OLUŞUM TİPİ LİNEER OLMAYAN
PARÇA TÜREVLİ DİFERENSİYEL
DENKLEMLERİN TAM ÇÖZÜMLERİ
Yakup YILDIRIM
T.C.
BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OLUŞUM TİPİ LİNEER OLMAYAN PARÇA TÜREVLİ DİFERENSİYEL
DENKLEMLERİN TAM ÇÖZÜMLERİ
Yakup YILDIRIM
Doç. Dr. Emrullah YAŞAR
(Danışman)
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BURSA-2019
Her Hakkı Saklıdır


ÖZET
Doktora Tezi
OLUŞUM TİPİ LİNEER OLMAYAN PARÇA TÜREVLİ DİFERENSİYEL
DENKLEMLERİN TAM ÇÖZÜMLERİ
Yakup YILDIRIM
Bursa Uludağ Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danşman: Doç. Dr. Emrullah Yaşar
Bu tez çalışmasında oluşum tipi lineer olmayan parça türevli diferensiyel denklemlerin
tam çözümleri araştırılmıştır. (1+1) boyutlu genelleştirilmiş bir Korteweg–de Vries denk-
lemi, (2+1) boyutlu Sawada–Kotera denklemi, yeni genelleştirilmiş bir (3+1) boyutlu li-
neer olmayan oluşum türü denklemi, (2+1) boyutlu yerel olmayan Ito denklemi, (2+1)
boyutlu kırılgan soliton denklemi ve yedinci mertebeden kesirli Sawada–Kotera–Ito denk-
lemlerinin tam çözümleri elde edilmiştir. İlerleyen dalga çözümü, knoidal dalga çözümü,
sinoidal dalga çözümü, bir soliton çözümü, iki soliton çözümü, üç soliton çözümü, komp-
leksiton çözümü, çoklu soliton çözümü, lump tipi çözümü, rasyonel çözümü, soliton çö-
zümü, poziton çözümü, negaton çözümü, rasyonel-soliton-poziton etkileşim çözümü ve
kuvvet seri çözümleri elde edilmiştir. Bu çözümlerin elde edilmesi için en basit denklem
metodu, yeni test fonksiyon metodu, çoklu eksponansiyel fonksiyon metodu, geliştirilmiş
rasyonel fonksiyon metodu, lump ve lump tipi çözüm algoritması, Wronskian determi-
nant algoritması, kuvvet seri metodu ve Lie simetri yaklaşımları tüm adımlarıyla birlikte
sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Hirota türev operatörleri, genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri,
Wronskian determinantı, Riemann–Liouville kesir türevi, tam çözümler, Lie simetrileri.
2019, ix+127 sayfa.
i
ABSTRACT
PhD Thesis
EXACT SOLUTIONS TO EVOLUTION TYPE NONLINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Yakup YILDIRIM
Bursa Uludag University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Emrullah Yaşar
In this thesis study, the exact solutions to evolution type nonlinear partial differential
equations have been investigated. The exact solutions to (1+1)-dimensional an exten-
ded Korteweg–de Vries equation, (2+1)-dimensional Sawada-Kotera equation, a new ex-
tended (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation, (2+1)-dimensional non-local Ito
equation, (2+1)- dimensional the breaking soliton equation and seventh-order time frac-
tional Sawada-Kotera-Ito equation have been obtained. The traveling wave solution, cno-
idal wave solution, snoidal wave solution, one soliton solution, two soliton solution, three
soliton solution, complexiton solution, multi-soliton solution, lump-type solution, rational
solution, soliton solution, positon solution, negaton solution, rational-soliton-positon inte-
raction solution and power series solutions have been obtained. In order to obtain these so-
lutions, the simplest equation method, novel test function method, multiple exp-function
method, extended transformed rational function method, lump and lump-type solution al-
gorithm, Wronskian determinant algorithm, power series method and Lie symmetry app-
roaches together with all the steps have been presented.
Key Words: Hirota derivative operators, generalized Hirota derivative operators, Wrons-
kian determinant, Riemann–Liouville fractional derivative, exact solutions, Lie symmet-
ries.
2019, ix+127 pages.
ii

İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. ÖN BİLGİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. TAM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1. En Basit Denklem Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Çoklu Eksponansiyel Fonksiyon Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Geliştirilmiş Rasyonel Fonksiyon Yaklaşımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Yeni Test Fonksiyonu Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5. Lump ve Lump Tipi Çözüm Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6. Wronskiyen Determinant Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7. Tam mertebeli denklemler için Lie simetri yaklaşımı . . . . . . . . . . . . . 31
3.8. Zaman kesir mertebeli denklemler için Lie simetri yaklaşımı . . . . . . . . . 33
4. TAM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİNİN UYGULAMALARI . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1. En Basit Denklem Yöntemiyle Elde Edilen Çözümler . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.1. Bernoulli denkleminin en basit denklem olarak kullanılması . . . . . . . . 35
4.1.2. Riccati denkleminin en basit denklem olarak kullanılması . . . . . . . . . . 37
4.1.3. Jacobi eliptik fonksiyonların en basit denklem olarak kullanılması . . . . . 37
4.2. Çoklu Eksponansiyel Fonksiyon Metoduyla Elde Edilen Çözümler . . . . . . 40
4.2.1. Bir dalga çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2. İki dalga çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3. Üç dalga çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Geliştirilmiş Rasyonel Fonksiyon Yaklaşımıyla Elde Edilen Çözümler . . . . 46
4.3.1. Hirota bilineer denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2. Kompleksiton çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4. Yeni Test Fonksiyonu Metoduyla Elde Edilen Çözümler . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1. Hirota bilineer denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2. Çoklu soliton çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5. Lump ve Lump Tipi Çözüm Algoritmasıyla Elde Edilen Çözümler . . . . . . 63
4.5.1. Hirota bilineer denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.2. Genelleştirilmiş Hirota bilineer denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.3. Yeni bir (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklem . . . . . . . . 65
4.5.4. Lump tipindeki çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6. Wronskiyen Determinant Algoritmasıyla Elde Edilen Çözümler . . . . . . . 76
4.6.1. Hirota bilineer denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6.2. Wronskiyen şartları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6.3. Rasyonel çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.4. Soliton, positon ve negaton çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6.5. Etkileşim çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
iv
4.7. Lie simetri indirgemesi ve çözümlerinin tam mertebeli denklemlere uygulan-
ması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.7.1. Lie simetri analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.2. Lie simetri indirgemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7.3. En basit denklem yöntemiyle çözümlerin bulunması . . . . . . . . . . . . . 98
4.8. Lie simetri indirgemesi ve çözümlerinin zaman kesir mertebeli denklemlere
uygulanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.8.1. Lie simetri analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.8.2. Lie simetri indirgemesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8.3. Kuvvet serisi yöntemiyle çözümlerin bulunması . . . . . . . . . . . . . . . 109
5. SONUÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ÖZGEÇMİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
v
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ
Simgeler Açıklama
Dαx D
β
t f (x, t)g(x, t) Hirota türev operatörleri
D∣ α β∣ p,xDp∣∣,t f (x, t)g(x, t) Genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri∣N̂−1∣ Wronskian determinantı
Eα Lineer olmayan oluşum türü denklem sistemi
x1,x2, ...,xn n tane bağımsız değişken
u1,u2, ...,um m tane bağımlı değişken
u(k) k inci mertebeden kısmi türev
D (uαi ) Total türev operatörü
uαi u
α nın xi bağımsız değişkenine göre türevi
ξ i Bağımsız değişkenlerin sonsuz küçük fonksiyonları
η j Bağımlı değişkenlerin sonsuz küçük fonksiyonları
X Lie dönüşüm grubuna karşılık gelen Lie üreteci
X(k) Lie üretecinin k. mertebe uzanımı
ζ αi ....i Sonsuz küçük dönüşümlerin uzanım formülleri1 s
∂ αt f (t) α. mertebeden Riemann–Liouville kesir türevi
Γ(z) Gamma fonksiyonu
η(0α ) Riemann–Liouville kesir türevli uzanım formülü
(Pτ,αβ g) Erdelyi-Kober kesir türev operatörü
Kτ,αβ g Erdelyi-Kober kesir integral operatörü
Kısaltmalar Açıklama
KdV Korteweg–de Vries
SK Sawada–Kotera
SKI Sawada–Kotera–Ito
CDG Caudrey–Dodd–Gibbon
KK Kaup–Kupershmidt
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Sayfa
Şekil 4.1. (4.4) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 36
Şekil 4.2. (4.4) denkleminin cnoidal dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 38
Şekil 4.3. (4.4) denkleminin snoidal dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 39
Şekil 4.4. (4.24) denkleminin bir dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Şekil 4.5. (4.24) denkleminin iki dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Şekil 4.6. (4.24) denkleminin üç dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Şekil 4.7. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri . . . . . . . . . . . . 51
Şekil 4.8. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri . . . . . . . . . . . . 52
Şekil 4.9. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri . . . . . . . . . . . . 53
Şekil 4.10. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri . . . . . . . . . . . . 55
Şekil 4.11. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 59
Şekil 4.12. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 60
Şekil 4.13. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . . . 62
Şekil 4.14. (4.105) denkleminin (4.108) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Şekil 4.15. (4.105) denkleminin (4.111) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Şekil 4.16. (4.105) denkleminin (4.113) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Şekil 4.17. (4.105) denkleminin (4.125) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Şekil 4.18. (4.105) denkleminin (4.127) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Şekil 4.19. (4.105) denkleminin (4.128) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Şekil 4.20. (4.105) denkleminin (4.129) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm gra-
fikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Şekil 4.21. (4.221) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . 99
Şekil 4.22. (4.221) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . . . . . . 100
Şekil 4.23. (4.221) denkleminin (4.249) ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . 101
Şekil 4.24. (4.221) denkleminin (4.249) ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . 102
Şekil 4.25. (4.221) denkleminin (4.250) ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . 102
Şekil 4.26. (4.221) denkleminin (4.250) ilerleyen dalga çözüm grafiği . . . . . . . 103
vii
1. GİRİŞ
Diferensiyel denklemler kavramına tarihsel süreç içerisinde ilk defa 17. yy da Isaac Ne-
wton’un 1671 yılında yayımladığı kitabının ikinci bölümünde rastlanmaktadır (Newton
1671). Bu kaynakta Newton,
dy
= f (x), (1.1)
dx
dy
= f (x,y), (1.2)
dx
∂y ∂y
x1 + x2 = y (1.3)∂x1 ∂x2
biçimindeki denklemleri ele almış ve sonsuz seriler yöntemini kullanarak bu denklemleri
çözmeye çalışmıştır. Bunun yanında çözümlerin tek olmadığını da ileri sürmüştür.
18. ve 19. yüzyıllar arasında ise Euler, Bernoulli, Leibniz, Fourier, D Alembert, Lagrange
gibi birçok bilim adamı çeşitli tipteki denklemleri (ısı ve dalga denklemleri gibi) ve bu
denklemlere karşılık gelen fiziksel olayları incelemişlerdir. Örneğin 1822 yılında Joseph
Fourier kitabında ısı akışı konusunu, Isaac Newton’un soğuma prensibe dayalı olarak ele
almış ve bugün lisans düzeyindeki öğrencilere okulan
ut = kuxx, k ∈ R (1.4)
ısı denklemini incelemiş ve bir teori ortaya atmıştır (Fourier 1822).
19. ve 20. yüzyıllarda ise diferensiyel denklemler teorisi Matematiğin analiz ve fonk-
siyonlar teorisi dalı dışında görülmüş ve çok çalışılan bilim dallarından biri olmuştur. Bu
yüzyıllarda iki temel ayrışım söz konusu olmuştur. Bunlardan birincisi ele alınan denklem
veya sistemin çözümlerini elde etmeden problemin göz önüne alındığı bölge ve uzayda
çözümlerin varlık ve tekliğini araştıran niteliksel yaklaşımdır (Cauchy 1844, Kovalevs-
kaya 1875, Peano 1886). İkinci yaklaşım ise, ele alınan denklem veya sistemlerin (lineer
olup olmamasına bakılmaksızın) çözümlerinin yapısını araştıran niceliksel yaklaşımdır.
Bu iki farklı yaklaşımda oldukça önemlidir. 19. yüzyılın sonlarında integre edilebilen
1
denklemler teorisi ortaya atılmış ve sığ su dalga denklemleri için geliştirilen
ut +6uux +uxxx = 0 (1.5)
Korteweg- de Vries denklemi ilk defa Diederik Korteweg and Gustav de Vries tarafından
tanıtılmıştır (Korteweg ve de Vries 1895). Bu denklemde de görülebilceği lineer olma-
yan yapının yanında bağımsız değişkenlerden birisi t zaman değişkeni olup diğeri ise x
uzaysal değişkenidir. Dolayısıyla
F(t,x,u,ut ,ux,uxx, ....) = 0 (1.6)
biçimindeki denklemlere oluşum tipi denklemler denilmiş ve şu güne kadar üzerinde ol-
dukça yoğun bir şekilde çalışılmıştır. Mesela, KdV denklemi için 20. yüzyıldan itibaran
çözümlerinin elde edilebilmesi adına ters saçılım yaklaşımı, Backlund dönüşümleri, Hi-
rota bilineerleştirme metodu, homojen dengeleme yaklaşımı gibi metotlar geliştirilmiştir.
Lineer olmayan oluşum türü denklemler fizik, mekanik, mühendislik, malzeme bilimi,
akışkan mekaniği, katı hal fiziği, kimya, plazma fiziği, kimyasal fizik, optik fiberler, je-
okimya, biyoloji, kimyasal kinetik, derin su dalgaları, okyanusbilim, sinyal işleme ve
sistem tanımlama gibi bilimin birçok alanında meydana gelen fiziksel olayları model-
lemektedir. Bu sebepten dolayı bu tür denklemlerin modellediği fiziksel olayın daha iyi
anlaşılması için veya başka bir deyişle ele alınan problemin fiziksel karakteristiğine daha
iyi bir açıdan bakmak ve muhtemel uygulamalarını keşfetmek için çözümlerinin elde edil-
mesi oldukça önemlidir. Bu tür denklemlerin çözümlerinin bulunması geliştirilen metotlar
ve bilgisayar programları (Maple ve Mathematica gibi) yardımıyla mümkün olmaktadır.
Genel olarak söylemek gerekirse (Lie simetri grupları metodu hariç) ele alınan oluşum
türü denklem veya sistemlerin terimleri arasında dengeleme prensibinin sağlanması ge-
rekmektedir. Bu tür kısıtlıyıcı şartlara rağmen son yıllarda tam çözümler hakkında muaz-
zam çalışmalar yapılmış ve önemli gelişmeler olmuştur.
Bu tez çalışmasında son yıllarda yapılan bu çalışmalara ve gelinen sürece katkı yapmak
amacıyla bazı oluşum tipi lineer olmayan parça türevli diferensiyel denklemlerin genel
2
olarak nümerik çözümlerinden ziyade analitik çözümleri elde edilmiştir. Bu çözümlerin
elde edilmesi için gerekli olan bazı önemli metotlar sunulmuştur.
Tezin ikinci bölümünde, lineer olmayan oluşum türü denklemlerin tam çözümlerinin elde
edilmesinde kullanılan metotlar için gerekli olan temel tanım ve operatörler verilmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde, literatürde var olan en basit denklem metodu, yeni test fonk-
siyon metodu, çoklu eksponansiyel fonksiyon metodu, geliştirilmiş rasyonel fonksiyon
metodu, lump ve lump tipi çözüm algoritması, Wronskian determinant algoritması ve Lie
simetri yaklaşımları tüm adımlarıyla birlikte sunulmuştur.
Tezin dördüncü bölümünde, uygulamalı bilimlerde kullanılan (akışkanlar mekaniği, op-
tik, sığ su dalga teorisi, nükleer fizik v.b) ve bu alanlarda oldukça önemli olan (1+1)
boyutlu bir genelleştirilmiş Korteweg–de Vries denklemi, (2+1) boyutlu Sawada–Kotera
denklemi, bir yeni genelleştirilmiş (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklemi,
(2+1) boyutlu yerel olmayan Ito denklemi, bir (2+1) boyutlu kırılgan soliton denklemi
ve yedinci mertebeden kesirli Sawada–Kotera–Ito denklemlerinin tam çözümleri üçüncü
bölümde verilen metotlar kullanılarak sistematik olarak elde edilmiştir. Ayrıca elde edilen
bazı çözümlerdeki parametrelere göre grafik simülasyonları yapılarak modellerin grafik-
leri çizilmiştir.
Tezin beşinci bölümü sonuçlar kısmına ayrılmıştır. Bu bölümde, elde edilen sonuçların
fiziksel yorumları ve literatürde daha önce elde edilen çözümlerle ayrıntılı karşılaştırma-
ları yapılmıştır.
3
2. ÖN BİLGİLER
Bu bölümde, literatürde var olan lineer olmayan oluşum türü denklemlerin tam çözümleri
bulunurken kullanılan metotlar için gerekli olan temel tanım ve operatörler verilecektir.
Dengeleme prensibi: Toplam şeklinde verilen tam çözüm fonksiyonunun üst sınırını tem-
sil etmektedir. Lineer olmayan herhangi bir adi diferensiyel denklemde en yüksek merte-
beden lineer olan terim ile en yüksek dereceden lineer olmayan terim arasında elde edilen
en küçük pozitif değerli tamsayısıdır. Herhangi bir adi diferensiyel denklemde en yüksek
mertebeden lineer terim
dαF (z)
α (2.1)dz
ve en yüksek dereceden lineer olmayan terim
( )
β dγF (z)
θ
F (z) γ (2.2)dz
ile verilsin. Burada α ,β ,γ ,θ pozitif tam sayılardır. M dengelenme terimi olmak üzere
a
F (z) = M (2.3)z
dönüşümünü sırasıyla (2.1) ve (2.2) terimlerinde yerine yazılıp birbirlerine eşitlendiğinde
M+α = Mβ +θ (M+ γ) (2.4)
dengelenme bağıntısı bulunur (Güner 2014). Burada a reel sayıdır.
Hirota türev operatörleri: Göz önüne alınan lineer olmayan oluşum türü denklem-
lerin tam çözümleri araştırılırken ilk adım olarak Hirota türev operatörleri kullanılarak
denklemin Hirota bilineer denklemi elde edilir. Hirota türev operatörleri
( )α( )∂ ∂ ∂ ∂ β ( )∣∣
Dα βx Dt f
∣
(x, t)g(x, t) = − − f (x, t)g x′, t ′ ∣ (2.5)∂x ∂x′ ∂ t ∂ t ′ ∣
x=x′,t=t ′
4
şeklinde tanımlanır (Hirota 2004). Hirota türev operatörlerine
DxDt f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
D2x f f = 2 f f
2
2x−2 fx ,
D2t f f = 2 f f −2 f 22t t ,
D3xDt f f = 2 f f3xt−2 f3x ft−6 fx f2xt +6 f2x fxt ,
D6x f f = 2 f f6x−12 fx f5x +30 f2x f4x−20 f 23x (2.6)
biçiminde birkaç örnek verilebilir.
Genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri: Göz önüne alınan lineer olmayan oluşum
türü denklemlerin genelleştirilmiş Hirota bilineer denkleminin elde edilmesinde önemli
bir yere sahip olan genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri
( )
∂ ∂ a
( )
∂ ∂ b ( )∣∣
Dap,xD
b
p,t f (x, t)g
∣
(x, t) = +αp ′ +αp ′ f (x, t)g x
′, t ′
∂x ∂x ∂ ∂ ∣t t ∣
∣ x=x
′,t=t ′
a b ( )( )
∑ ∑ a b ∂
a−i ∂ i ∂ b− j ji j ∂ ( ′ ′)∣α α ∣=
i j p p ∂xa−i ∂x′(i) ∂ tb− j ∂ t ′
f (x, t)g x , t ∣ (2.7)
( j)
i=0 j 0 ∣= x=x′,t=t ′
şeklinde tanımlanır (Ma 2011). Burada
αs = (−1)rp(s)p , s = rp (s) mod p (2.8)
biçimindedir.
(2.7) denkleminde p = 2k (k ∈ N) alındığında genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri
Hirota türev operatörlerine dönüşür (Hirota 2004).
(2.7) denkleminde p = 3 alındığında (2.8) denkleminden
α =−1, α2 = α33 3 3 = 1, α43 =−1, α53 = α63 = 1, ...
5
sonuçları elde edilir ve bu sonuçlara karşılık gelen
D3,xD3,t f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
D33,xD3,t f f = 6 f2x fxt (2.9)
genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri elde edilir.
Benzer şekilde (2.7) denkleminde p = 5 alındığında (2.8) denkleminden
α5 =−1, α25 = 1, α35 =−1, α
4
5 = α
5
5 = 1, α
6
5 =−1, ...
sonuçları elde edilir ve bu sonuçlara karşılık gelen
D5,xD5,t f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
D35,xD5,t f f = 2 f f3xt−2 f3x ft−6 fx f2xt +6 f2x fxt (2.10)
genelleştirilmiş Hirota türev operatörleri elde edilir.
Wronskian determinantı: Göz önüne alınan lineer olmayan oluşum türü denklemlerin
Hirota bilineer denkleminin çözümünün bulunmasında önemli bir yere sahip olan Wrons-
kian determinantı
∣∣∣ ∣φ (0) φ (1) φ (N−1) ∣1 1 .. 1 ∣
∣∣∣
∣ ∣
∣∣ ( ) ∣∣∣ φ (0) φ (1) (N−1) ∣∣ 2 2 .. φ2 ∣∣N̂−1 = N̂−1;Φ ∣=W (φ1,φ2, ...,φn) = ∣∣∣∣∣∣
. . . . ∣∣∣∣ , N ≥ 1 (2.11)
∣ . . . . ∣∣φ (0) (1) (N−1) ∣N φN .. φN ∣
şeklinde tanımlanır. Burada φ1,φ2, ...,φn bir fonksiyon ailesi ve
∂ j
Φ (0) ( j)= (φ1,φ T2, ...,φn) , φi = φi , φi = j φi , j ≥ 1 , 1 6 i 6 N (2.12)∂x
6
olarak verilir (Freeman ve Nimmo 1983, Nimmo ve Freeman 1983).
Özellik 1: D ifadesi N ∗ (N−2) matris ve n boyutlu sütun vektörleri a,b,c,d olmak üzere
|D,a,b| |D,c,d|− |D,a,c| |D,b,d|+ |D,a,d| |D,b,c|= 0 (2.13)
ifadesi daima sağlanır (Ma ve ark. 2011, Jian-Ping 2011, Tang ve ark. 2011, Tang ve ark.
2012, Tang ve Su 2012, Ma ve Bai 2013, Zhang ve Xiang 2015, Su ve Xu 2016, Yıldırım
ve Yasar 2017c).
Özellik 2: n boyutlu sütun vektörleri a j( j = 1, ...,n) ve b j( j = 1, ...,n) sıfırdan farklı
reel sayılar olmak üzere
N N ∣ ∣
∑ bi |a1,a2, ....,aN |= ∑ ∣a1,a2, ....,ba j, ....,aN∣ , (2.14)
i=1 j=1
ifadesi daima sağlanır. Burada ba j =(b1a1 j,b2a2 j, .....,b a )TN N j şeklinde tanımlanır (Tang
ve ark. 2011, Tang ve ark. 2012, Tang ve Su 2012, Ma ve Bai 2013, Zhang ve Xiang 2015,
Yıldırım ve Yasar 2017c).
Özellik 3:
∣∣∣ ∣∣∣ (N N ∣ ∣) ( N ∣ ∣)2N̂−1 ∑ λii(t) ∑ λ t ∣ ∣ ∣ ∣ii( ) ∣N̂−1∣ = ∑ λii(t) ∣N̂−1∣
i=1 i=1 i=1
(∣∣∣ ∣∣ ∣(∣ = N̂−2,N +1
∣∣ ∣ ∣)2− ∣∣N̂−∣3,N∣ −1 N
∣
, ∣
∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣= N̂−∣1∣ ∣N̂−5,N−3,N∣−2,∣N−1,N∣− ∣N̂−∣ 4,∣N−2,N−1,∣N)+1∣
− ∣∣N̂−3,N−1,N +2∣∣+2 ∣∣N̂−3,N N ∣ ∣, +1∣+ ∣N̂−2 N 3∣, + ∣ (2.15)
ifadesi daima sağlanır (Tang ve ark. 2011, Tang ve ark. 2012, Tang ve Su 2012, Ma ve
Bai 2013, Zhang ve Xiang 2015, Su ve Xu 2016, Yıldırım ve Yasar 2017c).
7
k. mertebe lineer olmayan oluşum türü denklem sistemi
( )
Eα x,u,u(1), ...,u(k) = 0, α = 1,2, ...,N (2.16)
şeklinde ele alalım (Bluman ve Kumei 1989, Olver 1993, Ibragimov 1995, Naz ve ark.
2008). Burada (
x= x1,x2, ...,xn
)
∈ Rn (2.17)
n tane bağımsız değişken, ( )
u= u1,u2, ...,um ∈ Rm (2.18)
m tane bağımlı değişken ve u(1),u(2), ...,u(k) ifadeleri sırasıyla birinci, ikinci,...,k inci mer-
tebeden kısmi türevleri temsil eder.
uα nın xi bağımsız değişkenine göre türevi
uαi = D
α
i (u ) ,
uαi j = D D (u
α
j i ) (2.19)
olarak alınır. Burada total türev operatörü
∂ α ∂ ∂Di = i +ui α +u
α
i j α + ..., i = 1,2, ...,n (2.20)∂x ∂u ∂u j
şeklinde tanımlanır.
(2.16) sisteminin hem bağımsız hem de bağımlı değişkenler için bir parametreli sonsuz
küçüklükteki Lie dönüşüm grubu
x̄i = xi + εξ i
( )
x,u,u(1), ...,u(k) +O(ε2), i = 1,2, ...,n
ū j = u j + εη j
( )
x,u,u(1), ...,u(k) +O(ε2), j = 1,2, ...,m (2.21)
8
olarak verilir. Burada ε  1 dönüşümün küçük bir parametresidir. ξ i ve η j sırasıyla ba-
ğımsız ve bağımlı değişkenlerin sonsuz küçük dönüşümleridir.
(2.21) dönüşüm grubuna karşılık gelen sonsuz küçüklükteki X üreteci
∂ ∂
X =ξ i i +η
α
α (2.22)∂x ∂u
olarak verilir.
(2.16) sisteminin sonsuz küçük dönüşümleri altında değişmezlik koşulu veya başka bir
değişle (2.22) üreteci belirleyici denklem
∣
X(k) E ∣[ α ] ∣Eα(x,u,u(1),...,u(k))=0 = 0, α = 1,2, ...,N (2.23)
olarak verilir. Burada X(k) ifadesi (2.22) üretecinin k. mertebe uzanımıdır ve bu operatör
(k) ∑ α ∂X = X+ ζi1....is α
s≥1 ∂ui1....is
veya
X(k)
∂ ∂ ∂
= ξ i α α
∂xi
+η α +∂u ∑ ζi1....i (2.24)ss≥1 ∂uαi1....is
şeklinde tanımlanır. Burada
α ( )ζi = Di (ηα)−uαj D ξ ji ,
( )
ζ α α α
( j)
i1....i = Ds is ζi ....i − −u ji D ξ , s > 1 (2.25)1 s 1 1....is−1 is
olarak verilir.
Örneğin 2. mertebeden (3+1) boyutlu
E (x,y,z, t,u,ux,uy,uz,ut ,uxx,uyy,uzz,utt ,uxy,uxz,uxt ,uyz,uyt ,uzt) = 0 (2.26)
9
denklemine karşılık Lie simetri üreteci (2.22) denkleminden
X = ξ t
∂ ∂ ∂
(x,y,z, t,u) +ξ x (x,y,z, t,u) +ξ y (x,y,z, t,u)
∂ t ∂x ∂y
∂ ∂
+ξ z (x,y,z, t,u) +η (x,y,z, t,u) (2.27)
∂ z ∂u
ifadesine karşılık gelirken bu üretecin 2. uzanımı (2.24) denkleminden
X(2) = ξ t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ξ x +ξ y +ξ z +η +ζ +ζ
∂ t ∂x ∂y ∂ z ∂u x ∂u yx ∂uy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ζz +ζ +ζ∂u t ∂u xx
+ζ +ζ
∂u yy ∂u zz
+ζtt
z t xx yy ∂uzz ∂utt
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ζxy +ζ +ζ +ζ +ζ +ζ (2.28)∂u xzxx ∂u
xt ∂u yzxz xt ∂u
yt zt
yz ∂uyt ∂uzt
ifadesine karşılık gelir. Burada ζx,ζy,ζz,ζt ,ζxx,... terimleri (2.25) denkleminden
ζx = Dx(η)−uxDx(ξ x)−uyDx(ξ y)−u zzDx(ξ )−utD tx(ξ ),
ζy = Dy(η)−uxDy(ξ x)−uyDy(ξ y)−u D z tz y(ξ )−utDy(ξ ),
ζz = Dz(η)−uxD xz(ξ )−uyDz(ξ y)−uzDz(ξ z)−utD tz(ξ ),
ζt = Dt(η)−uxDt(ξ x)−uyD yt(ξ )−u D (ξ zz t )−utDt(ξ t),
ζxx = Dx(ζx)−uxxD xx(ξ )−uyxDx(ξ y)−u z tzxDx(ξ )−utxDx(ξ ),
ζyy = Dy(ζy)−u x yxyDy(ξ )−uyyDy(ξ )−uzyDy(ξ z)−utyDy(ξ t),
ζ x y z tzz = Dz(ζz)−uxzDz(ξ )−uyzDz(ξ )−uzzDz(ξ )−utzDz(ξ ),
ζtt = Dt(ζt)−u xxtDt(ξ )−uytDt(ξ y)−uztDt(ξ z)−u tttDt(ξ ),
ζxy = Dy(ζx)−uxyDy(ξ x)−u y z tyyDy(ξ )−uzyDy(ξ )−utyDy(ξ ),
ζxz = Dz(ζx)−uxzDz(ξ x)−uyzD (ξ yz )−uzzD zz(ξ )−u ttzDz(ξ ),
ζxt = Dt(ζx)−uxtDt(ξ x)−uytDt(ξ y)−u zztDt(ξ )−uttDt(ξ t),
10
ζyz = Dz(ζy)−uxzDz(ξ x)−uyzDz(ξ y)−u z tzzDz(ξ )−utzDz(ξ ),
ζyt = Dt(ζy)−uxtDt(ξ x)−u yytDt(ξ )−uztD zt(ξ )−uttDt(ξ t),
ζzt = Dt(ζz)−u x yxtDt(ξ )−uytDt(ξ )−u D (ξ zzt t )−uttDt(ξ t) (2.29)
olarak verilir. (2.29) denklemindeki Dx,Dy,Dz,Dt terimleri (2.20) denkleminden
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Dx = +ux +uxx +u +u∂x ∂u ∂u yx ∂u zx
+u +u
∂u tx ∂u xxx
+u
∂u yyxx y z t xx ∂uyy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+uzzx +uttx +uxxy +uxxz +uxxt +uxyz +uxyt +u ,∂uzz ∂u
xzt
tt ∂uxy ∂uxz ∂uxt ∂uyz ∂uyt ∂uzt
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Dy = +uy +uxy +u +u +u +u +u∂y ∂u ∂u yyx ∂u
zy ty xxy
y ∂uz ∂ut ∂u
yyy
xx ∂uyy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+uzzy +utty +uxyy +uxyz +u∂u ∂u ∂u ∂u xyt
+uyyz +u∂u ∂u yyt
+uyzt ,
zz tt xy xz xt yz ∂uyt ∂uzt
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Dz = +uz +u∂ z ∂u xz
+u +u
∂u yz ∂u zz
+utz +uxxz +uyyz
x y ∂uz ∂ut ∂uxx ∂uyy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+uzzz +uttz +uxyz +uxzz +uxzt +uyzz +u +u ,∂uzz ∂utt ∂uxy ∂uxz ∂uxt ∂u
zyt zzt
yz ∂uyt ∂uzt
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Dt = +ut +u∂ t ∂u xt
+u +u
∂u yt ∂u zt
+utt +uxxt +u
x y ∂uz ∂ut ∂u
yyt
xx ∂uyy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+uzzt +uttt +uxty +uxtz +uxtt +utyz +uytt +u∂u ∂u zttzz tt ∂uxy ∂uxz ∂uxt ∂uyz ∂uyt ∂uzt
elde edilir.
