T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL EĞRİLER ÜZERİNDEKİ RASYONEL DİZİLER Gamze SAVAŞ ÇELİK 0000-0002-6609-1713 Prof. Dr. Gökhan SOYDAN (Danışman) DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA – 2022 TEZ ONAYI Gamze SAVAŞ ÇELİK tarafından hazırlanan “Cebirsel Eğriler Üzerindeki Rasyonel Di- ziler” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Gökhan SOYDAN Üye: Prof. Dr. Gökhan SOYDAN İmza 0000-0002-6321-4132 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. İ. Naci CANGÜL İmza 0000-0002-0700-5774 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. A. Muhammed ULUDAĞ İmza 0000-0001-7761-8472 Galatasaray Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Anabilim Dalı Üye: Doç. Dr. Alp BASSA İmza 0000-0002-9685-7361 Boğaziçi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. S. Kemal AKAY İmza 0000-0002-7597-1528 Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Fizik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Ensititü Müdürü / 01 / 2022 B. U. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; • tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, • görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun ola- rak sunduğumu, • başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel norm- lara uygun olarak atıfta bulunduğumu, • atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, • kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, • ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 07 / 01 / 2022 İmza Gamze SAVAŞ ÇELİK Bu tez çalışması Bursa Uludağ Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tara- fından F-2020/8 nolu proje ile desteklenmiştir. TEZ YAYINLANMA FİKRİ MÜLKİYET HAKLARI BEYANI Enstitü tarafından onaylanan lisansüstü tezin tamamını veya herhangi bir kısmını, basılı (kâğıt) ve elektronik formatta arşivleme ve aşağıda verilen koşullarla kullanıma açma izni Bursa Uludağ Üniversitesi’ne aittir. Bu izinle Üniversiteye verilen kullanım hakları dı- şındaki tüm fikri mülkiyet hakları ile tezin tamamının ya da bir bölümünün gelecekteki çalışmalarda (makale, kitap, lisans ve patent vb.) kullanım hakları tarafımıza ait olacaktır. Tezde yer alan telif hakkı bulunan ve sahiplerinden yazılı izin alınarak kullanılması zo- runlu metinlerin yazılı izin alınarak kullandığını ve istenildiğinde suretlerini Üniversiteye teslim etmeyi taahhüt ederiz. Yükseköğretim Kurulu tarafından yayınlanan “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge ” kapsamında, yö- nerge tarafından belirtilen kısıtlamalar olmadığı takdirde tezin YÖK Ulusal Tez Merkezi / B.U.Ü. Kütüphanesi Açık Erişim Sistemi ve üye olunan diğer veri tabanlarının (Proquest veri tabanı gibi) erişimine açılması uygundur. Prof. Dr. Gökhan SOYDAN Gamze SAVAŞ ÇELİK 07 / 01 / 2022 07 / 01 / 2022 ÖZET Doktora Tezi CEBİRSEL EĞRİLER ÜZERİNDEKİ RASYONEL DİZİLER Gamze SAVAŞ ÇELİK Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Gökhan SOYDAN Tez yedi bölümden oluşmaktadır. İlk üç bölümde cebirsel ve eliptik eğriler ile ilgili temel bilgiler ve bazı önemli teoremlere yer verilmiştir. K,L ∈ Q iken Q’da y2 = x3 + Kx + L ile verilen E eliptik eğrisi olsun. i = 1, . . . , k iken noktaların x-bileşenleri xi’ler ardışık küplerden oluşursa (xi, yi) ∈ E(Q) rasyonel noktalar kümesinin E üzerinde ardışık küplerin bir dizisi olduğu söylenir. Tezin dördüncü bölümünde ardışık küplerin 5-terimli dizilerini içeren eliptik eğrilerin sonsuz bir ailesinin varlığını gösteriyoruz. Ayrıca bu beş rasyonel noktanın E(Q)’da lineer bağımsız ve dolayısıyla E(Q)’nun rankı en az 5 olduğunu gösterdik. Tezin beşinci bölümünde, bir F sayı cismindeki elemanların bir S alt kümesi veril- diğinde x-bileşenleri S’nin elemanları olan rasyonel noktalara sahip F cismi üzerindeki düzlem cebirsel eğrilerin varlığını tartışıyoruz. S-dizisinin eleman sayısı |S| = 4, 5 veya 6 iken üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerinin S’de bulunduğu (bükülmüş) Ed- wards eğrileri ve (genel) Huff eğrilerinin sonsuz ailelerini sergiliyoruz. Bu, bazı cebirsel eğriler üzerindeki belirli tipteki diziler hakkında yapılmış önceki çalışmaları geneller. Bir düzlem cebirsel eğri üzerindeki rasyonel noktaların x veya y-bileşenleri ortak çar- panı r olacak şekilde bir geometrik dizi oluşturursa bu eğri üzerindeki rasyonel noktaların dizisi bir r-geometrik dizisi olarak adlandırılır. Tezin altıncı bölümünde x2 + y2 = 1 bi- rim çember denklemi üzerinde en az 3-terimli r-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta r-rasyonel sayısının varlığını ispatlıyoruz. Son bölümde tezdeki sonuçlar tartışılmıştır ve tez sonrası gelecek çalışmalardan bah- sedilmiştir. Anahtar Kelimeler: Birim çember, Edwards eğrisi, eliptik eğri, geometrik dizi, Huff eğrisi, rasyonel nokta, rasyonel dizi 2022, viii + 126 sayfa. i ABSTRACT Ph. D. Thesis RATIONAL SEQUENCES ON ALGEBRAIC CURVES Gamze SAVAŞ ÇELİK Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Gökhan SOYDAN The thesis consists of seven chapters. In the first three chapters, the fundamental noti- ons and some important theorems are given concerning algebraic and elliptic curves. Let E be an elliptic curve over Q described by y2 = x3 + Kx + L where K,L ∈ Q. A set of rational points (xi, yi) ∈ E(Q) for i = 1, 2, . . . , k, is said to be a sequence of consecutive cubes on E if the x-coordinates xi’s of these points for i = 1, 2, . . . form consecutive cubes. In the fourth chapter of the thesis, we show the existence of an infinite family of elliptic curves containing a length-5-term sequence of consecutive cubes. Mo- rever, it has been proved that these five rational points in E(Q) are linearly independent and hence the rank r of E(Q) is at least 5. In the fifth chapter of the thesis, given a set S of elements in a number field F, we dis- cuss the existence of planar algebraic curves over F which possess rational points whose x-coordinates are exactly the elements of S. If the size |S| of S is either 4, 5, or 6, we exhibit infinite families of (twisted) Edwards curves and (general) Huff curves for which the elements of S are realized as the x-coordinates of rational points on these curves. This generalizes earlier work on progressions of certain types on some algebraic curves. A sequence of rational points on an algebraic planar curve is said to form an r- geometric progression sequence if either the abscissae or the ordinates of these points form a geometric progression sequence with ratio r. In the sixth chapter of the thesis, we prove the existence of infinitely many rational numbers r such that for each r there exist infinitely many r-geometric progression sequences on the unit circle x2+y2 = 1 of length at least 3. In the final chapter, the results of the thesis are discussed and some problems for the future work are given. Key Words: unit circle, Edwards curve, elliptic curve, geometric progression, Huff curve, rational point, rational progression 2022, viii + 126 pages. ii TEŞEKKÜR Doktora öğrencisi yetiştirmek petekten bal süzmek kadar özen ve sabır gösteren bir süreç olup bu çalışma sürecinde, sabrı, bilgi ve deneyimleri ile bana yol gösteren, güler yüzü ve destek veren sözleriyle çalışma azmimi arttıran, tez çalışmasının planlanmasında, araş- tırılmasında, yürütülmesinde ve düzenlenmesinde ilgi ve desteğini esirgemeyen, değerli zamanını ayırmaktan çekinmeyen, engin birikimiyle yardımına ihtiyaç duyduğum her za- man kapısını açık bulma bahtiyarlığını hissettiğim, birlikte çalışmaktan onur duyduğum değerli tez danışmanım sayın Prof. Dr. Gökhan SOYDAN’a teşekkürlerimi sunarım. Tezime F-2020/8 numaralı araştırma projesi ile destek veren Bursa Uludağ Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimine teşekkür ederim. Yaşamım boyunca vermiş olduğu destekle gücüme güç katan ve hala kahrımı çeken ca- nım annem Saniye SAVAŞ’a ve SAVAŞ ailesinin her bir üyesine; maddi ve manevi olarak her zaman yanımda olan desteklerini esirgemeyen sevgili annem Asiye ÇELİK ve sevgili babam Metin ÇELİK’e teşekkürü borç bilirim. Tam tez dönemimde güneş gibi doğup hayatımı aydınlatan, bir gülüşüyle bütün dertle- rimi unuttuğum, moral kaynağım, hayatımın neşesi, bazen kendisine ayırmam gereken vakitten feragatta bulunarak ihmal ettiğim en kıymetlim, biricik yavrum Metin Ali ÇE- LİK’e bütün kalbimle teşekkür ederim. Son olarak, hayatımın her alanında olduğu gibi bu zorlu yolculuğun yükünü paylaşıp beni hafifleten, anlayışı, güveni ve hissettirdiği sevgisi ile birçok fedakarlıklar gösterip beni destekleyerek, yapabileceklerim için beni yüreklendiren, hayatıma huzur katan sev- gili eşim Fatih ÇELİK’e en derin duygularımla teşekkür ederim. Bu çalışmayı, bedenen yanımda olamasa da benimle hep gurur duyduğunu bildiğim, çok küçük yaşta kaybettiğim rahmetli canım babam Ali SAVAŞ’a ithaf ediyorum. Gamze SAVAŞ ÇELİK 07 / 01 / 2022 iii İçindekiler ÖZET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii ÇİZELGELER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii GİRİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. CEBİRSEL VARYETELER VE CEBİRSEL EĞRİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Cisim Teorisinden Bazı Temel Kavramlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Afin Varyeteler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Projektif Varyeteler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Varyeteler Arasında Dönüşümler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Eğriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Eğriler Arasında Dönüşümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Frobenius Dönüşümü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Bölenler (Divisors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8 Riemann-Roch Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. ELİPTİK EĞRİLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1 Weierstrass Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Eliptik Eğriler Üzerinde Toplama Kuralı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Weierstrass Denklemler İçin Başka Formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Legendre Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Üçüncü Derece Denklemler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3 Dördüncü Derece Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.4 İki Kuadratik Yüzeyin Kesişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 İzojeniler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Bölüm Polinomları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Q Üzerindeki Eliptik Eğriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Yükseklik Fonksiyonları ve Lineer Bağımsız Noktalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. ELİPTİK EĞRİLERİN FARKLI MODELLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1 Edwards Eğrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Edwards Eğrileri Üzerinde Grup Toplam Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Dört Özel Nokta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Bükülmüş (Twisted) Edwards Eğrileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5 Edwards Eğrisinden Weierstrass Formundaki Eğriye Dönüşüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6 Huff Eğrileri ve Bir Diophant Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.7 Huff Eğrisi için Afin Formül ve Projektif Formüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8 Bükülmüş Huff Eğrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.9 Genel Huff Eğrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. ARDIŞIK KÜP DİZİLERİNİ BULUNDURAN ELİPTİK EĞRİLER . . . . . . . . . . . . . 85 4.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2 Apsisleri Ardışık Küpler Olan Dizileri Bulunduran Eliptik Eğriler . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 5 Uzunluklu Ardışık Küp Dizilerini Bulunduran Eliptik Eğriler . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 iv 5. ELİPTİK EĞRİLERİN FARKLI MODELLERİ ÜZERİNDEKİ RASYONEL DİZİLER 96 5.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 6 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Edwards Eğrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 4 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Bükülmüş (twisted) Edwards Eğrileri . . . . . . . . . . .101 5.4 5 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Huff Eğrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 5.5 4 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Genel Huff Eğrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 6. BİRİM ÇEMBER ÜZERİNDE GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN RASYONEL NOKTALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 6.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 6.2 Birim Çember Denklemi Üzerindeki 2 Uzunluklu Geometrik Diziler . . . . . . . . . . . . .115 6.3 Birim Çember Üzerindeki 3 Uzunluklu Geometrik Diziler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 7. SONUÇLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 ÖZGEÇMİŞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 v SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama C Kompleks sayılar kümesi R Reel sayılar kümesi Q Rasyonel sayılar kümesi Z Tamsayılar kümesi N Doğal sayılar kümesi F Cisim F F cisminin cebirsel kapanışı F[V ]p V ’nin P noktasındaki lokal halkası Pn n-boyutlu projektif uzay E Weierstrass eğrisi Ed Edwards eğrisi Ea,d (twisted) Bükülmüş Edwards eğrisi Êd Bükülmüş Huff eğrisi Ha,b Huff eğrisi Ga,b Genel Huff eğrisi E/F Katsayıları F cisminden alınan E eğrisi E(F) F cismindeki E eğrisi üzerindeki noktaların kümesi E(Q) Q cismi üzerindeki E eğrisinin noktalarının kümesi Etors(F) F cismi üzerindeki E eğrisinin büküm noktalarının kümesi E[m] E eğrisi üzerindeki m. mertebeden büküm noktalarının kümesi Ens(F) E eğrisi üzerindeki tekil olmayan noktaların oluşturduğu küme Kar(F) F cisminin karakteristiği F[x] Katsayıları F cisminden alınan x’in polinomlar halkası j(E) E eğrisinin j değişmezi dim(V ) V ’nin boyutu Div(C) C’nin bölen grubu ∆ Weierstrass denkleminin diskriminantı 0F F cisminin sıfır elemanı MF F’nin değerlemelerinin kümesi ordP (normalleştirilmiş) değerleme r E eliptik eğrisinin rankı V Projektif varyete vi ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 1.2.1. ................................................................................................. 9 Şekil 2.1.1. ................................................................................................. 36 Şekil 2.1.2. ................................................................................................. 37 Şekil 2.2.1. ................................................................................................. 38 Şekil 2.2.2. ................................................................................................. 38 Şekil 2.3.1. ................................................................................................. 47 Şekil 3.1.1. ................................................................................................. 67 Şekil 3.2.1. ................................................................................................. 69 Şekil 3.3.1. ................................................................................................. 71 Şekil 3.5.1. ................................................................................................. 77 Şekil 3.6.1. ................................................................................................. 78 Şekil 3.6.2. ................................................................................................. 79 Şekil 6.1.1. ................................................................................................. 112 Şekil 6.1.2. ................................................................................................. 113 vii ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 2.1.1. ................................................................................................. 35 Çizelge 2.2.1. ................................................................................................. 39 Çizelge 6.3.1. ................................................................................................. 120 viii GİRİŞ Mertebesi d olan bir f(x, y) polinomu verilsin. F cismi üzerinde d. dereceden bir C cebirsel düzlem eğrisi {(x, y) ∈ F2 : f(x, y) = 0} şeklinde tanımlanır. C cebirsel düzlem eğrisi polinomların homojen koordinatlarda ifade edilişi yardımıyla da projektif koordinatlara genişletilebilir. S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ F kümesi verilsin. Eğer i = 1, 2, . . . , n için (xi, yi) noktaları C cebirsel eğrisi üzerinde birer F-rasyonel nokta ise, bu rasyonel noktalar n uzunluklu bir S dizisi olarak adlandırılır. Eğri üzerindeki P = (x, y) noktası için x = x(P ) ve y = y(P ) şeklinde gösterelim. C üzerindeki F-rasyonel noktaların C(F) kümesini çalışmak, aritmetik geometri ve sayılar teorisi konusunda geniş araştırma sahasına sahiptir. Örneğin, f polinomunun de- recesi 2 ise C’nin cinsinin 0 olduğu bilinir ve bu durumda eğri bir rasyonel noktaya sahip ise sonsuz çoklukta rasyonel nokta içerir. Eğer f polinomunun derecesi 3 ve düzgün bir eğri ise C’nin cinsi 1’dir. Böyle bir C(F), rasyonel nokta içeriyorsa eliptik eğri adını alır. Bu durumda Mordell-Weil teoremine göre C(F) sonlu üreteçli bir abelyan gruptur. Yani, C(F)’nin grup yapısı, T × Zr şeklinde yazılabilir. Burada T , sonlu mertebeli noktaların alt grubudur ve r ≥ 0, C’nin F’deki rankıdır. Aritmetik geometride şu soru sorulabilir: F2’de S noktalarının bir kümesi verildiğinde kaç tane d dereceliC cebirsel düzlem eğrisi S ⊆ C(F) şartını sağlar? Bazen cevap basittir. Örneğin, F2’de 10 tane nokta verildiğinde, bu noktalardan bir kübik eğrinin geçmesi için şart a 31x + a x 2 2 y + a3x 2 + a 24xy + a5xy + a6x+ a y 3 7 + a 2 8y + a9y + a10 = 0 eşitliğinde S noktalarının yerine konulduğunda 10 tane doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülebilmesidir. Böylece, karşılık gelen katsayı matrisinin determinantı sıfır ise, sistemin aşikar olmayan bir çözümü vardır ve dolayısıyla bu eğri S noktalarından geçen kübik bir eğridir. Bu nedenle F2’de belli noktalardan geçen belirli bir derecedeki cebirsel 1 eğrilerin varlığının kontrol edilmesi için doğrusal cebire ihtiyacı var. Şimdi başka bir soru ele alalım: S ⊂ F verildiğinde, her x ∈ S ve herhangi P ∈ C(F) için x = x(P ) olacak şekilde d.dereceden C cebirsel eğrileri var mıdır? (Diğer bir soru, x-bileşenleri yerine y = y(P ) bileşenleri göz önüne alınırsa böyle cebirsel eğriler var mıdır?) Sonlu bir S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ F kümesi verildiğinde, eğer (xi, yi) (i = 1, . . . , n) F-rasyonel noktaları C cebirsel eğrisi üzerinde ise bu rasyonel noktaların n-uzunluğunda S-dizisi oluşturduğu söylenir. İlk olarak 1992’de Lee ve Vélez tarafından n = 4 uzunlu- ğundaki S-aritmetik dizisini içeren sonsuz çoklukta y2 = x3+a eğrisi olduğu gösterilmiş- tir ( Lee ve Vélez 1992). 1992’den bugüne çeşitli yazarlar tarafından maksimum uzunlukta S-dizilerini (aritmetik dizi, geometrik dizi veya herhangi rasyonel dizi) bulunduran elip- tik eğriler, eliptik eğrilerin farklı modelleri (Edwards eğrisi, Huff eğrisi) ve konikler göz önüne alınmıştır. Bu tez çalışmasında bazı düzlem cebirsel eğriler üzerindeki maksimum uzunluklu rasyo- nel dizilerin bulunması amaçlanmıştır. Bu amaca ulaşmak için eliptik eğriler, eliptik eğ- rilerin farklı modelleri ((twisted) bükülmüş Edwards eğrisi, Edwards eğrisi, Huff eğrisi, genel Huff eğrisi) ve birim çember üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerin oluştur- duğu rasyonel diziler incelenmiştir ve bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu tezde elde edilen ana sonuçlar şu şekildedir: Teorem 1 n = 5 uzunluklu ardışık küplerin bir S-dizisi olsun. Bu durumda x-bileşenleri bu ardışık küpler olan sonsuz çoklukta Weierstrass formunda eliptik eğri vardır. Ayrıca bu beş rasyonel nokta lineer bağımsızdır. Teorem 2 n = 4, 5 veya 6 uzunluklu S-dizileri olsun. Bu durumda x-bileşenleri (her- hangi bir kısıtlama olmaksızın) bu dizilerin elemanları olan sonsuz çoklukta eliptik eğri- lerin farklı modelleri vardır. Teorem 3 Geometrik bir dizinin ortak çarpanı r olmak üzere, her bir r ∈ Q için birim çember üzerinde x-bileşenleri geometrik dizi oluşturan n = 3 uzunluklu sonsuz çoklukta S-geometrik dizisi vardır. 2 Daha ayrıntılı olarak, tezin ilk bölümünde cebirsel varyeteler ve cebirsel eğriler ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde cebirsel eğri ailesinin bir üyesi olan eliptik eğriler ile ilgili literatürden iyi bilinen temel tanımlar ve bazı önemli teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde ise eliptik eğrilerin farklı modelleri olan Edwards ve Huff eğrileri tanıtıldı ve bu eğrilerin aritmetiği hakkında bazı temel bilgiler verildi. Tezin dördüncü bölümünde Teorem 1’in ispatı yapıldı ve ana adımlar açıkça belirtildi. Beşinci bölümde Teorem 2 her bir eliptik eğri modeli için ayrı ayrı ispatlandı. Bu ve- sile ile literatürde var olan eliptik eğri modelleri üzerindeki S-dizileri ile ilgili önceki bazı sonuçlar genellenmiş oldu. Tezin altıncı bölümünde Teorem 3’ün ispatı yapıldı. Böylece birim çember üzerindeki geometrik diziler ile ilgili ilk sonuç literatüre kazandırılmış oldu. Son bölümde ise tezde verilen tüm sonuçlar özetlendi ve tez sonrası yapılacak çalış- malardan bahsedildi. 3 1. CEBİRSEL VARYETELER VE CEBİRSEL EĞRİLER 1.1 Cisim Teorisinden Bazı Temel Kavramlar Bu bölümde cisim teoriden iyi bilinen bazı temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 1.1.1 F bir küme ve bu kümenin elemanları arasında “+” ve “.” ile göstereceğimiz iki tane ikili işlem tanımlanmış olsun. i) a, b ∈ F ise a+ b = b+ a ve a.b = b.a. ii) a, b, c ∈ F ise a+ (b+ c) = (a+ b) + c ve a.