları hem de döngü içeren ağaç dışındaki diğer graf yapılarına da uyarlayarak daha kapsamlı hale getirerek ifade etmiş ve ayrıca aynı makalede günümüzde Hosoya indeksi olarak adlandırılan matematiksel ifadeyi de sunmuştur. Bu sayede Wiener’in ifadesi çok daha fazla önem arzetmeye başlamış ve Wiener indeksi olarak adlandırılarak günümüze ulaşmıştır. Bu gelişmeler neticesinde topolojik indeks veya topolojik invaryant olarak da isimlendirilen moleküler tanımlayıcılar kavramının temeli atılmıştır (Wiener 1947, Hosoya 1971, Hosoya 2019). 1.2. Topolojik İndeks Kavramı ve Uygulamaları Matematiğin kimya alanında kullanımı ve uygulamalarını içeren matematiksel kimya alanının bir alt dalı olan kimyasal graf teori, graf teoriyi kimyasal moleküllerin aynı zamanda kimyasal olayların modellenmesinde kullanarak araştıran graf teorinin önemli bir alt dalıdır. Kimyasal graf teori alanında graf yapıları olarak modellenen moleküller, moleküler graf olarak isimlendirilmektedir. Moleküler graflar, kimyasal formülleri verilen moleküllerin yapısal formüllerini temsil etmektedir. Yapılan çalışmalarda kullanılan birçok kimyasal graf tipi bulunmasına karşın çalışmanın hedefleri doğrultusunda modellenen moleküle ait bazı yapılar görmezden gelinebilir. Örneğin, organik kimya alanında hidrokarbonlar için moleküler graflar, genellikle moleküllerde bulunan hidrojen atomları görmezden gelinerek karbon atomu iskeletlerinden oluşmakta ve her kimyasal bağ tek bir kenar ile temsil edilmektedir (Mekenyan ve ark. 1988). Moleküllerin kimyasal formülü birçok şey ifade etmesine rağmen molekül hakkında tam bilgi vermemektedir. Örneğin kimyasal formülü 𝐶17𝐻21𝑁𝑂4 olan skopolamin alkaloidi “Dünya Sağlık Örgütü Temel İlaçlar Listesi” içerisinde yer alırken aynı kimyasal formüle 7 sahip kokain alkaloidi ise bir tür uyuşturucu olarak bilinmektedir. Bu farklılık alkaloidlerin yapısal formüllerinin (moleküler graflarının) farklılığının bir sonucudur (Schmuck 2010). Topolojik indeksler moleküler graflar üzerinde kurulan anlamlı ve tutarlı matematiksel formüllerin bir ürünü olarak elde edilen nicel parametreler şeklinde ifade edilip kimyasal graf teorinin en önemli araçlarından birini oluşturmaktadır. Topolojik indekslerden elde edilen parametreler ile modellenen moleküller ilişkilendirilerek moleküllerin fiziksel özelliklerinin yanında kaynama noktası, denge, entropi, kararlılık, tepkisellik gibi termodinamik özellikleri tahmin edilebilmekte ve böylelikle molekülün kimyasal özellikleri, biyolojik aktivitesi, çevresel davranışları saptanabilmektedir. Bu sayede deneysel veriler elde etmenin meydana getirdiği maliyet, zaman kaybı, mekansal sınırlamalar, deney sürecinde maruz kalınabilecek tehlikeler gibi zorluklar en aza indirilerek matematiksel olarak gerekli kimyasal veriler topolojik indeksler yardımıyla ulaşılabilir olmaktadır. Bu gibi avantajların sonucu olarak en başta ilaç kimyası ve toksikoloji olmak üzere teorik kimya temeline sahip birçok alanda topolojik indeksler kullanılmaktadır (Todeschini ve Consonni 2008, Hosoya 2019). Günümüzde bazıları teorik kimya alanında moleküler tanımlayıcı olarak kullanılan bazıları da sadece matematiksel ifadeler olarak literatürde yer edinen çok sayıda tanımlanmış topolojik indeks bulunmaktadır. Bunlardan başlıcaları Wiener indeksi, Hosoya indeksi, Randić indeksi, Zagreb indeksleri, Merrifield-Simmons indeksi, atom- bağ bağlantı indeksi olarak önümüze çıkmaktadır. Topolojik indeksler ifadeleri dolayısıyla graf teori başta olmak üzere cebir, fiziksel kimya vb. alanların temel bilgilerini gerektirirken uygulamaları dolayısıyla da kemometri, nicel yapı-aktivite ilişkisi QSAR ve nicel yapı-özellik ilişkisi QSPR yaklaşımları gibi alanların temel bilgilerini gerektirmektedir. Topolojik indekslerin hesaplama problemleri için ise kombinatorik kimya, hesaplamalı kimya, programlama gibi çeşitli alanlara ait teorilere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu sebeple topolojik indekslerin çalışma alanı multidisipliner bir alan olarak ifade edilebilir (Todeschini ve Consonni 2008). 8 1.3. Hosoya İndeksi ve Merrifield-Simmons İndeksi Hosoya indeksi 1971 yılında Haruo Hosoya tarafından yayımlanan makalede doymuş hidrokarbon moleküllerinin moleküler grafları üzerinde 𝑘 ≥ 0 değerleri için seçilebilecek tüm bağımsız 𝑘 tane kenar içeren farklı küme sayılarının toplamı olarak 𝑍 indeksi ifadesiyle önerilmiş ve topolojik indeks olarak isimlendirilerek tanımlanmıştır. Haruo Hosoya çalışmasında doymuş hidrokarbonların moleküler graflarından elde ettiği 𝑍 değeri ile moleküler graflarını oluşturduğu doymuş hidrokarbon moleküllerinin kaynama noktaları arasında ilişki kurmuştur (Hosoya 2019). Hosoya indeksi, kaynama noktasının yanısıra entropi, toplam 𝜋 -elektron enerjisi gibi çeşitli termodinamik özellikler ile ilişkili olmakla birlikte konjuge 𝜋 -elektron sistemleri teorisinde de uygulama alanına sahiptir (Wagner ve Gutman 2010, Gutman 2016). Richard E. Merrifield ve Howard E. Simmons 1980’lerde yaptıkları çalışmalarda moleküler yapıları tanımlamak amacıyla küme topolojisine dayanan matematiksel bir teori ortaya koymuştur (Simmons ve Merrifield 1977, Merrifield ve Simmons 1980, Merrifield ve Simmons 1981a, Merrifield ve Simmons 1981b, Merrifield ve Simmons 1985, Merrifield ve Simmons 1989). Bu kapsamda R. E. Merrifield ve H. E. Simmons moleküler graflar için bir topolojik uzay tanımlamıştır. Geliştirdikleri teoride grafın karşılık geldiği topolojik uzayın açık kümelerinin sayısı grafın bağımsız köşelerinin oluşturduğu farklı kümelerin sayısına eşittir. Bir başka ifade ile verilen bir grafta 𝑘 ≥ 0 değerleri için seçilebilecek tüm bağımsız 𝑘 tane köşe içeren farklı küme sayılarının toplamına eşittir. Bu sayı Merrifield-Simmons indeksi olarak önem arzetmiş ve ortaya atılan teorinin bilim çevrelerince başarısız bulunmasının önemli bir tesellisi olmuştur. Bir süre “İkinci tür Hosoya indeksi” olarak veya isim verilmeden çalışılsa da 1990 yılında ilk defa Ivan Gutman tarafından Merrifield-Simmons indeksi ismiyle kullanılmıştır (Gutman 1990). Ayrıca 1982 yılında H. Prodinger ve R. F. Tichy tarafından yapılan çalışmadan dolayı grafların Fibonacci sayısı olarak da adlandırılmaktadır (Prodinger ve Tichy 1982). Geçen süreçte başta kimya alanında hidrokarbonların termodinamik özelllikleriyle ilişkili 9 olmak üzere istatiksel mekanik gibi alanlarda da çeşitli uygulama alanları bulmuştur (Zhang 2014). 1.4. Literatür Taraması Hosoya ve Ohkami (1983) operatör tekniği adını verdikleri metot ile lineer, bükülmüş ve zik-zak tipli benzenoid zincirlerin karakteristik, eşleme ve 𝑍 -sayma polinomları için tekrarlama bağıntıları elde etmiştir. Randic ve ark. (1989) transfer matris tekniğini kullanarak benzenoid zincirlerin eşleme polinomlarını elde etmede kullanılan bir algoritma sunmuştur. Polansky ve ark. (1989) iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin Wiener sayılarının hesabına yönelik transfer matris tekniğine dayanan bir metot önermiştir. Gutman (1993) lineer hekzagonal zincirlerin tüm hekzagonal zincirler arasında minimum Hosoya indeksine ve maksimum Merrifield-Simmons indeksine sahip olduğunu göstermiştir. Aynı çalışmada hekzagonal zincirler arasında zik-zak hekzagonal zincirlerin minimum Merrifield-Simmons indeksine, maksimum Hosoya indeksine sahip olduğu konjektür olarak sunulmuş ve bu konjektür Zhang (1998) tarafından ispatlanmıştır. Zhang (2000) tüm hekzagonal zincirler arasında ikinci maksimum Merrifield-Simmons indeksine sahip olan hekzagonal zincirleri tek-açılı lineer hekzagonal zincirler olarak belirlemiştir. Zhang ve Tian (2003) hekzagonal zincirleri ağaç-tipli hekzagonal sistemlere diğer bilinen ismiyle iç noktasız-yoğunlaştırılmış hekzagonal sistemlere genişleterek aynı zamanda ağaç-tipli hekzagonal sistemler sınıfına da giren lineer hekzagonal zincirlerin ve tek-açılı lineer hekzagonal zincirlerin tüm ağaç-tipli hekzagonal sistemler arasında sırasıyla minimum ve ikinci minimum Hosoya indeksine, maksimum ve ikinci maksimum Merrifield-Simmons indeksine sahip olduğunu ispatlamıştır. 10 Shiu (2008) lineer hekzagonal örümcek graflarının tüm hekzagonal örümcek grafları arasında minimum Hosoya indeksine, maksimum Merrifield-Simmons indeksine sahip olduğunu göstermiştir. Ayrıca, aynı çalışmada zik-zak hekzagonal örümcek graflarının tüm hekzagonal örümcek grafları arasında minimum Merrifield-Simmons indeksine, maksimum Hosoya indeksine sahip olduğunu sunmuştur. Buraya kadar verilen çalışmaların devamı niteliğinde Ren (2011) lineer ağaç-tipli hekzagonal sistem ve zik-zak ağaç-tipli hekzagonal sistem kavramlarını kullanarak sunduğu dönüşüm yardımıyla Merrifield-Simmons indeksinin alt sınırına sahip olan ağaç-tipli hekzagonal sistemleri belirlemiş ve verdiği bazı sonuçları zik-zak hekzagonal örümcek graflarına ve hekzagonal zincirlere genişletmiştir. Hosoya ve Merrifield-Simmons indekslerinin sınır değerlerinin çalışılmasının yanısıra, Gutman ve ark. (2016), Şahin (2016) Merrifield-Simmons indeksi tek adımda Fibonacci sayıları cinsinden hesaplanabilen moleküler grafları belirlemiştir. Chen (2015) fenilen zincirler ve hekzagonal zincirlerde Merrifield-Simmons indeksinin beklenen değeri üzerine yaptığı çalışmada hekzagonal zincirlerde Merrifield-Simmons indeksinin hesabına yönelik literatürde hazır bulunan tekrarlama bağıntılarını kullanarak basit şekilde elde edilen, uzun ifadelerden oluşan bir indirgeme denklemi elde etmiştir. Luna ve ark. (2018) çokgen ağaç-tipli grafların Merrifield-Simmons indeksini hesaplamak için graflarda algoritmik hesaplama işlemlerinde sıkça kullanılan ağaç ayrıştırma metoduna dayanan ve yapay zeka alanında uygulamalara sahip olan makro operatörlerinin kullanıldığı lineer zamanlı algoritmalar tasarlamıştır. 11 Luna ve ark. (2019) çokgen dizilerde, dizideki her bir ortak kenar arasındaki uzaklığın 1 kenar olduğu çokgen dizilerin (zik-zak çokgen diziler) minimum Merrifield-Simmons indeksine sahip olduğunu göstermiştir. Zhang ve Zhang (2000), Gutman (1993) ve Zhang (1998) tarafından sunulan bazı sonuçları genelleştirerek tüm hekzagonal zincirler arasında lineer hekzagonal zincirlerin bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından minimum, bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından maksimum değere sahip olduğunu belirtmiştir. Aynı çalışmada, tüm hekzagonal zincirler arasında zik-zak hekzagonal zincirlerin bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından maksimum, bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından minimum değere sahip olduğu da sunulmuştur. Klabjan ve Mohar (1998) hekzagonal sistemlerde 𝑘 ≤ 5 için bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısını hesaplamak için bir yol sunmuştur. Cao ve Zhang (2008), Gutman (1993), Zhang (1998), Zhang ve Zhang (2000) tarafından yapılan çalışmaları çokgen zincir yapılarına genişleterek bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayıları bakımından uç değerlere ulaşan çokgen zincir tiplerini elde etmiştir. Ren ve Zhang (2007b) tüm birbirine yapışık 𝑛 tane naftalin molekülü tarafından oluşturulan çift katlı hekzagonal zincirler arasında lineer çift katlı hekzagonal zincirlerin bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından minimal, bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından maksimal değere sahip olduğunu sunmuştur. Ayrıca, tüm birbirine yapışık n tane naftalin molekülü tarafından oluşturulan çift katlı hekzagonal zincirler arasında zik- zak çift katlı hekzagonal zincirlerin bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından maksimal, bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek 12 şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayısı bakımından minimal değere sahip olduğu sunulmuştur. Ren ve Zhang (2007a) tarafından tüm birbirine yapışık 𝑛 tane naftalin molekülü tarafından oluşturulan çift katlı hekzagonal zincirler arasında maximal Hosoya indeks değerine ulaşan çift katlı hekzagonal zincir tipi ve minimal Merrifield-Simmons indeks değerine ulaşan çift katlı hekzagonal zincir tipi zik-zak çift katlı hekzagonal zincir olarak belirlenmiştir. Gutman ve ark. (1989) 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 şeklinde adlandırılarak verilen özel tipteki iki iç-noktalı hekzagonal sistemin Hosoya indeksleri için 𝑛 ≥ 3 olduğu durumda bir indirgeme bağıntısı elde etmiştir. Cruz ve ark. (2017) iç noktasız-yoğunlaştırılmış hekzagonal sistemlerin Hosoya indeksini hesaplamak için 4𝑥4 tipinde doğal sayı içerikli matrisler ile bir vektörün çarpımına dayanan indirgeme formülleri sunmuştur. Aynı çalışmada, özel tipteki bazı iç-noktasız hekzagonal sistemlerde Hosoya indeksinin maksimal ve minimal değerleri araştırılmıştır. 1.5. Tezin Amacı Hosoya ve Merrifield-Simmons indekslerinin ifadesi kolay anlaşılır olmasına rağmen hesabı ise bazı basit graf türleri dışında bir o kadar zorlayıcıdır. Bu indekslerin hesabı için verilen her graf üzerinde geçerli olacak şekilde halihazırda kullanılan genel etkili bir formülizasyon mevcut değildir. Literatürde aynı yapılara karşılık gelmesine rağmen hem hekzagonal sistemler hem de benzenoid sistemler olarak iki farklı ad ile telafuz edilen ve geometrik yapı olarak altıgenlerin birbirleriyle ortak kenarlara sahip olacak şekillerde kaynaşmasıyla oluşan 13 yapılar, hem kimya alanında hem de matematik alanında geniş bir çalışma alanına sahiptir. Bu tez çalışmasının odak noktası, benzenoid hidrokarbonların moleküler graflarının ait olduğu yapılar olan, literatürde ingilizce ismiyle “cata-condensed hexagonal systems” olarak bilinen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid (hekzagonal) sistemlerin ve literatürde ingilizce ismiyle “peri-condensed hexagonal systems” adıyla bilinen iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid (hekzagonal) sistemlerin Hosoya ve Merrifield- Simmons indekslerinin hesabı olacaktır. Bu tez çalışmasının dahil olduğu alanın kimyasal graf teori olması nedeniyle bu andan itibaren benzenoid sistemler adlandırması tercih edilerek çalışma gerçekleştirilecektir. Roberto Cruz tarafından yapılan çalışmada verilen metot ile iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin Hosoya indeksi hesaplanabilmektedir. Ancak bu çalışmada verilen metot ile iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerde Hosoya indeksinin hesabının yapı taşlarını teşkil eden bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayıları ayrı ayrı elde edilememektedir. Buradan hareketle öncelikle her bir 𝑘 ≥ 0 değeri için iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerde bağımsız 𝑘 tane kenar içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayılarının hesabına yönelik 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu matris çarpımlarını içeren bir metot önerilecektir. Verilen metotta kullanılan matrislerin boyutunun 𝑘 değeri ile doğru orantılı şekilde büyümesi sebebiyle metodun uygulanabilirliğini sağlamak amacıyla MATLAB programı kullanılarak her bir 𝑘 ≥ 0 değeri için bu metotta kullanılan matrisleri kolay bir şekilde elde etmede kullanılan 𝑘 değerine bağlı algoritmalar verilerek metodun uygulanabilirliği kolaylaştırılacaktır. Devamında Merrifield-Simmons indeksi hesabının yapı taşlarını teşkil eden bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayılarına yönelinecektir. İlk olarak, iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerde her bir 𝑘 ≥ 0 değeri için bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayılarını 14 hesaplamada kullanılan 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu matris çarpımlarını içeren bir metot önerilecektir. İkinci olarak ise bu metotta da kullanılan matrislerin boyutunun 𝑘 değerleri arttıkça artması nedeniyle metodun uygulanabilirliği için MATLAB programı kullanılarak matrisleri elde etmede kullanılan algoritmalar geliştirilecektir. Böylelikle, önerilen metot ve algoritmalar sayesinde her bir 𝑘 ≥ 0 değeri için her bir iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemde bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayıları hesaplanabilir olacaktır. Ayrıca, her bir 𝑘 ≥ 0 değeri için bağımsız 𝑘 tane köşe içerecek şekilde oluşturulabilecek farklı küme sayılarını hesaplamaya gerek olmadan doğrudan iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin Merrifield-Simmons indeksini hesaplamada kullanılan bir metot önerilerek bu hesap verilen her iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem için kolay bir yolla gerçekleştirilebilecektir. İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin ardından, iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin bir türü olan çift katlı benzenoid zincirlerin Hosoya ve Merrifield- Simmons indekslerinin hesabı için birer metot önerilerek bu metotlar ile her bir çift katlı benzenoid zincirin hem Hosoya indeksi hem de Merrifield-Simmons indeksi verilen metotlar ile hesaplanabilir olacaktır. Son olarak Gutman ve ark. (1989) tarafından 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 adlarıyla verilen özel tipteki iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin hem Hosoya hem de Merrifield-Simmons indekslerinin hesabı için metotlar önerilerek karşılık gelen her sistem tipi için bu indekslerin hesabı açık bir fonksiyon şeklinde ifade edilecektir. 15 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Ön Bilgiler 2.1.1. Tanım. Bir 𝐺 grafı, köşe kümesi 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑞} ile sırası önemli olmaksızın 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑞, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 için 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 köşeleri arasındaki bağlantıyı temsil eden ve 𝑒𝑘 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 formunda gösterilen ifadelerin oluşturduğu kenar kümesi 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑝} tarafından oluşturulan bir sıralı ikilidir. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) veya kısaca 𝐺 ifadesiyle gösterilir (Christofides 1975). 2.1.2. Tanım. 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑞} köşe kümesine ve 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑝} kenar kümesine sahip bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafının köşe sayısı |𝑉| = 𝑞 , kenar sayısı |𝐸| = 𝑝 olarak ifade edilir. 2.1.3. Tanım. Bir 𝐺 grafında 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 köşeleri arasında en az bir 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 kenarı mevcut ise 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 köşelerine komşu köşeler denilir ve 𝑒 kenarı hem 𝑣𝑖 hem de 𝑣𝑗 köşelerine bitişiktir denilir (Diestel 2005). 2.1.4. Tanım. Bir 𝐺 grafında bir 𝑣 köşesinin bitişik olduğu kenar sayılarının toplamına 𝑣 köşesinin derecesi denir ve 𝑑(𝑣) ile gösterilir (Diestel 2005). 2.1.5. Tanım. 𝐺 grafında bulunan her bir kenar için 𝑒𝑘 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 ≠ 𝑣𝑗𝑣𝑖 ise 𝐺 grafına yönlü graf denilir (Christofides 1975). 2.1.6. Tanım. 𝐺 grafı için oluşturulan bir kenar için 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑖 ise 𝑒 kenarına bir ilmek veya döngü (loop) denilir. Döngü içeren graflara pseudo graf denilir (Trinajstic 1992). 16 2.1.7. Tanım. 𝐺 grafında herhangi iki köşe 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 arasında birden fazla sayıda kenar mevcut ise bu kenarlar çoklu kenarlar olarak adlandırılır. Çoklu kenar içeren graflara çoklu graf denilir (Trinajstic 1992). 2.1.8. Tanım. Çoklu kenar ve döngü içermeyen yönlü olmayan graflara basit graf denilir. 2.1.9. Tanım. Köşe ve kenar kümeleri sırasıyla 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛}, 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑚} olan 𝐺(𝑉, 𝐸) grafında 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 aralığında ∀𝑎𝑖 ∈ 𝑉, ∀𝑏𝑖 ∈ 𝐸 için 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖𝑎𝑖+1 olmak üzere 𝑎1𝑏1𝑎2𝑏2𝑎3 ⋯𝑏𝑘−1𝑎𝑘𝑏𝑘𝑎𝑘+1 şeklinde tanımlanan diziye 𝐺 grafında bir yürüyüş denir. Yürüyüşteki kenar sayısına ise yürüyüşün uzunluğu denilir. Verilen bir yürüyüş için 𝑎1 = 𝑎𝑘+1 ise yürüyüşe kapalı yürüyüş aksi halde açık yürüyüş denilir (Diestel 2005). 2.1.10. Tanım. Bir 𝐺 grafı üzerinde tanımlanan bir yürüyüşte tüm kenarlar farklı ise yürüyüşe iz denir (Trinajstic 1992). 2.1.11. Tanım. Bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı üzerinde tanımlanan bir yürüyüşte tüm köşeler ve kenarlar farklı ise yürüyüşe patika denir. Köşe sayısı 𝑗 olan patika formundaki bir grafa patika graf denir ve 𝑃𝑗 sembolü ile gösterilir (Trinajstic 1992). 2.1.12. Tanım. İlk ve son köşeleri çakışan ve tüm köşe derecelerinin hepsi 2 olan kapalı patikaya devir graf denir. Köşe ve kenar sayısının her biri 𝑗 olan devir (cycle) graf 𝐶𝑗 ile gösterilir (Balaban 1976). 2.1.13. Tanım. Bir 𝐺 grafında herhangi iki köşe arasında en az bir tane patika mevcut ise 𝐺 grafına bağlantılı graf denir (Balaban 1976). 17 2.1.14. Tanım. Bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ve 𝑆 = (𝑉′, 𝐸′) grafları için 𝐸′ ⊆ 𝐸 ve 𝑉′ ⊆ 𝑉 sağlanırsa 𝑆 grafına 𝐺 grafının bir alt grafı denir (Diestel 2005). 2.1.15. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafının bir alt grafı olan 𝑆 = (𝑉′, 𝐸′) grafında ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉′ ve ∀𝑒 = 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 için 𝑒 ∈ 𝐸′ şartı sağlanıyorsa 𝑆 alt grafına 𝐺 grafının bir indüklenmiş alt grafı denir (Plummer ve Lovasz 1986). 2.1.16. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafının bir alt grafı olan 𝑆 = (𝑉′, 𝐸′) grafında 𝑉 = 𝑉′ şartı sağlanıyorsa 𝑆 alt grafına 𝐺 grafının bir geren alt grafı denir (Diestel 2005). 2.1.17. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafının alt graflarından maksimal bağlantılı her alt grafına bir bağlantılı bileşen denir (Plummer ve Lovasz 1986). 2.1.18. Tanım. Devir içermeyen bir graf yapısı orman olarak ifade edilir (Diestel 2005). 2.1.19. Tanım. Devir içermeyen bağlantılı bir grafa ağaç denir (Balaban 1976). 2.1.20. Tanım. 𝑣 ∈ 𝐺 olmak üzere 𝑣 köşesine komşu olan tüm köşelerin oluşturduğu komşuluk kümesi 𝑁𝐺(𝑣) = {𝑢 ∈ 𝐺: ∃𝑒 ∈ 𝐺, 𝑒 = 𝑢𝑣} şeklinde tanımlanır. Ayrıca, 18 𝑁𝐺[𝑣] = 𝑁𝐺(𝑣) ∪ {𝑣} olarak ifade edilir (Diestel 2005). 2.1.21. Tanım. 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) ve 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) grafları arasında ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉1 için 𝑒 = 𝑢𝑣 ∈ 𝐸1 ⇔ 𝑓(𝑒) = 𝑓(𝑢)𝑓(𝑣) ∈ 𝐸2 olacak şekilde birebir ve örten bir 𝑓: 𝑉1 ⟶ 𝑉2 fonksiyonu mevcut ise 𝐺1 ve 𝐺2 grafları birbirine izomorftur denilir ve 𝐺1 ≅ 𝐺2 ile gösterilir (Diestel 2005). 2.1.22. Tanım. Bir 𝐺 grafı ve 𝑣 ∈ 𝐺 için 𝐺 − 𝑣 alt grafı 𝐺 grafından 𝑣 köşesi ve 𝑣 köşesine bitişik olan tüm kenarların çıkarılması durumu olarak ifade edilir (Diestel 2005). 2.1.23. Tanım. Bir 𝐺 grafı ve 𝑒 ∈ 𝐺 için 𝐺 − 𝑒 alt grafı 𝐺 grafından sadece 𝑒 kenarının çıkarılması durumu olarak ifade edilir (Bollobas 2004). 2.1.24. Tanım. Herhangi ikisi birbirine komşu olmayan köşelerden oluşan bir kümeye bağımsız köşe kümesi, herhangi ikisi ortak bir köşeye bitişik olmayan kenarlardan oluşan bir kümeye bağımsız kenar kümesi denir (Plummer ve Lovasz 1986). 2.1.25. Tanım. Bir 𝐺 grafı için |𝑉| = 𝑞 > 𝑘 olsun. 𝐺 grafından çıkarılan köşeler önemli olmaksızın 𝑘 tane köşeden az sayıda köşe çıkarıldığında 𝐺 halen bağlantılı bir graf ise 𝐺 grafına 𝑘-bağlantılı graf denir (Diestel 2005). 19 2.1.26. Tanım. Verilen 𝐺 grafı bir düzlem üzerine hiçbir kenarı birbiri ile kesişmeyecek şekilde çizilebiliyor ise 𝐺 grafına düzlemsel graf denir (Diestel 2005). 2.1.27. Tanım. Hiç kenarı bulunmayan graflara boş graf (null graph) denir. 2.2. Benzenoid Sistemler Hidrokarbonlar, hidrojen ve karbon atomlarından oluşan organik moleküllerdir. Hidrokarbonların moleküler grafları ise genellikle hidrojen atomları çıkarılmış karbon atomu iskeletlerinden oluşmaktadır. Benzenoid sistemler de bu doğrultuda benzenoid hidrokarbonların moleküler graflarını temsil etmektedir. Bir benzenoid sistem karbon iskeleti düzgün altıgen şeklinde olan benzen molekülünün moleküler grafının ikili ikili ya bir ortak kenara sahip olacak şekilde birbirine yapışık ya da ayrık olarak yer aldığı 2-bağlantılı düzlemsel bir graf yapısıdır (Gutman ve Polansky 1986, Cyvin ve Gutman 1988, Gutman ve Cyvin 1989). Benzenoid sistemlerin oluşumunda yapı taşı olan her bir benzen molekülünün moleküler grafı bir düzgün altıgen bir diğer ifadeyle hekzagon olduğundan 𝐶6 devir grafına karşılık gelmektedir. Her bir 𝐶6 bir iç bölge bunların dışında kalan tek bölge ise dış bölge olarak adlandırılır. Benzenoid sistemlerde bir 𝑣 köşesi en fazla 3 hekzagona ait olabilir. 3 hekzagona ait olan ve 3 iç bölgenin kesişiminde yer alan bir 𝑣 köşesine iç köşe, 1 veya 2 hekzagona ait olarak dış bölge ile 1 veya 2 iç bölgenin kesişiminde yer alan bir 𝑣 köşesine ise dış köşe denilir (Cyvin ve Gutman 1988, Gutman ve Cyvin 1989). Şekil 2.1’de bir benzenoid sistem örneği gösterilmektedir. 