T.C. ULUDAĞ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ DE-SĠTTER UZAYINDA PSEUDO PARALEL ALTMANĠFOLDLAR Öznur PAMUK YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI BURSA-2010 1 T.C. ULUDAĞ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ DE-SĠTTER UZAYINDA PSEUDO PARALEL ALTMANĠFOLDLAR Öznur PAMUK Prof.Dr. Cengizhan Murathan (DanıĢman) YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI BURSA-2010 i1i MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI i1ii ÖZET Bu çalıĢmada de Sitter uzayının pseudo paralel olma Ģartını sağlayan uzay benzeri alt manifoldları incelenmiĢtir. Sonra eğer de Sitter uzayının ve Ģartını sağlayan uzay benzeri altmanifoldunun ikinci temel formunun sıfır olduğu gösterilmiĢtir. Anahtar Kelimeler: Yarı-paralel, de Sitter uzay, Lorentz uzay, yarı simetrik, lokal simetrik, uzay benzeri alt manifold, simetrik altmanifold, pseudo yarı-paralel. i1v ABSTRACT In this study, space-like submanifolds of de Sitter space satisfying pseudo paralel conditions are investigated. We prove that if the space-like submanifolds of de Sitter space satisfies curvature condition with then the second fundemantel form vanishes. Key Words: Semi-parallel, de Sitter space, Lorentzian space, semi-symmetric, locally symmetric space-like submanifold, symmetric submanifold, pseudo semi-parallel. v1 İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ ONAY SAYFASI ii ÖZET iii ABSTRACT iv ĠÇĠNDEKĠLER v SĠMGELER DĠZĠNĠ vi 1. GĠRĠġ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Simetrik Bilineer Formlar 3 2.2. Yarı-Riemann Manifoldlar 7 2.3. Eğrilik Tensör Alanının Geometrik Yorumu 16 2.4. Yarı-Riemann Altmanifoldlar 20 3. SĠMETRĠK MANĠFOLDLAR 3.1. Yarı Simetrik Manifoldlar 30 3.2. Lokal Simetrik Manifoldar 33 4. SĠMETRĠK ALTMANĠFOLDLAR 38 5. LORENTZ UZAYLARIN SINIFLANDIRILMASI 5.1. Üç Boyutlu Lorentzian Gerçek Uzay Formlarında Paralel Yüzeyler 46 5.2. Dört Boyutlu Lorentzian Gerçek Uzay Formlarında Paralel Yüzeyler 48 6. YARI-RĠEMANN UZAY FORMUNUN UZAY BENZERĠ ALT MANĠFOLDLARI 51 KAYNAKLAR 56 ÖZGEÇMĠġ 59 TEġEKKÜR 60 v1i SİMGELER DİZİNİ -Reel sayılar cümlesi -Öklid n-uzay - indeksli yarı-öklid n-uzay -Simetrik iki-lineer form -Tensör çarpımı -Norm -Skalar çarpım -p noktasındaki teğet uzay -p noktasındaki kotanjant uzay -Manifold -Metrik tensör -Diferensiyellenebilme -Afin konneksiyon - M den R ye diferensiyellenebilir fonksiyonların cümlesi -M nin teğet vektör alanlarının uzayı -Lie parantez operatörü -DıĢ türev operatörü -M nin Riemann eğrilik tensörü -Ricci tensörü -Ricci operatörü -Dağılım -Kısmi türev -Tensör alanı -Vektör alanı -1-form -Temel 2-form v1ii -Kesitsel eğrilik -Skalar eğrilik -Laplas - Ortalama eğrilik - N birim normalinin iĢareti 11 1.GİRİŞ bir n+p boyutlu ve indeksi p olan bağlantılı sabit eğrilikli yarı- Riemann manifoldu p indeksli de-Sitter uzay olarak adlandırır. De-Sitter uzayını Riemann geometrisindeki n-kürenin yarı-Riemann karĢılığı olarak düĢünebiliriz. nin uzay benzeri altmanifoldu olsun. T.Ishihara 1988 yılında yaptığı çalıĢmada nin tam ve maksimal (=minimal) olması durumunda iken total geodezik olduğunu göstermiĢtir. Daha sonra H.Sun 1995 yılında bu çalıĢmada tamlık ve maksimallık Ģartı yerine pseudo umbilik ve paralel ikinci temel forma sahip Ģartı koyduğunda için ve eĢitlik durumunda total geodezik veya halinde ise nin de bir hiperbolik Veronese yüzeyi olduğunu göstermiĢtir. Riemann durumunda paralel ikinci temel forma sahip olan altmanifold için (Lumiste 1999) kaynağını temel kaynak olarak verebiliriz. E.Safiulina yarı-öklidiyen uzay da yarı-paralel uzay benzeri yüzeyler için bir sınıflandırma yapmıĢtır. Daha fazlası , , yarı-paralel uzay benzeri total geodezik yüzeylerin olmadığını gösterdiler. Sonraları B.Y.Chen ve J.Vander de Veken 4 boyutlu Lorentzian uzay formlarda paralel yüzeylerin bir tam sınıflandırmasını verdiler. Paralel uzay forma sahip olan altmanifoldlar aynı zamanda yarı-paralel dır. Fakat tersi doğru değildir. 21 Öklidiyen uzay durumunda yarı-paralel yüzeylerin ilk sınıflandırması J.Deprez 1985 de vermiĢtir. Bir Riemann uzay formunun nin yarı-paralel altmanifoldları için A.C.Asperi, G.A.Lobos ve F.Mercuri 2002 yılında minimallık Ģartı altında olması durumunda altmanifoldların total geodezik olduğunu göstermiĢtir. Bu çalıĢmada de Sitter uzayının , , uzay benzeri altmanifoldlarının pseudo paralel olma koĢulları ve bu koĢul altında total geodeziklik Ģartı incelenmiĢtir. 31 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalıĢmaya esas olan tanım ve teoremler verilecektir. 2.1. Simetrik Bilineer Formlar Tanım 2.1.1: V bir reel vektör uzayı olsun. dönüĢümü ve için i) , ii) , iii) özelliklerine sahip ise dönüĢümüne reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form denir (O’Neill 1983). Tanım 2.1.2: vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. i) ve için ise simetrik bilineer formuna pozitif tanımlı, ii) ve için ise simetrik bilineer formuna negatif tanımlı, iii) için ise simetrik bilineer formuna pozitif yarı tanımlı, iv) için ise simetrik bilineer formuna negatif yarı tanımlı, 41 v) için iken olmak zorunda ise simetrik bilineer formuna dejenere değil denir. Aksi halde dejeneredir denir (O’Neill 1983). Tanım 2.1.3. reel vektör uzayında bir skalar çarpma olsun. olmak üzere, i) veya ise vektörüne uzay benzeri, ii) ise vektörüne zaman benzeri, iii) , ise vektörüne ışık benzeri (lightlike(null)) denir (O’Neill, 1983). Tanım 2.1.4: bir reel vektör uzayı ve , nin bir alt vektör uzayı olsun. bir simetrik bilineer form olmak üzere negatif tanımlı olacak Ģekildeki en büyük boyutlu altuzayının boyutuna simetrik bilineer formun indeksi denir ve ile gösterilir (O’Neill 1983). Dikkat edilirse dır. Böylece nin yarı-pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter koĢul dır. Teorem 2.1.1: Bir simetrik bilineer formun dejenere olmaması için gerek ve yeter Ģart nin herhangi bir baza göre ters matrisinin var olmasıdır (O’Neill 1983). Tanım 2.1.5. Bir reel vektör uzayı üzerinde dejenere olmayan simetrik bilineer forma reel vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpma denir. üzerindeki bir skalar çarpma ise ikilisine skalar çarpımlı vektör uzayı denir (O’Neill 1983). 