KONSOL KİRİŞİN BURULMA İLE EĞİLME ALTINDA MEKANİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Hüseyin VATANSEVER T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONSOL KİRİŞİN BURULMA İLE EĞİLME ALTINDA MEKANİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Hüseyin VATANSEVER ORCID: 0000-0002-5604-0656 Doç. Dr. Murat Reis (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2021 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Hüseyin VATANSEVER tarafından hazırlanan “KONSOL KİRİŞİN BURULMA İLE EĞİLME ALTINDA MEKANİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Doç. Dr. Murat REİS 0000-0001-5853-488X Başkan : Doç. Dr. Murat REİS İmza Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Elif ERZAN TOPÇU İmza 0000-0002-6115-3110 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Dr. Öğr. Üyesi Nurettin Gökhan ADAR İmza 0000-0001-6888-5755 Bursa Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi, Mekatronik Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Enstitü Müdürü ../../…. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;  tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,  görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,  başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,  atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,  kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,  ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 15/08/2021 Hüseyin VATANSEVER ÖZET Yüksek Lisans Tezi KONSOL KİRİŞİN BURULMA İLE EĞİLME ALTINDA MEKANİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Hüseyin VATANSEVER Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Murat REİS Mekanik analiz çalışmaları, tasarlanan parçaların mekanik özelliklerinin daha iyi anlaşılmasını sağlayarak, ilgili parçaların verimliliklerinin artmasını sağlamaktadır. Mekaniğin en önemli konularından biri ise bileşik gerilme altındaki parçaların mekanik davranışlarının anlaşılması ve incelenmesidir. Bileşik gerilmelerin incelenmesi için süperpozisyon yöntemi tercih edilmektedir; fakat süperpozisyon yöntemi bileşik gerilmelerin birbirleri üzerindeki etkilerini göz ardı etmektedir. Bu etkilerin daha iyi anlaşılması için bu çalışmada burulma ile eğilme etkisi altındaki dikdörtgen bir kesitin mekanik davranışı incelenerek, analitik çözüm için temel denklemler oluşturulmuştur. Bileşik gerilmenin birbiri üzerindeki etkilerinin gösterimi için sertlik mekanik özelliği seçilmiştir. Sertlik değeri üzerinde çalışma yapmak için basitleştirilmiş bir eyleyici modeli kullanılmıştır. Bu model, kirişleri tutan bir diskten, kirişlerden ve moment kolundan oluşmaktadır. Eyleyicinin içerisinde bulunan dört konsol kirişin uzunluklarının ve konumlarının değişmesinin sertlik üzerindeki etkilerinin analitik, deneysel ve sonlu elemanlar yöntemi ile analizleri yapılmıştır. Farklı analiz yöntemleri kullanılarak sonuçların tutarlılıklarının karşılaştırılması ve ileriki çalışmalara rehberlik etmesi amaçlanmıştır. Farklı uzunluk değerlerine sahip kirişler üzerinde analizler yapılmıştır. Ayrıca kirişlerin merkeze olan değişik uzaklıkları için sertlik değerleri hesaplanmıştır. Yapılan analizlere göre kirişlerin uzunluklarının artmasıyla sertlik değerinin düştüğü ortaya konulmuştur. Sonuçlara göre kirişlerin konumlarının merkez noktadan uzaklaşması ile sertlik değerlerinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır. Analitik yöntemin, özellikle kısa uzunluklardaki kirişlerin analizlerinde, deneysel sonuçlardan farklı sonuçlar verdiği görülmüştür. Euler-Bernoulli kiriş teorisinin uzun ince kirişlerde daha doğru sonuçlar verdiği fark edilmiştir. Kirişlerin burulma sertliğinin, kirişlerin konumundan etkilenmediği ortaya konulmuştur. Anahtar Kelimeler: Mekanik analiz, sonlu elemanlar analizi, sertliği değiştirilebilir eyleyici, konsol kiriş, eğilme, burulma, sertlik 2021, vii + 46 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis MECHANICAL ANALYSIS of BENDING with TORSION for CANTILEVER BEAM Huseyin VATANSEVER Bursa Uludag University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mechanical Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Murat REIS Mechanical analysis studies provide a better understanding of the mechanical properties of the designed parts and increase the productivity of the relevant parts. One of the most important subjects of mechanics is understanding and examining the mechanical behavior of parts under combined stress. The superposition method is preferred for the examination of the combined stresses however the superposition method ignores the effects of the combined stresses on each other. In order to better understanding these effects, in this study, the mechanical behavior of a rectangular section under the effect of torsion and bending have been examined, and basic equations for analytical solution have been established. The mechanical property of stiffness was selected to demonstrate that the combined stress has effects on each other. A simplified actuator model was used to study the stiffness value. This model consists of a disc holding beams, beams and moment arm. The effects of changing the length and position of the four cantilever beams inside the actuator on the stiffness were analyzed using analytical, experimental and finite element methods. It was aimed to compare the consistency of the results by using different analysis methods and to guide further studies. Analyzes were made on beams with different length values. In addition, stiffness values were calculated for the different distances of the beams from the center. According to the analysis, it has been revealed that the stiffness value decreases with the increase in the length of the beams. According to the analysis, decreasing the stiffness value with the increasing in the length of the beams was revealed. The results show that the stiffness values increase with the distance of the beams' positions from the center point. Giving different results of the analytical method from the experimental results has been observed, especially in the analysis of beams of short lengths. It has been noticed that the Euler-Bernoulli beam theory gives more accurate results in long thin beams. It has been shown that the torsional stiffness of the beams is not affected by the position of the beams. Key words: Mechanical analysis, combined stress, finite element analysis, cantilever beam, bending, torsion, stiffness 2021, vii + 46 pages. ii ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR Ankastre kirişlerin yük altında mekanik davranışlarının incelenmesi makine tasarımında olumlu katkı sağlayabilecek bir konu olarak güncelliğini korumaktadır. Bu çalışmada birçok uygulamada kullanılan ankastre kirişlerin mekanik davranışları teorik ve sayısal olarak bilgisayar yardımıyla incelenmiştir. Yüksek lisans eğitimim ve tez sürecim boyunca danışmanlığımı yapan Doç. Dr. Murat REİS’e, tez sürecim boyunca desteğini esirgemeyen Merve SEYYİTOĞLU’na ve tüm eğitim hayatım boyunca yanımda olan, beni cesaretlendiren ve güç veren canım aileme teşekkürlerimi sunuyorum. Hüseyin VATANSEVER 27/09/2021 iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET............ ..................................................................................................................... i ABSTRACT. ..................................................................................................................... ii ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR .................................................................................................. iii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ....................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................... vi ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................... vii 1. GİRİŞ....... ..................................................................................................................... 1 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI ....................................... 3 2.1. Kirişler ....................................................................................................................... 3 2.2. Burulma ...................................................................................................................... 6 2.3. Eğilme ........................................................................................................................ 9 2.3.1. Çift katlı integrasyon metodu ................................................................................ 11 2.3.2. Süperpozisyon metodu .......................................................................................... 11 2.3.3. Moment-alan yöntemi ........................................................................................... 12 2.4. Burulma ile Eğilmenin Bileşik Gerilmesi ................................................................ 12 2.5. Burulma ile Eğilme Bileşik Gerilmesinin Karşılaşıldığı Uygulama Alanları .......... 14 3. MATERYAL ve YÖNTEM ........................................................................................ 20 3.1. Analitik Yöntem ....................................................................................................... 20 3.1.1. Basit analitik hesap ............................................................................................... 25 3.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi ........................................................................................ 28 3.3. Deneysel Yöntem ..................................................................................................... 32 4. BULGULAR ............................................................................................................... 34 5. SONUÇ ve TARTIŞMA ............................................................................................. 41 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 43 ÖZGEÇMİŞ. ................................................................................................................... 