T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SONLU CİSİMLER ÜZERİNDE BACHET ELİPTİK EĞRİLERİ Gökhan SOYDAN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA 2006 i ÖZET Bu tezde, p asal iken Fp sonlu cisimlerinde basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel bir hali olan y2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrileri üzerindeki nokta sayısı, noktaların mertebeleri ve bu eğrilerin grup yapıları incelenmiştir. Birinci bölümde, çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümlerine temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde y2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrilerinin nokta sayıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Üçüncü bölümde bu eğrilerin p ≡ 5 (mod 6) bir asal iken devirli grup yapısına sahip olduğu; p ≡1 (mod 6) bir asal ve m,n∈ + iken de ya Cn ×Cnm ya da p = n 2 ± n +1 olmak üzere Cn ×Cn şeklinde bir grup yapısına sahip olduğu gösterilmiştir. Bu eğrilerin grup yapısı incelenirken nokta sayısına da bakılmıştır. Ayrıca a ’nın Qp ’de bulunup bulunmayışına göre grubun üçüncü mertebeden elemana sahip olup olmayacağı gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Sonlu cisimler üzerinde eliptik eğriler, rasyonel noktalar, Bachet eliptik eğrileri, Weierstrass eliptik eğrileri. i i ABSTRACT In this thesis, the number of rational points, their orders, and the group structure of them, on Bachet elliptic curves y2 = x3 + a3 which are the special case of simplified Weierstrass equation over finite fields Fp where p is prime, are studied. In the first chapter, the fundamental notions necessary in the second and third chapters are recalled. In the second chapter, some results concerning the number of rational points on Bachet elliptic curves y2 = x3 + a3 are given. In the third chapter, it is shown that the group structure of the rational points on these curves is cyclic when p ≡ 5 (mod 6) is prime; and while p ≡1 (mod 6) is prime, it is isomorphic to the direct product of two cyclic groups C +n ×Cnm where m, n∈ or to the direct product Cn ×Cn with p = n2 ± n +1. While studying the group structure of these curves, the number of points is also discussed. Furthermore, whether the group has a point of order three or not according to a belongs to Qp or not is shown. Key Words: Elliptic curves over finite fields, rational points, Bachet elliptic curves, Weierstrass elliptic curves. ii i İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET İ ABSTRACT İİ İÇİNDEKİLER İİİ SİMGELER DİZİNİ İV ŞEKİLLER DİZİNİ VI ÇİZELGELER DİZİNİ VİI GİRİŞ 1 1- ÖN BİLGİLER 6 2- Fp SONLU CİSİMLERİNDEKİ y2=x3 +a3 BACHET ELİPTİK EĞRİLERİ ÜZERİNDEKİ RASYONEL NOKTALAR 40 2.1. Bachet Eliptik Eğrileri 40 2.2. Bachet Eliptik Eğrilerinin Nokta Sayılarının Yeniden Hesaplanması 41 2.3. Bachet Eliptik Eğrilerinin Rasyonel Noktalarının Apsisleri Toplamı 47 3- Fp SONLU CİSİMLERİNDEKİ y2=x3 +a3 BACHET ELİPTİK EĞRİLERİNİN GRUP YAPISI 51 3.1. Giriş 51 3.2. Cn×Cnm Formundaki Grup Yapısına Uyan Bachet Eliptik Eğrileri 52 3.3. Bachet Eliptik Eğrileri Üzerindeki 3. Mertebeden Elemanlar 55 3.4. Cn×Cn Grup Yapısındaki Bachet Eliptik Eğrileri 60 EKLER 62 KAYNAKLAR 78 İNDEKS 80 ÖZGEÇMİŞ 81 TEŞEKKÜR 82 iv SİMGELER DİZİNİ Z Tam sayılar kümesi Rasyonel sayılar kümesi F Cisim Fp p elemanlı sonlu cisim Fq Karakteristiği p olan q elemanlı sonlu cisim F *p p elemanlı sonlu cisimin çarpımsal grubu: Fp −{0} F F cisminin cebirsel kapanışı F[x, y] Katsayıları F cisminden alınan polinomlar halkası Z[x] Katsayıları tam sayılar olan x ’in polinomlarının halkası Zn n modunda kalan sınıflarının kümesi Z p p asal modundaki tam sayılar cismi Un Birimlerin kümesi Qn İkinci dereceden kalanların kümesi K p p asal modunda üçüncü dereceden kalanların kümesi χ (a) a ’nın p asal modunda Legendre fonksiyonu χ3(a) a ’nın p asal modunda üçüncü dereceden kalan karakteri ⎛ a ⎞ a ’nın p asal modunda Legendre sembolü ⎜ ⎟ ⎝ p ⎠ E Weierstrass eğrisi Ea Bachet eliptik eğrisi E \F Katsayıları F cisminden alınan E eğrisi E(F) F cismindeki E eğrisi üzerindeki noktaların kümesi E(Fp ) Fp sonlu cismindeki E eğrisi üzerindeki noktaların kümesi # E(Fp ) Fp sonlu cismindeki E eğrisi üzerindeki noktaların sayısı E(F)t F cismi üzerindeki E eğrisinin büküm noktalarının kümesi E( ) cismi üzerindeki E eğrisinin noktalarının kümesi v E( )t cismi üzerindeki E eğrisinin büküm noktalarının kümesi E[n] E eğrisi üzerindeki n . mertebeden noktaların kümesi E(F)[n] F cismindeki E eğrisi üzerindeki n .mertebeden noktaların kümesi Kar(F) F cisminin karakteristiği Q ′ p asal modunda ikinci dereceden bir kalan olmayan p kalanların kümesi N Nokta sayısı N p ,a Bachet eliptik eğrisi üzerindeki nokta sayısı ϕq q Frobenius endomorfizmi t Frobenius endomorfizminin izi j(E) E eğrisinin j -değişmezi ∆ Weierstrass denkleminin diskriminantı Cn ×Cm n ve m mertebeli iki devirli grubun direkt çarpımı [[T ]] Katsayıları ’dan alınan kuvvet serileri halkası v i ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 1.3.1 19 Şekil 1.3.2 20 Şekil 1.3.3 27 Şekil 1.3.4 21 Şekil 1.3.5 22 Şekil 1.3.6 22 vi i ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge l.2.1 17 Çizelge l.4.1 31 1 GİRİŞ Bu çalışmanın amacı, p asal iken Fp sonlu cisimlerinde basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel bir hali olan Bachet eliptik eğrilerinin nokta sayılarını ve grup yapısını incelemektir. Bilindiği gibi Diophant denklemleri teorisi, tam sayılardaki polinom denklemlerin çözümü ile ilgilenen bir sayılar teorisi dalıdır. Bu konu adını eski Yunan cebircisi Diophantus Alexandra’dan alır. Diophantus bu denklemlerin çözümlerini formülize etmiştir. Bu denklemleri temel alan bir başka popüler problem Fermat’ın son teoremidir. Bu teorem n ≥ 3 tam sayıları için xn + yn = zn denklemini sağlayacak sıfırdan farklı x, y, z tam sayı çözümleri olmadığını ifade eder. Diğer bir örnek de bir tam sayıyı, kare ile kübün farkı olarak yazma problemidir. Bir başka ifadeyle sabit bir c ∈Z tam sayısı için y2 − x3 = c Diophant denkleminin çözümlerini araştıralım. Bu denklem “Bachet denklemi” olarak adlandırılır. Ayrıca “Mordell denklemi” olarak da bilinir. 20. yüzyılın ünlü matematikçisi L. J. Mordell bu ve benzeri birçok Diophant denkleminin çözümüne temel oluşturacak katkılarda bulunmuştur. Bu denklemin x, y ∈ rasyonel sayı çözümleriyle ilgilenmediğimizi varsayalım. Denklemi ilginç kılan özellik “ikiye katlama formülü (duplication formula)”nün varlığıdır. Bu formül 1621’de Bachet tarafından keşfedilmiştir. x, y ∈ iken (x, y) bu denklem için bir çözüm ise aynı denklem için ⎛ x4 −8cx −x6 − 20cx3 + 8c2 ⎞ ⎜ 2 , 3 ⎟ ⎝ 4y 8y ⎠ ifadesinin de bir çözüm olduğunu göstermek kolaydır. Bundan başka, orijinal çözüm xy ≠ 0 ve c ≠ 1, −432 ise bu durumda ikiye katlama formülünün sonsuz çoklukta farklı çözüme götürdüğünü ispatlamak mümkündür. (Bachet bunu ispatlayamamıştır.) 2 Böylece bir tam sayı küp ve kare farkı olarak ifade edilebiliyorsa, bu sonsuz çoklukta yolla ifade edilebilir. Örneğin, y2 − x3 = −2 denklemine (3,5) çözümüyle başlarsak ve Bachet ikiye katlama formülünü uygularsak (3,5), ⎛129 , −383 ⎞ , ⎛ 2340922881,113259286337292 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ,... ⎝ 102 103 ⎠ ⎝ 76602 76603 ⎟⎠ çözümlerinin bir dizisini elde ederiz. Sonra aynı denklemin x, y ∈Z çözümlerini arayalım. 1650’lerde Fermat İngiliz matematik topluluğuna y2 − x3 = −2 denkleminin tam sayılarda sadece iki çözümü (3, ±5) olduğunu iddia etmiştir. Bu, biraz önce görmüş olduğumuz rasyonel sayılardaki çözümlerin sonsuz çoklukta oluşuyla çelişen bir iddiadır. Fakat dönemindeki matema- tikçilerin hiçbiri bu problemi çözemedi. 1730’larda Euler tarafından yanlış bir şekilde çözüldü. 150 yıl sonra ispatın doğrusu verildi. 1908’de Axel Thue konuyla ilgili olağanüstü bir gelişme kaydetti. c sıfırdan farklı bir tam sayı iken y2 − x3 = c denkleminin sonlu sayıda x, y tam sayı çözümü olabileceğini gösterdi. Bu, Fermat’ın iddiasının bir genellemesidir. Rasyonel sayılarda sonsuz çoklukta çözümü olmasına rağmen tam sayı çözümleri sonlu tanedir. Şimdi tam sayılar ve rasyonel sayılar üzerindeki üçüncü dereceden polinomları gözden geçirelim. Böyle polinomlar için bir örnek, y2 − x3 = c ile verilen Bachet denklemidir. Bundan başka y2 = x3 + ax2 + bx + c ve ax3 + by3 = c eğrileri örnek olarak verilebilir. Böyle denklemlerin reel çözümleri kübik eğriler veya eliptik eğriler olarak adlandırılır. İlk olarak kübik bir denklemin sonlu sayıda tam sayı çözümleri olduğu 1920’lerde Siegel tarafından ispatlanmıştır. 1970’te Baker-Coates tam sayı çözümleri için bir üst sınır vermişlerdir. İkinci olarak kübik denklemin sonsuz çoklukta da olabilecek rasyonel çözümlerinin tümü, çözümlerin sonlu bir kümesi ile başlanarak ve Bachet’in ikiye katlama formülüne benzer geometrik bir işlemin tekrarlı uygulamasıyla bulunabilir. Böyle üretilmiş sonlu kümelerin var olduğu 1901’de Poincaré tarafından ortaya atıldı. 3 1922’de L.J. Mordell sayı cisminde tanımlı eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların grubunun daima sonlu üreteçli olduğunu ispatladı. 1928’de de Weil bu teoremi tezinde sayı cisimlerine ve yüksek cinse sahip eğrilere karşılık gelen durumlara genelleştirmiştir. Mordell teoreminin ispatı rasyonel çözümlerin kümesi için sonlu bir üreteç kümesi bulmaya imkan sağlayan bir yöntem verir. Fakat Mordell’in metodunun bir üreteç kümesi verdiği henüz ispatlanamamıştır. O halde y2 − x3 = c veya ax3 + by3 = c gibi özel tipteki kübik denklemler için bile rasyonel çözümlerinin varlığı veya sayısı hakkında net bir cevap bulunamamıştır. Ayrıca cisminde tanımlı eliptik eğriler üzerindeki sonlu mertebeli rasyonel noktaların ya devirli grup ya da iki devirli grubun direkt çarpımına izomorf olduğu 1974’te Barry Mazur tarafından ispatlanmıştır. Son yirmi otuz yıldır eliptik eğriler hem sayılar teorisinde hem de buna bağlı olan kriptografi gibi teorilerde giderek artan bir önem kazanmaya başlamıştır. Örneğin 1980’lerden itibaren eliptik eğriler kriptografide, çarpanlara ayırma ve asallık testlerinde kullanılmaya başlamıştır. Benzer şekilde 1980’li ve 1990’lı yıllarda Fermat’ın son teoreminin ispatında da eliptik eğriler kullanılan en önemli kavram olmuştur. Çalışmanın birinci bölümünde, diğer bölümlere temel teşkil edecek bazı tanım ve sonuçlar verilmiştir. İlk olarak, eliptik eğriler üzerindeki rasyonel nokta sayısını veren formülleri ifade etmede kullanılacak olan ikinci ve üçüncü dereceden kalan kavramlarının tanımları verilmiştir. Devamında “uzun Weierstrass normal formundaki eğriler” verilmiş, bu eğriler üzerinde bulundukları F cisimlerinin karakteristiklerine göre sınıflandırılmış ve diskriminantı sıfırdan farklı olanlar ise F üzerinde bir “eliptik eğri” şeklinde tanımlanmıştır. Bununla birlikte çalışmamızda kullandığımız uzun Weierstrass normal formundaki eliptik eğriler, karakteristiğin 2 ve 3’ten farklı olması durumunda “basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki eliptik eğriler” olarak ifade edilmiştir. İkinci olarak eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktalar için tanımlanan toplama işlemi verilmiş ve bu noktaların toplama işlemine göre değişmeli grup oluşturduğu gösterilmiştir. Ayrıca eliptik eğrilerin grup yapıları ile ilgili olan Nagel- Lutz teoremi, Mordell teoremi, Mazur teoremi, Siegel teoremi gibi çok önemli teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü olarak eliptik eğrilerin nokta sayılarının hesaplanmasında önemli bir yeri olan “Frobenius endomorfizmi” ve buna bağlı olarak “Frobenius endomorfizminin izi” tanımlanmış olup, üçüncü bölümde de Frobenius endomorfizminin izi ile ilgili bir sınıflandırma yapılmıştır. Sonrasında süpersingüler 4 eğriler tanımlanmış, ikinci bölümde; çalıştığımız eğrilerden hangilerinin süpersingüler oldukları belirtilmiştir. Rasyonel nokta sayısı hesaplamaları ile ilgili ilk formül olan Hasse teoremi ifade edilmiş, ikinci bölümde bu teoremden yararlanarak yeni formüller elde edilmiştir. Son olarak bir eliptik eğrinin “eşleniği” kavramı ifade edilmiş, üçüncü bölümde de eğrilerin kendisi ve eşlenikleri ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. İkinci bölümde basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki y2 = x3 + Ax + B eliptik eğrilerinin a, A, B, birer tam sayı olmak üzere A = 0 ve B = a3 özel hali olan Ea : y 2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrileri ele alınmıştır. Bu eğrilerin p ≡ 1 (mod 6) bir asal olmak üzere Fp sonlu cisimleri üzerindeki nokta sayıları ve bu noktaların mertebeleri incelenmiştir. Nokta sayısı ve noktaların mertebeleri ile ilgili hesaplamalarda Maple ve Visual basic programları kullanılmıştır. Ea eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların sayısının, sonsuzdaki nokta ile beraber # Ea (F p ) = N 3 3 p,a = p +1+ ∑ χ (x + a ) x∈Fp olduğu gösterilmiştir. Ayrıca Hasse teoremi yardımıyla verilen y2 = x3 + a3 eğrisi üzerindeki nokta sayısı formülü üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla yeniden düzenlenerek, t = y2 − a3 olmak üzere ⎧0 t ∉ K p f (t) = ⎪⎨1 p t ⎪ ⎩3 t ∈ K * p iken # Ea (F p ) = N p,a =1+ ∑ f (t) şeklinde ifade edilmiştir. Bundan başka eğri üzerindeki rasyonel noktaların apsisleri toplamının ∑ (1+ χ (x3p + a3 )).x x∈Fp formülü ile ifade edilebileceği gösterilmiştir. 