T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OLUŞUM TÜRÜ DENKLEMLERİN SİMETRİ İNDİRGEMELERİ, KORUNUM KANUNLARI VE TAM ÇÖZÜMLERİ İlker Burak GİRESUNLU Doç. Dr. Emrullah YAŞAR (Danışman) DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA – 2017 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi OLUŞUM TÜRÜ DENKLEMLERİN SİMETRİ İNDİRGEMELERİ, KORUNUM KANUNLARI VE TAM ÇÖZÜMLERİ İlker Burak GİRESUNLU Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Emrullah YAŞAR Bu doktora tezinde, tam ve kesirli mertebeli oluşum türü denklemlerin simetri indirgeme- leri, korunum kanunları ve tam çözümleri araştırılarak uygulamaları yapılmıştır. Diferensiyel denklemlerin incelenmesinde oldukça önemli bir yere sahip olan Lie simetri grupları yöntemi varyant Boussinesq sistemine, Schamel-Korteweg-de Vries denklemi- ne, Konopelchencho-Dubrovski sistemine, logaritmik KdV-benzeri ve logaritmik KP- benzeri denklemlerine ve zaman kesirli Schamel-Korteweg-de Vries denklemine uygu- landı. Gözönüne alınan denklem veya sistemlerin simetri indirgemeleri, tam çözümleri ve korunum kanunlarına ulaşıldı. Bunun yanında tezde Lie nokta simetri ve korunum vektörleri arasındaki ilişkiler araştırıldı. Korunum vektörlerini sistematik olarak elde etmek için üç tip farklı yöntem ele alındı. Bunlar sırasıyla çarpan yöntemi, yerel ol- mayan korunum yöntemi ve eşlenik simetri yaklaşımdır. Bu üç yöntem arasındaki ilişkiler tartışılarak logaritmik KdV-benzeri ve KP-benzeri denklemlerine uygulandı. Bununla birlikte elde edilen korunum kanunları ve elde edilen simetriler yardımıyla denklemin hem mertebesi hem de değişken sayısında indirgemeye olanak sağlayan ”çift indirgeme” yöntemi kullanılarak kapalı çözüm formlarına ulaşıldı. Lie simetri grupları yönteminin kesirli mertebeli diferensiyel denklemlere uyarlanması ele alındı ve bu yeni yaklaşım kul- lanılarak zaman kesirli mertebeli Schamel-Korteweg-de Vries denkleminin Lie simetri grupları ve korunum kanunları elde edildi. Elde edilen simetri üreteçlerinin orijinal tam mertebeli denk- leme göre daha az üreteç kabul etmesine rağmen elde edilen simetri in- dirgemesinin özel integral operatörlerini içeren kesirli mertebeden adi diferensiyel denk- lemlere ulaşıldığı gözlemlendi. Lie simetri indirgemelerinin ilerleyen dalga tipindeki çözümlerine, bazı tam çözüm bulma algoritmaları kullanılarak ulaşıldı. Bu doktora tezinde elde edilen sonuçlar gözönüne alınan modellerin arkasındaki fiziksel olgunun açıklanma- sında kullanılabilir. Bununla birlikte elde edilen tam çözümler kullanılarak sayısal simülas- yonlar yapılabilir ve sayısal çözüm bulma şemalarında test fonksiyonu olarak kullanılabilir. Anahtar Kelimeler: Lie simetrileri, korunum kanunları, eşlenik denklem, eşlenik simetri, çarpan yöntemi, lineer olmayan kendi eşleniklik, çift indirgeme yöntemi, simetri in- dirgemeleri, özyineleme formülü. 2017, viii + 138 sayfa. i ABSTRACT PhD Thesis SYMMETRY REDUCTIONS, CONSERVATION LAWS AND EXACT SOLUTIONS OF THE EVOLUTION DIFFERENTIAL EQUATIONS İlker Burak GİRESUNLU Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Emrullah YAŞAR In this doctoral thesis, we study symmetry reductions, conservation laws and exact solu- tions of integer and fractional order evolution differential equations. The Lie symmetry group method, which has a very important role in the study of the dif- ferential equations, is applied to variant Boussinesq system, Schamel-Korteweg-de Vries equation, Konopelchencho-Dubrovski system, logarithmic KdV-like and KP-like equa- tions and time fractional Schamel-Korteweg-de Vries equation. The symmetry reduc- tions, exact solutions and conservation laws of the considered equations or systems have been reached. In addition, relations between Lie point symmetry and conservation vec- tors were investigated. Three types of different methods have been dealt with in order to systematically obtain conservation laws. These are multiplier method, non-local conser- vation method and adjoint symmetry approaches respectively. Relations between these three methods are discussed and applied to KdV-like and KP-like equations with logarith- mic structure. If the considered equation or system has relationship between symmetries and conservation laws one can construct closed solution forms exploiting by the ”double reduction” approach which allows the equation to be reduced both in the order and in the variable number. The adaptation of the Lie symmetry groups method to the fractional order differential equations was studied and the Lie symmetry groups and conservation laws of the time-fractional Schamel-Korteweg-de Vries equation were obtained. Though the obtained symmetry generators are less than the original integer-order equation, we have yield fractional order ordinary differential equation including special integral oper- ators. In this thesis, traveling wave type solutions are reached by using some powerful algorithms. The results obtained in this thesis can be used to explain the physical phe- nomenas behind the models considered. Numerical simulations can be made using the exact solutions and can be used as test functions in numerical solution finding schemes. Key Words: Lie symmetries, conservation laws, adjoint equation, adjoint symmetry, multiplier method, nonlinear self-adjointness, double reduction method, symmetry re- ductions, recursion formula. 2017, viii + 138 pages. ii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii ÇİZELGELER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. LİE GRUP ANALİZİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Lie Grupları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Lie Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Grup Değişmez Çözümlerinin Sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Adjoint temsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Alt grup ve alt cebirlerin sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Grup değişmez çözümlerin sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Kesirli Mertebeli Simetriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. KORUNUM KANUNLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Temel Bağıntılar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Çarpan (Karakteristik) Yöntemi ve Varyasyonel Yaklaşım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Eşlenik Denklem ve Eşlenik Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Yeni Korunum Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5 Özyineleme Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Çift İndirgeme Yöntemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7 KMDD için Korunum Kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. TAM ÇÖZÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1 Genelleştirilmiş Kudryashov Yöntemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 En Basit Denklem Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 ( 0G /G, 1/G) Genişleme Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5. VARYANT BOUSSİNESQ SİSTEMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1 Lie Grup Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Simetri İndirgemeleri ve Tam Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 En Basit Denklem Yöntemi ile Tam Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. SCHAMEL-KORTEWEG-DE VRIES DENKLEMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1 Lie Grup Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2 Genelleştirilmiş Kudryashov Yöntemi ile Tam Çözümler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 En Basit Denklem Yöntemi ile Tam Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.4 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5 Yeni Korunum Yöntemi ile Korunum Kanunları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.6 Çift İndirgeme Yöntemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 iv 7. KONOPELCHENCHO-DUBROVSKİ SİSTEMİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.1 ( 0G /G, 1/G) Genişleme Yöntemi ile İlerleyen Dalga Çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 8. LOGARİTMİK KdV VE KP-BENZERİ DENKLEMLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 8.1 Logaritmik KdV-Benzeri Denklemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 8.1.1 Çarpan yöntemi ile korunum kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 8.1.2 Eşlenik denklem ve lineer olmayan kendi eşleniklik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 8.1.3 Eşlenik simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 8.1.4 Çift indirgeme yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 8.2 Logaritmik KP-Benzeri Denklemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 8.2.1 Çarpan yöntemi ile korunum kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 8.2.2 Eşlenik denklem ve lineer olmayan kendi eşleniklik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 8.2.3 Eşlenik simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 8.2.4 Çift indirgeme yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 9. ZAMAN KESİRLİ SCHAMEL-KORTEWEG-DE VRIES DENKLEMİ . . . . . . . . . .123 9.1 Lie Grup Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 9.2 Korunum Kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 10. SONUÇLAR VE TARTIŞMALAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 ÖZGEÇMİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 v SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama div Diverjans Operatörü (z) Euler Gamma Fonksiyonu u Euler-Lagrange Operatörü r Gradient Operatörü J Jakobiyen Determinantı [, ] Kamütatör Operatörü L Lagrangian N Noether Operatörü ⇠, ⌧, ⌘, Sonsuz Küçükler D Total Türev Operatörü V,X Vektör Alanı Kısaltmalar Açıklama ADD Adi Diferensiyel Denklem ADDS Adi Diferensiyel Denklem Sistemi KDD Kısmi Diferensiyel Denklem KDDS Kısmi Diferensiyel Denklem Sistemi KdV Korteweg-de Vries Denklemi K-DS Konopelchencho-Dubrovksi Sistemi KMDD Kesirli Mertebeli Diferensiyel Denklem KP Kadomtsev-Petriashvili Denklemi OTDD Oluşum Türü Diferensiyel Denklem OTDDS Oluşum Türü Diferensiyel Denklem Sistemi R-L Riemann-Liouville anlamında türev S-KdV Schamel Korteweg-de Vries Denklemi vi ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 5.3.1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Şekil 5.3.1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Şekil 5.3.2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Şekil 5.3.2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Şekil 6.2.1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Şekil 6.2.1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Şekil 6.2.1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Şekil 6.2.1d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Şekil 6.2.1e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Şekil 6.3.1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Şekil 6.3.1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Şekil 6.3.1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Şekil 6.3.2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Şekil 6.3.2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Şekil 8.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 vii ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Çizelge 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Çizelge 6.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Çizelge 8.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 viii 1. GİRİŞ Fizik, mühendislik ve doğa bilimlerinde, matematiksel modellemelerin oluşturulması, problemin çözümlerine ulaşabilmek için önemli bir yere sahiptir. Bu kapsamda lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerin (veya sistemlerin) analitik çözümlerinin elde edilmesi matematikçiler için önemli konulardandır. Çoğunlukla fiziksel olayların matema- tiksel modellemesi diferensiyel denklemler ile ifade edilmektedir. Bu denklemlerin çözüm- lerinde kullanılmak üzere literatürde var olan birçok farklı yöntem geliştirilmiştir. Diferensiyel denklemler ile ilgili ilk çalışmalar diferensiyel ve integral hesabın keşfinden hemen sonra 17. yüzyılın sonlarında İngiliz bilim adamı Isaac Newton ve Alman bilim adamı Leibnitz tarafından yapılmıştır. 19. yüzyıldan itibaren kuvvet serileri ile çözüm yöntemleri, varlık teklik teoremi konularına önem verilmiştir. Belli tipteki diferensiyel denklemlerin, belirli şartlar altındaki çözümlerinin varlığının ispatı ilk olarak 1820-1830 yılları arasında Fransız matematikçi Cauchy tarafından yapılmıştır. 19. yüzyılın sonlarına doğru dönüşüm grupları teorisi Evariste Galois, Sophus Lie, Felix Klein, David Hilbert, Elie Cartan gibi birçok ünlü matematikçinin çalışma alanını oluşturmuştur. Bu konuda birçok gelişme adı geçen matematikçiler tarafından gerçekleştirilmiştir (Özceylan 2007, San 2011, Yakut 2012). Norveçli matematikçi Sophus Lie, Galois’dan ilham alarak geometri ve diferensiyel denk- lemlerin integrasyon yöntemleri üzerinde çalışmalar yapmıştır. Gözönüne alınan dife- rensiyel denklemi -denklemin tanımlı olduğu manifold üzerinde- değişmez bırakan yerel dönüşüm gruplarını tanımlamıştır. Bu sayede diferensiyel denklemlerin çözümleri al- goritmik yöntemler ile elde edilmiştir (Bluman ve Kumei 1989, Olver 1993, Ibragimov 2001). Ancak Sophus Lie’nin çalışmalarının önemi 1960’lı yıllara kadar anlaşılamamıştır. 1960’tan itibaren Lie grup teorisi diferensiyel denklemlere uygulanmaya başlanmıştır (Bluman ve Anco 2002, Ovsyannikov 1982). Ovsyannikov, Bluman, Ibragimov ve Olver gibi bu alandaki önemli bilim adamları Lie 1 grup teorisinin geliştirilmesinde, uygulanmasında öncülük etmişlerdir. Kuantum teorisi, sicim teorisi, hidrodinamik, elektrodinamik, istatistiksel mekanik ve tanecik fiziği gibi fizikteki birçok önemli alanda Lie grup teorisinin uygulamaları mevcuttur. Son yıllarda diferensiyel denklemlerde simetri yöntemleri algoritmik yapısıyla denklem- lerin çözümlerinin elde edilmesinde önemli rol oynar. Bu nedenle literatürdeki diğer teorilerden en önemli farklılığı, birçok yöntemin uygulamasında denklemlerin integral- lenebilme koşulu veya bir takım kısıtlamalar gerekmemesidir. Ayrıca literatürde var olan tüm yöntemleri kapsayan bir genel yaklaşımdır. Bu farklılık sayesinde Lie grup teorisi son yıllardaki en popüler ve güçlü konulardandır. Simetri grupları kullanılarak adi diferensiyel denklemlerin (ADD) mertebe düşürülmesi, kısmi diferensiyel denklemlerin (KDD) bağımsız değişken sayısının azaltılması ve ADD lere indirgenmesi yapılabilir. Literatürde son zamanlarda Lie simetri üreteçlerinin katsayı fonksiyonlarının yapısına dayanarak Lie grup dönüşümleri nokta, kontakt, Bäcklund ve yerel olmayan simetriler olarak sınıflandırılmıştır. Bu bağlamda simetri üreteçlerinin katsayı fonksiyonlarının sade- ce bağımlı ve bağımsız değişkenleri içeren dönüşümlere Lie nokta simetrisi adı verilir. Nokta simetrilere ölçekleme, dönme ve öteleme dönüşümleri en bilinen örneklerdir. Eğer simetri üreteçlerinin katsayı fonksiyonları bağımlı ve bağımsız değişkenler haricinde bir- inci mertebeden türevli terimler içeriyorsa bu dönüşümlere Lie kontakt simetri denir. Diğer yandan simetri üreteçlerinin katsayı fonksiyonları bağımlı ve bağımsız değişkenler haricinde yüksek mertebeden türevli terimler içeriyorsa bu takdirde Lie Bäcklund simetrisi adını alırlar. Yerel olmayan simetriler ise simetri üretecinin katsayı fonksiyonlarının bazı integral terimlere sahip olması ile tanımlanır. Korunum kanunları, diferensiyel denklemlerin incelenmesi, fiziksel özelliklerin çıkarıl- ması, sınıflandırılması ve çözümlerinin araştırılmasında kısaca birçok alanda merkezi bir öneme sahiptir. Ayrıca kararlılık teorisinin incelenmesi, sayısal şemaların oluşturulması 2 ve diferensiyel denklemlerin integrasyonu gibi birçok alanda kullanılabilirler (Yaşar 2009). Literatürde korunum kanunlarının elde edilmesinde en etkili ve en temel yaklaşım Noether teoremidir (Noether 1918). Bu teorem sayesinde Euler-Lagrange diferensiyel denklemleri için Lagrangian ile ilişkili olan her Noether simetrisine açıkça belirlenebilen bir korunum kanununun karşılık geldiği ifade edilmiştir. Dolayısıyla simetriler ile korunum kanunları arasında birebir bir ilişki kurulmuştur (Yaşar 2009). Uygulamalı bilimler ve teorik fizikte en heyecan verici güncel gelişmelerden biri de lineer olmayan diferensiyel denklemler için tam çözüm bulmaya yönelik yöntemlerin geliştiril- mesidir. Birçok matematiksel model lineer olmayan diferensiyel denklemler ile tanımlan- dığından bu durum oldukça önem arz etmektedir. Ters saçılım dönüşümü (Gardner 1967) ve Hirota’nın (1971) ”doğrudan” yöntemi dife- rensiyel denklemlerin çözümlerini araştırmak için bilinen başlıca ve etkili yöntemlerdir. Son 30 yılda, lineer olmayan KDD’ler üzerine birçok çalışma yapılmıştır. Gardner ve arkadaşları (1974) KdV denklemi ve genelleştirmelerinin altı farklı yöntem ile tam çözüm- lerini elde etmişlerdir. Konno ve Wadati (1975) lineer olmayan OTDD’ler için ters yönte- min Riccati formundan Bäcklund dönüşümünü elde etmek için basit bir yöntem sunmuş- lardır. Conte ve Musette (1989) Painleve testini, birçok ilginç sıvı hareketini modelleyen lineer olmayan Kuramoto-Sivashinsky denklemine uygulamışlardır. Malfliet ve Hereman (1996) tanh yönteminin özelleştirilmiş bir versiyonunu, bazı oluşum ve dalga denklem- lerini çözmek için kullanmışlardır. Ma (2004) Wronskian çözümlerinden KdV denkle- minin genelleştirilmiş Wronskian çözümlerine giden bir köprü oluşturmuştur. Kudryashov (2005) bazı lineer olmayan OTDD’lere en basit denklem yöntemini uygulayarak tam çözümlerini araştırmıştır. Wang ve arkadaşları (2008) KdV, mKdV, varyant Boussinesq denklemlerinin ve Hirota-Satsuma denklemlerinin ( 0G /G) genişleme yöntemi ile tam çözümlerini elde etmişlerdir. 