46 iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝑎 Dikdörtgen kesitin kısa kenarı 𝑏 Dikdörtgen kesitin uzun kenarı 𝐸 Elastik modülü 𝐺 Kayma modülü ℎ1 Dikey dikdörtgen kesitin uzun kenar yüksekliği ℎ2 Dikey dikdörtgen kesitin kısa kenar yüksekliği ℎ3 Yatay dikdörtgen kesitin uzun kenar yüksekliği ℎ4 Yatay dikdörtgen kesitin kısa kenar yüksekliği 𝐼 Atalet momenti 𝐼𝜃 Dönme açısına bağlı atalet momenti 𝑘𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 Burulma sertliği 𝑘𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 Eğilme sertliği 𝑘𝜃 Toplam sertlik 𝐿 Kiriş boyu 𝑅 Kirişlerin bulunduğu çemberin yarıçapı 𝑇 Moment 𝑇𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 Burulma momenti 𝑇𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 Eğilme momenti 𝑦 Y Tarafsız ekseninde olan uzaklık 𝑦𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 Kirişin herhangi bir uzunluğundaki burulma sehimi 𝑦𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 Kirişin herhangi bir uzunluğundaki eğilme sehimi 𝑥 X Tarafsız ekseninde olan uzaklık 𝛽 𝑎/𝑏 oranına bağlı bir katsayı 𝛿 Sehim 𝛿𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 Maksimum eğilme sehimi 𝛿𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 Maksimum burulma sehimi 𝜃 Dönme açısı 𝜃(𝑦) Y’ye bağlı dönme açısı Kısaltmalar Açıklama GPa Gigapascal m Metre mm Milimetre N Newton rad Radyan v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1. Statik ve hiperstatik kiriş örnekleri ................................................................... 5 Şekil 2.2. Kirişlere uygulanan yük türleri ......................................................................... 6 Şekil 2.3. Dikdörtgen kesitin burulmasının şematik gösterimi ......................................... 6 Şekil 2.4. Dairesel kesitin ve dikdörtgen kesitin burulmasında çarpılmanın şematik gösterimi ............................................................................................................................ 8 Şekil 2.5. Konsol kirişte eğilmenin şematik gösterimi ..................................................... 9 Şekil 2.6. Kiriş elemanına etki eden eğilme momentlerinin dağılımı ............................. 10 Şekil 2.7. Burulma ile eğilme bileşik gerilmesi .............................................................. 13 Şekil 2.8. Seri elastik eyleyici şematik görünümü .......................................................... 16 Şekil 2.9. Antagonisttik etkileşim ile düzenlenen eyleyici şematik görünümü .............. 16 Şekil 2.10. Farklı antagonisttik tasarım prototipi ............................................................ 17 Şekil 2.11. “Jack Spring” konsept şematik görüntüsü .................................................... 17 Şekil 2.12. MACCEPA tasarımının şematik gösterimi ................................................... 18 Şekil 2.13. VS-Joint mekanizması gösterimi .................................................................. 18 Şekil 2.14. AwAS-I şematik gösterimi ........................................................................... 19 Şekil 2.15. AwAS-II şematik gösterimi .......................................................................... 19 Şekil 3.1. Elastik kavrama tasarımı ................................................................................. 20 Şekil 3.2 Dikey konumdaki dikdörtgen kesit .................................................................. 20 Şekil 3.3. Yatay konumdaki dikdörtgen kesit ................................................................. 22 Şekil 3.4. Dikdörtgen kesitin şematik olarak dikey konumdan yatay konuma geçişi ..... 24 Şekil 3.5. Dikdörtgen kesitin burulma açısına bağlı atalet momenti grafiği ................... 25 Şekil 3.6. Burulma açısı ve sehim ilişkisi şematik gösterimi .......................................... 26 Şekil 3.7. Kirişin sembolik gösterimi .............................................................................. 26 Şekil 3.8. Eğilmenin şematik gösterimi .......................................................................... 27 Şekil 3.9. Kirişleri tutucu disk tasarımı ........................................................................... 29 Şekil 3.10. Moment kolu tasarımı ................................................................................... 29 Şekil 3.11. Basitleştirilmiş eyleyici tasarımının montaj hali........................................... 30 Şekil 3.12. Sonlu elemanlar yönteminde kullanılan malzeme özellikleri ....................... 30 Şekil 3.13. Basitleştirilmiş eyleyici tasarımının ANSYS programında sabitlenme ve kuvvet uygulanma noktasının gösterimi ......................................................................... 31 Şekil 3.14. Basitleştirilmiş eyleyicinin mesh işlemi ....................................................... 31 Şekil 3.15. Basitleştirilmiş eyleyicinin deneysel çalışma için hazırlanmış parçaları ...... 33 Şekil 3.16. Deneysel çalışma için montajı tamamlanmış basitleştirilmiş eyleyici ......... 33 Şekil 4.1. R=5 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi ......... 34 Şekil 4.2. R=10 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi ....... 35 Şekil 4.3. R=15 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi ....... 35 Şekil 4.4. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma sertliğinin değişiminin analitik ve deneysel karşılaştırılması ........................................................................................... 37 Şekil 4.5. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma sertliğinin değişiminin analitik ve sonlu elemanlar analiz yöntemi ile karşılaştırılması .................................................. 37 Şekil 4.6. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma ve eğilme sertliğinin analitik yöntem ile elde edilen sonuçlarının karşılaştırılması ...................................................... 39 Şekil 4.7. Sabit uzunluğa sahip kirişlerin merkezden uzaklaşmasıyla sertlik değerlerinin analitik yöntem ile karşılaştırılması ................................................................................ 39 Şekil 4.8. Deneysel ve analitik yöntemlerle elde edilen kiriş uzunluğuna bağlı kirişlerin burulma miktarlarının karşılaştırılması ........................................................................... 40 vi ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 3.1. Orana bağlı β katsayısı ................................................................................ 27 Çizelge 3.2. Mesh işlemi sonucu elements ve nodes sayısı.............................................32 vii 1. GİRİŞ Makine mühendisliğinde tasarlanan parçaların hangi şartlar altında çalışacağının, hangi yüklere maruz kalacağının ve nasıl davranış göstereceğinin bilinmesi çok önemlidir. Uygulanan yüklerin bilinmesi durumunda, parçanın üzerinde oluşacak gerilmeler ve şekil değişimleri tahmin edilebilir ve hesaplamaları yapılabilir. Mekanik bilimi tasarlanan parçalar üzerine uygulanan kuvvetlerin, parçada yaratacağı şekil değişimlerini ve gerilimleri incelemektedir. Mekanik analiz çalışmaları, tasarlanan parçaların mekanik özelliklerinin daha iyi anlaşılmasını sağlayarak verimliliklerinin artmasında büyük rol oynamaktadır. Uygulanan kuvvetler tasarlanan parçalarda çeki, bası, burulma, eğilme ve burkulma gibi gerilmelere tek tek sebebiyet verebileceği gibi parça üzerinde bu gerilmeler aynı anda birden fazla şekilde de görülebilir. Parça üzerine birden fazla çeşitte gerilme olması durumunda mekanik biliminin en önemli konularından biri olan bileşik gerilmeler meydana gelir. Meydana gelen bu bileşik gerilmeler, birbirlerini etkilemektedirler. Birbirleri üzerinde etkiye sahip bileşik gerilmeler çözülmesi zor problemlerin ortaya çıkmasına sebebiyet vermektedir. Bu zor ve karmaşık problemlerin çözümünün yapılabilmesi basitleştirme ihtiyacını gerektirmiştir. Bu ihtiyacın sonucu olarak gerilmelerin ayrı ayrı incelenmesine olanak sağlayan bir yöntem olarak süperpozisyon yöntemi geliştirilmiştir. Süperpozisyon yöntemi bileşik gerilmeleri oluşturan gerilmelerin birbirleri üzerindeki etkilerini göz ardı etmektedir. Burulma ile eğilme altında kalan dikdörtgen kesitli bir kirişte bileşik gerilmenin birbirleri üzerinde etkileri bulunmaktadır ve bu etkiler tam anlamıyla çözüme ulaştırılamamıştır. Özellikle dikdörtgen kesitin burulma gerilmesi sonucunda oluşan şekil değişikliğiyle kesitin atalet moment değeri değişmektedir. Değişen atalet momenti, eğilme gerilmesi üzerinde ciddi etkiler bulundurmaktadır. Konunun zorluğundan ötürü burulma ile eğilme durumunun birlikte incelendiği çok az çalışma vardır. Bu çalışmayla burulma ile eğilmenin birbiri üzerindeki etkilerinin incelenmesi ve analitik yöntem ile birlikte çözümünün sağlanması amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda burulmanın atalet momenti üzerindeki etkisini gösteren analitik çözüm ortaya konmuştur. Bunun yanı sıra çalışmada bileşik gerilmenin birbiri üzerinde etkileri bulunduğunun gösterimi için sertlik mekanik özelliği seçilmiştir. Sertlik değeri üzerinde çalışma yapmak için burulma ile eğilme bileşik gerilmesine maruz kalan eyleyici elemanının basitleştirilmiş bir modeli kullanılmıştır. Eyleyicinin içerisinde 1 bulunan konsol kirişlerin analitik, deneysel ve sonlu elemanlar yöntemiyle analizleri yapılarak, sertlik değerleri elde edilmiş ve sonuçlar arasındaki farklar ortaya konulmuştur. Sertlik değeri üzerinden burulma ile eğilmenin bileşik gerilme durumunun birbirini etkilediği gösterilmiştir. Gerçek durumdaki değişen parametreler de göz önünde bulundurularak üç farklı yöntem kullanılarak elde edilen sonuçların tutarlılığının karşılaştırılması ve değerlendirilmesi amaçlanmıştır. Bu çalışmada edinilen bilgilerin gelecekteki çalışmalara rehberlik etmesi hedeflenmiştir. 2 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI Mühendislik yapılarında, yapıyı oluşturan elemanların uygulanan yük altındaki davranışlarının bilinmesi önemlidir. Aynı zamanda yapıdaki elemanları etkileyen yük ve momentleri karşılayabilecek değerlere sahip fiziksel boyut değerlerinin belirlenmesi gereklidir. Etki eden yük ve momentlerin belirlenmiş boyutlar üzerindeki etkilerini hesaplamak mukavemet bilim dalının konusudur. Mukavemet bilimi bunun dışında şekil değiştirebilen cisimlere etki eden dış yükler altındaki elemanların davranışlarını, biçim değiştirmelerini ve dayanımlarını inceler (Sayman, Karakuzu ve Aktaş, 2014). Mühendislik problemlerinin çözümünde öncelikli olarak amaç problemin matematiksel modelinin doğru olarak oluşturulmasıdır. Bazı durumlarda bu matematiksel modeli oluşturmak çözümü gerçekleştirmekten daha zor olabilmektedir (Yayla, 2010). Mühendislik problemlerinin çözümü sırasında mukavemet biliminin en önemli amaçları yapıyı oluşturan elemanların boyutlarını belirlemek ve belirlenen boyutlar altında davranışlarının bilinmesini sağlamaktır. Boyutlandırma işlemi, tek tek makine ve yapı elemanları için veya gerekli ise onların birleşmesinden oluşan sistemlerin, kendilerinden istenen işlevi en iyi biçimde yerine getirebilmelerini sağlamak için boyutlarının geometrik olarak hesaplanmasıdır. Boyutlandırma işlemi, yapı veya sistem davranışlarının tehlikesiz, kusursuz ve ekonomik olarak çalışabilmelerini sağlamak amacıyla gerçekleştirilir. Aynı zamanda boyutlandırma işlemi, mukavemette ele alınan elemanların ve sistemlerin üzerinde oluşan veya oluşabilecek her türlü yük altında hasara uğramamasını ve bunun yanı sıra belirlenen limitler içerisinde uzamaya, kısalmaya, eğilmeye, burulmaya ve burkulmaya dayanabilmeleri için boyutlarının en, boy, kalınlık, kesit alanı, çap vs. ne olması gerektiğinin hesaplanmasıdır (Sayman ve diğerleri, 2014). 