i BOŞLUKLU BETONARME KİRİŞLERİN ÇEVRİMSEL YÜK ETKİSİNDEKİ DAVRANIŞLARININ NÜMERİK OLARAK İNCELENMESİ İrem Şule GÜLEN ii T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BOŞLUKLU BETONARME KİRİŞLERİN ÇEVRİMSEL YÜK ETKİSİNDEKİ DAVRANIŞLARININ NÜMERİK OLARAK İNCELENMESİ İrem Şule GÜLEN 0009-0003-8524-9808 Dr. Öğr. Üyesi Serkan SAĞIROĞLU (Danışman) 0000-0001-7248-3409 YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2025 Her Hakkı Saklıdır iii TEZ ONAYI İrem Şule GÜLEN tarafından hazırlanan “BOŞLUKLU BETONARME KİRİŞLERİN ÇEVRİMSEL YÜK ETKİSİNDEKİ DAVRANIŞLARININ NÜMERİK OLARAK İNCELENMESİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS olarak kabul edilmiştir. Danışman : Dr. Öğr. Üye. Serkan SAĞIROĞLU Başkan : Dr. Öğr. Üye. Serkan SAĞIROĞLU 0000-0001-7248-3409 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı İmza Üye : Prof.Dr. Adem DOĞANGÜN 0000-0002-1867-7103 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı İmza Üye : Dr. Öğr. Üye. Gökhan Barış SAKCALI 0000-0001-9906-0641 Bursa Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı İmza Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Enstitü Müdürü ../../…. iv Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;  tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,  görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,  başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,  atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,  kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,  ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. …/…/……… İrem Şule GÜLEN v TEZ YAYINLANMA FİKRİ MÜLKİYET HAKLARI BEYANI Enstitü tarafından onaylanan lisansüstü tezin/raporun tamamını veya herhangi bir kısmını, basılı (kâğıt) ve elektronik formatta arşivleme ve aşağıda verilen koşullarla kullanıma açma izni Bursa Uludağ Üniversitesi’ne aittir. Bu izinle Üniversiteye verilen kullanım hakları dışındaki tüm fikri mülkiyet hakları ile tezin tamamının ya da bir bölümünün gelecekteki çalışmalarda (makale, kitap, lisans ve patent vb.) kullanım hakları tarafımıza ait olacaktır. Tezde yer alan telif hakkı bulunan ve sahiplerinden yazılı izin alınarak kullanılması zorunlu metinlerin yazılı izin alınarak kullandığını ve istenildiğinde suretlerini Üniversiteye teslim etmeyi taahhüt ederiz. Yükseköğretim Kurulu tarafından yayınlanan “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” kapsamında, yönerge tarafından belirtilen kısıtlamalar olmadığı takdirde tezin YÖK Ulusal Tez Merkezi / B.U.Ü. Kütüphanesi Açık Erişim Sistemi ve üye olunan diğer veri tabanlarının (Proquest veri tabanı gibi) erişimine açılması uygundur. Danışman Adı-Soyadı Tarih Öğrencinin Adı-Soyadı Tarih Serkan SAĞIROĞLU İmza Bu bölüme kişinin kendi el yazısı ile okudum anladım yazmalı ve imzalanmalıdır. İrem Şule GÜLEN İmza Bu bölüme kişinin kendi el yazısı ile okudum anladım yazmalı ve imzalanmalıdır. vi BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ LİSANSÜSTÜ TEZ TANITIMI ÖĞRENCİ VE DANIŞMAN FORMU FR 3.4.6_27 BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK LİSANS EĞİTİMİ BOYUNCA BİLİMSEL ÇALIŞMALARI VE FAALİYETLERİ* 1. Global Conference on Engineering Research Online Bildiri. 2. ………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………………………………… 4. ………………………………………………………………………… 5. ………………………………………………………………………… 6. ………………………………………………………………………… 7. ………………………………………………………………………… 8. ………………………………………………………………………… 9. ………………………………………………………………………… 10. ………………………………………………………………………… 11. ………………………………………………………………………… 12. ………………………………………………………………………… 13. ………………………………………………………………………… *Makaleler, Bilimsel toplantılarda sunulan bildiriler, patentler, projeler, eğitimler vb. faaliyetler sıralanmalıdır. DANIŞMAN Adı SOYADI : Serkan SAĞIROĞLU ÜNVANI : Dr. Öğr. Üyesi FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MUHENDISLIGI ABD E-POSTA : serkansagiroglu@uludag.edu.tr YÖKSİS ARAŞTIRMACI ID : 58372 ORCID : 0000-0001-7248-3409 TÜBİTAK ID : TBDK-0031-9223 WOS RESEARCHER ID : AAH-8862-2021 SCOPUS AUTHOR ID : 57222230154 Google Scholar ID : Serkan Sağıroğlu ÖĞRENCİ Adı SOYADI : İrem Şule GÜLEN ÜNVANI : FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MUHENDISLIGI ABD E-POSTA : iremsulegulen@uludag.edu.tr PROGRAMI: YÜKSEK LİSANS ORCID : 0009-0003-8524-9808 TÜBİTAK ID : TBDK-0176-3497 WOS RESEARCHER ID : KEH-0283-2024 Google Scholar : İrem Şule Gülen vii Anahtar kelimeler aşağıdaki bağlantı üzerinden seçilecektir. https://incites.help.clarivate.com/Conte nt/Resources/Docs/SDG2023.xlsx Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler Anahtar Kelimeler viii ÖZET Yüksek Lisans Tezi BOŞLUKLU BETONARME KİRİŞLERİN ÇEVRİMSEL YÜK ETKİSİNDEKİ DAVRANIŞLARININ NÜMERİK OLARAK İNCELENMESİ İrem Şule GÜLEN Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Dr. Öğr. Üye. Serkan SAĞIROĞLU Betonarme yapılarda mekanik ve elektrik tesisatı için kullanılan boru ve kabloların projelerinde belirtilen şekilde döşeme ve kiriş alt yüzeyinden geçirilmesi gerekmektedir. Ancak net kat yüksekliğini azalttığı, enerji kaybına sebep olduğu ve birtakım estetik kaygılara yol açtığı gibi gerekçelerle iletim hatlarının kirişlerde imalat esnasında bırakılan veya üretimin tamamlanmasından sonra oluşturulan gövde boşluklarının içinden geçirildiği uygulamalarla sıklıkla karşılaşılır. Ancak gövde boşlukları kirişin yük taşıma kapasitesini, göçme tipini, enerji tüketme kapasitesini, kullanılabilirlik sınır durumlarını olumsuz yönde etkileyebilmektedir. Hâlihazırda imalat süreci tamamlanmış ve kiriş gövdesinde boşluk bulunduran yatay taşıyıcı elemanlara sahip yapıların sayısının azımsanmayacak kadar fazla olduğu unutulmamalıdır. Bu nedenle boşluklu betonarme kirişlerin dayanım ve davranışlarının irdelenmesi oldukça önemlidir. Bu çalışma kapsamında literatürde çevrimsel yükleme etkisinde deneyleri gerçekleştirilmiş boşluksuz referans kolon-kiriş birleşiminin yük-deplasman ilişkisi nümerik analiz ile doğrulanmıştır. Ardından dairesel geometrili gövde boşluklarının betonarme kirişlerin performansı üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Bu amaçla altı adet kolon kiriş birleşiminin nümerik modelleri oluşturulmuş ve çevrimsel yükleme etkisindeki davranışları incelenmiştir. Gövde boşluğunun sayısı, boşluğun kiriş yüksekliği boyunca olan konumu ve boşluk boyutu çalışmanın değişkenleri olarak belirlenmiştir. Kirişlerdeki boyuna donatı miktarları sabit tutulmuş ve boşluk çevresine ilave donatı yerleştirilmemiştir. Nümerik modelleri oluşturulan kirişlerin performansları yük taşıma kapasiteleri, deplasman kapasiteleri ve süneklikleri bakımından değerlendirilmiştir. Değişen parametrelerin sonuçlar üzerindeki etkisi kıyaslamalar yapılarak sunulmuştur. Elde edilen sonuçlara göre kirişte etriye kaybına neden olan geniş gövde boşluğuna sahip numunede taşıyabileceği maksimum yükün, yer değiştirme kapasitesinin ve sünekliğinin referans numuneye göre önemli ölçüde azaldığı anlaşılmıştır. Kiriş orta bölgesinde açılan boşlukların sayısı arttıkça kiriş sünekliği ve deplasman kapasitesi azalmaktadır. Anahtar Kelimeler: Betonarme, boşluklu betonarme kirişler, kolon-kiriş birleşimi, nümerik analiz, sonlu elemanlar yöntemi. 2025, xvii + 108 sayfa. ix ABSTRACT MScThesis NUMERICAL INVESTIGATION OF THE BEHAVIOR OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH WEB OPENINGS UNDER CYCLIC LOADING EFFECT İrem Şule GÜLEN Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Civil Engineering Supervisor: Dr. Öğr. Üye. Serkan SAĞIROĞLU In reinforced concrete structures, pipes and cables used for mechanical and electrical installations must be installed according to the project specifications, typically passing through the floor slab and the bottom surface of the beams. However, due to reasons such as reducing the floor height, causing energy loss, and raising aesthetic concerns, it is possible to see beamswith web openings that are either left in the beams during manufacturing or created after the completion of production. However, the use of these beams with web openings can negatively affect the load-carrying capacity of the beam, the failure type, ductility and the usability limits. It should not be forgotten that there are a significant number of structures with beams that have openings. Therefore, investigating the strength and behavior of beams with web openings is of considerable importance. In this study, the load-displacement relationship of a reference beam-column joint without openings, previously tested under cyclic loading in the literature, was validated through numerical analysis. Subsequently, the effect of circular web openings on the performance of reinforced concrete beams was investigated. For this purpose, numerical models of six beam-column joints were developed, and their behavior under cyclic loading was examined. The study variables included the number of web openings, their vertical position along the beam height, and their size. The longitudinal reinforcement ratios in the beams were kept constant, and no additional reinforcement was placed around the openings. The performance of the numerically modeled beams was evaluated in terms of load-bearing capacity, displacement capacity and ductility. The influence of the varying parameters on the results was presented through comparative analyses. The findings indicate that in specimens with large web openings that result in stirrup loss, the maximum load capacity, displacement capacity, and ductility were significantly reduced compared to the reference specimen. Additionally, as the number of openings in the mid-span of the beam increased, the ductility and displacement capacity of the beam decreased. Keywords: Beams with web openings, beam-column joint, finite element analysis, numerical analysis, reinforced concrete. 2025, xvii + 108 pages. x ÖNSÖZ VE/VEYA TEŞEKKÜR Yüksek lisans eğitimim boyunca ve çalışmamın hazırlanması sürecinde bilgi ve tecrübesiyle beni yönlendiren, her daim destekleyen saygıdeğer danışman hocam Dr. Öğr. Üyesi Serkan SAĞIROĞLU’na emekleri ve sabrı için sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Çalışmamın ortaya çıkmasına büyük katkı sunan, çalışmamın her aşamasında sabırla yol gösteren, tecrübelerini ve ilgisini esirgemeyen değerli hocam Dr. Öğr. Üyesi Gökhan Barış SAKCALI’ya teşekkürlerimi sunarım. Üzerimde büyük emekleri olan Prof. Dr. İsa YÜKSEL ve Dr. Öğr. Üyesi Melih SÜRMELİ hocalarımı saygıyla anar, kendilerine minnettar olduğumu belirtmek isterim. Beni daima destekleyen, sabreden, her koşulda yanımda olan başta annem olmak üzere tüm aileme minnet ve teşekkürlerimi sunarım. Lisans hayatımdan beri her koşulda yanımda olan, desteğini ve ilgisini esirgemeyen değerli arkadaşım Alim Berk ÇAĞLAYAN’a ayrıca teşekkür ederim. İrem Şule GÜLEN 27/01/2025 xi İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ............................................................................................................................. viii ABSTRACT ..................................................................................................................... ix ÖNSÖZ VE/VEYA TEŞEKKÜR ..................................................................................... x İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ xi SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ .................................................................... xiii ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................. xvii 1.GİRİŞ…………………….. ........................................................................................... 