(b.c) = (a.b).c. iii) a, b, c ∈ F ise a.(b+ c) = (a.b) + (a.c). iv) Her a ∈ F için a+ 0F = a olacak şekilde 0F ∈ F vardır. v) Her a ∈ F için a.1 = a olacak şekilde 1 ∈ F vardır. vi) Her a ∈ F için a+ (−a) = 0F olacak şekilde −a ∈ F vardır. vii) Her 0 6= a ∈ F için a.a−1 = 1 olacak şekilde a−1 ∈ F vardır. şartlarını sağlayan (F,+, .) üçlüsüne cisim adı verilir. Tanım 1.1.2 F bir cisim E,F’nin bir cisim genişlemesi olsun. O zaman E’nin F uzayı olarak boyutuna E’nin F üzerindeki derecesi denir ve [E : F] ile gösterilir. [E : F]’nin sonlu ya da sonsuz olmasına göre E’ye F’nin sonlu cisim genişlemesi ya da bir sonsuz cisim genişlemesi denir (Asar ve ark. 2012). Örnek 1.1.3 R, Q’nun sonsuz bir cisim genişlemesi, C, R’nin sonlu bir cisim geniş- lemesidir. C = {a + ib | a, b ∈ R} ve {1, i}, C üzerinde lineer bağımsız olduğundan [C : R] = 2 dir. Öte yandan e sayısı hiçbir g(x) ∈ Q[x] polinomunun kökü değildir. Do- layısıyla {ei | i ≥ 0} sonsuz kümesi Q üzerinde lineer bağımsızdır ve [R : Q] sonsuzdur (Asar ve ark. 2012). Tanım 1.1.4 F bir cisim ve E,F’nin bir cisim genişlemesi olsun. u ∈ E olsun. Eğer F[x]’in sıfırdan farklı bir f(x) polinomu için f(u) = 0F ise u’ya F üzerinde bir cebirsel sayı, cebirsel olmayan sayıya da transandant sayı denir (Asar ve ark. 2012). 4 √ Örnek 1.1.5 C,Q’nun bir cisim genişlemesidir. 2, x2 − 2’nin bir kökü olduğundan Q √ üzerinde bir cebirsel elemandır. Aynı zamanda −1 = i’de x2+1’in bir kökü olduğundan Q üzerinde cebirsel bir elemandır. Örnek 1.1.6 π ve e, Q üzerinde transandanttır. e doğal logaritmanın tabanıdır (Asar ve ark. 2012). Tanım 1.1.7 F bir cisim E,F’nin bir cisim genişlemesi olsun. Eğer E’nin her elemanı F üzerinde en çok n. dereceden bir cebirsel sayı ise E cismine F’nin bir cebirsel cisim genişlemesi denir ve F(u) ile gösterilir. Dolayısıyla F(u) = {c01 + c1u+ · · ·+ c un−1n−1 |0 6 i 6 n− 1, ci ∈ F} dir. Örnek 1.1.8 f(x) = x3 − 3x− 1 polinomu Q’da indirgenemez, yani Q’da kökü yoktur. f(x)’in bir kökü u olmak üzere Q(u) = {c 201 + c1u+ c2u |c0, c1, c2 ∈ Q} olarak alınırsa Q(u),Q’nun bir cisim genişlemesidir. Tanım 1.1.9 E,F’nin bir cisim genişlemesi olsun. FE = {c : c ∈ E ve c,F üzerinde cebirseldir} kümesine F’nin E içindeki cebirsel kapanışı denir (Asar ve ark. 2012). Bilindiği gibi katsayıları kompleks sayılar olan ve sabit olmayan her polinomun bir kompleks kökü vardır. Bu sonuç cebirin temel teoremi olarak bilinir. Bu sonucun ispatı için birçok matematikçi uğraştığı halde ancak 1799’da Gauss doktora tezinde bu sonu- cun hatasız ispatını vermiştir. Bu özelliğe sahip olan cisimleri diğerlerinden ayırt etmek amacıyla aşağıdaki tanım verilebilir. 5 Tanım 1.1.10 F bir cisim olsun. Eğer F[x]’in sabit olmayan her elemanının F içinde bir kökü varsa F’ye cebirsel kapalı bir cisim denir (Asar ve ark. 2012). Yukarıda belirtildiği gibi C cebirsel kapalıdır fakat ne Q ne de R cebirsel kapalıdır. Böylece R cebirsel kapalı değil fakat R’nin cebirsel genişlemesi olan C cebirsel kapalı- dır. Bu durumda C’ye R’nin cebirsel kapanışı denir. Buradan hareketle aşağıdaki tanım verilebilir. Tanım 1.1.11 Bir F cisminin cebirsel kapalı bir cebirsel genişlemesine F’nin bir cebirsel kapanışı denir (Asar ve ark. 2012). 1.2 Afin Varyeteler Tanım 1.2.1 F cismi üzerindeki afin n uzayı An = An(F) = {P = (x1, . . . , xn) : xi ∈ F} ile tanımlanır. Benzer şekilde An’nin F rasyonel noktalarının kümesi An(F) = {P = (x1, . . . , xn) ∈ An : xi ∈ F} şeklinde tanımlanır (Silverman 2009). F[X] = F[X1, . . . , Xn], n değişkenli bir polinom halkası ve I ⊂ F[X] bir ideal olsun. Bu tür herhangi bir I ideali ile An’nin bir alt kümesi VI = {P ∈ An : f(P ) = 0 : ∀f ∈ I} şeklinde ilişkilendirilebilir. Tanım 1.2.2 Bir (afin) cebirsel küme VI biçimindeki herhangi bir kümedir. V bir cebirsel küme ise, V ’nin ideali I(V ) = {f ∈ F[X] : f(P ) = 0, ∀P ∈ V } 6 ile verilir. Eğer I(V ) ideali F[X]’teki polinomlar tarafından üretilebiliyorsa bir cebirsel küme F cismi üzerinde tanımlanır ve V/F ile gösterilir. Eğer V,F cismi üzerinde tanımlı ise V ’nin F-rasyonel noktaların kümesi V (F) = V ∩ An(F) ile gösterilir (Silverman 2009). Şimdi V ’nin F cismi üzerinde tanımlı olduğunu ve f1, . . . , fm ∈ F[X]’in I(V/F) idealinin üreteçleri olduğunu varsayalım. O halde V (F) kümesi tam olarak f1(X) = . . . = fm(X) = 0, x1, . . . , xn ∈ F polinom denklemlerinin (x1, . . . , xn) çözümlerinin kümesidir. Örnek 1.2.3 F bir cisim ve kar(F) 6= 2 olsun. X2 − Y 2 = 1 denklemi ile verilen A2’deki cebirsel küme V olsun. A1(F)\{0} → (V (F)2 7→ t + 1 t 2 − 1) t , 2t 2t dönüşümü altında V (F) kümesi A1(F)\{0} kümesine birebir karşılık gelir (Silverman 2009). Örnek 1.2.4 Q cismi üzerinde V : Xn + Y n = 1 cebirsel kümesi tanımlansın. 1995’te Andrew Wiles tarafından ispatlanan Fermat’nın son 7 teoremi gereği n ≥ 3 olmak üzere  (1, 0), (0, 1), n tek iseV (Q) = (±1, 0), (0,±1), n çift ise şeklindedir (Silverman 2009). Tanım 1.2.5 I(V ) ideali F[X]’te bir asal ideal ise o zaman V afin cebirsel kümesi (afin) varyete olarak adlandırılır (Silverman 2009). V/F bir varyete yani V,F cismi üzerinde tanımlanmış bir varyete olsun. O halde V/F’nin afin koordinat halkası F[X] F[V ] = I(V/F) olarak tanımlanır. F[V ] halkası bir tamlık bölgesidir ve bunun bölüm cismi (kesirler cismi) F(V ) ile gösterilip V/F’nin fonksiyon cismi olarak adlandırılır. Benzer şekilde F[V ] ve F(V ), F’nin F ile değiştirilmesiyle tanımlanır. Tanım 1.2.6 F bir cisim ve V bir varyete olsun. V ’nin boyutu, F(V )’nin F’ye göre aş- kınlık derecesi olup dim(V ) ile gösterilir (Silverman 2009). Örnek 1.2.7 F(An) = F(X1, . . . , Xn) olduğundan An’nin boyutu n’dir. Benzer şekilde V ⊂ An sabit olmayan tek bir f(X1, . . . , Xn) polinom denklemiyle verilirse o zaman dim(V ) = n− 1 olur (Silverman 2009). Tanım 1.2.8 V bir varyete, P ∈ V ve f1, . . . , fm ∈ F[X] I[V ] idealinin üreteçlerinin bir kümesi olsun. Eğer ( ) ∂fi ∂Xj 16i6m, 16j6n m × n matrisinin rankı n − dimV ise o zaman V, P noktasında tekil (singüler) değildir (veya düzgündür) denir. Eğer V her noktada tekil değilse o zaman V düzgündür (smooth) denir (Silverman 2009). 8 Örnek 1.2.9 V , sabit olmayan tek bir polinom denklemi f(X1, . . . , Xn) = 0 ile verilsin. O zaman dim(V ) = n−1’dir. P ∈ V noktasının tekil nokta olması için gerek ve yeter şart ∂f ∂f (P ) = . . . = (P ) = 0 ∂X1 ∂Xn olmalıdır. Tekil noktaları olmayan bir eğri düzgün eğri olarak adlandırılır (Silverman 2009). Şekil 1.2.1. Düzgün eğri ve tekil eğri Örnek 1.2.10 V : Y 2 = X31 +X ve V2 : Y 2 = X3 +X2 varyetelerini göz önüne alalım. Örnek 1.2.9’u kullanarak V1 ve V2 üzerindeki herhangi bir tekil noktanın sırasıyla V sing : 3X2 + 1 = 2Y = 0 ve V sing1 2 : 3X 2 + 2X = 2Y = 0 eşitliklerini sağladığını görüyoruz. Böylece V1 düzgündür, V2 ise bir (0, 0) tekil noktaya sahiptir (Silverman 2009). 1.3 Projektif Varyeteler Tarihsel olarak projektif uzay, afin uzaya “sonsuzdaki noktaları” ekleme süreciyle ortaya çıkmıştır. Projektif uzay, bir boyuttan daha büyük afin uzayda, orjinden geçen doğruların 9 kolleksiyonu olarak tanımlanır. Tanım 1.3.1 xi’lerden en az biri sıfırdan farklı olmak üzere tüm (x , . . . , x ) ∈ An+10 n ∗ (n+ 1)-bileşenlilerin kümesi üzerinde, eğer her i için xi = λyi olacak şekilde λ ∈ F var iken (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) denklik bağıntısı gerçeklenirse bu (n+ 1)-lilerin kümesine n-boyutlu projektif uzay denir ve Pn veya Pn(F) ile gösterilir. Bu denklik bağıntısında { ∗(λx0, . . . , λxn) : λ ∈ F } denklik sınıfı [x0, . . . , xn] ile gösterilir. x0, . . . , xn bileşenleri Pn’de karşılık gelen nokta için homojen koordinatlar olarak adlandırılır. Pn’de F-rasyonel noktaların kümesi Pn(F) = {[x0, . . . , xn] ∈ Pn : ∀xi ∈ F} ile verilir (Silverman 2009). Uyarı 1.3.2 Eğer P = [x0, . . . , xn] ∈ Pn(F) ise buradan her xi ∈ F sonucu gelmez. Ancak xi 6= 0 olacak şekilde i seçildiğinde her j için xj/xi ∈ F olur (Silverman 2009). Tanım 1.3.3 Her λ ∈ F için f(λx0, . . . , λxn) = λ df(x0, . . . , xn) ise f ∈ F[X] = F[X0, . . . Xn] polinomu d. dereceden homojen bir polinom olarak adlan- dırılır. I ⊂ F[X] olacak şekilde bir I ideali eğer homojen polinomlar tarafından üretili- 10 yorsa bu ideal homojendir. f homojen bir polinom ve P ∈ Pn olsun. Her homojen I ideali için VI = {P ∈ Pn : f(P ) = 0 : ∀f ∈ I homojen polinom} kuralı ile Pn’nin bir alt kümesi ilişkilendirilir (Silverman 2009). Tanım 1.3.4 Bir (projektif) cebirsel küme, homojen bir I ideali için VI biçimindeki her- hangi bir kümedir. Eğer V bir projektif cebirsel küme ise I(V ) ile gösterilen V ’nin ho- mojen ideali {f ∈ F[X] : f homojen ve ∀P ∈ V için f(P ) = 0} tarafından üretilen F[X]’in idealidir. F cismi üzerinde tanımlanan böyle bir V ’nin I(V ) ideali F[X]’teki homojen polinomlar tarafından üretilebiliyorsa V/F ile gösterilir. Eğer V , F cismi üzerinde tanımlıysa V (F) = V ∩ Pn(F) kümesi V ’nin F-rasyonel noktalarının kümesidir (Silverman 2009). Örnek 1.3.5 Hepsi birden sıfır olmayan a, b, c ∈ F için P2’deki bir doğru aX + bY + cZ = 0 lineer denklemiyle verilen cebirsel bir kümedir. Eğer c =6 0 ise o zaman böyle bir doğru a ve b ’yi içeren herhangi bir cisim üzerinde tanımlıdır. Daha genel olarak Pn’deki bir c c hiperdüzlem, hepsi birden sıfır olmayan ai ∈ F için a0X0 + · · ·+ anXn = 0 denklemi ile tanımlanır (Silverman 2009). 11 Örnek 1.3.6 P2’deki bir cebirsel küme V : X2 + Y 2 = Z2 ile verilsin. Kar(F) 6= 2 iken P1(F)→ V (F), [s, t] 7→ [s2 − t2, 2st, s2 + t2] dönüşümü altında V (F) kümesi ile P1(F) izomorftur (Burada İzomorf tanımı için Örnek 1.4.6’ya bakınız) (Silverman 2009). Tanım 1.3.7 Bir projektif cebirsel küme eğer I(V ) homojen ideali F[X]’te bir asal ideal ise bu cebirsel küme (projektif) varyete olarak adlandırılır (Silverman 2009). Pn, An’nin bir çok kopyasını içerir. Örneğin 0 ≤ i ≤ n için φi : An → Pn (y1, . . . , yn) 7→ [y1, y2, . . . , yi−1, 1, yi, . . . , yn] olacak şekilde bir φi dönüşümü vardır. Burada Hi = {P = [x0, . . . , x nn] ∈ P : xi = 0} kümesi Xi = 0 ile verilen Pn’deki hiperdüzlemi göstersin ve Ui = {P = [x0, . . . , x nn] ∈ P : xi 6= 0} = Pn\Hi kümesi Hi’nin tümleyeni olsun. Dolayısıyla φ−1i : U n i → [A ] x0 x1 xi−1 xi+1 xn [x0, . . . , xn]→7 , , . . . , , . . . , xi xi xi xi xi 12 birebir-örten fonksiyonu vardır. Sabit bir i için, An’yi, φi dönüşümü ile Pn’deki Ui kümesiyle tanımlayacağız. Şimdi I(V ) ⊂ F[X] olacak şekilde I(V ) ideali ile V projektif cebirsel küme olsun. Bu durumda bazı sabir i değerleri için I(V ∩ An) ⊂ F[Y ] olmak üzere V ∩ An kümesi I(V ∩ An) = {f(Y1, . . . , Yi−1, 1, Yi+1, . . . , Yn) : f(X0, . . . , Xn) ∈ I(V )} ideali ile verilen afin cebirsel bir kümedir. Şunu da belirtelim ki U0, . . . , Un kümeleri Pn’nin tümünü örter. Böylece herhangi bir V projektif varyetesi V ∩ U0, . . . , V ∩ Un alt kümeleri tarafından örtülür. Bu alt kümelerin her biri uygun φ−1i dönüşümüyle bir afin varyetedir. f(X0, . . . , Xn) polinomunun f(Y1, . . . , Yi−1, 1, Yi+1, . . . , Yn) polinomu ile de- ğiştirme işlemine Xi’ye göre dehomojenizasyon denir. Bu işlem tersine çevrilebilir. Herhangi bir f(Y ) ∈ F[Y ] için d = deg(f), f ∗ ın bir polinom olduğu en küçük tamsayı olmak üzere ( ) ∗ d X0 X1 Xi−1 Xi+1 Xnf (X0, . . . , Xn) = X f , , . . . , , . . . , Xi Xi Xi Xi Xi şeklinde tanımlanır. Burada f ∗, f ’nin Xi’ye göre homojenleştirilmesi denir. Tanım 1.3.8 V ⊂ An iken V bir afin cebirsel küme ve V ’nin ideali I(V ) olsun. V ’yi φ n ni : V ⊂ A → P aracılığı ile Pn’nin bir alt kümesi olarak göz önüne alınsın. V ’nin projektif kapanışı V ile gösterilir. V homojen ideali I(V )olan ve {f ∗(X) : f ∈ I(V )} tarafından üretilen bir projektif cebirsel kümedir (Silverman 2009). 13 Önerme 1.3.9 a) V bir afin varyete olsun. O zaman V bir projektif varyetedir ve V = V ∩ An eşitliği sağlanır. b) V bir projektif varyete olsun. O zaman V ∩ An bir afin varyetedir ve ya V ∩ An = ∅ ya da V = V ∩ An olur. c) Eğer F cismi üzerinde bir afin V varyetesi tanımlanırsa V ’de F üzerinde tanımlanır. Eğer ki V projektif varyete ise V ∩ An’de F üzerinde tanımlanır (Silverman 2009). Not 1.3.10 Önerme 1.3.9’a göre her afin varyete, bir tek projektif varyete ile tanımlana- bilir. Afin koordinatlarla ilgilenmek daha kolay olduğu için “V bir projektif varyete olsun” dediğimizde ve bazı homojen olmayan denklemler yazdığımızda belirtilen birW afin var- yetenin projektif kapanışının V olduğunu düşüneceğiz. V \W ’nin noktaları V üzerindeki sonsuzdaki noktalar olarak adlandırılır (Silverman 2009). Örnek 1.3.11 V bir projektif varyete olsun ve V : Y 2 = X3 + 17 denklemi ile verilsin. X = X/Z, Y = Y /Z olmak üzere V varyetesi P2’de homojen koordinatlarda 2 3 Y Z = X + 17 denklemi ile verilir. Bu varyete sonsuzda tek bir noktaya sahiptir. Yani Z = 0 olduğunda sonsuzdaki noktası [0, 1, 0] şeklindedir. Örneğin V (Q) = {(x, y) ∈ A2(Q) : y2 = x3 + 17} ∪ {[0, 1, 0]} 14 ile verilir (Silverman 2009). Tanım 1.3.12 V/F projektif varyete ve V ∩ An 6= ∅ olacak şekilde An ⊂ Pn seçelim. V ’nin boyutu V ∩ An’nin boyutudur. V ’nin fonksiyon cismi F(V ) ile gösterilir ve V ∩ An’nin fonksiyon cismidir. Benzer şekilde F(V ) içinde geçerlidir (Silverman 2009). Tanım 1.3.13 V bir projektif varyete ve P ∈ V olsun. P ∈ An olmak üzere An ⊂ Pn seçelim. Eğer V ∩ An, P noktasında düzgün bir eğri ise V ’de P noktasında düzgün bir eğridir. V ’nin P noktasındaki lokal halkası F[V ]P ile gösterilir. Bu lokal aynı zamanda V ∩ An’ın P noktasındaki halkasıdır. Bir F ∈ F(V ) fonksiyonu F[V ]P ’de ise P ’de regülerdir (Silverman 2009). Uyarı 1.3.14 Pn’nin fonksiyon cismi, f ve g’nin aynı dereceden homojen polinomlar ol- duğu F (X) = f(X)/g(X) rasyonel fonksiyonlarından oluşan F[X0, . . . , Xn]’in alt cismi olarak da tanımlanabilir. Böyle bir ifade, her P için g(P ) =6 0 iken Pn üzerinde iyi ta- nımlanmış bir fonksiyon verir. Benzer şekilde, bir projektif varyete olan V ’nin fonksiyon cismi F (X) = f(X)/g(X) rasyonel fonksiyonların cismidir. Bu durumda aşağıdaki şart- lar sağlanır: (i) f ve g aynı derecede homojendir, (ii) g ∈/ I(V ), (iii) f g − f g ∈ I(V ) ise f1 ve f21 2 2 1 fonksiyonları tanımlanır (Silverman 2009).g1 g2 1.4 Varyeteler Arasında Dönüşümler Bu bölümde projektif varyeteler arasındaki cebirsel dönüşümler ele alınacaktır. Bunlar rasyonel fonksiyonlarla tanımlanan dönüşümlerdir. Tanım 1.4.1 V ve V ⊂ Pn1 2 projektif varyeteler olsun. V1’den V2’ye rasyonel bir dönü- şüm f : V1 → V2, φ = [f0, . . . , fn] 15 biçimindeki bir dönüşümdür; burada f0, . . . , fn ∈ F(V1) fonksiyonları f0, . . . , fn’nin tü- münün tanımlı olduğu her P ∈ V1 noktası için φ(P ) = [f0(P ), . . . , fn(P )] ∈ V2 özelliğine sahiptir (Silverman 2009). Tanım 1.4.2 φ = [f0, . . . , fn] : V1 → V2 rasyonel dönüşümünün P ∈ V1’de düzgün (regüler) olması için g ∈ F(V1) iken aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır: (i) Her gfi, P ’de regülerdir. (ii) (gfi)(P ) 6= 0 olacak şekilde i ler vardır. Eğer böyle bir g varsa o zaman φ(P ) = [(gf0)(P ), . . . , (gfn)(P )] olur (Silverman 2009). Not 1.4.3 Farklı noktalar için farklı g’ler almak gerekebilir. Her noktada düzgün olan rasyonel bir dönüşüme morfizm denir. Uyarı 1.4.4 V ⊂ Pm ve V ⊂ Pn1 2 projektif varyeteler olsun. F(V1)’deki fonksiyonların aynı dereceye sahip F[X0, . . . , Xm]’deki homojen polinomların bölümleri olarak tanım- lanabileceğini Uyarı 1.3.14’ten hatırlayınız. Böylece φ = [f0, . . . , fn] rasyonel dönüşü- münü fi’lerin “paydalarını yok eden” homojen polinomla çarparak aşağıdaki alternatif tanımı elde ederiz: φ : V1 → V2 rasyonel dönüşümü, (i) φi(X) ∈ F[X] = F[X0, . . . , Xn] olup hepsi I(V1)’de olmayan aynı dereceye sahip homojen polinomlar, 16 (ii) her f ∈ I(V2) için f(φ0(X), . . . , φn(X)) ∈ I(V1) olmak üzere φ = [φ0(X), . . . , φn(X)] formunda bir dönüşümdür (Silverman 2009). Açıkçası bazı φi(P ) 6= 0 olması koşuluyla φ(P ) iyi tanımlıdır. Ancak tüm i’ler için φi(P ) = 0 olsa bile φ(P )’yi anlamlandırmak için φ’yi değiştirmek mümkün olabilir. Bunu şu şekilde kesinleştiriyoruz: (i) ψ0, . . . , ψn aynı dereceye sahip polinomlar, (ii) Her 0 ≤ i, j ≤ n için φiψj ≡ φjψi( mod I(V1)), (iii) Bazı i’ler için ψ(P ) =6 0 olacak şekilde homojen ψ0, . . . , ψn ∈ F[X] polinomları varsa yukarıdaki gibi bir rasyonel φ = [φ0, . . . , φn] : V1 → V2 dönüşümü P ∈ V1 noktasında düzgündür. Eğer bu gerçekleşirse φ(P ) = [ψ0(P ), . . . , ψn(P )] olur. Yukarıdaki gibi her yerde düzgün olan rasyonel bir dönüşüme morfizm denir. Tanım 1.4.5 V1 ve V2 varyeteler olsun. ψoφ ve φoψ sırasıyla V1 ve V2 üzerindeki birim dönüşümler olmak üzere φ : V1 → V2 ve ψ : V2 → V1 morfizmleri varsa V1 ve V2 izo- morfiktir ve V ∼1 = V2 şeklinde gösterilir. Eğer φ ve ψ, F cismi üzerinde tanımlanabiliyorsa V1/F ve V2/F’nin F üzerinde izomorf olduğu söylenebilir. Hem φ hem de ψ’nin sadece rasyonel dönüşümler değil, morfizmler olması gerektiğine dikkat edin (Silverman 2009). Örnek 1.4.6 Kar(F) 6= 2 ve V örnek 1.3.6’da V : X2 + Y 2 = Z2 17 ile verilen varyete olsun. φ : V → P1, φ = [X + Z, Y ] rasyonel dönüşümünü göz önüne alalım. Açıkçası φ dönüşümü muhtemelen [1, 0,−1] noktası dışında, yaniX+Z = Y = 0 olduğu noktada V ’nin her noktasında düzgündür. Ancak (X + Z)(X − Z) = −Y 2 ( mod I(V )) kullanarak φ = [X + Z, Y ] = [X2 − Z2, Y (X − Z)] = [−Y 2, Y (X − Z)] = [−Y,X − Z] elde edilir. Böylece φ([1, 0,−1]) = [0, 2] = [0, 1] olur. Bu durumda φ, V ’nin her nokta- sında düzgündür, yani φ bir morfizmdir. ψ : P1 → V, ψ = [S2 − T 2, 2ST, S2 + T 2] dönüşümü bir morfizm olduğu kolaylıkla kontrol edilebilir ve φ’nin tersini sağlar. Dola- yısıyla V ve P1 izomorftur (Silverman 2009). Örnek 1.4.7 φ : P2 → P2 φ = [X2, XY, Z2] rasyonel dönüşümü [0, 1, 0] noktası dışında her yerde düzgündür (Silverman 2009). Örnek 1.4.8 V V : Y 2Z = X3 +X2Z şeklinde bir varyete olsun ve ψ : P1 → V, ψ = [(S2 − T 2)T, (S2 − T 2)S, T 3] φ : V → P1, φ = [Y,X] rasyonel dönüşümleri göz önüne alalım. Burada ψ bir morfizmdir, φ ise [0, 0, 1]’de düzgün değildir. [0, 0, 1] noktası V ’nin tekil noktası olması tesadüf değildir. φ ◦ ψ ve ψ ◦ φ dönüşümleri tanımlandıkları her yerde birim dönüşüm olmasına rağmen, φ ve ψ dönüşümleri izomorf değildir. Çünkü φ bir morfizm değildir (Silverman 2009). 18 Örnek 1.4.9 V : X2 + Y 2 = Z2 ve V : X2 + Y 21 2 = 3Z2 varyetelerini göz önüne alalım. V2(Q) 6= ∅ olduğundan V1(Q) çok sayıda nokta içerdiğin- den, bu varyeteler Q üzerinde izomorf değildirler. Bununla birlikte V1 ve V2 varyeteleri √ Q( 3) üzerinde izomorf olup bu varyeteler arasında √ φ : V2 → V1, φ = [X, Y, 3Z] izomorfizması vardır (Silverman 2009). Şimdi eliptik eğrileri çalışmamız için gerekli olacak, cebirsel eğriler hakkında yani boyutu bir olan projektif varyeteler hakkındaki temel bilgiler verilecektir. 1.5 Eğriler Bir eğri denildiğinde her zaman boyutu 1 olan projektif varyete düşünülecektir. Genel anlamda düzgün eğrilerle ilgileneceğiz. P1’de düzgün eğri örnekleri olarak 1.3.6-1.3.11 örnekleri verilebilir. Düzgün bir eğri üzerindeki noktalarda lokal halkaları tanımlayarak başlayalım. Önerme 1.5.1 C bir eğri ve P ∈ C düzgün bir nokta olsun. O zaman F[C]P bir ayrık değerleme halkasıdır (Silverman 2009). Tanım 1.5.2 C bir eğri ve P ∈ C düzgün bir nokta olsun. F[C]P üzerinde (normalleşti- rilmiş) değerleme ordP : F[C]P → {0, 1, 2, . . . } ∪ {∞} ordP (f) = sup{d ∈ Z : f ∈MdP} ile verilir. ordP (f/g) = ordP (f)− ordP (g) kullanılarak ordP : F(C)→ Z ∪∞ 19 dönüşümü ile ordP ’yi F[C]’ye genişletiriz. P noktasında C eğrisi için bir düzgünleştirici (uniformizer), ordP (t) = 1 olacak şekilde herhangi bir t ∈ F(C) fonksiyonudur, yani MP ideali için bir üreteçtir (Silverman 2009). Tanım 1.5.3 C bir eğri, P ∈ C düzgün bir nokta (yukarıdaki gibi) ve f ∈ F(C) ol- sun. f ’nin P ’deki mertebesi ordP (f) ile gösterilir. Eğer ordP (f) > 0 ise o zaman f ’nin P ’de bir sıfırı vardır. Eğer ordP (f) < 0 ise o zaman f ’nin P ’de bir kutbu vardır. Eğer ordP (f) ≥ 0 ise f, P ’de regülerdir ve f(P )’yi değerlendirebilir. Aksi takdirde P ’de bir kutbu vardır ve f(P ) =∞’dur (Silverman 2009). Önerme 1.5.4 C düzgün bir eğri ve f 6= 0 olmak üzere f ∈ F(C) olsun. O zaman f ’nin bir kutup noktası veya kök olan sonlu çoklukta C noktası vardır. Ayrıca f ’nin hiç kutbu yoksa o zaman f ∈ F’tır (Silverman 2009). Örnek 1.5.5 C1 : Y 2 = X3 +X ve C 22 : Y = X3 +X2 eğrilerini göz önüne alalım (Projektif varyeteler için afin denklemlerle ilgili Not 1.3.10’u hatırlayalım. C1 ve C2 eğrilerinin her birinin sonsuzda bir tek noktası vardır). P = (0, 0) olsun. O zaman C1, P ’de düzgün bir eğridir, ancak C2, P ’de düzgün bir eğri değildir. Ör- nek 1.2.10’a bakılabilir. F[C1] 2P ’nin MP maksimal idealini ele alırsak MP/MP , Y tarafından üretilir. Örneğin; ordP (Y ) = 1, ordP (X) = 2, ordP (2Y 2 −X) = 2 olur. (Son olarak 2Y 2 −X = 2X3 + X olduğuna dikkat edin ) Öte yandan F[C2]P ayrık bir değerleme halkası değildir (Silverman 2009). 1.6 Eğriler Arasında Dönüşümler Düzgün eğriler için her noktada rasyonel bir dönüşümün tanımlandığı temel sonuç ile başlayalım. 