T.C BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİ ARASINDAKİ BAĞINTILAR Recep TUTUCU Prof. Dr. Musa DEMİRCİ (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA-2022 Her Hakkı Saklıdır. B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; • tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, • görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, • başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, • atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, • kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, • ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 26/04/2022 Recep TUTUCU ÖZET Yüksek Lisans Tezi BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİ ARASINDAKİ BAĞINTILAR Recep TUTUCU Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Musa DEMİRCİ Bu tez 4 bölümden oluşmaktadır. Fibonacci sayıları ve Tribonacci sayıları arasında kurulmuş ilişkiler ele alınmış ve çeşitli özdeşliklere yer verilmiştir. Giriş bölümünde Fibonacci ve Tribonacci sayıları hakkında ön bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde ise Fibonacci ve Tribonacci sayı dizileri tanımlanmış, bu sayı dizilerini kullanarak elde edilen karakteristik denklem tanımları ve elde edilişleri, binet formülleri ile ilgili bilgiler, altın ve gümüş oran kavramları ve elde edilişleri hakkında bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise Fibonacci ve Tribonacci sayılarının yardımıyla elde edilen özdeşliklere yer verilmiştir. Bu bölümün sonunda ise kendi çalışmama ait konudan kısaca bahsedilmiştir. Dördüncü bölüm ise sonuç bölümüdür. Anahtar Kelimeler: Fibonacci sayıları, Tribonacci sayıları, Genelleştirilmiş fonksiyon 2022, vii + 33 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis RELATIONSHIP BETWEEN SOME SPECİAL NUMBER SEQUENCES Recep TUTUCU Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Musa DEMİRCİ This thesis consists of 4 chapters. The relationships established between Fibonacci numbers and Tribonacci numbers are discussed and various identities are included. In the introduction, preliminary information about Fibonacci and Tribonacci numbers is given. In the second chapter, Fibonacci and Tribonacci numbers sequence are defined, definitions and derivations of characteristic equations obtained by using these number sequences, information about binet formula, information about the concepts of gold and silver rations and how they are obtained is given. In the third chapter, identities obtained with the help of Fibonacci and Tribonacci numbers are given. At the end of this chapter, the subject of my work is briefly mentioned. The fourth chapter is the conclusion section. Key Words: Fibonacci Numbers, Tribonacci Numbers, Generating Function 2022, vii + 33 sayfa. ii TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanmasında değerli bilgilerini benimle paylaşan ve kıymetli zamanını ayıran danışman hocam sayın Prof. Dr. Musa DEMİRCİ’ye teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans eğitimi boyunca önerileri, yardımları ve bilgisi ile bana yol gösteren sayın Doç. Dr. Yeliz KARA ŞEN’e ve değerli bilgileri ve fikirleriyle karşılıklı birbirimize yardımcı olduğumuz yüksek lisansta tanıştığım arkadaşım Ebru BİTKİN’e teşekkür ederim. Özellikle bu dönemlerde bir konu hakkında takıldığımda değerli sözlerini dinleyip farklı bakış açısını bana sunduğu birçok zaman için liseden beri arkadaşım olan Ediz ÖZCAN’a teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca her daim yanımda olan ve bana manevi ve maddi destek sağlayan değerli babam Ahmet TUTUCU’ya ve kıymetli annem Müzeyyen TUTUCU’ya, şuanda Senegal’de bulunan ve orada Türkçe öğretmenliği yapmakta olan ve kıymetli fikirlerini benden esirgemeyen ablam Hatice TUTUCU’ya teşekkür ederim. Recep TUTUCU 28/04/2022 iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ iv Sayfa ................................................................................................................................. iv ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................... vi TABLOLAR DİZİNİ ...................................................................................................... vii 1.GİRİŞ ............................................................................................................................. 1 2. FİBONACCİ VE TRİBONACCİ SAYILARI .............................................................. 2 2.1 Fibonacci Sayıları.................................................................................................... 2 2.2 Fibonacci Dizisinin Karakteristik Denklemi ........................................................... 3 2.3 Fibonacci Dizisinin Binet Formülü ......................................................................... 4 2.4 Fibonacci Dizisi Altın Oran .................................................................................... 6 2.5 Tribonacci Sayıları .................................................................................................. 8 2.6 Tribonacci Dizisinin Karakteristik Denklemi ......................................................... 9 2.7 Tribonacci Dizisinin Binet Formülü ..................................................................... 10 2.8 Tribonacci Dizisi Gümüş Oran ............................................................................. 12 3. FİBONACCİ VE TRİBONACCİ SAYILARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER .............. 13 3.1 Fibonacci ve Tribonacci Sayılarının Toplamları Olarak Tekrarlanan Sayılar ...... 13 3.2 İki Ayrı Kesişim Üzerine k-Genelleştirilmiş Fibonacci Dizileri .......................... 14 3.3 Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi ve Genelleştirilmiş Tribonacci Üçgeni Arasındaki Bazı Bağlantılar ........................................................................................ 16 3.4 Genelleştirilmiş Fibonacci ve Tribonacci Dizisi için İlişkiler .............................. 19 3.4.1 𝑼𝒏 ve 𝑽𝒏 arasındaki basit ilişkiler ................................................................ 20 3.4.2 𝑼𝒏ve 𝑽𝒏 arasındaki daha gelişmiş ilişkiler ................................................... 23 3.5 Tribonacci ve Fibonacci Kodlama Özel Bölüm .................................................... 24 4. SONUÇ ....................................................................................................................... 30 KAYNAKÇA .................................................................................................................. 