T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNVARYANT ALTMANİFOLDLAR ÜLKÜ ULUTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA-2005 i ÖZET Bu çalışmada Riemanniann manifoldlar,Riemannian çarpım manifoldları, bu manifoldlar üzerindeki invaryant ve yarı invaryant alt manifoldlar ve eğrilikleri ele alınmıştır. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Riemannian çarpım manifoldları ve bazı örnekler verildi. Dördüncü bölümde Riemannian çarpım manifoldların invaryant altmanifoldlarının düşey ve yatay distribüsyonları ile Riemannian çarpım manifoldların invaryant altmanifoldlarının lokal simetrik ve gerçel uzay formunda olmaları ele alınmıştır. Beşinci bölüm lokal Riemannian manifold olunması için Riemann Çarpım manifoldlarının yarı invaryant altmanifold olması için gerek ve yeter şartlar verildi.Ayrıca bu manifoldların integrallenebilir distribüsyonlar, total umbilik yarı invaryant altmanifold gibi temel özellikleri ele alınmıştır. Altıncı bölüm Riemann çarpım manifoldların Riemannian eğrilik tensorlerini ve Riemannian Chrisstoffel eğrilik tensorlerini ele almıştır. ii ABSTRACT In this thesis we consider Riemannian manifolds, Riemannian product manifolds,on the manifolds so invariant and semi invariant submanifolds and curvatures. This study consists of six chapters. The first chapter is introduction. In the second chapter, some basic definitions and notions which will be used in other chapters are given. In the third chapter, some examples of Riemanniann product manifolds are given. In the fourth chapter, the vertical and horizontal distributions of an invariant submanifold of a Riemannian product manifold and on an invariant submanifold of a Riemannian product manifold to be a locally symmetric and real space form are investigated. In the fifth chapter, necessary and sufficient conditions are given on a semi- invariant submanifold of a Riemann product manifold to be a locally Riemannian manifold.As well fundamental properties of these submanifolds are investigated such as integrability of distributions, totally umbilical semi-invariant submanifold. In the sixth chapter, the Riemannian curvature tensor and the Riemannian- Christoffel curvature tensor of a product Riemannian manifold are given. iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ......................................................................................................................... i ABSTRACT............................................................................................................... ii İÇİNDEKİLER........................................................................................................... iii SİMGELER DİZİNİ................................................................................................... iv 1. GİRİŞ................................................................................................................. 1 2. TEMEL KAVRAMLAR................................................................................... 2 3. RİEMANNİAN ÇARPIM MANİFOLDLARI.................................................. 10 4. RİEMANNİAN ÇARPIM MANİFOLDLARININ İNVARYANT ALTMANİFOLDLARI...................................................................................... 14 5. RİEMANNİAN ÇARPIM MANİFOLDLARININ YARI İNVARYANT ALTMANİFOLDLARI....................................................................................... 25 6. RİEMANN ÇARPIM MANİFOLDLARI ÜZERİNDE EĞRİLİK ŞARTLARI......................................................................................................................33 KAYNAKLAR DİZİNİ............................................................................................... 41 İNDEKS DİZİNİ.......................................................................................................... 43 TEŞEKKÜR................................................................................................................. 45 ÖZGEÇMİŞ.................................................................................................................. 46 iv SİMGELER DİZİNİ M , M Manifold M1 × M2 Çarpım manifoldu g , g Metrik tensör C∞ Diferansiyellenebilme χ (M ) M nin teğet vektör alanlarının uzayı C∞ (M , ) M den R ye diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi D ve D⊥ Distribüsyonlar ∇ M üzerinde afin koneksiyon ∇ M üzerinde afin koneksiyon ∇ Van-der Waerden –Bortolotti koneksiyonu [ , ] Lie parantez operatörü g χ (M ) üzerinde iç çarpım fonksiyonu h İkinci temel form f İmmersiyon Aξ Şekil operatörü NM M nin normal demeti TPM p noktasında teğet uzay T ⊥M p noktasında normal uzay γ eğri H =α Ortalama eğrilik H Ortalama eğrilik vektörü K Kesitsel eğrilik S Ricci eğrilik C Weyl konformal eğrilik operatörü v M(c) Sabit kesitsel eğrilik (π i )∗ Kanonik izdüşüm ∂ Kısmi türev Γki j Christoffel Sembolü T1 , T2 Düşey ve yatay distribüsyonlar S1,S2 Ortogonal projeksiyon dönüşümleri f1 ,f2 İmmersiyonlar , Norm R M nin eğrilik tensörü R M nin eğrilik tensörü T2 Tor yüzeyi 1 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel kavramlar verilmiştir. Tanım 2. 1: M n- boyutlu diferansiyellenebilir (C∞ sınıfından) bir manifold olsun. M üzerindeki C∞ vektör alanlarının uzayı χ (M ) ve M den R ye C∞ fonksiyonlarının uzayı C∞ (M , IR) olmak üzere, M üzerinde g : χ (M )× χ (M ) →C∞ (M , R) şeklinde bir metrik tanımlı ise M ye bir Riemann manifoldu denir. Burada g ye Riemann metriği (veya metrik tensör) adı verilir.(Chen 1973). Tanım 2. 2: M C∞ manifold ve M üzerinde tanımlı χ (M ) ; C∞ tipinde vektör alanları uzayı olmak üzere ∇ : χ (M )× χ (M ) → χ (M ) (X ,Y ) →∇(X ,Y ) = ∇XY dönüşümü ∀f , g∈C∞ (M , R) ve ∀X ,Y , Z ∈χ (M ) vektör alanları için i) ∇ fX +gY Z = f∇X Z + g∇Y Z ii) ∇X ( fY ) = f∇XY + X ( f )Y iii) ∇X (Y + Z ) = ∇XY +∇X Z özelliklerini sağlarsa ∇ ya M üzerinde bir Afin koneksiyon adı verilir (Hacısalihoğlu 1980). Tanım 2. 3: (M,g) bir Riemann manifold, ∇ , M üzerinde tanımlı bir afin koneksiyon olsun. O zaman ∀X ,Y , Z ∈χ (M ) için i) ∇XY −∇Y X = [X ,Y ] (sıfır torsiyon) ii) Xg(Y , Z ) = g(∇XY , Z ) + g(Y ,∇X Z ) (Koneksiyonun metrikle bağdaşma özeliği) şartları sağlanıyorsa ∇ ya M üzerinde sıfır torsionlu Riemann koneksiyonu yada Levi- Civita koneksiyonu adı verilir (Chen 1973 ve Hacısalihoğlu 1980). Bu koneksiyon kısaca M deki Riemann Koneksiyonu olarak adlandırılır. 2 Tanım 2. 