1 1.1Çalışmanın Kapsamı .................................................................................................... 4 2.KURAMSAL TEMELLER ve LİTERATÜR TARAMASI ......................................... 5 3.MATERYAL ve YÖNTEM .......................................................................................... 9 3.1. Betonun Gerilme Deformasyon Özellikleri ............................................................... 9 3.1.1 Beton Basınç Dayanımı ........................................................................................... 9 3.1.2 Betonun Çekme Dayanımı ve Çekme Altında Deformasyon Özellikleri .............. 11 3.2 Betonun Çok Eksenli Gerilme Altında Davranışı ..................................................... 12 3.2.1 Betonun Çift Eksenli Gerilme Altındaki Davranışı ............................................... 13 3.2.2 Betonun Üç Eksenli Gerilme Altındaki Davranışı................................................. 13 3.3. Sargılı Beton Davranışı ............................................................................................ 14 3.4 Betonarme Elemanların Sonlu Elemanlar Yönteminde Modellenmesi .................... 15 3.4.1 Ayrık Model ........................................................................................................... 15 3.4.2 Yayılı model........................................................................................................... 16 3.4.3 Gömülü model ....................................................................................................... 17 3.4.4 Doğrusal Olmayan Davranış ve Plastisite.............................................................. 17 3.5 Akma Kriterleri ......................................................................................................... 19 3.5.1 Mohr-Coulumb Akma Kriteri ................................................................................ 22 3.5.2 Drucker-Prager Akma Kriteri ................................................................................ 25 3.5.3 Bresler-Pister Akma Kriteri ................................................................................... 28 3.5.4 William-Warnke Akma Kriteri .............................................................................. 30 3.6 Doğrusal Olmayan Analiz Yöntemleri ..................................................................... 34 3.6.1 Artımsal Yöntem .................................................................................................... 36 3.6.2 İterasyon Yöntemi .................................................................................................. 37 3.6.3 Artımsal-İterasyon Yöntemler ............................................................................... 38 3.7 Hasar Mekaniği Modelleri ........................................................................................ 43 3.7.1 Betonun Farklı Yüklemeler Etkisinde Davranış Özelliklerinin Tanımlanması ..... 43 3.8 Beton Hasar Modeli .................................................................................................. 51 3.9 Tersinir Yükler Etkisinde Yapı Çeliği ...................................................................... 70 3.9.1 Donatının Modellenmesi ........................................................................................ 71 3.10 Sonlu Elemanlar Modeli ......................................................................................... 72 3.10.1 ABAQUS (FEM) Programı ve Kullanım Alanları .............................................. 72 3.10.2 Nümerik Analiz Kullanım Alanları ..................................................................... 73 3.10.3 Nümerik Analiz ile Doğrulama ............................................................................ 75 3.10.4 Gövde Boşluğuna Sahip Kolon Kiriş Birleşimlerinin Modellenmesi.................. 82 4.BULGULAR (BULGULAR ve TARTIŞMA) ............................................................ 85 4.1 Nümerik Modelin Doğrulanması .............................................................................. 85 4.2 Gövde Boşluklu Kolon-Kiriş Birleşimlerinin Nümerik Analizi ............................... 86 4.2.1 100 mm Çaplı Tek Delikli Kiriş (HRC-1) ............................................................. 87 4.2.2 100 mm Çaplı İki Delikli Kiriş (HRC-2) ............................................................... 88 xii 4.2.2 100 mm Çaplı Üç Delikli Kiriş (HRC-3) ............................................................... 90 4.2.4. Kiriş Altı Tek Delikli Kiriş (HRC-4) .................................................................... 91 4.2.5 Döşeme Altı Tek Delikli Kiriş (HRC-5) ................................................................ 93 4.2.6 150 mm Çaplı Tek Delikli Kiriş (HRC-6) ............................................................. 94 4.3. Nümerik Analiz Sonuçlarının Karşılaştırmalı Sunumları ........................................ 96 4.3.1. Delik Sayısının Davranışa Etkisi .......................................................................... 96 4.3.2. Delik Konumunun Davranışa Etkisi ..................................................................... 98 4.3.3. Delik Çapının Davranışa Etkisi ............................................................................ 99 4.3.4 Tüm Delikli Kirişlere ait Yük-Deplasman Grafikleri .......................................... 101 5.SONUÇLAR .............................................................................................................. 102 KAYNAKLAR ............................................................................................................. 104 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 107 xiii SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝒂𝟎, 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒃𝟎, 𝒃𝟏, 𝒃𝟐 : Deneysel verilerden elde edilen değişkenler 𝒄 : Kohezyon 𝑫𝟎 𝒆𝒍 : Elastik rijitlik tensörü 𝒅, 𝒅𝒄, 𝒅𝒕 : Hasar parametreleri, basınç hasar parametresi, çekme hasar parametresi 𝑬 : Azaltılmış elastisite modülü 𝑬𝟎 : Hasarsız durumdaki elastisite modülü 𝑬𝒄𝒊 : Betonun sıfır gerilme seviyesindeki tanjant elastisite modülü 𝑭 : Asal gerilmelerin bir fonksiyonu 𝒇𝒕 ′ , 𝒇𝒄 ′ , 𝒇𝒃𝒄 ′ : Tek eksenli çekme etkisindeki akma dayanımını, tek eksenli basınç etkisindeki akma dayanımı, iki eksenli basınç etkisindeki akma dayanımı 𝒇𝒄𝒎, 𝒇𝒄𝒕𝒎 : Betonun ortalama basınç dayanımı, betonun ortalama çekme dayanımı 𝒇𝒕, 𝒇𝒄 : Eksenel nihai çekme dayanımı, eksenel nihai basınç dayanımı 𝒇𝒕 ′̅ , 𝒇𝒃𝒄 ′̅̅ ̅̅ : Normalleştirilmiş dayanımlar 𝑮𝒄𝒉 : Betonun ezilme enerjisi 𝑮𝑭 : Betonun kırılma enerjisi 𝒈𝒄, 𝒈𝒕 : Bozulma sürecinde hasar tarafından yayılan birim hacimdeki basınç ve çekme enerjileri 𝒉𝒄, 𝒉𝒕 : Ağırlıklandırma faktörleri I : Birim tensör 𝑰𝟏 : Gerilme tensörünün birinci invariantı 𝑱𝟐 : Deviatorik gerilme tensörünün ikinci invariantı 𝑲𝒄 : Tek eksenli deviatorik çekme gerilmesi ile tek eksenli deviatorik basınç gerilmesinin oranı 𝒍𝒆𝒒 : Ağ boyutu m : Ortalama gerilme 𝒓𝟏, 𝒓𝟐 : Asal gerilmelerin ve beton dayanımının bir fonksiyonu 𝑺 : Akma yüzeyi 𝑺∗ : Hasarsız net kesit alanı 𝒔𝒊𝒋 : Deviatorik gerilme tensörü 𝒘 : Çatlak genişliği 𝒘𝒄 : Kritik çatlak genişliği  : Malzemenin içsel özelliklerine bağlı bir katsayı , ,  : Malzemenin gerilme davranışını belirleyen boyutsuz sabitler 𝜹𝒊𝒋 : Kronecker delta fonksiyonu xiv 𝜺, 𝜺𝒄, 𝜺𝒕, 𝜺 𝒆, 𝜺𝒑 : Birim şekil değiştirme, basınç birim şekil değiştirmesi, çekme birim şekil değiştirmesi, elastik birim şekil değiştirme, plastik birim şekil değiştirme 𝜺, 𝜺𝒆, 𝜺𝒑𝒍 : Birim şekil değiştirme tensörü, elastik birim şekil değiştirme tensörü, plastik birim şekil değiştirme tensörü 𝒄 𝒑𝒍 , 𝒕 𝒑𝒍 : Plastik basınç birim şekil değiştirmesi, plastik çekme birim şekil değiştirmesi 𝒕 𝒄𝒌, 𝒄 𝒄𝒉 : Betonun ezilme birim şekil değiştirmesi, betonun çatlama birim şekil değiştirmesi 𝝆 : Oktaheral yarıçap 𝝆𝑻 𝟎, 𝝆𝑪 𝟎 : Tek eksenli basınç ve tek eksenli çekme gerilmesinin akma durumunda deviatorik bileşenleri  : Eksantrisite  : İçsel sürtünme açısı  : Lode benzerlik açısı 𝟏,𝟐,𝟑 : En büyük, ortanca ve en küçük asal gerilmeler  , 𝒄, 𝒕 : Efektif gerilme, efektif basınç gerilmesi, efektif çekme gerilmesi 𝟎,𝒉, n : Hasarsız bölge için efektif gerilme tensörü, hidrostatik basınç gerilmesi, normal gerilme 𝒎 : Ortalama normal gerilme 𝐦𝐚𝐱 : En büyük asal efektif gerilme 𝒐𝒄𝒕 : Oktahedral normal gerilme τ : Kayma gerilmesi 𝒎 : Maksimum kayma gerilmesi 𝒐𝒄𝒕 : Oktahedral kayma gerilmesi  : Gerilme uzayının orijininden gerilme düzlemine olan mesafe  : Malzeme sabiti Ѱ : Dilatasyon açısı xv ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 1.1. Uygulamada karşılaşılan boşluklu kirişler 2 Şekil 1.2. Gövde boşluğuna sahip kirişler 2 Şekil 3.1. Betonun gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi 10 Şekil 3.2. Tekrarlanan yükler altında beton davranışı 11 Şekil 3.3. Çekme etkisinde tekrarlı yükler altındaki beton davranışı 12 Şekil 3.4. Betonun üç eksenli gerilme altındaki davranışı 14 Şekil 3.5. Ayrık (discrete) model 16 Şekil 3.6. Yayılı (smeared) model 16 Şekil 3.7. Gömülü (Embedded) model 17 Şekil 3.8. Kullanılan parametre sayısına göre akma kriterleri 20 Şekil 3.9. Mohr-Coulomb kriterine göre bir noktadaki gerilme durumu 23 Şekil 3.10. Mohr-Coulomb akma kriteri 25 Şekil 3.11. Asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Drucker-Prager akma yüzeyinin görünümü 26 Şekil 3.12. Drucker-Prager ve Mohr-Coulomb akma yüzeylerinin karşılaştırması 28 Şekil 3.13. Asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Bresler-Pister akma kriteri 30 Şekil 3.14. William Warnke akma yüzeyi 34 Şekil 3.15. Artımsal yöntem 37 Şekil 3.16. İterasyon yöntemi 38 Şekil 3.17. Artımsal-iterasyon tekniği 40 Şekil 3.18. Newton-Raphson yöntemi 41 Şekil 3.19. Modifiye edilmiş Newton-Raphson yöntemi 41 Şekil 3.20. Hasarın tanımlanması 45 Şekil 3.21. Deformasyonlardan önceki kesit alanı, mikro çatlakların oluşturduğu kesit alanı ve hasarsız net kesit alanı 47 Şekil 3.22. Hasarsız bölge için efektif gerilmenin grafiksel temsili 47 Şekil 3.23. Plastisite ve hasar arasındaki ilişki 48 Şekil 3.24. Yazdani ve Schreyer plastik hasar modeli 49 Şekil 3.25. Düzlem gerilme uzayında akma yüzeyleri 50 Şekil 3.26. Faria plastik hasar modeli 51 Şekil 3.27. Tek eksenli yükleme boşaltma 53 Şekil 3.28. Deviyatorik düzlemde birçok akma yüzeyi için KC değeri 57 Şekil 3.29. Meridyen düzlemindeki Drucker-Prager hiperbolik plastik potansiyel fonksiyonu 58 Şekil 3.30. Hasar gelişimi ile harcanan enerji 61 Şekil 3.31. Basınç ve çekme etkisinde beton modeli 64 Şekil 3.32. Beton modeline ait gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi 68 Şekil 3.33. Beton basınç hasar parametresi ile birim şekil değiştirme ilişkisi 69 Şekil 3.34. Beton çekme dayanımı ile birim şekil değiştirme ilişkisi 69 Şekil 3.35. Beton çekme hasarı ile birim şekil değiştirme ilişkisi 70 Şekil 3.36. Tersinir yüklemede yapı çeliği 71 xvi Şekil 3.37. ABAQUS ana penceresi 73 Şekil 3.38. Referans kirişi ve donatı düzeni 76 Şekil 3.39. Yükleme düzeneğinin şematik gösterimi 77 Şekil 3.40. Uygulanan deplasman değerleri 78 Şekil 3.41. 3 boyutlu beton geometrisi 80 Şekil 3.42. 