T.C.
BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI LOKAL HALKALAR İLE KOORDİNATLANAN DÜZLEM SINIFLARI
ÜZERİNE
Abdurrahman DAYIOĞLU
Prof. Dr. Basri ÇELİK
(Danışman)
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BURSA – 2018

B. U. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım
bu tez çalışmasında;
• tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
• görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,
• başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel norm-
lara uygun olarak atıfta bulunduğumu,
• atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,
• kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
• ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka
bir tez çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
26 / 09 / 2018
İmza
Abdurrahman DAYIOĞLU
ÖZET
Doktora Tezi
BAZI LOKAL HALKALAR İLE KOORDİNATLANAN DÜZLEM SINIFLARI
ÜZERİNE
Abdurrahman DAYIOĞLU
Bursa Uludağ Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Basri ÇELİK
Bu doktora tezinde, bir dual lokal halka sınıfı belirlenmiş ve bu sınıfa ait dual lokal
halkalar yardımıyla inşa edilen projektif Klingenberg düzlemlerindeki bazı noktaların
toplamı ve çarpımı hem geometrik hem cebirsel olarak verilen tanım, teorem ve sonuçlar-
la incelenmiştir. Ayrıca, toplama ve çarpma işlemleriyle özel olarak belirlenen kolinas-
yonlar arasındaki ilişkiler araştırılmıştır.
Geometrik bir yapıya uygun olan cebirsel yapıyı bulmanın o geometrik konseptin “gerçek”
doğasını açığa çıkarttığı söylenir. Bu tezde de genel manasıyla geometrik bir yapı ile bu
yapının cebirsel temeli arasındaki karşılık gelmelerin anlamı ve güzelliği öne çıkartılmak-
tadır.
Anahtar Kelimeler: Dual Lokal Halka, Projektif Düzlem, Projektif Klingenberg
Düzlem, Toplama, Çarpma, Kolinasyon
2018, vii + 175 sayfa.
i
ABSTRACT
PhD Thesis
ON PLANE CLASSES COORDINATED WITH SOME LOCAL RINGS
Abdurrahman DAYIOĞLU
Bursa Uludağ University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Basri ÇELİK
In this doctoral dissertation, a dual local ring class has been identified and the addition
and the multiplication for some points of the projective Klingenberg planes that built by
the dual local rings of that class are examined both geometrically and algebraically with
given definitions, theorems and results. Also, the relation between the addition and mul-
tiplication operations and the specifically identified collineations are investigated.
It has been said that finding the right algebraic structure reveals the “true” nature of a
geometric concept. This thesis also put forward, in a general manner, the meaning and
the beauty of the correspondences between the geometric structures and their algebraic
foundations.
Key Words: Dual Local Ring, Projective Plane, Projective Klingenberg Plane, Addi-
tion, Multiplication, Collineation
2018, vii + 175 pages.
ii
TEŞEKKÜR
Bu tezin oluşumundaki her aşamasında merhametle ve bolca sabırla yol gösteren, kader
arkadaşım, sayın danışman hocam müşfik Basri Çelik ve moral, motivasyon kaynağı
sevgili eşi Nisa Çelik hocama derin şükran ve saygılarımı sunuyorum.
Kendimi bildim bileli vizyonu ile istikamet veren sevgili babama, dualarını üzerimden
hiç eksik etmeyen annem ve biricik kardeşime, desteğini ve itici kuvvetini her daim his-
settiğim sevgili eşime, yaramazlıklarıyla son üç senedir beni sürekli çalışmaya sevk eden,
canımdan çok sevdiğim biricik oğluma kalben teşekkür ediyorum.
Detaylı ve amaçsız da olsa her soruma verdiği içten cevaplar ile dostluğunu yakinen his-
settiren sevgili hocam Atilla Akpınar’a, bu süreçte yol arkadaşlığı yaptığımız, çalışkanlığı
ile örnek olan sevgili hocam Fatma Özen Erdoğan’a ve başlangıçtan bugüne kadar desteği-
ni hissettiğim sevgili hocam Süleyman Çiftçi’ye sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum.
Son olarak bugüne kadar her aşamasını devlet kurumlarında aldığım eğitim içerisinde
beni yetiştiren tüm hocalarıma ve devletime teşekkür ederim.
Abdurrahman DAYIOĞLU
26 / 09 / 2018
iii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Cebirsel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Geometrik Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. PK-DÜZLEM KOORDİNATLAMASI ve PK2(B(ε)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 B(ε) Dual Lokal Halka Sınıfı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Bir PK-Düzlemin Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Noktaların Koordinatlanması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Doğruların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Dual Lokal Halka Yardımıyla Projektif Klingenberg Düzlem İnşaası . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Bir Lokal Alterne Halka Yardımıyla İnşaa Edilen PK-Düzlem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Bir Dual Lokal Halka Yardımıyla Elde Edilen PK-Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 PK2(B(ε)) Düzleminde Bazı Sonuçlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. TOPLAMA ve ÇARPMA İŞLEMLERİNİN DÜZLEM GEOMETRİDEKİ
KARŞILIKLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 Reel Afin Düzlemde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Geometrik Yorumu . . . . . . . . . 73
4.1.1 Reel Afin Düzlemde Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Reel Afin Düzlemde Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Reel Projektif Düzlemde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Geometrik Yorumu . . . . . 78
4.2.1 Reel Projektif Düzlemde Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Reel Projektif Düzlemde Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 PK2(B(ε)) Düzleminde Toplama İşlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 OU Doğrusu Üzerindeki Noktaların Toplama İşlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.2 [m, 1, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktalar İçin Toplama İşlemi. . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3 [1, n, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktalar İçin Toplama İşlemi . . . . . . . . . . . . .100
4.4 PK2(B(ε)) Düzleminde Çarpma İşlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
5. PK2(B(ε)) DÜZLEMİNDE NOKTALAR İÇİN VERİLEN TOPLAMA
ve ÇARPMA İŞLEMLERİNİN KOLİNASYONLAR ile İLİŞKİSİ . . . . . . . . . . . . . . .127
5.1 PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerinde Bulunan Noktaların Toplamı ile
Kolinasyonlar Arasındaki İlişki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.2 PK2(B(ε)) Düzleminde [m, 1, p] Tipinden Bir Doğru Üzerinde Bulunan Nokta-
ların Toplamının Kolinasyonlar Altında Korunması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
iv
5.3 PK2(B(ε)) Düzleminde [1, n, p] Tipinden Bir Doğru Üzerinde Bulunan Noktaların
Toplamının Kolinasyonlar Altında Korunması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
5.4 PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerinde Bulunan Noktaların Çarpımı ile
Kolinasyonlar Arasındaki İlişki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
6. SONUÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
ÖZGEÇMİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
v
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ
Simgeler Açıklama
GΓ Γ Bağıntısının Grafiği
A× B A Kartezyen Çarpım B
∀ Her
∃ En Az Bir
φ Boş Küme
R Reel Sayılar Cismi
A Afin Düzlem
P Projektif Düzlem
ø Üzerinde Değil
ϕ Geometrik Yapı Epimorfizmi
 Komşu Değil
M
[ M Merkezli Perspektiflik
4
ONA ONA Üçgeni
Kısaltmalar Açıklama
A2F F Cismi ile Koordinatlanan Afin Düzlem
P2B B Bölümlü Halkası ile Koordinatlanan Projektif Düzlem
MK-Düzlem Moufang Projektif Klingenberg Düzlemi
PK-Düzlem Projektif Klingenberg Düzlemi
PK2(R) R Lokal Alterne Halkası ile Koordinatlanan
Projektif Klingenberg Düzlem
PK2(B(ε)) B(ε) Dual Lokal Halkası ile Koordinatlanan
Projektif Klingenberg Düzlem
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Sayfa
Şekil 3.1: d Doğrusunun Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Şekil 3.2: 3. Tip Noktaların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Şekil 3.3: 1. Tip Noktaların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Şekil 3.4: 2. Tip Noktaların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Şekil 3.5: 2. Tip Doğruların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Şekil 3.6: 1. Tip Doğruların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Şekil 3.7: 3. Tip Doğruların Koordinatlanması . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Şekil 3.8: Bazı Özel Noktaların ve Doğruların Koordinatları . . . . 45
Şekil 3.9: Aynı Komşuluktaki Doğru Çiftlerinin Arakesitlerinin .
Görüntüsü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Şekil 4.1: Reel Afin Düzlemde Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Şekil 4.2: Reel Afin Düzlemde Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Şekil 4.3: P2R de Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Şekil 4.4: P2R de Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Şekil 4.5: PK2(B(ε)) düzleminde OU Doğrusu Üzerindeki
Noktaların Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Şekil 4.6: PK2(B(ε)) Düzleminde [m, 1, p] Tipinden Doğrular
Üzerindeki Noktaların Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Şekil 4.7: PK2(B(ε)) Düzleminde [1, n, p] Tipinden Doğrular
Üzerindeki Noktaların Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Şekil 4.8: PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerindeki
Noktaların Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
vii
1. GİRİŞ
Genel kanı olarak, matematikte uzmanlaşmak isteyen bir kişinin kendisine belirlediği
alanın en azından bir konusunda derinlemesine çalışma yapması gerektiği bilinir. Ce-
bir, grup teori ya da halka teori gibi projektif düzlem de bu tarz yoğunlaştırılmış bir
çalışma için basit aksiyomatik temelleri sebebiyle uygun bir alandır. Aynı zamanda pro-
jektif düzlem, iki işlemli cebirsel yapılar olan cisimler ve bölümlü halkalar gibi yapılarla
da kayda değer bir ilişki içerisindedir. Bu detaylı çalışmayı projektif düzlem üzerine ya-
pan birinin kombinatoryal analiz, lineer cebir ve sayılar teorisi gibi matematiğin çeşitli
dalları ile etkileşime girmesi doğaldır.
Geometri ve cebir matematiğin temel iki konusudur. Matematiğin soyut bir disiplin olarak
büyümesindeki anahtar fikirler herhangi başka bir alandan ziyade en çok matematiğin ge-
ometri dalından çıkmıştır. M.Ö. 300’lü yıllarda yazılmış bir tez olarak İskenderiye’li
Öklid’in on üç ciltlik “Elemanlar (Stoicheia)” adlı eseri bir bilgi alanını bütünüyle or-
ganize etmeye yönelik ilk deneme olarak görülmektedir (Stevenson, 1972). Geometri
ve cebir arasındaki ilişki formal bilim tarihinin başlangıç noktası olarak da kabul edilen
bu kitabın ortaya çıkışından bu yana incelenmiştir. Bu doktora tezinde de cebirsel bir
yapıdan inşa edilen geometrik bir yapının elemanları için bazı geometrik ve cebirsel konu-
lar üzerinde durulmuş ve birtakım sonuçlar bulunmuştur.
Öklid’in beş aksiyomu düzlem geometri inşasına hizmet etti. Bu beş aksiyomdan en
meşhuru belki de tarihte en çok karşıtlık oluşturan, matematikçiler tarafından kuşkuyla
karşılanan sonuncu olandır. Playfair’in versiyonuyla “Bir doğruya dışındaki bir noktadan
tam olarak bir tane paralel doğru çizilebilir.” ifadesini yani Öklid’in beşinci aksiyomunu
ilk dört aksiyomdan ispat etme deneyişleri uzun seneler süren sinir bozucu uğraşlardan
sonra terk edilmiş yerine beşinci aksiyomu değiştirmek fikri kalmıştır.
1
H.S.M. Coxeter (1942) de Gauss’un ilk defa “gayri öklidyen” adını paralellik özellik-
leri bakımından Öklid’den farklılık gösteren geometrik sistemleri tarif etmek için kul-
landığından bahsediyor. Bu tip bir sistem yaklaşık olarak bundan 200 yıl kadar önce
birbirlerinden bağımsız olarak Macar Bolyai ve Rus Lobachevsky tarafından geliştirildi.
Öklid’inkinden radikal biçimde farklılık gösteren başka bir sistem daha sonraları Alman
Riemann tarafından ortaya atıldı. 1871’de Klein genel olarak parçaları biraraya getirerek
konuyu birleştirdi ve Öklid, Bolyai-Lobachevsky, Riemann sistemlerine sırasıyla parabo-
lik, hiperbolik ve eliptik geometri isimlerini verdi.
Projektif geometri için F. Stevenson (1972) de “İki boyutlu ya da daha büyük boyutlu
uzaylardaki projektif dönüşümlerin altında değişmez kalan özelliklerin genel olarak ince-
lenmesidir.” tanımını kullanmıştır. Bu konudaki ilk büyük sonuçlar 18. yüzyılın başlarında
Fransız Poncelet, Brianchon, İsviçreli Steiner ve Alman von Staudt tarafından elde edilmiş-
tir. Bugün projektif geometri matematiğin yerleşmiş hem kendi içinde büyük merak
uyandıran hem de içinden çok farklı geometrilerin ortaya çıkarılabildiği genel bir sis-
tem olarak matematiğe hizmet etmeye elverişli bir alandır.
Projektif geometride soyut yaklaşım diğer geometrilerde olduğundan daha fazla arzu
edilmektedir. Çünkü Öklid, Descartes, Lobachevsky. . . vb. gibi isimlerle anılan geometrik
di-siplinlerden projektif geometriyi elde etmektense projektif geometriden bu gibi di-
siplinleri elde etmek daha doğaldır ve dolayısıyla projektif geometrinin temelleri tüm
geometrinin temelleri olarak kabul edilebilir (Veblen ve Young 1910). Benzer biçimde
Arthur Cayley de metrik geometrinin projektif geometrinin bir parçası olduğunu ve pro-
jektif geometrinin “tüm geometri” olduğunu ifade etmektedir. Coxeter (1974) de pro-
jektif geometrinin, temelleri bakımından, Öklidyen geometriden daha basit olarak ku-
rulabileceğini, çünkü Öklidyen geometride bir cetvel ve bir pergele ihtiyaç duyulurken
projektif geometride sadece bir cetvele ihtiyaç duyulduğunu ifade etmektedir.
2
Projektif Klingenberg ve Projektif Hjelmslev düzlemleri (sırasıyla kısaca PK-düzlem ve
PH-düzlem) sıradan projektif düzlemlerin bir tür genelleştirilmişleridir. En genel olarak
bir PK-düzlem (PH-düzlem) nokta ve doğru kümeleri “komşu” sınıflarına parçalanmış
geometrik yapılardır ki bu yapılarda aynı zamanda komşu olmayan noktalar (doğrular)
tam olarak bir ortak doğruya (noktaya) sahiptirler ve komşuluk sınıflarının temsilcilerinin
oluşturduğu yapı bir projektif düzlemdir. PK-düzlem, Klingenberg’in (1954), (1955) ve
(1956) makalelerinde ilk defa takdim edilmiş ve o tarihten bu yana takdire şayan bir
ilgi uyandırmıştır. 1954’ten sonraki ilk 20 yıllık periyotta Hjelmslev ve Klingenberg
düzlemleri üzerine yapılmış 100 den fazla makale Artman ve ark. (1976) çalışmasında
listelenmiştir. 1975 yılında ise Drake ve Lenz başlığında Klingenberg ifadesi ilk defa
görülen “Sonlu Klingenberg Düzlemleri” isimli çalışmalarını yayınlamıştır. Bu makalede
Hjelmslev düzlemleri üzerinde iyi bilinen bazı sonuçlar Klingenberg düzlemlerine ta-
şınmış ve yine bu çalışmada özel olarak “Komşu noktaları birleştiren doğrular ve komşu
doğruların arakesitleri ile ilgili bir aksiyom bulunmayan Hjelmslev düzlemlerine Klin-
genberg düzlemleri denir.” tanımı verilmiştir.
Bundan sonraki ilk bölüm olan ikinci bölümde tezde yapılanları daha rahat anlayabilmek
için gerekli temel sayılabilecek kavramlar cebirsel ve geometrik olarak iki başlık altında
verilmiştir.
Üçüncü bölümde, yani ileri düzey giriş ya da detaylı literatür taraması olarak adlandırıla-
bilecek bölümde, toplamda dört alt başlık halinde projektif Klingenberg düzlemlerindeki
birleşim, arakesit, komşuluk ve yakın olma kavramları tanıtılıp bunların B(ε) dual lokal
halkasındaki cebirsel karşılıkları tanıtılmış, genelde bir PK-düzlemin nasıl koordinat-
lanabileceği ile B(ε) dual lokal halkasıyla nasıl koordinatlanabileceği üzerinde durulmuş
ve son olarak inşa edilen bu PK-düzlemde geçerli bazı sonuçlar verilmiştir.
Dördüncü bölümde ilk önce Öklid düzleminin özel bir doğrusu üzerindeki iki noktanın
3
toplamı ve çarpımı ile genişletilmiş reel afin düzlemin, yani reel projektif düzlemin,
özel bir doğrusu üzerindeki iki noktanın toplamı ve çarpımı ifade edilmiştir. Sonrasında
PK2(B(ε)) düzlemindeki bazı noktaların toplamı ve çarpımı tanıtılıp orijinal sonuçlar
bulunmuştur.
Beşinci bölümde PK2(B(ε)) düzlemi için özel dört kolinasyon tanıtılmış ve bunların
PK2(B(ε)) düzlemindeki noktaların toplamı ve çarpımı ile ilişkisi kurulmuştur.
Tezin içerisinde yer alan bazı ispatların literatürde farklı bir uyarlaması verilmiş olmasına
rağmen ya da literatürde çok kısa olarak değinilip geçildiği için okuyucunun kafasında
soru işareti bırakmamak adına tez içinde bu ispatlar detaylıca ve titizce yapılmıştır. Bunun-
la birlikte tezin gereksizce uzamasına sebebiyet verecek fakat basit ve uzun işlemlerle
görülebilecek ispatların bazı kısımları okuyucunun kolayca yapabileceği düşünülerek kısa
geçilmiştir.
19. ve 20. yüzyılda yazılmış rastgele seçilen geometri kitaplarının önsözleri arasında
dolaşmak bu tezi yazarken yazara ayrı bir keyif verdi. Son olarak A. Cayley tarafından
ifade edilen:
“Geri kalan her şeyde olduğu gibi matematiksel teoride de güzellik algılanabilir; ama
açıklanamaz.”
prensibine benzeyen bir düşünce ile tezin bu kısmı sonlandırılmaktadır:
“Aslında bilime katkı koyan herkes algıladıklarını açıklamaya ve uygulamaya
çalışmaktadır.”
4
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde tezde yapılanların daha rahat anlaşılması için gerekli olan cebir ve geomet-
ri ile ilgili temel tanım ve kavramlar özet olarak verilecektir. Kaynak belirtilmeyen tanım,
sonuç ve teoremler için Çelik (2015), Çiftçi (2015), Dembowski (1968), Fraleigh (2003),
Hacısalihoğlu (2000), Jacobson (1980) kitapları baz alınmış fakat dil ve gösterim birliği-
nin sağlanması için bu kaynaklardan alınan bilgiler üzerinde, tezde kullanılan sembollerle
ilgili bazı uyarlamalar yapılmıştır.
2.1 Cebirsel Kavramlar
Tanım 2.1.1 A ve B kümeleri için GΓ ⊆ A×B ise Γ = (GΓ,A,B) üçlüsüne A kümesin-
den B kümesine bir bağıntı denir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.2 Γ = (GΓ,A,B) bir bağıntı olsun.
F1) (∀(x, u), (x, v))((x, u) ∈ GΓ ∧ (x, v) ∈ GΓ ⇒ u = v)
F2) (∀x)(x ∈ A⇒ (x, u) ∈ GΓ)
şartları sağlanıyorsa Γ = (GΓ,A,B) ye A kümesinden B kümesi üzerine bir fonksiyon
denir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.3 f = (Gf,A,B) fonksiyonu için
(∀ (x, u), (y, u))[((x, u) ∈ Gf ∧ (y, u) ∈ Gf)⇒ x = y] (2.1.1)
şartı sağlanıyorsa f = (Gf,A,B) ye A kümesinden B kümesine bir birebir fonksiyondur
denir. (Çelik 2015)
(2.1.1) şartına birebirlik şartı adı verilir. (x, y) ∈ Gf olması f(x) = y biçiminde göste-
rilir ve y elemanına “x in f altındaki görüntüsü ” denir. Bu durumda (2.1.1) ile verilen
birebirlik şartı
(∀ x, y ∈ A)((f(x) = f(y))⇒ (x = y)) (2.1.2)
5
biçimine gelir. Karşıt ters özelliği dolayısıyla (2.1.2) ifadesi ile
( )
(∀ x, y ∈ A) (x 6= y)⇒ (f(x) =6 f(y)) (2.1.3)
ifadesi denktir. Bu nedenle birebirlik şartı olarak (2.1.1), (2.1.2) ve (2.1.3) den herhangi
biri kullanılabilir.
Tanım 2.1.4 f = (Gf,A,B) fonksiyonu için
(∀ y)[y ∈ B⇒ (∃ x)(x ∈ A ∧ (x, y) ∈ Gf)] (2.1.4)
şartı sağlanıyorsa f = (Gf,A,B) ye A kümesinden B kümesine bir örten fonksiyondur
denir. (Çelik 2015)
(2.1.4) şartına örtenlik şartı adı verilir. Fonksiyon altındaki görüntü tanımından faydala-
narak örtenlik şartı ( )
∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A, y = f(x)
biçimine gelir.
Tanım 2.1.5 Γ = (GΓ,A,A) bağıntısı için
D1) (∀x)(x ∈ A⇒ (x, x) ∈ GΓ))
D2) (∀(x, y))((x, y) ∈ GΓ ⇒ (y, x) ∈ GΓ))
D3) (∀(x, y), (y, z))[((x, y) ∈ GΓ ∧ (y, z) ∈ GΓ)⇒ (x, z) ∈ GΓ]
şartları sağlanıyorsa Γ ya A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı denir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.6 Γ = (GΓ,A,A) bir denklik bağıntısı ve a ∈ A keyfı̂ bir eleman olsun. Bu
durumda
[a] = {x|(a, x) ∈ GΓ}
6
kümesine “a nın Γ bağıntısına göre denklik sınıfı” veya kısaca “a nın denklik sınıfı”
denir. b ∈ [a] olacak biçimdeki her bir b elemanına [a] denklik sınıfı için bir temsilci
adı verilir. (a, x) ∈ GΓ iken x elemanına a elamanının bir görüntüsü denildiğinden, [a]
denklik sınıfı a nın Γ altındaki tüm görüntülerinin kümesidir. (Çelik 2015)
Teorem 2.1.7 Γ = (GΓ,A,A) denklik bağıntısına göre iki denklik sınıfı ya ayrıktır ya
da özdeştir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.8 Γ = (GΓ,A,A) bir denklik bağıntısı olsun. Bu durumda
A/Γ = {[x] | x ∈ A}
kümesine A kümesinin Γ denklik bağıntısına göre bölüm kümesi denir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.9 Γ = (GΓ,A,A) bir denklik bağıntısı olsun. Bu durumda
Π : A −→ A/Γ
x −→ Π(x) = [x]
biçiminde tanımlı Π dönüşümü bir fonksiyondur ve bu fonksiyona A için Γ denklik
bağıntısı yardımıyla elde edilen kanonik fonksiyon denir.(Çelik 2015)
Sonuç 2.1.10 Kanonik fonksiyon örtendir. (Çelik 2015)
Tanım 2.1.11 A boş olmayan bir küme olsun. A × A nın her bir elemanına A nın tam
olarak bir elemanını karşılık tutan bir> dönüşümüne A kümesi üzerinde bir ikili işlem ya
da iç işlem denir. (Hacısalihoğlu 2000)
Tanımdan anlaşılacağı gibi > dönüşümünün A kümesi üzerinde bir iç (ikili) işlem olması
için gerek ve yeter şart > dönüşümünün > : A× A −→ A bir fonksiyon olmasıdır.
Tanım 2.1.12 G boş olmayan bir küme ve > : G×G −→ G bir iç işlem olsun. Eğer
7
G1) (∀ a, b, c)(a, b, c ∈ G⇒ (a>(b>c) = (a>b)>c))
G2) (∀ a)[a ∈ G⇒ (∃ e)(e ∈ G ∧ (a>e = e>a = a))]
G3) (∀ a)[a ∈ G⇒ (∃ a−1)(a−1 ∈ G ∧ (a−1>a = a>a−1 = e))]
şartları sağlanıyorsa (G,>) ikilisine grup denir ve (G,>) grubu eğer bir karışıklık ol-
mayacaksa kısaca G ile gösterilir. (Hacısalihoğlu 2000)
Önerme 2.1.13 (G,>) bir grup ve a ∈ G olsun. a elemanı kendisiyle n defa işleme
konulduğunda elde edilen ︸a>a>︷a︷> . . . a︸ elemanına a nın > işlemine göre n. kuvveti
n adet
denir ve an ile gösterilir.
G1) şartına > işlemi için birleşme özelliği (assosyatiflik), G2) şartını sağlayan e ele-
manına > işleminin etkisiz elemanı denir. G3) şartındaki a−1 elemanına a elemanının >
işlemine göre tersi denir. Bir G = (G,>) grubunda > işlemi değişme özelliği (komüta-
tiflik) adı verilen
(∀ a, b)(a, b ∈ G⇒ (a>b = b>a))
şartını sağlıyorsa G grubuna değişmeli grup ya da abel grubu adı verilir.
Tanım 2.1.14 Üzerinde en az bir işlem tanımlı ve bu işleme göre belirli özellikleri
sağlayan kümelere cebirsel yapı denir.
Tanım 2.1.15 G = (G,>) bir grup ve S ⊆ G olsun. Eğer S = (S,>) bir grup oluyorsa
S ye, G nin bir alt grubu denir.
Bazı cebirsel yapılarda ikinci bir işleme daha ihtiyaç duyulmaktadır. Şimdi iki işlemli
cebirsel yapılardan bu tezde kullanılacak olanlar hakkında bazı temel bilgiler verilecektir.
Tanım 2.1.16 H herhangi bir küme ve > ile ⊥ bu küme üzerinde tanımlı herhangi iki
ikili işlem olsun. Eğer
8
H1) (H,>) abel grubudur.
H2) ⊥ işlemi birleşmelidir.
( )
H3) ∀a, b, c ∈ H, (a ⊥ (b>c) = (a ⊥ b)>(a ⊥ c))
∀a, b, c ∈ H, (a>b) ⊥ c = (a ⊥ c)>(b ⊥ c) .
şartları sağlanıyorsa (H,>,⊥) sistemine bir halka denir ve (H,>,⊥) halkası karışıklık
olamayacaksa kısaca H ile gösterilir. (Hacısalihoğlu 2000)
Bir (H,>,⊥) halkasında birinci işleme genellikle toplama, ikinci işleme de çarpma işlemi
adı verilir. Bu nedenle genel olarak birinci işlemi > yerine toplama için alışılagelen +,
ikinci işlemi de⊥ yerine · simgesi ile göstermek âdet olmuştur. Genellikle a, b elemanları
için a · b yerine kısaca ab yazılır. H3) şartına çarpmanın toplama üzerine dağılma kural-
ları da denir. Toplama işlemine göre etkisiz eleman 0 ile, çarpma işlemine göre etkisiz
eleman, varsa, 1 ile gösterilir. Çarpma işlemine göre etkisiz elemana özdeşlik elemanı adı
verilir. Çarpma işlemine göre tersi var olan elemanlar için birim ifadesi de kullanılır. Eğer
H halkasında özdeşlik elemanı varsa H ye özdeşlikli halka, çarpma işlemi değişmeli ise
H ye değişmeli (komütatif) halka denir.
Tanım 2.1.17 (H,+, ·) bir özdeşlikli halka ve H − {0} ın her elemanının çarpmaya
göre tersi varsa (H,+, ·) halkasına bölümlü halka veya aykırı cisim denir. Çarpma işlemi
değişmeli olan bir bölümlü halkaya cisim adı verilir. (Hacısalihoğlu 2000)
Tanım 2.1.18 H = (H,+, ·) bir halka ve S ⊆ H olsun. Eğer S = (S,+, ·) bir halka
oluyorsa S ye, H nin bir alt halkası denir. (Hacısalihoğlu 2000)
Teorem 2.1.19 H = (H,+, ·) bir halka olsun. φ 6= S ⊆ H alt kümesi için
( )
(∀ x, y) x, y ∈ S⇒ (x− y ∈ S ∧ x · y ∈ S)
önermesi doğru oluyor ise S = (S,+, ·) üçlüsü H = (H,+, ·) nın bir alt halkasıdır.
(Bayraktar 1997)
9
Tanım 2.1.20 H kümesindeki her a, b elemanı için, alterne kuralları adı verilen
1) a(ab) = a2b,
2) (ba)a = ba2
şartları ile H2) hariç halka olma şartlarını sağlayan bir H = (H,+, ·) cebirsel yapısına
alternatif halka ya da alterne halka denir.
Herhangi bir halkada H2) şartı (assosyatiflik) dolayısıyla alterne kuralların sağlanacağı
aşikârdır. Bu nedenle her halka bir alterne halkadır. Fakat her alterne halka bir halka
olmak zorunda değildir.
Her H alterne halkasında her x, y, z ∈ H için, Moufang özdeşlikleri olarak isimlendirilen
x(y(xz)) = (xyx)z,
((yx)z)x = y(xzx),
(xy)(zx) = x(yz)x
eşitlikleri sağlanır. (Pickert 1955)
Tanım 2.1.21 H halkasının her a elemanı için
a I = {a · x |x ∈ I} = {ax |x ∈ I} ⊆ I
I a = {x · a |x ∈ I} = {xa |x ∈ I} ⊆ I
şartlarını sağlayan bir I alt halkasına H halkasının bir ideali denir. (Fraleigh 2003)
Tanım 2.1.22 Özdeşlikli bir H halkasında lokallik şartı olarak bilinen “Tersi olmayan
elemanların kümesi bir ideal oluşturur.” şartı sağlanıyorsa bu H halkasına lokal halka
denir. Eğer özdeşlikli bir H alterne halkası lokallik şartını sağlıyorsa H ye lokal alterne
halka denir. (Jacobson 1980)
10
Şimdi, 1873 yılında William Kingdon Clifford tarafındanR reel sayılar kümesi yardımıyla
oluşturulan dual sayı kavramı tanıtılacaktır ki bu sayıların cebirsel yapısı bu tezde önemli
bir role sahip olacaktır.