4: M bir diferansiyellenebilir manifold olmak üzere, ∇ : χ (M )× χ (M )⎯2⎯−lin⎯eer→χ (M ) (X ,Y ) →∇(X ,Y ) = ∇XY biçiminde tanımlanan ∇ operatörü M nin bir U bölgesi üzerinde tanımlı olup ∀X ,Y ∈χ (U ) türevlenebilir (yani C∞ sınıfından) vektör alanı çiftine U üzerinde ∇XY biçiminde üçüncü bir C∞ vektör alanı karşılık getirir. Böylece aşağıdaki özelliler sağlandığında ∇ ya Lineer Koneksiyon (veya kovaryant türev)adı verilir(Hacısalihoğlu 1980); i) ∇X +Y Z = ∇X Z +∇Y Z ii) ∇ Y = f∇ ∞fX XY ; f ∈C (M , IR) iii) ∇X (Y + Z ) = ∇XY +∇X Z iv) ∇X ( fY ) = f∇XY + X ( f )Y . Tanım 2. 5: M , N sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifold f : M → N C∞ dönüşümünün boy( f∗(TPM )) = q ise f nin p∈M noktasındaki rankı q olup rank ( f ) = q ile gösterilir. Eğer boyM = rankf ise f ye immersiyon (daldırma) M yede N nin immersed altmanifoldu denir. f immersiyonu 1-1 ise f ye imbeding (gömme) M yede N nin gömülen altmanifoldu yada sadece altmanifoldu denir. (Chen 1973). Tanım 2. 6: (M,g) ve (N, g ) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldlar ve f : M → N ye bir immersiyon olsun.∀X ,Y ∈TPM için g(( f∗) p X , ( f∗) pY ) = g(X ,Y ) (2.1) ise f ’ye izometrik immersiyon (metrik koruyan immersiyon)adı verilir. (Chen 1973). 3 Tanım 2. 7: U ⊂ M üzerinde Γ ki j fonksiyonları ∂∇ ( ) =∑ .Γ k ∂i i j ( ) ∂yi ∂yk olmak üzere Γ ki j katsayılarına ∇ nın koneksiyon katsayıları(yada Christoffel sembolleri) adı verilir. Tanım 2. 8: ( M ,g) bir Riemannian manifold ve üzerindeki Riemannian konneksiyon koneksiyonu ∇ olsun. R : χ (M )× χ (M )×χ (M ) → χ (M ) (X , Y , Z ) → R(X ,Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇ Z −∇ Z X [X ,Y ] ile tanımlanan R,M üzerinde (1,3)- tensör alanıdır ve bu tensör alanı M nin Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır.(Chen 1973) Teorem 2. 1: ( M ,g) bir Riemannian manifold ve eğrilik tensör alanı R olsun. Bu durumda ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (M ) için i) R(X ,Y ) = −R(Y , X ) , ii) R(X ,Y )Z + R(Y , Z )X + R(Z ,Y )X = 0 , iii) g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z), iv) g(R(X,Y)Z,W)= g(R(Z,W)X,Y). İspat: (Chen 1973). Tanım 2. 9: ( M ,g) bir Riemannian manifoldu olsun. TpM tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayıπ olmak üzere V,W∈π tanjant vektörleri için Q fonksiyonu; Q(V,W)=g(V,V)g(W,W)-g(V,W)2 biçiminde tanımlansın. Q(V,W) ≠ 0 olmak üzere; K (V ,W ) g(R(V ,W )W ,V )= (2.2) Q(V ,W ) olup buna π nin kesitsel eğriliği denir ve K(π ) ile gösterilir(Chen 1973). 4 Tanım 2. 10: M, m boyutlu Riemann manifold olsun. ( m 〉 2 ). M de ∀ X,Y,Z∈χ (M ) ortonormal vektör alanları olmak üzere K(X,Y,Z,X)=0 ise K, M nin Riemann- Christoffel eğrilik tensörü iken M sabit kesitsel eğriliklidir. ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (M ) için M, c sabit eğriliğine sahip ise M nin Riemann-Christoffel eğrilik tensörü K (X ,Y , Z ,W ) = c{g(Z ,Y )g(X ,W )− g(Z , X )g(Y ,W )} eşitliği ile gösterilir(Chen 1973). Tanım 2. 11: ( M ,g) n-boyutlu bir Riemannian manifoldu ve {e1,e2 ,...,en} ,lokal vektör alanları olsunlar. S : χ (M )× χ (M ) → R n (X ,Y ) → S (X ,Y ) =∑ g(R(ei , X )Y ,ei ) (2.3) i=1 şeklinde tanımlı (0,2)-tipindeki tensör alanına, M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı verilir (Chen 1973). Tanım 2. 12: ( M ,g) n-boyutlu bir Riemannian manifoldu olsun.Eğer S=λg ise M ye Einstein manifold denir. Burada λ, M üzeinde diferensiyellenebilir bir fonksiyondur.(Besse 1987). Tanım 2. 13: (M,g) bir Riemann manifold olsun.M üzerinde bir vektör alanı ξ ve bir r- form ω olmak üzere V2,............,Vr ∈ TpM (r ≥ 1) vektörleri için M üzerinde (Cξω)( p)(V2 ,.........,Vr ) =ω(ξ ( p),V2 ,.........,Vr ) (2.4) biçiminde tanımlanan Cξω ( r – 1 ) formuna ω nun ξ ile kontraksiyonu adı verilir(Long 1995). Tanım 2. 14: Her bir X1, X 2 , X 3 , X 4 ∈χ (M ) için (M,g) nin Weyl konformal eğrilik operatörü C : χ (M )× χ (M )× χ (M ) → χ (M ) 5 C(X1, X 2 )X 3 = R(X1, X )X 1 + ⎛ ρ 2 3 ⎜ X1ΛX 2 − (X ΛSX + SX ΛX ) ⎞ X n − 2 ⎝ n −1 1 2 1 2 ⎟ 3⎠ (2.5) ve Weyl konformal eğrilik tensörü C : χ (M )× χ (M )× χ (M )× χ (M ) → C∞ (M , R) C(X1, X 2 , X3, X 4 ) = g(C(X1, X 2 )X3, X 4 ) şeklinde tanımlanır. Bununla beraber n ≥ 4 için eğer C=0 ise M ye konformal flat dir denir. Eğer n=3 ise M için her zaman C=0 dır(Chen 1973). ∇UV = ∇ M 2 U V − g(U ,V ) = ∇M2U V − gM (U ,V ) 2 n+d n n+dve M sırasıyla n ve n+d boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M , M nin n+d alt manifoldu ve ∇ de M deki Riemannian konneksiyon olsun. M n bir p noktasındaki tanjant uzayı T M np ve normal uzayı (Tp M n )⊥ olmak üzere n+d Tp( M )=Tp M n ⊕(T M np )⊥ dir. Böylece ∀X ,Y ∈χ (M n ) için ∇XY = tan(∇XY ) + nor(∇XY ) = ∇XY + nor(∇XY ) eşitliği elde edilir. Ayrıca ∇ nın M n üzerinde indirgenmiş metriğe göre bir Riemann konneksiyonu olduğu gösterilebilinir. (O’Neill 1983). n+d Önerme 2. 1: M n ⊆ M bir altmanifold ve g ile de sırasıyla M ve üzerinde tanımlı metrikler olsun. Böylece h(X,Y) M n üzerinde bir normal vektör alanı olmak üzere h : χ (M )× χ (M ) → χ (M )⊥ (X , Y ) → h(X ,Y ) = ∇XY - ∇XY (2.6) biçiminde gösterilen h ikinci temel form olup 2- lineer ve simetriktir. 6 İspat:(Chen1973). n+dTanım 2. 15: M n ⊆ M bir altmanifold ve ∇ da ; M de kovaryant türev olsun. Böylece her ∀X ,Y ∈χ (M ) ve her p için (∇XY ) p ∈TpM ve hp (X ,Y )∈T ⊥ p M ikinci temel form olmak üzere, (∇XY ) p = (∇XY ) p + hp (X ,Y ) (2.7) şeklinde Gauss denklemi elde edilir(Chen 1973) Tanım 2. 16: g(X ,Y ) = g1((π1)∗ X , (π1)∗Y ) + g2 ((π 2 )∗ X , (π 2 )∗Y ) bir altmanifold olmak üzere M ye normal bir birim normal vektör alanı ξ olsun. Böylece ∇ Xξ nın teğet bileşeni Aξ X ve normal bileşeni DXξ olmak üzere,her p∈M için; (∇Xξ ) p = −(Aξ X ) p + (DXξ ) p (2.8) biçiminde Weingarten denklemi denir. Burada Aξ ya şekil operatörü, Aξ : χ (M ) → χ (M ) X → Aξ (X ) = − tan(∇Xξ ) D ye de M n nin normal demetindeki (normal) koneksiyonu denir(Chen 1973). Teorem 2. 2: Aξ X , ξ ve X üzerinde 2-lineerdir. İspat: (Chen 1973). Teorem 2. 3: ∀X ,Y ∈χ (M ) , ξ ∈χ (M ⊥ ) , ∇ ; M de Riemann koneksiyon , ∇ ; M de Riemann koneksiyon , g ; M nin Riemann metriği , g ; M nin Riemann metriği olmak üzere g(X ,ξ ) = 0 ise g(h(X ,Y ),ξ ) = g(Y , Aξ X ) (2.9) eşitliği ile gösterilir. İspat: (Chen 1973). 7 Tanım 2. 17: ∇ Vander Waerden Bortolotti koneksiyonu ∇h :χ (M )× χ (M )× χ (M ) → χ (M )⊥ (X ,Y , Z ) → (∇h) (X ,Y , Z ) = (∇X h)(Y , Z ) (2.1 = DX h(Y , Z ) − h(∇XY , Z ) − h(Y ,∇X Z ) 0) şeklinde tanımlanır(Chen 1984). Önerme 2. 2: ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (M ) ,∀ξ ,η∈χ (M ⊥ ) ve∇ , R nin M üzerinde Levi- Civita koneksiyonu ve ∇ , R nin M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere g(R(X ,Y )Z ,W ) = g(R(X ,Y )Z ,W ) + g(h(X ,W ), h(Y , Z )) − g(h(X , Z ), h(Y ,W )) (2.11) eşitliği elde edilir. İspat: (Chen 1984). ⊥ Önerme 2. 