3 boyutlu boyuna donatı ve etriye grubu 81 Şekil 3.43. Oluşturulan nümerik modellerin şematik gösterimi 84 Şekil 4.1. Deney verisi ve simüle edilen yük-deplasman ilişkisi 85 Şekil 4.2. Boşluksuz referans kirişin deney verisi ile nümerik modelinin zarf eğrilerinin karşılaştırması 86 Şekil 4.3. HRC-1 100 mm tek delikli kirişin nihai durumu 87 Şekil 4.4. HRC-1 100 mm tek delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 88 Şekil 4.5. HRC-2 2 Delikli kirişin nihai durumu 89 Şekil 4.6. HRC-2 2 Delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 89 Şekil 4.7. HRC-3 3 delikli kirişin nihai durumu 90 Şekil 4.8. HRC-3 3 Delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 91 Şekil 4.9. HRC-4 Kiriş altı tek delikli kirişin nihai durumu 92 Şekil 4.10. HRC-4 Kiriş altı tek delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 92 Şekil 4.11. HRC-5 Döşeme altı tek delikli kirişin nihai durumu 93 Şekil 4.12. HRC-5 Döşeme altı tek delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 94 Şekil 4.13. HRC-6 150 mm tek delikli kirişin nihai durumu 95 Şekil 4.14. HRC-6 150 mm tek delikli kirişin yük-deplasman ilişkisi 95 Şekil 4.15. HRC-1, HRC-2 ve HRC-3 kiriş numuneleri 96 Şekil 4.16. Referans kiriş ile boşluk sayısı değişen numunelerin yük- deplasman ilişkisi 97 Şekil 4.17. HRC-1, HRC-4 ve HRC-5 kiriş numuneleri 98 Şekil 4.18. Referans kiriş ile kiriş yüksekliği boyunca boşluk konumları değişen numunelerin yük-deplasman ilişkisi 98 Şekil 4.19. RC-1, HRC-1 ve HRC-6 kiriş numuneleri 99 Şekil 4.20. Boşluksuz referans kiriş ile farklı boşluk boyutlarına sahip numunelerin yük-deplasman ilişkileri 100 Şekil 4.21. Nümerik analiz sonuçlarının karşılaştırmalı sunumu 101 xvii ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 3.1. Akma fonksiyonu için tanımlanması gereken paramaetreler 60 Çizelge 3.2. Hesaplanan parametreler 68 Çizelge 3.3. Donatıların akma dayanımları ve maksimum dayanımları 79 Çizelge 3.4. Donatı çapı ve kullanılan eleman tipi 80 Çizelge 3.5. Boşluk boyutu, adeti ve konumu 83 Çizelge 4.1. Numunelerin yük ve deplasman kapasiteleri 101 1 1. GİRİŞ Bir yapının mekanik ve elektrik tesisatının doğru şekilde projelendirilmesi ve yerleştirilmesi taşıyıcı sisteme ait elemanların projelendirilmesi ve üretimi kadar önemlidir. Yapının kullanım ömrü boyunca dayanıklılık, güvenlik, işlevsellik, konfor gibi kriterleri yerine getirebilmesi için yapının tesisat sistemleri ile taşıyıcı sistemi birbirlerini tamamlayıcı nitelikte, birbirilerinin işlevlerini gerçekleştirmesini engellemeyecek şekilde uyum içerisinde çalışması gerekmektedir. Yapı sistemini oluşturan tüm bu unsurların tasarımlarından üretimlerine kadar ki aşamalar dikkatle planlanmalı ve koordineli bir şekilde imalat süreçleri tamamlanmalıdır. Ancak bu sayede taşıyıcı sistem elemanları için tasarım aşamasında öngörülen performans ve davranış kriterleri sağlanabilir. Yapı içerisinde yer alması zorunlu ve kullanım amacına göre ihtiyaç duyulabilecek ısıtma ve soğutma sistemleri, yangın söndürme sistemi boruları, havalandırma kanalları, sıhhi tesisat boruları, elektrik tesisatına ait iletim kanalları gibi yapının mekanik ve elektrik tesisatı elemanlarının projelerine uygun şekilde konumlandırılmadığı örneklerle sık şekilde karşılaşılmaktadır. Kat net yüksekliğinin korunması, maliyetin azaltılması, enerji kaybının önüne geçilmesi, estetik kaygılar sebebiyle kirişe denk gelen iletim hatlarının kiriş alt yüzünden geçirilmesinden kaçınılır. Kat yüksekliğinin arttırılması ile tüm bu istekler karşılansa da yumuşak kat düzensizliğinin oluşması, yapı zati yükünün artması gibi istenmeyen sonuçları olabilmektedir. Kiriş gövdelerinde imalat sırasında boşluk bırakılması veya yapımı tamamlanan kirişlerde kırılarak delikler açılması iletim hatlarının konumlandırılması için en çok başvurulan diğer uygulamalardır. Bu uygulamaların son derece hatalı olduğu ve mühendisliğin temel ilkeleriyle de ters düştüğü vurgulanmalıdır. Ancak hali hazırda imalat süreci tamamlanmış ve kiriş gövdesinde boşluk bulunduran yatay taşıyıcı elemanlara sahip yapıların sayısının da azımsanamayacak kadar fazla olduğu unutulmamalıdır. Şekil 1.1. ve Şekil 1.2’de uygulamada sıklıkla karşılaşılan boşluklu kirişler gösterilmektedir. 2 Şekil 1.1. Uygulamada karşılaşılan boşluklu kirişler Şekil 1.2. Gövde boşluğuna sahip kirişler Uzun yıllardır kirişlerin alt yüzeyinden geçirilen kanal ve boruların net kat yüksekliğini önemli ölçüde azalttığı gerekçesiyle başlangıçta bırakılan veya sonradan açılan deliklerin yapının yatay ve düşey yükler altındaki performansını nasıl etkilediği merak konusu olmuştur. Bugüne kadar gövde boşluğu bulunan betonarme kirişlerin ele alındığı nümerik ve deneysel olarak birçok çalışma yapılmıştır. Yapılan bu çalışmalar genellikle yapı elemanının düşey yükler altındaki davranışlarının belirlenmesine yönelik olmuştur. 3 3 nokta ve 4 nokta eğilme deneyleri ve simülasyonları kullanılarak elde edilen sonuçlarda yapıların maruz kaldığı ve asıl önemli sonuçların doğmasına neden olan deprem etkisi yeterince irdelenmemiştir. Yerinde dökme betonarme kirişlerde çeşitli konum ve boyutlarda oluşturulan gövde boşluklarının yapının deprem yükleri etkisi altındaki davranışını ne yönde etkilediği bu çalışmanın ana konusudur. Bugüne kadar yapılan çalışmalarda yapının yalnızca düşey yüklere maruz kalacağı göz önünde bulundurularak değerlendirilmesinin yetersiz olacağı düşünülerek dairesel geometrili gövde boşluğuna sahip kirişlerin deprem ve rüzgar gibi çevrimsel yükleme etkisindeki davranışları nümerik analiz ile araştırılmıştır. Bu çalışma kolon-kiriş birleşiminden meydana gelmiş betonarme yapı elemanlarının sonlu elemanlar yöntemiyle modellerinin oluşturulması ve tersinir yükler altında doğrusal olmayan analizini içermektedir. Bu analizler hem deneysel çalışmadan elde edilen verilerin doğrulanması hem de ileride gerçekleştirilmesi planlanan deneysel çalışmalara ışık tutması için veri seti elde edilmesinde kullanılmıştır. Belirtilen yükleme koşulları için kritik parametrelerin belirlenmesi ve deney esnasında oluşabilecek önemli durumların önceden tespit edilmesi amaçlanmıştır. Bu sayede dairesel boşluklu betonarme kirişlerin deprem davranışı hakkında oldukça sınırlı olan verilerin arttırılması, çevrimsel yüklemede boşlukların yapı elemanları üzerindeki etkisinin anlaşılması ve onarım yöntemlerinin belirlenmesinde fayda sağlaması amaçlanmıştır. Betonarmede betonun ve donatı çeliğinin ancak belirli şartların sağlanabilmesiyle bir birlikteliğinden bahsedilebilir. Yapı malzemelerinin kendilerinden beklenilen özelliklere sahip olması ve aralarında tam bir aderans olması gerekmektedir. Bu birliktelik bu iki malzemenin kendi üzerlerine düşen görevleri yerine getirilebilmesi ve birbirlerinin eksik yönlerini tamamlayabilmesi prensibine dayanır. Bu çalışmada kullanılan ABAQUS Sonlu Elemanlar Programında beton ve donatı çeliği ayrı ayrı tanımlanmaktadır. Araştırmacılar uzun yıllardır farklı yükleme durumları için davranışları oldukça karmaşık olan betonun modellenebilmesi ve doğrusal olmayan davranış özelliklerinin tam olarak yansıtılabilmesi için çalışmışlardır. Çalışmalar sonucunda önerilen modeller betonun basınç ve çekme gerilmeleri etkisindeki davranışlarını önemli ölçüde simüle edebilmektedir. Betonarme yapı elemanları için diğer bir önemli konu ise beton ve donatı çeliği arasındaki aderanstır. Sonlu Elemanlar programlarında oluşturulan betonarme eleman modellerinde çoğu zaman, beton ve donatı arasındaki aderansın tam olduğu 4 varsayılmaktadır. Bu kabulün yetersiz kaldığı çalışmalarda aderans (bağ) gerilmesi ve sıyrılma ilişkisinin tanımlanması gerekmektedir. 1.1 Çalışmanın Kapsamı Bu çalışma kapsamında öncelikle literatürde yer alan (Saleh vd.,2017) tarafından deneysel çalışmaları gerçekleştirilen referans kirişin ABAQUS programı aracılığıyla nümerik modeli oluşturulmuş ve analizi gerçekleştirilmiştir. Bu analiz sonucunda elde edilen yük-deplasman ilişkisi ile deneysel çalışma sonucunda elde edilen yük-deplasman ilişkisi karşılaştırılmış ve nümerik model doğrulanmıştır. Daha sonra nümerik modeli oluşturulan referans kirişten hareketle 6 adet farklı boyut ve konumlarda dairesel geometrili gövde boşluğuna sahip betonarme kolon-kiriş birleşiminin nümerik modelleri oluşturulmuş ve çevrimsel yükleme etkisinde doğrusal olmayan analizleri gerçekleştirilmiştir. 5 2. KURAMSAL TEMELLER VE LİTERATÜR TARAMASI Literatürde gövdesinde bir veya birden fazla boşluk bulunan betonarme kirişlerin kesme ve eğilme davranışını, deneysel ve nümerik olarak inceleyen pek çok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalarda, delik çapı, delik geometrisi, deliğin kiriş gövdesindeki konumu ve sayısı, derin kirişlerdeki etkisi araştırılan başlıca konulardandır. Gövdesinde delik bulunduran kirişlerin kesme ve eğilme etkisindeki dayanım ve davranışı incelenirken genellikle 3 nokta ve 4 nokta eğilme deneylerine başvurulmuş ve sonlu eleman modellemelerinde de bu deney yöntemleri kullanılmıştır. (Mansur vd., 1991) Bu çalışmada boyuna donatı miktarları aynı olan gövde boşluğuna sahip betonarme kirişlerin dayanım ve davranışları incelenmiştir. Boşluk boyutu, kiriş açıklıklarının sayısı ve boşluğun açıklıktaki konumu incelenen deney parametreleridir. Boşluk genişliği ve derinliğinin artmasıyla kiriş mukavemetinin ve rijitliğinin aynı zamanda göçme yükünün de azaldığı belirlenmiştir. İncelenen kirişlerde boşluk konumunun çatlama yükü üzerinde neredeyse hiçbir etkisinin olmadığı anlaşılmıştır. Boşlukların moment değerlerinin yüksek olduğu bölümlerde yer almasının deformasyonları arttırdığı ve kirişin daha erken göçmesine neden olduğu anlaşılmıştır. (Tan vd., 2001) çalışmasında ACI (American Concrete Institute) yönetmeliğinin dairesel gövde boşluklarına sahip betonarme kirişlerin kesme dayanımı için ortaya koyduğu yaklaşımın yeterliliğini incelemektedir (ACI-CODE, 2022). Gövde boşluğuna sahip T kesitli betonarme kirişlerin negatif moment bölgesindeki davranışının anlaşılması amacıyla kirişler ters şekilde test edilmiştir. Yapılan deneyler, boşluk çevresinin yönetmelikte belirtilen şekilde donatılandırılmasıyla kirişin nihai dayanımının korunabileceği ve çatlakların kontrol altında tutulabileceğini göstermiştir. Boşluk etrafına yerleştirilen diyagonal donatı çubuklarının kiriş basınç bölgesindeki gerilmeleri azaltarak betonun erken ezilmesinin önüne geçtiği belirlenmiştir. (Mansur vd., 1999) T kesitli betonarme kirişlerle yapılan çalışma, var olan yapı elemanlarında delik açılmasının sonuçlarını incelemektedir. Çalışmada dikkate alınan ana parametreler boşluk boyutu ve konumudur. Kirişlerin mesnet bölgelerine yakın açılan deliklerin kiriş dayanımını ve rijitliğini önemli ölçüde azalttığı belirlenmiştir. Kiriş rijitliğinin, kiriş enine donatılarına zarar verilmeden açılan boşluklardan minimum oranda zarar gördüğü tespit edilmiştir. Kiriş gövdesinde açılan deliklerinin harçla 6 doldurulmasının kirişin boşluksuz durumundaki rijitliğine yaklaşmakta yetersiz kaldığı belirlenmiştir. (Tan vd., 1996) Büyük gövde boşluklarına sahip T kirişler pozitif veya negatif moment etkisinde test edilmiştir. Birden çok boşluğa sahip kirişlerin dayanım ve kullanılabilirlik yönünden tek boşluklu kirişlerden daha iyi performans gösterdiği belirlenmiştir. (Mansur & Paramasivam, 1984) İmalat esnasında bırakılan küçük gövde boşluğuna sahip bir kirişin burulma ve eğilme etkisi altındaki dayanımının belirlenebilmesi için analiz yöntemi sunmuştur. Kiriş dayanımlarının çeşitli göçme modlarında belirlenebilmesi için denklemler de türetilmiştir ve bu denklemlerin deneylerden elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüştür. Boşluk boyutu ve konumunun yanında boşluk çevresi