51 Örnek 2.1.1: , dönüĢümü iki lineer ve simetriktir. ye karĢılık gelen matris matrisidir ve regülerdir. Böylece dejenere değildir (O’Neill 1983). Tanım 2.1.6: için ve iken ise ve vektörleri diktir denir ve Ģeklinde gösterilir (O’Neill 1983). Örnek 2.1.2: Örnek 1.1.1. deki skalar çarpımı gözönüne alalım. de , , , , vektörlerini seçelim. ġekil 2.1.1 Dikkat edilirse burada ve , ile ile vektörleri birbirine dik vektörlerdir. Tanım 2.1.7: , vektör uzayının bir altuzayı olsun. , altuzayına nun diki denir (O’Neill 1983). 61 Uyarı 2.1.1: nun dik tümleyeni olmak zorunda değil. Örnek 2.1.1. deki skalar çarpımı tekrar göz önüne alacak olursak elde edildiği için dır. Böylece nun dik tümleyeni olmak zorunda değildir (O’Neill 1983). Teorem 2.1.2: bir skalar çarpım uzayının altuzayı olsun. O zaman, i) , ii) dir (O’Neill 1983). Tanım 2.1.8: reel vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpma ve da nin bir alt uzayı olsun. Eğer , üzerinde dejenere değil ise ya dejenere olmayan altuzay, aksi halde dejenere altuzay denir (O’Neill 1983). Teorem 2.1.3: bir iç çarpım uzayı ve , nin bir alt uzayı olsun. nın dejenere olmayan altuzay olması için gerek ve yeter Ģart olmasıdır (O’Neill, 1983). Tanım 2.1.9: Bir reel vektör uzayı üzerinde bir iç çarpım olsun. Bir vektörünün normu olarak tanımlanır. Normu bir birim olan vektöre birim vektör ve ortogonal birim vektörlerin cümlesine de ortonormal vektör sistemi denir (O’Neill 1983). Teorem 2.1.4: Bir skalar çarpım uzayı bir ortonormal baza sahiptir (O’Neill 1983). Teorem 2.1.5: reel vektör uzayı için bir ortonormal baz olsun. olmak üzere vektörü 71 olacak Ģekilde tek türlü yazılabilir (O’Neill 1983). Tanım 2.1.10: bir skalar çarpım uzayı olsun. nin indeksi olmak üzere ve ise skalar çarpım uzayına bir Lorentz uzayı denir (O’Neill 1983). 2.2. Yarı-Riemann Manifoldlar Bu bölümde yarı-Riemann manifoldlar tanıtılacak ve altmanifoldlara ait özellikler verilecektir. Tanım 2.2.1: bir manifold olsun. noktasındaki tanjant uzayı olmak üzere (2.2.1) biçiminde tanımlı ve simetrik, iki lineer (bilineer), dejenere olmayan (0,2) tensörüne üzerinde bir metrik tensör denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.2: bir manifold olsun. nin üzerinde bir metrik tensörü tanımlanmıĢsa ye bir yarı-Riemann manifold denir ve ile gösterilir (O’Neill 1983). Uyarı 2.2.1: bir yarı-Riemann manifold ve , nin bir koordinat komĢuluğu ve bu koordinat komĢuluğundaki koordinat sistemi olsun. olmak üzere üzerinde bir metrik tensörünü 81 Ģeklinde yazabiliriz (O’Neill 1983). Tanım 2.2.3: Bir yarı-Riemann manifoldu üzerinde metrik tensörünün indeksine yarı-Riemann manifoldun indeksi denir ve ile gösterilir. Eğer indeks ise dir. Özel olarak ise için , üzerinde pozitif tanımlı bir metrik tensör olduğunda ye Riemann manifoldu, ve olması durumunda ise ye bir Lorentz manifoldu denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.4: öklid -uzayı verilsin. , olmak üzere tamsayısı için, üzerinde (2.2.2) ile verilen metrik tensör gözönüne alınırsa, ikilisi yarı-Öklid-uzay olarak adlandırılır ve ile gösterilir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.5: bir yarı-Riemann manifold olsun. için tanjant uzayındaki cümlesine ışık (null) konisi denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.6: , zerinde doğal koordinatlar olsun. ve , üzerinde vektör alanları ise (2.2.3) vektör alanına nın ye göre doğal kovaryant türevi denir. Burada , vektör alanları uzayının standart bazıdır (O’Neill 1983). 91 Tanım 2.2.7: bir manifold olsun. üzerinde bir dönüĢüm i) , ye göre lineerdir, ii) , ye göre lineerdir, iii) (2.2.4) özelliklerini sağlıyorsa ya üzerinde bir koneksiyon denir. ya ye göre nın kovaryant türevi denir (O’Neill 1983). Teorem 2.2.1: yarı-Riemann manifoldu üzerinde için i) (2.2.5) ii) (2.2.6) olacak Ģekilde bir tek koneksiyonu vardır. ya nin Levi-Civita koneksiyonu denir ve Levi-Civita koneksiyonu Kozsul formülü ile karakterize edilebilir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.8: yarı-Riemann manifold ve nin bir koordinat komĢuluğundaki koordinat sistemi olsun. Bu koordinat sisteminde reel değerli fonksiyonları , (2.2.7) Ģeklinde tanımlanır. Bu reel değerli fonksiyonları üzerinde nin Christoffel sembolleri olarak adlandırılır. Böylece Christoffel sembolleri bir koordinat komĢuluğundaki baz vektörlerinin birbirlerine göre değiĢimini ölçer (O’Neill 1983). Önerme 2.2.1: bir yarı-Riemann manifold ve nin koordinat komĢuluğundaki için 110 (1) , (2.2.8) (2) (2.2.9) dir (O’Neill, 1983). ġimdi bir örnek vereceğiz. Örnek 2.2.1: ġekil 2.2.1 Silindirik koordinatlar dır. olduğunda kartezyen koordinatlar 111 olur. Buna göre , , dır. Metrik tensör bileĢenleri dır. Böylece metrik (2.2.10) elde edilir. Kartezyen vektör dır. (2.2.9) ve (2.2.10) denklemleri yardımıyla Christoffel sembolleri olarak hesaplanır. Tanım 2.2.9: bir yarı-Riemann manifold ve üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu olsun. 