α. zaman kesir mertebeli (1+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü
∂ αu
∆ = α −F(x, t,u,ux,uxx,uxxx, ...,unx) = 0 (2.30)∂ t
denklemini ele alalım (Kiryakova 1993, Podlubny 1999, Gazizov ve ark. 2007, 2009,
Sahadevan ve Bakkyaraj 2012, Wang ve Xu 2014, Yaşar ve ark. 2016). Burada α (0 <
11
α 6 1) bir parametre ve α. mertebeden Riemann–Liouville kesir türevi
 1 ∂
n ∫t f (τ,x)
n α 1−n dτ, n−1 < α < n , n ∈ N,Γ(n−α) ∂ t 0 (t− τ) +
∂ αt f (t) = (2.31) ∂ n f
n , α = n ∈ N∂ t
şeklinde tanımlanır (Kiryakova 1993, Podlubny 1999). Burada Γ(z) gamma fonksiyonu
∫∞
Γ(z) = e−xxz−1dx (2.32)
0
olarak verilir.
(2.30) denkleminin hem bağımsız hem de bağımlı değişkenler için bir parametreli son-
suz küçüklükteki Lie dönüşüm grubu
t̄ = t + ετ(x, t,u)+O(ε2),
x̄ = x+ εξ (x, t,u)+O(ε2),
ū = u+ εη(x, t,u)+O(ε2),
∂ α ū ∂ αu
α = + εη
0 2
∂ t̄ ∂ tα α
(x, t,u)+O(ε ),
∂ ū ∂u
= + εηx(x, t,u)+O(ε2),
∂ x̄ ∂x
∂ 2ū ∂ 2u
= + εηxx2 2 (x, t,u)+O(ε
2),
∂ x̄ ∂x
∂ 3ū ∂ 3u
3 = 3 + εη
xxx(x, t,u)+O(ε2) (2.33)
∂ x̄ ∂x
.
..
olarak verilir. Burada ε 1 dönüşümün küçük bir parametresidir. τ ve ξ bağımsız değiş-
kenlerin sonsuz küçük dönüşümleri iken η bağımlı değişkenin sonsuz küçük dönüşümüne
12
karşılık gelir. (2.33) denklemindeki ηx, ηxx ve ηxxx terimleri
ηx = Dx(η)−uxDx(ξ )−utDx(τ),
ηxx = Dx(ηx)−uxtDx(τ)−uxxDx(ξ ),
ηxxx = D (ηxxx )−uxxtDx(τ)−uxxxDx(ξ ) (2.34)
.
..
şeklinde tanımlanır. (2.34) denkleminde ihtiyaç duyulan Dx total türev operatörü
∂ ∂ ∂
Dx = +ux +uxx + · · · (2.35)∂x ∂u ∂ux
olarak verilir.
(2.33) dönüşüm grubuna karşılık gelen sonsuz küçüklükteki X üreteci
∂ ∂ ∂
X = τ(x, t,u) +ξ (x, t,u) +η(x, t,u) (2.36)
∂ t ∂x ∂u
olarak verilir. Burada ξ (x, t,u), τ(x, t,u) ve η(x, t,u) katsayı fonksiyonları daha sonra
belirlenecektir. (2.36) üreteçinin n. uzanımı (2.30) denklemine uygulanması sonucu
X(n) (∆) |∆=0 = 0 (2.37)
Lie nokta simetri üreteci belirleyici denklem elde edilir. Ayrıca değişmezlik koşulu saye-
sinde
τ(x, t,u)|t=0 = 0 (2.38)
ifadesi elde edilir (Wang ve Xu 2014).
(2.38) koşulu altında Riemann–Liouville zaman kesirli türev anlamında η sonsuz küçük
13
dönüşümünün α. mertebeden uzanım formulü
 0 ∂ αη ∂ α− u α ∞ αηα = α +(ηu αDt(τ)) α − ∂ ηu uα +µ−∑ Dnt (ξ ) Dα−nt (u )∂ t   ∂  
t ∂ t xn=1 n
∞ α
∑ ∂
αηu α
+ − Dn+1α t (τ)Dα−nt (u), (2.39)
n=1 n ∂ t n+1
olarak verilir. Burada 
∞ n m k−1
µ = ∑ ∑ ∑ ∑ α 
 n  k 
n=2 m=2 k=2 r=0 n m r
1 tn−α ∂ m [ ] ∂ n−m+k× − r k−r η[ u] m u n−m k (2.40)k! Γ(n+1−α) ∂ t ∂ t ∂u
şeklinde tanımlanır (Gazizov ve ark. 2007, 2009).
Uyarı: (2.39) denkleminde η sonsuz küçük dönüşümü u nun bir lineer formundaysa µ = 0
k
dır. Çünkü (2.39) denkleminde ∂ η∂uk , k ≥ 2 türevleri yer almaktadır.
Tanım: (2.36) sonsuz küçük üretecine karşılık gelen u = θ(x, t) fonksiyonu (2.30) denk-
leminin bir değişmez çözümüdür ancak ve ancak
1) u = θ(x, t) fonksiyonu (2.30) denklemini sağlar.
2) u = θ(x, t) fonksiyonu değişmezlik koşulunu
τ(x, t,θ)θt +ξ (x, t,θ)θx = η(x, t,θ) (2.41)
sağlar.
14
Erdelyi-Kober kesir türev operatörü
( ) n−1( )( )
Pτ,α
1 d τ+α,n−α
β g := ∏ τ + j− ξ Kβ g (ξ ) (2.42)
j=0 β dξ
olarak verilir. Burada  [α]+1, α ∈/ N,n = (2.43)α, α ∈ N
şeklinde tanımlanır (Kiryakova 1993).
Erdelyi-Kober kesir integral operatörü( )  1 ∫∞ 1 (u−1)
α−1u−(τ+α)g(ξ u β )du, α > 0,
Kτ,αg (ξ ) := Γ(α)β 1 (2.44)g(ξ ), α = 0
olarak verilir (Sahadevan ve Bakkyaraj 2012, Wang ve Xu 2014).
15
3. TAM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
Bu bölümde literatürde var olan en basit denklem metodu, yeni test fonksiyon metodu,
çoklu eksponansiyel fonksiyon metodu, geliştirilmiş rasyonel fonksiyon metodu, lump ve
lump tipi çözüm algoritması, Wronskian determinant algoritması ve Lie simetri yakla-
şımları sırasıyla n. tam mertebeli ve Riemann–Liouville türevi anlamında α. zaman kesir
mertebeli (1+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü
P(x, t,u,ux,ut ,uxx,utt ,uxt , ...) = 0, (3.1)
∂ αu
E = α −P(x, t,u,ux,ut ,uxx,utt ,uxt , ...) = 0 (3.2)∂ t
denklemleri için tüm adımlarıyla birlikte verilecektir. Burada α (0 < α 6 1) bir para-
metre, u = u(x, t) bağımlı değişken, x ve t bağımsız değişkenler, P ifadesi ise bağımlı
değişken ve türevlerini içeren bir polinomdur.
3.1. En Basit Denklem Yöntemi
Literatürde var olan en etkili tam çözüm bulma yöntemlerinden biri olan en basit denklem
yöntemi, ele alınan denklemin integrallenebilmesinin önemli bir göstergesi olan denge-
leme prensibine dayanmaktadır. Ele alınan denklem dalga dönüşümü altında adi diferen-
siyel denkleme dönüştükten sonra dengeleme prensibine sahip değilse bu metot uygulana-
maz. Bu metodun bir başka özelliği ise Bernoulli, Riccati ve Jacobi eliptik denklemlerinin
çözümlerinden tümüyle faydalanarak ilerleyen dalga çözümü, knoidal dalga çözümü ve
sinoidal dalga çözümlerine neden olur. Bu çözümler akışkanlar dinamiğinde kullanılan
lineer olmayan periyodik dalga çözümlerdir.
Bu yöntemin temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Kudryashov 2005a,b, 2012, Adem ve
Khalique 2013, 2016a,b, Yıldırım ve Yaşar 2017a, 2018):
1. Adım: (3.1) denklemi ilerliyen dalga dönüşümü
u(x, t) = F(z), z = k1x+ k2t + k3 (3.3)
16
altında ( )
Q F,F ′,F ′′,F ′′′, ... = 0 (3.4)
adi diferensiyel denklemine dönüşür.
2. Adım: (3.4) indirgenmiş adi diferensiyel denkleminin çözümünü
M
F(z) = ∑ Ai (H(z))i (3.5)
i=0
sonlu seri açılımı formunda kabul edelim. Burada A0,A1,...,AM bilinmeyen katsayılar ve
a, b ve c ler sabit sayılar olmak üzere, H(z) fonksiyonu aşağıdaki adi diferensiyel denk-
lemlerini sağlar:
H ′(z) = aH(z)+bH2(z), (3.6)
H ′{((z) = aH
2(z))(+bH(z)+ c, )} (3.7)1
H ′(z) =− 2{1(−H (z) )1(−ω +ωH
2
)(}z)
2 , (3.8)
′ 1H (z) = 1−H2(z) 1−ωH2(z) 2 . (3.9)
(3.6)-(3.9) denklemleri sırasıyla Bernoulli, Riccati ve çözümleri cn(z|ω), sn(z|ω) Jacobi
eliptik fonksiyon olan 1.mertebeden adi diferensiyel denklemlerdir.
Bernoulli denkleminin çözümleri
{ }
cosh [a(z+C)]+ sinh [a(z+C)]
H(z) = a (3.10)
1−bcosh [a(z+C)]−bsinh [a(z+C)]
olarak verilirken Riccati denkleminin çözümleri
[ ]
b
H(z) =− − θ 1tanh θ (z+C) , (3.11)
2a 2a 2
( )
b θ θz ( se) ( )ch θzH(z) =− − tanh + 2 ( ) (3.12)
2a 2a 2 C cosh θz2 −
2a
θ sinh
θz
2
olarak tanımlanır. Burada C bir integral sabitidir ve θ 2 = b2−4ac olarak verilir.
17
Ayrıca cosine-amplitude ve sine-amplitude foksiyonlarının cnoidal ve snoidal dalga çö-
zümleri
ω → 1 iken cn(z|ω)→ sech(z), sn(z|ω)→ tanh(z),
ω → 0 iken cn(z|ω)→ cos(z), sn(z|ω)→ sin(z),
nc(z|ω) = 1/cn(z|ω), ns(z|ω) = 1/sn(z|ω) (3.13)
olarak verilir.
3. Adım: En küçük pozitif değerli M tamsayısı, (3.4) adi diferensiyel denklemine den-
geleme prensibi uygulanması sonucunda bulunur.
4. Adım: (3.6) Bernoulli denklemini (3.4) adi diferensiyel denkleminde yerine yazarsak
yüksek mertebeden bir denklem elde edilir. Sıfırıncı mertebeden denklem elde edilene ka-
dar bu yerine koyma işlemi devam edilir ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayılarını
sıfıra eşitlendiğinde k1,k2,k3,a,b,A0,A1,..., AM terimlerinden oluşan bir denklem sistemi
elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde (3.1) denkleminin tam çözümleri elde edilir.
Benzer şekilde Riccati denklemi, cosine-amplitude cn(z|ω) fonksiyonu ve sine-amplitude
sn(z|ω) fonksiyonlarını da kullanılarak (3.1) denkleminin tam çözümleri elde edilir.
3.2. Çoklu Eksponansiyel Fonksiyon Metodu
Analitik çözümlerin bulunmasında bir diğer ilgi çekici metot ise çoklu eksponansiyel
fonksiyon yaklaşımıdır. Metodun tercih edilmesindeki en önemli sebep, Hirota biline-
erleştirme algoritmalarının aksine, ele alınan denklemin Hirota bilineer formuna ihtiyaç
duyulmamasıdır. Yani ele alınan denklemin Hirota bilieer formunu bilmememize rağmen
bu yöntem uygulanabilir. Ayrıca bu yöntem gösterilebilir ki, Hirota perturbasyon yakla-
şımının bir genelleştirilmesidir. Bu yöntem sayesinde ele alınan modelin eksponansiyel
fonsiyonların polinomları olarak ifade edilen çoklu soliton tipinde çözümleri elde edilir.
Literatürde bir soliton, iki soliton ve üç soliton olarak bilinen bu çözümler faz değişmeleri
ile birlikte genel dalga frekanslarını içerir.
18
Bu metodun temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Ma ve ark. 2010, Ma ve Zhu 2012,
Zayed ve Al-Nowehy 2015, Adem 2016, Yildirim ve ark. 2017, Yıldırım ve Yaşar 2017b,
Adem ve ark. 2019a,b):
1. Adım: Birinci mertebeden yardımcı
ηi,x = kiηi , ηi,t =−ωiηi , 1 6 i 6 n (3.14)
denklemlerini göz önüne alalım. Burada η = η (x, t) bağımlı değişken, ki dalga sayılarını
ve ωi ise dalga frekanslarını temsil eder.
(3.14) denkleminin çözümleri
η = c eξi i i , ξi = kix−ωit , 1 6 i 6 n (3.15)
olarak verilir. Burada ci keyfi sabitler ve ξi dalga değişkenini temsil eder.
(3.15) denklemlerini kullanarak (3.1) denkleminin çözümü
Φ(η1,η2, ...,ηn)u(x, t) = , (3.16)
Ω(η1,η2, ...,ηn)
rasyonel fonksiyon olarak verilir. Burada
n M
Φ(η1,η2, ...,ηn) = ∑ ∑ p η iη jrs,i j r s , (3.17)
r,s=1 i, j=0
n N
Ω(η1,η2, ...,ηn) = ∑ ∑ qrs,i jη irη js (3.18)
r,s=1 i, j=0
biçiminde olup, prs,i j ve qrs,i j terimleri sabit sayılardır.
19
2. Adım: (3.16) denkleminin t bağımsız değişkenine göre türevi
n n
Ω ∑ Φηl ηl,t−Φ ∑ Ωηl ηl,t
u = l=1 l=1t Ω2
n n
−Ω ∑ ωlηlΦηl +Φ ∑ ωlηlΩηl
= l=1 l=1 (3.19)
Ω2
olarak verilirken x bağımsız değişkenine göre türevi
n n
Ω ∑ Φηl ηl,x−Φ ∑ Ωηl ηl,x
ux =
l=1 l=1
Ω2
n n
Ω ∑ klηlΦηl −Φ ∑ klηlΩηl
= l=1 l=1
Ω2
(3.20)
şeklindedir. Benzer şekilde daha yüksek mertebeden türevli terimler de elde edilebilir.
(3.16) rasyonel fonksiyon çözümünün kendisi ve gerekli türevli terimleri (3.1) denkle-
minde yerine yazıldığında
Θ(η1,η2, ...,ηn) = 0 (3.21)
rasyonel fonksiyon elde edilir.
3. Adım: (3.21) denkleminden ki,ωi, pkl,i j,qkl,i j terimlerini içeren bir denklem sistemi
elde edilir. Bu denklem sistemini çözüldüğüde Φ ve Ω polinomları ile ξi dalga değişkeni
bulunur. Böylece (3.1) denleminin dalga çözümü olan u(x, t) bulunur ve aşağıdaki gibi
verilir:
Φ(c ek1x−ω1t1 , ...,c eknx−ωntn )u(x, t) = . (3.22)
Ω(c1ek1x−ω1t , ...,cneknx−ωnt)
3.3. Geliştirilmiş Rasyonel Fonksiyon Yaklaşımı
Bir başka etkili yaklaşım ise Hirota bilineer formuna dayanan geliştirilmiş rasyonel fonk-
siyon algoritmasıdır. Ele alınan denklemin Hirota bilineer denklemi bilinmiyorsa bu me-
dot uygulanamaz. Bu algoritmanın kritik noktası, ele alınan denklem için sabit katsa-
yılı yardımcı adi diferensiyel denklemlerin çözümlerini kullanarak rasyonel çözümlerinin
oluşturulmasıdır. Uygun adi diferensiyel denklemler bulunması kaydıyla bu metot daha
20
önceden bahsedilen çoklu eksponansiyel fonksiyon metoduna dönüşür. Bu yaklaşım sa-
yesinde hem eksponansiyel fonksiyon hem de trigonometrik fonksiyon birleşimini içeren
kompleksiton tipindeki çözümler bulunur. Bu çözümler yeni tarzdaki belirgin ilerleyen
dalga hızlarına sahiptir.
Bu yöntemin temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Zhang ve Ma 2014, Adem ve ark.
2019a):
1. Adım: (3.1) denklemi yeni bir bağımlı fonksiyon dönüşümü olan
u = T ( f ) (3.23)
altında ( )
H Dx,Dt ,D2x ,D
2
t ,DxDt , ... f f = 0 (3.24)
Hirota bilineer denklemine dönüşür. Burada f = f (x, t) yeni bir bilinmeyen fonksiyon ve
Dx,Dt ,D2 2x ,Dt ,DxDt , ..., operatörleri (2.5) denkleminde tanımlanan Hirota türev operatör-
leridir (Hirota 2004).
2. Adım: (3.24) denkleminin çözümü
p(η1,η2)f = (3.25)
q(η1,η2)
rasyonel fonksiyon olarak verilir. Burada p(η1,η2) ve q(η1,η2) ifadeleri η1 (ξ1) ve η2 (ξ2)
fonksiyonlarından oluşan polinomlardır. η1 (ξ1) fonksiyonu
′′ d
2η
η 11 = 2 =−η1 (3.26)dξ1
adi diferensiyel denklemini sağlarken η2 (ξ2) fonksiyonu
2
η ′′
d η2
2 = dξ 2
= η2 (3.27)
2
21
adi diferensiyel denklemini sağlar. Burada dalga değişkenleri
ξ1 = k1x+ω1t + c1, ξ2 = k2x+ω2t + c2 (3.28)
biçiminde olup k1,k2,ω1,ω2,c1,c2 sabit sayılardır.
(3.26) adi diferensiyel denkleminin çözümü
η1 =±sinξ1 veya η1 =±cosξ1 (3.29)
olarak verilirken (3.27) adi diferensiyel denkleminin çözümü
η2 =±sinhξ2 veya η2 =±coshξ2 (3.30)
olarak verilir. (3.29) çözümleri
η ′21 = 1−η21 (3.31)
denklemini sağlarken (3.30) çözümleri
η ′22 = 1+η
2
2 (3.32)
denklemini sağlar.
3. Adım: (3.26) ve (3.27) denklemlerini kullanarak (3.25) rasyonel fonksiyon çözümünün
kendisini ve gerekli türevleri (3.24) Hirota bilineer denkleminde yerine yazarsak birinci
mertebeden lineer olmayan bir denklem elde edilir. Elde edilen bu denklemde (3.31) ve
(3.32) denklemlerinin kullanılması sonucunda ki ve ωi terimlerinden oluşan bir denklem
sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde (3.1) denkleminin tam çözümleri
elde edilir.
3.4. Yeni Test Fonksiyonu Metodu
Hirota bilineerleştirme algoritmalarından biri olan yeni test fonksiyonu metodunda ise,
ele alınan denklemin Hirota bilineer formuna gereksinim duyulur. Benzer şekilde ele alı-
22
nan denklem veya sistem bu forma sahip değilse sözkonusu algoritma uygulanamaz. Bu
algoritma sayesinde geliştirilmiş rasyonel fonksiyon yaklaşımında elde edilen komplek-
siton tipindeki çözümleri de kapsayan çoklu soliton çözümleri elde edilir.
Bu metodun temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Singh ve Gupta 2016a,b, Yıldırım ve
Yaşar 2017a):
1. Adım: (3.1) denklemi yeni bir bağımlı fonksiyon dönüşümü olan
u = T ( f ) (3.33)
altında ( 2 2 )H Dx,Dt ,Dx ,Dt ,DxDt , ... f f = 0 (3.34)
Hirota bilineer denklemine dönüşür. Burada f = f (x, t) yeni bir bilinmeyen fonksiyon ve
Dx,Dt ,D2x ,D
2
t ,DxDt , ..., operatörleri (2.5) denkleminde tanımlanan Hirota türev operatör-
leridir (Hirota 2004).
2. Adım: (3.34) denkleminin çözümü
f = e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 coshξ3 +δ3eξ1 (3.35)
çoklu soliton fonksiyon olarak verilir. Burada
ξi = aix+bit, i = 1,2,3 (3.36)
ve δ1,δ2,δ3,a1,a2,a3,b1,b2,b3 sabit sayılar olarak verilir.
3. Adım: (3.35) çoklu soliton fonksiyon çözümünün kendisini ve gerekli türevleri (3.34)
Hirota bilineer denkleminde yerine yazarsak eξ1 sinξ , eξ1 sinhξ , eξ2 3 1 cosξ2, eξ1 coshξ3,
sinξ2 sinhξ3, cosξ2 coshξ3 terimlerinden oluşan lineer olmayan bir denklem elde edi-
lir. Elde edilen bu denklemde aynı terimlerin katsayılarının sıfıra eşitlenmesi sonucunda
δ1,δ2,δ3,a1,a2,a3,b1,b2,b3 terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denk-
23
lem sistemi çözüldüğünde (3.1) denkleminin tam çözümleri elde edilir.
3.5. Lump ve Lump Tipi Çözüm Algoritması
Bir diğer Hirota bilineerleştirme algoritması da Lump ve Lump tipi çözüm yaklaşımıdır.
Bu algoritmanın uygulanabilmesi için modelin Hirota bilineer formuna gereksinim duyu-
lur. Bu algoritma kullanılarak denklemin rasyonel çözümleri elde edilir. Rasyonel çözüm-
ler iyi tanımlılık, analitiklik ve yerellilik şartlarını sağlaması durumunda literatürde Lump
çözümler olarak bilinen çözümlere dönüşür. Ayrıca (3+1) ve (4+1) boyutlu denklemlerin
rasyonel çözümleri iyi tanımlılık ve analitiklik şartlarını sağlamasına rağmen sırasıyla R4
ve R5 deki tüm yönlerde yerel olmadığından dolayı bu denklemlerin rasyonel çözümle-
rine Lump tipindeki çözümler denir. Bahsedilen bu yüksek boyutlu denklemlerin boyut-
ları (1+1) veya (2+1) boyutlarına düşürüldüğünde tüm yönlerde yerel olma şartını sağlar
ve elde edilen rasyonel çözümlere Lump çözümler denir. Soliton ve Lump çözümler ara-
sındaki farka bakıldığında soliton çözümler belli yönlerde yerel olmasına karşın Lump
çözümler uzayda tüm yönlerde yerel olan bir çeşit rasyonel fonksiyon çözümlerdir.
Bu algoritmanın temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Ma 2015, 2016, Lü ve ark. 2016,
Ma ve ark. 2016, Yang ve Ma 2016, 2017, Zhang ve ark. 2017, Cheng ve Zhang 2017):
1. Adım: (3.1) denklemi yeni bir bağımlı fonksiyon dönüşümü olan
u = T ( f ) (3.37)
altında ( )
H D 2 2x,Dt ,Dx ,Dt ,DxDt , ... f f = 0 (3.38)
Hirota bilineer denklemine dönüşür. Burada f = f (x, t) yeni bir bilinmeyen fonksiyon ve
Dx,D 2 2t ,Dx ,Dt ,DxDt , ..., operatörleri (2.5) denkleminde tanımlanan türev operatörleridir
(Hirota 2004).
24
2. Adım: (3.38) denkleminin çözümü
f = g2 +h2 +a7 (3.39)
ikinci dereceden fonksiyon olarak verilir. Burada
g = a1x+a2t +a3,
h = a4x+a5t +a6 (3.40)
lineer dalga değişkenler ve a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 sabit sayılar olarak verilir.
3. Adım: (3.39) ikinci dereceden fonksiyon çözümünün kendisini ve gerekli türevlerini
(3.38) Hirota bilineer denkleminde yerine yazarsak x ve t bağımsız değişkenlerinden olu-
şan bir polinom elde edilir. Elde edilen bu polinomda aynı ifadelerin katsayılarının sıfıra
eşitlenmesi sonucunda ai (1≤ i≤ 7) terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edi-
lir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde (3.39) ikinci dereceden fonksiyon çözümleri elde
edilir.
4. Adım: (3.39) ikinci dereceden fonksiyon çözümleri (3.37) dönüşümünde yerine yazıl-
dığında (3.1) denkleminin rasyonel çözümleri elde edilir. Elde edilen rasyonel çözümler
aşağıdaki koşulların sağlanması halinde "Lump çözümleri" olarak adlandırılır.
1.) İyi tanımlılık: İkinci dereceden fonksiyon çözümlerinin olması için, logaritma fonksi-
yonunun tanımından dolayı
a7 > 0 (3.41)
olmalıdır.
2.) Analitiklik: Rasyonel çözümlerin her yerde tanımlı olması gerekir.
25
3.) Yerellik: Rasyonel çözümlerin tüm yönlerde yerel olması
g2 +h2→ ∞ iken u→ 0 (3.42)
ile tanımlanır.
(3+1) ve (4+1) boyutlu denklemlerin rasyonel çözümleri iyi tanımlılık ve analitiklik şart-
larını sağlamasına rağmen sırasıyla R4 ve R5 deki tüm yönlerde yerel olmadığından do-
layı bu denklemlerin rasyonel çözümlerine Lump tipindeki çözümler denir. Bahsedilen
bu yüksek boyutlu denklemlerin boyutları (1+1) veya (2+1) boyutlarına düşürüldüğünde
tüm yönlerde yerel olma şartını sağlar ve elde edilen rasyonel çözümlere Lump çözümler
denir.
3.6. Wronskiyen Determinant Algoritması
Wronskiyen determinant algoritması uygulanabilmesi için iki önemli şartın yerine gerti-
rilmesi gerekir. Bunlardan ilki ele alınan modelin Hirota bilineer formunun bilinmesi ikin-
cisi ise denklemin Hirota bilineer formunu çözen lineer kısmi diferensiyel denklem sis-
teminden oluşan Wronskiyen şartlarının bilinmesi gerekir. Wronskiyen şartlar denklemin
Hirota bilineer denkleminin yapısına göre değişiklik göstermektedir. Genel bir Wrons-
kiyen şartları bulunmamaktadır. Bu durumdan dolayı literatürde (1+1), (2+1) ve (3+1)
boyutlu denklemler için birbirinden farklı Wronskian şartları teorem olarak verilmiş ve
ispatlanmıştır. Bu yaklaşım sayesinde denklemin rasyonel, soliton, poziton, negaton çö-
zümleri ve bu çözümlerin kendi aralarında etkileşim çözümleri elde edilir.
Bu algoritmanın temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Ma 2004, Ma ve You 2005, Ma
ve ark. 2009, Tang ve ark. 2011, Ma ve Bai 2013, Su ve Xu 2016, Yıldırım ve Yasar
2017c):
1. Adım: (3.1) denklemi yeni bir bağımlı fonksiyon dönüşümü olan
u = T ( f ) (3.43)
26
altında ( )
H Dx,Dt ,D2,D2x t ,DxDt , ... f f = 0 (3.44)
Hirota bilineer denklemine dönüşür. Burada f = f (x, t) yeni bir bilinmeyen fonksiyon ve
Dx,Dt ,D2 2x ,Dt ,DxDt , ..., operatörleri (2.5) denkleminde tanımlanan Hirota türev operatör-
leridir (Hirota 2004).
2. Adım: (3.44) denkleminin çözümü
f = |N̂−1| (3.45)
Wronskiyen determinantı olarak verilir. (3.45) Wronskiyen determinantının (3.44) Hirota
bilineer denklemini sağladığını göstermek için lineer kısmi türevli diferensiyel denklem
sisteminden oluşan Wronskiyen şartlarına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu şartlar (3.44) Hi-
rota bilineer denkleminin yapısına göre değişiklik göstermektedir. Genel bir Wronskiyen
şartları bulunmamaktadır. Bu durumdan dolayı literatürde (1+1), (2+1) ve (3+1) boyutlu
denklemler için birbirinden farlı Wronskiyen şartları teorem olarak verilmiş ve ispatlan-
mıştır.
(1+1) boyutlu denklemler için Wronskiyen şartları:
1) φi = φi (x, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xxx = ∑ λi j(t)φ j ,
j=1
φi,t = γφi,xx (3.46)
şeklindedir. Burada γ keyfi parametre ve λi j(t) keyfi reel değerli fonksiyonlardır (Ma ve
ark. 2009).