20 Şekil 2.1. Benzenoid sistem 2.3. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemler İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler benzenoid sistemlerin temel iki alt sınıfından birisidir. 2.3.1. Tanım. Hiç iç köşe içermeyen benzenoid sistemlere iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler denilir (Cyvin ve Gutman 1988, Gutman ve Cyvin 1989). İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerde bir hekzagon en fazla 3 tane hekzagona komşu olabilir. Şekil 2.2’de bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem örneği sunulmaktadır. 21 Şekil 2.2. İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 2.4. İç Noktalı-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemler Benzenoid sistemlerin temel iki alt sınıfından bir diğeri iç noktalı-yoğunlaştırılmış sistemlerdir. Benzenoid sistemler bir küme olarak düşünüldüğünde iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler kümesinin tümleyeni iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler kümesini oluşturur şeklinde de tasvir edilebilir. 2.4.1. Tanım. En az bir iç köşe içeren sistemler iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler olarak tanımlanmaktadır (Cyvin ve Gutman 1988, Gutman ve Cyvin 1989). Şekil 2.3’te bir iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem örneği gösterilmektedir. 22 Şekil 2.3. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 2.5. Benzenoid Zincirler Benzenoid zincirler iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin alt sınıflarından birisidir. 2.5.1. Tanım. Bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemde her hekzagon en fazla 2 tane hekzagona komşu ise bu sisteme bir benzenoid zincir denir (Zhang ve Tian 2003). İfade etmede kolaylık sağlamak amacıyla ℎ tane hekzagona sahip bir benzenoid zincir 𝐵ℎ = 𝐻1𝐻2 ⋯𝐻ℎ ile gösterilecektir. 23 Şekil 2.4. Benzenoid zincir 𝐵11 2.5.2. Tanım. 𝐵ℎ = 𝐻1𝐻2 ⋯𝐻ℎ benzenoid zincirinde yer alan ve sadece bir tane hekzagona komşu olan 𝐻1 ve 𝐻ℎ hekzagonlarına uç hekzagonlar denir (Zhang ve Tian 2003). 2.5.3. Tanım. Bir 𝐵ℎ = 𝐻1𝐻2 ⋯𝐻ℎ benzenoid zincirinde uç hekzagon olmayan 𝐻1 ve 𝐻ℎ hekzagonları haricinde 2 ≤ 𝑗 ≤ ℎ − 1 için bir 𝐻𝑗 hekzagonunun 2 dereceli köşeleri birbirine komşu ise bu 𝐻𝑗 hekzagonuna dönüş hekzagonu denir (Zhang ve Tian 2003). 2.5.4. Tanım. Hiç dönüş hekzagonu içermeyen bir benzenoid zincire lineer benzenoid zincir denir ve ℎ tane hekzagon içeren bir lineer benzenoid zincir 𝐿ℎ ile gösterilir (Zhang ve Tian 2003). Şekil 2.5. Lineer benzenoid zincir 𝐿6 24 2.5.5. Tanım. Uç hekzagonlar haricindeki tüm hekzagonları dönüş hekzagonu olan bir benzenoid zincire zik-zak benzenoid zincir denir ve ℎ tane hekzagon içeren bir zik-zak benzenoid zincir 𝑍ℎ ile gösterilir. Şekil 2.6. Zik-zak benzenoid zincir 𝑍6 2.6. Çift Katlı Benzenoid Zincirler İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin bir türü olan bir çift katlı benzenoid zincir, naftalin molekülleri dikey formda düşünülerek naftalin moleküllerinin birbirleriyle iki tipte olmak üzere ardışık olarak 3 zik-zak kenar boyunca kaynaşmasıyla meydana gelmektedir. 2.6.1. Tanım. 𝑛 -katlı benzenoid zincirler 𝑛 tane özdeş benzenoid zincirin bir araya gelmesiyle meydana gelmektedir. 𝑛 = 2 olduğunda benzenoid zincire çift katlı benzenoid zincir denir (Cyvin ve Gutman 1988). 25 Şekil 2.7. Çift katlı benzenoid zincir 2.6.2. Tanım. Bir çift katlı benzenoid zincirde iki naftalin molekülünün kaynaşması iki tipte olabilir. Bu iki tip 𝑤, 𝑎, 𝑥, 𝑏, 𝑦, 𝑐, 𝑧, 𝑑, 𝑡, 𝑓 etiketli köşeler Şekil 2.8’de gösterildiği şekilde olmak üzere; 𝟏) τ Tip: 𝑥 ≡ 𝑎, 𝑦 ≡ 𝑏, 𝑧 ≡ 𝑐, 𝑡 ≡ 𝑑 𝟐) γ Tip: 𝑤 ≡ 𝑏, 𝑥 ≡ 𝑐, 𝑦 ≡ 𝑑, 𝑧 ≡ 𝑓 formundadır (Ren ve Zhang 2007a, Ren ve Zhang 2007b). 26 Şekil 2.8. Çift katlı benzenoid zincirler için kaynaşma tipleri Çift katlı benzenoid zincirleri ifade ederken Tanım 2.6.2’de tanımlanan 𝜏 ve 𝛾 kaynaşma türlerini belirtmek faydalı olacaktır. Bu sebeple 2ℎ tane hekzagona, ℎ tane naftalin molekülüne ve ℎ − 1 tane naftalin kaynaşma tipine sahip bir benzenoid zincir için 𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1 ∈ {𝜏, 𝛾} olmak üzere 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) gösterimi kullanılacaktır. 2.6.3. Tanım. Bir 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) çift katlı benzenoid zincirinde 1 ≤ 𝑗 ≤ ℎ − 2 aralığındaki her 𝑗 değeri için 𝜗𝑗 = 𝜗𝑗+1 eşitliği sağlanıyor ise 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) zincirine çift katlı lineer benzenoid zincir denir. 27 Şekil 2.9. Çift katlı lineer benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏, 𝜏) 2.6.4. Tanım. Bir 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) çift katlı benzenoid zincirinde 1 ≤ 𝑗 ≤ ℎ − 2 aralığındaki her 𝑗 değeri için 𝜗𝑗 ≠ 𝜗𝑗+1 eşitliği sağlanıyor ise 𝐻(𝜗1, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) zincirine çift katlı zik-zak benzenoid zincir denir. Şekil 2.10. Çift katlı zik-zak benzenoid zincir 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝜏, 𝛾, 𝜏) 28 2.7. Hosoya İndeksi 2.7.1. Tanım. Bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı için 𝑀 ⊆ 𝐸 olacak şekilde bir bağımsız kenar kümesi olsun. 𝑀 kümesine 𝐺 grafı için bir eşleme denir (Bondy ve Murty 1976). 2.7.2. Tanım. 𝑘 tane eleman içeren bir eşlemeye 𝑘-eşleme denir. 2.7.3. Tanım. 𝑘 ≥ 0 olmak üzere bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafında her biri birbirinden farklı olacak şekilde seçilebilecek tüm 𝑘 -eşlemelerin sayısına 𝐺 grafındaki 𝑘 -eşleme sayısı denir ve 𝑚(𝐺, 𝑘) ile gösterilir. Tanım gereği 𝑚(𝐺, 0) = 1 eşitliği mevcuttur. Ayrıca, 𝑚(𝐺, 1) = |𝐸| olduğu aşikardır. 2.7.4. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑟 değeri, 𝑚(𝐺, 𝑟) ≠ 0 olacak şekildeki maksimum doğal sayı olmak üzere 𝑟 𝑍(𝐺) = ∑ 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝑘=0 formunda tanımlanan ifadeye 𝐺 grafının Hosoya indeksi denir (Hosoya 1971). 2.8. Merrifield-Simmons İndeksi 2.8.1. Tanım. Bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı için 𝐼 ⊆ 𝑉 olacak şekilde bir bağımsız köşe kümesi olsun. 𝐼 kümesine 𝐺 grafı için bir bağımsızlık kümesi denir (Bondy ve Murty 1976). 29 2.8.2. Tanım. 𝑘 tane eleman içeren bir bağımsızlık kümesine 𝑘-bağımsızlık kümesi denir. 2.8.3. Tanım. 𝑘 ≥ 0 olmak üzere bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafında her biri birbirinden farklı olacak şekilde seçilebilecek tüm 𝑘 -bağımsızlık kümelerinin sayısına 𝐺 grafındaki 𝑘 - bağımsızlık sayısı denir ve 𝑛(𝐺, 𝑘) ile gösterilir. Tanım gereği 𝑛(𝐺, 0) = 1 eşitliği vardır. 𝑛(𝐺, 1) = |𝑉| olduğu açıktır. 2.8.4. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑟 değeri, 𝑛(𝐺, 𝑟) ≠ 0 olacak şekildeki maksimum doğal sayı olmak üzere 𝑟 𝑖(𝐺) = ∑ 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝑘=0 formunda tanımlanan ifadeye 𝐺 grafının Merrifield-Simmons indeksi denir (Merrifield ve Simmons 1989). 30 3. MATERYAL VE YÖNTEM Kimyasal graf teorideki kombinatorik sayma ve hesaplama problemlerinin çözümünde sıklıkla çeşitli köşeler ile kenarlar üzerinde dahil etme-dışlama ilkesi kullanılmaktadır (Bonchev ve Mekenyan 2012). Bunun sonucu olarak geliştirilen rekürans bağıntıları bu çerçevede oldukça önemlidir. Bu bağıntılar tekrarlı şekilde uygulanarak bazı yapılarda istenen sonuçlar alınabilmektedir. Ancak çok büyük ve karmaşık yapılar üzerinde tekrarlı şekilde rekürans bağıntılarının uygulanması bilgisayar destekli olarak bile oldukça zorlayıcıdır. Bu noktada ise kullanılan çeşitli metotlar geliştirilmiştir. Bu bölümde bu bağıntılar ve metotlar kısaca açıklanacaktır. 3.1. Hosoya ve Merrifield-Simmons İndeksleri için Rekürans Bağıntıları 3.1.1. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝒂) 𝐺1, 𝐺2, ⋯ , 𝐺𝑘 alt grafları 𝐺 grafının tüm bağlantılı bileşenleri olmak üzere 𝑘 𝑍(𝐺) = ∏𝑍(𝐺𝑖) 𝑖=1 eşitliği sağlanır. 𝒃) 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 ∈ 𝑉, 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸 için 𝑍(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑒) + 𝑍(𝐺 − 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗) eşitliği sağlanır (Gutman ve Polansky 1986). 31 3.1.2. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝒂) 𝐺1, 𝐺2, ⋯ , 𝐺𝑘 alt grafları 𝐺 grafının tüm bağlantılı bileşenleri olmak üzere 𝑘 𝑖(𝐺) = ∏𝑖(𝐺𝑗) 𝑗=1 eşitliği sağlanır. 𝒃) 𝑣𝑟 , 𝑣𝑠 ∈ 𝑉, 𝑒 = 𝑣𝑟𝑣𝑠 ∈ 𝐸 için 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑒) − 𝑖(𝐺 − (𝑁𝐺[𝑣𝑟] ∪ 𝑁𝐺[𝑣𝑠]) eşitliği sağlanır (Gutman ve Polansky 1986). 3.1.3. Lemma. 𝑗 ≥ 1 için 𝑃𝑗 grafı 𝑗 tane köşe sayısına sahip olan patika graf olsun. 𝑚(𝑃𝑗 , 𝑘), 𝑛(𝑃𝑗 , 𝑘), 𝑍(𝑃𝑗) ve 𝑖(𝑃𝑗) değerleri sırasıyla 𝑃𝑗 patika grafının 𝑘-eşleme sayısı, 𝑘 -bağımsızlık sayısı, Hosoya indeksi ve Merrifield-Simmons indeksini temsil etmek üzere aşağıdaki değerler mevcuttur. 𝑚(𝑃1, 0) = 1,𝑚(𝑃1, 1) = 0, 𝑚(𝑃2, 0) = 1,𝑚(𝑃2, 1) = 1,𝑚(𝑃2, 2) = 0, 𝑚(𝑃3, 0) = 1,𝑚(𝑃3, 1) = 2,𝑚(𝑃3, 2) = 0, 𝑚(𝑃4, 0) = 1,𝑚(𝑃4, 1) = 3,𝑚(𝑃4, 2) = 1,𝑚(𝑃4, 3) = 0, 32 𝑚(𝑃5, 0) = 1,𝑚(𝑃5, 1) = 4,𝑚(𝑃5, 2) = 3,𝑚(𝑃5, 3) = 0, 𝑚(𝑃6, 0) = 1,𝑚(𝑃6, 1) = 5,𝑚(𝑃6, 2) = 6,𝑚(𝑃6, 3) = 1,𝑚(𝑃6, 4) = 0, 𝑛(𝑃1, 0) = 1, 𝑛(𝑃1, 1) = 1, 𝑛(𝑃1, 2) = 0, 𝑛(𝑃2, 0) = 1, 𝑛(𝑃2, 1) = 2, 𝑛(𝑃2, 2) = 0, 𝑛(𝑃3, 0) = 1, 𝑛(𝑃3, 1) = 3, 𝑛(𝑃3, 2) = 1, 𝑛(𝑃3, 3) = 0, 𝑛(𝑃4, 0) = 1, 𝑛(𝑃4, 1) = 4, 𝑛(𝑃4, 2) = 3, 𝑛(𝑃4, 3) = 0, 𝑛(𝑃5, 0) = 1, 𝑛(𝑃5, 1) = 5, 𝑛(𝑃5, 2) = 6, 𝑛(𝑃5, 3) = 1, 𝑛(𝑃5, 4) = 0, 𝑛(𝑃6, 0) = 1, 𝑛(𝑃6, 1) = 6, 𝑛(𝑃6, 2) = 10, 𝑛(𝑃6, 3) = 4, 𝑛(𝑃6, 4) = 0, 𝑍(𝑃1) = 𝑚(𝑃1, 0) = 1, 𝑍(𝑃2) = 𝑚(𝑃2, 0) + 𝑚(𝑃2, 1) = 2, 𝑍(𝑃3) = 𝑚(𝑃3, 0) + 𝑚(𝑃3, 1) = 3, 𝑍(𝑃4) = 𝑚(𝑃4, 0) + 𝑚(𝑃4, 1) + 𝑚(𝑃4, 2) = 5, 𝑍(𝑃5) = 𝑚(𝑃5, 0) + 𝑚(𝑃5, 1) + 𝑚(𝑃5, 2) = 8, 𝑍(𝑃6) = 𝑚(𝑃6, 0) + 𝑚(𝑃6, 1) + 𝑚(𝑃6, 2) + 𝑚(𝑃6, 3) = 13, 𝑖(𝑃1) = 𝑛(𝑃1, 0) + 𝑛(𝑃1, 1) = 2, 𝑖(𝑃2) = 𝑛(𝑃2, 0) + 𝑛(𝑃2, 1) = 3, 𝑖(𝑃3) = 𝑛(𝑃3, 0) + 𝑛(𝑃3, 1) + 𝑛(𝑃3, 2) = 5, 𝑖(𝑃4) = 𝑛(𝑃4, 0) + 𝑛(𝑃4, 1) + 𝑛(𝑃4, 2) = 8, 𝑖(𝑃5) = 𝑛(𝑃5, 0) + 𝑛(𝑃5, 1) + 𝑛(𝑃5, 2) + 𝑛(𝑃5, 3) = 13, 𝑖(𝑃6) = 𝑛(𝑃6, 0) + 𝑛(𝑃6, 1) + 𝑛(𝑃6, 2) + 𝑛(𝑃6, 3) = 21. 3.1.4. Örnek. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) köşeleri 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔 şeklinde etiketlenerek verilen 𝐶6 devir grafı olsun. 33 İlk olarak 𝐶6 devir grafının Hosoya indeksi 𝑒 = 𝑎𝑏 ∈ 𝐺 kenarı üzerinden Lemma 3.1.1 yardımıyla hesaplanmak istenirse; Şekil 3.1. 𝐶6 devir grafı için Hosoya indeksi rekürans ifadesi denklemine ulaşılır. Denklemin sağ tarafında bulunan 𝑍(𝑃6) = 𝑚(𝑃6, 0) + 𝑚(𝑃6, 1) + 𝑚(𝑃6, 2) + 𝑚(𝑃6, 3) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13 ve ayrıca 𝑍(𝑃4) = 𝑚(𝑃4, 0) + 𝑚(𝑃4, 1) + 𝑚(𝑃4, 2) = 1 + 3 + 1 = 5 değerleri basit şekilde hesaplanarak 𝑍(𝐶6) = 13 + 5 = 18 sonucuna varılır. İkinci olarak 𝐶6 devir grafının Merrifield-Simmons indeksi 𝑒 = 𝑎𝑏 ∈ 𝐺 kenarı silinerek Lemma 3.1.2 yardımıyla hesaplanmak istenirse; Şekil 3.2. 𝐶6 devir grafı için Merrifield-Simmons indeksi rekürans ifadesi denklemi elde edilir. Buradan 𝑖(𝑃6) = 𝑛(𝑃6, 0) + 𝑛(𝑃6, 1) + 𝑛(𝑃6, 2) + 𝑛(𝑃6, 3) = 1 + 6 + 10 + 4 = 21 değeri elde edilir. Benzer şekilde 𝑖(𝑃2) = 𝑛(𝑃2, 0) + 𝑛(𝑃2, 1) = 1 + 2 = 3 değeri de elde edilerek 𝑖(𝐶6) = 21 − 3 = 18 sonucuna ulaşılır. 34 Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2’nin paralelinde aşağıdaki lemmalara 𝑚(𝐺, 𝑘) ve 𝑛(𝐺, 𝑘) tanımlarından ulaşılabilir. 3.1.5. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝒂) 𝐺1, 𝐺2 alt grafları 𝐺 = 𝐺1 ∪ 𝐺2 olacak şekildeki 𝐺 grafının bağlantılı bileşenleri olmak üzere 𝑚(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺1, 𝑘)𝑚(𝐺2, 0) + 𝑚(𝐺1, 𝑘 − 1)𝑚(𝐺2, 1) + ⋯+ 𝑚(𝐺1, 0)𝑚(𝐺2, 𝑘) eşitliği sağlanır. 𝒃) 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 ∈ 𝑉, 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸 için 𝑚(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑒, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 , 𝑘 − 1) eşitliği sağlanır (Hosoya ve Ohkami 1983). 3.1.6. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝒂) 𝐺1, 𝐺2 alt grafları 𝐺 = 𝐺1 ∪ 𝐺2 olacak şekildeki 𝐺 grafının bağlantılı bileşenleri olmak üzere 𝑛(𝐺, 𝑘) = 𝑛(𝐺1, 𝑘)𝑛(𝐺2, 0) + 𝑛(𝐺1, 𝑘 − 1)𝑛(𝐺2, 1) + ⋯+ 𝑛(𝐺1, 0)𝑛(𝐺2, 𝑘) 35 eşitliği sağlanır. 𝒃) 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 ∈ 𝑉, 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸 için 𝑛(𝐺, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑒, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣𝑖] − 𝑁𝐺[𝑣𝑗], 𝑘 − 2) eşitliği sağlanır. 3.1.7. Örnek. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) Şekil 3.1’de Hosoya indeksi hesaplanan ve köşeleri 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔 şeklinde etiketlenerek verilen 𝐶6 devir grafı olsun. 𝐺 grafının 3-eşleme ve 3-bağımsızlık sayıları sırasıyla Lemma 3.1.5 ve Lemma 3.1.6 kullanılarak; 𝑚(𝐺, 3) = 𝑚(𝐺 − 𝑎𝑏, 3) + 𝑚(𝐺 − 𝑎 − 𝑏, 2) = 𝑚(𝑃6, 3) + 𝑚(𝑃4, 2) = 1 + 1 = 2 𝑛(𝐺, 3) = 𝑛(𝐺 − 𝑎𝑏, 3) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑏], 1) = 𝑛(𝑃6, 3) − 𝑛(𝑃2, 1) = 4 − 2 = 2 olarak elde edilir. 36 3.2. Hosoya Vektörü Cruz ve ark. (2017) tarafından bir 𝐺 grafının bir kenarı üzerinde tanımlanan Hosoya vektörü aşağıdaki tanımda verilmektedir. 3.2.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ∈ 𝑉, 𝑒 = 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸 için 𝐺 grafının 𝑒 kenarı üzerindeki Hosoya vektörü 𝑍(𝐺) 𝑍(𝐺 − 𝑣𝑖) 𝑍 𝑣𝑖𝑣 (𝐺) = 𝑗 𝑍(𝐺 − 𝑣𝑗) [𝑍(𝐺 − 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗)] şeklinde tanımlanır (Cruz ve ark. 2017). 3.2.2. Örnek. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) köşeleri 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔 şeklinde etiketlenerek Örnek 3.1.4’te verilen 𝐶6 devir grafı olsun. Burada 𝑍(𝑃5) = 𝑚(𝑃5, 0) + 𝑚(𝑃5, 1) + 𝑚(𝑃5, 2) = 1 + 4 + 3 = 8 şeklinde hesaplanır. Ayrıca, 𝑍(𝐶6) = 18 ve 𝑍(𝑃4) = 5 olarak Örnek 3.1.4’te hesaplandığından 𝑒 = 𝑎𝑏 ∈ 𝐸 kenarı üzerindeki Hosoya vektörü 𝑍(𝐺) 𝑍(𝐶6) 18 𝑍(𝐺 − 𝑎) 𝑍(𝑃5) 8𝑍𝑎𝑏(𝐺) = [ ] = [ ] = [ ] 𝑍(𝐺 − 𝑏) 𝑍(𝑃5) 8 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏) 𝑍(𝑃4) 5 olarak bulunur. Cruz ve ark. (2017) verilen bir 𝐺 grafının bir kenarı üzerinde tanımladıkları Hosoya vektörü ve Lemma 3.1.1’de verilen Hosoya indeksi için rekürans bağıntıları yardımıyla 37 iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin Hosoya indeksini 4𝑥4 boyutlu doğal sayı içerikli matrisler ile bir vektörün çarpımına dayanarak hesaplayan indirgeme formülleri elde etmişlerdir. Transfer matris tekniği Polansky ve ark. (1989), Randic ve ark. (1989) tarafından yapılan çalışmalarda olduğu gibi matematiksel kimya alanında birçok sayma probleminde yaklaşım olarak kullanılmıştır (Bonchev ve Mekenyan 2012). Cruz ve ark. (2017) tarafından yapılan çalışmada da kullanılan yaklaşımın transfer matris tekniği olduğu gözlemlenebilir. 38 4. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE BULGULAR 4.1. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin 𝒌 -Eşleme Sayılarının Hesaplanması Bu bölümde iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin ∀𝑘 ≥ 0 için 𝑘-eşleme sayısının hesabına yönelik matris çarpımlarına dayanan indirgeme formülleri verilecektir. Sonuç olarak, ∀𝑘 ≥ 0 için herhangi bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑘-eşleme sayısı 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu, doğal sayı içerikli matrislerin 4(𝑘 + 1) × 1 boyutlu, doğal sayı içerikli bir vektör ile çarpımı yoluyla hesaplanabilir olacaktır. İlk olarak bu bölümde verilecek olan teoremlerin ve ispatların temelini oluşturacak olan 4(𝑘 + 1) × 1 tipindeki vektör tanımlanacaktır. 4.1.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝐺 grafının 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸 kenarı üzerindeki 𝑘 ≥ 0 için 𝑘-eşleme vektörü 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝑚(𝐺, 𝑘 − 1) ⋮ 𝑚(𝐺, 0) 𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1) ⋮ 𝑚(𝐺 − 𝑞, 0) 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1) ⋮ 𝑚 (𝐺 − 𝑟, 0) 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 1) ⋮ [ 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 0) ] formundadır (Oz ve Cangul 2022a). 39 Bir sonraki şekilde Bölümler 4.1, 4.2 ve 4.3’de verilecek olan her bölümün ilk üç teoremini ve bu teoremlerin ispatlarını daha anlaşılır şekilde sunma maksadıyla iki izomorfik graf yapısı farklı köşe etiketlerine sahip olarak gösterilmektedir. Şekil 4.1. Teoremler 4.1.3-4.1.5, 4.2.3-4.2.5, 4.3.3-4.3.5 için kullanılacak iç noktasız - yoğunlaştırılmış benzenoid sistem formu türleri 4.1.2. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf ve 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸, 𝐺 grafının bir kenarı olsun. 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0𝐷 = 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 [0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 ] 40 formunda 𝑘 ≥ 0 için 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐷 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝐺, 𝑘) eşitliği sağlanır. İspat. 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) vektörünün tanımından açıktır. 4.1.3. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 3 1 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 0 1 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 𝐴 = 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 [ 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ] formunda 𝑘 ≥ 0 için 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 41 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022a). İspat. İlk olarak 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) değerini hesaplamak için sırasıyla 𝑚(𝐺, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) değerlerinin hesaplanması gereklidir. Bu hesap 𝑣𝑢,𝑤𝑝 kenarlarının her ikisi de alt graflardan silinerek ve Lemma 3.1.5 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑚(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑣𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑣𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 3𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) +2𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 1) + 2𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 3) = (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑣𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑣𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 2) = (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑣𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑣𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 2) = (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑣𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑣𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) 42 +𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑣 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 2) = (1, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘). 𝑘-eşleme vektörü tanımından hareketle; (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) (1, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) vektörleri 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğini sağlayacak şekildeki 𝐴 matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). satırlarını oluşturur. Devamında 𝐴 matrisinin kalan satırlarını bulmak için 𝑚(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺, 0),𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑞, 0),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑟, 0) ve 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 0) değerlerinin de ayrı ayrı hesaplanması gerekir. Ancak bu değerleri uzun uzun hesaplamaya gerek yoktur. Çünkü yukarıda bulunan 𝑚(𝐺, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) değerlerinin elde edildiği denklemlerden çıkarım yapılarak her denklemdeki ifadelerde sadece 𝑘 değerlerinin azalacağı gözlemlenebilir. Bu sebeple 𝐴 matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 4 bölüme ayrılırsa oluşan 16 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐴 matrisi yukarıda verildiği şekilde 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğine ulaşılır. 43 Bu teoremin bir sonucu olarak 𝑆 ≅ 𝑃2 olduğu durumda 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑃2, 𝑘) = [0,⋯ , 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 1, 0,⋯ , 0, 1, 0,⋯ , 0, 1 ]𝑇 olduğu görülebilir. 4.1.4. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑝𝑤 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (ii) şıkkında görülebilir). O halde 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 3 1 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 0 1 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 B= 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 [ 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ] formunda 𝑘 ≥ 0 için 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵 ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022a). İspat. 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) vektörünün tüm içeriklerini hesaplamak için öncelikle 𝑚(𝐺, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) değerlerini hesaplamak gereklidir. Bu değerler 44 𝑤𝑣, 𝑝𝑞 kenarlarının her alt graf için uygun formda silinmesiyle ve Lemma 3.1.5 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑚(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝 − 𝑞, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑝 − 𝑞, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 3𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) +2𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 2𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 3) = (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 2𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) = (1, 2, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑣 − 𝑝 − 𝑞, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑝 − 𝑞, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 2) = (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑤𝑣, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) = (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘). 𝑘-eşleme vektörü tanımından hareketle; (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0) (1, 2, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) 45 (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) vektörleri 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵 ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanacak şekildeki 𝐵 matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). satırlarını oluşturur. 𝐵 matrisinin kalan satırlarını bulmak için 𝑚(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺, 0),𝑚(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑞, 0),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑟, 0) ve 𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑞 − 𝑟, 0) değerlerinin de ayrı ayrı hesaplanması gerekir. Teorem 4.1.3’ün ispatında açıklandığı gibi bu değerlerin uzun uzun hesaplanmasına gerek yoktur. Dolayısıyla 𝐵 matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 4 bölüme ayrılırsa oluşan 16 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐵 matrisi yukarıda verildiği şekilde 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑚𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵 ∙ 𝑚𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliğine ulaşılır. 4.1.5. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 1 3 1 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 0 1 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 C= 1 2 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 2 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 [ 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ] 46 formunda 𝑘 ≥ 0 için 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑚𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022a). İspat. İlk olarak 𝑚(𝐺, 𝑘) ve 𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘) değerleri Teorem 4.1.3’ün ispatında bir vektör ile 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) vektörünün çarpımı olarak elde edildiğinden geriye kalan 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘) değerlerinin hesabı yapılmalıdır. Bu değerler 𝐺 − 𝑢 ve 𝐺 − 𝑟 − 𝑢 alt graflarından 𝑤𝑝 kenarı silinerek ve Lemma 3.1.5 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 2𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) = (1, 2, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) = (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘). 𝑘-eşleme vektörü tanımından hareketle; (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0) (1, 2, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 1, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, 0, 0, 0,⋯ , 0) 47 vektörleri 𝑚𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) denklemini sağlayacak şekildeki 𝐶 matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). satırlarını oluşturur. 