3: ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (M ) ,∀ξ ,η∈χ(M ) ve∇ , R nin M üzerinde Levi- Civita koneksiyonu ve ∇ , R nin M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olmak üzerinde R(X ,Y )Z nin normali (R(X ,Y )Z )⊥ olarak tanımlanırsa Codazzi denklemi olarak adlandırılan aşağıdaki eşitlik elde edilir. (R(X ,Y )Z )⊥ = g(R(X ,Y )Z ,η) = (∇X h)(Y , Z ) − (∇Y h)(X , Z ) (2.12) şeklinde tanımlanır. İspat: (Chen 1984). Tanım 2. 18: ∀X ,Y , Z ∈Γ(TM ) için (∇X h)(Y , Z ) = (∇Y h)(X , Z ) eşitliğinden (R(X ,Y )Z )⊥ = 0 (3.7) oluyorsa M manifolduna eğrilik invaryant altmanifoldu adı verilir. Burada R⊥ ise D normal koneksiyonuna göre Riemann eğrilik tensörüdür. Diğer bir şekilde R⊥ = 0 ise M ye flat normal koneksiyon adı verilir. M nin normal koneksiyonunun flat olması için gerek ve yeter şart M nin şekil operatörünün köşegenleştirilebilir olması gereklidir. 8 Tüm hiperyüzeyler için R⊥ = 0 olduğu açıktır(Chen 1984). Önerme 2. 4: ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (M ) ve∀ξ ,η∈χ (M ⊥ ) olmak üzere R(X ,Y )Z nin normali (R(X ,Y )Z )⊥ olarak tanımlanırsa Ricci denklemi: ⊥ g(R(X ,Y )ξ ,η) = g(R (X ,Y )ξ ,η) − g(⎣⎡Aξ , Aη ⎦⎤ X ,Y ) (2.13) şeklinde tanımlanır. İspat: (Chen 1984). Tanım 2. 19: N nin n boyutlu altmanifoldu M olsun. H = 1n∑h(ei ,ei ) (2.14) Biçiminde tanımlanan H vektör alanına M nin ortalama eğrilik vektör alanı denir. H ortalama eğrilik vektörünün normu H ya da M nin ortalama eğriliği adı verilir (Chen 1973). Tanım 2. 20: Ortalama eğrilik vektörü H = 0 ise M manifoldu minimaldir (Chen 1973). Tanım 2. 21: f : M → M izometrik immersiyonu total geodezik ⇔ h = 0 (Chen 1973). Tanım 2. 22: (N , g) Riemann manifoldunun bir alt manifoldu (M , g) olsun. ∀X ,Y ∈χ (M ) olmak üzere h(X ,Y ) = g(X ,Y )H (2.15) eşitliği sağlanıyorsa M ye total umbilik altmanifold adı verilir(Chen 1973). Tanım 2. 23: (N , g) Riemann manifoldunun bir alt manifoldu (M , g) olsun. ∀X ,Y ∈χ (M ) olmak üzere g(h(X ,Y ), H ) = λg(X ,Y ) (2.16) 9 olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu var ise M ye pseudo-umbilik altmanifold denir.(Chen 1973). M nin r- boyutlu bir S disitribüsyonu denildiğinde M nin her p noktasına TpM nin r- boyutlu bir alt tanjant uzayı karşılık getirilmesi anlaşılacaktır.( Yano and Kon 1984). Tanım 2.24: M ‘nin r-boyutlu distribüsyonu S olsun.Eğer S nin tanım bölgesindeki her p noktasının r boyutlu bir Sp altuzayının baz vektörleri X1 ,X2,...,Xr olmak üzere bu komşuluktaki her q noktası için Sq X1(q) ,X2(q),...,Xr(q) tarafından geriliyor ise S diferensiyellenebilirdir denir. (Yano and Kon 1984). Tanım 2.21: (M,g) n boyutlu bir Riemann manifold, S bir distribüsyon olmak üzere eğer ∀ X,Y ∈S için [X ,Y ]∈S ise S involutivedir denir.(Yano and Kon 1984). Teorem.2.5:(Frobenius teoremi) Bir distribüsyon integrallenebilirdir ancak veya ancak distribüsyon involutivedir. 3. RİEMANNİAN ÇARPIM MANİFOLDLARI Bu bölümde Riemann manifoldların çarpım manifoldları tanıtılmıştır. (M1,g1), (M2,g2) Riemann manifoldları ve M, M1 × M2 nin çarpım manifoldu ve.i=1,2 için (π i )∗ : M → Mi kanonik izdüşümü göstersin. Tanım 3. 1 :∀X ,Y ∈χ (M ) için M üzerinde g(X ,Y ) = g1((π1)∗ X , (π1)∗Y ) + g2 ((π 2 )∗ X , (π 2 )∗Y ) şeklinde tanımlı g Riemann metriği ile belli (M,g) 2-lisine (M1,g1) ve(M2,g2) nin Riemann çarpım manifoldu denir(O’Neill1983) Not:Bundan böyle g1 ve g2 , M1 ve M2 nin Riemann metrik tensör alanı olmak üzere 10 g((π1)∗ X , (π1)∗Y ) = g1(X1,Y1) g((π 2 )∗ X , (π 2 )∗Y ) = g2 (X 2 ,Y2 ) eşitliklerinin geçerli olduğuna dikkat ediniz. Örnek 3. 1:(Tor yüzeyi) R4 deki x(θ ,ϕ) = (a cosθ ,a sin θ ,b cosϕ ,b sinϕ ) a a b b parametrelendirilmesi ile verilen tor yüzeyi T2 ile gösterilip, f 21 : S1 → R , f2 : S2 → R 2 θ → f1(x) = (a cos θ , a sin θ ) θ → f2 (x) = (b cos ϕ ,bsinϕ ) a a b b immersiyonları yardımıyla aşağıdaki çarpım immersiyonu elde edilir. f = f1 × f2 : S × S → R 2 1 2 ×R 2 = R4 (θ ,ϕ) → f (θ ,ϕ) = ( f1(θ ), f2 (θ )) = (a cosθ ,a sin θ ,b cosϕ ,bsinϕ ) a a b b Bu immersiyon R4 de bir Tor yüzeyi gösterir. Önerme 3. 1:M= M1 × M2 bir katlı çarpım olsun. X ,Y ∈χ (M1) ,U ,V ∈χ (M 2 ) ise o zaman, i) ∇XY = ∇ M1 X Y ii) ∇XV = ∇V X = 0 iii) ∇UV = ∇ M 2 U V dir. İspat: (O’Neill.B 1983). Teorem 3. 1: (π1)∗ :T( p ,q) (M1 ×M 2 ) → TM1 (π 2 )∗ :T( p ,q) (M1 ×M 2 ) → TM 2 projeksiyon dönüşümleri olsun. 11 1) (π1)∗ + (π 2 )∗ = Ι 2) (π ) 21 ∗ = (π1)∗ , (π 2 ) 2 ∗ = (π 2 )∗ 3) (π1)∗ (π 2 )∗ = (π 2 )∗ (π1)∗ = 0 (3.14) özellikleri sağlanır (O’Neill1983). İspat: u∈TM1,u = (u1,u2 ) 1) ((π1)∗ + (π 2 )∗)(u) = (π1)∗(u) + (π 2 )∗(u) = (π1)∗(u1,u2 ) + (π 2 )∗(u1,u2 ) = (u1,0) + (0,u2 ) = (u1,u2 ) = I (u) ⇒ ((π1)∗ + (π 2 )∗)(u) = I (u) ⇒ (π1)∗ + (π 2 )∗ = I 2) (π 21)∗ = (π1)∗ (π1)∗ = (π1)∗((π1)∗(u1,u2 )) = (π1)∗(u) = (π1)∗(u,0) ⇒ (π ) 21 ∗ = (π1)∗ 3) (π1)∗ (π 2 )∗ = (π1)∗((π 2 )∗(u1,u2 )) = (π1)∗(u2 ) = (π1)∗(0,u2 ) = 0 ⇒ (π1)∗ (π 2 )∗(u) = 0(u) ⇒ ((π1)∗ (π 2 )∗) = 0 .□ 12 Teorem 3.2: (π1)∗ :T( p ,q) (M1 ×M 2 ) → TM1 (π 2 )∗ :T( p ,q) (M1 ×M 2 ) → TM 2 projeksiyon dönüşümleri olsun. (π1)∗ + (π 2 2 )∗ = Ι olduğunu göstermiştik. F = (π1)∗ − (π 2 )∗ olmak üzere F = Ι dır. (X.Senlin ve N.Yilong 2000). İspat: F = (π1)∗ − (π 2 )∗ F 2 = ((π1)∗ − (π 2 )∗ ) ((π1)∗ − (π 2 )∗)F = (π1)∗ − (π 2 )∗ = ((π1)∗ (π1)∗) − ((π1)∗ (π 2 )∗) − ((π 2 )∗ (π1)∗) + ((π 2 )∗ (π 2 )∗) = (π1) 2 ∗ + (π ) 2 2 ∗ = (π1)∗ + (π 2 )∗ = Ι .□ Önerme 3.2: (M1 ×M 2 , g), (M1, g1), (M 2 , g2 );∀X ,Y ∈T (M1×M 2 ) olmak üzere F simetriktir. Yani g(FX ,Y ) = g(X , FY ) (3.15) dir. (X.Senlin ve N.Yilong 2000). İspat: g(FX ,Y ) = g1(π∗(FX ),π∗(Y ))+ g 2 (σ∗(FX ),σ∗(Y )) = g1(π∗(π∗ −σ∗)(X ),π∗(Y ))+ g 2 (σ∗(π∗ −σ∗)(X ),σ∗(Y )) = g1(π∗(X ),π∗(Y ))+ g1(−(π∗σ∗)(X ),π∗(Y )) + g 2 (σ∗π∗(X ),σ∗(Y ))+ g 2 (−σ∗σ∗(X ),σ∗(Y )) = g1(π∗(X ),π∗(Y ))− g 2 (σ∗(X ),σ∗(Y )) = g1(π∗(X ),π∗(Y ))+ g 2 (σ∗(X ),−σ∗(Y )) = g((π∗ +σ∗)(X ), (π∗ −σ∗)(Y )) = g(Ι(X ), F (Y )) 13 = g(X , F (Y )).□ Sonuç 3.1: (M1×M 2 , g), (M1, g1), (M 2 , g2 ) , X ,Y ∈T (M1×M 2 ) olmak üzere g(FX , FY ) = g(X ,Y ) (3.16) dir. (X.Senlin ve N.Yilong 2000). İspat: Burada F nin simetrikliğinden yararlanacağız. g(FX , FY ) = g(F 2 X ,Y ) = g(ΙX ,Y ) = g(X ,Y ) .□ Sonuç 3.2: (∇X F )Y = 0; X ,Y ∈T (M1×M 2 ) (X.Senlin ve N.Yilong 2000). 