HARMONİK KESTİRİMİNDE YENİ HİBRİT YAKLAŞIMLAR Nedim Aktan YALÇIN T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK KESTİRİMİNDE YENİ HİBRİT YAKLAŞIMLAR Nedim Aktan YALÇIN 0000-0002-0049-7841 Prof. Dr. Fahri VATANSEVER (Danışman) DOKTORA TEZİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2021 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi HARMONİK KESTİRİMİNDE YENİ HİBRİT YAKLAŞIMLAR Nedim Aktan YALÇIN Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fahri VATANSEVER İşaret parametrelerinin kestirimi, birçok alanda ve uygulamada önemli yer tutmaktadır. Güç sistemlerinde meydana gelen harmonik ve ara-harmoniklerin kestirimi, güç kalitesinin takibi ve iyileştirilmesi açısından da büyük önem arz etmektedir. Ancak, Fourier dönüşümü gibi geleneksel yöntemler, işaretin ana frekansının tam sayı katlarını ortaya çıkarabildikleri için harmonik kestiriminde başarılı olmalarına rağmen, ara- harmonik kestiriminde bazen yetersiz kalmaktadırlar. Bu dezavantajlarından dolayı, ara- harmoniklerin tespiti amacıyla alternatif yöntemler geliştirilmiş ve başka alanda geliştirilen yöntemler uyarlanmıştır. Bu tez çalışmasında, parametrik yöntemlerden Prony ve alt uzay analiz yöntemlerinden MUSIC algoritmalarının ayrık Haar dönüşümü ile gerçeklenmesi hususunda yeni yaklaşımlar önerilmektedir. Prony ve ayrık Haar dönüşümü ile türetilen ve hibrit bir yöntem olan önerilen metot, Prony yönteminin uygulanmasında kullanılan matrislerin eleman sayılarını azalttığı gibi, frekansları bulmakta kullanılan polinomun derecesini de düşürebilmektedir. Matris eleman sayısının azlığı hızlı yakınsamayı garanti ederken, diğer yandan polinom derecesinin düşüklüğü, ilgili polinomun köklerinin gürültüden daha az etkilenmesini sağlamaktadır. Ayrık Haar katsayılarının kullanılmasıyla Prony yöntemi, işaretin genlik, faz ve frekans bilgisini düşük bir bağıl hata oranıyla tespit edebilmektedir. Öte yandan, önerilen birinci yöntemin sonuçları kullanılarak MUSIC algoritmasının da ayrık Haar dönüşüm katsayıları ile gerçeklenebileceği gösterilmektedir. Ayrıca bu algoritmada, frekans ve gürültünün korelasyonunu inceleyen frekans vektörünün eleman sayısının azaltılması da hızlı bir yakınsama ortaya koymaktadır. Benzer şekilde, MUSIC algoritması da daha düşük hata oranıyla işaret frekanslarını bulabilmektedir. İşaret parametrelerinin tahmini için türetilen yöntemlerin, ayrık Haar dönüşümü katsayılarının hem ortalama hem de fark katsayıları ile başarılı sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Frekans kestirimi, parametre kestirimi, Prony yöntemi, MUSIC algoritması, ayrık Haar dönüşümü 2021, xv + 228 sayfa. i ABSTRACT PhD Thesis NEW HYBRID APPROACHES IN HARMONIC ESTIMATION Nedim Aktan YALÇIN Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electronics Engineering Supervisor: Prof. Dr. Fahri VATANSEVER Estimation of signal parameters has an important place in many fields and applications. The estimation of harmonics and inter-harmonics occurring in power systems is also of great importance in terms of monitoring and improving power quality. However, although traditional methods such as the Fourier transform are successful in harmonic estimation because they can reveal integer multiples of the fundamental frequency of the signal, they are insufficient in inter-harmonic estimation. Due to this shortcoming, alternative methods have been developed for the detection of inter-harmonics and methods created in other fields have been adapted. In this thesis, new methods are introduced for the implementation of Prony algorithm which belongs to parametric methods and MUSIC algorithm which is one of the subspace analysis methods with discrete Haar transform. The proposed method, which is a hybrid method derived from the Prony and discrete Haar transform, reduces the number of elements of the matrices used in the application of the Prony method, as well as lowering the degree of the polynomial used to find the frequencies. The low number of matrix elements guarantees fast convergence, while the low degree of the polynomial ensures that the roots of the relevant polynomial are less affected by noise. By using discrete Haar coefficients, the Prony method is able to detect the amplitude, phase and frequency information of the signal with a low relative error rate. On the other hand, using the results of the first proposed method, it shows that the MUSIC algorithm can also be implemented with discrete Haar transform coefficients. In addition, reducing the number of elements of the frequency vector, which examines the correlation of frequency and noise, also showed a rapid convergence in this algorithm. By using the discrete Haar coefficients, the Prony method was able to detect the amplitude, phase and frequency information of the signal with a low relative error rate. Similarly, the MUSIC algorithm was able to obtain signal frequencies with a lower error rate. It is observed that the derived methods for the estimation of the signal parameters give successful results with both the approximation and difference coefficients of the discrete Haar transform. Keywords: Frequency estimation, parameter estimation, Prony method, MUSIC algorithm, Discrete Haar Transform. 2021, xv + 228 pages. ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Tez çalışmamın oluşum sürecinde, derin bilgi ve tecrübeleriyle bana rehberlik eden, tezin matematiksel temelinin güçlendirilmesinde beni yönlendiren, çalıştığım alanda yeni arayışlara yönelmem için beni cesaretlendiren, yayın etiği kurallarının ve bilimsel çalışma disiplininin önemini aşılayan danışman hocam Sayın Prof. Dr. Fahri Vatansever’e teşekkürü bir borç bilirim. Parametre Kestirimi konusunun temellerini öğrendiğim değerli hocam Sayın Prof. Dr. Erdoğan Dilaveroğlu’na teşekkürlerimi sunarım. Tezimin gelişimine katkı sağlayan ve önerileri ile tezimi zenginleştiren değerli hocam Sayın Doç. Dr. Murat Uyar’a teşekkürlerimi sunarım. Tez çalışmamda yardımlarından dolayı Sayın Y. Müh. Meltem Kulu Süpürtülü’ye teşekkür ederim. Son olarak, tez çalışmam boyunca desteğini hep hissettiğim, varlığıyla hayatıma anlam katan değerli eşim Meltem Yalçın’a, yaşamım boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan annem ve babama teşekkürlerimi sunarım. Nedim Aktan Yalçın 01/08/2021 iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ................................................................................................ iii İÇİNDEKİLER ............................................................................................................... iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ................................................................... vi ŞEKİLLER DİZİNİ ....................................................................................................... viii ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................. xiii 1. GİRİŞ ............................................................................................................................ 1 1.1. Parametrik Olmayan Yöntemler .............................................................................. 24 1.2. Parametrik Yöntemler .............................................................................................. 27 1.3. Hibrit Teknikler ........................................................................................................ 31 1.4. Tezin Motivasyonu................................................................................................... 34 1.5. Tezin Amaç ve Kapsamı .......................................................................................... 36 1.6. Tezin Katkıları ......................................................................................................... 37 2. KURAMSAL TEMELLER VE KAYNAK ARAŞTIRMASI .................................... 38 2.1. Ara-harmonikler ve Ölçüm Zorlukları ..................................................................... 38 2.2. Ara-harmonik Kaynakları ........................................................................................ 41 2.2.1. Değişken yüklü elektriksel aygıtlar ....................................................................... 41 2.2.2. Çift katlı dönüşüm sistemleri ................................................................................ 42 2.2.3. Çevrim çeviriciler.................................................................................................. 45 2.2.4. Zamanla değişen yükler ........................................................................................ 47 2.2.5. Rüzgâr türbinleri ................................................................................................... 49 2.2.6. Güneş pili hücreleri ............................................................................................... 49 2.2.7. Diğer kaynaklar ..................................................................................................... 51 2.3. Ara-harmonik Etkileri .............................................................................................. 52 2.4. Ara-harmoniklerin Modellenmesi ............................................................................ 54 2.4.1. DFT yöntemi ......................................................................................................... 54 2.4.2. IEC gruplama yöntemi .......................................................................................... 56 2.5. Frekans Kestirim Yöntemleri ................................................................................... 58 2.5.1. Fourier analizi ....................................................................................................... 59 2.5.2. Prony analizi.......................................................................................................... 61 2.5.3. Maksimum olabilirlik yöntemi .............................................................................. 64 2.5.4. En küçük kareler yöntemi ..................................................................................... 66 2.5.5. ADALINE yöntemi ............................................................................................... 69 2.5.6. Öz-değer ayrıştırma yöntemleri ............................................................................ 74 2.5.7. MUSIC ve Pisarenko harmonik ayrıştırması ........................................................ 79 2.5.8. ESPRIT ve Matrix Pencil algoritması ................................................................... 80 3. MATERYAL VE YÖNTEM ...................................................................................... 87 3.1. Önerilen Yöntemler için Öncül Metotlar ................................................................. 87 3.1.1. Ayrık Haar dönüşümü ........................................................................................... 87 3.1.2. Prony yöntemi ....................................................................................................... 88 3.2. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritması .............................................................. 89 3.2.1. Frekans kestirimi ................................................................................................... 90 3.2.2. Genlik ve faz kestirimi .......................................................................................... 95 iv 3.2.3. Önerilen AHD tabanlı Prony algoritması için karmaşıklık analizi ....................... 98 3.3. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritmasının Genelleştirilmesi ............................. 99 3.3.1. Frekans kestirimi ................................................................................................. 100 3.3.2. Genlik ve faz kestirimi ........................................................................................ 103 3.4. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritması İçin Gürültü Analizi ........................... 104 3.5. Önerilen Yöntemin Frekans Kestirimi Açısından Sonuçları ve Diğer Yöntemler 108 3.6. Frekans spektrumu dağılımının MUSIC ve ESPRIT yöntemlerine uyarlanması .. 111 4. BULGULAR ............................................................................................................. 117 4.1. Güneş Paneli Sistemi Harmonik/Ara-harmonik Modeli ........................................ 117 4.2. P&O MPPT ile sürülen PV sistem modeline dayalı üretilen güç işaretleri ........... 119 4.3. Prony Yöntemi ve Önerilen AHD Tabanlı Prony Yöntemi ile Analizler .............. 133 4.4. MUSIC Yöntemi ve Önerilen AHD Tabanlı MUSIC Yöntemi ............................. 186 5. SONUÇLAR VE TARTIŞMA ................................................................................. 199 KAYNAKLAR ............................................................................................................. 204 ÖZGEÇMİŞ .............................................................. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. v SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝑖 Akım 𝑖𝑔 Şebeke Akımı 𝑣 Gerilim 𝑓0 Temel Frekans 𝑓𝑛 İşaretin 𝑛. Harmoniğinin Frekans Bileşeni 𝜔 Açısal Frekans 𝑇 Temel Periyot 𝐴0 İşaretin DA Bileşeni 𝐴𝑛 İşaretin 𝑛. Harmoniğinin Genlik Bileşeni 𝜃𝑛 İşaretin 𝑛. Harmoniğinin Faz Açı Bileşeni ℂ𝑚𝑆 Sinyal Alt Uzayı ℂ𝑚𝑁 Gürültü Alt Uzayı 𝒗 Öz Vektör 𝜆 Öz Değer 1/?̂?𝑚(𝜔) MUSIC Spektrumu 𝜖𝑡 Beyaz Gauss Gürültüsü 𝜎2 Varyans 𝜇 Ortalama Değer 𝑟𝑦(𝑢) Y sinyalinin AFC’si Kısaltmalar Açıklama AA Alternatif Akım ADALINE Adaptif Lineer Nöron ADD Ayrık Dalgacık Dönüşümü ADPD Ayrık Dalgacık Paket Dönüşümü AFD Ayrık Fourier Dönüşümü AHD Ayrık Haar Dönüşümü BBA Bakteriyel Besin Arama Optimizasyonu CZD Chirp-Z Dönüşümü DA Doğru Akım DGM Darbe Genişlik Modülasyonu DPD Dalgacık Paket Dönüşümü ESPRIT Rotasyonel Değişmezlik Tekniğiyle İşaret Parametrelerinin Kestirimi EKMDY En Küçük Mutlak Değer Yöntemi EKY En Küçük Kareler Yöntemi EVD Öz-değer Ayrıştırması FIR Sonlu Darbe Yanıtı GA Genetik Algoritma GKF Genişletilmiş Kalman Filtre vi GSO Ateş Böceği Sürü Optimizasyonu HFD Hızlı Fourier Dönüşümü HHD Hilbert-Huang Dönüşümü KDFD Kısa Dönem Fourier Dönüşümü KF Kalman Filtre MLE Maksimum Olabilirlik Kestiricisi MUSIC Çoklu İşaret Sınıflandırma PHA Pisarenko Harmonik Ayrıştırması PLL Faz Kilitleme Döngüsü PSO Parçacık Sürü Optimizasyonu PV Fotovoltaik P&O MPPT Tedirget-Gözlemle Azami Güç Noktası İzleyicisi RFCA Recursive Cyclotomic Factorization Algorithm RMS Etkin Değer SDD Sürekli Dalgacık Dönüşümü TDA Tekil Değer Ayrıştırması WGN Beyaz Gauss Gürültüsü YSA Yapay Sinir Ağı vii ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1. Motor fazlarındaki akım ve gerilimlerin spektral analizi (a) tüm akım spektrumu, (b) ana frekans kaldırıldığında elde edilen akım spektrumu (c) tüm gerilim spektrumu, (d) ana frekans kaldırıldığında elde edilen gerilim spektrumu((Hanzelka ve Bien 2004a)’den değiştirilerek alınmıştır). ..................................................................... 42 Şekil 2.2. İnvertör sistemleri çıkışlarındaki ara-harmonikler (a) CSI (b) VSI ((Testa ve diğerleri, 2007)‘den değiştirilerek alınmıştır.) ................................................................ 44 Şekil 2.3. PV sistemler için evirici çıkışındaki ana frekans ve harmoniklerin dağılımı ((Sangwongwanich ve diğerleri, 2018)‘den değiştirilerek alınmıştır.) ........................... 45 Şekil 2.4. Çevrim çevirici yapısı ((Ozpineci ve Tolbert)‘den değiştirilerek alınmıştır) . 45 Şekil 2.5. Çevrim çevirici çıkış frekans dağılımı ((IEEE Interharmonic Task Force, 1995)‘den değiştirilerek alınmıştır) ................................................................................ 46 Şekil 2.6. Lazer yazıcının çektiği akım (a) zaman boyutu (b) frekans boyutu (Testa ve diğerleri, 2007)‘den değiştirilerek alınmıştır.) ................................................................ 48 Şekil 2.7. Üç farklı rüzgâr türbininden sekiz ila on üç gün aralığındaki akım ortalama değerleri ((Yang ve diğerleri, 2014)‘den değiştirilerek alınmıştır) ................................. 50 Şekil 2.8. MPPT algoritması ile ve yüzde on güç ile çalışan PV sistemin şebekeye yaydığı ara-harmonikler (a) Adım gerilimi 6 𝑉 (b) Adım gerilimi 12 𝑉 (c) Adım gerilimi 18 𝑉 (d) MPPT frekansı 2 𝐻𝑧 (e) MPPT frekansı 5 𝐻𝑧 (f) MPPT frekansı 10 𝐻𝑧 ((Sangwongwanich ve diğerleri, 2018)’den değiştirilerek alınmıştır) ............................ 51 Şekil 2.9. 50 Hz’lik güç sistemi için gerilimin etkin değerinin %0.2 oranında bozulması ((Gunther, 2001)‘den değiştirilerek alınmıştır.) .............................................................. 53 Şekil 2.10. Harmonik grup, alt grup ve ara-harmonik grup kavramları (Lin, 2014)‘den değiştirilerek alınmıştır) .................................................................................................. 58 Şekil 2.11. ADALINE frekans kestirim şeması (G.W. Chang ve diğerleri, 2009)’dan değiştirilerek alınmıştır. .................................................................................................. 70 Şekil 2.12. ADALINE genlik ve faz kestirim şeması (G.W. Chang ve diğerleri, 2009)’dan değiştirilerek alınmıştır. .................................................................................................. 71 Şekil 3.1. Önerilen yöntem ve Prony yöntemi arasındaki frekans eşleşmeleri. ............ 111 Şekil 3.2. AHD’nin MUSIC algoritmasına uygulanması sonucunda elde edilen frekans bileşenleri ...................................................................................................................... 114 Şekil 3.3. AHD’nin MUSIC algoritmasına uygulanması ve spektrumun 1/26 kat daraltılması sonucunda elde edilen frekans bileşenleri ................................................. 115 Şekil 3.4. İşaret değerleri ile MUSIC algoritmasının uygulanması .............................. 116 Şekil 4.1. Çizelge 4.1 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) ................................................................................ 120 Şekil 4.2. Çizelge 4.1 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) ................................................................................ 120 Şekil 4.3. Çizelge 4.2 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) ................................................................................ 121 Şekil 4.4. Çizelge 4.2 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) ................................................................................ 122 Şekil 4.5. Çizelge 4.3 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) .............................................................................. 123 viii Şekil 4.6. Çizelge 4.3 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) .............................................................................. 123 Şekil 4.7. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) .............................................................................. 124 Şekil 4.8 Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) .............................................................................. 125 Şekil 4.9. Çizelge 4.5 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) ................................................................................ 126 Şekil 4.10. Çizelge 4.5 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) ................................................................................ 126 Şekil 4.11. Çizelge 4.6 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) ................................................................................ 127 Şekil 4.12. Çizelge 4.6 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) ................................................................................ 128 Şekil 4.13. Çizelge 4.7 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) .............................................................................. 129 Şekil 4.14. Çizelge 4.7 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) .............................................................................. 129 Şekil 4.15. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) .............................................................................. 130 Şekil 4.16. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) .............................................................................. 131 Şekil 4.17. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) ................................................ 131 Şekil 4.18. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) ................................................ 132 Şekil 4.19. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) ................................................ 132 Şekil 4.20. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) ................................................ 133 Şekil 4.21. Çizelge 4.10’un genlik değerleri için sırasıyla Prony, AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem ve AHD farklarıyla ile önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi (b) Önerilen yöntemin AHD ortalamaları ile hata analizi (c) Önerilen yöntemin AHD farkları ile hata analizi ................................................................................................... 136 Şekil 4.22. Çizelge 4.10’un frekans değerleri için sırasıyla Prony, AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem ve AHD farklarıyla ile önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi (b) Önerilen yöntemin AHD ortalamaları ile hata analizi (c) Önerilen yöntemin AHD farkları ile hata analizi ................................................................................................... 137 Şekil 4.23. Çizelge 4.12’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 138 Şekil 4.24. Çizelge 4.12’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 139 Şekil 4.25. Çizelge 4.14’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 141 Şekil 4.26. Çizelge 4.14’ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 141 Şekil 4.27. Çizelge 4.16’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 143 ix Şekil 4.28. Çizelge 4.16’nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 144 Şekil 4.29. Çizelge 4.18’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 146 Şekil 4.30. Çizelge 4.18’in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 146 Şekil 4.31. Çizelge 4.20’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 148 Şekil 4.32. Çizelge 4.20’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 149 Şekil 4.33. Çizelge 4.22’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 151 Şekil 4.34. Çizelge 4.22’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 151 Şekil 4.35. Çizelge 4.24’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 153 Şekil 4.36. Çizelge 4.24’ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 154 Şekil 4.37. Çizelge 4.26’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 156 Şekil 4.38. Çizelge 4.26’nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 156 Şekil 4.39. Çizelge 4.28’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 158 Şekil 4.40. Çizelge 4.28‘in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 159 Şekil 4.41. Çizelge 4.30’un genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 160 Şekil 4.42. Çizelge 4.30‘un frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 161 Şekil 4.43. Çizelge 4.32’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 163 Şekil 4.44. Çizelge 4.32‘nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 163 Şekil 4.45. Çizelge 4.34’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 165 Şekil 4.46. Çizelge 4.34‘ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 166 Şekil 4.47. Çizelge 4.36’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 167 Şekil 4.48. Çizelge 4.36‘nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 168 Şekil 4.49. Çizelge 4.38’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 170 Şekil 4.50. Çizelge 4.38‘in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 170 Şekil 4.51. Çizelge 4.40’ın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 172 x Şekil 4.52. Çizelge 4.40‘ın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 173 Şekil 4.53. Çizelge 4.42’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 175 Şekil 4.54. Çizelge 4.42‘nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 175 Şekil 4.55. Çizelge 4.44’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 177 Şekil 4.56. Çizelge 4.44‘ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 178 Şekil 4.57. Çizelge 4.46’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 180 Şekil 4.58. Çizelge 4.46‘nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi ................................. 181 Şekil 4.59. Çizelge 4.48’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 183 Şekil 4.60. Çizelge 4.48‘in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi .......................................................... 183 Şekil 4.61. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.1 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 187 Şekil 4.62. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.1 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 187 Şekil 4.63. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.2 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 188 Şekil 4.64. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.2 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 188 Şekil 4.65. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.3 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 189 Şekil 4.66. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.3 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 189 Şekil 4.67 Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 190 Şekil 4.68. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 190 Şekil 4.69. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.5 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 191 Şekil 4.70. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.5 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 191 xi Şekil 4.71. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.6 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 192 Şekil 4.72. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.6 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 192 Şekil 4.73. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.7 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 193 Şekil 4.74. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.7 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 193 Şekil 4.75. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar............................................................................. 194 Şekil 4.76. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. ....................................................... 194 Şekil 4.77. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. .................................. 195 Şekil 4.78. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. .................................. 195 Şekil 4.79. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. .................................. 196 Şekil 4.80. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. .................................. 196 xii ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 4.1. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 ............................................................................................................................... 119 Çizelge 4.2. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 ............................................................................................................................... 121 Çizelge 4.3. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 ............................................................................................................................... 122 Çizelge 4.4. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 ............................................................................................................................... 124 Çizelge 4.5. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 ............................................................................................................................... 125 Çizelge 4.6. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 ............................................................................................................................... 127 Çizelge 4.7. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 ............................................................................................................................... 128 Çizelge 4.8. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 ............................................................................................................................... 130 Çizelge 4.9. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.1’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ................ 135 Çizelge 4.10. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.1’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 136 Çizelge 4.11. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.1’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ............ 137 Çizelge 4.12. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.1’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 138 Çizelge 4.13. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.2’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* .............. 139 Çizelge 4.14. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.2‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* 140 Çizelge 4.15. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.2’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* .......... 142 Çizelge 4.16. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.2‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* ....................................................................................................................................... 142 Çizelge 4.17. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.3’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ................ 144 Çizelge 4.18. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.3‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 145 Çizelge 4.19. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.3’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ............ 147 Çizelge 4.20. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.3‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 147 xiii Çizelge 4.21. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)** ............ 149 Çizelge 4.22. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 150 Çizelge 4.23. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ............ 152 Çizelge 4.24. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 152 Çizelge 4.25. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.5’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ................ 154 Çizelge 4.26. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.5‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 155 Çizelge 4.27. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.5’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 𝑖le örneklenmesi durumunda)*** ...... 157 Çizelge 4.28. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.5‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 157 Çizelge 4.29. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.6’daki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)**** ........ 159 Çizelge 4.30. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.6‘daki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 160 Çizelge 4.31. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.6’daki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)***** .. 161 Çizelge 4.32. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.6‘daki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 162 Çizelge 4.33. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.7’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ................ 164 Çizelge 4.34. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.7 ‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) . 164 Çizelge 4.35. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.7’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)****** 166 Çizelge 4.36. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.7 ‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 167 Çizelge 4.37. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ................ 168 Çizelge 4.38. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) .. 169 Çizelge 4.39. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ............ 171 Çizelge 4.40. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) ....................................................................................................................................... 171 Çizelge 4.41. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) ................................................................................................................... 173 xiv Çizelge 4.42. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 durumunda) ........................................................................................................ 174 Çizelge 4.43. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve SNR=20 dB olması durumunda) ................................................................................................................... 176 Çizelge 4.44. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 durumunda) ........................................................................................................ 176 Çizelge 4.45. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) ................................................................................................................... 178 Çizelge 4.46. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 durumunda) ........................................................................................................ 179 Çizelge 4.47. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olması durumunda) ................................................................................................................... 181 Çizelge 4.48. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 durumunda) ........................................................................................................ 182 Çizelge 4.49. Prony ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemlerinin hesaplama süreleri ....................................................................................................................................... 184 Çizelge 4.50. Farklı SNR değerleri için Çizelge 4.4’deki veriler kullanılarak elde edilen frekansların bağıl hata oranları (%)............................................................................... 197 Çizelge 4.51. Farklı SNR değerleri için Çizelge 4.8’deki veriler kullanılarak elde edilen frekansların bağıl hata oranları (%)............................................................................... 197 Çizelge 4.52. MUSIC ve AHD tabanlı MUSIC algoritmaları için hesaplama süreleri.198 xv 1. GİRİŞ Günümüze değin birçok düşünür, doğanın işleyişi hakkında derin bir merak ve bilme arzusu içerisinde fikirler ortaya koymuştur. Bunlardan en etkileyicilerinden birisi, “Matematik Tanrı’nın evreni yazdığı dildir” sözlerinin sahibi Galileo Galilei’nin ortaya attığı bakış açısıdır. Buradan hareketle, doğanın matematiksel olarak açıklanması amacıyla fizik, kimya ve biyoloji alanlarında kuramlar ve bunları destekleyen matematiksel modeller ileri sürülmüştür. Doğayı anlamak için kullanabilecek önemli bir model, onun içerisindeki varlıkların işaret olarak ifade edilmesine dayanır. Bu işaretler, ses işareti olarak yorumlanabilecek bir kuş cıvıltısında olduğu gibi sürekli veya bir ağacın yapraklarından toprağa damlayarak aralıklı bir şekilde ses çıkaran su taneciği gibi kesikli formlarda bulunabilir. İşaretler şekil olarak ele alındığında, sıfır ivme ile hareket halinde olan bir cismin hız vektörünün zamanla değişmezliği, sabit bir fonksiyon veya işaret olarak matematiksel biçimde ifade edilmesini gerektirir. Aynı cismin kat ettiği yol matematiksel olarak incelendiğinde, bir rampa fonksiyonu veya işareti ile karşılaşılacaktır. Şayet sürtünme ve diğer kayıpların ihmal edildiği bir ortamda salınım yapan bir sarkacın hız zaman grafiği çizilmek istendiğinde, hızın zamana göre düzenli tekrarlar oluşturduğu görülmektedir. Düzenli biçimde meydana gelen bu tekrarlar, işaretin periyodunu ifade eder. Periyodun çarpmaya göre tersi ise işaretin frekansını belirtecektir. En basit haliyle işaretlerin, sürekli veya kesikli formda olacağı; sabit, rampa veya farklı biçimlerde gözlemlenebileceği; bir periyoda sahip olabileceği (kendini tekrar etmeyen işaretlerin sonsuz periyotta olduğu varsayılabilir) söylenebilir. Bunlara ek olarak, işaretin zaman boyutunda aldığı değerler genlik olarak ve aynı periyoda sahip iki işaretin birbirleri arasındaki gecikme faz farkı olarak isimlendirilir. Doğayı modellemek adına mühendislik alanında önemli çalışmalardan birisi Fourier seri yaklaşımıdır. Bu yaklaşım, metal bir yüzeyde ısı denklemini çözmek amacıyla Jean- Baptiste Joseph Fourier tarafından ortaya atılmıştır. Isı denkleminin genel çözümünün elde edilmesini amaçlayan bu yaklaşıma göre, ısı kaynağının formu ne olursa olsun basit sinüzoidal toplamlar olarak ifade edilebilirliği varsayımına dayanmaktadır. Bu varsayımın bütün işaretler için geçerli olamayacağı, ilgilenilen işaretin bazı matematiksel sınırlamalar dâhilinde Fourier serilerine ayrıştırılabileceği, Fourier’in ortaya attığı çözüm 1 üzerinde çalışmalarda bulunan matematikçiler (Peter Gustav, Lejeune Dirichlet ve Bernhard Riemann) tarafından ortaya konulsa da, Fourier’in 1807 yılında önerdiği bu yaklaşım bilim dünyasına çok önemli bir katkı sağlamıştır. Fourier’in ortaya attığı yaklaşım, elektrik sistemlerinin modellenmesinde de sıklıkla kullanılan bir yaklaşımdır. Elektriksel gücün verimli bir şekilde aktarılması, daha düşük iletim kayıplarına sahip olmasından dolayı yüksek gerilim ile taşınmasını gerektirir. Bu gücün en ideal formu sinüzoidal işaretlerdir. Çünkü alternatif akım jeneratörleri, içyapıları gereği ideal durumda sinüzoidal işaretler üretir ve değişken işaretler değişken manyetik alanlar oluşturacağı için transformatör gibi elemanlar tarafından ideal durumda güç sabit kalmak şartıyla gerilim değerlerinin yükseltilip düşürülmesine imkân sağlar. Bu da verimli bir şekilde gücün iletilmesini olanak tanır. İdeal durumda saf bir sinüs dalgası üretmesi gereken alternatif akım jeneratörleri ve bu işaretleri sinüzoidal bir biçimde dönüştürmesi beklenen transformatörler, bu tezin Kuramsal Temeller ve Kaynak Araştırması bölümünde ayrıntılı olarak açıklanan sebeplerden dolayı bozuk dalga formlarına sahip olabilirler. Bu dalga formları, şebekelerde istenmeyen durumlara sebebiyet vermektedir ve analiz edilmesi gerekir. Fourier’in yaklaşımı sayesinde güç işaretleri, sinüzoidal toplamlar olarak ifade edilebilir ve dolayısıyla farklı frekans bileşenlerine ayrıştırılabilir. Bu bileşenler güç sistemi alanında harmonikler olarak isimlendirilir ve temel harmoniğin sistemde bulunması, diğer harmoniklerin ise sistem dışına itilmesi amaçlanır. Bu bağlamda güç sistemlerinde genlik, frekans ve faz tanımlamaları önemlidir. Güç sistemlerinde genlik sinüzoidal işaretin zaman boyutunda aldığı değerleri, faz en az iki işaret arasında meydana gelen gecikmeyi ve frekans ise bir işaretin bir periyot boyunca sahip olduğu süre değerinin çarpmaya göre tersi olarak tanımlanır. Bu tanımlamaların ardından, güç sistemlerinde harmonik probleminin incelenmesi, konunun derinlemesine araştırılması için önem arz etmektedir. Güç sistemlerinde harmonik problemi, alternatif akım (AA) sistemleri kadar eskidir ve bu problemin sebepleri ile etkileri XX. yüzyılın başlarında yoğun olarak çalışılmıştır (Bedell ve Mayer, 1915; Bedell ve Tuttle, 1906a; Frank, 1910; Heartz ve Saunders, 1954). Bedell ve Tuttle (1906b), tarafından yapılan çalışmada, sinüzoidal bir elektromotor kuvvetin, devre içerisindeki endüktans ve dirence bağlı olarak, belirli bir faz açısıyla yine aynı şekilde sinüzoidal bir akım oluşturacağı belirtilmiştir. Ancak ilgili çalışmada, 2 devrede demir nüve içeren transformatör mevcutsa, demirin histerezis özelliğine bağlı olarak devre içerisinde harmoniklerin bulunacağı ve aynı zamanda, simetrik histerezis denkleminin kullanılmasıyla bu harmoniklerin ana frekansın sadece tek katlarında görüleceği gösterilmiştir. Bu çalışmada, bozulan dalga şeklinin, ekseriyetle ana frekansın üçüncü katındaki harmonik tarafından belli bir faz açısıyla bozulduğu sonucuna, Fourier serileri temel alınarak ulaşılmıştır. Frank (1910) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, Bedell ve Tuttle (1906b)’in çalışmasına atıf yapılarak osiloskop/osilograf ile 25kW’dan 2100 kW’a kadar çeşitli transformatör hatlarındaki harmonik akım ve gerilim dalga şekilleri sunulmuştur1. İncelenen hatlardaki transformatörlerin üzerindeki dalga şekillerinin üçüncü harmonik bozulmadan nasıl etkilendiğine dair veriler değerlendirilmiştir. Bedell ve Mayer (1915) tarafından yapılan çalışmada, alternatif akımın bir periyodu süresince, devreye bağlı bir direncin sıcaklık katsayısının değişmesi sonucunda meydana gelen direnç değerinin değişiminin, şebekede üçüncü harmonik bozulmaya sebep olduğu matematiksel olarak ifade edilmiş, sıcaklık katsayısının pozitif veya negatif olması durumunda dalga şeklinin nasıl bozulduğu gösterilmiştir. Thornton Coe (1929) tarafından sunulan çalışmada, ticari olarak üretilen bir harmonik analizör tanıtılmıştır. Bu analizör, osiloskop ile adım adım harmoniklerin hesaplanması yerine bu işlemi otomatik olarak birkaç dakika içerisinde gerçekleştirmekte ve harmonikler arasındaki faz açılarını da kullanıcıya sunabilmektedir. Sistemin iç yapısı, gerekli tanımlamalar, matematiksel denklemler ve sistemin verdiği sonuçlar ilgili çalışmada sunulmuştur. Doggett ve Queer (1929) tarafından yine aynı yıl yapılan diğer bir çalışmada, şebekeye bağlı endüksiyon motorlarının harmoniklerden nasıl etkilendiği sorusuna yanıt aranmıştır. Bu soruya niceliksel olarak cevap veren ilk çalışma olan bu makalede, harmoniklerin tüm işaret gücünün %10 veya daha üst güce sahip olması durumunda, bütün endüksiyon motorlarının, boşta çalışma durumu hariç diğer tüm çalışma durumlarında düzensiz çalışacağı gösterilmiştir. Evans ve Muller (1939) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, şebekeye bağlı doğrultucu ve eviricilerin ürettikleri harmonik bileşenlerin hesaplanmasına yönelik matematiksel bir yöntem ileri sürülmüştür. AA devrelerinde frekansa bağlı olarak reaktans değerinin değişmesi hususu göz önüne 1 Günümüzde Transformatörlerin güçleri Volt-Amper (VA) birimi ile ifade edilir. Fakat ilgili çalışma, aktif güç ve reaktif güç tanımlamalarını literatüre kazandıran Boucherot’un (1907) çalışmasına yakın bir tarihte yayınlandığı için transformatörlerin güçleri aktif güç ile ifade edilmiştir. 3 alınarak önerilen matematiksel yöntem, deneysel çalışmalar doğrultusunda yeniden düzenlenmiştir. Heartz ve Saunders (1954) tarafından yapılan çalışmada, elektrik makinelerinin endüksiyon bobini yuvalarının şebekeye verdiği harmonik etkinin tasarım aşamasında azaltılması yönünde bir yöntem ileri sürülmüştür. Bu yöntem, Fourier serileri kullanılarak geliştirilmiştir. Bu nedenle esas harmoniğin tam sayı katlarındaki harmonikleri değerlendirmektedir. İlgili çalışma, delikli kartlar ile çalışan bilgisayar üzerinde uygulanmıştır. AA sistemlerinin erken dönemlerinin incelendiği yukarıdaki çalışmalarda, harmoniklerin nasıl oluştuğu konusu üzerinde yoğunlaşılmıştır. Bu etkilerin nasıl filtrelenebileceğinden ziyade, daha çok tasarım aşamasında bunlardan nasıl kaçınılabileceği hakkında incelemeler yapılmıştır. Bedell ve Tuttle (1906b) tarafından yapılan çalışmada, demirin histerezis özelliklerinin şekillerinin incelenmesi ve Heartz ve Saunders (1954) tarafından yapılan çalışmada ise elektrik makine tasarımı konusunun ele alınması, bu görüşü destekler niteliktedir. 