31 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 33 iv SİMGELER DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝐹𝑛 𝑛. Fibonacci sayısı 𝑇𝑛 𝑛. Tribonacci sayısı Φ(Phi) Fibonacci dizisindeki ardışık iki sayı arasındaki oran Φ3(Tri-Phi) Tribonacci dizisindeki ardışık iki sayı arasındaki oran 𝑅𝑙 𝑙 − 𝑖𝑛𝑐𝑖 tekrar sayısı (𝑢𝑛)𝑛≥0 Genelleştirilmiş Fibonacci dizisi (𝑣𝑛)𝑛≥0 Genelleştirilmiş Tribonacci dizisi 𝑓𝑢 (𝑥) Genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin üreteç fonksiyonu 𝑛 𝑓𝑣 (𝑥) 𝑛 Genelleştirilmiş Tribonacci dizisinin üreteç fonksiyonu v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 1.1 Altın Dikdörtgen ve Gümüş Dikdörtgen .................................. 12 vi TABLOLAR DİZİNİ Sayfa Tablo 1.1 Tavşanların Aylara Göre Üreme Miktarı ...................................... 2 Tablo 1.2 Ardışık Fibonacci Sayılarının Oranları ...................................... 8 Tablo 1.3 Tribonacci Üçgeni ....................................... 17 Tablo 1.4 Genelleştirilmiş Tribonacci Üçgeni ...................................... 18 vii 1.GİRİŞ Bu tezin amacı Fibonacci sayıları ve Tribonacci sayıları adı verilen özel sayı dizileri ile ilgili bilgi sahibi olunmasıdır. Ayrıca bu özel sayı dizileri yardımıyla ifade edilen matematiksel özdeşlikler ile ilgili teoremler verilerek okuyucuyu bilgilendirmektedir. Bu özel sayı dizileri öncelikle matematikte ve dolaylı olarakta bir çok bilim dalında kullanılmaktadır. Bu nedenle bu özel sayı dizilerini konu alan çok sayıda makale ve araştırma literatürde yer almaktadır. Her ne kadar Fibonacci sayı dizisi diğer özel sayı dizilerinden önce keşfedilmiş olsa da özellikle 19. yüzyıl ve sonrasında Fibonacci sayıları hakkında birçok enteresan bilgi ortaya çıkarılmış ve hala ortaya çıkarılmak üzere çalışmalar yapılmaktadır. 20.yüzyılda Mark Feinberg tarafından keşfedilen Tribonacci sayılarında da Fibonacci gibi benzeri özellikler görülmüştür. Tribonacci dizisi Fibonacci sayı dizisine göre daha yeni olduğundan dolayı Tribonacci dizisi hakkında araştırmalar ve çalışmalar Fibonacci dizisine göre daha az bulunmaktadır. Dolayısıyla, bu tezde çok az yazı ve araştırma yapılmış Tribonacci sayı dizisi ile Fibonacci sayı dizisinin arasındaki ilişkilere yer verilmiştir. Tribonacci ve Fibonacci dizilerinin tekrarlama bağıntıları, karakteristik denklemleri ve bu iki özel sayı dizisi arasındaki özdeşlikler paylaşılmıştır. Bu sayede bu tezde okuyucuya bu iki sayı dizisi ile ilgili temel düzeyde bilgi verip o bilgi birikimini bir kademe daha yukarıya taşımaya çalışılmıştır. 1 2. FİBONACCİ VE TRİBONACCİ SAYILARI 2.1 Fibonacci Sayıları Leonardo Fibonacci İtalya’nın Pisa şehrinde 1170 yılında doğmuştur. Fibonacci Hint- Arap sayılarını Avrupa’ya getirip bu sayı sistemini tanıtmak ve hesaplama yöntemlerini göstermek için 1202 yılında Liber Abaci isimli kitabı kaleme almıştır. Liber Abaci’de yer alan ünlü tavşan problemiyle meşhur olmuştur. Aslında bu problemde tavşanların üremesiyle oluşturulan sayı sistemini kurucusunun adı verilerek Fibonacci sayıları diye anılmıştır. Tavşanların üremesi için aşağıdaki durumu kurmuştur. Ocak ayında bir kafeste bir çift tavşan olduğunu varsayalım. Şubat ayında bu tavşanlar başka bir çift doğuracaktır. Bu tavşan çiftleri her zaman doğumdan sonraki ikinci ayda ürerler ve daha sonra ayda bir çift tavşan ürer. Aralığın sonunda tavşan çiftlerinin sayısı kaçtır? Bu sorunu çözmek için aşağıdaki gibi bir sütunlu tablo oluşturalım (Brother U., 1963) . (1) Verilen ayın başında doğuracak tavşan sayısı (2) Verilen ayın başında doğurmayan tavşan sayısı (3) Ay boyunca yetiştirilen tavşan çiftlerinin sayısı (4) Ay boyunca tavşan çiftlerinin sayısı Tablo 1.1 Tavşanların aylara göre üreme miktarı AYLAR (1) (2) (3) (4) OCAK 0 1 0 1 ŞUBAT 1 0 1 2 MART 1 1 1 3 NİSAN 2 1 2 5 MAYIS 3 2 3 8 HAZİRAN 5 3 5 13 TEMMUZ 8 5 8 21 AĞUSTOS 13 8 13 34 EYLÜL 21 13 21 55 EKİM 34 21 34 89 KASIM 55 34 55 144 ARALIK 89 55 89 233 2 Asıl sorunun cevabı aralık ayının sonunda 233 çift tavşan olduğudur. Ancak bu şekilde gelişen sayı dizisini karakterize eden ilginç gerçek şudur: Herhangi bir sayı kendisinden önce gelen iki ardışık sayının toplamıdır. Dahası, yukarıdaki tablodaki dört sütunun tamamının o zamandan beri Fibonacci serisi olarak bilinen aynı serinin sayılarından oluştuğu görülecektir: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,….. (Brother U., 1963). Bu sayıların Fibonacci sayıları olarak adlandırılması keşfinden yüzlerce yıl sonra olmuştur. 1876 yılından sonra Fransız matematikçi François Edouard Anatole Lucas tarafından Fibonacci sayıları adı verilmiştir. 𝑛 − 𝑖𝑛𝑐𝑖 Fibonacci sayısını 𝐹𝑛 ile gösterilsin ve Fibonacci dizisini matematiksel olarak şöyle bir tanım vererek gösterelim. Tanım 2.1.1 Başlangıç şartları 𝐹0 = 0, 𝐹1 = 𝐹2 = 1 olmak üzere 𝑛 ≥ 3 için 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 (2.1) olacak şekilde tekrarlama bağıntısıdır. Böylece n-inci Fibonacci sayısı olan 𝐹𝑛 elde edilmiştir. 2.2 Fibonacci Dizisinin Karakteristik Denklemi Her 𝑛 ≥ 3 tamsayısı ve 𝐹0 = 0, 𝐹1 = 𝐹2 = 1 başlangıç koşulları için Fibonacci dizisi (2.1) denkleminde 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 şeklinde tekrarlama bağıntısı olarak verilmiştir. Tekrarlama (indirgeme) bağıntısı ile oluşan dizilerin birer fark denklemi olmasından dolayı bu şekildeki dizilerin karakteristik denklemi, 𝐹 yerine 𝑘𝑛𝑛 alınarak bulunulabilir. (2.1) denkleminde tüm terimleri eşitliğin sol tarafına alınsın, 𝐹𝑛 − 𝐹𝑛−1 − 𝐹𝑛−2 = 0 olur. Elde edilen eşitlikte 𝐹 𝑛𝑛 yerine 𝑘 yazılsın ve 3 𝑘𝑛 − 𝑘𝑛−1 − 𝑘𝑛−2 = 0 olur. Burada oluşturduğumuz denklemi 𝑘2−𝑛 ile çarpalım. Böylece, 𝑘2 − 𝑘 − 1 = 0 (2.2) olur. (2.2) denklemi Fibonacci dizisinin karakteristik denklemidir. Bu karakteristik polinomun farklı işaretlere sahip iki adet kökü vardır. Bu kökler; 1 + √5 1 − √5 𝑘1 = , 𝑘 = 2 2 2 şeklindedir. Burada elde ettiğimiz pozitif kök olan 𝑘1 aslında hepimizin bildiği bir sayı olan altın orana denktir. Ayrıca Fibonacci dizisi için elde ettiğimiz bu karakteristik denklem benzer biçimde Tribonacci dizisi içinde gösterilmiştir. Burada bahsettiğimiz bu iki ifadeye ilerleyen konularda değinilmiştir. 2.3 Fibonacci Dizisinin Binet Formülü Denklem (2.1) de ki tekrarlama bağıntısı n. Fibonacci sayısını gösteriyordu. Bu tekrarlama bağıntısı ikinci mertebeden bir lineer fark denklemi olduğundan ve bu denkleme ait (2.2) de ki karakteristik denklemin kökleri 1 + √5 1 − √5 𝛼 = , 𝛽 = 2 2 olup 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝐹𝑛 = , 𝑛 ≥ 1 (2.3) 𝛼 − 𝛽 ifadesine Fibonacci dizisinin Binet formülü adı verilir. Şimdi bu ifadeyi bir teorem olarak verip nasıl ortaya çıktığını çözümleyelim. 