için önerilen ilave donatıların boyut ve yerleşimini de çalışma parametreleri olarak kullanılmıştır. Yapılan deneylerde ilave köşe donatılarının çatlak genişliğini sınırlamada etriyeden daha etkin olduğunu göstermiştir. (Mansur vd., 1985) Eğilme ve kesme etkisinde büyük dikdörtgen gövde boşluğuna sahip betonarme kirişlerin tasarlanması için bir yöntem önerilmektedir. Test sonuçları önerilen yöntemin başarısını ortaya koymuştur. Çalışmada ana parametreler boşluğun boyutu derinliği konumu dışmerkezliği ve boşluk çevresindeki donatıların miktarı ve düzenidir. Köşe donatısı olarak kullanılan diyagonal donatıların çatlak genişliği ve sehim kontrolünde kiriş enine donatısından daha etkili olduğu belirlenmiştir. Boşluklu kirişlerin kesme dayanımının %75’inin diyagonal donatılar tarafından karşılandığı belirlenmiştir. (Ashour & Rishi, 2000) Bu çalışmada boyuna donatı oranları ve geometrileri aynı olan gövde boşluğuna sahip betonarme kirişler test edilmiştir. Boşluk boyutu ve konumu deneyin ana değişkenleridir. Sabit tutulan değişkenler sebebiyle boşluk konumuna bağlı olarak 2 farklı göçme modu ile karşılaşılmıştır. Kiriş kapasitesinde boşluk çevresine yerleştirilen dikey donatıların yatay olarak yerleştirilenlerden daha etkili olduğu belirlenmiştir. (Dündar B., 2008) Bu çalışmada betonarme kiriş üzerinde açılan tek bir noktadaki boşluğun sebebiyet vereceği gerilme yığılmaları için çözümler araştırılmış ve kiriş boyunca bırakılan düzenli boşluklar sayesinde gerilmelerin tüm kirişe yayılması amaçlanmıştır. Daire ve kare şeklinde gövde boşluğuna sahip betonarme kirişler kiriş boyutu ve boşluk konumu değiştirilmeden deneye tabi tutulmuştur. Boyuna donatı oranı, boşluk geometrisi, boşluklar arası dikmelerde etriye kullanımı ve çapraz donatı kullanımı 7 değişen deney parametreleridir. Deney sonuçlarına göre değişen parametrelerin kiriş sünekliliğine, kesme davranışına, kiriş dayanımına ve rijitliğine etkileri araştırılmıştır. Boyuna donatı miktarı fazla olan kirişlerden biri hariç diğer tüm deney elemanları çok sünek davranmıştır. Deney numunelerinin çoğunda yapılan uygulamalar sayesinde referans kirişlerden elde edilen süneklik değerlerinin 1.5-2 katına ulaşılmıştır. Kiriş numunelerinin kesme kırılması yerine eğilmeden göçtüğü belirlenmiş bir noktada gerilme yığılmalarını önlemek amacıyla düzenli boşluk oluşturulması fikrinin işe yaradığı görülmüştür. Dairesel boşluklu elemanların süneklik, rijitlik ve dayanım değerlerinin kare boşluklu elemanlardan daha yüksek olduğu belirlenmiştir. (Aykaç & Yılmaz, 2013) Bu çalışma kapsamında daire veya üçgen şeklinde düzenli büyük boşluklara sahip betonarme kirişlerin tekdüze yükler altındaki davranışları deneysel olarak araştırılmıştır. Düzenli ve kiriş boyunca devam eden boşluklar sayesinde gerilmelerin kirişe dağılacağı bir noktada yığılmayacağı düşünülmüştür. Deney değişkenleri olarak boşluk geometrisi ve çekme bölgesindeki donatı oranı seçilmiştir. Normal ve az çekme donatısına sahip kirişlerin yeterli dayanım gösterdiği belirlenmiştir. Daire şeklinde boşluklara sahip kirişler üçgen şeklinde boşluklulara göre daha sünek olduğu belirlenmiştir. Bunun yanında dairesel kesitli numunelerin dayanımı daha yüksektir. (Kahraman E., 2018) Bu çalışmada çok sayıda kare gövde boşluğuna sahip betonarme kirişlerin eğilme davranışları incelenmiştir. Çalışma kapsamında öncelikle referans boşluksuz kirişler ile boşluklu betonarme kirişlerin sonlu eleman modelleri oluşturulmuş ve bu modellerin analiz sonuçlarıyla literatürdeki deney sonuçları kıyaslanmıştır. Nümerik sonuçlarla deneysel sonuçların yakın ve uyumlu olduğu anlaşılmıştır. Ardından boşluk çevresinde farklı donatı düzenlemeleri yapılmış ve yapılmamış düzenli kare gövde boşluklarına sahip kirişlerin çekme donatısı oranlarının kirişlerin eğilme davranışı, yük taşıma kapasiteleri ve başlangıç rijitliklerinde meydana gelen değişimler üzerindeki etkileri araştırılmıştır. (Deifalla & Elzeiny, 2021) çalışmalarında gövde boşluğunun betonarme bir kolon kiriş birleşiminin deprem davranışı üzerindeki etkisi araştırmıştır. Boşluk çevresine yerleştirilen ilave donatıların davranışa olan katkısının belirlenebilmesi için ilave donatısız ve ilave donatılı kirişler deneye tabi tutulmuştur. Oluşturulan kolon-kiriş birleşimlerinin çevrimsel yükleme altındaki rijitlikleri, taşıyabildikleri maksimum yük ve 8 buna karşılık gelen deplasman değerleri incelenmiştir. Gövde boşluğunun boyutlarındaki artışın betonarme birleşimin sünekliliğini ve dayanımını azalttığı belirlenmiştir. İlave donatının yerleştirildiği numunelerin davranışlarında iyileşme gözlemlenmiştir. (Saleh vd., 2017) çevrimsel yükleme etkisindeki betonarme bir kolon-kiriş birleşiminde gövde boşluklarının çatlama tipi, göçme modu, rijitliği, yük deplasman eğrileri, dayanım ve süneklik üzerindeki etkileri deneysel olarak incelenmiştir. Gövde boşluklarının boyutları ve kiriş üzerindeki konumu deney parametreleridir. Genel bir sonuç olarak, gövde boşluğuna sahip kolon-kiriş birleşimlerinin yük taşıma kapasitelerinin, deplasmanlarının ve rijitliklerinin azaldığı sonucuna varılmıştır. (Saleh vd., 2021) çalışmasında çevrimsel yükleme etkisinde daha önce deneyleri tamamlanmış dikdörtgen geometrili gövde boşluğuna sahip kolon kiriş birleşimlerinin davranışları, nümerik analiz ile doğrulanmıştır. Deneysel çalışmada, bir grup numunenin boşluk çevresinde ilave donatı olması durumunda davranış ve performanslarının nasıl değiştiği incelendiğinden bu numunelerin nümerik modelleri de oluşturulmuş ve analiz edilmiştir. 9 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. Betonun Gerilme Deformasyon Özellikleri Bir mekanik problemin çözümünde, malzemenin davranışı modellenirken gerçeğe yaklaştıkça çözüm de o oranda doğruya yaklaşacağından malzemelerin gerilme-birim şekil değiştirme özellikleri oldukça önemlidir. Beton gibi yarı gevrek malzemelerin doğrusal olmayan davranışlarının tanımlanması oldukça zordur. Betonun tek eksenli basınç ve çekme gerilmesi etkisindeki davranışı doğrusal değildir. Betonun gerilme-birim şekil değiştirme grafiğinin doğrusal olmamasının nedeni mikro çatlaklardır. Bunun yanında betonda metallerdeki gibi bir akma davranışı yoktur. Betonun gerilme-birim şekil değiştirme eğrisi incelendiğinde düşük gerilmeler altında eğrinin eğimi çok az değiştiğinden bu bölüm doğrusal olarak kabul edilebilir. Maksimum gerilme değerine karşılık gelen co değeri aşıldığında birim şekil değiştirmeler artarken gerilmeler azalmaktadır. Betonun ezildiği nokta olarak tanımlanan cu betonun kırılma anındaki birim kısalmasına karşılık gelen gerilme değeri maksimum gerilmeden daha düşüktür (Ersoy U., 2017). 3.1.1 Beton Basınç Dayanımı 3.1.1.1 Tek Eksenli Gerilme Etkisindeki Davranış Tek eksenli basınç gerilmesi altında 5 kritik deformasyon aşaması mevcuttur (Alfarah, 2017). Bu önemli 5 aşamadan ilki eksenel gerilmelerin maksimum basınç gerilmesinin %30’u mertebelerinde mikro çatlakların neredeyse hiç oluşmadığı lineer bölge olarak tanımlanabilir. Maksimum basınç gerilmesinin %30 ila %50’si aralığında kalan 2.bölgede ise çatlaklarda meydana gelen artış sebebiyle beton rijitliğinin bir miktar azaldığı gözlemlenir.3. Bölge olarak adlandırılan kısım maksimum basınç gerilmesinin %50- %75’i ile sınırlandırılmakta ve bu aşamada çatlak genişliğinin arttığı gözlemlenmektedir. Çatlak genişliğindeki önemli artış betonun ilk rijitliğini de azaltmaktadır (Oller, 2014). Yükte herhangi bir artış olmadığı halde çatlak genişliğinin artmaya devam ettiği gözlemlenir. Maksimum basınç dayanımının %75'inin aşıldığı gerilme durumu için yük 10 sabit kalırken birim şekil değiştirme artmaya devam eder. Basınç gerilmesinin maksimum noktasına erişmesinin ardından basınç gerilmesi hızlı bir şekilde azalmaya başlar. Çatlağın konumu sınır koşullarına göre değişirken betonda yumuşama da başlar. Basınç gerilmeleri altında gözlemlenen yumuşama çekme gerilmeleri etkisinde gözlemlenenden çok daha karmaşık yapıdadır bu nedenle çekme etkisi altında kullanılmak üzere geliştirilen çatlak modeli gibi bir model basınç etkisi için kabul görmemiştir. Şekil 3.1.’de betonun basınç etkisi altında normalize edilmiş gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi sunulmaktadır (Bahn & Hsu, 1998). Şekil 3.1: Betonun gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi Beton gibi yarı kırılgan malzemelerde çatlak oluşumu 2 safhaya ayrılabilir. Bunlardan ilki malzemenin kendi doğal tokluğuyla ilgilidir. Betonda çatlak oluşumu aşamaları metal, cam gibi malzemelerin çatlak oluşumu aşamalarından oldukça farklı seyreder. Betonda oluşan mikro çatlakların sürekli ve birbirlerini takip eder şekilde gelişiminin aksine diğer malzemelerde ani bir serbest yüzey oluşumu gözlemlenir. Malzemenin elastik davrandığı düşük yükleme seviyelerinde mikro çatlaklar küçük bir ölçekle sınırlıdır ve ana çatlak oluşmamıştır. İkinci kısımda ise ana çatlak oluşmakta ve genişlemektedir. Kohezif kuvvet hayali bir çatlak bölgesinde yer alır, çatlak ilerleme süresi boyunca malzemenin tokluğu veya çatlak uzama direnci hayali çatlak bölgesinin uzunluğunun artmasıyla artar. Bu kısım malzemenin çekme dayanımının ve hayali çatlak 11 bölgesindeki kohezif kuvvetin dağılım şeklinin yanı sıra hayali çatlak bölgesinin uzunluğunun bir fonksiyonu olacaktır. 3.1.1.2 Tekrarlı Yükler Altında Beton Davranışı Betonarme yapı elemanları deprem rüzgâr gibi etkiler sebebiyle tekrarlı gerilmelere maruz kalır. Yükleme, boşaltma ve yeniden yükleme durumları için elde edilen gerilme birim şekil değiştirme eğrileri tekrarlı yüklemeye maruz kalan beton davranışının tanımlanmasına yardımcı olmaktadır. Şekil 3.2Şekil 3.2’de gösterildiği gibi monotonik yükleme altında elde edilen gerilme birim şekil değiştirme eğrisi ile defalarca yüklenip boşaltılarak elde edilen gerilme-birim şekil değiştirme grafiğinin zarf eğrisi neredeyse aynıdır (Karsan, 1969). Yükleme boşaltma eğrileri incelendiğinde yük tekrarı arttıkça çıkış eğimleri azalmaktadır yani beton yumuşamaktadır. Beton rijitliği olarak da tanımlanan bu çıkış eğimleri elastisite modülünün önemli oranda değiştiğini göstermektedir (Ersoy, 2017). Şekil 3.2: Tekrarlanan yükler altında beton davranışı 3.1.2 Betonun Çekme Dayanımı ve Çekme Altında Deformasyon Özellikleri Betonun çekme dayanımı basınç dayanımının %10’u mertebelerindedir. Betonun çekme etkisi altında incelenen gerilme birim şekil değiştirme eğrilerinin de basınçtakine benzer 12 olarak doğrusal olmadığı ve maksimum dayanım değerine karşılık gelen birim şekil değiştirme değerinin aşılmasının ardından birim şekil değiştirmeler artarken gerilmelerin azalmaya başladığı görülmektedir. Ancak tek eksenli çekme gerilmesi etkisinde gözlemlenen deformasyonlar basınç gerilmesindekinden oldukça farklıdır. Agrega harç arayüzünün düşük çekme dayanımı sebebiyle betonun çekme dayanımının düşük olduğu bilinmektedir. Arayüzün kompozit malzemelerdeki en zayıf halka olduğu ve çatlakların burada oluştuğu belirlenmiştir. 