2.1. Kirişler Mühendislik yapıları düzgün şekilli olup, sahip oldukları geometrilerine ve taşıdıkları yüklere göre farklı şekillerde tanımlanan mühendislik elemanlarından oluşurlar. Bu elemanların isimlendirilmesi sahip oldukları geometrilere ve taşıdıkları yüklerin esasına 3 dayanmaktadır. Mühendislikte bu elemanların en önemlilerinden biri, genellikle yatay olarak destek verilen ve düşey olan yükleri taşımayı sağlayan kirişlerdir. Kiriş en basit şekle sahip olan yükleme elemanlarından biridir. Kiriş dendiğinde genellikle aklımıza binaların tabanını ve tavanını oluşturan, onları bir arada tutan ve yatay olarak konumlandırılmış, genellikle dikdörtgen kesitli yapı elemanları gelmektedir. Kiriş elemanları, taşıdıkları yüklere ve yükleme durumlarına bağlı olarak değişik kesitlere sahip olabilmektedirler. Binalardaki kiriş elemanları uygulamadaki en belirgin örneklerdendir. Fakat bunların yanına ek olarak mühendislik sistemlerinde kirişlerin birçok farklı uygulamasından örnek vermek mümkündür. Mesela, endüstriyel tesislerdeki gaz veya sıvı iletiminde kullanılan yatay borular da kiriş olarak değerlendirilebilir. Uçak kanatları ve su içinde yüzen bir sandal bile bir kiriş olarak algılanabilmektedir. Kirişler, aynı zamanda eğilme kuvvetine karşı kullanılan en önemli elemanlardandır. Bu elemanlar genellikle uzun olup eksenlerine dik doğrultuda gelen yükleri ve kuvvetleri taşımak için kullanılırlar. Bunun dışında, kendilerini eğmeye çalışan moment kuvvetlerini de taşımaktadırlar. Ayrıca kirişlerin eksenleri doğrultusunda kirişleri kısaltmaya veya uzatmaya çalışan yüklerin taşınması için de kullanılabilmektedirler. Bazı zamanlarda kirişler döndürme momentlerine de maruz kalabilmektedirler. Bu sebepten kirişlerin yükleme altındaki davranışları, mukavemetin önem verilen bir konusudur. Mühendislik yapıları çok fazla sayıda ve türde kiriş bulundurabilir. Kirişler birkaç şekilde sınıflara ayrılabilirler. Şekil 2.1’de gösterildiği gibi statikçe belirli ve statikçe belirsiz (hiperstatik) kirişler şeklinde sınıflara ayrılabilirler. Kirişe etki eden tüm dış reaksiyon kuvvetleri ve momentleri sadece statik denge denklemleri ile hesaplanabiliyorsa buna statikçe belirli kirişler denir. Kirişe etki eden reaksiyon kuvvetlerinden en az biri sadece denge denklemlerinde bulunamıyorsa bu tür kirişler de statikçe belirsiz veya hiperstatik kirişler olarak adlandırılır (Yayla, 2010). Kirişleri sahip oldukları bağlantı şekillerine göre de sınıflandırmak mümkündür. Statik kararlı olan kirişlerden basit mesnetli kirişte reaksiyon kuvvetleri kirişin uç kısımlarında meydana gelir. Ankastre kirişlerde ise dönmeyi engellemek için kirişin bir ucu 4 sabitlenmiş durumdadır. Çıkmalı kirişin bir veya iki ucu mesnetten dışarıya çıkmış olarak bulunur. Hiperstatik bir kiriş olan sürekli kiriş ise, üç veya daha fazla noktadan mesnetlenmiş kiriştir. Destekli ve iki uçtan ankastre kirişler de hiperstatik kirişlerin birer türü olarak tanımlanırlar. Şekil 2.1. Statik ve hiperstatik kiriş örnekleri (Yayla, 2010) Kiriş elemana etki edebilecek olan dört çeşit temel yük türü bulunmaktadır. Şekil 2.2’de gösterildiği gibi bunlar; noktasal olarak etki eden tekil yük, düzgün yayılı yük, düzgün olmayan yayılı yük ve moment yüklemedir. Bir kiriş bu çeşit yükleme durumlarından birine maruz kalabileceği gibi yükleme bunların birden fazlası şeklinde de gerçekleşebilir. Yapıların iskeletini oluşturmakta olan kirişler, hem mukavemet hem de sınırlı şekil değişimi temel alınarak tasarlanmalıdır. Yükleme sonucunda kirişlere dışarıdan etki eden yükler ve momentler kirişlerin içerisinde kuvvetlere ve momentlere dönüşürler. Oluşan iç kuvvetler ve momentler kiriş ekseni boyunca değişir ve bu değişimin bilinmesi mukavemet hesapları için oldukça önemlidir. Oluşan kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri de göz önünde bulundurularak kirişin maruz kalacağı deformasyon miktarı, gerilme değerleri hesaplanmalı ve davranışı öngörülmelidir (Yayla, 2010). 5 Şekil 2.2. Kirişlere uygulanan yük türleri (Yayla, 2010) 2.2. Burulma Mühendislikte çok yaygın olarak karşılaşılabilen şekil değişim türlerinden biri burulmadır. İçi boş ya da dolu bir kesit, kendi ekseni boyunca burulma etkisine maruz kaldığında şekil değişimine uğrayabilir. Şekil 2.3’te burulmaya uğramış dikdörtgen kesitli kiriş görülmektedir. Yüksek burulma zorlanmasına maruz kalan birçok makine elemanı bulunmaktadır. Bu tür yüklemelere, özellikle makinelerde ve transport sistemlerinde kullanılmakta olan güç iletici elemanlar, dişli çarklar, kasnak milleri ve transmisyon millerinde karşılaşılmasının yanı sıra havacılıkta, yapı elemanlarında vb. kullanım alanlarında da rastlanılmaktadır (Yayla, 2010; Sayman ve diğerleri, 2014). Şekil 2.3. Dikdörtgen kesitin burulmasının şematik gösterimi (Francu, Novackova ve Janicek, 2012) 6 Millerin burulma durumunun analizlerini basitleştirmek için çeşitli kabuller ve gösterimler standartlaştırılmış durumdadır. Burulma zorlanmasına maruz kalan elemanlarda burulma momenti bilinir durumdayken bu yüklemeye dayanabilecek boyutun hesaplanması veya boyut bilinir durumdayken kesitin zarar görmeden taşıyabileceği burulma momentinin bulunması ise konunun temelini teşkil etmektedir (Yayla, 2010; Sayman ve diğerleri, 2014). Bir örnek vermek gerekirse mil, kiriş ya da çubuk iki uç tarafından karşı yönlere doğru uygulanan kuvvet çifti ile zorlanmaktaysa, kuvvet çiftlerinin meydana getirdiği momente dik olan kesitler burulmaya zorlanmış olur. Burulma gerilmesi dairesel kesitlerde lineer bir değişim gösterirken; değeri tarafsız bölgede sıfır, dış cidarlarda maksimum olmaktadır (Yıldız, 2015). Burulma analizinin tarihi çok eskidir ve elastik saf burulma problemine nihai bir sonuç Saint-Venant tarafından bulunmuştur. Elastik-plastik saf burulma problemi için ise ilk çözümü Nadai adlı bilim insanı bulmuştur. Plastik burulma momentini kum yığını analojisine temellendirerek hesaplamıştır. Nadai, çeşitli şekillerin içi boş ve tamamen dolu kesitlerine kendi analojisini uygulamıştır. Sadowsky, Nadai’nin analojisini delik bulunan kesitler için genişletmiştir. Elastik-plastik saf burulma probleminde, elastik ve plastik bölgenin sınırları, uygulanan momentin arttırılmasından dolayı değişkendir ve bu yüzden analitik çözüme erişmek zordur. Elastik-plastik burulma probleminin çözümü ilk olarak Sokolovsky tarafından önerilmiştir. Sokolovsky, elastik ve plastik bölgeler için bağımsız denklemler hazırlamıştır. Sokolovsky, Nadai’nin kum yığını analojisi ve membran analojisini birleştirerek yaklaşık bir çözüm geliştirmiştir. Elastik-plastik burulmanın, malzeme özellikleri içeren dikdörtgen kesitler için analitik çözümü, Smith ve Slidebottom tarafından Rayleigh-Ritz genleşme ve sabit tamamlayıcı enerji prensipleri ile geliştirilmiştir. H kesit durumunda, Christopherson şeklin kavislerinin etkisini içeren bir analitik çözüm sağlamıştır. Onat, artan gerilim dengesi denkleminden türetilen sayısal iterasyon yöntemiyle prizmatik bir çubuğun burulması problemini çözmüştür (Baba ve Kajita, 1982). 7 Şekil 2.4. Dairesel kesitin ve dikdörtgen kesitin burulmasında çarpılmanın şematik gösterimi (Sayman ve diğerleri, 2014) Günümüze gelene kadar elastik-plastik saf burulmanın sayısal analizi pek çok araştırmacı tarafından araştırılmıştır. Dairesel kesitlerdeki çubukların burulma problemi Coulomb’un yapmış olduğu kabul ile çözülebilmektedir. Coulomb’un yaptığı kabule göre düzlem kesitler burulma sonrasında yine düzlem kalmaktadır. Dairesel olmayan millerin burulması için gerilmelerin ve sapmaların belirlenmesi oldukça karmaşık denklemleri içerir. Dairesel kesitler için geçerli olan varsayımlar burada geçerli değildir. Burulma altındaki dairesel olmayan miller için, mil eksenine dik olan düzlem kesitleri burulmadan sonra düzlem kalmaz ve çarpıklık denilen eksenel yönde deformasyon meydana gelir. Bunu ortaya koymak için dikdörtgen kesitli bir mil tasarlanmıştır. Bu mil üzerine çizgiler yardımıyla yüzeye kareler çizilirse ve burulma momenti uygulanırsa milin kesit yüzeylerinin düzlem kalmayıp çarpıldığı Şekil 2.4’teki gibi görülebilir. Dikdörtgen kesitteki gerilmenin dağılımı kiriş uzunluğu yönünde sabit değildir ve bu nedenle kesitin çarpılma fonksiyonu kirişin burulma analizinden önce elde edilmiş olmalıdır. Çarpılmaların neticesi olarak kesitte oluşan burulma gerilmelerinin incelenmesi karmaşık bir konudur (Sayman ve diğerleri, 2014; Chattopadhyay, 2015; Timoshenko ve Goodier, 1951; Baba ve Kajita, 1982). Çarpılma nedeniyle dikdörtgen kesitlerin burulması dairesel kesitli millerden oldukça farklıdır. Bu problemi Saint-Venant geliştirdiği yarı ters metodu ile çözmüştür. Böyle bir kesitte en büyük kayma gerilmesi, eksene en yakın bulunan yüzeyin ortasında meydana gelmektedir. Yani uzun kenarın ortasında olmaktadır. Dikdörtgen kesitin köşeleri milin merkezine en uzak noktalardır. Eğer sınır şartları kullanılırsa buralarda kayma gerilmelerinin sıfır olduğu görülür. Oysa dairesel kesitli millerde en büyük kayma 8 gerilmeleri eksene en uzak noktalarda meydana gelmektedir. Bu milin yüzeyinde eksene en yakın eleman alınırsa elemanın maksimum düzeyde çarpıldığı ve şekil olarak tabanı paralel kenar olan bir prizma oluşturduğu görülür. Diğer yandan milin köşesinden bir eleman alınırsa bu elemanın hiç çarpılmadığı Şekil 2.4’te olduğu gibi görülür. Buradan da bu noktada gerilme olmadığı kanısına deneysel olarak varılabilir (Sayman ve diğerleri, 2014). 