TĠMOSHENKO KĠRĠġLERĠNĠN GENEL ELASTĠK SINIR KOġULLARINDA TĠTREġĠM ANALĠZĠ HAYRULLAH GÜN KADIOĞLU T.C. ULUDAĞ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ TĠMOSHENKO KĠRĠġLERĠNĠN GENEL ELASTĠK SINIR KOġULLARINDA TĠTREġĠM ANALĠZĠ HAYRULLAH GÜN KADIOĞLU Doç. Dr. M. ÖZGÜR YAYLI (DANIġMAN) YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI BURSA-2018 - tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, - görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, - başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, - atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, - kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, - ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 17.01.2018 Hayrullah Gün KADIOĞLU ÖZET Yüksek Lisans Tezi TİMOSHENKO KİRİŞLERİNİN GENEL ELASTİK SINIR KOŞULLARINDA TİTREŞİM ANALİZİ Hayrullah Gün KADIOĞLU Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı DanıĢman: Doç. Dr. M. Özgür Yaylı Bu tez çalışmasında kirişlerin genel elastik sınır koşullarında serbest titreşim analizi Timoshenko kiriş teorisiyle gerçekleştirilmiştir. Timoshenko kiriş teorisi sadece moment değil kesme kuvvetini de hesaba katan bir teoridir. Bu yüzden bu teori Euler Bernoulli kiriş teorisine kıyasla daha doğru sonuçlar verir. Bundan dolayı bu tez çalışmasında Timoshenko kiriş teorisi kullanılmıştır. Problemin çözümünde yer değiştirme fonksiyonu Fourier sinüs serisi olarak seçilmiştir. Benzer şekilde dönme fonksiyonu Fourier kosinüs serisi olarak seçilmiş. Bu fonksiyonlar Fourier katsayılarını hesaplamak için hareket denklemlerinde kullanılmıştır. Daha sonra lineer denklemleri elde etmek için Stokes’ dönüşümleri sınır koşullarına dâhil edilmiştir. Bu lineer denklemler kullanılarak bir katsayılar matrisi oluşturulmuştur. Bu katsayılar matrisinin öz değeri açısal frekansları vermiştir. Bu tez çalışmasının sonuçları diğer akademik çalışmalar ile kıyaslanmıştır ve doğruluğu ispat edilmiştir. Ayrıca bulunan sonuçlar bir dizi şekiller ve tablolarda sunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Timoshenko kiriş teorisi, Serbest titreşim analizi, Stokes’ dönüşümü, Fourier serileri. 2018, ix + 67 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis FREE VIBRATION ANALYSIS OF TIMOSHENKO BEAMS WITH GENERAL ELASTIC BOUNDARY CONDITIONS Hayrullah Gün KADIOĞLU Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Civil Engineering Supervisor: Assoc. Prof. M. Özgür Yaylı In this thesis study, the free vibration analysis of beams with general elastic boundary conditions has been performed by using Timoshenko beam theory. Timoshenko beam theory is a theory which takes into account not solely bending moment but also shear force. Thus this theory presents more accurate results compared to Euler Bernoulli beam theory. Therefore Timoshenko beam theory has been utilized in this thesis study. In the solution of the problem, displacement function has been chosen as a Fourier sine series. Similarly, rotation function has been chosen as a Fourier cosine series. These functions have been used in the equations of motion to calculate the Fourier coefficients. Then Stokes’ transformation has been applied to boundary conditions in order to obtain the linear equations. A coefficients matrix has been consisted of by utilizing the linear systems of equations. The eigenvalues of this coefficients matrix has presented the angular frequencies. Results of this thesis study have been compared with other academic studies and have proved accuracy. Moreover found results have been presented in a series of figures and tables. Keyword: Timoshenko beam theory, Free vibration analysis, Stokes’ transformation, Fourier series. 2018, ix + 67 pages. ii TEġEKKÜR Öğretim hayatım boyunca her zaman yanımda olan, beni destekleyen ve bugünlere gelmemde büyük payı olan, çok sevdiğim saygı değer aileme, ilminden faydalandığım, yanında çalışmaktan onur duyduğum ve ayrıca tecrübelerinden yararlanırken göstermiş olduğu hoşgörü ve sabırdan dolayı değerli danışman hocam sayın Doç. Dr. M. Özgür Yaylı’ ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım. 17.01.2018 Hayrullah Gün KADIOĞLU iii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET.................