Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 ARAŞTIRMA DOI: 10.17482/uumfd.1150894 REEL SİNÜSLERDE AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜNÜN ÜÇ ÖRNEĞİNE DAYALI FREKANS KESTİRİMİ Hasan BAYAZİT * Erdoğan DİLAVEROĞLU ** Alınma: 29.07.2022 ; düzeltme: 14.11.2022 ; kabul: 18.11.2022 Öz: Bu çalışmada, frekans kestiriminde kullanılan ve ayrık Fourier dönüşümün üç örneğine dayanan parabolik, Jacobsen, yanlılığı düzeltilmiş Jacobsen ve Quinn kestiricilerinin reel sinyaller üzerindeki davranışları karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Bu kestiricilere alternatif olarak bir sinc fonksiyonu tabanlı frekans kestiricisi önerilmiş ve kestiricinin karesel ortalamalarının karekökü hataları (RMSE) bilgisayar benzetimleri yapılarak karşılaştırılmıştır. Önerilen sinc tabanlı kestirici, frekans aralığının geniş bir kısmında diğer kestiricilere göre düşük RMSE değerleri verdiği gözlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Frekans kestirimi, Ayrık Fourier dönüşümü, Sinc fonksiyonu, Reel sinyaller Frequency Estimation Based on Three Samples of Discrete Fourier Transform in Real Sinusoids Abstract: In this study, the behavior of parabolic, Jacobsen, bias-corrected Jacobsen, and Quinn estimators, which are used in frequency estimation and based on three samples of discrete Fourier transform, are examined on real signals comparatively. As an alternative to these estimators, a sinc function-based frequency estimator is proposed, and the root means square errors (RMSE) of the estimator are compared by performing computer simulations. It has been observed that the proposed sinc-based estimator gives lower RMS errors in a wide part of the frequency range compared to other estimators. Keywords: Frequency estimation, DFT, Sinc function, Real signals 1. GİRİŞ Sinüsoidal sinyallerin gürültülü ortamlardaki frekans kestirimi haberleşme, ses, radar, güç, biyomedikal, sinyal işleme, ölçme ve benzeri sistemlerinde sık karşılaşılan bir olgudur. Frekans kestiriminde parametrik ve parametrik olmayan iki yöntem kullanılır. Parametrik olmayan kestirim yöntemlerinde belirli bir fonksiyonel form bulunmayıp, kestiricinin formu tamamen veri tarafından belirlenir. Bu tür problemin çözümünde en önemli yardımcı araç ayrık Fourier dönüşümü (AFD) dür. Parametrik frekans kestirimi metodunda ise sinyal segmenti belirli bir model tarafından belirlenir. AFD tabanlı frekans kaydırma ve filtreleme, maksimum olabilirlik, wavelet, interpolasyon, yapay sinir ağı tasarımı gibi birçok parametrik ve parametrik olmayan * Bursa Uludağ Üniversitesi, Teknik Bilimler MYO, Elektrik Programı, 16059, Bursa/Türkiye ** Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü, 16059 Bursa/Türkiye İletişim Yazarı: Hasan Bayazit (hashan@uludag.edu.tr) 911 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. yöntemler konularında çalışmalar yapılmıştır (Nielsen ve diğ., 2015; Zhang ve diğ., 2020; Fu ve diğ., 2006; Borkowski ve diğ., 2015). Fourier dönüşümü, sinyal ve sistemlerin frekans domeni analizinde yaygın kullanılan matematiksel bir araçtır. AFD yöntemiyle frekans kestirim algoritmaları iki adımdan oluşur. Birinci adımda, sinyalin maksimum AFD genliğinin hangi binde bulunduğu belirlenir. İkinci adımda, maksimum genliğin bulunduğu yerde daha doğru bir frekans kestirimi gerçekleştirilir. Bilimsel literatürde kompleks ve reel sinüsoidal sinyallerin birfen fazla AFD genliklerini kullanarak frekans kestirimi yapan farklı yöntemler kullanılmıştır (Quinn 1994; Jacobsen ve Kootsookos 2007; Candan 2011; Rife ve Boorstyn 1974). Bu çalışmada, ayrık Fourier dönüşümünün üç örneğini kullanan parabolik, Jacobsen, yanlılığı düzeltilmiş Jacobsen, Quinn frekans kestiricilerin reel sinyaller üzerindeki davranışları önerilen sinc fonksiyonu tabanlı frekans kestiricisi ile karşılaştırmalı olarak incelenmektedir. 2. PROBLEMİN AÇIKLANMASI Fourier dönüşümü, lineer sistemlerin analizinde ve sinyallerin frekans içeriklerini belirlemede uzun süreden beri kullanılmaktadır. Analog sinyallerin bilgisayar analizlerini yapmadan önce sinyalin eşit zaman aralıklarıyla örneklenmesi gerekmektedir. Örneklenmiş dalga şekillerin bilgisayar analizlerinde Fourier dönüşümünün bir türü olan ayrık Fourier dönüşümü kullanılır. Hızlı Fourier dönüşümü (HFD), AFD’yi verimli bir şekilde hesaplayan bir algoritmadır (Bergland 1969; Rapuano ve Harris 2007). AFD vektörel bir işlemdir. Girişine uygulanan 𝑁𝑁 adet zaman vektörünü, çıkışında 𝑁𝑁 sayıdaki frekans vektörüne dönüştürür. Sürekli zamanlı sinyal 𝑓𝑓𝑠𝑠 frekansında örneklendiğinde, bu sinyalin spektrumu, frekansı 𝑓𝑓𝑠𝑠 veya normalize periyodu 2𝜋𝜋 olan periyodik bir spektrumun oluşmasına neden olur. Frekans domenindeki örnekler eşit aralıkta olup 𝑓𝑓𝑠𝑠/𝑁𝑁 nin katları şeklindedir. 