MATEMATİKTEKİ BAZI DİZAYN ÇEŞİTLERİ Eolita SELMANAJ T. C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİKTEKİ BAZI DİZAYN ÇEŞİTLERİ Eolita SELMANAJ Prof. Dr. Basri ÇELİK (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA–2016 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi MATEMATİKTEKİ BAZI DİZAYN ÇEŞİTLERİ Eolita SELMANAJ Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Basri ÇELİK Bu çalışmanın amacı literatürde matematiksel dizaynlar hakkında var olan temel kavramları bir araya getirip, bazı örneklerle bunların kolay anlaşılır hâle gelmesini sağlamaktır. Tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm olan giriş bölümünde konunun rahat anlaşılmasını sağlamak için gerekli temel kavramlar ve bazı teoremler yer almaktadır. Üç alt başlık hâlinde düzenlenmiş olan ikinci bölümde ise matematiksel dizaynlar tanıtılıp sonlu ve sonsuz dizaynlar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Bu temel bilgiler verilen örneklerle desteklenmiştir. Son bölüm olan üçüncü bölümde parçalanabilir dizaynlar tanıtılmıştır. Bu bölüm üç alt başlık bulundurmaktadır. Önce parçalanabilir dizaynlarla ilgili genel kavramlar tanıtılmış ve daha sonra parçalanabilir dizaynların temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde son olarak parçalanabilir dizaynlar üzerinde grupların etkisi üzerinde durulmuştur. Anahtar Kelimeler: Dizayn teori, Matematiksel dizayn, Parçalanabilir dizayn 2016, iv + 65 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis SOME MATHEMATICAL DESIGN CLASSES Eolita SELMANAJ Uludag University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Basri ÇELİK (Uludag University) The aim of this work is to combine the fundamental notions about mathematical designs which exist in literature and to make them more understandable with the help of some examples. This thesis consists of three chapters. In the first chapter which is entitled as Introduction, the fundamental notions and some theorems are recalled to make the topic understandable. In the second chapter which has been organized under three subsection, mathematical designs are introduced and some information about finite and infinite designs are given. This notions are supported with given examples. In the third chapter which is the last chapter, divisible designs are introduced. This chapter has three subsections. First of all, the fundamental notions related to divisible designs are introduced and some basic properties of divisible designs are given. Also in this chapter, the group action on divisible designs is mentioned. Key Words: Design theory, Mathematical design, Divisible design 2016, iv + 65 pages. 2 ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Öncelikle yüksek lisansa başlamama vesile olan ve bu süre zarfında destek veren Yrd. Doç. Nisa ÇELİK’e şükranlarımı sunarım. Tanıdığım günden bu yana ilminden çok faydalandığım, yanında çalışmaktan onur duyduğum, tecrübelerinden faydalanırken hoşgörü, sabır gösteren ve çalışma boyunca bilgi ve deneyimleri ile yol gösteren Prof. Dr. Basri ÇELİK’e müteşekkirim. Türkiye’ye gelmeme vesile olan ve geldiğim günden bu yana maddi ve manevi hiçbir yardımını esirgemeyen kardeşim Elona SELMANAJ ER’e, eşi Şeref ER’e, nişanlım Denis MİSKU’ya ve canım aileme de özel bir teşekkürü borç bilirim. Eolita SELMANAJ 27/06/2016 3 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER iv 1. GİRİŞ 1 2. MATEMATİKSEL DİZAYNLAR 5 2.1. Genel Kavramlar 5 2.2. Sonlu Matematiksel Dizaynlar 7 2.3. Bazı Sonlu Matematiksel Dizayn Örnekleri 18 3. PARÇALANABİLİR DİZAYNLAR 22 3.1. Genel Kavramlar 22 3.2. Parçalanabilir Dizaynların Genel Özelikleri 23 3.3. Parçalanabilir Dizaynlar Üzerinde Grup Etkisi 40 KAYNAKLAR 66 ÖZGEÇMİŞ 67 4 1. GİRİŞ Bu bölümde, tezde kullanacağımız temel tanım, kavram ve gösterimler tanıtılıp, gerekli olan bazı teoremler toplu halde verilecektir. Bu bölümde yer alan soyut matematik ile ilgili konular (Çelik 2015), geometri ile ilgili konular, (Kaya 1978), (Hughes ve Piper 1985) ve (Demirtola 2000), cebir ile ilgili konular (Bayraktar 1997) ve Jacobson’dan (1989) derlenmiştir. Tez boyunca kümeler genellikle büyük ve koyu harfle ve bir A kümesinin eleman sayısı ile gösterilecektir. x ve y herhangi iki nesne iken kümesine bir sıralı ikili, x e bu sıralı ikilinin birinci bileşeni y ye de ikinci bileşeni denir ve bu sıralı ikili kısaca (x,y) biçiminde gösterilir. Sıralı ikililerden oluşan kümelere grafik adı verilir. G bir grafik iken G yi oluşturan sıralı ikililerin birinci bileşenlerinin kümesi (G), ikinci bileşenlerinin kümesi (G) ile gösterilir. A ve B kümeleri için B nin A da olmayan elemanlarından oluşan kümeye A nın B deki tümleyeni denir ve bu küme ile gösterilir. E evrensel küme iken yerine kısaca gösterimi kulanılır. 1.1 Tanım. A ve B herhangi iki küme olsun. G bir grafiktir. (G) A dır. (G) B dir. şartları sağlanıyorsa =(G,A,B) sıralı üçlüsüne A dan B ye (ya da A ile B arasında) bir bağıntı denir. A dan B ye bir bağıntısı biçiminde de gösterilir. Şimdi yukarıdaki tanıma eşdeğer bir şart ifade eden ve tanımdan daha kulanışlı olan bir teorem vereceğiz: 1.2 Teorem. A, B herhangi iki küme olsun =(G,A,B) nin A dan B ye bir bağıntı olması için gerek ve yeter şart G A B olmasıdır. 1.3 Tanım. kümesine A kümesinin köşegeni adı verilir. 5 1.4 Tanım =(G,A,B) bir bağıntı olsun. ) dir. ) dir. şartları sağlanıyorsa =(G,A,B) bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir. =(G,A,B) fonksyonu için (x,y) G ise bu biçiminde de gösterilir. 1.5 Tanım. Bir fonksyonu için şartı sağlanıyorsa ye A dan B ye birebir fonksyon adı verilir. 1.5 Tanımda yer alan şartının biçiminde de ifade edileceği aşikârdır. Hatta olmayana ergi yöntemi gereği önermesi ile x önermesi denktir. Bu nedenle fonksiyonların birebirliği birbirine denk olan bu üç şarttan herhangi bir yardımıyla gösterilebilir. 1.6 Tanım. Bir fonksyonu için: 6 şartı sağlanıyorsa ye A dan B ye örten fonksiyon adı verilir. Bu tanımda yer alan şart ile önermesinin denk olduğu aşikârdır. 1.7 Tanım. =(G,A,A) bağıntısı için, dir. dir. dir. şartları sağlanıyorsa ya A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır denir. 1.8 Tanım =(G,A,A) bir denkik bağıntısı ve keyfi bir eleman olsun. Bu durumda; [a] kümesine “a nın bağıntısına göre denklik sınıfı” veya kısaca “a nın denklik sınıfı” denir. [a] olacak biçimdeki b elemanına [a] için bir temsilci adı verilir. denklik bağıntısına göre tüm denklik sınıflarının kümesi olan kümesine A kümesinin bağıntısına göre bölüm kümesi denir ve A/ = biçiminde gösterilir. =(G,A,A) bir denklik bağıntısı iken G olması x y biçiminde de gösterilir. Bu gösterim kulanıldığında denklik sınıfları biçiminde ifade edilir. 1.9 Tanım. Verilen bir S kümesi için S S den S ye tanımlı bir fonksyona S kümesi üzerinde bir ikili işlem ya da iç işlem denir. Eğer , S üzerinde bir ikili işlem ise a,b S için ((a, b)) görüntüsü a b biçiminde gösterilir. 7 1.10 Tanım. G boş olmayan bir küme ve  , G üzerinde bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısı aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa grup adını alır.  a,b,cG için a(bc)(ab)c dir. (Birleşme özelliği geçerlidir).  a G için a e ea a olacak şekilde e G dir. (e ye birim elemanı denir. 1 1 1 1 ) a G için a a a a  e olacak şekilde a G dir. (a elemanına a nın tersi denir Eğer bir karışıklık olmayacaksa (G, ) grubu kisaca G ile gösterilir. 