4 𝐹𝑛’in bu aşikar formülünü, 1843’te keşfeden Fransız matematikçi Jacques Philipe Marie Binet’in (1789-1856) ardından Binet’in formülü olarak adlandırılmıştır. Aslında ilk olarak 1718’de Fransız matematikçi Abraham De Moivre (1667-1754) tarafından üretme fonksiyonları kullanılarak keşfedilmiştir (Koshy, Fibonacci and Lucas Number with Applications, 2001). Teorem 2.3.1 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 𝛼 ve negatif kökü 𝛽 olsun. O zaman, 𝑛 ≥ 1 olmak üzere 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝐹𝑛 = (2.3) 𝛼 − 𝛽 olur (Koshy, Fibonacci and Lucas Number with Applications, 2001). 𝐹1 = 𝐹2 = 1 başlangıç koşulu olmak üzere 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 Fibonacci tekrarlama bağıntısının çözümü: Tekrarlama bağıntısının karakteristik denklemi 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 ’dır ve bu denklemin 1+√5 1−√5 çözümü 𝛼 = ve 𝛽 = ’dir. 2 2 𝛼 + 𝛽 = 1 ve 𝛼𝛽 = −1 olduğunu hatırlayalım. 𝐹𝑛 dizisinin genel çözümü 𝐹 𝑛 𝑛 𝑛 = 𝐴𝛼 + 𝐵𝛽 ’dir. 𝐴 ve 𝐵 ’yi bulmak için başlangıç koşullarını yerine yazarsak, 𝐹1 = 𝐴𝛼 + 𝐵𝛽 = 1 𝐹2 = 𝐴𝛼 2 + 𝐵𝛽2 = 1 olur. Bu iki denklemi çözelim. 𝛼 (1 + √5)⁄2 1 + √5 1 + √5 1 𝐴 = = = = − = 1 + 𝛼2 (5 + √5)⁄2 5 + √5 √5(1 + √5) √5 5 olur. Benzer biçimde 𝛽 1 𝐵 = = − 1 + 𝛽2 √5 olur. Böylece verilen koşulları sağlayan tekrarlama bağıntısının çözümü 𝐹𝑛 Fibonacci sayısı için Binet formülü olan 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝐹𝑛 = = √5 𝛼 − 𝛽 dir (Koshy, 2001). 2.4 Fibonacci Dizisi Altın Oran Fibonacci sayıları yüzyıllardır ilgi odağı olmuştur. Bu sadece matematiksel anlamda değil Fibonacci dizilerinin küçük üyelerinin doğada görünmesidir. Doğada birçok yerde, bir çiçeğin yapraklarının sayısında, bir ağacın dallarının sayısında veya insanlarca yaratılan resim ve mimari eserlerin birçoğunda bu üyeler ve bu üyelerin birbirine oranı sürekli karşımıza çıkmıştır. Bu olay bir çok kişi için merak ve ilgi odağı olmasını sağlamıştır. Bir çok matematikçi ve bilim insanı araştırma konusu olan bu rakama “altın oran”, “mükemmel oran”, “kutsal oran” gibi isimler vereceklerdir. Fibonacci dizisinin oranlarının limit değerlerine baktığımızda dizinin 13’üncü terimine kadar bu oran artıp azaldığı ancak 13’üncü terim ve sonrasında ki terimlerin oranlarının limit değerleri bize altın oranı yani 1,618’i verdiği görülmektedir. Şimdi bu limit değerini daha yakından incelemek için adım adım ilerleyelim. Fibonacci dizisi için tekrarlama bağıntısı 𝐹𝑛+1 = 𝐹𝑛 + 𝐹𝑛−1 şeklinde verilsin. Şimdi bu bağıntının her iki tarafı 𝐹𝑛 ile bölünsün. 6 𝐹𝑛+1 𝐹𝑛 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛−1 = + = 1 + 𝐹𝑛 𝐹𝑛 𝐹𝑛 𝐹𝑛 olur. Burada iki ardışık Fibonacci oranı için 𝑛 → ∞ sınırına doğru yaklaştığını varsayıyoruz. Yani aslında n değeri sonsuza doğru yaklaştıkça bu oran yaklaşılan sayı olacaktır. 𝐹𝑛+1 lim = 𝛼 (2.4) 𝑛→∞ 𝐹𝑛 olarak tanımlayalım. Bu durumda 𝐹𝑛−1 1 lim = 𝑛→∞ 𝐹𝑛 𝛼 yakınsar. O zaman ilk başta aldığımız limit değeri 1 𝛼 = 1 + 𝛼 şeklinde olacaktır. Böylece limit varsa, ardışık iki Fibonacci sayısının oranı yeterince büyük n’ler için altın oran olarak adlandırılmıştır. Aşağıdaki tablo sayesinde ardışık Fibonacci sayılarının oranlarında altın oranı ve hangi terimden sonra bu oranın sürekli olarak altın oranı verdiğini daha yakından incelenip gösterilmiştir. 7 Tablo 1.2 Ardışık Fibonacci sayılarının oranları n 𝐹𝑛+1⁄𝐹𝑛 ORAN 1 1⁄1 1.00000 2 2⁄1 2.00000 3 3⁄2 1.50000 4 5⁄3 1.66666 5 8⁄5 1.60000 6 13⁄8 1.62500 7 21⁄13 1.61538 8 34⁄21 1.61904 9 55⁄34 1.61764 10 89⁄55 1.61818 11 144⁄89 1.61797 12 233⁄144 1.61805 13 377⁄233 1.61802 Yukarıda ki tabloda da görüldüğü üzere ardışık Fibonacci sayıları arasındaki oranlar 𝑛 = 12 ve ondan sonraki ifadelerde 1.618 sayısına sabitlenmiş bir biçimde devam ettiği görülebilir. Bu oran değişimi 𝑛 = 11 ve önceki ifadelerde ki gibi büyük sayı değişim aralıklarında değil de daha ufak miktarlarla değiştiği görülebiliyor. 2.5 Tribonacci Sayıları Tribonacci sayıları, 1963 yılında 14 yaşındaki genç bilim insanı Mark Feinberg tarafından keşfedilmiş ve bu keşif Mark Feinberg’e Amerika’nın Pensilvanya eyaletinde Genç Bilim Akademisi şampiyonluğunu kazandırmıştır. Tıpkı Fibonacci dizisindeki her sayının kendinden önceki iki veya 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝑝𝑛−1’in toplamının olduğu gibi; ilk varyasyon her bir sayının kendinden önceki üç sayının veya 8 𝑞𝑛+1 = 𝑞𝑛 + 𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛−2 (2.5) toplamının olduğu bir seridir. Bundan dolayı bu serinin adı Tribonacci’dir. Dizinin ilk birkaç sayısı 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, … şeklindedir (Feinberg, 1963). 2.6 Tribonacci Dizisinin Karakteristik Denklemi Bölüm 2.2’de bahsedildiği üzere bir tekrarlama bağıntısı ile oluşturulan dizilerin birer fark denklemi olmasından dolayı bu şekildeki diziler için karakteristik denklem nasıl oluşturulduğundan bahsedip Fibonacci dizisi için karakteristik denklem oluşturulmuştu. Tribonacci dizisi de bir tekrarlama (indirgeme) bağıntısı olduğundan benzer biçimde karakteristik denklem oluşturulabilir. Tribonacci dizisinin tekrarlama bağıntısını (2.5) denkleminde 𝑞𝑛+1 = 𝑞𝑛 + 𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛−2 olarak verilmişti. Bu eşitlikte her terimi sol tarafa alalım ve 𝑞𝑛 yerine 𝑡 𝑛 yazılsın. 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1 − 𝑡𝑛−2 = 0 olur. Burada oluşturduğumuz denklemi 𝑡2−𝑛 ile çarpalım. Böylece 𝑡3 − 𝑡2 − 𝑡 − 1 = 0 (2.6) olur. (2.6) denklemi Tribonacci dizisinin karakteristik denklemidir. Bu karakteristik denklemin üç adet kökü vardır. Bu kökler; −1+𝑖√3 𝑤 = denirse, o zaman 2 3 3 1 + √19 + 3√33 + √19 − 3√33 𝑡1 = 3 9 2 3 31 + 𝑤 √19 + 3√33 + 𝑤2 √19 − 3√33 𝑡2 = 3 2 3 31 + 𝑤 √19 + 3√33 + 𝑤 √19 − 3√33 𝑡3 = 3 şeklindedir. 2.7 Tribonacci Dizisinin Binet Formülü Tribonacci dizisinin karakteristik denklemi olarak bir önceki bölümde (2.6) denklemi ile verilmişti. Ayrıca orada belirttiğimiz (2.6) denkleminin 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 kökleri de kullanılacaktır. Başlangıç koşulları 𝑢0 = 𝑢1 = 1, 𝑢2 = 2 olan ve 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛−2 denklemi üreten fonksiyonu belirlenerek binet formülü türetilir (Spickerman, 1982). 