112 bir eğri ve olmak üzere her için (2.2.11) ise Z , boyunca paraleldir denir (O’Neill 1983). (2.2.8) ve (2.2.11) u kullanırsak bu Z vektör alanlarının paralel olması için gerekli ve yeterli koĢul (2.2.12) olmasıdır sonucunu elde ederiz (O’Neill 1983). Böylece (2.2.12) numaralı denklem bir lineer denklem sistemi olur. Diferansiyel deklem sistemlerinin varlık ve teklik teoremini kullanarak aĢağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem 2.2.2: bir eğri, ve olsun. O zaman boyunca olacak Ģekilde bir tek paralel vektör alanı vardır (O’Neill 1983). Tanım 2.2.10: tanımlı bir eğri olsun. , baĢlangıçlı boyunca paralel bir vektör alanı olsun. paralel olarak taĢınan bu dönüĢüme boyunca paralel öteleme denir (O’Neill 1983). Önerme 2.2.2: Paralel öteleme bir lineer izometridir (O’Neill 1983). 113 Tanım 2.2.11: bir yarı-Riemann manifold ve bir eğri olsun. üzerindeki Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere ise ya de bir geodeziktir denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.12: Levi-Civita koneksiyonu olan bir yarı-Riemann manifold olsun. için (2.2.13) Ģeklinde tanımlanan fonksiyonu üzerinde (1,3) tensördür. Bu tensöre nin Riemann eğrilik tensörü denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.13: bir yarı-Riemann manifold ve , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. için i) , (2.2.14) ii) , (2.2.15) iii) (2.2.16) dir (O’Neill 1983). Önerme 2.2.3: koordinat sisteminin koordinat komĢuluğunda (2.2.17) dir. Burada nin bileĢenleri (2.2.18) Ģeklinde bellidir (O’Neill 1983). Önerme 2.2.4: (İkinci Bianchi Özdeşliği) bir yarı-Riemann manifold ve , üzerinde bir yarı-Riemann koneksiyon olmak üzere için 114 dır (O’Neill 1983). Tanım 2.2.14: bir yarı-Riemann manifold ve noktasındaki tanjant vektörlerinin gerdiği tanjant uzayının 2-boyutlu bir dejenere olmayan altuzayı olsun. Ģeklinde tanımlanan reel sayısına nin kesit eğriliği denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.15: bir yarı-Riemann manifold ve , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. , nin bir ortanormal bazı olmak üzere (2.2.19) Ģeklinde tanımlı tensörüne Ricci eğrilik tensörü ve değerine de nin Ricci eğriliği denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.16: bir yarı-Riemann manifold ve , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. , nin bir ortanormal bazı olmak üzere (2.2.20) değerine nin skaler eğriliği denir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.17: bir yarı-Riemann manifold olsun. Eğer nin kesit eğrilik fonksiyonu sabit ise sabit eğriliklidir denir (O’Neill 1983). 115 Önerme 2.2.5: bir yarı-Riemann manifold olsun. manifoldu sabit eğriliğine sahip ise nin eğrilik tensörü için (2.2.21) Ģeklindedir (O’Neill 1983). Tanım 2.2.18: , boyutlu, p-indeksli ve c sabit eğrilikli bağlantılı yarı-Riemann manifold olsun. Bu yarı-Riemann manifolda p-indeksli tanımsız uzay formu denir ve Ģeklinde gösterilir (Zheng 1996). Tanım 2.2.19: ve olmak üzere i) ile verilen hiperquadriğe de yarıçaplı, n-boyutlu ve v-indeksli pseudo-küre denir. ii) ile verilen hiperquadriğe de yarıçaplı, n-boyutlu ve v-indeksli pseudo-hiperbolik uzay denir (O’Neill 1983). Zaman benzeri geodezik IĢık benzeri geodezik Uzay benzeri geodezik IĢık benzeri geodezik (r) ġekil 2.2.2 Tanım 2.2.20: , p-indeksli tanımsız uzay formu olsun. ve ise uzayına 1-indeksli de Sitter uzayı denir (O’Neill 1983). 116 Tanım 2.2.21: , p-indeksli tanımsız uzay formu olsun. ve ise uzayına anti-de Sitter uzayı denir (O’Neill 1983). 2.3. Eğrilik Tensör Alanının Geometrik Yorumu Burada R eğrilik tensör alanının bir geometrik yorumunu vereceğiz. r( ) s( ) q( ) q( ) p(x) ġekil 2.3.1 yarı -Riemann manifold üzerinde yeteri kadar küçük olan ve köĢe noktaları olan paralelogramı göz önüne alalım. Bir vektör alanı bir eğrisi boyunca paralel ise (2.2.12) denklemi yardımıyla (2.3.1) denklemi elde edilir. Türev tanımı gereğince yeteri kadar küçük için dir. Bu denklemi (2.3.1) de yerine yazarsak 117 eĢitliği elde edilir. gösterimini kullanarak (2.3.2) denklemini elde ederiz. ġimdi eğrisini eğrisi gibi göz önüne alalım ve değiĢimi yapalım. (2.3.3) denklemi elde edilir. Bu son paralel ötelemeyi noktasına boyunca paralel olarak öteleyelim. Bu durumda (2.3.3) denklemi yardımıyla (2.3.4) elde edilir. Diğer taraftan yani, . (2.3.5) dır. (2.3.5) denklemini (2.3.4) denkleminde yerine yazarsak (2.3.6) eĢitliğini elde ederiz. Buradan 118 olarak hesaplanır. Ġkinci mertebeden değiĢimi ölçtüğümüz için daha büyük dereceli terimleri ihmal edicez. Burada ikinci dereceden büyük terimleri ifade etmektedir. O halde (2.3.7) yazabiliriz. deki tanjant vektörünü noktasına paralel ötelersek (2.3.8) elde edilir. Daha sonra bu vektörü den noktasına paralel ötelersek (2.3.9) denklemine ulaĢırız. deki tanjant vektörünü saat yönünün tersinde sırasıyla ve son olarakta noktasına paralel ötelediğimizde 119 (2.3.10) denklemini elde ederiz. Daha sonra önerme (2.2.8) yardımıyla (2.3.11) elde edilir. Buradan x noktasındaki tanjant vektörü ile tanjant vektörünü paralelogram boyunca öteleyip x noktasına geldiğimizde elde ettiğimiz tanjant vektörünün bileĢenleri arasındaki iliĢki (2.3.12) Ģeklinde olur. Böylece köĢe noktasında tanjant vektörlerine teğet olan yeteri kadar küçük paralelogramı boyunca tanjant vektörü paralel olarak ötelendiğinde elde edilen tanjant vektörü için eĢitliği elde edilmiĢ olur. O halde , ile tanjant vektörünü paralelogram etrafında parelel olarak ötelediğimizde nin değiĢimini ikinci mertebeden ölçmüĢ olur (Haesen ve Verstraelen 2007). 