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ....................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ ......................................................................................................... vii ÇİZELGE DİZİNİ ............................................................................................................ ix 1. GİRİŞ ............................................................................................................................ 1 2. KURAMSAL TEMELLER VE KAYNAK ARAŞTIRMASI ...................................... 3 2.1. Konu ile Alakalı Genel Bilgiler ................................................................................. 6 2.2. Yapılan Kabuller ........................................................................................................ 6 2.3. Timoshenko Kiriş Teorisi .......................................................................................... 7 2.3.1. Timoshenko Kirişlerinin Dinamik Denklemleri ................................................... 10 2.3.2. Timoshenko Kiriş Teorisi ile Örnek Bir Problem ................................................. 12 2.4. Euler Bernoulli Kiriş Teorisi .................................................................................... 14 2.4.1. Euler Bernoulli Kirişlerinin Hareket Denklemleri ................................................ 16 2.4.2. Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi ile Örnek Bir Problem ............................................ 18 3. MATERYAL VE YÖNTEM ...................................................................................... 21 3.1. Fourier Serileri ......................................................................................................... 21 3.1.1. Fourier Sinüs Serisi ............................................................................................... 21 3.1.2. Fourier Kosinüs Serisi ........................................................................................... 23 3.1.3. Yer Değiştirme ve Dönme Fonksiyonları İçin Fourier Serilerinin Seçimi ........... 24 3.2. Stokes’ Dönüşümleri ................................................................................................ 24 3.3. Fourier Katsayılarının Bulunması ............................................................................ 29 3.4. Dönmeyi ve Çökmeyi Önleyici Yaylara Sahip Kiriş için Çözüm ........................... 30 3.5. Dönmeyi Engelleyici Yay ve Sabit Mesnetli Kiriş İçin Çözüm .............................. 35 3.6. Stokes’ Dönüşümleri ile Yapılabilecek Benzer Bir Uygulama ................................ 38 4. BULGULAR ............................................................................................................... 42 4.1. Açısal Frekanslar ...................................................................................................... 42 4.2. Kritik Burkulma Yükleri .......................................................................................... 55 5. TARTIŞMA VE SONUÇ ........................................................................................... 61 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 63 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 67 iv SĠMGELER ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ Simgeler Açıklama E Kirişin Elastisite Modülü G Kirişin Kayma Modülü A Kiriş Kesitinin Alanı I Kiriş Kesitinin Eylemsizlik Momenti L Kirişin Boyu h Kiriş Yüksekliği J Newton’un 2. Yasasından Gelen Moment Fj Newton’un 2. Yasasından Gelen Kuvvet ρ Kirişin Özgül Kütlesi m Kirişin Yaylı Kütlesi M Moment V Kesme Kuvveti Kayma Düzeltme Katsayısı θ Dönme Fonksiyonu φ Çökme Fonksiyonu U Yatay Yer Değiştirme W Düşey Yer Değiştirme t Zaman x,y,z Koordinat Takımları ω Açısal Frekans σ Gerilme e Birim Şekil Değiştirme kw Kayma Düzeltme Katsayısının Tersi R Dönme Rijitliği D Çökme Rijitliği P Kritik Burkulma Yükü d Kiriş Enkesit Çapı Küçük Ölçek Etkisi Katsayısı v Kısaltmalar Açıklama DTM Diferansiyel Transformasyon Metodu EB Euler Bernoulli Kiriş Teorisi T Timoshenko Kiriş Teorisi vi ġEKĠLLER DĠZĠNĠ Şekil 2.1. Basit kiriş örneği ............................................................................................... 