MATRİS FORMDA PSEUDOPARABOLİK 
DENKLEMLER 
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN 
T.C.
BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATRİS FORMDA PSEUDOPARABOLİK DENKLEMLER
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
Doç. Dr. Sezayi HIZLIYEL
(Danışman)
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BURSA–2019
Her Hakkı Saklıdır

B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu
tez çalışmasında;
- tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
- görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,
- başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel norm-
lara uygun olarak atıfta bulunduğumu,
- atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,
- kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
- ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka
bir tez çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
../../2019
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
ÖZET
Doktora Tezi
MATRİS FORMDA PSEUDOPARABOLİK DENKLEMLER
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
Bursa Uludağ Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Sezayi HIZLIYEL
Bu tez çalışmasında, genelleştirilmiş Q−holomorf fonksiyonlar teorisinden türetilmiş
matris formda
L[w] := wφ(z, t) + a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t) + c(z)w(z, t) + d(z)w(z, t)
pseudoparabolik denklemin çözümü için genel integral temsiller elde edilmiştir. Burada
w(z, t) = {wij(z, t)}, m × s tipinde kompleks değerli bir matristir. a, b, c ve d kat-
sayıları ise m×m tipinde Q ile değişmeli kompleks değerli matrislerdir. Ayrıca elde edi-
len integral temsilleri vasıtası ile matris formda pseudoparabolik denklemler için Riemann
sınır değer problemi tanımlanmış ve negatif olmayan indeks için probleme ait çözümler
sunulmuştur. Tezin birinci bölümü giriş kısmına ayrılmış ve kaynak özetleri verilmiştir.
İkinci bölümde, tezin sonraki bölümlerinde kullanılacak olan Q−holomorf fonksiyonlar
teorisi hakkında bilgi verilmiştir. Sonraki bölümlerde tez çalışmasının konusunu oluşturan
matris formda pseudoparabolik denklem için elde edilen genel çözüm temsilleri verilmiş
ve negatif olmayan indeks için Riemann sınır değer probleminin çözümleri elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler : Pseudoparabolik denklemler, genelleştirilmiş Beltrami sistemleri,
Cauchy-tip integral temsiller, genelleştirilmiş Q-holomorf fonksiyonlar, sınır değer prob-
lemleri
2019, v+ 67 sayfa.
i
ABSTRACT
PhD Thesis
PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS IN MATRIX FORM
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
Bursa Uludağ University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Sezayi HIZLIYEL
In this thesis, general integral representations are obtained for pseudoparabolic equation
in matrix form
L[w] := wφ(z, t) + a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t) + c(z)w(z, t) + d(z)w(z, t)
which derived by generalizedQ-holomorphic functions theory. Herew(z, t) = {wij(z, t)}
is an m × s complex valued matrix. The coefficients a, b, c and d are m ×m complex
matrix commuting with Q. Furthermore, the Riemann boundary value problem is defined
by means of obtained integral representations and solutions to the problem are presen-
ted for non-negative index. The first section of the thesis is reserved for introduction
and a summary of the literature is given. In the second section, information about the
Q−holomorphic functions which are to be used in later sections is given. In the following
sections, obtained general solution representations for pseudoparabolic equation in matrix
form which formed the subject of this thesis are given and solutions of Riemann boundary
value problem are obtained for non-negative index.
Key Words: Pseudoparabolic equations,Cauchy-type integral representation, generali-
zed Beltrami systems, generalized Q-holomorphic functions, boundary value problems
2019, v+67 pages.
ii
TEŞEKKÜR
Tez çalışmalarım sırasında yardımlarını esirgemeyen danışman hocam
Sayın Doç. Dr. Sezayi HIZLIYEL’e teşekkür ve saygılarımı sunarım.
Bununla birlikte beni bugünlere getiren ve desteklerini üzerimden hiç eksik etmeyen,
haklarını asla ödeyemeyeceğim kıymetli aileme çok teşekkür ederim.
Ayrıca bu süre boyunca gösterdiği sabır ve anlayış için sevgili eşim Şahin ÖZKAN’a
teşekkürü bir borç bilirim.
Son olarak doktora eğitimim sırasında yurt içi doktora burs programı ile beni destekle-
yen TÜBİTAK’a teşekkür ederim.
Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
../../2019
iii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SİMGELER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Q−HOLOMORF FONKSİYONLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Genelleştirilmiş Beltrami Sistemleri ve Kanonik Form . . . . . . . . . . . 5
2.2 Genelleştirilmiş Beltrami Sistemi İçin P Matris . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Q−holomorf Fonksiyon Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Doğurucu Çözümün Varlığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. MATRİS FORMDA PSEUDOPARABOLİK DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İÇİN İNTEGRAL TEMSİLLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Temel Çözümler Yardımıyla Pseudoparabolik Denklemin Çözümlerinin Temsili . 25
3.2 İkinci Çeşit Çözümler İçin İntegral Temsiller . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. PARÇALI SÜREKLİ ÇÖZÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Plemelj Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. SINIR DEĞER PROBLEMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Riemann Sınır Değer Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6. TARTIŞMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ÖZGEÇMİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
iv
SİMGELER DİZİNİ
Simgeler Açıklama
N Doğal sayılar kümesi
Ref(z) f(z) fonksiyonunun reel kısmı
Imf(z) f(z) fonksiyonunun sanal kısmı
G G bölgesinin kapanışı
C(G) G de sürekli fonksiyonlar sınıfı
BC (G) G de sınırlı fonksiyonlar sınıfı
C Kompleks sayılar kümesi
Lp p normlu fonksiyon uzayı
Cm (G) m. mertebeden sürekli türevlere sahip fonksiyonlar sınıfı
Bp (G) p. mertebeden sürekli ve sınırlı reel türevlere sahip fonksiyonlar sınıfı
R Reel sayılar kümesi
Ĉ Riemann küresi
v
1. GİRİŞ
Cauchy-Riemann sistemi,
ux = vy, uy = −vx
düzlemde birinci mertebeden en basit eliptik sistemdir. w = u + iv ve z = x + iy olmak
üzere, kompleks formda
wx + iwy = 0 ( ) (1.1)
şeklinde yazılabilir veya ∂ = 1 ∂ + i ∂ kısmi türev operatörü ile Cauchy-Riemann
∂z 2 ∂x ∂y
sistemi kompleks formda wz = 0 olarak tek bir denklem halinde de yazılabilir.
Bilindiği gibi, (1.1) denklemini sağlayanC1 sınıfından bir kompleks değişkenli fonksiyon
analitiktir. Tersine kompleks değişkenli her analitik fonksiyon (1.1) denklemini sağlar.
Yani (1.1) analitik fonksiyonları karakterize eder. (1.1) denklemi ve kompleks analitik
fonksiyonlar arasındaki ilişki, birçok matematikçiyi daha genel denklemler için benzer
bir ilişkinin geliştirilmesi konusunda motive etmiştir.
Douglis (1953),
wx + iwy + a(x, y)Ewx + b(x, y)Ewy = 0 (1.2)
formuna sahip eliptik denklemler için analitik fonksiyonlar teorisine benzer bir teori
geliştirmiştir. Burada E, m × m tipinde sabit nilpotent bir matris ve a, b ise kompleks
değerli fonksiyonl(ardır. Bojarski ()1966), Douglis’in teorisini geliştirerek
∂ ∂
Dw (z) := −Q(z) w (z) = 0 (1.3)
∂z ∂z
şeklindeki matris denklemleri incelemiştir. BuradaQ,m×m tipinde yarı diagonal bir mat-
ris, w, m × 1 tipinde matris değerli bilinmeyen bir fonksiyon ve Q nun hepsi
kompleks olan özdeğerleri mutlak değerce 1 den küçüktür.
Diğer bir genelleştirme de Hile (1982) tarafından verilmiştir. Hile, (1.3) denkleminde w
yı m× s tipinde bir kompleks matris, Q yu ise m×m tipinde kendi değişmeli bir matris
yani; kompleks düzlemin bir D0 bölgesinde her z1, z2 ∈ D0 noktası için Q nun
Q (z1)Q (z2) = Q (z2)Q (z1)
1
değişme özelliğini sağladığını varsaymıştır. Böylece Hile, Douglis ve Bojarski’nin teori-
sini ihtiva edecek şekilde analitik fonksiyon teorisinin bir benzerini elde etmiştir. Ayrıca
böyle bir Q matrisi bir benzerlik dönüşümü ile Bojarski’nin yarı diagonal formuna
dönüştürülemez. Hile, (1.3) denklemine genelleştirilmiş Beltrami sistemi adını vermiş ve
bu formdaki sistemlerin çözümlerini ise Q-holomorf fonksiyonlar olarak adlandırmıştır.
Hile, Douglis ve Bojarski’nin analitik fonksiyonlarda kompleks z değişkeninin üstlendiği
göreve karşılık gelecek şekilde tanımladığı doğurucu çözüm kavramını benzer bir şekilde
Q-holomorf fonksiyonlar için genelleştirmiştir. Hile, doğurucu çözüm olarak (1.3)
denkleminin φ (z) := φ0 (z) I + N (z) şeklinde kendi değişmeli özel bir çözümünü elde
etmiş ve bu çözüm vasıtasıyla (1.3) denklemini sağlayan herhangi bir Φ(z) matris değerli
fonksiyonunun, kompleks analitik bir f fonksiyonu yardımıyla f(φ(z)) şeklinde
yazılabildiğini göstermiştir. Böyle bir doğurucu çözüm vasıtasıyla Q-holomorf
fonksiyonlarda, analitik fonksiyonlar için ∂ , ∂ kısmi türev opetörlerinin yüksek boyutlu
∂z ∂z
bir karşılığı olarak,
∂ ( ) [ ]−1 ∂ ∂
= φzφz − φzφ φ − φ∂φ z z ∂z z ∂z
ve
∂ ( )−1
= φzφz − φzφz φzD
∂φ
kısmi türev operatörleri tanımlanabilir (Hızlıyel ve Çağlıyan 2007, s.576). (1.3) denklemi
yukarıdaki türevler yardımıyla
∂w
= 0
∂φ
olarak yazılabilir.
Hızlıyel ve Çağlıyan (2004a,b), Vekua (1962) ve Bers (1953) tekniklerini kullanarak
∂w
+ aw + bw = 0, (1.4)
∂φ
denklemi için bir fonksiyon teorisi geliştirmişlerdir. Burada w(z) = {wij(z)}, m × s
tipinde kompleks matris, Q(z) = {qij(z)}, m × m tipinde kendi değişmeli kompleks
matris ve qk,k−1 6= 0 , k = 2, . . .m. a = {aij(z)} ve b = {bij(z)} matrisleri Lp(D0)
sınıfına ait ve Q ile değişmelidirler. Bu formdaki denklemlerin çözümleri genelleştirilmiş
Q-holomorf fonksiyonlar olarak adlandırılmıştır. Bu denklem için elde edilen sonuçlar
2
Vekua ve Bers’in klasik fonksiyon teorisi ile benzerlikler göstermektedir.
Analitik fonksiyonların integral temsilleri, matematiksel analizin gelişiminde erken
evrelerde ortaya çıkmıştır ve diferensiyel denklemlerin analitik çözümlerinin açık bir tem-
sili için oldukça uygun araçlardır. Özellikle eliptik tipten kısmi diferensiyel denklemlerin
çözümlerine ait bazı analitik özelliklerinin elde edilmesinde önemlidir.
İki bağımsız değişkenli lineer eliptik kısmi diferensiyel denklemlerin analitik teorisi Lewy
(1959), Bergman (1961) ve Vekua (1967) gibi pek çok matematikçi tarafından kapsamlı
bir şekilde araştırılmıştır. Bu araştırma alanı analitik fonksiyon teorisi ve kısmi diferensi-
yel denklemler arasındaki boşluğu doldurur. Analitik başlangıç koşulları varsayımı altında
pseudoparabolik denklemler için uygun bir teorinin geliştirilebileceği Colton (1972)
tarafından gösterilmiştir. Pseudoparabolik denklemler
M [ut] + L[u] = 0
formundadır. BuradaM veL analitik katsayılı ikinci mertebeden lineer eliptik operatörler-
dir. Ayrıca her bir operatörün temel kısmı Laplasiyandır ve M operatörü selfadjointtir.
Pseudoparabolik denklemler viskoz bir sıvının akışı ile ilgili belirli problemlerle bağlantılı
olarak fizikte ortaya çıkmaktadır. Örneğin, ikinci mertebeden düzensiz ve basit kayma
akışının hızı, bir boyutlu sabit katsayılı bir pseudoparabolik denkleme karşılık gelir.
Benzer şekilde konsolidasyon süresince bir miktar kil içindeki hidrostatik basınç yine
yukarıdaki forma sahip bir denklemi sağlar (Colton 1972). Yine bir başka örnek, çatlamış
kayalarda homojen sıvıların sızması teorisinde ortaya çıkmaktadır. Bu durumda,
çatlaklardaki sıvının ortalama basıncı, pseudodoparabolik tipte bir denklemi sağlar
(Barenblat ve ark. 1960, Showalter ve Ting 1970).
Bu çalışmada, genelleştirilmiş Q−holomorf fonksiyonlar teorisinden türetilmiş matris
formda
L[w] := E[wt] + A[w] = 0
pseudoparabolik denklemin çözümü için genel integral temsiller elde edilecektir.
Burada E
E[w] := wφ(z, t) + a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t)
3
bir eliptik operatör ve A
A[w] := c(z)w(z, t) + d(z)w(z, t)
bir cebirsel operatördür. w(z, t) = {wij(z, t)}, m × s tipinde kompleks değerli bir
matristir. a, b, c ve d katsayıları ise m × m tipinde Q ile değişmeli kompleks değerli
matrislerdir ve zaman değişkeni t den bağımsızdır. Ayrıca bu katsayıların C\D bölge-
sinde sıfır olduğu varsayılmıştır. Burada D ⊂ C sınırlı bir bölgedir. Amacımız, integral
temsilleri vasıtası ile matris formda pseudoparabolik denklemler için Riemann sınır değer
problemini tanımlamak ve çözülebilirliğini araştırmaktır.
4
2. Q−HOLOMORF FONKSİYONLAR
Bu bölümde, Douglis ve Bojarski teorisini ihtiva eden ve Hile (1982) tarafından verilen
fonksiyon teoriyi ele alacağız. Burada özetlenen fonksiyon teori aynı zamanda Douglis
ve Bojarski tarafından verilen fonksiyon teorinin ana hatlarını gözden geçirmeye de fırsat
verecektir.
2.1 Genelleştirilmiş Beltrami Sistemleri ve Kanonik Form
Hile, düzlemde birinci mertebeden
wz̄(z) = Q(z)wz(z) (2.1)
denklemini göz önüne almıştır. (2.1) denkleminde w yı m × s tipinde bir kompleks
matris, Q yu da m × m tipinde kendi değişmeli bir matris ve kompleks düzlemin bir
D0 bölgesinde Hölder sürekli varsayarak (2.1) denkleminin çözümleri için bir fonksiyon
teori geliştirmiştir. Burada Hölder süreklilik ile, D0 ın herhangi bir K kompakt alt cümle-
sinde bulunan tüm z1, z2 ∈ K elemanları için
‖Q(z1)−Q(z2)‖ ≤ c|z1 − z α2|
olacak şekilde c ≥ 0, 0 < α ≤ 1 sabitlerinin mevcut olduğunu anlayacağız. Q nun bu
özelliğini Q ∈ H(D0) ile göstereceğiz. Kullanılan matris norm, bir M = (mij) matrisi
için ∑
‖M‖2 = trace (M∗M) = |m |2ij
i,j
ile verilmiş standart normdur. Burada M∗, M matrisinin eşlenik transpoz matrisidir.
İleride karışıklığa yol açmamak için
∑m ∑s
w (z) = wij (z) e
ij (2.2)
i=1 j=1
ile temsil edilmiş m × s tipindeki kompleks matris değerli fonksiyonların bazı uzay-
larını tanımlayalım. Buradawij kompleks değerli bir fonksiyondur. eij ise, i. satır j. sütun
elemanı 1, diğer elemanları 0 olan m × s tipindeki sabit matrisi gösterir. Genelde (2.2)
ile verilmiş bir fonksiyonun, eğer tüm wij kompleks fonksiyonları belirli bir uzayda ise,
o fonksiyona bahsi geçen uzaydadır denilir. Örneğin, eğer tümwij kompleks değerli fonk-
5
siyonları Lp (D) uzayında ise w ∈ Lp (D) denir, burada D düzlemde bir bölgedir. Bu
kriter aşikar olarak ‖w‖ ∈ Lp (D) olmasına denktir.
Bileşenleri bir D(bö)lgesinde m. mertebeye kadar sürekli diferensiyellenebilir fonksi-
yonlar uzayı Cm D ile gösterilecek ve m = 0 için C0 (D) = C (D) gösterimi kul-
lanılacaktır. Her bir t ∈ R için z ∈ C de sınırlı olan fonksiyonların uzayı BC(C × R) ile
gösterilecektir.
Şimdi Q matrisinin
Q (z1)Q (z2) = Q (z2)Q (z1) , z1, z2 ∈ D0
ile verilen kendi değişmelilik özelliğini biraz daha genelleyelim. Eğer A ve B matris
değerli fonksiyonları D0 da tanımlı ve her z1, z2 ∈ D0 için
A(z1)B(z2) = B(z2)A(z1)
özelliğini sağlıyorsa A ve B matrislerine D0 da değişmelidir denilecektir.
A ve B nin C1 sınıfından ve D0 da değişmeli olduğunu varsayalım. Bu durumda Ax, Ay,
Az, Az̄ türevlerinin tümü D0 da B ile ve B nin birinci türevleriyle değişmelidir. Özellikle
A, D0 da kendi değişmeli ise, A nın birinci mertebeden kısmi türevleri kendi değişmeli,
A ile değişmeli ve kendi aralarında değişmelidirler. Ayrıca A, D0 da B ile değişmeli ise,
A matrisinin tersi mevcut oluduğunda, tersi de D0 da B ile değişmelidir.
Şimdi, bu ön bilgilerden sonra genelleştirilmiş Beltrami sistemini tanımlayabiliriz:
Tanım 2.1.1. EğerQ, D0 bölgesinde kendi değişmeli ve her z ∈ D0 için mutlak değerce 1
büyüklüğünde karakteristik değerlere sahip değilse, (2.1) sistemine genelleştirilmiş
Beltrami sistemi denir. Bu sistemin çözümleri ise Q-holomorf fonksiyonlar olarak
adlandırılmıştır (Hile 1982).