27
2) φi = φi (x, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi jφ j ,
j=1
φi,t = γφi,xxx (3.47)
şeklindedir. Burada γ ve λi j keyfi reel değerli sabitlerdir (Ma 2004).
3) φi = φi (x, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi j (t)φ j ,
j=1
φi,t = γφi,xxx +ξ (t)φi (3.48)
şeklindedir. Burada γ keyfi reel değerli sabit, ξ (t) ve λi j(t) keyfi reel değerli fonksiyon-
lardır (Ma ve You 2005).
(2+1) boyutlu denklem için Wronskiyen şartları:
1) φi = φi (x,y, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
φi,t = γ1φi,xxx
φi,xx = γ2φi
φi,y = γ3φi,x (3.49)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3 keyfi parametrelerdir (Najafi ve ark. 2013).
2) φi = φi (x,y, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xxxx = ∑ λi jφ j ,
j=1
φi,y = γ1φi,xx
28
φi,t = γ2φi,xxx (3.50)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,λi j keyfi parametrelerdir (Cheng ve ark. 2014).
3) φi = φi (x,y, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi jφ j ,
j=1
φi,y = γ1φi,x
φi,t = γ2φi,x
γ3φi,xxx + γ4φi,x = 0 (3.51)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3,γ4,λi j keyfi parametrelerdir (Cheng ve ark. 2014).
4) φi = φi (x,y, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi jφ j ,
j=1
φi,y = γ1φi,x
φi,t = γ2 (t)φi,xxx + γ3 (t)φi,x (3.52)
şeklindedir. Burada γ1, λi j keyfi parametreler ve γ2 (t),γ3 (t) keyfi reel değerli fonksiyon-
lardır (Jian-Ping ve Xian-Guo 2013).
(3+1) boyutlu denklem için Wronskiyen şartları:
1) φi = φi (x,y,z, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
φi,y = γ1φi,x
φi,z = γ2φi,xx
29
φi,t = γ3φi,xxx (3.53)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3 keyfi parametrelerdir (Ma ve ark. 2011).
2) φi = φi (x,y,z, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
φi,t = γ1φi,xxx
φi,xx = γ2φi
φi,y = γ3φi,x
φi,z = γ4φi,xxx (3.54)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3,γ4 keyfi parametrelerdir (Jian-Ping 2011).
3) φi = φi (x,y,z, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi j(t)φ j ,
j=1
φi,y = γ1φi,x
φi,z = γ2φi,xxx + γ3φi,x
φi,t = γ4φi,x (3.55)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3,γ4 keyfi parametreler ve λi j(t) keyfi reel değerli fonksiyon-
lardır (Tang ve ark. 2011).
4) φi = φi (x,y,z, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi j(t)φ j ,
j=1
φi,y = γ1φi,x
φi,z = γ2φi,xxx + γ3φi,xx
30
φi,t = γ4φi,xx (3.56)
şeklindedir. Burada γ1,γ2,γ3,γ4 keyfi parametreler ve λi j(t) keyfi reel değerli fonksiyon-
lardır (Tang ve ark. 2012).
3. Adım: Ele alınan Wronskiyen şartlarının çözülmesi sonucu özdeğer fonksiyonları elde
edilir. Elde edilen bu özdeğer fonksiyonları (3.45) Wronskiyen determinantında yerine
yazılması sonucu (3.1) denklemin tam çözümleri elde edilir.
3.7. Tam mertebeli denklemler için Lie simetri yaklaşımı
Tam ve kesir mertebeli denklemler için geliştirilen Lie simetri yaklaşımlarının en önemli
özelliği, ele alınan denklemin (ya da sistemin) sürekli Lie dönüşüm grubu altında değiş-
mez kalmasıdır. Ele alınan denklemin (ya da sistemin) tam çözümlerinin bulunabilmesi
için öncelikli adım denklemin Lie dönüşüm grubuna karşılık gelen Lie nokta simetri üre-
teçlerinin bulunmasıdır. Denklemin üreteçleri kullanılarak denklemin değişmezleri bulu-
nur. Bu değişmezler sayesinde simetri indirgemeleri başka bir değişle denklemin bir bo-
yut indirgenmiş hali elde edilir. Yüksek boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklemlerde
denklemin adi diferensiyel denklem hali elde edilene kadar denklemin simetri indirgeme-
lerinin bulunması devam edilir. Literatürde adi diferensiyel denklemler için geliştirilmiş
yöntemler -örneğin en basit denklem yöntemi ve kuvvet serisi yöntemleri v.d.- kullanıla-
rak modelin analitik çözümleri elde edilmiş olunur.
Bu yaklaşımın temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Bluman ve Kumei 1989, Olver 1993,
Ibragimov 1995, Cheviakov 2007, 2010, Naz ve ark. 2008, Yıldırım ve Yaşar 2018):
1. Adım: (3.1) denkleminin bir Lie simetri üreteci
∂ ∂ ∂
X = ξ t (t,x,u) +ξ x (t,x,u) +η (t,x,u) (3.57)
∂ t ∂x ∂u
şeklinde verilir. (3.57) üretecini bulabilmek için üretecin n. uzanımını (3.1) denklemine
∣
X(n) [P] ∣P(x,t,u,ux,ut ,uxx,utt ,uxt ,...)=0 = 0 (3.58)
31
biçiminde uygulamak gerekir. (3.58) denklemi açıldığında bir denklem elde edilir ve elde
edilen bu denklemdeki terimler u’nun türevlerine göre ayrılırsa bir denklem sistemi ortaya
çıkar. Bu denklem sistemi çözülürse ξ t , ξ x, η değerlerine ulaşılır. Böylece (3.1) denkle-
minin (3.57) üreteçleri elde edilir.
2. Adım: (3.57) üreteçleri kullanarak (3.1) denkleminin
dt dx du
t = = (3.59)ξ (t,x,u) ξ x (t,x,u) η (t,x,u)
değişmezleri bulunur. (3.59) değişmezleri kullanılarak denklemin Lie simetri indirgemesi
elde edilir veya başka bir ifadeyle denklem, bir mertebe düşüğü olan
(
Q U,U ′,U ′′
)
, ... = 0 (3.60)
adi diferensiyel denkleme dönüşür. Örneğin, a ve b sabit sayılar olmak üzere ξ x = b ve
ξ t = a seçilirse
u(x, t) =U(ξ ), ξ = ax−bt (3.61)
olarak verilir.
(3.61) denklemindeki değişmezler (3.1) denkleminin daima kabul ettiği uzay X = ∂1 ∂x
ve zaman X2 = ∂∂ t simetri üreteçlerinin lineer birleşimi olan
X = bX1 +aX2 (3.62)
üretecine karşılık gelmektedir.
3. Adım: (3.60) adi diferensiyel denklem çözülerek (3.1) denkleminin tam çözümleri
elde edilir.
32
3.8. Zaman kesir mertebeli denklemler için Lie simetri yaklaşımı
Bu yaklaşımın temel adımları aşağıdaki gibi verilir (Sahadevan ve Bakkyaraj 2012, Wang
ve Xu 2014, Jefferson ve Carminati 2014, Yaşar ve ark. 2016, Baleanu ve ark. 2018a,b,
Yusuf ve ark. 2018a,b,c, Tchier ve ark. 2018):
1. Adım: (3.2) denkleminin bir Lie simetri üreteci
∂ ∂ ∂
X = τ(x, t,u) +ξ (x, t,u) +η(x, t,u) (3.63)
∂ t ∂x ∂u
şeklinde verilir. (3.63) üretecini bulabilmek için üreteçin n. uzanımını (3.2) denklemine
X [n] (E) |E=0 = 0 (3.64)
biçiminde uygulamak gerekir. (3.64) denklemi açıldığında bir denklem elde edilir ve elde
edilen bu denklemdeki terimler u’nun türevlerine göre ayrılırsa bir denklem sistemine ula-
şılır. Bu denklem sistemi çözülürse τ , ξ , η değerlerine ulaşılır. Böylece (3.2) denkleminin
(3.63) üreteçleri elde edilir.
2. Adım: (3.63) üreteçleri kullanarak (3.2) denkleminin
dt dx du
= = (3.65)
τ(x, t,u) ξ (x, t,u) η(x, t,u)
değişmezleri bulunur. (3.65) değişmezleri kullanılarak denklemin Lie simetri indirgemesi
elde edilir veya başka bir değişle denklem, bir mertebe düşüğü olan
(( ) )
Q Pτ,αg ,g,g′,g′′β , ... = 0 (3.66)( )
kesir mertebeli adi diferensiyel denkleme dönüşür. Burada Pτ,αβ g ifadesi Erdelyi-Kober
kesirli türev operatörüdür.
3. Adım: (3.66) kesir mertebeli adi diferensiyel denklemi çözülerek (3.2) denkleminin
tam çözümleri elde edilir.
33
4. TAM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİNİN UYGULAMALARI
Bu bölümde, fizik alanında kullanılan ve bu alanda oldukça önemli bir yere sahip olan
(1+1) boyutlu bir genelleştirilmiş KdV denklemi, (2+1) boyutlu SK denklemi, bir yeni
genelleştirilmiş (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklemi, (2+1) boyutlu ye-
rel olmayan Ito denklemi, (2+1) boyutlu kırılgan soliton denklemi ve yedinci mertebeden
zaman kesir mertebeli SKI denklemlerinin tam çözümleri üçüncü bölümde verilen metot-
lar kullanılarak incelenecektir. Ayrıca ele alınan modellerin daha iyi anlaşılması için bazı
çözümlerin grafikleri de sunulacaktır.
4.1. En Basit Denklem Yöntemiyle Elde Edilen Çözümler
Literatürde KdV denklemi olarak bilinen
ut +6uux +u3x = 0 (4.1)
denklemi zayıf doğrusal olmayan uzun dalgaları modeller (Whitham 1974, Marchant
2000). KdV denklemine yüksek mertebeden terimler ilave edilirse
(
u +u +α (λuu +u )+α2 c u2
)
t x x 3x 1 ux + c2uxu2x + c3uu3x + c4u5x = 0 (4.2)
genelleştirilmiş KdV denklemi elde edilir (Whitham 1974, Marchant 2000, Miao ve ark.
2014, Wazwaz 2016, Yıldırım ve Yaşar 2017a). Burada α bir dalga genliğidir. (4.2) denk-
lemi (4.1) denkleminden farklı olarak daha kısa dalga boyundaki dik dalgaların oluşu-
munu tasvir eder. Ayrıca (4.2) denklemi birçok integrallenebilir modellere dönüştürülebi-
lir ve bu dönüşen modeller sığ su dalgalarının genliğini tanımlar (Wazwaz 2016).
Beşinci mertebeden klasik KdV
u +αu2t ux +βuxu2x + γuu3x +u5x = 0 (4.3)
denkleminin aksine (4.2) denklemi hem u3x ve u5x doğrusal yayılma terimlerini hem de
lineer olmayan uu , u2x ux, uxu2x ve uu3x terimlerini içerir (Wazwaz 2007).
34
(4.2) denkleminde c1 = 45, c2 = c3 = 15, c4 = 1, λ = 6 alındığında
( )
ut +ux +α (6uux +u3x)+α2 u 25x +15uu3x +15uxu2x +45u ux = 0 (4.4)
bir özel genelleştirilmiş KdV denklemi bulunur. Bu bölümde en basit denklem yöntemi
kullanılarak (4.4) denkleminin periyodik ilerleyen dalga çözümleri, cnoidal dalga çözü-
mümleri ve snoidal dalga çözümleri bulunacaktır.
4.1.1. Bernoulli denkleminin en basit denklem olarak kullanılması
(3.3) dönüşümü (4.4) denkleminde yerine yazıldığında
′ (k F (z)+ k F ′(z)+α 6k F(z)F ′(z)+ k3F ′′′ )2 1 1 1 (z)
( )
+α2 k5F ′′′′′(z)+15k3F(z)F ′′′(z)+15k3F ′(z)F ′′1 1 1 (z)+45k1F
2(z)F ′(z) = 0 (4.5)
lineer olmayan adi diferensiyel denklemi elde edilir. (4.5) adi diferensiyel denkleminde
en yüksek mertebeden lineer terim
F ′′′′′(z) (4.6)
ile en yüksek dereceden lineer olmayan terimler
F(z)F ′′′(z) , F ′(z)F ′′(z) , F2(z)F ′(z) (4.7)
arasında dengeleme prensibinin uygulanması sonucu M = 2 elde edilir. Böylece (3.5)
denkleminin sonucu olarak (4.5) denkleminin çözümü
F(z) = A0 +A1H(z)+A H22 (z) (4.8)
şeklindedir. (4.8) denklemi (3.6) denklemiyle birlikte (4.5) denkleminde yazıldığında
yüksek mertebeden bir denklem elde edilir. Sıfırıncı mertebeden denklem elde edilene
kadar bu yerine koyma işlemi devam edilir ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları
sıfıra eşitlendiğinde α , k1, k2, a, b, A0, A1, A2 terimlerinden oluşan bir denklem sistemi
35
elde edilir. Bu denklem sistemi Maple yardımıyla çözüldüğünde
√
5a2αk3 +2k ± 5a4α2k6−16k21 1 1 1−20k1k2
A0 =− ,30k1α
A1 =−2abk21,
A 2 22 =−2b k1 (4.9)
sonuçları elde edilir. Böylece (4.4) denkleminin çözümü
{ }
cosh [a(z+C)]+ sinh [a(z+C)]
u(x, t) = A0 +A1a 1−bcosh [a(z+C)]−bsinh [a(z+C)]
{ }
2 cosh [a(z+C)]+ sinh [a(z+C)]
2
+A2a (4.10)1−bcosh [a(z+C)]−bsinh [a(z+C)]
olarak bulunur (Şekil 4.1). Burada z = k1x+ k2t + k3, C bir integral sabiti ve A0, A1, A2
katsayıları (4.9) denkleminde verilir.
Şekil 4.1. (4.4) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada α = 3, diğer tüm pa-
rametreler 1 alınmıştır
36
4.1.2. Riccati denkleminin en basit denklem olarak kullanılması
(4.8) denklemi (3.7) denklemiyle birlikte (4.5) denkleminde yazıldığında yüksek merte-
beden bir denklem elde edilir. Sıfırıncı mertebeden denklem elde edilene kadar bu yerine
koyma işlemi devam edilir ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları sıfıra eşitlendi-
ğinde α , k1, k2, a, b, c, A0, A1, A2 terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu
denklem sistemi çözüldüğünde
√
40aαck31 +5αb
2k31 +2k1± 80a2α2c2k6−40aα21 b2ck61 +5α2b4k6 21−16k1−20k1k2
A0 = ,−30k1α
A1 =−2abk21,
A2 =−2a2k21 (4.11)
sonuçları elde edilir. Böylece (4.4) denkleminin çözümü
{ [ ]}
b θ 1
u(x, t) = A0 +A1 − − tanh θ (z+C)2a 2a 2
{ [ ]}
− b θ 1
2
+A2 − tanh θ (z+C) , (4.12){ 2a 2a ( )2 ( ) }
− b − θ θz
sech θz
u(x, t) = A0 +A1 tanh + (θz) 22a (θz)
{ 2a 2a 2 C cosh − sin( ) ( 2) θ }
h 2
b θ θz sech θz
2
+A2 − − tanh + ( ) 2 ( ) (4.13)2a 2a 2 C cosh θz2 − 2aθ sinh θz2
olarak bulunur. Burada z = k1x+ k2t + k3, C bir integral sabiti, θ 2 = b2−4ac ve A0, A1,
A2 katsayıları (4.11) denkleminde verilir.
4.1.3. Jacobi eliptik fonksiyonların en basit denklem olarak kullanılması
(4.8) denklemi (3.8) denklemiyle birlikte (4.5) denkleminde yazıldığında yüksek merte-
beden bir denklem elde edilir. Sıfırıncı mertebeden denklem elde edilene kadar bu yerine
koyma işlemi devam edilir ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları sıfıra eşitlendi-
ğinde α , k1, k2, ω , A0, A1, A2 terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu
37
denklem sistemi çözüldüğünde (4.4) denkleminin cnoidal dalga çözümü (Şekil 4.2)
u(x, t) = A0 +A1cn(z|ω)+A2cn2(z|ω) (4.14)
olarak verilir. Buradaki katsayılar
√
20αωk3−10αk31 1 + k1± 20α2ω2k61−20α2ωk6 2 6 21 +20α k1−4k1−5k1k2
A0 = ,−15k1α
A1 = 0,
A2 = 2ωk21 (4.15)
şeklinde bulunur.
Şekil 4.2. (4.4) denkleminin cnoidal dalga çözüm grafiği. Burada α =−2, ω = 1, k1 = 3,
k2 = 4 ve k3 = 5 alınmıştır
Öte yandan (4.8) denklemi (3.9) denklemiyle birlikte (4.5) denkleminde yazıldığında yük-
38
sek mertebeden bir denklem elde edilir. Sıfırıncı mertebeden denklem elde edilene kadar
bu yerine koyma işlemi devam edilir ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları sıfıra
eşitlendiğinde α , k1, k2, ω , A0, A1, A2 terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir.
Bu denklem sistemi çözüldüğünde (4.4) denkleminin snoidal dalga çözümü (Şekil 4.3)
u(x, t) = A 20 +A1sn(z|ω)+A2sn (z|ω) (4.16)
olarak verilir. Buradaki katsayılar
√
10αωk3 +10αk3− k ± 20α2ω2k6−20α2ωk6 +20α2k6−4k21 1 1 1 1 1 1−5k1k2
A0 = ,15k1α
A1 = 0,
A 22 =−2ωk1 (4.17)
şeklinde bulunur.
Şekil 4.3. (4.4) denkleminin snoidal dalga çözüm grafiği. Burada α = 2, ω = 1, k1 = 3,
k2 = 4 ve k3 = 5 alınmıştır
39
4.2. Çoklu Eksponansiyel Fonksiyon Metoduyla Elde Edilen Çözümler
Literatürde beşinci mertebeden KdV denklemi olarak bilinen
u +αu2t ux +βuxu2x + γuu3x +u5x = 0 (4.18)
denklemi birçok fiziksel olayın modellenmesinde ortaya çıkar (Wazwaz 2007, Bilige ve
Chaolu 2010, Liu ve ark. 2010, Wang ve ark. 2013). Burada α , β ve γ keyfi sabit sayılar-
dır. Bu parametrelere değerler verilerek literatürde bilinen bazı denklemler elde edilir.
(4.18) denkleminde α = β = γ = 5 alındağında SK denklemi
u 2t +5u ux +5uxu2x +5uu3x +u5x = 0, (4.19)
α = 180, γ = β = 30 alındağında Caudrey–Dodd–Gibbon (CDG) denklemi
ut +180u2ux +30uxu2x +30uu3x +u5x = 0, (4.20)
α = 30, γ = 20, β = 10 alındağında Lax denklemi
ut +30u2ux +20uxu2x +10uu3x +u5x = 0, (4.21)
α = 20, γ = 25, β = 10 alındağında Kaup–Kupershmidt (KK) denklemi
ut +20u2ux +25uxu2x +10uu3x +u5x = 0, (4.22)
α = 2, γ = 6, β = 3 alındağında Ito denklemi
ut +2u2ux +6uxu2x +3uu3x +u5x = 0 (4.23)
elde edilir (Wazwaz 2007, Bilige ve Chaolu 2010).
(4.18) numaralı yüksek merteben KdV denkleminin hiyerarşine ait olan veya bir genel-
leştirilmesi olan (2+1) boyutlu SK denklemi
40
∫ ∫
ut−u5x−5uxu2x−5uu3x−5u2ux−5u2xy−5uuy +5 u2ydx−5ux uydx = 0 (4.24)
olarak verilir (Konopelchenko ve Dubrovsky 1984, Hong-Yan ve Hong-Qing 2008, Waz-
waz 2011, Shi ve Li 2012, Lü 2014, Jia ve ark. 2017, Yıldırım ve Yaşar 2017b).
(4.24) denklemine fizeksel olarak bakıldığında fiziğin birçok alanlarında örneğin uygun
alan teorisinde, iki boyutlu kuantum yerçekimi ölçüm alanında ve doğrusal olmayan Lio-
uvile akışkan korunum denklemlerinde yaygın olarak kullanılır (Hong-Yan ve Hong-Qing
2008, Shi ve Li 2012, Huang ve Chen 2017, Liu 2018). (4.24) denkleminde u(x,y, t) ≡
u(x, t) alındığında (4.19) numaralı (1+1) boyutlu SK denklemine dönüşür. (4.19) numa-
ralı denklem birçok araştırmacı tarafından değişik açılardan ele alınmasına rağmen (4.24)
denklemi birkaç kişi tarafından ele alınmıştır. Bu sebepden dolayı bu bölümde (2+1) bo-
yutlu hali ele alınacaktır.
(4.24) denklemi integral terimlerini içerdiğinden dolayı
u = vx (4.25)
dönüşümü kullanarak (4.24) denklemi aşağıdaki denkleme dönüşür:
v 2xt− v6x−5v2xv3x−5vxv4x−5vxv2x−5v3xy−5vxvxy +5v2y−5v2xvy = 0. (4.26)
Bu bölümde çoklu eksponansiyel fonksiyon metodu kullanılarak (4.24) denkleminin bir
dalga, iki dalga ve üç dalga çözümleri bulunacaktır.
4.2.1. Bir dalga çözümü
Çoklu eksponansiyel fonksiyon metodunda (2+1) boyutlu bir denklem için bir dalga çö-
zümü
Φ(η1) A0 +A1ek1x+l1y−ω1tv(x,y, t) = = (4.27)
Ω(η1) B0 +B1ek1x+l1y−ω1t
41
olarak verilir (Şekil 4.4). Burada A0,A1,B0,B1 keyfi sabitlerdir. (4.27) rasyonel fonksiyon
çözümünü ve gerekli türev terimleri (4.26) denkleminde yerine yazıldığında bir denklem
sistemi elde edilir ve bu denklem sistemi çözülürse
k6 +5k3l −5l2
ω1 =− 1 1
1 1 ,
k1
−−6BA 0B1k1−A0B11 = (4.28)B0
sonuçları bulunur.
Şekil 4.4. (4.24) denkleminin bir dalga çözüm grafiği. Burada A0 = 0.2, B0 = 0.3, B1 =
0.6, k1 = 1/6 ve l1 = 0.1 alınmıştır
42
4.2.2. İki dalga çözümü
(2+1) boyutlu bir denklem için iki dalga çözümü
Φ(η1,η )v 2(x,y, t) = (4.29)
Ω(η1,η2)
ve
( )
Φ = γ k ek1x+l1y−ω1t + k ek2x+l2y−ω1 2 2t +A12 (k1 + k2)ek1x+l1y−ω1tek2x+l2y−ω2t ,
Ω = 1+ ek1x+l1y−ω1t + ek2x+l2y−ω2t +A k x+l y−ω12e 1 1 1tek2x+l2y−ω2t
olarak verilir (Şekil 4.5). Burada γ ve A12 sabit sayılardır. (4.29) rasyonel fonksiyon çö-
zümü ve gerekli türev terimleri (4.26) denkleminde yerine yazıldığında bir denklem sis-
temi elde edilir ve bu denklem sistemi çözülürse
γ = 6,
α
A12 = ,β
α = k6 21k2−3k5k3 +4k4k41 2 1 2−3k3k51 2 + k2k61 2 + k41k2l2 +2k3k2 3 2 2 31 2l1−3k1k2l2−3k1k2l1
+2k2k3l + k k41 2 2 1 2l1 + k
2
1l
2
2−2k k l l + k2 21 2 1 2 2l1 ,
β = k61k
2 +3k5k3 +4k4k4 +3k3k5 2 6 42 1 2 1 2 1 2 + k1k2 + k1k2l2 +2k
3k2l +3k3k2l +3k2 31 2 1 1 2 2 1k2l1
+2k2k3l + k k4l + k2l21 2 2 1 2 1 1 2−2k1k2l l + k2l21 2 2 1 ,
k61 +5k
3 2
1l1−5l1 k62 +5k3 2ω =− , ω =− 2
l2−5l2
1 2 (4.30)k1 k2
sonuçları bulunur.
43
Şekil 4.5. (4.24) denkleminin iki dalga çözüm grafiği. Burada k1 = 1/6, k2 = 1/6, 11 = 0.1
ve l2 = 0.2 alınmıştır
4.2.3. Üç dalga çözümü
(2+1) boyutlu bir denklem için üç dalga çözümü
Φ(η1,ηv 2
,η3)
(x,y, t) = (4.31)
Ω(η1,η2,η3)
ve
(
Φ= γ k ek1x+l1y−ω1t +k ek2x+l2y−ω2t +k ek3x+l3y−ω3t1 2 3 +A12 (k1 + k2)ek1x+l1y−ω1tek2x+l2y−ω2t
+A (k + k )ek1x+l1y−ω1tek3x+l3y−ω3t +A (k + k )ek2x+l2y−ω2tek3)x+l3y−ω t13 1 3 23 2 3 3
+A A A k x+l y−ω t k x+l y−ω t k x+l y−ω t12 13 23 (k1 + k2 + k3)e 1 1 1 e 2 2 2 e 3 3 3 ,
44
Ω = 1+ ek1x+l1y−ω1t + ek2x+l2y−ω2t + ek3x+l3y−ω3t +A ek1x+l1y−ω1tek2x+l12 2y−ω2t
+A ek1x+l1y−ω1tek3x+l3y−ω3t +A ek2x+l2y−ω2tek3x+l3y−ω13 23 3t
+A k x+l y−ω t k12A13A23e 1 1 1 e 2x+l2y−ω2tek3x+l3y−ω3t (4.32)
olarak verilir (Şekil 4.6). Burada γ , A12, A13 ve A23 sabit sayıdır. (4.31) rasyonel fonksiyon
çözümü ve gerekli türev terimleri (4.26) denkleminde yerine yazıldığında bir denklem
sistemi elde edilir ve bu denklem sistemi çözülürse
γ = 6,
α
A12 = ,β
α = k6k2−3k5k3 +4k4k4−3k3k5 + k2k6 + k41 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1k2l2 +2k31k22l1−3k3k21 2l2−3k2 31k2l1
+2k2k3l + k k4l + k2l2−2k k l l + k2 21 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2l1 ,
β = k6k2 +3k5 3 4 4 3 5 2 6 41 2 1k2 +4k1k2 +3k1k2 + k1k2 + k1k2l2 +2k
3k21 2l1 +3k
3k21 2l2 +3k
2k31 2l1
+2k2 3 4 2 2 2 21k2l2 + k1k2l1 + k1l2−2k1k2l1l2 + k2l1 ,
α
A13 = ,β
α = k6k21 3−3k5k31 3 +4k4k4−3k3k5 + k2 61 3 1 3 1k3 + k41k3l3 +2k31k23l1−3k3k21 3l3−3k21k33l1
+2k2 3 4 2 21k3l3 + k1k3l1 + k1l3−2k1k3l1l3 + k2l23 1 ,
β = k61k
2
3 +3k
5
1k
3
3 +4k
4
1k
4
3 +3k
3k5 + k2k6 + k41 3 1 3 1k3l3 +2k
3
1k
2
3l1 +3k
3k21 3l
2 3
3 +3k1k3l1
+2k21k
3
3l3 + k1k
4
3l1 + k
2 2
1l3−2k1k l l + k2l23 1 3 3 1 ,
α
A23 = ,β
α = k6k2−3k5k3 +4k4k4−3k3 5 2 62 3 2 3 2 3 2k3 + k2k3 + k4k l +2k3k22 3 3 2 3l2−3k3k2l −3k2k32 3 3 2 3l2
+2k2k3l + k k4l + k22 3 3 2 3 2 2l
2
3−2k 2 22k3l2l3 + k3l2 ,
45
β = k6k2 +3k5k32 3 2 3 +4k
4 4 3
2k3 +3k2k
5 + k2 6 4 3 23 2k3 + k2k3l3 +2k2k3l2 +3k
3
2k
2
3l3 +3k
2k32 3l2
+2k2k3 4 2 2 2 22 3l3 + k2k3l2 + k2l3−2k2k3l2l3 + k3l2 ,
k6 +5k3l −5l21 1 1 1 k6 +5k3l −5l2 k
6 +5k3l 2
ω − ω − 2 2 2 2 ω − 3 3 3
−5l3
1 = , = ,k 2 k 3
= (4.33)
1 2 k3
sonuçları bulunur.
Şekil 4.6. (4.24) denkleminin üç dalga çözüm grafiği. Burada k1 = 1/6, k2 = 1/6, k3 =
1/6, 11 = 0.1, 12 = 0.2 ve l3 = 0.3 alınmıştır
4.3. Geliştirilmiş Rasyonel Fonksiyon Yaklaşımıyla Elde Edilen Çözümler
Bu bölümde (4.24) numaralı lineer olmayan (2+1) boyutlu SK denkleminin kompleksiton
çözümleri bulunacaktır.
46
4.3.1. Hirota bilineer denklemi
(4.26) numaralı (2+1) boyutlu SK denkleminde
v(x,y, t) = 6(ln f )x (4.34)
dönüşümü yazıldığında
2(ln f )2xt−2(ln f )7x−60(ln f )3x (ln f )4x−60(ln f )2x (ln f )5x−360((ln f )
2
2x) (ln f )3x
−10(ln f )4xy−60(ln f )2x (ln f )2xy +10(ln f )2yx−60(ln f )3x (ln f )xy = 0 (4.35)
denklemi elde edilir. Burada f = f (x,y, t) olarak gösterilir.