𝑓(𝑥) = 𝑢0 + 𝑢1𝑥 + 𝑢 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑢𝑛𝑥 𝑛 = ∑∞𝑖=0 𝑢𝑖𝑥 𝑖 üreteç fonksiyonu olarak alalım. O zaman (1 − 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3)𝑓(𝑥) = 1 olur. Bundan dolayı, 1 1 1 𝑓(𝑥) = = = 1 − 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 (1 − 𝑡1)(1 − 𝑡2)(1 − 𝑡3) 𝑝(𝑥) 1 olsun. 𝑝(𝑥) = 0’ın kökleri, 1⁄𝑡1 , 1⁄𝑡 , 1⁄𝑡 ; 𝑝 ( ) = 𝑥 3 − 𝑥22 3 − 𝑥 − 1 = 0’in kökleri 𝑥 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3’dür. 1 Cardano’nun formülünü 𝑝 ( ) = 0’a uygulanırsa köklerini bulabiliriz. (Bu kökleri biz bir 𝑥 önceki bölümde göstermiştik.) Bu kökler 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 olarak belirlemiştik. 10 𝑝(𝑥) = 0’ın kökleri farklı olduğundan, kısmi kesirler yöntemiyle 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝑓(𝑥) = = + + (1 − 𝑡1𝑥)(1 − 𝑡2𝑥)(1 − 𝑡3𝑥) 1 − 𝑡1𝑥 1 − 𝑡2𝑥 1 − 𝑡3𝑥 şeklindedir. Böylece 1 𝑡1 𝐴 = 𝑡 𝑡 = , (1 − 2) (1 − 3) (𝑡1 − 𝑡2)(𝑡1 − 𝑡3) 𝑡1 𝑡1 1 𝑡2 𝐵 = 𝑡 = , (1 − 1 𝑡 ) (1 − 1) (𝑡2 − 𝑡1)(𝑡2 − 𝑡3)𝑡2 𝑡2 1 𝑡3 𝐶 = 𝑡 𝑡 = . (1 − 1𝑡 ) (1 − 2 𝑡 ) (𝑡3 − 𝑡1)(𝑡3 − 𝑡2) 3 3 Sonuç olarak, ∞ ∞ 𝑡1 𝑡𝑖 𝑖 2𝑓(𝑥) = ∑ 𝑡 𝑥 + ∑ 𝑡 𝑖𝑥𝑖 (𝑡1 − 𝑡2)(𝑡1 − 𝑡3) 1 (𝑡 22 − 𝑡1)(𝑡2 − 𝑡3) 𝑖=0 𝑖=0 ∞ 𝑡3 + ∑ 𝑡 𝑖𝑥𝑖 (𝑡3 − 𝑡1)(𝑡3 − 𝑡2) 3 𝑖=0 ∞ 𝑡 𝑖+2 𝑡 𝑖+2 𝑡 𝑖+21 2 3 𝑓(𝑥) = ∑ ( + + ) 𝑥𝑖 (𝑡1 − 𝑡2)(𝑡1 − 𝑡3) (𝑡2 − 𝑡1)(𝑡2 − 𝑡3) (𝑡3 − 𝑡1)(𝑡3 − 𝑡2) 𝑖=0 Böylece, Tribonacci dizisi için Binet formülü 𝑡 𝑛+2 𝑡 𝑛+2 𝑡 𝑛+21 2 3 𝑢𝑛 = + + (𝑡1 − 𝑡2)(𝑡1 − 𝑡3) (𝑡2 − 𝑡1)(𝑡2 − 𝑡3) (𝑡3 − 𝑡1)(𝑡3 − 𝑡2) şeklindedir (Spickerman, 1982). 11 2.8 Tribonacci Dizisi Gümüş Oran Fibonacci serisi gibi Tribonacci serisi de yakınsaktır. Fibonacci sayılarında (𝑝𝑛⁄𝑝𝑛+1) 0.6180339…’a yakınsar ve (𝑝𝑛+1⁄𝑝𝑛) 1.6180339…’a yakınsar. Tribonacci sayılarında da ardışık iki sayının birbirine bölümü (𝑞𝑛⁄𝑞𝑛+1) 0.54368901…’a yakınsar. Fibonacci dizisinde ardışık iki sayı arasındaki orana Phi (Φ) olarak adlandırılırken Tribonacci dizisinde Tri-Phi (Φ3) olarak adlandırılabilir (Feinberg, 1963). (𝑞𝑛+1⁄𝑞𝑛) oranı ise 1.83928675…’a yakınsar. Bu oran Mark Feinberg’in bahsettiği Tri- Phi (Φ3)’dir. Bu oran bir çok yerde gümüş oran olarak da adlandırılmaktadır. Şekil 1.1 Altın dikdörtgen ve gümüş dikdörtgen Dizilerin özgün tekrarlama bağıntısı Fibonacci altın dikdörtgeninde gösterilmiştir. Dizinin özgün tekrarlama bağıntısına uygun olarak Tribonacci dizisi içinde bir dikdörtgen oluşturulabilir fakat bu dikdörtgen altın dikdörtgenden daha az belirgin özelliklere sahip olduğundan gümüş dikdörtgen olarak adlandırılabilir. Uzun kenarı (𝑞𝑛+1) ve kısa kenarı (𝑞𝑛) olan gümüş dikdörtgen, altın dikdörtgene oranla daha uzun kenarlara sahiptir. Gümüş dikdörtgendeki kenar uzunlukları 𝑞𝑛 = 24 ve 𝑞𝑛−1 = 13 olan kareler çıkarılarak kenar uzunlukları (𝑞𝑛+1 − 𝑞𝑛) ve (𝑞𝑛 − 𝑞𝑛−1) ile (𝑞𝑛−1) ve (𝑞𝑛−2) olan orijinal iki yeni dikdörtgen görülür (gölgeli alanlar). Bu dikdörtgendeki kenar uzunlukları (𝑞𝑛−1) ve (𝑞𝑛−2) Tribonacci sayıları iken diğer kenar uzunlukları Tribonacci dizisinde bulunmayan sayılardır. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları (𝑞𝑛+1 − 𝑞𝑛) ve (𝑞𝑛 − 𝑞𝑛−1)’dir. Her bir Tribonacci sayısının kendisinden sonrakinden çıkarılmasıyla elde edilen bir ara serideki sayılardan oluşur (Feinberg, 1963). 12 3. FİBONACCİ VE TRİBONACCİ SAYILARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER Fibonacci sayıları ve Tribonacci sayıları kendi içinde tekrarlama bağıntısı, özdeşlikler olduğu gibi birbirleri arasında da bu gibi durumlar vardır. Bu gibi ilişkilere bir sürü örnek verilebilir ve çoğaltılabilir. Burada Fibonacci ve Tribonacci sayıları arasında kurulmuş olan ilişkilere değinilmiştir. Bu ilişkilerin belirli bir kısmını aşağıdaki teorem ve sonuçlar verilerek gösterilmiştir. 3.1 Fibonacci ve Tribonacci Sayılarının Toplamları Olarak Tekrarlanan Sayılar Palindromik sayı sağdan ve soldan okunduğunda aynı forma sahip olan bir sayıdır (böylece bir eksene göre simetrik olduğu söylenebilir). İlk 19 palindromik sayı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 ve açıkça bu sayılar tekrarlanan sayı türüdür. Sayının ondalık açılımının içinde yalnızca bir tekrarlanan rakam var ise bir n sayısı tekrar sayısı olarak adlandırılır. Daha doğrusu, bazı 𝑙 ≥ 0 ve 𝑎 ∈ [1,9] için (her zaman olduğu gibi, 𝑎 ≤ 𝑏 tamsayıları için [𝑎, 𝑏] = {𝑎, 𝑎 + 1, … , 𝑏} olarak ayarladık), n sayısı 10𝑙 − 1 𝑛 = 𝑎 ( ) 9 formundadır. Eski bir açık problem, sonsuz sayıda asal tekrar sayının varlığını kanıtlamaktan ibarettir (Sloane, tarih yok), burada 𝑙 − 𝑖𝑛𝑐𝑖 tekrar sayısı olarak 10𝑙 − 1 𝑅𝑙 = 9 tanımlanır (Trojovský, 2020). Pavel Trojovský yapmış olduğu bu çalışmada Tribonacci ve Fibonacci dizilerini incelemiş. Marques, Tribonacci dizisindeki en büyük tekrar sayısının 𝑇8 = 44 olduğunu kanıtlarken (Marques, 2011), Lucas ise Fibonacci dizisindeki en büyük tekrar sayısının 𝐹10 = 55 olduğunu göstermiş. Trojovský bu çalışmasında Fibonacci ve Tribonacci 13 sayılarının toplamı olan tekrar sayılarını aramıştır (ikiside aynı indeks olacaktır). Daha spesifik olarak şöyle bir teorem vermiştir: Teorem 3.1.1 Diophantine denklemi 10𝑙 − 1 𝐹𝑛 + 𝑇𝑛 = 𝑎 ( ) ’nin 9 pozitif tamsayı (𝑛, 𝑙, 𝑎) cinsinden, 𝑎 ∈ [1,9] olmak üzere, tek çözümü (𝑛, 𝑙, 𝑎) ∈ {(1,1,2), (2,1,2), (3,1,4), (4,1,7)}’dir (Trojovský, 2020). 3.2 İki Ayrı Kesişim Üzerine k-Genelleştirilmiş Fibonacci Dizileri Sayı teorisindeki bazı problemler arasında, bilinen iki dizinin (veya kümenin) kesişimiyle ilgili sorulardır. Örnekler vermeden önce terimleri biraz hatırlayalım. 𝐹 ≔ (𝐹𝑛)𝑛≥0 Fibonacci dizisi, ℙ ≔ {𝑝: 𝑝 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒}, 𝒫 ≔ {𝑦 𝑡: 𝑦, 𝑡 ∈ ℤ, 𝑡 > 1} (mükemmel kuvvet), ℱ ≔ {𝑛!: 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≥ 0}, ℛ ≔ {𝑎(10𝑛 − 1)⁄9): 1 ≤ 𝑎 ≤ 9, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 > 0} (tekrar rakamları veya tek basamaklı sayılar) olarak alalım. Bu kümelerin kesişimiyle ilgili sonuçları aşağıda aktarıyoruz. • Erdös ve Selfridge ℱ ∩ 𝒫 = {1} olduğunu kanıtladı (P. & J.L., 1975). • 2000 yılında, Luca 𝐹 ∩ ℛ = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 55} olduğunu kanıtladı (F., Fibonacci And Lucas Numbers With Only One Distinct Digit, 2000). • Luca ayrıca 𝐹 ∩ ℱ = {1, 2} olduğunu da kanıtladı (F., 1999). • 2003 yılında, Bugeaud ve diğerleri 𝐹 ∩ 𝒫 = {0, 1, 8, 144} olduğunu gösterdi (Y., M., & S., 2006). • 𝑛 ≥ 2 için ((𝑎𝑛)𝑛≥1), 𝑎1 = 1 ve 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑎𝑛−1 tarafından verilen kule olsun. Luca ve yazarlar {𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛: 𝑛 ≥ 1} ∩ 𝒫={1} olduğunu kanıtladı (F. & D., 2010) Yine de ℙ ∩ 𝐹 ve ℙ ∩ ℛ gibi bazı ilgili sorular hala açık problemlerdir. 