210 2.4 Yarı-Riemann Altmanifoldlar Tanım 2.4.1: ve birer diferansiyellenebilir manifold ve olsun. Eğer dahil etme fonksiyonu bir immersiyon ise M ye nın alt manifoldu denir (O’Neill 1983). Tanım 2.4.2: yarı- Riemann manifoldunun bir altmanifoldu olsun. dahil etme dönüĢümünün deki türev dönüĢümü Ģeklinde olup, için ise ye nın ye indirgenmiş yarı-Riemann metrik tensörü denir. ikilisine nin bir yarı-Riemann alt manifoldu denir (O’Neill 1983). Tanım 2.4.3: , nin n-boyutlu bir yarı - Riemann alt manifoldu olsun. için nin boyutuna nin dik tümleyenin boyutu (co-dimension), indeksine de nin dik tümleyenin indeksi (co-indeksi) denir (O’Neill 1983). 211 Teorem 2.4.1: , nin n-boyutlu bir yarı - Riemann alt manifoldu olsun. O zaman; dır (O’Neill 1983). Böylece olduğundan, için tanjant ve normal bileĢenler yardımıyla, nor yazılıĢı tek türlüdür. Burada dir. Ortogonal izdüĢümlerin sonucu olarak ve birer lineer dönüĢüm olurlar (O’Neill 1983). Tanım 2.4.4: nin bir yarı-Riemann altmanifoldu ve , deki yarı-Riemann koneksiyonu olsun. simetrik ve iki lineer dönüĢümüne nin ikinci temel formu denir (O’Neill 1983). Teorem 2.4.2: bir altmanifold ve üzerindeki vektör alanlarının uzayı olmak üzere, üzerindeki yarı- Riemann konneksiyonu yardımıyla; 212 ile tanımlanan , nin bir yarı- Riemann koneksiyonudur (O’Neill 1983). eĢitliği Gauss formülü olarak adlandırılır (O’Neill 1983). Tanım 2.4.5: , nin n-boyutlu yarı- Riemann alt manifoldu olsun. , de normal bir birim vektör alanı ve , nin yarı- Riemann koneksiyonu olsun. , nın teğet bileĢeni ve normal bileĢeni olmak üzere, dönüĢümü iyi tanımlıdır. Böylece, (2.4.1) dır. Bu eĢitliğe, Weingarten eşitliği denir (Chen 1973). Burada koneksiyonuna, nin normal koneksiyonu denir (Chen 1973). Teorem 2.4.3: nin bir yarı-Riemann altmanifoldu olsun. ve olmak üzere dır (O’Neill 1983, Chen 1973). 213 ġekil 2.4.1 Tanım 2.4.6: , nin n-boyutlu yarı- Riemann alt manifoldu, ve de ikinci temel form olmak üzere, (2.4.2) Ģeklinde tanımlı koneksiyonuna nin Van-Der Waerden-Bortolotti koneksiyonu denir (O’Neill 1983). ise paralel ikinci temel forma sahiptir denir. Paralel ikinci temel forma sahip altmanifolda yarı paralel altmanifold denir (Lumiste 1999). Tanım 2.4.7: yarı-Riemann manifold ve olmak üzere Ģeklinde tanımlı eğrilik tensörüne manifoldunun normal eğrilik tensörü denir (Yano ve Kon 1984). Teorem 2.4.4: ve sırası ile ve nin eğrilik tensör alanları olsun. O zaman ve ye teğet her bir tanjant vektör alanı için 214 i) (2.4.3) ii) dır. Bu eĢitliğe Gauss denklemi denir. iii) dir. Bu eĢitliğe de Codazzi denklemi denir (Yano ve Kon 1984). İspat: olmak üzere Gauss ve Weingarten eĢitliklerinden , . Böylece (i) ispatlanır. (i) denkleminin her iki tarafını ile çarparsak . (ii) ispatlanır. (i) denkleminin normal kısmını göz önüne alırsak eĢitliği elde edilir. (iii) ispatlanır. 215 Tanım 2.4.8: yarı-Riemann manifoldunun bir ortonormal çatısı ve , (2.4.4) Ģeklinde tanımlı normal değerli vektör alanına nin ortalama eğrilik vektör alanı denir (O’Neill 1983). Tanım 2.4.9: , nin n-boyutlu yarı- Riemann altmanifoldu olsun. , nin deki metriğinden indirgenmiĢ yarı- Riemann metrik olsun. için (2.4.5) ise ye total umbilik altmanifold ve ikinci temel form özdeĢ olarak sıfır ise ye total geodezik altmanifold denir (O’Neill 1983). Tanım 2.4.10: nin normal koneksiyonu , ve , nin ortalama eğrilik vektör alanı olsun. Eğer, ise de paraleldir denir (O’Neill 1983). Teorem 2.4.5: c-sabit eğrilikli yarı-Riemann manifold ve , nin bir yarı-Riemann alt manifoldu olsun. Bu durumda için , ye teğettir (Yano ve Kon 1984). İspat: c-sabit eğrilikli olduğundan ve Codazzi denkleminden (2.3.7) denklemi yardımıyla olmak üzere 216 dır. Böylece ispat tamamlanmıĢ olur. Teorem 2.4.6: yarı-Riemann manifoldunun bir alt manifoldu olsun. ve nin eğrilik tensörleri sırasıyla ve olmak üzere i) ii) iii) dır. Burada nin skaler eğriliğidir (Yano and Kon 1984). İspat: i) olduğunu kabul edelim. Böylece (2.4.6) (2.4.7) ii) 217 iii) eĢitliği elde edilir. Böylece manifoldunun skaler eğriliği, dir. Burada nin ikinci temel formunun karesidir (Yano ve Kon 1984). Tanım 2.4.11: Eğrilik tensörünün ikinci temel forma etkisi için Ģeklinde tanımlanır. Eğer ise ye yarı paraleldir denir (Chen 1973). Ayrıca kolay bir hesaplama ile 218 denklemi elde edilir (Chen 1973). Tanım 2.4.12: bir yarı-Riemann manifold ve noktasındaki tanjant uzay olsun. nin ortanormal bazı olmak üzere için (2.4.8) Ģeklinde tanımlanan operatörüne laplasyan operatörü ve e ise fonksiyonunun Laplasyanı denir (O’Neill 1983). Tanım 2.4.13: Riemann manifoldunun bir altmanifoldu verilsin. nin birim tanjant vektörü olmak üzere üzerinde özelliğinde bir geodezik olsun. Bu taktirde nın 0 noktasındaki birinci Frenet eğriliği dır. Eğer nin her p noktasında in normu sadece p ye bağlı olup dan bağımsız ise ye izotropik altmanifold adı verilir (O’Neill 1983). Bir m-boyutlu Riemann manifoldunun bir n-boyutlu altmanifoldu olsun. , de ve , de bir ortanormal baz olsun. nin ikinci temel formunun boyunun karesinin Laplace denklemi (2.4.9) Ģeklinde elde edilir. , de ve teğet olsun. Bu durumda 219 dir (Yano ve Kon 1984). Tanım 2.4.14: nin bir altmanifoldu olsun. ise ye pseudo paraleldir denir. Burada L, üzerinde tanımlı differansiyellenebilir bir fonksiyondur (O’Neill 1983). 