7 Şekil 2.2. Timoshenko kiriş teorisine göre alınan kesitin durumu .................................... 8 Şekil 2.3. Timoshenko kiriş teorisi için çiziliş kinematik detayı .................................... 10 Şekil 2.4. Bir konsol kiriş örneği .................................................................................... 12 Şekil 2.5. Basit kiriş örneği ............................................................................................. 14 Şekil 2.6. Euler Bernoulli kiriş teorisine göre alınan kesitin durumu ............................. 15 Şekil 2.7. Euler Bernoulli kiriş teorisi için çizilmiş kinematik detay ............................. 17 Şekil 2.8. Bir konsol kiriş örneği .................................................................................... 18 Şekil 3.1. Bir karenin kenarları boyunca, çizgi integrali ................................................ 26 Şekil 3.2. Stokes’ dönüşümü, çizgisel kapalı alan ve ilgili yüzey modeli ...................... 26 Şekil 3.3. Dönmeyi ve çökmeyi engelleyici yaylar ile mesnetlenmiş kiriş modeli ........ 30 Şekil 3.4. Dönmeyi engelleyici yaylar ve sabit mesnetler ile mesnetlenmiş kiriş modeli ......................................................................................................................................... 35 Şekil 3.5. Normal kuvvet etkisi altında dönmeyi engelleyici yaylar ve sabit mesnetler ile mesnetlenmiş kiriş modeli .............................................................................................. 40 Şekil 4.1. L’ye bağlı farklı mesnetlenme koşullarındaki, 1. Mod’daki açısal frekansların değişimi ........................................................................................................................... 44 Şekil 4.2. L’ye bağlı farklı mesnetlenme koşullarındaki, 2. Mod’daki açısal frekansların değişimi ........................................................................................................................... 44 Şekil 4.3. L’ye bağlı farklı mesnetlenme koşullarındaki, 3. Mod’daki açısal frekansların değişimi ........................................................................................................................... 44 Şekil 4.4. L’ye bağlı basit-basit mesnetli kirişin ilk üç moduna ait açısal frekanslarının değişimi ........................................................................................................................... 45 Şekil 4.5. L’ye bağlı basit-ankastre mesnetli kirişin ilk üç moduna ait açısal frekanslarının değişimi .................................................................................................... 45 Şekil 4.6. L’ye bağlı ankastre-ankastre mesnetli kirişin ilk üç moduna ait açısal frekanslarının değişimi .................................................................................................... 46 Şekil 4.7. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kiriş ......................................................................................... 46 Şekil 4.8. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kirişin 1. Mod’daki açısal frekanslarının değişimi ................. 48 Şekil 4.9. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kiriş 2. Mod’daki açısal frekanslarının değişimi .................... 49 Şekil 4.10. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kiriş 3. Mod’daki açısal frekanslarının değişimi .................... 