20 Önerme 1.6.1 C bir eğri V , V ⊂ PN olacak şekilde bir varyete, P ∈ C düzgün nokta ve φ : C → V rasyonel bir dönüşüm olsun. O zaman φ, P ’de regülerdir. Özellikle eğer C düzgün bir eğri ise φ bir morfizmdir (Silverman 2009). Örnek 1.6.2 C/F düzgün eğri ve f ∈ F(C) bir fonksiyon olsun. Bu durumda f fonksi- yonu f : C → P1, P 7→ [f(P ), 1] şeklinde rasyonel bir dönüşüm tanımlar. Bu dönüşüm morfizmdir ve  [f(P ), 1], f, P’de regüler isef(P ) =  [1, 0] , f’nin P’de kutbu var ise ile verilir (Silverman 2009). Teorem 1.6.3 φ : C1 → C2 eğrilerin morfizmi olsun. O halde φ, ya sabit bir fonksiyon ya da örten bir fonksiyondur. C1/F ve C2/F eğrileri ve F üzerinde tanımlanan φ : C1 → C2 sabit olmayan rasyonel bir dönüşüm olsun. O zaman φ dönüşümü ile bileşkesi φ∗ : F(C2)→ F(C1), φ∗f = foφ F’yi sabitleyen fonksiyon cisimlerinin birebir fonksiyonunu içerir (Silverman 2009). Teorem 1.6.4 C1/F ve C2/F eğriler olsun. a) F cismi üzerinde tanımlanan sabit olmayan φ : C1 → C2 dönüşümü olsun. O halde F(C ∗1), φ (F(C2))’nin sonlu bir genişlemesidir. b) ß : F(C2)→ F(C1) fonksiyonu F’yi sabit bırakan fonksiyon cisimlerinin birebir fonk- siyonu olsun. O zaman F cismi üzerinde Q∗ = ß olmak üzere sabit olmayan tek bir φ : C1 → C2 dönüşümü vardır. c) K ⊂ F(C1) olacak şekilde K’yı içeren sonlu indeksli bir alt cismi olsun. O zaman 21 F izomorfizmine kadar tek bir düzgün C ′/F eğrisi ve F üzerinde φ∗F(C ′) = K olacak şekilde tanımlanmış sabit olmayan bir φ : C1 → C ′ dönüşümü vardır (Silverman 2009). Tanım 1.6.5 F cismi üzerinde tanımlanan eğrilerin bir φ : C1 → C2 dönüşümü olsun. Eğer φ sabit ise φ’nin derecesi 0 olarak tanımlanır. Aksi takdirde φ’nin sonlu bir dönüşüm olduğu söylenir ve derecesi deg φ = [F(C1) : φ∗F(C2)] ile tanımlanır. Eğer F(C )/φ∗1 F(C2) cisim genişlemesi, karşılık gelen özelliğe sahipse φ ayrılabilir, ay- rılamaz ya da tamamen ayrılamaz (purely inseparable) olduğu söylenir ve genişlemenin ayrılabilir veya ayrılamazlık dereceleri sırasıyla degsχ ve degiφ ile gösterilir (Silverman 2009). Sonuç 1.6.6 C1 ve C2 düzgün eğriler ve φ : C1 → C2 birinci dereceden bir dönüşüm olsun. O zaman φ bir izomorfizmdir (Silverman 2009). Tanım 1.6.7 Kar(F) 6= 2 olsun. f(x) ∈ F polinomu d. dereceden olmak üzere C0 : y 2 = f(x) = a xd + a d−10 1x + · · ·+ ad ile verilen C0/F afin eğrisini ele alalım. P = (x0, y0) ∈ C0 noktasının tekil olduğunu varsayalım. O zaman 2y0 = f ′(x0) = 0 olur. Yani y0 = 0 ve x0 = 0, f(x)’in çift katlı köküdür. Dolayısıyla ∆(f) =6 0 olduğunu varsayarsak o zaman y2 = f(x) afin eğrisi düzgün bir eğridir. Bu C0 eğrisi hipereliptik eğri olarak adlandırılır (Silverman 2009). Eğer C0’ın afin denklemini homojenleştirerek P2’de bir eğri olarak ele alırsak, d ≥ 4 olduğunda sonsuzdaki nokta(lar)ın tekil olduğu kolayca kontrol edilebilir. Öte yandan 22 Teorem 1.6.4 c) maddesi F(C0) = F(x, y) fonksiyon cismine eşit olan herhangi düzgün projektif C/F eğrisinin varlığını garanti eder. Örneğin d = 4 durumunu göz önüne alalım. C0 afin denklemi C : y2 = a x4 + a x3 + a x20 0 1 2 + a3x+ a4 olsun. [1, x, y, x2] : C0 → P3 dönüşümü tanımlansın. [X 20, X1, X2, X3] = [1, x, y, x ] verildiğinde görüntü kümesinin ideali açıkça F = X3X −X20 1 G = X2X22 0 − a X4 30 1 − a1X1X0 − a X2 22 1X0 − a3X 3 41X0 − a4X0 iki homojen polinomunu içerir. Ancak bu iki polinomun sıfır kümesi X0 = X1 = 0 doğrusunu içerdiğinden istenilen C eğrisi olamaz. Bu yüzden, ikinci dereceden H = X22 − a0X23 − a1X1X3 − a 22X0X3 − a3X0X1 − a4X0 polinomu elde etmek için G polinomunda X21 = X0X3 yazılır ve X 2 0 yok edilir. F ve H tarafından üretilen ideal, düzgün bir C eğrisi verdiğini iddia ediyoruz. Bunu görmek için öncelikleX0 6= 0 iseX0’a göre homojenleştirirsek (x = X1/X0, y = X2/X0, z = X3/X0) eşitliklerini kullanarak, z = x2 ve y2 = a z20 + a1xz + a2z + a3x+ a4 afin eğrisini elde ederiz. İlk denklem ikinci denklemde yerine yazıldığında orjinal C0 eğrisi elde edilir. Böylece √ C ∼0 = C ∩ {X0 =6 0} olur. Eğer X0 = 0 ise o zaman X1 = 0 olur ve X2 = ± a0X3 olur. 23 √ Böylece X0 = 0 hiper düzleminde C’nin [0, 0,± a0, 1] olmak üzere iki noktası var- dır (f(x)’in derecesini 4 olarak varsaydığımız için a0 6= 0 olduğuna dikkat edin ). Bu iki noktada C’nin düzgün olduğunu kontrol etmek için u = X0 , v = X1 ve w = X2 olarak X3 X3 X3 X3’e göre homojenleştiririz. Böylece w2 = a + a v + a v2 + a v30 1 2 3 + a v 4 4 tek afin denkleminden u = v2 w2 = a0 + a1v + a2u+ a3uv + a4u 2 denklemleri elde edilir. Böylece f(x) polinomunun çift katlı kökü olmadığını varsayarak (v, w) = (0,±√a0) noktasının tekil olmayan bir nokta olduğu görülür. 1.6.1 Frobenius Dönüşümü Kar(F) = p > 0 olduğunu varsayalım ve q = pr olsun. Herhangi bir f ∈ F[X] polinomu için f ’nin her katsayısını q. kuvvete artırarak elde edilen polinom f (q) olsun. O zaman herhangi bir C/F eğrisi için, homojen ideali I(C(q)) = {f (q) : f ∈ I(C)} ile verilen eğri olarak yeni bir C(q)/F eğrisi tanımlanabilir. Ayrıca φ : C → C(q), φ([x0, . . . , xn]) = [xq0, . . . , xqn] ile tanımlanan, q. kuvvet Frobenius morfizmi olarak adlandırılan C’den C(q)’ya doğal bir dönüşüm vardır. φ’nin C’yi C(q)’ya resmettiğini görmek için her P = [x0, . . . , xn] ∈ C 24 noktası için φ(P ) görüntüsünün I(C(q))’nun her f (q) üretecinin bir sıfırı olduğunu göster- mek yeterlidir. f (q)(φ(P )) = f (q)(xq, . . . , xq0 n) = (f(x0, . . . , xn)) q, (kar(F) = p iken) = 0 , (f(P ) = 0 iken) şeklinde hesaplanır. Örnek 1.6.8 P2’deki bir C eğrisi C : Y 2Z = X2 + aXZ2 + bZ3 denklemi ile verilsin. O zaman C(q) eğrisi C(q) : Y 2Z = X2 + aqXZ2 + bqZ3 denklemi ile verilir (Silverman 2009). Aşağıdaki önerme, Frobenius dönüşümünün temel özelliklerini tanımlar. Önerme 1.6.9 F bir cisim kar(F) = p > 0, q = pr, C/F bir eğri ve φ : C → C(q) dönüşümü q. kuvvetten Frobenius morfizmi olsun. a) φ∗F(C)(q) = F(C)q = {f q : f ∈ F(C)}, b) φ tamamen ayrılmaz, c) deg φ = q olarak tanımlanır (Silverman 2009). Sonuç 1.6.10 q = degi(ψ) iken karakteristiği p olan bir cisim üzerindeki düzgün eğrile- rin her ψ : C1 → C2 dönüşümü →−φ (q)C1 C1 →− λ C2 25 şeklinde ifade edilir. φ dönüşümü q. kuvvet Frobenius dönüşümüdür ve λ dönüşümü ay- rılabilirdir (Silverman 2009). 1.7 Bölenler (Divisors) C eğrisinin bölen grubu Div(C) ile gösterilir. Bu grup C noktaları ile üretilen serbest değişmeli gruptur. Böylece bir D ∈ Div(C) böleni, sonlu sayıda P ∈ C noktaları için nP = 0 ve nP ∈ Z olmak üzere ∑ D = nP (P ) P∈C şeklinde ifade edilen bir toplamdır. D’nin derecesi ∑ degD = nP P∈C ile tanımlanır. Derecesi 0 olan bölenler, Div(C)’nin bir alt grubunu oluşturur ve Div0(C) = {D ∈ Div(C) : degD = 0} ile gösterilir. Şimdi C eğrisinin düzgün olduğunu farzedelim ve f ∈ F(C)∗ olsun. O zaman ∑ div(f) = ordP (f)(P ) P∈C olarak verilen div(f) bölenini f ile ilişkilendirebiliriz. Her ordP bir değerleme olduğundan div : F(C)∗ → Div(C) dönüşümü değişmeli grupların bir homomorfizmidir. 26 Tanım 1.7.1 Bir D ∈ Div(C) böleni, bazı f ∈ F(C) için D = div(f) formundaysa temel bölendir (principal divisor). D1 − D2 temel bölen ise iki bölen doğrusal olarak denktir veD1 ∼ D2 olarak gösterilir. C’nin Pic(C) ile gösterilen bölen sınıfı grubu (veya Picard grubu), Div(C)’nin temel bölenlerin alt grubu ile bölümüdür (Silverman 2009). Önerme 1.7.2 C düzgün bir eğri ve f ∈ F(C)∗ olsun. a) div(f) = 0 olması için gerek ve yeter şart f ∈ F∗ olmasıdır. b) deg(div(f)) = 0’dır (Silverman 2009). Ö∑rnek 1.7.3 P1’de derecesi 0 olan her bölen temel bölendir. Bunu görmek için D = nP (P )’nin derecesinin 0 olduğunu varsayalım. P = [αP , βP ] ∈ P1 yazarak D’nin ∏ (βPX − αPY )nP P∈P1 ∑ fonksiyonunun böleni olduğunu görürüz. nP = 0 oluşunun, bu fonksiyonun F(P1)’de kalmasını sağladığına dikkat edin. Dolayısıyla deg : Pic(P1) → Z dönüşümünün bir izomorfizm olduğu ortaya çıkar. Bunun tersi de doğrudur. Yani C düzgün bir eğriyse ve Pic(C) ∼= Z ise o zaman C’de P1’e izomorftur (Silverman 2009). Örnek 1.7.4 Kar(F) 6= 2 olduğunu varsayalım. Birbirinden farklı e1, e2, e3 ∈ F olmak üzere C : y2 = (x− e1)(x− e2)(x− e3) eğrisini göz önüne alalım.C’nin düzgün bir eğri olduğu ve P∞ ile gösterdiğimiz sonsuzda tek bir noktaya sahip olduğu kontrol edilebilir. i = 1, 2, 3 için Pi = (ei, 0) ∈ C olsun. O zaman div(x− ei) = 2(Pi)− 2(P∞) div(y) = (P1) + (P2) + (P3)− 3(P∞) olur (Silverman 2009). Tanım 1.7.5 C bir eğri olsun. ΩC ile gösterilen C üzerindeki (meromorfik) diferansiyel formların uzayı, x ∈ F(C) için dx formundaki semboller tarafından üretilen F-vektör 27 uzayıdır ve (i) ∀x, y ∈ F(C) için d(x+ y) = dx+ dy, (ii) ∀x, y ∈ F(C) için d(xy) = xdy + ydx, (iii) ∀a ∈ F için da = 0 özellikleri sağlanır (Silverman 2009). Tanım 1.7.6 w ∈ ΩC olsun. w ile ilişkili bir bölen ∑ div(w) = ordP (w)(P ) ∈ Div(C) P∈C dir. Eğer her P ∈ C için ordP (w) ≥ 0 ise w ∈ ΩC diferansiyeli regüler (veya holomorfik) olur. Eğer her P ∈ C için ordP (w) ≤ 0 ise w ∈ ΩC yok olmayandır (nonvanishing) (Silverman 2009). Tanım 1.7.7 C’deki kanonik bölen sınıfı, sıfırdan farklı herhangi bir w ∈ ΩC diferansi- yeli için div(w)’nin Pic(C)’deki görüntüsüdür. Bu bölen sınıfındaki herhangi bir bölen kanonik bölen olarak adlandırılır (Silverman 2009). Örnek 1.7.8 C : y2 = (x − e1)(x − e2)(x − e3) eğrisini göz önüne alalım. O zaman div(dx) = (P1)+(P2)+(P3)−3(P∞), (dx = d(x−e1) = −x2d(1/x)) olur. Dolayısıyla div(dx/y) = 0 olduğu görülür. Böylece dx/y diferansiyeli hem holomorfiktir hem de yok olmayandır (Silverman 2009). 1.8 Riemann-Roch Teoremi C bir eğri olsun. Div(C) üzerindeki kısmi mertebe aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. 28 ∑ Tanım 1.8.1 Eğer P ∈ C için nP ≥ 0 ise D = nP (P ) böleni pozitif (veya etkili) olup D ≥ 0 ile gösterilir. Benzer şekilde herhangi iki D1, D2 ∈ Div(C) böleni için D1 − D2’nin pozitif olduğunu belirtmek için D1 ≥ D2 yazılır (Silverman 2009). Örnek 1.8.2 f ∈ F(C)∗, bir P ∈ C noktası dışında her yerde regüler olan bir fonksiyon olsun ve P noktasında en fazla n mertebeli bir kutbu olsun. f fonksiyonu ile ilgili div(f) ≥ −n(P ) eşitsizliği ifade edilebilir. Ayrıca benzer şekilde div(f) ≥ (Q)− n(P ) eşitsizliği f ’nin Q’da sıfırı olduğunu ifade eder. Bu nedenle bölen ile eşitsizlikleri, fonk- siyonların kutuplarını ve/ veya sıfırlarını ifade etmek için kullanışlı bir yoldur (Silverman 2009). Tanım 1.8.3 D ∈ Div(C) olsun. L(D) = {f ∈ F(C)∗ : div(f) ≥ −D} ∪ {0} kümesi sonlu boyutlu F vektör uzayıdır ve boyutu `(D) = dimFL(D) ile gösterilir. Artık cebirsel eğri geometrisinde çok önemli temel bir sonuç ifade edilebilir 29 (Silverman 2009). Teorem 1.8.4 (Riemann-Roch) C düzgün bir eğri ve FC , C üzerinde kanonik bir bölen olsun. ∀ D ∈ Div(C) böleni için `(D)− `(FC −D) = degD − g + 1 bağıntısı ile bir g ≥ 0 tamsayısı bulunabilir. Bu g sayısına C eğrisinin cinsi denir (Silver- man 2009). Sonuç 1.8.5 Aşağıdaki özellikler sağlanır. a) `(FC) = g, b) degFC = 2g − 2, c) degD > 2g − 2 ise o zaman `(D) = degD − g + 1 olur (Silverman 2009). Örnek 1.8.6 C = P1 olsun. C üzerinde hiçbir holomorf diferansiyel yoktur. Böylece `(FC) = 0 olur. Dolayısıyla Sonuç 1.8.5 ile P1’in cinsi 0 olur ve Riemann-Roch teoremine göre `(D)− `(−2(∞)−D) = degD + 1 olur. Özellikle eğer degD ≥ −1 ise `(D) = degD + 1 olur (Silverman 2009). Aritmetik geometride, cebirsel eğriler üzerindeki rasyonel noktaların sonluluğu hak- kında aşağıdaki teorem 1910’da Mordell tarafından “sanı” olarak verilmiştir. Teorem 1.8.7 δ, cinsi g ≥ 2 olacak şekilde F cismi üzerinde bir cebirsel eğri olsun. Bu durumda δ üzerinde sonlu çoklukta rasyonel nokta vardır. Başka bir deyişle F-rasyonel noktaların δ(F) kümesi sonludur (Faltings 1983). 30 2. ELİPTİK EĞRİLER Bu bölümde eliptik eğriler ile ilgili temel kavramlar ve bazı önemli teoremler verile- cektir. 2.1 Weierstrass Denklemler Eliptik eğriler belirli bir taban noktasına sahip cinsi 1 olan düzgün cebirsel eğrilerdir. Bu özellikteki her eğri, sonsuzdaki doğru üzerinde bulunan sadece bir taban noktası ile kübik bir denklemin P2’deki yeri olarak yazılabilir. Yani X ve Y uygun bir şekilde ölçek- lendirildikten sonra a1, a2, a3, a4, a6 ∈ F ve O = [0, 1, 0] taban noktası olmak üzere bir eliptik eğri Y 2Z + a XY Z + a Y Z21 3 = X 3 + a 2 2 32X Z + a4XZ + a6Z (2.1.1) formundaki denklem ile verilir. Bu tipteki denklemler Weierstrass denklemleri olarak ad- landırılır. (2.1.1) eğrisini göz önüne alalım. Bu homojen eğride Z = 0 olması X = 0 demektir ve Y sıfırdan farklı herhangi bir elemandır. Böylece Z = 0 olduğunda (2.1.1) üzerindeki sonsuzdaki nokta O = (0 : 1 : 0) şeklinde elde edilir. Notasyonu kolaylaştırmak için homojen olmayan x = X/Z ve y = Y/Z koordinatları kullanarak (2.1.1)’deki Weierstrass denkleminden aşağıdaki cebirsel düzlemsel eğri elde edilir. Tanım 2.1.1 F bir cisim ve a1, a2, a3, a4, a6 ∈ F olmak üzere E : y2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 + a4x+ a6 (2.1.2) biçimindeki E eğrisi, sonsuzdaki O = [0, 1, 0] noktası ile birlikte uzun Weierstrass nor- mal formunda eğri olarak adlandırılır (Schmitt ve Zimmer 2003). 31 Kar(F) 6= 2 ise o zaman kareye tamamlayarak denklemi sadeleştirebiliriz. 1 y −→ (y − a1x− a3) 2 yazıldığında b = a22 1 + 4a2 b4 = a1a3 + 2a4 (2.1.3) b6 = a 2 3 + 4a6 olmak üzere E : y2 = 4x3 + b x22 + 2b4x+ b6 formunda bir denklem elde edilir. Ayrıca b = a28 1a6 − a 2 21a3a4 + 4a2a6 + a2a3 − a4 c 24 = b2 − 24b4 (2.1.4) c6 = −b32 + 36b2b4 − 216b6 olarak tanımlanır. (2.1.3) ve (2.1.4)’te ifade edilen değerler Tate değerleri olarak adlandı- rılır. E eğrisinin diskriminantı, j değişmezi ve w-diferansiyel değişmezi sırası ile ∆(E) = −b22b8 − 8b3 24 − 27b6 + 9b2b4b6 c3 j = 4 ∆ dx dy w = = 2ya 21x+ a3 3x + 2a2x+ a4 − a1y şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla 4b8 = b2b6 − b24 ve 1728∆ = c3 − c24 6 32 bağıntıları kolayca sağlanır. Eğer Kar(F) 6= 2, 3 ise o zaman ( ) x− 3b2 y (x, y) = , 36 108 dönüşümü ile x2’li terimi yok ederek daha basit hali olan E : y2 = x3 − 27c4x− 56c6 denklemi elde edilir. Tanım 2.1.2 C cebirsel düzlem eğri C : f(x, y) = y2 + a1xy + a 3 2 3y − x − a2x − a4x− a6 = 0 Weierstrass denklemi ile verilsin. P = (x0, y0) ∈ C olmak üzere P ’nin tekil nokta olması için gerek ve yeter şart ∂f ∂f (x0, y0) = 0 ve (x0, y0) = 0 ∂x ∂y olmalıdır (Silverman 2009). Eğer birinci kısmi türevler P = (x0, y0) noktasında sıfır ise, tekil nokta katlı bir noktadır. Bu katlı noktanın iki farklı teğeti varsa düğüm (node), iki teğetinin çakışması durumunda çıkıntı (cusp) olarak adlandırılır. Tekil noktaları olan eğriye tekil eğri, tekil noktaları ol- mayan bir eğri düzgün eğri olarak adlandırılır (Schmitt ve Zimmer 2003). Önerme 2.1.3 Uzun Weierstrass formunda verilen eğriler aşağıdaki gibi sınıflandırılabi- lir: i. Eğri düzgündür⇔ ∆ 6= 0 dır. ii. Eğrinin bir düğümü vardır⇔ ∆ = 0 ve c4 6= 0. 33 iii. Eğrinin bir çıkıntısı vardır⇔ ∆ = 0 ve c4 = 0. (ii) ve (iii) durumlarında eğri tek tekil noktaya sahiptir (Silverman 2009). Tanım 2.1.4 Diskriminantı sıfırdan farklı (2.1.2) uzun Weierstrass normal formundaki eğri, (sonsuzdaki nokta ile birlikte) F cismi üzerinde bir eliptik eğri olarak adlandırılır. Tanım 2.1.5 F cismi üzerinde tanımlı E ve E ′ eliptik eğrileri E : y2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 + a4x+ a6 E ′ : y′2 + a′ x′y′ + a′ y′ = x′3 + a′ ′2 ′ ′1 3 2x + a4x + a ′ 6 olarak verilsin. Bu durumda E eğrisini E ′ eğrisine dönüştüren x = u2x′ + r, y = u3y′ + u2sx′ + t (u, r, s, t ∈ F, u =6 0) dönüşümleri varsa böyle dönüşümlere birasyonel dönüşümler, E ve E ′ eliptik eğrilerine F cismi üzerinde birasyonel denktir denir. Bu dönüşümlerin ters dönüşümü de ′ 1 − 1x = (x r), y′ = u2 u3(y − sx+ sr − t) şeklindedir. Bu sonuçlar aşağıdaki tabloda düzenlenmiştir (Silverman 2009). 34 Çizelge 2.1.1. Weierstrass denklemleri için değişken değiştirme formülleri ua′1 = a1 + 2s u2a′2 = a2 − sa1 + 3r − s2 u3a′3 = a3 + ra1 + 2t u4a′4 = a4 − sa3 + 2ra2 − (t+ rs)a 21 + 3r − 2st u6a′ 2 3 26 = a6 + ra4 + r a2 + r − ta3 − t − rta1 u2b′2 = b2 + 12r u4b′ 24 = b4 + rb2 + 6r u6b′6 = b6 + 2rb + r 2 4 b2 + 4r 3 u8b′ = b 2 3 48 8 + 3rb6 + 3r b4 + r b2 + 3r u4c′4 = c4 u6c′6 = c6 u12∆′ = ∆ j′ = j u−1w′ = w Tanım 2.1.6 Kar(F) 6= 2, 3 iken E,F’de bir eliptik eğrisi olsun. Bu durumda A,B ∈ F olmak üzere E’yi F cisminde E ′ : y2 = x3 + Ax+B (2.1.5) formundaki E ′’ne resmeden bir φ : E → E ′ birasyonel dönüşümü vardır. Bu durumda E ′ eğrisi basitleştirilmiş (veya kısa) Weierstrass normal formunda bir eliptik eğri olarak adlandırılır (Schmitt ve Zimmer 2003). Yukarıda ifade edilen basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki bir eğri için disk- riminant ve j-değişmezi − 3 2 −12 3(4A)3 ∆(E) = 16(4A + 27B ), j(E) = ∆ şeklindedir. j değişmezi iki eliptik eğrinin birbirinin ne zaman izomorf olduğunu belirlemek için kullanılır. Aşağıdaki teorem basitleştirilmiş Weierstrass normal formunda verilen iki elip- tik eğrinin birbirine ne zaman izomorf olduğunu belirtmektedir. 35 Teorem 2.1.7 F bir cisim E ve E ′ eğrileri F cismi üzerinde tanımlı basitleştirilmiş We- ierstrass normal formunda verilen iki eliptik eğri olsun. Bu iki eğrinin F cismi üzerinde izomorf olmaları için gerek ve yeter şart E ve E ′ eğrilerinin j-değişmezlerinin aynı ol- masıdır (Schmitt ve Zimmer 2003). Aşağıdaki örnekte düzgün eğriler ve tekil eğrilerin grafiği yer almaktadır. Örnek 2.1.8 • y2 = x3 eğrisi için ∆ = 0 olup x = 0 katlı bir kök olduğundan bir eliptik eğri değildir. • y2 = x3 + x2 eğrisi için ∆ = 0 olup x = 0 katlı bir kök olduğundan bir (tekil eğri) eliptik eğri değildir. • y2 = x3 − 3x+ 3 eğrisi için ∆ = 2160 olup bir (düzgün eğri) eliptik eğridir. • y2 = x3 + x eğrisi için ∆ = −64 olup bir eliptik eğridir. • y2 = x3 − x eğrisi için ∆ = 64 olup bir eliptik eğridir. Çıkıntı Düğüm Şekil 2.1.1. Tekil Eğriler 36 Şekil 2.1.2. Düzgün Eğriler Eliptik eğriler sonlu ya da sonsuz çoklukta rasyonel çözüme sahiptir. Daha önce ta- nımlananO noktası eliptik eğriler teorisi için oldukça önemlidir. Eliptik eğriler üzerindeki noktalar O noktası ile birlikte bir (toplamsal) abelyan grup oluşturur. Paralel olan herhangi iki doğrunun R2’de kesişmedikleri bilinmektedir, fakat bu iki doğru P2’de sonsuzda kesişirler. Bu da, eliptik eğriler üzerindeki noktaların oluşturduğu küme üzerinde tanımlanacak olan toplama işleminde kullanılacaktır. 2.2 Eliptik Eğriler Üzerinde Toplama Kuralı E, (2.1.2) formunda bir eliptik eğri olsun. E ⊂ P2 eliptik eğrisi üzerindeki P = (x, y) rasyonel noktalar, sonsuzdaki O = [0, 1, 0] noktası ile birlikte E(F) = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ F} ∪ {O} kümesini oluşturur. L ⊂ P2 bir doğru olsun. O zaman denklemin derecesi 3 olduğundan L doğrusuE eğrisi ile tam olarak üç noktada kesişir. Bu noktalar P,Q,R olsun. Tabi ki eğer L,E’ye teğet ise P,Q ve R noktalarının farklı olması gerekmez. Katlılıkları ile birlikte alınan L ∩ E tam olarak 3 noktadan oluşur. Bu da Bézout teoreminin özel bir halidir. Teorem 2.2.1 Bir doğru ile bir eliptik eğri katlılıkları ile birlikte tam olarak 3 noktada kesişir (Schmitt ve Zimmer 2003). 37 Teorem 2.2.2 (Bézout Teoremi) m. dereceden bir düzlem eğri ile n. dereceden bir düz- lem eğri en çok m.n tane noktada kesişir (Silverman 2009). Aşağıdaki tanımda E üzerindeki toplama işlemi kuralı ⊕ sembolü ile tanımlanır. Tanım 2.2.3 (Toplama Kuralı) P ve Q, (2.1.2) formundaki E eliptik eğrisi üzerindeki farklı iki nokta olsun. P ve Q noktalarından geçen l doğrusu, eliptik eğriyi üçüncü bir R = (x, y) noktasında kessin. l′, R ve O’dan geçen bir doğru olsun. Bu durumda l′, E’yi R,O ve üçüncü bir noktada keser. Üçüncü noktayı P ⊕Q ile gösteririz. (Eğer P = Q ise bu durumda l doğrusu E eliptik eğrisine P noktasında teğettir) (Silverman 2009). Şekil 2.2.1. Şekil 2.2.2. 38 Önerme 2.2.4 Toplama kuralı ⊕ aşağıdaki özellikleri sağlar: i. Bir l doğrusu E’yi (farklı olması gerekli olmayan) P,Q,R noktalarında keserse o zaman (P ⊕Q)⊕R = O olur. ii. Toplama kuralının değişme özelliği: P ⊕Q = Q⊕ P . iii. Toplama kuralının birleşme özelliği: (P ⊕Q)⊕R = P ⊕ (Q⊕R). iv. O noktası birim elemandır : P ⊕O = P = O ⊕ P . v. P noktasının tersi P dir : P ⊕ ( P ) = O = ( P )⊕ P (Silverman 2009). Yukarıda verilenlere göre E eliptik eğrisi üzerindeki noktaların kümesi toplama ku- ralına göre (sonsuzdaki O noktası dahil) değişmeli bir gruptur denir. Not 2.2.5 Buradan itibaren E eliptik eğrisi üzerindeki grup işlemleri için ⊕ ve özel sembolleri yerine daha basit olan + ve − kullanılacaktır. m ∈ Z ve P ∈ E için [m]P = ︸P + ·︷·︷·+ P︸, [m]P = −︸ P −︷·︷· · − P︸, [0]P = O m>0 ise m terim m<0 ise |m| terim olur (Silverman 2009). Teorem 2.2.6 P1 = (x1, y1) ve P2 = (x2, y2) noktaları (2.1.2) uzun Weierstrass normal formunda eğri üzerindeki noktalar olsun. Bu durumda a) −P1 = (x1,−y1 − a1x1 − a3) olur. b) Eğer x1 = x2 ve y1 + y2 + a1x2 + a3 = 0 ise P1 + P2 = O olur. Aksi takdirde λ ve ν aşağıdaki formüller ile tanımlanır: Çizelge 2.2.1. λ ν x1 6= x y2−y1 y1x2−y2x12 x2−x1 x2−x1 −x3+a x +2a −a y x = x 3x1+2a2x1+a4−a1y1 1 4 1 6 3 11 2 2y1+a1x1+a3 2y1+a1x1+a3 39 şeklindedir. O halde y = λx+ ν, P1 ve P2’den geçen doğrudur veya P1 = P2 ise E’ye teğettir. Yukarıdaki gösterimlerle P1 + P2 = P3 = (x3, y3) noktasının bileşenleri x3 = λ 2 + a1λ− a2 − x1 − x2 y3 = −(λ+ a1)x3 − ν − a3 ile verilir. c) P1 =6 ±P2 ise ( )2 ( ) y2 − y1 y2 − y1 x(P1 + P2) = + a1 − a2 − x1 − x x2 − 2 x1 x2 − x1 ve P = (x, y) ∈ E için “ikiye katlama formülü” x4 − b x24 − 2b6x− b8 x(2P ) = (2.2.1) 4x3 + b2x2 + 2b4x+ b6 olup b2, b4, b6 ve b8 değerleri daha önce verilen değerlerdir (Silverman 2009). Şimdi sayısal hesaplamalar yapmada kolaylık sağlamak için (2.1.5) basitleştirilmiş Weierstrass normal formunda eğriler için toplam formülünü vereceğiz. Önerme 2.2.7 P1 = (x1, y1) ve P2 = (x2, y2) noktaları (2.1.5) basitleştirilmiş Weierst- rass normal formunda eğri üzerindeki noktalar olsun. O zaman P1 + P2 = (x3, y3) olmak üzere  y2−y1− , P =6 P isex2 x 1 21 λ =  3x21+A , P1 = P2y 2 ise1 iken x = λ23 − x1 − x2 y3 = λ(x1 − x3)− y1 40 şeklinde tanımlanır (Mollin 2001). 2P1 noktasının bileşenleri Önerme 2.2.7 kullanılarak bulunur. Örnek 2.2.8 Q cismi üzerinde y2 = x3+4x+4 eliptik eğrisini alalım. Bu eğri üzerindeki P1 = (1, 3) ve P2 = (0, 2) noktaları olmak üzere P1 + P2’yi hesaplayalım. Bunun için öncelikle bu noktalardan geçen doğrunun eğimini bulmalıyız. λ = 2−3− = 1 ve böylece x3 = 1 2 − 1 − 0 = 0 ve y = 1(1 − 0) − 3 = −2 olup 0 1 P1 + P2 = (0,−2) bulunur. 2.3 Weierstrass Denklemler İçin Başka Formlar 2.3.1 Legendre Form Bazen uygun olan başka bir Weierstrass denklem biçimi vardır. Tanım 2.3.1 Bir Weierstrass denklemi y2 = x(x− 1)(x− λ) formunda yazılabiliyorsa Legendre formunda olarak adlandırılır (Silverman 2009). Önerme 2.3.2 Kar(F) 6= 2 iken e1, e2, e3 ∈ F olmak üzere E : y2 = x3 + ax2 + bx+ c = (x− e1)(x− e2)(x− e3) (2.3.1) olsun. e3 − e1 x −11 = (e2 − e1) (x− e1), y1 = (e −3/22 − e1) y, λ = e2 − e1 olarak alındığında E : y21 = x1(x1 − 1)(x1 − λ) (2.3.2) elde edilir (Washington 2008). 