310 3.SİMETRİK MANİFOLDLAR 3.1. Yarı Simetrik Manifoldlar Bu bölümde bir diferansiyellenebilir manifold üzerinde simetri kavramını açıklayacağız. Bunun için önce gerekli kavramları verelim. Tanım 3.1.1: bir yarı-Riemann manifold olsun. ve olmak üzere dönüĢümüne de M nin üstel dönüşümü denir (O’Neill 1983). Sabit tanjant vektör ve noktası alalım. M üzerinde eğrisini tanımlayalım. Burada tanım 3.1.1. deki eğrisidir. nın s parametresine göre türevi dir. Böylece baĢlangıç hızlı ve baĢlangıç noktalı bir geodezik olur. M üzerinde maksimal geodezik olduğundan 311 olmak zorundadır. O halde dır. Böylece üstel dönüĢüm , nin orijinden geçen doğruları M nin o noktasından geçen geodeziklere dönüĢtürür (O’Neill 1983). ) U ġekil 3.1.1. Önerme 3.1.1: Her noktası için nin o noktasının bir komĢuluğu, M de o ın bir U komĢuluğu olmak üzere diffeomorfizm olacak Ģekilde vardır (O’Neill 1983). Tanım 3.1.2: Bir vektör uzayının altcümlesi olsun. Eğer için iken ise 0 civarında yıldızımsıdır denir (O’Neill 1983). 312 0 ġekil 3.1.2. O zaman radyal doğru parçaların birleĢimi olur. Tanım 3.1.3: ve önerme 3.1.1 deki gibi belirlensin. Eğer civarında yıldızımsı ise ya ın bir normal komşuluğudur denir (O’Neill 1983). Önerme 3.1.2: Eğer U her noktası için nin bir normal komĢuluğu ise olacak Ģekilde bir tek geodezik vardır. Üstelik dır (O’Neill 1983). Örnek 3.1.1: ve olsun. Önerme 3.1.1. gereğince bir diffeomorfizm olur (O’Neill 1983). 313 3.2. Lokal Simetrik Manifoldlar Tanım 3.2.1: bir yarı-Riemann manifold ve , nin eğrilik tensör alanı olsun. Eğer ise ye lokal simetriktir denir (O’Neill 1983). Önerme 3.2.1: Sabit eğrilikli manifoldlar lokal simetriktirler (O’Neill 1983). İspat: M c-sabit eğrilikli bir yarı-Riemann manifold olsun. Bu durumda dir. Böylece teoremin ispatı biter. ġimdi lokal simetriklik kavramının geometrik anlamını vermeye çalıĢalım. Bunu aĢağıdaki önerme yardımıyla açıklayacağız. Önerme 3.2.2: bir yarı-Riemann manifold olsun. O zaman aĢağıdakiler denktir. (1) , (2) X,Y ve Z, M üzerindeki bir eğrisi üzerinde paralel vektör alanları iseler boyunca paraleldir, (3) Kesit eğriliği, paralel öteleme altında değiĢmez (O’Neill 1983). 314 Tanım 3.2.2: ve aynı indeksli iki yarı- Riemann manifold ve olsun. L bir lineer izometri ve U, M nin noktasındaki bir normal komĢuluğu , üzerinde tanımlı olacak Ģekilde belli olsun. O zaman dönüĢümüne U üzerinde L nin kutupsal (polar) dönüĢümü denir (O’Neill 1983). olmak üzere lineer izometrisi için kutupsal dönüĢümü dır. Yani ise dir. Bu dönüĢümüne p de M nin lokal geodezik simetrisi denir (O’Neill 1983). Sonuç 3.2.1: bir yarı- Riemann manifold olsun. AĢağıdakiler denktir. (1) M lokal simetriktir. (2) bir lokal izometri ve eğrilikleri koruyorsa =L olacak Ģekilde p nin ve q nun normal komĢuluklarının bir izometrisi vardır. (3) Her noktasında lokal geodezik simetriği bir izometridir (O’Neill 1983). 315 Tanım 3.2.3: bağlantılı yarı-Riemann manifold olsun. Her noktası için bir tek izometrisi türev dönüĢümü – olacak Ģekilde varsa yarı-Riemann manifolduna simetrik uzay denir. izometrisi p de M nin global simetrisi olarak adlandırılır (O’Neill 1983). Sonuç 3.2.2: Tam, basit bağlantılı, lokal simetrik yarı-Riemann manifold simetriktir (O’Neill 1983). Riemann simetrik uzayların detaylı bir çalıĢması olarak E. Cartan’ın 1926 yılında yaptığı çalıĢma temel kaynak olarak verilebilir . yarı-Riemann manifold lokal simetrik olsun. olmak üzere (3.2.1) olur. Yani (3.2.2) dır (Cartan 1926). Tanım 3.2.4: bir yarı-Riemann manifold olsun. (3.2.2) bağıntısını sağlayan manifoldlar yarı-simetrik yarı-Riemann manifold olarak adlandırılır (Szabo 1982). Sonuç 3.2.3: yarı-Riemann manifoldu lokal simetrik ise yarı-simetriktir. Riemann yarı-simetrik manifoldların sınıflandırılması (Szabo 1982, 1984, 1985) ve (Boeckx ve ark. 1996) çalıĢmalarında geniĢ olarak verilmiĢtir. ġimdi yarı-simetrik kavramının geometrik yorumunu verelim. vektör alanının bir paralelogram etrafında paralel olarak ötelendiğinde elde edilen yeni vektör alanı ise (2.3.12) denklemi yardımıyla 316 (3.2.3) eĢitliğini elde ederiz. nun paralel ötelemesi olsun. Bu durumda . Burada , 2. mertebeden büyük terimleri ifade etmektedir. Böylece dır. Böylece , ve vektörlerinin bir paralelogram etrafında paralel olarak ötelendiğinde elde edilen yeni vektörler ve olmak üzere ve vektörlerinin eğrilik değeri ile ve vektörlerinin eğrilik değeri arasındaki farkı ikinci mertebeden ölçer. ortanormal vektör alanları olmak üzere ikinci mertebeden kesit eğriliğin yaklaĢımı Ģeklinde olur. 317 Burada düzlemleridir. (0,0) ) ġekil 3.2.1 (Haesen ve Verstraelen 2007). 318 4. SİMETRİK ALTMANİFOLDLAR Öklid uzaylarında simetrik altmanifoldlar ve bununla yakından iliĢkili olan altmanifoldlarda paralel ikinci temel form ile ilgili çalıĢmalar 1970 lerde baĢladı. Bildiğimiz kadarıyla bu çalıĢmaların baĢlangıcı temel formun uzunluğu sabit olan kürelerin minimal altmanifoldları üzerinde (Chern ve ark. 1970) tarafından yapılan çalıĢmalara kadar uzanır. Daha sonra bu çalıĢmalar (Vilms 1972) ve (Tricerri ve Vanhecke 1988) tarafından devam ettirilmiĢtir. Sonra (Ferus 1974) Öklid uzayında paralel ikinci temel forma sahip olan altmanifoldları sistematik olarak çalıĢtı ve bu altmanifoldların sınıflandırmasını tamamladı. Ferus un bir çalıĢmasının sonucu olarak paralel ikinci temel forma sahip olan altmanifoldlar lokal olarak simetrik olacaklardır. Bu sonucun bir direk ispatı (Strübing 1979) tarafından verildi. Tanım 4.1: , nın bir yarı-Riemann alt manifoldu olsun. Her için ve olacak Ģekilde nın bir izometrisi var ise ye nın simetrik altmanifoldu denir (Olmas ve ark. 2003). Önerme 4.1: Bir uzay formun bir simetrik altmanifoldunun ikinci temel formu paraleldir ( Strübing 1979). 