Bir D0 bölgesinde w, m×m tipinde ve v, m× s tipinde iki Q-holomorf fonksiyon olsun
ve w nın D0 da Q ile değişmeli olduğunu varsayalım. Bu varsayımlar altında
(wv)z̄ = wz̄v + wvz̄ = Qwzv + wQvz = Q(wv)z
yazılabilir ve buradan Q-holomorf iki fonsiyonun çarpımınınQ-holomorf olduğu söylene-
6
bilir. Ayrıca w nın herhangi pozitif bir kuvveti de Q-holomorftur. Diğer taraftan,
w matris değerli fonksiyonunun tersinin mevcut olduğu noktalarda ise
(w−1)z̄ = −w−1w −1z̄w = −w−1Qw w−1z = −Qw−1wzw−1 = Q(w−1)z
yazılabilir. Böylece w, Q-holomorf ise, w−1 de Q-holomorftur. Buradan Q-holomorf ve
tersinir bir w fonksiyonunun negatif kuvvetlerinin de Q-holomorf olduğu söylenebilir.
Douglis (1953) ve Bojarski (1966), (2.1) denklemini Q üzerinde ki farklı varsayımlarla
ele almışlar ve bu denklem için bir fonksiyon teorisi geliştirm işlerdir. Douglis, Q nun
 0 . . . 0  a1 0 .Q =  .  a2 a1 0 .. . .. . . 
am−1 . . . a2 a1 0
formunda ve Bojarski ise Q nun  
 A1 0 A2 
Q =  . . . 
0 An
formunda olması halinde (2.1) denklemini incelemişlerdir. Burada esas köşegen üzerinde
bulunan Ai ler 


λ 0
 i

a i1 λi
 Ai =  ai2 a  i1
λi  .
. 
.. . . . . . . 
aim−1 · · · ai1 λi
şeklindeki alt üçgensel bloklardan oluşur. Bu şekildeki Q matrisleri kendi değişmelidir ve
Bojarski tarafından alt yarı diagonal matris olarak adlandırılmıştır. Douglis ve
Bojarski’nin ele aldığı Q matrisinin kendi değişmeli olduğunu görmek kolaydır.
Dolayısıyla Hile’in (1982) Q-holomorf fonksiyonlar teorisinin, Douglis ve Bojarski
tarafından geliştirilen teorinin bazı özelliklerini içerdiğini söylemek yanlış olmaz. Hile
tarafından ele alınan genelleştirilmiş Beltrami sisteminin kanonik formu, Bojarski’nin
7
alt yarı diagonal formuna yakındır. Buna ilişkin olarak aşağıdaki lemma önemlidir ve
Jacobson (1953) tarafından verilen bir teoremin özel halidir.
Lemma 2.1.2. {Qα}, m × m tipinde kompleks matrislerin değişmeli bir sınıfı olmak
üzere,
  Aα1 0 − A SQ S 1 α =  α2 . . . 
0 Aαn
formundaki her Qα için, singüler olmayan m ×m tipinde bir S kompleks matrisi vardır.
Burada Aαi ler
  Pαi 0

Pαi 
Aαi = . . . 
∗ Pαi
şeklindedir ve her bir Aαi nin boyutu tüm α lar için aynıdır fakat i değişebilir. ∗ ise sıfır
olmayan muhtemel terimleri temsil etmektedir (Hile 1982).
Bu lemma, kendi değişmelilik özelliğinin gerçekte kuvvetli bir koşul olduğunu gösterir.
Şimdi (2.1) sistemi için aşağıdaki teoremi ifade edelim.
Teorem 2.1.3. (2.1), D0 da bir genelleştirilmiş Beltrami sistemi olsun. O halde m × m
tipinde sabit bir kompleks S matrisi vardır öyle ki eğer v = Sw ve Q̂ = SQS−1 ise, (2.1)
denklemi
vz̄ = Q̂vz (2.3)
denklemine dönüşür. Ayrıca Q̂  A1(z) 0

A2(z) 
Q̂(z) = . .  (2.4).
0 An(z)
8
formundadır, burada 
 λi(z) 0 λi(z) 
Ai(z) =  . . .  (2.5)
∗ λi(z)
dir. Ai(z) lerin her biri bütün z ler için aynı boyuttadır (Hile 1982).
Q̂ matrisi diagonal olduğundan, (2.5) de esas köşegen üzerinde bulunan λi(z) ler Q̂(z)
nin özdeğerleridir. Benzerlik dönüşümü altında özdeğerler değişmez kaldığından, λi(z)
ler aynı zamanda Q(z) nin de özdeğerleridir. Ayrıca Q̂ ve Ai bloklarının D0 da kendi
değişmeli olduğu görülebilir. Her bir Ai matrisi
Ai = λi(z)I +Ni(z)
şeklinde yazılabilir, burada I birim matris ve Ni esas köşegen üzerindeki elemanları sıfır
olan bir alt üçgensel nilpotent matristir. Her Ni(z) matrisi D0 da kendi değişmelidir.
(2.4) ve (2.5) matrsilerinden (2.1) sisteminin (2.3) kanonik formunun
vz̄ = Avz (2.6)
şeklinde n ayrık alt sistemden oluştuğu görülür. Burada, A, (2.5) şeklinde bir matris ve
esas köşegen üzerindeki λ(z) terimi D0 da |λ(z)| =6 1 şartını sağlar. Yalnızca v nin ilk
bileşeni olan v1 i içeren (2.6) sisteminin ilk denklemi
v1,z̄ = λv1,z
bir adi Beltrami denklemidir. Burada λ Hölder sürekli olduğundan, bu denklemin
herhangi bir v1 çözümü birinci basamaktan Hölder sürekli türevlere sahiptir. (2.6)
sisteminin ikinci denklemi
v2,z̄ = λv2,z + av1,z
formundadır. Bu denklem Hölder sürekli katsayılara sahip homojen olmayan bir Beltrami
sistemidir ve böylece v2 birinci basamaktan Hölder sürekli türevlere sahiptir. Bu şekilde
devam edilirse, homojen olmayan adi Beltrami denklemlerinin çözümlerinin özellikleri
kullanılarak, (2.3) denkleminin çözümleri ve dolayısıyla (2.1) genelleştirilmiş Beltrami
9
sisteminin çözümlerinin birinci basamaktan Hölder sürekli kısmi türevlere sahip olduğu
gösterilebilir.
(2.4) formundaki Q̂ matrisinin, bir benzerlik dönüşümü yardımıyla, Bojarski’nin yarı di-
agonal formuna indirgenip indirgenemeyeceği açık bir sorudur ki bu Bojarski’nin formu-
nun tüm genelleştirilmiş Beltrami sistemleri için kanonik bir form olarak ele alınması için
yeterince genel olduğunu ima eder. Bu soruya bir ters örnek olarak 3× 3 tipindeki
 0 0 0 Q(z) = q(z) i 0 
r(z) 0 i
matrisini alalım. Bu matris q(z) ve r(z) fonksiyonlarının herhangi seçimleri için kendi
değişmelidir. q(z) = 1, r(z) = x seçimini göz önüne alalım. Bu durumda SQ = Q̂S
sağlanacak ve Q̂ Bojarski formuna sahip olacak şekilde tersinir bir S matrisinin mevcut
olmadığı kolayca gösterilebilir. Hatta S matrisinin değişken fakat sürekli olması
durumunda da ters örnekler mevcuttur. Mesela, n pozitif bir tamsayı olmak üzere
1 1
q(z) = xn sin( ) + xn+1 cos( ), r(z) = xn+1
1 1
sin( ) + xn cos( )
x x x x
ise, Q, Cn−1 sınıfına aittir. y-ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın herhangi bir
komşuluğunda SQ = Q̂S sağlanacak ve Q̂ Bojarski formuna sahip olacak şekilde tersinir
ve sürekli bir S(z) matrisinin mevcut olmadığı gösterilebilir (Jacobson 1953). Böylece
anlaşılıyor ki, Bojarski formu, tüm genelleştirilmiş Beltrami sistemleri için bir kanonik
form olarak ele alınacak kadar genel değildir.
2.2 Genelleştirilmiş Beltrami Sistemi İçin P Matris
Q mutlak değerce 1 büyüklüğünde karakteristik değerlere sahip olmayan m ×m tipinde
sabit bir ma∫tris olmak üzere
P = (zI + z̄Q)−1(Idz +Qdz̄) (2.7)
|z|=1
integralini ele alalım. Burada I birim matristir ve Q = 0 ise P = 2πiI dir. Anali-
tik fonksiyonlarda 2πi sabitinin rolünü, burada P üstlenecektir. Q mutlak değerce bir
büyüklüğünde karakteristik değere sahip olmadığı için (zI + z̄Q) matrisinin |z| = 1
çemberi üzerinde tersi mevcuttur. Dolayısıyla (2.7) integrali tanımlıdır.
10
Teorem 2.2.1. (2.7) ile verilen P matrisi tersinirdir ve Q matrisi ile değişmelidir. P mat-
risinin olası özdeğerleri yalnızca ±2πi dir. Eğer Q nun tüm özdeğerleri 1 den küçük
(büyük) ise bu taktirde P = 2πiI (−2πiI) dir (Hile 1982).
İspat. Öncel∫ikle |λ| < 1 özelliğindeki λ lar için Q = λI olduğunu varsayalım. O halde
1
P = I (dz + λdz̄) (2.8)
|z|=1 z + λz̄
dir. |λ| < 1 olduğundan z+λz̄ ifadesi |z| = 1 üzerinde hiçbir zaman sıfır olmaz ve z birim
daire etrafında saat yönünün tersine hareket ettikçe, z ile z + λz̄ nin argüman değişimleri
aynıdır ve 2π dir. Böylece komple∫ks logaritma fonksiyonunun uygun bir dalı için
P = I d[log(z + λz̄)] = 2πiI
|z|=1
yazılabilir. Şimdi |λ| > 1 özelliğindeki λ lar için Q = λI olsun. (2.8) ifadesinde ζ̄ = z
dönüşümü ya∫pılırsa, |λ|
−1 < 1 olacağından ∫
1 1
P = −I (dζ̄ + λdζ) = −I (dζ + λ−1dζ̄) = −2πiI
|ζ|=1 ζ + λζ |ζ|=1 ζ + λ−1ζ̄
elde edilir. Şimdi |λ| 6= 1 olmak üzere Q matrisinin Q = λI + N formunda olduğunu
varsayalım. Burada N sabit bir nilpotent matristir (yani N r = 0 olacak şekilde pozitif bir
r tam sayısı vardır). O halde
∑r−1
(zI + z̄Q)−1 = [(z + λz̄)I + z̄N ]−1 = (−1)k(z + λz̄)−k−1(z̄)kNk
k=0
ve
(zI + z̄Q)−1(Idz +Qdz̄) =∑(zI + z̄Q)
−1(Idz + λIdz̄ +Ndz̄)
r−1
= (z + λz̄)−1(dz + λdz̄)I − (−1)kk−1d[(z + λz̄)−k(z̄)kNk]
k=1
dir. Yukarıdaki ifade |z| = 1 çemberi üzerinde integre edilirse, tam diferensiyel içeren
terimler sıfır olur. Dolayısıyla
∫ {
2πiI, |λ| < 1
P = I (z + λz̄)−1(dz + λdz̄) =
|z|=1 −2πiI, |λ| > 1.
Şimdi Q nun (2.4) formunda olduğunu varsayalım. Ni nilpotent kısım ve I birim matris
11
olmak üzere her bir Ai matrisi Ai = λi(z)I + Ni(z) şeklinde yazılabilir. Bu durumda Q̂
için karşılıkgelen P değeri P̂ ile gösterilirse  ±2πiI1 0 ±

2πiI2 
P̂ = . .  (2.9).
0 ±2πiIn
şeklindedir. Burada Ii, Ai ile aynı boyuta sahip birim matristir ve + veya − işareti λi nin
birim çemberin içinde veya dışında olmasına göre seçilir. Son olarak, varsayalım ki Q, 1
büyüklüğünde özdeğere sahip olmayan keyfi bir matris olsun. Q̂, (2.4) formunda olmak
üzere Q̂ = SQS−1 dir. O ha∫lde
SPS−1 = ∫ S(zI + z̄Q)−1S−1S(Idz +Qdz̄)S−1|z|=1
= (zI + z̄Q̂)−1(Idz + Q̂dz̄) = P̂
|z|=1
dir, burada P̂ , Q̂ ya karşılık gelen P değeridir. Böylece P = S−1P̂S. Buradan P ve P̂ nin
özdeğerlerinin aynı olduğu söylenebilir. O halde Q nun tüm özdeğerleri birim çemberin
içinde (dışında) bulunuyorsa, P = P̂ = 2πiI ( P = P̂ = −2πiI) dir. (2.7) integralinden
P nin Q ile değişmeli olduğu görülür.
Şimdi Q = Q(z) nın bir D0 bölgesinde tanımlı değişken ve kendisi ile değişmeli bir
matris olduğunu varsayalım. Bu durumda P matrisi formal olarak z noktasına bağlıdır.
Eğer Q sürekli ise P (z) nin D0 da tüm z noktaları için aynı olduğu gösterilebilir.
Teorem 2.2.2. Q = Q(z) düzlemin bir D0 bölgesinde tanımlı ve sürekli m ×m tipinde
bir kompleks matris olmak üzere Q nun D0 üzerinde kendisi ile değişmeli ve her z ∈ D0
için Q nun mu∫tlak değerce 1 büyüklüğünde özdeğere sahip olmadığını varsayalım ve
P (z) = [ζI + ζ̄Q(z)]−1[Idζ +Q(z)dζ̄] (2.10)
|ζ|=1
olsun. Bu taktirde P (z), D0 da sabittir ve Q ile değişmelidir (Hile 1982).
İspat. Teorem 2.1.3 yardımıyla, her z ∈ D0 için Q̂(z) = SQ(z)S−1 olacak şekilde
singüler olmayan bir S matrisinin mevcut ve Q̂ matrisi (2.4) formunda olduğu
görülebilir. Q̂ ya ilişkin P̂ değeri (2.9) şeklinde bir matristir. Q ve dolayısıyla Q̂, z nin
12
sürekli fonksiyonları olduğundan P̂ için (2.10) integral temsili kullanılırsa, P̂ nın da z
nin sürekli fonksiyonu olduğu elde edilir. Böylece (2.9) ile verilen matrisin her bir bloğu
için + veya− işaretinin seçimi D0 da tüm z ler için aynı olacaktır ve P̂ bir sabit matristir.
Buradan P = S−1P̂S ifadesinin de sabit olduğu görülebilir. P ninQ ile değişmeli olduğu
ise P için (2.10) ile verilen integral temsilinden elde edilir.
2.3 Q−holomorf Fonksiyon Teori
Düzlemde birinci mertebeden
ux = vy, uy = −vx ( )
sistemine Cauchy-Riemann sistemi denir. İyi bilindiği gibi ∂ = 1 ∂ + i ∂ kısmi
∂z 2 ∂x ∂y
türev operatörü ile Cauchy-Riemann sistemi wz = 0 formunda tek bir denklem olarak da
yazılabilir. Burada w = u+ iv ve z = x+ iy dir. Hile (1982), Douglis (1953) ve Bojarski
(1966) tarafından elde edildiği gibi, analitik fonksiyonlarda kompleks z değişkeninin
üstlendiği göreve karşılık gelecek şekilde (2.1) denkleminin φ(z) = φ0(z)I + N(z)
formuna sahip bir özel çözümünü elde etmiş ve (2.1) denkleminin ∂w = 0 şeklinde tek bir
∂φ
denklem olarak yazılabileceğini göstermiştir. Hile, bu özel çözümü doğurucu çözüm ola-
rak adlandırmıştır. Elde edilen bu doğurucu çözüm vasıtası ile analitik fonksiyon teorisine
benzer bir teori elde etmiştir. Bu kısımda, doğurucu çözümün varlığı kabul edilecek ve
bazı özellikleri açıklanacaktır. Doğurucu çözüm kullanılarak genelleştirilmiş Beltrami sis-
temleri için Hile (1982) tarafından elde edilmiş fonksiyon teori açıklanacaktır. Doğurucu
çözümün elde ediliş metodu bir sonraki kısımda açıklanacaktır.
Tanım 2.3.1. D0 da tanımlı m × m tipnde bir φ = φ(z) kompleks matris değerli
fonksiyonuna
i) φ, D0 da (2.1) denkleminin C1 sınıfından bir çözümüdür,
ii) φ, D0 da kendisi ile ve Q ile değişmelidir,
iii) her z, ζ ∈ D0, z 6= ζ için φ(ζ)− φ(z) tersinirdir,
iv) her z ∈ D0, için φz(z) tersinirdir,
özelliklerini sağlaması halinde D0 bölgesinde (2.1) için bir doğurucu çözüm denir (Hile
1982).