1960’lardan sonra gelen çalışmalar, bilgisayarların da laboratuvar ortamlarında kullanımının yaygınlaşması sebebiyle daha çok frekans spektrumu tahmin yöntemlerinin geliştirilmesine, bu yöntemlerin bilgisayar üzerinde uygulanabilmesi hususuna odaklanmaktadır ve güç spektrumlarının bu yöntemlerle tahmin edilmesine dayalı uygulamalar içermektedir. Belirtilen hususlar göz önüne alındığında ve 1950’li yılların sonlarından itibaren transistör teknolojisinin bilgisayarları hızlı bir şekilde geliştirmesiyle spektrum analizinin Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD) ile gerçekleştirilmesi üzerinde çalışıldığı gözlemlenebilir. Bu bağlamda, AFD’nin yüksek hesaplama maliyetine sahip olmasından dolayı, bilgisayar ortamında AFD spektrumunu daha az hesaplama maliyeti ile elde edebilecek algoritmaların geliştirilmesi üzerine yoğunlaşılmıştır. Bu algoritmaların ilk örneklerinden birisi Goertzel algoritmasıdır (Goertzel, 1958). Bu algoritma tüm frekans spektrumu yerine, istenilen sayıdaki frekans bileşenini AFD’ye göre daha az karmaşıklıkla hesaplayabilmektedir. Tüm frekans spektrumunu hesaplayabilmek için Cooley ve Tukey (1965) tarafından Hızlı Fourier Dönüşümü (HFD) algoritması önerilmiştir. Temel harmoniğin tam sayı katlarını inceleyen bu dönüşüm, klasik AFD’ye göre daha az hesaplama karmaşıklığına sahiptir. Tretter ve Steiglitz (1967) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, örneklenmiş bir veriden güç spektral yoğunluğunun 4 belirlenmesini sağlayan ve bunu gerçekleştirmek için 𝑧’nin rasyonel fonksiyonlarını kullanan bir teknik ileri sürülmüştür. Sharma ve Mahalanabis (1973) tarafından yapılan çalışmada Kalman filtreleme (KF) ile harmonik analiz algoritması sunulmuştur. İlgili çalışmada KF’nin katsayılarının tahmininde, minimum varyans filtresinin yerini alabileceği belirtilmiştir. Osborne (1975) tarafından gerçekleştirilmiş çalışmada, en küçük kareler probleminde, maliyet fonksiyonunun lineer olmayan parametreler içeren fonksiyonların lineer kombinasyonları biçiminde yazılması durumunda, ayrıştırılabilir olarak tanımlanabileceği belirtilmiştir. Buradan hareketle, sadece lineer olmayan parametreler ele alınarak ayrıştırılabilir olduğu varsayılan durumun minimize (en küçükleme-minimization) problemine nasıl dönüştürülebileceği gösterilmiştir. Yazar bu dönüşümü, Prony yönteminin genelleştirilmiş bir hali olarak yorumlamakla birlikte, Prony yöntemindeki birçok hesaplama zorluğunun çözümüne ışık tuttuğunu belirtmiştir. Harris (1978) tarafından yapılan çalışmada, veri pencerelerinin geniş bant gürültüsü (broadband noise) altında ve komşu frekansta görece yüksek genlikli harmonik bileşenin bulunması durumunda farklı pencereleme yöntemlerinin AFD ile kullanılmasının özlü bir değerlendirmesi sunulmuştur. Ayrıca, HFD’nin farklı pencereleme yöntemleri ile kullanıldığında ortaya çıkan sorunlardan bahsedilmektedir. V. K. Jain ve diğerleri (1979) tarafından yapılan çalışmada, periyodik işaretlerin çoklu parametre ölçümleri için interpolasyonlu (enterpole) HFD algoritmaları türetilmiştir. Bu algoritma ile ana frekans, faz ve genlik değerleri mevcut algoritmalara göre yüksek doğrulukla saptanmıştır. Marple (1979) tarafından yine aynı yıl gerçekleştirilen diğer bir çalışmada, Pisarenko ve Prony yöntemleri karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. 1980’li yıllara gelindiğinde, HFD yönteminin frekans kestiriminde eksik olduğu noktaları ortaya koyan çalışmalar gerçekleştirilmiş ve bu eksiklerin üstesinden gelen yeni algoritmalar literatüre kazandırılmıştır. Ayrıca, bu yıllara değin spektrum analizi üzerine yapılmış makaleleri derleyen çalışmalar da ortaya çıkmaya başlamıştır. Girgis ve Ham (1980) tarafından yapılan çalışmada, HFD yönteminin doğasında var olan örtüşme, picket-fence etkisi ve spektral sızıntı konuları irdelenmiş, bu yöntemin tuzakları, yazılan bilgisayar programıyla ve çeşitli örnekler ile niceliksel olarak gösterilmiştir. Başka bir çalışma ise Hostetter (1980) tarafından gerçekleştirilmiş, özyinelemeli AFD yöntemi literatüre kazandırılmıştır. Bu yöntem, AFD’yi durum değişkeni olarak ifade edebilmekte ve sayısal hataların yüksek olduğu durumlarda da efektif bir şekilde spektrum analizi 5 yapabilmektedir. Thomson (1982) tarafından yapılan çalışmada, sonlu örnek sayısına sahip durağan zaman serilerinin spektrumunu kestiren bir yöntem geliştirilmiştir. Grandke (1983) tarafından yapılan çalışmada, Jain ve diğerleri (1979) tarafından gerçeklenmiş olan enterpole AFD algoritmasının olumsuz yönleri değerlendirilmiş ve bu olumsuzlukları aşmak için algoritma içerisine ağırlıklandırma katsayıları uygulanarak daha iyi çözüm sunan bir algoritma ortaya konmuştur. Ayrıca 1983 yılında IEEE Güç Sistem Harmonikleri Çalışma Grubu, o yıla kadar meydana gelen harmonik kaynaklarını, bunların oluşturduğu problemleri açıklayan bir rapor oluşturmuştur (Harmonics, 1983). Dahası, ileriye dönük olarak harmonik kaynağı olabilecek elektriksel sistemlerin harmonik kapasiteleri açısından analitik incelemelerini ve oluşturabilecekleri problemleri raporlarında sunmuşlardır. Enerji depolanması, kontrolü ve dönüşümü konularındaki meseleleri incelemiş, buna bağlı olarak, şebeke içerisindeki sistem ve donanımların, harmonik ölçüm tekniklerinin geliştirilmesi ve cihazlar üzerindeki harmonik etkilerin daha iyi kavranması hususunda önemli ölçüde çaba gösterilmesi gerektiğini, söz konusu raporda vurgulamışlardır. Hostetter (1983) kaynağında yazar, yine kendisine ait olan Hostetter (1980) çalışmasını geliştirerek, düzenli bir şekilde işlenmemiş işaretlerin filtrelenmesini ve bu işaretler üzerinde matematiksel işlemlerin yapılabilmesini sağlayan bir algoritma önermiştir. 1984 yılında Güç Sistemi Harmonikleri üzerine yapılmış birçok çalışmayı listeleyen literatür araştırması “Power System Harmonic Working Group” tarafından sunulmuştur (IEEE Power System Harmonics Committee, 1984). Bu literatür taraması, on yedi alt bölüme ayrılmıştır ve alt bölümlerle ilgili çalışmalar, düzenli bir sırayla araştırmacıların dikkatine sunulmuştur. Bu çalışmada Turan Gönen ve A. A. Mahmoud’un büyük katkılarının olduğu çalışma konseyi tarafından “Teşekkür” bölümünde belirtilmiştir. Martens (1984) tarafından AFD’yi, özyinelemeli olarak hesaplayan ve HFD’den daha verimli olduğu gösterilen bir algoritma sunulmuştur. Bitmead ve diğerleri (1986) tarafından, Kısa Dönem Fourier Dönüşümü (KDFD) için Kalman Filtre (KF) yaklaşımı geliştirilmiştir. Yine aynı tarihte, frekans kestiriminde yaygın olarak kullanılan yöntemlerden biri olan Çoklu İşaret Sınıflandırması (MUSIC) algoritması Schmidt (1986) tarafından literatüre kazandırılmıştır. Bu yöntem, HFD yöntemi gibi temel bir tekniktir. Bu yöntemin varyasyonları ile pek çok alt yöntem geliştirilmiştir. İlgili konuya bu çalışmanın Kuramsal Temeller bölümünde de değinilmiştir. Dash ve Sharaf (1988) tarafından yapılan çalışmada, KF ile güç 6 spektrumunu saptayan bir yöntem önerilmiştir. Roy ve Kailath (1989) tarafından yapılan çalışmada, işaret kestiriminde temel yöntemlerden biri olan ESPRIT algoritması literatüre kazandırılmıştır. Bu konu tezin Kuramsal Temeller bölümünde incelenmiştir. Andria ve diğerleri (1989) tarafından yapılan çalışmada, HFD temeline dayalı matematiksel bir yöntem ile harmonik ve ara-harmonik frekansları, görece başarılı bir şekilde tespit edilmiş, genlik ve faz bilgileri de elde edilebilmiştir. Öne sürülen bu yöntemin, düşük hesaplama maliyetine sahip olduğu ve kolay uygulanabilir olduğu belirtilmiştir. 1990’lı yıllara gelindiğinde, HFD algoritmalarının genel bir değerlendirilmesi, Yapay Sinir Ağı (YSA) uygulamaları, KF algoritması (İlk uygulamanın 1973’te yapılmasına rağmen, 1990’dan sonra sıklıkla kullanılmaya başlanmış bir yöntem) ve Hilbert-Huang, chirp-𝑍 dönüşümü (CZD) gibi dönüşüm algoritmaları ile çalışmalar yapıldığı görülmektedir. Duhamel ve Vetterli (1990) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, hesaplama yükünü, önemli ölçüde azaltan HFD ve bu dönüşüm tabanlı algoritmalar incelenmiştir. Bu algoritmalar Split-radix HFD, Prime Factor Algorithm ve Winograd HFD yöntemleridir. Bu çalışmada ilgili yöntemler incelendikten sonra, açık problemler ve uygulamalar hakkındaki konular vurgulanmıştır (Duhamel ve Vetterli, 1990). Wang (1990) tarafından, CZD tabanlı frekans kestirim yöntemi önerilmiştir. CZD’nin HFD’ye göre, frekans spektrumunu hesaplama konusunda daha esnek yönlerinin olduğu belirtilmiş fakat matematiksel uygulamasının karmaşık olduğu ve ek hafıza alanlarına ihtiyaç duyulduğuna değinilmiştir. Buradan hareketle, segmentasyonlu CZD geliştirilmiş, ihtiyaç duyulan hafıza alanının, çok büyük veri miktarlarında bile düşük seviyede tutulması, geliştirilen yöntemle başarılmıştır (Wang, 1990). Soliman ve diğerleri (1990) tarafından yayınlanan çalışmada, lineer olmayan yükler veya kaynaklar barındıran elektrik şebekelerinin harmonik üreteceği belirtilmiştir. Bu bağlamda, temeli En Küçük Kareler Yöntemi (EKY)’ye dayanan yeni bir harmonik ölçüm tekniği geliştirilmiştir. Geliştirilen algoritmanın başarımı; veri penceresinin büyüklüğü, işaretin örnekleme frekansı gibi birçok farklı açıdan değerlendirilmiştir (Soliman ve diğerleri, 1990). 7 Girgis ve diğerleri (1991) tarafından yapılan çalışmada, güç sistemi gerilim ve akım dalga biçimindeki harmoniklerin izlenmesi için bir ölçüm şeması geliştirilmiştir. Geliştirilen ölçüm şeması, durağan olmayan işaretlere de uygulanabilmektedir. Çalışmada önerilen yöntem, geleneksel Fourier ve HFD tabanlı yöntemlerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca, KF yöntemine dayandırılarak geliştirilen bu tekniğin, gerçek test verileri üzerinde daha başarılı sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir (Girgis ve diğerleri, 1991). Mori ve Suga (1991) tarafından çalışmada, güç sistem harmoniklerinin YSA ile saptanmasını sağlayan bir yöntem önerilmiştir. Bu çalışmada, özyinelemeli sinir ağlarının etkinliği araştırılmıştır. Bu tür ağların, geleneksel ileri beslemeli YSA’lardan farklı olarak zaman serilerinin dinamiklerinin daha iyi incelenebilmesine olanak tanıdığı belirtilmiştir. Özyinelemeli YSA kurularak harmonik kestirim başarımı değerlendirilmiştir (Mori ve Suga, 1991). Mori ve diğerleri (1992) tarafından sunulan çalışmada, ileri beslemeli geri yayılım algoritmasına dayalı bir YSA modeli önerilmiştir. Önerilen yöntemin başarımını değerlendirmek için, bilgisayar temelli ölçüm sistemi yardımıyla harmonik içeren gerilim dalga şekilleri ölçülmüştür. Daha sonra, şebekedeki gerilim harmonik içerikleri, geleneksel yöntemler ve geliştirilen yöntem ile tahmin edilmiştir. Sonuçlar karşılaştırmalı bir şekilde sunulmuştur (Mori ve diğerleri, 1992). Osowski (1992) tarafından yapılan çalışmada, gerçek zamanlı olarak harmonik kestirimi yapabilen bir YSA önerilmiştir. Öne sürülen yöntemin enerji iletim kalitesini arttırdığı konusuna değinilmiş ve pratik olarak uygun bir maliyetle nasıl geliştirileceği konusu açıklanmıştır. Ferrero ve Ottoboni (1992) tarafından yapılan çalışmada, örnekleme hızı ve işaret frekansı arasında senkronizasyonun olmamasının, periyodik işaretlerin frekanslarında meydana gelen hatanın başlıca sebebi olduğu vurgulanmıştır. Bahsedilen problemin çözümü için sunulan bazı yöntemlerin mevcut olduğu ifade edilerek hesaplama maliyetlerinin yüksek ve oluşan hatanın giderilememesinden kaynaklı verimsiz oldukları vurgulanmıştır. Bu eksikliğin giderilmesi için örnekleme hızı ile işaret frekansının senkronize edilmesi gerektiği önerilmiştir. 8 Andria ve diğerleri (1992) tarafından yapılan çalışmada, endüstriyel DA-DA dönüştürücülerde harmonik analizi yapılabilmesi amacıyla Genişletilmiş Kalman Filtre (GKF) ve HFD tekniklerine dayanan iki yeni yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntemlerin harmonik kestirim başarımlarının yüksek olduğu ifade edilmiştir. GKF temeline dayalı yöntemin gerçek zamanlı olarak temel frekansı ve diğer harmonikleri kestirebildiği, başarılı bir şekilde toplam harmonik bozulmayı ölçebildiği belirtilmiştir. Schoukens ve diğerleri (1992) tarafından yapılan çalışmada, tek frekanslı bir işaret için geliştirilmiş beş farklı enterpole HFD algoritmaları kıyaslanmıştır. Karşılaştırma kriteri olarak gürültüye duyarlılık ve yakınsama hataları kullanılmıştır. Abu Al-Feilat ve diğerleri (1994) tarafından yapılan çalışmada, AFD, EKY, En Küçük Mutlak Değer Yöntemi (EKMDY) teknikleri üç fazlı konvertör devresindeki harmoniklerin tespit edilmesi amacıyla kullanılmıştır. Karşılaştırma kriteri olarak, işaret gürültü oranı (SNR), örnek sayısı, örnekleme frekansı, hesaplama zamanı ve eksik veri durumları seçilmiştir. Yapılan karşılaştırmada sırasıyla EKMD ve EKY yöntemlerinin daha başarılı olduğu ifade edilmiştir. Kim ve diğerleri (1994) tarafından yapılan çalışmada, üç fazlı doğrultucu tipindeki elektrik cihaz arayüzündeki diyotların performansının arttırılması için bir yöntem önerilmiştir. Geliştirilen yöntem, değişken yük koşullarında dahi, sinüzoidal girişlerde güç faktörünün 1’in yakın değerlerinde olmasını sağlamaktadır. Yöntem, üçüncü harmonik bozulmayı sürekli gözlemleyen ve Darbe Genişlik Modülasyonu’na (DGM)’e bağlı bir kontrol tekniğiyle, devreye yerleştirilmiş transformatör yardımıyla, üçüncü harmonikleri bastırmaktadır. Osowski (1994) tarafından yapılan çalışmada, güç sistem harmoniklerinin tespit edilmesi amacıyla istatistiksel bir yaklaşım ileri sürülmüştür. Bu yaklaşım, Tekil Değer Ayrıştırması (Singular Value Decomposition-TDA) yöntemine dayanmaktadır. TDA yöntemine bağlı olarak üç farklı alt teknik ileri sürülmüştür. Öne sürülen bu yöntemler, harmonik kestirim başarımları açısından değerlendirilmiştir. Mathew ve Reddy (1994) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, Pisarenko Harmonik Ayrıştırma (PHA) yöntemi, YSA kullanarak uygulanmıştır. Pisarenko yöntemindeki temel adımın, esas verinin oto-korelasyon matrisinin en küçük öz değerlerine karşılık 9 gelen öz vektörlerin hesaplanması olduğu belirtilmiştir. İlgili çalışmada ise bu temel işlemin YSA’ya nasıl uygulandığı açıklanmıştır. Yöntem bilgisayar ortamında test edilmiştir. Daponte ve diğerleri (1996) tarafından yapılan çalışmada, yüksek genlikli frekansların yakınındaki düşük genlikli harmonik olmayan tonların görüntülenebilirliğinin arttırılması ve yüksek frekanslardaki çok düşük genlikli harmoniklerin tespit edilebilmesi amacıyla CZD tabanlı harmonik analiz yöntemi önerilmiştir. Bu yöntemin avantajı, hesaplama maliyetini arttırmadan işaretlerin yüksek çözünürlük ile incelenebilmesini sağlamaktır. Benzetimler ile yöntemin geçerliliği çalışmada gösterilmiştir. Nagesha ve Kay (1996) tarafından yapılan çalışmada, parametrik zaman seri modeli üzerinde karmaşık spektral problemler konulu bir çalışma sunulmuştur. Bu çalışmada, parametrelerin Maksimum Olabilirlik Kestiricisi (MLE) ile tahmini göz önüne alınmıştır. Bütün tahmin probleminin esasında, çalışma içerisinde tanımlanan sıkıştırılmış olasılık fonksiyonunun sinüzoidal frekanslara göre azami değer almasının sağlanması konusundan temel aldığı gösterilmiştir. Çalışmada, bu yaklaşıma ek olarak, özyinelemeli bir yöntem öne sürülmüştür. Makale genel olarak, spektrum modelleme üzerinde durmuş, model derecesi ve modelleme hatalarına bağlı olarak spektrum tahminlerini incelemiş ve son olarak bir tahmin yöntemi önerisinde bulunmuştur. Dash diğerleri (1996) tarafından yapılan çalışmada, lineer adaptif (uyarlanabilir) nöron (ADALINE) kullanılarak güç sisteminin harmonik bileşenlerini tahmin eden bir yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntemde öğrenme parametresi gerçek değerler ve sistem çıkışı değerleri arasındaki hatayı azaltmak amacıyla ayarlanmaktadır. Kestirici, gürültü ile bozulmuş işaretin Fourier katsayılarını izlemektedir ve azalan doğru akım (DA) bileşenleri de doğru şekilde tespit edebilmektedir. Harmonik bileşenlerin adaptif olarak izlenmesi yüksek doğrulukla yapılabilmektedir. Ma ve Girgis (1996) tarafından yayınlanan makalede, harmonik kaynak belirlenmesindeki iki önemli probleme ışık tutulmuştur. Bunlardan birincisi, sınırlı sayıdaki harmonik ölçüm aletlerinin optimum (en uygun) yerlerinin belirlenmesidir. İkincisi ise, harmonik kaynaklarının optimum dinamik kestirimi ve dengesiz üç fazlı güç sistemine enjekte edilmesidir. Bu zorlukların üstesinden gelinebilmesi için KF 10 kullanılmıştır. Bu çalışmada, geliştirilen yöntemin dinamik olduğu ve dengesiz üç fazlı güç sistemindeki her bir hattaki enjeksiyonları tanımlama, analiz etme ve izleme yeteneğine sahip olduğu vurgulanmıştır. Nguyen (1997) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, AFD’nin ara-harmonikleri doğası gereği bulamadığı konusuna değinilmiştir. Bu çalışmada tasarlanan ve bozuk dalga şeklini, sinüzoidal toplamlar olarak AFD’ye dayandırmadan ifade eden, test ve öğrenmeye dayanan matematiksel bir yöntem ile ara-harmoniklerin tahmin edilmesi problemine katkı sağlanmıştır. Bettayeb ve Qidwai (1998) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, özyinelemeli tahmin teknikleri, gürültü bir ortamda güç sistemi harmoniklerinin tahmin edilmesi amacıyla kullanılmıştır. Yüksek yakınsama ve düşük hesaplama maliyetine EKY algoritmalarının birkaç çeşidi gerçek zamanlı harmonik genlik ve fazların tespit edilmesi amacıyla uygulanmıştır. Altı darbeli doğrultucu devresinin AA ucu test işaretleri için kullanılmıştır. 0 𝑑𝐵 SNR değerinde bile harmonik genlik ve fazlarının iyi bir şekilde tahmin edildiği görülmüştür. Huang ve diğerleri (1998a) tarafından yapılan çalışmada, Hilbert dönüşümü tabanlı lineer ve durağan olmayan işaretler için bir harmonik ayrıştırma yöntemi önerilmiştir. Bu yöntem, karmaşık veri kümelerini bile, sonlu ve küçük sayıda öz kip fonksiyonlarına ayrıştırabilmektedir. Geliştirilen yöntem, karmaşık veri kümelerinde anlık frekans kestirimi yapabilmektedir. Liu (1998) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, elektrikli tren yolu sistemlerindeki harmoniklerin takip edilebilmesi için Kalman filtre tabanlı bir yöntem önerilmiştir. Geleneksel KF’nin performansının, süreçteki önceki bilgilere ve pratik durumlarda bilinemeyen veya yaklaşık olarak bilinebilen ölçüm gürültüsüne bağlı olduğu, ilgili çalışmada belirtilmiştir. Bu zorlukların üstesinden gelinmesi için yazar, Adaptif KF yöntemini geliştirmiştir. Geliştirilen yöntem elektrikli demiryolu sistemlerinden elde edilen veriler ile test edilmiştir. Sedláček ve Titěra (1998) tarafından önerilen çalışmada, AFD’deki spektral sızıntıyı azaltmak için kullanılan iki farklı interpolasyon yöntemi ele alınmıştır. Yöntemlerin etkinliği, karşılaştırmalı olarak tek ton ve çok tonlu işaretler üzerinde incelenmiştir. 11 Yöntemlerin geçerlilikleri hem bilgisayar benzetimlerinde, hem de gerçek veriler üzerinde denenmiştir. Bu iki yöntemin birleştirilmesi durumunda, daha iyi sonuçların elde edilebileceğine yönelik bir öneride bulunulmuştur. Pham ve Wong (1999) tarafından önerilen çalışmada, Ayrık Dalgacık Dönüşümü (ADD) ve Sürekli Dalgacık Dönüşümü (SDD) yöntemlerine bağlı olarak geliştirilen işaret parametresi tahmin yöntemi, literatüre kazandırılmıştır. Önerilen yöntem, harmonikleri ve ara-harmonikleri belirleyebilmektedir. Geliştirilen yöntemin geçerliliği, hem sentezlenen dalga şekilleriyle, hem de güç sistemlerinden alınan verilerle doğrulanmıştır. Dash ve diğerleri (1999) tarafından yayınlanan makalede, rastgele gürültü ve bozulmalar altındaki güç sistem frekansını kestirme amacı için karmaşık GKF uygulaması gerçekleştirilmiştir. Üç faz gerilim işaretinin ayrık değerlerinden, karmaşık gerilim vektörü, 𝛼 − 𝛽 dönüşüm yöntemi ile elde edilmiştir. Lineer olmayan durum uzayı formülleri bu karmaşık işaret için elde edilmiştir ve GKF yaklaşımı modelin gerçek durumunu iteratif olarak yüksek gürültü ve harmonik bozulma altında hesaplamak için kullanılmıştır. Frekansın bir durum olarak modellenmesi sonucunda, güç sisteminin bilinmeyen frekansına ulaşılmıştır. Yöntemin tutarlılığı benzetimler ile gösterilmiştir. Soliman ve diğerleri (1999) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, bulanık doğrusal regresyona dayanan, güç sistem harmonik bileşenlerini ölçme konusunda yenilik barındıran bir yöntem önerilmiştir. Önerilen yaklaşımda, sinüzoidal olmayan gerilim ve akım dalga formu, lineer bir fonksiyon olarak yazılmaktadır. Bu fonksiyonun katsayılarının, belirli bir orta ve yayılma değerine sahip bulanık sayılar olduğu varsayımı yapılır. Böylelikle problemin, gerilim örneklerinin yayılmasını en aza indirgeme amacını taşıyan doğrusal bir optimizasyon problemine dönüştürülmesi sağlanmıştır. Önemli parametrelerin önerilen yöntem üzerindeki etkileri incelenmiş, test sonuçlarına çalışmada yer verilmiştir. 2000 ve sonrası yıllarda yapılan çalışmalar incelendiğinde, frekans spektrum tahmin yöntemlerinin oldukça geliştirildiği görülmektedir. Bu çalışmalardan önemli olan birçoğu, kronolojik sırayla açıklanmaya çalışılmış, ayrıntılı olarak açıklanmayanlar ise ilerleyen bölümde, bu zamana kadar yapılmış tüm çalışmaların sınıflandırılmasıyla, uygun kategorilerde değerlendirilmişlerdir. 12 Agrez (2002) tarafından yapılan çalışmada, çok noktalı interpolasyonlu AFD kullanılarak periyodik işaretlerin frekans ve genlik tahminindeki hatayı azaltmak amacıyla bir yöntem önerilmiştir. İnterpolasyon algoritmalarının bias kaldırma ve gürültüye duyarlılık özellikleri makalede, Hanning ve dikdörtgen pencere için özel olarak çalışılmıştır. Hata düzeltmenin, AFD’nin interpolasyon nokta sayısının arttırılması ile arttığı gözlemlenmiştir. Farklı algoritmalar için pencere şekli değiştirilerek sonuçlar değerlendirilmiştir. (Bettayeb ve Qidwai (2003) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, genetik algoritma (GA) kullanarak güç sistemlerinde harmonik kestirimi yapabilen bir algoritma önerilmiştir. Harmonik kestiriminin genlik için lineer ve faz için lineer olmayan bir doğaya sahip olduğu ilgili çalışmada belirtilmiştir. Önerilen çalışmada, lineer problemin çözümü için EKY, lineer olmayan problemin çözümü için ise GA yönteminin kullanıldığı ve böylelikle melez bir yöntem oluşturulduğuna dikkat çekilmektedir. Algoritmanın yakınsama ve işlem zamanı üzerine bilgilere yer verilmiştir. Aiello ve diğerleri (2005) tarafından yapılan çalışmada, güç sistemlerinde harmonik ve ara-harmoniklerin ölçüm zorluklarına, IEC 61000-4-30 ve IEC 61000-4-7 standartlarında sırasıyla, güç kalitesinin ölçümünde kullanılan cihaz karakteristiğinin ve ara-harmonikler ile harmoniklerin değerlendirmesinin açıklandığına değinilmiştir. Bu bağlamda, ana frekansın tahmin edilmesine imkân veren chirp-𝑧 dönüşümü temel alınarak geliştirilen yöntem sunulmuştur. Klasik yöntemler ile geliştirilen yöntemin teorik yaklaşımları tartışılmış ve ilgili deneysel çalışmalara makalede yer verilmiştir. Barros ve Diego (2006) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, IEC tarafından tanımlanan harmonik ve ara-harmoniklerin değerlendirilmesi açısından Hanning pencerelerinin etkileri araştırılmaktadır. Hanning pencereleri, büyük harmonik akım dalgalanmaları ve iki harmonik arasında görülen ara-harmonik gerilim bileşeni açısından değerlendirilmektedir. Elde edilen sonuçlar, IEC standardında tanımlanan yöntem ve işaretlerin etkin (RMS) değerleri ile karşılaştırılmıştır. Cataliotti ve diğerleri (2007) tarafından yapılan çalışmada, durağan veya geçici bozulmalar durumları da dâhil olmak üzere, güç kalite ölçümümün yüksek doğrulukla saptanmış temel frekans bileşenine ve işaret senkronizasyonuna ihtiyaç duyduğu 13 belirtilmiştir. Bu ölçümlerin gerçekleştirilmesi amacıyla, tek fazlı Faz Kilitleme Döngüsü (Phase-Locked Loop - PLL) tasarlanmıştır. Tasarlanan sistem, geçici veya kalıcı bozucu etkilerinde de başarılı bir şekilde işaret senkronizasyonunu gerçekleştirmiştir. Önerilen yöntemin geçerliliği, çeşitli testler altında doğrulanmıştır. Aiello ve diğerleri (2007), tarafından yapılan çalışmada, güç sistemlerindeki gerilim karakteristiğinin ölçümünün, yüksek bozulma durumda bile, güç kaynağı frekansının yüksek doğrulukla tahminine ve işaret senkronizasyonuna bağlı olduğu vurgulanmıştır. Cihaz senkronizasyonunun sağlanabilmesi için, iki farklı teknik geliştirilmiştir. İlki, chirp-𝑧 dönüşümü temel alınarak türetilmişken, ikinci yöntem PLL temeline dayanmaktadır. Geliştirilen yöntemler ve geleneksel yöntemlerin verdiği sonuçlar, deneysel çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Alkan ve Yilmaz (2007) tarafından yapılan çalışmada, güç sistemlerinin geçici durumlarının frekans boyutu analizi iki farklı yöntem ile gerçekleştirilmiştir. Kullanılan birinci yöntem parametrik olmayan bir yöntem olan Welch metodudur. İkinci yöntem ise parametrik olarak hesaplanan Yule-Walker metodudur. Önerilen yöntemlerin performansları, güç spektral yoğunluk değeri ile ölçülmüştür. Çalışma ile ilgili şekillere ve test sonuçlarına makalede yer verilmiştir. Boguslaw Swiatek ve diğerleri (2007) tarafından sunulan çalışmada, güç tesislerinin endüstriyel ortamda artan uygulamalarının hat kirliliğinde ciddi bir artışa sebep olduğuna değinilmiştir. Bu artışın, sistem içerisindeki elektriksel donanımlara ve güç dağıtım sistemlerini etkilediğine dikkat çekilmiştir. Bu bağlamda aktif güç filtrelerinin kullanıldığı belirtilmiştir. Ayrıca bu çalışmada, YSA tabanlı bir tahmin yöntemi tasarlanmış, yönteminin harmonik ve faz kestirimini başarılı bir şekilde gerçekleştirdiği deneysel çalışmalarla ortaya koyulmuştur. İlgili yöntemin AFD ile kıyaslanmasına da yer verilmiştir. Bracale ve diğerleri (2008) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, IEC’nin dalga biçim bozulmalarını, harmonik ve ara-harmonik grup/alt gruplarının genlikleri ile karakterize ettiği belirtilmiştir. Grup ve alt grup olarak sınıflandırılan harmonik ve ara-harmonikler, sabit AFD çözünürlüğü ile değerlendirilmektedir. Bu sebepten dolayı, harmonik frekansları iyi bir şekilde tespit edilememektedir. İlgili çalışma; adaptif Prony, ESPRIT 14 ve root-MUSIC yöntemlerinin; bu grup ve alt grupları yakınsama konusundaki başarılarını ölçmek amacıyla gerçekleştirilmiştir. Bu yöntemlerin başarımı, DA ark fırınına ait gerilim harmoniklerinin üzerinde mukayese edilmiştir. Chang ve diğerleri (2008) tarafından yapılan çalışmada, HFD yönteminin hesaplama maliyetinin düşük olması sebebiyle işaret işlemede sıklıkla kullanıldığı, fakat spektral sızıntı ve picket-fence etkisi nedeniyle, bu yöntemin harmonikleri ve özellikle ara- harmonikleri ölçmede başarısız olduğu belirtilmiştir. Bu olumsuzluğun üstesinden gelinebilmesi için sırasıyla; frekans boyutunda interpolasyon algoritması sonucunda ana frekansın belirlenmesi, interpolasyon polinom metodu kullanılarak zaman boyutu işaretinin oluşturulması ve HFD yönteminin elde edilen zaman serisine uygulanması adımlarını içeren yöntem, makalede sunulmuştur. Chang ve diğerleri (2008) tarafından yayınlanan bir makalede, iki veya daha fazla spektral bileşenin birbirine çok yakın aralıklarla bulunması durumunda, birçok spektrum kestirim algoritmasının başarısız sonuçlar ürettiğine dikkat çekilmektedir. Çalışmada ele alınan probleme çözüm olarak, alt-örnekleme kullanan yeni bir yöntem; yüksek çözünürlüklü tekil değer ayrışımı metodu sunulmuştur. Alt-örnekleme kavramıyla birlikte, spektral bileşenleri birbirinden ayırmak için kullanılan ölçekleme faktörü tanımı yapılmıştır. Geliştirilen yöntem, gerçek işaret verileri üzerinde test edilmiş, HFD ve diğer tekil değer ayrıştırma yöntemleriyle kıyaslanmıştır. Geliştirilen yöntemin, gerçek işaret verileri üzerinde yüksek çözünürlükle frekansları tespit ettiği görülmüştür. Chang ve diğerleri (2009) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, elektronik cihazlarda harmonik ve ara-harmoniklerin bulunmasının çalışma problemlerine sebebiyet verebileceğine değinilmiştir. Bu harmonik ve ara-harmoniklerin gözlenmesinin güç kalitesini arttırmada önemli bir yere sahip olduğu belirtilmiştir. Bu probleme çözüm bulmak amacıyla, içerisinde YSA ve Prony yöntemlerine ait matematiksel denklemler barındıran iki aşamalı işaret parametrelerini tahmin etme algoritması sunulmuştur. Bu çalışmada, Prony yöntemindeki parametrelerin adaptif nöron ile hesaplanması gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar, kısa dönem AFD ile kıyaslanmış başarılı olduğu görülmüştür. 15 Bracale ve Carpinelli (2009) tarafından yapılan çalışmasında, AFD yöntemindeki spektral sızıntıyı gidermek amacıyla, ESPRIT ve AFD tabanlı iki aşamalı işaret işleme tekniği ileri sürülmüştür. Bu teknik ile, harmoniklerin yanlış olarak elde edilmesinin en büyük sebeplerinden birisi olan senkronizasyon probleminin üstesinden gelindiği, hızlı ve doğru bir şekilde harmoniklerin tespit edildiği belirtilmiştir. Geliştirilen yöntemin, düşük frekanslı ara-harmonikleri tespit etme konusunda da başarılı olduğu, gerçekleştirilen testler ile gösterilmiştir. Agha Zadeh ve diğerleri (2010) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, EKY ve KF yaklaşımlarının birleşimi olan yeni bir yöntem ileri sürülmüştür. Önerilen yöntem, anlık olarak frekans genlik ve faz bilgilerini iyi bir yakınsama ile elde edebilmektedir. Yöntemin; koruma röleleri, dijital otomatik gerilim regülâtörleri ve birçok güç sistemi aygıtında kullanılabileceği belirtilmiştir. Önerilen yöntem, benzetimler ve laboratuvar ortamında test edilmiş ve bu yöntemin başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Belega ve diğerleri (2010) tarafından sunulan çalışmada, enterpole AFD algoritması ile harmonik bozulmaya uğrayan sinüs dalgasının genlik bileşenini kestirme konusuna odaklanılmıştır. Oluşabilecek maksimum hataya bağlı matematiksel ifade türetilmiştir. Ayrıca, beyaz gürültü ile bozulmuş bir işaret için enterpole AFD yönteminin istatistiksel verimliliği, tek ton bias’sız Cramer-Rao alt sınırına göre incelenmiştir. İlgili deneysel çalışmalara ve benzetimlere çalışmada yer verilmiştir. Gary, Chang ve Chen (2010), tarafından yayınlanan makalede, frekansın güç faktörünün önemli bir işareti olduğu belirtilmektedir. Ayrıca, başarılı bir spektral ayrıştırmanın, ölçülen işaretin frekanslarının doğru şekilde tespit edilmesiyle gerçekleştirileceğine vurgu yapılmaktadır. Bu problemin çözümüne katkı sunmak amacıyla, alt-örnekleme işlemi ve Prony algoritmasının birleştirilmesi ile yazar tarafından yeni bir yöntem önerilmiştir. Birbirine çok yakın iki veya daha fazla spektral bileşenin olması durumunda da, önerilen yöntemin harmonik ve ara-harmonikleri başarılı bir şekilde tespit ettiği gözlenmiştir. Önerilen yöntem, HFD ve IEC alt gruplama yöntemleri ile karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin daha başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Gary ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, güç elektroniği aygıtlarının geniş alanlarda uygulanmasının harmonik kirliliğin artmasına neden olduğu belirtilmiştir. Güç 16 kalitesini korumak amacıyla bu harmoniklerden sakınılması gerektiği vurgulanmış, bu bağlamda harmonik ölçüm ve hafifletmenin önemli olduğu konusuna değinilmiştir. Bu problemi çözmek için bu çalışmada radial basis fonksiyon YSA kullanılarak ölçüm yöntemi önerilmiştir. Önerilen yöntemin, geleneksel ölçüm yöntemine göre daha başarılı sonuçlar verdiği yapılan testler sonucunda görülmüştür. Chen ve diğerleri (2010) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, harmonik kestirim probleminin güç kalitesinin değerlendirilmesi açısından önemli bir yere sahip olduğu belirtilmiştir. Bu problemi çözmek için literatürde KF tabanlı birçok model bulunduğuna değinilmiştir. Bu çalışmada ise, yeniden başlama (sıfırlama - reset) özelliği bulunan (GKF) uygulaması yapılmıştır. Elde edilen sonuçların diğer yöntemlerin sonuçlarına göre daha iyi olduğu görülmüştür ve IEC 61000-4-30 standartları önerilen ölçüm yöntemi ile yakalanmıştır. Cho ve diğerleri (2010) tarafından sunulan makalede, güç kalite bozulmalarını tespit etmek, tanımlamak ve sınıflandırmak amacıyla HFD, kısa dönem AFD, dalgacık dönüşümü, dalgacık paket dönüşümü ve birçok yöntemin geliştirildiği belirtilmektedir. Güç kalite probleminin çözümü için uygun yöntemin seçiminin önemli olduğuna değinilmiştir. Bu bağlamda, Gabor dönüşümü ve Wigner dağılım fonksiyonunun birleşimi olan, Gabor-Wigner dönüşümü yöntemi tanıtılmış ve güç kalite bozulmalarının ölçülmesi için uygulanmıştır. Bu yöntemin uygulanmasının amacı, her iki tekniğin zayıf yönlerinin, birbiri içerisinde telafi edilmesini sağlayarak daha başarılı harmonik, ara- harmonik, gerilim çökmesi, geçici durumlar v.b. birçok meseleyi çözebilen bir tekniğin geliştirilmesidir. Geliştirilen yöntemin birçok test altında başarılı sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Jafarian ve Sanaye-Pasand (2011) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, işaret fazör tahmini için adaptif pencereleme algoritmalarına dayalı bir yöntem önermiştir. Yöntem, ağırlıklandırılmış EKY algoritmasına ve işaretin değişken pencereleme tekniğine dayanmaktadır. Önerilen yöntem, hem benzetim ortamında, hem de yüksek gerilim iletim sisteminden kaydedilen veriler üzerinde çalıştırılmış ve bu yöntemin doğruluk oranı yüksek, güvenilir sonuçlar ürettiği gözlemlenmiş, son olarak hızlı yakınsama gösterdiği belirtilmiştir. 17 Ji ve diğerleri (2011) tarafından sunulan çalışmada, temel frekansı zaman ile değişen bir güç işaretinin harmoniklerinin tahminini gerçekleştirmek üzere bir yöntem önermiştir. Önerilen yöntem, değişken koşullara kolaylıkla uyum sağlayabilen Adaptif Bakteri Sürüsü Algoritması'dır ve ara-harmonikleri de tahmin edebilmektedir. Önerilen yöntem, çeşitli işaretler üzerinde test edilmiş, GA ile karşılaştırılmış ve harmonik, ara-harmonik değerlerini efektif bir şekilde tahmin edebilmiştir. Dash ve diğerleri (2011) tarafından yapılan çalışmada, gürültüyle bozulmuş güç sistem işaretinin temel ve tamsayı katı harmonik bileşenlerinin zamanla değişen genlik, frekans ve faz bilgilerini elde edebilen özyinelemeli Gauss-Newton temelli yeni bir yöntem sunulmuştur. Önerilen yöntemin, klasik özyinelemeli Gauss-Newton yöntemine göre daha iyi yakınsama hızına sahip olduğu gösterilmiştir. Önerilen yöntemin kararlılığı, ara- harmoniklerin de bulunduğu test işaretleri üzerinde denenmiş, kabul edilebilir sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Peng ve Hong-Bin (2012) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, güç sistemlerinde gürültü ve ara-harmoniklerin bulunması durumunda temel işaret frekansının tespit edilmesini sağlayan AHD tabanlı bir yöntem sunulmuştur. Yöntemin gerçek zamanlı olarak gerçekleştirilebilme yeteneğinin bulunduğu belirtilmiştir. Önerilen yöntemin geçerliliği benzetim ortamında yapılan testler sonucunda değerlendirilmiş ve lineer olmayan yüklerin bulunduğu güç sistemlerinde, bozulan güç işaretinin temel frekansının kestirebilme performansının (yakınsama hızı ve hata oranı açsından) kabul edilebilir seviyede olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Elnady (2012) tarafından yapılan çalışmada, MLE temel alınmış ve oluşturulan işaret modeline ait parametreler makalede tanımlanan bir iteratif yöntemle tahmin etme algoritması sunulmuştur. Öne sürülen yöntem alt harmoniklere ait genlik, frekans ve faz bilgilerini tespit edebilmektedir ve makale içerisinde bu yöntemin temel frekans ve ara- harmonik tahmini konusunda da geliştirilebileceğine dair görüşe yer verilmektedir. Geliştirilen yöntem, gürültülü ve gürültüsüz işaretler üzerinde denenmiş, ESPRIT ve Çentik Filtre algoritmaları ile karşılaştırıldığında, önerilen yöntemin doğruluk oranı daha yüksek sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. 18 Carvalho ve diğerleri (2014) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, güç sistemlerinde zamanla değişen frekansları ihtiva eden harmonik ve ara-harmoniklerin, doğru bir şekilde tahmin edilebilmesini sağlayan AFD tabanlı yeni bir yöntem önerilmiştir. Örnekleme zamanının asenkron olması ve işaret içerisinde ana frekansın tamsayı katı olmayan frekanslarda bulunan bileşenlerin (ara-harmoniklerin) bulunması durumunda yöntemin geçerliliği test edilmiştir. Gerçekleştirilen benzetimlerde elde edilen sonuçlar, yöntemin doğruluk açısından başarılı sonuçlar verdiğini göstermektedir. Ray ve Subudhi (2015) tarafından literatüre kazandırılan çalışmada, ADALINE ve GA Temelli Bakteriyel Besin Arama Optimizasyonu (BBA) yöntemleri birlikte kullanılarak hibrit bir yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntemin yerel minimumlara yakalanmama üstünlüğüne sahip olduğu belirtilmiştir. Yöntemin etkinliği, Fotovoltaik (PV) sistem prototipinin evirici uçlarından elde edilen gerilim harmonik ve ara-harmoniklerinin tahmin edilebilme doğruluğu ile ölçülmüştür. Elde edilen sonuçlar; KF, AFD gibi yöntemlerin sonuçlarıyla karşılaştırıldığında, hesaplama zamanı ve doğruluk açısından önerilen yöntemin üstünlük sağladığı görülmüştür. He ve Shu (2015) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, Tek Kanal Kör Kaynak ayrıştırma yöntemi ile güç sistemi işaretinin harmonik ve ara-harmonik bileşenlerinin ayrıştırılmasına yönelik yeni bir yöntem önerilmiştir. Birçok analiz yöntemi, çalışma gerçekleştirilirken çok kanallı işaret üzerinde uygulanmıştır. Elde edilen bağımsız işaret parçaları, k-ortalamaları ile frekans kümelerine toplanmıştır ve harmonik ara-harmonik bileşenler elde edilmiştir. Yöntemin etkinliğinin kaynak frekans bileşenlerinin makul derecede birbirinden ayrık olması durumunda daha da arttığı MATLAB ortamında gerçekleştirilen benzetimler sonucunda gösterilmiştir. Nam ve diğerleri 2015) tarafından sunulan çalışmada, güç sistem frekansını gerçek zamanlı olarak tahmin edebilen üç seviyeli AFD yöntemi önermişlerdir. Birinci seviyede güç sistem işareti, iki ortogonal sinüs ve kosinüs filtreli işaretlere ayırır. İkinci ve üçüncü adımda ise sıfır geçiş problemiyle karşılaşılmadan ve harmonik ve ara-harmoniklerin bastırma kabiliyetindeki artışla filtrelenmiş ortogonal işaretlerin genlik oranları belirlenir. Bilgisayar ortamında hazırlanan ve gerçek zamanlı dijital işaret işlemcisi ile yapılan benzetim tekniklerinde, önerilen yöntemin başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. 19 Agrawal ve diğerleri (2015) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, çift beslemeli endüksiyon jeneratörlerinde harmonik ve ara-harmoniklerin tespiti açısından geleneksel ESPRIT ve Root MUSIC yöntemlerinin başarısı karşılaştırılmıştır. Jeneratörden elde edilen işaretlerin yanı sıra aynı zamanda sentetik işaretler de kullanılarak mukayeseler yapılmıştır. Ayrıca bu yöntemlere ek olarak aynı yöntemlerin kayan pencereler yaklaşımı ile ESPRIT ve Root MUSIC algoritmalarının uygulanması doğrultusunda, değişken rotor hızlarının bulunduğu ortamlarda harmonik tespit yetenekleri karşılaştırılmıştır. Bu değerlendirmelerin sonucunda, ESPRIT yönteminin kayan pencereler yaklaşımı ile daha başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Singh ve diğerleri (2015) tarafından yapılan çalışmada, lineer olmayan yüklerin güç sistemlerinde harmonik kirliliğe neden olduğunu belirtmiştir. Bu konuda pek çok çalışmanın önerilmesine karşın halen problemin çözümünün önemli bir çalışma konusuna vurgu yapılmıştır. Bu amaç doğrultusunda çalışmada, lineer olmayan bir yöntem olduğu belirtilen Bilineer Özyinelemeli En Küçük Kareler yaklaşımı geliştirilmiştir. Önerilen yöntemin, beyaz Gauss gürültüsü ve ara-harmoniklerin bulunması durumunda da işaret bileşenlerinin genlik, faz ve frekans değerlerinin doğru bir şekilde bulduğu gösterilmiş ve sonuçlar diğer En Küçük Kareler yöntemine bağlı geliştirilen yöntemlerle karşılaştırılmıştır. Karşılaştırmalar sonucunda önerilen yöntemin birçok açıdan (sonuçlara yakınsama ve karmaşıklık analizi) üstün olduğu belirtilmiştir. Santos ve diğerleri (2015) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, üç fazlı güç sistemlerinde Clarke parametrelerinin tahmin edilmesi yoluyla, işaretin temel frekansının bulunmasını sağlayan bir yöntem önermişlerdir. Önerilen yöntem ara-harmoniklerin bulunması durumunda da temel frekansı ortaya çıkarabilmektedir. Önerilen yöntem, dört faklı çalışmada sunulan yöntemlerle mukayese edilmiş ve bu yöntemin, sonuçlara yakınsama hataları ile zamanları konusunda diğer yöntemlere göre daha başarılı olduğu gösterilmiştir. Moon ve diğerleri (2015) çalışmasında, güç sistemlerinde temel harmonik kestirimi yapmak amacıyla, iki aşamalı bir yöntem önermişlerdir. Önerilen yöntem, güç işaretinin asenkron olarak örneklenmesi ve ara-harmoniklere sahip olması durumunda temel harmoniğin kestirimini yapabilmektedir. Bu amaçla, ilk aşamada, zaman boyutunda enterpolasyon ile işaret yeniden oluşturulmuş ve yeni örnekleme zamanına sahip bu 20 işaret, harmoniklerin elenmesi için sinüs filtrelerinden geçirilmiştir. İkinci aşamada ise temel frekans, gürültüye duyarlı bir yöntem olan eğri uydurma yöntemi ile tespit edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, asenkron örneklenmiş işaretlerin temel frekanslarının bulunmasında önerilen yöntemin başarılı olduğunu göstermiştir. Chen ve diğerleri (2017) tarafından yapılan çalışmada, harmonik-ara-harmoniklerin tespit edilmesinin ve analizinin güç sistemleri açısından önemli olduğunu belirtmiş ve bunu gerçekleştirmek için Eşleştirme Algoritması’nı temel alan bir yöntem ileri sürmüşlerdir. Yazarlar tarafından öne sürülen algoritma, birçok algoritma ile karşılaştırılmış ve ilgili yöntemin benzetim ortamlarında başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Xu ve diğerleri (2019) tarafından gerçekleştirilen çalışmada, ara-harmoniklerin tespiti için iki aşamalı bir yöntem sunmuşlardır. İlk aşamada ön hesaplama için, interpolasyonlu AFD algoritması, işaret üzerinde beşinci derece üçgen ve on birinci derece dikdörtgen pencere (T5R11) ile uygulanmıştır. Ardından, ara-harmonik etkilerinin tespit edilebilmesi için Parçacık Sürü Optimizasyon (PSO) algoritması kullanılmıştır. Gerçekleştirilen benzetimler sonucunda çalışmanın birçok ölçüm standardını karşıladığı gösterilmiştir. Zhao ve diğerleri (2020) tarafından yapılan çalışmada, geleneksel YSA modellerinin harmonik ve ara-harmonik ölçümü için başarılı olduğu belirtilmiştir. Fakat bu yöntemlerin, sistem içerisinde gürültünün bulunması durumunda, kullanılan uyarma fonksiyonlarına (excitation function) ve bu fonksiyonun başlangıç değerlerine bağlı olarak ciddi yakınsama hatalarına neden olduğunu belirtmiştir. İlgili çalışmada, geri yayılımlı YSA’nın uyarlama fonksiyonu değiştirilerek ve Ateş Böceği Sürü Optimizasyonu (GSO) algoritması kullanılarak ara-harmoniklerin tespiti için hibrit bir yöntem geliştirilmiştir. Elde edilen sonuçların geleneksel YSA’dan ve Hanning-HFD yönteminden daha iyi bir şekilde sonuçlara yakınsadığı gösterilmiştir. Garanayak ve diğerleri (2020) tarafından yapılan çalışmada iki katmanlı ADALINE algoritması geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntemin beyaz Gauss gürültüsü ile bozulmuş akım işaretlerinde; DA bozulma, temel harmonik, alt ara-harmonik ve üst ara-harmonik bileşenlerinin doğru ve hızlı bir şekilde tespit edebildiği görülmüştür. Çalışma sadece 21 benzetim programıyla değil, aynı zamanda ölçeklenebilir prototip geliştirilerek laboratuvar ortamında da test edilmiştir. Mohan ve Soman (2020) tarafından yapılan çalışmada, yeni nesil elektrik şebekelerinin bilgi gönderme ve alma gibi özellikler barındırması nedeniyle oldukça hassas olduğundan bahsedilmiş ve lineer olmayan yükler, dağıtık enerji üretim sistemleri gibi birçok sistemi içerisinde barındırmasından dolayı ara-harmonikler barındırdığına değinilmiştir. Ara- harmoniklerin hem şebeke üzerindeki iletişimi olumsuz etkilediği hem de, modern cihazlar üzerinde olumsuz etkiler gösterdiği konusu üzerinde durulmuştur. Bu sebepler neticesinde, ilgili çalışmada gürültü-duyarlı dinamik mod ayrıştırma tekniğine bağlı olarak bir yöntem ileri sürülmüş ve yöntemin geçerliliği çeşitli deneylerle kanıtlanmıştır. Yukarıda incelenen çalışmaların gözden geçirilmesiyle, AA sistemlerinin ilk yıllarında, araştırma konularının sadece harmoniklerin incelenmesine yönelik olduğu, bu incelemelerin de Fourier analizi ile gerçekleştirildiği görülmektedir. Erken dönemlerde, harmonik kaynaklarının baskın olmasından ve ara-harmonik üreten aygıtların veya fiziksel olayların (sıcaklığın ani değişmesi suretiyle değişen rezistif veya endüktif yükler, lineer olmayan karakteristiğe sahip olacağından şebekeye ara-harmonik verebilirler) sistem modeline dâhil edilemeyecek azlıkta bulunmasından dolayı ara-harmoniklerin tespit edilmesi konusu üzerinde çalışılmadığı görülmektedir. Frekans tahmini konusunda, ikinci önemli gelişme, Cooley ve Tukey (1965) tarafından yapılan çalışma ile HFD dönüşümünün literatüre kazandırılmasıdır. Önerilen HFD yönteminin, AFD’den daha az hesaplama karmaşıklığı ile spektrum analizi yapabilmesi, bilgisayarların teknik anlamda kullanımının yaygınlaşmasıyla oldukça popüler hale gelmiştir ve bu popülerlik bu konuyu temel alan yeni frekans kestirim yöntemlerinin sonraki yıllarda çoğalması ile de gözlemlenebilmektedir. HFD yöntemini temel alarak geliştirilen ileri teknikler, bu yöntemin spektral sızıntı ve “picket-fence effect” kavramları açısından zayıflığını göstererek interpolasyon tabanlı dönüşüm algoritmalarını önermişlerdir. Güç elektroniği konusunda ve mühendisliğin çeşitli alanlarında, frekans kestirimi konusundaki önemli diğer gelişme, “Öz Değer Ayrıştırma” yöntemleri arasında değerlendirilebilecek MUSIC ve ESPRIT algoritmaları, 80’li yılların sonlarında literatüre 22 kazandırılmıştır. Bu algoritmalar, gürültüye karşı bağışıklığı ve görece daha az işlem karmaşıklığı ile dikkat çeken algoritmalardır. Bu tarihten sonraki zamanlarda, ilgili yöntemlerin hesaplama karmaşıklığını daha da azaltacak yeni yöntemlerin ortaya çıktığı da görülmektedir. 90’lı yıllar ve sonrası, güç elektroniği alanında, o tarihe kadar üretilen yöntemlerin diğer yöntemler ile birleştirilerek hibrit yöntemlerin yaratılması çalışmalarıyla dikkat çekmektedir. Ayrıca 90’ların başında chirp-𝑧 dönüşümü tabanlı çalışmaların yapılması, interpolasyon tabanlı AFD algoritmalarının türetilmesi ve 90’ların sonunda Dalgacık Dönüşümünün güç işaret spektrumunu kestirim amacıyla uygulanması, dönüşüm tabanlı yöntemlerin de sıklıkla uygulandığını göstermektedir. Bu tarihlerde, KF temeline dayanan yöntemlerin, sistem frekansının da değişebileceği durumlarda temel harmonik bileşenini tespit etmede kullanılması ve aynı zamanda ölçü aleti ile temel frekansın senkronizasyonunun sağlanması konusunda yapılan çalışmalar da spektrum analiz yöntemleri için önemli katkılardandır. 2000’li yıllarda, YSA algoritmalarının spektrum analiz yöntemlerinde kullanılmaya başlandığı görülmektedir. Bu yöntemlerin frekans kestirimi konusunda iki farklı şekilde uygulandığı görülmektedir. Bunlardan birincisinde, dalga şekillerinin önceden YSA’ya öğretilmesi ve bunun akabinde, eğitim verileri arasında kullanılmamış değerlerin içerisindeki spektral bileşenlerin YSA tarafından tespit edilmesi esasına dayanır. Diğer kullanım alanı ise, parametre kestirim konusudur. Parametre kestiriminde daha çok adaptif lineer nöron algoritması kullanılmakta ve Prony yöntemi gibi herhangi bir frekans analiz yönteminin parametreleri YSA tarafından hesaplanarak harmonik analiz tamamlanmaktadır. Yine bu yıllarda, dönüşüm yöntemlerinin, KF tabanlı yöntemlerin ve çeşitli hibrit yöntemlerin uygulandığı görülmektedir. 