41 2.3.2 Üçüncü Derece Denklemler Burada üçüncü dereceden denklemler ile eliptik eğriler arasındaki ilişki ifade edilecektir. Kar(F) 6= 2, 3 olsun. x, y ∈ F olmak üzere Weierstrass formuna dönüştürülen (4A3 + 27B2 = 0 olsa bile), C(x, y) = 0 kübik bir denklem, örneğin: x3 + y3 + z3 = 0 (2.3.3) kübik Fermat denklemini ele alalım. xyz 6= 0 olmak üzere bu denklemin hiçbir rasyonel çözümü olmadığı 900’lü yıllarda Araplar tarafından sanı olarak verilmişti. Bu denklem Fermat’ın son teoreminin özel bir halini temsil eder. 1673’de Fermat n ≥ 3 tamsayısı için xn + yn = zn denkleminin sıfırdan farklı tamsayı çözümü olmayacağını iddia etmişti. Bu iddia 1995 yılında Andrew Wiles ve öğrencisi Richard Taylor tarafından ispatlandı (Taylor ve Wiles 1995). n = 3 durumundaki ilk ispat, muhtemelen Fermat tarafından yapılmıştı. xyz 6= 0 olmak üzere (2.3.3) denklemini göz önüne alalım. x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) şeklinde yazılabileceğinden x+ y 6= 0 dır. x y = u+ v, = u− v z z yazalım. O zaman (u+ v)3 + (u− v)3 + 1 = 0 eşitliğinden 2u3 + 6uv2 + 1 = 0 olur. Her tarafı u3 ile bölündüğünde (x+ y 6= 0 olduğundan u 6= 0) 6(v/u)2 = −(1/u)3 − 2 elde edilir. x1 = − 6 − z 36v x− y= 12 , y1 = = 36 u x+ y u x+ y 42 olsun. Bu durumda (2.3.3) denklemi y21 = x 3 1 − 432 eliptik eğrisine dönüşür. Bu eşitliğin çözümleri (x1, y1) = (12, 36), (12,−36) ve O dur. y1 = 36 olması durumunda x − y = x + y ve dolayısıyla y = 0 olur. Benzer şekilde y1 = −36 ise x = 0 olur. (x1, y1) = O olması durumunda x = −y olup z = 0 olur. O halde xyz 6= 0 olmak üzere x3 + y3 + z3 = 0 denkleminin çözümü yoktur. Sonuç olarak (2.3.3) denklemi eliptik eğri teorisinden yararlanılarak çözülmüş olur. 2.3.3 Dördüncü Derece Denklemler a =6 0 ve a, b, c, d, e ∈ F iken v2 = au4 + bu3 + cu2 + du+ e (2.3.4) formundaki eğrileri göz önüne alalım. p, q ∈ F olmak üzere (p, q) noktası (2.3.4) eğrisi üzerindeki bir nokta ise o zaman (tekil olmadığından) (2.3.4) formundaki eğri bazı değiş- ken dönüşümleri yardımıyla Weierstrass formunda bir eliptik eğriye dönüşür. F cismi üze- rinde tanımlanan bir E eliptik eğrisinin her zaman E(F)’de bir O noktası vardır ((0, 1, 0) projektif koordinatları mutlaka F’dedir). Dolayısıyla eğer bir C eğrisini, tüm katsayılar F’de olacak şekilde Weierstrass formuna dönüştürürsek, o zaman C üzerindeki koordi- natları F’de olan bir nokta ile başlamak gerekir. Şimdi (p, q) noktası (2.3.4) denklemi üzerinde olduğunu varsayalım. Dolayısıyla u yerine u + p yazdığımızda p = 0 olduğunu varsayabiliriz. Böylece (p, q) noktası (0, q) olur. İlk olarak q = 0 olduğunu varsayalım. Eğer d = 0 ise o zaman eğrinin (u, v) = (0, 0) tekil noktası vardır. O halde d =6 0 varsayalım. Böylece ( ) ( )3 ( )2 ( )v 2 1 1 1 = d + c + b + a u2 u u u 43 elde edilir. Bu da kolayca Weierstrass forma dönüşebilir. Zor olan durum q 6= 0 olduğunda ise aşağıdaki sonuca ulaşırız. Teorem 2.3.3 Kar(F) 6= 2 ve a, b, c, d, q ∈ F olmak üzere v2 = au4 + bu3 + cu2 + du+ q2 (2.3.5) olsun. 2q(v + q) + du 4q2(v + q) + 2q(du+ cu2)− (d2u2/2q) x = , y = u2 u3 alalım. ( ) d d2 a1 = , a2 = c− , a3 = 2qb, a 24 = −4q a, a6 = a2a2 4q 4q olarak tanımlansın. O zaman (2.3.5) eğrisi (2.1.2) uzun Weierstrass normal formunda eğ- riye dönüşür. Ters dönüşüm ise 2q(x+ c)− (d2/2q) − u(ux− d)u = , v = q + y 2q şeklindedir. (u, v) = (0, q) noktası (x, y) = O noktasına ve (u, v) = (0,−q) noktası (x, y) = (−a2, a1a2 − a3) noktasına karşılık gelir (Washington 2008). Örnek 2.3.4 v2 = u4 + 1 (2.3.6) eğrisini ele alalım. a = 1, b = c = d = 0 ve q = 1’dir. 2(v + 1) 4(v + 1) x = , u2 u3 44 ise o zaman E : y2 = x3 − 4x eliptik eğrisi elde edilir. Bu dönüşümün tersi ise u = 2x/y, v = −1 + (2x3/y2) şeklindedir. (u, v) = (0, 1) noktası E üzerinde O noktasına, (u, v) = (0,−1) noktası da (0, 0) noktasına karşılık gelir. E üzerindeki tüm rasyonel noktalar E(Q) = {O, (0, 0), (2, 0), (−2, 0)} olur. Bu noktalar (u, v) = (0, 1), (0,−1) ve sonsuzdaki noktalara karşılık gelir. Böylece dördüncü dereceden eğri üzerindeki tek sonlu rasyonel nokta (u, v) = (0,±1)’dir. Bura- dan a4+b4 = c2 nin sadece tamsayı çözümlerinin ab = 0’ı sağlar. Dolayısıyla bu denklem de Fermat’nın son teoreminin n = 4 durumuna karşılık gelir. Şimdi u, v → ∞ durumunu ele alalım. Eğer (2.3.6) denklemini homojen hale getirmek istersek F (u, v, w) = v2w2 − u4 − w4 = 0 elde edilir. Sonsuzdaki noktalar w = 0’dır. Bu noktaları bulabilmek için w = 0 olarak alınırsa u4 = 0 olup u = 0 elde edilir. Böylece (u : v : w) = (0 : 1 : 0) noktası bulunur. Ancak karşılık gelen Weierstrass modelinde (2, 0) ve (−2, 0) olmak üzere iki nokta vardır. (u : v : w) = (0 : 1 : 0) noktasının 4. derece eğri üzerinde tekil nokta olması bir sorundur. Dolayısıyla bu noktada Fu = Fv = Fw = 0 olur. B√öylece eğri kendisini (u : v : w√) = (0 : 1 : 0) noktasında keser. Eğrinin bir dalı v = u2 1 + (1/u)4 ve diğeri v = −u2 1 + (1/u)4 olur. Daha basit olarak gerçek veya kompleks sayılarla çalışalım. Bu ifadelerden ikincisini x = 2(v + 1)/u2 de yerine yazarsak ve u→∞ olarak alınırsa √ 2(v + 1) 2(1− u2 1 + (1/u)4) x = = → −2 u2 u2 45 elde edilir. Eğrinin diğer dalı için x → +2 bulunur. Böylece dördüncü derece denklemi Weierstrass denklemine dönüştüren dönüşüm, tekil noktada eğriyi iki dala ayırdı (Was- hington 2008). Şimdi aşağıdaki önemli sonucu verelim: Teorem 2.3.5 K,L,M,N, P ∈ Q olmak üzere t2 = Ku4 + Lu3 +Mu2 +Nu+ P (2.3.7) formundaki eğri I = 12KP − 3LN +M2 (2.3.8) ve J = 72KMP + 9LMN − 27KN2 − 27L2P − 2M3 (2.3.9) dönüşümleri yardımıyla χ : V 2 = U3 − 27IU − 27J (2.3.10) formundaki bir χ eğrisine birasyonel denktir. χ’nin ∆(χ) diskriminantı (4I3−J2)/27’dir, ve χ’nin tekil olması için gerek ve yeter şart ∆(χ) = 0 olmasıdır. Üstelik K bir tam kare olduğunda ( ) 3L2 − 8KM L3 + 8K2N − 4KLM R = 3 , 27 (2.3.11) 4K 8K3/2 noktası χ(Q) üzerindedir (Cremona 1997). 2.3.4 İki Kuadratik Yüzeyin Kesişimi Üç boyutlu uzayda iki tane ikinci dereceden yüzeyin kesişimi, bu kesişim noktasındaki bir nokta ile birlikte genellikle bir eliptik eğridir. Kar(F) =6 2 ve a, b, c, d, e, f katsayıları 46 sıfırdan farklı ve F cisminde olmak üzere au2 + bv2 = e, cu2 + dw2 = f (2.3.12) formundaki denklemleri göz önüne alalım. Her iki denklem, uvw- uzayında bir yüzeydir ve kesişimleri bir eğridir. Bu iki eğri bir P noktasında kesişirse (2.3.12) eğrisi Weierstrass formundaki bir eliptik eğriye dönüştürülebilir. Bu iki yüzeyin kesişimini analiz etmeden (2.3.12)’deki ilk denklemi ele alalım. Bu eğriye uv-düzleminde C : au2 + bv2 = e eğrisi diyelim. P = (u0, v0) noktası C eğrisi üzerinde olsun. P noktasından geçen doğrunun eğimim, t ∈ Q parametresine bağlı olarak u = u0 + t v = v0 +mt (2.3.13) şeklinde yazılabilir. L’nin C ile kesiştiği diğer nokta bulunmak istenirse: Şekil 2.3.1 (2.3.13), C eğrisinde yerine yazıldığında a(2u0t+ t 2) + b(2v0mt+m 2t2) = 0 elde edilir. t = 0 olması (u0, v0)’a karşılık geldiğinden −2au0 + 2bv0mt = a+ bm2 47 elde edilir. Böylece − 2au0 + 2bv0m − 2au0m+ 2bv0m 2 u = u0 v = v0 a+ bm2 a+ bm2 olur. Eğer u, v ∈ F olmak üzere (u, v) noktası C üzerindeki herhangi bir nokta ise (u, v) ve P ’den geçen doğrunun eğimi m, F’dedir (veya sonsuzdur). Şimdi uvw-uzayında bir "silindir" olarak kabul edilen C’yi cu2 + dw2 = f yüzeyiyle kesiştirelim. u yerine yazıldığında ( ) 2 − − 2au0 + 2bv0mdw = f c u0 a+ bm2 olup düzenlendiğinde d(w(a+ bm2))2 =(a+ bm2)2f − c(bu0m2 − 2bv0m− au )20 =(b2f − cb2u20)m4 + 4cb2v 30u0m + (2abf − c(−2au20b+ 4b2v20))m2 − 4cau0bv0m+ a2f − ca2u20 elde edilir. m4’ün baş katsayısı b2f − cb2u20’dır ve bu b2dw20’ye eşittir. Eğer w0 = 0 ise dördüncü dereceden polinom kübik bir polinom haline gelir ve böylece yeni elde edilen denklem kolayca Weierstrass formuna getirilebilir . Bu kübik polinomun başkatsayısının yok olması için gerek ve şart v0 = 0 olmasıdır. Fakat bu durumda (u0, v0, w0) = (u0, 0, 0) noktasının uvw-eğrisinin tekil noktası olması demektir. Bu da kaçınmamız gereken bir durumdur (Washington 2008). Örnek 2.3.6 u2 + v2 = 2 u2 + 4w2 = 5 kuadratik yüzeylerinin kesişimini düşünelim. (u0, v0, w0) = (1, 1, 1) olsun. İlk olarak u2 + v2 = 2 yüzeyinin çözümlerini parametrik ifade edelim. u = 1 + t ve v = 1 + mt olsun. Bu değerler yerine yazıldığında (1 + t)2 + (1 + mt)2 = 2 olup düzenleme 48 yapıldığında t(2 + 2m) + t2(1 + m2) = 0 elde edilir. t = 0 çözümünü göz ardı edersek t = −(2 + 2m)/(1 +m2) olup böylece 2 + 2m m2 − 2m− 1 2 + 2m 1− 2m−m2 u = 1− = v = 1−m = 1 +m2 1 +m2 1 +m2 1 +m2 elde edilir. m = −1 olması (u, v) = (1, 1) noktasına karşılık gelir (bunun nedeni, bu noktada teğetinin eğimininm = −1 olmasıdır). Bulunan u ve v değerleri u2 +4w2 = 5’te yerine yazıldığında 4(w(1 +m2))2 = 5(1 +m2)2 − (m2 − 2m− 1)2 = 4m4 + 4m3 + 8m2 − 4m+ 4 elde edilir. r = w(1 +m2) olarak alındığında r2 = m4 +m3 + 2m2 −m+ 1 olur. Teorem 2.3.3’ten q = 1 olup dördüncü dereceden eğri y2 − 7xy + 2y = x3 + x2 − 4x− 7 4 genelleştirilmiş Weierstrass denklemine dönüşür. Sol taraf kareye tamamlandığında y1 = y + 1− 1x olup 2 y21 = x 3 + 2x2 − 5x− 6 eliptik eğrisine dönüşür (Washington 2008). 2.4 İzojeniler Şimdi eğriler arasındaki dönüşümlerini göz önüne alalım. Tanım 2.4.1 E1 ve E2 eliptik eğriler olsun. E1’den E2’ye bir izojeni φ : E1 → E2, φ(O) = O 49 şeklinde bir morfizmdir. φ(E1) 6= {O} olmak üzere E1’den E2’ye bir izojeni varsa, E1 ve E2 eğrileri izojendirler (Silverman 2009). Eliptik eğriler üzerindeki noktalar kümesi toplama işlemine göre değişmeli gruptur. Dolayısıyla bu gruplar arasındaki dönüşümler grup oluşturur. E1’den E2’ye olan izojeni- ler kümesi Hom(E1, E2) = {E1 → E2 izojenileri} ile gösterilir. İki izojeninin de toplamı (φ+ ψ)(P ) = φ(P ) + ψ(P ) ile gösterilir ve φ+ ψ bir morfizm olup bir izojenidir. Böylece Hom(E1, E2) bir gruptur. Eğer E1 = E2 ise de izojeniler oluşturulabilir. Böylece, E bir eliptik eğri ise End(E) = Hom(E,E) yukarıda verilen toplama kuralı ve (φψ)(P ) = φ(ψ(P )) çarpma kuralı ile bir halka olur. End(E) halkası, E’nin endomorfizm halkası olarak ad- landırılır. End(E)’nin tersinir elemanları, Aut(E) ile gösterilen E’nin otomorfizm gru- bunu oluşturur. Tanım 2.4.2 E bir eliptik eğri ve m ≥ 1 olmak üzere m ∈ Z olsun. E’nin m-torsiyon (büküm) alt grubu E[m] olmak üzere E[m] = {P ∈ E : [m]P = O} 50 kümesi E’nin m mertebeli noktaların kümesidir. E ∞tors = ∪m=1E[m] sonlu mertebeli noktaların kümesidir. Eğer E, F cismi üzerinde tanımlı ise E(F)’deki sonlu mertebeli noktalar kümesi Etors(F) ile gösterilir (Silverman 2009). Not 2.4.3 O noktası aşikar nokta olarak adlandırılır. P büküm noktası değilse sonsuz mertebeli nokta olarak adlandırılır (Mollin 2001). Örnek 2.4.4 Kar(F) =6 2 ve i ∈ F 4. dereceden ilkel kök, yani i2 = −1 olsun. E : y2 = x3 − x eliptik eğrisi End(E) endomorfizm halkasına sahiptir. Bu eğrinin üzerindeki noktalar arasında [i] : (x, y)→ (−x, iy) ile verilen [i] dönüşüm olduğundan End(E), Z’den kesinlikle büyüktür. Böylece E, kar- maşık çarpmaya (complex multiplication) sahiptir. [i],F cismi üzerinde tanımlı olması için gerek ve yeter şart i ∈ F olmasıdır. DolayısıylaE,F üzerinde tanımlansa bileEndF(E), End(E)’den daha küçük olabilir. Bu örnekle devam edersek [i]o[i](x, y) = [i](−x, iy) = (x,−y) = −(x, y) olup [i]o[i] = −1’dir. Böylece Z[i]→ End(E), m+ ni 7→ [m] + [n]o[i] bir halka homomorfizmi vardır. Eğer kar(F) = 0 ise bu dönüşüm bir izomorfizm olup 51 Z[i] ∼= End(E) olur. Bu durumda Aut(E) ∼= Z[i]∗ = {±1,±i} mertebesi 4 olan bir devirli gruptur (Silverman 2009). Örnek 2.4.5 Kar(F) 6= 2, a, b ∈ F, b 6= 0 ve r = a2 − 4b =6 0 olsun. E1 : y 2 = x3 + ax2 + bx E : Y 22 = X 3 − 2aX2 + rX eliptik eğrilerini göz önüne alalım. Bu eğriler arasında derecesi 2 olan φ : E1 → (E2 ) φ′ : E2 → E(1 ) 7→ y 2 y(b− x2) Y 2 Y (r −X2) (x, y) , (X, Y ) 7→ , x2 x2 4X2 8X2 izojenileri vardır. Kolay bir hesaplama ile E1’de φ′oφ = [2] ve E2’de φoφ′ = [2] olduğunu görülür (Silver- man 2009). Teorem 2.4.6 (İki ve Üç Mertebeli Noktalar) C : y2 = f(x) = x3 + ax2 + bx+ c düzgün bir eğri ve P (x, y) 6= O ∈ C olsun. • P noktasının mertebesi 2⇔ y = 0 dır. • P noktasının mertebesi 3 ⇔ x, ω(x) = 3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + 4ac − b2 polinomunun bir köküdür. Örnek 2.4.7 Q cismi üzerinde y2 = x3 + 1 52 eliptik eğrisini ele alalım. P = (−1, 0), R = (2,−3) ∈ E(Q) olsun. P noktasının mertebesi, 2P = O olduğundan 2’dir. R noktasının mertebesi, 2R = (0,−1), 3R = (−1, 0), 4R = (0, 1), 5R = (2, 3) yani 5R = −R olup böylece 6R = O olduğundan 6’dır. Eliptik eğriler üzerinde iki ve üç mertebeli noktaların oluşturduğu grubun yapısı aşa- ğıdaki teoremler ile verilmiştir. Teorem 2.4.8 E, F cismi üzerinde tanımlı bir eliptik eğri olsun. Kar(F) 6= 2 ise E[2] ∼= Z2 × Z2 olup Kar(F) = 2 ise E[2] ∼= O veya Z2 dir (Washington 2008). Teorem 2.4.9 E, F cismi üzerinde tanımlı bir eliptik eğri olsun. Kar(F) 6= 2 ise E[3] ∼= Z3 × Z3 dir (Washington 2008). Daha genel bir durum olarak bir eliptik eğri üzerindeki n mertebeli noktaların oluş- turduğu grubun yapısı aşağıda verilmiştir. Teorem 2.4.10 E, F cismi üzerinde tanımlı bir eliptik eğri , n ∈ N olsun. Eğer F’nin karakteristiği n’yi bölmüyor veya sıfır ise E[n] ∼= Zn × Zn olup F’nin karakteristiği p > 0 ve p | n ise p - m olacak şekilde n = mpr için E[n] ∼= Zm × Zm veya E[n] ∼= Zn × Zm 53 ile verilir (Washington 2008). 2.5 Bölüm Polinomları (2.1.2) uzun Weierstrass normal formunda bir E eğrisi verilsin. (2.1.3) ve (2.1.4)’teki b2, b4, b6 ve b8 değerlerini alalım (Kar(F) =6 2, 3 ise (2.1.5) basitleştirilmiş Weierstrass normal formunda eğri kullanılabilir). ψm ∈ Z[a1, . . . , a6, x, y] bölüm polinomları, ψ1 = 1, ψ2 = 2y + a1x+ a3, ψ = 3x4 + b x33 2 + 3b4x 2 + 3b6x+ b8, ψ = ψ (2x6 + b 5 4 3 2 24 2 2x + 5b4x + 10b6x + 10b8x + (b2b8 − b4b6)x+ (b4b8 − b6)), ψ 3 32m+1 = ψm+2ψm − ψm−1ψm+1, m ≥ 2, ψ ψ = ψ2 22 2m m−1ψmψm+2 − ψm−2ψmψm+1, m ≥ 3 (2.5.1) ile tanımlanır. Her m ≥ 1 için φm ve ωm polinomları φ 2m = xψm − ψm+1ψm−1, (2.5.2) ω = (4y)−1m (ψ 2 m−1ψm+2 + ψ 2 m−2ψm+1) bağıntıları ile verilir. (2.5.1) ve (2.5.2) polinomları ile P = (x0, y0) ∈ E noktası için ( ) φm(P ) ωm(P ) mP = , (2.5.3) ψm(P )2 ψ (P )3m formülü verilir. 54 2.6 Q Üzerindeki Eliptik Eğriler Bu alt bölümde Q’daki eliptik eğriler ile ilgili literatürden iyi bilinen bazı önemli teorem- ler ifade edilecektir. Aşağıdaki teorem 1930’larda Nagell ve Lutz tarafından bağımsız olarak ispatlanmış- tır. Bu teorem, Q’da tanımlanan bir eliptik eğri üzerindeki büküm noktalarının hızlı bir şekilde belirlenmesini sağlar. Teorem 2.6.1 (Nagell-Lutz) E,Q üzerinde (2.1.5) basitleştirilmiş Weierstrass normal for- munda bir eğri ve (x, y) ∈ E(Q) olsun. P = (x, y) ∈ E(Q) noktası sonlu mertebeli olsun. Bu durumda x, y ∈ Z’dir ve y 6= 0 olması halinde y2|4A3 + 27B2 olur (y = 0 olması halinde P ’nin mertebesi 2’dir) (Washington 2008). Örnek 2.6.2 Q cismi üzerinde E : y2 = x3 + 4 eliptik eğrisi olsun. 4A3 + 27B2 = 432 olduğundan y2|432 olacak şekilde y değerlerini belirleyelim . P (x, y), E(Q)’da sonlu mertebeli bir nokta olsun. 0 = x3 + 4 denkleminin rasyonel çözümleri olmadığından y = 0 olamaz. O halde y = ±1,±2,±3,±4,±12 olabilir. Fakat sadece y = ±2 için x’in rasyonel bir değeri olduğundan eğri üzerindeki sonlu mertebeli noktalar (0, 2), (0,−2) olur. Kolay bir hesaplama ile 3(0,±2) = O olduğu bulunur. Buradan E(Q)’nun büküm (torsion) alt grubu 3 mertebeli devirli bir gruptur (Washington 2008). Teorem 2.6.3 (Mazur) E,Q üzerinde tanımlı bir eliptik eğri olsun. Bu durum  Zn, 1 ≤ n ≤ 10 ya da n = 12 Etors(Q) ∼=  Zn × Zn, 1 ≤ n ≤ 4 olur (Washington 2008). Şimdi Q cismi üzerindeki bir eliptik eğrinin E(Q) grup yapısına örnekler verelim. Örnek 2.6.4 Q cismi üzerinde E : y2 = x3−x eliptik eğrisi olmak üzere bu eğri üzerin- deki sonlu mertebeli noktaların kümesi Etors(Q) = {O, (0, 0), (±1, 0)} şeklindedir. Bu 55 kümenin her bir elemanı 2P = O olduğundanEtors(Q)’nun grup yapısı Z/2Z×Z/2Z’dir (Kato ve ark. 2000). Örnek 2.6.5 Q cismi üzerinde E : y2 = x3 + 1 eliptik eğrisi ve bu eğri üzerinde P = (2, 3) verilsin. 2P = (0, 1), 3P = (−1, 0), 4P = (0,−1), 5P = (2,−3) yani 5P = −P olup böylece 6P = O olduğundan P noktasının mertebesi 6’dır. Buradan E(Q)’nun grup yapısı E(Q) ∼= Z/6Z olarak bulunur (Kato ve ark. 2000). Örnek 2.6.6 E : y2 = x3 − 4 eliptik eğrisi ve bu eğri üzerinde P = (2, 2) verilsin. 2P = (5,−11), 3P = (106 , 1090) olup sonlu mertebeli olmadığından E(Q)’nun grup 9 27 yapısı E(Q) ∼= Z olup serbest bir gruptur (Kato ve ark. 2000). Q cismi içinE(Q)’nun grup yapısıyla ilgili olarak verilenler, herhangi bir F sayı cismi üzerinde de geçerlidir. Şimdi eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların grubu ile ilgili iki önemli sonucu verelim. Teorem 2.6.7 (Zayıf-Mordell Weil) Q cismi üzerinde tanımlı E eliptik eğrisi olsun. O zaman E(Q)/2E(Q) sonludur (Washington 2008). Teorem 2.6.8 (Mordell-Weil Teoremi) A,B ∈ Q olmak üzere E eliptik eğrisi E : y2 = x3 + Ax+B denklemiyle verilsin. E(Q)’daki her P noktası için n1, . . . , nr ∈ Z iken P = n1P1 + · · ·+ nrPr 56 olacak şekilde {P1, . . . , Pr} sonlu kümesi vardır. Başka bir ifade ile E(Q) sonlu üreteçli bir abelyan gruptur (Mollin 2001). Aşağıdaki teorem ise kısa Weierstrass normal formunda eğri üzerindeki tamsayı nok- talar kümesinin sonlu olduğunu ifade eder. Teorem 2.6.9 (Siegel Teoremi) A,B ∈ Z ve ∆ = 4A3 + 27B2 6= 0 olmak üzere E : y2 = x3 + Ax+B ∈ Z[x] eliptik eğrisi olsun. E üzerinde sadece sonlu sayıda tamsayı bileşenli P = (x, y) noktası vardır (Mollin 2001). Şimdi sonlu üreteçli abelyan (değişmeli) grupların yapısı ile ilgili iyi bilinen iki so- nucu ifade edelim. Teorem 2.6.10 i = 1, 2, . . . , s− 1 ve ni|ni+1 olmak üzere sonlu değişmeli grup Zn1 × Zn2 × · · · × Zns formundaki bir gruba izomorftur. ni tamsayıları G grubu tarafından tek bir şekilde belir- lenir (Cangül 2016). G grubunun sonlu bir alt kümesi g1, g2, . . . , gk ile G’nin her elemanı m1g1 + · · ·+mkgk, (mi ∈ Z) formunda yazılabiliyorsa (tek bir şekilde olması gerekmez), G sonlu üreteçli bir abelyan grup olarak adlandırılır. Teorem 2.6.11 Sonlu üreteçli bir abelyan grup i = 1, 2, . . . , s− 1 için ni|ni+1 ve r ≥ 0 olmak üzere Zr × Zn1 × Zn2 × · · · × Zns 57 formundaki bir gruba izomorftur (Fraleigh 2003). r ve ni tamsayıları, G tarafından tek bir şekilde belirlenir. G’nin altgrubu Zn1 × Zn2 × · · · × Zns grubuna izormorftur. Bu grup G’nin torsiyon (büküm) alt grubu olarak, r tam sayısı ise G’nin rankı olarak adlandırılır. Mordell-Weil teoremine göreE,Q üzerinde bir eliptik eğri iseE(Q) sonlu üreteçli bir değişmeli gruptur. Teorem 2.6.10 ve Teorem 2.6.11 ile Q’daki bir eliptik eğrinin Mordell- Weil grubu E[Q] ∼= T × Zr (2.6.1) ile temsil edilir. Burada T torsiyon altgrubu iken, E(Q)’nun rankı r ≥ 0 tam sayısıdır (Washington 2008) Örnek 2.6.12 E eliptik eğrisi y2 = x3 − 4x olsun. E(Q)/2E(Q) = {O, (0, 0), (2, 0), (−2, 0)}’dır. Ayrıca Nagell-Lutz teoremini kul- lanarak kolay bir hesaplama ile E(Q)’nun büküm alt grubu T = E[2] olduğunu gösterir. Teorem 2.6.7’den E(Q) ∼= T × Zr ve böylece E(Q)/2E(Q) ∼= (T/2T )× Zr = T × Zr2 2 olur. Dolayısıyla E(Q)/2E(Q)’nun mertebesi 4 olduğundan E’nin rankı sıfırdır (yani r = 0). Sonuç olarak E(Q) = E[2] = {O, (0, 0), (2, 0), (−2, 0)} 58 dır (Washington 2008). (2.6.1)’daki temsilde sonsuz kısım için bir taban, E(Q)’nun tabanı olarak adlandırılır. Q üzerinde bir E eliptik eğrisinin Mordell-Weil grubu E(Q)’yu belirlemek zor bir prob- lemdir. E(Q)tors büküm grubunu hesaplamak zor değildir, ancak sorun E(Q) grubunun serbest E(Q)fr kısmını belirlemektir. E(Q) ∼fr = Zr olduğunu biliyoruz. Ancak Q üzerinde bir E eliptik eğrisinin r rankını belirlemek için henüz genel bir yöntem yok. Ayrıca F cismi üzerindeki E eliptik eğrisinin r tane lineer bağımsız noktasının P1, . . . , Pr olduğu biliniyorsa E(Q)fr için bir taban oluşturup oluş- turmadıklarına karar vermek de kolay değildir. İleriki bölümler için gerekli olan Silverman’ın Özelleştirme teoremini verelim: Teorem 2.6.13 Et, Q(t) üzerinde sabit olmayan bir eliptik eğri ise bu durumda sadece sonlu çoklukta s ∈ Q için Et(Q(t))→ Es(Q) homomorfizmi birebirdir. Böylece rank(Es(Q)) ≥ rank(Et(Q(t))) olur (Silverman 1994). 