PARALEL VE HİBRİT MANİPÜLATÖRLERİN İLERİ KİNEMATİK ÇÖZÜMÜ İÇİN YENİ METOTLAR GELİŞTİRİLME Sİ Ercan DÜZGÜN T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PARALEL VE HİBRİT MANİPÜLATÖRLERİN İLERİ KİNEMATİK ÇÖZÜMÜ İÇİN YENİ METOTLAR GELİŞTİRİLMESİ Ercan DÜZGÜN 0000-0002-6455-9730 Prof. Dr. Osman KOPMAZ (Danışman) DOKTORA TEZİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2023 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Ercan DÜZGÜN tarafından hazırlanan “PARALEL VE HİBRİT MANİPÜLATÖRLERİN İLERİ KİNEMATİK ÇÖZÜMÜ İÇİN YENİ METOTLAR GELİŞTİRİLMESİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof.Dr. Osman KOPMAZ Başkan : Prof. Dr. Osman KOPMAZ İmza 0000-0002-9429-9300 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Recep EREN İmza 0000-0001-9389-0281 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Tekstil Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Hakan GÖKDAĞ İmza 0000-0003-3070-6365 Bursa Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Elif ERZAN TOPÇU İmza 0000-0002-6115-3110 Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Dr. Öğr. Üyesi Hilal DOĞANAY KATI İmza 0000-0002-2807-8040 Bursa Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi, Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Enstitü Müdürü 20/03/2023 iii B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; − tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, − görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, − başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, − atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, − kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, − ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 20/03/2023 Ercan DÜZGÜN iv TEZ YAYINLANMA FİKRİ MÜLKİYET HAKLARI BEYANI Enstitü tarafından onaylanan lisansüstü tezin/raporun tamamını veya herhangi bir kısmını, basılı (kâğıt) ve elektronik formatta arşivleme ve aşağıda verilen koşullarla kullanıma açma izni Bursa Uludağ Üniversitesi’ne aittir. Bu izinle Üniversiteye verilen kullanım hakları dışındaki tüm fikri mülkiyet hakları ile tezin tamamının ya da bir bölümünün gelecekteki çalışmalarda (makale, kitap, lisans ve patent vb.) kullanım hakları tarafımıza ait olacaktır. Tezde yer alan telif hakkı bulunan ve sahiplerinden yazılı izin alınarak kullanılması zorunlu metinlerin yazılı izin alınarak kullandığını ve istenildiğinde suretlerini Üniversiteye teslim etmeyi taahhüt ederiz. Yükseköğretim Kurulu tarafından yayınlanan “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” kapsamında, yönerge tarafından belirtilen kısıtlamalar olmadığı takdirde tezin YÖK Ulusal Tez Merkezi / B.U.Ü. Kütüphanesi Açık Erişim Sistemi ve üye olunan diğer veri tabanlarının (Proquest veri tabanı gibi) erişimine açılması uygundur. Prof.Dr. Osman KOPMAZ Ercan DÜZGÜN 21/03/2023 21/03/2023 v ÖZET Doktora Tezi PARALEL VE HİBRİT MANİPÜLATÖRLERİN İLERİ KİNEMATİK ÇÖZÜMÜ İÇİN YENİ METOTLAR Ercan DÜZGÜN Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Osman KOPMAZ Paralel manipülatörler son yıllarda giderek artan kullanım alanı bulmaktadır. Bu manipülatörler esasen kapalı kinematik zinciri içeren hacimsel veya düzlemsel mekanizmalardır. Bu manipülatörlerin ileri ve ters kinematiği seri manipülatörlerle zıt bir karakterdedir. Özellikle ileri kinematik paralel manipülatörlerde karmaşık nonlineer denklemlere sevk etmektedir. Bu zorluğu aşmak için genelde cebirsel çözüm metotlarına başvurulmaktadır. Ancak belirli mimariye sahip paralel manipülatörlerde bu denklemler özel bir form almaktadır. Bu tezde bu özel formdan yararlanılarak analitik-nümerik iki etkin metot geliştirilmiştir. Bunların ilki bazı kökleri manipülatörün hareketli platformunun (diğer bir ifadeyle iş uzvunun-end effector-) muhtemel ve fiziksel olarak mümkün konumlarını verecek olan yüksek dereceli bir polinom vermektedir. Polinomun kökleri nümerik olarak bulunabilmektedir. İkinci metotta iki farklı hata fonksiyonu tanımlanmaktadır. Bunlardan biri Newton-Raphson ve benzeri bir algoritmayla çözülecek olan genel hata fonksiyonu için anlamlı başlangıç şartlarını elde etmekte kullanılmaktadır. Böylece nümerik yöntemin hızlı bir şekilde yakınsaması temin edilmektedir. Her iki metotun kullanımı ikisi hacimsel biri düzlemsel üç farklı manipülatör üzerinde gösterilmiştir. Bu çalışmada ayrıca Gough-Stewart platformu gibi hacimsel paralel manipülatörlerde ileri kinematik analizde izlenen yoldan farklı olarak sabit platformdan hareketliye doğru geometrik bağıntılar geliştirilmiştir. Klasik yaklaşımda kinematik bağıntılar hareketli platformun sabit platforma göre yönelim matrisinin elemanlarıyla konum vektörünün bileşenlerinin bilinmeyenler olarak yer aldığı denklemler şeklinde elde edilmektedir. Bu nedenle aktüatörlerin sabit platforma bağlantı mafsallarının serbestlik derecesi ancak hız analizi aşamasında önem kazanmaktadır. Buna mukabil bu çalışmada daha ileriye konum analizi aşamasında mafsal türleri göz önüne alınarak kısıt denklemleri ele alınmaktadır. Hibrit manipülatörler seri ve paralel manipülatörlerin olumlu özelliklerini bir araya getiren mekanik sistemlerdir. Bununla birlikte kinematik bakımdan tamamen ters karakterde olan iki unsurdan oluştuğu için bu tür tasarımların hem ileri hem ters kinematikte yol açacağı muhtemel problemler göz önüne alınarak yapılması gerekir. Bu çerçevede iki farklı tip hibrit manipülatörün ileri kinematiği ele alınmış, konum ve hız analizleri için bir metot geliştirilmiştir. Seri manipülatörlerde ileri kinematik matris vi operasyonlarıyla, örneğin Denavit-Hartenberg matrislerini kullanarak nispeten hızlı yapılabildiği hâlde paralel manipülatörlerde bu kolaylık söz konusu değildir. Bu nedenle tezde ele alınan hibrit manipülatörlerin hız analizleri için kinematiğin bilinen bağıntılarına dayanan bir metot geliştirilmiştir. Anahtar Kelimeler: Hibrit manipülatör, Stewart platformu, paralel manipülatör 2023, xiv + 137 sayfa. vii ABSTRACT PhD Thesis NEW METHODS FOR FORWARD KINEMATIC SOLUTION OF PARALLEL AND HYBRID MANIPULATORS Ercan DÜZGÜN Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mechanical Engineering Supervisor: Prof. Dr. Osman KOPMAZ Parallel manipulators have been increasingly used in recent years. These manipulators are spatial or planar mechanisms containing a closed kinematic chain. The forward and inverse kinematics of these manipulators are in contrast to serial manipulators. It leads to complex nonlinear equations in forward kinematics of parallel manipulators. In order to overcome this difficulty, algebraic solution methods are generally used. These equations have a special form in parallel manipulators for some certain assembly modes. In this thesis, two effective analytical-numerical methods have been developed by using that special forms. The first method yields a high-order polynomial that some roots of it will give probable and physically possible positions of the manipulator's moving platform (i.e. end effector). The roots of the polynomial can be found numerically. In the second method, two different error functions are defined. One of them is used to obtain meaningful initial conditions for the general error function to be solved by Newton- Raphson and similar algorithms. Thus, rapid convergence of the numerical method is ensured. The use of both methods is demonstrated on one planar and two spatial manipulators. In this study, geometric relations from fixed platform to mobile platform have been obtained different from the path followed in forward kinematics analysis on spatial parallel manipulators such as the Gough-Stewart platform. In the classical approach, kinematic relations are obtained in the form of equations in which the elements of the orientation matrix of the moving platform relative to the fixed platform and the components of the position vectors are considered as unknowns. For this reason, the degrees of freedom are considered only at the velocity analysis. In this study, the constraint equations take place at the forward position analysis by considering the joint types. Hybrid manipulators are mechanical systems that combine the positive features of serial and parallel manipulators. However, since it consists of two completely opposite characters in terms of kinematics, such designs should be made by considering the possible problems that will arise in both forward and inverse kinematics. In this context, forward kinematics of two different types of hybrid manipulators are discussed and a method for position and velocity analysis is developed. In serial manipulators, forward viii kinematics can be done relatively quickly using matrix operations (such as Denavit- Hartenberg matrices). However, it is not easy for parallel manipulators. For this reason, velocity analysis of the hybrid manipulators that are considered here is done by using classical kinematics methods. Key words: Hybrid manipulator, Stewart platform, parallel manipulator 2023, xiv + 137 pages. ix ÖNSÖZ ve/veya TEŞEKKÜR Doktora tezimin yürütülmesinde emeği geçen, çalışmalarım süresince her türlü desteği sunan danışman hocam Prof.Dr. Osman Kopmaz’a teşekkürlerimi sunarım. Doktora tez çalışmam sürecinde önerileriyle ve yönlendirmeleriyle katkı sağlayan, Tez İzleme Komitesi üyeleri Prof. Dr. Recep Eren ve Doç.Dr. Elif Erzan Topçu hocalarıma teşekkürlerimi sunarım. Bursa Uludağ Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Başkanlığı ve yönetimine, hocalarıma ve çalışma arkadaşlarıma teşekkürlerimi sunarım. Her zaman sevgi ve destekleri ile bana destek olan sevgili aileme teşekkürlerimi sunarım. Ercan DÜZGÜN 20/03/2023 x İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET .................................................................................................................... vi ABSTRACT .................................................................................................................. viii ÖNSÖZ ve/veya TEŞEKKÜR .......................................................................................... x İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ xi SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ..................................................................... xii ŞEKİLLER DİZİNİ ........................................................................................................ xiii ÇİZELGELER DİZİNİ .................................................................................................. xiv 1. GİRİŞ ..................................................................................................................... 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ......................................................................................... 4 2.1. Seri Robotlar ile İlgili Kaynak Araştırması ............................................................... 4 2.2. Paralel Robotlar ile ilgili Kaynak Araştırması ......................................................... 10 2.3. Hibrit Robotlar ile ilgili Kaynak Araştırması........................................................... 16 3. MATERYAL ve YÖNTEM ........................................................................................ 20 3.1. Rijit Cismin Serbestlik Derecesi .............................................................................. 21 3.2. Rijit Bir Cismin Konum ve Yönelimi ...................................................................... 21 3.3. Koordinat Dönüşümleri, Dönme Matrisleri ............................................................. 24 3.4. Açısal Hız Matrisleri ................................................................................................ 33 3.5. Jakobiyen ................................................................................................................. 37 3.6. Seri Manipülatörler .................................................................................................. 39 3.7. Paralel Manipülatörler .............................................................................................. 46 3.8. Bazı Paralel Manipülatörlerde İleri Kinematik İçin İki Yeni Yöntem ..................... 54 3.8.1. Çöz ve Yerine Koy Metodu (ÇYKM, Solve and Substitute Method) .................. 56 3.8.2. Hata Fonksiyonu Metodu (HFM, Error Function Method) .................................. 63 3.9. Hibrit Manipülatörler ............................................................................................... 64 3.10. Tip 1 Hibrit Manipülatörde İleri Kinematik........................................................... 65 3.10.1. Tip 1 manipülatörde ileri konum analizi ............................................................. 68 3.10.2. Tip 1 hibrit manipülatörde ileri hız analizi ......................................................... 77 3.11. Tip 2 Hibrit Manipülatörde İleri Kinematik........................................................... 91 3.11.1. Tip 2 hibrit manipülatörde ileriye hız analizi .................................................... 104 3.11.2. Tip 2 hibrit manipülatörde ivme analizi ............................................................ 107 4. SAYISAL UYGULAMALAR ................................................................................. 110 4.1. 3-3 Stewart platformu ileri kinematiği (ÇYK metodu) .......................................... 109 4.2. 3-3 Stewart platformu ileri kinematiği (HF metodu) ............................................. 112 4.3. 3-RRR düzlemsel manipülatörün ileri kinematiği (ÇYK metodu) ........................ 115 4.4. 3-RRR düzlemsel manipülatörün ileri kinematiği (HF metodu) ........................... 117 4.5. Tip 1 hibrit manipülatör için sayısal örnek ............................................................ 119 4.6. Tip 2 hibrit manipülatör için sayısal örnek ............................................................ 123 5. TARTIŞMA ve SONUÇ ........................................................................................... 127 KAYNAKLAR ............................................................................................................. 129 xi SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama A,B,C Stewart platformu alt platform noktaları P,Q,S Stewart platformu üst platform noktaları 𝐺𝑖, 𝐻𝑖, 𝐼𝑖 Paralel manipülatörde rijitlik denklemlerindeki sabit katsayılar 𝜆, 𝜇, 𝜈 Paralel manipülatörde rijitlik denklemlerindeki bilinmeyen parametreler 𝜙𝑖 Paralel manipülatörde hareketli uzuv açıları 𝑓𝑖 Hata fonksiyonu bileşenleri 𝜖 Toplam hata fonksiyonu 𝐺𝑎 Paralel manipülatör ağırlık merkezi koordinatları 𝑙𝑖 Paralel manipülatör bacak uzunlukları 𝑙?̇? Paralel manipülatör bacaklarının çizgizel uzama hızları 𝜑𝑖 Paralel manipülatör bacakları ile alt tabla arasındaki açılar ?̇?𝑖 Paralel manipülatör bacakları ile alt tabla arasındaki açının açısal hızı 𝑎 Paralel manipülatör alt tabla kenar uzunluğu 𝑏 Paralel manipülatör üst tabla kenar uzunluğu 𝑅 Rotasyon matrisi Kısaltmalar Açıklama SP Stewart platformu (Gough-Stewart Platformu) ÇYK Çöz ve Yerine Koy Metodu (Solve and Substitute Method) HF Hata Fonksiyonu Metodu (Error Function Method) xii ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 3.1. Rijit cismin yerleşiminin tanımlama yolları. ............................................ 23 Şekil 3.2. Cisme koordinat takımı bağlayarak konumu ve yönelimi tanımlama. ..... 24 Şekil 3.3. Düzlemde koordinat dönüşümü. ............................................................... 25 Şekil 3.4. ⃗⃗𝑂⃗⃗𝑃 ⃗ vektörünün dönmesi. .......................................................................... 27 Şekil 3.5. Cismin z ekseni etrafında ϕ kadar dönmesi halinde cisme bağlı takımın yeni konumu. ............................................................................................ 31 Şekil 3.6. Tekil konumlar. ........................................................................................ 39 Şekil 3.7. Denavit-Hartenberg notasyonu. ............................................................... 41 Şekil 3.8. Denavit-Hartenberg notasyonunda koordinat takımları arasındaki ilişki. 42 Şekil 3.9. Seri manipülatör şematik gösterimi. ........................................................ 44 Şekil 3.10. Farklı tipte Stewart platformları............................................................... 50 Şekil 3.11. 3-3 Stewart platformunda eşdeğer bacak uzunluklarının gösterilmesi. ... 51 Şekil 3.12. 3-RRR tipi düzlemsel paralel manipülatör. ............................................. 59 Şekil 3.13. Literatürde rastlanan hibrit manipülatörlerden örnekler .......................... 65 Şekil 3.14. Tip 1 hibrit manipülatör ........................................................................... 66 Şekil 3.15. İncelenen hibrit manipülatörün paralel manipülatör geometrisi. ............. 67 Şekil 3.16. Tip 1 hibrit manipülatörün paralel kısmı. ................................................ 68 Şekil 3.17. Seri manipülatörün 𝐺𝑎 noktasının koordinatlarının tayini. ...................... 69 Şekil 3.18. 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎’nın yerleşimi hakkında. .......................................................... 76 Şekil 3.19. Koordinat takımlarının birim vektörleri arasındaki ilişki hakkında.. ...... 76 Şekil 3.20. Hibrit manipülatörün ?⃗? 1, ?⃗? 2 ve ?⃗? 3 vektörlerinin tanımlanması. ............. 83 Şekil 3.21. İncelenen hibrit manipülatör. ................................................................... 92 Şekil 3.22. Seri kısımda koordinat takımlarının +z0 tarafından görünüşü. ................ 92 Şekil 3.23. Geriye konum analizinde iki farklı çözüm alternatifi. ............................. 93 Şekil 3.24. Sadece yönelimi kontrol eden paralel manipülatör. ................................. 94 Şekil 3.25. Paralel manipülatörün köşe koordinatları. ............................................... 95 Şekil 3.26. DP bacağında 𝜑1 ve 𝜃1 kardan açıları. .................................................... 95 Şekil 3.27. E’de kardan açıları. .................................................................................. 98 Şekil 3.28. Paralel manipülatörün F noktası ayrıntısı. ............................................. 100 Şekil 4.1. Stewart platformu için λ − (𝑞, 𝑣) grafiği. ................................................ 112 Şekil 4.2. Stewart platformu için hata fonksiyonu grafiği. ...................................... 113 Şekil 4.3. Düzlemsel manipülatör için 𝑞 ve 𝑣'ye karşılık λ varyasyonları............... 117 Şekil 4.4. Düzlemsel manipülatör için λ − ϵ grafiği. ............................................... 117 Şekil 4.5. Tip 1 hibrit manipülatör konum ve oryantasyonu. .................................. 121 xiii ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 4.1. 3-3 Stewart platformuna ait fiziksel parametreler ............................ 109 Çizelge 4.2. 3-3 Stewart platformunda kısıt denklemlerindeki katsayılar ........... 109 Çizelge 4.3. 3-3 Stewart platformu için çözüm polinomunun kökleri ................. 110 Çizelge 4.4. Stewart plaformunda fiziksel olarak mümkün olan çözümler ......... 110 Çizelge 4.5. 3-3 Stewart platformu için ileri konum çözümleri ........................... 113 Çizelge 4.6. Düzlemsel manipülatörün fiziksel boyutları .................................... 114 Çizelge 4.7. Düzlemsel manipülatörün sabit denklem katsayıları ....................... 114 Çizelge 4.8. Düzlemsel manipülatör için polinomun kökleri ............................... 115 Çizelge 4.9. Düzlemsel manipülatörün için λ, μ, ν değerleri ................................ 115 Çizelge 4.10. Düzlemsel manipülatör için λ, μ, ν çözümleri .................................. 116 Çizelge 4.11. Paralel manipülatör kısmı için Ci, Di, Ei katsayıları (Tip 1) ............. 118 Çizelge 4.12. Paralel manipülatör kısmı için Gi, Hi, I𝑖 katsayıları (Tip 1) .............. 119 Çizelge 4.13. Paralel manipülatör kısmı için p, q, r, u, v, w değerleri (Tip 1) ........ 119 Çizelge 4.14. Paralel manipülatör kısmı için A, B, C, D polinomları (Tip 1) .......... 119 Çizelge 4.15. Polinomun kökleri (Tip 1) ................................................................ 120 Çizelge 4.16. Olası λ, μ, ν değerleri (Tip 1) ............................................................ 120 Çizelge 4.17. Paralel manipülatör kısmı için 𝐴𝑖 , 𝐵𝑖, 𝐶𝑖 katsayıları (Tip 2) ............. 122 xiv 1. GİRİŞ Endüstrileşmenin artmasıyla birlikte otomasyon sistemleri gelişmiş ve robot manipülatörlerin kullanımı yaygınlaşmıştır. İlk endüstriyel robot manipülatör, Unimate robot kolu, George Devol tarafından 1950 yılında icat edilmiştir. Victor Scheinman, Stanford robot kolu olarak bilinen robot manipülatörü, ve PUMA (Programmable Universal Machine for Assembly veya Programmable Universal Manipulation Arm) robot manipülatörü geliştirmiştir. Fakat endüstriyel robotların, endüstride yoğun şekilde kullanılması 1980’li yılları bulmuştur. 1978 yılında, Yamanashi Üniversitesi’nden Hiroshi Makino tarafından geliştirilen SCARA robot da endüstriyel robot manipülatörler içerisinde önemli ve bilinen robotlardandır. SCARA robotun kinematiğindeki basitlik, robotun kontrolünü basit ve robotu hızlı kılmıştır. Bundan dolayı, Japonya, 1980’li yıllarda dünyanın en fazla robot üreten ülkesi haline gelmiştir. 1980’li yılların ikinci yarısında algılayıcıların (sensör) endüstriyel robotikte kullanılmasıyla birlikte zor ve karmaşık görevlerin robotlar tarafından yapılmasına olanak sağlamıştır. Öte yandan, otomasyon sisteminde hız önemli bir faktör olduğu için klasik seri manipülatörlerin yerine paralel manipülatörler de kullanılmaya başlamıştır. Ayrıca, paralel manipülatörler ile yüksek hassasiyet de sağlanabilmektedir. Paralel robot manipülatörlerin en bilinen örneklerinden birisi Delta robottur ve 1992 yılında geliştirilmiştir. Kinematik yapısı sebebiyle Delta robot dakikada 300 al-bırak (pick and place) formunda operasyon hızına çıkabilir. Paralel robotların en çok tanınanlarından birisi de Gough-Stewart platformudur. Dr. Eric Gough 1954 yılında otomobil tekerleklerini test etmek için bir test düzeneği geliştirmiştir. 1965 yılında D. Stewart tarafından uçuş ve uzaydaki hareketi simüle etmek için bir düzenek tasarlanmıştır. Gough ve Stewart’ın tasarımlarının ikisi de tam anlamıyla bugün bilinen Gough-Stewart platformunu karşılamaz, çünkü iki tasarımdan esinlenilerek yeni bir platform tasarlanmıştır. İki tasarımcıya da ithafen Gough-Stewart platformu denmek âdet olsa da kısaca Stewart platformu olarak anılmaktadır. Günümüzde, Gough-Stewart platformu uçak, tank simülasyonu, araba yarışı oyun simülasyonları, eğlence sektöründe artırılmış gerçeklik uygulamalarında, tıp sektöründe ameliyatlarda vb. kullanılmaktadır. Delta robot iş uzvu dönme (oryantasyon) hareketine izin vermezken Stewart platformu 1 hem öteleme hem dönme hareketini sağlayabilmektedir. Paralel manipülatörler elbette bunlarla sınırlı değildir. Kinematik yapısının izin verdiği ölçüde çeşitli paralel manipülatörler tasarlanmıştır. Seri manipülatörler uzuvların birbirine eklenmesiyle oluştuğundan geniş bir çalışma uzayı sağlarken paralel manipülatörlerde daha küçük bir çalışma uzayı söz konusudur. Öte yandan seri manipülatörlerde uzuvların konum hataları iş uzvuna toplanarak aktarıldığından hassasiyetteki hata artar. Buna karşılık paralel manipülatörlerde bu durum söz konusu değildir; yani uzuvların konum hataları birbirine eklenmez. En büyük konum hatası önem arz eder. Bu yüzden, paralel manipülatörler, seri manipülatörlere göre daha hassastır. Ayrıca paralel manipülatörler daha rijit bir yapıya sahiptir. Seri ve paralel mekanizmaların bir arada kullanılmasıyla hibrit (melez) manipülatörler tasarlanabilmektedir. Hibrit manipülatör tasarımları ile seri ve paralel manipülatörlerin üstün tarafları bir araya getirilebilmektedir. Böylece, hem seri hem de paralel manipülatörden daha üstün nitelikte farklı tipte hibrit mekanizmalar yapılabilmektedir. Bir Stewart platformunun üzerine seri robot eklenerek çalışma uzayı artırılmış bir hibrit manipülatör yapılabilir. Nitekim literatürde bu şekilde yapılmış mekanizmalara rastlanmaktadır. Örneğin denizdeki dalga hareketi ile dalgalanan geminin üzerinde bir vincin ucunu uzayda sabit tutmaya çalışan bir simülasyon uygulaması örnek verilebilir. Tam tersine bir seri robot manipülatörün iş uzvuna oturtulmuş paralel manipülatör de tasarlanabilir. Seri robot ile geniş bir çalışma uzayında gezinme imkanı sağlanırken paralel manipülatör ile de hassas konum ve oryantasyon sağlanabilir. Tıp alanında böyle manipülatörlere rastlanmaktadır. Paralel manipülatörler son yıllarda giderek artan kullanım alanı bulmaktadır. Bu manipülatörler esasen kapalı kinematik zinciri içeren hacimsel veya düzlemsel mekanizmalardır. Bu manipülatörlerin ileri ve ters kinematiği seri manipülatörlerle zıt bir karakterdedir. Özellikle ileri kinematik paralel manipülatörlerde karmaşık nonlineer denklemlere sevk etmektedir. Bu zorluğu aşmak için genelde cebirsel çözüm metotlarına başvurulmaktadır. Bu metotlar genel 6-6 kurulum formuna uygulanabilir niteliktedir. Ancak belirli mimariye sahip paralel manipülatörlerde bu denklemler özel bir form 2 almaktadır. Bu tezde söz konusu özel formdan yararlanılarak analitik-nümerik iki etkin metot geliştirilmiştir. Bunların ilki bazı kökleri manipülatörün hareketli platformunun (diğer bir ifadeyle iş uzvunun-end effector-) muhtemel ve fiziksel olarak mümkün konumlarını verecek olan yüksek dereceli bir polinom vermektedir. Polinomun kökleri nümerik olarak bulunabilmektedir. İkinci metotta iki farklı hata fonksiyonu tanımlanmaktadır. Bunlardan biri Newton-Raphson ve benzeri bir algoritmayla çözülecek olan genel hata fonksiyonu için anlamlı başlangıç şartlarını elde etmekte kullanılmaktadır. Böylece nümerik yöntemin hızlı bir şekilde yakınsaması temin edilmektedir. Her iki metotun teorisi ve uygulaması ikisi hacimsel biri düzlemsel üç farklı manipülatör üzerinde açıklanmıştır. Bunlar 3-3 (veya 6-3) Stewart platformu, 3-RCS hacimsel paralel manipülatör ve 3-RRR düzlemsel paralel manipülatördür. Bu çalışmada ayrıca Gough-Stewart platformu gibi hacimsel paralel manipülatörlerde ileri kinematik analizde izlenen yoldan farklı olarak sabit platformdan hareketliye doğru geometrik bağıntılar geliştirilmiştir. Klasik yaklaşımda kinematik bağıntılar hareketli platformun sabit platforma göre yönelim matrisinin elemanlarıyla konum vektörünün bileşenlerinin bilinmeyenler olarak yer aldığı denklemler şeklinde elde edilmektedir. Bu nedenle aktüatörlerin sabit platforma bağlantı mafsallarının serbestlik derecesi ancak hız analizi aşamasında önem kazanmaktadır. Buna mukabil bu çalışmada daha ileriye konum analizi aşamasında mafsal türleri göz önüne alınarak kısıt denklemleri ele alınmaktadır. Hibrit manipülatörler seri ve paralel manipülatörlerin olumlu özelliklerini bir araya getiren mekanik sistemlerdir. Bununla birlikte kinematik bakımdan tamamen ters karakterde olan iki unsurdan oluştuğu için bu tür tasarımların hem ileri hem ters kinematikte yol açacağı muhtemel problemler göz önüne alınarak yapılması gerekir. Bu çerçevede tezde iki farklı tip hibrit manipülatörün ileri kinematiği ele alınmış, konum ve hız analizleri için bir metot geliştirilmiştir. Seri manipülatörlerde ileri kinematik matris operasyonlarıyla, örneğin Denavit-Hartenberg matrislerini kullanarak nispeten hızlı yapılabildiği hâlde paralel manipülatörlerde bu kolaylık söz konusu değildir. Bu nedenle tezde ele alınan hibrit manipülatörlerin hız analizleri için kinematiğin bilinen bağıntılarına dayanan bir metot geliştirilmiştir. 3 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI Seri robot manipülatörler veya kısaca seri manipülatörler, endüstride en çok kullanılan robot manipülatör tipidir. Seri manipülatörlerde uzuvlar birbirine seri (ardışık) olarak bağlıdır ve açık kinematik zincir yapısına sahiptir. Genellikle, 6 serbestlik derecesine sahip ve insan kol yapısına benzer olan (antropomorfik) robot manipülatörler kullanılmaktadır. Paralel robot manipülatörler veya paralel manipülatörler kapalı kinematik zincir yapısına sahiptir, uzuvlar birbirlerine paralel olarak bağlıdır. Hibrit manipülatörler, seri ve paralel manipülatörin birleşiminden ibaret melez manipülatörlerdir. Bu tezde paralel ve hibrit manipülatörlerde kinematik problemi ile ilgilenildiğinden aşağıda seri, paralel ve hibrit robot manipülatörler ile ilgili literatürdeki önemli çalışmalardan bahsedilecektir. 