3.1.2.1 Tekrarlı Yükler Altında Beton Davranışı Şekil 3.3.’te çekme etkisinde tekrarlanan yükler altında oluşturulan gerilme birim şekil değiştirmeye ait zarf eğrisi sunulmaktadır ve bu zarfın tipik eksenel çekme gerilmesi tepkisiyle oldukça benzer olduğu görülmektedir (Reinhardt ,1984). Eğrinin çekme dayanımına erişene kadar doğrusal devam ettiği varsayılır. Çekme dayanımına erişilene kadar mikro çatlaklar kararlıdır (Alfarah, B., 2017). Maksimum çekme gerilmesi değerine karşılık gelen birim şekil değiştirme değeri aşıldığında gerilme değerlerinde azalma görülür ve yumuşama olarak adlandırılır. Bu yumuşamanın nedeni çatlaklarda meydana gelen genişlemelerdir. Boşalma ve yeniden yüklenme yolları incelendiğinde başlangıç rijitliğindeki önemli bozulma gözlemlenebilir. Yük tekrarı arttıkça çıkış eğimi de azalmaktadır. Şekil 3.3. Çekme etkisinde tekrarlı yükler altındaki beton davranışı 3.2 Betonun Çok Eksenli Gerilme Altında Davranışı Farklı yük etkilerine maruz kalan betonarme elemanlarda beton çok yönlü gerilme altındadır. Bu nedenle betonun çok yönlü gerilme etkisindeki dayanım ve davranışını 13 inceleyen pek çok çalışma yapılmıştır. Betonun çok yönlü gerilmeler altındaki dayanımı belirli kırılma kriterleri ile her durumda doğru olacak şekilde hesaplanamamaktadır. Betonun homojen bir malzeme olmaması, mikro çatlaklar içermesi ve deneysel zorluklar bunun başlıca nedenleridir. 3.2.1 Betonun Çift Eksenli Gerilme Altındaki Davranışı Betonarme yapı elemanları iki eksenli veya üç eksenli gerilme etkisinde kalabilir. Çift eksenli gerilme hali bir yöndeki asal gerilmelerin sıfır ya da ihmal edilebilir olduğu durumdur. Yapılan deneylerden elde edilen zarf eğrisi kırılma kriterleri olarak kullanılmaktadır. Her iki yöndeki gerilmelerin çekme etkisinde olduğu zarf eğrisi incelendiğinde tek eksenli gerilme durumundan elde edilen dayanımdan farklı olmadığı görülmektedir(Kupfer vd., 1969). Basınç ve çekme gerilmelerinin birbirine dik olarak uygulandığı durumda ise dayanım eksenel çekme dayanımından daha küçüktür. Her iki yönde de basınç gerilmesinin uygulandığında ise tek eksenli basınç dayanımından daha büyüktür. 3.2.2 Betonun Üç Eksenli Gerilme Altındaki Davranışı Betonarme yapılardaki elemanlar çoğu zaman üç eksenli gerilme etkisindedir. Yapılan çalışmalarda her üç yön içinde basınç gerilmesi tercih edilmiştir. Yanal basınç gerilmeleri birbirine eşit olarak uygulanmış ve 1’in dayanıma etkisi gözlemlenmiştir. Yanal basıncın artmasıyla deformasyon kapasitesinin ve dayanımın arttığı saptanmıştır. Şekil 3.4.’te betonun üç eksenli gerilme altındaki davranışı (2 = 3) sunulmaktadır(Ersoy, 2017). 14 Şekil 3.4. Betonun üç eksenli gerilme altındaki davranışı 3.3. Sargılı Beton Davranışı Boyuna donatıyı kuşatan enine donatılar birçok betonarme elemanda mevcuttur. Etriye veya fretle kuşatılan betonlar sargılı beton olarak isimlendirilmektedir. Sargılı betonun gerilme birim şekil değiştirme ilişkisi sargısız betonunkinden oldukça farklıdır. Sargı etkisi süneklik ve dayanımı olumlu yönde etkilemektedir. Aynı zamanda betonda maksimum dayanıma karşılık gelen co değerini de arttırmaktadır. Betonun tüm bu özelliklerinin ve davranışlarının modele aktarılması oldukça zordur. Malzeme içerisinde meydana gelen mikro düzeydeki olayların ancak sınırlı bir kısmı modele yansıtılabilir. Bu durumda da gerçekte var olan davranışın yakalanabilmesi ve modelle canlandırılabilmesi tam olarak mümkün olmayacaktır. Son dönemde beton için analitik model öneren birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalar başlangıçta betonun davranışını elastik olarak tanımlarken, son dönemde geliştirilen modellerde plastisite, hasar ve kırılma mekaniği kullanılmaktadır. Farklı yükleme durumları için geliştirilen bu modeller kabul edilebilir düzeyde sonuçlar sunmaktadır. Sonlu Elemanlar Modellerinde beton davranışının tanımlanabilmesi için önerilen birçok beton hasar modeli mevcuttur. 15 3.4 Betonarme Elemanların Sonlu Elemanlar Yönteminde Modellenmesi Üç boyutlu betonarme yapıların sonlu elemanlar yöntemiyle ile modellenebilmesi için başlıca 3 teknik esas alınmaktadır. Beton ve yapı çeliğinin kompozit sürekliliği temsil edecek şekilde bir araya getirilmesi bu yaklaşımların temelini oluşturmaktadır. Yaygın olarak kullanılan 3 temel modelleme tekniği ayrık model, yayılı model ve gömülü modeldir. Her modelleme tekniğinin birbirine göre avantajları ve dezavantajları mevcuttur. Modelleme tekniği seçilirken uygulamanın türü ve donatı etkisinin yansıtılması için gerekli ayrıntı düzeyi göz önüne alınmalıdır. Betonun karmaşık davranışının modelleme ile yansıtılabilmesi için beton malzeme özelliklerinin doğru şekilde tanımlanması en önemli kriterlerden biridir. 3.4.1 Ayrık Model Donatı çubuğunun betonun düğüm noktalarıyla bağlandığı modelleme tekniğidir. “Shared nodes” olarak adlandırılan ortak düğüm noktalarında beton ve donatı aynı düğüm noktalarını paylaşır. Donatı çubuğunun kapladığı bölgede beton alanı da bulunmaktadır. Bu modelleme tekniğinde donatı ve betonun tam bağlı olduğu varsayımı da yapılabilmektedir. Bu durumda donatı ve beton arasında deplasman uyumu gözlemlenir. Ayrık modelleme tekniğinin dezavantajı ise betonun düğüm noktaları donatının konumu ile sınırlandırılmıştır. Donatı sıyrılmasının önemli olduğu modellemelerde hayali yay elemanlar kullanılarak beton ve donatı çubuğu arasındaki aderans (bağ) gerilmesi ve sıyrılma ilişkisi tanımlanabilmektedir. Kullanılan hayali yay elemanlar, beton ve donatı çubuğunun düğüm noktalarını aynı koordinat noktasında bağlamaktadır (Murthy vd., 2012). Bu link elemanlarının fiziksel bir boyutu yoktur ancak mekanik özellikleri, tanımlanan aderans (bağ) gerilmesi-donatı sıyrılma ilişkisi, önem taşımaktadır (Ottosen, 1980). Şekil 3.5.’te ayrık model için şematik gösterim sunulmaktadır (Khalid, 2017). 16 Şekil 3.5. Ayrık (discrete) model 3.4.2 Yayılı model Yayılı modelleme, donatı elemanının beton boyunca düzgün olarak dağıldığı varsayımına dayanmaktadır. Bu modellemede ihtiyaç duyulan malzeme modeli özellikleri, beton ve donatının ayrı ayrı özelliklerinin kompozit teorisiyle bir araya getirilmesiyle oluşturulur. Donatı detaylarının yapı sisteminin tepkisinde önemli olmadığı ve yapının genel davranışının belirlenmesinin istendiği büyük yapı modellerinde kullanılmaktadır (Ottosen, 1980). Şekil 3.6.’da yayılı model gösterimi sunulmaktadır (Murthy vd., 2012). Şekil 3.6. Yayılı (smeared) model 17 3.4.3 Gömülü model Gömülü modellemede, ayrık modelleme tekniğinin aksine beton ve donatı çubuğu için tanımlanan düğüm noktaları birbirinden farklı koordinatlarda olabilir. Bu modelleme tekniğinde betonun düğüm noktalarındaki kısıtlamalar ortadan kaldırılmıştır. Beton ve donatı çubuğunun kesişim noktaları için ayrı segmentler tanımlanır. Gömülü modelde beton ve donatı çubuğunun rijitlik matrisleri birbirinden bağımsız değerlendirilir ancak donatı çubuğunun etrafında yer alan beton eleman ile donatı çubuğunun yer değiştirmeleri uyum içerisindedir. Betonarme yapılarda davranışın karmaşıklığı göz önüne alındığında gömülü modelleme ile büyük bir avantaj elde edilirken ek düğüm noktalarına ihtiyaç duyulması sebebi ile analiz süresi büyük oranda artar (Ottosen, 1980). Şekil 3.7.’ de gömülü model gösterimi sunulmaktadır (Murthy vd., 2012). Şekil 3.7. Gömülü (Embedded) model 3.4.4 Doğrusal Olmayan Davranış ve Plastisite Sünek bir malzeme akma sınırı aşılmayacak şekilde yüklendiğinde gerilme ile birim şekil değiştirme arasındaki ilişki doğrusal olarak devam eder. Bu durumda HOOKE yasası geçerlidir. Ancak malzemenin akma sınırı aşılırsa malzeme kalıcı olarak şekil değiştirir 18 ve plastik deformasyonlar meydana gelir. Plastisite teorisi, bir malzemenin elastik sınırlarını aşarak kalıcı şekil değiştirmeye başladığı ve bu değişikliklerin geri alınamayacağı durumu modelleyen bir teoridir. Klasik plastisite teorisi sünek malzemelerin davranışının tanımlanmasında kullanılmaktadır. Gevrek malzemelerin davranışı tanımlanırken kullanıldığı durumlarda bazı kısıtlamalar getirir ve eksik kalabilir. Bu nedenle hasar mekaniği ile kullanılması gerekebilir. Plastisite, malzemenin gerilme dağılımında önemli değişiklikler yaratabilir. Özellikle, kesitlerde gerilme birikmesi (gerilme yığılması) ve yoğunlaşması görülebilir. Malzemenin hasar görme sınırına ulaşması birçok değişkene bağlıdır ve tanımlanması oldukça zordur. Plastik davranışın basit ve gerçeğe uygun şekilde belirlenebilmesi için bazı teori ve kriterlere ihtiyaç duyulur. Çeşitli malzeme özelliklerinin ve davranışlarının tanımlanabilmesi için çok sayıda akma kriteri geliştirilmiştir. Akma kriteri, bir malzemenin plastik şekil değiştirmeye başlaması için gerekli olan gerilme düzeyini belirleyen şartlardır. Aynı zamanda akma kriterine bağlı olarak malzemenin elastik ve plastik davranışlarını ayıran akma yüzeyleri de tanımlanmaktadır. Yük altında, malzeme akma yüzeyine ulaştığında plastik deformasyonun başladığı varsayılmaktadır. Akma kriterleri gerilme etmenli varsayımlar, şekil değiştirme etmenli varsayımlar, enerji esaslı varsayımlar olarak 3 ana başlık altında toplanabilir. Beton söz konusu olduğunda da malzeme ve geometri için uygun bir akma kriteri ve elastik deformasyonun geri dönmesi özelliklerinin iyi bir şekilde tanımlanması gerekmektedir. Plastisite teorisinin esas alındığı modellerde birim şekil değiştirme elastik ve plastik olarak iki kısma ayrılmaktadır. Elastik birim şekil değiştirme ve plastik birim şekil değiştirme değerleri toplamı malzemenin toplam birim şekil değiştirme değerlerini () vermektedir ve Denklem 3.1 ile hesaplanmaktadır.  = 𝑒 + 𝑝 (3.1) Elastik birim şekil değiştirme ve plastik birim şekil değiştirme sırasıyla 𝑒 ve 𝑝 ile gösterilmektedir. 19 3.5 Akma Kriterleri Analitik modeli oluşturulacak elamanlar için malzemeler tanımlanırken, bu malzemeye ait dayanım ve deformasyon ilişkilerinin gerçeğe en yakın şekilde belirlenmesi gerekmektedir. Bu nedenle kullanılacak akma kriteri seçilirken malzemenin karakteristik özellikleri, kullanılacak problemin türü ve akma kriterlerinin geçerlilik alanlarının sınırlılığına dikkat edilmelidir. Plastisite kuramları sünek ve gevrek malzemeler için farklılık göstermektedir. Sünek malzemelerin akma durumu şartları belirlenirken gevrek malzemeler için kırılma kopma veya ezilmesine neden olacak gerilme değerlerinin belirlenmesi gerekmektedir. En Büyük Kayma Gerilmesi (TRESCA) ve Biçim Değiştirme Enerjisi (Von Mises) kriterleri çekme ve basınç etkisi altında benzer davranış gösteren sünek malzemeler için kullanılan akma kriterleridir. Mohr-Coulomb, Drucker- Prager ve Bresler-Pister akma kriterleri gevrek malzemeler için kullanılmaktadır. Bugüne kadar betonun farklı özelliklerini göz önünde bulunduran birçok akma kriteri geliştirilmiştir. Bu kriterler, içerdikleri parametre sayılarına göre Şekil 3.8.’deki gibi gruplandırılabilir. 20 Şekil 3.8. Kullanılan parametre sayısına göre akma kriterleri Akma kriterlerinin düzgün bir şekilde açıklanabilmesi için bazı terimlerin açıklanmasına ihtiyaç duyulmaktadır. Betonu izotropik bir malzeme olarak kabul ederek geliştirilecek beton akma kriteri, gerilme durumunun ( 𝑖𝑗 ) invaryantlarına dayanan bir fonksiyon şeklinde olmalıdır. Akma kriteri asal gerilmeler cinsinden Denklem 3.2 ile yazılabilir. 𝐹(1,2,3) (3.2) 1,2,3 sırasıyla en büyük, ortanca ve en küçük asal gerilmelerdir. Denklem 3.2’deki fonksiyon sıfıra eşit olduğunda malzemenin göçme sınır durumuna ulaştığını göstermektedir. Sıfır değerinden küçük olduğu durumlarda malzemenin elastik bölge sınırları içerisinde olduğu anlaşılmaktadır. Akma fonksiyonu invariantlar ile Denklem 3.3’teki gibi ifade edilebilir. Akma Kriterleri Bir Parametreli Modeller Rankine Kriteri Von Mises Kriteri Tresca kriteri İki Parametreli Modeller Mohr-Coulomb Kriteri Drucker-Prager Kriteri Genişletilmiş Tresca Kriteri Üç Parametreli Modeller Bresler-Pister Kriteri Lade Kriteri Chen-Chen Kriteri Li-Harmon Kriteri Dört Parametreli Modeller Ottosen Kriteri Reimann Kriteri Hsieh-Thing- Chen Kriteri Beş Parametreli Modeller William-Warnke Kriteri 21 𝐹(𝐼1; 𝐽2; 𝐽3) (3.3) 𝐼1 Cauchy gerilme tensörünün birinci değişmezidir (Gerilme tensörünün birinci invariantı). 