5 Üçüncü bölümde y2 = x3 + a3 Bachet eliptik eğrisinin Fp sonlu cismi üzerindeki grup yapısı incelenmiştir. p ≡ 5 (mod 6) bir asal olmak üzere Ea eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların grup yapısının Ea (Fp ) ≅ Cp+1 olduğu bilinmektedir. p ≡ 1 (mod 6) bir asal iken bu grubun Cn ve Cmn devirli gruplarının direkt çarpımına izomorf olduğu gösterilmiştir. Yani m,n ∈ + için Ea (Fp ) ≅ Zn ×Znm dir. t , frobenius endomorfizminin izini göstermek üzere Ea eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların sayısı N = n2m = p +1− t iken a ∈Qp oluyorsa t > 0 , diğer durumda ise t < 0 olduğu ifade edilmiştir. Ayrıca p asal sayısının 12 modundaki sınıflandırmasına göre t ’ler sınıflandırılmıştır. Son olarak p ≡ 1 (mod 6) bir asal iken a ’nın Qp ’de bulunup bulunmayışına göre nokta sayısının bir sınıflandırması ve buna bağlı olarak da bu eğride üçüncü mertebeden elemanların ne zaman bulunacağı gösterilmiştir. 6 1. BÖLÜM ÖN BİLGİLER Bu bölümde çalışmamızda kullanacağımız bazı temel kavramları tanımlayacağız ve bazı temel teoremleri vereceğiz. Bu teoremlerin ispatları sayılar teorisi kitaplarında bulunabilir. 1.1. İkinci ve Üçüncü Dereceden Kalanlar 1.1.1 Tanım. a ∈Z *n = Zn −{0}’ın çarpmaya göre tersi, ab = ba =1 olacak şekilde bir b∈Z *n dir. Z *n ’da çarpmaya göre tersi olan bir elemana “birim (unit)” denir ve Z *n ’daki birimlerin kümesi Un ile gösterilir. 1.1.2. Yardımcı Teorem. a ∈Z *n ’in birim olması için gerek ve yeter şart (a, n) = 1 olmasıdır. 1.1.3. Tanım. g ∈Zn olsun. g , Un ’i üretiyorsa g ’ye n modunda bir “ilkel kök” denir. Bu durumda g nin 0 ile n −1 arasındaki tüm kuvvetleri farklıdır ve Un ’deki tüm elemanları verir. 1.1.4. Örnek. 5 modunda 2 ve 3 ilkel köklerdir. Çünkü U5 = {1,2,3,4} ve 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 = 1, 2 = 2 , 2 = 4, 2 = 3, 2 =1, 3 = 3, 3 = 4, 3 = 2, 3 =1, 4 = 4, 4 = 1 dir. 2 1.1.5. Tanım. Bir a ∈Un verilsin. Eğer a = s olacak şekilde bir s ∈Un varsa a ’ya n modunda bir “ikinci dereceden kalan” denilir ve bu şekildeki ikinci derece kalanların kümesi Qn ile gösterilir. 7 1.1.6. Örnek. Küçük n’ler için Un ’deki tüm sayıların kareleri alınarak Qn 2 2 2 2 2 belirlenebilir. Örneğin n = 7 için 1 =1, 2 = 4, 4 = 2, 3 = 2, 6 = 1 (mod 7) olduğun- dan Q7 = {1,2, 4} tür. 1.1.7. Yardımcı Teorem. Qn , Un ’in bir alt grubudur. Şimdi, verilen bir a ∈Un biriminin bir ikinci dereceden kalan olup olmadığını belirleyeceğiz. Modun asal olması durumunda işlem kolaydır. n = 2 ise Q2 = {1} dir ve 1 ikinci dereceden bir kalandır. O halde n = p nin tek asal olması durumuyla başlayalım. 1.1.8. Tanım (Legendre Sembolü). p tek asal sayısı için bir a tam sayısının “Legendre sembolü” ⎧ 0 , p | a ise ( a ) = ⎪⎨ 1 , a ∈Qp ise p ⎪ ⎩−1 , a ∉Qp ise şeklindedir. Literatürde ( a ) yerine bazen χ (a) da kullanılır. p 1.1.9. Örnek. p = 7 ise ⎧ 0 , a ≡ 0(mod 7) ise (a ) = ⎪⎨ 1 , a ≡1, 2 veya 4 (mod 7) ise 7 ⎪ ⎩−1 , a ≡ 3,5 veya 6 (mod 7) ise dir. 1.1.10. Tanım. p bir asal iken x3 ≡ a (mod p) olacak şekilde bir x ∈Z varsa a ∈Z ’ye p modunda bir “üçüncü dereceden kalan” denir. 8 p modunda üçüncü dereceden kalanların kümesini K p ile, K p ’nin Z *p = Z p −{0} daki elemanlarını K * p ile gösterelim. Bu durumda, 1.1.11. Teorem. K *p ,Z p ’deki çarpma işlemine göre bir gruptur ve aslında Z *p ’ın bir alt grubudur. 1.1.12. Teorem. p ≡ 1(mod 3) bir asal olsun. ω birimin 1’den farklı olan kübik kökü olmak üzere ω − 1 + − 3= sayısı Z *p ’ın bir elemanıdır. (Namlı 2001) 2 1.1.13. Sonuç. p ≡ 1(mod 3) bir asal iken ω 2 elemanı da Z *p ’ın bir elemanıdır. (Namlı 2001) 1.1.14. Tanım (Üçüncü Dereceden Kalan Karakteri). p tek asal sayısı için bir a tam sayısının p modundaki kübik karakteri ⎛ a ⎞⎜ ⎟ ile gösterilir ve ⎝ p ⎠3 ⎧ 0 p | a ⎛ a ⎞ ⎪ ⎜ p ⎟ = ⎨ 1 a ∈ K p ⎝ ⎠3 ⎪ 2 ⎩ω,ω a ∉ K p şeklinde tanımlanır. Bu karakter üçüncü dereceden kalanlar teorisinde, Legendre sembolünün ikinci dereceden kalan görevini yapar. Literatürde bazen ⎛ a ⎞⎜ p ⎟ yerine ⎝ ⎠3 χ3(a) da kullanılır. Euler kriterinde k=3 konulursa aşağıdaki sonuç elde edilir: 1.1.15. Teorem. p asal ve p ≡ 1 (mod 3) olsun. x3 ≡ a (mod p) denkliğinin p−1 çözülebilmesi için gerek ve yeter şart a 3 ≡1(mod p) olmasıdır. 9 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 7−1 1.1.16. Örnek. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 3 = 2 2 = 4 (mod 7) ω ≡ 4 (mod 7) olduğundan ⎝ 7 ⎠3 ⎝ 7 ⎠3 ⎛ 9 ⎞ ⎜ ⎟ = ω dir ve bu nedenle 9, 7 modunda üçüncü dereceden bir kalan değildir. ⎝ 7 ⎠3 1.1.17. Örnek. ⎛15 ⎞ ⎛ 1 7−1 ⎜ ⎟ ≡ ⎞ ⎜ ⎟ = 1 3 =1 2 ≡ 1 (mod 7) , dolayısıyla 15, 7 modunda ⎝ 7 ⎠3 ⎝ 7 ⎠3 üçüncü dereceden bir kalandır. Yani x3 ≡15 (mod 7) denkliği çözülebilirdir. Gerçekten, x3 ≡15 ≡1 (mod 7) , x =1, x = ω ve x = ω 2 bu denkliğin kökleridir. ω −1+ −3= ≡ 4 (mod 7) ve ω2 ≡ 2(mod 7) olduğundan bu denkliğin kökleri 2 x ≡ 1(mod 7) , x ≡ 4 (mod 7) ve x ≡ 2 (mod 7) dir. 1.1.18. Sonuç. p ≡ 2(mod 3) asal ise p modunda birbirinden farklı tam p tane üçüncü dereceden kalan vardır. Yani Z p ’nin tüm elemanları üçüncü dereceden bir kalandır. (Namlı 2001) 1.1.19. Örnek. p = 11 olsun. 03 ≡ 0, 13 ≡1, 2 ≡ 73, 3 ≡ 93, 4 ≡ 53 (mod 11) 5 ≡ 33,6 ≡ 83,7 ≡ 63, 8 ≡ 23, 9 ≡ 43, 10 ≡103 (mod 11) dir ve Z11 ’deki tüm sayılar üçüncü dereceden kalanlardır. 1.1.20. Teorem. p ≡ 1(mod 3) asal ise p modundaki farklı üçüncü dereceden kalanların sayısı p + 2 tür. (Namlı 2001) 3 1.2. Normal Formlar Eliptik eğriler çeşitli normal formlarda ifade edilebilir. Bu bölümde Weierstrass normal formlarını ve bu formdaki denklemlerle ilgili bazı sabitlerle birasyonel dönüşümleri tanımlayacağız. 10 1.2.1. Tanım. A2 afin düzlem iken sabit olmayan f (x, y) ∈F[x, y] polinomunun F cisminin F ’daki köklerinin kümesi C = C( f ) = {( x, y )∈ A2 : f ( x, y ) = 0 } F üzerinde “düzlemsel afin cebirsel eğri”dir. C eğrisi üzerindeki rasyonel sayı bileşenli (x, y) noktaları “F -rasyonel noktalar” olarak adlandırılır. C ’deki F -rasyonel noktaların kümesini C(F) = C( f )(F) = {(x, y)∈ A2 (F) : f (x, y) = 0} şeklinde tanımlarız. Düzlemsel afin cebirsel eğrilere örnek olarak, Weierstrass denk- lemleri verilebilir. 1.2.2. Tanım. C = C( f ) , F cismi üzerinde düzlemsel afin cebirsel eğri olsun. C \F fonksiyon cismi F[x, y] /( f ) ’in bölüm cismidir. F(C) ile gösterilir. 1.2.3. Tanım. a1,a2 ,a3 ,a4 ,a6 ∈F iken y 2 + a1 xy + a y = x 3 3 + a 2 2 x + a4 x + a6 (1) şeklindeki bir denklem “uzun Weierstrass normal formu” olarak adlandırılır. Burada sonsuzdaki nokta olarak adlandırılan “ο ” noktamız var. Bu noktanın afin temsili ο = ( ∞,∞ ) dur. 1.2.4. Örnek. Weierstrass formundaki eğrilere bazı örnekler aşağıda verilmiştir: C : y21 = x 3 C : y2 = x3 22 + x C3 : y 2 = x3 + x Üç eğrinin de iki tane F rasyonel noktası vardır: P = ( 0,0 ) ve ο . (Schmitt ve Zimmer 2003) 1.2.5. Tanım. a1,a2 ,a3 ,a4 ,a6 ∈F katsayıları ile uzun Weierstrass normal formundaki bir denklemi ele alalım. Bu denklem için “Tate değerleri” 11 b 22 = a1 + 4a2 , b4 = 2a4 + a1.a3, b = a 26 3 + 4a6 b8 = a 2 1 a6 + 4a2a6 − a1a 2 2 3a4 + a2a3 − a4 , c4 = b 2 2 − 24b4 , c 36 = −b2 + 36b2b4 − 216b6. dır. Ayrıca, “diskriminant” ∆ = −b 2b − 8b 3 − 27b 22 8 4 6 + 9b2b4b6 ve “ j değişmezi” c 3j = 4 ∆ dır. Bu sabitler aşağıdaki bağıntıları sağlar: 4b8 = b2b − b 2 6 4 ve 12 3 ∆ = c 3 24 − c6 1.2.6. Tanım. C düzlemsel cebirsel eğrisi f ( x, y ) = 0 polinom denklemiyle tanımlansın. Bu durumda P = (x0 , y0 )∈C nin C ’nin bir “singüler noktası” olması için gerek ve yeter şart ∂f ( x ∂f ∂x 0 , y0 ) = 0 ve ( x∂y 0 , y0 ) = 0 olmasıdır. Eğer sadece birinci kısmi türevler sıfıra eşitleniyorsa singüler nokta katlı bir noktadır. Katlı noktanın iki farklı teğeti varsa “düğüm (node)”, iki teğeti çakışırsa “çıkıntı (cusp)” olarak adlandırılır. Singüler noktaları olmayan bir eğri “singüler olmayan eğri” olarak adlandırılır. 1.2.7. Önerme. Uzun Weierstrass normal formunda bir denklem ile verilen eğrileri aşağıdaki gibi sınıflandırabiliriz: a) Eğri singüler değildir ⇔ ∆ ≠ 0 . Diğer durumda eğri tek singüler noktayla singülerdir. b) Eğrinin bir düğümü vardır ⇔ ∆ = 0 ve c4 ≠ 0 dır. c) Eğrinin bir çıkıntısı vardır ⇔ ∆ = 0 ve c4 = 0 dır. (Silverman 1986) 12 1.2.4.Örnekte incelediğimiz C1 ,C2 ,C3 eğrilerinin diskriminantları: ∆C1 = 0 , ∆C2 = 0 , ∆C3 = −64 tür. Ayrıca C1C = 0 , C2C = 0 , C4 4 3C = −48 4 dir. Ayrıca Kar(F) = 2 ise bu eğrilerin üçü de singülerdir ve bir çıkıntısı vardır. Eğer Kar(F) ≠ 2 ise C1 eğrisinin bir çıkıntısı , C2 eğrisinin bir düğümü vardır ve C3 eğrisi singüler değildir. Tüm singüler durumlarda singüler nokta P = ( 0,0 ) dır. Bunu kısmi türevlerine bakarak görebiliriz. Örnek olarak C1 eğrisini ele alalım: C1 = f ( x, y ) = y 2 − x3 = 0 eğrisinin kısmi türevleri ∂f 3x2 , ∂f= − = 2y ∂x ∂y dir. Karakteristik ne olursa olsun bu üç denklemin y 2 − x 3 = 0 − 3x 2 = 0 2 y = 0 bir tek çözümü vardır. Bu da x = y = 0 dır. (Schmitt ve Zimmer 2003) y2 = x3 (Çıkıntı) y2 = x3 + x2 (Düğüm) Şekil 1.2.1 13 1.2.8. Tanım. Katsayıları F cisminden alınan, diskriminantı sıfırdan farklı uzun Weierstrass normal formundaki bir eğri sonsuzdaki nokta denilen özel bir nokta ile birlikte F üzerinde bir “eliptik eğri” olarak adlandırılır. 1.2.9. Tanım. E ve E′ eliptik eğrileri E : y2 + a1xy + a3 y = x 3 + a 22 x + a4 x + a6 ve E′ : ( y′ )2 + a1′x′y′ + a3′ y′ = ( x′ ) 3 + a2′ ( x′ ) 2 + a4′ x′ + a6′ , şeklinde verilsin. Bu eğriler arasındaki (ikisi de F cismi üzerinde tanımlı) değişken dönüşümlerine dikkat edersek, bir Weierstrass normal formunu diğerine resmeden dönüşümler bulmak isteriz. Tek değişken dönüşümü vardır. O da şu formda olur: x = u 2 x′ + r , y = u3 y′ + u2sx′ + t (u, r, s, t ∈F,u ≠ 0) Ters dönüşümü de x′ 1= 2 ( x − r ) , y′ 1 = 3 u u ( y − sx + sr − t ) şeklindedir. Böyle dönüşümlere “birasyonel” denilmektedir. Bu durumda ua′ = a1 + 2s, u2a′2 = a2 − sa1 + 3r − s 2 , u3a3′ = a3 + ra1 + 2t , u4a4′ = a4 − sa3 + 2ra2 − ( t + rs )a1 + 3r 2 − 2st , u6 a′ = a ra + r 2a + r 36 6 4 2 − ta3 − t 2 − rta1 , u2b2′ = b2 + 12r, u4b4′ = b4 + rb2 + 6r 2 , u6b6′ = b6 2rb + r 2b + 4r 34 2 , u8b′ = b + 3rb + 3r 2b + r 38 8 6 4 b2 + 3r 4 , u4c4′ = c4 , u6c6′ = c6 , u12∆′ = ∆ , j′ = j. 14 Weierstrass normal formundaki bu iki denklemin arasında birasyonel dönüşümler varsa bu iki denkleme “izomorfturlar” denilir. 1.2.10. Önerme. E \F uzun Weierstrass normal formunda bir eğri olsun. O halde aşağıdaki varsayımlar altında E \F ’nin belirtilen formda bir Weierstrass denklemine sahip olacak şekilde bir x = u 2 x′ + r , y = u3 y′ + u2sx′ + t (u ∈F* ve r, s, t ∈F) dönüşümü vardır. a) Eğer Kar(F) ≠ 2,3 ise y2 = x3 + a4 x + a6 (2) 4a 3 ∆ = −16(4a 3 + 27a 24 6 ) , j =1728 4 4a 34 + 27a 2 6 olur. b) Eğer Kar(F) = 3 ve j(E) ≠ 0 ise y2 = x3 + a2 x 2 + a6 , 3 −a∆ = −a 3a , j = 22 6 a6 olur. Eğer Kar(F) = 3 ve j(E) = 0 ise y2 = x3 + a4 x + a6 , ∆ = −a 34 , j = 0 olur. c) Eğer Kar(F) = 2 ve j(E) ≠ 0 ise y2 + xy = x3 + a x22 + a6 , 1 ∆ = a6 , j = a6 olur. Eğer Kar(F) = 2 ve j(E) = 0 ise y2 + a3 y = x 3 + a4 x + a6 , 15 ∆ = a 43 , j = 0 olur. İspat. a) Eğer Kar(F) ≠ 2 ise (1) tipindeki Weierstrass denklemini kareye tamamlayarak basitleştirebiliriz. Denklemde y 1+ (a1x + a3 ) yerine 1 y yazarsak sonuç 2 2 y2 = 4x3 + b2 x 2 + 2b4 x + b6 (3) olur. Eğer Kar(F) ≠ 2,3 ise (3) denkleminde (x, y) yerine ⎛ x − 3b2 , y ⎞⎜ ⎟ yazarsak sonuç ⎝ 36 108 ⎠ y2 = x3 − 27c4 x − 54c6 (4) olur. Buradan −27c4 = A ve −54c6 = B konularak E′ : y 2 = x3 + Ax + B gösterimi elde edilir. b) (1) tipindeki Weierstrass denklemini alalım ve denklemin sol tarafını kareye 6 tamamlayalım. Bu bize a 2a 2 3 3 a∆ = 22 4 − a2 a6 − a4 ve j = değişmezleri ile ∆ y2 = x3 + a 22 x + a4 x + a6 denklemini verir. (Karakteristiğin 3 olduğunu unutmayalım.) Eğer j = 0 ise, a2 = 0 ’dır. Böylece istenilen denklem elde edilir. Diğer taraftan j ≠ 0 ise a2 ≠ 0 ve böylece x = x′ a+ 4 ifadesi denklemde yerine konursa istenilen denklem elde edilir. a2 c) Tekrar (1) tipindeki Weierstrass denklemini alarak ispata başlayalım. Karakteristik 2 iken 12 j a= 1 ∆ olduğu kolaylıkla hesaplanabilir. Eğer j ≠ 0 ise a1 ≠ 0 dır. Bu durumda x a= a 2x′ + 31 , y = a 3 1 y′ + (a 2 1 a4 + a 2 3 ) / a 3 1 a1 ifadeleri denklemde yerine konursa istenilen denklemi elde ederiz. Benzer olarak j = a1 = 0 olursa x = x′ + a2 , y = y′ 16 ifadeleri denklemde yerine konursa istenilen denklem elde edilir.