2010 yılından günümüze kadar olan çalışmalarda ise akıllı şebekelerin yakın gelecekte yaygınlaşacağı öngörülmüş ve ara-harmonik kestirimi konusunun bu şebekeler için oldukça önemli olacağı konusu vurgulanmıştır. Ara-harmonik kestiriminin önem kazanmasının nedenini ise akıllı şebekelerin hem haberleşme alt yapılarını desteklemelerini ve ara-harmoniklerin bu frekansları kötü etkileyebileceğini, hem de dağıtık sistemler ile üretilen enerjinin temel frekansının bozulması durumunda bu enerjinin kullanılamayacağı, parazit yaratacağı ve elektrik aletlerinde bozulmalara sebep 23 olacağı argümanlarını öne sürerek açıklamışlardır. Bu bağlamda, ara-harmonik kestirimi için yöntemlerin ileri sürülmesinin yanında temel frekans kestirimi için de yöntemler önerilmiştir. Bu yöntemler; AFD, AHD ve çeşitli pencereleme fonksiyonlarına dayanan metotların geliştirilmesi, YSA’lardan yararlanılması, GA algoritmaları ile türevlerinin uygulanması ve sayılan tüm tekniklerin ikişerli olarak zayıf yanlarının azaltılması ve üstün yanlarının pekiştirilmesi ile birlikte hibrit algoritmaların türetilmesi olarak sıralanabilir. Yukarıda verilen bilgiler ışığında XX. yüzyılın son birkaç on yılının genel bir toparlaması yapılırsa; güç elektroniği temelli lineer (doğrusal) olmayan yüklerin hızla artan yüzdesiyle birlikte, harmoniklerin ciddi bir ilgi alanı oluşturduğu ve harmonikler ile ara- harmonikleri hızlı ve doğru bir şekilde ölçen/tahmin eden birçok teknik sunan çok sayıda araştırma makalesi ve kitabın yayınlandığı görülebilmektedir (Bollen ve Gu, 2006; Chang ve Chen, 2010; Duhamel ve Vetterli, 1990; Gonen, 1984; Harmonics, 1983; Jain ve Singh, 2011; Kay ve Marple, 1981; Robinson, 1982; Singh, 2009; Thomson, 1982b). İki yüzü aşkın sayıda, ünlü dergiler ve uluslararası konferanslarda yayınlanmış makaleler, bildiriler, birçok sayıda kitap ve standartları içine alan kapsamlı literatür taraması yapıldığında, harmonik tahmin teknikleri aşağıdaki gibi üç kategoride sınıflandırabilir:  Parametrik olmayan yöntemler  Parametrik yöntemler  Hibrit yöntemler 1.1. Parametrik Olmayan Yöntemler AFD, chirp−𝑧 dönüşümü (CZT), dalgacık dönüşümü ve Hilbert-Huang dönüşümü (HHD) isimli dört yöntem parametrik yöntemler kategorisi içerisinde değerlendirilebilir. AFD, durağan ayrık zamanlı işaretlerin harmonik analizi için en temel spektral analiz yöntemidir. AFD’nin doğrudan hesaplanması 𝑁2 işlem adımı gerektirir. Bu işlem miktarı, Cooley ve Tukey (1965) tarafından yapılan çalışmada, öne sürülen HFD algoritmasıyla oldukça azaltılmıştır. HFD’nin spektral sızıntı, “picket-fence effect” gibi çok sayıdaki durumda sınırlı kaldığına birçok çalışmada değinilmiştir ve buna bağlı olarak telafi önerileri ile birlikte yeni teknikler ileri sürülmüştür (Chang ve diğerleri, 200; Girgis ve Ham, 1980; Huang ve diğerleri, 1998b). 24 Pencereleme (Barros ve Diego, 2006; Harris, 1978; Jafarian ve Sanaye-Pasand, 2011; Kim ve diğerleri, 1994; Portnoff, 1980; Ren ve Wang, 2010; Testa ve diğerleri, 2004), enterpolasyon (Agrez, 2002; Andria ve diğerleri, 1989; Belega ve diğerleri, 2010; Chang ve diğerleri 2008; Grandke, 1983, Jain ve diğerleri, 1979; Qian ve diğerleri, 2007; Ren ve Wang, 2010; Schoukens ve diğerleri, 1992; Sedláček ve Titěra, 1998; Wu ve Zhao, 2005; Xu ve diğerleri, 2019; F. Zhang ve diğerleri, 2001) ve senkronizasyon(Aiello ve diğerleri, 2005; Aiello ve diğerleri, 2007; Cataliotti ve diğerleri 2007; Ferrero ve Ottoboni, 1992) teknikleri, HFD’nin eksikliklerini gidermek amacıyla ileri sürülmüşlerdir. Senkronizasyon tekniklerinin, ana frekans bileşenini kestirme amacı taşıdığı, ölçüm frekansının ana frekanstan farklı olmasının, harmoniklerin yanlış ölçülmesine neden olabileceği konusu bahsedilen çalışmalarda tartışılmıştır. AFD’nin ve dolayısıyla HFD’nin sahip olduğu olumsuzlukları kaldırmak amacıyla yapılan çalışmalar tekrar incelendiğinde, pencereleme yöntemleri ve interpolasyon yöntemleri göze çarpmaktadır. Bu bağlamda, Harris (1978) tarafından yapılan çalışmada, farklı pencere fonksiyonlarının uygulanmasının, spektral sızıntıyı sınırlandırmak amacıyla incelendiği ve bu fonksiyonların büyük genlik farklarıyla birlikte, yakın aralıklara sahip harmoniklerin çözülmesinde başarılı sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada, pencereleme yönteminin HFD ile uygulanmasında genel olarak yapılan yanlışlıklara da değinilmiştir. Jain ve diğerleri (1979), Grandke (1983), Andria ve diğerleri (1989) tarafından yapılan çalışmalarda, frekans bölgesi tabanlı interpolasyon algoritmalarının kullanılmasıyla, spektral sızıntının azaltılarak kesinliğin arttırılabileceği ortaya konulmuştur. Sedláček ve Titěra (1998) tarafından yapılan çalışmada, zaman bölgesi tabanlı interpolasyon teknikleri ve bu tekniklerin frekans bölgesi tabanlı yöntemlerle karşılaştırmaları gösterilmiştir. Hidalgo ve diğerleri (2002), Zhu (2007) tarafından gerçekleştirilen çalışmalarda, adaptif pencere genişliklerinin kullanımının, ara- harmoniklerin varlığı ve ana-frekansın geniş aralıkta değişimi durumunda, spektral sızıntıyı oldukça azalttığı belirtilmiştir. IEC (61000-4-7) (Iec 2002) işaret frekansındaki en düşük spektral sızıntıyı sağlamak amacıyla, 50 Hz sistemler için 10 çevrim ve 60 Hz sistemler için 12 çevrim olacak şekilde zaman penceresinin senkronize edilmesini standart olarak belirlemiştir. Ferrero ve 25 Ottoboni (1992) tarafından yapılan çalışmada, dijital PLL tabanlı, ölçülen işaretin temel frekansına göre darbeler üreten bir senkronizasyon yöntemi ortaya konulmuştur. Örnekleme frekansını işaretin temel frekansına göre ayarlayarak tespit eden bir yöntem önerilmiştir. CZD tabanlı diğer bir senkronizasyon yöntemi, Aiello ve diğerleri (2005) tarafından yapılan çalışmada kullanılmıştır. PLL ve CZD tabanlı ileri sürülen yöntemler, Massimo Aiello ve diğerleri (2007) tarafından karşılaştırılmıştır ve PLL tekniğinin giriş işaret bozulması konusunda daha fazla yan etkiye sahip olduğu, öte yandan CZD tekniğinin sınırlı çözünürlüklü olmasının bir olumsuzluk yarattığı gösterilmiştir. Bu tip tekniklerde, tahminin doğruluğu, tam olarak senkronizasyonun başarısına bağlıdır. Bu bağlamda (D. Gallo ve diğerleri, 2004) tarafından yapılan çalışmada, enterpole edilmiş HFD kullanılarak iki adımlı senkronizasyon tekniğini sunulmuştur. Harmonik ve temel bileşenler, ilk aşamada frekans bölgesi interpolasyonundan türetilmiş ve daha sonra ara- harmonikler ikinci aşamada, orijinal işaretden tahmin edilen harmoniklerin süzülmesiyle elde edilmiştir. Wang (1990) tarafından yapılan çalışmada, çok sayıdaki giriş işaretini işleyebilen ve sadece ilgilenilen frekans spektrum bölümünü hesaplamada kullanan, bu sayede de frekans çözünürlük oranını zenginleştiren bölütlü (segmented) CZD tabanlı teknik önerilmiştir. Daponte ve diğerleri (1996) tarafından yapılan çalışmada, aynı zamanda bahsedilen çalışmada önerilen çoklu derin daldırma pencereleriyle birlikte bölütlü CZD yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntem ile yüksek genlikli frekansların yakınındaki düşük genlikli harmonik olmayan tonların görünürlüğü arttırılmış ve yüksek frekanslardaki çok düşük genlikli harmoniklerin tespit edilmesi başarılmıştır. Tarasiuk ve diğerleri (2011) tarafından yapılan çalışmalarda, güç kalitesi tahmin analizörü için CZD ve AFD başlıca yöntem olarak kullanılmıştır. Dalgacık dönüşümü ve HHD tabanlı teknikler yirminci yüzyılın son on yılında, özellikle zamanla değişen ve lineer olmayan işaretler için ortaya konulmuştur. ADD’nin işareti alt- bantlara görece olarak az sayıda katsayı ile ayrıştırabilirken, Sürekli Dalgacık dönüşümü (SDD) yüksek sayıda katsayılarla işareti ifade etmekte, bunun sonucu olarak yüksek hesaplama maliyeti ve yüksek bellek tüketimine sebebiyet verdiği belirtilmektedir (Chen, 2008). Ayrık Dalgacık Paket dönüşümü (ADPD) yaklaşımının ise tanımı gereği, SDD’ye kıyasla harmonik tahmini için daha uygun olduğu söylenebilir. Pham ve Wong (1999), Keaochantranond ve Boonseng (2002) tarafından yapılan çalışmalarda, ADPD ilk adımda düzgün alt-bantlar elde edilmek için uygulanmış ve sonraki adımda SDD’nin kullanılması 26 ile harmonik içeriği elde edilmiştir. Dalgacık Paket dönüşümü (DPD) tasarımı ve uygulanması temelli, doğrudan farklı güç kalite indisleri sağlayan ve kısa dönem bozulmaları da bulabilen güç kalite enstrümanları Hamid ve Kawasaki (2002) tarafından yapılan çalışmada sunulmuştur. Son yıllardaki birçok çalışmada, farklı temel fonksiyonları kullanan ve adaptif filtreleme (Lim ve diğerleri, 2010), lineer optimizasyon (Mazloomzadeh ve diğerleri, 2009), ara-harmonik gruplama (Diego ve Barros, 2010) gibi gelişmiş özellikleri içeren DPD tabanlı harmonik kestirim teknikleri uygulanmıştır. Vatansever ve Ozdemir (2008) tarafından yapılan çalışmada, DPD uygulamadan önce giriş örnekleri üzerinde Hilbert Dönüşümü gerçekleştirilmiştir. Morsi ve El-Hawary (2011) tarafından yapılan çalışmada elektrik güç kalitesi değerlendirilmesine eşlik eden belirsizliklerle baş edebilmek için bulanık mantık sistemleri kullanılmıştır. Son olarak, Yu ve Yang (2009), Chen ve diğerleri (2009) ve Zhang ve diğerleri (2009) tarafından aynı yıl içerisinde yapılan çalışmalarda, HHD tabanlı teknikler, harmonik tahminindeki potansiyellerine dikkat çekilerek önerilmiştir. Cho ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, zaman-frekans analizi yapabilen Gabor-Wigner dönüşümü tabanlı bir teknik geliştirilmiştir. Bu yöntem, Gabor dönüşümünün, Kısa Dönem Fourier Dönüşümü (KDFD) ve Wigner Dağılım Fonksiyonu’nun birbirinin eksikliklerini örtmek üzere geliştirilmiş bir matematiksel işlem birleşiminden oluşmaktadır. Garza ve Serna (2011) tarafından yapılan çalışmada, McLaurin seri açılımı tabanlı, Taylor-Fourier Dönüşümü olarak bilinen, dinamik harmonik analizinde kullanılan bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntem Sonlu Darbe Yanıtı (Finite Impulse Response - FIR) filtre fonksiyonları ile uygulanabilmektedir. 1.2. Parametrik Yöntemler Frekans çözünürlüğü, neredeyse bütün parametrik olmayan yöntemler arasındaki ortak problemdir. Bu yüzden ara-harmonik ve alt-harmoniklerin tespiti bu yöntemler için zorlu bir uğraş olmaktadır. Parametrik yöntemlere dayanan birçok stokastik model (Box ve diğerleri, 1994; Osborne, 1975; Prony 1795), 60’ların sonlarına rastlayan dönemlerde, harmonik tahmininde (Akaike, 1969a; Kay ve Marple, 1981; Tretter ve Steiglitz, 1967) kullanılmaya başlamadan önce, zaman serileri ile veri analizi gibi mühendislik dışı birçok uygulamada yer almıştır. Daha sonradan, Tekil Değer Ayrıştırma (TDA) (Chang ve diğerleri, 2008; Lobos ve diğerleri, 2001; Moghadasian ve diğerleri, 2010; Osowski, 27 1994; Swain ve diğerleri, 2005), Otoregresif/Hareketli Ortalamalar (AR/ARMA) (Akaike, 1969b; Alkan ve Yilmaz, 2007; Nagesha ve Kay, 1996), En Küçük Kareler yöntemi (Al-Feilat ve diğerleri, 1994; Kusljevic ve diğerleri, 2010; Lobos ve diğerleri, 2001; Najjar ve Heydt, 1991; Soliman ve diğerleri, 1990) gibi birçok veri analiz tekniği, harmonik tespiti için uygun olarak seçilmiş model parametrelerinin tahmin edilmesinde kullanılmıştır. Nguyen (1997) tarafından yapılan çalışmada, örneklenmiş veri kümesinin, eğitim kümesi ve test kümesi olacak şekilde iki küme olarak partisyonlara bölünebileceği gösterilmiş ve böylece parametrik modelin, uygun olmayan model derecelerinde hatalı sonuç vermemesi sağlanmıştır. Birçok yazar, güç sistemleri harmonikleri ve ara- harmonikleri tahmini için Prony yöntemi uygulamaları üzerinde çalışmıştır (Chang ve Chen, 2010; Chen ve Chang, 2009; Costa ve Cardoso, 2006; Leonowicz ve diğerleri, 2003; Marple, 1979; Qi ve diğerleri, 2007; Zhijian ve diğerleri, 2007) fakat bu yöntemin, düşük frekans analizi ve tahmininde daha elverişli olduğu görülmüştür (Sun ve diğerleri, 2009; Tripathy ve diğerleri, 2009). Chang ve Chen (2010) tarafından yapılan çalışmada, Prony yöntemi kullanılarak, gürültülü veriler üzerinde bitişik komşu frekansların tespit edilmesi için aşağı örnekleme tekniği uygulanmıştır. Schmidt (1986) tarafından, bir antene varan çoklu ön dalgaların (wavefront) parametrelerinin belirlenmesi üzerine yapılan çalışmada, işaret alt uzay ayrıştırması tabanlı MUSIC tekniği önerilmiştir. Wang ve Lu (2006) tarafından yapılan çalışmada, MUSIC tabanlı harmonik öznitelik çıkarma algoritması sunulmuş, fakat MUSIC güç harmonik tahmininde yüksek hesaplama maliyeti sebebiyle yaygın olarak kullanılmamıştır. Roy ve Kailath (1989) tarafından yapılan çalışmada, işaretin varış yönü tahmini için Rotasyonel Değişmezlik Tekniğiyle İşaret Parametrelerinin Kestirimi (ESPRIT) olarak bilinen ve harmonik tahminini konu alan birçok başarılı çalışmada da Bracale ve Carpinelli, 2009; Lobos, Leonowicz ve Rezmer, 2000; Tao ve diğerleri, 2010) temel bir yöntem olarak kullanılan harmonik analiz tekniği literatüre kazandırılmıştır. ESPRIT, işaretin kayma değişmezliği özelliğini kullanır. Durağan olmayan verilere de uygulanabilen kayan pencere tabanlı ESPRIT tekniği de geliştirilmiştir (Gu ve Bollen, 2008). Bracale ve diğerleri (2008) tarafından yapılan çalışmada, MUSIC ve Prony yöntemlerinin harmonik grupları ve alt-gruplarının, (Iec, 2002) çalışmasına uygun olarak doğrudan ölçülmesi amacıyla uygulanmıştır. Liquan ve Yanfei (2010) tarafından yapılan 28 çalışmada, geliştirilmiş Gaussian Olmayan Karmaşık Maksimizasyon algoritması harmonik ve ara-harmonik tahmini için kullanılmıştır. Son yirmi yılda, yapay zekâ tabanlı tekniklerin ve rekürsif/adaptif yöntemlerin oldukça yaygın olarak kullanıldığı görülmektedir. Bu yöntemler, geleneksel metotlar üzerine yanlış modellemelerden doğan hatalar, işaret üzerindeki gürültü ve lineer olmama durumu gibi eksikliklerle başa çıkmak amacıyla uygulanmıştır. Sharma ve Mahalanabis (1973) tarafından yapılan çalışmada, harmonik analizinde KF uygulaması sunulmuştur. Daha sonra, on yılı aşkın bir süre boyunca KF yöntemine dayanan herhangi bir çalışma yayınlanmazken, bu süre zarfından sonra, özellikle temel frekans senkronizasyonu problemini çözmek amacıyla birçok çalışma yapılmıştır. Bitmead ve diğerleri (1986), Dash ve Sharaf (1988), Girgis ve diğerleri (1991), Ma ve Girgis (1996) ve diğer birçok kişi tarafından yapılan çalışmalarda KF temelli geliştirilmiş algoritmalar, gerçek zamanlı harmonik analizi için önerilmiştir (Andria ve diğerleri, 1992; Liu, 1998; Macias ve Gomez, 2006; Mostafa, 2007). Genişletilmiş KF yöntemi ise, KF’nin geçici durum işaretleri üzerindeki doğruluk yüzdesinin zayıf olmasından dolayı, baştaki durumuna yeniden dönebilme özelliği ile birlikte, ani işaret değişimlerinde dahi temel frekansı yakalayabilmek amacıyla kullanılmıştır (Chen ve diğerleri, 2010; Dash ve diğerleri, 1999; Kennedy ve diğerleri, 2002). Bettayeb ve Qidwai (1998) tarafından yapılan çalışmada, EKY tabanlı özyinelemeli bir teknik, kısa uzunluklu, gürültülü, lineer ve durağan olmayan veri örnekleri üzerinde denenmiş ve kabul edilebilir sınırlar içerisinde çalıştığı gösterilmiştir. Köse ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, lineer KF ve genişletilmiş KF birleşimine dayanan bir yöntem, bozulmuş bir kaynağın spektral ayrıştırılması ve harmonikler ile ara-harmoniklerin elde edilmesi amacıyla önerilmiştir. Mori ve diğerleri (1992), Mori ve Suga (1991) ve Osowski (1992) tarafından neredeyse aynı zaman diliminde yapılan çalışmalarda, birbirinden bağımsız olarak harmonik ve ara- harmoniklerin tespiti için YSA uygulamaları önerilmiştir. Mori ve diğerleri (1992, Mori ve Suga (1991) tarafından yapılan çalışmada, üç katmanlı, geri yayılımlı (backpropogation), ileri beslemeli (feedforward) sinir ağı genlik harmonik tahmini için önerilmiş, Osowski (1992) tarafından yapılan çalışmada ise işaretin bilinmeyen genlik, faz ve 𝑛 farklı frekanstan oluştuğu varsayılarak, yüksek hesaplama kapasitesi elde edilebilmesi için paralel hesaplamaya dayanan sinir ağı tasarlanmıştır. Osowski (1992) 29 tarafından yapılan çalışmada aynı zamanda, Mori ve diğerleri (1992) tarafından yapılan çalışmadaki kadar hızlı olmasa da, devre karmaşıklığını ve üretim maliyetini oldukça azaltan adaptif tahmin yöntemi ileri sürülmüştür. Mathew ve Reddy (1994) tarafından yapılan çalışmada, geri-besleme tipli sinir ağı, Pisarenko yöntemi üzerinde uygulamıştır. Harmonik alanında YSA tekniklerinin önemli referansları (Boguslaw Swiatek ve diğerleri, 2007; Nascimento ve diğerleri, 2011; Lin ve Cheng, 2007; Liu ve Qin 2010; Temurtas, 2011; Wu ve diğerleri, 2008; Xiao ve diğerleri, 2010; Xiuchun ve diğerleri, 2009; Ying ve Qingsheng, 2009) kaynaklarıdır. Dash ve diğerleri (1996) tarafından yapılan çalışmada, ADALINE olarak bilinen YSA, Fourier lineer kombinatörünü, yeni bir harmonik tahmin yaklaşımı olarak geliştirmiştir. Bu yaklaşım, geri-yayılım yaklaşımından oldukça farklıdır ve hata fark denkleminin parametrelerinin uygun seçimiyle birlikte yakınsama hızı ve kararlılık üzerinde daha iyi bir denetim sağladığı gösterilmiştir. Son olarak, Chang ve diğerleri (2009) tarafından yapılan çalışmada, iki aşamadan oluşan, gürbüz ve ara-harmonikleri tespit edebilen ADALINE yöntemi sunulmuştur. Sarkar ve diğerleri (2011) tarafından yapılan çalışmada, frekans sapmaları ve gürültüye karşı bağışıklığı geliştirmek amacıyla öz-senkronizasyonlu S-ADALINE algoritması geliştirilmiştir. Guangjie ve Hailong (2009) ve Chang ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, Radyal Baz Fonksiyonlu Sinir Ağı tabanlı daha basit yapıya ve yerel değişimler ile süreksizlikleri bulabilmek için daha uygun öğrenme fonksiyonlarına sahip olan bir teknik ileri sürülmüştür. Lu ve diğerleri (2008) tarafından yapılan çalışmada, parçacık sürü optimizasyonu uygulamış ve ve diğerleri 2007) tarafından yapılan çalışmada ise güç harmoniklerini tespit edebilmek için, genetik algoritma tabanlı adaptif perseptron uygulaması gerçekleştirilmiştir. PLL tekniği, hava taşıtları (Cupertino ve diğerleri, 2011; Lavopa ve diğerleri, 2009), makine kontrolü, güç sistemleri (Cataliotti ve diğerleri, 2007; Ghartemani ve Iravani, 2003) gibi birçok alanda frekans tespiti ve senkronizasyon amacıyla uygulanmıştır. Ghartemani ve Iravani (2002), Ghartemani ve diğerleri (2004), Karimi ve diğerleri (2003), Mojiri ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, lineer olmayan adaptif filtre tabanlı genişletilmiş PLL kavramı, harmonik analizinde kullanılabilmesi amacıyla ileri sürülmüştür. Genişletilmiş PLL’nin, diğer işaretlerin tepe değeri, titreşimi gibi özellikleri de açığa çıkarmada kullanılabileceği gösterilmiştir. Buna rağmen, herhangi bir özel harmonik bileşenini tespit edebilmek, tüm harmonik bileşenleri belirlemeyi, yani her 30 adımda önceki rezidü değerini giriş olarak alan Genişletilmiş PLL zincirlerinin kullanımını gerektirildiği için EPLL pratik bir yöntem olarak değerlendirilmemektedir. McNamara ve diğerleri (2007) tarafından yapılan çalışmada, güç işaretinin esas frekansını ve her bir harmonik bileşenini adaptif olarak tahmin eden ve zamana göre değişimini takip eden bir yöntem ileri sürülmüştür. Bu yöntem, faz-dikteli sinüzoidal izleme kullanmaktadır ve ana-uydu (master-slave) deseninde bunları ayarlayarak sinüzoidal bileşenleri ortaya çıkarmaktadır. Carvalho ve diğerleri (2009) tarafından yapılan çalışmada, ilk adımda bant geçiren filtre, bunun akabinde hesaplama yükünü azaltmak için aşağı-örnekleyici ve son olarak farklı frekans bileşenlerinin genlik ve faz bilgilerini sağlayan Genişletilmiş PLL’den oluşan üç aşamalı algoritma kullanılmıştır. 1.3. Hibrit Teknikler Özgün harmonik tahmin yöntemlerinin zayıflıklarının bir başka yöntem tarafından telafi edilerek, yani üstün yanlarını kullanarak birçok hibrit teknik geliştirilmiştir (Agha Zadeh ve diğerleri, 2010; Bettayeb ve Qidwai, 2003; Bitmead, 1982; Chen ve diğerleri, 2009; Costa ve diğerleri, 2007; Dash ve diğerleri, 2010; Hostetter, 1980; Hostetter, 1983; Huang ve diğerleri, 2010; Xiong ve diğerleri, 2010; Joorabian ve diğerleri, 2009; Liu, 2001; Lobos, Rezmer ve Koglin, 2001; Martens, 1984; Mishra, 2005; Ren ve Kezunovic, 2010; Sadinezhad ve Agelidis, 2010; Sahoo ve diğerleri, 2009; Soliman ve diğerleri, 1999; Soliman ve diğerleri, 2003; Subudhi ve Ray, 2009; Tarasiuk, 2004; Wang ve diğerleri, 2005; Ye ve Liu, 2009; Xin ve diğerleri, 2007; Zhan ve Cheng, 2005). Liu (2001) tarafından yapılan çalışmada, dalgacık dönüşümünü, çeşitli harmoniklerin genlik ve faz bilgilerini dalgacık ve ölçek fonksiyonlarının katsayıları cinsinden seçerek, KF’nin frekans takibi için harcadığı zamanı kısaltmak amacıyla gerçek zamanlı bir yöntem önerilmiştir. Lobos, Rezmer ve Kolin (2001) tarafından yapılan çalışmada, geçici durumları belirlemek için dalgacık dönüşümü kullanılmıştır ve frekans içeriğini açığa çıkarmak için Prony yöntemi uygulanmıştır. Bettayeb ve Qidwai (2003) tarafından sunulan bir hibrit teknikte, genlik lineer EKY ile tahmin edilmiş ve lineer olmayan bir problem olan faz tahmini, genetik algoritmalar kullanılarak hesaplanmıştır. Joorabian ve diğerleri (2009) tarafından yapılan çalışmada, ise aynı zamanda lineer ve lineer olmayan problemleri ayrıştırmak ve ayrı ayrı ele almak amacıyla benzer bir teknik kullanılmıştır. 31 Bulanık Mantık Temelli Bakteri Yaşlandırma Optimizasyon Tekniği harmonik ve temel bileşenlerin faz tahmini için Mishra (2005) tarafından yapılan çalışmada kullanılırken, yine aynı çalışmada geleneksel EKY, kanıtlanmış performansından dolayı genlik tahmini amacıyla tercih edilmiştir. Soliman ve diğerleri (1999) (2003), tarafından yapılan çalışmalarda, bulanık lineer regresyon temeline dayanan, bozulmuş bir gerilim işaretinin frekans sapması ve harmonik içeriğini, doğru bir şekilde ifade eden bir yöntem geliştirilmiştir. Huang ve diğerleri (2010) tarafından önerilen yöntemde ise bozulmuş güç işaretinin genlik ve frekans bilgilerini tahmin etmek için genişletilmiş kompleks KF yöntemiyle birlikte bulanık adaptif bir kontrolör uygulaması yapılmıştır. Hostetter (1980), (1983) tarafından yapılan çalışmalarda, AFD özyinelemeli bir yapıda uygulanarak periyodik işaretin bant limitli ifadesi, durum değişkeni olarak kullanılmıştır. Bitmead (1982) tarafından önerilen yöntemde ise, Hostetter (1980)’deki özyinelemeli tekniğin, FIR frekans örneklemeli filtrelere eşdeğer olduğu gösterilmiştir. Martens (1984) tarafından, “Recursive Cyclotomic Factorization Algorithm” (RFCA) olarak bilinen tekniğin, AFD hesaplaması amacıyla uyarlanan özyinelemeli bir teknik sunulmuştur. Bu teknik, özyinelemeli bir yapıya sahip olduğu için birkaç tane hesaplama hücresi ile kolay bir şekilde gerçeklenebilmektedir ve HFD algoritmasından daha verimli olduğu makalede gösterilmiştir. Xin ve diğerleri (2007) tarafından yapılan çalışmada, gerçek zamanda istenilen özel bir harmonik bileşenini tahmin edebilme yetisine sahip bir başka özyinelemeli AFD tekniği önerilmiştir. Doğruluk, düşük hesaplama maliyeti ve hızlı yakınsama özellikleri, örnekleme frekansı ve veri pencere büyüklüğüne bağlı olan bir algoritma Ren ve Kezunovic (2010) tarafından literatüre kazandırılmıştır. Önerilen algoritma, özyinelemeli Dalgacık Dönüşümü tabanlı bir tekniğe dayanır. Bu tekniğin uygulanabilmesi, analiz edilen işaretin bir tam periyoduna ait verilerin bilinmesini gerektirmektedir. Dalgacık dönüşümü ve HFD’ye dayanan birçok hibrit yöntem son yıllarda ileri sürülmüştür (Chen ve diğerleri, 2009; Tarasiuk, 2004; Ye ve Liu, 2009). Bracale ve Carpinelli (2009) tarafından önerilen yöntem, ESPRIT ve AFD tabanlı iki aşamalı tekniği içermektedir. İlk aşamada, temel frekans, AFD için ideal pencere genişliği ve ara- harmoniklerin bulunması için ESPRIT kullanılmış, ardından orijinal işaret ve ESPRIT tarafından elde edilen harmonik bileşenlerin toplamı üzerinde AFD işlemi 32 gerçekleştirilmiştir. ESPRIT yönteminin uygulanması, AFD için ideal pencere genişliği bilgisini ve temel frekans-ölçüm frekansı arasındaki senkronizasyonu sağlamıştır. Dalgacık dönüşümünün eş zamanlı olarak herhangi bir sınırlama olmadan geçici durumları tespit edebilme yeteneği ve HFD’nin hızı, Tarasiuk (2004) tarafından kullanılarak geçici durumları ve harmonikleri yakalayan hibrit bir yöntem ilgili çalışmada tanıtılmıştır. Chen ve diğerleri (2009) tarafından yapılan çalışmada ise, daha doğru bir harmonik spektrum elde edilebilmesi için HFD ile işareti işlemeden önce, dalgacık dönüşümü ile gürültü giderme uygulaması gerçekleştirilmiştir. Wang ve diğerleri (2005) tarafından önerilen yöntemde, Ampirik Mod Ayrıştırma yönteminin bant geçiren filtre yeteneğini arttırmak amacıyla, DPD tabanlı bir hibrit yöntem önerilmiştir. Diğer bir hibrit yöntem Costa ve diğerleri (2007) tarafından önerilen KF ve Prony yöntemini kullanan bir uygulamadır. Prony yöntemi frekans kestiricisi olarak belirlenmiş, KF ise her bir harmoniğin genlik ve faz değerlerini ortaya elde etmek amacıyla kullanılmıştır. Bu teknik, zamanla değişen işaretleri izleme, ara-harmonikleri bulabilme yeteneğine sahiptir ve frekans tahmini için Prony yöntemini kullandığından, harmonik frekanslarının önceki değerlerinin KF içerisinde bilinmesinden bağımsızdır (Çünkü sadece genliği tahmin eden bir model ile çalışmaktadır. Bu uygulama için frekans takibini KF yapmamaktadır). 2009 yılında, birçok hibrit şema (Chang Soliman ve diğerleri, 2009; Joorabian ve diğerleri, 2009; Sahoo ve diğerleri, 2009; Subudhi ve Ray, 2009) ADALINE yöntemini uygulamak için önerilmiştir. Subudhi ve Ray (2009) tarafından yapılan çalışmada, ADALINE adaptif tahmin edici olarak, özyinelemeli EKY ve KF ise, adaptif YSA kestiricisinin katsayılarını güncellemek için iki ayrı metot olarak kullanılmıştır. Ancak, KF-ADALINE yönteminin performansının, LS-ADALINE yöntemininkinden daha iyi olduğu saptanmıştır. Sahoo ve diğerleri (2009) tarafından yapılan çalışma, gürbüz 𝐻∞ filtresini genlik kestirimi için, ADALINE’i ise faz kestirimi için kullanmıştır. 𝐻∞ filtre yaklaşımı, işaretdeki sinüzoidal sayısının bilindiği varsayımı altında, işaretin durum uzay modeline dayandığı ilgili çalışmada belirtilmiştir. Bu noktada, KF’nin sadece beyaz gürültü altında iyi sonuçlar verdiği, 𝐻∞ filtresinin ise gürültü tipinden bağımsız olarak, ilgili parametrelerin kestirimini yapabildiğine değinmek faydalı olacaktır. Jiefeng Xiong ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, pencerelenmiş interpolasyon ve ana harmonik bileşenine veya diğer harmoniklere yakın bulunan ara- 33 harmonikleri tespit etme kapasitesine sahip olduğu öne sürülen Prony tabanlı bir yöntem tanıtılmıştır. Pencerelenmiş interpolasyon yöntemi, harmonik bileşenleri bularak iki komşu bileşen arasında yerleşmiş frekans aralıklarını tanımlar. Daha sonra Prony algoritması, bu bitişik bileşenleri hesaplamak amacıyla kullanılır. Destek Vektör Makinesi algoritması tabanlı bir teknik, Zhan ve Cheng (2005) tarafından, iteratif yeniden ağırlıklandırılmış EKY kullanılarak harmonik ve ara-harmoniklerin kestirimi amacıyla tanıtılmıştır. Dash ve diğerleri (2010) tarafından yapılan çalışmada, Adaptif Parçacık Sürü Optimizasyonu (APSO) algoritması, unscented KF’nin parametrelerini optimal olarak seçmek ve hata kovaryansını ölçmek amacıyla kullanılmıştır. Unscented KF, durağan olmayan işaret parametrelerinin daha kesin ölçümünü sağlamaktadır, çünkü hata kovaryans matrisinin ve durumun hesaplanması için lineerleştirme kullanmaz. APSO, düşük SNR seviyelerinde ve filtre parametrelerinde meydana gelebilecek hata durumlarında da uygulanan KF bazlı yöntemin işaret parametrelerine başarıyla yakınsamasını sağlar. Ayrıca yazarlar tarafından, sistemin yerel minimumlara takılmaması için APSO üzerinde gerekli önlemler alınmıştır. Zadeh ve diğerleri, (2010) tarafından yapılan çalışmada, KF ve En Küçük Karesel Hata tekniği, yeni bir hibrit yöntem türetilmek amacıyla kullanılmıştır. KF, gürültüye ve diğer bozuculara duyarsız olarak kesin tahmin sonuçlarının sağlanabilmesi amacıyla modifiye edilmiş ve En Küçük Karesel Hata, sistemi kritik gecikme ve KF tarafından belirlenen hataları gidermek için geçici durumlarda işlem yapabilmesi amacıyla düzenlenmiştir. Aynı zamanda gürültü etkisi, yüksek derecede harmonikler ve algoritmanın hesaplama zorlukları gibi pratik hususlar da test sonuçlarıyla birlikte sunulmuştur. Sadinezhad ve Agelidis (2010) tarafından yapılan çalışmada, Newton Yöntemi ve LS algoritması tabanlı optimizasyon tekniği, güç sistem frekansı ve harmoniklerinin adaptif olarak ölçülmesi amacıyla önerilmiştir. 1.4. Tezin Motivasyonu Güç sistemlerinin tasarımında sadece güvenli ve kararlı sistemlerin değil, aynı zamanda verimli sistemlerin de tasarlanması büyük önem arz etmektedir. Bu açıdan geleneksel olarak güç kalitesi tanımı, elektrik enerjisinin efektif bir şekilde kullanılması için tanımlanmıştır ve doğru bir şekilde ölçülmesi standartlara tabii tutulmuştur (1159-2019 - IEEE Recommended Practice for Monitoring Electric Power Quality | IEEE Standard | IEEE Xplore, 2019). Güç kalitesini etkileyen önemli ölçütlerden birisi güç faktörüdür. 34 Güç faktörü, bir yükün çektiği akım ve gerilim büyüklüklerinin aralarındaki faz farklarının sıfıra yaklaştırılması ile maksimum değerine yaklaşır. Öte yandan iki büyüklük arasındaki faz farkının artması, güç faktörünü kötüleştirir ve sistemde reaktif gücün artmasına sebep olmaktadır. Güç faktörü sistem verimini ölçmekte önemli bir tanım olmasına rağmen, sistemin temel frekansına göre gerçekleştirilen hesaplamalar üzerine tanımlanır. Bir başka değişle, sistem 50 𝐻𝑧 frekansında temel harmoniğe sahip ise güç faktörü bu temel frekans üzerindeki akım ve gerilim büyüklüklerini dikkate alır. Öte yandan, birçok sistem içerisinde temel harmoniğin tamsayı katı olan harmonikler veya tamsayı olmayan katlarında bulunabilen ara-harmonikler mevcuttur. Harmonik veya ara-harmonik frekansları, üzerlerinde sistemin yapısına bağlı olarak görece yüksek güçler barındırabilir. Güç sistemlerinde gerilim ve akım büyüklüklerinin temel frekansta iletilmesi gerekliliğinden ve diğer frekanslarda bulunan bileşenlerin güç aygıtları tarafından kullanılamamasından mütevellit sistem üzerinde ve iletim hatlarında harmonik/ara- harmoniklerin bulunması istenmeyen bir durumdur ve enerji kayıpları oluşturmaktadır. Bu sebeplerden dolayı, harmoniklerin ve ara-harmoniklerin genlik, frekans ve faz bilgilerinin hızlı ve gerçek değerlere yakın bir şekilde bulunması, harcanan enerjinin tespitinde önemli bir rol oynar. Ayrıca, tezin giriş bölümünde de belirtildiği gibi, ara- harmoniklerin geleneksel yöntemlerle ölçümünün zor veya imkânsız olması, yeni yöntemlerin geliştirilmesine ihtiyaç doğurmuştur. Dolayısıyla, bu amaç ve motivasyonla tez konusu olarak harmonik ve özellikle de ara-harmonik parametrelerinin kestirimi fikri üzerinde durulmuş ve tez içerisinde Prony Yöntemi ve AHD tabanlı frekans, genlik ve faz kestirimi yapabilen bir yöntem önerilmiştir. Ayrıca, bu yöntemin işaret modelinden esinlenilerek MUSIC ve AHD tabanlı ikinci bir yöntem frekans tahmini amacıyla önerilmiştir. Gerçekleştirilen çalışmalarda, önerilen yöntemlerin başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Harmonik ve ara-harmoniklerin tespiti, enerji verimliliğini ölçmenin dışında, sistem arızalarının kaynaklarının araştırılması ve bu arızaların önlenmesi açısından da oldukça önemlidir. Güç sistemlerinin tasarımına ve içerisinde kullanılan kondansatör, endüktans veya sistemin frekans yanıtını değiştirebilecek elemanların değerlerine bağlı olarak, güç sisteminin içerisinde istenmeyen frekansların belirmesine ve bu frekanslardaki 35 bileşenlerin sistemin bazı parçalarına giriş olarak ulaşması, sistemde istenmeyen davranışlara (rezonans, girişim v.b.) sebep olabilmektedir. Bu frekansların belirlenmesi ve bastırılması, sistemin güvenliği için oldukça önemlidir. Hatta ara-harmonikleri önceden belirleyebilen yöntemler sayesinde, henüz sistem tasarım aşamasındayken ilgili parametreler, benzetim teknikleri ve ara-harmonik ölçen yöntemler sayesinde istenmeyen harmonik bileşenlerin oluşmaması yönünde seçilebilir. Bu açıdan bakıldığında, ara- harmoniklerin ölçülmesi ve bastırılmasına yönelik yöntemlerin geliştirilmesi, güç elektroniği alanı açısından önemlidir. Son olarak konu bir bütünlük açısından ele alındığında, genlik, frekans ve faz bilgilerinin kestirimi sadece güç elektroniği alanı için değil, aynı zamanda görüntü işleme, biyomedikal sistemler, haberleşme sistemleri ve birçok konuda gereksinim duyulan önemli bir konudur. Bu bağlamda, tez çalışması bu alanlarda kullanılabilecek yöntemler önermektedir. Bu çalışmadan hareketle diğer alanlarda yapılabilecek çalışmalar tezin motivasyon kaynaklarından bir diğerini oluşturmaktadır. 1.5. Tezin Amaç ve Kapsamı Gerçekleştirilen tez çalışması, harmonik ve ara-harmoniklerin genlik, frekans ve faz değerlerini belirleyebilmek amacıyla Prony ve AHD tabanlı bir yöntem önermektedir. Ayrıca, frekans kestirimi yapabilmek amacıyla MUSIC ve AHD hibrit ikinci bir yöntem daha sunmaktadır. Bu yöntemlerin geliştirilme amaçları, harmonik ve ara-harmonik dağılımlarını belirleyebilmek, taşıdıkları enerji değerlerini ölçebilmek ve uygulamalarda harmonik tabanlı meydana gelebilecek hataları, tasarım aşamasında veya gerçek zamanlı olarak adaptif filtre uygulamalarıyla önleyebilmek olarak sıralanabilir. Ayrıca; görüntü işleme, biyomedikal işaret işleme, haberleşme sistemleri vb. alanlarının genlik, frekans ve faz kestirimine ihtiyaç duyulan birçok uygulamaları içerisinde de kullanılabilecek yöntemlerin geliştirilmesi, yan amaçlar olarak sınıflandırılabilir. Bu amaçlar göz önüne alındığında gerçekleştirilen tez çalışmasının, başta güç sistemlerinde işaret parametrelerinin kestirimi olmak üzere, diğer uygulama alanlarında da geniş bir kapsamı olduğu belirtilebilir. Tez içerisinde güç elektroniği alanı özel olarak incelendiği için esas olarak tez; güç sistemlerinde parametre kestirimi, güç sistemi içerisinde harcanan veya üretilen gücün hızlı ve etkin bir biçimde ölçülmesi ve son olarak sistem tasarımında 36 harmonik/ara-harmonik kaynaklı meydana gelebilecek hataların önceden tahmin edilerek tasarım aşamasında önlenebilmesi konularını kapsamaktadır. 1.6. Tezin Katkıları Tezin katkıları, başta güç sistemlerinde ara-harmonik kestirimi olmak üzere çeşitli bakış açıları ile aşağıda maddeler halinde sunulmuştur.  Tezde güç sistemleri içerisinde meydana gelen ara-harmonik ve harmoniklerin genlik, faz ve frekans bilgilerini ölçebilen Prony ve AHD tabanlı bir yöntem önerilmiştir. Ayrıca, frekans kestirimi yapabilen MUSIC ve AHD tabanlı ikinci bir yöntem önerilmiştir.  Tezde önerilen yöntemler, ara-harmonikleri de bulabildikleri için güç sistemlerinde enerji ve güç ölçümünün gereksinim duyulduğu yerlerde kullanılabilir ve sadece harmonikleri ölçebilen geleneksel yöntemlerden daha iyi sonuç verebileceği öngörülmektedir.  Tezde önerilen yöntemler ara-harmoniklerin tespit edebilme yetenekleri sayesinde, güç sistemlerinde meydana gelebilecek hataları önceden öngörebilmektedir ve bu sayede sistem tasarımlarının daha güvenli ve hatalardan uzak bir şekilde gerçekleştirilmesine katkı sunabilmektedir.  Tezde önerilen yöntemler, türetildikleri üst yöntemlere göre daha hızlı ve başarılı sonuçlar elde edebilmektedirler. Else edilen sonuçların hız ve doğruluk açısından kıyaslanmaları uygulamalar bölümünde gösterilmiştir.  Tezde önerilen yöntemlerin sadece güç elektroniği değil, diğer disiplinlerde de uygulanabilir niteliktedirler. Örneğin, görüntü işleme, biyomedikal işaret işleme, haberleşme sistemleri vb. alanlarda genlik ve frekans tespitinin gereksinim duyulduğu konularda kullanılabilme potansiyeli vardır. 37 2. KURAMSAL TEMELLER VE KAYNAK ARAŞTIRMASI Harmoniklerin kestiriminde yeni bir yöntem ortaya koymak, bu tür harmoniklerin kaynaklarını araştırmayı, ölçüm yöntemlerini tanımayı, güç sistemleri üzerinde oluşturacağı etkinin incelenmesini ve mevcut frekans kestirim yöntemlerinin bilinmesini gerektirmektedir. İlgili konular, tezin kuramsal temellerini oluşturmakta ve bu bölümde ele alınmaktadırlar. 2.1. Ara-harmonikler ve Ölçüm Zorlukları Güç sistemlerinde ara-harmoniklerin varlığı, sadece frekans analizinde ve frekans spektrumunun doğru bir şekilde ortaya çıkarmasında birçok sorunu beraberinde getirmekle kalmamış, aynı zamanda ek problemler de yaratmıştır. Frekans kestirim zorluğunun haricinde ara-harmoniklerin varlığının güç sistemleri arasında oluşturduğu sorunlar arasında; termal etkiler, elektrik motoru gibi mekanik sistemlerin düşük frekanslı salınımları, ışık ve katot ışın tüplerinde oluşan titreşimler, telekomünikasyon, kontrol ve koruma işaretlerinde meydana gelen parazitler, pasif filtrenin öngörülmeyen frekanslarda aşırı yüklenmesi ve rezonans sorunları, gerilim ve akım işaretleri üzerinde oluşan bozulmalar vardır. Ortaya çıkabilecek bu etkiler, düşük güç ile çalışan sistemlerde de görülebilir, hata ve arızalara sebebiyet verebilir (Barros, Prez, Pigazo, ve Diego, 2002; Gallo, Daniele, Langella, Roberto, Testa, 2003; Gallo, Langella, Testa, 2003; Ghartemani ve Iravani, 2005; Lin, 2014; Lin 2013). Harmonik olgusunu anlamaya ve açıklamaya yönelik başlıca yöntemler aşağıdaki şekilde sıralanabilir (Lin, 2014):  Doğru akım enjeksiyonu  Harmonik güç akışı  İteratif harmonik analiz  Deneysel analog modelleme  Zaman boyutu modelleme  Doğru akım enjeksiyonu: Alçak gerilim (AG) şebekelerinde, PV sistemler güç hattına doğru akım verebilmektedirler. Bu etki, şebekede bulunan 38 transformatörleri doyuma götürerek dalga şeklinin bozulmasına, dolayısıyla harmonik üretimine sebebiyet verir. PV sistemlerinde eviricinin şebekeye vereceği doğru akımın etkisini azaltacak yönde enjekte edilen akım, harmonik etkisini düşürecektir. Bu enjeksiyon işlemi, doğru akım enjeksiyon yöntemi olarak bilinir. IEEE Std 929-2000 standartlarına göre bir eviricinin şebekeye verebileceği doğru akım (DA), sağlanan nominal akımın %0.5’ini aşmamalıdır (Arıcı, İskender, 2020; IEEE Std 1547, 2003).  Harmonik güç akışı: Bir şebekede, hatlar ve baralar üzerindeki güç işaretlerinin temel ve harmonik bileşenlerinin hesaplanması esasına dayalı bir analiz yöntemidir. Bu yöntemde, güç işaretleri Fourier serileri ile ifade edilir ve Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) ile frekans boyutuna taşınır. Harmonik güç akışı yönteminde, akım-gerilim karakteristiği doğrusal ilişkide olan baralar lineer bara olarak ele alınır. Üretim baraları ve salınım baraları da lineer bara kategorisine girer. Doğrusal akım-gerilim karakteristiği olmayan baralar ise lineer olmayan baralar başlığı altında incelenir. Geleneksel olarak harmonik güç akışı yönteminde, Newton-Raphson yöntemine bağlı olarak türetilen matematiksel metotlar kullanılır (Alaşahan ve diğerleri, 2016; Grady; 1983).  İteratif harmonik analiz: Harmonik güç akışına benzer olarak iteratif yöntemlerle harmonikler üzerinde analiz yapan bir yöntemdir (Arrillaga ve diğerleri, 2013; Karadeniz ve diğerleri, 2018). Bu yöntem, farklı topolojiler için uygulanabilir. Örneğin alternatif akımı doğru akıma çeviren üç fazlı bir sistem için iteratif harmonik analizi gerçekleştirmenin ilk adımı temel frekans bulmaktır. Daha sonra, her bir doğrultucu çıkışındaki AA harmonikler ve DA bileşeni hesaplanır. Ardından, sistemin AA harmonikleri ve DA bileşeni bulunur. Her bir doğrultucu çıkışının ve sistemin AA bileşenlerinin hesaplanması, harmonik analizi oluşturur ve belirli bir yakınsama elde edilesiye kadar sürekli olarak bu hesaplamalar tekrarlanır (Caramia ve diğerleri, 1994).  Deneysel analog modelleme: Bir sistemin belirli koşullar altında, test ve ölçüm değerlerine verdiği yanıtlar göz önüne alınarak dinamik bir modelinin geliştirilmesi esasına dayanır. Bu tekniklere örnek olarak; sistemin adım yanıtına bağlı olarak parametrelerini tahmin etme (Broida yöntemi), sisteme verilen girişler doğrultusunda sistem çıkışının frekans yanıtını inceleyerek sistemi 39 tasarlama ve MLE veya en küçük kareler algoritması gibi metotlar kullanarak sistemi bir eniyileme kıstası ile tanımlama yöntemleri gösterilebilir (Mbihi, 2018).  Zaman boyutunda modelleme: Bu yöntem, güç sistemlerinin zaman boyutundaki matematiksel ifadelerini kullanarak harmonik analizini gerçekleştirir. Bir sistemin zaman boyutu benzetimi, frekans boyutu benzetiminden daha fazla hesaplama yükü getirir ancak daha kesin sonuçlar vereceği açıktır. Ayrıca, zaman boyutu denklemleri birçok benzetim programı tarafından desteklenmektedir ve yük karakteristikleri önceden programa tanımlanmamış lineer olmayan elemanların bile modellenmesine imkân verir. Sistemin zaman boyutu modeli kullanılarak, sistemin zorlanmış yanıtı ve doğal yanıtı elde edilir. Zorlanmış yanıt, güç kaynağının sisteme enjekte ettiği temel frekans için sistemin verdiği yanıttır. Sistemde bulunan lineer olmayan elemanlar, sisteme verilen frekanstan daha farklı değerlerde frekanslar üreteceklerdir, çünkü matematiksel yapıları bunu gerektirmektedir (Smith ve Yacamini, 1993). Yukarıda beş madde ile açıklanan yöntemler genel olarak Fourier analizini kullanmaktadır. Denklem (2.1) ve (2.2)’den görülebileceği üzere, bu yöntemlerin sağlıklı sonuç vermesi, Fourier temel frekansının tamsayı olmayan katlarında bulunan ara- harmoniklerin varlığı durumunda mümkün olamayacaktır. Bu yöntemlerin ara- harmoniklerin varlığı durumunda kullanılması sonucu oluşabilecek sorunlar aşağıda listelenmiştir (Carbone ve diğerleri, 1995; Lin, 2013).  Düşük güçlü analog modellerin ve zaman boyutu modellerinin kullanımı küçük sistem boyutlarında sorunlar teşkil etmektedir.  Doğru akım enjeksiyonunun uygulanması pratikte zordur ve hatalı sonuçlar verebilmektedir.  Ara-harmonikler mevcutken harmonik güç akışı yönteminin uygulanması oldukça zordur.  İteratif harmonik analizinin uygulanması, doğrusal olmayan yüklerin modellenmesinde oldukça karmaşıktır (Carbone, Morrison, Testa ve Menniti, 1995). 40 ∞ 𝑛2𝜋𝑡 𝑛2𝜋𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑎0 +∑(𝑎𝑛 cos ( ) + 𝑏𝑛 sin ( )) , n ∈ N + (2.1) 𝑇 𝑇 𝑛=1 1 𝑇 = (2.2) 𝑓 2.2. Ara-harmonik Kaynakları Ara-harmonikler temel olarak iki grup altında incelenebilir. Birinci grupta bulunanlar; güç tesislerinde ani akım değişimlerine bağlı olarak genlik ve fazda meydana gelen ani sapmalar sonucu ortaya çıkan temel frekansın çevresinde yan bantlarda yer alan ara- harmonik tipleridir. Genel olarak güç kaynağı geriliminde meydana gelen dalgalanmalardan kaynaklandığı söylenebilir. İkinci grupta yer alan ara-harmonik tipleri, yarı iletken elemanlar kullanılarak tasarlanan çeviricilerin asenkron anahtarlanması sonucu ortaya çıkan bileşenlerdir. Anahtarlama frekansının temel frekans ile senkronize olmaması sonucu ortaya çıkar. Aşağıdaki altbölümlerde önemli ara-harmonik kaynaklarından birkaçı açıklanmaktadır (Lin, 2014). 2.2.1. Değişken yüklü elektriksel aygıtlar Stator ve rotor kanallarını yapısında barındıran indüksiyon motorları, ara-harmonik kaynaklarından birisidir. Motorun sabit bir hızda çalıştırılması durumunda, girişim frekansı 500 Hz ile 2000 Hz arasında meydana gelir. Motor hızlandırılma aşamasına alınırsa, bu aralık daha da geniş olacaktır. Asimetrik olmayan özelliklere sahip motor, örneğin oluk aralıkları düzgün tasarlanmamış motorlar, ara-harmoniklere neden olmaktadır. Şekil 2.1, motor akımı ve gerilim spektrumunu göstermektedir (Hanzelka ve Bien, 2004a). Bu tipte ara-harmonik üreten diğer elektriksel aygıtlara örnek olarak, dövme tahrikleri, dövme çekiçleri, otomatik damgalama makineleri ve elektrikli testereler gibi değişken momente sahip elemanlar verilebilir. 41 Şekil 2.1. Motor fazlarındaki akım ve gerilimlerin spektral analizi (a) tüm akım spektrumu, (b) ana frekans kaldırıldığında elde edilen akım spektrumu (c) tüm gerilim spektrumu, (d) ana frekans kaldırıldığında elde edilen gerilim spektrumu((Hanzelka ve Bien 2004a)’den değiştirilerek alınmıştır). 2.2.2. Çift katlı dönüşüm sistemleri Güç elektroniği sistemlerinde, alternatif akımı farklı bir frekansta başka bir alternatif akıma dönüştürmek önemli bir konudur. Bu işlemi doğrudan gerçekleştiren AA-AA dönüştürücü sistemleri tasarlanmış olsa da (matris konvertör, çevrim çevirici, v.b.) öncelikle alternatif akımı doğru akıma ve bunun ardından doğru akımı alternatif akıma dönüştüren sistemler yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu tür sistemler doğaları gereği, ara katta bir DA bağlantı noktası içermek zorundadırlar. Her ne kadar DA bağlantı noktasında ideal sabit bir doğru akım beklentisi olsa da, doğru akımda zamanla meydana gelecek küçük salınımlar, DA gerilimi AA gerilime çeviren evirici sistemlerinin çıkışlarında 42 önemli derecede ara-harmoniklere neden olurlar. Bu tür yapılara, rüzgâr türbinleri, değişken hızlı motorlar ve statik frekans dönüştürücüler örnek olarak verilebilir. İdeal doğrultucu yalnızca Denklem (2.3) gibi karakteristik harmonikler üretir. 𝑓ℎ = (𝑝1𝑛 ± 1)𝑓 (2.3) Denklem (2.3)’de, 𝑝1, doğrultucunun darbe sırası (bir periyot içinde kaçıncı sayıdaki darbeyi gönderdiği), 𝑛 tamsayı ve 𝑓 güç sistemi frekansıdır (Lin, 2014). Uygulamada, DA bağlantı noktası sabit bir değer etrafında salınır. Bundan dolayı, DA bağlantı noktası evirici tipine (akım kaynağı eviricisi (CSI) ve gerilim kaynağı eviricisi (VSI)) bağlı olarak ara-harmonikler üretecektir (Testa ve diğerleri, 2007). (a) CSI: Darbe sayısı 𝑝2, çıkış frekansı 𝑓𝑜 ve 𝑛 bir tamsayı olmak üzere, evirici girişindeki DA salınımı Denklem (2.4)’e göre ara-harmonikler üretecektir. 𝑓𝑟 = 𝑛𝑝2 + 𝑓𝑜 (2.4) (b) VSI: Evirici girişindeki DA salınımı, darbe genişlik modülasyonu yöntemi ile AA gerilim üretirken Denklem (2.5)’e göre ara-harmonik frekansları üretecektir. 𝑓𝑟(𝑚𝑓 , 𝑗, 𝑟) = |𝑚𝑓𝑗 ± 𝑟|. 𝑓𝑜 (2.5) Burada 𝑗 ve 𝑟 modülasyon oranına bağlıdır ve 𝑚𝑓 anahtarlama yöntemiyle ilgilidir. Sonuç olarak, modüle edilmiş kaynak frekansı Denklem (2.6) ile verilir. 𝑓𝑖 = 𝑓ℎ ± 𝑓𝑟 (2.6) CSI ve VSI sistemler için frekansa bağlı olarak ara-harmonik dağılımları Şekil 2.2’de gösterilmiştir. Ara-harmonik genlikleri, ana frekans bileşeninin genlik değerine kıyasla yüzde olarak verilmektedir. 