4. RİEMANNİAN ÇARPIM MANİFOLDLARININ İNVARYANT ALTMANİFOLDLARI Bu bölümde Riemann çarpım manifoldlarının invaryant altmanifoldlarının yatay ve düşey distribisyonları tanılacaktır. Riemannian çarpım manifoldlarının invaryant altmanifoldlarının lokal simetrik olması için gerek ve yeter şartlar verilecektir (M , g) = (M1×M 2 , g1× g2 ) Riemann çarpım manifoldu olsun.N,M nin m-boyutlu altmanifoldu olsun. X ∈χ(N)vektör alanı için fX ve ωX sırasıyla FX in teğet ve normal bileşenleri olmak üzere; FX = fX +ωX (4.1) dır. V ∈χ (N )⊥ nin normal vektörü olsun. BV ve CV sırasıyla FV nin teğet ve normal bileşenleri olmak üzere; FV = BV +CV (4.2) 14 dir.Bu ifadelerden yararlanarak X ∈χ (N ) ve V ∈χ (N )⊥ için f 2 X = X − BωX ,ω fX +CωX = 0 , (4.3) ve C 2V =V −ωBV , fBV + BCV = 0 , (4.4) daha fazlası ∀X ,Y ∈χ (N ) için g( fX ,Y ) = g(X , fY ) , g(X ,Y ) = g( fX , fY ) + g(ωX ,ωY ) (4.5) denklemleri elde edilir. Tanım 4. 1: Eğer ∀x∈N için F (Tx N ) ⊂ Tx N ise N ye M= M1×M 2 çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu denir. (Yano ve ark.1984) Eğer N, M nin invaryant alt manifoldu ise (4.1) denω özdeş olarak sıfır olur. (4.3) ve (4.5) denklemleri. f 2 = Ι , g( fX , fY ) = g(X ,Y ) formuna indirgenir. M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun bir invaryant altmanifoldu N ise f 2 = Ι eitliğinden T1 = {X ∈Γ(TN ) fX = X} ve T2 = {X ∈Γ(TN ) fX = −X} yatay ve düşey distribüsyonlarını böylecede TN = T1 ⊕T2 parçalanışını elde etmiş oluruz. T1 ve T2 ye karşılık gelen integral manifoldları bu bölümde sırasıyla N1 ve N2 ile göstereceğiz(Atçeken ve Keleş 2004) Örnek 4. 1: M = R3 ×R3 (i=1,2) için R3 ün standart metrik tensörü g = g1× g2 ile tanımlı Riemann çarpım manifoldu olsun. M nin bir altmanifoldu N olmak üzere N = {( x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 )∈R6 x3 = x2 + sin x1, x5 = cos x4} eşitliği ile gösterilsin. 15 f1 : N1 → R3 = M1 , f2 : N2 → R3 = M 2 (x1, x2 ) → (x1, x2 , x2 + sin x1) (x4 , x6 ) → (x4 ,cos x4 , x6 ) immersiyonları yardımıyla aşağıdaki immersiyonu tanımlayalım: f = f1 × f2 : N = N1 × N2 → M ×M = R 3 ×R3 = R61 2 (x1, x2 , x4 , x6 ) → (x1, x2 , x2 + sin x1, x4 , cos x4 , x6 ) ∂f = (1,0,cos x1,0,0,0) ∂ = + cos x ∂ ∂x1 ∂x 1 1 ∂x3 ∂f = (0,1,1,0,0,0) ∂ ∂= + ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂f = (0,0,0,1,−sin x ∂ ∂4 ,0) = − sin x4 ∂x4 ∂x4 ∂x5 ∂f = (0,0,0,0,0,1) ∂= ∂x6 ∂x6 Böylece , ⎧ ⎫ χ (N ) = Span⎨U ∂ ∂ 1 = + cos x1 ,U ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ,U = − sin x ∂x ∂x 2 ∂x 3 4 ,U4 = ⎬ ⎩ 1 3 2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂x6 ⎭ elde edilir. Düşey ve yatay distribisyonlar sırasıylaT1 = Span{U1,U2} ,T2 = Span{U3,U4}dir. Normal uzay ise ⎧ χ (N )⊥ Span V cos x ∂ ∂ ∂ ⎫ = ⎨ 1 = 1 + − ,V = sin x ∂ ∂ + . ⎩ ∂x1 ∂x2 ∂x 2 4 ∂x ⎬3 4 ∂x5 ⎭ (π1)∗ + (π 2 )∗ = I , (π1)∗ − (π 2 )∗ = F olmak üzere F (u1) = F ( ∂ ) + cos x1F ( ∂ ) ∂x1 ∂x3 = ((π1)∗ − (π 2 )∗) ∂ + cos x1((π1)∗ − (π 2 ) ∂ ∗) ∂x1 ∂x3 = (π ∂1)∗( ) − (π 2 )∗( ∂ ) + cos x1(π ) ( ∂ ) − cos x (π ) ( ∂ ) ∂x1 ∂x 1 ∗ 1 ∂x 1 2 ∗ 3 ∂x3 ∂= + cos x ∂ = u ∂x 11 ∂x 1 3 16 Benzer şekilde F (u2 ) = u2 , F (u3 ) = −u3 , F (u4 ) = −u4 olduğu gösterilebilir. Böylece χ (N ) baz vektörler F altında olur.Düşey ve yatay distribisyonla sırasıyla T1 = Span{U1,U2} ,T2 = Span{U3,U4}dir (Atçeken ve Keleş 2004). Önerme 4. 1: N, M = M1×M 2 nin invaryant altmanifoldu ise F nin simetrikliğinden x∈N için F (T ⊥x N ) ⊂ T N ⊥ x dir. İspat: F nin simetrikliği yani (3.15) denkleminden elde edilebilir(X.Senlin ve N.Yilong 2000). □ Önerme 4. 2: N, M = M1×M 2 nin invaryant altmanifoldu ve için Levi-Civita ∇ ve ∇ sırasıyla N ve M nin Levi-Civita konneksiyonu olsunlar. Bu durumda ∀X ,Y ∈χ (N ) için ∇xFY = F∇xY ∇x fY + h(X , fY ) = F∇xY + Fh(X ,Y ) ∇x fY + h(X , fY ) = f∇xY + Fh(X ,Y ) (∇x f )Y = 0, Fh(X ,Y ) = h(X , fY ) (4.6) dır (Atçeken ve Keleş 2004). İspat: F nin paralelliğinden yani (∇X F )Y = 0⇒∇X FY − F∇XY = 0 ⇒∇X FY = F∇XY elde edilir. N,M nin invaryant altmanifoldu olduğundan Y ∈χ (N ) ise F (Y )∈χ (N ) olacaktır. ∇X FY = ∇X FY + h(X , FY ) = ∇X fY + h(X , fY ) (1) F(∇XY ) = F(∇XY + h(X ,Y )) 17 = F∇XY + Fh(X ,Y ) = f∇XY + Fh(X ,Y ) (2) (1) ve (2) eşitliklerinden ∇X fY = f∇XY ⇒ (∇X f )Y = 0 , Fh(X ,Y ) = h(X , fY ) eşitlikleri elde edilir.□ Teorem 4. 1: N , M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu olsun. O zaman N1 ve N2 ,N nin total geodezik altmanifoldları olur .Dahası N1 ve N2 sırasıyla M1 ve M2 nin altmanifoldları olurlar(Atçeken ve Keleş 2004). İspat: ∀X ∈χ (N1) , ∀Z ∈χ (N ) için (4.6) nolu denklemden f∇Z X = ∇Z fX = ∇Z X (4.7) yani f∇Z X ∈T1 elde edilir. Böylece T1 distribisyonu pareleldir.Aynı yolla T2 distribisyonununda parelel olduğu gösterilebilir. ∀X ,Y ∈χ (N1) için f [X ,Y ] = f (∇XY −∇Y X ) = ∇X fY −∇Y fX = ∇XY −∇Y X = [X ,Y ] . dir. Buradan Böylelikle T1 düşey distribisyonun involutive olduğu elde edilir..Benzer yolla T2 ninde yatay distribisyonunda involutive olduğu kolaylıkla elde edilebilir. Bu ise T1 ve T2 integrallenebilir olması demektir. N den N1 ‘e indirgenmiş konneksiyonu ∇1 ile gösterilim. f∇XY = ∇ 1 X fY = ∇X fY + h1(X , fY ) = ∇XY = ∇1XY − h1(X ,Y ) = f (∇1XY + h1(X ,Y )) = f (∇1XY + h1(X ,Y )) = ∇1XY − h1(X ,Y ) eşitliklerden ∇1XY + h1(X ,Y ) =∇ 1 XY − h1(X ,Y ) 18 2h1(X ,Y ) = 0 ⇒ h1(X ,Y ) = 0 dır. N1,N nin total geodeziğidir. Benzer şekilde N2 ‘ninde N ‘de total geodezik olduğu gösterilebilir. Böylece N bir lokal Riemann çarpım manifoldudur. Vp = {X ∈Γ(T (M1×M 2 )) FX = X} ve Vq = {X ∈Γ(T (M1×M 2 )) FX = −X} distribisyonlarını tanımlayalım. (π 2 21)∗ = (π1)∗ , (π 2 )∗ = (π 2 )∗ , (π1)∗ + (π 2 )∗ = I , (π1)∗(π 2 )∗ = (π 2 )∗(π1)∗ = 0 ifadesinden ∀X ∈χ (T1) için (π1) X 1 ∗ = (I + F )X 1 = (X + FX ) 1= (X + fX ) = X 2 2 2 ve QX 1 1 1= (I − F )X = (X − FX ) = (X − fX ) = 0 2 2 2 dir. Böylece ∀X ∈χ (N ) için X ∈χ (Vp ) dir.Aynı yolla ∀Y ∈χ (T2 ) için Y ∈χ (Vq ) olduğu gösterilebilir. Vp ve Vq distribisyonlarının integral manifoldları sırası ile M1 ve M 2 dir.Ayrıca N1 ve N2 , M1 ve M 2 nin altmanifoldlarıdırlar.□ Teorem 4. 2: M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu N olsun .R ve K sırası ile Riemann Eğrilik tensörü ve Riemann Christoffel tensörü olmak üzere f fonksiyonu ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (N ) için; i) R(X ,Y ) fZ = fR(X ,Y )Z ii) R( fX , fY ) = R(X ,Y ) iii) K ( fX , fY , fZ , fW ) = K ( fX , fY , Z ,W ) = K (X ,Y , fZ , fW ) = K (X ,Y , Z ,W ) iv) K (X , fY , fZ ,W ) = K (X , fY , Z , fW ) = K ( fX ,Y , fZ ,W ) eşitlikleri sağlanır(Atçeken ve Keleş 2004). İspat: (3.17) ve (4.6) denklemlerinden 19 i) R(X ,Y ) fZ = ∇X∇Y fZ −∇Y∇X fZ −∇[X ,Y ] fZ = ∇X f∇Y Z −∇Y f∇X Z − f∇[X ,Y ]Z = f (∇X∇Y Z −∇Y∇X Z −∇[X ,Y ]Z ) = fR(X ,Y )Z dir. ii) K Riemann eğrilik tensörünün özelliklerinden g(R( fX , fY )Z ,W ) = K (Z ,W , fX , fY ) = g(R(Z ,W ) fX , fY ) = g( fR(Z ,W )X , fY ) = g(R(Z ,W )X ,Y ) = g(R(X ,Y )Z ,W ) dir. Böylece R( fX , fY ) = R(X ,Y ) ifadesini tanımlayabiliriz. iii) K ( fX , fY , fZ , fW ) = g(R( fX , fY ) fZ , fW ) = g( fR( fX , fY )Z , fW ) ± = g(R( fX , fY )Z ,W ) = K ( fX , fY , Z ,W ) = g(R(Z ,W ) fX , fY ) = g( fR(Z ,W )X , fY ) = g(R(Z ,W )X ,Y ) = K (X ,Y , Z ,W ) = g(R(X ,Y ) fZ , fW ) = K (X ,Y , fZ , fW ) . iv) K Riemann eğrilik tensörünün özelliklerinden K (X , fY , fZ ,W ) = g(R(X , fY ) fZ ,W ) = g(R(X , fY )Z ,W ) = g(R(Z , fY )Z , fW ) = K (X , fY , Z , fW ) = −g( fR( fY , X )Z ,W ) = −g(R( fY , X ) fZ ,W ) = −g( fR( fY , X )Z ,W ) = −g(R( fY , X ) fZ ,W ) = −g(R( fZ ,W ) fY , X ) = −g(R( fZ ,W )Y , fX ) = K ( fX ,Y , fZ ,W ) dir. □ Teorem 4. 