𝐶 matrisinin geriye kalan satırlarını bulmak için 𝑚(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺, 0),𝑚(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑟, 0),𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑢, 0) ve 𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 1),⋯ ,𝑚(𝐺 − 𝑟 − 𝑢, 0) değerlerinin de ayrı ayrı hesaplanması gerekir. Önceki iki teoremin ispatında açıklandığı gibi bu değerlerin uzun uzun hesabı yapılmadan 𝐶 matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 4 bölüme ayrılırsa oluşan 16 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐶 matrisi teoremin ifadesinde verildiği şekilde 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑚𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶 ∙ 𝑚𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) denklemi elde edilir. Buraya kadar sunulan teoremler sonuç kısmında iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin indirgenmesinde sistemdeki en fazla iki hekzagona komşu olan hekzagonlar için kullanılacaktır. Bir sonraki şekil ise sonuç kısmındaki indirgemelerde sistemde üç hekzagona komşu olarak var olan hekzagonlar için bölümün devamında sunulacak olan Teorem 4.1.6’da ve bu teoremin sonucu olan Sonuç 4.1.7’de kullanılacaktır. Şekil 4.2. Teoremler 4.1.6, 4.2.6, 4.3.6 ve Sonuçlar 4.1.7, 4.2.7 için kullanılacak iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem formu türü 48 Sunulacak olan Teorem 4.1.6 ve Sonuç 4.1.7’de kullanılacak olan 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu matris formları 𝑗 = 1, 2, 3, 4 olmak üzere 𝐸𝑗 ile gösterilerek aşağıdaki şekilde tanımlanacaktır: 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝐸1 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 1 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ] 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝐸2 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 [ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ] 49 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝐸3 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 [ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ] 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝐸4 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 [ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ] 4.1.6. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝑀 ve 𝑆 grafları ile bir hekzagonun sırasıyla ortak 𝑒1 = 𝑟𝑞, 𝑒2 = 𝑤𝑝 ∈ 𝐸 kenarlarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.2’de görülebilir). O halde 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4 için 𝐸𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 50 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) 𝑇 [ ] = [(𝐸 ∙ 𝑚 𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘) 𝑗 𝑟𝑞 (𝑀, 𝑘)) ] ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) 𝑗 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) denklemi sağlanır. İspat. 𝑚(𝐺, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘),𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) değerleri gerekli olan alt graflardan 𝑝𝑞, 𝑤𝑣 ve 𝑟𝑢 kenarlarının çeşitli kombinasyonlarda silinerek ve Lemma 3.1.5 kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır: 𝑚(𝐺, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣 − 𝑟𝑢, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑟𝑢, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 2) +𝑚(𝐺 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤𝑣 − 𝑟𝑢, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤𝑣 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 2) +𝑚(𝐺 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑟𝑢, 𝑘 − 2) +𝑚(𝐺 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤 − 𝑣 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 3) = 𝑚(𝑃2 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀 − 𝑟 ∪ 𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 ∪ 𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑀 − 𝑟 ∪ 𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑃2 ∪ 𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟 ∪ 𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 3) = [𝑚(𝑀, 𝑘) + 𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 1)] ∙ 𝑚(𝑆, 0) +[𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑚(𝑆, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀, 1) + 𝑚(𝑀, 0) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘) + +[𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 0) +[𝑚(𝑀, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 3)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀, 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) 51 +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 0) +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 3) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 3)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 3)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 0) +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 3) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 4)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 3) +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2). Dolayısıyla, 𝐸1 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑚(𝐺, 𝑘) = [𝐸1 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemine ulaşılır. 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑤 − 𝑣, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀 ∪ 𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝 − 𝑤, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑀, 𝑘) ∙ 𝑚(𝑆, 0) + 𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) ∙ 𝑚(𝑆, 1) + ⋯ +𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 0) +𝑚(𝑀, 𝑘 − 2) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 1) + ⋯+ 𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 1) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 0) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 1) + ⋯ +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 0) +𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 3) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 1) + ⋯ 52 +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑤 − 𝑝, 𝑘 − 2). Buradan, 𝐸2 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = [𝐸2 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemine ulaşılır. 𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟𝑢, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 1) +𝑚(𝐺 − 𝑣 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑟𝑢, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑝 − 𝑞 − 𝑟 − 𝑢, 𝑘 − 2) = 𝑚(𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀 − 𝑟 ∪ 𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) +𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) = [𝑚(𝑀, 𝑘) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 1)] ∙ 𝑚(𝑆, 0) +[𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑚(𝑆, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀, 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘) +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 0) +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 𝑘 − 3)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 1) + ⋯ +[𝑚(𝑀 − 𝑞, 1) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 − 𝑟, 0)] ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 2) +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1). Buna göre 𝐸3 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘) = [𝐸3 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemine ulaşılır. 53 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) = 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘) + 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣 − 𝑝 − 𝑞, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀 − 𝑞 ∪ 𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) = 𝑚(𝑀, 𝑘) ∙ 𝑚(𝑆, 0) + 𝑚(𝑀, 𝑘 − 1) ∙ 𝑚(𝑆, 1) + ⋯ +𝑚(𝑀, 0) ∙ 𝑚(𝑆, 𝑘) + 𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 1) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 0) + +𝑚(𝑀 − 𝑞, 𝑘 − 2) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 1) + ⋯ +𝑚(𝑀 − 𝑞, 0) ∙ 𝑚(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1). Son olarak 𝐸4 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) = [𝐸4 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemine ulaşılır. Sonuç olarak bulunan dört değer toplu halde 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4 için 𝐸𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) 𝑇 [ ] = [(𝐸 ∙ 𝑚 (𝑀, 𝑘)) ] ∙ 𝑚 (𝑆, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘) 𝑗 𝑟𝑞 𝑗 𝑤𝑝 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) denklemi elde edilir. Yukarıdaki Teorem 4.1.6’nın ispatı boyunca kenar silme işlemlerinde oluşan 𝑃1 patika graflarının 𝑘 -eşleme sayısını arttırmadığı için yazılmayarak işlem kalabalıklığından kaçınıldığını bir not olarak belirtmek faydalı olacaktır. 54 Bölümün buraya kadar olan kısmında görüldüğü gibi iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin 𝑘-eşleme sayılarının hesabına yönelik önerilen metotta 𝑘-eşleme vektörü kritik konumdadır. Şöyle ki, verilen bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemde her hekzagon en fazla iki tane hekzagona komşu ise hekzagonların bir kenarı üzerinde tanımlanan 𝑘 -eşleme vektörü kullanılarak yapılan indirgemeler sayesinde sistemin 𝑘-eşleme sayısının hesabına yönelik önerilen metot sadece Teoremler 4.1.3, 4.1.4 ve 4.1.5’ü içermektedir. Ancak, verilen sistemde üç tane hekzagona komşu olan en az bir tane hekzagon var ise o zaman bu teoremler yetersiz kalmaktadır. Çünkü, bu sistemin 𝑘-eşleme sayısının hesabı için sistemdeki üç tane hekzagona komşu olan tüm hekzagonların diğer komşu üç hekzagondan bir tanesi ile ortak olan bir kenarı üzerindeki 𝑘-eşleme vektörüne ihtiyaç duyulmaktadır. Kısaca, sistemde üç tane hekzagona komşu olan bir tane hekzagon var olsun ve bu hekzagonun diğer üç hekzagondan bir tanesi ile ortak kullandığı bir kenar 𝑒 = 𝑢𝑣 ise önerilen metodun uygulanabilmesi için 𝑚𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörüne ihtiyaç duyulacaktır. Buradan hareketle 𝑚𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörüne ulaşmak için Teorem 4.1.6’da elde edilen 𝑚(𝐺, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑢, 𝑘) [ ] 𝑚(𝐺 − 𝑣, 𝑘) 𝑚(𝐺 − 𝑢 − 𝑣, 𝑘) vektörü önerilen metot açısından önemli bir yere sahiptir. Bu vektör sayesinde 𝑚𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörüne şu şekilde ulaşılabilir: 𝑇 𝑗 = 1,2,3,4 için [(𝐸𝑗 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)) ] vektörünün 1 × 4(𝑘 + 1) boyutlu bir vektör 𝑗 𝑇 𝑇 olduğu aşikardır. Bu dikkate alınarak [𝐸1 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸2 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸3 ∙ 𝑇 𝑇 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸4 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] vektörlerinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). 55 satırlarını oluşturduğu, 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu yeni bir matris tanımlansın. Ardından Teoremler 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5’in ispatlarındaki şekilde bu matrisin satırları ve sütunları 4’er gruba ayrılarak diğer kalan satırlar her grup için merdiven (satırca eşelon) formunda doldurularak matrisin kalan satırları tamamlansın. Yeni tanımlanan bu matris 𝑋 matrisi olarak gösterilsin. Bu matris yardımıyla bir sonraki sonuca varılmaktadır. 4.1.7. Sonuç. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝑀 ve 𝑆 grafları ile bir hekzagonun sırasıyla ortak 𝑒1 = 𝑟𝑞, 𝑒2 = 𝑤𝑝 ∈ 𝐸 kenarlarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.2’de görülebilir). O halde 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4 için 𝐸𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑚𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) = 𝑋 ∙ 𝑚𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemi sağlanır. Bu bölümde sunulan teoremler ve sonuçlarda kullanılan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4 matrislerinin ve bir 𝑒 = 𝑞𝑟 kenarı üzerindeki 𝑚𝑞𝑟(𝑃2, 𝑘) vektörünün 𝑘 = 0,1,2 için oluşturulması basit olmakla birlikte ∀𝑘 ≥ 3 değeri için oluşturulması elle oldukça zorlayıcıdır. Bu sebeple hesabı kolaylaştırmak için MATLAB programında bu matrisler ve vektörün basit şekilde elde edilmesini sağlayan, 𝑘 değerine bağlı çalışan kodlar Ekler kısmında Ek 1-Ek 11 arasında sunulmuştur (Oz ve Cangul 2022a). Bu kodlar istenilen 𝑘 ≥ 3 değerine bağlı çalıştırılarak ve Ek 10 ile Ek 11’de sunulan kodların 3. , 4. , 5. , 6. adımları verilen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sisteme göre basit şekilde uyarlanarak elde edilen matrislerin çarpımı ile karşılık gelen sistemin 𝑘-eşleme sayısı hesaplanabilmektedir. Bu hesaplamanın bir uygulaması sonraki örnekte sunulmaktadır. 56 Şekil 4.3. İç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 4.1.8. Örnek. 𝐺 Şekil 4.3’te verilen bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem olsun. 𝑚(𝐺, 21) değeri, 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝑉 karşılık gelen alt graflar olmak üzere, 𝑥𝑦 kenarındaki 𝑘-eşleme vektörü 𝑚𝑥𝑦(𝐺, 𝑘), Lemma 4.1.2, Teoremler 4.1.3-4.1.6 ve Sonuç 4.1.7 kullanılarak aşağıdaki denklemden elde edilebilir. 𝑚𝑥𝑦(𝐺, 21) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑚 𝐼 𝑢𝑣(𝑆 , 21) = A ∙ 𝐵 ∙ 𝑍 ∙ 𝑚 (𝑆𝐼𝐼𝑤𝑝 , 21) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷 ∙ 𝑚 (𝑆𝐼𝐼𝑝𝑤 , 21) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷 ∙ 𝐴 ∙ 𝑚 𝐼𝐼𝐼𝑐𝑑(𝑆 , 21) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷 ∙ 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝑚 (𝑆𝐼𝑉𝑠𝑡 , 21) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷 ∙ 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝐴 ∙ 𝑚𝑘ℎ(𝑃2, 21). 𝑍 matrisinin 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). satırları, 𝑀 alt grafı 𝑟𝑞 kenarında sisteme komşu olarak 𝐿3 lineer benzenoid zinciri olan alt graf olmak üzere, sırasıyla 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 [𝐸1 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸2 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸3 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸4 ∙ 𝑚𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] olan Sonuç 57 4.1.7’deki 𝑋 matrisi olarak ifade edilen matrise karşılık geldiği gözlemlenebilir. Benzer şekilde, 𝐿 matrisi 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). satırları, 𝑀 alt grafı 𝑒𝑓 kenarında sisteme komşu olarak tek bir hekzagon olan alt graf olmak üzere, sırasıyla 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 [𝐸1 ∙ 𝑚𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸𝑒𝑓 ∙ 𝑚𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸3 ∙ 𝑚𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸4 ∙ 𝑚𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] olan Sonuç 4.1.7’de 𝑋 matrisi olarak sembolize edilen matrise karşılık gelmektedir. Yukarıdaki denklem elde edildikten sonra Ek 1 -Ek 11 arasında sunulan MATLAB kodlarıyla 𝑘 = 21 girdisi kullanılarak denklemin sonucu için gerekli olan 𝐴, 𝐵, 𝑍, 𝐷, 𝐿 matrisleri ve 𝑚𝑘ℎ(𝑃2, 21) vektörü hesaplanarak aşağıdaki sonuca ulaşılır. 𝑚𝑥𝑦(𝐺, 21) = [132, 9662, 227594, 2601131, 17152998, 72097837, 206026293 , 418537074, 624169412, 699551840, 599344823, 397202204, 205121448, 82799431, 26093309, 6380478, 1195807, 168219, 17161, 1197, 51, 1,⋯ , 48, 1]𝑇. Sonuç olarak, 𝑚(𝐺, 21) = 132,𝑚(𝐺, 20) = 9662,𝑚(𝐺, 19) = 227594,𝑚(𝐺, 18) = 2601131,⋯, 𝑚(𝐺, 3) = 17161,𝑚(𝐺, 2) = 1197,𝑚(𝐺, 1) = 51,𝑚(𝐺, 0) = 1, değerleri elde edilir. Ayrıca ∀𝑘 ≥ 22, 𝑚(𝐺, 𝑘) = 0 olduğu açıktır. Dolayısıyla 𝑚𝑥𝑦(𝐺, 21) vektörünün ilk 22 satırının toplamı 𝑍(𝐺) değerine eşittir. 4.2. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin 𝒌 -Bağımsızlık Sayısının Hesaplanması Bir önceki bölümün devamı olarak bu bölümde ∀𝑘 ≥ 0 için herhangi bir iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑘-bağımsızlık sayısının hesabı matris çarpımlarına 58 dayanan indirgeme formülleri yardımıyla sunulacaktır. Sonuç olarak verilen herhangi bir iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin ∀𝑘 ≥ 0 için 𝑘-bağımsızlık sayısı 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu, doğal sayı içerikli kare matrislerin 5(𝑘 + 1) × 1 boyutlu, doğal sayı içerikli bir vektör ile çarpımı yoluyla hesaplanabilir olacaktır. Başlangıç olarak bu bölümde sunulacak teoremlerin ve ispatların temelini oluşturacak olan 5(𝑘 + 1) × 1 tipindeki vektör tanımlanacaktır. 4.2.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝐺 grafının 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸 kenarı üzerindeki 𝑘 ≥ 0 için 𝑘-bağımsızlık vektörü 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝑛(𝐺, 𝑘 − 1) ⋮ 𝑛(𝐺, 0) 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 1) ⋮ 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 0) ( 𝑛 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘) 𝑛(( ) 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 1 ) 𝑛 𝐺, 𝑘 = 𝑞𝑟 ⋮ 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 0) 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1) ⋮ 𝑛(𝐺 − 𝑞, 0) 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1) ⋮ [ 𝑛(𝐺 − 𝑟, 0) ] formundadır (Oz ve Cangul 2022b). 4.2.2. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf ve 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸 𝐺 grafının bir kenarı olsun. 59 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐷′ = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 [0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0] formunda 𝑘 ≥ 0 için 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐷′ ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝐺, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022b). İspat. 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) vektörü tanımından ispat aşikardır. 4.2.3. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 60 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 3 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 4 3 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐴′ = 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 [0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0] formunda 𝑘 ≥ 0 için 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022b). İspat. 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) vektörüne ulaşabilmek için ilk olarak sırasıyla 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘)değerlerini hesaplamak gereklidir. Bu hesap 𝑣𝑢,𝑤𝑝 kenarlarının karşılık gelen alt graflardan uygun kombinasyonlarda silinerek ve Lemma 3.1.6 kullanılarak şu şekilde yapılır: 𝑛(𝐺, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) 61 −𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 4𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) −2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) − 2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) = (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑣𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = (1, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) = (1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 2𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) −𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) − 2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) = (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, −2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 2𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) −2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) = (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, −1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, −2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘). 𝑘-bağımsızlık vektörü tanımından hareketle; 62 (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, ⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−1, 0,⋯ , 0, 0, ⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, ⋯ , 0, 0,⋯ , 0) vektörleri 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğini sağlayacak şekildeki 𝐴′ matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). , (4𝑘 + 5). satırlarını oluşturur. 𝐴′ matrisinin kalan satırlarını bulmak için 𝑛(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺, 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − −𝑁𝐺[𝑞], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑞, 0) ve 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑟, 0) değerlerinin de ayrı olarak hesaplanması gerekir. Teorem 4.1.3’ün ispatında belirtidiği gibi bu değerlerin hesaplanmasına gerek yoktur. Dolayısıyla yukarıda elde edilen 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) değerlerinin denklemlerinden çıkarım yapılarak denklemlerdeki ifadelerde sadece 𝑘 değerlerinin azalacağı gözlemlenebilir. Buradan hareketle 𝐴′ matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 5 bölüme ayrılırsa oluşan 25 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐴′ matrisi yukarıda verildiği formda 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğine ulaşılır. Teorem 4.2.3’ün doğal sonucu ise 𝑆 ≅ 𝑃2 olduğunda 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐴′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑃2 , 𝑘) = [0,⋯ , 0, 2, 1, 0,⋯ , 0, 1, 0,⋯ , 0, 1, 0,⋯ , 0, 1, 1, 0,⋯ , 0, 1, 1]𝑇 olarak açıktır. 4.2.4. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (ii) şıkkında görülebilir). O halde 63 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 3 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 4 3 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 1 2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 2 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐵′ = 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 [0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0] formunda 𝑘 ≥ 0 için 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵′ ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022b). İspat. İlk olarak 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) vektörü tanımından hareketle sırasıyla 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) değerlerinin hesabının yapılması gereklidir. Bu hesap 𝑝𝑞 ve 𝑤𝑣 kenarlarının ihtiyaç duyulan kombinasyonlarda karşılık gelen alt graflardan silinerek ve Lemma 3.1.6 kullanılarak aşağıdaki şekilde yapılabilir: 𝑛(𝐺, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) 64 −𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 4𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) − 2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 3) = (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆 − 𝑝, 𝑘) + 2𝑛(𝑆 − 𝑝, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) = (0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) = (1, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) = (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 2𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) − 2𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 3) = (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘). 𝑘-bağımsızlık vektörü tanımından hareketle; (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 1, 2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) 65 (1, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) vektörleri 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵′ ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliğini sağlayacak şekildeki 𝐵′ matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). , (4𝑘 + 5). satırlarını oluşturur. 𝐵′ matrisinin tüm satırlarını elde etmek için 𝑛(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺, 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑞, 0) ve 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑟, 0) değerlerinin de ayrı ayrı hesaplanması gerekir. Teorem 4.2.3 ispatında da belirtidiği gibi bu değerlerin hesaplanmasına gerek yoktur. Dolayısıyla yukarıda elde edilen 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑞, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘) değerlerinin denklemlerinden yola çıkarak denklemlerdeki ifadelerde sadece 𝑘 değerlerinin azalacağı gözlemlenebilir. Buradan hareketle 𝐵′ matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 5 bölüme ayrılırsa oluşan 25 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐵′ matrisi yukarıda verildiği formda 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑛𝑞𝑟(𝐺, 𝑘) = 𝐵′ ∙ 𝑛𝑝𝑤(𝑆, 𝑘) eşitliğine ulaşılır. 4.2.5. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 66 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 3 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 4 3 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 4 3 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 4 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶′ = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 2 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 2 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 1 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 3 1 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 3 1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 3 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 [0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0] formunda 𝑘 ≥ 0 için 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olacak şekilde 𝑛𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliği sağlanır (Oz ve Cangul 2022b). İspat. Başlangıç olarak Teorem 4.2.3’ün ispatından; 𝑛(𝐺, 𝑘) = (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]) = (1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟) = (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−1, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), olduğu bilinmektedir. 67 O halde 𝑛𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) vektörünü hesaplamak için 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) ve 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) değerlerini hesaplamak yeterli olacaktır. Bu hesap 𝑤𝑝 kenarı silinerek ve Lemma 3.1.6 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆 − 𝑣, 𝑘) + 2𝑛(𝑆 − 𝑣, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) = (0,⋯ , 0, 0, 0,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 1, 2, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑤𝑝, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑆, 𝑘) + 3𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) = (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0,−1,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘), 𝑘-bağımsızlık vektörü tanımından hareketle; (1, 4, 3, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (0,⋯ , 0, 0, 0, −1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 1, 2, 0,⋯ , 0) (1, 3, 2, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−2, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) (1, 3, 1, 0,⋯ , 0, 0, 0, −1,−1, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0, 0,⋯ , 0) vektörleri 𝑛𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶 ′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğini sağlayacak şekildeki 𝐶 ′ matrisinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). , (4𝑘 + 5). satırlarını oluşturur. 𝐶′ matrisinin tüm satırlarını elde etmek için 𝑛(𝐺, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺, 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 0), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑟, 0) ve 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘 − 1),⋯ , 𝑛(𝐺 − 𝑢, 0) değerlerinin de ayrı ayrı hesaplanması gerekir. Teorem 4.2.3 ispatında da belirtidiği gibi bu değerlerin hesaplanmasına gerek yoktur. 68 Dolayısıyla yukarıda elde edilen 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑟, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) değerlerinin denklemlerinden yola çıkarak denklemlerdeki ifadelerde sadece 𝑘 değerlerinin azalacağı gözlemlenebilir. Buradan hareketle 𝐶′ matrisinin satırları her grupta 𝑘 + 1 tane satır olacak şekilde sütunları da her bölümde 𝑘 + 1 tane sütun olacak şekilde 5 bölüme ayrılırsa oluşan 25 tane alt matris formundaki her satırın içerikleri bir sonraki satırda merdiven (satırca eşelon) formunda bir sağa atlayarak aynı şekilde yer alır. Böylece 𝐶′ matrisi yukarıda verildiği formda 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu doğal sayı içerikli bir matris olmak üzere 𝑛𝑟𝑢(𝐺, 𝑘) = 𝐶′ ∙ 𝑛𝑤𝑣(𝑆, 𝑘) eşitliğine ulaşılır. Buraya kadar verilen teoremler ve lemma ile bir kenarında bir 𝑆 grafına komşu olan bir hekzagonun bir kenarı üzerinde tanımlanan 𝑘-bağımsızlık vektörü sayesinde indirgeme bağıntıları elde edilmiştir. Bu bölümün devamında ise iki kenarına da farklı iki graf komşu olan bir hekzagonun diğer boştaki kenarı üzerinde tanımlanan 𝑘 -bağımsızlık vektörü sayesinde indirgeme bağıntıları elde edilecektir. Bunun için 5 adet matris formu gereklidir. Bu matris formları 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 𝐸′𝑗 ile gösterilerek aşağıdaki şekilde tanımlanacaktır: 69 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 1 2 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 2 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 2 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 𝐸′ = 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 −2 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0] 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 𝐸′ = 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0] 70 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 𝐸′3 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0] 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 𝐸′ 4 = 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0] 71 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 𝐸′ = 5 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 −1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 −1 −1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 [0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0] 4.2.6. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝑀 ve 𝑆 grafları ile bir hekzagonun sırasıyla ortak 𝑒1 = 𝑟𝑞, 𝑒2 = 𝑤𝑝 ∈ 𝐸 kenarlarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.2’de görülebilir). O halde 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 için 𝐸′𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) 𝑇 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘) = [(𝐸 ′ 𝑗 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)) ] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) 𝑗 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) [ 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) ] denklemi sağlanır. İspat. 𝑛(𝐺, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘), 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) değerleri 𝑝𝑞,𝑤𝑣 ve 𝑟𝑢 kenarlarının karşılık gelen alt graflar için uygun kombinasyonlarda silinerek, Lemma 3.1.6’nın kullanılmasıyla aşağıdaki şekilde hesaplanır: 72 𝑛(𝐺, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑃2 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) − 𝑛((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟]) ∪ 𝑆, 𝑘 − 2) −𝑛(𝑃2 ∪ (𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑀 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]), 𝑘 − 2) = [𝑛(𝑀, 𝑘) + 2𝑛(𝑀, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 2)]𝑛(𝑆, 0) +[𝑛(𝑀, 𝑘 − 1) + 2𝑛(𝑀, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 3)]𝑛(𝑆, 1) + ⋯ +[𝑛(𝑀, 2) + 2𝑛(𝑀, 1) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 0)]𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) +[𝑛(𝑀, 1) + 2𝑛(𝑀, 0)]𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆, 𝑘) −𝑛(𝑀, 𝑘 − 2)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 0) − 𝑛(𝑀, 𝑘 − 3)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 1) − ⋯ −𝑛(𝑀, 1)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 3) − 𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −[𝑛(𝑀−𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) + 2𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 0) −[𝑛(𝑀−𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3) + 2𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 4)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 1) − ⋯ −[𝑛(𝑀−𝑁𝐺[𝑞], 1) + 2𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 3) −𝑛(𝑀−𝑁𝐺[𝑞], 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2). Bu sonuca göre 𝐸′1 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑛(𝐺, 𝑘) = [𝐸′1 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) eşitliği elde edilir. 73 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) = 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑢] − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛((𝑀 − 𝑟) ∪ 𝑆, 𝑘) − 𝑛((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑀 − 𝑟, 𝑘)𝑛(𝑆, 0) + 𝑛(𝑀 − 𝑟, 𝑘 − 1)𝑛(𝑆, 1) + ⋯ +𝑛(𝑀 − 𝑟, 0)𝑛(𝑆, 𝑘) −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 0) −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 1) − ⋯ −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2). Bu sonuca göre 𝐸′2 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) = [𝐸 ′ 2 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) eşitliği elde edilir. 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑣], 𝑘) = 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑣] − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑀 ∪ (𝑆 − 𝑤), 𝑘) − 𝑛((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑀, 𝑘)𝑛(𝑆 − 𝑤, 0) + 𝑛(𝑀, 𝑘 − 1)𝑛(𝑆 − 𝑤, 1) + ⋯ +𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆 − 𝑤, 𝑘) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 0) −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 1) − ⋯ −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2). Bu sonuca göre 𝐸′3 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑛(𝐺−𝑁𝐺[𝑣], 𝑘) = [𝐸 ′ 3 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) 74 eşitliği elde edilir. 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘 − 2) −𝑛(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑃1 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) − 𝑛(𝑀 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]), 𝑘 − 2) −𝑛(𝑃1 ∪ (𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑘 − 2) = [𝑛(𝑀, 𝑘) + 𝑛(𝑀, 𝑘 − 1)]𝑛(𝑆, 0) + [𝑛(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑀, 𝑘 − 2)] ∙ 𝑛(𝑆, 1) +⋯+ [𝑛(𝑀, 1) + 𝑛(𝑀, 0)]𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆, 𝑘) −𝑛(𝑀, 𝑘 − 2)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 0) − 𝑛(𝑀, 𝑘 − 3)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 1) − ⋯ −𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤], 𝑘 − 2) −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 0) −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 4)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 1) − ⋯ −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 1) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 3) −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2). Bu sonuca göre 𝐸′4 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑇 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) = [𝐸′4 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) eşitliği elde edilir. 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) = 𝑛(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟𝑢, 𝑘) − 𝑛(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘 − 2) 75 −𝑛(𝐺 − 𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) = 𝑛(𝑃1 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆, 𝑘) − 𝑛((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟]) ∪ 𝑆, 𝑘 − 2) −𝑛(𝑃1 ∪ (𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑘 − 2) = [𝑛(𝑀, 𝑘) + 𝑛(𝑀, 𝑘 − 1) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 2)]𝑛(𝑆, 0) +[𝑛(𝑀, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑀, 𝑘 − 2) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 𝑘 − 3)]𝑛(𝑆, 1) +⋯+ [𝑛(𝑀, 2) + 𝑛(𝑀, 1) − 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟], 0)]𝑛(𝑆, 𝑘 − 2) +[𝑛(𝑀, 1) + 𝑛(𝑀, 0)]𝑛(𝑆, 𝑘 − 1) + 𝑛(𝑀, 0)𝑛(𝑆, 𝑘) −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 2) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 0) −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 3) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 𝑘 − 4)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 1) − ⋯ −[𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 1) + 𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)]𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 3) −𝑛(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞], 0)𝑛(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝], 𝑘 − 2). Bu sonuca göre 𝐸′5 yukarıda verildiği formda olmak üzere 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) = [𝐸′ 𝑇 5 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) eşitliği elde edilir. Sonuç olarak bulunan beş değer toplu halde yazılırsa 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 için 𝐸′𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢], 𝑘) 𝑇 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘) = [(𝐸 ′ 𝑗 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)) ] ∙ 𝑛𝑗 𝑤𝑝 (𝑆, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) [ 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) ] 76 denklemi elde edilir. Önerilen metodun buraya kadar olan kısmında görüldüğü gibi iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin 𝑘-bağımsızlık sayılarının hesaplanabilmesi için 𝑘-bağımsızlık vektörü kritik konumdadır. Ancak, şu ana kadar sunulan teoremler ve lemma ile ancak benzenoid zincirlerin 𝑘 -bağımsızlık sayıları hesaplanabilmektedir. Dolayısıyla verilen iç noktasız-benzenoid sistemde üç tane hekzagona komşu olan en az bir tane hekzagon var olduğu durumda metodun buraya kadar sunulan kısmı indirgeme için yetersiz kalmaktadır. Çünkü bu durumda önerilen metodun uygulanabilmesi için sistemdeki üç tane hekzagona komşu olan her hekzagonun diğer üç hekzagon ile ortak kullandığı kenarlardan biri üzerindeki 𝑘-bağımsızlık vektörüne ihtiyaç duyulmaktadır. Yani sistemde üç tane hekzagona komşu olan bir hekzagon var olsun ve bu hekzagonun diğer üç hekzagondan birine komşu olan kenarı 𝑒 = 𝑢𝑣 ise 𝑛𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörü önerilen metodun uygulanabilmesi için gerekli olacaktır. Dolayısıyla Şekil 4.2’de verilen graf yapısı için 𝑢𝑣 kenarındaki 𝑘-bağımsızlık vektörü 𝑛𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) bulunabilirse indirgeme için gerekli olan tüm vektörler elde edilmiş olacaktır. Bu doğrultuda 5(𝑘 + 1) × 1 boyutlu 𝑛𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörünün 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). ve (4𝑘 + 5). satırlarını teşkil eden 𝑛(𝐺, 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑁 𝐺 [𝑢], 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣], 𝑘) 𝑛(𝐺 − 𝑢, 𝑘) [ 𝑛(𝐺 − 𝑣, 𝑘) ] vektörünün içerikleri önerilen metot açısından önemli bir yere sahiptir. Bu vektör sayesinde 𝑛𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) vektörüne şu şekilde ulaşılabilir: 77 𝑇 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 değerleri için [(𝐸𝑗′ ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)) ] vektörünün 1 × 5(𝑘 + 1) boyutlu bir 𝑗 vektör olduğu açık şekilde gözlemlenebilir. Bu noktadan hareket ederek [𝐸′1 ∙ 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 2 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 3 ∙ 𝑛 ′ ′ 𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸4 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] ve [𝐸5 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] vektörlerinin sırasıyla 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). ve (4𝑘 + 5). satırlarını teşkil ettiği 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu yeni bir matris tanımlansın ve Teoremler 4.2.3, 4.2.4, 4.2.5’in ispatlarında belirtildiği formda bu matrisin satırları ve sütunları 5 ’er gruba ayrılarak diğer kalan satırlar her grup için merdiven (satırca eşelon) formunda tamamlansın. Yeni tanımlanan bu matris 𝑋′ matrisi olarak gösterilsin. 4.2.7. Sonuç. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝑀 ve 𝑆 grafları ile bir hekzagonun sırasıyla ortak 𝑒1 = 𝑟𝑞, 𝑒2 = 𝑤𝑝 ∈ 𝐸 kenarlarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.2’de görülebilir). O halde 𝑘 ≥ 0 ve 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 için 𝐸′𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑛𝑢𝑣(𝐺, 𝑘) = 𝑋′ ∙ 𝑛𝑤𝑝(𝑆, 𝑘) denklemi sağlanır. Bu bölümde sunulan bulgularda kullanılan 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′, 𝐷′, 𝐸′ , 𝐸′1 2, 𝐸 ′ 3, 𝐸 ′ 4, 𝐸 ′ 5 matrislerinin ve bir 𝑒 = 𝑞𝑟 kenarı için 𝑛𝑞𝑟(𝑃2, 𝑘) vektörünün 𝑘 = 0, 1, 2 için oluşturulması basittir ancak 𝑘 değeri arttıkça ∀𝑘 ≥ 3 değeri için oluşturulması elle pek mümkün değildir. Bu sebeple istenilen 𝑘 ≥ 3 değerine bağlı olarak Ekler kısmında 𝑘-eşleme sayısının hesabı için gerekli olan matrisler ve vektörü elde etme amacıyla MATLAB programı ile sunulan kodlara benzer olarak 𝑘 -bağımsızlık sayısının hesabı için gerekli olan matrisleri ve vektörü de elde etmede kullanılacak olan kodlar Ekler kısmında Ek 12-Ek 23 kodlarıyla sunulmuştur (Oz ve Cangul 2022b). Bu kodlar bir sonraki örnekte baz alınan iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sisteme özgü olarak sunulmuştur. Ancak, Ek 22 ve Ek 23’de sunulan kodların 3. , 4. , 5. , 6. , 7. adımları verilen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid 78 sisteme göre basit şekilde düzenlenerek ve diğer tüm kodlar aynı şekilde çalıştırılarak elde edilen matrislerin ve vektörün uygun bir çarpımı yoluyla karşılık gelen sistemin 𝑘- bağımsızlık sayısı hesaplanabilmektedir. 4.2.8. Örnek. 𝐺 grafı Şekil 4.3’te verilen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem olsun. Bu graf yapısı için 𝑛(𝐺, 21) değeri 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝐼𝐼 ve 𝑆𝐼𝑉 karşılık gelen alt graflar olmak üzere 𝑛𝑥𝑦(𝐺, 21) yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: 𝑛𝑥𝑦(𝐺, 21) = 𝐴′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑛𝑢𝑣(𝑆 𝐼 , 21) = A′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑍′ ∙ 𝑛 (𝑆𝐼𝐼𝑤𝑝 , 21) = 𝐴′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑍′ ∙ 𝐷′ ∙ 𝑛 (𝑆𝐼𝐼𝑝𝑤 , 21) = 𝐴′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑍′ ∙ 𝐷′ ∙ 𝐴′ ∙ 𝑛𝑐𝑑(𝑆 𝐼𝐼𝐼, 21) = 𝐴′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑍′ ∙ 𝐷′ ∙ 𝐴′ ∙ 𝐿′ ∙ 𝑛 𝐼𝑉𝑠𝑡(𝑆 , 21) = 𝐴′ ∙ 𝐵′ ∙ 𝑍′ ∙ 𝐷′ ∙ 𝐴′ ∙ 𝐿′ ∙ 𝐴′ ∙ 𝑛𝑘ℎ(𝑃2, 21). 𝑍′ matrisinin 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). , (4𝑘 + 5). satırları, 𝑀 alt grafı 𝑟𝑞 kenarında sisteme komşu olarak 𝐿3 lineer benzenoid zinciri olan alt graf olmak üzere, ′ 𝑇 ′ 𝑇 𝑇 𝑇sırasıyla [𝐸1 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸2 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 3 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 4 ∙ 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 5 ∙ 𝑇 𝑛𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] olan Sonuç 4.2.7’deki 𝑋′ matrisi olarak ifade edilen matrise karşılık geldiğini belirtmekte fayda vardır. Benzer şekilde, 𝐿′ matrisi 1. , (𝑘 + 2). , (2𝑘 + 3). , (3𝑘 + 4). , (4𝑘 + 5). satırları, 𝑀 alt grafı 𝑒𝑓 kenarında sisteme komşu olarak tek bir 𝑇 𝑇 hekzagon olan alt graf olmak üzere, sırasıyla [𝐸′ ′ ′1 ∙ 𝑛𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸2 ∙ 𝑛𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸3 ∙ 𝑇 𝑇 𝑇 𝑛𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 4 ∙ 𝑛𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] , [𝐸 ′ 5 ∙ 𝑛𝑒𝑓(𝑀, 𝑘)] olan Sonuç 4.2.7’de 𝑋′ matrisi olarak sembolize edilen matrise karşılık gelmektedir. Bu denklem elde edildikten sonra Ekler kısmında sunulan Ek 12-Ek 23 arasında sunulan MATLAB kodları 𝑘 = 21 girdisi ile çalıştırılarak buradaki gerekli olan 𝐴′, 𝐵′, 𝑍′, 𝐷′, 𝐿′ 79 matrisleri ve 𝑛𝑘ℎ(𝑃2, 21) vektörü elde edilerek ve çarpımları hesaplanarak aşağıdaki sonuca ulaşılır. 𝑛𝑥𝑦(𝐺, 21) = [2, 125, 3150, 42820, 354902, 1925778, 7176535, 19020436, 36830301, 53211969, 58302248, 49025608, 31889775, 16108050, 6315407, 1911534, 441504, 76249, 9518, 810, 42, 1,⋯ , 41, 1]𝑇. Sonuç olarak, 𝑛(𝐺, 21) = 2, 𝑛(𝐺, 20) = 125, 𝑛(𝐺, 19) = 3150, 𝑛(𝐺, 18) = 42820,⋯ , 𝑛(𝐺, 3) = 9518, 𝑛(𝐺, 2) = 810, 𝑛(𝐺, 1) = 42, 𝑛(𝐺, 0) = 1 elde edilir. Ek olarak, ∀𝑘 ≥ 22 değeri için 𝑛(𝐺, 𝑘) = 0 olduğu sunulan kodların 𝑘 = 22 değeri için çalıştırılmasıyla görülebilir ve bunun sonucu olarak 𝑛𝑥𝑦(𝐺, 21) vektörünün ilk 22 satırının toplamının 𝑖(𝐺) değerine eşit olduğu sonucu ortaya çıkmış olur. 4.3. İç Noktasız-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin Merrifield-Simmons İndeks Hesabı Bir önceki bölümde iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin ∀𝑘 ≥ 0 değeri için 𝑘-bağımsızlık sayılarının hesabına yönelik bir metot önerilmişti. Bu bölümde ise bir önceki bölümün devamı niteliğinde iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler için Merrifield-Simmons indeksinin hesabına yönelik bir metot önerilecektir. Bunun için ilk olarak basit Merrifield-Simmons vektörü olarak adlandırılacak olan vektör aşağıdaki şekilde tanımlacaktır. 80 4.3.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝐺 grafının 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸 kenarı üzerindeki basit Merrifield-Simmons vektörü 𝑖(𝐺) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞]) 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]) 𝑖(𝐺 − 𝑞) [ 𝑖(𝐺 − 𝑟) ] formundadır. 4.3.2. Lemma. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf ve 𝑒 = 𝑞𝑟 ∈ 𝐸 𝐺 grafının bir kenarı olsun. O zaman 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 𝑚𝑠 𝐷 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 [0 0 0 1 0] olmak üzere 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = 𝐷 𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝐺) eşitliği sağlanır. İspat. 𝑖𝑞𝑟(𝐺) tanımından aşikadır. 4.3.3. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 81 8 −3 −3 0 0 2 0 −1 0 0 𝐴𝑚𝑠 = 2 −1 0 0 0 6 −3 −2 0 0 [6 −2 −3 0 0] olmak üzere 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = 𝐴 𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. 𝑞𝑟 kenarı üzerindeki basit Merrifield-Simmons vektörü tanımından hareketle 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]), 𝑖(𝐺 − 𝑞) ve 𝑖(𝐺 − 𝑟) değerlerinin hesaplanması ispat için gereklidir. Bu değerler 𝑤𝑝 ile 𝑣𝑢 kenarlarının her alt graf için uygun bir kombinasyonda silinerek ve Lemma 3.1.2 kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır: 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝑃4 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣])) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) = 8𝑖(𝑆) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣]) = (8,−3,−3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑣𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣]) = 2𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣]) = (2, 0, −1, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) 82 = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = 2𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (2,−1, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑞) = 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢]) −𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃1 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣])) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) = 6𝑖(𝑆) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) − 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣]) = (6,−3,−2, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑟) = 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝 − 𝑣𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑤𝑝 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑢]) −𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣])) − 𝑖(𝑃1 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) = 6𝑖(𝑆) − 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑣]) = (6,−2,−3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆). 8 −3 −3 0 0 2 0 −1 0 0 Sonuç olarak 𝐴𝑚𝑠 = 2 −1 0 0 0 olmak üzere 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = 𝐴 𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) 6 −3 −2 0 0 [6 −2 −3 0 0] eşitliğinin sağlandığı görülür. Şekil 4.1 (i) şıkkında yer alan graf yapısı için hekzagon yerine 𝑘 tane hekzagona sahip bir lineer benzenoid zincir 𝐿𝑘 düşünülür ise bu durumda 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝐿𝑘 ile 𝑆 grafının ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olur. O halde bu 𝐺 grafı için 𝑆 ≅ 𝑃2 olduğu durumda 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = (𝐴 𝑚𝑠)𝑘 ∙ [3, 1, 1, 2, 2]𝑇 eşitliği Teorem 4.3.3’ün bir sonucu olarak ortaya çıkar. 83 4.3.4. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑝𝑤 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (ii) şıkkında görülebilir). O halde 8 −3 −3 0 0 0 0 −1 3 0 𝐵𝑚𝑠 = 2 0 −1 0 0 5 0 −2 0 0 [6 −3 −2 0 0] olmak üzere 𝑖𝑞𝑟(𝐺) = 𝐵 𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. İstenilen sonuca ulaşmak için 𝑖𝑞𝑟(𝐺) vektörü tanımından hareketle sırasıyla 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]), 𝑖(𝐺 − 𝑞) ve 𝑖(𝐺 − 𝑟) değerlerinin her birinin bir vektör ile 𝑖𝑝𝑤(𝑆) vektörünün çarpımı olarak yazılması gereklidir. Bu değerlerin bu formda yazımına 𝑝𝑞 ile 𝑤𝑣 kenarlarının her alt graftan uygun bir kombinasyonda silinerek ve Lemma 3.1.2 kullanılarak aşağıdaki şekilde ulaşılabilir. 