3 Lineer olmayan oluşum denklemleri, yani bağımsız değişkenlerden biri t zaman olan kısmi diferansiyel denklemler, yalnızca birçok matematik alanında değil, aynı zamanda fizik, mekanik ve malzeme bilimleri gibi diğer bilim dallarında da ortaya çıkmaktadır. Akışkanlar mekaniğinde Navier-Stokes ve Euler denklemleri, ısı transferi ve biyolojik bi- limlerde lineer olmayan reaksiyon-difüzyon denklemleri, kuantum mekaniğinde Schrö- dinger denklemleri ve malzeme bilimlerinde Cahn-Hillard denklemleri lineer olmayan oluşum denklemlerine özel birkaç örnektir. Lineer olmayan oluşum denklemlerinin lineer denklemlerdeki gibi genel bir teoriye sahip olmaması (çözümlerin lineer bağımsızlığı, süperpozisyonu, v.b.) birçok araştırmacının büyük ilgisini çekmiştir. Teorik çalışmada sorulması gereken ilk soru, verilen başlangıç koşullarına sahip lineer olmayan bir oluşum denklemi için yerel en az bir çözüm olup olmadığı ve gözönüne alınan sınıfta tek olup olmadığıdır. Genel olarak, bu problem lineer olmayan analizde iki güçlü yöntemle, yani daralma teoremi ve Leray-Schauder sabit nokta teoremi ile lineer olmayan oluşum denk- lemlerinin geniş bir sınıfı için incelenmiştir. Bu çalışmanın amacı lineer olmayan oluşum türü denklemlerin (veya sistemlerin) Lie grup analizi ile simetrilerinin bulunması, korunum kanunlarının oluşturulması ve tam çözümlerinin elde edilmesidir. Bu bağlamda Lie grup teorisi, korunum kanunları ve bazı tam çözüm yöntemleri çalışılmıştır. Son 10 yıl içerisinde kesirli mertebeli denklemler yoğun bir şekilde çalışılmıştır. Çünkü zaman kesirli mertebeden denklemlerin birçok fiziksel olayı daha iyi modellediği görülmüştür. Son yıllar içerisinde klasik Lie grup ana- lizinin kesirli mertebeli denklemlere etkili bir şekilde uygulandığı gözlemlenmiştir (Sa- hadevan ve Bakkyaraj 2012, Wang ve ark. 2013, San 2016, Yaşar ve ark. 2016, Akbulut ve Taşcan 2017). Tezin ikinci bölümünde Lie simetri analizi için gerekli temel kavramlar ayrıntılı olarak verilmiştir. Ayrıca Lie grup analizi zaman kesirli kısmi türevli mertebeli diferensiyel denklemlere uygulanmış halde verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde korunum kanunları ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Çarpan 4 yöntemi, varyasyonel yaklaşım, yeni korunum yöntemi, çift indirgeme yöntemi ve özyi- neleme formülü ifade edilmiştir. Tezin dördüncü bölümünde tam çözümlerin elde edilmesinde kullanılan literatürdeki en genel yöntemlerden genelleştirilmiş Kudryashov yöntemi, en basit denklem yöntemi ve ( 0G /G, 1/G) genişleme yönteminin algoritmalarına yer verilmiştir. Tezin beşinci bölümünde Varyant Boussinesq sistemi için Lie grup analizi yapılarak simetri indirgemeleri yapılmıştır. Ayrıca en basit denklem yöntemi ile tam çözümleri elde edilmiş- tir. Buna ek olarak sistemin korunum kanunları oluşturulmuştur. Tezin altıncı bölümünde Schamel-Korteweg-de Vries denklemine Lie grup analizi uygu- lanarak simetrileri elde edilmiştir. Genelleştirilmiş Kudryashov ve en basit denklem yöntemleri kullanılarak denklemin tam çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca denklem için çarpan yöntemi, yeni korunum yöntemi ile korunum kanunları oluşturulmuştur. Buna ek olarak elde edilen korunum kanunları kullanılarak çift indirgeme yöntemi ile tam çözümlere yer verilmiştir. Tezin yedinci bölümünde Konopelchencho-Dubrovski sistemi ele alınarak ( 0G /G, 1/G) genişleme yöntemi ile ilerleyen dalga çözümleri elde edilmiştir. Çarpan yöntemi kul- lanılarak korunum kanunları oluşturulmuştur. Tezin sekizinci bölümünde logaritmik KdV ve KP-benzeri denklemleri gözönüne alınmış- tır. Bu denklemler için çarpan fonksiyonlar, eşlenik denklem ve lineer olmayan eşleniklik verilerek eşlenik simetriler bulunmuştur. Çift indirgeme yöntemi ile denklemin korunum kanunları kullanılarak çözümleri araştırılmıştır. Tezin dokuzuncu bölümünde lineer olmayan kesirli mertebeli S-KdV denklemi için Lie simetri analizi incelenmiştir. Denklemin korunum kanunları formal Lagrangian kullanıla- rak oluşturulmuştur. Ayrıca lineer olmayan kendi eşleniklik ile denklemin korunum vektör- leri elde edilmiştir. 5 Tezin son bölümünde elde edilen sonuçlar sunularak gelecekte yapılması planlanan çalışma konularından bahsedilmiştir. 6 2. LİE GRUP ANALİZİ Lie simetri (veya Lie simetrisi grubu), bir kısmi diferensiyel denklemin (KDD) Lie grup dönüşümleri altında değişmez kalması ile tanımlanır. Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin tümünü içeren bu dönüşümler altında diferensiyel denklemi değişmez bırakan sonsuz küçük üreteçler ile ifade edilir. Bu sonsuz küçük üreteçler, KDD’lerin Lie grubuna karşılık gelen Lie cebirini oluşturan bir bazın lineer birleşimidir. Bu baz ile değişmez çözümler elde edilir. Bu bölümde genel olarak Lie simetrilerin temel özellikleri ve Lie simetrileri üzerinde durulacaktır. Teori, tam ve kesirli mertebeli uzay-zaman denklemleri için sunulacaktır. Bu bağlamda, Lie nokta üreteci, değişmezlik prensibi, diverjans prensibi gibi temel kavramlar üzerinde durulacaktır. Teori, KDD için verilmesine rağmen kısmi diferensiyel denklem sistemleri (KDDS) için de benzer şekilde genelleştirilebilir. Lie simetri analizinin uygulanması için Lie gruplarına ait temel kavramlar, teoremler ve özellikleri verilecektir. 2.1 Lie Grupları Tanım 2.1.1 (Grup) G boş olmayan bir küme ve ⇤ sembolü G kümesi üzerinde tanımlı bir ikili işlem olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa (G, ⇤) ikilisine grup adı verilir. Kapalılık Özelliği : 8f, g 2 G için f ⇤ g 2 G dir. Birleşme Özelliği : 8f, g, h 2 G için (f ⇤ g) ⇤ h = f ⇤ (g ⇤ h) dir. Birim Elemanı Özelliği : 8f 2 G için f ⇤ e = e ⇤ f = f olacak biçimde bir tek e 2 G vardır. Ters Eleman Özelliği : 8f 2 G için ⇤ 1f f = 1f ⇤ f = e olacak biçimde bir tek 1f 2 G vardır. Bu dört özelliğe ek olarak aşağıda verilen değişme özelliğine sahip (G, ⇤) grubuna abelyen 7 (değişmeli) grup adı verilir. Yani; Değişme Özelliği : 8f, g 2 G için f ⇤ g = g ⇤ f dir. Tanım 2.1.2 (Dönüşüm Grupları) x, ⇢ RnB bölgesinin bir noktası olsun. " 2 R parametresine bağlı x = V (x; ") ile tanımlanan dönüşümleri ele alalım. ✓(", ) dönüşümü, P ⇢ R bölgesindeki " ve parametreleri ile tanımlı olsun. Bu durumda ✓ dönüşümü B bölgesinde aşağıdaki şartları sağlıyorsa dönüşüm grubu adını alır (Bluman ve Kumei 1989). • Her bir " 2 P için dönüşümler B bölgesinde birebirdir. Yani x 2 B dir. • P bölgesi ✓ dönüşümü ile yukarıda bahsedilen G grup yapısını sağlar. • " = e ise x = x dir. Yani V (x; ") = x dir. • x = V (x; ") ve x = V (x; ) ise x = V (x; ✓(", )) dir. Şimdi dönüşüm grup aksiyomlarına ilave şartlar ekleyerek Lie gruplarını tanımlayalım. Tanım 2.1.3 (Tek Parametreli Lie Grup Dönüşümleri) Aşağıdaki özellikleri sağlayan dönüşüm gruplarına tek parametreli Lie grup dönüşümü adı verilir (Bluman ve Kumei 1989): • " sürekli bir parametre ise " = 0 dir. Yani P bölgesi, R de bir aralık ise ", e etkisiz elemana karşılık gelir. • V , P bölgesinde " parametresinin analitik fonksiyonudur ve x değişkenine göre B bölgesinde her mertebeden sürekli türevlere sahiptir. • ", 2 P için ✓(", ), " ve parametrelerinin bir analitik fonksiyonudur. 8 Uyarı 2.1.4 " parametresi yerine "1, "2, . . . parametreleri alınarak x = V (x; "1, "2, . . .) çok parametreli Lie grup dönüşümlerini tanımlamak mümkündür. Tanım 2.1.5 (Sonsuz Küçük Dönüşümler) " parametreli x = V (x; ") (2.1.1) Lie grup dönüşümü gözönüne alındığında, (2.1.1) dönüşümünün " = 0 da seri açılımı x = V (x; ")   2 @V (x; ") = x+ " | 1 2 @ V (x; ")"=0 + " |2 "=0 + . . .  @" 2 @" @V (x; ") = x+ " |"=0 +o( 2" ) (2.1.2) @" olur. (2.1.2) açılımında " parametresinin katsayı fonksiyonu @V (x; ") ⇠(x) = |"=0 @" ile ifade edilsin (hata terimleri gözardı edilmiştir). x = x+ "⇠(x) dönüşümüne (2.1.1) ile verilen Lie grup dönüşümünün sonsuz küçük dönüşümü denir. ⇠(x) katsayı fonksiyonuna da sonsuz küçük adı verilir (Bluman ve Anco 2002). 9 Teorem 2.1.6 (Lie Birinci Temel Teoremi) x(0) = x başlangıç değerli dx = ⇠(x) d⌧ birinci mertebeden adi diferensiyel denkleminin çözümü x = V (x; ") Lie grup dönüşümüne eşdeğer olacak şekilde ⌧(") parametrizasyonu ile yapılır. Burada 1" , "’un tersi olmak üzere Z" ⌧(") = ( 0 0" )d" , ✓0 ◆ d ⌧(") = ✓(a, b) |(a,b)=("1,"), db (0) = 1 ifadeleri vardır. Tanım 2.1.7 (Sonsuz Küçük Üreteçler) r = @ @@x1 , @x2 , . . . gradient operatörü ve i ⇠ (x) = ( 1⇠ ( 2x), ⇠ (x), . . .) sonsuz küçük olmak üzere = iV ⇠ (x)r veya Xn @ V = i⇠ (x) @xi i=1 10 ile tanımlanan V operatörüne x = V (x; ") tek parametreli Lie grup dönüşümünün sonsuz i küçük üreteci (simetrisi) adı verilir. Burada ⇠ katsayı fonksiyonları i i @x ⇠ (x) = |"=0 @" biçimindedir. Teorem 2.1.8 (Bluman ve Anco 2002) x = V (x; ") tek parametreli Lie grup dönüşümleri için aşağıdaki eşitlikler vardır: x = "Ve x ✓ ◆ 2 3 " " = 1 + 2 3"V + V + V + . . . x 2! 3! X1 k" = kV x, k! k=0 k k1 V = V V , k = 1, 2, . . . k V F (x) = k1V V F (x) , k = 1, 2, . . . 0 V F (x) = F (x). Sonuç olarak F (x) fonksiyonu, her mertebeden sürekli türevlere sahip ise F (x) = "V "VF e x = e F (x) olacaktır. 11 Örnek 2.1.9 (Bluman ve Anco 2002) Aşağıdaki tek parametreli dönme dönüşümü x = xcos(") + ysin("), y = xsin(") + ycos(") gözönüne alındığında @x = xsin(") + ycos("), @" @y = xcos(") ysin("), @" olmak üzere ⇠(x) = (⇠1(x, y), ⇠2(x, y)) ✓ ◆ @x | @y= "=0, |"=0 @" @" = (y,x) sonsuz küçükleri elde edilir. Sonsuz küçüklere karşılık gelen üreteç ise V =⇠(x)r X2 @ = ⇠i(x) @x i=1 i @ @ =⇠1(x, y) + ⇠2(x, y) @x @y @ =y @x @x @y dir. 12 Diğer taraftan ( ) = "V "Vx, y e x, e y olmak üzere @x @x V x = y x = y @x @y 2 @y @y V x = V (V x) = y x = x @x @y 3 2 @(x) @(x)V x = V (V x) = y x = y @x @y 4 3 @(y) @(y) V x = V (V x) = y x = x @x @y . .. olur. Yukarıdaki ifadeleri genel olarak yazarsak m = 1, 2, . . . olmak üzere 4m 4m+1 V x = x, V x = 4m+2y, V x = 4m+3x, V x = y olarak ifade edilebilir. Buradan X1 k "V "= = kx e x V x k! k=0 2 3 " " = x+ "y x y + . . . ✓ 2! 3! ◆ ✓ ◆ 2 4 3 5 " " " " = x 1 + . . . + y " + . . . 2! 4! 3! 5! = xcos(") ysin(") olduğu açıkça görülür. 13 Benzer işlemler y için yapılırsa @y @y V y =y x = x, @x @y 2 @(x) @(x)V y =y x = y, @x @y 3 @(y) @(y)V y =y x = x, @x @y 4 @x @x V y =y x = y @x @y olup r = 1, 2, . . . olmak üzere 4r = 4r+1 = 4r+2 = 4r+3V y y, V y x, V y y, V y = x dir. Buradan da X1 k = "V " k y e y = V y k! k=0 2 3 " " =y "x y + x+ . . . ✓ 2! 3! ◆ ✓ ◆ 3 5 2 4 " " " "= x " + . . . + y 1 + . . . 3! 5! 2! 4! = xsin(") + ycos(") elde edilir. Tanım 2.1.10 (Total Türev) x = ( @uxi), u = u(x) ve ui = @x olmak üzere total türev operatörüi @ @ @ @ Di = + ui + uis + . . .+ uij1,j2,...,jn + . . . (2.1.3) @xi @u @us @uj1,j2,...,jn 14 biçiminde ifade edilir (Bluman ve Kumei 1989). Tanım 2.1.11 (Sonsuz Küçük Üretecin r. Uzanımı) Tek parametreli x =V (x, u; ") u =U(x, u; ") (2.1.4) Lie grup dönüşümlerine ait Xn @ @ V = ⇠i(x, u) + ⌘(x, u) (2.1.5) @xi @u i=1 sonsuz küçük üreteci için birinci uzanım (1) @ V = V + ⇣i @ui dir. Burada ⇣0 =⌘, Xn ⇣i =Di(⌘) urDi(⇠r) r=1 dir. (2.1.5) üretecinin ikinci uzanımı (2) (1) j @ j @ V = V + ⇣i j + ⇣ir j @ui @uir olup burada Xn j j j ⇣ir = Dr(⌘i ) uirDr(⇠i) r=1 15 dir. İkiden daha büyük uzanımlar için ise X ( r r1 j @ pr V ) pr(V ) = ⇣i1...ir j i1...i @u r i1...ir eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla (2.1.5) sonsuz küçük üretecinin r. uzanımı r @ @ @ V =⇠i(x, u) + ⌘(x, u) + ⇣k(x, u, uk) @xi @u @uk @ + . . .+ ⇣i1,...ir(x, u, ui, . . . , ui1...ir) (2.1.6) @ui1...ir biçimindedir. Buradaki sonsuz küçük fonksiyonları Xn ⇣k =Dk(⌘) iuiDk(⇠ ), k=1 Xn s ⇣i1...ir =Dir(⇣i1...ir1) ui1...ir1sDir(⇠ ) (2.1.7) s=1 olarak tanımlanır. Teorem 2.1.12 (KDD in Değişmezliği - Değişmezlik Prensibi) = ( ), bağımsız değişken, = ( ) bağımlı değişken, = @ux xi n u u x ui @x vei @ru ui1i2...ir = @xi1@x ...@x kısmi türevleri olmak üzere i2 ir E(x, u, ui, . . . , ui1i2...ir) = 0 (2.1.8) formundaki r. mertebeden KDD i ele alalım. x = V (x, u; "), u = U(x, u; ") (2.1.9) 16 tek parametreli Lie grup dönüşümlerine karşılık gelen simetri üreteci @ @ V = ⇠i(x, u) + ⌘(x, u) (2.1.10) @xi @u olsun. Buna göre (2.1.9) tek parametreli Lie grup dönüşümü (2.1.8) denkleminin bir nokta simetrisi olması için gerek ve yeter şart (r) V E(x, u, ui, . . . , ui1i2...ir) |(2.1.8)= 0 (2.1.11) olmasıdır (Olver 1991). Uyarı 2.1.13 (2.1.11) kriterini uygularken dikkat edilmesi gereken kısım verilen (2.1.8) kısmi diferen- siyel denklemin mertebesi ile (2.1.6) uzanımının aynı olma zorunluluğudur. Lie grup üretecinin katsayıları olan i⇠ fonksiyonlarının değişkenlerine göre simetri dönü- şümleri dört farklı gruba ayrılabilir: n+ 1 değişkenli uzay üzerinde; Nokta Simetri : Xn i @ @ V = ⇠ (x, u) + ⌘(x, u) @xi @u i=1 biçimindeki üreteçlere denir. Yani V üretecinin katsayıları sadece bağımsız ve bağımlı değişkenlere bağlı fonksiyonlardır. Kontakt Simetri : Xn i @ @ V = ⇠ (x, u, ui) + ⌘(x, u, ui i)@x @u i=1 biçimindeki üreteçlere denir. Yani V üretecinin katsayıları bağımsız ve bağımlı değişken- lerin yanında birinci mertebeden türevleri de içeren fonksiyonlardır. 17 Bäcklund Simetri : V üretecinin katsayıları bağımsız ve bağımlı değişkenlerin yanında yüksek mertebeden türevleri de içeren fonksiyonlar olduğu durumdur. Bir bakıma kontakt simetrilerin genişletilmiş halidir. Yerel Olmayan (non-local) Simetri : V üretecinin katsayıları bağımsız ve bağımlı değiş- kenlerin yanında çözümü olmayan integralleri içeren fonksiyonlar olduğu durumdur. Ancak bu tezde sadece Lie nokta simetriler ele alınmıştır. 2.2 Lie Cebiri Her tek parametreli Lie grup dönüşümü, bir V sonsuz küçük simetri üretecine karşılık gelir. n parametreli Lie grup dönüşümlerinin n-boyutlu sonsuz küçük üreteçleri bir Lie cebirine karşılık gelir (Gilmore 1974, 2008). Lie cebiri günümüz matematiğinin gelişmiş cisimlerindendir. x = (xi) olmak üzere xi = xi + "⇠i(x) formundaki sonsuz küçük dönüşümler geometrik olarak ⇠(x) = (⇠i(x)) tanjant vektörüyle ifade edilir. Dolayısıyla ⇠(x), verilen dönüşümlerin bir tek parametreli Lie grubunun tanjant vektör cismi adını alır. Tanjant vektör cismi birinci mertebeden lineer diferensiyel operatörler ile gösterilir (Kiraz 2007): @ V = ⇠(x) . @xi Tanım 2.2.1 (Kamütatör) Vi, n parametreli Lie grup dönüşümüne karşılık gelen sonsuz küçük simetri üreteci ve 18 i = 1, 2, . . . , n olmak üzere " = ("i) parametresine bağlı olarak verilsin. Vi = ⇠i(x) @@xi ve @Vj = ⇠j(x)@x herhangi iki simetri üreteci olmak üzere [, ] kamütatörüj [Vi, Vj] = ViVj VjVi (2.2.1) ile tanımlanır. Burada ( ) Xn @ Xn @ ViVj = ⇠ik(x) ⇠jl(x) @x @x k=1 k l=1 l formundadır. Tanım 2.2.2 (n-boyutlu Lie cebiri) K bir cisim ve L, K cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. L vektör uzayı [, ] kamutatör işlemine göre kapalı ve aşağıdaki özellikleri sağlıyor ise L ye n-boyutlu Lie cebiri adı verilir ve Ln ile gösterilir. Antisimetri Özelliği : Her Vi, Vj 2 Ln için [Vi, Vj] = [Vj, Vi], Bilineerlik Özelliği : Her a, b 2 K ve Vi, Vj, Vk 2 Ln için [Vi, aVj + bVk] = a[Vi, Vj] + b[Vi, Vk] [aVi + bVj, Vk] = a[Vi, Vk] + b[Vj, Vk], Jacobi Özdeşliği : Her Vi, Vj, Vk 2 Ln için [Vi, [Vj, Vk]] + [Vj, [Vk, Vi]] + [Vk, [Vi, Vj]] = 0. Uyarı 2.2.3 Yukarıdaki antisimetri özelliğinden her Vi 2 Ln için [Vi, Vi] = 0 olduğu açıktır. 19 Örnek 2.2.4 " = ("1, "2, "3, "4), parametrelerine bağlı olan x = ( "xcos("1) ysin("1)) e 4 + "2 = ( ( ) + ( )) "y xsin " ycos " e 41 1 + "3 Lie grup dönüşümüne karşılık gelen sonsuz küçük simetri üreteçleri @ @ @V1 = y + x , V2 = , @x @y @x @ @ @ V3 = , V4 = x + y @y @x @y olup V1, V2, V3, V4 üreteçlerinin bir kamütatör tablosunu oluşturalım: [V1, V1] = V1V1 V1V1 = 0, [V2, V2] = V2V2 V2V2 = 0 [V3, V3] = V3V3 V3V3 = 0 [V4, V4] = V4V4 V4V4 = 0 [V1, V2] = V1V2 V2V1 ✓ ◆ ✓ ◆ @ @ @ @ @ @= y + x y + x @x @y @x @x @x @y @= = V3, @y 20 [V1, V3] = V1V3 V3V1 ✓ ◆ ✓ ◆ @ @ @= y + x @ @ @y + x @x @y @y @y @x @y @ = @x = V2, [V1, V4] = V1V4 V4V1 ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆ @ @ @ @ @ @ @ @= y + x x + y x + y y + x @x @y @x @y @x @y @x @y = 0, [V2, V3] = V2V3 V3V2 @ @ @ @ = @x @y @y @x = 0, [V2, V4] = V2V4 V4V2 ✓ ◆ ✓ ◆ @ @ @ @ @ @= x + y x + y @x @x @y @x @y @x @ = @x = V2, [V3, V4] = V3V4 V4V3 ✓ ◆ ✓ ◆ @ @ @ = x + y @ @ @x + y @y @x @y @x @y @y @ = @y = V3. 21 Diğer yandan Lie parantezinin antisimetri özelliğinden dolayı [V2, V1] = V3, [V3, V1] = V2, [V4, V1] = 0 [V3, V2] = 0, [V4, V2] = V2, [V4, V3] = V3 eşitlikleri vardır. Yukarıdaki hesaplamaları içeren kamütatör tablosu aşağıdaki gibidir: Çizelge 2.2.1. Vi simetrilerinin Lie kamütatör tablosu [Vi, Vj] V1 V2 V3 V4 V1 0 V3 V2 0 V2 V3 0 0 V2 V3 V2 0 0 V3 V4 0 V2 V3 0 2.3 Grup Değişmez Çözümlerinin Sınıflandırılması Genel olarak p > s bağımsız değişkenli diferensiyel denklem sisteminin G tam simetri grubu olsun. G grubunun her bir sparametreli H alt grubuna grup değişmez çözümleri ailesi karşılık gelir. Ancak bazı alt gruplar sonsuz çoklukta olduğundan grup değişmez çözümlerin listelenmesi mümkün olmayabilir. Bu nedenle grup değişmez çözümlerin sınıflandırılmasında etkili ve sistematik bir yönteme ihtiyaç vardır. Bu da herbir diğer çözümün türetilebileceği grup değişmez çözümlerin bir optimal sistemi ile mümkündür. g 2 G ve g 2/ H koşulunu sağlayan elemanlar, bir H değişmez çözümünü bazı diğer grup değişmez çözümlere dönüştüreceğinden sadece çok ilişkili olmayan çözümler optimal sistemde listelenmelidir. 22 Önerme 2.3.1 (Olver 1993) G, bir diferensiyel denklem sisteminin simetri grubu ve H ⇢ G, sparametreli alt grup olsun. Eğer u = f(x), ya bir Hdeğişmez çözüm ve g 2 G herhangi bir grup elemanı ise o zaman u = f̃(x) = g f(x) fonksiyonu bir H̃değişmez çözümdür. Burada 1 H̃ = gHG , g altında H’a eşlenik alt gruptur. Sonuç olarak, grup değişmez çözümlerin sınıflandırılması, eşlenik altında G tam simetri grubunun alt gruplarının sınıflandırılmasına eşdeğerdir. Dolayısıyla, bir Lie grubundaki h ! 1ghg eşlenik dönüşümü ayrıntılı olarak incelenmeli ve sonra asıl sınıflandırma sorununa dönülmelidir. 2.3.1 Adjoint temsil G, bir Lie grubu olsun. h 2 G olmak üzere her g 2 G için 1Kg(h) ⌘ ghg grup eşlemesi G üzerinde bir difeomorfizm belirtir. Ayrıca Kg Kg0 = Kgg0 , Ke = G olduğundan Kg, kendi üzerinde G nin bir global grup hareketini belirler. Her bir Kg eşlenik dönüşümü, bir grup homomorfizmidir: Kg( 0 hh ) = Kg( 0 h)Kg(h ). d Kg : TG |h! TG |Kg(h) diferensiyeli vektör alanlarının sağ değişmezliğini korumak için kolayca görülür. Dolayısıyla G’nin Lie cebiri üzerinde bir lineer dönüşüm belirtir ve bu diferensiyel, adjoint temsil adını alır: Ad g(v) ⌘ d Kg(v), v 2 g (2.3.1) Ayrıca adjoint temsilin, g üzerinde G’nin bir global lineer hareketini belirttiği unutulma- malıdır: Ad( 0gg ) = 0Ad g Ad g , Ad e = . 23 Eğer v 2 g tek parametreli H = {exp(✏v) : ✏ 2 R} alt grubunu üretirse o zaman Ad g(v) nin 1Kg(H) = gHg tek parametreli eşlenik alt grubu ürettiği kolaylıkla görülebilir. Bu nedenle yüksek boyutlu alt gruplara genelleştirilebilir. Önerme 2.3.2 (Olver 1993) H ve H̃ , G deki g Lie cebirinin h ve h̃ Lie alt cebirlerine karşılık gelen sparametreli Lie alt grupları olsun. O zaman = 1H̃ gHg eşlenik alt grupları olması için gerek ve yeter şart h̃ = Ad g(h) eşlenik alt cebirler olmasıdır. Bir Lie cebiri üzerindeki bir Lie grubunun adjoint temsili, onun sonsuz küçük üreteçle- rinden kolaylıkla oluşturulabilir. Eğer v, {exp(✏v)} tek parametreli alt grubunu üretirse o zaman d ad v |w⌘ |✏=0 Ad(exp(✏v))w, w 2 g (2.3.2) d✏ adjoint dönüşümlerine karşılık gelen tek parametreli grubunu üreten g’deki vektör alanıdır. Önerme 2.3.3 (Olver 1993) G, g Lie cebirli bir Lie grubu olsun. Her v 2 g için w 2 g deki ad v adjoint vektörü ad v |w= [w, v] = [v, w] (2.3.3) biçiminde tanımlanır. g ⇢ gl(n) Lie cebirli G ⇢ GL(n), bir Lie grup matrisi olduğunda yukarıdaki ifadeler kolaylıkla görülebilir. A,B 2 G, n ⇥ n tipinde matris olmak üzere KA(B) = 1ABA olduğunda, adjoint dönüşüm 1 Ad A(X) = AXA , A 2 G, X 2 g 24 eşleniği ile verilir. Y 2 g olmak üzere A = ✏Ye ve ✏ a göre türevler için ad Y |X = Y X XY = [X, Y ] ifadesi gl(n) üzerinde kamütatör parantezine karşılık gelir. Bunun tersine, g Lie cebirinin kendi üzerindeki sonsuz küçük adjoint hareketi biliniyorsa, w(✏) = Ad(exp(✏v))w0 çözümlü dw = ad v |w, w(0) = w0 (2.3.4) d✏ ADDS integre edilerek G Lie grubu altında yatan Ad G adjoint temsil yeniden oluşturula- bilir. Ya da Lie serilerinin toplamı ile de daha basit olarak oluşturulabilir: X1 n✏ Ad(exp(✏v))w0 = ( n ad v) (w0) n! n=0 1 = w0 [v, w0] + 2✏ [v, [v, w0]] . . . (2.3.5) 2 (2.3.4) ün ADD lerin bir lineer sistemi olduğu ve (2.3.5) in buna karşılık gelen üstel matris olduğu kolaylıkla görülebilir. 