49 Şekil 4.11. İki ucu basit mesnet ve dönmeyi engelleyici yaylar ile mesnetlenmiş kiriş modeli .............................................................................................................................. 50 Şekil 4.12. 1. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekansların değişimi ............................. 51 Şekil 4.13. 2. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekansların değişimi ............................. 52 Şekil 4.14. 3. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekansların değişimi ............................. 53 Şekil 4.15. 4. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekansların değişimi ............................. 54 Şekil 4.16. 5. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekansların değişimi ............................. 55 Şekil 4.17. Farklı mesnetlenme koşullarındaki Euler Bernoulli kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi γ=0 için .............................................................................. 57 Şekil 4.18. Farklı mesnetlenme koşullarındaki Timoshenko kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi γ=0 için .............................................................................................. 57 vii Şekil 4.19. Farklı mesnetlenme koşullarındaki Timoshenko kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi γ=1 için .............................................................................................. 58 Şekil 4.20. Farklı mesnetlenme koşullarındaki Timoshenko kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi γ=2 için .............................................................................................. 58 Şekil 4.21. Ankastre-ankastre mesnetli kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi . 59 Şekil 4.22. Ankastre-basit mesnetli kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi ...... 59 Şekil 4.23. Ankastre-basit mesnetli kirişlerinin kritik burkulma yükünün değişimi ...... 60 viii ÇĠZELGE DĠZĠNĠ Çizelge 4.1. Rijit sınır koşullarındaki kirişlerin, kiriş boyuna bağlı açısal frekanslarının değişimi ........................................................................................................................... 43 Çizelge 4.2. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kirişin (L=7,5m) yay rijitliğine bağlı farklı modlardaki açısal frekansları ........................................................................................................................ 47 Çizelge 4.3. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kirişin (L=8m) yay rijitliğine bağlı farklı modlardaki açısal frekansları ........................................................................................................................ 47 Çizelge 4.4. Bir tarafı dönmeyi engelleyici yay ve sabit mesnet diğer tarafı ankastre mesnet ile mesnetlenmiş kirişin (L=8,5m) yay rijitliğine bağlı farklı modlardaki açısal frekansları ........................................................................................................................ 48 Çizelge 4.5. 1. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekanslar ............................................. 50 Çizelge 4.6. 2. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekanslar ............................................. 51 Çizelge 4.7. 3. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekanslar ............................................. 52 Çizelge 4.8. 4. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekanslar ............................................. 53 Çizelge 4.9. 5. Mod’a ait rijitliklere göre açısal frekanslar ............................................. 54 Çizelge 4.10. Bu çalışma için basit-basit, ankastre-basit ve ankastre ankastre mesnetleniş kirişleri için L/d ve γ bağlı kritik burkulma yükleri .................................... 56 Çizelge 4.11. Basit-basit, ankastre-basit ve ankastre ankastre mesnetleniş kirişleri için L/d ve γ bağlı kritik burkulma yükleri ............................................................................ 