Teorem 2.1.23 R reel sayılar kümesi ve ε ∈/ R olmak üzere
R(ε) = R+ Rε = {a + bε | a, b ∈ R} kümesi üzerinde A = a1 + a2ε, B = b1 + b2ε
elemanlarının eşitliği
A = B ⇔ a1 + a2ε = b1 + b2ε⇔ (a1 = b1 ∧ a2 = b2),
toplamı
A+B = (a1 + a2ε) + (b1 + b2ε) = (a1 + b1) + (a2 + b2)ε,
ve çarpımı
A ·B = (a1 + a2ε) · (b1 + b2ε) = (a1b1) + (a1b2 + a2b1)ε
biçiminde tanımlansın. Bu durumda, (R(ε),+, ·) bir halkadır. (Hacısalihoğlu 2000)
Tanım 2.1.24 Teorem 2.1.23 de verilen (R(ε),+, ·) halkasına R üzerinde kurulan dual
halka denir ve bu halkanın elemanlarına da reel dual sayılar denir.
R(ε) da özel olarak
0 + 0ε = 0
ve
0ε = 0
ile gösterilir ve çarpma tanımı gereği
11
ε2 = ε · ε
= (0 + ε) · (0 + ε)
= 0 + (0 + 0)ε
= 0 + 0ε
= 0
olur.
Tersi olmayan sıfırdan farklı elemanlar mevcut olduğundan (R(ε),+, ·) bir cisim değildir.
Örneğin k ∈ R olmak üzere 0+kε = kε ∈ R(ε) biçimindeki elemanların çarpma işlemine
göre tersi yoktur. Eğer
(0 + kε) · (a+ bε) = 1 + 0ε
olacak şekilde bir a+ bε ∈ R(ε) var olsaydı
0 + kaε = 1 + 0ε
sonucuna ulaşılırdı ki 0 = 1 çelişkine varılırdı. Bu yüzden 0 + kε ∈ R(ε) biçimindeki
elemanların çarpmaya göre tersinin var olması mümkün değildir.
2.2 Geometrik Kavramlar
Buraya kadar olan kısımda bu tezde cebir ile ilgili kullanılacak olan kavramlar tanıtılıp
temel bilgiler verildi. Bu kısımda ise tezde kullanılacak olan geometri ile ilgili kavramlar
tanıtılacak ve temel bilgiler verilecektir.
Tanım 2.2.1 Elemanları noktalar olarak isimlendirilecek bir N kümesi ve elemanları
12
doğrular olarak isimlendirilecek N ile ayrık bir D kümesiyle birlikte, N ve D kümeleri
arasında tanımlı ◦ üzerinde olma bağıntısı yardımıyla belirlenen U = (N ,D, ◦) siste-
mine bir üzerinde olma yapısı ya da geometrik yapı denir. (Kaya 2005)
U = (N ,D, ◦) geometrik yapısında N ∪D kümesi sonlu ise U ya sonlu geometrik yapı
denir. Bir N ∈ N noktası ve bir d ∈ D doğrusu için N ◦ d gösterimi, “N noktası d
doğrusu üzerindedir” ya da “d doğrusu N noktasından geçer” diye okunur. M ve N nok-
talarından geçen doğru bir tek ise bu doğruM∨N ya daMN biçiminde gösterilir. Benzer
olarak c ve d doğrularının arakesit noktası bir tek ise bu nokta c ∧ d ya da cd biçiminde
gösterilir. Genel olarak doğrular üzerindeki noktaların bir kümesi olarak düşünülür. Bu
gözle bakıldığında c ve d doğruları için c = d ya da c ∩ d = φ ise c ve d doğrularına
paralel doğrular denir. c ve d doğruları paralel ise bu c ‖ d biçiminde gösterilir.
Tanım 2.2.2 Aşağıdaki şartları sağlayan A = (N ,D, ◦) geometrik yapısına bir afin
düzlem denir.
A1) Her M,N ∈ N ,M 6= N, noktaları için M ◦ d ve N ◦ d olacak biçimde bir tek
d ∈ D doğrusu vardır.
A2) Her N ∈ N , d ∈ D için N ø d olmak üzere N ◦ c ve c ‖ d olacak biçimde bir tek
c ∈ D doğrusu vardır.
A3) Doğrudaş olmayan üç nokta vardır. (Kaya 2005)
Şimdi afin düzlemlerle cebirsel yapıların ilişkisini kuracak aşağıdaki teorem ispatsız olarak
verilecektir. İspat için Kaya (2005) incelenebilir.
Teorem 2.2.3 Verilen her F cismi için nokta ve doğruları bu cismin elemanlarıyla cebirsel
olarak belirlenen bir afin düzlem vardır ve F cismi yardımıyla tanımlanan bu afin düzlem,
genel olarak, A2F ile gösterilir.
(N ,D, ◦) için noktalar kümesi
N = {(x, y) | x, y ∈ F}
13
doğrular kümesi
D = {[m, p] | m, p ∈ F} ∪ {[a] | a ∈ F}
biçiminde ve üzerinde olma bağıntısı
(x, y) ◦ [m, p] ⇔ y = mx+ p
(x, y) ◦ [a] ⇔ x = a
biçiminde tanımladır. Bu yöntemle yapılan nokta ve doğru gösterimine kartezyen koordi-
natlama adı verilir.
Özel olarak F cismi olarak R reel sayılar cismi alındığında elde edilen A2R afin düzle-
mine reel afin düzlem denir ki bu Öklid düzlemi ya da analitik düzlem olarak da bilinen
düzlemdir. A2R de [0, 0] doğrusu x-ekseni, [0] doğrusu y-ekseni, (0, 0) noktası orjin olarak
isimlendirilir. Kısalık olması bakımından bir karışıklık olmayacaksa x-ekseni üzerindeki
A = (a, 0) noktaları a ile, y-ekseni üzerindeki B = (0, b) noktaları b ile gösterilir.
İlk olarak Öklid tarafından kurulan reel afin düzlemde (analitik düzlemde) günümüze
kadar pek çok tanımlar yapılmış, teoremler ispat edilmiştir. Reel afin düzlem için ve-
rilen eğim, diklik, izdüşüm, üçgen, çokgen, dörtgen, paralel, vektör, açı, benzerlik,... gibi
temel kavramların, bu tezde bilindiği kabul edilecektir. Bu kavramlardan paralellik ve
diklik sadece Öklid düzleminde değil tüm afin düzlemlerde benzer biçimde tanımlanır.
Tanım 2.2.4 Aşağıdaki şartları sağlayan bir P = (N ,D, ◦) geometrik yapısına bir pro-
jektif düzlem denir.
P1) Her M,N ∈ N ,M 6= N için M ◦d ve N ◦d olacak biçimde bir tek d ∈ D doğrusu
vardır.
P2) Her c, d ∈ D için N ◦ c ve N ◦ d olacak biçimde en az bir N ∈ N arakesit noktası
14
vardır.
P3) Herhangi üçü doğrudaş olmayan dört nokta vardır.
Herhangi bir projektif düzlemde farklı iki doğrunun arakesit noktası tek türlü olarak bel-
lidir. (Kaya 2005)
B bir bölümlü halka iken B yardımıyla tanımlanan
N = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ B, (x1, x2, x3) 6= (0, 0, 0), (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)λ,
λ ∈ B, λ 6= 0}
D = {[a1, a2, a3] | a1, a2, a3 ∈ B, [a1, a2, a3] 6= [0, 0, 0], [a1, a2, a3] = µ[a1, a2, a3],
µ ∈ B, µ 6= 0}
kümeleri ve
(x1, x2, x3) ◦ [a1, a2, a3]⇔ x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0
üzerinde olma bağıntısı için (N ,D, ◦) yapısının bir projektif düzlem olduğu Kaya (2005)
te verilen aşağıdaki teoremin ispatında, gösterilmiştir. B bölümlü halkasından elde edilen
projektif düzlem kısaca P2B ile gösterilir.
Teorem 2.2.5 Verilen her B bölümlü halkası için nokta ve doğruları bu bölümlü halkanın
elemanlarıyla cebirsel olarak belirtilebilen bir projektif düzlem vardır. (Kaya 2005)
Her cisim bir bölümlü halka olduğundan B bölümlü halkası yerine F cismi alındığında
elde edilen geometrik yapı yine bir projektif düzlem olacaktır ve bir cisim yardımıyla
tanımlanan bu projektif düzlemlere cisim düzlemleri denir.
B olarak reel sayılar cismi R alındığında oluşan projektif düzleme reel projektif düzlem
denir.
15
Doğru ve noktalara karşılık tutulan böyle üçlülere, ilgili doğru ya da noktanın homojen
koordinatı denir.
Afin düzlemler ile projektif düzlemler arasında yakın ilişkiler mevcuttur. Örneğin bir
afin düzlemin noktalar kümesine bazı noktalar ve doğrular kümesine yeni bir doğru ek-
lenerek afin düzlem projektif düzleme dönüştürülebilir ve tersine bir projektif düzlemden
bir doğru ve bu doğru üzerindeki tüm noktalar atılarak bir afin düzlem elde edilebilir.
Aşağıda bu ilişkilere ait bilinmesinde fayda olan bazı bilgiler verilecektir.
A = (N ,D, ◦) bir afin düzlem olsun. Bu düzlemde, birbirine paralel olan tüm doğruların
kümesine bir paralel doğru demeti denir. Düzlemdeki her bir paralel doğru demeti için
bu demetin tüm doğruları üzerine N noktalar kümesinde olmayan ve ideal nokta adı ve-
rilen yeni ve diğer noktalardan farklı bir ortak nokta eklensin. Böylece düzlemdeki her bir
paralel doğru demeti için N kümesine yeni bir nokta eklenmiş olur. Bu yeni ilâve edilen
ideal noktalar ile birlikte elde edilen yeni noktalar kümesi
N ′ = N ∪ {x | x bir ideal nokta}
ile gösterilir. A = (N ,D, ◦) afin düzlemine ideal noktalar eklenirken A afin düzleminin
her d doğrusu üzerine de o doğrunun ideal noktası adı verilen bir nokta ilâve edilmiştir.
d doğrusu ve d doğrusuna paralel olan tüm doğrular üzerine eklenen ideal nokta aynı
olduğundan bu ideal nokta d doğrusunu göstermekte kullanılan d harfine karşılık gelen
büyük harf olanD yardımıylaD∞ biçiminde gösterilsin. İlâve edilen tüm ideal noktaların
kümesi d∞ ile gösterilsin ve ideal doğru olarak isimlendirsin. Böylece elde edilen yeni
doğrular kümesi
D′ = {d′ = d ∪ {D∞} | d ∈ D} ∪ {d∞}
16
biçimindedir. İlave edilen ideal noktalar ve d∞ ideal doğrusu için üzerinde olma bağıntısı-
nın ne anlama geldiği yukarıdaki açıklamalardan bellidir. Bu nedenle genişletilmiş yeni
nokta ve doğru kümeleri olan N ′ ve D′ kümeleri için üzerinde olma bağıntısı da bu
farklılıkları göz önünde tutmak kaydıyla yine ◦ ile gösterilebilir.
Reel afin düzlemde (x, y)◦ [m, p]⇔ y = mx+p olmasından ve y = mx+p doğrusunun
eğiminin m olmasından esinlenerek afin düzlemde alınan bir d = [m, p] doğrusunun
eğimi m dir denir ve üzerine eklenen D∞ ideal noktası olarak (m) simgesi kullanılır.
Bu durumda d ye paralel tüm doğruların eğimleri de m olduğundan d doğrusunun pa-
ralel demetinde yer alan tüm doğruların ideal noktası (m) olarak gösterilir. Eğimi tanımlı
olmayan, y-ekseni ve y-ekseni ile paralel olan [a] tipinden tüm doğruların üzerindeki
ideal nokta ise V = (∞) ile temsil edilir ki bu da reel afin düzlemdeki x = a tipinden
doğruların eğimlerinin sonsuz olmasından esinlenerek yapılan bir karşılık tutmadır.
Bu yöntemle elde edilen A′ = (N ′,D′, ◦) geometrik yapısına A = (N ,D, ◦) afin düzle-
minin tamamlanmışı denir. Afin ve projektif düzlemlerle ilgili en önemli özellikleri be-
lirten Kaya (2005) te iki farklı teorem olarak verilen ifadelerin birleştirilip tek bir teorem
olarak verilmiş hâli aşağıdadır.
Teorem 2.2.6 Her afin düzlemin tamamlanmışı bir projektif düzlemdir ve tersine bir pro-
jektif düzlemden bir doğru, üzerindeki tüm noktalarla birlikte atıldığında geriye kalan
yapı bir afin düzlemdir.
Sonuç 2.2.7 A2R afin düzleminin tamamlanmışı P2R projektif düzlemidir.
Sonuç 2.2.7 ile verilen A2R afin düzleminin tamamlanmışı olan P2R projektif düzlemi-
nin noktaları ve doğruları A2R afin düzleminde kullanılan kartezyen koordinatlardan yola
çıkılarak, tamamlanmış reel afin düzlem ile reel projektif düzlem arasında tanımlanan bir
dönüşüm yardımıyla da koordinatlanabilir. Böylece kartezyen koordinatlar ile 1827 ta-
rihli “Der Barycentrische Calcül” isimli çalışmasında August Ferdinand Möbius tarafından
17
ilk defa verilen, projektif geometride koordinatlama yöntemi olarak kullanılan homo-
jen koordinatlar ya da projektif koordinatlar adıyla bilinen koordinatlama arasında ilişki
kurulmuş olur.
f : A′ −→ P2R
(x, y) → (x, y, 1)
(m) → (1,m, 0)
(∞) → (0, 1, 0)
[m, p] → [m,−1, p]
[a] → [−1, 0, a]
d∞ → [0, 0, 1]
Daha detaylı bilgi için konunun öncülerinden Marshall Hall Jr. (1943) çalışması ince-
lenebilir. Homojen koordinatlardan kartezyen koordinatlara yapılan benzer bir dönüşüm
için Bayraktar (2012) çalışması incelenebilir.
Teorem 2.2.8 Her sonlu P projektif düzlemi için aşağıdaki koşullara uyan bir n pozitif
tamsayısı vardır. (Bu tamsayıya P projektif düzleminin mertebesi denir.)
• P nin her doğrusu üzerinde n+ 1 nokta vardır.
• P nin her noktasından n+ 1 doğru geçer.
• P deki tüm noktaların sayısı n2 + n+ 1 dir.
• P deki tüm doğruların sayısı n2 + n+ 1 dir. (Kaya 2005)
Tanım 2.2.9 S bir projektif düzleme ait herhangi bir ifade olsun. S de “nokta” sözcüğü
yerine “doğru” ve “doğru” sözcüğü yerine “nokta” sözcüğü koyarak ve ifade nokta ile
doğrular için anlamlı olacak biçimde değiştirildiğinde bulunan yeni ifadeye S nin dual
ifadesi denir ve bu S∗ biçiminde gösterilir. (Kaya 2005)
18
Teorem 2.2.10 Bir projektif düzlemde S ifadesi bir teoremse S nin duali olan S∗ ifadesi
de teoremdir. (Kaya 2005)
Tanım 2.2.11 U = (N ,D, ◦) ve U ′ = (N ′,D′, ◦′) herhangi iki geometrik yapı olsun.
f : N ∪D → N ′ ∪ D′
fonksiyonu
1) f(N ) ⊆ N ′,
2) f(D) ⊆ D′,
3) ∀(N, d)((N ∈ N , d ∈ D, N ◦ d)⇒ f(N) ◦′ f(d))
koşullarını sağlıyorsa f ye U = (N ,D, ◦) dan U ′ = (N ′,D′, ◦′) ye bir geometrik
yapı homomorfizmi (ya da anlam karışıklığı oluşmayacaksa kısaca homomorfizm) denir.
U dan U ′ ye örten bir homorfizme geometrik yapı epimorfizmi (ya da anlam karışıklığı
oluşmayacaksa kısaca epimorfizm) denir. U ve U ′ geometrik yapıları arasında birebir
ve örten olan bir f homomorfizmi varsa U ve U ′ ye izomorf geometrik yapılar ve f
dönüşümüne de bu yapılar arasında bir geometrik yapı izomorfizmi (ya da anlam karışıklığı
oluşmayacaksa kısaca izomorfizm) denir. Bir geometrik yapıyı kendisine dönüştüren
izomorfizme o geometrik yapı için kolinasyon (ya da otomorfizm) denir. Bu tanımda yer
alan üçüncü şarta üzerinde olmayı koruma şartı ya da lineerlik şartı da denir.
Geometrik yapı dönüşümleri ile ilgili bu tezde kullanılacak daha detaylı bilgiler diğer
bölümlerde verilecektir fakat bu konu ile ilgili temel bilgiler için Dembowski (1968) in
ilk bölümlerine bakılabilir. Aşağıdaki sonuçlar daha başka birçok geometrik yapılar için
de geçerlidir fakat bu tezde genel olarak projektif düzlemlerle ilgilenileceğinden sonuç
projektif düzlemler için verilecektir.
Sonuç 2.2.12 P = (N ,D, ◦) ve P ′ = (N ′,D′, ◦′) projektif düzlemleri arasındaki bir f
izomorfizmi için aşağıdaki sonuçlar geçerlidir. (Kaya 2005)
19
1) ∀M,N ∈ N , d ∈ D,M 6= N için
M ∨N = d⇒ f(M) ∨ f(N) = f(d)
2) ∀N ∈ N , c, d ∈ D, c 6= d için
c ∧ d = N ⇒ f(c) ∧ f(d) = f(N)
3) ∀N ∈ N , d ∈ D için
N ø d⇒ f(N) ø′ f(d)
Tanım 2.2.13 Bir P projektif düzlemindeki herhangi iki doğru c ve d, M ø c ve M ø d
özelliğindeki herhangi bir nokta da M olsun. c doğrusu üzerindeki her X noktası için
α(X) = MX ∧ d
olacak biçimde belirlenen α dönüşümüne, c doğrusunu d doğrusuna dönüştüren M mer-
kezli bir perspektiflik denir. Bu perspektiflik
M
α : c [ d
ya da
αM(c, d)
ile gösterilir.
Tanım 2.2.14 f, bir P projektif düzleminin bir kolinasyonu olsun. P nin bir M nok-
tasından geçen her d doğrusu için f(d) = d ise M ye f nin merkezi denir. Benzer olarak
P nin bir e doğrusu üzerindeki her N noktası için f(N) = N ise e ye f nin ekseni denir.
Eğer f nin bir M merkezi ve bir e ekseni varsa f ye P nin (M, e)-merkezsel kolinasyo-
20
nu ya da (M, e)-perspektifliği denir. Ayrıca eğer M ◦ e ise f ye öteleme (elation ya da
translation), M ø e ise f ye homoloji adı verilir.
Tanım 2.2.15 P bir projektif düzlem, M ve e de bu düzlemin sırasıyla belli bir noktası
ve belli bir doğrusu olsun. P de aşağıdaki özelliklerde verilen herhangi X ve Y nokta
çifti için f(X) = Y olacak biçimde bir f, (M,e)-merkezsel kolinasyonu varsa P projektif
düzlemi (M,e)-geçişkendir denir.
1) X 6= M ve Y =6 M ,
2) X ø e ve Y ø e,
3) M,X, Y doğrudaş.
Literatürde birbirine denk olan alternatif tanımlar bulunmakla birlikte Moufang düzlemi
için bu tezde aşağıdaki tanım dikkate alınacaktır.
Tanım 2.2.16 P = (N ,D, ◦) projektif düzleminde M ◦ e olmak üzere her M ∈ N
noktası ve her e ∈ D doğrusu için P projektif düzlemi (M, e)-geçişken oluyor ise P
projektif düzlemi bir Moufang düzlemidir.
Şimdi projektif düzlemlerin genişletilmişi olarak görülebilecek ve bu tezde üzerinde en
çok durulacak özel geometrik yapının tanımı verilecektir.
Tanım 2.2.17 (N ,D, ◦) bir geometrik yapı ve ∼ bağıntısı N ve D üzerinde tanımlı bir
denklik bağıntısı olsun. Aşağıdaki şartların sağlanması durumunda Π = (N ,D, ◦,∼)
geometrik yapısına bir Projektif Klingenberg düzlemi (PK-düzlemi) denir. Eğer M ve
N noktaları ∼ bağıntısına göre aynı denklik sınıfında ise bu M ∼ N biçiminde aynı
komşulukta değil iseler M  N biçiminde gösterilir. M ∼ N ise M ve N ye komşu
noktalar ya da aynı komşuluktaki noktalar, M  N ise M ve N ye komşu olmayan
noktalar ya da farklı komşuluktaki noktalar denir. Benzer gösterimler ve isimlendirmeler
doğrular için de kullanılır.
21
PK1) Farklı komşuluktaki herhangi iki noktadan bir tek doğru geçer.
PK2) Farklı komşuluktaki herhangi iki doğrunun bir tek arakesit noktası vardır.
PK3) Π nin ∼ ya göre kanonik görüntüsü olan P = (N ′, D′, ◦′) geometrik yapısı pro-
jektif düzlem olacak biçimde Π den P ye tanımlı her M,N ∈ N ve her c, d ∈ D
için,
M ∼ N ⇔ ϕ(M) = ϕ(N)
ve
c ∼ d⇔ ϕ(c) = ϕ(d)
şartlarını sağlayan bir ϕ : Π −→ P geometrik yapı epimorfizmi vardır.
Tanım 2.2.17 de yer alan ϕ fonksiyonuna “ Π ve P arasındaki yapı dönüşümü ” ya da
bir karışıklık olmayacaksa kısaca “ yapı dönüşümü ” denir. Kanonik fonksiyonlar her bir
elemanı denklik sınıfına eşlediklerinden ϕ nin örten olduğu aşikârdır.
Tanım 2.2.18 Tanım 2.2.17 de yer alan∼ bağıntısınınN ye kısıtlanmışına noktalar için
komşuluk bağıntısı ,D ye kısıtlanmışına doğrular için komşuluk bağıntısı adı verilir. Bu
nedenle ∼ bağıntısına kısaca komşuluk bağıntısı denir. Bu sebeple bir noktanın (ya da
doğrunun) ∼ bağıntısına göre denklik sınıfına o noktanın (ya da doğrunun) komşuluğu
denir.
Tanım 2.2.17 içindeki gösterimler göz önüne alındığında PK1) ve PK2) şartlarının aşağı-
daki gibi düzenlenebileceği görülür.
PK1) Her M,N ∈ N , M  N noktaları için bir tek M ∨N doğrusu vardır.
PK2) Her c, d ∈ D, c  d doğruları için bir tek c ∧ d arakesit noktası vardır.
PK-düzlemlerle ile ilgili gerekli bazı temel bilgiler aşağıda özet olarak verilecektir.
22
Sonuç 2.2.19 Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminde ϕ yapı dönüşümü örten olduğundan;
herhangi bir N ∈ N noktasının yapı dönüşümü altındaki görüntüsü, herhangi bir d ∈ D
doğrusunun yapı dönüşümü altındaki görüntüsünün üzerinde ise N noktasının komşulu-
ğundaki en azından bir nokta, d doğrusunun komşuluğundaki en azından bir doğru üzerin-
dedir. Yani
ϕ(N) ◦′ ϕ(d)⇔ (∃Ni)[Ni ∈ [N ] ∧ ((∃dj)(dj ∈ [d] ∧Ni ◦ dj))]
önermesi doğrudur. Burada “[ ]” ile komşuluk bağıntısına göre denklik sınıfları gösteril-
miştir.
Bu sonuç Π nin ∼ altında kanonik görüntüsü olan P = (N ′, D′, ◦′) projektif düzlemi
ile ilgili
ϕ(N) ◦′ ϕ(d)⇔ ϕ([N ]) ◦′ ϕ([d])
olacağını gösterir.
Tanım 2.2.20 Bir Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminde herhangi bir N ∈ N noktası ve
herhangi bir d ∈ D doğrusu için
(∃Ni)[Ni ∈ [N ] ∧ ((∃dj)(dj ∈ [d] ∧Ni ◦ dj))]
koşulu sağlanıyorsa N noktası d doğrusuna yakındır denir ve bu durum
N ∼ d
olarak gösterilir. (Bacon 1979 )
Teorem 2.2.21 Bir Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminde herhangi bir N ∈ N noktası ve
23
herhangi bir d ∈ D doğrusu için
N ∼ d⇔ ϕ(N) ◦′ ϕ(d)
olur.
Bu bilgiler Sonuç 2.2.19 ile birleştirildiğinde, bir Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminde
herhangi bir N ∈ N noktası ve herhangi bir d ∈ D doğrusu için, N noktasının d
doğrusuna yakın olması N noktasının komşuluğundaki en az bir noktanın, d doğrusunun
komşuluğundaki en az bir doğrunun üzerinde olması demektir.
Teorem 2.2.22 Bir Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminde herhangi bir N ∈ N noktası ve
herhangi bir d ∈ D doğrusu için
(N ∼M ∧N ∼ d)⇔M ∼ d
olur.
Tanım 2.2.23 n ≥ 3 olmak üzere bir projektif düzlemde herhangi üçü doğrudaş olmayan
n farklı noktaya n-gen denir.
Tanım 2.2.24 n ≥ 3 olmak üzere bir PK-düzlemde herhangi ikisi aynı komşulukta ol-
mayan n farklı noktadan herhangi biri diğer nokta ikililerinden geçen doğrulardan hiçbirine
yakın olmuyorsa bu n noktanın oluşturduğu kümeye n-gen adı verilir.
Özel olarak n = 3 için 3 − gen yerine üçgen, n = 4 için 4 − gen yerine dörtgen. . .
isimlendirilmesi de kullanılır.
Yukarıda verilen Tanım 2.2.24 matematik simgeleriyle aşağıdaki gibi de ifade edilebilir.
Bir Π = (N , D, ◦, ∼) PK-düzleminde A = {N1, N2, N3, . . . , Nn} ⊆ N kümesi ve-
rilsin. I = {1, 2, 3, . . . , n} olmak üzere
1) (∀i, j)(i 6= j, i, j ∈ I ⇒ Ni  Nj)
24
2) (∀i, j, k)(i =6 j 6= k 6= i, i, j, k ∈ I ⇒ Ni  NjNk)
şartları sağlanıyorsa A kümesine Π PK-düzlemi için bir n-gen denir.
Teorem 2.2.25 Π = (N , D, ◦, ∼) bir PK-düzlem ve PK3) şartında yer alan yapı
dönüşümü ϕ : Π −→ P olsun. Bu durumda Π de verilen bir n-genin ϕ altındaki
görüntüsü de P de bir n-gendir.
İspat. Π, PK-düzleminde verilen bir n-gen {P1, P2, ..., Pn} olsun.
∀ i, j ∈ {1, 2, ..., n} ve i 6= j olmak üzere, PK3 şartından
Pi  Pj ⇒ ϕ(Pi) 6= ϕ(Pj)
olduğu bulunur. Bu nedenle {ϕ(P1), ϕ(P2), ..., ϕ(Pn)} kümesi n farklı noktadan oluşur.
Üstelik, ∀ i, j, k ∈ {1, 2, ..., n}, i 6= j, i 6= k, j 6= k olmak üzere Pi, Pj, Pk noktaları için,
PK-düzlemde verilen n-gen tanımı gereği
Pk  PiPj
olduğu görülür. Teorem 2.2.21 gereği
ϕ(P ′k) ø ϕ(PiPj)
ve ϕ geometrik yapı epimorfizmi lineer olduğundan1 (Tanım 2.2.11)
ϕ(Pk) ø
′ ϕ(Pi)ϕ(Pj)
sonucu elde edilir. Bu sonuç, ϕ(Pi), ϕ(Pj), ϕ(Pk) noktalarının doğrudaş olmadığını gös-
terir.
1P projektif düzlemindeki iki nokta A ve B olmak üzere A ◦AB ⇒ ϕ(A) ◦′ ϕ(AB) ve benzer biçimde
B ◦AB ⇒ ϕ(B)◦′ϕ(AB) olur. P bir projektif düzlem olduğundan ϕ(A)∨ϕ(B) = ϕ(A)ϕ(B) = ϕ(AB)
bulunur.
25
Bu sonuçla birlikte {ϕ(P1), ϕ(P2), ..., ϕ(Pn)} kümesindeki n farklı noktadan hangi üçü a-
lınırsa alınsın aynı doğru üzerinde olmadığı yani bu kümenin P de bir n-gen olduğu
görülür.
Sıradan bir geometrik yapıda komşuluk bağıntısı yer almadığından PK-düzlemler için
kolinasyon tanımı Tanım 2.2.11 ten farklı olarak komşuluk bağıntısı ile ilgili küçük bir
ilâve şartla aşağıdaki gibi verilir.
Tanım 2.2.26 Herhangi bir Π = (N ,D, ◦,∼) PK-düzleminden kendisine tanımlı bire-
bir, örten, üzerinde olmayı ve komşuluk bağıntısını koruyan bir dönüşüme Π nin bir
kolinasyonu denir.
Tanım 2.2.27 Bir Π = (N , D, ◦, ∼) PK-düzleminin yapı dönüşümü altındaki görüntüsü
olan P projektif düzlemi bir Moufang düzlemiyse Π = (N , D, ◦, ∼) PK-düzlemine bir
Moufang Projektif Klingenberg düzlemi ya da kısaca Moufang Klingenberg düzlemi (MK-
düzlemi) denir.
Sonuç 2.2.28 Her Moufang Klingenberg düzlemi aynı zamanda bir Projektif Klingen-
berg düzlemidir.
26
3. PK-DÜZLEM KOORDİNATLAMASI ve PK2(B(ε))
Tanımı gereği PK-düzlemleri projektif düzlemlerin noktalarına ve doğrularına komşuluk
sınıfı adı verilen birer denklik sınıfı karşılık tutulmuş projektif düzlemler olarak düşünmek
mümkündür. Bu nedenle PK-düzlemler projektif düzlemlerden daha geneldir. Projek-
tif düzlemlerin günümüzde kullanılan koordinatlaması ile ilgili temel çalışmalar Mar-
shall Hall Jr. (1943) tarafından yapılmış ve daha sonra Hughes ve Pipper (1973) bazı
değişiklikler ile bu koordinatlama yönteminin benzerini tanıtmıştır. Özel olarak nokta-
larına ve doğrularına karşılık tutulan denklik sınıfları bir tek elemanlı olduğunda PK-
düzlem projektif düzlem olur. Bu genelleme nedeniyle PK-düzlemlerin koordinatlanması
çalışmalarında projektif düzlemleri koordinatlama yöntemlerinden esinlenilmiştir.