𝑘 ≥ 2 ve 𝐹(𝑘) ≔ ( ) (𝐹 𝑘𝑛 ) , olarak belirtelim, k-genelleştirilmiş Fibonacci dizisi terimleri 𝑛≥0 14 (𝑘) (𝑘) (𝑘) ( )𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 + ⋯ + 𝐹 𝑘 𝑛−𝑘 (3.2.1) yineleme bağıntısını karşılayan, başlangıç koşulları 0, 0, … , 0, 1(k terim) ve ilk sıfır (𝑘) olmayan terim olacak şekilde 𝐹1 = 1’dir. Yukarıda ki dizi Fibonacci sayılarının birkaç genellemesinden biridir. Böyle bir diziye ayrıca k-adım Fibonacci sayıları, Fibonacci k-dizisi veya k-bonacci sayıları olarak adlandırılır. Açıkça 𝑘 = 2 için Fibonacci sayılarını ve 𝑘 = 3 için Tribonacci sayıları elde edilir. Çok yakın tarihli bir makalede, Togbé ve yazarlar lineer yineleme dizisinin sonlu sayıdaki karakteristik polinomunun baskın kökleri tekrarlama sayıları olabilir. Uygulama olarak, (3.2.1)’de ki yinelemenin karakteristik denklemi olduğundan, yani 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 − ⋯ − 𝑥 − 1, öyle |𝛼| > 1 için yalnızca bir 𝛼 köküne sahiptir, dolayısıyla tüm 𝑘 ≥ 2 için 𝐹𝑘 ∩ ℛ sonlu bir kümedir. 𝐹𝑘 ∩ 𝐹𝑚 kesişimi üzerindeki varsayım ve 𝐹𝑘 ∩ ℙ kümesi üzerindeki bazı sonuçlara (T.D. & J.V., 2005) bakılabilir. Bu kesişimin bildiğimiz kadarıyla hem Fibonacci hem de Tribonacci sayıları için en kolay (𝑘, 𝑚) = (2,3) durumunda bile bilinmediğine dikkat çekiyoruz. Bu kesişimi bulmanın olası bir yolu Fibonacci ve Tribonacci dizilerinde p asal iken modül 𝑝𝑡’ye bakmaktır. Ancak bu yaklaşımla pratikte çalışmak zor görünüyor. Bu gözlem, yazarın genel durumda faydalı olabilecek daha ilginç ve yapıcı bir yaklaşım için bakması istendi. Mignotte’nin eğer (𝑢𝑛)𝑛≥0 ve (𝑣𝑛)𝑛≥0 ise iki lineer yineleme dizisi olduğu gösterdiğini fark etmek önemlidir (M., 1978). O zaman bazı teknik varsayımlar altında 𝑢𝑛 = 𝑣𝑚 denkleminin pozitif n tamsayılarında yalnızca sonlu sayıda çözümü vardır. Ayrıca tüm bu çözümler etkili bir şekilde hesaplanabilir. Bu nedenle, 𝐹(𝑘) ∩ 𝐹(𝑚)’nin tüm 𝑘 ≠ 𝑚 için sonlu bir küme olduğunu düşünmek mantıklı görünüyor. 15 Bu makalenin amacı, 2 ≤ 𝑘 < 𝑚 tamsayıları için 𝐹(𝑘) ∩ 𝐹(𝑚) kesişimini incelemek ve (𝑘, 𝑚) = (2,3) için bu kümeyi tamamen belirlemek amacıyla bir yöntem sağlamak için soyut araçlar uygulanacaktır. Daha doğrusu sonucumuz şudur. Teorem 3.2.1 𝑛 > 3 olan 𝑚 ve 𝑛 pozitif tamsayılarında 𝐹𝑛 = 𝑇𝑚 Diophantine denkleminin tek çözümü (𝑛, 𝑚) = (7,6)’dır. Böylece, 𝐹 ∩ 𝑇 = {0, 1, 2, 13}’dir (Marques, 2011). 3.3 Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi ve Genelleştirilmiş Tribonacci Üçgeni Arasındaki Bazı Bağlantılar Bu bölümde genelleştirilmiş bir Fibonacci tipi ikinci dereceden doğrusal yineleme {𝑈𝑛} ele alınacaktır. Genelleştirilmiş Tribonacci üçgeninin bazı özellikleri tarafından, genelleştirilmiş Fibonacci ardışık sayılarının çarpımı olan 𝑈𝑛𝑈𝑛+1 ve genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının karesi olan 𝑈2𝑛 için formüller türetilmiştir. Bu formüller burada paylaşılmıştır. Daha çok ayrıntı için Fibonacci Quarterly dergisinin 2012 yılının şubat ayında ki yayınında bulunan “Some Connections Between a Generalized Tribonacci Triangle and a Generalized Fibonacci Sequence” (Kuhapatanakul, 2012) makaleyi inceleyebilir. • 𝑎 ve 𝑏 reel sayıları için genelleştirilmiş Fibonacci dizisi {𝑈𝑛}, 𝑈0 = 0, 𝑈1 = 1 ve 𝑈𝑛+1 = 𝑎𝑈𝑛 + 𝑏𝑈𝑛−1 (𝑛 ≥ 1) ile tanımlanır. • Eğer 𝑎 = 𝑏 = 1 ise o zaman 𝑈𝑛 = 𝐹𝑛, klasik Fibonacci sayısıdır. 𝑛 ⌊ ⌋ • 𝐹 = ∑ 2𝑛+1 ( 𝑛−𝑖) (𝑛 ≥ 0) Pascal üçgeninde yükselen köşegen doğruları 𝑖=1 𝑖 üzerindeki elemanların toplamıyla Fibonacci sayıları elde edilebilir. (⌊𝑥⌋, 𝑥’i geçemeyen en büyük tamsayıdır.) • Genelleştirilmiş Fibonacci sayısı 𝑈𝑛 için Pascal üçgeninde Fibonacci sayılarının 𝑛 ⌊ ⌋ 𝑛−𝑖 elde dilişi ile 𝑈 = ∑ 2 ( )𝑎𝑛−2𝑖𝑏𝑖𝑛+1 (𝑛 ≥ 0) genişlemesine sahibiz. 𝑖=0 𝑖 • 1997’de Alladi ve Hoggat Tribonacci üçgenini oluşturdular (K. & V. E., 1997) 16 Tablo 1.3 Tribonacci Üçgeni 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 5 5 1 4 1 7 13 7 1 5 1 9 25 25 9 1 6 1 11 41 63 41 11 1 7 1 13 61 129 129 61 12 1 … Yukarıda vermiş olduğumuz tanımlamalar doğrultusunda verilmiş olan bağlantıları paylaşalım. Daha fazla ayrıntı için (Kuhapatanakul, 2012) bakılabilir. Tanım 3.3.1 𝑛 ∈ ℤ alalım. Herhangi bir negatif olmayan 𝑖 tamsayısı için, 𝑖 𝑖 𝑛 − 𝑗 ∑ ( ) ( ) 𝑎𝑛−2𝑗𝑏𝑖+𝑗 ; 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝑇(𝑛, 𝑖) = { 𝑗 𝑖 𝑗=0 0 ; 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 (0 < 𝑖 < 𝑛)’dir. 𝑇(𝑛, 𝑖)’nin toplamındaki tüm terimlerin 𝑗 > min{𝑛 − 𝑖, 𝑖} iken sıfır olduğunu görüyoruz (Kuhapatanakul, 2012). Tanım 3.3.2 Genelleştirilmiş Tribonacci üçgenini aşağıdaki şekilde tanımlanabilir (Kuhapatanakul, 2012). 17 Tablo 1.4 Genelleştirilmiş Tribonacci Üçgeni 0 1 2 3 4 5 6 … n … 0 T(0,0) 1 T(1,0) T(1,1) 2 T(2,0) T(2,1) T(2,2) 3 T(3,0) T(3,1) T(3,2) T(3,3) 4 T(4,0) T(4,1) T(4,2) T(4,3) T(4,4) 5 T(5,0) T(5,1) T(5,2) T(5,3) T(5,4) T(5,5) 6 T(6,0) T(6,1) T(6,2) T(6,3) T(6,4) T(6,5) T(6,6) ⋮ ⋮ n T(n,0) T(n,1) T(n,2) … T(n,n) ⋮ ⋮ Teorem 3.3.3 Negatif olmayan 𝑛 tamsayısı için 2𝑛 2𝑛 ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ (1) 𝑈 2 = ∑ 3 𝑇(2𝑛 − 2𝑖, 𝑖) = ∑ 3 ∑𝑖=0 (𝑖) (2𝑛−2𝑖−𝑗)𝑎2(𝑛−𝑖−𝑗)𝑏𝑖+𝑗𝑛+1 𝑖=0 𝑖=0 𝑗=0 . 𝑗 𝑖 (2) 𝑈𝑛𝑈𝑛+1 = 2𝑛−1 2𝑛−1 ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ∑ 3 𝑇(2𝑛 − 2𝑖 − 1, 𝑖) = ∑ 3 ∑𝑖=0 𝑖𝑗=0 ( ) ( 2𝑛−2𝑖−𝑗−1)𝑎2(𝑛−𝑖−𝑗)𝑏𝑖+𝑗. 𝑖=0 𝑖=0 𝑗 𝑖 biçimindedir (Kuhapatanakul, 2012). Lemma 3.3.4 𝑛 ∈ ℕ olsun. O zaman (1) 𝑈2 2𝑛+2 = (𝑎 + 𝑏)𝑈 2 𝑛+1 + (𝑎 2𝑏 + 𝑏2)𝑈2𝑛 − 𝑏 3𝑈2𝑛−1. (2) 𝑈 2 2 2𝑛+1𝑈𝑛+2 = (𝑎 + 𝑏)𝑈𝑛𝑈𝑛+1 + (𝑎 𝑏 + 𝑏 )𝑈𝑛−1𝑈𝑛 − 𝑏 3𝑈𝑛−2𝑈𝑛−1. biçimindedir (Kuhapatanakul, 2012). 18 Lemma 3.3.5 𝑛 ∈ ℕ olsun. Negatif olmayan 𝑖 < 𝑛 tamsayıları için 𝑇(𝑛, 𝑖) = 𝑎𝑇(𝑛 − 1, 𝑖) + 𝑎𝑏𝑇(𝑛 − 1, 𝑖 − 1) + 𝑏2𝑇(𝑛 − 2, 𝑖 − 1) biçimindedir (Kuhapatanakul, 2012). 3.4 Genelleştirilmiş Fibonacci ve Tribonacci Dizisi için İlişkiler Önceki bölümlerde olduğu gibi bu bölümde, Fibonacci ve Tribonacci dizileri arasında kurulmuş farklı bağlantılar derlenmiştir. (𝑢𝑛)𝑛≥0, genelleştirilmiş Fibonacci dizisi olsun. 𝑢0 ve 𝑢1 ikilisi sıfır olmayan keyfi sayılar olmak üzere 𝑛 ≥ 2 için 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛−2 ikinci dereceden yineleme bağıntısı verilsin. (𝑣𝑛)𝑛≥0, genelleştirilmiş Tribonacci dizisi olsun. 𝑣0 ve 𝑣1 ikilisi sıfır olmayan keyfi sayılar olmak üzere 𝑛 ≥ 3 için 𝑣𝑛 = 𝑣𝑛−1 + 𝑣𝑛−2 + 𝑣𝑛−3 üçüncü dereceden yineleme bağıntısı verilsin. Her iki dizinin elli yılı aşkın süredir bir arada bulunmasına ve her iki sınıfa ilişkin zengin bir literatür olmasına rağmen bugüne kadar ayrı ayrı incelenmiştir. Bu çalışmada bu popüler diziler arasında birçok bağıntı keşfedilmiştir. Sonuçlarımızı kanıtlamak için tipik üreteç fonksiyonların yapısını kullanılmıştır. Bu iki genelleştirilmiş dizi ve bunlarla ilgili çift ve tek indeksli diziler için üreteç fonksiyonlar aşağıda belirtilmiştir. 