2.3. Eğilme Eğilme, yüklü bir kiriş üzerindeki bir noktanın dikey yer değiştirmesi olarak tanımlanır. Eğilme kirişin orijinal tarafsız yüzeyinden deforme olmuş tarafsız yüzeyine ölçülür. Maksimum eğilme eğimin sıfır olduğu yerde meydana gelir (Omar ve De’nan, 2016). Şekil 2.5. Konsol kirişte eğilmenin şematik gösterimi (Omar ve De’nan, 2016) Eğilmeden kaynaklı ortaya çıkan gerilme gerilmesi de burulma gerilmesinde olduğu gibi mühendislikte büyük bir yer tutmaktadır. Makinedeki mil, aks gibi birçok parça eğilme kuvvetine maruz kalır. Bunun sonucu olarak elemanda veya milde eğilme gerilmesi oluşur. Makinelerde kullanılan ve eğilmeye maruz kalan mil, aks, kiriş gibi elemanların her noktasında eğilme momenti, kesme kuvvetleri ve sehim aynı olmamaktadır. İncelenmesi gerçekleştirilen elemanların boyutlandırılması için gerilmelerin maksimum olduğu kesitin bilinmesi gerekir. Kirişlerin tasarımı gerçekleştirilirken yalnız gerilmeler değil sehim miktarları da önemli bir yer tutmaktadır. Sehim, kirişin orijinal tarafsız yüzeyinden deforme olmuş tarafsız yüzeyi ile arasındaki mesafe değişimidir. Kirişte meydana gelen maksimum sehimin, 9 belirlenen değerin üzerinde olmaması istenmektedir. Bu durumlar göz önünde bulundurulursa kiriş tasarımı hem üzerindeki yükleri taşımalı hem de istenmeyecek miktarda sehim meydana gelmeyecek şekilde yapılmalıdır. Bu sebepten ötürü yük altında bulunan bir kirişin ne kadar şekil değiştirdiğinin hesap edilmesi oldukça önemlidir. Herhangi bir kirişin eğilme gerilmesine maruz kalması durumunda kirişte şekil değişimi ve sehim Şekil 2.5’te gösterildiği gibi oluşur (Yayla, 2010; Sayman ve diğerleri, 2014). Kirişlerde yük altında oluşan şekil değişimi kiriş elemanının malzemesinin rijitliğine, kiriş elemanının boyutlarına, kiriş elemanına uygulanan yüke ve kiriş elemanının desteklerine bağlıdır (Yayla, 2010). Uygulanan yük kuvvetinin etkisiyle oluşan sehim sonucunda kirişte tarafsız eksen boyunca meydana gelen elastik eğri olarak adlandırılan bir eğilme gerilmesi oluşmaktadır. Oluşan bu elastik eğri uygulanmakta olan yükü hasar meydana gelmeden taşıyabileceği gibi, şekil değişiminin artması neticesinde hasara sebebiyet de verebilmektedir (Korucu, Gök, Tümsek, Soy ve Gök, 2019). Şekil 2.6. Kiriş elemanına etki eden eğilme momentlerinin dağılımı (Korucu ve diğerleri, 2019) Aks, kiriş, mil gibi elemanlarda bulunabilen kesme kuvvetleri de eğilme momentleri oluşturabilmektedir; ancak kesme kuvvetinin oluşturduğu etki diğer kuvvetlerin etkisinin yanında oldukça küçük olduğundan genellikle ihmal edilebilmektedir. Eğilme momenti, tarafsız eksende sıfır olurken, eksenin üst ve alt yarısında eksene olan uzaklığıyla doğru orantılı olarak değişen çeki ve bası gerilmelerini meydana getirir. Bu durum Şekil 2.6’da şematik olarak gösterilmiştir (Yıldız, 2015; Sayman ve diğerleri, 2014). 10 Eğilme durumunda oluşan gerilme, eğim ve sehim hesaplarında kullanılan işlemlerde yer alan önemli bir büyüklük olarak atalet momenti karşımıza çıkmaktadır. Atalet momentine ikinci alan momenti de denmektedir, böyle denmesinin sebebi alanın verilen bir eksene göre dağılımıdır. SI birim sisteminde birim olarak m4 veya mm4 ile verilmektedir. Herhangi bir bileşik alana sahip kesitin atalet momenti; onu meydana getiren dikdörtgen, üçgen, daire vb. gibi kısımların atalet momentlerinin hepsinin toplamına eşittir. Alan içerisinde boşluklar mevcut ise boşluklar toplamdan çıkarılarak atalet momentinin değerinin hesaplanması gerçekleştirilir (Yayla, 2010). Yüklü bir kirişte kesitteki eğimi ve sehimi bulmak için birçok yöntem vardır. En sık kullanılan yöntemler aşağıda belirtilmiştir (Omar ve De’nan, 2016). 2.3.1. Çift katlı integrasyon metodu Elastik eğri denklemi eğilmeye uğrayan elemanın eğimi ve çökme miktarının herhangi bir mesafe ile değişiminin fonksiyonu olarak verilebilir. 𝑑2𝑦 (2.1) 𝐸𝐼 = −𝑀 𝑑𝑥2 Denklem 2.1 elastik eğrinin diferansiyel denklemidir. Elastik eğri denkleminin x’e göre farklı derecelerden diferansiyelleri alınarak kiriş ve elastik eğriye ait bazı fiziksel özellikler bulunur (Yayla, 2010). 2.3.2. Süperpozisyon metodu Süperpozisyon yönteminde karışık yükleme halindeki kirişler, basit yüklemeler halinde düşünülür ve tesirler üst üste eklenir. Bu prensibin uygulanabilmesi için oluşan şekil değişimlerinin küçük olması ve toplam şekil değişiminin elastik bölgede kalması gerekir (Yayla, 2010). 11 2.3.3. Moment-alan yöntemi Moment alan yöntemi eğilmeye maruz kalan kirişlerin sehim probleminin çözümünü sağlamak için kullanılan yarı grafiksel bir yöntemdir. Bu yöntemde eğilme momenti diyagramı çizildikten sonra bu diyagramda oluşan alanın miktarı ile bu alanın momentleri kullanılarak eğim ve sehim hesapları yapılır. Bu yöntem bilhassa eğim ve sehimin kiriş boyunca değil de sadece belli noktalarda istenmesi durumunda kullanılır. İlave olarak bu yöntem değişken kesitli kirişlerde ve tekil yükleme durumlarında yaygın olarak kullanılır (Yayla, 2010; Raj ve Ramasamy, 2012). Özetle, burulma ve eğilme üzerine ayrı ayrı birçok çalışma yapılmış fakat bileşik gerilme durumundaki burulma ile eğilmenin birbiri üzerindeki etkileri gelecek araştırmaların konuları olacaktır. 2.4. Burulma ile Eğilmenin Bileşik Gerilmesi Uygulamadaki elemanlar birçok durumda öyle bir şekilde yüklemeye maruz kalır ki kesit hem çekmeye (veya basmaya) hem de eğilmeye maruz kalır. (Sayman ve diğerleri, 2014). Bu yüzden bileşik yükleme şeklinde elemana uygulanan gerilme hali mukavemet problemlerinin çözülmesinde oldukça önemlidir. Birçok pratik uygulamada, Şekil 2.7’de de görüldüğü gibi yapı elemanları aynı zamanda eğilmeye ve burulmaya maruz kalabilmektedir. Özellikle makine elemanlarında moment iletiminde kullanılmakta olan dönen miller bu durumun en belirgin uygulaması olarak karşımıza çıkmaktadır. Malzemenin davranışının lineer elastik kalması koşuluyla bu ve benzer yükleme durumları süperpozisyon yöntemi uygulanarak incelenmektedir (Yayla, 2010). Süperpozisyon yönteminin uygulanabilmesi için bazı varsayımların yapılması gereklidir. Bunlar bileşik kuvvet uygulanan elemanın elastik davranması, uygulanan her bir kuvvet çeşidinde elemanın elastik davranması ve küçük deformasyon oluşmasıdır. Deformasyon büyüdükçe parçadaki iç gerilmeler büyüyecek ve göz ardı edilemeyecek boyutlara gelecektir. Bu sebeple süperpozisyon yöntemi, sadece şekil değişimlerinin küçük olduğu elastik problemlerde kullanılabilmektedir (Arwade, t.y; Assakkaf, 2003). Süperpozisyon yönteminin uygulanabilmesi için gerekli olan bir diğer teori de birinci mertebe teorisidir. 12 Bu teoride denge denklemlerinin şekil değiştirmemiş kiriş üzerine yazılabilmesi için yer ve şekil değiştirme miktarlarının kirişin boyutlarına göre küçük olması gerekmektedir. Sistemlerdeki şekil değiştirmelerin büyük olduğu durumlarda birinci mertebe teorisi uygun sonuçlar vermemektedir. Bu duruma örnek olarak asma köprüler gösterilebilir. Böyle durumlarda şekil değiştirmeler küçük kabul edilemez ve şekil değiştirmiş cisim üzerine denge denklemlerinin yazılması gerekir. Bu şekilde gerçekleştirilen hesaplamalara ikinci mertebe teorisi adı verilmektedir. Bu teoride şekil değiştirmeler ilk durumda bilinmediğinden hesaplamalar daha zor ve uzun olmaktadır (Reis, 2009). Şekil 2.7. Burulma ile eğilme bileşik gerilmesi Elastik kirişlerin elastik eğilmesi ve burulması için ayrı ayrı lineer teoriler farklı bilim insanlarının çalışmaları sonucunda iyi bir şekilde oluşturulmuş olsa da bu teorilerin lineer kombinasyonu, eğilme ve burulma hatalarının tahmini için yeterli değildir. Elemanda aynı anda eğilme ve burulma üreten yüklemenin varlığı, iki gerilme arasında bir dereceye kadar etkileşimin meydana geleceği anlamına gelir. Eğilme ile burulmanın birlikte uygulandığı durumda, burulmanın neden olduğu dönme açısı, eğilme momenti tarafından büyütülür. Bu durum da ek çarpılma momentlerine ve burulma kesme kuvvetlerine neden olur. Bu sebeple burulma deformasyonları boyunca hareket eden ana eksen momentlerine, eğilme etkileri tarafından üretilen ilave küçük eksen momentleri de katılmalıdır. Bunun yanı sıra akma ile ilişkili malzemenin lineerliği, kararlılığı ve sonlu deformasyonlarla ilişkili geometrik lineerliği de göz ardı edilmemelidir (Pi ve Trahair, 1994; Nethercot, Salter ve Malik 1989). 13 Litaratürde bileşik gerilme için çok az sayıda deneysel araştırma bulunmaktadır. Gill ve Boucher (1964) bileşik burulma ile eğilme etkisi altındaki kare ve dikdörtgen kesitler için deneysel çalışmalar gerçekleştirmiştir (Pi ve Trahair, 1994). Özetle yukarıdaki paragraflarda belirtildiği gibi kirişlerin burulma ve eğilme kombinasyonu mekaniğin temel problemlerinden biridir. Temel problemlerden biri olmasına rağmen literatürde bunu inceleyen sadece birkaç çalışma bulunmaktadır. Bunun sebebi olarak da pratikte yaygın bir sorun oluşturmaması gösterilebilir. Az sayıdaki çalışmalardan biri olarak Sinha’nın (2007) yapmış olduğu, serbest uçtan darbe yüküne maruz kalan konsol Timoshenko kirişinin birleşik burulma ve eğilme çalışması örnek gösterilebilir. 2.5. Burulma ile Eğilme Bileşik Gerilmesinin Karşılaşıldığı Uygulama Alanları Mühendislik tasarımlarında burulma ile eğilme durumunun bir arada görüldüğü bileşik gerilme haline maruz kalan bileşenlere sıklıkla rastlanılmaktadır. Bu bileşik gerilmeye en çok maruz kalan parçaların başında otomotiv sektöründe güç aktarımı için kullanılan şaft gibi elemanlar gelmektedir. Buna ek olarak bazı manivela türlerinde, yaylarda, bağlantı parçalarında ve güç aktarımı için kullanılan vidalarda da bu bileşik gerilmelerle karşılaşılmaktadır (Redford, 1966). Ayrıca yaprak ya da lamine yay olarak bilinen yaylarda da bu gerilme tipi görülebilmektedir. Bu yaylar özellikle kamyon ve vagon gibi yük ve insan taşıma araçlarında kullanılmaktadır. Yoldan kaynaklanan ve istenmeyen darbelerin emilmesi için kullanılan bu yaylar, simetrik olmayan yüklemeler sebebiyle, burulma ile eğilme bileşik gerilmesine maruz kalmaktadır (Raj ve Ramasamy, 2012). Bileşik gerilmelerin görüldüğü bir başka uygulama alanı da robotiktir. Teknolojinin de gelişmesiyle üretimde karşılaşılan problemleri çözmek, rutin veya tehlikeli işleri gerçekleştirmek için insanlar yerine robotlar geliştirilmiştir. Geliştirilen bu robotlar, hareketi eyleyicilerden almaktadır. Eyleyici, enerjiyi istenilen şekilde çeşitli çıktılara dönüştüren robotik sistemin bir parçasıdır (Yılmaz, 2019; Vanderborght ve diğerleri, 14 2013). Geleneksel olarak robotik yapılarda karşımıza çıkan sert eyleyiciler yüksek konum hassasiyeti sağladığı için özellikle tıp alanındaki robotlarda kullanılmaktadır. Fakat sert eyleyiciler hareket etme özelliğine sahip mobil robotlar için enerji tüketimini arttıran bir unsurdur. Bu tip eyleyiciye sahip mobil robotlar hareket esnasında dinamik ani yüklemelere maruz kalırlar. Bu durum mobil robotların hareketlerinin yavaş olmasına sebep olduğu gibi enerji verimliği açısından da oldukça verimsizdir (Reis, 2019). Bu dezavantajlardan ötürü sertliği değiştirilebilen eyleyiciler üretilmiştir. Sertliği değiştirilebilen eyleyicilerin geleneksel eyleyicilere göre önemli avantajları bulunmaktadır. Bu eyleyiciler esneklikleri sayesinde insanların sahip olduğu uzuvlarla benzerlik göstermektedirler. Biyolojik açıdan bakıldığında canlılar, hareket esnasında kas ve tendon yapılarının sertliğini aktif olarak değiştirebilirler. Bu tip eyleyiciler tasarımlarında bulundurdukları pasif elastik elemanlar sayesinde enerjinin depolanmasını ve bırakılmasını, çevre ile güvenli etkileşim kurulabilmesini ve anlık şoklar karşısında meydana gelen yüksek kuvvetlerin oluşturabileceği etkilerin minimize edilmesini sağlamaktadır (Alexander, 1990; Vanderborght ve diğerleri, 2013; Demiray, 2016; Reis, 2019). Sertliği değiştirilebilir eyleyicilerin bu avantajlarının farkedilmesiyle, birçok araştırma ortaya konmuş ve farklı tasarımlar geliştirilmiştir. Bu tasarımlardaki eyleyicilerin farklı sertlik kontrol yöntemlerine sahip olduğu görülmüştür. Eyleyicileri farklı sertlik kontrol yöntemlerine bağlı olarak sınıflandıran kişi olarak Van Ham ve arkadaşları (2009) verilebilir. Bu sınıflandırmanın güncellenmiş versiyonunu Vanderborght ve arkadaşları (2013) gerçekleştirmiştir. Bu sınıflandırmaya göre eyleyici çeşitlerinin ilki seri elastik eyleyici diye isimlendirilen eyleyicilerdir. Lineer yaydan ve bu yaya seri şekilde bağlanan hidrolik veya elektrik motorundan oluşan basit bir tasarıma sahiptir ve Şekil 2.8’de şematik hali görülmektedir. Bu tasarımda bulunan motor sayesinde yayların denge konumu düzenlenir ve böylece çıkış kuvvetinin ayarlanması sağlanır (Pratt ve Williamson, 1995). 