□ 1.2.11. Teorem. E \F bir eliptik eğri (Kar(F) ≠ 2,3) olsun. Bu durumda E′ : y2 = x3 + Ax + B (A, B ∈F) (5) formunda E′ \F eğrisi için φ : E → E′ birasyonel dönüşümü vardır. O halde bu E′ eğrisi, “basitleştirilmiş Weierstrass normal formunda eğri” olarak adlandırılır. (Schmitt ve Zimmer 2003) Yukarıda ifade edilen basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki bir eğri için diskriminant ve j -değişmezi 3 3 ∆(E′) = −16.(4A3 + 27B2 ) , j = j(E′) −12 (4A)= ∆ halini alacaktır. E : y2 = x3 + Ax + B eğrisinin tüm (x, y)∈F rasyonel çözümlerinin kümesi (sonsuzdaki ο noktası ile birlikte) E(F) ile gösterilir ve E üzerindeki “F -rasyonel noktalarının kümesi” olarak adlandırılır. Sadece birasyonel dönüşümler basitleştirilmiş Weierstrass normal formunu x = u2 x′ , y = u3 y′ dönüşümleri altında değişmez bırakır. Bu durumda A = u4 A′ , B = u6B′ , u12∆′ = ∆ dönüşümlerini elde ederiz. 1.2.12. Önerme. Weierstrass normal formundaki iki eliptik eğrinin F üzerinde (Kar(F) ≠ 2,3) izomorf olmaları için gerek ve yeter şart j-değişmezlerinin aynı olmasıdır. İspat. Basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki eğrileri E : y2 = x3 + Ax + B , E′ : (y′)2 = (x′)3 + A′x′ + B′ şeklinde ifade etmiştik. E ’yi E′ ’ne dönüştürecek x = u 2 x′ , y = u3 y′ 17 şeklinde bir izomorfizm bulmak istiyoruz. j = j′ olduğundan ⇔ (4A)3 (4(A′)3 + 27(B′)2 ) = (4A′)3 (4A3 + 27B2 ) ⇔ A3 (B′)2 = (A′)3 B2 1 Eğer A = 0 ise B ≠ 0 ’dır. Böylece A′ = 0 ve B′ ≠ 0’dır. Bu durumda u ( B= )6 B′ alabiliriz. Eğer B = 0 ise A ≠ 0 ’dır. Böylece B′ = 0 ve A′ ≠ 0’dır. Bu durumda 1 u ( A= )4 alabiliriz. Eğer AB ≠ 0 ise A′B′ ≠ 0 dır. Gerçekten A′B′ = 0 ise A′ = 0 ve A′ B′ = 0 dır. Böylece ∆′ = 0 dır. Bu ise istisnadır. 2 3 (A′)3 B2 A3 (B′)2 B A ( B 1 1 = ⇔ 2 = 3 ⇔ )6 A = ( )4 (B′) (A′) B′ A′ elde ederiz. Bu durumda 1 1 u ( A )4 ( B= = )6 A′ B′ alabiliriz. □ 1.2.13. Önerme. j -değişmezi j0 olan her bir j0 ∈F için F üzerinde tanımlanabilecek bir eliptik eğri vardır. Kar(F) j0 Eliptik eğri ≠ 2,3 0 y2 = x3 +1 123 y2 = x3 + x ≠ 0,123 y2 = x3 + 3κ x + 2κ , κ j= 0 12 − j0 2 0 y2 + y = x3 ≠ 0 y2 + xy = x3 + x2 + j −1o 3 0 y2 = x3 + x ≠ 0 y2 = x3 + x2 − j −10 Çizelge 1.2.1 (Schmitt ve Zimmer 2003) 18 1.3. Toplama Kuralı Eliptik eğriler hakkında en önemli gerçek şudur: Eğri üzerindeki noktalar toplamaya göre değişmeli grup oluşturur. E \F eliptik eğrisi uzun Weierstrass normal formunda ve herhangi bir F cismi üzerinde olsun. E üzerindeki F -rasyonel noktalarının kümesi E(F) = {(x, y) ∈ E :x, y ∈F}∪{ο} olsun. Eliptik eğrilerin sonlu ya da sonsuz çoklukta rasyonel noktaları vardır. 1.3.1. Teorem. Bir doğru bir eliptik eğriyi katlılıklarla birlikte tam olarak 3 noktada keser. (Schmitt ve Zimmer 2003) 1.3.2. Bézout Teoremi. m. dereceden bir düzlem eğri ile n. dereceden bir düzlem eğri en çok m.n tane noktada kesişir. (Silverman 1992). Bézout teoremi düzlem eğriler teorisinde temel teoremlerden biridir. Bézout’un teoreminin şu uygulamasını kullanacağız. 1.3.3.Teorem. C ,C1 ve C2 kübik eğriler olsunlar. Varsayalım ki C , C1 ve C2 ’nin 8 kesişim noktasından geçsin. Bu durumda C , 9. kesişim noktasından geçer. (Silverman 1992). 1.3.4. Tanım. E \F eliptik eğri P1, P2 ∈ E(F) farklı olması gerekli olmayan iki nokta olsunlar. P1 ve P2 ’den geçen doğru (örneğin kesen) eliptik eğriyi üçüncü bir P3′ noktasında keser. P3′ ve ο ’dan geçen doğruyu göz önüne alalım. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta P3 ’de keser. P3 ’ü P1 + P2 = P3 şeklinde tanımlarız. (Eğer P1 = P2 ise P1 ’de E ’ye teğet alınmak zorundadır.) 1.3.5. Örnek. cismi üzerinde y2 = x3 − x + 1 eliptik eğrisini ve bu eğri üzerinde P = (0, −1) ve Q = (1,1) noktalarını ele alalım. Aşağıda verilen şekle göre P 19 ve Q noktalarını y = 2x − 1 doğrusu birleştirmektedir. O halde doğrunun eğri ile üçüncü kesişim noktası ortak çözümlenerek bulunabilir. x = 0 ve x = 1 , P ve Q nun apsisleri olduğuna göre üçüncü nokta R = (3,5) ’dir. P ’nin Q ile toplamı R ’nin x- eksenine göre yansımasıdır. Yani −R = P + Q = (3, −5) ’dir. (Mollin 2001) Şekil.1.3.1 1.3.6. Örnek. cismi üzerinde y2 = x3 − x + 4 eliptik eğrisini ve bu eğri üzerinde P = (−1, 2) noktasını alalım. P noktasına kendisini ekleyelim. (Yani 2P ’yi hesaplayalım.) 2P yi hesaplayabilmek için P ’de eğriye bir teğet alalım. İlk önce eğrinin x’e göre türevini alırız. 2yy ' = 3x2 −1 P noktasını yukarıdaki denklemde yerine koyarsak y ' m 1= = ’den teğetin eğimini 2 bulmuş oluruz. Buradan da noktası ve eğimi belli doğru denkleminden P ’den geçen teğet y x + 5= olur. Eğri ile teğetin ortak çözümünden de üçüncü kesişim noktası (ilk 2 iki nokta P ’dir) R = (9 , 29 ) bulunur. Böylece P + P = 2P = −R eşitliğinden 4 8 R (9 −29− = , ) olarak bulunur. (Mollin 2001) 4 8 20 Şekil.1.3.2 1.3.7. Teorem. E \F , F üzerinde bir eliptik eğri olsun. E(F) rasyonel noktalarının kümesi toplama işlemine göre değişmeli gruptur. Sonsuzdaki nokta “ο ” bu grubun etkisiz elemanıdır. F bir sayı cismi ise E(F) , E ’nin F üzerinde “Mordel-Weil grubu” olarak adlandırılır. İspat. Toplamanın aşağıdaki özelliklerini elde etmek kolaydır: i) P1, P2 ∈ E(F) için P1 + P2 ∈ E(F) dir. 1.3.6. Teoremde uzun olan Weierstrass normal formundaki eliptik eğriler için toplama formülü vereceğiz. ii) Birim eleman: ο (Şekil.1.3.3) iii) Değişme özelliği: P1 + P2 = P2 + P1 iv) Ters eleman özelliği: P ve ο ’dan doğru ile eğrinin üçüncü kesişim noktası P′ olsun. Bu durumda P + P′ =ο dır. O halde P′ = −P dir. (Şekil.1.3.4) Geriye toplamanın birleşme özelliğini göstermek kalır. P1, P2 , P3 ∈ E(F) olsun. P1 + (P2 + P3 ) = (P1 + P2 ) + P3 ⇔ −((P1 + P2 ) + P3 ) = −(P1 + (P2 + P3)) olduğunu göstermeliyiz. Bunun için aşağıdaki doğruları (noktaların çakışırsa teğetler veya kesenler) tanımlayalım : L1 : Doğru P1 ve P2 ’den geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −(P1 + P2 ) ’de keser. 21 L2 : Doğru P3 ve (P1 + P2 ) ’den geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −((P1 + P2 ) + P3 ) ’de keser. L3 : Doğru (P2 + P3) ve ο ’dan geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −(P2 + P3 ) ’de keser. L1′ : Doğru P2 ve P3 ’den geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −(P2 + P3 ) ’de keser. L2′ : Doğru P1 ve (P2 + P3) ’den geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −(P1 + (P2 + P3)) ’de keser. L3′ : Doğru (P1 + P2 ) ve ο ’dan geçer. Bu doğru eğriyi üçüncü nokta −(P1 + P2 ) ’de keser. Bu durumda C = L1 ∪ L2 ∪ L3 , C′ = L1′ ∪ L2′ ∪ L3′ kübik eğrilerini tanımlarız. C ve E eğrilerinin ortak elemanları yoktur (Çünkü C üç doğrunun birleşimidir.). Bézout teoreminin bir uygulaması böyle eğrilerin 9 ortak noktası olduğunu ifade eder. C ve E eğrileri için bu noktalar ο , P1, P2 , P3, (P1 + P2 ),−(P1 + P2 ), (P2 + P3 ),−(P2 + P3 ),−((P1 + P2 ) + P3). C′ eğrisi C ve E eğrisinin ortak noktalarının ilk sekizinde kesişirler. Diğer taraftan C′ nün E ’de 9 ortak noktası vardır: ο , P1, P2 , P3, (P1 + P2 ),−(P1 + P2 ), (P2 + P3 ),−(P2 + P3 ),−(P1 + (P2 + P3 )). Böylece −((P1 + P2 ) + P3),= −(P1 + (P2 + P3)). olur (Şekil.1.3.5).□ −(P +ο) P +ο = P ο Şekil.1.3.3 (Birim eleman) 22 ο P S P′ = −P Şekil.1.3.4 (Ters eleman) ο L2 −(P + P ) ′ L ′1 P 1 2 L 3 P22 L1 −(P + P ) P 2 3 1 P2 + P3 P1 + P2 L3 L ′3 −(P1 + (P2 + P3)) = −((P1 + P2 ) + P3) Şekil.1.3.5 (Birleşme özelliği) 1.3.8. Toplama Teoremi. E \F , F cismi üzerinde (1) tipinde bir eliptik eğri olsun. P1 = (x1, y1) , P2 (x2 , y2 )∈ E(F) olsun. Bu durumda i) −P1 = (x1,− y1 − a1x1 − a3 ) ii) x1 = x2 ve y2 + y1 + a1x1 + a3 = 0 ise örneğin P1 = −P2 ise P1 + P2 = ο dır. iii) P1 ≠ −P2 olsun. Eğer x1 ≠ x2 ise bu durumda λ y2 − y= 1 x2 − x1 23 ν y= 1x2 − y2 x1 = y − λx x2 − x 1 1 1 şeklinde ve eğer x1 = x2 ise λ 3x 2 1 + 2a2 x1 + a4 − a1 y= 1 , 2y1 + a1x1 + a3 −x 3ν 1 + a4 x1 + 2a6 − a= 3 y1 = y1 − λx1, 2y1 + a1x1 + a3 şeklinde olur. Bu durumda P1 + P2 = P3 = (x3 , y3 ) x 23 = λ + a1λ − a2 − x1 − x2 , y3 = −(λ + a1)x3 −ν − a3 = λ(x1 − x3 ) − y1 − a1x3 − a3. şeklinde verilir. (Schmitt ve Zimmer 2003) Bilindiği gibi eliptik eğriler üzerindeki noktaların en genel temsili uzun Weierstrass normal formundaki afin temsildir. 1.3.8 Teoremde bu temsil için bir toplam formülü tanımladık. Bu temsil keyfi bir karakteristikteki herhangi bir cisim için kullanılır. Şimdi (5) tipindeki Weierstrass eğrileri için toplam formülünü vereceğiz. 1.3.9. Tanım. E \F , (5) tipinde bir eliptik eğri ve P1 ≠ −P2 olacak şekilde P1 = (x1, y1) , P2 = (x2 , y2 )∈ E olsun. 1.3.8.Teorem gereği P1 + P2 = (x3 , y3 ) ⎧ y2 − y1 ⎪ , P1 ≠ P2 isex − x λ = ⎪ 2 1⎨ 2 ⎪3x1 + A P1 = P2 ise ⎩⎪ 2y1 ve x 23 = λ − x1 − x2 , y3 = λ(x1 − x3 ) − y1, ile verilir. 24 1.3.10. Örnek. cismi üzerinde y2 = x3 +17 eliptik eğrisini ve bu eğri üzerinde P1 = (−1,4) ve P2 = (2,5) noktalarını alalım. P1 + P2 ’yi hesaplamak için ilk önce bu noktalardan geçen doğruyu buluruz. Bu doğru y 1 13= x + dur. O halde eğim 3 3 λ 1= olur. Sonrasında x 2 83 = λ − x2 − x1 = − ve y3 = λ(x x ) y 109 − − = − 3 9 1 3 1 27 bulunur. Sonuç olarak P1 + P2 = (x3 , y3 ) 8 109 = ⎛ ⎞⎜ − , − ⎟ olur. (Silverman 1992) ⎝ 9 27 ⎠ İki noktadan geçen doğrunun eğimini verdik. Eğer doğrunun geçtiği iki nokta da aynı ise eğim nasıl hesaplanır? Varsayalım ki P0 = (x0 , y0 ) olsun. P0 + P0 = 2P0 ’ı bulmak istiyoruz. P0 ’ı P0 ’a birleştiren doğruya ihtiyacımız var. Fakat λ için verdiğimiz eğim formülünü kullanmayacağız. Bir P0 noktasını kendisine eklemenin, P0 ’ı P0 ’a birleştiren ve P0 ’da eğriye teğet olan doğruyu elde etmek anlamına geleceğini biliyoruz. y2 = f (x) bağıntısından türev yardımıyla λ dy f ′(x) = = dx 2y eğimi elde ederiz. Buradan da 1.3.9 Tanımdaki formülleri kullanarak 2P0 ’ın bileşenlerini buluruz. 1.3.11. Örnek. 1.3.10. Örnekteki y2 = x3 +17 eliptik eğrisini ve bu eğri üzerindeki P1 = (−1,4) noktasını alalım ve 2P1 noktasını hesaplayalım. ′ λ dy f (x1) f ′(−1) 3 = = = = olur. Bu durumda ilk önce λ için bir değer elde ettik. dx 2y1 8 8 1.3.9 Tanımda verdiğimiz formülleri kullanırsak 2P ⎛137 , 26511 = ⎜ − ⎞ ⎟ bulunur. ⎝ 64 512 ⎠ (Silverman 1992) 1.3.12. Tanım (Bachet’in İkiye Katlama Formülü). y2 = x3 + a x22 + a4 x + a6 kübik eğrisini ele alalım. Bu eğri üzerindeki bir P noktasının koordinatlarını kullanarak 2P için açık bir dönüşüm elde etmek istiyoruz. Bu kübik eğri için 1.3.8 Teoremde 25 verdiğimiz x 23 = λ + a1λ − a2 − x1 − x2 formülünü kullanırsak a1 = 0 ve x1 = x2 ′ olduğundan λ yerine de λ f (x)= koyarsak 2P = (x3, y3) noktasının x3 koordinatını 2y şöyle formülize ederiz: x4 − 2a 2 2x(2P) = 4x −8a6x + a4 − 4a2a6 4x3 + 4a2x 2 + 4a4x + 4a6 2P ’nin x koordinatı için verilen bu formül “İkiye katlama formülü (duplication formula)” olarak adlandırılır. Aslında bu formül tüm singüler olmayan Weierstrass eğrileri yani eliptik eğriler için tanımlanabilir. 1.3.13. Tanım. E , F cismi üzerinde bir eliptik eğri ve belli bir n∈ için nP = ο olacak şekilde bir P ∈ E(F) noktası olsun. Bu durumda P noktası “büküm (torsion) noktası” ya da “sonlu mertebeli nokta” diye adlandırılır. Bu şartı sağlayan en küçük n değerine P ’nin mertebesi denir. ο noktası aşikar nokta olarak adlandırılır. P büküm noktası değilse “sonsuz mertebeli nokta” olarak adlandırılır. Büküm noktalarının kümesi E(F)t ile gösterilir. E(F)t , E(F) ’in bir alt grubudur. E(F) ’in “büküm alt grubu” olarak adlandırılır. 1.3.14. Örnek. cismi üzerinde y2 = x3 27− eliptik eğrisini alalım. Bu 4 eğrinin ’daki çözümleri (3, 9), (3, 9− ) ve ο ’dur. 1.3.12 Tanım gereği 2 2 4 x(2P) x + 54x= | 81+162= = 3 4x3 − 27 x=3 108 − 27 olur. Böylece 2P = P veya 2P = −P dir. 2P = P sonucu yanlıştır. Çünkü bu P = ο demektir. Böylece 2P = −P ve 3P = ο dur. Diğer bir ifadeyle P ’nin mertebesi 3’tür. (Knapp 1992) 1.3.15. Örnek. Q sayı cismi üzerinde E : y2 = x3 + 1 eliptik eğisini ele alalım. Bu eğrinin bir Q rasyonel noktası P = (2, −3) ’tür. 26 2P = (0, −1), 3P = (−1,0), 4P = (0,1), 5P = (2,3), 6 P = ο Böylece 5P = −P dir. O halde P noktasının mertebesi 6’dır. (Mollin 2001) 1.3.16. Örnek. Q üzerinde E : y2 = x3 − 10x eliptik eğrisini ele alalım. P = (−1,3) , Q = (0,0) ∈ E( ) dur. P + Q = (10,30) olur. Q ’nun mertebesi 2’dir: 2Q = ο . P noktası sonsuz mertebelidir. 2P (121 , 451 ),3P (−57121 , −12675843= = ), 36 216 24649 3869893 4P (761815201 , −20870873704079= )... . (Schmitt ve Zimmer 2003) 29289744 158516094528 Yukarıda görüldüğü gibi her toplamada bileşenler giderek karmaşıklaşır. 