13
Q nun sabit bir matris olması durumunda
φ(z) = zI + z̄Q
ifadesinin bir doğurucu çözüm olduğu kolayca gerçeklenebilir. Bu durumda fonksiyon te-
orisi oldukça basitleşir (Gilbert ve Buchanan 1983). (2.1) genelleştirilmiş Beltrami
sisteminin bir D0 bölgesinde doğurucu çözüme sahip olduğunu varsayalım. Q ∈ H(D0)
varsayıldığından φ nin birinci türevleri de D0 bölgesinde Hölder süreklidir (Kısım 2.1’e
bakınız). z, ζ ∈ D0 ve z ile ζ yı birleştiren doğru D0 da bulunsun. Bu durumda,
φ∫(ζ){− φ(z)− φz(ζ − z)− φz̄(ζ̄ − z̄)1 ]
= [φz(z + t(ζ − z))− φz(z)](ζ − z) + [φz̄(z + t(ζ − z))− φz̄(z)](ζ̄ − z̄) }dt
0
yazılabilir. φz,φz̄ ∈ H(D0) olduğundan, c ≥ 0 ve 0 < α < 1 özelliğinde c ve α sabitleri
vardır öyle ki z ye yeterince yakın tüm ζ değer∫leri için1
‖ cφ(ζ)− φ(z)− φ α α+1 α+1z(ζ − z)− φz̄(ζ̄ − z̄)‖ ≤ ct |ζ − z| dt = |ζ − z|
0 α + 1
dir. Ayrıca φ nin (2.1) denklemini sağladığını da göz önüne alırsak, ζ → z, z ∈ D0 için
doğurucu çözümün yukarıda verilen dört özelliğine ek olarak
v) φ(ζ)− φ(z) = [(ζ − z)I + (ζ̄ − z̄)Q]φz(z) +O(|ζ − z|α+1)
özelliği de geçerlidir (α, z ye bağlıdır ancak D0 ın herhangi bir kompakt alt cümlesinde
değişirken sabit olarak düşünülebilir).[v özelliğinden ]−1
[φ(ζ)− φ(z)]−1 = (ζ̄ − z̄)−1 ζ − z{ [ I +Q(z) ×ζ̄ − z̄ ] }−1 −1
ζ − z
φz(z) + I +Q(z) O(|ζ − z|α)
ζ̄ − z̄
e[lde edilir. Q(]z) matrisi varsayım gereği 1 büyüklüğünde özdeğere sahip olmadığından
ζ− −1z
− I +Q(z) matrisi tüm ζ 6= z için düzgün sınırlıdır. Böylece doğurucu çözüm içinζ̄ z̄
ζ → z, z ∈ D0 için
vi) ‖φ(ζ)− φ(z)‖−1 = O(|ζ − z|−1)
tahmini elde edilir.
14
Teorem 2.3.2. w = w(z) ∈ C1(D0), m× s boyutlu kompleks matris değerli bir fonksi-
yon olmak üzere
dw(z)
= lim {φ(z + ∆z)− φ(z)}−1 [w(z + ∆z)− w(z)] (2.11)
dφ(z) ∆z→0
limitinin bir z ∈ D0 noktasında mevcut olması için gerek ve yeter koşul,w fonksiyonunun
z de (2.1) denklemini sağlamasıdır. Bu durumda
dw(z)
= φ−1z (z)wz(z) (2.12)dφ(z)
dir (Hile 1982).
İspat. Varsayalım ki (2.11) ile verilen limit mevcut olsun. v özelliğinin kullanılmasıyla
φ(z + ∆z)− φ(z) =[(∆z)I + (∆z)Q(z)]φz(z) +O(|∆z|α+1)
{ }
∆z
= [I + Q(z)]φz(z) +O(|∆z|α) ∆z
∆z
yazılabilir. (2.1) denkleminde ∆z = ∆x , ∆z = i∆y yazılır ve ∆z → 0 için limit alınırsa
sırasıyla
dw(z)
= [I +Q(z)]−1φ −1z(z) wx(z) (2.13)
dφ
ve
dw(z)
= [I −Q(z)]−1φz(z)−1(−iwy(z)) (2.14)
dφ
bulunur. Buradan (2.13) ve (2.14) ifadelerinin eşitlenmesiyle
(I +Q)−1wx = (I −Q)−1(−iwy)
elde edilir. Bu ise (2.1) denklemini verir. Tersine, w, z de (2.1) denklemini sağlasın.
(2.11) limitinin mevcut olduğunu gösterelim. φ için verilen v özelliği, w için aynı şekilde
çıkarılabilir. Böylece bir α için
15
φ(z + ∆z)−{φ(z)]−1[w(z + ∆z)− w(z)] }−1
∆z
= φ −1 αz({z) + [ I +Q(z)] O(|∆z| )∆z }
× ∆zwz(z) + [ I +Q(z)]−1O(|∆z|α) (2.15)
∆z
elde edilir. Q nun mutlak değerce 1 büyüklüğünde özdeğeri olmadığı dikkate alınırsa,
|∆z | = 1 olduğundan
∆z [ ]−1
∆z
I +Q(z)
∆z
matrisi tüm ∆z 6= 0 için düzgün sınırlıdır. Böylece ∆z sıfıra yaklaştığında (2.15)
ifadesinden (2.12) elde edilir.
Tanım 2.3.3. w ∈ C1 fonksiyonu için (2.11) limiti mevcutsa, w ya φ-türevlenebilir denir
(Hile 1982).
Eğer φ, C1 sınıfından ve (2.11) limiti mevcut ise, herhangi bir n ≥ 0 için φn kuvveti D0
n
da φ-türevlenebilir ve d(φ ) = nφn−1 dir. z =6 ζ olacak şekildeki tüm ζ ∈ D0 içindφ
d
[φ(ζ)− φ]−n = n [φ(ζ)− φ]−n−1
dφ
dir.
Klasik fonksiyon teoride iyi bilinen Green formülleri benzer bir şekilde (2.1) denklemi
için de ifade edilebilir. Bu formül, Douglis ve Bojarski tarafından Q üzerinde biraz daha
kuvvetli şartlar altında ispatlanmıştır. Eğer D ⊂ D0 ve D bölgesinin Γ sınırı, parçalı
sürekli teğete sahip olan sonlu sayıda basit kapalı eğrilerden ibaret ise, sınırlı bir D bölge-
sine D0 nin regüler bir alt bölgesi denir.
Teorem 2.3.4. v, D0 da (2.1) denkleminin C1(D0) sınıfından, Q ile değişmeli m × m
tipinde bir çözümü olsun. D, D0 ın Γ = ∂D sınırına sahip bir regüler alt bölgesi olsun.
O hald∫e eğer u ∈ C
1
∫(D∫ ) ∩ C(D) ve D de birinci mertebeden sınırlı türevlere sahip ise,
(dv)u = 2i vz(uz̄ −Quz)dxdy (2.16)
Γ D
16
dir (Hile 1982).
İspat.∫v ∈ C
∞(C∫) olduğunu varsayalım. Kompleks formda Green formülü kullanılarak
(dv)u = ∫(v∫zudz + vz̄udz̄)Γ Γ
= 2i∫∫ [(vzu)z̄ − (vz̄u)z] dxdyD
= 2i (vzuz̄ − vz̄uz)dxdy (2.17)
D
yazılabilir. Dikkat edilirse (2.17) ifadesinde ilk ve son integraller v fonksiyonunun
sadece birinci türevlerini içermektedir. v ∈ C1(D0) olması durumunda (2.17) deki ilk
ve son integrallerin eşit olduğu sonucunu çıkarmak için, (2.17) ifadesini C∞(C) de bulu-
nan fonksiyonların bir dizisine uygulayabiliriz ki bu fonksiyonlar C1(D) da v ye yaklaşır.
O halde (2.17) de vz̄ = Qvz alır ve vz nin Q ile değişmeli olduğunu kullanırsak (2.16)
elde edilir.
Sonuç 2.3.5. φ, (2.1) için D0 da bir doğurucu çözüm ve D, D0 bölgesinin Γ sınırına sahip
bir regüler alt bölgesi olsun. Eğer w ∈∫C(D) ve w, D bölgesinde Q-holomorf ise,
(dφ)w = 0
Γ
dir (Hile 1982).
Bir sonraki lemma Cauchy integral formülün türetilmesi için ön hazırlık niteliğindedir.
Lemma 2.3.6. φ, D0 da (2.1) için bir doğurucu çözüm olsun. Eğer z ∈ D0 ise ve z
merke∫zli  yarıçaplı kapalı disk D0 da bulnuyorsa,
[φ(ζ)− φ(z)]−1 (dφ)ζ = P (2.18)
|ζ−z|=
dir, burada P , (2.1) sistemi için bir P -matristir (Hile 1982).
İspat. Sonuç 2.3.5, (2.18) integralinin değerinin  dan bağımsız olduğunu ve
|ζ − z| =  çemberi, z civarında bir kez dolanım yapan herhangi bir düzgün eğriye
dönüştürülse bile bu integralin değerinin değişmeyeceğini gösterir. Böylece (2.18)
integralinin değerini hesaplamak için,  → 0 için integralin değerinin limitini hesapla-
17
mak yeterlidir. Doğurucu çözümün i. ve v. özellikleri ve ζ − z = eiθ yazımı kullanılırsa
[φ(ζ)− φ(z)]−1 dφ(ζ)
{[ ] } [ ]
= (ζ − −1z)I + (ζ̄ − z̄)Q(z) φz(z) +O(|ζ − z|1+α) φζ(ζ) dζ +Q(ζ)dζ̄
{[ − ] }−1 [ ]= eiθI + e iθQ(z) φ (z) +O(α) φ (z + eiθ) ieiθ −Q(z + eiθ)ie−iθz ζ dθ
bulunur. Bu ifade (2.18) integralinin sol tarafında yerine yazılır ve  sıfıra giderken limit
alınırsa ∫ 2π [
eiθI + e−
] [ ]
iθQ(z) Iieiθ −Q(z)ie−iθ dθ
0
∫ [ ]−1
= ζI + ζQ¯(z) [Idζ +Q(z)dζ] = P
|ζ|=1
elde edilir.
Genelleştirilmiş analitik fonksiyon teorisinde genelleştirilmiş Cauchy-Pompieu formülü
(Vekua 1962, s.41) olarak bilinen formülü Hile matris değerli fonksiyonlar için aşağıdaki
şekilde ifade etmiştir.
Teorem 2.3.7. D, D0 bölgesinin regüler bir alt bölgesi ve Γ = ∂D, D bölgesinin sınırı
olmak üzere w, D bölgesinde birinci mertebeden sınırlı türevlere sahip C1(D) ∩ C(D)
sınıfından m× s ti∫pinde bir matris olsun. O halde bir z ∈ D için
w(z) =P−1 [φ(ζ)− φ(z)]−1(dφ)(ζ)w(ζ)
Γ
∫∫
− 2iP−1 φζ(ζ)[φ(ζ)− φ(z)]−1[wζ(ζ)−Q(ζ)wζ(ζ)]dξdη (2.19)
D
dir (ζ = ξ + iη) (Hile 1982).
İspat. z ∈ D ve D := D \ {ζ : |ζ − z| < } olsun. (2.16) ifadesinde v(ζ) ≡ φ(ζ) ve
18
u(ζ) ≡ [φ∫(∫ζ)− φ(z)]
−1w(ζ) alınırsa
2i φζ(ζ)[φ(ζ)− φ(z)]−1[wζ(ζ)−Q(ζ)wζ(ζ)]dξdη
D ∫
= (dζ)(ζ)[φ(ζ)− φ(z)]−1w(ζ)
Γ ∫
− (dφ)(ζ)[φ(ζ)− φ(z)]−1w(ζ) (2.20)
|ζ−z|=
bulunur. Son integralde  → 0 için (2.18) ve doğurucu çözümün vi. özelliğinin
kullanılmasıyla
∫
‖ (dφ)(ζ)[φ(ζ)− φ(z)]−1w(ζ)− Pw(z)‖
|ζ−z|= ∫
≤ ‖[φ(ζ)− φ(z)]−1‖‖w(ζ)− w(z)‖‖dφ(ζ)‖
|ζ−z|= ∫
≤ (sabit) |ζ − z|−1‖w(ζ)− w(z)‖‖φζ(ζ)dζ + φζ(ζ)dζ‖
|ζ−z|<={ }
≤ (sabit) sup ‖w(ζ)− w(z)‖(‖φζ(ζ)‖+ ‖φζ(ζ)‖
|ζ−z|=
tahmini elde edilir. w, φζ ve φζ̄ sürekli olduğundan bu son tahmin  ile birlikte sıfıra
yaklaşır. Böylece (2.19) elde edilir.
Sonuç 2.3.8. w, D∫bölgesinde Q-homolorf ve D da sürekli olsun. O halde z ∈ D için
w(z) = P−1 [φ(ζ)− φ(z)]−1dφ(ζ)w(ζ) (2.21)
Γ
dır, burada D, D0 ın regüler bir alt bölgesidir ve Γ, D bölgesinin sınırıdır (Hile 1982).
Dikkat edilirse w verilen bir bölgede Q-holomorf ise (2.21) temsili w nın aynı bölgede
sonsuz kere φ-türevlenebilir ve w nın tüm φ-türevlerinin de Q-holomorf olduğunu göste-
rir. (2.21) ifadesinin φ ye∫göre n. türevi
dnw(z)
= n!P−1 [φ(ζ)− φ(z)]−n−1dφ(ζ)w(ζ) (2.22)
dφn Γ
19
temsilini verir. Morera teoreminin bir benzeri Q−holomorf fonksiyonlar için de
verilebilir:
Teorem 2.3.9. w, bir D bölgesinde sürekli m × s tipinde matris değerli bir fonksiyon
olmak üzere w nın D de Q-holomorf olması için gerek ve yeter koşul, kapanışı D de
buluna∫n tüm R dikdörtgensel bölgeleri için
(dφ)w = 0 (2.23)
∂R
olmasıdır (Hile 1982).
İspat. w matris değerli fonksiyonu Q-holomorf ise Sonuç 2.3.5 den (2.23) elde edilir.
Aksine, w, D de sürekli ve (2.23) ifadesi D bölgesinde ki tüm R dikdörtgenleri için
geçerli olsun. Eğer Dc, D de z0 merkezli herhangi bir daire ise, dikdörtgensel bir yol
boyunca alınmış ∫ z ∫ z
v(z) ≡ dφ(ζ)w(ζ) = [φζ(ζ)w(ζ)dζ + φζ(ζ)w(ζ)dζ]
z0 z0
çizgi integrali Dc de
vz = φzw, vz̄ = φz̄w
denklemlerini sağlayan bir fonksiyon tanımlar. Böylece,
dv
vz̄ = Qφ w = Qv , = φ
−1
z z z vz = wdφ
elde edilir. Buradan w nın Dc de Q-holomorf bir fonksiyonun φ-türevi olduğu
söylenebilir.
Teorem 2.3.10. C de sınırlı alt üçgensel bir Q-holomorf fonksiyonu sabittir (Hile 1982).
İspat. w, C de sınırlı alt üçgensel bir Q-holomorf fonksiyon ve Γ, z0 ∈ C merkezli, R
yarıçaplı bir çember olsun. Cauchy t∫ipi integral temsili kullanılarak
w(z) = P−1 [φ(ζ)− φ(z)]−1dφ(ζ)w(ζ)
Γ
20
yazılabilir. Bu ifadenin x e göre tü∫retilmesi ile
wx(z) = P
−1 [φ(ζ)− φ(z)]−2φx(z)dφ(ζ)w(ζ)
Γ
elde edilir. Doğurucu çözümün v∫i ile verilen norm∫özelliği kullanılırsa2π
‖wx(z)‖ ≤
1
M | 1 Mdζ| ≤ Rdθ ≤ 2π
Γ |ζ − z|2 R20 R
bulunur. Burada R → 0 için wx → 0 dir. Benzer şekilde R → 0 için wy → 0 olduğu
görülebilir. Böylece, w = c0 + ic1 dir.
Aşağıdaki teorem, (2.21) de [φ(ζ) − φ(z)]−1 Cauchy çekirdeğinin geometrik seriye
genişletilmesiyle ispatlanmıştır. Bu konuyla ilgili benzer sonuçlar, Douglis (1953),
Goldschmidt (1979), Hile (1978, 1982) tarafından verildiğinden burada ispat
verilmeyecektir.
Teorem 2.3.11. w fonksiyonu, muhtemel bir z0 aykırı noktası dışında D bölgesinde
Q- holomorf olsun. Eğer, w z0 noktasında da Q-holomorf ise, w z0 ın yeterince küçük bir
komşuluğunda düzgün yakınsak bir Taylor serisine
∑∞ 1 dnw(z0)
w(z) = [φ(ζ)− φ(z)]n (2.24)
n! dφn
n=0
şeklinde açılabili∫r. Daha genel olarak, w, z0 da bir ayrık singüler noktaya sahipse, cn
c = P−1n [φ(ζ)− φ(z −n−10)] dφ(ζ)w(ζ) (2.25)
|ζ−z|=ρ
olmak üzere
∑∞ 1
w(z) = [φ(ζ)− φ(z)]ncn (2.26)
n!
n=−∞
şeklinde bir Laurent serisine açılabilir. Burada ρ, |ζ−z| = ρ diski D de bulunacak şekilde
seçilmiştir. (2.26) serisi, z0 ın yeteri kadar küçük delinmiş bir komşuluğunda yakınsaktır
ve yakınsaklık bu delinmiş komşuluğun kompakt alt cümleleri üzerinde düzgündür (Hile
1982).
21
2.4 Doğurucu Çözümün Varlığı
Bu kısımda, genelleştirilmiş Beltrami sistemi için doğurucu çözümün varlığına ilişkin
teoremler ifade edilecektir. Kompleks düzlemde tanımlı ve kompleks değerli g fonksi-
yonları için aşağıdaki normlar kullanılacak{tı∫r:∫ }1/p
‖g‖∞ = sup {|g(z)|} , ‖g‖p = |g(z)|pdxdy , 0 < p <∞.
z∈C C
Eğer v = (vij) C de bileşenleri z nin∑fonksiyonları olan bir matris ise norm
‖v‖p = ‖vij‖p, 0 < p ≤ ∞
i,j
şeklinde tanımlanacaktır.
Teorem 2.4.1. Q, C de sınırlı, Hölder sürekli ve kendi değişmeli m × m tipinde bir
kompleks matris olsun. C nin her noktasında Q(z) nin λ1(z), λ2(z), ..., λm(z) karakteris-
tik değerlerinin tümü için
|1− |λi(z)|| ≥ , i = 1, 2, ...,m (2.27)
şartı sağlanacak şekilde bir  > 0 sayısının mevcut olduğunu varsayalım. Ayrıca
z →∞ iken Q(z)→ Q0 (2.28)
ve 1 ≤ p′ < 2 özelliğindeki bazı p′ ler için
Q(z)−Q0 ∈ Lp′(C)
olacak şekilde bir Q0 sabit matrisi mevcut olsun. O halde kompleks düzlemin tamamında
(2.1) denklemi için Tanım 2.3.1 de verilen i-iv özelliklerini sağlayan bir φ doğurucu
çözümü mevcuttur ve ek olarak
i) φ(z)− zI − z̄Q0 C de sınırlıdır,
ii) φz̄ −Q0 ve φz − I ifadeleri 2 ye yeterince yakın p ler için Lp(C) sınıfına aittir,
iii) ∀ z1, z2 ∈ C için
‖φ(z α1)− φ(z2)‖ ≤M |z1 − z2|
olacak şekilde M ve α, (0 < α < 1), sabitleri mevcuttur,
22
özelliklerine sahiptir (Hile 1982).