2.1. Seri Robotlar ile İlgili Kaynak Araştırması Seri robot manipülatör kinematiği temelleri detaylı bir şekilde çeşitli kaynaklarda açıklanmıştır (Angeles, 2012; Bottema ve Roth, 1990; McCarthy, 1990). Denavit-Hartenberg (D-H) gösterimi ilk defa, mekanizmaların kinematiğinde standart bir gösterim elde etmek için önerilmiştir (Denavit ve Hartenberg, 1955). Daha sonra, diğer araştırmacılar da bu gösterimi benimsemiş ve kullanımı yaygınlaşmıştır. Bazı araştırmacılar ise standard D-H gösterimi yerine modifiye D-H gösterimini önermiştir (Craig ve ark., 2005; Khalil ve Dombre, 2002; Yoshikawa, 1990). Açık zincire sahip manipülatörlerin ileri kinematik analizinin Homojen Transformasyon Matrisleri kullanılarak nasıl yapılacağı Paul ve Shimano (1978) tarafından gösterilmiştir. Kapalı zincire sahip manipülatörlerin geri kinematiği ise Pieper (1969) tarafından incelenmiştir. 4 Robot manipülatörlerde hassasiyet önemli bir konudur ve robot manipülatörlerde kalibrasyon ile ilgili çalışmalara başvurulmuştur. Roth ve ark. (1987) robot kalibrasyonunda modelleme, ölçüm ve düzeltme konularını incelemişlerdir. İş uzvu (end effector) konumunun ve yönünün doğrudan ölçümü için harici sensörlerin kullanılmasını gerektirmeyen yöntemler önerilmiştir (Edwards ve Galloway, 2016). Ters kinematiğin çözümü için tekrarlamalı algoritmalara dayalı sayısal yöntemler L. W. Tsai ve Morgan (1985) ve Goldenberg ve ark. (1985) tarafından geliştirilmiştir. Whitney (1969) ilk defa geometrik Jakobiyen kavramını tanıtmıştır. Analitik Jakobiyen kavramı ise Khatib (1987) sunulmuştur. Jakobiyen transpozesine dayanan ters kinematik algoritması, Sciavicčo ve Siciliano (1986) tarafından önerilmiştir. Manocha ve Canny (1994), altı serbestlik dereceli (6R mafsala sahip) bir robot manipülatörün geri kinematiğini çözmek için tek değişkenli bir polinom bulmaya ve köklerini çözmeye dayalı bir matematiksel yöntem geliştirmişlerdir. Çok değişkenliden tek değişkenliye indirgenmiş polinom bir matris determinantı olarak ifade edilebilmektedir ve kökleri bir özdeğer problemine indirgenerek hesaplanabilmektedir. Algoritma, sembolik ön işleme (pre-processing), matris hesaplamaları ve çeşitli diğer sayısal teknikleri içermektedir. Geliştirdikleri yöntemin tüm seri manipülatörlerin ters kinematiklerine uygulanabileceğini ifade etmektedirler. Köker ve ark. (2004), üç eklemli bir robotik manipülatör için yapay sinir ağı kullanılarak ters kinematik çözüm sunmuşlardır. Kübik yörünge planlamasını kullanarak robotik manipülatörün iş hacminde birçok başlangıç ve bitiş noktası belirlemişlerdir. Daha sonra gerçek dünya koordinatlarına (x, y, z) göre tüm açılar hesaplanarak sinir ağının eğitim kümesi oluşturulmuştur. Son olarak, ters kinematik problemini çözmek için tasarlanmış bir sinir ağı kullanmışlardır. Tasarlanan yapay sinir ağı verilen (x, y, z) kartezyen koordinatlarına göre hassas şekilde doğru açıları vermiştir. Yapay sinir ağının ters kinematik probleminde kullanılabileceğini göstermişlerdir. Aydin ve Kucuk (2006), Euler bilekli (Euler wrist) 6-DOF endüstriyel robot manipülatörlerinin ikili kuaterniyonlar (dual quaternion) kullanarak kapalı form 5 çözümlerini sunmuşlardır. Seri robot manipülatörleri için ters kinematik probleminin başlıca zorlukları, tekillikler ve nonlineerliktir. Kuaterniyon vektör çiftlerinin, aynı anda döndürme ve ötelemeyi temsil etmek için verimli matematiksel araçlar olduğu da gösterilmiştir. Alavandar ve Nigam (2008), ANFIS'in (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System) eğitim verilerinden öğrenme yeteneğini kullanarak bir yapay sinir ağı modeli geliştirmişlerdir. Geliştirdikleri yapay sinir ağı modelini, endüstriyel bir robot manipülatörün geri kinematik çözümünü elde etmede kullanmışlardır ve örnek olarak iki ve dört serbestlik dereceli iki robot üzerinde, uygulamalarının etkinliğini göstermişlerdir. ANFIS (Adaptive Neural-Fuzzy Inference Systems, Uyarlamalı Sinirsel Bulanık Çıkarım Sistemi), hibrit öğrenme algoritmasından ötürü daha az sayıda iterasyon adımı ile yakınsar. Bu nedenle eğitimli ANFIS, ters kinematiğin hızlı ve kabul edilebilir çözümlerini sağlamak için kullanılabilir. Bu durumun ANFIS'i ters kinematik çözümlerin haritasını çıkarmak için alternatif bir yaklaşım haline getirdiğini ifade etmişlerdir. Toz ve Küçük (2010), eğitim amaçlı MATLAB grafik kullanıcı arayüzüne (GUI) dayalı dinamik simülasyon için yeni bir robot araç kutusu geliştirmişlerdir. Sundukları araç kutusu, Langrange-Euler ve Newton-Euler formülasyonlarına dayalı olarak endüstriyel robot manipülatör dinamik denklemlerinin etkileşimli gerçek zamanlı simülasyonunu ve görselleştirmesini sağlamaktadır. Geliştirdikleri robot kütüphanesi içerisinde 16 tane endüstriyel robotun modeli bulunmaktadır. Yazılım, etkileşimli olarak bir robotu analiz etmek, ileri ve geri dinamik gibi robot dinamiğinin çevrim dışı programlamasını yapmak ve ayrıca robot dinamiğinin temel ilkelerini çok gerçekçi bir şekilde etkileşimli olarak öğretmek ve simüle etmek için kullanılabilir. Küçük ve Bingül (2014), 6-DOF (6 serbestlik dereceli) 16 adet endüstriyel robot manipülatör için ters kinematik çözümleri, kapalı form denklemlerinin varlığına dayalı olarak analitik ve sayısal olarak çözmüşlerdir. Kapalı formda çözülemeyen robot manipülatörlerin ters kinematiği için yeni bir sayısal algoritma önermişlerdir. Geliştirdikleri Yeni Ters Kinematik Algoritmasının (NIKA) performansını göstermek için, NIKA'dan elde edilen simülasyon sonuçlarını, iyi bilinen Newton-Raphson 6 Algoritmasından (NRA) elde edilenlerle karşılaştırmışlardır. Seçilen ilk tahmin açıları Jakobiyen matrisini tekil yaptığında NRA başarısız olurken, NIKA, tekil konfigürasyon için bile iyi ve hızlı yakınsama sağlamaktadır. Siddique Ahmed Ghias ve ark. (2016), akıllı tahmin yanıt yöntemini kullanarak beş eklemli bir robot manipülatör için ters kinematik çözümü geliştirmişlerdir. Akıllı tahmin algoritması olarak geriye yayılımlı yapay sinir ağı modeli kullanmışlardır. Ayyıldız ve Çetinkaya (2016), esnek bir üretim sisteminin al ve yerleştir (pick-and-place) işlemi için dört serbestlik dereceli bir seri robot manipülatörü tasarlamış ve geliştirmişlerdir. Manipülatörün kontrol sürecinin en önemli kısımlarından biri olan ters kinematik denklemlerinin çözümü, genetik algoritma (GA), parçacık sürü optimizasyonu (PSO) algoritması, kuantum parçacık sürüsü optimizasyonu (QPSO) olmak üzere dört farklı optimizasyon algoritması kullanılarak elde edilmiştir. Bu algoritmalar, manipülatörün iş uzvunun hareketi için iki farklı senaryo ile test edilmiştir. Manipülatör iş uzvunu çalışma uzayındaki noktalara başarılı bir şekilde ulaştırmak amacıyla manipülatörün ters kinematiğini optimizasyon algoritmaları kullanarak çözmüşlerdir. Dört algoritma çözüm süresine, iş uzvunun konum hatasına ve algoritmada kullanılan gerekli popülasyon sayısına göre karşılaştırılmıştır. QPSO'nun geliştirilen manipülatörün ters kinematik çözümü için etkin bir şekilde kullanılabileceğini göstermişlerdir. Zaplana ve Basanez (2018), fuzûli (redundant) serbestlik derecesine sahip seri manipülatörlerin ters kinematik problemi için kapalı formda çözümler türetmek için yeni bir yöntem geliştirmişlerdir. Literatürde bulunan diğer yöntemlerden farklı olarak, bu çalışmada açıklanan yöntemde, eklem değişkenleri parametrikleştirilmekte veya istenen bir değerde sabitlenerek fuzûli serbestlik derecelerinin verimli kullanımı sağlanmaktadır. Uzuv sayısı azaltılmış manipülatörler için kapalı form yöntemler kullanıldığından, bu çalışmada önerilen prosedür, fazla uzva sahip manipülatörler için tasarlanmış sayısal yöntemlere göre belli avantajlara sahiptir. Zhao ve ark. (2018), Geleneksel Denavit–Hatenberg yönteminde bitişik eksenlerin paralel veya paralele yakın olduğunda meydana gelen tekillik probleminden kaçınmak 7 amacıyla kinematik modelleme için vida teorisine dayalı üstel çarpım metodu geliştirmişlerdir. Ters kinematiğin sekiz çözümü elde edilmiş ve önerilen algoritmanın doğruluğu matematiksel olarak ispat edilmiştir. Dereli ve Köker (2019), yedi serbestlik dereceli bir seri manipülatörün ters kinematik çözümü için kuantum davranışlı bir parçacık sürüsü algoritması kullanmışlar ve sonuçları ateşböceği algoritması (FA), parçacık sürüsü optimizasyonu (PSO) ve yapay arı kolonisi (ABC) gibi diğer sürü teknikleri ile karşılaştırmışlardır. Yapılan testler, QPSO'nun hem konum hatası hem de çözüm süresi açısından diğer algoritmalardan çok daha iyi sonuç verdiğini göstermektedir. Yilmaz ve ark. (2020), altı eksenli bir seri manipülatörün mekanik yapısını incelemişlerdir. Kartezyen koordinatları ile eklem açıları arasındaki geçişi sağlayan ileri kinematik analizi Denavit-Hartenberg yöntemi kullanılarak yapmışlardır. Eklem değişkenlerinin hızı ile iş uzvunun hızı arasındaki ilişkiyi elde etmek için Jakobiyen matrisi türetmişlerdir. Sistemin Lagrange-Euler hareket denklemlerini çıkarmışlardır. Tasarım aşaması üç boyutlu ortamda gerçekleştirildikten sonra bu veriler MATLAB- Simscape ortamına aktarılarak fiziksel sistem tabanlı dinamik modeli elde etmişlerdir. Ardından robotun üç boyutlu tasarımını ve seçilen motorların uygunluğunu doğrulamak için ters dinamik problemi çözmüşlerdir. Bu maksatla dinamik modele konum, hız ve ivme değerleri girilerek eklem momentleri elde edilmiştir. Ters dinamikte kullanılan yörüngeler, beşinci dereceden bir polinom fonksiyonu kullanılarak hesaplanmıştır. MATLAB/Simulink simülasyon ortamındaki dinamik modele PID tabanlı denetleyici uygulanmış ve ileri dinamik problemi incelenerek sistem test edilmiştir. Šegota ve ark. (2020), bir robot manipülatörün eklem torklarını dolayısıyla kullandığı elektrik enerjisi miktarını düşürmek için evrimsel algoritmalara dayalı optimizasyon yöntemi geliştirmişlerdir. Fakat geliştirdikleri optimizasyon algoritması noktadan noktaya yörünge planlamasında kullanılabilmektedir ve sürekli yörünge planlaması için uygun değildir. Nonlineerlikten dolayı sürtünmeyi ihmal etmişlerdir. 8 Jin ve ark. (2022), altı serbestlik dereceli seri tip bir endüstriyel robotun kinematiği ve dinamiğinin matematiksel bir modelini oluşturarak modelin doğruluğunu MATLAB yazılım simülasyonunu kullanarak doğrulamışlardır. Hata modeline dayalı olarak her bir parametre hatasının iş uzvu üzerindeki hatasının etki ağırlığını hesaplamak için bir yöntem önermişlerdir. Eklem açılarında çoklu çözüm optimizasyonu yapıldıktan sonra sonuçlar üzerinde doğrusal enterpolasyon, parabolik enterpolasyon, polinom enterpolasyonu uygulanmış ve mukayese edilmiştir. Robotun kinetik özellikleri simüle edilip sonuçlar deneylerle kontrol edilmiştir. Khanesar ve Branson (2022), endüstriyel robotlar için statik ve sanki statik hızlarda (doğrusal hızlar 5 cm/s'den az) kayan kipli bir bulanık kontrol yaklaşımı geliştirmişlerdir. Manipülatör koordinatlarını kartezyen koordinatlardan eklem açısı uzayına çevirmek için kovaryans sıfırlamalı genişletilmiş Kalman filtresi kullanmışlardır. Çevrilen eklem açıları daha sonra kayan kipli bir bulanık denetleyici kullanılarak endüstriyel robot dinamiklerini kontrol etmek için bir referans sinyali olarak alınmıştır. Önerdikleri denetleyicinin kararlılığı ve sağlamlığını uygun bir Lyapunov fonksiyonu kullanılarak kanıtlanmışlardır. Önerdikleri denetleyicinin, bir robot modelinde belirsizliklerin varlığında sistemi yüksek performansla kontrol edebildiğini göstermişlerdir. Baressi Šegota ve ark. (2022), endüstriyel robot manipülatör dinamiğinin modellenmesi için Newton-Euler ve Lagrange-Euler metotlarının kullanımını incelemişlerdir. Önceden var olan dinamik modelleri kullanarak sentetik veri kümesi oluşturmuşlardır ve ayrıca makine öğrenimi kullanarak endüstriyel bir manipülatörün dinamiğini modellemişlerdir. 20.000 veri noktasından oluşan veri setini oluşturmuşlar ve hiperparametre ayarı için rastgele arama (Random Search) kullanarak manipülatörün her eklemi için bir tane ve toplam tork için bir tane olmak üzere yedi ayrı çok katmanlı algılayıcı yapay sinir ağını oluşturmuşlardır. Geliştirilen model yalnızca kullanılan endüstriyel manipülatör için geçerli olduğundan ve modelleme sürecinin farklı robotlar için tekrarlanması gerekeceğinden, yaklaşımın sınırlı olduğu açıktır. Yine de bu yaklaşımın, geometrik olarak karmaşık manipülatörlerde, özellikle daha yüksek sayıda serbestlik derecesine sahip olanlarda, kesin bir tork değerinin gerekli olmadığı uygulamalarda uygulanabileceğini belirtmişlerdir. 9 Toquica ve Motta (2022), robot çalışma uzayı içindeki birkaç küçük bölgeden toplanan ölçüm verilerini kullanarak endüstriyel robotları kalibre etmeye yönelik bir yaklaşım sunmuşlardır. 2.2. Paralel Robotlar ile ilgili Kaynak Araştırması Düzlemsel veya hacimsel paralel manipülatörler, yüksek rijitlikleri, doğrulukları ve yük taşıma kapasiteleri nedeniyle tercih edilmektedir. Ancak, seri manipülatörlerden daha küçük çalışma alanlarına sahiptirler. Stewart platformu (SP) iyi bilinen bir hacimsel manipülatör türüdür. Bu manipülatörler, aktüatörlerle birbirine bağlanmış bir sabit ve bir hareketli platforma sahiptir. Bu manipülatör tipi için 6-6, 6-3, 3-3 vb. gibi çeşitli konfigürasyonlar mevcuttur (Jean-Pierre Merlet, 2006). Bu sayılar, sırasıyla sabit ve hareketli platformlardaki mafsal sayısına atfedilir. Seri manipülatörlerin aksine, paralel manipülatörlerin ileri kinematiği, ters kinematikten daha karmaşıktır. Bu nedenle birçok araştırmacı, diğer paralel manipülatörlerle birlikte SP'nin ileri kinematiğine odaklanmıştır. İleri (direkt) kinematikte, aktüatörlerin kinematik parametrelerinden hareketli platformun kinematik parametrelerine, yani hareketli platformun duruşuna, hızına ve ivmesine geçiş için döngü denklemleri ve rijitlik koşulları kullanılır. Paralel düzlemsel manipülatörler (PPM), gereksiz serbestlik istenmediği sürece genellikle üç serbestlik derecesine (serbestlik derecesi) sahiptir. İlgili literatürde 3 RPR veya 3 RRR gibi çeşitli tasarım varyantlarına rastlanmaktadır. C.M. Gosselin ve ark., üç serbestlik dereceli düzlemsel manipülatör için yeni bir tasarım önermiştir. Merlet (1996), farklı tipte düzlemsel paralel manipülatörlerin ileri kinematiğini inceledi. Clément M. Gosselin ve Merlet (1994), Sturm teoremini kullanarak düzlemsel paralel manipülatörlerin ileri kinematiği için maksimum sayıda çözüm elde ettiler. Önerilen polinomun altı kökü olmasına rağmen, kalan iki çözüm mümkün olmadığı için yalnızca dört çözümün olduğunu gösterdiler. Hamdoun ve ark. (2015), 3RRR paralel robotun ters kinematik modelini gerçekleştirdi ve çalışma uzayı analizi yaptı. Sayed ve ark. (2020), dört farklı sinir ağı algoritması kullanılarak 3-RRR paralel düzlemsel bir robotun kinematik ve dinamik analizi gerçekleştirmişlerdir. 10 Stewart platformuyla ilgili ayrıntılı literatür için, Dasgupta ve Mruthyunjaya (2000)’nın çalışmasına başvurabilir. K. M. Lee ve Shah (1988) doğrusal aktüatörlerin döner eklemlerle sabit plakaya bağlandığı 3-dof hacimsel paralel bir platform üzerinde çalışmıştır. Bu çalışmadan ilham alan Nanua ve ark. (1990) 6-3 ve 3-3 Stewart platformları için bir çözüm prosedürü geliştirdi. J.-P. Merlet (1991a) üçgen şekilli hareketli bir platforma sahip 6-dof Stewart platformunun onaltıncı derece bir polinom ile çözülebileceğini gösterdi. Başka bir makalede J.-P. Merlet (1991b), paralel manipülatörlerin minimum dereceli ve tekil konfigürasyonlarının çözüm polinomunu belirlemek için sembolik hesaplama kullanmıştır. Rouillier (1995), çözüm polinomunun gerçek köklerini saymak için bir yöntem önerdi. Wampler (1996) Soma koordinatlarını kullanarak genel bir Stewart platformunun ileri kinematiğini de inceledi. Hem hacimsel hem de düzlemsel paralel manipülatörler için ileri kinematik analiz, kinematik kısıt denklemlerine dayanan bir dizi doğrusal olmayan denkleme yol açar. Bu denklemler uygun dönüşümlerle cebirsel denklemlere dönüştürülebilir. Araştırmacılar bu denklemleri Bezout yöntemi (Sommese ve Wampler, 2005; Der-Ming, 1999), Gröbner bazları yöntemi (Mourrain, 1993; Husty, 1996; Innocenti, 2001), aralık analizi yöntemi (J.-P. Merlet, 2004; Didrit ve ark., 1998) gibi farklı yöntemler kullanarak çözmeye çalışmışlardır. Cebirsel eleme/eleminasyon yöntemi (Huang ve ark., 2010) ve Newton- Raphson yöntemi (Der-Ming, 1999; Xie ve ark., 2021) gibi sayısal yöntemler veya konformal geometrik cebir yöntemlerini kullanma (G. Zhu ve ark., 2021), belli başlı farklı çözüm yöntemleridir. Ancak, bazı özel durumlarda, bu denklem seti daha basit tekniklerle çözülebilir (Nanua ve ark., 1990). Innocenti ve Parenti-Castelli (1990), Stewart platform mekanizmasının ileri konum analizini, kapalı formda elde etmişlerdir. Platformun onaltıncı dereceden bir polinoma dönüştürülebildiğini göstermişlerdir. Genel bir altı serbestlik dereceli paralel manipülatörün bağlantı uzunluklarının ölçümü, platformunun gerçek benzersiz duruşunu belirlemek için yeterli değildir. Bu yüzden, Tancredi ve Merlet (1994), dört ekstra sensör eklemenin genel olarak bir ve tek çözüme yol açtığı gösterilmiştir. Bu çözümün analitik bir formunu türetmişler ve ardından 11 sağlamlığını sensör hatalarına göre incelemişlerdir, manipülatör için hata haritalarını çıkarmışlardır. Dasgupta ve Mruthyunjaya (1996), genel bir 6-6 Stewart platformunun ileri kinematiğini ele alarak çözüm için yeni ve verimli bir algoritma sunmuşlardır. Sunulan algoritma, temel olarak, genel bir 6-6 Stewart platformunun tüm gerçek montaj konfigürasyonlarını tamamen geometrik unsurlar ile aramaya dayalıdır. Algoritma, temel olarak, üç bacağın doğru uzunluklarına ve diğer üç bacak uzunluğundan doğruluğu varsayılan üç parametreye dayalı olarak geçici konfigürasyonları tahmin etmekle ilgilidir. Arama çok hassas ise, hesaplama maliyeti çok yüksek olur ve çok sayıda aramayı tahmin etme olasılığı vardır. Öte yandan, arama çok kabaysa ve tolerans yakınsa, tahmin edilmeyen bazı çözümlerin tamamen atlanması olasılığı vardır. Wampler (1996), genelleştirilmiş Stewart platformu için, altı bacak uzunluğu verildiğinde problemin genel oarak en fazla 40 tekil olmayan çözümü olabileceğini sayısal olarak ispat etmiştir. Dietmaier (1996), iki gövdenin her birindeki altı bağlantı noktasının bir merkez noktasına göre simetrik olarak düzenlendiği özel bir simetrik Stewart-Gough platformu türünü analiz etmiştir. Simetrik olarak eşit aktüatör uzunlukları ile karakterize edilen bu platformların özel bir alt grubu için, ileri kinematik probleminin oldukça kolay bir şekilde çözülebileceği ve bu tür platformların 24'e kadar konfigürasyona sahip olabileceğini göstermiştir. Dunlop ve Jones (1997), üç serbestlik dereceli paralel mekanizmanın ileri ve ters kinematiğini kapalı formda türetmişlerdir. Çalışmalarındaki mekanizma, döner mafsallar aracılığıyla bir tabana üç kol ile bağlıdır. Diğer üç kol da pasif döner mafsallar aracılığıyla bir üst platforma bağlıdır. 3-DOF’li paralel mekanizmasının ileri ve ters kinematiğini elde etmişlerdir. İleri kinematik denklemler, 16 olası platform konumunu vermektedir, bunların tümü fiziksel olarak gerçekleşmez. Yani köklerin çoğu karmaşık eşlenik çiftlerden oluşur. Ters kinematik denklemlerin her bir kol için iki olası pozisyon verdiğini göstermişlerdir, bu da ters kinematik problemin sekiz olası çözümü olduğunu gösterir. 12 Dasgupta ve Mruthyunjaya (1998), en genel mimariye sahip Stewart platform manipülatörü için Newton-Euler yaklaşımıyla ters dinamik bir formülasyon sunmuşlardır. Belirli bir yörüngeyi izlerken bacaklardaki aktüatör kuvvetlerini hesaplayan bir algoritma geliştirilmişlerdir. Bir bacağa ait tüm bilinmeyenler, diğerleri elenerek bir bilinmeyen cinsinden ifade edilmiştir. Son olarak, altı bacak için bu altı bilinmeyen, platformun dinamik denklemlerinden çözülmüş ve aktüatör kuvvetleri hesaplanmıştır. Sonuçlar, bacak ataletinin dikkate alınmasının, Stewart platform manipülatörünün dinamiği için oldukça önemli olduğunu göstermektedir, çünkü genellikle aktüatörlerde talep edilen kuvvetlerin %20-50'sine katkıda bulunduğu bulunmuştur. Der-Ming (1999), Stewart platform mekanizmasının ileri kinematik analizini sunmuşlardır. Çözümlerin hızlı ve verimli bir şekilde elde edilebilmesi için geleneksel kapalı form formülasyon yerine Newton–Raphson yöntemini temel alan basit bir metod önermişlerdir. Liu ve ark. (2000), Kane denklemine dayanan Stewart platformunun ileri dinamik denklemlerini farklı bir metodla elde edip modellemişlerdir. Bu yöntemde, Stewart platform manipülatörünün her bir ayağı bağımsız alt yapı olarak ele alınmıştır. Geleneksel Newton-Euler yöntemi ve Lagrange formülasyonu ile karşılaştırıldığında, bu çalışmadaki önerilen modelleme sürecinin daha basit ve sistematik olduğunu ve nihai dinamik denklemlere ulaşmanın basit olduğunu göstermişlerdir. Yurt ve Ozkol (2001), çalışmalarında 6-3 tipi Stewart platformunun kinematiği, dinamiği ve kontrolünü incelemişlerdir. İlk olarak, ele alınan mekanizmanın dinamik modeli verilmiştir. İkinci olarak hassas bir konumlandırma ve iyi bir dinamik performans modeli elde edecek bir kontrol algoritması geliştirmişler ve algoritmalarını çeşitli başlangıç değerleri ile test etmişlerdir. Kontrol algoritmalarında PD (orantı+türev) etkili kontrol algoritması kullanmışlardır. Geliştirdikleri bu PD algoritmasının %1’den daha az konumlandırma hatasıyla çalıştığını göstermişlerdir. 13 Harib ve Srinivasan (2003), ters kinematik, konum, hız ve ivme kinematiği için kapalı form çözümleri sunmuşlardır. Bu çözümlerin bir parçası olarak, mekanizmanın ters Jakobiyen matrisi ve bunun zamana göre türevi türetilmiştir. Genel haldeki Stewart Platformlarının ileri kinematik problemi için Newton Raphson yöntemine dayalı sayısal yinelemeli bir çözümü kullanmışlardır. Gerçek çözüme yeterince yakın bir ilk tahminin mevcut olması koşuluyla, birkaç iterasyondan sonra kabul edilebilir bir çözüme ulaşılabileceğini göstermişlerdir. Güç verilmeyen pasif eklemlerin açısal hızları ve ivmeleri için kinematik analizleri sunulmuştur. J. P. Merlet (2004), Gough tipi bir paralel robot ele alıp ileri kinematiği çözmemize, yani verilen ortak koordinatlar için platformun tüm olası pozlarını belirlemeye izin veren aralık analizine dayalı verimli bir algoritma sunmuştur. Bu yöntemin avantajı tüm çözümleri, önceden seçilmiş bir doğrulukla hesaplanabilecekleri ve tekil konfigürasyonların algılanabileceği şekilde sağlanmasıdır. Bai ve ark. (2006), hareket denklemlerini oluşturmak ve çok gövdeli sistemler için Lagrangian yöntemiyle uyarlanabilir bir PID kontrol yasası tasarlamak için yeni bir yaklaşım sunmuşlardır. En genel Stewart Platformu için kapsamlı hareket denklemleri geliştirmişlerdir. Mahmoodi ve ark. (2008), Stewart platformunun ters dinamik problemini çözmek için yeni bir Newton-Euler yöntemi sunmuşlardır. Geliştirdikleri yöntem, gereksiz matris manipülasyonlarını elimine etmektedir. Modellerinin doğruluğunu MATLAB ve SIMULINK ortamında simülasyonlarla doğrulanmış ve sonuçları literatürdeki başka çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırmışlardır. Geliştirdikleri yöntemin, önceki yöntemlere kıyasla üç kat daha hızlı olduğunu kanıtlamışlardır. Vossoughi ve ark. (2010), paralel mekanizmaların (PM'ler) çalışma alanı tespiti için optimizasyona dayalı bir algoritma önermişlerdir. Önerdikleri algoritmada, nokta nokta arama ile birlikte optimizasyon yaklaşımının uygulanması sayesinde, nokta nokta aranan uzayın boyutunu (ve dolayısıyla harcanan zamanı) önemli ölçüde azaltılmışlardır. Optimizasyon tekniği olarak Parçacık Sürüsü Optimizasyonu kullanmışlardır. Bu 14 algoritma, hem düzlemsel hem de hacimsel paralel manipülatörlerin çalışma alanının bulunmasında ve oryantasyonu sabit tutularak çalışma uzayının bulunmasında uygulanabilmektedir. K. Li ve Wen (2011), 6 serbestlik derecesine sahip 6-RSS paralel robotun tam dinamik modelini oluşturmuşlardır. Ters kinematik için kapalı form denklemleri ve eklem uzayından görev uzayına hız ve ivme dönüşümlerini vermişlerdir. Newton-Euler yöntemine dayalı olarak bir zincirdeki kuvvet ve momentin denge denklemlerini elde etmişler ve 6-RSS paralel mekanizmasının rijit cisim dinamiği modelini sunmuşlardır. Bangjun ve ark. (2012), Stewart platformlarının dinamik performansını artırmak için Evrimsel Çok Amaçlı Optimizasyon (Evolutionary Multi-objective Optimization, EMO) tabanlı optimizasyon algoritması geliştirmişlerdir. Fichter (2016) genel Stewart platformunun kinematik denklemlerini türetmiş, dinamik denklemleri formüle etmiş (hidrolik silindir kütleleri ihmal edilmiş ve eklemler sürtünmesiz kabul edilmiştir) ve birkaç tekil konfigürasyonu sıralayarak tekillik koşulunu incelemiştir. Azar ve ark. (2017), paralel robot manipülatörleri için farklı kontrol tasarım yaklaşımlarını, literatürdeki iki farklı kontrol stratejisi sınıfı ile sunmuşlardır. Çalışmalarında, modelden bağımsız kontrol ve dinamik kontrol stratejileri kullanmışlardır. Chen ve ark. (2020), Gough-Stewart paralel robotunun kapalı döngü kontrolünü gerçekleştirmişlerdir. Bu robotun kontrolü için kayan kipli kontrolcü (sliding mode controller) ve süper bükümlü kontrolcü (super twisting controller) kullanmışlardır. Simülasyon sonuçları ile dinamik modelin geçerliliğini ve iki kontrolörün kararlılığını kanıtlamışlardır. Bu iki denetleyiciyi karşılaştırarak, süper bükümlü denetleyicinin özellikle peg-in-hole işleminde kullanılan kayan kipli denetleyiciden daha iyi olduğunu göstermişlerdir. 15 Yang ve ark. (2022), genel Stewart platformunun gerçek zamanlı ileri kinematiği için, eklemler arasında dikeylik, paralellik ve kesişme gibi hiçbir geometrik kısıtlamanın varsayılmadığı bir geometrik algoritma önermişlerdir. Stewart-Gough platformunun ileri kinematiği, altı serbestlik derecesinde yüksek hassasiyetli konumlandırma ve algılama için hayati önem taşır. Yin ve ark. (2022), ileri kinematiğin çözümünü, ters kinematik hesaplama ile giriş uzunluk vektörlerine karşılık gelen en iyi konumu aramaya çalışmışlardır. Yakınsama hızını iyileştirmek ve yerel yakınsamanın üstesinden gelmek için parçacık sürüsü optimizasyonunu (PSO) kullanmışlardır. Önerdikleri SA-PSO (Simulated Annealing Particle Swarm Optimization) algoritması yalnızca yakınsama hızını artırmakla kalmamış aynı zamanda güvenilirliği ve başarı oranını da artırmıştır. Algoritma parametrelerinin optimizasyonundan sonra, rastgele platform bacak uzunluğu vektör seçimi ile SA– PSO'nun başarı oranı sürekli olarak %99,9'un üzerindeyken, PSO'nun sonuçları %93 ile %100 arasındadır. Geleneksel Newton-Raphson yöntemiyle karşılaştırıldığında, SA-PSO yönteminin başarı oranının daha yüksek ve daha az zaman aldığını göstermişlerdir. Altı serbestlik dereceli bir platformda fiziksel bir deney gerçekleştirip verilen algoritmanın güvenilir ve doğru olduğunu ispat etmişlerdir. Son zamanlarda paralel manipülatörlerin ileri kinematiği ile ilgili yayınlanan makaleler, makine öğreniminin kullanımı (Chauhan ve Vundavilli, 2022), ileri kinematik problemini uygun bir ters kinematik analizine dönüştürmek (Yin ve ark., 2022) veya yeni analitik/analitik-sayısal birleşik yöntemler önermek üzerine odaklanmıştır. H. Zhu ve ark. (2022) Stewart platformunun ileri kinematiği için bir sinir ağının ağırlıklandırma faktörünü optimize ederek iyileştirme gibi konulara odaklanmaktadır. 2.3. Hibrit Robotlar ile ilgili Kaynak Araştırması Tsai ve Joshi (2002), bir konum mekanizması ve bir yönlendirme mekanizması içeren yeni tip bir hibrit manipülatör geliştirmişlerdir. Daha sonra bu konum mekanizmalarının ters kinematiğini ve Jakobiyen matrisi türetmişler. 