1.3.17. Nagel-Lutz Teoremi. E , üzerinde (5) tipinde bir eliptik eğri ve P = (x1, y1)∈ E( )t ise bu durumda x1, y1 ∈ ve ya y1 = 0 ( bu durumda P ’nin mertebesi 2’dir.) ya da y1 ≠ 0 ve y 2 1 | (4 A 3 + 27B2 ) dir. (Mollin 2001) 1.3.18. Sonuç. E , üzerinde bir eliptik eğri olsun. Bu durumda E( ) ’nun büküm alt grubu sonludur. (Mollin 2001) 1.3.19. Örnek. cismi üzerinde E : y = x3 + 4 eliptik eğrisi verilsin. Bu durumda 4A3 + 27B2 = 432 olur. P(x, y) , E( ) ’da sonlu mertebeli bir nokta olsun. 0 = x3 + 4 denkleminin rasyonel çözümleri olmadığından y ≠ 0 dır. Bu yüzden y2 | 432 olur. Böylece y = ±1, ±2, ±3, ±4, ±12 dir. Sadece y = ±2 x ’in rasyonel değerini verir. Böylece mümkün olan sonlu mertebeli noktalar (0, 2), (0, −2) dir. Kolay bir hesaplama ile 3(0, ±2) = ο olduğunu buluruz. E( ) nun büküm alt grubu 3 mertebeli devirli bir gruptur. (Washington 2003) 27 1.3.20. Örnek. cismi üzerinde E : y = x3 + 8 eliptik eğrisi verilsin. Bu durumda 4A3 + 27B2 = 1728 olur. y = 0 iken x = −2 dir. (−2,0) noktasının mertebesi 2’dir. Eğer y ≠ 0 ise bu durumda y2 |1728 dir. Buradan da y | 24 olur. Değişik ihtimalleri denersek (1, ±3) ve (2, ±4) noktalarını buluruz. Bununla birlikte 2(1,3) ( 7 , 13= − − ) ve 2(2, 4) ( 7 13= − , ) 4 8 4 8 dir. Bu noktaların koordinatları tam sayı olmadığından sonlu mertebeli değildirler. Bu yüzden (1,3) ve (2, 4) sonlu mertebeli değildir. Buradan E( ) nun büküm alt grubunun {ο , (−2,0)} olduğu sonucu çıkar. (Uyarı: 2(1,3) = −2(2, 4) olduğundan dolayı (1,3) + (2, 4) = (−2,0) eşitliği açıkça görülür.) (Washington 2003) 1.3.21. Örnek. y2 = x3 − 43x + 166 eliptik eğrisini ve bu eğri üzerinde P = (3,8) noktasını ele alalım. Burada P noktasının katlarını alarak mertebesini hesaplayacağız. İlk olarak P ’de teğetle başlayalım. P ’deki teğet eğriyi (−5, −16) ’da keser. Bunun da x-eksenine göre yansıması 2P = (−5, −16) ’dır. Bu durumda P ve 2P ’den geçen doğru eğriyi (11,32) ’de keser. Bunun yansıması 3P = (11, −32) dir. P = (3,8) ve 3P = (11, −32) ’den geçen doğru eğriyi (11, −32) ’de tekrar keser. Bunun da x-eksenine göre yansıması 4P = (11,32) ’yi verir. P ve 4P ’den geçen doğru eğriyi (−5, −16) ’da keser. Bunun x-eksenine göre yansıması 5P = (−5,16) dır. 5P ve P ’den geçen doğru eğriyi (3,8) ’de keser. Böylece 6 P = (3, −8) x-eksenine göre yansımadır. Son olarak da P ve 6P ’den geçen doğru x-eksenine diktir. Böylece 7P = ο dur. (Mollin 2001) 28 Şekil.1.3.6 1.3.22. Tanım. E \F bir eliptik eğri ve n∈ olsun. E[n] = {P ∈ E : nP = ο} kümesine E ’nin “n-inci mertebeden noktalarının kümesi” denir. E ’nin F -rasyonel olan n-inci mertebeden noktalarının kümesi E(F)[n] = {P ∈ E(F) : nP = ο} dır. Böylece E[n] = E(F)[n] dir. Eliptik eğriler üzerinde ikinci ve üçüncü mertebeden noktalar diğerlerine göre daha önemlidir. 1.3.23. Önerme. E , F cismi üzerinde bir eliptik eğri olsun. F ’nin karakteristiği 2’den farklıysa E[2] ≅ Z2 ×Z2 F ’nin karakteristiği 2 ise E[2] ≅ ο veya Z2 29 dir. (Washington 2003) 1.3.24. Teorem. E , F cismi üzerinde bir eliptik eğri ve n ∈Z+ olsun. Eğer F ’nin karakteristiği n ’i bölmezse veya sıfırsa E[n] ≅ Zn ×Zn F ’nin karakteristiği p > 0 ise ve p | n ise p/| n′ olacak şekilde n = prn′ dür. O halde E[n] ≅ Zn′ ×Zn′ veya Zn ×Zn′ dür. 1.3.25. Sonuç. n = 3 ve E , F cismi üzerinde bir eliptik eğri olsun. E[3] ≅ Z3 ×Z3 veya bu grubun bir alt grubuna izomorftur.Yani bir eliptik eğri üzerindeki 3. mertebeden rasyonel noktaların sayısı karakteristiğe bağlı olarak 1, 3 ya da 9 olabilir. (Washington 2003) 1.3.26. Mordell Teoremi. A, B∈ olmak üzere E eliptik eğrisi E : y2 = x3 + Ax + B denklemiyle verilsin. E( ) ’daki her P noktası için, n1,n2 ,...nr ∈Z iken P = n1.P1 + n2.P2 + ...nr .Pr olacak şekilde bir {P1, P2 ,..., Pr} sonlu kümesi vardır. Diğer bir deyişle E( ) sonlu üreteçli bir gruptur. (Mollin 2001) 1.3.27. Mazur Teoremi. E \ eliptik eğri olsun. Bu durumda ya n ∈{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,12} iken E( )t ≅ Z / nZ ya da n ∈{1, 2,3, 4} iken E( )t ≅ Z / 2Z×Z / 2nZ dir. (Mollin 2001) üzerindeki bir eliptik eğrinin E( ) grup yapısına bazı örnekler verelim. 30 1.3.28. Örnek. E : y2 = x3 − x eliptik eğrisi verilsin. Bu eğri üzerindeki sonlu mertebeden noktaların kümesi E( )t = {ο , (0,0), (±1,0)} dir. Bu kümenin her bir elemanı 2P =ο şartını sağlar. Böylece E( )t ’nun grup yapısı E( )t ≅ Z / 2Z×Z / 2Z dir. (Kato ve ark. 2000) 1.3.29. Örnek. E : y2 = x3 +1 eliptik eğrisi bu eğri üzerinde P = (2,3) verilsin. 2P = (0,1), 3P = (−1,0), 4P = (0, −1), 5P = (2, −3), 6P = ο bulunur. O halde E( ) ’nin grup yapısı E( ) ≅ Z / 6Z dir. (Kato ve ark. 2000) 1.3.30. Örnek. E : y2 = x3 − 4 eliptik eğrisi bu eğri üzerinde P = (2, 2) verilsin. 2P (5, 11), 3P (106 ,1090= − = ) bulunur. O halde E( ) ’nun grup yapısı 9 27 E( ) ≅ Z dir, yani bir serbest gruptur. (Kato ve ark. 2000) 1.3.31. Önerme. k ≠ 0 altıncı dereceden kökü olmayan bir tam sayı olsun. cismi üzerindeki E : y2 = x3k + k (6) eliptik eğrisi “Mordell eğrisi” olarak adlandırılır. Bu durumda ⎧ {ο , (m,0)} ≅ Z / 2Z −k = m3 ≠ 1,m∈Z ise ⎪ ⎪ {ο , (0, ±n)} ≅ Z / 3Z k = n 2 ≠ 1,n∈Z ise Ek ( ) = ⎪ t ⎨ {ο , (12,±36)} ≅ Z / 3Z k = −432 ise ⎪ ⎪{ο , (2,±3), (0,±1), (−1,0)} ≅ Z / 6Z k = 1 ⎩⎪ {ο} aksi takdirde şeklinde ifade edilir.(Schmitt ve Zimmer 2003) Şimdi de (5) tipindeki denklemlerin tam sayı çözümlerini arayalım. 31 1.3.32. Siegel Teoremi. A, B∈Z ve ∆ = 4A3 + 27B2 ≠ 0 olmak üzere E : y2 = x3 + Ax + B ∈Z[x] eliptik eğrisi yalnızca sonlu sayıda tam sayı bileşenli P = (x, y) noktasına sahiptir. (Mollin 2001) 1.4. Sonlu Cisimler Üzerinde Eliptik Eğriler E eliptik eğrisi F sonlu cisimi üzerinde tanımlı olsun. x, y ∈F olacak şekilde E üzerindeki (x, y) ikilileri sonlu çoklukta olduğundan E(F) sonlu bir gruptur. Çalışmalarımızda p asal iken Fp sonlu cisim ve q = p n , n ≥1 iken Fq sembolü sonlu cisim genişlemesini temsil edecektir. İlk olarak bazı örnekleri inceleyelim. 1.4.1. Örnek. E : y2 = x3 + x +1 eliptik eğrisi F5 üzerinde olsun. E üzerindeki noktaları saymak için x ’in mümkün olan değerlerinin bir listesini yaparız. Bu durumda x3 + x +1’in 5 modundaki karekökleri olan y değerlerini bulmuş oluruz. Bu da E üzerindeki noktaları verir: x x3 + x +1 y Noktalar 0 1 ±1 (0,1), (0, 4) 1 3 - - 2 1 ±1 (2,1), (2, 4) 3 1 ±1 (3,1), (3, 4) 4 4 ±2 (4, 2), (4,3) ο ο ο Çizelge 1.4.1 Bu yüzden E(F5 ) ’in mertebesi 9’dur. Kolay bir hesaplamayla E(F5 ) ’in devirli olduğunu ve (0,1) noktası ile üretildiğini gösterebiliriz. (Washington 2003) 32 1.4.2. Örnek. F7 üzerinde E : y 2 = x3 + 2 eliptik eğrisi olsun. Bu durumda E(F7 ) = {ο , (0,3), (0,4), (3,1), (3,6), (5,1), (5,6), (6,1), (6,6)} olur. Kolay bir hesaplamayla bu P noktalarının tümünün 3P =ο şartını sağladığını görebiliriz. Bundan dolayı bu grup 3 × 3 ’e izomorftur. (Washington 2003) 1.4.3. Teorem. E , Fq sonlu cismi üzerinde bir eliptik eğri olsun. Bu durumda bazı n ≥1 ve n1, n2 ≥1 tam sayıları için n1 | n2 iken bu eğri üzerindeki grup yapısı E(Fq ) ≅ n ya da n × n 1 2 olur. İspat. Gruplar teorisinden temel bir sonuca göre i ≥1 için ni | ni+1 iken sonlu değişmeli bir grup n × n × ... n devirli gruplarının direkt çarpımlarına izomorftur. 1 2 r Her bir i için Zn grubu mertebeleri n1 i bölen n1 elemana sahip olduğundan i mertebeleri n1 i bölen n r 1 elemana sahip olan E(Fq ) buluruz. 1.3.23. Teorem gereği bu şekilde en çok n 21 tane nokta vardır. (Fq ’nun cebirsel kapanışında kalan koordinatlara müsaade edilse bile). Bu yüzden r ≤ 2 dir. Bu arzu edilen sonuçtur. ( r = 0 ise grup aşikardır; bu durum teoremde n =1 haline karşılık gelir.) □ 1.5. Frobenius Endomorfizmi ve Süpersingüler Eğriler 1.5.1. Tanım. E \Fq , Fq sonlu cismi üzerinde bir eliptik eğri olsun. q -Frobenius endomorfizmi ϕq : E → E ϕq (x, y) = (x q , yq ) , ϕq (ο) = ο olacak şekilde verilir. 1.5.2. Teorem. E \Fq eliptik eğri ve ϕq q -Frobenius endomorfizmi olsun. a) P ∈ E olsun. Bu durumda P ∈ E(Fq ) ⇔ ϕq (P) = P olur. 33 b) ϕ 2q − tϕq + q = 0 olacak şekilde bir t = tq tam sayısı vardır. Yani tüm P ∈ E ’ler için ϕ 2q (P) − tϕq (P) + q.P = ο dır. ( Burada t tamsayısı q -Frobenius endomorfizminin “izi” olarak adlandırılır.) c) q -Frobenius endomorfizminin izi t, E \Fq eliptik eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların sayısını veren # E(Fq ) = q +1− t formülünden bulunur. (Schmitt ve Zimmer 2003) 1.5.3. Tanım. Fq karakteristiği p olan sonlu cisim ve E \Fq , Fq üzerindeki nokta sayısı # E(Fq ) = q +1− t ile verilen bir eliptik eğri olsun. Eğer p | t ise bu eğri “süpersingüler” olarak adlandırılır. Eğer eğri süpersingüler değilse “sıradan (ordinary)” olarak adlandırılır. Başka bir ifadeyle E[ p] ≅ p ise sıradan, E[ p] ≅ ο ise süpersingüler olarak adlandırılır. Singülerlik ile süpersingülerlik birbirinden apayrı kavramlardır. 1.5.4. Yardımcı Teorem. 1.3.31 Teoremde tanımladığımız Fp üzerindeki E 2 3k : y = x + k Mordell eğrisini ele alalım. Ayrıca p asal p /| 6k ve p ≡ 2(mod 3) olsun. Bu durumda Ek \Fp süpersingülerdir ve # Ek (Fp ) = p +1’dir. (Schmitt ve Zimmer 2003) Aşağıdaki sonuç sonlu cisim üzerindeki bir eliptik eğrinin singüler olup olmadığını ifade etmenin basit bir yolunu verir. 1.5.5. Önerme. E \Fq eliptik eğri, q , p asalının bir kuvveti ve t = q +1− # E(Fq ) olsun. Bu durumda E ’nin süpersingüler olması için gerek ve yeter şart t ≡ 0 (mod p) olmasıdır. Bunun gerçekleşmesi için de gerek ve yeter şart # E(Fq ) ≡ 1 (mod p) olmasıdır. (Washington 2003) 34 1.5.6. Sonuç. Varsayalım ki p ≥ 5 asal olsun. Bu durumda E ’nin süpersingüler olması için gerek ve yeter şart t = 0 olmasıdır. Bu durum için de gerek ve yeter şart # E(Fp ) = p +1 olmasıdır. (Washington 2003) 1.5.7. Önerme. q tek, q ≡ 2(mod 3) ve B ∈F *q olduğunu varsayalım. Bu durumda E : y2 = x3 + B ile verilen E eliptik eğrisi süpersingülerdir. (Washington 2003) 1.6. Rasyonel Noktaların Sayısını Hesaplama E \Fq eliptik eğri verilsin. (1) denkleminin (x, y)∈Fq ×Fq çözümlerinin sayısını ya da buna denk olarak E (Fq ) ’da kaç tane nokta olduğunu bulmak istiyoruz. x ’in her bir değeri için y ’nin en çok iki değeri vardır. O halde sonsuzdaki ο noktası dahil bu eğri üzerinde en çok 2q +1 tane nokta vardır. Fakat rastgele seçilen bir elemanın ikinci dereceden bir kalan olma şansı %50 olduğundan bu sayı yarı yarıya azalacak ve q+1 olacaktır. Aşağıdaki teoremi E.Artin tezinde konjektür olarak verdi. 1930’larda bu teorem Hasse tarafından ispatlandı. 1.6.1. Hasse Teoremi. E \Fq eliptik eğri olsun. Bu durumda | # E(Fq ) − (q +1) |=| t |≤ 2q olur.(Washington 2003) 1.6.2. Teorem. E : y2 = x3 + Ax + B eliptik eğrisi Fq sonlu cismi üzerinde tanımlansın. Bu durumda 3 # E(F x + Ax + Bq ) = q +1+ ∑ ( ) x∈F qq şeklindedir. 35 İspat. x0 ∈Fq için x 3 0 + Ax0 + B ’nin q modundaki değeri sıfırdan farklı ve ikinci dereceden bir kalan ise, E eğrisini sağlayan x0 koordinatlı iki tane (x, y) ikilisi vardır. Eğer x 30 + Ax0 + B ’nin q modundaki değeri sıfır ise eğri üzerinde x0 koordinatlı tek nokta vardır. Fakat ikinci dereceden bir kalan değilse bu koşulda nokta yoktur. Bu 3 yüzden x koordinatı x0 olan noktaların sayısı 1 ( x + Ax + B + ) tanedir. Bu ifadenin q tüm x0 ∈Fq ’lar üzerinden toplamına sonsuzdaki nokta ο ’yu da eklersek nokta sayısı 3 # E(Fq ) =1+ ∑ (1 ( x + Ax + B+ )) x∈F qq olur. Sağdaki toplamdaki her bir terimden 1’i dışarıya alırsak bu şekilde arzu edilen formül elde edilir.□ 1.6.3. Sonuç. q tek iken x3 + Ax + B ( A, B ∈Fq ) bir polinom olsun. Bu durumda 3 | ∑ ( x + Ax + B) |≤ 2 q x∈F qq olur. İspat: x3 + Ax + B ’nin katlı kökü yoksa y2 = x3 + Ax + B denklemi eliptik eğri belirtir. O halde 1.6.2 Teorem gereği şunu söyleyebiliriz: 3 q 1 # E(F x + Ax + B+ − q ) = −∑ ( ) x∈F qq Sonuç Hasse teoreminden görülür.□ 1.6.4. Örnek. F5 üzerinde E : y 2 = x3 + x +1 eliptik eğrisi verilsin. 5 modunda ikinci dereceden kalanlar yani Q5 = {1,4}’tür. Bu yüzden 36 4 3 # E(F5 ) x + x +1 = 5 +1+ ∑ ( ) x=0 5 = 6 + (1) 3+ ( ) (1) (1+ + ) + (4) 5 5 5 5 5 = 6 +1−1+1+1+1 = 9 olur. (Washington 2003) E , Fq sonlu cismi üzerinde tanımlanmış bir eliptik eğri ise bu eğri r = 1, 2, ... için F r cisim genişlemesi üzerinde de tanımlanabilir. O halde F r -noktalarını q q incelemek de anlamlıdır. Yani y2 = x3 + Ax + B eğrisinin cisim genişlemeleri üzerindeki çözümlerini de inceleyebiliriz. 