319 İspat: , nin bir simetrik altmanifoldu olsun. nin her bir izometrisi Levi-Civita koneksiyonuna göre bir afin dönüĢüm olacağından Böylece elde edilir. Tanım 4.2: , nın bir yarı-Riemann alt manifoldu olsun. Her noktası için , ve olacak Ģekilde de nin bir koordinat komĢuluğunda nın bir lokal izometrisi var ise ya lokal simetrik altmanifold denir ( Strübing 1979). AĢağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem 4.1: Sabit eğrilikli bir manifoldun altmanifoldunun lokal simetrik olması için gerek ve yeter Ģart ikinci temel formun paralel olmasıdır (Olmas ve ark. 2003). Teorem 4.2: , nın bir Riemann altmanifoldu ve ve olsun. M de p köĢeli ve ve kenarlı yeterince küçük bir koordinat paralelogramı Q olsun. M nin koneksiyonuna göre ve nin Q etrafında paralel ötelenmesi sonucunda tanjant vektörleri elde edilsin. Bu durumda nin normal koneksiyona göre Q etrafında paralel ötelemesi sonucunda elde edilir. O halde M nin yarı-paralel olması için gerek ve yeter Ģart ile çakıĢık olmasıdır (Dillen ve ark. 1991). 410 v u p ġekil 4.1 İspat: Eğer de ve tanjant vektörleri ile birlikte p köĢeli yeteri kadar küçük koordinat paralelogramı verilirse, tanjant vektörünü koneksiyonuna göre paralel olarak ötelersek (3.2.3) den (4.1) dır. koneksiyonuna göre normal vektörünü paralel olarak ötelediğimizde benzer Ģekilde (3.2.3) yardımıyla (4.2) dır. ve nin paralelogram etrafında paralel ötelenmesinden sonra ikinci temel formu aĢağıdaki gibi düĢünebiliriz. (4.1) i kullanarak 411 Ġkinci dereceden bir yaklaĢım yaptığımızdan dolayı ve ikinci temel formun ile paralelogram etrafında paralel ötelemesi için (4.2) yi kullanırsak elde edilir. de denklemi elde edilir. O halde ikinci mertebeden yaklaĢım yaptığımızda ise elde edilir. Ġç Özellikler DıĢ Özellikler Flat uzay Total geodezik Uzay form Total umbilik Lokal simetrik Paralel Yarı-simetrik Yarı-paralel , n boyutlu bir Riemann manifold ve olsun. Ģeklinde tanımlıdır. Burada dıĢ çarpım ise 412 Ģeklinde tanımlıdır. ġimdi burada nın geometrik yorumunu vereceğiz. n-boyutlu Riemann manifold ve deki tanjant uzay olsun. deki tanjant vektörleri ortanormal ve nin bir ortanormal bazı olacak Ģekilde belli olsunlar. O zaman keyfi bir tanjant vektörü olacak Ģekilde tek türlü yazılabilir. ortanormal vektör sistemi tarafından üretilen düzlem olsun. nin düzlemi üzerine izdüĢümünü tarafından üretilen düzlemini sabit bırakacak Ģekilde yeteri kadar küçük açısı kadar döndürelim. Burada olur. Fakat yeteri kadar küçük olduğundan , dur. Buradan olur. Böylece ) 413 elde edilir. , noktasında tanjant vektörünün düzlemine izdüĢümünü yeteri kadar küçük açısı kadar döndürdükten sonra nin değiĢimini birinci mertebeden ölçer. olsun. ve sırasıyla ve nin düzlemine izdüĢüm vektörlerini yeteri kadar küçük açısı kadar döndürdükten sonra elde edilen vektörler olsun. Böylece , x ve y tarafından üretilen düzlem olmak üzere u ve v nin düzlemine dik izdüĢümlerini yeteri kadar küçük açısı kadar döndürdükten sonra elde edilen vektörler sırasıyla ve olsun. u ve v nin ikinci temel formdaki değeri ile ve nın ikinci temel formdaki değeri arasındaki farkı birinci mertebeden ölçer (Dillen ve ark. 1991). ġekil 4.2 öklid uzayında bir yüzeyin yarı-paralel olması için gerek ve yeter koĢullar Deprez tarafından aĢağıdaki teoremle verilmiĢtir. 414 Teorem 4.3: bir yüzey olsun. yarı-paraleldir (lokal olarak) i) M yüzeyi küresine denktir veya ii) M normal koneksiyonu düzlemsel olan bir lokal düzlemsel yüzeydir veya iii) izotropik bir yüzeydir ve eĢitliğini sağlar (Deprez 1985). 1999 yılında Lumiste, de yarı-paralel yüzeyler için aĢağıdaki sonucu vermiĢtir. Teorem 4.4: bir yüzey olsun. Eğer yarı-paralel ise i) M bir total geodezik veya total umbilik yüzey veya ii) van der Waerden-Bortolotti koneksiyonu düzlemsel olan bir yüzey (yani ) veya iii) Ortalama eğrilik vektörü ve Gauss eğriliği arasında bağıntısı bulunan bir izotropik yüzeydir (Lumiste 1999). 2001 yılında Özgür tarafından Deprez in 1985 yılında yaptığı çalıĢma aĢağıdaki Ģekilde genellenmiĢtir. Teorem 4.5: yüzeyi Ģartını sağlayan (yani M yüzeyi pseudo paralel) bir yüzey olsun. O zaman (lokal olarak) ya i) M bir yarı-paralel yüzeydir veya ii) Gauss eğriliği olan bir yüzey veya iii) Ortalama eğriliği ve Gauss eğriliği arasında bağıntısı bulunan izotropik bir yüzeyidir (Cihan 2001). 415 Daha sonra Asperti ve ark. 2002 yılında aĢağıdaki teoremi vermiĢtir. Teorem 4.6: nin bir altmanifoldu olsun. Eğer pseudo yarı-paralel ( ) ve ise i) total umbilik ii) Normal demeti düzlemsel ) ve iii) , de bir Veronese yüzey iv) , de bir torus dır (Asperti ve ark. 2002). 416 5. LORENTZ UZAYLARLARDA PARALEL YÜZEYLERİN SINIFLANDIRILMASI Bu bölümde (Chen ve Veken 2009) kaynağı esas alınmıĢtır. 5.1. Üç Boyutlu Lorentzian Uzay Formlarında Paralel Yüzeyler Üç boyutlu uzay formlarında paralel ve dejenere olmayan yüzeylerin sınıflandırması Chen ve Veken tarafından 2009 yılında aĢağıdaki Ģekilde verilmiĢtir. Teorem 5.1.1: de dejenere olmayan paralel yüzey ise aĢağıdaki sekiz tipten biridir; (1) Öklid düzlemi (2) Total umbilik hiperbolik düzlem , ; (3) Hiperbolik silindir , ; (4) Lorentzian düzlem ; (5) Total umbilik de Sitter uzayı , ; (6) Dik dairesel silindir , ; (7) Silindir , ; (8) Düzlemsel minimal Lorentzian yüzey (Chen ve Veken 2009). 