1.11 Tanım. ( , ) ve ( ) iki grup ve : bir dönüşüm olsun. Her a,b için = oluyorsa dönüşümüne grup homomorfizmi (veya kısaca homomorfizm) denir. homomorfizmi birebir ise ye “monomorfizm”adı verilir. 1.12 Tanim. ( , ) ve ( ) iki grup olsun Φ: 1) Φ birebir ve örtendir. 2) A için (x y) = dir. şartları sağlanıyorsa ve ye izomorf gruplar, Φ ye de ve arasında grup izomorfizmi denir. 1.13 Tanım. Elemanlarına noktalar adı verilen N ve elemanlarına bloklar adı verilen B gibi ayrık iki küme ile bunlar arasında verilen bir o bağıntısı için S=(N,B,o) üçlüsüne bir geometrik yapı (veya kısaca yapı) denir. o NxB ye ise bu yapı için üzerinde olma bağıntısı adı verilir. Genellikle noktalar büyük harflerle ve bloklar küçük harflerle gösterilir. Verilen herhangi bir blok üzerindeki noktaların kümesiyle özdeşleştirilir. Eğer P noktası y bloğun üzerinde ise yani (P,y) o ise bu P oy veya P y ile gösterilir ve bu gösterimler “P ,y üzerindedir”, “y , P yi kapsar” veya “y , P den geçer” biçiminde okunur. S (N,B,o) yapısı için N ve B sonlu ise S ye sonlu yapı denir. Yukarıdaki tanımdan anlaşılacağı üzere bir geometrik yapının her bir bloğu, üzerindeki noktaların kümesi 8 olarak yazılabilir. Bu durumda iki farklı bloğun aynı nokta kümesi ile tanımlanmamasına hiç bir neden yoktur. Aynı nokta kümelerinden oluşan bloklara sahip geometrik yapılara tekrarlı bloklu yapılar denir. Bir geometrik yapıda A ve B noktalarından geçen doğru tek türlü belliyse bu doğru AB ya da A B biçiminde gösterilir. Eğer iki farklı bloğun ortak hiç bir elemanı yoksa bu bloklara paralel bloklar denir a ve b blokları parallel iseler bu a b biçiminde gösterilir. 1.14 Tanım. Aşağıdaki aksyomlari sağlayan bir (N, D, o) geometrik yapısına afin düzlem denir: ) Her M, N , M N, noktalaı için Mo d ve N o d olacak şekilde bir tek d bloğu vardır. ) N olmak üzere her N ve her d D için N o c ve d c olacak şekilde bir tek c D bloğu vardir. ) Aynı blokta olmayan üç nokta vardır. (N, D. o) afin düzlemi kısaca (N, D. o) biçiminde gösterilir. Genel olarak düzlemlere ait bloklara doğru adı verilir. Bu nedenle daha sonra tanımını vereceğimiz projektif düzlem tanımında da “blok” yerine “doğru” ifadesi kulanılacaktır. 1.16 Teorem. Her sonlu afin düzlemi için aşağıdaki koşullara uyan bir n 2 tamsayısı vardir. (Bu tamsayıda afin düzleminin mertebesi denir.) 1) nın her doğrusu üzerinde tam olarak n tane nokta bulunur. 2) nın her noktası tam olarak n 1 tane doğru üzerindedir. 3) daki noktalarin toplam sayısı dir. 4) daki doğruların toplam sayısı dir. 1.17 Tanım. Aşağıdaki aksyomları sağlayan (N, D. o) geometrik yapısına projektif düzlem denir: 9 Her M, N N , M N için M o d ve N o d olacak şekilde bir tek d D doğrusu vardır. Her c , d D , c d için N o c ve N o d olacak şekilde en az bir N N noktası vardır. Herhangi üçü doğrudaş olmayan dört nokta vardır. 1.18 Teorem. Her sonlu (N, D. o) projektif düzlemi için aşağidaki koşulara uyan bir n pozitif tamsayısı vardır. (Bu tamsayıya ilgili projektif düzlemin mertebesi denir.): 1) nin her doğrusu üzerinde n 1 nokta vardır. 2) nin her noktasından n 1 doğru geçer. 3) deki tüm noktaların sayısı n 1 dir. 4) deki tüm doğruların sayısı n 1 dir.  10 2.MATEMATİKSEL DİZAYNLAR Bu bölümde üç alt başlık altında matematiksel dizaynlar hakkında genel bilgiler örnekleriyle birlikte verilecektir. Bu çalışmada 2.3 kısım dışındaki tüm kısımlarda kullanacağımız yapılar çoğunlukta sonlu geometrik yapılar olacaktır. Sadece 2.3 kısımda bazı sonsuz geometrik yapılar üzerinde durulacaktır. 2.1. Genel Kavramlar Bu kısımda matematiksel dizaynlar hakkında genel kavramlar ve gösterimler tanıtılacaktır. Bu kısımda vereceğimiz tüm bilgiler (Hughes ve Piper 1985) ile (Demirtola 2000)’de bulunabilir. S yapısına ait bir P noktası ve bir y bloğu için ,

ile S de P noktasından geçen bütün blokların kümesi ve ile de y bloğu üzerindeki bütün noktaların kümesi gösterilir. U herhangi bir küme iken |U| ile U kümesine ait elemanların sayısı gösterilir fakat bu çalışma boyunca |

| yerine kısaca |P| ve || yerine de |y| gösterimi kullanılacaktır. Keyfi bir sonlu S yapısının noktalarının sayısı v ve blokların sayısı b ile gösterilir. Noktalar veya bloklar kümesinin boş küme olmasının bir anlamı yoktur. Bu nedenle herhangi bir yapı için aksi belirtilmedikçe v 0 ve b 0 olduğu kabul edilecektir. Eğer S tekrarlı bloklu bir yapı ise tekrar eden blokların her birinden biri hariç diğerlerini atarak yeni bir yapı elde edebilir. Yani bloklar kümesi üzerinde “= ise xRy” biçiminde tanımlı R denklik bağıntısı yardımıyla S/R bölüm kümesi elde edilebilir. Bu durumda S/R bölüm kümesine indirgenmiş yapı denir. Bir x elemanının bu denklik bağıntısına göre denklik sınıfındaki eleman sayısına x in katlılığı denir. Katlılığı birden büyük olan blokların tekrarlı blokların olacağı aşikârdır. S/R yapısının noktaları S nin noktaları ile aynıdır, blokları ise S nin bloklarının denklik sınıflardır. P noktasının x bloğunun denklik sınıfında olması, S yapısında P noktasının x bloğunda olmasına karşılık gelir. 11 S yapısının bir elemanı diğer elemanlarından hiç birinin üzerinde değilse veya bir tanesi üzerinde ise bu elemana ayrık eleman denir. S nin mümkün tüm elemanları üzerinde olan bir elemanı varsa , bu elemana tam eleman adı verir. Bir S yapısının tüm tam elemanları ve tüm ayrık elemanları atılarak bulunan yapısına (Bu boş yapı da olabilir) S den elde edilen standartlandırılmış yapı adı verilir. Hem standartlandırılmış hem de indirgenmiş bir yapıya tam standartlandırılmış yapı denir. Yani tam standartlandırılmış yapıda tekrarlı bloklar , ayrık elemanlar ve tam elemanlar yoktur. Blokların kümesi boş olmayan ve her bir bloğu tam olarak k 0 adet noktadan oluşan bir S yapısına blok düzenliliği k olan yapı veya kısaca blok düzenli yapı denir. Noktaları kümesi boş olmayan ve her bir noktadan tam olarak r>0 adet blok geçen S yapısına nokta düzenliği r olan yapı veya kısaca nokta düzenli yapı denir. Tanımdan k ve r nin sonsuz da olabileceği aşikârdır. S , v noktalı bir yapı olsun. S nın her t noktalı bir kümesi tam olarak  adet blok üzerinde olacak şekilde  ve 0 tamsayıları varsa S ye  ya gore t-yapı denir. v noktaların sayısını ve  ise t noktanın üzerinde bulunduğu blokların sayısını göstermek üzere , k noktalı bloklardan oluşan blok düzenli bir t-yapıya bir t-(v,k, ) yapı veya (v,k, ) ya gore ((v,k, ) için) bir t-yapı denir. Burada k, r,  ’ nın değerlerin sonsuz da olabilir. Bununla birlikte özellikle t-(v,k, ) yapılarda tüm değerlerin sonsuz olması durumu üzerinde çalışma değer görülmemektedir. Biz 2.3 kısmında bazı sonsuz t-yapı örnekleri vereceğiz. Tanımından dolayı herhangi blok düzenli yapının boş olamayacağı aşikârdır. Ayrıca herhangi bir t-(v,k, ) yapısının blok düzenli olduğu da aşikârdır. Blok düzenli bir indirgenmiş yapıya dizayn denir. Bır t-yapı aynı zamanda bir dizayn ise bu yapıya t-dizayn adı verilir. S ve T iki yapı olsun , S nin noktalarından T nin noktalarına ve S bloklarından T nin bloklarına birebir ve örten : S dönüşümü için “Pox(P)o(x)” şartı sağlanıyorsa ya S ve T yapıları arasında bir izomorfizm denir. S den T ye bir 12 izomorfizm varsa S ve T ye izomorf yapılar denir ve S T biçiminde göstrilir. Yapılar arasında izomorf olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bir yapıdan kendisi üzerine izomorfizmlere otomorfizm adı verilir. S ve T iki yapı olsun. S nin noktalarını T nin bloklarına ve S nin bloklarını T nin noktalarına dönüştüren ve üzerinde olmayı koruyan birebir örten bir dönüşüme S den T ye bir anti-izomorfizm denir. S yapısınından kendisi üzerine tanımlı bir anti-izomorfizme bir korelasyon denir. v=b olmadığında yani karesel yapı üzerinde çalışılmadığında, herhangi bir S yapısı bir korelasyona sahip olamaz. Aşağıdaki önermenin doğru olduğunu göstermek zor değildir. 