2.3.2 Alt grup ve alt cebirlerin sınıflandırılması Tanım 2.3.4 (Olver 1993) G bir Lie grubu olsun. sparametreli alt grupların optimal sistemi, eşlenik denk olmayan sparametreli alt grupların listesi olmasıdır. Bu sistemin özelliği herhangi bir alt grubun listedeki bir alt gruba tam olarak eşlenik olması özelliği olmasıdır. Benzer şekilde g nin her bir sparametreli alt cebiri, adjoint temsilin bazı elemanları altında listenin bir 25 tek elemanına denk olduğundan sparametreli alt cebirlerin bir listesi, optimal sistemi oluşturur. Uyarı 2.3.5 Önerme 2.3.2, alt grupların optimal sistemini bulma ile alt cebirlerin optimal sisteminin bulunmasının eşdeğer olduğunu ifade eder. 2.3.3 Grup değişmez çözümlerin sınıflandırılması Tanım 2.3.6 (Olver 1993) Bir diferensiyel denklem sistemine karşılık gelen sparametreli grup değişmez çözümlerin optimal sistemi, aşağıdaki özelliklerle u = f(x) çözümlerin toplamıdır. i) Listedeki her çözüm, diferensiyel denklem sisteminin bazı sparametreli simetri grubu altında değişmezdir. ii) u = f(x), sparametreli simetri grubu altındaki diğer bir değişmez çözüm olduğunda liste üzerinde f̃ ’yi f = gf̃ çözümüne resmeden sistemin başka bir g simetrisi vardır. Önerme 2.3.7 (Olver 1993) G, bir diferensiyel denklem sisteminin tam simetri grubu ve {H↵}, G nin sparametreli alt gruplarının bir optimal sistemi olsun. O zaman tüm H↵değişmez çözümlerinin birleşimi, optimal sistemdeki H↵ için ya sparametreli grup değişmez çözümlerin bir optimal sistemidir. 2.4 Kesirli Mertebeli Simetriler Son zamanlarda kesirli mertebeli diferensiyel denklemler (KMDD), başta fizik olmak üzere mühendislik, ekonomi ve biyoloji gibi çeşitli bilim dallarındaki karmaşık lineer olmayan olguları tam olarak modellerdikleri için yoğun ilgi görmektedir (Hilfer 2000, 26 Kilbas ve ark. 2006). Bu nedenle KMDD ler için analitik çözümlerin araştırılması son derece önemlidir. Bilindiği gibi Lie simetri analizi diferensiyel denklemlerin çözümlerini oluşturmak için güçlü ve doğrudan bir yaklaşımdır. Son on yılda, Lie simetri teorisi ve diferensiyel denklemlere uygulanması üzerine yoğun araştırmalar yapılmıştır. Bununla birlikte Gazizov ve ark. (2007) KMDD lerin simetri analizi için Lie simetri yöntemini ele alıp kesirli türevler için uzanım formüllerini ifade etmişlerdir. Literatürde bazı zaman ke- sirli denklemlere Lie simetri analizi bu yaklaşım kullanılarak uygulanmıştır (Gazizov ve ark. 2009, Sahadevan ve Bakkyaraj 2012, Wang ve ark. 2013, Huang ve Zhdanov 2014, Lukashchuk 2015). Bir KMDD in belirleyici denklemi tam ve kesirli mertebeli sonsuz diferensiyel denklemler içerdiği için bir KMDD için Lie simetrileri elde etmek, karşılık gelen tam mertebeli diferensiyel denkleme göre daha karmaşıktır. Bu alt kısımda KMDD için Lie simetri teorisi verilecektir. (t, x) bağımsız değişkenler ve u = u(t, x) bağımlı değişken olmak üzere ↵ F (t, x, u, @t u, @xu, u2x, . . . , urx) = 0 (2.4.1) (1 + 1)-boyutlu uzay-zaman KMDD’i gözönüne alınacaktır. Buradaki alt indisler kısmi türevleri ve kesirli türevler ise aşağıda tanımlanacak Riemann-Liouville anlamındadır. Tanım 2.4.1 (Riemann-Liouville (R-L) anlamında kesirli türev) Herhangi bir u(t, x) fonksiyonunun ↵ > 0 olmak üzere R-L anlamındaki kesirli türev ↵ ↵ @ u Dt u = 8@t ↵ > 1 n@ Rt< (t ) n↵1 s u(s, x)ds , n 1 < ↵ < n 2 N n = (n ↵) @t 0>: n@ u , ↵ = n 2 N @tn 27 biçiminde tanımlanır (Podlubny 1999, Singla ve Gupta 2016). Buradaki fonksiyonu Z1 ( ) = t z1z e t dt 0 ile verilip standart Euler gamma fonksiyonu olarak adlandırılır. Tanım 2.4.2 (2.4.1) denkleminin (2.1.5) formunda bir Lie nokta üretecini kabul ettiğini varsayalım, öyle ki uzatılmış üreteç (↵,;r) (↵;t) (;x) 2x rx X =X + ⇣ @@↵u + ⇣ @ + ⇣ @t @ u u2x + . . .+ ⇣ @urx (2.4.2)x biçiminde tanımlanır. Burada r, (2.4.1) denkleminin mertebesini ifade eder. jx⇣ fonksi- yonları, j. mertebeden uzatılmış fonksiyonlarını (2.1.7) biçiminde ve (↵;t) (;x)⇣ , ⇣ ise (↵;t) = ↵⇣ Dt ( x ↵ ⌘) + ⇠ Dt (ux) ↵( x ) + ↵ tDt ⇠ ux Dt uDt(⇠ ) ↵+1Dt ( t⇠ u) + t ↵+1⇠ Dt (u), (2.4.3) (;x) = ( ) + t ( ) ( t ) + ( ( x)) +1( x ) + x +1⇣ Dx ⌘ ⇠ Dx ut Dx ⇠ ut Dx uDx ⇠ Dx ⇠ u ⇠ Dx (u), biçiminde tanımlanır. Ayrıca Dt, Dx total türev operatörleri (2.1.3) ifadesindeki gibidir. ! ↵ (1 + ↵) Genelleştirilmiş Leibnitz kuralı = olmak üzere k (↵ k + 1)(k + 1) 0 1 X1 B ↵↵ C( ) = @ A ↵k kDt uv Dt (u)Dt (v), (2.4.4) k=0 k 28 ve zincir kuralı (Osler 1970, Podlubny 1999) 0 1 m Xm kd f( m kx(t)) XB k C 1 d ⇥ ⇤ d f(x) = @ A [ x(t)]n x(t)kn (2.4.5) dtm k! dtm xk k=0 n=0 n gözönüne alınarak (2.4.3) uzanım fonksiyonu aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir: (;x) ⇣ = @x⌘ + (⌘u Dx( x⇠ )) @xu u@x⌘u 20 1 0 1 3 X1 64B C @ A r @B AC r+1 x 7+ @x⌘u Dx (⇠ )5 rDx (u) r=1 r r + 1 0 1 X1 @B CA rDx( t) r⇠ Dx (ut) + µ. (2.4.6) r=1 r Buradaki µ terimleri 2 32 32 3 X1 Xr Xm Xk1 6 76 r 76 k 7 1 rx µ = 4 54 54 5 k! (r + 1) r=2 m=2 k=2 n=0 r m n m rm+k ⇥ n @ kn @ ⌘( u) u (2.4.7)@xm @xr m@uk dir. Benzer şekilde (↵;t)⌘ için de (2.4.3) uzanım fonksiyonu (↵;t) = ↵ t ↵ ↵⇣ @t ⌘ + (⌘u ↵Dt(⇠ ))@t u u@t ⌘u 20 1 0 1 3 X1 6B ↵ C ↵ + 4@ A r @B CA r+1 t 7 ↵r@t ⌘u Dt (⇠ )5Dt (u) r=1 r r + 1 0 1 X1 ↵ @B CA r x ↵rDt (⇠ )Dt (ux) + µ↵. (2.4.8) r=1 r 29 olup µ↵ terimleri 2 32 32 3 X1 Xr Xm Xk1 6 ↵ 7 r k 1 r↵t µ↵ = 4 54 6 7564 57 k! (r ↵ + 1) r=2 m=2 k=2 n=0 r m n m rm+k ⇥ ( )n @ kn @ ⌘u u (2.4.9)@tm @tr m@uk dir. Tanım 2.4.3 (KMDD için Değişmezlik Prensibi) (2.4.1) denklemi için değişmezlik prensibi (↵,;r) X (F ) |F=0= 0 (2.4.10) biçiminde tanımlanır. Buradan hareketle uzay-zaman KMDD lerin simetri analizi bu yaklaşım kullanılarak ko- layca araştırılabilir. 30 3. KORUNUM KANUNLARI Korunum kanunları, gözönüne alınan fiziksel modelin enerji, momentum, kütle korunumu gibi temel özelliklerinin elde edilmesinde yaygın bir kullanıma sahiptir. KDD in çok sayıdaki korunum kanununun varlığı, integrallenebilmesinin güçlü bir göstergesidir. Özel- likle varlık, teklik, kararlılık analizi ve nümerik şemaların analizinde uygulanır. Bunun yanında gözönüne alınan sisteme karşılık gelen yerel olmayan sistemlerin elde edilmesi ve tam çözümlerin oluşturulmasında da kullanılır. Bu bölümde öncelikle korunum kanunlarının temel bağıntıları verilecektir. Sonrasında ise çarpan yöntemi ile varyasyonel yaklaşım, Ibragimov’un yeni korunum teoremi (2007), çift indirgeme yönteminden bahsedilecektir. 3.1 Temel Bağıntılar Bu bölümde (x1, x2) = (t, x) bağımsız değişkenleri, u = u(t, x) bağımlı değişkeni ve @uuk = @x kısmi türevleri temsil edecektir. Burada n A , n. mertebeden diferensiyel k fonksiyonlar kümesidir. (2.1.8) denklemi için T = ( 1 2 n nT , T , . . . , T ) 2 A korunum vektörleri i DiT |(2.1.6)= 0 (3.1.1) diverjans ifadesi ile tanımlanır. Tanım 3.1.1 (Varyasyonel Türev) Euler-Lagrange operatörü, @ X = + ( s @1) Di1 . . . Dis (3.1.2) u @u @u s1 i1...is 31 biçiminde olup u nun türevlerine göre Euler-Lagrange operatörü @ X @ = + (1)sDj1 . . . Djs ui @ui @us1 ij1...js dir. Ayrıca u ifadesine varyasyonel türev adı da verilir. Tanım 3.1.2 (Euler-Lagrange Denklemi) Lagrangian fonksiyonu L = L(x, u, u1, . . . , uij) (3.1.3) olmak üzere L = 0 (3.1.4) u ifadesine Euler-Lagrange denklemi adı verilir (Ibragimov 1993). W = ⌘ t⇠ ut x⇠ ux (3.1.5) karakteristik fonksiyonu olmak üzere (2.1.7) uzanım katsayılarıyla birlikte (2.1.5) X üreteci- nin karakteristik formu t @ x @ @ @ @ X = ⇠ + ⇠ +W +Di(W ) +DiDj(W ) + . . . (3.1.6) @t @x @u @ui @uij biçiminde ifade edilir. i N Noether operatörü aşağıdaki şekilde tanımlanır: X i i @ N = ⇠ +W + Di1 . . . Dis(W ) . (3.1.7) @ui us1 ii1...is 32 Teorem 3.1.3 (Noether Özdeşliği) (3.1.2) Euler-Lagrange operatörü, (3.1.6) karakteristik formlu üreteci ve (3.1.7) operatörleri arasındaki ilişki aşağıdaki ifade ile verilir: + ( i X Di ⇠ ) = W +Di(Ni) (3.1.8) u (3.1.8) eşitliğine Noether özdeşliği adı verilir (Ibragimov 1993). Alman matematikçi Noether (1918) ele alınan sistemin şayet Euler-Lagrange denklemi ise, tüm korunum kanunlarının, sistemin kabul ettiği simetri özelliklerinden oluşturuldu- ğunu görmüştür. Örnek olarak varyasyonel integralin uzayda öteleme altında lineer mo- mentumun değişmez kalmasını, zaman altında Euler-Lagrange denklemleri için enerjinin değişmez kalmasını ve rotasyonel dönüşüm grubuna sahip üreteç altında açısal momen- tumun değişmez kalacağını göstermiştir. Buradan hareketle korunum vektörleri ile sistemin üreteçleri arasındaki ilişkiyi verelim. Teorem 3.1.4 L Lagrangian olmak üzere ⌦ ⇢ Rn için Z Ldx (3.1.9) ⌦ varyasyonel integralinin değişmezliği (2.1.5) üreteci için aşağıdaki sonsuz küçük testi ile sağlanır: (L) + L ( iX Di ⇠ ) = 0 (3.1.10) 33 Teorem 3.1.5 (3.1.9) varyasyonel integrali, (2.1.5) üretecine sahip olan grup altında değişmez ise i T = iN (L) (3.1.11) biçiminde tanımlanan T vektörü (3.1.4) Euler-Lagrange denklemi için korunum vektörüdür. Uyarı 3.1.6 Açıkça görülebilir ki, korunum vektörlerinin lineer birleşimleri de yine bir korunum vektö- rünü verir. Ayrıca (3.1.4) denkleminin çözümleri üzerinde sıfır olan her bir vektör (3.1.4) denklemi için bir aşikar korunum vektörüdür. Diferensiyel denklemler için iki çeşit aşikar korunum kanunu vardır. İlki (3.1.1)’deki denklemin tüm çözümlerini sağlayan nli T = ( iT ) aşikar korunum kanunudur. Örneğin; vx = u, ✓ ◆ 1 vt = + cxu, c > 0 u x sistemi için p p Dt cu cos( cv)[vx u] ✓ p p p  ◆1 +Dx c sin( cv)[vx u] + cu cos( cv) cxu u v v = 0 u3 x x t formundaki korunum kanunu birinci çeşit aşikar korunum kanunudur. Burada sistem total türevde yerine yazıldığında total türevin içi sıfır olduğu için eşitlik sağlanır. İkinci çeşit aşikar korunum korunum kanunlarında ise diverjans ifadesi diferensiyel denklemin sadece çözümleri için değil keyfi fonksiyonlar için de sağlanır. Örneğin; Dt(ux) +Dx(ut) = 0 34 ifadesi u = g(t, x) gibi keyfi düzgün fonksiyon için sağlanır. (3.1.9) varyasyonel integralin değişmez olması, (3.1.4) Euler-Lagrange denkleminin X üreteçli bir G grubunu kabul ettiğini gösterir. Dolayısıyla Noether teoreminin uygulan- ması için öncelikle (2.1.8) denkleminin kabul ettiği X üreteçleri elde edilmelidir. Daha sonra (3.1.9) Noether özdeşliğinden (2.1.8) denkleminin (2.1.5) biçimindeki üreteçleri ile (3.1.7) operatörlerinin ilişkili olan üreteçleri seçilmelidir. (3.1.9) varyasyonel integralin değişmezliği, (3.1.4) Euler-Lagrange denkleminin değiş- mez olması için yeterlidir, ancak gerekli değildir. Yani herhangi bir vektör alanının diver- jansı Lagrangiana eklenirse Euler-Lagrange denklemi yine değişmez kalacaktır. Lemma 3.1.7 = ( 1 2 nx x , x , . . . , x ) ve u = u(x) olsun. f(x, u, u1, . . . , ur) 2 A fonksiyonu, H = ( 1 nh , . . . , h ) vektör alanının diverjansıdır. Bu takdirde f = 0 (3.1.12) u eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter şart i f = divH = Di(h ) (3.1.13) olmasıdır. Dolayısıyla aynı grup parametreli keyfi bir iB = (B ) vektör alanının diverjansı (3.1.9) varyasyonel integralin değişmezliği şartında L Lagrangiana eklenebilir. Bu durumda (3.1.10) yeniden yazılırsa X(L) + L iDi(⇠ ) = Di( iB ) (3.1.14) olur. Dolayısıyla (3.1.4) Euler-Lagrange denklemi değişmezdir ve iDi(T ) = 0 korunum 35 kanununa sahiptir. (3.1.14) eşitliğinin sağına eklenen iDi(B ) terimi ile (3.1.11) korunum vektörü elde etme formülü i iL L= + iT ⇠ W B (3.1.15) ui olarak yenilenir. R Yüksek mertebeden L Lagrangianlı L varyasyonel integrali, (2.1.5) üretecine sahip bir ⌦ G grubunun altında değişmez olması durumunda (3.1.15) ifadesi Euler-Lagrange denk- lemi için korunum kanununu verir. Yani, (3.1.7) ve (3.1.11) ifadeleri (3.1.15) de yerine yazıldığında  ✓ ◆ ✓ ◆ i L i @L @L @LT = ⇠ +W Dj +DjDk . . . @ui @✓uij ◆ @uijk @L @L +Dj(W ) Dk + . . . @uij @uijk @L +DjDk(W ) . . . + . . . (3.1.16) @uijk elde edilir. Örneğin üçüncü mertebeden L = L(x, u, u1, u2, u3) Lagrangianı için, sırasıyla, (3.1.4) Euler-Lagrange denklemi ve (3.1.16) korunum vektörü sırasıyla ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ L ⌘@L @L @L @LDi +DiDk DiDjDk = 0, u @u @ui @uik @uijk  ✓ ◆ ✓ ◆ i @L @L @L T =L i⇠ +W Dj +DjDk @ui @✓uij ◆ @uijk @L @L+Dj(W ) Dk @uij @uijk @L +DjDk(W ) @uijk olacaktır. 36 3.2 Çarpan (Karakteristik) Yöntemi ve Varyasyonel Yaklaşım Çarpan yöntemi, Lie simetri teorisi ile ilgili değildir. İlk olarak Steudel (1962) tarafından oluşturulan çarpan yöntemi geliştirilerek teorik yapısı oluşturulmuştur (Olver 1993, Anco ve Bluman 2002). Çarpan yöntemi kullanılarak iT korunum vektörlerinin total türevi, (2.1.8) denkleminin bir ⇤ fonksiyonu katı biçiminde i = idivT Di(T ) = ⇤E (3.2.1) yazılmıştır. Bu yazılıma karakteristik formu adı verilir. Ayrıca ⇤ = (⇤1,⇤2, . . . ,⇤i) fonksiyonlarına da çarpanlar (karakteristikler) denir. Yani ⇤ çarpanları (2.1.8) denkle- mini tam hale getiren fonksiyonlardır. Teorem 3.2.1 (2.1.8) normal ve tamamen bozulmamış diferensiyel denklem olsun. T ve T̃ , ⇤ ve ⇤̃ çarpanlarıyla belirlenen korunum kanunları olsun. O zaman T ve T̃ denk korunum ka- nunları olması için gerek ve yeter şart ⇤ ve ⇤̃ denk çarpanlar olmasıdır. Açıkcası bu teorem ile (3.2.1) karakteristik formundaki bir korunum kanununun aşikar olması ile ⇤ karakteristiğinin aşikar olmasının eşdeğer olduğunu ifade eder. Şimdi ⇤ çarpan fonksiyonlarının nasıl hesaplanacağını verelim. (3.2.1) ifadesindeki ⇤ çarpanları için belirleyici denklem (3.2.1) karakteristik formunun varyasyonel türevi alına- rak (⇤E) = 0 (3.2.2) u bulunur (Olver 2000). (3.2.2) belirleyici denklemi orijinal denklemin çözüm uzayında değil, keyfi u = u(xi) fonksiyonları için geçerlidir. (3.2.2) belirleyici denkleminde bağımlı 37 değişkenin türev çeşitlerinin katsayıları sıfıra eşitlenerek belirleyici denklem sistemi elde edilir. Bu belirleyici denklem sisteminin çözümlerine karşılık ⇤ çarpan fonksiyonları elde edilir. Elde edilen herbir ⇤ çarpanı ile bu çarpana karşılık gelen korunum vektörleri uyumludur. Bu yöntemin uygulanışı uzun ve karmaşıktır. Bu nedenle düşük mertebeli ve az terimli diferensiyel denklemler için uygulanması kolay olabilir. Ancak yüksek mertebeden veya çok terimli diferensiyel denklemler için pek kullanışlı bir yöntem değildir. Bundan dolayı Cheviakov (2007), ⇤ çarpan fonksiyonlarını hesaplayan GeM adlı alt programını MAPLE paket programı ile literatüre kazandırmıştır. 3.3 Eşlenik Denklem ve Eşlenik Simetri Herhangi bir L lineer diferensiyel operatörüne div(P ) = Di(P ) olmak üzere her bir u, v için [ ] ⇤vL u uL [v] = div(P ) (3.3.1) olcak şekilde bir ⇤L eşlenik operatörü karşılık gelir. Burada P = ( 1 2 np , p , . . . , p ) vektör alanıdır. Ayrıca ⇤L [v] = 0 denklemine, L[u] = 0 denkleminin eşlenik denklemi adı verilir. Ayrıca herhangi bir v = u için ⇤ L [u] = L[u] oluyorsa L operatörüne kendine eşleniktir adı verilir. Örneğin, [ ijL u] = a (x)DiDj(u) + i b (x)Di(u) + c(x)u biçiminde tanımlanan ikinci mertebeden L operatörüne karşılık ⇤L eşlenik operatörü 38 (3.3.1) ifadesinden ⇤ ij i L = DiDj a (x)v Dj b (x)v + c(x)v olarak elde edilir. Ayrıca ⇤L eşlenik operatöründe i ij b (x) = Dj(a (x)), i = 1, 2, . . . , n olması durumunda L kendine eşleniktir (Yaşar 2009). Tanım 3.3.1 1 2 n x = (x , x , . . . , x ) bağımsız, u = u(x) bağımlı değişkenleri ve u’nun kısmi türevleri ile birlikte (2.1.8) r. mertebeden bir diferensiyel denklemi gözönüne alınsın. Bu takdirde ⇤ (vE) E (x, u, v, u1, v1, u2, v2, . . . , uij, vij, . . . , ur, vr) = u =0, (3.3.2) denklemine (2.1.8) diferensiyel denkleminin eşlenik denklemi denir. Burada v = v(x) yeni bağımlı değişkeni ve u varyasyonel (Euler) operatörü @ X @ = + (1)sDj1 . . . Djs , (3.3.3) u @u @u s>1 j1...js biçimindedir. Tanım 3.3.2 v = u için (3.3.2) eşlenik denklemi ⇤ E (x, u, u1, u2, . . . , uij, . . . , ur) = 0, (i+ j = 1, . . . , r) 39 olup (2.1.8) orijinal denklemine özdeş olduğu takdirde r. mertebeden (2.1.8) diferensiyel denklemine kendine eşlenik denklem adı verilir. Örneğin, 2 utt c uxx = 0 klasik dalga denkleminin eşlenik denklemi (3.3.2) ifadesinden 2 vtt c vxx = 0 biçiminde elde edilebilir. v = u için eşlenik denklem orijinal dalga denklemine eşit olduğundan kendine eşleniktir. Uyarı 3.3.3 Burada dikkat edilmesi gereken kısım, v = u için (2.1.8) diferensiyel denklemi kendine eşlenik olmasına rağmen E( ⇤x, u, u1, u2, . . . , uij, . . . , ur) 6= E (x, u, u1, u2, . . . , uij, . . . , ur) olabilir. (2.1.8) denkleminin lineer olmayan kendine eşlenikliğinin tanımı aşağıdaki gibi verilmiştir. Tanım 3.3.4 (Lineer olmayan kendi eşleniklik (Ibragimov 2011)) (2.1.8) denkleminin kendine eşlenik olması demek ancak (3.3.2) eşlenik denkleminin (x, u) 6= 0 olmak üzere v = dönüşümü ile (2.1.8) in tüm u çözümleri için sağlanmasıdır. 40 Bu tanım belirsiz bir fonksiyonu için aşağıdaki eşitliğe denktir: ⇤ E (x, u, u(1), v(1), u(2), v(2), . . . , u(r), v(r))|v= = E, (3.3.4) veya (vE)u |v= = E. Özellikle, v = (x, u) dönüşümünde v = u ise (2.1.8) denklemi sıkı kendine eşleniktir, v = (u) ise yarı kendine eşleniktir ve v = (x, u, u(1), u(2), . . . , u(s)) ise diferensiyelli i i ...i lineer olmayan kendi eşlenikliktir denir. Ayrıca x, u ve türevlerini içeren , 1 , . . . , 1 s fonksiyonları hesaplanarak ⇤ | i1 i1...iE sv=(x,u,u(1),u(2),...,u(s)) = + Di1 + . . .+ Di1...is E, (3.3.5) ifadesi oluşturulur. Tanım 3.3.5 (Eşlenik Simetri (Bluman ve ark. 2010, Anco ve Bluman 2002)) @ X! = !(x, u, u(1), u(2), . . . , u(r)) simetrisi (2.1.8) in bir eşlenik simetrisi olmak üzere @u X! simetrisi ✓ ◆ ✓ ◆ L⇤ @F @F @F( F )! = + r! Di1 ! . . .+ (1) Di1...ir ! (3.3.6) @u @ui1 @ui1...ir (2.1.8) in eşlenik denklemi ile hesaplanır. 3.4 Yeni Korunum Yöntemi Ibragimov (2006), varyasyonel prensibe sahip olmayan denklemler için yeni korunum yöntemini geliştirmiştir. Bu yöntemin esası gözönüne alınan denklemin eşlenik denklemi- nin tanımlanması ve denklemin ”kuple” sisteme dönüştürülmesine dayanır. Artık bu yeni sistem Euler-Lagrange formundaki varyasyonel özelliğe sahip olan denklemlere dönüşür. Bununla birlikte gözönüne alınan denklemin korunum kanunları Noether metodu ile hesap- 41 landığında, eşlenik denklemin çözümü olan fonksiyon(lar) ortaya çıkmaktadır. Dola- yısıyla gözönüne alınan denklemin yerel değişkenlerini içeren bir yapı yakalanamaz. Çünkü korunum vektörleri ana denklemin bağımlı değişkenleri ile beraber eşlenik denk- lemin çözümlerini de içerir. Bu sıkıntıyı ortadan kaldırabilmek için son yıllarda yine Ibragimov tarafından lineer olmayan kendi eşleniklik kavramı ortaya atılmıştır (Yaşar 2009). Teorem 3.4.1 (2.1.8) denkleminin kabul ettiği her Lie nokta, Lie-Bäcklund ve yerel olmayan simetri (2.1.8) orijinal denklemi ile (3.3.2) eşlenik denklemi içeren sistem için bir korunum ka- nunu oluşturur. Bu korunum kanununun vektörleri y = y(x) yeni bağımlı değişken olmak üzere L = yE(x, u, u1, u2, . . . , ur) (3.4.1) Lagrangianı olmak üzere X i = iT ⇠ L L L+W + Di1 . . . Dis(W ) i = 1, . . . , n (3.4.2) ui us1 ij1j2...js biçimindedir. Ayrıca (3.4.2) ifadesi (3.1.16) ile çakışır. 3.5 Özyineleme Yöntemi Cheviakov ve Naz (2016) tarafından aşikar olmayan korunum kanunları ve çarpanlardan yeni korunum kanunları elde etmek için yeni bir özyineleme formülü geliştirilmiştir. Genel durumda korunum kanunlarının çarpanlara ihtiyacı olmadığı bilinmektedir. Aşağıdaki formüle göre bağımsız değişkenlerin keyfi fonksiyonları için yapı korunur. 