Verilen bir geometrik yapıdan cebirsel bir yapı elde edilmesi ve tersine verilen cebirsel
bir yapı yardımıyla bir geometrik yapı bulma çalışmaları matematiğin geometri ve cebir
alanlarını birleştiren cebirsel geometrinin temel çalışma konularından birisidir. Bu konu
ile ilgili detaylı bilgi için Hall (1943), Stevenson (1972), Hughes ve Pipper (1973), Ba-
con (1979), Dugas (1979), Keppens (1988), Baker ve ark. (1991) ile Akpınar (2007)
çalışmaları incelenebilir.
Bu bölümde bir dual lokal halka ile bir projektif Klingenberg düzlemin nasıl koordinat-
lanacağı ile ilgili gerekli temel bilgiler literatürden derlenecektir. Bu nedenle ilk olarak
PK-düzlemi koordinatlamada kullanılacak B(ε) dual lokal halka sınıfı tanıtılacaktır.
3.1 B(ε) Dual Lokal Halka Sınıfı
Bu kısımda Teorem 2.1.23 ile verilen R(ε) dual halkasını oluşturma yönteminden esinle-
nilerek keyfı̂ bir B bir bölümlü halkasından B(ε) ile gösterilen bir dual lokal halka elde
etme yöntemi tanıtılacaktır.
27
B(ε) = B + Bε = {a+ bε | a, b ∈ B}
kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemleri sırasıyla
(a+ bε) + (c+ dε) = (a+ c) + (b+ d)ε,
(a+ bε) · (c+ dε) = ac+ (ad+ bc)ε
biçiminde tanımlansın. Farkı daima göz önünde bulundurarak B(ε) üzerindeki toplama
işlemi ile B üzerindeki toplama işlemini aynı sembolle göstermekte bir mahsur bulunma-
maktadır. Fakat bir karışıklık olması ihtimalinde B(ε) üzerindeki çarpma işlemi araya ·
konarak B üzerindeki çarpma işlemi ise yanyana yazma yöntemiyle gösterilecektir.
İlk bölümde reel dual sayılarda gösterilen ε2 = 0 eşitliği benzer biçimde B(ε) üzerinde
tanımlanan çarpma işlemi için de sağlanmaktadır.
ε2 = ε · ε = (0 + 1ε) · (0 + 1ε) = (00) + (01 + 10)ε = 0 + 0ε = 0
Bu bilgiyle birlikteB(ε) üzerindeki çarpma işlemi, B üzerindeki çarpma işleminde dağılma
kurallarının uygulanması gibi de düşünülebilir.
B bölümlü halkası değiştikçe B(ε) dual lokal halkası da değişeceğinden B(ε) halkalarına
bir dual lokal halka sınıfı olarak bakılabilir.
Aşağıdaki teoremde bu işlemlerle birlikte B(ε) kümesinin bir özdeşlikli halka olduğu,
ayrıntılı işlemlerle gösterilmiştir.
Teorem 3.1.1 (B(ε),+, ·) cebirsel yapısı özdeşlikli bir halkadır.
28
İspat. İlk önce (B(ε),+) yapısının bir abel grubu olduğu gösterilecektir.
i) (∀ a+ bε, c+ dε, e+ fε)[a+ bε, c+ dε, e+ fε ∈ B(ε)
⇒ (a+ bε) + ((c+ dε) + (e+ fε))
= (a+ bε) + ((c+ e) + (d+ f)ε)
= (a+ (c+ e)) + (b+ (d+ f))ε ;B(ε) da + tanımı
= ((a+ c) + e) + ((b+ d) + f))ε ; +,B üzerinde birleşmeli
= ((a+ c) + (b+ d)ε) + (e+ fε) ;B(ε) da + tanımı
= ((a+ bε) + (c+ dε)) + (e+ fε) ;B(ε) da + tanımı]
olduğundan (B(ε),+) birleşmelidir.
ii) B nin etkisiz elemanı 0 olmak üzere 0 + 0ε ∈ B(ε) olduğu aşikârdır.
∀ (a+ bε)[a+ bε ∈ B(ε) ⇒ (a+ bε) + (0 + 0ε)
= (a+ 0) + (b+ 0)ε ;B(ε) da + tanımı
= a+ bε ; 0, B de + nın etkisiz elemanı]
olur. Benzer işlemlerle
(0 + 0ε) + (a+ bε) = a+ bε
olduğu görülür. Bu nedenle etkisiz eleman 0 = 0 + 0ε olarak tespit edilir.
iii) (∀ x)(x ∈ B ⇒ −x ∈ B) olmak üzere a + bε ∈ B(ε) ⇒ −a − bε ∈ B(ε) olduğu
aşikârdır.
29
(∀ a+ bε)[a+ bε ∈ B(ε) ⇒ (a+ bε) + (−a− bε)
= (a− a) + (b− b)ε ;B(ε) da + tanımı
= 0]
olur. Benzer işlemlerle
(−a− bε) + (a+ bε) = (−a+ a) + (−b+ b)ε = 0
olduğu ve bu nedenle B(ε) kümesindeki her elemanın + işlemine göre tersinin var olduğu
görülür.
iv) (∀ a+ bε, c+ dε)[a+ bε, c+ dε ∈ B(ε)
⇒ (a+ bε) + (c+ dε) = (a+ c) + (b+ d)ε ;B(ε) da + tanımı
= (c+ a) + (d+ b)ε ; +,B üzerinde değişmeli
= (c+ dε) + (a+ bε) ;B(ε) da + tanımı]
olduğu görülür. Bu nedenleB(ε) kümesi üzerinde + işleminin değişme özelliğini sağladığı
sonucuna ulaşılır.
Böylelikle (B(ε),+) cebirsel yapısının abel grubu olduğu gösterilmiş olur.
Şimdi B(ε) kümesi üzerinde · işleminin birleşme ve dağılma özelliklerini sağladığı göste-
rilecektir.
30
(∀ a+ bε, c+ dε, e+ fε)[a+ bε, c+ dε, e+ fε ∈ B(ε)
⇒ (a+ bε) · ((c+ dε) · (e+ fε)) = (a+ bε) · (ce+ (cf + de)ε)
= (a(ce)) + (a(cf + de) + b(ce))ε
= (a(ce)) + ((a(cf) + a(de)) + b(ce))ε
= ((ac)e) + ((ac)f + (ad)e+ (bc)e)ε
= ((ac)e) + (((ad+ bc)e) + (ac)f)ε
= ((ac) + (ad+ bc)ε) · (e+ fε)
= ((a+ bε) · (c+ dε)) · (e+ fε)]
olduğundan B(ε) kümesi üzerinde · işleminin birleşme özelliğini sağladığı görülür.
(∀ a+ bε, c+ dε, e+ fε)[a+ bε, c+ dε, e+ fε ∈ B(ε)
⇒ (a+ bε) · ((c+ dε) + (e+ fε)) = (a+ bε) · ((c+ e) + (d+ f)ε)
= a(c+ e) + (a(d+ f) + b(c+ e))ε
= (ac+ ae) + (ad+ af + bc+ be)ε
= (ac+ (ad+ bc)ε) + (ae+ (af + be)ε)
= ((a+ bε) · (c+ dε)) + ((a+ bε) · (e+ fε))]
olur ve benzer işlemlerle
((a+ bε) + (c+ dε)) · (e+ fε) = ((a+ bε) · (e+ fε)) + ((c+ dε) · (e+ fε))
olduğu görülür. Bu nedenle B(ε) kümesi üzerinde · işleminin + işlemi üzerine dağılma
kuralları geçerlidir.
31
B nin özdeşlik elemanı 1 olmak üzere 1 + 0ε ∈ B(ε) olduğu aşikârdır. Üstelik
(∀ a+ bε)[a+ bε ∈ B(ε)⇒ (a+ bε) · (1 + 0ε)
= a1 + (a0 + b1)ε
= a+ bε]
olur ve benzer işlemlerle
(∀ a+ bε)[a+ bε ∈ B(ε)⇒ (1 + 0ε) · (a+ bε)
= 1a+ (1b+ 0a)ε
= a+ bε]
olduğundan 1 + 0ε, B(ε) un özdeşlik elemanıdır ve 1 + 0ε kısaca 1 ile gösterilir.
Teorem 3.1.2 B(ε) özdeşlikli halkasında tersi olmayan elemanlar b ∈ B için bε for-
mundadır. a 6= 0 ise a+ bε ∈ B(ε) birim elemandır yani tersi vardır ve
(a+ bε)−1 = a−1 − (a−1ba−1)ε
olur.
İspat. Verilen keyfı̂ bir a+ bε ∈ B(ε) elemanı için,
(a+ bε) · (c+ dε) = 1
⇒ ac+ (ad+ bc)ε = 1
olur ve buradan
ac = 1
ad+ bc = 0 (3.1.1)
32
olduğu görülür. a = 0 iken ac = 1 eşitliği 0 = 1 olmasını gerektirdiğinden bu du-
rumda (3.1.1) denklem sisteminin bir çözümünün olmayacağı bellidir. Bu ise bε ∈ B(ε)
türündeki elemanların tersinin olmadığını gösterir.
B bölümlü halka olduğundan a 6= 0 iken a−1 ∈ B olur. Bu durumda
ac = 1⇒ c = a−1
olacağından (3.1.1) denklem sisteminden
ad+ ba−1 = 0⇒ d = −a−1ba−1
olduğu görülür. Benzer işlemler (c+ dε) · (a+ bε) = 1 için yapıldığında da yine c = a−1
ve d = −a−1ba−1 olduğu görülür. Bu nedenle a 6= 0 iken
(a+ bε)−1 = a−1 − (a−1ba−1)ε
eşitliği geçerlidir.
Teorem 3.1.3 B(ε) özdeşlikli halkasında tersi olmayan elemanların oluşturduğu
I = Bε = {bε | b ∈ B}
kümesi bir ideal olur.
İspat. b = 0 ∈ B için 0ε = 0 ∈ I olduğu aşikârdır. Ayrıca bε, cε ∈ I için b, c ∈ B olup
b–c ∈ B
olduğundan
bε− cε = (b–c)ε ∈ I
33
olur. Üstelik
(bε) · (cε) = (0 + bε) · (0 + cε)
= 0 + (0c+ b0)ε
= 0 ∈ I
olduğundan I, B(ε) un bir alt halkasıdır.
Her x+ yε ∈ B(ε) ve aε ∈ I için
(x+ yε) · (aε) = (x+ yε) · (0 + aε)
= x0 + (xa+ y0)ε
= (xa)ε ∈ I
ve
(aε) · (x+ yε) = (0 + aε) · (x+ yε)
= 0x+ (0y + ax)ε
= (ax)ε ∈ I
olduğundan I, B(ε) un bir idealidir.
(B(ε),+, ·) özdeşlikli halkasında tersi olmayan elemanların oluşturduğu kümenin bir ideal
olduğu gösterildiği için aşağıdaki sonuç elde edilmiştir.
Sonuç 3.1.4 (B(ε),+, ·) bir lokal halkadır.
Tanım 3.1.5 (B(ε),+, ·) lokal halkasına B bölümlü halkası üzerindeki dual lokal halka
denir ve bu dual lokal halka kısaca B(ε) ile gösterilir.
B(ε) dual lokal halkasının tersi olmayan elemanlarının oluşturduğu ideal bu tezde I ile
34
gösterilecektir.
B bölümlü halkasında 1 ∈ B elemanının tersi kendisi olup B(ε) dual lokal halkasında
1−1 = (1 + 0ε)−1 = 1
olduğu kolayca görülür.
Aşağıda, B(ε) dual lokal halkası ile koordinatlanacak olan PK-düzlemlerde, noktaların
ve doğruların üzerinde olma bağıntısına göre incelenmesi sırasında karşılaşılan bazı ce-
birsel sonuçlar verilmiştir.
Sonuç 3.1.6 Her q, n ∈ I = Bε için qn = 0 dır.
Sonuç 3.1.7 z ∈ I ve w − z ∈ I ise w ∈ I olur.
Aşağıdaki teoremde daha sonra PK-düzlemlerde bir komşuluk bağıntısı belirlemeye imkân
verecek bir denklik bağıntısı verilmektedir.
Teorem 3.1.8 I kümesi bir B(ε) halkasının tersi olmayan elemanların oluşturduğu ideal
olmak üzere
(B(ε))3 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ B(ε)}
kümesi üzerinde, J = {1, 2, 3} için
(a1, a2, a3) ∼ (b1, b2, b3)⇔ (∀i)(i ∈ J⇒ ai − bi ∈ I)
biçiminde tanımlanan ∼ bağıntısı (B(ε))3 üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
İspat. ∼ nın (B(ε))3 üzerinde bir bağıntı olduğu aşikârdır. D1) yansıma, D2) simetri ve
D3) geçişme özelliklerinin sağlandığı aşağıda gösterilmiştir.
35
D1) Her A = (a1, a2, a3) ∈ (B(ε))3 için
(∀i ∈ J)(ai − ai = 0)
olduğundan
(a1, a2, a3) ∼ (a1, a2, a3)⇒ A ∼ A
bulunur.
D2) Her A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b 33) ∈ (B(ε)) için
A ∼ B ⇒ (a1, a2, a3) ∼ (b1, b2, b3)
⇒ (∀i ∈ J)(ai − bi ∈ I)
⇒ (∀i ∈ J)(bi − ai ∈ I)
⇒ (b1, b2, b3) ∼ (a1, a2, a3)
⇒ B ∼ A
olur.
D3) Keyfı̂ A = (a1, a 32, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) ∈ (B(ε)) olmak üzere
A ∼ B ve B ∼ C ise (∀i ∈ J) için ai − bi ∈ I ve bi − ci ∈ I olup bu durumda
(ai − bi) + (bi − ci) = ai − ci ∈ I
olduğundan A ∼ C dir.
36
3.2 Bir PK-Düzlemin Koordinatlanması
Bu kısımda bir PK-düzleminde seçilen bir dörtgen yardımıyla bu PK-düzlemin nokta-
larına ve doğrularına verilecek koordinatların nasıl belirleneceği hususunda bilgi verile-
cektir.
Π = (N , D, ◦, ∼) bir PK-düzlem ve {O,E,U, V } bu PK-düzlemde bir dörtgen ol-
sun. Bu PK-düzlemde
d∞ := UV,
d := OE
W := d ∧ d∞,
I := {N ∈ N | (N ◦ d) ∧ (N ∼ O)},
R := {N ∈ N | (N ◦ d) ∧ (N  W )}
olarak isimlendirilsin. R kümesinin elemanları olan noktaların yeniden isimlendirilmesi
suretiyle elde edilen
R = {0, 1, a, b, c, . . .}
kümesi göz önüne alınsın. Bu R kümesi yardımıyla verilen Π PK-düzleminin tüm nok-
taları ve doğruları koordinatlanabilir (Baker ve ark. 1991). R kümesinin elemanları olan
O ve E noktalarına yeniden isimlendirme sırasında özel olarak sırasıyla 0 ve 1 in karşılık
tutulması genellemeyi bozmaz ve bu nedenle O := 0 ve E := 1 olarak alınır.
Aşağıda verilecek yöntemle bir noktaya karşılık tutulan parantez içindeki sıralı üçlüye
o noktanın koordinatı denir. (Daha sonra doğrulara da köşeli parantezler içinde üçlüler
karşılık tutulacaktır ve bu üçlülere de ilgili doğrunun koordinatı adı verilecektir.)
37
PK-düzlemde alınan {O,E, U, V } dörtgeni değiştikçe nokta ve doğrulara karşılık tutu-
lan koordinatlar da değişecektir. Bu nedenle koordinatlama için seçilen {O,E,U, V }
dötgenine Π PK-düzlemi için koordinatlama dörtgeni denir.
Şekil 3.1. Koordinatlama Dörtgeni ve OE Doğrusu Üzerindeki Elemanlar
3.2.1 Noktaların Koordinatlanması
PK-düzlemin noktalarına x, y ∈ R ve w, z ∈ I olmak üzere (x, y, 1), (1, y, z), (w, 1, z)
biçiminde sıralı üçlüler koordinat olarak karşılık tutulacaktır. Bu koordinatlamalarda 1
elemanının bulunduğu yer yardımıyla, ilgili koordinatın karşılık geldiği noktaya bir tip
karşılık tutulur. 1 ∈ R elemanı 3. bileşende ise bu noktaya 3. tip nokta, 1. bileşende ise
1. tip nokta ve son olarak 2. bileşende ise 2. tip nokta adı verilir. Birden çok bileşende
1 varsa ilk önce 3. bileşende 1 olup olmadığına bakılır. Yoksa 1. bileşende 1 olup ol-
madığına bakılır ve buna göre karar verilir. Örneğin (1, 1, 1) noktası 3. tip, (1, 1, 0)
noktası 1. tip bir noktadır.
N bu PK-düzlemde herhangi bir nokta olmak üzere:
38
i) N  d∞ ise
(NV ) ∧ d = x
ve
(NU) ∧ d = y
olacak biçimdeki x, y elemanları yardımıyla N noktasına (x, y, 1) koordinatı karşılık tu-
tulur. Bu karşılık tutulma Şekil 3.2 de verilmiştir.
Şekil 3.2. 3. Tip Noktaların Koordinatlanması
Özel olarak O noktasının koordinatı
OV ∧ d = O = 0
ve
OU ∧ d = O = 0
39
olduğundan
O = (0, 0, 1)
olarak bulunur. Benzer biçimde E noktasının koordinatı
EV ∧ d = E = 1
ve
EU ∧ d = E = 1
olduğundan
E = (1, 1, 1)
olarak bulunur. Böylece d üzerindeki W noktasına komşu olmayan tüm noktalar 3. tip-
tendir ve bu noktaya bir k ∈ R elemanı yardımıyla (k, k, 1) koordinatı karşılık tutulmuş
olur.
ii) N ∼ d∞ ve N  V ise
ON ∧ EV = (1, y, 1)
ve
((NV ∧ UE) ∨O) ∧ EV = (1, z, 1)
olacak biçimdeki y ve z elemanları yardımıyla N noktasına (1, y, z) koordinatı karşılık
tutulur. Bu karşılık tutulma Şekil 3.3 de verilmiştir.
40
W ◦ d ve W ◦ d∞ olduğundan W noktası ve W nun komşuluğundaki noktalar da bu
karşılık tutulma ile koordinatlanmış olup artık d üzerindeki tüm noktaların koordinatları
belirlenmiş olur. W noktasının koordinatının, gerekli hesaplamalar yapıldıktan sonra,
(1, 1, 0) olduğu ve W nun komşuğundaki d nin noktalarının koordinatlarının ise z ∈ I
olmak üzere (1, 1, z) biçiminde olacağı görülür.
Şekil 3.3. 1. Tip Noktaların Koordinatlanması
iii) N ∼ V ise
ON ∧ EU = (w, 1, 1)
ve
NU ∧ d = (1, 1, z)
olacak biçimdeki w, z elemanları yardımıyla N noktasına (w, 1, z) koordinatı karşılık tu-
tulur. Böylece V noktasının koordinatlarının (0, 1, 0) olduğu görülür. Bu karşılık tutulma
Şekil 3.4 de verilmiştir.
41
Şekil 3.4. 2. Tip Noktaların Koordinatlanması
3.2.2 Doğruların Koordinatlanması
PK-düzlemin doğrularına m, p ∈ R ve q, n ∈ I olmak üzere [m, 1, p], [1, n, p], [q, n, 1]
biçiminde sıralı üçlüler koordinat olarak karşılık tutulacaktır. Bu koordinatlamalarda 1
elemanının bulunduğu yer yardımıyla, ilgili koordinatın karşılık geldiği doğruya bir tip
karşılık tutulur. 1 ∈ R elemanı 2. bileşende ise bu doğruya 2. tip doğru, 1. bileşende
ise 1. tip doğru ve son olarak 3. bileşende ise 3. tip doğru adı verilir. Birden çok
bileşende 1 varsa ilk önce 2. bileşende 1 olup olmadığına bakılır. Yoksa 1. bileşende 1
olup olmadığına bakılır ve buna göre karar verilir. Örneğin [1, 1, 1] doğrusu 2. tip, [1, 1, 0]
doğrusu 1. tip bir doğrudur.
g bu PK-düzlemde herhangi bir doğru olsun:
i) g  V ise
(g ∧ d∞) = (1,m, 0)
42
ve
g ∧OV = (0, p, 1)
olacak biçimdeki m, p elemanları yardımıyla g doğrusuna [m, 1, p] koordinatı karşılık
tutulur. Bu karşılık tutulma Şekil 3.5 de verilmiştir.
Şekil 3.5. 2. Tip Doğruların Koordinatlanması
ii) g ∼ V ve g  d∞ ise
((g ∧ d∞) ∨O) ∧ EU = (n, 1, 1)
ve
g ∧OU = (p, 0, 1)
olacak biçimdeki n ve p elemanları yardımıyla g doğrusuna [1, n, p] koordinatı karşılık
tutulur. Bu karşılık tutulma Şekil 3.6 da verilmiştir.
43
Şekil 3.6. 1. Tip Doğruların Koordinatlanması
iii) g ∼ d∞ ise
g ∧OU = (1, 0, q)
ve
g ∧OV = (0, 1, n)
olacak biçimdeki n, q elemanları yardımıyla g doğrusuna [q, n, 1] koordinatı karşılık tutu-
lur. Bu karşılık tutulma Şekil 3.7 de verilmiştir.
44
Şekil 3.7. 3. Tip Doğruların Koordinatlanması
Yapılan bu koordinatlamanın bir sonucu olarak bazı özel noktaların ve doğruların koordi-
natlarının aşağıdaki gibi olduğu görülür ve bu nokta ve doğrular Şekil 3.8 de gösterilmiştir.
O =(0, 0, 1), E = (1, 1, 1), U = (1, 0, 0), V = (0, 1, 0),
OU =[0, 1, 0], OV = [1, 0, 0], UV = [0, 0, 1], d = OE = [1, 1, 0]
Şekil 3.8. Bazı Özel Noktaların ve Doğruların Koordinatları
45
Noktalar ve doğrular için komşuluk bağıntısı
(x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3) ⇔ xi − yi ∈ I, i = 1, 2, 3
[a1, a2, a3] ∼ [b1, b2, b3] ⇔ ai − bi ∈ I, i = 1, 2, 3
olarak tanımlanır ki bunun (B(ε))3 üzerinde bir denklik bağıntısı olduğu, daha önce, Teo-
rem 3.1.8 de gösterilmiştir.
3.3 Dual Lokal Halka Yardımıyla Projektif Klingenberg Düzlem İnşaası
Bu kısım iki altbaşlık altında tamamlanacaktır. Birinci altbaşlıkta lokal alterne halkalarla
bir PK-düzlemin nasıl elde edileceği verilmiş ve ikinci altbaşlıkta bu verilen yöntemden
hareketle B(ε) dual lokal halkası ile PK-düzlem inşa edilmiştir.
3.3.1 Bir Lokal Alterne Halka Yardımıyla İnşaa Edilen PK-Düzlem
Baker ve ark. (1991) çalışmalarında; 2.2 başlığı altında tanıtıldığı gibi koordinatlanan
Π = (N , D, ◦, ∼) PK-düzlemi için (R,+, ·) cebirsel yapısının bir lokal alterne halka
olduğunu ve tersine R lokal alterne halkası ile aşağıda gibi inşa edilen geometrik yapının
bir MK-düzlem olduğunu yani PK-düzlem olduğunu ve PK3) şartında elde edilen projek-
tif düzlemin Moufang düzlemi olduğunu göstermiştir. Aşağıda bir özeti verilecek olan ce-
birsel bir yapıdan PK-düzlem elde etme yöntemi, Dugas’ın (1979) ve Keppens’in (1988)
çalışmalarından yola çıkarak Baker ve ark. (1991) tarafından geliştirilen metodun bir
uyarlamasıdır.
Teorem 3.3.1 R bir lokal alterne halka ve I, R nin tersi olmayan elemanlarının oluşturdu-
ğu ideal olsun. Bu durumda noktaların kümesi
N = {(x, y, 1) | x, y ∈ R} ∪ {(1, y, z) | y ∈ R, z ∈ I} ∪ {(w, 1, z) | w, z ∈ I} ,
46
doğruların kümesi
D = {[m, 1, p] | m, p ∈ R} ∪ {[1, n, p] | n ∈ I, p ∈ R} ∪ {[q, n, 1] | q, n ∈ I} ,
olmak üzere, üzerinde olma bağıntısı
• (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]⇔ y = xm+ p,
• (x, y, 1) ◦ [1, n, p]⇔ x = yn+ p,
• (x, y, 1) ø [q, n, 1] ,
• (1, y, z) ◦ [m, 1, p]⇔ y = m+ zp,
• (1, y, z) ◦ [q, n, 1]⇔ z = q + yn,
• (1, y, z) ø [1, n, p] ,
• (w, 1, z) ◦ [1, n, p]⇔ w = n+ zp,
• (w, 1, z) ◦ [q, n, 1]⇔ z = wq + n,
• (w, 1, z) ø [m, 1, p] ,
biçiminde ve komşuluk bağıntısı noktalar ve doğrular için
• (x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3)⇔ xi − yi ∈ I, i = 1, 2, 3,
• [a1, a2, a3] ∼ [b1, b2, b3]⇔ ai − bi ∈ I, i = 1, 2, 3.
olarak tanımlandığında Π = (N , D, ◦, ∼) geometrik yapısı bir PK-düzlemdir.
Teorem 3.3.1 de verilen PK-düzleme R lokal alterne halkası yardımıyla koordinatlanan
projektif Klingenberg düzlemi denir ve bu PK-düzlem kısaca PK2(R) ile gösterilir.
Blunck (1991) çalışmasında Baker ve ark. (1991) çalışmasında yapılanları özetleyen ve
aşağıda bir uyarlaması verilen teoremi ifade etmiştir.
47
Teorem 3.3.2 Π = (N , D, ◦, ∼) 3.2 başlığı altındaki gibi koordinatlanan bir PK-
düzlem olsun. Bu durumda (R,+, ·) bir lokal alterne halkadır ve I bu lokal alterne
halkanın birim olmayan elemanlarının oluşturduğu idealdir. Tersine, bir R lokal alterne
halkası verildiğinde bu R üzerine PK2(R) projektif Klingenberg düzlemi inşa edilebilir.
Sonuç 3.3.3 Üzerinde olma bağıntısının tanımı gereği PK2(R) de aynı tipten bir nokta
aynı tipten bir doğru üzerinde değildir.
Sonuç 3.3.4 R lokal alterne halkası ve I birim olmayan elemanların kümesi olsun. Bu
takdirde ∀t ∈ I için 1− t ve 1 + t elemanları birer birimdir.
İspat. t ∈ I iken 1 − t ∈ I olduğu kabul edilsin. Lokallik şartı gereği I bir ideal
olduğundan R lokal alterne halkasının bir alt halkasıdır. Bu sebeple
t+ (1− t) = 1 ∈ I
olmalıdır. Fakat
1 · 1 = 1
olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu kabulün yanlış olduğunu gösterir. Yani
t ∈ I⇒ 1− t ∈/ I
sonucu bulunur. 1 + t ∈/ I olduğu benzer biçimde görülür.
3.3.2 Bir Dual Lokal Halka Yardımıyla Elde Edilen PK-Düzlem
Her lokal halka aynı zamanda bir lokal alterne halka olduğundan Teorem 3.3.1 de verilen
inşa etme metodu yardımıyla herhangi bir lokal halka kullanılarak bir PK-düzlem inşa
edilebilir. Bu nedenle R lokal alterne halkası yerine B(ε) dual lokal halkası alındığında
Teorem 3.3.1 geçerli olur. Bu durumda PK2(B(ε)) bir PK-düzlemdir. Aşağıda verilen
48
Teorem 3.3.5 de bu ifade edilmiş ve ileriki bölümlerde PK2(B(ε)) düzlemi için yapılacak
hesaplamalarda kolaylıklar sağlayacağı için ispatı detaylı işlemleri ile birlikte verilmiştir.
Bu tezde özel olarak Teorem 3.3.1 deki R lokal alterne halkası yerine B(ε) dual lokal
halkası alınarak elde edilen PK2(B(ε)) üzerinde durulacaktır.
Teorem 3.3.5 B(ε) bir dual lokal halka ve I bu lokal halkanın tersi olmayan eleman-
larının oluşturduğu ideal olsun. Bu durumda noktalar kümesi
N = {(x, y, 1) |x, y ∈ B(ε)} ∪ {(1, y, z) | y ∈ B(ε), z ∈ I} ∪ {(w, 1, z) | w, z ∈ I},
doğrular kümesi
D = {[m, 1, p] |m, p ∈ B(ε)} ∪ {[1, n, p] | n ∈ I, p ∈ B(ε)} ∪ {[q, n, 1] | q, n ∈ I}.
olarak alınsın. Bu noktalar ve doğrular kümesi için ◦ üzerinde olma bağıntısı
• (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]⇔ y = xm+ p,
• (x, y, 1) ◦ [1, n, p]⇔ x = yn+ p,
• (x, y, 1) ø [q, n, 1] ,
• (1, y, z) ◦ [m, 1, p]⇔ y = m+ zp,
• (1, y, z) ◦ [q, n, 1]⇔ z = q + yn,
• (1, y, z) ø [1, n, p] ,
• (w, 1, z) ◦ [1, n, p]⇔ w = n+ zp,
• (w, 1, z) ◦ [q, n, 1]⇔ z = wq + n,
• (w, 1, z) ø [m, 1, p] ,
biçiminde tanımlansın. Noktalar ve doğrular için komşuluk bağıntısı olarak daha önce
Teorem 3.1.8 de denklik bağıntısı olduğu gösterilen ve
49
• (x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3)⇔ xi − yi ∈ I, i = 1, 2, 3,
• [a1, a2, a3] ∼ [b1, b2, b3]⇔ ai − bi ∈ I, i = 1, 2, 3.
biçiminde tanımlanan ∼ bağıntısı alınsın. Bu durumda elde edilen PK2(B(ε)) = (N ,D,
◦, ∼) geometrik yapısı bir PK-düzlemdir.