56 Çizelge 5.1. Bozyiğit ve ark. (2015) yapmış oldukları çalışmadan elde ettikleri farklı mesnetlenme koşulları için buldukları açısal frekanslar ve bu çalışmadan elde edilen açısal frekansların değeri................................................................................................. 61 ix 1. GĠRĠġ Taşıyıcı sistemlerin, dinamik yükler etkisi altındaki davranışları günümüzde büyük önem arz etmektedir. Öyle ki birçok taşıyıcı sistem bu dinamik analizlere göre modellenmektedir. Dinamik analizlerin en önemli parametreleri; açısal frekanslar ve serbest titreşim periyotlarıdır. Araştırmacılar kirişler için bu açısal frekans ve serbest titreşim periyotlarını bulmak amacıyla genellikle basit ya da ankastre mesnetleri kullanılarak rijit sınır koşullarında hesaplar yapmıştır. Bozyiğit ve ark. (2015) kirişlerin rijit sınır koşullarında açısal frekanslarını diferansiyel transformasyon metoduyla elde etmiştir. Fakat gerçekte kirişlerin sonsuz rijit, eksenel veya dönel rijit mesnetlenmesi pratik açıdan çok mümkün değildir. Bu nedenle deforme olabilir sınır koşulları için çözümler gerekmektedir. Ancak araştırmalar göstermiştir ki deforme olabilir sınır koşullarında çözümler oldukça kısıtlıdır. Var olan deforme olabilir sınır koşulları için çözümler çoğunlukla kayma etkilerinin hesaba katılmadığı Euler Bernoulli kiriş teorisi için yapılmıştır. Euler Bernoulli kiriş teorisi tek bir hareket denklemine sahip olduğu için araştırmacıların hesap yapmaları daha kolaydır. Kim ve Kim (2001) Euler Bernoulli kirişlerinin elastik sınır koşullarında açısal frekanslarını Fourier serilerini kullanarak elde etmiştir. Fakat kayma gerilmelerinin, kirişin eğilmeden sonra aldığı şekil olan elastik eğriye etkisinin dikkate alındığı, Euler Bernoulli kiriş teorisinin yetersiz kaldığı yerleri kapatan ve gerçeğe daha yakın sonuçlar veren Timoshenko kiriş teorisi iki tane hareket denklemine sahiptir bu nedenle araştırmacılar bu kiriş teorisini kullanarak hesap yapmakta oldukça zorlanmaktadır. Lakin bu çalışmada kirişlerin rijit olmayan sınır koşullarında açısal frekansları bulunurken Timoshenko kiriş teorisi kullanılmıştır. Başlangıç olarak yer değiştirme fonksiyonu olarak Fourier sinüs serisi seçilmiştir. Dönme fonksiyonu olarak ise Fourier kosinüs serileri seçilmiştir. Seçilen bu fonksiyonlar problemi yöneten denklemlerde yerine yazılarak; Fourier katsayıları hesaplanmıştır. Modeli kurulan kiriş için Timoshenko kiriş teorisine göre sınır koşulları belirlenmiştir. Kirişin iki ucuna dönmeyi ve çökmeyi engelleyici yaylar konularak ve ikinci bir sınır koşulu yazılarak, iki ucuna 1 basit mesnet ve dönmeyi engelleyici yaylar konularak bu aşama gerçekleştirilmiştir. Bulunmuş olan Fourier katsayıları ve Stokes’ dönüşümüyle elde edilmiş yüksek mertebeden türevler yardımıyla; sonsuz serilerden oluşan lineer denklem takımları elde edilmiştir. Bu denklemler yardımıyla katsayılar matrisi elde edilerek; bir öz değer problem oluşturulmuştur. Katsayılar matrisinin determinantından açısal frekanslar bulunmuştur. Bulunan sonuçlar literatürde bulunan diğer sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Diğer taraftan Stokes’ dönüşümleri ve Fourier serilerinin başka bir uygulaması olarak yerel olmayan Timoshenko kirişlerinin burkulma analizi de benzer yöntem ile yapılabileceği gösterilmiştir. Yerel olmayan elastisite teorisi, klasik elastisite teorisinin boyut etkisinin hesaba katılmamasından dolayı yetersiz olduğu durumları ortadan kaldırmak için geliştirilmiştir. Eringen (1972) bu boyut etkisinden söz eden ilk araştırmacı olmuştur. Bu teori sayesinde küçük boyutlu yapıları ve parçaları da modelleme imkânı doğmuştur. Nanoteknoloji çalışmalarının artması, yerel olmayan elastisite teorisinin önemini ortaya çıkarmakta ve uygulama alanları gün geçtikçe artmaktadır. Klasik elastisite teorisinde maddenin her bir noktası için denge denklemleri aynı kabul edilir. Büyük ölçekli maddeler için bu durum geçerli olmasına rağmen küçük ölçekli maddelerde farklılıklar gözlenmektedir. Li ve Chou (2003), Chowdhury ve ark. (2010) ve Poncharal ve ark. (1999) atomik simülasyonlar ve deneysel bulgularla, malzemenin nano ve makro ölçekteki mekanik performansında bir küçük ölçek etkisi olduğunu kanıtlamıştır. Maddenin boyutu küçüldükçe iç yapısının da dikkate alınması ve bir noktada gerilme hesaplanırken sadece o noktadaki şekil değiştirmeleri hesaba katmayan diğer tüm noktalardaki şekil değiştirmelerin de bir fonksiyona bağlayarak hesaba katan yerel olmayan elastisite teorisi nano ölçekli çubukların analizinde kullanılmaktadır. 