42 Lemma 3.5.1 (Özyineleme Formülü (Cheviakov ve Naz 2017)) (2.1.8) denklemi (3.1.1) aşikar olmayan korunum kanununu kabul etsin. Bu takdirde h = h(x) bir keyfi diferensiyellenebilir fonksiyonu için ✓ Z ◆ i i @h i iDi⌅ = Di hT [u] T [u]dx = 0 (3.5.1) @xi diverjans ifadesi (2.1.8) in verilen herhangi bir çözümü üzerinde sağlanır. 3.6 Çift İndirgeme Yöntemi X , (2.1.8) denkleminin kabul ettiği Lie simetri üreteci, = ( iT T ), (2.1.8) denkleminin korunum kanunları olsun. X simetrisi ile T korunum kanunu aşağıdaki ifadeyi sağlıyorsa X ile T ilişkilidir: [ iT ,X] = X( iT ) + i ( jT Dj ⇠ ) jT Dj( i⇠ ) = 0, i = 1, 2, . . . , n. (3.6.1) Teorem 3.6.1 X , (2.1.8) denkleminin herhangi bir simetrisi ve T = ( iT ) de (2.1.8) denkleminin ko- runum kanunu olmak üzere ⇤i = [ i i i j j iT T ,X] = X(T ) + T Dj(⇠ ) T Dj(⇠ ), i = 1, 2, . . . , n (3.6.2) ile tanımlanan ⇤iT ifadesi, ⇤iDiT |(2.1.8)= 0 olup (2.1.8) denkleminin bir korunum ka- nunudur. Teorem 3.6.2 (3.1.1), (2.1.8) denkleminin bir korunum kanunu olsun. Kontakt dönüşümler altında, iT̃ 43 fonksiyonları i iJDiT = D̃iT̃ olur. Burada i, [ 1 2 nT̃ T , T , . . . , T ], D̃1x1 D̃1x2 . . . D̃1xn D̃ 2x1 D̃2x2 . . . D̃2xn J = . . . (3.6.3) .. .. . . . .. D̃nx1 D̃nx2 . . . D̃nxn ile tanımlanan Jakobiyen determinantının i. satırının değiştirilmesi ile elde edilen deter- minantıdır. Teorem 3.6.3 (3.1.1), (2.1.8) denkleminin bir korunum kanunu olsun. Kontakt dönüşümler altında i i i JDiT = D̃iT̃ olan T̃ fonksiyonları vardır. Burada 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 B T̃ C B T C B T C B T̃B C CBB 2 CC BB C B C B CB 2 C B 2T̃ T T C B 2T̃ C BB . C C B C B = J( 1A )T B . C , JB . C = T A B C. C (3.6.4) B .. C@ CA B B .. CC BB .. CC BB .. C@ A @ A @ CA n n n n T̃ T T T̃ olup 0 1 0 1 B D̃1x1 D̃1x2 . . . D̃1xn C B D1x̃1 D1x̃2 . . . D1x̃nB C B CB CB D̃2x1 D̃ C B2x2 . . . D̃2xn C B D2x̃1 D2x̃2 . . . D2x̃ C n A = BB . . . . C 1 C , A = B . . . . . C B . . . C (3.6.5) B . . . C B .. .. . . . .. C@ A @ AC D̃nx1 D̃nx2 . . . D̃nxn Dnx̃1 Dnx̃2 . . . Dnx̃n ve J = det(A) dir. Lemma 3.6.4 1 2 n x = (x , x , . . . , x ), n bağımsız değişken, u = ( 1 2 mu , u , . . . , u ), m bağımlı değişken ve 44 = ( 1 2 nx̃ x̃ , x̃ , . . . , x̃ ) bağımsız değişkenlerin değişimi olmak üzere herhangi bir f( 1x, u, u ) = ( 1 2 nf , f , . . . , f ) vektörü aşağıdaki eşitliği sağlamak zorundadır: A, (3.6.5) formunda olup 2 30 1 2 30 1 D̃ D̃ 1 2 n 1 2 n6 1 1 . . . D̃1 7B f f . . . f C 6 D1 D1 . . . D1 f f . . . f 66 7B C 6 77BB CC 6 D̃2 D̃2 . . . D̃ 7B f 1 f22 7B . . . f n CC 66 D D . . . D 7B f 1 2 n C 2 2 2 f . . . f 66 . . . . 77BB . . . . CC = A6 7B C . . . . . . . . 6 . 7B . . . . . . . . C . 6 . . . . 7B . . . . C 6 . .. . . .. 7B .. .. . . .. C4 5@ A 4 75@B AC D̃n D̃n . . . D̃ f1n f2 . . . fn Dn Dn . . . Dn f1 f2 . . . fn (3.6.6) ifadesi vardır. Teorem 3.6.5 (Çift İndirgemenin Temel Teoremi) i DiT = 0, (2.1.8) denkleminin bir korunum kanunu olsun. Bu denklem için @ @ Xi @ X = ⇠ + ⌘ + ⇣i1i2...,is (3.6.7) @xi @u @u s1 i1i2...is simetrisinin benzerlik dönüşümü altında iT̃ fonksiyonları vardır öyle ki iD̃iT̃ = 0 denk- lemi için X bir simetridir ve 0 1 0 1 1 1 B XT̃ C [T ,X]BB CC B B CC B 2XT̃ C B B [ 2T ,X] B 1 T C C B . CC = J(A ) BB . CC (3.6.8)B .. ..@ CA B@ CA n n XT̃ [T ,X] dir. Buradaki ve 1A A , (3.6.5) formunda olup J = det(A) dır. Sonuç 3.6.6 45 (2.1.8) denkleminin bir (3.1.1) korunum formu, bir X simetrisinin benzerlik dönüşümü al- tında iD̃iT̃ = 0 korunum formuna indirgenmesi için gerek ve yeter şart X ile T ’nin ilişkili olmasıdır. Yani [T,X] = 0 olmasıdır. Sonuç 3.6.7 (Genelleştirilmiş Çift İndirgeme Teorisi) n bağımsız, m bağımlı değişkenli bir q. mertebeden lineer olmayan KDDS i, bir (q 1). mertebeden lineer olmayan ADDS ne indirgenebilir. Burada KDDS, n indirgemeden her birinde bir aşikar olmayan korunum kanunu ile en az bir ilişkili simetriye sahiptir. 3.7 KMDD için Korunum Kanunları Şimdi (2.4.1) KMDD için korunum kanunlarını oluşturalım. (2.4.1)’e ait korunum kanunlarını oluşturmak için Ibragimov’un (2007) yeni korunum yöntemi verilecektir. KMDD’de oluşum tipi denklem olduğu için varyasyonel prensip ile elde edilemeyeceği aşikardır. Bu nedenle tam mertebeli KDD’de olduğu gibi ori- jinal denklemi yardımcı bir fonksiyon olarak adlandırılan formal Lagrangian ile kuple hale getirip Euler-Lagrange denklemleri haline sokmak ana hedeftir. Burada önemli olan kısım, aşağıda oluşturulacak olan eşlenik denklemin, orijinal denklemin tüm Lie nokta, Lie-Bäcklund ve yerel olmayan simetrileri kabul etmesidir. (2.4.1) denkleminin L = v(x, t)F formal Lagrangiana sahip olduğunu kabul edelim. (3.3.1) eşlenik denklemi, (3.1.2) Euler- Lagrange operatörü ile ⇤ L F : = 0 u 46 olarak tanımlanır. Ayrıca (2.4.2) Lie nokta simetrisini kesirli zaman türevi için @ @ @ = + + + (↵;t) @ x @ X ⌧ ⇠ ⌘ ⇣ ↵ + ⇣ + . . . (3.7.1) @t @x @u @ut @ux biçiminde tanımlayalım. Lie karakteristik fonksiyonu W = ⌘ ⌧ut ⇠ux olmak üzere, zaman kesirli diferensiyel denklem için t x X +Dt(⌧) +Dx(⇠) = W +DtN +DxN u Noether özdeşliği geçerlidir. Zt ZT 1 f(⌧, x)g(µ, x) J(f, g) = dµ dt (n ↵) (µ ⌧)↵+1n 0 t olmak üzere tN operatörü Xn1 ✓ ◆ t @ @ N = ⌧ + (1)k ↵1k( k n nDt W )Dt ↵ (1) J W,Dt ↵ (3.7.2) @ut @uk=0 t biçiminde tanımlanır. Benzer şekilde xN operatörü de ! ! X @ Xx @ N = ⇠ +W (1)s sDx +Dx(W ) (1)s1 s1Dx + . . . @u @u s0 sx s1 (s1)x (3.7.3) olarak verilir. (2.4.1) denkleminin, X üreteci ve formal Lagrangianı ile beraber değişmezlik prensibi XL+Dt(⌧)L+Dx(⇠)L |(2.4.1)= 0 (3.7.4) 47 dır. Dolayısıyla (2.4.1) denkleminin korunum kanunu Dt( t N L) + ( xDx N L) = 0 (3.7.5) formundadır. 48 4. TAM ÇÖZÜMLER Bu bölümde literatürde var olan tam çözüm yöntemlerinden en genelleri olan genelleş- tirilmiş Kudryashov yöntemi, en basit denklem yöntemi ve ( 0G /G, 1/G) genişleme yönte- minin teorisi verilecektir. 4.1 Genelleştirilmiş Kudryashov Yöntemi Kudryashov yöntemi, lineer olmayan KDD’in tam çözümlerini elde etmek için Kudrya- shov (1988) tarafından verilmiştir. Bu nedenle bu yaklaşım Kudryashov yöntemi olarak adlandırılır. Kudryashov yöntemi, lineer olmayan diferensiyel denklemlerin geniş bir sınıfının yalnız dalga çözümlerinin oluşturulmasına izin vermektedir. Bu yöntemin avan- tajı, literatürde var olan diğer yöntemleri kapsayacak şekilde oluşturulmasıdır. (Parkes 1994, 1996, Malfliet 1996, Fan 2000, Kudryashov 2008, 2012, Biswas 2009, Vitanov 2010) kaynaklarında olduğu gibi Burgers-Korteweg-de Vries denkleminin, Kurumoto- Sivashinsky denklemlerinin, Bretherton denklemi ve Kawahara denklemlerinin tam çö- zümleri elde edilmiştir. Buna ek olarak (Ryabov 2010) da üçüncü mertebeden lineer ol- mayan oluşum denklem sınıfı için ilerleyen dalga çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca li- teratürde Kudryashov yöntemi kullanılarak lineer olmayan oluşum denklemlerinin iler- leyen dalga çözümleri araştırılmıştır. Genelleştirilmiş Kudryashov yöntemi adım adım aşağıda ifade edilmiştir. 1. adım : (2.1.8) denkleminde u(x, t) = y(z), z = kx !t kabulü alındığında ✓ ◆ 2 ⇤ dy(z) d y(z) z, y(z), , , . . . , = 0 (4.1.1) dz dz2 49 ADD elde edilir. 2. adım : (4.1.1) denkleminin bir çözümü a0 + Na1Q(z) + . . .+ aNQ (z) y(z) = (4.1.2) b + b Q(z) + . . .+ bM M0 1 Q (z) biçiminde olsun. Burada N,M tamsayıları, ai, bj (i = 1, . . . , N ; j = 1, . . . ,M) daha sonra bulunacak keyfi sabitleri ve 1 Q(z) = ⌥ (4.1.3)1 ez fonksiyonu 0 2 Q = Q Q (4.1.4) diferensiyelinin çözümünü ifade eder. (4.1.2) çözümü (4.1.1) denkleminde yerine yazılarak terimlerin derecelerinden N ve M tam sayıları bulunur. 3. adım : Elde edilen N ve M tamsayıları ile (4.1.2) çözümü (4.1.1) denkleminde yerine yazılır. Elde edilen denklem Q ve kuvvetlerine göre bir polinom olarak yazılabilir. 4. adım : 3. adımdaki polinomun her bir katsayısı sıfıra eşitlenerek ai ve bj sabitlerini belirleyen denklem sistemi elde edilir. 5. adım : 4. adımdaki belirleyici denklem sistemi çözülerek ai ve bj katsayıları bulunur. Dolayısıyla (4.1.1) denkleminin (4.1.2) çözümü bulunmuş olur. 4.2 En Basit Denklem Yöntemi Kurdyashov (2005) tarafından lineer olmayan diferensiyel denklemlerin tam çözümlerini bulmak için oluşturulan yöntemin merkezinde, en basit lineer olmayan diferensiyel denk- lemlerin genel çözümleri bulunmaktadır. Bu nedenle yöntemin adı en basit denklem yöntemi dir. En basit denklem yönteminin diğer yöntemlerden avantajları, literatürdeki 50 bir dizi yöntemin genellemesi olması ve yöntemin uygulanmasının kolaylığıdır. Yukarıda bahsedildiği gibi en basit denklemler 0 G (z) = 2aG(z) + bG(z) (4.2.1) Bernoulli denklemi ve 0 G (z) = 2aG(z) + bG(z) + d (4.2.2) Riccati denklemi seçilebilir. (4.2.1) Bernoulli denkleminin çözümleri a < 0, b > 0 için (veya a > 0, b < 0) ⌥ b exp[b(z + C)]G(z) = (4.2.3) 1± a exp[b(z + C)] dir. Ayrıca (4.2.2) Riccati denkleminin çözümleri ✓ = 2b 4ad olmak üzere ✓  ◆ 1 1G(z) = b+ ✓ tanh ✓(z + C) , (4.2.4) 2a 2 ve ✓  ◆ 1 1 sech1✓z G(z) = b+ 2✓ tanh ✓z + ⇥ ⇤ ⇥ ⇤ (4.2.5) 2a 2 C cosh 1 2a 12✓z ✓ sinh 2✓z biçimindedir. En basit denklem yöntemi (4.2.1) veya (4.2.2) denklemlerinin çözümü olan G(z) yardımcı fonksiyonu gözönüne alınarak (4.1.1) denkleminin XM y(z) = Ai (G(z)) i (4.2.6) i=0 çözümünün aranmasıdır. Burada M pozitif tamsayısı, (4.2.6) çözümünün (4.1.1)’de ye- 51 rine yazılarak en yüksek mertebeden türevli terim ile lineer olmayan terim arasında den- geleme yöntemi kullanılarak elde edilir. Ayrıca Ai, daha sonra hesaplanacak olan sabit- lerdir. Elde edilen M pozitif tamsayısı ile (4.2.6) çözümü (4.1.1) denkleminde yerine yazılırsa ve (4.2.1) veya (4.2.2) ifadeleri gözönüne alındığında G(z) nin bir polinomu olarak cebirsel bir denklem sistemi elde edilir. Bu polinomun tüm katsayıları sıfıra eşitlenerek Ai sabitleri bulunur. Buradan hareketle bulunan Ai sabitleri ile (4.2.6) çözümleri oluşturulur. 4.3 ( 0G /G, 1/G) Genişleme Yöntemi 00 G (⇠) + G(⇠) = µ (4.3.1) ikinci mertebeden ADD gözönüne alınsın. G0 = G ve = 1 G olmak üzere (4.3.1) in 0 = 2 + µ , 0 = (4.3.2) olduğu açıktır. 1. durum : < 0 için, A1, A2 keyfi olmak üzere (4.3.1) denkleminin genel çözümü ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ µ G(⇠) = A1 sinh ⇠ + A2 cosh ⇠ + (4.3.3) dir. Ayrıca 2 2 = A1 A2 olmak üzere 2 = ( 2 2µ + ) (4.3.4) 2 + µ2 dir. 52 2. durum : > 0 için, A1, A2 keyfi olmak üzere (4.3.1) denkleminin genel çözümü ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ µ G(⇠) = A1 sin ⇠ + A2 cos ⇠ + (4.3.5) ve 2 2 = A1 + A2 için 2 2 = ( 2µ + ) (4.3.6)2 µ2 dir. 3. durum : = 0 için (4.3.1)’in genel çözümü µ 2 G(⇠) = ⇠ + A1⇠ + A2 (4.3.7) 2 ve 2 1= 2 2 ( 2µ ) (4.3.8)A1 2µA2 dir. (2.1.8) lineer olmayan oluşum denklemi ele alınsın. Burada E, u = u(x) ve U ’nun kısmi türevlerinin bir polinomu olsun. ( 0G /G, 1/G) genişleme yönteminin (Li ve ark. 2010) uygulanmasını adım adım açıklayalım. 1. adım : İlerleyen dalga dönüşümü, ! sabiti olmak üzere ⇠ = x+ y !t, u(x, y, t) = U(⇠) (4.3.9) biçimindedir. Bu dalga dönüşümü (2.1.8) denklemini, U(⇠) ve türevlerinin polinomu olan ( 0 00P U,U , U , . . .) = 0 (4.3.10) 53 ADD’ye dönüştürür. 2. adım : (4.3.10) ADD inin ve değişkenlerine bağımlı olan XN XN i i U(⇠) = ai + bj (4.3.11) i=0 j=1 çözümü olsun. Bu çözümdeki ai ve bj , 4. adımda tespit edilecek olan sabitlerdir. 3. adım : (4.3.11) ifadesi, (4.3.10) ADD’sinde yerine yazılırsa ve en yüksek mertebeden türevli terim ile lineer olmayan terim arasında dengeleme yöntemi kullanılarak N pozitif tam sayısı hesaplanır. 4. adım : (4.3.2) ve (4.3.4) ifadeleri gözönüne alınarak (4.3.11), (4.3.10)’da yerine yazıldığında, (4.3.10) denklemi ve nin bir polinomu olarak bulunur. Burada dikkat edilmesi gereken kısım nin derecesinin bir veya birden az olması gerektiğidir. Bu poli- nomun herbir katsayısını sıfıra eşitleyerek bir cebirsel denklem sistemi bulunur. Bu sis- tem, ai, bj , !, µ, A1, A2 ve (< 0) katsayılarını elde etmede kullanılır. Sistemin çözümleri için MAPLE paket programını kullanmak faydalı olacaktır. 5. adım : 2. durum için de 4. adım benzer şekilde, (4.3.2) ve (4.3.6) ifadeleri gözönüne alınarak (4.3.11), (4.3.10)’da yerine yazıldığında aynı işlemler ile keyfi sabitler elde edile- bilir. 3. durum için de benzer şekilde 4. adımda olduğu gibi (4.3.2) ve (4.3.8) ifadeleri gözönüne alınarak (4.3.11), (4.3.10) de yerine yazıldığında aynı işlemler yapılarak keyfi sabitler bulunabilir. 54 5. VARYANT BOUSSİNESQ SİSTEMİ Bu bölümde, lineer olmayan oluşum türü denklem sistemlerinden olan 8 >< vt + vux + uvx + uxxx = 0, : > (5.0.1): ut + vx + uux = 0 varyant Boussinesq sistemi ele alınmıştır. (5.0.1) sistemi su dalgalarının modellenmesinde kullanılmaktadır (Fan, Hon 2003, Muatjetjeja, Khalique 2014). Burada u akış hızını, v toplam derinliği, x uzay değişkenini ve t ise zaman değişkenini ifade etmektedir. (5.0.1) sistemi için literatürde yapılan çalışmalar incelendiğinde tam çözümlerin ve korunum kanunlarının çalışıldığı gözlemlenmektedir. Bu çerçevede tam çözümler için bazı özel varsayımlar altında ilerleyen dalga tipi çözümlerin oluşturulduğu görülmüştür. (5.0.1) sistemi için dengeleme yöntemi (Wang 1995) kullanılarak yalnız gezen dalga çözümleri, (Fan, Hon 2003) çalışmasında (5.0.1) sisteminin soliton çözümleri, rasyonel çözümleri, üçgen periyodik çözümleri, Jacobi ve Weierstrass çift dalga çözümleri genişletilmiş tanh yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Ayrıca (Muatjetjeja, Khalique 2014) ve (Naz ve ark. 2010) çalışmalarında klasik Noether yaklaşımı ile korunum kanunları oluşturulmuştur. Bu bölümde, (5.0.1) sisteminin Lie grup teorisi aracılığıyla değişmezlik prensipleri, üre- teçleri ve simetri indirgemeleri incelenecektir. Simetri indirgemesinde Riccati denkle- minin en basit denklem olması hali gözönüne alınarak tam çözümler elde edilecektir. Buna ek olarak çarpan yaklaşımı ile sistemin korunum kanunları oluşturulacaktır. 5.1 Lie Grup Analizi (5.0.1) sisteminin (2.1.10) Lie nokta simetrisi @ @ @ @ X = ⇠(t, x, u, v) + ⌧(t, x, u, v) + ⌘(t, x, u, v) + '(t, x, u, v) (5.1.1) @x @t @u @v 55 formundaki vektör alanı ile oluşturulur. (5.1.1) üreteci için (3)X uzanımı (denklemin mertebesi 3 olduğu için) (3) @ @ @ @ X = ⇠(t, x, u, v) + ⌧(t, x, u, v) + ⌘(t, x, u, v) + '(t, x, u, v) @x @t @u @v t @ @ @+ ⇣ ( x xxt, x, u, v) + ⇣ (t, x, u, v) + ⇣ (t, x, u, v) @ut @ux @uxx + xxx @ @ @ ⇣ ( t xt, x, u, v) + (t, x, u, v) + (t, x, u, v) (5.1.2) @uxxx @vt @vx olup bu uzanımdaki t x xx xxx⇣ , ⇣ , ⇣ , ⇣ ve t x , katsayı fonksiyonları, (2.1.7)’den t ⇣ = Dt(⌘) utDt(⌧) uxDt(⇠) = ⌘t + ut(⌘u ⌧t) 2ut ⌧u + vt⌘v utvt⌧v ux⇠t utux⇠u uxvt⇠v, x ⇣ = Dx(⌘) utDx(⌧) uxDx(⇠) = ⌘x + ux(⌘u ⇠x) + vx⌘v ut⌧x utux⌘u 2utvx⌧v ux⇠u uxvx⇠v, xx ⇣ = Dx( x ⇣ ) utxDx(⌧) uxxDt(⇠) = 2⌘xx + 2vx⌘xv + vx⌘vv uxx⇠x uxxvx⇠v + ux(2⌘xu ⇠xx) uxuxx⇠u + 2 2 2 2 3uxvx(⌘uv ⇠xv) uxvx⇠vv + ux(⌘uu 2⇠xu) 2uxvx⇠uv ux⇠uu 2utx⌧x utxvx⌧v utxux⌧u ut⌧xx 2utvx⌧xv utvx⌧vv 2utux⌧xu 2 2utuxvx⌧uv utux⌧uu, xxx = ( xx⇣ Dx ⇣ ) utxxDx(⌧) uxxxDt(⇠) = ⌘xxx + ux(2 2 2 ⌘xxu ⇠xxx) + 3vx⌘xxv + 3ux(⌘xuu ⇠xxu) + 3vx⌘xvv uxx⇠xx 3 ux(⌘uuu 3 4⇠xuu) ux⇠uuu ut⌧xxx utx⌧xx 2uxuxx⇠xu + 3uxvx(2⌘xuv ⇠xxv) + 3 2 2 2uxvx(⌘uvv ⇠xvv) + 3uxvx(⌘uuv 2⇠xuv) 3utvx⌧xxv 3utvx⌧xvv 3utux⌧xxu 6 2 2utuxvx⌧xuv 3utux⌧xuu 2utxvx⌧xv 2uxutx⌧xu 2uxuxxvx⇠uv uxuxx⇠uu 56 3 2 2 3 3 2 2uxvx⇠uvv uxvx⇠uuv 2uxutxvx⌧uv uxutx⌧uu 3utuxvx⌧uvv 3 2utuxvx⌧uuv 3 3utux⌧uuu + vx⌘vvv uxxvx⇠xv 2 3 2 3uxxvx⇠vv uxvx⇠vvv utxvx⌧vv utvx⌧vvv 2 2utxxvx⌧x uxutxxvx⌧u utxxvx⌧v uxxxvx⇠x uxuxxxvx⇠u uxxxvx⇠v, t = Dt(') vtDt(⌧) vxDt(⇠) = 't + 2 ut'u + vt('v ⌧t) utvt⌧u vt ⌧v vx⇠t utvx⇠u vtvx⇠v, x = Dx(') vtDx(⌧) vxDx(⇠) = 'x + ux'u + vx( 2 'v ⇠x) vt⌧x uxvt⌧u vtvx⌧v uxvx⇠u vx⇠v (5.1.3) biçimindedir. (5.0.1) sistemi için (2.1.11) değişmezlik prensibi (3) X (vt + vux + uvx + uxxx) |(5.0.1) = 0, (3) X (ut + vx + uux) |(5.0.1) = 0 (5.1.4) olup t + x'ux + ⇣ v + ⌘vx + x + xxx u ⇣ = 0 t + x⇣ + x⌘ux + ⇣ u = 0 (5.1.5) sistemi elde edilir. (5.1.3)’deki uzanım katsayıları (5.1.5) sisteminde yerine yazılıp u ve v nin kısmi türevlerinin farklı kombinasyonlarına göre düzenlenirse (5.1.5) sistemi ut ('u v⌧x ⌧xxx) + ux ('+ v⌘u v⇠x + u'u + 2⌘xxu ⇠xxx) + vt ('v ⌧t u⌧x) + vx (⌘ ⇠t + v⌘v + u'v u⇠x + 3 2⌘xxv) + ux (3 2⌘xuu 3⇠xxu v⇠u) + vx (3⌘xvv u⇠v) 2vt ⌧v utux (v⌘u + 3⌧xxu) utvt⌧u utvx (⇠u + v⌧v + 3⌧xxv) vtvx (⇠v + u⌧v) uxvtu⌧u uxvx ( 3v⇠v + u⇠u 6⌘xuv + 3⇠xxu) utx⌧xx uxx⇠xx + ux (⌘uuu 3⇠xuu) 57 4ux⇠uuu 3 2 2 2utux⌧xuu 3utvx⌧xvv 6utuxvx⌧xuv + uxvx (3⌘uvv ⇠xvv) 2uxuxx⇠xu + 2uxvx (3⌘uuv 6⇠xuv) 2 2utxvx⌧xv 2uxutx⌧xu 2uxuxxvx⇠uv uxuxx⇠uu 3 2 2 3 2 2 2uxvx⇠uvv 3uxvx⇠uuv 2uxutxvx⌧uv uxutx⌧uu 3utuxvx⌧uuv 3utuxvx⌧uvv 3 3 2 2 2 3utux⌧uuu + vx⌘vvv uxxvx⇠xv uxxvx⇠vv uxvx⇠vvv utxvx⌧vv uxvx⌧vvv 2 2vxvtxx⌧x uxutxxvx⌧u utxxvx⌧v uxxxvx⇠xx uxuxxxvx⇠u uxxxvx⇠v + 't + v⌘x + u'x + ⌘xxx = 0, (5.1.6) ux ('u ⇠t + ⌘ + u⌘u u⇠x) + ut (⌘u ⌧t u⌧x) 2ut ⌧u + vt (⌘v⌧x) utvt⌧v utux (⇠u + u⌧u) uxvt (⇠v + ⌧u) + vx ('v⇠x + u⌘v) vtvx⌧v uxvx (⇠u + u⇠v) 2 2vx⇠v utvxu⌧v uxu⇠u + ⌘t + 'x + u⌘x = 0 (5.1.7) elde edilir. (5.1.6) ve (5.1.7) denklemlerinde ⇠, ⌧, ⌘,' sonsuz küçükleri sadece (x, t, u, v) değişkenlerine bağımlı olduğu için herbir ut, ux, vt, vx, . . . değişkenleri ve farklı kombi- nasyonlarının katsayıları sıfıra eşitlenebilir. Diğer bir deyişle yukarıdaki denklem sistemi monomiallerine göre ayrılırsa 'u v⌧x ⌧xxx = 0, ' v⌘u + v⇠x + u'u + 2⌘xxu ⇠xxx = 0, 'v + ⌧t u⌧x = 0, ⌘ ⇠t + v⌘v u'v u⇠x + 3⌘xxv = 0, (3⌘xu 3⇠xx v⇠)u = 0, (3⌘xv u⇠)v = 0, ⇠u + v⌧v + 3⌧xxv = 0, (⇠ + u⌧)v = 0, v⇠v + u⇠u 3 (2⌘v + ⇠x)xu = 0, 58 (⌘u 3⇠x)uu = 0, (3⌘u ⇠x)vv = 0, (⌘u 2⇠x)uv = 0, 't + v⌘x + u'x + ⌘xxx = 0, ⌧x = ⌧u = ⌧v = 0, ⇠xx = ⇠u = ⇠v = 0, ⌘vvv = 0, 'u ⇠t + ⌘ 2u⌘u u⇠x = 0, ⌘u + ⌧t u⌧x = 0, 'v + ⇠x + u⌘v = 0, ⌘t + 'x + u⌘x = 0 (5.1.8) belirleyici denklem sistemine ulaşılır. Burada ⌧x = ⌧u = ⌧v = 0 olduğundan ⌧ = ⌧(t) ve ⇠u = ⇠v = ⇠xx = 0 olduğundan ⇠ = ⇠1(t)x + ⇠2(t) olduğu açıktır. Bu ifadeler ile (5.1.8) sistemi yeniden düzenlenirse 'u = 0, '+ v⇠1 + u'u + 2⌘xxu = 0, 0 'v + ⌧ = 0, 0 0⌘ ⇠1x ⇠2 + v⌘v u'v u⇠1 + 3⌘xxv = 0, (3⌘xu v(⇠1x+ ⇠2))u = 0, (3⌘xv u(⇠1x+ ⇠2))v = 0, (⇠1x+ ⇠2 + u⌧)v = 0, (2⌘v + ⇠1)xu = 0, (⌘u 3⇠1)uu = 0, (3⌘u ⇠1)vv = 0, 59 (⌘u 2⇠1)uv = 0, 't + v⌘x + u'x + ⌘xxx = 0, ⌘vvv = 0, 0 0 'u ⇠1x ⇠2 + ⌘ 2u⌘u u⇠1 = 0, 2⌘u + 0 ⌧ = 0, 'v + 2⇠1 + u⌘v = 0, ⌘t + 'x + u⌘x = 0 (5.1.9) halini alır. Buradan gerekli cebirsel işlemler aşağıdaki gibi yapıldığında 0 0 'u = 0, 'v + ⌧ = 0 ) ' = ⌧ v + f1(t, x), 1 2⌘u + 0 ⌧ = 0 ) ⌘ = 0⌧ u+ f2(t, x, v), 2 ✓ ◆ 0 1 0 1 0⌧ v + f1 + v⌧ + v⇠1 = 0 ) ⇠1 ⌧ v + f1 = 0, 2 2 ) 1= 0⇠1 ⌧ , f1 = 0, 2 f2xvv = f2vvv = 0 ) f2(t, x, v) = c3, c3 1 (⇠1x+ ⇠2)t = 0 ) ⇠1 = c1, ⇠2 = c3t+ c4,2 ⌧ = c1t+ c2 60 elde edilir. Sonuç olarak ⌧ , ⇠, ⌘ ve ' sonsuz küçükleri ⌧(x, t, u, v) = c1t+ c2, 1 ⇠(x, t, u, v) = c3t c1x+ c4, 2 1 ⌘(x, t, u, v) = c1u+ c3, 2 '(x, t, u, v) = c1v. (5.1.10) olarak tespit edilir. (5.1.10) sonsuz küçükleri, c1, c2, c3, c4 keyfi sabitlerini içerdiği için (5.0.1) sistemi @ X1 = , @t @ X2 = , @x @ @ X3 = + t , @u @x 1 @ @ 1 @ @ X4 = x t + u + v (5.1.11) 2 @x @t 2 @u @v lineer bağımsız simetrilere sahiptir. Yani bir diğer deyişle (5.0.1) sistemi, (5.1.11) simetri- lerinin herbiri için değişmez kalır. Örneğin simetrisi için (3)X3 X3 = @ t@x + @ @ @u ux @u @ vx @v uzanımı (5.0.1) sisteminet t uygulandığında ✓ ◆ X(3) @ @ @ @ 3 (vt + vux + uvx + uxxx) |(5.0.1) = (vt + vux + uvx + uxxx) t + ux vx ,@x @u @ut @vt = t.