1.6.5. Tanım. E üzerindeki F r -noktalarının sayısı Nr ile gösterilsin. (Böylece q Fq cismindeki nokta sayısı N1 = N dir). T bir değişken, E \Fq bir eliptik eğri olmak üzere Nr sayılarından bir Z (T ; E \Fq ) “üretme serisi” oluşturulur. [[T ]]’deki formal kuvvet serisi N T rr Z (T ; E \F ∑ rq ) = e şeklinde tanımlanır. Sağdaki serinin pozitif tamsayı katsayılı olduğu gösterilebilir. Bu kuvvet serileri Fq üzerindeki eliptik eğrinin “zeta fonksiyonu” olarak adlandırılır ve E ’ye karşılık gelen önemli bir kavramdır. “Weil konjektürü” (artık P.Deligne’nin bir teoremi de denilebilir) daha genel bir durumda zeta fonksiyonunun çok özel bir formu olduğunu belirtmektedir. Bir E \Fq eliptik eğrisi için Weil aşağıdaki sonucu ispatlamıştır: 1.6.6. Weil Teoremi. Fq , q elemanlı sonlu cisim, E \Fq eliptik eğri olsun. O halde T değişkeninin Zeta fonksiyonu t ∈ iken 2 Z (T ; E \F ) 1− tT + qTq = (7) (1−T )(1− qT ) 37 şeklindeki bir rasyonel fonksiyondur. Bu t sayısının N = N1 sayısıyla ilişkisi N = q +1− t şeklindedir. Ayrıca paydaki ikinci dereceden polinomun diskriminantı negatiftir. Dolayısıyla da mutlak değeri 1 olan iki 1 ve 1 köküne sahiptir. (Koblitz 1994) q α β 1.6.7. Uyarı. (7)’nin payını (1−αT )(1− βT ) şeklinde yazıp iki tarafın logaritmik türevini alırsak ve E üzerindeki F r - noktalarının sayısı Nr ile gösterirsek q N rr = q +1−α r − β r , r = 1, 2,... şeklindedir. (Koblitz 1994) 1.7. Grup Mertebeleri Verilen Eliptik Eğrilerin Yapısı Bu bölümde bir eliptik eğrinin eşleniği tanımlanmış ve sonlu cisimler üzerinde grup mertebeleri verilen eliptik eğrilerin grup yapıları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. 1.7.1. Tanım. E \ F kq , q = p ve p > 3 olmak üzere E : y2 = x3 + a4 x + a6 basitleştirilmiş Weierstrass denklemiyle verilen bir eliptik eğri olsun. İkinci dereceden kalan olmayan bir c ∈ Fq* sabiti için E 2 3c : y = x + a4c 2 x + a c36 eğrisine E ’nin “c-eşleniği (twist)” denir. 1.7.2. Önerme. E \ Fq bir eliptik eğri ve E′ bu eğrinin eşleniği olmak üzere a) j(E) = j(E′) , b) # E(Fq ) + # E′(Fq ) = 2q + 2 . İspat. a) Bu kısmı hesaplamak oldukça kolaydır. 38 b) Kar(Fq ) > 3 olsun. Fq ’nun bir elemanının ikinci dereceden bir kalan olması için gerek ve yeter koşul p asal ve q = pk olmak üzere bu elemanın Fp ’de bir ikinci dereceden kalan olmasıdır. x ∈Fq olan q tane eleman vardır. Eğer x3 + a4 x + a6 denklemi tam kare ise (x,± y)∈ E(Fq ) olan iki nokta vardır. Ayrıca bu durumda, c∈Fq* ikinci dereceden bir kalan olmadığı için ⎛ (cx)3 + a4c2 (cx) + a6c3 ⎞ ⎛ ⎞⎛ 3 ⎜ ⎟ c x + a4 x + a= 6 ⎞ ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟⎜ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎟ ⎠ öyle ki E′(Fq ) ’da apsisi cx olan hiçbir nokta yoktur. Eğer x3 + a4 x + a6 denklemi Fq ’da bir tam kare değil ise, E(Fq ) ’da apsisi x olan hiçbir nokta yoktur. Fakat ⎛ (cx)3 + a4c2 (cx) + a6c3 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ c ⎞⎛ x 3 + a4 x + a ⎞= 6 ⎜ p ⎟ ⎜ p ⎟⎜ p ⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ dir. Bu yüzden E′(Fq ) ’ da apsisi cx olan (cx, ± y) biçiminde iki nokta vardır. E(Fq ) ’daki her x ∈Fq apsisi, biri E ’de diğeri E′ ’de bulunan iki nokta verir. Bu iki noktanın toplamı sonsuzdaki noktadır.□ 1.7.3. Önerme. E , Fq ’da (5) tipinde bir eliptik eğri ve belli bir n tamsayısı için E(Fq ) n × n olsun. O zaman a) q = n2 + 1 veya b) q = n2 ± n + 1 veya c) q = (n ± 1)2 dir.(Washington 2003) İspat. Hasse teoremine göre | t |≤ 2q iken n2 = q +1− t dir. Bu önermeyi ispatlamak için aşağıdaki yardımcı teoremi kullanacağız. Bu yardımcı teorem t ile ilgili kesin bir sınırlama verir. 39 1.7.4. Yardımcı Teorem. E , Fq ’da (5) tipinde bir eliptik eğri olsun. # E(Fq ) − (q +1) = t şeklinde tanımlı t Frobenius endomorfizminin izi için t ≡ 2 (mod n) dir. (Washington 2003) t ≡ 2 (mod n) olduğundan t = 2 + kn olacak şekilde k tam sayısı vardır. Bu durumda n2 = q +1− t = q −1− kn olur. O halde q = n2 + kn +1 dir. Hasse teoremine göre | 2 + kn |≤ 2 q dur. Son eşitsizlikte her iki tarafın karesini alırsak 4 + kn + k 2n2 ≤ 4q = 4(n2 + kn +1). elde ederiz. Bu yüzden | k |≤ 2 dir. k = 0, ±1, ±2 değerleri 1.7.3 Önermedeki q değerlerinin listesini verir. Bu da 1.7.3 Önermesinin ispatını tamamlar. □ 1.7.5. Yardımcı Teorem. p ≡ 2(mod 3) tek asal olsun. B ∈F *p iken y2 ≡ x3 + B (mod p) eliptik eğrisi E(Fp ) ≅ Cp+1 olacak şeklinde p +1 mertebeli devirli grup yapısına sahiptir. (Paillier 2000) Aslında p ≡ 2(mod 3) yerine p ≡ 5(mod 6) da alınabileceğine dikkat ediniz. 1.7.6. Örnek. p = 17 için y2 ≡ x3 + 43 (mod 17) eğrisi üzerindeki noktalar: E(F17 ) = {(0,8), (0,9), (2,2), (2,15), (4,3), (4,14), (5,6), (5,11), (6,5), (6,12), (7,4), (7,13), (8,7), (8,10), (11,1), (11,16), (13,0),ο} şeklindedir. Yani # E(F17 ) = 18 ’dir. Bu eğrinin grup yapısı da E(F17 ) ≅ C18 olur. 40 2. BÖLÜM F SONLU CİSİMLERİNDEKİ y2p =x3 +a3 BACHET ELİPTİK EĞRİLERİ ÜZERİNDEKİ RASYONEL NOKTALAR 2.1. Bachet Eliptik Eğrileri p asal iken karakteristiği 2 ve 3’ten farklı olan Fp sonlu cisminde tanımlı basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki E : y2 = x3 + Ax + B (A, B ∈Fp , B ≠ 0) eğrisini ele alalım. A = 0 durumunda elde ettiğimiz eliptik eğri y2 = x3 + B “Bachet eliptik eğrisi” (ya da Mordell eğrisi) olarak adlandırılır. Çalışmamızda Fp sonlu cisminde B = a3 durumundaki y2 = x3 + a3 (a ∈F *p ) (8) Bachet eliptik eğrilerini inceleyeceğiz. Bu bölümde verdiğimiz örneklerde nokta sayısı hesaplamalarında Maple ve Visual Basic programları kullanılmıştır. Burada ilk olarak şu iki önemli sonucu verebiliriz. 2.1.1. Sonuç. y2 ≡ x3 + a3 (mod p) Bachet eliptik eğrisi için j -değişmezi j = 0 ve diskriminantı ∆ = −27.16.a6 dır. 2.1.2. Sonuç. p ≡ 5 (mod 6) asal iken y2 ≡ x3 + a3 (mod p) Bachet eliptik eğrisi “süpersingülerdir”. p ≡ 1 (mod 6) iken ise “süpersingüler değildir”. Bu bölümde Bachet eliptik eğrilerinin üzerindeki nokta sayıları ve bu noktaların apsisleri toplamı ile ilgili bazı sonuçlar elde etmeye çalışacağız. Ayrıca üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla bu eğrilerin nokta sayısını formülize edeceğiz. 41 2.2. Bachet Eliptik Eğrilerinin Nokta Sayılarının Yeniden Hesaplanması Şimdi (8) eğrisini ele alalım ve bunu Ea ile gösterelim. Ea eğrisindeki Fp -rasyonel noktalarının kümesini Ea (Fp ) , bu noktaların sayısını yani # Ea (Fp ) sayısını N p ,a ile gösterelim. y 2 ≡ u (mod p) denklemini sağlayan noktaların sayısının 1+ χ (u) olduğu bilinmektedir ve dolayısıyla y2 ≡ x3 + a3 (mod p) denklemini sağlayan noktaların sayısı sonsuzdaki noktayla beraber Hasse teoreminden N 3 3p,a =1+ ∑ (1+ χ (x + a )) x∈Fp = p +1+ ∑ χ (x3 + a3 ) x∈Fp şeklinde ifade edilir. (8) eliptik eğrisinin Z p cisminde en çok 2 p +1 tane noktaya sahip olduğu kolayca görülebilir. Yani x, y∈Z p iken 2 p tane (x, y) nokta çifti ile birlikte sonsuzdaki nokta (8) denklemini sağlar. Bunun sebebi her bir x ∈Fp için en çok iki tane y ∈Fp vardır ve bunlar (8) denklemini sağlar. Ancak Fp ’nin tüm elemanları ikinci dereceden kalan değildir. Aslında F *p = Fp \{0}’daki elemanların sadece yarısı ikinci dereceden kalandır. Bundan dolayı Ea (Fp ) ’deki noktaların sayısının en çok p+1 tane olması beklenir. O halde Fp cisminde Ea eğrisi üzerindeki nokta sayısının daha kesin formülü N 3 3p,a = p +1+ ∑ χ (x + a ) (9) x∈Fp şeklindedir. Şimdi sadece p ≡ 1 (mod 6) durumunu ele alacağız. y2 = x3 + a3 üzerindeki noktaların sayısına yönelik bazı hesaplamalara başlayalım. İlk olarak nokta sayısını ikinci dereceden kalanlar yardımıyla yeniden ifade edeceğimiz şu teoremi verelim: 2.2.1. Teorem. p ≡ 1(mod 6) bir asal olsun. y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerindeki (x, y) rasyonel noktalarının sayısı 4 + ∑ ρ(x) x∈Fp 42 toplamına eşittir ve burada ⎧2 χ (x3 + a3 ) =1 ρ(x) = ⎨ ⎩0 χ (x 3 + a3) ≠ 1 şeklinde ifade edilir. Formüldeki dört noktadan üçü y = 0 durumundaki (x, y) ’ler; dördüncü nokta ise sonsuzdaki noktadır. Aynı zamanda böyle y değerlerinin toplamı da p ’ye eşittir. İspat. x ≡ 0, 1, 2,..., p −1 (mod p) için y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerindeki y değerlerini bulalım. Eğer y2 ∈Qp ise y ∈U p ’nin iki değeri vardır. Bu değerler x0 ve p − x0 ’dır. Eğer y = 0 ise ω 2 + ω +1 = 0 olmak üzere x = −a, x = −ωa ve x = −ω 2a gibi üç nokta daha vardır. (Burada p ≡ 1(mod 6) için ω ∈Fp ’dir.) Bu üç değer aslında a,aω,aω2 ’nin farklı dizilişinden başka bir şey değildir. Son olarak sonsuzdaki noktayı da gözönüne alırsak toplam 4 noktayı elde etmiş oluruz. O halde sonuç buradan çıkar. □ p ≡ 5 (mod 6) asal iken de y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerindeki (x, y) noktalarının sayısı 1 + ∑ρ(x) x∈Fp toplamına eşittir ve burada ⎧2 , χ (x3 + a3 ) =1 ρ (x) = ⎪ 3 3⎨1 , χ (x + a ) = 0 ⎪ ⎩0 , χ (x 3 + a3) = −1 şeklinde tanımlanır. Formüldeki 1 sayısı sonsuzdaki noktayı ifade etmektedir. Ayrıca y2 ≡ x3 + a3 (mod p) Bachet eliptik eğrisinde p ≡ 5 (mod 6) asal olması durumunda p +1 tane rasyonel nokta vardır. Şimdi bu iki duruma birer örnek verelim. 2.2.2.Örnek. y2 ≡ x3 + 23 (mod 13) Bachet eliptik eğrisi üzerindeki dört nokta (7,0), (8,0), (11,0) ve ο dur. Diğer noktaları formülden şöyle hesaplayabiliriz: Q13 = {1,3,4,9,10,12} olduğundan 43 ∑ ρ(x) = ρ(0) + ρ(1) + ρ(2) + ρ(3) + ρ(4) + ρ(5) + ρ(6) + ρ(7) + ρ(8) x∈Fp + ρ(9) + ρ(10) + ρ(11) + ρ(12) = 0 + 2 + 2 + 2 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 =12 4 + ∑ ρ(x) = 16 x∈Fp dır. O halde bu eğri üzerinde toplam 16 tane nokta bulunur. 2.2.3. Örnek. y2 ≡ x3 + 23 (mod 11) Bachet eliptik eğrisi üzerindeki noktalardan biri sonsuzdaki nokta olduğuna göre diğer noktaları şöyle hesaplayabiliriz: Q11 = {1,3,4,5,9} olduğundan ∑ ρ(x) = ρ(0) + ρ(1) + ρ(2) + ρ(3) + ρ(4) + ρ(5) + ρ(6) + ρ(7) + ρ(8) x∈Fp + ρ(9) + ρ(10) = 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 2 +1+ 0 =11 dır. O halde bu eğri üzerinde sonsuzdaki nokta ile beraber toplam 12 tane nokta bulunur. Hasse’nin teoremi yardımıyla verilen sonucu, ikinci dereceden kalanlar yerine p modundaki üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla yeniden ifade edebiliriz. 2.2.4.Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. t = y2 − a3 olsun. Buna göre ⎧0 t ∉ K p f (t) = ⎪⎨1 p t ⎪ ⎩3 t ∈ K * p şeklinde bir fonksiyon tanımlayalım. Bu takdirde y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerindeki nokta sayısı 1 + ∑ f (t) toplamıyla verilir ve toplam tüm y ∈Fp ler için alınır. Formüldeki 1 sayısı sonsuzdaki nokta içindir. 44 İspat. p | t olsun. Bu takdirde x3 ≡ t (mod p) kongrüansı x3 ≡ 0 (mod p) haline gelir. O zaman tek çözüm x ≡ 0 (mod p) olmasıdır. Dolayısıyla f (t) = 1 dir. İkinci olarak t ∉ K p olsun. Buna göre t üçüncü dereceden kalan değildir ve x3 ≡ t (mod p) kongrüansının çözümü yoktur. t ∈ K *p ise p ≡ 1 (mod 6) ve ( p −1,3) = 3 olduğundan x3 ≡ t (mod p) kongrüansı üç tane çözüme sahiptir. □ 2.2.5. Örnek. y2 ≡ x3 + 63 (mod 13) Bachet eliptik eğrisi üzerindeki nokta sayısını üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla verdiğimiz formülden şöyle hesaplarız: K13 = {0,1,5,8,12} ve t = y 2 − a3 (y ∈Fp ) olduğundan 1+ ∑ f (t) = 1+ f (5) + f (6) + f (9) + f (12) + f (8) + f (4) + f (2) + f (2) + f (4) + f (8) + f (1) + f (9) + f (6) =1+ 3+ 0 + 0 + 3+ 3+ 0 + 0 + 0 + 0 + 3+ 3+ 0 + 0 =16 dır. O halde bu eğri üzerinde 16 nokta bulunur. Şimdi (8) eğrisi üzerindeki noktalardan y ekseni üzerinde olanları ele alalım. 2.2.6. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerinde a ∈Qp iken x ≡ 0(mod p) olan iki tane (x, y) noktası vardır. Eğer a ∉Qp ise eğri üzerinde x ≡ 0(mod p) olan (x, y) noktası yoktur. İspat. x ≡ 0 (mod p) için, y2 ≡ a3 (mod p) olur. Bu kongrüansın çözümünün ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ olması için gerek ve yeter koşul a a⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =1 olmasıdır. Yani a ’nın p modunda ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ikinci dereceden kalan olmasıdır. □ 2.2.7. Örnek. x ≡ 0 (mod 13) için 4∈Q13 olduğundan y 2 ≡ x3 + 43 (mod 13) eğrisi üzerinde (0,5), (0,8) noktaları vardır. Fakat 5∉Q13 olduğundan y2 ≡ x3 + 53 (mod13) eğrisi üzerinde x ≡ 0 (mod 13) için y değerleri mevcut değildir. 45 Bundan başka a = 0,1, 2,..., p −1 (mod p) ve p ≡ 1 (mod 6) bir asal iken y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğri ailesinin noktalarının toplam sayısını ele alalım. (a, p) = 1 iken y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerinde uygun bir k tam sayısı için p +1− 2k ya da p +1+ 2k tane nokta olduğunu biliyoruz. Şimdi de Ea eğri ailesinin nokta sayılarının toplamı ile ilgili şu sonucu verelim: 2.2.8. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal ve 1 ≤ a ≤ p −1 olsun. N p,a = # Ea (Fp ) olsun. O zaman p−1 ∑ N p ,a = p2 −1 a=1 dir. İspat. 1 ≤ a ≤ p −1 için (a, p) = 1 olduğunu biliyoruz. O zaman p modunda a3x3 elemanlarının kümesi ile x3 ’lerin kümesi aynıdır. Bu durumda ∑ χ (x3 + a3) = ∑ χ (a3x3 + a3) x∈Fp x∈Fp = χ (a3 ).∑ χ (x3 +1) x∈Fp olur. (8)’e göre N p,a − p −1 = χ (a 3).(N p,1 − p −1) alabiliriz. Her iki tarafın da 1’den p −1’e kadar olan toplamını aldığımızda p−1 p−1 ∑ N p ,a − p −1 =∑ χ (a3 ).