2.7 Yükseklik Fonksiyonları ve Lineer Bağımsız Noktalar Bu alt bölümde bir F sayı cisminde tanımlı eliptik eğrinin üzerindeki E(F) noktalar kü- mesinde lineer bağımsız noktaların nasıl bulunacağı ile ilgili teoremi vereceğiz. İlk olarak yükseklik fonksiyonlarını tanımlayacağız ve sonrasında bunlarla ilgili literatürden iyi bi- linen bazı sonuçları ifade edeceğiz. MF,F’nin değerlemeleri kümesi ve v ∈MF iken nv, v’deki lokal derece olsun. x sayı cismi elemanı olmak üzere v(x) = − log |x|v 59 şeklinde yazılır. Eğer v, ℘v asal idealine karşılık gelen arşimedyan olmayan bir mutlak değer ise o zaman ℵ(℘v), ℘v idealinin normu iken normalleştirilmiş ayrık toplamsal de- ğerlendirmesi |x| = ℵ(℘ )ordv(x)/nvv v formülü ile verilir. Burada F’nin ayrık değerlemelerinin kümesi M0F ile gösterilir. Tanım 2.7.1 F bir cisim olsun. a) P = [x0 : . . . : xN ] ∈ PN(F),F cismi üzerinde bir projektif nokta olsun. v ∈ MF için P ’nin v’deki lokal F-yüksekliği HF,v(P ) = max{|x0|v, . . . , |xN |v} dir. P ’nin global F-yüksekliği ∏ HF(P ) = HF,v(P ) nv v∈MF ile verilir. P ’nin global mutlak yüksekliği H(P ) = H (P )1/[F:Q]F ile verilir. b) Eğer x ∈ F ise v ∈MF’de x’in lokal F-yüksekliği HF,v(x) = HF,v([1 : x]) = max{1, |x|v} x’in global F-yüksekliği ∏ HF(x) = H nv F,v(x) v∈MF 60 olup x’in global mutlak yüksekliği H(x) = H (x)1/[F:Q]F şeklindedir. c) x ∈ F olsun. v ∈MF için x’in v noktasındaki sıradan logaritmik lokal F-yüksekliği hF,v(x) = −min{0, v(x)} = logHF,v(x) olur. x’in (global) mutlak ya da sıradan logaritmik yüksekliği 1 ∑ h(x) = nvhF,v(x) [F : Q] v∈MF olup x’in sonsuzdaki (global) mutlak ya da sıradan logaritmik yüksekliği 1 ∑ h∞(x) = n hF Q v F,v (x) [ : ] v∈M∞F ile verilir (Schmitt ve Zimmer 2003). Tanım 2.7.2 E/F (2.1.2) formunda bir eliptik eğri, P = (x, y) ∈ E(F) ve v ∈ MF olsun. O zaman v’de P ’nin sıradan logaritmik lokal yüksekliği −1hv(P ) = min{0, v(x)} 1 1 = log(HF,v(x)) = hF,v(x) 2 2 2 şeklindedir (Schmitt ve Zimmer 2003). Tanım 2.7.3 E/F (2.1.2) formunda bir eliptik eğri ve P = (x, y) ∈ E(F) olsun. P ’nin sıradan (logaritmik) lokal yüksekliği 1 ∑ h(P ) = log(H(x)) = nvhF v (P ) [ : Q] v∈M∞F 61 olup h(O) = 0 dır (Schmitt ve Zimmer 2003). Tanım 2.7.4 (global) Néron-Tate ĥ(P ) yüksekliği (ya da kanuni yükseklik) h(2nP ) ĥ(P ) = lim n→∞ 22n ile verilir (Schmitt ve Zimmer 2003). Uyarı 2.7.5 Herhangi m ∈ N,m ≥ 2 için kanuni yükseklik h(mnP ) ĥ(P ) = lim n→∞ m2n ile de tanımlanabilir (Schmitt ve Zimmer 2003). Önerme 2.7.6 Bir E/F bir eliptik eğrisi için aşağıdaki özellikler sağlanır: a) P,Q ∈ E olsun. Bu durumda ĥ(P +Q) + ĥ(P −Q) = 2ĥ(P ) + 2ĥ(Q) dir. b) Her P ∈ E ve m ∈ Z için ĥ(mP ) = m2ĥ(P )’dir. c) P ∈ E olsun. Bu durumda ĥ(P ) ≥ 0 ve h(P ) = 0 ⇔ P ∈ E(F)tors olur. d) ĥ, ikinci dereceden formdur, yani ĥ çift ve <,>: E(F)× E(F)→ R < P,Q >= ĥ(P +Q)− ĥ(P )− ĥ(Q) 62 eşleştirmesi (pairing) simetrik ve bilineerdir. Bu eşleşme Néron-Tate eşleşmesi olarak ad- landırılır. (Bazen sağ tarafın önüne 1/2 çarpanı yerleştirilir. Bunun avantajı ise ĥ(P ) =< P,P > olmasıdır)(Schmitt ve Zimmer 2003). Kanuni yükseklik bu lokal yükseklik fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir. Teorem 2.7.7 E/F bir eliptik eğri olsun. v ∈ MF için ĥv local yükseklik fonksiyonu olsun. O halde P ∈ E(F) için kanuni yükseklik 1 ∑ ĥ(P ) = nvĥv(P ) [F : Q] v∈MF şeklindedir (Schmitt ve Zimmer 2003). Tanım 2.7.8 E/F bir eliptik eğri olsun. a) n > 0 olmak üzere P1, . . . , Pn ∈ E(F) noktalarının regülatörü RP1,...,Pn = det(< Pi, Pj >)1≤i,j≤n ile verilir. b) {P1, . . . , Pn}, E(F)’nin bir bazı olsun. E(F)’nin regülatörü r > 0 (E/F’nin rankı) P1, . . . , Pn ∈ E(F) noktalarının regülatörü ise RE/F = RP1,...,Pr olur. E/F’nin regülatör matrisi det( 0 olmak üzere E(F)’deki noktalarının bir kümesi {P1, . . . , Pn} olsun. Bu nokta- ların regülatörünün RP1,...,Pn = 0 eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart P1, . . . , Pn noktalarının lineer bağımsız olmasıdır. b) E(F)’deki lineer bağımsız noktaların maksimal kümesi {P1, . . . , Pr}, yani r = rank(E(F)) > 0 olsun. O zaman P1, . . . , Pr noktaları ya E(F)’nin bir tabanıdır ya da RE/F, E/F’nin regülatörü iken üzere R 2P1,...,Pr = m RE/F olacak şekilde bir m ≥ 2, (m ∈ N) tamsayısı vardır (Schmitt ve Zimmer 2003). 64 3. ELİPTİK EĞRİLERİN FARKLI MODELLERİ 3.1 Edwards Eğrileri 2007 yılında, Harold Edwards (2007) “Eliptik eğriler için normal form” isimli maka- lesi ile eliptik eğrilerin farklı bir modeli olan “Edwards eğrilerini” literatüre kazandırdı. Eliptik fonksiyonlar (eğriler) Euler zamanından beri çalışılır. Bu yeni eğri üzerinde grup işlemi kuralları tanımlamak için Abel, Euler ve Gauss tarafından verilen eliptik fonksiyon (eğri) tanımını kullandı. Günümüzde eliptik eğri kübik bir eğri olarak göz önüne alınır ve eğriyi kesen bir doğru üzerindeki üç nokta yardımıyla da bu eğri üzerindeki noktala- rın grup toplama işlemi kuralları belirlenir. Bu kurallar iyi bilinir ve yaygın bir şekilde öğretilir. Bu grup kuralları ile Euler’in “Cebirsel integrasyonu” (Euler de Abel’den il- ham almıştır) arasında bağlantı birbirinden uzaktır. Ama aslında aynı kavramların farklı ifadeleridir. Abel tarafından geliştirilen olguya başka bir yaklaşım, yine Abel tarafından grup ya- pısının bir genellemesi olarak tasarlanmıştı. Burada fikir şuydu: Kübik eğriyi doğru ile kesiştirmek yerine keyfi bir eğriyi yardımcı eğrilerin keyfi bir ailesi ile kesiştirmek. Yar- dımcı eğrinin denklemindeki parametreler değiştiğinde verilen eğri ile kesişim noktaları da değişir. Abel, uygun koşullar altında, N tane kesişim noktasının N − g serbest dere- celeriyle bu yolda hareket ettiğini keşfetti. Burada g (eğrinin cinsi), N ’ye veya kullanılan yardımcı eğri ailesine değil yalnızca verilen keyfi bir eğriye bağlıdır. Eğri düzgün kübik bir eğri ve yardımcı eğriler doğrular olduğunda N = 3 tane kesişim noktası vardır ve bu noktalar N − g = 2 serbest derece ile hareket eder. Böylece g = 1’dir. Edwards yaptığı çalışma ile Abel’in yaklaşımını içeren olguya yeni bir bakış açısı sundu. Euler eliptik fonksiyonlar teorisinde x2 + y2 + x2y2 = 1 eliptik eğrisinin özel bir durumu için bir “toplama formülü” önermişti. Bu formül sonra- 65 sında Gauss tarafından aşağıdaki şekilde ifade edildi: s1c2 + s2c1 c1c2 − s1s2 S = , C = . (3.1.1) 1− s1s2c1c2 1 + s1s2c1c2 Gauss’un harf seçiminde s ve c harflerini kullanması, sinüs ve kosinüs için toplama for- mülleri ile benzer bir formül ortaya koyar (Paylar sinüs ve kosinüsün toplam formülündeki ifadeleridir). Aslında Gauss, s(t) ve c(t) transandantal fonksiyonları ile (3.1.1)’i şöyle ifade eder: (S,C) = (s∫(t + t′), c(t + t′)), (s, c) = (s(t), ∫c(t)), (s′, c′) = (s(t′), c(t′)) iken s(t)’nin √tanımı sin tt = √ dx− 2 ’ye benzer olarak s(t)t = √ dx− 4√ile c(t)’nin tanımı ise cos t =0 1 x 0 1 x 1− 2(sin t)2 (cos 0 = 1) ifadesine benzer olarak c(t) = 1−s(t)2 (c(0) = 1) ile verilir.1+s(t) Bu dikkat çekici Euler-Gauss formülleri sadece s2+c2+s2c2 = 1 eğrisine uygulanabi- lir. Ancak bunlar keyfi bir eliptik eğrisinin grup toplama kuralını ifade eden bir formülün özel bir durumudur. Edwards’ın makalesinde bu eğri x2 + y2 = a2(1 + x2y2) (3.1.2) ile, toplama kuralı ise eğer a sıfırdan farklı bir sabit ve a5 =6 a iken x1y2 + x2y1 y1y2 − x1x2 X = , Y = (3.1.3) a(1 + x1x2y1y2) a(1− x1x2y1y2) bağıntıları ile verilir. √ √ √ (Burada (3.1.2) formülü a = i, x = s i ve y = c i durumudur.) Aslında (3.1.2) denkleminin eliptik eğri olması için a 6= a5 olmalıdır. Abel’in çalışmasına göre f , farklı köklere sahip 3 veya 4 dereceli bir polinom olmak üzere bir eliptik eğri z2 = f(x) biçi- mindedir (g cinsi 1’dir, burada f, 2g−1 veya 2g−2 dereceli bir polinom). z = (1−a2x2) olarak alınırsa (3.1.2) denklemi z2 = (a2 − x2)(1 − a2x2) biçiminde olur. Polinomun sağ tarafı 4. derecedendir. Bu nedenle (a2 − x2)(1 − a2x2) = a2x4 − (a4 + 1)x2 + a2 polinomunun farklı köklere sahip olması koşuluyla bir eliptik eğri tanımlaması için gerek 66 ve yeter şart diskriminantının ∆ = (a4 + 1)2 − 4a4 = (a4 − 1)2 sıfırdan farklı olmasıdır. Dolayısıyla, (a4 − 1)2 sıfırdan farklı olmalıdır veya eşdeğer şe- kilde ifade edilen a5 6= a olmalıdır. Harold M. Edwards’tan sonra, Bernstein ve Lange (2007) tarafından (3.1.2) eğrisinin daha genel bir hali göz önüne alındı ve aşağıdaki tanım verildi. Tanım 3.1.1 F bir cisim ve kar(F) 6= 2 olmak üzere E : x2d + y 2 = 1 + dx2y2 d ∈ F\{0, 1} (3.1.4) tipindeki eğriye Edwards eğrisi denir. c, d ∈ F ve cd(1− c4d) 6= 0 olmak üzere x2 + y2 = c2(1 + dx2y2) formundaki eğri de Edwards eğrisi olarak adlandırılır. Şekil 3.1.1. d = 0,−2,−10,−50,−200 için Edwards eğrileri d değişkenini 0 alırsak (3.1.4) birim çembere karşılık gelen d değişkeni negatif yönde 67 arttığında eğri bir Denizyıldızı gibi görünür . Uyarı 3.1.2 Tanım 3.1.1’deki Edwards eğrileri için verilen iki form birbirine izomorftur. Eğer d = d̄c̄4 ise x̄ = c̄x ve ȳ = c̄y tanımlanırsa x2 + y2 = 1 + dx2y2 ve x̄2 + ȳ2 = c̄2(1 + d̄x̄2ȳ2) formundaki eğrilerin birbirine izomorf olduğu açıkça görülür. 3.2 Edwards Eğrileri Üzerinde Grup Toplam Kuralı Edwards eğrileri üzerinde toplama kuralı da tanımlanabilir, ancak bu Weierstrass eğrileri kuralından farklıdır. Bu toplama kuralı aynı zamanda geometrik olarak da yorumlanabilir. Bunu yapmak için, Şekil 3.2.1.’deki birim çemberi göz önüne alınsın ve bu çember üze- rinde bir saat varmış gibi açılar eklensin. Öyleyse, birim elemanı (0, 1) olur (genellikle bi- rim çember üzerinde, (1, 0) ile başlanır). Bu nedenle x1 = sin(α1), y1 = cos(α1) ve x2 = sin(α2), y2 = cos(α2) alalım. Bir çember üzerine düzenli açıların eklenmesiyle, şu sonuç alınır: x3 = sin(α1 + α2) = sin(α1)cos(α2) + cos(α1)sin(α2) = x1y2 + x2y1 y3 = cos(α1 + α2) = cos(α1) cos(α2) + sin(α1) sin(α2) = y1y2 − x1x2 Bu bir grup tanımlar ve saat grup olarak adlandırılır. Ancak birim çember eliptik bir eğri değildir. Bu nedenle, dx2y2 terimi eklenir. Böylece bir eliptik eğri elde edilir. 68 Şekil 3.2.1. P1 + P2 = P3 Yukarıda ifade edildiği gibi, dx1x2y1y2 =6 ±1 olduğunda, Edwards eğrileriyle ilgili grup toplama kuralı aşağıda verilir: Tanım 3.2.1 (Grup Toplam Kuralı) (3.1.4) ile verilenEd Edwards eğrisini alalım. P0 = (x0, y0) ∈ Ed ise o zaman −P0 = (−x0, y0) olur. i = 1, 2, 3 için Pi = (xi, yi) ∈ Ed iken P1 + P2 = P3 olsun. O zaman ( ) x1y2 + x2y1 y1y2 − x1x2 (x1, y1) + (x2 + y2) = (x3, y3) = , 1 + dx1x2y1y2 1− dx1x2y1y2 olur. Burada (0, 1) noktası birim elemandır ve −(x1, y1) = (−x1, y1) olup birim eleman- dan farklıdır. Edwards eğrisi üzerindeki bir noktanın iki katı ( ) 2x1y1 y 2 − x2 2(x1, y 1 1 1) = , 1 + dx2y2 1− dx21 1 1y21 şeklinde verilir (Bernstein ve Lange 2007). Bu toplama kuralının gerçekten bir grup kuralı tanımladığını görmek için, herhangi iki noktanın toplamının, Edwards eğrisi üzerinde bir nokta olup olmadığı kontrol etmek yeterlidir. 69 Teorem 3.2.2 F bir cisim, kar(F) 6= 2 ve d ∈ F\{0, 1} olsun. x1, y1, x2, y2 ∈ F olmak üzere x2 21 +y1 = 1+dx 2 2 2 2 2 2 1y1 ve x2 +y2 = 1+dx2y2 eğrilerini alalım. dx1x2y1y2 =6 {−1, 1} x y + x y y y − x x olduğunu varsayalım. 1 2 2 1 1 2 1 2x3 = , y3 = tanımlayalım. O zaman 1 + dx1x2y1y2 1− dx1x2y1y2 x23 + y 2 3 = 1 + dx 2 3y 2 3 olur (Bernstein ve Lange 2007). Söylendiği gibi grup toplamı dx1x2y1y2 6= {−1, 1} olduğunda tamamlanır. Sonraki te- oremde belirtildiği gibi, d’nin F cisminde bir kare olmadığı durumdur: Teorem 3.2.3 Kar(F) =6 2 ve Ed (3.1.4) formunda Edwards eğrisi olsun. Varsayalım d, F’de kare olmasın. x1, y1, x2, y2 ∈ F olmak üzere x2 + y2 = 1 + dx2y2 ve x21 1 1 1 2 + y22 = 1 + dx2y22 2 eşitlikleri sağlanacak şekilde seçilsin. Bu durumda dx1x2y1y2 6= {−1, 1}’dir (Bernstein ve Lange 2007). Sonuç 3.2.4 Edwards eğrisi üzerindeki noktalar Tanım 3.2.1 grup toplam kuralı ile bir- likte d, F’de bir kare olmadığında bir değişmeli gruptur. Teorem 3.2.5 Kar(F) =6 2 iken E eliptik eğrisi F cismi üzerinde tanımlı olsun. Eğri üzerinde en az bir tane 4. mertebeden nokta olsun. Bu durumda E eliptik eğrisi ya F üzerinde ya da F’nin uygun bir cisim genişlemesi üzerinde tanımlı bir Edwards eğrisine dönüştürülebilir (Edwards 2007). 3.3 Dört Özel Nokta Bir Edwards eğrisinin denklemi göz önüne alındığında eğer bir (x, y) çözümü varsa, (±x,±y) ve (±y,±x) de çözümler olacaktır. (3.1.4) eğrisinin dört çözümü (0, 1), (0,−1), (1, 0) ve (−1, 0) (3.3.1) kolaylıkla bulunur. Bu dört nokta ile S : P 7−→ ±P +Q, Q ∈ {(0, 1), (0,−1), (1, 0), (−1, 0)} 70 ile verilen D4 otomorfizmlerinin bir grubu oluşturulabilir. Bu grup (0, 0) ve Q noktalarından geçen doğrulara ayrıca y = x ve x = −y doğrularına kπ göre yansımalarında ve 0 ≤ k < 4 için radyanlık dönmelerden oluşur. Böylece D4, 2 8 elemandan oluşur. S dönüşümü altında D4’ün elemanları aşağıdaki gibidir: • (x, y) + (0, 1) = (x, y) ve (−x, y) + (0, 1) = (−x, y) • (x, y) + (0,−1) = (−x,−y) ve (−x, y) + (0,−1) = (x,−y) • (x, y) + (1, 0) = (y,−x) ve (−x, y) + (1, 0) = (y, x) • (x, y) + (−1, 0) = (−y, x) ve (−x, y) + (−1, 0) = (−y,−x). Şekil 3.3.1 d = −16 için Edwards eğrisi üzerindeki sekiz nokta (x, y)’nin y ve x- eksenine göre ve y = x ve y = −x doğrularına göre yansımalarından ve (x, y)’nin ≤ kπ0 k < 4 için radyanlık dönmesinden elde edilmiştir. 2 Önceki bölümde (0, 1) noktasının birim eleman olduğu söylenmişti. Bununla birlikte, Q’nun dört noktasından herhangi biri birim eleman olarak seçilebilir. Eğri üzerindeki 71 her noktaya yeni birim elemanı ekleyerek, toplama kuralı biraz değişecektir ancak eğri üzerindeki noktalar yine bir değişmeli grup oluşturur. Özellikle {(0, 1), (0,−1), (1, 0), (−1, 0)} ⊂ {Ed(Q)} kümesi 4. mertebeden devirli bir grup oluşturur, grubun üreteci (−1, 0) veya (1, 0) dir. (1, 0) noktası için 2(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) = (0,−1) 3(1, 0) = (1, 0) + (0,−1) = (−1, 0) 4(1, 0) = (1, 0) + (−1, 0) = (0, 1) 5(1, 0) = (1, 0) + (0, 1) = (1, 0) şeklindedir. (−1, 0) için de aynı şekilde gösterilir . Sonuç olarak, bir Edwards eğrisinin 4. mertebeden noktalara sahip olduğu gösterilmiştir. Bu ise bir Edwards eğrisi üzerindeki noktaları bir Weierstrass eğrisi üzerindeki noktalara (veya tersi) eşleyen bir dönüşüm oluşturmak için temel anahtardır (Dam 2012). 3.4 Bükülmüş (Twisted) Edwards Eğrileri Bu bölümde yine literatürden iyi bilinen (3.1.4) formundaki Edwards eğrisinin daha ge- neli olan bükülmüş Edwards eğrisi hakkında bazı bilgiler verilir. Edwards eğrisi üzerinde 4. mertebeden noktaların varlığı Edwards eğrisi formundaki eliptik eğrilerin sayısını kı- sıtlar. Bu nedenle bükülmüş Edwards eğrileri tanımlanarak Edwards eğrileri kümesi daha büyük eliptik eğri ailesi içine dahil edilir. Edwards eğrileri kriptografide önemli bir uy- gulama alanına sahiptir. Ayrıca bükülmüş Edwards eğrilerinin kriptografik uygulamaları hesaplamalar açısından daha hızlı olduğundan Edwards eğrilerine göre daha avantajlıdır. 2008’de Bernstein ve ark. (2008) tarafından bükülmüş Edwards eğrileri aşağıdaki gibi tanımlanır. 72 Tanım 3.4.1 Kar(F) 6= 2 ve a, d ∈ F\{0} olsun. Bu durumda E : ax2 + y2 = 1 + dx2y2a,d (3.4.1) tipindeki eğri bükülmüş Edwards eğrisi olarak adlandırılır ( Bernstein ve ark. 2008). Uyarı 3.4.2 a = 1 olması halinde klasik Edwards eğrisi elde edilir. Teorem 3.4.3 Ea,d bükülmüş Edwards eğrisi üzerindeki nokta toplamı her (x1, y1), (x2, y2) ∈ Ea,d(F) için ( ) x1y2 + y1x2 y1y2 − ax1x2 (x1, y1) + (x2, y2) = , 1 + dx1x2y1y2 1− dx1x2y1y2 ile verilir. Birim eleman (0, 1) ve (x1, y1)’in tersi (−x1, y1)’dir (Bernstein ve ark. 2008). Tanım 3.4.4 F bir cisim a, b ∈ F ve b(a2 − 4) 6= 0 eşitsizliği sağlanıyorken Ma,b : by 2 = x3 + ax2 + x eğrisi Montgomery eğrisi olarak adlandırılır ki bir eliptik eğriye dönüştürülebilir. Tersi de doğrudur (Montgomery 1987). Teorem 3.4.5 Her bir Twisted Edwards eğrisi Montgomery formundaki bir eliptik eğriye dönüştürülebilir. Tersi de doğrudur (Bernstein ve ark. 2008). 3.5 Edwards Eğrisinden Weierstrass Formundaki Eğriye Dönüşüm Bu bölümün amacı bir Edwards eğrisine karşılık gelen Weierstrass eğrisini bulmaktır. Bunu yapmak için Cassels (1991)’de 8.bölümde ifade edilen yöntem kullanılır. E 2 2d : x + y = 1 + dx 2y2 (3.5.1) Edwards eğrisini (dx2 − 1)y2 = x2 − 1 73 şeklinde düzenleyelim. Eşitliğin her iki tarafı (dx2 − 1) ile çarpılırsa ((dx2 − 1)y)2 = (dx2 − 1)(x2 − 1) elde edilir. Burada z = (dx2 − 1)y dönüşümü yapıldığında z2 = dx4 − (d+ 1)x2 + 1 elde edilir. Şimdi n = 1 ve m = z2 olsun (bunun rasyonel bir dönüşüm olduğuna dikkatx x edin). O halde m2 = (n4 − (d+ 1)n)2 + d2 ( )2 d+ 1 d+ 1 = n2 − + d− 2 2 = P (n)2 +R(n) elde edilir. Burada P (n) = n2 − d+1 ve R(n) = d − (d+1)2 şeklindedir. Şimdi eğrinin 2 2 denklemi (m+ P (n))(m− P (n)) = R(n) olur. Burada m+ P (n) = β olarak alınırsa − R(n)m P (n) = β − R(n)2P (n) = β β elde edilir. Eşitliği β2 ile çarpıp βn = α yazıldığında ( ( ) )2 2α2 = β3 + (d+ 1)β2 − d+ 1d− β 2 74 elde edilir ve bu neredeyse Weierstrass formundadır. Her iki taraf 8 ile çarpıldığında 2α2 terimi kaybolur ve dolayısıyla ( ( ) )2 d+ 1 16α2 = 8β3 + 8(d+ 1)β2 − 8 d− β 2 (4α)2 = (2β)3 + 2(d+ 1)(2β)2 − (4d− (d+ 1)2)(2β) elde edilir. Burada (v, w) = (2β, 4α) verdiliğinde E : w2 = v3 + 2(d+ 1)v2 + (d− 1)2v (3.5.2) Weierstrass formundaki eğri elde edilir (Dam 2012). Şimdi Edwards eğrisine karşılık gelen (3.5.2) Weierstrass eğrisinin, Legendre formun- daki bir eliptik eğri ile ilişkili olduğu gösterilecektir. Bunun için Silverman ve Tate (1992) sayfa 79’da tanımlanan Önermedeki homomorfizmi kullanalım. a′ = −2a = −4(d + 1) ve b′ = a2 − 4b = 4(d + 1)2 − 4(d − 1)2 olmak üzere E ile E ′ : w2 = v3 + a′v2 + b′v arasında bir homomorfizm vardır. Böylece E ′ : w2 = v3 − 4(1 + d)v2 + (4(d+ 1)2 − 4(d− 1)2)v (3.5.3) elde edilir. E ′’nün birim elemanı O′ olmak üzere, bu homomorfizm, E ′’deki O ve (0, 0) noktalarını E ′’ündeki O′ noktasına resmeder. E ′’ündeki diğer elemanlar E ′\O′ ile eşleş- tirilir. (3.5.3)’deki eşitliğin sağ tarafı çarpanlarına ayrılırsa E ′ : w2 = v(v − 4)(v − 4d) elde edilir. Her iki taraf 64 ile bölündüğünde (w)2 v (v )(− v )= 1 − d 8 4 4 4 75 olur. Burada w′ = w ve v′ = v olarak değiştirildiğinde 8 4 E ′ : w′2 = v′(v′ − 1)(v′d − d) (3.5.4) Legendre tipinde eliptik eğri elde edilir. Özetlemek gerekirse, (3.5.1) formundaki Ed- wards eğrisi, (3.5.2) ve (3.5.4) formlarındaki Weierstrass eğrilerine birasyonel denktir. Uyarı 3.5.1 (3.5.4) eliptik eğrisinin diskriminantı ∆ = 16(1−2d+d2)(d−2d2+d3)’tür. ∆ = 0 ⇔ d = 0 veya d = 1 dir. Bu durumda birim çember elde edilir; birim çember ise eliptik eğri değildir. Ancak Tanım 3.1.1 kullanılarak ve Kar(F) 6= 2 olmak üzere F cismi üzerinde bir Edwards eğrisinin d ∈ F\{0, 1} iken bir eliptik eğriye karşılık geldiği açıktır. Edwards eğrisinin karşılık geldiği Weierstrass eğrisi aşağıdaki dönüşümler yardı- mıyla verilir: (x, y) 7→ (x, z) = (x, (dx2 − 1)y) (x, z) 7→ (n,m) = (1/x, z/x2) (n,m) 7→ (n, β) = (n,m+ n2 − (d+ 1)/2) (n, β) 7→ (β, α) = (β, nβ) (β, α) 7→ (v, w) = (2β, 4α) Edwards eğrisi üzerindeki her (x, y) için (x, y)→ (x, y) + (0,−1) = (−x,−y) dönüşümü kullanılır. Bu, eğrinin birim elemanının diğer eğrinin birim elemanı ile düzgün bir şekilde eşleştirildiğinden emin olmak için yapılmalıdır. Son durumda Edwards eğ- risi ile bu eğrinin Weierstrass formu arasındaki geçişler aşağıdaki dönüşümler yardımıyla yapılır: 76 ( ) (x, y) 7→ A −2A(v, w) =( , , A = 2y − (2d)y + d+ 1)x2 + 2x2 x3 →7 −2v w 2 − (2 + 2d)v2 − 2v3 (v, w) (x, y) = , w 4dv2 − w2 Örnek 3.5.2 Bir Edwards eğrisi üzerindeki (x, y) = (−1, 0) noktası (3.5.2) eğrisi üze- rindeki (v, w) = (1−d, 2(d−1)) noktasına dönüşür. d = 3 seçilirse (v, w) = (−2, 4) olup w2 = v3 +8v2 +4v Weierstrass eğrisi üzerindedir. (v, w) = (−2, 4) noktasından Weierst- rass eğrisine çizilen teğet (u, v) = (0, 0) noktasından geçer. Böylece 4(−2, 4) = (0, 1) olduğundan bu nokta 4. mertebedendir. O halde (−1, 0) noktası Edwards eğrisi üzerinde 4. mertebeden nokta olup Weierstrass eğrisi üzerindeki (−2, 4) noktasına karşılık gelir. Şekil 3.5.1. 3.6 Huff Eğrileri ve Bir Diophant Problem 1948’de G.B. Huff tarafından aşağıdaki Diophant problemi göz önüne alındı (Huff 1948): ∀s, t ∈ S için s ve t arasındaki uzaklık bir rasyonel sayı olmak üzere S,R2 düzleminin altkümesi ve S rasyonel uzaklıklar kümesini göstersin. Farklı a, b ∈ Q verildiğinde S kümesi y-ekseni üzerinde (0,±a) ve (0,±b) noktalarını ve herhangi x ∈ Q için x-ekseni üzerinde (x, 0) noktasını içersin. Böyle bir (x, 0) noktası x2 + a2 = u2 ve x2 + b2 = v2 (u, v ∈ Q) (3.6.1) 77 denklemlerini sağlamak zorundadır. Şekil 3.6.1. Örnek 3.6.1 a = 2, b = 5 ise (8 , 0) noktası iyi bir seçimdir, çünkü iki mesafe 10 ve 17 3 3 3 tür. (3.6.1)’deki denklemler homojenleştirilirse x2 + a2z2 = u2 ve x2 + b2z2 = v2 (3.6.2) şeklinde olur. (3.6.2)’deki sistem P3’te cinsi 1 olan bir eğri tanımlar. Huff ve sonrasında öğrencisi Peeples bu eğrinin Q’da pozitif ranklı bazı örneklerini incelemiştir. Bu vesile ile k, keyfi büyüklükteki rasyonel uzaklıklar kümesinin kardinalitesini göstermek üzere k > 4 iken tam k − 4 tane noktanın bir doğru üzerinde olduğunu Peeples tarafından gösterilmiştir (Peeples 1954). Yukarıda bahsedilen cinsi 1 olan eğri a, b ∈ Q olmak üzere Ha,b : ax(y 2 − 1) = by(x2 − 1) (3.6.3) eğrisine birasyonel denktir. Kolaylıkla görülür ki tek karakteristiğe sahip herhangi bir cisim üzerinde (3.6.3) eğrisi a2 =6 b2 ve a, b 6= 0 iken bir eliptik eğriye karşılık gelir. 2010’da Joye, Tibouchi ve Vergnaud 1948’de Huff tarafından tanıtılan Diophant prob- lemini incelemek için bir eliptik eğri modeli geliştirdiler ve az önce bahsedilen durumu 78 genelleyerek aşağıdaki tanımı verdiler (Joye ve ark. 2010). Tanım 3.6.2 F bir cisim ve Kar(F) 6= 2 olsun. ab(a− b) =6 0 iken H 2 2a,b : ax(y − 1) = by(x − 1) (3.6.4) formundaki eğri Huff eğrisi olarak adlandırılır (Joye ve ark. 2010). Huff eğrisinin projektif koordinatlardaki tanımı ise aynı yazarlar tarafından şöyle verildi: Tanım 3.6.3 Kar(F) 6= 2 olsun. H ′ 2a,b : aX(Y − Z2) = bY (X2 − Z2) (3.6.5) denklemini sağlayan (X : Y : Z) ∈ P2(F) projektif noktaların kümesi a, b ∈ F∗ ve a2 6= b2 iken bir eliptik eğriye karşılık gelir. Bu eğri, eliptik eğrinin Huff modeli olarak adlandırılır (Joye ve ark. 2010). Şekil 3.6.2. Huff Eğrisi (0 : 0 : 1)’deki teğet aX = bY doğrusudur. Bu doğru eğriyi 3 noktada keser. O = (0 : 0 : 1) noktası H ′’nün bir kıvrılma noktasıdır.O birim eleman olmak üzere H ′ üzerinde⊕ 79 toplama işlemini tanımlayalım.H ′ eğrisini üç noktada kesen bir doğru olsun. Bu noktalara P1, P2 ve P3 diyelim. P1 ⊕ P2 ⊕ P3 = O şeklinde tanımlanır. P1 = (X1 : Y1 : Z1) noktasının tersi P1 = (X1 : Y1 : −Z1) ile verilir ve P1 ⊕ P2 = P3 şeklindedir. Sonsuzdaki noktasının tersi de (bu gruptaki işleme göre) kendisidir. Böylece sonsuzdaki üç nokta (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) ve (a : b : 0) H ′’nün 2 mertebeli noktalarıdır. Bu noktalar P2’de Z = 0 doğrusu üzerindedir. Bu noktaların herhangi ikisinin toplamı üçüncüsüne eşittir. Daha genel bir ifade ile (X1 : Y1 : Z1)’den geçen x-eksenine paralel bir doğrunun H ′’nü kestiği noktanın tersi (X1 : Y1 : Z1)⊕ (1 : 0 : 0) ifadesine eşittir. Z1 6= 0 olduğunda (X1 : Y1 : Z1)⊕ (1 : 0 : 0) = (Z21 : −X1Y1 : X1Z1) ve benzer şekilde (X1 : Y1 : Z1)⊕ (0 : 1 : 0) = (−X1Y1 : Z21 : Y1Z1) dir. Z1 6= 0 iken (a : b : 0) = (1 : 0 : 0)⊕ (0 : 1 : 0) eşitliğinden (X1 : Y1 : Z1)⊕ (a : b : 0) = (Z21 : −X1Y1 : X1Z1)⊕ (0 : 1 : 0) ve böylece  (a : b : 0), (X1 : Y1 : Z1) = (0 : 0 : 1) ise (X1 : Y1 : Z1)⊕(a : b : 0) =  (Y1Z1 : X1Z1 : −X1Y1), aksi takdirde şeklinde ifade edilir. Uyarı 3.6.4 (Huff 1948)’deki kaynakta γ : P2(F)→ P2(F) (X : Y : Z) 7→ (U : V : W ) = (ab(bX − aY ) : ab(b2 − a2)Z : −aX + bY ) 80 ve γ−1 : P2(F)→ P2(F) (U : V : W ) 7→ (X : Y : Z) = (b(U + a2W ) : a(U + b2W ) : V ) ters projektif dönüşümleri yardımıyla (3.6.5) eğrisi V 2W = U(U + a2W )(U + b2W ) (3.6.6) Weierstrass denklemine indirgenir. Burada Weierstrass eğrisi üzerindeki (0 : 1 : 0) son- suzdaki noktasına γ−1 dönüşümü ile karşılık gelir. Ayrıca (3.6.6) eşitliğinden Huff eğrisi- nin afin koordinatlarda V 2 = U(U + a2)(U + b2) eliptik eğrisine izomorf olduğu da açıktır (Joye ve ark. 2010). 