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝑃4 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 8𝑖(𝑆) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (8,−3,−3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑞] − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑞] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) 84 = 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑝)) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = −𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) + 3𝑖(𝑆 − 𝑝) = (0, 0, −1, 3, 0) ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑟]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑟] − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = 2𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (2, 0, −1, 0, 0) ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑞) = 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝑃3 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃1 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) = 5𝑖(𝑆) − 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (5, 0, −2, 0, 0) ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑟) = 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) −𝑖(𝐺 − 𝑟 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃1 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) − 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 6𝑖(𝑆) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) − 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (6,−3,−2, 0, 0) ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆). 8 −3 −3 0 0 0 0 −1 3 0 𝑚𝑠 Bu denklemlerden 𝐵 = 2 0 −1 0 0 olmak üzere 𝑖 (𝐺) = 𝐵 𝑚𝑠 𝑞𝑟 ∙ 𝑖𝑝𝑤(𝑆) 5 0 −2 0 0 [6 −3 −2 0 0] eşitliğine ulaşılır. 4.3.5. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve bir hekzagonun ortak bir 𝑒 = 𝑤𝑣 ∈ 𝐸 kenarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.1 (i) şıkkında görülebilir). O halde 85 8 −3 −3 0 0 2 −1 0 0 0 𝑚𝑠 𝐶 = 0 −1 0 0 3 6 −2 −3 0 0 [5 −2 0 0 0] olmak üzere 𝑖𝑟𝑢(𝐺) = 𝐶 𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. İlk olarak Teorem 4.3.3’ten 𝑖(𝐺) = (8,−3,−3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) , 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑟]) = (2,−1, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) ve 𝑖(𝐺 − 𝑟) = (6,−2,−3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) olduğu bilinmektedir. O halde 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢]) ve 𝑖(𝐺 − 𝑢) değerlerini bir vektör ile 𝑖𝑤𝑣(𝑆) çarpımı olarak yazmak ispatı tamamlamak için yeterli olacaktır. Bu değerlerin hesabı ise 𝑤𝑝 kenarının silinerek Lemma 3.1.2’nin kullanılmasıyla aşağıdaki şekilde yapılır: 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝑃2 ∪ (𝑆 − 𝑣)) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = −𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) + 3𝑖(𝑆 − 𝑣) = (0,−1, 0, 0, 3) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑢) = 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑤𝑝) − 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑝]) = 𝑖(𝑃3 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑃1 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) = 5𝑖(𝑆) − 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) = (5,−2, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆). 86 8 −3 −3 0 0 2 −1 0 0 0 Sonuçta 𝐶𝑚𝑠 = 0 −1 0 0 3 olmak üzere 𝑖 (𝐺) = 𝐶 𝑚𝑠 𝑟𝑢 ∙ 𝑖𝑤𝑣(𝑆) elde edilir. 6 −2 −3 0 0 [5 −2 0 0 0] Bölümün bu kısmından itibaren verilen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemde üç adet hekzagona komşu olan hekzagonlar göz önüne alınacaktır. Verilen sistemde bu türde hekzagonların mevcut olması halinde bu hekzagonların sistemin Merrifield- Simmons indeksinin hesabı için bir kenarı üzerinde tanımlanan basit Merrifield-Simmons vektörü yardımıyla indirgenmesi bir sonraki teoremde sunulacaktır. Bu teoremi sunmadan önce teoremin ifadesinde yer alan ve teoremin ispatında elde edilecek olan beş adet matrisi ilk olarak vermek anlaşılırlık bakımından faydalı olacaktır. Bu matrisler 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 𝐸𝑚𝑠𝑗 şeklinde adlandırılarak aşağıdaki gibi ifade edilecektir: 3 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 𝑚𝑠 𝐸1 = 0 0 0 0 0 , 𝐸 𝑚𝑠 2 = 0 0 0 0 0 , 2 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 [2 −1 0 0 0] [ 0 0 0 0 0] 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑚𝑠 𝐸3 = 0 0 −1 0 0 , 𝐸 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠4 1 0 0 0 0 , 𝐸5 = 0 0 0 0 0 . 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 −2 0 0] [0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0] Şekil 4.2’de gösterilen şekil için aşağıdaki teoremin ifadesinde yer alan 𝑖 ∗𝑟𝑞 (𝑀) değeri 𝑖 ∗𝑟𝑞 (𝑀) = [𝐸 𝑚𝑠 𝑗 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘)] 𝑗 olarak 5 × 5 boyutlu bir matris olarak tanımlanacaktır. 87 Bu ifadeden 𝐸𝑚𝑠 ∙ 𝑖 (𝑀, 𝑘), 𝐸𝑚𝑠 ∙ 𝑖 (𝑀, 𝑘), 𝐸𝑚𝑠 ∙ 𝑖 (𝑀, 𝑘), 𝐸𝑚𝑠 𝑚𝑠1 𝑟𝑞 2 𝑟𝑞 3 𝑟𝑞 4 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘) ve 𝐸5 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘) değerlerinin 𝑖 ∗ 𝑟𝑞 (𝑀) matrisinin sırasıyla 1. , 2. , 3. , 4. ve 5. sütunları olduğu gözlemlenebilir. 4.3.6. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı 𝑀 ve 𝑆 grafları ile bir hekzagonun sırasıyla ortak 𝑒1 = 𝑟𝑞, 𝑒2 = 𝑤𝑝 ∈ 𝐸 kenarlarında kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.2’de görülebilir). O halde 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 için 𝐸𝑚𝑠𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑖 ∗𝑢𝑣(𝐺) = 𝑖𝑟𝑞 (𝑀) ∙ 𝑖𝑤𝑝(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. 𝑖𝑢𝑣(𝐺) vektörü tanımı gereği 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣]), 𝑖(𝐺 − 𝑢), 𝑖(𝐺 − 𝑣) değerlerinin hesaplanması teoremin ispatını tamamlayacaktır. Bu değerler 𝑢𝑣 kenarı, 𝑀 alt grafı ve 𝑆 alt grafı birbirinden bağımsız olacak şekilde 𝑝𝑞, 𝑤𝑣 ve 𝑟𝑢 kenarları uygun kombinasyonlarda silinerek ve Lemma 3.1.2 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣−𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣−𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑢]) −𝑖(𝐺 − 𝑤𝑣−𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝑃2 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆) − 𝑖((𝑀−𝑁𝐺[𝑟]) ∪ 𝑆) −𝑖(𝑃2 ∪ (𝑀−𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆−𝑁𝐺[𝑝])) − 𝑖(𝑀 ∪ (𝑆−𝑁𝐺[𝑤])) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑀)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑀−𝑁𝐺[𝑟])𝑖(𝑆) 88 −𝑖(𝑃2)𝑖(𝑀−𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑝]) − 𝑖(𝑀)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑤]) = [3𝑖(𝑀) − 𝑖(𝑀−𝑁𝐺[𝑟])]𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑀)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑤]) −3𝑖(𝑀−𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑝]) = (3,−1, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆) + (−1, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑤]) +(0, 0, −3, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑝]), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑢]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑢] − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑢] − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖((𝑀 − 𝑟) ∪ 𝑆) − 𝑖((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 𝑖(𝑀 − 𝑟)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) = (0, 0, 0, 1, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆) + (0, 0, −1, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑝]), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑣]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑣] − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑣] − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝑀 ∪ (𝑆 − 𝑤)) − 𝑖((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 𝑖(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑤) − 𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) = (0, 0, −1, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) + (1, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑤), 𝑖(𝐺 − 𝑢) = 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑤𝑣) − 𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑤] − 𝑁𝐺[𝑣]) −𝑖(𝐺 − 𝑢 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆) − 𝑖(𝑀 ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤])) −𝑖(𝑃1 ∪ (𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) = (2, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆) + (−1, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑤]) +(0, 0, −2, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]), 𝑖(𝐺 − 𝑣) = 𝑖(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞) − 𝑖(𝐺 − 𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑟𝑢) − 𝑖(𝐺 − 𝑣 − 𝑝𝑞 − 𝑁𝐺[𝑟] − 𝑁𝐺[𝑢]) 89 −𝑖(𝐺 − 𝑣 − 𝑁𝐺[𝑝] − 𝑁𝐺[𝑞]) = 𝑖(𝑃1 ∪ 𝑀 ∪ 𝑆) − 𝑖((𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟]) ∪ 𝑆) −𝑖(𝑃1 ∪ (𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞]) ∪ (𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝])) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟])𝑖(𝑆) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) = [𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀) − 𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑟])]𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑀 − 𝑁𝐺[𝑞])𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]) = (2,−1, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆) + (0, 0, −2, 0, 0) ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑝]). Elde edilen bu denklemlerden 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5 için 𝐸𝑚𝑠𝑗 matrisleri yukarıda verilen formda matrisler olmak üzere 𝑖𝑢𝑣(𝐺) = 𝑖 ∗ 𝑟𝑞 (𝑀) ∙ 𝑖𝑤𝑝(𝑆) eşitliğine ulaşılır. 4.3.7. Örnek. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı Şekil 4.3’te verilen iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem olarak verildiğinde 𝑥𝑦 kenarı üzerindeki basit Merrifield-Simmons vektörü 𝑖𝑥𝑦(𝐺) yardımıyla 𝑖(𝐺) değeri 𝑆 𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝐼𝐼 ve 𝑆𝐼𝑉 karşılık gelen alt graflar olmak üzere aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: 𝑖 𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝐼𝑥𝑦(𝐺) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑖𝑢𝑣(𝑆 ) = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝑖 𝐼𝐼𝑤𝑝(𝑆 ) = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷𝑚𝑠 ∙ 𝑖 𝐼𝐼𝑝𝑤(𝑆 ) = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷𝑚𝑠 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝑖 𝐼𝐼𝐼𝑐𝑑(𝑆 ) = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷𝑚𝑠 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐿 ∙ 𝑖 𝐼𝑉𝑠𝑡(𝑆 ) 90 = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷𝑚𝑠 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐿 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑘ℎ(𝑃2) = 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐵𝑚𝑠 ∙ 𝑍 ∙ 𝐷𝑚𝑠 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ 𝐿 ∙ 𝐴𝑚𝑠 ∙ (3, 1, 1, 2, 2)𝑇. 𝑀 matrisi, 𝑟𝑞 kenarında temel grafa komşu olarak 𝐿3 lineer benzenoid zinciri olan alt graf olmak üzere 𝑍 matrisi sütunları sırasıyla 𝐸𝑚𝑠1 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘), 𝐸 𝑚𝑠 2 ∙ 𝑖 𝑚𝑠 𝑟𝑞(𝑀, 𝑘), 𝐸3 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘), 𝐸 𝑚𝑠 4 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘), 𝐸 𝑚𝑠 5 ∙ 𝑖𝑟𝑞(𝑀, 𝑘) olan matristir. Benzer olarak 𝑀 matrisi 𝑒𝑓 kenarında temel grafa komşu olarak tek bir hekzagon olmak üzere 𝐿 matrisi sütunları sırasıyla 𝐸𝑚𝑠1 ∙ 𝑖𝑒𝑓(𝑀, 𝑘), 𝐸 𝑚𝑠 𝑚𝑠 2 ∙ 𝑖𝑒𝑓(𝑀, 𝑘), 𝐸3 ∙ 𝑖𝑒𝑓(𝑀, 𝑘), 𝐸 𝑚𝑠 4 ∙ 𝑖𝑒𝑓(𝑀, 𝑘) ve 𝐸 𝑚𝑠 5 ∙ 𝑖𝑒𝑓(𝑀, 𝑘) olan matristir. Bu denklem hesaplanarak aşağıdaki sonuca ulaşılır. 𝑖𝑥𝑦(𝐺) = [282646764, 77570059, 76505257, 205076705, 206141507] 𝑇. Sonuç olarak, 𝑖(𝐺) = 282646764, 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) = 77570059, 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) = 76505257 𝑖(𝐺 − 𝑥) = 205076705, 𝑖(𝐺 − 𝑦) = 206141507 değerleri elde edilir. 4.4. Çift Katlı Benzenoid Zincirlerin Hosoya İndeksinin Hesaplanması Bu bölümde Bölüm 2.6’da tanımlanan çift katlı benzenoid zincirlere odaklanılacak ve verilen her çift katlı benzenoid zincirin Hosoya indeksinin hesaplanması için 8 × 8 boyutlu doğal sayı içerikli matrislerin ve bir vektörün uygun kombinasyonlarda çarpımına dayanan bir metot önerilecektir. Önerilecek metot içerisinde çift katlı benzenoid zincir grafı yapılarında 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 olacak şekildeki bir patika graf 𝑃𝑗 üzerinde 91 tanımlanarak genelleştirilmiş Hosoya vektörü adıyla kullanılacak olan bir vektöre ihtiyaç duyulacaktır. Bu vektör aşağıdaki şekilde tanımlanacaktır: 4.4.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 olmak üzere 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşeleri 𝐺 grafındaki bir 𝑃𝑗 patikasının üç köşesi olsun. 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşelerini içeren 𝑃𝑗 patikası üzerindeki genelleştirilmiş Hosoya vektörü 𝑍(𝐺) 𝑍(𝐺 − 𝑎) 𝑍(𝐺 − 𝑥) 𝑍(𝐺 − 𝑦) 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦) [𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦)] şeklinde tanımlanır. Genelleştirilmiş Hosoya vektörü, Cruz ve ark. (2017) tarafından verilen bir 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafının bir 𝑒 ∈ 𝐸 kenarı üzerinde tanımlanmış olan Hosoya vektörünün bir 𝑃𝑗 patika grafı üzerinde tanımlanarak genişletilmiş versiyonu şeklinde düşünülebilir. Sıradaki şekilde bu bölüm ve bir sonraki bölümde sunulacak olan teorem ve sonuçların anlaşılırlığını arttırmak için bir 𝐺 grafı iki farklı perspektiften gösterilecektir. 92 Şekil 4.4. Bölüm 4.4 ve Bölüm 4.5'te sunulacak olan tüm teoremler ve sonuçlarda kullanılacak olan çift katlı benzenoid zincir formu türleri 4.4.2. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 13 8 6 8 4 3 5 2 5 5 2 3 2 1 3 1 6 4 0 3 0 0 2 0 8 5 3 0 2 0 0 0𝑄 = 2 2 0 1 0 0 1 0 3 2 0 0 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 0 0 [ 1 1 0 0 0 0 0 0] olmak üzere 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) 93 denklemi sağlanır. İspat. 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) tanımından hareketle 𝑍(𝐺), 𝑍(𝐺 − 𝑎), 𝑍(𝐺 − 𝑥), 𝑍(𝐺 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥), 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦) değerlerinin bulunması ispatı tamamlayacaktır. Bu değerler 𝑘𝑑, 𝑙𝑥,𝑚𝑦 kenarlarının ilgili alt graflara göre uygun kombinasyonlarda silinerek ve Lemma 3.1.1’de verilen rekürans bağıntıları kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑍(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃6)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃5)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃5)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (13, 8, 6, 8, 4, 3, 5, 2) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (5, 5, 2, 3, 2, 1, 3, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 94 𝑍(𝐺 − 𝑥) = 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑦 − 𝑘 − 𝑑) +𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑚) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) = (6, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘 − 𝑑) +𝑍(𝐺 − 𝑦 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑦 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃5)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆 − 𝑘) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) = (8, 5, 3, 0, 2, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑦 − 𝑘 − 𝑑) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑚) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) = (2, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘) = (3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘 − 𝑑) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) = (3, 3, 1, 0, 1, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑘𝑑) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘) 95 = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆). 13 8 6 8 4 3 5 2 5 5 2 3 2 1 3 1 6 4 0 3 0 0 2 0 8 5 3 0 2 0 0 0 Yukarıda elde edilen denklemlerden 𝑄 = olmak üzere 2 2 0 1 0 0 1 0 3 2 0 0 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 0 0 [ 1 1 0 0 0 0 0 0] 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) sonucuna ulaşılır. 4.4.3. Sonuç. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafı, 𝑆 ≅ 𝑃4 patika grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında 𝑆 ≅ 𝑃4 olarak düşünülebilir). O zaman 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ [5, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 1] 𝑇 denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.4.2’den 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) ve 𝑆 ≅ 𝑃4 olduğundan 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑃4) eşitliğinden ispat tamamlanır. 4.4.4. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 96 13 8 6 8 3 4 5 2 8 0 3 5 0 2 0 0 6 3 0 4 0 0 2 0 5 3 2 5 1 2 3 1𝑄′ = 3 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 1 0 3 0 1 3 0 1 0 0 [ 1 0 0 1 0 0 0 0] olmak üzere 𝑍𝑦𝑥𝑎(𝐺) = 𝑄′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.4.2’den 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) olduğunu bilinmektedir. 𝑅𝑖 ler 𝑄 matrisinin satırlarını temsil etmek üzere 𝑄 matrisine 𝑅2 ↔ 𝑅4 ve 𝑅5 ↔ 𝑅6 elementer satır operasyonları uygulanarak elde edilmiş matris 𝐴1 olsun. O halde genelleştirilmiş Hosoya vektörü ifadesinden 𝑍𝑦𝑥𝑎(𝐺) = 𝐴1 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi elde edilir. Devamında 𝐶𝑖 ler 𝐴1 matrisinin sütunlarını temsil etmek üzere 𝐴1 matrisine 𝐶2 ↔ 𝐶4 ve 𝐶5 ↔ 𝐶6 elementer sütun operasyonları uygulanarak elde edilmiş matris 𝑄′ olur. Sonuç olarak genelleştirilmiş Hosoya vektörü tanımından 𝑍𝑦𝑥𝑎(𝐺) = 𝑄′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) sonucuna varılır. 4.4.5. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 97 13 8 6 8 4 3 5 2 5 5 2 3 2 1 3 1 6 3 4 4 2 2 2 1 5 3 3 5 2 3 3 2𝑃 = 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1] olmak üzere 𝑍𝑎𝑏𝑐(𝐺) = 𝑃 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. İlk olarak Teorem 4.4.2’den 𝑍(𝐺) = (13, 8, 6, 8, 4, 3, 5, 2) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎) = (5, 5, 2, 3, 2, 1, 3, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) değerleri bilinmektedir. 𝑍𝑎𝑏𝑐(𝐺) vektörü için gerekli değerler olan 𝑍(𝐺 − 𝑏), 𝑍(𝐺 − 𝑐), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐) değerleri ise 𝑘𝑑, 𝑙𝑥,𝑚𝑦 kenarları alt graflardan silinerek ve Lemma 3.1.1’de verilen rekürans bağıntıları kullanılarak şu şekilde indirgenir: 𝑍(𝐺 − 𝑏) = 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) 98 = (6, 3, 4, 4, 2, 2, 2, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑐) = 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 2) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (3, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐) = 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) 99 +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) 100 +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥 − 𝑚 − 𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚𝑦) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑦) = 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) + 𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙 − 𝑚) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆). 13 8 6 8 4 3 5 2 5 5 2 3 2 1 3 1 6 3 4 4 2 2 2 1 5 3 3 5 2 3 3 2 Ulaşılan bu denklemlerden 𝑃 = olmak üzere 𝑍 3 3 2 2 2 1 2 1 𝑎𝑏𝑐 (𝐺) = 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1] 𝑃 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) sonucuna varılır. 4.4.6. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 13 8 6 8 3 4 5 2 5 5 3 3 3 2 3 2 6 4 4 3 2 2 2 1 5 3 2 5 1 2 3 1𝑃′ = 2 2 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1] 101 olmak üzere 𝑍𝑐𝑏𝑎(𝐺) = 𝑃′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Sonuç 4.4.4’ün ispatında kullanılan yol izlenirse Teorem 4.4.5’ten 𝑍𝑎𝑏𝑐(𝐺) = 𝑃 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi mevcuttur. Burada 𝑅𝑖 ler 𝑃 matrisinin satırlarını temsil etmek üzere 𝑃 matrisine 𝑅2 ↔ 𝑅4 ve 𝑅5 ↔ 𝑅6 elementer satır operasyonları uygulanarak elde edilmiş matris 𝐴2 olarak ifade edilirse genelleştirilmiş Hosoya vektörü tanımından 𝑍𝑐𝑏𝑎(𝐺) = 𝐴2 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemine ulaşılır. Sonrasında 𝐶𝑖 ler 𝐴2 matrisinin sütunlarını temsil etmek üzere 𝐴2 matrisine 𝐶2 ↔ 𝐶4 ve 𝐶5 ↔ 𝐶6 elementer sütun operasyonları uygulandığında yeni elde edilmiş matris 𝑃′ olur ve genelleştirilmiş Hosoya vektörü tanımından 𝑍𝑐𝑏𝑎(𝐺) = 𝑃′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi elde edilir. Buraya kadar sunulan bulgular özetlenir ve sonuca varılırsa Şekil 4.4 (i) şıkkında verilen şekilde 𝑆 grafına bağlı olan naftalin molekülü yerine 𝑘 tane naftaline sahip 𝐻(𝜏, 𝜏, ⋯ , 𝜏) çift katlı lineer benzenoid zinciri olduğu varsayılırsa 𝑍 𝑘−1𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑃 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆). Ayrıca Şekil 4.4 (ii) şıkkında verilen şekilde 𝑆 grafına bağlı olan naftalin molekülü yerine 𝑘 tane naftaline sahip 𝐻(𝛾, 𝛾,⋯ , 𝛾) çift katlı lineer benzenoid zinciri olduğu varsayılırsa 𝑍 (𝐺) = 𝑄′ ∙ (𝑃′)𝑘−1𝑦𝑥𝑎 ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆). 4.4.7. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 102 13 8 6 8 4 3 5 2 6 3 4 4 2 2 2 1 5 3 3 5 2 3 3 2 8 5 3 0 2 0 0 0𝑅 = 2 1 2 2 1 2 1 1 5 3 3 0 2 0 0 0 4 2 2 0 1 0 0 0 [ 2 1 2 0 1 0 0 0] olmak üzere 𝑍𝑏𝑐𝑦(𝐺) = 𝑅 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.4.2 ve Teorem 4.4.5’in ispatlarından 𝑍(𝐺) = (13, 8, 6, 8, 4, 3, 5, 2) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑏) = (6, 3, 4, 4, 2, 2, 2, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑐) = (5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 2) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) , 𝑍(𝐺 − 𝑦) = (8, 5, 3, 0, 2, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) ve en son olarak 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐) = (2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) olduğu bilinmektedir. Bu değerlerin haricinde 𝑍𝑏𝑐𝑦(𝐺) vektörü için 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦) değerlerinin elde edilmesi gereklidir. Bu değerler 𝑘𝑑 ve 𝑙𝑥 kenarlarının karşılık gelen alt graflardan silinmesi ve Lemma 3.1.1’in kullanılmasıyla aşağıdaki şekilde elde edilir: 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥) +𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥) + 𝑍(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥) = 𝑍(𝑃4)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑙) +𝑍(𝑃3)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) = (5, 3, 3, 0, 2, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥) 103 +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥) = 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) = (4, 2, 2, 0, 1, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦) = 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙𝑥) + 𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘𝑑 − 𝑙 − 𝑥) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙𝑥) +𝑍(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑘 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑥) = 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆) + 𝑍(𝑃2)𝑍(𝑆 − 𝑙) +𝑍(𝑃1)𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘) + 𝑍(𝑃1)𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) = (2, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 0) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆). 13 8 6 8 4 3 5 2 6 3 4 4 2 2 2 1 5 3 3 5 2 3 3 2 8 5 3 0 2 0 0 0 Sonuç olarak elde edilen denklemlerden 𝑅 = olmak 2 1 2 2 1 2 1 1 5 3 3 0 2 0 0 0 4 2 2 0 1 0 0 0 [ 2 1 2 0 1 0 0 0] üzere 𝑍𝑏𝑐𝑦(𝐺) = 𝑅 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi gerçeklenir. 4.4.8. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 104 13 8 6 8 3 4 5 2 8 0 3 5 0 2 0 0 5 5 3 3 3 2 3 2 6 4 4 3 2 2 2 1𝑅′ = 5 0 3 3 0 2 0 0 2 2 2 1 2 1 1 1 4 0 2 2 0 1 0 0 [ 2 0 2 1 0 1 0 0] olmak üzere 𝑍𝑦𝑐𝑏(𝐺) = 𝑅′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.4.7’den 𝑍𝑏𝑐𝑦(𝐺) = 𝑅 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi kullanılarak 𝑅𝑖 ler 𝑅 matrisinin satırlarını temsil etmek üzere 𝑅 matrisine 𝑅2 ↔ 𝑅4 ve 𝑅5 ↔ 𝑅6 elementer satır operasyonları uygulanarak elde edilmiş matris 𝐴3 ise genelleştirilmiş Hosoya vektörü tanımından 𝑍𝑦𝑐𝑏(𝐺) = 𝐴3 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) olduğu görülür. Ayrıca 𝐶𝑖 ler 𝐴3 matrisinin sütunlarını temsil etmek üzere 𝐴3 matrisine 𝐶2 ↔ 𝐶4 ve 𝐶5 ↔ 𝐶6 elementer sütun operasyonlarının uygulanmış hali 𝑅′ matrisi olur. Genelleştirilmiş Hosoya vektörü tanımından 𝑍𝑦𝑐𝑏(𝐺) = 𝑅′ ∙ 𝑍𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemine ulaşılır. Bu bölümde önerilen metotta 8 × 8 boyutlu doğal sayı içerikli 𝑄, 𝑄′, 𝑃, 𝑃′, 𝑅, 𝑅′ matrisleri ve [5, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 1]𝑇 vektörünün verilen çift katlı benzenoid zincire göre seçilen uygun bir çarpımı ile zincirin Hosoya indeksi hesaplanabilmektedir. Bir sonraki örnekte bu metodun bir uygulaması gösterilmektedir. 4.4.9. Örnek. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾) grafı aşağıdaki şekilde verilen bir çift katlı benzenoid zincir olsun. 