15 Şekil 2.8. Seri elastik eyleyici şematik görünümü (Kızılhan, Başer, Kılıç ve Ulusoy, 2014) İkinci çeşit ise antagonisttik etkileşim ile düzenlenen eyleyicilerdir. İnsanların vücudunda bulunan kasların taklit edilmesiyle ortaya çıkan bir eyleyici türüdür. İki elektrik motoru ve lineer olmayan iki yaydan meydana gelen bir tasarımdır. Şekil 2.9’da şematik olarak tasarım görülmektedir. Motorların ve yayların karşılıklı bir şekilde yerleştirilmesiyle oluşturulmuşlardır. Eyleyicinin sertlik ve denge konumları motorların dönüş yönüne göre değişerek ayarlanmaktadır. Bu tür eyleyiciler üzerine birçok çalışma bulunmaktadır (Migliore, Brown ve DeWeert, 2005). Şekil 2.9. Antagonisttik etkileşim ile düzenlenen eyleyici şematik görünümü (Migliore ve diğerleri, 2005) Tonietti ve diğerleri (2005), antagonisttik etkileşim ile düzenlenen eyleyici türünde farklı bir tasarım gerçekleştirmiştir. Şekil 2.10’da görülen tasarım çapraz bir şekilde yerleştirilmiş yaylardan, kayıştan ve makaralardan oluşmaktadır. Bu eyleyici tasarımının avantajı hızlı bir şekilde sertliği değiştirebilmesidir. 16 Şekil 2.10. Farklı antagonisttik tasarım prototipi (Tonietti ve diğerleri, 2005) Yapısal değişiklik ile düzenlenen eyleyiciler, üçüncü çeşit olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu çeşit eyleyiciler, tasarımlarında bulundurdukları elastik elemanın sahip olduğu elastiklik modül, aktif uzunluk ve eylemsizlik momenti değerlerinden herhangi birini değiştirerek sertliği değiştirme prensibi ile çalışmaktadırlar. “Jack Spring” olarak adlandırılan yapısal değişiklik ile düzenlenen bir eyleyici türü ortaya çıkmıştır. Bu tasarımda elastik eleman olarak kullanılan yaylarda bulunan aktif bobin sayısının değişimi ile sertlik ayarlaması yapmaktadır. Şekil 2.11’de şematik tasarımı verilmiştir. (Hollander, Sugar ve Herring, 2005). Aktif Aktif Olmayan Bobin Bobin Bölgesi Bölgesi Şekil 2.11. “Jack Spring” konsept şematik görüntüsü (Hollander ve diğerleri, 2005) Dördüncü çeşit olarak karşımıza mekanik kontrole sahip olan eyleyiciler çıkmaktadır, Bu çeşitte sertlik değerleri, denge konumu ayarlanarak kontrol edilebilmektedir. Bu tür eyleyicilerde genellikle tek bir yay kullanılır. Yaya uygulanan yük değiştirilerek sertlik değerinin değişmesi sağlanır. Bu tür eyleyiciye örnek olarak Şekil 2.12’de görülen 17 MACCEPA tasarımı verilebilir. Bu tasarım, bir eksende dönme hareketi gerçekleştirebilen birbirine yay ile bağlanmış üç farklı elemandan meydana gelir ( Van Ham, Vanderborght, Van Dammer, Verrelst ve Lefeber, 2007). Şekil 2.12. MACCEPA tasarımının şematik gösterimi (Van Ham ve diğerleri, 2007) Mekanik kontrollü eyleyici türünde bir başka tasarım çalışması olarak “VS-Joint” tasarımı bulunmaktadır. Şekil 2.13’te “VS-Joint” protitipi görülmektedir. Kam ve yayların kullanımıyla oluşturulan bu tasarımda kam mekanizmasının konumunun değiştirilmesiyle sertlik değerinin değişimi sürekli olarak gerçekleştirilebilmektedir (Van Ham ve diğerleri, 2007; Wolf ve Hirzinger, 2008). Şekil 2.13. VS-Joint mekanizması gösterimi (Wolf, 2008) Son tür olarak iletim oranı değiştirilerek kontrol edilen eyleyiciler kabul edilmiştir. Eyleyicilerin sertliği, yay ile çıkış arasında bulunan bağlantının iletim oranının değişimi ile ayarlanmaktadır. Bu prensip ile çalışan Şekil 2.14’te görülen AwAS-I tasarımı gerçekleştirilmiştir. Bu tasarımda kuvvet ve pivot noktaları sabitken yaylar hareket edebilmektedir. Bu tasarımın avantajı bağımsız olarak denge konumunun ve sertliğin kontrol edilmesidir. Sertliği değiştirmek için enerji kullanımı çok azdır bu da sertlik ayarı 18 için küçük motorların kullanılmasına izin vermektedir (Jafari, Tsagarakis ve Caldwell, 2010). Kuvvet Aktif kol Pivot Şekil 2.14. AwAS-I şematik gösterimi (Jafari ve diğerleri, 2010) AwAS-I tasarımının geliştirilmiş bir versiyonu olarak AwAS-II tasarımı Jafari ve diğerleri (2011) tarafından gerçekleştirilmiştir. Şekil 2.15’te AwAS-II tasarımının şematik hali görülmektedir. Bu çalışmada önceki tasarımdan farklı olarak, yayların konumu ve kuvvet uygulanan nokta sabitken pivot noktası hareket edebilmektedir. Bunun sonucu olarak sertlikte, sıfır ile sonsuz kabul edilebilecek bir değer aralığında çalışma imkânı sağlamaktadır (Jafari, Tsagarakis ve Caldwell, 2011). Kuvvet Pivot Şekil 2.15. AwAS-II şematik gösterimi (Jafari ve diğerleri, 2011) Özetle, sertliği değiştirilebilir eyleyicilerdeki sertlik değerleri farklı yöntemler kullanılarak değiştirilmektedir. Van Ham bu farklılıklardan yola çıkarak sınıflandırmayı gerçekleştirmiştir. Sertliği değiştirilebilir eyleyicilerden bir kaçı burulma ile eğilme bileşik gerilmesine maruz kalabilmektedir bu sebepten ötürü çalışma mekanizmasının bilinmesi önemlidir. 19 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu çalışmada Reis (2019) tarafından tasarımı yapılmış olan Şekil 3.1’de görülen eyleyici temel olarak alınmıştır. Bu tasarımda burulmaya ve eğilmeye maruz kalan eyleyicinin sahip olduğu dikdörtgen kesitli kirişlerin burulma ile eğilme bileşik gerilmesinin birbiri üzerindeki etkileri ortaya konulmaya çalışılmıştır ve basit bir yöntem kullanılarak analizler gerçekleştirilmiştir. Bunun için basitleştirilmiş model oluşturulmuştur. Basitleştirilen bu tasarım üzerinden yapılan analitik, deneysel ve sonlu elemanlar analizi yöntemlerinden elde edilen bilgiler sertlik değerinin hesaplanması için kullanılmıştır. İncelenen kiriş İncelenen kiriş elemanlar elemanlar T Şekil 3.1. Elastik kavrama tasarımı (Reis, 2019) 3.1. Analitik Yöntem Dikdörtgen kesitin burulma sırasındaki atalet momenti değişimi elde edebilmek için Şekil 3.2’de görülen dikdörtgen kesitli şeklin yükseklikleri h1 ve h2 Denklem 3.1 ve Denklem 3.2 deki gibi ifade edilebilir. Basitleştirilmiş tasarımda kullanılan dikdörtgen kesitli kirişin kısa kenar uzunluğu 0,7 mm uzun kenar uzunluğu 2,2 mm’dir. Şekil 3.2 Dikey konumdaki dikdörtgen kesit 20 1 (3.1) ℎ1 = (𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 1 (3.2) ℎ2 = (𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃) 2 Denklem 3.3’te atalet momentinin genel ifadesi görülmektedir. (3.3) 𝐼𝜃 = ∫ 𝑦 2𝑑𝐴 Şekil 3.2’de burulma sonucunda oluşan şekil bir dikdörtgen ve iki üçgen bölgeye ayrılarak atalet momenti hesaplaması yapılmıştır. Genel atalet momenti denklemi dikdörtgen için düzenlenerek Denklem 3.4 ve Denklem 3.5 elde edilmiştir. 𝑎𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 (3.4) 𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ2 𝑎 𝑎 𝑦3 (3.5) 𝐼 = ∫ 𝑦2𝜃 𝑑𝑦 = −ℎ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 32 Atalet momentinin genel denkleminin dikdörtgen bölge için düzenlenmiş haline Denklem 3.5’teki integralin sınır şartları uygulanırsa sonuç olarak Denklem 3.6 elde edilir. Elde edilen sonuç dikdörtgen bölgenin atalet momentini ifade etmektedir. 2𝑎ℎ32 (3.6) 𝐼𝜃 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 Genel atalet momenti denklemi üçgen bölge için düzenlenirse Denklem 3.7 elde edilir. ℎ1 (ℎ1 − 𝑦)𝑎 𝐼𝜃 = ∫ 𝑦 2𝑑𝐴 = ∫ 𝑦2𝑑𝑦 (3.7) ℎ (ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃2 Denklem 3.7’deki ifadenin genişletilmiş hali Denklem 3.8’deki gibi olmaktadır. ℎ1 ℎ1𝑎𝑦 2 ℎ1 𝑎𝑦3 (3.8) 𝐼𝜃 = ∫ 𝑑𝑦 − ∫ 𝑑𝑦 ℎ (ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ (ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃2 2 21 Denklem 3.8’deki ifadeler ayrı ayrı olarak ele alınır ve integral sınır şartları yerine yazılırsa birinci ifadenin sonucu Denklem 3.9’daki gibi olur. ℎ1 ℎ1𝑎𝑦 3 ℎ41𝑎 ℎ ℎ 3 1 2𝑎 𝑎ℎ 3 3 1(ℎ1 − ℎ2) (3.9) ∫ = − = ℎ 3(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 3(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 3(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 3(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃2 Denklem 3.8’deki ikinci ifadenin integral sınır şartları ile çözümü Denklem 3.10’daki gibi bulunmaktadır. ℎ1 𝑎𝑦4 𝑎ℎ4 4 4 41 𝑎ℎ2 𝑎(ℎ1 − ℎ2) (3.10) ∫ = − = ℎ 4(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 4(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 4(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 4(ℎ − ℎ2 1 2)𝑐𝑜𝑠𝜃 Üçgen bölgenin atalet momenti Denklem 3.11’deki gibi elde edilmektedir. 𝑎ℎ (ℎ3 − ℎ31 1 2) 𝑎(ℎ 4 4 1 − ℎ2) (3.11) 𝐼𝜃 = − 3(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 4(ℎ1 − ℎ2)𝑐𝑜𝑠𝜃 Atalet momenti dikdörtgen ve üçgen bölgelerin toplamına eşittir ve Denklem 3.12’deki gibi ifade edilir. 𝑎ℎ32 𝑎 ℎ1 1 (3.12) 𝐼𝜃 = 2{ + [ (ℎ 3 − ℎ3 4 4 3𝑐𝑜𝑠𝜃 (ℎ − ℎ )𝑐𝑜𝑠𝜃 3 1 2 ) − (ℎ 4 1 − ℎ2)]} 1 2 Şekil 3.3’te görüldüğü gibi uzun kenarın yatay pozisyonu için şekildeki uzunluklar Denklem 3.13 ve 3.14 ile ifade edilir. Şekil 3.3. Yatay konumdaki dikdörtgen kesit 22 1 (3.13) ℎ3 = (𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 1 (3.14) ℎ4 = (𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 Burada oluşan şekli bir dikdörtgen ve iki üçgen üçgen bölgeye ayrılarak atalet momenti hesaplama işlemi yapılır. Genel atalet moment denklemi dikdörtgen için düzenlenerek Denklem 3.15 ve Denklem 3.16 elde edilir. 