İspat. x1, x2, y1, y2, z2, w2 ∈ B olacak biçimde
x = x1 + x2ε, y = y1 + y2ε, z = z2ε, w = w2ε
verilsin. Herhangi bir N ∈ N noktası; 3. tipten bir nokta ise
N = (x, y, 1) = (x1 + x2ε, y1 + y2ε, 1)
formunda, 1. tipten bir nokta ise
N = (1, y, z) = (1, y1 + y2ε, z2ε)
formunda ve son olarak 2. tipten bir nokta ise
N = (w, 1, z) = (w2ε, 1, z2ε)
formundadır.
m1, m2, p1, p2, n2, q2 ∈ B olacak biçimde
m = m1 +m2ε, p = p1 + p2ε, n = n2ε, q = q2ε
verilsin. Herhangi bir d ∈ D doğrusu; 2. tipten bir doğru ise
d = [m, 1, p] = [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
50
formunda, 1. tipten bir doğru ise
d = [1, n, p] = [1, n2ε, p1 + p2ε]
formunda ve son olarak 3. tipten bir doğru ise
d = [q, n, 1] = [q2ε, n2ε, 1]
formundadır.
PK1 ) Keyfı̂ N,M ∈ N , N M noktaları için beş farklı durum söz konusudur:
1. Durum N = (x, y, 1),M = (u, v, 1)
2. Durum N = (x, y, 1),M = (1, v, t)
3. Durum N = (x, y, 1),M = (u, 1, t)
4. Durum N = (1, y, z),M = (1, v, t)
5. Durum N = (1, y, z),M = (u, 1, t)
Şimdi bu durumların hepsi ayrı ayrı incelenecektir.
1. Durum: N = (x, y, 1), M = (u, v, 1) noktalarının ikisi de 3. tipten bir nokta
olduğundan NM doğrusunun 3. tipten bir doğru olamayacağı Sonuç 3.3.3 gereği bel-
lidir. Bu durumda NM doğrusu ya 1. tipten ya da 2. tipten bir doğrudur. N  M
olduğundan komşuluk bağıntısının kuruluşu gereği
x− u ∈/ I ∨ (x− u ∈ I ∧ y − v ∈/ I)
olacağı anlaşılır.
51
1.Hal: x − u ∈/ I olsun. Bu durumda araştırılan NM doğrusu 1. tipten olamaz. Aksi
halde NM = [1, n, p] olsaydı;
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ x = yn+ p (3.3.1)
ve
M ◦NM ⇔ (u, v, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ u = vn+ p (3.3.2)
olacağından (3.3.1) ve (3.3.2) nolu eşitliklerden
x− u = (y − v)n (3.3.3)
elde edilirdi. (3.3.3) eşitliğinde sağ taraf (n ∈ I olduğundan) I idealinin elemanı ol-
masına rağmen, sol taraf x−u ∈/ I olduğundan bu eşitlik geçerli değildir. Bu durum NM
doğrusunun 1. tipten olması kabulü ile çelişir.
Şimdi NM doğrusunun 2. tipten olması durumu incelenecektir.
NM = [m, 1, p] için
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ y = xm+ p (3.3.4)
52
ve
M ◦NM ⇔ (u, v, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ v = um+ p (3.3.5)
olacağından (3.3.4) ve (3.3.5) nolu eşitliklerden
y − v = (x− u)m (3.3.6)
sonucu elde edilir. x − u ∈/ I olduğundan birimdir yani (x − u)−1 ∈ B(ε) vardır. Bu
nedenle
m = (x− u)−1(y − v)
olduğu görülür. Bulunan bu m değeri (3.3.4) eşitliğinde kullanılarak
p = y − x((x− u)−1(y − v))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [(x− u)−1(y − v), 1, y − x((x− u)−1(y − v))]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
2. Hal: x − u ∈ I ∧ y − v ∈/ I olsun. Bu durumda araştırılan NM doğrusu 2. tipten
olamaz. Aksi halde NM = [m, 1, p] olsaydı;
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ y = xm+ p (3.3.7)
53
ve
M ◦NM ⇔ (u, v, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ v = um+ p (3.3.8)
olacağından (3.3.7) ve (3.3.8) nolu eşitliklerden
y − v = (x− u)m (3.3.9)
elde edilirdi. (3.3.9) eşitliğinde sağ taraf (x − u ∈ I olduğundan) I idealinin elemanı
olması rağmen, sol taraf y− v ∈/ I olduğundan bu eşitlik geçerli değildir. Bu durum NM
doğrusunun 2. tipten olması kabulü ile çelişir.
Şimdi NM doğrusunun 1. tipten olması durumu incelenecektir.
NM = [1, n, p] için
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ x = yn+ p (3.3.10)
ve
M ◦NM ⇔ (u, v, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ u = vn+ p (3.3.11)
olacağından (3.3.10) ve (3.3.11) nolu eşitliklerden
x− u = (y − v)n (3.3.12)
54
elde edilir. y − v ∈/ I olduğundan birimdir yani (y − v)−1 ∈ B(ε) vardır. Bu nedenle
n = (y − v)−1(x− u)
olduğu görülür. Bulunan bu n değeri (3.3.10) eşitliğinde kullanılarak
p = x− y((y − v)−1(x− u))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [1, (y − v)−1(x− u), x− y((y − v)−1(x− u))]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
2. Durum: N = (x, y, 1),M = (1, v, t) iken NM doğrusunun 3. tipten ve 1. tipten
bir doğru olamayacağı Sonuç 3.3.3 gereği bellidir. Şimdi NM doğrusunun 2. tipten ol-
ması durumu araştırılacaktır.
NM = [m, 1, p] için
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ y = xm+ p (3.3.13)
ve
M ◦NM ⇔ (1, v, t) ◦ [m, 1, p]
⇔ v = m+ tp (3.3.14)
55
olur. (3.3.13) eşitliğinden elde edilen
y − xm = p (3.3.15)
denklemi (3.3.14) nolu eşitlikte yerine yazılırsa
v = m+ t(y − xm)⇒ v = m+ ty − t(xm) (3.3.16)
elde edilir. Burada t, x,m ∈ B(ε) ve B(ε) bir lokal halka olduğundan birleşme özelliği
gereği t(xm) = (tx)m eşitliği geçerlidir. 2 Bu nedenle (3.3.16) eşitliğinden
v − ty = m− (tx)m⇒ v − ty = (1− tx)m (3.3.17)
olduğu görülür. Sonuç 3.3.4 gereği tx ∈ I iken 1− tx ∈/ I olduğundan (1− tx)−1 ∈ B(ε)
vardır. (3.3.17) eşitliğinden
m = (1− tx)−1(v − ty)
olduğu görülür. Bulunan m değeri (3.3.15) eşitliğinde kullanılarak
p = y − x((1− tx)−1(v − ty))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [(1− tx)−1(v − ty), 1, y − x((1− tx)−1(v − ty))]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
2Burada her ne kadar bir lokal halka üzerinde koordinatlama yapıldığı için çarpma işleminin birleşme
özelliği kullanılıyorsa da literatürde Baker ve ark. (1991) birleşme özelliğinin olmadığı lokal alterne
halkalar ile koordinatlanan geometrik yapılarda da PK1) şartının sağlandığını uzun işlemler neticesinde
göstermişlerdir.
56
3. Durum: N = (x, y, 1),M = (u, 1, t) iken NM doğrusunun 3. tipten ve 2. tipten
bir doğru olamayacağı Sonuç 3.3.3 gereği bellidir. Şimdi NM doğrusunun 1. tipten ol-
ması durumu incelenecektir.
NM = [1, n, p] için
N ◦NM ⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ x = yn+ p (3.3.18)
ve
M ◦NM ⇔ (u, 1, t) ◦ [1, n, p]
⇔ u = n+ tp (3.3.19)
olur. (3.3.18) eşitliğinden elde edilen
x− yn = p (3.3.20)
denklemi (3.3.19) nolu eşitlikte yerine yazılırsa
u = n+ t(x− yn)⇒ u = n+ tx− t(yn) (3.3.21)
elde edilir. Burada t, y, n ∈ B(ε) ve B(ε) bir lokal halka olduğundan birleşme özelliği
gereği t(yn) = (ty)n eşitliği geçerlidir. Bu nedenle (3.3.21) eşitliğinden
u− tx = n− (ty)n⇒ u− tx = (1− ty)n (3.3.22)
olduğu görülür. Sonuç 3.3.4 gereği ty ∈ I iken 1− ty ∈/ I olduğundan (1− ty)−1 ∈ B(ε)
57
vardır. (3.3.22) eşitliğinden
n = (1− ty)−1(u− tx)
olduğu görülür. Bulunan n değeri (3.3.20) eşitliğinde kullanılarak
p = x− y((1− ty)−1(u− tx))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [1, (1− ty)−1(u− tx), x− y((1− ty)−1(u− tx))]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
4. Durum: N = (1, y, z),M = (1, v, t) noktalarının ikisi de 1. tipten bir nokta
olduğundan NM doğrusunun 1. tipten bir doğru olamayacağı Sonuç 3.3.3 gereği belli-
dir. Yani NM doğrusu ya 2. tipten ya da 3. tipten bir doğrudur. N  M olduğundan
komşuluk bağıntısının kuruluşu gereği
y − v ∈/ I ∧ z − t ∈ I
olacağı anlaşılır.
Bu durumda araştırılan NM doğrusu 2. tipten olamaz. Aksi halde NM = [m, 1, p]
olsaydı;
N ◦NM ⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p]
58
⇔ y = m+ zp (3.3.23)
ve
M ◦NM ⇔ (1, v, t) ◦ [m, 1, p]
⇔ v = m+ tp (3.3.24)
olacağından (3.3.23) ve (3.3.24) nolu eşitliklerden
y − v = (z − t)p (3.3.25)
elde edilirdi. (3.3.25) eşitliğinde sağ taraf (z, t ∈ I olduğundan) I idealinin elemanı ol-
masına rağmen, sol taraf y− v ∈/ I olduğundan bu eşitlik geçerli değildir. Bu durum NM
doğrusunun 2. tipten olması kabulü ile çelişir.
Son olarak NM doğrusunun 3. tipten olması durumu incelenecektir.
NM = [q, n, 1] için
N ◦NM ⇔ (1, y, z) ◦ [q, n, 1]
⇔ z = q + yn (3.3.26)
ve
M ◦NM ⇔ (1, v, t) ◦ [q, n, 1]
⇔ t = q + vn (3.3.27)
59
olacağından (3.3.26) ve (3.3.27) nolu eşitliklerden
z − t = (y − v)n (3.3.28)
elde edilir. y − v ∈/ I olduğundan birimdir yani (y − v)−1 ∈ B(ε) vardır. Bu nedenle
n = (y − v)−1(z − t)
olduğu görülür. Bulunan bu n değeri (3.3.26) eşitliğinde kullanılarak
q = z − y((y − v)−1(z − t))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [z − y((y − v)−1(z − t), (y − v)−1(z − t), 1)]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
5. Durum: N = (1, y, z),M = (u, 1, t) noktalarının birisi 1. tipten ve diğeri 2. tipten bir
nokta olduğundan NM doğrusunun 1. tipten ve 2. tipten bir doğru olamayacağı Sonuç
3.3.3 gereği bellidir. Şimdi NM doğrusunun 3. tipten olması durumu incelenecektir.
NM = [q, n, 1] için
N ◦NM ⇔ (1, y, z) ◦ [q, n, 1]
⇔ z = q + yn (3.3.29)
ve
M ◦NM ⇔ (u, 1, t) ◦ [q, n, 1]
60
⇔ t = uq + n (3.3.30)
olur. (3.3.30) eşitliğinden elde edilen
t− uq = n (3.3.31)
denklemi (3.3.29) nolu eşitlikte yerine yazılırsa
z = q + y(t− uq)⇒ z = q + yt− y(uq) (3.3.32)
elde edilir. Burada y, u, q ∈ B(ε) ve B(ε) bir lokal halka olduğundan birleşme özelliği
gereği y(uq) = (yu)q eşitliği geçerlidir. Bu nedenle (3.3.32) eşitliğinden
z − yt = q − (yu)q ⇒ z − yt = (1− yu)q (3.3.33)
olduğu görülür. Sonuç 3.3.4 gereği yu ∈ I iken 1−yu ∈/ I olduğundan (1−yu)−1 ∈ B(ε)
vardır. (3.3.33) eşitliğinden
q = (1− yu)−1(z − yt)
olduğu görülür. Bulunan q değeri (3.3.30) eşitliğinde kullanılarak
n = t− u((1− yu)−1(z − yt))
sonucu bulunur. Böylece
NM = [(1− yu)−1(z − yt), t− u((1− yu)−1(z − yt)), 1]
doğrusunun tek olarak (N veM noktalarının koordinatları yardımıyla) belli olduğu görülür.
PK2) Bu şartın doğru olduğunu göstermek için, noktalar için PK1) de yapılan işlemlerin
61
benzerleri kolayca yapılabilmektedir. İşlemler ve düşünceler tamamıyla PK1) dekilerin
benzeri olduğundan tezde yer kaplamaması bakımından PK2) nin ispatı verilmeyecektir.
PK3) Teorem 3.1.8 ile ∼ bağıntısının N ve D üzerinde bir denklik bağıntısı olduğu
gösterilmişti. Böylece ∼ denklik bağıntısına karşılık gelen kanonik dönüşüm
ϕ : N −→ N ′ = N / ∼
D −→ D′ = D/ ∼
tanımlıdır. Her N1, N2 ∈ N ve her d1, d2 ∈ D için
N1 ∼ N2 ⇔ ϕ(N1) = ϕ(N2)
ve
d1 ∼ d2 ⇔ ϕ(d1) = ϕ(d2)
olur. Üzerinde olma bağıntısı N ∈ N ve d ∈ D için
ϕ(N) ◦′ ϕ(d)⇔ (∃N1)[(N1 ∈ [N ] ∧ ((∃d1)(d1 ∈ [d] ∧N1 ◦ d1)))]
biçiminde tanımlandığında elde edilen P = (N ′, D′, ◦′) geometrik yapısının bir projek-
tif düzlem olduğu gösterilmelidir.
P1)N ′ kümesindeki noktalar,N / ∼ bölüm grubunun elemanları olduğundan, PK-düzlem-
deki N noktalar kümesi üzerinde ∼ komşuluk bağıntısına göre bir denklik sınıfıdır. Yani
keyfı̂ Ni, Nj ∈ N için
Ni ∼ Nj ⇒ Nj ∈ [Ni] = N
62
olur. Bu kısımda PK-düzlemlerdeki aynı komşuluktaki noktaların herbiri indislerle gös-
terilirken bunların denklik sınıfı yaniϕ yapı dönüşümü altındaki görüntüleri sadece karşılık
gelen büyük harfle gösterilecektir. Benzer biçimde D′ kümesindeki doğrular, D/ ∼
bölüm grubunun elemanları olduğundan, PK-düzlemdeki D doğrular kümesi üzerinde ∼
komşuluk bağıntısına göre bir denklik sınıfıdır. Yani keyfı̂ di, dj ∈ D için
di ∼ dj ⇒ dj ∈ [di] = d
olur. Bu kısımda noktalara benzer biçimde PK-düzlemlerdeki aynı komşuluktaki doğrula-
rın herbiri indislerle gösterilirken bunların denklik sınıfı yani ϕ yapı dönüşümü altındaki
görüntüleri sadece karşılık gelen küçük harfle gösterilecektir. Yani
M,N ∈ N ′ ve c, d ∈ D′ için
M = {M1,M2, ...}, N = {N1, N2, . . .}, c = {c1, c2, . . .}, d = {d1, d2, . . .}
biçiminde gösterilecektir. M,N, c ve d nin eleman sayılarıyla ilgili daha detaylı bilgiler
Drake ve Lenz ’in (1975) sonlu Klingenberg düzlemleri üzerine yaptıkları çalışmalarında
bulunabilir.
M,N ∈ N ′ farklı keyfı̂ iki nokta olsun. M1 ∈ M,N1 ∈ N için M1  N1 olduğundan
PK1) gereği M1N1 = d1 ∈ D doğrusu vardır. Aynı zamanda ϕ : D −→ D′ olduğundan
ϕ(d1) = d ∈ D′ dür. Burada P geometrik yapısındaki üzerinde olma bağıntısı olan ◦′
tanımından dolayı
M1 ◦ d1 ⇒ ϕ(M1) ◦′ ϕ(d1)
N ′1 ◦ d1 ⇒ ϕ(N1) ◦ ϕ(d1)
63
olur ve
ϕ(M1) = M,ϕ(N1) = N,ϕ(d1) = d
olduğundan
ϕ(M1)ϕ(N1) = ϕ(d1)⇒MN = d
sonucu bulunur.
Böylece N ′ de alınan farklı keyfı̂ noktalar için D′ de bunları birleştiren bir tek doğrunun
var olduğu gösterilir.
P2) Bu şartın doğru olduğunu göstermek için, noktalar için P1) de yapılan işlemlerin
benzerleri kolayca yapılabilir.
P3) 0, 1 ∈ B(ε) olduğu için
N1 = (0, 0, 1), N2 = (1, 0, 0), N3 = (0, 1, 0), N4 = (1, 1, 1)
noktaları PK2(B(ε)) geometrik yapısındadır. N1, N2, N3, N4 ∈ N noktalarından her-
hangi ikisinin aynı komşulukta olmadığı gösterildikten sonra bu noktaların yapı dönüşü-
mü altındaki görüntülerinden herhangi üçünün doğrudaş olmadığı gösterilecektir.
64
N1 ∼ N2 ⇔ (0, 0, 1) ∼ (1, 0, 0)⇔ 1 ∈ I
N1 ∼ N3 ⇔ (0, 0, 1) ∼ (0, 1, 0)⇔ 1 ∈ I
N1 ∼ N4 ⇔ (0, 0, 1) ∼ (1, 1, 1)⇔ 1 ∈ I
N2 ∼ N3 ⇔ (1, 0, 0) ∼ (0, 1, 0)⇔ 1 ∈ I
N2 ∼ N4 ⇔ (1, 0, 0) ∼ (1, 1, 1)⇔ 1 ∈ I
N3 ∼ N4 ⇔ (0, 1, 0) ∼ (1, 1, 1)⇔ 1 ∈ I
1 ∈/ I olduğundan N1, N2, N3, N4 noktaları ikişer ikişer farklı komşuluktadırlar.
N2N3 = [0, 0, 1]
olduğu basit hesaplamalarla bulunur. Şimdi N2N3 doğrusunun üzerindeki noktalardan
herhangi birinin N1 noktasına komşu olup olmadığı kontrol edilecektir. Önce N2N3
doğrusunun üzerindeki noktalar incelenecektir. Üzerinde olma bağıntısından
(x, y, z) ◦ [0, 0, 1]⇔ z = 0
bulunur. Komşuluk bağıntısı gereği
(0, 0, 1) ∼ (x, y, 0)⇔ 1− 0 = 1 ∈ I
elde edilir. Burada 1 ∈/ I olduğundan bu önerme yanlıştır. Yani N1 noktası N2N3 doğrusu
üzerindeki (x, y, 0) noktalarından hiçbirine komşu değildir. Bu durumda
N1  N2N3
65
olur. Bundan dolayı Teorem 2.2.21 gereği
ϕ(N1) ø
′ ϕ(N2N3)
sonucu elde edilir. Bu sonuç, ϕ(N1), ϕ(N2), ϕ(N3) noktalarının doğrudaş olmadığını
gösterir.
N2N4 = [0, 1, 1]
olduğu basit hesaplamalarla görülür. Şimdi N2N4 doğrusunun üzerindeki noktalardan
herhangi birinin N1 noktasına komşu olup olmadığı kontrol edilecektir. Önce N2N4
doğrusunun üzerindeki noktalar incelenecektir. Üzerinde olma bağıntısından
(x, y, z) ◦ [0, 1, 1]⇔ y = z
bulunur. Komşuluk bağıntısı gereği
(x, a, a) ∼ (0, 0, 1)⇔ (x ∈ I ∧ a ∈ I ∧ a− 1 ∈ I)
elde edilir. Burada Sonuç 3.3.4 gereği a ∈ I ∧ a − 1 ∈ I önermesi yanlıştır. Yani N1
noktasıN2N4 doğrusunun üzerindeki (x, a, a) noktalarından hiçbirine komşu değildir. Bu
durumda
N1  N2N4
olur. Bundan dolayı Teorem 2.2.21 gereği
ϕ(N1) ø
′ ϕ(N2N4)
sonucu elde edilir. Bu sonuç, ϕ(N1), ϕ(N2), ϕ(N4) noktalarının doğrudaş olmadığını
66
gösterir.
N3N4 = [1, 0, 1]
olduğu basit hesaplamalarla görülür. Şimdi N3N4 doğrusunun üzerindeki noktalardan
herhangi birinin N1 noktasına komşu olup olmadığı kontrol edilecektir. Önce N3N4
doğrusunun üzerindeki noktalar incelenecektir. Üzerinde olma bağıntısından
(x, y, z) ◦ [1, 0, 1]⇔ x = z
bulunur. Komşuluk bağıntısı gereği
(a, y, a) ∼ (0, 0, 1)⇔ (a ∈ I ∧ y ∈ I ∧ a− 1 ∈ I)
elde edilir. Burada Sonuç 3.3.4 gereği a ∈ I ∧ a − 1 ∈ I önermesi yanlıştır. Yani N1
noktasıN3N4 doğrusunun üzerindeki (a, y, a) noktalarından hiçbirine komşu değildir. Bu
durumda
N1  N3N4
olur. Bundan dolayı Teorem 2.2.21 gereği
ϕ(N ) ø′1 ϕ(N3N4)
sonucu elde edilir. Bu sonuç, ϕ(N1), ϕ(N3), ϕ(N4) noktalarının doğrudaş olmadığını
gösterir.
N3N4 = [1, 0, 1]
olduğu basit hesaplamalar ile görülür. Şimdi N3N4 doğrusunun üzerindeki noktalardan
67
herhangi birininN2 noktasına komşu olup olmadığı kontrol edilecektir. N3N4 doğrusunun
üzerindeki noktaların (a, y, a) tipinde olduğu gösterildi. Komşuluk bağıntısı gereği
(a, y, a) ∼ (1, 0, 0)⇔ (a− 1 ∈ I ∧ y ∈ I ∧ a ∈ I)
elde edilir. Burada Sonuç 3.3.4 gereği a − 1 ∈ I ∧ a ∈ I önermesi yanlıştır. Yani N2
noktasıN3N4 doğrusunun üzerindeki (a, y, a) noktalarından hiçbirine komşu değildir. Bu
durumda
N2  N3N4
olur. Bundan dolayı Teorem 2.2.21 gereği
ϕ(N2) ø
′ ϕ(N3N4)
sonucu elde edilir. Bu sonuç, ϕ(N2), ϕ(N3), ϕ(N4) noktalarının doğrudaş olmadığını
gösterir.
Böylelikle ϕ(N1), ϕ(N2), ϕ(N3), ϕ(N ′4) ∈ N noktalarından herhangi üçünün doğrudaş
olmadığı anlaşılır.
P1), P2) ve P3) şartları sağlandığından P = (N ′, D′, ◦′) geometrik yapısı bir projektif
düzlemdir.
3.4 PK2(B(ε)) Düzleminde Bazı Sonuçlar
B bölümlü halkasından elde edilen B(ε) dual lokal halkası kullanılarak inşa edilen PK-
düzlemlerde üzerinde olma bağıntısının ve komşuluk bağıntısının incelenmesi neticesinde
aşağıdaki sonuçlar ve teoremler ortaya çıkmıştır.
68
Sonuç 3.3.4 den elde edilen komşuluk bağıntısı ile ilgili bazı özellikler aşağıda verile-
cektir.
Sonuç 3.4.1 Verilen birB(ε) dual lokal halkasıyla koordinatlanan PK2(B(ε)) = (N ,D, ◦,∼)
PK-düzlemi için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
• (x, y, 1)  (1, y, z) ,
• (x, y, 1)  (w, 1, z) ,
• (1, y, z)  (w, 1, z) ,
• (x, y, 1) ∼ (u, v, 1)⇔ (x− u ∈ I, y − v ∈ I) ,
• (1, y, z) ∼ (1, v, t)⇔ y − v ∈ I,
• (w, 1, z) ∼ (u, 1, t),
• [m, 1, p]  [1, n, p],
• [m, 1, p]  [q, n, 1],
• [1, n, p]  [q, n, 1],
• [m, 1, p] ∼ [u, 1, t]⇔ (m− u ∈ I, p− t ∈ I),
• [1, n, p] ∼ [1, v, t]⇔ p− t ∈ I,
• [q, n, 1] ∼ [u, v, 1].
Sonuç 3.4.2 Aşağıdaki önermelerin birbirlerine denk oldukları t ∈ I iken 1 − t ∈/ I
özelliğinden kolayca görülebilir
1) Farklı tipten noktalar ve doğrular birbirleriyle komşu değildir.
2) Aynı komşuluktaki iki nokta ya da doğru aynı tiptedir.
69
Dayıoğlu ve Çelik (2011) çalışmasında B(ε) dual lokal halkası yerine daha özel bir örnek
olarak Q(ε) dual kuaterniyonlar halkası alınarak koordinatlanan PK2(Q(ε)) düzleminde
bulunan bir teorem uyarlama olarak aşağıda verilecektir.
Teorem 3.4.3 PK2(B(ε)) düzleminde aşağıdaki özellikler sağlanır.
1) (x1 + x2ε, y1 + y2ε, 1) ◦ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
⇔ y1 = x1m1 + p1, y2 = x2m1 + x1m2 + p2
2) (x1 + x2ε, y1 + y2ε, 1) ◦ [1, n2ε, p1 + p2ε]⇔ x1 = p1, x2 = y1n2 + p2
3) (1, y1 + y2ε, z2ε) ◦ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]⇔ y1 = m1, y2 = m2 + z2p1
4) (1, y1 + y2ε, z2ε) ◦ [q2ε, n2ε, 1]⇔ z2 = q2 + y1n2
5) (w2ε, 1, z2ε) ◦ [1, n2ε, p1 + p2ε]⇔ w2 = n2 + z2p1
6) (w2ε, 1, z2ε) ◦ [q2ε, n2ε, 1]⇔ z2 = n2
7) (a1 + a2ε, b1 + b2ε, 1) ∼ (c1 + c2ε, d1 + d2ε, 1)⇔ c1 = a1 ∧ d1 = b1
8) (1, a1 + a2ε, b2ε) ∼ (1, c1 + c2ε, d2ε)⇔ c1 = a1
9) Her a2, b2, c2, d2 ∈ B için (a2ε, 1, b2ε) ∼ (c2ε, 1, d2ε).
Buraya kadar verilen bilgiler ışığında kolayca gösterilebilen ama literatürde ispatına rast-
layamadığımız bir sonuç aşağıda teorem olarak verilecektir.
Teorem 3.4.4 Π = (N , D, ◦, ∼) PK-düzleminde c1, c2, d1, d2 ∈ D olmak üzere
c1 ∼ c2
d1 ∼ d2
ve
(∀ i, j)(i, j ∈ {1, 2} ⇒ ci  dj)
olarak seçilen doğru çiftlerinin karşılıklı arakesit noktaları aynı komşuluktadır.
70
İspat. c1, c2 ve d1, d2 doğru çiftleri için PK2) şartı gereği var olduğu bilinen arakesit
noktaları
c1 ∧ d1 = N1, c2 ∧ d1 = N2, c2 ∧ d2 = N3, c1 ∧ d2 = N4
olsun. PK3) şartı gereği
ϕ(c1) = ϕ(c2) = c
ve
ϕ(d1) = ϕ(d2) = d
olacak biçimde c, d ∈ D′ doğruları P = (N ′,D′, ◦′) projektif düzleminde vardır ve
c ∧ d = N noktası tek türlü olarak bellidir.
Şekil 3.9. Aynı Komşuluktaki Doğru Çiftlerinin Arakesitlerinin Görüntüsü
N1 ◦ c1 ve N1 ◦ d1 için ϕ dönüşümü geometrik yapı epimorfizmi olduğundan ve lineerlik
şartını sağladığından
ϕ(N1) ◦ ϕ(c1)
71
ve
ϕ(N1) ◦ ϕ(d1)
dir. Bundan dolayı
ϕ(N1) = ϕ(c1) ∧ ϕ(d1)
olur. ϕ(c1) = c ve ϕ(d1) = d olduğundan
ϕ(N1) = c ∧ d (3.4.1)
olduğu görülür.
Benzer işlemler ile 2 ≤ i ≤ 4 için ϕ(Ni) = c ∧ d olduğu görülür. Bu durumda N1,
N2, N3 ve N4 noktalarının ϕ yapı dönüşümü altındaki görüntüleri eşit olduğundan aynı
komşulukta oldukları sonucuna ulaşılır.
72
4. TOPLAMA ve ÇARPMA İŞLEMLERİNİN DÜZLEM GEOMETRİDEKİ
KARŞILIKLARI
Bu bölümde cebirsel işlemler olan toplama ve çarpma işlemlerinin farklı düzlemlerdeki
geometrik yorumlarına değinilecektir.
4.1 Reel Afin Düzlemde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Geometrik Yorumu
M.Ö. 300’lü yıllar civarında yaşamış olan İskenderiyeli Öklid, Elemanlar adlı eserinde,
bugün kısaca “düzlem” dediğimizde akla gelen “Öklid düzlemi”, “Reel (afin) düzlem”
ya da “analitik düzlem” adlarıyla bilinen, düzlem tanımını ilk defa yapmak için tanımsız
bazı kavramlardan ve beş adet aksiyomdan faydalanmıştır. Bu aksiyomlardan üzerine en
çok tartışılanı ve en meşhur olanı “paralellik aksiyomu” adıyla bilinen beşinci aksiyom-
dur. Bu aksiyomda Öklid “Eğer bir düz doğru iki düz doğruyu kesiyor ve bu kesişimde
aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçük kalıyorsa, bu iki doğru sonsuz
uzatıldığında açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişirler.” ifadesini kullansa
da daha kolay anlaşılması için İskoç bilim adamı John Playfair tarafından bu ifadeye denk
oladuğu gösterilen “Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel (doğru) çizilebilir.”
ifadesi daha çok kullanılmıştır. Beşinci aksiyom üzerinde bilim adamlarınca yapılan uzun
tartışmalar ve farklı yaklaşımlar neticesinde 1800’lü yıllarda Bolyai, Lobachevsky ve Rie-
mann gibi öncülerin liderliğinde bu tezin de ana konusu olan gayri Öklidyen geometriler
geliştirilmiştir.