(4.35) denklemi x bağımsız değişkenine göre bir kere integral alındığında
2(ln f )xt−2(ln f )6x−60(ln f )2x (ln f )4x−120((ln f )2x)
3
−10(ln f )3xy−60(ln f )2x (ln f )xy +10(ln f )2y =C (4.36)
elde edilir. Burada C integral sabitidir. (4.36) denklemi düzenlenirse
2 fxt 2 fx ft 2 f6x 12 f5x fx 30 f4x f2x 20 f 2− − + − + 3x
f f 2 f f 2 f 2 f 2
( ) ( )
2 f3xy 2 f3x fy 6 fx f2xy 6 f2x fxy 2 f2y 2 f
2
−5 − − 5 − y2 2 + 2 + 2 =C (4.37)f f f f f f
veya
( 2 f fxt−2 fx ft−2 f f6x +12 f5x)fx−(30 f
2
4x f2x +20)f3x
−5 2 f f3xy−2 f3x fy−6 fx f2xy +6 f2x fxy +5 2 f f2y−2 f 2 =C f 2y (4.38)
elde edilir. (4.38) denkleminde gerekli olan Hirota türevleri
D2y f f = 2 f f2y−2 f 2y ,
DxDt f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
47
D3xDy f f = 2 f f3xy−2 f3x fy−6 fx f2xy +6 f2x fxy,
D6x f f = 2 f f
2
6x−12 fx f5x +30 f2x f4x−20 f3x (4.39)
olarak verilir (Hirota 2004). C = 0 integral sabiti ve (4.39) Hirota türevleri (4.38) denk-
leminde yerine yazılırsa (4.26) numaralı (2+1) boyutlu SK denkleminin Hirota bilineer
denklemi
( )
DxDt−D6−5D3 2 2x xDy +5Dy f f = f fxt− fx ft− f f6x +6 fx f5x−15 f2x f4x +10 f3x
−5 f f 23xy +5 f3x fy +15 fx f2xy−15 f2x fxy +5 f f2y−5 fy = 0 (4.40)
elde edilir.
4.3.2. Kompleksiton çözümler
(3.25) denklemindeki p(η1,η2) ve q(η1,η2) polinomları
p(η1,η2) = Aη1 +Bη2, q(η1,η2) = 1 (4.41)
olarak alındığında (3.25) denklemi
f = Aη1 +Bη2 (4.42)
denklemine dönüşür. Burada
η1 = η1 (ξ1) , η2 = η2 (ξ2) , (4.43)
ξ1 = k1x+ l1y+ω1t + c1, ξ2 = k2x+ l2y+ω2t + c2 (4.44)
biçimindedir. A,B,k1,k2, l1, l2,ω1,ω2,c1,c2 parametreleri ise sabit sayılardır.
(3.26) ve (3.27) denklemleri kullanılarak (4.40) Hirota bilineer denkleminde yer alan tü-
revler
f = Ak η ′x 1 1 +Bk
′
2η2,
48
f = Al η ′ +Bl η ′y 1 1 2 2,
ft = Aω η ′1 1 +Bω2η
′
2,
f 22x = Ak1η
′′+Bk2η ′′1 2 2 =−Ak21η1 +Bk22η2,
f = Al2η ′′2y 1 1 +Bl
2
2η
′′ 2
2 =−Al1η1 +Bl22η2,
fxt = Ak1ω1η ′′ ′′1 +Bk2ω2η2 =−Ak1ω1η1 +Bk2ω2η2,
fxy = Ak1l1η ′′1 +Bk2l2η
′′
2 =−Ak1l1η1 +Bk2l2η2,
f = Ak3η ′′′+Bk3η ′′′3x 1 1 2 2 =−Ak31η ′1 +Bk32η ′2,
f = Ak2l η ′′′ 22xy 1 1 1 +Bk2l η
′′′
2 2 =−Ak21l ′ 2 ′1η1 +Bk2l2η2,
f Ak3l η(4) Bk3l η(4)= + = Ak3l 33xy 1 1 1 2 2 2 1 1η1 +Bk2l2η2,
f Ak4η(4) Bk4η(4)4x = 1 1 + 2 2 = Ak
4 4
1η1 +Bk2η2,
f Ak5η(5)= +Bk5η(5)5x 1 1 2 2 = Ak
5η ′1 1 +Bk
5η ′2 2,
f6x = Ak6
(6)
1η1 +Bk
6η(6) 62 2 =−Ak1η1 +Bk
6
2η2 (4.45)
olarak verilir. (4.45) türevleri (4.40) Hirota bilineer denkleminde yerine yazıldığında
( )( )
(Aη1 +Bη2)(−Ak1ω1η1 +Bk2ω2η2)− Ak1η ′1 +Bk ′2η2 Aω ′ ′1η1 +Bω2η2
( ) ( )( )
−(Aη1 +(Bη2) −Ak
6 6 ′ ′ 5 ′ 5 ′
1η1 +)B(k2η2 +6 Ak1η)1 +Bk(2η2 Ak1η1 +Bk)2η2
− 215 −Ak21(η1 +Bk
2
2η2 Ak
4
1η1)+Bk
4η +10 −Ak3η ′(2 2 1 1 +Bk
3 ′
2η2
−5(Aη +Bη ) Ak3l η +Bk3l η +5 −Ak3η ′ +Bk3η ′
)( )
1 2 1(1 1 2 2 2 )( 1 1 2 2 ) Al η
′
1 1 +Bl2η
′
2
+15 Ak η ′ +Bk η ′ −Ak2 ′ 2 ′( 1 1 2 2 ) 1l1η1 +Bk2l2η2
−15 −A 2(k1η1 +Bk
2
2η2 (−)Ak1l1(η1 +Bk2l2η2) )
+5(Aη +Bη ) −Al2η +Bl2 ′ ′ 21 2 1 1 2η2 −5 Al1η1 +Bl2η2 = 0 (4.46)
49
denklemi elde edilir. (3.31) ve (3.32) denklemleri kullanılarak (4.46) denklemi düzenlen-
diğinde ve η21 ,η
2
2 ,η1,η2,η
′
1,η
′
2 terimlerin katsayıları sıfıra eşitlendiğinde
16A2k6 +16B21 k
6
2−20A2k31l1 +20B2k32l2
−A2k 21ω1−5A l21−B2k 22ω2−5B l22 = 0,
6k51k2−20k31k32 +6k1k52−5k31l2−15k21k2l1
+15k 21k2l2 +5k
3
2l1− k1ω2− k2ω1−10l1l2 = 0,
k6−15k4k2 +15k21 1 2 1k42− k62−5k3 21l1 +15k1k2l2
+15k k2l −5k3l − k ω + k ω −5l2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 1 +5l2 = 0 (4.47)
belirleyici denklem sistemi elde edilir. Bu belirleyici denklem sistemi çözüldüğünde aşa-
ğıdaki sonuçlar elde edilir:
Sonuç 1: √
α
A =± − B,
β
α =−k61k2 + k4k42 1 2 +5k21k62 +3k8 42 + k1k2l2 +2k31k22l1 +4k2k31 2l 42 +2k1k2l1
+3k5l − k2l2 +2k k l l − k2 22 2 1 2 1 2 1 2 2l1 ,
β = 3k8 +5k6 2 4 41 1k2 + k1k2− k2k6−3k5l −2k4k l −4k3k2l −2k2k31 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2l2
−k1k42l 2 2 2 21− k1l2 +2k1k2l1l2− k2l1 ,
1
ω = (k7−9k5k2−5k3k4 +5k k6 4 3 31 k2 1+ k2 1 1 2 1 2 2
−5k1l1 +10k1k2l2 +10k1k2l2
1 2
+5k42l1−5k1l21 +5k1l22−10k2l1l2),
1
ω2 = 2 2 (5k
6
1k
4 3 2 5 7 4 3 3
k k 2
−5k
+ 1
k2−9k1k2 + k2−5k1l2−10k1k2l1−10k1k2l1
1 2
+5k42l2−10k1l1l2 +5k2l21−5k 22l2). (4.48)
50
(4.48) sonuçları (4.42) ve (4.34) denklemlerinde yerine yazıldığında (2+1) boyutlu SK
denkleminin kompleksiton çözümleri
v(x,y, t) = 6(ln f (x,y, t))x (4.49)
olarak verilir (Şekil 4.7). Burada
√
α
f (x,y, t) =± − Bsin(k1x+ l1y+ω1t + cβ 1
)±Bsinh(k2x+ l2y+ω2t + c2) , (4.50)
√
α
f (x,y, t) =± − Bcos(k1x+ l1y+ω1t + c1)±Bsinh(k2x+ l2y+ω2t + c2) (4.51)β
biçimindedir.
Şekil 4.7. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri. Burada tüm parametreler 1
olarak alınmıştır
Sonuç 2:
l 3 31 = k1, l2 =−k2, ω1 =−9k51, ω2 =−9k52. (4.52)
(4.52) sonuçları (4.42) ve (4.34) denklemlerinde yerine yazıldığında (2+1) boyutlu SK
denkleminin kompleksiton çözümleri
v(x,y, t) = 6(ln f (x,y, t))x (4.53)
51
olarak verilir (Şekil 4.8). Burada
( ) ( )
f (x,y, t) =±Asin k1x+ k31y−9k51t + c1 ±Bsinh k2x− k32y−9k52t + c2 , (4.54)
( ) ( )
f (x,y, t) =±Acos k x+ k3y−9k5 3 5( 1 1 1t + c1) ±Bsinh(k2x− k2y−9k2t + c2) , (4.55)
f (x,y, t) =±Asin 3(k1x+ k1y−9k
5
1t + c1 )±Bcosh (k
3
2x− k2y−9k52t + c2 ), (4.56)
f (x,y, t) =±Acos k x+ k3y−9k5t + c ±Bcosh k x− k3y−9k51 1 1 1 2 2 2t + c2 (4.57)
biçimindedir.
Şekil 4.8. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri. Burada tüm parametreler 1
olarak alınmıştır
Sonuç 3:
( l1 = k
3
1−3)k1k
2
2, l = 3k k
2− k32 2(1 2 )
ω1 =−9k k4−10k2k2 +5k41 1 1 2 2 , ω2 =−9k2 5k41−10k2k21 2 + k42 . (4.58)
(4.58) sonuçları (4.42) ve (4.34) denklemlerinde yerine yazıldığında (2+1) boyutlu SK
denkleminin kompleksiton çözümleri
v(x,y, t) = 6(ln f (x,y, t))x (4.59)
52
olarak verilir (Şekil 4.9). Burada
( ( ) ( ) )
f (x,y, t) =±Asin k x+ k3 2 4 2 2 41 1−3k1k2 y−9k1 k1−10k1k2 +5k2 t + c1
( ( ) ( ) )
±Bsinh k2x+ 2 3( 3k2k1(− k2 y−9)k
4 2 2
2 5k1−(10k1k2 + k
4
2 t + c)2 , ) (4.60)
f (x,y, t) =±Acos k x+ k3( (1 1−)3k
2
1k2 y−9k k4−10k2( 1 1 1k
2
2 )+5k
4
2 )t + c1
±Bsinh k 22x+( 3k2k(1− k
3 y−9k 5k42 2 1−10k2 2 41k2 + k2 t + c2 , (4.61)
f (x,y, t) =±Asin k x+ k3−3k k2
) ( ) )
( (1 1 ) 1 2 y−( 9k1 k
4
1−10k2k21 2 +) 5k
4
2 t)+ c1
±Bcosh k2x+( 3k
2 3 4 2 2 4
2k(1− k2 y−9)k2 5k1−( 10k1k2 + k2 t + c)2 , ) (4.62)
f (x,y, t) =±Acos k x+ k3( (1 1−3)k k
2
1 2 y−9k k4−10k2k2( 1 1 1 2 +) 5k
4
2 t)+ c1
±Bcosh k2x+ 3k2k2− k3 4 2 2 41 2 y−9k2 5k1−10k1k2 + k2 t + c2 (4.63)
biçimindedir.
Şekil 4.9. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri. Burada tüm parametreler 1
olarak alınmıştır
Sonuç 4:
k1 =±ik2, l2 =±il1
±16ik62 +20k3 2 6 3 2ω 2
l1±5il1 −16k ±20ik= , ω =− 2 2
l1−5l1
1 2 . (4.64)k2 k2
(4.64) sonuçları (4.42) ve (4.34) denklemlerinde yerine yazıldığında (2+1) boyutlu SK
53
denkleminin kompleksiton çözümleri
v(x,y, t) = 6(ln f (x,y, t))x (4.65)
olarak verilir (Şekil 4.10). Burada
( ( ) )
±16ik6 +20k3l ±5il2
f (x,y, t) =±Asin ±ik2x+ l y 2 2
1
+ 11 t + ck 1
( ( 2
−16k6
) )
2±20ik3 2±Bsinh k x± il y− 2
l1−5l1
2 1 t + c2 , (4.66)( ( k2 ) )
±16ik6 +20k3l ±5il2
f (x,y, t) =±Acos ±ik2x+ l y+ 2 2
1 1 t + c
( (1 k ) ) 12
−16k6±20ik3l −5l2
±Bsinh k2x± il 2 2
1 1
( 1
y− t + c2 , (4.67)( k2
±16ik6 +20k3
) )
2 2l1±5il2f (x,y, t) =±Asin ±ik2x+ l1y+ 1 t + c( ( k2 ) ) 1
−16k6±20ik3l −5l2
±Bcosh k x± il y− 2 2 1 12 1 t + c2 , (4.68)( ( k2
±16ik6 +20k3l ±5il2
) )
f (x 1,y, t) =±Acos ±ik 2 2 1
( 2
x+ l y+ t + c
(1 k 12 ) )
−16k62±20ik32l1−5l2±Bcosh k2x± il1y− 1 t + ck 2
(4.69)
2
biçimindedir.
54
Şekil 4.10. (4.24) denkleminin kompleksiton çözüm grafikleri. Burada tüm parametreler
1 olarak alınmıştır
4.4. Yeni Test Fonksiyonu Metoduyla Elde Edilen Çözümler
Bu bölümde (4.4) numaralı lineer olmayan genelleştirilmiş KdV denkleminin çoklu soli-
ton çözümleri bulunacaktır.
4.4.1. Hirota bilineer denklemi
(4.4) numaralı lineer olmayan genelleştirilmiş KdV denkleminde
u = 2(log f )xx (4.70)
dönüşümü yazıldığında
2(log f )2xt +2(log f )3x +α (24(log f )2x (log f )3x +2(log f )5x)+α
2(2(log f )7x
+60(log f )2x (log f )5x +60(log f )3x (log f )4x +360(log f )
2
2x (log f )3x) = 0 (4.71)
dönüşmüş denklemi elde edilir. Burada f = f (x, t) dir.
(4.71) denkleminin x bağımsız değişkenine göre bir defa integrali alındığında
( )
2(log f )xt +2(log f )2x +α 12(log f )
2
2x +2(log f )4x
55
( )
+α2 2(log f )6x +60(log f )2x (log f )4x +120(log f )
3
2x =C (4.72)
elde edilir. Burada C integral sabitidir. (4.72) denklemi düzenlenirse
( )
2 f 2 2xt − 2 fx ft 2 f2x − 2 fx
6 f 2 f 8 f
α 2x 4x − 3x fx+ + +
f f 2 f f 2 f 2 f f 2
( )
2 2 f6x 12 f5x fx 30 f4x f2x 20 f
2
+α − + − 3x2 2 2 =C (4.73)f f f f
veya ( )
2 f fxt−2 f(x f
2 2
t +2 f f2x−2 fx +α 6 f2x +2 f f4x)−8 f3x fx
+α2 2 f f6x−12 f5x fx +30 f 24x f2x−20 f3x =C (4.74)
elde edilir. (4.74) denkleminde gerekli olan Hirota türevleri
DxDt f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
D2x f f = 2 f f2x−2 f 2x ,
D4x f f = 2 f f4x−8 f3x fx +6 f 22x,
D6 2x f f = 2 f f6x−12 fx f5x +30 f2x f4x−20 f3x (4.75)
biçimindedir (Hirota 2004). C = 0 integral sabitini ve (4.75) Hirota türevleri (4.74) denk-
leminde yerine yazıldığında (4.4) numaralı lineer olmayan genelleştirilmiş KdV denkle-
minin Hirota bilineer denklemi
( )
DxDt +D2x +αD
4 2 6
x +α Dx f f = 2 f fxt−2 fx ft +2 f f2x−2 f 2x
( ) ( )
+α 2 f f 2 2 24x−8 f3x fx +6 f2x +α 2 f f6x−12 fx f5x +30 f2x f4x−20 f3x = 0 (4.76)
elde edilir.
4.4.2. Çoklu soliton çözümleri
(3.35) çoklu soliton fonksiyon çözümünün kendisini ve gerekli türevlerini (4.76) Hirota
bilineer denkleminde yerine yazıldığında yeni bir denklem elde edilir. Bu denklemdeki
56
eξ1 sinξ2, eξ1 sinhξ3, eξ1 cosξ , eξ2 1 coshξ3, sinξ2 sinhξ3, cosξ2 coshξ3 terimlerinin kat-
sayılarını sıfıra eşitlersek ai, bi and δi (i = 1,2,3) parametrelerinden oluşan bir denklem
sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülürse aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
Sonuç 1:
1 21a
a 31 = 0,a2 = 0,α =− 2 ,b1 = 0,b2 = 0,b3 =− . (4.77)5a3 25
(4.77) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV denkleminin çözümü
2δ a22 3 coshξ
2
3 2δ2 a
2
3 sinh
2 ξ
u = − 3 (4.78)
1+δ1 +δ2 coshξ3 +δ3 (1+δ1 +δ2 coshξ 23 +δ3)
olarak verilir. Burada
21a t
ξ 33 =−a3x+ 25
biçimindedir.
Sonuç 2:
1 21a3 21aa 31 =−a3,a2 = 0,α =− ,b = ,b = 0,b =− . (4.79)5a2 1 2 33 25 25
(4.79) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV denkleminin çözümü
( ) ( )
2a2 e−
2
ξ1
3 +δ2 coshξ +δ e
ξ1 (2a2 e−ξ3 3 13 −δ2 sinhξ −δ eξ3 3 1u = −ξ ξ − )2 (4.80)e 1 +δ1 +δ2 cosh(ξ3)+δ3e 1 e−ξ1 +δ1 +δ2 cosh(ξ3)+δ3eξ1
olarak verilir. Burada
21a t
ξ 31 =−a3x+ ,25
21a3tξ3 =−a3x+ 25
biçimindedir.
57
Sonuç 3: ( ) ( )3 a1 19a4 +(150a2a2 4α =− ,b =− 1 1 3 )+135a3 ,5 a2 11 +(3a23 25) a2 2 21 +3a3
a 25a43 1 +( 90a2 21a3 +) 189a4b3 =− 3 ,δ = 0,δ = 0. (4.81)
25 a2
1 3
1 +3a
2 2
3
(4.81) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV denkleminin çözümü
( ) ( )2
2 a2e−ξ1 +δ a21 2 3 coshξ3 2 −( a e−ξ1 1−δ2a3 sinh)ξ3u = −ξ − (4.82)e 1 +δ2 cosh(ξ3) e−ξ1 +δ2 cosh(ξ 23)
olarak verilir. Burada ( )
a1 19a41 +(150a2a2 4ξ = a x− 1 3 +135a3 t1 1 ) ,
25 a2 2 2
( 1
+3a3 )
a3 25a41 +(90a21a2 4ξ =−a x+ 3 +)189a3 t3 3
25 a2 3a2 21 + 3
biçimindedir.
Sonuç 4: ( )
a1 = ia2,a3 = ia2,b1 =− 16a42(α
2−4a22α +1 ia2,)
b2 =−16a5α2 +4a3α−a 4 2 22 2 2,b3 =− 16a2α −4a2α +1 ia2. (4.83)
(4.83) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV den(kleminin çözümü )
2a2 −e−ξ12 −δ1 cosξ ξ2−δ2 coshξ3−δ3e 1
u =
e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 cosh(ξ3)+δ3eξ1
( )2
2a2( −ie−ξ12 +δ1 sinξ2− iδ2 sinhξ + iδ eξ3 3 1− ) (4.84)
e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 cosh(ξ δ
2
3)+ 3eξ1
58
olarak verilir (Şekil 4.11). Burada
(
ξ = ia x− 16a4α2−4a2
)
1 2 2 2α +1 ia2t,
( )
ξ2 =−a2x− −16a5α2 +4a3( 2 2α− )a2 t,
ξ3 =−ia2x+ 16a42α2−4a22α +1 ia2t
biçimindedir.
Şekil 4.11. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği. Burada tüm parametreler 1
olarak alınmıştır
Sonuç 5:
1 21ia 21a
a1 = ia2,a3 = 0,α
2 2
= ,b
5a2 1
=− ,b =− ,b
25 2 25 3
= 0. (4.85)
2
(4.85) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
59
yan genelleştirilmiş KdV denkleminin çözümü
( ) ( )2
2a22 −e−ξ1−δ1 cosξ2−δ eξ1 2a(23 2 −ie−ξ1 +δ1 sinξ2 + iδ ξ3e 1u = −ξ − (4.86)e 1 +δ1 cosξ )2 +δ 22 +δ3eξ1 e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 +δ3eξ1
olarak verilir (Şekil 4.12). Burada
21ia
ξ 2
t
1 = ia2x− ,25
− 21a2tξ2 = a2x+ 25
biçimindedir.
Şekil 4.12. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği. Burada δ2 = 10, diğer tüm
parametreler 1 olarak alınmıştır
60
Sonuç 6:
( ) ( 4 ( 2 2 ) 4)3 a1 19a1 +150a a +135aa2 = ia3,α =− 2 2 ,b1 =− 1 3 3 ,5 a1 +3a3 25 a21 +3a2 2( ) ( 3 )
25a4 +90a2a2 +189a4 ia a 25a4 +90a2a2 +189a4
b2 =− 1 ( 1 3 ) 3 3 ,b3 =− 3 1 ( 1 3 ) 3 ,δ = 0.
25 a2 +3a2 2 25 a2 2 2
3
1 3 1 +3a3
(4.87)
(4.87) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV den(kleminin çözümü )
2 a2 −ξ1 2 21e +δ1a3 cosξ2 +δ2a3 coshξ3
u =
e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 cosh(ξ3)
( )2
2 −(a −ξ1e 1 +δ1ia3 sinξ2−δ2a3 sin)hξ3− (4.88)
e−ξ1 +δ1 cosξ2 +δ2 cosh(ξ
2
3)
olarak verilir (Şekil 4.13). Burada ( )
a1 19a41 +(150a2a2 4ξ = a x− 1 3 +135a3 t1 1 ) ,
25 a21 +3a
2 2
( 3 )
25a4 2 2 4
ξ −ia x 1
+90(a1a3 +18)9a3 ia3t2 = 3 + 2 ,( 25 a2 +3a21 3
a 25a4 +(90a2 )3 1 1a23 +)189a43 tξ3 =−a3x+
25 a2 2 21 +3a3
biçimindedir.
61
Şekil 4.13. (4.4) denkleminin çoklu soliton çözüm grafiği. Burada a1 = 2, a3 =−2, δ1 =
−1 ve δ2 =−1 olarak alınmıştır
Sonuç 7:
1 21a
a2 = 0,a3 = 0,α =− 12 ,b1 =− ,b2 = 0,b3 = 0. (4.89)5a1 25
(4.89) ifadesi (3.35) denkleminde yerine yazılıp (4.70) dönüşümü kullanırsa lineer olma-
yan genelleştirilmiş KdV denkleminin çözümü
( ) ( )
− 22a2 e ξ1 +δ eξ3 1 2a2 −e−ξ1 +δ eξ11 1 3
u =
e−ξ
− (4.90)
1 +δ1 +δ2 +δ3eξ
( )
1 e−ξ 21 +δ1 +δ2 +δ3eξ1
olarak verilir. Burada
− 21a1tξ1 = a1x 25
biçimindedir.
62
4.5. Lump ve Lump Tipi Çözüm Algoritmasıyla Elde Edilen Çözümler
Birçok araştırmacı tarafından ele alınan (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü
( )
3u − (2u −1xz t−2uux +u3x)y +2 ux∂x uy x = 0 (4.91)
denklemi yeni bir integrallenebilir denklemdir (Zhaqilao 2013, Liu ve Liu 2016, Shi ve
Zhang 2017). Burada u = u(x,y,z, t) olarak gösterilir ve ters türev operatörü
∫x
∂−1x f (x, t) = f (x
′, t)dx′ (4.92)
−∞
ve
∂ ∂−1 = ∂−1x x x ∂x = 1 (4.93)
şeklinde tanımlanır. (4.91) denklemi ilk defa cebirsel-geometrik çözümlerin çalışılma-
sında bir model olarak tanıtılmıştır (Geng 2003). Yeni bir denklem olduğundan dolayı
bu modelin fizik veya diğer bilim alanlarında uygulaması belirsizdir. Ancak bu modelin
literatürde çok iyi bilinen KdV
wt ′−6wwx′+wx′x′x′ = 0 (4.94)
denklemiyle oldukça önemli bir benzerliği vardır. (4.94) denkleminde
w(x′, t ′)→ u(x, t) , x′ = √1 x , t ′ = √1 t (4.95)
3 6 3
dönüşümlerinin uygulanması sonucu (4.91) denkleminin ana parçası olan
2ut−2uux +u3x (4.96)
ifadesi elde edilir. Böylece (4.91) denklemi KdV denkleminin bir genelleştirilmiş hali-
dir. Son zamanlarda birçok fiziksel olayların modellenmesinde KdV denkleminin çeşitli
lineer olmayan denklemleri geliştirildi. (4.91) denklemi KdV denkleminin bir genelleşti-
rilmiş hali olarak düşünüldüğünde doğrusal olmayan dağılım modellerinde yer alan sığ su
dalgaları ve kısa dalgaların çalışılmasında kullanılabilir (Zhaqilao 2013, Wazwaz 2015,
63
Shi ve Zhang 2017, Zhang ve Ma 2017).
4.5.1. Hirota bilineer denklemi
(4.91) numaralı (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denkleminde
u =−3(ln f )xx (4.97)
dönüşümü yazıldığında
6(ln f )3xz−4(ln f )2xyt−2(ln f )5xy−24(ln f )3x (ln f )2xy
−12(ln f )2x (ln f )3xy−12(ln f )4x (ln f )xy = 0 (4.98)
dönüşmüş denklemi elde edilir. Burada f = f (x,y,z, t) olarak gösterilir.
(4.98) denkleminin x bağımsız değişkenine göre iki kere integral alındığında
6(ln f )xz−4(ln f )yt−2(ln f )3xy−12(ln f )2x (ln f )xy =C (4.99)
elde edilir. Burada C integral sabitidir. (4.99) denklemi düzenlenirse
6 fxz 6 fx fz 4 fyt 4 fy ft 2 f3xy 2 f3x f 6 f f− − − y x 2xy
6 f
− 2x
fxy
2 + 2 + 2 + 2 2 =C (4.100)f f f f f f f f
veya
6 f fxz−6 fx fz−4 f fyt +4 fy ft−2 f f3xy +2 f3x fy +6 fx f2xy−6 f2x fxy =C f 2 (4.101)
elde edilir. (4.101) denkleminde gerekli olan Hirota türevleri
DxDz f f = 2 f fxz−2 fx fz,
DyDt f f = 2 f fyt−2 fy ft ,
D3xDy f f = 2 f f3xy−2 f3x fy−6 fx f2xy +6 f2x fxy (4.102)
64
biçimindedir (Hirota 2004). C = 0 integral sabiti ve (4.102) Hirota türevleri (4.101) denk-
leminde yerine yazılırsa (4.91) numaralı (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denk-
leminin ( )
3DxDz−2D D −D3y t xDy f f =
6 f fxz−6 fx fz−4 f fyt +4 fy ft−2 f f3xy +2 f3x fy +6 fx f2xy−6 f2x fxy = 0 (4.103)
Hirota bilineer denklemi elde edilir.
4.5.2. Genelleştirilmiş Hirota bilineer denklemi
(4.102) Hirota bilineer denkleminde yer alan Hirota türev operatörleri p = 3 iken
D3,xD3,z f f = 2 f fxz−2 fx fz,
D3,yD3,t f f = 2 f fyt−2 fy ft ,
D33,xD3,y f f = 6 f2x fxy.
genelleştirilmiş Hirota türev operatörlerine dönüşür. Böylece (4.91) numaralı (3+1) bo-
yutlu lineer olmayan oluşum türü denkleminin genelleştirilmiş Hirota bilineer denklemi
( )
3D 33,xD3,z−2D3,yD3,t−D3,xD3,y f f = 6 f fxz−6 fx fz−4 f fyt +4 fy ft−6 f2x fxy = 0
(4.104)
elde edilir.
4.5.3. Yeni bir (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklem
(4.104) genelleştirilmiş Hirota bilineer denkleminde
u =−3(ln f )x
veya
1 ∫
f = e− 3 udx
65
dönüşümü kullanılması(sonucu ) 3D 33,xD3,z−2D3,yD3,t−D3,xD3,y f f  =
f 2
( ) ( ) x
4u u4 ( u u )t − − x y 2 u3 ∫ 2 2uu u2 uz + + uu 2 x y3 54 3 9 x− uydx+ u u3 xy + = 0y x x 9 3
(4.105)
yeni bir (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklem elde edilir. Elde edilen bu
denklem standart (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklemden daha fazla terim
içerir ve daha karmaşık lineer olmayan bir denklemdir. Ayrıca elde edilen yeni denklemin
Hirota bilineer denklemi standart (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklemin
Hirota bilineer denkleminden daha basit bir denklemdir.
4.5.4. Lump tipindeki çözümler
(4.104) denkleminin çözümünü
f = g2 +h2 +a11 (4.106)
ikinci dereceden fonksiyon olarak farz edelim. Burada lineer dalga değişkenleri
g = a1x+a2y+a3z+a4t +a5,
h = a6x+a7y+a8z+a9t +a10 (4.107)
biçiminde olup ai, 1 ≤ i ≤ 11 reel değerli sabitlerdir. (4.106) ikinci dereceden fonksi-
yon çözümünün kendisini ve gerekli türevlerini (4.104) genelleştirilmiş Hirota bilineer
denkleminde yerine yazarsak x,y,z,t bağımsız değişkenlerinden oluşan bir polinom elde
edilir. Elde edilen bu polinomda aynı ifadelerin katsayılarının sıfıra eşitlenmesi sonucunda
ai (1≤ i≤ 11) terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi
çözüldüğünde aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
66
Sonuç 1:
3a3a 2 2 24a6−2a4a7 +3a6a8a9−2a7a9 3a3a6−2a a a 2a a 3 4 7
+3a6a8−2a7a8a9
1 = , 2 = ,3(a3a9−a4a8) 2(a3a9−a4a8)
1 ( )
a = a2 2 2 211 4 4 +a9 (a3a4 +a8a9)(9a3a6−12a3a4a6a7,18(a3a9−a4a8) (3a6a8−2a7a9)
+4a2a2 +9a2a24 7 6 8−12a6a7a8a9 +4a27a2)29 . (4.108)
Sonuç 2:
2a22a9−3a2a3a6−3a6a 2 2 2a 7
a8 +2a7a9 2a2a3a9−3a a6−3a6a +2a7a8a9
1 = , a = 3 8 ,3 4(a2a8−a3a7) 2(a2a8−a3a7)
1 ( )2
a11 = 3 a
2
2 +a
2
7 (2a a −3a a )(4a2 22 9 3 6 2a9−12a2a3a6a9
9(a2a8−a3a7) (3a6a8−2a7a9)
+9a2 2 23a6 +9a6a
2
8−12a6a7a8a9 +4a27a29). (4.109)
Sonuç 3:
2a a2 22 4 +2a2a9−3a3a6a9 +3a 2 2a 4
a6a8 2a2a3a9−2aa − 2
a4a8−3a3a6−3a6a
1 = , =
8 ,
3(a3a a a
7
4 + 8 9) 2(a3a4 +a8a9)
( )( )
a24 +a
2 2 2 2 2
9 4a2a4 +4a2a9−12a a 2 2 22 3a6a9 +12a2a4a6a8 +9a3a6 +9a6a2
2
a11 =
8 .