417 ġunları söyleyebiliriz; (4)-(8) yüzeyleri Lorentzian olmasına rağmen, (1)-(3) yüzeyleri Rimannian; (1) ve (4) total geodezik; (2) ve (5) yüzeyleri total umbilik fakat total geodezik değil, diğerlerinin hepsi düzlemsel (yarı-paralel altmanifoldlar); (1), (3), (4), (6) ve (7) yüzeyleri total geodezik altuzaylardaki paralel eğrilerin çarpımı; (8) yüzeyi düzlemsel ve minimal, fakat total geodezik değildir. Teorem 5.1.2: de dejenere olmayan paralel yüzey ise, ise aĢağıdaki altı tipten biridir; (1) Total umbilik çember , ; (2) Total umbilik Öklid düzlem : , (3) Total umbilik hiperbolik düzlem : , ; (4) Uzay benzeri yüzey , ; (5) Total umbilik de Sitter uzayı , ; (6) Lorentzian düzlemi : (Chen ve Veken 2009). ġunları söyleyebiliriz; (5)-(6) yüzeyleri Lorentzian olmasına rağmen, (1)-(4) yüzeyleri Rimannian; (1), (2), (4) ve (5) yüzeyleri total umbilik ve yüzeyler (1) (2) ve (5) b=0 ise total geodeziktir; (3), (4) ve (6) yüzeyleri düzlemsel; (6) yüzeyi için minimal, fakat total geodezik değil; (4) yüzeyi nin deki total umbilik izometrik immersiyonudur. 418 5.2. Dört Boyutlu Lorentzian Uzay Formlarında Paralel Yüzeyler ġimdi dört boyutlu Lorentzian uzay formlarında paralel yüzeylerin sınıflandırmasını vericez. Lorentzian yüzeyler ve Riemannian yüzeyler arasındaki farkı göstericez. Teorem 5.2.1: , de uzay benzeri paralel yüzey ise aĢağıdaki dokuz tipden biridir. (1) Total geodezik düzlem (2) Küre ; (3) Dik dairesel silindir , ; (4) Hiperbolik silindir , ; (5) Düzlemsel silindir , ; (6) Hiperbolik düzlem , ; (7) Minimal düzlemsel yüzey ; (8) Yüzey ; (9) Düzlemsel total umbilik yüzey , . (Chen ve Veken 2009). ġunları söyleyebiliriz; (1), (2), (6) ve (8) yüzeyleri total umbilik ve (1) total geodezik; (1), (3)-(5) ve (7)-(9) yüzeyleri düzlemsel ve (7) yüzeyi minimaldir. Teorem 5.2.2: de Lorentzian paralel yüzey, c>0 ise olmak üzere aĢağıdaki altı tipten biridir; (1) Lorentzian düzlem (2) De Sitter uzayı (3) Silindir (4) Silindir 419 (5) Yüzey , (6) Null scroll (1,1,0,0) yönünde dönen, sıfır kübü (Chen veVeken 2009). ġunları söyleyebiliriz; (1) ve (2) yüzeyleri total umbilik ve (1) total geodezik; (1) ve (3)-(6) yüzeyleri düzlemsel; (6) yüzeyi minimaldir. ġimdiki teoremlerde, kendimizi 1 ya da -1 sabit kesit eğrilikli de Sitter ya da anti-de Sitter zaman benzeri uzay ile sınırlıcaz. ġimdi genel durumun bir sınıflandırmasını elde edicez. Teorem 5.2.3: de Riemannian paralel yüzey ise aĢağıdaki yedi tipten biridir; (1) Çember (2) Hiperbolik düzlem (3) Torus (4) Yüzey (5) Yüzey (6) Yüzey (7) Yüzey (Chen ve Veken 2008). 510 ġunları söyleyebiliriz; ve yüzeyleri total umbilik ve ise total geodezik; ve yüzeyleri düzlemsel; yüzeyi ise minimaldir. Teorem 5.2.4: de Lorentzian paralel yüzey ise aĢağıdaki iki tipten biridir; (1) De Sitter uzayı (2) Yüzey (Chen ve Veken 2008). ġunları söyleyebiliriz; yüzeyi total umbilik ve yüzeyi düzlemseldir. Ayrıca yüzeyi ise total geodezik ve yüzeyi ve ise minimaldir. 5610 6. YARI-RİEMANN UZAY FORMUNUN UZAY BENZERİ ALT MANİFOLDLARI Bu bölüm orjinal sonuçlar içermektedir. n+p boyutlu, c sabit eğrilikli ve sabit p indeksli bir yarı-Riemann manifold olsun. , nin n-boyutlu uzay benzeri altmanifoldu olsun. T.Ġshihara aĢağıdaki teoremi ispatlamıĢtır. Teorem 6.1: , de c nin minimal (=maksimal) uzay benzeri bir tam altmanifoldu olsun. O zaman total geodeziktir (Ishihara 1988). H.Sun (Sun 1995) tamlık koĢulunu manifoldun paralel ikinci temel forma sahip olması ile değiĢtirerek aĢağıdaki teoremi elde etmiĢtir Teorem 6.2: , de , , paralel ikinci temel forma sahip altmanifoldu olsun. O zaman eĢitsizliği elde edilir. Özel olarak eĢitlik durumunda total geodezikdir veya ise nin de bir hiperbolik Veronese yüzeyidir. Burada ve ve 5620 dır (Sun 1995). Riemannian uzay formu durumunda Asperti ve ark. 2002 aĢağıdaki teoremi vermiĢtir. Teorem 6.3: , nin bir pseudo yarı-paralel minimal alt manifoldu olsun. Bu durumda ise total geodeziktir (Asperti ve ark. 2002). Daha önceki bölümlerde bahsedildiği gibi paralel ikinci temel forma sahip altmanifoldlar yarı-paralel dır. Fakat tersi her zaman doğru değildir. Böylece yukarıdaki teoremin ıĢığı altında manifoldun pseudo yarı-paralel olması durumunu bu bölümde araĢtırdık. Ġlk önce bölüm içerisinde vereceğimiz ana teoremin ispatında kullanılacak yardımcı önermeyi verelim. Yardımcı önerme 6.1: , nin uzay benzeri minimal altmanifoldu olsun. Bu durumda (6.1) dır (Cheng ve Ishikawa 1997). ġimdi bu bölümün orijinal teoremini vereceğiz. Teorem 6.4: , , , nin uzay benzeri minimal alt manifoldu olsun. Eğer pseudo paralel ve ise total geodeziktir. İspat: uzay benzeri altmanifoldunun keyfi bir noktasındaki ortanormal uzay benzeri çatı alanını göz önüne alalım. Burada 5630 normal uzayının ortanormal çatı alanı da zaman benzeri olacaktır. O zaman , için nin ikinci temel form bileĢenleri (6.2) olarak verilir. h nın benzer olarak birinci ve ikinci kovaryant türevlerinin bileĢenleri sırasıyla (6.3) ve (6.4) Ģeklinde verilir. (6.5) özdeĢliğini göz önüne alalım. Eğer pseudo yarı-paralel ise (6.5) denklemi yardımıyla ) yani (6.6) denklemi elde edilir. nın Laplace (6.7) denklemini göz önüne alırsak ikinci temel formun norm karesinin Laplace (2.3.21) denklemi yardımıyla (6.8) denklemi bulunur. , uzay formunun bir altmanifoldu olduğunda Teorem 2.4.4 (iii) den ve ikinci temel formun simetrik olması nedeniyle 5640 (6.9) denklemine sahip oluruz. Böylece nin minimal (=maksimal) olması ve (6.6) denklemini kullanarak , (ℎ( , ),ℎ( , ))− , (ℎ( , ),ℎ( , ) (6.10) yazılabilir. (6.10) eĢitliği (6.9) de yerine yazıldığında bulunur. nın invaryant bir altmanifoldu minimal olduğundan son denklemde gerekli düzenlemeler yapıldığında (6.11) (6.11) denkleminde yeniden minimallik koĢulu kullanıldığında (6.12) denklemine ulaĢırız. Böylece (6.1) ve (6.11) denklemleri yardımıyla (6.13) 5650 denklemi elde edilir. uzay benzeri olduğundan normal uzayı zaman benzeri olacağından dır. Böylece (6.11) ve olma Ģartını kullanarak bulunur. Buda ispatı tamamlar. Sonuç 6.1. nin uzay benzeri minimal ve yarı-paralel altmanifoldu olsun. ise total geodeziktir. 