19 ∞ 𝑢0 + (𝑢1 − 𝑢0)𝑥 𝑓𝑢 (𝑥) = ∑ 𝑢 𝑛 𝑛𝑥 = , (3.4.1) 𝑛 1 − 𝑥 − 𝑥2 𝑛=0 ∞ 𝑢0 + (𝑢1 − 2𝑢0)𝑥 𝑓𝑢 (𝑥) = ∑ 𝑢 𝑥 𝑛 = , (3.4.2) 2𝑛 2𝑛 1 − 3𝑥 + 𝑥2 𝑛=0 ∞ 𝑢1 + (𝑢0 − 𝑢1)𝑥 𝑓𝑢 (𝑥) = ∑ 𝑢2𝑛+1𝑥 𝑛 = , (3.4.3) 2𝑛+1 1 − 3𝑥 + 𝑥2 𝑛=0 ∞ 𝑣0 + (𝑣1 − 𝑣0)𝑥 + (𝑣2 − 𝑣 2 𝑛 1 − 𝑣0)𝑥 𝑓𝑣 (𝑥) = ∑ 𝑣 𝑥 = , (3.4.4) 𝑛 𝑛 1 − 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 𝑛=0 ∞ 𝑣0 + (𝑣2 − 3𝑣 2 𝑛 0 )𝑥 + (2𝑣1 − 𝑣2)𝑥 𝑓𝑣 (𝑥) = ∑ 𝑣2𝑛 2𝑛𝑥 = , (3.4.5) 1 − 3𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 𝑛=0 ve ∞ 𝑓 (𝑥) = ∑ 𝑣 𝑥𝑛𝑣2𝑛+1 2𝑛+1 𝑛=0 (3.4.6) 𝑣1 + (𝑣2 − 2𝑣 2 1 + 𝑣0)𝑥 + (𝑣2 − 𝑣1 − 𝑣0)𝑥 = . 1 − 3𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 Bu ifadeler aşağı yukarı belirli hesaplamalar sonucu elde edilir. Bu fonksiyonlar, 𝑢𝑛 için (Mező, 2009)’da türetilmiştir. 𝑣𝑛 için ise ( Frontczak, 2018)’den gelir. 3.4.1 𝑼𝒏 ve 𝑽𝒏 arasındaki basit ilişkiler Bu bölümün ana sonuçları genelleştirilmiş Fibonacci ve Tribonacci sayıları arasındaki üç temel ilişkiyi ortaya koymaktadır. Bulgularımız üç ayrı teoremde sunulmuştur. Şunu not ediyoruz, 𝑛 < 0 için ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 = 0 standart kuralı kullanacağız. 20 Teorem 3.4.1.1 Sırasıyla, (𝑢𝑛)𝑛≥0 ve (𝑣𝑛)𝑛≥0 genelleştirilmiş Fibonacci ve Tribonacci dizileri olarak tanımlasın. O zaman, her 𝑛 ≥ 2 için aşağıdaki özdeşliğe sahibiz ( Frontczak, 2018). 𝑛−3 𝑢0𝑣𝑛 = (𝑢0 − 𝑢1)𝑢𝑛−1 + 𝑣0𝑢𝑛 + (𝑣1 − 𝑣0)𝑢𝑛−1 + (𝑣2 − 𝑣1 − 𝑣0)𝑢𝑛−2 + ∑ 𝑢𝑘𝑣𝑛−3−𝑘. 𝑘=0 (3.4.7) İspat: (3.4.1) denkleminden şu çıkarımı yapıyoruz. 𝑢0 + (𝑢1 − 𝑢0)𝑥 = 1 − 𝑥 − 𝑥2. 𝑓𝑢 (𝑥)𝑛 Burada denklemin her iki tarafına −𝑥3 ekleyelim. 𝑢0 + (𝑢 3 1 − 𝑢0)𝑥 − 𝑥 𝑓𝑢 (𝑥)𝑛 = 1 − 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3. 𝑓𝑢 (𝑥)𝑛 Elde ettiğimiz bu denklem (3.4.4)’de ki denklem ile aşağıdaki ilişkiyi verir. 𝑓𝑢 (𝑥) 𝑓𝑣 (𝑥) = (𝑣0 + (𝑣1 − 𝑣0)𝑥 + (𝑣 − 𝑣 − 𝑣 )𝑥 2) 𝑛 𝑛 2 1 0 𝑢0 + (𝑢1 − 𝑢0)𝑥 − 𝑥3𝑓𝑢 (𝑥)𝑛 veya 𝑢0𝑓𝑣 (𝑥) − 𝑣0𝑓𝑢 (𝑥) = (𝑢0 − 𝑢1)𝑥𝑓𝑣 (𝑥) + (𝑣1 − 𝑣0)𝑥𝑓𝑢 (𝑥) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (3.4.8) +(𝑣2 − 𝑣1 − 𝑣0)𝑥 2𝑓𝑢 (𝑥) + 𝑥 3𝑓𝑢 (𝑥)𝑓𝑣 (𝑥) 𝑛 𝑛 𝑛 eşit olarak yukarıdaki biçimde gösterilebilir. (3.4.8)’de ki denklemin sol tarafı (LHS), ∞ 𝐿𝐻𝑆 = ∑(𝑢0𝑣𝑛 − 𝑣0𝑢 )𝑥 𝑛 𝑛 𝑛=1 21 biçimindedir. (3.4.8)’de ki denklemin sağ tarafı(RHS), ∞ ∞ ∞ 𝑅𝐻𝑆 = (𝑢0 − 𝑢1) ∑ 𝑣 𝑛 𝑛−1𝑥 + (𝑣1 − 𝑣0) ∑ 𝑢𝑛−1𝑥 𝑛 + (𝑣2 − 𝑣1 − 𝑣0) ∑ 𝑢 𝑛 𝑛−2𝑥 𝑛=1 𝑛=1 𝑛=2 ∞ 𝑛−3 + ∑ ∑ 𝑢𝑘𝑢 𝑛 𝑛−3−𝑘𝑥 𝑛=3 𝑘=0 biçimindedir. Terimleri toplama ve 𝑥𝑛 için katsayıları kıyaslama formülü kanıtlıyor. Spesifik örnek olarak aşağıdaki özdeşliği belirtebiliriz. 𝑢𝑛 = 𝐹𝑛 ve 𝑣𝑛 = 𝑇𝑛 olduğunda (3.4.7) denklemi 𝑛−2 𝑇𝑛 = 𝐹𝑛 + ∑ 𝐹𝑘𝑇𝑛−2−𝑘 (3.4.9) 𝑘=0 biçiminde sadeleşir. Teorem 3.4.1.2 𝑛 ≥ 2 için aşağıdaki özdeşlik geçerlidir ( Frontczak, 2018). 𝑢0𝑣2𝑛 = (2𝑢0 − 𝑢1)𝑢2𝑛−2 + 𝑣0𝑢2𝑛 + (𝑣2 − 3𝑣0)𝑢2𝑛−2 + (2𝑣1 − 𝑣2 − 2𝑣0)𝑢2𝑛−4 𝑛−3 + ∑ 𝑢2𝑘(2𝑣2(𝑛−2−𝑘) + 𝑣2(𝑛−3−𝑘)). 𝑘=0 (3.4.10) İspat: Teorem 3.4.1.1’in ispatına benzerdir. Spesifik örnek olarak aşağıdaki özdeşlik verilebilir. 𝑢2𝑛 = 𝐹2𝑛 ve 𝑣2𝑛 = 𝑇2𝑛 olduğunda (3.4.10) denklemi 22 𝑛−2 𝑇2𝑛 = 𝐹2𝑛 + 𝐹2𝑛−2 + ∑ 𝐹2𝑘(2𝑇2(𝑛−1−𝑘) + 𝑇2(𝑛−2−𝑘)). (3.4.11) 𝑘=0 biçiminde sadeleşir. Teorem 3.4.1.3 𝑛 ≥ 2 için aşağıdaki özdeşlik geçerlidir ( Frontczak, 2018). 𝑢1𝑣2𝑛+1 = (𝑢1 − 𝑢0)𝑣2𝑛+1 + 𝑣1𝑢2𝑛+1 + (𝑣2 − 2𝑣1 + 𝑣0)𝑢2𝑛−1 + (𝑣2 + 𝑣1 − 𝑣0)𝑢2𝑛−3 𝑛−3 + ∑ 𝑢2𝑘+1(2𝑣2(𝑛−2−𝑘)+1 + 𝑣2(𝑛−3−𝑘)+1. 𝑘=0 (3.4.12) Spesifik örnek olarak aşağıdaki özdeşlik verilebilir. 𝑢2𝑛+1 = 𝐹2𝑛+1 ve 𝑣2𝑛+1 = 𝑇2𝑛+1 olduğunda (3.4.12) denklemi 𝑛−3 𝑇2𝑛+1 = 𝑇2𝑛−1 + 𝐹2𝑛+1 − 𝐹2𝑛−1 + 2𝐹2𝑛−3 + ∑ 𝐹2𝑘+1( 2𝑇2(𝑛−2−𝑘)+1 + 𝑇2(𝑛−3−𝑘)+1). 𝑘=0 (3.4.13) biçiminde sadeleşir. 3.4.2 𝑼𝒏ve 𝑽𝒏 arasındaki daha gelişmiş ilişkiler Teorem 3.4.2.1 𝑛 ≥ 1 için aşağıdaki özdeşlik geçerlidir ( Frontczak, 2018). 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑢0 ∑ 𝑣𝑘𝑣𝑛−𝑘 = 𝑣0 ∑ 𝑣𝑘𝑢𝑛−𝑘 + ∑ 𝑣𝑛−1−𝑘((𝑢0 − 𝑢1)𝑣𝑘 + (𝑣1 − 𝑣0)𝑢𝑘) 𝑘=0 𝑘=0 𝑘=0 𝑛−2 + (𝑣2 − 𝑣1 − 𝑣0) ∑ 𝑢𝑘𝑣𝑛−2−𝑘 + ∑ 𝑢𝑘 𝑣𝑘 𝑣 . 1 2 𝑘3 𝑘=0 𝑘1+𝑘2+𝑘3=𝑛−3 (3.4.14) Spesifik örnek olarak aşağıdaki özdeşliği verelim. 23 𝑢𝑛 = 𝐹𝑛 ve 𝑣𝑛 = 𝑇𝑛 olduğunda (3.4.14) denklemi 𝑛 𝑛 ∑ 𝑇𝑘𝑇𝑛−𝑘 = ∑ 𝐹𝑘𝑇𝑛−𝑘 + ∑ 𝐹𝑘 𝑇 𝑇 . 1 𝑘2 𝑘3 (3.4.15) 𝑘=0 𝑘=0 𝑘1+𝑘2+𝑘3=𝑛−3 𝑘1,𝑘2,𝑘3≥1 biçiminde sadeleşir. Benzer biçimde bir önceki bölümde de olduğu gibi bu bölümde de çift ve tek indeksli Fibonacci ve Tribonacci sayıları içinde belirli özdeşlikler bulunmaktadır. Dahası Robert Frontczak’ın “Relation for Generalized Fibonacci and Tribonacci Sequence” adlı makalesinde mevcuttur ve incelenebilir. Bu makalede konumuz olan Fibonacci ve Tribonacci sayılarına ait özdeşlikler haricinde lucas sayılarının da Fibonacci ve Tribonacci sayıları ile olan özdeşliklerine de yer verilmiştir. 3.5 Tribonacci ve Fibonacci Kodlama Özel Bölüm Bu çalışma esas olarak aşağıda belirtmiş olduğum kaynaklardan yararlanılarak ortaya çıkarılmıştır. (1) Introduction to Coding and Information Theory, S.Roman, 1996 (2) Coding Theory A First Course, S.Ling, C,Xing, 2004 (3) A First Course in Coding Theory, R.Hill, 1986 Bu kaynaklar asıl konunun bahsedildiği yerlerdir. Bu çalışmamda Fibonacci ve Tribonacci arasında ki ilişkileri konu aldığımız için özel olarak üzerinde çalıştığım ve çalışmaya devam edeceğim bu bölümü yukarıda ki kaynaklardan elde ettiğim veriler doğrultusunda özel bir alan tanımlanmıştır ve buna şöyle devam ediliyor. Bu bölümde iki özel sayı dizisinin terimlerini modül 3’e göre inceleyip Tribonacci terimleri üzerinde belirli bir küme ile çalışmalar yapılmıştır. Ayrıca Tribonacci sayıları modül 3’te ℤ3 sonlu cismine yapısal olarak benzer özellik sağlayıp sağlamadığına göre değerlendirilmiştir. Bunun için bildiğimiz toplama ve çarpma işlemi tanımlanmıştır. Daha 24 sonra 𝑇(𝑛, 3) vektör uzayımız oluşturuldu. Bu doğrultuda Tribonacci vektör uzayımızdan aldığımız her bir vektörü iki adımda kodlanması karar verildi. İlk adımda, n uzunluğunda ki Tribonacci vektörünü kendi içinde kodlanmıştır. Bunun sonucunda bileşenler yine Tribonacci sayısı olacaktır. Ancak elde edilen vektör kodlanmış biçimdedir. İkinci adımda, elde ettiğimiz kodlanmış vektörü Fibonacci sayılarına göre eşleştirilmiştir. Yukarıda ki bahsedilen iki adım bir dönüşüm tanımlanıyor. Ancak ondan önce konuyla ilgili bilgileri paylaşalım. Modül 3’e göre Tribonacci terimleri; 𝑇0 ≡ 0 𝑇13 ≡ 0 𝑇26 ≡ 0 𝑇39 ≡ 0 ....... 𝑇13𝑛 ≡ 0 𝑇1 ≡ 1 𝑇14 ≡ 1 𝑇27 ≡ 1 𝑇40 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+1 ≡ 1 𝑇2 ≡ 1 𝑇15 ≡ 1 𝑇28 ≡ 1 𝑇41 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+2 ≡ 1 𝑇3 ≡ 2 𝑇16 ≡ 2 𝑇29 ≡ 2 𝑇42 ≡ 2 ....... 