18(a3a9−a 24a8)(a3a4 +a8a9) (2a2a9−3a3a6)
(4.110)
Sonuç 4: (
a 4 2 3 5 2
)
a − 7
3a1a6 +6a1a6 +3a6 +2a1a11a9−2a1a11a4a6
2 = ,
( 3a51 +6a3a2 4 21 6 +3a1a6−2a1a11a6a9 +2a11a4a6
2a 3(a4a +6a2 )7 1 9 1a26a9 +3a46a9 +2a1a 2a − 11a4a9−2a11a)4a63 =
( 3 3a5
,
1 +6a
3
1a
2 +3a a46 1 6−2a1a 211a6a9 +2a11a4a6
2a 3(a4a +6a2a2 4 2 ) )a +3a a −2a a a +2a a a aa 7 1 4 1 6 4 6 4 1 11 9 11 4 6 98 = . (4.111)3 3a5 +6a3 2 4 21 1a6 +3a1a6−2a1a11a6a9 +2a11a4a6
Sonuç 5:
3( (a 3a4 )3 1a6 +6a21a36 +3a56 +2a21aa 11a9−2a1a11a4a62 = )2 3a4a +6a2a2a +3a4 ,1 9 1 6 9 6a9 +2a1a11a4a9−2a11a24a6
67
3( (a 3a5 +6a3 )3 1 1a26 +3a a41 6−2a 2a − 1a11a6a9 +2a11a4a67 = )
( 2 3a4a +6a2a2a +3a4
,
1 9 1 6 9 6a9 +2a1a11a4a9−2a11a24a6
a 3a4a +6a2a2a +3a4a −2a a a2
)
3 1 4 1 6 4 6 4 1 11 9 +2a11a4a6aa − 98 = 4 2 2 4 2 . (4.112)3a1a9 +6a1a6a9 +3a6a9 +2a1a11a4a9−2a11a4a6
Sonuç 6:
3a2a +2a a a +3a a2−2a a a 3a a a −3a a a +2a2a +2a a2
a 1 3 1 7 9 3 6 4 6 7 a 1 3 9 3 4 6 7 72 = , 8 = 4 9 ,2(a1a4 +a6a9) 3(a1a4 +a6a9)
( )
3 a2 21 +a
2
6 (3a1a3 +2a aa 7 9
)
11 = . (4.113)2(3a3a6−2a4a7)(a1a9−a4a6)
Sonuç 7:
3a3a +3a2a a +3a a a2 31 2 1 6 7 1 2 6 +3a6a7 +2a11a7aa 98 = ,
( 3a11a61
a = 3a4 23 1a2 +6a
3a a a +3a2a2a2 +3a2 2 2
3a a a a −a a 1 2 6 7( ) 1 2 6 1
a
) 6
a7
11 6 1 7 2 6
+6a a a31 2 6a7 +3a
4
6a
2 2
7 +2a1a11a2a7a9−2a11a2a6a9 ,
1
a = (3a5a +3a4a a +6a3a a2 +6a2 34 2a a a a −a a 1 2 1 6 7( ) 1 2 6 1
a6a7
11 6 1 7 2 6
+3a a a41 2 6 +3a
5
6a7 +2a
2
1a11a7a9−2a1a11a2a6a9). (4.114)
Sonuç 8: (
3 a3
)
1a2 +a
2 2 3
a − 1
a6a7 +a1a2a6 +a6a7−a11a6a8
9 = ,
( 2a11a71
a = a3a3 +a3a a2 +a2a23 a a +a2a a3 +a a3a2a11a7 (a1a −a a 1 2 1
2 7 1 2 6 7 1 6 7 1 2 6
7 2 6)
+a a a2a2 +a2a3a +a3a3
)
1 2 6 7 2 6 7 6 7 +a1a11a2a7a8−a
2
11a2a6a8 ,
3
a4 = (a41a
2
2 +2a
3 2 2
1a2a6a7 +a1a2a
2 +a2a2a2
2a a (a a −a a ) 6 1 6 711 7 1 7 2 6
+2a 3 4 2 21a2a6a7 +a6a7 +a1a11a7a8−a1a11a2a6a8). (4.115)
Sonuç 9: (( 4 2 2 4 )2a2 3a1a9 +6a1a6a9 +3a6a9 +2a1a11a4a9−2a 211a)4aa 63 = 3 3a4a +6a2a3 ,1 6 1 6 +3a56 +2a21a11a9−2a1a11a4a6
68
(
a 3a5 +6a3a2 +3a 4 2
)
a − 2 1 1 6 1
a6−2a1a11a6a9 +2a11a4a6
7 = ,
( 3a41a +6a26 1a36 +3a5 26 +2a1a11a9−2a1a11a4a6 )
2a 42 3(a1a +6a2a2a +3a44 1 6 4 6a4−2a1a11a2a − 9 +2a11a4a)6a98 = 3 3a4a 2 . (4.116)1 6 +6a1a36 +3a5 +2a26 1a11a9−2a1a11a4a6
Sonuç 10:
3a1a8a9−2a2a24−2a 2a − 2
a9−3a4a6a8
3 = ,3(a1a4 +a6a9)
3a2a −2a a a +2a a a +2a2a
a = 1 8 1 2 9 2 4 6 6 87 ,
( 2(a1)a4 +a6a9)
3 a2 a2 21 +a =− 6
(2a2a4 +3a6a8)
11 . (4.117)2(a1a9−a4a6)(3a1a8−2a2a9)
Sonuç 11:
2(a1a2a4−a1a(7a9 +a2a6a9 +a4a6aa 7)3 = )3 a2 +a2 ,1 6
2(a1a2a9 +a1a(4a7−a2a)4a6 +a6a7a )a 98 =
( 3 a)2 +a2
,
1 6
3 a2 a2 21 + 6 (a1a2 +a6a7)a11 =− . (4.118)2(a1a9−a4a6)(a1a7−a2a6)
Sonuç 12:
3a1a23 +3a
2
1a8−2a2a8a9 +2a3a7a9 3a1a2a8−3a 2 2a a − 1
a3a7−2a a9−2a a9
4 = , =
2 7 ,
2(a2a3 +a7a
6
8) 3(a2a3 +a7a8)
1 (
a =− a2 +a2
)2 (
11 2 7 (3a1a3 +2a7a9) 9a
2a21 3
9(a2a8−a3a7)(a2a +a a )23 7 8 (3a1a8−2a2a9) )
+9a2a21 8−12a1a2a8a9 +12a1a3a7a9 +4a2a22 9 +4a27a29 . (4.119)
Sonuç 13: (
3 a3a +a2a a +a a a2 3
)
1 2 1 6 7 1 2 6 +a6a7−a1aa − 11
a3
4 = ,
( 2a11a21
a 3 3 3 2 2 2 2 38 =− aa a (a a −a a ) 1
a2 +a1a2a7 +a1a2a6a7 +a1a6a7
11 2 1 7 2 6
+a a3a2 +a a a2a2 +a2a3a +a3a3
)
1 2 6 1 2 6 7 2 6 7 6 7−a1a11a3a
2
7 +a11a2a3a6a7 ,
3
a9 =− (a41a22 +2a3 2 2 2 2 2 22a a (a a −a a ) 1
a2a6a7 +a1a2a6 +a1a6a7
11 2 1 7 2 6
69
+2a 31a2a6a7 +a
4
6a
2 2
7−a1a11a3a6a7 +a11a2a3a6). (4.120)
Sonuç 14:
3a21a3 +2a1a7a
2
a 9
−2a2a6a9 +3a3a6
4 = ,2(a1a2 +a6a7)
3a1a3a7 +2a22a
2
a 9
−3a2a3a6 +2a
= 7
a9
8 ,( 3(a1a2 2)2 +a6a7)3 a +a (a a +a 2
a − 1 6 1 2 6
a7)
11 = . (4.121)
(2a2a9−3a3a6)(a1a7−a2a6)
Sonuç 15:
3a a a +3a 2 2
a − 1 3 4 1
a8a9−2a2a4−2a2a= 96 ,3(a3a9−a4a8)
3a a2 +3a a21 3 1 8−2a2a3a4−2a2a aa − 8 97 = ,2(a3a
1 (9−a4a8)
a = a2 2
)
+a 2 2 2 211
− 4 − 4 9
(a3a4 +a8a9)(9a1a3 +9a1a8
18(a3a9 a4a8) (3a1a3 2a2a4)
−12a a a a −12a a a a +4a2 21 2 3 4 1 2 8 9 2a4 +4a2 2 22a9) . (4.122)
Sonuç 16:
3a a a +3a 2 2
a 1 2 3 1
a7a8−2a2a4−2a4a7
6 = ,3(a2a8−a3a7)
3a a21 3 +3a a
2
a 1 8
−2a2a3a4−2a4a7a8
9 = ,2(a2(a8−a3a)7)1 2
a 2 2 2 2 2 211 =
9(a a −a a )3
a2 +a7 (3a1a8−2a4a7)(9a1a3 +9a1a8
2 8 3 7 (3a1a3−2a2a4)
−12a a 2 2 2 21 2a3a4−12a1a4a7a8 +4a2a4 +4a4a7). (4.123)
Sonuç 17:
3a2a −2a a a −2a a a +3a a2
a7 =− 1
3 1 2 4 2 6 9 3 6 ,
2(a1a9−a4a6)
3a1a3a4−2a2a24−2a 22a9 +3a3aa − 6
a9
8 = ,
( 3(a1a9−a4a6)
3 a2 +a2
)2
1 6 (2a2a9−3a3a6)a11 = . (4.124)2(a1a9−a4a6)(3a1a3−2a2a4)
70
Sonuç 18:
3a1a2a3−2a22a4 +3a3a6a7−2a4a2a8 =− 7 ,3(a1a7−a2a6)
3a2a −2a a a +3a a2−2a a a
a9 =− 1
3 1 2 4 3 6 4 6 7 ,
( 2(a1)a7−a2a6)
3 a21 +a
2
6 (a1a2 +a6a7)a11 = . (4.125)3a1a3−2a2a4
Sonuç 19:
3a3a 2
a − 1 2
+3a1a2a6−( 3a1a11a3 +2a11a2a47 = )
( 3a a2 +a2
,
6 1 6
a6 ( )9a4a +18a2a a21 3 1 3 6 +9a3a46−6a1a 2a 11a3a4 +4a11a2a9 = )42 3a4a +6a2a a2 +3a a4 ,1 2 1 2 6 2 6−3a21a11a3 +2a1a11a2a4
α
a8 =− ,( β
β = 9a a2 2
)( )
6 1 +a6 3a
4
1a2 +6a
2a a2 +3a a41 2 6 2 6−3a21a11a3 +2a1a11a2a4 ,
α = 18a6a2a +54a4a2a a2 21 2 4 1 2 4 6 +54a1a
2
2a
4
4a6 +18a
2
2a4a
6−36a46 1a11a2a3a4
+24a3a a2a2−27a3a a2a2−18a2a a a a a2 +24a a a2a2a21 11 2 4 1 11 3 6 1 11 2 3 4 6 1 11 2 4 6
−27a 2 4 41a11a3a6 +18a11a2a3a4a6 +18a21a211a23a4−24a1a211a2a a2 2 2 33 4 +8a11a2a4. (4.126)
Sonuç 20: (
3 a3
)
1a2 +a1a2a
2
a − 6
−a11a6a8
7 = 3a2a +3a3
,
1 6 6 +2a11a9
9a(4a a +18a2 3 51 6 8 1a6a8 +9a6a8 +6a2 2a − 1a11a8a9−4a1a11a2a= 94 )4 2 2 4 ,2 3a1a2 +6a1a2a6 +3a2a6−3a1a11a6a8 +2a11a2a6a9
α
a
( )( 3
= ,
β
β = 3 3a2a 3
)
1 6 +3a6 +2a a 3a
4 2 2 4
11 9 1a2 +6a1a2a6 +3a2a6−3a1a11a6a8 +2a11a2a6a9 ,
α = 18a6a2 41 2a9 +54a1a
2
2a
2
6a9 +54a
2 2 4 2 6 3
1a2a6a9 +18a2a6a9−54a1a11a2a6a8a9
+24a2a 2 2 2 3 2 3 2 3 21 11a2a6a9−27a1a11a6a8−54a1a11a2a6a8a9 +24a11a2a6a9
−27a 511a6a
2 2 2 2 2 3
8−12a1a11a2a8a9 +8a11a2a9. (4.127)
71
Sonuç 21: (
3 a2
)
1a6a7 +a
3
6a7−a aa − 1 11
a3
2 = ,3a31 +3a a
2
1 6 +2a11a4
9a(51a3 +18a31a3a26 +9a1a 43a6 +6a11a3a 24a6−4a 211a4a6aa − 79 = ) ,2 3a41a +6a2a2 47 1 6a7 +3a6a7−3a1a11a3a6 +2a1a11a4a7
α
a = ,
( )( 8 β )
β = 3 3a31 +3a1a
2
6 +2a11a4 3a
4
1a +6a
2
7 1a
2
6a7 +3a
4
6a7−3a1a11a3a6 +2a1a11a4a7 ,
α = 18a6 21a4a7 +54a
4
1a
2 2
4a6a7 +54a
2a a4a2 +18a a6 21 4 6 7 4 6a7−27a
5 2
1a11a3
−27a31a11a2a23 6−54a31a11a3a4a6a7 +24a3a a2a21 11 4 7−54a1a11a3a 34a6a7
+24a1a 211a4a
2a26 7−12a2 a a211 3 4a6a7 +8a211a3 24a7. (4.128)
Sonuç 22:
3a2a 3
a − 1 6
a7 +3a6a7−
2 = ( 3a11a6)a8 +2a11a7a9 ,
( 3a1 a2 21 +a6 )
a1 (9a41a8 +18a21a26a8 +9a4 2a 6a8−6a11a6a8a9 +4a11a7a94 = ) ,2 3a4a +6a2 2 41 7 1a6a7 +3a6a −3a a27 11 6a8 +2a11a6a7a9
α
a3 =− ,( )( β
β = 9a 2 2 4
)
1 a1 +a6 3a1a +6a
2
7 1a
2a 46 7 +3a6a7−3a a211 6a8 +2a11a6a7a9 ,
α = 18a6a21 7a9 +54a
4a2 2 2 4 2 6 2 4 21 6a7a9 +54a1a6a7a9 +18a6a7a9−27a1a11a6a8
+18a4a a a a −27a2a a3a2−18a2 21 11 7 8 9 1 11 6 8 1a11a6a7a8a9 +24a
2
1a11a a
2 2
6 7a9
−36a 411a6a7a8a9 +24a11a3a2a2 +18a2 a2 2 26 7 9 11 6a8a9−24a11a6a a a
2 +8a2 a2a37 8 9 11 7 9. (4.129)
Elde edilen bu sonuçlara bakıldığında;
1) (4.106) denkleminde verilen fi, 1 ≤ i ≤ 22 pozitif ikinci dereceden fonksiyon çözüm-
leridir ancak ve ancak a11 > 0.
2) fi, 1 ≤ i ≤ 22 pozitif ikinci dereceden fonksiyon çözümlerinden ui, 1 ≤ i ≤ 22 ras-
72
yonel çözümleri elde edilir.
3) Keyfi parametrelere uygun değerler verilmesi durumunda ui, 1 ≤ i ≤ 22 rasyonel çö-
zümleri her yerde analitikdir.
4) ui, 1≤ i≤ 22 rasyonel çözümleri
g2 +h2→ ∞ iken u→ 0 (4.130)
şartını sağlamaz. (3+1) boyutlu denklemlerin özelliğinden dolayı R4 deki tüm yönlerde
bu şart sağlanmaz. ui, 1≤ i≤ 22 rasyonel çözümleri iyi tanımlılık ve analitik olma şartla-
rını sağlamasına rağmen son şartı sağlamadığından dolayı bu çözümlere Lump çözümler
yerine Lump tipindeki çözümler denir.
(4.105) denkleminin (4.108)-(4.129) sonuçlarına karşılık gelen Lump tipindeki çözüm-
leri
−6(a1g+au x y z t 6h)( , , , ) = (4.131)
f
olarak verilir (Şekil 4.14, Şekil 4.15, Şekil 4.16, Şekil 4.17, Şekil 4.18, Şekil 4.19, Şekil
4.20). Burada f = f (x,y,z, t), g = g(x,y,z, t) ve h = h(x,y,z, t) fonksiyonları (4.106)-
(4.107) denklemlerinde verilir.
Şekil 4.14. (4.105) denkleminin (4.108) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada a9 = 2, diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
73
Şekil 4.15. (4.105) denkleminin (4.111) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
Şekil 4.16. (4.105) denkleminin (4.113) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada a6 = 2, diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
74
Şekil 4.17. (4.105) denkleminin (4.125) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada a1 = 2, diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
Şekil 4.18. (4.105) denkleminin (4.127) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada a2 = 2, diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
75
Şekil 4.19. (4.105) denkleminin (4.128) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
Şekil 4.20. (4.105) denkleminin (4.129) sonucuna karşılık gelen Lump çözüm grafikleri.
Burada tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
4.6. Wronskiyen Determinant Algoritmasıyla Elde Edilen Çözümler
Genelleştirilmiş (2+1) boyutlu
∫
utt +uxxxt +3(2uxut +uuxt)+3uxx ut dx+auyt +buxt = 0 (4.132)
76
Ito denklemi ilk olarak Ito tarafından bilineer KdV denkleminin genelleştirilmesinde elde
edilmiştir (Ito 1980, Adem 2016). (4.132) denklemi integral terimi içerdiğinden dolayı
u = vx (4.133)
dönüşümü kullanarak (4.132) denklemi
vxtt + vxxxxt +3(2vxxvxt + vxvxxt)+3vxxxvt +avxyt +bvxxt = 0 (4.134)
denklemine dönüşür.
4.6.1. Hirota bilineer denklemi
(4.134) denkleminde
v = 2(ln f )x (4.135)
dönüşümü yazıldığında
2(ln f )xxtt +2(ln f )xxxxxt +24(ln f )xxx (ln f )xxt +12(ln f )xx (ln f )xxxt
+12(ln f )xxxx (ln f )xt +2a(ln f )xxyt +2b(ln f )xxxt = 0 (4.136)
dönüşmüş denklemi elde edilir. Burada f = f (x,y, t) biçimindedir.
(4.136) denklemi, x bağımsız değişkenine göre iki defa integral alındığında
2(ln f )tt +2(ln f )xxxt +12(ln f )xt (ln f )xx +2a(ln f )yt +2b(ln f )xt =C (4.137)
elde edilir. Burada C integral sabitidir. (4.137) denklemi düzenlenirse
2 f 2tt − 2 ft 2 fxxxt − 2 fxxx ft − 6 fxxt fx 6 fxx fxt+
f f 2 f f 2
+
f 2 f 2
2a fyt 2a fy f− t 2b fxt − 2b fx ft+ 2 + 2 =C (4.138)f f f f
77
veya
2 f ftt−2 f 2t +2 f fxxxt−2 fxxx ft−6 fxxt fx +6 fxx fxt
+2a f fyt−2a fy ft +2b f fxt−2b f 2x ft =C f (4.139)
elde edilir. (4.139) denkleminde gerekli olan Hirota türevleri
D2t f f = 2 f ftt−2 f 2t ,
DyDt f f = 2 f fyt−2 fy ft ,
DxDt f f = 2 f fxt−2 fx ft ,
D3xDt f f = 2 f fxxxt−2 fxxx ft−6 fx fxxt +6 fxx fxt (4.140)
olarak verilir (Hirota 2004). C = 0 integral sabiti ve (4.140) Hirota türevleri (4.139) denk-
leminde yerine yazılırsa (4.134) denkleminin
(
D2
)
t +D
3
xDt +aDyDt +bDxDt f f = 2 f ftt−2 f 2t +2 f fxxxt
−2 fxxx ft−6 fxxt fx +6 fxx fxt +2a f fyt−2a fy ft +2b f fxt−2b fx ft = 0 (4.141)
Hirota bilineer denklemi elde edilir.
4.6.2. Wronskiyen şartları
Teorem: φi = φi (x,y, t) ve 1 6 i 6 N olmak üzere
N
φi,xx = ∑ λi j(t)φ j , (4.142)
j=1
φi,t = mφi,x , (4.143)
φi,y = nφi,xxx + kφi,x (4.144)
Wronskiyen şartları altında
f = |N̂−1| (4.145)
78
Wronskiyen determinantı (4.141) Hirota bilineer denklemini sağlar. Burada m,n,k sabit
sayılar
−4n = ,
a
m =−(b+ak) (4.146)
eşitliklerini sağlar (Yıldırım ve Yasar 2017c).
İspat: İlk olarak (4.143) ve (4.144) şartları kullanılarak (4.146) eşitlikleri elde edilecekdir.
(4.141) Hirota bilineer denkleminde yer alan tüm kısmi türevler
∣
f ∣∣N̂−1∣∣= ∣ ,
∣∣∣ ∣fx = N̂∣ −2
∣
,N∣∣,
∣ ft = m
∣∣N̂−∣ 2,N∣
∣
,
f ∣ ∣ ∣xx =(∣N̂∣ −3 N−1
∣ ∣ ∣
, ,N∣∣+ ∣N̂∣ −2,N +1∣∣,
f ∣ )xt = m (∣∣N̂−3 N−1 N
∣∣ ∣ ∣, ,
∣∣ ∣
+ ∣∣N̂−2,N +1∣∣),
f = m2∣ tt N̂−3 N−1 N
∣∣ ∣∣, ∣ , + ∣N̂−2
∣
,N +1∣ ,
f ∣xxx =(∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣N̂ ∣ ∣ ∣∣ −4,N−2,N−1,N∣∣+2 ∣N̂∣ −3,N−1,N +1∣∣+ ∣N̂∣ −2,N +2∣ ,
f ∣ ∣ ∣ ∣)xxt = m ∣N̂−4,N∣ −2,N−1,N∣+2 ∣N̂ ∣−3,N∣ −1,N
∣ ∣ ∣
+1∣+ ∣N̂−2,N +2∣ ,
f n ∣y = ∣N̂−4,N∣ −2,N−1
∣
,N∣ ∣−n ∣
∣N̂−3 N−1 N 1∣∣, , + ∣
n ∣∣N̂−2 N 2∣∣ k ∣∣∣N̂−2 N∣∣∣ + , + + ,∣∣ ∣∣∣ ∣∣
∣ ,
∣ ∣fyt =∣mn N̂−5,N∣−3,N∣−2,N−1,N −∣mn N̂∣−3,N N
∣
, +1∣
mn ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣+ (∣N̂−2,N +3∣+mk ∣N̂−3,N−∣ 1,N∣∣+mk ∣N̂−2,N +1∣ , ∣
f ∣xxxt ∣= m ∣N̂−5,N−∣ 3,N∣ −2,N−1 N
∣∣ 3 ∣, + ∣∣N̂−4 N−2 N−1 N 1
∣
, , , + ∣
∣ ∣ ∣)
+2 ∣N̂−3 N ∣ ∣, ,N +1∣+3 ∣N̂−3,N−1 ∣ ∣ ∣,N +2∣+ ∣N̂−2,N +3∣ (4.147)
79
şeklinde hesaplanır. Böylece (4.147) denklemindeki kısmi türevler kullanarak (4.141) Hi-
rota bilineer denklemindeki bazı terimler
(∣ ∣ ∣ ∣)2
3 fxx fxt = 3m
∣∣N̂−3,N−1,N∣∣ ∣+ ∣N̂−2,N +1∣∣
(∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣)2
= 3m ∣∣N̂−2 N 1∣∣− ∣, (+∣ ∣N̂−3,∣N−∣ 1
∣ ∣ ∣
,N∣+2 ∣N̂−3∣),N−1,N∣2
= 3m ∣∣N̂∣ −2,N +1∣
∣− ∣∣N̂−3,N−1,N∣∣
12m ∣∣N̂−3 N−1 N∣∣∣ ∣∣+ ∣ , , ∣
∣
N̂−2 N ∣, +1∣ , (4.148)
f ∣( fxxxt + ftt +∣ a fyt +b fxt) = ∣ ∣
∣∣(N̂−1 m amn ∣∣( ∣ + ) ∣
∣
N̂−5∣,N−3,N−2,N−1
∣
,N∣
3m ∣∣ ∣+ N̂−4∣ ,N−2 N−1 N 1
∣
, , + ∣ ∣+(2m−am
∣
∣n) ∣N̂−3 N N 1
∣
, , ∣ + ∣
( +3m ∣
∣
)N̂−3 N−1 N 2
∣∣ m amn ∣∣N̂−2 N 3∣∣ , , +∣ +( ( + ) )∣ , + ∣ ∣)
+ m2 +amk+bm ∣∣N̂−3,N−1,N∣∣ m2 amk bm ∣+ + + ∣N̂−2,N +1∣∣ (4.149)
olarak verilir. (2.15) özelliği gözönüne alınarak (4.148) ve (4.149) denklemlerinden
m+amn =−3m
4
n =− (4.150)
a
ve
m2 +amk+bm = 0
m =−(b+ak) (4.151)
eşitlikleri elde edilir.
Son olarak (4.146) eşitlikleri kullanılarak (4.143) ve (4.144) şartları altında (4.145) Wrons-
kiyen determinantının (4.141) Hirota bilineer denklemini sağladığı gösterilecektir.
80
(4.141) Hirota bilineer denklemindeki tüm terimler
(∣ ∣ ∣ ∣)2
3 fxx fxt = 3m
∣∣N̂−2 N 1∣∣− ∣, + ∣N̂−3,N−1,N∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
+12m ∣N̂−3,N−∣ 1,N∣ ∣∣∣ ∣∣∣(
N̂∣−2,N +1∣ , ∣
f ( fxxxt + f
∣
tt +∣a fyt +b fxt) =−3m N̂−1∣ ∣N̂−5,N−3,N−2,N−1
∣
,N∣
− ∣∣N̂−∣4,N−2,N−1 N 1
∣
, +∣ ∣
∣∣∣ ∣−2 N̂−3,N,N ∣+1∣
− ∣∣ ∣ ∣)N̂−(∣3,N−1,N +∣2
∣∣ ∣ ∣+∣ ∣N̂−2,N +3∣∣)2
=−3m ∣∣N̂−2 N 1∣∣ , + ∣−
∣∣N̂−∣ ∣3
∣
,N−∣1,N∣∣
+12m ∣N̂−3,N,∣N +1∣
∣ ∣∣N̂−1∣∣ ,
− f 2 −m2 ∣∣N̂−2 N∣∣∣2∣ t = ∣(∣ , , ∣
− f ∣xxx ft∣=−m ∣N̂−2,N
∣∣ ∣∣N̂−4 N−2 N−1 N∣∣ , , , ∣
2 ∣∣N̂−3 N−1 N 1∣∣ ∣∣∣N̂−2 N 2∣∣+ , ∣ , +∣(∣+ , + ∣
)
, ∣
−3 f ∣ ∣ ∣ ∣xxt fx∣=−3m ∣N̂−2,N∣∣∣ ∣
∣N̂∣−4,N−2,N∣−) 1,N∣
+2 N̂−3,∣N−1 N 1
∣∣ ∣, +∣( ∣+ ∣N̂−2
∣
,N +2∣ , ∣
−∣ a fy ft =−am ∣
∣N̂−∣2,N
∣∣ n ∣∣N̂−4 N ∣,
∣∣ ∣∣ ∣∣∣ ∣
−2,N∣ −1,N∣ ∣)
−n N̂−3,N−1,∣N +1 +∣n∣ N̂−2 N 2
∣
, ∣+ ∣+ k
∣
∣∣N̂−2,N∣
∣
,
−b fx ft =−bm
∣∣ ∣2N̂−2 ∣ ∣,N∣ ∣N̂−2,N∣∣ −bm ∣∣N̂−2 N∣= , ∣ (4.152)
olarak verilir. (4.152) sonuçlarını (4.141) Hirota bilineer denkleminde yerine yazıldığında
∣
12m ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣N̂−3,N−1,N∣∣ ∣∣N̂−2 ∣ ∣ ∣,N +1∣+12m ∣N̂−3,N,N +1∣ ∣∣∣ ∣N̂−1∣∣
∣
−12m ∣∣ ∣ ∣ ∣N̂−3,N−1 ∣ ∣ ∣,N +1∣ ∣N̂−2,N∣ (4.153)
81
ifadesi elde edilir. (2.13) özelliğinden dolayı
∣
12m ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣N̂−3,N−1,N∣ ∣N̂−2 N 1∣∣ 12m ∣ ∣ ∣, + + ∣N̂−3,N,N +1∣ ∣N̂−1∣∣
∣
−12m ∣∣ ∣ ∣N̂−3 N−1 N 1∣∣ ∣∣N̂−2 N∣∣, , + , ∣= 0 (4.154)
sonucu elde edilir. Sonuç olarak (4.145) Wronskiyen determinantı (4.141) Hirota bilineer
denklemini sağlar ve (4.134) denklemine karşılık gelen çözümler
2 fx |N̂−2,N|v = 2(ln f )x = = 2 (4.155)f |N̂−1|
olarak verilir.