105 Şekil 4.5. Çift katlı benzenoid zincir 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾) 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾) grafının Hosoya indeksi 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 ve 𝑆𝐼𝐼𝐼 karşılık gelen alt graflar olmak üzere önerilen metot ile aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: 𝑍 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆 ) = 𝑄 ∙ R′ ∙ 𝑍𝑏𝑐𝑑(𝑆 ) = 𝑄 ∙ R′ ∙ 𝑃′ ∙ 𝑍𝑒𝑓𝑔(𝑆 ) = 𝑄 ∙ R′ ∙ P′ ∙ R ∙ 𝑍𝑖𝑗ℎ(𝑃4). Yukarıda elde edilen denklemden aşağıdaki sonuca ulaşılır: 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑄 ∙ R ′ ∙ P′ ∙ R ∙ [5, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 1]𝑇 = [2705084, 1153500, 990234, 1251270, 369454, 398063, 524519, 148423]𝑇. Sonuç olarak 𝑍(𝐺) = 𝑍(𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾)) = 2705084 değerine ulaşılır. 106 4.5. Çift Katlı Benzenoid Zincirlerin Merrifield-Simmons İndeksinin Hesaplanması Bölüm 4.4’te çift katlı benzenoid zincirlerin Hosoya indeksinin hesaplanmasında kullanılan bir metot önerilmişti. Bu bölümde de bir önceki bölümün devamı niteliğinde, çift katlı benzenoid zincirlerin Merrifield-Simmons indeksinin hesabına yönelik 18 × 18 boyutlu, doğal sayı içerikli matrisler ile bir 𝑣 ∈ ℝ18 vektörünün verilen zincire göre seçilmiş uygun bir çarpımına dayanan bir metot önerilecektir. Sunulacak olan metotta kritik öneme sahip olan ve verilen çift katlı benzenoid zincirin 𝑃4 veya 𝑃5 patikaları üzerinde tanımlanarak Merrifield-Simmons vektörü adıyla kullanılacak olan bir vektöre ihtiyaç duyulacaktır. Bir sonraki tanımda Merrifield-Simmons vektörü tanımlanmaktadır. 4.5.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşeleri 𝐺 grafındaki bir 𝑃4 veya 𝑃5 patikasının üç köşesi olarak verilsin. 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşelerini içeren 𝑃4 veya 𝑃5 patikası üzerindeki Merrifield-Simmons vektörü 𝑖(𝐺) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]−𝑁𝐺[𝑦]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]−𝑁𝐺[𝑎]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑥]−𝑁 𝐺[𝑦]) 𝑖(𝐺 − 𝑦) 𝑖(𝐺 − 𝑥) 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑎) 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑎) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑦) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑦) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥) [ 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥) ] şeklinde tanımlanır. 107 4.5.2. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 21 −8 −6 −8 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 −2 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 −3 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 13 −5 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 −6 0 −5 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑋 = 16 −8 −4 −6 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −6 0 −4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 −3 0 −2 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 [ 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] olmak üzere 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑋 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Merrifield-Simmons vektörü tanımından yola çıkarak 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]),⋯ , 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥) değerlerinin bulunması ispat için gereklidir. Bu değerler 𝑘𝑑, 𝑙𝑥,𝑚𝑦 kenarlarının alt graflara göre 𝑆 grafını naftalin molekülünden ayrılacak şekilde uygun bir kombinasyonda silinerek ve Lemma 3.1.2’de verilen rekürans bağıntıları kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 108 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃6)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (21,−8, −6,−8, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (5, 0, −2,−2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 109 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑦−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑦−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑙) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑙) +𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (0,−2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −3, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, −3, 0, −3, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑎]) = 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑙) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑙) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑥]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) 110 = 𝑖(𝐺 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃5)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑙]) = (13, −5,−3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑥) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑘𝑑 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑘𝑑 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) −𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑘𝑑 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑘𝑑 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) −𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑] − 𝑚𝑦) + 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]−𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑚]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) +𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑚]) = (15, −6, 0, −5, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺−𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑙]) 111 −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑚]) = (16, −8,−4,−6, 2, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) = (10, −4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑎 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑥 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺−𝑥 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (12,−6, 0, −4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑙]) = (3, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, −3, 0, −2, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 112 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑙) − 𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) = (0,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑥] − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑙) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑙) +𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑙]−𝑁𝐺[𝑚]) = (0,−2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −2, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, −2, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺−𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥 − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆−𝑁𝐺[𝑚]) = (3, 0, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆). Sonuç olarak elde edilen denklemlerden 𝑋 matrisi yukarıda verilen matris olmak üzere 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑋 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) 113 eşitliğine ulaşılır. Ayrıca, Teorem 4.5.2’deki 𝐺 = (𝑉, 𝐸) grafında 𝑆 ≅ 𝑃4 olduğu durum düşünüldüğünde 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑃4) = [8, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3] 𝑇 olduğundan 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑋 ∙ [8, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3] 𝑇 sonucu ortaya çıkmaktadır. 4.5.3. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 21 −8 −6 −8 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 −2 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −3 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 −6 −6 −8 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 −5 −6 −6 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑌 = 16 −8 −4 −6 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −4 −6 −6 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 −5 −4 −4 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 −2 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −3 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 5 0 −2 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] olmak üzere 114 𝑖𝑎𝑏𝑐(𝐺) = 𝑌 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. 𝑖𝑎𝑏𝑐(𝐺) için bu vektörün tanımı göz önüne alındığında 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐]),⋯ , 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑏), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑏) değerlerinin bulunması gereklidir. 𝑖(𝐺) = (21, −8,−6,−8, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]) = (5, 0, −2,−2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) Teorem 4.5.2’nin ispatından bilinmektedir. Bu iki değer haricindeki değerler 𝑘𝑑, 𝑙𝑥,𝑚𝑦 kenarlarının her değer için gerekli olan kombinasyonlarda 𝑆 grafını naftalin molekülünden ayrılacak şekilde silinerek ve Lemma 3.1.2’de verilen rekürans bağıntıları kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (6,−3, 0, −2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) = (5,−2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 115 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) = (2, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑎]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑦) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) = (3, 0, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐]) = 𝑖(𝑆) = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑐) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) −𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) 116 = (16,−6,−6,−8, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑏) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (15,−5,−6,−6, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) 117 −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (12,−4,−6,−6, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) − 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) 118 −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) +𝑖(𝐺 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) −𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (10,−5,−4,−4, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑙𝑥) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑙𝑥) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (4, 0, −2,−2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑎 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑎−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) = (4,−2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐 − 𝑚𝑦) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) 119 −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐 − 𝑚𝑦 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑚𝑦 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐−𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (4,−2, 0, −2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑎) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏]) = (6,−3, 0, −2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑏) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑏 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑏−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) = (3,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑏) = 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑎]) = (5, 0, −2,−2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆). Elde edilen denklemlerden 𝑌 teoremin ifadesinde verilen matris olmak üzere 𝑖𝑎𝑏𝑐(𝐺) = 𝑌 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) sonucuna varılır. 4.5.4. Teorem. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (i) şıkkında görülebilir). O zaman 120 21 −8 −6 −8 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −3 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 −3 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 13 −5 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 −6 −6 −8 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑍 = 15 −5 −6 −6 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 −3 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −4 −6 −6 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 −2 0 −3 0 0 0 5 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 −3 0 −3 0 0 0 [ 4 −2 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] olmak üzere 𝑖𝑏𝑐𝑦(𝐺) = 𝑍 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. İlk olarak Teorem 4.5.2 ve Teorem 4.5.3’ün ispatlarından aşağıdaki eşitlikler mevcuttur. 𝑖(𝐺) = (21,−8,−6,−8, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏]) = (6,−3, 0, −2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐]) = (5,−2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, −3, 0, −3, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑏]) = (2,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑦) = (13,−5,−3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 121 𝑖(𝐺 − 𝑐) = (16,−6, −6,−8, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑏) = (15,−5,−6,−6, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑏) = (12, −4,−6,−6, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑏) = (3,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑐) = (4,−2, 0, −2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆). 𝑖𝑏𝑐𝑦(𝐺) vektörünün geriye kalan değerlerinin hesabı 𝑘𝑑, 𝑙𝑥,𝑚𝑦 kenarlarının her değer için gerekli olan formlarda 𝑆 grafını naftalin molekülünden ayrılacak şekilde silinerek ve Lemma 3.1.2’de verilen rekürans bağıntıları kullanılarak şu şekilde tamamlanır: 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃3)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, −2, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑁𝐺[𝑦]−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, −1, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦−𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑐 − 𝑦−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃4)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) = (8,−3,−3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑦 − 𝑘𝑑) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑏] − 𝑦−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) 122 = (4,−2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏 − 𝑙𝑥) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏 − 𝑙𝑥 − 𝑘𝑑) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏−𝑙𝑥 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑑]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑏−𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑚) − 𝑖(𝑃1)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑚) −𝑖(𝑃2)𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑚) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, −2, 0, −3, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐] − 𝑦) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑐]) = (5,−2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑐) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, −3, 0, −3, 0, 0, 0) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆). Elde edilen denklemlerden 𝑍 teoremin ifadesindeki matris olmak üzere 𝑖𝑏𝑐𝑦(𝐺) = 𝑍 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. 4.5.5. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑚, 𝑙, 𝑘 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 123 21 −8 −6 −8 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 −3 0 −3 0 0 0 0 0 −2 0 0 1 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 −3 5 −2 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 16 −6 −4 −8 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 −5 0 −6 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑋′ = 13 0 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −4 0 −6 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 −3 0 −2 0 0 3 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 −1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 −2 0 0 0 0 ] olmak üzere 𝑖𝑦𝑥𝑎(𝐺) = 𝑋′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.5.2, 4.5.3 ve 4.5.4’ün ispatlarında 𝑖𝑦𝑥𝑎(𝐺) vektörünün tüm satırlarındaki değerler 𝑋, 𝑌, 𝑍 matrislerinden biri ile 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) vektörünün çarpımı olarak elde edildiğinden bu değerlerin düzenlenerek bir matris ile 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) vektörünün çarpımı formunda da yazılabileceği 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) ve 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) vektörlerinin tanımından görülebilir. Bu formda yazıldığında bu matris 𝑋′ olmak üzere 𝑖𝑦𝑥𝑎(𝐺) = 𝑋′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denkleminin sağlandığı görülür. 4.5.6. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑚, 𝑙, 𝑘 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir 124 patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 21 −8 −6 −8 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −2 0 −3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 −2 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 −6 −4 −8 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 −6 −6 −5 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑌′ = 16 −8 −6 −6 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 −4 −4 −5 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −6 −6 −4 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −2 0 −3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 −2 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] olmak üzere 𝑖𝑐𝑏𝑎(𝐺) = 𝑌′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.5.2, 4.5.3 ve 4.5.4’ün ispatlarında 𝑖𝑐𝑏𝑎(𝐺) vektörünün tüm satırlarındaki değerler 𝑋, 𝑌, 𝑍 matrislerinden biri ile 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) vektörünün çarpımı olarak elde edilmiştir. Bu çarpımlarların farklı bir şekilde ifade edilerek bir matris ile 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) vektörünün çarpımı formunda da yazılabileceği Merrifield-Simmons vektörü tanımından görülebilir. Bu formda yazıldığında bu matris 𝑌′ olmak üzere 𝑖𝑐𝑏𝑎(𝐺) = 𝑌′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denkleminin sağlandığı görülür. 125 4.5.7. Sonuç. 𝐺 = 𝐻(𝛾, 𝜗2, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı bir çift katlı benzenoid zincir 𝑆 = 𝐻(𝜗2, 𝜗3, ⋯ , 𝜗ℎ−1) grafı ve bir naftalin molekülünün 𝑚, 𝑙, 𝑘 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir patika olan 𝑃4 boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.4 (ii) şıkkında görülebilir). O zaman 21 −8 −6 −8 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 −3 0 −3 0 0 5 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 −2 0 −3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 15 −6 −6 −5 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 −8 −6 −6 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0𝑍′ = 13 0 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 −6 −6 −4 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 −3 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 −2 0 −3 0 0 4 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 −3 0 −3 0 0] olmak üzere 𝑖𝑦𝑐𝑏(𝐺) = 𝑍′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denklemi sağlanır. İspat. Teorem 4.5.2, 4.5.3 ve 4.5.4’ün ispatlarında 𝑖𝑦𝑐𝑏(𝐺) vektörünün her içeriğindeki değerler 𝑋, 𝑌, 𝑍 matrislerinden biri ile 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) vektörünün çarpımı olarak elde edildiğinden bu değerlerin düzenlenerek bir matris ile 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) vektörünün çarpımı formunda da yazılabileceği 𝑚, 𝑙, 𝑘 köşelerini içeren 𝑃4 patikası üzerindeki Merrifield- 126 Simmons vektörü tanımından gözlemlenebilir. Bu formda yazıldığında bu matris 𝑍′ olmak üzere 𝑖𝑦𝑐𝑏(𝐺) = 𝑍′ ∙ 𝑖𝑚𝑙𝑘(𝑆) denkleminin sağlandığı görülür. Buraya kadar olan teoremler ve sonuçlar ile önerilen metotta çift katlı benzenoid zincirlerin Merrifield-Simmons indeksinin hesabı elde edilen 𝑋, 𝑋′, 𝑌, 𝑌′, 𝑍, 𝑍′ matrisleri ve [8, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3]𝑇 vektörünün verilen çift katlı benzenoid zincire göre uygun bir çarpımı ile yapılabilmektedir. Aşağıdaki örnekte sunulan metodun bir uygulaması gösterilmektedir. 4.5.8. Örnek. 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏) grafı aşağıdaki şekilde verilen bir çift katlı benzenoid zincir olsun. Şekil 4.6. Çift katlı benzenoid zincir 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏) 𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏) çift katlı benzenoid zincirinin Merrifield-Simmons indeksi önerilen metot kullanılarak 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝐼𝐼 , 𝑆𝐼𝑉, 𝑆𝑉 karşılık gelen alt graflar olmak üzere aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: 𝑖 𝐼 ′ 𝐼𝐼 ′ ′ 𝐼𝐼𝐼𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑋 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆 ) = 𝑋 ∙ 𝑍 ∙ 𝑖𝑑𝑒𝑓(𝑆 ) = 𝑋 ∙ 𝑍 ∙ 𝑌 ∙ 𝑖ℎ𝑖𝑗(𝑆 ) = 𝑋 ∙ 𝑍′ ∙ 𝑌′ ∙ 𝑍 ∙ 𝑖 𝐼𝑉𝑝𝑟𝑠(𝑆 ) 127 = 𝑋 ∙ 𝑍′ ∙ 𝑌′ ∙ 𝑍 ∙ 𝑌 ∙ 𝑖 𝑉𝑢𝑣𝑤(𝑆 ) = 𝑋 ∙ 𝑍′ ∙ 𝑌′ ∙ 𝑍 ∙ 𝑌 ∙ 𝑖𝑢𝑣𝑤(𝑃4). Bu denklemde 𝑖𝑢𝑣𝑤(𝑃4) ifadesi yerine yazılarak 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏)) = 𝑋 ∙ 𝑍 ′ ∙ 𝑌′ ∙ 𝑍 ∙ 𝑌 ∙ [8, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3]𝑇 denklemine ulaşılır. Sonuç olarak 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺 = 𝐻(𝜏, 𝛾, 𝛾, 𝜏)) = [5967989, 1555736, 1253034, 1733170, 526867, 485079, 204036, 4234819, 4714955, 4412253, 3508652, 3644298, 1076343, 1253777, 7261 67, 767955,1206303, 1070657]𝑇 ifadesi elde edilir. Bu eşitlikten 𝑖(𝐺) = 5967989 başta olmak üzere 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]) = 1555736, 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) = 1253034, 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) = 1733170 , ⋯ , 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑥) = 1206303, 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑥) = 1070657 değerleri de elde edilmektedir. 128 4.6. Bazı Özel Tipteki İç Noktalı-Yoğunlaştırılmış Benzenoid Sistemlerin Hosoya ve Merrifield-Simmons İndekslerinin Hesaplanması Bu bölümde Gutman ve ark. (1989) tarafından Hosoya indekslerinin hesabına yönelik indirgeme bağıntıları verilmiş olan iki özel tipteki iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem türünün Hosoya ve Merrifield-Simmons indekslerinin hesaplarını matris ve vektör çarpımları yoluyla hesaplayan metotlar önerilecektir. Bu metotlarda kullanılmak üzere önceki bölümlerde tanımlanan vektörlerin uyarlamaları olan yeni vektörler tanımlanarak teoremler ve ispatlar bu vektörler üzerinden inşaa edilecektir. Gutman ve ark. (1989) tarafından yapılan çalışmada 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 adlarıyla kullanılan iki özel tipte iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem örneği aşağıdaki şekillerde gösterilmektedir. Şekil 4.7. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑅𝑛 129 Şekil 4.8. İç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑷𝒏 Aşağıdaki iki şekilde bu bölüm boyunca sunulacak olan teoremler ve sonuçların görselleştirilmesinde kullanılacak olan 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 sistemlerinin graf modeli verilmektedir. Şekil 4.9. 𝑅𝑛 sisteminin graf yapısı Şekil 4.10. 𝑷𝒏 sisteminin graf yapısı 130 Bir sonraki tanımda Bölüm 4.4’te 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 için 𝑃𝑗 üzerinde tanımlanan genelleştirilmiş Hosoya vektörünün bir uyarlaması olacak şekilde bir 𝑃3 patikası üzerinde bir vektör 3-Hosoya vektörü adıyla tanımlanacaktır. 4.6.1. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑉 köşelerini uç köşeler olarak içeren bir 𝑃3 patikası üzerindeki 3-Hosoya vektörü 𝑍(𝐺) 𝑍(𝐺 − 𝑎) 𝑍𝑎𝑥(𝐺) = [ ] 𝑍(𝐺 − 𝑥) 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) olarak tanımlanır (Oz ve Cangul 2021). 4.6.2. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve üç tane hekzagona sahip bir iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑉 uç köşelerine sahip bir 𝑃3 patikası boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.9’da görülebilir). O halde 148 70 70 30 70 36 34 16 𝐴 = [ ] 70 34 36 16 30 16 16 8 olmak üzere 𝑍𝑎𝑥(𝐺) = 𝐴 ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆) denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). 131 İspat. 𝑍𝑎𝑥(𝐺) tanımı gereği 𝑍(𝐺), 𝑍(𝐺 − 𝑎), 𝑍(𝐺 − 𝑥), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) değerlerinin hesaplanması gereklidir. Bu değerler 𝑚𝑘, 𝑛𝑙 ∈ 𝐸 kenarları silinerek ve Lemma 3.1.1 kullanılarak şu şekilde hesaplanır: 𝑍(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑚𝑘 − 𝑛 − 𝑙) +𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛 − 𝑙) = 148𝑍(𝑆) + 70𝑍(𝑆 − 𝑛) + 70𝑍(𝑆 − 𝑚) + 30𝑍(𝑆 − 𝑚 − 𝑛) = (148, 70, 70, 30) ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑘 − 𝑛 − 𝑙) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛 − 𝑙) = 70𝑍(𝑆) + 34𝑍(𝑆 − 𝑛) + 36𝑍(𝑆 − 𝑚) + 16𝑍(𝑆 − 𝑚 − 𝑛) = (70, 36, 34, 16) ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑥) = 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑘 − 𝑛 − 𝑙) +𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛 − 𝑙) = 70𝑍(𝑆) + 36𝑍(𝑆 − 𝑛) + 34𝑍(𝑆 − 𝑚) + 16𝑍(𝑆 − 𝑚 − 𝑛) = (70, 34, 36, 16) ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑘 − 𝑛 − 𝑙) +𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛𝑙) + 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 − 𝑘 − 𝑛 − 𝑙) = 30𝑍(𝑆) + 16𝑍(𝑆 − 𝑛) + 16𝑍(𝑆 − 𝑚) + 8𝑍(𝑆 − 𝑚 − 𝑛) = (30, 16, 16, 8) ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆). 