2 2. KURAMSAL TEMELLER VE KAYNAK ARAġTIRMASI Euler Bernoulli kiriş teorisinde elastik sınır koşullarına sahip kirişlerin titreşim analiziyle ilgili literatürde birçok çalışma olmasına rağmen, elastik sınır koşullarına sahip Timoshenko kirişlerinin titreşim analizi konusunda pek fazla çalışma yoktur. Araştırmacılar rijit sınır koşulları için kapalı çözümleri rahatlıkla hesaplayabilmektedir. Fakat deforme olabilir sınır koşulları için çözümler oldukça kısıtlıdır. Literatürde rijit ve elastik sınır koşullarına sahip Timoshenko ve Euler Bernoulli kirişleri için yapılmış bazı çalışmalar bu bölümde sıralanmıştır. Bozyiğit ve ark. (2015) Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini diferansiyel transformasyon metodu ile gerçekleştirmiştir. Koç (2006) Euler Bernoulli ve Timoshenko kiriş teorilerini kullanarak basit mesnetli kirişlerin serbest titreşimlerini incelemiştir. Demirdağ ve Yeşilce (2011) tepe noktasında toplanmış kütleye sahip, dönmeye karşı engelleyici yaylar ile mesnetli Timoshenko kolonlarının serbest titreşim analizini DTM ile yapmıştır. Kocatürk ve Şimşek (2005) elastik mesnetli kirişlerin serbest titreşimini Lagrange denklemleri ve Kuvvet serilerini kullanarak Timoshenko kiriş teorisiyle incelemiştir. Banerjer (1998) eksenel yükle yüklenmiş Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini dinamik rijitlik metodu ile yapmıştır. Viala ve ark. (2007) eksenel yüklenmiş çatlamış Timoshenko kiriş yapılarının serbest titreşim analizini dinamik rijitlik metodu ile yapmıştır. Demirdağ ve Yeşilce (2008) eksenel yükün, kirişlerce taşınan çok sayıda kütle yay sistemlerine sahip çok açıklıklı Timoshenko kirişlerinin serbest titreşimi üzerine etkisini araştırmıştır. Zhou (2001) Rayleigh-Ritz metodunu kullanarak çok açıklıklı Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini yapmıştır. Farghaly (1994) doğal frekans ve kritik burkulma yükü katsayılarını çok açıklıklı Timoshenko kirişleri için incelemiştir. Wang (1997) hareketli bir yük için çok açıklıklı Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini yapmıştır. Rou ve Gupta (2001) sonlu elemanlar metodunu kullanarak dönen Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini yapmıştır. Lin ve Hsiao (2001) d’Alembert ve virtüel iş prensiplerinden faydalanarak analitik bir yöntemle dönen Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini yapmıştır. Kaya (2006) dönen Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini DTM ile yapmıştır. Kaya ve Özdemir (2010) konik biçimdeki dönen Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini DTM ile yapmıştır. Rose (1994) iki parametreli elastik zemine 3 oturan Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini analitik yöntem ile incelemiştir. Develi (2007) Winkler zemini ve Vlasov elastik zemini üzerine oturan sonlu uzunluktaki bir Timoshenko kirişinin serbest titreşim problemlerini araştırıştır. Yokoyama (1995) iki parametreli elastik zemine oturan Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizini sonlu elamanlar metodu ile yapmıştır. Yeşilce ve Çatal (2011) elastik zemine oturan değişken kesitli, yarı rijit bağlı Reddy-Bickford kirişlerinin serbest titreşim analizini DTM ile yapmıştır. Kim ve Kim (2001) Euler Bernoulli kirişlerinin serbest titreşim analizini Fourier serilerini kullanarak yapmıştır. Han ve ark. (1999) kirişlerin serbest titreşim analizini, analitik yöntem ile Euler Bernoulli, Rayleigh, Timoshenko