4.6.3. Rasyonel çözümler
Bir reel matrisin Jordan formu  J (λ1) 0  1 J (λ2) 

. . 
A =

. .  (4.156)
. . 
0 1 J (λm) n×n
olarak verilir. Burada J (λi)   λi 0   1 λi 
J (λi) = 
. . 

(4.157)
 . .  . . 
0 1 λi ki×ki
82
olarak verilir ve λi reel özdeğerlerdir. J (λ1) ifadesi
  λ1 0   1 λ1 
J (λ1) = 
. . 

(4.158)
 . .  . . 
0 1 λ1 k1×k1
olarak verilir. Eğer λ1 = 0 özdeğeri alınırsa J (λ1) ifadesi  0 0



1 0 
 . .   (4.159) . . . . 
0 1 0
k1×k1
olarak verilir. Böylece (4.142)-(4.144) şartlarından
φi+1,xx = φi , φi+1,t =−(b+ak)φi+1,x ,
4
φi+1,y =− φi+1,xxx + kφi+1,x , i≥ 1 (4.160)a
elde edilir. (4.160) denklem sistemi çözüldüğünde sıfırıncı, birinci ve ikinci mertebeden
rasyonel Wronskiyen çözümleri elde edilir.
1) Sıfırıncı mertebeden rasyonel çözümler:
(4.160) denklemi
4
φ1,xx = 0 , φ1,t =−(b+ak)φ1,x , φ1,y =− φa 1,xxx
+ kφ1,x (4.161)
83
denklemine karşılık gelir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde
φ1 = c1 (x+ ky− (b+ak)t)+ c2 (4.162)
elde edilir. (4.162) denkleminde
c1 = 1 , c2 = 0 (4.163)
alındığında
φ1 = x+ ky− (b+ak)t (4.164)
özdeğer fonksiyonu bulunur. (2.11) Wronskiyen determinantı kullanılarak φ1 özdeğer
fonksiyonuna karşılık gelen Wronskiyen determinantı
∣ ∣
f W φ ∣∣φ (0)∣= ( 1) = 1 ∣
= |x+ ky− (b+ak)t|
= x+ ky− (b+ak)t (4.165)
şeklinde elde edilir. Böylece
2
v = 2∂x lnW (φ1) = (4.166)x+ ky− (b+ak)t
sıfırıncı mertebeden rasyonel çözüm elde edilir.
2) Birinci mertebeden rasyonel çözümler:
(4.160) denklemi
4
φ2,xx = φ1 , φ2,t =−(b+ak)φ2,x ,φ2,y =− φa 2,xxx
+ kφ2,x (4.167)
84
denklemine karşılık gelir. Burada φ1 özdeğer fonksiyonu (4.164) denkleminde verilir.
(4.167) denklem sistemi çözüldüğünde
(x+ ky− (b+ak)t)3 − 4yφ2 = (4.168)6 a
özdeğer fonksiyonu elde edilir. φ1 ve φ2 özdeğe∣r fonksiyonların Wronskiyen determinantı∣∣
f =W (φ1,φ2) = ∣
∣
∣ (0) (1) ∣∣ φ1 φ1 ∣∣φ (0) φ (1) ∣2 2 ∣
∣∣∣∣ ∣∣ ∣∣ x+ ky− (b+ak)t 1= ∣∣(x+ky−(b+ak)t)3 − 4y 3(x+ky−(b+ak)t)2 ∣6 a 6 ∣
(x+ ky− (b+ak)t)3 4y
= + (4.169)
3 a
olarak verilir ve böylece
2(x+ ky− (b+ak)t)2
v = 2∂x lnW (φ1,φ2) = (4.170)
(x+ky−(b+ak)t)3 4y
3 + a
birinci mertebeden rasyonel çözüm elde edilir.
3) İkinci mertebeden rasyonel çözümler:
(4.160) denklemi
4
φ3,xx = φ2 , φ3,t =−(b+ak)φ3,x ,φ3,y =− φ3,xxx + kφ3,x (4.171)a
denklemine karşılık gelir. Burada φ2 özdeğer fonksiyonu (4.168) denkleminde verilir.
(4.171) denklem sistemi çözüldüğünde
(x+ ky− (b+ak)t)5 − 2y(x+ ky− (b+ak)t)
2
φ3 = (4.172)120 a
85
özdeğer fonksiyonu elde edilir. φ1, φ2, φ3 özdeğer fonksiyonların Wronskiyen determi-
nantı
∣∣∣∣ ∣φ (0) φ (1) φ (2) ∣1 1 1 ∣∣
f =W (φ ∣,φ ,φ ) = ∣∣∣ φ (0) (1) (2) ∣1 2 3 ∣ 2 φ2 φ2 ∣∣∣∣ φ
(0)
3 φ
(1) (2)
∣ 3
φ3 ∣
∣∣∣
∣
∣ x+ ky−
∣
(b+ak)t 1 0
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣
∣ ∣∣ (x+ky−(b+ak)t)
3
− 4y 3(x+ky−(b+ak)t)
2 6(x+ky−(b+ak)t) ∣
= ∣ 6 a 6 6 ∣∣∣ ∣
∣∣
∣∣∣
∣
(x+ky−(b+ak)t)5 5(x+ky−(b+ak)t)4 ∣
∣ 120 120 20(x+ky− ∣(b+ak)t)3 − 4y ∣−2y(x+ky−(b+ak)t)2 −4y(x+ky−(b+ak)t) 120 a ∣a a ∣
(x+ ky− (b+ak)t)6 4y(x+ ky− (b+ak)t)3 16y2
= + − 2 (4.173)45 3a a
olarak verilir ve böylece
4(x+ky−(b+ak)t)5 + 8y(x+ky−(b+ak)t)
2
v = 2∂x lnW (φ1,φ2,φ3) = 15 a (4.174)
(x+ky−(b+ak)t)6 + 4y(x+ky−(b+ak)t)
3
− 16y245 3a a2
ikinci mertebeden rasyonel Wronskiyen çözüm elde edilir.
4.6.4. Soliton, positon ve negaton çözümler
Eğer λ1 =6 0 özdeğeri alınırsa J (λ1) ifadesi  λ1 0


λ 1 1 
  . .   (4.175) . . . . 
0 1 λ1 k1×k1
86
olarak verilir. (4.142)-(4.144) şartlarından φ1(λ1) özdeğer fonksiyonu
(φ1(λ1))xx = λ1φ1(λ1) , (φ1(λ1))t =−(b+ak)(φ1(λ1))x ,
(φ1(λ1))y =−
4
(φ1(λa 1
))xxx + k (φ1(λ1))x (4.176)
denklem sisteminden bulunur. (4.176) sisteminin genel çözümleri
(√ ( ))
− − 4yλφ λ C sinh λ x ky b ak t 11( 1) = 1 1 + ( + ) a
(√ ( ))4yλ
+C2 cosh λ
1
1 x+ ky− (b+ak) t− ,λ1 > 0 (4.177)a
ve (√ ( ))4yλ
φ1(λ1) =C3 cos −λ1 x ky− b ak t− 1+ ( + )(√ ( )) a
− 4yλ akC4 sin −λ x 11 + ky− (b+ak) t− , < λ1 < 0 (4.178)a 4
olarak verilir. Burada C1,C2,C3,C4 keyfi reel sabitlerdir.
Soliton çözümler
Soliton çözümler
v = 2∂x lnW (φ1,φ2, .....,φn) (4.179)
olarak verilir. Burada φi fonksiyonları(√ ( ) )
φi = cosh λi x+ ky−
4yλ
b ak t− i( + ) + γi , i tek, (4.180)a
(√ ( ) )4yλ
φi = sinh λi x
i
+ ky− (b+ak) t− + γi , i çift, (4.181)a
olarak verilir. Ayrıca 0 < λ1 < λ2.... < λn ve γi (1≤ i≤ n) keyfi reel sabitlerdir.
87
1) Sıfırıncı mertebeden soliton çözümler:
∣ v = 2∂x lnW (φ1) = 2∂x ln
|φ1|
∣
= 2∂x ln ∣∣ (√ ( ) )∣4yλ ∣cosh λ1 x+ ky− (b+ak 1) t− + γ ∣( ( ( a ) 1√ )
∣)
4yλ
= 2∂x ln cosh λ x ky− 11 + (b+ak) t− + γ√ a 1
= 2 λ1 tanh(θ1) (4.182)
veya
∣∣ (v√= 2∂∣∣ (
x lnW (φ1) = 2∂x ln |φ1| ) )∣
4yλ ∣
= 2∂x ln sinh λ
1
1 x+ ky− (b+ak) t− + γ ∣( ( ( a ) 1)∣√ )4yλ
= 2∂x ln sinh λ1 x+ ky− (b+ak) t− 1 + γ√ a 1
= 2 λ1 coth(θ1) (4.183)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ1 = λ
1
1 x+ ky− (b+ak) t− + γ1, λ1 > 0. (4.184)a
2) Birinci mertebeden soliton çözümler:
v = 2∂x lnW (φ∣1,φ2) = 2∂x ln |cosh(θ1),sin∣∣∣ √ ∣
h(θ2)|
∣∣
∣
cosh(θ
∂ 1
) λ1 sinh(θ1) ∣
= 2 x ln √ ∣∣
sinh(θ2) λ2 cosh(θ2) ∣
(√ 2√(λ1)−λ2)(sinh(θ1 +θ(2√)− sin√h(θ1)−θ2))= (4.185)
λ1− λ2 cosh(θ1 +θ2)− λ1 + λ2 cosh(θ1−θ2)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θi = λi x+ ky− (b+ak) t− i + γi, λi > 0, i = 1,2. (4.186)a
88
Positon çözümler
Positon çözümler
v = 2∂ k−1x lnW (φ ,∂λ φ , .....,∂λ φ) (4.187)
olarak verilir. Burada φ(λ ) fonksiyonu
(√ ( ) )4yλ
φ(λ ) = cos −λ x+ ky− (b+ak) t− + γ λ < 0, (4.188)
a
(√ ( ) )
φ(λ ) = sin − 4yλλ x+ ky− (b+ak) t− + γ λ < 0 (4.189)
a
olarak verilir.
1) Sıfırıncı mertebeden positon çözümler:
∣ v = 2∂x lnW (φ) = 2∂x ln
|φ |
∣ (√ ( ) )∣4yλ ∣
= 2∂x ln ∣∣cos −λ x+ ky− (b+ak) t− + γ ∣( (√ ( a ) )
∣)
= 2∂x ln cos −λ x+ ky− (b+ak) t−
4yλ
+ γ
√ a
=−2 −λ tan(θ3) (4.190)
veya
∣∣ (v√= 2∂(x lnW (φ) = 2∂x ln |φ | ) )∣∣
= 2∂x ln ∣∣sin − 4yλλ x+ ky− (b+ak) t− + γ ∣( ( ∣√ ( a ) ))4yλ
= 2∂x ln sin −λ x+ ky− (b+ak) t− + γ√ a
= 2 −λ cot(θ3) (4.191)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ3 = −λ x+ ky− (b+ak) t− + γ. (4.192)a
89
2) Birinci mertebeden positon çözümler:
v = 2∂∣ x lnW (cos(θ),∂λ cos(θ))∣∣ ∣∣∣ ∣∣ cos(θ) ∂x (cos(θ))= 2∂x ln ∣∣∣∂λ cos(θ) ∂x (∂λ cos(θ)) ∣
( √4 −λ (1+ cos(2θ))= √ ) (4.193)
2 −λ x+ ky− (b+ak) t− 12yλa + sin(2θ)
olarak verilir. Burada
√ ( )
− 4yλθ = λ x+ ky− (b+ak) t− + γ. (4.194)
a
Negaton çözümler
Negaton çözümler
v = 2∂x lnW (φ ,∂λ φ , .....,∂ k−1λ φ) (4.195)
olarak verilir. Burada φ(λ ) fonksiyonu
(√ ( ) )4yλ
φ = cosh λ x+ ky− (b+ak) t− + γ (4.196)
a
ve (√ ( ) )4yλ
φ = sinh λ x+ ky− (b+ak) t− + γ (4.197)
a
olarak verilir. Burada λ > 0 ve γ keyfi sabitdir.
1) Sıfırıncı mertebeden negaton çözümler:
∣ v = 2∂x lnW (φ) = 2∂x ln
|φ |
∣ (√ ( ) )∣4yλ ∣
= 2∂x ln ∣∣cosh λ x+ ky− (b+ak) t− + γ ∣( (√ ( a ) )
∣)
4yλ
= 2∂x ln cosh λ x+ ky− (b+ak) t− + γa
90
√
= 2 λ tanh(θ4) (4.198)
veya
∣∣ v(= 2∂(x lnW (φ) = 2∂x ln |φ |∣∣ √ ) )∣4yλ ∣= 2∂x ln sinh λ x+ ky− (b+ak) t− + γ ∣( ( ( a ) )∣√ )4yλ
= 2∂x ln sinh λ x+ ky− (b+ak) t− + γa
√
= 2 λ coth(θ4) (4.199)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ4 = λ x+ ky− (b+ak) t− + γ. (4.200)a
2) Birinci mertebeden negaton çözümler:
( )
v = 2∂x lnW cosh(θ),∂λ1 cosh(θ)
( √4 λ1 (1+ cosh(2θ))= √ ) (4.201)
2 λ1 x+ ky− (b+ak) t− 12yλ1a + sinh(2θ)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ λ 1= 1 x+ ky− (b+ak) t− + γ1. (4.202)a
4.6.5. Etkileşim çözümler
Wronskiyen etkileşim çözümler
v = 2∂x lnW (φ1(λ ),φ2(λ ), ...,φk(λ );ψ1(µ), ...,ψl(µ)) (4.203)
olarak verilir. Burada
(φ1(λ ),φ2(λ ), ...,φk(λ );ψ1(µ), ...,ψl(µ)) (4.204)
91
iki özdeğer fonksiyon kümesini temsil etmektedir.
Rasyonel, soliton ve positon özdeğer
φrasyonel = x+ ky− (b+ak) t , (4.205)(√ ( ))4yλ
φsoliton = cosh λ1 x+ ky−
1
(b+ak) t− , λ1 > 0, (4.206)(√ ( a ))4yλ
φ 2positon = cos −λ2 x+ ky− (b+ak) t− , λ2 < 0 (4.207)a
fonksiyonlarına karşılık gelen Wronskiyen etkileşim determinantları
√
W (φrasyonel,φsoliton) = λ1 (x+ ky− (b+ak) t)sinh(θ1)− cosh(θ1) , (4.208)
√
W (φrasyonel,φpositon) =√− −λ2 (x+ ky− (b+ak)√t)sin(θ2)− cos(θ2) , (4.209)
W (φsoliton,φpositon) =− −λ2 cosh(θ1)sin(θ2)− λ(1 si√nh(θ1)cos(θ2) , (4.210)
W (φrasyonel,φs√oliton,φpositon) = (x+ ky)− (b+ak) t) λ2 λ1 sinh(θ1)cos(θ2)
+λ1 −λ2 cosh(θ1)sin(θ2) +(λ1−λ2)cosh(θ1)cos(θ2) (4.211)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ1 = λ1 x+ ky− (b+ak t− 1) , (4.212)a
√ ( )
θ2 = −λ2 x+ ky− (b+ak) t−
4yλ2
. (4.213)
a
Böylece (4.208)-(4.211) Wronskiyen etkileşim determinantlarına karşılık gelen Wronski-
yen etkileşim çözümleri
√
2 λ1 (x+ ky− (b+ak) t)cosh(θ )v = 2∂x lnW (φ 1rasyonel,φsoliton) = √ , (4.214)λ1 (x+ ky− (b+ak) t)sinh(θ1)− cosh(θ1)
√ −2λ2 (x+ ky− (b+ak) t)cos(θ )v = 2∂ 2x lnW (φrasyonel,φpositon) = , (4.215)−λ2 (x+ ky− (b+ak) t)sin(θ2)+ cos(θ2)
92
√ 2(λ1−λ2)cosh(√θ1)cos(θv 2∂ lnW φ φ 2)= x ( soliton, positon) = ,−λ2 cosh(θ1)sin(θ2)+ λ1 sinh(θ1)cos(θ2)
(4.216)
2q
v = 2∂x(lnW (φ√ rasyonel
,φsoliton,φpositon) = , (4).217)√ p
p = (x+ ky− (b+ak) t) λ2 λ1 sinh(θ1)cos(θ2)+λ1 −λ2 cosh(θ1)sin(θ2)
√ +(λ1−λ2)cosh(θ1)cos(θ2) , √
q = (x+ ky− (b+ak) t) −λ1λ2√(λ1−λ2)sinh(θ1)sin(θ2)+λ1 λ1 sinh(θ1)cos(θ2)
+λ2 −λ2 cosh(θ1)sin(θ2)
olarak verilir. Burada
√ ( )4yλ
θ1 = λ1 x+ ky− 1(b+ak) t− , (4.218)a
√ ( )
θ2 = −
4yλ
λ2 x+ ky− 2(b+ak) t− . (4.219)a
4.7. Lie simetri indirgemesi ve çözümlerinin tam mertebeli denklemlere uygulan-
ması
Literatürde birçok alanda kullanılan ve birçok fiziksel olayı modelleyen denklemlerin te-
melini oluşturan KdV
ut−6uux +uxxx = 0 (4.220)
denklemi lineer olmayan oluşum türü bir denklemdir. Fiziksel olarak bu denklem sığ su
yüzeylerindeki özel dalga olan soliton dalgalarını modeller (Zabusky ve Kruskal 1965).
Soliton’lar ise şekil değiştirmeden veya dağılmadan tüm yönlerde ilerleyen dalgalardır
(http://atomcool.rice.edu/research/boson/matter-wave-solitons/). Ayrıca KdV denklemi sığ
su dalgaları ile birlikte uzun aralıklı dalgalar ve ses dalgaları gibi birçok fiziksel problemle
de ilişkilidir (https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E2 %80%93de_Vries_equation).
(4.220) denkleminden türetilen (2+1) boyutlu kırılgan soliton denklemi
uxt−4uxyux−2uxxuy−uxxxy = 0 (4.221)
93
şeklinde verilir (Wazwaz 2010). (4.221) denkleminde y = x olarak kabul edildiğinde ve
elde edilen denklemi x bağımsız değişkenine göre integrali alındığında (4.221) denklemi
KdV denklemine dönüşür. (4.221) denklemi y ekseni boyunca yayılan Riemann dalgası
ile x ekseni boyunca yayılan bir uzun dalga arasındaki (2+1) boyutlu etkileşimi modeller
(Wazwaz 2010). Bu tür denklem ailesinin en önemli özelliği, Lax temsillerinde kullanılan
spektral parametresinin kırılgan davranışa sahip olmasıdır (Radha ve Lakshmanan 1995).
Böylece spektral değer çok değerli bir işleve dönüşür. Sonuç olarak bu denklemlerin çö-
zümlerinin bulunması çok daha değerli hale gelir.
4.7.1. Lie simetri analizi
(4.221) denkleminin bir simetri üreteci
t ∂ x ∂ y ∂ ∂X = ξ (t,x,y,u) +ξ (t,x,y,u) +ξ (t,x,y,u) +η (t,x,y,u) (4.222)
∂ t ∂x ∂y ∂u
şeklinde verilir. (4.221) denkleminin simetrilerini bulmak için (4.222) üretecinin 4. uza-
nımı (4.221) denklemine uygulandığında
X[4] (uxt−4uxyux−2uxxuy−uxxxy) |(4.221) = 0 (4.223)
ifadesi elde edilir. (4.223) denklemi açıldığında bir denklem elde edilir ve elde edilen bu
denklemdeki terimler u’nun türevlerine göre ayrılırsa
ξ y t x yt,t = 0, ηu,t = 0, ηu,u = 0, ξx = 0, ξx =−ηu, ξx = 0
ξ y
ηx =− t , ξ tt =−2η xu, ξt = 0, ξ tu = 0, ξ xu = 0, ξ yu = 0 (4.224)4
belirleyici denklem sistemi elde edilir. (4.224) denklemi çözülürse ξ t , ξ x, ξ y, η değerleri
aşağıdaki gibi verilir:
−cη 1x= + c3u+ f (t) ,4
ξ t =−2c3t + c4,
ξ x =−c3x+ c5,
94
ξ y = c1t + c2. (4.225)
Burada f (t) bir keyfi fonksiyon ve c1,c2,c3,c4,c5 keyfi sabit sayılardır. (4.225) sonuçları
yardımıyla (4.222) ürteçi aşağıdaki gibidir:
∂
X = (−2c3t + c4) +(−
∂
c3x+ c5)∂ t ∂x
∂ ( c x ) ∂
+(c1t + c
1
2) + − + c3u+ f (t) . (4.226)∂y 4 ∂u
(4.226) üretecinde c1 = 1 ve c2 = c3 = c4 = c5 = f (t) = 0 alınırsa
∂ x ∂
X1 = t − , (4.227)∂y 4 ∂u
(4.226) üretecinde c2 = 1 ve c1 = c3 = c4 = c5 = f (t) = 0 alınırsa
∂
X2 = , (4.228)∂y
(4.226) üretecinde c3 = 1 ve c1 = c2 = c4 = c5 = f (t) = 0 alınırsa
∂ ∂ ∂
X3 =−2t − x +u , (4.229)∂ t ∂x ∂u
(4.226) üretecinde c4 = 1 ve c1 = c2 = c3 = c5 = f (t) = 0 alınırsa
∂
X4 = , (4.230)∂ t
(4.226) üretecinde c5 = 1 ve c1 = c2 = c3 = c4 = f (t) = 0 alınırsa
∂
X5 = , (4.231)∂x
(4.226) üretecinde c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = 0 alınırsa
∂
X6 = f (t) (4.232)∂u
elde edilir.
95
4.7.2. Lie simetri indirgemeleri
Bu bölümde amacımız (2+1) boyutlu (4.221) denkleminin üreteçlerini kullanarak denk-
lemi adi diferensiyel denkleme dönüştürmektir. Denklemin X5 = ∂∂x , X =
∂ ∂
2 ∂y ve X4 = ∂ t
öteleme simetrilerinin lineer birleşimi olan
γ = a1X5 +a2X2 +a3X4 (4.233)
üretecini ele alalım. Burada a1, a2, a3 sabit sayılardır. γ üreteci yardımıyla
f = a2x−a1y, g = a3x−a1t, u = θ ( f ,g) (4.234)
değişmezleri bulunur. (4.234) dönüşümünün (4.221) denkleminde yerine yazılması duru-
munda
−a1a 22θ f g−a1a3θgg +6a1a2θ f θ f f +8a a a θ θ +2a a2θ θ 21 2 3 f f g 1 3 f gg +4a1a3θgθ f g
+4a1a2a3θgθ f f +a1a32θ f f f f +3a a
2
1 2a3θ f f f g +3a1a a
2
2 3θ
3
f f gg +a1a3θ f ggg = 0 (4.235)
iki bağımsız değişkenli kismi diferensiyel denklemi elde edilir. Burada f ve g bağım-
sız değişkenlerdir. Benzer şekilde iki boyutlu (4.235) denkleminin üreteçleri kullanılarak
denklem adi diferensiyel denkleme dönüştürülebilir. (4.235) denkleminin bir simetri üre-
teci
Y = ξ f
∂ ∂ ∂
( f ,g,θ) +ξ g ( f ,g,θ) +η ( f ,g,θ) (4.236)
∂ f ∂g ∂θ
şeklinde verilir. (4.235) denkleminin simetrilerini bulmak için (4.236) üretecinin 4. uza-
nımı (4.235) denklemine uygulanırsa
Y[4](−a1a2θ f g−a1a3θ 2gg +6a1a2θ f θ f f +8a1a2a θ 2 23 f θ f g +2a1a3θ f θgg +4a1a3θgθ f g
+4a1a2a3θgθ f f +a a31 2θ f f f f +3a a
2
1 2a
2 3
3θ f f f g +3a1a2a3θ f f gg +a1a3θ f ggg) |(4.235) = 0,
(4.237)
96
ifadesi elde edilir. (4.237) denklemi açıldığında bir denklem elde edilir ve elde edilen bu
denklemdeki terimler θ ’nın türevlerine göre ayrılırsa
−2a2η +2a η −2a2
η = 0, η 0 f g 2 θ= , ξ = 3 , ξ g = 0, η = 3
ηg +a2ηθ
θ ,g θ ,θ f a f f2 2a2a3
2
f 2a3ηg−3aξ 2
ηθ f
g = , ξ
g
g =−ηθ , ξθ = 0, ξ
g
a θ
= 0 (4.238)
3
belirleyici denklem sistemi elde edilir. (4.238) denklemi çözülürse ξ f , ξ g, η değerleri
( )
c
η c θ 1
f a2g−a3 f
= 1 + +h2a a
( )3 2
f aξ 2h 2
g−a3 f 3c a g
= a +2c f − 1 2 + c
a 3 1 a 32 3
ξ g( ) =−c1g+ c2 (4.239)
olarak verilir. Burada h a2g−a3 fa bir keyfi fonksiyon ve c1,c2,c3 keyfi sabit sayılardır.2
(4.239) sonuçları yardımıyla (4.236) üreteci aşağıdaki gibidir:
( ( ) )
a
Y 2h 2
g−a3 f
= a3 +2c1 f −
3c1a2g ∂
+ c
a2 a
3
3 ∂ f( ( ))
∂ c f a g−a f ∂
+(−c1g+ c2) + c 1 2 3∂g 1
θ + +h (4.240)
( 2a3 ) a2 ∂θ
(4.240) üretecinde c = 1 ve c = c = h a2g−a3 f1 2 3 a = 0 alınırsa2
2a3 f −3a2g ∂ − ∂ 2a3θ + f ∂Y1 = g + ,a3 ∂(f ∂g) 2a3 ∂θ
(4.240) üretecinde c a2g−a3 f2 = 1 ve c1 = c3 = h a = 0 alınırsa2
∂
Y2 = ,
( ∂g )
(4.240) üretecinde c = 1 ve c = c = h a2g−a3 f3 1 2 a = 0 alınırsa2
∂
Y3 = ,∂ f
97
(4.240) üretecinde c1 = c2 = c3 = 0 alınırsa( ) ( )
a g−a
Y 2h 2 3
f ∂ a g−a f ∂
4 = a3 +h
2 3 (4.241)
a2 ∂ f a2 ∂θ
elde edilir. (4.235) denkleminin Y = ∂3 ∂ f ve Y2 =
∂
∂g öteleme simetrilerinin lineer birle-
şimi olan
δ = b1Y3 +b2Y2 (4.242)
üretecini ele alalım. Burada b1, b2 sabit sayılardır. δ üreteci yardımıyla
z = b2 f −b1g, θ = F (z) (4.243)
değişmezleri bulunur. (4.243) dönüşümü (4.235) denkleminde yerine yazılması duru-
munda
(a a b b −a a b2)F ′′+(6a a2b3−12a a a b b2 +6a a2b21 2 1 2 1 3 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 3 1b2)F ′F ′′
+(a1a3 42b2−3a a2a b3 +3a a a2b2b21 2 3 2 1 2 3 2 1b −a 3 3 ′′′′1 1a3b2b1)F = 0 (4.244)
adi diferensiyel denklem elde edilir.
4.7.3. En basit denklem yöntemiyle çözümlerin bulunması
Bu bölümde (4.244) adi diferensiyel denkleminin çözümleri en basit denklem yöntemiyle
elde edilerek (4.221) denkleminin çözümleri verilecektir.
Bernoulli denkleminin en basit denklem olarak kullanılması
(4.244) denkleminde F ′′′′(z) ile F ′(z)F ′′(z) terimleri arasında dengeleme yaparsak M = 1
bulunur. Böylece (3.5) denkleminin sonucu olarak (4.244) denkleminin çözümü
F(z) = A0 +A1H(z) (4.245)
98
biçiminde yazılabilir. (4.245) denklemi (3.6) denklemiyle birlikte (4.244) denkleminde
yazıldığında ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları sıfıra eşitlendiğinde A0 ve A1
terimlerinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde
A1 =−2ba2b√2 +2ba3b1 ,
± −b1b
a 2= (4.246)
a2b2−a3b1
sonuçları elde edilir. Böylece (4.221) denkleminin çözümü
{ }
cosh [a(z+C)]+ sinh [a(z+C)]
u(x,y, t) = A0 +A1a (4.247)1−bcosh [a(z+C)]−bsinh [a(z+C)]
olarak bulunur (Şekil 4.21, Şekil 4.22). Burada z = a1b1t +(b2a2−b1a3)x−b2a1y ve C
bir integral sabitidir.
Şekil 4.21. (4.221) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada b1 =−1, diğer tüm
parametreler 1 olarak alınmıştır
99
Şekil 4.22. (4.221) denkleminin ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada b1 =−1, diğer tüm
parametreler 1 olarak alınmıştır
Riccati denkleminin en basit denklem olarak kullanılması
Benzer şekilde (4.244) denklemindeki dengeleme sonucu M = 1 bulunur. Böylece (3.5)
denkleminin sonucu olarak (4.244) denkleminin çözümü
F(z) = A0 +A1H(z) (4.248)
şeklindedir. (4.248) denklemini (3.7) denklemiyle birlikte (4.244) denkleminde yazıldı-
ğında ve daha sonra H i fonksiyonlarının katsayıları sıfıra eşitlendiğinde A0 ve A1 terimle-
rinden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde aşağıdaki
sonuç elde edilir:
( A1 =−(2a2b2−2a3b1)a ,
−(a2 3 )2b2 +2a2a3b1b22−a2 23b1b b22 )−bc 1=−
4a2 3
.
2b2−8a2a b 2 2 23 1b2 +4a3b1b2 a
Böylece (4.221) denkleminin çözümü
{ [ ]}
b θ 1
u(x,y, t) = A0 +A1 − − tanh θ (z+C) , (4.249)2a 2a 2
100
{ ( ) ( ) (θz) }− b − θ θz sechu(x,y, t) = A +A tanh + 20 1 2a 2a 2 C cosh θz − 2a ( ) (4.250)2 θ sinh θz2
olarak bulunur (Şekil 4.23, Şekil 4.24, Şekil 4.25, Şekil 4.26). Burada C bir integral sabiti
ve
z = a1b1t +(b2a2−b1a3)x−b2a1y,
θ 2 = b2−4ac (4.251)
olarak verilir.