𝑓𝑓𝑠𝑠/𝑁𝑁 frekans aralıkları, Fourier dönüşümünün frekans duyarlılığını belirler ve 𝑘𝑘.𝑓𝑓𝑠𝑠/𝑁𝑁 frekansları, frekans binleri olarak isimlendirilir. Şekil 1: 32kHz frekansla örneklenmiş a. 8 kHz kosinüs sinyalin AFD spektrumu b. dikdörtgen pencere sinyalin ayrık zamanlı Fourier transform (AZFD) spektrumu c. sürekli zaman kosinüs sinyalinin örneklenmiş dikdörtgen pencere ile çarpılmış sinyalin AZFD spektrumu 8kHz frekansındaki sinüsoidal sinyalin 32 öğreniği için AFD’si alınırsa (örnekleme frekansı 𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑠𝑠 32000𝑠𝑠 = 32000 ö𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘/𝑠𝑠), AFD frekans veya bin aralıkları = = 1𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 olur. Örneklenen 𝑁𝑁 32 912 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 sinyalinin frekansı AFD binlerinin katları şeklinde olduğundan, sinyalin AFD dönüşümü biri 8kHz de pozitif frekans, diğeri -8kHz de negatif frekans olmak üzere simetrik iki palstan oluşur (Şekil 1 a.). 32 kHz frekansla örneklenmiş dikdörtgen pencere fonksiyonun ayrık zamanlı Fourier dönüşümü sin(𝑥𝑥) /𝑥𝑥 fonksiyonu şeklindedir (Şekil 1 b.). Bu fonksiyon, sinc fonksiyonu olarak bilinmektedir. Sürekli zaman fonksiyonu, örneklenmiş dikdörtgen pencere fonksiyonun ile çarpıldığında sinyal ayrık zamanlı olur. Zaman domeninde ki çarpma işlemi, frekans domeninde katlama (convolution) integraline karşılık gelmektedir. Bunun sonucunda sinyalin pals şeklinde olan biri pozitif diğeri negatif olan iki frekansı, ±8kHz’e ötelenmiş iki sinc fonksiyonuna dönüşür. Frekans kestiriminde asıl sorun, pals şeklinde olan frekansın fonksiyona dönüşerek, frekans değerinde belirsizlik oluşturmasından kaynaklanmaktadır. Dijital ortamda sonsuz sayıda veri üzerinden işlem geçekleştirilmez. AFD frekans spektrumunu 2𝜋𝜋/𝑁𝑁 dijital frekans katları şeklinde hesaplar. Örnek sayısı 𝑁𝑁, Nyquist teoremi kriterlerini sağlayacak şekilde seçilmelidir. AFD, analog sinyalin gerçek spektrumunun bir yaklaşımını hesapladığından dolayı spektral kaçak olarak ifade edilen bir olay oluşur (Richard 2011). Bu kaçağı minimize etmek için yollar olsa da tamamen ortadan kaldırmak mümkün değildir. AFD, 𝑓𝑓𝑠𝑠 frekansında örneklenmiş N adet giriş verisini alıp, 𝑁𝑁 adet frekansa dönüştürür. 𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑠𝑠 (1) N Giriş sinyalin enerji seviyeleri Denklem 1 de ifade edilen frekans veya katlarında olduğunda AFD doğru sonuç verir. Oysa ki, sinyal frekansının Denklem 1 de ifade edilen AFD bin frekanslarıyla aynı olmaması durumunda, AFD genliği iki bin arasında bölünür. Spektral kaçak olarak ifade edilen bir durum kendini gösterir. Analog sinyallerin sonlu sayıda alınan örneklerinin AFD değerlerinin hesaplanmasından kaynaklanan kaçınılmaz bir gerçek olarak kendini gösterir. Spektral kaçağın olumsuz etkisini görebilmek ve sonlandırabilmek için nedenlerine bakmakta fayda vardır. Spektral kaçağın etkisini görebilmek için sinüsoidal sinyalin AFD genlik cevabının bilinmesi gerekir. Sinyal genliği 𝑉𝑉𝑚𝑚, frekansı 𝑓𝑓, örnekleme frekansı 𝑓𝑓𝑠𝑠 ve fazı 𝜃𝜃 olan kosinüs sinyal aşağıda ifade edilmiştir. 2𝜋𝜋𝑓𝑓 𝑥𝑥 (2) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠[𝑟𝑟] = 𝑉𝑉𝑚𝑚 cos � 𝑟𝑟 + 𝜃𝜃� , 𝑟𝑟 = {0,1 … . . ,𝑁𝑁 − 1} 𝑓𝑓𝑠𝑠 Gerçek frekansın değeri, 𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑓𝑓𝑠𝑠⁄𝑁𝑁, Denklem 2 eşitliğinde yerine yazıldığında, örneklenmiş sinyalin bin frekansı cinsinden ifadesi olan Denklem 3 elde edilir. 2𝜋𝜋𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 (3) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠[𝑟𝑟] = 𝑉𝑉𝑚𝑚 cos� 𝑟𝑟 + 𝜃𝜃𝑁𝑁 � Örneklenmiş sinyalin AFD dönüşümü Denklem 4 ifadesiyle hesaplanır. 𝑁𝑁−1 2𝜋𝜋 𝑋𝑋[𝑘𝑘] = � 𝑥𝑥 −𝑗𝑗� �𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠[𝑟𝑟] 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑘𝑘 = 0, … … … … ,𝑁𝑁 − 1 (4) 𝑠𝑠=0 Ara işlemler sonrasında sinyalin AFD cevabı Denklem 5 deki gibi bulunur. 