5660 KAYNAKÇA ASPERTĠ, A.C. , G.A. LOBOS and F. MERCURi. 2002. Pseudo Paralel Submanifolds of a Space Form. Communicated by G.Gentili, Adv.Geom. 2,57-71. BOECKX, E. , O. KOWALSKĠ and L.VANHECKE. 1996. Riemannian Manifolds of Conullity Two. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 300 p. CARTAN, E. 1927. Sur One Casse Remorquable D’espaces De Riemann. Bul. Soc. Mth. Esanse 54 1926,214-264,55 1927,114-134 CHEN, B.Y. 1971. Some Results of Chern-Docarmo-Kobayashi Type and Lenght of Second Fundamental Form. Ġndiana Univ. Math, J. 20,1175-1185. CHEN, B.Y. 1973. Geometry of Submanifolds. Pure and Applied Mathematics. Mercel Dekker, Vol.22, New York. CHEN, B. Y. and J.V.D. VEKEN. 2008. Parallel Surfaces in Three- and Four- Dimensional Lorentzian Real Space Forms. Transilvania Univ. Brasov, 15 (50), Conference RIGA. CHEN, B. Y. and J.V.D. VEKEN. 2009. Complete Classification of Paralel Surfaces in 4 Dimensional Lorentzian Space Forms. Tohoku Math, J. Vol.61. CHENG, Q.M. ve S. ISHIKAWA, 1997, Complete Maximal Spacelike Submanifolds, Koda, Math. J. ,20,208-217 CHERN, S.S. , M.P. do CARMO, S. KOBAYASHĠ. 1971. Minimal Submanifold of a Sphere with Second Fundamental Form of Constant Lenght. Functional Anal. Geom, 5, 135-147. DEPREZ, J. 1985. Semi-Parallel Surfaces in Euclidean Spaces. J. Geometry, 25, 192- 200. DĠLLEN, F. , J. FASTENAKELS, S. HAESEN, J.V.Der VEKEN and I. VERSTRAELEN. 1991. Submanifolds Teory and The Paralel Transport of Levi- Civita. Mathematics subject classification. DUGGAL, L. K. and A. Bejangu. 1996. Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds and Applications, Kluwer Academic Publishers, 300p. , AH Dordrecht. 5670 FERUS, D. 1974. Immersionen Mit Paralleler Zweiter Fundamentalform: Beispiele Und Nicht- Beispiele. Manuscr. Math, 12, 153-162. FERUS, D. 1974. Produkt-Zerlegung Von Immersionen Mit Paraller Zweiter Fundamentalform. Math. Ann, 211,1-5. FERUS, D. 1974. Immersions with Paralel Second Fundemantel Form. Math. Z, 140, 87-93. HAESEN, S. and L. VERSTRAELEN. 2007. Manuscripta Math, 122, 59-72 ISHIHARA, T. 1988. Maximal Spacelike Submanifolds of a Pseudo-Riemannian Space Form of Constant Curvature. Michigan Math. J. , 35, 345-352. LI, A.M. and J.M. LI. 1992. An Ġntrinsic Rigidity Theorem for Minimal Submanifolds in a Sphere. Arch. Math, 58, 52-594. LUMĠSTE, Ü. 2000. Submanifolds with Paralel Form. Handbook of Differential Geometry, I, North-Holland,Amsterdam, 779-864. OLMAS, C. , J. BERNDT and S. CONSOLE. 2003. Submanifolds And Holonomy, CHARMAN and Hall/CRC. NEWYORK O’NEĠLL, B. 1983.Semi Riemannian Geometry with Applications to Relativity. Academic Press, Inc., 468p., New York. ÖZGÜR, C. 2001. Pseudo Simetrik Manifoldlar. D. Tez, Uludağ Üniversitesi, 65p. SAFIULINA, E. 2001. Parallel and Semi-Parallel Space-Like Surfaces in Pseudo- Euclidean Spaces. Estonian Acad. Sci. Phys. Math,50, 1, 16-33 STRÜBĠNG, W. 1979. Symmetric Submanifolds of Riemannian Manifolds. Math. Anm, 245, 37-44. SUN, H. 1995. On Spacelike Submanifolds of a Pseudo Riemannian Space Form. Note di Matematica, 15-n.2, 215-224. SZABO, Z.I. 1984. Classification and Construction of Complete Hyper-Surfaces Satisfying . Acta Sci. Math. 47, 321-348. SZABO, Z.I. 1982. Structure Theorems on Riemannian Manifolds Satisfying . Local version, J.Diff.Geom, I, 17,531-582. SZABO, Z.I. 1985. Structure Theorems on Riemannian Manifolds Satisfying . Global versions, Geom. Dedicata, II, 19, 65-108. TRĠCERRĠ, F. and L. VANHECKE. 1988. Special Homogeneous Structures on Riemannian Manifolds. Colloq. Math. Soc. Ja’nos Bolyai, 46,1211-1246. 5680 VĠLMS, J. 1972. Submanifolds of Euclidean Space with Parallel Second Fundamental Form. Proc. Am. Math. Soc. , 32,263-267. YANO, K. and M. KON.1984. Structures on Manifolds. World Scientific Publishing Co Pte Ltd. , III, 508p. ZHENG, Y. 1996. Spacelike Hypersurfaces with Constant Scalar Curvature in The De Sitter Space. Differential Geometry and its Applications, 6, 51-54. 5690 ÖZGEÇMİŞ 1986 yılında Samsun’da doğdu. Ġlk, orta ve lise öğrenimini Bursa’da tamamladıktan sonra 2002 yılında Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nde lisans öğrenimine baĢladı. 2006 yılı haziran ayında lisans öğrenimi baĢarıyla tamamlayıp yine aynı yılın güz döneminde Uludağ Üniversitesinde Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans öğrenci olarak kabul edildi. Ağustos ayında mezun olup Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik bölümünden Tezli Yüksek Lisans yapmaya hak kazandı. ġuan hala Hakkari’de Matematik öğretmeni olarak görev yapmakta. 6600 TEŞEKKÜR Yüksek lisans öğrenimim boyunca tezimin planlanması, yürütülmesi ve sonuçların değerlendirilmesi sırasında yardımlarını esirgemeyen danıĢman hocam Sayın Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN’ a sonsuz saygı ve teĢekkürlerimi sunarım. Tezimin her aĢamasında yardımlarını benden esirgemeyen eĢim ġevket PAMUK’a ve maddi ve manevi her türlü desteği veren aileme gösterdikleri özveri ve desteklerinden dolayı teĢekkürü bir borç bilirim.