16 Tanev (2006), paralel-seri tipte hibrit manipülatörün çalışma uzayının belirlemesi için yeni bir algoritma geliştirmişlerdir. Bu algoritma, hibrit manipülatör için ters kinematik problemin elde edilen kapalı form çözümüne dayanmaktadır. Mohammadipanah ve Zohoor (2009), sekiz serbestlik derecesine sahip bir hibrit robot manipülatörünün kinematik ve dinamik analizini yapmışlardır. Ele aldıkları hibrit robot manipülatör, bir seri mekanizma tarafından takip edilen paralel bir robottan oluşmaktadır. Paralel mekanizma üç öteleme serbestlik derecesine sahipken seri mekanizmanın beş serbestlik derecesi vardır. Tanıtılan manipülatör, geniş bir çalışma uzayına sahiptir. İleri kinematik çözümler kapalı formda açıklanmıştır. Teorik sonuçlar sayısal bir örnekle doğrulanmıştır. Robotun ters dinamik analizi, yinelemeli Newton-Euler ve Lagrange dinamik formülasyon yöntemleri kullanılarak sunulmuştur. Çok adımlı bir ark kaynağı işlemi gerçekleştirmek için tanıtılan manipülatörün harekete geçirme enerjisini azaltma konusunda oldukça yetenekli olduğunu göstermişlerdir. Rahmani ve Ghanbari (2014), iki adet üst üste konulmuş Stewart platformunun paralel yapısına sahip bir seri-paralel manipülatörün kinematik analizini sunmuşlardır. Hibrit manipülatörün kinematik modelini çıkarmışlardır. Denklemlerdeki nonlineerlikten dolayı, çözüm için dalgacık sinir ağını (Wavelet Network-WNN) uygulamışlardır. Ayrıca sinir ağı sonuçlarını, kapalı form çözüm (CFS) ile karşılaştırarak önerilen WNN'nin yüksek doğruluk performansını göstermişlerdir. Lu ve Dai (2016), lineer aktif ayaklara sahip üç veya daha fazla paralel manipülatörün birbirine seri olarak bağlandığı hibrit manipülatörün kinematiğini ve dinamiğini incelemişlerdir. Hareketli uzuvların hızları ile giriş hızları arasındaki matematiksel ilişkiyi çıkarmışlardır. Hibrit manipülatörün yer değiştirmesi, hızı ve ivmesi ve ardından tüm hareketli uzuvların atalet kuvveti ve yerçekimi sabit koordinat sistemine dönüştürülmüştür. 3SPR + 3SPR + 3RPS tipi manipülatörün kinematiği ve dinamik aktif/kısıtlı kuvvetlerini çözmüş ve doğrulamışlardır. Küçük ve Güngör (2016), tıbbi ameliyatlarda kullanılmak üzere bir hibrit manipülatör geliştirmişlerdir. Bu hibrit manipülatörün ilk kısmı üç serbestlik dereceli olan SCARA 17 tipi seri robot iken, bu seri robotun ucuna Stewart platformu benzeri bir manipülatör eklenmiştir. Geliştirdikleri hibrit manipülatörde, iş uzvu arzu edilen konumuna seri robot kısmıyla ulaşılırken yönelim/oryantasyonu ise paralel manipülatör ile ayarlanmaktadır. Çalışmalarında, bu yeni tipteki hibrit manipülatörün geri kinematiğini çözmüşlerdir. Yeshmukhametov ve ark. (2017), seri, paralel ve hibrit manipülatörlerin birbirine göre avantaj/dezavantaj ve karşılıklı karşılaştırmalarını vermişlerdir. Robotun çalışma uzayı açısından, hibrit manipülatörlerin üstünlüğünü göstermişlerdir. Zhonglin Wang ve ark. (2017), 2-URR-RRU tipi paralel manipülatörün dinamik denklemlerini Newton-Euler metotudyla çıkarmışlardır. Vida teorisine dayalı analiz gerçekleştirmişlerdir. Kuvvet performansına dayalı optimizasyon gerçekleştirmişlerdir. Zhang ve ark. (2018), beş serbestlik derecesine sahip seri-paralel hibrit manipülatörü (2R1T 2UPU/SP tipinde) incelemişlerdir. İnceledikleri hibrit manipülatörün konum, hız ve ivme analizinin ardından ters dinamik modelini sanal işler (virtual work) prensibini kullanılarak çıkarmışlardır. Çalışma uzayını, MATLAB ve CAD programlarını kullanarak görselleştirmişlerdir. MATLAB ve ADAMS yazılımı aracılığıyla ters kinematik ve dinamik modeller için sayısal benzetimleri yapıp sonuçların kinematik ve dinamik modeller ile doğruluğunu göstermişlerdir. Xu ve ark. (2020), beş serbestlik derecesine sahip (2R1T paralel mekanizması R(2RPR)R/SP) bir hibrit manipülatör geliştirmişlerdir. Çalışma uzayı ve hareket/kuvvet iletiminin performansı gibi indeksler göz önüne alarak, manipülatörün paralel kısmının ana boyutlarını optimize etmişlerdir. Mekanizmanın ters kinematiğine dayanan bir çalışma uzayı arama yöntemi önermişlerdir. Y. Li ve ark. (2020), altı serbestlik dereceli, insan koluna benzer bir geometriye sahip seri-paralel hibrit manipülatör tasarlamışlardır. İnsansı kolun kinematiğinde Denavit- Hartenberg (DH) yöntemini kullanmışlardır, dinamik denklemleri ise hem Lagrange hem de sanal iş (virtual work) yöntemleri ile çıkarmışlardır. Dinamik performans değerlendirme indeksi ve kuvvet haritalama performans değerlendirme indeksi 18 geliştirmişlerdir. Robotun maksimum hızda veya minimum enerji tüketecek tarzda hareketini sağlayacak bir genetik algoritma geliştirmişlerdir. Zesheng Wang ve ark. (2021), insan kolunun hareket özeliklerinden esinlenerek yedi serbestlik dereceli bir seri-paralel hibrit insansı robotik kol geliştirmişlerdir. Çalışmalarında, daha hızlı tepki, daha düşük enerji ve daha yüksek satibilite ile noktadan noktaya bir görevi yürütmek için çok amaçlı yörünge planlama optimizasyonu yapmışlardır. 19 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu çalışmada belirli tasarıma sahip düzlemsel ve hacimsel paralel manipülatörlerde ileri kinematik için iki farklı metot geliştirilmiş ve bunun yanı sıra iki farklı tipte hibrit (hybrid=melez) manipülatörün ileri kinematik çözümü mevcut literatürden farklı bir şekilde çıkarılmışıtr. Esasen hibrit manipülatörler seri ve paralel manipülatörlerin kombinasyonu olduğundan çalışmada bütünlüğü sağlamak amacıyla seri ve paralel manipülatörlerle ilgili temel kavram ve tanımlar gerek duyulduğu ölçüde gözden geçirilecektir. Bu maksatla önce rijit bir cismin serbestlik derecesi, konumu (position) ve yönelimi (orientation) konusu incelenecektir. Bilhassa seri ve paralel manipülatörlerde düz (direct/forward=ileri) ve ters (inverse/backward=geri) kinematik bağıntıları verilecektir. Paralel manipülatörlerin incelenmesi sırasında bu tez çerçevesinde ileri kinematik için geliştirilen iki özgün yöntem sunulacaktır. Son olarak hibrit manipülatörlerde bu konular ele alınarak farklı yapıda iki hibrit manipülatör için düz kinematik bağıntılarının çıkarılışı açıklanacaktır. Bu bölümde daima kartezyen koordinat takımları esas alınacaktır. 3.1. Rijit Cismin Serbestlik Derecesi Hareketlerinde herhangi bir kısıtlama olmayan rijit bir cismin üç boyutlu uzayda altı serbestlik derecesine sahip olduğu yukarıda ifade edilmişti. Buradaki serbestlik derecesinden kasıt geometrik serbestlik derecesidir. Rijit cismin bir de kinematik derecesi vardır. Bu serbestlikler ise rijit cismin çakışık (collinear) ve aynı düzlemde (co-planar) olmayan üç eksen boyunca keyfi miktarda ötelenmesine ve keyfi miktarda dönebilmesine karşılık gelir. Bu nedenle kinematik serbestlik derecesine bazen cismin sonsuz küçük yer değiştirmelerine ait serbestlik derecesi de denmektedir. Diğer cisimlerle irtibatının şekline bağlı olarak bir cismin kinematik serbestlik derecesi ile geometrik serbestlik derecesini ifade eden sayılar aynı olabilir veya olmayabilir. Bu durum sistemin holonom veya holonom olmayan (non-holonom) şeklinde sınıflandırılmasına yol açar. Holonom olmayan hallerde geometrik serbestlik derecesi kinematik serbestlik derecesinden büyüktür. Holonom olmayan sistemlerde kısıt denklemleri kolayca integre edilerek fuzulî (redundant) koordinatlar esas (principal) koordinatlar cinsinden ifade edilemez. Böyle durumlarda hareket denklemlerinin tanımlayıcı (descriptive) formuyla yola devam edilir. 20 Fuzulî koordinatlar kolayca yok edilemediğinden hareket denklemleri durum uzayı (state space) formuna getirilemez. Holonom mekanik sistem bir başlangıç konfigürasyonundan ardışık konfigürasyonlardan geçerek nihâi durumuna getirildikten sonra tekrar ilk durumuna döndürülmek istense daha önce geçtiği konfigürasyonlardan geçerek ilk hâline döner. Holonom olmayan sistemde böyle bir mecburiyet yoktur. Holonom olma ve olmama hususu özellikle yürüyen robotlar için önem arz eder. Bir mekanik yapıda (mekanizma, makine, manipülatörde vs. gibi) genel olarak bir takım uzuvlardan hareket verilir ve diğer bazı uzuvlardan da hareket alınır veya bazı uzuvlar belli konumlara getirilerek diğer uzuvların belli konumlara gelmesi sağlanır. Konumlanması kontrolümüzde olan uzuvların; yani tahrik uzuvlarının (driving links) veya başka bir ifadeyle mekanik yapıdaki uzuvların konuşlanmasını tanımlayan parametrelerden (koordinatlardan) kontrol edebildiklerimizin sayısı o mekanik yapının serbestlik derecesidir. Esasen bu sayı genel halde tahrik motorları sayısı ile uzunluk ve açı gibi bazı değerlerin ayarlama imkânları sayısının toplamıdır (örneğin bir uzvun boyu değiştirilebilir ve bilahare bu boy sabit tutulur). Bu imkânlar yoksa serbestlik derecesi genel olarak tahrik uzuvları sayısına eşittir. 3.2. Rijit Bir Cismin Konum ve Yönelimi Rijit bir cismin uzaydaki yerleşimi aşağıdaki şekillerde tanımlanabilir: -Cismin üç noktasının verilmesi. Noktalar A,B ve C olsun. Normalde üç nokta için üçer koordinattan dokuz koordinat verilmesi gerekir. Ancak AB, BC ve CA mesafelerinin korunması gerektiğinde aşağıdaki bağıntılar geçerlidir (Şekil 3.1a): ‖𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵 ⃗‖ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴) 2 + (𝑦 − 𝑦 )2 + (𝑧 2 2𝐵 𝐴 𝐵 − 𝑧𝐴) = 𝑙𝐴𝐵 ‖𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶 ⃗‖ = (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵) 2 + (𝑦𝐶 − 𝑦 2 𝐵) + (𝑧𝐶 − 𝑧 2 2 𝐵) = 𝑙𝐵𝐶 (3.1) ‖𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴 ⃗‖ = (𝑥𝐴 − 𝑥 2 𝐶) + (𝑦 − 𝑦 ) 2 𝐴 𝐶 + (𝑧𝐴 − 𝑧𝐶) 2 = 𝑙2𝐶𝐴 21 (3.1) denkleminden dokuz koordinatörün hepsinin keyfi verilemeyeceği, bunların ancak koordinat sayıları – kısıt sayısı = 9-3=6 adedinin keyfi seçileceği anlaşılır. Neticede rijit bir cismin geometrik serbestlik derecesinin altı olduğu görülmektedir. -Cismin iki noktası ile bu iki noktayı bağlayan eksen etrafındaki sonlu dönme açısının verilmesi. Noktalar A ve B, dönme açısı 𝜑 olsun. Burada bir adet rijitlik şartı vardır: ‖⃗⃗𝐴⃗⃗𝐵 ⃗‖ = (𝑥𝐵 − 𝑥 ) 2 𝐴 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) 2 + (𝑧 2 2𝐵 − 𝑧𝐴) = 𝑙𝐴𝐵 (3.2) İki nokta altı koordinat demektir. Ancak bu koordinatlardan beşi keyfî verilebilir. Ayrıca 𝜑 açısı keyfîdir. Neticede cismin serbestlik derecesi yine altı olur (Şekil 3.1b). Cismin iki noktasının koordinatlarını vermek yerine bir noktasının mesela A noktasının koordinatları ve bu noktadan geçen dönme eksenini tarif eden ?⃗? = 𝑢 𝑥𝑖 + 𝑢𝑦𝑗 + 𝑢𝑧?⃗? (3.3) şeklinde bir birim vektör verilerek de dönme ekseni tanımlanabilir. Ancak 𝑢2𝑥 + 𝑢 2 𝑦 + 𝑢 2 𝑧 = 1 (3.4) olduğundan bu üç bileşenden ikisi keyfi seçilebilir, üçüncüsünü (3.4) bağıntısı tayin eder. Dolayısıyla dönme ekseni tek biçimde (unique) tanımlanmış olur. Bilahare cismin bu eksen etrafında dönme açısı verilerek cismin konum ve yönelimi tanımlanmış olur. Neticede yine altı sayının verilmesi söz konusudur. İleride görüleceği üzere bu tarz yönelim tanımlamada dönme eksenini temsil eden birim vektörün bileşenleri Euler parametrelerini teşkil eder. -Cismin bir noktasının ve bu noktadan geçen ve hem çakışık hem de aynı düzlemde olmayan üç eksen etrafında dönme açılarının verilmesi. Bu durumda keyfî bir noktanın üç koordinatı ile üç dönme açısı toplam altı büyüklük söz konusu olup rijit cismin serbestlik derecesinin altı olduğu bir kez daha anlaşılır (Şekil 3.1c). 22 C b 𝑙𝐶𝐴 𝑙𝐵𝐶 B n A 𝑙𝐴𝐵 B t z A A z o z x y o x y x y (a) (b) (c) Şekil 3.1. Rijit cismin yerleşiminin tanımlama yolları. Bu altı parametrenin üçü cismin konumunu (yani cismin bir noktasının uzaydaki yerini) belirlemek içindir. Diğer üçü ise cismin yöneliminin tanımlanmasında kullanılır. Buraya kadar açıktan ifade edilmemekle beraber cismin konum ve yönelimini tanımlayan koordinatların sayısal değerlerinin kullanılan koordinat takımına bağlı olarak değişeceği açıktır. Başka bir ifadeyle cismin yerleşimi invaryanttır (değişmezdir); ancak bu yerleşimi temsil eden parametrelerin (koordinatlarının) sayısal değerleri kullanılan koordinat takımına göre farklı olacaktır. Diğer bir yöntem cisme bir koordinat takımı bağlamak ve bu koordinat takımının eksenlerine ait birim vektörlerinin referans takıma göre bileşenlerini vermek suretiyle olur (Şekil 3.2). Cisme bağlı bu koordinat takımının orijini olarak dinamik problemlerinde kolaylık sağlaması nedeniyle çoğu kez cismin kütle merkezi seçilir. Ancak böyle bir mecburiyet elbette yoktur. 23 𝑧 𝑗 𝑦 ?⃗? C 𝑖 𝑥 Z ?⃗? 𝐶 J O K⃗ I X Y Şekil 3.2. Cisme koordinat takımı bağlayarak konumu ve yönelimi tanımlama. Şekil 3.2’de görüldüğü üzere ⃗⃗𝑅⃗⃗ 𝐶 vektörü cismin konumunu tanımlar. 𝑖 , 𝑗 , ve ?⃗? vektörleri ortonormal olduklarından aşağıdaki bağıntılar geçerlidir: 𝑖 . 𝑖 = 1, 𝑗 . 𝑗 = 1, ?⃗? . ?⃗? = 1 (3.5) 𝑖 . 𝑗 = 0, 𝑗 . ?⃗? = 0, ?⃗? . 𝑖 = 0 Üç birim vektör dokuz bileşeni haizdir; ancak (3.5) kısıtlarından ötürü bunların üçü serbest seçilebilir. Buradan yine yönelimin tamamlanması için üç parametrenin yeterli olduğu anlaşılmaktadır. 3.3. Koordinat Dönüşümleri, Dönme Matrisleri Manipülatörler nesnelere belli hareketler yaptırmak veya konumlandırmak için kullanılırlar. Bu hareket veya konumlandırma sabit bir cisme göre tanımlanmış olabilir. Bu cisme genelde gözlem çerçevesi (observation frame) denir. Tanımlamanın matematik diline dökülmesi için bu çerçeveye bir koordinat takımı bağlanır. Bu koordinat takımına farklı adlar verilmekle beraber robotikte ve bilgisayar destekli yazılımlarda genellikle global koordinat takımı (veya dünya koordinatları) denir. Referans cisminin dışındaki hareketli cisimlere bağlanan takımlara da lokal koordinat takımları adı verilmektedir. Örneğin seri manipülatörlerde ardışık eklemlenmiş cisimler (manipülatör uzuvları 24 (=links)) söz konusudur. İş uzvundan (uç efektörü = end effector) itibaren her cismin bir önceki cisme göre konum ve yönelimi tanımlanarak iş uzvunun global koordinatlardaki (dünya koordinatlarındaki) konum ve yönelimi tanımlanmış olur. Bu işlemler koordinat dönüşümlerini oluşturur. Bu alt bölümde koordinat dönüşümleri ele alınacaktır. Bir koordinat takımı diğerine göre en genel halde ötelenmiş ve dönmüş halde bulunur. Koordinat takımları arasındaki dönüşümle kastedilen şey bu takımlardan herhangi birinde bileşenleri verilen bir vektörün diğer takımdaki bileşenlerinin bulunmasıdır. (Not: Nokta dönüşümleri ve vektör dönüşümleri ayrımı mevcuttur. Burada nokta dönüşümleri ele alınacaktır). Konuya açıklık kazandırmak amacıyla Şekil 3.3’deki gibi düzlemsel hale ait örneği inceleyelim. Bir OXYZ takımında 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ = 𝑟 yer vektörüne sahip P noktasını ele alalım. Bu takımda P’nin koordinatları (X,Y) olsun. Y P Y ρ r θ O X X Şekil 3.3. Düzlemde koordinat dönüşümü. Şimdi orijinleri ortak ikinci bir koordinat takımında aynı noktanın yer vektörünün bileşenlerini; başka bir ifadeyle P’nin koordinatlarını bulalım. Bu koordinatları (x,y) ile gösterelim. Aşağıdaki bağıntı geçerlidir: 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ = 𝑟 = 𝑋𝐼 + 𝑌𝐽 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 (3.6) x ve y koordinatları X ve Y cinsinden bulunacaksa (3.6)’da x ve y sırasıyla yalnız bırakılmalıdır. 𝑖 ve 𝑗 ortonormal olduklarından aşağıdaki ifadeler kolayca yazılır: 25 𝑥 = (𝐼 . 𝑖 )𝑋 + (𝐽 . 𝑖 )𝑌 (3.7) 𝑦 = (𝐼 . 𝑗 )𝑋 + (𝐽 . 𝑗 )𝑌 (3.7) denklemleri matris formunda şöyle ifade edilebilir: 𝑥 𝐼 . 𝑖 𝐽 . 𝑖 𝑋 [𝑦] = [ ] [ ] (3.8) 𝐼 . 𝑗 𝐽 . 𝑗 𝑌 (3.8)’in sağ tarafındaki 2x2 matrisin sütunları 𝐼 ve 𝐽 vektörlerinin Oxyz takımındaki bileşenlerinden başka bir şey değildir. Şu halde (3.8) ifadesi 𝑥 [𝑦] = [ Ḭ 𝑋𝟐𝒙𝟏 J̰𝟐𝒙𝟏]2𝑥2 [ ] (3.9) 𝑌 şeklinde yazılabilir. 𝐼 ve 𝐽 ’nin Oxyz’deki bileşenleri hesaplanırsa 𝐼 . 𝑖 𝐽 . 𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑇 = [ ] = [ ] (3.10) 𝐼 . 𝑗 𝐽 . 𝑗 − sin 𝜃 cos 𝜃 bulunur. Bu matris OXYZ takımından Oxyz takımına koordinat transformasyonunu tarif eder. Şimdi OXYZ koordinat takımının sabit kaldığını ancak ⃗⃗𝑂⃗⃗𝑃 ⃗ vektörünün 𝜃 kadar döndüğünü tasavvur edelim. Dönmeden sonra 𝑃, 𝑃′ konumuna gelsin. 𝑃′ ’nin koordinatları, 𝑃’nin önceki koordinatları cinsinden bulalım (Şekil 3.4). 26 Y P′(x, y) P(X,Y) ρ ρ θ α O X Şekil 3.4. 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ vektörünün dönmesi. ρ vektörün şiddeti ve α da dönmeden önce X ekseniyle yaptığı açı olmak üzere aşağıdaki bağıntılar yazılabilir: 𝑥 = 𝜌 cos(𝛼 + 𝜃) = 𝜌 cos 𝛼 cos 𝜃 + 𝜌 sin 𝛼 sin 𝜃 (3.11) 𝑦 = 𝜌 sin(𝛼 + 𝜃) = 𝜌 cos 𝛼 sin 𝜃 + 𝜌 sin 𝛼 cos 𝜃 𝜌 cos 𝛼 = 𝑋 ve 𝜌 sin 𝛼 = 𝑌 olduğundan (3.11) şöyle yazılabilir 𝑥 = cos 𝜃 𝑋 − sin 𝜃 𝑌 (3.12) 𝑦 = sin 𝜃 𝑋 + cos 𝜃 𝑌 (3.12) matris formunda şöyle olur: 𝑥 cos 𝜃 − sin 𝜃 𝑋 [𝑦] = [ ] [ ] (3.13) sin 𝜃 cos 𝜃 𝑌 Burada cos 𝜃 − sin 𝜃 𝑅 = [ ] (3.14) sin 𝜃 cos 𝜃 27 matrisi ⃗⃗𝑂⃗⃗𝑃 ⃗ vektörünün dönmesini temsil eder. Buna rijit cisim dönme (rotasyon) matrisi veya kısaca dönme matrisi diyeceğiz. (3.10) ve (3.14) mukayese edilirse 𝑅 = 𝑇𝑇 olduğu anlaşılır. R’nin bazı özellikleri vardır: 𝑅−1 = 𝑅𝑇 (3.15) det R̰ = 1 Dolayısıyla 𝑇 = 𝑅−1 olduğu anlaşılır. Aslında bunun yorumu kolaydır. Dönen vektörün ait olduğu cisme bağlı koordinat takımındaki bileşenleri değişmez; ancak dönme esnasında sabit takım izafi olarak −𝜃 kadar dönmüş olur. Neticede (3.12)’de 𝜃 yerine −𝜃 konduğunda (3.14) bağıntısı elde olunur. Buradan R (ve dolayısıyla T) matrislerinin farklı anlamlar yüklenebileceği anlaşılır. Buna göre R matrisinin bir vektörün referans takımına göre Z ekseni etrafında 𝜃 kadar dönmesini temsil ettiği gibi sabit bir vektörün referans takımına göre −𝜃 kadar dönmüş koordinat takımındaki bileşenlerini veren koordinat dönüşümünü de temsil ettiği anlaşılır. R dönmeyle alakalı olduğundan bir cismin yönelimini temsil eden bir matris olarak da düşünülebilir. Zira kinematiğin Euler’e izafe edilen meşhur bir teoremine göre bir cisim referans takımın (veya kendine bağlı koordinat takımının) eksenleri etrafında keyfi bir sırada sonlu miktarlarda döndürülerek istenen yönelime getirilebilir (Cismin kendine bağlı eksenler etrafında döndürülmesi aslında uzayda sabit ama dik olması gerekmeyen üç farklı eksen etrafında dönmesine tekabül eder). Gerek seri, gerekse paralel manipülatörlerde iş uzvunun konum ve yöneliminin daima global koordinat takımına izafe edilmesi gerektiğinden genelde (3.9) bağıntısının tersi kullanılır. Buna göre 𝑋 cos 𝜃 − sin 𝜃 𝑥 [ ] = [ ] [ ] (3.16) 𝑌 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑦 28 olur. (3.16) bağıntısı orijinleri ortak ve z ile Z eksenleri çakışık iki koordinat takımı için geçerlidir. Bunu üç boyuta teşmil edersek 𝑋 cos 𝜃 − sin 𝜃 0 𝑥 [𝑌] = [sin 𝜃 cos 𝜃 0] [𝑦] (3.17) 𝑍 0 0 1 𝑧 yazılabilir. Burada sağdaki 3x3 matris cismin yönelim matrisidir ve Z ekseni etrafında +𝜃 kadar dönmeyi temsil etmektedir. Cisme bağlı koordinat takımının orijini ile global takımın orijini farklı iseler o zaman (3.17) bağıntısına cisme bağlı takımın orijinine ait yer vektörü de eklenmelidir. Bu durumda 𝑋 cos 𝜃 − sin 𝜃 0 𝑥 𝑋0 [𝑌] = [sin 𝜃 cos 𝜃 0] [𝑦] + [𝑌0 ] (3.18) 𝑍 0 0 1 𝑧 𝑍0 olacaktır. (3.18) bağıntısını aşağıdaki şekilde yazmak mümkündür: 𝑋 cos 𝜃 − sin 𝜃 0 𝑋0 𝑥 𝑌 sin 𝜃 cos 𝜃 0 𝑌 [ ] = [ 0 𝑦 ] [ ] (3.19) 𝑍 0 0 1 𝑍0 𝑧 1 0 0 0 1 1 Buradaki 4x1 vektörlere ve 4x4 matrise genişletilmiş (augmented) vektör ve matrisler denir. Bu vektörler ve matris yardımıyla koordinat takımının birbirine olan mesafesi ve yönelimi tek bir matrisle gösterilmiş olur. Bu durumda örneğin bir seri manipülatörde iş uzvuna (end effector) ait bir vektörün global koordinatlardaki bileşenleri (3.18) gibi bir çarpma ve bir toplama yerine tek bir çarpma işlemiyle bulunmuş olur. Böylece homojen bir koordinat transformasyonu elde edilir. Getirdiği kolaylığa karşılık bu matrislerin mahzuru gereksiz çarpma işlemlerine yol açmasıdır. Bir referans koordinat takımına göre herhangi yönelimde olan bir başka koordinat takımı iki şekilde tanımlanabilir. Bunlardan birisi 𝑖 , 𝑗 ve ?⃗? vektörlerinin (3.4) kısıtlarını göz önünde tutarak bileşenleriyle tanımlanmasıdır. Öte yandan bir koordinat takımının yönelimi sabit takım eksenleri etrafında sırasıyla 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 sonlu dönmeleri yapılarak da 29 belirlenebilir. Sabit 𝑋, 𝑌 ve 𝑍 eksenleri etrafında sırasıyla 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 dönmelerini tarif eden matrisler aşağıdaki gibidir: 1 0 0 ?̰?𝑥,𝛼 = [0 cos 𝛼 − sin 𝛼] (3.20) 0 sin 𝛼 cos𝛼 cos 𝛽 0 sin 𝛽 ?̰?𝑦,𝛽 = [ 0 1 0 ] (3.21) −sin 𝛽 0 cos𝛽 cos 𝛾 − sin 𝛾 0 ?̰?𝑧,𝛾 = [sin 𝛾 cos 𝛾 0] (3.22) 0 0 1 𝑋, 𝑌 ve 𝑍 eksenleri etrafında sırasıyla dönmeler yapılırsa neticede genel dönme matrisi şöyle bulunur: 𝑐𝛽𝑐𝛾 𝑠𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 − 𝑐𝛼𝑠𝛾 𝑐𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 + 𝑠𝛼𝑠𝛾 ?̰? = ?̰?𝑧,𝛾?̰?𝑦,𝛽?̰?𝑥,𝛼 = [𝑐𝛽𝑠𝛾 𝑠𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 + 𝑐𝛼𝑐𝛾 𝑐𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 − 𝑠𝛼𝑐𝛾] (3.23) −𝑠𝛽 𝑠𝛼𝑐𝛽 𝑐𝛼𝑐𝛽 Burada s ve c kısaltmaları açıların sinüs ve kosinüsüne tekabül etmektedir. Öte yandan biliyoruz ki, bir koordinat takımının referans takıma göre yönelimi daha önce açıklanan sebeplerden ötürü ?̰? = [?̰? ?̰? ?̰?] (3.24) matrisiyle verilecektir. Burada ?̰?, ?̰? ve ?̰?, söz konusu koordinat takımının taban (base) vektörlerinin referans takımının taban vektörleri cinsinden bileşenlerini içeren sütun matrislerdir (veya sütun vektörlerdir). Buna göre (3.23) matrisinin her bir sütununun elemanlarının kareleri toplam 1 olmak zorundadır. Bu durumda önceden ?̰?, ?̰? ve ?̰? vektörlerini (3.4) kısıtları altında öngördükten sonra başlangıçta eksenleri sabit takımınkilerle çakışık iken bu koordinat takımını referans takımına göre aynı yönelime getirmek için sırasıyla 𝑋, 𝑌 ve 𝑍 eksenleri etrafında döndürmemiz gereken 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 30 açılarını cisme bağlı taban vektörlerinin bileşenleri cinsinden bulmak mümkündür. Buna göre 𝑖 . 𝐼 = cos 𝛽 cos 𝛾 , 𝑖 . 𝐽 = cos 𝛽 sin 𝛾 , 𝑖 . ?⃗? = − sin 𝛽 𝑗 . 𝐼 = sin 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛾 − cos 𝛼 sin 𝛾, 𝑗 . 𝐽 = sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾 + cos 𝛼 cos 𝛾, (3.25) ?⃗? . 𝐼 = cos 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛾 + sin 𝛼 sin 𝛾, ?⃗? . 𝐽 = cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾 − sin 𝛼 cos 𝛾, ?⃗? . ?⃗? = cos 𝛼 cos 𝛽, 𝑗 . ?⃗? = sin 𝛼 cos 𝛽 bağıntıları mevcut demektir. Bazı durumlarda cismin yönelimini cisme bağlı bir koordinat takımının eksenleri etrafındaki sonlu dönmelerle tanımlamak gerekebilir. Bu durumda dönme açılarına Euler açıları denir. Cisme bağlı takımda 𝑧𝑦′𝑧′′ veya 𝑧′𝑥′𝑧′′ veya 𝑧′𝑦′𝑥′′ gibi muhtelif dönme sıralamaları tanımlanabilir. Cisme bağlı koordinat takımında aynı eksen etrafında iki defa dönme yapılabilir. Cisme bağlı koordinat takımına göre aynı arka arkaya olmamak şartıyla aynı bir eksen etrafında döndürme global koordinatlarda farklı iki eksen etrafında döndürmeye karşılık gelir (Bir cismi istenilen yönelime getirmek için aynı düzlemde olmayan ve de çakışık olmayan üç farklı sabit eksen etrafında sırayla döndürmenin yeterli olacağı önceden söylenmişti). Z,z' z' 𝜙 z'' 𝜃 Z,z 𝜃 O y' O 𝜙 y',y'' O x 𝜙 y 𝜙 𝜙 x' x' 𝜃 Y,y x'' X,x Şekil 3.5. Cismin z ekseni etrafında 𝜙, y ekseni etrafında 𝜃 kadar dönmesi halinde cisme bağlı takımın yeni konumu. 31 Cismi kendine bağlı koordinat takımının eksenleri etrafında döndürerek istenen bir yönelime getirmek istediğimizde arka arkaya olmamak üzere aynı eksen etrafında döndürmek de mümkün olduğundan on iki varyant ortaya çıkar. Bunların bir kısmı aynı eksen etrafında iki kez döndürmeyi de kapsayan ve Euler’e uzanan varyantlardır. Ancak burada x-y-z sıralı varyant ele alınacaktır. Kabul edelim ki, başlangıçta sabit takım OXYZ ile cisme bağlı Oxyz takımının eksenleri çakışık olsun. Şekil 3.5’de cismin 𝑧 ekseni etrafında 𝜙 kadar dönmesi hâlinde 𝑂𝑥𝑦𝑧’nin yeni durumu gösterilmektedir. Bu yeni durumda birim vektörler öncekileri cinsinden şöyle olmaktadır: 𝑖 ′ = cos𝜙 𝑖 + sin𝜙 𝑗 𝑗 ′ = −sin𝜙 𝑖 + cos𝜙 𝑗 (3.26) ?⃗? ′ = ?⃗? Şimdi cisim yeni 𝑦′ ekseni etrafında θ kadar döndürülsün. Yeni birim vektörler öncekiler cinsinden şöyle olur: 𝑖 ′′ = cos 𝜃 𝑖 ′ − sin 𝜃 ?⃗? ′ 𝑗 ′′ = 𝑗 ′ (3.27) ?⃗? ′′ = sin 𝜃 𝑖 ′ + cos 𝜃 ?⃗? ′ Nihayet 𝑧′′ etrafında bu kez 𝜓 kadar dönme yapıldığında yeni birim vektörler öncekiler cinsinden şöyle ifade olunur: 𝑖 ′′′ = cos𝜓 𝑖 ′′ − sin𝜓 𝑗 ′′ 𝑗 ′′′ = −sin𝜓 𝑖 ′′ − cos𝜓 𝑗 ′′ (3.28) ?⃗? ′′′ = ?⃗? ′′ Cisme bağlı vektörlerin bu nihai ifadeleri sabit takımın birim vektörleri cinsinden ifade edilip her bir vektörün bileşenleri sütun vektörler olarak yan yana dizildiğinde cismin dönme matrisi, yani cisme ait bir vektörün bu dönmeleri neticesinde sabit takımdaki bileşenlerini bulmaya yarayacak matris elde edilmiş olur. Bu matris aşağıdaki gibidir: 32 𝑐𝜙𝑐𝜃𝑐𝛹 − 𝑠𝜙𝑠𝛹 −𝑐𝜙𝑐𝜃𝑠𝛹 − 𝑠𝜙𝑐𝛹 𝑐𝜙𝑠𝜃 𝑅 = [𝑠𝜙𝑐𝜃𝑐𝛹 + 𝑐𝜙𝑠𝛹 −𝑠𝜙𝑐𝜃𝑠𝛹 + 𝑐𝜙𝑐𝛹 𝑠𝜙𝑠𝜃] (3.29) −𝑠𝜃𝑐𝛹 𝑠𝜃𝑠𝛹 𝑐𝜃 Bu matris (3.23)’deki sabit eksenler etrafında dönmeyi temsil eden matrisle kıyaslanırsa sabit ve cisme bağlı eksenler etrafında aynı sırada döndürmeler yapılsa bile neticenin ne kadar farklı olduğu kolayca anlaşılacaktır. 3.4. Açısal Hız Matrisleri Manipülatörlerin dinamiği incelenirken genelde bilgisayarları kullanmak kaçınılmaz olur. Bu durumda matris notasyonunun kullanılması işlemlerin otomatikleştirilmesinde büyük yarar sağlar. Bu çerçevede açısal hızların da matrislerle temsiline ihtiyaç duyulur. Bu altbölümde dönme açılarının zamanla değişim hızlarından hareketle açısal hız vektörlerinin ve matrislerinin bulunması konusunu ele alacağız. Bilindiği gibi vektörler genelde satır veya sütun matrislerle gösterilir. Ancak vektörel çarpımın matrislerle temsili söz konusu olduğunda çarpımda önce gelen vektörün 3x3 bir matrisle gösterilmesi gerekir. Çarpımda ikinci sıradaki vektör yine bir sütun matrisle ifade edilmelidir. Dolayısıyla açısal hız vektörü yerine göre bir sütun vektör, yerine göre bir 3x3 antisimetrik matris şeklinde tanımlanmalıdır. Mesela açısal momentumun hesabında açısal hız vektörü bir sütun matrisle gösterildiği halde sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin bir noktasının çizgisel hızı hesaplanırken 3x3 bir matrisle gösterilmelidir (Tensör hesabında bu konu biraz farklı ele alınır). Burada iki farklı yaklaşımla dönme açılarının hızlarından sabit takıma göre açısal hız vektörünün bileşenlerinin nasıl elde edileceği gösterilecektir. Önce cisme bağlı eksenleri etrafında dönen cismin açısal hızının tayini ele alınacaktır. Kabul edelim ki, cismimiz kendine bağlı koordinat takımının eksenleri etrafında Euler varyantına göre yani 𝑧 − 𝑦’ − 𝑧’’ sırasına riayetle 𝜙, 𝜃 ve 𝜓 kadar döndürülmüş olsun. Cismin sonsuz küçük dönme vektörü şöyle olur: 𝑑Ω⃗⃗ = 𝑑𝜙?⃗? + 𝑑𝜃𝑗 ′ + 𝑑𝜓?⃗? ′′ (3.30) 33 Burada (3.30)’daki birim vektörlerin cismin ilk durumundaki birim vektörler cinsinden ifadeleri bulunur ve bu denklemde yerine konursa cismin açısal hızı cime bağlı birim vektörler cinsinden elde edilmiş olur. (3.26) ve (3.27)’den ?⃗? ′′ aşağıdaki gibi bulunur: ?⃗? ′′ = sin𝜓 𝑖 ′ + cos𝜓 ?⃗? ′ = sin𝜓 (cos𝜙 𝑖 + sin𝜙 𝑗 ) + cos𝜓 ?⃗? (3.31) = sin𝜓 cos𝜙 𝑖 + sin𝜓 sin𝜙 𝑗 + cos𝜓 ?⃗? Öte yandan 𝑗 ′ ise şöyle bulunur: 𝑗 ′ = −sin𝜙 𝑖 + cos𝜙 𝑗 (3.32) (3.31) ve (3.32), (3.30)’da kullanılır ve ifade düzenlenirse 𝑑Ω⃗⃗ = (− sin𝜙 𝑑𝜃 + sin 𝜃 cos𝜙 𝑑𝜓)𝑖 + (cos𝜙 𝑑𝜃 + sin 𝜃 sin𝜙 𝑑𝜓)𝑗 (3.33) + (𝑑𝜙 + cos 𝜃 𝑑𝜓)?⃗? bulunur. (3.33)’ün 𝑑𝑡’ye bölünmesiyle açısal hıza geçilir: 𝑑Ω⃗⃗ ?⃗? = = (− sin𝜙 ?̇? + sin 𝜃 cos𝜙 ?̇?)𝑖 + (cos𝜙 ?̇? + sin 𝜃 sin𝜙 ?̇?)𝑗 𝑑𝑡 (3.34) + (?̇? + cos 𝜃 ?̇?)?⃗? Diğer bir ifadeyle cisim kendine bağlı koordinat takımının sırasıyla 𝑧 − 𝑦′𝑧′′ eksenleri etrafında ?̇?,?̇? ve ?̇? açısal hızlarıyla döndürülüyorsa cismin açısal hızının sabit takımın eksenleri üzerindeki bileşenleri (3.34) bağıntısıyla bulunur. Unutulmaması gereken husus açısal hızın tanıma dayalı bir büyüklük olduğudur. Lineer yer değiştirmelerin sonsuz küçük olanı da sonlu olanı da vektör özelliğini haizdir; yani sıranın değiştirilmesi sonucu etkilemez. Buna mukabil açısal yer değiştirmelerde dönme sıralarının değişimi cismin yönelimini değiştirir ve bu nedenle vektör değildirler. Ancak sonsuz küçük dönmeler vektör gibi davranırlar. Bu nedenle yukarıda açısal hızın bulunuşunda sonsuz küçük dönme vektöründen yola çıkılmıştır. Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir husus 34 bulunan açısal hız bileşenlerinin integre edilebilir olup olmadığıdır. Özellikle moment denkleminin integralinde bu hız bileşenlerinin dt zaman aralığında integrali cismin x, y ve z eksenleri etrafındaki dönmeleri vermez. Buna karşılık ϕ̇, ?̇?, ?