3: M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu N ise N karışık geodezik altmanifolddur(Atçeken ve Keleş 2004). 20 İspat: h ; N nin ikinci temel formu olmak üzere ∀X ∈χ (T1) ve ∀Y ∈χ (T2 ) için h(X ,Y ) = 0 eşitliği gösterilebilir. (3.17) ve (4.6) denklemlerinden ∀X ,Y ∈χ (N ) için h( fX , fY ) = h(X ,Y ) ve h(X , fY ) = Fh(X ,Y ) eşitliklerine sahip oluruz. Böylece ∀X ∈χ (T1) ve ∀Y ∈χ (T2 ) için h(X ,Y ) = −h(X ,Y ) eşitliğinden h(X ,Y ) = 0 sonucuna ulaşılmışolunur.□ Tanım 4. 2: T1 ve T2 ortogonal tamamlayıcı iki distribisyon olsun. TN = T1 ⊕T2 ile gösterilsin. Bunun yanı sıra χ (T1) ve χ (T2 ) için S 11 = (I + f ) :Γ(TN ) →Γ(T1) 2 ve S 12 = (I − f ) :Γ(TN ) →Γ(T2 ) 2 ifadeleri χ (N ) nin ortogonal projeksiyon dönüşümleridir. Buradan S1 + S2 = I , S 2 1 = S1, S 2 2 = S2 , S1S2 = S2S1 = 0, f = S1 − S2. eşitliklerini tanımlayabiliriz. Dahası fazlası ∀X ,Y , Z ∈Γ(TN ) için ∇Y S1X = ∇(S +S )Y S1X = ∇S Y S1X +∇S Y S1X (4.8) 1 2 1 2 ve ∇ X = ∇ (S + S )X = Y (S1+S2 )Y 1 2 (4.9) = ∇S S1Y 1X +∇S Y S2 X +∇1 S S2Y 1X +∇S2Y S2 X dir. N nin total geodezik altmanifoldları N1 ve N2 integral manifoldları ,∇ Levi-Civita koneksiyonu ve ∀X ,Y , Z ∈χ (N ) için 21 g(∇S Y S1X , S2Z ) = S2Yg(S1X + S2Z ) − g(∇S Y S2Z , S2 2 1X ) = 0− g(∇S Y S2Z , S X ) = 02 1 dir. Böylece ∇S Y S1X ∈Γ(T1) için 2 S1(∇S Y S1X ) = ∇S Y S1X (4.10) 2 2 ve S2 (∇S Y S1X ) = 0 (4.11) 2 eşitlikleri gösterilmiş olunur.Aynı yolla ∀X ,Y ,∈χ (N ) için S1(∇S Y S2 X ) = 0 (4.12) 1 ve S2 (∇S Y S2 X ) = ∇S Y S2 X (4.13) 1 1 eşitliklerine ulaşılmış olunur.(4.9),(4.10) ve (4.12) den S1(∇Y X ) = S1∇S Y S1X + S1∇ S X + S ∇ S X + S ∇ S X 1 S1Y 2 1 S2Y 1 1 S2Y 2 = ∇S Y S1X +∇S Y S1X (4.14) 1 2 dir. ∀X ,Y ,∈χ (N ) için (4.7) ve(4.13) den (∇Y S1)X = ∇Y S1X − S1(∇Y X ) = ∇Y S1X −∇S Y S1X −∇S Y S1 2 1X = ∇S Y S1X +∇1 S Y S2 1X −∇S Y S1X −∇S S X1 2Y 1 = 0 dır.Böylece X veY keyfi vektör alanları için ∇S1 = 0 sonucuna ulaşılır.Aynı sebepten dolayı ∇S2 = 0 eşitliği elde edilir. Şimdi R ile N nin Riemann eğrilik tensörünü tanımlayalım. ∀X ,Y ,∈χ (N ) için R(X ,Y )S1Z = S1R(X ,Y )Z ∈Γ(T1) ve R(X ,Y )S2Z = S2R(X ,Y )Z ∈Γ(T2 ) dir. Böylece Teorem4.3 den R(S1X , S2Y ) = 0 (4.15) N için X tanjant vektörü olmak üzere S1X + S2 X ifadesi ile gösterilebilir. Böylece 22 R(X ,Y ) = R(S1X , S1Y ) + R(S2 X , S2Y ) eşitliği elde edilmiş olunur. ∀X ,Y , Z ∈χ (N ) için I.Bianchi eşitliği ve (4.15) den R(X ,Y )Z = R(S1X , S1Y )Z + R(S2 X , S2Y )Z = R(S1X , S1Y )S1Z + R(S1X , S1Y )S2Z + R(S2 X , S2Y )S1Z + R(S2 X , S2Y )S2Z = R(S1X , S1Y )S1Z − R(S2Z , S1X )S1Y − R(S1Y , S2Z )S1X − R(S1Z , S2 X )S2Y − R(S2Y , S1Z )S2 X + R(S2 X , S2Y )S2Z = R(S1X , S1Y )S1Z − R(S2 X , S1Y )S1Z dir. R(S1X , S1Y )S1Z = R1(S1X , S1Y )S1Z ve R(S2 X , S2Y )S2Z = R2 (S2 X , S2Y )S2Z eşitliklerinden R1 ve R2 nin N1 ve N2 integral manifoldlarının Riemann eğrilik tensörleri olduğu kolaylıkla görülebilir ve buradan X = X1 + X 2 ,Y = Y1 +Y2 , Z = Z1 + Z2 ∈χ (T1 ⊕T2 ) için R(X ,Y , Z ) = R1(X1,Y1)Z1 + R2 (X 2 ,Y2 )Z2 (4.16) sonucuna ulaşılınır(Atçeken ve Keleş 2004). Önerme 4. 3: M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu N olsun. N1 ve N2 integral manifoldlarının düşey ve yatay distribisyonları sırası ile T1 ve T2 olsun. N düzlemsel manifolddur gerek ve yeter şart N1 ve N2 de düzlemsel manifolddurlar(Atçeken, Keleş 2004). İspat: ∀X ,Y ve Z ; N de ortonormal vektör alanları olmak üzere (4.16) dan R1= R2 =0 ise R =0 dır.Böylelikle K1(X1,Y1, Z1, X1) = K2 (X 2 ,Y2 , Z2 , X 2 ) = 0 (4.17) 23 Sonuç olarak N1 ve N2 sabit kesitsel eğriliklidirler.(4.17) eşitliğinden N de X 1= (X1 + X 2 ),Y 1 = (Y 1+Y ) ve Z = (Z + Z ) 2 2 1 2 2 1 2 ortonormal vektör alanları için K (X ,Y , Z , X ) 1= K (X ,Y , Z , X ) 1+ K (X ,Y , Z , X ) = 0 4 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 ifadesinden N nin sabit kesitsel eğrilikli olduğu söylenebilir.□ . Teorem 4. 4: M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu ne negatif nede pozitiftir(Atçeken, Keleş 2004). İspat: M = M1×M 2 Riemann çarpım manifoldunun invaryant altmanifoldu N ve sabit kesitsel eğriliğini c ≠ 0 alalım. M(c) nin Riemann eğrilik tensörü ifadesi ve ∀X ,Y , Z ,W ∈χ (N ) için K (X ,Y , Z ,W ) = c{g(Y , Z )g(X ,W )− g(X , Z )g(Y ,W )} (4.18) dir. Teorem 4.2. nin iii) şıkkından K ( fX , fY , fZ , fW ) = K ( fX , fY , Z ,W ) (4.19) eşitliğindeki Z = Z1 ∈χ (T1) ve W =W2 ∈χ (T2 ) ifadelerinden K ( fX , fY , Z1,W2 ) = −K ( fX , fY , Z1,W2 ) eşitliğini elde ederiz. Böylece K ( fX , fY , Z1,W2 ) = 0 (4.18) ve (4.19) eşitliklerinden c{g( fY , Z1)g( fX ,W2 ) − g( fX , Z1)g( fY ,W2 )} = 0 dır. c ≠ 0 için g( fY , Z1)g( fX ,W2 ) = g( fX , Z1)g( fY ,W2 ) T1 ve T2 ortogonal distribisyonları için 24 Z1g( fX ,W2 ) =W2g( fX , Z1) eşitlikleri sağlanır.□ 5.RİEMANN ÇARPIM MANİFOLDUNUN YARI- İNVARYANT ALTMANİFOLDU Tanım 5. 1: M bir Riemann çarpım manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. TM = D⊕ D⊥ , F (D) = D ve F (D⊥ ) ⊂ TM ⊥ olacak şekilde M , D ve D⊥ şeklinde iki distribüsyonlarına sahip ise M ye M nin yarı invaryant alt manifoldu denir. TM ⊥ = F (D⊥ )⊕V ifadesinde V , TM ⊥ deki F (D⊥ ) in ortogonal tamamlayıcısı olarak tanımlanır.(4.1) denkleminden fX = F (π1)∗ X ve wX = F (π 2 )∗ X eşitlikleri gösterilebilir( Şahin ve Atçeken 2003). Tanım5. 2: D ve D⊥ in distribüsyonları p ve q olmak üzere q = 0 için bir yarı- invaryant altmanifold invaryant alt manifold, p = 0 için bir yarı-invaryant altmanifold anti-invaryant altmanifolddur(Şahin ve Atçeken 2003). 25 Örnek 5. 