913 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝜋𝜋(𝑁𝑁−1) sin �𝜋𝜋�𝑘𝑘 − 𝑘𝑘��𝑋𝑋[𝑘𝑘] = 𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑗𝑗 𝑁𝑁 �𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑝𝑝� 𝜋𝜋 2 sin �𝑁𝑁 �𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 − 𝑘𝑘�� (5) 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝜋𝜋(𝑁𝑁−1) sin �𝜋𝜋�𝑘𝑘 + 𝑘𝑘��+ 𝑟𝑟−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑟𝑟−𝑗𝑗 �𝑝𝑝 +𝑝𝑝� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑁𝑁 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝜋𝜋 2 sin�𝑁𝑁 �𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 + 𝑘𝑘�� Sinyalin frekansı, AFD binlerinin katları şeklinde olduğundan, biri genliği 𝑉𝑉𝑚𝑚.𝑁𝑁 olan pozitif 2 frekans, diğeri de aynı genlikli negatif frekanstan oluşan simetrik iki palstan oluşur. Şekil 2: 32 kHz frekansla örneklenen 8 kHz lik kosinüs sinyalinin pozitif frekans AFD bin genlik değerleri Şekil 2’de 32kHz frekansla örneklenen 1 V genliğindeki 8kHz’lik kosinüs sinyalin 32 örneği alınarak hesaplanan AFD genlikleri gösterilmiştir. Sinyalin AFD değerleri, Denklem 5 ifadesinin ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (AZFD) spektral değerleri üzerinde olduğu unutulmamalıdır. Giriş sinyali, binin tam katlarında olduğundan, sinyalin sıfırdan farklı biri pozitif frekanslar için, diğeri de negatif frekanslar için genliği AZFD’nin maksimum değerinde olan iki adet pals şeklinde değeri vardır. Maksimum genlik değeri 𝑉𝑉𝑚𝑚 = 1𝑉𝑉, 𝑁𝑁 = 32 için 𝑉𝑉𝑚𝑚.𝑁𝑁 eşitliğinden 16 2 olarak bulunur. Bu durumda frekans kaçağı bulunmayıp sinyal frekansı Denklem 1 eşitliğinden Şekil 3: 32 kHz frekansla örneklenen 8,2 kHz lik kosinüs sinyalinin pozitif frekans AFD bin genlik değerleri 914 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 8𝑥𝑥32000 = 8 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 olarak bulunur. Sinyal frekansının 8,2 kHz olduğu durumdaki AFD genlik 32 değerleri Şekil 3’te gösterilmiştir. Giriş sinyalinin frekansı, bin frekansının tam katları olmadığından ve AZFD spektrumunun yan loblarından kaynaklanan tek bir frekans yerine, AFD genliği iki bin arasında bölünerek birden fazla frekans bileşenin oluşmasına neden olur. Bu olaya frekans kaçağı denir. Frekans kaçağını tamamen ortadan kaldırmak için kesin bir çözüm bulunmamaktadır. Sinyal frekansını belirgin kılabilmek için en önemli çözüm yöntemi olarak zaman domenindeki sinyalleri, frekans domenindeki yan lobları düşük olan pencere fonksiyonlarıyla çarparak, yan loblardan kaynaklanan etkiyi en aza indirgemektir (Prabhu 2014). 3. FREKANS KESTİRİCİLER 3.1. Parabolik Frekans Kestiricisi Sinüzoidal sinyalin 𝑁𝑁 uzunluğundaki örneklenmiş verisinin AFD’si alındığında bin frekansları 𝑓𝑓𝑠𝑠/𝑁𝑁 e eşit olur. Sinyal frekansı bin frekansına eşit olduğunda, 𝑘𝑘𝑝𝑝 binindaki genlik maksimum değere eşit olur. Sinyal frekansı bin frekansına eşit olmadığı durumda maksimum AFD genliği bitişik iki bin arasında bölünür. Gerçek frekansa en yakın olan binin AFD genliği daha büyük olur. Bu durumda, genliğin maksimum olduğu bin 𝑘𝑘𝑝𝑝, bir öncesi 𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1 ve bir sonrası 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1 binlerinin AFD genlik değerlerini dikkate alarak gerçek frekans kestirimi yapılabilir (Grandke 1983; Voglewede 2004). Üç AFD genlik değeri üzerinden parabolik bir eğri geçirilerek frekansın maksimum değerinin bulunmasına parabolik interpolasyon denir. Gerçek frekans değeri, 𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1 ve 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1 binlerinin AFD genliklerine bağlı olarak 𝑘𝑘𝑝𝑝 bininde herhangi bir yerde olabilir. �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 − 1�, �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝�, �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1� AFD genlik değerlerinden geçen parabolik fonksiyon tanımlayarak, delta değerini hesaplayan bir kestirici bulunabilir. Delta düzeltme faktörü hesaplandıktan sonra sinyal frekansı Denklem 6 ve Denklem 7 ifadelerinden 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 𝛿𝛿 (6) 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑠𝑠/𝑁𝑁 (7) hesaplanabilir (Jacobsen ve Kootsookos 2007) . Burada 𝑓𝑓𝑠𝑠 örnekleme frekansını, 𝑁𝑁, örnek sayısını, 𝑘𝑘𝑝𝑝 maksimum genliğin bulunduğu bini ifade etmektedir. 