Bojarski (1966) tarafından kullanılan yöntem üzerinde yapılan değişikliklerle elde
edilen metod kullanılarak bir doğurucu çözüm elde edilmiştir. Bojarski (1966) kullandığı
yöntemde bir ek şart olarak Q nun düzlemin kompakt bir alt cümlesi dışında özdeş olarak
sıfır olduğunu varsaymıştır. Bu yöntem, form∫a∫l olarak
1 v(ζ)
(Tv)(z) = − dξdη
π C ζ − z
∫∫
1 v(ζ)
(Πv)(z) = − dξdη
π C (ζ − z)2
ile tanımlanan T ve Π operatörlerini kullanır ve bu operatörlerin özellikleri Vekua (1962)
tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.
Lemma 2.4.2. (i) 1 ≤ p′ < 2, 2 < p′ < ∞ olmak üzere v ∈ Lp(C) ∩ Lp′(C) ise o halde
Tv, C de sınırlı ve düzgün Hölder süreklidir (α = (p− 2)/p). Ayrıca
‖Tv‖ ≤M(p, p′∞ ) [‖v‖p + ‖v‖p′ ] ,
|(Tv)(z1)− (Tv)(z2)| ≤M(p, p′) [‖v‖p + ‖v‖p′ ] |z − z |α1 2 , z1, z2 ∈ C
eşitsizliklerini sağlar ve C de Sobolev anlamında
(Tv)z̄ = v, (Tv)z = Πv
türev formülleri geçerlidir.
(ii) Π, Lp(C) (1 < p <∞) uzayında
‖Πv‖p ≤ Λp ‖v‖p (2.29)
eşitsizliğini sağlayan sınırlı bir operatördür. Burada Λp > 0 dır. Ayrıca Λ2 = 1 dir ve
verilen bir  > 0 sayısına karşılık |p− 2| < δ iken
Λp ≤ 1 +  (2.30)
olacak şekilde bir δ > 0 sayısı mevcuttur (Hile 1982).
23
Bu özellikler Vekua (1962) tarafından v fonksiyonunun skaler değerli olması halinde
gösterilmiştir. Ayrıca matris değerli fonksiyonlar için de geçerli oldukları kolayca
gösterilebilir.
24
3. MATRİS FORMDA PSEUDOPARABOLİK DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İÇİN İNTEGRAL TEMSİLLER
Bu bölümde, genelleştirilmiş Q−holomorf fonksiyonlar teorisinden türetilmiş matris
formda
L[w] := E[wt] + A[w] = 0 (3.1)
pseudoparabolik denklemi için genel çözüm temsilleri elde edilecektir. Burada E
E[w] := wφ(z, t) + a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t)
bir eliptik operatör ve A
A[w] := c(z)w(z, t) + d(z)w(z, t)
bir cebirsel operatördür. w(z, t) = {wij(z, t)}, m × s tipinde kompleks değerli bir
matristir. a, b, c ve d katsayıları ise m × m tipinde Q ile değişmeli kompleks değerli
matrislerdir ve zaman değişkeni t den bağımsızdır. Ayrıca bu katsayıların C\D de sıfır
olduğu varsayılmıştır. Burada D ⊂ C sınırlı bir bölgedir.
3.1 Temel Çözümler Yardımıyla Pseudoparabolik Denklemin Çözümlerinin Temsili
(3.1) denkleminde, A ve E operatörlerinin açık olarak yazılmasından sonra, iki tarafının
t ye göre integralinin alınmasıyla ∫ t
wφ(z, t) + a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t) + c(z)w(z, τ) + d(z)w(z, τ)dτ
0
= wφ(z, 0) + a(z)w(z, 0) + b(z)w(z, 0)
elde edilir. Pompeiu operatörü (J) yardımıyla yukarıdaki pseudoparabolik denklem, bir
integral denklem ola(rak aşağıdaki şekilde yazılabi)lir:
w (z, t() +∫ J( a (z)w (z, t) + b (z)w (z, t)t ) )
+J c (z)w ((z, τ) + d (z)w (z, τ) dτ0 )
= w (z, 0) + J a (z)w (z, 0) + b (z)w (z, 0) + Ψ (z, t) (3.2)
25
burada ∫
(JF ) (z) = P−1 dφ(ζ)dφ(ζ) (φ (ζ)− φ (z))−1 F (ζ)
C
∂2ve Ψ ≡ 0 dır. Burada sabit P matrisi genelleştirilmiş Beltrami sistemi için
∂φ∂t
P -değeri olarak adlandırılır (Hile 1982). Ψ (z, t) ise
∑∞
Ψ (z, t) = φk (z) ak (t) (z ∈ C, t ∈ R) , Ψ(z, 0) = 0,
k=0
şeklindedir ve yalnızca t ye bağlı olan m × s tipindeki ak matris fonksiyonları için t nin
diferensiyellenebilir bir fonksiyonudur. Her n için Q-holomorf fonksiyonlar için Cauchy
integral formülünün φ ye göre n. tü∫revi ile
dnw(z)
= n!P−1 dφ(ζ)(φ(ζ)− φ(z))−n−1w(ζ)
dφn |ζ−z|=r
temsili elde edilir. Kompleks duruma benzer şekilde Q-holomorf fonksiyonlar için
Liouville teoremi ispatlanabilir (Kısım 2.3).
w (z, t) matris fonksiyonunun C de sınırlı olması şartıyla, her t ∈ R için Ψ (z, t), C de
sınırlı Q-holomorf bir fonksiyondur. Böylece Ψ (z, t) sadece t ye bağlı bir fonksiyondur.
Bu durumda Liouville teoreminin yardımıyla Ψ (z, t) = Ψ (t) yazılabilir. (3.2) denkle-
minde z →∞ için
Ψ (t) := w (∞, t)− w (∞, 0) , i.e. Ψ (0) = 0
elde edilir. Böylece((3.1) denklemi sınırlı çözü)mleri için
w(z, t) +(∫J (a(z)w(z, t) + b(z)w(z, t)t ) )
= −J c(z)w(z, τ) + d(z)w(z, τ) dτ + Ψ (t) + ϕ (z) (3.3)
0
denklemine denktir. Burada( )
ϕ (z) := w (z, 0) + J a (z)w (z, 0) + b (z)w (z, 0) . (3.4)
26
Eğer w, her bir t ∈ R için z ∈ C de (3.3) denkleminin sınırlı ve sürekli bir çözümü ise o
halde
Ψ(t) ∈ C(R), ϕ(z) ∈ C(C)
dir. Şimdi verilen Ψ ∈ C(R) ve ϕ ∈ C(C) fonksiyonları için (3.3) denklemini göz önüne
alalım.
Lemm∫a 3.1.1. Ψ ∈ C(R), ϕ ∈ C(C) olsun ve a, b katsayıları
‖ ‖ ‖ ‖ dξdη( a(ζ) + b(ζ) ) ≤ α < 1 (3.5)
C |ζ − z|
eşitsizliğini sağlasınlar. Bu takdirde (3.3) denklemi BC(C× R) uzayında bir tek çözüme
sahiptir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. (3.3) denkleminin aynı başlangıç verisine ve z → ∞ durumunda aynı asimptotik
davranışa sahip iki çözümü w1 v(e w2 olsun. Bu durumda ω):= w1 − w2,
ω = Tω := −J a((z∫)ω(z, t) + b(z)ω(z, t)t ( ) )
− J c(z)w(z, τ) + d(z)w(z, τ) dτ
0
homojen denkleminin bir çözü∫müdür. a ve b katsayılarının sağladığı eşitsizliğe ek olarak,
(‖ dξdηc(ζ)‖+ ‖d(ζ)‖)
C |ζ − z|
ifadesi için bir üst sınır olarak β yı belirleyelim. Eğer
‖ω‖1 := sup ‖ω(z, t)‖,
z∈C,|t|≤1
tanımı yapılır ise birkaç basit hesaplamadan sonra
‖Tω‖1 ≤ α sup‖ω‖+ β sup‖ω‖|t|
= (α + β|t|)‖ω‖1
eşitsizliği elde edilir.
27
Böylece
| 1− αt| < min{1, }
β
için T operatörünün bir daralma dönüşümü olduğu görülür. Dolayısıyla ω = Tω sadece
aşikar çözüme sahiptir, yani z ∈ C için
1− α
ω(z, t) ≡ 0, |t| ≤ t0 := min{1, }.
β
w fonksiyonunun sürekliliği dolayısıyla, yukarıdaki ifade |t| = t0 için de doğrudur.
Böylece (3.1) denklemi t ye göre otonom bir diferensiyel denklem olduğundan bu sonuç
ω(z, t) ≡ 0 (z ∈ C, t ∈ R)
şeklinde genişletilebilir.
Sonuç 3.1.2. w(∞, t) ∈ C(R) ve w(z, 0) ∈ B0(C) olsun. Eğer (3.5) ile verilen eşitsizlik
gerçekleniyorsa, bu takdirde (3.1) denklemi BC(C×R) uzayında bir tek çözüme sahiptir
(Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
Lemma 3.1.3. Ψ ∈ C1(R), ϕ ∈ B1(C) olsun ve (3.5) eşitsizliği sağlansın. O halde (3.3)
integral denklemi çözülebilirdir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. Bu lemma iterasyon yöntemi kullanılarak ispatlanacaktır. (3.3) denklemi
w − Tw = Ψ + ϕ.
formunda yazılırsa, iterasyon metodu yardımıyla ardışık olarak
w0 := Ψ + ϕ
wk = Ψ + ϕ+ Twk−1, k ∈ N
elde edilir. Buradan (3.3) denkleminin çözümü
∑∞
w = lim wk = Tk (Ψ + ϕ)
k→∞
k=0
olarak bulunabilir.
28
∥(‖(Tw)) (z, t)∥ ∥
‖ ≤ ((α + β |t|) ‖w0‖t , )
|t|2
T2w (z, t)∥ ≤ α2 + 2αβ |t|+ β2 ‖w0‖
2! t
..
∥( ) ∥ .∥ ∥ ∑k ( )k ≤ k |t|lT w (z, t) αk−lβl ‖w0‖
l l! t
l=0
ve
∑∞ ( )k
‖ 1 β |t| ‖w0‖w (z, τ)‖ ≤ t , (z ∈ C, t ∈ R)
k! 1− α 1− α
k=0
ifadeleri ile yukarıda elde edilen serinin yakınsaklığı görülür. Burada
‖w0‖t = sup ‖ω0(z, τ)‖.
z∈C,|τ |≤|t|
Şimdi (3.1) denkleminin sınırlı olan özel çözümleri ile ilgileneceğiz. Eğer (3.4) ile verilen
ϕ fonksiyonu C de sınırlı Q-holomorf bir fonksiyon ise, o halde ϕ sabit olmalıdır, yani
ϕ (z) ≡ w (∞, 0)
öyle ki Ψ (t) = w (∞, t)− w (∞, 0) olup
Ψ (t) + ϕ (z) ≡ w (∞, t)
dir. Böylece ψ, t ∈ R nin diferensiyellenebilir bir fonksiyonu olmak üzere
w − Tw = ψ, (3.6)
denklemini ele alabiliriz. Bu denklemi üç ayrı durumda inceleyelim.
(i) ψ reel matris değerli bir fonksiyon olsun. (3.6) denkleminin tek çözümü
∑∞ ∑∞
Tkψ = αkψk
k=0 k=0
29
ile temsil edilir. Burada αk, yalnızca z ye bağlı m × m tipinde kompleks matris değerli
bir fonksiyondur ve ψk ite∫rasyon yardımıylat
ψ0 := ψ, ψk (t) := ψk−1 (τ) dτ (k ∈ N) (3.7)
0
ile tanımlanır. (3.6) denkleminin çözümünde bulunan αk fonksiyonları, L operatörünün
katsayıları olan a, b, c, d fonksiyonları kullanılarak belirlenir ve ψ fonksiyonundan
bağımsızdır. a, b, c, d ∈ Lp,2(C), p > 2, olduğundan J bir kompakt operatördür
(∑Hızlıyel ve Çağlıyan 2004a) (Lp,2 uzayının tanımı Vekua (1962) tarafından verilmiştir).∞
αkψk, (3.6) denkleminde yerine yazılırsa
k=0
∑∞ ∑∞
αk(z)ψk(t) = ψ + T( αk(z)ψk(t))
k=0 k=0
( ∑∞ ∑ )∞
= ψ − J( a(z[) αk(z)ψk(t) + b(z) αk(z)ψk(t)∫ k=0t ∑ k=0∞ ∑ ] )∞
− J c(z) αk(z)ψk(τ) + d(z) αk(z)ψk(τ) dτ
0 k=0 k=0
( )
= ψ − J(∑[a(z)α0(z) + b(z)α0(z)]ψ0(t) )∞
− J ( [a(z)αk(z) + b(z)αk(z)]ψk(t)∑k=1 ∫ )∞ t
− J [c(z)αk−1(z) + d(z)αk−1(z)] ψk−1(τ)dτ
k=1 0
elde edilir. Eşitliğin iki yanında(ψk terimlerinin katsayıları)eşitlenirse k = 1, 2, ... için α0 (z) + J a (z)α0 (z) + b (z)α0 (z) = I
 ( ) (3.8) αk (z) + J a (z)α(k (z) + b (z)αk (z) )= −J c (z)αk−1 (z) + d (z)αk−1 (z)
sistemi elde edilir. (a, b) fonksiyonlarına karşılık gelen doğurucu çiftler (F,G) olsun.
O halde α0, F fonksiyonu olmalıdır (Hızlıyel ve Çağlıyan 2004b). Yukarıdaki sistemin
30
çözülmesiyle αk fonksiyonları ardışık olarak elde edilir. αk fonksiyonları Fk ile gösteril-
sin. Reel matris değerli ψ fonksiyonu için, (3.6) denkleminin çözümünün
∑∞
F0 := F, (Fψ) (z, t) := Fk (z)ψk (t) (z ∈ C, t ∈ R) (3.9)
k=0
şeklinde olduğu görülür. Bu seri için, (3.8) denkleminde ikinci ifadede, (3.5) eşitsizliğinin
kullanılmasıyla
‖Fk‖ ≤ α ‖Fk‖+ β ‖Fk−1‖
olarak bulunur. Burada k = 1, 2, ... için gerekli hesaplamalar yapılırsa sırasıyla
‖F1‖ ≤
β
( su)p‖F (z)‖1− α z∈C2
‖F2‖ ≤
β
sup‖F (z)‖
1− α z∈C
... ( )k
‖ ‖ ≤ βFk sup‖F (z)‖
1− α z∈C
elde edilir. Aynı zamanda ∫ t
ψ0 = ψ, ψk = ψk−1(ζ)dζ
0
olmak üzere ardışık olarak ∫ t
ψ1 = ∫ ψ∫0(ζ)dζ0 t s1
ψ2 = ψ0(ζ)dζds1
0 0
.
.. ∫ t ∫ s ∫k−1 s1
ψk = ∫ · · · ψ0(ζ)dζds1...dsk−10 0 0
1 t
= (t− τ)k−1ψ0(ζ)dζ
(k − 1)! 0
elde edilir. Buradan norm özelliklerinin kullanılmasıyla
‖ ‖ ≤ |t|
k
ψk sup ‖ψ(τ)‖
k! |τ |≤|t|
31
bulunur. Böylece (3.9) ifadesi için bir üst sınır ( )
sup‖ ‖ ‖ ‖ β|t|F (z) sup ψ(τ) exp
z∈C |τ |≤|t| 1− α
şeklinde elde edilir.
(ii) ψ sadece sanal kısımdan oluşan matris değerli bir fonksiyon olsun. (i) durumuna ben-
zer şekilde (3.6) denkleminin çözümü
∑∞
G0 := G, (Gψ) (z, t) := Gk (z)ψk (t) , (z ∈ C, t ∈ R) (3.10)
k=0
olarakelde edilir. Burada G0(ve diğer Gk fonksiyonları ) G0 (z) + J a (z)G0 (z) + b (z)G0 (z) = iI

( ) (3.11)
Gk (z) + J a (z()Gk (z) + b (z)Gk (z) )
= −J c (z)Gk−1 (z) + d (z)Gk−1 (z) .
sisteminin ardışık olarak çözülmesiyle bulunur. Sırasıyla (3.9) ve (3.10) da ki Fk ve Gk
katsayıları
F0 (∞) = I, G0 (∞) = iI, Fk (∞) = 0, Gk (∞) = 0, (k ∈ N)
ile normalleştirilmiştir.
(iii) ψ = ψ1 + iψ2 bir kompleks matris değerli fonksiyon olmak üzere
w − Tw = ψ1 + iψ2
denkleminin bir çözümü w olsun. Burada ψ1 ve ψ2, t nin diferensiyellenebilir reel değerli
fonksiyonlarıdır. Böylece
w̃ := w − Fψ1 −Gψ2
fonksiyonu
w̃ − Tw̃ = 0
32
homojen denkleminin bir çözümü olacaktır. ψ için verilen iterasyon formülü ile t = 0 için
(Fψ1 + Gψ2) (z, 0) = F0 (z)ψ1 (0) +G0 (z)ψ2 (0)
yazılabileceği açıktır. Ayrıca z → ∞ için Fk ve Gk, k ∈ N0, fonksiyonlarının
normalleştirilebildiği göz önüne alınırsa
(Fψ1 + Gψ2) (∞, t) = ψ1 (t) + iψ2 (t) = ψ (t)
olduğu görülür. w̃, w̃−Tw̃ = 0 denkleminin çözümü olduğundan bu denklemi sağlayacaktır.
Bu durumda
w − F(ψ1 −Gψ2 )
+J (a∫w − aFψ1 − aGψ2 + bw̄ − bFψ1 − bGψ2t )
+J (cw − cFψ1 − cGψ2 + dw̄ − dFψ1 − dGψ2)dτ = 0
0
elde edilir. Yukarıdaki ifadeyi t = 0 için düzenlersek
w (z,(0)− F (z)ψ1 (0)−G (z)ψ2 (0)
+J a (z)w (z, 0)− a (z)F (z)ψ1 (0)− a (z)G (z)ψ2 (0))
+b (z) w̄ (z, 0)− b (z)F (z)ψ1 (0)− b (z)G (z)ψ2 (0) = 0
buluruz. Burada (3.9) ve (3.10) ifadelerinde bulunan ψk lar için (3.7) iterasyonu dikkate
alınır ve (3.8) ve (3.11) sistemlerinde bulunan ilk denklemler kullanılırsa
ϕ (z) ≡ ψ (0)
elde edilir. Burada ϕ fonksiyonu (3.4) ile verilmiştir. Sonuç olarak, w̃ özdeş olarak sıfırdır.