1: M = R3 ×R3 (i=1,2) için R3 ün standart metrik tensörü g = g1× g2 ile tanımlı Riemann çarpım manifoldu olsun. M nin bir altmanifoldu N olmak üzere N = {(x1, x2 , x3, x4 , x 1 25, x6 ) x1 = x6 + 2 (x3 + x4 ) , x2 = x5} eşitliği ile gösterilsin. f1 : N 3 1 → R = M1 , f2 : N2 → R3 = M 2 (x , x ) → (x + 1 (x 23 4 6 2 3 + x4 ) , x5 , x3 ) (x5 , x6 ) → (x4 , x5 , x6 ) immersiyonları yardımıyla aşağıdaki immersiyonu tanımlayalım. f = f1 × f2 : N = N × N → M ×M = R 3 1 2 1 2 ×R 3 = R6 (x 1 23, x4 , x5 , x6 ) → (x6 + 2 (x3 , x4 ) , x5 , x3, x4 , x5 , x6 ) ∂f = (x3 + x4 ,0,1,0,0,0) (x x ) ∂ ∂ = + + ∂x 3 43 ∂x1 ∂x3 ∂f = (x3 + x4 ,0,0,1,0,0) = (x3 + x ) ∂ ∂ 4 + ∂x4 ∂x1 ∂x4 ∂f (0,1,0,0,1,0) ∂ ∂= = + ∂x5 ∂x2 ∂x5 ∂f = (1,0,0,0,0,1) ∂ ∂= + ∂x6 ∂x1 ∂x6 Böylece, ⎧ χ (N ) Span U (x x ) ∂ ∂ ,U (x x ) ∂ ∂ ⎫ = ⎨ 1 = 3 + 4 + 2 = 1 + 4 + ,U ∂ ∂ 3 = + ,U ∂ ∂ ∂x 4 = + ⎬ ⎩ 1 ∂x3 ∂x1 ∂x4 ∂x2 ∂x5 ∂x1 ∂x6 ⎭ (π1)∗ + (π 2 )∗ = I , (π1)∗ − (π 2 )∗ = F olmak üzere F (u ) (x x )F ( ∂ ) F ( ∂1 = 3 + 4 + ) ∂x1 ∂x3 = (x3 + x4 )((π1)∗ − (π 2 ) ∂ ∂ ∗) + ((π1)∗ − (π∂x 2 )∗) 1 ∂x3 = (x3 + x4 )((π ∂ 1)∗( ) (π ) ( ∂ − 2 ∗ )) ∂ + (π1)∗( ) − (π 2 )∗( ∂ ) ∂x1 ∂x1 ∂x3 ∂x3 26 (x ∂ ∂= 3 + x4 )F ( ) + F ( ) = u ∂x1 ∂x 13 Benzer şekilde F (u2 ) = u2 , F (u3 ) = −u3 , F (u4 ) = −u4 olduğu gösterilebilir. N nin M de invaryant altmanifold olduğu kolayca gösterilebilir. Düşey ve yatay distribisyonlar sırasıyla T1 = Span{U1,U2} ,T2 = Span{U3,U4}dir. Dahası normal uzay ise χ (N )⊥ = Span{ξ1 = ∂ ∂x1 + (X 3 + X 4 )∂ ∂x3 + (X 3 + X 4 )∂ ∂x4 + ∂ ∂x6 ,ξ2 = ∂ ∂x2 − ∂ ∂x5} şeklinde gösterilir(Şahin ve Atçeken 2003). Tanım 5. 3: M ; M Riemann çarpım manifoldunun yarı invaryant alt manifoldu olsun. X ∈χ (D) ve Y ∈χ (D⊥ ) için eğer h(X ,Y ) = 0 ise M ye karışık geodezik yarı invaryant alt manifold denir(Şahin veAtçeken 2003). Teorem 5. 1: M bir Riemann çarpım manifoldu ve M ; M nin yarı- invaryant alt manifoldu olsun. ∀Z ,W ∈χ (D)⊥ için AFZW = −AFW Z (5.1) dır(Şahin ve Atçeken 2003). İspat: ∀X ∈χ (M ),∀Z ,W ∈χ (D)⊥ ⇒ FZ ∈χ (M )⊥ , FW ∈χ (M )⊥ için (2.7) ,(2,8) ,(3.17) ve (4.1) denklemlerinden yararlanarak F (D) = D, F (D⊥ ) ⊂ TM ⊥ TM ⊥ = F (D⊥ ) +V D⊥ ⊂ TM , D ⊂ TM ifadelerini tanımlamıştık. 27 (∇X F )Z = 0⇒∇X FZ − F∇X Z = 0 ⇒∇X FZ = F (∇X Z ) ⇒ −AFZ X + DX FZ = F (∇X Z + h(X , Z )) T N ⇒ −AFZ X + DX FZ = F (∇X Z )+ F (h(X , Z )) ifadesini W ile iç çarpımını alalım. T N T N ⇒ g(−AFZ X ,W )+ g(DX FZ ,W ) = g(F∇X Z ,W )+ g(Fh(X , Z ),W ) N D ⊥ ⇒ −g(AFZ X ,W ) = g(F∇X Z ,W )+ g(Fh(X , Z ),W ) , F simetrik olduğundan ⇒−g(AFZ X ,W ) = g(∇X Z , FW )+ g(h(X , Z ), FW ) TM TM ⊥ ⇒ −g(AFZ X ,W ) = g(h(X , Z ), FW ) ⇒ −g(AFZ X ,W ) = g(AFW Z , X ) ⇒ −g(AFZW , X ) = g(AFW Z , X ) ⇒ AFZW = AFW Z.□ Lemma 5. 1: M ; M Riemann çarpım manifoldunun yarı invariant alt manifoldu olsun. .∀ X ∈χ (D) ve ξ ∈ χ (V ) için Aξ FX = AFξ Z (5.2) dır(Şahin ve Atçeken 2003). İspat: ∀ X ∈χ (D),Y ∈χ (M ) ve ξ ∈ χ (V ) ve∇ Levi- Civita koneksiyonu için (3.17) denklemi yardımıyla (∇X F )Y = 0 ⇒ (∇X F )Y = ∇X FY − F (∇XY ) = 0 ⇒∇X FY = F (∇XY ) ⇒∇X FY + h(X , FY ) = F (∇XY + h(X ,Y )) ifadesinin her iki tarafınında W ∈χ (V ) ile iç çarpımı alındığı taktirde ; 28 g(∇X FY ,W )+ g(h(X , FY ),W ) = g(F∇XY ,W )+ g(Fh(X ,Y ),W ) 0 0 g(h(X , FY ),W ) = g(Fh(X ,Y ),W ) h(X , FY ) = Fh(X ,Y ) (5.3) eşitliği elde edilir. (∇X F )ξ = 0 ⇒ (∇X F )ξ = ∇X Fξ − F (∇Xξ ) = 0 ⇒∇X Fξ = F (∇Xξ ) ⇒ −AFξY + DY Fξ = F (−AξY + DYξ ) ⇒ −AFξY + DY Fξ = −FAξY + FDYξ eşitliğinin X ile iç çarpımını alalım. g(−AFξY , X )+ g(DY Fξ , X ) = g(−FAξY , X )+ g(FDYξ , X ) 0 0 g(AFξY , X ) = g(FAξY , X ) g(AFξY , X ) = g(AξY , FX ) g(AFξY , X ) = g(h(FX ,Y ),ξ ) (5.3) denkleminden g(Fh(X ,Y ),ξ ) = g(h(FX ,Y ),ξ ) −g(AFξ Z ,W ) + g(DZ Fξ ,W ) = −g(FAξ Z ,W )+ g(FDZξ ,W ) −g(AFξ Z ,W )+ g(DZ Fξ ,W ) = − g(Aξ Z , FW )+ g(DZξ , FW ) 0 0 g(AFξ Z ,W ) = g(ξ , Dξ FW ) g(h(X ,Y ), Fξ ) = g(h(FX ,Y ),ξ ) g(AFξ X ,Y ) = g(Aξ FX ,Y ) AFξ X = Aξ FX dir.□ 29 Teorem 5. 2: M Riemann çarpım manifoldu ve M ; M nin yarı-invariant alt manifoldu olsun. ∀ Z ,W ∈χ (D)⊥ için; DZ FW − D ⊥ W FZ ∈χ (D) (5.4) dir (Şahin ve Atçeken 2003). İspat: (3.17) eşitliğinden (∇ X F)Y = 0 ∇ X FY = F∇ XY ∇ X FY + h(X , FY ) = F∇XY + Fh(X ,Y ) (∇ X F)ξ = 0 ∇ X Fξ = F∇ Xξ −AFξ Z + DZ Fξ = F (−Aξ Z + DZξ ) −AFξ Z + DZ Fξ = −FAξ Z + FDZξ eşitliğinin her iki tarafınında W ile iç çarpımını aldığımız taktirde; −g(AFξ Z ,W ) + g(DZ Fξ ,W ) = −g(FAξ Z ,W )+ g(FDZξ ,W ) eşitliği elde edilmiş olunur. g(ξ , FW ) = 0 N Γ(V ) ifadesinin türevi alındığı taktirde g(DZξ , FW ) + g(ξ , DZ FW ) = 0 g(DZξ , FW ) = −g(ξ , DZ FW ) −g(AFξ Z ,W ) + g(DZ Fξ ,W ) = −g(FAξ Z ,W )+ g(FDZξ ,W ) −g(AFξ Z ,W )+ g(DZ Fξ ,W ) = − g(Aξ Z , FW )+ g(DZξ , FW ) 0 0 −g(AFξZ ,W ) = g(DZξ , FW ) g(AFξ Z ,W ) = g(ξ , DZ FW ) (5.5) Eşitliğinde Z ile W nin yerlerini değiştirilerek 30 g(AFξW , Z ) = g(ξ , DW FZ ) elde edilen denklemin (5.5) ile farkını aldığımız taktirde g(DZ FW −DW FZ ,ξ ) = 0 denklemi elde edilir. Böylece DZ FW − DW FZ ∈Γ(FD ⊥ ) dır.□ Teorem 5. 3: M , M Riemann çarpım manifoldunun yarı invaryant altmanifoldu olmak üzere; D integrallenebilirdir. ⇔ ∀ X ∈χ (D) ve W ∈χ (D⊥ ) için h(X ,W )∈χ (V ) dir. (5.6) (Şahin ve Atçeken 2003). İspat: (3.2), (3.17) ve (5.1) denklemleri yardımıyla F [Z ,W ] = 2AFZW +∇⊥Z FW −∇⊥W FZ eşitliği elde edilebilir. F [Z ,W ] = 2AFZW +∇⊥ ⊥Z FW −∇W FZ F [Z ,W ] = 2 AFZW + DZ FW − DW FZ T Γ(D⊥ ) F [Z ,W ] = F (∇ZW −∇W Z ) = F (∇ZW ) − F (∇W Z ) =∇Z FW −∇W FZ = −AFW Z + DZ FW + AFZW − DW FZ = 2A ⊥FZW + DFW Z − DFZW ∈Γ(D ) Böylece (5.1), (3.16) ifadelerinden yararlanarak g(F [Z ,W ], X ) = 2g(AFZW , X ) g([Z ,W ], FX ) = 2g(h(X ,W ) , FZ ) ;[Z ,W ]∈Γ(D⊥ ) Γ(D) ⊥Γ(V ) F (D ) 0 31 Böylece h(X ,W )∈Γ(V ) dir.□ Teorem 5. 4: M ; M Riemann çarpım manifoldunun yarı-invariant altmanifoldu olmak üzere; D integrallenebilirdir. ⇔ ∀X ,Y ∈χ (D) için h(X , FY ) = h(Y , FX ) dir. (5.7) (Şahin ve Atçeken 2003). İspat: (2.7) ,(2.8) ,(3.17) (4.1) denklemleri yardımıyla (∇ X F)Y = 0 ∇X FY − F∇XY = 0 ∇X FY = F∇XY ∇X FY + h(X , FY ) = F∇XY + Fh(X ,Y )) T N T N ∇X FY + h(X , FY ) = f∇XY + w∇XY + Fh(X ,Y ) denklemi ile X ile Y nin yerlerini değiştirilerek ∇Y FX + h(Y , FX ) = f∇Y X + w∇Y X + Fh(Y , X ) elde ettiğimiz bu iki denklemin farkını aldığımız taktirde F [X ,Y ]+ h(X , FY )− h(Y , FX ) = F([X ,Y ]) h(X , FY ) − h(Y , FX ) = 0 h(X , FY ) = h(Y , FX ) eşitliği elde edilmiş olunur.□ 32 6.RİEMANN ÇARPIM MANİFOLDLARI ÜZERİNDE EĞRİLİK ŞARTLARI Teorem 6.1:M de X,Y,Z keyfi ortonormal vektör alanları ise K Riemann-Christoffel eğrilik tensörü ve g, M nin Riemann metriği olmak üzere ; K (X ,Y , Z , X ) = c{g(Z ,Y )g(X , X )− g(Z , X )g(Y , X )} = 0 olup böylece sabit kesitsel eğrilikli bir Riemann manifold olan eliptik,hiperbolik ve düzlemin sabit kesitsel eğrilikleri sırasıyla pozitif,negatif ve sıfırdır.Bir düzlem manifoldu için Riemann eğrilik tensörü sıfırdır. İspat:( Atçeken ve Keleş2003). Tanım 6.1: ∇ ile tanımlı R ,Rieman eğrilik tensörü paralel ise bir Riemann manifoldu lokal simetrik manifold olarak adlandırılır. ∇R=0 dır.( Atçeken ve Keleş 2003). 