𝛿𝛿 değeri ±1/2 aralığında değişmektedir. Bin frekansları tam sayı değerlerinde olup, gerçek frekansın bin cinsinden değeri olan 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 tam sayı olmak zorunda değildir. Şekil 4 a.’da sinyalin AFD genlik değerleri �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 − 1�, �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝�, �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1�olup maksimum AFD genliğinin 𝑘𝑘𝑝𝑝 bininde delta düzeltme faktörü sonra geldiği görülmektedir. Üç AFD genlik örneğinden geçecek bir parabol tanımlayarak frekansın gerçek değerini kestirmek mümkündür. Parabol fonksiyon, Şekil 4 a.’da gösterilen çizim için aşağıdaki gibi tanımlanabilir: �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝� = 𝑋𝑋𝑝𝑝 = 𝑎𝑎(𝑘𝑘 − 𝛿𝛿)2𝑝𝑝 + 𝑏𝑏 (8) 915 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. Şekil 4: Sinüzoidal sinyalin AZFD spektrumu ve AFD genlik değerleri Benzer şekilde 𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1 ve 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1 bin değerlerine karşılık gelen AFD genlik değerleri, Denklem 8 deki eşitlikte 𝑘𝑘 yerine 𝑘𝑘 − 1 ve 𝑘𝑘 + 1 değerlerini koyarak bulunur. �𝑋𝑋 2𝑝𝑝𝑝𝑝 − 1� = 𝑋𝑋𝑝𝑝 = 𝑎𝑎(𝑝𝑝−1 𝑘𝑘 − 1 − 𝛿𝛿) + 𝑏𝑏 (9) �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1� = 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 = 𝑎𝑎(𝑘𝑘 + 1 − 𝛿𝛿) 2 + 𝑏𝑏 (10) Denklem 8, Denklem 9 ve Denklem 10 ifadeleri 𝑘𝑘 = 0 için 𝛿𝛿 ya göre çözülürse, aşağıdaki parabolik frekans kestiricisi bulunur (Jacobsen ve Kootsookos 2007) . 0.5 �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 − 𝑋𝑋𝑝𝑝 𝛿𝛿� = 𝑝𝑝−1 � 1 (11) 2𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 − 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1 3.2. Jacobsen Frekans Kestiricisi Parabolik kestiricisinin gürültülü sinyallerde düşük performans gösterdiği, yanlı (bias) davrandığı görülmektedir. Parabolik kestricilerde yapılan bazı basit değişikliklerle , örneğin, AFD genlik değelerini kullanmak yerine kompleks AFD değerlerini aşağıdaki kestiricide kullanarak doğruluğun artığı, bias özelliğinde de iyileşmeler olduğu gözlenmiştir(Jacobsen ve Kootsookos, 2007). � �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1�� 𝛿𝛿 2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 � � (12) 2𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� 916 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 3.3. Yanlılığı Düzeltilmiş Jacobsen Frekans Kestiricisi Jacobsen frekans kestiricisinin RMS hataları ve bu frekans kestiricisinin yanlılığının düzeltilmesi üzerine yapılan çalışmada Candan tarafından önerilen kestirici, yüksek sinyal- gürültü oranlarında etkinlik sağlamaktadır (Candan, 2013). � tan( 𝜋𝜋⁄𝑁𝑁) �𝑋𝑋�𝑘𝑘 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘 + 1�� 𝛿𝛿 3 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝜋𝜋 𝑅𝑅𝑟𝑟 � � �𝑁𝑁 2𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� (13) 3.4. Quinn Frekans Kestiricisi Quinn frekans kestiricisi de kompleks AFD değerleri üzerinden işlem yapmaktadır (Quinn, 1994). 𝛼𝛼1 ve 𝛼𝛼2 değerleri kompleks AFD değerleri üzerinden hesaplandıktan sonra 𝛼𝛼1� 𝛼𝛼2(1 − 𝛼𝛼 ) ve �1 (1 − 𝛼𝛼 ) oranları hesaplanır. Her iki oranın pozitif olması durumunda 2 düzeltme faktörü 𝛿𝛿� 42 kestiricisi ile, aksi takdirde 𝛿𝛿� 41 kestiricisi ile hesaplanır. 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� 𝛼𝛼1 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 � � , 𝛼𝛼2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 � � (14) 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� 𝛿𝛿� 41 = 𝛼𝛼1�(1 − 𝛼𝛼 ) , 𝛿𝛿 � 𝛼𝛼242 = � 1 (1 − 𝛼𝛼 ) (15) 2 𝐸𝐸ğ𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿41 > 0 𝑣𝑣𝑟𝑟 𝛿𝛿42 > 0 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑟𝑟 𝛿𝛿� = 𝛿𝛿� 42 ,𝑎𝑎𝑘𝑘𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑘𝑘𝑡𝑡𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡𝑟𝑟 𝛿𝛿� = 𝛿𝛿� 41 (16) 3.5 Önerilen Sinc Fonksiyonu Tabanlı Frekans Kestirici Denklem 5 te verilen sinyalin AFD spektrumu sinc fonksiyonuna benzerlik göstermektedir. Gerçek frekansı 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 olan sinyalin AFD spektrumunun pozitif frekans bileşeninin 𝑘𝑘 ya göre değişimi Denklem 17 de verilmiştir. Sinc fonksiyonu yaklaşım yöntemi, maksimum ve ikinci maksimum AFD genliklerinin bulunduğu bin değerlerini Denklem 17 eşitliğinde yerlerine koyarak elde edilen ve fonksiyonun kendisi tarafından belirlenen, lineer olmayan denklemlerin 𝛿𝛿 ya göre çözülmesine dayanan yaklaşım yöntemidir (Hussain