2.1.1. Önerme. , S den T ye bir anti-izomorfizm ve , T den S ye bir anti- izomorfizm ise , S yapısı için bir otomorfizmdir. 2.1.2. Sonuç. 2.1.1 önerme S nin iki korelasyonunun bileşkesinin bir otomorfizm olduğunu ifade etmektedir. Eğer korelasyonu için özdeşlik dönüşümü ise ya kutupluk (polarite ) adı verilir. 2.2 Sonlu Matematiksel Dizaynlar Bir dizaynda nokta ve bloklar kümesi sonlu ise bu dizaynlara sonlu dizayn denir. Bu kısımda sonlu dizaynlarla ilgili (Hughes ve Piper 1985) ile (Demirtola 2000)’de yer alan bazı kavramlar yeniden düzenlemiş ve kavramların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı örnekler verilmiştir. Aşağıdaki verilecek yöntemi kullanarak, sonlu dizaynların bir matrisle özdeşleştirilmesi mümkündür. v, b 0 olmak üzere S , v noktalı b bloklu sonlu bir yapı olsun ve bu yapının noktaları P1, P2,..., Pv , blokları x1, x2,.., xb ile gösterilsin. Bu durumda noktası xj bloğu üzerinde ise aij , üzerinde değilse aij özelliğindeki , vxb tipinden A ( aij ) matrisine S yapısının üzerinde olma matrisi denir. 13 A üzerine olma matrisi yardımıyla S hakkındaki tüm bilgiler (izomorfizm farkıyla) anlaşılabilir. Tüm girdileri 0 ya da 1 olan matrise (0,1) matris denir. Herhangi bir üzerinde olma matrisinin (0,1) matris olduğu aşikârdır. Üzerinde olma matrisi yapı tarafından tek türlü belli değildir. Noktaların ve blokların indislenmesine bağlı olarak üzerinde olma matrisi değişir. Farklı indisleme farklı matrisleri verir. Aynı bir S yapısının farklı üzerinde olma matrisleri arasında aşağıda gibi yakın bir ilişki vardır: Bir S yapısının nokta ve bloklarının sırasıyla P1, P2,..., Pv ve x1, x2,..., xb isimlendirmesine göre elde edilmiş üzerinde olma matrisi A ve nokta ve doğrularının ,…, ve , ,…, isimlendirmesine göre elde edilmiş üzerinde olma matrisi B olsun. Bu durumda her , lerden biridir. Bu nedenle kümesi üzerinde bir permütasyonu olacak şekilde vardır. Yani herhangi bir i için B nin i-yinci satırı A nın -yinci satırıdır. Benzer düşünce bloklar için de uygulanabilir. Bu aşağıdaki önermenin doğru olduğunu gösterir: 2.2.1. Önerme. A ve B bir S yapısının iki üzerinde olma matrisi ise PAQ olacak şekilde P ve Q permütasyon matrisleri mevcuttur. 2.2.1 Önerme bir S yapısının herhangi iki üzerinde olma matrisinin denk olduğunu ve dolayısıyla bu matrislerin aynı ranka sahip olduklarını ifade eder. Bu özellik S yapısının rankının , üzerinde olma matrislerinden herhangi birinin rankı olarak tanımlanabilmesi sağlar. S yapısının rankı , rank S ile gösterilir. Bir yapının üzerinde olma matrisi, yapı hakında önemli bilgiler verir. noktaları ve blokları ile verilen S yapısının üzerinde olma matrisinin i- yinci satırındaki sıfırlar noktasından geçmeyen blokları temsil eden sütünları belirtir. Bu nedenle yapının bir ayrık elemanı üzerinde olma matrisinde en fazla bir tane sıfırdan 14 farklı elemanı olan bir satırın (ya da sütünün ) oluşmasına yol açar. Benzer olarak bir tam eleman bütün girdileri 1 olan bir satırın (ya da sütunun) oluşmasına yol açar. Son olarak üzerinde olma matrisinde iki özdeş sütunun olması, yapıda bir tekrarlı bloğun olması demektir. Bu nedenle , bir A (0,1) matrisi için eğer ; i) Her satırda ve sütunda en az bir tane 0, en az iki tane 1 vardır. ii) İki özdeş sütunu yoktur. şartları sağlanıyorsa, A tam standart bir yapının üzerinde olma matrisidir. Eğer bir S yapısındaki nokta ve blok sayısı eşit ise (yani b=v ise), S nin üzerinde olma matisleri kareseldir. Bu nedenle b=v özelliğindeki bir yapıya karesel yapı adı verilir. Nokta ve blok düzenli 1- yapının karesel olması için gerek ve yeter şart k=r olmasıdır. Eğer bir yapının üzerinde olma matrisinin tüm sütunları farklı , fakat sütunlarının toplamı aynı ise bu yapının dizayn olduğu anlaşılır. Tanımdan anlaşılacağı gibi bir dizaynın her bir bloğu, noktaların farklı bir alt kümesi olarak tanımlanmalıdır. Eğer S, (v,k, ) için bir t-dizayn ise S ye kısaca t-(v,k, ) dizayn denir. t,v,k, nın keyfi seçimleri için t-(v,k, ) dizaynların olmayabileceği aşikârdır. Bununla birlikte, verilen  v  t herhangi t,v,k ; 0≤t≤k≤v için bir t-v,k,   dizayn vardır ve bu dizayn verilen  k  t   v noktalı kümenin mümkün her k noktalı alt kümesinin bir blok olarak isimlendirilmesiyle elde edilir. Böyle dizaynlara aşikâr dizaynlar denir. Daha genel olarak blok düzenliliği k olan bir yapının noktalarının her k-kümesi en az bir blok üzerinde ise bu yapıya aşikâr yapı adı verilir. S blok düzenliliği k olan bir dizayn ise S nin aşikâr yapı olması için gerek ve yeter şart 0 özeliğindeki bütün t ler için S nin bir t-dizayn olmasıdır. Bir S yapısı yardımıyla yeni bir takım yapılar inşa edilebilir. Bunlardan iki tanesini kısaca tanıtacağız. Bunlardan biri T(S) ile gösterilen S nin tümleyen yapısıdır. T(S) 15 nin noktaları S nin noktalarıdır ve S nin her bir x bloğu için T(S) yapısında bir bloğu vardır. Bir P noktasının bloğunda olması için gerek ve yeter şart P nin x bloğunda olmamasıdır. Bir S=(N,B,o) geometrik yapısı için ve {| N N} olacak şekilde elde edilen yapısına S yapısının duali denir. S yapısının üzerinde olma matrisi A iken yapısının üzerinde olma matrisi , A nın transpoz matrisidir. Basit bir sayma tekniğini iki farklı türden uygulamak suretiyle doğru olduğu gösterilebilen, ispatı (Hughes ve Piper 1985) ile (Demirtolla 2000)’de bulunabilecek bir teorem ile bu kısmın kavram ve teoremlerini sonlandırıyoruz. 2.2.2. Teorem. Eğer S , (v,k,λ) için bir t-yapı ise 0≤s≤t özelliğindeki herhangi bir s tamsayısı için S de herhangi s nokta üzerinde olan blokların sayısı λs ile gösterilir ve λs = olur. Şimdi bu bölümde tanıttığımız kavramlara ve özeliklere örnekler vereceğiz. 2.2.3. Örnek. Noktaların kümesi ve ABC} BDE} CDM} DFH} EHM} ADJ} BGH} CEJ} DGK} FJK} AHİ } BKL} CFİ} DİL} GJM} AEK} BFM} CHK} EFL} HJL} AFG} BİJ} CGL} EİG} İKM} 16 olmak üzere blokları kümesi olarak alınsın. Bir noktası ve bloğu için x noktasının bloğunda olması x olması olarak tanımlansın. Bu durumda elde edilen yapı hem bir 2-(14,3,1) dizayndır. 2.2.4. Örnek. S noktaları kümesi ve blokları b1 = , b2 = , b3 = , b4 = , b5 = olan bir yapı olsun. Bu taktirde S nin üzerinde olma matrisi 1 1 1 1 1   1 0 1 0 1   1 0 1 0 1   A= 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1   0 1 0 1 0 0 1 0 1 0  olur. Her blokta aynı sayıda nokta bulunmadığından S blok düzenli değildir. 1 noktası bütün bloklarda olduğu ve 6 noktası sadece b2 ve b4 te olduğu için yapı nokta düzenli değildir. Üstelik, ={b1,b3,b5} olduğundan b1 in katlılığı 3 ve ={b2,b4} olduğundan b2 nin katlılığı 2 dir. Bu, S nin dizayn olmadığını gösterir. S/R nin 2 bloğu vardır : b1= ve b2 = S/R indirgenmiş yapıdır. Bu yapıda 2,3,4,5,6,7 ayrık elemanları olduğu için boş kümedir. 2.2.5. Örnek. N= ve b1 = , b2 = , b3 = , b4 için B={b1,b2,b3,b4} olmak üzere verilen S=(N,B,o) yapısının üzerinde olma matrisi 17 1 0 0 1   1 0 1 0   0 1 0 1   1 0 0 0 A =   1 1 0 0   0 0 0 0 0 1 1 0   0 0 1 1 dir. 6 noktası hiç bir bloğun üzerinde olmadığından ve 4 noktası sadece b1 üzerinde olduğundan ayrık noktalardır. 