3.7 Huff Eğrisi için Afin Formül ve Projektif Formüller (3.6.4) eğrisini göz önüne alalım. Bu eğri üzerinde P1 = (x1, y1) ve P2 = (x2, y2) nok- talarından geçen doğru y = λx + µ olsun. Bu doğru eğriyi üçüncü bir noktada yani P3 = (−x3, y3) noktasında keser. Bu doğruyu (3.6.4) denkleminde yerine yazarsak, bazı ara işlemlerden sonra üçüncü noktanın afin koordinatları (x1 + x2)(1 + y1y2) (y1 + y2)(1 + x1x2) x3 = , y3 = (3.7.1) (1 + x1x2)(1− y1y2) (1− x1x2)(1 + y1y2) ile verilir (Joye ve ark. 2010). Huff eğrileri eliptik eğrilerin farklı bir modeli olduğundan kriptografik uygulamalarda hız açısından oldukça avantajlıdır. Hatta bu eğrilerde afin koordinatlar yerine projektif ko- ordinatlarda daha hızlı aritmetik (noktaların toplama işlemi, noktanın katını alma) yapılır. 81 (3.7.1)’deki formüllerin projektif versiyonu X3 = (X1Z2 +X2Z1)(Y1Y 2 2 + Z1Z2) (Z1Z2 −X1X2) Y3 = (Y1Z 2 2 + Y2Z1)(Y1Y2 + Z1Z2) (Z1Z2 − Y1Y2) Z3 = (Z 2Z2 −X2X2 2 2 2 21 2 1 2 )(Z1Z2 − Y1 Y2 ) (3.7.2) bağıntıları ile verilir (Joye ve ark. 2010). Teorem 3.7.1 Kar(F) 6= 2 olsun. P1 = (X1 : Y1 : Z1), P2 = (X2 : Y2 : Z2) noktaları F cisminde tanımlı bir Huff eğrisi üzerinde noktalar olsun. Bu durumda (3.7.2) formülleri ile verilen toplama işlemi X1X2 6= ±Z1Z2 ve Y1Y2 6= ±Z1Z2 şartlarını sağladığında geçerlidir (Joye ve ark. 2010). 3.8 Bükülmüş Huff Eğrisi Bir Huff eğrisi üzerindeki noktaların torsiyon grubu Z/4Z × Z/2Z dir. P ∈ F(t) ikinci dereceden monik bir polinomu göstersin ve bu polinom diskriminantı sıfırdan farklı ve P =6 0 olsun. Bu durumda a, b ∈ F∗ iken axP(y) = byP(x) kübik eğrisini tanıtabiliriz. {(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (1 : 0 : 0), (a : b : 0)} ∼= Z/4Z × Z/2Z noktaların kümesi yukarıdaki eğriye aittir. Dahası P ,F’te çarpanlarına ayrılırsa, yani P(t) = (t − w1)(t − w2) (w1, w ∈ F∗2 ) olduğunda (±w1 : ±w2 : 1) noktaları da eğri üzerindedir. Kar(F) 6= 2 iken P(t) = t2 − d (d ∈ F∗) polinomunu göz önüne alalım. Böylece a, b, d ∈ F∗ ve a2 6= b2 iken düzgün Êd : aX(Y 2 − dZ2) = bY (X2 − dZ2) (3.8.1) kübik denklemini sağlayan (X : Y : Z) ∈ P2(F) projektif noktaların kümesi ile ilgilene- 82 ceğiz. (3.8.1) denklemi Weierstrass formundaki a2 b2 V 2W = U(U + W )(U + W ) (3.8.2) d d denklemine karşılık gelir. (3.8.1) ve (3.8.2) arasında (X : Y : Z) = (b(dU + a2W ) : a(dU + b2W ) : dV ) (U : V : W ) = (ab(bX − aY ) : ab(b2 − a2)Z : d(−aX + bY ) (3.8.3) √ dönüşümleri tanımlıdır. (X : Y : Z) ← (X : Y : Z d) dönüşümü E = Ê1’den Êd’ye √ (F( d) üzerinde) bir izomorfizmaya indirgenir. Êd eğrileri ikinci dereceden bükülmüş Huff eğrileri olarak adlandırılır. Huff eğrileri ile ilgili detaylı bilgi için Joye ve ark. (2010) kaynağına bakılabilir. 3.9 Genel Huff Eğrisi Joye ve ark. (2010), Huff tarafından tanıtılan (3.6.4) eğrisinin bir eliptik eğri modeli oldu- ğunu gösterdikten sonra, yine aynı yıl Wu ve Feng tarafından aşağıdaki eğri ailesi tanıtıldı. Tanım 3.9.1 F bir cisim Kar(F) 6= 2 olsun. a, b ∈ F ve ab(a− b) 6= 0 iken Ga,b : x(ay 2 − 1) = y(bx2 − 1) (3.9.1) formundaki eğri Genel Huff eğrisi olarak adlandırılır. Bu eğri ailesi (3.6.4)’teki eğri aile- sini içerir (Wu ve Feng 2010). Şimdi de bu eğri ile ilgili aşağıdaki teoremi ifade edelim. Teorem 3.9.2 Kar(F) 6= 2 olsun. a, b ∈ F ve a 6= b iken (3.9.1) eğrisi projektif koordi- natlarda G′a,b : X(aY 2 − Z2) = Y (bX2 − Z2) 83 formundadır. Bu eğri U = bX − aY, V = (b− a)Z, W = Y −X iken ϕ(X, Y, Z) = (U, V,W ) dönüşümü ile V 2W = U(U + aW )(U + bW ) (3.9.2) eliptik eğrisine izomorftur. Ayrıca X = U + aW, Y = U + bW, Z = V iken ters dönüşüm bağıntısı ψ(U, V,W ) = (X, Y, Z) ile verilir (Wu ve Feng 2010). (3.9.1) Ga,b genel Huff eğrisi ve aritmetiği hakkında detaylı bilgi için Wu ve Feng (2010) makaleye bakılabilir. 84 4. ARDIŞIK KÜP DİZİLERİNİ BULUNDURAN ELİPTİK EĞRİLER 4.1 Giriş Katsayıları Q’dan alınan (2.1.2) uzun Weierstrass normal formundaki rasyonel eliptik eğrisini göz önüne alalım. i = 1, 2, . . . , n için x1, x2, . . . , xn bileşenleri aritmetik bir dizi oluşturursa bu dizi n-uzunluklu aritmetik dizi olarak adlandırılır. S ⊂ Q olacak şekilde n-uzunluklu S-aritmetik dizilerini göz önüne alalım. Bu konu ile ilgili ilk çalışma 1992’de Lee ve Vélez tarafından yapılmıştır. Bu yazarlar tarafından n = 4 uzunluklu S-dizisini içeren sonsuz çoklukta y2 = x3+a eğrisi olduğu gösterilmiştir (Lee ve Vélez 1992). 7 yıl sonra Bremner tarafından n = 7 ve n = 8 uzunluklu S-dizisini içeren sonsuz çoklukta eliptik eğri olduğu gösterildi (Bremner 1999). 2003’te n = 7 ve n = 8 uzunluklu S-dizisini içeren eliptik eğrilerin sonsuz ailesini üretmek için farklı bir metot Campbell tarafından geliştirildi. Buna ilave olarak, yine aynı yazar tarafından n = 9 uzunluklu S-dizisini içeren dördüncü dereceden eliptik eğrilerin sonsuz ailesini elde etmek için bir metot tanımlandı ve n = 12 uzunluklu bir S-dizisini içeren dördüncü derecen bir eliptik eğri örneği verildi (Campbell 2003). 2 yıl sonra Ulas tarafından, ilk ola- rak n = 10 uzunluklu bir S-dizisini içeren sonsuz çoklukta dördüncü dereceden eliptik eğri ailesini üretecek bir metot verildi ve sonrasında da n = 12 uzunluklu S-dizisini içe- ren dördüncü dereceden eğrilerin sonsuz ailesinin varlığı gösterildi (Ulas 2005). 2006’da, Ulas’ın yaklaşımı basitleştirilerek, yeni bir yöntem n = 14 uzunluklu S-dizileri ile il- gili bir kaç tane dördüncü dereceden eğri örneğinin elde edilebileceği Macleod tarafından gösterildi (Macleod 2006). 3 yıl sonra Ulas tarafından, n = 11 uzunluklu S-dizilerini içe- ren, cinsi 2, der(f(x)) = 5 olan y2 = f(x) şeklinde sonsuz çoklukta eğri ailesi bulundu (Ulas 2009). 2009’da, n = 12 uzunluklu S-dizilerini bulunduracak eğrilerin sonsuz bir ailesinin varlığı Alvarado tarafından gösterildi (Alvarado 2009). x-bileşenlerinin oluşturduğu S-dizisinin geometrik dizi oluşturma durumu 6. bölümde ele alınacaktır. 85 Şimdi k, l,m ∈ Q olmak üzere Q cismi üzerinde E : y2 = kx3 + lx+m (4.1.1) eliptik eğrisini göz önüne alalım. i = 1, 2, . . . , n iken (xi, yi) ∈ E(Q) rasyonel noktaları- nın xi-bileşenleri ardışık kareler olacak şekilde bir S-dizisinin (S ⊂ Q) elemanları olsun. 2017’de Kamel ve Sadek tarafından n = 5 uzunluklu bu özellikteki S-dizisini bulundu- ran sonsuz çoklukta (4.1.1) tipinde eğri bulunabileceği gösterildi. Ayrıca bu özellikteki 5 rasyonel noktanın E(Q)’da lineer bağımsız olduğu ispatlanarak rankı en az 5 olan eliptik eğrilerin sonsuz bir ailesi literatüre tanıtıldı (Kamel ve Sadek 2017). Tezin bu bölümü orjinal sonuçlar içermektedir. Bu bölümde eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerinin ardışık küplerin bir dizisini oluşturma durumu ele alı- nacaktır. Burada (4.1.1) tipindeki eliptik eğriler (yani kısa Weierstrass formunda eğriler) göz önüne alınır. Kamel ve Sadek (2017) makalesindeki yöntem kullanılarak, literatüre yeni sonuçlar kazandırılır. 4.2 Apsisleri Ardışık Küpler Olan Dizileri Bulunduran Eliptik Eğriler Tanım 4.2.1 F cismi üzerinde (2.1.2) formundaki E eliptik eğrisi verilsin. i = 1, 2, . . . iken xi = (c+ i)3 olacak şekilde c ∈ F varsa (xi, yi) ∈ E(F) noktaları E üzerinde ardışık küplerin bir dizisini oluşturur. Şimdi Teorem 1.8.7’yi kullanarak, bir eliptik eğri üzerinde ardışık küplerin sonlulu- ğuyla ilgili aşağıdaki önermeyi verelim. Önerme 4.2.2 F cismi üzerinde (2.1.2) formundaki E eliptik eğrisini göz önüne alalım. E üzerindeki ardışık küplerin bir dizisi (xi, yi) ∈ E(F) olsun. Bu durumda (xi, yi) dizisi sonludur. İspat. Genelliği kaybetmeden varsayalım ki i = 1, 2, . . . , n ∈ F iken xi = (c+ i)3 olsun. 86 Bu eşitlik (2.1.2) formundaki E eliptik eğrisi üzerinde yerine konulursa cinsi 5 olan E ′ : y2 + a 31x y + a y = x 9 3 + a 6 3 2x + a4x + a6 hipereliptik eğrisi elde edilir. Böylece (c + i, y) ∈ E ′(F) olur. Faltings Teoremine göre E ′(F), yani ardışık küpleri bulunduran dizi sonlu elemanlıdır. Tanım 4.2.3 E, (2.1.2) formunda Q üzerinde bir eliptik eğri olsun. i = 1, 2, . . . , n olmak üzere (xi, yi) ∈ E(Q), E üzerinde ardışık küplerin bir dizisi olsun. Bu diziye n-uzunluklu ardışık küplerin dizisi denir. 4.3 5 Uzunluklu Ardışık Küp Dizilerini Bulunduran Eliptik Eğriler Bu bölümde, Q üzerinde (4.1.1) tipindeki eliptik eğrilerinin bir ailesini keşfediyoruz. Bu- rada 5-uzunluklu ardışık küp dizilerini içeren sonsuz çoklukta eliptik eğrinin var olduğunu göstereceğiz. 3-uzunluklu ardışık küplerin dizisini göz önüne alalım. c ∈ Q iken ((c−1)3, p), (c3, q), ve ((c + 1)3, r) noktaları (4.1.1) eğrisi üzerinde olursa bu rasyonel noktalar 3-uzunluklu ardışık küplerin dizisini oluşturur. Bu noktaların (4.1.1) eğrisi üzerinde oluşu p2 = k(c− 1)9 + l(c− 1)3 +m, q2 = kc9 + lc3 +m, r2 = k(c+ 1)9 + l(c+ 1)3 +m denklem sistemini ortaya çıkarır. Bu denklem sistemi çözülürse k =[(3c2 + 3c+ 1)p2 + (−6c2 − 2)q2 + (3c2 − 3c+ 1)r2]/6c(27c8 + 54c6 + c2 + 2), l =[−(9c8 + 36c7 + 84c6 + 126c5 + 126c4 + 84c3 + 36c2 + 9c+ 1)p2 + (18c8, + 168c6 + 252c4 + 72c2 + 2)q2 − (9c8 − 36c7 + 84c6 − 126c5 + 126c4 − 84c3, + 36c2 − 9c+ 1)r2]/6(3c2 − 3c+ 1)(9c6 + 9c5 + 24c4 + 21c3 + 13c2 + 6c+ 2)c, 87 m =[(6c10 + 33c9 + 83c8 + 126c7 + 126c6 + 84c5 + 36c4 + 9c3 + c2)p2 + (−12c10 − 4c8 + 72c6 − 72c4 + 4c2 + 12)q2 + (6c10 − 33c9 + 83c8 − 126c7 + 126c6 − 84c5 + 36c4 − 9c3 + c2)r2]/6(3c2 − 3c+ 1)(9c6 + 9c5 + 24c4 + 21c3 + 13c2 + 6c+ 2) (4.3.1) bulunur. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Uyarı 4.3.1 p, q, r ∈ Q(c) yukarıdaki gibi verilirse ((c − 1)3, p), (c3, q) ve ((c + 1)3, r) rasyonel noktalarını (4.1.1) üzerinde bulunduracak k, l,m ∈ Q(c)’nin varlığını biliyoruz. Şimdi bu üç noktaya ilave olarak varsayalım ki ((c + 2)3, s) noktası (4.1.1) eğrisi üzerinde olsun. Böylece (4.1.1) eğrisi üzerinde 4 uzunluklu ardışık küplerin dizisini elde ederiz. k, l,m ve ((c+ 2)3, s) değerleri (4.1.1) eğrisinde yerine yazıldığında s2 =[(84 + 2109c2 + 626c+ 243c8 + 27c9 + 1026c7 + 2646c6 + 4536c5 + 5292c4 + 4159c3)p2 + (−1674c7 − 1950c2 − 762c− 3951c3 − 5544c4 − 486c8 − 3780c6 − 5544c5 − 168− 81c9)q2 + (702c7 + 1134c6 + 138c− 159c2 + 243c8 + 81c9 + 252c4 + 1008c5 + 84− 207c3)r2]/(3c2 − 3c+ 1)(3c2 + 1) (1 + 3c2 + 3c)(c2 + 2)c (4.3.2) elde edilir. Bu nedenle, Q(c)’de (4.3.2) denklemini sağlayan p, q, r ve s elemanlarını bulmamız gerekir. Şimdi (4.3.2) denklemi için (p, q, r, s) genel çözümlerinin nasıl bulunacağını açıkla- yalım. Q üzerinde S : a x2 + a y21 2 + a3z 2 + a4t 2 = 0 (4.3.3) kuadratik yüzeyini göz önüne alalım. Q1 = (1 : 1 : 1 : 1) noktası S kuadratik yüzeyi üzerindedir ve bu yüzey üzerinde başka bir Q2 = (u1 : v1 : w1 : 0) rasyonel noktası 88 olsun. Üç boyutlu P3 projektif uzayında bu noktaları üzerinde bulunduran projektif doğru aQ1 + bQ2 = (a+ bu1 : a+ bv1 : a+ bw1 : a) olur. S yüzeyi ile aQ1 + bQ2 projektif doğrusunun kesişimi (a 2 21 + a2 + a3 + a4)a + (a1u1 + a v 2 2 2 2 1 + a3w1)b + (2a1u1 + 2a2v1 + 2a3w1)ab = 0 ikinci dereceden denklemini verir. Buradan a = a 2 2 21u1 + a2v1 + a3w1, b = −2(a1u1 + a2v1 + a3w1) elde edilir. Dolayısıyla S-yüzeyinin (x, y, z, t) çözümleri parametrik olarak x = a+ bu = −a u2 + a v2 + a w21 1 1 2 1 3 1 − 2a2u1v1 − 2a3u1w1, y = a+ bv1 = a 2 2 2 1u1 − a2v1 + a3w1 − 2a1u1v1 − 2a3v1w1, (4.3.4) z = a+ bw1 = a 2 2 1u1 + a2v1 − a3w21 − 2a1u1w1 − 2a2v1w1, t = a = a u2 + a v21 1 2 1 + a 2 3w1 şeklinde bulunur. Şimdi Q1 = (p, q, r, s) = (1 : 1 : 1 : 1) noktası (4.3.2) denklemi için özel bir çözümü olup, bu yüzey üzerinde başka bir Q2 = (p, q, r, s) = (u : v : w : 0) rasyonel noktası ala- lım. (4.3.3)’daki kuadratik yüzeyin çözümleri için verilen (4.3.4) formülleri kullanılarak (4.3.2)’nin çözümleri aşağıdaki gibi verilir: ( ) ( ) ( ) ( ) p = (c+(1) 3 c2 + 3)c(+ 1 3 c)2(+ 6 c+ 4 3 c)2(+ 9 c+ 7 c2 + 2 c+)3 u2 + 3 (c2 + c+ 1) (3 c2 + 1 3 c2)+( 9 c+ 7 3 c3)+( 6 c2 + 18 c+ 8 v2 ) − 3 c2 + c+ 1 3 c2 − 3 c+ 1 3 c2 + 6 c+ 4 3 c3 + 3 c2 + 15 c+ 7 w2 89 ( ) ( ) ( ) ( ) − 6 (c2 + c+ 1) (3 c2 + 1 3 c2)+( 9 c+ 7 3 c3)+( 6 c2 + 18 c+ 8 vu ) + 6 c2 + c+ 1 3 c2 − 3 c+ 1 3 c2 + 6 c+ 4 3 c3 + 3 c2 + 15 c+ 7 wu, ( ) ( ) ( ) ( ) q =− (c(+ 1) 3 c2 +) (3 c+ 1 )3(c2 + 6 c+ 4 )3(c2 + 9 c+ 7 c2 + 2 c)+ 3 u2 − 3 (c2 + c+ 1) (3 c2 + 1 3 c2)+( 9 c+ 7 3 c3)+( 6 c2 + 18 c+ 8 v2 ) − 3 c2 + c(+ 1 3 c2 − 3)c(+ 1 3 c2 + 6)c(+ 4 3 c3 + 3)c2(+ 15 c+ 7 )w2 + 2 ((c+ 1) 3 c2)+( 3 c+ 1 3 c2)+( 6 c+ 4 3 c2)+( 9 c+ 7 c2 + 2 c+ )3 vu + 6 c2 + c+ 1 3 c2 − 3 c+ 1 3 c2 + 6 c+ 4 3 c3 + 3 c2 + 15 c+ 7 wv, ( ) ( ) ( ) ( ) r =− (c(+ 1) 3 c2 +) (3 c+ 1 )3(c2 + 6 c+ 4 )3(c2 + 9 c+ 7 c2 + 2 c)+ 3 u2 + 3 (c2 + c+ 1) (3 c2 + 1 3 c2)+( 9 c+ 7 3 c3)+( 6 c2 + 18 c+ 8 v2 ) + 3 c2 + c (+ 1 3 c2 − 3)c(+ 1 3 c2 + 6)c(+ 4 3 c3 + 3)c2(+ 15 c+ 7 )w2 + 2 ((c+ 1) 3 c2)+( 3 c+ 1) (3 c2 + 6 c+ 4) (3 c2 + 9 c+ 7 c2 + )2 c+ 3 wu − 6 c2 + c+ 1 3 c2 + 1 3 c2 + 9 c+ 7 3 c3 + 6 c2 + 18 c+ 8 wv, ( ) ( ) ( ) ( ) s =− (c(+ 1) 3 c2 +) (3 c+ 1 )3(c2 + 6 c+ 4 )3(c2 + 9 c+ 7 c2 + 2 c)+ 3 u2 + 3 (c2 + c+ 1) (3 c2 + 1 3 c2)+( 9 c+ 7 3 c3)+( 6 c2 + 18 c+ 8 v2 ) − 3 c2 + c+ 1 3 c2 − 3 c+ 1 3 c2 + 6 c+ 4 3 c3 + 3 c2 + 15 c+ 7 w2. (4.3.5) Uyarı 4.3.2 Yukarıdaki argüman şunu gösterir: p, q, r, s ∈ Q(c, u, v, w) değişkenleri bi- lindiğinde dört rasyonel nokta ((c− 1)3, p), (c3, q), ((c+ 1)3, r), ((c+ 2)3, s)’nin (4.1.1) eğrisi üzerinde oluşu k, l,m ∈ Q(c)’nin var olması demektir. Şimdi ((c− 2)3, t) ∈ E(Q) olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.1.1) eğrisi üzerinde 5-uzunluklu ardışık küplerin dizisi elde edilmiş olur. Böylece t2 = Ku4 + Lu3 +Mu2 +Nu+ P (4.3.6) 90 elde edilir. Burada ( ) ( ) ( ) ( ) K = [(c+ 1) 3 c2 + 3 c+ 1 3 c2 + 6 c+ 4 3 c2 + 9 c+ 7 c2 + 2 c+ 3 ]2, ( ) ( ) ( ) ( ) L =− 24 (c+ 1() c2 + 2 c+) (3 3 c2 + 3 c+ 1 3 c)2 + 4 3 c2 + 6 c(+ 4 (3 c2 ) + 9 c+ 7)2 c2 (− c+ 1 ) 3( c3 + 3 c2 + 27)c(+ 1 v + 32c ()c(+ 1) c)2 + 2 c+ 3 (3 c2 2 + 3 c+ 1) 3 c2 + 4 3 c2 + 6 c+ 4 3 c2 + 9 c+ 7 c2 + 8 (3 c2 − 6 c + 4)w, M =6 (1215 c14 + 4131 c13 + 24543 c12 + 49383 c11 + 134460 c10 + 152118 c9 + 263619 c8 + 229491 c7 + 29(7153 c6 + 223)859 c5 + 20(8374 c4 + 1)2(3018 c32 ) (+ 52116 c2 + 1)6(504 c+ 480) 3) c2 + 9 c+ 7 v2 − 24 c2 + c+ 1 3 c2 + 4 3 c2 + 6 c+ 4 3 c2 + 9 c+ 7 (189 c10 + 2340 c8 − 1530 c7 + 7383 c6 − 9918 c5 + 7365 c4 + 740 c3 − 246 c2 + 1552 c+ 21)wv + 2 (2835 c14 − 8424 c13 + 37881 c12 − 109188 c11 + 156276 c10 − 373032 c9 + 395718 c8 − 344976 c7 + 37(4198 c6 − 336)324 c5 − 98956 c4 − 407760 c3 − 243937 c22 + 2688 c+ 441) 3 c2 + 6 c+ 4 w2, N =− 72 (c2 + c+ 1)(3 c2 + 4)(c2 − c+ 1)(3 c2 + 1)(3 c3 + 6 c2 + 18 c+ 8) (3 c3 + 3 c2 + 27 c+ 1)(3 c2 + 9 c+ 7)2v3 + 48 (c2 + c+ 1)(3 c2 + 4) (3 c2 + 6 c+ 4)(3 c2 + 9 c+ 7)(27 c10 + 450 c8 − 450 c7 + 2019 c6 − 1494 c5 + 2325 c4 − 1180 c3 − 1398 c2 + 16 c+ 21)v2w + 24 (c2 + c+ 1)(3 c2 + 4) (3 c2 + 6 c+ 4)(3 c2 + 9 c+ 7)(135 c10 + 1440 c8 − 630 c7 + 3345 c6 − 6930 c5 + 2715 c4 + 3100 c3 + 2550 c2 + 1520 c− 21)vw2 − 96c (c2 + c+ 1)(3 c2 + 4) (3 c2 − 3 c+ 1)(3 c2 − 6 c+ 4)(3 c3 + 3 c2 + 15 c+ 7)(c2 + 8)(3 c2 + 6 c+ 4)2w3, 91 ( ) ( ) P =[3(c2 +( c+ 1) 3 c2 −)3(c+ 1 )3(c2 + 6 c+ 4 ()3(c3 + 3 c2 + 15 )c+ 7)]2w4 + 72 3 c2 −( 3 c+ 1 3 c2 + 4 3)c(2 + 6 c+ 4) 3 c2 − 9 c+ 7 (3 c3 + 3 c22 + 15 c+ 7) 3 c3 − 3 c2 + 27 c− 1 c2 + c+ 1 w3v − 18 (6561c14 + 2187c13 + 91125c12 + 42039c11 + 287712c10 − 5994c9 − 224127c8 + 6399c7 + 316035c6 + 232191c5 + 15816(42c4 + 2)99(082c3 +)2(94228c2 + 248)472c − 7840)(c2 + c+ 1)2w2v2 + 72 3(c2 + 1 3 c2 + 4 3 c)2(+ 9 c+ 7 )(3 c2 − 29 c(+ 7)(3 c3 −)3(c2 + 27)c(− 1) 3 c3 + 6)c2(+ 18 c+ 8 c2 + c+)1 wv3 + [3 c2 + c+ 1 3 c2 + 1 3 c2 + 9 c+ 7 3 c3 + 6 c2 + 18 c+ 8 ]2v4 şeklinde olur. K,L,M,N ve P ’nin v ve w cinsinden dördüncü dereceden homojen denklem olduk- ları görülmektedir. Böylece, w = 1 olduğunu varsayabiliriz. Şimdi Q(c, v) cismi üzerinde H : Y 2 = KX4 + LX3 +MX2 +NX + P (4.3.7) eğrisini düşünelim. (4.3.7) formundaki eğri Teorem 2.3.5 yardımıyla bir χ eğrisine birasyonel denk olup, χ eğrisi üzerinde bir R noktası kolaylıkla bulunabilir. Şimdi Teorem 2.6.13 (Silverman Özelleştirme Teoremi) kullanılarak aşağıdaki te- oremi verebiliriz. Teorem 4.3.3 Q(c, v) üzerindeki (4.3.7) eğrisi rankı en az 1 olan χ eğrisine birasyonel denktir (Çelik ve Soydan 2018). İspat. (4.3.7) eğrisi homojen formda yazılırsa Y 2 = KX4+LX3Z+MX2Z2+NXZ3+ PZ4 şeklinde olup bu eğrinin rasyonel noktaları T = (X : Y : Z) = (1 : (c + 1)(3c2 + 3c + 1)(3c2 + 6c + 4)(3c2 + 9c + 7)(c2 + 2c + 3) : 0) şeklindedir. Teorem 2.3.5’in adımları kullanılarak (4.3.7) eğrisinin (2.3.10) eğrisine birasyonel denk olduğu görülür. 92 (2.3.8)-(2.3.11) eşitlikleri kullanılarak c = 3, v = 3094 değerleri alınarak 5795 2 3 − 19155688278708494907117216280017764352ψ : Y =X X 81450625 30476125037279414454071839383853830234262941440938082304 + 735091890625 özelleştirilmiş eğrisi ve bu eğri üzerindeki R noktasının özelleştirilmişi olan R̃=(4692656977319420928 , 69761912906449000257785856) noktası bulunur. MAGMA (Bosma ve ark. 9025 9025 1997) paket programı yardımıyla R̃ noktasının ψ üzerinde sonsuz mertebeli nokta olduğu belirlenir. Böylece Teorem 2.6.13 yardımıyla R noktasının χ üzerinde sonsuz mertebeli olduğu görülür. Sonuç 4.3.4 c0 ∈ Q iken ardışık küplerin aşikar olmayan bir dizisi {(c0 − 2)3, (c0 − 1)3, c30, (c 3 3 0+1) , (c0+2) } olsun. Bu durumda i = −2,−1, 0, 1, 2 iken x-bileşeni (c 30+i) olan sonsuz çoklukta Ej : y 2 = k x3j + ljx+mj, 0 6= j ∈ Z eliptik eğrisi vardır. Üstelik bu beş rasyonel nokta lineer bağımsızdır (Çelik ve Soydan 2018). İspat. (4.3.5)’deki formüllerde c = c0, v = v0 ve w = 1 olarak seçilirse K,L,M,N, P ∈ Q iken χ : t2 4c0,v0,1 = Ku + Lu 3 +Mu2 +Nu+ P (4.3.8) eliptik eğrisi elde edilir ve Teorem 4.3.3’e göre bu eğrinin rankı pozitiftir. O zaman χc0,v0,1(Q)’de sonsuz mertebeli R = (u, t) noktası bulunur. χc0,v0,1(Q)’de R noktasının j katı olması için 0 6= j ∈ Z iken jR = (uj, tj) alınır. Şimdi (4.3.1)’de p, q, r, s ∈ Q(c, u, v, w) için c = c0, v = v0, w = 1 and u = uj değerleri yerine yazıldığında sırasıyla pj, qj, rj, sj sayıları elde edilir. O zaman (4.3.1)’de k, l,m ∈ Q(c, p, q, r) için pj, qj, rj, sj değerleri yerine yazıldığında sırasıyla kj, lj,mj değerleri elde edilir. 93 Böylece 0 6= j ∈ Z iken E : y2 = k x3j j + ljx + mj eliptik eğrisinin sonsuz bir aile- sini inşa etmiş oluruz. Eliptik eğrilerin bu sonsuz Ej ailesi ((c0 − 1)3, pj), (c30, qj), ((c0 + 1)3, r 3j), ((c0 + 2) , sj), ((c0 − 2)3, tj) ∈ Ej(Q) noktalarını üzerinde bulundurur. Bu ise x-bileşenleri Q’da ardışık küpler olan 5-uzunluklu rasyonel diziyi bulunduran eliptik eğ- rilerin sonsuz bir ailesini elde ettiğimiz anlamına gelir. Şimdi ((c0 − 1)3, p ), (c3j 0, qj), ((c 30 + 1) , rj), ((c0 + 2)3, sj), ((c 30 − 2) , tj) ∈ Ej(Q) noktalarının lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bunun için (4.3.8) eğrisi üzerinde bir (u, t) noktası bulmalıyız . (4.3.8) denklemini göz önüne alalım. c = 3, v = 3094 , w = 1 alındığında 5795 2 782109496219903488 19793578415844699648t =63404527588416u4 − u2 + u 9025 550525 478172417894196583574016 + 303077775625 (4.3.9) eğrisi elde edilir. (4.3.9)’nin sağ tarafı tam kareye tamamlandığında 60547 78134116669224 (u, t) = ( , ) ∈ χ3, 3094 ,1(Q)77653 130068775 5795 sonsuz mertebeli bir nokta elde edilir. Böylece c = 3, v = 3094 , w = 1, u = 60547 alındığında 5795 77653 2 1019317647604532728704 3 170640863010859366860672E : y = x + x+ 50501152925375 2657955417125 5018469623203840351296469056 16917886230000625 özelleştirilmiş eliptik eğrisi elde edilir. Bu eğri üzerinde bulunan x-bileşenleri ardışık küpler olan 5 nokta ( ) ( ) ( ) 78134116669224 3 117823324221624 202645347682344E(Q) =(1, , 2 , ) , 33, ,130068775 130068775 130068775 3 405025200935544 3 8987329735334164 , ), (5 , 130068775 130068775 şeklindedir. Teorem 2.7.9 kullanılarak bu rasyonel noktaların lineer bağımsız olduğu gös- 94 terilebilir. Teorem 2.7.9’daki uzun prosedür MAGMA (Bosma ve ark. 1997) paket prog- ramı ile kolay bir şekilde hesaplanabilir. Dolayısıyla MAGMA programı yardımıyla bu rasyonel noktaların lineer bağımsız olduğu belirlendi. Silverman’ın Özelleştirme teoremiyle de, Q(c, v, uj)’de tanımlıEj eğrisi üzerindeki ((c−1)3, pj), (c3, q 3j), ((c+1) , r ), ((c+2)3j , sj), ((c−2)3, tj) noktaları lineer bağımsızdır. Böylece ispat tamamlanır. Uyarı 4.3.5 Sonuç 4.3.4, rankı r ≥ 5 olan eliptik eğrilerin sonsuz bir ailesinin varlığını gerektirir (Çelik ve Soydan 2018). Son olarak, eğer ardışık küplerin 6-uzunluklu dizisini inşa etmek istersek ((c+ 3)3, z) noktasının (4.1.1) eğrisi üzerinde olduğunu varsaymalıyız. Böylece K ′, L′,M ′, N ′, P ′ ∈ Q(c, v) olmak üzere z2 = K ′u4 + L′u3 +M ′u2 +N ′u+ P ′ eğrisini elde ederiz. O halde aşağıdaki uyarıyı verelim. Uyarı 4.3.6 Eliptik eğri üzerindeki 6-uzunluklu ardışık küplerin bir dizisinin varlığı C : t2 = Ku4 + Lu3 +Mu2 +Nu+ P, z2 = K ′u4 + L′u3 +M ′u2 +N ′u+ P ′ eğrilerinin ara kesiti olan cebirsel eğrinin üzerindeki rasyonel bir (u, t, z) noktasının var- lığına bağlıdır. Bu C arakesit eğrisinin cinsi 5’tir. Teorem 1.8.7’e göre verilen bir c ∈ Q ve j = −2,−1, 0, 1, 2, 3 için (c + j)3 ardışık küplerin 6 uzunluklu dizisini bulunduran Q üzerinde sonlu tane y2 = kx3 + lx+m eliptik eğrisi vardır (Çelik ve Soydan 2018). Çelik ve Soydan (2018) çalışması yayınlandıktan 3 yıl sonra Uyarı 4.3.6’deki problem yani ardışık küplerin 6 uzunluklu dizisini bulunduran ve rankı en az 5 olan y2 = kx3 + lx2 +mx+ n eliptik eğri ailesinin varlığı gösterilmiştir (Salami ve Zargar 2021). 