𝐼1 tensörün koordinat dönüşümünden bağımsız bir özelliktir ve her durumda aynı değeri alır. Bu yüzden invariant olarak kabul edilir. 𝐽2 ve 𝐽3 sırasıyla deviatorik gerilme tensörünün (𝑠𝑖𝑗) ikinci ve üçüncü invariantıdır. Bir malzemenin gerilme durumu, bir gerilme tensörü ile temsil edilir. Bu tensör, malzemenin farklı eksenlerindeki gerilmeleri ve bu gerilmelerin karşılıklı ilişkilerini gösterir. Gerilme tensöründeki toplam gerilme, hem hidrostatik (basınç) gerilme hem de deviatorik (şekil değiştiren) gerilme bileşenlerinden oluşur. Genel gerilme tensöründen yalnızca normal gerilmelerden oluşan ortalama hidrostatik gerilme tensörü 𝑚𝛿𝑖𝑗’nin çıkarılmasıyla 𝑠𝑖𝑗 deviatorik gerilme tensörü elde edilir. Denklem 3.3’te bu eşitlik verilmektedir. 𝑠𝑖𝑗 = 𝑖𝑗 − 𝑚𝛿𝑖𝑗 (3.3) Burada 𝛿𝑖𝑗 Kronecker delta fonksiyonudur. Gerilmenin tüm yönlere eşit dağıldığı durumu simgeler. 𝑖 = 𝑗, 𝛿𝑖𝑗 = 1 diğer durumlar için 𝛿𝑖𝑗 = 0. Genel gerilme tensörü Denklem 3.4’te sunulmaktadır. Bu tensör formu, bir noktanın gerilme durumunun üç dikey düzlemdeki bileşenleri aracılığıyla konvansiyonel bir temsilidir. 𝛿𝑖𝑗 fonksiyonu Denklem 3.5’te, ortalama normal gerilme değeri m Denklem 3.6’da, 𝑠𝑖𝑗 deviatorik gerilme tensörü Denklem 3.7’de sunulmaktadır (Oller, 2014). 𝑖𝑗 = [ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ] (3.4) 𝛿𝑖𝑗 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] (3.5) 𝑚 = 𝑚 = ( 1 + 2 + 3 3 ) (3.6) 22 𝑠𝑖𝑗 = [ 11 − 𝑚 12 13 21 22 − 𝑚 23 31 32 33 − 𝑚 ] (3.7) 𝐼1 saf hidrostatik gerilme halini, 𝐽2 ve 𝐽3 asal kayma gerilmesi durumunu temsil etmektedir. Betonun göçme yani dayanım sınırına ulaşması bu üç gerilme bileşeninin birleşik etkisi ile tanımlanmaktadır. Gerilme invariantları Denklem 3.8-Denklem 3.10’da sunulmaktadır (Chen W.F., 2007). 𝐼1 = 𝑖𝑗 = 1 + 2 + 3 (3.8) 𝐽2 = 1 2 (𝑠1 2 + 𝑠2 2 + 𝑠3 2) (3.9) 𝐽3 = 𝑠1𝑠2𝑠3 (3.10) 3.5.1 Mohr-Coulumb Akma Kriteri Coulumb’un kayma gerilmesi varsayımının Mohr tarafından bir adım daha öteye taşınması sebebiyle bu isimle anılmaktadır. Mohr-Coulomb akma kriteri, Coulomb'un kayma teorisinin daha kapsamlı ve geliştirilmiş halidir. Coulomb kayma gerilmesi varsayımı gevrek malzemeler için yetersiz kalmıştır ve Mohr tarafından içsel sürtünme etkisi bu kritere dahil edilerek gevrek malzemeler için kullanılabilir hale getirilmiştir. Kayaç, beton gibi malzemelerin ve bazı zemin türlerinin gerilme davranışlarını modellemek ve analiz etmek için en sık başvurulan yöntemlerdendir. Basitliği, uygulama kolaylığı ve doğruluğu sık tercih edilme sebeplerindendir. Bir malzemenin akma durumuna geçmeden önce maruz kaldığı normal gerilme ve kayma gerilmesinin arasındaki ilişkiyi tanımlar. En büyük kayma gerilmesi ve iç sürtünme malzeme dayanımındaki azalmanın nedeni olarak görülmektedir. Bu kuramda bazı malzemeler için zarf eğrileri çizilmiştir. Zarf eğrisi belirlenen bir malzeme için 2 durum söz konusudur. Sınır zarf eğrisinin yüklemeye ait en büyük Mohr dairesini kesip kesmediğine bakılmalıdır. Eğer kesmiyorsa yükleme sınır değere yaklaşmamıştır. Zarf eğrisinin en büyük Mohr dairesine teğet olma durumunda ise yüklemenin sınırda olduğu kabul edilir. Mohr- Coulomb akma kriterinin tek olumsuz yönü ise ortanca normal gerilme değerini 23 (2) ihmal etmesidir. Bu olumsuzluğun giderilmesi için gerilme invariantları kullanılarak bazı denklemler türetilmiştir. Bu varsayımda akma durumunu tanımlayan 2 ana unsur mevcuttur ve aralarınki ilişki Denklem 3.11‘de gösterildiği şekilde ifade edilmektedir.  = 𝑐 + 𝑛 tan() (3.11) τ Kayma gerilmesi (Akma sırasında malzemenin maruz kaldığı kayma gerilmesi) olmak üzere c kohezyon (Zarf doğrusunun τ ekseniyle kesişim noktası), n normal gerilme ve  içsel sürtünme açısıdır. Şekil 3.9.’da Mohr-Coulomb akma kriteri sunulmaktadır (Oller, 2014). Şekil 3.9. Mohr-Coulomb kriterine göre bir noktadaki gerilme durumu Üç eksenli gerilme durumu için en büyük asal gerilme 1, ortanca asal gerilme 2 ve en küçük asal gerilme 3 olmak üzere normal gerilme ve kayma gerilmesi Denklem 3.12 ve Denklem 3.13 kullanılarak hesaplanabilir(Al-Ajmi & Zimmerman, 2005). 1 − 3 = ( 1 + 3) sin  + 2𝑐 cos  24 𝑚 = ( 𝑚 ) sin  + 𝑐 cos  #3.13 Maksimum kayma gerilmesi Denklem 3.14 ile bulunmaktadır. 𝑚 = 1 − 3 2 (3.14) Maksimum kayma gerilmesi 𝑚, en büyük asal gerilme 1, en küçük asal gerilme 3 ile simgelenmiştir. 1 − 3 değeri Mohr dairesinin çapıdır. Ortalama normal gerilme Denklem3.15 ile hesaplanmaktadır. 𝑚 = 1 + 3 2 (3.15) 𝑚 Ortalama normal gerilmedir. Üç eksenli Mohr-Coulomb akma kriteri, ana gerilmelerin bir fonksiyonu Denklem 3.16- Denklem 3.18 kullanılarak belirlenebilir. 𝐹(; 𝑐; ) = [( 1 − 3 2 ) cos ] − 𝑐 − [−( 1 + 3 2 ) − ( 1 − 3 2 ) sin ] = 0 (3.16) 𝐹(; 𝑐; ) = ( 1 − 3 2 ) + ( 1 + 3 2 ) sin  − 𝑐 cos  = 0 (3.17) 𝐹(𝐼1; 𝐽2; ; 𝑐; ) = 𝐼1 3 sin + √𝐽2 (cos − sin  sin  √3 ) − √6𝑐() cos  = 0 (3.18) 𝐼1 Cauchy gerilme tensörünün birinci değişmezidir (Gerilme tensörünün birinci invariantı) ve 𝐽2 deviatorik gerilme tensörünün ikinci invariantıdır. Üç boyutlu gerilme durumundan ortalama hidrostatik gerilmesinin çıkarılmasıyla deviatorik gerilmeler elde edilir. Şekil 3.10 ‘da Mohr-Coulomb akma yüzeyi sunulmaktadır (URL-1). 25 Şekil 3.10. Mohr-Coulomb akma kriteri 3.5.2 Drucker-Prager Akma Kriteri Drucker-Prager akma kriteri, Mohr-Coulomb akma kriterinin genelleştirilmiş halidir. Üç boyutlu, basınca bağlı bir kriter olup beton, kayaç gibi gevrek malzemelerin akma kriterlerinin belirlenmesi için kullanılmaktadır. Gevrek malzemelerin nihai dayanımlarına ulaştığı gerilme seviyelerini tahmin etmek için başvurulan bir akma kriteridir. Mohr-Coulomb kriterinin akma yüzeyi altıgendir ve yalnızca 6 kenardan hangisinin probleme uygulanacağının bilindiği durumlar için uygundur. Bilinmediği durumlarda sayısal çözüm elde edilirken büyük zorlukları beraberinde getirebilir. Drucker-Prager akma kriterine ait akma yüzeyi tanımlanırken düzgün yüzeyli bir koni kullanılır bu da Mohr-Coulomb uygulanırken karşılaşılan problemleri ortadan kaldırır. Çok eksenli gerilme ile kayma gerilmesini birleştirir. 1 , 2 , 3 gerilmeleri asal gerilmeler olmak üzere 1 en büyük asal gerilme, 2 , ortanca asal gerilme, 3 en küçük asal gerilmedir. Tek eksenli gerilme etkisinde (Çekme) 1 = 𝑓𝑡 ′,2 = 3 = 0 olmak üzere; Denklem 3.19 ile tek eksenli basınç altındaki akma kriteri bulunur. 26 ( + 1 √3 ) 𝑓𝑡 ′ −  = 0 (3.19) Tek eksenli gerilme etkisinde (Basınç) 3 = −𝑓𝑐 ′,1 = 2 = 0 olmak üzere Denklem 3.20 ile akma dayanımı belirlenebilir (Drucker, D. C., & Prager, W. 1952). (−+ 1 √3 ) 𝑓𝑐 ′ −  = 0 (3.20) 𝑓𝑡 ′ ve 𝑓𝑐 ′ sırasıyla tek eksenli çekme ve basınç gerilmesi etkisindeki akma dayanımlarıdır.  Malzemenin içsel özelliklerine bağlı bir katsayı (kohezyon ve içsel sürtünme açısına bağlıdır) olmak üzere  ise malzeme sabitidir. Bu kriter çok eksenli gerilme etkisindeki beton davranışını yansıtabilmek için kullanılabilir. Şekil 3.11.’de asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Drucker-Prager akma yüzeyi görselleştirilmiştir (Oller, 2014). Şekil 3.11. Asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Drucker-Prager akma yüzeyinin görünümü 27 Denklem 3.21 ile Drucker-Prager çok eksenli akma kriteri gerilme tensörünün invariantı ve deviatorik gerilme tensörü cinsinden ifade edilebilir (Oller, 2014). 𝐹(𝐼1; 𝐽2; 𝑐; ) = 𝑦 = 𝐼1 + √𝐽2 −  = 0 (3.21) 𝑦 plastikleşmenin başladığı gerilme değeridir.  Malzemenin içsel özelliklerine bağlı bir katsayı (kohezyon (c) ve içsel sürtünme açısına () bağlıdır) olmak üzere  ise malzeme sabitidir. 𝐼1 Gerilme tensörünün birinci invariantı ve 𝐽2 deviatorik gerilme tensörünün ikinci invariantıdır. Gerilme tensörünün birinci invariantı 𝐼1 asal gerilme bileşenlerinin toplamıdır ve Denklem 3.22 kullanılarak hesaplanmaktadır. 𝐼1 = 1 + 2 + 3 (3.22) Deviatorik gerilme tensörünün ikinci invariantı Denklem 3.23 ile bulunmaktadır. 𝐽2 = 1 6 [(1 − 2) 2(2 − 3) 2(3 − 1) 2] (3.23) Malzemenin içsel özelliklerine bağlı  katsayısı Denklem 3.24 ve  malzeme sabiti Denklem 3.25 ile bulunmaktadır (McLean & Addis, 1990).  = 𝑓𝑐 ′ − 𝑓𝑡 ′ √3(𝑓𝑐′ + 𝑓𝑡 ′) = 2 sin  (3 − sin )√3 (3.24)  = 2(𝑓𝑐 ′𝑓𝑡 ′) √3(𝑓𝑐′ + 𝑓𝑡 ′) = 6𝑐 cos  (3 − sin )√3) (3.25) Drucker-Prager ve Mohr-Coulomb akma yüzeylerinin karşılaştırması Şekil 3.12.’de sunulmaktadır (Garner vd., 2015). 28 Şekil 3.12. Drucker-Prager ve Mohr-Coulomb akma yüzeylerinin karşılaştırması 3.5.3 Bresler-Pister Akma Kriteri Drucker-Prager akma kriterinin genişletilmiş halidir. Çoklu gerilme bileşenlerinin etkisini yansıtır (Bresler & Pister, 1958). Çok eksenli gerilme durumlarında malzemenin akma davranışının ve plastik deformasyonunun tanımlanması amacıyla geliştirilmiştir. Drucker-Prager akma kriteri Denklem 3.26 kullanılarak oktahedral gerilmeler cinsinden elde edilebilir (Dede & Ayvaz, 2010). 𝑜𝑐𝑡 𝑓𝑐′ = 𝑎 − 𝑏 𝑜𝑐𝑡 𝑓𝑐′ + 𝑐 ( 𝑜𝑐𝑡 𝑓𝑐′ ) 2 (3.26) Burada a, b, c akma kriterindeki malzeme parametreleridir. Normali, üç asal doğrultu ile eşit açı yapan oktahedral kesitte oktahedral normal gerilme (𝑜𝑐𝑡) ve oktahedral kayma gerilmesi (𝑜𝑐𝑡) Denklem 3.27 ve Denklem 3.28 kullanılarak hesaplanabilir. 𝑜𝑐𝑡 = √ 2 3 𝐽2 (3.27) 𝑜𝑐𝑡 = 𝐼1 3 (3.28) 𝑓𝑡 ′, 𝑓𝑐 ′ Sırasıyla tek eksenli çekme dayanımını ve tek eksenli basınç dayanımı simgelemektedir. 29 𝑎, 𝑏, 𝑐 parametreleri Denklem 3.19- Denklem 3.22 kullanılarak elde edilebilir (Dede & Ayvaz, 2010). 𝑎 = √2 3 𝑓𝑡 ′̅𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ (8𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ + 𝑓𝑡 ′̅ − 3) 𝛥 (3.29) 𝑏 = √2 (4𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ 2 − 𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ − 𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ 𝑓𝑡 ′̅ + 𝑓𝑡 ′̅) (1 − 𝑓𝑡 ′̅) 𝛥 (3.30) 𝑐 = 3√2(3𝑓𝑡 ′̅𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ − 𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ − 2𝑓𝑡 ′̅) 𝛥 (3.31) 𝛥 = (2𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ − 1)(2𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ + 𝑓𝑡 ′̅)(1 + 𝑓𝑡 ′̅) (3.32) 𝑓𝑏𝑐 ′ Eşit iki eksenli basınç dayanımını 𝑓𝑡 ′̅ ve 𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ normalleştirilmiş dayanımları temsil etmektedir ve sırasıyla eşitlikleri Denklem 3.33 ve Denklem 3.34’te sunulmaktadır. 𝑓𝑡 ′̅ = 𝑓𝑡 ′ 𝑓𝑐′ (3.33) 𝑓𝑏𝑐 ′̅̅ ̅̅ = 𝑓𝑏𝑐 ′ 𝑓𝑐′ (3.34) Şekil 3.13.’te Asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Bresler-Pister akma kriteri görselleştirilmiştir (URL-2). 30 Şekil 3.13. Asal gerilmelerin 3 boyutlu uzayında Bresler-Pister akma kriteri 3.5.4 William-Warnke Akma Kriteri 1975 yılında William ve Warnke tarafından çok eksenli gerilme durumunun ve akma koşullarının belirlenebilmesi için önerilmiştir. Bu model 5 farklı değişken ile tanımlanmıştır ve tüm bu değişkenler sıcaklığa bağlıdır. Akma yüzeyi sınırları aşıldığında betonda hasar oluşacaktır. William-Warnke kriterine ait akma yüzeyi Denklem 3.35 ile hesaplanmaktadır (William, K.J. & Warnke, E.P., 1975) 𝐹 𝑐 − 𝑆 ≥ 0 (3.35) 𝐹 asal gerilmelerin bir fonksiyonudur. 𝑐 tek eksenli basınç dayanımını temsil etmektedir ve 𝑆 akma yüzeyidir. 1 , 2 , 3 gerilmeleri asal gerilmeler olmak üzere 1 en büyük asal gerilme, 2 , ortanca asal gerilme, 3 en küçük asal gerilmedir. Ortalama normal gerilme Denklem 3.36 ve asal gerilme fonksiyonu Denklem 3.37’de asal gerilmeler cinsinden tanımlanmıştır. 𝑚 = 1 + 2 + 3 3 (3.36) 31 𝐹 = √[(1 − 2)2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)2] √15 (3.37) Ortalama normal gerilme 𝑚’dir. 