Böylece ψ nin kompleks matris değerli bir fonksiyon olması durumunda, çözüm için
w = Fψ1 + Gψ2
temsili elde edilir.
Uyarı 3.1.4. (3.1) denkleminin çözüm çifti olarak Q ile değişmeli χ(k)(z, t; ζ, τ) temel
çözümler sistemini tanımlayalım. Bu sistem
33
∑∞ (t− τ)v+1
χ(k) (z, t; ζ, τ) = χ(k)v (z, ζ) , k = 1, 2, (3.12)(v + 1)!
v=0 { }
şeklinde kuvvet serisi gösterimine sahiptir. Burada (1) (2)χ0 (z, ζ), χ0 (z, ζ) den oluşan
çift, E[w] = 0 denklemi için bir temel çözüm sistemidir ve
(k) 1
χ0 (z, ζ) = (−i)k−1(φ(ζ)− φ(z))−1 exp[ω(k)(z)− ω(k)(ζ)]2
ile temsil edilir. Bu sistem Vekua sistemine benzer şekilde elde edilir (Begehr ve Gilbert
1993, Gilbert ve Schneider 1978, Vekua 1962). Burada (k)χ0 ∈ Bα, α = (p − 2)/p, ve
ω(k)(z) = O(|z|α) as |z| → ∞ , k=1,2, (Hızlıyel 2006). Yukarıdaki seriyi (3.1) denkle-
minde yerine koyarsak ve (t− τ) ifadesinin kuvvetlerini eşitlersek,
(k)
E[χ0 (z, ζ)] = 0
(k)
E[χv+1(z, ζ)] + A[χ
(k)
v (z, ζ)] = 0, (k = 1, 2, v = 0, 1, 2, ...).
sistemini elde ederiz. Bu sistem kullanılarak, Pompeiu operatörü yardımıyla
(k)
χv+1, (v = 0, 1, 2, ...), için
(k) (k) (k) − (k) (k) (k)χv+1(z, ζ) + J(aχv+1 + bχv+1) = J(cχv + dχv ) + Υv+1(z, ζ), v = 0, 1, 2, ...,
temsilini elde ederiz. Burada (k)Υv+1 keyfiQ-holomorf bir fonksiyondur.
(k)
Υv+1 ≡ 0 alınarak
(k)
χv+1 normalle∥ştirilebilir. Ayrıca (3.12) serisi için bir tahmin aşağıdaki gibi∥elde edilebilir:∥∥∥ ∥(k) (k) 1 (k)χ (z, t; ζ, τ)−∥χ0 (z, ζ) (t− τ)− χ∥∑ 2 1∥∥ ∥
(z, ζ) (t− τ)2∥∥
∞
= ∥ v+1∥χ(k) (t− τ) ∥∥ v (z, ζ) ∥∥∑ (v + 1)! ∥∥ v=2∥ ∥∞∥ v+3∥(k) (t− τ) ∥(= )χv+2 (z, ζ) ∥∑ (v + 3)! ∥v=0∞ v
≤ β |t− τ |
v+3 ∥∥ ∥(k) ∥
( sup∥χ2 (z, ζ)− ∥1 α (v + 3)!v=0)−3∑∞ ( )vβ β |t− τ |v ∥
= sup
− − ∥∥ ∥(k) ∥χ1 α 1 α v! 2 (z, ζ)∥
v=3
34
( ) [
− 3 ∑∞ ( )v1 α β |t− τ |v ∑2 ( ) ]v− β |t− τ |v ∥∥ ∥(k) ∥=
(β ) [ 1(− α )v! ∑( 1− α v!v=0 v=0 ) ]
sup∥χ2 (z, ζ)∥
− 3 | − | 2 v1 α β t τ − β |t− τ |
v ∥∥ ∥(k) ∥
= exp sup∥χ (z, ζ)
β 1− ∥α 1− α v! 2
v=0
elde edilir. Burada (k)χv+2 (z, ζ) nin (3.8) sisteminin bir çözümü olduğundan bu ifade için
bir üst sınır ( )v
β ∥∥∥ ∥(k) ∥sup χ2 (z, ζ)1− ∥α
şeklindedir.
Tanım 3.1.5. L operatörüne ait Ω(k) temel çekirdekleri
Ω(k) (z, t; ζ, τ) = χ(1) (z, t; ζ, τ) + (−1)k−1 iχ(2) (z, t; ζ, τ) , k = 1, 2 (3.13)
dir. Burada χ(1) ve χ(2) temel çözümlerdir. Matris için tanımlanan norm özellikleri
kullanılarak, Ω(k) temel çekirdeklerinin yerel asimptotik davranışları Hızlıyel (2006)
tarafındanya∥pılan çalışmaya benzer olarak
∥ ( )2
  ∥Ω(1) (z, t; ζ, τ)− (t− τ) (φ (ζ)− φ (z))
−1∥ = O |z − ζ|− p |t− τ | ,
  ζ − z → 0, t− τ → 0, 2 < 1, p ∥ ∥
( )

∥ 2Ω(2) (z, t; ζ, τ)∥ = O |z − ζ|− p |t− τ | , ( ζ − z → 0, t− τ → 0, 2 < 1),
 p ∥∥ ∥ ( )Ω(k) (z, t; ζ, τ)∥ = O |z|−1 |t− τ | , (z →∞, k = 1, 2) ,
(3.14)
şeklinde elde edilir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
Tanım 3.1.6. (3.1) denkleminde bulunan L operatörüne karşılık gelen eşlenik operatör
∂
L̃v = [v − av − b∗bv] + cv + b∗dv (3.15)
∂t φ̄
ile tanımlanır ve burada b∗ = φ−1z φz dir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
35
Teorem 3.1.7. w, (3.1) denkleminin D×R de bir çözümü olsun ve w (z, 0) ≡ 0 koşulunu
sağlasın.∫Ω̃
(1) ve Ω̃(2)∫ eşlenik operatöre karşılık gelen temel çekirdekler olmak üzeret [ ]
(2)
P−1 dφ (ζ) Ω̃(1)τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) Ω̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ
Γ 0  −w (z, t) , z ∈ D, t ∈ R
= 
0, z ∈/ D, t ∈ R
dir, burada Γ, D bölgesinin düzeltilebilir sınırıdır (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. İspat iyi bilinen Morera teoreminin bir versiyonuna dayanmaktadır.w ve v, sırasıyla
(3.1) denkleminin ve eşlenik denklemin çözümleri olsun. t = 0 için, eğer w = 0 ve v = 0
ise, ( ∫ ∫ t )1
Re dφ (ζ) vτ (ζ, τ)wτ (ζ, τ) dτ = 0
2i Γ 0
dir. Buradan, (k)χ̃τ eşlenik denkleme karşılık gelen temel çözümler olmak üzere k = 1, 2
ve t ∈ R için
∫ ∫t ( )
(k)
dφ (ζ) χ̃(k)τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) χ̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ
Γ 0 ∫ ∫t ( )(k) (k)dφ (ζ) χ̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) χ̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ, z ∈ D
Γ 0
= 
0 , z ∈/ D
elde edilir, burada Γ = {ζ : |ζ − z| = } ve  yeterince küçük pozitif bir sayıdır.
k = 2 için elde edilen denklem i ile çarpılarak k = 1 için elde edilen denklemle
toplanırsa
∫ ∫t ( )
dφ (ζ) χ̃(1) + iχ̃(2)τ τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ
Γ 0 ∫ ∫ t ( )
− (1) (2)dφ (ζ) χ̃τ − iχ̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)dτ
Γ 0
36
 ∫ ∫ ( )t (1) (2)dφ (ζ) Ω̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) Ω̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ, z ∈ D

Γ 0
0, z ∈/ D
bulunur. Temel çekirdeklerin asimptotik özellikleri kullanılırsa z ∈ D için
∫ ∫t { }
lim dφ (ζ) Ω̃(1)
(2)
τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) Ω̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ
→0
Γ 0
∫ ∫t
= lim dφ (ζ) (φ (ζ)− φ (z))−1wτ (ζ, τ) dτ
→0
Γ 0
elde edilir. w nın sürekliliği dolayısıyla ikinci integralin Pw olduğu gösterilmiştir
(Hile 1982). Böylece
∫ ∫t ( )
(2)
dφ (ζ) Ω̃(1)τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ) Ω̃τ (ζ, τ ; z, t)wτ (ζ, τ) dτ = −Pw (z, t)
Γ 0
olup teoremin ispatı tamamlanır.
Tanım 3.1.5 ve Hızlıyel (2006) tarafından yapılan çalışmada verilen Teorem 2.8 den ya-
rarlanı{larak, (3.1) denklemi ve eşlenik denklemin temel çekirdekleri arasında
Ω(1) (z, t; ζ, τ) = −Ω̃(1) (ζ, τ ; z, t) ,
(3.16)
Ω(2) (z, t; ζ, τ) = −Ω̃(2) (ζ, τ ; z, t)
şeklinde bir ilişkinin mevcut olduğu görülebilir. Böylece, aşağıdaki teorem verilebilir:
Teorem 3.1.8. (3.1) denkleminin D×R de bulunan, t = 0 için özdeş olarak sıfır olan bir
çözümü
∫t ∫ [ ]
P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ) dτ
0 Γ
37
 w (z, t) , z ∈ D, t ∈ R,
=  (3.17)
0, z ∈/ D, t ∈ R
ile temsil edilir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. Teorem 3.1.7 ve (3.16) ifadelerinin kullanılmasıyla ispat tamamlanır.
Teorem 3.1.9. w (z, t) fonksiyonu her bir t ∈ R için Ĉ\D de Q-holomorf, wt (z, t),
C\D×R de sürekli olsun. w (z, 0) ≡ 0 , w (∞, t) ≡ 0 ve D ın dışında a, b, c, d katsayıları
özdeş olarak sıfır olmak üzere
∫t ∫ [ ]
P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ)− dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ) dτ
0 Γ  −w (z, t) , z ∈/ D, t ∈ R,
= 
0, z ∈ D, t ∈ R
dir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. GR := {ζ : |ζ| < R} olsun. Burada 2 |z| < R ve D ⊂ GR dir. GR bölgesinden bir
z ∈ C\D elemanı alalım. Teoremin hipotezi gereği a, b, c, d katsayıları D nin dışında
özdeş olarak sıfırdır. w, (3.1) denkleminin (GR\D)× R de bir çözümüdür. Teorem 3.1.8
in şartları w tarafından sa∫ğlan∫dığı içint {
w (z, t) = P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ)
0 ∂(GR−D)
}
− dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ)wτ (ζ, τ) dτ( ) ( )
yazılabilir. z → ∞ durumunda w (z, t) = O |z|−1 , wt (z, t) = O |z|−1 dır. Böylece,
temel çekirdeklerin asimptotik davranışlarından dolayı (3.14) den R → ∞ için, yu-
karıdaki integral iki kısımda dikkate alınırsa, ∂GR üzerinden alınan integral sıfır olacaktır.
z ∈ D ise Teorem 3.1.8 e göre w(z, t) = 0 olmalıdır.
38
Teorem 3.1.10. w (z, 0) ≡ 0 olsun. a, b, c, d katsayılarının her biri D bölgesinin dışında
sıfır olmak üzere (3.1) denkleminin D× R de sürekli bir çözümü
∫ t ∫ {
w (z, t) = P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ)
0 Γ
}
−dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ) dτ, (3.18)
ile temsil edilebilir. Bu∫rada z ∈ D, t ∈ R ve Ψ (z, t)
Ψ (z, t) := P−1 dφ (ζ) (φ (ζ)− φ (z))−1w (ζ, t) (3.19)
Γ
ile verilmek üzere z ∈ D de Q-holomorf, D da sürekli ve R de t nin sürekli diferensiyel-
lenebilir bir fonksiyonudur (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. (3.2) denklemini
w = Tw + Ψ (3.20)
şeklinde tekrar yazalım ve Tw fonksiyonunun z ∈ Ĉ\D ye göre Q-holomorf, t ∈ R ye
göre sürekli diferensiyellenebilir olduğunu dikkate alalım.
(Tw)(∞, t) ≡ 0, (Tw)(z, 0) ≡ 0
olduğu kolayca gerçeklenebilir. Böylece bir önceki teoremin hipotezleri sağlanır.
Bu teoremin bir sonu∫cu ∫ola{rakt
P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ) (Tw)τ (ζ, τ)
0 Γ
}
− dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ) (Tw)τ (ζ, τ) dτ = 0
dır. w ve Tw fonksiyonları D × R de sürekli olduğundan, Ψ de burada süreklidir ve
z ∈ D ye göre Q-holomorf, t ∈ R ye göre sürekli diferensiyellenebilir bir fonksiyondur.
(3.17) denkleminde w yerine Tw + Ψ yazmak suretiyle yukarıdaki eşitliği de kullanırsak
(3.18) denklemini elde ederiz. Ek olarak, Q-holomorf fonksiyonlar için Cauchy integral
formülünde Ψ yerine w − Tw yazılırsa (3.19) denklemi elde edilir. Burada Tw fonksiyo-
nunun her t ∈ R için Ĉ\D de Q-holomorf olduğuna ve z → ∞ için özdeş olarak sıfır
39
olduğuna dikkat edilmelidir.
Şimdi (3.18) ve (3.19) denklemlerini kullanarak (3.1) denklemi için yeni bir temsil
verelim.
Teorem 3.1.11. D dışında a = b = c = d = 0 olmak üzere (3.1) denklemininw(z, 0) = 0
özelliğine sahip her çözümü ∫ t ∫ {
w (z, t) = Ψ (z, t) + dφ(ζ)dφ(ζ) Γ(1)τ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ)
0 D }
+ Γ(2)τ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ) dτ (3.21)
ile temsil edilebilir. Burada Ψ, (3.19) ile verilmiştir ve temel çekirdekler yardımıyla
Γ(k), k = 1, 2, fonksiyonları
Γ(1)
(1)
(z, t; ζ, τ) := −P−1Ω (z, t; ζ, τ) ,
φ̄
Γ(2)
(2)
(z, t; ζ, τ) := −P−1Ωφ (z, t; ζ, τ)
şeklinde tanımlıdır (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018a).
İspat. Q-holomorf fonksiyonlar için Green özdeşliğinin (Hile 1982), (3.18) denkleminin
sağ tarafına uygulanmasıyla
{ ∫ t ∫ (
(1)
w (z, t) = lim − P−1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω (z, t; ζ, τ) Ψ (ζ, τ)
ε→ τ0 φ̄τ0 Dε
) }
(2)
+Ωφτ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ) dτ
{ ∫ t ∫ (
+ lim P−1 dφ (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ) Ψ→ τ
(ζ, τ)
ε 0 0 |ζ−z|=ε
) }
−dφ (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ) Ψτ (ζ, τ) dτ ,
elde edilir. Burada Dε, D ve |ζ − z| > ε bölgelerinin kesişimi ile oluşan bölgedir. (3.14)
denklemi göz önüne alınırsa, ispat tamamlanır.
40
Sabit (z, t) için (ζ, τ) nun fonksiyonları olan χ(k), k = 1, 2, pseudoparabolik (3.1)
denkleminin çözümleri olduğu için, Ω(k) fonksiyonlarının da aşağıdaki denklemlerin
çözümleri olacağı açıktır:
(1)
Ω (z, t; ζ, τ)− a (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ)− b∗(ζ)b (ζ)Ω(2)τ (z, t; ζ, τ)φ̄τ
+c (ζ) Ω(1) (z, t; ζ, τ) + b∗(ζ)d (ζ)Ω(2) (z, t; ζ, τ) = 0,
(2)
Ωφτ (z, t; ζ, τ)− a (ζ)Ω
(2)
τ (z, t; ζ, τ)− b∗(ζ)b (ζ) Ω(1)τ (z, t; ζ, τ)
+c (ζ)Ω(2) (z, t; ζ, τ) + b∗(ζ)d (ζ) Ω(1) (z, t; ζ, τ) = 0.
Yukarıdaki denklemler
 (1) − (1) (2) PΓτ (z, t; ζ, τ) = a (ζ) Ωτ (z, t; ζ, τ)− b
∗(ζ)b (ζ)Ω (z, t; ζ, τ)

τ
 +c (ζ) Ω(1) (z, t; ζ, τ) + b∗(ζ)d (ζ)Ω(2) (z, t; ζ, τ) ,
 (2) (2) (1) PΓτ (z, t; ζ, τ) = −a (ζ)Ωτ (z, t; ζ, τ)− b
∗(ζ)b (ζ) Ωτ (z, t; ζ, τ)
 +c (ζ)Ω(2) (z, t; ζ, τ) + b∗(ζ)d (ζ) Ω(1) (z, t; ζ, τ) .
şeklinde tekrar yazılabilir. Burada b∗ = φ−1z φz dir.
3.2 İkinci Çeşit Çözümler İçin İntegral Temsiller
Bir önceki bölümde, (3.5) eşitsizliği göz önüne alınmış ve sonuçlar bu varsayım altında elde
edilmiştir. Ancak bu bölümde bu varsayım olmaksızın benzer bir yaklaşımın yapılabileceği
gösterilecektir. Bir diğer integral temsilini elde etmek için,
wφ̄ + aw + bw = 0
denklemine ait Ω(k)(z, ζ), k = 1, 2, temel çekirdeklerini kullanalım (Hızlıyel 2006). Kompleks
duruma benzer olarak (Vekua 1962), (3.1) denkleminin özel çözümünün
∫ t ∫ { [ ]
w (z, t)− 2iP−1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω(1) (z, ζ) c (ζ)w (ζ, τ) + d (ζ)w (ζ, τ)
0 C
[ ]}
+Ω(2) (z, ζ) c (ζ)w (ζ, τ) + d (ζ)w (ζ, τ) dτ = Ψ (z, t) (3.22)
41
integral denklemini sağladığı kolayca görülebilir. Burada Ψ fonksiyonu
Ψφ̄t + aΨt + bΨt = 0
denkleminin çözümüdür. Bu ifade, D bölgesi, Dε ve |ζ − z| < ε olmak üzere iki bölgeye ayrılırsa,
(3.22) denkleminin t ve φ̄ ye göre diferensiyellenmesiyle gerçeklenir.