33 Teorem 6.2: M, M Riemann manifoldunun c sabit eğrilikli total umbilik altmanifoldu olsun. M üzerinde Mnin eğrilik vektör alanı H olmak üzere M nin aynı zamanda sabit kesitsel eğriliği c + H 2 dir. İspat: ( Atçeken ve Keleş 2003). Teorem 6.3: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) ve ∀X ,Y , Z ∈χ (M1×M 2 ) için R ve S eğriliklerinden yararlanarak a) R(X ,Y )JZ = JR(X ,Y )Z b) R(JX , JY ) = R(X ,Y ) c) S (JX , JY ) = S (X ,Y ) eşitlikleri gösterilebilir(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: a) J nin paralelizmliğinden yararlanarak ∇J = 0 dan R(X ,Y )JZ = ∇X∇Y JZ −∇Y∇X JZ −∇[X ,Y ]JZ = ∇X J∇Y Z −∇Y J∇X Z − J∇[X ,Y ]Z = J∇X∇Y Z − J∇Y∇X Z − J∇[X ,Y ]Z = J (∇X∇Y Z −∇Y∇X Z −∇[X ,Y ]Z ) = JR(X ,Y ). b)Benzer olarak, g(R(JX , JY )Z ,W ) = K (JX , JY , Z ,W ) = K (Z ,W , JX , JY ) = g(R(Z ,W )JX , JY ) = g(JR(Z ,W )X , JY ) = g(R(Z ,W )X ,Y ) = K (Z ,W , X ,Y ) = K (X ,Y , Z ,W ) = g(R(X ,Y )Z ,W ) . Buradan R(JX , JY ) = R(X ,Y ) sonucunu çıkarabiliriz. n+m n+m c) S (JX , JY ) = ∑ g(R(ei , JX )JY ,ei ) = ∑ g(R(Jei , X )Y , Jei ) i=1 i=1 34 n+m = ∑ g(R(ei , X )Y ,ei ) = S(X ,Y ) i=1 Teorem 6.4: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) ve∀X ,Y , Z ∈χ (M1×M 2 ) için R(X ,Y )(π1)∗Z ∈χ (M1) , R(X ,Y )(π 2 )∗Z ∈χ (M 2 ) olmak üzere ∇P = 0 ise R(X ,Y )(π1)∗Z = (π1)∗R(X ,Y )Z dır(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: R(X ,Y )(π1)∗Z = ∇X∇Y (π1)∗Z −∇Y∇X (π1)∗Z −∇[X ,Y ](π1)∗Z = ∇X (π1)∗∇Y Z −∇Y (π1)∗∇X Z − (π1)∗∇[X ,Y ]Z = (π1)∗∇X∇Y Z − (π1)∗∇Y∇X Z − (π1)∗∇[X ,Y ]Z = (π1)∗(∇X∇Y Z −∇Y∇X Z −∇[X ,Y ]Z ) = (π1)∗ R(X ,Y )Z .□ Teorem 6.5: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) manifold ve∀X ,Y , Z ∈χ (M1×M 2 ) için R(X ,Y )(π1)∗ Z ∈χ (M1) , R(X ,Y )(π 2 )∗ Z ∈χ (M 2 ) olmak üzere R(X ,Y )Z = R1(X1,Y1)Z1 + R2 (X 2 ,Y2 )Z2 (6.1) dır(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: X = X1 + X 2 ,Y = Y1 +Y2 ∈χ (M1×M 2 ) için Teorem 6.4 den ve Bianchi eşitsizliğini kullanarak R(X ,Y )Z = R(X1,Y1)Z + R(X 2 ,Y2 )Z = (π1)∗R(X1,Y1)Z + (π 2 )∗ R(X1,Y1)Z + (π1)∗ R(X 2 ,Y2 )Z + (π 2 )∗ R(X 2 ,Y2 )Z = R(X1,Y1)(π1)∗Z + R(X 2 ,Y2 )(π 2 )∗Z + (π 2 )∗(−R(Y1, Z )X1 − R(Z , X1)Y1) +(π1)∗(−R(Y2 , Z )X 2 − R(Z , X 2 )Y2 ) 35 = R(X1,Y1)Z1 + R(X 2 ,Y2 )Z2 − R(Y1, Z )(π 2 )∗ X1 − R(Z , X1)(π 2 )∗Y1 −R(Y2 , Z )(π1)∗ X 2 − R(Z , X 2 )(π1)∗Y2 = R(X1,Y1)Z1 + R(X 2 ,Y2 )Z2. ifadesinde R(X1,Y1)Z1 ve R(X 2 ,Y2 )Z2 yerine R1(X1,Y1)Z1 = R(X1,Y1)Z1 ve R2 (X 2 ,Y2 )Z2 = R(X 2 ,Y2 )Z2 ifadelerini aldığımız taktirde R1 ve R2 sırasıyla (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının Riemann eğrilik tensörleri olsun. Böylece; R(X ,Y )Z = R1(X1,Y1)Z1 + R2 (X 2 ,Y2 )Z2 ifadesine sahipiz.□ Teorem 6.6: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) manifoldu lokal simetrik manifolddur. ⇔ (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) lokal simetrik manifolddurlar(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: (M1×M 2 , g) lokal simetrik ise ∇R = ∇R1 +∇R2 = 0 dır. J = (π1)∗ − (π 2 )∗ , J (π1)∗ = (π1)∗ ve J (π 2 )∗ = −(π 2 )∗ ifadelerinden JR = JR1 + JR2 = J (π1)∗ R + J (π 2 )∗ R = (π1)∗ R − (π 2 )∗ R = R1 − R2 eşitliğini elde ederiz. J paralel olduğundan ∇R = ∇R1 +∇R2 = 0 (6.2) dır. J∇R = J∇R1 + J∇R2 ∇JR = ∇JR1 +∇JR2 (6.3) = ∇R2 −∇R2 = 0 (6.2) ve (6.3) eşitliklerinden ∇R2 = ∇R2 = 0 olduğu kolaylıkla görülebilir. Buradan (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) ifadelerinin lokal simetrik manifold oldukları anlaşılır. 36 Diğer taraftan (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) lokal simetrik manifoldlar olsunlar. ∇R2 = ∇R2 = 0 olduğundan ∇R = 0 olduğu kolaylıkla görülebilir. Buradan (M1×M 2 , g) nin lokal simetrik manifold olduğunu söyleyebiliriz.□ Teorem 6.7: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) çarpım manifoldu olsun. (M1×M 2 , g) Riemann çarpım manifoldu bir Ricci flat manifoldudur. ⇔ (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldları Ricci flat manifoldlardır(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: (M1×M 2 , g) Riemann çarpım manifoldu bir Ricci flat manifold ise S(X ,Y ) = S1(X1,Y1) + S2 (X 2 ,Y2 ) = 0 olup diğer taraftan S(X , JY ) = S1(X1,Y1) − S2 (X 2 ,Y2 ) = 0 ifadesini elde ederiz. Buradan S1(X1,Y1) = S2 (X 2 ,Y2 ) sonucunu çıkarabiliriz. Böylece (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının Ricci flat manifoldlardır.Terside kolaylıkla gösterilebilir.□ Teorem 6. 8: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) çarpım manifoldu olsun. ∀X ,Y , Z ∈χ (M1×M 2 ) için a) K (JX , JY , JZ , JW ) = K (JX , JY , Z ,W ) = K (X ,Y , JZ , JW ) = K (X ,Y , Z ,W ) b) K (X , JY , JZ ,W ) = K (X , JY , Z , JW ) = K (JX ,Y , JZ ,W ) ifadelerini tanımlayabiliriz(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: a) Teorem 6.3 den J paralel olduğundan K (JX , JY , JZ , JW ) = g(R(JX , JY )JZ , JW ) = g(JR(JX , JY )Z , JW ) = g(R(JX , JY )Z ,W ) 37 = g(R(X ,Y )Z ,W ) = K (X ,Y , Z ,W ) K (JX , JY , JZ , JW ) = g(R(JX , JY )JZ , JW ) = g(JR(JX , JY )Z , JW ) = g(R(JX , JY )Z ,W ) = K (JX , JY , Z ,W ) = K (JX , JY , Z ,Y ) = g(R(JX , JY )Z ,W ) = g(JR(X ,Y )Z , JW ) = g(R(X ,Y )JZ , JW ) = K (X ,Y , JZ , JW ) . b) R ve K nın özelliklerini kullanarak benzer yollarla K (X , JY , JZ ,W ) = g(R(X , JY )JZ ,W ) = g(JR(X , JY )Z ,W ) = K (R(X , JY )Z , JW ) = K (X , JY , Z , JW ) K (X , JY , JZ ,W ) = K (R(JZ ,W )X , JY ) = g(R(JZ ,W )JX ,Y ) = K (JZ ,W , JX ,Y ) = K (JX ,Y , JZ ,W ) = K (JX ,Y , Z , JW ) .□ X, M1×M 2 nin keyfi tanjant vektör alanı olsun. M1 ve M 2 nin tanjant vektör alanları (π1)∗ X ve (π 2 )∗ X olmak üzere X = (π1)∗ X + (π 2 )∗ X dir. (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının sırasıyla Riemann Christoffel sembolleri K ((π1)∗ X , (π1)∗Y , (π1)∗Z , (π1)∗W ) ve K ((π 2 )∗ X , (π 2 )∗Y , (π 2 )∗W , (π 2 )∗Z ) olduğu kolaylıkla görülebilir.Teorem6.3 ve Teorem6.8 ve (6.1) eşitliğinden K (X ,Y , Z ,W ) = K ((π1)∗ X , (π1)∗Y , (π1)∗Z , (π1)∗W ) + K ((π 2 )∗ X , (π 2 )∗Y , (π 2 )∗W , (π 2 )∗Z ) ifadesi elde edilir. X = X1 + X 2 ,Y = Y1 +Y2 , Z = Z1 + Z2 ,W =W1 +W2 ∈χ (M1×M 2 ) için K1 ve K 2 sırasıyla (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının Riemann Christoffel eğrilik tensörleri olamak üzere K (X ,Y , Z ,W ) = K 1(X1,Y1, Z1,W1) + K 2 (X 2 ,Y2 , Z2 ,W2 ) (6.4) eşitliği elde edilir. 38 Teorem 6. 