ve Ivanovic, 2015). sin(𝜋𝜋(𝑘𝑘 − 𝑘𝑘) 𝑋𝑋[𝑘𝑘] = 𝑈𝑈′ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 𝜋𝜋 (17) sin �𝑁𝑁 �𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 − 𝑘𝑘�� 𝑁𝑁𝑉𝑉 𝜋𝜋 𝑈𝑈′ = 𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗𝑟𝑟𝑗𝑗𝑁𝑁(𝑁𝑁−1)�𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑝𝑝� (18) 𝑚𝑚 2 Şekil 4 a.’da gösterildiği gibi ikinci en büyük genliğin maksimum genlikten sonra geldiği durum da incelenmelidir. Bu durumda 𝛿𝛿 pozitif tanımlanmıştır. AFD nin 𝑘𝑘𝑝𝑝, 𝑘𝑘𝑝𝑝+1 anlarındaki değerleri Denklem 17 de 𝑘𝑘 yerine sırasıyla 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑝𝑝, 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 + (1 − 𝛿𝛿) değerlerini koyarak ve 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 = 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 𝛿𝛿, 𝜃𝜃 = 0 olduğunu gözönünde bulundurarak aşağıdaki ifadeler bulunur: 917 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑚𝑚 sin(𝜋𝜋𝛿𝛿)𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� = 𝜋𝜋 2 (19) sin �𝑁𝑁 𝛿𝛿� 𝑁𝑁𝑉𝑉 sin(𝜋𝜋(𝛿𝛿 − 1)) 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝+1� = 𝑚𝑚 2 (20) sin �𝜋𝜋𝑁𝑁 (𝛿𝛿 − 1)� 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1, 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1değerleri, ayrık Fourier dönüşümün genlik değerlerini göstermektedir. 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 = �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝�� ,𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 = �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1�� ,𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝∗1 = �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1�� (21) Denklem 19 ve Denklem 20 ifadeleri genlik cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: 𝜋𝜋 𝑁𝑁.𝑉𝑉 𝑋𝑋𝑝𝑝 sin � 𝛿𝛿� − 𝑚𝑚 sin(𝜋𝜋 𝛿𝛿) = 0 (22) 𝑝𝑝 𝑁𝑁 2 𝜋𝜋 𝑁𝑁.𝑉𝑉 𝜋𝜋 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 sin� (𝛿𝛿 − 1)� − 𝑚𝑚 sin� (𝛿𝛿 − 1)� = 0 (23) 𝑁𝑁 2 𝑁𝑁 Denklem 22 ve Denklem 23 eiştlikleri 𝛿𝛿’ya göre çözüldüğünde sinc kestirici aşağıdaki gibi bulunur: 𝑁𝑁 𝑋𝑋 𝜋𝜋 � 𝑝𝑝𝑝𝑝+1 sin 𝛿𝛿 5 = 𝑁𝑁 𝜋𝜋 (24) �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋 𝜋𝜋 𝑝𝑝𝑝𝑝+1 cos𝑁𝑁� 𝑋𝑋 𝑁𝑁 → ∞ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑟𝑟 𝛿𝛿� 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝+15 (25) �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1� Şekil 4 b.’de gösterildiği gibi ikinci en büyük AFD genliğinin maksimum genlikten önce geldiği durumda ise 𝛿𝛿 negatif tanımlanmıştır. AFD’nin 𝑘𝑘𝑝𝑝, 𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1 anlarındaki değerleri Denklem 17 de 𝑘𝑘 yerine sırasıyla 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 − 𝛿𝛿, 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 − (1 + 𝛿𝛿) değerlerini koyarak, 𝜃𝜃 = 0 olduğunu gözönünde bulundurarak aşağıdaki ifadeler bulunur: −𝑁𝑁𝑉𝑉𝑚𝑚 sin(𝜋𝜋. 𝛿𝛿))𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� = 2 (26) sin �𝜋𝜋𝑁𝑁 . 𝛿𝛿� 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑚𝑚 sin(𝜋𝜋(𝛿𝛿 + 1))𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝−1� = 2 (27) sin �𝜋𝜋𝑁𝑁 (𝛿𝛿 + 1)� Denklem 26 ve Denklem 27, 𝛿𝛿 için çözülürse, ikinci en büyük AFD genliğinin maksimum genlikten önce gelmesi durumunda Denklem 24 de ifade edilen eşitliğe benzer, fakat işareti farklı kestirici ifadesi bulunur. 918 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 −𝑁𝑁 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1 sin 𝜋𝜋 𝛿𝛿� 5 = 𝑁𝑁𝜋𝜋 𝜋𝜋 (28) �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1 cos𝑁𝑁� −𝑋𝑋𝑝𝑝 𝑁𝑁 → ∞ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑟𝑟 𝛿𝛿� 5 = 𝑝𝑝−1 (29) �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1� Şekil 5’de genliği 1V, gerçek frekansı onuncu binde ve değeri ± 0,5 aralığında değişen kosinüs sinyalin 𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1, 𝑘𝑘𝑝𝑝, 𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1 frekans binlerinin AFD değerlerinin değişimi gösterilmiştir. Sinyalin 10±1/2 bin aralığındaki tüm frekanslar sadece bin 10 da ifade edilir. Eğer gerçek frekans değeri binin tam ortasında ise, bin 10’un AFD genliği maksimum, bin 9’un değeri ve bin 11’in değeri sıfır olur. Gerçek frekansın konumu binin her iki yönüne doğru kaydığında bin 10’un AFD genliği azalırken, bir öncesi ve bir sonrası binlerin AFD genlik değerleri artmaktadır. Gerçek frekans değeri bin 9,5’e doğru gittiğinde, bin 