̇? hızları (Euler frekansları da denir) integre edilebilir büyüklüklerdir. Dolayısıyla hareket denkleminde esas değişkenler olarak bunlar alınmalıdır. Öte yandan cismin sabit bir OXYZ takımının sırayla X, Y ve Z eksenleri etrafında α, β ve 𝛾 kadar döndürülmesi halinde açısal hızın bulunmasını ele alalım. Burada ikinci bir yol takip edilecektir. Lokal koordinatlardan global koordinatlara dönüşüm aşağıdaki gibi verilmiş olsun: ?̰? = ?̰??̰? (3.35) (3.35)’ün iki tarafının zamana göre türevini alalım. ?̰̇? = ?̰̇??̰? + ?̰??̰̇? (3.36) Cisim rijitse ?̰̇? = 0̰ olacaktır. Bu durumda (3.36) ifadesi şöyle olur: ?̰̇? = ?̰̇??̰? (3.37) (3.35)’den ?̰? çekilirse ?̰? = ?̰?−1?̰? = ?̰?𝑇?̰? (3.38) bulunur. R’nin ortogonal olduğu ve (3.13) bağıntısı hatırlansın.(3.38),(3.37)’de yerine konursa ?̰̇? = ?̰̇??̰?𝑇?̰? (3.39) bulunur. Demek ki açısal hız, 35 ?̰̅? = ?̰̇??̰?𝑇 (3.40) matrisine eşit olmalıdır. ?̰̅? açısal hız matrisinin anti-simetrik olacağına dikkat edilsin. Zira (3.40) bağıntısı ?⃑̇? = ?⃗⃑? × ?⃑? bağıntısına karşılık gelmektedir ve bilindiği gibi matrislerle temsil edilen vektörel çarpımda soldaki vektör 3x3 anti-simetrik bir matris olarak tanımlanmak zorundadır. (3.23)’ün zamana göre türevi alınırsa, ?̇? matrisinin elemanları aşağıdaki gibidir: ?̇?(1,1) = (−𝑠𝛽𝑐𝛾)?̇? + (−𝑐𝛽𝑠𝛾)?̇? ?̇?(1,2) = (𝑐𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 + 𝑠𝛼𝑠𝛾)?̇? + (𝑠𝛼𝑐𝛽𝑐𝛾)?̇? + (−𝑠𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 − 𝑐𝛼𝑐𝛾)?̇? ?̇?(1,3) = (−𝑠𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 + 𝑐𝛼𝑠𝛾)?̇? + (𝑐𝛼𝑐𝛽𝑐𝛾)?̇? + (−𝑐𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 + 𝑠𝛼𝑐𝛾)?̇? ?̇?(2,1) = (−𝑠𝛽𝑠𝛾)?̇? + (𝑐𝛽𝑐𝛾)?̇? ?̇?(2,2) = (𝑐𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 − 𝑠𝛼𝑐𝛾)?̇? + (𝑠𝛼𝑐𝛽𝑠𝛾)?̇? + (𝑠𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 − 𝑐𝛼𝑠𝛾)?̇? (3.41) ?̇?(2,3) = (−𝑠𝛼𝑠𝛽𝑠𝛾 − 𝑐𝛼𝑐𝛾)?̇? + (𝑐𝛼𝑐𝛽𝑠𝛾)?̇? + (𝑐𝛼𝑠𝛽𝑐𝛾 + 𝑠𝛼𝑠𝛾)?̇? ?̇?(3,1) = (−𝑐𝛽)?̇? ?̇?(3,2) = (𝑐𝛼𝑐𝛽)?̇? + (−𝑠𝛼𝑠𝛽)?̇? ?̇?(3,3) = (−𝑠𝛼𝑐𝛽)?̇? + (−𝑐𝛼𝑠𝛽)?̇? Bu matris, (3.23) ile verilen matrisin transpozuyla sağdan çarpılınca açısal hız matrisi şu şekilde elde edilir. 0 sin 𝛽 ?̇? − ?̇? cos 𝛽 sin 𝛾 ?̇? + cos 𝛾 ?̇? ?̅? = [ − sin 𝛽 ?̇? + 𝛾 0 − cos 𝛽 cos 𝛾 ?̇? + sin 𝛾 ?̇?] (3.42) −cos𝛽 sin 𝛾 ?̇? − cos 𝛾 ?̇? cos 𝛽 cos 𝛾 ?̇? + sin 𝛾 ?̇? 0 Açısal hızın sabit takımda vektör formundaki ifadesi ise aşağıdaki gibidir: ?⃗? = (cos𝛽 cos 𝛾 ?̇? − sin 𝛾 ?̇?)𝐼 + (cos 𝛽 sin 𝛾 ?̇? + cos 𝛾 ?̇?)𝐽 (3.43) + (?̇? − sin 𝛽 ?̇?)?⃗? 36 Seri manipülatörlerde ardışık bağlı birden fazla uzuv olduğundan her bir uzvun bir öncekine göre yerleşimini tanımlayarak nihayetinde global koordinatlara indirgeme yapılması daha pratik olur. Bu husus sonraki alt bölümlerde ele alınacaktır. 3.5. Jakobiyen Girdi (input) koordinatlarındaki sonsuz küçük değişimlere karşılık çıktı (output) koordinatlarındaki sonsuz küçük değişimler arasındaki ilişki önemlidir. Bu sonsuz küçük değişimler arasındaki ilişki aslında aktüatör hızları ile iş uzvunun çizgisel ve açısal hızları arasındaki ilişkiye özdeştir. Örnek olarak döner mafsalları olan altı serbestlik dereceli bir seri robotun hız girdi parametreleri mafsallardaki tahrik motorlarının hızlarıdır. Bunlar değiştirilerek iş organındaki nesnenin çizgisel ve açısal hızları belirlenir. Bu hızlar ?̇?𝑖 i = 1,2, … ,6 olsun. Buna göre 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) (3.44) 𝜔𝑥 = 𝜔𝑥(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) 𝜔𝑦 = 𝜔𝑦(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) 𝜔𝑧 = 𝜔𝑧(?̇?1, ?̇?2, ?̇?3, ?̇?4, ?̇?5, ?̇?6) ifadeleri yazılabilir. (3.44) bağıntıları kısaca aşağıdaki gibi yazılabilir: ?̇? 1 ?̇?2 [𝑣 ?̇? ] = 𝐽 3 (3.45) ?⃗? ?̇? 4 ?̇?5 [?̇?6] Burada 𝐽 iki alt matrisin birleşimi olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir: 37 ?̰?𝑣 𝐽 = [ ] (3.46) ?̰?𝜔 Burada ?̰?𝑣 iş uzvunun bir noktasının (mesela ağırlık merkezinin) çizgisel hızını, ?̰?𝜔 ise açısal hızını mafsal (tahrik) hızlarına bağlayan 3𝑥6’lık matrislerdir. Bu Jakobiyene geometrik Jakobiyen denir. Yönelim açıları ve hızları kontrol edilecekse Analitik Jakobiyen kullanılmalıdır. Bazı hallerde fuzûli serbestlik dereceli manipülatörler de kullanılır. Fazla serbestlik derecesi ilâve maliyet getirmekle beraber, manipülatörün çalışma esnekliğinin artmasına ve mesela enerji sarfiyatı açısından optimal yörüngelemeye imkân verdiği için tercih edilir. Bu durumda Jakobiyen artık kare matris olmaktan çıkar. İş organının belli bir konuma getirilmesi problemimizin birden çok cevabı olur. Burada matrisler teorisine başvurmak gerekir. Fuzûli serbestlik derecesi olmayan hallerde de Jakobiyenin determinantının sıfır olduğu konumlarda çözüm belirsizleşir, yani iş organının hızı tanımlansa dahi det 𝐽 = 0 olan konumlarda bu hızı sağlayacak mafsal hızları belirsizleşir. Buna basit bir misâl olarak iki serbestlik dereceli düzlemsel manipülatörü verebiliriz. Bu manipülatöre ait Jakobiyen şöyledir. −sin 𝜃1 − sin(𝜃1 + 𝜃2) − sin(𝜃1 + 𝜃2)𝐽 = [ ] (3.47) cos 𝜃1 + cos(𝜃1 + 𝜃2) cos(𝜃1 + 𝜃2) Burada det 𝐽 = sin 𝜃2 olup 𝜃2 = 0 ve 𝜃2 = 𝜋 için mafsal hızları ?̇?1 ve ?̇?2 hesaplanamaz (yegâne=unique) hale gelir. 𝑦 𝑉𝐶 𝑦 𝐶 𝑉𝑥 𝜃2 = 0 𝐶 𝜃1 𝐵 𝜃2 = 𝜋 𝜃1 𝜃1 𝐴 𝑥 Şekil 3.6. Tekil konumlar (𝜃2 = 0 ve 𝜃2 = 𝜋 konumları). 38 C noktasının lineer hız bileşenleri ile mafsal hızları arasındaki ilişki 𝑉𝑥 = [− sin 𝜃1 − sin(𝜃1 + 𝜃2)]θ̇1 − sin(𝜃1 + 𝜃2) θ̇2 (3.48) 𝑉𝑦 = [cos 𝜃1 + cos(𝜃1 + 𝜃2)]θ̇1 + cos(𝜃1 + 𝜃2) θ̇2 şeklinde olup 𝜃2 = 0 olması halinde (3.48) denklemi şu hale gelir: 𝑉𝑥 −2sin 𝜃 − sin 𝜃 − sin 𝜃 [𝑉 ] = [ 1] ?̇?1 + [ 1] ?̇?2 = [ 1] (2?̇? + ?̇? 2 cos 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 1 2 ) (3.49) 𝑦 1 1 1 (3.49) bağıntısı incelendiğinde ?̇?1 ve ?̇?2 için tek (unique) çözüm takımı olmadığı anlaşılmaktadır. Buradan çıkan diğer bir sonuç tekil noktalar civarında mafsal hızlarının oldukça büyük değerler alacağıdır. Buraya kadar anlatılanlar gelen alt bölümlerde daha ayrıntılı ele alınacaktır. 3.6. Seri Manipülatörler Adlandırmadan da anlaşılacağı üzere bu tür manipülatörlerde uzuvlar art arda bağlanmış olup açık kinematik zincir oluştururlar. Seri manipülatörlerin üstün taraflarından biri çalışma uzaylarının büyüklüğüdür. İleri kinematik analiz kolaydır, ancak pratikte daha ziyade iş organının konum ve yönelimi ön görüldüğünden ihtiyaç duyulan ters kinematik analiz paralel manipülatörlere göre daha zordur. Seri manipülatörlerde geometrik analiz her bir uzvun bir önceki uzva göre iyi tanımlanmış koordinat takımları iliştirildikten sonra bu bölümün geri kısmında açıklanacağı üzere ardışık transformasyon matrislerini çarpmak suretiyle her bir uzvun global koordinat takımına göre konumu ve yönelimi tayin edilerek yapılır. Kinematik analizde de uygulanan bağıl hızlardan hareketle her bir uzvun yere göre açısal ve çizgisel hızları tanımlanır. Seri olsun, olmasın, çok uzuvlu bir mekanizmada uzuvlara koordinat takımı bağlamada standart bir yol yoktur. Burada bir keyfilik vardır. Örnek olarak cisme bağlı koordinat takımının merkezini cismin ağırlık merkezine yerleştirmek mümkündür. Bu koordinat takımı asal koordinat takımı olarak da 39 seçilebilir. Bu durumda atalet tensörü çok sade hale gelir. Önceki kısımda bahsedildiği üzere zincir yapılarda her cismin koordinat eksenlerini bir önceki cisme göre tanımlamak her bir koordinat takımını global takıma (yere) göre tanımlamaktan daha kolaydır. Herhangi bir koordinat takımından sabit koordinat takımına dönüşüm matrisi (3.19) bağıntısından hemen görüleceği gibi koordinat takımının yere göre yönelimini veren rotasyon matrisiyle orijinin yere göre yer vektörünün birleşiminden oluştuğu anlaşılmaktadır. Uzuvlara koordinat takımı bağlamada yaygın metotlardan biri de Denavit-Hartenberg (bundan böyle D-H şeklinde kısaltılacaktır) uzlaşımıdır. Bu uzlaşım dönüşüm matrisinin elemanlarını, özellikle yönelimi tarif eden elemanları daha az sayıda parametreye bağlı ifade edebilmek amacıyla koordinat eksenlerinin belirlenmesine iki kısıt getirmektedir. Mafsalların bir serbestlik dereceli olması kabulüyle z ekseni daima bağıl harekete ait dönme ekseni (döner mafsalda) veya öteleme ekseni (kayar mafsalda) olarak seçilecektir. Ayrıca bir uzvun koordinat eksenleri belirlendiğinde müteakip uzvun x ekseni ardışık bu iki uzvun z eksenleri arasındaki ortak dikme doğrultusunda alınacaktır. Eksen i-1 Eksen i Eksen i+1 Link i 𝑦𝑖 𝛼𝑖 𝐻 𝑧 𝑖 𝑖 𝑑 𝑎𝑖 𝑧 𝑂 𝑥𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑦𝑖 𝜃𝑖 𝑥𝑖 Şekil 3.7. Denavit-Hartenberg notasyonu. Şekil 3.7’deki sembollerin anlamları şöyledir: 𝑎𝑖: ortak dikmenin uzunluğu 𝑑𝑖:𝑂𝑖−𝑖 orijini ile 𝐻𝑖 noktası arasındaki mesafe 𝛼𝑖: 𝑖. mafsal ekseni ile 𝑧𝑖 ekseni arasında sağ el kuralıyla ölçülen açı (Ardışık iki mafsal ekseni arasındaki bir tür burulma açısı) 40 𝜃𝑖: 𝑥𝑖−1 ekseni ile 𝐻𝑖𝑂𝑖 ortak dikmesi arasında 𝑧𝑖−1 etrafında sağ el kuralına göre ölçülen açı. 𝑎𝑖 ve 𝛼𝑖 sabit konstrüktif yani tasarıma bağlı parametreleridir. 𝑎𝑖 bir anlamda uzuv uzunluğunu temsil eder ve 𝛼𝑖 de ardışık iki mafsal ekseni arasındaki burulma (twist) açısıdır. Kayar mafsal halinde 𝑑𝑖 ve döner mafsal halinde 𝜃𝑖 parametreleri hareket esnasında değişirler. Manipülatörlerde genelde iki tür mafsal yaygındır. İki ardışık uzvun birbirine göre bir eksen etrafında döndüğü döner mafsal (revolute joint) ve yine bir uzvun diğerine göre belli bir eksende ötelendiği kayar mafsal (prismatic joint). Döner mafsalda 𝜃𝑖 açısı mafsal deplasmanını temsil eden değişken olup 𝑑𝑖 sabittir. Buna karşılık kayar mafsalda 𝜃𝑖 sabit, ancak 𝑑𝑖 değişkendir. Şimdi bu tanımlara dayanarak bir D-H matrisinin nasıl elde edileceği gösterilecektir. Bu çıkarım için Şekil 3.8 referans alınacaktır. 𝛼 𝑧′ 𝑦′ 𝑎 𝑖𝑖 𝑦𝑖 𝐻 𝑧 𝑖 𝑖 𝑥′ 𝑂 𝑥𝑖 𝑖 𝑑𝑖 𝑧𝑖−1 𝑦𝑖−1 𝑂𝑖−1 𝜃𝑖 𝑥𝑖−1 Şekil 3.8. Denavit-Hartenberg notasyonunda koordinat takımları arasındaki ilişki. Şekil 3.8’de 𝑂𝑖 − 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 ve 𝑂𝑖−1𝑥𝑖−1𝑦𝑖−1𝑧𝑖−1 koordinat takımları sırasıyla 𝑖’nci ve (𝑖 + 1)’nci mafsal eksenlerini 𝑧𝑖 ve 𝑧𝑖−1 eksenini kabul eden takımlardır. Ayrıca 𝐻𝑖 − 𝑥′𝑦′𝑧′ ara koordinat takımı tanımlayalım. 𝑖’nci takımdan ara takıma koordinat dönüşümü şöyle tanımlanır: 𝑥̰′ = ?̰?𝑎𝑟𝑎 0𝑖 ?̰? (3.50) Burada ?̰?𝑎𝑟𝑎𝑖 şöyle bir matristir: 41 1 0 0 𝑎𝑖 𝑎𝑟𝑎 0 cos 𝛼𝑖 −sin𝛼?̰? = [ 𝑖 0 𝑖 ] (3.51) 0 sin 𝛼𝑖 cos 𝛼𝑖 0 0 0 0 1 𝛼𝑖 dönmesi 𝑥𝑖 ekseni etrafında yapıldığından matrisin ilk sütunu [1 0 0 0] 𝑇 formundadır. Öte yandan ara takımdan (𝑖 − 1)’nci takıma dönüşüm aşağıdaki gibidir: ?̰?𝑖−1 = 𝑇𝑖−1𝑎𝑟𝑎 ?̰? 1 (3.52) Burada ?̰?𝑖−1𝑎𝑟𝑎 ise şöyledir: cos 𝜃𝑖 −sin 𝜃𝑖 0 0 𝑖−1 sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 0 0?̰?𝑎𝑟𝑎 = [ ] (3.53) 0 0 1 𝑑𝑖 0 0 0 1 𝜃𝑖 dönmesi 𝑧𝑖−1 etrafında olduğundan burada da 𝑧 ordinatına ait sütun vektör [0 0 1 0]𝑇 formunda olur. Öte yandan ?̰?𝑖−1 = 𝑇𝑖−1𝑖 ?̰? 𝑖 (3.54) olup, (3.52) ve (3.54)’den yararlanılarak ?̰?𝑖−1 = 𝑇𝑖−1𝑎𝑟𝑎 𝑇 𝑎𝑟𝑎 𝑖 𝑖 ?̰? (3.55) yazılabilir. Buradan ?̰?𝑖−1𝑖 dönüşüm matrisi cos 𝜃𝑖 −sin 𝜃𝑖 cos 𝛼𝑖 sin 𝜃𝑖 sin 𝛼𝑖 𝑎𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑖−1 𝑖 𝑎𝑟𝑎 sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 cos 𝛼𝑖 −cos 𝜃𝑖 sin 𝛼𝑖 𝑎𝑖 sin 𝜃𝑇𝑖 = 𝑇 𝑖 𝑎𝑟𝑎𝑇𝑖 = [ ] (3.56) 0 sin 𝛼𝑖 cos 𝛼𝑖 𝑑𝑖 0 0 0 1 şeklinde elde edilir. Böylece 𝑖’nci uzvun (𝑖 − 1)’nci uzva göre konum ve yönelimini tanımlayan dönüşüm matrisi, yani D-H matrisi sadece dört parametreye bağlı olarak tanımlanmış olmaktadır. Dikkat edilirse matrisin sol üst kısmını oluşturan 3x3’lük dönme 42 matrisi sadece 𝜃𝑖 ve 𝛼𝑖 gibi iki parametreyle belirlenmiş olmaktadır. Genel halden yola çıkılsaydı, üç parametre kullanılacaktı. Buna karşılık cisme bağlı koordinat takımının 𝑥 ve 𝑧 eksenlerinin seçiminde keyfilik yoktur. Öte yandan D-H koordinat takımı konvansiyonunda sabit uzva ve iş organına bağlanan koordinat takımlarında bir keyfilik söz konusudur. Bununla beraber D-H notasyonunun temel kavramlarına göre bu koordinat takımları belirlenebilir. D-H matrislerinin uygulamasının anlaşılması için bir örnek verelim. Şekil 3.9’daki manipülatör göz önüne alınsın. 𝑦3 𝑃 𝑥3 𝑥 𝑧 𝑦 2 32 𝑙3 𝜃3 𝑂2 𝑧2 𝑦1 𝑙2 𝜃2 𝑂1 𝑧1 𝑙1 𝑃′ 𝑧0 𝜃1 𝑥 𝑂0′ 0 𝑦0 Şekil 3.9. Seri manipülatör şematik gösterimi. Burada D-H matrislerinin oluşturulmasında kullanılacak veriler şunlardır: ?̰?10 matrisi için: 𝑎1 = 0 𝑑1 = 𝑙1 𝛼 = 𝜋1 ⁄2 ?̰?21 matrisi için: 𝑎2 = 𝑙2 𝑑1 = 0 𝛼2 = 0 43 ?̰?32 matrisi için: 𝑎3 = 𝑙3 𝑑3 = 0 𝛼3 = 0 Bu değerler sırasıyla (3.53)’te kullanılırsa D-H matrisleri şöyle bulunur: cos 𝜃1 0 sin 𝜃1 0 ?̰?1 sin 𝜃1 0 −cos 𝜃1 0 0 = [ ] (3.57) 0 1 0 𝑙1 0 0 0 1 cos 𝜃2 −sin 𝜃2 0 𝑙2 cos 𝜃2 2 sin 𝜃2 cos 𝜃2 0 𝑙2 sin 𝜃?̰? = [ 21 ] (3.58) 0 1 1 0 0 0 0 1 cos 𝜃3 −sin 𝜃3 0 𝑙3 cos 𝜃3 3 sin 𝜃3 cos 𝜃3 0 𝑙3 sin 𝜃?̰? = [ 32 ] (3.59) 0 0 1 0 0 0 0 1 Şekil 3.9 dikkatlice incelendiğinde 𝑃 noktasının koordinatlarının 𝑥𝑃 ̅̅ ̅̅𝑂 = 𝑂𝑃 ′ cos 𝜃1 = (𝑙2 cos 𝜃2 + 𝑙3 cos 𝜃3) cos 𝜃1 𝑦𝑃 = ̅̅𝑂̅̅𝑂 𝑃 ′ sin 𝜃1 = (𝑙2 cos 𝜃2 + 𝑙3 cos 𝜃3) sin 𝜃1 (3.60) 𝑧𝑃𝑂 = 𝑙1 + 𝑙2 sin 𝜃2 + 𝑙3 sin 𝜃3 olduğu anlaşılır. 𝑂3 − 𝑥3𝑦3𝑧3 takımında 𝑃’nin koordinatları (0,0,0) olduğundan aşağıdaki bağıntı geçerli olmalıdır: 𝑥𝑃 0𝑂 0 [𝑦𝑃𝑂] = ?̰? 1 2 3 0 ?̰?1 ?̰?2 [ ] (3.61) 0 𝑧𝑃𝑂 1 44 Gerçekten de (3.61) bağıntısı (3.60)’dan başkası değildir. (3.57) ila (3.59) matrislerini şöyle tanımlayalım: ?̰?1 01 ?̰??̰? = [ 0 𝑂10 ] (3.62) 0 0 0 1 ?̰?2 12 1 ?̰??̰? = [ 𝑂21 ] (3.63) 0 0 0 1 3 2 ?̰?3 ?̰? = [ 2 ?̰?𝑂3 2 ] (3.64) 0 0 0 1 Bu durumda ?̰?3 1 2 30 = ?̰?0 ?̰?1 ?̰?2 çarpımı şöyle olacaktır: 1 3 ?̰?0?̰? 2?̰?3 𝑅1𝑅2 2 1 1 0 ?̰? = [ 1 2 0 1 𝑟𝑂 + 𝑅 𝑟 + 𝑟3 0 𝑂2 𝑂1 0 ] (3.65) 0 0 0 1 4𝑥4 Açıktır ki, ?̰?30 ’ün üst 3𝑥3’lük kısmı 𝑂3 − 𝑥3𝑦3𝑧3 takımının 𝑂0 − 𝑥0𝑦0𝑧0 takımına göre yönelimini vermektedir. ?̰?30 ’ün dördüncü sütununun 3𝑥1’lik kısmı ise 𝑂3 orijininin 𝑂0 − 𝑥0𝑦0𝑧0 takımına göre bileşenlerini vermektedir. Neticede 𝑂 3 3 − 𝑥3𝑦3𝑧3 takımında ?̰? yer vektörüyle verilen bir noktanın 𝑂0 − 𝑥0𝑦0𝑧0 koordinat takımındaki bileşenleri 0 ?̰? = ?̰? 33 0 ?̰? = ?̰? 1 0?̰? 2 1 ?̰? 33 1 22 2 ?̰? + ?̰?0?̰?1 ?̰?𝑂 + ?̰? 11 0 0 ?̰?𝑂 + ?̰? 3 2 𝑂1 (3.66) olarak bulunacaktır. Burada 𝑗 ?̰?𝑂 vektörü 𝑂𝑖 orijininin 𝑗 takımındaki bileşenlerini 𝑖 vermektedir. Seri robotlarda diğer bir kavram da çözümlenebilirliktir (solvability). Altı serbestlik dereceli bir seri manipülatör göz önüne alalım. Bunun kinematik analizinde iş uzvunun konum ve yönelimi verildiğinde (ters kinematik) mafsal koordinatlarının bulunması gerekir. Bu ise altı bilinmeyen ihtiva eden altı denklemin çözülmesini gerektirir. Her bir denklemde altı bilinmeyenin hepsinin gözükmesi istenmeyen bir husustur; zira bütün denklemler aynı anda (simültane) çözülmek zorundadır. Ancak bazı tasarımlarda bu denklemlerin ilk üçünde sadece üç bilinmeyen, kalan üçünde de altı bilinmeyen yer alır. 45 Bu durumda önce üç bilinmeyenli üç denklem çözülür ve buradan bulunan sonuçlar diğer üç denklemde yerine konarak yine üç bilinmeyenli üç denklem elde edilmiş olur. 2RP3R formundaki Stanford robot kolunda ve keza 6R Puma robot kolunda bu durum söz konusudur. 3.7. Paralel Manipülatörler Paralel manipülatörler kapalı kinematik zincire sahip mekanizmalardır. Bu tür manipülatörlerde seri manipülatörlere göre hassasiyet, rijtilik ve nispeten yüksek hızlarda çalışma kabiliyeti ilgiyi artıran unsurlar arasındadır. Seri ve paralel ayrımı topolojik bir kavramdır. Paralel manipülatörler en az iki veya daha fazla kapalı kinematik zincir ihtiva ederler. Genel olarak bu tür manipülatörlerde bir taban (alt, sabit) platformu bir de iş uzvu platformu (üst, hareketli) bulunur. Bu platformları bağlayan bacaklar aslında seri zincirlerdir. Bu nedenle paralel manipülatörler kayan platform manipülatörler olarak da adlandırılmaktadır. İş uzvuna etkiyen kuvvet bacaklara bağlı aktüatörlere dağıtıldığından bu manipülatörler daha fazla yük taşımaya müsaittirler. Bu manipülatörler uçak ve kara taşıtı simülasyonları, ayarlanabilir mafsalla taşıyıcı çerçeveler, madencilik, parça işleme merkezleri gibi farklı alanlarda kullanılmaktadır. Bu tür manipülatörlerin belki de ilk uygulaması 1960’larda Gough ve Whitehall’ün tasarladıkları universal lastik test cihazı olarak sahneye çıktı. Uzunca bir aradan sonra Stewart uçak simülatörü olarak bir makine geliştirdi ve onun adıyla tanındı. Ancak ilk tasarımcılara hürmeten Gough-Stewart platformu olarak da literatürde anılmaktadır. Şimdiye kadar yüzden fazla tasarım önerilmiştir. Paralel manipülatörler düzlemsel, hacimsel, nadiren de küresel olmaktadır. Paralel manipülatörlerde ters konum analizi seri olanlara göre kolaydır. Buna karşılık ileri konum analizi zordur. Kısacası konum analizinde seri manipülatörlere zıt bir durum söz konusudur. Simetrik manipülatörlerde konum analizi nispeten kolaylaşır. Bir paralel manipülatörde bacakların sayısı mekanizmanın serbestlik derecesine eşitse, bacaklardaki mafsalların sayı ve tipleri hepsinde aynı ise ve aktif mafsalların (aktüatörle irtibatlı mafsallar) sayı ve konumu aynı ise paralel manipülatörün simetrik olduğundan bahsedilir, aksi halde asimetriktir denir. 46 Aktüatör hızları ile hareketli platformun lineer ve açısal hızları arasındaki ilişkiyi sağlayan Jakobiyenin tanımlanması çok sayıda kapalı çevrim olduğundan seri manipülatörlere göre daha zordur. Şekil 9’da pratikte rastlanan bazı paralel manipülatörler görülmektedir. Manipülatörlerde sınır tekilliği ve dahili tekillik söz konusudur. Sınır tekilliği çalışma uzayının sınırlarının ötesinde oluşur. Seri manipülatörlerde bu erişilebilirlik anlamına gelir. Dahili tekillik ise çalışma bölgesi içinde mevcut tekilliklerdir. Buralarda manpülatör kontrolü ciddi bir problem yaşar. C. Gosselin ve ark. (1990) bu nedenle Jakobiyeni, birisi ileri kinematik ikincisi ise geri kinematikle ilgili olan iki ayrı matrise ayırmayı teklif etmişlerdir. Hangi matriste tekillik varsa tekillik öyle adlandırılmalıdır; örneğin ileri kinematik tekilliği veya geri kinematik tekilliği gibi. Ancak aynı anda her iki Jakobiyende de tekillikler alabilir. Jakobiyenin çıkarılması için başvurulacak en basit yollardan birisi hız çevrim denklemlerinin yazılmasıdır. Kapalı zincirleri olan bir mekanizmada her mafsal bağımsız kontrol edilemez. Bazı mafsallar (mekanizmanın serbestlik derecesi kadar sayıda) aktüatörle donatılırlar. Bunlara aktif mafsallar, diğerlerine pasif mafsallar demek adet olmuştur. Bir paralel manipülatörde aktüatör parametreleri ile (hidrolik silindirlerin boyları, döner motorlar varsa dönme açıları) hareketli platformun pozisyon parametreleri arasında bağıntılar mevcuttur. Bunlar genelde bacak sayısı kadardır. Bu ilişki ?̰?(?̰?. ?̰?) = 0̰ (3.67) şeklinde ifade olunabilir. 𝑓(?̰?. ?̰?) aslında 𝑛𝑥1 bir vektör olup, elemanları genelde rijitlik şartları veya başka bir ifadeyle kısıt denklemleridir. Bu ifade zamana göre türetilirse 𝜕?̰? 𝜕?̰? ?̰̇? + ?̰̇? = 0̰ (3.68) 𝜕?̰? 𝜕?̰? yazılabilir. (3.68)’i şöyle yazmak mümkündür: ?̰?𝑥 ?̰̇? = ?̰?𝑞 ?̰̇? (3.69) Burada 47 𝜕?̰? ?̰?𝑥 = 𝜕?̰? (3.70) 𝜕?̰? ?̰?𝑞 = 𝜕?̰? olarak tanımlanmıştır. Neticede ileri kinematik için ?̰̇? = 𝑑̰𝐽?̰̇? (3.71) ve ters kinematik için ?̰̇? = 𝑡̰𝐽?̰̇? (3.72) yazılabilir. Burada 𝑑 𝐽̰ düz veya ileri kinematiğe ait Jakobiyen olup 𝑑 ̰𝐽 = ?̰? −1 𝑥 ?̰?𝑞 (3.73) ile tanımlanır. Benzer tarzda 𝑡̰𝐽 ise ters kinematiğe ait Jakobiyen olup 𝑡 ̰𝐽 = ?̰? −1 𝑞 ?̰?𝑥 (3.74) olacağı açıktır. Dolayısıyla ?̰?𝑥, ?̰?𝑞 veya her ikisi de tekilse manipülatör tekil konfigürasyonda demektir. Tekil durumlarda aktüatörler hızlara sahip olsalar da üst platform sabit kalabilir. Bu durum ters kinematik tekilliğidir. Öte yandan aktüatörler kilitlense de üst platformun çok küçük hareket yapabileceği tekillikler olabilir. İlk hal ?̰?𝑞’nun, ikinci hal ise ?̰?𝑥’in tekilliğine tekabül eder. İkinci hal enteresan biçimde üst platformun ekstra serbestlik derecesi kazandığını gösterir. Paralel manipülatörlerde üzerinde en çok çalışılan manipülatörlerden birisi delta robot, diğeri ise Gough-Stewart platformudur. Bazen kısaca Stewart platformu diye de anılan 48 Gough-Stewart platformu genel olarak altı serbestlik dereceli bir manipülatördür. Böyle bir yapıda ileri kinematik daha önce de bahsedildiği gibi zorluklar içermektedir. Genel olarak 40’ncı dereceden bir polinomun köklerini bulma problemine indirgenen ileri kinematik problemi belirli şartlar altında 16’ncı dereceden veya 14’ncü dereceden polinomların köklerini bulma problemine evrilebilmektedir. Bir paralel platformda aşağıda daha ayrıntılı açıklanacağı üzere gerek ileri gerekse geri kinematikte rijitlik şartları yazılarak işe başlanır. Bu denklemler genel olarak nonlineerdir ve altı bilinmeyen içerirler. Bunların çözümünde farklı matematik yöntemlere başvurulmuştur. Bunlardan birisi mevut denklemlerle yeni yapay denklemler elde etmektir. Şöyle ki, bu denklemler takımı homojen olmalıdır ve mevcut ile oluşturulan yeni yapay bilinmeyenlerin katsayıları daima tek bir bilinmeyen cinsinden olmalıdır. Bu durumda homojen bir denklem takımının sıfırdan farklı çözümünün olması katsayı matrisinin determinantının sıfır olması gerektiğinden determinant sıfıra eşitlenir ve bir polinom elde edilir. Bu polinomun reel kökleri pratik olarak mümkün platform konfigürasyonlarını verecektir. Manipülatörün uzayına bağlı olarak bazen elde edilen negatif reel kökler de dikkate alınmaz. Bu denklemlerdeki yapay değişkenler nonlineer terimler olabilir. Bu yaklaşıma Bezout metodu da denmektedir. Diğer bir yaklaşım ise Gröbner bazları metodudur. Burada da elde edilen kısıt denklemlerindeki değişkenlerden bu değişkenlerle ilişkili yeni değişkenlere geçmek ve bu suretle nonlineer denklemleri Gauss-eliminasyon metodundakine benzeyen biçimde son denklemlerde sadece bir, sondan bir öncekinde sadece iki vs. olacak tarzda nonlineer denklem takımına geçmektir. Denklemlerin nonlineer olması hasebiyle bu çözüm prosedürü tabiatıyla lineer haldekinden daha zordur. Burada ileri kinematikte karşılaşılan zorlukları ve aynı zamanda Bezout metodunu açıklamak amacıyla Nanua ve ark. (1990) tarafından 3-3 ve 6-3 formunda Stewart platformu için geliştirilen çözüm metoduna değinilecektir. Burada 3-3 ve 6-3 kombinasyonları Şekil 3.10’da gösterilmiştir. 49 6-6 6-3 3-3 Şekil 3.10. Farklı tipte Stewart platformları. Tabiatıyla pratikte bacakların bu şekilde tek bir noktada birleştirilmesi fiziken mümkün olmamakla beraber mesafeler çok yakınsa hata kabul edilebilir. Gerek 3-3 gerekse 6-3 kombinasyonunda üst platformda birleşen bacaklar bir üçgen oluştururlar ve alt platformda bunları bağlayan kenar etrafında dönmeye müsait tek bir uzuv gibi davranırlar. Bu suretle bu iki bacağın konumu tek bir açıyla tanımlanacaktır (Şekil 3.11). 𝑦 = 𝑦𝐻 1 düzlemi 𝑹 𝑅ç çemberi C ℎ 𝑙2 1 𝒍𝟏 𝑧 𝑦 B 𝐺𝑎 𝑥 H1 A Şekil 3.11.a. 3-3 Stewart platformunda eşdeğer bacak uzunluklarının gösterilmesi. 50 𝑺 𝑆ç-çemberi 𝒍𝟒 𝒍 ℎ 𝟑 2 C A 𝝓𝒔 𝜃4 𝑧 𝐺 H2 𝑎 𝑥 𝑦 𝜃3 B Şekil 3.11.b. 3-3 Stewart platformunda eşdeğer bacak uzunluklarının gösterilmesi. 𝑻 𝑇ç-çemberi 𝒍𝟓 C ℎ3 𝒍𝟔 B 𝜽𝟓 𝑧 𝑦 𝑥 𝝓𝒕 H3 𝜽𝟔 A Şekil 3.11.c. 3-3 Stewart platformunda eşdeğer bacak uzunluklarının gösterilmesi. Neticede böyle üç adet ikili bacak grubu oluşur. Bunların alt platform düzlemiyle yaptıkları açılar 𝜙𝑟 , 𝜙𝑠 ve 𝜙𝑡 olurlar. Neticede şu bağıntılar yazılır: 51 𝑎2 + 𝐿2 21 − 𝐿2 𝑟 = 𝑎 = r + 𝑟 (3.75) 1 2𝑎 1 2 𝑐2 + 𝐿2 24 − 𝐿3 𝑡1 = 𝑐 = 𝑡1 + 𝑡 (3.76) 2𝑐 2 𝑏2 + 𝐿26 − 𝐿 2 5 𝑠1 = 𝑏 = 𝑠 (3.77) 2𝑏 1 + 𝑠2 𝑚𝑟 = (𝐿 2 1 − 𝑟 2)1/21 (3.78) 𝑚 2 2 1/2𝑠 = (𝐿6 − 𝑠1 ) (3.79) 𝑚𝑡 = (𝐿 2 4 − 𝑡 2 1 ) 1/2 (3.80) 𝑎 uzunlukları kenarı eşdeğer bacak 𝑂𝑟 , 𝑏 uzunlukları kenarındaki 𝑂𝑠 ve 𝑐 uzunlukları kenarındaki eşdeğer bacak başlangıcı da 𝑂𝑡 olsun. Buna göre 𝑂𝑟 , 𝑂𝑡 ve 𝑂𝑠’nin yer vektörleri şöyle olur: (?⃗? − ?⃗? 𝐴 𝐴 ) ?⃗? 2 1𝑂 = ?⃗?𝐴 + 𝑟1 (3.81) 𝑟 1 ‖?⃗? 𝐴 − ?⃗? ‖2 𝐴1 (?⃗? − ?⃗? 𝐵 ) ?⃗? = ?⃗? + 𝑠 2 𝐵1 𝑂 (3.82) 𝑠 𝐵1 1 ‖?⃗? 𝐵 − ?⃗? ‖2 𝐵1 (?⃗? − ?⃗? ) ?⃗? 𝐶2 𝐶1 𝑂 = ?⃗?𝐶 + 𝑡1 (3.83) 𝑡 1 ‖?⃗? − ?⃗? 𝐶 𝐶 ‖2 1 Bundan sonraki adım eşdeğer bacakların doğrultusundaki ?⃗⃗? 𝑟 , ?⃗⃗? 𝑠 ve ?⃗⃗? 𝑡 birim vektörlerini tanımlamak ve bilahare üst platformdaki 𝑅, 𝑆 ve 𝑇 noktalarının yer vektörlerini aşağıdaki gibi yazmaktır: ?⃗? = ?⃗? 𝑟 𝑂 + 𝑚 ?⃗⃗? (3.84) 𝑟 𝑟 𝑟 ?⃗? 𝑠 = ?⃗? 𝑂 + 𝑚𝑠?⃗⃗? 𝑠 (3.85) 𝑠 ?⃗? 𝑡 = ?⃗? 𝑂 + 𝑚𝑡?⃗⃗? 𝑡 (3.86) 𝑡 Nihayet rijitlik şartları yazılabilir: 2 ‖?⃗? 2𝑟 − ?⃗?𝑠‖ = 𝑏1 (3.87) 2 ‖?⃗? − ?⃗? ‖ = 𝑏2 (3.88) 𝑠 𝑡 2 52 2 ‖?⃗? 𝑡 − ?⃗?𝑟‖ = 𝑏 2 3 (3.89) Bu son üç denklem 𝜙𝑟 , 𝜙𝑠 ve 𝜙𝑡 açılarının sinüs ve kosinüslerini ve çapraz çarpımlarını barındırır. Bu aşamada yarım açı tanjant formüllerine müracaat edilir. 𝜙𝑖 𝑥𝑖 = tan 𝑖 = 𝑟, 𝑠, 𝑡 (3.90) 2 olmak üzere 1 − 𝑥2𝑖 cos 𝜙𝑖 = 2 (3.91) 1 + 𝑥𝑖 2𝑥𝑖 sin𝜙𝑖 = (3.92) 1 + 𝑥2𝑖 bağıntılarından yararlanılarak (3.87) ilâ (3.89) denklemleri yeniden düzenlenirse: (𝐺 𝑥2 2 21 𝑟 + 𝐺2)𝑥𝑠 + (𝐺3𝑥𝑟)𝑥𝑠 + (𝐺4𝑥𝑟 + 𝐺5) = 0 (3.93) (𝐻1𝑥 2 𝑡 + 𝐻4)𝑥 2 𝑠 + (𝐻3𝑥𝑡)𝑥𝑠 + (𝐻2𝑥 2 𝑡 + 𝐻5) = 0 (3.94) (𝐼 21𝑥𝑟 + 𝐼4 )𝑥 2 𝑡 + (𝐼3𝑥𝑟)𝑥𝑡 + (𝐼2𝑥 2 𝑟 + 𝐼5) = 0 (3.95) denklemleri elde olunur. Burada 𝐺𝑖, 𝐻𝑖 ve 𝐼𝑖 katsayıları manipülatöre ait uygunluk ve açılarının fonkisyonu olup bilinen sayılardır. 𝑥𝑠, (3.94) ve (3.95)’den yok edilirse aşağıdaki denklem elde olunur: 𝐺 2 21𝑥𝑟 + 𝐺2 𝐺4𝑥𝑟 + 𝐺5 𝐻3𝑥𝑡 𝐺3𝑥𝑟| 𝐻 𝑥2 + 𝐻 𝐻 𝑥2 | | 2 | 1 𝑡 4 4 𝑡 + 𝐻5 𝐻1𝑥𝑡 + 𝐻4 𝐺 𝑥 2 1 𝑟 + 𝐺| 2| |𝐺 𝑥 𝐺 𝑥2 2 = 0 (3.96) 3 𝑟 4 𝑟 + 𝐺5 𝐺1𝑥𝑟 + 𝐺2 𝐺4𝑥 | | | | 𝑟 + 𝐺5 | 𝐻3𝑥𝑡 𝐻2𝑥 2 + 𝐻 2 2𝑡 5 𝐻1𝑥𝑡 + 𝐻4 𝐻2𝑥𝑡 + 𝐻5 Bu denklemin açılımı basitleştirmeden sonra 𝐽 𝑥4 3 21 𝑡 + 𝐽2𝑥𝑡 + 𝐽3𝑥𝑡 + 𝐽4𝑥𝑡 + 𝐽5 = 0 (3.97) 53 olur. 𝐽𝑖 katsayıları 𝐺𝑖 ve 𝐻𝑖 katsayılarıyla 𝑥𝑟’nin kuvetlerinin fonksiyonudur. Öte yandan (3.95) şöyle yazılabilir: 𝑀 21𝑥𝑡 + 𝑀2𝑥𝑡 + 𝑀3 = 0 (3.98) (3.97) ve (3.98)’den 𝑥𝑡 yok edilirse aşağıdaki ifadeye varılır: 𝐽2𝑀1 − 𝐽1𝑀2 𝐽3𝑀1 − 𝐽1𝑀3 𝐽4𝑀1 𝐽5𝑀1 𝐽3𝑀1 − 𝐽1𝑀3 𝐽3𝑀2 − 𝐽2𝑀3 + 𝐽4𝑀1 𝐽4𝑀2 + 𝐽5𝑀1 𝐽 (3.99) | 5 𝑀2| = 0 𝑀1 𝑀2 𝑀3 0 0 𝑀1 𝑀2 𝑀3 (3.99)’un açılımı 𝑥𝑟 cinsinden 16’ncı dereceden bir polinom verecektir. Bu polinomun onaltı kökü bulunur. 0° ≤ 𝑥𝑟 ≤ 360° olduğundan kısıt denklemlerinden (3.91) ve (3.92) kullanılarak 𝑥𝑠 ve 𝑥𝑡 bulunur. Ters kinematik daha kolaydır. Zira bu durumda üst platforma ait koordinat takımının sabit alt platformdaki koordinat takımına göre yönelimi ve orijinin yer vektörü tanımlanmıştır. Üst platforma bağlı takımda 𝑃, 𝑆 ve 𝑇 noktalarının yer vektörleri sabit vektörler olduğundan bunların sabit takımına göre koordinatları hemen bulunur. Bu durumda 𝐴, 𝐵 ve 𝐶 noktalarının koordinatları da belli olduğundan uzuv uzunluklarını 3-3 veya 6-3 kombinasyonlarında hemen bulmak mümkün olur. 6-6 kombinasyonunda da durum aynıdır. Burada da altı adet üst, altı adet alt bağlantı noktası olup bacak uzunlukları hesaplanabilir. 3.8. Bazı Paralel Manipülatörlerde İleri Kinematik İçin İki Yeni Yöntem Stewart platformunun belli kurulum formları (3-3 ve 6-3 tipi) ve ayrıca tamamen döner mafsallar içeren düzlemsel manipülatörün (3-RRR) ileri konum analizi için bu tez çalışmasında geliştirilen pratik ve ileri analitik tekniklere ihtiyaç duymayan iki farklı çözüm yöntemi aşağıda sunulacaktır. 3-3 ve 6-3 Stewart platformları ile 3-RRR düzlemsel paralel manipülatörlerin ileri kinematiği için kısıt denklemlerinin özel yapısından yararlanarak pratik bir analitik metod geliştirilmiştir. Bu bilahare 3.8.1. Çöz ve Yerine Koy metodu (ÇYK metodu, Solve and 54 Substitute method) başlıklı bölümde anlatılacaktır. Yine bu denklemleri özel yapısından hareketle uygun bir hata fonksiyonu tanımlanarak ileri kinematik çözüm Newton- Raphson metoduyla hesaplandığı diğer bir metod da 3.8.2. Hata fonksiyonu metodu (HF metodu, error function method) kısmında aktarılacaktır. 