𝑏 (3.15) 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜃 ℎ4 𝑏 𝑏 𝑦3 (3.16) 𝐼 2𝜃 = ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = −ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 34 Atalet momentinin genel denkleminin dikdörtgen bölge için düzenlenmiş haline Denklem 3.16’daki integralin sınır şartları uygulanırsa sonuç olarak Denklem 3.17 elde edilir. Elde edilen sonuç dikdörtgen bölgenin atalet momentini ifade etmektedir. 2𝑏ℎ34 (3.17) 𝐼𝜃 = 3𝑠𝑖𝑛𝜃 Genel atalet moment denklemi üçgen bölge için düzenlenirse Denklem 3.18 elde edilir. ℎ3 (ℎ3 − 𝑦)𝑏 (3.18) 𝐼𝜃 = ∫ 𝑦 2𝑑𝐴 = ∫ 𝑦2𝑑𝑦 ℎ (ℎ − ℎ )𝑠𝑖𝑛𝜃4 3 4 Denklem 3.18’deki ifadenin genişletilmiş hali Denklem 3.19’daki gibi olmaktadır. ℎ3 ℎ 𝑏𝑦2 ℎ33 𝑏𝑦 3 (3.19) 𝐼𝜃 = ∫ 𝑑𝑦 − ∫ 𝑑𝑦 ℎ (ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 ℎ (ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃4 4 Denklem 3.19’daki ifadeler ayrı ayrı olarak ele alınır ve integral sınır şartları yerine yazılırsa birinci ifadenin sonucu Denklem 3.20’deki gibi elde edilmektedir. ℎ3 ℎ3𝑏𝑦 3 ℎ4𝑏 ℎ ℎ3𝑏 𝑏ℎ (ℎ3 33 3 4 3 3 − ℎ4) (3.20) ∫ = − = ℎ 3(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 3(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 3(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 3(ℎ4 3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 23 Denklem 3.19’daki ikinci ifadenin integral sınır şartları ile çözümü Denklem 3.21’deki gibi bulunmaktadır. ℎ3 𝑏𝑦4 𝑏ℎ43 𝑏ℎ 4 4 𝑏(ℎ 4 3 − ℎ 4 4) (3.21) ∫ = − = ℎ 4(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 4(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 4(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 4(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃4 Üçgen bölgenin atalet momenti Denklem 3.22’deki gibi elde edilir. 𝑏ℎ3(ℎ 3 3 − ℎ 3 4) 𝑏(ℎ 4 3 − ℎ 4 4) (3.22) 𝐼𝜃 = − 3(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 4(ℎ3 − ℎ4)𝑠𝑖𝑛𝜃 Daha önce bahsedildiği gibi atalet momenti dikdörtgen ve üçgen bölgelerin toplamına eşittir ve Denklem 3.23’deki gibi ifade edilir. 𝑏ℎ34 𝑏 ℎ3 1 (3.23) 𝐼𝜃 = 2{ + [ (ℎ 3 − ℎ3 4 4 3𝑠𝑖𝑛𝜃 (ℎ − ℎ )𝑠𝑖𝑛𝜃 3 3 3 ) − (ℎ − ℎ )]} 3 4 4 3 4 Şekil 3.4. Dikdörtgen kesitin şematik olarak dikey konumdan yatay konuma geçişi Dikdörtgen kesitin dikey konum ile yatay konum durumundaki atalet momentleri arasında fark bulunmaktadır. Dikdörtgen kesitin dikey konumdan yatay konuma geçiş durumu Şekil 3.4’te şematik olarak gösterilmiştir. Dikdörtgen kesitin her iki durumdaki atalet momenti MATLAB programının yardımıyla oluşturulmuştur. Elde edilen grafik Şekil 3.5’teki gibi görülmektedir. Bu grafiği minimum hataya sahip üçüncü dereceden bir polinom olan Denklem 3.24 gibi ifade etmemiz mümkündür. 24 Şekil 3.5. Dikdörtgen kesitin burulma açısına bağlı atalet momenti grafiği 𝐼 −6 3 −4 2 −3𝜃 = 2,542. 10 𝜃 − 3,4343. 10 𝜃 + 1,3023. 10 𝜃 + 0,91715 (3.24) Şekil 3.5’te görülmekte olduğu üzere burulma, atalet momenti üzerinde değişimlere yol açmaktadır ve bu değişim burulma ile eğilme bileşik gerilme durumunda yapılan hesapların doğruluğunu etkilemektedir. Bu etkilerin incelenmesi ilerideki çalışmaların konusu olacaktır. 3.1.1. Basit analitik hesap Dört adet prizmatik mile sahip olan basitleştirilmiş modele etki eden toplam moment Denklem 3.25’deki gibi ifade edilebilir (Reis, 2019). 𝑇 = 4 𝑇𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 + 4 𝑇𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 (3.25) Prizmatik bir milde burulma açısı ve burulma momenti arasındaki bağıntı Denklem 3.26’da gösterilmiştir (Yayla, 2010). 25 𝛽𝑎3𝑏 𝐺 (3.26) 𝑇𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 = 𝜃 𝑥 Şekil 3.6. Burulma açısı ve sehim ilişkisi şematik gösterimi Burulmadan kaynaklı sehimin şematik gösterimi Şekil 3.6’da görülmektedir. Burulma açısı ve sehim arasındaki bağıntı Denklem 3.27’de gösterilmektedir (Reis, 2019). 𝜃(𝑦) = 𝑦𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 ⁄ 𝑅 (3.27) Şekil 3.7. Kirişin sembolik gösterimi (Reis, 2019) Konsol kirişte maksimum burulma açısı kirişin serbest ucunda meydana gelmektedir. Denklemdeki ifadelerin kirişte gösterdiği uzunluklar Şekil 3.7’de şematik olarak gösterilmiştir. Burulma açısı ve burulma momenti arasındaki bağıntıyı ifade eden Denklem 3.26, Denklem 3.27’den elde edilen ifade ile düzenlenirse Denklem 3.28 meydana gelir ve bu denklem burulma momenti (𝑇𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎) ile burulma sehimi (𝛿𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎) arasındaki bağıntıyı göstermektedir. 𝛽𝑎3𝑏𝐺𝛿𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 (3.28) 𝑇𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 = 𝐿𝑅 26 Denklem 3.29 burulma sertliğinin ifade etmektedir (Reis, 2019). 4𝛽𝑎3𝑏𝐺 (3.29) 𝑘𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 = 𝐿 Denklem 3.28 ve 3.29’da bulunan 𝛽 ifadesi, dikdörtgen kesitin kenar uzunluklarının oranına bağlı bir katsayıdır ve bu orana bağlı katsayı değişimi Çizelge 1’de verilmiştir (Timoshenko ve Goodier, 1951). Çizelge 3.1. Orana bağlı β katsayısı (Timoshenko ve Goodier, 1951) b/a 1 1.5 2 3 4 6 8 10 ∞ β 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 Şekil 3.8. Eğilmenin şematik gösterimi Şekil 3.8’de konsol kirişteki eğilmenin şematik olarak gösterimi bulunmaktadır. Tekil yükle yüklü ankastre kirişin sehim denklemi, elastik eğri denkleminin analitik metot ile gerekli sınır şartlarının yerine konulması ile elde edilir. Elastik eğrinin genel ifadesi Denklem 3.30’da gösterilmiştir (Yayla, 2010). 𝑑2𝑦 (3.30) 𝑇𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 = 𝐸𝐼 𝑑𝑥2 Elastik eğrinin genel ifadesi Denklem 3.31’deki gibi de ifade edilebilmektedir. 𝑇 ′′𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 = 𝐸𝐼𝑦 (3.31) Konsol kiriş için eğilme sehimi ve eğilme momenti arasındaki bağıntı Denklem 3.32’deki gibi ifade edilir (Massachusetts Institute of Technology, 2021). 27 𝑇 2𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒𝐿 𝑥 (3.32) 𝑦𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 = −( )( ) 2 2𝐸𝐼 𝐿 Konsol kirişin sonundan yük uygulandığında maksimum sehim kirişin en sonunda meydana gelecektir. Denklem 3.32 maksimum sehim durumunda Denklem 3.33’deki gibi ifade edilecektir (Massachusetts Institute of Technology, 2021). 𝑇 2𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒𝐿 (3.33) 𝛿𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 = −( ) 2𝐸𝐼 Denklem 3.34 eğilme sertliğini ifade etmektedir (Reis, 2019). 12𝐸𝐼𝑅2 (3.34) 𝑘𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 = 𝐿3 Toplam sertlik Denklem 3.35’deki gibi ifade edilir (Reis, 2019). 𝑘𝜃 = 𝑘𝑏𝑢𝑟𝑢𝑙𝑚𝑎 + 𝑘𝑒ğ𝑖𝑙𝑚𝑒 (3.35) Uygulanan moment ile burulma açısının bağıntısı Denklem 3.36’da ifade edilmiştir (Reis, 2019). 𝑇 = 𝑘𝜃𝜃 (3.36) 3.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi Sonlu elemanlar yöntemi ile incelemek için öncelikli olarak basitleştirilmiş eyleyiciyi oluşturan dikdörtgen kesitli kiriş, kirişleri tutucu disk ve moment kolu parçaları SolidWorks programı kullanılarak oluşturuldu. Tasarlanan bu diske çapı 5-10-15 mm olan çember üzerinde kiriş yuvalarının çizimleri gerçekleştirildi. Oluşturulan bu kiriş yuvaları Şekil 3.9’da görülmektedir. Bu doğrultuda farklı konumlarda yerleştirilen kirişlerin sertlik değerlerinin karşılaştırılmasıyla, burulma ile eğilme bileşik gerilmesinin birbiri üzerindeki etkilerinin incelenmesi planlandı. 28 Aynı zamanda moment kolu üzerinde ağırlık uygulanması için kirişlerin merkez noktasına 100-150-200 mm uzaklığında yük asma delikleri oluşturuldu. Çizimi gerçekleştirilen moment kolu Şekil 3.10’da görülmektedir. Şekil 3.9. Kirişleri tutucu disk tasarımı Şekil 3.10. Moment kolu tasarımı Çizimi gerçekleştirilen bu parçaların montaj ilişkileri tamamlanarak montaj dosyaları hazırlanmıştır. Bu durum kirişlerin 2,5 mm’den 30 mm’ye kadar 2,5 mm artışlı olarak bütün boyutları için gerçekleştirilmiştir. Bunun yanı sıra kirişler 5-10-15 mm kiriş yuvalarına ilişkilendirilmiştir ve toplam 108 adet montaj dosyası hazırlanmıştır. Montajı tamamlanan basitleştirilmiş eyleyici tasarımı Şekil 3.11’de görülmektedir. 29 Şekil 3.11. Basitleştirilmiş eyleyici tasarımının montaj hali Sonlu elemanlar yöntemi analizi için ANSYS WorkBench analiz programının kullanılması kararlaştırılmıştır. 2020 R1 sürümlü Ansys programında statik analiz bölümü kullanılarak, analizler yaptırılmıştır. Analitik hesaplamalarda da kullanılmış olan malzeme özellikleri analiz programında Şekil 3.12’de görüldüğü gibi “Experimental Structural Steel” ismiyle yeni malzeme olarak tanımlanmış ve kayıt altına alınmıştır. Şekil 3.12. Sonlu elemanlar yönteminde kullanılan malzeme özellikleri 30 SolidWorks programında Şekil 3.1’deki tasarımın basitleştirilmiş hali olarak tasarımı yapılmış olan montaj dosyası ANSYS WorkBench programına yüklenmiştir. Yükleme işleminin ardından kirişlerin sabitlenme işlemi tamamlanmıştır. Moment kolundan kuvvet uygulanmıştır ve Şekil 3.13’de sabitleme ve kuvvet uygulama noktaları gözükmektedir. Şekil 3.13. Basitleştirilmiş eyleyici tasarımının ANSYS programında sabitlenme ve kuvvet uygulanma noktasının gösterimi Şekil 3.14. Basitleştirilmiş eyleyicinin mesh işlemi 31 Şekil 3.14’de görüldüğü gibi mesh işlemi gerçekleştirildi. Mesh işlemi sonucunda oluşan nodes ve element sayıları Çizelge 3.2’de görülmektedir. Burulma açısı ve eğilme miktarı için sonlu elemanlar yöntemi analizi gerçekleştirilmiştir. Çizelge 3.2. Mesh işlemi sonucu elements ve nodes sayısı R = 5 mm R = 10 mm R = 15 mm Mesh Mesh Mesh Mesh Mesh Mesh L(mm) (Elements) (Nodes) (Elements) (Nodes) (Elements) (Nodes) 2,5 40272 200266 40272 200266 40272 200266 5 42560 211862 42560 211862 42560 211862 7,5 44672 222566 44672 222566 44672 222566 10 46960 234162 46960 234162 46960 234162 12,5 49072 244866 49072 244866 49072 244866 15 51360 256462 51360 256462 51360 256462 17,5 53472 267166 53472 267166 53472 267166 20 55760 278762 55760 278762 55760 278762 22,5 57872 289466 57872 289466 57872 289466 25 60160 301062 60160 301062 60160 301062 27,5 62272 311766 62272 311766 62272 311766 30 64560 323362 64560 323362 64560 323362 3.3. Deneysel Yöntem SolidWorks’te tasarlanan basitleştirilmiş eyleyici tasarımının disk ve moment kolu parçalarının çıktıları üç boyutlu yazıcıdan alınarak deney çalışmalarında kullanılmıştır. Dikdörtgen kesitli kiriş olarak yay çeliği malzemesinden imal edilmiş olan kirişler kullanılmıştır. Deney düzeneği için hazırlanmış olan parçalar Şekil 3.15’te görülmektedir. Şekil 3.16’da montaj işlemi tamamlanmış basitleştirilmiş eyleyici tasarımı görülmektedir. Moment kolunun kirişler üzerindeki konumu kolayca değiştirilebilmektedir ve böylece 2,5 mm’den 30 mm’e kadar olan aralıkta ölçümlerin yapılması sağlanmıştır. Bunun yanı sıra diskte bulunan kiriş yuvaları sayesinde kirişlerin birbirine olan uzaklıklarının değiştirilerek ölçüm alınması sağlanmıştır. Ölçümler için moment kolunun 150 mm uzaklığında olan delikten dijital kuvvetölçer ile kuvvet uygulanmıştır. Uygulanan 32 kuvvetin sonucunda, moment kolu üzerine konulan dijital açıölçer ile moment kolunun dönme açısı elde edilmiştir. Böylelikle farklı uzunluklar için dönme açısının moment ile olan değişimi ölçülmüştür. Şekil 3.15. Basitleştirilmiş eyleyicinin deneysel çalışma için hazırlanmış parçaları Şekil 3.16. Deneysel çalışma için montajı tamamlanmış basitleştirilmiş eyleyici 33 4. BULGULAR Bölüm 3’te basit analitik hesap yöntemi içerisinde aktarılan Denklem 3.29 ve Denklem 3.34’te verilen eşitlikler kullanılarak, bileşik gerilme altındaki kirişlerin uzunluğuna bağlı olarak eyleyicinin sahip olduğu kirişlerin açısal sertlik değerleri elde edildi. Denklem 3.29'da da görülebileceği gibi kiriş uzunluğu artmasına bağlı olarak burulma sertliği lineer şekilde azalmaktadır. Bunun yanı sıra Denklem 3.34'te de kiriş uzunluğu artmasına bağlı olarak eğilme sertliğinin kübik olarak azaldığı görülmektedir. Basit kiriş teorisi kullanılarak elde edilen bu eşitliklerin doğruluğunu test etmek için Şekil 3.16'da hazırlanmış olan deney düzeneğinden yararlanılarak deneysel ölçümler yapılmıştır. Aynı zamanda sonuçların doğruluğunu test etmek için farklı bir yöntem olarak ANSYS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Bu programda Şekil 3.11’de gösterilmiş olan basitleştirilmiş model üzerinden analizler yapılmıştır. 