43 Şekil 2.2. İnvertör sistemleri çıkışlarındaki ara-harmonikler (a) CSI (b) VSI ((Testa ve diğerleri, 2007)‘den değiştirilerek alınmıştır.) Bu yöntemlerle üretilen frekanslara örnek olarak Maksimum Güç Noktası Takibi (Maximum Power Point Tracking-MPPT) algoritmasına göre çalışan ve güneş pilleri ile elde ettiği doğru gerilimi alternatif gerilime çeviren evirici sistemleri verilebilir. Bu sistemin frekans akım grafiği Şekil 2.3’de gösterilmiştir. MPPT adım frekansı 18 𝑉’dur. Bu noktada MPPT algoritmasına bağlı olarak da ara-harmoniklerin üretildiği ve bu bölümde değinilmeyen bu ara-harmoniklerin özel bir matematiksel yapısı olduğu 44 belirtilmelidir. Şekil 2.3. PV sistemler için evirici çıkışındaki ana frekans ve harmoniklerin dağılımı ((Sangwongwanich ve diğerleri, 2018)‘den değiştirilerek alınmıştır.) 2.2.3. Çevrim çeviriciler Çevrim çeviriciler, giriş frekansını doğrudan farklı bir frekansa çeviren yapılardır. DA bileşeni barındıran bir ara kata sahip değillerdir. Giriş işaretini, iki farklı diyotlu doğrultucu yapısıyla değiştirerek çıkışa aktarırlar ve bu sayede farklı bir frekansta işaret üretirler. Devre yapısı Şekil 2.4’de gösterilmiştir. Şekil 2.4. Çevrim çevirici yapısı ((Ozpineci ve Tolbert)‘den değiştirilerek alınmıştır) 45 Çalışma yapıları gereği çevrim çeviriciler önemli ara-harmonik kaynakları arasında yer alırlar. Motor sürücülerinde, değişken frekans üreten jeneratörlerde vb. yapılarda kullanılırlar. Çevrim çeviriciler tarafından oluşturulan ara-harmonik bileşenleri, Denklem (2.7) ile modellenebilir (Lin, 2014; Alfredo Testa ve diğerleri, 2007). 𝑓ℎ = (𝑝1𝑛 ± 1)𝑓 (2.7) Burada 𝑝1, doğrultucunun darbe sayısı ve 𝑝2 çıkış darbe sayısı; 𝑚, 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … (tam sayı); 𝑓𝑜, çevrim çeviricinin çıkış frekansıdır. Şekil 2.5’de örnek bir çevrim çevirici devresinin akım ara-harmoniklerini göstermektedir. Bu çevrim çeviricinin giriş frekansı 60 𝐻𝑧 ve çıkış frekansı 5 𝐻𝑧’dir. Pozitif ve negatif konvertör bölümlerinin her biri, bir giriş periyodu içerisinde 6 darbe üretmektedir. Şekil 2.5. Çevrim çevirici çıkış frekans dağılımı ((IEEE Interharmonic Task Force, 1995)‘den değiştirilerek alınmıştır) 46 2.2.4. Zamanla değişen yükler Zamanla değişen yükler, belli bir kurala göre veya rastgele olarak değer alabilen yük tipleridir. Değişken yapılarından dolayı güç sistemleri üzerinde düzenli veya düzensiz gerilim/akım dalgalanmaları oluştururlar. Bu özellikleri ara-harmoniklere sebep olmaktadır. Bu tür yüklere örnek olarak; kaynak makineleri, lazer yazıcılar, ark fırınları vb. verilebilir. Zamanla değişen yüklerde üretilen ara-harmonikler, yük frekansına bağlıdır. Şebeke geriliminin 𝑣(𝑡) = sin (2𝜋𝑓𝑡) ve yükün 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑟 cos 2𝜋𝑓𝑜𝑡 olduğu varsayımıyla (𝑟 < 1, 𝑓𝑜 yük frekansı) yük akımı Denklem (2.8) ile verilebilir. 𝑣(𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡) 𝑖(𝑡) = = (2.8) 𝑅(𝑡) 1 − 𝑟 cos 2𝜋𝑓𝑜𝑡 = sin(2𝜋𝑓𝑡) (1 + 𝑟 cos 2𝜋𝑓 2 2𝑜𝑡 + 𝑟 cos 2𝜋𝑓𝑜𝑡 + 𝑟3 cos3 2𝜋𝑓𝑜𝑡 + ⋯ ) Denklem (2.7)’ye bağlı olarak, ara-harmoniklerin 𝑓 ± 𝑓𝑜, 𝑓 ± 2𝑓𝑜 , 𝑓 ± 3𝑓𝑜 , … frekanslarında bulunduğu görülür. Denklem (2.7)’den anlaşıldığı üzere, 𝑓𝑜 frekansı 𝑓 frekansı ile eşit veya 𝑓 frekansının tam sayı katına eşit olmadığı müddetçe ara- harmoniklerin üretilmesi kaçınılmazdır. Yük frekansı ile kaynak frekansının eşit olduğu durumda ise, harmonik veya ara-harmoniklerin oluşmayacağı anlaşılmaktadır. Yük frekansı, kaynak frekansının tam sayı katı ise sadece harmonikler oluşur ve ara- harmonikler gözlenmez. Lazer yazıcıdan elde edilen sonuçlar Şekil 2.6’da verilmiştir (Gallo ve diğerleri, 2004). 47 Şekil 2.6. Lazer yazıcının çektiği akım (a) zaman boyutu (b) frekans boyutu (Testa ve diğerleri, 2007)‘den değiştirilerek alınmıştır.) Zamanla değişen yüklere diğer bir örnek ark fırınlarıdır. Bu tür yükler genellikle düşük frekanslı gerilim dalgaları ürettikleri için ışık titremeleri üretirler. Bundan farklı olarak yüksek frekanslı ara-harmonikler de üretebilirler. DA ark fırınlarının normal çalışma durumunda harmonik üretmesi beklenmez. Ancak yapılarında bulunan kontrol devreleri ve filtrelerin etkisiyle, harmoniklerin ve ara-harmoniklerin oluştuğu gözlemlenmiştir (IEEE Interharmonic Task Force, 1995). Harmonik ve ara-harmonik üreten bu yükler, lineer olmayan davranış karakteristiklerine sahiplerdir ve matematiksel olarak modellenmeleri çok zordur. Bu nedenle matematiksel yapılarına değinilmeyecektir (Lin, 2014). 48 2.2.5. Rüzgâr türbinleri Rüzgâr türbinleri bir alternatörün, rüzgâr tarafından tetiklenen mekanik sistemler vasıtasıyla elektrik gücü üretmesi prensibine bağlı olarak çalışır. Bu sistemler mekanik tahrikin zamanla değişmesi nedeniyle farklı frekanslarda gerilim üretirler ve bu üretilen gerilim DA bağlantılı çeviricilerle veya DA bağlantısı olmayan çeviricilerle çıkışa sabit frekanslı gerilim işareti olarak iletilir. Kullanılan çevirici türünün harmonikler veya ara- harmonikler üzerinde etkisi vardır. Ancak kullanılan çevirici türünden bağımsız olarak, tasarlanan alternatörün yapısı, mekanik aktarım elemanları ve sisteme etki eden momentin değişiminden kaynaklı harmonik ara-harmonik etkileri de mevcuttur. Moment, sadece rüzgâr hızındaki sapmalardan dolayı değişmemektedir. Sabit bir rüzgâr hızı altında da moment değişebilir. Bu duruma örnek olarak Kule-Gölge (Tower-Shadow) etkisi verilebilir (Carbone ve diğerleri, 2002; Lin, 2014). Rüzgâr türbinleri genellikle bir kulenin üzerine inşa edilmiş yapıdadırlar. Sabit hızda esen bir rüzgâra karşı dönen kanatlar kulenin üzerinden geçerken, maruz kaldıkları rüzgâr hızında bir azalma olacaktır. Kule-Gölge etkisi olarak bilinen bu olgu moment değişimine sebebiyet vereceği için ara- harmonik ve harmoniklerin oluşmasına neden olmaktadır (Das, Karnik ve Santoso, 2011). Şekil 2.7’de üç farklı rüzgâr türbininden sekiz ila on üç gün aralığındaki ortalamasından elde edilen akım değerlerinin spektrumu verilmektedir. Elde edilen şekil, 5 𝐻𝑧 çözünürlüktedir (Yang ve diğerleri, 2014). Bu şekil içerisindeki harmonik ve ara- harmoniklerin sadece moment değişimlerinden değil aynı zamanda kullanılan dönüştürücü tipinden de kaynaklandığı göz önüne alınmalıdır. 2.2.6. Güneş pili hücreleri Güneş pili hücreleri, güneş ışınları ile gelen fotonları yarı iletken bir aygıtın üzerine düşürerek bu aygıttan elektron koparmasını sağlar ve açığa çıkan elektron yarı iletkendeki deliklere doğru hareket ederek elektrik akımı meydana getirir. Güneş pili hücrelerinin maksimum verim ile çalışabilmesi için literatürde MPPT algoritması önerilmiştir. Bu algoritma ara-harmonik kaynaklarından birisidir. Güneş panellerinde MPPT algoritmasının ürettiği ara-harmonikler Denklem (2.9), (2.10), (2.11) ve (2.12) ile modellenmektedirler. Bu eşitliklerde, 𝑛 harmonik derecesi, 𝐴𝑛 genliği, 𝜑𝑛 harmonik fazı, 𝑉𝑠𝑡𝑒𝑝 adım gerilimi, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 MPPT frekansı ve 𝑓𝑔 şebeke frekansıdır. 49 MPPT frekansının artması, harmoniklerin daha geniş bir spektruma yayılmasına neden olmaktadır ve adım geriliminin artması, ara-harmoniklerin genliğini arttırmaktadır. Şekil 2.7. Üç farklı rüzgâr türbininden sekiz ila on üç gün aralığındaki akım ortalama değerleri ((Yang ve diğerleri, 2014)‘den değiştirilerek alınmıştır) Bu modele göre çalışan ve gerçek değerlerle doğrulanmış PV sistemin % 10 güçte çalışırken şebekeye yaydığı ara-harmonik akım bileşenleri Şekil 2.8’de görülmektedir. İlk üç şekil için MPPT frekansı 5 𝐻𝑧’dir ve son üç şekil için adım genliği 12 𝑉’dur. İlk üç şekilde adım genliğinin ara-harmoniklere etkisi gözlemlenmiş, son üç şekilde ise MPPT frekansının ara-harmonikler üzerinde nasıl bir etki oluşturduğu belirtilmiştir. ∞ 𝐴𝑛 𝑖𝑔(𝑡) = ∑ [cos(2𝜋𝑡(𝑓𝑔 − 𝑓2 𝑛 ) + 𝜑𝑛) 𝑛=1 (2.9) − cos(2𝜋𝑡(𝑓𝑔 + 𝑓𝑛) + 𝜑𝑛)] 2𝑉𝑠𝑡𝑒𝑝 𝜋𝑛 𝑉𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑎𝑛 = sin ( ) , 𝑏 = cos(𝜋(𝑛 − 1)) (2.10) 𝜋𝑛 2 𝑛 𝜋𝑛 50 𝑏 𝐴 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛, ∅𝑛 = tan −1 ( ) (2.11) 𝑎𝑛 (2𝑛 − 1)𝑓 𝑀𝑃𝑃𝑇𝑓𝑛 = (2.12) 4 Şekil 2.8. MPPT algoritması ile ve yüzde on güç ile çalışan PV sistemin şebekeye yaydığı ara-harmonikler (a) Adım gerilimi 6 𝑉 (b) Adım gerilimi 12 𝑉 (c) Adım gerilimi 18 𝑉 (d) MPPT frekansı 2 𝐻𝑧 (e) MPPT frekansı 5 𝐻𝑧 (f) MPPT frekansı 10 𝐻𝑧 ((Sangwongwanich ve diğerleri, 2018)’den değiştirilerek alınmıştır) 2.2.7. Diğer kaynaklar Ara-harmonik kaynaklarından bir diğeri, şebeke içerisinde modülasyon yapan devre elemanlarının bulunmasıdır. Bu elemanlar genellikle devreleri sürmek için veya kontrol etmek için kullanılırlar ve belirli frekanslarda anahtarlama yaparlar. Bunun sonucunda, sistemde meydana gelen ufak salınımlar, anahtarlama frekansının yan bantlarında yüksek dereceli harmonikler üretirler. Oluşan bu harmonikler şebeke frekansı veya katlarının anahtarlama frekansının toplamı veya farkı şeklinde ortaya çıkarlar. Ortaya çıkan bu frekanslar genellikle ana frekansın tam sayı olmayan katlarında bulunur dolayısıyla ara- harmonik olarak değerlendirilirler (Marz, 2016). Ara-harmoniklerin oluşumunda, anahtarlama frekansının sabit olmadığı durumlarda da gözlenmektedir. Bu durumlar çoğunlukla kontrol sistemlerinde ortaya çıkmaktadırlar ve ortaya çıkan ara-harmoniklerin modellenmesi kontrol yönteminin matematiksel modeline bağlıdır. 51 Anahtarlama frekansının sabit olduğu durum için örnek olarak, doğrultucu çıkışına bağlanan evirici devreleri gösterilebilir. Doğrultucu çıkışlarında, girişlerindeki sinüzoidal işaretin frekansına bağlı olarak az da olsa salınımlar meydana gelir. İnvertör devresi bu salınımları anahtarlama frekansı ile birleştirerek çıkışa yüksek dereceli frekans bileşenleri olarak çıkış katına aktarırlar. 2.3. Ara-harmonik Etkileri Ara-harmonik frekans bileşenleri sistemin temel frekansından büyük olduğunda, harmonik bileşenlerde olduğu gibi ısınma etkisi gözlemlenir. Isınma etkisine ek olarak, ara-harmoniklerin güç sistemlerine daha farklı etkileri de tespit edilmiştir. Bunlar arasında, Katot Işın Tüpü (CRT) titremesi, jeneratörlerde ortaya çıkan burulma salınımları (torsional oscillations), ayarlı seri filtrelerin aşırı yüklenmesi, çıkış filtrelerinin aşırı yüklenmesi, elektromanyetik girişim ve akım trafosu satürasyonu (CT saturation) olguları yer almaktadır (Gunther, 2001; Lin, 2014). Ara-harmoniklerin en önemli etkilerinden birisi ışık titremesi (light flicker) olgusudur. Kalıcı durum ara-harmonik bileşenin temel frekans üzerindeki modülasyonu, sistem geriliminin genlik ve etkin (RMS) değerinde değişimlere sebep olmaktadır. Sistem gerilimi 𝑣(𝑡) = sin(2𝜋𝑓1𝑡) + 𝑎 sin(2𝜋𝑓𝑖𝑡) (2.13) denklemiyle verildiğinde 𝑓1 güç sisteminin frekansı, 𝑓𝑖 ara-harmonik frekansı ve 𝑎 ara- harmoniklerin genliğidir (Gunther, 2001). RMS gerilim değerinin azami değişimi ara-harmonik bileşenin gerilim ve frekansına bağlıyken, sistem geriliminin genliğinin azami değişimi, doğrudan ara-harmonik genliğine eşittir. RMS gerilim değeri; 1 𝑇 𝑉 = √ ∫ 𝑣2(𝑡)𝑑𝑡 (2.14) 𝑇 0 52 dir. Denklem (2.14) için 𝑇 = 1⁄𝑓1 olarak tanımlanır ve periyoda karşılık gelmektedir. Ara-harmonik değerinin temel gerilim bileşeninden %0.2 oranında değiştiği varsayılsın. Denklem (2.13) ve Denklem (2.14)’e göre Şekil 2.9’a ulaşılır. Şekil 2.9’dan temel frekans bileşeninin iki katından daha yüksek frekanslarda ara-harmonik etkisinin ihmal edilebilir olduğu, fakat daha düşük frekanslarda bu ara-harmonik etkinin göz ardı edilemeyecek büyüklükte olduğu sonucuna varılabilir (Gunther, 2001). Şekil 2.9. 50 Hz’lik güç sistemi için gerilimin etkin değerinin %0.2 oranında bozulması ((Gunther, 2001)‘den değiştirilerek alınmıştır.) Ara-harmoniklerin diğer bir önemli etkisi güç hattı iletişimi üzerinedir. Güç hattı iletişimi; sistem koruma bilgisini iletmek, belirli yük veya reaktif kaynakları kontrol etmek, elektrik güç tüketicisinin (müşterinin) akıllı ölçüm aletleriyle (akıllı sayaç) iki yönlü iletişim kurmak vb. amacıyla haberleşme cihazları tarafından kullanılan bir telekomünikasyon olgusudur. Bu sistemlerin tümü, iletişim kurmak için temel frekansın dalga biçimine eklenen ve periyodik olmayan işaretleri kullanmaktadır. Koruma bilgisi genellikle bir bölgeden diğer bir bölgeye 100 𝐻𝑧’ler mertebesindeki frekanslar kullanılarak iletilir ve yüksek frekans durdurucuları (high-frequency stopper, line trap, wave trap) kullanılarak bu işaretlerin sistemin daha geniş bölgelerine iletilmesi önlenir. Dalgalanma kontrol işaretleri olarak da isimlendirilen yük ya da reaktif kaynak kontrol işaretleri, genellikle 100 𝐻𝑧 ile 3 𝑘𝐻𝑧 aralığında bulunur ve sistemin daha geniş bölgelerini etkiler. Ancak, çoğunlukla düşük genlikli, kısa süreli ve daha az sıklıkla karşılaşılan dalga biçimleridir. Koruma ve yük kontrol işaretlerinin her biri çoğunlukla basit komutları temsil eden minimum sayıda işaretten (aç, kapa, hata, bloke et,) oluşur. 53 100 𝑘𝐻𝑧 mertebesinden daha yüksek işaretler, ticari amaçlı uygulamalar içerisinde daha düşük alanlarda kullanılabilirler (Marz, 2016). Güç hattı iletişimi ile ilgili verilen bu bilgiler ışığında, ara-harmoniklerin güç sistemini nasıl etkileyeceği yorumlanabilir. Koruma ve kontrol işaretleri 100 𝐻𝑧 mertebesinde tek bir frekanstan oluşur. Bu nedenle genellikle ara-harmonikler ile örtüşmezler dolayısıyla etkilenmezler. İki yönlü iletişim işaretleri ise birden çok frekans barındırır. Bu işaretler doğaları gereği ara-harmoniklerden önemli derecede etkilenirler. Güç hattı iletim bilgileri, temel frekans 50 𝐻𝑧 veya 60 𝐻𝑧 ve harmonikleri çıkarıldığında elde edilebilir (Marz, 2016). Ara-harmoniklerin tahmin edilmesi ve dolayısıyla filtrelenmeleri zor olduğu için güç hattı iletişimini bozmaktadırlar. Güç hattı iletim işaretlerinin genlikleri, güç işaretinin genliğinden oldukça küçük oldukları göz önüne alındığında, ara- harmoniklerin belirtilen frekans aralıklarında seyrek olarak görülmeleri durumunda bile önemli hatalara neden olabilecekleri açıktır. Güç sistemlerinde, akıllı şebekelere geçmek için büyük yatırımların yapıldığı çağımızda, ara-harmoniklerin tespit edilmesi ve hafifletilmesinin ne kadar önemli olduğu, yapılan değerlendirmeler sonucunda ortaya çıkmaktadır. 2.4. Ara-harmoniklerin Modellenmesi Bu bölümde, ara-harmonikleri modellemek için yaygın olarak kullanılan iki yöntem açıklanacaktır. Bu yöntemlerden birincisi klasik bir yöntem olan DFT yöntemidir. İncelenen diğer bir yöntem ise IEC tarafından belirlenen harmonik gruplandırma metodudur. 2.4.1. DFT yöntemi Fourier teorisine göre, tekrar eden ve Dirichlet koşullarını sağlayan bütün dalga biçiminin açılımları, farklı frekanslarda ve farklı genliklerdeki sinüs dalgalarının toplamı şeklinde ifade edilebilir. Dirichlet koşulları; incelenen fonksiyonun bir periyod boyunca integralinin alınabilir olması, verilen herhangi bir aralık için fonksiyonun sınırlı sayıda minimum ve maksimum noktalarının bulunması, sınırlı sayıda süreksizliğinin bulunması ve bu süreksizlerin hiçbir zaman sonsuz tane olmaması, sınırlı olması olarak verilir (Arsac, 1961; Brigham, 1973). 54 Harmonikler, temel frekans haricindeki sinüzoidal bileşenler olarak tanımlanırlar. Harmoniklerin frekansları, esas frekansın tam sayı katlarında yer alır. Denklemle (2.15) zaman boyutunda bozulmuş bir dalga şeklini temsil etmek üzere, Denklem (2.16) bu dalga şeklinin Fourier dönüşümünü verir (H.-C. Lin 2014). ∞ 𝑖 (𝑡) =∑𝐼 (𝑘𝜔 )𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑠 𝑠 0 (2.15) −∞ 1 𝑡+𝑇 𝐼 (𝑘𝜔 ) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑠 0 𝑑𝑡 (2.16) 𝑇 𝑡 Denklem (2.16) için 𝜔0 = 2𝜋⁄𝑇 = 2𝜋𝑓 ifadesi ana açısal frekans ve 𝐼𝑠(𝑘𝜔0) ifadesi 𝑘. katsayıyı ifade eder. 𝑖𝑠(𝑡) ayrık zamanlı bir işaret olarak 𝑖𝑠[𝑛] ile gösterilebilir. AFD ifadesi ile Denklem (2.17) ile yazılabilir (Lin, 2014). 𝑁−1 1 𝐼𝑠[𝑘] = ∑ 𝑖 [𝑛]𝑊 𝑘𝑛 (2.17) 𝑁 𝑠 𝑁 𝑛=0 Denklem (2.17) için 𝐼𝑠[𝑘] ifadesi, 𝑓𝑘 = 𝑘⁄𝑇 frekansındaki 𝑖𝑠[𝑛]’nin büyüklüğüdür. 𝑊𝑁 = 𝑒 𝑗2𝜋/𝑁’dir. AFD’nin tersi alınarak, orijinal işaret Denklem (2.18) ile elde edilebilir. 𝑁/2−1 1 𝑖 [𝑛] = ∑ 𝐼 [𝑘]𝑊−𝑘𝑛𝑠 𝑠 𝑁 (2.18) 𝑁 𝑛=0 𝑖𝑠[𝑛]’nin periyodik olduğu ve 𝑇 periyoduna sahip olduğu varsayılırsa, Fourier temel açısal frekans ifadesi (Δ𝜔) Denklem (2.19) ile tanımlanabilir. 55 2𝜋 Δ𝜔 = (2.19) 𝑇 𝑝 > 1 olmak üzere, örnekleme uzunluğu 𝑝 periyot olarak seçilirse, Δ𝜔, Denklem (2.20)’de gösterildiği gibi yazılabilir. 2𝜋 𝜔0 Δ𝜔 = = (2.20) 𝑝𝑇 𝑝 Böylece, Fourier temel frekansı Δ𝑓 Denklem (2.21) ile verilir. 1 1 1 𝑓𝑠 Δ𝑓 = = = = (2.21) 𝑝𝑇 𝑝𝑁𝑠𝑇𝑠 𝑁𝑇𝑠 𝑁 Denklem (2.21)’de 𝑁𝑠 ≔ 𝑁/𝑝 ve 𝑇𝑠 ≔ 1/𝑓𝑠 olarak tanımlanır. 2.4.2. IEC gruplama yöntemi Uluslararası Elektroteknik Komisyonu (International Electrotechnical Commission-IEC) Standardı, “gruplandırma” kavramı olarak isimlendirilen ara-harmonik ölçüm yöntemini önermiştir (Hanzelka ve Bien, 2004b). Bu yöntemin prensibi, Şekil 2.10 ile açıklanmaktadır. Fourier analizine dayandırılan bu yöntemde, örnekleme penceresi 50 𝐻𝑧 sistem için 10 periyot, 60 𝐻𝑧 sistem için ise 12 periyot olarak seçilmektedir (Lin, 2014). Harmonik/ara-harmonik gruplandırma kavramı, aşağıda verilen eşitlikler ile tanımlanmaktadır (Hanzelka ve Bien, 2004b). a. Bir Harmonik Grubunun RMS Değeri: Gözlem penceresi içinde, bir harmoniğin ve ona bitişik spektral bileşenlerin genlik karelerinin toplamının kareköküdür. Harmonik ve komşu spektral bileşenlerin enerji içeriğinin toplamı Denklem (2.22) ile verilir: 56 2 4𝐶 𝐶2 𝐺2 𝑘−5 𝑘+5 𝑔,𝑛+1 = ∑ 𝐶 2 𝑘+𝑖 + (2.22) 2 2 𝑘=−4 b. Harmonik Alt Grubunun RMS Değeri: Bir harmoniğin ve hemen yanındaki iki spektral bileşenin genlik karelerinin toplamının kareköküdür. DFT'nin çıkış bileşenlerinin alt grubu, bir dizilimdeki komşu harmoniklerin frekans bileşenlerinin enerji içeriğinin toplamıdır. Bu durum, Denklem (2.23) ve (2.24)’le verilmektedir. 1 𝐺2 2𝑠𝑔,𝑛 = ∑ 𝐶𝑘+𝑖 (2.23) 𝑘=−1 1 𝐺2 2𝑠𝑔,𝑛+2 = ∑ 𝐶𝑘+𝑖 (2.24) 𝑘=−1 c. Bir ara-harmonik grubun RMS değeri: Ardışık iki harmonik bileşen arasında yer alan tüm ara-harmoniklerin, genlik karelerinin toplamının kareköküdür, Denklem (2.25) ile verilmektedir. 9 𝐶9 2𝑖𝑔,𝑛+1 =∑𝐶𝑘+𝑖 (2.25) 𝑖=1 d. Ara-harmonik merkezli alt grubun RMS değeri: Harmonik frekanslara doğrudan komşu olan frekans bileşenlerinin haricinde, iki ardışık harmonik bileşenin arasında yer alan ara-harmoniklerin genliklerinin karelerinin RMS değeridir. Denklem (2.26) ile verilmektedir. 8 𝐶9𝑖𝑔,𝑛 =∑𝐶 2 𝑘+𝑖 (2.26) 𝑖=2 57 Spektral sızıntı etkisini azaltmasından ve aynı zamanda ara-harmonik seviyelerini ortaya çıkarabilmesinden dolayı, IEC yönteminin harmonikleri ölçmek için pratik bir araç olduğu bilinmektedir. Bu yöntemin uygulanmasında, yalnızca kısa örnekleme süresine (200 𝑚𝑠, 𝛥𝑓 = 5 𝐻𝑧) gereksinim duyulması, yöntemin diğer bir üstünlüğüdür. Buna rağmen belirtilen yöntemin iki sınırlaması vardır. (1) Spektral sızıntı yine de mevcuttur. (2) Her bir bileşenin frekans ve genlik olarak tanımlanması bu yöntem ile mümkün değildir. Bu yüzden sistem tanımlama konusunda uygun bir yöntem değildir. Şekil 2.10. Harmonik grup, alt grup ve ara-harmonik grup kavramları (Lin, 2014)‘den değiştirilerek alınmıştır) 2.5. Frekans Kestirim Yöntemleri Bu bölümde, dokuz farklı frekans kestirim yöntemi incelenmiştir. İlk olarak Fourier analizi ve Prony yöntemi ile sırasıyla zaman dönüşümlü ve parametrik yöntemlerin en yaygın kullanılan örneklerine yer verilmiştir. Ardından, MLE kavramı açıklanmış ve 58 EKY yönteminin sinüzoidal fonksiyonlara göre çözümlenmesi konusu tartışılmıştır. Sonraki aşamada, YSA ve Prony yönteminin birleştirilmesiyle elde edilen ADALINE yöntemi, hibrit metotların işleyişini tanıtmak amacıyla sunulmuştur Daha sonra, öz-değer ayrıştırma yöntemlerinden bahsedilmiş, dayandığı teknikler matris işlemleri ile açıklanmıştır. Bu yöntemler; MUSIC, Pisarenko, ESPRIT ve Matrix Pencil algoritmalarıdır. İlgili tekniklerden Prony, MUSIC ve ESPRIT yöntemlerine dayanan ve bu tezde önerilen algoritmalara, tezin üçüncü bölümünde yer verilmiş ve orijinal biçimleri ile karşılaştırmalı analizleri dördüncü bölümde gerçekleştirilmiştir. 2.5.1. Fourier analizi Fourier analizi, belli şartlar altında, bütün işaretlerin sonsuz sayıda sinüzoidal toplamlar biçiminde ifade edilebileceğini matematiksel olarak betimleyen ve işaretin frekans boyutunda ayrıştırılmasına imkân veren bir yöntemdir. Fourier analizinin ilk aşaması, Fourier serilerinin ortaya konulması ile başlar. Bu bağlamda, 𝑇 periyodunda bir işaretin Fourier seri açılımı Denklem (2.27)’de verilmektedir. Denklem içerisindeki katsayıların hesaplanması, Denklem (2.28)-(2.30) ile ifade edilmiştir (Oppenheim ve diğerleri, 1997). ∞ 𝑛2𝜋𝑡 𝑛2𝜋𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑎0 +∑(𝑎𝑛 cos ( ) + 𝑏𝑛 sin ( )) (2.27) 𝑇 𝑇 𝑛=1 1 𝑇 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (2.28) 𝑇 0 2 𝑇 𝑛2𝜋𝑡 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑡 (2.29) 𝑇 0 𝑇 2 𝑇 𝑛2𝜋𝑡 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑑𝑡 (2.30) 𝑇 0 𝑇 59 (2.27) Denklemine dikkat edildiğinde, periyodik bir işaretin n=1 için temel frekansa sahip olduğu ve işaretin içerisindeki diğer harmonik bileşenlerin bu temel frekansın tamsayı katlarında bulunduğu görülmektedir (Oppenheim ve diğerleri, 1997). Fourier serilerinin kompakt formu da matematiksel olarak yazılabilir. Bu gösterim (2.31) Denkleminde verilmektedir (Oppenheim ve diğerleri, 1997). ∞ 𝑛2𝜋𝑡 𝑓(𝑡) = 𝐴0 +∑(𝐴𝑛 cos ( ) + 𝜃𝑛) (2.31) 𝑇 𝑛=1 Denkleminde, 𝐴0 doğru akım bileşenini, 𝐴𝑛 genlik ve 𝜃𝑛 faz bilgisini ifade etmektedir. Bu ifadelerin matematiksel eşitlikleri Denklem (2.32)-(2.34) ile verilmektedir. 𝐴0 = 𝑎0 (2.32) 𝐴 = √𝑎2𝑛 𝑛 + 𝑏2𝑛 (2.33) 𝑏𝑛 𝜃𝑛 = arctan (− ) (2.34) 𝑎𝑛 Periyodik işaretleri inceleyen Fourier serilerinin bir adım ilerisi, periyodik olmayan işaretlerin incelenebilmesini sağlayan matematiksel yöntemlerin ortaya konulmasıdır. Bu konuda, Fourier’in ortaya koyduğu bakış açısından yararlanılabilir. Bu bakış açısına göre periyodik olmayan bütün işaretlerin, sonsuz periyoda sahip olduğu (kendisini sonsuz bir zaman sonra tekrar eden bir yapıda olduğu) varsayılmaktadır. Böylelikle, periyodik olmayan işaretler de harmonik bileşenlerine ayrılabilir (Oppenheim ve diğerleri, 1997). Bu bilgilerden hareketle, bir işaretin FD’si Denklem (2.35) ile verilir. Bu denklemde açısal frekans 𝜔 = 2𝜋𝑓 olarak tanımlıdır. 60 ∞ 𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 (2.35) −∞ FD sonucunda elde edilen 𝐹(𝜔) fonksiyonu ∆𝑇 zaman aralıklarıyla N adet örneklenirse, AFD ifadesine ulaşılır. AFD’nin matematiksel ifadesi Denklem (2.36) ile verilmiştir (Oppenheim, ve diğerleri, 1997). 𝑁−1 1 𝐹[𝑘𝜔] = ∑ 𝑓[𝑛∆𝑇]𝑒−𝑗𝑘𝑛𝜔∆𝑇 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1 (2.36) 𝑁 𝑛=0 Denklem (2.36) düzenlenirse, Denklem (2.37)’ye ulaşılır. Burada faz faktörü 𝑊 = 𝑒−𝑗2𝜋/𝑁 olarak tanımlanmıştır. 𝑁−1 1 𝐹[𝑘] = ∑ 𝑓[𝑛]𝑊𝑘𝑛 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1 (2.37) 𝑁 𝑛=0 Denklem (2.37)’nin açılımındaki birçok değerin, birbirinin eşleniği olduğu görülür. Bu simetri, AFD’nin daha hızlı çözülebilmesi amacıyla kullanılabilir. Bu simetriyi kullanan HFD algoritması literatüre kazandırılmıştır (Cooley ve Tukey, 1965). 2.5.2. Prony analizi Prony analizi, Fourier analizinin genişletilmiş bir hali olarak yorumlanabilir. İncelenen işaretin frekans, genlik faz ve sönüm katsayısı bileşenlerini ortaya çıkarmaktadır. Bu analizin sönüm katsayısı bileşenini de hesaplayabilmesi, ara-harmonikleri bulabilme konusunda doğal olarak bir üstünlüğe sahip olduğunu göstermektedir. Prony analizinde işaret Denklem (2.38)’deki gibi ifade edilir (Hauer ve diğerleri, 1990; Xiong ve diğerleri, 2010; Prony, 1795). 61 ∞ ?̂?(𝑡) =∑𝐴 𝑒𝜎𝑖𝑡𝑖 cos(2𝜋𝑓𝑖𝑡 + 𝜑𝑖) (2.38) 𝑖=1 Denklem (2.38)’de; ?̂?(𝑡), 𝑦(𝑡) işaretinin yaklaşımını, 𝑓 frekansı, 𝜎 sönüm katsayısını ve 𝜑 faz açısını ifade etmektedir. Eğer, cos(2𝜋𝑓 𝑡 + 𝜑 ) = 0.5(𝑒𝑗(2𝜋𝑓𝑖𝑡+𝜑𝑖)𝑖 𝑖 + 𝑒−𝑗(2𝜋𝑓𝑖𝑡+𝜑𝑖)) ifadesi Denklem (2.38)’e uygulanırsa, Denklem (2.39) yazılabilir. ∞ ?̂?(𝑡) =∑(𝐵 𝜆𝑖𝑡𝑖𝑒 ) (2.39) 𝑖=1 Denklem (2.39)’da, 𝐵 = 0.5𝐴 𝑒±𝑗𝜑𝑖𝑖 𝑖 karmaşık genlik katsayılarını ve 𝜆𝑖 = 𝜎𝑖 ± 𝑗2𝜋𝑓𝑖 özdeğerleri ifade etmektedir. 𝑦(𝑡) işareti, 𝑦(𝑡𝑘) ayrık değerlerinden oluşmaktadır ve 𝑡𝑘 ifadesi eşit olarak bölünmüş zaman vektörünün bir elemanıdır (𝑘 = 0,1, …𝑁 − 1). Prony analizinin adımları aşağıda özetlenmiştir (Hauer ve diğerleri, 1990).  Adım 1: Lineer Tahmin Modelini (Linear Prediction Model (LPM)) elde edilen 𝑦(𝑡𝑘) değerleri ile kur.  Adım 2: Oluşturulan LPM yapısından karakteristik polinomu bul.  Adım 3: Adım 2’de bulunan kökleri kullanarak sönüm katsayısı, frekans, genlik ve faz bileşenlerini hesapla. Eğer örnekleme zaman aralığı 𝑡𝑘 olarak alınırsa, Denklem (2.39), Denklem (2.40) olarak ifade edilebilir. ∞ ?̂?(𝑘) =∑𝐵 𝑘𝑖𝑧𝑖 , 𝑧 = 𝑒 𝜆𝑖𝑡𝑘 𝑖 (2.40) 𝑖=1 Yukarıdaki denklemler kurulduktan sonra, 𝑦(𝑘) = ?̂?(𝑘) eşitliğini sağlayan 𝐵𝑖 ve 𝑧𝑖 değerleri bulunmalıdır (𝑘 = 0,1, …𝑁 − 1). Bunu gerçekleştirmek için Denklem (2.40)’da her bir 𝑡𝑘 göz önüne alınarak Denklem (2.41) yazılabilir (Hauer ve diğerleri, 1990). 62 𝐵1𝑧 0 1 +⋯+ 𝐵𝑛𝑧 0 0 0 𝑛 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑛 𝐵1 [ ⋮ ] = [ ⋮ ⋱ ⋮ ] [ ⋮ ] 𝐵 𝑧𝑁−1 +⋯+ 𝐵 𝑧𝑁−1 𝑧𝑁−1 ⋯ 𝑧𝑁−11 1 𝑛 𝑛 1 𝑛 𝐵𝑛 (2.41) 𝑦(0) = [ ⋮ ] 𝑦(𝑁 − 1) Denklem (2.41), matris formunda Denklem (2.42) ile gösterilebilir. 𝐙𝐁 = 𝐘 (2.42) Bütün 𝑧𝑖 değerleri bulunursa, 𝜆𝑖 değerleri Denklem (2.40)’dan bulunabilir. Bu bakış açısıyla 𝑧𝑖 değerleri, 𝑛 dereceden ve 𝑎𝑖 katsayılı bir polinomun kökleri olmak zorundadır. Böylece Denklem (2.43) yazılabilir. 𝑧𝑛 − (𝑎1𝑧 𝑛−1 + 𝑎 𝑧𝑛−22 +⋯+ 𝑎 0 𝑛𝑧 ) = 0 (2.43) Denklem (2.43)’e bağlı olarak Denklem (2.44) ile ifade edilen 𝑁 × 1 vektör kurulabilir. ?̅? = [−𝑎𝑛 ⋯ −𝑎1 1 0 ⋯ 0] = [−𝐚 1 𝟎] (2.44) Denklem (2.44)’ün, Denklem (2.41)’de yerine yazılması sonucunda Denklem (2.45) elde edilir. ?̅?𝐘 = 𝑦(𝑛) − [𝑎1𝑦(𝑛 − 1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑦(0)] = ?̅?𝐙𝐁 = 𝐵1[𝑧 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 1 − (𝑎1𝑧1 + 𝑎2𝑧1 +⋯+ 𝑎 0 𝑛𝑧1 ) + ⋯ ] = 0 (2.45) Denklem (2.45)’teki son adım Denklem (2.43)’ün her bir 𝑧𝑖 değerine uygulanması sonucunda yazılır. Denklem (2.45)’in, Denklem (2.43)’ün genişletilmiş bir hali olduğu görülmektedir (Hauer ve diğerleri, 1990). Eğer başlangıç zamanı keyfi olarak seçilirse, Denklem (2.45), Denklem (2.46) olarak yazılabilir. 63 𝑦(𝑛 − 1) ⋯ 𝑦(0) 𝑎1 𝑦(𝑛 + 0) [ ⋮ ⋱ ⋮ ] [ ⋮ ] = [ ⋮ ] (2.46) 𝑦(𝑁 − 2) ⋯ 𝑦(𝑁 − 𝑛 − 1) 𝑎𝑛 𝑦(𝑁 − 1) Denklem (2.46)’nın çözümü Denklem (2.43)’deki polinom katsayılarını verir. Katsayıları belirlenen polinomun köklerinin elde edilmesiyle, Denklem (2.40)’daki 𝜆𝑖 özdeğerleri bulunabilir. Bu işlemler Prony analizinin birinci ve ikinci adımlarını oluşturmaktadır. Prony metodunun son adımı ise Denklem (2.41)’deki karmaşık genlik katsayıları olan 𝐵𝑖’lerin bulunmasıdır (Hauer ve diğerleri, 1990). 2.5.3. Maksimum olabilirlik yöntemi MLE’nin tanımını yapabilmek için regresyon tanımını açıklamak faydalı bir başlangıç olacaktır. Bu bağlamda, sonraki bölümde de daha ayrıntılı olarak açıklanan EKY yaklaşımı, (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), … , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) gözlem çiftlerine uyan doğrusal bir denklem uydurmak olarak tanımlanabilir. Doğrusal denklemin matematiksel ifadesi Denklem (2.47) ile verilir (Chapra, 2014a). 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑒 (2.47) Yukarıdaki denklemde, 𝑎0 ve 𝑎1 sırasıyla kesme noktasını ve eğimi temsil eder. 𝑒 ise hata veya rezidü olarak isimlendirilir. Denklem (2.47) yeniden düzenlenerek Denklem (2.48) ile ifade edilebilir (Chapra, 2014a). 𝑒 = 𝑦 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥 (2.48) Böylelikle hata, 𝑦’nin gerçek değerleri ve 𝑎0 + 𝑎1𝑥 ifadesinin yakınsadığı değerler arasındaki farkı ifade eder. Yakınsayan en iyi doğruyu bulma stratejilerinden birisi, mevcut olan tüm veriler için hataların toplamını Denklem (2.49)’daki gibi yazarak minimize etmektir (Chapra, 2014a). 64 𝑛 𝑛 𝑆′𝑟 =∑𝑒𝑖 =∑(𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖) (2.49) 𝑖=1 𝑖=1 Denklem (2.49)’da, 𝑛 toplam veri sayısıdır. Ancak, bu verimli bir kriter değildir çünkü, hatanın minimize edilmesi için yazılan kısmi türevler sonucunda 𝑎1 = 1 ve 𝑎0 = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 olduğu görülür. Bu durumda, Denklem (2.49) ile sonsuz faklı lineer doğru elde edileceği sonucuna ulaşılır. Bu da iyi bir yakınsamanın gerçekleştirilemeyeceği anlamına gelir (Chapra, 2014a). Denklem (2.49) ifadesinden faklı olarak birçok kestirici eşitliği yazılabilir, fakat en iyi kestiriciyi bulmak MLE’yi bulmak ile eşdeğerdir. Denklem (2.50) ile verilen kestirici tanımlansın. Bu kestiricinin bir önceki kestiriciye göre daha iyi bir performans göstereceği, karesel hatanın dikkate alınması sonucunda tek bir doğru denklemine yakınsamanın sağlanması sebebiyle açıktır. Bu durumda, 𝑎0 ve 𝑎1 değerleri, hatanın minimum olması için kısmi türevler sıfıra eşitlenerek Denklem (2.51) ve (2.52) ile hesaplanabilir (Chapra, 2014a). 𝑛 𝑛 ∑𝑒2𝑖 =∑(𝑦𝑖 − 𝑎 2 0 − 𝑎1𝑥𝑖) (2.50) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑆𝑟 = −2∑(𝑦 − 𝑎 − 𝑎 𝑥 𝜕𝑎 𝑖 0 1 𝑖 ) = 0 (2.51) 0 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑆𝑟 = −2∑𝑥𝑖(𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖) = 0 (2.52) 𝜕𝑎1 𝑖=1 Denklem (2.53) ve (2.54), 𝑎0 ve 𝑎1 ifadelerini verir. 𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖 𝑎1 = (2.53) 𝑛∑𝑥2𝑖 − (∑𝑥𝑖) 2 65 1 𝑎0 = (∑𝑦𝑖 − 𝑎1∑𝑥𝑖) (2.54) 𝑛 Eğer ?̅? = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 ifadesinin ortalama değeri verdiği kabul edilirse, Denklem (2.50) ile verilen ifadenin, doğrudan varyans ile ilişkili olduğu görülür. Bir başka değişle Denklem (2.50), 𝑛 − 1 ile bölünürse varyans elde edilir. Bu ifadenin minimum değerinin elde edilmesi, ortalamadan minimum sapma anlamına gelmektedir. Böylece, Denklem (2.51) ve (2.52)’deki gibi polinom katsayılarına göre kısmi türev alınarak sıfıra eşitlenmesi ile yapılan çözüm sonucu elde edilen Denklem (2.53) ve (2.54) ile maksimum olabilirlik kestirimi gerçekleştirilmiş olur (Fisher, 1922; Draper, 1998; Chapra, 2014a). 2.5.4. En küçük kareler yöntemi EKY yöntemi, regresyon analizinde baskın bir rol üstlenmektedir. Bu yöntem, işaret frekanslarının önceden bilindiği durumlarda genlik ve faz kestirimi yapmak için yaygın olarak kullanılmaktadır. EKY yöntemi, işaretin genlik ve faz parametrelerinin tahmini açısından ele alındığı için klasik polinom kullanılarak eğri uydurma yöntemine ait türetilen formüllerden farklılık göstermektedir. Başka bir deyişle, karesel fark ile ifade edilen maliyet fonksiyonu genel olarak n. dereceden polinomdan değil, sinüzoidal fonksiyonlardan oluşmaktadır ve gradyanı da benzer terimleri içermektedir. Bu bağlamda aşağıdaki eşitlikler ele alınabilir (Li, 2014a). İlk olarak, incelenen işaretin sadece tek bir frekanstan oluştuğu varsayılsın. Bu bağlamda işaret modeli Denklem (2.55) ile verilsin (Chapra, 2014b). 𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1 cos𝜔0𝑡 + 𝐵1 sin𝜔0𝑡 + 𝑒 (2.55) Bu eşitlikten yola çıkılarak EKY eşitliği Denklem (2.56)‘da verilmiştir ve minimize edilmesi gerekmektedir. 𝑁 𝑆𝑟 =∑{𝑦𝑖 − [𝐴0 + 𝐴1 cos𝜔0𝑡𝑖 + 𝐵 2 1 sin𝜔0𝑡𝑖]} (2.56) 𝑖=1 66 Denklem (2.56)’da, 𝐴0, 𝐴1 ve 𝐵1 ifadelerine göre kısmi türevler alınırsa, Denklem (2.57) elde edilir. Bu eşitliğin sağlanması durumunda, EKY algoritmasına göre genlik ve faz kestirimi yapılabilir. Denklem (2.55) ve (2.56)’da, 𝑦 işaret değerlerini, 𝑡 zaman değerlerini, 𝐴0 DA bileşen değerini, 𝐴1 ve 𝐵1 sinüsoidal fonksiyonların genlik katsayılarını, 𝜔0 açısal frekansı, 𝑒 hata değerini ve 𝑁 veri sayısını oluşturmaktadır ( Chapra, 2014b). 𝑁 ∑cos(𝜔0𝑡) ∑sin(𝜔0𝑡) 𝐴0 ∑cos(𝜔0𝑡) ∑cos 2(𝜔0𝑡) ∑cos(𝜔0𝑡) sin(𝜔0𝑡) [𝐴1] 𝐵 1 [∑sin(𝜔0𝑡) ∑cos(𝜔0𝑡) sin(𝜔0𝑡) ∑sin 2(𝜔0𝑡) ] (2.57) ∑𝑦 = ∑𝑦 cos(𝜔0𝑡) {∑𝑦sin(𝜔 𝑡) 0 } Bilinmeyen katsayıların çözümü, Denklem (2.57) ile elde edilebilir. Ancak bu eşitliğin çözümü yerine, 𝑁 gözlem verisinin ∆𝑡 eşit aralıklarla toplandığı ve toplam uzunluğun 𝑇 = (𝑁 − 1)∆𝑡 olduğu özel durum incelenirse, Denklem (2.58)-(2.62) ile verilen eşitliklerin geçerli olduğu görülür (Chapra, 2014b). ∑ sin(𝜔 0 𝑡) = 0 (2.58) 𝑁 ∑cos(𝜔 0 𝑡) = 0 (2.59) 𝑁 ∑sin2(𝜔0𝑡) 1 = (2.60) 𝑁 2 ∑ cos2(𝜔0𝑡) 1 = (2.61) 𝑁 2 67 ∑cos(𝜔 𝑡) sin(𝜔 0 0 𝑡) = 0 (2.62) 𝑁 İlgili eşitliklerden yola çıkılarak Denklem (2.63)-(2.65) ile ilgili parametreler kolayca hesaplanabilir. ∑𝑦 𝐴0 = (2.63) 𝑁 2 𝐴1 = ∑𝑦cos(𝜔0𝑡) (2.64) 𝑁 2 𝐵1 = ∑𝑦 sin(𝜔0𝑡) (2.65) 𝑁 Denklem (2.57)’e benzer olarak, Denklem (2.66)’deki ifadeye karşılık gelen EKY amaç fonksiyonu Denklem (2.67) ile yazılır ve bu amaç fonksiyonunun genlik katsayılarına göre kısmı türevleri alınarak genel çözüm elde edilebilir. Bir önceki durum için geçerli olan şartlarda, genlik katsayılarının ve dolayısıyla fazların hesaplanması Denklem (2.68)- (2.70) ile verilir (Chapra, 2014b). 𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1 cos𝜔0𝑡 + 𝐵1 sin𝜔0𝑡 + ⋯+ 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡 (2.66) + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 + 𝑒 𝑁 𝑆𝑟 =∑{𝑦𝑖 − [𝐴0 + 𝐴1 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡𝑖 + 𝐵1 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡𝑖 +⋯ (2.67) 𝑖=1 + 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜔0𝑡𝑖 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜔 2 0𝑡𝑖]} ∑𝑦 𝐴0 = (2.68) 𝑁 2 𝐴𝑗 = ∑𝑦cos(𝑗𝜔0𝑡) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (2.69) 𝑁 68 2 𝐵𝑗 = ∑𝑦 sin(𝑗𝜔0𝑡) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (2.70) 𝑁 Denklem (2.68)-(2.70)’in, Denklem (2.28)-(2.30) ile benzer yapıda olduğuna dikkat edilmelidir. EKY algoritmasının frekans ve hatta ara-harmonikleri tespit edebilme yeteneğinin olduğu da belirtilmelidir. Bunu gerçekleştirmek için Denklem (2.57) eşitliğinin sol tarafındaki birinci matris, sürekli bir frekans aralığında (sayısal uygulamalar için epsilon artırım ile birlikte) bir frekans bandını tarayacak bir biçimde kurulsun. Bu durumda, Denklem (2.68)-(2.70) için uygulanan sadeleştirmeler gerçekleştirilmeden düzenlenen matris çözülürse, harmonik ve ara-harmoniklere karşılık gelen genlikler (sinüs ve kosinüs işaretlerinden oluştuğu için dolayısıyla fazlar) tespit edilmiş olunur. Frekans bandında, görece yüksek genlikli frekanslar var kabul edilir ve bu şekilde çözüme ulaşılabilir. Bu durum, pek çok makalede dolaylı olarak gözlemlenebilir (Chang ve diğerleri, 2009; Schmidt, 1986). 2.5.5. ADALINE yöntemi Adaptif Lineer Nöron (ADALINE) özellik çıkarımı, gürültü bastırımı ve çeşitli birçok uygulama alanında kullanılan bir adaptif filtredir (Widrow, 1960). Son yıllarda bu yöntem güç kalite çalışmalarında da sıklıkla kullanılmaktadır. ADALINE algoritması, Denklem (2.46)’yı, Prony polinom katsayılarının bulunması amacıyla stokastik bir tarzda ele alır ve polinom katsayılarından elde ettiği frekans bileşenlerini diğer bir ADALINE sinir ağına, karmaşık genlik katsayılarının belirlenmesi için girdi olarak verir (Chang ve diğerleri, 2009). Birinci YSA, işaretin belli bir andaki değeri ile önceki değerleri arasındaki ilişkiyi öğrenmek üzere eğitilir. Başka bir değişle, işaretin şimdiki değeri çıkışı ifade etmekteyken, önceki değerleri girişleri ifade eder ve YSA’nın eğitilmesi sonucunda elde edilen katsayılar, Prony polinom katsayılarını verir. Hesaplanan polinom katsayılarından, frekans bileşenlerine ulaşılır. İkinci YSA tasarımından, genlik ve faz bilgilerine ulaşılmaya çalışılır. Frekans bilgileri birinci YSA’dan elde edildiği için ikinci YSA elde edilen frekanslara karşılık gelen faz ve genlik bilgilerini hesaplar. Bunu başarmak amacıyla, girişte frekansları belirli sinüzoidal ifadeler tanımlanır. YSA’nın çıkışı ise işaretin anlık değeri ile beslenir. Bu işlemin sonucunda ikinci YSA’nın 69 katsayıları ile kompleks genlik katsayıları arasında matematiksel bir ilişki kurulur ve ilgili katsayılar hesaplanır. Bu değerlerin nasıl hesaplandığı, Denklem (2.76) ile verilmektedir. Bu şekilde, iki farklı YSA kullanılarak işaret parametrelerine ulaşılmış olunur. ADALINE ile frekans bulma adımları Şekil 2.11’de, karmaşık genlik katsayılarının bulunması ise Şekil 2.12’de özetlenmiştir. Denklem (2.71), ADALINE algoritması ile tahmin edilen anlık değeri vermektedir. 𝑘 𝑦𝑓(𝑖) =∑𝑎𝑚(𝑘)𝑦(𝑖 − 𝑚) = −?̌? 𝑇(𝑘) ?̌?(𝑖 − 1) 𝑖=1 (2.71) 𝑎1(𝑘) 𝑦(𝑖 − 1) 𝑎2(𝑘) 𝑦(𝑖 − 2)?̌?(𝑘) = [ ] , ?̌?(𝑖 − 1) = [ ] ⋮ ⋮ 𝑎𝑀(𝑘) 𝑦(𝑖 − 𝑀) Şekil 2.11. ADALINE frekans kestirim şeması (G.W. Chang ve diğerleri, 2009)’dan değiştirilerek alınmıştır. 70 Şekil 2.12. ADALINE genlik ve faz kestirim şeması (G.W. Chang ve diğerleri, 2009)’dan değiştirilerek alınmıştır. Sistem çıkışında meydana gelen hata Denklem (2.72) ile verilir. (2.72) 𝑒1(𝑖) = 𝑦(𝑖) − 𝑦𝑓(𝑖) 𝑘 𝑂1(𝑘) =∑𝜆 𝑘−𝑖𝑒21 (𝑖) (2.73) 𝑖=1 (2.73) Denklemindeki 𝜆 ifadesi unutma faktörü (forgetting factor) olarak isimlendirilir ve 0 − 1 aralığında bir değer alır. Anlık hatanın ağırlıklandırılması amacıyla kullanılır. YSA’nın nöron katsayıları Denklem (2.74) kullanılarak güncellenir. Katsayılardaki 71 zamana bağlı değişimler Denklem (2.75) ile hesaplanır. Güncelleme katsayıları için Levenberg-Marquardt algoritması kullanılabilir (Levenberger, 1944; Marquardt, 1963). (2.74) ?̌?(𝑘 + 1) = ?̌?(𝑘) + Δ?̌?(𝑘) 𝑘 𝜕𝑂1(𝑘) Δ?̌?(𝑘) = = 2∑𝜆𝑘−𝑖𝑒1(𝑖) ?̌?(𝑖 − 1) (2.75) 𝜕?̌?(𝑘) 𝑖=1 Frekanslar, 𝑎(𝑘) katsayılarından elde edilir. Elde edilen frekanslar, Şekil 2.12 ile şeması verilen YSA’ya girdi olarak verilir. Bu YSA’nın çıkışı Denklem (2.76) ile hesaplanır ve Denklem (2.77)’nin minimize edilmesi amaçlanır. Denklem (2.78), YSA çıkışındaki hatayı ifade etmektedir. 𝑀 𝑦𝑏(𝑘) = ∑(𝐴 ∗ cos𝜙∗𝑚 𝑚 sin 2𝜋𝑓 ∗ 𝑚𝑘Δ𝑡 𝑚=1 + 𝐴∗𝑚 sin𝜙 ∗ ∗ 𝑚 cos 2𝜋𝑓𝑚𝑘Δ𝑡) 𝑀 = ∑(𝑤∗ sin 𝜃∗ + 𝑤∗ cos 𝜃∗2𝑚−1 𝑚 2𝑚 𝑚) = w ∗(k). x∗(k) 𝑚=1 (2.76) w∗(k) = [𝑤∗1 𝑤 ∗ 2 ⋯ 𝑤 ∗ ∗ 2𝑀−1 𝑤2𝑀] 𝑤∗ = 𝐴∗ cos𝜙∗2𝑚−1 𝑚 𝑚 𝑤∗ ∗ ∗2𝑚 = 𝐴𝑚 sin 𝜙𝑚 x∗(k) = [sin 𝜃∗1 cos 𝜃 ∗ 1 … sin 𝜃 ∗ cos 𝜃∗𝑀 𝑀] 𝑘 𝑂2(𝑘) =∑𝜆 𝑘−𝑖𝑒22(𝑖) (2.77) 𝑖=1 72 𝑒2(𝑖) = 𝑦(𝑖) − 𝑦𝑏(𝑖) (2.78) Denklem (2.79) ve Denklem (2.80), sistemin güncelleme mekanizmasını ifade etmektedir. Bunun yerine Denklem (2.77)’deki Levenberg-Marquardt algoritması da kullanılabilir (Levenberger, 1944, Marquardt, 1963). w∗(𝑘 + 1) = w∗(𝑘) − Δw(k) (2.79) 𝑘 𝜕𝑂2(𝑘) Δ𝑤(𝑘) = = −2∑𝜆𝑘−𝑖𝑒22(𝑖)𝑦(𝑖 − 1) (2.80) 𝜕𝑤(𝑘) 𝑖=1 ADALINE algoritması tarafından Prony polinom katsayılarının tahmin edilmesi için uygulanan adımlar aşağıda özetlenmiştir.  Rastgele ?̌?(𝑘) katsayıları ile frekans kestirimi için kullanılacak YSA’yı üret (Şekil 2.11).  Anlık çıkış verilerini Denklem (2.71) ile hesapla.  YSA katsayılarını, istenilen durdurma koşullarına ulaşana kadar (hata toleransı, maksimum iterasyon sayısı v.b.) Levenberg-Marquardt algoritması ile güncelle  YSA’nın katsayıları olan Prony polinom katsayılarını kullanarak frekans değerlerini hesapla.  İkinci YSA’nın girişen elde edilen frekans bilgilerini ata (Şekil 2.12).  Denklem (2.76) ile tahmin edilen işareti bul.  Denklem (2.78) ile hata değerini bul.  İkinci YSA’yı Levnberg-Marquardt algoritmasını kullanarak durdurma kriterleri sağlanana kadar güncelle.  Güncelleme aşaması bittikten sonra, genlik ve faz bileşenlerini ikinci YSA modelinden hesapla. Özetle, ADALINE iki aşamadan meydana gelmektedir. Birinci aşamada, belirtilen listedeki ilk dört adım uygulanmaktadır ve frekanslar ile sönüm katsayıları bulunmaktadır. İkinci aşamada, son beş adım uygulanmakta, kompleks genlik katsayıları 73 hesaplanmaktadır. Bu adıma “faz ayarlama adımı” da denilebilir. Bu şekilde frekans, sönüm katsayısı, genlik ve faz bilgilerine ulaşılmış olur. 2.5.6. Öz-değer ayrıştırma yöntemleri Beyaz gürültü içerisinde sinüzoidal işaretlerden meydana gelen bir zaman serisi için Oto- Kovaryans Fonksiyonu (ACF) çok özel bir yapıya sahiptir. Bu fonksiyon, frekansları sinüzoidal işaretin frekanslarına karşılık gelen ve Kronecker Delta dizisi üzerinde bulunan harmonik/ara-harmoniklerin ağırlıklı toplamıdır. ACF ile ilgili bu tanım göz önüne alınarak MUSIC, Pisarenko, ESPRIT ve Matrix Pencil yöntemleri bu bölümü takip eden başlıklar altında açıklanacaktır. Bu teknikler genel olarak öz-değer ayrıştırma yöntemleri olarak ele alınabilir. Bu tekniklerin altında yatan yaklaşım, ACF’yi temel alan ve işaret frekanslarının öz-değer ile öz-vektörlerden elde edinilebilmesini sağlayan matrislerin inşasına dayalıdır (Li, 2014b). Bu bağlamda, Denklem (2.81) ile verilen zaman serisi göz önüne alınsın. 𝑦𝑡 ≔ 𝑥𝑡 + 𝜖𝑡 (𝑡 = 1,… , 𝑛) (2.81) Denklem (2.81)’de, {𝜖𝑡} sıfır ortalamalı ve 𝜎 2 varyanslı beyaz gürültüyü göstermektedir. {𝑥𝑡}’nin Denklem (2.82) ile verilen formda olduğu varsayılsın. 𝑝 𝑥 =∑𝛽 𝑒𝑖𝜔𝑘𝑡𝑡 𝑘 𝑡 ∈ 𝑍 (2.82) 𝑘=1 𝑝 𝑥𝑡 =∑𝐶 𝑖𝜔𝑘𝑡+𝜑𝑘 𝑘𝑒 𝑡 ∈ 𝑍 (2.83) 𝑘=1 Denklem (2.82)’de 𝛽𝑘 kompleks genlik katsayısı ve 𝜔𝑘 açısal frekanstır. Denklem (2.83)’de 𝐶𝑘 ifadesi , 𝛽𝑘’nın normunu ifade ederken, 𝜑𝑘 faz açısını göstermektedir. 𝑦𝑡’nin ACF’si Denklem (2.84) ile ifade edilir (Li, 2014b). 74 𝑝 𝑟𝑦(𝑢) = 𝑟𝑥(𝑢) + 𝑟𝜀(𝑢) = ∑𝐶 2 𝑘𝑒 𝑖𝜔𝑘𝑢 + 𝜎2 + 𝛿𝑢 (2.84) 𝑘=1 𝑚 ≥ 1 olmak üzere, 𝑚 boyutlu kovaryans matrisi Denklem (2.85) ile verilsin. 𝐑𝑦: = 𝑟𝑥(𝑢) + 𝑟𝜀(𝑢) 𝑟 ∗𝑦(0) 𝑟𝑦 (1) … 𝑟 ∗ 𝑦 (𝑚 − 1) 𝑟𝑦(1) 𝑟 (0) … 𝑟 ∗ 𝑦 𝑦 (𝑚 − 2) (2.85) = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ [𝑟𝑦(𝑚 − 1) 𝑟𝑦(𝑚 − 2) … 𝑟𝑦(0) ] Sinüzoidal işaretlerin fazlarının rastgele olduğu varsayılırsa, Denklem (2.81)’deki {𝑦𝑡}, beklenen değeri 𝐸(𝑦𝑡 + 𝑢𝑦 ∗ 𝑡 ) = 𝑟𝑦(𝑢) olan sıfır ortalamalı durağan bir süreçtir. Buna dayanılarak Denklem (2.86) yazılır. 𝐑 𝐻𝑦 = 𝐸(𝒚𝑡𝐲𝑡 ) (2.86) 𝒚 𝑻 𝑚𝒕: = [𝑦𝑡, 𝑦𝑡+1,⋯ , 𝑦𝑡+𝑚−1] ∈ 𝐶 olarak tanımlıdır. 𝐑𝑦 pozitif tanımlı Hermetian matris olduğu için, bütün öz değerleri reel ve pozitiftir (Horn, Roger ve Johnson, 1985). 𝐑𝑦’nin öz değerleri, 𝜆1 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑚 ≥ 0 olarak gösterilirse, Denklem (2.87)’deki diyagonal matris tanımlanabilir. 𝚲 ≔ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1,⋯ 𝜆𝑚) (2.87) Matris teorisine göre, öyle bir birim matris vardır ki, Denklem (2.88) ve Denklem (2.89) ile ifade edilebilir (Horn, Roger ve Johnson, 2014). 𝐕 ≔ [𝐯1, ⋯ 𝐯𝑚] (2.88) 75 𝑚 𝐑𝑦 = 𝐕𝚲𝐕 𝑯 =∑𝜆 𝐻𝑗𝐯𝑗𝐯𝑗 𝑗 = 1,… ,𝑚 (2.89) 𝑗=1 Denklem (2.89), 𝐑𝑦’nin öz değer ayrıştırması olarak isimlendirilir. 𝐯𝑗 vektörleri, ortonormal olduğu için Denklem (2.89)’dan hareketle, Denklem (2.90) yazılabilir. 𝐑𝑦𝐯𝑗 = 𝜆𝑗𝐯𝑗 (2.90) Ölçülen işaretin üzerine binen gürültünün beyaz gürültü olduğu varsayımı ile Denklem (2.91) yazılabilir. 𝐑 2𝑦 = 𝐑𝑥 + 𝜎 𝐈 (2.91) 𝐑𝑥 Denklem (2.85)’de, {𝑟𝑦(𝑢)} yerine {𝑟𝑥(𝑢)} yazılarak elde edilen kovaryans matris 𝑝 formunu ifade etmektedir. 𝑟𝑥(𝑢) = ∑ 2 𝑖𝜔𝑘𝑢 𝑘=1𝐶𝑘𝑒 olduğundan, Denklem (2.92) yazılabilir. Denklem (2.92)’de kullanılan değişkenler, bu denklemin alt satırlarında tanımlanmıştır. 𝑝 𝐑 2 𝐻 𝐻𝑥 =∑𝐶𝑘 𝐟𝑚(𝜔𝑘)𝐟𝑚(𝜔𝑘) = 𝐅𝑚𝐆𝐅𝑚 (2.92) 𝑘=1 𝑇 𝐟𝑚(𝜔) ≔ [𝑒 𝑖𝜔, … , 𝑒𝑖𝑚𝜔] 𝐅𝑚 ≔ [𝐟𝑚(𝜔1),… , 𝐟𝑚(𝜔𝑝)] 𝐆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐶21 , … , 𝐶 2 𝑝) Denklem (2.92)’den, herhangi 𝑚 ≥ 𝑝 için 𝐑𝑥 matrisinin 𝑝 rankına sahip olduğu görülmektedir (Li, 2014c). 76 𝑚 > 𝑝 için, Denklem (2.89), m boyutlu kovaryans matrisi 𝐑 = 𝐑 + 𝜎2𝑦 𝑥 𝐈 ‘nin öz değer ayrıştırması olsun. Bu durumda, Denklem (2.93) yazılabilir (Li, 2014b). 𝜇𝑗 + 𝜎 2, 𝑗 = 1,… , 𝑝 𝑖ç𝑖𝑛 𝜆𝑗 = { (2.93) 𝜎2, 𝑗 = 𝑝 + 1,…𝑚 𝑖ç𝑖𝑛 𝜇1 ≥ ⋯ ≥ 𝜇𝑝 ≥ 0 ile kurulan 𝑝 ranklı matris, 𝐑𝑥 matrisinin sıfır olmayan öz değerleridir. 𝑣1, ⋯ 𝑣𝑝, ise belirtilen öz değerlerle eşleşen öz vektörlerdir. 𝑣1, ⋯ 𝑣𝑚 öz vektörlerini daha iyi anlamak için, 𝐟𝑚(𝜔1),… , 𝐟𝑚(𝜔𝑝) sinüzoidal vektörleri gözlemlensin. Bu sinüzoidal vektörler birbiriyle lineer bağımsızdırlar ve 𝑚-boyutlu ℂ𝑚 uzayını, ortogonal iki alt uzaya parçalarlar. ℂ𝑚𝑆 ≔ 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝐟𝑚(𝜔1), … , 𝐟𝑚(𝜔𝑝)} (2.94) ℂ𝑚𝑁 ≔ ℂ 𝑚⊖ℂ𝑚𝑆 (2.95) Bunlardan, 𝑝 boyutlu alt uzay ℂ𝑚𝑆 işaret alt uzayı ve (𝑚 − 𝑝) boyutlu alt uzay gürültü alt uzayı olarak isimlendirilir. Bu ifadelerin matematiksel tanımları Denklem (2.94) ve (2.95) ile verilmiştir. Buradan, 𝐑𝑥’in 𝑣𝑝+1, ⋯ 𝑣𝑚 öz vektörlerinin, sıfır öz değerleriyle eşleştiği sonucuna ulaşılır. Bu bilgi Denklem (2.92) ile birleştirilirse, Denklem (2.96) ve (2.97) yazılabilir. 𝐑𝑥𝐯𝑗 = 𝐅𝑚𝐆𝐅 𝐻 𝑚𝐯𝑗 = 0, 𝑗 = 𝑝 + 1,⋯ ,𝑚 (2.96) 𝐟𝐻𝑚(𝜔𝑘)𝐯𝑗 = 0, 𝑗 = 𝑝,⋯ ,𝑚; 𝑘 = 1,⋯ , 𝑝 (2.97) Diğer bir değişle, 𝑣𝑝+1, ⋯ 𝑣𝑚 vektörleri 𝐟𝑚(𝜔1),… , 𝐟𝑚(𝜔𝑝) vektörlerine ortogonaldir ve bu nedenle gürültü alt uzayı ℂ𝑚𝑁 ’de bulunur. Dahası ℂ 𝑚 𝑁 , (𝑚 − 𝑝) boyutludur ve birbiriyle lineer bağımsız olan (𝑚 − 𝑝) tane 𝑣𝑝+1, ⋯ 𝑣𝑚 vektör (bu vektörler birbirlerine göre ortonormaldir), ℂ𝑚𝑁 ’nin bazlarını oluşturur. Bu durum, Denklem (2.98) ile ifade edilebilir (Li, 2014b). 77 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣 𝑚𝑝+1, ⋯ , 𝑣𝑚} =, ℂ𝑁 (2.98) Diğer 𝑣1, ⋯ 𝑣𝑝 vektörleri, 𝑣𝑝+1, ⋯ 𝑣𝑚 vektörlerine ortogonaldir ve ℂ 𝑚 𝑆 ’in bazlarını oluştururlar. Bu durum Denklem (2.99) ile gösterilir. 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, ⋯ , 𝑣 𝑚 𝑝} =, ℂ𝑆 (2.99) Böylelikle, sırasıyla 𝑣1, ⋯ 𝑣𝑝 ve 𝑣𝑝+1, ⋯ 𝑣𝑚 vektörlerinin işaret ve gürültü alt uzaylarını belirlediği, aynı zamanda da 𝐑𝑦’nin öz vektörleri olduğu gösterilmiş olur. Özet olarak; 𝐑𝑦’nin, en büyük 𝑝 tane öz değeriyle eşleşen öz vektörler ℂ 𝑚 𝑆 ’in span’ıdır. ℂ𝑚𝑆 ≔ 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝐟𝑚(𝜔1), … , 𝐟𝑚(𝜔𝑝)}. Diğer öz vektörler ise, gürültü uzayının span’ıdır ℂ𝑚 ≔ ℂ𝑚⊖ℂ𝑚𝑁 𝑆 . Buradan hareketle Denklem (2.100) yazılabilir. Denklem (2.101)-(2.105)’deki tanımlamalara dikkat edilmelidir. 𝐑 = 𝐕 𝐻 2 𝐻𝑦 𝑆𝚲𝑆𝐕𝑆 + 𝜎 𝐕𝑁𝐕𝑁 (2.100) 𝐕𝑆 ≔ [𝐯1, ⋯ , 𝐯𝑝], 𝐕𝑁 ≔ [𝐯𝑝+1, ⋯ , 𝐯𝑚] (2.101) 𝚲𝑆 ≔ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1,⋯ 𝜆𝑚) (2.102) 𝐕𝐻𝐕 = 𝐈, 𝐕𝐻𝑆 𝑆 𝑁𝐕𝑁 = 𝐈, 𝐕 𝐻 𝑆 𝐕𝑁 = 𝟎 (2.103) 𝐕𝑆𝐕 𝐻 𝑆 + 𝐕 𝐕 𝐻 𝑁 𝑁 = 𝐈 (2.104) 𝐏𝑆 + 𝐏𝑁 = 𝐈 (2.105) Bu bölümde açıklanan öz değer ayrıştırma yöntemi, ilerleyen iki bölümde yer alan MUSIC, Pisarenko, ESPRIT ve Matrix Pencil yöntemlerinin anlaşılmasına ışık tutacaktır (Li, 2014b). 78 2.5.7. MUSIC ve Pisarenko harmonik ayrıştırması Herhangi bir 𝑚 > 𝑝 için, 𝐯𝑗 (𝑗 = 1,⋯ ,𝑚) vektörü, Denklem (2.89) ile öz değer ayrıştırması verilen 𝐑𝑦 matrisinin öz vektörlerini temsil etsin. Denklem (2.99)’daki 𝑚 × (𝑚 − 𝑝) 𝐕N matrisi göz önüne alınsın. 𝐕N tam sütun × (𝑚 − 𝑝) rank olduğu için, Denklem (2.97)’deki ortogonallik özelliği, yalnız ve yalnızca 𝑝 tane 𝜔1,⋯ , 𝜔𝑝 işaret frekansı için sağlanır. Buradan hareketle, Denklem (2.106) ve (2.107) yazılabilir (Li, 2014d). 𝐕𝐻N 𝐟𝑚(𝜔) = 𝟎 (2.106) 𝑚 ‖𝐕𝐻 2 N 𝐟𝑚(𝜔)‖ 2 = ∑ |𝐯𝐻𝑗 𝐟𝑚(𝜔)| = 0 (2.107) 𝑗=𝑝+1 ?̂?𝑦, 𝐑𝑦’nin bir kestiricisi olsun ve matematiksel formu Denklem (2.108) ile ifade edilsin. 𝑚 𝐑 𝐻?̂? =∑?̂?𝑗?̂?𝑗?̂?𝑗 (2.108) 𝑗=1 Denklem (2.108)’de ?̂?1 ≥ ⋯ ≥ ?̂?𝑚 ≥ 0 olarak tanımlıdır. ?