𝑓𝑏𝑐 = 1.20𝑓𝑐 (3.38) 𝑓1 = 1.45𝑓𝑐 (3.39) 𝑓2 = 1.7255𝑓𝑐 (3.40) 𝑓1 Hidrostatik gerilme durumu için birleştirilen çift eksenli basınç dayanımını ve 𝑓2 hidrostatik gerilme durumu için birleştirilen eksenel basınç dayanımını ifade etmektedir. 𝑓𝑐 ve 𝑓𝑏𝑐 Sırasıyla eksenel çekme dayanımını, eksenel nihai basınç dayanımını ve çok eksenli nihai basınç dayanımını simgelemektedir. F Fonksiyonu ve S akma yüzeyi 4 farklı durum için ayrı ayrı tanımlanmaktadır. Beton için 4 farklı akma kriteri tanımlanmaktadır. 1. Basınç-basınç-basınç durumu (0 ≥ 1 ≥ 2 ≥ 3) 2. Çekme-basınç-basınç durum (1 ≥ 0 ≥ 2 ≥ 3) 3. Çekme-çekme-basınç durumu (1 ≥ 2 ≥ 0 ≥ 3) 4. Çekme-çekme-çekme durumu (1 ≥ 2 ≥ 3 ≥ 0) 1. Basınç-basınç-basınç durumu (0 ≥ 1 ≥ 2 ≥ 3) Tüm gerilmelerin basınç olması durumu için F fonksiyonu ve S akma yüzeyi Denklem 3.31 ve Denklem 3.32 ile elde edilebilir. 𝐹 = 𝐹1 = √[(1 − 2)2+(2 − 3)2+(3 − 1)2] √15 (3.41) 𝑆 = 𝑆1 = 2𝑟2(𝑟2 2 − 𝑟1 2)𝑐𝑜𝑠𝜂 + 𝑟2(2𝑟1 − 𝑟2)√[4(𝑟2 2 − 𝑟1 2)𝑐𝑜𝑠2𝜂 + 5𝑟1 2 − 4𝑟1𝑟2] 4(𝑟2 2 − 𝑟1 2)𝑐𝑜𝑠2𝜂 + (𝑟2 − 2𝑟1)2 (3.42) 32 𝑐𝑜𝑠𝜂 = 21 − 2 − 3 √2√[(1 − 2)2 + (2 − 3)2 + (3 − 1)2] #3.43 F asal gerilmelerin bir fonksiyonudur. 𝑟1, 𝑟2 Asal gerilmelerin ve beton dayanımının bir fonksiyonudur ve sırasıyla Denklem 3.44 ve Denklem 3.45 kullanılarak hesaplanabilir. 𝑟1 = 𝑎0 + 𝑎1𝜀 + 𝑎2𝜀 2 (3.44) 𝑟2 = 𝑏0 + 𝑏1𝜀 + 𝑏2𝜀 2 (3.45) 𝜀 = ℎ 𝑓𝑐 (3.46) ℎ hidrostatik basınç gerilmesini, 𝑓𝑐 eksenel nihai basınç dayanımını temsil etmektedir. 2. Çekme-basınç-basınç durumu(1 ≥ 0 ≥ 2 ≥ 3) Çekme-basınç-basınç durumu için F fonksiyonu ve S akma yüzeyi Denklem 3.47 ve Denklem 3.48 ile elde edilebilir. 𝐹 = 𝐹2 = √[(1 − 2)2+(2 − 3)2+(3 − 1)2] √15 (3.47) 𝑆 = 𝑆2 = (1 − 𝜎1 𝑓𝑡 ) 2𝑝2(𝑝2 2 − 𝑝1 2)𝑐𝑜𝑠𝜂 + 𝑟2(2𝑝1 − 𝑝2)√[4(𝑝2 2 − 𝑝1 2)𝑐𝑜𝑠2𝜂 + 5𝑝1 2 − 4𝑝1𝑝2] 4(𝑝2 2 − 𝑝1 2)𝑐𝑜𝑠2𝜂 + (𝑝2 − 2𝑝1) 2 (3.48) 𝑝1 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋 2 (3.49) 𝑝2 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 + 𝑏2𝑋 2 (3.50) 𝑋 = ( 2 + 3) 3 (3.51) 33 𝑓𝑡 tek eksenli nihai çekme dayanımını, 𝑋 Ortalama normal gerilmeyi simgelemektedir. 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2 Deneysel verilerden elde edilen değişkenlerdir. 3. Çekme-çekme-basınç durumu (1 ≥ 2 ≥ 0 ≥ 3) Çekme-çekme-basınç durumunda F fonksiyonu ve S akma yüzeyi Denklem 3.52 ve Denklem 3.53 ile belirlenebilmektedir. 𝐹 = 𝐹4 = 𝑖; 𝑖 = 1,2 (3.52) 𝑆 = 𝑆3 = 𝑓 𝑡 𝑓𝑐 (1 + 3 𝑓𝑐 ) (3.53) 3 en küçük asal gerilmeyi, 𝑓𝑐 tek eksenli nihai basınç dayanımını ve 𝑓𝑡 tek eksenli nihai çekme dayanımını temsil etmektedir. 4. Çekme-çekme-çekme durumu (1 ≥ 2 ≥ 3 ≥ 0) Tüm gerilmelerin çekme olması durumu için F fonksiyonu ve S akma yüzeyi Denklem 3.54 ve Denklem 3.55 ile elde edilebilir. 𝐹 = 𝑖, 𝑖 = 1,2 (3.54) 𝑆 = 𝑆4 = 𝑓𝑡 𝑓𝑐 (3.55) 𝑓𝑐 eksenel nihai basınç dayanımını ve 𝑓𝑡 eksenel nihai çekme dayanımını temsil etmektedir. William-Warnke kriterine ait akma yüzeyi Şekil 3.14.’te sunulmaktadır(URL-3). 34 Şekil 3.14. William Warnke akma yüzeyi 3.6 Doğrusal Olmayan Analiz Yöntemleri Bir yapı sistemini oluşturan yapısal elemanların artan dış yük etkisi altında doğrusal olmayan davranışının nedenleri iki ana başlık altında incelenebilir. 1. Malzeme Davranışının Doğrusal Olmaması Artan dış yükler altında malzeme doğrusal elastik davransaydı birinci mertebe etkilerine göre yapılan çözümler yeterli olacaktı (Omurtag M.H., 2007). Ancak malzemenin orantılılık sınırını aşan yüklemelerde malzemeye ait gerilme birim şekil değiştirme ilişkisi doğrusallığını kaybetmektedir. Sıcaklık etkileri, sünme büzülme gibi zamana bağlı hacimsel değişiklikler ile yükleme geçmişi malzemenin doğrusal davranamama nedenlerindendir (Paulsgrove G.A., 2004). Betonarme doğrusal olmayan iki farklı malzemeden oluştuğundan betonarme elemanların davranışlarının gerçeğe uygun şekilde yansıtılabilmesi için bu malzemelerin özelliklerinin tanımlanmasında elastik ötesi durumun göz önüne alınması gerekmektedir. 2. Geometri değişimleri Geometri bakımından lineer olmama, yapıda yükleme esnasında ortaya çıkan büyük şekil değiştirmelerin geometride farklılaşmaya sebep olmasından kaynaklanmaktadır. Yükleme sonucunda ortaya çıkan yer değiştirmeler ve dönmeler sebebiyle değişen kesit geometrisi yapı sisteminin rijitliğini de büyük ölçüde değiştirmektedir. Rijitlikte meydana gelen bu önemli değişimler geometriden kaynaklı doğrusal olamama durumu olarak ifade 35 edilebilir (Paulsgrove G.A., 2004). Yapısal analizin gerçek hayattaki davranışları tam olarak yansıtabilmesi için ileri seviyedeki yer değiştirmelerin ve dönmelerin kritik öneme sahip olduğu yüksek binalar, köprüler gibi yapılarda geometrinin doğrusal olmamasının rijitliğe etkileri doğru şekilde tanımlanmalıdır. Yapı sistemlerinin davranışının doğrusal elastik sınırlar içerisinde kaldığı durumlarda yer değiştirmelerin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu varsayılmaktadır. Çoğu zaman servis yükleri etkisinde doğrusal çözüm yöntemleri yeterli olmaktadır. Birinci mertebe kuramının geçerliliği şekil değiştirmelerin ve yer değiştirmelerin çok küçük olduğu durumlarda söz konusudur. Malzeme elastik sınırların ötesinde zorlanmamalı ve şekil değiştirmemiş geometri üzerinden denge denklemleri yazılabilmelidir. Gerçekleştirilen analizlerin büyük çoğunluğu malzemenin homojen, izotropik, lineer elastik sınırlar içerisinde ve çatlamamış olduğunu varsayar ancak deneysel çalışmalar gerçek hayatta betonarme elemanların elastiklik sınırlarının ötesinde zorlanabildiğini göstermektedir (Ayoub, 1995). Elastik sınır aşıldığında meydana gelen yer değiştirmeler artar ve bu artış sonucunda ortaya çıkan şekil değiştirmeler iç kuvvet dağılımını değiştirir. Bu nedenle geometrik süreklilik denklemleri şekil değiştirmiş sistem üzerinden yapılmalıdır. Bünye Denklemleri: Malzemelerin gerilme- birim şekil değiştirme ilişkilerini tanımlar. Geometrik Uygunluk Koşulları: Sistemin mesnet noktalarının sürekliliğine ve uyumuna dayanan koşullardır. Denge Koşulları: Sistemde yer alan elemanların birleştiği düğüm noktaları için yazılan denge denklemleridir. Malzeme orantılılık sınırının dışına çıkacak şekilde zorlandığında akmaya ulaşmakta ve bundan sonra elastik şekil değiştirmelere plastik şekil değiştirmeler eklenmektedir. Yapı sisteminin davranışının gerçeğe yakın bir şekilde yansıtılabilmesi için sistemin doğrusal davranamamasına neden olan tüm etkenler belirlenmeli ve buna uygun bir model geliştirilmelidir. Malzeme fiziksel, kimyasal ve çevresel koşullara karşı oldukça karmaşık tepkiler verir. Artan dış yükler sebebiyle ortaya çıkan gerilmeler taşıma gücüne yaklaştıkça yer değiştirmeler ihmal edilebilir olmaktan çıkar. İleri yük düzeylerinde plastik deformasyonlar meydana gelir, çatlak oluşumu ve yayılımı gözlemlenir. Betonarme yapı elemanlarının çekme gerilmelerine karşı göstermiş oldukları direnç basınç gerilmelerine karşı gösterdiği direnç ile mukayese edildiğinde oldukça düşüktür. Çekme kuvvetine 36 maruz kalan elemanların düşük gerilme seviyelerinde çatladığı bilinmektedir. Bir asal gerilme sınır değeri aştığında aynı yöndeki asal gerilme doğrultusuna dik bir düzlemde çatlama meydana gelir. Tüm bu karmaşık tepkilerin malzeme modelleri aracılığıyla aktarılması gereklidir. Malzemenin dış yükler altındaki doğrusal olmayan davranışı modellenirken yükleme düzeyi, deformasyon oranı, termal etkiler başlıca göz önünde bulundurulan değişkenlerdir. Malzemenin doğrusal olmayan davranışının ortaya çıkması geometri değişimlerinden çok daha öncedir. Sonlu elemanlar programlarında doğrusal olmayan çözümleme yapılırken 3 farklı teknik kullanılabilir. 1. Artımsal Yöntem 2. İterasyon Yöntemi 3. Artımsal-İterasyon Yöntemi 3.6.1 Artımsal Yöntem Doğrusal olmayan sistemlerin çözümlenmesinde kullanılan bu yöntemde sistem üzerine uygulanacak yük bir dizi artıma bölünmektedir. Bu artımlarda sistem doğrusal kabul edilerek bir çözüm bulunur ve bu çözüm diğer adımın başlangıç koşullarını oluşturur. Bu çözüm yönteminde başlangıçta tanjant rijitlik matrisi tanımlanır. Tanjant rijitlik matrisinin temel amacı her bir yük artımında sistemin rijitliğini tanımlayarak, o yük artımının etkisini belirlemektedir. Bu yöntemin en önemli dezavantajlarından biri yöntemin her yük artımında gerçek çözümden uzaklaşmasıdır. Şekil 3.15.’te artımsal teknik sunulmaktadır (Khalid, 2017). 37 Şekil 3.15. Artımsal yöntem 3.6.2 İterasyon Yöntemi Tüm yük başlangıçta ve bir defada uygulanır. Sistem doğrusal olmadığından, yekpare uygulanan yükün neden olduğu kuvvet dağılımı dengeleninceye kadar iterasyonlara devam edilir (Rahmanian,2003). Çözüm için sisteme uygulanan dış kuvvetler ile sistemin iç kuvvet tepkilerinin dengelenmesi temel amaçtır. Her iterasyonda kuvvet dengesi tanjant matrisiyle (Jacobian matrisi) iyileştirilmektedir. Sistem tanjant rijitlik matrisi ile doğrusallaştırılır ve bu matris çözümün elde edilmesi için kritiktir. Her iterasyonda, uygulanan toplam yük ile sistemin ürettiği iç kuvvetler arasındaki fark (denge dışı kuvvetler) hesaplanır ve yakınsama kriteri kontrol edilir. Hesaplanan bu fark yani hata değeri belirlenen hata değerine yeteri kadar yaklaştığında kriterler sağlanmış çözüm yakınsamış olur ve iterasyon sonlandırılır. KT sistemin doğrusal olmayan özelliklerini modelleyen ve yerel doğrusal davranışı ifade eden bir matrisi temsil eder. İterasyon yöntemi Şekil 3.16.’da gösterilmektedir (Khalid, 2017). 38 Şekil 3.16. İterasyon yöntemi 3.6.3 Artımsal-İterasyon Yöntemler Artımsal- iterasyon yöntemlerinde sisteme etkitilecek toplam yük tek bir seferde değil küçük adımlara bölerek uygulanmaktadır. Her yükleme adımında denge denklemleri yeni başlangıç noktasına göre tekrar çözülmektedir. Denklem sistemleri, her yük adımında bir önceki adımdan gelen yer değiştirmelere göre doğrusallaştırılır. Doğrusallaştırma tanjant rijitlik matrisi (Jacobian matrisi) ile sağlanmaktadır. Denge denklemleri istenilen hassasiyete yaklaşıncaya kadar iterasyon devam eder. Doğrusal olmayan sistemlerin denge denklemleri ve hata değeri Denklem 3.56-Denklem 3.58 ile elde edilmektedir. [𝐾]{𝑢} − {𝐹} ≠ 0 (3.56) {𝐹𝑖𝑛𝑡} = [𝐾]{𝑢} (3.57) {𝐹𝑒𝑥𝑡} − {𝐹𝑖𝑛𝑡} = {𝑅} (3.58) 39 Burada; [K] rijitlik matrisini, {u} yer değiştirme vektörünü ve {F} kuvvet vektörünü göstermektedir. İç kuvvetler {𝐹𝑖𝑛𝑡}, dış Kuvvetler {𝐹𝑒𝑥𝑡} ile simgelenmiştir. Denge hatası (Dengelenmemiş kuvvet) {𝑅} ile gösterilmektedir. Hata değeri belirlenen seviyenin altına düşene kadar çözüm tekrarlanır. Yer değiştirme artımı Denklem 3.59 ile belirlenmektedir. 𝛥𝑢 = 𝐾−1𝑅 (3.59) 𝐾 = 𝜕𝐹𝑖𝑛𝑡 𝜕𝑢 (3.60) Yer değiştirme artımı 𝛥𝑢 ve tanjant rijitlik matrisi 𝐾 ile gösterilmektedir. Denklem 3.61- Denklem 3.63’te, iteratif çözüm yöntemi içinde iç kuvvet artışı ile yer değiştirme artışını ilişkilendirir. {𝛥𝐹𝑖𝑛𝑡} 𝑛+1 ≅ [𝐾]𝑛{𝛥𝑢}𝑛+1 (3.61) [𝐾]𝑛{𝛥𝑢}𝑛+1 = {𝐹𝑒𝑥𝑡} 𝑛+1 − {𝐹𝑖𝑛𝑡} 𝑛 (3.62) {𝑢}𝑛+1 = {𝑢}𝑛 + {𝛥𝑢}𝑛+1 (3.63) {𝛥𝐹𝑖𝑛𝑡} 𝑛+1 iterasyonun n+1. adımında iç kuvvetlerin değişim vektörüdür. [𝐾]𝑛 n. adımdaki Jacobian matrisidir. {𝛥𝑢}𝑛+1 n+1. iterasyondaki yer değiştirme artış vektörüdür. Dinamik yüklemelerin aksine statik yüklemelerde zamanın hiçbir önemi yoktur ancak yükleme sekansının düzenlenebilmesi için zaman kavramı kullanılmaya devam edilir. Zaman kavramı sistem üzerine uygulanacak dış yükün adımlara bölünerek yüklenmesi için kullanılmaktadır. Tüm yükün tek bir seferde uygulandığı yükleme durumunda problem için düzgün yakınsayan bir nihai çözüme ulaşmak oldukça zordur. Doğrusal olmayan modellerin çözümü için tekrarlamalı bir yükleme prosedürüne ihtiyaç duyulmaktadır. Şekil 3.17.’de artımsal iterasyon tekniği sunulmaktadır (Khalid, 2017). 