(0) + 1.(vx) ux.(0) vx.(1) = 0, 61 ✓ ◆ (3) @ @ @ @ X3 (ut + vx + uux) |(5.0.1) = (ut + vx + uux) t + ux vx @x @u @ut @vt = t.(0) + 1.(ux) ux.(1) vx.(0) = 0. olduğu açıkça görülür. Dolayısıyla (5.0.1) sistemi X3 simetrisi altında değişmez kalmıştır. 5.2 Simetri İndirgemeleri ve Tam Çözümler Simetri indirgemeleri ve tam çözümleri elde etmek için aşağıdaki Lagrange denklem sis- teminin çözülmesi gerekmektedir: dt dx du dv = 1 = 1 = . (5.2.1)c1t+ c2 c3t 2c1x+ c4 2c1u+ c3 c1v (5.1.10) sonsuz küçüklerdeki ci sabitlerinin aşağıdaki bazı özel durumları için simetri indirgemeleri ve varsa tam çözümleri araştırılmıştır. 1. durum : c1 = ↵, c3 = 1, c2 = c4 = 0 keyfi sabitleri için (5.1.10) sonsuz küçük fonksiyonları ⌧(t, x, u, v) = ↵t, ↵ ⇠(t, x, u, v) = t x, 2 ↵ ⌘(t, x, u, v) = u+ 1, 2 '(t, x, u, v) = ↵v olacaktır. Bu sonsuz küçüklere karşılık gelen simetri ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ @ ↵ @ ↵ @ @X = ↵t + t x + u+ 1 + ↵v (5.2.2) @t 2 @x 2 @u @v 62 biçimindedir. (5.2.1) Lagrange sisteminde (5.2.2) simetrisi yerine yazıldığında dt dx du dv = ↵ = ↵ = (5.2.3)↵t t 2 2u+ 1 ↵v elde edilir. (5.2.3)’ün ilk iki teriminden dt dx x 2p = p ↵ , z = + t (5.2.4)↵t t 2 t ↵ ifadesi bulunur. Ayrıca (5.2.3) sisteminin 1. ve 3. terimlerinin eşitliğinden (5.2.4) in- varyantı gözönüne alınarak ✓ ◆ dt du , 2 E(z) = ↵ u(x, t) = p 1 (5.2.5) ↵t 2u+ 1 ↵ t çözümü bulunur. Benzer şekilde (5.2.4) sisteminin 1. ve 4. terimlerinin eşitliğinden de dt dv F (z) = , v(x, t) = (5.2.6)↵t ↵v t çözümü elde edilir. (5.2.5) ve (5.2.6) ifadelerindeki E ve F , (5.2.4) deki z nin keyfi fonksiyonlarıdır. Son olarak (5.2.5) ve (5.2.6) çözümleri (5.0.1) sisteminde yerine yazılırsa (5.0.1) sistemi ↵ 0 + 2 0 + 2 0 + 2 00F z ↵F FE EF E = 0, 2 ✓ ◆ 1 0 E 4 + E + 0F + 0EE = 0 (5.2.7) ↵ z ↵2 ADDS’ye dönüşür. (5.2.7) 2. mertebeden ADDS’nin çözümü açıkça bulunamamaktadır. Ancak ADD’ler için literatürde var olan çeşitli yöntemler ile çözülebilir. 63 2. durum : c1 = c2 = c4 = 0, c3 = 1 için (5.1.10) sonsuz küçükleri ⌧(t, x, u, v) = 0, ⇠(t, x, u, v) = t, ⌘(t, x, u, v) = 1, '(t, x, u, v) = 0 olur. Bu sonsuz küçüklere karşılık gelen X3 simetrisi (5.2.1) Lagrange sisteminde yerine yazıldığında dx du = , dt = dv = 0 t 1 bulunur. Yani z = t için x u(x, t) = + E(z), z F (z) v(x, t) = (5.2.8) z olup (5.0.1) sistemi (5.2.8) çözümleri ile 0 1 E + E = 0, z 0 1 F + F = 0 (5.2.9) z 64 ADDS’ye dönüşür. Bu (5.2.9) sistemi çözüldüğünde açıkça görülebilir ki c E(z) = 1 , z c ( 2F z) = (5.2.10) z biçimindedir. z = t olmak üzere (5.2.10) yardımcı çözümleri (5.2.8) de yerine yazılırsa x+ c1 u(x, t) = , t c v(x, t) = 2 t2 çözümleri elde edilir. 3. durum : c1 = ↵, c2 = c3 = 0 ve c4 = 1 için (5.1.10) sonsuz küçükleri ⌧(t, x, u, v) = ↵t, ↵ ⇠(t, x, u, v) = x+ 1, 2 ↵ ⌘(t, x, u, v) = u, 2 '(t, x, u, v) = ↵v olup bu sonsuz küçüklere karşılık gelen simetri ⇣ ⌘ @ X = ↵t + ↵ @ ↵ @ @x+ 1 + u + ↵v @t 2 @x 2 @u @v olacaktır. Bu simetri ile (5.2.1) Lagrange sistemi dt dx du dv = ↵ = ↵ = (5.2.11)↵t 1 2 t 2 ↵v 65 olup (5.2.11) sisteminin ilk iki teriminin eşitliğinden 2 dt dx , x = ↵ z =↵t 1 2 t ↵ t ifadesi bulunur. Ayrıca (5.2.11) sisteminde sırasıyla 1. ve 3. ile 1. ve 4. terimlerinin eşitlikleri ele alınarak E(z) u(x, t) = p , ↵ t F (z) v(x, t) = ↵ t çözümleri elde edilir. Bu çözümler (5.0.1) sisteminde yerine yazıldığında 8 3/2 000 + 12 1/2 00 + 2 1/2( 0 + 0 0z E z E z E F EF ) + zF + F = 0, 2 0 1/2 0 1/2 0zE + 4z F + 4z EE + E = 0 (5.2.12) üçüncü mertebeden ADDS bulunur. 4. durum : c1 = c3 = 0, c2 = 1 ve c4 = ↵ için (5.1.10) sonsuz küçükleri ⌧(t, x, u, v) = 1, ⇠(t, x, u, v) = ↵, ⌘(t, x, u, v) = 0 '(t, x, u, v) = 0 olup bu sonsuz küçüklere karşılık gelen simetri @ @ X = + ↵ @t @x 66 olacaktır. Yukarıdaki X simetrisi ile (5.2.1) Lagrange sistemi dt dx = , du = 0, dv = 0 1 ↵ biçiminde olacaktır. Buradan hareketle z = x ↵t için u(x, t) = U(z) v(x, t) = V (z) çözümleri bulunur. (5.0.1) sistemi bulunan u ve v çözümleri ile düşünüldüğünde (5.0.1) sisteminden 000 U + 0UV + 0 0U V ↵V = 0, 0 0 0 UU ↵U + V = 0 (5.2.13) ADDS elde edilir. (5.2.13) sistemi kolaylıkla integre edilerek 00 U + UV ↵V = 0, (5.2.14) 1 2 U ↵U + V = 0 (5.2.15) 2 ikinci mertebeden ADDS’ye dönüşecektir. Bu sistemdeki (5.2.15) denkleminden 1 2 V = ↵U U (5.2.16) 2 elde edilir. Buradan hareketle (5.2.16) çözümü (5.2.14) de yerine yazıldığında 00 1 3 3↵ 2 2 U U + U ↵ U = 0 (5.2.17) 2 2 ikinci mertebeden lineer olmayan ADD elde edilir. 67 5.3 En Basit Denklem Yöntemi ile Tam Çözümler Bu alt kısımda Kudryashov’un (2005) en basit denklem yöntemi kullanılarak (5.2.17) denkleminin tam çözümleri elde edilecektir. Bernoulli Denklemi : G(z), (4.2.1) Bernoulli denkleminin bir çözümü olmak üzere (5.2.17) denkleminin bir çözümünün XM U(z) = Ai (G(z)) i (5.3.1) i=0 olduğu kabul edilsin. M tam sayısı (5.2.17) denkleminin lineer olmayan terimi ile en yüksek mertebeden türevli terimin arasında dengeleme yöntemi kullanıldığında M tam- sayısı aşağıdaki gibi bulunur: M + 2 = 3M ) M = 1 Yani M = 1 için (5.3.1) çözümü U(z) = A0 + A1G(z), A1 6= 0 (5.3.2) olacaktır. (4.2.1) ifadesi gözönüne alınarak (5.2.17) denkleminde (5.3.2) çözümü yerine yazılarak ✓ ◆ ✓ ◆ 2 1 3 3 3 2 32 2 2A1a A1 G + 3A1ab A0A1 + ↵A1 G2 2 2 ✓ ◆ + 3 2 2 3 2 3 2 2 1 3 ↵A0A1 ↵ A1 + A1b A0A1 G+ ↵A0 ↵ A0 A0 = 0 (5.3.3)2 2 2 denklemi bulunur. Burada dikkat edilmesi gereken kısım, (5.3.3) ifadesi G(z) değişkenine 68 göre bir cebirsel polinomdur. Dolayısıyla G(z) ve kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenerek 2 12 3A1a A1 = 0, (5.3.4)2 3 2 33 2A1ab+ ↵A1 A0A1 = 0, (5.3.5)2 2 3 2 3↵A0A1 ↵ A1 + 2A1b 2A0A1 = 0, (5.3.6)2 3 2 ↵A0 2 1 3 ↵ A0 A 2 2 0 = 0 (5.3.7) denklem sistemi elde edilir. Bu sistemdeki (5.3.4) denkleminden A1 = ⌥2a (5.3.8) olduğu açıktır. (5.3.5)-(5.3.7) denklemlerinde A1 = 2a ifadesi yerine yazıldığında yukarı- daki sistem b+ ↵ A0 = 0 (5.3.9) 2 2↵ b = 0 (5.3.10) 3 2 2↵A0 2↵ A0 = 0 (5.3.11) sistemine dönüşür. (5.3.9) denkleminden A0 = b+ ↵ (5.3.12) 69 olacaktır. (5.3.12) ifadesi (5.3.11) de yerine yazılırsa b = ↵ (5.3.13) eşitliği kolaylıkla görülür. Ayrıca (5.3.13) eşitliğinin, (5.3.10) ifadesini de sağladığı görül- mektedir. Dolayısıyla (5.3.2) çözümünün keyfi sabitleri A1 = 2a A0 = 2b b = ↵ biçiminde elde edilir. Buradan hareketle (5.2.16) ifadesi ile birlikte (4.2.2) den (5.2.13) denklem sisteminin çözümleri a < 0, b > 0 için exp[↵(z + C)] U1(z) = 2↵ + 2↵a ,1 a exp[↵(z + C)] 2 exp[↵(z + C)] V1(z) = 2↵ a 2 (5.3.14)(1 a exp[↵(z + C)]) veya u(x, t) = U(z), v(x, t) = V (z) ve z = x ↵t olmak üzere exp[↵(x ↵t+ C)] u1(x, t) = 2↵ + 2↵a , (5.3.15) 1 a exp[↵(x ↵t+ C)] 2 exp[↵(x ↵t+ C)] v1(x, t) = 2↵ a 2 (5.3.16)(1 a exp[↵(x ↵t+ C)]) biçiminde olacaktır. 70 Şekil 5.3.1a : C = 0, a = 1, b = ↵ = 1 için (5.3.15) tam çözümü Şekil 5.3.1b : C = 0, a = 1, b = ↵ = 1 için (5.3.16) tam çözümü Diğer taraftan a > 0, b < 0 için (4.2.3) den (5.0.1) denklem sisteminin tam çözümleri exp[↵(z + C)] U2(z) = 2↵ 2↵a ,1 a exp[↵(z + C)] 2 (2 a exp[↵(z + C)]) V2(z) = 2↵ (5.3.17) (1 a exp[↵( 2x ↵t+ C)]) olur. Yani exp[↵(x ↵t+ C)]u2(x, t) = 2↵ 2↵a , (5.3.18) 1 + a exp [↵(x ↵t+ C)] 2 exp[↵(x ↵t+ C)] v2(x, t) = 2↵ a (5.3.19) (1 a exp[↵(x 2↵t+ C)]) 71 biçimindedir. Benzer şekilde (5.3.8) deki A1 = 2a katsayısı için de (5.3.15)-(5.3.16) çözümleri elde edilebilir. Şekil 5.3.2a : C = 0, a = 1, b = ↵ = 1 için (5.3.15) tam çözümleri Şekil 5.3.2b : C = 0, a = 1, b = ↵ = 1 için (5.3.16) tam çözümleri Riccati Denklemi : G(z), (4.2.2) Riccati denkleminin bir çözümü olmak üzere (5.2.17) denkleminin bir çözümü XM U(z) = Ai (G( i z)) (5.3.20) i=0 olduğu kabul edilsin. Bernoulli denkleminde olduğu gibi en yüksek mertebeden türevli terim ile lineer olmayan terim arasında dengeleme yöntemi kullanılarak M = 1 olduğu açıkça görülebilir. Yani (5.3.20) çözümü U(z) = A0 + A1G(z), A1 6= 0 (5.3.21) biçimindedir. (4.2.2) ifadesi gözönüne alınarak (5.2.17) denkleminde (5.3.21) çözümü yeri- 72 ne yazılırsa ✓ ◆  6 3 4 1 3 + 12 2 3 3 + (8 2 + 7 2) 2 3 2 2a A1G a bA1 A1 G a d ab A1 A0A1 + ↵A1 G  2 2 2 3 + (8abd+ 3 2b )A1 A0A1 + 3↵A0A1 2↵ A1 G2 1 3 (2 2 2ad + b d) 3 2A1 A0 + ↵A0 2↵ A0 = 02 2 denklemi bulunur. Bu denklem G nin bir cebirsel polinomu olup G ve kuvvetlerinin keyfi katsayıları sıfıra eşitlendiğinde 6 3a A1 =0 (5.3.22) 1 12 2 3a bA1 A1 =0 (5.3.23)2 3 3 (8 2a d+ 7 2 2ab )A1 A0A1 + 2↵A1 =0 (5.3.24)2 2 3 (8 3 2 2abd+ b )A1 A0A1 + 3↵A0A1 ↵ A1 =0 (5.3.25)2 (2 2ad + 2b d)A1 1 3 3 A0 + 2 ↵A0 2↵ A0 =0 (5.3.26)2 2 denklem sistemi elde edilir. (5.3.22) denkleminden açıkça görülebilir ki A1 = 0 olmalıdır. Ancak bu durum (5.3.21)’de kabul edilen çözümün yapısı ile çelişir. Bu nedenle (5.2.17) denklemi için Riccati denklemi yardımcı denklem olarak kullanılamaz. 5.4 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları Bu kısımda (5.0.1) sisteminin korunum kanunlarını bulmak için çarpan yöntemi kul- lanılacaktır. Buradan hareketle (5.0.1) sisteminin korunum vektörleri (3.2.1) karakteristik formundaki ⇤i çarpanları ile aşağıdaki gibi yazılabilir: t x 1 2 Dt(T ) +Dx(T ) = ⇤ (vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤ (ut + vx + uux) (5.4.1) 73 (5.4.1) ifadesindeki ⇤1 = ⇤1( 2 2t, x, u, v, ux, uxx) ve ⇤ = ⇤ (t, x, u, v, ux, uxx) çarpanları için belirleyici denklemler (3.2.2) ifadesinden ⇥ ⇤ 0 = ⇤1(vt + vux + 2 uvx + uxxx) + ⇤ (ut + vx + uux) (5.4.2) u ⇥ ⇤ 0 = ⇤1(vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤ 2(ut + vx + uux) (5.4.3) v biçimindedir. (5.4.2) ve (5.4.3) ifadeleri, (3.3.3) varyasyonel türev tanımından yararla- narak açıldığında  @ @ @ @ ⇥ ⇤ 0 = D 3 1t Dx Dx ⇤ (vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤2(ut + vx + uux)@u @ut @ux @uxxx  @ @ @ ⇥ ⇤ 0 = Dt D 1x ⇤ (v 2t + vux + uvx + uxxx) + ⇤ (ut + vx + uux) @v @vt @vx sistemine dönüşür. Yani ⇥ ⇤ ⇥ ⇤ 0 = ⇤1u( 2 1 2 2 vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤u(ut + vx + uux) + ⇤ (vx) + ⇤ (ux) Dt ⇤ ⇥ ⇤ 1Dx ⇤u (vt + 2 1vux + uvx + uxxx) + ⇤u (ut + vx + uux) + ⇤ (v) + ⇤2(u)x x ⇥ ⇤ + 2 1 2Dx ⇤u (vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤u (u + v + uu )xx xx t x x ⇥ ⇤ 3 ⇤1Dx u (vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤2u (ut + vx + uux) + ⇤1xxx xxx ⇥ ⇤ 0 = ⇤1v(vt + vux + uvx + uxxx) + ⇤ 2 1 v(ut + vx + uux) + ⇤ (ux) ⇥ ⇤ ⇥ ⇤ ⇤1 ⇤1Dt Dx (u) + ⇤2 dir. Buradaki işlemler karmaşık ve uzun olduğu için MAPLE programı kullanılarak ⇤1 74 ve ⇤2 için belirleyici denklemler aşağıdaki gibi elde edilmiştir: ⇤2 = 0 ⇤2 = 0 ⇤2tt , vu ,xx vxxv = 0,xx 1 ⇤2 2 2 1tv = ⇤t , ⇤vv = 0, ⇤x = 1 ⇤2 xx t v v ⇤2tu = 0 2 2 , ⇤u = 0, ⇤ = 0,xx xxuxx x 2 3⇤ 2 2 1 u 2 vv = ⇤v , ⇤u v = 0, ⇤ = ⇤ ,2 xx xx xx t tv 1 2 2 3⇤ = ⇤ 2 2 1 2u v, ⇤u = uxx⇤v + v⇤u , ⇤2 xx xx v = ⇤u ,xx 3 ⇤1u = 0, ⇤ 2 u = 2 1 2 ux⇤v , ⇤u = ⇤x x 2 xx xx v , xx ⇤1v = 0 ⇤ 2 1 , v = 0, ⇤x x v = 0.xx Yukarıdaki belirleyici denklemleri çözüldüğünde (5.0.1) sisteminin çarpanları 1 1 2 ⇤1 = 3c2u + 2 c3u + (c1t+ c2v + c4)u c1x+ c2uxx + c2v + c6, 6 2 3 2 c⇤ = 2 (6 2 2 2uuxx + 3ux + 4vxx + 3u v + 3v ) + (c1t+ c4 + c3u)v + c5 + c3uxx6 olarak bulunur. Burada c1, c2, . . . , c6 sabitlerine karşılık gelen altı korunum vektörü t T1 =tuv xv, x 1 2 1= 2 2T1 tux + ux + tv + tu v xuv + tuuxx xuxx;2 2 75 t 1 3 1 2 1= + + 2 1 2 1 1 T2 u v uv u uxx + uux + uxxxv + uvxx,6 2 3 6 3 3 x 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1= 4T2 utvx + vx uxv + u + uxvt utxv uvtx + u u + u v3 3 6 3 xx 3 3 3 4 x 6 1 3 1 1+ 3 1 2 3 2 u uxx uutux + v u utx + 2 2u v + uuxvx + uuxxv; 6 3 6 3 4 3 t 1 2 1 2 1 T3 = u v + v + uuxx,2 2 2 x 1 1 1= 2 + 3 1 T3 u uxx uxxv + utux + u v uutx;2 2 2 2 t T4 =uv, x 1= 2 1+ 2 + + 2T4 ux v uuxx u v;2 2 t T5 =u, x 1 2 T5 = u + v;2 t T6 =v, x T6 =uv + uxx elde edilir. Benzer şekilde, 2. bölümünde bahsedildiği gibi Cheviakov (2007) tarafından⇤ çarpanları- nın hesaplanmasını kolaylaştırmak amacıyla MAPLE programına GeM adlı paket prog- ram yazılmıştır. Elde edilen korunum kanunları ve vektörleri bu paket program ile karşılaş- tırılarak sonuçlar teyit edilmiştir. 76 6. SCHAMEL-KORTEWEG-DE VRIES DENKLEMİ Bu bölümde iyon-akustik dalgaların lineer olmayan etkileşimi üzerine elektron yakalama etkisinin incelenmesinde önemli bir rol oynayan + 1/2ut ↵u + u ux + uxxx = 0, 6= 0 (6.0.1) Schamel-Korteweg-de Vries (S-KdV) denkleminin integrallenebilme durumları incelen- miştir. Literatür incelendiğinde Togare ve Chakraborty (1974) doğrudan integral alma yöntemi ile (6.0.1) denkleminin yalnız dalga çözümlerini elde etmişlerdir. Lee ve Sak- thivel (2011) tarafından (6.0.1) denklemi için bazı tam ilerleyen dalga çözümleri verilmiş- tir. Ayrıca en genel Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, çeşitli matematiksel fizik alanında incelenen (6.0.1) denkleminin bir özel durumudur. Örneğin (6.0.1) denkleminde = 0 olduğunda ut + 1/2 ↵u ux + uxxx = 0 Schamel denklemi ve ↵ = 0 olduğunda da ut + uux + uxxx = 0 çok iyi bilinen KdV denklemi olduğu açıkça görülebilir. 6.1 Lie Grup Analizi (6.0.1) S-KdV denkleminin (2.1.10) Lie nokta simetri üreteci @ @ @ X = ⌧(t, x, u) + ⇠(t, x, u) + ⌘(t, x, u) (6.1.1) @t @x @u 77 olsun. (6.0.1) için değişmezlik prensibi (3) + ( 1/2X ut ↵u + u)ux + uxxx |(6.0.1)= 0 (6.1.2) biçimindedir. Buradaki (3)X , (6.1.1) üretecinin 3. uzanımı olup (3) @ @ @ t @ @ @ @ X = ⌧ + ⇠ + ⌘ + ⇣ + x xx xxx⇣ + ⇣ + ⇣ (6.1.3) @t @x @u @ut @ux @uxx @uxxx ile tanımlıdır. Ayrıca (6.1.3) uzatılmış simetrisindeki t, x, xx, xxx⇣ ⇣ ⇣ ⇣ katsayı fonksi- yonları t ⇣ =Dt(⌘) utDt(⌧) uxDt(⇠) x ⇣ =Dx(⌘) utDx(⌧) uxDx(⇠) xx = ( x⇣ Dx ⇣ ) utxDx(⌧) uxxDx(⇠) xxx = xx⇣ Dx(⇣ ) utxxDx(⌧) uxxxDx(⇠) (6.1.4) biçimindedir. (6.1.3) ve (6.1.4) ifadeleri gözönüne alınarak (6.1.2) değişmezlik prensibi p 2 3⌧uut ⌧uuuutux 3 2⌧xuuutux u⌧u + 3 4⌧xxu + ↵ u⌧u utux ⇠uuuux p u⌧x + 3 2⌧xxx + ↵ u⌧x ⌘u + ⌧t ut + (⌘uuu 3⇠xuu) ux ⌧uuuxutx p u⇠u + 3 2⇠xxu 3⌘xuu + ↵ u⇠u ux 2⌧xuuxutx 2⇠xuuxuxx ⌧uuxutxx ⇠uuxuxxx ⌧xxutx ⇠xxuxx ⌧xutxx ⇠xuxxx p p + u⌘u u⇠x + 3⌘xxu ⇠xxx + ⌘ + ↵ u⌘u ↵ u⇠x ⇠t + ↵⌘ ux p 2⇠uuuxuxx + u⌘x + ⌘xxx + ↵ u⌘x + ⌘t = 0 (6.1.5) 78 olarak elde edilir. (6.1.5) ifadesi ut, ux, utx, uxx, utxx, uxxx terimleri ve çeşitli kombi- nasyonlarına göre cebirsel polinom olarak yazılmıştır. (6.1.5) de ⌘, ⇠, ⌧ sonsuz küçükleri x, t, u değişkenlerine bağlı olduğundan (6.1.5) in her bir türev katsayısı sıfıra eşitlenerek aşağıdaki belirleyici denklem sistemi oluşturulabilir: ⌧u = ⌧x = 0, ⇠u = ⇠x = 0, ⌘uuu = 0, p u⌧u + 3⌧xxu + ↵ u⌧u + ⇠u = 0, p u⌧x + ⌧xxx + ↵ u⌧x ⌘u + ⌧t = 0, p u⇠u + 3⇠xxu 3⌘xuu + ↵ u⇠u = 0, p p u⌘u u⇠x + 3⌘xxu ⇠xxx + ⌘ + ↵ u⌘u ↵ u ⇠t + ↵⌘ = 0, p u⌘x + ⌘xxx + ↵ u⌘x + ⌘t = 0. (6.1.6) (6.1.6) belirleyici denklem sistemi MAPLE yardımıyla çözüldüğünde üç durum ortaya çıkar: 1. durum : ↵, , sabitleri için (6.1.6)’nın çözümleri ⌧(x, t, u) = c1, ⇠(x, t, u) = c2, ⌘(x, t, u) = 0 79 bulunur ki, buradan c1, c2 keyfi sabitleri için iki simetri üreteci vardır: @ @ X1 = , X2 = . (6.1.7) @t @x 2. durum : = 0 ve ↵, sabitleri keyfi olmak üzere (6.1.6) nin çözümleri ⌧(x, t, u) = c1 + 3c3t, ⇠(x, t, u) = c2 + c3x, ⌘(x, t, u) = 2c3u biçimindedir. c1, c2, c3 keyfi sabitleri için @ @ @ @ @ X1 = , X2 = , X3 = 3t + x 2u (6.1.8) @t @x @t @x @u simetri üreteçleri elde edilir. 3. durum : , sabitleri ve ↵ = 0 için (6.1.6)’nın çözümleri c3 ⌧(x, t, u) = c1 + 3c4t, ⇠(x, t, u) = c2 + 2c3t+ c4x, ⌘(x, t, u) = c4u u biçimindedir. c1, c2, c3, c4 keyfi sabitleri için aşağıdaki Lie nokta üreteçleri elde edilir: @ X1 = , @t @ X2 = @x @ 1 @ X3 =2t + , @x u @u @ @ @ X4 =3t + x u . @t @x @u (6.1.9) 6.2 Genelleştirilmiş Kudryashov Yöntemi ile Tam Çözümler 3. bölümde teorisi verilen genelleştirilmiş Kudryashov yöntemi (6.0.1) denklemi için adım adım uygulandığında aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. 80 1. adım : (6.0.1) denkleminde, integrallenebilmeyi kolaylaştırmak amacıyla 2 u(x, t) = v (x, t) dönüşümü yapılırsa + 2 + 3vvt ↵v vx v vx + 3vxvxx + vvxxx = 0 (6.2.1) denklemi elde edilir. Ayrıca ⇠ = kx !t ve v(x, t) = V (⇠) dalga değişkeni ile (6.2.1) denklemi 0!V V + k( 2 + 3) 0 3 00 0 00↵V V V + k (V V + 3V V ) = 0 (6.2.2) ADD’ye dönüşür ki, bu denklem integre edildiğinde ! 2 k↵ k + 3V V + 4 3 02 00V + k V + V V = 0 (6.2.3) 2 3 4 ikinci mertebeden lineer olmayan ADD elde edilir. 2. adım : (6.2.3) lineer olmayan ADD nin bir çözümü + ( ) + 2 Na0 a1Q ⇠ a2Q (⇠) + . . .+ aNQ (⇠) V (⇠) = b0 + b1Q(⇠) + b 2 M2Q (⇠) + . . .+ bMQ (⇠) formunda olsun. (6.2.3) denklemindeki en yüksek mertebeden lineer olmayan terimi 4V ile en yüksek türevli terimi 00V V arasında dengeleme yöntemi uygulandığında N = 2 ve M = 1 olduğu açıkça görülmektedir. Dolayısıyla (6.2.3) denkleminin bir çözümü 2 a0 + a1Q(⇠) + a2Q (⇠) V (⇠) = (6.2.4) b0 + b1Q(⇠) biçimindedir. Ayrıca 2Q fonksiyonu Q⇠ = Q Q denkleminin çözümü olup Q(⇠) = 11⌥e⇠ biçiminde verilir. 2 3. adım : Q⇠ = Q Q ifadesini gözönüne alarak (6.2.4) çözümü (6.2.3) denkleminde 81 yerine yazıldığında 3 4ka2 + 36 3 2 1 k a2b1 Q(⇠) 8 + (4 3k↵a2b1 60 3 2 2k a2b1 + 12 3 3 2ka1a2 + 24k a1a2b1 + 120 3 2 7 3 2 2 2 3 2 2k a2b0b1)Q(⇠) + (24k a2b1 + 12k↵a1a2b1 + 12ka0a2 + 18ka1a2 204 3 2 2 2k a2b0b1 6!a2b1 + 96 3k a1b0b1 + 4 3 3 2 3 2 2 6k↵a2b0 36k a1a2b1 + 120k a2b0)Q(⇠) + (216 3 2 2k a2b0 + 12 2 2 2 3 2k↵a1a2b0 12!a1a2b1 12!a2b0b1 + 84k a2b0b1 + 36 2 3 2 3 2ka0a1a2 + 12ka1a2 + 12k↵a0a2b1 + 12k a1a2b1 + 12 2 k↵a1a2b1 144 3 3 2 5 2 4 3 2 2k a1a2b0b1 + 144k a1a2b0)Q(⇠) + (12k↵a0a2b0 + 3ka1 + 96k a2b0 12 3 2 + 12 2 12 2 48 3 + 36 2 + 4 3k a0a1b1 k↵a1a2b0 !a0a2b1 k a0a1b0b1 ka0a1 k↵a1b1 252 3 2 2 2k a1a2b0 6!a1b1 6 2 2!a2b0 24 3 2!a1a2b0b1 + 12k a1b0b1 + 12 3 2 2k a0b1 + 36 3 2 2 3 2 3 2 2k a1b0 + 72k a0a2b0 + 24k↵a0a1a2b1 + 24k a0a2b0b1 + 18ka0a2 + 48 3 4 2 2 3 2 3 2k a1a2b0b1)Q(⇠) + (12k↵a0a1b1 + 32ka0a1a2 + 24k a0a1b0 + 108k a1a2b0 60 3 2 2 + 4 3 24 3 2 3 2 2k a1b0 k↵a1b0 k a0b0b1 12k a1b0b1 + 24k↵a0a1a2b0 12!a1b0b1 12 2!a1a2b0 + 12 3 2 3 2k a0a1b1 120k a0a2b0 + 24 3k a0a2b0b1 24!a0a2b0b1 + 12 2 + 96 3 + 12 3 2 3 2 2 3k↵a0a2b1 k a0a1b0b1 ka0a1 12!a0a1b1 36k a0b1)Q(⇠) + (36 3 2k a0a1b0 + 24 3 2 2 2 2 2 2 3 2k a0b1 12!a0a2b0 6!a1b0 + 12k↵a0a1b0 + 36k a0b0b1 + 18 2 2 3 2 2 3 2 3 3ka0b1 24!a0a1b0b1 + 24k a1b0 + 48k a0a2b0 + 12ka0a2 48k a0a1b0b1 6 2 2!a0b1 + 12 2 2 2 3 2 2k↵a0a2b0 + 12k↵a0a1b1)Q(⇠) + (12k a0b0b1 12!a0a1b0 + 12 3 2ka0a1 + 12k↵a0a1b0 + 12 3 2 k a0a1b0 12 2 3!a0b0b1 + 4k↵a0b1)Q(⇠) + (3 4 3 2 2ka0 + 4k↵a0b0 6!a0b0) = 0 (6.2.5) denklemi elde edilir. Burada dikkat edilmesi gereken kısım her bir dQd⇠ türevi için Q⇠ = 2Q Q ifadesinin kullanılmasıdır. 