(3.1) denkleminin C × I , I ∈ R, bölgesinde sınırlı çözümü ile ilgilenelim. w, bazı Ψ fonksi-
yonları için (3.22) denkleminin sınırlı bir çözümü olsun. Böylece her bir t ∈ R için Ψt(z, t), C
de
ωφ + aω + bω = 0
denkleminin sınırlı bir çözümü olmalıdır. (F0, G0) son denklemin doğurucu çifti olmak üzere
(Bölüm 3.1), her sınırlı çözüm
F0λ+G0µ
şeklinde yazılabilir, burada λ ve µ reel değerli sabit matrislerdir. Böylece Ψ(z, t)
Ψ(z, t) = F0(z)λ(t) +G0(z)µ(t)
formunda yazılabilir. Burada λ ve µ, t ∈ R nin reel diferensiyellenebilir matris fonksiyonlarıdır.
Şimdi λ ve µ ye göre genel çözümü inceleyelim.
(i) λ = µ = 0 olsun. (3.22) d∫enkl∫eminde bulunan integral operatörü P ile gösterelim:t { [ ]
(PV )(z) = 2iP−1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω(1) (z, ζ) c (ζ)V (ζ, τ) + d (ζ)V (ζ, τ)
0 C
[ ]}
+Ω(2) (z, ζ) c (ζ)V (ζ, τ) + d (ζ)V (ζ, τ) dτ.
Bu durumda çözülmesi gereken problem
w − Pw = 0 (3.23)
dir. P operatörü∫için
‖2iP−1‖ ∥∥∥ ∥∥ (∥ ∥ ∥ ∥)dφ(ζ)dφ(ζ)∥ (‖ ‖ ‖ ‖ ∥c + d ) ∥Ω(1) ∥(z, ζ)∥ ∥+ ∥Ω(2) ∥(z, ζ)∥ ≤ κ <∞,
C
42
sınırını dikkate alalım ve
‖w‖κ := sup ‖w (z, t)‖
z∈C,
κ|t|≤1
olsun. Böylece z ∈ C and κ |t| ≤ 1 için (3.23) denklemi yardımıyla
‖w (z, t)‖ ≤ κ ‖w‖κ |t|
eşitsizliği sağlanır. Kolayca görülebilir ki z ∈ C ve κ |t| ≤ 1 için w özdeş olarak sıfırdır.
L operatörünün otonom olmasından dolayı, w, C × R de özdeş olarak sıfırdır. Dolayısıyla
(3.23) denklemi sadece aşikar çözüme sahiptir.
(ii) µ = 0 olsun. Bu durumda
w − Pw = F0λ (3.24)
denkleminin çözümünü arayacağız. Bu çözümü bulmak için iterasyon metodunu
kullanalım, yani;
∑∞
w0 := F0λ, wk := w0 + Pwk−1 (k ∈ N), w := lim wk = Pkw0.
k→∞
k=0
Eğer bu seri yakınsak ise w fonksiyonunun tek olarak tanımlı olduğu söylenebilir. Çözümü
∑∞ ∑∞
PkF0λ = Fkλk, (k ∈ N0),
k k
şeklinde alalım ve (3.24) denkleminde yerine yazalım. Burada
∫ t
λ0 := λ, λk(t) = λk−1(τ)dτ (k ∈ N, t ∈ R),
∫ 0 { ( )
F := 2iP−1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω(1)k (z, ζ) c (ζ)Fk−1 (ζ) + d (ζ)Fk−1 (ζ)
C
( )}
+Ω(2) (z, ζ) c (ζ)Fk−1 (ζ) + d (ζ)Fk−1 (ζ) , (3.25)
dir (k ∈ N). Ayrıca
‖Fk‖ = sup ‖Fk(z)‖ , ‖λk‖t := sup ‖λk(τ)‖ ,
z∈C |τ |≤|t|
43
olsun. İterasyon yardımı∫ylat
λ1(t) = ∫ λ0(τ)dτ0t
λ2(t) = λ1(τ)dτ
0
... ∫ t ∫1 t
λk(t) = λk−1(τ)dτ = (t− τ)k−1 λ0(τ)dτ
0 (k − 1)! 0
elde edilir. Yukarıda tanımlanan norm kulla∥n∫ılırsa ∥
‖ 1
∥ t ∥
λ ∥k(t)‖t ≤ ∥ (t− τ)k−1 λ− 0(τ)dτ(k 1)! ∥∥0
≤ |t|
k
‖λ0(t)‖
k! t
yazılabilir. Benzer şekilde P operatörü için yukarıda elde edilen üst sınırın kullanılmasıyla
k ∈ N0 için
‖Fk‖ ≤ κk ‖F0‖
bulunur. Elde edilen ifadeleri göz önüne alırsak yakınsaklık elde edilir öyle ki
∑∞
(Fλ)(z, t) := Fk(z)λk(t), z ∈ C, t ∈ R, (3.26)
k=0
çözümdür ve λk, Fk aşağıdaki özellikleri sağlar:
λk(0) = 0, Fk(∞) = 0 (k ∈ N), F0(∞) = I.
(iii) λ = 0 olsun. Eğer µk veGk, sırasıyla (ii) durumundaki λk veFk ya benzer şekilde tanımlanırsa,
w − Pw = G0µ
denkleminin tek çözümü
∑∞
(Gµ)(z, t) := Gk(z)µk(t), (z ∈ C, t ∈ R) (3.27)
k=0
dir. Ayrıca µk ve Gk,
µk(0) = 0, Gk(∞) = 0 (k ∈ N), G0(∞) = iI
44
özelliklerini sağlar.
(iv) λ ve µ keyfi olsun. (ii) durumuna benzer şekilde hareket ederek
w − Pw = F0λ+G0µ (3.28)
denkleminin çözümünü araştıralım.
∑∞
w0 := F0λ+G0µ0, wk := w0 + Pwk−1 (k ∈ N), w := lim w = Pkk w0
k→∞
k=0
şeklinde bir tanımlama yapalım. Aranılan çözüm için
∑∞ ∑∞
Pk(λF0 + µ0G0) = (Fkλk +Gkµk), (k ∈ N0),
k k
ifadesini (3.28) denkleminde yerine yazalım. Karşılıklı olarak λk ve µk terimlerinin
katsayıları eşitlenirse, Fk, (3.25) ifadesindeki gibi elde edilir. Benzer şekilde Gk da
bulunabilir. Böylece (3.26) denklemindeki Fk, (3.8) denkleminin özel çözümü olduğu için
yukarıda geçen F operatörü (3.9) denklemindeki ile aynıdır. Benzer şekilde, (3.27)
denklemindeki Gk, (3.11) denkleminin özel çözümü olduğu için yukarıda geçen G
operatörü (3.10) denklemindeki ile aynıdır. O halde çözüm
w = Fλ+ Gµ
ile verilir. (3.8) veya (3.11) sistemlerinde k. denklemin iki çözümünün farkını ele alalım.
Bu fark
ωφ̄ + aω + bω̄ = 0
denkleminin bir sınırlı çözümüdür ve sonsuzda sıfırdır. Bu çözüm yalnızca sıfır çözümü
olabilir. (3.5) ile varsayılan kısıtlama olmaksızın, benzer yaklaşım Lp,2(C) uzayına ait
katsayılar için yapılabilir.
(v) (3.22) denkleminin homojen olmadığı durumu örneklendirelim. Ψ(z, t) = f(z)t olsun. Bu
durumda (3.22) denklemi
(w − Pw)(z, t) = f(z)t, (f ∈ Lp,2(C), p > 2)
şeklindedir. Burada f yalnızca z nin fonksiyonudur. Yukarıdakilere benzer hesaplamalarla,
(ii) de verilen iterasyon yardımıyla λ0 = t olmak üzere
tk+1
λk =
(k + 1)!
45
olarak bulunur. (3.26) ifadesinin kullanılmasıyla tek olarak belli olan çözüm
∑∞ tk+1
w (z, t) = fk (z) ,
(k + 1)!
k=0
ile verilir. Burada
f0 := f,
∫ { ( )
fk (z) := 2iP
−1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω(1) (z, ζ) c (ζ) fk−1 (ζ) + d (ζ) fk−1 (ζ)
C
( )}
+ Ω(2) (z, ζ) c (ζ) fk−1 (ζ) + d (ζ)fk−1 (ζ) .
dir.
46
4. PARÇALI SÜREKLİ ÇÖZÜMLER
Bu kısımda singüler integraller ile limit değerleri arasındaki bağıntıyı konu alan ve Riemann
probleminin çözümünde önemli bir role sahip olan Plemelj formüllerinden bahsedilecektir.
4.1 Plemelj Formülleri
Bu bölümde, analitik fonksiyon teorisinde kapalı bir eğri boyunca önceden verilmiş sınır
şartlarını sağlayan tam bir analitik fonksiyonu bulma problemi olarak iyi bilinen Riemann sınır
değer problemi, genelleştirilmiş analitik fonksiyon teorisinden türetilmiş pseudoparabolik
denklemler için çok bağlantılı bir bölgede ele alınacaktır.
(3.1) denkleminde tanımlanan L operatörünün a, b, c ve d katsayılarının sınırlı regüler bir D
bölgesinin kapanışının dışında özdeş olarak sıfır ve bir p > 2 için Lp(D) sınıfına ait olduğunu
varsayalım. D bölgesinin sınırı olan Γ sınırlı, düzgün, kesişmeyen ve kapalı Γk, (0 ≤ k ≤ m)
eğrilerinin sonlu birleşiminden oluşan bir eğri olsun ve diğer eğriler Γ0 eğrisinin içinde kalsın.
Dk ile Γk, (0 ≤ k ≤ m), eğrileri tarafından sınırlanan bölgeler gösterilsin. Ayrıca D+ ile
Γ0 ile sınırlandırılmış bölgenin içi ve Γ1, · · · ,Γm eğrileri ile sınırlanmış bölgelerin dışı olan
(m+ 1)-bağlantılı bölge gösterilsin. Tüm kompleks düzlemde D+ + Γ nın tümleyeni olan bölge
ise D− ile gösterilsin. Buna göre D−0 sınırsız bir bölgedir. Alışılmış kabullere göre, Γ0 eğrisinin
saat yönünün tersine ve diğer eğrilerin saat yönünde yönlendirildiği kabul edilecektir. Bu kabul-
ler altında, genelleştirilmiş analitik fonksiyon teorisinde Riemann probleminin çözümünde önemli
bir rol oynayan Plemelj formülleri, genelleştirilmiş Q−holomorf fonksiyonlarda tanımladığı gibi
(Hızlıyel 2006) pseudoparabolik denklemler için de tanımlabilir:
I , R de bir açık aralık olmak üzere, Γ × I da kompleks değişken z ye göre Hölder sürekli, reel
değişken t ye göre C1 sınıfından bir δ (z∫, t) fonksiyonu için
Φ (z, t) := P−1 dφ(ζ) (φ(ζ)− φ(z))−1 δ (z, t)
Γ
şeklinde tanımlansın. Burada singüler Cauchy integrali, Cauchy esas değeri anlamındadır. Cauchy
integralinin Hölder sürekliliğinden (Gakkov 1966), Φ (z, t), her t ∈ I için D+ ve D− bölgelerinde
Hölder süreklidir ve t ye göre sürekli dif∫erensiyellenebilir olup
Φ (z, t) := P−1t dφ(ζ) (φ(ζ)− φ(z))−1 δt (z, t)
Γ
47
ifadesini sağlar. Ayrıca, singüler Cauchy integrali kullanılarak elde edilen Plemelj formülleri
aşağıdaki şekilde verilebilir: Φ+ (z, t) := Φ (z, t) + 12δ(z, t)
 , (z, t) ∈ Γ× I.
Φ− (z, t) := Φ (z, t)− 12δ(z, t)
Bu formüller, Hızlıyel tarafından 2006 yılında yapılan çalışmaya benzer olarak ispatlanabileceği
için burada ispatına değinilmeyecektir.
Lemma 4.1.1. (3.1) de tanımlanan L operatörünün + +a, b, c, d ∈ Lp(D ) katsayıları D nın dışında
özdeş olarak sıfır olsun. δ (z, t), z ye göre Hölder sürekli ve t için C1 sınıfına ait m × s tipinde
kompleks matri∫s olm∫ ak üzere eğer z ∈ Γ için δ (z, 0) ≡ 0 iset { }
w(z, t) = P−1 dφ(ζ)Ω(1)τ (z, ζ; t, τ) δτ (ζ, τ)− dφ(ζ)Ω(2)τ (z, ζ; t, τ) δτ (ζ, τ) dτ (4.1)
0 Γ
C\Γ nın her bir bileşeninde genelleştirilmiş Q-holomorf fonksiyondur ve özel olarak C\ +D da
wφt = 0 dır. Ayrıca w (z, 0) ≡ 0 ve w+ (z, t) = w (z, t) + 12δ(z, t) , (z, t) ∈ Γ× R. (4.2)
w− (z, t) = w (z, t)− 12δ(z, t)
Burada Ω(1) ve Ω(2), L operatörünün temel çekirdekleridir ve (4.1) de ki ilk integral Cauchy esas
değeri anlamındadır.
İspat. |ζ − z| → 0 iken (3.14) ile verilen çekirdeklerin lokal davranışı ve integrallerin bağımlı
değişkenleri için Plemelj formüllerinden (Gakhov 1966, s. 51)
(w − Φ)+ (z, t) = (w − Φ) (z, t) = (w − Φ)− (z, t) , ( z ∈ Γ, t ∈ R)
elde edilir. Böylece (w − Φ), Γ üzerinde bile süreklidir ve (4.2) elde edilir.
Teorem 4.1.2. v,
∂ ( ) ( )
L̃v := vφ − av − b
∗bv + cv + b∗dv = 0 b∗ = φ−1
∂t z
φz , (4.3)
eşlenik denklemin bir çözümü olsun ve T ∈ R olmak üzere her z ∈ C için v(z, T ) = 0 sağlansın.
Γ üzerinde verilen Hölder sürekli δ(z, t) fonksiyonunun, D bölgesinde (3.1) denkleminin Hölder
sürekli ve başlangıç verisinde özdeş olarak sıfır olan bir çözümünün sınır değeri olan w+ yı temsil
48
etmesi için∫gerek şartT ∫
Im dφ(ζ)vt(ζ, t)δt(ζ, t)dt = 0 (4.4)
0 Γ
ve ∫ T ∫ { }
dφ(ζ)Ω(1) (z, ζ; t, τ) δ (ζ, τ)− dφ(ζ)Ω(2)τ τ τ (z, ζ; t, τ) δτ (ζ, τ) dτ = 0 (z ∈ D−)
0 Γ
(4.5)
olmasıdır.
İspat. Öncelikle (4.4) ifadesinin ispatına bakalım. Green özdeşliğinin (Hızlıyel 2006, s. 537)
kullanılmasıyla
∫T ∫
1
dφ(ζ)vt(ζ, t)δt(ζ, t)dt
2i
∫ ∫0T ∫Γ
= φζD (vtδt) dξdηdt
∫0 DT ∫∫ [ ]
= φ av δ + φ−1ζ t t ζ φζbvtδt − cvδt − φ
−1
ζ φζdvδt − avtδt − bvtδt − cvtδ − dvtδ dξdηdt
∫0 DT ∫∫ [ ]
= φζbvtδt − φζc (vδ)t − φζdvδt − φζbvtδt − φζdvtδ + φζdvδt − φζdvδt dξdηdt
∫0 ∫DT ∫ [ ( ) ]
= 2iIm(φζbvtδt − φζdvδt)− φζc (vδ)t − φζd vδ dξdηdtt
0 ∫DT ∫∫ ( )
= 2i Im(φζ bvt − dv δt)dξdηdt
0 D
elde edilir. Burada teoremin başlangıç verileri üzerindeki hipotezleri kullanılmıştır. Dolayısıyla
(4.4) doğrudan elde edilir. (4.5) ifadesinin ispatı için u1(z, t)− w(z, t), z ∈ D+, t ∈ R
u(z, t) :=  (4.6)
u1(z, t), z ∈ D−, t ∈ R
ve ∫ T ∫ { }
u1(z, t) := dφ(ζ)Ω
(1)
τ (z, ζ; t, τ) δτ (ζ, τ)− dφ(ζ)Ω(2)τ (z, ζ; t, τ) δτ (ζ, τ) dτ
0 Γ
49
ifadelerini göz önüne alalım. Bu fonksiyonların Γ ×R üzerinde
u+ − u− = u+ − u− − w+1 1 = δ − w
+
sınır koşullarını sağladığı ve her t ∈ R için u(z, t) = O(|z|−1) (z → ∞) olduğu açıktır. Eğer
Γ ×R üzerinde w+ = δ ise u, C ×R de sürekli Q-holomorf bir fonksiyondur ve u(z, 0) ≡ 0,
u(∞, t) ≡ 0 gerçeklenir. Lemma 3.1.1 in ispatından u özdeş olarak sıfırdır. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.1.3. δ(z, t) fonksiyonunun, D+×R bölgesinde (3.1) denkleminin bir çözümünün sınır
değeri olması için (4.5) koşulu yeterlidir.
İspat. (4.6) ile verilen u fonksiyonu D+×R ve D−×R de (3.1) denkleminin çözümüdür ve sınır
üzerinde
u+1 − u
−
1 = δ (4.7)
dır. Hipotez gereği (4.5) geçerli olduğundan, z → ∞ için D− de u1 özdeş olarak sıfırdır. (4.7)
ifadesinin kullanılmasıyla Γ×R üzerinde u−1 ≡ 0 olduğu görülür. Dolayısıyla (4.5) sağlandığında,
u fonksiyonunun D+ × R üzerinde sınır değeri δ(z, t) dir.