Öklid ve diğer bazı matematikçiler doğru parçalarının uzunluklarını birbirlerine ekle-
yerek ve çarparak cebirsel geometrinin tarihteki ilk dayanak noktalarını oluşturmuşlardır.
Öklid düzleminin daha sonraları çeşitli gelişmelerle günümüzde analitik düzlem adıyla
bilinen halini almasıyla cebirsel geometri daha rahat anlaşılmış ve geliştirilmiştir. Özel
olarak x-eksenindeki ve y-eksenindeki noktalar R reel sayılar kümesi ile birebir eşlenmiş
olduklarından Öklid düzleminde noktalar geometrik olarak da toplanabilir ve çarpılabilir.
73
Bu başlık altında önce aslında Öklid düzlemi olan reel afin düzlemde toplama ve çarpma
işlemlerinin geometrik yorumları üzerinde durulacaktır. Toplama işlemi, paralelkenarlar
yardımıyla uzunlukların yer değiştirmesiyle yapılmakla beraber çarpma işlemi, orantılı
doğru parçaları ve üçgenlerin benzerlikleri kullanılarak geometrik anlam kazanmaktadır.
4.1.1 Reel Afin Düzlemde Toplama
Reel afin düzlemde x-ekseni üzerindeki A = (a, 0) ve B = (b, 0) noktaları verilsin.
A noktasından geçip x-eksenine dik olan [a] doğrusu ile O = (0, 0) orjinden geçen y-
ekseninden yani [0] doğrusundan farklı ve eğimi keyfı̂ birm sayısı olan [m, 0] doğrusunun
arakesit noktası K olsun. Gerekli hesaplamalar yapıldığında K noktasının koordinat-
larının (a,ma) olduğu görülür.
K = (a,ma) noktasından geçip y-eksenine dik olan [0,ma] doğrusu ile B = (b, 0)
noktasından geçen ve eğimi daha önce [m, 0] doğrusunun eğimi için kullanılan m sayısı
olan [m,−mb] doğrusunun arakesit noktasına L adı verilsin. L noktasının koordinatları
da gerekli hesaplamalar yapıldığında (a+ b,ma) olarak bulunur.
L = (a + b,ma) noktasının x-ekseni üzerine dik izdüşümü alınacak olursa x-ekseni
üzerindeki [a + b] ∧ [0, 0] noktası elde edilir ki bu noktanın koordinatları (a + b, 0)
olduğundan, bu nokta A+B toplamının koordinatları olarak tanımlanır.
Yani
A+B = (a, 0) + (b, 0)
= (a+ b, 0)
olur.
74
Şekil 4.1. Reel Afin Düzlemde Toplama
Şekil 4.1 de yer alan OKLB paralelkenarı özel oluşturulmuş bir paralelkenardır. Burada
OB ve KL kenarlarının uzunluğu x-ekseni üzerindeki AR doğru parçasının uzunluğu ile
aynı olduğundan Şekil 3.1 de uzunluğu a+ b olan A+B noktasını bulmak için, uzunluğu
a olan OA doğru parçasının ucuna yine x-ekseni üzerinde olan ve uzunluğu OB doğru
parçasınınki ile aynı yani b olan AR doğru parçası eklenmiş ve böylece koordinatları
(a+ b, 0) olan R noktası tespit edilmiş olur.
4.1.2 Reel Afin Düzlemde Çarpma
Reel afin düzlemde x-ekseni üzerindeki noktaların çarpımının geometrik yorumu toplama
için yapılan geometrik yorumdan oldukça farklıdır.
Şimdi reel afin düzlemde verilenA = (a, 0) veB = (b, 0) noktaları için çarpma işleminin
geometrik yorumu özet olarak verilecektir.
B = (b, 0) noktasından geçip x-eksenine dik olan [b] doğrusu ile 1 = (1, 0) noktasından
75
geçip x-eksenine dik olmayan yani [1] den farklı, eğimi keyfı̂ bir m reel sayısı olan
[m,−m] doğrusunun arakesit noktasınaM adı verilsin. M noktasının koordinatları gerekli
hesaplamalar yapıldığında (b,mb−m) olarak bulunur.
mb−m
M = (b,mb − m) noktası ile O = (0, 0) noktasından geçen [ ,−ma] doğrusu
b
ile A = (a, 0) noktasından geçen x-eksenine dik olmayan ve eğimi m olan [m,−ma]
doğrusunun arakesit noktasına N adı verilsin. N noktasının koordinatları da gerekli
hesaplamalar yapıldığında (ab,ma(b− 1)) olarak bulunur.
N = (ab,ma(b− 1)) noktasının x-ekseni üzerine dik izdüşümü alınacak olursa x-ekseni
üzerindeki [ab]∧ [0, 0] noktası elde edilir ki bu noktanın koordinatları (ab, 0) olduğundan,
bu nokta A ·B çarpımının koordinatları olarak tanımlanır.
Yani
A ·B = (a, 0) · (b, 0)
= (ab, 0)
olur.
76
Şekil 4.2. Reel Afin Düzlemde Çarpma
4 4 4 4
Şekil 4.2 de yer alanOM1 veONA benzer üçgenleri ileOMB veONR benzer üçgenleri
4 4
özel olarak oluşturulmuş üçgenlerdir. OM1 veONA üçgenleri arasındaki benzerlik oranı
|OM | |O1| 1
= =
|ON | |OA| a
4 4
dır. Benzer biçimde OMB ve ONR üçgenleri arasındaki benzerlik oranı
|OM | |OB| b
= =
|ON | |OR| r
dir. Bundan dolayı
( )
|OM | 1 ∧ |OM | b= = ⇒ r = ab
|ON | a |ON | r
olarak bulunur. Böylece koordinatları (ab, 0) olan R noktası tespit edilmiş olur.
Bu konuda daha detaylı bilgi için Bennett (1995) çalışması ve Bayraktar (2012) tezi ince-
77
lenebilir.
4.2 Reel Projektif Düzlemde Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Geometrik Yorumu
Veblen ve Young (1910) ile Coxeter (1949) eserlerinde toplama ve çarpma cebirsel işlem-
lerinin projektif geometri ile ilişkilerinden bahsedilirken, bu konudaki ilk çalışma örnek-
lerinin Von Staudt (1847) tarafından verildiği ve Hessenberg (1905) çalışmasında Von
Staudt’ un yaptığı çalışmayı daha basitleştirdiği, gene aynı konuda O’hara ve Ward (1937)
gibi çalışmaların olduğu anlaşılmaktadır.
Bu başlık altında bir projektif düzlem örneği olarak ilk bölümde tanıtılan reel projektif
düzlemde toplama ve çarpma işlemlerinin geometrik yorumu üzerinde durulacaktır.
4.2.1 Reel Projektif Düzlemde Toplama
P2R de, x-eksenine karşılık gelen, [0, 1, 0] doğrusu üzerindeA = (a, 0, 1) veB = (b, 0, 1)
noktaları verilsin.
A noktası ile V = (∞) = (0, 1, 0) ideal noktası yardımıyla AV = [1, 0,−a] doğrusu
ve O = (0, 0, 1) orjin noktası ile S = (1, 1, 0) ideal noktası yardımıyla OS = [−1, 1, 0]
doğrusu oluşturulsun. AV ∧OS = K noktası hesaplanırsa K = (a, a, 1) olduğu görülür.
B = (b, 0, 1) noktası ile S = (1, 1, 0) ideal noktası yardımıyla BS = [−1, 1, b] doğrusu
veK = (a, a, 1) noktası ile x-eksenine paralel tüm doğruların üzerindeki ideal nokta olan
U = (1, 0, 0) noktası yardımıyla KU = [0, 1,−a] doğrusu oluşturulsun. BS ∧KU = L
noktası hesaplanırsa L = (a+ b, a, 1) olduğu görülür.
L = (a + b, a, 1) noktası ile V = (0, 1, 0) noktası yardımıyla LV = [1, 0,−a − b]
doğrusu ve x-eksenine karşılık gelen OU = [0, 1, 0] doğrusunun arakesiti bulunarak
A+B = (a+ b, 0, 1) noktası tespit edilir.
78
Yani
A+B = (a, 0, 1) + (b, 0, 1)
= (a+ b, 0, 1)
dir.
Şekil 4.3. P2R de Toplama
4.2.2 Reel Projektif Düzlemde Çarpma
P2R reel projektif düzleminde x-eksenine karşılık gelen [0, 1, 0] doğrusu üzerinde verilen
A = (a, 0, 1) ve B = (b, 0, 1) noktaları için çarpma işleminin geometrik yorumu özet
olarak verilecektir.
P2R de [0, 1, 0] doğrusu üzerinde bulunan A = (a, 0, 1) ve b 6= 0 olmak üzere B =
(b, 0, 1) noktaları verilsin.3 1 = (1, 0, 1) noktası ile S = (1, 1, 0) ideal noktasından geçen
3b = 0 olması durumunda herhangi bir tanımsızlık söz konusu olmamakla birlikte konunun çok fazla
dağılmaması için buraya bu durum dahil edilmemiştir.
79
1S = [−1, 1, 1] doğrusu ile B = (b, 0, 1) noktası ile V = (0, 1, 0) ideal noktasından
geçen BV = [1, 0,−b] doğrusu oluşturulsun. 1S ∧ BV = M noktası hesaplanırsa
M = (b, b− 1, 1) olduğu görülür.
O = (0, 0, 1) noktası ileM = (b, b−1, 1) noktasından geçenOM = [1−b , 1, 0] doğrusu ve
b
A = (a, 0, 1) noktası ile S = (1, 1, 0) ideal noktasından geçen AS = [−1, 1, a] doğrusu
oluşturulsun. OM ∧ AS = N noktası hesaplanırsa N = (ab, ab− a, 1) olduğu görülür.
N = (ab, ab − a, 1) noktası ile V = (0, 1, 0) noktasını birleştiren NV = [1, 0,−ab]
doğrusu ve x-eksenine karşılık gelen OU = [0, 1, 0] doğrusunun arakesiti bulunarak
A ·B = (ab, 0, 1) noktası tespit edilir.
Yani
A ·B = (a, 0, 1) · (b, 0, 1)
= (ab, 0, 1)
dir.
80
Şekil 4.4. P2R de Çarpma
4.3 PK2(B(ε)) Düzleminde Toplama İşlemi
Bu kısımda verilen bir B bölümlü halkası yardımıyla koordinatlanan PK2(B(ε)) Projek-
tif Klingenberg düzleminde toplama işleminin geometrik yorumu üzerinde durulacaktır.
A2R ve P2R düzlemlerinde x-ekseni üzerindeki noktaların toplamı için yapılan tanımlama
gibi PK2(B(ε)) düzleminde x-ekseni görevi üstlenen OU doğrusu üzerindeki noktaların
toplamı takdim edilecektir. Bu kısmın ikinci ve üçüncü alt başlıklarında toplama işlemi
PK2(B(ε)) düzlemindeki [m, 1, p] ve [1, n, p] tipinden doğruların üzerindeki noktalara
genişletilecektir ve bu kısmın son bölümünde çarpma işlemi üzerinde durulacaktır.
4.3.1 OU Doğrusu Üzerindeki Noktaların Toplama İşlemi
Bu kısımda özel olarak seçilen OU doğrusu üzerindeki noktaların toplamı için verilen
algoritmik tanım bir kaç adımda tamamlanacaktır.
Tanım 4.3.1 A ve B noktaları PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerinde ikisi birden
U ya komşu olmayan iki nokta olsun. UV doğrusu üzerindeki S = (1, 1, 0) noktası
81
yardımıyla
K = AV ∧OS
noktası ve K noktası yardımıyla belirlenen
L = KU ∧BS
noktasını kullanarak A+B noktası
A+B = LV ∧OU
olarak tanımlanır.
Bu işlem Şekil 4.5 ile temsil edilmiştir.
Şekil 4.5. PK2(B(ε)) düzleminde OU Doğrusu Üzerindeki Noktaların Toplamı
Bu tanım Çelik ve Erdoğan (2013) ve Çelik ve Dayıoğlu (2013) çalışmalarında, OU
doğrusu üzerinde birbirlerine komşu olmayan iki nokta için verilmişti. Bu doktora tezinin
82
yazarının ve danışmanının, tez yazım tarihine kadar olan süre içindeki yaptıkları çalışmala-
rında, toplanılacak noktaların ikisinin birden U noktasına komşu olması durumu dışında,
verilen tanımın OU doğrusu üzerindeki birbirlerine komşu olan tüm nokta ikilileri için de
anlamlı olduğu görülmüş ve tanım tezdeki hâlini almıştır.
OU doğrusu üzerinde toplanılacak olan noktaların ikisinin birden U noktasına komşu
olması durumunda tanımda verilen algoritmaya göre elde edilen KU ve BS doğruları
birbirlerine komşu olmaktadır ve bu iki doğrunun kesişim noktası olan L noktasının be-
lirlenmesinde sorunlar ortaya çıkmaktadır.
Aşağıdaki teoremde, daha önce geometrik olarak tanımlanan toplama işleminin, üzerinde
çalışılan geometrik yapıyı koordinatlamada kullanılan cebirsel yapıdaki karşılıkları ince-
lenmiştir. Bu teoremde A ve B noktalarının 3. tip nokta, Z noktasının da 1. tip (yani U
noktasına komşu) bir nokta olduğunu gözden kaçırmamak gerekir.
Teorem 4.3.2 PK2(B(ε)) düzlemindeki OU doğrusu üzerinde verilen
A = (a1 + a2ε, 0, 1)
B = (b1 + b2ε, 0, 1)
ve
Z = (1, 0, z2ε)
noktaları için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
i) A+B = ((a1 + b1) + (a2 + b2)ε, 0, 1) = B + A,
ii) A+ Z = (1, 0, z2ε) = Z = Z + A
İspat. İspatta PK2(B(ε)) düzleminde OU üzerindeki noktalar için verilen toplama tanı-
mındaki işlemlere ait hesaplamalar yapılacaktır.
83
Gerekli hesaplamalar yapılarak
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
OS = [1, 1, 0]
olduğu ve bu doğruların arakesiti olan K noktasının koordinatlarının
K = AV ∧OS = (a1 + a2ε, a1 + a2ε, 1)
olduğu görülür.
Benzer işlemlerle
KU = [0, 1, a1 + a2ε],
BS = [1, 1,−b1 − b2ε]
doğrularının arakesiti olan L noktasının koordinatları
L = KU ∧BS = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a1 + a2ε, 1)
olarak bulunur. L noktası yardımıyla bulunan
LV = [1, 0, a1 + b1 + (a2 + b2)ε]
doğrusu ile
OU = [0, 1, 0]
doğrusunun kesişim noktası A+B olarak tanımlandığından A+B noktasının koordinat-
84
ları
A+B = (a1 + a2ε, 0, 1) + (b1 + b2ε, 0, 1)
= LV ∧OU
= [1, 0, a1 + b1 + (a2 + b2)ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, 0, 1)
olur.
Benzer hesaplamalar A ve B noktalarının rolleri karşılıklı değiştirilerek yapıldığında
BV = [1, 0, b1 + b2ε],
OS = [1, 1, 0]
K = BV ∧OS = (b1 + b2ε, b1 + b2ε, 1)
KU = [0, 1, b1 + b2ε],
AS = [1, 1,−a1 − a2ε]
L = KU ∧ AS = (b1 + a1 + (b2 + a2)ε, b1 + b2ε, 1)
LV = [1, 0, b1 + a1 + (b2 + a2)ε],
OU = [0, 1, 0]
olduğu ve bu nedenleB veA noktalarının toplamı olanB+A noktasının koordinatlarının
B + A = (b1 + b2ε, 0, 1) + (a1 + a2ε, 0, 1)
= LV ∧OU
= [1, 0, b1 + a1 + (b2 + a2)ε] ∧ [0, 1, 0]
= (b1 + a1 + (b2 + a2)ε, 0, 1)
olduğu görülür. Burada a1, a2, b1, b2 ∈ B bölümlü halkasının elemanı olduklarından +
85
işleminin değişme özeliği göz önüne alındığında
B + A = (b1 + a1 + (b2 + a2)ε)
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε)
= A+B
eşitliği kolayca görülür ki bu i) nin doğru olduğunu gösterir.
ii) nin doğru olduğunu göstermek için de yine Tanım 4.3.1 de verilen işlemler yapılacaktır.
Tanımda verilen işlemler yapılarak
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
OS = [1, 1, 0]
K = AV ∧OS = (a1 + a2ε, a1 + a2ε, 1)
KU = [0, 1, a1 + a2ε],
ZS = [z2ε,−z2ε, 1]
L = KU ∧ ZS = (1, (a1z2)ε, z2ε)
LV = [z2ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
olduğu görülür ve buradan
A+ Z = (a1 + a2ε, 0, 1) + (1, 0, z2ε)
= LV ∧OU
= [z2ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, z2ε)
= Z
86
sonucu bulunur. Z + A toplamı için ise tanımda belirtilen
ZV = [z2ε, 0, 1],
OS = [1, 1, 0]
K = ZV ∧OS = (1, 1, z2ε)
KU = [0, z2ε, 1],
AS = [1, 1,−a1 − a2ε]
L = KU ∧ AS = (1, 1− (z2a1)ε, z2ε)
LV = [z2ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
hesaplamaları yapılarak
Z + A = (1, 0, z2ε) + (a1 + a2ε, 0, 1)
= LV ∧OU
= [z2ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, z2ε)
= Z
sonucuna varılır.
Sonuç 4.3.3 PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerindeki
A = (a1 + a2ε, 0, 1),
noktası ve OU doğrusu üzerinde U noktasına komşu olan bir
Z = (1, 0, z2ε)
87
noktası ile O′ ∼ O, O′ ◦OU özelliğindeki
O′ = (x2ε, 0, 1)
noktası için aşağıdaki önermeler doğrudur.
i) A+O = A
ii) O + Z = Z
iii) A+O′ ∼ A.
İspat.
i) Teorem 4.3.2- i)den
A+O = (a1 + a2ε, 0, 1) + (0, 0, 1)
= ((a1 + a2ε) + (0 + 0ε), 0, 1)
= (a1 + a2ε, 0, 1)
= A
olduğu bellidir.
ii) O = (0, 0, 1) noktası 3. tip nokta ve Z = (1, 0, z2ε) noktası 1. tip nokta olduğu
için Teorem 4.3.2 -ii) kullanılarak
O + Z = (0, 0, 1) + (1, 0, z2ε)
= (1, 0, z2ε)
= Z
88
sonucuna ulaşılır.
iii) Teorem 4.3.2- i) den
A+O′ = (a1 + a2ε, 0, 1) + (x2ε, 0, 1)
= (a1 + (a2 + x2)ε, 0, 1)
olduğu görülür. A + O′ = (a1 + (a2 + x2)ε, 0, 1) ve A = (a1 + a2ε, 0, 1) noktaları için
komşuluk bağıntısı gereği
a1 + (a2 + x2)ε− (a1 + a2ε) = x2ε ∈ Bε
olduğundan
A+O′ ∼ A
sonucu bulunur.
(x1 + x2ε, 0, 1), (y1 + y2ε, 0, 1) biçimindeki noktaların aynı komşulukta olabilmesi için
gerek ve yeter şartın x1 = y1 olacağı komşuluk bağıntısı tanımından kolayca görülebilir.
Bu nedenle OU doğrusu üzerinde aynı komşulukta olan 3. tip noktalar için Teorem 4.3.2
den aşağıdaki sonuç elde edilir.
Sonuç 4.3.4 PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerinde birbirlerine komşu olan
A = (a1 + a2ε, 0, 1),
B = (a1 + b2ε, 0, 1)
89
noktaları için
A+B = (a1 + a2ε, 0, 1) + (a1 + b2ε, 0, 1)
= (2a1 + (a2 + b2)ε, 0, 1)
olur.
Tanım 4.3.1 de, OU doğrusu üzerindeki 3. tipten noktaların toplamı, S = (1, 1, 0) noktası
yardımıyla belirlenmiştir. Aşağıdaki teoremde bu toplamı bulmak için S yerine d∞ = UV
doğrusu üzerindeki başka bazı noktaların da alınabileceği gösterilecektir.
Teorem 4.3.5 A ve B noktaları PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerinde ikisi bir-
den U ya komşu olmayan iki nokta olsun. UV doğrusu üzerindeki herhangi bir S ′ =
(1, y1 + y2ε, 0) noktası yardımıyla bulunan K = AV ∧OS ′ ve L = KU ∧BS ′ noktaları
kullanılarak elde edilen LV ∧OU noktası A+B noktasına eşittir.
İspat. A = (a1 + a2ε, 0, 1) ve B = (b1 + b2ε, 0, 1) noktaları için gerekli hesaplamalar
yapılarak
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
OS ′ = [y1 + y2ε, 1, 0]
olduğu ve bu doğruların arakesitinin
K = AV ∧OS ′ = (a1 + a2ε, a1y1 + (a1y2 + a2y1)ε, 1),
olduğu görülür.
90
Benzer biçimde
KU = [0, 1, a1y1 + (a1y2 + a2y1)ε],
BS ′ = [y1 + y2ε, 1,−(b1y1 + (b1y2 + b2y1)ε)]
doğrularının arakesiti ise
L = KU ∧BS ′
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a1 + b1 + (a2 + b2)ε− (b1y1 + (b1y2 + b2y1)ε), 1)
olarak bulunur. Son olarak
LV = [1, 0, a1 + b1 + (a2 + b2)ε],
OU = [0, 1, 0]
doğruları tespit edilir. Bu durumda
LV ∧OU = [1, 0, a1 + b1 + (a2 + b2)ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, 0, 1)
olduğu görülür ki bu Teorem 4.3.2 yardımıyla hesaplanan A+B noktasına eşittir.
91
A = (a1 + a2ε, 0, 1) ve B = (1, 0, z2ε) noktaları için gerekli hesaplamalar yapılarak
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
OS ′ = [y1 + y2ε, 1, 0]
K = AV ∧OS ′ = (a1 + a2ε, a1y1 + (a1y2 + a2y1)ε, 1),
KU = [0, 1, a1y1 + (a1y2 + a2y1)ε],
BS ′ = [z2ε,−y−11 z2ε, 1]
L = KU ∧BS ′ = (1, (z2a1y1)ε, z2ε)
LV = [z2ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
olduğu görülür. Bu durumda
LV ∧OU = [z2ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, z2ε)
= B
sonucu elde edilir ki bu Teorem 4.3.2 yardımıyla hesaplanan A+B noktasına eşittir.
B + A toplamı için de gerekli hesaplamalar yapılarak
92
BV = [z2ε, 0, 1],
OS ′ = [y1 + y2ε, 1, 0]
K = BV ∧OS ′ = (1, y1 + y2ε, z2ε)
KU = [0, y−11 z2ε, 1],
AS ′ = [y1 + y2ε, 1,−(a1y1 + (a1y2 + a2y1)ε)]
L = KU ∧ AS ′ = (1, y1 + (y2 − z2a1y1)ε, z2ε)
LV = [z2ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
olduğu görülür. Bu durumda sonuç olarak
LV ∧OU = [z2ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, z2ε)
= B
elde edilir ki bu Teorem 4.3.2 yardımıyla hesaplanan A+B noktasına eşittir.
Bu son teoremden aşağıdaki sonucun elde edileceği aşikârdır.
Sonuç 4.3.6 Tanım 4.3.1 de kullanılan S = (1, 1, 0) yerine d∞ üzerinde U ve V nokta-
larına komşu olmayan herhangi bir nokta alındığında toplama işlemi değişmez.
4.3.2 [m, 1, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktalar İçin Toplama İşlemi
Şimdi OU doğrusu üzerindeki noktaların toplamından faydalanılarak PK2(B(ε)) projek-
tif Klingenberg düzleminde herhangi bir [m, 1, p] tipinden doğru üzerindeki iki noktanın
toplamı geometrik ve cebirsel olarak incelenecektir.
93
Tanım 4.3.7 A veB noktaları PK2(B(ε)) düzleminde [m, 1, p] tipinden bir doğru üzerinde,
en azından biri d∞ = UV doğrusuna yakın olmayan iki nokta olsun. Bu durumda,
A′ = AV ∧OU,
B′ = BV ∧OU,
olmak üzere Tanım 4.3.1 yardımıyla bulunan
C ′ = A′ +B′
noktası kullanılarak
A+B = C ′V ∧ [m, 1, p]
olarak tanımlanır.
Bu işlem Şekil 4.6 ile temsil edilmiştir.
Şekil 4.6. PK2(B(ε)) Düzleminde [m, 1, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktaların
Toplamı
94
Teorem 4.3.8 PK2(B(ε)) düzleminde keyfı̂ bir [m1+m2ε, 1, p1+p2ε] doğrusu üzerindeki
A = (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1),
B = (b1 + b2ε, b3 + b4ε, 1)
noktaları ve yine bu doğru üzerinde d∞ doğrusuna yakın olan
Z = (1, y1 + y2ε, z2ε)
noktası için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
i) A+B = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε− (p1 + p2ε), 1)
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, (a1 + b1 + (a2 + b2)ε)(m1 +m2ε) + p1 + p2ε, 1).
ii) A+ Z = (1, y1 + y2ε, z2ε) = Z.
İspat. Tanım 4.3.7 de belirtilen hesaplamalar yapılarak
A′ = (a1 + a2ε, 0, 1)
B′ = (b1 + b2ε, 0, 1)
olduğu bulunur. Teorem 4.3.2 - i) gereği
C ′ = A′ +B′
= (a1 + a2ε, 0, 1) + (b1 + b2ε, 0, 1)
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, 0, 1)
olduğu elde edilir. Tanım 4.3.7 gereği
95
A+B = C ′V ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= [1, 0, a1 + b1 + (a2 + b2)ε] ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, (a1 + b1 + (a2 + b2)ε)(m1 +m2ε) + p1 + p2ε, 1)
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε− (p1 + p2ε), 1)
sonucuna ulaşılır ki bu i) nin doğru olduğunu gösterir.
ii) nin ispatı için Tanım 4.3.7 de belirtilen işlemler yapılarak
A′ = (a1 + a2ε, 0, 1)
Z ′ = (1, 0, z2ε)
olduğu görülür. Teorem 4.3.2-ii) gereği
C ′ = A′ + Z ′ = Z ′
olur. Bu durumda
A+ Z = C ′V ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= [z2ε, 0, 1] ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= (1,m1 +m2ε+ (z2ε)(p1 + p2ε), z2ε)
= (1, y1 + y2ε, z2ε)
= Z
olduğu sonucuna ulaşılır.
96
Sonuç 4.3.9 PK2(B(ε)) düzleminde keyfı̂ bir [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε] doğrusu üzerinde
A = (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1),
B = (b1 + b2ε, b3 + b4ε, 1)
noktaları ile aynı doğru üzerindeki, d∞ doğrusuna yakın olan bir
Z = (1, y1 + y2ε, z2ε)
noktası verilsin. Bu durumda [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε] ile OV doğrusunun arakesiti olan
Op = (0, p1 + p2ε, 1)
noktasına komşu ve [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε] doğrusu üzerinde olan bir
Y = (w2ε, p1 + (w2m1 + p2)ε, 1)
noktası için aşağıdaki eşitlikler doğrudur.
i) A+B = B + A
ii) A+ Z = Z + A
iii) A+Op = A
iv) Op + Z = Z
v) A+ Y ∼ A.
97
İspat. i) A ve B noktaları için Teorem 4.3.8 den
A+B = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε− (p1 + p2ε), 1)
ve
B + A = (b1 + a1 + (b2 + a2)ε, b3 + a3 + (b4 + a4)ε− (p1 + p2ε), 1)
olduğu görülür. (1 ≤ i ≤ 4) için ai, bi ∈ B olup B de toplama işlemi değişmeli
olduğundan
A+B = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε− (p1 + p2ε), 1)
= (b1 + a1 + (b2 + a2)ε, b3 + a3 + (b4 + a4)ε− (p1 + p2ε), 1)
= B + A
sonucu elde edilir.
ii) [m1 + m2ε, 1, p1 + p2ε] üzerindeki A ve Z noktaları için A + Z = Z olduğu Teo-
rem 4.3.8 de verildi. Z + A toplamını bulmak için Tanım 4.3.7 de verilen yöntem takip
edilerek
Z ′ = ZV ∧OU
= [z2ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, z2ε)
ve
98
A′ = AV ∧OU
= [1, 0, a1 + a2ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1 + a2ε, 0, 1)
bulunur ve Teorem 4.3.2 i) gereği
C ′ = Z ′ + A′
= (1, 0, z2ε) + (a1 + a2ε, 0, 1)
= (1, 0, z2ε)
= Z ′
olduğu görülür. Bu durumda
Z + A = C ′V ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= [z2ε, 0, 1] ∧ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
= (1,m1 +m2ε+ (z2ε)(p1 + p2ε), z2ε)
= (1, y1 + y2ε, z2ε)
= Z
sonucuna ulaşılır. Böylece A+ Z = Z = Z + A olduğu görülür.
iii) Teorem 4.3.8- i) den
A+Op = (a1 + a2ε, (a3 + a4ε) + (p1 + p2ε)− (p1 + p2ε), 1)
= (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1)
= A
99
sonucu elde edilir.
iv) Teorem 4.3.8- ii) den
Op + Z = (1, y1 + y2ε, z2ε)
= Z
sonucu elde edilir.
v) Teorem 4.3.8- i) den yararlanılarak A+ Y toplamı
A+ Y = (a1 + (a2 + w2)ε, a3 + a4ε+ (w2m1)ε+ p1 + p2ε− (p1 + p2ε), 1)
= (a1 + (a2 + w2)ε, a3 + (a4 + w2m1)ε, 1)
olarak bulunur. Bu durumda
a1 + (a2 + w2)ε− (a1 + a2ε) = w2ε ∈ I
a3 + (a4 + w2m1)ε− (a3 + a4ε) = (w2m1)ε ∈ I
olduğundan komşuluk bağıntısı gereği
A+ Y ∼ A
olduğu görülür.