(N p ,1 − p −1) a=1 a=1 olur. O zaman her iki taraf da 1 veya -1 olduğu için χ (a3 ) = χ (a) olduğunu kullanırsak p−1 p−1 p−1 ∑ N p ,a −∑ ( p +1) = (N − p −1).∑ χ (a3p,1 ) a=1 a=1 a=1 p−1 = (N p ,1 − p −1).∑ χ (a) a=1 ifadesini elde ederiz. Sonuç olarak biliyoruz ki p−1 ∑ χ (a) = 0 a=1 dır. Buradan da 46 p−1 ∑ N p ,a = p2 −1 a=1 olur.□ 2.2.9. Örnek. y2 ≡ x3 + a3 (mod 13) eliptik eğrisini ele alalım. a =1 için N p,a = p +1+ ∑ χ (x3 + a3) formülünden N13,1 =13+1+ ∑ χ (x3 +13) = 12 dir. Benzer x∈Fp x∈Fp şekilde N13,2 = 16 , N13,3 = 12 , N13,4 = 12 , N13,5 = 16 , N13,6 =16 , N13,7 = 16 , N13,8 = 16 , 12 N13,9 = 12 , N13,10 = 12 , N13,11 = 16 , N13,12 = 12 olur. Sonuç olarak ∑ N 213,a = 13 −1 = 168 a=1 olur. 2.2.10. Sonuç. Fp cismi üzerindeki Bachet eliptik eğrilerinin nokta sayılarıyla ilgili tüm sonuçlar, r > 1 doğal sayıları için F r cismine genelleştirilebilir. (Demirci ve p ark. 2005) Yukarıdaki sonucu ve 1.6.6 Weil Teoremini kullanarak: 2.2.11. Örnek. F7 cisminde tanımlı y 2 = x3 + 43 Bachet eliptik eğrisi üzerindeki noktaları bulalım. Burada N1 =12 tane nokta vardır. Bunlar (0,1), (0,6), (1,3) , (4, 4) , (2,3), (2, 4), (3,0), (4,3) , (5,0) , (6,0) ve sonsuzdaki noktadır. N p ,a = p +1− t formülünden N p ,a = N1 olduğundan t = −4 bulunur. Şimdi r = 2 için F49 cismi üzerindeki nokta sayısını hesaplayalım. İlk olarak 1.6.6 Weil teoremi ve 1.6.7. Uyarıya göre 1+ 4T + 7T 2 = 0 ikinci derece denkleminden α = −2 − 3i ve β = −2 + 3i bulunur. Sonuç olarak da F49 cismi üzerindeki nokta sayısı N = prr +1−α r − β r 47 formülünden N2 = 48 bulunur. Benzer olarak F343 cismi üzerindeki nokta sayısı N3 = 324 hesaplanabilir. 2.2.12. Örnek. F5 cisminde tanımlı y 2 = x3 + 8 Bachet eliptik eğrisi üzerindeki noktaları bulalım. Burada N1 = 6 tane nokta vardır. Bunlar (1, 2), (1,3), (2,1), (2, 4), (3,0) ve sonsuzdaki noktadır. Şimdi r = 2 için F25 cismi üzerindeki nokta sayısını hesaplayalım.Yani N2 = 25 +1−α 2 − β 2 bulmaya çalışalım. Eşlenik kökler olan α ve β ’yı bulmak için N = q +1− t formülünü alalım. Böylece 6 = 5 +1− t eşitliğinden t = 0 bulunur. Bu durumda 1+ 5T 2 = 0 denkleminin kökleri ±i ’dir. Yani α = 5i ve β = − 5i olur. Sonuç olarak nokta 5 sayısı ⎧⎪ 5 r +1 , r tek ise Nr = ⎨ r r ⎩⎪5 +1− 2.(−5)2 , r çift ise 2 şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda N2 = 5 2 +1− 2(−5)2 = 36 olur. Benzer olarak N3 = 5 3 +1=126 ve N4 = 576 bulunur. 2.3. Bachet Eliptik Eğrilerinin Rasyonel Noktalarının Apsisleri Toplamı Şimdi (8) eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların apsislerinin toplamını formülleştireceğiz ve apsisler toplamı ile ilgili bazı sonuçları elde edeceğiz. 2.3.1. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerin- deki rasyonel noktaların apsisleri toplamı ∑ (1+ χ (x3 + a3p )).x x∈Fp formülüyle ifade edilir. 48 İspat. ⎧ 1 x 2 ≡ t (mod p) çözümü var ise χ ⎪p (t) = ⎨ 0 p t ⎪ ⎩−1 x 2 ≡ t (mod p) çözümü yok ise şeklinde tanımlandığından 1+ χ p (t) = 0,1 ya da 2 olduğunu biliyoruz. y ≡ 0 (mod p) iken x3 + a3 ≡ 0 (mod p) dir ve p | 0 iken χ (x3 + a3p ) = 0 dır. Eğri üzerindeki her bir (x,0) noktası için (1+ 0).x = x toplama eklenir. x3 + a3 = t olsun. ⎛ t ⎞ ⎜ ⎟ = 1 ise eğri üzerindeki her bir (x, y) noktası için (x, − y) ⎝ p ⎠ noktası da eğri üzerindedir. Böylece her bir t için (1+1).x = 2x toplama eklenir. Sonuç olarak ⎛ t ⎞⎜ ⎟ = −1 ise x 2 ≡ t (mod p) ’nin hiç çözümü yoktur ve böyle ⎝ p ⎠ (x, y) noktaları için (1+ (−1)).x = 0 oluşu toplamla çelişir. □ Yukarıdaki formülün p ≡ 5 (mod 6) için de geçerli olduğu gösterilebilir. 2.3.2. Örnek. y2 ≡ x3 + 23 (mod 7) Bachet eliptik eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların apsisleri toplamını bulalım: Q7 = {1,2,4} olduğundan ∑ (1+ χ p (x3 + 23)).x = (1+ χ7 (1)).0 + (1+ χ7 (2)).1+ (1+ χ7 (2)).2 + (1+ χ7 (0)).3 x∈Fp + (1+ χ7 (2)).4 + (1+ χ7 (0)).5 + (1+ χ7 (0)).6 = 0 + 2 + 4 + 3+ 8 + 5 + 6 = 28 dir. Aşağıdaki sonuçtan da görebileceğimiz gibi yukarıda verilen toplam daima p modunda sıfıra denktir. 2.3.3. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Bu takdirde x3 ≡ t (mod p) kongrüansının x tam sayı çözümlerinin toplamı p modunda sıfıra denktir. 49 İspat. x 3≡1 (mod p) kongrüansının çözümleri x ≡1,ω,ω 2 (mod p) dir ki burada −1+ 3iω = birimin küp köküdür. Genel olarak x 3≡ t (mod p) ’nin çözümleri 2 x0 bir özel çözüm olmak üzere x ≡ x0 , x0ω, x ω 2 0 (mod p) dir. Gerçekten de (x ω)3 ≡ x 3 3 30 0 ω0 ≡ x0 ≡ t (mod p) ve aynı şekilde (x ω 2 )30 ≡ x 3 0 ω 6 ≡ x 3 3 2 30 (ω ) ≡ x0 ≡ t (mod p) dir. Dolayısıyla bu çözümlerin toplamı x + x ω + x ω 20 0 0 = x0 + x 0ω + x0 (−1−ω) = 0 dir. Eğer çözüm yoksa toplam 0 olarak düşünülebilir. □ Şimdi aşağıdaki sonucu ispatlayabiliriz. 2.3.4. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. 0 ≤ x ≤ p −1 olacak şekilde bir x tam sayısı alalım. O zaman herhangi bir 1 ≤ a ≤ p −1 için p−1 r( p) = ∑ (1+ χ (x3 + a3 )).x x=0 p | r( p) dir. Özellikle p−1 s( p) = ∑ χ (x3 + a3 ).x x=0 toplamı p ile bölünür. İspat. Her y değeri için t = y2 − a3 olsun. O zaman x 3≡ t (mod p) kongrüansının çözümlerinin toplamı, 2.3.3 Teorem gereği sıfıra denktir. Tüm y değerleri için bu geçerlidir. Böylece tüm apsislerin toplamı sıfıra denktir.□ p ≡ 1 (mod 6) hipotezi bu teoremde gerekli. Yani buna ters örnek a = 1, p = 11 aldığımızda r(11) = 56 ve s(11) = 1 olduğu kolayca görülür. Yani bunların hiçbiri 11 ile bölünemez. 50 2.3.5. Örnek. y2 ≡ x3 + 83 (mod 13) eğrisini ele alalım. p−1 r( p) = ∑ (1+ χ (x3 + a3 ).x) x=0 12 formülünden r(13) = ∑ (1+ χ (x3 + 83).x) = 78 olur. Bu da 13 modunda sıfıra denktir. x=0 Şimdi ordinatı aynı olan noktaları inceleyelim. 2.3.6. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eğrisi üzerinde ordinatı aynı olan (x, y) rasyonel noktalarının apsisleri toplamı p modunda sıfıra denktir. İspat. y verilsin. Bu takdirde x3 ≡ y2 − a3 (mod p) kongrüansı t = y2 − a3 değişikliğinden sonra x 3≡ t (mod p) haline gelir. Sonuç 2.3.3 Teoremden elde edilir.□ p ≡ 5 (mod 6) bir asal iken de y2 ≡ x3 + a3 (mod p) eliptik eğrisi üzerinde ordinatı aynı olan iki nokta yoktur. 2.3.7. Örnek. y2 ≡ x3 + 23 (mod 13) eğrisini ele alalım. Bu eğri üzerinde ordinatı aynı olan noktalara örnek olarak (2, 4), (5, 4), (6, 4) ya da (7,0), (8,0), (11,0) verilebilir. Bu noktaların apsisleri toplamı da 13 modunda sıfıra denktir. 51 3. BÖLÜM Fp SONLU CİSİMLERİNDEKİ y2=x3 +a3 BACHET ELİPTİK EĞRİLERİNİN GRUP YAPISI 3.1. Giriş p asal olsun. a ∈F * p = Fp −{0} iken Ea Bachet eliptik eğrilerinin grup yapısını inceleyeceğiz. Eğer p ≡ 5(mod 6) ise 1.7.5 Yardımcı Teorem gereği Ea (Fp ) ≅ Cp+1 , p +1 mertebeli devirli gruptur. Fakat p ≡ 1 (mod 6) ise Ea (Fp ) ’nin grup yapısını veren bilinen bir sonuç yoktur. Bu bölümde, p ≡ 1 (mod 6) iken Ea (Fp ) ’nin grup yapısını inceleyeceğiz. Bu grubun, Cn ve Cnm devirli gruplarının bir direkt çarpımına izomorf olduğunu göstereceğiz. Yani m, n ∈ için Ea (Fp ) ≅ Zn ×Znm dir. Ayrıca nokta sayısı, mertebe ve Frobenius endomorfizminin izi ile ilgili bazı sonuçları elde etmeye çalışacağız. Ea (Fp ) ’nin mertebesini daha önceden N p ,a ile gösterdik. Vereceğimiz sonuçların ifadesini kolaylaştırması açısından bundan sonra N p ,a yerine bazen N kullanacağız. Nokta sayısını N = n2m = p +1− t şeklinde ifade edeceğiz. Burada t , Frobenius endomorfizminin izidir. Bu bölümde verdiğimiz örneklerde nokta sayısı ve mertebe hesaplamalarında Maple ve Visual Basic programları kullanılmıştır. 3.1.1. Teorem. Ea eliptik eğrileri için N = n2m = p +1− t şeklinde ifade edilirken a ∈Qp olursa t > 0 ve diğer durumda t < 0 dır. (Yıldız ve ark. 2005) 52 3.2. Cn×Cnm Formundaki Grup Yapısına Uyan Bachet Eliptik Eğrileri Ea eğrisini ele alalım. Bu durumda g ∈Q ′p için y 2 ≡ x 3 + g 3a 3 eğrisi y2 ≡ x3 + a3 eğrisinin eşleniği olarak tanımlanır. Burada a ∈Qp ise ga ∈Q ′p ve a ∈Q ′p ise ga ∈Qp şeklindedir. (8) tipindeki herhangi bir eğri ile eşleniğinin t ’lerinin işaretlerinin farklı olduğunu göstermek kolaydır. O halde aşağıdaki teoremi verebiliriz: 3.2.1. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. (8) tipindeki eğri n2m = p +1− t mertebeli Cn ×Cnm grubuna izomorf ise bunun eşleniği r 2s = p +1− t mertebeli Cr ×Crs grubuna izomorftur. (Yıldız ve ark. 2005) 3.2.2. Örnek. y2 ≡ x3 + 23 (mod 577) eliptik eğrisini ele alalım. Bu eğri için 2∈Q577 , N 2 577,2 = 624 ve grup yapısı C4 ×C156 dır. N = n m = p +1− t bağıntısına göre 624 = 42.39 = 577 +1− t iken t = −46 olur. y2 ≡ x3 +103 (mod 577) eğrisi için ise, 10∈Q5′77 , N577,10 = 532 ve grup yapısı C2 ×C266 dır. Nokta sayısı formülüne göre 532 = 22.133 = 577 +1− t iken t = 46 bulunur. 3.2.3. Teorem. a) p ≡ 1 (mod 12) bir asal olsun. Bu durumda t ≡ 2 (mod 12) olması için gerek ve yeter şart N ≡ 0 (mod 12) ve t ≡ 10 (mod 12) olması için gerek ve yeter şart N ≡ 4 (mod 12) olmasıdır. b) p ≡ 7 (mod 12) bir asal olsun. Bu durumda t ≡ 4(mod 12) olması için gerek ve yeter şart N ≡ 4(mod 12) ve t ≡ 8(mod 12) olması için gerek ve yeter şart N ≡ 0(mod 12) olmasıdır. İspat. a) p ≡ 1 (mod 12) bir asal olsun. Bunu n ∈ iken p = 1+12n şeklinde yazabiliriz. t ≡ 2 (mod 12) ’den m∈ olmak üzere t = 2 +12m şeklinde ifade edebiliriz. Bunları nokta sayısı formülünde yerine koyarsak 53 t ≡ 2(mod 12) ⇔ N = p +1− t =1+12n +1− (2 +12m) =12(n − m) ⇔ N ≡ 0 (mod 12) ve benzer olarak t ≡ 10(mod 12) ⇔ N = p +1− t =1+12n +1− (10 +12m) = −8 +12(n − m) ⇔ N ≡ 4 (mod 12) elde edilir. b) şıkkı da benzer yolla ispat edilir.□ 3.2.4. Örnek. p = 1297 ≡ 1 (mod 12) bir asal iken y2 ≡ x3 +1233 (mod 1297) eliptik eğrisini ele alalım. N1297,123 = 1252 ve t = 46 ≡ 10 (mod 12) dir. Ayrıca 1252 ≡ 4 (mod 12) dir. y2 ≡ x3 + 423 (mod 1297) eğrisi için ise N1297,42 = 1344 ve t = −46 ≡ 2 (mod 12) dir. Ayrıca 1344 ≡ 0 (mod 12) dir. 3.2.5. Örnek. p = 139 ≡ 7 (mod 12) bir asal iken y2 ≡ x3 + 33 (mod 139) eliptik eğrisini ele alalım. N139,3 = 124 ve t = 16 ≡ 4 (mod 12) dir. Ayrıca 124 ≡ 4 (mod 12) dir. y2 ≡ x3 + 253 (mod 139) eğrisi için ise N139,25 = 156 ve t = −16 ≡ 8 (mod 12) dir. Ayrıca 156 ≡ 0 (mod 12) dir. 3.2.6. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Bu durumda t , 6 ile bölünemez. İspat. Tersine t ’nin 6 ile bölündüğünü varsayalım. Bu durumda k ∈Z için t = 6k ve n∈ için p = 1+ 6n koyarsak N = 6n +1+1− 6k elde ederiz. Bu da N ≡ 2 (mod 6) oluşunu gerektirir. Fakat N , 6 modunda 2’ye denk olamaz. Gerçekten de N ’nin çift olduğunu bildiğimizden N ≡ 0, 2 veya 4 (mod 6) olur. Eğer N ≡ 0 (mod 6) ise r ∈Z için N = 6r dir. Buradan t = p +1− N = 6n + 2 − 6r 54 olur. Bu da t ≡ 2(mod 6) oluşunu gerektirir. O halde varsayımımızla çelişiriz. İkinci olarak N ≡ 4 (mod 6) ise, bu durumda c ∈Z için t = p +1− N = 6n +1+1− (6c + 4) t ≡ 4 (mod 6) olur. Bu da varsayımımızla çelişir. Bu yüzden t , 6 ile bölünemez.□ 3.2.7. Örnek. p = 751 ≡ 1 (mod 6) bir asal iken y2 ≡ x3 + 423 (mod 751) eliptik eğrisini ele alalım. N751,42 = 804 dir. N = p +1− t formülünden t = −52 bulunur. 6 /| −52 dir. Ayrıca y2 ≡ x3 + 223 (mod 751) eğrisini de incelersek N751,22 = 700 dür. Nokta sayısı formülünden t = 52 bulunur. Yine 6 /| 52 dir. 3.2.8. Sonuç. p ≡ 1 (mod 6) asal olsun. Bu durumda N ≡ 0 veya N ≡ 4(mod 6) olur. (Yıldız ve ark. 2005) 3.2.9. Örnek. y2 ≡ x3 + 2123 (mod 379) eliptik eğrisini ele alalım. Nokta sayısı N379,212 = 388 dir. O halde N ≡ 0 (mod 6) dir. y 2 ≡ x3 + 43 (mod 379) eğrisi için ise N379,4 = 372 dir. O halde N ≡ 4 (mod 6) dir. 3.2.3. Teorem ile 3.2.8. Sonuç birleştirilerek aşağıdaki sonucu elde edilir: 3.2.10. Teorem. p ≡ 1 (mod 12) bir asal ise t ≡ ∓2 (mod 12) ve p ≡ 7 (mod 12) bir asal ise t ≡ ∓4 (mod 12) olur.(Yıldız ve ark. 2005) Şimdi de b =| t | olacak şekilde bir b tam sayısı tanımlayalım. Yani b =| p +1− N | olsun. Bundan sonraki hesaplamalarımızda b ve t ile ilgili sonuçlar elde edeceğiz. (8) tipindeki eğri için t = b ise eşleniği için t = −b dir. İlk olarak (8) tipindeki Bachet eliptik eğrisi ve eşleniği üzerindeki rasyonel noktaların sayısı hakkında aşağıdaki sonucu verebiliriz. 3.2.11. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) asal olsun. Bu durumda 55 a) b ≡ 2 (mod 6) ise (8) tipindeki eğri için t = b ve N ≡ 0 (mod 6) ve bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 4 (mod 6) olur. b) b ≡ 4(mod 6) ise (8) tipindeki eğri için t = b ve N ≡ 4 (mod 6) ve bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 0(mod 6) olur. İspat. p ≡ 1 (mod 6) asal olsun. n∈Z için p = 1+ 6n yazalım. b ≡ 2(mod 6) olsun. Eğer t = b ise t ≡ 2 (mod 6) olur. Şimdi m∈Z için t = 2 + 6m yazalım. O halde N = p +1− t = 6n +1+1− 2 − 6m = 6(n − m) olur. Bu da N ≡ 0 (mod 6) oluşunu gerektirir. Diğer kısımlar benzer şekilde ispatlanabilir. 