̂?N ≔ |?̂?𝑝+1, … , ?̂?𝑚| ifadesi göz önüne alınsın. Denklem (2.107) temel alınarak, Denklem (2.109)’daki fonksiyonun yerel minimumları hesaplanabilir ve 𝜔𝑘’lar bulunur (Li, 2014d). 𝑚 2 2 ?̂?𝑚(𝜔):= ‖?̂? 𝐻 N 𝐟𝑚(𝜔)‖ = ∑ |?̂? 𝐻 𝑗 𝐟𝑚(𝜔)| (2.109) 𝑗=𝑝+1 Denklem (2.109)’daki kestirici, MUSIC algoritması olarak literatüre kazandırılmıştır (Bienvenu ve Kopp, 1983; Stoica, 1997; Schmidt, 1986). 2 𝑇 𝑚 = 𝑝 + 1 özel durumu için ?̂?𝑝+1(𝜔) = |?̂? 𝐻 𝑝+1𝐟𝑝+1(𝜔)| yazılabilir. [?̂?0, ?̂?1, … , ?̂?𝑝] ≔ ?̂? 𝑝 −𝑖𝑗𝜔𝑝+1 ve ?̂?(𝜔) ≔ ∑𝑗=0 ?̂?𝑗𝑒 olarak tanımlansın. Buradan hareketle, Denklem (2.110) yazılabilir (Li, 2014d). 79 ?̂? (𝜔) = |𝐟𝐻 2 2 𝑝+1 𝑝+1(𝜔)?̂?𝑝+1| = |?̂?(𝜔)| (2.110) 𝐑𝑦’nin en küçük öz değeri ?̂?𝑝+1 olduğu için aynı zamanda 𝐯 𝐻𝐑𝑦𝐯 ifadesinin de birim norm sınırlaması, ‖𝐯‖ = 1 ifadesini minimize eden fonksiyonudur. Ayrıca, ?̂?𝑝+1(𝜔)’i minimize etmek, 𝑝. dereceden ?̂?𝑝+1 öz vektörüyle eşleşen (?̂?0?̂?𝑝 ≠ 0)AR spektrumu olan 2 1⁄|?̂?(𝜔)| ’yi maksimize etmekle eşdeğerdir. Bu Pisarenko Harmonik Ayrıştırması olarak bilinir (Li, 2014d). 2.5.8. ESPRIT ve Matrix Pencil algoritması 𝑚 ≥ 𝑝 için Denklem (2.85)’de tanımlanan 𝑚 ×𝑚 𝐑𝑦 matrisi göz önüne alınsın ve yardımcı bir 𝐑′𝑦 kovaryans matrisi Denklem (2.111) ile tanımlansın (Li, 2014e). 𝑟𝑦(1) 𝑟𝑦(0) 𝑟 ∗ 𝑦 (1) … 𝑟∗𝑦 (𝑚 − 2) ′ 𝑟𝑦(2) 𝑟𝑦(1) 𝑟𝑦(0) … 𝑟 ∗ 𝑦 (𝑚 − 3)𝐑 = 𝑦 (2.111) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ [𝑟𝑦(𝑚) 𝑟𝑦(𝑚 − 1) 𝑟𝑦(𝑚 − 2) … 𝑟𝑦(1) ] Sinüzoidal işaretlerin fazları rasgeleleştirilerek, {𝑦𝑡}’nin beklenen değeri 𝐸(𝑦 + 𝑢𝑦 ∗ 𝑡 𝑡 ) = 𝑟𝑦(𝑢) olan sıfır ortalamalı durağan süreç elde edilebileceğine Öz değer ayrıştırması ile mümkün olacağı Denklem (2.86) ile ifade edilmişti. Benzer şartlar altında Denklem (2.112) yazılabilir (Li, 2014e). 𝐑′ = 𝐸(𝒚 𝐲𝐻𝑦 𝑡 𝑡−1) (2.112) Denklem (2.112), başka bir değişle 𝑦𝑡 ve 𝑦𝑡−1 arasındaki çapraz kovaryans matrisidir. 𝐑 ′𝑥 ve 𝐑𝑥 matrisleri, 𝐑𝑦 ve 𝐑 ′ 𝑦 matrislerinin öz değer ayrıştırması yöntemine kıyasla benzerleri olsunlar. Denklem (2.84)’de tanımlanan 𝑟𝑦(𝑢) ifadesinde, 𝑟𝑥(𝑢) üzerinden tanımlamalarda bulunulsun. 𝐑𝑥’in Denklem (2.92)’deki formda olduğu göz önüne bulunulursa, 𝐑′𝑥 Denklem (2.113) ile verilir (Li, 2014e). 80 𝑝 𝐑′𝑥 =∑𝐶 2 𝑘𝑧 𝐻 𝐻 𝑘𝐟𝑚(𝜔𝑘)𝐟𝑚(𝜔𝑘) = 𝐅𝑚𝐙𝐆𝐅𝑚 (2.113) 𝑘=1 𝑧 𝑖𝜔𝑘𝑘 ≔ 𝑒 𝐙 ≔ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑧1, ⋯ 𝑧𝑝) (2.114) Herhangi bir 𝐜 ∈ ℂ𝑚 için 𝐆𝐅𝑚𝐜 vektörü, 𝐜 katsayılarının 𝐅𝑚’in sütunları üzerine teker teker yeniden ölçeklenerek iz düşümünden oluştuğu gözlemlenebilir. Bundan dolayıdır ki, 𝐑 𝐜 = 𝐅 (𝐆𝐅𝐻𝑥 𝑚 𝑚𝐜), 𝐅𝑚’nin sütunlarının kullanılmasıyla yeniden ölçeklenen iz düşüm katsayılarından 𝐜’nin yeniden inşası olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, 𝐑′𝑥𝐜 = 𝐅𝑚𝐙(𝐆𝐅 𝐻 𝑚𝐜), 𝐅𝑚𝐙’nin sütunlarının kullanılmasıyla, 𝐜’nin yeniden oluşturulması olarak ele alınabilir. 𝐅𝑚 → 𝐅𝑚𝐙 dönüşümü 𝐅𝑚’in sütunlarını teker teker döndürülmesine neden olmakta, böylelikle işaret alt uzayının rotasyona tabii tutulması yorumunun geçerlilik kazanmasını sağlamaktadır. Bu alt uzay rotasyonu, 𝑦𝑡 ve onun bir adım geriye kaydırılmış kopyası olan 𝑦𝑡−1 arasındaki çapraz korelasyonun dikkate alınmasıyla anlaşılır. Tek tek gerçekleştirilen rotasyonun ölçüsü, 𝑧𝑘’yı belirler. Burası frekans tahmininde alt uzay rotasyonu yönteminin başarılması için kilit noktadır (Li, 2014e). 𝐑𝑥 ve 𝐑 ′ 𝑥 verildiğinde, 𝐑 ′ 𝑥 − 𝐙𝐑𝑥, z ∈ ℂ 𝑚 “Pencil” olarak adlandırılır (Gene H. Golub 1996). Denklem (2.92) ve Denklem (2.113)’den hareketle, Denklem (2.115) yazılabilir. 𝐑′𝑥 − 𝑧𝐑 𝐻 𝑥 = 𝐅𝑚(𝐙 − 𝑧𝐈) 𝐆𝐅𝑚 (2.115) Bu özel yapı, 𝑧𝑘’nın “Pencil”’ın öz değerleri ya da (𝐑 ′ 𝑥, 𝐑𝑥)matris çiftinin gennelştirilmiş öz değerleri olduğunu garanti eder. 𝐅𝑚’in sütunları 𝑝 ranklı olduğu için ve 𝐆 tekil olmadığı için Denklem (2.116) sağlanır (Li, 2014e). 𝐑′𝑥𝐪 = 𝑧𝐑𝑥𝐪 (2.116) Denklem (2.116) ifadesi, 𝐪 ∈ ℂ𝒎 olmak üzere 𝐅𝐻𝑚𝐪 ≠ 0 şartı altında geçerlidir Gürültü alt uzayı ℂ𝑚𝑁 ’de bulunan 𝐪 bileşenlerinin 𝑧𝑘 karakteristiği üzerinde bir etkisinin 81 olmamasından dolayı (𝐑′𝑥, 𝐑𝑥) matris çiftinin genelleştirilmiş öz değerlerini, karşılık gelen öz vektörlerin işaret alt uzayında bulunduğu varsayımı altında göz önüne almak yeterlidir. Denklem (2.116)’da verilen sınırlandırılmış genel öz değer problemi, sınırlandırılmamış öz değer problemine çevrilebilir. 𝐑𝑦’nin Denklem (2.89)’da verilen öz değer ayrıştırma denklemi göz önüne alınsın. Denklem (2.93)’ün türetilme yaklaşımı göz önüne alındığında, tüm 𝐪 ∈ ℂ𝒎𝑺 için öyle bir 𝐝 ∈ ℂ 𝒑 bulunabilir ki, tektir ve Denklem (2.117) ile gösterilmiştir (Li, 2014e). 𝐪 = 𝐕S𝐝 (2.117) 𝐕S ≔ [𝐯1, ⋯ 𝐯𝑝] olarak tanımlıdır. Buradan hareketle, Denklem (2.116), Denklem (2.118)’deki gibi yeniden yazılabilir. 𝐑′𝑥𝐕S𝐝 = 𝑧𝐑𝑥𝐕S𝐝 (2.118) Denklem (2.118), matris işlemlerinin ardından Denklem (2.119) formuna getirilebilir. 𝐐𝐝 = 𝐳𝐝 (2.119) 𝐐 ≔ 𝐕𝐻𝐑†𝐑′S 𝑥 𝑥𝐕S (2.120) Bundan dolayı 𝑧, Denklem (2.116) ifadesini sıfır olmayan 𝐪 ∈ ℂ𝒎𝑆 vektörü için sağlıyorsa, Denklem (2.119) ve sıfır olmayan 𝐝 ∈ ℂ𝒑 vektörü için de sağlıyordur. Bu, 𝑧𝑘’ların sınırlandırılmamış adi öz değer problemi ile elde edilebileceğini gösterir. Bu gözlemden hareketle, Denklem (2.120)’deki gibi 𝑝 × 𝑝 𝐐 matrisini, kaydedilen gürültülü veri {𝑦1, … , 𝑦𝑛}’yi tahmin eden ?̂? ile değiştirilerek, karşılık gelen öz değerler {?̂?𝑘} (𝑘 = 1,… , 𝑝) ile gösterilsin. ?̂?𝑘 ifadesi, 𝑧𝑘’nın bir tahmini olduğu için işaret frekansları 𝜔𝑘’lar, ?̂?𝑘 ifadelerinden (açılarından) tahmin edilebilirler. Bu tahmin edici, Birinci tür SSR tahmin edicisi ya da SSR1 olarak isimlendirilir. Genelliği kaybetmeden, 𝑇 ?̂?𝑘’ların açılarına göre artan şekilde 𝐳 ≔ [𝑧1, … , 𝑧𝑝] ifadesinin kestiricisi ?̂? ≔ 82 𝑇 [?̂?1, … , ?̂?𝑝] sıralandığı varsayılsın. Buradan hareketle açısal frekansları 𝛚 ≔ 𝑇 𝑇 [𝜔1, … , 𝜔𝑝] := [∠𝑧1, … , ∠𝑧𝑝] ifadesiyle ve tahmin edicisi ?̂? ≔ [?̂?1, … , ?̂?𝑝] ile tanımlanabilir. ?̂?’nın farklı kurulum şekilleriyle, başka SSR1 tahmin edicileri de elde edilebilir. Örneğin ?̂?𝑦ve ?̂? ′ 𝑦 ifadeleri 𝐑 ′ 𝑦 ve 𝐑𝑦’nün iki farklı tutarlı tahmin edicileri olsunlar ?̂?𝑦, Öz-değer Ayrıştırması (EVD)’si Denklem (2.121) ile verilsin (Li, 2014e). 𝑚 ?̂?𝑦 =∑?̂?𝑗?̂?𝑗?̂? 𝐻 𝑗 (2.121) 𝑗=1 Denklem (2.121)’de, ?̂?1 ≥ ⋯ ≥ ?̂?𝑝 > 0 sıralaması geçerlidir. 𝐕S’nin tahmin edicisi, Denklem (2.122) ile verilir. 𝑇 ?̂?𝑆 ≔ [?̂?1, … , ?̂?𝑝] (2.122) Denklem (2.120)’de, ?̂?′𝑦, 𝐑 ′ 𝑥 yerini alır ve Denklem (2.120)’deki 𝐑𝑥, p-rank’lı matris ile değiştirilmiş olur. 𝑚 𝐻 𝐻 ?̃?𝑌 =∑?̂?𝑗?̂?𝑗?̂?𝑗 = ?̂?𝑆?̂?𝑆?̂?𝑆 (2.123) 𝑗=1 ?̂?𝑆 ≔ (?̂?1, … , ?̂?𝑝) olark tanımlıdır. 𝐑† ≔ ∑𝑝 ?̂?−1 ?̂? ?̂?𝐻𝑥 𝑗=1 𝑗 𝑗 𝑗 = ?̂?𝑆?̂?𝑆?̂? 𝐻 𝑆 ifadesi, ?̃?𝑌’nin “pseudo inverse”’idir ve 𝐐’nun kestiricisi, Denklem (2.124) ile ifade edilir. ?̂? ≔ 𝐕𝐻𝐑†𝐑′ 𝐕 = ?̂̂?−1 𝐻S 𝑥 𝑥 S 𝑆 ?̂?𝑆 𝐑 ′ 𝑦?̂?𝑆 (2.124) Denklem (2.124)’deki ?̂?’nın, EKY probleminin minimum norm çözümü olduğu 2 gözlemlenmektedir. ‖?̂?′𝑦?̂?𝑆 − ?̃?𝑦?̂?𝑆?̃?‖ , ?̃? ∈ ℂ 𝑝×𝑝 83 ?̂?𝑦 ve ?̂? ′ 𝑦’nün tahmin edilmesi için bir çok kestirici vardır. Önemli bir örnek Denklem (2.125) ve (2.126) ile verilebilir (Li, 2014e). ?̂? −1 𝐻𝑦 = (2𝑛) 𝐘𝑓𝑏𝐘𝑓𝑏 (2.125) ?̂?′𝑦 = (2𝑛) −1𝐘𝐻 ′𝑓𝑏𝐘𝑓𝑏 (2.126) Denklem (2.125) ve (2.126)’daki parametreler, Denklem (2.127) ve (2.128)’deki eşitliklerle açıklanmıştır. 𝐘𝑓 𝐘𝑓𝑏 ≔ [ ] (2.127) 𝐘𝑏 ′ 𝐘 ∗ 𝐘 ≔ [ 𝑏 ?̃? 𝑓𝑏 ] (2.128) 𝐘∗𝑓 𝐈 Yukarıdaki denklemlerde ?̃?′, 𝑚 ×𝑚 ters permütasyon matrisini ifade etmektedir. Bu matrisin tüm çapraz olmayan elemanları 1’e eşit ve diğer bütün elemanları sıfıra eşittir. Denklem (2.125) ve (2.126)’da ?̂?𝑦’nın iç çarpımı, Denklem (2.124)’deki ?̂?’nın hesaplanabilmesini 𝐘𝑓𝑏’nin TDA’sı ile mümkün kılmaktadır. Böylelikle Denklem (2.129) yazılabilir. Denklem (2.130) ve (2.131), bahsedilen denklemlerdeki parametreleri açıklamaktadır (Li, 2014e). 𝑝 𝑝 ?̂? = ?̂?𝐻 {∑?̂?−2?̂? ?̂?𝐻}{∑?̂? ?̂? ?̂?𝐻}𝐘′𝑆 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑓𝑏?̂?𝑆 (2.129) 𝑗=1 𝑗=1 𝑝 = ?̂?𝐻 {∑?̂?−1 𝐻 ′𝑆 𝑗 ?̂?𝑗?̂?𝑗 }𝐘𝑓𝑏?̂?𝑆 𝑗=1 = ?̂?−1 𝐻𝑆 ?̂?𝑆 𝐘 ′ 𝑓𝑏?̂?𝑆 84 ?̂?𝑆 ≔ [?̂?1, … , ?̂?𝑝] (2.130) ?̂?𝑆 ≔ diag(?̂?1, … , ?̂?𝑝) (2.131) Denklem (2.129)’daki ?̂?’nın öz-değerlerinden SS1 frekans tahminleri elde edilebilmektedir Bu “Matrix Pencil” (MP) kestiricisi olarak tanımlanmaktadır (Hua ve Sarkar, 1990; 1991). † † Q’nun alternatif bir kestiricisi, Denklem (2.120)’deki 𝐑𝑥’nün ve 𝐑 ′ 𝑥 ‘nün, 𝐑𝑦 ve 𝐑 ′ 𝑦 ile değiştirilmesi sonucu elde edilebilir. Denklem (2.132) ve (2.133) incelensin. Bu denklemlerde 𝐈′ elemanları, (𝑗, 𝑗 + 1), 𝑗 = 1,… ,𝑚 − 1 için bire eşit ve diğer yerler için sıfır olan 𝑚 ×𝑚 matrisi temsil eder. Buradan hareketle 𝐑𝑥 ve 𝐑 ′ 𝑥 için Denklem (2.134) ve (2.135)’deki gibi bir kestirici tanımlanabilir (Li, 2014e). 𝐑𝑥 = 𝐑𝑦 − 𝜎 2𝐈 (2.132) 𝐑′𝑥 = 𝐑 ′ 𝑦 − 𝜎 2𝐈′ (2.133) ?̂?𝑥 ≔ ?̃?𝑦 − ?̂? 2𝐈 (2.134) ?̂?′ ′ 2𝑥 ≔ ?̂?𝑦 − ?̂? 𝐈 ′ (2.135) Denklem (2.136)’da, ?̃?𝑦 ifadesi, ?̂?𝑦’nın optimum rank-p yaklaşımıdır ve Denklem (2.123)’de tanımlanmıştır. ?̂?2 ise 𝜎2’nin kestiricisidir ve matematiksel ifadesi Denklem (2.136) ile verilmiştir. 𝑚 ?̂?2 ≔ (𝑚 − 𝑝)−1 ∑ ?̂?𝑗 (2.136) 𝑗=𝑝+1 İncelenen ifadeler birleştirilerek, ?̂?’nın ifadesi Denklem (2.137) ile verilebilir. 85 ?̂? ≔ ?̂?𝐻?̂?† ′ −1 S 𝑥?̂?𝑥?̂?S == (?̂? 2 𝑆 − 𝜎 𝐈) ?̂? 𝐻 S (?̂? ′ 2 ′ 𝑦 − ?̂? 𝐈 )?̂?S (2.137) † Denklem (2.137)’deki ?̂?’nın öz değerleri, (?̂?𝑥, ?̂? ′ 𝑥)’nün genelleştirilmiş öz değerleri ile † örtüşür. (?̂? , ?̂?′𝑥 𝑥)’nin eşleşen öz vektörleri, ?̂?𝑆’nın sütun uzayında bulunur. Bu ESPRIT kestiricisi olarak isimlendirilir (Roy ve diğerleri, 1986). Eğer, Denklem (2.125) ve (2.126)’da ?̂?𝑦 ve ?̂? ′ 𝑦 ifadeleri verilirse, Denklem (2.137) ve (2.138)’deki gibi yazılabilir. Denklem (2.139)-(2.141)’de, Denklem (2.138)’deki ifadelerin açılımları verilmiştir (Li, 2014e). −𝟏 ?̂? = (?̂?𝐻𝑆 ?̂? 2 𝑆 − 𝜁 𝐼) (?̂? 𝐻 𝐻 ′ 𝑆 ?̂?𝑆 𝐘𝑓𝑏?̂?𝑆 − 𝜁 2?̂?𝐻𝐈′𝑆 ?̂?𝑆) (2.138) ?̂?𝑆 ≔ [?̂?1, … , ?̂?𝑝] (2.139) ?̂?𝑆 ≔ diag(?̂?1, … , ?̂?𝑝) (2.140) 𝜁2 = 2𝑛?̂?2 (2.141) 𝐈′?̂?𝑆 matrisi, ?̂?𝑆’nın ilk satırı silinerek ve bunun yerine sıfır elemanlarından oluşmuş bir satır eklenerek elde edilebilir. ?̂?2 ifadesine bağlı olarak, 𝜁2 Denklem (2.142)’deki gibi tanımlansın. 𝑚 2 2 𝜁 ≔ (𝑚 − 𝑝)−1 ∑ |?̂?𝑗| (2.142) 𝑗=𝑝+1 𝜁2 ≔ 0 için Denklem (2.138)’in, Denklem (2.129)’a eşit olacağı anlaşılmaktadır. 𝜁2’yi çıkartmak, 𝐑𝑥 ve 𝐑 ′ 𝑥 ifadelerinin tahminindeki asimptotik biası çıkarmak anlamına geldiği için, ESPRIT kestiricisi, MP kestiricisinin bias düzeltilmiş hali olarak yorumlanabilir (Li, 2014e). 86 3. MATERYAL VE YÖNTEM Bu bölümde, işaret parametrelerinin tahmini için öne sürülen iki yeni yaklaşım açıklanmıştır. İleri sürülen yaklaşımların dayandığı temel yöntemler özetlenmiştir. Önerilen yöntemlerin gürültüye dayanıklılığı ve hesaplama karmaşıklığı gibi konulara değinilmiştir. Ayrıca, tez içerisinde önerilen iki yeni yaklaşım arasındaki ilişki de ilgili alt bölümlerde sunulmuştur. Son olarak, türetilen yaklaşımlara ait algoritmalar ilgili alt bölümlerde maddeler halinde özetlenmiştir. 3.1. Önerilen Yöntemler için Öncül Metotlar Bu bölümde, önerilen yöntemin yapıtaşlarından birisi olan AHD algoritması incelenecektir. Önerilen yöntemin diğer yapıtaşı Prony yöntemi ise önceki bölümde incelendiği için bu bölümde özet olarak temel denklemlerinden bahsedilecektir. AHD yöntemi Prony yönteminin temel denklemleri üzerine uygulanarak mevcut Prony yönteminden daha hızlı ve daha doğru sonuçlar veren hibrit bir yöntem türetilmiştir. Bu nedenle AHD’nin incelenmesinin yapılması gereklidir. 3.1.1. Ayrık Haar dönüşümü AHD basit bir yapıya sahip olmasına rağmen, harmonik analizinde eşzamanlı olarak frekans ve zaman bilgisini üzerinde taşıma kapasitesi sebebiyle önemli bir yere sahiptir (Kovacevic ve Vetterli, 1995). AHD temel olarak, ayrık bir işaretin elemanlarını ikişerli olarak toplam ve farklar halinde gruplayan matematiksel bir işlemi ifade eder. Elde edilen bu gruplar üzerinde aynı işlemlerin tekrarlanması sonucunda daha yüksek dereceden AHD’ler hesaplanır. Bir işaretin birinci dereceden AHD’si ile elde edilen toplam gruplarına “birinci dereceden ortalamalar”, fark gruplarına ise “birinci dereceden ayrıntılar” ismi verilir. Derecesi 𝑛 olan ortalamalar/ayrıntılar ise 𝑛. derece ortalamalar/ayrıntılar olarak adlandırılır. AHD’nin baz fonksiyonları Denklem (3.1) ve (3.2) ile verilmiştir. [ ] ⁄𝜑 𝑛 = {1 √2 , 𝑛 = 2𝑘, 𝑛 = 2𝑘 + 1 2𝑘 (3.1) 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟 87 1⁄√2 , 𝑛 = 2𝑘 𝜑2𝑘+1[𝑛] = { −1⁄√2 , 𝑛 = 2𝑘 + 1 (3.2) 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟 Her bir baz fonksiyonu, işaretin elemanlarına sırasıyla uygulanır ve bunun sonucunda ele alınan işaretin AHD’si elde edilmiş olur. Denklem (3.3) ve (3.4) bu işlemleri ifade eder. 𝜑2𝑘[𝑛] = 𝜑0[𝑛 − 2𝑘] (3.3) 𝜑2𝑘+1[𝑛] = 𝜑1[𝑛 − 2𝑘] (3.4) Özet olarak AHD Denklem (3.5) ve (3.6) ile verilir. Dönüştürülen işaretin geri elde edinimi Denklem (3.7) ile verilir. Denklem (3.5) ortalama katsayıları olarak isimlendirilirken, Denklem (3.6) ayrıntı katsayıları olarak isimlendirilir. 𝑋[2𝑘] = 〈𝜑2𝑘, 𝑥〉 = (𝑥[2𝑘] + 𝑥[2𝑘 + 1])⁄√2 (3.5) 𝑋[2𝑘 + 1] = 〈𝜑2𝑘+1, 𝑥〉 = (𝑥[2𝑘] − 𝑥[2𝑘 + 1])⁄√2 (3.6) 𝑥[𝑛] =∑𝑋[𝑘]𝜑𝑘[𝑛] (3.7) 𝑘𝜖𝑍 3.1.2. Prony yöntemi Prony yöntemi, Denklem ile (3.8) ile verilen bir işaret modelinin parametrelerini ortaya çıkarmak için tasarlanmış frekans kestirim yöntemlerinden birisidir. Kuramsal temeller bölümünde ayrıntılarıyla tartışılan bu yöntem temel olarak iki aşamadan oluşmaktadır. Birinci aşamada, kökleri frekans bileşenini ve sönüm katsayısını barındıran polinomun katsayıları Denklem (3.9) ile bulunur. İkinci aşamada ise genlik ve faz bilgilerini içeren katsayılar Denklem (3.10) ile elde edilir. 88 ∞ ?̂?(𝑡) =∑𝐴 𝜎𝑖𝑡𝑖𝑒 cos(2𝜋𝑓𝑖𝑡 + 𝜑𝑖) (3.8) 𝑖=1 𝑎1 𝑦(𝑛 + 0) 𝑎2 𝑦(𝑛 + 1) 𝐅 × [ ⋮ ] = [ ] ⋮ 𝑎𝑛 𝑦(𝑁 − 1) (3.9) 𝑦(𝑛 − 1) 𝑦(𝑛 − 2) … 𝑦(0) 𝑦(𝑛 − 0) 𝑦(𝑛 − 1) … 𝑦(1) 𝐅 = [ ] ⋮ ⋯ ⋮ 𝑦(𝑁 − 2) 𝑦(𝑁 − 3) … 𝑦(𝑁 − 𝑛 − 1) 𝑧01 𝑧 0 2 … 𝑧 0 𝐵 𝑦(0) 𝑛 1 𝑧1 𝑧1 … 𝑧1 𝐵 𝑦(1) 1 2 𝑛 [ 2] = [ ] (3.10) ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ [𝑧𝑁−11 𝑧 𝑁−1 2 … 𝑧 𝑁−1 𝑛 ] 𝐵𝑛 𝑦(𝑁 − 1) 3.2. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritması Tezin bu aşamasında, önerilen birinci yöntem ortaya konacaktır. Bunun için Denklem (3.9)’un tek bir çözümünün olmadığı birden fazla çözümünün olabileceği varsayımından yola çıkılarak bir yöntem türetilecektir. Bu varsayımın hangi koşullarda doğru olduğu irdelenecektir. Eğer Denklem (3.9)’da 𝐅 matrisinin rankı, seçilen polinomun derecesinden küçükse, en az bir polinom katsayısı sonsuz farklı keyfi değer alabilir. İlgili durumun gerçekleşmesi için gereken matematiksel ilişki Denklem (3.11) ile verilir. 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐅) < 𝑛 (3.11) (3.11) Denkleminde verilen koşulun gerçekleşmesi için polinom derecesinin görece olarak yüksek seçildiği varsayılsın. Bu varsayım, birçok uygulama için geçerli bir kabuldür. Buna örnek olarak, Chang ve diğerleri (2009) tarafından yapılan YSA uygulaması gösterilebilir. Bu çalışmada polinom derecesi, normal Prony yöntemine göre yüksek olarak seçilmektedir ve program her bir çalışmasında farklı polinom katsayılarını 89 bulmasına rağmen, bulunan bu polinomların kökleri, ortak kökler barındırmaktadır. Bulunan bu ortak kökler, frekans ile sönüm katsayısı bilgilerine sahiptir. Bu tezde, belirtilen varsayıma bağlı kalınarak, Prony polinomunun köklerine matematiksel bir ilişki ile bağlı daha düşük dereceli bir polinomun varlığı gösterilmiştir ve bu matematiksel ilişki ortaya konmuştur. Türetilen daha düşük dereceli polinom sayesinde, Denklem (3.9)’un yapısı değiştirilerek hesaplama karmaşıklığı önemli ölçüde azaltılmış, ayrıca polinom köklerinin daha az işlem adımı ile bulunabilmesi sağlanmıştır. Bunlara ek olarak, Denklem (3.10) da yeni bir düzenleme ile ele alınmış, daha az hesaplama yüküyle genlik ve faz katsayılarına ulaşılabilmesi sağlanmıştır. Önerilen yöntem bölümü, üç alt başlıktan oluşmaktadır. Birinci alt başlık önerilen frekans kestirim yöntemini anlatırken ikinci alt başlık genlik kestirim yöntemini ele almaktadır. Son alt başlık ise, önerilen yöntemin hesaplama karmaşıklığı analizini sunmaktadır. 3.2.1. Frekans kestirimi Bu bölümden itibaren basitlik açısından, Prony yönteminde klasik olarak hesaplanan ve Denklem (3.9) ile elde edilen katsayılara sahip polinom “esas polinom” olarak isimlendirilirken, bu polinomun köklerine matematiksel bir yolla ulaşan daha düşük dereceli polinom “yardımcı polinom” olarak adlandırılacaktır. Eleman sayısı 𝑁 olan ayrık bir 𝑦 işaretinin birinci derece ortalama katsayıları Denklem (3.12) ile verilir. 𝑦[0] + 𝑦[1] 𝑦[2] + 𝑦[3] 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] 〈𝜑2𝑘, 𝑦〉 = [ , , … , ] (3.12) √2 √2 √2 Ele alınan 𝑦 işaretinin birinci derece detay katsayıları Denklem (3.13) ile verilir. 𝑦[0] − 𝑦[1] 𝑦[2] − 𝑦[3] 𝑦[𝑘 − 1] − 𝑦[𝑘] 〈𝜑2𝑘, 𝑦〉 = [ , , … , ] (3.13) √2 √2 √2 Denklem (3.12)’ye dayanılarak, Denklem (3.14)(3.16) yazılabilir. 90 𝑦[𝑘 − 1] = 𝑎𝑘−1𝑦[0] + 𝑎𝑘−2𝑦[1] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 2] (3.14) 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1𝑦[1] + 𝑎𝑘−2𝑦[2] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 1] (3.15) 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1(𝑦[0] + 𝑦[1]) + 𝑎𝑘−2(𝑦[1] + 𝑦[2]) + ⋯ (3.16) + 𝑎1(𝑦[𝑘 − 2] + 𝑦[𝑘 − 1]) Denklem (3.16)’da 𝑦 işaretinin (𝑘 − 1). elemanı göz önüne alınmıştır ve ilk eleman 𝑦[0] seçildiği için katsayı sayısı 𝑘 − 1’dir. Denklem (3.9)’da ayrık 𝑦 işaretinin 𝑛. elemanı ile ilgilenilmiştir ve yine aynı şekilde başlangıç olarak 𝑦[0] elemanı seçilmiştir. Bundan dolayı katsayı sayısı 𝑛’dir. Esas polinomun katsayıları yeteri kadar büyük seçilirse, bazı 𝑎𝑖 katsayılarının keyfi olarak sıfır seçilmesi durumunda da 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] toplamı elde edilebilir. Esas polinom katsayıları 𝑎𝑖’ler 𝑖 = 2𝑚 + 1,𝑚 ∈ 𝑁 + için sıfır seçilsin. Bu durumda, Denklem (3.17) ve (3.18) yazılabilir. Burada, 𝑘 değeri tek sayı olarak seçilmiştir. 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1(𝑦[0] + 𝑦[1]) + 𝑎𝑘−3(𝑦[2] + 𝑦[3]) + ⋯ (3.17) + 𝑎2(𝑦[𝑘 − 3] + 𝑦[𝑘 − 2]) 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎 ′ ′ (𝑘−1)⁄2(𝑦[0] + 𝑦[1]) + 𝑎(𝑘−3)⁄2(𝑦[2] + 𝑦[3]) (3.18) +⋯+ 𝑎′1(𝑦[𝑘 − 2] + 𝑦[𝑘 − 1]) Denklem (3.18)’da kullanılan katsayı vektörü 𝐚′ = [𝑎′1, 𝑎 ′ ′ 2, … , 𝑎(𝑘−1)⁄2], Denklem (3.17)’deki katsayı vektörü 𝐚 = [0, 𝑎2, 0, 𝑎4, … , 𝑎(𝑘−3), 0, 𝑎(𝑘−1)]’nün tek indisli katsayılarının (keyfi olarak sıfıra eşitlenen katsayılarının) atılması sonucu elde edilen vektördür. 91 Eğer Denklem (3.9) 𝑦 işareti yerine, 𝑦 işaretinin birinci derece ortalamalarıyla kurulursa, elde edilecek katsayılar 𝐚′ vektörünü verir. Katsayıları 𝐚 ve 𝐚′ vektörü olan polinomlar arasındaki ilişki, Denklem (3.19) ve (3.20)’de verilmiştir. Daha açık bir tabirle, Denklem (3.9)’un çözümü Denklem (3.18)’deki değerler kullanılarak bulunursa 𝐚′ vektörü elde edilir. Bu aşamada, 𝐚 vektörü, 𝐚′ vektöründeki uygun indislere sıfır değerleri yerleştirilerek bulunabilir. Denklem (3.19) katsayıları 𝐚 vektörü olan polinomun köklerini veren eşitliği göstermektedir. Denklem (3.20), Denklem (3.19)’un düzenlenmiş halidir. 𝑎 𝑥𝑘−2𝑘−1 + 0𝑥 𝑘−3 +⋯+ 𝑎4𝑥 3 + 0𝑥2 + 𝑎 1 02𝑥 + 0𝑥 = 0 (3.19) 𝑥(𝑎 𝑘−3𝑘−1𝑥 +⋯𝑎 6 4 8𝑥 + 𝑎6𝑥 + 𝑎 2 4𝑥 + 𝑎 0 2𝑥 ) = 0 (3.20) Denklem (3.20)’de 𝑦 = 𝑥2 uygulanırsa, Denklem (3.21) yazılabilir. √𝑦(𝑎 𝑦(𝑘−3)/2 3 2𝑘−1 +⋯+ 𝑎8𝑦 + 𝑎6𝑦 + 𝑎4𝑦 + 𝑎2) = 0 (3.21) Denklem (3.21)’deki polinom katsayılarının 𝐚′ vektörü olduğu kolayca görülebilmektedir. Ayrıca Denklem (3.20) ve (3.21) incelenirse, 𝐚′ vektörünün katsayılarına sahip bir polinomun kökleriyle, katsayıları 𝐚 vektörü olan esas polinomun kökleri arasında matematiksel bir ilişkinin olduğu gözlemlenebilir. Bu ilişki Denklem (3.22) ile verilmiştir. 𝑥 = √𝑦 (3.22) Esas polinomun kökleriyle, ikinci derece ortalama katsayıları ile elde edilen ve katsayıları 𝐚′′ vektörü olan polinomun kökleri arasındaki ilişki, Denklem (3.14)-(3.16)’ya benzer olarak Denklem (3.23)-(3.28)’inn yazılmasıyla incelenebilir. 𝐸1 = 𝑦[𝑘 − 1] = 𝑎𝑘−1𝑦[0] + 𝑎𝑘−2𝑦[1] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 2] (3.23) 𝐸2 = 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1𝑦[1] + 𝑎𝑘−2𝑦[2] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 1] (3.24) 92 𝐸3 = 𝑦[𝑘 + 1] = 𝑎𝑘−1𝑦[2] + 𝑎𝑘−2𝑦[3] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘] (3.25) 𝐸4 = 𝑦[𝑘 + 2] = 𝑎𝑘−1𝑦[3] + 𝑎𝑘−2𝑦[4] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 + 1] (3.26) 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 = 𝑎𝑘−1(𝑦[0] + 𝑦[1] + 𝑦[2] + 𝑦[3]) +⋯ (3.27) + 𝑎1(𝑦[𝑘 − 2] + 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] + 𝑦[𝑘 + 1]) 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 = 𝑎′(𝑘−1)/4(𝑦[0] + 𝑦[1] + 𝑦[2] + 𝑦[3]) + ⋯ (3.28) + 𝑎′1(𝑦[𝑘 − 2] + 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] + 𝑦[𝑘 + 1]) Denklem (3.27)’de, 𝑎𝑖, 𝑖 = 4𝑚, 𝑚 ∈ 𝑁 + haricinde bütün katsayılar keyfi olarak sıfır seçilmiştir. Denklem (3.27)’de 𝑎𝑘−1 en son katsayıyı göstermektedir ve indis değeri 𝑘 − 1 = 4𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁+ ifadesine göre belirlenmiştir. Bu şekilde Denklem (3.9) sadece ikinci derece ortalama katsayılarına uygulanmış olur. Denklem (3.28)’de kullanılan katsayı vektörü 𝐚′′ = [𝑎′ , 𝑎′1 2, … , 𝑎 ′ (𝑘−5)⁄4, 𝑎 ′ (𝑘−1)⁄4], esas polinoma ait katsayı vektörü 𝐚 = [0,0,0, 𝑎4, 0,0,0, 𝑎8, … , 𝑎𝑘−5, 0,0,0, 𝑎𝑘−1]’in yeniden kurulmuş halidir ve 𝐚 ′′ vektörü, 𝐚 vektöründeki ilgili indislerdeki değerler (sıfırlar) kaldırılarak bulunabilir. Eğer Denklem (3.9), ikinci derece ortalama katsayıları kullanılarak çözülürse 𝐚′′ vektörü elde edilir. Denklem (3.29) ve (3.30), 𝐚 ve 𝐚′′ katsayılarına sahip polinomların köklerini veren eşitlikleri göstermektedir. Daha açık bir deyişle, Denklem (3.28)’deki değerler kullanılarak Denklem (3.9)’un çözümü, 𝐚′′ vektörünü verir. Bu aşamada, 𝐚 vektörü, 𝐚′′ vektöründeki uygun yerlere sıfırlar yerleştirilerek bulunabilir. Denklem (3.29), 𝐚 katsayılı esas polinomun köklerini veren eşitliktir ve Denklem (3.30), Denklem (3.29)’un yeniden düzenlenmiş şeklidir. 𝑎 𝑥𝑘−2 + 0𝑥𝑘−3𝑘−1 +⋯+ 𝑎4𝑥 3 + 0𝑥2 + 0𝑥1 + 0𝑥0 = 0 (3.29) 𝑥3(𝑎 𝑥𝑘−5 +⋯𝑎 𝑥12 8𝑘−1 16 + 𝑎12𝑥 + 𝑎 𝑥 4 8 + 𝑎4) = 0 (3.30) 93 Eğer 𝑦 = 𝑥4 uygulanırsa, Denklem (3.30), Denklem (3.31)’e dönüşür. 4 √𝑦3(𝑎 𝑦(𝑘−5)/4 3𝑘−1 +⋯𝑎16𝑦 + 𝑎 𝑦 2 12 + 𝑎8𝑦 + 𝑎4) = 0 (3.31) Denklem (3.31)’deki katsayıların, 𝐚′′ vektörü olduğu açıkça görülmektedir. Buradan hareketle, katsayıları 𝐚′′ vektörü olan polinomun kökleri, katsayıları a vektörü olan polinomun kökleri arasında matematiksel bir bağıntı vardır. Bu bağıntı Denklem (3.32) ile verilir. 𝑥 = 4√𝑦 (3.32) Eğer Denklem (3.17), (3.21), (3.27) ve (3.31) incelenirse, tümevarım yöntemiyle 𝑛. derece ortalama katsayıları için esas polinom ve yardımcı polinomun kökleri ile katsayıları arasındaki ilişki (3.33)-(3.35) Denklemlerindeki gibi elde edilir. 𝑣 √𝑦𝑣−1(𝑎 (𝑘−𝑣−1)/𝑣 2(𝑘−1)𝑣𝑦 +⋯+ 𝑎3𝑣𝑦 + 𝑎2𝑣𝑦 + 𝑎𝑣) = 0 (3.33) 𝑥 = 𝑣√𝑦 (3.34) 𝑣 = 2𝑛 , 𝑘, 𝑛 ∈ 𝑁+ (3.35) Esas polinomun kökleri bulunduktan sonra, ele alınan işaretin frekans ve sönüm katsayısı parametreleri hesaplanabilir. Ayrıca burada üzerinde durulmalıdır ki, Denklem (3.33)- (3.35), sadece ortalama katsayıları için değil aynı zamanda detay katsayıları için de geçerlidir. Bu durum, Denklem (3.9)’da ortalama katsayılarının yerine fark katsayıları koyularak kolayca görülebilir. Önerilen yöntem için frekansların ve sönüm katsayılarının bulunması aşağıdaki adımlarla özetlenebilir. i. Analiz edilen işaretin 𝑛. derece ortalama katsayılarını bul. ii. Denklem (3.9)’u hesaplanan ortalamaları kullanarak çöz ve 𝐚𝐧 katsayı vektörünü bul 94 iii. Katsayıları 𝐚𝐧 vektörü olan polinomu kur iv. Polinomun köklerini bul v. Esas polinomun köklerini Denklem (3.34)’ü kullanarak hesapla. vi. Esas polinomun köklerinden frekans ve sönüm katsayısı bilgilerini elde et. Önerilen yöntemin bilgisayar programı içerisinde uygulanması, önemli bir husus içermektedir. Yukarıdaki maddelerin beşinci aşaması için 𝑣. derece köklerin hesaplanması gerekmektedir. Birçok programlama dilinde, 𝑣. derece kökler doğrudan 4 hesaplanamaz. Örneğin, 𝑣 = 4 için √1 değeri hesaplanmak istensin. Birçok programlama dilinde bu ifadenin köklerini bulan fonksiyon çağrıldığında, (−1,1) sonuçları döndürülür. Fakat gerçekte bu ifade karmaşık köklere de sahiptir ve program tarafından 4 dört farklı kök hesaplanmalıdır. Bu ifade için çözüm, √1 = 𝑒2𝜋𝑗/4, 𝑖 ∈ 𝑁 ile hesaplanmalıdır ve sonuç olarak (−1,1, −𝑗, 𝑗) değerleri döndürülmelidir. Bundan dolayı, kullanılacak programlama dili içerisinde, uygun bir algoritmayla bu kökleri de bulabilen bir program yazılmalıdır. 3.2.2. Genlik ve faz kestirimi Önerilen yöntem ile tahmin edilen 𝑧𝑖 değerleri kullanılarak genlik ve faz kestirimi yapılabilir. Bu amaç doğrultusunda, Denklem (3.10) yeniden düzenlenmelidir. Analiz edilen işaretin AHD katsayılarını kullanarak genlik ve fazlarını ortaya çıkaran genel denklemi bulmak için öncelikle, birinci derece ortalama katsayıları üzerinden bir formülün türetilmesi faydalı olacaktır. Daha sonra, tüme varım yöntemiyle genel eşitliğe ulaşılacaktır. Yöntemin bu aşamasında, AHD hesaplanırken her adımda yer alan 1⁄√2 çarpımı göz ardı edilecek, en son aşamada etkisi hesaplanacaktır. Bu nedenle her aşama için sadece 𝑦[𝑘] + 𝑦[𝑘 + 1] ikili toplamlarına odaklanılacaktır. Birinci dereceden AHD katsayıları dönüşüm sonucu elde edildiği için Denklem (3.10)’un satırları, ikişerli olarak toplanıp yeni bir matris eşitliği oluşturulmalıdır. Bu matris Denklem (3.36) ile verilmektedir. 95 (1 + 𝑧1) (1 + 𝑧1 1 1 2 ) … (1 + 𝑧𝑛) 𝐵1 𝑧 2 1 (1 + 𝑧 1) 𝑧2 1 2 11 2(1 + 𝑧2) … 𝑧𝑛(1 + 𝑧𝑛) 𝐵[ 2 ]⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (𝑁−2) [𝑧1 (1 + 𝑧 1 1) ( 𝑧 𝑁−2 )(1 + 𝑧1) (… 𝑧 𝑁−2 ) 2 2 𝑛 (1 + 𝑧 1)] 𝐵𝑛 𝑛 (3.36) 𝑦[0] + 𝑦[1] 𝑦[2] + 𝑦[3] = [ ] ⋮ 𝑦[𝑁 − 2] + 𝑦[𝑁 − 1] Aynı işlemler, ikinci dereceden ortalama katsayıları kullanılarak da tekrarlanabilir. Bunun için Denklem (3.36)’nın satırları ikişerli olarak toplanmalıdır. Bu işlemler sonucunda, ikinci dereceden ortalama katsayıları ile genlik ve fazları veren eşitlik Denklem (3.37) ile verilmiştir. ( 1 1+z1)( 2 1 2 1+z1) (1+z 1 2 2)(1+z2) … (1+zn)(1+zn) z4 11(1+z1)( 2 1 2 1+z1) z 4 2(1+z 4 1 2 2)(1+z2) … zn(1+zn)(1+zn) 𝐵 1 z8( 1 1 1+z1)( 2 1 2 1 2 1+z1) z 8 2(1+z2)(1+z2) 8 … zn(1+zn)(1+zn) 𝐵[ 2] z12 1 ⋮ 1 (1+z1)( 2 1 2 1 2 1+z1) z 12 2 (1+z2)(1+z ) … z 12 2 n (1+zn)(1+zn) ⋮ 𝐵 ⋮ ⋮ ⋮ n … (N-4) 1 2 (N-4) 1 2 (( )( ) ( )( ) N-4 ) ( 1 2 [z1 1+z1 1+z1 z2 1+z2 1+z2 zn 1+zn)(1+zn)] (3.37) 𝑦[0] + 𝑦[1] + 𝑦[2] + 𝑦[3] 𝑦[4] + 𝑦[5] + 𝑦[6] + 𝑦[7] 𝑦[8] + 𝑦[9] + 𝑦[10] + 𝑦[11]= 𝑦[12] + 𝑦[13] + 𝑦[14] + 𝑦[15] ⋮ [𝑦[𝑁 − 4] + 𝑦[𝑁 − 3] + 𝑦[𝑁 − 2] + 𝑦[𝑁 − 1]] Denklem (3.36) ve (3.37) incelendiğinde, ele alınan işaretin 𝑣. derece ortalama katsayılarını kullanarak genlik ve faz bilgilerini ortaya çıkaran genel bir formül Denklem (3.38)’deki gibi yazılır. Denklem (3.38)’de 𝑘 + 1 matrisin satır numarasını gösterirken 𝑧′𝑖 Denklem (3.39)’da tanımlanmıştır. 96 2𝑣−1 ∑ 𝑦 [𝑗] 0×(2𝑣) 0×(2𝑣′ ) ′ 𝑧1 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑛 𝑧𝑛 𝐵1 𝑗=0 [ ⋮ ⋱ 𝑘×( ⋮ ⋮𝑧 2 𝑣) ] [ ] = (3.38) ′ ( 𝑣) 𝑧 𝑣 𝑧𝑘× 2 𝑧′ ⋯ 𝑛 𝑛 𝐵 (𝑘+1)×2 −1 1 𝑛1 ∑ 𝑦[𝑗] [ 𝑗=𝑘×2𝑣 ] 𝑣 𝑝−1 𝑧′ (2 ) 𝑖 =∏(1 + 𝑧𝑖 ) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (3.39) 𝑝=1 Genlik ve faz bilgilerini, ayrıntı katsayılarını kullanarak da hesaplamak mümkündür. Bu eşitlik, birinci derece ayrıntı katsayıları için, Denklem (3.10)’un satırlarının ikişerli olarak çıkarılması ile elde edilebilir. Fakat yüksek dereceli ayrıntı katsayılarının ele alınması halinde, farklı bir durum ile karşılaşılır. Bilindiği üzere, yüksek dereceli fark katsayılarının hesaplanabilmesi için, hesaplanmak istenen derecenin bir önceki adımına kadar, ortalama katsayılarının bulunması gerekmektedir. Sonraki adımda, yani en son aşamadaysa ikişerli olarak en son bulunan ortalama katsayılarının ikişerli farklarının hesaplanması gerekir. Bunun sonucunda yüksek dereceli detay katsayıları hesaplanmış olur. Tüm bunlar göz önüne alındığı zaman genel formülün Denklem, (3.40) ile verileceği açıktır. Bu eşitlik, Denklem (3.38)’in sağ tarafının görüldüğü biçimde, sol tarafındaki 𝑧′𝑖 değerlerinin ise Denklem (3.41)’deki gibi değiştirilmesiyle elde edilmiştir. 0×( 𝑣) ( 𝑣)𝑧 21 𝑧 ′ 1 ⋯ 𝑧 0× 2 𝑛 𝑧 ′ 𝑛 𝐵1 [ ⋮ ⋱ 𝑘×(2𝑣) ] [ ⋮ ] 𝑘×(2𝑣 ′ ) ′ 𝑧𝑛 𝑧𝑧1 𝑧1 ⋯ 𝑛 𝐵𝑛 2𝑣−1−1 2𝑣−1 ∑ 𝑦[𝑗] − ∑ 𝑦[𝑗] (3.40) 𝑗=0 𝑗=2𝑣−1 = ⋮ 2𝑣−1(2×𝑘+1)−1 (𝑘+1)2𝑣−1 ∑ 𝑦[𝑗] − ∑ 𝑦[𝑗] [ 𝑗=𝑘×2𝑣 𝑗=2𝑣−1(2×𝑘+1) ] 97 𝑣−1 𝑣 ′ (2 ) (2 𝑝−1) 𝑧𝑖 = (1 − 𝑧i )∏(1 + 𝑧i ) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (3.41) 𝑝=1 Bu altbölümün başında belirtildiği üzere, Denklem (3.38) ve Denklem (3.40) türetilirken 1⁄√2 katsayıları göz ardı edilmiştir. Gerçekte, Denklem (3.38) ve Denklem (3.40)’ın sağ 𝑣 tarafındaki değerlerde, (1⁄√2) katsayı çarpanı bulunmaktadır. Burada 𝑣 ortalama veya detay katsayılarının derecesini göstermektedir ve gerçek kompleks genlik katsayıları olan 𝐁 yerine Denklem (3.38) ve Denklem (3.40)’ın çözümü, belirtilen katsayı ile çarpılmış 𝐁𝐡𝐚𝐚𝐫 vektörünü verecektir Sonuç olarak, kompleks genlik (genlik ve faz) değerlerinin elde edilebilmesi için, Denklem (3.42)’deki işlemin uygulanması gerekir. 𝑣 𝐁 = (√2) 𝐁𝐡𝐚𝐚𝐫 (3.42) 3.2.3. Önerilen AHD tabanlı Prony algoritması için karmaşıklık analizi Prony yöntemi iki önemli aşamadan oluşmaktadır. Bunlar frekans kestirimi ve kompleks genlik kestirimidir. Frekans kestirimi de iki alt başlıktan oluşmaktadır. Birinci alt başlık Denklem (3.9)’daki matrisin çözümünü bulmak üzerinde kurulmuştur. Bu matrisin çözümünden sonra ikinci olarak, elde edilen katsayılarla oluşturulan Prony polinomun köklerinin hesaplanması gerekmektedir. Prony yönteminde frekanslar kestirildikten sonra kompleks genlik katsayılarının hesaplanması gerekmektedir ki, bu da 𝑁 × 𝑁 boyutundaki Denklem (3.10)’daki matrisinin çözümünü bulunmasını içermektedir. Bu bilgiler ışığında, 𝑁 elemanlı bir 𝑦 işareti için Denklem (3.9)’da matrisin 𝑁 ×𝑁 boyutunda kurulduğu varsayılsın. Basitlik açısından, Prony polinom katsayısının, veri sayısına eşit seçildiği durum göz önüne alınmıştır. Belirtilen boyuttaki matrisin çözümü Gauss-Jordan eliminasyon yöntemine göre 𝑂(𝑁3) karmaşıklığına sahiptir (Mucha ve Sankowski 2004). Diğer yandan, frekans kestirimindeki ikinci alt başlık olan polinom köklerinin bulunması, eğer tüm kökler kompleks kabul edilirse 𝑁. derece polinom için 𝑂(𝑁3log2(𝑁)) karmaşıklığını haiz olduğu görülür (Pan 1987). Prony yönteminin frekans kestirimi tamamlandıktan sonraki diğer ayağı, kompleks genlik katsayılarının 98 bulunmasıdır ki, bu işlem de 𝑁 × 𝑁 matrisin çözümünden oluşur ve Gauss-Jordan yöntemine göre 𝑂(𝑁3) karmaşıklığına sahiptir. Önerilen yöntem, orijinal 𝑦 işaretini kullanmak yerine, bu işaretin 𝑛. derece ortalama veya detay Haar katsayılarını kullanmaktadır. Haar katsayılarının bulunmasından sonraki diğer adımlar, Prony yöntemiyle aynıdır. Bu yöntemin üstün tarafı, Haar katsayı vektörünün eleman sayısının orijinal 𝑦 işaretinin eleman sayısından daha az olduğu gerçeğidir. Bu bilgiler ışığında ve polinom katsayı vektörünün eleman sayısının Haar katsayı vektörünün eleman sayısına eşit olduğu varsayımı altında, Denklem (3.9)’un 𝑛 adımlı olarak satırlarının toplanmış halinin önerilen yöntem ile çözümünün 𝑂(𝑁3⁄23𝑛) karmaşıklığına sahip olduğu görülür. Öte yandan, bütün köklerin kompleks olduğu kabul edilirse, 𝑁3⁄23𝑛 derecesine sahip polinomun çözümünün 𝑂((𝑁3⁄23𝑛)(log𝑁 − 3𝑛 log 2)2) karmaşıklığını haiz olduğu açıktır. Benzer şekilde, Haar katsayıları ile kompleks genlik katsayılarının çözümü de, Denklem (3.10) ve Denklem (3.38) kıyaslandığında yaklaşık olarak 𝑂(𝑁3⁄23𝑛) karmaşıklığına sahiptir. Yapılan bu analizlerden sonra, Prony yönteminin ve önerilen yöntemin toplam karmaşıklığı yaklaşık olarak sırasıyla Denklem (3.43) ve (3.44) ile verilebilir. 𝐶𝑜𝑠𝑡 3 3 2𝑃𝑟𝑜𝑛𝑦 ≅ 2 × 𝑂(𝑁 ) + 𝑂(𝑁 log (𝑁)) (3.43) 𝑁3 𝐶𝑜𝑠𝑡ö𝑛𝑒𝑟𝑖𝑙𝑒𝑛_1 ≅ 2 × 𝑂(𝑁 3⁄23𝑛) + 𝑂 ( (log𝑁 − 𝑛 log 2)2) (3.44) 23𝑛 3.3. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritmasının Genelleştirilmesi Önerilen birinci yöntemde, AHD’nin Prony matrisi üzerinde uygulanması, ardından oluşturulan yeni matrislerle genlik ve fazların kestirilmesi işlemi gerçekleştirilmektedir. Bu yöntemde kullanılan AHD, işareti ikişerli gruplar halinde indirgemekte, Prony yöntemindeki matrisleri daha düşük eleman sayısıyla oluşturabilmekte ve daha düşük dereceli fakat standart Prony yöntemi ile elde edilecek polinomun köklerine ulaşabilen bir polinomun elde edilmesini sağlamaktadır. Önerilen genelleştirilmiş yöntem, birinci yöntemin işareti ikişerli gruplamasından ziyade, 𝑟 bir asal sayı olmak üzere, işaretin bu 𝑟 asal sayısına göre gruplanması ve ikişerli değil 99 de 𝑟’şer 𝑟’şer indirgenmesi esasına dayanmaktadır. Bu şekilde Prony matrisi küçültülmekte ve genel bir formüle ulaşılmaktadır. Birden büyük ve asal olmayan tüm 𝑟 sayıları, asal olan 𝑟 sayılarının alt gruplarını oluşturmaktadır. Örneğin 4 sayısının birinci derece gruplanması, 2 sayısının ikinci derece gruplanması ile elde edilebilir. Bundan dolayı genel bir formülün kurulabilmesi için 𝑟’nin sadece asal olduğu durumlarının incelenmesi yeterlidir. 3.3.1. Frekans kestirimi Prony yönteminde klasik olarak hesaplanan ve Denklem (3.9) ile elde edilen katsayılara sahip polinomun “esas polinom” olarak isimlendirileceğine ve bu polinomun köklerine matematiksel bir yolla ulaşan daha düşük dereceli polinoma ise “yardımcı polinom” denileceğine birinci yöntem bölümünde değinilmiştir. Eleman sayısı 𝑁 olan ayrık bir 𝑦 işaretinin birinci derece 𝑟’şer gruplanmasının ortalaması Denklem (3.45) ile tanımlansın. 〈𝜑2𝑘, 𝑦〉 (3.45 𝑦[0] + ⋯+ 𝑦[𝑟 − 1] 𝑦[𝑟] + ⋯+ 𝑦[2𝑟 − 1] 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘] = [ , , … , ]) √𝑟 √𝑟 √𝑟 Ele alınan 𝑦 işaretinin birinci derece 𝑟’şer gruplanmasının detay katsayıları Denklem (3.46) ile tanımlansın. 〈𝜑2𝑘, 𝑦〉 (3.46 𝑦[0] − ⋯− 𝑦[𝑟 − 1] 𝑦[𝑟] − ⋯− 𝑦[2𝑟 − 1] 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] − ⋯− 𝑦[𝑘] = [ , , … , ] ) √𝑟 √𝑟 √𝑟 Denklem (3.45)’e dayanılarak, Denklem (3.47)(3.50) yazılabilir. 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] = 𝑎𝑘−1𝑦[0] + 𝑎𝑘−2𝑦[1] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 𝑟] (3.47) 𝑦[𝑘 − 1] = 𝑎𝑘−1𝑦[0] + 𝑎𝑘−2𝑦[1] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 2] (3.48) 100 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1𝑦[1] + 𝑎𝑘−2𝑦[2] + ⋯+ 𝑎1𝑦[𝑘 − 1] (3.49) 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1(𝑦[0] + 𝑦[1] + ⋯+ 𝑦[𝑟 − 1]) (3.50) + 𝑎𝑘−2(𝑦[1] + 𝑦[2] + ⋯+ 𝑦[𝑟]) + ⋯ + 𝑎1(𝑦[𝑘 − 𝑟] +⋯+ 𝑦[𝑘 − 1]) Denklem (3.50)’de 𝑦 işaretinin (𝑘 − 1). elemanı göz önüne alınmıştır ve ilk eleman 𝑦[0] seçildiği için katsayı sayısı 𝑘 − 1’dir. Denklem (3.9)’da ayrık 𝑦 işaretinin 𝑛. elemanı ile ilgilenilmiştir ve yine aynı şekilde başlangıç olarak 𝑦[0] elemanı seçilmiştir. Bundan dolayı katsayı sayısı 𝑛’dir. Esas polinomun katsayıları yeteri kadar büyük seçilirse, bazı 𝑎𝑖 katsayılarının keyfi olarak sıfır seçilmesi durumunda da 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] toplamı elde edilebilir. Esas polinom katsayıları 𝑎𝑖’lerin indisleri, 𝑟 sayısına tam olarak bölünemiyorsa, bu indislere karşılık gelen katsayılar sıfır olarak seçilsin. Bu durumda, Denklem (3.51) ve (3.52) yazılabilir. Burada, 𝑘 = 𝑟𝑚 + 1,𝑚 ∈ 𝑁+ olarak seçilmiştir. 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑘−1(𝑦[0] + 𝑦[1] + ⋯+ 𝑦[𝑟 − 1]) (3.51) + 𝑎𝑘−𝑟(𝑦[𝑟] + 𝑦[𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[2𝑟 − 1]) +⋯ + 𝑎𝑟(𝑦[𝑘 − 𝑟] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1]) 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1] + 𝑦[𝑘] = 𝑎′(𝑘−1)⁄𝑟(𝑦[0] + ⋯+ 𝑦[𝑟 − 1]) (3.52) + 𝑎′(𝑘−𝑟−1)⁄𝑟(𝑦[𝑟] + ⋯+ 𝑦[2𝑟 − 1]) + ⋯ + 𝑎′1(𝑦[𝑘 − 𝑟] + ⋯+ 𝑦[𝑘 − 1]) Denklem (3.52)’de kullanılan katsayı vektörü 𝐚′ = [𝑎′ ′ ′1, 𝑎2, … , 𝑎(𝑘−1)⁄𝑟], Denklem (3.51)’deki katsayı vektörü 𝐚 = [0,… ,0, 𝑎𝑟 , 0, … ,0, 𝑎(𝑘−𝑟−1), 0… ,0, 𝑎(𝑘−1)]’nün 𝑟’ye bölünemeyen katsayılarının (keyfi olarak sıfıra eşitlenen katsayılarının) atılması sonucu elde edilen vektördür. 101 Eğer Denklem (3.9) 𝑦 işareti yerine; 𝑦 işaretinin 𝑟 sayısına göre birinci derece ortalamalarıyla kurulursa, elde edilecek katsayılar 𝐚′ vektörünü verir. Katsayıları 𝐚 ve 𝐚′ vektörü olan polinomlar arasındaki ilişki, Denklem (3.53) ve (3.54)’de verilmiştir. Daha açık bir tabirle, Denklem (3.9)’un çözümü Denklem (3.52)’deki değerler kullanılarak bulunursa 𝐚′ vektörü elde edilir. Bu aşamada, 𝐚 vektörü, 𝐚′ vektöründeki uygun indislere sıfır değerleri yerleştirilerek bulunabilir. Denklem (3.53), katsayıları 𝐚 vektörü olan polinomun köklerini veren eşitliği göstermektedir. Denklem (3.54), Denklem (3.53)’ün düzenlenmiş halidir. 𝑎 𝑥𝑘−2 + 0𝑥𝑘−3 +⋯+ 𝑎 𝑥2𝑟−1 + 0𝑥2𝑟−2𝑘−1 2𝑟 +⋯+ 𝑎𝑟𝑥 𝑟−1 (3.53) + 0𝑥𝑟−2 +⋯+ 0𝑥0 = 0 𝑥𝑟−1(𝑎 𝑥𝑘−𝑟−1 +⋯𝑎 3𝑟 2𝑟 𝑟 0𝑘−1 4𝑟𝑥 + 𝑎3𝑟𝑥 + 𝑎2𝑟𝑥 + 𝑎𝑟𝑥 ) = 0 (3.54) Denklem (3.54)’de 𝑦 = 𝑥𝑟 uygulanırsa, Denklem (3.55) yazılabilir. 𝑟 √𝑦𝑟−1(𝑎 𝑦(𝑘−𝑟−1)/𝑟𝑘−1 +⋯+ 𝑎4𝑟𝑦 3 + 𝑎3𝑟𝑦 2 + 𝑎2𝑟𝑦 + 𝑎𝑟) = 0 (3.55) Denklem (3.55)’deki polinom katsayılarının 𝐚′ vektörü olduğu kolayca görülebilmektedir. Ayrıca Denklem (3.54) ve (3.55) incelenirse, 𝐚′ vektörünün katsayılarına sahip bir polinomun kökleriyle, katsayıları 𝐚 vektörü olan esas polinomun kökleri arasında matematiksel bir ilişkinin olduğu gözlemlenebilir. Bu ilişki Denklem (3.56) ile verilmiştir. 𝑥 = 𝑟√𝑦 (3.56) Denklem (3.55) ve (3.56) incelendiğinde, Denklem (3.33) ve (3.34) ile eşdeğer olduğu görülür. Fakat, burada ince bir nüans vardır ki, Denklem (3.35)’deki şartın, (𝑟 veyahut ilgili denklemdeki 𝑣 sayısının ikinin bir kuvveti olma şartının) sağlanmasına gerekliliğin olmamasıdır. Burada, 𝑟 birden büyük herhangi bir tamsayı olabilir. Böylelikle, sadece ikili toplam veya farkların değil, aynı zamanda daha farklı gruplanmalara sahip alt 102 kümelerin de, frekans ve sönüm katsayısı parametrelerinin nasıl kestirileceğine dair daha genel eşitlikler Denklem (3.55) ve (3.56) ile verilmiştir. Esas polinomun kökleri bulunduktan sonra, ele alınan işaretin frekans ve sönüm katsayısı parametreleri hesaplanabilir. Ayrıca burada üzerinde durulmalıdır ki, Denklem (3.55) ve (3.56), toplam katsayıları için türetilmiş bir yöntemdir fakat fark katsayıları söz konusu olduğunda, Haar katsayılarının aksine, fark katsayılarının da türetilen denklemlere uygun bir biçimde tanımlanması gerekir. Haar için detay katsayıları, doğal olarak, Denklem (3.9)’a uygunluk gösterir. Önerilen genelleştirilmiş yöntem için frekansların ve sönüm katsayılarının bulunması aşağıdaki adımlarla özetlenebilir. i. Analiz edilen işareti 𝑟’li toplamlar biçiminde yaz ii. Denklem (3.9)’un hesaplanan toplamlarını kullanarak çöz ve 𝐚′ katsayı vektörünü bul iii. Katsayıları 𝐚′ vektörü olan polinomu kur iv. Polinomun köklerini bul v. Esas polinomun köklerini Denklem (3.56)’yı kullanarak hesapla. vi. Esas polinomun köklerinden frekans ve sönüm katsayısı bilgilerini elde et. 3.3.2. Genlik ve faz kestirimi Önerilen genelleştirilmiş yöntem ile tahmin edilen 𝑧𝑖 değerleri kullanılarak genlik ve faz kestirimi yapılabilir. Bu amaç doğrultusunda, Denklem (3.10) yeniden düzenlenmelidir. Analiz edilen işaretin 𝑟’li toplamlarını kullanarak genlik ve fazlarını ortaya çıkaran genel denklemi bulmak için önerilen birinci yöntemin genlik ve fazları bulmak için kullandığı genel formülü göz önüne almak faydalı olacaktır. Yöntemin bu aşamasında, 𝑟’li toplamlar hesaplanırken tanım gereği var olan 1⁄√𝑟 çarpımları göz ardı edilecek, en son aşamada etkisi hesaplanacaktır. Bu nedenle her aşama için sadece 𝑦[𝑘 − 𝑟 + 1] + ⋯+ 𝑦[𝑘] 𝑟’li toplamlarına odaklanılacaktır. Denklem (3.36)(3.38) incelendiğinde, ele alınan işaretin 𝑟’li toplamlarının kullanılmasıyla genlik ve faz bilgilerini ortaya çıkaran genel bir formül Denklem 103 (3.57)’deki gibi yazılır. Denklem (3.57)’de 𝑘 + 1 matrisin satır numarasını gösterirken 𝑧′𝑖 Denklem (3.58)’de tanımlanmıştır. 𝑟−1 ∑𝑦[𝑗] 0×(𝑟)𝑧 𝑧′ 0× (𝑟) 1 1 ⋯ 𝑧𝑛 𝑧 ′ 𝑛 𝐵1 𝑗=0 [ ⋮ ⋱ 𝑘×(𝑟) ] [ ⋮ ] = ⋮ (3.57) ′ 𝑘×(𝑟) ′ 𝑧𝑛 𝑧𝑛 𝐵 (𝑘+1)×𝑟−1𝑧1 𝑧1 ⋯ 𝑛 ∑ 𝑦[𝑗] [ 𝑗=𝑘×𝑟 ] 𝑟−1 𝑧′𝑖 =∑𝑧 𝑝 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (3.58) 𝑝=0 Denklem (3.57) için göz ardı edilen 1⁄√𝑟 katsayıları türetilen formüle dahil edildiğinde Denklem (3.59) yazılır ve bu denklemde 𝐁 vektörü gerçek kompleks genlik katsayılarını verirken, 𝐁𝐫 vektörü Denklem (3.57) ile hesaplanan kompleks genlik katsayılarını göstermektedir. 𝐁 = √𝑟𝐁𝐫 (3.59) 3.4. Önerilen AHD Tabanlı Prony Algoritması İçin Gürültü Analizi Yüksek dereceli bir polinomun köklerinin, bu polinomun katsayılarının pertürbasyonuna oldukça duyarlı olduğu iyi bilinen bir gerçektir (Guillaume ve diğerleri, 1989). Bilinen bu gerçek ışığında, Denklem (3.9)’un çözümü doğrultusunda elde edilecek katsayılarda meydana gelecek ufak bir değişimin, bu katsayılar kullanılarak oluşturulacak polinomun köklerinde ciddi sapmalara neden olacağı açıktır. Prony yönteminde, elde edilen polinomun kökleri frekans tahmini amacıyla kullanıldığı için elde edilecek frekans değerlerinde de önemli sapmalar oluşacaktır. Prony polinom katsayılarının değişimsinin, bu polinomun köklerini ciddi bir biçimde etkilediği gerçeği altında, AHD katsayıları veya önerilen genelleştirilmiş yöntemde olduğu gibi düzenli toplamların polinom katsayılarını ne kadar etkilediğinin matematiksel 104 ifadesi frekans kestiriminin iyileştirilmesine katkı sağlayacaktır. Bu bağlamda düzenli toplamlar ele alındığından, herhangi bir gürültünün ortalama değeri incelensin. Ortalama değer, gürültü veri örnekleri kullanılarak Denklem (3.60)’daki gibi yazılır. 𝑁 1 𝜇 = ∑𝜀𝑘 (3.60) 𝑁 𝑘=1 Denklem (3.60)’da; 𝜇, ortalama değeri, 𝑁 veri sayısını, 𝜀𝑘 ise 𝑘. gürültü örneğini ifade etmektedir. Eğer yüksek sayıda veri elde edilmişse, daha az sayıdaki toplam ile de ortalama değer yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örneğin, 𝐿, 𝑁’yi kalansız bölen bir tamsayı ise ve yeteri kadar verinin olduğu varsayılırsa, Denklem (3.61)’deki toplam da yaklaşık olarak ortalama değeri verecektir. 𝑁 ( )−1 𝐿 𝐿𝜇 ≅ ∑ 𝜀 (3.61) 𝑁 𝑘 𝑘=0 Bu noktada, gürültünün polinom katsayılarını nasıl etkilediğini anlamak için üzerinde gürültü olan bir işaretin k. dereceden AHD katsayı değerleri ele alınsın. Değerlerin her bir adımda √2’ye bölündüğü ihmal edilirse, işaretin gerçek değerlerinin toplamı ve üzerindeki hata bileşenlerinin toplamı sırasıyla Denklem (3.62)-(3.67) ile yazılabilir. 𝑌0 ifadesi, k. dereceden AHD dönüşümünün 1/√2 katsayıları hesaba katılmadan elde edilen ilk ortalama katsayı elemanını ifade ederken, 𝑌 𝑁 ifadesi bu ortalama katsayılarının ( )−1 2𝑘 sonuncu elemanını ifade etmektedir. Hata bileşenleri de ilgili denklemlerde benzer şekilde ifade edilmektedir. Hata ile ilgili denklemlerde 𝜀 simgesi, orijinal işaretdeki hata elemanını gösterirken 𝜖 simgesi, 1/√2 katsayıları ihmal edildiği durumdaki k. derece AHD ortalama katsayılarına karşılık gelmektedir. 105 2𝑘−1 𝑌0 = ∑ 𝑦𝑠 (3.62) 𝑠=0 2×2𝑘−1 𝑌1 = ∑ 𝑦𝑠 (3.63) 𝑠=2𝑘 𝑁−1 𝑌 𝑁 = ∑ 𝑦𝑠 (3.64) ( 𝑘)−12 𝑠=𝑁−2𝑘 2𝑘−1 𝜖0 = ∑ 𝜀𝑠 (3.65) 𝑠=0 2×2𝑘−1 𝜖1 = ∑ 𝜀𝑠 (3.66) 𝑠=2𝑘 𝑁−1 𝜖 𝑁 = ∑ 𝜀𝑠 (3.67) ( 𝑘)−12 𝑠=𝑁−2𝑘 Denklem (3.9)’un AHD ortalama katsayıları ile kurulmuş haline geri dönülsün. Fakat bu yazımda, hata bileşenleri de göz önüne alınsın. Bu düşünceden hareketle Denklem (3.68) yazılabilir. 106 𝜖𝑛−1 𝜖𝑛−2 … 𝜖0 𝜖𝑛 𝜖 𝑛−1 … 𝜖1 ⋮ ⋮ ⋯𝜖 𝑁 𝜖 𝑁 … 𝜖 𝑁[ ( 𝑘)−2 ( 𝑘)−3 ( 𝑘)−𝑛−1( 2 2 2 ] 𝑌𝑛−1 𝑌𝑛−2 … 𝑌0 𝑎1 𝑌𝑛−0 𝑌𝑛−1 … 𝑌 1 𝑎 2+ ⋮ ⋮ [ ] (3.68) ⋯ ⋮ 𝑌 𝑁 𝑌 𝑁 𝑌 𝑁 [ ( 𝑘)−2 ( 𝑘)−3 … ( 𝑘)−n−1] 𝑎𝑛2 2 2 ) 𝑌𝑛+0(𝑛 + 0) + 𝜖 𝑛 𝑌𝑛+1(𝑛 + 1) + 𝜖𝑛+1 = ⋮ 𝑌 𝑁 + 𝜖 𝑁 [ (2𝑘)−1 ( 𝑘)−12 ] Denklem (3.68), daha basit bir biçimde Denklem (3.69) olarak ifade edilebilir. (𝐘 + 𝛜)𝐚 = 𝐘′ + 𝛜 (3.69) Denklem (3.69) üzerinde, sırasıyla Denklem (3.70) ve (3.71)’deki işlemler yapılsın. Bu durumda, Denklem (3.61) ve bu eşitlikten türetilen Denklem (3.73)’deki varsayımlar altında, Denklem (3.72)’ye ulaşılır. Burada, 𝛜 matrisinin her bir elemanı, 2𝑘 tane 𝜀 değerinin toplamından oluşmaktadır. Bundan dolayı, Denklem (3.61)’deki varsayım da göz önüne alınarak 𝛜 matrisinin her bir elemanının 2𝑘 ifadesine bölümü, yaklaşık olarak gürültünün ortalama değerini vermektedir. Bu durum Denklem (3.73) ile ifade edilmiştir. 2𝑘 2𝑘 (𝐘 + 𝛜)𝐚 = (𝐘′ + 𝛜) (3.70) 2𝑘 2𝑘 2𝑘 2𝑘 2𝑘 2𝑘 ( 𝐘 + 𝛜)𝐚 = 𝐘′ + 𝛜 (3.71) 2𝑘 2𝑘 2𝑘 2𝑘 107 (𝐘 + 2𝑘𝜇)𝐚 ≅ 𝐘′ + 2𝑘𝜇 (3.72) 𝑝×2𝑘−1 1 𝜖𝑝 = ( ∑ (𝜀𝑠)) 2𝑘 ( 𝑠= 𝑝−1 )×2𝑘 (3.73) 𝑁 ≅ 𝜇, 𝑝 = 1,2, … , ( − 1) , 𝑘 ∈ 𝑁+ 2𝑘 Denklem (3.72)’de, Prony polinom katsayılarını gürültünün etkisinden kurtararak hesaplayabilmek için, AHD ortalama katsayılarından, gürültü bileşeninin etkisi (2𝑘𝜇 değeri) çıkarılmalıdır. Bu işlemden sonra, polinom katsayıları hesaplanmalıdır. Böylelikle, gerçek değerlere daha yakın frekans değerlerine ulaşılabilir. Denklem (3.72)‘de dikkat çeken diğer bir nokta, sıfır ortalamalı herhangi bir gürültü için bir önceki paragrafta bahsedilen işlemin yapılmasına gerek yoktur. Çünkü bu tip bir gürültünün Denklem (3.72)’ye, dolayısıyla Prony polinom katsayılarını hesaplayan matris eşitliğine etkisinin sıfır olduğu açıkça görülmektedir. Genliklerin bulunması aşaması ele alındığında, Denklem (3.38) ve Denklem (3.57)’nin yine 𝜇 ortalamalı bir gürültü ile kurulduğu varsayılırsa, bu denklemlerin sağ tarafındaki ifadeden, 2𝑘𝜇 ifadesinin çıkarılması gerekmektedir. Eğer gürültünün ortalaması sıfır ise, bu durumda gürültü ilgili denklemlerin sağ tarafını etkilememiş olacaktır. Sol taraftaki matris, ilk adımda kurulduğu için bu matrisin de gürültüden etkilenmediği açıktır. Eğer gürültünün ortalaması sıfır değilse, sol taraftaki elemanlar üzerinde gürültü giderme işlemi frekans tahmini adımında gerçekleştirildiği için ikinci adımda bu değerler üzerinde herhangi bir matematiksel işlem yapılmamalıdır. 3.5. Önerilen Yöntemin Frekans Kestirimi Açısından Sonuçları ve Diğer Yöntemler Bu bölümde önerilen yöntemin frekans kestirimi açısından sonuçları ele alınacak ve bu sonuçların MUSIC ve ESPRIT algoritmalarına nasıl uygulanacağı tartışılacaktır. Bu tartışmalar, önerilen ikinci ve üçüncü yöntemleri ortaya koyacaktır. Bu bağlamda, Prony 108 yöntemi sonucu frekans dağılımının nasıl gerçekleştiği üzerine çıkarımlar yapmak önemlidir. Önerilen yöntem ile bu yöntemin kullanılmasıyla elde edilen frekansların, Prony yöntemi ile elde edilen frekanslara göre karşılaştırılması ve bu mukayese sonucunda yöntemin MUSIC ve ESPRIT yöntemleri üzerine uygulanabilirliğini tartışmak faydalı sonuçlar verebilir. Probleme bu açıdan yaklaşmak için önerilen yöntemin kullanılmasıyla frekansları veren eşitlikleri ifade eden Denklem (3.33)-(3.35) incelensin. Bu denklemler, Prony yöntemi sonucu elde edilen frekanslar ile önerilen yöntem ile elde edilen frekanslar arasında bir haritalama ortaya koymak için kullanılabilir. İlk olarak, işaretin üzerinde orijinal Prony algoritmasının uygulandığı varsayılsın. Bu durumda bulunan frekanslar Denklem (3.74) ile verilir. Denklem (3.74), 𝑒2𝜋𝑝 = 1; 𝑝 = 0,1,2, … olduğu için Denklem (3.75) olarak ifade edilebilir. Bu eşitlikler, Denklem (2.40) kullanılarak elde edilir. Bu eşitliklerde 𝑥, Prony polinomunun kökleridir. 