9: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) çarpım manifoldu olsun. (M1×M 2 , g) Riemann çarpım manifoldu sabit kesitsel eğriliklidir. ⇔ (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldları sabit kesitsel eğriliklidir(Atçeken ve Keleş 2003). İspat: M1×M 2 Riemann çarpım manifoldu sabit kesitsel eğrilikli ise M1×M 2 üzerinde ∀X ,Y , Z için ortonormal vektör alanları için K (X ,Y , Z , X ) = 0 eşitliği elde edilir. {X1,Y1, Z1} ve{X 2 ,Y2 , Z2} sırasıyla M1 ve M 2 üzerinde ortonormal vektör alanları ise X 1= (X1 + X 1 2 ),Y = (Y1 +Y2 ), Z 1 = (Z1 + Z ) 2 2 2 2 ifadesi M1×M 2 üzerinde ortonormal vektör alanıdır. Dahası g Riemannyan metrik tanımından {X ,Y , JZ} M1×M 2 üzerinde ortonormal vektör alanıdırlar. Böylece (6.4) eşitliğinden K (X ,Y , Z , X ) 1 K (X ,Y , Z , X ) 1= 4 1 1 1 1 1 + K2 (X 2 ,Y2 , Z , X ) = 0 4 2 2 elde edilir. Ve Riemann çarpım manifoldları üzerinde ve K (X ,Y , JZ , X ) 1= K1(X1,Y1, Z1, X1) 1 − K2 (X 2 ,Y2 , Z2 , X 2 ) = 0 4 4 olup {X1,Y1, Z1} ve{X 2 ,Y2 , Z2} sırasıyla M1 ve M 2 üzerinde ortonormal vektör alanları için K1(X1,Y1, Z1, X1) = K2 (X 2 ,Y2 , Z2 , X 2 ) = 0 dır.(6.4) den M1×M 2 üzerinde ⎧X 1⎨ = (X1 + X 2 ),Y 1 = (Y 11 +Y2 ), Z = (Z1 + Z2 ) ⎫ ⎬ ⎩ 2 2 2 ⎭ ortonormal vektör alanları olmak üzere 4K (X ,Y , Z , X ) = K1(X1,Y1, Z1, X1) + K2 (X 2 ,Y2 , Z2 , X 2 ) = 0 şeklinde tanımlanır. Böylece (M1×M 2 , g) sabit kesitsel eğriliklidir diyebiliriz.□ 39 Sonuç 6. 1: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldlarının bir çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) çarpım manifoldu olsun. (M1×M 2 , g) Riemann çarpım manifoldu eliptikdir.(hiperbolik veya düzlemsel) ⇔ (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) Riemann manifoldları eliptiktir.(hiperbolik veya düzlemsel) (Atçeken ve Keleş 2003). Teorem 6.10: (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) sırasıyla p ve n-p boyutlu Riemann manifoldları ve M1 ile M2 nin bir Riemann çarpım manifoldu (M1×M 2 , g) olsun. (M1×M 2 , g) Riemann çarpım manifoldu konformal düzlemsel ise (M1, g1) ve (M 2 , g2 ) konformal düzlemsel ve Einstein manifold olurlar. (Deszcz,R.1991) İspat: M1 in bir ortonormal çatı alanı {e1,e2,…,ep}, M2 nin bir ortonormal çatı alanı {eP+1=f1, ep+2 = f2,…,en = fn-p} olsun. K, K1 ve K2 sırasıyla M , M1 ve M2 nin eğrilik tensör alanları, S, S1 ve S2 sırasıyla M , M1 ve M2 nin Ricci eğrilik tensör alanlarını göstemek üzere bunların lokal koordinat bileşenleri sırasıyla aşağıdaki şekilde bulunur. Kabcd=K(ea,eb,ec,ed) = K1(ea,eb,ec,ed) = K 1abcd (6.5) K = 0 , K = K2a α β d α β γ δ α β γ δ (6.6) Sab = S1ab (6.7) Saα = 0 (6.8) S = S 2α β α β (6.9) Burada a,b,c,d∈ {1,2,…….,p} ,α ,β ,γ ,δ ∈{p +1,.........,n}dir. C nin lokal bileşenleri C = K1 1− (g1 S1 − g1 S1 + g1 1 1 1abc d abcd n − 2 a d bc ac bd bc Sa d − gb d Sa c ) κ+ (g1 g1 − g1bc a d ac g1 1bd ) = Cabcd , (6.10) (n −1)(n − 2) C 1 1 2 1α abβ = − Sab gα β − g 1 S 2 n − 2 n − 2 ab α β 1+ κg1 2ab gα β , (6.11) (n −1)(n − 2) 40 C 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2α β γ δ = Kα β γ δ − (g Sn − 2 αδ β γ − gα γ Sβ δ + gβ γ Sαδ − gβ δ Sα γ ) κ+ (g 2 g 2 − g1 g1 ) = C 2 , (6.12) (n −1)(n − 2) β γ αδ α γ β δ α β γ δ Cabcα = Cabα β = Caα β γ = 0 (6.13) şeklinde olurlar. Eğer C= 0 ise (6.10) ve (6.12) denklemlerinden C1 ve C2 sıfır olur. Şimdi (6.11) denklemine (a,b) üzerinden kontraksiyon uygulayacak olursak 0 = −κ 1g 2α β − pS 2 1 + κ pg 2α β α β (n −1) (6.14) eşitliği elde edilir.Buradan; 1 S 2 κ 1α β = ( + κ )g 2 p (1− n) α β elde edilir.Böylece M2 Einstein manifold olur. Benzer şekilde M1 inde Einstein manifold olduğu kabul edilir. 41 KAYNAKLAR 1) Atçeken, M., Keleş, S., 2003,On Product Riemannian Manifolds, Differential Geometry-Dynamical Systema,Fac. Sci. Univ. Inonu, Vol.5 No.1,pp.1-7. 2) Atçeken, M., Keleş, S., 2003, Two Teorems on Invariant Submanifolds of Riemannian Product Manifold, Indian J Pure and Appl Math,34(7):1035-1044. 3) Atçeken, M.,Keleş, S., 2004, On the Invariant Submanifolds of Product Riemannian Manifold, Acta Mathematica Scientia, Vol.24, No.4 4) Besse, A.L.,1987, Einstein Manifolds,Springer Verlag,510p. 5) Chen, B.Y., 1973, Geometry of Submanifolds, Marcel Dekker Inc.,New York. 6) Chen, B.Y., 1984, Total Mean Curvature and Submanifolds of Finite Type, World Scientific Publishing Co Pte Ltd. 7) Deszcz, R., 1991, On Four Dimensional Riemannian Warped Product Manifolds Satisfying Certain Pseudo Symmetry Curvature condıtıons. 8) Hacısalihoğlu, H.H., 1980, Diferansiyel Geometri, İnönü Üniversitesi,895p 9) O’neill, B., 1983, Semi-Riemannian Geometry,Academic Pres Inc., New York. 10)Senlin, X., Yilong, N., 2000, Submanifolds of Product Riemannian Manifold, Acta Mathematica Scientia,20(B) 213-218. 11) Yano, K., Kon, M., 1984, Structre on Manifolds, World Scientific Publishing Co. Ltd. 12) Şahin, B.,Atçeken ,M., 2003, Semi-Invariant Submanifolds of Riemannian Product Manifold , 53( C)42,53( C)15. 13) Lang, S.,1995, Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag,360p. 42 İNDEKS Altmanifold Anti-invaryant altmanifold 25 Eğrilik İnvaryant 7 İnvaryant 14 Karışık geodezik 20 Pseudo umbilik 9 Total geodezik 20 Total umbilik 8 Yarı invaryant 25 Denklem Codazzi 7 Gauss 6 Ricci 8 Weingarten 6 Distribüsyon Diferansiyellenebilir 9 r-boyutlu 9 Eğrilik Kesitsel 3,24,33,38 Ortalama 8 Form İkinci temel 5 Geodezik 43 Total 8 Karışık 27 İmbeding 2 İmmersiyon İzometrik 2 İnvolutive 9 İntegrallenebilme 29,30,31 Koneksiyon Afin 1 Flat normal 7 Levi-Civita 1 Lineer 2 Katsayısı(Levi-Civita) 3 Vander Waerden Bortolotti 7 Kontraksiyon 4 Manifold Düzlemsel 23 Einstein 4,39 İntegral 15,23 Lokal Riemann çarpım 18 Lokal Simetrik manifold 35,36 Ricci flat 36 Riemann 1 44 Riemann çarpım 10 Lokal Riemann çarpım 18 Metrik Riemann 1 Minimal 8 Operatör Weyl konformal eğrilik 5 Tensör Riemann eğrilik 3,7,19,33 Riemannian Christoffel eğrilik 4,19,33 Ricci eğrilik 4 Weyl konformal eğrilik 5 Yüzey Tor 10 45 TEŞEKKÜR Çalışmalarım sırasında bana her türlü desteği veren ve yardımlarını esirgemeyen , bu çalışmayı yöneten sayın hocam Doç. Dr. Cengizhan MURATHAN’a , öneri ve görüşlerinden faydalandığım sayın hocalarım Prof. Dr. Kadri ARSLAN ve Doç. Dr. Rıdvan EZENTAŞ’a ve verdiği desteği ile her zaman yanımda olan arkadaşım Selen TÜRKAY’ a sonsuz teşekkürlerimi bir borç bilirim. Ayrıca bu çalışmanın meydana gelmesinde beni sonuna kadar destekleyen ve moral kaynağı olan canım aileme çok teşekkür ediyorum. Bu çalışmamı canım annem ve babama ithaf ediyorum. 46 ÖZGEÇMİŞ 1981 yılında Kırşehir’de doğdu. İlk öğrenimini Bursa İstiklâl okulunda, orta ve lise öğrenimini Bursa Atatürk Lisesi’nde 1997 yılında tamamladı.1998 yılında Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümüne başlayarak 2002 yılında Matematikçi olarak mezun oldu. Ocak 2003 de Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümünde Yüksek Lisans öğrenimine başladı.