50
5. SINIR DEĞER PROBLEMİ
Cauchy tipi integrali olarak isimlendirilen ∫
1 dζ
ϑ(z) = ϕ(ζ)
2πi Γ ζ − z
tipindeki integraller klasik kompleks analizde önemli bir yere sahiptir. Aynı zamanda bu integral
ve Γ basit kapalı düzgün eğrisine yaklaşım sonucu ortaya çıkan Plemelj-Sokhotzki formülleri
sınır değer problemleri için önemlidir. Bu sınır değer problemlerinden biri Riemann sınır değer
problemidir. En basit hali ile bir Riemann sınır değer problemi aşağıdaki şekilde tanımlanır: Γ,
kompleks düzlemi iç (G+) ve dış (G−) olmak üzere ikiye ayıran basit, düzgün ve kapalı bir
eğri olsun. H(z) ve h(z), Γ eğrisi üzerinde tanımlı ve H(z) 6= 0 olacak şekilde Hölder sürekli
fonksiyonlar olmak üzere Γ eğrisi üzerinde
Φ+(z) = H(z)Φ−(z) veya Φ+(z) = H(z)Φ−(z) + h(z)
koşullarından birini sağlayacak şekilde G+ da analitik, Φ+(z), G− (z = ∞ dahil) de analitik
Φ−(z) fonksiyonlarının bulunması problemine Riemann sınır değer problemi denir. Bu problem
h(z) = 0 ise homojen ve h(z) 6= 0 ise homojen olmayan problem olarak isimlendirilir. Burada
H(z) Riemann probleminin katsayısı, h(z) ise serbest terimidir. Daha önce yapılan çalışmalarda
bu problem ”Hilbert problemi”, ”Riemann-Hilbert problemi”, ”Hilbert-Privalov problemi” veya
”Riemann-Privalov problemi” gibi farklı isimlerle kullanılmıştır. Bu problem ilk olarak Riemann
tarafından açıklanmış ancak Riemann kendi formüle ettiği problemi çözmek için bir girişimde
bulunmamıştır. Klasik Riemann sınır deger probleminin çözümlerinin araştırılmasında en temel
husus indeks kavramıdır. Problemin katsayısına ait indeks aynı zamanda problemin indeksidir
ve söz konusu fonksiyonun logaritmik değişiminden veya integral temsilinden hareketle ifade
edilebilir. Homojen skaler problemin ilk çözümü Hilbert tarafından Fredholm denkleminden yola
çıkılarak 1904 yılında yapılmıştır. Daha sonra 1927 de Picard aynı yöntemi daha genelleştirerek
sunmuştur. İndeksin sıfır olarak kabul edildiği homojen problem için kapalı formdaki çözüm
ise ilk kez Plemelj tarafından 1908 yılında verilmiştir. 1937 de Gakhov, skaler Riemann prob-
lemi için tam bir çözüm sunan ilk bilim adamı olmuş ve daha sonra vektörel Riemann problem,
Plemelj, Gakhov, Muskhelishvili ve genişletilmiş şekilde Vekua tarafından incelenmiştir. Bu
bölümde negatif olmayan indeks için Riemann sınır değer problemi ele alınacaktır.
5.1 Riemann Sınır Değer Problemi
Bu bölümde
∂ [ ]
Lw : = w + aw + bw̄ + cw + dw̄, w(∞, t) = 0, w(z, 0) = 0, (5.1)
∂t φ̄
w+ = gw− + hw− + γ, Γ× R (5.2)
51
problemi ele alınacaktır. Burada Q, Q ile değişmeli, a, b, c, d ve g, Q ile değişmeli ve γ, m × s
tipinde kompleks değerli matristir. a, b, c, d katsayılarının regüler sınırlı D bölgesinin kapanışının
dışında özdeş olarak sıfır olduğunu varsayalım. Ayrıca a, b, c, d ∈ Lp(D), p > 2, olsun. g, h, γ
fonksiyonlarının ise Γ üzerinde z ye göre Hölder sürekli olduğunu varsayalım. Burada det g 6= 0
dir. Ayrıca γ, t nin sürekli diferensiyellenebilir bir fonksiyonudur ve γ(z, 0) ≡ 0.
Teorem 5.1.1. w, C × R üzerinde (5.1)-(5.2) probleminin parçalı sürekli bir çözümü olsun. v
fonksiyonu, bazı T ∈ R ve her z ∈ C için v(z, T ) ≡ 0 olacak şekilde (4.3) eşlenik probleminin
herhangi bir çözümü olsun v(e Γ×)R üzerinde
− + − dφ dφ
−1
v = v g v+h (5.3)
ds ds
koşulunu sağlasın. Burada dφ := ∂φ dz + ∂φ dzds ∂z ds ∂z ds , ds yay uzunluğu parametresidir (Hızlıyel 2014).
O halde ∫ T ∫ { }
Im dφ v−t (z, t)w
−
t (z, t) + v
+
t (z, t) γt (z, t) dt = 0. (5.4)
0 Γ
İspat. ∫(5.2∫) yardımıylaT
Im dφv+ +t (z, t)wt (z, t) dt
0 ∫ ΓT ∫ [ ]
= Im ∫ ∫ dφ
+
[vt (z, t) g (z)w
− (z, t) + v+t t (z, t)h (z()w
−
t )(z, t) + v
+
t (z, t) γt (z, t) dt
0 Γ
T dφ dφ −1
= Im dφ v− (z, t)w− (z, t) + v+t t (z, t)h (z) w
−
ds ds t
(z, t)
0 Γ ]
+ v+t (z, t)h (z)w
−
t (z, t) + v
+
t (z, t) γt (z, t) dt
yazılabilir. (5.3) denklemi ve Q-holomorf fonksiyonlar için Green özdeşliğinin kullanılmasıyla
(5.4) elde edilir (Hızlıyel 2006).
γ ≡ 0 olma∫sı d∫urumundaT ∫ T ∫
Im dφv+ + −t (z, t)wt (z, t) dt = Im dφvt (z, t)w
−
t (z, t) dt = 0 (5.5)
0 Γ 0 Γ
eşitliği elde edilir. Γ orijinden geçmeyen basit bir çevre olsun ve h özdeş olarak sıfır olsun. Bu
durumda çalışılacak problem Lw = 0, (C \ Γ)× R (5.6)
w+ = gw− + γ, Γ× R
52
problemine indirgenir.
Tanım 5.1.2. (5.6) probleminin indeksi ∫
1 1 ∑r
κ := ∆Γ arg g0 = d log g0 = λk,
2π 2πi Γ k=0
ile tanımlanır. Burada λ 1k = 2π∆Γ arg g0, k = 0, ...r, ve Γk, pozitif yönde yönlendirilmiştirk
(Hızlıyel 2006).
Bu bölüm boyunca buradan sonra aşağıdaki notasyon kullanılacaktır: w+(z, t), z ∈ D+, t ∈ R
w(z, t) := 
w−(z, t), z ∈ D−, t ∈ R.
Q ile değişmeli bir f fonksiyonu f = f0I +Nf olarak yazılabilir ve logaritması
m∑−1 ( )(−1)k−1 N kf
log f = log f0 + , f0 6= 0
k f0
k=0
ile tanımlıdır (Hızlıyel 2006). Burada f0, f matrisinin esas köşegeni ve Nf de f matrisinin
nilpotent kısmıdır. Logaritmanın diğer tüm özellikleri bu tanım kullanılarak benzer şekilde
türetilebilir. Şimdi analitik durumda olduğu gibi (Gakhov 1966, Hızlıyel 2006), Q ile değişmeli
olan g = g0I +Ng matrisinin kanonik faktorizasyonunu bulalım. Öncelikle Γ sınırı üzerinde
χ+(z)− g(z)χ−(z) = 0
şartını sağlayan ve Q ile değişmeli olan Q-holomorf bir fonksiyon arayalım. Q ile değişmeli bir
matris için det g 6= 0 ifadesinin g0 6= 0 ifadesine denk olduğu açıktır. Yukarıdaki ifadede iki
tarafın logaritması alınırsa
logχ+(z)− logχ−(z) = log g(z) (5.7)
elde edilir. Matris değerli fonksiyonlar için logaritmanın tanımından tek değerlilikle ilgili tüm
ifadeler log g0 üzerine indirgenir. Buradan, tüm Γk sınır eğrilerinin yönlendirilmesinden sonra
eğer g0 ın argüment değişimi sıfır ise log g tek değerlidir. zk ∈ Γk, (k = 1, 2, ..., r) sabit bir nokta
ve
∏r
R(z) = [φ(z)− φ(zk)]λk
k=1
53
olsun. φ(z)−κR(z)g(z) nin esas köşegen terimi
∏r
φ (z)−κ0 [φ0(z)− φ (z λk0 k)] g0(z)
k=1
şeklindedir ve argümen[t değişimi∏ ]r
∆ arg φ (z)−κ [φ (z)− φ (z )]λlΓ 0 0 0 l g0(z) = 0, k = 0, 1, ..., rk
l=1
dir. Böylece ĝ = log [φ(z)−κR(z)g(z)] alınırsa esas köşegen teriminin argüment değişimi sıfır
olacağından, ĝ(z) nin tek değerli ve Hölder sürekli olduğu görülür. Buna göre (5.7) tekrar
düzenlenirse
[ ] [ ]
log R(z)χ+(z) − log φ(z)κχ−(z) = ĝ(z)
elde edilir. Bu durumda Plemelj(formüllerinin bir sonucu olarak ∫ )R (z)−1 exp P−1 Γ dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ(ζ) , z ∈ D+
χ (z) =  ( ∫ ) (5.8)φ (z)−κ exp P−1 Γ dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ(ζ) , z ∈ D−
elde edilir. Böylece (5.7) şartınd(an g(z∫) = χ
+(z)(χ−(z))−1 yazılabile)ceği ve
[χ0 (z)]
−1 = exp P−1 dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ(ζ) (z ∈ D−)
Γ
olmak üzere (5.8) ifadesinden χ−(z) = φ (z)−κ (χ0(z))−1 olduğu dikkate alınırsa
g = χ+ (z)χ− (z)φ (z)κ0 (z ∈ Γ), dir. φ ve ĝ,Q ile değişmeli olduğundan χ
−
0 deQ ile değişmelidir
(Hızlıyel ve Çağlıyan 2004a, s.438). z ∈ D+( ∫için )
χ (z) = R (z()−1 exp∫ P−1 dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ(ζ)Γ )
= exp P−1 dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ(ζ)− logR (z)
Γ
=: exp(η(z))
notasyonunu kullanalım.
Tanım 5.1.3. Eğer
(i) χ(z), D+ da bir Q-holomorf fonksiyon, tersin⋃ir ve Q ile değişmeli,
(ii) χ (z), D− de bir Q-holomorf fonksiyon, D−0 {∞} de tersinir ve Q ile değişmeli,
54
(iii) κ bir tamsayı
ise g(z) = χ+ (z)χ−0 (z)φ (z)
κ (z ∈ Γ), g nin kanonik faktorizasyonudur (Hızlıyel 2006, s. 549).
Şimdi (5.6) problemine tekrar dönülür ve verilen bir w fonksiyonu için χ−1 (z)w (z, t) , z ∈ D+, t ∈ R
ω (z, t) := 
χ0 (z)w (z, t) , z ∈ D−, t ∈ R
dönüşümü ya[pılırsa, bu dönü]şüm altında (5.6) problemi ∂ ∂t
ωφ̄ + aω + b̃ω + cω + d̃ω = 0, ω(∞, t) = 0, ω(z, 0) = 0,
 (5.9)ω+ = φκω− + γ̃ Γ× R
problemine dönüşür. Burada γ̃ = χ−1γve χ−1bχ, z ∈ D+
b̃ := 
χ bχ −1, z ∈ D−0 0
 χ−1dχ, z ∈ D+
d̃ := 
χ dχ −10 0 , z ∈ D−.
(i) κ =0 olsu[n. İndeksin sıfı]r olması durumunda (5.9) problemi ∂∂t ωφ̄ + aω + b̃ω + cω + d̃ω = 0, ω(∞, t) = 0, ω(z, 0) = 0, (C \ Γ)× R)
 (5.10)ω+ = ω− + γ̃ Γ× R
halini alır. a, b̃, c, d̃ katsayılarına karşılık gelen temel çekirdekler Ω̂(k) (k = 1, 2) ile gösterilsin. O
halde ∫ t ∫ [ ]
ω (z, t) = (Iγ̃) (z, t) := P−1 dφ (ζ) Ω̂(1)τ (z, t; ζ, τ) γ̃τ (ζ, τ) dτ
0 Γ
∫ t ∫ [ ]
−P−1 dφ (ζ)Ω̂(2)τ (z, t; ζ, τ) γ̃τ (ζ, τ) dτ
0 Γ
55
(5.10) probleminin ( )
ω(z, 0) = 0 (z ∈ C), ω(z, t) = O |z|−1 (z →∞, t ∈ R)
ile tek olarak tanımlanan çözümüdür. Bu çözüme (5.10) denkleminin
( )
ω0(z, 0) ≡ 0 (z ∈ C), ϑ (t) := ω0(∞, t) 6= 0, ϑ (t) ∈ C1 (R) ,
özelliğindeki sınırlı bir ω0(z, t) çözümü eklenirse, (5.10) probleminin z ve t verisine sahip bir
çözümü elde edilir. Bölüm 3.2 de gösterildiği gibi, bu sınırlı ω0(z, t) çözümü, (5.10) denkle-
mine karşılık gelen ve sırasıyla (3.26) ve (3.27) yardımı ile verilen F̃ ve G̃ operatörleri ile temsil
edilebilir. ϑ (t) = λ (t) + iµ (t) olmak üzere bu çözüm
ω0(z, t) = F̃ (z)λ (t) + G̃ (z)µ (t)
formuna sahiptir. ω1(z, t), (5.10) denkleminin
ω1(z, 0) = β (z) 6= 0, ω1(∞, t) = β (∞)
özelliğindeki çözümü ve u,
∂ [ ]
uφ̄ + au+ b̃u + cu+ d̃u = cβ + d̃β∂t
denkleminin bir özel çözümü olmak üzere Bölüm 3.2 de gösterildiği gibi
∑∞ tk+1
u(z, t) = fk (z) ,
(k + 1)!
k=0
f−1 := −β (z)
∫ [ ( )
fk (z) := 2iP
−1 dφ (ζ) dφ (ζ) Ω̂(1) (z, ζ) c (ζ) fk−1 (ζ) + d̃ (ζ) fk−1 (ζ)
C
( ) ]
+Ω̂(2) (z, ζ) c (ζ) fk−1 (ζ) + d̃ (ζ)fk−1 (ζ) , k ∈ N0,
ile ifade edilir. O halde ω1 − β + u (5.10) un homojen koşullara sahip bir çözümüdür. Böylece
aşağıdaki teorem verilebilir.
56
Teorem 5.1.4. (5.10) denkleminin genel çözümü
∑∞ tk+1
ω = (Iγ̃) (z, t)− fk (z) + β (z) + F̃ (z)λ (t) + G̃ (z)µ (t)
(k + 1)!
k=0
ile verilir. Burada β ∈ C (C), β (∞) = limz→∞ β (z) ∈ C, λ, µ ∈ C1 (R) ,
λ (0) = 0, µ (0) = 0.
(ii) κ > 0 olsun. Bu durum( da (5.9) denklemi)nin bir özel çözümünü bulmak için öncelikle
lim κz→∞ φ (z) ω(z, t) = θ (t) t ∈ R, θ ∈ C1 (R) ve ω(z, 0) = 0 (z ∈ C) özelliğine sahip bir
çözüm arayalım. Bu özellikteki ω(z, t) çözümleri için ω+(z, t), z ∈ D+, t ∈ R
ω1(z, t) :=  (5.11)
φ (z)κ ω−(z, t), z ∈ D−, t ∈ R
şeklinde bir d[önüşüm yapılırsa b]u dönüşümden sonra problem ∂∂t ω1φ̄ + aω1 + b1ω1 + cω1 + d1ω1 = 0, (C \ Γ)× R
 (5.12)
ω+1 = ω
−
1 + γ̃, Γ× R
halini alır. Burada
 b̃, z ∈ D+
b1 :=  ∈ Lp,2 (C)−κ
φ (z)κ φ (z) b̃, z ∈ D−
 d̃, z ∈ D+
d1 :=  ∈ Lp,2 (C)−κ
φ (z)κ φ (z) d̃, z ∈ D−
dir. Ayrıca ω1 ( )
ω1(z, 0) = 0, z ∈ C, ω1(z, t) = O |z|−1 (z →∞, t ∈ R)
özelliğine sahiptir. a, b1, c, d1 katsayılarına karşılık gelen temel çekirdekler Ω̂(k) (k = 1, 2) olmak1
üzere, bu problemin çözümü
57
∫ t ∫ [ ]
(1)
ω1(z, t) = (I1γ̃) (z, t) := P
−1 dφ (ζ) Ω̂1τ (z, t; ζ, τ) γ̃τ (ζ, τ) dτ
0 Γ
∫ t ∫ [ ]
− −1 (2)P dφ (ζ)Ω̂1τ (z, t; ζ, τ) γ̃τ (ζ, τ) dτ
0 Γ
ile tek olarak verilir. γ̃ ≡ 0 durumunda (5.12) homojen probleminin sadece aşikar çözüme sahip
olmasından dolayı çözümün tekliği garantilenir.
ω1 çözümünü kullanarak, (5.11) dönüşümü yardımıyla, yani ω1(z, t), z ∈ D+, t ∈ R
ω(z, t) = 
φ (z)−κ ω1(z, t), z ∈ D−, t ∈ R.
ile (5.9) probleminin bir özel çözümünü arayalım. Genel çözümü tamamlamak için, homojen
problemin çö[zümlerini incele]yelim (γ̃ = 0). ∂∂t ωφ̄ + aω + b̃ω + cω + d̃ω = 0, (C \ Γ)× R
 (5.13)ω+ = φκω−, Γ× R
homojen p[roblemi ele alalım. (3.26) ve (3].27) yardımıyla, F̂k, Ĝk , 0 ≤ k ≤ κ için∂ k
ω + aω + b φ (z) φ (z)−k
k
φ̄ 1 ω + cω + d1φ (z) φ (z)
−k ω = 0 (5.14)
∂t
denklemine karşılık gelen operatörler olmak üzere
w0 := F̂kλ+ Ĝkµ
(5.14) denkleminin sınırlı bir çözümüdür. Burada λ ve µ, t ∈ R nin reel sürekli diferensiyellene-
bilir matris değerli fonksiyonlarıdır. Ayrıca w0 fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar:
w0 (∞, t) = F̂k (∞)λ (t) + Ĝk (∞)µ (t) = λ (t) + iµ (t) ,
w0 (z, 0) = F̂k (z)λ (0) + Ĝk (z)µ (0) .
k
Burada (F̂k, Ĝk), (a, b1φ (z) φ (z)
−k) katsayı çiftine karşılık gelen doğurucu çifttir.