10’un AFD genliği maksimum olurken, bin 9’un AFD genliği ikinci en büyük AFD genlik olur. Bu durumda gerçek frekans değerini bulmak için Şekil 5: Kosinüs sinyalin AFD genlik değerlerinin bin frekansına göre değişimi (gürültüsüz veri durumu) Denklem 28 de ifade edilen kestirici formülü uygulanır. Benzer şekilde, gerçek frekans değeri bin 10,5 değerlerine doğru gittiğinde, bin 10’un AFD genliği maksimum olurken, bin 11’in AFD genliği ikinci en büyük genlik olur. Bu koşullarda gerçek frekans değerini bulmak için Denklem 24 de ifade edilen kestirici formülü kullanılmalıdır. Gerçek frekans değerleri bin uçlarına doğru gittiğinde, maksimum genliğin bulunduğu binin bir öncesini ve bir sonrasının AFD değerlerini karşılaştırarak gerçek frekans değeri oldukça doğru bulunabilir. Zira, Şekil 5’de görüldüğü gibi maksimum genliğin bir öncesi ve bir sonrasının AFD değerleri arasındaki marj büyük olduğundan, bu bölgede yapılan frekans kestirimi daha doğru olur. Gerçek frekans değeri bin ortalarına doğru gelindiğinde, maksimum AFD genliğinin bir öncesi ve bir sonrası AFD değerlerini göz önüne alınarak yapılacak kara vermede hata oranı, özellikle gürültülü ortamlarda artar. 919 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. Şekil 6: Kosinüs sinyalin kompleks AFD değerlerinin faz açılarının 𝛿𝛿’ ya göre değişimi Şekil 6’da gerçek frekans değeri 10. binde bulunan, gürültü içermeyen, genliği 1 V olan kosinüs sinyalin AFD kompleks değerlerinin faz açılarının 𝛿𝛿 ya göre değişim verilmiştir. 𝛿𝛿, maksimum AFD genliğinin bulunduğu bin ile gerçek frekansın bulunduğu bin değeri arasındaki farkı olarak da tanımlanabilir. 𝛿𝛿’nın negatif olduğu bölgede 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝�, ve 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1�, kompleks AFD değerlerinin faz açıları negatif, 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� kompleks AFD değerinin faz açısının pozitif olduğu görülür (Şekil 6). 𝛿𝛿’nın pozitif değerleri için ise 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� ve 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� kompleks AFD değerlerinin faz açılarının pozitif, 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� kompleks AFD değerinin faz açısının negatif olduğu görülmektedir. Buradaki amaç, 𝛿𝛿’nın hangi durumda hangi sinc kestiricisinin kullanılacağını belirleyecek daha doğru bir ölçüt belirleyebilmektir. 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� , 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� , 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� faz açılarını dikkate alarak Denklem 30 da ifade edilen seçim kriteri önerilmektedir. Kompleks işlemin gerçek değerinin işareti negatif çıkarsa Denklem 28 de ifade edilen kestirici, pozitif çıkarsa Denklem 24 ile verilen kestirici kullanılmalıdır. 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘 + 1�𝛼𝛼 = 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑅𝑅 � 𝑝𝑝 � (30) 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� Tablo 1. AFD tabanlı frekans kestirimi yöntemleri Parabolik Frekans 0.5 �𝑋𝑋𝑝𝑝 − 𝑋𝑋𝑝𝑝 � Kestiricisi 𝛿𝛿� = 𝑝𝑝+1 𝑝𝑝−1 1 2𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝+1 − 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1 � �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘 + 1��Jacobsen Frekans Kestirici 𝛿𝛿 2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 � 𝑝𝑝 � 2𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� Yanlılığı düzeltilmiş � tan (𝜋𝜋⁄𝑁𝑁) �𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1�� 𝛿𝛿 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 � � Jacobsen Frekans Kestirici 3 𝜋𝜋�𝑁𝑁 2𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝 + 1� 920 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 𝑋𝑋�𝑘𝑘 − 1� 𝑋𝑋�𝑘𝑘 + 1� 𝛼𝛼1 = 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑅𝑅 � 𝑝𝑝 � , 𝛼𝛼2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑅𝑅 � 𝑝𝑝 � 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� 𝑋𝑋�𝑘𝑘𝑝𝑝� � 𝛼𝛼1 � 𝛼𝛼2 Quinn Frekans Kestirici 𝛿𝛿 41 = �(1 − 𝛼𝛼1) , 𝛿𝛿 42 = �(1 − 𝛼𝛼 2) 𝐸𝐸ğ𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛿𝛿41 > 0 𝑣𝑣𝑟𝑟 𝛿𝛿42 > 0 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑟𝑟 𝛿𝛿� = 𝛿𝛿� 42 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑘𝑘𝑡𝑡𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡𝑟𝑟 𝛿𝛿� = 𝛿𝛿� 41 𝑋𝑋 sin 𝜋𝜋 𝛿𝛿� 𝑁𝑁 𝑝𝑝 51 = 𝑝𝑝+1 𝑁𝑁 𝜋𝜋 �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋 cos 𝜋𝜋 𝑝𝑝𝑝𝑝+1 𝑁𝑁� 𝜋𝜋 � −𝑁𝑁 𝑋𝑋𝑝𝑝 sin Önerilen Sinc Fonksiyonu 𝛿𝛿 𝑝𝑝−1 𝑁𝑁52 = 𝜋𝜋 Tabanlı Frekans Kestirici 𝜋𝜋 �𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑝𝑝−1 cos𝑁𝑁� 𝑋𝑋�𝑘𝑘 − 1� − 𝑋𝑋�𝑘𝑘 𝐸𝐸ğ𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼 = 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑅𝑅 � 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 1� � > 0 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑟𝑟 𝛿𝛿� 𝑋𝑋�𝑘𝑘 51𝑝𝑝� 𝐸𝐸ğ𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼 < 0 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑟𝑟 𝛿𝛿� 52 4. BULGULAR Bu bölümde MATLAB’ta üretilen, genliği 1 V, faz açısı 0 ile 2𝜋𝜋 arasında rastgele değişen, frekansı bin cinsinden 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 olan kosinüs sinüzoidal sinyal kullanılmıştır. Sinyale ayrıca beyaz Gauss gürültüsü eklenmiştir. Matematiksel modeli Denklem 31 de verilen sinyali kullanarak parabolik, Jacobsen, yanlılığı düzeltilmiş Jacobsen, Quinn ve sinc kestiricilerin gürültülü ortamlardaki performanslarının karşılaştırmaları yapılacaktır. 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠[𝑟𝑟] = 𝑉𝑉 cos � 2𝜋𝜋𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝑟𝑟 + 𝜃𝜃� + 𝜔𝜔[𝑟𝑟], 𝑟𝑟 = {0,1, … ,𝑁𝑁 − 1} (31) 𝑁𝑁 Şekil 7: 𝑁𝑁 = 64, 𝛿𝛿 = 0,30 ve farklı SNR değerler için RMS hatalarının karşılaştırılması 921 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. Kestiricilerin performansları hakkında karar verebilmek için istatistiki açıdan davranışlarının incelenmesi gerekir. RMS hata, gerçek değer ile kestiricinin hesapladığı değerler arasındaki farkın karelerini ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. RMSE, modelleme hatalarının bulunmasında yaygın kullanılan bir hesaplama yöntemidir. Ayrıca model performans göstergelerinin iyi bir ölçütüdür. Şekil 7’de sinyal frekansı onuncu binde, bin merkezinden 0,30 birim uzakta iken, diğer bir deyişle 𝛿𝛿 = 0,3 iken, örnek sayısı 𝑁𝑁 = 64 ve farklı sinyal gürültü oranları (SNR) için Tablo 1 de ifade edilen kestiricilerin ortalama karesel hatalarının değişimi gösterilmiştir. Bilindiği üzere RMS hataları ne kadar küçük olursa o kestiricinin performansı o kadar iyi demektir. Önerilen sinc kestiricisinin düşük SNR seviyelerinde daha iyi bir performans gösterdiği izlenmiştir. Gerçek frekans değerlerinin bin merkezinden uçlara doğru gittiği durumlara önerilen kestiricinin RMS hatalarının daha da iyileştiği gözlenmiştir. Şekil 8’de aynı sinyal frekansında ve bin merkezinden 0,30 birim uzaklıkta, örnek sayısı 𝑁𝑁 = 32 ve farklı sinyal gürültü oranları (SNR) için Tablo 1’ de ifade edilen kestiricilerin RMS hatalarının değişimi incelemiştir. Önerilen sinc kestiricisinin performansının diğer kestiricilerden daha düşük RMS hataları gösterdiği izlenmiştir. Frekans değerleri bin merkezinden uçlara doğru gittikçe RMS hata değerlerinin azalarak iyileştiği izlenmiştir. Gerçek frekansın 𝛿𝛿 nın 0,2 ~ 0,5 ve -0,2 ~ -0,5 aralığında değiştiği sürece önerilen sinc kestiricinin daha düşük RMS hataları verdiği görülmüştür. Şekil 8: 𝑁𝑁 = 32, 𝛿𝛿 = 0,30 ve farklı SNR değerler için RMS hatalarının karşılaştırılması Örnek sayısı 𝑁𝑁 = 8 için kestiricilerin davranışları Şekil 9’da verilmiştir. Gerçek frekansın bulunduğu bin ve bin merkezinden uzaklık aynı tutulmuş, SNR seviyeleri değiştirilmiştir. Önerilen sinc kestiricinin performansı Jacobsen kestiriciden daha iyi davranmaktadır. Bilindiği üzere sinc kestiricilerini kullanmadan önce, maksimum ikinci AFD genliğinin maksimum AFD genliğinden önce veya sonra gelmesine bağlı olarak kestiricinin pay ve paydasında kullanılacak değerler değişmektedir. Önerilen kestiricisinin karar verme mekanizmasını Jacobsen kestiricisinin 𝛿𝛿 değerine bağlandığında performansta iyileşmelerin arttığı gözlenmiştir. 