Şekil 4.23. (4.221) denkleminin (4.249) ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada b2 = 2,
diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
101
Şekil 4.24. (4.221) denkleminin (4.249) ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada b2 = 2,
diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
Şekil 4.25. (4.221) denkleminin (4.250) ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada a2 = 2,
diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
102
Şekil 4.26. (4.221) denkleminin (4.250) ilerleyen dalga çözüm grafiği. Burada a2 = 2,
diğer tüm parametreler 1 olarak alınmıştır
4.8. Lie simetri indirgemesi ve çözümlerinin zaman kesir mertebeli denklemlere
uygulanması
7. mertebeden KdV denklem ailesi
ut +au3ux +bu3x + cuuxuxx +du
2uxxx + eu2xu3x
+ f uxu4x +guu5x +u7x = 0 (4.252)
olarak verilir (Goktas ve Hereman 1997, Yaşar ve ark. 2016). Burada a, b, c, d, e, f ,
g sıfırdan farklı sabit sayılardır. (4.252) denklemi ilk defa Pomeau ve ark. (1988) tara-
fından tanıtılmış ve denklemin yapısal kararlılığı tartışılmıştır. Ayrıca (4.252) denklemine
fiziksek açıdan bakıldığında u= u(x, t) dalga boyu, x uzay değişkeni, t ise zaman değişke-
nine karşılık gelir. (4.252) denklemi akışkanlar dinamiği, kimyasal kinetik, plazma fiziği
ve lazer optik gibi birçok bilimsel alanlarda karşımıza çıkar. Son olarak (4.252) denklemi
doğrusal olmayan dalgaların saçılma veya yayılma etkilerini tasvir eder (Sharma ve Arora
2017).
103
(4.252) denklemindeki a,b,c,d,e, f ,g sabit sayılarına değerler verilerek literatürde bilinen
bazı denklemler elde edilir.
(4.252) denkleminde a = 140,b = 70,c = 280,d = 70,e = 70, f = 42,g = 14 alındağında
7. mertebeden Lax denklemi (Goktas ve Hereman 1997)
ut +140u3ux +70u3x +280uuxuxx +70u
2uxxx
+70u2xu3x +42uxu4x +14uu5x +u7x = 0, (4.253)
a = 2016,b = 630,c = 2268,d = 504,e = 252, f = 147,g = 42 alındığında 7. mertebeden
KK denklemi (Goktas ve Hereman 1997)
ut +2016u3u +630u3x x +2268uu
2
xuxx +504u uxxx
+252u2xu3x +147uxu4x +42uu5x +u7x = 0, (4.254)
a = 252,b = 63,c = 378,d = 126,e = 63, f = 42,g = 21 alındığında 7. mertebeden SKI
denklemi
ut +252u3ux +63u3 +378uu u +126u2x x xx uxxx
+63u2xu3x +42uxu4x +21uu5x +u7x = 0 (4.255)
elde edilir (Ito 1980, Goktas ve Hereman 1997, El-Sayed ve Kaya 2004, Wazwaz 2008,
Shen ve ark. 2014, Yaşar ve ark. 2016).
Kesir mertebeli analiz, son zamanlarda özellikle bilim ve mühendislik alanlarının bir-
çok dalında oldukça önemli bir rol oynar. Birçok önemli doğa olayında örneğin elektro-
manyetik, görüntü işleme, ses dağılımı ve elektro-kimya gibi alanlarda kesir mertebeli tü-
revler ele alınan modeli daha önemli kılar. Kesir mertebeli modellerin faydalarından biri
ise tam mertebeli modellere göre daha iyi olayı tasvir eder. Böylece ele alınan modelin
önemini ve uygulanabilirliğini cazip kılar. Genellikle kesir mertebeli diferensiyel denk-
lemlerin tam çözümlerini bulmak oldukça güçtür. Ayrıca kesir mertebeli türevlerin bazı
104
özelliklerinin araştırılması tam mertebeli türevlere göre oldukça zordur (Hashemi 2018).
Kesir mertebeli denklemlerin öneminden dolayı tam mertebeli (4.255) SKI denkleminin
yerine zaman kesirli mertebeli SKI denklemi
∂ αu
α +252u
3ux +63u3x +378uu
2
∂ t x
uxx +126u uxxx
+63u2xu3x +42uxu4x +21uu5x +u7x = 0 (4.256)
ele alınacaktır (Yaşar ve ark. 2016). Burada α (0 < α 6 1) zaman kesir türevini ifade
eden bir parametredir.
4.8.1. Lie simetri analizi
(4.256) denkleminin Lie-nokta simetri üreteci
∂ ∂ ∂
X = τ(x, t,u) +ξ (x, t,u) +η(x, t,u) (4.257)
∂ t ∂x ∂u
şeklinde verilir. (4.256) denkleminin simetrilerini bulmak için (4.257) üretecinin 7. uza-
nımı (4.256) denklem(ine uygulandığında
∂ α[7] uX α +252u
3ux +63u3x +378uuxuxx +126u
2u
∂ t xxx
)∣∣
+63u2xu3x +42uxu4x +21uu5x +u7x ∣∣ = 0 (4.258)
(4.256)
ifadesi elde edilir. (4.258) denklemi açıldığında bir denklem elde edilir ve elde edilen bu
denklemdeki terimler u’nun türevlerine göre ayrılırsa
∂(αt )(η)−u∂ αt ((η )+2)52u3u η 2x +126u ηxxx +21uηxxxxx +ηxxxxxxx = 0,α α
n ∂ n n+1t (ηu)− n+1 Dt (τ) = 0, n = 1,2,3, · · · ,
′ ′
7ξ (x)−ατ (t) = 0,
τx = τu = ξt = ξu = ηuu = 0 (4.259)
105
belirleyici denklem sistemi elde edilir. (4.259) denklemi çözülürse
ξ = αxc1 + c2, τ = 7tc1, η =−2αuc1 (4.260)
sonuçlarına varılır. Burada c1 ve c2 keyfi sabitlerdir. (4.260) sonuçları yardımıyla (4.257)
ürteçi
∂ ∂ ∂
X = 7tc1 +(αxc + c ) −2αuc∂ t 1 2 ∂x 1
(4.261)
∂u
ifadesine dönüşür.
(4.261) üretecinde c1 = 0 ve c2 = 1 alırsa
∂
X1 = , (4.262)∂x
(4.261) üretecinde c1 = 1 ve c2 = 0 alırsa
∂ ∂ ∂
X2 = 7t +αx −2αu (4.263)∂ t ∂x ∂u
elde edilir.
4.8.2. Lie simetri indirgemesi
Bu bölümde amacımız zaman kesir mertebeli (4.256) denkleminin (4.262) ve (4.263) üre-
teçlerini kullanarak denklemi kesir mertebeli adi diferensiyel denkleme dönüştürmektir.
1. Durum: X1 = ∂/∂x üretecine karşılık gelen değişmezler
dt dx du
= = (4.264)
0 1 0
yardımcı denkleminden bulunur. (4.264) denklemi çözülmesiyle
u = f (t) (4.265)
106
değişmezi elde edilir. (4.265) denklemini (4.256) denkleminde yerine yazıldığında
∂ αt f (t) = 0 (4.266)
indirgenmiş kesir mertebeli adi diferensiyel denklem elde edilir ve bu ifade çözüldüğünde
(4.256) denkleminin
u = a tα−11 (4.267)
grup değişmez çözümü elde edilir. Burada a1 kefi integral sabitidir.
2. Durum: X2 = 7t ∂/∂ t +αx∂/∂x−2αu∂/∂u üretecine karşılık gelen değişmezler
dt dx du
= = (4.268)
7t αx −2αu
yardımcı denkleminden bulunur. (4.268) denklemi çözülmesiyle
u = t−2α/7g(ξ ), ξ = xt−α/7, (4.269)
değişmezleri elde edilir. Burada g(ξ ) keyfi bir fonksiyondur. (4.269) değişmezleri kulla-
nılarak (4.256) denkleminin kesir mertebeli adi diferensiyel denkleme dönüştüğünü bir
teorem olarak verilecektir.
Teorem: (4.269) değişmezleri yardımıyla (4.256) denklemi
( )
1− 9α
P 7
,α
7 g (ξ )+252g3gξ +63g3ξ +378ggξ gξ ξ +126g
2gξ ξ ξ
α
+63g2ξ g3ξ +42gξ g4ξ +21gg5ξ +g7ξ = 0 (4.270)
kesir mertebeli adi diferensiyel denklemine dönüşür (Yaşar ve ark. 2016).
İspat: n− 1 < α < n, n = 1,2,3, · · · olmak üzere (4.269) değişmezlerine karşılık gelen
107
Riemann-Liouville kesir türevi 
∂ α
t
u ∂ n
=  1 ∫ −2α −αα n (t− s)n−α−1s 7 g(xs 7 )ds (4.271)∂ t ∂ t Γ(n−α)
0
olarak verilir. Ayrıca (4.269) değişmezlerine dayanarak
t
v = (4.272)
s
dönüşümü kullanıldığında
t
ds =− 2 dv (4.273)v
ifadesi kolay bir şekilde elde edilir. (4.272) ve (4.273) ifadeleri (4.271) denkleminde ye-
rine yazıldığında  
α ∞∂ u ∂ n  ∫= tn− 9α 1 9α α7α n (v−1)n−α−1v−(n+1− 7 )g(ξ v 7 )dv (4.274)∂ t ∂ t Γ(n−α)
1
denklemi elde edilir. Erdelyi-Kober kesir integral operatörü kullanılırsa (4.274) denklemi
∂ α
[ ( ) ]
u ∂ n 2α
= tn−
9α 1− 7 ,n−α7
α n K 7 g (ξ ) (4.275)∂ t ∂ t α
−α
denklemine dönüşür. (4.269) denkleminden ξ = xt 7 ,φ ∈ C1(0,∞) ifadesini gözönüne
alarak (4.275) denkleminin sağ tarafını düzenlemek için
∂ ( α )
t φ(ξ ) = tx − t−
α−1 ′ −α ∂7 φ (ξ ) = ξ φ(ξ ) (4.276)
∂ t 7 7 ∂ξ
ifadelerine ihtiyaç vardır. (4.276) sonucu kullanarak (4.275) denklemi
n [ ( ) ]∂ 9α 1− 2α n−α ∂ n−1 [ ( ( ) )], ∂ 2α
tn− 7 K 7 g (ξ ) = tn−
9α 1−
7 K 7
,n−α
∂ tn 7 n−1
g (ξ )
α ∂ t ∂ t 7α
∂ n−1
[ ( )( ) ]
n− 9α−1 − 9α − α ∂ξ 1−
2α
7 ,n−α= 7
∂ tn−1
t n K 7 g (ξ ) (4.277)7 7 ∂ξ α
108
denklemine dönüşür. Bu yerine koyma işlemi n−1 kez tekrar edilirse
n [ ( ) ] n−1 [ ( ( ) )]∂ 9α 1− 2α ,n−α ∂ ∂ 9α 1− 2α ,n−α
tn− 7 K 7 g (ξ ) = tn− 7 K 7 g (ξ )
∂ tn 7α ∂ tn−1 ∂ t 7α
n−1 [ ( )( ) ]∂ 9α 9α α ∂ 2α
= tn− 7 −1n−1 n− − ξ
1− 7 ,n−αK g (ξ )
∂ t 7 7 ∂ξ 7α
.
( ..n−1 )( )
− 9α 2α= t 7 ∏ 1− 9α + j− α dξ 1− 7 ,n−αK 7 g (ξ ) (4.278)
j=0 7 7 dξ α
elde edilir. (4.278) denkleminde Erdélyi–Kober kesir türev operatör tanımı kullanıldı-
ğında
n [ ( ) ] ( )∂ − 9α 1− 2αn 7 ,n−αt 7 K g (ξ ) = t− 9α 1− 9α ,α7n 7 P 7∂ t 7 g (ξ ) (4.279)α α
denklemi elde edilir. Son olarak (4.279) denklemini (4.275) denkleminde yerine yazıldı-
ğında
α ( )∂ u − 9α 1− 9α7 ,α
α = t 7 P∂ t 7
g (ξ )
α
zaman kesir türev ifadesi elde edilir. Böylece zaman kesir mertebeli (4.256) denklemi
( )
1− 9α7 ,αP7 g (ξ )+252g3gξ +63g3ξ +378ggξ gξ ξ +126g
2gξ ξ ξ
α
+63g2ξ g3ξ +42gξ g4ξ +21gg5ξ +g7ξ = 0 (4.280)
kesir mertebeli adi diferensiyel denkleme dönüşmüş olur.
4.8.3. Kuvvet serisi yöntemiyle çözümlerin bulunması
Bu bölümde (4.280) kesir mertebeli adi diferensiyel denkleminin çözümleri kuvvet serisi
yöntemi (Baleanu ve ark. 2018a,b, Yusuf ve ark. 2018a,b,c, Tchier ve ark. 2018) yardı-
mıyla elde edilerek (4.256) denkleminin çözümleri verilecektir.
(4.280) denkleminin kuvvet seri çözüm formu
∞
g(ξ ) = ∑ anξ n (4.281)
n=0
109
olarak verilir. (4.280) denkleminde yer alan türev terimleri
∞
g′ (ξ ) = ∑ na ξ n−1n
n=0
∞
= ∑ (n+1)a ξ nn+1 , (4.282)
n=0
∞
g′′ (ξ ) = ∑ n(n−1)a ξ n−2n
n=0
∞
= ∑ (n+2)(n+1)a nn+2ξ , (4.283)
n=0
∞
g′′′ (ξ ) = ∑ n(n−1)(n−2)anξ n−3
n=0
∞
= ∑ (n+3)(n+2)(n+1)a nn+3ξ , (4.284)
n=0
∞
g(IV ) (ξ ) = ∑ n(n−1)(n−2)(n−3)a ξ n−4n
n=0
∞
= ∑ (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)a nn+4ξ , (4.285)
n=0
∞
g(V ) (ξ ) = ∑ n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)anξ n−5
n=0
∞
= ∑ (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)a nn+5ξ , (4.286)
n=0
∞
g(V I) (ξ ) = ∑ n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)a ξ n−6n
n=0
∞
= ∑ (n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)a nn+6ξ , (4.287)
n=0
∞
g(V II) (ξ ) = ∑ n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)(n−6)a ξ n−7n
n=0
∞
= ∑ (n+7)(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)an+7ξ n (4.288)
n=0
110
olarak verilir. (4.281)-(4.288) seri açılımları (4.280) denkleminde yerine yazıldığında
∞ (( )Γ 2− 2α7 + nα∑ 79α nα ) ∞ ∞ ∞ ∞anξ n +252 ∑ a nnξ ∑ a nnξ ∑ a nnξ ∑ (n+1)a nΓ − n+1ξn=0 2 7 + 7 n=0 n=0 n=0 n=0
∞ ∞ ∞
+63 ∑ (n+1)an+1ξ n ∑ (n+1)a nn+1ξ ∑ (n+1)a nn+1ξ
n=0 n=0 n=0
∞ ∞ ∞
+378 ∑ anξ n ∑ (n+1)a ξ nn+1 ∑ (n+2)(n+1)a nn+2ξ
n=0 n=0 n=0
∞ ∞ ∞
+126 ∑ a ξ nn ∑ a ξ nn ∑ (n+3)(n+2)(n+1)a nn+3ξ
n=0 n=0 n=0
∞ ∞
+63 ∑ (n+2)(n+1)a nn+2ξ ∑ (n+3)(n+2)(n+1)a nn+3ξ
n=0 n=0
∞ ∞
+42 ∑ (n+1)a nn+1ξ ∑ (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)a ξ nn+4
n=0 n=0
∞ ∞
+21 ∑ a ξ nn ∑ (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)an+5ξ n
n=0 n=0
∞
+ ∑ (n+7)(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)a nn+7ξ = 0 (4.289)
n=0
sonucu elde edilir. (4.289) d(enkleminde n = 0 iken katsayıların karşılaştırılmasında( )
1 Γ 2− 2α
a7 =− ( 7 3 35040 Γ 2− 9α )a0 +252a0a1 +63a1 +756a0a1a27 )
+756a20a3 +756a2a3 +1008a1a4 +2520a0a5 (4.290)
katsayısı elde edilirken n≥ 1 iken katsayıların karşılaştırıldığında
1
an+7 =−
(n+7)(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)
( (( )Γ 2− 2α nα n k j× 7 + 7
Γ 2− 9α nα
)an +252 ∑ ∑ ∑ (n+1− k)aia j−iak− jan+1−k
7 + 7 k=0 j=0 i=0
111
n
+21 ∑ (n+5− k)(n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+5−k
k=0
n k
+378 ∑ ∑ (n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+2−k
k=0 j=0
n k
+126 ∑ ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+3−k
k=0 j=0
n
+63 ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+3−k
k=0
n
+42 ∑ (n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+4−k
k=0 )
n k
+63 ∑ ∑ (n+1− k)a jak− jan+1−k (4.291)
k=0 j=0
katsayısı elde edilir. Böylece (4.290) ve (4.291) sonuçları kullanılarak (4.280) denklemi
için kuvvet seri çözümü
∞
g(ξ ) = a +a ξ +a ξ 2 +a ξ 3 +a ξ 4 +a ξ 5 +a ξ 60 1 2 3 4 5 6 +a7ξ 7 + ∑ an+7ξ n+7
( n=1( )
2 3 4 5 1 Γ 2−
2α
= a0 +a1ξ +a2ξ +a3ξ +a4ξ +a5ξ +a 6 76ξ − ( 9α )a0 +252a3a5040 Γ − 0 12 7 )
+63a31 +756a
2 7
0a1a2 +756a0a3 +756a2a3 +1008a1a4 +2520a0a5 ξ
∞
−∑ 1
( ( n=1 (n+7)()n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)
Γ(2− 2α + nα n k j× 7 79α nα )an +252 ∑ ∑ ∑ (n+1− k)aia j−iak− jaΓ − n+1−k2 7 + 7 k=0 j=0 i=0
n
+21 ∑ (n+5− k)(n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+5−k
k=0
n k
+378 ∑ ∑ (n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+2−k
k=0 j=0
n k
+126 ∑ ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+3−k
k=0 j=0
112
n
+63 ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+3−k
k=0
n
+42 ∑ (n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+4−k
k=0 )
n k
+63 ∑ ∑ (n+1− k)a n+7jak− jan+1−k ξ (4.292)
k=0 j=0
elde edilir. Ayrıca (4.269) değişmezleri kullanılarak (4.256) denkleminin kuvvet seri çö-
zümü
2α 3α 4α 5α 6α
u(x, t) = a0t− 7 +a −1xt 7 +(a x22 (t− 7 +a 3 −3x t 7 +a4x4t− 7
1 Γ(2− 2α+a x5t−α 8α5 +a6x6t− 7 − 79α )
)
a 3 3
5040 Γ − 0
+252a0a1 +63a2 17 )
9α
+756a0a1a2 +756a20a3 +756a2a3 +1008a1a4 +2520a a x
7
0 5 t− 7
∞
−∑ 1
( ( n=1 (n+7)()n+6)(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)
Γ
× (2− 2α + nα ) n k j7 79α nα an +252 ∑ ∑ ∑ (n+1− k)aiaΓ − j−iak− jan+1−k2 7 + 7 k=0 j=0 i=0
n
+21 ∑ (n+5− k)(n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+5−k
k=0
n k
+378 ∑ ∑ (n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+2−k
k=0 j=0
n k
+126 ∑ ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)a jak− jan+3−k
k=0 j=0
n
+63 ∑ (n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+3−k
k=0
n
+42 ∑ (n+4− k)(n+3− k)(n+2− k)(n+1− k)akan+4−k
k=0 )
n k α(n+9)
+63 ∑ ∑ (n+1− k)a jak− jan+1−k xn+7t− 7 (4.293)
k=0 j=0
elde edilir.
113
5. SONUÇ
Bu tezde temel olarak tam ve kesir mertebeli lineer olmayan oluşum türü denklemlerin
analitik çözümlerinin bulunmasında oldukça kullanışlı ve etkili olan metotlar verilmiştir.
Ayrıca bu metotların kullanılması sonucu birbirinden farklı ve fizik alanında önemli bir
yere sahip olan çözüm tipleri sunulmuştur.
Bu tez elde edilen sonuçlara bakıldığında çok sayıda ve birbirinden farklı çözüm tipleri
elde edilmiştir. Bu çözümler şu şekildedir: ilerleyen dalga çözümü, knoidal dalga çözümü,
sinoidal dalga çözümü, bir soliton çözümü, iki soliton çözümü, üç soliton çözümü, komp-
leksiton çözümler, çoklu soliton çözümler, Lump tipindeki çözümler, rasyonel çözümler,
soliton çözümler, poziton çözümler, negaton çözümler, rasyonel-soliton-poziton etkileşim
çözümler ve son olarak kuvvet seri çözümlerdir. İlerleyen dalga çözümü, knoidal dalga
çözümü ve sinoidal dalga çözümleri akışkanlar dinamiğinde kullanılan lineer olmayan pe-
riyodik dalga çözümleridir. Bir soliton, iki soliton ve üç soliton çözümler eksponansiyel
fonsiyonların polinomları olarak ifade edilen çoklu soliton tipinde çözümlerdir ve bu çö-
zümler faz değişmeleri ile birlikte genel dalga frekanslarını içeren çözümlerdir. Komplek-
siton tipindeki çözümler hem eksponansiyel fonksiyon hem de trigonometrik fonksiyon
birleşimini içeren çözümlerdir. Bu çözümler yeni tarzdaki belirgin ilerleyen dalga hızla-
rına sahip olan çözümlerdir. Ayrıca yeni test fonksiyonu kullanılarak elde edilen çoklu
soliton çözümler, kompleksiton tipindeki çözümleri de kapsayan çözümlerdir. Lump çö-
zümler uzayda tüm yönlerde yerel olan analitik rasyonel çözümlerdir. Soliton ve Lump
çözümler arasındaki farka bakıldığında soliton çözümler belli yönlerde yerel olmasına
karşın Lump çözümler uzayda tüm yönlerde yerel olan bir çeşit rasyonel fonksiyon çö-
zümlerdir. Soliton çözümler negaton çözümlerin özel bir halidir. Negaton çözümler eks-
ponansiyel fonksiyon çözümlerini içerirken poziton çözümler trigonometrik fonksiyon
çözümlerini içerir. Son olarak rasyonel-soliton-poziton etkileşim çözümler daha genel ve
karmaşık çözümlerdir.
Ayrıca bu tezde, son yıllarda oldukça popüler olan ve bir çok araştırmacı tarafından ele
alınan yüksek boyutlu ve yüksek mertebeden lineer olmayan oluşum türü denklemler ele
114
alındı. Bu denklemler şu şekildedir: (1+1) boyutlu bir genelleştirilmiş KdV denklemi,
(2+1) boyutlu SK denklemi, bir yeni genelleştirilmiş (3+1) boyutlu lineer olmayan olu-
şum türü denklemi, (2+1) boyutlu yerel olmayan Ito denklemi, (2+1) boyutlu kırılgan
soliton denklemi ve yedinci mertebeden kesirli SKI denklemleridir.
Yedinci mertebeden tam mertebeli SKI denklemi birçok araştırmacı tarafından ele alın-
mıştır (El-Sayed ve Kaya 2004, Wazwaz 2008, Shen ve ark. 2014). El-Sayed ve Kaya
(2004) Adomian decomposition metodunu kullanarak denklemin başlangıç koşullarına
karşılık gelen anallitik çözümler olan tek dalga çözümleri ve nümerik çözümler elde et-
mişlerdir. Ayrıca ede edilen nümerik çözümler analitik çözümlerle karşılaştırılmıştır. Wa-
zwaz (2008) tanh–coth metodunu ve Hirota metodunu kullanarak sırasıyla denklemin tek
soliton çözümler ve N soliton (çoklu soliton) çözümler elde etti. Shen ve ark. (2014) Bell
polinom yaklaşımını kullanarak denklemin bilineer formunu, Bäcklund dönüşümlerini,
Lax çiftlerini ve sonsuz sayıdaki korunum kanunlarını elde ettiler. Şu ana kadar yapılmış
bu gelişmelere rağmen denklem hep tam mertebeli anlamında ele alınmıştır. Bu tez ça-
lışması da ilk defa denklemi kesir mertebeli anlamında ele aldığından dolayı bu boşluğu
doldurmuştur. Bu yeni modelin (4.262) ve (4.263) Lie simetri üreteçleri ilk defa bu tez
çalışmasında elde edilmiştir. Ayrıca bu üreteçler kullanılarak denklem daha önceden hiç-
bir yerde rapor edilmeyen kesir mertebeli adi diferensiyel denklemine dönüştürüldü. Bu
dönüşüm teorem olarak verilmiş ve ispatlanmıştır. Son olarak kuvvet serisi metodu yardı-
mıyla elde edilen (4.293) kuvvet seri çözümleri ilk defa burada bulunmuştur. Burada elde
edilen analitik çözümler olan kuvvet seri çözümleri yeni çözümlerdir.
(3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklem birçok araştırmacı tarafından ele alın-
mıştır (Zhaqilao 2013, Wazwaz 2015, Liu ve Liu 2016, Shi ve Zhang 2017, Zhang ve Ma
2017). Zhaqilao (2013) bir basit sembolik hesaplama algoritması kullanarak denklemin
agresif dalga çözümlerini ve rasyonel çözümlerini elde etti. Wazwaz (2015) basitleşti-
rilmiş Hirota yaklaşımını kullanarak denklemin çoklu soliton çözümlerini elde etti. Liu
ve Liu (2016) homoclinic test yaklaşımını ve üç dalga metodunu kullanarak denklemin
sırasıyla kink breather soliton çözümlerini ve çoklu soliton çözümlerini elde ettiler. Shi
ve Zhang (2017) Hirota bilineer yöntemini kullanarak denklemin yüksek mertebeli ag-
115
resif dalga çözümlerini elde ettiler. Zhang ve Ma (2017) lineer superposition prensibini
kullanarak denklemin rezonant çoklu dalga çözümlerini elde ettiler. Yapılan bu çalışma-
lara bakıldığında denklemin kendisi ele alınarak denklemin oldukça önemli çözümleri
elde edildi. Bu tez çalışmasında ise şu ana kadar yapılan çalışmaların aksine denklemin
kendisi ele alınmamıştır. Denklemin genelleştirilmiş Hirota bilineer denklemi kullanıla-
rak daha önceden literatürde olmayan ve ilk defa bu tez çalışmasında verilen yeni bir
geliştirilmiş (3+1) boyutlu lineer olmayan oluşum türü denklem elde edildi. Lump tipi
çözüm algoritması kullanılarak yeni denklemin (4.108)-(4.129) sonuçlarına karşılık ge-
len (4.131) Lump tipi çözümleri elde edildi. Elde edilen bu çözümler yeni çözümlerdir.
(2+1) boyutlu SK denklemi birçok araştırmacı tarafından ele alınmıştır (Hong-Yan ve
Hong-Qing 2008, Wazwaz 2011, Shi ve Li 2012, Lü 2014, Jia ve ark. 2017, Huang ve
Chen 2017, Liu 2018). Hong-Yan ve Hong-Qing (2008) Lie simetri analizi yöntemini
kullanarak denklemin Lie nokta üreteçlerini elde ettiler ve üreteçler kullanılarak denkle-
min simetri indirgemelerini ve değişmez çözümlerini elde ettiler. Elde edilen değişmez
çözümler keyfi fonksiyonlar içerdiğinden dolayı direk yöntemi kullanılarak denklemin
simetri dönüşümlerini elde ettiler ve böylece sonsuz sayıda çözümler elde etmişlerdir.
Wazwaz (2011) basitleştirilmiş Hirota bilineer metodunu kullanarak denklemin çoklu so-
liton (N soliton) çözümlerini elde etti. Shi ve Li (2012) bir yeni test fonksiyon yöntemini
kullanarak denklemin dark soliton, periyodik soliton, çift lineer soliton, çift periyodik so-
liton, üç farklı lineer soliton çözümlerini elde ettiler. Lü (2014) Hirota bilineer metodunu
kullanarak denklemin bir bilineer Bäcklund dönüşümünü elde etti ve Gauge dönüşümünü
kullanarak denklemin yeni bir bilineer Bäcklund dönüşümünü buldu. Bu bulunan yeni bi-
lineer Bäcklund dönüşümüne perturbasyon tekniğini uygulayarak denklemin soliton çö-
zümlerini buldu. Jia ve ark. (2017) denklemin Hirota bilineer formunu elde ettiler ve elde
edilen bu forma Wronskiyen yöntemini uygulayarak denklemin soliton çözümlerini bul-
muşlardır. Huang ve Chen (2017) denklemin Hirota bilineer formunu elde ettiler ve elde
edilen bu forma Lump çözüm algoritmasını uygulayarak denklemin önce Lump çözümle-
rini daha sonra ise etkileşim çözümlerini buldular. Liu (2018) denklemin Hirota bilineer
formunu elde etti ve elde edilen bu forma Lump çözüm algoritmasını uygulayarak denk-
lemin iki farklı etkileşim çözümlerini buldu. Bunlardan ilki rasyonel fonksiyon ile sinüs
116
ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarını içeren etkileşim çözümlerdir. Diğer etkileşim
çözüm ise rasyonel fonksiyon ile çift exponansiyel fonksiyonlarını içeren etkileşim çö-
zümlerdir.
Yapılan bu çalışmalara bakıldığında özellikle Shi ve Li (2012), Lü (2014), Jia ve ark.
(2017), Huang ve Chen (2017), Liu (2018) çalışmalarında yazarlar çözümler bulmak için
denklemin kendisini değil de denklemin Hirota bilineer formunu inşaa ettikden sonra çö-
züm aşamasına geçmektedirler. Bu tez çalışmasında ise şu ana kadar yapılan çalışmaların
aksine denklemin Hirota bilineer formuna gereksinim duyulmadan çözüm aşamasına di-
rek geçilmektedir. Ma ve ark. (2010) tarafından keşfedilen çoklu exponansiyel fonksiyon
yöntemini geliştirerek ve kullanarak denklemin bir soliton, iki soliton ve üç soliton çö-
zümlerine karşılık gelen (4.28), (4.30), (4.33) sonuçları elde edildi. Elde edilen bu sonuç-
lar Wazwaz (2011) ve Lü (2014) çalışmalarıyla karşılaştırıldığında aynı sonuçlar bulun-
muştur. Şu önemli noktayı belirtmek gerekirse, Ma ve ark. (2010) tarafından keşfedilen
çoklu exponansiyel fonksiyon yönteminin geliştirilmemiş halini burada bahsi geçen denk-
leme uygulandığında özellikle iki soliton ve üç soliton çözümleri elde edilemez. Ma ve
ark. (2010) tarafından bulunan bu yöntemde bahsi geçen (4.29) iki soliton çözüm varsa-
yımını ve (4.31) üç soliton çözüm varsayımını daha da genelleştirerek denklemin soliton
çözümlerine ulaşmış olduk. Böylece yöntem daha fazla lineer olmayan oluşum türü denk-
lemlere uygulanma fırsatına sahip olmuş olur.