4. adım : (6.2.5) denklemi, Q yardımcı fonksiyonuna göre polinom biçiminde ifade edilebildiğinden Q ve kuvvetlerinin her bir katsayısı sıfıra eşitlenerek aşağıdaki belir- leyici denklem sistemi elde edilir (Aşağıdaki denklemlerde basit cebirsel düzenlemeler 82 yapılmıştır.): Q8(⇠) : 2a2 + 12 2 1 k b1 = 0, Q7( ) : 2 15 2 2 + 3 2 + 6 2 2 2⇠ ↵a2b1 k a2b1 a1a2 k a1b1 + 30k a2b0b1 = 0, Q6( ) : 24 3 2 2⇠ k a2b1 + 12 2 k↵a1a2b1 + 12 3 2 2 3 2 2 2 ka0a2 + 18ka1a2 204k a2b0b1 6!a2b1 + 96 3 + 4 3 36 3 2 3 2 2k a1b0b1 k↵a2b0 k a1a2b1 + 120k a2b0 = 0, Q5( ) : 18 3 2 2⇠ k a2b0 + k↵a1a2b0 !a1b1 !a2b0b1 + 7 3k a2b0b1 + 3 3 3 2 2ka0a1a2 + ka1 + k↵a0a2b1 + k a1b1 + k↵a1b1 12 3 3 2k a1b0b1 + 12k a1b0 = 0, Q4(⇠) : 12 2k↵a0a2b0 + 3 4 3 2 2 ka1 + 96k a2b0 12 3 2 2 2k a0a1b1 + 12k↵a1a2b0 12!a0a2b1 48 3k a0a1b0b1 + 36 2 3 3 2 2 2 2 2ka0a1 + 4k↵a1b1 252k a1a2b0 6!a1b1 6!a2b0 24 3 2!a1a2b0b1 + 12k a1b0b1 + 12 3 2 2 3 2 2 3 2k a0b1 + 36k a1b0 + 72k a0a2b0 + 24k↵a0a1a2b1 + 24 3 k a0a2b0b1 + 18 2 2 ka0a2 + 48 3 k a1a2b0b1 = 0, Q3(⇠) : 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2k↵a0a1b1 + 8ka0a1a2 + 6k a0a1b0 + 27k a1a2b0 15k a1b0 + 3 3 2 3 2 2k↵a1b0 6k a0b0b1 3k a1b0b1 + 6k↵a0a1a2b0 3!a1b0b1 3 2!a1a2b0 + 3 3 2 3 2 3k a0a1b1 30k a0a2b0 + 6k a0a2b0b1 6!a0a2b0b1 + 3 2k↵a0a2b1 + 24 3 3 2 3 2 2 k a0a1b0b1 + 3ka0a1 3!a0a1b1 9k a0b1 = 0, Q2( 3 2⇠) : 6k a0a1b0 + 4 3 2 2k a0b1 2 2 2 2!a0a2b0 !a1b0 + 2 2k↵a0a1b0 + 6 3 2 2 2 3 2 2 3 2k a0b0b1 + 3ka0b1 4!a0a1b0b1 + 4k a1b0 + 8k a0a2b0 + 2 3 3 2 2 2 2ka0a2 8k a0a1b0b1 !a0b1 + 2k↵a0a2b0 + 2k↵a0a1b1 = 0, 83 Q( ) : 3 3 3 2 2 3 2⇠ k a0b0b1 !a1b0 + 3ka0a1 + 3k↵a0a1b0 + 3k a1b0 3 2!a0b0b1 + k↵a0b1 = 0, sabit : 3 2 2ka0 + 4k↵a0b0 6!b0 = 0. (6.2.6) 5. adım : (6.2.6) sistemi MAPLE yardımı ile çözüldüğünde 4↵ 8↵ 4↵ a2 = b0, a1 = b0, a0 = b0 5 5 5 b1 = 2b0, bo 2 R, (6.2.7) 3 k = p ↵ 16↵, ! = p 5 3 375 3 katsayıları bulunur. Yani (6.2.4) çözümü, Q(⇠) = 11⌥e⇠ olmak üzere ✓ ◆ 1 2 4↵ 1 4 2↵(Q 1) 1⌥ e⇠ V (⇠) = = ✓ ◆ 5(2Q 1) 2 5 1⌥ 1e⇠ olacaktır. Diğer bir deyişle !2 1 4↵ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 ⌥ p ↵ x+ 16p↵ 3 t 1 e 5 3 375 3 v(x, t) = ! (6.2.8) 2 5 ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 p ↵ x+ 16⌥ p ↵3 t 1 e 5 3 375 3 dir. Benzer şekilde (6.2.6) sisteminin diğer çözümlerine karşılık gelen tam çözümleri hesaplanarak Çizelge 6.2.1 de verilmiştir. Bu çizelgede söz konusu olan bazı çözümlerin nümerik simülasyonları Şekil 6.2.1a-b-c-d-e olarak verilmiştir. 84 85 Çizelge 6.2.1 : (6.2.6) sisteminin çözümlerinden elde edilen a2, a1, a0 ve b1, b0 kaysayıları ile (6.2.1) denkleminin çözümleri a2 a1 a0 b1 b0 k w v(x, t) = V (⇠) k(3a0 + 4↵b0)a0 a0 0 a 0 b k V 00 0 2 1 =6b0 b0 2↵b b ↵ 16↵31 4↵Q20 0 b 11 p p V = 5 2 5 3 375 23 5 (2Q 1) 5a2 5a1 p2↵ 3p2↵ 3 4↵ a2 a1 0 V 3 = Q p4↵ 4↵p 5 3 375 3 a1 3 a1 2↵+ 5k 3 3 60k 2 pQ(Q 1)a1 a1 0 k 4k V4 = 6k 60k2 2↵+ 5k 3(2Q 1) 4↵b0 8↵b0 4↵b 30 p ↵ 1p6↵ 4↵ (Q 1) 2 2b0 b0 V 5 = 5 5 5 5 3 375 3 5(2Q 1) 3a2 a2 5a2 5a2 p2↵ 32↵ 3 a2 p 4 4 4↵ 16↵ 5 3 375 3 4↵ V6,7 = (Q 1) 5 4↵b1 4↵b1 5a 3 a a b 1 2↵ 32↵ 1 1 1 + b1 p p 5 5 4↵ 5 3 375 3 (Burada ( 1 2Q ⇠) = 1⌥e⇠ , Q⇠ = Q Q ve = p ↵x + 16↵ 3t ⇠ p dir.)5 3 375 3 Şekil 6.2.1a : ↵ = 5, = 4, = 3 için V2 Şekil 6.2.1b : ↵ = 5, = 4, = 3 için V3 Şekil 6.2.1c : ↵ = 5, = 4, = 3, k = 1 için V4 Şekil 6.2.1d : ↵ = 5, = 4, = 3 için V5 Şekil 6.2.1e : ↵ = 15, = 4, = 3 için V6,7 86 6.3 En Basit Denklem Yöntemi ile Tam Çözümler G(z), en basit denklemi (4.2.1) (veya (4.2.2)) sağlayan bir fonksiyon olmak üzere (6.2.3) denkleminin çözümü XM V (z) = iAi (G(z)) , (6.3.1) i=0 olsun. Burada M pozitif sayısı en yüksek mertebeden türevli terim ile lineer olmayan terim arasında dengeleme yöntemi ile M = 1 elde edilir. Dolayısıyla (6.3.1) çözümü V (z) = A0 + A1G(z). (6.3.2) olur. Bernoulli Denklemi : (4.2.1) eşitliği gözönüne alınarak (6.2.3) denkleminde (6.3.3) yer- ine yazıldığında ✓ ◆ ✓ ◆ 4 3 3 2 2 kA3 1 4 3 2 k↵A1 3 2 3 3 k A1a + G + 2k A1A0a + + 5k A1ab+ kA0A G ✓ 4 3 1 ◆ 2 2 2 + !A1 + 2 3 2 2 + 2 + 3 3 3kA Ak A1b k↵A0A1 k A1A0ab+ 0 1 2G2 2 2 3 4 + 2 + 3 2 3 !A+ 0 k↵A0 kA0!A0A1 k↵A0A1 k A1A0b kA0A1 G + + = 02 3 4 G’nin bir cebirsel polinomu elde edilir. Polinomların eşitliğinden elde edilen polinomun tüm katsayıları sıfıra eşitlenerek aşağıdaki cebirsel denklem sistemi elde edilir. (Aşağıdaki sistem elde edilirken basit cebirsel işlemler yapılmıştır.) 12 2 2 + 2a k A1 = 0 2 A1↵ + 3 2 2 2 2 A1A0 + 15abk A0 + 6A0a k = 0 87 !A1 + 4 3 2 3 2k b A1 + 2k↵A0A1 + 6k abA0 + 3kA0A1 = 0 + + 3 2! k↵A0 k b + 2kA0 = 0 6! + 4k↵A0 + 3 2kA0 = 0. (6.3.3) (6.3.3) belirleyici denklem sistemi MAPLE yardımı ile çözüldüğünde p A1 = ⌥p 6ka 3 2 5kb , A 01 = 0, ! = 4k b , ↵ = ⌥ 3 3 2 ⌥p6ka ± kb p p = = 3 = 4 3 2A1 , A02 , ! k b , ↵ = ⌥ 5kb 3 (6.3.4) 3 2 2 ⌥p6ka 2kb p 5kbp A1 = , A03 = ± 3, ! = 4 3 2k b , ↵ = ⌥ 33 2 çözümleri bulunur. (4.2.3)’deki G fonksiyonunu gözönüne alarak (6.3.4)’de bulunan kat- sayıları sırasıyla (6.3.3)’de yerine yazıldığında 6ka V11(z) = ⌥p G(z)3 ✓ ◆ ⌥p6kab exp [b(z + C)]= , 3 1 a exp [b(z + C)] ± kb p V12(z) = 3 ⌥ p 6ka G(z) 2 3 ✓ ◆ ± kb p = 3 ⌥ p6kab exp [b(⇠ + C)] , 2 3 1 a exp [b(⇠ + C)] 2kbp 6ka V13(z) = ± 3 ⌥ p G(z) 3 ✓ ◆ ±2kb p = 3 ⌥ p6kab exp [b(⇠ + C)] (6.3.5) 3 1 a exp [b(⇠ + C)] 88 dir. , , k, a, b, C keyfi sabitlerine verilen özel değerler için aşağıdaki şekiller bulunmuştur. Şekil 6.3.1a : = 2, = 2, k = 1, a = b = C = 1 için V11 Şekil 6.3.1b : = 4, = 3, a = 2, k = b = 1, C = 1 için V12 Şekil 6.3.1c : = 16, = 3, k = a = b = 1, C = 1 için V13 Riccati Denklemi : İkinci en basit denklem olarak (4.2.2) Riccati denklemi seçilebilir. Dolayısıyla (4.2.2) gözönüne alınarak (6.3.3) ifadesi (6.2.3) de yerine yazıldığında ✓ ◆ ✓ ◆ 4 kA1 + 3 3 2 2 4 + 5 3 2 + 3 + 2 3 2 k↵ + 3 3k a A1 G k abA1 kA0A1 k a A0A1 A1 G ✓4 3 ◆ ! 3k + 4 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2k adA1 A2 1 + A2 0A1 + k↵A0A1 + 3k abA0A1 + 2k b A1 G 2 3 2 3 2 3 3 2k adA0A1 + k↵A0A1 + k b A0A1 !A0A1 + kA0A1 + 3k bdA1 G k 4 ! 2 k↵ 3 3 2 2 3 A 4 0 A0 + A0 + k d A1 + k bdA0A1 = 02 3 G nin bir cebirsel polinomu bulunur. Bu polinomun katsayıları sıfıra eşitlenerek aşağıdaki 89 denklem sistemi bulunur (Aşağıdaki sistemlerde basit cebirsel işlemler yapılmıştır): 2 A1 + 12 2 2 k a = 0 15 2k abA1 + 3 2 2 2 2 A0A1 + 6k a A0 + ↵A1 = 0 8 3 2 3k adA1 !A1 + 3kA0A1 + 2k↵A0A1 + 6k abA0 + 4 3 2k b A1 = 0 2 3k adA0 + 2 k↵A0 + 3 2 3 3 k b A0 !A0 + kA0 + 3k bdA1 = 0 3 4 6 2 + 4 3 + 12 3 2 2 3kA0 !A0 k↵A0 k d A1 + 12k bdA0A1 = 0 Yukarıdaki cebirsel denklem sistemi MAPLE yardımıyla çözüldüğünde p ⌥p6ka 2↵ 3p 15kbA1 = , A0 = ,3 5 3 (6.3.6) 16 2 2 2 2k↵ 75k b + 4↵ ! = , a = 75 300k2d keyfi sabitleri bulunur. Dolayısıyla, (6.2.3) denkleminin çözümleri (4.2.4) ve (4.2.5) için ⇥ ⇤ p 3k b+ ✓ tanh 12✓⇠p 2↵ 3p 15kbV1(⇠) = + , (6.3.7)3 5 3 0 1 ⇥ ⇤ ⇥ ⇤ b+ ✓ tanh 1 1 ( ) =p6ka @B 2 ✓(⇠ + C) sech + 2 ✓⇠ C V2 ⇠ 3 2a ⇥ ⇤ 2a ⇥ ⇤A C cosh 12✓⇠ sinh 1 2✓⇠ p ✓ 2↵ 3 + p 15kb (6.3.8) 5 3 90 biçimindedir. Ayrıca ↵, , , k, b, d sabitlerinin özel değerleri için şekiller çizilmiştir. Şekil 6.3.2a : ↵ = 1, = 4, = 3, k = 75, b = 4, d = 2 için V11 Şekil 6.3.2b : ↵ = 1, = 4, = 3, k = 75, b = 4, d = 2 için V12 d = 0 için kolaylıkla görülebilir ki (4.2.1) ile (4.2.2) eşittir. Bununla birlikte sırasıyla (4.2.1) ve (4.2.2) denklemlerinin çözümleri olan (4.2.3) ve (4.2.4), a = 1 için çakışmakta- dır. 6.4 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları (6.0.1) denklemi için çarpan fonksiyonu 3. mertebeden⇤ = ⇤(t, x, v, vx, vxx, vxxx) biçimin- dedir. Bu çarpana karşılık gelen belirleyici denklem (3.2.2) den ⇤ 2vvt + ↵v vx + 3 v vx + 3vxvxx + vvxxx = 0 (6.4.1) v 91 dir. (6.4.1) ifadesi açılarak ⇤ çarpanı için belirleyici denklemler elde edilir. (6.4.1) belir- leyici denklemi çözüldüğünde çarpanlar aşağıdaki gibi elde edilir: ✓ ◆ 2 4 ↵ 3 1⇤ = 2c1 vxvxx + vx + v + v + c2v + c3. (6.4.2)4 3 2 (6.4.2) çarpanı ile (3.2.1) eşitliği kullanılarak t 1 4 x 3 1 1= = 5 6T1 v , T1 v vxx + ↵v + v ;4 5 6 t 2 x 2 2 3 1 4 T2 = v , T2 = 2(vvxx + vx) + ↵v + v ;3 2 t 1 2 T3 = v (5 4 v + 8 3↵v + 30vvxx + 30 2 vx),60 0 1 B 9 2 8 + 24 7 + 16 2 6 + 72 5 + 288 2 21 v ↵v ↵ v v vxx vv vx x xx@ CT3 = A (6.4.3)144 +144 2 2 2 + 288 2 2 2 4 v vxx vvxvxx + 144 vx 72 2v vtvx korunum vektörleri elde edilir. Yani, çarpan yöntemi (6.0.1) denklemi için üç adet ko- runum kanunu verir. 6.5 Yeni Korunum Yöntemi ile Korunum Kanunları Bu alt kısımda Ibragimov’un yeni korunum teoremi kullanılarak (6.0.1) denkleminin ko- runum kanunları inşaa edilecektir (Yaşar ve San 2016). (6.0.1) denkleminin eşlenik denk- lemi y yeni bağımlı değişken olmak üzere (3.3.2) ifadesinden ⇤ ⇥ ⇤( 2E t, x, v, y, . . . , vxxx, yxxx) = y 2vvt + 2↵v vx + 2 3v vx + 6vxvxx + 2vvxxx v = 2 2 3↵v yx 2v yx 2vyt 2yxxx (6.5.1) 92 biçimindedir. Açıkça görülebilir ki y = v için (6.5.1) denklemi (6.0.1) denklemine denk olmadığından kendine eşlenik değildir. (3.4.1) denkleminden (6.0.1) ve (6.5.1) sisteminin Lagrangianı L = y 2vvt + 2 2 3↵v vx + 2v vx + 6vxvxx + 2vvxxx (6.5.2) olacaktır. Dolayısıyla (3.4.2) kullanılarak (6.0.1) denkleminin kabul ettiği @X2 = @x için korunum vektörleri sırasıyla t @L T2 =⌧L+W = 0.L+ (vx)2vy @vt = 2vvxy  ✓ ◆ ✓ ◆ x L @L @L @LT2 =⇠ +W Dx + 2Dx @vx @✓vxx ◆ @vxxx  @L @L @L + 2Dx(W ) Dx +Dx(W ) @vxx @vxxx @vxxx =y 2 2vvt + 2↵v vx + 2 3 v vx + 6vxvxx + 2vvxxx ⇥ ⇤ 2 3 2vx y(2↵v + 2v + 6vxx)Dx(6vxy) +Dx(2vy) Dx(vx) [6vxy Dx(2vy)] 2Dx(vx) [2vy] =2vvty + 2 2 yx vx + vvxx 2vvxyxx olarak elde edilir. Benzer şekilde tüm korunum kanunları bulunarak Çizelge 6.4.1 de verilmiştir. Çizelge 6.5.1 de elde edilen korunum kanunları yerel değildir. Bu da (6.5.1) eşlenik denk- leminin çözümlerine bağımlı olduklarını gösterir. Bununla birlikte Ibragimov’un lineer olmayan kendi eşlenik tanımı kullanılarak yerel korunum kanunları elde edilebilir. 93 94 Çizelge 6.5.1 :(6.0.1) için yeni korunum yöntemi kullanılarak elde edilen korunum vektörleri 1. durum 2. durum 3. durum T t1 = 2↵v 2vx + 2v3vx + 6vxvxx + 2vvxxx y T t T t X 1 11 T x x1 T1 = 2↵v2v 3t 2v vt 2vtvxx 4vxvtx 2vvtxx y T x1 +(2vtvx + 2vvtx) yx 2vvtyxx T t T t 2 = 2vvxy T t X 2 22 T x T x2 T x2 = 2vvty + 2v 2 + 2vv y 2vv y . 2x xx x x xx T t32 = 2 3↵tv 2v 3 2x + 3tv vx + 9vxvxx + 3vvxxx v xvvx y ✓ ◆ x 2xvvt 12vv 4↵v3xx 4v4 6↵tv2vX T = t32 32 6tv3 y vt 6tvvxxt 12tvxvxt 6tvtvxx 12v 2 x + 4vv + 2xv2x x + 6tvtvx + 2xvvxx + 6tvvxt + 6vvx yx +(2xvx 6tvvt 4v) yxx. T t33 = 2y 4tvvxy X33 T x33 = 4tvvt + 2↵v + 2v 2 + 2v1vx y+ (2 4tvx) yxx + 2v1v + 4tv2 x x + 4tvvxx yx T t43 = 3t 2↵v 2vx + 2v3vx + 6vxv 2xx + 2vvxxx y 2v y 2xvvxy ✓ ◆ x 2xvvt 8v2x 12tvxvxt 8vvxx 6tvvxxt 2↵v3X43 T43 = y 2v4 6↵tv2v 6tv v3t t 6tvtvxx + 2xv2x + 6tvxvxt + 2xvxx + 6vvx + 6vtvx yx +(2xvvx 2v 6tvt) yxx 6.6 Çift İndirgeme Yöntemi (6.0.1) denkleminin X1 = @ @@x , X2 = @t simetri üreteçleri (3.6.1) ifadesinden ✓ ◆ ✓ ◆ 2 3 4 v ↵v v Dt +Dx + + 2 vx + vvxx = 0 (6.6.1)2 3 4 korunum kanunu ile ilişkilidir. X1 ve X2 üreteçlerinin lineer birleşimi olan X =X1 + cX2 @ @ = + c @x @t üreteci için X’in kanonik koordinatları s = x, r = cx t ve v dir. T = ( r sT , T ), X ile ilişkili olduğundan rT nin değeri r x r T Dt(r) + T Dx(r) T = Dt(r)Dx(s)Dx(r)Dt(s) ✓ ◆ ✓ ◆ 2 3 4 v ↵v vDt(cx t) + + + 2vx + vvxx Dx(cx t)2 3 4 = Dt(cx t)Dx(x)Dx(cx t)Dt(x) ✓ ◆ 2 3 4 v ↵v v+ 2c + + vx + vvxx2 3 4 = 1 2 3 4 v ↵cv cv= 2cvx cvvxx2 3 4 2 3 4 v ↵cv= cv 2 2c(cvr) cv(c vrr) 2 3 4 2 3 4 v ↵cv cv 3 2 3k1 = c vr c vvrr (6.6.2)2 3 4 95 olarak elde edilir. (6.6.2) denklemini çözebilmek için vr = p ve = dpvrr pdv değişkenleri kullanılırsa (6.6.2) denklemi 2 3 4 v ↵cv cv 3 2 3 dpk1 = c p c vp 2 3 4 dv ADD’ye dönüşür. Bu denklemin çözümü C1 integral sabiti olmak üzere p 15c (5cv6 8↵cv5 + 15v4 60k v21 + 60C 3⌥ 1 c ) p(v) = (6.6.3) 30c2v dir. dvvr = dr = p ifadesi (6.6.3) denkleminde yerine yazılıp integre edildiğinde C2 integral sabiti olmak üzere Z 30 2c v r + C2 = ⌥ p dv15c (5cv6 + 8↵cv5 15v4 + 60k v2 60C 31 1c ) (6.6.4) kapalı çözümü elde edilir. 96 7. KONOPELCHENCHO-DUBROVSKİ SİSTEMİ Bu bölümde lineer olmayan (2 + 1) boyutlu 3 2 2 ut uxxx 6buux + a u ux 3vy + 3auxv = 0, 2 uy = vx. (7.0.1) Konopelchenko-Dubrovsky (K-D) sisteminin iki değişkenli ( 0G /G, 1/G) genişleme yönte- mi uygulanarak tam ilerleyen dalga çözümleri elde edilecektir. (7.0.1) de u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), alt indisler kısmi türevleri, a ve b reel parametreleri ifade eder. Ayrıca (7.0.1) sistemi, uy = 0 için Gardner denklemine, a = 0 için ise iyi bilinen Kadomtsev- Petviashvili denklemine dönüşür. Literatürde, (Wazwaz 2004) de, (7.0.1) sisteminin sinüs-kosinüs yöntemi kullanılarak tam ilerleyen dalga çözümleri elde etmiştir. Wang ve Zhang (2012) geliştirilmiş genişleyen tanh fonksiyon yöntemi ile yeni tam çözümleri elde etmişlerdir. Ayrıca bu bölümde, (7.0.1) sisteminin yerel korunum kanunları oluşturulmuştur. Bu amaçla çarpan yöntemi (Olver 1993, Steudel 1962) uygulanmıştır. 7.1 ( 0G /G, 1/G) Genişleme Yöntemi ile İlerleyen Dalga Çözümleri Bu kısımda, (7.0.1) sisteminin ( 0G /G, 1/G) genişleme yöntemi ile tam ilerleyen dalga çözümleri elde ediecektir. ⇠ = x + y !t dalga değişkeni için u(x, y, t) = U(⇠) ve v(x, y, t) = V (⇠) bağımlı değişkenleri (7.0.1) sisteminde yazılırsa 0 000 6 0 3 2 2 0!U U bUU + a U U 3 0 + 3 0V aU V = 0, (7.1.1) 2 0 U = 0V (7.1.2) 97 ADDS’ye dönüşür. (7.1.2) integre edilip integral sabiti göz ardı edildiğinde V = U (7.1.3) eşitliğine ulaşılır. (7.1.1) denkleminde (7.1.3) ifadesi yerine yazılırsa 3(! + 3) 0 000U U 3(2 ) 0 2 2 0b a UU + a U U = 0 2 ADD’ye bulunur. Yukarıdaki ADD integre edilirse integral sabiti olmak üzere 2 a 3 3 U + ( 2 00a 2b)U (! + 3)U U = (7.1.4) 2 2 ikinci mertebeden ADD’si bulunur. (7.1.4) denkleminin en yüksek mertebeden lineer olmayan terimi 3U ve türevli terimi 00U arasında homojen balans uygulanırsa N = 1 pozitif tam sayısı bulunur. Yani (7.1.4) denkleminin bir çözümü U(⇠) = a0 + a1+ b1 (7.1.5) olarak kabul edilir. Buradaki a0, a1, b1 daha sonra hesaplanacak sabitlerdir. 1. durum (Hiperbolik fonksiyon çözümleri) : < 0 olduğunda (4.3.2) ve (4.3.4) eşitliklerini gözönüne alarak (7.1.5) ifadesi (7.1.4) de yerine yazılıp herbir , ve çeşitli kombinasyonlarının katsayıları sıfıra eşitlendiğinde 3 : 2 2 2 4 2 3 2 2 + 2 2 2 2 a a1µ µ a b1 a a1 4 = 0, 2 : 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a1µ 4µ a b1 4 + 3a a1 = 0, 98 2 : 2 3 + 6 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 3 b1 µ aa1 µ 3a a0b1 + 6bb1µ + 3a a0a1 3ab1 3 2 2ab1µ + 6 2 2 2 2a a0a1 µ 6 2 4 2ba1 2 2 3 2 2 4a b1 µ 6ba1µ + 3 2 2 4a a0a1µ + 3 2 4 2 2 2aa1µ 3a a0b1µ + 3 2 4 2 12 2 2 2 2 3 3aa1 ba1 µ + 6bb1 2b1µ = 0, : 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2µ + ab1µ + a a0b1µ 2bb1µ + µ+ a b1µ 2bb1 + a a0b1 2 ab1 = 0, : 2 2 + 3 2 2 2 4 2 12 2 + 6 2 6 2 12 2 + 6 2 µ ! a a0µ µ ba0µ aa0µ µ ba0 aa0 6 2 + 3 2 2 2 a a0 4 3 2 2 2 2 4! 3a b1 = 0, : 12 2 2aa0 µ + 6 2 2 2 2 a a0 µ 24 2 2 4ba0 µ + 2µ 2 4!µ 4 2 2! µ + 6 4 2aa0 12 4 2ba0 + 3 2 2 2 2a b1 µ 2 2 4 + 3 2 2 4 2 3 3a b1 a a0 12bb1 µ+ 6ab1 µ + 6 2 3 4 2a b1a0µ 2! + 6 4aa0µ + 3 2 2 2a a0µ 12 4ba0µ 12 3 3bb1µ + 6ab1µ + 6 2 3 2 5 2 4 2a a0b1 µ 6 12 2 2 6 4 µ µ = 0, sbt : 6 4 2 2 4 2 6 4 2 4 + 3 2 4 2 4 2 4 2 2 4a0 a0µ µ aa0µ !a0µ 6ba0µ + a a0µ 2 2 3 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2b1 µ a a0b1 3a a0b1 µ + 6aa0 µ 4!a0 µ 12 2 2 2 + 2 2 3 2 2 2 2 3 3 + 3 2 4 2 4 2ba0 µ a a0 µ a b1 µ aa0 2!a0 6 2 4 2 2 3 4 2 2 2 2 2 4 2 4ba0 + a a0 12a0 µ 4 µ 2b1 µ 3ab1 3 2 2 2ab1 µ + 6 2 4bb1 + 6 2 2 2bb1 µ = 0 cebirsel sistemi bulunur. Bu sistem MAPLE yardımıyla çözüldüğünde s 2 2 a 2b 1 1 µ + a0 = , a1 = ⌥ , b1 = ⌥ , a2 a a 99 9 2 2 a + a 12ab+ 12 2 3b a 6 2 a b+ 12 2 3 3 2ab 8b + a 2a b ! = , = 2a2 2a4 keyfi sabitleri elde edilir. Elde edilen bu sabitler ile (7.1.4) denkleminin tam çözümleri p p a 2b 1p A1 cosh ⇠ + A2 sinh ⇠ U1(⇠) = + 2 p p µa a A1 sinh ⇠ + A2 cosh ⇠ + s 1 2 2µ + 1 + p p µ ,a A1 sinh ⇠ + A2 cosh ⇠ + p p a 2b 1p A1 cosh ⇠ + A 2 sinh ⇠ U2(⇠) = 2 p p µa a A1 sinh ⇠ + A2 cosh ⇠ + s 1 2 2 µ + 1 p p , (7.1.6)a A1 sinh ⇠ + A2 cosh µ ⇠ + ⇣ ⌘ biçiminde bulunur. (7.1.6) da bir keyfi sabit, 2 2= + + 9a +a 12ab+12b2µ ⇠ x y 2a2 t ve = 2 A1 2A2 dir. A1 = 0, A2 6= 0 ve µ 6= 0 için (7.1.6)’nın tam çözümleri u1(x, y, t) =v1(x, y, t) 8 ✓ ✓ ◆ ◆ 9 > 9 2 2 2> a + a 12ab+ 12b p > 1p < tanh x+ y + t > ✓ ✓ 2a2 = = ◆ ◆ a >> 9 2 2 a + a 12ab+ 12 2b p : sech >x+ y + t ;> 2a2 a 2b a2 100 u2(x, y, t) =v2(x, y, t) 8 ✓ ✓ ◆ ◆ 9 > 9 2> a + 2 2 a 12ab+ 12b p > 1p < tanh x+ y + t = > = ✓ ✓ 2a 2 ◆ ◆ a >> 9 2 + 2a a 12ab+ 12 2b p : sech x+ y + t > >; 2a2 a 2b (7.1.7) a2 yalnız gezen dalga çözümlerini verir. A1 =6 0, A2 = 0 ve µ = 0 için (7.1.6) tam çözümleri u1(x, y, t) =v1(x, y, t) 8 ✓ ✓ ◆ ◆ 9 > 9 2 + 2> a a 12 2 ab+ 12b p 1p < > coth x+ y + t >= = ✓ ✓ 2a 2 ◆ ◆ a >> 9 2 a + 2a 12ab+ 12 2b p : cosech x+ y + t >;> 2a2 a 2b a2 u2(x, y, t) =v2(x, y, t) 8 ✓ ✓ ◆ ◆ 9 > 2 2 2> 9a + a 12ab+ 12b p > 1p < coth x+ y + t = > 2 = ✓ ✓ 2a ◆ ◆ > 9 2a > a + 2 12 + 12 2a ab b p : cosech >x+ y + t >; 2a2 a 2b (7.1.8) a2 yalnız gezen dalga çözümlerini verir. 2. durum (Trigonometrik fonksiyon çözümleri) : > 0 olduğunda (4.3.2) ve (4.3.6) eşitlikleri altında (7.1.5), (7.1.4) denkleminde yerine yazıldığında ve nin polinomu elde edilir. Bu polinomun tüm katsayıları sıfıra eşitlendiğinde 3 : 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 a a1µ µ 3a b1+ 4 a a1 = 0, 101 2 : 4 2µ + 3 2 2 2 2 2a a1µ a b! 3 2 2 2 2a a1 + 4 = 0, 2 : 6 2 2 2 + 2 3 2 2 2 2 2 4 aa1 µ b1 µ 3a a0b1µ + 3a a0a1µ + 6 2 2bb1µ + 3 2 3ab1 6 2 3 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 2 4 2bb1 + 3aa1µ 2a b1 µ+ 3a a0b1 3ab1µ + 3aa1 6 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3ba1µ + 12ba1 µ + 3a a0a1 6a a0a1 µ 2b1µ = 0 3 : µ + 2 2a a0b1µ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab1µ bb1µ µ+ a b1µ a a0b1 ab1 + 2 2bb1 = 0 : 3 2 2 2 2 2 a a0µ !µ + 6 2aa0µ 12 2 6 4ba0µ µ 4 2 3 2 2 2µ + 4 3a b1 3 2 2 2 + 2 2 + 12 2a a0 ! ba0 + 6 2 2 6aa0 = 0 : 6 4 2 + 12 2 2 µ 6 4 + 24 2 2 2 2 2 2 2 2µ ba0 µ 6a a0 µ 12aa0 µ 2 5 2 + 2 4 2 4 + 3 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 µ !µ a a0 µ + 6aa0 + 3a b1 µ 12 4 2 + 2 2 4 + 4 2 2 3 3 2 3ba0 a b1 ! µ 6ab1 µ+ 12bb1 µ+ 6a a0b1µ + 3 2 4 2 4 2a a0µ ! + 6 4aa0µ 12 4ba0µ + 6 3 3ab1µ 12bb1µ 6 2 3a a0b1 µ = 0 : 6 4 2 4 6 4 2 2 4 2 2 4 6 2 4 2 3 4 2 4sbt a0µ µ a0 !a0µ ba0µ + a a0µ + 3aa0µ 2 2 3b1 µ + 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a0b1 3a a0b1 µ + 4!a0 µ + 12ba0 µ 2 2 3 2 2 6 2 2 2a a0 µ aa0 µ 2 2 3 3a b1 µ 2 4 2 2 4 2 2 3 4 2!a0 6ba0 + a a0 + 3 2 4 2 2 2aa0 + 12a0 µ + 4 2 2 µ + 3 2 4 2 2 2 2 4ab1 3ab1 µ 6bb1 + 6 2 2 2bb1 µ + 2 4 b1 µ = 0 102 cebirsel denklem sistemi bulunur. Bu sistem MAPLE yardımıyla çözülerek r 2 2 a0 = a 2b ⌥1 µ , a1 = , b1 = ⌥ , a2 a 9 2 + 2 12 + 12 2 3 6 2 + 12 2 8 3 + 3 2 a a ab b a a b ab b a 2a b! = , = 2a2 2a4 katsayıları bulunur. Bulunan katsayılar ile (7.1.4) denkleminin tam çözümleri ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ 2 1p A1 cos ⇠ Aa b 2 sin ⇠ U1(⇠) = + ⇣ ⌘ ⇣2 p p ⌘a a A1 sin ⇠ + A2 cos ⇠ r 1 2 2 µ + ⇣ p ⌘ 1 ⇣ p ⌘ a µ A1 sin ⇠ + A2 cos ⇠ + ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ 2 1p A1 cos ⇠ A2 sin ⇠ a b U2(⇠) = ⇣ p ⌘ ⇣ ⌘ a2 p a A1 sin ⇠ + A2 cos ⇠ r 1 2 2 µ ⇣ ⌘ 1p ⇣ p ⌘ (7.1.9) a µ A1 sin ⇠ + A2 cos ⇠ + formundadır. Burada µ bir keyfi sabit, a36a2b+12ab28b3+a3⇠ = x+ y + 2a2b2a4 t ve = 2 2A1 + A2 dir. A1 = 0, A2 6= 0 ve µ = 0 için (7.1.9) çözümleri u1(x, y, t) =v1(x, y, t) 8 ✓ ◆ 9 > 3 2> a 6a b+ 12 2 8 3 + 3ab b a 2 2a b > 1p < tan x+ y + t = > = ✓ 2a 4 ◆> 3a > a 6 2 2 3 3 2 a b+ 12ab 8b + a 2a b : >+i sec x+ y + t >; 2a4 a 2b, a2 103 u2(x, y, t) =v2(x, y, t) 8 ✓ ◆ 9 > 3 2> a 6a b+ 12 2 8 3 3 2ab b + a 2a b 1p < > tan x+ y + t 4 => = ✓ 2a ◆3 a >> a 6 2 2 3 3 2 a b+ 12ab 8b + a 2a b : +i sec x+ y + t >;> 2a4 a 2b (7.1.10) a2 olarak bulunur. 