3.8.1. Çöz ve Yerine Koy Metodu (ÇYKM, Solve and Substitute Method) Bu bölümde 3-3 ve 6-3 Stewart platformları ile 3-RRR düzlemsel paralel manipülatörün ileri kinematik analizinde kullanılmak üzere geliştirdiğimiz metotlardan biri sunulacaktır. Burada önce, metodun 3-3 Stewart platformuna uygulanması gösterilecek, daha sonra da 3-RRR paralel manipülatöre ait denklemler çıkarılarak bu metodun bu mekanizmada da tatbik edilebileceği gösterilecektir. Stewart platformuna ait çözülmesi gerekli denklemlerin çıkarılışı yukarıda verilmişti. ( (3.93) ila (3.95) denklemlerine bakınız ). Bu denklemlerden üçüncüsü değiştirildikten sonra denklem takımı aşağıdaki hali alır: (G 21λ + G2)μ 2 + (G 23λ)μ + (G4λ + G5) = 0 (3.100) (H μ21 + H2)ν 2 + (H3μ)ν + (H 2 4μ + H5) = 0 (3.101) (I1λ 2 + I 24)ν + (I3λ)ν + (I2λ 2 + I5) = 0 (3.102) Bu denklemlerde, 𝜆, 𝜇, 𝜈 değişkenleri 𝜙1 𝜆 = tan 2 𝜙2 𝜇 = tan (3.103) 2 𝜙3 𝜈 = tan 2 olarak tanımlanmıştır. ÇYK Metodu’nda (3.100) ve (3.102) denklemleri 𝜇 ve 𝜈 cinsinden katsayıları 𝜆 parametresine bağlı ikinci dereceden denklemler olarak telakki edilir. Bu durumda (3.100) denkleminin kökleri 55 𝑝 ± √𝑞 𝜇1,2 = 𝑟 ve (3.102) denkleminin kökleri ise 𝑢 ± √𝑣 𝜈1,2 = 𝑤 şeklinde bulunur. Burada; 𝑝 = −𝐺3𝜆 𝑞 = (𝐺 𝜆)23 − 4(𝐺 𝜆 2 1 + 𝐺2)(𝐺 2 4𝜆 + 𝐺5) 𝑟 = 2(𝐺 21𝜆 + 𝐺2) (3.104) 𝑢 = −𝐼3𝜆 𝑣 = (𝐼 𝜆)2 − 4(𝐼 𝜆23 1 + 𝐼4)(𝐼 2 2𝜆 + 𝐼5) 𝑤 = 2(𝐼 𝜆21 + 𝐼4) 𝑝±√𝑞 𝑢±√𝑣 olarak tanımlanmıştır. (3.101) denkleminde, 𝜇 yerine 𝜇1,2 = ve 𝜈 yerine 𝜈𝑟 1,2 = 𝑤 konur ve ardından denklemin iki tarafı 𝑤2𝑟2 ile çarpılırsa; 𝐻1𝑝 2𝑢2 + 𝐻 2 2 2 2 2 22𝑟 𝑢 + 𝐻4𝑝 𝑤 + 𝐻5𝑟 𝑤 + 𝐻1𝑞𝑣 + 𝐻 𝑞𝑢 2 1 + 𝐻 2 1𝑝 𝑣 + 𝐻2𝑟 2𝑣 + 𝐻 24𝑞𝑤 + 2𝐻1𝑝𝑣√𝑞 + 2𝐻1𝑞𝑢√𝑣 + 2𝐻 2 1𝑢 𝑝√𝑞 (3.105) + 2𝐻 𝑤2𝑝√𝑞 + 2𝐻 𝑝2𝑢√𝑣 + 2𝐻 𝑟24 1 2 𝑢√𝑣 + 4𝐻1𝑝𝑢√𝑣𝑞 + 𝐻3𝑟𝑤√𝑞𝑣 + 𝐻3𝑝𝑟𝑢𝑤 + 𝐻3𝑝𝑟𝑤√𝑣 + 𝐻3𝑟𝑢𝑤√𝑞 = 0 ifadesi elde edilir. Bu denklem, 𝐴 = 𝐻1𝑝 2𝑢2 + 𝐻2𝑟 2𝑢2 + 𝐻4𝑝 2𝑤2 + 𝐻 2 2 2 25𝑟 𝑤 + 𝐻1𝑞𝑣 + 𝐻1𝑞𝑢 + 𝐻1𝑝 𝑣 + 𝐻2𝑟 2𝑣 + 𝐻4𝑞𝑤 2 + 𝐻3𝑝𝑟𝑢𝑤 𝐵 = 2𝐻 2 21𝑝𝑣 + 2𝐻1𝑝𝑢 + 2𝐻4𝑝𝑤 + 𝐻3𝑟𝑢𝑤 𝐶 = 2𝐻1𝑞𝑢 + 2𝐻1𝑝 2𝑢 + 2𝐻2𝑟 2𝑢 + 𝐻3𝑝𝑟𝑤 𝐷 = 4𝐻1𝑝𝑢 + 𝐻3𝑟𝑤 56 tanımları yapılmak suretiyle 𝐴 + 𝐵√𝑞 + 𝐶√𝑣 + 𝐷√𝑞𝑣 = 0 (3.106) formunda yazılabilir. (3.106) denklemi 𝐴 + 𝐷√𝑞𝑣 = −(𝐵√𝑞 + 𝐶√𝑣) (3.107) şeklinde parçalanır ve bu yeni denklemin iki tarafının karesi alınırsa 2(𝐴𝐷 − 𝐵𝐶)√𝑞𝑣 = −𝐴2 − 𝐷2𝑞𝑣 + 𝐵2𝑞 + 𝐶2𝑣 (3.108) bulunur. Bu denklemin tekrar karesi alınırsa; 𝐵4𝑞2 − 2𝐴2𝐵2𝑞 − (2𝐴2𝐷2 + 2𝐵2𝐶2 − 8𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑞𝑣 − 2𝐵2𝐷2𝑞2𝑣 − 2𝐶2𝐷2𝑞𝑣2 − 2𝐴2𝐶2𝑣 + 𝐶4𝑣2 + 𝐷4𝑣2 + 𝐷4𝑞2𝑣2 + 𝐴4 (3.109) = 0 ifadesi elde olunur. Bu polinom 32’nci dereceden ve sadece 𝜆 değişkenine bağlı bir polinomdur ve 𝜆’nın sadece çift kuvvetlerini içermektedir. Dolayısıyla örneğin 𝛽 = 𝜆2 dönüşümü yapılmak suretiyle 16’ncı dereceden polinoma dönüştürmek mümkündür. Buradan katlı köklerin mevcudiyeti anlaşılır. Bu polinomun kökleri bulunur. Bu 𝑝±√𝑞 𝑢±√𝑣 köklerden pozitif reel olanlar seçilir. 𝜇1,2 = ve 𝜈1,2 = bağıntılarında söz 𝑟 𝑤 konusu 𝜆 değerleri yerine konup (𝜇1, 𝜈1), (𝜇1, 𝜈2), (𝜇2, 𝜈1), (𝜇2, 𝜈2) olmak üzere her bir 𝜆 için dört farklı 𝜇, 𝜈 kombinasyonu bulunur. Pozitif ve reel 𝜆, 𝜇, 𝜈 setleri (3.101) denkleminde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir ve denklemi 0 yapan değer kümeleri (yani 𝜆, 𝜇, 𝜈 üçlüleri) alınır. (3.103) bağıntıları tersine kullanılarak 𝜙 = 2 tan−1 𝜆, 𝜙 = 2 tan−1 𝜇, 𝜙 = 2 tan−11 2 3 𝜈 ‘den 𝜙1, 𝜙2, 𝜙3 açıları bulunmuş ve böylece ileri kinematik problemi çözülmüş olur. Şimdi 3-RRR düzlemsel manipülatörün denklemlerinin çıkarılması gösterilecektir. 57 İlgili manipülatörün genel görünümü, boyutları ve parametreleri Şekil 3.12’de verilmiştir. 𝜃6 G 𝑟6 𝜃7 H 𝑟7 J 𝑎 F 𝑎 C 𝑎 𝑟5 𝜃5 𝑟3 E Y y 𝑟 B 𝜃3 F 𝑟 0 42 A 𝜃2 XF 𝜃4 x0 X D D Şekil 3.12. 3-RRR tipi düzlemsel paralel manipülatör. Şekil 3.12'de 𝜃2, 𝜃4 ve 𝜃6 aktif eklem açıları olarak adlandırılır çünkü bu mafsallara motor bağlıdır ve manipülatörün konumlarını tanımlayan koordinatlardır. 𝜃3, 𝜃5 ve 𝜃7 pasif eklem açılarıdır. Bu manipülatör için yapılan matematiksel işlemler, ÇYK metodu bölümünde anlatılmıştı. 3-RRR tipi düzlemsel paralel manipülatör için kinematik kısıt denklemlerinin nasıl türetileceği burada detaylıca ele alınacaktır. Şekil 3.12’deki düzlemsel manipülatörün C ve F noktalarının koordinatları aşağıdaki gibi kolayca yazılır: XC = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 YC = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 (3.110) XF = r4 cos θ4 + r5 cos θ5 + XD YF = r4 sin θ4 + r5 sin θ5 C ve F arasındaki mesafe: 2 (XF − XC) 2 + (YF − Y ) 2 C = ‖C⃗⃗⃗⃗F ‖ (3.111) (3.111) şu şekilde de yazılabilir: 58 2 ‖C⃗⃗⃗⃗F ‖ − a2 = A1 cos θ3 + B1 sin θ3 + C1 cos θ5 + D1 sin θ5 (3.112) +E1 cos θ3 cos θ5 + E1 sin θ3 sin θ5 + F1 = 0 buradaki sabit katsayılar: A1 = (2r2r3 cos θ2 − 2r3XD − 2r3r4 cos θ4) B1 = (2r2r3 sin θ2 − 2r3r4 sin θ4) C1 = (2r4r5 cos θ4 + 2r5XD − 2r2r5 cos θ2) D1 = (2r4r5 sin θ4 − 2r2r5 sin θ2) (3.113) E1 = −2r3r5 F = r2 + r2 + r2 + r2 + X2 − a21 2 3 4 5 D − 2r2XD cos θ2 +2r4XD cos θ4 − 2r2r4 cos(θ4 − θ2) Benzer şekilde, J ve C'nin koordinatları: XJ = r6 cos θ6 + r7 cos θ7 + XG YJ = r6 sin θ6 + r7 sin θ7 + YG (3.114) XC = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 YC = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 J ve C arasındaki mesafe: 2 2 2 (XC − XJ) + (YC − Y ⃗⃗ ⃗J) = ‖JC‖ (3.115) (3.115) şu şekilde de yazılabilir: 2 ‖⃗⃗JC ⃗‖ − a2 = A2 cos θ3 + B2 sin θ3 + C2 cos θ7 + D2 sin θ7 (3.116) +E2 cos θ3 cos θ7 + E2 sin θ3 sin θ7 + F2 = 0 Buradaki sabit katsayılar ise: 59 A2 = (2r2r3 cos θ2 − 2r3XG − 2r3r6 cos θ6) B2 = (2r2r3 sin θ3 − 2r3r4YG − 2r3r6 sin θ6) C2 = (−2r2r7 cos θ2 + 2r7XG + 2r6r7 cos θ6) D2 = (−2r2r7 sin θ2 + 2r7YG + 2r6r7 sin θ6) E2 = −2r3r7 (3.117) F = r2 + r2 + r2 + r2 2 22 2 3 6 7 + XG + YG −r2r6 cos(θ6 − θ2) − 2r2XG cos θ2 +2r6XG cos θ6 − 2r2YG sin θ2 +2 r 26Y sin θ6 − a G Son olarak, J ve F arasındaki mesafe: 2 2 2 (XJ − XF) + (YJ − YF) = ‖J⃗⃗F ⃗‖ (3.118) Denklemlerde verilen J ve F noktalarının koordinatlarını kullanarak aşağıdaki denklem bulunur: 2 ‖F⃗⃗ ⃗J‖ − a2 = A3 cos θ5 + B3 sin θ5 + C3 cos θ7 + D3 sin θ7 (3.119) +E3 cos θ5 cos θ7 + E3 sin θ3 sin θ7 + F3 = 0 Buradaki sabit katsayılar; 60 A3 = (2r4r5 cos θ5 − 2r5XG/D − 2r5r6 cos θ6) B3 = (2r4r5 sin θ4 − 2r5YG − 2r5r6 sin θ6) C3 = (2r6r7 cos θ6 + 2r7XG/D + 2r4r7 cos θ4) D3 = (2r6r7 sin θ6 + 2r7YG − 2r4r7 sin θ4) E3 = −2r5r7 (3.120) F = r2 2 23 4 + r5 + r6 + r 2 7 + X 2 G/D + Y 2 G −2r4XG/D cos(θ4) + 2r6XG/D cos θ6 −2r4YG sin θ4 + 2r6YG sin θ6 −2 r4r6 cos(θ4 − θ2) Şimdi aşağıdaki değişkenleri tanımlayalım: θ3 tan ≔ λ 2 θ5 tan ≔ μ (3.121) 2 θ7 tan ≔ ν 2 Denklemlerdeki sinüs ve kosinüs terimleri ise (3.112), (3.116) ve (3.119) denkleminde verilen yeni değişkenlere yazılır. aşağıdaki denklemler bulunur: (P1λ 2 + P2λ + P3)μ 2 + (Q 2 21λ + Q2λ + Q3)μ + (S1λ + S2λ + S3) = 0 (3.122) (K 21λ + K2λ + K )ν 2 3 + (L λ 2 1 + L2λ + L3)ν + (M 2 1λ + M2λ + M3) = 0 (3.123) (U 21μ + U2μ + U3)ν 2 + (V1μ 2 + V2μ + V3)ν + (W 2 1μ + W2μ + W3) = 0 (3.124) Buradaki sabit katsayılar şunlardır: 61 P1 = −A1 − C1 + E1 + F1 P2 = 2B1 P3 = A1 − C1 − E1 + F1 Q1 = 2D1 Q2 = 4E1 (3.125) Q3 = 2D1 S1 = −A1 + C1 − E1 + F1 S2 = 2B1 S3 = A1 + C1 + E1 + F1 K1 = −A2 − C2 + E2 + F2 K2 = 2B2 K3 = A2 − C2 − E2 + F2 L1 = 2D2 L2 = 4E2 (3.126) L3 = 2D2 M1 = −A2 + C2 − E2 + F2 M2 = 2B2 M3 = A2 + C2 + E2 + F2 U1 = −A3 − C3 + E3 + F3 U2 = 2B3 U3 = A3 − C3 − E3 + F3 V1 = 2D3 V2 = 4E3 (3.127) V3 = 2D3 W1 = −A3 + C3 − E3 + F3 W2 = 2B3 W3 = A3 + C3 + E3 + F3 62 Görüldüğü gibi 3-RRR düzlemsel manipülatör için denklemler, ÇYK metodunun uygulanabileceği formdadır. Bu denklemlerde, Stewart platformundaki süreç aynen uygulanır. 3.8.2. Hata Fonksiyonu Metodu (HFM, Error Function Method) Hata fonksiyonu metodunda, 𝜖 = 𝑓22 (3.128) şeklinde bir hata fonksiyonu tanımlamaktayız. Burada 𝑓2 ifadesi (3.101) denkleminin sol tarafına eşittir. Esasen 𝜖 = 𝑓2 21 + 𝑓2 + 𝑓 2 3 formunda bir hata fonksiyonu da tanımlanabilirdi. Burada 𝑓1 ve 𝑓3 sırasıyla (3.100) ve (3.102) denklemlerinin sol taraflarıdır. Ancak, geliştirdiğimiz bu metotta, 𝜇 ve 𝜈 değerleri, 𝜆’ya bağlı olarak ifade edildiğinden 𝑓1 ve 𝑓3 fonksiyonları, diskriminatların pozitif reel sayı olmasına dikkat etmek şartıyla her 𝜆 değeri için kendiliğinden sağlanacak; yani 𝑓1 = 0 ve 𝑓3 = 0 olacaktır. Dolayısıyla sadece 𝑓2 = 0 veya (3.128) ifadesini minimum yapan 𝜆 değerlerini araştırmak yeterli olacaktır. 𝜆’nın alabileceği değerler aralığı, q = (G3λ) 2 − 4(G 21λ + G2)(G 2 4λ + G5) ve v = (I3λ) 2 − 4(I1λ 2 + I4)(I 2 2λ + I5) diskriminantlarının pozitif reel sayı veya en az sıfır olması şartıyla tayin edilir. Başka bir ifadeyle 𝑞 > 0 ve 𝑣 > 0 olmalıdır. Bu nedenle bu iki koşulu aynı anda sağlayan aralıkta tüm kısıtları aynı anda sıfır yapacak 𝜆 değerleri aranır. Bu amaçla 𝜆𝑎𝑙𝑡 < 𝜆 < 𝜆ü𝑠𝑡 aralığında belli aralıklarla 𝜆 değerleri için 𝜇1,2 ve 𝜈1,2 değer setleri bulunur ve 𝜆’ya karşılık gelen 𝜇 ve 𝜈 değerleri ikinci denklemde yerine konarak 𝜖 = 𝑓22 bulunabilir. Burada 𝜖 = 𝑓 2 2 fonksiyonunun minimum değerleri tespit edilir. Bu değerler daha sonra 𝜖′ = 𝑓2 + 𝑓2 21 2 + 𝑓3 şeklinde tanımlanan yeni bir hata fonksiyonunun köklerini uygun bir nonlineer denklem çözücüsüyle (mesela Newton-Raphson metodu gibi) bulmak istediğimizde başlangıç şartı olarak kullanılır. Böylelikle rastgele başlangıç şartı atanmasından ve buna bağlı olarak denklem çözücünün yanlış bir çözüme yakınsaması veya ıraksamasından sakınılmış olur. Bu ise hesaplama zamanında önemli bir tasarruf sağlamaktadır 63 3.9. Hibrit Manipülatörler Bu manipülatörler seri ve paralel manipülatörlerin bir kombinasyonudur. Literatürde birbirine seri bağlanmış paralel manipülatörlerden oluşan hibrit manipülatörlere rastlandığı gibi (Şekil 3.13.a), bir seri manipülatörün, mesela bir robot kolun son uzvuna eklenmiş paralel manipülatörler içeren (Şekil 3.13.b) veya bunun tersi formda hibrit mimariler de vardır. Nitekim imalat sanayiinde paralel bir manipülatörün hareketli platformuna eklenmiş seri manipülatörlerden ibaret hibrit ekipmanlar da mevcuttur (Şekil 3.13.c). Hibrit manipülatörler seri ve paralel robotların oumlu taraflarını bir araya getirirler. Ancak bu manipülatörlerde seri ve paralel ayrılan bölümlerde değinildiği gibi zıt karakterde iki kinematiğin birleşimi söz konusudur. Seri manipülatörlerde geriye, paralelde ise ileriye konum analizi güçlükler arzeder. Mamafih hız analizinde bu problem ortadan kalkar. Zira hız bağıntıları lineerdir. Hibrit manipülatörlerin belli alanlarda kullanımının giderek yaygınlaşması bunların kinematiğini araştırmaya açık bir alan haline getirmektedir. Bu tür manipülatörlerde iş uzvunun (end effector) lineer ve açısal hız bileşenleri ile tahrik unsurlarının (elektrik motorları, hidrolik silindirler vs.) hızları arasındaki ilişki daha girift hale gelmektedir. Bu nedenle Jakobiyenin teşkili biraz daha zahmetli olacaktır. Ne var ki, manipülatörün yapısına bağlı olarak kinematiğin temel bağıntılarından hareketle iş uzvunun hız bileşenleri tahrik unsurlarının hızları ile ilişkilendirilebilir ve buradan hareketle Jakobiyen oluşturulabilir. (a) (b) (c) Şekil 3.13. Literatürde rastlanan hibrit manipülatörlerden örnekler (a) Seguchi'nin kafes yapılara sahip robotu (Seguchi ve ark., 1991) (b) Medikal amaçlar için tasarlanmış hibrit robot (Küçük ve Güngör, 2016) (c) Exechon hibrit manipülatörü (Hu ve ark., 2020) 64 Bu alt bölümde iki farklı hibrit manipülatör modeli ele alınarak ileri kinematikleri incelenecektir. Bu manipülatörler metin içinde Tip 1 ve Tip 2 olarak adlandırılacaktır. Bu manipülatörlerin serbestlik dereceleri altı olarak ön görülmüştür. Bu serbestlik derecelerinin seri ve paralel kısımlar arasında eşit olarak paylaşıldığı kabul edilecektir. İncelenecek manipülatörlerde önce seri, sonra paralel kısım gelmektedir ve her iki manipülatör üçer serbestlik derecesine sahiptir. Esasen serbestlik derecelerinin bu şekilde dağıtılmasına yönelik fiziki bir zorunluluk yoktur. İleride görüleceği üzere Tip 2 manipülatörlerde konumlama serbestlik dereceleri seri, yönelim serbestlik dereceleri ise paralel manipülatörlere tahsis edilmiştir. 3.10. Tip 1 Hibrit Manipülatörde İleri Kinematik Bu manipülatörün kinematik şeması Şekil 3.14’de verilmiştir. yü zS ü xü Q 𝜑 P 1 C 𝜑3 B A 𝜑 𝐿3 2 𝜃32 N 𝐿2 𝜃21 M ℎ0 𝐿1 𝜃10 O Şekil 3.14. Tip 1 hibrit manipülatör Bu manipülatörde seri kısım üç uzuvdan ibarettir. 1 uzvu, 0 indisi ile gösterilen yere (gövdeye) göre düşey bir eksende dönebilmektedir. 2 ve 3 uzuvları ise yatay eksenler etrafında dönmektedirler. Uzuv uzunlukları 𝐿1, 𝐿2 ve 𝐿3 ile gösterilecektir. Seri manipülatörde üç döner mafsal olup, dönme açıları sırasıyla 𝜃10, 𝜃21 ve 𝜃32’dir. Paralel manipülatörün tabanı 3 uzvuna monte edilmiş dairesel bir tabladır ve bu dairenin merkezi 3 uzvunun Denavit-Hartenberg notasyonuna göre tanımlanmış 𝑥3 ekseni üzerindedir. 65 Paralel manipülatörlerin diğer platformu iş uzvudur. (Bu manipülatörler bağımsız incelenseydi taban platformu alt veya sabit platform (bottom veya fixed platform), iş uzvu da üst veya hareketli (upper veya moving platform) olarak adlandırılacaktı). İş uzvu da dairesel bir tabla olup taban tablasına paralel olduğunda bunun da merkezi 𝑥3 ekseni üzerindedir. Üç serbestlik dereceli olması öngörülen bu manipülatör üç aktüatörle tahrik edilecektir. Bunlar lineer motorlar veya hidrolik silindirler olabilir. Bu ikili uzuv grupları literatürde rastlandığı gibi bacak olarak adlandırılacaktır. Üç bacağın her iki platformdaki bağlantı noktaları ağırlık merkezleri ilgili dairesel tablanın merkeziyle çakışık olan eşkenar üçgenlerin köşelerinde yer almaktadır. Şekil 3.15’de paralel manipülatörün iş uzvu tarafından bakıştaki görüntüsü verilmiştir. Bacaklar tabana döner mafsalla bağlanmıştır. Bacakların iki uzvu ise birbirlerine silindirik mafsallarla irtibatlandırılmıştır. Buna göre paralel manipülatörün serbestlik derecesi Kutzback formülünden bulunur. 𝑦𝑎 𝐶 İş uzvu S 𝑆 𝐺ü P Q C 𝜑 3 𝐺𝑎 𝐺ü 𝑥𝑎 𝑃 𝑄 𝜑 𝐺𝑎 𝜑 1 2 𝐴 𝐵 A Döner mafsal B Taban platformu Şekil 3.15. İncelenen hibrit manipülatörün paralel manipülatör geometrisi. 𝐹 = 6(𝑛 − 1) − 5𝑚1 − 4𝑚2 − 3𝑚3 − 2𝑚4 − 𝑚5 − ∑𝑓𝑖𝑑 (3.129) Burada 𝑛 uzuv sayısı, 𝑚𝑖 𝑖 serbestlik dereceli mafsalların sayısı, ∑𝑓𝑖𝑑 özdeş serbestlik derecelerinin sayısıdır. Bu mekanizmada, 𝑛 = 8, 𝑚1 = 3, 𝑚2 = 3, 𝑚3 = 3 ve ∑𝑓𝑖𝑑 = 3 olup bu durumda (3.129) bağıntısı 𝐹 = 3 verir. 66 S 𝐺ü C 𝜃 P 3 Q C 𝜑3 𝐺 𝜑 𝐺𝑎 𝑎 1 𝜑2 𝜃2 A A B Döner 𝜃 B 1 mafsal Şekil 3.16. Tip 1 hibrit manipülatörün paralel kısmı. a) Genel görünüm, b) Dönen mafsal eksenlerinin konumları Kinematik analizlerde kullanmak üzere orijinleri taban platformunda 𝐺𝑎 ağırlık merkezinde, iş uzvunda ise 𝐺ü ağırlık merkezinde iki ayrı koordinat takımı platformlara bağlanmıştır. Taban platformuna ait takım 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 iş uzvuna bağlı takım ise 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü ile gösterilecektir. Tabanın 𝑥𝑎 ekseni 𝐴𝐵 kenarına, iş uzvunun 𝑥ü ekseni PQ kenarına paralel alınmıştır. Her iki platform paralel olduğunda 𝑥𝑎 , 𝑥ü ve 𝑦𝑎, 𝑦ü eksenleri paralel, 𝑧𝑎 ve 𝑧ü eksenleri çakışık durumdadır. PQS eşkenar üçgeni ile tanımlanan iş uzvunun, ABC eşkenar üçgeni ile tanımlanan tabana göre yönelimi 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımına göre yönelimiyle tanımlanacaktır. ABC eşkenar üçgeninin kenar uzunlukları 𝑎, PQS üçgeninki ise 𝑏 ile gösterilecektir. İş uzvunun 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımına göre yönelim açıları 𝜑, 𝜃 ve 𝛹 ile gösterilmektedir. İş uzvunun tabana göre istenen yönelime getirilmesinde merkezi 𝐺ü’de olan ancak eksenleri sabit ve 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımının eksenlerine paralel 𝑥𝑎′, 𝑦𝑎′ ve 𝑧𝑎′ etrafında sırasıyla 𝜑, 𝜃 ve 𝛹 kadar döndürüleceği kabul edilecektir. 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının yere bağlı 𝑂𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımına göre yönelimi de yine merkezi 𝐺ü’de olup sabit takımın eksenlerine daima paralel kalan 𝐺ü𝑥𝑎′𝑦𝑎′𝑧𝑎′ takımının 𝑥𝑎′, 𝑦𝑎′ ve 𝑧𝑎′ eksenleri etrafında sırasıyla 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 kadar döndüğü farz edilerek bulunacaktır. Bacak uzunlukları 𝑙1, 𝑙2 ve 𝑙3 ile gösterilecektir. 67 3.10.1. Tip 1 manipülatörde ileri konum analizi Bu bölümde 𝜃10, 𝜃21, 𝜃32, 𝑙1, 𝑙2, 𝑙3 değerleri verildiğinde iş uzvunun 𝐺ü noktasının konumu ile sabit takıma göre yöneliminin ne olduğu tayin edilecektir. Manipülatörün seri kısmında ileri kinematik hayli basit olup taban platformunun 𝐺𝑎 merkezinin koordinatları kolayca bulunur. Bunun için Şekil 3.17’den istifade edilebilir. 𝐺𝑎 𝜃32 𝜃21 𝑁 𝑧𝐺 𝑎 𝜃21 𝑥0 𝑀 𝜃 𝑥𝐺 10 𝑎 𝑦 𝐿1 0 𝑦 𝑧0 𝐺𝑎 𝑂 Şekil 3.17. Seri manipülatörün 𝐺𝑎 noktasının koordinatlarının tayini. Buna göre xGa = (𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos 𝜃31) cos 𝜃10 yGa = (𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos 𝜃31) sin 𝜃10 (3.130) zGa = 𝐿1 + 𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos 𝜃31 bağıntıları mevcuttur. Burada 𝜃31 θ31 = θ21 + 𝜃32 (3.131) olarak tanımlanmıştır. Şimdi problem, iş uzvunun yere göre yönelimini ve 𝐺ü noktasının yere göre koordinatlarını bulmaktır. Burada iş uzvunun önce taban plakasına göre yöneliminin nasıl bulunacağı ele alınacaktır. Şekil 3.15 ve Şekil 3.16 yardımıyla aşağıdaki bağıntılar kolayca yazılır: 68 Şekil 3.15 yardımıyla aşağıdaki bağıntılar kolayca yazılabilir: 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗𝑎 = 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝐴 + 𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ 𝑎 𝑎 = (− 𝑖 𝑎 − 𝑗 2 𝑎 ) 2√3 (3.132) + (𝑙1 cos𝜑1 cos 30° 𝑖 𝑎 + 𝑙1 cos𝜑1 sin 30° 𝑗 𝑎 + 𝑙1 sin𝜑 1 ?⃗?𝑎) √3 𝑎 𝑙1 𝑎 = ( 𝑙1 cos𝜑1 − ) 𝑖 𝑎 + ( cos𝜑1 − ) 𝑗 𝑎 + 𝑙1 sin𝜑 1 ?⃗?𝑎 2 2 2 2√3 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄 = 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎 𝑎𝐵 + 𝐵𝑄 ⃗ 𝑎 𝑎 = ( 𝑖 2 𝑎 − 𝑗 𝑎) 2√3 + (−𝑙2 cos𝜑2 cos 30° 𝑖 𝑎 + 𝑙2 cos𝜑2 sin 30° 𝑗 𝑎 (3.133) + 𝑙2 sin 𝜑 2 ?⃗?𝑎) 𝑎 √3 𝑙2 𝑎 = ( − 𝑙2 cos𝜑2) 𝑖 𝑎 + ( cos𝜑2 − ) 𝑗 𝑎 + 𝑙2 sin𝜑2 ?⃗? 𝑎 2 2 2 2√3 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ = ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝐶 ⃗𝑎 𝑎 + 𝐶⃗⃗⃗⃗𝑆 𝑎 = ( 𝑗 𝑎) + (−𝑙3 cos𝜑3 𝑗 𝑎 + 𝑙3 sin𝜑3 ?⃗?𝑎) √3 (3.134) 𝑎 = ( − 𝑙3 cos 𝜑3) 𝑗 𝑎 + 𝑙 3 sin 𝜑3 ?⃗?𝑎 √3 Bu vektörler bulunduktan sonra iş uzvunun bacak bağlantı noktalarını birleştiren vektörler kolayca yazılır. Önce PQ kenarını ele alalım. Açıktır ki, √3 √3 ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑄 ⃗ = 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎𝑄 − 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝑃 ⃗ = (𝑎 − 𝑙2 cos 𝜑 − 𝑙 cos 𝜑 ) 𝑖 2 2 2 1 1 𝑎 (3.135) 𝑙3 𝑙1 + ( cos𝜑 − cos𝜑 ) 𝑗 + (𝑙 sin 𝜑 − 𝑙 sin𝜑 )?⃗? 2 2 2 1 𝑎 2 2 1 1 𝑎 ifadesi geçerlidir. İş uzvu rijit olduğundan bu vektörün uzunluğunun değişmeyeceğini söylemek aşağıdaki gibi ifade olunur: 69 3 3 ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑄 ⃗. 𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ − 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑙2 cos2 𝜑 + 𝑙22 2 1 cos 2 𝜑1 − √3𝑎𝑙1 cos𝜑4 4 1 3 𝑙22 − √3𝑎𝑙2 cos𝜑2 + 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 cos𝜑 2 2 2 + cos 𝜑 4 2 (3.136) 𝑙21 𝑙2 1𝑙2+ cos 𝜑1 − cos𝜑 cos𝜑 + 𝑙 2 sin2 𝜑 + 𝑙2 2 4 2 1 2 2 2 1 sin 𝜑1 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑 2 1 sin𝜑2 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑙2 + 𝑙21 2 − √3𝑎𝑙1 cos𝜑1 − √3𝑎𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 cos 𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑1 sin𝜑2 = 0 Bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir: (−𝐶1 + 𝐶3 − 𝐶4 + 𝐶5)𝜇 2 + (𝐶1 − 𝐶3 − 𝐶4 + 𝐶5)𝜆 2𝜇2 + 4𝐶2𝜆𝜇 (3.137) + (𝐶1 + 𝐶3 + 𝐶4 + 𝐶5) + (−𝐶1 − 𝐶3 + 𝐶4 + 𝐶5)𝜆 2 = 0 Burada 𝐶1 = 𝑙1𝑙2, 𝐶2 = −2𝑙1𝑙2 𝐶3 = −√3𝑎𝑙1 (3.138) 𝐶4 = −√3𝑎𝑙2, 𝐶5 = 𝑎 2 − 𝑏2 + 𝑙2 + 𝑙21 2 olarak tanımlanmıştır. (3.137) denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir: (𝐺 𝜆21 + 𝐺2)𝜇 2 + 𝐺 23𝜆𝜇 + (𝐺4𝜆 + 𝐺5) = 0 (3.139) Burada aşağıdaki tanımlar yapılmıştır: 70 𝐺1 = 𝐶1 − 𝐶3 − 𝐶4 + 𝐶5 𝐺2 = −𝐶1 + 𝐶3 − 𝐶4 + 𝐶5 𝐺3 = 4𝐶2 (3.140) 𝐺4 = −𝐶1 − 𝐶3 + 𝐶4 + 𝐶5 𝐺5 = 𝐶1 + 𝐶3 + 𝐶4 + 𝐶5 Benzer şekilde iş uzvunun QS kenarını temsil eden vektör ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ = ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗𝑎 − 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎𝑄 √3 𝑎 √3 𝑙2 = ( 𝑙2 cos 𝜑 − ) 𝑖𝑎 + ( 𝑎 − 𝑙3 cos𝜑 − cos 𝜑 ) 𝑗 (3.141) 2 2 2 2 3 2 2 𝑎 + (𝑙3 sin 𝜑 − 𝑙2 sin 𝜑 )?⃗? 3 2 𝑎 şeklinde yazılabilir. Bu vektörün de şiddetinin sabit kalması şartı aşağıdaki bağıntıya sevk eder: 3 𝑎2 √3 3 𝑄⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗. 𝑄⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ − 𝑏2 = 𝑙2 cos2 𝜑 + − 𝑎𝑙 cos𝜑 + 𝑎2 + 𝑙2 cos2 𝜑 4 2 2 4 2 2 2 4 3 2 𝑙22 + cos2 𝜑 + 𝑙22 3 sin 2 𝜑 2 23 + 𝑙3 sin 𝜑2 − √3𝑎𝑙3 cos𝜑4 3 (3.142) √3 + 𝑙2𝑙3 cos𝜑2 cos 𝜑3 − 𝑎𝑙2 cos𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑2 sin 𝜑2 3 − 𝑏2 = 0 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑙22 + 𝑙 2 3 − √3𝑎𝑙2 cos𝜑2 − √3𝑎𝑙3 cos 𝜑3 + 𝑙2𝑙3 cos𝜑2 cos𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 sin 𝜑2 sin𝜑3 = 0 (3.142) denklemi aşağıdaki forma getirilebilir: (𝐷1 − 𝐷2 − 𝐷 2 2 2 4 + 𝐷5)𝜇 𝜈 + (−𝐷1 + 𝐷3 − 𝐷4 + 𝐷5)𝜈 + 4𝐷2𝜇𝜈 (3.143) + (−𝐷1 − 𝐷3 + 𝐷 + 𝐷 2 4 5)𝜇 + (𝐷1 + 𝐷3 + 𝐷4 + 𝐷5) = 0 Burada da 71 𝐷1 = 𝑙2𝑙3, 𝐷2 = −2𝑙2𝑙3 𝐷3 = −√3𝑎𝑙2 (3.144) 𝐷4 = −√3𝑎𝑙3, 𝐷 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑙2 25 2 + 𝑙3 tanımlamaları yapılmıştır. (3.144) denklemi şu hâle getirilebilir: (𝐻 𝜇2 + 𝐻 )𝜈2 + 𝐻 𝜇𝜈 + (𝐻 𝜇21 2 3 4 + 𝐻5) = 0 (3.145) Burada 𝐻𝑖(𝑖 = 1…5) katsayıları şöyle tanımlanmıştır: 𝐻1 = 𝐷1 − 𝐷3 − 𝐷4 + 𝐷5 𝐻2 = −𝐷1 + 𝐷3 − 𝐷4 + 𝐷5 𝐻3 = 4𝐷2 (3.146) 𝐻4 = −𝐷1 − 𝐷3 + 𝐷4 + 𝐷5 𝐻5 = 𝐷1 + 𝐷3 + 𝐷4 + 𝐷5 Son olarak iş uzvunun SP kenarına ait vektör şöyle ifade olunur: 𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 = ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝑃 ⃗ − 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑎𝑆 √3 𝑎 𝑙1 √3 = ( 𝑙1 cos 𝜑 − ) 𝑖𝑎 + ( cos 𝜑 + 𝑙3 cos𝜑 − 𝑎) 𝑗 (3.147) 2 1 2 2 1 3 2 𝑎 + (𝑙 1 sin 𝜑 − 𝑙3 sin 𝜑 )?⃗?𝑎 1 3 bu kenara ait rijitlik şartı da aşağıdaki denklemi verir: 72 3 𝑎2 √3 𝑙2 𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 . 𝑆⃗⃗ ⃗⃗ 2 1 𝑃 − 𝑏 = 𝑙2 cos2 𝜑 2 2 2 4 1 1 + − 𝑎𝑙 cos𝜑 + cos 𝜑 + 𝑙 cos 𝜑 4 2 1 1 4 1 3 3 3 √3 (3.148) + 𝑎2 + 𝑙1𝑙3 cos 𝜑1 cos𝜑3 − 𝑎𝑙1 cos 𝜑1 − √3𝑎𝑙3 cos𝜑4 2 3 + 𝑙2 sin21 𝜑1 + 𝑙 2 3 sin 2 𝜑3 − 2𝑙1𝑙 sin𝜑 sin 𝜑 − 𝑏 2 3 1 3 = 0 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑙21 + 𝑙 2 3 − √3𝑎𝑙1 cos𝜑1 − √3𝑎𝑙3 cos 𝜑3 + 𝑙1𝑙3 cos𝜑1 cos 𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 sin𝜑1 sin𝜑3 = 0 Aşağıdaki gibi 𝐸i (𝑖 = 1,… ,5) katsayıları tanımlayalım. 𝐸1 = 𝑙1𝑙3, 𝐸2 = −2𝑙1𝑙3 𝐸3 = −√3𝑎𝑙3 (3.149) 𝐸4 = −√3𝑎𝑙1, 𝐸 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑙2 25 1 + 𝑙3 Bu durumda (3.148) denklemi şu hâle gelir: (𝐸1 − 𝐸3 − 𝐸4 + 𝐸5)𝜈 2𝜆2 + (−𝐸1 + 𝐸 − 𝐸 2 3 4 + 𝐸5)𝜆 + 4𝐸2𝜈𝜆 (3.150) + (−𝐸1 − 𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸 )𝜈 2 5 + (𝐸1 + 𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸5) = 0 Şimdi 𝐼𝑖 (𝑖 = 1,… ,5) sayılarını aşağıdaki gibi tanımlayalım: 𝐼1 = 𝐸1 − 𝐸3 − 𝐸4 + 𝐸5 𝐼2 = −𝐸1 + 𝐸3 − 𝐸4 + 𝐸5 𝐼3 = 4𝐸2 (3.151) 𝐼4 = −𝐸1 − 𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸5 𝐼5 = 𝐸1 + 𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸5 Neticede (3.150) aşağıdaki şekli alır: (𝐼 𝜈21 + 𝐼 2 2 2)𝜆 + 𝐼3𝜈𝜆 + (𝐼4𝜈 + 𝐼5) = 0 (3.152) 73 (3.139),(3.142) ve (3.152) denklemlerinin yapısı geliştirdiğimiz ÇYK metodunun kullanılmasına imkan vermektedir. Buna hazırlık olarak (3.152) denklemini aşağıdaki forma getirmek uygun olacaktır. (𝐼 21𝜆 + 𝐼4)𝜈 2 + 𝐼 23𝜆𝜈 + (𝐼2𝜆 + 𝐼5) = 0 (3.153) Neticede iş uzvunun taban platformuna göre konum ve yönelimini bulmak için çözülmesi gereken denklem takımı (𝐺 2 21𝜆 + 𝐺2)𝜇 + 𝐺3𝜆𝜇 + (𝐺4𝜆 2 + 𝐺5) = 0 (3.139 tekrar) (𝐻 2 21𝜇 + 𝐻2)𝜈 + 𝐻3𝜇𝜈 + (𝐻4𝜇 2 + 𝐻5) = 0 (3.145 tekrar) (𝐼 21𝜆 + 𝐼4)𝜈 2 + 𝐼 𝜆𝜈 + (𝐼 𝜆23 2 + 𝐼5) = 0 (3.153 tekrar) olmaktadır. Buradaki 𝜆, 𝜇 ve 𝜈 büyüklükleri (3.103)’e benzer tarzda tanımlanmıştır. 𝜑1 𝜆 = tan 2 𝜑2 𝜇 = tan (3.154) 2 𝜑3 𝜈 = tan 2 Burada 𝜑1, 𝜑2 ve 𝜑3 taban platformu dönen mafsalla bağlı bacakların bu platformla yaptıkları açılardır. (Şekil 3.16.a.) (3.154) bağıntıları tersine kullanılarak 𝜑1, 𝜑2 ve 𝜑3 açıları bulunduğunda ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑎𝑃, 𝐺𝑎𝑄 ve ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗𝑎𝑆 ⃗ vektörleri sayısal olarak hesaplanabilir. Bu durumda P,Q ve S noktalarının 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımındaki koordinatları bulunmuş olur. Keza 𝐺ü noktasının yer vektörü 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑎 𝑃 + 𝐺𝑎𝑄 + 𝐺𝑎𝑆 𝐺𝑎𝐺ü = (3.155) 3 74 olarak bulunur. Bu vektörün bileşenleri 𝐺ü noktasının 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımındaki bileşenleridir. 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımının eksenlerinin sabit takıma göre nasıl tanımlanacağı evvelce belirtilmemiştir. Şekil 3.18’de bu koordinat takımının nasıl yerleştirildiği gösterilmiştir. 𝜃31 𝑧𝑎 𝑦𝑎 3 uzvu 𝑥𝑎 𝐺𝑎 Taban Şekil 3.18. 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎’nın yerleşimi hakkında. Buna göre 𝑥𝑎 ekseni daima yatay kalmaktadır. 𝑦𝑎 ekseni ise düşeyle 𝜃31 açısı yapmaktadır. 𝑧𝑎 ise bu iki eksene dik bir eksen olacaktır. 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımının birim vektörleri 𝑖 𝑎, 𝑗 𝑎ve 𝑘𝑎’nın 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0 sabit takımının birim vektörleri cinsinden ifadesi Şekil 3.19 yardımıyla kolayca bulunur. Seri manipülatör düzlemi 𝑗 𝑎 𝑗 0 ?⃗?𝑎 𝑗 0 𝑥0 𝑖 𝑎 𝑖 0 sin 𝜃31 Şekil 3.19. 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 ve 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0 takımlarının birim vektörleri arasındaki ilişki hakkında. ⃗⃗𝑖𝑎 ⃗ − sin 𝜃10 cos 𝜃10 0 𝑖 [ ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ ] = [−sin 𝜃31 cos 𝜃10 −sin 𝜃31 sin 𝜃10 cos 𝜃31] [𝑗 ] (3.156) ⃗⃗𝑘⃗⃗ cos 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑎 31 10 31 10 31 ?⃗? 75 Buradaki 3x3 matris 𝑎0𝑅 𝑇’dir, yani 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎’nın 𝑂𝑥𝑦𝑧 takımına göre yönelimi matrisin transpozudur. Bu durumda 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝐺ü vektörünün 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımındaki bileşenleri 𝑎 𝑥𝐺Ü, 𝑎𝑦 𝑎 𝐺Ü, 𝑧𝐺Ü ile 𝑥𝐺Ü, 𝑦𝐺Ü, 𝑧𝐺Ü ile gösterdiğimiz sabit takımdaki bileşenleri arasındaki ilişki şöyle olur: 𝑎𝑥𝑎 𝑎 𝐺Ü −sin 𝜃10 −sin 𝜃31 cos 𝜃10 cos 𝜃31 cos 𝜃10 𝑥𝐺Ü [𝑎 𝑦 𝑎 𝐺Ü] = [ cos 𝜃10 −sin 𝜃31 sin 𝜃10 cos 𝜃31 sin 𝜃 ] [ 𝑎 10 𝑦𝐺Ü] (3.157) 𝑎𝑧𝑎 0 cos 𝜃 𝑎 𝐺Ü 31 sin 𝜃31 𝑧𝐺Ü (3.156)’daki matrisin (3.157)’deki matrisin transpozu olduğu görülmektedir. Bu bileşenlere (3.130) ile verilen bileşenler eklenirse 𝐺ü’nün yere göre vektörü tanımlanmış olur. Neticede 𝑥 0𝐺Ü = 𝑥 + 0𝑥𝑎𝐺𝑎 𝐺Ü 𝑦 0 0 𝑎𝐺Ü = 𝑦𝐺𝑎 + 𝑦𝐺Ü (3.158) 𝑧 0 0 𝑎𝐺Ü = 𝑧𝐺𝑎 + 𝑧𝐺Ü İş uzvunun yönelimini bulmada şöyle bir yol izlenebilir. Bilindiği gibi 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının 𝑥ü ekseni PQ kenarına paraleldir. 𝑦𝑎 ekseni ise PQ’nun orta noktası ile S köşesini birleştiren doğru üzerindedir. Bu noktaya 𝐻1 diyelim. Bu durumda her konumda, 𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄 ⃗ 𝑖⃗⃗ü = ‖𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗‖ 𝐻⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗1𝑆 𝐺⃗⃗⃗⃗𝑎𝑆 ⃗ − ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐻⃗⃗ 1 (3.159) 𝑗⃗⃗ü = = ‖𝐻⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑆 ⃗1 ‖ ‖⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ − 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑎 1‖ 𝑘⃗⃗⃗⃗ ü = ⃗⃗𝑖ü × ⃗⃗𝑗ü bağıntıları geçerlidir. Burada 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐻⃗⃗ 1 vektörü şöyle bulunur: 1 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗ + (𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎 1 𝑎 𝑎 𝑎𝑃) (3.160) 2 76 (3.156)’daki vektörler 𝐺 𝑥 𝑦 𝑧 takımına göre tanımlandığından 𝑖⃗⃗ , 𝑗⃗⃗ ve 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ü ü ü vektörleri 𝑖⃗⃗𝑎 ⃗,⃗⃗𝑗𝑎 ⃗,⃗⃗𝑘⃗⃗ 𝑎 birim vektörleri cinsinden aşağıdaki gibi bulunmaktadır: ⃗⃗𝑖ü ⃗⃗𝑖𝑎 ⃗ [ 𝑗⃗⃗ü ] = [ü 𝑇𝑎𝑅 ] [ ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ ] (3.161) ⃗⃗𝑘⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗ ü 𝑎 Burada ü 𝑇𝑎𝑅 , 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımında verilen bir vektörün bileşenlerini 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎’daki bileşenlere bağlayan matristir. Bu matris 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎’ya göre yönelimini temsil eder. (3.161)’de 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımının birim vektörleri yerine (3.156) bağıntısı konursa 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının 𝑂𝑥𝑦𝑧 takımına göre yönelimi belirlenmiş olur. ü 𝑎𝑅 matrisinin bileşenleri 𝜑, 𝜃,𝛹 açılarının sinüs ve kosinüslerini içerir. Neticede, ⃗⃗𝑖ü 𝑖 [ 𝑗⃗⃗ ] = üü 𝑎𝑅 𝑇𝑎 0𝑅 𝑇 [𝑗 ] (3.162) ⃗⃗𝑘⃗⃗ ü ?⃗? yazılabilir. (3.174)’deki 3x3 iki matris çarpımı ü 0𝑅 𝑇 = ü𝑎𝑅 𝑇𝑎 𝑇 0𝑅 (3.163) şeklinde tanımlanabilir. Burada ü𝑎𝑅 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü takımının sabit 𝑂𝑥𝑦𝑧 takımına göre yönelim matrisidir ve bunun bileşenleri 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 açılarının sinüs ve kosinüslerini içerir. Neticede 𝛼, 𝛽, 𝛾 yönelim açılarını 𝜑, 𝜃,𝛹, 𝜃10, 𝜃21, 𝜃32 açılarıyla ilişkisi kurulmuş olur. Bu suretle Tip 1 hibrit manipülatörün ileri konum analizi tamamlanmış bulunmaktadır. 