4.3.3 [1, n, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktalar İçin Toplama İşlemi
Şimdi OU doğrusunun ve [m, 1, p] tipinden doğruların üzerindeki noktaların toplamından
faydalanılarak PK2(B(ε)) Projektif Klingenberg düzleminde herhangi bir [1, n, p] tipin-
den doğru üzerindeki iki noktanın toplamı geometrik ve cebirsel olarak incelenecektir.
100
Tanım 4.3.10 A ve B noktaları PK2(B(ε)) düzleminde [1, n, p] tipinden bir doğru üze-
rinde, en azından biri V noktasına komşu olmayan iki nokta olsun. Bu durumda,
A′′ = AU ∧OE,
B′′ = BU ∧OE,
olmak üzere Tanım 4.3.7 yardımıyla bulunan
C ′′ = A′′ +B′′
noktası kullanılarak
A+B = C ′′U ∧ [1, n, p]
olarak tanımlanır.
Bu işlem Şekil 4.7 ile temsil edilmiştir.
Şekil 4.7. PK2(B(ε)) Düzleminde [1, n, p] Tipinden Doğrular Üzerindeki Noktaların
101
Toplamı
Teorem 4.3.11 PK2(B(ε)) düzleminde keyfı̂ bir [1, n2ε, p1 + p2ε] doğrusu üzerindeki
A = (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1),
B = (b1 + b2ε, b3 + b4ε, 1)
noktaları ve yine bu doğru üzerinde V noktasına komşu olan
Z = (w2ε, 1, z2ε)
noktası için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
i) A+B = ((a1 + b1 + (a2 + b2)ε− (p1 + p2ε), a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1)
= ((a3 + b3 + (a4 + b4)ε)(n2ε) + p1 + p2ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1),
ii) A+ Z = (w2ε, 1, z2ε) = Z.
İspat. Tanım 4.3.10 da belirtilen hesaplamalar yapılarak
A′′ = (a3 + a4ε, a3 + a4ε, 1)
B′′ = (b3 + b4ε, b3 + b4ε, 1)
olduğu, Teorem 4.3.8- i) gereği 4
C ′′ = A′′ +B′′
= (a3 + b3 + (a4 + b4)ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε− 0, 1)
4A′′ ve B′′ noktaları 2. tip bir doğru olan OE = [1, 1, 0] doğrusu üzerinde olduklarından, p1 + p2ε = 0
olur.
102
olduğu elde edilir. Tanım 4.3.10 gereği
A+B = C ′′U ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= [0, 1, a3 + b3 + (a4 + b4)ε] ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= ((a3 + b3 + (a4 + b4)ε)(n2ε) + p1 + p2ε, a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1)
= (a1 + b1 + (a2 + b2)ε− (p1 + p2ε), a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1)
sonucuna ulaşılır ki bu i) nin doğru olduğunu gösterir.
ii) İlgili hesaplamalar yapılarak
A′′ = (a3 + a4ε, a3 + a4ε, 1)
Z ′′ = (1, 1, z2ε)
olduğu görülür. Teorem 4.3.8- ii) gereği
C ′′ = A′′ + Z ′′
= Z ′′
olur. Bu durumda
A+ Z = C ′′U ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= [0, z2ε, 1] ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= (n2ε+ (z2p1)ε, 1, z2ε)
= (w2ε, 1, z2ε)
= Z
olduğu sonucuna ulaşılır.
103
Sonuç 4.3.12 PK2(B(ε)) düzleminde keyfı̂ bir [1, n2ε, p1 + p2ε] doğrusu üzerinde
A = (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1),
B = (b1 + b2ε, b3 + b4ε, 1)
noktaları ile aynı doğru üzerindeki, V noktasına komşu olan bir
Z = (w2ε, 1, z2ε)
noktası verilsin. Bu durumda [1, n2ε, p1 + p2ε] ile OU doğrusunun arakesiti olan
Op′ = (p1 + p2ε, 0, 1)
noktasına komşu ve [1, n2ε, p1 + p2ε] doğrusu üzerinde olan bir
Y ′ = (p1 + p2ε, w2ε, 1)
noktası için aşağıdakiler doğrudur.
i) A+B = B + A
ii) A+ Z = Z + A
iii) A+Op′ = A
iv) Op′ + Z = Z
v) A+ Y ′ ∼ A.
104
İspat. i) A ve B noktaları için Teorem 4.3.11 den
A+B = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε− (p1 + p2ε), a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1)
ve
B + A = (b1 + a1 + (b2 + a2)ε− (p1 + p2ε), b3 + a3 + (b4 + a4)ε, 1)
olduğu görülür. (1 ≤ i ≤ 4) için ai, bi ∈ B olup B de toplama işlemi değişmeli
olduğundan,
A+B = (a1 + b1 + (a2 + b2)ε− (p1 + p2ε), a3 + b3 + (a4 + b4)ε, 1)
= (b1 + a1 + (b2 + a2)ε− (p1 + p2ε), b3 + a3 + (b4 + a4)ε, 1)
= B + A
sonucu elde edilir.
ii) [1, n2ε, p1 + p2ε] üzerindeki Z ve A noktaları için A + Z = Z olduğu Teorem 4.3.11
de verildi. Z + A toplamını bulmak için Tanım 4.3.10 de verilen yöntem takip edilerek
Z ′′ = ZU ∧OE
= (1, 1, z2ε)
ve
A′′ = AU ∧OE
= (a3 + a4ε, a3 + a4ε, 1)
105
olup Sonuç 4.3.9 gereği
C ′′ = Z ′′ + A′′
= (1, 1, z2ε)
= Z ′′
olduğu görülür. Bu durumda
Z + A = C ′′U ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= [0, z2ε, 1] ∧ [1, n2ε, p1 + p2ε]
= (n2ε+ (z2p1)ε, 1, z2ε)
= (w2ε, 1, z2ε)
= Z
sonucuna ulaşılır. Böylece A+ Z = Z = Z + A olduğu görülür.
iii) Teorem 4.3.11-i) den
A+Op′ = ((a1 + a2ε) + (p1 + p2ε)− (p1 + p2ε), a3 + a4ε, 1)
= (a1 + a2ε, a3 + a4ε, 1)
= A
sonucu elde edilir.
iv) Teorem 4.3.11- ii) den
Op′ + Z = (w2ε, 1, z2ε)
= Z
106
sonucu elde edilir.
v) Teorem 4.3.11- i) den yararlanılarak A+ Y ′ toplamı
A+ Y ′ = (a1 + a2ε+ p1 + p2ε− (p1 + p2ε), a3 + a4ε+ w2ε, 1)
= (a1 + a2ε, a3 + a4ε+ w2ε, 1)
olarak bulunur. Bu durumda
a1 + a2ε− (a1 + a2ε) = 0 ∈ I
a3 + a4ε+ w2ε− (a3 + a4ε) = w2ε ∈ I
olduğundan komşuluk bağıntısı gereği
A+ Y ′ ∼ A
olduğu görülür.
4.4 PK2(B(ε)) Düzleminde Çarpma İşlemi
Bu kısımda PK2(B(ε)) Projektif Klingenberg düzleminde çarpma işleminin geometrik
yorumu üzerinde durulacaktır. A2R ve P2R düzlemlerinde yapılanlara benzer biçimde
PK2(B(ε)) düzleminde sadece OU = [0, 1, 0] doğrusu üzerindeki noktaların çarpımı
incelenecektir.
Tanım 4.4.1 A veB noktaları PK2(B(ε)) düzlemindeOU doğrusu üzerinde, biriO nok-
tasına komşu olduğunda diğeri U noktasına komşu olmayan, keyfı̂ iki nokta olsun. OU
doğrusu üzerindeki 1 = (1, 0, 1) noktası ve UV doğrusu üzerindeki S = (1, 1, 0) noktası
yardımıyla
107
M = BV ∧ 1S
noktası ve M noktası yardımıyla belirlenen
N = AS ∧OM
noktasını kullanarak A ·B noktası
A ·B = NV ∧OU
olarak tanımlanır.
Bu işlem Şekil 4.8 ile temsil edilmiştir.
Şekil 4.8. PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerindeki Noktaların Çarpımı
Bu tanım Çelik ve Erdoğan (2013) ve Çelik ve Dayıoğlu (2013) çalışmalarında, OU
doğrusu üzerinde birbirlerine komşu olmayan iki nokta için verilmişti. Fakat bu tezde
108
verilen tanım, çarpılacak noktaların birinin O ve diğerinin U noktasına komşu olması
durumu dışında, OU doğrusu üzerindeki birbirlerine komşu olan tüm nokta ikililerine
genişletilmiştir.
OU doğrusu üzerinde çarpılacak olan noktaların birinin O diğerinin U noktasına komşu
olması durumunda tanımda verilen algoritmaya göre elde edilen AS ve OM doğruları
birbirlerine komşu olmaktadır. Bu sebeple bu iki doğrunun kesişim noktası olan N nok-
tasının durumu belirlenememektedir.
Aşağıdaki teoremde, daha önce geometrik olarak tanımlanan çarpma işleminin, üzerinde
çalışılan geometrik yapıyı koordinatlamada kullanılan cebirsel yapıdaki karşılıkları ince-
lenmiştir. Bu teoremde A ve B noktalarının 3. tip nokta, Z ve W noktalarının da 1. tip
nokta olarak alındığını gözden kaçırmamak gerekir.
Teorem 4.4.2 PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerinde verilen
A = (a1 + a2ε, 0, 1),
B = (b1 + b2ε, 0, 1)
Z = (1, 0, z2ε)
W = (1, 0, w2ε)
noktaları için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
i) A ·B = (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, 0, 1).
ii) A  O olmak üzere A · Z = (1, 0, (z a−12 1 )ε).
iii) A  O olmak üzere Z · A = (1, 0, (a−11 z2)ε).
iv) Z ·W = W · Z = U .
109
İspat. Tanım 4.4.1 ile belirlenen işlemler yapılacaktır. Bu nedenle tanımda geçen S =
(1, 1, 0) noktası da işlemler sırasında kullanılacaktır.
i) Gerekli hesaplamalar yapılarak
BV = [1, 0, b1 + b2ε],
1S = [1, 1,−1]
olduğu ve bu doğruların arakesitinin
M = BV ∧ 1S = (b1 + b2ε, b1 − 1 + b2ε, 1)
olduğu görülür. A ve S noktaları belli olduğundan
AS = [1, 1,−a1 − a2ε]
olur. Tanım 4.4.1 de belirtilen işlemlere devam edebilmek için OM doğrusunu belir-
lemek gerekir. OM doğrusu O noktasının B noktasına komşu olup olmamasına göre iki
durumda bulunur .
1. Durum: O  B olsun. Bu durumda
(0, 0, 1)  (b1 + b2ε, 0, 1)
olduğundan
b1 + b2ε− 0 ∈/ I⇒ b1 ∈ B − I
sonucuna ulaşılır. Yani b1 birimdir. Bu durumda OM doğrusu
110
OM = (0, 0, 1) ∨ (b1 + b2ε, b1 − 1 + b2ε, 1)
= [1− b−11 + (b−1 −11 b2b1 )ε, 1, 0],
olur ve OM doğrusu yardımıyla bulunan
N = AS ∧OM = [1, 1,−a −11 − a2ε] ∧ [1− b1 + (b−1b b−11 2 1 )ε, 1, 0]
= (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, a1b1 − a1 + (a1b2 + a2b1 − a2)ε, 1)
N noktası kullanılarak
NV = [1, 0, a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε],
OU = [0, 1, 0],
doğruları elde edilir ve bu doğruların arakesiti olarak tanımlanan A ·B noktası
A ·B = (a1 + a2ε, 0, 1) · (b1 + b2ε, 0, 1)
= NV ∧OU
= [1, 0, a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, 0, 1)
olarak belirlenir.
2. Durum: O ∼ B olsun. Bu durumda
(0, 0, 1) ∼ (b1 + b2ε, 0, 1) ⇒ b1 + b2ε− 0 ∈ I
⇒ b1 = 0
111
olur ki buradan
OM = (0, 0, 1) ∨ (b2ε,−1 + b2ε, 1)
= [1,−b2ε, 0]
olarak hesaplanır. Bu durumda
N = AS ∧OM = [1, 1,−a1 − a2ε] ∧ [1,−b2ε, 0]
= (a1b2ε,−a1 + (a1b2 − a2)ε, 1)
olup
NV = [1, 0, a1b2ε],
OU = [0, 1, 0]
olduğundan
A ·B = (a1 + a2ε, 0, 1) · (b2ε, 0, 1)
= NV ∧OU
= (a1b2ε, 0, 1)
sonucu elde edilir.
ii) Gerekli hesaplamalar yapılarak
M = ZV ∧ 1S = (1, 1− z2ε, z2ε)
AS = [1, 1,−a1 − a2ε]
OM = (0, 0, 1) ∨ (1, 1− z2ε, z2ε) = [1− z2ε, 1, 0]
112
olduğu görülür.
A  O şartı gereği
(a1 + a2ε, 0, 1)  (0, 0, 1)⇒ a1 ∈ B − I
olduğu bulunur. Yani a1 in tersi vardır. Buradan
AS  OM
sonucu elde edilir ki bu nedenle
N = AS ∧OM = [1, 1,−a1 − a2ε] ∧ [1− z2ε, 1, 0]
= (1, 1− z ε, (z a−12 2 1 )ε)
noktası tek olarak bellidir. Bu durumda
NV = [(z2a
−1
1 )ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
doğrularının arakesiti olarak tanımlanan A · Z noktası,
A · Z = (a1 + a2ε, 0, 1) · (1, 0, z2ε)
= NV ∧OU
= [1, 0, (z −12a1 )ε] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, (z a−12 1 )ε)
olur.
113
iii) Verilenler yardımıyla
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
1S = [1, 1,−1]
M = AV ∧ 1S = (a1 + a2ε, a1 − 1 + a2ε, 1)
ZS = [z2ε,−z2ε, 1]
doğrusu görülür. Bu durum için A  O olduğundan
(a1 + a2ε, 0, 1)  (0, 0, 1)⇒ a1 ∈ B − I
sonucuna ulaşılır. Yani a1 birimdir ve bu nedenle
OM = (0, 0, 1) ∨ (a1 + a2ε, a1 − 1 + a2ε, 1)
= [1− a−11 + (a−1 −11 a2a1 )ε, 1, 0]
olup
N = ZS ∧OM = (1, 1− a−1 + (a−1a a−11 1 2 1 )ε, (a−11 z2)ε)
sonucu bulunur. Bu durumda
NV = [(a−11 z2)ε, 0, 1]
114
olup
Z · A = (1, 0, z2ε) · (a1 + a2ε, 0, 1)
= NV ∧OU
= [(a−11 z2)ε, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, (a−11 z2)ε)
sonucu elde edilir.
iv) Z ·W çarpımı Tanım 4.4.1 de belirtilen hesaplamalar yapılarak
WV = [w2ε, 0, 1],
1S = [1, 1,−1]
M = WV ∧ 1S = (1, 1− w2ε, w2ε)
ZS = [z2ε,−z2ε, 1],
OM = [1− w2ε, 1, 0]
olduğu görülür. Bu durumda
N = ZS ∧OM = (1, 1− w2ε, 0)
ve
NV = [0, 0, 1]
115
olup
Z ·W = (1, 0, z2ε) · (1, 0, w2ε)
= NV ∧OU
= [0, 0, 1] ∧ [0, 1, 0]
= (1, 0, 0)
= U
sonucu elde edilir. Basit harf değişiklikleri yapılıp benzer işlemler sonucunda
W · Z = U
olduğu da kolayca görülür.
Sonuç 4.4.3 PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerindeki
A = (a1 + a2ε, 0, 1),
B = (b1 + b2ε, 0, 1)
noktaları ve OU doğrusu üzerinde U noktasına komşu olan bir
Z = (1, 0, z2ε)
noktası ile O′ ∼ O, O′ ◦OU özelliğindeki
O′ = (x2ε, 0, 1)
noktası için aşağıdaki önermeler doğrudur.
i) A ·B =6 B · A
116
ii) A ·O = O = O · A
iii) 1 · A = A = A · 1
iv) 1 · Z = Z = Z · 1
v) A ·O′ ∼ O′
vi) O′ · A ∼ O′
İspat.
i) Teorem 4.4.2-i den
A ·B = (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, 0, 1)
ve
B · A = (b1a1 + (b1a2 + b2a1)ε, 0, 1)
olduğu görülür. Burada a1, b1 ∈ B olduğu için ve B bölümlü halkasında değişme özelliği
sağlanmak zorunda olmadığından
a1b1 6= b1a1
ve dolayısıyla
A ·B 6= B · A
sonucu bulunur.
117
ii) Teorem 4.4.2 -i) de B yerine O = (0, 0, 1) alındığında
A ·O = (a1 + a2ε, 0, 1) · (0, 0, 1)
= ((a1 + a2ε)(0 + 0ε), 0, 1)
= (0, 0, 1)
= O
olduğu sonucuna ulaşılır. Benzer nedenlerle
O · A = (0, 0, 1) · (a1 + a2ε, 0, 1)
= (0, 0, 1)
= O
olur.
iii) 1 = (1, 0, 1) olduğu göz önüne alınarak Teorem 4.4.2-i) den
A · 1 = (a1 + a2ε, 0, 1) · (1, 0, 1)
= ((a1 + a2ε)(1 + 0ε), 0, 1)
= (a1 + a2ε, 0, 1)
= A
ve
118
1 · A = (1, 0, 1) · (a1 + a2ε, 0, 1)
= ((1 + 0ε), 0, 1)(a1 + a2ε)
= (a1 + a2ε, 0, 1)
= A
olduğu görülür.
iv) Teorem 4.4.2-ii) den
1 · Z = (1, 0, 1) · (1, 0, z2ε)
= (1, 0, ((z2)(1
−1))ε)
= (1, 0, (z21)ε)
= (1, 0, z2ε)
= Z
ve Teorem 4.4.2-iii) den
Z · 1 = (1, 0, z2ε) · (1, 0, 1)
= (1, 0, ((1−1)(z2))ε)
= (1, 0, (1z2)ε)
= (1, 0, z2ε)
= Z
olduğu görülür.
119
v) A = (a1 + a2ε, 0, 1), O′ = (x2ε, 0, 1) olduğu Teorem 4.4.2-i) de kullanılarak
A ·O′ = (a1 + a2ε, 0, 1) · (x2ε, 0, 1)
= ((a1 + a2ε)(x2ε), 0, 1)
= (a1x2ε, 0, 1)
olduğu görülür ve
a1x2ε− x2ε = (a1 − 1)x2ε ∈ I
olduğundan
A ·O′ ∼ O′
olduğu aşikârdır.
vi) v) deki işlemlerin benzerleri yapılarak
O′ · A = (x2a1ε, 0, 1)
olduğu ve
O′ · A ∼ O′
olduğu kolayca görülür.
120
Sonuç 4.4.4 Özel olarak PK2(B(ε)) düzleminde OU üzerindeki birbirlerine komşu olan
A = (a1 + a2ε, 0, 1),
B = (a1 + b2ε, 0, 1)
noktaları için Teorem 4.4.2-i den
A ·B = (a1 + a2ε, 0, 1) · (a1 + b2ε, 0, 1)
= (a21 + (a2a1 + a1b2)ε, 0, 1)
olduğu sonucu bulunur.
Tanım 4.4.1 de,OU doğrusu üzerindeki noktaların çarpımı, S = (1, 1, 0) noktası yardımıyla
belirlenmiştir. Aşağıdaki teoremde bu çarpımı bulmak için S yerine d∞ = UV doğrusu
üzerinde başka bazı noktaların da alınabileceği gösterilecektir.
Teorem 4.4.5 A ve B noktaları PK2(B(ε)) düzleminde OU doğrusu üzerinde biri O
noktasına komşu olduğunda diğeri U noktasına komşu olmayan, keyfı̂ iki nokta olsun.
UV doğrusu üzerindeki herhangi bir S ′ = (1, y1 + y2ε, 0) noktası yardımıyla bulunan
M = BV ∧ 1S ′ ve N = AS ′ ∧OM noktaları kullanılarak elde edilen NV ∧OU noktası
A ·B noktasına eşittir.
İspat. A = (a1 + a2ε, 0, 1), B = (b1 + b2ε, 0, 1) ve S ′ = (1, y1 + y2ε, 0) noktaları için
gerekli hesaplamalar yapılarak
BV = [1, 0, b1 + b2ε],
1S ′ = [y1 + y2ε, 1,−y1 − y2ε]
M = BV ∧ 1S ′ = (b1 + b2ε, b1y1 − y1 + (b1y2 + b2y1 − y2)ε, 1)
AS ′ = [y1 + y2ε, 1,−a1y1 − (a1y2 + a2y1)ε]
olduğu görülür. OM doğrusu için B noktasının OU üzerindeki konumuna bağlı olarak
121
iki durum söz konusudur.
1. Durum: O  B olsun. Bu durumda
(0, 0, 1)  (b1 + b2ε, 0, 1)
olduğundan b1 ∈/ I sonucuna ulaşılır. Bu nedenle
OM = (0, 0, 1) ∨ (b1 + b2ε, b1y1 − y1 + (b1y2 + b2y1 − y2)ε, 1)
= [y − b−11 1 y1 + (y − b−12 1 y2 − b−11 b b−12 1 y1)ε, 1, 0]
olarak bulunur. AS ′ ve OM doğrularının arakesit noktası olarak belirlenen
N = AS ′ ∧OM
= [y1 + y2ε, 1,−a1y1 − (a1y −12 + a2y1)ε] ∧ [y1 − b1 y1 + (y − b−12 1 y2 − b−11 b −12b1 y1)ε, 1, 0]
= (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, a1b1y1 − a1y1 + (a1b1y2 + a1b2y1 + a2b1y1 − a1y2 − a2y1)ε, 1)
noktası yardımıyla
NV = [1, 0, a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε]
doğrusu bulunur. Bu hesaplamalar sonucunda
NV ∧OU = [1, 0, a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1b1 + (a1b2 + a2b1)ε, 0, 1)
olduğu görülür ki bu Teorem 4.4.2 yardımıyla hesaplanan A ·B noktasına eşittir.
122
2. Durum: O ∼ B olsun. Bu durumda
(0, 0, 1) ∼ (b1 + b2ε, 0, 1)
olduğundan b1 = 0 olduğu görülür.
OM doğrusunun
OM = (0, 0, 1) ∨ (b2ε,−y1 + (b2y1 − y2)ε, 1)
= [1,−(y−11 b2)ε, 0]
olacağı elde edilir.5 AS ′ ve OM doğrularının arakesiti olarak
N = AS ′ ∧OM = [y1 + y2ε, 1,−a1y1 − (a1y2 + a2y1)ε] ∧ [1,−(y−11 b2)ε, 0]
= (a1b2ε,−a1y1 + (a1b2y1 − a1y2 − a2y1)ε, 1)
noktası bulunur. Bu koordinatlar kullanılarak
NV ∧OU = [1, 0, a1b2ε] ∧ [0, 1, 0]
= (a1b2ε, 0, 1)
olduğu görülür ki bu Teorem 4.4.2 yardımıyla hesaplanan A ·B noktasına eşittir.
A = (a1 + a2ε, 0, 1), A  O ve B = (1, 0, z2ε) noktaları için gerekli hesaplamalar
yapılarak
5S′  U olduğundan y1 ∈/ I dır.
123
BV = [z2ε, 0, 1],
1S ′ = [y1 + y2ε, 1,−(y1 + y2ε)]
M = BV ∧ 1S ′ = (1, y1 + y2ε− z2y1ε, z2ε),
AS ′ = [y1 + y2ε, 1, a1y1 − (a1y2 + a2y1)ε]
OM = [y1 + y2ε− z2y1ε, 1, 0],
N = AS ′ ∧OM = (1, y1 + y −12ε− z2y1ε, z2a1 ε)
NV = [z a−12 1 ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
elde edilir. Bu durumda sonuç olarak
NV ∧OU = (1, 0, (z a−12 1 )ε)
olduğu görülür ki bu Teorem 4.4.2 yardımıyla hesaplanan A ·B noktasına eşittir.
B = (1, 0, z2ε) ve A = (a1 + a2ε, 0, 1), A  O noktaları için gerekli hesaplamalar
yapılarak
124
AV = [1, 0, a1 + a2ε],
1S ′ = [y1 + y2ε, 1,−(y1 + y2ε)]
M = AV ∧ 1S ′ = (a1 + a2ε, a1y1 − y1 + (a1y2 + a2y1 − y2)ε, 1)
BS ′ = [z2ε,−(y−11 z2)ε, 1]
OM = [y − a−1 −1 −1 −11 1 y1 + (y2 − a1 y2 − a1 a2a1 y1)ε, 1, 0],
N = BS ′ ∧OM = (1, y − a−11 1 y1 + (y2 − a−11 y2 − a−1 −1 −11 a2a1 y1)ε, (a1 z2)ε)
NV = [(a−11 z2)ε, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
elde edilir. Bu durumda sonuç olarak
NV ∧OU = (1, 0, (a−11 z2)ε)
olduğu görülür ki bu Teorem 4.4.2 yardımıyla hesaplanan A ·B noktasına eşittir.
A = (1, 0, z2ε) ve B = (1, 0, w2ε) noktaları için gerekli hesaplamalar yapılarak
125
BV = [w2ε, 0, 1],
1S ′ = [y1 + y2ε, 1,−(y1 + y2ε)]
M = BV ∧ 1S ′ = (1, y1 + y2ε− w2y1ε, w2ε)
AS ′ = [z −12ε,−(y1 z2)ε, 1]
OM = [y1 + y2ε− w2y1ε, 1, 0],
N = AS ′ ∧OM = (1, y1 + y2ε− w2y1ε, 0)
NV = [0, 0, 1],
OU = [0, 1, 0]
elde edilir. Bu durumda sonuç olarak
NV ∧OU = (1, 0, 0) = U
olduğu görülür ki bu Teorem 4.4.2 yardımıyla hesaplanan A ·B noktasına eşittir.
Bu son teoremden aşağıdaki sonucun elde edileceği aşikârdır.
Sonuç 4.4.6 Tanım 4.4.1 de kullanılan S = (1, 1, 0) yerine d∞ üzerinde U ve V nokta-
larına komşu olmayan herhangi bir nokta alındığında çarpma işlemi değişmez.
126
5. PK2(B(ε)) DÜZLEMİNDE NOKTALAR İÇİN VERİLEN TOPLAMA
ve ÇARPMA İŞLEMLERİNİN KOLİNASYONLAR ile İLİŞKİSİ
Kaya (2005) in ilk kısmında ünlü Alman matematikçisi Felix Klein’a ait geometri tanımı
aşağıdaki gibi verilmiştir.
Tanım 5.0.1 S bir küme ve S yi kendine dönüştüren dönüşümlerin oluşturduğu bir grup
G olmak üzere, S kümesinin G altında değişmez kalan özelliklerinin incelenmesine geo-
metri denir.
Bu tanım nedeniyle PK2(B(ε)) düzleminin elemanlarını kendisine dönüştüren kolinas-
yonların incelenmesi geometri açısından önemlidir.
Bu kısımda toplamayı ve çarpmayı sabit bırakan kolinasyon örnekleri ile toplama ve
çarpma gibi davranan kolinasyon örnekleri verilecektir.
Önce OU = [0, 1, 0] doğrusu üzerindeki noktaların toplamı ve kolinasyonlar arasındaki
ilişki üzerinde durulacaktır. Daha sonra sırasıyla [m, 1, p] ve [1, n, p] tipinden doğrular
üzerindeki noktaların toplamının kolinasyonlar altında değişmez kalması ve yine OU =
[0, 1, 0] doğrusu üzerindeki noktaların çarpımı ile kolinasyonlar arasındaki ilişki üzerinde
durulacaktır.
5.1 PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerinde Bulunan Noktaların Toplamı
ile Kolinasyonlar Arasındaki İlişki
Bu başlık altında önce B(ε) dual lokal halkasındaki herhangi bir a = a1 + a2ε elemanı
için aşağıdaki gibi tanımlanan Sa dönüşümünün PK2(B(ε)) düzlemi için bir kolinasyon
olduğu gösterilecektir.
127
Sa : PK2(B(ε)) −→ PK2(B(ε))
(x, y, 1) −→ (x+ a, y, 1) ,
(1, y, z) −→ (1, y − zay, z) ,
(w, 1, z) −→ (w + za, 1, z) ,
[m, 1, p] −→ [m, 1, p− am] ,
[1, n, p] −→ [1, n, p+ a] ,
[q, n, 1] −→ [q, n, 1]
Teorem 5.1.1 Sa dönüşümü PK2(B(ε)) düzlemi üzerinde bir kolinasyondur.
İspat. Sa dönüşümünün birebir ve örten olduğu, ayrıca üzerinde olmayı ve komşuluk
bağıntısını koruduğu gösterilmelidir. Bu dönüşümün birebir olduğu basit işlemlerle göste-
rilebilmektedir.
Aynı zamanda
(x− a, y, 1) ∈ PK2(B(ε)) için
Sa(x− a, y, 1) = (x, y, 1),
(1, y + zay, z) ∈ PK2(B(ε)) için
Sa(1, y + zay, z) = (1, y, z),
128
(w − za, 1, z) ∈ PK2(B(ε)) için
Sa(w − za, 1, z) = (w, 1, z),
olur ki bu Sa dönüşümünün noktalar kümesi üzerinde örten olduğunu gösterir. Ayrıca
[m, 1, p+ am] ∈ PK2(B(ε)) için
Sa[m, 1, p+ am] = [m, 1, p],
[1, n, p− a] ∈ PK2(B(ε)) için
Sa[1, n, p− a] = [1, n, p],
[q, n, 1] ∈ PK2(B(ε)) için
Sa[q, n, 1] = [q, n, 1]
olduğundan Sa dönüşümü doğrular kümesi üzerinde örtendir. Bu nedenle Sa dönüşümü örten
bir dönüşümdür.