(F́kΦ)(z, t) := φ(z)k(F̂kΦ)(z, t),
(ǴkΦ)(z, t) := φ(z)k(ĜkΦ)(z, t)
58
ile tanımlanan F́k ve Ǵk operatörleri (5.12) denkleminin γ̃ ≡ 0 iken sonsuzda k. mertebeden
kutba sahip olan çözümlerinin oluşturulması için kullanışlıdır. Bu operatörler k = 0, 1, ..., κ için
R üzerinde lineer bağımsızdır. Daha genel olarak λk ve µk, m × s tipinde reel değerli matrisler
olmak üzere
∑κ ( )
F́kλk + Ǵkµk (z, t) = 0,
k=0
ise
∑κ ( )
φ (z)k−κ F̂kλk + Ĝkµk (z, t) = 0
k=0
dir. z → ∞ için λκ ≡ 0 ve µκ ≡ 0 dır (Hızlıyel ve Çağlıyan 2004b, s.945). Bu şekilde devam
edilirse 0 ≤ k ≤ κ için
λk + iµk ≡ 0
∑κ ( )
elde edilir. Diğer taraftan F́kλk + Ǵkµk , (5.13) probleminin γ̃ = 0 durumunda t ∈ R için
k=0
reel sürekli diferensiyellenebilir, λk, µk fonksiyonlarının her bir sistemi için sonsuzda κ ya eşit
veya daha küçük kutba sahip olan bir(çözü)müdür. Benzer şekilde k = 0, 1, ..., κ için( )  φ (z)k F̂kΦ (z, t) , z ∈ D+, t ∈ R
F̃kΦ (z, t) : =  ( ) (5.15)φ (z)k−κ F̂kΦ (z, t) , z ∈ D−, t ∈ R
( )  ( )φ (z)k Ĝ +kΦ (z, t) , z ∈ D , t ∈ R
G̃kΦ (z, t) : =  ( ) (5.16)φ (z)k−κ Ĝ Φ (z, t) , z ∈ D−k , t ∈ R
ile tanımlanırsa
∑κ ( )
F̃kλk + G̃kµk (5.17)
k=0
ifadesi (5.13) probleminin bir çözümüdür.
Lemma 5.1.5. (5.13) homojen probleminin t = 0 için özdeş olarak sıfır olan her çözümü (5.17)
formundadır. Burada λk(0) = µk(0) = 0 (0 ≤ k ≤ κ) dır.
İspat. ω̃, (5.13) homojen probleminin ω̃ (z, 0) ≡ 0 özelliğinde keyfi bir çözümü olsun. a, b̃, c, d̃
katsayıları sonsuzda özdeş olarak sıfır olduğundan, her t için ω̃ sonsuz civarında Q-holomorftur
59
ve ( )
ω̃ (z, t) = O |z|k−κ (z →∞, t ∈ R, 0 ≤ k ≤ κ)
asimptotik koşulunu sağlar. [ ]
λk (t) + iµk (t) := lim φ (z)
κ−k ω (z, t) , (t ∈ R)
z→∞
seçelim. Burada λ , µ ∈ C1k k (R) reel matrislerdir ve λk (0) = µk (0) = 0 dır. ω̃−(F̃kλk−G̃kµk)
ifadesi (5.13) denk[leminin bir çözümü]dür. Ayrıca [ ]
lim φ (z)κ−k ω̃ − F̃kλk − G̃kµk (z, t) = lim φ (z)κ−k ω̃ − F̂ λ − Ĝ µ (z, t) = 0
z→∞ z→∞ k k k k
dır öyle ki [ ]
lim φ (z)κ−k+1 ω̃ − F̃kλ→∞ k − G̃kµk (z, t) = λk−1(t) + iµk−1(t)z
dir, burada λ 1k−1, µk−1 ∈ C (R) ve λk−1 (0) = µk−1 (0) = 0 dır. Tümevarım yardımıyla (5.13)
denkleminin bir çözümünün
∑k
ω0 (z, t) := ω̃ − (F̃vλv + G̃vµv)
v=0
λv(0) = 0, µv(0) = 0, (0 ≤ v ≤ k)
formunda olduğu görülür. Burada ω0
ω −κ−10(z, 0) = 0, ω0(z, t) = O(|z| ), (z →∞, t ∈ R)
özelliğindedir. Böylece
 ω+, z ∈ D+0 , t ∈ R
ω̃0 := 
φ (z)κ ω−, z ∈ D−0 , t ∈ R
(5.12) homojen probleminin C× R de sınırlı bir çözü(müdür)ve bu çözüm
ω̃0 (z, 0) ≡ 0 (z ∈ C), ω̃0 (z, t) = O |z|−1 (z →∞, t ∈ R)
∑
özelliğindedir öyle ki ω̃0 sonsuzda özdeş olarak sıfırdır. Böylece ω̃ =
k
v=0(F̃vλv + G̃vµv)
olarak bulunur.
60
Teorem 5.1.6. (5.6) denklem(inin ge∫nel çözümü )
w(z, t) = exp P−1 dφ (ζ) [φ (ζ)− φ (z)]−1 ĝ
{Γ ∑κ ( ) }
×R (z)−1 ω0(z, t) + ψ(z) + F̃kλk + G̃kµk (z, t)
k=0
biçimindedir. Burada
 ∑(I + k+11γ̃) (z, t)− ∞k=0 f t +k (z)[ (k+1)!
, z ∈ D , t ∈ R
ω0(z, t) :=  ∑ ]k+1φ (z)−κ (I1γ̃)−(z, t)− ∞k=0 fk (z) t(k+1)! , z ∈ D−, t ∈ R
ve ψ, λk, µk (0 ≤ k ≤ κ), fv (v ∈ N0) , w fonksiyonu üzerindeki başlangıç verisi yardımıyla
verilmiştir. fv, (5.19) ile tanımlıdır.
İspat. ω̃0, (5.13) denkleminin ψ(z) := ω̃0(z, 0), (z ∈ C) özelliğine sahip keyfi bir çözümü ol-
sun. Burad[a ω̃0(z, t) fonk]siyonunun, her t ∈ R için sonsuzda singülerliği yoktur. Ayrıca u∂
uφ̄ + au+ b̃u + cu+ d̃u = Ψ, (C \ Γ)× R (5.18)∂t
u+ = φκu−, Γ× R
homojen olmayan problemin bir özel çözümü olsun ve u(z, 0) ≡ 0 (z ∈ C) ve
u(∞, t) ≡ 0 (t ∈ R) koşullarını sağlasın. Burada Ψ := cψ + d̃ψ dir. O halde ω̃ := ω̃0 − ψ + u
(5.13) denkleminin ω̃(z, 0) ≡ 0 (z ∈ C) özelliğine sahip bir çözümüdür. Böylece, Lemma
5.1.5 yardımıyla, t = 0 için özdeş olarak sıfır olan her ω̃ çözümü λk(0) = 0, µk(0) = 0,
0 ≤ k ≤ κ olması şartıyla (5.17) formunda verilebilir. Homojen olmayan (5.18) probleminin
bir özel çözümü için {
u+(z, t), z ∈ D+, t ∈ R
v(z, t) :=
φ (z)κ u−(z, t), z ∈ D−, t ∈ R.
dönüşümünü ele alalım. O halde bu fonksiyon
∂ [ ]
vφ̄+ av + b1v + cv + d1v = f,
∂t
probleminin bir çözümü olmalıdır. Burada
{
Ψ, z ∈ D+,
f :=
φ (z)κ Ψ, z ∈ D−,
61
ve b1, d1 katsayıları {
b̃, z ∈ D+,
b1 := −κ
φ (z)κ φ (z) b̃, z ∈ D−
{
d̃, z ∈ D+,
d1 := κ −κφ (z) φ (z) d̃, z ∈ D−.
şeklindedir. O halde böyle bir çözüm,
v − P1v = f̂ t,
integral denkleminin çöz∫ülm∫esiyle bulunur, buradat { [ ]
P := 2iP−1 (1)1 dφ(ζ)dφ(ζ) Ω1 (z[, ζ) c (ζ) v (ζ, τ) + d1 (ζ) v (ζ0 C ],}τ)
(2)
+Ω1 (z, ζ) c (ζ)v (ζ, τ) + d1 (ζ)v (ζ, τ) dτ
ve ∫ [ ]
− −1 (1) (2)f̂(z) := 2iP dφ(ζ)dφ(ζ) Ω1 (z, ζ)f(ζ) + Ω1 (z, ζ)f(ζ) .
C
(k)
Ω1 , k = 1, 2, ise
wφ + aw + b1w = 0.
denklemine karşılık gelen temel çekirdeklerdir. Bu integral denklemin çözümü
∑∞ tk+1
v(z, t) = fk (z)
(k + 1)!
k=0
ile verilir, burada
f0 = −f̂ ∫ [ ( )
fk (z) : = 2iP
−1 dφ (ζ() dφ (ζ) Ω̂(1) (z, ζ) c (ζ) fk−1)(ζ]) + d1 (ζ) fk−1 (ζ)C
+Ω̂(2) (z, ζ) c (ζ) fk−1 (ζ) + d1 (ζ)fk−1 (ζ) , k ∈ N (5.19)
ve fk(∞) = 0, k ∈ N dir. Bu ise ispatı tamamlar.
62
6. TARTIŞMA
Begehr ve Gilbert tarafından 1978 yılında yapılan çalışmada, analitik fonksiyon teorisinde, be-
lirli bir eğri boyunca önceden belirlenmiş bir sıçramaya sahip tüm analitik fonksiyonları bulma
problemi olarak bilinen Riemann sınır değer problemi, genelleştirilmiş analitik fonksiyonlar te-
orisinde kompleks diferensiyel denklemden türetilen pseudoparabolik bir denklemin çözümleri
için incelenmiştir. Bu inceleme pseudoparabolik denklemler için integral temsillerinin elde edil-
mesiyle mümkün olmuştur. Bu çalışmadan hareketle bu doktora tezinde, üçüncü bölümde (3.1)
denklemi ile ifade edilen matris formda pseudoparabolik denklem ele alınmıştır. Bu denklemin
çözümleri için integral temsillerin elde edilmesi aşamasında, Hile (1982) tarafından verilen Q-
holomorf fonksiyonlar teorisine ihtiyaç duyulduğundan ikinci bölüm bu teorinin temel tanım ve te-
oremlerini içeren bir önbilgi niteliğinde düzenlenmiştir. Tezin üçüncü bölümünde genelleştirilmiş
Q-holomorf fonksiyonlar için verilen temel çekirdekler yardımıyla (3.1) denklemi için (3.17),
(3.18) ve (3.21) ile verilen integral temsilleri elde edilmiştir (Sağlam Özkan ve Hızlıyel 2018).
Bu integral temsiller, Begehr ve Gilbert (1978) in ele aldıkları pseudoparabolik denklem için elde
ettiği integral temsillerin, bilinmeyen fonksiyonu ve katsayıları matris değerli fonksiyonlar olan
pseudoparabolik bir denklem için yüksek boyutlu bir benzeridir. Dört ve beşinci bölümde ise Ri-
emann sınır değer problemi için problemin katsayısına ait indeksin sıfır ve pozitif bir tamsayı
olması durumda çözümler elde edilmiştir (Teorem 5.1.4, Teorem 5.1.6). Genelleştirilmiş analitik
fonksiyonlar teorisinden türetilmiş (Vekua 1962) pseudoparabolik denklemler için, literatürde var
olan sınır değer problemleri, uygun integral temsilleri elde edilerek çözülmüştür. Bu çalışmanın
ışığında, Riemann sınır değer probleminin çözümü için elde edilen integral temsillerin yüksek
boyutlu benzerleri, diğer sınır değer problemleri için de elde edilebilir. Ancak bu sınır değer prob-
lemleri incelenirken, yüksek boyutta çalışmanın getirdiği zorluk sebebiyle, sınır şartları üzerine
konulan koşullar seçilirken dikkatli olunmasında fayda vardır.
63
KAYNAKLAR
Barenblat, G., Zheltov, I., Kochiva, I. 1960. Basic concepts in the theory of seepage of
homogeneous liquids infissured rocks. J. Appl. Math. Mech., 24: 1286-1303.
Begehr, H., Gilbert, R.P. 1993. Transformations, transmutations and kernel functions. Pit-
man monographs and surveys in pure and applied mathematics. Harlow: Longman Scientific
& Technical, 275 pp.
Bergman, S. 1961. Integral operators in the theory of linear partial differential equations,
Springer-Verlag, Berlin, 145 pp.
Bers, L. 1953. Theory of pseudo-analytic functions. New York, (NYU Lecture Notes), 187
pp.
Bojarskiı̆, B.V. 1966. Theory of generalized analytic vectors (in Russian). Ann. Polon. Math.,
17: 281-320.
Colton, D. 1972. On the analytic theory of pseudoparabolic equations. Quart. J. Math., 23:
179-192.
Douglis, A.A. 1953. Function theoretic approach to elliptic systems of equations in two
variables. Comm. Pure Appl. Math., 6(2): 259-289.
Gakhov, F. D. 1937. On the Riemann boundary value problem. Mat. Sb., 2(44): 673-683.
Gakhov, F. D. 1966. Boundary value problems. Oxford: Pergamon press, 564 pp.
Gilbert, R.P., Schneider, M. 1978. Generalized meta and pseudoparabolic equations in the
plane. Complex analysis and its applications, 666: 160–172.
Gilbert, R. P., Buchanan, J. L. 1983. First order elliptic systems. Elsevier, 281 pp.
Goldschmidt, B. 1979. Funktionentheoretische eigenschaften verallgemeinerter analytisc-
her vektoren. Math. Nachr., 90 :57–90.
Hızlıyel, S. 2006. The Hilbert problem for generalized Q-holomorphic functions. Journal
for Analysis and its App., 25(4): 535-554.
Hızlıyel, S. 2014. Carleman-type theorems for generalized Q-holomorphic functions. Jour-
nal of Mathematical Analysis and Applications, 412(2): 816-827.
Hızlıyel, S., Çağlıyan, M. 2004a. GeneralizedQ-holomorphic functions. Complex Var. The-
ory Appl., 49(6): 427-447.
Hızlıyel, S., Çağlıyan, M. 2004b. Pseudo Q-holomorphic functions. Complex Var. Theory
Appl., 49: 941-956.
64
Hızlıyel, S., Çağlıyan, M. 2007. A Dirichlet problem for a matrix equation. Complex Vari-
ables and Elliptic Equations, 52: 575 – 588.
Hilbert, D. 1904. Über eine anwendung der integralgleichungen auf ein problem der funk-
tionentheorie. Verhandlungen des 3. Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg,
233-240.
Hile, G. N. 1978. Elliptic systems in the plane with first-order terms and constant coeffici-
ents. Comm. Partial Differential Equations, 3(10): 949–977.
Hile, G.N. 1982. Function theory for generalized Beltrami systems. Contemporary Math.,
11: 101-125.
Jacobson, N. 1953. Lectures in abstract algebra. Volume II: Linear algebra. Van Nostrand
Reinhold.
Lewy, H. 1959. On the reflection laws of second order differential equations in two indepen-
dent variables. Bull. Amer. Math. Soc., 65: 37-58.
Plemelj, I. 1908. Ein erganzungssatz zur Cauchyschen integraldarstellung analytischer funk-
tionen, randwerte betreffend. Monatshefte für Mathematik und Physik, 19: 205-210.
Picard, E. 1927. Leçons sur quelques types simples d’équations aux dérivées partielles avec
des applications à la physique mathématique. Gauthier-Villars, Paris, 212 pp.
Sağlam Özkan, Y., Hızlıyel S. 2018a. Integral representation for solutions of the pseudopa-
rabolic equation in matrix form. Turkish Journal of Mathematics, 42(4): 1655-1669.
Showalter, R. E., Ting, T. W. 1970. Pseudoparabolic partial differential equations. SIAM J.
Math. Anal., 1: 1-26.
Vekua, I.N. 1962. Generalized analytic functions. Pergamon, Oxford, 698 pp.
Vekua, I. N. 1967. New methods for solving elliptic equations, John Wiley, New York.
65
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Yeşim SAĞLAM ÖZKAN
Doğum Yeri : ANKARA
Doğum Tarihi : 29.11.1989
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : İbn-i Sina Lisesi-Ankara (2006)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2011)
Yüksek Lisans : Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (2014)
Doktora : Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (2019)
Çalıştığı Kurumlar ve Yıl : Bursa Uludağ Üniversitesi Matematik Bölümü
Araştırma Görevlisi (2013− · · · )
İletişim : ysaglam@uludag.edu.tr,
yesimmsaglam@gmail.com
Yayınlar
Altınkaya, Ş., Sağlam Özkan, Y. 2017. On Salagean type pseudo-starlike functions. Acta
et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica, 21(2): 275-285.
Giresunlu, I. B., Sağlam Özkan, Y., Yaşar, E. 2017. On the exact solutions, lie symmetry
analysis, and conservation laws of Schamel–Korteweg–de Vries equation. Mathematical
Methods in the Applied Sciences, 40(11): 3927-3936.
Hızlıyel, S., Sağlam Özkan, Y. 2016. The Cauchy–Kowalewski theorem in the space of
pseudo Q-holomorphic functions. Complex Analysis and Operator Theory, 10(5): 953-963.
Sağlam Özkan, Y., Hızlıyel S. 2018a. Integral representation for solutions of the pseudo-
parabolic equation in matrix form. Turkish Journal of Mathematics, 42(4): 1655-1669.
66
Sağlam Özkan, Y., Hızlıyel, S. 2018b. On the approximation to complex matrix-valued
functions by using solutions of partial complex differential equation in matrix form. Süley-
man Demirel University Journal of Natural and Applied Sciences, 22(3): 1169-1174.
Sağlam Özkan, Y., Hızlıyel, S. 2018c. An investigation of solution of first order comp-
lex coefficients complex equation by using Aboodh transform. Bulletin of the İnternational
Mathematical Virtual Institute, 8(3): 509-515.
Yaşar, E., San, S., Sağlam Özkan, Y. 2016. Nonlinear self adjointness, conservation laws
and exact solutions of ill-posed Boussinesq equation. Open Physics, 14(1): 37-43.
67