3.2.12. Örnek. p = 313 ≡ 1 (mod 6) bir asal iken y2 ≡ x3 + 23 (mod 313) eliptik eğrisini ele alalım. N = N313,2 = 336 ve t = −22 olur. t = b olduğundan b = −22 ≡ 2 (mod 6) dir. O halde N ≡ 0 (mod 6) dir. Bu eğrinin bir eşleniği olan y2 ≡ x3 + 2223 (mod 313) eğrisi üzerindeki nokta sayısının N313,222 = 292 olduğunu buluruz. Nokta sayısı formülünden t = 22 bulunur. t = −b olduğundan b = −22 ≡ 2 (mod 6) bulunur. O halde N ≡ 4 (mod 6) dır. 3.3. Bachet Eliptik Eğrileri Üzerindeki 3.Mertebeden Elemanlar Bu bölümde Ea Bachet eliptik eğrilerinde 3.mertebeden eleman bulunma koşulları belirlenecek ve bunlarla ilgili bazı sonuçlar elde edilecektir. İlk olarak aşağıdaki sonucu verelim: 3.3.1. Sonuç a) p ≡ 1 (mod 12) bir asal olsun. Eğer b ≡ 2 (mod 12) ise (8) tipindeki eğri için t = b ve N ≡ 0 (mod 12) olur. Ayrıca Ea (Fp ) ’nin 3.mertebeden elemanı vardır. Bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 4 (mod 12) olur. Bu da 3.mertebeden eleman bulundurmamayı gerektirir. 56 Eğer b ≡ 10 (mod 12) ise (8) eğrisi için t = b ve N ≡ 4 (mod 12) ve Ea (Fp ) ’nin 3. mertebeden elemanı yoktur. Bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 0 (mod 12) olur. Bu da grubun 3.mertebeden eleman bulundurmasını gerektirir. b) p ≡ 7 (mod 12) bir asal olsun. Eğer b ≡ 4 (mod 12) ise (8) tipindeki eğri için t = b ve N ≡ 4 (mod 12) olur. Bu yüzden de Ea (Fp ) ’nin 3.mertebeden elemanı yoktur. Bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 0 (mod 12) olur. Ayrıca Ea (Fp ) 3.mertebeden eleman bulundurur. Eğer b ≡ 8(mod 12) ise (8) tipindeki bir eğri için t = b ve N ≡ 0 (mod 12) olur. Ayrıca Ea (Fp ) ’nin 3.mertebeden elemanı vardır. Bu eğrinin eşleniği için t = −b ve N ≡ 4 (mod 12) olur. Bu yüzden de grubun 3.mertebeden elemanı yoktur. (Yıldız ve ark. 2005) 3.3.2. Örnek. p = 673 ≡ 1 (mod 12) bir asal iken y2 ≡ x3 + 23 (mod 673) eliptik eğrisini ele alalım. N673,2 = 624 , t = 50 ve b = 50 ≡ 2 (mod 12) dir. O halde N ≡ 0 (mod 12) olur. Bu eğri 3.mertebeden 2 eleman bulundurur. Bu elemanlar (0,107), (0,566) dır. Bu eğrinin bir eşleniği olan y2 ≡ x3 + 223 (mod 673) eliptik eğrisini alırsak N673,22 = 724 , t = −50 ve b = 50 ≡ 2 (mod 12) olur. O halde N ≡ 4 (mod 12) tür. Bu eğride 3.mertebeden eleman bulunmaz. Eliptik eğrilerin p modunda sınıflandırılmasında 3.mertebeden elemanlar önemlidir. Şimdi 3.mertebeden eleman sayısının 2 ya da 8 olduğunu gösterelim. 3.3.3. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Eğer Ea eğrisi üzerindeki nokta sayısı N ≡ 0 (mod 6) ise eğri üzerinde 3.mertebeden 2 ya da 8 tane nokta vardır. İspat. 1.3.25 Sonuç gereği Ea eğrisi üzerinde sonsuzdaki nokta ile birlikte en çok 9 nokta vardır. Bu noktalar bir alt grup oluştururlar. Bu alt grup ya aşikâr grup, ya 3 mertebeli bir devirli grup ya da 3 mertebeli iki devirli grubun çarpımına izomorftur. 57 Üçüncü mertebeden elemanların sayısını ifade etmek istediğimizden bu grup aşikar grup olamaz. O halde grup yapısı C3 ya da C 3×C3 tür. Bu grupların da sırasıyla 3.mertebeden 2 ya da 8 eleman bulundurduğu iyi bilinir. □ Gerçekten de Ea (Fp ) ≅ Cn ×Cnm alırsak 3 | n iken Ea (Fp ) ’de 3.mertebeden 8 nokta, aksi halde 3.mertebeden 2 nokta vardır. 3.3.4. Örnek. y2 ≡ x3 + 43 (mod 19) eliptik eğrisini ele alalım. Nokta sayısı N19,4 = 12 ≡ 0 (mod 6) olur. Bu eğri üzerinde 3.mertebeden 2 eleman vardır: (0,8), (0,11) . y2 ≡ x3 +103 (mod 31) eliptik eğrisi için ise N31,10 = 36 ≡ 0 (mod 6) dır. Bu eğri üzerinde 3.mertebeden 8 eleman vardır: (0,15), (0,16), (6,10), (6, 21), (26,10) (30,10), (30, 21) . İleride 3.3.9 Teoremde ana sonuçlardan birini vereceğiz. Bunun için ilk olarak aşağıdaki sonuçlara gereksinimimiz var: 3.3.5.Teorem. p bir asal olsun. O halde Fp ’deki tüm x ’lerden sadece 0 için x3 +1, 1 değerini alır. İspat. x = 0 durumunda şartın sağlandığı açıktır. x ’in diğer değerlerinden hiçbirinin x3 +1 = 1 şartını sağlamaması p ’nin asal oluşundan çıkar.□ 3.3.6. Teorem. p bir asal olsun. x ’in 1 ile p arasında x3 +1 ≡ 0 (mod p) şartını sağlayan 3 değeri vardır. İspat. Her a ≠ 0 değeri için x3 ≡ a (mod p) ’nin üç tane çözümü olduğu açıkça görülür. Burada a = −1 için ispat elde edilebilir.□ 3.3.7. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) asal olsun. Bu durumda ∑ χ (x3 +1) ≡ 4 (mod 6) x∈Fp 58 olur. İspat. Her bir x ∈Fp için x 3 +1’in p tane değeri hesaplanır. 3.3.5 Teorem gereği göre bu değerlerden biri 1’dir. 3.3.6 Teoreme göre bu değerlerden üçü 0’dır. x3 +1’in kalan p − 4 değeri p − 4 tane üçlü şeklinde gruplandırılır. p ≡ 1 (mod 6) iken 3 p − 4 tektir. Gerçekten k ∈Z için p = 1+ 6k yazarsak p − 4 = 2k −1 olur. Varsayalım 3 3 ki bu üçlülerden s tanesi Qp ’de 2k −1− s tane Q ′p nde olsun. Bir üçlü Qp ’de ise ∑ χ (x3 +1) toplamına 3 eklenir. Eğer Q ′p nde ise toplama (-3) eklenir. Bu yüzden x∈Fp ∑ χ (x3 +1) =1+ 3.0 + s.(+3) + (2k −1− s).(−3) x∈Fp = 6(s − k) + 4 ifadesi sonucu gerektirir. 3.3.8. Örnek. p = 13 olsun. Bu durumda, ∑ χ (x3 +1) = χ (1) + χ (2) + χ (9) + χ (2) + χ (0) + χ (9) + χ (9) x∈F13 + χ (6) + χ (6) + χ (2) + χ (0) + χ (5) + χ (0) =1−1+1−1+ 0 +1+1−1−1−1+ 0 −1+ 0 = −2 ≡ 4 (mod 6) 3.3.9. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Ea eğrisinde a ∈Qp olması için gerek ve yeter şart N ≡ 0 (mod 6) dır. İspat. N p,a = p +1+ ∑ χ (x3 + a3) x∈Fp ifadesi iyi bilinir. n∈Z için p = 1+ 6n koyarsak N 3 3p,a = 6n + 2 + ∑ χ (x + a ) elde x∈Fp ederiz. Şimdi χ (a) = 1 iken ve x3 ’ün değerleri kümesi ile a3x3 ’ün değerlerinin kümesi aynı olduğundan 59 ∑ χ (x3 + a3) = ∑ χ (a3x3 + a3 ) x∈Fp x∈Fp = ∑ χ (a3 )χ (x3 +1) x∈Fp = ∑ χ (x3 +1) x∈Fp yazılabilir. 3.3.7 Teoreme göre bu toplam da 6 modunda 4’e denktir. Böylece r ∈Z için ∑ χ (x3 + a3) = 4 + 6r değerini yerine koyarak N p ,a = N = 6n + 2 + 4 + 6r elde edilir. x∈Fp Bu da N ≡ 0 (mod 6) oluşunu gerektirir.□ 3.3.10. Örnek. y2 ≡ x3 +1223 (mod 181) eğrisini ele alalım.122∈Q181 olduğundan eğri üzerindeki nokta sayısı N = 156 ≡ 0 (mod 12) olur. 3.3.11. Sonuç. p ≡ 1 (mod 6) asal olsun. Eğer N ≡ 0 (mod 6) ise t ≡ 2 (mod 6) dır. İspat. N = p +1− t = p +1+ ∑ χ (x3 + a3) iken t = −∑ χ (x3 + a3) olduğu x∈Fp x∈Fp bilinir. 3.3.7 Teoremden sonuç görülür.□ 3.3.12. Örnek. 3.3.10. Örnekteki eğriyi ele aldığımızda N = 156 ≡ 0 (mod 12) olduğu görülür. Bu durumda N = p +1− t formülünden 156 =181+1− t , t = 26 ve t ≡ 2 (mod 6) olur. Benzer olarak şunu elde ederiz. 3.3.13. Teorem. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Ea eğrisini ele alalım. Bu durumda a ∈Q ′p olması için gerek ve yeter şart N ≡ 4 (mod 6) ’dır. (Yıldız ve ark. 2005) 60 3.3.14. Örnek. y2 ≡ x3 + 223 (mod 181) eliptik eğrisini ele alalım. 22∉Q181 olduğundan eğri üzerindeki nokta sayısı N = 208 ≡ 4 (mod 12) dır. 3.3.15. Sonuç. p ≡ 1 (mod 6) bir asal olsun. Ea eğrisini ele alalım. Bu durumda a) a ∈Qp olması için gerek ve yeter şart Ea (Fp ) ’de 3.mertebeden 2 ya da 8 eleman vardır. b) a ∈Q ′p olması için gerek ve yeter şart Ea (Fp ) ’de 3.mertebeden eleman bulunmamasıdır. İspat. Bu, 3.3.1. Sonuç ve 3.3.9. Teoremden açıkça görülür.□ 3.3.16. Örnek. y2 ≡ x3 + 43 (mod 19) eğrisinde 4∈Q19 olduğundan 3.mertebe- den 2 eleman vardır. y2 ≡ x3 +103 (mod 31) eğrisinde ise 10∈Q31 olduğundan 3.mertebeden 8 eleman vardır. y2 ≡ x3 + 33 (mod 31) eğrisinde 3∉Q31 olduğundan 3.mertebeden eleman yoktur. 3.4. Cn×Cn Grup Yapısındaki Bachet Eliptik Eğrileri Şimdi bazı n değerleri için grup yapısı C n×C n ’e izomorf olan Bachet eliptik eğrilerinin durumunu inceleyeceğiz. Bunun sadece p ≡ 1 (mod 6) iken mümkün olduğunu göstereceğiz. Diğer durumda ise yani p ≡ 5 (mod 6) iken E(Fp ) ’nin grup yapısı C p+1 ’e izomorftur. Bu kez 1.7.3 Önermede ifade edilen Washington’un sonucundan yararlanarak Bachet eliptik eğrilerinin grup yapısı ile ilgili yeni bir sonuç elde edeceğiz. 3.4.1.Teorem. Ea eğrisini ele alalım. Varsayalım ki Ea (Fp ) ≅ Zn ×Zn olsun. Bu durumda p = n2 ∓ n +1’dir. 61 İspat. 1.7.3. Önerme gereği p için üç ihtimal vardır. p = n2 +1, p = n2 ∓ n +1 ya da p = (n ∓1)2 ’dir. Bunlardan sonuncusu p asal olup bir tam kare olamayacağından hemen elenir. O halde sadece p ’nin n2 +1’e eşit olamayacağını göstermemiz gerekir. Eğer p = n2 +1 ise n2 = p −1’dir ve böylece p −1 elemanı Qp ’dedir. Fakat sadece p ≡ 5 (mod 6) asal iken p −1’in Qp ’de olduğu bilinir. Sonuç buradan görülür. 3.4.2. Örnek. y2 ≡ x3 + 243 (mod 1723) eliptik eğrisini ele alalım. Bu eğri üzerindeki nokta sayısı N =1764’tür. p = n2 − n +1 formülünden 1723 = 422 − 42 +1 olduğundan bu eğrinin grup yapısı C42 ×C42 dir. 62 EKLER ># y^2=x^3+a^3 (mod p) EĞRİSİ ÜZERİNDEKİ RASYONEL NOKTA SAYISINI HESAPLAMA# > restart; > p:=prime;a:=int;n:=posint;l:int; > hesapla:=proc(p,a); > n:=p+1; > for x from 0 to p-1 do > with(numtheory): > l:=legendre(x^3+a^3,p); > n:=n+l; > end do; > end proc; > hesapla(p,a); ÖRNEK > #y^2=x^3+24^3 (mod 1723) Eğrisi Üzerindeki Rasyonel Nokta Sayısını Hesaplama# > restart; > p:=prime;a:=int;n:=posint;l:int; > hesapla:=proc(p,a); > n:=p+1; > for x from 0 to p-1 do > with(numtheory): > l:=legendre(x^3+a^3,p); > n:=n+l; > end do; > end proc; Warning, `n` is implicitly declared local to procedure `hesapla` Warning, `x` is implicitly declared local to procedure `hesapla` Warning, `l` is implicitly declared local to procedure `hesapla` 63 hesapla := proc (p, a) local n, x, l; n := p + 1; for x from 0 to p − 1 do with( numtheory ); l := legendre( x^3 + a^3, p ); n := n + l end do end proc > hesapla(1723,24); Warning, the protected name order has been redefined and unprotected 1764 > # P MODUNDA İKİNCİ DERECEDEN KALANLARI HESAPLAMA# > restart; > p:=prime;x:=int;s:=int; > hesapla:=proc(p); > for x from 1 to p-1 do > with(numtheory): > s:=mroot(x,2,p); > if s<>FAIL then > print(x); > end if; > end do; > end proc; > hesapla(p); ÖRNEK >#Q31 ’i Hesaplama# > restart; > p:=prime;x:=int;s:=int; > hesapla:=proc(p); > for x from 1 to p-1 do 64 > with(numtheory): > s:=mroot(x,2,p); > if s<>FAIL then > print(x); > end if; > end do; > end proc; >hesapla(31); p := prime x := int s := int Warning, `x` is implicitly declared local to procedure `hesapla` Warning, `s` is implicitly declared local to procedure `hesapla` hesapla := proc (p) local x, s; for x to p − 1 do with( numtheory ); s := mroot( x, 2, p ); if s ≠ FAIL then print( x ) end if end do end proc Warning, the protected name order has been redefined and unprotected 1 2 4 5 7 8 9 10 14 16 18 19 65 20 25 28 > # p=1 (mod 6) ASALLARI LİSTELER # >restart; >asallistele:=proc(n); >x:=int;a:=prime;i:=int; > for i from 1 while ithprime(i)< n do > with(numtheory): > a:=ithprime(i); > x:=a mod 6; > if x = 1 then > lprint(a); > end if; > end do; >end proc; >asallistele(n); > # p=5 (mod 6) ASALLARI LİSTELER # >restart; >asallistele:=proc(n); >x:=int;a:=prime;i:=int; > for i from 1 while ithprime(i)< n do > with(numtheory): > a:=ithprime(i); > x:=a mod 6; > if x = 5 then > lprint(a); > end if; > end do; >end proc; 66 >asallistele(n); > #y^2=x^3+a^3 (mod p) EĞRİSİNDEKİ NOKTALARIN MERTEBELERİNİ BULMA# > restart; > mertebe:=proc(x1,y1,p); >x:=int;y:=int;x2:=int;y2:=int; > n:=2; > if y1<>0 then > n:=n+1; > m:=((3*x1^2)/(2*y1)) mod p; > x:=(m^2-x1-x1) mod p; > y:=(m*(x1-x)-y1) mod p; > #print([x,y],"mertebe:",n); > x2:=x;y2:=y; > while x<>x1 or y<>p-y1 do > n:=n+1; > m:=((y-y1)/(x-x1)) mod p; > x:=(m^2-x-x1) mod p; > y:=(m*(x2-x)-y2) mod p; > #print([x,y],"mertebe:",n); > x2:=x;y2:=y; > end do; > print("mertebe:",n); > else print("mertebe:",n); > end if; >end proc; > hesapla:=proc(p,a); > xgec:=int;ygec:=int;l:=int; > for xgec from 0 to p-1 do > with(numtheory); > l:=xgec^3+a^3; 67 > ygec:=msqrt(l,p); > if ygec<>FAIL then > if ygec<>0 then > print([xgec,ygec],[xgec,-ygec]); > else > print([xgec,ygec]); > end if; > mertebe(xgec,ygec,p); > end if; > end do; > end proc; > hesapla(p,a); ÖRNEK > #y^2=x^3+4^3 (mod 19) EĞRİSİNDEKİ NOKTALARIN MERTEBELERİNİ BULMA# > restart; > mertebe:=proc(x1,y1,p); >x:=int;y:=int;x2:=int;y2:=int; > n:=2; > if y1<>0 then > n:=n+1; > m:=((3*x1^2)/(2*y1)) mod p; > x:=(m^2-x1-x1) mod p; > y:=(m*(x1-x)-y1) mod p; > #print([x,y],"mertebe:",n); > x2:=x;y2:=y; > while x<>x1 or y<>p-y1 do > n:=n+1; > m:=((y-y1)/(x-x1)) mod p; > x:=(m^2-x-x1) mod p; 68 > y:=(m*(x2-x)-y2) mod p; > #print([x,y],"mertebe:",n); x2:=x;y2:=y; > end do; > print("mertebe:",n); >else print("mertebe:",n); > end if; >end proc; `Warning, \`x\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` `Warning, \`y\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` `Warning, \`x2\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` `Warning, \`y2\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` `Warning, \`n\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` `Warning, \`m\` is implicitly declared local to procedure \`mertebe\`\n` mertebe := proc (x1, y1, p) local x, y, x2, y2, n, m; x := int; y := int; x2 := int; y2 := int; n := 2; if y1 ≠ 0 then n := n + 1; m := ( 3/2×x1^2/y1 ) mod p; x := ( m^2 − 2×x1 ) mod p; y := ( m×( x1 − x ) − y1 ) mod p; x2 := x; y2 := y; while x ≠ x1 or y ≠ p − y1 do n := n + 1; m := ( y − y1 )/( x − x1 ) mod p; x := ( m^2 − x − x1 ) mod p; y := ( m×( x2 − x ) − y2 ) mod p; x2 := x; 69 y2 := y end do ; print( "mertebe:", n ) else print( "mertebe:", n ) end if end proc > hesapla:=proc(p,a); >xgec:=int;ygec:=int;l:=int; > for xgec from 0 to p-1 do > with(numtheory); > l:=xgec^3+a^3; > ygec:=msqrt(l,p); > if ygec<>FAIL then >if ygec<>0 then >print([xgec,ygec],[xgec,-ygec]); >else >print([xgec,ygec]); >end if; >mertebe(xgec,ygec,p); > end if; > end do; > end proc; Warning, `xgec` is implicitly declared local to procedure `hesapla` Warning, `ygec` is implicitly declared local to procedure `hesapla` Warning, `l` is implicitly declared local to procedure `hesapla` hesapla := proc (p, a) local xgec, ygec, l; xgec := int; ygec := int; l := int; for xgec from 0 to p − 1 do with( numtheory ); l := xgec^3 + a^3; ygec := msqrt( l, p ); if ygec ≠ FAIL then 70 if ygec ≠ 0 then print( [ xgec, ygec ], [ xgec, −ygec ] ) else print( [ xgec, ygec ] ) end if ; mertebe( xgec, ygec, p ) end if end do end proc > hesapla(19,4); Warning, the protected name order has been redefined and unprotected [ 0, 8 ], [ 0, -8 ] "mertebe:", 3 [ 8, 5 ], [ 8, -5 ] "mertebe:", 6 [ 10, 0 ] "mertebe:", 2 [ 12, 5 ], [ 12, -5 ] "mertebe:", 6 [ 13, 0 ] "mertebe:", 2 [ 15, 0 ] "mertebe:", 2 [ 18, 5 ], [ 18, -5 ] "mertebe:", 6 # Eliptik Eğri Üzerindeki Noktaların Mertebelerini Hesaplar # Visual Basic Sub Makro1() j = 2 Do While Sheets(1).Cells(j, 1) <> "son" i = 2 x1 = Sheets(1).Cells(j, 1) y1 = Sheets(1).Cells(j, 2) k = Sheets(1).Cells(j, 3) 71 a = Sheets(1).Cells(j, 4) If y1 <> 0 Then i = i + 1 m1 = (3 * x1 * x1 + a) m2 = (2 * y1) Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Do While Sheets(2).Cells(2, 1) <> 0 m1 = m1 + k Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Loop m = m1 / m2 Sheets(3).Cells(1, 1) = m Sheets(3).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[2])" m = Sheets(3).Cells(2, 1) x = m * m - x1 - x1 y = m * (x1 - x) - y1 Sheets(3).Cells(1, 2) = x Sheets(3).Cells(2, 2) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[1])" Sheets(3).Cells(1, 3) = y Sheets(3).Cells(2, 3) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[0])" x = Sheets(3).Cells(2, 2) y = Sheets(3).Cells(2, 3) x2 = x y2 = y Do While x <> x1 Or y <> (k - y1) i = i + 1 m1 = y - y1 72 m2 = x - x1 Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Do While Sheets(2).Cells(2, 1) <> 0 m1 = m1 + k Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Loop m = m1 / m2 Sheets(3).Cells(1, 1) = m Sheets(3).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[2])" m = Sheets(3).Cells(2, 1) x = m * m - x - x1 y = m * (x2 - x) - y2 Sheets(3).Cells(1, 2) = x Sheets(3).Cells(2, 2) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[1])" Sheets(3).Cells(1, 3) = y Sheets(3).Cells(2, 3) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[0])" x = Sheets(3).Cells(2, 2) y = Sheets(3).Cells(2, 3) x2 = x y2 = y Loop Sheets(1).Cells(j, 5) = i End If j = j + 1 Loop End Sub 73 Sub xolus() ' xolus Makro 'Sheets("nokta belirle").Columns("A:A").Select 'Selection.ClearContents Sheets("nokta belirle").Cells(1, 1) = "x" Sheets("grafik veri").Cells(1, 1) = "x" Sheets("grafik veri").Cells(1, 2) = "y" td = Sheets("nokta belirle").Cells(2, 2) gg = 1 sat = 2 j = 2 For md = 0 To td - 1 Sheets("nokta belirle").Cells(md + 2, 2) = td Sheets("nokta belirle").Cells(md + 2, 1) = md Sheets("nokta belirle").Cells(md + 2, 5) = md ^ 3 + a * md + Sheets("nokta belirle").Cells(2, 4) Sheets("nokta belirle").Cells(md + 2, 6) = "=MOD(R[0]C[-1],RC[-4])" ag = Sheets("nokta belirle").Cells(md + 2, 6) For yf = 0 To td - 1 For ch = 0 To td - 1 If ((yf * yf) - ch * td) = ag Then gg = gg + 1 Sheets(1).Cells(gg, 1) = Sheets("nokta belirle").Cells(2 + md, 1) Sheets(1).Cells(gg, 2) = yf Sheets(1).Cells(gg, 3) = Sheets("nokta belirle").Cells(2, 2) Sheets(1).Cells(gg, 4) = Sheets("nokta belirle").Cells(2, 3) i = 2 x1 = Sheets(1).Cells(gg, 1) y1 = Sheets(1).Cells(gg, 2) k = Sheets(1).Cells(gg, 3) a = Sheets(1).Cells(gg, 4) 74 Sheets(1).Cells(2, 2 * gg + 3) = x1 Sheets(1).Cells(2, 2 * gg + 4) = y1 Sheets("grafik veri").Cells(sat, 1) = x1 Sheets("grafik veri").Cells(sat, 2) = y1 sat = sat + 1 Sheets(1).Cells(1, 2 * gg + 3) = "x" Sheets(1).Cells(1, 2 * gg + 4) = "y" Sheets(1).Cells(i, 6) = 1 If y1 <> 0 Then i = i + 1 m1 = (3 * x1 * x1 + a) m2 = (2 * y1) Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Do While Sheets(2).Cells(2, 1) <> 0 m1 = m1 + k Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Loop m = m1 / m2 Sheets(3).Cells(1, 1) = m Sheets(3).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[2])" m = Sheets(3).Cells(2, 1) x = m * m - x1 - x1 y = m * (x1 - x) - y1 Sheets(3).Cells(1, 2) = x Sheets(3).Cells(2, 2) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[1])" Sheets(3).Cells(1, 3) = y Sheets(3).Cells(2, 3) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[0])" x = Sheets(3).Cells(2, 2) 75 y = Sheets(3).Cells(2, 3) Sheets(1).Cells(i, 2 * gg + 3) = x Sheets(1).Cells(i, 2 * gg + 4) = y Sheets(1).Cells(i, 6) = i - 1 Sheets("grafik veri").Cells(sat, 1) = x Sheets("grafik veri").Cells(sat, 2) = y sat = sat + 1 x2 = x y2 = y Do While x <> x1 Or y <> (k - y1) i = i + 1 m1 = y - y1 m2 = x - x1 Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Do While Sheets(2).Cells(2, 1) <> 0 m1 = m1 + k Sheets(2).Cells(1, 1) = m1 Sheets(2).Cells(1, 2) = m2 Sheets(2).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,R[-1]C[1])" Loop m = m1 / m2 Sheets(3).Cells(1, 1) = m Sheets(3).Cells(2, 1) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[2])" m = Sheets(3).Cells(2, 1) x = m * m - x - x1 y = m * (x2 - x) - y2 Sheets(3).Cells(1, 2) = x Sheets(3).Cells(2, 2) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[1])" Sheets(3).Cells(1, 3) = y Sheets(3).Cells(2, 3) = "=MOD(R[-1]C,'1'!RC[0])" 76 x = Sheets(3).Cells(2, 2) y = Sheets(3).Cells(2, 3) x2 = x y2 = y Sheets(1).Cells(i, 6) = i - 1 Sheets(1).Cells(i, 2 * gg + 3) = x Sheets(1).Cells(i, 2 * gg + 4) = y Sheets("grafik veri").Cells(sat, 1) = x Sheets("grafik veri").Cells(sat, 2) = y sat = sat + 1 Loop Sheets(1).Cells(j, 5) = i Else Sheets(1).Cells(j, 5) = 2 End If j = j + 1 End If Next Next Next End Sub 77 ÖRNEK y2 ≡ x3 + 103 (mod 19) eliptik eğrisi üzerindeki noktaları, bu noktaların kuvvetlerini ve mertebelerini bulunuz. x y MOD a MERTEBE KUVVET x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 1 19 10 14 1 2 1 2 18 3 1 3 18 4 0 5 2 5 17 6 0 8 7 8 12 9 0 10 9 10 10 12 7 12 12 13 9 13 10 14 1 14 18 15 9 2 18 19 10 14 2 13 9 13 10 10 9 10 10 15 10 15 9 10 9 10 10 15 9 15 10 15 9 15 10 10 9 10 10 15 9 15 10 13 9 3 1 19 10 14 3 5 2 5 17 17 2 17 17 8 7 8 12 2 18 2 1 13 10 13 9 3 18 3 1 15 10 15 9 16 2 16 17 10 10 3 18 19 10 14 4 10 9 10 10 15 9 15 10 13 10 13 9 15 9 15 10 13 9 13 10 13 9 13 10 4 0 19 10 2 5 8 12 8 7 12 12 12 7 2 1 2 18 5 2 5 17 17 2 17 17 18 12 18 7 5 2 19 10 14 6 15 10 15 9 13 10 13 9 10 9 10 10 13 10 13 9 10 10 10 9 10 10 10 9 5 17 19 10 14 7 9 0 9 0 4 0 4 0 9 0 9 0 9 0 9 0 4 0 4 0 6 0 6 0 6 0 19 10 2 8 15 9 15 10 13 9 13 10 10 10 10 9 13 9 13 10 10 9 10 10 10 9 10 10 8 7 19 10 14 9 8 7 8 12 12 7 12 12 2 18 2 1 5 17 5 2 17 17 17 2 18 7 18 12 8 12 19 10 14 10 10 10 10 9 15 10 15 9 13 9 13 10 15 10 15 9 13 10 13 9 13 10 13 9 9 0 19 10 2 11 5 17 5 2 17 17 17 2 8 12 8 7 2 1 2 18 3 1 3 18 16 17 16 2 10 9 19 10 4 12 13 10 13 9 10 10 10 9 15 9 15 10 10 10 10 9 15 10 15 9 15 10 15 9 10 10 19 10 4 13 2 18 2 1 3 18 3 1 5 17 5 2 8 12 8 7 12 12 12 7 14 18 14 1 12 7 19 10 14 12 12 19 10 14 13 9 19 10 4 13 10 19 10 4 14 1 19 10 14 14 18 19 10 14 15 9 19 10 4 15 10 19 10 4 16 2 19 10 14 16 17 19 10 14 17 2 19 10 14 17 17 19 10 14 18 7 19 10 14 18 12 19 10 14 F19 y^2=x^3 + 10^3 (mod 19) 18 2; 18 3; 18 14; 18 17 5; 17 16; 17 17; 17 16 15 14 13 12 8; 12 12; 12 18; 12 11 10 10; 10 13; 10 15; 10 9 10; 9 13; 9 15; 9 8 7 8; 7 12; 7 18; 7 6 5 4 3 2 5; 2 16; 2 17; 2 1 2; 1 3; 1 14; 1 0 4; 0 6; 0 9; 0 F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 78 KAYNAKLAR Çelik, B. 2004. Maple ve Maple ile Matematik. Nobel Yayın Dağıtım Adakale sok. No:15/2 Yenişehir. Ankara.561 s. Demirci, M., G.Soydan, İ.N.Cangül. 2005. Rational points on the elliptic curves y2 ≡ x3 + a3 (mod p) in Fp where p ≡ 1(mod 6) is prime. Rocky J. of Maths, (basımda). Kato, K., N.Kurokawa, T.Saito. 2000. Number Theory 1 Fermat’s Dream. American Mathematical Society. United States of America.154 p. Knapp, A.W. 1992. Elliptic Curves. Princeton University Press. New Jersey.427 p. Koblitz, N. 1994. A Course in Number Theory and Cryptography. Springer-Verlag New york Inc.235 p. Mollin, R. A. 2001. An Introduction to Cryptography. Chapman&Hall/CRC. United States of America.373 p. Namlı, D. 2001. Kübik Rezidüler. Doktora Tezi. Balıkesir Üniversitesi (yayımlanmamış), Balıkesir.74 s. Paillier, Pascal. 2000. Trapdooring Discrete Logarithms on Elliptic Curves over Rings. Advances in Cryptology, vol.1976, p.573-584 Schmitt, S. ve H.G.Zimmer. 2003. Elliptic Curves A Computational Approach. Walter de Gruyter. Berlin. 367 p. Silverman, J. H. 1986. The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag New York Inc. 400 p. 79 Silverman, J. H. ve J.Tate. 1992. Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag New York Inc.281 p. Washington, L. C. 2003 Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. Chapman&Hall/CRC. United States of America. 428 p. Yıldız İkikardeş, N., M.Demirci, G.Soydan, I.N.Cangül, 2005. The Group Structure of Bachet Elliptic Curves Over Finite Fp, (sunuldu). 80 İNDEKS Bachet denklemi 1 Legendre sembolü 7 Bachet eliptik eğrisi 40 Basitleştirilmiş Weierstrass Mazur teoremi 29 normal formda eliptik eğri 16 Birasyonel 13 Mordell eğrisi 30 Birim 6 Mordell teoremi 29 Büküm alt grubu 25 Mordel-Weil grubu 20 Büküm (torsion) noktası 25 Nagel–Lutz teoremi 26 Çıkıntı (cusp) 11 Normal form 9 Diskriminant 11 Rasyonel nokta 10 Düğüm (node) 11 Düzlemsel afin cebirsel eğri 10 Sıradan (ordinary) eğri 33 Siegel teoremi 31 Eliptik eğri 13 Singüler eğri 11 Eşlenik (twist) 37 Singüler nokta 11 Sonlu mertebeli nokta 25 Frobenius endomorfizmi 32 Sonsuz mertebeli nokta 25 Frobenius endomorfizminin izi 33 Sonsuzdaki nokta 10 Süpersingüler eğri 33 Hasse teoremi 34 Tate değerleri 10 İkinci dereceden kalan 6 Uzun Weierstrass normal formu 10 İkiye katlama formülü (Duplication formula) 24 Üretme seri 36 İlkel kök 6 Üçüncü dereceden kalan 7 j -değişmezi 11 Weil Teoremi 36 Zeta fonksiyonu 36 81 ÖZGEÇMİŞ 22.11.1974’te İzmir’de doğan Gökhan SOYDAN; ilk okul öğrenimini İzmir’de, ortaokul öğrenimini Konya’da, lise öğrenimini Adana’da tamamladı. 1992 yılında Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği Bölümü’nde lisans öğrenimine başladı. 1996 yılından itibaren yüksek öğrenimine Kara Kuvvetleri Komutanlığı nam ve hesabına devam etti. 1997 yılında teğmen rütbesi ile mezun oldu. Aynı yıl Balıkesir Çok Programlı Astsubay Hazırlama Okul Komutanlığı’nda matematik öğretmeni olarak göreve başladı. 1999-2001 yılları arasında Balıkesir Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nde yüksek lisans öğrenimini tamamladı. 2001 yılında Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nde doktora öğrenimine başladı. 2002 yılı atamalarında Bursa Işıklar Askeri Lisesi Komutanlığı’na matematik öğretmeni olarak atandı. Halen bu görevine devam etmektedir. 82 TEŞEKKÜR F-2003/63 ve F-2004/40 nolu projeler kapsamında yürüttüğümüz çalışmalarım esnasında karşılaştığım zorluklarda yardım ve desteğini esirgemeyen, pozitif yaklaşımları ile beni her zaman motive eden, tecrübe ve bilgisi ile yönlendiren Danışman Hocam Sayın Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL’e içtenlikle teşekkür ederim. Akademik çalımalarım esnasında tüm imkanlarını seferber eden Işıklar Askeri Lisesi Komutanlığı’ndaki sıralı amirlerime ve mesai arkadaşlarıma teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarımızı beraber yürüttüğümüz kıymetli arkadaşlarım Arş. Gör. Musa DEMİRCİ ve Arş. Gör. Nazlı YILDIZ İKİKARDEŞ, size de teşekkürler... Bu aşamaya gelene kadar maddi manevi desteklerini eksik etmeyen anneme, babama ve kardeşime de teşekkürü borç bilirim. Bu uzun ve yorucu çalışma döneminde her türlü desteğini, sabrını ve sevgisini hiçbir zaman eksik etmeyen kıymetli eşim Filiz’e ve tez çalışmalarım esnasında dünyaya gelen, çalışmalarımdan dolayı çok ihmal ettiğim kızım Begüm’e sonsuz teşekkürler...