40 Şekil 3.17. Artımsal- iterasyon tekniği 3.6.3.1 Newton Raphson Yöntemi ABAQUS Sonlu Elemanlar Analizi paket programında doğrusal olmayan problemlerin çözümünde Newton-Raphson yöntemi kullanılmaktadır. Bu çözümleme tekniğinde yük adım adım uygulanarak nihai sonuca kademeli olarak ulaşılır. Bu yöntem başlangıçta tahmin edilen çözüm noktasının çözüm alanı içinde olması şartıyla her iterasyonda yalnızca tek bir değerlendirmenin yapıldığı problemlerin çözümü için oldukça hızlı yakınsayan bir çözüm yöntemidir (Oller, 2014). Çözümün her iterasyonunda, daha iyi bir tahmin yapmak için mevcut tahminin doğruluğunu arttıran bir yaklaşımı temsil eder. Bu artımsal bir iyileştirme sürecidir ve her iterasyonla çözüm daha doğru hale gelir. Newton-Raphson yöntemi, asimptotik yakınsama oranının ikinci dereceden olduğu tek çözüm yöntemidir. Başlangıçta tahmin edilen çözüm noktasından hareketle her iterasyonda çözümün doğruluğunu iyileştirmektedir. Şekil 3.18.’de Newton-Raphson yöntemi gösterilmektedir (Zienkiewicz & Taylor, 2000). 41 Şekil 3.18. Newton-Raphson yöntemi 3.6.3.2 Modifiye Edilmiş Newton-Raphson Yöntemi Bu yöntemde çözüm için Jacobian matrisi kullanılmaktadır(Oller, 2014). 1. Başlangıç Rijitlik Metodu: Jacobian matrisi sürecin en başından sonuna kadar geçen sürede sabittir. Zaman Artışı Güncelleme Metodu: Jacobian matrisi her yük artışında güncellenmektedir. Şekil 3.19.’da Modifiye edilmiş Newton-Raphson yönteminin her iki türü de sunulmaktadır. Şekil 3.19. Modifiye edilmiş Newton-Raphson yöntemi 42 Lineer olmayan analiz, lineer analize kıyasla daha karmaşık bir yapı sergiler ve daha fazla zaman gerektirir. Bu tür analizlerde, birbirini takip eden benzer adımlarla çözüme ulaşılmaya çalışılır. Ancak çözüm sürecinde bazı zorluklar ortaya çıkar. Özellikle sistemin çok sayıda düğüm noktası ve elemandan oluştuğu durumlarda, bellek kullanımı ve işlem süresi ciddi ölçüde artar. Ayrıca, çözüm sırasında ıraksama, yavaş ilerleyen yakınsama süreçleri ve hesaplama verimliliğinin düşmesi gibi problemlerle de karşılaşılabilir. Bu faktörler, analizin hem zorluk derecesini hem de süresini önemli ölçüde etkiler. Yer değiştirme Kontrollü Yükleme Yük sistem üzerine etkitilirken yük kontrollü yükleme prosedürüne alternatif olarak deplasman kontrollü olarak da uygulanabilir. Tanjant rijitlik matrisi deplasman kontrollü yükleme için yük kontrollüden daha iyi şartlandırıldığı için tekrarlamalı yükleme prosedüründe daha erken yakınsama meydana gelmektedir. Analiz, uygulanan yükü bir dizi alt adıma bölerek ve her alt adım için iterasyon yaparak tamamlanır, ta ki çözüm yakınsama sağlanana kadar. Bu süreç, her yük adımında yapının davranışını hesaplar ve her adımda çözümün doğruluğunu arttırarak, nihai yük seviyesine ulaşır. Yakınsama, çözümün belirli bir hata toleransını aşmaması durumunda gerçekleşir, yani çözüm her adımda daha tutarlı ve doğru hale gelir. Eğer yakınsama sağlanamazsa, çözüm süreci sonlandırılır ve modelin parametreleri veya çözüm yöntemleri yeniden gözden geçirilir. Betonarme elemanların performanslarının belirlenebilmesi için başlangıç rijitliklerindeki bozulma son derece önemlidir. Çevrimsel yüklemeye tabi tutulacak nümerik modelin gerçek betonarme bir elemanın davranışını yakalayabilmesi için başlangıç rijitliğindeki bozulmanın modele yansıtılması gerekmektedir. Klasik plastisite teorileri sünek malzemelerin davranışının yakalanması için kullanıldığından betondaki rijitlik azalışını yansıtamamaktadır. 43 3.7 Hasar Mekaniği Modelleri Kohezyonlu-sürtünmeli malzemelerin rijitliklerinde meydana gelen azalmalarla ilgili pek çok deneysel çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalar kohezyonlu-sürtünmeli malzemelerin elastik bölge sınırları içerisinde dahi rijitliklerinde bozulmalar olduğunu göstermiştir. Malzemeler üzerinde 2 farklı rijitlik bozulması olayı gözlemlenmiştir. Bunlardan ilki elastik bozulma olarak adlandırılmıştır ve birikmiş enerjiye bağlıdır. İkincisi ise sürtünme hareketliliğine bağlı olan plastik bozulmadır. Hasar olgusu yalnızca malzemenin elastik özelliklerini etkilerken, plastisite plastik gerilmenin geri döndürülemez şekilde artması sonucu ortaya çıkar. Her iki olguda birbirini tamamlayıcı niteliktedir. Sürekli bir katının yük uygulanmasının ardından etkin gerilme alanının azalması elastik özelliklerindeki değişimin esas nedenidir. Malzemede hasar olgusu, malzemede kırılma veya kopma gerçekleşinceye kadar geçen sürede devamlılık göstererek ilerleyen fiziksel bir süreç olarak tanımlanabilir. Mikro ölçekte yapılan incelemelerde atomlar arası mesafenin kritik bir değere eriştiğinde atomlar arası enerjinin maksimum seviyesine ulaştığı gözlemlenmiştir. Sistem üzerine etkitilen dış yüklemenin sonucu olarak atomlar arası mesafe değişir, etkileşim enerjisi azalma gösterir ve kohezyon kuvvetlerinde de zayıflama meydana gelir. Tüm bu sürecin sonucu olarak malzeme içerisinde mikro boşluklar ve süreksizlikler oluşur. Sürekli katıların etkin gerilme alanında meydana gelen azalmalar ise mikro çatlakların gelişimi ve yayılımı sonucunda ortaya çıkmaktadır. 3.7.1 Betonun Farklı Yüklemeler Etkisinde Davranış Özelliklerinin Tanımlanması Betonun makroskobik düzeydeki davranışının modellenmesinde klasik plastisite yeterli olabilmektedir. Ancak çevrimsel yüklemeye maruz kalan betonda mikro çatlaklar meydana gelir ve bu mikro çatlaklar betonun rijitliğinde bozulmalara yol açar. Rijitlikteki bozulmaların klasik plastisite ile temsil edilmesi oldukça zordur. Sürekli hasar teorileri rijitlikteki bozulmaları gerilmelerin, efektif gerilmeler ile ilişkisini tanımlayarak modelleyebilmektedir. Bu durum sürekli hasar teorileri üzerinde kapsamlı incelemeler yapılmasını sağlamıştır. 44 Sürekli hasar teorisi 1958 yılında Kachanov tarafından sunulmuştur (Kachanov M.L., 1987). Elastik deformasyonların sebep olduğu malzeme dayanımdaki azalmaların mekanik olarak temsili ve malzemenin rijitliğindeki azalışlar Kachanov tarafından formülize edilmiştir ( Kachanov M. L., 1982). Ardından Rabotnov bu teoriyi 1963 yılında öne sürdüğü efektif gerilme teorisiyle daha da geliştirmiştir. 1970’li yıllarda sürekli ortam mekaniğinin temelleri malzemede meydana gelen hasarın modellemesine yönelik çalışmalar ile atılmıştır (Rabotnov, 1963). 1980’li yıllarda ise termodinamik ve mikromekanik disiplinleri ile kapsamı genişletilmiştir. Sürekli ortam hasar mekaniği, hasarların oluşumunu, gelişimini, ilerlemesini, dış etkilerden kaynaklı malzeme ve yapı hasarlarının mekanik özelliklerini irdelemektedir. Hasar; mikro, mezo ve makro ölçek olmak üzere üç değişik düzeyde karakterize edilmektedir. Mezoölçekte malzeme hasarları ve bu hasarların birlikte nasıl davrandığını anlamak için kullanılan bir inceleme seviyesidir. Malzeme mekaniğinde mikro boşluklar (Malzemenin homojenliğini bozar ve gerilme etkisinde genişleyerek çatlak oluşumuna sebep olur.) ile atomik düzeyde hasara uğrayan bölgelerin kesiştiği alanlar yapısal kusurların miktarını ve dağılımını yansıtmak için incelenmektedir. Bu sayede hasarın miktarı veya yoğunluğu anlaşılabilmektedir. Bu kesişim alanlarının özelliklerinin belirlenebilmesi için de temsili bir hacim elemanı (RVE-Representative Volume Element) kullanılır (Lemaitre, 2012). Gerçek malzeme ve bu malzemenin heterojenliği, farklı malzeme türleri için tek tip bir temsili hacim elemanı boyutunun kullanılmasının önüne geçer. Sürekli ortam mekaniğinde malzeme üzerinde matematiksel bir M noktası tanımlanır ve hasar durumu tanımlanmaya çalışılır. Şekil 3.20.’de temsili bir hacim elemanı kullanılarak hasar tanımlanmıştır (Lemaitre, 2012). 45 Şekil 3.20. Hasarın tanımlanması M noktasında n normali yönünde ve x ekseninde hasar değeri D (M, n, x) olarak tanımlanır ve Denklem 3.64 ile elde edilmektedir(Lemaitre, 2012). D(M,�⃗� , x) = 𝛿𝑆𝐷𝑥 𝛿𝑆 (3.64) İncelenen kesişim düzlemi ile Temsili Hacim Elemanı (RVE) ile çakıştığı bölge 𝛿𝑆 ile ifade edilmektedir. 𝛿𝑆𝐷𝑥 ise δS içerisindeki tüm mikro çatlakların ve mikro boşlukların etkin kesişim alanıdır. Buradaki n yönelimi mikro çatlakların ve boşlukların homojen bir şekilde dağılıp dağılmama durumuna göre önem kazanmaktadır. Hasar, matematiksel bir büyüklük olarak ifade edilir, ''D'' ile simgelenir ve 0-1 aralığında sınırlandırılmıştır. Malzemenin hiç hasar almadığı durum D=0 ile temsil edilir. D=1 olduğunda malzemenin tamamen kırılmış veya hasar görmüştür. En temel şekliyle D skaler bir büyüklük olarak ele alınırken, daha karmaşık durumlarda vektör veya tensör olarak ifade edilmesi gerekebilir. Efektif Gerilme Anlayışı Tek eksenli çekme gerilmesinin etkitildiği sistemde hasar olgusu; yükleme durumunda maksimum çekme dayanımının aşılması ve kesitte hasar meydana gelmesiyle kesit alanı 46 bir miktar azalır. Azalan kesit alanı ve efektif gerilme Denklem 3.65- Denklem 3.68 ile elde edilebilir. 𝑆∗ ≡ 𝑆 − 𝑆𝐷 (3.65) 𝐷 = 1 − 𝑆∗ 𝑆 (3.66) 0 ≤ 𝐷 ≤ 1 0 = 𝐹 (𝑆 − 𝑆𝐷) (3.67)  = 𝐹 𝑆∗ = 𝐹 𝑆(1 − 𝐷) =  (1 − 𝐷) (3.68) Deformasyonlardan önceki kesit alanı S ve mikro çatlakların oluşturduğu kesit alanı 𝑆𝐷’dir. 𝑆∗ Hasarsız net kesit alanını (mikro boşluklar çıkarıldıktan sonraki efektif alan) temsil eder. Dış yükün uygulandığı alanın azalmasıyla üzerindeki gerilme dağılımının nasıl değiştiği belirlenmektedir.  efektif gerilmeyi temsil etmektedir. Deformasyonlardan önceki kesit alanı, mikro çatlakların oluşturduğu kesit alanı ve hasarsız net kesit alanı Şekil 3.21.’de sunulmaktadır (Lemaitre & Plumtree, 1979). 47 Şekil 3.21. Deformasyonlardan önceki kesit alanı, mikro çatlakların oluşturduğu kesit alanı ve hasarsız net kesit alanı Efektif gerilme tensörü dönüşümü, malzemenin hasar düzeyini tanımlayan hasar parametresi ve gerçek gerilme tensörü kullanılarak Denklem 3.69 ile gerçekleştirilmektedir (Oller, 2014). 0 = 𝑀−1: (3.69) Hasarsız bölge için efektif gerilme tensörü 𝟎 ile temsil edilmektedir. M, anizotropik hasar modeli için dördüncü mertebeden bir tensördür. Şekil 3.22.’de hasarsız bölge için efektif gerilme temsili sunulmaktadır (Oller, 2014). Şekil 3.22. Hasarsız bölge için efektif gerilmenin grafiksel temsili 48 İzotropik hasar modeli için tek bir skaler değişken yeterli olurken, anizotropik hasar modelinde tensörel değişkenler gerekmektedir. İzotropik hasar modelinin sadeliği, verimliliği ve değişik uygulamalara entegre olabilmesi sıkça tercih edilmesinin başlıca nedenleridir. Beton hasarı için de izotropik kabul yapılabileceği kanıtlanmıştır ve basitlikleri nedeniyle skaler hasar parametrelerinin kullanıldığı hasar modelleri tercih edilmektedir. İzotropik hasar modelinde hasarın malzeme bünyesinde eşit olarak dağıldığı varsayılmaktadır ve Denklem 3.70 ile gösterilmektedir. Burada sunulan I birim tensördür. 𝑀 = (1 − 𝐷)𝐼 (3.70) Plastisite ve hasar arasındaki ilişkinin temsili Şekil 3.23.’te gösterilmektedir (Lubliner vd., 1989). Şekil 3.23. Plastisite ve hasar arasındaki ilişki Araştırmacılar tarafından önerilen izotropik hasar modelleri, deneysel verilerle mukayese edildiğinde beton davranışının temsilinde büyük bir başarı sağlamıştır. Hasar fenomenine anizotropi dahil edilerek betonun hem çekme hem de basınç etkileri altındaki anizotropik davranışının yakalanabilmektedir ancak bu eklemenin beraberinde karmaşık problemleri ve uzun süren hesaplamaları da getirdiği bilinmektedir. Bu sebeple araştırmacılar plastik anizotropik hasar modeli üzerine de çalışmalar yapmışlardır. (Yazdani S. ve Schreyer H.L, 1990) Bu çalışmada plastisite ve hasar mekaniği birlikte kullanılmıştır. Hasar ve plastisite yüzeylerini esas alan birleşik bir teori kullanılmıştır. Basınca duyarlı bir hasar yüzeyi ve basınca duyarlılığı olmayan