3. durum (Rasyonel fonksiyon çözümleri) : = 0 olduğunda benzer şekilde (4.3.2) ve (4.3.8) eşitlikleri altında (7.1.5), (7.1.4) ADD de yerine yazılıp benzer işlemler uygu- landığında 3 : 2 2 2 a a1A1 4 2 2 2 2 2A1 + 8A2µ 2a a1A2µ+ 3a b1 = 0, 2 : 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a a1A1 4A1 6a a1A2µ+ a b1 + 8A2µ = 0, 2 : 2 2b1A1µ 4 2b1A2µ 12 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2aa1A2µ 24ba1A2µ 2a b1µ 6bb1A1 + 3 2 2 2a a0b1A1 12 2 2 2 2 2 2 2a a0a1A1A2µ 6ab1A2µ+ 12bb1A2µ 6a a0b1A2µ + 3 2 2ab1A1 12 2 2 2 2 2 2 4 2 4aa1A1A2µ+ 12a a0a1A2µ+ 3aa1A1 6ba1A1 + 3 2 2 4a a0a1A1 + 24 2 2 ba1A1A2µ = 0, : 2 2 2 2 2 2 2 a a0b1A1 + ab1A1 2bb1A1 + A1µ 2ab1A2µ a b1µ+ 4bb1A2µ 2 2a a0b1A2µ 2A2µ = 0, : 2! + 6aa0 12ba0 + 3 2 2a a0 6 = 0, 104 : 4 2 2 2 a b1µ 24 2bb1A2µ + 12 2 2 2 2 3bb1A1µ 6a a0b1A1µ 6ab1A1µ+ 8A2µ + 12 2 2 2ab1A2µ + 12a a0b1A2µ + 12 2 2 2 2 a a0A2µ 2 4!A1 24 2 2 2 2A2µ 4A1µ 8 2 2 2 4 4 2 2 4 4!A2µ + 48ba0A1A2µ+ 6aa0A1 12ba0A1 + 3a a0A1 6A1 + 24 2 2aa0A2µ + 24 2 2 2 2 A1A2µ 48ba0A2µ 24aa0A1A2µ 12 2 2 2a a0A1A2µ+ 8 2!A1A2µ = 0, 2 2 3 2 sabit : 2!a0 6a0 6ba0 + a a0 + 3aa0 2 = 0 cebirsel denklem sistemi elde edilir. Bu sistem MAPLE ile çözülürse p 2 1 2a b= = ⌥ = ⌥ A1 2µA2a0 , a2 1 , b1a a a 3 (3 2 a 4 2 ab+ 4b ) (a 2b)3 ! = , = 2a2 2a4 sabitleri bulunur. 2 Bulunan sabitler ile (7.1.4) denkleminin tam çözümleri = + + 3(3a 4ab+4b 2) ⇠ x y 2a2 t ve µ bir keyfi sabit olmak üzere p 2 a 2b 1 µ⇠ + A1 A1 2µA2 1U1(⇠) = +2 µ +2 + µ ,a a 2 ⇠ A1⇠ + A2 a ⇠22 + A1⇠ + A2 p 2 1 2a b µ⇠ + A1 A1 2µA2 1U2(⇠) = + µ + µ , (7.1.11) a2 a 2 ⇠ 2 + A1⇠ + A2 a ⇠22 + A1⇠ + A2 105 biçimindedir. Yani diğer bir deyişle u1(x, y, t) =v1(x, y, t) n h i o 1 + + 3(3a 24ab+4b2) a µ x y 2a2 t + A1 = h i 2 2 h i µ + + 3(3a 4ab+4b 2) + + + 3(3a 24ab+4b2) 2 x y 2a2 t A1 x y 2a2 t + A2 p n h i o A212µA2 + + 3(3a 24ab+4b2) a µ x y 2a2 t + A1 + h i2 h i µ + + 3(3a 24ab+4b2) 3(3a24ab+4b2) 2 x y 2a2 t + A1 x+ y + 2a2 t + A2 a 2b a2 u2(x, y, t) =v2(x, y, t) n h i o 1 3(3a24ab+4b2) a µ x+ y + 2a2 t + A1 = h i2 h i µ + + 3(3a 24ab+4b2) 2 2 2 x y 2a2 t + 3(3a 4ab+4b ) A1 x+ y + 2a2 t + A2 p n h i o A2 2 212µA2 a µ x+ + 3(3a 4ab+4b ) y 2a2 t + A1 h i2 h i µ 2+ + 3(3a 4ab+4b 2) + + + 3(3a 24ab+4b2) 2 x y 2a2 t A1 x y 2a2 t + A2 a 2b (7.1.12) a2 yalnız gezen dalga çözümleri elde edilir. 7.2 Çarpan Yöntemi ile Korunum Kanunları (7.0.1) K-DS için, çarpan yöntemi uygulandığında çarpanlar 1 ⇤1 = (c1au+ c2) 3a c ⇤ 12 = (2v + 2 au ) + c2u+ c3F (t) 2 olarak elde edilir. 106 c1 = 1, c2 = c3 = 0 olmak üzere 1 1 ⇤ 211 = u, ⇤21 = (2v + au ) 3 2 çarpanlarına karşılık gelen korunum vektörleri aşağıdaki gibidir: t 1 2 T1 = u6 x 1 2 4 2 3 1 2 1 1 2 1= + 2T1 a u bu au v + uuxx u v ,8 3 2 3 6 x 2 y 1 3 T1 = au + uv;6 c2 = 1, c1 = c3 = 0 olmak üzere 1 ⇤12 = , ⇤22 = u 3a çarpanlarına karşılık gelen korunum vektörleri aşağıdaki gibidir: t 1 T2 = u,3a 2 3 x a u 6 2 bu + 6auv 2uxx T2 = ,6a 2 + 2y v au T2 = .2a Son olarak c3 = 1, c1 = c2 = 0 olmak üzere ⇤13 = 0, ⇤23 = F (t) 107 çarpanlarına karşılık gelen korunum vektörleri aşağıdaki gibidir: t T2 =0, x T2 = vF (t), y T2 =uF (t). 108 8. LOGARİTMİK KdV VE KP-BENZERİ DENKLEMLER Lineer olmayan KDD teorisinde, Korteweg-de Vries (KdV) ve Kadomtsev-Petviashvili (KP) denklemleri önemli bir yere sahiptir. Bu integrallenebilir denklemler kabaca sığ su dalgalarının dinamiklerini modeller. Bu modellerin ardındaki fiziksel çözümler genellikle yalnız gezen, soliton (sabit bir hızla yayılırken şeklini koruyan yalnız gezen dalga tipi), çoklu soliton, tepe soliton vb. gibi bazı özel tipte dalgalardır. Klasik KdV denklemi vt + 6vvx + vxxx = 0 (8.0.1) formunda olup sığ su dalgaları, optik ve harmonik kristallerde akustik dalgalar gibi birçok fiziksel süreçte ortaya çıkar. Çok yakın bir zamanda, Sen ve ark. (2012) KdV-benzeri vt + vxx (ln v)x vxxx = 0 (8.0.2) denklemini geliştirmişlerdir. (8.0.2) denklemi, yalnız gezen dalga çözümünü paylaşan denklemleri araştıran bir genetik programda keşfedilmiştir. (8.0.2) denklemi, lineer ol- mayan taşınım, yayılma ve dağılım arasında bir köprü oluşturur. Wazwaz (2015) (8.0.2) KdV-benzeri denkleminin (8.0.1)’in yalnız gezen dalga çözümüne sahip olduğunu göster- miştir. Buna ek olarak (8.0.2)’nin varyant formları araştırılmıştır. (8.0.1) denkleminin bir genişlemesi olan KP denklemi (vt + 6vvx + vxxx)x + kvyy = 0 (8.0.3) ile verilmiştir. (8.0.3) denklemi (Wazwaz 2016) da kuasi bir boyutlu sığ su dalgalarının oluşumunu, (Kadomtsev ve Petviashvili 1970) de küçük genlikli lineer olmayan uzun 109 dalgaları tanımlamaktadır. (Wazwaz 2016) da, (8.0.3) denkleminin bir varyantı olan logaritmik KP-benzeri denk- lemi türetilmiştir: (vt + 2vxx (ln x)x vxxx)x + vyy = 0. (8.0.4) Ayrıca Wazwaz çalışmasında Gaussian şeklindeki yalnız gezen dalga çözümlerini elde etmiştir. 8.1 Logaritmik KdV-Benzeri Denklemi Bu alt bölümde, vt + vxx (ln x)x vxxx = 0 (8.1.1) denklemi için çarpanları, eşlenik denklemi ve korunum kanunları elde edilecektir. Analize daha kolay devam edebilmek için ( ) = u(x,t)v x, t e (8.1.2) dönüşümü ile (8.1.1) denklemi yerine ut 2uxuxx uxxx = 0 (8.1.3) denklemi kullanılacaktır. Lie grup analizi (8.1.3)’e uygulanıp hesaplamalar yapıldığında sonsuz küçükler 1 c ⇠ = c1t+ 2 1 c4, ⇠ = x+ c4, ⌘ = c3 3 110 olarak elde edilir. Yukarıdaki sonsuz küçüklere karşılık gelen Lie simetrileri aşağıdaki gibidir: @ X1 = , @t @ X2 = , @u @ X3 = , @x @ 1 @ X4 =t + x . (8.1.4) @t 3 @x 8.1.1 Çarpan yöntemi ile korunum kanunları Çarpan yöntemi uygulandığında (8.1.3) denkleminin çarpanları ⇤1(x, t, u) =1, ⇤2(x, t, u) = 2u e (8.1.5) olarak elde edilir. Ayrıca bu çarpanlara karşılık gelen korunum vektörleri t T11 =u, x T11 = 2ux uxx t 1 1= + 2uT21 e ,2 2 x 2u T21 = uxxe t 1 T12 = tut xux,3 x 2 2 2 2 1 T12 = ux + 2tuxutx + xuxuxx + uxx + tutxx + xuxxx3 3 3 3 111 ✓ ◆ t T22 = tut 1 2u xux e , ✓ 3 ◆ x 2 2 2 2 1 2u T22 = ux + 2tuxutx + xuxuxx + uxx + tutxx + xuxxx e (8.1.6)3 3 3 3 biçiminde bulunur. Bunlara ek olarak, (3.5.1) özyineleme formülü kullanılarak yeni yerel olmayan korunum kanunları aşağıdaki gibi oluşturulur: Z t E11 =h(x, t)u ht(x, t)u dt, Z x 2 2 E11 = h(x, t)ux h(x, t)uxx + hx(x, t)ux + hx(x, t)uxx dx; Z ✓ ◆ t 1 1 2u 1 1 2u E21 = h(x, t) + h(x, t)e ht(x, t) + ht(x, t)e dt,2 2 Z 2 2 x 2u 2u E21 = h(x, t)uxxe + hx(x, t)uxxe dx; ✓ ◆ Z ✓ ◆ t E12 = 1 1 h(x, t) tut + xux + ht(x, t) tut + xux dt, 3Z 3 x E12 = 2u 2uh(x, t)uxxe + hx(x, t)uxxe dx; ✓ ◆ Z ✓ ◆ t = 1( ) + 2u 1E22 h x, t tut ux e + ( 2uht x, t) tut + ux e dt, ✓ 3 3 ◆ x 2 2 1= ( 2uE22 h x, t) 2tutuxx + xuxuxx + uxx + tutxx + xuxxx e ✓ 3 3 3Z ◆ 2 2 1hx( 2ux, t) 2tutuxx + xuxuxx + uxx + tutxx + xuxxx e dx. 3 3 3 8.1.2 Eşlenik denklem ve lineer olmayan kendi eşleniklik L = w (ut 2uxuxx uxxx) , 112 (8.1.3) denkleminin formal Lagrangianı ve w = w(x, t) yeni bağımlı değişkeni olmak üzere eşlenik denklem ⇤ L F = = wt 2wxxux 2wxuxx + wxxx (8.1.7) u biçimindedir. Ayrıca (8.1.7) de w = u için (8.1.3) orijinal denklemine denk olmadığı için (8.1.3) denklemi kendine eşlenik değildir. 6= 0 olmak üzere w = (x, t, u) için (3.3.4) eşitliği ⇤ F |w=(x,t,u) = (ut 2uxuxx uxxx) = + ( + 2 ) 3uut uu u ux + (4u + 3uu) uxuxx + uuxxx ifadesine dönüşür. Yukarıdaki eşitlikten = 2 , = 1 = 2uuu u 1 , 2 e (8.1.8) fonksiyonları elde edilir. Bu 1 ve 2 fonksiyonlarının (8.1.5) çarpan fonksiyonları ile aynı oldukları açıktır. 8.1.3 Eşlenik simetri (8.1.3) denkleminin bir eşlenik simetrisi (3.3.6)’yı sağlayan X! = !( @x, t, u, u(1),...,u )(s) @u formundadır. (3.3.6) eşitliği yeniden yazıldığında aşağıdaki gibi u ve kısmi türevlerini içeren cebirsel polinomu elde edilir:  ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ L⇤ @F @F @F 2 @F @F( ) = + 3F ! ! Dt ! Dx ! Dx ! Dx ! |F=0 @u @ut @ux @uxx @uxxx = !t + !xxx + (3!xu 2!x) 2 3xux + (3!xu 2!x)uux + (!uu 2!u)uu + (3!xu 2!x)uxx + 3(!uu 2!u)uxuxx. 113 Yukarıdaki cebirsel polinomun tüm katsayıları sıfıra eşitlenerek uxuxx : !uu 2!u = 0, uxx : 3!xu 2!x = 0, 3 ux : (!uu 2!u)u = 0, 2 ux : (3!xu 2!x)u = 0, ux : (3!xu 2!x)x = 0, ux : !t + !xxx = 0, (8.1.9) diferensiyel sistemi bulunur. (8.1.9) sistemi çözüldüğünde !1(u) = 1, !2( ) = 2u u e (8.1.10) bulunur. (8.1.10) da bulunan !1 ve !2 fonksiyonlarının (8.1.5) çarpanları ve (3.3.6) fonksiyonları ile aynı olduğu aşikardır. 8.1.4 Çift indirgeme yöntemi Genelleştirilmiş çift indirgeme teoreminden yararlanarak (3.6.1) eşitliğini sağlayan ilişkili simetri ile (1 + 1) KdV-benzeri için indirgenmiş korunum formu elde edilebilir. (8.1.6) korunum vektörleri ile (8.1.4)’de verilen X1 ve X3 simetrileri ilişkilidir. Dolayısıyla @ @ @ X = @m kanonik üreteci olmak üzere X = @t + k @x simetrisi ile indirgenmiş korunum formu aşağıdaki gibi elde edilir: dt dx dm = = , du = dn = dw = 0 1 k 1 veya n = x kt, m = t, w(n) = u. 114 (3.6.4) formülü kullanıldığında 0 1 0 10 1 B nT C B tk 1 T@ A = @ CAB@ CA m T 1 0 xT 0 1 B + 02 + 00kw w w@ C= A w veya n = 02 00T kw + w + w m T = q olarak bulunur. Yukarıdaki sistemin ilk denklemi için C integral sabiti olmak üzere 02 00 kw + w + w = C (8.1.11) eşitliğinde 0 00 dz w = z ve w = z ifadeleri yazılırsa dw dz + = ( 1z C kw)z (8.1.12) dw 1. mertebeden ADD’si elde edilir. c1 integral sabiti olmak üzere (8.1.12) denkleminin çözümü 1 1/2 z( ) = ⌥ 4 2ww C + 2k 4kw + 4c1e 2 olarak bulunur. Bu çözümde özel olarak c1 = 0 kabul edilirse 0z = w için 4 2 2 2 2 2C + 2k n k 2nk c2 c2k w(n) = (8.1.13) 4k 115 çözümü elde edilir ki, (8.1.13)’deki c2 integral sabiti olup n = x kt ve w(n) = u(x, t) ifadeleri (8.1.13) ifadesinde yerine yazıldığında (8.1.3) denkleminin çözümü 4 + 2 2 2 2 2 ( ) 2( )2C k c2k k c2 x kt k x kt u(x, t) = (8.1.14) 4k olarak elde edilir. Şekil 8.1.1 : C = 0, c2 = k = 1 için (8.1.14) çözümü 8.2 Logaritmik KP-Benzeri Denklemi Bu kısımda, lineer olmayan KP-benzeri denklemi F : (vt + 2vxx(ln v)x vxxx)x + vyy = 0 (8.2.1) incelenecektir. Lie grup teorisi (8.2.1) denklemine uygulandığında sonsuz küçükler ⌧ =c1t+ c2, ⇠x = c4 c1 y + x+ c6, 2 2 2c1 ⇠y = y + c4t+ c5, 3 ⌘ =c3v 116 olup sonsuz küçüklere karşılık gelen simetriler @ X1 = , @t @ X2 = , @y @ X3 = , @x @ X4 = @v 1 @ @ X5 = y + t , 2 @x @y @ 1 @ 2 @ X6 =t + x + y (8.2.2) @t 3 @x 4 @y olarak elde edilir. 8.2.1 Çarpan yöntemi ile korunum kanunları (8.2.1) denklemine çarpan yöntemi uygulandığında denklemin çarpanları aşağıdaki gibi elde edilir: ⇤(x, y, t, v) = f(t)y + g(t) veya ⇤1(x, y, t, v) =f(t)y, (8.2.3) ⇤2(x, y, t, v) =g(t). (8.2.4) (8.2.3) ve (8.2.4) çarpanlarına karşılık gelen korunum vektörleri sırasıyla t 1 T1 = f(t)yvx,2 x y T1 = 4f(t) 0 2 vxvxx f (t)v 2f(t)vvxxx + f(t)vvt , 2v y T1 = f(t)v + f(t)yvy; (8.2.5) 117 t 1 T2 = g(t)vx,2 x 1 T2 = 4g(t) 0 vxvxx g (t) 2v 2g(t)vvxxx + g(t)vvt , 2v y T2 = g(t)vy (8.2.6) olarak bulunur. Diğer taraftan, (8.2.5), (8.2.6) korunum vektörleri (3.5.1) özyineleme formülünde kul- lanıldığında aşağıdaki sonsuz yerel olmayan korunum vektörleri elde edilir: 2( ) 2 Z 0 t f t y f (t)f(t) 2 y E1 = vx vx dt,2 2 2 x f(t)y E1 = 4f(t) 0 vxvxx f (t) 2v 2f(t)vvxxx + f(t)vvt 2v Z y 2 2 E1 =f (t)y (yvy v) f (t) (yvy v) dy; 2 Z 0 t g (t) g (t)g(t)E2 = vx vx dt,2 2 g(t) 0 x 2 E2 = 4g(t)vxvxx g (t)v 2g(t)vvxxx + g(t)vvt2v y = 2E2 g (t)vy. 8.2.2 Eşlenik denklem ve lineer olmayan kendi eşleniklik (8.2.1) denkleminin formal Lagrangianı ✓ ◆ 2 2 L vxvxxx vxx vxv= xxw vtx + 2 + 2 2 v2 xxxx + vyy (8.2.7)v v v w = w(x) yeni bağımlı değişken olmak üzere (8.2.7) nin varyasyonel türevleri alınarak 2 3 ⇤ wxxxvx w v w v w v v w v F = wtx + wyy wxxxx 2 2 xx xx + 4 xx x + 6 x x xx 4 x x v v v2 v2 v3 (8.2.8) 118 eşlenik denklemi elde edilir. w = v için (8.2.8) denklemi, (8.2.1) denklemine denk ol- madığından kendine eşlenik değildir. w yeni bağımlı değişken olmak üzere 6= 0 olmak üzere w = (x, y, t, u) için (3.3.4) eşitliği  2 2 ⇤| v v v v vF w= = x xxx xx x xx vtx + 2 + 2 2 v2 xxxx + vyyv v v olur. Benzer şekilde yukarıdaki eşitlikten elde edilen denklem sisteminden x =0, yy =0 ifadeleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde (8.2.4) çarpanları ile aynı sonuçlar elde edilir. Yani, = f(t)y + g(t) , 1 = f(t)y, 2 = g(t) dir. 8.2.3 Eşlenik simetri (8.2.1) denkleminin bir eşlenik simetrisi @X! = !(x, y, t, v, v(1), . . . , v(s))@v olmak üzere (3.3.6) eşitliği yeniden yazıldığında ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ (L⇤ @F) = @F @F 2 @F+ + + 2 @FF ! ! Dx ! DtDx ! Dx ! Dy ! @✓v ◆ @vx ✓ ◆ @vtx @vxx @vyy 3 @F + 4 @FDx ! Dx ! @vxxx @vxxxx ifadesi elde edilir. Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafında (8.2.1) yerine yazılıp vi türevlerine göre düzenlendiğinde elde edilen denklemin her bir katsayısı sıfıra eşitlenerek ! için be- lirleyici denklem sistemi oluşturulur. Bu sistemin çözümü uzun ve karmaşık olduğundan 119 MAPLE programı yardımıyla !x = 0 !yy = 0 basit sistemi bulunmuştur. Bu sistemin çözümlerinin (8.2.4) çarpan fonksiyonları ile aynı sonuçların elde edildiği açıkça görülür: ! = !(y, t) = f(t)y + g(t). (8.2.9) 8.2.4 Çift indirgeme yöntemi Yukarıda belirtildiği gibi logaritmik KP-benzeri denkleminin altı tane Lie nokta üreteci vardır. Aşağıdaki tabloda (8.2.2) simetrileri ve (8.2.5) korunum vektörleri arasındaki ilişki (3.6.1) eşitliği kullanılarak incelenmiştir. Çizelge 8.2.1. (8.2.1) denkleminin simetrileri ve korunum vektörleri arasındaki ilişki X1 X2 X3 X4 X5 X6 g(t) =02 için1 t B T1B CC 1 2 T = BB x CT C 0 0 0 1 T 6= 0 0 1T 6= 0 @ 1 A 3 y T1 f(t) =02 için1 t B T2B CC 2 T = BB x CT C 0 =6 0 0 2 T =6 0 6= 0 =6 0 @ 2 A y T2 Uyarı 8.2.1 Hesaplamaların basitleşmesi açısından f(t) = 2 ve g(t) = 2 olarak alınmıştır. 120 1 T korunum vektörü ile X1, X2 ve X3 simetrileri ilişkili olduğu için X1, X2, X3 simetri- lerinin bir lineer birleşimi olan @ @ @ X = + c1 + c2 (8.2.10) @t @x @y simetrisi özyineleme korunum formunda yerine yazılırsa dt dx dy dq = = = , dv = dr = ds = dw = 0 1 c1 c2 1 veya r = y c2t, s = x c1t, q = t, w(r, s) = v (8.2.11) yeni değişkenleri bulunur. Dolayısıyla (3.6.4) formülü kullanılarak r T = c2ws 2wr s wswss T = 2c2ws + 2wsss + c2wr 4 w q T = ws yeni korunum vektörleri elde edilir. Burada rDrT + sDsT = 0 olduğu açıkça görülebilir. Benzer şekilde = @ + @Y @r @s için Y = @ @m kanonik formu gözönüne alınarak n DnT = 0 olmak üzere 4 0 00n = 2( 2 0 000 u uT c1 c2c3 c3)u + 2u u m T = (c2 + 2c3) 0 u elde edilir. Son olarak 0 00 n = = 2( 2 0 000 4u u T C c1 c2c3 c3)u + 2u (8.2.12) u 121 ifadesinde C = 0 için (8.2.12) denklemi iki kez integre edildiğinde q 0 1 u (n) = ⌥ 6C1 + 9( 2c1 c2c3 c3)u2 6C2u3 (8.2.13)3 birinci mertebeden ADD bulunur. 122 9. ZAMAN KESİRLİ SCHAMEL-KORTEWEG-DE VRIES DENKLEMİ Bu bölümde a, b, c keyfi sabitleri ve bc 6= 0 olmak üzere : ↵ 1/2F ut + au + bu ux + cuxxx = 0, (9.0.1) zaman kesirli Schamel-Korteweg-de Vries denklemi için Lie simetri analizi yapılarak ko- runum kanunları oluşturulmuştur. 9.1 Lie Grup Analizi (9.0.1) denklemi (2.1.5) formunda bir Lie simetri üretecini kabul etsin. Bu durumda den- klemin uzatılmış üreteci (↵;3) @ @ @ X =⌧(x, t, u) + ⇠(x, t, u) + ⌘(x, t, u) @t @x @u ↵ (↵;t) @ x @ xx @ xxx @+ ⇣ ↵ + ⇣ + ⇣ + ⇣ (9.1.1) @ut @ux @uxx @uxxx biçimindedir. (2.4.8) kesirli uzanım fonksiyonu ve (2.1.7) standart uzanım fonksiyonu (2.4.10) değişmezlik prensibinde kullanılarak aşağıdaki belirleyici denklem sistemi elde edilir: ⌘uu = ⇠t = ⇠u = ⌧x = ⌧u =0 ↵⌧t + 3⇠x =0 ⇠xx + ⌘xu =0 (1 ↵)⌧tt + 2⌘tu =0 (2 ↵)⌧ttt + 3⌘ttu =0 2 + 1/2 ( ) 2 1/2u a bu ⇠x ↵⌧t cu (3 1/2⌘xxu ⇠xxx) 2bu + a ⌘ =0 ↵ ↵ 1/2 @ @ au ⌘x + bu⌘x + c⌘xxx + ⌘ u (⌘↵ @ u) =0@t @t 123 0 1 0 1 B a@ AC n @ B ↵ @ C(⌘u) A n+1Dt (⌧) =0, n = 1, 2, . . . , (9.1.2) @tn n n+ 1 (9.1.2) belirleyici denklem sistemi MAPLE yardımıyla çözüldüğünde ⌧(x, t, u) =0 ⇠(x, t, u) =c1 ⌘(x, t, u) =0 (9.1.3) sonsuz küçükleri elde edilir. Bu sonsuz küçüklere karşılık gelen simetri @ X = (9.1.4) @x olarak elde edilir. 9.2 Korunum Kanunları Bu alt bölümde (9.0.1) zaman kesirli Schamel-Korteweg-de Vries denkleminin (9.1.4) Lie nokta simetleri kullanılarak korunum kanunları oluşturulacaktır. (9.0.1) diferensiyel denklemi için v = v(x, t) yeni bağımlı değişken olmak üzere formal Lagrangian ⇥ ⇤ L = ↵ 1/2v ut + au + bu ux + cuxxx biçimindedir. Bu formal Lagrangianın varyasyonel türevi ile ⇤ ↵ ⇤ 1/2 F : (Dt ) v au + bu vx cvxxx = 0 eşlenik denklemi elde edilir. (9.1.4) X = @@x simetri üretecine karşılık gelen karakteristik W = ux olduğuna göre (3.7.2) ve (3.7.3) operatörleriyle birlikte (9.0.1) denkleminin 124 korunum vektörleri sırasıyla ✓ ✓ ◆◆ t = L+ ↵1 @L @L @LT ⌧ Dt ( ) ↵2 2W ↵ Dt (W )Dt ↵ J W,Dt ↵ @Dt u @Dt u @Dt u = ↵1Dt (ux) + ↵2v Dt (ux) J(ux, vtt) ✓ ◆ ✓ ◆ x L @L 2 @L @L @LT = 2⇠ +W +Dx +Dx(W ) Dx +Dx(W ) @ux @uxxx @uxxx @uxxx = ↵ut v cuxvxx + cuxxvx olarak bulunur. Diğer taraftan (9.0.1) denklemi için lineer olmayan kendi eşleniklik yöntemi gözönüne alınsın. v = (x, t, u) ve vx =x + uux 2 vxx =xx+ 2xuux + uuxx + uuux vxxx =xxx + 3 2 3 xxuux + 3xuuux + 3xuuxx + 3uuuxuxx + uuxxx + uuuux türevleri ⇤F |v== F eşitliğinde yerine yazıldığında ( ↵ ⇤ 1/2 2Dt ) au + bu (xx + 2xuux + uuxx + uuux) ⇥ ⇤ c xxx + 3xxuux + 3 2 3xuuux + 3xuuxx + 3uuuxuxx + uuxxx + uuuux ⇥ ⇤ = ↵ ut + 1/2 au + bu ux + cuxxx ifadesi elde edilir. Bu ifade, u’nun türevli terimlerine göre düzenlenir ve eşitliğin her iki tarafındaki katsayılar eşitlenirse : 3 1/2ux au + bu xu 3 1/2cxxu = au + bu uxx : 1/2au + bu u 3cxu = 0 125 2 : 1/2ux au + bu uu 3cxuu = 0 uxuxx : 3cuu = 0 uxxx : cu = c 3 ux : cuuu = 0 sabit : 1/2au + bu xx cxxx = 0 kesirli : ( ↵ ⇤Dt ) = ↵ ut sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümünden f(t) ve g(t) keyfi fonksiyonları için = v = f(t)x+ g(t) (9.2.1) bulunur. (9.2.1) ifadesinde g(t) = 0 olduğunda v1 = f(t)x için Lagrangian ⇥ ⇤ L = ↵ 1/2f(t)x ut + au + bu ux + cuxxx biçimindedir. Dolayısıyla (9.0.1) denkleminin korunum vektörleri Xn1 ✓ ◆ t = ↵1k @L T1 Dt ( k n n W )Dt ↵ (1) J (W,Dt (f(t)x)) @D u k=0 t Xn1 = ↵1kDt ( k n nux)Dt (f(t)x) (1) J (ux, Dt (f(t)x)) , k=0 x L L L T1 =W +Dx(W ) + 2 Dx(W ) ux uxx uxxx = f( ) 1/2t x au + bu ux + cf(t)uxx cf(t)xuxxx olarak elde edilir. 126 Benzer şekilde (9.2.1) ifadesinde f(t) = 0 olduğunda v2 = g(t) için Lagrangian ⇥ ⇤ L = ( ) ↵ + 1/2g t ut au + bu ux + cuxxx olup (9.0.1) denkleminin korunum vektörleri Xn1 ✓ ◆ t ↵1k k @L T1 = Dt (W )Dt ↵ (1) n ( nJ W,Dt (f(t)x)) @D u k=0 t Xn1 = ↵1k k n nDt (ux)Dt (g(t)) (1) J (ux, Dt (g(t))) , k=0 x L L L T1 =W +Dx( ) + 2 W Dx(W ) ux uxx uxxx = ( ) 1/2g t au + bu ux g(t)uxxx biçimindedir. 