Sa(x, y, 1) ◦ Sa[m, 1, p] ⇔ (x+ a, y, 1) ◦ [m, 1, p− am]
⇔ y = (x+ a)m+ p− am
⇔ y = xm+ p
⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 2. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
129
Sa(x, y, 1) ◦ Sa[1, n, p] ⇔ (x+ a, y, 1) ◦ [1, n, p+ a]
⇔ x+ a = yn+ p+ a
⇔ x = yn+ p
⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 1. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
Sa(x, y, 1) ø Sa[q, n, 1]⇔ (x+ a, y, 1) ø [q, n, 1] (5.1.1)
olup 3. tipten bir nokta 3. tipten bir doğru üzerinde olmadığından ( 5.1.1) önermesi ile
(x, y, 1) ø [q, n, 1]
önermesi denktir. Bu nedenle 3. tipten bir noktanın 3. tipten doğru üzerinde olmaması Sa
dönüşümü altında korunur.
İspatın daha rahat anlaşılması için bazı kısımlarda B(ε) dual lokal halkasının elemanları
açık biçimde yazılarak işlem yapılmıştır.
130
Sa(1, y, z) ◦ Sa[m, 1, p]
⇔ Sa(1, y1 + y2ε, z2ε) ◦ Sa[m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
⇔ (1, y1 + (y2 − z2a1y1)ε, z2ε) ◦ [m1 +m2ε, 1, p1 − a1m1 + (p2 − a1m2 − a2m1)ε]
⇔ y1 + (y2 − z2a1y1)ε = m1 +m2ε+ (z2ε)(p1 − a1m1 + (p2 − a1m2 − a2m1)ε)
⇔ y1 = m1 ∧ y2 = m2 + z2p1
⇔ (1, y1 + y2ε, z2ε) ◦ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε]
⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 2. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
Sa(1, y, z) ◦ Sa[q, n, 1] ⇔ (1, y − zay, z) ◦ [q, n, 1]
⇔ z = q + (y − zay)n
⇔ z = q + yn
⇔ (1, y, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 3. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
Sa(1, y, z) ø Sa[1, n, p]⇔ (1, y − zay, z) ø [1, n, p+ a] (5.1.2)
olup 1. tipten bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.1.2) önermesi ile
(1, y, z) ø [1, n, p]
önermesi denktir. Bu nedenle 1. tipten bir noktanın 1. tipten doğru üzerinde olmaması Sa
131
dönüşümü altında korunur.
Sa(w, 1, z) ◦ Sa[1, n, p] ⇔ (w + za, 1, z) ◦ [1, n, p+ a]
⇔ w + za = n+ z(p+ a)
⇔ w = n+ zp
⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n, p]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 1. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
Sa(w, 1, z) ◦ Sa[q, n, 1] ⇔ (w + za, 1, z) ◦ [q, n, 1]
⇔ z = (w + za)q + n
⇔ z = n
⇔ (w, 1, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 3. tipten doğru üzerinde olması Sa dönüşümü altında
korunur.
Sa(w, 1, z) ø Sa[m, 1, p]⇔ (w + za, 1, z) ø [m, 1, p− am] (5.1.3)
olup 1. tipten bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.1.3) önermesi ile
(w, 1, z) ø [m, 1, p]
önermesi denktir. Bu nedenle 2. tipten bir noktanın 2. tipten doğru üzerinde olmaması Sa
dönüşümü altında korunur.
Böylece Sa dönüşümünün üzerinde olmayı koruduğu gösterilmiş olur.
132
Sa(x, y, 1) ∼ Sa(u, v, 1) ⇔ (x+ a, y, 1) ∼ (u+ a, v, 1)
⇔ x− u ∈ I ∧ y − v ∈ I
⇔ (x, y, 1) ∼ (u, v, 1)
olduğundan 3. tipten noktaların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
Sa(1, y, z) ∼ Sa(1, v, t) ⇔ (1, y − zay, z) ∼ (1, v − tav, t)
⇔ y − v ∈ I
⇔ (1, y, z) ∼ (1, v, t)
olduğundan 1. tipten noktaların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
Sa(w, 1, z) ∼ Sa(u, 1, t) ⇔ (w + za, 1, z) ∼ (u+ ta, 1, t)
⇔ w + za− u− ta ∈ I ∧ z − t ∈ I
⇔ (w, 1, z) ∼ (u, 1, t)
olduğundan 2. tipten noktaların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
133
Sa[m, 1, p] ∼ Sa[u, 1, t]
⇔ Sa[m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε] ∼ Sa[u1 + u2ε, 1, t1 + t2ε]
⇔ [m1 +m2ε, 1, p1 − a1m1 + (p2 − a1m2 − a2m1)ε]
∼ [u1 + u2ε, 1, t1 − a1u1 + (t2 − a1u2 − a2u1)ε]
⇔ m1 − u1 = 0 ∧ p1 − a1m1 − t1 + a1u1 = 0
⇔ m1 − u1 = 0 ∧ p1 − t1 = 0
⇔ [m1 +m2ε, 1, p1 + p2ε] ∼ [u1 + u2ε, 1, t1 + t2ε]
⇔ [m, 1, p] ∼ [u, 1, t]
olduğundan 2. tipten doğruların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
Sa[1, n, p] ∼ Sa[1, v, t] ⇔ [1, n, p+ a] ∼ [1, v, t+ a]
⇔ p− t ∈ I
⇔ [1, n, p] ∼ [1, v, t]
olduğundan 1. tipten doğruların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
Sa[q, n, 1] ∼ Sa[u, v, 1] ⇔ [q, n, 1] ∼ [u, v, 1]
olduğundan 3. tipten doğruların komşuluğu Sa dönüşümü altında korunur.
Böylece Sa dönüşümünün komşuluk bağıntısını koruduğu gösterilmiş olur.
Aşağıdaki teoremde PK2(B(ε)) düzlemindeki OU doğrusu üzerinde bulunan noktalar
için toplama işlemi gibi davranan bir kolinasyonun varlığı gösterilecektir.
134
Teorem 5.1.2 PK2(B(ε)) düzleminde OU = [0, 1, 0] doğrusu üzerinde a = a1 + a2ε
olmak üzere, keyfı̂ olarak alınan bir A = (a, 0, 1) noktası ve herhangi X noktası ile
Teorem 5.1.1 de verilen Sa kolinasyonu için
Sa(X) = X + A
eşitliği sağlanır.
İspat. İspat X noktasının U noktasına komşu olup olmamasına göre iki durumda yapıla-
caktır.
1. Durum: X noktası OU doğrusu üzerinde U noktasına komşu olmayan bir nokta ise
X = (x, 0, 1) = (x1 + x2ε, 0, 1)
olacak biçimde x = x1 + x2ε ∈ B(ε) elemanı vardır. Bu durumda
Sa(X) = (x+ a, 0, 1)
= (x1 + a1 + (x2 + a2)ε, 0, 1)
olduğu Sa kolinasyonunun tanımından bellidir. Diğer taraftan Teorem 4.3.2 gereği
X + A = (x1 + a1 + (x2 + a2)ε, 0, 1)
olduğundan
Sa(X) = X + A
eşitliğinin sağlandığı aşikârdır.
135
2. Durum: X noktası OU doğrusu üzerinde U noktasına komşu olan bir nokta ise
X = (1, 0, x) = (1, 0, x2ε)
olacak biçimde x = x2ε ∈ I elemanı vardır. Bu durumda
Sa(X) = (1, 0− (xa0), x)
= (1, 0, x)
= (1, 0, x2ε)
= X
olduğu Sa kolinasyonunun tanımından bellidir. Diğer taraftan Teorem 4.3.2 gereği
X + A = (1, 0, x2ε) + (a1 + a2ε, 0, 1)
= (1, 0, x2ε)
= X
olur ki bu
Sa(X) = X + A
olduğunu gösterir.
5.2 PK2(B(ε)) Düzleminde [m, 1, p] Tipinden Bir Doğru Üzerinde Bulunan Nokta-
ların Toplamının Kolinasyonlar Altında Korunması
Bu başlık altında önce m = m1 + m2ε, p = p1 + p2ε ∈ B(ε) olmak üzere PK2(B(ε))
düzlemi üzerinde birHm,1,p dönüşümü tanıtılacak ve bu dönüşümün bir kolinasyon olduğu
gösterilecektir. Hm,1,p dönüşümü PK2(B(ε)) düzleminin noktaları ve doğruları üzerinde
aşağıdaki gibi tanımlanacaktır.
136
Hm,1,p : PK2(B(ε)) −→ PK2(B(ε))
(x, y, 1) −→ (x, y − xm− p, 1)
(1, y, z) −→ (1, y −m− zp, z)
(w, 1, z) −→ (w, 1, z)
[m′, 1, p′] −→ [m′ −m, 1, p′ − p]
[1, n, p′] −→ [1, n, p′ + (p′m+ p)n]
[q, n, 1] −→ [q +mn, n, 1]
Teorem 5.2.1 Hm,1,p dönüşümü PK2B(ε) düzlemi üzerinde bir kolinasyondur.
İspat. Hm,1,p dönüşümünün birebir ve örten olduğu uzun ama basit işlemlerle kolayca
gösterilebilmektedir. Bu nedenle burada, Hm,1,p dönüşümünün üzerinde olma bağıntısını
ve komşuluk bağıntısını koruduğu gösterilerek ispat tamamlanacaktır.
Hm,1,p(x, y, 1) ◦Hm,1,p[m′, 1, p′] ⇔ (x, y − xm− p, 1) ◦ [m′ −m, 1, p′ − p]
⇔ y − xm− p = x(m′ −m) + p′ − p
⇔ y = xm′ + p′
⇔ (x, y, 1) ◦ [m′, 1, p′]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
137
Hm,1,p(x, y, 1) ◦H ′m,1,p[1, n, p ] ⇔ (x, y − xm− p, 1) ◦ [1, n, p′ + (p′m+ p)n]
⇔ x = (y − xm− p)n+ p′ + (p′m+ p)n
⇔ x = yn+ p′ − xmn+ p′mn
⇔ x(1 +mn) = yn+ p′(mn+ 1)
⇔ x = yn(1 +mn)−1 + p′
⇔ x = yn(1−mn) + p′
⇔ x = yn− (yn)(mn) + p′
⇔ x = yn+ p′
⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p′]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
Hm,1,p(x, y, 1) ø Hm,1,p[q, n, 1]⇔ (x, y − xm− p, 1) ø [q +mn, n, 1] (5.2.1)
olup, 3. tipten bir nokta 3. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.2.1) önermesi ile
(x, y, 1) ø [q, n, 1]
önermesi denktir. Bu nedenle 3. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmaması
Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
138
Hm,1,p(1, y, z) ◦Hm,1,p[m′, 1, p′] ⇔ (1, y −m− zp, z) ◦ [m′ −m, 1, p′ − p]
⇔ y −m− zp = m′ −m+ z(p′ − p)
⇔ y = m′ + zp′
⇔ (1, y, z) ◦ [m′, 1, p′]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
Hm,1,p(1, y, z) ◦Hm,1,p[q, n, 1] ⇔ (1, y −m− zp, z) ◦ [q +mn, n, 1]
⇔ z = q +mn+ (y −m− zp)n
⇔ z = q + yn− (zp)n
⇔ z = q + yn
⇔ (1, y, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
Hm,1,p(1, y, z) ø H
′ ′ ′
m,1,p[1, n, p ]⇔ (1, y −m− zp, z) ø [1, n, p + (p m+ p)n] (5.2.2)
1. tipten bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.2.2) önermesi ile
(1, y, z) ø [1, n, p]
önermesi denktir. Bu nedenle 1. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmama-
sı Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
139
Hm,1,p(w, 1, z) ◦Hm,1,p[1, n, p′] ⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n, p′ + (p′m+ p)n]
⇔ w = n+ z(p′ + (p′m+ p)n)
⇔ w = n+ zp′ + z(p′m+ p)n
⇔ w = n+ zp′
⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n, p′]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
Hm,1,p(w, 1, z) ◦Hm,1,p[q, n, 1] ⇔ (w, 1, z) ◦ [q +mn, n, 1]
⇔ z = w(q +mn) + n
⇔ z = wq + n+ w(mn)
⇔ z = wq + n
⇔ (w, 1, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıHm,1,p dönüşümü al-
tında korunur.
Hm,1,p(w, 1, z) ø H
′ ′ ′ ′
m,1,p[m , 1, p ]⇔ (w, 1, z) ø [m −m, 1, p − p] (5.2.3)
olup 2. tipten bir nokta 2. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.2.3) önermesi ile
(w, 1, z) ø [m′, 1, p′]
önermesi denktir. Bu nedenle 2. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmaması
Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
140
Böylece Hm,1,p dönüşümünün üzerinde olmayı koruduğu gösterilmiş olur.
Hm,1,p(x, y, 1) ∼ Hm,1,p(u, v, 1) ⇔ (x, y − xm− p, 1) ∼ (u, v − um− p, 1)
⇔ x− u ∈ I ∧ y − xm− p− v + um+ p ∈ I
⇔ x− u ∈ I ∧ y − v − (x− u)m ∈ I
⇔ x− u ∈ I ∧ y − v ∈ I
⇔ (x, y, 1) ∼ (u, v, 1)
olduğundan 3. tipten noktaların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
Hm,1,p(1, y, z) ∼ Hm,1,p(1, v, t) ⇔ (1, y −m− zp, z) ∼ (1, v −m− tp, t)
⇔ y −m− zp− v +m+ tp ∈ I
⇔ y − v ∈ I
⇔ (1, y, z) ∼ (1, v, t)
olduğundan 1. tipten noktaların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
Hm,1,p(w, 1, z) ∼ Hm,1,p(u, 1, t)⇔ (w, 1, z) ∼ (u, 1, t)
olduğundan 2. tipten noktaların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
H ′ ′ ′ ′m,1,p[m , 1, p ] ∼ Hm,1,p[u, 1, t] ⇔ [m −m, 1, p − p] ∼ [u−m, 1, t− p]
⇔ m′ −m− u+m ∈ I ∧ p′ − p− t+ p ∈ I
⇔ m′ − u ∈ I ∧ p′ − t ∈ I
⇔ [m′, 1, p′] ∼ [u, 1, t]
olduğundan 2. tipten doğruların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
141
Hm,1,p[1, n, p
′] ∼ Hm,1,p[1, v, t] ⇔ [1, n, p′ + (p′m+ p)n] ∼ [1, v, t+ (tm+ p)v]
⇔ p′ + (p′m+ p)n− t− (tm+ p)v ∈ I
⇔ p′ − t ∈ I
⇔ [1, n, p′] ∼ [1, v, t]
olduğundan 1. tipten doğruların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
Hm,1,p[q, n, 1] ∼ Hm,1,p[u, v, 1] ⇔ [q +mn, n, 1] ∼ [u+mv, v, 1]
⇔ q +mn− u−mv ∈ I ∧ n− v ∈ I
⇔ q − u ∈ I ∧ n− v ∈ I ;mn ∈ I,mv ∈ I
⇔ [q, n, 1] ∼ [u, v, 1].
olduğundan 3. tipten doğruların komşuluğu Hm,1,p dönüşümü altında korunur.
Böylece Hm,1,p dönüşümünün komşuluk bağıntısını koruduğu gösterilmiş olur.
Şimdi de PK2(B(ε)) düzlemindeki [m, 1, p] tipinden herhangi bir doğru üzerinde bu-
lunan noktaların birbirleriyle toplanması işleminin Hm,1,p kolinasyonu altında değişmez
kaldığına dair bir teorem verilecektir.
Teorem 5.2.2 PK2B(ε) düzleminde [m, 1, p] doğrusu üzerinde verilen A ve B nokta-
larından en azından biri d∞ doğrusuna yakın olmasın. Bu durumda
Hm,1,p(A) +Hm,1,p(B) = Hm,1,p(A+B)
eşitliği sağlanır.
İspat. [m, 1, p] doğrusu üzerinde alınanA veB noktalarından en azından biri d∞ doğrusuna
142
yakın olmadığından incelenmesi gereken sadece iki durum vardır; ya A ve B nin ikisi de
3. tiptendir ya da A ve B den biri 1. tipten ise diğeri 3. tiptendir.
1. Durum: A ve B nin ikisi de 3. tipten olmak üzere
A = (a1, a2, 1), B = (b1, b2, 1)
olsun.
A ◦ [m, 1, p] ⇔ (a1, a2, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ a2 = a1m+ p
B ◦ [m, 1, p] ⇔ (b1, b2, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ b2 = b1m+ p
ve [m, 1, p] tipinden bir doğru üzerindeki iki noktanın toplamı ile ilgili verilen Teorem
4.3.8 den
A+B = (a1, a2, 1) + (b1, b2, 1)
= (a1 + b1, (a1 + b1)m+ p, 1)
olduğu görülür. Bu durumda
Hm,1,p(A) +Hm,1,p(B) = (a1, a2 − a1m− p, 1) + (b1, b2 − b1m− p, 1)
= (a1, 0, 1) + (b1, 0, 1)
= (a1 + b1, 0, 1) (5.2.4)
143
Hm,1,p(A+B) = Hm,1,p(a1 + b1, (a1 + b1)m+ p, 1)
= (a1 + b1, (a1 + b1)m+ p− (a1 + b1)m− p, 1)
= (a1 + b1, 0, 1) (5.2.5)
olup (5.2.4) ve (5.2.5) den
Hm,1,p(A) +Hm,1,p(B) = Hm,1,p(A+B)
sonucu elde edilir.
2. Durum: A ve B den biri 1. tipten, diğeri 3. tipten olsun. Birinci tipten olanı B
olarak belirlemek yani
A = (a1, a2, 1), B = (1, y, z)
almak genelliği bozmaz.
A ◦ [m, 1, p] ⇔ (a1, a2, 1) ◦ [m, 1, p]
⇔ a2 = a1m+ p,
B ◦ [m, 1, p] ⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p]
⇔ y = m+ zp
ve [m, 1, p] tipinden bir doğru üzerindeki iki noktanın toplamı ile ilgili verilen Teorem
4.3.8 den
A+B = (a1, a2, 1) + (1, y, z)
= (1, y, z)
= B
144
olduğu görülür. Bu durumda
Hm,1,p(A) +Hm,1,p(B) = (a1, a2 − a1m− p, 1) + (1, y −m− zp, z)
= (a1, 0, 1) + (1, 0, z)
= (1, 0, z) (5.2.6)
Hm,1,p(A+B) = Hm,1,p(1, y, z)
= (1, y −m− zp)
= (1, 0, z) (5.2.7)
olup (5.2.6) ve (5.2.7) den
Hm,1,p(A) +Hm,1,p(B) = Hm,1,p(A+B)
sonucu elde edilir.
5.3 PK2(B(ε)) Düzleminde [1, n, p] Tipinden Bir Doğru Üzerinde Bulunan Nokta-
ların Toplamının Kolinasyonlar Altında Korunması
Bu başlık altında n = n2ε, p = p1+p2ε ∈ B(ε) olmak üzere PK2(B(ε)) düzlemi üzerinde
bir H1,n,p dönüşümü tanıtılacak ve bu dönüşümün bir kolinasyon olduğu gösterilecektir.
H1,n,p dönüşümü PK2(B(ε)) düzleminin noktaları ve doğruları üzerinde aşağıdaki gibi
tanımlanacaktır.
145
H1,n,p : PK2 (B(ε)) −→ PK2(B(ε))
(x, y, 1) −→ (y, x− yn− p, 1)
y ∈ I için (1, y, z) −→ (y, 1, z)
y ∈/ I için (1, y, z) −→ (1, y−1 − n− (y−1z)p, y−1z)
(w, 1, z) −→ (1, w − n− zp, z)
m ∈ I için [m, 1, p′] −→ [[1,m, p′ + (p′n+ p)m]
m ∈/ I için [m, 1, p′] −→ m−
]
1 − n, 1,−p′m−1 − p
[1, n′, p′] −→ [n′ − n, 1, p′ − p]
[q, n′, 1] −→ [n′, q, 1]
Teorem 5.3.1 H1,n,p dönüşümü PK2B(ε) düzlemi üzerinde bir kolinasyondur.
İspat. H1,n,p dönüşümünün birebir ve örten olduğu basit ama uzun işlemlerle kolayca
gösterilebilir. Bu nedenle H1,n,p dönüşümünün üzerinde olma bağıntısını ve komşuluk
bağıntısını koruduğu gösterilerek ispat tamamlanacaktır.
2. tipten [m, 1, p′] biçimindeki bir doğrunun H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü, m
nin I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından, 3.
tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasının korunması iki farklı durumda
incelenecektir.
146
1. Durum m ∈ I iken
H ′ ′1,n,p(x, y, 1) ◦H1,n,p[m, 1, p ] ⇔ (y, x− yn− p, 1) ◦ [1,m, p + (p′n+ p)m]
⇔ y = (x− yn− p)m+ p′ + p′nm+ pm
⇔ y = xm− ynm− pm+ p′ + p′nm+ pm
⇔ y = xm+ p′ − ynm+ p′nm
⇔ y = xm+ p′ + (p′ − y)nm
⇔ y = xm+ p′ ;m ∈ I
⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p′]
2. Durum m ∈/ I iken
H1,n,p(x, y, 1) ◦H ′1,n,p[m, 1, p ] ⇔ (y, x− yn− p, 1) ◦ [m−1 − n, 1,−p′m−1 − p]
⇔ x− yn− p = y(m−1 − n)− p′m−1 − p
⇔ x = ym−1 − p′m−1
⇔ xm = y − p′
⇔ y = xm+ p′
⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p′]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
H1,n,p(x, y, 1) ◦H [1, n′1,n,p , p′] ⇔ (y, x− yn− p, 1) ◦ [n′ − n, 1, p′ − p]
⇔ x− yn− p = yn′ − yn+ p′ − p
⇔ x = yn′ + p′
⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n′, p′]
147
olduğundan 3. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
H ′1,n,p(x, y, 1) ø H1,n,p[q, n , 1]⇔ (y, x− yn− p, 1) ø [n′, q, 1] (5.3.1)
3. tipten bir nokta 3. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.3.1) önermesi ile
(x, y, 1) ø [q, n′, 1]
önermesi denktir. Bu nedenle 3. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmaması
H1,n,p dönüşümü altında korunur.
1. tipten (1, y, z) biçimindeki bir noktanın H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü y nin
I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından ve 2.
tipten [m, 1, p′] biçimindeki bir doğrunun H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü m nin
I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından, 1. tipten
bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasının korunması, dört farklı durumda ince-
lenecektir.
1. Durum: y ∈ I , m ∈ I iken,
H1,n,p(1, y, z) ◦H1,n,p[m, 1, p′] ⇔ (y, 1, z) ◦ [1,m, p′+ (p′n+ p)m]
⇔ y = m+ z(p′+ (p′n+ p)m)
⇔ y = m+ zp′+ z(p′n+ p)m
⇔ y = m+ zp′ ; z(p′n+ p) ∈ I
⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p′]
2. Durum y ∈ I , m ∈/ I iken Sonuç 3.3.3 gereği aynı tipten noktalar aynı tipten doğrular
üzerinde olamayacağı için
148
H1,n,p(1, y, z) ø H
′
1,n,p[m, 1, p ]
bulunur.
3. Durum y ∈/ I ve m ∈ I iken Sonuç 3.3.3 gereği aynı tipten noktalar aynı tipten
doğrular üzerinde olamayacağı için
H1,n,p(1, y, z) ø H
′
1,n,p[m, 1, p ]
bulunur.
4. Durum y ∈/ I ve m ∈/ I iken
H1,n,p(1, y, z) ◦H1,n,p[m, 1, p′] ⇔ (1, y−1 − n− (y−1z)p, y−1z) ◦ [m−1 − n, 1,−p′m−1 − p]
⇔ y−1 − n− (y−1z)p = m−1 − n+ (y−1z)(−p′m−1 − p)
⇔ y−1 − (y−1z)p = m−1 − (y−1z)(p′m−1)− (y−1z)p
⇔ y−1 = m−1 − (y−1z)(p′m−1)
⇔ 1 = ym−1 − zp′m−1
⇔ m = y − zp′
⇔ y = m+ zp′
⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p′]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
1. tipten (1, y, z) biçimindeki bir noktanın H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü y nin
149
I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından, 1. tipten
bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasının korunması, iki farklı durumda ince-
lenecektir.
1. Durum y ∈ I iken
H1,n,p(1, y, z) ◦H1,n,p[q, n′, 1] ⇔ (y, 1, z) ◦ [n′, q, 1]
⇔ z = yn′ + q
⇔ (1, y, z) ◦ [q, n′, 1]
2. Durum y ∈/ I iken
H ′ −1 −1 −1 ′1,n,p(1, y, z) ◦H1,n,p[q, n , 1] ⇔ (1, y − n− (y z)p, y z) ◦ [n , q, 1]
⇔ y−1z = n′ + (y−1 − n− (y−1z)p)q
⇔ y−1z = n′ + y−1q
⇔ z = yn′ + q
⇔ (1, y, z) ◦ [q, n′, 1]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
1. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmamasının H1,n,p dönüşümü altında
korunup korunmadığının araştırılması için incelenmesi gereken iki farklı durum vardır.
1. Durum: y ∈ I için
H1,n,p(1, y, z) ø H
′ ′
1,n,p[1, n , p ]
⇔ (y, 1, z) ø [n′ − n, 1, p′ − p] (5.3.2)
150
2. tipten bir nokta 2. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.3.2) önermesi ile 1. tipten
bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından
(1, y, z) ø [1, n′, p′]
önermesi denktir.
2. Durum: y ∈/ I için
H1,n,p(1, y, z) ø H1,n,p[1, n
′, p′]
⇔ (1, y−1 − n− (y−1z)p, y−1z) ø [n′ − n, 1, p′ − p]
⇔ y−1 − n− (y−1z)p 6= n′ − n+ (y−1z)(p′ − p)
⇔ y−1 − y−1zp =6 n′ + y−1zp′ − y−1zp)
⇔ y−1 6= n′ + y−1zp′ (5.3.3)
bulunur. (5.3.3) eşitsizliğinde sol taraf I idealinin elemanı olmamasına rağmen sağ taraf
I idealinin elemanıdır. Bu sebeple (5.3.3) ifadesi bir uyuşmadır. Bu uyuşma ile
(1, y, z) ø [1, n′, p′]
uyuşması birbirlerine denktir. Bu sebeple 1. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru
üzerinde olmaması H1,n,p dönüşümü altında korunur.
H1,n,p(w, 1, z) ◦H1,n,p[1, n′, p′] ⇔ (1, w − n− zp, z) ◦ [n′ − n, 1, p′ − p]
⇔ w − n− zp = n′ − n+ z(p′ − p)
⇔ w − zp = n′ + zp′ − zp
⇔ w = n′ + zp′
⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n′, p′]
151
olduğundan 2. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
H1,n,p(w, 1, z) ◦H1,n,p[q, n′, 1] ⇔ (1, w − n− zp, z) ◦ [n′, q, 1]
⇔ z = n′ + (w − n− zp)q
⇔ z = n′
⇔ (w, 1, z) ◦ [q, n′, 1]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıH1,n,p dönüşümü al-
tında korunur.
2. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmamasının H1,n,p dönüşümü altında
korunup korunmadığının araştırılması için incelenmesi gereken iki farklı durum vardır.
1. Durum: m ∈ I için
H1,n,p(w, 1, z) ø H
′
1,n,p[m, 1, p ]⇔ (1, w − n− zp, z) ø [1,m, p′+ (p′n+ p)m] (5.3.4)
1. tipten bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.3.2) önermesi ile 2. tipten
bir nokta 2. tipten bir doğru üzerinde olmadığından
(w, 1, z) ø [m, 1, p′]
önermesi denktir.
152
2. Durum: m ∈/ I için
H1,n,p(w, 1, z) ø H1,n,p[m, 1, p
′] ⇔ (1, w − n− zp, z) ø [m−1 − n, 1,−p′m−1 − p]
⇔ w − n− zp 6= m−1 − n+ z(−p′m−1 − p)
⇔ w − zp 6= m−1 − zp′m−1 − zp
⇔ w 6= m−1 − zp′m−1 (5.3.5)
bulunur. (5.3.5) eşitsizliğinde sol taraf I idealinin elemanı olmasına rağmen sağ taraf I
idealinin elemanı değildir. Bu sebeple (5.3.5) ifadesi bir uyuşmadır. Bu uyuşma ile
(w, 1, z) ø [m, 1, p′]
uyuşması birbirlerine denktir. Bu sebeple 2. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru
üzerinde olmaması H1,n,p dönüşümü altında korunur.
Böylece H1,n,p dönüşümünün üzerinde olmayı koruduğu gösterilmiş olur.
H1,n,p(x, y, 1) ∼ H1,n,p(u, v, 1) ⇔ (y, x− yn− p, 1) ∼ (v, u− vn− p, 1)
⇔ y − v ∈ I ∧ x− yn− p− u+ vn+ p ∈ I
⇔ y − v ∈ I ∧ x− u− (x+ v)n ∈ I
⇔ y − v ∈ I ∧ x− u ∈ I
⇔ (x, y, 1) ∼ (u, v, 1)
olduğundan 3. tipten noktaların komşuluğu H1,n,p dönüşümü altında korunur.
1. tipten (1, y, z) biçimindeki bir noktanın H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü y nin
I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından, 1. tipten
noktaların birbirleriyle komşu olması dört farklı durumda incelenecektir.
153
1. Durum y ∈ I, v ∈ I iken
H1,n,p(1, y, z) ∼ H1,n,p(1, v, t) ⇔ (y, 1, z) ∼ (v, 1, t)
⇔ y − v ∈ I
⇔ (1, y, z) ∼ (1, v, t)
olduğu görülür.
2. Durum y ∈ I, v ∈/ I iken Sonuç 3.3.4 gereği y ∈ I iken y − 1 ∈/ I olduğu için
H1,n,p(1, y, z)  H1,n,p(1, v, t)
bulunur.
3. Durum y ∈/ I, v ∈ I iken Sonuç 3.3.4 gereği v ∈ I iken 1− v ∈/ I olduğu için
H1,n,p(1, y, z)  H1,n,p(1, v, t)
bulunur.