3.10.2. Tip 1 hibrit manipülatörde ileri hız analizi Paralel manipülatörün bacaklarınınn uzama hızları verildiğinde bacakların dönme açısal hızları kısıt denklemlerinin zamana göre türetilmesi ile bulunan denklemlerden elde edilir. Buna göre (3.109) kısıt denklemi zamana göre türetilirse 77 𝑑 (⃗⃗𝑃⃗⃗𝑄 ⃗. 𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ − 𝑏2) = 0 (3.164) 𝑑𝑡 veya 𝑑 (𝑙21 + 𝑙 2 2 + 𝑎 2 − 𝑏2 − √3𝑎𝑙1 cos𝜑1 − √3𝑎𝑙2 cos𝜑𝑑𝑡 2 (3.165) + 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 cos 𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑1 sin 𝜑2) = 0 ifadesi elde olunur. Türev işlemleri yapılırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir. 2𝑙1𝑙1̇ + 2𝑙2𝑙2̇ − √3𝑎 cos𝜑1 𝑙1̇ + √3𝑎𝑙1 sin𝜑1𝜑1̇ − √3𝑎 cos𝜑2 𝑙2̇ + √3𝑎𝑙2 sin𝜑2𝜑2̇ + 𝑙2 cos𝜑1 cos𝜑2 𝑙1̇ + 𝑙1 cos𝜑1 cos𝜑2 𝑙2̇ − 𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos 𝜑2𝜑1̇ − 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 sin𝜑2 𝜑2̇ (3.166) − 2𝑙2 sin𝜑1 sin𝜑2 𝑙1̇ − 2𝑙1 sin𝜑1 sin𝜑2 𝑙2̇ − 2𝑙1𝑙2 cos𝜑1 sin𝜑2 𝜑1̇ − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos𝜑2 𝜑2̇ = 0 (3.166) denkleminde terimler bulunacak olan bacak açısal hızlarının parantezine alınır ve bilinen değerler denklemin sağ tarafına atılır: (√3𝑎𝑙1 sin𝜑1 − 𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 cos 𝜑1 sin 𝜑2)𝜑1̇ + (√3𝑎 𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 sin𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos𝜑1)𝜑2̇ = −(2𝑙1 − √3𝑎 cos𝜑1 + 𝑙2 cos𝜑1 cos 𝜑2 (3.167) − 2𝑙2 sin𝜑1 sin𝜑2)𝑙1̇ − (2𝑙2 − √3𝑎 cos𝜑2 + 𝑙1 cos𝜑1 cos𝜑2 − 2𝑙1 sin 𝜑1 sin𝜑2)𝑙2̇ Benzer şekilde ikinci rijitlik şartı zamana göre türetilir: 𝑑 (⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗. ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ − 𝑏2) = 0 (3.168) 𝑑𝑡 78 veya 𝑑 (𝑙2 2 22 + 𝑙3 + 𝑎 − 𝑏 2 − √3𝑎𝑙2 cos𝜑2 − √3𝑎𝑙3 cos𝜑𝑑𝑡 3 (3.169) + 𝑙2𝑙3 cos𝜑2 cos 𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 sin𝜑2 sin 𝜑3) = 0 (3.169) denkleminde gerekli türevler alınır, bilinen terimler sağ tarafa atılır ve kalan terimler bacak açısal hızlarının parantezine alınırsa aşağıdaki denklem elde edilir: (√3𝑎𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙2𝑙3 sin𝜑2 cos𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 cos 𝜑2 sin𝜑3)𝜑2̇ + (√3𝑎 𝑙3 sin 𝜑3 − 𝑙2𝑙3 cos𝜑2 sin𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 sin 𝜑2 cos 𝜑3)𝜑3̇ = −(2𝑙2 − √3𝑎 cos𝜑2 + 𝑙3 cos𝜑2 cos 𝜑3 (3.170) − 2𝑙3 sin𝜑2 sin 𝜑3)𝑙2̇ − (2𝑙3 − √3𝑎 cos𝜑3 + 𝑙2 cos𝜑2 cos𝜑3 − 2𝑙2 sin𝜑2 sin 𝜑3)𝑙3̇ Son olarak üçüncü rijitlik şartı zamana göre türetilir 𝑑 (⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 . 𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 − 𝑏2) = 0 (3.171) 𝑑𝑡 veya 𝑑 (𝑙2 + 𝑙2 + 𝑎2 21 3 − 𝑏 − √3𝑎𝑙1 cos𝜑1 − √3𝑎𝑙3 cos𝜑𝑑𝑡 3 (3.172) + 𝑙1𝑙3 cos𝜑1 cos 𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 sin𝜑1 sin 𝜑3) = 0 Yukarıdakilerine benzer işlem yapılarak hız analizi için gerekli üçüncü denklem de bulunur. 79 (√3𝑎𝑙1 sin𝜑1 − 𝑙1𝑙3 sin𝜑1 cos𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 cos 𝜑1 sin 𝜑3)𝜑1̇ + (√3𝑎 𝑙3 sin 𝜑3 − 𝑙1𝑙3 cos𝜑1 sin𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 sin𝜑1 cos𝜑3)𝜑3̇ = −(2𝑙1 − √3𝑎 cos𝜑1 + 𝑙3 cos𝜑1 cos 𝜑3 (3.173) − 2𝑙3 sin𝜑1 sin𝜑3)𝑙1̇ − (2𝑙3 − √3𝑎 cos𝜑3 + 𝑙1 cos𝜑1 cos𝜑3 − 2𝑙1 sin 𝜑1 sin𝜑3)𝑙3̇ Çıkarılan denklemler incelendiğinde bacak açısal hızları cinsinden üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan lineer bir denklem takımının ortaya çıktığı görülmektedir. Bunun çözümünde Gauss eliminasyon , Cramer metodu veya ters matris metodu kullanılabilir. Bu maksatla öncelikle bilinmeyenlere ait katsayı matrisinin elemanları aşağıdaki gibi tanımlanır. 𝐴11 = √3𝑎 𝑙1 sin 𝜑1 − 𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 cos𝜑1 sin𝜑2 𝐴12 = √3𝑎 𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙1𝑙2 cos𝜑1 sin 𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin𝜑1 cos𝜑2 𝐴13 = 0 𝐴21 = 0 𝐴22 = √3𝑎 𝑙2 sin𝜑2 − 𝑙2𝑙3 sin 𝜑2 cos𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 cos𝜑2 sin𝜑3 (3.174) 𝐴23 = √3𝑎 𝑙3 sin𝜑3 − 𝑙2𝑙3 cos𝜑2 sin𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 sin 𝜑2 cos𝜑3 𝐴31 = √3𝑎 𝑙1 sin 𝜑1 − 𝑙1𝑙3 sin 𝜑1 cos𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 cos𝜑1 sin𝜑3 𝐴32 = 0 𝐴33 = √3𝑎 𝑙3 sin𝜑3 − 𝑙1𝑙3 cos𝜑1 sin𝜑3 − 2𝑙1𝑙3 sin𝜑1 cos𝜑3 Denklemlerin sağ tarafındaki terimler de matris formunda yazacağımız denklem takımının sağ taraf vektörünü (sabitler vektörünü) oluştururlar. Bu vektörün bileşenleri de aşağıdaki gibidir. 80 𝑏(1,1) = −[(2𝑙1 − √3𝑎 cos𝜑1 + 𝑙2 cos𝜑1 cos𝜑2 − 2𝑙2 sin𝜑1 sin𝜑2)𝑙1̇ + (2𝑙2 − √3𝑎 cos𝜑2 + 𝑙1 cos𝜑1 cos𝜑2 − 2𝑙1 sin 𝜑1 sin𝜑2)𝑙2̇] 𝑏(2,1) = −[(2𝑙2 − √3𝑎 cos𝜑2 + 𝑙3 cos𝜑2 cos𝜑3 − 2𝑙3 sin𝜑2 sin𝜑3)𝑙2̇ + (2𝑙3 − √3𝑎 cos𝜑3 + 𝑙2 cos𝜑2 cos𝜑3 (3.175) − 2𝑙2 sin𝜑2 sin 𝜑3)𝑙3̇] 𝑏(3,1) = −[(2𝑙1 − √3𝑎 cos𝜑1 + 𝑙3 cos𝜑1 cos𝜑3 − 2𝑙3 sin𝜑1 sin𝜑3)𝑙1̇ + (2𝑙3 − √3𝑎 cos𝜑3 + 𝑙1 cos𝜑1 cos𝜑3 − 2𝑙1 sin 𝜑1 sin𝜑3)𝑙3̇] Neticede (3.167), (3.170) ve (3.173)’ten ibaret denklem takımı matris formunda aşağıdaki gibi yazılır. ?̰??̰̇? = ?̰? (3.176) Burada 𝜑1̇ (3.177) ?̰̇? = [𝜑2̇] 𝜑3̇ olup denklem takımının çözümü ?̰̇? = ?̰?−1?̰? (3.178) şeklinde bulunur. Bacakların açısal hızlarının alt platforma bağlı koordinat takımında vektörel olarak tanımlanması gerekeceğinden alt platformun A,B,C noktalarındaki döner mafsalların eksenine çakışık birim vektörler tanımlanması gerekir. Bu vektörler ?⃗? 1, ?⃗? 2 ve ?⃗? 3 olsun. Bu vektörler matematik pozitif yönde dönme verecek tarzda (𝜑𝑖’leri arttıracak yönde) tanımlanmıştır. 81 ?⃗? 3 𝐶 60° 𝑦𝑎 𝑧𝑎 𝑥𝑎 60° ?⃗? 2 60° ?⃗? 1 Şekil 3.20. Hibrit manipülatörün ?⃗? 1, ?⃗? 2 ve ?⃗? 3 vektörlerinin tanımlanması. Buna göre söz konusu birim vektörlerin alt platforma bağlı birim vektörler cinsinden ifadeleri şöyle olur: √3 1 ?⃗? 1 = cos 30° 𝑖 𝑎 − sin 30° 𝑗 𝑎 = 𝑖 𝑎 − 𝑗 𝑎 2 2 √3 1 (3.179) ?⃗? 2 = cos 30° 𝑖 𝑎 + sin 30° 𝑗 𝑎 = 𝑖 𝑎 + 𝑗 2 2 𝑎 ?⃗? 3 = −𝑖 𝑎 Neticede bacakların herhangi bir anda alt platforma göre bağıl açısal hızları 𝑎 √3 1𝜔⃗⃗⃗⃗1 ⃗ = 𝜑1̇?⃗? 1 = 𝜑1̇𝑖 𝑎 − 𝜑 𝑗 2 2 1̇ 𝑎 𝑎 √3 1 (3.180) 𝜔⃗⃗⃗⃗ 2 ⃗ = 𝜑2̇?⃗? 2 = 𝜑 𝑖 + 𝜑2 2̇ 𝑎 2 1̇ 𝑗 𝑎 𝑎𝜔⃗⃗⃗⃗ 3 ⃗ = 𝜑3̇?⃗? 3 = 𝜑3̇𝑖 𝑎 82 olur. Burada sol üst köşedeki a sembolü büyüklüklerin alt platforma bağlı koordinat takımında tanımlandığına işaret etmektedir. Şayet 𝑙1, 𝑙2 ve 𝑙3 uzunlukları sabit tutulsalar idi, P,Q ve S’nin mutlak hızları (yere göre) şöyle bulunurdu: 𝑂 𝑆 𝑂 𝑂 𝑆?⃗? = 𝑉⃗⃗⃗⃗ 𝑃 𝐴 + ?⃗?𝑃/𝐴 𝑂 𝑆?⃗? = 𝑂 𝑆 𝑄 𝑉⃗⃗⃗⃗ 𝐵 + 𝑂?⃗? 𝑄/𝐵 (3.181) 𝑂 𝑆?⃗? = 𝑂 𝑆 ⃗⃗𝑉⃗⃗ + 𝑂?⃗? 𝑆 𝐶 𝑆/𝐶 Burada sol üst köşedeki o sembolü büyüklüklerin yere bağlı sabit takımda tanımlandığını gösterir. (3.181) bağıntısında sağ üstte yer alan “S” sembolü ise sürüklenme (drag) hızı olduğuna işaret etmektedir. Bacakların bağıl hareketi olmazsa alt ve üst platformlar ve bacaklar tek bir uzuv gibi davranırlar ve ortak bir açısal hıza sahip olurlar; bu ise alt platformun mutlak açısal hızına eşittir. Alt platformun açısal hızı 𝑂?⃗? 𝑎 şöyle bulunur: 𝑂?⃗? 𝑎 = ?⃗? 10 + ?⃗? 21 + ?⃗? 32 (3.182) Burada ?⃗? 10, ?⃗? 21, ?⃗? 32 seri manipülatördeki uzuvların bir önceki uzva nazaran bağıl hızlarıdır. Sonuçta ?⃗? 10 = 𝜔10?⃗? 1 = 𝜔 10?⃗?0 ?⃗? 21 = 𝜔 21?⃗?2 = 𝜔21(sin 𝜃10 𝑖 0 − cos 𝜃10 𝑗 0) = 𝜔21 sin 𝜃10 𝑖 0 − 𝜔21 cos 𝜃10 𝑗 0 (3.183) ?⃗? 32 = 𝜔 32?⃗?3 = 𝜔31(sin 𝜃10 𝑖 0 − cos 𝜃10 𝑗 0) = 𝜔32 sin 𝜃10 𝑖 0 − 𝜔32 cos 𝜃10 𝑗 0 olmaktadır. Bu büyüklükler kullanılırsa 83 𝑂?⃗? = (𝜔 + 𝜔 ) cos 𝜃 𝑖 − (𝜔 + 𝜔 ) sin 𝜃 𝑗 + 𝜔 ?⃗? (3.184) 𝑎 21 32 10 0 21 32 10 0 10 0 bulunur. Neticede 𝑂 𝑆?⃗? 𝑂𝑃/𝐴 = ?⃗? × ⃗⃗𝐴⃗⃗𝑃 ⃗𝑎 𝑂 𝑆?⃗? 𝑂𝑄/𝐵 = ?⃗? 𝑎 × 𝐵⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ (3.185) 𝑂 𝑆?⃗? 𝑆/𝐶 = 𝑂?⃗? ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑎 × 𝐶𝑆 olacaktır. Bacak doğrultularını veren vektörlerin alt platforma bağlı koordinat takımındaki bileşenleri şöyledir: ?⃗⃗? 1 = cos𝜑1 cos 30° 𝑖𝑎 + cos𝜑1 sin 30° 𝑗 + sin𝜑 𝑎 1 ?⃗?𝑎 ?⃗⃗? 2 = −cos𝜑2 cos 30° 𝑖𝑎 + cos𝜑2 sin 30° 𝑗 + sin𝜑 𝑎 2 ?⃗?𝑎 (3.186) ?⃗⃗? 3 = −cos𝜑3 𝑗 + sin𝜑 ?⃗? 3 𝑎 𝑎 Bu durumda ⃗⃗𝐴⃗⃗𝑃 ⃗ = 𝑙1𝑤⃗⃗⃗⃗1 𝐵⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ = 𝑙2𝑤⃗⃗⃗⃗2 ⃗ (3.187) ⃗⃗𝐶⃗⃗𝑆 = 𝑙3𝑤⃗⃗⃗⃗3 ⃗ yazılabilir. (3.185) bağıntılarını bulmak için iki yol izlenebilir. 𝑂?⃗? 𝑎 alt platforma bağlı birim vektörler cinsinden ifade edilir. ⃗⃗𝑤⃗⃗ 𝑖’ler de aynı takımda ifade olunduğundan (3.186) hızları aynı takımda bulunur ve buradan yere bağlı takıma geçilir. İkinci yol, 𝑤⃗⃗⃗⃗ 𝑖 vektörlerini de yere bağlı koordinat takımında tanımlayarak (3.186) hızlarını elde etmektir. Alt platforma ait koordinat takımının birim vektörleri sabit birim vektörler cinsinden aşağıdaki gibidir: 84 𝑖 𝑎 = −sin 𝜃10 𝑖 0 + cos 𝜃10 𝑗 0 𝑗 𝑎 = −sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 𝑖 0 − sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 𝑗 0 + cos(𝜃21 + 𝜃32) ?⃗? 0 (3.188) ?⃗? 𝑎 = cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 𝑖 0 + cos(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 𝑗 0 + sin(𝜃 + 𝜃 ) ?⃗? 21 32 0 Bu durumda ?⃗⃗? 𝑖’ler şöyle olur: 𝑂 𝑦?⃗⃗? 𝑥 𝑧 1 = 𝑙1 𝑖0 + 𝑙 1 𝑗 + 𝑙1 ?⃗?0 0 𝑂 𝑦?⃗⃗? 2 = 𝑙 𝑥 2 𝑖 𝑧 0 + 𝑙 2 𝑗 + 𝑙2 ?⃗? 0 (3.189) 0 𝑂 𝑦?⃗⃗? 3 = 𝑙 𝑥 3 𝑖0 + 𝑙 3 𝑗 + 𝑙 𝑧 0 3 ?⃗?0 Burada √3 1 𝑙𝑥1 = 𝑙1 {[− sin 𝜃10 − sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10] cos 𝜑2 2 1 + cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 sin𝜑1} 𝑦 √3 1 𝑙1 = 𝑙1 {[ cos 𝜃10 − sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10] cos 𝜑2 2 1 + cos(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 sin𝜑1} 1 𝑙𝑧1 = 𝑙1 { cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜑1 + sin(𝜃21 + 𝜃2 32 ) sin𝜑1} (3.190) √3 1 𝑙𝑥2 = 𝑙2 {[ sin 𝜃 − sin(𝜃 + 𝜃2 10 2 21 32 ) cos 𝜃10] cos𝜑2 + cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 sin𝜑2} 𝑦 √3 1 𝑙2 = 𝑙2 {[− cos 𝜃10 − sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10] cos𝜑2 2 2 + cos(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 sin𝜑2} 85 1 𝑙𝑧2 = 𝑙2 { cos(𝜃2 21 + 𝜃32)} 𝑙𝑥3 = 𝑙3{sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 cos𝜑3 + cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10 sin 𝜑3} 𝑦 𝑙3 = 𝑙3{sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 cos𝜑3 + cos(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10 sin 𝜑3} 𝑙𝑧3 = 𝑙3{−cos(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜑3 + sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜑3} şeklindedir. Sonuçta (3.186) hızları şöyle bulunur: 𝑂 𝑦𝑉𝑆𝑃/𝐴 = [−(𝜔21 + 𝜔32) sin 𝜃 𝑧 10 𝑙1 − 𝜔10𝑙1 ] 𝑖0 − 𝜔 + 𝜔 cos 𝜃 𝑙𝑧 + 𝜔 𝑙𝑥 +[ ( 21 32) 10 1 10 1]𝑗 0 𝑦 𝑥 +[(𝜔21 + 𝜔32)(cos 𝜃10 𝑙1 − sin𝜃 10 𝑙1)]?⃗?0 𝑂𝑉𝑆 𝑦 𝑄/𝐵 = [−(𝜔21 + 𝜔32) sin 𝜃 𝑧 10 𝑙2 − 𝜔10𝑙 2 ]𝑖0 𝑧 𝑥 +[−(𝜔21 + 𝜔32) cos 𝜃10 𝑙2 + 𝜔10𝑙2]𝑗 0 (3.191) 𝑦 +[(𝜔21 + 𝜔32)(cos 𝜃10 𝑙2 − sin𝜃10 𝑙 𝑥 2)]?⃗?0 𝑂𝑉𝑆 𝑦 𝑆/𝐶 = [−(𝜔21 + 𝜔32) sin 𝜃 𝑧 10 𝑙3 − 𝜔10𝑙 3 ]𝑖0 +[−(𝜔21 + 𝜔 ) cos 𝜃 𝑙 𝑧 32 10 3 + 𝜔10𝑙 𝑥 3]𝑗 0 𝑦 +[(𝜔21 + 𝜔32)(cos 𝜃10 𝑙3 − sin𝜃10 𝑙 𝑥 3)]?⃗? 0 Alt platformun A,B ve C noktalarının mutlak hızları ise aşağıdaki gibi hesaplanır: 𝑂?⃗? = 𝑂𝐴 ?⃗? + 𝑂 𝐺 ?⃗? 𝑂 𝑂 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑎 𝐴/𝐺 = ?⃗?𝐺 + ?⃗? 𝑎 × 𝐺𝑎𝐴 𝑎 𝑎 𝑂?⃗? 𝑂 𝐵 = ?⃗?𝐺 + 𝑂?⃗? 𝐵/𝐺 = 𝑂?⃗? + 𝑂?⃗? × 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐵 ⃗ (3.192) 𝑎 𝑎 𝐺𝑎 𝑎 𝑎 𝑂?⃗? 𝑂𝐶 = ?⃗? 𝐺 + 𝑂?⃗? 𝑂 𝑂 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑎 𝐶/𝐺 = ?⃗?𝑎 𝐺 + ?⃗? 𝑎 × 𝐺 𝐶 𝑎 𝑎 Alt platform koordinat takımına göre ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐴 ⃗, 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐵 ⃗ ve 𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝐶 ⃗𝑎 yer vektörleri şöyledir: 𝑎 𝑎 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐴 ⃗𝑎 = − 𝑖 𝑎 − 𝑗 𝑎 2 2√3 (3.193) 𝑎 𝑎 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐵 ⃗ = 𝑖 2 𝑎 − 𝑗 𝑎 2√3 86 𝑎 ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝐶 ⃗𝑎 = 𝑗 𝑎 √3 (3.193) ile verilen vektörlerin sabit takımdaki ifadeleri aşağıdaki gibi bulunur: 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐴 ⃗ = 𝐴 𝑖 + 𝐴 𝑗 + 𝐴 ?⃗? 𝑎 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑎𝐵 = 𝐵𝑥𝑖 0 + 𝐵𝑦𝑗 0 + 𝐵𝑧?⃗?0 (3.194) 𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑎𝐶 = 𝐶𝑥𝑖 0 + 𝐶𝑦𝑗 0 + 𝐶𝑧?⃗?0 Burada 1 1 𝐴𝑥 = 𝑎 [ sin 𝜃2 10 + sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10] 2√3 1 1 𝐴𝑦 = 𝑎 [− cos 𝜃2 10 + sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10] 2√3 1 𝐴𝑧 = 𝑎 [− cos(𝜃21 + 𝜃32)] 2√3 1 1 𝐵𝑥 = 𝑎 [− sin 𝜃2 10 + sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10] 2√3 1 1 𝐵𝑥 = 𝑎 [ cos 𝜃2 10 + sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10] (3.195) 2√3 1 𝐵𝑧 = 𝑎 [− cos(𝜃21 + 𝜃32)] 2√3 1 𝐶𝑥 = 𝑎 [− sin(𝜃21 + 𝜃32) cos 𝜃10] √3 1 𝐶𝑦 = 𝑎 [− sin(𝜃21 + 𝜃32) sin 𝜃10] √3 1 𝐶𝑧 = 𝑎 [ cos(𝜃21 + 𝜃32)] √3 olarak tanımlanmıştır. Buna göre A,B ve C noktalarının alt platform ağırlık merkezi (aynı zamanda alt platform koordinat takımının orijini) 𝐺𝑎’ya göre bağıl hızları şöyle olur: 87 𝑂?⃗? 𝑂 ⃗⃗𝐴/𝐺 = ?⃗? 𝑎 × 𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐴 ⃗ = −[(𝜔21 + 𝜔𝑎 32) sin 𝜃10 𝐴𝑧 + 𝜔10𝐴𝑦]𝑖 0 +[𝜔10𝐴𝑥 − (𝜔21 + 𝜔32) cos 𝜃10 𝐴𝑧]𝑗 0 +[(𝜔21 + 𝜔32)(cos 𝜃10 𝐴𝑦 + sin 𝜃10 𝐴𝑥)]?⃗? 0 𝑂?⃗? 𝑂𝐵/𝐺 = ?⃗? 𝑎 × 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝐵 = −[(𝜔21 + 𝜔32) sin 𝜃10 𝐵𝑧 + 𝜔𝑎 10𝐵𝑦]𝑖 0 +[𝜔10𝐵𝑥 − (𝜔21 + 𝜔31) cos 𝜃10 𝐴𝑧]𝑗 0 (3.196) +[(𝜔 21 + 𝜔32)(cos 𝜃10 𝐵𝑦 + sin 𝜃10 𝐵𝑥)]?⃗?0 𝑂?⃗? = 𝑂?⃗? × 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝐶/𝐺 𝑎 𝑎𝐶 = −[(𝜔𝑎 21 + 𝜔31) sin 𝜃10 𝐶𝑧 + 𝜔10𝐶𝑦]𝑖 0 +[𝜔10𝐶𝑥 − (𝜔21 + 𝜔32) cos 𝜃10 𝐶𝑧]𝑗 0 +[(𝜔21 + 𝜔32)(cos 𝜃 10 𝐶𝑦 + sin 𝜃10 𝐶𝑥)]?⃗?0 Öte yandan 𝐺𝑎 noktasının yer vektörü sabit takımda aşağıdaki gibidir: 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗ 𝑎 = [𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos(𝜃21 + 𝜃32)] cos 𝜃10 𝑖 0 + [𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos(𝜃21 + 𝜃32)] sin 𝜃10 𝑗 0 (3.197) + [𝐿2 sin 𝜃21 + 𝐿3 sin(𝜃21 + 𝜃32) + 𝐿1]?⃗? 0 Burada 𝐿1, 𝐿2 ve 𝐿3 seri manipülatörün uzuv uzunluklarıdır. 𝐺𝑎’nın mutlak hızı 𝑂?⃗? 𝐺 , 𝑎 (3.197)’nin zamana göre türevi alınarak şöyle bulunur: 𝑑(𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐺⃗⃗ 𝑂 𝑎)?⃗? 𝐺 =𝑎 𝑑𝑡 = {−[𝐿2 sin 𝜃21 𝜔21 + 𝐿3 sin(𝜃21 + 𝜃32)(𝜔21 + 𝜔32)] cos 𝜃10 (3.198) − [𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos(𝜃21 + 𝜃32)] sin 𝜃10 𝜔10}𝑖 0 +{−[𝐿2 sin 𝜃21 𝜔21 + 𝐿3 sin(𝜃21 + 𝜃32) (𝜔21 + 𝜔32)] sin 𝜃10 +[𝐿2 cos 𝜃21 + 𝐿3 cos(𝜃21 + 𝜃32)] cos 𝜃10 𝜔10} 𝑗 0 +[𝐿2 cos 𝜃21 𝜔 21 + 𝐿3 cos(𝜃21 + 𝜃32)(𝜔21 + 𝜔32)]?⃗?0 88 Böylece (3.196) bağıntılarıyla verilen P,Q ve S noktalarına ait sürüklenme hızları artık hesaplanabilir. Şimdi bu noktaların alt tablaya göre bağıl hızları bulunacaktır. Bu hızları 𝑎𝑉𝑟 𝑎 𝑟𝑃 , 𝑉𝑄 ve 𝑎𝑉𝑟𝑆 ile gösterelim. Bağıl hızların açık ifadeleri aşağıdaki gibidir: 𝑎𝑉𝑟𝑃 = 𝑙1̇?⃗⃗? 1 + 𝜑1̇?⃗? 1 × 𝑙1?⃗⃗? 1 𝑎𝑉𝑟𝑄 = 𝑙2̇?⃗⃗? 2 + 𝜑2̇?⃗? 2 × 𝑙2?⃗⃗? 2 (3.199) 𝑎𝑉𝑟𝑆 = 𝑙3̇?⃗⃗? 3 + 𝜑3̇?⃗? 3 × 𝑙3?⃗⃗? 3 Çıkarılan bağıntılar (3.199)’da kullanılırsa bağıl hızlar şöyle bulunur: 𝑎 √3 𝑙?⃗? 𝑟 1 𝑃 = ( cos𝜑1 𝑙1̇ − sin𝜑1 𝜑1̇) 𝑖 2 2 𝑎 1 √3 + ( cos𝜑1 𝑙1̇ − 𝑙 sin𝜑2 2 1 1 𝜑1̇) 𝑗 𝑎 √3 + (sin𝜑1 𝑙1̇ + 𝑙1 cos𝜑1 𝜑1̇) ?⃗? 2 𝑎 𝑎 √3 1?⃗? 𝑟𝑄 = (− cos𝜑2 𝑙2̇ + 𝑙2 sin𝜑2 𝜑2̇) 𝑖 𝑎 (3.200) 2 2 1 1 + ( cos𝜑2 𝑙2 2̇ − 𝑙2 sin𝜑2 𝜑2̇) 𝑗 𝑎 2 √3 + (sin𝜑2 𝑙2̇ + 𝑙2 cos𝜑2 𝜑2̇) ?⃗? 2 𝑎 𝑎?⃗? 𝑟𝑆 = (−cos𝜑3 𝑙3̇ + 𝑙3 sin𝜑3 𝜑3̇)𝑗 𝑎 +(sin𝜑 3 𝑙3̇ + 𝑙3 cos𝜑3 𝜑3̇)?⃗?𝑎 Bu aşamada birim vektörler sabit takım birim vektörleri cinsinden yazılarak bağıl hızlar da sabit takıma göre ifade edilmiş olur. Üst platformun P,Q ve S noktalarının mutlak hızları artık şöyle hesaplanabilir: 𝑂 𝑠 𝑟?⃗? = 𝑂𝑃 ?⃗? + 𝑂?⃗? 𝑃 𝑃 𝑂?⃗? = 𝑂 𝑠 𝑟 𝑄 ?⃗? 𝑂 𝑄 + ?⃗?𝑄 (3.201) 𝑂 𝑂 𝑠 𝑟?⃗? 𝑆 = ?⃗? 𝑂 𝑆 + ?⃗?𝑆 89 Öte yandan 𝑂 𝑂 𝑂 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (3.202) ?⃗?𝑄 = ?⃗?𝑃 + 𝜔ü 𝑥𝑃𝑄 bağıntısı olduğundan üst platformun açısal hızı kolayca bulunur. Üst platformun ağırlık merkezi (aynı zamanda üst platforma bağlı koordinat takımının orjini) 𝐺ü‘nün hızı aşağıdaki gibi bulunur: 𝑂?⃗? = ( 𝑂?⃗? + 𝑂?⃗? + 𝑂 (3.203) 𝐺 𝑃 𝑄 ?⃗?𝑆 ) /3 ü Böylece iş uzvu olarak üst platformun açısal hızı ve bir noktasının lineer hızı bulunmuş olmaktadır. Öte yandan üst platform açısal hızı aşağıdaki gibi hesaplanabilir: ?⃗? × ?⃗? 𝑄⁄𝑃 𝑆⁄𝑃 (3.204) 𝑂 ?⃗? ü = ?⃗? ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑄⁄𝑃 ∙ 𝑃𝑆 Bu bağıntının geçerliliği şöyle kanıtlanabilir: ?⃗? 𝑄⁄𝑃 × ?⃗? 𝑆⁄𝑃 = ?⃗? 𝑂 𝑄⁄𝑃 × ( ?⃗? ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑖 × 𝑃𝑆) (3.205) = (?⃗? 𝑄⁄𝑃 ∙ 𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑆 ) 𝑂?⃗? − (?⃗? ü 𝑄⁄𝑃 ∙ 𝑂?⃗? )⃗⃗ ü 𝑃⃗⃗𝑆 = (?⃗? ∙ ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑆 𝑂𝑄⁄𝑃 ) ?⃗? ü Burada 𝑎 × (?⃗? × 𝑐 ) ≡ (𝑎 ∙ 𝑐 )?⃗? − (𝑎 ∙ ?⃗? )𝑐 özdeşliğinden yararlanılmıştır. 90 3.11. Tip 2 Hibrit Manipülatörde İleri Kinematik Bu manipülatör Şekil 3.21’de gösterilmiştir. Bu manipülatörün OABC kısmı seri manipülatördür. 𝑥3 𝑧3 𝑧0 C 𝐺𝑎 𝑧2 𝑦3 𝑧1 𝑦1 𝑥2 B 𝐺 𝑥 ü 𝑦 12 UZUV 3 A UZUV 2 𝑦0 UZUV 1 𝑥0 ℎ1 O UZUV 0 (GÖVDE) Şekil 3.21. İncelenen hibrit manipülatör. Seri kısım gövde ve 1 numaralı uzuv arasında kayar (prizmatik) mafsal, 1 ve 2 numaralı uzuvlar ile 2 ve 3 numaralı uzuvlar arasında olmak üzere iki döner (revolute) mafsal içermektedir. 1 numaralı uzuv sabit uzva (yere) göre düşeyde öteleme yapmakta olup 2 ve 3 numaralı uzuvlar düşey eksenler etrafında dönebilmektedirler. Seri kısmın serbestlik derecesi 3’tür ve bu kısmın çalışma uzayında istenilen bir noktaya erişilebilir. 𝑥0 𝐶 𝜃32 L3 𝑥3 𝐵 𝑦3 L2 𝜃20 𝑥2 𝑥1 𝐴 𝑦0 𝑦1 𝑦2 Şekil 3.22. Seri kısımda koordinat takımlarının +z0 tarafından görünüşü. 91 Şekil 3.21 ve Şekil 3.22 yardımıyla C noktasının koordinatları yere bağlı 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0 takımında aşağıdaki gibi ifade edilebilir: 𝑥𝐶 = 𝐿2 cos𝜃20 + 𝐿3 cos(𝜃20 + 𝜃32) 𝑦𝐶 = 𝐿2 sin 𝜃20 + 𝐿3 sin(𝜃20 + 𝜃32) (3.206) 𝑧𝐶 = ℎ1 (3.206) denkleminde C’nin koordinatları öngörüldüğünde ℎ1, 𝜃20 ve 𝜃32 açıları kolayca bulunur. Tersine ℎ1, 𝜃20 ve 𝜃32 açıları verildiğinde C noktasının koordinatları hemen hesaplanır. İlk durum geri kinematik, ikincisi ise ileri kinematik problemidir. İleri kinematikte çözüm tek olduğu halde geri kinematikte iki farklı çözüm alternatifi ortaya çıkar. Bu durum Şekil 3.23’te gösterilmiştir. 𝐶 1 𝜃32 𝑥0 1 2 𝐵 𝜃32 1 𝜃20 2 𝐵 2 𝜃20 𝐴 𝑦0 𝑧0 Şekil 3.23. Geriye konum analizinde iki farklı çözüm alternatifi. Seri manipülatörü 3 serbestlik dereceli bir paralel manipülatör takip etmektedir. Bu kısım alt ve üst platform ve bu ikisini bağlayan üç bacaktan meydana gelmektedir. Bir cismin istenen bir konuma istenen bir yönelimde getirilmesi için en az 6 serbestlik derecesi gereklidir. Ele aldığımız hibrit manipülatörde seri kısım iş uzvunun (burada bu uzuv paralel manipülatörün üst platformu veya buna rijit bağlı operatif cisimdir. Mesela tıbbi bir cihazda operasyon aparatı gibi) istenen konuma gelmesini temin etmektedir. Bu durumda paralel manipülatörün iş uzvunun sadece yönelimini belirlemesi yeterli olacaktır. Bu nedenle paralel manipülatörün yönelimi kontrol amacıyla 3 serbestlik derecesini haiz olması yeterlidir. Bunu sağlamak için üst platformun merkezi sabit tutulmalıdır. Buna uygun bir tasarım Şekil 3.24’de görülmektedir. 92 S Gü Küre P Q Küre mafsal F Prizmatik mafsal Kardan mafsal D E Şekil 3.24. Sadece yönelimi kontrol eden paralel manipülatör. Tip 2 hibrit manipülatörün paralel kısımında serbestlik derecesi analizi yapılacak olursa, Şekil 3.24’den uzuv sayısı 𝑛 = 8 olduğu görülmektedir. Burada üç aktüatör ve dolayısıyla üç bacak söz konusudur. Bacakların taban platformuyla irtibatı üniversal (kardan) mafsallarıyla, iş uzvuna bağlantısı ise küresel mafsallarla sağlanmıştır. Bacak uzuvları birbirlerine silindirik mafsallarla temastadırlar. Ayrıca iş uzvu ağırlık merkezi noktalarından bir küresel mafsalla taban platformuna bağlanmıştır ve dolayısıyla iş uzvunun ağırlık merkezi tabana göre lineer yerdeğiştirme yapamaz. Neticede mekanizmada iki serbestlik dereceli mafsalların sayısı 𝑚2 = 6, üç serbestlik dereceli mafsal sayısı 𝑚3 = 4, özdeş serbestlik derecesi sayısı ∑𝑓𝑖𝑑 = 3, uzuv sayısı 𝑛 = 8 olup Kutzbach formülünde yerine konursa serbestlik derecesi 𝐹 = 6(𝑛 − 1) − 5𝑚1 − 4𝑚2 − 3𝑚3 − 2𝑚4 − 𝑚5 − ∑𝑓𝑖𝑑 𝐹 = 6(8 − 1) − 5.0 − 4.6 − 3.4 − 2.0 − 0 − 3 = 3 bulunur. Bu da iş uzvunun yöneliminin tamamen kontrol edilebileceğini göstermektedir. Burada da taban ve iş uzvu bacak bağlantı noktalarının kenarları 𝑎 ve 𝑏 olan eşkenar üçgenler oluşturacak tarzda yerleştirildiği kabul edilecektir. Öncekine benzer tarzda taban plakasının ağırlık merkezi 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 ve iş uzvunun ağırlık merkezine de 𝐺ü𝑥ü𝑦ü𝑧ü koordinat takımlarının bağlandığını kabul ediyoruz. İş uzvu tabana paralel iken +𝑧𝑎 tarafından bakışta her iki koordinat takımının 𝑥 ve 𝑦 eksenleri paralel, 𝑧 eksenleri ise çakışık vaziyettedir. 93 𝑎 𝐹(0, , 0) √3 𝑏 𝑆(0, , 0) 𝑆 √3 𝑦𝑎 𝐺 𝐺 𝑏 −𝑏ü 𝑎 𝑄( , , 0) 𝑏 −𝑏 2 2√3 𝑃(− , , 0) 𝑧𝑎 𝑥𝑎 2 2√3 𝑃 𝑄 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 𝐷(− , , 0) 𝐸( , , 0) 2 2√3 2 2√3 Şekil 3.25. Paralel manipülatörün köşe koordinatları Üniversal mafsalların durumu iki açıyla tanımlanabilir. Bunları 𝜑𝑖 ve 𝜃𝑖 göstereceğiz (𝑖 = 1,2,3). Şekil 3.26’da DP bacağı için bu durum açıklanmaya çalışılmıştır. 𝑃 DP bacağının izdüşümü 𝜃 𝑙1 cos 𝜃1 1 Kenar ortay 30° 𝐷 𝑢 𝐷 𝜑1 𝜑1 𝑢 Şekil 3.26. DP bacağında 𝜑1 ve 𝜃1 kardan açıları İş uzvunun 𝐺ü noktası sabit olduğundan bacakların bu uzva bağlantı noktaları olan 𝑃, 𝑄 ve 𝑆 yarıçapı 𝑏/√3 olan bir küre yüzeyi üzerinde olmaktadırlar. Yani her 𝐺ü𝑃 = 𝐺ü𝑄 = 94 𝑏 𝑏 𝐺ü𝑆 = olmalıdır. ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝐺ü = ℎ denirse 𝐺ü merkezli yarıçaplı, 𝐺√3 √3 ü merkezli kürenin denklemi 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımında 𝑏2 2 (3.207) 𝑥 + 𝑦2 + (𝑧 − ℎ)2 = 3 şeklinde olacaktır (Sembol kalabalığından kaçınmak için 𝑥𝑎,𝑦𝑎 ve 𝑧𝑎 yerine kısaca 𝑥, 𝑦, 𝑧 sembolleri kullanılmıştır). Kardan açısı 𝜑1 D’den geçen ve bu köşeden geçen kenarortaya dik olan 𝑢𝑢′ ekseninden itibaren saat ibrelerine ters yönde ölçülecektir. 𝜃1 ise yataydan itibaren 𝑢𝑢′ ekseni etrafında matematik pozitif yönde ölçülecektir. Şimdi 𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ ve 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝐷 vektörleri bulunup toplanarak ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝑃 vektörü elde edilmelidir. Bu vektörün bileşenleri 𝐺𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝑎 takımında P noktasının koordinatları olup, bunlar (3.207) ile verilen küre denklemini sağlamalıdırlar. Şekil 3.26 yardımıyla ⃗⃗𝐷⃗⃗𝑃 ⃗ = 𝑙1 cos 𝜃1 cos(𝜑1 + 𝜋/3)⃗⃗𝑖𝑎 ⃗ + 𝑙1 cos𝜃 ⃗⃗⃗⃗ 1 sin(𝜑1 + 𝜋⁄3) 𝑗⃗⃗𝑎 ⃗ + 𝑙1 sin 𝜃1 𝑘𝑎 (3.208) ve 𝑎 𝑎 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐷 𝑎 = − ⃗⃗𝑖𝑎 ⃗ − 𝑗⃗⃗𝑎 ⃗ (3.209) 2 2√3 olup bunlar toplanırsa ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗𝑎 = 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎𝐷 + ⃗⃗𝐷⃗⃗𝑃 ⃗ = [𝑙1 cos𝜃1 cos(𝜑1 + 𝜋⁄ 𝑎6) − ⁄2]𝑖⃗⃗𝑎 ⃗ (3.210) + [𝑙1 cos𝜃 𝜋 1 sin(𝜑1 + ⁄ ) − 𝑎 ⁄ ] 𝑗⃗⃗ ⃗ + 𝑙 sin 𝜃 𝑘⃗⃗⃗⃗ 6 2 𝑎 1 1 𝑎√3 bulunur. Bu vektörün bileşenleri, yani P’nin koordinatları (3.219) ile verilen küre denkleminde yerine konursa 2 2 [𝑙1 cos 𝜃 cos(𝜑 + 𝜋⁄ ) − 𝑎⁄ ] + [𝑙 cos 𝜃 sin(𝜑 + 𝜋 𝑎1 1 6 2 1 1 1 ⁄6) − ⁄ ]2√3 (3.211) 𝑏2 + (𝑙 21 sin𝜃1 − ℎ) = 3 95 olmalıdır. (3.211) ifadesi düzenlenirse 2 𝑎2 𝑏2 − 𝑎𝑙1 cos𝜃1 sin𝜑1 − 2ℎ𝑙 2 2 1 sin𝜃1 + 𝑙1 + ℎ + − = 0 (3.212) √3 3 3 bağıntısı elde olunur. Bu bağıntı 𝑙1 verildiğinde 𝜑1 ve 𝜃1 açıları arasındaki ilişkiyi vermektedir; yani 𝜑1 verildiğinde 𝜃1 bu denklemden bulunacaktır. Burada 𝜑1 tan = 𝜆 2 1 (3.213) 𝜃1 tan = 𝜇 2 1 tanımlayalım. Bu durumda (3.212)’de 1 − 𝜆21 cos𝜑1 = 1 + 𝜆21 2𝜇1 sin𝜃1 = 2 (3.214) 1 + 𝜇1 1 − 𝜇21 cos𝜃1 = 1 + 𝜇21 konulur ve denklem düzenlenirse aşağıdaki ifade bulunur: [(𝐶 + 𝐴 )𝜆21 1 1 + (𝐶1 − 𝐴1)]𝜇 2 1 + 2𝐵1(1 + 𝜆 2 1)𝜇1 + [(𝐶1 − 𝐴 2 1)𝜆1 + (𝐶1 + 𝐴1)] = 0 (3.215) Burada 2 𝐴1 = − 𝑎𝑙1 √3 𝐵1 = −2ℎ𝑙1 (3.216) 𝑎2 𝑏2 𝐶 = 𝑙21 1 + ℎ 2 + − 3 3 96 olmaktadır. (3.215) denklem katsayıları 𝜆’ya (dolayısıyla 𝜑1’e) bağlı olan 𝜇1 cinsinden ikinci dereceden bir polinom gibi düşünülebilir. Bu durumda polinom kökleri 𝜇1 1,2 2 2 −2𝐵1(1 + 𝜆 2 1) ∓ √4𝐵 2 1 (1 + 𝜆 2 2 1) − 4 [(𝐶1 + 𝐴1)𝜆1 + (𝐶1 − 𝐴1)] [(𝐶1 − 𝐴1)𝜆1 + (𝐶1 + 𝐴1)] (3.217) = 2 2 [(𝐶1 + 𝐴1)𝜆1 + (𝐶1 − 𝐴1)] olarak bulunur. Buna göre 𝜇’nün reel değerler vermesi için karekökün içi pozitif veya sıfır olmalıdır. Ayrıca 𝜇1 → ∞ olmaması için payda da sıfır olmamalıdır. Bu kısıtlar göz önünde tutulduğu takdirde (3.215) bağıntısı ön görülen bir 𝜑1 açısı için 𝜃1 açısının ne olacağını bulmaya yarayan bir bağıntıdır. (3.215)’in zamana göre türevi 𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ bacağının alt platforma göre açısal hızları olan 𝜑1̇ ve 𝜃1̇ arasında da bir bağıntı verir. 𝑝1 = −2𝐵 2 1(1 + 𝜆1) 𝑞 = 4𝐵2(1 + 𝜆2 21 1 1) − 4[(𝐶1 + 𝐴1)𝜆 2 1 + (𝐶1 − 𝐴1)][(𝐶1 − 𝐴 2 1)𝜆1 + (𝐶1 + 𝐴1)] (3.218) 𝑟 21 = 2[(𝐶1 + 𝐴1)𝜆1 + (𝐶1 − 𝐴1)] tanımlanırsa (3.217) bağıntısı kısaca 𝑝1 ∓ √𝑞1 𝜇1 1,2 = (3.219) 𝑟1 olarak ifade edilebilir. Şimdi E’deki kardan açıları için benzer bir bağıntı çıkarılacaktır. Bunun için Şekil 3.27 yardımcı olacaktır. Q 𝐺𝑎 𝑢 𝑄′ 𝜑1 𝜃 𝜑1 2 𝜑2 Q′ E a a𝜑2 E (+ ,− ) 2 2√3 𝑙2 cos 𝜃2 Şekil 3.27. E’de kardan açıları. 97 Şekil 3.27’den 𝑎 𝑎 ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝐸 ⃗ = 𝑖⃗⃗𝑎 ⃗ − ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ (3.220) 2 2√3 ve ⃗⃗𝐸⃗⃗𝑄 ⃗ = 𝑙 5𝜋 5𝜋 ⃗⃗⃗⃗ 2 cos 𝜃2 cos(𝜑2 + ⁄6)𝑖⃗⃗𝑎 ⃗ + 𝑙2 cos 𝜃2 sin(𝜑2 + ⁄6) ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ + 𝑙2 sin𝜃2 𝑘𝑎 (3.221) olarak bulunur ve bu ikisi ((3.220) ve (3.221)) toplanarak ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎𝑄 ’ye geçilir: ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄 = ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝐸 ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎 𝑎 + 𝐸𝑄 ⃗ 𝑎 = [𝑙2 cos𝜃2 cos(𝜑2 + 5𝜋⁄6) + ] ⃗⃗𝑖2 𝑎 ⃗ (3.222) + [𝑙 cos𝜃 sin(𝜑 + 5𝜋 𝑎 2 2 2 ⁄6) − ] 𝑗⃗⃗𝑎 ⃗ + 𝑙2 sin𝜃 ⃗⃗⃗⃗ 2 𝑘𝑎 2√3 Bu bileşenler yine (3.206)’da yerine konursa 2 2 [𝑙2 cos𝜃2 cos(𝜑2 + 𝜋⁄3) + 𝑎⁄2] + [𝑙2 cos 𝜃2 sin(𝜑 𝜋 2 + ⁄3) − 𝑎 ⁄ ]2√3 (3.223) 𝑏2 + (𝑙2 sin𝜃2 − ℎ) 2 = 3 olmalıdır. (3.223) ifadesi düzenlenirse 2𝑎 𝑎2 𝑏2 − 𝑙2 cos𝜃2 cos𝜑2 − 2ℎ𝑙2 sin 𝜃 2 2 2 + 𝑙2 + ℎ + − = 0 (3.224) √3 3 3 bulunur. Benzer şekilde Şekil 3.28’den hareketle aşağıdaki bağıntılar yazılır: 98 𝜑 3𝜋3 270° = F 2 S 𝜃 𝜑3 3 𝑙3 cos 𝜃3 𝜑3 𝜑3 Şekil 3.28. Paralel manipülatörün F noktası ayrıntısı 𝑎 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐹 ⃗𝑎 = ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ (3.225) √3 3𝜋 3𝜋 𝐹⃗⃗ ⃗⃗𝑆 = −𝑙 cos 𝜃 cos (𝜑 + ) 𝑖⃗⃗ ⃗ − 𝑙 cos 𝜃 sin (𝜑 + ) 𝑗⃗⃗ ⃗ + 𝑙 sin 𝜃 𝑘⃗⃗⃗⃗ 3 3 3 2 𝑎 3 3 3 2 𝑎 3 3 𝑎 (3.226) Bu iki vektör toplanırsa 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗𝑎 vektörü bulunur: ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ = ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝐹 ⃗ + 𝐹⃗⃗ ⃗⃗𝑆 𝑎 𝑎 = 𝑙3 cos 𝜃3 cos(𝜑3 + 3𝜋/2) ⃗⃗𝑖𝑎 ⃗ (3.227) 𝑎 + (𝑙3 cos𝜃3 sin(𝜑3 + 3𝜋/2) + ) ⃗⃗𝑗𝑎 ⃗ + 𝑙3 sin𝜃 ⃗⃗𝑘⃗⃗ 3 𝑎 √3 bulunur. Bu vektörün bileşenleri de küre denklemini sağlamalıdır: 2 (𝑙3 cos 𝜃3 cos(𝜑3 + 3𝜋/2)) 2 + (𝑙3 cos 𝜃3 sin(𝜑3 + 3𝜋/2) + 𝑎/√3) 2 (3.228) 𝑏 + (𝑙 sin𝜃 − ℎ)23 3 = 3 (3.227) düzenlenmesiyle aşağıdaki ifade elde olunur: 2 𝑎2 𝑏2 − 𝑎𝑙3 cos 𝜃3 cos𝜑3 − 2ℎ𝑙 2 3 sin𝜃3 + 𝑙3 + ℎ 2 + − = 0 (3.229) √3 3 3 Burada da: 99 𝜑2 tan = 𝜆 2 2 𝜃2 tan = 𝜇 2 2 2𝜆2 sin𝜑2 = 1 + 𝜆2 (3.230) 2 1 − 𝜇22 sin 𝜃2 = 1 + 𝜇22 2𝜇2 cos 𝜃2 = 2 1 + 𝜇2 𝜑3 tan = 𝜆3 2 𝜃3 tan = 𝜇 2 3 2𝜆3 sin𝜑3 = 1 + 𝜆2 (3.231) 3 2𝜇3 sin 𝜃3 = 1 + 𝜇23 1 − 𝜇23 cos 𝜃3 = 1 + 𝜇23 tanımlamaları yapılırsa, (3.215), (3.224) ve (3.217) denklemleri aşağıdaki gibi olurlar: [(𝐶 + 𝐴 )𝜆22 2 2 + (𝐶2 − 𝐴2)]𝜇 2 2 + 2𝐵2(1 + 𝜆 2 2)𝜇2 + [(𝐶2 − 𝐴2)𝜆 2 2 + (𝐶2 + 𝐴2)] = 0 (3.232) Burada 2 𝐴2 = − 𝑎𝑙2 √3 𝐵2 = −2ℎ𝑙2 (3.233) 𝑎2 𝑏2 𝐶2 = 𝑙 2 2 2 + ℎ + − 3 3 olmaktadır. 100 Keza (3.229) bağıntısı da şöyle yazılabilir: [(𝐶 + 𝐴 )𝜆2 + (𝐶 − 𝐴 )]𝜇2 + 2𝐵 (1 + 𝜆2)𝜇 + [(𝐶 − 𝐴 )𝜆23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + (𝐶3 + 𝐴3)] = 0 (3.234) Burada da aşağıdaki tanımlar geçerlidir: 2 𝐴3 = − 𝑎𝑙3 √3 𝐵3 = −2ℎ𝑙3 (3.235) 𝑎2 𝑏2 𝐶 = 𝑙2 + ℎ23 3 + − 3 3 Neticede 𝜃𝑖 ve 𝜑𝑖 (𝑖 = 1,2,3) açıları arasındaki bağıntılar aynı formda olduğu görülmektedir. Keza burada da 𝑝2 = −2𝐵 2 2(1 + 𝜆2) 𝑞2 = 4𝐵 2 2(1 + 𝜆 2 2 2 2 2) − 4(𝐶2𝜆2 − 2𝐴2𝜆2 + 𝐶2)(2𝐴2𝜆2 + 𝐶2𝜆2 + 𝐶2) (3.236) 𝑟2 = 2(𝐶 2 2𝜆2 − 2𝐴2𝜆2 + 𝐶2) 𝑝3 = −2𝐵 2 3(1 + 𝜆3) 𝑞3 = 4𝐵 2 2 3(1 + 𝜆3) 2 − 4(𝐶 23𝜆3 − 2𝐴3𝜆3 + 𝐶3)(2𝐴 2 3𝜆3 + 𝐶3𝜆3 + 𝐶3) (3.237) 𝑟3 = 2(𝐶3𝜆 2 3 − 2𝐴3𝜆3 + 𝐶3) tanımlanırsa (3.232) ve (3.234)’ün kökleri aşağıdaki gibi yazılabilir: 𝑝2 ∓ √𝑞2 𝜇2 1,2 = (3.238) 𝑟2 𝑝3 ∓ √𝑞3 𝜇3 1,2 = (3.239) 𝑟3 Her ne kadar 𝜃𝑖 ve 𝜑𝑖 açıları arasındaki ilişki kurulmuş oluyorsa da 𝜑𝑖 açılarının nasıl bulunacağı sorusu cevaplanmalıdır. Elimizde üç adet rijitlik şartı vardır. ‖𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗‖ = 𝑏, 101 ‖⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗‖ = 𝑏 ve ‖𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ‖ = 𝑏. Dolayısıyla üç adet 𝜑𝑖 bilinmeyenin bulunması için bu üç şarttan yararlanılacaktır. Şimdi bu rijitlik şartlarının çıkarılması ele alınacaktır. ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗, ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎 𝑎𝑄 ve 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑎𝑆 vektörleri daha önce (3.210), (3.222) ve (3.227) bağıntılarıyla verilmişti. Dolayısıyla 𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄 ⃗, ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ ve ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 vektörleri aşağıdaki gibi bulunur: ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑄 ⃗ = 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑄 − ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝑃 (3.240) 𝑄⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ = 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ − ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎 𝑎𝑄 (3.241) 𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 = 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗ − 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎 𝑎𝑆 ⃗ (3.242) Rijitlik şartları 𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄 ⃗ ∙ 𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ − 𝑏2 = 0 (3.243) 𝑄⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗ ∙ ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ − 𝑏2 = 0 (3.244) ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 ∙ ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 − 𝑏2 = 0 (3.245) İşlemler yapıldığında sırasıyla aşağıdaki bağıntılar bulunur: 𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄 ⃗ ∙ 𝑃⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗ − 𝑏2 = 𝑙21 + 𝑙 2 2 2 2 + 𝑎 − 𝑏 − √3𝑎𝑙1 cos 𝜃1 cos 𝜑1 − √3𝑎𝑙2 cos 𝜃2 cos𝜑2 + 𝑎𝑙1 cos 𝜃1 sin𝜑1 − 𝑎𝑙2 cos 𝜃2 sin𝜑2 + 𝑙1𝑙2 cos 𝜃1 cos 𝜃2 cos𝜑1 cos𝜑2 + 𝑙1𝑙2 cos 𝜃1 cos 𝜃2 sin 𝜑1 sin𝜑2 (3.246) − √3𝑙1𝑙2 cos 𝜃1 cos 𝜃2 sin 𝜑2 cos𝜑2 + √3𝑙1𝑙2 cos 𝜃1 cos 𝜃2 cos𝜑1 sin 𝜑2 − 2𝑙1𝑙2 sin 𝜃1 sin 𝜃2 = 0 102 ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ ∙ ⃗⃗𝑄⃗⃗𝑆 ⃗ − 𝑏2 = 𝑙2 + 𝑙2 + 𝑎2 − 𝑏22 3 − √3𝑎𝑙2 cos 𝜃2 cos 𝜑2 − √3𝑎𝑙3 cos 𝜃3 cos𝜑3 + 𝑎𝑙2 cos 𝜃2 sin𝜑2 − 𝑎𝑙3 cos 𝜃3 sin 𝜑3 + 𝑙2𝑙3 cos 𝜃2 cos 𝜃3 cos𝜑2 cos𝜑3 + 𝑙2𝑙3 cos 𝜃2 cos 𝜃3 sin𝜑2 sin𝜑3 (3.247) − √3𝑙2𝑙3 cos 𝜃2 cos 𝜃3 sin𝜑3 cos𝜑3 + √3𝑙2𝑙3 cos 𝜃2 cos 𝜃3 cos𝜑2 sin𝜑3 − 2𝑙2𝑙3 sin 𝜃2 sin 𝜃3 = 0 ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 ∙ ⃗⃗𝑆⃗⃗𝑃 − 𝑏2 = 𝑙23 + 𝑙 2 2 2 1 + 𝑎 − 𝑏 − √3𝑎𝑙3 cos 𝜃3 cos𝜑3 − √3𝑎𝑙1 cos 𝜃1 cos𝜑1 + 𝑎𝑙3 cos 𝜃3 sin𝜑3 − 𝑎𝑙1 cos 𝜃1 sin 𝜑1 + 𝑙3𝑙1 cos 𝜃3 cos 𝜃1 cos𝜑3 cos𝜑1 + 𝑙3𝑙1 cos 𝜃3 cos 𝜃1 sin 𝜑3 sin𝜑1 (3.248) − √3𝑙3𝑙1 cos 𝜃3 cos 𝜃1 sin 𝜑1 cos𝜑1 + √3𝑙3𝑙1 cos 𝜃3 cos 𝜃1 cos𝜑3 sin𝜑1 − 2𝑙3𝑙1 sin 𝜃3 sin 𝜃1 = 0 Bu üç denklemdeki döngüsel yapı dikkat çekicidir. Bu denklemlerdeki homojenliği sağlamak için 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜇1, 𝜇2 ve 𝜇3 cinsinden ifade edilebilir. Bu durumda 𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄 ⃗’ya ait rijitlik şartı aşağıdaki gibi olur: 𝑙2 21 + 𝑙2 + 𝑎 2 − 𝑏2 − √3𝑎𝑙 2 2 2 21(1 − 𝜇1)(1 − 𝜆1)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆2) − √3𝑎𝑙2(1 − 𝜇 2)(1 − 𝜆2)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆22 2 1 1) + 2𝑎𝑙1𝜆1(1 − 𝜇 2 1)(1 + 𝜇 2 2)(1 + 𝜆 2 2) − 2𝑎𝑙 𝜆 (1 − 𝜇2)(1 + 𝜇22 2 2 1)(1 + 𝜆 2 1) (3.249) + 𝑙 2 21𝑙2(1 − 𝜇1)(1 − 𝜇2)(1 − 2√3𝜆1 + 2√3𝜆2 − 𝜆 2 2 1 − 𝜆2 + 4𝜆 𝜆 − 2√3𝜆21 2 1𝜆2 + 2√3𝜆1𝜆 2 2 + 𝜆 2 1𝜆 2 2) − 8𝑙 𝑙 𝜇 𝜇 (1 + 𝜆2)(1 + 𝜆21 2 1 2 1 2) = 0 𝑄⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗’ye ait rijitlik şartı şu şekildedir: 103 𝑙22 + 𝑙 2 2 2 3 + 𝑎 − 𝑏 − √3𝑎𝑙2(1 − 𝜇 2 2)(1 − 𝜆 2 2)(1 + 𝜇 2 3)(1 + 𝜆 2 3) − √3𝑎𝑙3(1 − 𝜇 2 3)(1 − 𝜆 2 3)(1 + 𝜇 2 2 2)(1 + 𝜆2) + 2𝑎𝑙2𝜆 2 2(1 − 𝜇2)(1 + 𝜇 2 3)(1 + 𝜆 2 3) − 2𝑎𝑙 𝜆 (1 − 𝜇2 23 3 3)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆 2 2) (3.250) + 𝑙2𝑙3(1 − 𝜇 2 2)(1 − 𝜇 2 3)(1 − 2√3𝜆2 + 2√3𝜆3 − 𝜆 2 2 − 𝜆 2 3 + 4𝜆2𝜆3 − 2√3𝜆 2𝜆 + 2√3𝜆 𝜆2 2 22 3 2 3 + 𝜆2𝜆3) − 8𝑙2𝑙3𝜇2𝜇3(1 + 𝜆 2 2)(1 + 𝜆 2 3) = 0 𝑆⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ’ye ait rijitlik şartı aşağıdaki gibi bulunur: 𝑙2 2 2 2 2 23 + 𝑙1 + 𝑎 − 𝑏 − √3𝑎𝑙3(1 − 𝜇3)(1 − 𝜆3)(1 + 𝜇 2 2 1)(1 + 𝜆1) − √3𝑎𝑙 2 2 2 21(1 − 𝜇1)(1 − 𝜆1)(1 + 𝜇3)(1 + 𝜆3) + 2𝑎𝑙3𝜆3(1 − 𝜇 2)(1 + 𝜇23 1)(1 + 𝜆 2 1) − 2𝑎𝑙1𝜆1(1 − 𝜇 2)(1 + 𝜇21 3)(1 + 𝜆 2 3) (3.251) + 𝑙 𝑙 (1 − 𝜇23 1 3)(1 − 𝜇 2 1)(1 − 2√3𝜆3 + 2√3𝜆1 − 𝜆 2 2 3 − 𝜆1 + 4𝜆3𝜆1 − 2√3𝜆 2 3𝜆1 + 2√3𝜆 2 2 2 3𝜆1 + 𝜆3𝜆1) − 8𝑙 𝑙 2 23 1𝜇3𝜇1(1 + 𝜆3)(1 + 𝜆1) = 0 Kardan açılarının birbirlerine bağlayan üç denklem ile rijitlik şartlarını ifade eden bu üç denklem, toplam altı denklem simültane çözülmelidir. Kardan açılarını ilişkilendiren denklemlerde ikişer bilinmeyen olduğu için nümerik çözümde 𝜑𝑖 açıları taranarak (yani 𝜆𝑖’ler öngörülerek) 𝜃𝑖’ler (yani 𝜇𝑖’ler) bulunur ve bu (𝜆𝑖,𝜇𝑖) değerleri ikinci üç denklemde yerine konarak sıfıra eşit olup olmadıkları kontrol edilebilir. 3.11.1. Tip 2 hibrit manipülatörde ileriye hız analizi Bu manipülatörlerin seri kısmının ileriye hız analizi oldukça basittir. Seri manipülatörlerin 3 numaralı uzvu bazen paralel kısmı taban platformunu taşımaktadır. Dolayısıyla taban platformunun 𝐺𝑎 noktasının hızıyla platformun açısal hızı kolayca bulunabilir. Taban platformunun açısal hızı 0 ?⃗? 𝑎 yere göre şöyle bulunur: 104 0 ?⃗? 𝑎 = ?⃗? 30 = ?⃗? 20 + ?⃗? 32 (3.252) 𝜔21 = ?̇?20 ve 𝜔32 = ?̇?32’dır. 𝐺𝑎 noktasının hızı 0 ?⃗?𝐺 ise aşağıdaki bağıntıdan bulunur: 𝑎 0 ?⃗? = ?⃗? 𝐺 𝐴 + ?⃗? 𝑎 𝐵⁄𝐴 + ?⃗?𝐺𝑎⁄𝐵 (3.253) = ℎ̇ ⃗⃗𝑘⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 1 0 + ?⃗? 20 × 𝐴𝐵 + ?⃗? 30 × 𝐵𝐺𝑎 Burada ℎ̇1 nokta prizmatik mafsallı elemanın düşey hızıdır. Öte yandan ⃗⃗𝐴⃗⃗𝐵 ⃗ = 𝐿2 cos 𝜃20 𝑖 0 + 𝐿2 sin 𝜃20 𝑗 0 (3.254) 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐺⃗⃗ = 𝐿 cos 𝜃 𝑖 + 𝐿 sin 𝜃 𝑗 (3.255) 𝑎 3 30 0 3 30 0 olup 𝜃30 = 𝜃20 + 𝜃32 bağıntısı mevcuttur. Ayrıca ?⃗? 20 = ?̇?20?⃗?0 (3.256) ?⃗? 32 = ?̇? ?⃗? 32 0 (3.257) olduğundan (3.254) ilâ (3.257) bağıntıları (3.253)’de kullanılırsa 0?⃗? 𝐺 hızı şöyle bulunur: 𝑎 0?⃗? 𝐺 = −(𝜔20𝐿2 sin 𝜃20 + 𝜔𝑎 30𝐿3 sin 𝜃30)𝑖 0 (3.258) + (𝜔 20𝐿2 cos 𝜃20 + 𝜔30𝐿3 cos 𝜃30)𝑗 0 + ℎ̇1?⃗?0 Konum analizinden 𝑙1, 𝑙2, 𝑙3 bacak uzunlukları verildiğinde 𝜑𝑖,𝜃𝑖 (𝑖 = 1,2,3) açılarının nasıl bulunacağı önceki alt bölümde açıklanmıştı. Tip 1 hibrit manipülatörde bacakların taban platformuna göre açısal dönmeleri sabit ?⃗? 𝑖 eksenleri etrafında cereyan ediyorken burada biri sabit diğeri değişken iki eksen etrafında dönme yapmaktadırlar. Bacakların taban platformuna göre sabit eksende yaptıkları dönmeye ait açısal hızlar şöyledir: 𝑎 ?⃗? 𝑖,𝑠 = ?̇?𝑖?⃗? 𝑎 (𝑖 = 1,2,3) (3.259) Buna karşılık bacakların etrafında 𝜃𝑖 açısal deplasmanının yaptıkları eksenler değişken olup bunlara ait birim vektörler aşağıdaki gibidir: 105 1 √3 √3 1 ?⃗? 1 = ( cos𝜑1 + sin 𝜑1) 𝑖 𝑎 + (− cos𝜑1 + sin𝜑1) 𝑗 2 2 2 2 𝑎 1 √3 √3 1 (3.260) ?⃗? 2 = ( cos𝜑2 − sin𝜑2) 𝑖 𝑎 + ( cos𝜑2 2 2 2 + sin𝜑2) 𝑗 2 𝑎 ?⃗? 3 = −𝑖 𝑎 Buna göre bacakların bu eksenler etrafındaki açısal hızları şöyle olur: 𝑎 ?⃗? 𝑖,𝑑 = ?̇?𝑖?⃗? 𝑖 (𝑖 = 1,2,3) (3.261) (3.259) ve (3.261) bağıntılarındaki bacak numarasını gösteren 𝑖 indisinin yanında 𝑠 ve 𝑑 indisleri ilgili bacağın taban platformuna haiz sabit ve değişken eksenler etrafındaki açısal hızları olduğuna işaret etmektedir. İş uzvunun 𝑃, 𝑄 ve 𝑆 noktalarının lineer hızları aşağıdaki gibi bulunur: 𝑠 𝑟 0?⃗? = 0?⃗? 0 𝑗 𝑗 + ?⃗?𝑗 (𝑗 = 𝑃, 𝑄, 𝑆) (3.262) 𝑠 Burada 0 ?⃗? 𝑗 vektörleri Tip 1’in analizindeki notasyona uygun olarak ilgili noktanın bacaklarının 𝑟 sabit olması hâlinde sahip olduğu sürüklenme hızıdır. 0?⃗? 𝑗 ’ler ise bacakların taban platformuna göre relatif hızlarıdır. Sürüklenme hızları şöyle bulunur: 0 𝑆 0 0 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ?⃗?𝑃 = ?⃗?𝐺 + ?⃗? 𝑎 × 𝐺𝑎𝑃 𝑎 0?⃗? 𝑆 = ?⃗? + 0 𝑄 𝐺 ?⃗? 𝑎 × ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑄 (3.263) 𝑎 0?⃗? 𝑆 = ?⃗? + 0?⃗? × ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗ 𝑆 𝐺 𝑎 𝑎𝑆 ⃗ 𝑎 (3.262) denklemindeki relatif hızlar ise aşağıdaki gibi bulunur: 0?⃗? 𝑟 𝑃 = (?̇?1?⃗?𝑎 + ?̇?1?⃗? 1) × 𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃 ⃗ + 𝑙1̇?⃗⃗? 1 0?⃗? 𝑟 𝑄 = (?̇?2?⃗? 𝑎 + ?̇? ⃗⃗ ⃗⃗2?⃗? 2) × 𝐸𝑄 ⃗ + 𝑙2̇?⃗⃗? 2 (3.264) 0 𝑟 ⃗⃗ ⃗⃗ ?⃗?𝑆 = (?̇?3?⃗?𝑎 + ?̇?3?⃗? 3) × 𝐹𝑆 + 𝑙3̇?⃗⃗? 3 106 Burada ?⃗⃗? 1, ?⃗⃗? 2 ve ?⃗⃗? 3 bacakların mevcut durumdaki doğrultularını gösteren birim vektörlerdir: ?⃗⃗? = ⃗⃗𝐷⃗⃗𝑃 ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗1 ⁄‖𝐷𝑃 ⃗‖ ?⃗⃗? = 𝐸⃗⃗ ⃗⃗𝑄 ⃗⁄‖⃗⃗𝐸⃗⃗ ⃗2 𝑄‖ (3.265) ?⃗⃗? = ⃗⃗𝐹⃗⃗𝑆 ⁄‖𝐹⃗⃗ ⃗⃗𝑆 3 ‖ Bu durumda iş uzvunun üç noktasının lineer hızları bulunmuş olur. Buna göre daha önce (3.203) formülünden 𝑜 ?⃗? 𝐺 kolayca hesaplanır. İş uzvunun açısal hızı ise şöyle ü hesaplanabilir: ?⃗? 𝑄⁄𝑃 × ?⃗? 𝑂 𝑆⁄𝑃 ?⃗? ü = (3.266) ?⃗? ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑄⁄𝑃 ∙ 𝑃𝑆 3.11.2. Tip 2 hibrit manipülatörde ivme analizi Hız analizinde olduğu gibi ivme analizinde de seri ve paralel kısımların ivme analizi birbirlerine bağımlıdır, zira seri kısmın 3 numaralı uzvunun terminal noktası paralel kısmın taban platformunun 𝐺𝑎 ağırlık merkezidir. Dolayısıyla bu noktanın lineer ivmesi hız analizinde olduğu gibi seri manipülatör tarafından tayin edilmektedir. Keza taban platformunun açısal hızı ve açısal ivmesi robot kolun son uzvunun açısal hız ve açısal ivmesine eşittir. Bu nedenle taban plakasının mutlak (yere göre) açısal ivmesi 𝑂 𝛼 𝑎 = 𝛼 30 = 𝛼 20 + 𝛼 32 (3.267) olacaktır. Burada 𝛼20 = θ̈20 𝛼32 = θ̈32 (3.268) 𝛼30 = θ̈20 + θ̈32 107 Burada bir hususa dikkat çekmek lazımdır. (3.268)’in son bağıntısı hem 𝛼 20 hem de 𝛼 32 vektörlerinin eksenlerine paralel olduğu için yazılabilir. 𝐺𝑎 noktasının çizgisel ivmesi 𝑂𝑎 = −(𝜔2 𝐺𝑎 20𝐿2 cos 𝜃20 + 𝜔 2 30𝐿3 cos 𝜃30 + 𝛼20𝐿2 sin𝜃20 + 𝛼30𝐿3 sin𝜃30)𝑖 0 (3.269) + (−𝜔220𝐿2 sin 𝜃 − 𝜔 2 20 30𝐿3 cos 𝜃30 + 𝛼30𝐿3 cos 𝜃30)𝑗 0 Öte yandan P,Q, ve S noktalarının sürüklenme ivmeleri şöyle hesaplanır: 𝑂 𝑆𝑎 = 𝑂𝑎 + 𝑂?⃗? × (𝑂?⃗? × 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑃 𝐺𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑃 ⃗) + 𝑂𝛼 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎 × 𝐺𝑎𝑃 ⃗ 𝑂 𝑆 𝑎 𝑄 = 𝑂 𝑂 𝑂 𝑎 𝐺𝑎 + ?⃗? 𝑎 × ( ?⃗? × ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄 𝑎 𝑎 ) + 𝑂𝛼 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 × 𝐺𝑎𝑄 (3.270) 𝑂𝑎 𝑆 = 𝑂𝑎 + 𝑂?⃗? × (𝑂?⃗? × ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗𝑆 ⃗) + 𝑂𝛼 × ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑆 𝐺𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑆 P,Q ve S noktalarının relatif ivmeleri ise şöyle bulunur: 𝑂 𝑟 𝑎 𝑃 = 𝑙 𝑂 1̈ ?⃗⃗? + 𝑙 ( 𝑂 1 1̇ ?⃗⃗? 𝑂 𝑎 × ?⃗⃗? 1) + (−?̈?1?⃗?𝑎) × (𝑙 𝑂 1̇ ?⃗⃗? 1) + (−?̇? 𝑂 1?⃗?𝑎) × (𝑙1̇ ?⃗⃗? 1) + (−?̇?1?⃗?𝑎) × (𝑙 𝑂 1( ?⃗⃗? × 𝑂 𝑎 ?⃗⃗? 1)) +(−?̈? 𝑂1 ?⃗? 1) × (𝑙 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 1 ?⃗⃗? 1) + (?̇?1( ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗? 1)) × (𝑙1 ?⃗⃗? 1) +(−?̇? 𝑂1 ?⃗? 1) × (𝑙 𝑂 1̇ ?⃗⃗? 1) + (?̇? 𝑂 1 ?⃗? 1) × (𝑙 𝑂 𝑂 1( ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗⃗? 1)) 𝑂 𝑟 𝑎 = 𝑙 𝑂𝑄 2̈ ?⃗⃗? 𝑂 2 + 𝑙2̇( ?⃗⃗? 𝑂 𝑎 × ?⃗⃗? 2) + (−?̈?2?⃗? 𝑎) × (𝑙 𝑂 2̇ ?⃗⃗? 2) + (−?̇?2?⃗? 𝑂 𝑎) × (𝑙2̇ ?⃗⃗? 2) + (−?̇? ?⃗? 2 𝑎) × (𝑙2( 𝑂 ?⃗⃗? × 𝑂 𝑎 ?⃗⃗? 2)) (3.271) +(−?̈? 𝑂2 ?⃗? 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 2) × (𝑙2 ?⃗⃗? 2) + (?̇?2( ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗? 2)) × (𝑙2 ?⃗⃗? 2) +(−?̇? 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂2 ?⃗? 2) × (𝑙2̇ ?⃗⃗? 2) + (?̇?2 ?⃗? 2) × (𝑙2( ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗⃗? 2)) 𝑂 𝑟 𝑎 𝑆 = 𝑙 𝑂 3̈ ?⃗⃗? + 𝑙 𝑂 𝑂 3 3̇( ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗⃗? 3) + (−?̈?3?⃗? 𝑎) × (𝑙 𝑂 3̇ ?⃗⃗? 3) + (−?̇? ?⃗? 3 𝑎) × (𝑙 𝑂 3̇ ?⃗⃗? 3) + (−?̇? 3?⃗?𝑎) × (𝑙 ( 𝑂 𝑂 3 ?⃗⃗? 𝑎 × ?⃗⃗? 3)) +(−?̈? 𝑂3 ?⃗? ) × (𝑙 𝑂 3 3 ?⃗⃗? 3) + (?̇? ( 𝑂 3 ?⃗⃗? × 𝑂 𝑎 ?⃗? 3)) × (𝑙 𝑂 3 ?⃗⃗? 3) +(−?̇? 𝑂3 ?⃗? 3) × (𝑙 𝑂 3̇ ?⃗⃗? 3) + (?̇? 𝑂 3 ?⃗? ) × (𝑙 ( 𝑂?⃗⃗? × 𝑂3 3 𝑎 ?⃗⃗? 3)) 108 Burada sol üst köşedeki 𝑂 indisi o büyüklüklerin sabit takımda ifade edilmeleri gerektiğini gösterir. Neticede P,Q ve S noktalarının sabit koordinat takımında ölçülen ivmeleri (3.270) ve (3.271) ile verilen ivmelerinin toplamına eşit olur: 𝑂 𝑆 𝑟 𝑎 𝑂 𝑂 𝑃 = 𝑎 𝑃 + 𝑎 𝑃 𝑂𝑎 = 𝑂 𝑆 𝑟 𝑄 𝑎 𝑄 + 𝑂 𝑎 𝑄 (3.272) 𝑂 𝑂 𝑆 𝑟 𝑎 𝑆 = 𝑎 𝑆 + 𝑂 𝑎 𝑆 Burada iş uzvunun 𝐺ü noktasının ivmesi (3.203)’e benzer tarzda 𝑂 𝑂 𝑎 𝑃 + 𝑎 𝑄 + 𝑂 𝑎 𝑂 𝑆 (3.273) 𝑎 𝐺 = ü 3 bağıntısından bulunur. Keza iş uzvunun açısal ivmesi (3.266)’ya benzeyen tarzda hesaplanır. 𝑂 𝑡𝑎 × 𝑂 𝑡 𝑂 𝑄⁄𝑃 𝑎 𝑆⁄𝑃 𝛼 ü = 𝑡 (3.273) 𝑂 𝑎 𝑄⁄𝑃 ∙ ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑆 𝑡 𝑡 Burada 𝑂 𝑎 𝑂 𝑄⁄𝑃 ve 𝑎 𝑆⁄𝑃 sırasıyla Q ve S noktalarının bağıl ivmelerinin teğetsel bileşenleridir. Bu suretle Tip 2 hibrit manipülatörün ileriye kinematik analizi tamamlanmış olmaktadır. 109 4. SAYISAL UYGULAMALAR Daha önceki bölümde açıklanmış olan yöntemler ile ilgili sayısal uygulamalar bu bölümde sunulacaktır. 4.1. 3-3 Stewart platformu ileri kinematiği (ÇYK metodu) Seçilen Stewart (3-3 tipi) platformuna ait fiziksel parametreler Çizelge 4.1’de verilmiştir. Çizelge 4.1. 3-3 Stewart platformuna ait fiziksel parametreler 𝑎 = 600 𝑚𝑚 l3 = 792.13mm h1 = 895.68mm 𝑏 = 200mm l4 = 836.39mm h2 = 754.92mm l1 = 1030.29mm l5 = 713.19mm h3 = 712.2mm l2 = 900.27mm l6 = 908.13mm h = 519.6mm Bu fiziki parametreler kullanılarak bulunan (3.100) ila (3.102) denklemlerindeki katsayılar Çizelge 4.2’de listelenmiştir. Çizelge 4.2. 3-3 Stewart platformunda kısıt denklemlerindeki katsayılar G1 = 2543309.32 H1 = 2211400.81 I1 = 3699427.32 G2 = 446541.81 H2 = 1040240.96 I2 = 1167240.32 G3 = −5409318.49 H3 = −4301537.69 I3 = −5103577.62 G4 = 953461.98 H4 = 194392.77 I4 = 675534.86 G5 = 1561353.72 H5 = 1174001.77 I5 = 695136.68 p±√q u±√v μ1,2 = ve ν1,2 = denklemlerinden, r w 54x105λ + √− 9.7x1012λ4 + 1.17x1013λ2 − 2.79x1012 μ = 5.09x106λ2 + 8.93x105 5.1x106λ + √− 1.73x1013λ4 + 1.26x1013λ2 − 1.88x1012 ν = 7.4x106λ2 + 1.35x106 110 elde edilir. Bölüm 3.8.1’de açıklanan yöntemdeki adımlar takip edilerek 𝜆’ya bağlı f(λ) = 7.65x109λ32 − 9.95x109λ30 + 1.06x109λ28 + 2.77x109λ26 − 5.63x108λ24 − 3.46x108λ22 + 7.1x107λ20 + 2.19x107λ18 − 5.99x106λ16 − 9.64x105λ14 + 3.99x105λ12 + 8.05x104λ10 − 2240λ8 − 1020λ6 + 67.4λ4 + 20.7λ2 + 1 polinomu elde edilir. 32’nci dereceden bu polinomun kökleri aşağıdaki Çizelge 4.3’de verilmiştir. Çizelge 4.3. 3-3 Stewart platformu için çözüm polinomunun kökleri 1- 0.78 + 0.017i 9- 0.002 − 0.4i 17- −10−39 − 0.4i 25- − 0.35 + 0.1i 2- 0.78 − 0.017i 10- 0.002 + 0.4i 18- −10−39 + 0.4i 26- − 0.35 − 0.1i 3- 0.718 11- 0.001 − 0.4i 19- −10−39 + 0.4i 27- − 0.49 + 0.2i 4- 0.660 12- 0.001 + 0.4i 20- − 10−39 − 0.4i 28- − 0.49 − 0.2i 5- 0.48 + 0.24i 13- 7x10−46 + 0.41i 21- − 0.001 + 0.4i 29- −0.660 6- 0.48 − 0.24i 14- 7x10−46 − 0.4i 22- − 0.001 − 0.4i 30- −0.718 7- 0.35 − 0.11i 15- −2x10−39 + 0.4i 23- − 0.001 + 0.4i 31- − 0.78 + 0.017i 8- 0.35 + 0.11i 16- − 10−40 − 0.4i 24- − 0.001 − 0.4i 32- − 0.78 − 0.017i Çizelge 4.3’deki köklerden sadece pozitif ve reel olanlar alınır. Buna göre, 3 ve 4 nolu p±√q kökler pratik anlamı haizdir. Bu iki 𝜆 değerine karşılık gelen 𝜇 ve 𝜈 değerleri μ1,2 = r u±√v ve ν1,2 = denklemlerinden hesaplanır. Hangi 𝜆, 𝜇, 𝜈 varyantının rijitlik w denklemlerinin tamamını sağlayıp sağlamadığını kontrol için kısıt denklemlerinde yerine konur. Bu şartı sağlayan 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri Çizelge 4.4’de verilmiştir. Çizelge 4.4. Stewart plaformunda fiziksel olarak mümkün olan çözümler 1- λ = 0.71839 μ = 1.3341 ν = 0.74104 2- λ = 0.66026 μ = 0.93092 ν = 0.6099 111 ϕ ϕ ϕ Daha sonra λ = tan 12 , μ = tan 34 ν = tan 56 denklemlerinden eşdeğer bacak açıları 2 2 2 hesaplanır ve buradan üst platformun yönelim açıları tayin edilir. 4.2. 3-3 Stewart platformu ileri kinematiği (HF metodu) Stewart platformu için hata fonksiyonları; f1 = (G 2 1λ + G 2 2 2)μ + (G3λ)μ + (G4λ + G5) f2 = (H μ 2 1 + H2)ν 2 + (H3μ)ν + (H μ 2 4 + H5) f = (I λ23 1 + I4)ν 2 + (I 23λ)ν + (I2λ + I5) olarak tanımlanır. 𝑞 ve 𝑣 diskriminantlarının açık ifadeleri, q = (G3λ) 2 − 4(G1λ 2 + G2)(G λ 2 4 + G5) v = (I λ)23 − 4(I 2 2 1λ + I4)(I2λ + I5) şeklindedir. 𝑞 ve 𝑣’nin pozitif olduğu 𝜆 aralıkları belirlenir. 𝜆’nın eksi değerler aldığı aralıklar kullanılmaz. Zira bu manipülatörün ters kurulumuna karşılık gelir. Daha sonra her iki diskriminantın aynı anda pozitif olduğu 𝜆 aralığı belirlenir. Bu aralık Şekil 4.1’de gösterilen taralı bölgenin tabanını oluşturur. 112 𝜆 Şekil 4.1. Stewart platformu için 𝜆 − (𝑞, 𝑣) grafiği. Şekil 4.1’den görüldüğü gibi 𝑞 ve 𝑣 diskriminant değerlerini aynı anda pozitif yapan 𝜆 değerleri 0.57 ≤ 𝜆 ≤ 0.72 aralığındadır. Bu aralıkta belli sayıda farklı 𝜆 değeri için 𝜇1,2 p±√q u±√v ve 𝜈1,2 değerleri, μ1,2 = ve ν1,2 = eşitliklerinden bulunur. Her bir 𝜆 için 4’er r w adet 𝜇𝑖, 𝜈𝑗 değerleri hesaplanıp ilgili 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri (3.128) ile verilen hata fonksiyonunda yerine konarak elde edilen sayısal değerler 𝜆 üzerinde çizdirilir ve Şekil 4.2’deki grafik elde edilir. 113 𝑞, 𝑣 𝜆 Şekil 4.2. Stewart platformu için hata fonksiyonu grafiği. Şekil 4.2’den görüleceği üzere 𝜆 = 0.66 ve 𝜆 = 0.72 civarında olmak üzere iki yerde hata grafiği minimum yapmaktadır. Bu minimum noktalarındaki 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerlerini başlangıç değeri kabul ederek kısıt denklemleri Newton-Raphson iterasyonu kullanılarak hassas 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri bulunmuştur. Bu değerler Çizelge 4.5’te verilmiştir. Çizelge 4.5. 3-3 Stewart platformu için ileri konum çözümleri 1- 𝜆 = 0.660 𝜇 = 0.931 𝜈 = 0.609 2- 𝜆 = 0.718 𝜇 = 1.334 𝜈 = 0.741 114 𝜖 4.3. 3-RRR düzlemsel manipülatörün ileri kinematiği (ÇYK metodu) Aşağıdaki fiziksel büyüklüklere sahip örnek bir 3-RRR manipülatör ele alalım: Çizelge 4.6. Düzlemsel manipülatörün fiziksel boyutları 𝑎 = 30 𝑚𝑚 XG = 50mm θ2 = 12,16470° r2 = r4 = r6 = 30mm XD = 100mm θ4 = 167,8353° r3 = r5 = r7 = 15mm YG = 86.60mm θ6 = 287,8353° Çizelge 4.7. Düzlemsel manipülatörün sabit denklem katsayıları 𝐴1 = −1240.41 𝐴2 = −895.86 𝐴3 = 344.55 𝐵1 = −3.69x10 −13 𝐵2 = −1551.67 𝐵3 = −1551.67 𝐶1 = 1240.41 𝐶2 = 895.86 𝐶3 = −344.55 𝐷1 = −3.69x10 −13 𝐷2 = 1551.67 𝐷3 = 1551.67 𝐸1 = −450 𝐸2 = −450 𝐸3 = −450 𝐹1 = 1259.59 𝐹2 = 3116.97 𝐹3 = 2357.14 İlgili adımlar takip edilirse 32’nci dereceden aşağıdaki polinom elde edilir: f(λ) = 306.8λ32 − 2985.2λ31 + 13625.2λ30 − 38493.7λ29 + 73618.6λ28 − 93686.7λ27 + 58287.6λ26 + 55911.05λ25 − 216742.8λ24 + 332487.6λ23 − 304685.9λ22 + 107439.7λ21 + 174373.6λ20 − 390571.6λ19 + 425937.7λ18 − 276127.5λ17 + 40976.04λ16 + 152053.9λ15 − 228415.8λ14 + 194143.3λ13 − 106190.6λ12 + 23181.7λ11 + 25090.4λ10 − 38706.1λ9 + 32255.2λ8 − 20103.04λ7 + 10088.5λ6 − 4164.1λ5 + 1412.02λ4 − 386.5λ3 + 82.1λ2 − 12.35λ + 1 Bu polinomun kökleri aşağıdaki şekilde bulunur: 115 Çizelge 4.8. Düzlemsel manipülatör için polinomun kökleri 𝜆1 = 0.58 − 0.57𝑖 𝜆9 = −0.97 𝜆17 = 0.003 − 0.4𝑖 𝜆25 = 0.35 − 0.82𝑖 𝜆2 = 0.58 − 0.57𝑖 𝜆10 = −0.97 𝜆18 = 0.003 + 0.4𝑖 𝜆26 = 0.35 + 0.82𝑖 𝜆3 = 0.58 − 0.57𝑖 𝜆11 = −0.97 𝜆19 = 0.498 𝜆27 = 10 −8 − 1.1𝑖 𝜆4 = 0.58 − 0.57𝑖 𝜆12 = −0.97 𝜆20 = −0.08 − 0.53𝑖 𝜆28 = 10 −8 + 1.1𝑖 𝜆5 = 0.58 + 0.57𝑖 𝜆13 = 0.97 𝜆21 = −0.08 + 0.53𝑖 𝜆29 = −10 −8 − 1.1𝑖 𝜆6 = 0.58 + 0.57𝑖 𝜆14 = 0.97 𝜆22 = 0.671 𝜆 −8 30 = −10 + 1.1𝑖 𝜆7 = 0.58 + 0.57𝑖 𝜆15 = 0.97 𝜆23 = 0.1 − 0.7𝑖 𝜆31 = 1.57 − 0.51𝑖 𝜆8 = 0.58 + 0.57𝑖 𝜆16 = 0.97 𝜆24 = 0.1 + 0.7𝑖 𝜆32 = 1.57 + 0.51𝑖 Çizelge 4.8’den görüldüğü üzere, 𝜆 köklerinin 10 tanesi reel sayıdır. Kompleks kökler reddedilir. Katlı kökler vardır. Sonuçta 4 farklı reel kök vardır. Bunlar: 𝜆1 = −0.97, 𝜆2 = 0.97 , 𝜆3 = 0.498, 𝜆4 = 0.67’dir. Her bir 𝜆 köküne karşılık gelen 𝜇 ve 𝜈 değerleri bulunur. 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri Çizelge 4.9’te verilmiştir. Çizelge 4.9. Düzlemsel manipülatörün için 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri Sıra 𝜆 𝜇 𝜈 1 −0.97 −2 −0.53 + 1.08𝑖 2 −0.97 −2 −0.53 − 1.08𝑖 3 −0.97 1.89𝑥1016 −0.53 + 1.08𝑖 4 −0.97 1.89𝑥1016 −0.53 − 1.08𝑖 5 0.498 −2.75 −1.47 6 0.498 −2.75 −1.87 7 0.498 1.18 −1.47 8 0.498 1.18 −1.87 9 0.671 −4.46 −1.64 10 0.671 −4.46 −2.04 11 0.671 1.49 −1.64 12 0.671 1.49 −2.04 13 0.976 −1.33𝑥1016 −1.67 + 0.94𝑖 14 0.976 −1.33𝑥1016 −1.67 − 0.94𝑖 15 0.976 3 −1.67 + 0.94𝑖 16 0.976 3 −1.67 − 0.94𝑖 116 Çizelge 4.9’dan görüldüğü gibi, onaltı kökün sekiz tanesi (1-4 arası ve 13-16 arası) karmaşık sayıdır, bunlar reddedilir. Köklerden sekizi gerçek sayıdır. Dolayısıyla sekiz olası çözüm vardır. Ancak rijitlik koşullarını sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilmelidir. Rijitlik denklemlerinde 𝜆, 𝜇, 𝜈 setleri yerine konup kontrol edilirse iki çözümün var olduğu bulunur. Bunlar da Çizelge 4.10’da aşağıda verilmiştir. Çizelge 4.10. Düzlemsel manipülatör için 𝜆, 𝜇, 𝜈 çözümleri 1- 𝜆 = 0.498 (𝜃3 = 53.031°) 𝜇 = 1.18 (𝜃5 = 99.434°) 𝜈 = −1.87 (𝜃7 = 236.21°) 2- 𝜆 = 0.671 (𝜃3 = 67.776°) 𝜇 = 1.48 (𝜃5 = 112.23°) 𝜈 = −2.04 (𝜃7 = 232.22°) 4.4. 3-RRR düzlemsel manipülatörün ileri kinematiği (HF metodu) Düzlemsel manipülatör için 𝑓𝑖 hata bileşenleri aşağıdaki gibidir: f1 = (P 2 1λ + P2λ + P3)μ 2 + (Q 21λ + Q2λ + Q3)μ + (S 2 1λ + S2λ + S3) f2 = (K λ 2 1 + K2λ + K 2 2 3)ν + (L1λ + L λ + L )ν + (M λ 2 2 3 1 + M2λ + M3) f3 = (U μ 2 1 + U2μ + U3)ν 2 + (V 2 21μ + V2μ + V3)ν + (W1μ + W2μ + W3) İlgili adımlar izlenerek 𝑞 ve 𝑣 determinantları şu şekilde bulunabilir: q = −1.35x107λ4 + 1.2x10−8λ3 + 1.35x107λ2 − 2.54x10−9λ + 2.49x106 v = −4.75x107λ4 + 8.84x107λ3 − 8.252x107λ2 + 4.39x107λ − 9.30x106 −1 < 𝜆 < 1 aralığı için 𝑞 ve 𝑣 diskriminant değerleri hesaplanır. 𝑞 ve 𝑣 diskriminant değerleri Şekil 4.3’de verilmiştir. 117 𝜆 Şekil 4.3. Düzlemsel manipülatör için q ve v'ye karşılık λ varyasyonları. Şekil 4.3’den görüldüğü gibi hem 𝑞 hem de 𝑣’i aynı anda pozitif yapan değer aralığı p±√q u±√v 0.47 ≤ 𝜆 ≤ 0.69’dır. Bu 𝜆 değer aralığında μ1,2 = ve ν1,2 = değerleri bulunur. r w Dört varyasyon için 𝜆 − 𝜖 hata grafiği çizilirse Şekil 4.4’deki grafik elde edilir. 𝜆 Şekil 4.4. Düzlemsel manipülatör için 𝜆 − 𝜖 grafiği. 118 𝜖 𝑞, 𝑣 Şekil 4.4'de görüldüğü gibi, hata fonksiyonunun iki minimum değeri vardır. Bu minimum noktalara ait 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri, Newton-Raphson iterasyon programında başlangıç değerleri olarak kullanılır. Sonuçta Çizelge 4.5’teki değerler tekrar bulunmuş olur. Böylece ikinci yöntem ile bulunan değerlerin birinci yöntem ile bulunan değerler ile sağlaması yapılmıştır. 4.5. Tip 1 hibrit manipülatör için sayısal örnek İlk önce Tip 1 hibrit manipülatörün paralel manipülatör kısmına ait ileri kinematik yapılacaktır. Taban platformu eşkenar üçgen uzunluğu 𝑎 = 0.8𝑚 seçilmiştir. İş uzvu platformu eşkenar üçgeni kenar uzunluğu 𝑏 = 𝑎/2 seçilmiştir. Taban platformu köşe koordinatları −0.4 0.4 0 𝐴 = [−0.23], 𝐵 = [−0.23], 𝐶 = [0.4619] ’dır. Paralel manipülatör bacak uzunlukları 0 0 0 AP bacak uzunluğu 0.5m, BQ bacak uzunluğu 0.3m, CS bacak uzunluğu 0.2m seçilmiş olsun. (3.138)’deki 𝐶𝑖, (3.144)’deki 𝐷𝑖, (3.149)’deki 𝐸𝑖 katsayıları aşağıdaki gibi bulunur: Çizelge 4.11. Paralel manipülatör kısmı için 𝐶𝑖, 𝐷𝑖 , 𝐸𝑖 katsayıları (Tip 1) 𝐶1 = 0.1500 𝐷1 = 0.060 𝐸1 = 0.100 𝐶2 = −0.3000 𝐷2 = −0.1200 𝐸2 = −0.200 𝐶3 = −0.6928 𝐷3 = −0.4157 𝐸3 = −0.2771 𝐶4 = −0.4157 𝐷4 = −0.2771 𝐸4 = −0.6928 𝐶5 = 0.8200 𝐷5 = 0.6100 𝐸5 = 0.7700 (3.140)’den 𝐺𝑖, (3.146)’den 𝐻𝑖, (3.151)’den 𝐼𝑖 katsayıları hesaplanmıştır ve aşağıda verilmiştir. 119 Çizelge 4.12. Paralel manipülatör kısmı için 𝐺𝑖, 𝐻𝑖, 𝐼𝑖 katsayıları (Tip 1) 𝐺1 = 2.0785 𝐻1 = 1.3628 𝐼1 = 1.8399 𝐺2 = 0.3929 𝐻2 = 0.4114 𝐼2 = 1.0857 𝐺3 = −1.2000 𝐻3 = −0.4800 𝐼3 = −0.8000 𝐺4 = 0.9471 𝐻4 = 0.6886 𝐼4 = 0.2543 𝐺5 = −0.1385 𝐻5 = -0.0228 𝐼5 = −0.0999 p±√q u±√v μ1,2 = ve ν1,2 = denklemlerinde (3.104)’deki 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑢, 𝑣, 𝑤 değerleri r w hesaplanarak yerine konur. Çizelge 4.13. Paralel manipülatör kısmı için 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑢, 𝑣, 𝑤 değerleri (Tip 1) 𝑝 = 1.2𝜆 𝑢 = 0.8𝜆 𝑞 = 1.44𝜆2 − 1.0(8.31𝜆2 𝑣 = 0.64𝜆2 − 1.0(1.09𝜆2 + 1.57)(0.947𝜆2 − 0.139) − 0.0999)(7.36𝜆2 + 1.02) 𝑟 = 4.16𝜆2 + 0.786 𝑤 = 3.68𝜆2 + 0.509 (3.106)’daki 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 polinomları aşağıda verilmiştir: Çizelge 4.14. Paralel manipülatör kısmı için 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 polinomları (Tip 1) 𝐴 = − 49.8𝜆8 − 59.6𝜆6 + 4.86𝜆4 + 1.87𝜆2 + 0.0911 𝐵 = − 9.63𝜆5 + 7.24𝜆3 + 0.607𝜆 𝐶 = − 14.6𝜆5 + 6.96𝜆3 + 0.651𝜆 𝐷 = − 7.34𝜆4 + 2.83𝜆2 − 0.192 İlgili değerler yerine yazılarak (3.109)’dan 𝐹 = 𝜆32 + 45.7𝜆30 + 54.3𝜆28 + 22.1𝜆26 + 0.941𝜆24 − 2.08𝜆22 − 0.644𝜆20 − 0.0274𝜆18 + 0.0234𝜆16 + 0.0053𝜆14 + 2.97𝑒 − 4𝜆12 − 4.98𝑒 − 5𝜆10 − 9.37𝑥10−6𝜆8 − 4.88𝑥10−7𝜆6 + 1.27𝑥10−8𝜆4 + 2.28𝑥10−9𝜆2 + 6.77𝑥10−11 120 polinomu bulunur. 32’nci dereceden bu polinomun kökleri Çizelge 4.15’te verilmiştir. Çizelge 4.15. Polinomun kökleri (Tip 1) 𝜆 = 0.49 + 0.031i 𝜆 = 4.0x 10−101 9 − 0.37i −45 −9𝜆17 = − 4.2x10 + 6.7i 𝜆25 = −1.3x10 − 0.43i 𝜆2 = 0.49 − 0.031i 𝜆10 = 4.0x 10 −10 + 0.37i −45 −9𝜆18 = −5.6x10 − 6.7𝑖 𝜆26 = −1.3x10 + 0.43i 𝜆3 = 0.36 𝜆11 = 4.7x 10 −35 + 0.37i x10−39 −9𝜆19 = − 2.1 + 0.4i 𝜆27 = −1.3x10 + 0.43𝑖 𝜆4 = 0.25 𝜆12 = 4.7x 10 −35 − 0.37i −39 −9𝜆20 = −2.1x10 − 0.4i 𝜆28 = −1.3x10 − 0.43i 𝜆5 = 1.3 x 10 −9 − 0.43i 𝜆13 = 1.8x10 −36 −35 − 0.44i 𝜆 𝜆 = −0.25 21 = −1.2x10 − 0.3i 29 𝜆6 = 1.3x 10 −9 + 0.43i x10−36 −35𝜆14 = 1.8 − 0.44i 𝜆22 = −1.2x10 + 0.3i 𝜆30 = −0.36 𝜆7 = 1.3x 10 −9 − 0.43i −46 −10𝜆 = − 2.6x10 + 0.4i 𝜆 = −4.0x10 + 0.3i 𝜆31 = − 0.49 + 0.031i 15 23 𝜆8 = 1.3x 10 −9 + 0.43i −46 −10𝜆16 = − 2.8x10 − 0.4i 𝜆24 = −4.0x10 − 0.3i 𝜆32 = − 0.49 − 0.031i Reel ve pozitif olan kökler 𝜆1 = 0.36 ve 𝜆2 = 0.25’tir. Çizelge 4.16. Olası 𝜆, 𝜇, 𝜈 değerleri (Tip 1) Sıra 𝜆 𝜇 𝜈 1 0.357 0.691 0.377 2 0.357 0.691 0.207 3 0.357 −0.0397 0.377 4 0.357 −0.0397 0.207 5 0.248 0.771 0.673 6 0.248 0.771 −0.133 7 0.248 −0.199 0.673 8 0.248 −0.199 −0.133 Her varyant için rijitlik denklemlerini sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Buna göre, rijitlik şartını sağlayan çözümler 𝜆1 = 0.248, 𝜇1 = −0.199, 𝜈1 = −0.133 ve 𝜆2 = 0.357, 𝜇2 = −0.0397, 𝜈2 = 0.207’dir. Birinci varyant için 𝜑𝑖 açıları hesaplanıp P,Q,S noktalarının koordinatları 121 0.217 0.245 −0.519 𝑃 = [−0.375] , 𝑄 = [0.425] , 𝑆 = [ 0 ] 1.479 1.287 1.191 olarak bulunur. Seri manipülatör kısmına ait değişkenler ise şu şekilde seçilmiştir: seri manipülatör uzuv uzunlukları 𝐿1 = 0.5𝑚, 𝐿2 = 0.3𝑚, 𝐿2 = 0.2𝑚. Seri manipülatör açıları uzuv açıları ise 𝜃1 = 45, 𝜃2 = 30°, 𝜃3 = 15°. Seri manipülatöre ait koordinatlar, seri manipülatör koordinatlarından hesaplanmıştır. Hesaplanan koordinatlar ile hibrit manipülatörün konfigürasyonu çizilmiştir ve Şekil 4.5’de verilmiştir. Şekil 4.5. Tip 1 hibrit manipülatör konum ve oryantasyonu. 122 4.6. Tip 2 hibrit manipülatör için sayısal örnek İkinci tip hibrit manipülatör için sunulacak sayısal örneğe, paralel manipülatör kısmından başlanacaktır. DP bacak uzunluğu 0.2805𝑚, EQ bacak uzunluğu 0.3724𝑚, FS bacak uzunluğu 0.3215𝑚 seçilmiş olsun. Taban platformu kenar uzunluğu 𝑎 = 0.4m, iş uzvu platformu kenar uzunluğu 𝑏 = 0.2𝑚, iki platform arası uzaklık ℎ = 0.3𝑚 seçilmiştir. (3.216) denklemindeki 𝐴𝑖 , 𝐵𝑖, 𝐶𝑖 katsayıları Çizelge 4.17’de verilmiştir. Çizelge 4.17. Paralel manipülatör kısmı için 𝐴𝑖 , 𝐵𝑖, 𝐶𝑖 katsayıları (Tip 2) 𝐴1 = −0.1296 𝐴2 = −0.1720 𝐴3 = −0.1485 𝐵1 = −0.1683 𝐵2 = −0.2234 𝐵3 = −0.1929 𝐶1 = 0.2087 𝐶2 = 0.2687 𝐶3 = 0.2333 (3.215), (3.232) ve (3.234) ifadelerinden (0.0791𝜆21 + 0.3383)𝜇 2 2 1 − 0.3366(1 + 𝜆1)𝜇1 + (0.3383𝜆 2 1 + 0.0791) = 0 (0.0967𝜆22 + 0.4407)𝜇 2 2 − 0.4469(1 + 𝜆 2 2)𝜇2 + (0.4407𝜆 2 2 + 0.0967) = 0 (0.0849𝜆2 + 0.3818)𝜇2 − 0.3857(1 + 𝜆23 3 3)𝜇3 + (0.3818𝜆 2 3 + 0.0849) = 0 0.3374 − 0.1944(1 − 𝜇21)(1 − 𝜆 2 1)(1 + 𝜇 2 2)(1 + 𝜆 2 2) − 0.2580(1 − 𝜇22)(1 − 𝜆 2 2 2)(1 + 𝜇1)(1 + 𝜆 2 1) + 0.2244𝜆1(1 − 𝜇 2 1)(1 + 𝜇 2 2)(1 + 𝜆 2 2) − 0.2979𝜆2(1 − 𝜇 2 2)(1 + 𝜇 2 1)(1 + 𝜆 2 1) + 0.1045(1 − 𝜇2)(1 − 𝜇21 2)(1 − 3.4641𝜆1 + 3.4641𝜆2 − 𝜆 2 1 − 𝜆 2 2 + 4𝜆1𝜆2 − 3.4641𝜆 2 1𝜆2 + 3.4641𝜆 𝜆 2 2 2 1 2 + 𝜆1𝜆2) − 0.8358𝜇1𝜇2(1 + 𝜆 2 1)(1 + 𝜆 2 2) = 0 123 0.3620 − 0.2580(1 − 𝜇22)(1 − 𝜆 2 2 2 2)(1 + 𝜇3)(1 + 𝜆3) − 0.2227(1 − 𝜇2)(1 − 𝜆2)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆23 3 2 2) + 0.2979𝜆2(1 − 𝜇 2 2)(1 + 𝜇 2 3)(1 + 𝜆 2 3) − 0.2572𝜆3(1 − 𝜇 2 2 3)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆 2 2) + 0.1197(1 − 𝜇2 22)(1 − 𝜇3)(1 − 3.4641𝜆2 + 3.4641𝜆3 − 𝜆 2 2 − 𝜆 2 3 + 4𝜆2𝜆3 − 3.4641𝜆 2 2𝜆 2 2 2 3 + 2√3𝜆2𝜆3 + 𝜆2𝜆3) − 0.9577𝜇 𝜇 (1 + 𝜆22 3 2)(1 + 𝜆 2 3) = 0 0.3020 − 0.2227(1 − 𝜇2)(1 − 𝜆23 3)(1 + 𝜇 2 1)(1 + 𝜆 2 1) − 0.1944(1 − 𝜇21)(1 − 𝜆 2 1)(1 + 𝜇 2 2 3)(1 + 𝜆3) + 0.2572𝜆3(1 − 𝜇 2 3)(1 + 𝜇 2 1)(1 + 𝜆 2 1) − 0.2244𝜆 (1 − 𝜇2)(1 + 𝜇2)(1 + 𝜆21 1 3 3) + 0.0902(1 − 𝜇23)(1 − 𝜇 2 1)(1 − 3.4641𝜆3 + 3.4641𝜆 2 2 1 − 𝜆3 − 𝜆1 + 4𝜆3𝜆1 − 3.4641𝜆 2 3𝜆 2 2 2 1 + 2√3𝜆3𝜆1 + 𝜆3𝜆1) − 0.7214𝜇 2 23𝜇1(1 + 𝜆3)(1 + 𝜆1) = 0 olmak üzere 6 nonlineer denklem bulunmuştur. Newton-Raphson iterasyon programı hazırlanmıştır. Başlangıç tahmini değerleri girilerek, Newton-Raphson iterasyon programı ile aranan değerler olan 𝜑1 = −3.0176°, 𝜑2 = 3.0176°,𝜑3 = 0.0°, 𝜃1 = 63.0241, 𝜃2 = 70.0203°, 𝜃3 = 68.9483° değerlerine yakınsamıştır. Seri manipülatör kısmına ait uzuv hızları, ℎ20 = 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ℎ32 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ℎ1 = 0.1 𝑚/𝑠 seçilmiştir. Paralel manipülatör kısmındaki bacak uzama hızları, 𝑙1̇ = 0.1 𝑚/𝑠, 𝑙2̇ = 0.1 𝑚/𝑠, 𝑙3̇ = 0.1 𝑚/𝑠 seçilmiştir. Kardan açıları, açısal hızları ise ?