4 ve 6 noktaları atıldığında geriye N1= nokta kümesi kalır. Bu durumda bloklar : = , = , = , olur ve B ={ 1 } olmak üzere elde edilen S1=(N1,B1,o) yapısının üzerinde olma matrisi 1 0 0 1   1 0 1 0   0 1 0 1 A1=   . 1 1 0 0 0 1 1 0   0 0 1 1 olur. S1 yapısında ayrık ve tam eleman olmadığından S1 standartlandırılmış bir yapıdır. Tüm blokları üç noktalı olduğundan S1 yapısı blok düzenlidir. S1 aynı zamanda indirgenmiş bir yapı olduğundan bir dizayn örneğidir. 2.2.6. Örnek. Bu örnekte (0,1) matrisine karşılık gelen yapıyı ve bu yapının tam standartlandırılmış formunu bulacağız. Verilen 1 0 1 0   0 0 0 0   A= 1 1 1 1   0 1 1 0 0 0 1 1 18 5x4 tipinden matrisine ve karşılık gelen yapıyı oluşturalım. Oluşturacağımız yapının noktaları sayısının 5 ve blokları sayısının 4 olacağı A matrisinin tipinden bellidir. Noktalarını olarak isimlendirelim, bloklarını ise A matrisinin sütunlarına uygun olarak: b1 = , b2= , b3= , b4= seçelim. B={b1,b2,b3,b4} olmak üzere S=(N,B,o) yapısının üzerinde olma matrisi A dir. Bu yapıda tekrarlı blok yoktur. 2 noktası hiç bir bloğun üzerinde olmadığından ayrık elemandır. 3 noktası bütün blokların üzerinde olduğundan tam elemandır. Başka ayrık ve tam eleman yoktur. Ayrık ve tam elemanlar atıldığında = , = , = , = olmak üzere , yapısı elde edilir. yapısında ve 5 noktaları tek bir bloğun üzerinde olduğundan ayrık elemanlardır. Tam eleman yoktur. den ayrık elemanları atıldığında ve olur ve yapısı S den elde edilen tam standart yapıdır. 2.2.7. Örnek. Verilen 5x5 tipinden 1 0 1 0 1   1 1 0 0 0   A= 1 1 1 1 0   0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 matrisinin satır ve sütün sayısı aynı olduğundan A ya karşılık gelen yapı karesel bir yapıdır. Noktaların kümesi bloklar da b1 = , b2= , b3= , b4 = , b5 = olmak üzere S=(N,B,o) yapısı A ya karşılık gelen yapıdır. S nin blok düzenli olduğu aşikârdır. Tekrarlı bloklar, tam ve ayrık elemanlar olmadığından bu yapı tam standartlandırılmış bir yapıdır. Bu nedenle bu yapı blok düzenli ve indirgenmiş bir yapı olarak bir dizayn örneğidir. 2.2.8. Örnek. S ve T iki yapı olsun. S nın noktaları ve blokları b1 = , b2= , b3= , b4 = , b5 = . T nin noktaları blokları 19 c1 = , c2= , c3= , c4 = , c5 = olsun. Bu yapıların üzerinde olma matrisleri sırasıyla: 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 1 0 0 1     A= 0 1 0 0 1 , B= 0 0 1 0 1     0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 olur. Tüm nokta ikililerinden bir blok geçtiğinden S ve T 2-yapı örnekleridir. Fakat blok düzenli olmadığından 2-Dizayn değildirler. S ve T nin noktaları aynıdır ama farklı indislemeye göre farklı matrisleri bulunmaktadır. Dolayısıyla B matrisi A nın satırları permüte edilerek bulunabilir. Bu nedenle kümesi üzerinde bir permütasyonu  olacak şekildeki permütasyonu = dir. permütasyonuna karşılık gelen permutasyon matrisi ise 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0   P= 0 0 0 1 0   0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 olur. Bu durumda PA matrisi hesaplandığında 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1       0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1       PA  0 0 0 1 0 0 1 0 0 1  0 0 1 0 1  B       0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 olduğu bulunur. 20 Şimdi T yapısının tümleyenini oluşturalım. Tümleyenin notaları T nin noktaları ile aynı olacağından N={1,2,3,4,5} olur. T nin her bir doğrusunun N deki tümleyeni olan tümleyen yapının bir doğrusunu vereceğinden, tümleyen yapının bloklarının ={2,3,4} , ={1,3,4} , ={1,2,4} , ={1,2,3} , ={5} olduğu elde edilir. Buradan, T nin tümleyen yapısının üzerinde olma matrisinin 0 1 1 1 0   1 0 1 1 0   C= 1 1 0 1 0   1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 olduğu görülür. T nin üzerinde olma matrisi olan B ile T nin tümleyen yapısının üzerinde olma matrisi olan C nin toplamının 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1   B C= 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 olduğu bulunur. 2.2.9. Örnek. S yapısı noktalarının kümesi N= ve blokları b1= , b2= , b3= , b4= , b5= , b6= , b7= , b8= , b9= , b10= , b11= , b12= , b13= , b14= , b15= olan bir yapı olsun. Her bloğu 4 noktalı olduğundan S blok düzenli bir yapıdır. Her 4 noktadan 1 blok geçtiğinden S bir 4-(6,4,1) yapıdır. Teorem 2.2.2 kulanarak 0| N N} olacak T T T T şekilde elde edilen S =( N ,B ,o) yapısı S yapısının dualidir. Bu nedenle N ={b1,b2,b3} olur. S de 1, 2, 3 ve 4 noktalarından geçen blokların kümesi sırasıyla d1={b1,b2}, d2={b2,b3} , d3={b1,b3}, d4={b3} olduğundan, dual yapının blokları kümesi B={d1,d2,d3,d4} olur. 2.2.12. Örnek. Noktaları kümesi N= ve blokları b1= , b2= , b3= , b4= , b5= olan S yapısını göz önüne alalım. Bu yapının blok ve nokta düzenliliğinin 2 olduğu aşikârdır. Bu nedenle S, 1-(5,2,2) dizayndır. Şimdi S nin noktalarını, S nin bloklarına ve S nin bloklarını , S nin noktalarına dönüştüren aşağıdaki korelasyonunu göz önüne alalım. : 1 b3 2 b1 3 b4 4 b2 5 b5 2 Bu örnekte nın bir kutupluk olduğunu göstereceğiz. dönüşümü için =i olduğu açıktır. O halde geriye sadece nın üzerinde olma bağıntısını koruduğunu göstermek kalır. 1 b1 için (1)=b3 , (b1)=2 olup 2 b3 olduğundan (b1) (1) 3 b1 için (3)=b4 , (b1)=2 olup 2 b4 olduğundan (b1) (3) 3 b2 için (3)=b4 , (b2)=4 olup 4 b4 olduğundan (b2) (3) 5 b2 için (5)=b5 , (b2)=4 olup 4 b5 olduğundan (b2) (5) 5 b3 için (5)=b5 , (b3)=1 olup 1 b5 olduğundan (b3) (5) 23 2 b3 için (2)=b1 , (b3)=1 olup 1 b1 olduğundan (b3) (2) 2 b4 için (2)=b1 , (b4)=3 olup 3 b1 olduğundan (b4) (2) 4 b4 için (4)=b2 , (b4)=3 olup 3 b2 olduğundan (b4) (4) 1 b5 için (1)=b3 , (b5)=5 olup 5 b3 olduğundan (b5) (1) 4 b5 için (4)=b2 , (b5)=5 olup 5 b2 olduğundan (b5) (4) olduğundan üzerinde olmayı korur , dolayısıyla bir kutupluktur. 2.3 Bazı Sonsuz Matematiksel Dizayn Örnekleri Bu kısmında Öklid düzlemi ve Öklid uzayından esinlenerek iki sonsuz matematiksel dizayn örneği vereceğiz. 2.3.1. Örnek: Öklid düzlemi bir sonsuz dizayn örneğidir. Öklid düzleminin noktalar kümesi doğrular kümesi ve Öklid düzleminde bir noktanın bir doğru üzerinde olması biçiminde tanımlıdır. Tanımdan hemence görüleceği gibi olur ve bu nedenle tipinden doğrular, üzerinde sonsuz sayıda nokta bulundurur. 24 olması gerektiğinden önermesi doğrudur. Bu her bir doğrusunda sonsuz sayıda nokta bulunduğunu gösterir. N nin tüm farklı nokta ikililerinden bir tek doğru geçtiği gösterilirse yapının bir 2-dizayn olduğu gösterilmiş olur. Bu nedenle şimdi, Öklid düzleminde alınan noktalarından bir tek doğru geçtiğini gösterelim. ise olur ve bu olduğunu gösterir ki olması ile çelişir. Bu nedenle iken ve den tipinden doğru geçmez. olduğu bulunur. Yani doğrusu ve den geçen doğrudur. ise olur ki bu olmasıyla çelişir. Bu nedenle olduğu bulunur. olması durumunda taraf tarafa çıkarma yapılırsa olduğu bulunur ve olduğundan ile bölme yapılarak 25 eşitliği bulunur. Bulunan bu değeri eşitliğinde yerine yazılarak olduğu elde edilir. Buradan olduğu bulunur. Yani; doğrusu, ve noktalarından gecen doğrudur. Böylece bu dizayn örneğinde olup için olduğu bulunur. 2.3.2. Örnek. Öklid uzayında noktalar kümesi ve bloklar kümesi olarak alınsın. Bir noktasının bir bloğu üzerinde olması uzayında “ doğrusunun düzlemine ait olması” olarak tanımlansın. 