4. Durum y ∈/ I, v ∈/ I iken
y = y1 + y2ε, v = v1 + v2ε ∈ B(ε)
için
154
y−1 − v−1 ∈ I ⇔ (y−1 − (y−1y y−1)ε)− (v−1 − (v−1v v−11 1 2 1 1 1 2 1 )ε) ∈ I
⇔ y−11 − v−11 = 0
⇔ y−1 = v−11 1
⇔ y1 = v1
⇔ (y1 + y2ε)− (v1 + v2ε) ∈ I
⇔ y − v ∈ I
olduğu görülür. Bu durumda
H1,n,p(1, y, z) ∼ H1,n,p(1, v, t)
⇔ (1, y−1 − n− (y−1z)p, y−1z) ∼ (1, v−1 − n− (v−1t)p, v−1t)
⇔ y−1 − n− y−1zp− v−1 + n+ v−1tp ∈ I ∧ y−1z − v−1t ∈ I
⇔ y−1 − v−1 + (v−1t− y−1z)p ∈ I ∧ y−1z − v−1t ∈ I
⇔ y−1 − v−1 ∈ I
⇔ y − v ∈ I
⇔ (1, y, z) ∼ (1, v, t)
sonucu elde edilir ki bu 1. tipten noktaların komşuluğunun H1,n,p dönüşümü altında ko-
runduğunu gösterir.
H1,n,p(w, 1, z) ∼ H1,n,p(u, 1, t) ⇔ (1, w − n− zp, z) ∼ (1, u− n− tp, t)
⇔ w − n− zp− u+ n+ tp ∈ I
⇔ (w, 1, z) ∼ (u, 1, t)
olduğundan 2. tipten noktaların komşuluğu H1,n,p dönüşümü altında korunur.
2. tipten [m, 1, p′] biçimindeki bir doğrunun H1,n,p dönüşümü altındaki görüntüsü m nin
155
I kümesinde olup olmamasına bağlı olarak iki farklı biçimde tanımlandığından, 2. tipten
doğruların birbirleriyle komşu olması dört farklı durumda incelenecektir.
1. Durum m ∈ I, u ∈ I iken
H1,n,p[m, 1, p
′] ∼ H1,n,p[u, 1, t]
⇔ [1,m, p′ + (p′n+ p)m] ∼ [1, u, t+ (tn+ p)u]
⇔ m− u ∈ I ∧ p′ + (p′n+ p)m− t− (tn+ p)u ∈ I
⇔ m− u ∈ I ∧ p′ − t+ (p′n+ p)m− (tn+ p)u ∈ I
⇔ m− u ∈ I ∧ p′ − t ∈ I ; (p′n+ p)m ∈ I ∧ (tn+ p)u ∈ I
⇔ [m, 1, p′] ∼ [u, 1, t]
olduğu bulunur.
2. Durum m ∈ I, u ∈/ I iken Sonuç 3.3.4 gereği m ∈ I iken m − 1 ∈/ I olduğu
için
H1,n,p[m, 1, p
′]  H1,n,p[u, 1, t]
bulunur.
3. Durum m ∈/ I, u ∈ I iken Sonuç 3.3.4 gereği u ∈ I iken 1− u ∈/ I olduğu için
H1,n,p[m, 1, p
′]  H1,n,p[u, 1, t]
bulunur.
156
4. Durum m ∈/ I, u ∈/ I iken
m = m1 +m2ε, u = u1 + u2ε ∈ B(ε)
olduğu göz önüne alınarak
m−1 − u−1 ∈ I ⇔ (m−1 − (m−1m m−11 1 2 1 )ε)− (u−11 − (u−1u u−11 2 1 )ε) ∈ I
⇔ m−11 − u−11 = 0
⇔ m−1 −11 = u1 (5.3.6)
⇔ m1 = u1
⇔ (m1 +m2ε)− (u1 + u2ε) ∈ I
⇔ m− u ∈ I
sonucu elde edilir.
Benzer biçimde p′ = p′ + p′1 2ε, t = t1 + t2ε ∈ B(ε) iken (5.3.6) eşitliği de kullanılarak
−p′m−1 + tu−1 ∈ I
⇔ −(p′1 + p′ −1 −1 −1 −1 −1 −12ε)(m1 − (m1 m2m1 )ε) + (t1 + t2ε)(u1 − (u1 u2u1 )ε) ∈ I
⇔ −p′m−1 + t u−11 1 1 1 = 0
⇔ p′m−11 1 = t u−11 1
⇔ p′m−11 1 = t m−11 1
⇔ p′1 = t1
⇔ (p′1 + p′2ε)− (t1 + t2ε) ∈ I
⇔ p′ − t ∈ I
olduğu bulunur. Elde edilen bu bilgiler kullanılarak
157
H [m, 1, p′1,n,p ] ∼ H1,n,p[u, 1, t] ⇔ [m−1 − n, 1,−p′m−1 − p] ∼ [u−1 − n, 1,−tu−1 − p]
⇔ m−1 − n− u−1 + n ∈ I ∧ −p′m−1 − p+ tu−1 + p ∈ I
⇔ m−1 − u−1 ∈ I ∧ −p′m−1 + tu−1 ∈ I
⇔ m− u ∈ I ∧ p′ − t ∈ I
⇔ [m, 1, p′] ∼ [u, 1, t]
sonucu elde edilir ki bu 2. tipten doğruların komşuluğunun H1,n,p dönüşümü altında ko-
runduğunu gösterir.
H [1, n′, p′1,n,p ] ∼ H1,n,p[1, v, t] ⇔ [n′ − n, 1, p′ − p] ∼ [v − n, 1, t− p]
⇔ n′ − n− v + n ∈ I ∧ p′ − p− t+ p ∈ I
⇔ n′ − v ∈ I ∧ p′ − t ∈ I
⇔ [1, n′, p′] ∼ [1, v, t]
olduğundan 1. tipten doğruların komşuluğu H1,n,p dönüşümü altında korunur.
H1,n,p[q, n
′, 1] ∼ H ′1,n,p[u, v, 1] ⇔ [n , q, 1] ∼ [v, u, 1]
⇔ n′ − v ∈ I ∧ q − u ∈ I
⇔ [q, n′, 1] ∼ [u, v, 1].
olduğundan 3. tipten doğruların komşuluğu H1,n,p dönüşümü altında korunur.
Böylece H1,n,p dönüşümünün komşuluk bağıntısını koruduğu gösterilmiş olur.
Şimdi de PK2(B(ε)) düzlemindeki [1, n, p] tipinden herhangi bir doğru üzerinde bu-
lunan noktaların birbirleriyle toplanması işleminin H1,n,p kolinasyonu altında değişmez
158
kaldığına dair bir teorem verilecektir.
Teorem 5.3.2 PK2B(ε) düzleminde [1, n, p] doğrusu üzerinde verilen A ve B nokta-
larından en azından biri V noktasına komşu olmasın. Bu durumda
H1,n,p(A) +H1,n,p(B) = H1,n,p(A+B)
eşitliği sağlanır.
İspat. A ve B noktalarından en azından biri V noktasına komşu olmadığından incelen-
mesi gereken sadece iki durum vardır: Ya A ve B nin ikisi de 3. tiptendir ya da biri 3.
tipten diğeri 2. tiptendir. A ve B noktaları [1, n, p] üzerinde olduğundan 1. tipten ola-
mazlar.
1. Durum: A ve B nin ikisi de 3. tipten ise
A = (a1, a2, 1), B = (b1, b2, 1)
biçimindedir.
A ◦ [1, n, p] ⇔ (a1, a2, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ a1 = a2n+ p
B ◦ [1, n, p] ⇔ (b1, b2, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ b1 = b2n+ p
olup Teorem 4.3.11 den
A+B = ((a2 + b2)n+ p, a2 + b2, 1)
sonucu elde edilir. Bu durumda
159
H1,n,p(A) +H1,n,p(B) = (a2, a1 − a2n− p, 1) + (b2, b1 − b2n− p, 1)
= (a2, 0, 1) + (b2, 0, 1)
= (a2 + b2, 0, 1) (5.3.7)
H1,n,p(A+B) = H1,n,p((a2 + b2)n+ p, a2 + b2, 1)
= (a2 + b2, (a2 + b2)n+ p− (a2 + b2)n− p, 1)
= (a2 + b2, 0, 1) (5.3.8)
olup (5.3.7) ve (5.3.8) den
H1,n,p(A) +H1,n,p(B) = H1,n,p(A+B)
sonucu bulunur.
2. Durum: A ve B den biri 3. tipten diğeri 2. tipten ise
A = (a1, a2, 1), B = (w, 1, z)
almak genelliği bozmaz. Bu durumda,
A ◦ [1, n, p] ⇔ (a1, a2, 1) ◦ [1, n, p]
⇔ a1 = a2n+ p
B ◦ [1, n, p] ⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n, p]
⇔ w = n+ zp
olur ve Teorem 4.3.11 den
160
A+B = (a1, a2, 1) + (w, 1, z)
= (w, 1, z)
= B
olduğu görülür. Bu durumda
H1,n,p(A) +H1,n,p(B) = (a2, a1 − a2n− p, 1) + (1, w − n− zp, z)
= (a2, 0, 1) + (1, 0, z)
= (1, 0, z) (5.3.9)
H1,n,p(A+B) = H1,n,p(w, 1, z)
= (1, w − n− zp, z)
= (1, 0, z) (5.3.10)
olup (5.3.9) ve (5.3.10) dan
H1,n,p(A) +H1,n,p(B) = H1,n,p(A+B)
olduğu görülür.
5.4 PK2(B(ε)) Düzleminde OU Doğrusu Üzerinde Bulunan Noktaların Çarpımı
ile Kolinasyonlar Arasındaki İlişki
Bu başlık altında önce B(ε) dual lokal halkasından a1 6= 0 özelliğinde alınan herhangi
bir a = a1 + a2ε ∈ B(ε) − I elemanı için aşağıdaki gibi tanımlanan La dönüşümünün
PK2(B(ε)) düzlemi için bir kolinasyon olduğu gösterilecektir.
161
La : PK2(B(ε)) −→ PK2(B(ε))
(x, y, 1) −→ ((ax, aya, 1))
(1, y, z) −→ 1, ya, za−1 ,
(w, 1, z) −→ (a−1w, 1, a−1za−1),
[m, 1, p] −→ [[ma, 1, apa]],
[1, n, p] −→ [1, a−1n, ap , ]
[q, n, 1] −→ qa−1, a−1na−1, 1
Teorem 5.4.1 La dönüşümü PK2B(ε) düzlemi üzerinde bir kolinasyondur.
İspat. La dönüşümünün birebir ve örten olduğu ayrıca üzerinde olmayı ve komşuluk
bağıntısını koruduğu gösterilmelidir. Bu dönüşümün birebir olduğu basit fakat uzun
işlemlerle gösterilebilmektedir.
La nın tanımı gereği a ∈/ I olup,
(a−1x, a−1ya−1, 1) ∈ PK2(B(ε)) için
L (a−1a x, a
−1ya−1, 1) = (x, y, 1) ,
(1, ya−1, za) ∈ PK2(B(ε)) için
L −1a(1, ya , za) = (1, y, z) ,
162
(aw, 1, aza) ∈ PK2(B(ε)) için
La (aw, 1, aza) = (w, 1, z) ,
eşitlikleri bulunur ki buLa dönüşümünün noktalar kümesi üzerinde örten olduğunu gösterir.
[ma−1, 1, a−1pa−1] ∈ PK2(B(ε)) için
[
L ma−1, 1, a−1pa−
]
1
a = [m, 1, p] ,
[1, an, a−1p] ∈ PK2(B(ε)) için
[ ]
La 1, an, a
−1p = [1, n, p] ,
[qa, ana, 1] ∈ PK2(B(ε)) için
La [qa, ana, 1] = [q, n, 1]
olduğundan La dönüşümünün doğrular kümesi üzerinde de örten olduğu görülür.Yani La
örten bir dönüşümdür.
La (x, y, 1) ◦ La [m, 1, p] ⇔ (ax, aya, 1) ◦ [ma, 1, apa]
⇔ aya = (ax)(ma) + apa
⇔ aya = a(xm+ p)a
⇔ y = mx+ p
⇔ (x, y, 1) ◦ [m, 1, p]
olduğundan 3. tipten noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olması La dönüşümü altında
korunur.
163
[ ]
La (x, y, 1) ◦ La [1, n, p] ⇔ (ax, aya, 1) ◦ 1, a−1n, ap
⇔ ax = (aya)(a−1n) + ap
⇔ ax = ayn+ ap
⇔ x = yn+ p
⇔ (x, y, 1) ◦ [1, n, p]
olduğundan 3. tipten bir noktanın 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıLa dönüşümü altında
korunur.
La(x, y, 1) ø La[q, n, 1]⇔ (ax, aya, 1) ø [qa−1, a−1na−1, 1] (5.4.1)
3. tipten bir nokta 3. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.4.1) önermesi ile
(x, y, 1) ø [q, n, 1]
önermesi denktir. Bu nedenle 3. tipten bir noktanın 3. tipten doğru üzerinde olmaması La
dönüşümü altında korunur.
( )
La (1, y, z) ◦ La [m, 1, p] ⇔ 1, ya, za−1 ◦ [ma, 1, apa]
⇔ ya = ma+ (za−1)(apa)
⇔ ya = ma+ zpa
⇔ y = m+ zp
⇔ (1, y, z) ◦ [m, 1, p]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 2. tipten bir doğru üzerinde olmasıLa dönüşümü altında
korunur.
164
( ) [
L (1, y, z) ◦ L [q, n, 1] ⇔ 1, ya, za−1 ◦ qa−1, a−1na−
]
1
a a , 1
⇔ za−1 = qa−1 + (ya)(a−1na−1)
⇔ za−1 = qa−1 + yna−1
⇔ z = q + yn
⇔ (1, y, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 1. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıLa dönüşümü altında
korunur.
La(1, y, z) ø La[1, n, p]⇔ (1, ya, za−1) ø [1, a−1n, ap] (5.4.2)
1. tipten bir nokta 1. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.4.2) önermesi ile
(1, y, z) ø [1, n, p]
önermesi denktir. Bu nedenle 1. tipten bir noktanın 1. tipten doğru üzerinde olmaması La
dönüşümü altında korunur.
[ ]
La (w, 1, z) ◦ La [1, n, p] ⇔ (a−1w, 1, a−1za−1) ◦ 1, a−1n, ap
⇔ a−1w = a−1n+ (a−1za−1)(ap)
⇔ a−1w = a−1n+ a−1zp
⇔ w = n+ zp
⇔ (w, 1, z) ◦ [1, n, p]
olduğundan 2. tipten bir noktaların 1. tipten bir doğru üzerinde olmasıLa dönüşümü altında
korunur.
165
[ ]
La (w, 1, z) ◦ La [q, n, 1] ⇔ (a−1w, 1, a−1za−1) ◦ qa−1, a−1na−1, 1
⇔ a−1za−1 = (a−1w)(qa−1) + a−1na−1
⇔ a−1za−1 = a−1na−1
⇔ z = n
⇔ (w, 1, z) ◦ [q, n, 1]
olduğundan 2. tipten bir noktanın 3. tipten bir doğru üzerinde olmasıLa dönüşümü altında
korunur.
La(w, 1, z) ø La[m, 1, p]⇔ (a−1w, 1, a−1za−1) ø [ma, 1, apa] (5.4.3)
2. tipten bir nokta 2. tipten bir doğru üzerinde olmadığından (5.4.3) önermesi ile
(w, 1, z) ø [m, 1, p]
önermesi denktir. Bu nedenle 2. tipten bir noktanın 2. tipten doğru üzerinde olmaması La
dönüşümü altında korunur.
Böylece La dönüşümünün üzerinde olmayı koruduğu gösterilmiş olur.
La (x, y, 1) ∼ La(u, v, 1) ⇔ (ax, aya, 1) ∼ (au, ava, 1)
⇔ ax− au ∈ I ∧ aya− ava ∈ I
⇔ a(x− u) ∈ I ∧ a(y − v)a ∈ I
⇔ x− u ∈ I ∧ y − v ∈ I ; a ∈ B(ε)− I⇒ a ∈/ I
⇔ (x, y, 1) ∼ (u, v, 1)
166
olduğundan 3. tipten noktaların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
( ) ( )
La (1, y, z) ∼ La(1, v, t) ⇔ 1, ya, za−1 ∼ 1, va, ta−1
⇔ ya− va ∈ I
⇔ (y − v)a ∈ I
⇔ y − v ∈ I ; a ∈ B(ε)− I⇒ a ∈/ I
⇔ (1, y, z) ∼ (1, v, t)
olduğundan 1. tipten noktaların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
La (w, 1, z) ∼ La(u, 1, t) ⇔ (a−1w, 1, a−1za−1) ∼ (a−1u, 1, a−1ta−1)
⇔ a−1w − a−1u ∈ I ∧ a−1za−1 − a−1ta−1 ∈ I
⇔ a−1(w − u) ∈ I ∧ a−1(z − t)a−1 ∈ I
⇔ (w − u) ∈ I ∧ (z − t) ∈ I
⇔ (w, 1, z) ∼ (u, 1, t)
olduğundan 2. tipten noktaların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
La [m, 1, p] ∼ La [u, 1, t] ⇔ [ma, 1, apa] ∼ [ua, 1, ata]
⇔ ma− ua ∈ I ∧ apa− ata ∈ I
⇔ (m− u)a ∈ I ∧ a(p− t)a ∈ I
⇔ m− u ∈ I ∧ p− t ∈ I ; a ∈ B(ε)− I⇒ a ∈/ I
⇔ [m, 1, p] ∼ [u, 1, t]
olduğundan 2. tipten doğruların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
167
[
L [1, n, p] ∼ L [1, v, t] ⇔ 1, a−
] [ ]
1
a a n, ap ∼ 1, a−1v, at
⇔ ap− at ∈ I
⇔ a(p− t) ∈ I
⇔ p− t ∈ I ; a ∈ B(ε)− I⇒ a ∈/ I
⇔ [1, n, p] ∼ [1, v, t]
olduğundan 1. tipten doğruların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
[ ] [ ]
La [q, n, 1] ∼ La [u, v, 1] ⇔ qa−1, a−1na−1, 1 ∼ ua−1, a−1va−1, 1
⇔ qa−1 − ua−1 ∈ I ∧ a−1na−1 − a−1va−1 ∈ I
⇔ (q − u)a−1 ∈ I ∧ a−1(n− v)a−1 ∈ I
⇔ (q − u) ∈ I ∧ (n− v) ∈ I
⇔ [q, n, 1] ∼ [u, v, 1]
olduğundan 3. tipten doğruların komşuluğu La dönüşümü altında korunur.
Böylece La dönüşümünün komşuluk bağıntısını koruduğu gösterilmiş olur.
Aşağıdaki teoremde PK2(B(ε)) düzlemindeki OU doğrusu üzerinde bulunan noktalar
için çarpma işlemi gibi davranan bir kolinasyonun varlığı gösterilecektir.
Teorem 5.4.2 PK2(B(ε)) düzleminde OU = [0, 1, 0] doğrusu üzerinde a1 6= 0,
a = a1 +a2ε olmak üzere keyfı̂ olarak alınan bir A = (a1 +a2ε, 0, 1) noktası ve herhangi
X noktası ile Teorem 5.4.1 de verilen La kolinasyonu için
La(X) = A ·X
eşitliği sağlanır.
168
İspat. OU doğrusu üzerinde alınan X noktasının U noktasına komşu olup olmamasına
göre iki durum söz konusudur.
1. Durum: X  U ise
X = (x, 0, 1) = (x1 + x2ε, 0, 1)
olacak biçimde x = x1 + x2ε ∈ B(ε) elemanı vardır. Bu durumda
La(X) = (ax, a0a, 1)
= (ax, 0, 1)
= (a1x1 + (a1x2 + a2x1)ε, 0, 1)
olduğu La kolinasyonu tanımından bellidir. Diğer taraftan Teorem 4.4.2 gereği
A ·X = (a1 + a2ε, 0, 1) · (x1 + x2ε, 0, 1)
= (a1x1 + (a1x2 + a2x1)ε, 0, 1)
olduğundan
La(X) = (a1x1 + (a1x2 + a2x1)ε, 0, 1)
= A ·X
sonucu elde edilir.
2. Durum: X ∼ U ise
X = (1, 0, x) = (1, 0, x2ε)
169
olacak biçimde x = x2ε ∈ I elemanı vardır. Bu durumda
L (X) = (1, 0a, xa−1a )
= (1, 0, (x a−12 1 )ε)
olduğu La kolinasyonu tanımından bellidir. Teorem 4.4.2 gereği
A ·X = (a1 + a2ε, 0, 1) · (1, 0, x2ε)
= (1, 0, (x a−12 1 )ε)
olduğundan
La(X) = (1, 0, (x2a
−1
1 )ε)
= A ·X
sonucuna ulaşılır.
170
6. SONUÇ
Bu tezde konuya genel yaklaşımlarda Alman matematikçi David Hilbert’ın “Geometrinin
Temelleri” adlı kitabında bahsettiği “Bir geometri, bir aksiyom sisteminden takip edilen
teoremlerin bir koleksiyonudur.” prensibi temel alınmıştır. Her ne kadar bu yaklaşım bir
geometrici için hayatın gerçeklerinden uzaklaşarak aksiyomatik düşünme ve soyut kalma
tehlikesi getirse de fiziki dünyadan bağımsız olmasını yani özgürlük ve hareket alanının
sonsuz büyüklükte olmasını sağlamaktadır.
17. yüzyılda Rönesans zamanında Girard Desargues (1591-1661) tarafından temelleri
atılan projektif geometride gerçek anlamda sistematik çalışmalar ancak sonsuzdaki nokta
(ideal nokta) kavramının diğer sıradan noktalar ile aynı özelliklere sahip olup farklı bir
yerde bulunmadığına dair yapılan çalışmalar K. G. C. von Staudt tarafından tamamlan-
masından ve Felix Klein’ın, Möbiüs tarafından tanıtılan homojen koordinatlar kavramını,
projektif geometri için cebirsel olarak temellendirmesinden sonra yapılmaya başlanıldı
(Coxeter 1974). Bu sebeple geometrik algılayışın cebirsel kavrayıştan daha önde gittiği
yapılan hiçbir çalışmanın uygulama alanı bulmadan kalmayacağı söylenebilir. Ünlü Rus
matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky’nin de dediği gibi:
“Matematiğin hiç bir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada
uygulama alanı bulmasın.”
Bu tezde üzerinde çalışılan cebirsel yapının, yani dual lokal halkaların, özel bir sınıfı
olarak dual kuaterniyonlar halkasının robotik, kinematik ve görüntü analizi gibi mühendis-
lik ve bilgisayar bilimleri alanlarındaki kullanım alanları ile bu cebirsel yapı ile koordinat-
lanan geometrik yapının, yani projektif düzlemlerin bir genellemesi olarak görülen PK-
düzlemlerin, gayri Öklidyen geometriler arasındaki konumu ve kodlama teorisi ile krip-
tografi konularıyla ilişkileri düşünüldüğünde bulunan sonuçların önemi zaman içerisinde
daha iyi anlaşılabilir.
171
PK2(B(ε)) düzleminde sadece OU doğrusu üzerindeki noktalar için verilen çarpma işle-
minin bu düzlemdeki diğer noktalar için nasıl genişletilebileceği ya da hangi şartlar altında
bu tip noktalar için çarpma işleminin tanımlanabileceği hususunda çalışmalar sürmekte-
dir. İleriki senelerde bu konularda yapılacak makalelerin ve çalışmaların planı şimdiden
yapılmaktadır.
172
KAYNAKLAR
Artmann, B., Dorn G., Drake D. A. ve Torner G. 1976. Hjelmslevsche Inzidenzgeome-
trie und V. G. Journal of Geometry 7(2): 175-191, DOI: 10.1007/BF019189-89.
Akpinar, A. 2007. Geometrik Yapılarda Çifte Oran. Doktora Tezi, UÜ Fen Bilimleri
Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Bursa.
Bacon, P. Y. 1979. An Introduction to Klingenberg Planes, Vol.3. P.Y. Bacon, Florida.
Baker, C.A., Lane N.D., Lorimer, J.W. 1991. A coordinatization for Moufang-Klingen-
berg planes. Simon Stevin, 65: 3-22.
Batten, L.M. 1986. Combinatorics of Finite Geometries. Cambridge Press, U.K.
Bayraktar, M. 1997. Soyut Cebir ve Sayılar Teorisi. ISBN: 975-442-006-8, Bursa.
Bayraktar, A. 2012. Cebirsel Yapılar Üzerine Projektif Geometri. Yüksek Lisans
Tezi, UÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Bursa.
Bennett, M.K. 1995. Affine and Projective Geometry. John Wiley and Sons, Inc., New
York, 173 pp.
Beutelspacher, A., Rosenbaum, U. 1998. Projective Geometry. Cambridge University
Press, U.K., 258 pp.
Clifford, W.K. 1873. Preliminary sketch of biquaternions. Proceedings of the London
Mathematical Society, 4(64, 65): 381–395.
Coxeter, H.S.M. 1942. Non-Euclidean Geometry. University of Toronto Press, Scholarly
Publishing Division, Toronto, 336 pp.
Coxeter, H.S.M. 1949. The Real Projective Plane. Mc-graw-Hill Book Comp. Inc.,
Toronto, 196 pp.
Coxeter, H.S.M. 1969. Introduction to Geometry. John Wiley&Sons, Inc., 469 pp.
Coxeter, H.S.M. 1974. Projective Geometry. Springer-Verlag, New York, 163 pp.
Çelik, B. 2015. Soyut Matematik. Dora Basım-Yayın Dağıtım Ltd. Şti., Bursa, 491 s.
Çelik, B., Dayıoğlu, A. 2013. The collineations which act as addition and multiplication
on points in a certain class of projective Klingenberg planes. Journal of Inequalities and
Applications, 2013: 193.
Çelik, B., Erdoğan, F.Ö. 2013. On The Addition and Multiplication of the Points in a
Certain Class of Projective Klingenberg Plane. Journal of Inequalities and Applications,
2013: 230.
Çiftçi, S. 2015. Lineer Cebir. Dora Basım-Yayın Dağıtım Ltd. Şti., Bursa, 430 s.
Dayıoğlu, A., Çelik, B. 2011. Projective Klingenberg Planes Constructed with Dual Lo-
cal Rings. Num. An. and App. Math. ICNAAM 2011 American Institute of Physics Conf.
Proc., 1389: 308-311.
173
Dembowski, P. 1968. Finite Geometries. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York,
375 pp.
Drake, D.A., Lenz H. 1975. Finite Klingenberg planes. Abh. Math. Sem. Hamburg, 44:
70 - 83.
Dugas, M. 1979. Verallgemeinerte André-ebenen mit epimorphismen auf Hjelmslev-
Ebenen. Geometriae Dedicata, 8: 105-123.
Fraleigh, J.B. 2003. A First Course In Abstract Algebra. Addision-Wesley Publishing
Company, 520 pp.
Hacısalihoğlu, H.H. 2000. Lineer Cebir I. Hacısalihoğlu Yayınları, İstanbul, 480 s.
Hall, M. 1943 Projective planes. Transactions of the American Mathematical Society
54(2): 229–277 doi:10.2307/1990331
Hessenberg, G. 1905. Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen. Mathe-
matische Annalen, Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161–172, doi:10.1007/BF014-
57558.
Hirschfeld, J.W.P. 1998. Projective Geometries over Finite Fields. Oxford Science Pub-
lications, New York, 555 pp.
Hughes, D.R., Piper, F.C. 1973. Projective Planes. Springer, New York, 291 pp.
Jacobson, N. 1975. Lectures in Abstract Algebra Vol.3. Springer-Verlag, New York, 3rd
Edition, 217 pp.
Kaya, R. 2005. Projektif Geometri. Osmangazi Üniversitesi Yayınları, Eskişehir, 392 s.
Keppens, D. 1988. Coordinatization of Projective Klingenberg Planes. Simon Stevin, 62:
63-90.
Klingenberg, W. l954. Proiektive und affine Ebenen mit Nachbarelementen. Math. Z.,
(60): 384-406.
Klingenberg, W. 1955. Desarguessche Ebenen mit Nachbarelementen. Abh. Math. Sem.
Univ., Hamburg, (20): 97–111
Klingenberg, W. 1956. Projektive Geometrien mit Homomorphismus. Math. Ann, (132):
180–200.
Möbius, A.F. 1827. Der barycentrische Calcul. J.A. Barth, 454 pp.
O’Hara, C.W., Ward, D.R. 1937. An Introduction To Projective Geometry. Oxford At
The Clarendon Press, 298 pp.
Pickert, G. 1955. Projektive Ebenen. Springer Berlin Heidelberg, 350 pp.
Stevenson, F.W. 1972. Projective Planes, W. H. Freeman, 411 pp.
Veblen O., Young, J.W. 1910. Projective Geometry Volume 1. Ginn and Company,
Boston, 358 pp.
Von Staudt, K.G.C. 1847. Geometrie der Lage. Nürnberg F. Korn, 236 pp.
174
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : ABDURRAHMAN DAYIOĞLU
Doğum Yeri ve Tarihi : BURSA 1987
Yabancı Dil : İNGİLİZCE
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) :
Lise : ULUBATLI HASAN ANADOLU LİSESİ
Lisans : ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ
Birleştirilmiş Doktora : BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl : 1) İlk Tan Dershanesi 2008-2012
2) Uludağ Üniversitesi 2012-
İletişim(e-posta) : abdurrahmandayioglu@gmail.com
Yayınlar
Dayıoğlu, A., Çelik, B. 2011. Projective Klingenberg planes constructed with dual
local rings. American Institute of Physics Conf. Proc., 1389: 308-311.
Çelik, B., Dayıoğlu, A. 2013. The collineations which act as addition and
multiplication on points in a certain class of projective Klingenberg planes. Journal
of Inequalities and Applications, 2013: 193.
Dayıoğlu, A., Çelik, B. 2017. On the relation between addition of collinear points
and collineations in PK2(Q(ε)). American Institute of Physics Conf. Proc.,
1863: 300024, doi: 10.1063/1.4992473
Akpinar, A., Dayıoğlu, A., Doğan, İ., Boztemür, B., Aslan, D., Gürel, Z.S. 2018.
A Note on Projective Klingenberg Planes over Rings of Plural Numbers.
International Journal of New Technology and Research, Volume-4, Issue-2: 103-105.
Dayıoğlu, A., Çelik, B. 2018. Addition for Points in PK2(Q(ε)), Afrika Matematika,
Under Review.
175