1 𝑓 = 𝑖𝑚𝑎𝑔 ( ln 𝑥) , ∆t = 𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 (3.74) 2𝜋∆t 1 𝑓 = 𝑖𝑚𝑎𝑔 ( ln(𝑥𝑒2𝜋𝑝)) , 𝑝 = 0,1, … (3.75) 2𝜋∆t İkinci olarak, önerilen yöntemin işaret değerleri üzerinde uygulandığı varsayılsın. Bir başka değişle, işaretin n. derece AHD katsayıları bulunsun ve Prony algoritması uygulansın. Bu durumda elde edilen frekanslar Denklem (3.76) ile verilir. Denklem (3.77), Denklem (3.76) ifadesinin basitleştirilmiş halidir. Bu ifadelerde 𝑦 önerilen yöntem ile elde edilen köklerdir ve 𝑥 = 𝑣√𝑦 , 𝑣 = 2𝑛 , 𝑘, 𝑛 ∈ 𝑁+ bağıntısı geçerlidir, ∆t örnekleme periyodudur. 1 1/𝑣 𝑓 = 𝑖𝑚𝑎𝑔 ( ln ((𝑦𝑒𝑗2𝜋𝑝)) ) , 𝑝 = 0,1, … , 𝑣 − 1 (3.76) 2𝜋∆t 1 𝑓 = (𝑖𝑚𝑎𝑔((ln(𝑦) + 𝑗2𝜋𝑝))) , 𝑝 = 0,1, … , 𝑣 − 1 (3.77) 2𝜋(∆t)v 109 Denklem (3.77)’nin, 𝑣 = 2𝑛 tane farklı kökü olacağı açıktır ve bu durum n farklı frekans bulunacağı anlamına gelir. Bu frekansların birbirine oldukça yakın olacağı ve bu yakınlığın sayısal ifadesi Denklem (3.78)’de verilmiştir. Denklem (3.79), AHD katsayı derecesine bağlı olarak, edinilen frekansın tek bir frekansa da haritalanabileceğini göstermektedir. Çünkü frekanslar birbirlerine Denklem (3.78)’de belirtildiği ölçüde yakındır. Denklem (3.79), azami frekans aralığını temsil eder ve tek bir frekansa haritalanma yapılabileceğini ifade eder. ∆𝑓 = 𝑓𝑘 − 𝑓𝑘−1 1 = (𝑖𝑚𝑎𝑔 ((ln(𝑦) + 𝑗2𝜋𝑘) − (ln(𝑦) + 𝑗2𝜋(𝑘 − 1)))) 2𝜋(∆t)v (3.78) 1 = , 𝑘 = 1,2, … , 𝑣 − 1 (∆t)v 𝑣 − 1 𝑓𝑣−1 − 𝑓0 = 𝑣(∆t) (3.79) 1 ≅ ; 𝑛 𝑘𝑎𝑏𝑢𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑒𝑏𝑖𝑙𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑏ü𝑦ü𝑘𝑠𝑒, 𝑣 = 2𝑛 ∆t Son olarak önerilen yöntemin bulduğu frekanslar ve Prony yöntemi ile elde edilen frekanslar arasındaki ilişki görsel olarak Şekil 3.1’de verilmiştir. Şekil içerisindeki haritalamada her bir bileşen arasındaki frekans aralığı ve azami frekans aralığı da belirtilmiştir. 110 Şekil 3.1. Önerilen yöntem ve Prony yöntemi arasındaki frekans eşleşmeleri. 3.6. Frekans spektrumu dağılımının MUSIC ve ESPRIT yöntemlerine uyarlanması Bu alt bölümde önerilen ikinci ve üçüncü yöntemler sunulmuştur. Bunu başarmak için öncelikli olarak MUSIC algoritmasının AHD katsayıları ile nasıl uygulanabileceği ve hesaplama karmaşıklığı azaltılarak ne kadar verim sağlanabileceği üzerinde tartışılacaktır. Bunu gerçekleştirmek için Prony analizinde kullanılan işaret modeli ile MUSIC algoritmasının işaret modelinin eş değer olduğu gösterilmeye çalışılacak ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemiyle elde edilen frekans kestirimi sonuçlarının, MUSIC algoritması içinde geçerli olup olmadığı araştırılacaktır. Bunun birtakım ön koşullar dâhilinde başarılabilmesinin akabinde, MUSIC algoritmasının durağan işaretler üzerinde uyarlanmasına dayanan bir varyantı olan ESPRIT algoritması için de türetilen eşitliklerin geçerliliği sorgulanacaktır. Prony yönteminin işaret modeli Denklem (3.8) ile verilmiştir. MUSIC algoritması ise, Denklem (3.80) ile verilen işaret modelini kullanarak frekansları elde etmektedir. Şayet, Denklem (3.80) ve Denklem (3.8)’in belirli şartlar altında eş değer olduğu gösterilebilirse, Şekil 3.1’deki frekans dağılım yapısının MUSIC algoritması için de geçerli olduğu sonucuna ulaşılabilir. 111 𝑀 𝑥(𝑛) = ∑ 𝐴𝑚(cos(2𝜋𝑓𝑚𝑛𝑇𝑠 + 𝜑𝑚) + 𝑗 sin(2𝜋𝑓𝑚𝑛𝑇𝑠 + 𝜑𝑚)) (3.80) 𝑚=1 Bu bağlamda, MUSIC ve Prony yöntemlerinin işaret modellerinin benzerliğinin sağlanabilmesi için, Prony metodunda sönüm katsayısı (𝜎) 0 olarak seçilsin. Bu parametrenin sıfır seçilmesi, işaret modelinde çarpım durumunda bulunan sönüm katsayısını içerisinde bulunduran üssel ifadenin 1’e eşit olmasını ve sönüm katsayısının etkisinin olmamasını sağlamaktadır. MUSIC ve Prony yöntemlerine ait işaret modellerinin devam edilmesi için Denklem (3.80), Denklem (3.81) olarak yazılabilir. 𝑀 𝑥(𝑛) = ∑ 𝐴𝑚(cos(2𝜋𝑓𝑚𝑛𝑇𝑠 + 𝜑𝑚)) 𝑚=1 (3.81) 𝑀 𝜋 + 𝑗 ∑ 𝐴𝑚 (cos (2𝜋𝑓𝑚𝑛𝑇𝑠 + 𝜑𝑚 − )) 2 𝑚=1 Denklem (3.81), 𝑇𝑠 örnekleme zamanı ile ayrık formda ifade edilirse, Denklem (3.82) yazılabilir. Denklem (3.82)’de, 𝐵′𝑚 = 𝐴𝑚𝑒 ±𝑗𝜑𝑖 olarak ifade edilir. 𝑀 𝑀 𝑗𝜋 𝑥(𝑛) = ∑ 𝐵′ 𝑛𝑚𝑧𝑚 + 𝑗𝑒 ± 2 ∑ 𝐵′ 𝑧𝑛𝑚 𝑚 , 𝑧 = 𝑒 𝜆𝑚𝑇𝑠 𝑚 (3.82) 𝑚=1 𝑚=1 Denklem (3.82) için Euler formülü kullanılır ve toplam ifadesinin ikinci terimindeki imajiner ifade faz farkı olarak üssel biçimde ifade edilirse, Denklem (3.83) yazılabilir. 𝑀 𝑥(𝑛) = 2 ∑ 𝐵′𝑚𝑧 𝑛 𝑚 , 𝑧 = 𝑒 𝜆𝑚𝑇𝑠 𝑚 , 𝜆𝑚 = 𝑗2𝜋𝑓𝑖 (3.83) 𝑚=1 112 Denklem (3.8) ve Denklem (3.80)’in benzer matematiksel biçime sahip oldukları, 𝐵𝑚 = 2𝐵′𝑚 ifadesi göz önüne alındığında söylenebilir. MUSIC ve Prony yöntemlerinin eşdeğer işaret modellerine sahip olduğu, Prony modelindeki sönüm katsayısının sıfır seçilmesi durumu için gösterilmiştir. Ayrıca, örnekleme periyodunun yeteri kadar küçük seçilmesi durumunda, AHD katsayıları ile MUSIC algoritmasının uygulanarak frekansların elde edilmesi senaryosunda, işaret frekanslarının gürültüsüz bir ortamda azami Denklem (3.79) ifadesindeki kadar hatayla elde edilebileceği türetilmiştir. Prony analizinde, Denklem (3.79)’daki ufak hata, kompleks genlik katsayılarının bulunmasında önemli bir fark yaratabilir fakat MUSIC algoritması ile sadece frekans kestirimi yapıldığı için bu fark önemsiz olarak değerlendirilebilir ve tek bir frekans olarak değerlendirilebilir. Bu düşünceden hareketle, Denklem (3.77) için 𝑝 = 0 olduğu varsayılacaktır. Bu alt bölümde türetilen denklemlere bağlı olarak MUSIC spektrumu AHD katsayıları ile kolaylıkla yorumlanabilir. Şayet MUSIC algoritması AHD katsayıları ile uygulanırsa, sözde spektrumun tepe noktaları, gerçek frekansların 2𝑛 katı olan frekanslarda elde edilecektir. Burada 𝑛 ile gösterilen parametre, AHD derecesini ifade etmektedir. Bu yöntemin görsel olarak izah edilebilmesi açısından, 10 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansına, 59.9 𝐻𝑧, 60.0 𝐻𝑧, 60.1 𝐻𝑧 harmonik bileşenlere, bütün bileşenler için 0 faz ve 1V genliğe sahip bir işaret ele alınsın. İlgili örneğin kolay tekrar edilebilmesi açısından MATLAB ortamındaki “pmusic” komutu kullanılsın (The MathWorks 2020a). MUSIC algoritması için Denklem (2.109)’daki 𝐟𝑚(𝜔) frekans vektörü, 0.05 𝐻𝑧 aralıklarla sıfırdan örnekleme frekansının yarısına kadar arttırılsın (0 𝐻𝑧’dn 5 𝑘𝐻𝑧’e kadar). Benzetim, 6. dereceden AHD katsayıları ile gerçeklensin. Temel harmoniğin 8 periyodu boyunca işaret tekrar edilsin. Bu durumda, benzetim içerisinde kullanılacak veri sayısı Denklem (3.84) ile verilirken, MUSIC algoritmasının AHD ile değil de işaret değerleri kullanılarak gerçekleştirilmesi durumundaki veri sayısı Denklem (3.85) ile verilir. Denklem (3.84) ve (3.85) için 𝑁 veri sayısı, 𝑁𝐷𝐻𝑇 AHD kullanılması durumundaki veri sayısı, 𝐹𝑠 örnekleme frekansı, 𝑓 temel frekans ve 𝐶 çevrim sayısıdır. 113 𝑁 1 104 × 8 𝑁𝐷𝐻𝑇 = = ( + 1) ≅ 21 (3.84) 2𝑛 26 60 𝐹𝑠𝐶 10 4 × 8 𝑁 = ( ) + 1 = + 1 ≅ 1334 (3.85) 𝑓 60 Bu benzetimin sonucunda elde edilen işaretler Şekil 3.2’de verilmiştir. Şekil 3.2. AHD’nin MUSIC algoritmasına uygulanması sonucunda elde edilen frekans bileşenleri Şekil 3.2 için, spektrumun tepe noktalarına karşılık gelen noktaların yatay eksendeki karşılıkları, AHD katsayıları kullanılarak elde edilen frekansları verir. AHD ile elde edilen frekanslar ile işaretin gerçek frekansları arasında, Denklem (3.77) ile verilen matematiksel ilişki bulunmaktadır. Bu durumda Denklem (3.77)’de görece büyük bir 1 hataya mahal vermeksizin 𝑝 = 0 seçilebilir ve Şekil 3.2 için elde edilen frekansların 26 katı hesaplanarak, işaret frekansları elde edilir: (59.90625 𝐻𝑧, 60 𝐻𝑧, 60.09375 𝐻𝑧). Bu örnekteki hesaplamanın örnekleme frekansı 1/2𝑛 kat azaltılarak gerçekleştirilmesi durumunda, AHD katsayılarının kullanılmasına rağmen, elde edilen frekansların 114 doğrudan işaretin gerçek frekanslarıyla örtüşeceği kolaylıkla görülebilir. Çünkü sözde- 104 spektrumun 0 𝐻𝑧’den 0.5𝑇𝑠/2 𝑛 (0.5 × = 78.125 𝐻𝑧)’ye kadar çizdirilmesi, genlik 26 olarak maksimum noktalara karşılık gelen frekansları da aynı oranda küçültür. Böylelikle işaretin gerçek frekansları elde edinilmiş olur. Benzetimin bu şekilde gerçekleştirilmesi durumunda elde edilen spektrum, Şekil 3.3’de verilmiştir. Şekil 3.3. AHD’nin MUSIC algoritmasına uygulanması ve spektrumun 1/26 kat daraltılması sonucunda elde edilen frekans bileşenleri Bu örnekten yola çıkılarak, bu durumun AHD katsayılarının MUSIC algoritması içerisinde kullanılması durumunda, örnekleme frekansının 1/2𝑛 kat azaltılması ile işaretin gerçek frekanslarının bulunabileceği sonucuna ulaşılabilir. Bu durum, sözde- spektrumdaki tepe genlik değerlerinin Şekil 3.2 ve Şekil 3.3 için aynı olmasının gözlemlenmesiyle de doğrulanabilir. Frekansların bu şekilde hesaplanması üç önemli faydayı da beraberinde getirir. Bunlar;  AHD katsayılarının kullanılmasından dolayı daha düşük hesaplama maliyeti,  Denklem (2.109)’daki 𝐟𝑚(𝜔) frekans vektörünün ilk durumdaki gibi 0.05 𝐻𝑧 104 aralıklarla arttırılmasına rağmen, hesaplamanın 0.5𝑇𝑠/2 𝑛 (0.5 × = 26 78.125 𝐻𝑧) frekansına kadar yapılmasından dolayı hesaplama karmaşıklığının diğer bir açıdan düşürülmesi,  Son olarak, frekans tahmin doğruluğunun iyileştirilmesi, 115 biçiminde sıralanabilir. Bu noktada, MUSIC algoritmasının AHD katsayıları ve işaretin gerçek değerleri ile gerçekleştirilmesinin karşılaştırılmasının yapılması amacıyla, ele alınan senaryo, MUSIC üzerinde işaret değerlerinin uygulanması ile gerçekleştirilmiştir. Bu noktada, elde edilen sonuç Şekil 3.4’de verilmiştir ve 60 𝐻𝑧 frekansının tespit edilemediği gözlemlenmiştir. Şekil 3.4. İşaret değerleri ile MUSIC algoritmasının uygulanması Özet olarak, AHD ile MUSIC yönteminin birlikte uygulanması, algoritmadaki veri sayısında önemli ölçüde düşüş sayesinde hesaplama maliyeti açısından fayda sağlamaktadır. Önerilen yöntemin diğer bir üstünlüğü, elde edilen sonuçların kesinliğinin arttırılmasıdır. Ayrıca, Denklem (3.77)’nin sadece ortalama katsayıları için değil, aynı zamanda detay katsayıları için de geçerli olması yöntemin farklı şekillerde uygulanmasına olanak sağlamaktadır. Tüm bu değerlendirmeler, AHD ortalama katsayıları ile elde edilen Şekil 3.2, Şekil 3.3 ve Şekil 3.4 ile doğrulanmaktadır. Son olarak türetilen bu eşitliklerin, durağan işaretler için geliştirilen ESPRIT yöntemi için de geçerli olduğu, bu yöntemin MUSIC ile benzer temellere dayanmasından dolayı açıktır. 116 4. BULGULAR Bu bölümde, önceki bölümde açıklanan Prony ve MUSIC yöntemleriyle birlikte, bu tez içerisinde önerilen AHD katsayılarına dayanan Prony ve MUSIC yöntemleri karşılaştırılmıştır. Karşılaştırmalar, MATLAB 2019 yazılım ortamında (Mathworks.com 2019), 64-Bit mimariye; Windows 10 işletim sistemi yüklü, Intel Core i5-7200U 2.71 GHz CPU ve 8.00 GB RAM donanım özelliklerine sahip bir bilgisayarda gerçekleştirilmiştir. Gerçekleştirilen işlemlerin kolaylıkla tekrar edilebilmesi amacıyla, MATLAB yazılım paketleri arasında bulunan “Signal Processing Toolbox”’tan faydalanılmıştır (The MathWorks, 2020). Benzetimler; Tedirget-Gözlemle Azami Güç Noktası İzleyicisi (Perturb and Observe Maximum Power Point Tracking - (P&O MPPT)) ile sürülen Güneş Paneli Harmonik Modellemesine dayanan harmonik ve ara-harmonik bileşenler içeren veri yapıları üzerinde gerçekleştirilmiştir (Sangwongwanich ve diğerleri, 2018). Elde edilen sonuçlar, verilen altbölümlerde şekiller ve çizelgeler halinde sunulmuştur. Önerilen yöntemlerin üstün yanları ve bu yöntemlere dayalı olası çalışmalar Sonuçlar ve Tartışma bölümünde ele alınmıştır. 4.1. Güneş Paneli Sistemi Harmonik/Ara-harmonik Modeli Tezin bu bölümünde, benzetim verilerini üretmek amacıyla P&O MPPT) algoritması ile çalıştırılan PV sistemin, deneylerle doğrulanmış matematiksel harmonik/ara-harmonik modeli kullanılmıştır (Sangwongwanich ve diğerleri, 2018). Bu model, MPPT ile sürülen PV sistemlerin, iki temel unsur ile harmonik ve ara-harmonik ürettiğini ortaya koymaktadır. Bu bileşenler, MPPT algoritmasının adım gerilimi ve frekans parametreleridir. Adım gerilimi, harmonik ve ara-harmoniklerin genlikleri üzerinde etkili olurken frekans parametresi, harmonik ve ara-harmonikler içeren güç işaretinin biçimini belirlemektedir. Genlik ve frekans tahmini açısından, düşük genlikli ve dar bir spektruma sahip olan bir güç işaretinin bileşenlerinin tahmin edilmesinin, bu parametrelere ters özellikleri haiz bir işaretin bileşenlerinin tahmin edilmesinden daha zor olacağı söylenebilir. Kullanılan model içerisinde, MPPT frekansının ve adım geriliminin değiştirilebilme olanağının bulunması sayesinde, farklı spektrum dağılımlarına ve harmonik/ara-harmonik genliklerine sahip birçok güç işareti ve dolayısıyla birçok veri üretilebilmektedir. Kullanılan matematiksel model, Denklem (4.1) ile verilmiştir. Denklem (4.2)-(4.4), kullanılan parametreleri matematiksel olarak açıklamaktadır. Bu 117 eşitliklerde; 𝑓𝑔 temel frekans (şebeke frekansı), 𝑛 harmonik derecesi, 𝑓𝑛 harmonik frekansı, 𝐴𝑛 harmonik genliği, 𝜑𝑛 harmonik fazı, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 MPPT frekansı ve 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 adım gerilimidir. ∞ 𝐴𝑛 𝑖𝑔(𝑡) = ∑ [cos(2𝜋𝑡(𝑓𝑔 − 𝑓𝑛) + 𝜑2 𝑛 ) 𝑛=1 (4.1) − cos(2𝜋𝑡(𝑓𝑔 + 𝑓𝑛) + 𝜑𝑛)] 2𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 𝜋𝑛 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 𝑎𝑛 = sin ( ) , 𝑏𝑛 = cos(𝜋(𝑛 − 1)) (4.2) 𝜋𝑛 2 𝜋𝑛 𝑏𝑛 𝐴𝑛 = √𝑎2 + 𝑏2𝑛 𝑛 , ∅ −1 𝑛 = tan ( ) (4.3) 𝑎𝑛 (2𝑛 − 1)𝑓 𝑀𝑃𝑃𝑇𝑓𝑛 = (4.4) 4 P&O MPPT veri yapısından anlaşılacağı üzere, MPPT frekansının arttırılması, azami güç noktasına yakınsama hızının arttırılmasını sağlarken güç işareti spektrumunu genişletmektedir. Benzer olarak, yakınsamanın daha hızlı olması için adım geriliminin arttırılması, harmonik ve ara-harmonik genliklerinde belirgin artışa neden olmaktadır. Güç işaret spektrumunun genişlemesi ve ara-harmonik genliklerinin artması güç kalitesini olumsuz etkilemektedir. MPPT frekansı ve adım genliğine bağlı olarak güç işaretinin frekans ve genlik bileşenlerinin hangi değerleri alacağı Çizelge 4.1 – 4.8 aralığında gösterilmiştir. Altbölümlerde yapılan benzetimlerde, veri sayısının algoritma üzerindeki etkisini ölçmek için sabit olarak temel frekansın 24 periyodu ele alınmış ve 8 𝑘𝐻𝑧 ile 100 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekanslarına sahip biçimleri benzetimlerde kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlar, 118 algoritmaların çalışma süresi ve bağıl hata oranları açısından değerlendirilmiştir. Bulunan değerler çizelgeler halinde sunulmuştur. 4.2. P&O MPPT ile sürülen PV sistem modeline dayalı üretilen güç işaretleri Bu alt bölümde, P&O MPPT ile sürülen PV sistemine ait harmonik ve ara-harmonikleri belirten değerler, Çizelge 4.1 – 4.8 aralığında sunulmuştur. İlgili çizelgelerde adım gerilimi ve frekans parametrelerine bağlı değerler belirtilmiştir. Ayrıca, Çizelge 4.4 ve Çizelge 4.8’deki veriler üzerine SNR değerleri 10 𝑑𝐵 ve 20 𝑑𝐵 olacak şekilde Beyaz Gauss Gürültüsü (WGS) eklenerek de benzetimler gerçekleştirilmiş ve orijinal yöntemlerle karşılaştırmalı sonuçları, Çizelge 4.45 - 4.48 aralığında verilmiştir. Değerleri Çizelge 4.1 – 4.8 aralığında verilen işaretlerin çizimleri, 8 𝑘𝐻𝑧 ve 100 𝑘𝐻𝑧 kullanılarak oluşturulmuş ve ilerleyen bölümlerdeki yöntemler üzerinde denenmiştir. Gürültüsüz işaretlerin belirtilen örnekleme frekanslarındaki çizimleri Şekil 4.1- 4.16 aralığında verilmiştir. Çizelge 4.4 ve Çizelge 4.8’deki değerlerin üzerine uygulanan WGS ve elde edilen 10 𝑑𝐵 ve 20 𝑑𝐵 SNR gücündeki işaretler, Şekil 4.17 – 4.20’de çizdirilmiştir. İlerleyen bölümler içerisinde önerilen ve geleneksel yöntemlerle karşılaştırmalı analizler, bu işaretler için de sunulmuştur. Çizelge 4.1. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 0,8541 26,5651 38,7500 0,4775 90,0000 41,2500 1,4235 -26,5651 43,7500 0,9549 -90,0000 46,2500 4,2706 26,5651 48,7500 12,0000 0,0000 50,0000 4,2706 26,5651 51,2500 0,9549 -90,0000 53,7500 1,4235 -26,5651 56,2500 0,4775 90,0000 58,7500 0,8541 26,5651 61,2500 119 Şekil 4.1. Çizelge 4.1 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) Şekil 4.2. Çizelge 4.1 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) . 120 Çizelge 4.2. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 1,7082 26,5651 38,7500 0,9549 90,0000 41,2500 2,8471 -26,5651 43,7500 1,9099 -90,0000 46,2500 8,5412 26,5651 48,7500 12,0000 0,0000 50,0000 8,5412 26,5651 51,2500 1,9099 -90,0000 53,7500 2,8471 -26,5651 56,2500 0,9549 90,0000 58,7500 1,7082 26,5651 61,2500 Şekil 4.3. Çizelge 4.2 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) 121 Şekil 4.4. Çizelge 4.2 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) Çizelge 4.3. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 0,8541 26,5651 5,0000 0,4775 90,0000 15,0000 1,4235 -26,5651 25,0000 0,9549 -90,0000 35,0000 4,2706 26,5651 45,0000 12,0000 0,0000 50,0000 4,2706 26,5651 55,0000 0,9549 -90,0000 65,0000 1,4235 -26,5651 75,0000 0,4775 90,0000 85,0000 0,8541 26,5651 95,0000 122 Şekil 4.5. Çizelge 4.3 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) Şekil 4.6. Çizelge 4.3 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) 123 Çizelge 4.4. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 1,7082 26,5651 5,0000 0,9549 90,0000 15,0000 2,8471 -26,5651 25,0000 1,9099 -90,0000 35,0000 8,5412 26,5651 45,0000 12,0000 0,0000 50,0000 8,5412 26,5651 55,0000 1,9099 -90,0000 65,0000 2,8471 -26,5651 75,0000 0,9549 90,0000 85,0000 1,7082 26,5651 95,0000 Şekil 4.7. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) 124 Şekil 4.8 Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) Çizelge 4.5. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 0,8541 26,5651 48,7500 0,4775 90,0000 51,2500 1,4235 -26,5651 53,7500 0,9549 -90,0000 56,2500 4,2706 26,5651 58,7500 12,0000 0,0000 60,0000 4,2706 26,5651 61,2500 0,9549 -90,0000 63,7500 1,4235 -26,5651 66,2500 0,4775 90,0000 68,7500 0,8541 26,5651 71,2500 125 Şekil 4.9. Çizelge 4.5 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) Şekil 4.10. Çizelge 4.5 için üretilen işaret (𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) 126 Çizelge 4.6. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 1,7082 26,5651 48,7500 0,9549 90,0000 51,2500 2,8471 -26,5651 53,7500 1,9099 -90,0000 56,2500 8,5412 26,5651 58,7500 12,0000 0,0000 60,0000 8,5412 26,5651 61,2500 1,9099 -90,0000 63,7500 2,8471 -26,5651 66,2500 0,9549 90,0000 68,7500 1,7082 26,5651 71,2500 Şekil 4.11. Çizelge 4.6 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) 127 Şekil 4.12. Çizelge 4.6 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 5 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑ı𝑚 = 24 𝑉) Çizelge 4.7. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 0,8541 26,5651 15,0000 0,4775 90,0000 25,0000 1,4235 -26,5651 35,0000 0,9549 -90,0000 45,0000 4,2706 26,5651 55,0000 12,0000 0,0000 60,0000 4,2706 26,5651 65,0000 0,9549 -90,0000 75,0000 1,4235 -26,5651 85,0000 0,4775 90,0000 95,0000 0,8541 26,5651 105,0000 128 Şekil 4.13. Çizelge 4.7 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) Şekil 4.14. Çizelge 4.7 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 12 𝑉) 129 Çizelge 4.8. Üretilen işaret parametreleri; 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉 Genlik (V) Faz (Derece) Frekans (Hz) 1,7082 26,5651 15,0000 0,9549 90,0000 25,0000 2,8471 -26,5651 35,0000 1,9099 -90,0000 45,0000 8,5412 26,5651 55,0000 12,0000 0,0000 60,0000 8,5412 26,5651 65,0000 1,9099 -90,0000 75,0000 2,8471 -26,5651 85,0000 0,9549 90,0000 95,0000 1,7082 26,5651 105,0000 Şekil 4.15. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 8 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) 130 Şekil 4.16. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) Şekil 4.17. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) 131 Şekil 4.18. Çizelge 4.4 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 50 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) Şekil 4.19. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) 132 Şekil 4.20. Çizelge 4.8 için üretilen işaret (𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵, 𝑓ö𝑟𝑛𝑒𝑘 = 100 𝑘𝐻𝑧, 𝑓𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 = 60 𝐻𝑧, 𝑓𝑀𝑃𝑃𝑇 = 20 𝐻𝑧, 𝑉𝑎𝑑𝚤𝑚 = 24 𝑉) 4.3. Prony Yöntemi ve Önerilen AHD Tabanlı Prony Yöntemi ile Analizler Bu bölümde, klasik Prony yöntemi ile elde edilen sonuçlar sunulmaktadır. Bu altbölüm altında kullanılan çizelgelerin başlıklarında kullanılan kısaltmalar sırasıyla; A işaret genliğini ifade etmekte ve Volt biriminde, f frekansı ifade etmekte ve Hz birimindedir. Faz parametresine ait sonuçların birimi ise derecedir. Önerilen yöntem, hem AHD ortalama katsayıları ve hem de AHD fark katsayıları kullanılarak işaret verileri üzerinde gerçekleştirilmiş ve elde edilen sonuçlar çizelgelerde belirtilmiştir. Gerçekleştirilen benzetimlerde önerilen yöntem, 50 𝐻𝑧 ve 60 𝐻𝑧 temel frekansına ve 8 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansına sahip giriş işareti için 5. derece AHD katsayılarını kullanmaktadır. 100 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansına ve 60 𝐻𝑧 temel frekansa sahip giriş işareti için 8. derece; 50 𝐻𝑧 temel frekansa sahip giriş işareti için 9. derece AHD katsayıları kullanmaktadır. Bunun sebebi, güç işareti içerisindeki en büyük frekans bileşeninin en az iki katı kadar bir çözünürlükte işaretin analiz edilmesinin gerekliliğidir. Bu gereklilik Nyquist Kriteri ile ilişkilidir. Belirtilen AHD dereceleri, en düşük veri sayısı ile en iyi tahminin gerçekleştirilmesi amacıyla mümkün olan azami derecelerdir. Önerilen yöntem içerisinde frekans ve sönüm parametrelerini hesaplayabilmek için kullanılan polinomun derecesi, başka bir ifadeyle Önerilen yöntemin Prony matrisinin 133 sütun sayısı, belli bir standardın sağlanabilmesi amacıyla şu şekilde hesaplanmıştır: Bir sonraki AHD katsayı sayısından küçük olmak üzere, en yakın asal sayının seçilmesi vasıtasıyla ilgili matris kurulmuştur. Bunun bir örnekle açıklanması gerekirse, 8 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansına sahip bir işaretin en yüksek bileşeninin 105 𝐻𝑧 olduğu varsayılsın. Bu durumda, Nyquist kriteri gereği, seçilebilecek maksimum AHD derecesi 5’tir (8000/32 = 250). Ayrıca, 24 periyot ele alındığına göre, 8 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansı için 3841 adet işaret verisi kullanılmıştır. AHD derecesi 5 seçildiği için, 120 adet katsayı mevcuttur 3841/25 ≅ 120. Bir sonraki AHD derecesinin katsayı miktarı 60’tır. Bu sayıya en yakın ve bu sayıdan küçük asal sayı 59’dur. Bu nedenle, Önerilen yöntem için Prony matrisi, işaretin 8 𝑘𝐻𝑧’lik örnekleme durumu için (120 − 59 = 61) × (59) boyutlarına sahip bir matris olarak seçilmiş olur. 100 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansı için değerler, Nyquist kriterini sağlayan en yüksek AHD katsayı sayısının belirlenmesiyle bu yol izlenerek hesaplanır. Diğer yandan, geleneksel Prony yönteminin yüksek sayıda veri kullanmaktadır. Kullanılan veri sayısı, seçilen polinom derecesine de bağlıdır. Fakat yüksek dereceli polinomun seçilmesi, iyi bir çözümün elde edileceği konusunda bir kesinlik sağlamamaktadır. Bu bilgilerden hareketle, AHD yöntemleri için kullanılan polinom katsayı sayısı 𝑛𝐴𝐻𝐷 ve kullanılan AHD derecesi 𝑝 olmak üzere, orijinal Prony yöntemi için kullanılan polinom katsayı sayısı, 8 𝑘𝐻𝑧’lik işaretler için 𝑛 𝑝𝐴𝐻𝐷 × 2 olarak hesaplanmıştır. Bu durumda, 8 𝑘𝐻𝑧 işaret için 59 × 25 = 1888 adet polinom katsayısı seçilmiş olur. Bu sayıdan daha düşük sayılarda da iyi bir çözüm elde edilebilir fakat ne kadar katsayı seçilmesinin uygun olduğuna dair bir ölçüt yoktur. 100 𝑘𝐻𝑧’lik işaretler için orijinal Prony yönteminde belirtilen kıstasın uygulanması oldukça verimsiz olur. Çünkü Prony matrisinin eleman sayısı doğal olarak artacaktır. Bu sebeple ve bir standardın sağlanabilmesi için kullanılacak polinom derecesi, orijinal Prony yöntemi için 1024 olarak belirlenmiştir. Bu şartlar altında elde edilen sonuçlar, bölüm içerisindeki çizelgelerde ve şekillerde sunulmuştur. Şekiller içerisinde, bulunamayan harmonik bileşenlerin (frekans veya genlik) değerleri, hem bulunan değerlerin çiziminde ve hem de bağıl hata oranları çizimlerinde “-1” büyüklük değerine sahip olarak gösterilmiştir. Çizelgelerde bulunamayan bileşenler “~” işareti ile belirtilmiştir. Bağıl hata oranları “~0” işareti ile 134 gösterilen bileşenler yaklaşık sıfır anlamına gelmektedir. Bu bileşenler, şekillerde sıfır değerini gösterecek şekilde yerleştirilmiştir. Son olarak, fark katsayıları ile elde edilen değerler, çizelgelerde tamamıyla verilirken, şekiller ele alındığında sadece Şekil 4.21’de değerleri gösterilmiş, ilerleyen şekillerde fark katsayılarına yer verilmemiştir. Bunun sebebi, genliklerde yüksek hata oranlarının elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Ancak, fark katsayılarının frekans kestiriminde, ortalama katsayılarındaki gibi başarılı sonuçlar verdiği, çizelgelerde görülmektedir. Çizelge 4.9. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.1’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 0,8541 38,75 0,8541 -26,5651 38,7500 0,2122 63,4349 38,7500 26,5651 - 0,4775 41,25 0,4775 -90,0000 41,2500 0,1266 0,0000 41,2500 90,0000 1,4235 26,5651 43,75 1,4235 26,5651 43,7500 0,4015 -63,4349 43,7500 - 0,9549 46,25 0,9549 -90,0000 46,2500 0,2856 0,0000 46,2500 90,0000 - 4,2706 48,75 4,2706 -26,5651 48,7500 1,3506 63,4349 48,7500 26,5651 12,0000 0,0000 50 12,0000 0,0000 50,0000 3,8990 90,0000 50,0000 4,2706 -26,565 51,25 4,2706 -26,565 51,2500 1,4248 63,435 51,2500 0,9549 90,0000 53,75 0,9549 -90,0000 53,7500 0,3353 0,0000 53,7500 1,4235 26,5651 56,25 1,4235 26,5651 56,2500 0,5252 -63,4349 56,2500 - 0,4775 58,75 0,4775 -90,0000 58,7500 0,1847 0,0000 58,7500 90,0000 0,8541 26,5651 61,25 0,8541 -26,5651 61,2500 0,3460 63,4349 61,2500 135 Çizelge 4.10. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.1’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 75,1551 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 73,4870 100,0000 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 71,7949 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 70,0911 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 68,3745 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 67,5083 >> ~0 ~0 0,0004 ~0 ~0 0,0004 ~0 66,6370 138,7907 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 64,8864 100,0000 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 63,1050 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 61,3194 100,0000 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 59,4895 138,7904 ~0 Şekil 4.21. Çizelge 4.10’un genlik değerleri için sırasıyla Prony, AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem ve AHD farklarıyla ile önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi (b) Önerilen yöntemin AHD ortalamaları ile hata analizi (c) Önerilen yöntemin AHD farkları ile hata analizi 136 Şekil 4.22. Çizelge 4.10’un frekans değerleri için sırasıyla Prony, AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem ve AHD farklarıyla ile önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi (b) Önerilen yöntemin AHD ortalamaları ile hata analizi (c) Önerilen yöntemin AHD farkları ile hata analizi Çizelge 4.11. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.1’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) 0,5701 43,2894 39,5534 0,8541 -26,5651 38,75 0,2751 63,4349 38,75 ~ ~ ~ 0,4775 -90 41,25 0,1645 0 41,25 - ~ ~ ~ 1,4235 26,5651 43,75 0,5226 43,75 63,4349 - 3,0779 46,5815 0,9549 -90 46,25 0,3725 0 46,25 51,4497 ~ ~ ~ 4,2706 -26,565 48,75 1,7658 63,4349 48,75 - 10,6144 49,9813 12 0 50 5,1036 90 50 23,5974 ~ ~ ~ 4,2706 -26,565 51,25 1,8672 63,435 51,25 ~ ~ ~ 0,9549 90 53,75 0,4406 0 53,75 - 0,992 76,5024 55,4085 1,4235 26,5651 56,25 0,6918 56,25 63,4349 ~ ~ ~ 0,4775 -90 58,75 0,244 0 58,75 0,4408 -32,398 61,08 0,8541 -26,5651 61,25 0,4584 63,4349 61,25 137 Çizelge 4.12. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.1’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f 33,25138 62,95591 2,07329 ~0 ~0 ~0 67,79066 138,7904 0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 65,54974 100 0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 63,28767 138,79 0 222,3269 -42,8337 0,716757 ~0 ~0 ~0 60,99068 100 0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 58,65218 138,7904 0 11,54667 -23,5974 0,0374 ~0 ~0 ~0 57,47 90 0 ~ ~ ~ ~0 0,0004 ~0 56,27781 138,7907 0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 53,85904 100 0 30,31261 -187,981 1,496 ~0 ~0 ~0 51,40148 138,79 0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 48,90052 100 0 48,39012 21,957 0,277551 ~0 ~0 ~0 46,32947 138,7904 0 Şekil 4.23. Çizelge 4.12’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 138 Şekil 4.24. Çizelge 4.12’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.13. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.2’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 1,7082 38,75 1,7082 -26,5651 38,75 0,209 63,4349 38,75 26,5651 0,9549 90 41,25 0,9549 90 41,25 0,1244 0 41,25 2,8471 26,5651 43,75 2,8471 26,5651 43,75 0,3938 -63,4349 43,75 1,9099 90 46,25 1,9099 -90 46,25 0,2795 0 46,25 - 8,5411 48,75 8,5411 -26,565 48,75 1,3184 63,435 48,75 26,5651 12 0 50 12 0 50 1,9006 90 50 - 8,5412 51,25 8,5412 -26,5651 51,25 1,3872 63,435 51,25 26,5651 139 Çizelge 4.13. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.2’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) 1,9099 -90 53,75 1,9099 90 53,75 0,3256 0 53,75 2,8471 26,5651 56,25 2,8471 26,5651 56,25 0,5084 -63,4349 56,25 0,9549 90 58,75 0,9549 90 58,75 0,1783 0 58,75 - 1,7082 61,25 1,7082 -26,5651 61,25 0,3328 63,4349 61,25 26,5651 Çizelge 4.14. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.2‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 87,7649 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 86,97246 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 86,16838 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 85,36573 100 ~0 0,0012 ~0 ~0 0,0012 0,0004 ~0 84,56423 138,7907 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 84,16167 90 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 83,75872 138,7907 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 82,95199 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 82,14323 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 81,32789 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 80,5175 138,7904 ~0 140 Şekil 4.25. Çizelge 4.14’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.26. Çizelge 4.14’ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 141 Çizelge 4.15. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.2’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) 1,6338 16,3007 39,1291 1,7082 -26,5651 38,75 0,5503 63,4349 38,75 ~ ~ ~ 0,9549 90 41,25 0,329 0 41,25 - - 10,6621 42,9951 2,8471 26,5651 43,75 1,0453 43,75 12,7151 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 -90 46,25 0,7451 0 46,25 0,0123 88,0186 49,2746 8,5412 -26,565 48,75 3,5316 63,4349 48,75 ~ ~ ~ 12 0 50 5,1036 90 50 26,6792 23,3576 52,3202 8,5411 -26,5651 51,25 3,7344 63,435 51,25 ~ ~ ~ 1,9099 90 53,75 0,8812 0 53,75 - - 0,6241 56,8906 2,8471 26,5651 56,25 1,3837 56,25 76,0333 63,4349 ~ ~ ~ 0,9549 -90 58,75 0,4881 0 58,75 - 2,7069 61,2031 1,7082 -26,5651 61,25 0,9169 63,4349 61,25 41,4627 Çizelge 4.16. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.2‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f 4,355462 38,63867 0,978323 ~0 ~0 ~0 67,7848 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 65,54613 100 ~0 274,4898 52,1361 1,725486 ~0 ~0 ~0 63,28545 138,79 ~0 142 Çizelge 4.16. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.2‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)* (devam) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama-Prony) fark-Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 60,98749 100 ~0 99,85599 231,3317 1,076103 ~0 0,0004 ~0 58,65218 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 57,47 90 ~0 212,3589 12,07411 2,088195 0,0012 ~0 ~0 56,27781 138,7907 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 53,86146 100 ~0 78,07945 186,215 1,138844 ~0 ~0 ~0 51,39967 138,79 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 48,8847 100 ~0 58,46505 56,07959 0,076571 ~0 ~0 ~0 46,32362 138,7904 ~0 Şekil 4.27. Çizelge 4.16’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 143 Şekil 4.28. Çizelge 4.16’nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.17. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.3’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 0,8541 5 0,8541 -26,5651 5 0,0268 63,4349 5 26,5651 0,4775 90 15 0,4775 -90 15 0,0451 0 15 1,4235 26,5651 25 1,4235 26,5651 25 0,2255 -63,4349 25 0,9549 90 35 0,9549 90 35 0,2135 0 35 - 4,2706 45 4,2706 -26,5651 45 1,2407 63,4349 45 26,5651 12 0 50 12 0 50 3,899 90 50 - 4,2706 55 4,2706 -26,5651 55 1,5375 63,4349 55 26,5651 144 Çizelge 4.17. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.3’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) 0,9549 -90 65 0,9549 90 65 0,4132 0 65 1,4235 26,5651 75 1,4235 26,5651 75 0,7253 -63,4349 75 0,4775 -90 85 0,4775 90 85 0,2824 0 85 - 0,8541 95 0,8541 -26,5651 95 0,5805 63,4349 95 26,5651 Çizelge 4.18. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.3‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 96,86219 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 90,55497 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 84,15876 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 77,64164 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 70,94788 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 67,50833 90 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 63,99803 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 56,72845 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 49,04812 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 40,85864 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 32,03372 138,7904 ~0 145 Şekil 4.29. Çizelge 4.18’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.30. Çizelge 4.18’in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 146 Çizelge 4.19. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.3’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 0,8541 -26,5651 5 0,0344 63,4349 5 ~ ~ ~ 0,4775 90 15 0,0579 0 15 - 2,7661 50,9459 25,4146 1,4235 26,5651 25 0,2901 25 63,4349 ~ ~ ~ 0,9549 90 35 0,2761 0 35 1,9895 23,0797 48,2061 4,2706 -26,5651 45 1,6168 63,4349 45 3,1677 64,7597 52,7736 12 0 50 5,1036 90 50 ~ ~ ~ 4,2706 -26,5651 55 2,0227 63,4349 55 ~ ~ ~ 0,9549 -90 65 0,5503 0 65 - - 0,2615 73,3666 1,4235 26,5651 75 0,9806 75 59,9248 63,4349 - 0,2781 83,2699 0,4775 90 85 0,389 0 85 29,3402 0,6585 -8,3496 94,9864 0,8541 -26,5651 95 0,8184 63,4349 95 Çizelge 4.20. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.3‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 95,97237 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,87435 100 ~0 - 94,31682 1,6584 ~0 ~0 ~0 79,62065 138,79 ~0 91,7776 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 71,08598 100 ~0 147 Çizelge 4.20 Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.3‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD ortalama- Önerilen Yöntem (AHD fark- Prony Yöntemi Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f 53,41404 13,12022 7,124667 ~0 ~0 ~0 62,14115 138,7904 ~0 73,6025 64,7597 5,5472 ~0 ~0 ~0 57,47 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 52,63663 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 42,37093 100 ~0 81,62979 -125,577 2,177867 ~0 ~0 ~0 31,11345 138,79 ~0 41,75916 67,39978 2,035412 ~0 ~0 ~0 18,53403 100 ~0 22,9013 68,56929 0,014316 ~0 ~0 ~0 4,179838 138,7904 ~0 Şekil 4.31. Çizelge 4.20’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 148 Şekil 4.32. Çizelge 4.20’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.21. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)** Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 1,7082 5 1,7082 -26,5651 5 0,0537 63,4349 5 26,5651 0,9549 -90 15 0,9549 -90 15 0,0903 0 15 2,8471 26,5651 25 2,8471 26,5651 25 0,4509 -63,4349 25 1,9099 -90 35 1,9099 -90 35 0,4269 0 35 - 8,5412 45 8,5412 -26,5651 45 2,4814 63,4349 45 26,5651 12 0 50 12 0 50 3,899 90 50 - 8,5412 55 8,5412 -26,5651 55 3,075 63,4349 55 26,5651 149 Çizelge 4.21. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)** (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) 1,9099 -90 65 1,9099 90 65 0,8265 0 65 2,8471 26,5651 75 2,8471 26,5651 75 1,4506 -63,4349 75 0,9549 -90 85 0,9549 90 85 0,5647 0 85 - 1,7082 95 1,7082 -26,5651 95 1,1609 63,4349 95 26,5651 --- --- --- 0,0223 4,5353 20,8139 --- --- --- --- --- --- 0,0243 22,5704 104,147 --- --- --- Çizelge 4.22. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 96,85634 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 90,54351 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 84,16283 138,79 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 77,64804 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 70,94788 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 67,50833 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 63,99803 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 56,72548 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 49,04991 138,79 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 40,86292 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 32,03957 138,7904 ~0 150 Şekil 4.33. Çizelge 4.22’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.34. Çizelge 4.22’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 151 Çizelge 4.23. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 5 0,0687 63,4349 5 ~ ~ ~ 0,9549 90 15 0,1158 0 15 - 4,5232 39,3765 25,1042 2,8471 26,5651 25 0,5803 25 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 90 35 0,5523 0 35 - 3,0092 46,6535 8,5412 -26,5651 45 3,2336 63,4349 45 71,3796 ~ ~ ~ 12 0 50 5,1036 90 50 8,497 81,86 54,0716 8,5412 -26,5651 55 4,0454 63,4349 55 ~ ~ ~ 1,9099 -90 65 1,1005 0 65 - 0,9991 89,7262 73,5831 2,8471 26,5651 75 1,9611 75 63,4349 - 0,6174 83,4801 0,9549 -90 85 0,7779 0 85 25,9117 - 1,3707 94,988 1,7082 -26,5651 95 1,6368 63,4349 95 17,0322 Çizelge 4.24. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 95,97822 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,87308 100 ~0 58,87043 48,2264 0,4168 ~0 ~0 ~0 79,61786 138,79 ~0 152 Çizelge 4.24. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 71,08226 100 ~0 64,76842 168,6969 3,674444 ~0 ~0 ~0 62,14115 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 57,47 ~0 ~0 0,517492 208,1487 1,688 ~0 ~0 ~0 52,63663 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 42,37918 100 ~0 64,90815 237,76 1,8892 ~0 ~0 ~0 31,11938 138,79 ~0 35,34402 71,20922 1,788118 ~0 ~0 ~0 18,53597 100 ~0 19,75764 35,88505 0,012632 ~0 ~0 ~0 4,179838 138,7904 ~0 Şekil 4.35. Çizelge 4.24’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 153 Şekil 4.36. Çizelge 4.24’ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.25. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.5’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 0,8541 48,75 0,8541 -26,5651 48,75 0,2701 63,4349 48,75 26,5651 0,4775 -90 51,25 0,4775 90 51,25 0,1593 0 51,25 1,4235 26,5651 53,75 1,4235 26,565 53,75 0,4999 -63,435 53,75 0,9549 89,9997 56,25 0,9549 -89,9999 56,25 0,3523 0 56,25 - 4,2705 58,75 4,2706 -26,5649 58,75 1,6522 63,4345 58,75 26,5648 11,9999 0,0008 60 12 -0,0002 60 4,7511 89,9999 60 - 4,2706 61,25 4,2706 -26,5647 61,25 1,7298 63,435 61,25 26,5665 154 Çizelge 4.25. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.5’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) 0,9549 89,9999 63,75 0,9549 90 63,75 0,4044 0,0001 63,75 1,4235 26,565 66,25 1,4235 26,5651 66,25 0,6293 -63,435 66,25 0,4775 90 68,75 0,4775 -90 68,75 0,2201 0 68,75 - 0,8541 71,25 0,8541 -26,5651 71,25 0,4101 63,4349 71,25 26,5651 Çizelge 4.26. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.5‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Prony Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 68,3761 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 66,6387 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 0,0004 ~0 64,8823 138,791 ~0 ~0 0,0003 ~0 ~0 0,0001 ~0 63,1061 100 ~0 0,0023 0,0011 ~0 ~0 0,0008 ~0 61,3122 138,7889 ~0 0,0008 0,0008 ~0 ~0 0,0002 ~0 60,4075 90 ~0 ~0 0,00523 ~0 ~0 0,0015 ~0 59,4952 138,7907 ~0 ~0 0,0001 ~0 ~0 ~0 ~0 57,6500 100 ~0 ~0 0,0004 ~0 ~0 ~0 ~0 55,7920 138,791 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 53,90577 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 51,9846 138,7904 ~0 155 Şekil 4.37. Çizelge 4.26’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.38. Çizelge 4.26’nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 156 Çizelge 4.27. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.5’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 𝑖le örneklenmesi durumunda)*** Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) 0,9055 30,4697 48,7919 0,8541 -26,5651 48,75 0,1696 63,4349 48,75 ~ ~ ~ 0,4775 90 51,25 0,0998 0 51,25 2,6228 64,0667 53,8258 1,4235 26,565 53,75 0,3126 -63,435 53,75 ~ ~ ~ 0,9549 -89,9998 56,25 0,2198 0,0001 56,25 8,7506 71,0715 58,9257 4,2707 -26,5647 58,75 1,0281 63,4338 58,75 ~ ~ ~ 12,0001 -0,0005 60 2,9528 89,9995 60 5,0537 81,8652 61,6454 4,2705 -26,5641 61,25 1,0737 63,4357 61,25 ~ ~ ~ 0,9549 -89,9999 63,75 0,2503 0,0002 63,75 3,2389 85,7706 66,583 1,4235 26,5651 66,25 0,3885 -63,435 66,25 ~ ~ ~ 0,4775 90 68,75 0,1355 0 68,75 1,0825 40,8939 71,2391 0,8541 -26,5651 71,25 0,2516 63,4349 71,25 Çizelge 4.28. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.5‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama-Prony) fark-Prony) A Faz f A Faz f A Faz f 6,018031 14,69823 0,085949 ~0 ~0 ~0 80,14284 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 79,09948 100 ~0 84,25009 141,169 0,141023 ~0 0,0004 ~0 78,04004 138,791 ~0 ~ -~ ~ ~0 0,0002 ~0 76,98188 99,9999 ~0 104,9033 167,5371 0,299064 0,0023 0,0015 ~0 75,9261 138,7862 ~0 ~ ~ ~ 0,0008 0,0005 ~0 75,39333 90 ~0 157 Çizelge 4.28. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.5‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama-Prony) fark-Prony) A Faz f A Faz f A Faz f 18,337 208,1682 0,645551 0,0023 0,0038 ~0 74,85833 138,7934 ~0 429,2387 9,03867 3,301333 ~0 0,0001 ~0 73,78783 99,9998 ~0 127,5307 222,869 0,502642 ~0 ~0 ~0 72,70811 138,791 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 71,62304 100 ~0 26,7416 53,93844 0,015298 ~0 ~0 ~0 70,54209 138,7904 ~0 Şekil 4.39. Çizelge 4.28’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 158 Şekil 4.40. Çizelge 4.28‘in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.29. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.6’daki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)**** Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - - - 1,7082 -26,5651 48,75 0,5402 63,4349 48,75 - - - 0,9549 90 51,25 0,3186 0 51,25 - - - 2,8471 26,565 53,75 0,9998 -63,4349 53,75 - - - 1,9099 -89,9999 56,25 0,7046 -0,0006 56,25 - - - 8,5412 -26,5649 58,75 3,3042 63,4332 58,75 - - - 12,0001 -0,0003 60 4,7509 -89,9986 60 - - - 8,5411 -26,5647 61,25 3,4597 63,4334 61,25 - - - 1,9099 -90 63,75 0,8087 0,0002 63,75 - - - 2,8471 26,5651 66,25 1,2587 -63,435 66,25 - - - 0,9549 -90 68,75 0,4402 0 68,75 - - - 1,7082 -26,5651 71,25 0,8203 63,4349 71,25 159 Çizelge 4.30. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.6‘daki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f - - - ~0 ~0 ~0 68,37607 138,7904 ~0 - - - ~0 ~0 ~0 66,63525 100 ~0 - - - ~0 0,0004 ~0 64,88357 138,7904 ~0 - - - ~0 0,0001 ~0 63,10802 99,99933 ~0 - - - ~0 0,0008 ~0 61,31457 138,784 ~0 - - - 0,0008 0,0003 ~0 60,40917 90 ~0 - - - 0,0012 0,0015 ~0 59,49398 138,7847 ~0 - - - ~0 ~0 ~0 57,65747 100,0002 ~0 - - - ~0 ~0 ~0 55,7901 138,7907 ~0 - - - ~0 ~0 ~0 53,90093 100 ~0 - - - ~0 ~0 ~0 51,97869 138,7904 ~0 Şekil 4.41. Çizelge 4.30’un genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 160 Şekil 4.42. Çizelge 4.30‘un frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.31. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.6’daki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)***** Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 48,75 0,168 63,4349 48,75 ~ ~ ~ 0,9549 -90 51,25 0,0987 0 51,25 ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 53,75 0,3089 -63,435 53,75 ~ ~ ~ 1,9099 90 56,25 0,2169 0 56,25 ~ ~ ~ 8,5411 -26,5651 58,75 1,0136 63,4345 58,75 ~ ~ ~ 12 0 60 1,4547 89,9996 60 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 61,25 1,0572 63,4353 61,25 ~ ~ ~ 1,9099 -90 63,75 0,2461 0,0001 63,75 ~ ~ ~ 2,8471 26,565 66,25 0,3815 -63,435 66,25 161 Çizelge 4.31. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.6’daki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)***** (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) ~ ~ ~ 0,9549 90 68,75 0,1328 0 68,75 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 71,25 0,2464 63,4349 71,25 Çizelge 4.32. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.6‘daki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 90,16509 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,66384 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,15036 138,7907 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 88,64338 100 ~0 ~ ~ ~ 0,0012 ~0 ~0 88,13282 138,7889 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,8775 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,62235 138,7919 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,11451 99,99989 ~0 ~ ~ ~ ~0 0,0004 ~0 86,6004 138,7907 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 86,09278 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 85,57546 138,7904 ~0 162 Şekil 4.43. Çizelge 4.32’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.44. Çizelge 4.32‘nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 163 Çizelge 4.33. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.7’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 0,8541 15 0,8541 -27,1471 15 0,0807 63,4349 15 26,5651 0,4775 90 25 0,4775 -26,5651 25 0,0756 0 25 1,4235 26,5651 35 1,4235 -90 35 0,3182 -63,4349 35 0,9549 90 45 0,9549 26,5651 45 0,2774 0 45 - 4,2706 55 4,2706 -90 55 1,5375 63,4349 55 26,5651 12 0 60 12 -26,5651 60 4,7511 -90 60 - 4,2706 65 4,2706 0 65 1,848 63,4349 65 26,5651 0,9549 90 75 0,9549 -26,5651 75 0,4866 0 75 1,4235 26,5651 85 1,4235 -90 85 0,8419 -63,4349 85 0,4775 -90 95 0,4775 26,5651 95 0,3245 0 95 - 0,8541 105 0,8541 90 105 0,6625 63,4349 105 26,5651 Çizelge 4.34. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.7 ‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 90,55146 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 84,16754 100 ~0 164 Çizelge 4.34. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.7 ‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 77,64665 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 70,94984 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 63,99803 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 60,4075 90 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 56,72739 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 49,04178 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 40,85704 138,7904 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 32,04188 100 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 22,43297 138,7904 ~0 Şekil 4.45. Çizelge 4.34’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 165 Şekil 4.46. Çizelge 4.34‘ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.35. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.7’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda)****** Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) ~ ~ ~ 0,8541 -26,5651 15 0,0516 63,4349 15 ~ ~ ~ 0,4775 90 25 0,0482 0 25 ~ ~ ~ 1,4235 26,5651 35 0,2017 -63,4349 35 ~ ~ ~ 0,9549 90 45 0,1747 0 45 ~ ~ ~ 4,2706 -26,5651 55 0,9602 63,4349 55 ~ ~ ~ 12 0 60 2,9528 90 60 ~ ~ ~ 4,2706 -26,5651 65 1,1424 63,4349 65 ~ ~ ~ 0,9549 -90 75 0,2971 0 75 ~ ~ ~ 1,4235 26,5651 85 0,5064 -63,4349 85 ~ ~ ~ 0,4775 90 95 0,1918 0 95 ~ ~ ~ 0,8541 -26,5651 105 0,3837 63,4349 105 166 Çizelge 4.36. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.7 ‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 93,95855 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,90576 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 85,8307 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 81,70489 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 77,51604 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 75,39333 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 73,24966 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 68,88679 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 64,42571 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 59,83246 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 55,07552 138,7904 ~0 Şekil 4.47. Çizelge 4.36’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 167 Şekil 4.48. Çizelge 4.36‘nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.37. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) - 1,7082 15 1,7082 -26,5651 15 0,1615 63,4349 15 26,5651 0,9549 -90 25 0,9549 90 25 0,1512 0 25 2,8471 26,5651 35 2,8471 26,5651 35 0,6364 -63,4349 35 1,9099 90 45 1,9099 -90 45 0,5549 0 45 - 8,5412 55 8,5412 -26,5651 55 3,075 63,4349 55 26,5651 12 0 60 12 0 60 4,7511 -90 60 8,5412 26,5651 65 8,5412 -26,5651 65 3,6961 63,4349 65 168 Çizelge 4.37. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) 1,9099 -90 75 1,9099 -90 75 0,9731 0 75 2,8471 26,5651 85 2,8471 26,5651 85 1,6837 -63,4349 85 0,9549 -90 95 0,9549 -90 95 0,649 0 95 - 1,7082 105 1,7082 -26,5651 105 1,325 63,4349 105 26,5651 Çizelge 4.38. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 8 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 90,5456 138,7904 90,5456 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 84,16588 100 84,16588 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 77,64743 138,7904 77,64743 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 70,94612 100 70,94612 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 63,99803 138,7904 63,99803 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 60,4075 90 60,4075 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 56,72622 138,7904 56,72622 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 49,04969 100 49,04969 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 40,86263 138,7904 40,86263 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 32,03477 100 32,03477 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 22,43297 138,7904 22,43297 169 Şekil 4.49. Çizelge 4.38’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.50. Çizelge 4.38‘in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 170 Çizelge 4.39. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) f A (V) Faz A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 15 0,1032 63,4349 15 ~ ~ ~ 0,9549 -90 25 0,0963 0 25 ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 35 0,4034 -63,4349 35 ~ ~ ~ 1,9099 90 45 0,3494 0 45 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 55 1,9204 63,4349 55 ~ ~ ~ 12 0 60 2,9528 -90 60 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 65 2,2848 63,4349 65 ~ ~ ~ 1,9099 90 75 0,5941 0 75 ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 85 1,0129 -63,4349 85 ~ ~ ~ 0,9549 -90 95 0,3836 0 95 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 105 0,7674 63,4349 105 Çizelge 4.40. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 93,95855 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,91517 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 85,8312 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 81,70585 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 77,51604 138,7904 ~0 171 Çizelge 4.40. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi durumunda) (devam) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 75,39333 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 73,24966 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 68,89366 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 64,42345 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 59,82825 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 55,07552 138,7904 ~0 Şekil 4.51. Çizelge 4.40’ın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 172 Şekil 4.52. Çizelge 4.40‘ın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.41. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 5 0,0687 63,4349 5 ~ ~ ~ 0,9549 90 15 0,1158 0 15 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 25 0,5803 25 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 90 35 0,5523 0 35 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 45 3,2336 63,4349 45 - 28,2427 49,0018 12 0 50 5,1036 90 50 61,843 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 55 4,0454 63,4349 55 ~ ~ ~ 1,9099 -90 65 1,1005 0 65 173 Çizelge 4.41. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) - - 24,1237 77,2814 2,8471 26,5651 75 1,9611 75 5,2932 63,4349 ~ ~ ~ 0,9549 90 85 0,7779 0 85 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 95 1,6368 63,4349 95 Çizelge 4.42. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 durumunda) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 95,97822 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,87308 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 79,61786 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 71,08226 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 62,14115 138,7904 ~0 135,3558 5,2932 1,9964 ~0 ~0 ~0 57,47 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 52,63663 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 42,37918 100 ~0 - 747,3078 3,041867 ~0 ~0 ~0 31,11938 138,7904 ~0 80,0746 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 18,53597 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 4,179838 138,7904 ~0 174 Şekil 4.53 Çizelge 4.42’nin genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.54. Çizelge 4.42’nin frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 175 Çizelge 4.43. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.4’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve SNR=20 dB olması durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 5 0,0687 63,4349 5 ~ ~ ~ 0,9549 90 15 0,1158 0 15 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 25 0,5803 25 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 90 35 0,5523 0 35 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 45 3,2336 63,4349 45 - 22,3316 50,0432 12 0 50 5,1036 90 50 18,2963 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 55 4,0454 63,4349 55 ~ ~ ~ 1,9099 -90 65 1,1005 0 65 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 75 1,9611 75 63,4349 4,0727 79,8861 85,0502 0,9549 90 85 0,7779 0 85 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 95 1,6368 63,4349 95 Çizelge 4.44. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 durumunda) Prony Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD fark- Yöntemi ortalama-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 95,97822 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 87,87308 100 ~0 176 Çizelge 4.44. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.4‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 durumunda) (devam) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 79,61786 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 71,08226 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 62,14115 138,7904 ~0 86,09667 18,2963 0,0864 ~0 ~0 ~0 57,47 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 52,63663 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 42,37918 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 31,11938 138,7904 ~0 326,5054 11,23767 0,059059 ~0 ~0 ~0 18,53597 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 4,179838 138,7904 ~0 Şekil 4.55. Çizelge 4.44’ün genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 177 Şekil 4.56. Çizelge 4.44‘ün frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.45. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 15 0,1032 63,4349 15 ~ ~ ~ 0,9549 -90 25 0,0963 0 25 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 35 0,4034 35 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 90 45 0,3494 0 45 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 55 1,9204 63,4349 55 178 Çizelge 4.45. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olması durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) - 27,9196 59,0428 12 0 60 2,9528 -90 60 59,4034 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 65 2,2848 63,4349 65 ~ ~ ~ 1,9099 90 75 0,5941 0 75 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 85 1,0129 85 63,4349 17,6941 18,5227 90,6517 0,9549 -90 95 0,3836 0 95 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 105 0,7674 63,4349 105 Çizelge 4.46. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 durumunda) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 93,95855 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,91517 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 85,8312 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 81,70585 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 77,51604 138,7904 ~0 132,6633333 59,4034 1,595333333 ~0 ~0 ~0 75,39333 90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 73,24966 138,7904 ~0 179 Çizelge 4.46. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 68,89366 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 64,42345 138,7904 ~0 1752,97937 79,41922222 4,577157895 ~0 ~0 ~0 59,82825 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 55,07552 138,7904 ~0 Şekil 4.57. Çizelge 4.46’nın genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 180 Şekil 4.58. Çizelge 4.46’nın frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Çizelge 4.47. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olması durumunda) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 15 0,1032 63,4349 15 ~ ~ ~ 0,9549 -90 25 0,0963 0 25 - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 35 0,4034 35 63,4349 ~ ~ ~ 1,9099 90 45 0,3494 0 45 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 55 1,9204 63,4349 55 23,4541 -45,481 59,3819 12 0 60 2,9528 -90 60 ~ ~ ~ 8,5412 -26,5651 65 2,2848 63,4349 65 ~ ~ ~ 1,9099 90 75 0,5941 0 75 181 Çizelge 4.47. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen değerler (Çizelge 4.8’deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olması durumunda) (devam) Önerilen Yöntem (AHD Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi ortalama-Prony) fark-Prony) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) A (V) Faz f (Hz) - ~ ~ ~ 2,8471 26,5651 85 1,0129 85 63,4349 4,8846 28,3036 93,1878 0,9549 -90 95 0,3836 0 95 ~ ~ ~ 1,7082 -26,5651 105 0,7674 63,4349 105 Çizelge 4.48. Prony yöntemi ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemi ile elde edilen bağıl hata oranları (%) (Çizelge 4.8‘deki değerlerin 100 𝑘𝐻𝑧 ile örneklenmesi ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 durumunda) Önerilen Yöntem Önerilen Yöntem (AHD Prony Yöntemi (AHD ortalama- fark-Prony) Prony) A Faz f A Faz f A Faz f ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 93,95855 138,7904 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 89,91517 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 85,8312 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 81,70585 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 77,51604 138,7904 ~0 95,45083 -45,481 1,030167 ~0 ~0 ~0 75,39333 -90 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 73,24966 138,7904 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 68,89366 100 ~0 ~ -~ ~ ~0 ~0 ~0 64,42345 138,7904 ~0 411,53 68,55156 1,907579 ~0 ~0 ~0 59,82825 100 ~0 ~ ~ ~ ~0 ~0 ~0 55,07552 138,7904 ~0 182 Şekil 4.59 Çizelge 4.48’in genlik değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi Şekil 4.60. Çizelge 4.48’in frekans değerleri için sırasıyla Prony ve AHD ortalamalarıyla önerilen yöntem için karşılaştırmalı hata analizi 183 Çizelge 4.49. Prony ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemlerinin hesaplama süreleri Çizelge No Prony (s) Ortalamalar (s) Farklar (s) Çizelge 4.9 ve 21.9275 0.1362 0.1376 Çizelge 4.10 Çizelge 4.11 ve 78.4102 2.4829 1.4137 Çizelge 4.12 Çizelge 4.13 ve 20.7881 1.2425 0.4211 Çizelge 4.14 Çizelge 4.15 ve 77.8654 1.7768 1.4662 Çizelge 4.16 Çizelge 4.17 ve 20.6514 0.1131 0.1254 Çizelge 4.18 Çizelge 4.19 ve 78.1659 1.5563 1.3994 Çizelge 4.20 Çizelge 4.21 ve 26.1848 0.1006 0.1248 Çizelge 4.22 Çizelge 4.23 ve 78.5008 1.6043 1.4482 Çizelge 4.24 Çizelge 4.25 ve 10.7682 0.1884 0.0763 Çizelge 4.26 Çizelge 4.27 ve 76.8218 0.9051 2.3375 Çizelge 4.28 Çizelge 4.29 ve 11.4025 0.0735 0.0747 Çizelge 4.30 Çizelge 4.31 ve 73.2592 7.4732 7.0941 Çizelge 4.32 Çizelge 4.33 ve 8.6214 0.6447 0.1836 Çizelge 4.34 184 Çizelge 4.49. Prony ve önerilen AHD tabanlı Prony yöntemlerinin hesaplama süreleri (devam) Çizelge No Prony (s) Ortalamalar (s) Farklar (s) Çizelge 4.35 ve 67.4178 2.5899 2.4828 Çizelge 4.36 Çizelge 4.37 ve 7.7301 0.3437 0.2923 Çizelge 4.38 Çizelge 4.39 ve 66.4664 2.5638 2.3955 Çizelge 4.40 Çizelge 4.41 ve 78.0225 1.7347 1.3702 Çizelge 4.42 Çizelge 4.43 ve 79.2766 1.3612 1.4045 Çizelge 4.44 Çizelge 4.45 ve 64.2921 2.3432 2.3483 Çizelge 4.46 Çizelge 4.47 ve 63.9797 2.3597 2.3149 Çizelge 4.48 Notlar: * işareti koyulmuş Çizelge 4.13 ve Çizelge 4.14’de, fark katsayıları hesaplanırken, 5. derece fark katsayıları ile sıfır matrisi elde edilmiş (sonuca ulaşılamamış), 4. derece AHD fark katsayıları ile sonuca ulaşılmıştır. ** Çizelge 4.21’de, kırmızı ile gösterilen bölümde 5. derece AHD ortalama katsayıları gerçekte var olmayan ihmal edilemeyecek kadar büyüklükte bir genliğe sahip iki adet frekans bileşeni saptamıştır. Fakat 4. derece AHD katsayıları ile tekrar benzetim gerçekleştirildiğinde, ilgili frekanslardaki bileşenler kaybolmuştur ve işaretin neredeyse tüm bileşenleri sıfır hata ile tespit edilmiştir. 185 *** Çizelge 4.27’de, fark katsayıları ile önerilen yöntem gerçeklenirken, dokuzuncu dereceden AHD’ler ile sıfır matrisi elde edilmiştir bu nedenle sadece fark katsayıları için sekizinci dereceden hesaplamalar çizelgede sunulmuştur. Ortalamalar için 100kHz örnekleme frekansına sahip diğer çizelgelerde olduğu gibi 9. dereceden AHD katsayıları kullanılmıştır. **** Çizelge 4.29’da, bölümün girişinde belirtilen kıstaslara göre orijinal Prony yöntemi sonuç bulamamıştır, sıfır matrisi döndürmüştür. Orijinal Prony yöntemi, sıfır matrisini 11.402547 (s) sonra döndürmüştür. İşlem süresi 11.402547 (s)’dir. ***** Çizelge 4.31’de fark ve ortalama değerleri için yedinci dereceden AHD kullanılmıştır. ******Çizelge 4.35 ve Çizelge 4.39’da, Nyquist kriteri gereği sekizinci derece AHD ortalama ve fark katsayıları kullanılmıştır. 4.4. MUSIC Yöntemi ve Önerilen AHD Tabanlı MUSIC Yöntemi Bu bölümde, MUSIC yöntemi ve AHD tabanlı MUSIC yöntemi ile ilgili karşılaştırmalara yer verilmiştir. Çizelge 4.1 – 4.8 aralığındaki işaret verileri sırasıyla 8 𝑘𝐻𝑧 ve 100 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansıyla bilgisayar ortamında üretilerek benzetimler gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar şekiller ile sunulmuştur. Sunulan şekillerde sırasıyla orijinal MUSIC yöntemi, önerilen AHD ortalamaları ile MUSIC uygulaması ve önerilen AHD farkları ile MUSIC uygulamasına dair sonuçlara yer verilmiştir. Şekiller üzerinde tespit edilen frekanslar belirtilmiştir. Ayrıca, işaret verileri üzerine farklı SNR değerlerinde beyaz gürültü bindirilmiş ve elde edilen frekansların bağıl hata oranları, bölüm sonundaki çizelgede belirtilmiştir Algoritmaların sonuç bulma hızları da çizelgelerde gösterilmiştir. Benzetimler gerçekleştirilirken Denklem (2.107)’deki 𝐟𝑚(𝜔) vektörü, MUSIC algoritması ve önerilen yöntemler için 1𝑒 − 2 adım aralığıyla oluşturulmuştur. 50 𝐻𝑧 ve 60 𝐻𝑧 işaretler için 8 𝑘𝐻𝑧 örnekleme frekansı ele alındığında, beşinci dereceden AHD katsayıları kullanılmıştır. 100 𝑘𝐻𝑧’lik örnekleme frekansına sahip işaretlerin analizi sırasında, 60 𝐻𝑧 ana frekansa sahip işaretler için 8, 50 𝐻𝑧 ana frekansa sahip işaretler için 9’uncu dereceden AHD katsayıları uygulanmıştır. Belirtilen AHD dereceleri, Nyquist kriterini koruyan azami AHD dereceleridir. 186 Şekil 4.61. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.1 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.62. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.1 için elde edilen sonuçlar. 187 Şekil 4.63. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.2 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.64. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.2 için elde edilen sonuçlar. 188 Şekil 4.65. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.3 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.66. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.3 için elde edilen sonuçlar. 189 Şekil 4.67 Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.68. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. 190 Şekil 4.69. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.5 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.70. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.5 için elde edilen sonuçlar. 191 Şekil 4.71. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.6 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.72. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.6 için elde edilen sonuçlar. 192 Şekil 4.73. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.7 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.74. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.7 için elde edilen sonuçlar. 193 Şekil 4.75. Örnekleme frekansı 8 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.76. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. 194 Şekil 4.77. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.78. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.4 için elde edilen sonuçlar. 195 Şekil 4.79. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 10 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. Şekil 4.80. Örnekleme frekansı 100 𝑘𝐻𝑧 ve 𝑆𝑁𝑅 = 20 𝑑𝐵 olduğu durumda sırasıyla; MUSIC, önerilen AHD ortalamalı MUSIC ve önerilen AHD fark katsayılı MUSIC algoritmaları kullanılarak Çizelge 4.8 için elde edilen sonuçlar. 196 Çizelge 4.50. Farklı SNR değerleri için Çizelge 4.4’deki veriler kullanılarak elde edilen frekansların bağıl hata oranları (%) 𝑺𝑵𝑹 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝑺𝑵𝑹 = 𝟐𝟎 𝒅𝑩 AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC ortalama fark ortalama fark 0,6 25,8 0,2 1,8 0,133333 1,6 0,133333 0,066667 0 0,04 0 0,04 0 0,228571 0 0,057143 0 0,022222 0 0,022222 0 0,02 0 0 0 0,018182 0 0 0,030769 0,046154 0,015385 0 0 0 0,013333 0 0,082353 0,011765 0,035294 0 0,063158 0,052632 0,010526 0,010526 Çizelge 4.51. Farklı SNR değerleri için Çizelge 4.8’deki veriler kullanılarak elde edilen frekansların bağıl hata oranları (%) 𝑺𝑵𝑹 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝑺𝑵𝑹 = 𝟐𝟎 𝒅𝑩 AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC ortalama fark ortalama fark 0,066667 72,06667 0 2,733333 0,12 23,84 0,08 0,6 0 0,171429 0 0 0,022222 0,133333 0 0,044444 0,018182 0,109091 0 0,018182 0 0,066667 0 0 0,015385 0,107692 0 0,015385 0,04 0,093333 0,013333 0,04 0,047059 0,082353 0 0,011765 197 Çizelge 4.51. Farklı SNR değerleri için Çizelge 4.8’deki veriler kullanılarak elde edilen frekansların bağıl hata oranları (%) (devam) 𝑺𝑵𝑹 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝑺𝑵𝑹 = 𝟐𝟎 𝒅𝑩 AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC AHD-MUSIC ortalama fark ortalama fark 0,021053 0,2 0,021053 0,010526 0 0 0 0 Çizelge 4.52. MUSIC ve AHD tabanlı MUSIC algoritmaları için hesaplama süreleri. Şekil No MUSIC (s) Ortalamalar (s) Farklar (s) Şekil 4.61 2.5609 0.0712 0.0924 Şekil 4.62 33.602 0.0746 0.0562 Şekil 4.63 2.5315 0.0708 0.1144 Şekil 4.64 40.909 0.1041 0.1071 Şekil 4.65 2.6643 0.1104 0.0714 Şekil 4.66 35.4087 0.1275 0.1384 Şekil 4.67 2.6209 0.0809 0.0730 Şekil 4.68 35.7437 0.0709 0.0568 Şekil 4.69 2.6366 0.1133 0.0686 Şekil 4.70 36.1964 0.0876 0.0555 Şekil 4.71 2.5852 0.0772 0.0662 Şekil 4.72 35.4068 0.0587 0.0510 Şekil 4.73 2.5616 0.0687 0.0652 Şekil 4.74 35.4356 0.1234 0.1029 Şekil 4.75 2.6926 0.0700 0.0673 Şekil 4.76 35.9393 0.1255 0.0974 Şekil 4.77 32.8471 0.0647 0.0564 Şekil 4.78 32.9045 0.0715 0.0535 Şekil 4.79 32.9311 0.0899 0.0594 Şekil 4.80 32.4225 0.1147 0.1026 198 5. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu tezde, işaret parametrelerinin kestirimi için var olan yöntemler incelenmiş ve iki yeni yöntem önerilmiştir. İncelenen yöntemler, parametrik, parametrik olmayan ve hibrit teknikler olarak sınıflandırılmıştır. Bu alt başlıklarda, türetilen yöntemlerin matematiksel ifadeleri, ayrıntılarıyla ortaya konulmuştur. Ardından iki farklı hibrit yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntemlerden birincisi işaretlerin genlik, faz ve frekans bilgilerini ortaya çıkarabilmekteyken, ikincisi frekans parametrelerini hızlı bir şekilde bulabilmektedir. Yapılan benzetimler, önerilen yöntemlerin türetildikleri ana yöntemlerden, daha hızlı yakınsama sağladığını ve daha düşük bağıl hata oranına sahip sonuçlar ürettiğini ortaya koymaktadır. Bu tezin çıkış noktası, Prony yönteminin ayrıntılarıyla incelenmesi ve sonuç bulma adımlarının değerlendirilmesi konusuna dayanmaktadır. Bilindiği üzere Prony yöntemi, oluşturduğu işaret modeli içerisinde bir sönüm parametresi tanımlamaktadır. Bu sönüm parametresi, Fourier serisine göre Prony açılımında bir fark oluşturmakta ve var olan ara- harmoniklerin tespit edilmesi konusunda üstünlük meydana getirmektedir. Tez içerisinde anlatıldığı üzere Prony yöntemi, işaretin anlık değeri ile geçmişteki değerleri arasında, geçmiş değerlerin sabit katsayılar ile ağırlıklandırılması, toplanması ve nihayetinde anlık değere eşitlenmesi biçiminde bir ilişki olduğunu varsayar. Bu katsayıların bir polinom oluşturacağını ve bu polinomun köklerinin işaretin frekanslarını vereceğini ifade eder. Tüm bunları, Prony seri açılımının; genlik, sönüm parametresi ve frekans bileşenlerinin toplanması esasına dayandırarak ve buradan ilgili polinomun türetilmesini sağlayarak yapar. Bu sayede; genlik, faz ve frekans değerlerini ortaya çıkarır. Bu çalışmada, aşağıda maddeler halinde ifade edilen sorular üzerinde durulmuştur:  Prony yöntemi, çok büyük eleman sayısına sahip matrislerin hesaplanmasına dayanır, peki bu matrisi küçültmek nasıl mümkün olabilir?  İşaretin içerisindeki frekansları temsil eden polinomun derecesi düşürülebilir mi?  Prony polinomunun derecesinin düşürülmesi, frekans tahmini konusunda olumlu veya olumsuz etki yaratır mı?  Polinom derecesi nasıl seçilmelidir?  Beyaz gürültünün polinom katsayılarına etkisi nedir? 199 Tüm bu soruların çözümü olarak, matris eleman sayılarının AHD katsayılarının kullanılması ile düşürülebileceği fikri ortaya atılmıştır. Fakat burada matematiksel bir ispatın olması gerekmektedir. AHD katsayıları, işaret verilerinin çifter çifter toplamı ve farklarının toplamından oluşmaktadır. Bu durum, Prony matrisinin satırlarının ikişerli toplamının tek bir farkla benzer bir veri sisteminin elde edilebileceğinin gösterilmesi ile yeni bir yöntemin türetilmesinin kapılarını açabilir. Burada meydana gelen fark, Prony matrisinin satırlarının ikişerli toplamının, işaret çiftlerinin yanında ara değerleri de hesaba katmasından dolayı, AHD katsayılarından farklı olarak işaretlerin ara toplamlarının da veri kümesinde yer almasına neden olmaktadır. Bunun üstesinden gelmek için ara toplamlara denk düşen polinom katsayılarının sıfır seçilmesi makul bir yaklaşımdır. Bu durumda aşağıda sıralanan kazanımlar elde edilmiş olur.  Prony yönteminin hem kompleks genlik hem de frekans değerlerini elde etmek için kullanılan matrislerin eleman sayıları önemli ölçüde azaltılmış olunur.  Her bir AHD adımında polinom katsayı sayısı yarıya inmesi nedeniyle polinom derecesinin dikkate değer ölçüde düşürülmesi sağlanır.  Bir polinomun katsayılarının üzerinde meydana gelecek ufak bir değişim, bu polinomun köklerinde ciddi oranda sapmalar meydana getirmektedir. İşaret üzerindeki gürültü, Prony polinom katsayılarının ufak oranda yanlış hesaplanmasına bile neden olsa, frekanslar bu katsayılardan oluşan polinomun kökleri olduğu için frekans tahmininde çok ciddi hatalar oluşur. Kompleks genlik matrisi ise yanlış bulunan frekanslardan dolayı, yine yanlış olarak genlik ve faz değerlerini verir. Bu nedenle, polinom derecesinin düşürülmesi, gürültülü veriler üzerinde frekansların doğru bir şekilde tahmin edilebilmesini sağladığı için önemli bir üstünlük meydana getirir.  Seçilen polinom katsayı sayısının derecesinin düşürülmesi, hem gürültüye bağımlığının azaltılmasından, hem de matris hesaplamalarından meydana gelecek bilgisayar hatalarından etkilenme riskinin düşürülmesinden dolayı, polinom katsayı seçiminde serbestlik sağlar. Çünkü elde edilen polinomun kökleri, polinom katsayılarının gürbüzleştirilmesi sebebiyle daha kararlı yapıda olacaktır. Elde edilen bu kazanımlar, Nyquist kriterinin ihlal edilmemesi şartına bağlıdır. AHD katsayıları her bir adımda işaretin örnekleme frekansını yarı yarıya düşürür. Eğer bu 200 düşüş, işaret içerisindeki en yüksek mertebeden işaret bileşeninin frekansının altında olursa, Nyquist kriteri ihlal edilmiş olur ve frekanslar doğru bir biçimde azaltılamaz. Burada “Q öğrenmesi”’ni temel alan yaklaşımların frekans tahmini açısından kullanılabileceğini gösterir. Basit bir ifadeyle, AHD katsayı derecesi görece yüksek bir seviyeden başlatılıp her bir adımda bir mertebe düşürülürse ve en az iki mertebede aynı frekanslar elde ediliyorsa, frekans bileşenlerinin doğru tahmin edildiği sonucuna ulaşılabilir ve önerilen yöntemin, orijinal Prony yöntemine göre hem daha kesin hem de daha hızlı sonuca ulaşabileceğini gösterir. Ayrıca bu tezde sadece, AHD katsayılarının değil aynı zamanda “2” sayısından farklı toplamlardan meydana gelecek işaret grupları ile de benzer bir tarzda eleman sayısının ve polinom derecesinin azaltılmasının sağlanabileceği gösterilmiştir. Bu durum önerilen yöntemin genelleştirilmesi başlığı altında irdelenmiştir. Önerilen ikinci yöntem, birinci yöntemin sonuçlarına dayanmaktadır ve MUSIC algoritmasının AHD katsayıları ile de hesaplanabileceğini ortaya koymaktadır. Bu bağlamda birinci yöntemin sonuçlarının irdelenmesi yerinde olacaktır. Önerilen yöntemin frekans kestirimi açısından en önemli sonucu, herhangi bir yöntem ile AHD katsayılarının kullanılması doğrultusunda, AHD derecesinin 2’nin kuvveti olarak hesaplanması ve elde edilen frekans değerleri ile çarpılması, Nyquist kriteri ihlal edilmediği sürece, orijinal işaretin frekanslarının bulunabileceği bilgisini ortaya koymasıdır. Bu bağlamda, ilgili denklem kurularak AHD katsayıları ile MUSIC algoritması gerçeklenebilir. MUSIC algoritmasının uygulanmasında, frekans kestirimi ile ilgili bu sonuca ek olarak iki önemli fayda daha vardır. Bunlardan birincisi, işaretin spektrumunun AHD derecesine bağlı olarak her adımda yarıya düşürülmesinin, ortaya çıkarılacak frekans bileşenlerinin değerini değiştirmemesidir. İkinci fayda ise, gürültü ile korelasyonu araştırılan frekans vektörünün, spektrumun daraltılmasından dolayı daha az elemandan oluşacağı ve bu sayede algoritmanın daha hızlı çalışacağı gerçeğidir. Önerilen birinci yöntemin sonucu ve MUSIC algoritmasına özgü iki önemli fayda sayesinde, AHD ile MUSIC algoritmalarının gerçeklenmesi, önerilen yöntemlerden ikincisini oluşturmaktadır. Önerilen yöntemler dikkatli bir şekilde incelendiğinde, ileriye yönelik birçok çalışmanın gerçeklenmesi konusunda ön ayak oluşturacak yapıdadırlar. Bunlardan önemli bir tanesi, filtre tasarım uygulamaları olabilir. Prony yönteminde, frekansların tahmini için polinom 201 katsayılarının elde edildiği matris eşitliği bir filtre olarak yorumlanabilir. Çünkü işaretin anlık değeri, geçmişteki değerlerine sabit katsayılarla bağımlıdır. Bu tez çalışmasında, AHD katsayılarının işaretin frekans bileşenlerini Prony yöntemi ile ortaya çıkardığı gösterilmiştir. Buradan hareketle, AHD katsayılarının işaretin anlık ve geçmiş değerleriyle ilişkili olduğu, bu ilişkinin sabit katsayılarla sağlandığı ve bu katsayıların değiştirilerek manipülasyonu sayesinde istenmeyen frekans bileşenlerinin silinebileceği sonucuna ulaşılabilir. Örneğin, istenmeyen bir frekansın sönüm katsayısı çok yüksek seçilerek, o frekansın işaret içerisinden silinebilmesi sağlanabilir. Veyahut polinomun ilgili kökü, katsayılar değiştirilerek tamamen ortadan kaldırılabilir. Bu yöntemlerden birincisinin (sönüm frekansının yüksek seçilmesinin) daha pratik olacağı aşikârdır. Çünkü kökü ortadan kaldırmak, frekans bileşeninin anlık olarak azaltılmasından daha da zordur. Sönüm parametresinin yüksek seçilmesi, sadece ilgili kökün reel bir sayı ile çarpılması anlamına gelir ve oluşan köklere sahip polinomun katsayılarının bulunması gayet kolay olacaktır. Önerilen yöntemlerin ileriye yönelik çalışmalar konusunda etki edebileceği ikinci bir araştırma konusu, yüksek veri gerektiren YSA uygulamalarında, yapay olarak veri sayısının arttırılmasını sağlamasıdır. Bunu başarmak için, işaretin orijinal değerlerinin daha yüksek örnekleme frekansına sahip başka bir işaretin AHD dönüşümü ile elde edildiği varsayılır. Başka bir değişle, orijinal işaretin, aslında başka bir işaretin AHD katsayıları olduğu düşünülür. Bu düşünce sayesinde, orijinal işaret üzerinden daha yüksek frekans bileşenlerine sahip yeni işaretler üretilebilir. Üretilen bu işaretin, YSA’lara uygulanabilecek orijinal frekans bileşenlerinin yanında yeni bileşenlere de sahip bir veri seti olacağı öngörülebilir. Başka bir açıdansa bu yöntem takip edilerek, bir tür işaret generatörü oluşturulmuş olur. Bu işaret generatörü, daha üst mertebenden frekans bileşenlerine sahip yeni bir işareti, düşük örnekleme frekanslı halinden üretmiş olacaktır. Önerilen yöntemlerin üçüncü bir faydası, başka frekans kestirim yöntemlerinin de AHD katsayıları ile gerçeklenebileceğini ortaya koymasıdır. Buradaki temel mantık AHD ile MUSIC algoritmasının gerçekleştirilmesine benzerdir. Bu yöntemden farklı olarak, her yöntemin kendi iç dinamikleri olduğu için, AHD katsayılarının veri sayısını azaltmasının ötesinde, uygulanacak yöntem içerisindeki farklı değişkenlerin de olumlu etkilenebileceği metotlar geliştirilebilir. Özellikle bu üçüncü yaklaşım frekans kestirim 202 alanında, yeni yöntemlerin geliştirilmesi konusunda çok önemli katkılar sağlayabileceği söylenebilir. Bu tez çalışmasında, işaret parametre kestirim alanında iki farklı yöntem ve bu yöntemlerden birincisinin genelleştirilmesi konusunda çalışmalar sunulmuştur. Önerilen bu yöntemlerin, farklı işaret kestirim yöntemlerine de uygulanabileceği konusuna değinilmiştir. Birçok farklı alanda da geliştirilen yöntemin uygulanmasının mümkün olduğu düşünülmektedir. Geliştirilen yöntemlerin gerçek zamanlı birçok uygulamada da başarılı sonuçlar vereceği, gerçekleştirilen benzetim çalışmalarında elde edilen hızlı ve düşük bağıl hata oranına sahip sonuçlar sayesinde söylenebilir. Tezde ele alınan konu ve geliştirilen yöntemlerin, birçok işaret kestirim konusu ile ilgili alanda uygulanması ve buradaki bakış açısıyla daha üst düzeyde frekans kestirim yöntemlerinin geliştirilmesi açısından önemli olduğunu belirtmek, benzetim ile elde edilen sonuçlar göz önüne alındığında mümkündür. 203 KAYNAKLAR Abu Al-Feilat, Eyad A., El-Amin, I., Bettayeb, M. 1994. Power system harmonic estimation: a comparative study. Electric Power Systems Research, 29(2):, 91–97. https://doi.org/10.1016/0378-7796(94)90066-3 Agha Zadeh, R., Ghosh, A., Ledwich, G. 2010. Combination of Kalman filter and least- error square techniques in power system. IEEE Transactions on Power Delivery, 25(4):, 2868–2880. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2010.2049276 Agrawal, S., Mohanty, S., Agarwal, V. 2015. Harmonics and inter harmonics estimation of DFIG based standalone wind power system by parametric techniques. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRICAL POWER & ENERGY SYSTEMS, 67:, 52–65. https://doi.org/10.1016/j.ijepes.2014.11.014 Agrez, D. 2002. Weighted multipoint interpolated DFT to improve amplitude estimation of multifrequency signal. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 51(2):, 287–292. https://doi.org/10.1109/19.997826 Aiello, M., Cataliotti, A., Nuccio, S. 2005. A Chirp-Z Transform-Based Synchronizer for Power System Measurements. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 54(3):, 1025–1032. https://doi.org/10.1109/TIM.2005.847243 Aiello, M., Cataliotti, A., Cosentino, V., Nuccio, S. 2007. Synchronization Techniques for Power Quality Instruments. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 56(5):, 1511–1519. https://doi.org/10.1109/TIM.2007.903585 Akaike, H. 1969a. Fitting autoregressive models for prediction. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 21(1):, 243–247. https://doi.org/10.1007/BF02532251 Akaike, H. 1969b. Power spectrum estimation through autoregressive model fitting. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 21(1):, 407–419. https://doi.org/10.1007/BF02532269 Alaşahan, Y., Ercan, İ., Öztürk, A., Tosun, S. 2016. GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ. İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi, Düzce Üniversitesi: , 0. Alkan, A., Yilmaz, Ahmet S. 2007. Frequency domain analysis of power system transients using Welch and Yule–Walker AR methods. Energy Conversion and Management, 48(7):, 2129–2135. https://doi.org/10.1016/J.ENCONMAN.2006.12.017 Andria, G., Salvatore, L., Savino, M., Trotta, A. 1992. Techniques for identification of harmonics in industrial power systems. Conference Record IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference : Conference Record IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, IEEE: , 114–119. https://doi.org/10.1109/IMTC.1992.245166 Andria, G., Savino, M., Trotta, A. 1989. Windows and interpolation algorithms to 204 improve electrical measurement accuracy. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 38(4):, 856–863. https://doi.org/10.1109/19.31004 Arıcı, N.;İskender, A. 2020. Fotovoltaik Güneş Santrallerinde Şebeke Bağlantı Sorunları ve Çözümleri. Politeknik Dergisi, 23(1):, 215–222. https://doi.org/www.doi.org/10.2339/politeknik.644820 Arrillaga, J., Smith, B., Watson, N., Wood, A. 2013. Iterative Harmonic Analysis. Power System Harmonic Analysis : Power System Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, Ltd: , 241–281. https://doi.org/10.1002/9781118878316.ch9 Arsac, J. 1961. Transformation de Fourier et théorie des distributions, Paris, : Dunod. Barros, J.; Prez, E.; Pigazo, A.; Diego, R. 2002. Simultaneous measurement of harmonics, interharmonics and flicker in a power system for power quality analysis. IET Conference Proceedings, 100-105(5). https://doi.org/10.1049/cp:20020018 Barros, J., Diego, R. 2006. On the Use of the Hanning Window for Harmonic Analysis in the Standard Framework. IEEE Transactions on Power Delivery, 21(1):, 538– 539. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2005.852339 Bedell, F., Mayer, E. 1915. Distortion of Alternating-Current Wave Caused by Cyclic Variation in Resistance. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, XXXIV(1):, 333–348. https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1915.4765220 Bedell, F., Tuttle, E. 1906a. The effect of iron in distorting alternating-current wave form. Proceedings of the American Institute of Electrical Engineers, 25(9):, 601– 621. https://doi.org/10.1109/PAIEE.1906.6742509 Bedell, F., Tuttle, E. 1906b. The Effect of Iron in Distorting Alternating-Current Wave Form. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, XXV:, 671– 691. https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1906.4764757 Belega, D., Dallet, D., Slepicka, D. 2010. Accurate Amplitude Estimation of Harmonic Components of Incoherently Sampled Signals in the Frequency Domain. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 59(5):, 1158–1166. https://doi.org/10.1109/TIM.2010.2045144 Bettayeb, M., Qidwai, U. 2003. A hybrid least squares-GA-based algorithm for harmonic estimation. IEEE Transactions on Power Delivery, 18(2):, 377–382. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2002.807458 Bettayeb, M., Qidwai, U. 1998. Recursive estimation of power system harmonics. Electric Power Systems Research, 47(2):, 143–152. https://doi.org/10.1016/S0378- 7796(98)00063-7 Bienvenu, G., Kopp, L. 1983. Optimality of high resolution array processing using the eigensystem approach. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 31(5):, 1235–1248. https://doi.org/10.1109/TASSP.1983.1164185 Bitmead, R. 1982. On recursive discrete Fourier transformation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 30(2):, 319–322. 205 https://doi.org/10.1109/TASSP.1982.1163868 Bitmead, R., Ah Tsoi, P. 1986. A Kalman filtering approach to short-time Fourier analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 34(6):, 1493–1501. https://doi.org/10.1109/TASSP.1986.1164989 Boguslaw S., Rogoz, M., Zbigniew H. 2007. Power system harmonic estimation using neural networks. 2007 9th International Conference on Electrical Power Quality and Utilisation : 2007 9th International Conference on Electrical Power Quality and Utilisation, IEEE: , 1–8. https://doi.org/10.1109/EPQU.2007.4424245 Bollen, M., Gu, I. 2006. Signal processing of power quality disturbances, IEEE Press. Erişim adresi: https://www.wiley.com/en- tr/Signal+Processing+of+Power+Quality+Disturbances-p-9780471731689 Boucherot, P. 1907. Séparatıon des puıssances réelle et magnétıque dans les calculs relatıfs aux courants alternatıfs. La Houille Blanche, 6(6):, 138-139. http://doi.org/10.1051/lhb%2F1907031 Box, G., Jenkins, G., Reinsel, G. 1994. Time Series Analysis: Forecasting & Control. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2004.02.001 Bracale, A., Carpinelli, G. 2009. An ESPRIT and DFT-based new method for the waveform distortion assessment in power systems. IET Conference Publications : IET Conference Publications, IET: , 430–430. https://doi.org/10.1049/cp.2009.0746 Bracale, A., Carpinelli, G., Leonowicz, Z., Lobos, T., Rezmer, J. 2008. Measurement of IEC Groups and Subgroups Using Advanced Spectrum Estimation Methods. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 57(4):, 672–681. https://doi.org/10.1109/TIM.2007.911701 Brigham, E. 1973. The Fast Fourier Transform: An Introduction to Its Theory and Application, Englewood Cliffs, New Jersey, : Prentice Hall PTR. Caramia, P., Carpinelli, G., Rossi, F., Verde, P. 1994. Probabilistic iterative harmonic analysis of power systems. IEE Proceedings: Generation, Transmission and Distribution, 141(4):, 329–338. https://doi.org/10.1049/ip-gtd:19941089 Carbone, R;Morrison, R E; Testa, A;Menniti, D. 1995. Harmonic and interharmonic distortion modeling in multiconverter systems. IEEE Transactions on Power Delivery, 10(3):, 1685–1692. https://doi.org/10.1109/61.400957 Carbone, R., Lo Schiavo, A., Marino, P., Testa, A. 2002. Frequency coupling matrices for multi-stage conversion system analysis. European Transactions on Electrical Power, 12(1):, 17–24. https://doi.org/10.1002/etep.4450120104 Carbone, R., Menniti, D., Morrison, R. E., Testa, A. 1995. Harmonic and Interharmonic Distortion Modeling in Multiconverter Systems. IEEE Transactions on Power Delivery, 10(3):, 1685–1692. https://doi.org/10.1109/61.400957 Cataliotti, A., Cosentino, V., Nuccio, S. 2007. A Phase-Locked Loop for the Synchronization of Power Quality Instruments in the Presence of Stationary and 206 Transient Disturbances. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 56(6):, 2232–2239. https://doi.org/10.1109/TIM.2007.908350 Chang, G., Chen, C., Chin, Y. 2008. Modified high-resolution Singular Value Decomposition method for power signal analysis by using down-sampling technique. 2008 13th International Conference on Harmonics and Quality of Power : 2008 13th International Conference on Harmonics and Quality of Power, IEEE: , 1–6. https://doi.org/10.1109/ICHQP.2008.4668751 Chang, G., Cheng-I Chen, Quan-Wei Liang 2009. A Two-Stage ADALINE for Harmonics and Interharmonics Measurement. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(6):, 2220–2228. https://doi.org/10.1109/TIE.2009.2017093 Chang, G., Cheng-I, C. 2010. Measurement techniques for stationary and time-varying harmonics. IEEE PES General Meeting : IEEE PES General Meeting, IEEE: , 1–5. https://doi.org/10.1109/PES.2010.5589611 Chang, G., Chen, C. 2010. An Accurate Time-Domain Procedure for Harmonics and Interharmonics Detection. IEEE Transactions on Power Delivery, 25(3):, 1787– 1795. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2009.2037230 Chang, G., Cheng-I C., Yu-Feng T. 2010. Radial-Basis-Function-Based Neural Network for Harmonic Detection. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 57(6):, 2171–2179. https://doi.org/10.1109/TIE.2009.2034681 Chang, G., Chen, C., Liu, Y., Wu, M. 2008. Measuring power system harmonics and interharmonics by an improved fast Fourier transform-based algorithm. IET Generation, Transmission & Distribution, 2(2):, 192. https://doi.org/10.1049/iet- gtd:20070205 Chang, Y., Hsieh, Y., Moo, C. Truncation effects of FFT on estimation of dynamic harmonics in power system. PowerCon 2000. 2000 International Conference on Power System Technology. Proceedings (Cat. No.00EX409) : PowerCon 2000. 2000 International Conference on Power System Technology. Proceedings (Cat. No.00EX409) (Vol. 3), IEEE: , 1155–1160. https://doi.org/10.1109/ICPST.2000.898132 Chen, C., Chang, G., Hong, R., Li, H. 2010. Extended Real Model of Kalman Filter for Time-Varying Harmonics Estimation. IEEE Transactions on Power Delivery, 25(1):, 17–26. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2009.2035217 Chen, C., Chang, G. 2009. An efficient Prony’s method for time-varying power system harmonic estimation. 2009 IEEE International Symposium on Circuits and Systems : 2009 IEEE International Symposium on Circuits and Systems, IEEE: , 1701–1704. https://doi.org/10.1109/ISCAS.2009.5118102 Chen, C., Xu, T., Piao, Z., Liang, W., Yuan, Y. 2009. The study on FFT harmonic detecting method of rural network based on wavelet denoising. 2009 International Conference on Energy and Environment Technology, ICEET 2009 : 2009 International Conference on Energy and Environment Technology, ICEET 2009 (Vol. 2), , 365–368. https://doi.org/10.1109/ICEET.2009.327 207 Chen, H., Sun, Y., Cheng, Y. 2009. Harmonic and inter-harmonic detection of grid- connected distributed generation based on modified mathematical morphology filter and hilbert-huang transformation. 2009 IEEE 6th International Power Electronics and Motion Control Conference, IPEMC ’09 : 2009 IEEE 6th International Power Electronics and Motion Control Conference, IPEMC ’09, , 1155–1160. https://doi.org/10.1109/IPEMC.2009.5157557 Chen, L., Zheng, D., Chen, S., Han, B. 2017. Method based on sparse signal decomposition for harmonic and inter-harmonic analysis of power system. Journal of Electrical Engineering and Technology, 12(2):, 559–568. https://doi.org/10.5370/JEET.2017.12.2.559 Chen, Y. 2008. Harmonic Detection in Electric Power System Based on Wavelet Multi- resolution Analysis. 