26 • B • _ A 1 • O Şekil 2.1. te orijinden geçen doğru ve orijinden geçen düzlem ve olsun. Tanım gereği ve , O=(0, 0) dan geçen ün doğrularıdır. te her bir doğru üzerinde sonsuz çoklukta nokta var olduğundan doğrusu üzerinde O dan farklı bir A, doğrusu üzerinde O dan farklı bir B noktası almak mümkündür. O, A, B noktaları te doğrudaş değildir (aksi halde ve te aynı doğrular olurdu ki bu anlamına gelir). Doğrudaş olmayan üç noktadan te bir tek düzlem geçeceğinden O, A, B noktaların bir tek düzlemi geçer. O, A olduğundan te OA= doğrusu üzerindeki tüm noktalar üzerindedir. Benzer biçimde O, B olduğundan, OB= doğru üzerindeki tüm noktalar üzerindedir. Yani te düzlemi O yu ve ve yi bulundurur. Bu nın ve den geçen bir blok olduğunu gösterir. , O dan geçen ün bir düzlemi olsun. Bu durumda üzerindeki tüm noktalarla O yu birleştiren doğrular sonsuz çoklukta olup bu doğrular yapımızda birer nokta olduğundan her bir bloğunda sonsuz çoklukta nokta vardır. 27 3. PARÇALANABİLİR DİZAYNLAR 3.1. Genel Kavramlar Bir spor müsabakasında toplam v oyuncu yer aldığını ve her bir takımın s oyuncudan oluştuğunu farz edelim. v= s= 0 olma durumu anlamsız olduğundan v 0 ve s 0 olduğunu kabul edelim. Toplam oyuncu sayısı, v ve her takımdaki oyuncu sayısı s olduğundan müsabakaya katılan takım sayısının v/s olduğu bulunur. Bu nedenle v/s bir tamsayı olmalıdır. Bir müsabaka için en azından 2 takım gerekli olduğundan v/s 2 olması gerektiği bulunur. Müsabakaların farklı oyunlardan oluştuğunu, her oyunda farklı takımlardan gelen oyuncunun birbirine karşı oynadığını farz edelim. Takımlardan birinin en kuvvetli oyuncularını belirleyip devamlı olarak oyunlarda bu oyunculara yer vermesini önlemek maksadıyla; farklı takımlardan gelen her bir oyuncu ikilisinin birbiriyle oynamaları gereken oyun sayısının belli bir sayısı kadar olması gerektiği şartını koyalım. Bu, takımlardan birinin diğerine karşı bir avantaj sağlamasını önlemek için konulmuş bir şarttır. Bu spor müsabakasında ki her bir oyuncuya bir nokta, her bir takıma bir sınıf, her bir oyundaki oyuncu kümesine bir blok gözüyle bakılırsa bir geometrik yapı elde edileceği aşikârdır. Aslında bu geometrik yapı, tanımını daha sonra vereceğimiz v noktalı bir 2-(s,k, ) parçalanabilir dizayndır. bir sonlu küme ve bir denklik bağıntısı olsun. X in R denklik bağıntısına göre bölüm kümesi := ile gösterilsin. Her için 1 şartı sağlanıyorsa in alt kümesine -transversal küme denir. Tanımdan anlaşılacağı üzere bir R-transversal küme iken bütün denklik sınıfları ise kesişmek zorunda değildir ve kesiştiği denklik sınıfları da sadece bir tek noktada kesmek zorundadır. 28 2.1 Kısımda matematiksel dizaynlar tanıtılmış ve blok düzenli indirgenmiş bir ( , ,o) yapısına dizayn adı verilmişti. Şimdi, literatürde genel olarak noktalar kümesi üzerinde bir R denklik bağıntısı ve R yardımıyla elde edilen bölüm kümesi kullanılarak tanımlanan parçalanabilir dizayn tanımını vereceğiz. 3.1.1 Tanım. Eğer t, s, k, pozitif tamsayılar için aşağıdaki aksyomları sağlanan bir üçlüsü varsa ye parçalanabilir dizayn adı verilir: A) Her için dır ve nin her bir elemanı in R-transversal altkümesidir. B) Her için s dir. C) in t elemanlı her Y, R-transversal altkümesi için nin Y yi bulunduran elemanı vardır. D) iken dir. bir parçalanabilir dizayn iken in elemanları nokta, nin elemanları blok ve nin elemanları nokta sınıfları olarak isimlendirilir. Genelde “parçalanabilir dizayn” ifadesi için kısaca “PD” ifadesini kullanacağız ve bazen t, s, k, parametrelerini yazmadan “t, s, k, parametrelerine sahip parçalanabilir dizaynı” ifadesi yerine kısaca t-PD yazacağız. Tanımdan anlaşılacağı üzere parçalanabilir dizaynlarda da bloklar kümesinin birer altkümesidir. Tekrarlı bloklara sahip PD ler bu çalışmada dikkate alınmayacaktır. kümesi R denklik bağıntısından elde edildiğinden ve tersine, her bir R denklik bağıntısından bölüm kümesi elde edilebileceğinden PD ler üçlüsü yerine üçlüsü ile de gösterilir. 3.2. Parçalanabilir Dizaynların Temel Özelikleri Şimdi keyfi bir t-(s,k, )-PD için geçerli olan bazı özelikleri vereceğiz. s, t 1 olduğundan D) aksiyomu gereği (3.1) 29 olduğu bulunur ki bu olduğu anlamına gelir. Bu sonucu ve B) yi kullanarak (3.2) olduğu elde edilir. Bu nedenle en azından in gibi bir -transversal t-altkümesi vardır. Bu durumda C) den dolayı altkümesi blok içerisinde yer alır, ki bu olduğunu gösterir. Buradan olduğu bulunur. A) aksiyomu ile (3.2) kullanıldığında her için (3.3) sonucu elde edilir. Her bloğu tüm nokta sınıfları ile kesişen PD lere transversal PD denir. Aksi taktirde PD ye düzenli (regüler) PD adı verilir. Daha önce verilen transversal küme tanımı ile transversal dizayn tanımı karıştırılmamalıdır. Parçalanabilir dizaynlar ile ilgili kavramlar için terminolojide farklı kullanımlar mevcuttur. Örneğin “nokta sınıfı” yerine “nokta grubu” denip PD ye grup parçalanabilir dizayn ismini veren çalışmalar bulunmaktadır. Literatürde cebirsel bir terim olan grup terimini biraz değiştirerek bu kavram yerine “groop-parçalanabilir dizayn” ifadesini kullanan bazı kaynaklar da mevcuttur. D) de yer alan ifadesinde eşitlik durumu geçerli iken, yani iken C) de yer alan nin değeri 1 olur. Eğer ise C) de yer alan değeri anlamsız olur. Çünkü olacak biçimde bir , R-transversal kümesi bulunamaz. PD için ise D) den dolayı olur. (3.1)’den dolayı olduğundan dır. Bu nedenle olduğu anlaşılır. Bu olacağını ve 30 olduğunu gösterir. ve özeliğindeki PD ler üzerinde çalışılmaya değer görülmeyen PD lerdir. Şimdi bazı parçalanabilir dizayn örnekleri vereceğiz. 3.2.1 Örnek. Şekil 3.1 ile verilen Pappus Konfigurasyonunu göz önüne alalım. Bu konfigürasyon reel projektif düzlemde 9 noktalı ve 9 doğrulu bir konfigurasyondur. Bu örnekte, Pappus konfigurasyonundan bir 2-(3,3,1) PD elde edeceğiz. Şekil 3.1 Pappus Konfigürasyonu Şekil 3.1 de verilen yapıyı, : {{ },{ },{ },{ }, ,{ },{ },{ }} {{ } ,{ } , { }} olmak üzere olarak alalım ve nin bir t-PD olduğunu gösterelim. olur. nin tüm elemanları 3 noktalı olduğundan k=3 olduğu aşikârdır. R bağıntısını, nin elemanlarını denklik sınıfları olarak kabul eden denklik bağıntısı olarak alalım. Bu durumda nin her bir elemanı ve lerden sadece birer tane bulundurduğundan nin tüm elemanları R-transversaldır. Yani A) sağlanır. B) nin sağlandığı, nin her bir elemanının 3 elemanlı bir küme olmasından bellidir. Yani 31 tür. in 2 elemanlı tüm R-transversal altkümeleri (ki bu altkümeler 27 adettir) ve bu altkümeleri bulunduran bloklar aşağıda gösterilmiştir: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } } } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 32 Böylece C) nin sağlandığı görülür. olup 2 olduğundan D) nin sağlandığı aşikârdır. A), B), C) ve D) nin tümü sağlandığından, örnekte verilen ( , ) üçlüsü bir 2-(3,3,1) PD dir. 3.2.2 Örnek. Bu örnekte 3-boyutlu Öklid uzayında Şekil 3.2.’deki verilen 8-yüzlü yardımıyla bir PD oluşturacağız. olarak 8-yüzlünün köşelerinin kümesini alalım. Yani olsun. Bu nedenle olur. E D C A B F Şekil 3.2. Sekizyüzlü Eğer te alınan p ve q noktaları sekizyüzlünün karşılıklı köşeleri ise pRq olacak biçimde bir R bağıntısı tanımlayalım. Yani { sekizyüzlünün karşılıklı köşeleri} olsun. Bu durumda {{E,C,D}, {E,C,B},{E,B,A},{E,A,D},{F,A,B},{F,B,C}, } olmak üzere ( ) üçlüsünün bir 3-(2,3,1) PD olduğu 3.2.1 Örnekte yapılan işlemlerin benzerleri yapılarak kolayca görülür. 