95 5. ELİPTİK EĞRİLERİN FARKLI MODELLERİ ÜZERİNDEKİ RASYONEL DİZİLER 5.1 Giriş Eliptik eğrilerin farklı modellerinden Edwards eğrisi, bükülmüş Edwards eğrisi, Huff eğ- risi ve genel Huff eğrisi hakkında detaylı bilgiler 3. bölümde verildi. Şimdi bu eğriler üzerindeki rasyonel diziler ile ilgili çalışmaların literatür bilgisini tarihsel sıra ile vere- lim. İlk olarak yukarıda bahsedilen eğriler üzerindeki S ⊂ Q olacak şekilde n-uzunluklu S-aritmetik dizileri hakkındaki çalışmaları ele alalım. Edwards ve Huff eğrileri üzerin- deki S-aritmetik dizileri hakkında ilk iki çalışma Moody tarafından yapıldı. Moody bu çalışmalarında n = 9 uzunluklu S-aritmetik dizisini içeren sonsuz çoklukta Edwards eğ- risi ve Huff eğrisi olduğunu gösterdi (Moody 2011). Ayrıca Moody n > 10 uzunluklu S-aritmetik dizisini içeren Edwards eğrisi bulunup bulunmayacağını açık problem olarak bıraktı. 2013 yılında Bremner tarafından n = 11 uzunluklu S-aritmetik dizisini bulundu- racak Edwards eğrisinin mümkün olmadığı gösterildi (Bremner 2013). 2 yıl sonra Choudhry, n = 11 uzunluğunda S-aritmetik dizilerini içeren Huff eğrileri- nin bulunduğunu göstererek Moody’nin 2011’deki ikinci çalışmasını genişletti (Choudhry 2015). Şimdi, S’nin elemanlarının geometrik dizi oluşturduğu durumu göz önüne alalım. 2017’de Ciss ve Moody tarafından n = 4 uzunluklu S-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta Edwards eğrisi ve n = 5 uzunluklu S-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta bükülmüş Edwards eğrisi olduğu gösterildi (Ciss ve Moody 2017). Tezin bu bölümü orjinal sonuçlar içermektedir. Burada, giriş bölümünde bahsettiği- miz “S ⊂ F verildiğinde, her x ∈ S ve herhangi P ∈ C(F) için x = x(P ) olacak şekilde d. dereceden C cebirsel eğrileri var mıdır ?” sorusuna cevap bulmak için (bükülmüş) Edwards eğrileri ve (genel) Huff eğrileri göz önüne alınır. F sayı cisminin keyfi bir S alt- kümesi, yukarıda verilen cebirsel eğrilerin üzerindeki noktaların x-bileşenlerinden oluşan bir dizi olarak düşünülür. Üzerinde herhangi bir kısıtlama olmayan S-rasyonel dizilerin 96 uzunluğu |S| = 4, 5 veya 6 iken bu S-dizilerini bulunduran (bükülmüş) Edwards eğrileri ve (genel) Huff eğrilerinin sonsuz ailelerinin varlığı ispatlanır. Böylelikle bu bölümdeki sonuçlar bu cebirsel eğriler üzerindeki rasyonel diziler hakkında önceden yapılan bazı çalışmaları geneller. Elde edilen sonuçların ispatında yöntem olarak kuadratik ve eliptik yüzeyler üzerindeki rasyonel noktaların varlığı hakkındaki literatürden iyi bilinen sonuç- lar kullanılır. 5.2 6 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Edwards Eğrileri (3.1.4) formunda tanımlı Edwards eğrisini göz önüne alalım. Bu eğri üzerindeki nokta- ların kümesi Ed(F) ile gösterilsin. (3.3.1)’den dolayı (x, y) = (−1, 0), (0,±1), (1, 0) ∈ Ed(F) olduğu açıktır. i 6= j iken si 6= sj ve −1 ≤ i ≤ 4 olsun. Bu bölümde, herhangi bir S = {s−1 = −1, s0 = 0, s1 = 1, s2, s3, s4} ⊂ F kümesi verildiğinde x-bileşenleri si’ler olan rasyonel noktaları bulunduran sonsuz sayıda Edwards eğrisi olduğu gösterilecektir. s2’yi Ed(F) kümesinde bir noktanın x-bileşeni olduğunu varsayarak başlayalım. Bu du- rumda herhangi p = 1 ∈ F için y s22 2 − 1y = veya s2 2 2 s2d− 1 2 d− 1 = (s2 − 1)p 2 olur. Benzer şekilde s3, Ed(F)’deki bir noktanın x-bileşeni ise s22 3 − 1y = veya s2d− 1 = (s2 − 1)q2 s23d− 1 3 3 olur. Buradan (s22 − 1)p2 + 1 (s2 − 1)q2 + 1d = = 3 s2 22 s3 olup s2 23((s2 − 1)p2 + 1)− s22((s23 − 1)q2 + 1) = 0 (5.2.1) 97 kuadratik yüzeyi elde edilir ve (p, q) = (1, 1) noktası yüzey üzerindedir. Yüzey üzerinde (p, q) = (1, 1) noktasından geçen bir ` doğrusu, eğriyi ikinci bir (p, q) = (1 +m, 1 +mt) (5.2.2) noktasında kesecektir. Dolayısıyla (5.2.2) noktasının (5.2.1) yüzeyi üzerinde olması s23((s 2 2 − 1)(1 +m)2 + 1)− s2((s22 3 − 1)(1 +mt)2 + 1) = 0 olmasını gerektirir. Buradan s 23 (2 s 2 2 − 2)− 2 s 2 22 (s3 − 1) t m = −s 23 (s 2 22 − 1) + s2 (s 2 − 1) t23 olarak bulunur. Bulunan m değeri (5.2.2)’de yerine yazıldığında, kuadratik yüzey üzerin- deki rasyonel noktaların parametrik çözümleri 2ts2 − t2s2 − s2 + s2s2 − 2ts2s2 + t2s2 2 p = 2 2 3 2 3 2 3 2 s3 , −t2s2 + s2 − s2s22 3 2 3 + t2s22s23 − (−1 + s 2 2 2)s3 − 2t(−1 + s22)s2 + t2s2(−1 + s2q = 3 2 3) −(−1 + s22)s23 + t2s22(−1 + s23) şeklinde bulunur. Böylece s2 ve s3 değerleri F cisminde sabit bırakılarak p ve q değerlerinin F(t)’de olduğu görülür. Öncelikle Teorem 5.2.2 ve Teorem 5.3.1’ün ispatında kullanacağımız aşağıdaki öner- meyi verelim: √ Önerme 5.2.1 x2 + y2 = a2 + a2x2y2 ile tanımlanan eğri, i = −1 ve 0 6  6 3 olmak üzere b’nin  i  a− 1 a+ 1 a− i a+ ii , , i , i , i , i a a+ 1 a− 1 a+ i a− i 24 değerden biri olması durumunda x2 +y2 = b2 +b2x2y2 ile belirlenen eğriye birasyonel denktir (Edwards 2007, Önerme 6.1). 98 Şimdi sonucu verelim. Teorem 5.2.2 Z’de h(s2, s3) = −3 + 4s23 + s4 4 2 22s3 + s2(4− 6s3) =6 0 bağıntısına sahip bir dizinin terimleri s−1 = −1, s0 = 0, s1 = 1, s2, s3, s4 ve i 6= j iken si 6= sj ile verilsin. g1 ve g2 (5.2.4) ile tanımlanırken, ya g1(s2,s3)2 ya da g2(s2,s3) tamsayıh(s2,s3) h(s2,s3)3 değildir. Bu durumda −1 6 i 6 4 ve si, Ed(Q)’daki rasyonel noktaların x-bileşenleri iken E : x2 + y2d = 1 + dx 2y2, d ∈ Q bağıntısıyla ifade edilen sonsuz sayıda Edwards eğrisi vardır. Başka bir ifadeyle S = {si : −1 ≤ i ≤ 4} şeklindeki bir S-dizisine sahip sonsuz sayıda Edwards eğrisi vardır (Çelik ve ark. 2019). 2 2 İspat. (s2−1)p +1d = 2 ifadesinde p değerinin yerine yazılmasıylas2 (−t2s22 + s2 23 − s2s2 + t2s2s2)2d =(s4 − 2s2s43 2 3 3 2 3 + s4s42 3) + (4s23 − 8s2 2 4 22s3 + 4s2s3 − 4s43 + 8s22s43 − 4s4s42 3)t+ (−4s22 + 4s42 − 4s23 + 14s22s 2 3 − 10s4s2 + 4s42 3 3 − 10s2 4 4 4 22s3 + 6s2s3)t + (4s22 − 4s42 − 8s22s23 + 8s4s22 3 + 4s22s43 − 4s4s42 3)t3 + (s42 − 2s42s2 + s43 2s4 43)t olur. Böylece s2 ve s3 sabit değerleri için d ∈ Q(t) olur. Şimdi s4’ünEd’deki bir rasyonel noktanın x-bileşeni iken t’nin sonsuz çoklukta değe- rinin var olduğunu göstereceğiz. Aslında t’nin pozitif Mordell-Weil rankına sahip eliptik eğri üzerindeki rasyonel bir noktanın x-bileşeni olarak seçilebileceğini göstereceğiz. Do- layısıyla t için mümkün olan değerlerin sonsuz sayıda olduğunu göstereceğiz. (s4, r), Ed 99 üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda s2 r2 = 4 − 1 = (A0 + A1t+ A t 2 + A t32 3 + A4t 4)/B(t)2, (5.2.3) s24d− 1 olur. Burada Ai ∈ Z ve B(t) = −t2s2 22 + t s22s23 +s2 2 23−s2s3 olup A0 +A1t+A t22 +A3t3 + A4t 4 rasyonel kare olmak zorundadır. Buradan z2 = A0 + A1t+ A t 2 2 + A3t 3 + A 44t bağıntısına sahip C eliptik eğrisi elde edilir. ( ) (t, z) = 0, s2(s23 2 − 1) noktası da bu eğri üzerindedir. Bu eğri Teorem 2.3.5’e göre EI,J : y2 = x3− 27Ix− 27J Weierstrass denklemi ile tanımlanan eliptik eğriye izomorftur. Ayrıca bu eğri ( ) P = −12(−1 + s22)(−1 + s23)(−3 + s2 22 + s3),−216(−1 + s2)22 (−1 + s23)2 rasyonel noktasına sahiptir. 3P noktasının koordinatları ise rasyonel fonksiyonlardır. (2.5.1)- (2.5.3)’teki bağıntılar yardımıyla ( ) g1(s2, s3) g2(s2, s3) 3P = , , g1, g2 ∈ Q[s2 3 2, s3] (5.2.4)h(s2, s3) h(s2, s3) ve h(s2, s 2 4 4 2 2 3) = −3 + 4s3 + s2s3 + s2(4− 6s3) şeklindedir. Böylece h(s2, s3) 6= 0 ve g /h21 ∈/ Z veya g /h32 ∈/ Z olduğu sürece Te- orem 2.6.1 (Nagell-Lutz teoremi)’e göre 3P noktası sonsuz mertebeli bir noktadır. Böy- lece P ’de sonsuz mertebeli bir noktadır. Buradan da EI,J ’nin Mordell-Weil rankının po- zitif olduğu görülür. C, EI,J ’ye izomorf olduğundan da C eğrisi pozitif Mordell-Weil rankına sahiptir. Bu yüzden (5.2.3)’te bir d değeri yerine konulduğunda sonsuz sayıda 100 (t, z) ∈ C(Q) rasyonel noktası bulunur. Böylece yukarıda belirtilen rasyonel noktalara sahip olan bir Ed Edwards eğrisi vardır. Önerme 5.2.1 gereği sonsuz sayıdaki bu eğriler- den biri diğerine Q’da izomorf değildir. 5.3 4 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Bükülmüş (twisted) Edwards Eğrileri (3.4.1) formuyla tanımlı Ea,d bükülmüş Edwards eğrisini göz önüne alalım. (x, y) = (0,±1) ∈ Ea,d(F) olduğu açıktır. {u0 = 0, u1, u2, u3} ⊂ F dizisi verilsin. Burada i 6= j iken ui 6= uj ise S, Ea,d eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerinin dizisine sahip sonsuz sayıda Ea,d bükülmüş Edwards eğrisi olduğu ispatlanır. Varsayalım ki Ea,d(F) kümesindeki bir noktanın x-bileşeni u1 olsun. O zaman bazı i ∈ F 2 au 2 için y = 1 − 1 ya da u21d− 1 = (au21 − 1)i2 olur.u21d− 1 2 Şimdi u2, Ea,d(k) eğrisi üzerinde bir noktanın -bileşeni ise 2 au2−1x y = 2 ya da u2d −u2d−1 2 1 = (au22 − 1)j2 olur. Böylece (au21 − 1)i2 + 1 (au22 − 1)j2 + 1d = = u2 21 u2 olup [ ] [ ] u22 (au 2 − 1)i21 + 1 − u21 (au22 − 1)j2 + 1 = 0, kuadratik yüzeyi elde edilir ve (i, j) = (1, 1) bu yüzey üzerinde bir noktadır. Bu kuadratik yüzey üzerindeki noktalar −au2u2 + u2 + 2tau2u2 − 2tu2 − at2u2u2 21 2 2 1 2 1 1 2 + u1t2i = , au2u2 2 2 2 2 2 21 2 − u2 − at u1u2 + u1t −2atu2u2 + 2tu2 + at2u2u2 − u2t2 + au2 21 2 2 1 2 1 1u2 − u2j = 2 (5.3.1) au2u2 − u2 − at2u2u2 + u2t21 2 2 1 2 1 parametrik bağıntıları ile verilir. Şimdi aşağıdaki sonucu verelim. 101 Teorem 5.3.1 Z’de h(u 21, u2) =− 27− 72u1 + 36u4 + 18u2u2 − 12u4u21 1 2 1 2 − 18u4 2 4 4 42 + 12u1u2 + u1u2 − 2u2u61 2 + u82 + a(36u21 − 12u41 − 24u21(−3 + u2 21) + 36u2 + 72u21u22 − 24u4 21u2 − 12u2 41u2 + 4u4 41u2 − 4(−3 + u21)u62) + a2(−144u21u22 + 36u4u2 + 18u4 − 36u2u4 + 4u4 41 2 2 1 2 1u2 + 2u21u62 − 2u82) + a3(36u2u41 2 + 4(−3 + u2 6 4 81)u2) + a u2 (5.3.2) bağıntısına sahip bir dizinin terimleri u0 = 0, u1, u2, u3 ve i 6= j iken ui 6= uj ile verilsin. g1 ve g2 (5.3.4) ile tanımlanırken, h(u1, u2) 6= 0 ve g1/h2 ya da g2/h3 tamsayı olmasın. Bu durumda 0 ≤ i ≤ 3 ve ui, Ea,d(Q)’daki rasyonel noktaların x-bileşenleri iken Ea,d : ax 2 + y2 = 1 + dx2y2, d ∈ Q, a ∈ Q∗ bağıntısıyla ifade edilen sonsuz sayıda bükülmüş Edwards eğrisi vardır. Başka bir deyişle S = {ui : 0 ≤ i ≤ 3} şeklindeki bir S-dizisine sahip sonsuz sayıda bükülmüş Edwards eğrisi vardır (Çelik ve ark. 2019). (au2 − 1)i2 + 1 İspat. d = 1 ifadesinde i’nin yerine (5.3.1)’teki formül yazılırsa u21 (au21u 2 2 2 − u2 − at2u2u2 2 2 2 4 3 4 4 2 2 4 4 2 21 2 + u1t ) d =(u1a u2 − 2u1a u2 + u1a)t + (−8au1u2 + 4u2 + 4u2a2u4 − 4u4a− 4u4a3 41 1 2 1 1 u2 + 8u4a2u21 2)t 3 + (−4u21 − 10u2 2 4 2 21a u2 + 14au1u2 + 6u4a3u4 − 4u2 − 10u4a2u2 + 4u4a+ 4au4)t21 2 2 1 2 1 2 + (4u22 + 8u 2a2u4 2 2 4 2 2 41 2 − 8au1u2 + 4u1a u2 − 4au2 − 4u4a3u4)t+ u4a31 2 1 u42 − 2u2a2u41 2 + au42 olur. Böylece u1 ve u2 sabit değerleri için d ∈ Q(t) olur. Şimdi u3’ün Ea,d eğrisindeki bir rasyonel noktanın x-bileşeni iken t’nin sonsuz çok- 102 lukta değerinin var olduğunu göstereceğiz. Aslında t’nin pozitif Mordell-Weil rankına sahip eliptik eğri üzerindeki rasyonel bir noktanın x-bileşeni olarak seçilebileceğini göste- receğiz. Dolayısıyla t için mümkün olan değerlerin sonsuz sayıda olduğunu göstereceğiz. (u3, `), Ea,d üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda 2 `2 au3 − 1= = (C + C t+ C t20 1 2 + C 3 4 23t + C4t )/D(t) (5.3.3) du23 − 1 olur. Burada Ci ∈ Q ve D(t) = au21u22 − u22 − at2u21u22 + u21t2 rasyonel kare olmak zorundadır. Buradan z2 = C0 + C t+ C t 2 1 2 + C 3 3t + C4t 4 bağıntısına sahip C ′ eliptik eğrisi elde edilir. ( ) (t, z) = 0, u22(au 2 1 − 1) noktası da bu eğri üzerindedir. Bu eğri Teorem 2.3.5’e göre I = 12C0C4 − 3C1C 23 + C2 , J = 72C0C2C 2 4 + 9C1C2C3 − 27C1C4 − 27C0C23 − 2C32 olmak üzere E : y2I,J = x3 − 27Ix − 27J Weierstrass denklemi ile tanımlanan eliptik eğriye izomorftur. Ayrıca bu eğri Q = (−12(−1 + au22)(−1 + au21)(−3 + au22 + u21),−216(−1 + au2 22) (−1 + au2)21 ) rasyonel noktasına sahiptir. Aslında ( ) g1(u1, u2) g2(u1, u2) 3Q = , , g1, g2 ∈ Q[u1, u2] (5.3.4) h(u1, u 2 32) h(u1, u2) 103 olup h(u1, u2) =− 27− 72u21 + 36u41 + 18u21u2 4 2 4 2 4 4 42 − 12u1u2 − 18u2 + 12u1u2 + u1u2 − 2u2 61u2 + u82 + a(36u2 − 12u4 − 24u2(−3 + u21 1 1 1) + 36u22 + 72u21u22 − 24u4u2 − 12u2u4 + 4u4u41 2 1 2 1 2 − 4(−3 + u21)u62) + a2(−144u21u22 + 36u4u21 2 + 18u 4 − 36u2u4 4 42 1 2 + 4u1u2 + 2u21u62 − 2u8 3 2 42) + a (36u1u2 + 4(−3 + u2)u6) + a4u81 2 2 şeklindedir. Bu nedenle h(u1, u2) 6= 0 ve g 21/h ∈/ Z ya da g2/h3 ∈/ Z olduğu sürece EI,J üze- rindeki Q noktası, sonsuz mertebeli olduğundan pozitif Mordell-Weil rankına sahiptir. C ′, EI,J izomorf olduğundan C ′ eğrisi de pozitif Mordell-Weil ranka sahiptir. Bu yüzden (5.3.3)’de bir d değeri yerine konulduğunda sonsuz sayıda (t, z) ∈ C ′(Q) rasyonel noktası bulunur. Böylece yukarıda belirtilen rasyonel noktalara sahip olan bir Ea,d bükülmüş Edwards eğrisi vardır. Önerme 5.2.1 gereği sonsuz sayıdaki bu eğrilerden biri diğerine Q’da izomorf değildir. Uyarı 5.3.2 (0,−1), (0, 1) bükülmüş Edwards eğrisi üzerinde herhangi bir rasyonel nokta olduğundan Z’de dizinin terimleri u−1 = −1, u1 = 1, u2, u3, u4 ve i 6= j iken ui =6 uj ile verilsin. Bu durumda i ∈ {−1, 1, 2, 3, 4} ve ui, Ea,d(Q)’daki rasyonel noktaların y-bileşenleri olduğundan sonsuz sayıda bükülmüş Edwards eğrisi vardır (Çelik ve ark. 2019). 5.4 5 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Huff Eğrileri (3.6.4) formuyla verilen Ha,b Huff eğrisini göz önüne alalım. (x, y) = (−1,±1), (0, 0), (1,±1) noktaları Ha,b(F) kümesine aittir. Dizinin terimleri s−1 = −1, s0 = 0, s1 = 1, s2, s3 ve i 6= j iken si 6= sj ile verilsin. Bu durumda−1 ≤ i ≤ 3 ve si,Ha,b(F) eğrisi üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenleri olduğundan sonsuz sayıda Huff eğrisi vardır. 104 Varsayalım ki (s2, p) ve (s3, q), Ha,b üzerinde iki nokta olsun. Böylece as2(p 2 − 1) = bp(s22 − 1), (5.4.1) as3(q 2 − 1) = bq(s23 − 1) (5.4.2) elde edilir. (5.4.1) ve (5.4.2) eşitlikleri ile s2(p 2 − 1) p(s22 − 1)= s3(q2 − 1) q(s23 − 1) bulunur. Böylece C ′ : Apq2 − Ap−Bqp2 +Bq = 0 eğrisini göz önüne almalıyız. Burada A = s s23 2 − s2 ve B = s s22 3 − s2 dir. Yukarıdaki eşitlikte her iki taraf q3 ile bölünürse p − p 1 − pA A B( )2 1+B = 0 q q q2 q q2 elde edilir. Burada x = p ve y = 12 yazıldığındaq q Ax− Axy −Bx2 +By = 0 ikinci derece eğrisi elde edilir. (x, y) = (1, 1) noktası bu eğri üzerindedir. Bu kuadratik yüzeyin rasyonel çözümleri Bt−B x = , (5.4.3) At+B At(1− t) +B(1− t)2 y = (5.4.4) At+B parametrik bağıntıları ile verilir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 5.4.1 Z’de A = s s23 2 − s 22 ve B = s2s3 − s2 olmak üzere h = −4 + A2 − 3AB +B2 6= 0 105 bağıntısına sahip bir dizinin terimleri s−1 = −1, s0 = 0, s1 = 1, s2, s3, ve m 6= n iken sm 6= sn ile verilsin. g1 ve g2 (5.4.5) denklemi ile tanımlanırken ya g1 ya da g22 3 tamsayıh h olmasın. Bu durumda−1 ≤ m ≤ 3 ve sm, Ha,b(Q)’daki rasyonel noktaların x-bileşenleri iken Ha,b : ax(y 2 − 1) = by(x2 − 1) a, b ∈ Q, a2 6= b2 bağıntısıyla ifade edilen sonsuz sayıda Huff eğrisi vardır. Başka bir deyişle S = {si : −1 ≤ i ≤ 3} şeklindeki bir S-dizisine sahip sonsuz sayıda Huff eğrisi vardır (Çelik ve ark. 2019). İspat. (5.4.3) ve (5.4.4) eşitlikleri kullanılarak x22 B 2(−1 + t) p = = , y (B(−1 + t)− At)(B + At) 2 1 (B + At)q = = y (−1 + t)(B(−1 + t)− At) elde edilir. Her iki durumda da (B + At)(−1 + t)(B(−1 + t) − At) ifadesinin bir kare olması ya da başka bir ifade ile (t, z) = (0, B) noktasına sahip C ′′ ile tanımlanan z2 = (At+B)(t− 1)(t(B − A)−B) eliptik eğrisi üzerindeki rasyonel bir noktanın x-bileşeninin t olması gerekir. Teorem 2.3.5’e göre bu eğri, A(B − A)t = X ve A(B − A)z = Y iken Y 2 = X3 + ((B − A)2 − AB)X2 − 2AB(B − A)2X + A2B2(B − A)2 eliptik eğrisine izomorftur. Ayrıca bu eğri üzerindeki bir rasyonel nokta R = (X, Y ) = (0, AB(B − A)) 106 ile verilir. (2.5.1)- (2.5.3) formülleri kullanılarak 3R aşağıdaki gibi olur. ( ) g1(A,B) g2(A,B) 3R = , (5.4.5) h(A,B)2 h(A,B)3 burada h(A,B) = −4 + A2 − 3AB +B2 olur. Burada Teorem 5.3.1’teki benzer adımlar kullanılarak ispat tamamlanır. 5.5 4 Uzunluklu Dizileri Bulunduran Genel Huff Eğrileri (3.9.1) formuyla verilen Ga,b genel Huff eğrisini göz önüne alalım. (x, y) = (0, 0) ∈ Ga,b(F) olduğundan F’de dizinin terimleri u0 = 0, u1, u2, u3, ve i =6 j iken ui =6 uj ile verilsin. Bu durumda i ∈ {0, 1, 2, 3} ve ui, Ga,b(F)’deki rasyonel nok- taların x-bileşenleri olduğundan sonsuz sayıda genel Huff eğrisi vardır. u1, Ga,b(F)’deki bir noktanın x-bileşeni ise ay2 − 1 bu2 = 1 − 1 y u1 ya da a− i2 bu21 − 1= , i ∈ k (5.5.1) i u1 elde edilir. Benzer şekilde u2, Ga,b(F)’deki bir noktanın x-bileşeni ise ay2 − 1 bu22 − 1= y u2 ya da a− j2 bu22 − 1= , j ∈ F (5.5.2) j u2 elde edilir. (5.5.1) ve (5.5.2) ile (bu21 − 1)i+ u1i2 (bu22 − 1)j + u2j2a = = u1 u2 107 bulunur. Böylece S : Ai2 +Bj2 + Ciz +Djz = 0 (5.5.3) eğrisini göz önüne almalıyız. Burada A = −u1u2, B = u1u2, C = −u21u2b + u2, D = bu1u 2 2 − u1’dir. Bu durumda S ⊂ P2 üzerindeki P = (i : j : z) = (0 : 0 : 1) ve Q = (p : q : r) noktalarından geçen mP + nQ = (np : nq : m+ nr) doğrusunu göz önüne alalım. S yüzeyi ile mP + nQ doğrusunun kesişimi bize n2(Ap2 +Bq2 + Cpr +Dqr) +mn(Cp+Dq) = 0 ikinci dereceden denklemini verir. P ve Q noktalarının S üzerinde oluşu kullanılarak (5.5.3)’nin (i : j : z) çözümleri i = np = Cp2 +Dpq, j = nq = Cpq +Dq2, z = m+ nr = −Ap2 −Bq2 formülleri ile elde edilir. Şimdi aşağıdaki sonucu elde ederiz. Teorem 5.5.1 F’de bir dizinin terimleri u0 = 0, u1, u2 ve u3 olsun ve i 6= j iken ui 6= uj ile verilsin. 0 ≤ i ≤ 3 ve ui,Ga,b(F) kümesindeki rasyonel noktaların x-bileşenleri olmak üzere G : x(ay2a,b − 1) = y(bx2 − 1), a, b ∈ F, ab(a− b) 6= 0 bağıntısıyla ifade edilen sonsuz sayıda genel Huff eğrisi vardır. Diğer bir deyişle S = {ui : 0 ≤ i ≤ 3} şeklindeki bir S-dizisine sahip sonsuz çoklukta genel Huff eğrisi vardır (Çelik ve ark. 2019). 108 (bu21 − 1)i+ u i2İspat. 1a = ifadesinde i’nin değeri yerine yazıldığında u1 ( )2 ( ) ( ) ( )2 a =u22 bu 2 4 2 2 3 2 2 2 2 1 − 1 p − 2u(1u2 bu2 )−(1 bu1 )− 1 p q + u1 bu2 − 1 p qu (bu 2− 2 1 − 21) p2 + bu 2 − 1 bu 22 1 − 1 pq u1 bulunur. Şimdi (u3, `) ∈ Ga,b(F) olduğunu varsayalım. Böylece ( ) p(u3 bp2u 31 u2 − bpqu 2u 2 − p21 2 u)1u2 + pqu( 2 21 − bu1 )+ 1 bpu 21 u − bqu u 22 1 2 − pu 2 22 + qu1 ` − u1 bu3 − 1 `− u1u3 = 0 bulunur. Burada T = 1/` olarak seçilirse Z2(b2p4u5u2u − 2bp4u3u2u − b2p2u4u u + p4u u2u + 2bp2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 u1u2u3 − p2u2u3) + qZ(−2b2p3u4u3u + 2bp3u41 2 3 1u2u3 + 2bp3u21u3 2 3 22u3 + b pu1u2u3 − 2p3u21u(2u3 − bpu)31u − bpu u23 1 2u3 + pu1u3) + q2p2u31u3(bu22 − 1)2 − TZu1 bu 23 − 1 − T 2u1u3 = 0 eğrisi elde edilir. P = (q : T : Z) = (1 : 0 : u (−1+bu21 2)/pu2(−1+bu21)) noktası bu eğri üzerinde bulunur. Böylece yukarıdaki kuadratik yüzeyin tüm rasyonel çözümlerini para- metrik olarak bulabiliriz. Varsayalım ki Q = (q1 : q2 : q3) kuadratik yüzey üzerinde bir nokta olsun. Kuadratik yüzey ile dP+eQ doğrusunun kesişiminden bu rasyonel çözümler bulunabilir. Ayrıca buradan d =pu2(bu 2 1 − 1)(q 2 23 b p4u 51 u 22 u − 2q 2bp4u 33 3 1 u 22 u3 − q 23 b2p2u 41 u2u3 + q 2p4u u 23 1 2 u3 + 2q 23 bp2u 21 u2u3 − q 2 23 p u2u3 − u1q2q3bu 23 + u1q 2 3 2 2 42q3 + p u1 u3q1 b u2 − 2p2u 3 2 21 u3q1 bu2 + p2u 3u q 21 3 1 − 2q 2 3 4 31q3b p u1 u2 u3 + 2q q bp31 3 u 4 1 u2u3 + 2q q 3 2 3 2 3 2 1 3bp u1 u2 u3 + q1q3b pu1 u2 u3 109 − 2q q p3u 21 3 1 u2u 33 − q1q3bpu1 u3 − q1q3bpu 21u2 u3 + q1q3pu1u3 − u 21u3q2 ), e =u1(bu 2 2 − 1)(−pu 31 u3q1b2u 2 + p22 u3q3u2b2u 41 + pu1u 23q1bu2 − 2p2u3q3u2bu 21 + pu 31 u3q1b+ u1q2bu 23 + p2u3q3u2 − u1q2 − pu1u3q1) bağıntıları elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 110 6. BİRİM ÇEMBER ÜZERİNDE GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN RASYO- NEL NOKTALAR 6.1 Giriş İlk olarak konikler ve birim çember hakkında bilinen bazı gerçekleri hatırlatalım. xy- düzlemindeki bir noktanın koordinatları rasyonel sayı ise bu nokta rasyonel nokta olarak adlandırılır. Eğer a, b, c ∈ Q olmak üzere ax+ by + c = 0 denklemi ise rasyonel doğru olarak adlandırılır. Şimdi iki rasyonel noktamız varsa bu noktalardan geçen doğrunun rasyonel bir doğru olduğu açıktır. a, b, c, d, e, f ∈ Q olmak üzere ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 polinom denklemi ile verilen düzlem eğri rasyonel konik olarak adlandırılır. Şimdi şu soruyu soralım: Rasyonel bir doğru ile rasyonel bir konik kesişirse kesişim noktaları ras- yonel olur mu? Bazı örneklerde cevabın genelde “hayır”olduğu görülebilir. Eğer analitik geometri kullanırsak rasyonel konik ile rasyonel doğrunun kesişiminden x’e bağlı ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bu denklemin katsayıları da rasyonel olacaktır. Böy- lece iki kesişim noktasının rasyonel olması için gerek ve yeter şart ikinci derece denkle- min köklerinin rasyonel olmasıdır. Genelde kökler eşlenik ikinci dereceden irrasyoneller olabilir. Ancak bu noktalardan biri rasyonel ise diğeri de rasyoneldir. O halde şu doğru- dur: Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir rasyonel kökü varsa diğeri de rasyo- neldir. Bu basit fikir bir konik üzerindeki rasyonel noktaları tamamen ifade etmeyi müm- kün kılar. Bir rasyonel konik verilirse ilk soru bu konik üzerindeki noktaların rasyonel olup olmayacağıdır. Ancak varsayalım ki rasyonel konik üzerinde bir O noktası bilinsin. O zaman diğer noktaları da bulmak kolaydır. Konik üzerindeki O noktasından geçen bir 111 rasyonel doğru çizelim veO noktasından geçen doğru üzerindeO noktasının koniğe göre izdüşümünü alalım. (Burada O noktasının doğru üzerinde izdüşümünü almak için O’da koniğe teğet olan doğru kullanılır.) Şekil 6.1.1. Bir doğru üzerinde koniğin izdüşümü (Bu soruya cevap olarak; genel bir metot olan Hasse-Minkowski teoreminin ifadesi şöy- ledir: “Çeşitli sayıda değişkene sahip ikinci dereceden homojen bir polinomun tam sayı- larda (hepsi birden sıfır olmayan) çözülebilir olması için gerek ve yeter şart bu denklemin reel sayılarda ve her bir p asalı için p− sel sayılarda çözülebilir olmasıdır.” Bu teoremin bazı uygulamaları için de Gouvêa’nın 3.5 bölümüne bakılabilir. ) Doğru koniği iki noktada keser ve konik üzerindeki her P noktası için doğru üzerinde bir Q noktası elde edilir. Tersine doğru üzerindeki her Q noktası için Q noktasını O nok- tasına birleştirerek konik üzerinde P noktası elde edilir. (Şekil 6.1.1.’e bakınız) Böylece konik ve doğru üzerindeki noktalar arasında bire-bir karşılık gelme durumu elde edilir. Bu durumda şunu görüyoruz ki konik üzerindeki P noktası rasyonel koordinatlara sahipse Q noktası da rasyonel koordinatlara sahiptir. Tersine Q rasyonel ise O rasyonel varsayıla- cağından P ve Q’dan geçen doğru koniği iki noktada keser ve bunlardan biri rasyoneldir. Böylece diğer nokta da rasyonel olur. Bu durumda konik üzerindeki rasyonel noktalar doğru üzerindeki rasyonel noktalara bire-bir karşılık gelir. Elbette doğru üzerindeki ras- yonel noktalar bazı parametrelerin rasyonel değerleri olarak ifade edilebilir. 