̇?1 = −18.3747 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ?̇?2 = −17.9417 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ?̇?3 = −23.0616 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ?̇?1 = −0.9898 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ?̇?2 = 0.6250 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ?̇?3 = 0.1197 𝑟𝑎𝑑/𝑠 olarak hesaplanmıştır. Taban platformunun 𝐺𝑎 noktasının lineer hızı 𝑂 𝑉𝐺 = −3.3978𝑖 + 1.6425𝑗 + 0.1?⃗? 𝑎 bulunmuştur. Tabana bağlı koordinat takımında P, Q ve S noktalarının yer vektörleri 124 ⃗⃗𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑎𝑃 = −0.0866𝑖 + −0.0577𝑗 + 0.25?⃗? 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑄 = 0.0866𝑖 − 0.0577𝑗 + 0.35?⃗? ⃗⃗𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑎𝑆 = 0𝑖 + 0.1155𝑗 + 0.30?⃗? Her bir vektör, rotasyon matrisi ile çarpılarak sabit eksen takımına dönüştürülür. 𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑎𝑃 ⃗, 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄 , 𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑎 𝑎𝑆 vektörlerinin sabit takımdaki ifadeleri şu şekilde olur: 𝑂𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝑃 ⃗ 𝑎 = 0.0687𝑖 − 0.0782𝑗 − 0.25?⃗? 𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝐺𝑎𝑄 = −0.0986𝑖 − 0.0334𝑗 − 0.35?⃗? 𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐺𝑎𝑆 = 0.0299𝑖 + 0.1115𝑗 − 0.3?⃗? P, Q ve S noktalarının sürüklenme hızları 𝑉𝑃 = −3.1632𝑖 + 1.8486𝑗 + 0.1?⃗? 𝑠ü𝑟 𝑉𝑄 = −3.2977𝑖 + 1.3467𝑗 + 0.1?⃗? 𝑠ü𝑟 𝑉𝑆 = −3.7324𝑖 + 1.7321𝑗 + 0.1?⃗? 𝑠ü𝑟 P,Q ve S noktalarının sabit takıma göre hızları 𝑉𝑃 = −4.9449𝑖 + 0.3064𝑗 + 0.1368?⃗? 𝑉𝑄 = −3.9523𝑖 + 3.5417𝑗 − 0.0735?⃗? 𝑉𝑆 = −1.1602𝑖 + 1.0429𝑗 − 0.0072?⃗? Taban platformunun ağırlık merkezi 𝐺ü’nün lineer hızı 𝑉𝐺 = −3.3524𝑖 + 1.6303𝑗 + 0.0187?⃗? ü İş uzvunun açısal hızı 𝜔 𝑖ş 𝑢𝑧𝑣𝑢 = −0.5307𝑖 − 1.1150𝑗 − 19.655?⃗? olarak hesaplanmıştır. 125 Formülle bulunan açısal hızın (iş uzvu) doğruluğunu test etmek için, (0?⃗? 𝑄 − 0 0 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ?⃗?𝑃) − ( ?⃗? 𝑖ş 𝑢𝑧𝑣𝑢 × 𝑃𝑄) (0 ?⃗? 𝑆 − 0 ?⃗?𝑃) − ( 0 ?⃗? 𝑖ş 𝑢𝑧𝑣𝑢 × ⃗⃗𝑃⃗⃗𝑆 ) (0?⃗? 𝑆 − 0 ?⃗? ) − ( 0 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑄 ?⃗? 𝑖ş 𝑢𝑧𝑣𝑢 × 𝑄𝑆) farkları oluşturulmuş ve pratik olarak sıfır olduğu (MATLAB’te 10−15) görülmüştür. İş uzvunun ağırlık merkezinin çizgisel ivmesi ve açısal ivmesinin hesabı aşağıda verilecektir. Paralel manipülatör kısmındaki bacakların uzama ivmeleri 𝑙 21̈ = 0.12 𝑚/𝑠 , 𝑙2̈ = 0.15 𝑚/𝑠 2, 𝑙3̈ = 0.13 𝑚/𝑠 2 alınmıştır. Seri robotun ilk uzvuna ait ivme ℎ̈1 = 0.14 𝑚/𝑠2 olup ikinci ve üçüncü uzvuna ait açısal ivmeler sırasıyla 𝛼20 = 0.01 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2, 𝛼32 = 0.02 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 seçilmiştir. Bu değerlerle yapılan hesaplar sonucunda P, Q ve S noktalarının yere göre ivmeleri 𝑎𝑃 = 0.0279𝑖 − 2.1767𝑗 + 0.0343?⃗? 𝑎𝑄 = −0.9751𝑖 − 0.0376𝑗 − 0.0353?⃗? 𝑎𝑆 = 1.1727𝑖 + 1.1891𝑗 − 0.0163?⃗? olarak elde edilmiştir. İş uzvunun ağırlık merkezi 𝐺ü’nün çizgisel ivmesi hız hesabında yapıldığı şekilde P,Q, ve S noktalarının ivmelerinden aşağıdaki gibi bulunmuştur: 𝑎𝐺 = −3.2294𝑖 − 9.1806𝑗 + 0.0140?⃗? ü Nihayet iş uzvunun açısal ivmesi ise açısal hızın bulunmasında kullanılan formülden yararlanırlarak 𝛼𝑖ş 𝑢𝑧𝑣𝑢 = −19.1152𝑖 − 39.1052𝑗 − 718.0276?⃗? olarak hesaplanmıştır. Bahsedilen formül kullanılırken bağıl hızların yerine bağıl ivmelerin teğetsel bileşenlerinin kullanılması gerektiği unutulmamalıdır. 126 5. TARTIŞMA ve SONUÇ Paralel manipülatörlerde ileri ve geri kinematik seri manipülatörlere kıyasla tamamen zıt karakterdedir. Diğer bir ifadeyle paralel manipülatörlerde geri kinematik nisbeten kolay olduğu halde, ileri kinematik ciddi matematik problemlerine yol açar. Bu nedenle paralel manipülatörlerin ve özellikle de bunların en bilineni olan Stewart platformunun ileri kinematiği hakkında çok sayıda çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalarda ortaya çıkan nonlineer denklem takımlarının çözümü için matematik analizin mühim metotlarından faydalanılmıştır. Bu çerçevede mevcut kısıt denklemlerinden katsayıları daima aynı parametreye bağlı olacak tarzda yapay değişkenler içeren yeni bir homojen denklem takımı üreterek trivial olmayan çözüm elde etmek üzere katsayılar matrisinin determinantını sıfıra eşitlemeye dayanan Bezout metodu veya buna benzer yaklaşımlardan yararlanılmıştır. Diğer bir yöntem olarak uygun bir değişken dönüşümü yapmak suretiyle mevut denklem takımını Gauss eliminasyon metodundakine benzer bir tarzda yeniden yapılandırmaktır. Bu durumda mesela üç denklem varsa bunların birinde sadece tek değişken ikincisinde iki değişken ve üçüncüsünde üç değişken birlikte gözükecektir. Ancak burada tek değişkenin gözüktüğü denklemin dahi nonlineer olduğu unutulmamalıdır. Bu çalışmada Stewart platformunun belirli kurulumlarında (assembly) denklemlerin almış olduğu özel formdan yararlanarak karmaşık matematik yöntemlere müracaat etmeden ileri kinematik problemini çözmeye yarayan iki metod geliştirilmiştir. Bu metot Stewart platformu için sınırlı kullanıma sahip olmakla birlikte 3-RRR düzlemsel manipülatör için genel bir çözüm tekniğidir. Burada verilen ÇYK metodu aynı zamanda söz konusu formdaki nonliner denklemler için bir çözüm tekniğidir ve dolayısıyla bir matematiksel metot olarak da değerlendirilebilir. Hibrit manipülatörler ileri ve geri kinematik açısından taban tabana zıt farklı iki manipülatör türünü içeren yapılardır. Son zamanlarda gerek imalat sektöründe gerekse tıbbi alanda bu tür manipülatörlere sıkça rastlanmaktadır. Ancak bu konudaki literatür henüz çok zengin değildir ve bu konu detaylı incelemelere açıktır. Bu nedenle çalışmada bu konuya da yer verilmiş olup ön görülen bir hibrit manipülatör tipi için ileri kinematiğin konum ve hız analizlerinin nasıl yapılacağı gösterilmiştir. Hız analizinde vektörel yöntem izlenmiştir. Paralel manipülatör için geliştirilen çözüm metotlarının genelleştirilmesi doğrultusunda çalışmalar sürdürülecektir. Literatürde paralel ve hibrit manipulatörlerde 127 ileri kinematik için yapay sinir ağları, optimizasyon tekniklerine dayalı metotlar üzerinde çalışmalar zengin değildir. Bu konular da ileride çalışılacak konular arasındadır. 128 KAYNAKLAR Alavandar, S., Nigam, M. J. (2008). Neuro-Fuzzy based Approach for Inverse Kinematics Solution of Industrial Robot Manipulators. International Journal of Computers Communications, 3(3):, 224. Angeles, J. (2012). Spatial Kinematic Chains: Analysis, Synthesis, Optimization, Springer Sceience & Business Media. Aydin, Y., Kucuk, S. (2006). Quaternion Based Inverse Kinematics for Industrial Robot Manipulators with Euler Wrist. IEEE International Conference on Mechatronics, 581–586. https://doi.org/10.1109/ICMECH.2006.252591 Ayyıldız, M., Çetinkaya, K. (2016). Comparison of four different heuristic optimization algorithms for the inverse kinematics solution of a real 4-DOF serial robot manipulator. Neural Computing and Applications, 4(27):, 825–836. https://doi.org/10.1007/S00521-015-1898-8 Azar, A. T., Zhu, Q., Khamis, A., Zhao, D. (2017). Control design approaches for parallel robot manipulators: A review. International Journal of Modelling, Identification and Control, 28(3):, 199–211. https://doi.org/10.1504/IJMIC.2017.086563 Bai, X., Turner, J. D., Junkins, J. L. (2006). Dynamic Analysis and Control of a Stewart Platform Using A Novel Automatic Differentiation Method., AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit . Bangjun, L., Likun, P., Tingtao, M. (2012). Improving Dynamic Performance of Stewart Platforms through Optimal Design Based on Evolutionary Multi-objective Optimization Algorithms, 1st International Conference on Mechanical Engineering and Material Science, 294–298, https://doi.org/10.2991/MEMS.2012.78 Baressi Šegota, S., Anđelić, N., Lorencin, I., Saga, M., Car, Z. (2020). Path planning optimization of six-degree-of-freedom robotic manipulators using evolutionary algorithms. International Journal of Advanced Robotic Systems, 17(2):. https://doi.org/10.1177/1729881420908076/ASSET/IMAGES/LARGE/10.1177_1 729881420908076-FIG2.JPEG Baressi Šegota, S., Anđelić, N., Šercer, M., Meštrić, H. (2022). Dynamics Modeling of Industrial Robotic Manipulators: A Machine Learning Approach Based on Synthetic Data. Mathematics, Vol. 10, Page 1174, 10(7):, 1174. https://doi.org/10.3390/MATH10071174 Bottema, O., Roth, B. (1990). Theoretical kinematics, North-Holland Pub. Co. Chauhan, D. K. S., Vundavilli, P. R. (2022). Forward Kinematics of the Stewart Parallel Manipulator Using Machine Learning. International Journal of Computational Methods. https://doi.org/10.1142/S0219876221420093 129 Chen, L., Sun, H., Jia, Q., Cao, S., Zhao, W., Yu, T. (2020). A new kind of measuring tooling and closed-loop control for gough-stewart parallel robot. 5th International Conference on Computer and Communication Systems, ICCCS 2020, 977–984. https://doi.org/10.1109/ICCCS49078.2020.9118525 Craig, J.J. (2005) Introduction to Robotics Mechanics and Control. 3rd Edition, Pearson Prentice Hall Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. Dasgupta, B., Mruthyunjaya, T. S. (1996). A constructive predictor-corrector algorithm for the direct position kinematics problem for a general 6-6 Stewart platform. Mechanism and Machine Theory, 31(6):, 799–811. https://doi.org/10.1016/0094- 114X(95)00106-9 Dasgupta, B., Mruthyunjaya, T. S. (1998). A Newton-Euler formulation for the inverse dynamics of the Stewart platform manipulator. Mechanism and Machine Theory, 33(8):, 1135–1152. https://doi.org/10.1016/S0094-114X(97)00118-3 Dasgupta, B., Mruthyunjaya, T. S. (2000). The Stewart platform manipulator: a review. Mechanism and Machine Theory, 35(1):, 15–40. https://doi.org/10.1016/S0094- 114X(99)00006-3 Denavit, J., Hartenberg, R. S. (1955). A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices. Journal of Applied Mechanics, 22(2):, 215–221. https://doi.org/10.1115/1.4011045 Der-Ming, K. (1999). Direct displacement analysis of a Stewart platform mechanism. Mechanism and Machine Theory, 34(3):, 453–465. https://doi.org/10.1016/S0094- 114X(98)00043-3 Dereli, S., Köker, R. (2019). A meta-heuristic proposal for inverse kinematics solution of 7-DOF serial robotic manipulator: quantum behaved particle swarm algorithm. Artificial Intelligence Review, 53(2):, 949–964. https://doi.org/10.1007/S10462- 019-09683-X Didrit, O., Petitot, M., Walter, E. (1998). Guaranteed solution of direct kinematic problems for general configurations of parallel manipulators. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 14(2):, 259–266. https://doi.org/10.1109/70.681244 Dietmaier, P. (1996). Forward Kinematics and Mobility Criteria of One Type of Symmetric Stewart-Gough Platforms. Recent Advances in Robot Kinematics, 379– 388. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1718-7_38 Dunlop, G. R., Jones, T. P. (1997). Position analysis of a 3-DOF parallel manipulator. Mechanism and Machine Theory, 32(8):, 903–920. https://doi.org/10.1016/S0094- 114X(97)00011-6 Edwards, C. A., Galloway, R. L. (2016). A Single-Point Calibration Technique for a Six Degree-of-Freedom Articulated Arm, The International journal of robotics research, 13(3), 189–198. https://doi.org/10.1177/027836499401300301 130 Feng, Y., Fan, J. C., Tao, B. X., Wang, S. G., Mo, J. Q., Wu, Y. Q., Liang, Q. H., Chen, X. J. (2022). An image-guided hybrid robot system for dental implant surgery. International journal of computer assisted radiology and surgery, 17(1):, 15–26. https://doi.org/10.1007/S11548-021-02484-0 Fichter, E. F. (2016). A Stewart Platform- Based Manipulator: General Theory and Practical Construction. The international journal of robotics research, 5(2):, 157– 182. https://doi.org/10.1177/027836498600500216 Fichter E.F.; McDwell E.D. (1983). Determining the motions of joints on a parallel connection manipulator. Proceedings of Sixth World Congress on Theory of machines and mechanisms, 1003–1006. Goldenberg, A. A., Benhabib, B., Fenton, R. G. (1985). A Complete Generalized Solution to the Inverse Kinematics of Robots. IEEE Journal on Robotics and Automation, 1(1):, 14–20. https://doi.org/10.1109/JRA.1985.1086995 Gosselin, C., and, J. A.-I. (1990). Singularity analysis of closed-loop kinematic chains. IEEE transactions on robotics and automation 6.3 (1990): 281-290. https://doi.org/10.1109/70.56660 Gosselin, C.M., Lemieux, S., Merlet, J.-P. (1996) A new architecture of planar three- degree-of-freedom parallel manipulator. Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation (C. 4), IEEE: , 3738–3743. https://doi.org/10.1109/ROBOT.1996.509283 Gosselin, Clément M., Merlet, J.-P. (1994). The direct kinematics of planar parallel manipulators: Special architectures and number of solutions. Mechanism and Machine Theory, 29(8):, 1083–1097. https://doi.org/10.1016/0094-114X(94)90001 Hamdoun, O., Baghli, F. Z., Bakkali, L. El (2015). Inverse kinematic Modeling of 3RRR Parallel Robot. CFM 22ème Congrès Français de Mécanique. AFM, Maison de la Mécanique, 39/41 rue Louis Blanc-92400 Courbevoie. Harib, K., Srinivasan, K. (2003). Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform- based machine tool structures. Robotica, 21(5):, 541–554. https://doi.org/10.1017/S0263574703005046 Hu, B., Shi, Y., Xu, L., Bai, P. (2020). Reconsideration of terminal constraint/mobility and kinematics of 5-DOF hybrid manipulators formed by one 2R1T PM and one RR SM. Mechanism and Machine Theory, 149:, 103837. https://doi.org/10.1016/J.MECHMACHTHEORY.2020.103837 Huang, X., Liao, Q., Wei, S. (2010). Closed-form forward kinematics for a symmetrical 6-6 Stewart platform using algebraic elimination. Mechanism and Machine Theory, 45(2):, 327–334. https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2009.09.008 Husty, M. L. (1996). An algorithm for solving the direct kinematics of general Stewart- Gough platforms. Mechanism and Machine Theory, 31(4):, 365–379. https://doi.org/10.1016/0094-114X(95)00091-C 131 Innocenti, C. (2001). Forward Kinematics in Polynomial Form of the General Stewart Platform. Journal of Mechanical Design, 123(2):, 254–260. https://doi.org/10.1115/1.1348018 Innocenti, C., Parenti-Castelli, V. (1990). Direct position analysis of the Stewart platform mechanism. Mechanism and Machine Theory, 25(6):, 611–621. https://doi.org/10.1016/0094-114X(90)90004-4 Jin, G., Ma, S., Li, Z. (2022). Dynamic Simulation Modeling of Industrial Robot Kinematics in Industry 4.0. Discrete Dynamics in Nature and Society, https://doi.org/10.1155/2022/3217360 Khalil, W., Dombre, E. (2002). Modeling identification and control of robots. CRC Press. Khanesar, M. A., Branson, D. (2022). Robust Sliding Mode Fuzzy Control of Industrial Robots Using an Extended Kalman Filter Inverse Kinematic Solver. Energies, Vol. 15, Page 1876, 15(5), 1876. https://doi.org/10.3390/EN15051876 Khatib, O. (1987). A Unified Approach for Motion and Force Control of Robot Manipulators: The Operational Space Formulation. IEEE Journal on Robotics and Automation, 3(1):, 43–53. https://doi.org/10.1109/JRA.1987.1087068 Köker, R., Öz, C., Çakar, T., Ekiz, H. (2004). A study of neural network based inverse kinematics solution for a three-joint robot. Robotics and Autonomous Systems, 49(3– 4), 227–234. https://doi.org/10.1016/J.ROBOT.2004.09.010 Kucuk, S., Bingul, Z. (2004). The inverse kinematics solutions of industrial robot manipulators. Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics, ICM ’04., 274–279. https://doi.org/10.1109/ICMECH.2004.1364451 Küçük, S., Güngör, B. D. (2016). Medikal Amaçlar İçin Önerilen Yeni Bir Hibrit Robotun Ters Kinematik Çözümü. Tıp Teknolojileri Kongresi TIPTEKNO, Antalya, IEEE, 42–45. Küçük, Serdar, Bingül, Z. (2014). Inverse kinematics solutions for industrial robot manipulators with offset wrists. Applied Mathematical Modelling, 38(7–8), 1983– 1999. https://doi.org/10.1016/J.APM.2013.10.014 Lee, K. M., Shah, D. K. (1988). Kinematic Analysis of a Three-Degrees-of-Freedom In- Parallel Actuated Manipulator. IEEE Journal on Robotics and Automation, 4(3):, 354–360. https://doi.org/10.1109/56.796 Li, K., Wen, R. (2011). Closed-form dynamic equations of the 6-RSS parallel mechanism through the Newton-Euler approach. Proceedings - 3rd International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation, ICMTMA 2011, 1, 712–715. https://doi.org/10.1109/ICMTMA.2011.180 132 Li, Y., Wang, L., Chen, B., Wang, Z., Sun, P., Zheng, H., Xu, T., Qin, S. (2020). Optimization of dynamic load distribution of a serial-parallel hybrid humanoid arm. Mechanism and Machine Theory, 149:, 103792. https://doi.org/10.1016/J.MECHMACHTHEORY.2020.103792 Liu, M. J., Li, C. X., Li, C. N. (2000). Dynamics analysis of the Gough-Stewart platform manipulator. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 16(1):, 94–98. https://doi.org/10.1109/70.833196 Lu, Y., Dai, Z. (2016). Dynamics model of redundant hybrid manipulators connected in series by three or more different parallel manipulators with linear active legs. Mechanism and Machine Theory, 103:, 222–235. Mahmoodi, A., Menhaj, M. B., Sabzehparvar, M. (2008). An efficient method for solution of inverse dynamics of stewart platform. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 81(5):, 398–406. https://doi.org/10.1108/00022660910983671/FULL/XML Manocha, D., Canny, J. F. (1994). Efficient inverse kinematics for general 6R manipulators. IEEE transactions on robotics and automation 10(5), 648-657. https://doi.org/10.1109/70.326569 McCarthy, J. (1990). Introduction to theoretical kinematics., MIT Press, 1990. Merlet, J.-P. (1991a). An algorithm for the forward kinematics of general parallel manipulators. Fifth International Conference on Advanced Robotics ’Robots in Unstructured Environments, IEEE , 1136–1140 c.2. https://doi.org/10.1109/ICAR.1991.240403 Merlet, J.-P. (1991b). Symbolic computation for the Determination of the Minimal direct kinematics Polynomial and the Singular configurations of parallel manipulators. Advances in Robot Kinematics: Advances in Robot Kinematics, Vienna, Springer, 465–475. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-4433-6_52 Merlet, J. -P. (2004). Solving the Forward Kinematics of a Gough-Type Parallel Manipulator with Interval Analysis. The International Journal of Robotics Research, 23(3):, 221–235. https://doi.org/10.1177/0278364904039806 Merlet, J. P. (2004). Solving the forward kinematics of a gough-type parallel manipulator with interval analysis. International Journal of Robotics Research, 23(3):, 221–235. https://doi.org/10.1177/0278364904039806 Merlet, Jean-Pierre (2006). Parallel Robots, Berlin/Heidelberg, Springer Dordrecht. Merlet, Jean Pierre (1996). Direct kinematics of planar parallel manipulators. Proceedings - IEEE International Conference on Robotics and Automation, 4:, 3744–3749. https://doi.org/10.1109/ROBOT.1996.509284 133 Mohammadipanah, H., Zohoor, H. (2009). Design and Analysis of a Novel 8-DOF Hybrid Manipulator. International Journal of Mechanical and Mechatronics Engineering, 3(10):, 1158–1164. Mourrain, B. (1993). The 40 “generic” positions of a parallel robot. Proceedings of the International symposium on Symbolic and algebraic computation - ISSAC ’93 : New York, USA, : ACM Press: , 173–182. https://doi.org/10.1145/164081.164120 Nanua, P., Waldron, K. J., Murthy, V. (1990). Direct kinematic solution of a Stewart platform. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 6(4):, 438–444. https://doi.org/10.1109/70.59354 Paul, R. P., Shimano, B. (1978). Kinematic control equations for simple manipulators. Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, 1398–1406. https://doi.org/10.1109/CDC.1978.268148 Pieper, D. (1969). The kinematics of manipulators under computer control. Stanford University Press. Rahmani, A., Ghanbari, A. (2014). Neural network solutions for forward kinematics analysis of 2-(6UPS) manipulator. Applied Mechanics and Materials, 624:, 424– 428. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMM.624.424 Roth, Z. S., Mooring, B. W., Ravani, B. (1987). An Overview of Robot Calibration. IEEE Journal on Robotics and Automation, 3(5):, 377–385. https://doi.org/10.1109/JRA.1987.1087124 Rouillier, F. (1995). Real Root Counting for Some Robotics Problems. Computational Kinematics, Proceedings of the Second Workshop on Computational Kinematics, Sophia Antipolis, France, September 4–6, Springer Netherlands, https://doi.org/10.1007/978-94-011-0333-6_8 Sayed, A., Salem, A. A., Hassam, H. (2020). Modeling of Nonlinear 3-RRR Planar Parallel Manipulator: Kinematics and Dynamics Experimental Analysis. Int. J. Mech. Mechatronics Eng., 20:, 175–185. Sciavicčo, L., Siciliano, B. (1986). Coordinate Transformation: A Solution Algorithm for One Class of Robots. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 16(4):, 550–559. https://doi.org/10.1109/TSMC.1986.289258 Seguchi, Y., Tanaka, M., Kazuyuki, H. (1991). Criteria-oriented configuration control of adaptive structure and its modular neural network representation. Joint U. S./Japan Conference on Adaptive Structures, Maui,HI, 402–421. Siddique Ahmed Ghias, A., Dev Anand, M., Jacob Raglend, I., Shamila, F. (2016). Solution for a five link industrial robot manipulator inverse kinematics using intelligent prediction response method. Indian Journal of Science and Technology, 9(21):. https://doi.org/10.17485/IJST/2016/V9I21/90570 134 Sommese, A. J., Wampler, C. W. (2005). The Numerical Solution of Systems of Polynomials, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Tancredi, L., Merlet, J.-P. (1994). Evaluation of the Errors When Solving the Direct Kinematics of Parallel Manipulators With Extra Sensors. Advances in Robot Kinematics and Computational Geometry, 439–448. https://doi.org/10.1007/978- 94-015-8348-0_44 Tanev, T. (2006). Workspace of a hybrid (parallel-serial) robot manipulator. Problems Of Engineering Cybernetics And Robotics, 56. Toquica, J. S., Motta, J. M. S. T. (2022). A methodology for industrial robot calibration based on measurement sub-regions. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 119(1–2):, 1199–1216. https://doi.org/10.1007/S00170-021-08308-4 Toz, M., Küçük, S. (2010). Dynamics simulation toolbox for industrial robot manipulators. Computer Applications in Engineering Education, 18(2), 319–330. https://doi.org/10.1002/CAE.20262 Tsai, L. W., Morgan, A. P. (1985). Solving the Kinematics of the Most General Six- and Five-Degree-of-Freedom Manipulators by Continuation Methods. Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 107(2), 189–200. https://doi.org/10.1115/1.3258708 Tsai, Lung Wen, Joshi, S. (2002). Kinematic Analysis of 3-DOF Position Mechanisms for Use in Hybrid Kinematic Machines. Journal of Mechanical Design, 124(2), 245– 253. https://doi.org/10.1115/1.1468860 Vossoughi, G., Hassanpour, S., Fazeli, A., Paak, M. (2010). An Optimization-Based Algorithm for Determination of Inclusive and Constant Orientation Workspace of Parallel Mechanisms. ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Proceedings, 10(PART A), 125–132. https://doi.org/10.1115/IMECE2009-11148 Wampler, C. W. (1996). Forward displacement analysis of general six-in-parallel sps (Stewart) platform manipulators using soma coordinates. Mechanism and Machine Theory, 31(3):, 331–337. https://doi.org/10.1016/0094-114X(95)00068-A Wang, Zesheng, Li, Y., Sun, P., Luo, Y., Chen, B., Zhu, W. (2021). A multi-objective approach for the trajectory planning of a 7-DOF serial-parallel hybrid humanoid arm. Mechanism and Machine Theory, 165:, 104423. https://doi.org/10.1016/J.MECHMACHTHEORY.2021.104423 Wang, Zhonglin, Zhang, N., Chai, X., Li, Q. (2017). Kinematic/dynamic analysis and optimization of a 2-URR-RRU parallel manipulator. Nonlinear Dynamics, 88(1):, 503–519. https://doi.org/10.1007/s11071-016-3256-5 135 Whitney, D. E. (1969). Resolved Motion Rate Control of Manipulators and Human Prostheses. IEEE Transactions on Man-Machine Systems, 10(2):, 47–53. https://doi.org/10.1109/TMMS.1969.299896 Xie, B., Dai, S., Liu, F. (2021). A lie group-based iterative algorithm framework for numerically solving forward kinematics of gough-stewart platform. Mathematics, 9(7):. https://doi.org/10.3390/MATH9070757 Xu, Y., Xu, Z., Yang, F., Mei, Y., Yue, Y., Zhou, Y., Yao, J., Zhao, Y. (2020). Design and Analysis of a New 5-DOF Hybrid Serial-Parallel Manipulator. Mechanisms and Machine Science, 79:, 301–311. https://doi.org/10.1007/978-981-15-0142- 5_30/FIGURES/14 Yang, F., Tan, X., Wang, Z., Lu, Z., He, T. (2022). A Geometric Approach for Real-Time Forward Kinematics of the General Stewart Platform. Sensors, Vol. 22, Page 4829, 22(13), 4829. https://doi.org/10.3390/S22134829 Yeshmukhametov, A., Kalimoldayev, M., Mamyrbayev, O., Amirgaliev, Y. (2017). Design and kinematics of serial/parallel hybrid robot. 3rd International Conference on Control, Automation and Robotics, ICCAR 2017, 162–165. https://doi.org/10.1109/ICCAR.2017.7942679 Yilmaz, Z., Yilmaz, O., Bingül, Z. (2020). Design, Analysis and Simulation of a 6-DOF Serial Manipulator. J. Sci. Eng, 3(1):, 9–15. https://doi.org/10.34088/kojose.677184 Yin, Z., Qin, R., Liu, Y. (2022). A New Solving Method Based on Simulated Annealing Particle Swarm Optimization for the Forward Kinematic Problem of the Stewart– Gough Platform. Applied Sciences (Switzerland), 12(15):. https://doi.org/10.3390/APP12157657 Yoshikawa, T. (1990). Foundations of robotics: analysis and control, MIT Press. Yurt, S. N., Özkol, I. (2001). A study on the dynamic analysis and control of 6-3 Stewart platform mechanism. ELECO Second International Conference on Electrical and Electronics Engineering. Zaplana, I., Basanez, L. (2018). A novel closed-form solution for the inverse kinematics of redundant manipulators through workspace analysis. Mechanism and Machine Theory, 121:, 829–843. https://doi.org/10.1016/J.MECHMACHTHEORY.2017.12.005 Zhang, D., Xu, Y., Yao, J., Zhao, Y. (2018). Design of a novel 5-DOF hybrid serial- parallel manipulator and theoretical analysis of its parallel part. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 53:, 228–239. https://doi.org/10.1016/J.RCIM.2018.04.004 136 Zhao, R., Shi, Z., Guan, Y., Shao, Z., Zhang, Q., Wang, G. (2018). Inverse kinematic solution of 6R robot manipulators based on screw theory and the Paden–Kahan subproblem. International Journal of Advanced Robotic Systems, 15(6):. https://doi.org/10.1177/1729881418818297/ASSET/IMAGES/LARGE/10.1177_1 729881418818297-FIG2.JPEG Zhu, G., Wei, S., Zhang, Y., Liao, Q. (2021). A novel geometric modeling and calculation method for forward displacement analysis of 6-3 stewart platforms. Mathematics, 9(4):, 1–19. https://doi.org/10.3390/MATH9040442 Zhu, H., Xu, W., Yu, B., Ding, F., Cheng, L., Huang, J. (2022). A Novel Hybrid Algorithm for the Forward Kinematics Problem of 6 DOF Based on Neural Networks. Sensors, 22(14), https://doi.org/10.3390/S22145318 137