2008 International Conference on Computer Science and Software Engineering : 2008 International Conference on Computer Science and Software Engineering, IEEE: , 1204–1207. https://doi.org/10.1109/CSSE.2008.18 Cho, S., Jang, G., Kwon, S. 2010. Time-frequency analysis of power-quality disturbances via the Gabor-Wigner transform. IEEE Transactions on Power Delivery, 25(1):, 494–499. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2009.2034832 Cooley, J., Tukey, J., 1965. An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series. Mathematics of Computation, 19(90):, 297–301. https://doi.org/10.2307/2003354 Costa, F., Cardoso, A. 2006. Harmonic and Interharmonic Identification Based on Improved Prony’s Method. IECON 2006 - 32nd Annual Conference on IEEE Industrial Electronics : IECON 2006 - 32nd Annual Conference on IEEE Industrial Electronics, IEEE: , 1047–1052. https://doi.org/10.1109/IECON.2006.347673 Costa, F., Cardoso, A., Fernandes, D. 2007. Harmonic Analysis Based on Kalman Filtering and Prony’s Method. 2007 International Conference on Power Engineering, Energy and Electrical Drives, 696–701. https://doi.org/10.1109/POWERENG.2007.4380137 Cupertino, F., Lavopa, E., Zanchetta, P., Sumner, M., Salvatore, L. 2011. Running DFT-Based PLL Algorithm for Frequency, Phase, and Amplitude Tracking in Aircraft Electrical Systems. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 58(3):, 1027–1035. https://doi.org/10.1109/TIE.2010.2048293 Daponte, P., Menniti, D., Testa, A. 1996. Segmented Chirp Z-Transform and multiple deep dip windows for electrical power system harmonic analysis. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 18(4):, 215–224. https://doi.org/10.1016/S0263-2241(96)00058-9 Das, S. ;Karnik, N. Santoso, S. 2011. Time-Domain Modeling of Tower Shadow and Wind Shear in Wind Turbines. International Scholarly Research Notices, 2011:, 1– 11. https://doi.org/https://doi.org/10.5402/2011/890582 Dash, P., Hasan, S., Panigrahi, B. 2010. A hybrid unscented filtering and particle swarm optimization technique for harmonic analysis of nonstationary signals. 208 Measurement, 43(10):, 1447–1457. https://doi.org/10.1016/J.MEASUREMENT.2010.08.013 Dash, P., Krishnanand, K., Padhee, M. 2011. Fast recursive Gauss-Newton adaptive filter for the estimation of power system frequency and harmonics in a noisy environment. IET Generation, Transmission and Distribution, 5(12):, 1277–1289. https://doi.org/10.1049/iet-gtd.2011.0034 Dash, P., Pradhan, A., Panda, G. 1999. Frequency estimation of distorted power system signals using extended complex Kalman filter. IEEE Transactions on Power Delivery, 14(3):, 761–766. https://doi.org/10.1109/61.772312 Dash, P., Sharaf, A. 1988. Int. Conf. on Harmonics in Power Systems. A Kalman filtering approach for estimation of power system harmonics : A Kalman filtering approach for estimation of power system harmonics, Nashville, Indiana, : , 34–40. Dash, P., Swain, D., Liew, A., Rahman, S. 1996. An adaptive linear combiner for on- line tracking of power system harmonics. IEEE Transactions on Power Systems, 11(4):, 1730–1735. https://doi.org/10.1109/59.544635 De Carvalho, J., Duque, C., Lima, M.., Coury, D., Ribeiro, P. 2014. A novel DFT- based method for spectral analysis under time-varying frequency conditions. Electric Power Systems Research, 108:, 74–81. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2013.10.017 De Carvalho, J., Duque, C., Ribeiro, M., Cerqueira, A., Baldwin, T., Ribeiro, O. 2009. A PLL-Based Multirate Structure for Time-Varying Power Systems Harmonic/Interharmonic Estimation. IEEE Transactions on Power Delivery, 24(4):, 1789–1800. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2009.2027474 Diego, R., Barros, J. 2010. Subharmonic measurement using DFT and Wavelet-Packet Transform in an IEC extended framework. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 43(10):, 1603–1608. https://doi.org/10.1016/j.measurement.2010.09.012 Do Nascimento, C., de Oliveira, A., Goedtel, A., Amaral Serni, P. 2011. Harmonic identification using parallel neural networks in single-phase systems. Applied Soft Computing, 11(2):, 2178–2185. https://doi.org/10.1016/J.ASOC.2010.07.017 Doggett, L. A., Queer, E. R. 1929. Induction Motor Operation With Non-Sinusoidal Impressed Voltages. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 48(4):, 1217–1220. https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1929.5055384 Dos Santos, E., Neto, J., Juche., M., Cardoso, G. 2015. Power system frequency estimation using morphological prediction of Clarke components. Electric Power Systems Research, 122:, 208–217. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2015.01.012 Duhamel, P., Vetterli, M. 1990. Fast fourier transforms: A tutorial review and a state of the art. Signal Processing, 19(4):, 259–299. https://doi.org/10.1016/0165- 1684(90)90158-U 209 Elnady, A. 2012. Accurate measurement and tracking for subharmonics and inter- harmonics. Electric Power Components and Systems, 40(9):, 935–955. https://doi.org/10.1080/15325008.2012.666618 Evans, R., Muller, H. 1939. Harmonics in the A-C Circuits of Grid-Controlled Rectifiers and Inverters. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 58(12):, 861–870. https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1939.5057906 Ferrero, A., Ottoboni, R. 1992. High-accuracy Fourier analysis based on synchronous sampling techniques. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 41(6):, 780–785. https://doi.org/10.1109/19.199406 Fisher, R. 1922. On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics. Philosophical Transactions Mathematical Physical & Engineering Sciences, 222(594):, 309–368. https://doi.org/10.1098/rsta.1922.0009 Frank, J. 1910. Observation of harmonics in current and in voltage wave shapes of transformers. Proceedings of the American Institute of Electrical Engineers, 29(5):, 665–746. https://doi.org/10.1109/PAIEE.1910.6659994 Gallo, D., Langella, R., Testa, A. 2003. Inter-harmonics. Part 1. Aspects related to modeling and simulation. Proceedings of the 6th International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non-Sinusoidal Conditions : Proceedings of the 6th International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non- Sinusoidal Conditions, Milan, Italy, : Politecnico di Milano. Dipartamento di Elettrotecnica: , 168–173. https://doi.org/8874880731 Gallo, D., Langella, R., Testa, A. 2004. Desynchronized Processing Technique for Harmonic and Interharmonic Analysis. IEEE Transactions on Power Delivery, 19(3):, 993–1001. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2004.829941 Gallo, D., Langella, R., Testa, A. 2003. Interharmonics Part 2: Aspects related to measurement and limits. 6th International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non-Sinus : 6th International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non-Sinus, Milan, Italy, : , 174–181. Garanayak, P., Naayagi, R., Panda, G. 2020. A High-Speed Master-Slave ADALINE for Accurate Power System Harmonic and Inter-Harmonic Estimation. IEEE Access, 8:, 51918–51932. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2020.2980115 Golub, G. Loan, F. 1996. Matrix computations, London, : Johns Hopkins University Press. Ghodratollah S., Razzaz, M., Moghaddasian, M. 2007. Harmonic Estimation in Power Systems Using Adaptive Perceptrons Based on a Genetic Algorithm. WSEAS Trans. Power Syst, 11(11):, 11. Erişim adresi: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.495.8210&rep=rep1&ty pe=pdf Girgis, A., Chang, W., Makram, E. 1991. A digital recursive measurement scheme for online tracking of power system harmonics. IEEE Transactions on Power Delivery, 210 6(3):, 1153–1160. https://doi.org/10.1109/61.85861 Girgis, A., Ham, F. 1980. A Quantitative Study of Pitfalls in the FFT. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, AES-16(4):, 434–439. https://doi.org/10.1109/TAES.1980.308971 Goertzel, G. 1958. An Algorithm for the Evaluation of Finite Trigonometric Series. The American Mathematical Monthly, 65(1):, 34–35. https://doi.org/10.2307/2310304 Gonen, T. 1984. Bibliography of Power System Harmonics, Part I. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-103(9):, 2460–2469. https://doi.org/10.1109/TPAS.1984.318400 Grady, W. 1983. Harmonic power flow studies, University Microfilms. (Doktora tezi). Purdue University veri tabanından erişildi. Grandke, T. 1983. Interpolation Algorithms for Discrete Fourier Transforms of Weighted Signals. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 32(2):, 350–355. https://doi.org/10.1109/TIM.1983.4315077 Gu, I., Bollen, M. 2008. Estimating Interharmonics by Using Sliding-Window ESPRIT. IEEE Transactions on Power Delivery, 23(1):, 13–23. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2007.911130 Guangjie, F., Hailong, Z. 2009. The Study of the Electric Power Harmonics Detecting Method Based on the Immune RBF Neural Network. 2009 Second International Conference on Intelligent Computation Technology and Automation : 2009 Second International Conference on Intelligent Computation Technology and Automation, IEEE: , 121–124. https://doi.org/10.1109/ICICTA.2009.38 Guillaume, P., Schoukens, J., Pintelon, R. 1989. Sensitivity of roots to errors in the coefficient of polynomials obtained by frequency-domain estimation methods. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 38(6):, 1050–1056. https://doi.org/10.1109/19.46399 Gunther, E. 2001. Interharmonics in power systems. 2001 Power Engineering Society Summer Meeting. Conference Proceedings (Cat. No.01CH37262) : 2001 Power Engineering Society Summer Meeting. Conference Proceedings (Cat. No.01CH37262) (Vol. 2), , 813–817 vol.2. https://doi.org/10.1109/PESS.2001.970156 Ha, M., Girgis, A. 1996. Identification and tracking of harmonic sources in a power system using a Kalman filter. IEEE Transactions on Power Delivery, 11(3):, 1659– 1665. https://doi.org/10.1109/61.517531 Hamid, E., Kawasaki, Z. 2002. Instrument for the quality analysis of power systems based on the wavelet packet transform. IEEE Power Engineering Review, 22(3):, 52–54. https://doi.org/10.1109/MPER.2002.989197 Hanzelka, Z., Bien, A. 2004a. Harmonics, Interharmonics. Power Quality Application Guide, 4:. Erişim adresi: http://copperalliance.org.uk/uploads/2018/03/31-causes- 211 and-effects.pdf Hanzelka, Z., Bien, A. 2004b. Power Quality Application Guide: Harmonics & Interharmonics. A guide material by Leonardo Power Quality Initiative, Copper Development Association. Harmonics, Power 1983. Power System Harmonics: An Overview. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-102(8):, 2455–2460. https://doi.org/10.1109/TPAS.1983.317745 Harris, F. 1978. On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform. Proceedings of the IEEE, 66(1):, 51–83. https://doi.org/10.1109/PROC.1978.10837 Hauer, J., Demeure, C., Scharf, L. 1990. Initial Results in Prony Analysis of Power System Reponse Signals. IEEE Transactions on Power Systems, 5(1):, 80–89. He, C., Shu, Q. 2015. Separation and analyzing of harmonics and inter-harmonics based on single channel independent component analysis. International Transactions on Electrical Energy Systems, 25(1):, 169–179. https://doi.org/10.1002/etep.1832 Heartz, R., Saunders, R. 1954. Harmonics due to Slots in Electric Machines [includes discussion]. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. Part III: Power Apparatus and Systems, 73(2):. https://doi.org/10.1109/AIEEPAS.1954.4498912 Hidalgo, R., Fernandez, J., Rivera, R., Larrondo, H. 2002. A simple adjustable window algorithm to improve FFT measurements. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 51(1):, 31–36. https://doi.org/10.1109/19.989893 Horn, R., Johnson, C. 1985. Matrix Analysis, New York, : Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511810817 Hostetter, G. 1980. Recursive discrete Fourier transformation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 28(2):, 184–190. https://doi.org/10.1109/TASSP.1980.1163389 Hostetter, G. 1983. Recursive Discrete Fourier Transformation with Unevenly Spaced Data. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 31(1):, 206– 209. https://doi.org/10.1109/TASSP.1983.1164034 Hua, Y., Sarkar, T. 1990. Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 38(5):, 814–824. https://doi.org/10.1109/29.56027 Hua, Y., Sarkar, T. 1991. On SVD for Estimating Generalized Eigenvalues of Singular Matrix Pencil in Noise. IEEE Transactions on Signal Processing, 39(4):, 892–900. https://doi.org/10.1109/78.80911 Huang, N., Shen, Z., Long, S., Wu, M., Shih, H., Zheng, Q., Yen, N., Tung, C., Liu, 212 H. 1998a. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 454(1971):, 903–995. https://doi.org/10.1098/rspa.1998.0193 Huang, C., Lee, C., Shih, K., Wang, Y. 2010. A robust technique for frequency estimation of distorted signals in power systems. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 59(8):, 2026–2036. https://doi.org/10.1109/TIM.2009.2028776 Iec 2002. Electromagnetic compatibility (EMC) – Part 4-7: Testing and measurement techniques – General guide on harmonics and interharmonics measurements and instrumentation, for power supply systems and equipment connected thereto. . Erişim adresi: www.iec.ch IEEE Interharmonic Task Force, Cigré 36. 05/CIRE. 2. CC02 Voltage Quality Working Group 1995. Interharmonics in Power. IEEE Power System Harmonics Committee 1984. Bibliography of Power System Harmonics, Part I. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS- 103(9):, 2460–2469. https://doi.org/10.1109/TPAS.1984.318400 IEEE Std 1547-2003 2015. IEEE standard for interconnecting distributed resources with electric power systems, New York. https://doi.org/10.1109/IEEESTD.2003.94285 Jafarian, P., Sanaye-Pasand, M. 2011. Weighted least error squares based variable window phasor estimator for distance relaying application. IET Generation, Transmission and Distribution, 5(3):, 298–306. https://doi.org/10.1049/iet- gtd.2010.0244 Jain, S., Singh, S.. 2011. Harmonics estimation in emerging power system: Key issues and challenges. Electric Power Systems Research, 81(9):, 1754–1766. https://doi.org/10.1016/J.EPSR.2011.05.004 Jain, V., Collins, W., Davis, D. 1979. High-Accuracy Analog Measurements via Interpolated FFT. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 28(2):, 113–122. https://doi.org/10.1109/TIM.1979.4314779 Ji, T., Li, M., Wu, Q., Jiang, L. 2011. Optimal estimation of harmonics in a dynamic environment using an adaptive bacterial swarming algorithm. IET Generation, Transmission and Distribution, 5(6):, 609–620. https://doi.org/10.1049/iet- gtd.2010.0171 Xiong, J., Wang, B., Zhang, S. 2010. Interharmonics analysis based on windowed interpolation and prony algorithm. 2010 2nd International Asia Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (CAR 2010) : 2010 2nd International Asia Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (CAR 2010), IEEE: , 430–433. https://doi.org/10.1109/CAR.2010.5456806 Joorabian, M., Mortazavi, S., Khayyami, A. 2009. Harmonic estimation in a power system using a novel hybrid Least Squares-Adaline algorithm. Electric Power 213 Systems Research, 79(1):, 107–116. https://doi.org/10.1016/J.EPSR.2008.05.021 Karadeniz, A., Atsever, M., Köksoy, A., Öztürk, O., Balcı, M., Hocaoğlu, M. 2018. Fotovoltaik Dağıtık Üretim Birimleri için Harmonik Modellerin Ölçüm Temelli İstatistiksel Hassasiyet Analizi. ENRES 2018 : ENRES 2018, , 346–356. Karimi-Ghartemani, M., Iravani, M. 2002. A nonlinear adaptive filter for online signal analysis in power systems: applications. IEEE Transactions on Power Delivery, 17(2):, 617–622. https://doi.org/10.1109/61.997949 Karimi-Ghartemani, M., Iravani, M. 2003. Wide-range, fast and robust estimation of power system frequency. Electric Power Systems Research, 65(2):, 109–117. https://doi.org/10.1016/S0378-7796(02)00223-7 Karimi-Ghartemani, M., Iravani, M. 2005. Measurement of harmonics/inter- harmonics of time-varying frequencies. IEEE Transactions on Power Delivery, 20(1):, 23–31. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2004.837674 Karimi-Ghartemani, M., Mokhtari, H., Iravani, M., Sedighy, M. 2004. A Signal Processing System for Extraction of Harmonics and Reactive Current of Single- Phase Systems. IEEE Transactions on Power Delivery, 19(3):, 979–986. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2004.829942 Karimi, H., Karimi-Ghartemani, M., Reza Iravani, M., Bakhshai, A. 2003. An adaptive filter for synchronous extraction of harmonics and distortions. IEEE Transactions on Power Delivery, 18(4):, 1350–1356. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2003.817752 Kay, S., Marple, S. 1981. Spectrum analysis—A modern perspective. Proceedings of the IEEE, 69(11):, 1380–1419. https://doi.org/10.1109/PROC.1981.12184 Keaochantranond, T., Boonseng, C. Harmonics and interharmonics estimation using wavelet transform. IEEE/PES Transmission and Distribution Conference and Exhibition : IEEE/PES Transmission and Distribution Conference and Exhibition (Vol. 2), IEEE: , 775–779. https://doi.org/10.1109/TDC.2002.1177573 Kennedy, K., Lightbody, G., Yacamini, R. Power system harmonic analysis using the Kalman filter. 2003 IEEE Power Engineering Society General Meeting (IEEE Cat. No.03CH37491) : 2003 IEEE Power Engineering Society General Meeting (IEEE Cat. No.03CH37491), IEEE: , 752–757. https://doi.org/10.1109/PES.2003.1270401 Kim, S., Enjeti, P., Rendusara, D., Pitel, I. 1994. A new method to improve THD and reduce harmonics generated by a\nthree phase diode rectifier type utility interface. Proceedings of 1994 IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, 1071– 1077. https://doi.org/10.1109/IAS.1994.377561 Köse, N., Salor, Ö., Leblebicioğlu, K. 2010. Interharmonics analysis of power signals with fundamental frequency deviation using Kalman filtering. Electric Power Systems Research, 80(9):, 1145–1153. https://doi.org/10.1016/J.EPSR.2010.03.006 Kovacevic, J., Vetterli, M. 1995. Wavelets and Subband Coding, Prentice Hall PTR. 214 Erişim adresi: https://books.google.com.tr/books?id=4Qt_QgAACAAJ Kusljevic, M., Tomic, J., Jovanovic, L. 2010. Frequency Estimation of Three-Phase Power System Using Weighted-Least-Square Algorithm and Adaptive FIR Filtering. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 59(2):, 322–329. https://doi.org/10.1109/TIM.2009.2023816 Lavopa, E., Zanchetta, P., Sumner, M., Cupertino, F. 2009. Real-Time Estimation of Fundamental Frequency and Harmonics for Active Shunt Power Filters in Aircraft Electrical Systems. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(8):, 2875– 2884. https://doi.org/10.1109/TIE.2009.2015292 Leonowicz, Z., Lobos, T., Rezmer, J. 2003. Advanced spectrum estimation methods for signal analysis in power electronics. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 50(3):, 514–519. https://doi.org/10.1109/TIE.2003.812361 Levenberger, K. 1944. A METHOD FOR THE SOLUTION OF CERTAIN NON- LINEAR PROBLEMS IN LEAST SQUARES. Quarterly of Applied Mathematics, 2(2):, 164–168. Erişim adresi: http://www.jstor.org/stable/43633451 Li, T. 2014. Time Series with Mixed Spectra, Boca Raton, : CRC Press. https://doi.org/10.1201/b15154 Lim, Y., Sohn, S., Yun, J., Bae, H., Choi, H. 2010. Time varying harmonics estimation of power signal based on filter banks and adaptive filtering. 2010 IEEE Instrumentation & Measurement Technology Conference Proceedings : 2010 IEEE Instrumentation & Measurement Technology Conference Proceedings, IEEE: , 829– 834. https://doi.org/10.1109/IMTC.2010.5488131 Lin, H. 2004 Intelligent neural network based dynamic power system harmonic analysis. 2004 International Conference on Power System Technology, 2004. PowerCon 2004. : 2004 International Conference on Power System Technology, 2004. PowerCon 2004. (Vol. 1), IEEE: , 244–248. https://doi.org/10.1109/ICPST.2004.1460000 Lin, H. 2013. Accurate Harmonic/Interharmonic Estimation Using DFT-Based Group- Harmonics Energy Diffusion Algorithm. Canadian Journal of Electrical and Computer Engineering, 36(4):, 158–171. https://doi.org/10.1109/CJECE.2014.2303520 Lin, H. 2014. Sources, Effects, and Modelling of Interharmonics. Mathematical Problems in Engineering, 2014:, 730362. https://doi.org/10.1155/2014/730362 Lin, H. 2007. Intelligent Neural Network-Based Fast Power System Harmonic Detection. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 54(1):, 43–52. https://doi.org/10.1109/TIE.2006.888685 Liu, Q., Qin, S. 2010. A DFP-Neural Networks Algorithm for Analysis of Power System Harmonics. 2010 Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference : 2010 Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference, IEEE: , 1–4. https://doi.org/10.1109/APPEEC.2010.5448477 215 Liu, S. 1998. An adaptive Kalman filter for dynamic estimation of harmonic signals. 8th International Conference on Harmonics and Quality of Power. Proceedings (Cat. No.98EX227) : 8th International Conference on Harmonics and Quality of Power. Proceedings (Cat. No.98EX227) (Vol. 2), IEEE: , 636–640. https://doi.org/10.1109/ICHQP.1998.760120 Liu, Y. 2001. A wavelet based model for on-line tracking of power system harmonics using Kalman filtering. 2001 Power Engineering Society Summer Meeting. Conference Proceedings (Cat. No.01CH37262) : 2001 Power Engineering Society Summer Meeting. Conference Proceedings (Cat. No.01CH37262), IEEE: , 1237– 1242 vol.2. https://doi.org/10.1109/PESS.2001.970245 Lobos, T., Kozina, T., Koglin, H. 2001. Power system harmonics estimation using linear least squares method and SVD. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 148(6):, 567. https://doi.org/10.1049/ip-gtd:20010563 Lobos, T., Leonowicz, Z., Rezmer, J. Harmonics and interharmonics estimation using advanced signal processing methods. Ninth International Conference on Harmonics and Quality of Power. Proceedings (Cat. No.00EX441) : Ninth International Conference on Harmonics and Quality of Power. Proceedings (Cat. No.00EX441) (Vol. 1), IEEE: , 335–340. https://doi.org/10.1109/ICHQP.2000.897050 Lobos, T., Rezmer, J., Koglin, H. Analysis of power system transients using wavelets and Prony method. 2001 IEEE Porto Power Tech Proceedings (Cat. No.01EX502) : 2001 IEEE Porto Power Tech Proceedings (Cat. No.01EX502) (Vol. vol.4), IEEE: , 4. https://doi.org/10.1109/PTC.2001.964820 Lu, Z., Ji, T., Tang, W., Wu, Q. 2008. Optimal Harmonic Estimation Using A Particle Swarm Optimizer. IEEE Transactions on Power Delivery, 23(2):, 1166–1174. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2008.917656 Macias, J., Gomez, A. 2006. Self-Tuning of Kalman Filters for Harmonic Computation. IEEE Transactions on Power Delivery, 21(1):, 501–503. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2005.860411 Marple, L. 1979. Spectral line analysis by Pisarenko and Prony methods. ICASSP ’79. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing : ICASSP ’79. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (Vol. 4), Institute of Electrical and Electronics Engineers: , 159–161. https://doi.org/10.1109/ICASSP.1979.1170707 Marquardt, D. 1963. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 11(2):, 431–441. https://doi.org/10.1137/0111030 Martens, J. 1984. Recursive Cyclotomic Factorization—A New Algorithm for Calculating the Discrete Fourier Transform. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 32(4):, 750–761. https://doi.org/10.1109/TASSP.1984.1164395 Marz, M. 2016. Interharmonics : What They Are , Where They Come From and What 216 They Do. Minnesota Power Systems Conference Papers (MIPSYCON). https://doi.org/10.1017/CBO9781107415324.004 Mathew, G., Reddy, V. 1994. Development and analysis of a neural network approach to Pisarenko’s harmonic retrieval method. IEEE Transactions on Signal Processing, 42(3):, 663–667. https://doi.org/10.1109/78.277859 Mathworks.com 2019. Matlab. The MathWorks. Mazloomzadeh, A., Mirsalim, M., Fathi, H. 2009. Harmonic and inter-harmonic measurement using discrete wavelet packet transform with linear optimization. 2009 4th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications : 2009 4th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, IEEE: , 825–830. https://doi.org/10.1109/ICIEA.2009.5138318 Mbihi, J. 2018. Analog automation and digital feedback control techniques, London, : ISTE Ltd. McNamara, D., Ziarani, A., Ortmeyer, T. 2007. A New Technique of Measurement of Nonstationary Harmonics. IEEE Transactions on Power Delivery, 22(1):, 387–395. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2006.874622 Mishra, S. 2005. A Hybrid Least Square-Fuzzy Bacterial Foraging Strategy for Harmonic Estimation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 9(1):, 61– 73. https://doi.org/10.1109/TEVC.2004.840144 Moghadasian, M., Mokhtari, H., Baladi, A. 2010. Power system harmonic state estimation using WLS and SVD; A practical Approach. Proceedings of 14th International Conference on Harmonics and Quality of Power - ICHQP 2010 : Proceedings of 14th International Conference on Harmonics and Quality of Power - ICHQP 2010, IEEE: , 1–7. https://doi.org/10.1109/ICHQP.2010.5625307 Mohan, N., Soman, K. 2020. A data-driven technique for harmonics monitoring in emerging power grids using noise-aware dynamic mode decomposition. Measurement Science and Technology, 31(1):. https://doi.org/10.1088/1361- 6501/ab33ea Mojiri, M., Karimi-Ghartemani, M., Bakhshai, A. 2010. Processing of Harmonics and Interharmonics Using an Adaptive Notch Filter. IEEE Transactions on Power Delivery, 25(2):, 534–542. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2009.2036624 Moon, J., Kang, S., Ryu, D., Chang, J., Nam, Soon R. 2015. A two-stage algorithm to estimate the fundamental frequency of asynchronously sampled signals in power systems. Energies, 8(9):, 9282–9295. https://doi.org/10.3390/en8099282 Mori, H., Itou, K., Uematsu, H., Tsuzuki, S. 1992. An artificial neural-net based method for predicting power system voltage harmonics. IEEE Transactions on Power Delivery, 7(1):, 402–409. https://doi.org/10.1109/61.108934 Mori, H., Suga, S. 1991. Power system harmonics prediction with an artificial neural network. IEEE International Sympoisum on Circuits and Systems : IEEE 217 International Sympoisum on Circuits and Systems, IEEE: , 1129–1132. https://doi.org/10.1109/ISCAS.1991.176565 Morsi, W., El-Hawary, M. 2011. Power quality evaluation in smart grids considering modern distortion in electric power systems. Electric Power Systems Research, 81(5):, 1117–1123. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2010.12.013 Mostafa, M. 2007. Kalman Filtering Algorithm for Electric Power Quality Analysis: Harmonics and Voltage Sags Problems. 2007 Large Engineering Systems Conference on Power Engineering : 2007 Large Engineering Systems Conference on Power Engineering, IEEE: , 159–165. https://doi.org/10.1109/LESCPE.2007.4437371 Mucha, M., Sankowski, P. 2004. Maximum matchings via Gaussian elimination. 45th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science : 45th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, , 248–255. https://doi.org/10.1109/FOCS.2004.40 Nagesha, V., Kay, S. 1996. Spectral analysis based on the canonical autoregressive decomposition. IEEE Transactions on Signal Processing, 44(7):, 1719–1733. https://doi.org/10.1109/78.510619 Najjar, M. Y., Heydt, G. 1991. A hybrid nonlinear-least squares estimation of harmonic signal levels in power systems. IEEE Transactions on Power Delivery, 6(1):, 282– 288. https://doi.org/10.1109/61.103749 Nam, S., Kang, S., Kang, S. 2015. Real-time estimation of power system frequency using a three-level discrete fourier transform method. Energies, 8(1):, 79–93. https://doi.org/10.3390/en8010079 Nguyen, T. 1997. Parametric harmonic analysis. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 144(1):, 21. https://doi.org/10.1049/ip- gtd:19970717 Norman R. Draper, H. 1998. Applied Regression Analysis, Third Edition (Wiley Series in Probability and Statistics), Canada, : John Wiley & Sons, Ltd. Oppenheim, A., Willsky, A., Nawab, S., Hamid, W., Young, I. 1997. Signals & Systems, Prentice Hall. Erişim adresi: https://books.google.com.tr/books?id=LwQqAQAAMAAJ Osborne, M. 1975. Some Special Nonlinear Least Squares Problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 12(4):, 571–592. https://doi.org/10.1137/0712044 Osowski, S. 1992. Neural network for estimation of harmonic components in a power system. IEE Proceedings C Generation, Transmission and Distribution, 139(2):, 129. https://doi.org/10.1049/ip-c.1992.0021 Osowski, S. 1994. SVD technique for estimation of harmonic components in a power system: a statistical approach. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 141(5):, 473. https://doi.org/10.1049/ip-gtd:19941358 218 Ozpineci, B., Tolbert, L. Cycloconverters. Erişim adresi: https://www.uv.es/emaset/iep00/descargas/cycloconvertertutorial.pdf Pan, V. 1987. Algebraic complexity of computing polynomial zeros. Computers & Mathematics with Applications, 14(4):, 285–304. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/0898-1221(87)90137-4 Peng, Z., Hong-Bin, L. 2012. Power system frequency estimation algorithm for electric energy metering of nonlinear loads. Metrology and Measurement Systems, 19(2):, 307–320. https://doi.org/10.2478/v10178-012-0026-7 Stoica, P., Moses, R. 1997. Introduction to Spectral Analysis, New Jersey, : Prentice Hall. Pham, V., Wong, K. 1999. Wavelet-transform-based algorithm for harmonic analysis of power system waveforms. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 146(3):, 249. https://doi.org/10.1049/ip-gtd:19990316 Garza, P., Serna, J. 2011. Dynamic harmonic analysis through Taylor-Fourier transform. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 60(3):, 804– 813. https://doi.org/10.1109/TIM.2010.2064690 Portnoff, M. 1980. Time-frequency representation of digital signals and systems based on short-time Fourier analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 28(1):, 55–69. https://doi.org/10.1109/TASSP.1980.1163359 Prony, G. 1795. Essai experimantal et analytique, etc. Journal de L’Ecole Polytechnique, 1(1):, 24–76. Erişim adresi: http://users.polytech.unice.fr/~leroux/PRONY.pdf Qi, L., Qian, L., Woodruff, S., Cartes, D. 2007. Prony analysis for power system transient harmonics. Eurasip Journal on Advances in Signal Processing, 2007:. https://doi.org/10.1155/2007/48406 Qian, H., Zhao, R., Chen, T. 2007. Interharmonics Analysis Based on Interpolating Windowed FFT Algorithm. IEEE Transactions on Power Delivery, 22(2):, 1064– 1069. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2007.893187 Ray, P., Subudhi, B. 2015. Neuro-evolutionary approaches to power system harmonics estimation. International Journal of Electrical Power and Energy Systems, 64:, 212– 220. https://doi.org/10.1016/j.ijepes.2014.07.035 Ren, J., Kezunovic, M. 2010. A wavelet method for power system frequency and harmonic estimation. North American Power Symposium 2010 : North American Power Symposium 2010, IEEE: , 1–6. https://doi.org/10.1109/NAPS.2010.5618977 Ren, Z., Wang, B. 2010. Estimation Algorithms of Harmonic Parameters Based on the FFT. 2010 Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference : 2010 Asia- Pacific Power and Energy Engineering Conference, IEEE: , 1–4. https://doi.org/10.1109/APPEEC.2010.5448836 Robinson, E. 1982. A historical perspective of spectrum estimation. Proceedings of the IEEE, 70(9):, 885–907. https://doi.org/10.1109/PROC.1982.12423 219 Routray, A., Pradhan, A., Rao, K. 2002. A novel Kalman filter for frequency estimation of distorted signals in power systems. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 51(3):, 469–479. https://doi.org/10.1109/TIM.2002.1017717 Roy, R., Kailath, T. 1989. ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 37(7):, 984–995. https://doi.org/10.1109/29.32276 Roy, R., Paulraj, A., Kailath, T. 1986. ESPRIT—A Subspace Rotation Approach to Estimation of Parameters of Cisoids in Noise. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 34(5):, 1340–1342. https://doi.org/10.1109/TASSP.1986.1164935 Sadinezhad, I., Agelidis, V. 2010. A new optimization technique to measure frequency and harmonics in power systems. Proceedings of 14th International Conference on Harmonics and Quality of Power - ICHQP 2010 : Proceedings of 14th International Conference on Harmonics and Quality of Power - ICHQP 2010, IEEE: , 1–8. https://doi.org/10.1109/ICHQP.2010.5625376 Sahoo, H., Dash, P., Rath, N., Sahu, B. 2009. Harmonic estimation in a power system using hybrid H∞- adaline algorithm. IEEE Region 10 Annual International Conference, Proceedings/TENCON : IEEE Region 10 Annual International Conference, Proceedings/TENCON, , 1–6. https://doi.org/10.1109/TENCON.2009.5396254 Sangwongwanich, A., Yang, Y., Sera, D., Soltani, H., Blaabjerg, F. 2018. Analysis and Modeling of Interharmonics from Grid-Connected Photovoltaic Systems. IEEE Transactions on Power Electronics, 33(10):, 8353–8364. https://doi.org/10.1109/TPEL.2017.2778025 Sarkar, A., Choudhury, S., Sengupta, S. 2011. A self-synchronized ADALINE network for on-line tracking of power system harmonics. Measurement, 44(4):, 784– 790. https://doi.org/10.1016/J.MEASUREMENT.2011.01.009 Schmidt, R. 1986. Multiple emitter location and signal parameter estimation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 34(3):, 276–280. https://doi.org/10.1109/TAP.1986.1143830 Schoukens, J., Pintelon, R., Van Hamme, H. 1992. The interpolated fast Fourier transform: a comparative study. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 41(2):, 226–232. https://doi.org/10.1109/19.137352 Sedláček, M., Titěra, M. 1998. Interpolations in frequency and time domains used in FFT spectrum analysis. Measurement, 23(3):, 185–193. https://doi.org/10.1016/S0263-2241(98)00031-1 Sharma, K., Mahalanabis, A. 1973. Harmonic analysis via Kalman filtering technique. Proceedings of the IEEE, 61(3):, 391–392. https://doi.org/10.1109/PROC.1973.9043 Singh, G. 2009. Power system harmonics research: a survey. European Transactions on 220 Electrical Power, 19(2):, 151–172. https://doi.org/10.1002/etep.201 Singh, S., Goswami, A., Sinha, N. 2015. Power system harmonic parameter estimation using Bilinear Recursive Least Square (BRLS) algorithm. International Journal of Electrical Power and Energy Systems, 67:, 1–10. https://doi.org/10.1016/j.ijepes.2014.11.006 Smith, K., Yacamini, R. 1993. Time domain modelling of electrical machines and drives using modern CAE software. 1993 Sixth International Conference on Electrical Machines and Drives (Conf. Publ. No. 376) : 1993 Sixth International Conference on Electrical Machines and Drives (Conf. Publ. No. 376), , 323–327. Soliman, S., Alammari, R., El-Hawary, M. 2003. Frequency and harmonics evaluation in power networks using fuzzy regression technique. Electric Power Systems Research, 66(2):, 171–177. https://doi.org/10.1016/S0378-7796(03)00043-9 Soliman, S., Christensen, S., Kelly, D., El-Naggar, K. 1990. A state estimation algorithm for identification and measurement of power system harmonics. Electric Power Systems Research, 19(3):, 195–206. https://doi.org/10.1016/0378- 7796(90)90032-X Soliman, S. A., Helal, I., Al-Kandari, A. 1999. Fuzzy linear regression for measurement of harmonic components in a power system. Electric Power Systems Research, 50(2):, 99–105. https://doi.org/10.1016/S0378-7796(98)00101-1 Std, 1559-2019 IEEE 2019. 1159-2019 - IEEE Recommended Practice for Monitoring Electric Power Quality | IEEE Standard | IEEE Xplore. IEEE Std 1159-2019, 1–98. https://doi.org/10.1109/IEEESTD.2019.8796486 Chapra, S., Canale, R. 2014. Numerical Methods for Engineers, New York, : McGraw- Hill Education. Subudhi, B., Ray, P. K. 2009. Estimation of power system harmonics using hybrid RLS- adaline and KF-Adaline algorithms. IEEE Region 10 Annual International Conference, Proceedings/TENCON : IEEE Region 10 Annual International Conference, Proceedings/TENCON, , 1–6. https://doi.org/10.1109/TENCON.2009.5396102 Sun, S., Shu, H., Dong, J., Liu, Z. 2009. Analysis of low frequency oscillation mode based on PMU and PRONY method. Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference, APPEEC : Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference, APPEEC. https://doi.org/10.1109/APPEEC.2009.4918159 Swain, A., Zhao, L., Patel, N. 2005. Accurate Estimation of Harmonic Components of Power Signal. TENCON 2005 - 2005 IEEE Region 10 Conference : TENCON 2005 - 2005 IEEE Region 10 Conference, IEEE: , 1–4. https://doi.org/10.1109/TENCON.2005.301004 Tao, C., Shanxu, D., Ting, R., Fangrui, L. 2010. A robust parametric method for power harmonic estimation based on M-Estimators. Measurement, 43(1):, 67–77. https://doi.org/10.1016/J.MEASUREMENT.2009.06.010 221 Tarasiuk, T. 2004. Hybrid wavelet-Fourier spectrum analysis. IEEE Transactions on Power Delivery, 19(3):, 957–964. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2004.824398 Tarasiuk, T. 2011. Estimator-analyzer of power quality: Part i - Methods and algorithms. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 44(1):, 238–247. https://doi.org/10.1016/j.measurement.2010.09.049 Tarasiuk, T., Szweda, M., Tarasiuk, M. 2011. Estimator-analyzer of power quality: Part II - Hardware and research results. Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, 44(1):, 248–258. https://doi.org/10.1016/j.measurement.2010.09.048 Temurtas, H., Temurtas, F. 2011. An application of neural networks for harmonic coefficients and relative phase shifts detection. Expert Systems with Applications, 38(4):, 3446–3450. https://doi.org/10.1016/J.ESWA.2010.08.131 Testa, A., Gallo, D., Langella, R. 2004. On the Processing of Harmonics and Interharmonics: Using Hanning Window in Standard Framework. IEEE Transactions on Power Delivery, 19(1):, 28–34. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2003.820437 Testa, A., Akram, M., Burch, R., Carpinelli, G., Chang, G., Dinavahi, V., Hatziadoniu, C., Grady, W., Gunther, E., Halpin, M., Lehn, P., Liu, Y., Langella, R., Lowenstein, M., Medina, A., Ortmeyer, T., Ranade, S., Ribeiro, P., Watson, N., Wikston, J., Xu, W. 2007. Interharmonics: Theory and modeling. IEEE Transactions on Power Delivery. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2007.905505 The MathWorks, Inc. 2020a. MATLAB Signal Processing ToolboxTM User’s Guide, The MathWorks, Inc. Erişim adresi: https://www.mathworks.com/help/signal/ The MathWorks, Inc. 2020b. MATLAB Signal Processing ToolboxTM User’s Guide, The MathWorks, Inc. Thomson, D. 1982. Spectrum estimation and harmonic analysis. Proceedings of the IEEE, 70(9):, 1055–1096. https://doi.org/10.1109/PROC.1982.12433 Thornton, R. 1929. A portable electric harmonic analyser. Journal of the Institution of Electrical Engineers, 67(394):, 1249–1259. https://doi.org/10.1049/jiee- 1.1929.0145 Tretter, S., Steiglitz, K. 1967. Power-spectrum identification in terms of rational models. IEEE Transactions on Automatic Control, 12(2):, 185–188. https://doi.org/10.1109/TAC.1967.1098544 Tripathy, P., Srivastava, S., Singh, S. 2009. An improved Prony method for identifying low frequency oscillations using synchro-phasor measurements. 2009 International Conference on Power Systems, ICPS ’09 : 2009 International Conference on Power Systems, ICPS ’09. https://doi.org/10.1109/ICPWS.2009.5442754 Vatansever, F., Ozdemir, A. 2008. A new approach for measuring RMS value and phase 222 angle of fundamental harmonic based on Wavelet Packet Transform. Electric Power Systems Research, 78(1):, 74–79. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2006.12.009 Wang, D., Lu, Y. 2006. The signal subspace decomposition method for extracting harmonic signal. 2006 IEEE Information Theory Workshop : 2006 IEEE Information Theory Workshop, IEEE: , 714–717. https://doi.org/10.1109/ITW.2006.322913 Wang, F., Chang, S., Lee, J. 2005. Hybrid wavelet-Hilbert-Huang spectrum analysis. Oceans 2005 - Europe : Oceans 2005 - Europe (Vol. 2), , 902–905. https://doi.org/10.1109/OCEANSE.2005.1513176 Wang, T. 1990. The segmented chirp Z-transform and its application in spectrum analysis. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 39(2):, 318–323. https://doi.org/10.1109/19.52508 Widrow, B. 1960. An Adaptive “Adaline” Neuron Using Chemical “Memistors”. 1553- 2. Solid State Electronik Laboratory, Stanford University. Wu, J., Zhao, W. 2005. New precise measurement method of power harmonics based on FFT. 2005 International Symposium on Intelligent Signal Processing and Communication Systems, 365–368. https://doi.org/10.1109/ISPACS.2005.1595422 Wu, X., He, W., Zhang, Z., Deng, J., Li, B. 2008. The harmonics analysis of power system based on artificial neural network. World Automation Congress proceedings. : World Automation Congress proceedings., TSI Press: , 1–4. Mei Ye, X., He Liu, X. 2009. The harmonic detection based on wavelet transform and FFT for electric ARC furnaces. 2009 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition : 2009 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition, IEEE: , 408–412. https://doi.org/10.1109/ICWAPR.2009.5207486 Xin, L., Xu, W., Yu, Y. 2007. A fast harmonic detection method based on recursive DFT. 2007 8th International Conference on Electronic Measurement and Instruments, ICEMI : 2007 8th International Conference on Electronic Measurement and Instruments, ICEMI, , 3972–3976. https://doi.org/10.1109/ICEMI.2007.4351082 Xiao, X., Jiang, X., Shi, X., min Lu, X., Zhang, Y. 2010. A neural network model for power system inter-harmonics estimation. 2010 IEEE Fifth International Conference on Bio-Inspired Computing: Theories and Applications (BIC-TA) : 2010 IEEE Fifth International Conference on Bio-Inspired Computing: Theories and Applications (BIC-TA), IEEE: , 756–760. https://doi.org/10.1109/BICTA.2010.5645220 Xiuchun, X., Xiaohua, J., Xiaomin, L., Botao, C. 2009. A Harmonics Analysis Method Based on Triangular Neural Network. 2009 IITA International Conference on Control, Automation and Systems Engineering (case 2009) : 2009 IITA International Conference on Control, Automation and Systems Engineering (case 2009), IEEE: , 323–326. https://doi.org/10.1109/CASE.2009.59 Xu, Y., Du, Y., Li, Z., Lu, M. 2019a. Inter-harmonic parameters estimation in power 223 grid based on accelerated PSO and T5R11 window. IET Science, Measurement and Technology, 13(6):, 883–894. https://doi.org/10.1049/iet-smt.2018.5406 Xu, Y., Du, Y., Li, Z., Lu, M. 2019b. Inter-harmonic parameters estimation in power grid based on accelerated PSO and T5R11 window. IET Science, Measurement and Technology, 13(6):, 883–894. https://doi.org/10.1049/iet-smt.2018.5406 Yang, K., Bollen, M., Larsson, E., Wahlberg, M. 2014. Measurements of harmonic emission versus active power from wind turbines. Electric Power Systems Research, 108:, 304–314. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.epsr.2013.11.025 Ying, C., Qingsheng, L. 2009. New Research on Harmonic Detection Based on Neural Network for Power System. 2009 Third International Symposium on Intelligent Information Technology Application : 2009 Third International Symposium on Intelligent Information Technology Application, IEEE: , 113–116. https://doi.org/10.1109/IITA.2009.146 Yu, J., Yang, L. 2009. Analysis of harmonic and inter-harmonic based on Hilbert-Huang transform. Proceedings - 2009 International Conference on Computational Intelligence and Software Engineering, CiSE 2009 : Proceedings - 2009 International Conference on Computational Intelligence and Software Engineering, CiSE 2009. https://doi.org/10.1109/CISE.2009.5365111 Zhan, Y., Cheng, H. 2005. A robust support vector algorithm for harmonic and interharmonic analysis of electric power system. Electric Power Systems Research, 73(3):, 393–400. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2004.09.002 Zhang, F., Geng, Z., Yuan, W. 2001. The algorithm of interpolating windowed FFT for harmonic analysis of electric power system. IEEE Transactions on Power Delivery, 16(2):, 160–164. https://doi.org/10.1109/61.915476 Zhang, S., Wang, Q., Liu, R. 2009. Power system harmonic analysis based on improved hilbert-huang transform. 2009 9th International Conference on Electronic Measurement & Instruments : 2009 9th International Conference on Electronic Measurement & Instruments, IEEE: , 4-343-4–347. https://doi.org/10.1109/ICEMI.2009.5274060 Liquan, Z., Yanfei, J. 2010. Harmonic and interharmonic estimation using improved complex maximization of nongaussianity algorithm. 2010 2nd International Conference on Computer Engineering and Technology : 2010 2nd International Conference on Computer Engineering and Technology, IEEE: , V6-204-V6-207. https://doi.org/10.1109/ICCET.2010.5486310 Zhao, Y., Zhen, Z., Cui, J., Wang, Y. 2020. Harmonic Detection for Harmonic/Inter- Harmonic Based on Improved Glowworm Swarm Optimization and Neural Network. IEEJ Transactions on Electrical and Electronic Engineering, 15(12):, 1769–1779. https://doi.org/10.1002/tee.23251 Zhijian, H., Jianquang, G., Mei, Y., Zhiwei, D., Chao, W. 2007. The studies on power system harmonic analysis based on extended prony method. 2006 International Conference on Power System Technology, POWERCON2006 : 2006 International 224 Conference on Power System Technology, POWERCON2006. https://doi.org/10.1109/ICPST.2006.321738 Zhu, T. 2007. Exact Harmonics/Interharmonics Calculation Using Adaptive Window Width. IEEE Transactions on Power Delivery, 22(4):, 2279–2288. https://doi.org/10.1109/TPWRD.2007.899526 225