𝑇13𝑛+3 ≡ 2 𝑇4 ≡ 1 𝑇17 ≡ 1 𝑇30 ≡ 1 𝑇43 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+4 ≡ 1 𝑇5 ≡ 1 𝑇18 ≡ 1 𝑇31 ≡ 1 𝑇44 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+5 ≡ 1 𝑇6 ≡ 1 𝑇19 ≡ 1 𝑇32 ≡ 1 𝑇45 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+6 ≡ 1 𝑇7 ≡ 0 𝑇20 ≡ 0 𝑇33 ≡ 0 𝑇46 ≡ 0 ....... 𝑇13𝑛+7 ≡ 0 𝑇8 ≡ 2 𝑇21 ≡ 2 𝑇34 ≡ 2 𝑇47 ≡ 2 ....... 𝑇13𝑛+8 ≡ 2 𝑇9 ≡ 0 𝑇22 ≡ 0 𝑇35 ≡ 0 𝑇48 ≡ 0 ....... 𝑇13𝑛+9 ≡ 0 𝑇10 ≡ 2 𝑇23 ≡ 2 𝑇36 ≡ 2 𝑇49 ≡ 2 ....... 𝑇13𝑛+10 ≡ 2 𝑇11 ≡ 1 𝑇24 ≡ 1 𝑇37 ≡ 1 𝑇50 ≡ 1 ....... 𝑇13𝑛+11 ≡ 1 𝑇12 ≡ 0 𝑇25 ≡ 0 𝑇38 ≡ 0 𝑇51 ≡ 0 ....... 𝑇13𝑛+12 ≡ 0 25 Hatırlatma 3.5.1 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ve 𝑚 ≥ 1 olsun. 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟺ 𝑚|(𝑎 − 𝑏) tanımlanan işlem bir denklik sınıfıdır. Ayrıca, ℤ⁄≡ = ℤ𝑚 = {0̅, 1̅, . . , ̅̅𝑚̅̅−̅̅ ̅̅1} olduğunu da biliyoruz. Hatırlatma 3.5.2 Her 𝑛 ≥ 0 için, hatırlatma 3.5.1’e göre • T13n, T13n+7, T13n+9, T13n+12 ≡ 0 ⟺ 3 | T13n, T13n+7, T13n+9, T13n+12 • T13n+1, T13n+2, T13n+4, T13n+5, T13n+6, T13n+11 ≡ 1 ⟺ 3 | (T13n+1 − 1), (T13n+2 − 1), (T − 1), (T 13n+4 13n+5 − 1), (T13n+6 − 1), (T13n+11 − 1) • 𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛+8, 𝑇13𝑛+10 ≡ 2 ⟺ 3 | (𝑇13𝑛+3 − 2), (𝑇13𝑛+8 − 2), (𝑇13𝑛+10 − 2) biçiminde olduğu söylenebilir. Hatırlatma 3.5.3 Ayrıca hatırlatma 3.5.1’e göre m modülüne göre kalan sınıfları kümesini göstermiştik. O zaman 0̅ ≡ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛 ⟺ 𝑇13𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 3) 1̅ ≡ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1 ⟺ 𝑇13𝑛+1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3) 2̅ ≡ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 ⟺ 𝑇13𝑛+3 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 3) biçimdedir. Not: Konu boyunca 𝑇3 kümesi kullanılacatır. 𝑇 = {𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅3 13𝑛 13𝑛+1 13𝑛+3} = {0̅, 1̅, 2̅} = ℤ3 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 = 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+7 = 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+9 = 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+12 = 0̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1 13𝑛+2 = ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+4 = 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+5 = 𝑇13𝑛+6 = 𝑇13𝑛+11 = 1̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 = 𝑇13𝑛+8 = 𝑇13𝑛+10 = 2̅ Not: 𝑇3 için toplama ve çarpma işlemleri tanımlayalım. 26 + 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+1 𝑇13𝑛+3 . 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+1 13𝑛+3 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1 𝑇13𝑛+3 𝑇13𝑛 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛 13𝑛 ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+1 13𝑛+1 13𝑛+3 13𝑛 13𝑛+1 𝑇13𝑛 𝑇13𝑛+1 𝑇13𝑛+3 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+3 𝑇13𝑛+3 𝑇13𝑛 𝑇13𝑛+1 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+3 𝑇13𝑛 𝑇13𝑛+3 𝑇13𝑛+1 Tanım 3.5.4 𝐹𝑛𝑞 kümesine benzer Tribonacci vektör kümesi oluşturuldu. (𝐹𝑛𝑞 = {(𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛): 𝑣𝑖 ∈ 𝐹𝑞 }) Tribonacci vektör kümesini 𝑇(𝑛, 3) olarak adlandırılmıştır. 𝑇(𝑛, 3) = {𝑥 = (𝑥̅̅1̅, … . , ̅̅𝑥 𝑛 𝑛̅) ∶ 𝑥?̅? ∈ 𝑇3 , 𝑖 = 1, … , 𝑛} Tanım 3.5.5 𝐶 ⊂ 𝑇(𝑛, 3) olsun. C bir lineer kod ancak ve ancak C, 𝑇(𝑛, 3)’ün bir alt uzayıdır. Tanım 3.5.6 𝑇(𝑛, 3) üzerinde uzunluğu n boyutu k olan bir C lineer kodu 𝑞 − 𝑙𝑢 [𝑛, 𝑘] − 𝑘𝑜𝑑 olarak isimlendirilir. Eğer C’nin uzaklığı d biliniyorsa o zaman [𝑛, 𝑘, 𝑑] − 𝑘𝑜𝑑 olarak isimlendirilir. Tanım 3.5.7 C lineer kodunun üreteç matrisi 𝑇𝐺 olarak gösterilir. Not: C [𝑛, 𝑘] − 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟 𝑘𝑜𝑑 ise C’nin üreteç matrisi 𝑘 × 𝑛 matrisidir. Tanım 3.5.8 𝑇′𝐺 = (𝐼𝑘|𝐴) formundaki bir üreteç matrisine standart form denir. Tanım 3.5.9 C, 𝑇3 üzerinde 𝑇𝐺 üreteç matrisli bir [𝑛, 𝑘, 𝑑] − 𝑘𝑜𝑑 olsun. C’nin her bir kod sözcüğü bir bilgi parçasını temsil edebilir. Dolayısıyla C, 3𝑘 farklı bilgi parçasını temsil edebilir. 27 𝜃 𝛽 𝜔 𝑇(𝑘, 3) 𝑀1𝑥𝑘(𝑇𝐺) 𝐶 ⊂ 𝑇(𝑛, 3) 𝐶 ⊂ 𝐹(𝑛, 3) 𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑛 𝑢 = (𝑢1, … , 𝑢𝑘) → 𝜃(𝑢) = [𝑢1 … 𝑢𝑘]1𝑥𝑘 [ ⋮ ⋱ ⋮ ] = [𝑥1 … 𝑥𝑛] 𝑐𝑘1 ⋯ 𝑐𝑘𝑛 𝑘𝑥𝑛 → 𝛽(𝑥) = (𝑥1 … 𝑥𝑛) → 𝜔((𝑥1, … , 𝑥𝑛)) = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑥 , … , 𝐹 ) 𝑖 𝑖 𝑥𝑖 𝐹̅̅̅ ; 𝑥 = ̅̅ ̅̅ ̅̅0 ?̅? 𝑇13𝑛 ,𝑥 = { 𝐹 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑖 1̅ ; 𝑥?̅? = 𝑇13𝑛+1 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 𝐹̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅3 ; 𝑥?̅? = 𝑇13𝑛+3 Sayfa 25’de bahsedilen iki adımda herhangi bir Tribonacci vektörünün kodlanması yukarıda gösterilmiş olan dönüşüm yardımıyla elde edilmektedir. Örnek 3.5.10 𝑇3 kümesi üzerinde (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ), (̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛 13𝑛 13𝑛+1 13𝑛 13𝑛 13𝑛, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛), 𝐶 = ((𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅1 13𝑛+1 13𝑛+1, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛), (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3, 𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛), (𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛),) (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3, 𝑇13𝑛), (𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛, 𝑇13𝑛), (𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛) bir lineer koddur. Örnek 3.5.11 Örnek 3.5.11’de ki 𝐶1 kodunun üreteç matrisini bulalım. (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛+1 13𝑛 13𝑛 13𝑛, 𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛), 𝐶 = ((𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅1 13𝑛+1 13𝑛+1, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3, 𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛), (𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛),) (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛+3, 𝑇13𝑛), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛+3 13𝑛 13𝑛), (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 13𝑛+3, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅13𝑛) 𝐶 ’in üreteci 𝑆 = {(𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ), (̅̅ ̅̅ ̅̅1 13𝑛+1 13𝑛+3 13𝑛 𝑇13𝑛, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅13𝑛+3, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛)}’dir. Böylece, 𝐶1’in üreteç matrisi: ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇 = ( 13𝑛+1 𝑇 13𝑛+3 13𝑛𝐺 )’dir. ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 𝑇13𝑛 28 Örnek 3.5.12 Örnek 3.5.11’de elde ettiğimiz üreteç matrisin standart formunu bulalım. ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1 13𝑛+3 13𝑛 𝑇13𝑛+1 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇 = ( ) ⟶ ( 13𝑛 13𝑛+3) ⟶ ( 13𝑛+1 13𝑛 𝑇 𝐺 13𝑛 ) ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛+3 13𝑛 13𝑛 13𝑛 13𝑛+3 13𝑛 13𝑛 13𝑛+3 ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ⟶ ( 13𝑛+1 13𝑛 13𝑛 ) ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛+1 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 O zaman, 𝑇𝐺 üreteç matrisin standart formu; ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇′ = ( 13𝑛+1 13𝑛 | 13𝑛𝐺 ) . ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛 13𝑛+1 𝑇13𝑛+3 Örnek 3.5.13 Örnek 3.4.11’ de elde ettiğimiz üreteç matrisi yardımıyla (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3, 𝑇13𝑛), (𝑇13𝑛+1, 𝑇13𝑛+1), (𝑇13𝑛+3, 𝑇13𝑛+1) tribonacci vektörlerini kodlayalım. 𝑢 = (̅̅𝑢1̅, 𝑢̅̅ 2̅) ∈ 𝑇(2,3) tribonacci vektörlerini alalım. ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜃(𝑢) = [𝑢̅̅ ̅, ̅̅𝑢 13𝑛+11 2̅]1𝑥2 [ 13𝑛 13𝑛 ] = [̅̅𝑢̅̅1𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ 13𝑛+1 2 13𝑛+1 2 13𝑛+3 1𝑥313𝑛 13𝑛+1 13𝑛+3 2𝑥3 O zaman, 𝛽([𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅1 13𝑛+1 2 13𝑛+1 2 13𝑛+3]) = (𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅1 13𝑛+1 , 𝑢2𝑇13𝑛+1 , 𝑢2𝑇13𝑛+3) ve 𝜔((𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ , 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ , 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)) = (̅̅𝐹̅̅ , 𝐹̅̅̅̅1 13𝑛+1 2 13𝑛+1 2 13𝑛+3 𝑗 𝑗 , 𝐹̅̅̅̅𝑗 ). (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = 0,1,3) şeklindedir. Mesaj Vektörü İlk adım Vektör Kodlaması İkinci Adım Vektör Kodlama (𝑢̅̅ 1̅, 𝑢̅̅ 2̅) (𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅1 13𝑛+1 , 𝑢̅̅ ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅2 13𝑛+1 , 𝑢2𝑇13𝑛+3) (𝐹𝑗 , 𝐹𝑗 , 𝐹𝑗 ) 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ) (𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ) (𝐹̅̅̅, ̅̅𝐹̅̅, 𝐹̅̅̅13𝑛+3 13𝑛 13𝑛+3 13𝑛 13𝑛 3 0 0) (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1, ̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+1) (𝑇13𝑛+1, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅13𝑛+1 13𝑛+3) (𝐹1̅, 𝐹1, 𝐹3) (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅13𝑛+3 13𝑛+1) (̅̅𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑇̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅13𝑛+3 13𝑛+1, 𝑇13𝑛+3) (𝐹3, 𝐹1, 𝐹3) 29 4. SONUÇ Fibonacci ve Tribonacci sayılarının ayrı ayrı çok zengin bir literatürü olmasına rağmen her iki dizi bir arada pek çalışılmamıştır. Gerekli literatür taraması yapıp elde ettiğimiz veriler bu çalışmamızda derlenmiştir. Bu çalışmamızda amacımıza ulaşabilmek için öncelikle okuyucuya konu ile ilgili bilgi ve fikir sahibi olabileceği veriler paylaşılmıştır. Fibonacci ve Tribonacci sayılarının başlangıç koşuluyla birlikte tanımlanarak karakteristik denklemleri, binet formülleri, altın ve gümüş oran ifadeleri elde edildi. Daha sonra Fibonacci ve Tribonacci sayıları arasında kurulan ilişkiler ve özdeşlikler derlenerek gösterildi. Ayrıca son olarak kendi çalışmam olan ve konferansta sunmuş olduğum Tribonacci ve Fibonacci kodlanması ile ilgili bir kısım bilgi paylaşıldı. Bu çalışmanın ilham konusu aslında sonlu cisimler üzerinde oluşturulmuş vektör uzaylarının kodlanması üzerinedir. Bende bu yapıyı daha özel bir alanda oluşturduğum ve adını Tribonacci vektörleri koymuş olduğum vektör uzayında çalışma yaptım. Bu çalışma üzerinde hala devam etmekteyim. Sonuç olarak birçok kaynak bir araya getirildi ve ana konu hakkında daha rahat anlaşılabilecek düzeyde bir kaynak oluşturulmaya çalışılmıştır. 30 KAYNAKÇA Frontczak, R. (2018). Convolutions for Generalized Tribonacci Numbers and Related Results. International Journal of Mathematical Analysis, Vol. 12(7); 307 - 324. Brother U., A. (1963). Exploring Fibonacci Numbers. The Fibonacci Quarterly, 1(1):57-63. F., L. (1999). Products Of Factorials In Binary Recurrence Sequences. Rocky Mountain J. Math., (29): 1387-1411. F., L. (2000). Fibonacci And Lucas Numbers With Only One Distinct Digit. Port. Math., (57): 243-254. F., L., & D., M. (2010). Perfect Powers In The Summatory Function Of The Power Tower. J.Théor., Nombres Bordx., (22): 703-718. Feinberg, M. (1963). Fibonacci-Tribonacci. The Fibonacci Quarterly, 1(3):70- 74. Hill, R. (1986). A First Course in Coding Theory. K., A., & V. E., H. (1997). On Tribonacci Numbers And Related Functions. The Fibonacci Quarterly, (15.1) : 42-45. Koshy, T. (2001). T. Koshy içinde, Fibonacci and Lucas Number with Applications (s. 79). New York: John Wiley & Sons. Koshy, T. (2001). T. Koshy içinde, Fibonacci and Lucas Number with Applications (s. 145). New York: John Wiley & Sons. Kuhapatanakul, K. (2012). Some Connections Between a Generalized Tribonacci Triangle and a Generalized Fibonacci Sequence. Fibonacci Quarterly, (50.1):44-50. LING, S., & CHAOPING, X. (2004). Coding Theory A First Course. Cambridge Universty . M., M. (1978). Intersection Des Images De Certaines Suites Récurrentes Linéaires. Theor. Comput. Sci., (7): 117–121. Marques, D. (2011). ON THE INTERSECTION OF TWO DISTINCT k- GENERALIZED FIBONACCI SEQUENCES. Mathematica Bohemica, 137; 403-413. 31 Mező, . (2009). Several Generating Functions for Second-Order Recurrence Sequences. Journal of Integer Sequences, Vol. 12, Article 09.3.7. P., E., & J.L., S. (1975). The Product Of Consecutive Integers Is Never A Power. Illinois J. Math., (19): 292-301. Roman, S. (1996). Introduction to Coding and Information Theory. Sloane, N. (tarih yok). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 05 15, 2022 tarihinde OEIS: https://oeis.org/ adresinden alındı Spickerman, W. (1982). BINET'S FORMULA FOR THE TRIBONACCI SEQUENCE. The Fibonacci Quarterly, 20(2): 118-120. T.D., N., & J.V., P. (2005). Primes In Fibonacci n-Step And Lucas n-Step Sequences. J. Integer Seq., 8. Trojovský, P. (2020). On Repdigits as Sums of Fibonacci and Tribonacci Number . MDPI, 1-7. Y., B., M., M., & S., S. (2006). Classical And Modular Approaches To Exponential Diophantine Equations I: Fibonacci and Lucas Perfect Powers. Ann. Math. , (163): 969-1018. 32 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Recep TUTUCU Doğum Yeri ve Tarihi : Sakarya, 28/10/1997 Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Hendek Anadolu Lisesi, 2011-2015 Lisans : Trakya Üniversitesi, 2016-2020 Yüksek Lisans : Uludağ Üniversitesi, 2020-2023 İletişim : recepptutucuu@gmail.com 33