1000 Sertlik R=5 (Ansys) Sertlik R=5 (Deneysel) 100 Sertlik R=5 (Analitik) 10 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.1. R=5 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi 34 Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) 1000 Sertlik R=10 (Ansys) Sertlik R=10 (Deneysel) 100 Sertlik R=10 (Analitik) 10 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.2. R=10 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi 10000 Sertlik R=15 (Ansys) Sertlik R=15 (Deneysel) 1000 Sertlik R=15 (Analitik) 100 10 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.3. R=15 mm için kiriş uzunluğu ile kirişlerin burulma sertliğinin değişimi Kirişler, elastisite modülü 200 GPa ve kesme modülü 80 GPa olan yay çeliğinden yapılmış olup aynı malzeme özelliği değerleri analitik ve sonlu elemanlar analiz yönteminde de kullanılmıştır. Analitik hesaplarda, deneylerde ve sonlu elemanlar analiz metodunda kirişlerin aktif kiriş uzunluğu 0 ile 30 mm arasında değişebilmektedir. 35 Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) Kirişlerin aktif uzunluğu moment koluna bağlıdır. Bu değerler moment kolunun konumunun değiştirilmesiyle kolayca artırılıp azaltılabilmektedir. Kiriş uzunluğunun sıfır olduğu konumda bağlantı tamamen rijit olmaktadır. Bu noktada sertlik değeri sonsuz olacağından şekillerde gösterilmemektedir. Sertlik değerleri geniş bir aralıkta değişim göstermektedir. Bu yüzden grafik okunurluğunu arttırmak için dikey eksende logaritmik ölçekli gösterim tercih edilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta basit kiriş teorisinin uzun ince kirişlerde daha doğru sonuçlar verdiğidir. Başka bir deyişle bileşik gerilme altındaki kirişlerin analitik hesaplamalarında kiriş uzunluğunun artmasıyla daha doğru sonuçlara ulaşıldığı görülmektedir. Sonlu elemanlar analiz yönteminde de analitik hesaplamalara benzer bir şekilde, kiriş uzunluğunun artmasıyla daha doğru sonuçlar elde edildiği saptanmıştır. Bunun yanı sıra bileşik gerilme altında kısa kiriş uzunluklarında sonlu elemanlar analiz yönteminin, analitik hesaplara göre deneysel hesaplamalara daha yakın sonuçlar verdiği tespit edilmiştir. Başlangıç olarak 2,5 mm kiriş uzunluğundan, 30 mm kiriş uzunluğuna kadar 2,5 mm'lik artım miktarıyla hesaplamalar gerçekleştirilmiştir. Elde edilen grafikler çeşitli kiriş uzunluğuna göre kiriş sertliğinin analitik, deneysel ve sonlu elemanlar yöntemi varyasyonunu göstermektedir. Elde edilen sonuçlarda sertlik değerleri geniş bir aralıkta değişim göstermektedir. Bu sebepten ötürü şekillerin daha anlaşılır olması adına daha önce de kullanıldığı gibi dikey eksende logaritmik ölçekli gösterim tercih edilmiştir. Bu eğrilerde gri renkli noktalı çizgiler analitik sonuçları gösterirken, mavi renkli ve kesikli çizgiler sonlu elemanlar yöntemi sonuçlarını, turuncu renkli düz çizgiler ise deneysel yöntem sonuçlarını göstermektedir. Kiriş uzunluğu L = 0 olduğunda, eyleyici neredeyse rijittir. Bu sebepten ötürü, grafiklerin görünürlüğünü azalttığı için bu değer grafiklerden çıkartılmıştır. Kiriş uzunluğunun maksimum durumu olan L = 30 mm’de, eyleyici sertlik değerinin en düşük olduğu konumdadır. Analitik, deneysel ve sonlu elemanlar yöntemi sonuçları arasında da bir uyum görülmektedir ve bu uyum kirişin aktif uzunluğu arttıkça daha görünür bir hal almaktadır. Analitik hesaplamalarda kullanılan basit kiriş teorisi, uzun kirişler için daha doğru bir yaklaşım ortaya koymaktadır. Şekil 4.1, 4.2 ve 4.3'te kirişler merkez noktadan sırasıyla 5, 10 ve 15 mm yarıçaplı konumlara yerleştirilmiş bulunmaktadır. Analitik, deneysel ve sonlu elemanlar analiz yöntemiyle elde edilen 36 sonuçlar göstermektedir ki, kirişlerin radyal konumu merkezden uzaklaştıkça, kirişlerin sertlik değerleri artmaktadır. 1000 Sertlik R=5 (Deneysel) 100 Sertlik R=10 (Deneysel) Sertlik R=15 10 (Deneysel) Kirişlerin Burulma Sertliği 1 (Analitik) 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.4. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma sertliğinin değişiminin analitik ve deneysel karşılaştırılması 1000 Sertlik R=5 (Ansys) 100 Sertlik R=10 (Ansys) Sertlik R=15 10 (Ansys) Kirişlerin Burulma Sertliği 1 (Analitik) 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.5. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma sertliğinin değişiminin analitik ve sonlu elemanlar analiz yöntemi ile karşılaştırılması Şekil 4.4 bileşik gerilme altında kirişin uzunluğuna ve burulma sertliğine göre toplam sertliğin deneysel sonuçlarını göstermektedir. Şeklin daha anlaşılır olması için dikey 37 Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) eksende logaritmik ölçek kullanılmıştır. Şekil 4.5 ise kirişin uzunluğuna ve burulma sertliğine göre toplam sertliğin sonlu elemanlar analizi yöntemiyle elde edilen sonuçlarını göstermektedir. Şekil 4.5’te daha önceki şekillerde olduğu gibi daha anlaşılır olması adına dikey eksende logaritmik ölçek kullanılmıştır. Toplam kiriş sertliği süperpozisyon yöntemine göre, eğilme ve burulma sertliğinin toplamıdır ve bu sertlik değerinin kirişlerin konumuna (R) göre değiştiği görülmektedir. Kirişlerin analitik yöntem ile hesaplanan toplam burulma sertliği Şekil 4.4 ve Şekil 4.5’te noktalı çizgi ile ifade edilmiştir. Analitik olarak hesaplanan sertlik değerlerinin kirişlerin konumundan etkilenmediği bu iki şekilde de görülmektedir. Kesikli çizgi, R = 5 mm için kirişlerin toplam sertliğini gösterirken, kesikli noktalı çizgi, R = 10 mm için kirişlerin toplam sertliğini göstermektedir ve düz çizgiler R=15 mm kirişlerin toplam sertliğini belirtmektedir. Şekil 4.4 kirişlerin konumunun bağlantı merkezine yaklaştığında ortaya çıkan sonuçları göstermektedir. Bu sonuçlara göre kirişlerin konumu merkeze yaklaştıkça, analitik olarak hesaplanan kirişlerin burulma sertliği sonuçlarına yaklaştığı görülmektedir. Sonlu elemanlar analiz metodunda kirişlerin bağlantı merkezine yaklaşmasıyla elde edilen sonuçlarda da, analitik hesaplar sonucunda elde edilen kirişlerin burulma sertliğine yaklaştığı görülmektedir. Şekil 4.4 ve Şekil 4.5’te gösterilmekte olan eğilme sertliğinin etkisinin, kirişlerin bağlantı merkezine yaklaştıkça azaldığı görülmektedir. Şekil 4.6’da, kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin eğilme ve burulma sertliği analitik olarak hesaplanmaktadır ve dikey eksende logaritmik ölçek kullanılarak gösterilmektedir. Noktalı çizgi kirişlerin burulma sertliğini, kesikli çizgi kirişlerin R = 5 mm'deki eğilme sertliğini, kesikli noktalı çizgi kirişlerin R = 10 mm'deki eğilme sertliğini ve düz çizgi kirişlerin R = 15 mm'deki eğilme sertliğini göstermektedir. Burada Şekil 4.6’da ifade edildiği gibi kirişlerin konumu bağlantı merkezine yaklaştıkça kirişlerin eğilme sertliğinin sıfıra yaklaştığı görülmektedir. Kirişlerin burulma sertliği kirişlerin konumundan bağımsız olarak aynı kalmaktadır. Bu durum da düşük R değerlerinde burulma sertliğinin baskın hale geldiğini gösteren bir diğer sonuçtur. Bu etki kirişin uzunluğunun artmasıyla daha da belirgin olarak ortaya çıkmaktadır. 38 10000 Kirişlerin Eğilme Sertliği R=5 1000 (Analitik) Kirişlerin Eğilme 100 Sertliği R=10 (Analitik) 10 Kirişlerin Eğilme Sertliği R=15 (Analitik) 1 Kirişlerin Burulma Sertliği 0.1 (Analitik) 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.6. Kiriş uzunluğuna bağlı olarak kirişlerin burulma ve eğilme sertliğinin analitik yöntem ile elde edilen sonuçlarının karşılaştırılması 100 L = 10 (Analitik) (mm) 10 L = 15 (Analitik) (mm) L = 20 (Analitik) (mm) 1 0 5 10 15 20 25 Kirişlerin Merkeze Uzaklıkları (R) (mm) Şekil 4.7. Sabit uzunluğa sahip kirişlerin merkezden uzaklaşmasıyla sertlik değerlerinin analitik yöntem ile karşılaştırılması Kirişlerin sabit uzunlukta merkezden uzaklaşmaları ile sertlik değerlerinin değişiminin grafiği Şekil 4.7’de görülmektedir. Grafiğin daha anlaşılabilir olması için dikey eksende logaritmik ölçek kullanılmıştır. Değerleri elde etmek için basit analitik yöntem kullanılmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucunda kirişlerin merkez noktadan uzaklaşması 39 Kirişlerin Sertliği Kirişlerin Sertliği (Nm/rad) ile sertlik değerleri artmaktadır. Kiriş uzunluğunun artması ile sertlik değerinin düştüğü görülmektedir. 16 R=5 mm (Deneysel) 14 12 R=5 mm (Analitik) 10 R=10 mm (Deneysel) 8 R=10 mm (Analitik) 6 4 R=15 mm (Deneysel) 2 R=15 mm (Analitik) 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Kiriş Uzunluğu (mm) Şekil 4.8. Deneysel ve analitik yöntemlerle elde edilen kiriş uzunluğuna bağlı kirişlerin burulma miktarlarının karşılaştırılması Çalışmaya ek olarak 0.8 Nm moment değeri altında kirişlerin açısal yer değiştirmesinin kiriş uzunluğu ile değişimi gösterilmek istenmiştir. Analitik ve deneysel yöntemlerde kullanılan açısal yer değiştirme değerleri Şekil 4.8’de verilmiştir. Bu iki yöntem sonucunda elde edilen değerlerin büyük farklara sahip olmadığı saptanmıştır. 