Ayrıca bu tez çalışmasında göz önüne alınan denklemin soliton çözümlerini bulmakla
yetinmedik geliştirilmiş rasyonel fonksiyon metodunu kullanarak denklemin kompleksi-
ton çözümlerine karşılık gelen (4.50), (4.51), (4.54), (4.55), (4.56), (4.57), (4.60), (4.61),
(4.62), (4.63), (4.66), (4.67), (4.68), (4.69) sonuçlarını da elde ettik. Bu metodu kullan-
mak için denklemin Hirota bilineer formunu elde ettik. Elde edilen bu sonuçları Shi ve Li
(2012) çalışmasıyla karşılaştırıldığında sadece üç tane sonuç aynı çözümlere karşılık gelir
ve elde ettiğimiz diğer sonuçlar yeni sonuçlardır. Shi ve Li (2012) çalışmasında ξ3 = 0
alınırsa bizim bu tez çalışmasında elde ettiğimiz (4.57), (4.63), (4.69) sonuçlarla örtüş-
mektedir.
117
Genelleştirilmiş KdV denklemi birçok araştırmacı tarafından ele alınmıştır (Marchant
2000, Wazwaz 2007, Miao ve ark. 2014, Wazwaz 2016). Marchant (2000) denklemin
nümerik çözümlerini ve korunum kanunlarını elde etti. Wazwaz (2007) geliştirilmiş tanh
fonksiyon metodunu kullanarak denklemin dark soliton çözümlerini elde etti. Ayrı Waz-
waz (2016) Hirota’nın basitleştirilmiş metodunu kullanarak denklemin çoklu soliton (N
soliton) çözümlerini de elde etti. Son olarak Miao ve ark. (2014) denklemin sadece Hirota
bilineer formunu elde etmişlerdir. Denklemin Hirota bilineer formunu elde etmelerine
rağmen denklemin bilineer Bäcklund dönüşümlerini, Lax çiftlerini ve korunum kanunla-
rını elde edememişlerdir. Bu tez çalışmasında ise en basit denklem metodunu kullanarak
denklemin ilerleyen dalga çözümü, knoidal dalga çözümü ve sinoidal dalga çözümlerine
karşılık gelen (4.10), (4.12), (4.13), (4.14), (4.16) sonuçları elde edildi. Üstelik elde edilen
bu sonuçlarla yetinmedik ve yeni test fonksiyon yöntemini kullanarak denklemin çoklu
soliton çözümlerine karşılık gelen (4.78), (4.80), (4.82), (4.84), (4.86), (4.88), (4.90) so-
nuçları elde edildi.
Bu tez çalışmasında elde edilen sonuçlar Wazwaz (2007), (2016) çalışmalarıyla karşı-
laştırıldığında (4.10) sonuçları cosh ve sinh hiperbolik fonksiyonlarını birlikte içeren yeni
etkileşim çözümlerdir. (4.12) sonuçlarına karşılık gelen tanh hiperbolik fonksiyon çözüm-
leri Wazwaz (2007) çalışmasında elde edilen çözümlerle örtüşmektedir. (4.13) sonuçları
cosh, sinh, tanh ve sech hiperbolik fonksiyonlarını birlikte içeren yeni etkileşim çözümle-
ridir. (4.14) sonuçları sırasıyla ω→ 1 ve ω→ 0 iken sech hiperbolik ve cos trigonometrik
fonksiyonlarını içeren yeni çözümlerdir. Benzer şekilde (4.16) sonuçları ω→ 1 iken tanh
hiperbolik fonksiyonunu içeren çözümler , Wazwaz (2007) çalışmasında elde edilen çö-
zümlerle örtüşmektedir. Son olarak hiperbolik, çift eksponansiyel ve trigonometrik fonk-
siyonlarını içeren (4.84) sonuçları (4.78), (4.80), (4.82), (4.86), (4.88), (4.90) sonuçlarını
da kapsayan yeni etkileşim çözümlerdir.
(2+1) boyutlu kırılgan soliton denkleminin öncelikle Lie simetri analizi ve Lie simetri in-
dirgemeleri elde edildi. Daha sonra en basit denklem metodunu kullanarak denklemin iler-
leyen dalga çözümlerine karşılık gelen (4.247), (4.249) ve (4.250) sonuçları elde edildi.
Bu tez çalışmasında elde edilen sonuçlar Wazwaz (2010) çalışmasıyla karşılaştırıldığında
118
(4.247) sonuçları cosh ve sinh hiperbolik fonksiyonlarını birlikte içeren yeni etkileşim
çözümlerdir. (4.249) sonuçlarına karşılık gelen tanh hiperbolik fonksiyon çözümleri yeni
çözümlerdir. Son olarak (4.250) sonuçları cosh, sinh, tanh ve sech hiperbolik fonksiyon-
larını birlikte içeren yeni etkileşim çözümlerdir.
Genelleştirilmiş (2+1) boyutlu Ito denkleminin öncelikle Hirota bilineer formu ve Wrons-
kiyen determinant şartları elde edildi. Daha sonra Wronskiyen determinant algoritması
kullanılarak denklemin rasyonel, soliton, positon, negaton ve etkileşim çözümlerine kar-
şılık gelen (4.166), (4.170), (4.174), (4.182), (4.183), (4.185), (4.190), (4.191), (4.193),
(4.198), (4.199), (4.201), (4.214), (4.215), (4.216), (4.217) sonuçları elde edildi. Bu tez
çalışmasında elde edilen sonuçlar Adem (2016) çalışmasıyla karşılaştırıldığında (4.166),
(4.170), (4.174) rasyonel çözümler yeni çözümlerdir. (4.182), (4.183), (4.198), (4.199)
sonuçlarına karşılık gelen tanh ve coth hiperbolik fonksiyon çözümleri yeni çözümlerdir.
(4.185), (4.201) sonuçları cosh, sinh hiperbolik fonksiyonlarını birlikte içeren yeni etki-
leşim çözümlerdir. (4.190), (4.191) sonuçlarına karşılık gelen tan ve cot trigonometrik
fonksiyon çözümleri yeni çözümlerdir. (4.193) sonuçları cos, sin trigonometrik fonksi-
yonlarını birlikte içeren yeni etkileşim çözümlerdir. Son olarak (4.217) sonuçları (4.214),
(4.215), (4.216) sonuçlarını da kapsayan yeni etkileşim çözümlerdir.
119
KAYNAKLAR
Adem, A.R., Khalique, C.M. 2013. Exact solutions and conservation laws of a two-
dimensional integrable generalization of the Kaup-Kupershmidt equation. Journal of App-
lied Mathematics, 2013: 1-6.
Adem, A.R., Khalique, C.M. 2016a. Symbolic Computation of Conservation Laws and
Exact Solutions of a Coupled Variable-Coefficient Modified Korteweg–de Vries System.
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 56(4): 650-660.
Adem, A.R., Khalique, C.M. 2016b. Conserved quantities and solutions of a (2+ 1)-
dimensional Haragus-Courcelle–Il’ichev model. Computers & Mathematics with Appli-
cations, 71(5): 1129-1136.
Adem, A.R. 2016. The generalized (1+ 1)-dimensional and (2+ 1)-dimensional Ito equ-
ations: multiple exp-function algorithm and multiple wave solutions. Computers & Mat-
hematics with Applications, 71(6): 1248-1258.
Anonim, 2017. Matter Wave Solitons. http://atomcool.rice.edu/research/boson/matter-wa-
ve-solitons/-(Erişim tarihi 13.3.2017).
Anonim, 2017. Korteweg–de Vries equation. https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E-
2%80 %93deVries_equation-(Erişim tarihi 13.3.2017).
Adem, A.R., Yildirim, Y., Yaşar E. 2019a. Complexiton solutions and soliton soluti-
ons: (2+1)-dimensional Date–Jimbo–Kashiwara–Miwa equation. Pramana - Journal of
Physics, 92(3): 36.
Adem, A.R., Yildirim, Y., Yaşar E. 2019b. Soliton solutions to the non-local Boussi-
nesq equation by multiple exp-function scheme and extended Kudryashov’s approach.
Pramana - Journal of Physics, 92(2): 24.
Bluman, G.W., Kumei, S. 1989. Symmetries and differential equations, Applied Mathe-
matical Sciences, 81, Springer-Verlag, New York.
Bilige, S., Chaolu, T. 2010. An extended simplest equation method and its application
to several forms of the fifth-order KdV equation. Applied Mathematics and Computation,
216(11): 3146-3153.
Baleanu, D., Yusuf, A., Aliyu, A.I. 2018a. Space-time fractional Rosenou-Haynam equ-
ation: Lie symmetry analysis, explicit solutions and conservation laws. Advances in Dif-
ference Equations, 1(46): 1-14.
Baleanu, D., Yusuf, A., Aliyu, A.I. 2018b. Lie symmetry analysis and conservation laws
for the time fractional simplified modified Kawahara equation. Open Physics, 16(1): 302-
310.
Cauchy, A.L. 1844. Exercise d’analyse et de physique mathématique. Paris Bachelier,
Paris, France, 442 pp.
Cheviakov, A.F. 2007. GeM software package for computation of symmetries and conser-
vation laws of differential equations. Computer physics communications, 176:(1) 48-61.
Cheviakov, A.F. 2010. Symbolic computation of local symmetries of nonlinear and li-
near partial and ordinary differential equations. Mathematics in Computer Science, 4(2-
3): 203-222.
Cheng, J., Mei, J., Wang, Z., Zhang, H. 2014. Wronskian Solutions of Two Equations
and Young Diagram Proof. Journal of Mathematical Research with Applications, 34(5):
561-574.
120
Cheng, L., Zhang, Y. 2017. Lump-type solutions for the (4+ 1)-dimensional Fokas equ-
ation via symbolic computations. Modern Physics Letters B, 31(25): 1-9.
El-Sayed, S.M., Kaya, D. 2004. An application of the ADM to seven-order Sawada–
Kotara equations. Applied mathematics and computation, 157(1): 93-101.
Fourier, J. 1822. Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, France, 639 pp.
Freeman, N.C., Nimmo, J.J.C. 1983. Soliton solutions of the Korteweg de Vries and
the Kadomtsev-Petviashvili equations: the Wronskian technique. Proc. R. Soc. Lond. A,
389(1797): 319-329.
Goktas, U., Hereman, W. 1997. Symbolic computation of conserved densities for sys-
tems of nonlinear evolution equations.
Geng, X. 2003. Algebraic-geometrical solutions of some multidimensional nonlinear evo-
lution equations. Journal of Physics A: Mathematical and General, 36(9): 1-10.
Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, S.Y. 2007. Continuous transformation
groups of fractional differential equations. Vestnik Usatu, 9:(3) 1-21.
Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, S.Y. 2009. Symmetry properties of fracti-
onal diffusion equations. Physica Scripta, 2009(136): 1-5.
Güner, Ö. 2014. Kesir Mertebeli Diferensiyel Denklemlerin Tam Çözümleri. Doktora
Tezi, ESOGÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı,
Eskişehir.
Hirota, R. 2004. The direct method in soliton theory. Cambridge University Press, Camb-
ridge, UK, 214 pp.
Hong-Yan, Z., Hong-Qing, Z. 2008. Symmetry Analysis and Exact Solutions of (2+ 1)-
Dimensional Sawada–Kotera Equation. Communications in Theoretical Physics, 49(2):
263-267.
Huang, L.L., Chen, Y.2017. Lump solutions and interaction phenomenon for (2+ 1)-
dimensional Sawada–Kotera equation. Communications in Theoretical Physics, 67(5):
473-478.
Hashemi, M.S. 2018. Invariant subspaces admitted by fractional differential equations
with conformable derivatives. Chaos, Solitons & Fractals, 107: 161-169.
Ito, M. 1980. An extension of nonlinear evolution equations of the K-dV (mK-dV) type
to higher orders. Journal of the Physical Society of Japan, 49(2): 771-778.
Ibragimov, N.H. 1995. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations,
vol 1–3, CRC Press, Boca Raton, Florida.
Jian-Ping, W. 2011. A new Wronskian condition for a (3+ 1)-dimensional nonlinear evo-
lution equation. Chinese Physics Letters, 28(5): 1-3.
Jian-Ping, W., Xian-Guo, G. 2013. New Wronskian Representation of Solution for a
Variable-Coefficient Kadomtsev–Petviashvili Equation. Chinese Physics Letters, 30(6):
1-4.
Jefferson, G.F., Carminati, J. 2014. FracSym: automated symbolic computation of Lie
symmetries of fractional differential equations. Computer Physics Communications, 185(1):
430-441.
Jia, S.L., Gao, Y.T., Ding, C.C., Deng, G.F. 2017. Solitons for a (2+ 1)-dimensional
Sawada–Kotera equation via the Wronskian technique. Applied Mathematics Letters, 74:
193-198.
Kovalevskaya, S.V. 1875. Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung. Journal für
die reine und angewandte Mathematik, 80: 1-32.
121
Korteweg, D.J., De Vries, G. 1895. On the Change of Form of Long Waves Advancing
in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves. Philosophical
Magazine, 240(39): 422–443.
Konopelchenko, B.G., Dubrovsky, V.G. 1984. Some new integrable nonlinear evolution
equations in 2+ 1 dimensions. Physics Letters A, 102(1-2): 15-17.
Kiryakova, V.S. 1993. Generalized fractional calculus and applications. CRC press.
Kudryashov, N.A. 2005a. Exact solitary waves of the Fisher equation. Physics Letters A,
342(1-2): 99-106.
Kudryashov, N.A. 2005b. Simplest equation method to look for exact solutions of non-
linear differential equations. Chaos, Solitons & Fractals, 24(5): 1217-1231.
Kudryashov, N.A. 2012. One method for finding exact solutions of nonlinear differential
equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(6): 2248-
2253.
Liu, H., Li, J., Liu, L. 2010. Lie symmetry analysis, optimal systems and exact solu-
tions to the fifth-order KdV types of equations. Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 368(2): 551-558.
Lü, X. 2014. New bilinear Bäcklund transformation with multisoliton solutions for the
(2+ 1)-dimensional Sawada–Kotera model. Nonlinear Dynamics, 76(1): 161-168.
Liu, N., Liu, Y. 2016. New multi-soliton solutions of a (3+ 1)-dimensional nonlinear
evolution equation. Computers & Mathematics with Applications, 71(8): 1645-1654.
Lü, X., Chen, S.T., Ma, W.X. 2016. Constructing lump solutions to a generalized Kadomt
sev–Petviashvili–Boussinesq equation. Nonlinear Dynamics, 86(1): 523-534.
Liu, J.G. 2018. Interaction behaviors for the (2+1)-dimensional Sawada–Kotera equation.
Nonlinear Dynamics, 93:(2) 741-747.
Marchant, T.R. 2000. Solitary wave interaction for the extended BBM equation. In Pro-
ceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering
Sciences, 456(1994): 433-453.
Ma, W.X. 2004. Wronskians, generalized Wronskians and solutions to the Korteweg–de
Vries equation. Chaos, Solitons & Fractals, 19(1): 163-170.
Ma, W.X., You, Y. 2005. Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form:
Wronskian solutions. Transactions of the American mathematical society, 357(5): 1753-
1778.
Ma, W.X., Li, C.X., He, J. 2009. A second Wronskian formulation of the Boussinesq
equation. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 70(12): 4245-4258.
Ma, W.X., Huang, T., Zhang, Y. 2010. A multiple exp-function method for nonlinear
differential equations and its application. Physica Scripta, 82(6): 1-12.
Ma, W.X. 2011. Generalized bilinear differential equations. Studies in Nonlinear Scien-
ces, 2(4): 140-144.
Ma, W.X., Abdeljabbar, A., Asaad, M.G. 2011. Wronskian and Grammian solutions to
a (3+ 1)-dimensional generalized KP equation. Applied Mathematics and Computation,
217(24): 10016-10023.
Ma, W.X., Zhu, Z. 2012. Solving the (3+ 1)-dimensional generalized KP and BKP equ-
ations by the multiple exp-function algorithm. Applied Mathematics and Computation,
218(24): 11871-11879.
Ma, H., Bai, Y. 2013. Wronskian determinant solutions for the (3+ 1)-dimensional Boiti-
Leon-Manna-Pempinelli equation. Journal of Applied Mathematics and Physics, 1(5):
122
1-18.
Miao, Q., Wang, Y., Chen, Y., Yang, Y. 2014. PDEBellII: A Maple package for finding
bilinear forms, bilinear Backlund transformations, Lax pairs and conservation laws of the
KdV-type equations. Computer Physics Communications, 185(1): 357-367.
Ma, W.X. 2015. Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation. Physics Letters
A, 379(36): 1975-1978.
Ma, W.X. 2016. Lump-type solutions to the (3+ 1)-dimensional jimbo-miwa equation.
International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 17(7-8): 355-
359.
Ma, W.X., Zhou, Y., Dougherty, R. 2016. Lump-type solutions to nonlinear differential
equations derived from generalized bilinear equations. International Journal of Modern
Physics B, 30(28n29): 1-10.
Newton, I. 1671. The Method of Fluxions and Infinite Series. Cambridge University
Press, Cambridge, UK, 66 pp.
Nimmo, J.J.C., Freeman, N.C. 1983. A method of obtaining the N-soliton solution of
the Boussinesq equation in terms of a Wronskian. Physics Letters A, 95(1): 4-6.
Naz, R., Mahomed, F.M., Mason, D.P. 2008. Comparison of different approaches to
conservation laws for some partial differential equations in fluid mechanics. Applied Mat-
hematics and Computation, 205(1): 212-230.
Najafi, M., Arbabi, S., Najafi, M. 2013. Wronskian determinant solutions of the (2+
1)-dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equation. Int. J. Adv. Math. Sci, 1(1): 8-11.
Olver, P.J. 1993. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, Berlin,
Germany, 107 pp.
Peano, G. 1886. Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine. Atti Ac-
cad. Sci., 21: 437-445.
Pomeau, Y., Ramani, A., Grammaticos, B. 1988. Structural stability of the Korteweg-
de Vries solitons under a singular perturbation. Physica D: Nonlinear Phenomena, 31(1):
127-134.
Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations, San Diego, CA: Academic.
Radha, R., Lakshmanan, M. 1995. Dromion like structures in the (2+ 1)-dimensional
breaking soliton equation. Physics Letters A, 197(1): 7-12.
Shi, Y., Li, D. 2012. New exact solutions for the (2+ 1)-dimensional Sawada–Kotera
equation. Computers & Fluids, 68: 88-93.
Sahadevan, R., Bakkyaraj, T. 2012. Invariant analysis of time fractional generalized
Burgers and Korteweg–de Vries equations. Journal of mathematical analysis and appli-
cations, 393(2): 341-347.
Shen, Y.J., Gao, Y.T., Yu, X., Meng, G.Q., Qin, Y. 2014. Bell-polynomial approach app-
lied to the seventh-order Sawada–Kotera–Ito equation. Applied Mathematics and Compu-
tation, 227: 502-508.
Su, J., Xu, G. 2016. New Exact Solutions for the (3+1)-Dimensional Generalized BKP
Equation. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2016: 1-9.
Singh, M., Gupta, R.K. 2016a. Bäcklund transformations, Lax system, conservation
laws and multisoliton solutions for Jimbo–Miwa equation with Bell-polynomials. Com-
munications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 37: 362-373.
Singh, M., Gupta, R.K. 2016b. Exact solutions for nonlinear evolution equations using
novel test function. Nonlinear Dynamics, 86(2): 1171-1182.
123
Shi, Y.B., Zhang, Y. 2017. Rogue waves of a (3+ 1)-dimensional nonlinear evolution
equation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 44: 120-129.
Sharma, A., Arora, R. 2017. Solutions of Fisher-Type, Cubic-Boussinesq and 7th-Order
Caudrey–Dodd–Gibbon Equations by MVIM. International Journal of Applied and Com-
putational Mathematics, 3(4): 3857-3875.
Tang, Y., Ma, W.X., Xu, W. Gao, L. 2011. Wronskian determinant solutions of the (3+
1)-dimensional Jimbo–Miwa equation. Applied Mathematics and Computation, 217(21):
8722-8730.
Tang, Y., Tu, J., Ma, W.X. 2012. Two new Wronskian conditions for the (3+ 1)-dimension
al Jimbo–Miwa equation. Applied Mathematics and Computation, 218(20): 10050-10055.
Tang, Y., Su, P. 2012. Two Different Classes of Wronskian Conditions to a (3 + 1)-
Dimensional Generalized Shallow Water Equation. ISRN Mathematical Analysis, 2012:
1-10.
Tchier, F., Yusuf, A., Aliyu, A.I., Baleanu, D. 2018. Time fractional third-order variant
Boussinesq system: Symmetry analysis, explicit solutions, conservation laws and nume-
rical approximations. The European Physical Journal Plus, 133(6): 240.
Whitham, G.B. 1974. Linear and nonlinear waves.
Wazwaz, A.M. 2007. The extended tanh method for new solitons solutions for many
forms of the fifth-order KdV equations. Applied Mathematics and Computation, 184(2):
1002-1014.
Wazwaz, A.M. 2008. The Hirota’s direct method and the tanh–coth method for multiple-
soliton solutions of the Sawada–Kotera–Ito seventh-order equation. Applied Mathematics
and Computation, 199(1): 133-138.
Wazwaz, A.M. 2010. Integrable (2+ 1)-dimensional and (3+ 1)-dimensional breaking
soliton equations. Physica Scripta, 81(3): 1-9.
Wazwaz, A.M. 2011. Multiple soliton solutions for (2+ 1)-dimensional Sawada–Kotera
and Caudrey–Dodd–Gibbon equations. Mathematical Methods in the Applied Sciences,
34(13): 1580-1586.
Wang, G.W., Liu, X.Q., Zhang, Y.Y. 2013. Lie symmetry analysis to the time fractional
generalized fifth-order KdV equation. Communications in Nonlinear Science and Nume-
rical Simulation, 18(9): 2321-2326.
Wang, G.W., Xu, T. Z. 2014. Invariant analysis and exact solutions of nonlinear time frac-
tional Sharma–Tasso–Olver equation by Lie group analysis. Nonlinear Dynamics, 76(1):
571-580.
Wazwaz, A.M. 2015. New (3+ 1)-dimensional nonlinear evolution equations with mKdV
equation constituting its main part: multiple soliton solutions. Chaos, Solitons & Fractals,
76: 93-97.
Wazwaz, A.M. 2016. The simplified Hirota’s method for studying three extended higher-
order KdV-type equations. Journal of Ocean Engineering and Science, 1(3): 181-185.
Yaşar, E., Yıldırım, Y., Khalique, C.M. 2016. Lie symmetry analysis, conservation laws
and exact solutions of the seventh-order time fractional Sawada–Kotera–Ito equation. Re-
sults in physics, 6: 322-328.
Yang, J.Y., Ma, W.X. 2016. Lump solutions to the BKP equation by symbolic computa-
tion. International Journal of Modern Physics B, 30(28n29): 1-8.
Yang, J.Y., Ma, W.X. 2017. Abundant lump-type solutions of the Jimbo–Miwa equation
in (3+ 1)-dimensions. Computers & Mathematics with Applications, 73(2): 220-225.
124
Yildirim, Y., Yasar, E., Adem, A.R. 2017. A multiple exp-function method for the three
model equations of shallow water waves. Nonlinear Dynamics, 89(3): 2291-2297.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2017a. An extended Korteweg–de Vries equation: multi-soliton
solutions and conservation laws. Nonlinear Dynamics, 90(3): 1571-1579.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2017b. Multiple exp-function method for soliton solutions of
nonlinear evolution equations. Chinese Physics B, 26(7): 1-10.
Yıldırım, Y., Yasar, E. 2017c. Wronskian solutions of (2+ 1) dimensional non-local ito
equation. Communications Series A1 Mathematics & Statistics, 67(2): 1-9.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2018. A (2+ 1)-dimensional breaking soliton equation: Solutions
and conservation laws. Chaos, Solitons & Fractals, 107: 146-155.
Yusuf, A., Aliyu, A.I., Baleanu, D. 2018a. Lie symmetry analysis and explicit soluti-
ons for the time fractional generalized Burgers–Huxley equation. Optical and Quantum
Electronics, 50(2): 94-100.
Yusuf, A., Aliyu, A.I., Baleanu, D. 2018b. Time-fractional Cahn–Allen and time-fraction
al Klein–Gordon equations: Lie symmetry analysis, explicit solutions and convergence
analysis. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 493: 94-106.
Yusuf, A., Aliyu, A.I., Baleanu, D. 2018c. Lie symmetry analysis, explicit solutions and
conservation laws for the space–time fractional nonlinear evolution equations. Physica A:
Statistical Mechanics and its Applications, 496: 371-383.
Zabusky, N.J., Kruskal, M.D. 1965. Interaction of solitons in a collisionless plasma and
the recurrence of initial states. Physical review letters, 15(6): 240-245.
Zhaqilao. 2013. Rogue waves and rational solutions of a (3+ 1)-dimensional nonlinear
evolution equation. Physics Letters A, 377(42): 3021-3026.
Zhang, H., Ma, W.X. 2014. Extended transformed rational function method and applica-
tions to complexiton solutions. Applied Mathematics and Computation, 230: 509-515.
Zayed, E.M., Al-Nowehy, A.G. 2015. The multiple exp-function method and the linear
superposition principle for solving the (2+ 1)-dimensional Calogero–Bogoyavlenskii–
Schiff equation. Zeitschrift für Naturforschung A, 70(9): 775-779.
Zhang, Y., Xiang, W. 2015. Wronskian and Grammian Solutions to the (3+ 1)-Dimension
al BKP Equation. In International Mathematical Forum,10(5): 237-246.
Zhang, Y., Dong, H., Zhang, X., Yang, H. 2017. Rational solutions and lump solutions
to the generalized (3+ 1)-dimensional Shallow Water-like equation. Computers & Mathe-
matics with Applications, 73(2): 246-252.
Zhang, H.Q., Ma, W.X. 2017. Resonant multiple wave solutions for a (3+ 1)-dimensional
nonlinear evolution equation by linear superposition principle. Computers & Mathematics
with Applications, 73(10): 2339-2343.
125
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Yakup YILDIRIM
Doğum Yeri ve Tarihi : ŞANLIURFA 01.01.1990
Yabancı Dili : İNGİLİZCE
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Bursa Cumhuriyet Lisesi (2007)
Lisans : Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü (2011)
Yüksek Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (2015)
Doktora : Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (Eylül 2015-Mayıs 2019)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl :
İletişim : yakupyildirim110@gmail.com
Yayınları :
Yaşar, E., Yıldırım, Y., Khalique, C.M. 2016. Lie symmetry analysis, conservation laws
and exact solutions of the seventh-order time fractional Sawada–Kotera–Ito equation. Re-
sults in physics, 6: 322-328.
Yildirim, Y., Yasar, E., Adem, A.R. 2017. A multiple exp-function method for the three
model equations of shallow water waves. Nonlinear Dynamics, 89(3): 2291-2297.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2017. An extended Korteweg–de Vries equation: multi-soliton
solutions and conservation laws. Nonlinear Dynamics, 90(3): 1571-1579.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2017. Multiple exp-function method for soliton solutions of non-
linear evolution equations. Chinese Physics B, 26(7): 1-10.
Yıldırım, Y., Yasar, E. 2017. Wronskian solutions of (2+ 1) dimensional non-local ito
equation. Communications Series A1 Mathematics & Statistics, 67(2): 1-9.
Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2018. A (2+ 1)-dimensional breaking soliton equation: Solutions
and conservation laws. Chaos, Solitons & Fractals, 107: 146-155.
Adem, A.R., Yildirim, Y., Yaşar E. 2019. Complexiton solutions and soliton solutions:
(2+1)-dimensional Date–Jimbo–Kashiwara–Miwa equation. Pramana - Journal of Phy-
sics, 92(3): 36.
Adem, A.R., Yildirim, Y., Yaşar E. 2019. Soliton solutions to the non-local Boussinesq
equation by multiple exp-function scheme and extended Kudryashov’s approach. Pra-
mana - Journal of Physics, 92(2): 24.
Yaşar, E., Yıldırım, Y., Adem, A.R. 2018. Perturbed optical solitons with spatio-temporal
dispersion in (2+1)-dimensions by extended Kudryashov method. Optik, 158: 1-14.
Yıldırım, Y., Çelik, N., Yaşar, E. 2017. Nonlinear Schrödinger equations with spatio-
temporal dispersion in Kerr, parabolic, power and dual power law media: A novel exten-
ded Kudryashov’s algorithm and soliton solutions. Results in Physics, 7: 3116-3123.
126
Yaşar, E., Yıldırım, Y., Yaşar, E. 2018. New optical solitons of space-time conformable
fractional perturbed Gerdjikov-Ivanov equation by sine-Gordon equation method. Results
in Physics, 9: 1666-1672.
Yaşar, E., Yildirim, Y., Giresunlu, I.B. 2016. First integrals and analytical solutions
of the nonlinear fin problem with temperature-dependent thermal conductivity and heat
transfer coefficient. Pramana - Journal of Physics, 87(2): 18.
Yasar, E., Yıldırım, Y. 2015. A procedure on the first integrals of second-order nonlinear
ordinary differential equations. The European Physical Journal Plus, 130(12): 240.
Yaşar, E., Yıldırım, Y. 2018. On the Lie symmetry analysis and traveling wave soluti-
ons of time fractional fifth-order modified Sawada-Kotera equation. Karaelmas Fen ve
Mühendislik Dergisi, 8(2): 411-416.
Yasar, E., Yildirim, Y. 2017. Symmetries and conservation laws of evolution equations
via multiplier and nonlocal conservation methods. New Trends in Mathematical Sciences,
5(1): 128-136.
127