127 10. SONUÇLAR VE TARTIŞMALAR Bu doktora tezinde lineer olmayan KDD’lerin bağımsız değişkenlerden biri t zaman olan OTDD ve OTDDS ayrıntılı bir şekilde ele alınmıştır. Gözönüne alınan denklem veya sistem için Lie grup analizinin teorik yapısı ve uygulaması verilmiştir. Diferensiyel denk- lemlerin korunum kanunlarının oluşturulmasında üç yaklaşım ele alınarak ilişkileri araş- tırılmıştır. Buna ek olarak simetriler ile korunum kanunlarının ilişkisiyle tanımlanan çift indirgeme yönteminin uygulaması verilmiştir. Ayrıca literatürdeki en genel tam çözüm bulma yöntemlerinden üç tanesi gözönüne alınarak algoritmik uygulanışı verilmiştir. Tezin birinci bölümü olan giriş kısmında Lie gruplarının önemi, tarihsel süreci ve ko- runum kanunları arasındaki ilişkiler sunulmuştur. Korunum kanunlarını bulmak için li- teratürde va rolan önemli bazı yaklaşımların neler olduğu vurgulanmıştır. OTDD den- klemlerinin analitik çözümlerini elde etmek için literatürde var olan yaklaşımlardan bahse- dilmiştir. İkinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerinde, tezin alt yapısını oluşturacak olan temel kavram- lar, tanımlar ve teoremler ayrıntılı bir biçimde verilmiştir. Beşinci bölümde varyant Boussinesq sistemi ele alınarak sisteme Lie grup analizi uygu- lanarak Lie nokta simetrileri elde edilmiştir. Simetrilerdeki keyfi sabitlerin dört özel du- rumu için simetri indirgemeleri bulunmuştur. Ardından en basit denklem yöntemi ile sistemin indirgenmiş denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca çarpan yöntemi ile sistemin çarpan fonksiyonları elde edilmiş ve bu çarpanlara karşılık gelen korunum kanunları oluşturulmuştur. Elde edilen çarpanlar ve korunum kanunları GeM paket prog- ramı ile karşılaştırılarak sonuçlar teyit edilmiştir. Altıncı bölümde Schamel-Korteweg-de Vries denklemi ele alınmıştır. Denklemin Lie grup analizi ile üç farklı durum için Lie nokta simetrileri elde edilmiştir. Ardından denk- leme genelleştirilmiş Kudryashov yöntemi sistematik olarak uygulanarak denklemin tam çözümleri elde edilmiştir. Bu çözümler Çizelge 6.2.1’de ifade edilmiştir. Ayrıca keyfi 128 sabitlere verilen keyfi değerler için denklemin sayısal simülasyonları Şekil 6.2.1a-b-c-d-e ile sunulmuştur. Buna ek olarak en basit denklemlerden Bernoulli denklemi gözönüne alınmıştır. Bernoulli denkleminin çözümlerinden yola çıkarak S-KdV denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca bu çözümlere karşılık gelen bazı simülasyonlar Şekil 6.3.1a-b-c ile sunulmuştur. Ardından en basit denklemlerden bir diğeri olan Riccati denklemi ele alınarak S-KdV denkleminin tam çözümleri araştırılmıştır. Bulunan tam çözümler Şekil 6.3.2a-b ile sayısal olarak simülasyon edilmiştir. S-KdV denklemi için çarpan yöntemi kullanılarak denklemin çarpanlar elde edilmiş ve bu çarpanlara karşılık gelen korunum kanunları oluşturulmuştur. Bunun yanında Ibragimov’un yeni korunum teoremi ile denklemin yerel olmayan korunum kanunları oluşturularak Çizelge 6.5.1’de ifade edilmiştir. Son olarak elde edilen korunum kanunları ile ilişkili olan simetriler kul- lanılarak çift indirgeme yöntemi ile denklemin kapalı çözümleri bulunmuştur. Yedinci bölümde, (2 + 1) boyutlu K-DS nin Lie grup analizi yapılmıştır. Ayrıca sistemin bazı tam çözümlerini bulmak için ( 0G /G, 1/G) genişleme yöntemi uygulanmıştır. Bu sonuçlardan bazıları literatürdeki diğer çalışmalarla uyumlu olup ayrıca yeni sonuçlar da elde edilmiştir. Bu çalışmada elde edilen sonuçlardan ( 0G /G, 1/G) genişleme yöntemi, lineer olmayan OTDD için güçlü, etkili ve uygun bir yöntem olduğu görülmüştür. Açıkça bu yöntemin diğer yöntemlerden daha genel uygulamalara sahip olduğu söylenebilir. Ele alınan sistem için korunum kanunları çarpan yaklaşımı ile oluşturulmuştur. Bu yöntem üç çarpanı ve dolayısıyla da üç korunum kanununu oluşturmuştur. Burada oluşturulan korunum kanunu ile sistemin çözümleri ve indirgemeleri yapılabilir (Bokhari 2011). Sekizinci bölümün ilk kısmında logaritmik KdV-benzeri denklemi ele alınmıştır. Denk- lemin Lie grup analizi yapılarak Lie nokta simetrileri elde edilmiştir. Ayrıca çarpan yöntemi ile denklemin çarpanları ve bu çarpanlara karşılık gelen korunum kanunları oluş- turulmuştur. Oluşturulan korunum kanunları özyineleme formülünde kullanılarak denk- lemin yerel olmayan korunum kanunları da elde edilmiştir. Ibragimov’un geliştirdiği eşlenik denklem tanımı kullanılarak denklemin eşlenik denklemi elde edilmiştir. Buradan 129 hareketle lineer olmayan kendi eşleniklik ile elde edilen fonksiyonlarının çarpanlar ile eşit olduğu görülmüştür. Buna ek olarak denklemin eşlenik simetrileri elde edilmiştir. Eşlenik simetrinin ! sonsuz küçük fonksiyonlarının yukarıda bahsedilen fonksiyon- larına ve çarpanlara eşit olduğu gösterilmiştir. Oluşturulan korunum kanunları ile ilişkili simetriler kullanılarak çift indirgeme yöntemi ile denklemin analitik çözümleri elde edil- miştir. Elde edilen çözümler için Şekil 8.1.1 sayısal simülasyonu sunulmuştur. Bölümün ikinci kısmında logaritmik KP-benzeri denklemi ele alınarak denklemin Lie nokta simetri- leri elde edilmiştir. Çarpan yöntemi ile denklemin çarpanları ve bu çarpanlara karşılık gelen korunum kanunları oluşturulmuştur. Oluşturulan korunum kanunları özyineleme formülünde kullanılarak yerel olmayan korunum kanunları elde edilmiştir. Ayrıca orijinal denklemin eşlenik denklemi elde edilerek lineer olmayan kendi eşleniklik ile elde edilen fonksiyonlarının denklemin ⇤ çarpan fonksiyonlarına eşit olduğu görülmüştür. Bun- lara ek olarak denkem için eşlenik simetriler elde edilerek ! sonsuz küçük fonksiyon- larının yukarıda bahsedilen fonksiyonlarına ve ⇤ çarpan fonksiyonlarına eşit olduğu açıkça görülmüştür. Son olarak KP-benzeri denkleminin korunum kanunları ile ilişkili simetriler kullanılarak çift indirgeme yöntemi ile denklem birinci mertebeden ADD’ye indirgenmiştir. Bazı özel durumlar için indirgenmiş ADD’in analitik çözümleri bulu- nabilir. Dokuzuncu bölümde, zaman kesirli Schamel-Korteweg-de Vries denklemi ele alınarak denklemin Lie grup analizi yapılarak simetrileri elde edilmiştir. Ayrıca korunum ka- nunları oluşturulmuştur. Bunlara ek olarak lineer olmayan kendi eşleniklik ile korunum vektörleri elde edilmiştir. Tüm bu elde edilen sonuçların yanında ileride çalışılması düşünülen açık problemler de mevcuttur. Örneğin, yerel olmayan simetrileri bulmak için genel literatürde henüz bir genel yaklaşım yoktur. Bunu bulmak için ilerideki çalışmalarda algoritmik bir yöntem geliştirmek istiyorum. Bir diğer açık problem kesirli mertebeli diferensiyel denklem- ler için yerel olmayan simetrilerin araştırılmasıdır. Ayrıca zaman kesirli terimin yanına 130 uzay kesirli terimin çarpım olarak gelmesi halinde Lie grup analizinin araştırılması da açık problemlerdendir. Bu tez çalışmasında R-L anlamında kesirli mertebeli türev ope- ratörü kullanılmıştır. Bunun haricinde Caputo anlamında kesirli türev operatörü için de Lie simetri analizi ve korunum kanunlarının oluşturulması ilerideki çalışma konularından olacaktır. Bir diferensiyel denklem (veya sistem) homojen dengeleme özelliğine sahip değilse tam çözümlerin nasıl elde edileceği açık bir problem olarak durmaktadır. Bu problemi ele alacak bir yaklaşım geliştirmek istiyoruz. 131 KAYNAKLAR Ahmad, A. 2005. Symmetry solutions of some nonlinear PDE’s. Master Thesis, Dean- ship of Graduate Studies, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Dhahran Saudi Arabia. Akbulut, A., Taşcan, F. 2017. Lie symmetries, symmetry reductions and conservation laws of time fractional modified Korteweg–de Vries (mkdv) equation. Chaos, Solitons & Fractals, 100: 1-6. Anco, S.C., Bluman, G.W. 2002. Direct construction method for conservation laws of partial differential equations, Part II. General treatment. European Journal of Applied Mathematics, 13(5): 567-585. Biswas, A. 2009. Solitary wave solution for the generalized Kawahara equation. Applied Mathematics Letters, 22(2): 208-210. Bluman, G.W., Reid, G.J., Kumei, S. 1988. New classes of symmetries for partial differential equations. Journal of Mathematical Physics, 29(4): 806-811. Bluman, G.W., Kumei, S. 1989. Symmetries and differential equations with 21 illustra- tions. Springer-Verlag, New York, 412p. Bluman, G.W., Anco, S.C. 2002. Symmetry and integration methods for differential equations with 18 illustrations. Springer-Verlag, New York, 419p. Bluman, G.W., Cheviakov, A.F., Anco, S.C. 2010. Applications of symmetry methods to partial differential equations. New York: Springer, 168p. Bokhari, A.H., Al-Dweik, A.Y., Zaman, F.D., Kara, A. H., Mahomed, F. M., 2010. Generalization of the double reduction theory. Nonlinear Analysis: Real World Applica- tions, 11(5): 3763-3769. Cheviakov, A.F. 2007. GeM software package for computation of symmetries and con- servation laws of differential equations. Computer Physics Communications, 176(1): 48- 61. Cheviakov, A.F., Naz, R. 2017. A recursion formula for the construction of local conser- vation laws of differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 132 448(1): 198-212. Conte, R., Musette, M. 1989. Painleve analysis and Bäcklund transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22(2): 169-177. Ericksonn, M. 2008. Symmetries and conservation laws obtained by Lie goup analysis for certain physical systems. M.S. Thesis, Uppsala School of Engineering. Fan, E.G. 2000. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equa- tions. Physics Letters A, 277(4): 212-218. Gardner, C.S., Greene, J.M., Kruskal, M.D., Miura, R.M. 1974. Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. methods for exact solution. Communications on Pure and Applied Mathematics, 27(1): 97-133. Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, S.Y. 2007. Continuous transformation groups of fractional differential equations. Vestnik USATU, 9: 125-135. Gazizov, R.K, Kasatkin, A.A, Lukashchuk, S.Y. 2009. Symmetry properties of frac- tional diffusion equations. Phys.Scr., T136(014016): 1-5. Gilmore, R. 1974. Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. A. Wiley- Inter Science Publication, Canada, 589p. Gilmore, R. 2008. Lie group, physics and geometry. Cambridge University Press, Cam- bridge, UK, 504p. Hilfer, R. 2000. Applications of fractional calculus in physics. World Scientific, Singa- pore, 464p. Hirota, R. 2004. The direct method in soliton theory. Cambridge University Press, 204p. Hydon, P.E. 2000. Symmetry methods for differential equations a beginner’s guide. Cambridge University Press, New York, 215p. Huang, Q., Zhdanov, R. 2014. Symmetries and exact solutions of the time fractional Harry-Dym equation with Riemann-Liouville derivative. Phys. A, 409: 110–118. Ibragimov, N.H. 1993. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations, Volume 1. Symmetries exact eolutions and conservation laws. CRC Press, 552p. 133 Ibragimov, N.H. 2001. Transformation groups applied to mathematical physics Volume 3. Springer Science & Business Media, 403p. Ibragimov, N.H. 2007. A new conservation theorem. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 333(1): 311-328. Ibragimov, N.H. 2011. Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws. arXiv preprint arXiv:1109.1728. Kadomtsev, B.B., Petviashvili, V.I. 1970. On the stability of solitary waves in weakly dispersing media. In Sov. Phys. Dokl, 15(6): 539-541. Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J. 2006. Theory and application of fractional differential equations. Elsevier, Amsterdam, 189p. Kiraz Açıl, F. 2007. Kısmi türevli diferensiyel denklemlerin Lie simetrileri üzerine. Dok- tora Tezi, Ege Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, İzmir. Konno, K., Wadati, M. 1975. Simple derivation of Bäcklund transformation from Ric- cati form of inverse method. Progress of Theoretical Physics, 53(6): 1652-1656. Kudryashov, N.A. 1988. Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics. In Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 52(3): 361-365. Kudryashov, N.A. 2005. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlin- ear differential equations. Chaos, Solitons & Fractals, 24(5): 1217-1231. Kudryashov, N.A. 2008. Solitary and periodic solutions of the generalized Kuramoto- Sivashinsky equation. Regular and Chaotic Dynamics, 13(3): 234-238. Kudryashov A.A. 2012. One method for finding exact solutions of nonlinear differen- tial equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(6): 2248-2253. Li, L.X., Li, E.Q., Wang, M.L. 2010. The ( 0G /G, 1/G)-expansion method and its ap- plication to travelling wave solutions of the Zakharov equations. Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, 25(4): 454-462. Lukashchuk, S.Y. 2015. Conservation laws for time-fractional subdiffusion and diffusion- wave equations. Nonlinear Dynamics, 80(1-2): 791-802. 134 Ma, W.X. 2004. Wronskians, generalized Wronskians and solutions to the Korteweg-de Vries equation. Chaos, Solitons & Fractals, 19(1): 163-170. Ma, Y., Geng, X. 2012. Darboux and Bäcklund transformations of the bidirectional Sawada-Kotera Equation. Applied Mathematics and Computation, 218(12): 6963-6965. Malfliet, W., Hereman, W. 1996. The tanh method: I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations. Physica Scripta, 54(6): 563. Noether, E. 1918. Invariante variations probleme. Königliche Gesellschaft der Wis- senschaften zu Göttingen, Nachrichten, Mathematisch-Physikalische Klasse Heft, 2: 235- 257. English translate:1971 Transport Theory Statist. Phys. 1(3): 186-207. Olver, P.J. 1993. Application of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, New York. 514p. Olver, P.J. 2000. Applications of Lie groups to differential equations. Vol. 107, Springer Science & Business Media, 517p. Osler, T.J. 1970. Leibniz rule for fractional derivatives generalized and an application to infinite series. SIAM J. Appl. Math., 18: 658-674. Ovsyannikov, L.V. 1982. Group analysis of differential equations. Academic Pres, New York, 416p. Özceylan, M. 2007. Bir parametreli Lie gruplarının diferensiyel denklemlere uygulan- ması. Y. Lisans Tezi, Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Edirne. Parkes, E.J. 1994. Exact solutions to the two-dimensional Korteweg-de Vries-Burgers equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 27(13): L497-L501. Parkes, E.J., Duffy, B.R. 1996. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations. Comput. Phys. Commun., 98: 288-300. Podlubny, I. 1999. Fractional differential equations. Academic Press, San Diego, 341p. Pucci, E., Saccomandi, G. 1993. Potential symmetries and solutions by reduction of partial differential equations. Journal of Physics A: Mathematical and General, 26(3): 681-690. 135 Ryabov, P.N. 2010. Exact solutions of the Kudryashov-Sinelshchikov equation. Applied Mathematics and Computation, 217(7): 3585-3590. Sahadevan, R., Bakkyaraj, T. 2012. Invariant analysis of time fractional generalized Burgers and Korteweg-de Vries equations. J. Math. Anal. Appl., 393: 341–347. San, S. 2011. Kısmi diferensiyel denklemlerin simetrileri ve çözümleri. Y.L. Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı, Eskişehir. San, S. 2014. Kısmi diferensiyel denklemlerin korunum kanunları ve indirgemeleri. Dok- tora Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı, Eskişehir. San, S., Yaşar, E. 2015. On the conservation laws of Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1): 1297- 1304. San, S. 2016. Invariant analysis of nonlinear time fractional Qiao equation. Nonlinear Dynamics, 85(4): 2127-2132. Sen, A., Ahalpara, D.P., Thyagaraja, A., Krishnaswami, G.S. 2012. A KdV-like advection-dispersion equation with some remarkable properties. Communications in Non- linear Science and Numerical Simulation, 17(11): 4115-4124. Singla, K., Gupta, R.K. 2016. On invariant analysis of some time fractional nonlinear systems of partial differential equations. I. Journal of Math. Phys., 57(101504): 1-14. Stephani, H. 1989. Differential equations: their solution using symmetries. Cambridge University Press, 264p. Steudel, H. 1962. Über die zuordnung zwischen invarianzeigenschaften und Erhaltungssätzen. Zeitschrift für Naturforschung A, 17(2): 129-132. Vitanov, N.K. 2010. Application of simplest equations of Bernoulli and Riccati kind for obtaining exact traveling-wave solutions for a class of PDEs with polynomial nonlinearity. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 15(8): 2050-2060. Yakut, A. 2012. Kısmi diferensiyel denklemler için korunum kanunları. Yükseklisans 136 Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı, Eskişehir. Yaşar, E. 2009. Oluşum türü denklemlerin yerel ve yerel olmayan yeni korunum ka- nunları. Doktora Tezi, Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Bursa. Yaşar, E., Yıldırım, Y., Khalique, C.M. 2016. Lie symmetry analysis, conservation laws and exact solutions of the seventh-order time fractional Sawada–Kotera–Ito equation. Re- sults in Physics, 6: 322-328. Wang, M., Li, X., Zhang, J. 2008. The ( 0G /G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics. Physics Letters A, 372(4): 417-423. Wang, G.W., Liu, X.Q., Zhang, Y.Y. 2013. Lie symmetry analysis to the time fractional generalized fifth-order KdV equation. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 18: 2321–2326. Wazwaz, A.M. 2015. Peakon and solitonic solutions for KdV-like equations. Physica Scripta, 90(4): 1-9. Wazwaz, A.M. 2016. Gaussian solitary wave solutions for nonlinear evolution equations with logarithmic nonlinearities. Nonlinear Dynamics, 83(1-2): 591-596. Zayed, E.M.E., Abdelaziz, M.A.M. 2012. The two-variable ( 0G /G, 1/G)-expansion method for solving the N-nonlinear KdV-mKdV equation. Mathematical Problems in Engineering, 2012: 1-14. Zheng, S. 2004. Nonlinear evolution equations. CRC Press, 287p. 137 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : İlker Burak GİRESUNLU Doğum Yeri ve Tarihi : Amasya 22/08/1985 Yabancı Dil : İngilizce Eğitim Durumu Lise : Amasya Anadolu Lisesi (2003) Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2008) Yüksek Lisans : Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü (2013) Çalıştığı Kurumlar ve Yıl : Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü (2010-2011) Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü (2011-2016) Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü (2016-) İletişim(e–posta) : ilkergiresunlu@gmail.com Yayınlar Giresunlu İ.B., Yasar E. 2015. First integrals and exact solutions for path equation describing minimum drag work. Int. J. Adv. Appl. Math. and Mechi, 2(4): 41-52. Yaşar E., Giresunlu İ.B. 2015. Lie symmetry reductions, exact solutions and conserva- tion laws of the third order variant Boussinesq system. Acta Physica Polonica A, 128(3): 252-255. Yaşar E., Giresunlu İ.B. 2016. The ( 0G /G, 1/G)-expansion method for solving nonlin- ear space–time fractional differential equations. Pramana, 87(2): 1-7. Yaşar E., Yıldırım Y., Giresunlu İ.B. 2016. First integrals and analytical solutions of the nonlinear fin problem with temperature-dependent thermal conductivity and heat transfer coefficient. Pramana, 87(2): 1-9. Yaşar E., Giresunlu İ.B. 2016. Exact traveling wave solutions and conservation laws of (2+1) dimensional Konopelchenko-Dubrovsky system. International Journal of Nonlin- ear Science, 22(2): 118-128. Giresunlu İ.B., Özkan Y.S., Yaşar E. 2017. On the exact solutions, lie symmetry anal- ysis, and conservation laws of Schamel-Korteweg-de Vries equation. Math. Meth. Appl. Sci., 40: 3927–3936. Yaşar E., Giresunlu İ.B. 2017. Symmetry reductions, exact solutions and conservation laws for the coupled nonlinear Klein-Gordon system. Celal Bayar Üniversitesi Fen Bi- limleri Dergisi, 13(3): 593-599. 138