922 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 Şekil 9: 𝑁𝑁 = 8, 𝛿𝛿 = 0,30 ve farklı SNR değerler için RMS hatalarının karşılaştırılması Önerilen sinc kestiricisinin gerçek veri (Bigsoundbank 2022) üzerindeki davranışını test amacıyla 11025 Hz frekansıyla örneklenmiş kalp atış sinyalinden alınan 8,52 saniyelik sinyal kullanılmıştır (Şekil 10 a.). Kalp atış sinyalinden 256 örnek aralıklarıyla alınan sinyalin frekans kestirimi önerilen sinc fonksiyonu kestiricisi ile yapılarak frekans-zaman grafiği çizilmiştir (Şekil 10 b.). Frekans kestiricisinin değerlerinin değişimleri, sinyal frekans değişimi ile uyumlu olduğu grafik üzerinden görülmektedir. Şekil 10: 11025 Hz frekansla örneklenmiş a. Kalp atış sinyali b. Kalp atış sinyal frekasının değişiminin izlenmesi 5. SONUÇ Bu çalışmada, sinyallerin ayrık Fourier dönüşümünün üç örneğini kullanarak frekans kestirimi yapan kestiricilerin reel sinüslerdeki davranışları, sinc fonksiyonu interpolasyonuna dayanan kestirici ile karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Önerilen kestiricinin düşük sinyal- gürültü oranlarında diğer kestiricilere oranla RMS hatalarında daha iyi performans gösterdiği izlenmiştir. Dijital sinyal işleme uygulamalarında yaygın olarak kullanılan Jacobsen kestiricisini düşük sinyal-gürültü oranlarında hesaplanan düzeltme faktörünün 𝛿𝛿 > 0,2 ve 𝛿𝛿 < −0,2 olduğu 923 Bayazit H., Dilaveroğlu E.: Reel Sin. Ayrk. Fourier Dön. Üç Örn. Daylı. Frekans Kestrmi. durumlarda önerilen sinc kestirici ile düzeltme faktörünün yeniden hesaplanması önerilmektedir. Fazla işlem yükü gerektirmeye bu yöntem ile frekans kestirmede oluşabilecek RMS hatalarında iyileşmeler sağlanmaktadır. ÇIKAR ÇATIŞMASI Bu çalışmanın yazarları olarak, herhangi bir kurum/kuruluş ya da kişi ile çıkar çatışması bulunmadığını onaylarız. YAZAR KATKISI Hasan BAYAZİT, bu çalışmanın veri toplama, veri analizi, veri yorumlama, makale taslağının oluşturulmasında ve yazılım geliştirme konularında, Erdoğan DİLAVEROĞLU, çalışmanın yazılımını oluşturma, çalışmanın kavramsal ve tasarım süreçlerinin belirlenmesi, bu süreçlerin yönetimi, fikirsel içeriğin eleştirel incelemesinde katkı sağlamıştır. KAYNAKLAR 1. Bergland, G.D. (1969) A guided tour of the fast Fourier Transform, IEEE Spectrum. doi: 10.1109/MSPEC.1969.5213896 2. Borkowski, J., Kania, D., Mroczka, J. (2015) Interpolated DFT-Based Fast and Accurate Frequency Estimation for the Control of Power, IEEE Transactions on Industrial Electronics vol. 61,No 12. doi: 10.1109/TIE.2014.2316225 3. Candan, Ç. (2011) A Method For Fine Resolution Frequency Estimation From Three DFT Samples, IEEE Signal Processing Letters vol. 18, No.6. doi: 10.1109/LSP.2011.2136378 4. Candan, Ç. (2013) Analysis and Further Improvement of Fine Resolution Frequency Estimation Method From Three DFT Samples, IEEE Signal Processing Letters vol. 20. doi: 10.1109/LSP.2013.2273616 5. Fu, L.,Li, H. (2006) Wavelet-based Approach for Frequency Estimation in Complex Noises, ICSP 2006 Proceedings. doi: 10.1109/ICOSP.2006.344500 6. Grandke, T. (1983) Interpolation algorithms for discrete Fourier Transforms of weighted signals, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement ol.32. doi: 10.1109/TIM. 1983.4315077 7. https://bigsoundbank.com/detail-0218-heart-beat.html, Erişim Tarihi: 6.11.2022, Konu: Kalp atış sinyali. 8. Hussain, A., Ivanovic, M. (2015) Electronics, Communications and Networks IV, CRC Press, volume 1. 9. Jacobsen, E., Kootsookos, P. (2007), Fast, Accurate Frequency Estimator, IEEE Signal Processing Magazine. doi: 10.1109/MSP.2007.361611 10. Nielsen, J. K., Jensen, T.L., Jensen J.R., Christensen, M.G., Jensen, S.H. Liu, S.; Wang, L. (2015) A Fast Algorithm for Maximum Likelihood-Based Fundamental Frequency 924 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 27, Sayı 3, 2022 Estimation, 23rd European Signal Processing Conference. doi: 10.1109/ EUSIPCO. 2015. 7362451 11. Prabhu, K.M.M. (2014) Window Functions and Their Applications, CRC Press. 12. Quinn, B.G. (1994) Estimating Frequency by Interpolation Using Fourier Coefficients, IEEE Trans. Signal Processing vol. 42. doi: 10.1109/78.295186 13. Rapuano, S., Harris F. (2007) An Introduction to FFT and Time Domain Windows, IEEE Instumentation & Measurement Magazine. doi: 10.1109/MIM.2007.4428580 14. Richard G. L. (2011) Understanding Digital Signal Processing, Prentice-Hall Third Edition. 15. Rife, D.C.; Boorstyn, R.R (1974) Fast, Single Tone Parameter Estimation for Discrete_Time Observations. IEEE Transactions on Information Theory, IT-20, 123-125. 16. Voglewede, P. (2004) Parabola approximation for peak determination, Global DSP Magazine vol 3,13-17. 17. Zhang, J.; Liu, S.; Tang, L.; Mingotti, A.; Peretto, L.; Wen, H. (2020) Analysis of White Noise on Power Frequency Estimation by DFT-Based Frequency Shifting and Filtering, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement vol 69, 4125-4132. doi:10.1109/TIM. 2019.2941290 925 926