40 Kirişlerin Burulması (derece) 5. SONUÇ ve TARTIŞMA Bu çalışmada, burulma ile eğilme altında kalan konsol kirişin sertlik mekanik özelliği incelenmiştir. Burulma gerilmesi, incelenen konsol kiriş üzerinde şekil değişimlerine neden olmaktadır. Bu şekil değişimi atalet momentini etkileyerek değişimine sebep olmaktadır. Burulma nedeniyle değişen atalet momentinin grafiği MATLAB programının yardımıyla oluşturulmuştur. Elde edilen grafiğe uygun denklem MATLAB programı kullanılarak elde edilmiştir. Oluşturulan denklem, 3. dereceden bir polinom olarak bulunmuştur. Elde edilen atalet momenti değişimini veren polinom sayesinde burulmanın eğilme denklemine etki edeceğinin gösterilmesi sağlanmıştır. Burulma ile eğilme bileşik gerilmesinin etkilerinin gösterimi için sertlik mekanik özelliği seçilmiş ve bundan dolayı sertliği değiştirilebilir eyleyici kullanılmıştır. Bu amaç doğrultusunda basit analitik hesaplar, sonlu elemanlar analizleri ve deneysel ölçümler yapılmıştır. Deneysel ölçümler için sertliği ayarlanabilir basit bir mekanik eyleyici model tasarlanmış ve kullanılmıştır. Bu modelin kullanılmasındaki sebep basit bir tasarım ile nispeten geniş bir sertlik kontrol aralığına sahip olmasıdır. Böylece geniş bir aralıkta değişebilen sertlik değerinin değişimlerinin daha iyi anlaşılması sağlanmıştır. Yukarıda bahsedilen üç farklı yöntem ile bileşik gerilme altındaki kirişlerin sertlik ve açısal deformasyon değerleri farklı kiriş konumları ve uzunlukları için elde edilmiştir. Bulunan bu sonuçların grafikleri oluşturulmuştur. Aynı durumlar için farklı yöntemler ile elde edilen sonuçların grafikleri karşılaştırılmıştır. Bileşik gerilme altındaki kirişin, burulma nedeniyle atalet moment değişiminin dikkate alınmamış olması, analitik ve deneysel yöntem ile elde edilen sonuçlar arasında fark yaratmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen sonuçların, analitik ve deneysel yöntem sonuçlarının arasında kalması beklenmiştir. Sonlu elemanlar analiz yöntemiyle elde edilen sonuçlar beklenildiği gibi analitik ve deneysel yöntem sonuçlarının arasında kalmıştır. Sonlu elemanlar analizi yöntemi ile elde edilen sonuçlar, özellikle kısa uzunluklardaki kirişlerin hesaplamalarında, analitik yönteme göre daha doğru sonuçlar vermiştir. Analitik, sonlu elemanlar analiz yöntemi ve deneysel sonuçların, özellikle önemli bir burulma açısının meydana geldiği uzun kirişlerde farklılık göstermesi beklenmiştir. Bu beklentiye rağmen sonuçlarda görülen farklılık sınırlı kalmış ve büyük bir farklılık görülmemiştir. Bunun nedeni olarak, uzun kirişlerde eğilme sertliğine kıyasla burulma sertliğinin baskın hale gelmesi ve eğilme sertliğinin toplam 41 sertlik üzerindeki etkisinin azalması gösterilebilir. Kullanılan üç yöntem sonucunda elde edilen sertlik değerleri, kiriş uzunluğunun artmasıyla birbirine yaklaşmış ve belirgin farklar ortadan kalkmıştır. Bunun yanı sıra bu çalışmada, sertlik mekanik özelliğinin burulma ile eğilme bileşik gerilmesi altındaki kirişlerin konumu ve uzunluğu ile değişimi de incelenmiştir. Kiriş uzunluklarının artması ile sertlik değerlerinin azaldığı sonucuna kullanılan üç yöntemde de ulaşılmıştır. Kirişlerin konumlarının merkezden uzaklaşmasıyla elde edilen sertlik değerlerinde artış meydana geldiği görülmüştür. Konum değişimi ile sertlik değerlerinde meydana gelen artış kullanılan üç yöntemde de ortaya konulmuştur. Farklı yöntemler kullanılarak elde edilen tüm sonuçlar ile literatüre yeni bir çalışma kazandırılmış olup, bu çalışma ile gelecek çalışmalara yardımcı olunması sağlanmıştır. 42 KAYNAKLAR Alexander, R. (1990). Three uses for springs in legged locomotion. International Journal of Robotics Research, 9(2), 53-61. Alexandrou, M. (2015). Difficulties in FE-modelling of an I-beam subjected to torsion, shear and bending. (Master Thesis). KTH Royal Institute of Technology, Stockholm. Arwade, S., (t.y). Compound Stresses. Sanjay Arwade’ye ait ders notu (6 sayfa). University of Massachusetts Amherst, Department of Civil and Environmental Engineering, Massachusetts. Erişim adresi: http://www.ecs.umass.edu/~arwade/courses/cee331/combined_stresses.pdf Assakkaf, I. A.,(2003). Beams: Deformation by Superposition. Ibrahim A. Assakkaf”a ait ders notu (41 sayfa). University of Maryland, Department of Civil and Environmental Engineering, College Park. Erişim adresi: http://www.assakkaf.com/courses/enes220/lectures/lecture19.pdf Baba, S., Kajita, T. (1982). Plastic analysis of torsion of a prismatic beam. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18(6), 927-944. Chattopadhyay, S. (2015, June). Warping Deformation Caused by Twisting Non- circular Shafts Paper presented at 2015 ASEE Annual Conference & Exposition, Seattle, Washington. doi: 10.18260/p.25048 Deepanraj, B., Lawrence, P., Sankaranarayanan, G. (2011). Theoretical analysis of gas turbine blade by finite element method. Scientific world, 9(9), 29-33. Demiray, M.A. (2016). Dış iskelet robotlar için mr damper tasarımı. (Yüksek Lisans Tezi). Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı, Isparta. Francu, J., Novackova, P., Janicek, P. (2012). Torsion of a non-circular bar. Engineering Mechanics, 19(1), 45-60. Gill, S. S., and Boucher, J. K. G. (1964). "An experimental investigation of plastic collapse of structural members under combined bending and torsion." Struct. Engr., 42(12), 423-428. Hollander, K. W., Sugar, T. G., Herring, D. E. (2005, June). Adjustable robotic tendon using a 'Jack Spring'TM. In 9th International Conference on Rehabilitation Robotics, 2005. ICORR 2005. (pp. 113-118). IEEE. Jafari, A., Tsagarakis, N. G., Vanderborght, B., Caldwell, D. G. (2010, October). A novel actuator with adjustable stiffness (AwAS). In 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (pp. 4201-4206). IEEE. 43 Jafari, A., Tsagarakis, N. G., Caldwell, D. G. (2011, May). AwAS-II: A new actuator with adjustable stiffness based on the novel principle of adaptable pivot point and variable lever ratio. In 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation (pp. 4638-4643). IEEE. Kızılhan, H., Başer, Ö., Kılıç, E., Ulusoy, N. (2014). Dış iskelet Robot Eklemleri için Antagonisttik ve Öngerilmeli Tip Sertliği Değiştirilebilir Eyleyici Tasarımlarında Güç Gereksinimi ve Enerji Sarfiyatı Karşılaştırması. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 18(3 (Biyomekanik)), 77-91. Korucu, S., Gök, K., Tümsek, M., Soy, G., Gök, A. (2019). Farklı Profillere Sahip Kirişlerde Meydana Gelen Eğilme Gerilmesi ve Sehim Miktarının Teorik ve Nümerik Yöntemler ile Analizi. Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fen ve Mühendislik Dergisi, 21(62), 469-482. Massachusetts Institute of Technology. (2021, 20 Mayıs) Deflections due to Bending. Erişim adresi: https://ocw.mit.edu/courses/civil-and-environmental-engineering/1-050- solid-mechanics-fall-2004/readings/emech10_04.pdf Migliore, S. A., Brown, E. A., DeWeerth, S. P. (2005, April). Biologically inspired joint stiffness control. In Proceedings of the 2005 IEEE international conference on robotics and automation (pp. 4508-4513). IEEE. Nethercot, D. A., Salter, P. R., Malik, A. S. (1989). "Design of members subject to combined bending and torsion." SCI Publ. 05 7, Steel Constr. Inst. (SCI), Ascot, England. Omar, N., De’nan, F. (2016). Finite element analysis of deflection and stress in Triangular Web Profiled Steel Section (TRIWP) cantilever beam. DIGES PMU, ISSN, 2289-6376. Pi, Y. L., Trahair, N. S. (1994). Inelastic bending and torsion of steel I-beams. Journal of Structural Engineering, 120(12), 3397-3417. Pratt, G. A., Williamson, M. M. (1995, August). Series elastic actuators. In Proceedings 1995 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Human Robot Interaction and Cooperative Robots (Vol. 1, pp. 399-406). IEEE. Raj, P.P., Ramasamy, V. (2012). Strength of Materials. India: Dorling Kindersley Pvt. Ltd. Pearson. Redford, G. D. (1966). Components under Torsion and Combined Bending and Torsion. In Mechanical Engineering Design (pp. 186-208). Palgrave, London. Reis, M. (2009). Hareketli yüklere maruz mesnetli eğrisel kirişlerin dinamik davranışlarının incelenmesi (Doktora Tezi). Uludağ Üniversitesi, Bursa. 44 Reis, M. (2019). Robotik Uygulamalar İçin Prizmatik Kesitli Millerin Burulması Esasına Dayanan Elastik Eyleyici Tasarımı. Avrupa Bilim ve Teknoloji Dergisi, (Özel Sayı), 146- 151. Sayman, O., Karakuzu R., Aktaş A. (2014). Mukavemet-1. İzmir: Sürat Üniversite Yayınları. Sinha, S.K. (2007) Combined Torsional-Bending-Axial Dynamics of a Twisted Rotating Cantilever Timoshenko Beam with Contact-Impact Loads at the Free End, Journal of Applied Mechanics, 74, 505-522. Timoshenko, S., Goodier J.N. (1951). Theory of Elasticity (2th. Ed). New York: McGraw-Hill Book Company. Tonietti, G., Schiavi, R., Bicchi, A. (2005, April). Design and control of a variable stiffness actuator for safe and fast physical human/robot interaction. In Proceedings of the 2005 IEEE international conference on robotics and automation (pp. 526-531). IEEE. Tuna, Ö.S. (2008). Yatay Profil Bir Kirişin Burulma Davranışının Ansys’de İncelenmesi. Bitirme Projesi, DEÜ Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği, İzmir. Van Ham R., S. Thomas, B. Vanderborght, K. Hollander, D. Lefeber, (2009). Compliant actuator designs: review of actuators with passive adjustable compliance/controllable stiffness for robotic applications, IEEE Robotics and Automation Magazine 16(3), 81–94. Van Ham, R., Vanderborght, B., Van Damme, M., Verrelst, B., Lefeber, D. (2007). MACCEPA, the mechanically adjustable compliance and controllable equilibrium position actuator: Design and implementation in a biped robot. Robotics and Autonomous Systems, 55(10), 761-768. Vanderborght, B., Albu-Schaeffer, A., Bicchi, A., Burdet, E., Caldwell, D., Carloni, R., (2013). Variable impedance actuators: A review, Robotics and Autonomous Systems, 61(12), 1601–1614. Wolf, S., Hirzinger, G. (2008, May). A new variable stiffness design: Matching requirements of the next robot generation. In 2008 IEEE International Conference on Robotics and Automation (pp. 1741-1746). IEEE. Yayla P. (2010). Cisimlerin Mukavemeti (Teori ve Çözümlü Problemler). İstanbul: Çağlayan Yayınevi Yıldız A. R., (2015). Makine Elemanları, Bursa Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Ders Notları No: 1, Bursa, 51 s. Yılmaz, M. (2019). Analysis and modeling of an actuation system to be used in light- weight collaborative robots (Master thesis) Izmir Institute of Technology. 45 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Hüseyin VATANSEVER Doğum Yeri ve Tarihi : Bursa – 01.11.1994 Yabancı Dil : İngilizce Eğitim Durumu Lise : Bursa Atatürk Anadolu Lisesi 2012 Lisans : Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü, 2018 Çalıştığı Kurum/Kurumlar : İletişim (e-posta) : hsyn.vtnsvr@gmail.com Yayınları : 46