33 3.2.3 Örnek. Şimdi 3 mertebeli projektif düzlemin bir 2-(1,4,1) PD olduğunu göstereceğiz. 3 mertebeli projektif düzlem Şekil 3.3.’te gösterilmiştir. Bu şekilde yer alan 13 nokta projektif düzlemin noktaları olup Şekil 3.3.’te verilen bir eğri üzerindeki nokta dörtlüleri projektif düzlemin doğrularını göstermektedir. Her nokta bir denklik sınıfı olarak ele alındığında, ve , , , , , , , , , , olmak üzere, } kümeleri için Şekil 3.3 te verilen projektif düzleme karşılık gelen yapı ( , ) yapısı olur. Burada projektif düzlemin noktaları noktalar, doğruları bloklar olarak göz önüne alınmıştır. Bu nedenle 13 nokta ve 13 blok vardır. Blokların her biri noktalıdır. Her bir nokta, bir nokta sınıfı olarak alındığından 1 dir. Şekil 3.3 ile verilen projektif düzlemin tüm doğruları 4 noktalı olduğundan bu projektif düzlemin mertebesinin 3 olduğu anlaşılır. Projektif düzlemlerde iki noktadan bir tek doğru geçtiğinden Şekil 3.3 te verilen yapının 2-(1,4,1) PD olduğu bulunur. 34 Şekil 3.3. Üç mertebeli projektif düzlem Şimdi projektif düzlemin noktalar kümesinden bir noktayı, mesela noktasını çıkaralım. Böylece elde edilen yeni yapının şekli Şekil 3.4.’teki gibi olur. Şekil 3.4. Bir noktası çıkarılmış üç mertebeli projektif düzlem Nokta sınıflarını ise Şekil 3.4.’te daha koyu olarak verilen nokta üçlülerinin kümeleri olarak tanımlayalım. Yani 4 farklı nokta sınıfı bulunsun ve 3 olsun. Koyu olarak verilen doğruların dışında kalan 9 doğru ise bloklar olarak alınsın. Böylece elde edilen yapının bir 2-(3,4,1) PD olduğu, 3.2.1.Örnekteki işlemlere benzer işlemler yapılarak gösterilebilir. 35 Eğer Şekil 3.3 ile verilen projektif düzlemin bir doğrusu, mesela üzerindeki noktalarla birlikte atılırsa geriye Şekil 3.5.’teki gibi bir yapı kalır ve bu yapı mertebesi 3 olan bir afin düzlemdir. Şekil 3.5. Bir doğrusu üzerindeki noktalarla birlikte atılmış 3 mertebeli projektif düzlem doğrusu ve üzerindeki noktalar atıldıktan sonra geriye kalan 12 doğrunun tümü bloklar olarak ve her bir nokta bir nokta sınıfı olarak alınsın. Bu durumda elde edilen yapının bir 2-(1,3,1) PD olduğu gösterilebilir. Son olarak Şekil 3.5 ile verilen afin düzlemin doğruları kümesini ve nokta sınıfları kümesini değiştirerek yeni bir PD elde edeceğiz. İkişer ikişer paralel olan 3 doğru seçip bunları doğru kümesinden çıkaralım örneğin: paralel doğruları doğrular kümesinden çıkaralım. Bu doğrular Şekil 3.6.’da koyu olarak verilmiştir. 36 Şekil 3.6 Nokta sınıfları değiştirilmiş yapı Çıkarılan bu doğruların her birini 3 elemanlı birer nokta sınıfı olarak alalım. Her bir blok 3 noktadan oluştuğundan 3 olur ve elde edilen yapının 2-(3,3,1)-PD olduğu gösterilebilir. 3.2.4 Örnek. 3.2.3 Örnekte kullanılan 3-mertebeli projektif düzlemden elde edilen PD lere benzer yollar kullanarak, 2 mertebeli projektif düzlemden de PD ler elde edilebilir. Şekil 3.7.’de 1 2 6 7 3 5 4 Ş ekil 3.7. Mertebesi 2 olan projektif düzlem 37 olmak üzere 2 mertebeli (X, ) projektif düzlemi verilmiştir. Bu projektif düzlemden 4 noktası atılarak ve nokta sınıfları düzenlenerek elde edilen geometrik yapı Şekil 3.8 de verilmiştir. 1 2 6 7 3 5 Şekil 3.8. Bir noktası çıkarılmış 2 mertebeli projektif düzlemi Şekil 3.8 ile verilen yapı; olmak üzere ) yapısıdır ve bu yapı bir 2-(2,3,1) PD dir. Şekil 3.8 ile verilen ) yapısından doğrusunun üzerindeki noktalarla birlikte atılmasıyla elde edilen geometrik yapı, olmak üzere ( yapısıdır. Bu yapının şekli Şekil 3.9 da verimiştir. 38 1 7 3 5 Şekil 3.9. Üzerindeki noktalarla birlikte bir doğrusu çıkarılmış 2 mertebeli projektif düzlem Şekil 3.9 ile verilen ( yapısı bir 2-(1,2,1) PD dir. Şekil 3.9 ile verilen ( PD sinin nokta sınıfları yeniden düzenlenir ve olarak ve bu düzenlemeye göre bloklar kümesi olarak alınırsa, elde edilen ( yapısı bir 2-(2,2,1) PD dir. ( PD sinin şekli Şekil 3.10 da verilmiştir. 1 7 3 5 Şekil 3.10. ( nin nokta sınıflarının düzenlemiş hali Böylece 3.2.3 Örnekte, 3 mertebeli projektif düzlemden elde edilen PD lerin benzerlerinin benzer yöntemlerle 2 mertebeli projektif düzlemden elde edilebileceği görülmüştür. Daha önce 3.2.2 Örnekte elde edilen 3-PD, aynı zamanda bir 2-PD dir. Benzer biçimde 2-PD ler aynı zamanda 1-PD olur. Aşağıdaki teorem bu durumu genellemektedir. 39 3.2.5 Teorem. bir t-(s,k, )-PD olsun t ve tamsayısı özeliğinde olsun. Bu durumda olmak üzere yapısı bir -(s,k, )-PD dir. İspat. Belli bir transversal i-altkümesi alalım. , transversal t-altküme” olacak biçimdeki (Y, B) ikililerini iki farklı yol ile hesaplayacağız. yi kapsayan bir B bloğu için Y kümesini belirlemede seçenek var olup, yi kapsayan tüm blokların sayısı olduğundan, yi kapsayan tüm bloklar için Y kümesini belirlemede (3.5) farklı seçenek vardır. İkinci yol olarak bir i-transversal küme olup her bir nokta kümesinden 1 eleman bulundurduğundan nin dışında farklı nokta sınıfı vardır. Bu sınıfın her birinden birer eleman alınarak elde edilebilecek (t-i)-altkümeler Y olarak alınacak kümelerdir. Eğer her bir denklik sınıfı 1 elemanlı olsaydı Y olarak 40 farklı altküme belirlenebilirdi. Fakat her bir denklik sınıfı s elemanlı olduğundan, Y olarak < t-1 farklı t-altküme belirlenebilir. Bu özelikte seçilen her Y için Y yi bulunduran farklı blok var olduğundan, Y kümesini bulunduran tüm blokların sayısı (3.6) olur. (3.5) ve (3.6) nin ikisi de tüm (Y, B) ikililerinin sayısını verdiğinden (3.5) ve (3.6) de bulunan ifadeler aynı olmalıdır. Bu nedenle (3.7) eşitliliği elde edilmiş olur. Bu son teorem bir t-(s,k, )-PD sinin diğer bazı parametrelerini bulmamızı sağlar. (3.4) eşitliğinde alınığında bütün blokların sayısı elde edilir. Yani (3.4) formülünden bulunur. Benzer biçimde alındığında olduğu elde edilir. alındığında (3.4) formülünden 41 elde edilir. 3.2.5 Teoremden dolayı (3.8) ile verilen formülde t yerine olmak üzere herhangi bir alınması durumunda da aynı formülün geçerli olduğu bellidir. Bu nedenle alınarak eşitliğinden eşitliği bulunur. alındığında durumu eşitliğini verir. Bu son iki eşitlik (3.7) eşitliğinin özel durumlarıdır. s=1 olduğunda PD lere dizayn adı verilmektedir. Bu nedenle dizayn teorisinde parametresi göz önünde alınmaz ve v noktalı bir -(1,k, ) dizaynı genelde daha önce Bölüm 2’de gösterildiği gibi -(v,k, ) biçiminde gösterir. Tabi ki Bölüm 2’de gösterilen -(v,k, ) notasyonu farklı notasyonlardır. Bu farklılık dikkate alınmalı ve yanlışlıkla hatalı sonucuna ulaşılmamalıdır. Biz daha önce 3.2.3 ve 3.2.4 Örnekte projektif ve afin düzlemlerden elde dilen dizayn örnekleri vermiştik. Bu başlık altında konumuz dizayn olmadığından sadece olması durumuna odaklanacağız. bir -(s,k, )-PD ve bir - - PD olsun. Eğer bir fonksiyonu birebir, örten ve 42 (3.9) (3.10) şartları sağlayacak biçimde varsa ye ve PD ler arasında bir izomorfizm denir. ve arasında bir izomorfizm varsa ve PD lerine izomorfturlar denir. Bir izomorfizmin tersinin de izomorfizm olduğu aşikârdır. Eğer iki izomorfizmin bileşkesi tanımlıysa bileşke de bir izomorfizmdir. Bir PD den kendi üzerine bütün izomorfizmlerin (yani bütün otomorfizmlerin) kümesi fonksiyon bileşke işlemi altında bir gruptur. Eğer ve sırasıyla -(s,k, ) ve - PD leri izomorf iseler , , olur. Bununla birlikte 3.2.5 Teoremden dolayı olabileceği bellidir. Eğer ve parametreleri bu özelikleri maksimal tamsayılar ise, yani bir -PD olduğu halde -PD değilse be benzer olarak bir -PD olduğu halde -PD değilse, ve olacağı aşikârdır. İzomorfizm tanımında yer alan (3.9) şartı, daha zayıf gibi görünen (3.11) şartı ile değiştirilebilir. (3.11) şartını sağlayan bir birebir örten fonksiyonunun verildiği kabul edelim. Eğer in bir altkümesi için oluyorsa bir elemanı var demektir. Bu durumda (3.11) dan dolayı ve olduğu bulunur. Bir ortak elemanı bulunan iki denklik sınıfı özdeş 43 olacağından ve dolayısıyla olduğu bulunur. Bu sonucu bulmamızdaki önemli etken (3.9) de yer alan ancak ve ancak simgesidir. Aşağıdaki özel durumda (3.10) şartını göstermeye gerek kalmaz: ve (3.9)’ i sağlayan iki PD ve dönüşümü den ye birebir ve örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda her , için ve yi içeren bir blok vardır. ifadesinin doğru olduğu elde edilir. Aynı karakterizasyon için de uygulanabilir. Bu nedenle her için olması R olması demektir. 