112 Şimdi bu prosedürü konik ailesinin bir üyesi olan x2 + y2 = 1 birim çember üzerinde gerçekleştirelim. (−1, 0) noktasının y ekseni üzerinde izdüşümünü alacağız. Bu nokta (0, t) olsun. Şekil 6.1.2. Çember denkleminin rasyonel parametrizasyonu Eğer x ve y’yi biliyorsak, t’yi kolayca elde edebiliriz. (−1, 0) ve (0, t) noktalarından geçen L doğrusunun denklemi y = t(1 + x)’tir. (x, y) noktası L doğrusu ve çember üzerinde olsun. Böylece 1− x2 = y2 = t2(1 + x)2 bağıntısı elde edilir. t’nin sabit bir değeri için bu ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin kökleri çember ile L doğrusunun kesişim noktalarının apsisleridir. x = −1 bir köktür, çünkü (−1, 0) noktası hem L hem de çember üzerindedir. Diğer kökü bulmak için denklemin her iki tarafını 1 +x çarpanı ile sadeleştirelim. Buradan 1−x = t2(1 +x) elde 113 edilir. y = t(1 + x) eşitliğini kullanarak 1− t2 2t x = y = (6.1.1) 1 + t2 1 + t2 formülleri elde edilir. Bu formüller çemberin rasyonel parametrizasyonudur. Ve şimdi yukarıdaki iddia bu formüllerden açıkça anlaşılmaktadır. Yani x ve y rasyonel sayılar ise t rasyonel sayı olacaktır. Tersine, eğer t bir rasyonel sayı ise o zaman bu formüllerden x ve y koordinatlarının rasyonel sayılar olacağı açıktır. Böylece (6.1.1)’de t yerine keyfi bir rasyonel sayı alarak çember üzerindeki rasyonel noktalar bulunur. Bu bize (−1, 0) hariç tüm noktaları verecektir (eğer (−1, 0) elde etmek istiyorsak, t’nin yerine∞ koymak gerekir). Birim çember üzerinde (−1, 0) hariç tüm noktalar bulunur. Son zamanlarda bir çok yazar tarafından düzlem eğrilerinin çeşitli aileleri üzerinde geometrik dizilerin varlığı incelendi. İlk çalışma 2013’te Bremner ve Ulas tarafından ya- pıldı. Yazarlar ilk olarak, n = 4 uzunluklu S-geometrik dizilerini içeren (x-bileşeni açı- sından) sonsuz çoklukta ikili izomorf olmayan C : y2 = axn + b hipereliptik eğrilerinin var olduğunu gösterdiler. İkinci olarak da aynı yazarlar tarafından 5 noktanın üzerinde geometrik dizi oluşturduğu y2 = ax+ b parabollerinin sonsuz çoklukta olduğu gösterildi (Bremner ve Ulas 2013). Bölüm 5.1’de geometrik dizileri bulunduran eliptik eğrilerin di- ğer modelleri ile ilgili sonuçlar ifade edildi. 2016’da Choudhry ve Juyal tarafından n = 3 uzunluklu S-aritmetik dizilerini içeren (x-bileşeni açısından) sonsuz çoklukta birim çem- ber olduğu ve bu özellikteki üç noktanın birim çemberin birinci bölgesinde bulunduğu gösterildi (Choudhry ve Juyal 2016). Ancak yazarlar birim çember üzerinde dört rasyo- nel noktanın aritmetik dizi oluşturacak şekilde bulunup bulunmayacağını da açık problem olarak bıraktılar. Ertesi yıl Ciss ve Moody tarafından konikler üzerindeki aritmetik diziler göz önüne alındı (Ciss ve Moody 2017a). Bu yazarlar çalışmada ilk olarak n = 3 uzun- luklu aritmetik dizileri (x-bileşenleri açısından) bulunduran sonsuz çoklukta x2 + y2 = 1 birim çemberi olduğunu Choudhry ve Juyal’in çalışmasından farklı bir yaklaşımla gös- terdiler. Ayrıca bu yaklaşımı kullanarak n = 3 uzunluklu aritmetik dizileri bulunduran 114 (x-bileşenleri açısından) sonsuz çoklukta x2− y2 = 1 birim hiperbolü olduğunu gösterdi- ler. İkinci olarak da aynı yazarlar tarafından n = 8 uzunluklu aritmetik dizileri bulunduran ax2 + ay2 = 1 koniklerinin sonsuz çoklukta olduğu ispatlandı. Tezin bu bölümü orjinal sonuçlar içermektedir. Düzlem cebirsel eğri üzerindeki rasyo- nel noktaların x veya y-bileşenleri ortak çarpanı r olacak şekilde bir geometrik dizi oluş- turursa düzlem cebirsel eğri üzerindeki rasyonel noktalarının dizisinin bir r-geometrik dizisi oluşturduğu söylenir. Bu bölümde C : x2 + y2 = 1 (6.1.2) birim çember denklemi üzerinde en az 3 uzunluklu r-geometrik dizilerini bulunduran sonsuz çoklukta r rasyonel sayısının varlığı ispatlanır. 6.2 Birim Çember Denklemi Üzerindeki 2 Uzunluklu Geometrik Diziler F cisminde tanımlı C üzerindeki rasyonel noktaların kümesi C(F) = {(x, y) : x2 + y2 = 1, x, y ∈ F} (6.2.1) şeklinde ifade edilir. x Tanım 6.2.1 Her ii = 2, . . . , n için = r ise C(Q)’da (x1, y1), . . . , (xn, yn) rasyonel xi−1 noktaların bir dizisi n uzunluklu bir r-geometrik dizisi oluşturur. −4m x Yardımcı Teorem 6.2.2 m ∈ Q için r = olsun. 2 = r olacak şekilde sonsuz m2 + 2 x1 çoklukta (x1, y1), (x2, y2) ∈ C(Q) rasyonel nokta ikilisi vardır. Özellikle, uzunluğu 2 olan sonsuz sayıda r-geometrik dizisi vardır (Çelik ve ark. 2021). İspat. (x1, y 2 2 21), (rx1, y2) noktaları x1+y1 = 1 ve (rx1) +y22 = 1 bağıntılarını sağlayacak şekilde olsun. P3’te Hr : x 2 1 + y 2 1 = z 2, r2x21 + y 2 = z22 115 kuadratik yüzeylerinin kesişimini göz önüne alalım. Bölüm 2.3.4’te iki kuadratik yüzeyin kesişiminin bir eliptik eğriye karşılık gelişi ile ilgili prosedür ayrıntılı olarak ifade edilir. Bu prosedürün uygulaması MAGMA paket programının standart komutları ile kolayca yapılabilir (Bosma ve ark. 1997). Böylece MAGMA ile bu iki eğrinin kesişimine karşılık gelen Weierstrass formundaki eliptik eğri Er : y 2 = x(x− 4)(x− 4r2) şeklinde bulunur. Ayrıca Er ve Hr eğrileri arasındaki φr : Er → Hr birasyonel izomor- fizmi An ve ark. Teorem 3.1 (2001)’de tanımlanır. x = 2r2 seçildiğinde y2 = −8(r2 − 2)r4 elde edilir. Burada y/2r2 = s alınırsa Q : s2 + 2r2 = 4 koniği elde edilir. Eğer (r , s ), Q : s2 + 2r20 0 = 4 koniği üzerinde bir nokta ise o zaman P0 = (x(P 2 20), y(P0)) = (2r0, 2r0s0) ∈ Er0(Q) sonsuz mertebeli bir noktadır. Q koniği bir (r, s) = (0, 2) rasyonel noktasına sahip olduğundan, bu koniğin tüm rasyonel parametrik çözümleri (r, s) = (−4m/(m2 + 2), 2(m2−2)/(m2 + 2)) (m ∈ Q) ile verilir. mP0, P0’ın m’inci katı olduğundan C(Q)’da bir r-geometrik dizisi oluşturan rasyonel noktaların x-bileşenleri x1 ve x2 = rx1, olmak üzereQm := φr(mP0) := (x1, y1, y2, z) ∈ Hr(Q) eşitliği elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. Aslında yukarıdaki yardımcı teorem şu şekilde kuvvetlendirilebilir: x Önerme 6.2.3 Her bir için, 2r = r2 olmak üzere sonsuz çoklukta (x1, y1), (x2, y2) ∈ x1 C(Q) rasyonel nokta ikilisi vardır (Çelik ve ark. 2021). İspat. C : x2 + y2 = 1 birim çember denkleminin rasyonel çözümleri s ∈ Q olmak üzere (x1, y1), (x2, y2) ∈ C(Q) olup (6.1.1) eşitliklerinden 2s 2t 2s x1 = , x 2 2 2 = = r 1 + s 1 + t2 1 + s2 116 şeklinde alınabilir. Başka bir ifade ile böyle bir çiftin varlığı, E 2 2 2r : t(s + 1) = r s(t + 1) düzlem eğrisi üzerinde bir rasyonel noktayı verir. Er eğrisi, bükülmüş Huff eğrisidir. Bölüm 3.8’e göre (3.8.2) ve (3.8.3) formüllerle Er eğrisi (x, y) = (−r2(r2t− s)/(−t+ r2s),−r2(r4 − 1)/(−t+ r2s)) , (s, t) = ((x− r4)/y, r2(x− 1)/y) dönüşümleri yardımıyla, Weierstrass formundaki E ′r : y 2 = x(x− 1)(x− r4) eliptik eğrisine izomorftur. Yani E ′r ve Er eğrileri birbirine izomorftur. Yukarıdaki Weierstrass denklemi Tanım 2.3.1’e göre bir Legendre formunda denklemdir ve eğrinin torsion grubu Z/2Z×Z/4Z’tür. u ∈ Q\{0, 1} olsun. x = u4 olarak alındığında, y2 = u4(u4 − 1)(u4 − r4) eğrisi elde edilir. w = y/u2 olarak alındığında ise H : w2 = −(u4 − 1)r4 + (u4 − 1)u4 (6.2.2) dördüncü dereceden eliptik eğrisi elde edilir. P = (r, w) = (1, u4 − 1) noktası H eğrisi üzerinde sonsuz mertebeli bir noktadır. Çünkü özel olarak u = 2 seçildiğinde MAGMA prosedürleri yardımıyla (6.2.2) eğrisinin rankı 1 olan y2 = x3 + 360x2 + 57600x+ 3456000 (6.2.3) üçüncü derece eliptik eğrisine izomorf olduğu ve P = (1, 15) noktasının sonsuz mertebeli 117 olduğu gösterilir. Sonuç olarak (x, y) = (u4, u2(u4 − 1)) ∈ E ′r(Q) sonsuz mertebeli bir nokta olacak şekilde sonsuz çoklukta r vardır. Daha doğrusu, H(Q) eğrisinde m =6 ±1 ol- mak üzere mP ’nin r-bileşeni olarak r’yi seçersek, o zaman Er pozitif ranklı bir eğridir. E (Q)’de (u4r , u2(u4− 1))’in görüntüsünü bulmak için Joye ve ark. (2010) makalesindeki dönüşüm kullanılarak (6.2.2) eğrisi üzerinde sonsuz mertebeli bir nokta bulunabilir. Örnek 6.2.4 r = 5/4 olsun. Burada r2-geometrik dizilerini oluşturan birim çember üze- rinde üç rasyonel nokta bulalım. (s, t) = (8, 1/5) için (x1, y1) = (16/65, 63/65) ve (x2, y2) = (5/13, 12/13), (s, t) = (64/273, 21/52) için (34944/78625, 70433/78625) ve (2184/3145, 2263/3145), (s, t) = (37523/119144, 67159/41605) olduğunda ise (8941280624/15603268265, 12787317207/15603268265) ve (2794150195/3120653653, 1389677628/3120653653) rasyonel noktaları bulunur (Çelik ve ark. 2021). Yukarıdaki (s, t) noktaları, Önerme 6.2.3’ün ispatında ε5/4 eğrisi üzerindeki rasyonel noktalardır. Ayrıca, E ′5/4 Weierstrass denklemi ile tanımlanan eğride bulunan bu üç ras- yonel noktanın görüntüleri sırasıyla (125/128, 375/2048), (4225/256, 61425/1024) ve (351125/114242, 876825375/436861408) şeklindedir. Uyarı 6.2.5 r rasyonel değerleri ile Yardımcı Teorem 6.2.2’de bir konik üzerindeki ras- yonel noktalar elde edilirken, Önerme 6.2.3’te pozitif ranklı bir eliptik eğri üzerindeki rasyonel noktalar elde edilir (Çelik ve ark. 2021). 6.3 Birim Çember Üzerindeki 3 Uzunluklu Geometrik Diziler (6.1.2) birim çember denklemini göz önüne alalım. Varsayalım (x1, y1) = (u/r, f), (x2, y2) = (u, g), (x3, y3) = (ur, h) 118 noktaları (6.1.2) denklemini sağlasın. Biliyoruz ki birim çember üzerindeki noktalar (6.1.1) deki gibi ( ) ( ) 2t 1− t2 2s 1− s2 (u/r, f) = , , (u, g) = , (6.3.1) 1 + t2 1 + t2 1 + s2 1 + s2 2s 1 + t2 olup r = · bulunur. Şimdi, üçüncü nokta olan (x3, y3) = (ur, h) noktasını 1 + s2 2t (6.1.2)’de yerine yazdığımızda ( )4 ( )2 2 − 2s · 1 + t 2 h = 1 1 + s2 2t olup düzenlemeler yaptığımızda ( ) 2 2 2 2 t2(s2 4 − h(1 + s ) (2t)+ 1) 4s4(t2 + 1)2 = (6.3.2) 2 elde edilir. Sağ taraftaki eşitliğe değişken değiştirmesi yaparak, H = h(s2 + 1)2t olmak üzere t2(s2 + 1)4 − 4s4(t2 + 1)2 = H2 (6.3.3) dördüncü dereceden eğriyi elde ederiz. (t,H) = (s, s5 − s) rasyonel noktası Q(s) cisminde tanımlı (6.3.3) dördüncü dereceden bir eliptik eğrisi üzerindedir. Bu eğri E : y2 = x(x+ 16s4)(x+ (1 + s2s ) 4) (6.3.4) Weierstrass formundaki eliptik eğriye karşılık gelir ve bu eğrinin torsion grup yapısı Z/2Z× Z/4Z’dir. Şimdi aşağıdaki ana sonucu verelim: Teorem 6.3.1 Her bir r için x2 + y2 = 1 birim çember üzerinde en az 3 uzunluklu r-geometrik dizisini bulunduran sonsuz çoklukta r rasyonel sayısı vardır (Çelik ve ark. 2021). 119 İspat. Burada Q üzerinde tanımlı Es eğrisinin pozitif ranka sahip olduğu sonsuz çoklukta s rasyonel değerinin bulunduğunun gösterilmesi gerekir. x = 8s3(1 + s2) noktası Es üzerindeki rasyonel noktanın x-bileşeni ise s4 − 2s3 + 6s2 − 2s + 1 rasyonel bir tam kare olmalıdır. Başka bir ifade ile (s, w) = (0,±1) rasyonel noktasının bir çözüm olduğu dördüncü dereceden w2 = s4 − 2s3 + 6s2 − 2s+ 1 (6.3.5) eliptik eğrisini elde ederiz. Teorem 2.3.5 kullanılarak bu dördüncü dereceden eliptik eğri- nin Weierstrass denklemi G : v2 = u3 − 972u (6.3.6) ile tanımlanan eliptik eğriye birasyonel denk olup (u, v) = (−27, 81) noktası (6.3.6) eğ- risi üzerinde sonsuz mertebeli bir noktadır. Ayrıca MAGMA paket programı kullanılarak rank(G(Q)) = 1 olduğu kontrol edilebilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Aşağıdaki sonuç, yukarıdaki ispattan elde edilir. Sonuç 6.3.2 2s 1−s2( 2 , 2 ) ∈ C(Q) noktasının C üzerinde en az 3 uzunluklu sonsuz sayıda1+s 1+s geometrik dizide bulunduğu sonsuz çoklukta s rasyonel sayısı vardır (Çelik ve ark. 2021). Aşağıdaki tabloda, C(Q)’da en az 3 uzunluktaki geometrik dizilerinin örnekleri gösteril- mektedir. Çizelge 6.3.1. Uzunluğu 3 olan Geometrik Diziler (r, s, t) (x1, x2, x3) (39/25, 3, 5) (5/13, 3/5, 117/125) (6409/3034, 4, 328/37) (24272/108953, 8/17, 1508/1517) (5987825/3616561, 5, 1537/181) (278197/1197565, 5/13, 29939125 /47015293) (55045/24531, 6, 234/17) (7956/55045, 12/37, 220180/302549) (7935762913/2225017375, 7, (623004865/7935762913, 7/25, 125885/4949) 7935762913/7946490625) (6548713889/6051759025, 8, (1489663760/6548713889, 16/65, 80392/9265) 104779422224/393364336625) Uyarı 6.3.3 Bu bölümdeki sonuçların niçin 4 uzunluklu geometrik dizilere genişletile- mediği Tezin 7. bölümünde açıklanmıştır. 120 7. SONUÇLAR Bu tez çalışmasında bazı düzlem cebirsel eğriler üzerindeki maksimum uzunluklu ras- yonel dizilerin bulunması amaçlanmıştır. Bu amaca ulaşmak için eliptik eğriler, eliptik eğrilerin farklı modelleri ve birim çember üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerin oluşturduğu rasyonel diziler incelenmiş ve elde edilen sonuçlar SCI-Expanded indeksinde taranan uluslararası, sayılar teorisi profilli üç ayrı dergide yayınlanmıştır. Bu sonuçlar şöyle özetlenebilir: k, l,m ∈ Q olmak üzere Q cismi üzerinde E : y2 = kx3 + lx+m eliptik eğrisini göz önüne alalım. i = 1, 2, . . . , n iken (xi, yi) ∈ E(Q) rasyonel noktalarının xi-bileşenleri ardışık küpler olacak şekilde bir S-dizisinin (S ⊂ Q) elemanları olsun. Tezin 4. bölü- münde n = 5 uzunluklu bu özellikteki S-dizisini bulunduran E eliptik eğrilerinin sonsuz çoklukta olduğu gösterildi. Ayrıca bu özellikteki 5 rasyonel noktanın E(Q)’da lineer ba- ğımsız olduğu ispatlanarak rankı en az 5 olan eliptik eğrilerinin sonsuz bir ailesi literatüre tanıtıldı. F sayı cisminin keyfi bir S alt kümesi (bükülmüş) Edwards eğrileri ve (genel) Huff eğrileri üzerindeki rasyonel noktaların x-bileşenlerinden oluşan bir dizi olsun. Tezin 5. bölümünde üzerinde herhangi bir kısıtlama olmayan S-dizilerinin uzunluğu |S| = 4, 5 veya 6 iken bu S-dizilerini bulunduran yukarıdaki düzlem cebirsel eğrilerin sonsuz aile- lerinin varlığı ispatlanır. Buradaki sonuçlar literatürde var olan bazı sonuçları geneller. Düzlem cebirsel eğri üzerindeki rasyonel noktaların x veya y-bileşenleri ortak çar- panı r olacak şekilde bir geometrik dizi oluşturursa düzlem cebirsel eğri üzerindeki ras- yonel noktaların dizisinin bir r-geometrik dizisi oluşturduğu söylenir. Tezin 6.bölümünde x2 + y2 = 1 birim çember denklemi üzerinde en az 3-uzunluklu r-geometrik dizile- rini bulunduran sonsuz çoklukta r-rasyonel sayısının varlığı ispatlanır. Eğer ur2, Teorem 6.3.1’deki birim çember üzerindeki bir rasyonel noktanın x-bileşeni ise bu en az 4 uzun- 121 luklu bir r-geometrik dizisinin var olması demektir. Ancak bu da t2(s2 + 1)4 − 4s4(t2 + 1)2 = H21 , t4(s2 + 1)6 − 4s6(t2 + 1)4 = H22 Diophant denklem sisteminin rasyonel çözümlerini incelemeyi gerektirir. Bu denklem sis- teminin çalışılması ayrı bir araştırma sorusudur. Düzlemsel konikler üzerinde geometrik dizilerin varlığının araştırılması tez sonrası bir çalışma olarak ele alınacaktır. 122 KAYNAKLAR Alvarado, A. 2009. An arithmetic progression on quintic curves. J. Integer Seq., 12: Ar- ticle 09.7.3. An, S.Y., Kim, S.Y., Marshall, D.C., Marshall, S.H., McCallum, W.G., Perlis, A.R. 2001. Jacobians of genus one curves. Journal of Number Theory, 90: no.2, 304–315. Asar, A. O., Arıkan, A., Arıkan, A. 2012. Cebir. Gazi Kitabevi, Ankara, 381 s. Bernstein, A.J., Birkner, P., Joye, M., Lange, T., Peters, C., 2008. Twisted Edwards Cur- ves. In: Vaudenay, S. (ed.) AFRICACRYPT. LNCS, vol 5023, 389–405. Springer, Heidel- berg. Bernstein, D., Lange, T., 2007. Faster Addition and Doubling on Elliptic Curves. ASI- ACRYPT, 29–50. Bernstein, D. J., Lange, T., Farashahi, R., 2008. Binary Edwards curves In: Cryptograp- hic Hardware and Embedded Systems CHES., 10th International Workshop, Washington, D.C., USA, August 10-13. Proceedings, Lecture Notes in Computer Science., 244–265, Springer. Bosma, W., Cannon, J., Playoust, C. 1997. The Magma algebra system I. The user langu- age. J. Symbolic Comput., 24: 235–265. Bremner, A. 1999. On arithmetic progressions on elliptic curves. Experiment Math., 8: 409–413. Bremner, A. 2013. Arithmetic progressions on Edwards curves. Journal of Integer Sequ- ences, 16: Article 13.8.5. Bremner, A., Ulas, M. 2013. Rational points in geometric progressions on certain hyper- elliptic curves. Publ. Math. Deb., 82: 669–683. Campbell, G. 2003. A note on arithmetic progressions on elliptic curves. J. Integer Seq., 6: Article 03.1.3. Cangül, İ.N. 2016. Soyut Cebir. Dora Yayınları, Bursa. Cassels, J.W.S. 1991. Lectures on elliptic curves. volume 24 of London Mathematical So- ciety Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge. Choudhry, A. 2015. Arithmetic progressions on Huff curves. 18: Article 15.5.2. Choudhry, A., Juyal, J. 2016. Rational points in arithmetic progression on the unit circle. J. Integer Seq., 19: Article 16.4.1. Ciss, A. A., Moody, D. 2017. Arithmetic progressions on conics. 20: Article 17.2.6. Ciss, A. A., Moody D. 2017. Geometric progressions on elliptic curves. Glasnik Math., 123 52: 1–10. Cremona, J. E. 1997. Algorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press., 2 nd edu,. Çelik, G.S., Soydan, G. 2018. Elliptic curves containing sequences of consecutive cubes. Rocky Mountain J. Math., 48: 2163–2174. Çelik, G.S., Sadek, M., Soydan, G. 2019. Rational sequences on different models of el- liptic curves. Glasnik Math., 54: 53–64. Çelik, G.S., Sadek, M., Soydan, G. 2021. Rational Points in Geometric Progression on the Unit Circle. Publicationes Mathematicae Debrecen, 98/3-4: 513–520. Dam, M. R. 2012. Edwards Elliptic Curves. Rijksuniversiteit Groningen, Hollanda, Bi- tirme Tezi. Edwards, H. 2007. A normal form for elliptic curves. Bulletin of the American mathema- tical society, 44: 393–422. Faltings, G. 1983. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern,Inventiones Mathematicae 73: 349-366. Fraleigh, J.B. 2003. A first course in abstract algebra. Pearson Education India. Gouvêa, F.Q. 2003. p-adic numbers. An introduction, Springer, Joye, M., Tibbouchi, M., Vergnaud, D. 2010. Huff’s Model for Elliptic Curves. Algo- rithmic Number Theory-ANTS-IX, Lecture Notes in Computer Science, 6197: Springer, 234–250. Huff, G. B. 1948. Diophantine problems in geometry and elliptic ternary forms. Duke Math. J. 15, 443–453 . Kamel, M., Sadek, M. 2017. On sequences of consecutive squares on elliptic curves. Glas- nik Math., 52: 45–52. Kato, K., N.Kurokawa, T.Saito. 2000. Number Theory 1 Fermat’s Dream. American Mat- hematical Society. United States of America. Lee, J. B., Vélez, W. Y. 1992. Integral solutions in arithmetic progression for y2 = x3 +k. Per. Math. Hung., 25: 31–49. Macleod, A. J. 2006. 14-term arithmetic progressions on quartic elliptic curves. J. Integer Seq., 9: Article 06.1.2. Mollin, R.A. 2001. An Introduction to Cryptography. Chapman and Hall/CRC. United States of America. Montgomery, P.L. 1987. Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorizati- ons, Math. Comp. 48. Moody, D. 2011. Arithmetic progressions on Edwards curves. J. Integer Seq., 14: Article 11.1.7. Moody, D. 2011. Arithmetic progressions on Huff curves. Ann. Math. Inform., 38: 111– 124 116. Peeples Jr., W.D. 1954. Elliptic curves and rational distance sets. Proc. Am. Math. Soc. 5: 29–33. Salami, S., Zargar, A.S. 2021 Families of Cubic Elliptic Curves a Containing Sequences of Consecutive Powers. Rocky Mountain J. Math., basımda. Schmitt, S., Zimmer, H.G. 2003 Elliptic Curves A Computational Approach. Walter de Gruyter. Berlin. 367 p. Silverman, J. H. 1994. Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer- Verlag, New York. Silverman, J. H. 2009. The Arithmetic of Elliptic Curves (2nd Edition), Graduate Texts in Mathematics, 106, Dordrecht, Springer. Silverman, J. H., Tate, J. 1992. Rational Points on Elliptic Curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. Taylor, R.L., Wiles, A. 1995. Ring Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras, An- nals of Math. 141: 553-572. Ulas, M. 2005. A note on arithmetic progressions on quartic elliptic curves. J. Integer Seq., 8: Article 05.3.1. Ulas, M. 2009. On arithmetic progressions on genus two curves. Rocky Mountain J. Math., 39: 971–980. Washington, L.C. 2008. Elliptic curves: number theory and cryptography. CRC press. Wu, H., Feng, R. 2010. Elliptic curves in Huff’s model. Available at http://eprint.iacr.org /2010/390.pdf. 125 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Gamze SAVAŞ ÇELİK Doğum Yeri ve Tarihi : BURSA 1990 Yabancı Dil : İNGİLİZCE Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) : Lise : YILDIRIM BEYAZIT LİSESİ, 2005-2009 Lisans : BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ, 2010-2013 Yüksek Lisans : BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ, 2014-2016 Doktora : BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ, 2017-2022 İletişim(e-posta) : gamzesavascelik@gmail.com Akademik çalışmalar : Bérczes, A. Pink, I., Savaş, G., Soydan, G. 2018. On the Diophantine equation (x+ 1)k + (x+ 2)k + · · ·+ (2x)k = yn. Journal of Number Theory, 183: 326–351. Çelik, G.S., Soydan, G. 2018. Elliptic curves containing sequences of consecutive cubes. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 48: 2163–2174. Çelik, G.S., Sadek, M., Soydan, G. 2019. Rational sequences on different models of el- liptic curves. Glasnik Matematicki, 54: 53–64. Çelik, G.S., Sadek, M., Soydan, G. 2021. Rational Points in Geometric Progression on the Unit Circle. Publicationes Mathematicae Debrecen, 98/3-4: 513–520. 126