148 70 70 30 70 36 34 16 Bu denklemlerden 𝐴 = [ ] olmak üzere 𝑍𝑎𝑥(𝐺) = 𝐴 ∙ 𝑍70 34 36 16 𝑚𝑛 (𝑆) 30 16 16 8 eşitliğine varılır. 132 4.6.3. Sonuç. Şekil 4.7’de verilen 𝑛 tane naftalin molekülüne sahip iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑅𝑛 için 𝑍 𝑛−1 𝑇𝑎𝑥(𝑅𝑛) = 𝐴 ∙ [148, 70, 70, 30] denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Teorem 4.6.2’den 𝑍𝑎𝑥(𝐺) = 𝐴 ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑆) denklemi mevcuttur. Bu denklemde 𝐺 = 𝑅𝑛 alınırsa 𝑍𝑎𝑥(𝑅𝑛) = 𝐴 ∙ 𝑍𝑚𝑛(𝑅𝑛−1) elde edilir. Devamında 𝑍𝑚𝑛(𝑅𝑛−1) için Teorem 4.6.2 uygulanır ve bu şekilde toplamda (𝑛 − 1) defa olacak şekilde ingirdeme yapılır ise 𝑆𝐼 sistemin en sonuncu naftalin molekülü olmak üzere 𝑍 (𝑅 ) = 𝐴𝑛−1𝑎𝑥 𝑛 ∙ 𝑍 𝐼 𝑢𝑣(𝑆 ) denklemine ulaşılır. 𝑆𝐼 naftalin molekülü olduğundan 𝑍𝑢𝑣(𝑆 𝐼) = [148, 70, 70, 30]𝑇 olarak hesaplandığında istenen sonuç elde edilir. Aşağıdaki tanımda Bölüm 4.4’te 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 için 𝑃𝑗 üzerinde tanımlanan genelleştirilmiş Hosoya vektörünün bir diğer uyarlaması olacak şekilde bir 𝑃3 patikası üzerinde bir vektör genelleştirilmiş 3-Hosoya vektörü adıyla tanımlanacaktır. 4.6.4. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşelerine sahip olan bir 𝑃3 patikası üzerindeki genelleştirilmiş 3-Hosoya vektörü 𝑍(𝐺) 𝑍(𝐺 − 𝑎) 𝑍(𝐺 − 𝑥) 𝑍(𝐺 − 𝑦) 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥) 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦) [𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦)] 133 olarak tanımlanır (Oz ve Cangul 2021). 4.6.5. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve üç tane hekzagona sahip bir iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑘, 𝑙, 𝑚 ∈ 𝑉 köşelerinden oluşan bir 𝑃3 patikası boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.10’da görülebilir). O halde 107 63 55 63 34 34 37 21 52 32 24 31 16 15 19 10 45 26 25 26 15 15 15 9 52 31 24 32 15 16 19 10𝐵 = 31 19 15 18 10 9 11 6 31 18 15 19 9 10 11 6 21 13 9 13 6 6 8 4 [ 21 13 9 13 6 6 8 4 ] olmak üzere 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐵 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Tanım 4.6.4’ten 𝑍(𝐺), 𝑍(𝐺 − 𝑎), 𝑍(𝐺 − 𝑥), 𝑍(𝐺 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥), 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦), 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦) değerlerinin hesaplanması gereklidir. Bu değerler 𝑚𝑑, 𝑙𝑐, 𝑘𝑏 kenarları silinerek ve Lemma 3.1.1 kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır: 𝑍(𝐺) = 𝑍(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) + 𝑍(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏) +𝑍(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏) + 𝑍(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏) +𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) + 𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏) +𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑑 − 𝑙 − c − 𝑘𝑏) + 𝑍(𝐺 − 𝑚 − 𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏) 134 = 107𝑍(𝑆) + 63𝑍(𝑆 − 𝑘) + 55𝑍(𝑆 − 𝑙) + 34𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) +63𝑍(𝑆 − 𝑚) + 37𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) 𝑆 − 𝑘 + 34𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 21𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (107, 63, 55, 63, 34, 34, 37, 21) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), ( ) 𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑑𝑍 𝐺 − 𝑎 = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑎 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 52𝑍(𝑆) + 32𝑍(𝑆 − 𝑘) + 24𝑍(𝑆 − 𝑙) + 16𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) 𝑆 − 𝑘 +31𝑍(𝑆 − 𝑚) + 19𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 15𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 10𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (52, 32, 24, 31, 16, 15, 19, 10) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝑍( 𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑥) = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑥 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑚 𝐺 − 𝑥 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑚 𝐺 − 𝑥 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 45𝑍(𝑆) + 26𝑍(𝑆 − 𝑘) + 25𝑍(𝑆 − 𝑙) + 15𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) +26𝑍(𝑆 − 𝑚) + 15𝑍( 𝑆 − 𝑘 𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 15𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 9𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (45, 26, 25, 26, 15, 15, 15, 9) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝑍(𝐺 − 𝑦) = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑦 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 135 𝐺 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 52𝑍(𝑆) + 31𝑍(𝑆 − 𝑘) + 24𝑍(𝑆 − 𝑙) + 15𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) 𝑆 − 𝑘 +32𝑍(𝑆 − 𝑚) + 19𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 16𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 10𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (52, 31, 24, 32, 15, 16, 19, 10) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), ( ) 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑑𝑍 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 31𝑍(𝑆) + 19𝑍(𝑆 − 𝑘) + 15𝑍(𝑆 − 𝑙) + 10𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) 𝑆 − 𝑘 +18𝑍(𝑆 − 𝑚) + 11𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 9𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 6𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (31, 19, 15, 18, 10, 9, 11, 6) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝑍(𝐺 − 𝑥 − 𝑦) = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −d − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 31𝑍(𝑆) + 18𝑍(𝑆 − 𝑘) + 15𝑍(𝑆 − 𝑙) + 9𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) +19𝑍(𝑆 − 𝑚) + 11𝑍( 𝑆 − 𝑘 𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 10𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 6𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (31, 18, 15, 19, 9, 10, 11, 6) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 136 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑦) = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 21𝑍(𝑆) + 13𝑍(𝑆 − 𝑘) + 9𝑍(𝑆 − 𝑙) + 6𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) 𝑆 − 𝑘 +13𝑍(𝑆 − 𝑚) + 8𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 6𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) + 4𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (21, 13, 9, 13, 6, 6, 8, 4) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 𝐺 − 𝑎 − x − 𝑦 𝑍(𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦) = 𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑑 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑚𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘 − 𝑏 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 𝐺 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 +𝑍 ( ) + 𝑍 ( ) −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑑 − 𝑙 − 𝑐 − 𝑘 − 𝑏 = 21𝑍(𝑆) + 13𝑍(𝑆 − 𝑘) + 9𝑍(𝑆 − 𝑙) + 6𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑙) +13𝑍(𝑆 − 𝑚) + 8𝑍(𝑆 − 𝑘 − 𝑚) + 6𝑍(𝑆 − 𝑙 − 𝑚) 𝑆 − 𝑘 +4𝑍 ( ) 𝑙 − 𝑚 = (21, 13, 9, 13, 6, 6, 8, 4) ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆). Elde edilen denklemlerden 𝐵 yukarıda verilen matris olmak üzere 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐵 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) ifadesine ulaşılır (Oz ve Cangul 2021). 137 4.6.6. Sonuç. Şekil 4.8’de verilen 𝑛 tane naftalin molekülüne sahip iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistem 𝑷𝒏 için 𝑍 𝑛𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐵 ∙ [18, 8, 8, 8, 5, 5, 3, 3] 𝑇 denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Teorem 4.6.5’ten 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐵 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır. Bu denklemde 𝐺 yerine 𝑷𝒏 alındığında 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏 ) = 𝐵 ∙ 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑷𝒏−𝟏) elde edilir. Bu şekilde 𝑍𝑘𝑙𝑚(𝑷𝒏−𝟏) için Teorem 4.6.5 tekrar uygulandığında ve ardından elde edilen denklem için uygulanarak bu şekilde devam ederek toplamda 𝑛 defa olacak şekilde ingirdeme yapıldığında 𝑆𝐼 , 𝑷𝒏 sisteminin en sonuncu hekzagonu (benzeni) olmak üzere 𝑍𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐵 𝑛 ∙ 𝑍𝑢𝑣𝑤(𝑆 𝐼) denklemine ulaşılır. 𝑆𝐼 bir hekzagon (benzen) olduğundan 𝑍 𝐼 𝑇𝑢𝑣(𝑆 ) = [18, 8, 8, 8, 5, 5, 3, 3] olarak açıktır. Sonuç olarak 𝑍 𝑛 𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐵 ∙ [18, 8, 8, 8, 5, 5, 3, 3]𝑇 denklemi ispatlanmış olur. Bölümün ilk kısmında 3-Hosoya vektörü tanımlanarak 𝑅𝑛 sisteminin Hosoya indeksinin hesabı için açık bir fonksiyon elde edilmişti. Şimdi ise Bölüm 4.5’te 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 için 𝑃𝑗 üzerinde tanımlanan Merrifield-Simmons vektörünün bir uyarlamasını teşkil edecek şekilde bir 𝑃3 patikası üzerinde bir vektör 3-Merrifield-Simmons vektörü adıyla tanımlanacaktır. 4.6.7. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑉 köşelerini uç köşeler olarak içeren bir 𝑃3 patikası üzerindeki 3-Merrifield-Simmons vektörü 138 𝑖(𝐺) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎])𝑖 (𝐺) = 𝑎𝑥 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) [𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑥])] olarak tanımlanır (Oz ve Cangul 2021). 4.6.8. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve üç tane hekzagona sahip bir iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑉 uç köşelerine sahip bir 𝑃3 patikası boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.9’da görülebilir). O halde 114 −34 −34 13 34 −8 −9 3 𝐶 = [ ] 34 −9 −8 3 13 −3 −3 1 olmak üzere 𝑖𝑎𝑥(𝐺) = 𝐶 ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆) denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. 𝑖𝑎𝑥(𝐺) vektörünün tanımı gereği 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑥]) değerlerinin bir vektör ile 𝑖𝑚𝑛(𝑆) vektörünün çarpımı şeklinde yazılması gereklidir. Bu formda bir yazım elde etmek için 𝑚𝑘 ve 𝑛𝑙 kenarları 𝐺 grafından silinerek ve Lemma 3.1.2 kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir: 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑘 − 𝑁𝐺[𝑛]−𝑁𝐺[𝑙]) −𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑛𝑙) + 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑛] − 𝑁𝐺[𝑙]) 139 𝑆 − 𝑁 [𝑚] = 114𝑖(𝑆) − 34𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑛]) − 34𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 13𝑖 ( 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑛] = (114, −34,−34, 13) ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆), 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑚𝑘 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) − 𝑖 ( 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑛] − 𝑁𝐺[𝑙] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑖 ( ) + 𝑖 ( ) −𝑁𝐺[𝑘] − 𝑛𝑙 −𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑛]−𝑁𝐺[𝑙] 𝑆 − 𝑁 [𝑚] = 34𝑖(𝑆) − 9𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑛]) − 8𝑖(𝑆 − 𝑁 𝐺 𝐺[𝑚]) + 3𝑖 ( ) −𝑁𝐺[𝑛] = (34,−8,−9, 3) ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆), 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑘𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑘 − 𝑛𝑙) − 𝑖 ( ) −𝑁𝐺[𝑛] − 𝑁𝐺[𝑙] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚]−𝑖 ( ) + 𝑖 ( ) −𝑁𝐺[𝑘] − 𝑛𝑙 −𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑛]−𝑁𝐺[𝑙] 𝑆 − 𝑁 [𝑚] = 34𝑖(𝑆) − 8𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑛]) − 9𝑖(𝑆 − 𝑁 [𝑚]) + 3𝑖 ( 𝐺 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑛] = (34,−9,−8, 3) ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆), 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑁 [𝑥] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]𝐺 𝐺 − 𝑁 [𝑥]𝑖 ( ) = 𝑖 ( ) − 𝑖 ( 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑥] −𝑚𝑘 − 𝑛𝑙 −𝑚𝑘 − 𝑁𝐺[𝑛] − 𝑁𝐺[𝑙] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑥] 𝐺−𝑁 [𝑎] − 𝑁 [𝑥] − 𝑁 [𝑚]−𝑖 ( ) + 𝑖 ( 𝐺 𝐺 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑚]−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑛𝑙 −𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑛]−𝑁𝐺[𝑙] 𝑆 − 𝑁 [𝑚] = 13𝑖(𝑆) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑛]) − 3𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 𝑖 ( 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑛] = (13,−3,−3, 1) ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆). 114 −34 −34 13 34 −8 −9 3 Sonuç olarak 𝐶 = [ ] olmak üzere 𝑖 (𝐺) = 𝐶 ∙ 𝑖 (𝑆) 34 −9 −8 3 𝑎𝑥 𝑚𝑛 13 −3 −3 1 sonucuna ulaşılır. 140 4.6.9. Sonuç. Şekil 4.7’de verilen 𝑛 tane naftalin molekülüne sahip olan 𝑅𝑛 sistemi için 𝑖𝑎𝑥(𝑅𝑛) = 𝐶 𝑛−1 ∙ [114, 34, 34, 13]𝑇 denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Teorem 4.6.8’den 𝑖𝑎𝑥(𝐺) = 𝐶 ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑆) denklemi mevcuttur. Dolayısıyla Şekil 4.7’de verilen 𝑅𝑛 için 𝑖𝑎𝑥(𝑅𝑛) = 𝐶 ∙ 𝑖𝑚𝑛(𝑅𝑛−1) eşitliğine ulaşılır. 𝑖𝑚𝑛(𝑅𝑛−1) için Teorem 4.6.8 uygulanarak bu şekilde toplamda 𝑛 − 1 defa olacak şekilde ingirdeme yapıldığında 𝑆𝐼 sistemin en sonuncu naftalin molekülü olmak üzere 𝑖𝑎𝑥(𝑅𝑛) = 𝐶 𝑛−1 ∙ 𝑖𝑢𝑣(𝑆 𝐼) denklemi elde edilir. 𝑆𝐼 naftalin olduğundan 𝑖 (𝑆𝐼𝑢𝑣 ) = [114, 34, 34, 13] 𝑇 olduğu açıktır. Buradan 𝑖 (𝑅 𝑛−1 𝑇𝑎𝑥 𝑛) = 𝐶 ∙ [114, 34, 34, 13] denklemi elde edilir. Tanım 4.6.4’te genelleştirilmiş 3-Hosoya vektörü tanımlanarak 𝑷𝒏 sisteminin Hosoya indeksinin hesabı için açık bir fonksiyon elde edilmişti. Bu sonucun devamı niteliğinde 𝑷𝒏 sisteminin Merrifield-Simmons indeksinin hesabı için açık bir fonksiyon elde etme amacıyla Bölüm 4.5’te 𝑗 = 4 veya 𝑗 = 5 için 𝑃𝑗 üzerinde tanımlanan Merrifield- Simmons vektörünün bir diğer uyarlamasını oluşturacak biçimde bir 𝑃3 patika grafı üzerinde bir vektör genelleştirilmiş 3 -Merrifield-Simmons vektörü adıyla aşağıdaki şekilde tanımlanacaktır. 4.6.10. Tanım. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir graf olsun. 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşelerine sahip bir 𝑃3 patikası üzerindeki genelleştirilmiş 3-Merrifield-Simmons vektörü 𝑖(𝐺) 𝑖(𝐺 − 𝑁 𝐺 [𝑎]) 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) [𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑦])] 141 olarak tanımlanır (Oz ve Cangul 2021). 4.6.11. Teorem. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) bir 𝑆 grafı ve üç tane hekzagona sahip bir iç noktalı- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin 𝑘, 𝑙, 𝑚 ∈ 𝑉 köşelerinden oluşan bir 𝑃3 patikası boyunca kaynaşması ile oluşan bir graf olsun (Şekil 4.10’da görülebilir). O halde 134 −49 −45 −49 18 42 −14 −18 −15 5 𝐷 = 34 −13 −9 −13 5 42 −15 −18 −14 5 [ 18 −6 −9 −6 2 ] olmak üzere 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐷 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Verilen 𝐺 grafında 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 köşelerinden oluşan bir 𝑃3 patikası üzerindeki genelleştirilmiş 3-Merrifield-Simmons vektörü tanımından hareket edilerek 𝑖(𝐺), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]), 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) ve 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑦]) değerlerinin bir vektör ile 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) vektörünün çarpımı şeklinde yazılması durumunda ispat tamamlanacaktır. Bu amaç doğrultusunda 𝐺 grafından 𝑚𝑑, 𝑙𝑐 ve 𝑘𝑏 kenarlarının silinerek ve denklemler arasındaki geçişlerde de Lemma 3.1.2 kullanılarak istenilen sonuca aşağıdaki şekilde varılabilir: 𝑖(𝐺) = 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) − 𝑖(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑁𝐺[𝑘]−𝑁𝐺[𝑏]) −𝑖(𝐺 − 𝑚𝑑 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑐]) − 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑑] − 𝑘𝑏) 142 +𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑑]−𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏]) = 134𝑖(𝑆) − 49𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 45𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) − 49𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) +18𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (134, −49,−45,−49, 18) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑚𝑑 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) − 𝑖 ( 𝐺 𝐺 ) −𝑙𝑐 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑁 [𝑚]−𝑖 ( ) − 𝑖 ( 𝐺 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑐] −𝑁𝐺[d] − 𝑘𝑏 𝐺 − 𝑁 +𝑖 ( 𝐺 [𝑎] − 𝑁𝐺[𝑚] ) −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] = 42𝑖(𝑆) − 14𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 18𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) −15𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 5𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (42,−14,−18,−15, 5) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑁 [𝑥] − 𝑚𝑑 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) − 𝑖 ( 𝐺 ) −𝑙𝑐 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑁−𝑖 ( ) − 𝑖 ( 𝐺 [𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚]) −𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑐] −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑘𝑏 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑥] − 𝑁𝐺[𝑚]+𝑖 ( ) −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] = 34𝑖(𝑆) − 13𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 9𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) −13𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 5𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (34,−13,−9, −13, 5) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑚𝑑𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦]) = 𝑖(𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏) − 𝑖 ( ) −𝑙𝑐 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑚𝑑 𝐺 − 𝑁 [𝑦] − 𝑁 [𝑚]−𝑖 ( ) − 𝑖 ( 𝐺 𝐺 ) −𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑐] −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑘𝑏 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁+𝑖 ( 𝐺 [𝑚] ) −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] = 42𝑖(𝑆) − 15𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 18𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) 143 −14𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 5𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (42,−15,−18,−14, 5) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆), 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑁 [𝑦] 𝐺 − 𝑁 [𝑎] − 𝑁𝑖 ( ) = 𝑖 ( 𝐺 𝐺 ) − 𝑖 ( 𝐺 𝐺 [𝑦] − 𝑚𝑑 ) −𝑁𝐺[𝑦] −𝑚𝑑 − 𝑙𝑐 − 𝑘𝑏 −𝑙𝑐 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁𝐺[𝑦] 𝐺 − 𝑁𝐺[𝑎] − 𝑁 [𝑦]−𝑖 ( ) − 𝑖 ( 𝐺 ) −𝑚𝑑 − 𝑁𝐺[𝑙] − 𝑁𝐺[𝑐] −𝑁𝐺[𝑚] − 𝑁𝐺[𝑑] − 𝑘𝑏 𝐺 − 𝑁 +𝑖 ( 𝐺 [𝑎] − 𝑁𝐺[𝑦] − 𝑁𝐺[𝑚]) −𝑁𝐺[𝑑] − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑏] = 18𝑖(𝑆) − 6𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘]) − 9𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑙]) −6𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑚]) + 2𝑖(𝑆 − 𝑁𝐺[𝑘] − 𝑁𝐺[𝑚]) = (18,−6,−9, −6, 2) ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆). 134 −49 −45 −49 18 42 −14 −18 −15 5 Elde edilen denklemlerin sonucu olarak 𝐷 = 34 −13 −9 −13 5 olmak 42 −15 −18 −14 5 [ 18 −6 −9 −6 2 ] üzere 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐷 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) sonucuna ulaşılır. 4.6.12. Sonuç. Şekil 4.8’de verilen 𝑛 tane naftalin molekülüne sahip olan 𝑷𝒏 sistemi için 𝑖 𝑛 𝑇𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐷 ∙ [18, 5, 5, 5, 2] denklemi sağlanır (Oz ve Cangul 2021). İspat. Teorem 4.6.11’den 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝐺) = 𝐷 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑆) eşitliği mevcuttur. Bu denklemde 𝐺 grafı yerine Şekil 4.8’de verilen 𝑷𝒏 yazıldığında 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐷 ∙ 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑷𝒏−𝟏) eşitliğine varılır. 𝑖𝑘𝑙𝑚(𝑷𝒏−𝟏) için Teorem 4.6.11 tekrar uygulandığında ve eşitliğin sağ tarafında bu şekilde indirgemeler yaparak ulaşılan her denklemde de yeni elde edilen genelleştirilmiş 144 3 -Merrifield-Simmons vektörü için bu doğrultuda devam ederek toplamda 𝑛 defa ingirdeme yapıldığında 𝑆𝐼 en sonuncu hekzagon (benzen) olmak üzere 𝑖𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐷 𝑛 ∙ 𝑖 𝐼𝑢𝑣𝑤(𝑆 ) denklemi elde edilir. Gelinen noktada 𝑆 𝐼 hekzagon (benzen) olduğundan 𝑖𝑢𝑣𝑤(𝑆 𝐼) = [18, 5, 5, 5, 2]𝑇 eşitliğinin olduğu açıktır. Sonuç olarak 𝑖 𝑛𝑎𝑥𝑦(𝑷𝒏) = 𝐷 ∙ [18, 5, 5, 5, 2]𝑇 denklemi elde edilir. 145 5. TARTIŞMA VE SONUÇ Bu tez çalışmasında iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin ∀𝑘 ≥ 0 değeri için 𝑚(𝐺, 𝑘) değerini tanımlanan yeni bir vektör yardımıyla 4(𝑘 + 1) × 4(𝑘 + 1) boyutlu matrislerin ve 4(𝑘 + 1) × 1 boyutlu bir vektörün seçilen uygun bir çarpımına dayanarak hesaplayabilen bir metot önerilmiştir. Ayrıca, bu metodun kolay bir şekilde uygulanabilmesini sağlayan MATLAB algoritmaları sunulmuştur. Ayrıca iç noktasız- yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin ∀𝑘 ≥ 0 değeri için 𝑛(𝐺, 𝑘) değerini tanımlanan bir başka yeni vektör sayesinde 5(𝑘 + 1) × 5(𝑘 + 1) boyutlu matrislerin ve 5(𝑘 + 1) × 1 boyutlu bir vektörün seçilen uygun bir çarpımı yoluyla hesaplayabilen bir metot önerilmiştir. Ek olarak, bu metodun basit şekilde uygulanabilmesini sağlayan MATLAB algoritmaları sunulmuştur. Bu sonuçların devamı niteliğinde, iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlerin Merrifield-Simmons indeksinin hesabına yönelik yeni bir vektör tanımlanarak 5 × 5 boyutlu matrislerin ve 5 × 1 boyutlu bir vektörün uygun bir formda çarpımına dayanan bir metot sunulmuştur. Sonrasında, iç noktasız-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemler daha kapsamlı yapılar olan iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemlere genişletilerek bu sistemlerin önemli bir türü olan çift katlı benzenoid zincirlerin Hosoya indeksi ve Merrifield-Simmons indeksinin hesabı için vektörler tanımlanmıştır. Bu vektörler yardımıyla verilen her çift katlı benzenoid zincirin hem Hosoya hem de Merrifield-Simmons indeksinin hesabını sırasıyla 8 × 8 boyutlu matrisler ile 8 × 1 boyutlu bir vektörün ve 18 × 18 boyutlu matrisler ile 18 × 1 boyutlu bir vektörün seçilen uygun bir çarpımı yoluyla gerçekleştiren metotlar sunulmuştur. Son olarak 𝑅𝑛 ve 𝑷𝒏 adlarıyla tanımlanarak literatürde halihazırda mevcut bulunan iki özel tipteki iç noktalı-yoğunlaştırılmış benzenoid sistemin Hosoya ve Merrifield-Simmons indekslerinin hesabı için elde edilen matrislerin ve bir vektörün çarpımını içeren ayrı ayrı metotlar sunulmuştur. Elde edilen bu sonuçların devamı olarak, benzenoid sistemler üzerinde bu tez çalışması kapsamında gerçekleştirilen çalışmalar üçgensel zincirlere, dörtgensel zincirler olan polyominolara, beşgen zincirlere hatta 𝑘-poligonal zincirlere genişletilerek çalışılabilir. 146 Ayrıca bu zincir yapıları iç noktasız-yoğunlaştırılmış ve iç noktalı-yoğunlaştırılmış üçgensel, dörtgensel, beşgensel veya 𝑘-poligonal sistemlere genişletilebilir. 147 KAYNAKLAR Balaban, A. T. 1976. Chemical applications of graph theory. Academic Press, London, 389 pp. Barnett, J. H. 2009. Early writings on graph theory: Hamiltonian Circuits and the Icosian Game: Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History Modules, and Articles, Editörler: Hopkins B., Mathematical Association of America, s. 217- 223. Bell, M. V. 2015. Polya’s Enumeration Theorem and Its Applications. Master Thesis, University of Helsinki, Department of Mathematics and Statistics, Helsinki. Bollobas, B. 2004. Extremal Graph Theory. Courier Corporation, New York, 488 pp. Bonchev, D. 1991. Chemical Graph Theory: Introduction and Fundamentals, CRC Press, London, 300 pp. Bonchev, D. D., Mekenyan, O. G. 2012. Graph Theoretical Approaches to Chemical Reactivity, Springer, Dordrecht, 283 pp. Bondy, J. A., Murty, U. S. R. 1976. Graph Theory with Applications, London:Macmillan, North-Holland, 264 pp. Cao, Y., Zhang, F. 2008. Extremal polygonal chains on k-matchings. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 60(1): 217-235. Chen, A. 2015. Merrifield-Simmons index in random phenylene chains and random hexagon chains. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2015: 1-7. Christofides, N. 1975. Graph theory: An algorithmic approach (Computer science and applied mathematics). Academic Press, London, 400 pp. Cruz, R., Marin, C. A., Rada, J. 2017. Computing the Hosoya index of catacondensed hexagonal systems. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 77(3): 749-764. Cyvin, S. J., Gutman, I. 1988. Kekule Structures in Benzenoid Hydrocarbons, Springer- Verlag, Berlin, 348 pp. Diestel, R. 2005. Graph Theory 3rd ed. Graduate texts in mathematics, Springer-Verlag Heidelberg, New York, 422 pp. Gross, J. L., Yellen, J. 2003. Handbook of Graph Theory, CRC Press, Boca Raton, 1192 pp. Gutman, I., Polansky, O. E. 1986. Mathematical Concepts in Organic Chemistry. Springer, Berlin, 212 pp. 148 Gutman, I., Cyvin, S. J. 1989. Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons, Springer-Verlag, Berlin, 348 pp. Gutman, I., Kolakovic, N., Graovac, A., Babic, D. 1989. A method for calculation of the Hosoya index of polymers. Studies in Physical and Theoretical Chemistry, 63:141-154. Gutman, I. 1990. Fragmentation formulas for the number of Kekule structures, Hosoya and Merrifield-Simmons indices and related graph invariants. Coll. Sci. Pap. Fac. Sci. Kragujevac, 11: 11-18. Gutman, I. 1993. Extremal hexagonal chains. Journal of Mathematical Chemistry, 12(1): 197-210. Gutman, I. 2016. Total 𝜋 − electron energy of conjugated molecules with non-bonding molecular orbitals. Zeitschrift für Naturforschung A, 71(2): 161-164. Gutman, I., Gültekin, I., Şahin, B. 2016. On Merrifield-Simmons index of molecular graphs. Kragujevac Journal of Science, 38: 83-95. Harary, F. 1969. Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, 274 pp. Hosoya, H. 1971. Topological index. A newly proposed quantity characterizing the topological nature of structural isomers of saturated hydrocarbons. Bulletin of the Chemical Society of Japan, 44(9): 2332-2339. Hosoya, H., Ohkami, N. 1983. Operator technique for obtaining the recursion formulas of characteristic and matching polynomials as applied to polyhex graphs. Journal of Computational Chemistry, 4(4): 585-593. Hosoya, H. 2019. The most private features of the topological index. MATI, 1(1): 25-33. Klabjan, D., Mohar, B. 1998. The number of matchings of low order in hexagonal systems. Discrete Mathematics, 186(1-3), 167-175. Kirby, E. C., Mallion, R. B., Pollak P., Skrzynski, P. J. 2017. What Kirchhoff Actually did Concerning Spanning Trees in Electrical Networks and its Relationship to Modern Graph-Theoretical Work. Croat. Chem. Acta, 89(4): 403-417. Luna, G. D. I., Marcial-Romero, J. R., Lopez, P. B., Gonzalez, M. C. 2018. Linear-time algorithms for computing the Merrifield-Simmons index on polygonal trees. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 79(1): 55-78. Luna, G. D. I., Marcial-Romero, J. R., Hernandez-Servin, J. A. 2019. Extremal polygonal arrays for the Merrifield-Simmons index. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 81(2): 505-522. 149 Maritz, P., Mouton, S. 2012. Francis Guthrie: A Colourful Life. The Mathematical Intelligencer, 34(3): 67-75. Mekenyan, O., Bonchev, D., Balaban, A. 1988. Topological indices for molecular fragments and new graph invariants. Journal of Mathematical Chemistry, 2(4): 347-375. Merrifield, R. E., Simmons, H. E. 1989. Topological Methods in Chemistry, Wiley- Interscience, New York, 256 pp. Merrifield, R. E., Simmons, H. E. 1980. The structure of molecular topological spaces. Theoretica Chimica Acta, 55(1): 55-75. Merrifield, R. E., Simmons, H. E. 1981a. Enumeration of structure-sensitive graphical subsets. Proceedings of the National Academy of Sciences, 78(2): 692-695. Merrifield, R. E., Simmons, H. E. 1981b. Enumeration of structure-sensitive graphical subsets: Calculations. Proceedings of the National Academy of Sciences, 78(3): 1329- 1332. Merrifield, R. E., Simmons, H. E. 1985. Topology of bonding in 𝜋 − electron systems. Proceedings of the National Academy of Sciences, 82(1): 1-3. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2021. Computing the Hosoya and the Merrifield-Simmons Indices of Two Special Benzenoid Systems. Iranian Journal of Mathematical Chemistry, 12(3): 161-174. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2022a. Computing the Number of 𝑘-Matchings in Benzenoid Chains. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 88: 79- 92. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2022b. Enumeration of Independent Sets in Benzenoid Chains. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 88: 93-107. Plummer, M. D., Lovasz, L. 1986. Matching Theory, Elsevier, North-Holland, 544 pp. Polansky, O. E., Randic, M., Hosoya, H. 1989. Transfer matrix approach to the Wiener numbers of cata-condensed benzenoids. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 24: 3-28. Prodinger, H., Tichy, R. 1982. Fibonacci numbers of graphs. The Fibonacci Quarterly, 20(1): 16-21. Randic, M., Hosoya, H., Polansky, O. E. 1989. On the construction of the matching polynomial for unbranched catacondensed benzenoids. Journal of Computational Chemistry, 10(5): 683-697. Ren, S. 2011. Merrifield-Simmons index of tree-type hexagonal systems. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 66(3): 837-848. 150 Ren, H., Zhang, F. 2007a. Double hexagonal chains with maximal Hosoya index and minimal Merrifield–Simmons index. Journal of Mathematical Chemistry, 42(4): 679- 690. Ren, H., Zhang, F. 2007b. Extremal double hexagonal chains with respect to k-matchings and k-independent sets. Discrete Applied Mathematics, 155(17): 2269-2281. Saoub, K. R. 2021. Graph Theory: An Introduction to Proofs, Algorithms and Applications (Textbooks in Mathematics), CRC Press, Boca Raton, 437 pp. Schmuck, N. S. 2010. The Wiener index of a graph. Diploma Tezi, Graz University of Technology, Institut für Mathematik A, Graz. Shiu, W. C. 2008. Extremal Hosoya index and Merrifield-Simmons index of hexagonal spiders. Discrete Applied Mathematics, 156(15): 2978-2985. Simmons, H. E., Merrifield, R. E. 1977. Mathematical description of molecular structure: Molecular topology. Proceedings of the National Academy of Sciences, 74(7): 2616- 2619. Şahin, B. 2016. Fibonacci Sayıları ve Topolojik İndeksin Kimyasal Formüllerde İncelenmesi. Doktora Tezi, AÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Erzurum. Trinajstic, N. 1992. Chemical graph theory. CRC Press, USA, 352 pp. Todeschini, R., Consonni, V. 2008. Handbook of Molecular Descriptors, Wiley-VCH, Weinheim, 688 pp. Zhang, L. Z., Tian, F. 2003. Extremal catacondensed benzenoids. Journal of Mathematical Chemistry, 34(1): 111-122. Zhang, L. Z. 1998. The proof of Gutman's conjectures concerning extremal hexagonal chains. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 18(4): 460-465. Zhang, L. Z., Zhang, F. J. 2000. Extremal hexagonal chains concerning k-matchings and k-independent sets. Journal of Mathematical Chemistry, 27(4): 319-329. Zhang, L. Z. 2000. On the ordering of a class of hexagonal chains with respect to Merrifield-Simmons index. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 13(2): 219-224. Zhang, Z. 2014. Merrifield-Simmons index and its entropy of the 4 − 8 − 8 lattice. Journal of Statistical Physics, 154(4): 1113-1123. Wagner, S., Gutman, I. 2010. Maxima and minima of the Hosoya index and the Merrifield-Simmons index. Acta Applicandae Mathematicae, 112(3): 323-346. 151 Wiener, H. 1947. Structural determination of paraffin boiling points. Journal of the American Chemical Society, 69(1): 17-20. 152 EKLER EK 1. 𝐸1 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 2. 𝐸2 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 3. 𝐸3 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 4. 𝐸4 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 5. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) olmak üzere ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸 için 𝑚𝑘ℎ(𝑃2, 𝑘) = 𝑚𝑢𝑣(𝑃2, 𝑘) vektörünü elde etmek için MATLAB kodu EK 6. 𝐴 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 7. 𝐵 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 8. 𝐶 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 9. 𝐷 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 10. Örnek 4.1.8’de kullanılan 𝑍 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 11. Örnek 4.1.8’de kullanılan 𝐿 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 12. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′1 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 13. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′2 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 14. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′3 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 15. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′4 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 16. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′5 matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 17. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) olmak üzere ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸 için 𝑛𝑘ℎ(𝑃2, 𝑘) = 𝑛𝑢𝑣(𝑃2, 𝑘) vektörünü elde etmek için MATLAB kodu EK 18. 𝐴′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 19. 𝐵′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 20. 𝐶′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 21. 𝐷′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 22. Örnek 4.2.8’de 𝑍′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu EK 23. Örnek 4.2.8’de 𝐿′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu 153 EK 1. 𝐸1 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E1=zeros(4*k+4,4*k+4); t1=0; for i=2:k+1 E1(1,k+1)=1; E1(i,k+3-i)=1; E1(i,k+2-i)=1; E1(i,2*k+2-t1)=1; t1=t1+1; end t2=1; for i=k+4:2*k+2; E1(k+3,k+1)=1; E1(i,k+1-t2)=1; E1(i,2*k+3-t2)=1; t2=t2+1; end t3=0; for i=2*k+5:3*k+3 E1(2*k+4,3*k+3)=1; E1(i,3*k+3-t3)=1; E1(i,3*k+2-t3)=1; E1(i,4*k+4-t3)=1; t3=t3+1; end t4=0; for i=3*k+7:4*k+4 E1(3*k+6,3*k+3)=1; E1(i,3*k+2-t4)=1; E1(i,4*k+4-t4)=1; t4=t4+1; end 154 EK 2. 𝐸2 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E2=zeros(4*k+4,4*k+4); for i=1:k+1 E2(i,k+3-i-1)=1; end t2=0; for i=k+3:2*k+2 E2(i,k+1-t2)=1; t2=t2+1; end t3=0; for i=2*k+4:3*k+3 E2(i,3*k+3-t3)=1; t3=t3+1; end t4=0; for i=3*k+6:4*k+4 E2(i,3*k+3-t4)=1; t4=t4+1; end 155 EK 3. 𝐸3 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E3=zeros(4*k+4,4*k+4); t1=0; for i=2:k+1 E3(1,k+1)=1; E3(i,k+2-i)=1; E3(i,2*k+2-t1)=1; t1=t1+1; end t2=0; for i=2*k+5:3*k+3 E3(2*k+4,3*k+3)=1; E3(i,3*k+2-t2)=1; E3(i,4*k+4-t2)=1; t2=t2+1; end 156 EK 4. 𝐸4 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E4=zeros(4*k+4,4*k+4); for i=1:k+1 E4(i,k+3-i-1)=1; end t3=0; for i=2*k+4:3*k+3 E4(i,3*k+3-t3)=1; t3=t3+1; end 157 EK 5. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) olmak üzere ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸 için 𝑚𝑘ℎ(𝑃2, 𝑘) = 𝑚𝑢𝑣(𝑃2, 𝑘) vektörünü elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); M=zeros(1,4*k+4); M(k)=1; M(k+1)=1; M(2*k+2)=1; M(3*k+3)=1; M(4*k+4)=1; V=transpose(M); 158 EK 6. 𝐴 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); A=zeros(4*k+4,4*k+4); L1=zeros(1,4*k+4); L1(1)=1; L1(2)=3; L1(3)=1; L1(k+3)=1; L1(k+4)=2; L1(2*k+4)=1; L1(2*k+5)=2; L1(3*k+6)=1; L1(3*k+7)=1; L2=zeros(1,4*k+4); L2(1)=1; L2(2)=1; L2(k+3)=1; L2(k+4)=1; L2(2*k+4)=1; L2(3*k+6)=1; L3=zeros(1,4*k+4); L3(1)=1; L3(2)=1; L3(k+3)=1; L3(2*k+4)=1; L3(2*k+5)=1; L3(3*k+6)=1; L4=zeros(1,4*k+4); L4(1)=1; L4(k+3)=1; L4(2*k+4)=1; L4(3*k+6)=1; A(1,:)=L1; A(k+2,:)=L2; A(2*k+3,:)=L3; A(3*k+4,:)=L4; for i=1:k+1 for j= i:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); 159 EK 6. (devam) 𝐴 matrisini elde etmek için MATLAB kodu A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); end end 160 EK 7. 𝐵 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); B=zeros(4*k+4,4*k+4); L1=zeros(1,4*k+4); L1(1)=1; L1(2)=3; L1(3)=1; L1(k+3)=1; L1(k+4)=2; L1(2*k+4)=1; L1(2*k+5)=2; L1(3*k+6)=1; L1(3*k+7)=1; L2=zeros(1,4*k+4); L2(1)=1; L2(2)=2; L2(2*k+4)=1; L2(2*k+5)=1; L3=zeros(1,4*k+4); L3(1)=1; L3(2)=1; L3(k+3)=1; L3(k+4)=1; L3(2*k+4)=1; L3(3*k+6)=1; L4=zeros(1,4*k+4); L4(1)=1; L4(2)=1; L4(2*k+4)=1; B(1,:)=L1; B(k+2,:)=L2; B(2*k+3,:)=L3; B(3*k+4,:)=L4; for i=1:k+1 for j= i:k B(i+1,j+1)=B(i,j) ; B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); end en 161 EK 7. (devam) 𝐵 matrisini elde etmek için MATLAB kodu for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); end end 162 EK 8. 𝐶 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); C=zeros(4*k+4,4*k+4); L1=zeros(1,4*k+4); L1(1)=1; L1(2)=3; L1(3)=1; L1(k+3)=1; L1(k+4)=2; L1(2*k+4)=1; L1(2*k+5)=2; L1(3*k+6)=1; L1(3*k+7)=1; L2=zeros(1,4*k+4); L2(1)=1; L2(2)=1; L2(k+3)=1; L2(2*k+4)=1; L2(2*k+5)=1; L2(3*k+6)=1; L3=zeros(1,4*k+4); L3(1)=1; L3(2)=2; L3(k+3)=1; L3(k+4)=1; L4=zeros(1,4*k+4); L4(1)=1; L4(2)=1; L4(k+3)=1; C(1,:)=L1; C(k+2,:)=L2; C(2*k+3,:)=L3; C(3*k+4,:)=L4; for i=1:k+1 for j= i:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); end end 163 EK 8. (devam) 𝐶 matrisini elde etmek için MATLAB kodu for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); end end 164 EK 9. 𝐷 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); D=zeros(4*k+4,4*k+4); L1=zeros(1,4*k+4); L1(1)=1; L2=zeros(1,4*k+4); L2(2*k+3)=1; L3=zeros(1,4*k+4); L3(k+2)=1; L4=zeros(1,4*k+4); L4(3*k+4)=1; D(1,:)=L1; D(k+2,:)=L2; D(2*k+3,:)=L3; D(3*k+4,:)=L4; for i=1:k+1 for j= i:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); end end 165 EK 10. Örnek 4.1.8’de kullanılan 𝑍 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); Z=zeros(4*k+4,4*k+4); Z1=E1*B*A*A*V; Z2=E2*B*A*A*V; Z3=E3*B*A*A*V; Z4=E4*B*A*A*V; Z(1,:)=transpose(Z1); Z(k+2,:)=transpose(Z2); Z(2*k+3,:)=transpose(Z3); Z(3*k+4,:)=transpose(Z4); for i=1:k+1 for j= i:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); end end 166 EK 11. Örnek 4.1.8’de kullanılan 𝐿 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); L=zeros(4*k+4,4*k+4); L1=E1*A*V; L2=E2*A*V; L3=E3*A*V; L4=E4*A*V; L(1,:)=transpose(L1); L(k+2,:)=transpose(L2); L(2*k+3,:)=transpose(L3); L(3*k+4,:)=transpose(L4); for i=1:k+1 for j= i:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); end end 167 EK 12. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′1 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E1=zeros(5*k+5,5*k+5); t1=0; E1(1,k+1)=1; E1(2,k+1)=2; E1(2,k)=1; for i=3:k+1 E1(1,k+1)=1; E1(2,k+1)=2; E1(2,k)=1; E1(i,k+3-i)=2; E1(i,k+2-i)=1; E1(i,2*k+2-t1)=-1; t1=t1+1; end t2=0; for i=k+4:2*k+2; E1(i,k+1-t2)=-1; t2=t2+1; end t3=0; for i=2*k+6:3*k+3 E1(2*k+5,3*k+3)=-1; E1(i,3*k+3-t3)=-2; E1(i,3*k+2-t3)=-1; t3=t3+1; end 168 EK 13. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′2 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E2=zeros(5*k+5,5*k+5); t1=0; for i=1:k+1 E2(i,4*k+4-t1)=1; t1=t1+1; end t2=0; for i=2*k+5:3*k+3 E2(i,3*k+3-t2)=-1; t2=t2+1; end 169 EK 14. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′3 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E3=zeros(5*k+5,5*k+5); t1=0; for i=2*k+5:3*k+3 E3(i,3*k+3-t1)=-1; t1=t1+1; end t2=0; for i=3*k+4:4*k+4; E3(i,k+1-t2)=1; t2=t2+1; end 170 EK 15. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′4 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E4=zeros(5*k+5,5*k+5); for i=2:k+1 E4(1,k+1)=1; E4(i,k+3-i)=1; E4(i,k+2-i)=1; end t1=0; for i=k+4:2*k+2; E4(i,k+1-t1)=-1; t1=t1+1; end t2=0; for i=2*k+6:3*k+3 E4(2*k+5,3*k+3)=-1; E4(i,3*k+3-t2)=-1; E4(i,3*k+2-t2)=-1; t2=t2+1; end 171 EK 16. 𝑘-bağımsızlık sayısı için 𝐸′5 matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); E5=zeros(5*k+5,5*k+5); t1=0; E5(1,k+1)=1; E5(2,k)=1; E5(2,k+1)=1; for i=3:k+1 E5(i,k+3-i)=1; E5(i,k+2-i)=1; E5(i,2*k+2-t1)=-1; t1=t1+1; end t2=0; for i=2*k+6:3*k+3 E5(2*k+5,3*k+3)=-1; E5(i,3*k+3-t2)=-1; E5(i,3*k+2-t2)=-1; t2=t2+1; end 172 EK 17. 𝐺 = (𝑉, 𝐸) olmak üzere ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸 için 𝑛𝑘ℎ(𝑃2, 𝑘) = 𝑛𝑢𝑣(𝑃2, 𝑘) vektörünü elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); M=zeros(1,5*k+5); M(k)=2; M(k+1)=1; M(2*k+2)=1; M(3*k+3)=1; M(4*k+3)=1; M(4*k+4)=1; M(5*k+4)=1; M(5*k+5)=1; V=transpose(M); 173 EK 18. 𝐴′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); A=zeros(5*k+5,5*k+5); L1=zeros(1,5*k+5); L1(1)=1; L1(2)=4; L1(3)=3; L1(k+4)=-1; L1(k+5)=-2; L1(2*k+5)=-1; L1(2*k+6)=-2; L2=zeros(1,5*k+5); L2(1)=1; L2(2)=1; L2(2*k+5)=-1; L3=zeros(1,5*k+5); L3(1)=1; L3(2)=1; L3(k+4)=-1; L4=zeros(1,5*k+5); L4(1)=1; L4(2)=3; L4(3)=2; L4(k+4)=-1; L4(k+5)=-2; L4(2*k+5)=-1; L4(2*k+6)=-1; L5=zeros(1,5*k+5); L5(1)=1; L5(2)=3; L5(3)=2; L5(k+4)=-1; L5(k+5)=-1; L5(2*k+5)=-1; L5(2*k+6)=-2; A(1,:)=L1; A(k+2,:)=L2; A(2*k+3,:)=L3; A(3*k+4,:)=L4; A(4*k+5,:)=L5; for i=1:k+1 for j= i:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); A(i+1,j+4*k+5)=A(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); A(i+1,j+4*k+5)=A(i,j+4*k+4); end 174 EK 18. (devam) 𝐴′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); A(i+1,j+4*k+5)=A(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); A(i+1,j+4*k+5)=A(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k A(i+1,j+1)=A(i,j); A(i+1,j+k+2)=A(i,j+k+1); A(i+1,j+2*k+3)=A(i,j+2*k+2); A(i+1,j+3*k+4)=A(i,j+3*k+3); A(i+1,j+4*k+5)=A(i,j+4*k+4); end end 175 EK 19. 𝐵′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); B=zeros(5*k+5,5*k+5); L1=zeros(1,5*k+5); L1(1)=1; L1(2)=4; L1(3)=3; L1(k+4)=-1; L1(k+5)=-2; L1(2*k+5)=-1; L1(2*k+6)=-2; L2=zeros(1,5*k+5); L2(2*k+5)=-1; L2(3*k+4)=1; L2(3*k+5)=2; L3=zeros(1,5*k+5); L3(1)=1; L3(2)=1; L3(2*k+5)=-1; L4=zeros(1,5*k+5); L4(1)=1; L4(2)=3; L4(3)=1; L4(2*k+5)=-1; L4(2*k+6)=-1; L5=zeros(1,5*k+5); L5(1)=1; L5(2)=3; L5(3)=2; L5(k+4)=-1; L5(k+5)=-2; L5(2*k+5)=-1; L5(2*k+6)=-1; B(1,:)=L1; B(k+2,:)=L2; B(2*k+3,:)=L3; B(3*k+4,:)=L4; B(4*k+5,:)=L5; for i=1:k+1 for j= i:k B(i+1,j+1)=B(i,j) ; B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); B(i+1,j+4*k+5)=B(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); B(i+1,j+4*k+5)=B(i,j+4*k+4); end end for i=2*k+3:3*k+2 176 EK 19. (devam) 𝐵′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); B(i+1,j+4*k+5)=B(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); B(i+1,j+4*k+5)=B(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k B(i+1,j+1)=B(i,j); B(i+1,j+k+2)=B(i,j+k+1); B(i+1,j+2*k+3)=B(i,j+2*k+2); B(i+1,j+3*k+4)=B(i,j+3*k+3); B(i+1,j+4*k+5)=B(i,j+4*k+4); end end 177 EK 20. 𝐶′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); C=zeros(5*k+5,5*k+5); L1=zeros(1,5*k+5); L1(1)=1; L1(2)=4; L1(3)=3; L1(k+4)=-1; L1(k+5)=-2; L1(2*k+5)=-1; L1(2*k+6)=-2; L2=zeros(1,5*k+5); L2(1)=1; L2(2)=1; L2(k+4)=-1; L3=zeros(1,5*k+5); L3(k+4)=-1; L3(4*k+5)=1; L3(4*k+6)=2; L4=zeros(1,5*k+5); L4(1)=1; L4(2)=3; L4(3)=2; L4(k+4)=-1; L4(k+5)=-1; L4(2*k+5)=-1; L4(2*k+6)=-2; L5=zeros(1,5*k+5); L5(1)=1; L5(2)=3; L5(3)=1; L5(k+4)=-1; L5(k+5)=-1; C(1,:)=L1; C(k+2,:)=L2; C(2*k+3,:)=L3; C(3*k+4,:)=L4; C(4*k+5,:)=L5; for i=1:k+1 for j= i:k C(i+1,j+1)=C(i,j) ; C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); C(i+1,j+4*k+5)=C(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); C(i+1,j+4*k+5)=C(i,j+4*k+4); end end for i=2*k+3:3*k+2 178 EK 20. (devam) 𝐶′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); C(i+1,j+4*k+5)=C(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); C(i+1,j+4*k+5)=C(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k C(i+1,j+1)=C(i,j); C(i+1,j+k+2)=C(i,j+k+1); C(i+1,j+2*k+3)=C(i,j+2*k+2); C(i+1,j+3*k+4)=C(i,j+3*k+3); C(i+1,j+4*k+5)=C(i,j+4*k+4); end end 179 EK 21. 𝐷′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); D=zeros(5*k+5,5*k+5); L1=zeros(1,5*k+5); L1(1)=1; L2=zeros(1,5*k+5); L2(2*k+3)=1; L3=zeros(1,5*k+5); L3(k+2)=1; L4=zeros(1,5*k+5); L4(4*k+5)=1; L5=zeros(1,5*k+5); L5(3*k+4)=1; D(1,:)=L1; D(k+2,:)=L2; D(2*k+3,:)=L3; D(3*k+4,:)=L4; D(4*k+5,:)=L5; for i=1:k+1 for j= i:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); D(i+1,j+4*k+5)=D(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); D(i+1,j+4*k+5)=D(i,j+4*k+4); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); D(i+1,j+4*k+5)=D(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); D(i+1,j+4*k+5)=D(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k D(i+1,j+1)=D(i,j); 180 EK 21. (devam) 𝐷′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu D(i+1,j+k+2)=D(i,j+k+1); D(i+1,j+2*k+3)=D(i,j+2*k+2); D(i+1,j+3*k+4)=D(i,j+3*k+3); D(i+1,j+4*k+5)=D(i,j+4*k+4); end end 181 EK 22. Örnek 4.2.8’de 𝑍′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); Z=zeros(5*k+5,5*k+5); Z1=E1*B*A*A*V; Z2=E2*B*A*A*V; Z3=E3*B*A*A*V; Z4=E4*B*A*A*V; Z5=E5*B*A*A*V; Z(1,:)=transpose(Z1); Z(k+2,:)=transpose(Z2); Z(2*k+3,:)=transpose(Z3); Z(3*k+4,:)=transpose(Z4); Z(4*k+5,:)=transpose(Z5); for i=1:k+1 for j= i:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); Z(i+1,j+4*k+5)=Z(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); Z(i+1,j+4*k+5)=Z(i,j+4*k+4); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); Z(i+1,j+4*k+5)=Z(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); Z(i+1,j+4*k+5)=Z(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k Z(i+1,j+1)=Z(i,j); Z(i+1,j+k+2)=Z(i,j+k+1); Z(i+1,j+2*k+3)=Z(i,j+2*k+2); Z(i+1,j+3*k+4)=Z(i,j+3*k+3); Z(i+1,j+4*k+5)=Z(i,j+4*k+4); end 182 end 183 EK 23. Örnek 4.2.8’de 𝐿′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu k=input('𝑘 ≥ 3 değeri giriniz'); L=zeros(5*k+5,5*k+5); L1=E1*A*V; L2=E2*A*V; L3=E3*A*V; L4=E4*A*V; L5=E5*A*V; L(1,:)=transpose(L1); L(k+2,:)=transpose(L2); L(2*k+3,:)=transpose(L3); L(3*k+4,:)=transpose(L4); L(4*k+5,:)=transpose(L5); for i=1:k+1 for j= i:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); L(i+1,j+4*k+5)=L(i,j+4*k+4); end end for i=k+2:2*k+1 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); L(i+1,j+4*k+5)=L(i,j+4*k+4); end end for i=2*k+3:3*k+2 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); L(i+1,j+4*k+5)=L(i,j+4*k+4); end end for i=3*k+4:4*k+3 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); L(i+1,j+4*k+5)=L(i,j+4*k+4); end end for i=4*k+5:5*k+4 for j= 1:k L(i+1,j+1)=L(i,j); L(i+1,j+k+2)=L(i,j+k+1); L(i+1,j+2*k+3)=L(i,j+2*k+2); L(i+1,j+3*k+4)=L(i,j+3*k+3); L(i+1,j+4*k+5)=L(i,j+4*k+4); 184 EK 23. (devam) Örnek 4.2.8’de 𝐿′ matrisini elde etmek için MATLAB kodu end end 185 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Mert Sinan ÖZ Doğum Yeri ve Tarihi : Bursa / 08.04.1992 Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Bursa Ali Karasu Anadolu Lisesi / 2010 Lisans : Ege Üniversitesi / Fen Fakültesi / Matematik Bölümü / 2015 Doktora : Bursa Uludağ Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Anabilim Dalı / 2022 Çalıştığı Kurum ve Yıl : Bursa Teknik Üniversitesi / 2017-halen İletişim (e–posta) : sinan.oz@btu.edu.tr Yayınları : Yamac, C., Oz, M. S., Cangul, I. N. 2018. Edge Adjacency in Graphs. Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society, 21(3): 357-373. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2019. Matching Number in Relation with Maximal-Minimal Nullity Conditions and Cyclomatic Number by Coefficient Relations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics, 29(4): 461-476. Oz, M. S., Yamac, C., Cangul, I. N. 2019. Sum-Edge Characteristic Polynomials of Graphs. Journal of Taibah University for Science, 13(1): 193-200. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2020. Bounds for Matching Number of Fundamental Realizations According to New Graph Invariant Omega. Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society, 23(1): 23-37. Yamac, C., Oz, M. S., Cangul, I. N. 2020. Edge-Zagreb Indices of Graphs. TWMS Journal of Applied and Engineering Mathematics, 10(1): 1-10. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2020. Algebraic Method for Characteristic Edge-Zagreb and Laplacian Polynomials of Graphs. Advanced Studies in Contemporary Mathematics, 30(3): 289-296. Yurttas Gunes, A., Demirci, M., Oz, M. S., Cangul, I. N. 2020. Matching Number and Characteristic Polynomial of a Graph. Journal of Taibah University for Science, 14(1): 993-999. 186 Oz, M. S., Cangul, I. N. 2021. Recurrence Relations of Edge-Zagreb and Sum-Edge Characteristic Polynomials of Some Graphs. New Trends in Applied Analysis and Computational Mathematics. Springer, Singapore, 99-106. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2021. Computing the Hosoya and the Merrifield-Simmons Indices of Two Special Benzenoid Systems. Iranian Journal of Mathematical Chemistry, 12(3): 161-174. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2022. Computing the Number of 𝑘-Matchings in Benzenoid Chains. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 88(1): 79-92. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2022. Enumeration of Independent Sets in Benzenoid Chains. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 88(1): 93-107. Oz, M. S., Cangul, I. N. 2022. A New Method for the Sum-Edge Characteristic Polynomials of Graphs. Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 40: 1-8. 187