3.2.6 Örnek. Öklid 3-uzayında bir düzgün sekizyüzlüyü göz önüne alalım. İki farklı yolla sekizyüzlünün köşelerini bir 2-PD nin 6 noktasına dönüştüreceğiz (Şekil 3.11). İki PD de de nokta sınıfları karşılıklı köşelerin oluşturduğu 2 elemanlı kümeler alınacaktır. Fakat bu PD ler için blokları farklı oluşturacağız. Şekil 3.11 de yer alan PD 8 üçgenin her birini bloklar olarak alacağız ve böylece 2-(2,3,2)-PD elde edeceğiz ki bunun aynı zamanda bir 3-PD olduğunu Örnek 3.2.2 de gördük. Şekil 3.12’de yer alan yapıda sadece gölgeli olarak verilen 4 üçgen blok olarak alınacaktır ki bu bir 2-(2,3,1) PD verir. Şekil 3.11’den elde edilen PD ile Şekil 3.12’den elde edilen PD ise ile gösterilsin. {{E,C,D}, {E,C,B},{E,B,A},{E,A,D},{F,A,B},{F,B,C}, } {{E,C,D}, {E,B,A},{F,B,C} } E E B B A A C C D D F F Şekil 3.11. Sekizyüzlü Ş e k i l 3 . 1 2 . B l o kları düzenlenmiş sekizyüzlü 44 den ye özdeşlik fonksiyonu blokları bloklara dönüştürür. Bu nedenle PD lerin nokta kümeleri arasındaki birebir ve örten olan fonksiyonu nokta sınıflarını her iki yönde de korur fakat blokları sadece bir yönde korur ve bu nedenle izomorfizm değildir. 3.2.7 Örnek. 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4, 3.2.6, Örneklerde verilen PD lerden hangileri izomorftur? 3.2.4 Örnekte verilen Şekil 2.8 yapısı ile 3.2.6 Örnekte Şekil 2.12 ile verilen yapının ikisi de 2-(2,3,1) yapı olup; 1 2 A 3 4 5 6 dönüşümü göz öne alınırsa, olduğundan bloklar altında bloklara dönüşür. Benzer biçimde altında 1, 6 2, 5 3, 4 olduğundan sınıflar sınıflara dönüşür. Aynı zamanda birebir ve örten olduğundan 3.2.4 Örnek ve 3.2.6 Örnekte verilen PD ler izomorftur. 45 3.2.1 Örnekte verilen Şekil 2.1 in yapısı ile 3.2.3 Örnek de Şekil 2.6 da verilen yapının ikisi de 2-(3,3,1) yapı olup dönüşümü altında olduğundan, bloklar altında bloklara dönüşür. Benzer biçimde altında 1, 4, 7 2, 5, 8 3, 6, 9 olduğundan sınıflar sınıflara dönüşür. Aynı zamanda birebir ve örten olduğundan 3.2.1 Örnekte ve 3.2.3 Örnekte yer alan PD ler izomorftur. 46 3.3. Parçalanabilir Dizaynlar Üzerinde Grup Etkisi Geometride çalışılan önemli bir yapı olan dizaynlar üzerinde cebirsel bir kavram olan grupların etkisi önemli bir rol oynamaktadır. Bu kısımda bir grubun keyfi bir küme üzerindeki etkisi incelenecektir. Ayrıca bu kısımda bazı karışıklıkların önüne geçmek için bir x elemanının bir permütasyonu altındaki görüntüsü ile gösterilecektir. sonlu bir küme iken kümesi fonksiyon bileşke işlemine göre bir gruptur ve bu gruba kümesi için simetrik grup denir. Aslında in elemanları in permütasyonlarıdır. herhangi bir grup iken eğer bir homomorfizm ise ya G nin permütasyon temsili ya da kısaca temsili denir. fonksiyonu G nin bir permütasyon temsili iken G grubuna üzerinde ya göre etki grubu, ya da kısaca etki grubu adı verilir. Bu durumda nin her bir elemanı için olduğundan fonksiyonunun in bir permütasyonu olduğu elde edilir. Eğer bir karışıklık olmayacaksa yerine kısaca yazılır. Fonksiyon bileşke işlemi çarpma biçiminde gösterilirse her ve her G için 47 olur. Eğer temsili birebir ise ya G için güvenilir temsil adı verilir. Eğer bir temsil güvenilir değilse birebir olmayacağından G nin, üzerinde aynı permütasyonu veren farklı elemanları vardır. 3.3.1 Örnek. kümesini ve işlemi aşağıdaki tablo ile verilen G grubunu göz önüne alalım. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Tablo 3.13. G için grup tablosu olduğundan olup kümesinin tüm permütasyonları aşağıda verilen 24 permütasyondan ibarettir: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Bu durumda e a b c 48 biçimde tanımlı fonksiyonu için, olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. 49 olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. Bu nedenle homomorfizmdir. Bu in G için bir temsili olduğunu gösterir. Aynı zamanda fonksiyonu birebir olduğundan G için bir güvenilir temsildir. G nin güvenilir temsili tek olarak belli değildir. Yani G nin den farklı güvenilir temsilleri de var olabilir. Örneğin e a b c biçimde tanımlı fonksiyonun da G için bir güvenilir temsil olduğu için yaptıklarımıza, benzer işlemlerle görülebilir. 50 Son olarak e a b c biçiminde tanımlı fonksiyonunu göz önüne alalım. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. 51 olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. olduğundan eşitliği geçerlidir. Bu ün bir homomorfizm olduğunu gösterir. Bu nedenle G için bir temsildir. Fakat birebir olmadığından güvenilir temsil değildir. G, ya göre üzerinde etki grubu olsun. Her için 52 kümesine in G altındaki yörüngesi denir. Bütün yörüngelerin kümesi in bir parçalanışıdır. Eğer kümesinin kendisi bir yörünge ise G ye üzerinde geçişli etki denir. Bu durumda herhangi x,y elemanları için olacak biçimde en az bir gG elemanı vardır. Üstelik bu gG elemanı her bir durum için tek olarak belirleniyorsa G etkisine düzenli etki ya da kesin geçişli etki denir. Eğer G, üzerinde geçişli etki ise temsilcisi güvenilirdir, çünkü sonlu olduğundan nın birebir olması durumda in kendisi bir yörünge olamaz. Verilen G grubunun üzerindeki etkisi, yardımıyla bulunan diğer kümeler üzerinde de aynı etkiyi yaptığı kabul edilir. Örneğin negatif olmayan bir t tamsayı için G grubunun bir g elemanı nin elemanları üzerinde biçimde etki ettiği düşünülür. Eğer G, in farklı girdili tüm sıralı t-lileri üzerinde geçişli ise G ye üzerinde t-geçişli denir. Üstelik için olmak üzere in farklı t elemanından oluşan kümesi üzerindeki etkisi biçiminde tanımlanır. Eğer in boş olmayan tüm t elemanlı altkümeleri üzerinde G etkisi geçişli ise G ye üzerinde t- homojen etki denir. kümesi üzerindebir denklik bağıntısı için (3.12) şartı sağlanıyorsa ye G-invarianttır denir. G grup olduğundan için dir ve bu nedenle (1) den dolayı , (3.13) 53 olduğu elde edilir. olarak veya alındığında elde edilen denklik bağıntılarının G-invaryant olacağı aşikârdır. G nin üzerinde geçişli bir etki olduğunu kabul edelim. Eğer üzerinde ve ten başka G-invariant denklik bağıntısı yoksa G etkisine ilkel etki denir. Aksi taktirde G etkisine ilkel olmayan etki adı verilir. G, üzerinde ilkel olmayan bir etki ve S olsun. Eğer S, ve ten farklı bir G-invariant R denklik bağıntının denklik sınıfı oluyorsa S ye ilkel olmayan bloktur denir. Bu nedenle ilkel olmayan bir S bloğu, in , ve için veya (3.14) özeliğindeki bir S altkümesidir. Verilen bir altkümesi için kümesine Y nin kümesel stabilizeri denir. Her için , G nin bir altgrubudur. Y nin tüm y noktaları için özeliğindeki tüm lerin kümesine Y kümesinin noktasal stabilizeri denir. Y nin noktasal stabilizeri G nin altgrubu ve nin normal altgrubudur. y için stabilizerini kısaca ile göstereceğiz. Bu durumda: olur. 3.3.2 Örnek. 3.3.1 Örnekte verilen temsilini göz önüne alalım. Her elemanı için yörüngelerini bulalım. 54 olduğundan in kendisi bir yörüngedir. Dolayısıyla G , üzerinde geçişli bir etkidir. kümesinden alınan her x ve y için olacak biçimdeki tek elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir: x y g 1 1 e 1 2 a 1 3 b 1 4 c 2 2 e 2 1 a 2 4 b 2 3 c 3 3 e 3 4 a 3 1 b 3 2 c 4 4 e 4 3 a 4 2 b 4 1 c Tablo 3.14. olacak biçimdeki = elemanları Bu nedenle G etkisi düzenli bir etkidir. Verilen bir altkümesi için noktasal stabilizerleri be kümesel stabilizerleri bulalım: Mesela altkümesi için noktasal stabilizeri dir ve kümesel stabilizeri kümesinden oluşur. 3.3.3 Örnek. 3.3.1 Örnekte verilen temsiline göz önüne alalım. 55 ile verilen R denklik bağıntısının G-invariant olduğunu gösterelim. Bunun için ve şartının sağlandığı gösterilmelidir. ; ; R R R R R R ; R R R R R ; olduğundan bağıntısı G-invaryanttır. R ve R olduğundan G etkisi ilkel değildir. Benzer biçimde 56 denklik bağıntılarının G-invaryant olduklarını benzer işlemlerle gösterilebilir. Şimdi ilkel olmayan 2 elemanlı blokları araştıralım. ve kümeleri in denklik sınıfları, ve kümeleri nin denklik sınıfları, ve kümeleri ün denklik sınıfları olduğundan kümelerinin ilkel olmayan blok oldukları elde edilir. in başka 2 elemanlı altkümesi olmadığından in tüm iki elemanlı altkümeleri ilkel olmayan bloklardır. Daha önce belirtildiği gibi S nin ilkel olmayan bir blok olması , ve için veya şartının sağlanması anlamında gelmektedir. Şimdi dan in bu şartı sağlandığını gösterelim: , nın da aynı şartı sağladığı benzer biçimde gösterilebilir. Yani in 2 elemanlı her altkümesi ilkel olmayan bir bloktur. in 3 elemanlı altkümeleri de inceleyelim alındığından, olduğu aşikârdır. 57 olduğundan in 3 elemanlı altkümeleri arasında ilkel olmayan bloğu yoktur. Çünkü in 3 elemanlı tüm altkümeleri yukarıda bahsedilen den ibarettir ve bunların hiçbirinin (3.13) şartını sağlamadığını yukarıda gösterilmiştir. Bu aslında kümesinin 3 elemanlı bir denklik sınıfına sahip G-invaryant denklik bağıntısının var olmadığını gösterir. Örneğin, 58 denklik bağıntısı için olduğundan denklik bağıntısı G-invariant değildir. Benzer biçimde denklik bağıntılarının G-invaryant olmadıkları gösterilebilir. üzerinde , , ten başka 3 elemanlı denklik sınıfı bulunan denklik bağıntısı olmadığından in 3 elemanlı ilkel olmayan bloğu yoktur. 3.3.4 Örnek. 3.3.1 Örnekte verilen temsilini göz önüne alalım. Her elemanı için yörüngeleri bulalım. olduğundan in kendisi bir yorüngedir. Dolayısıyla G , üzerinde geçişli bir etkidir. 3.3.2 Örnekteki gibi G etkisinin düzenli olduğu kolayca gösterilebilir. Şimdi ile verilen R denklik bağıntısının G-invaryant olduğunu gösterelim. Bunun için 59 şartının sağlandığı gösterilmelidir. ; ; ; ; olduğundan bağıntısı G- invaryanttır. ve ten farklı bir invaryant denklik bağıntısı olduğundan G grubu ilkel değildir. Şimdi ilkel olmayan 2 elemanlı blokları araştıralım. olduğundan , olduğu aşikârdır. Bu durumda G için veya olacak biçimdeki kümelerini bulmalıyız. 60 S için olup olması dolayısıyla, altkümesi ilkel olmayan bir blok değildir. S için olup olması dolayısıyla, altkümesi ilkel olmayan bir bloktur. S için olup olması dolayısıyla, altkümesi ilkel olmayan bir blok değildir. S için olup 61 olması dolayısıyla, ilkel olmayan bir blok değildir. S , olup olması dolayısıyla, ilkel olmayan bir bloktur. , olup olması dolayısıyla, ilkel olmayan bir blok değildir. 2 elemanlı altkümelerinden sadece ve ilkel olmayan bloklardır. 3.3.5. Örnek. ve G aşağıdaki işlem tablosu ile verilen grup olsun. e a b e e a b a a b e b b e a Tablo 3.15. G= için grup işlem tablosu olduğundan olup kümesinin tüm permütasyonları aşağıda verilen 6 permütasyondan ibarettir: 62 , , , , , e a b Her elemanı için yörüngelerini bulalım. olduğundan in kendisi bir yorüngedir. Dolayısıyla G , üzerinde geçişli bir etkidir. üzerinde oluşturulabilecek tüm denklik bağıntıları aşağıdaki beş bağıntıdan ibarettir: = = ve dışında G-invaryant denklik bir bağıntısının olmadığı kolayca gösterilebilir. Dolayısıyla G grubu ilkeldir. Son olarak güvenilir, geçişli fakat düzenli olmayan bir örnek vereceğiz. 3.3.6 Örnek. olsun grubu aşağıdaki işlem tablosu ile verilsin. 63 Tablo 3.16. için grup işlem tablosu simetrik grubu 3.3.1 Örnekte verilen 24 elemandan oluşur. biçiminde tanımlanan fonksiyonu birebirdir ve bu nedenle güvenilir bir temsildir. Her elemanı için yörüngeleri bulalım. olduğundan in kendisi bir yorüngedir. Dolayısıyla G , üzerinde geçişli bir etkidir. kümesinden alınan her x ve için olacak biçimdeki G elemanları aşağıdaki tabloda verilmiştir: 64 x y g 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 2 2 2 4 2 1 2 3 2 4 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 1 3 1 3 2 3 2 4 4 4 2 4 3 4 1 4 2 4 4 4 3 4 1 Tablo 3.17. olacak biçimdeki G elemanları Tablodan görüldüğü gibi ten alınan her ve y elemanı için olacak biçimde bir G elemanı vardır. Fakat her ve elemanları için olacak biçimde 65 G elemanı tek değildir. Örneğin , için ve olur. Tablodan görüleceği gibi bu örnekte alınan her ve için olacak biçimde iki farklı G elemanı vardır. Bu nedenle G etkisi düzenli bir etki değildir. kümesinin tüm 3 elemanlı altkümeleri , , , olur. Bu durumda; g A A A B A C A D B A B B B C B D D A D B D C D D C A C B C C C D Tablo 3.18. Üç elemanlı kümeler üzerinde geçişlilik tablosu dikkate alındığında in 3 elemanlı her , altkümesi için olacak biçimde bir G elemanı vardır. Bu G nin in tüm 3 elemanlı altkümeleri üzerinde geçişli olduğunu yani 3-homojen etki olduğunu gösterir. kümesinin tüm 2 elemanlı altkümereri , , , , olur. A kümesini B kümesine dönüştüren hiç bir G elemanı olmadığından G grubu in hiçbir iki elemanlı altkümeleri üzerinde geçişli değildir. Bu nın G üzerinde 2- homojen etki olmadığını gösterir. X in her bir elemanının stabilizerini bulalım: 66 G grubun eleman sayısı 8, her bir yörüngenin eleman sayısı 4 ve her için olduğundan (3.14) ile verilen formülünün sağlandığı görülür. 3.3.7. Örnek. olsun. grubu aşağıdaki işlem tablosu ile verilsin. • Tablo 3.19. için grup işlem tablosu Bu durumda, 67 biçiminde tanımlanan fonksiyonu birebirdir ve bu nedenle güvenilir bir temsildir. Her elemanı için yörüngeleri bulalım. olduğundan in kendisi bir yörünge olmadığından G, üzerinde geçişli bir etki değildir. X in tüm noktalarının stabilizelerin araştıralım ve (3.14) formülünü uygulayalım. için için için için olduğu görülür. 68 KAYNAKLAR Bayraktar. M. Soyut Cebir ve Sayılar Teorisi. Bursa 1997. Çelik. B. Soyut Matematik. Bursa, Ekim 2015. Demirtola. A. Matematiksel Dizayn Teori Üzerinde. Bursa. 58p. 2000. Havlicek. H. Divisible Designs, Laguerre Geometri, and Beyond, 2004, Brescia, İtaly. Hughes D. R and Piper. F. C. Design Theory. Cambridge Universitü Press, Cambridge, second edition, 1985 Kaya. R. Projektif Geometri. Ankara 1987. Jacobson. N. Basıc algebra 1. Freman, Freeman, New York, 1989. 69 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Eolita SELMANAJ Doğum Yeri ve Tarihi : ARNAVUTLUK/TİRANE, 26/06/1990 Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise :Petro Nini Luarasi, 2004-2008 Lisans : Tirane Üniversitesi, 2008-2011 Yüksek Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi, 2014-… İletişim (e–posta) : eolita_90@hotmail.com 70