ve kesme teorilerine dayalı incelemiştir. Bağdatlı ve ark. (2011) eksenel ivmelenen iki açıklıklı Euler Bernoulli kirişlerinin titreşimini incelemiştir. Malik ve Dang (1998) DTM ’nu Euler Bernoulli kirişlerinin serbest titreşim analizini yapabilmek için kullanıştır. Bert ve Zang (2004) bileşik çubukların eksenel titreşimini DTM ile incelemiştir. Gül ve Aydoğdu (2015) elastik zemin üzerine oturan kirişlerin Euler Benoulli ve Timoshenko kiriş teorisiyle dalga sayısı yönünden titreşimlerini incelemiştir. Yanık ve Yaylı (2015) rijit olmayan sınır koşullarında elastik zemin üzerine oturan bir çubuğun eksenel titreşim analizini Euler Bernoulli kiriş teorisiyle Fourier serilerini kullanarak yapmıştır. Çatal (2008) elastik zemine oturan kirişleri serbest titreşim denklemlerinin çözümünü DTM ile yapmıştır. Diğer taraftan Eringen (1972), Eringen ve Edelen (1972) ve Eringen (1983) yerel olmayan elastisite teorisini ortaya atmış ve geliştirmiştir. Yerel olmayan elastisite teorisi küçük ölçek etkilerini hesaba katan bir teori olup, cismin bir noktadaki gerilmesi o noktanın şekil değiştirmesine değil o noktanın bulunduğu ortamdaki tüm noktaların şekil değiştirmesine bağlı olduğunu belirtir. Li ve Chou (2003), Chowdhury ve ark. (2010) ve Poncharal ve ark. (1999) atomik simülasyonlar ve deneysel bulgularla, malzemenin nano ve makro ölçekteki mekanik performansında bir küçük ölçek etkisi olduğunu kanıtlamıştır. Yapılan bu çalışanların mühendislik ve bilim üzerinde uzun vade de yansımaları hissedilmiştir. Öyle ki birçok araştırmacı titreşim, burkulma ve eğilme ile ilgili çalışmalarına yerel olmayan elastisite teorisini eklemiştir. Yaylı ve Çerçevik (2015) çatlamış nano çubukların titreşim analizini rijit olmayan sınır koşullarını için yapmıştır. Yaylı (2014) nano karbon tüplerin rijit olmayan sınır koşullarında titreşim analizini Fourier serilerini kullanarak yapmıştır. Rahmani ve 4 Pedram (2014) fonksiyonel derecelendirilmiş nano ölçekli yerel olmayan Timoshenko kirişlerinin titreşim analizini Hamilton prensibini kullanarak analitik olarak yapmıştır. Wang ve ark. (2007) yerel olmayan Timoshenko kirişlerinin titreşimini analitik olarak incelemiştir. Reddy (2007) kirişlerin eğilmesi, burkulması ve titreşimi gibi konulara, yerel olmayan elastisite teorisini eklemiştir. Benzair ve ark. (2007) sıcaklığın, tek duvarlı nano karbon tüplerin titreşimine etkisini yerel olmayan Timoshenko kiriş teorisiyle araştırmıştır. Yang ve ark. (2010) tek duvarlı nano karbon tüplerin lineer olmayan serbest titreşimlerini yerel olmayan Timoshenko kiriş teorisiyle incelemiştir. Yanık (2015) nano ölçekli çubukların rijit olmayan sınır şartlarında yerel olmayan Euler Bernoulli teorisine göre titreşim analizini Fourier serilerini kullanarak yapmıştır. Demir ve Civelek (2016) titreşim için yerel olmayan sonlu elemanların formülasyonunu yapmıştır. Wang ve ark. (2006) nano ve mikro ölçekli çubuk ve tüplerin, yerel olmayan Timoshenko kiriş teorisine burkulma analizini analitik yöntem ile incelemiştir. Artan ve Tepe (2008) yerel olmayan çubukların burkulma analizi için başlangıç değer metodunu kullanmıştır. Ghannadpour ve Mohammadi (2010) nano ve mikro ölçekli çubukların burkulma analizini yerel olmayan Timoshenko kiriş teorisini temel alarak Chebyshev polinomlarını kullanarak yapmıştır. Setoodeh ve ark. (2011) yerel olmayan elastisite teorisiyle tek duvarlı karbon nano tüplerin burkulmasını incelemiştir. Thai (2012) burkulma, eğilme, titreşim gibi konulara yerel olmayan elastisite teorisini eklemiştir. Akgöz ve Civelek (2013) şekil değiştirme gradyan elastisitesine dayalı kesiti lineer olarak değişen mikro ölçekli kolonların burkulma analizini yapmıştır. Yaylı (2016) dönmeyi engelleyici yaylar ile mesnetli tek duvarlı nano karbon tüplerin burkulmasını incelemiştir. Kadıoğlu ve Yaylı (2017) yerel olmayan Timoshenko kirişlerinin burkulma analizini Fourier serilerini kullanarak yapmıştır. 5 2.1. Konu ile Alakalı Genel Bilgiler Kirişler tek boyutlu taşıyıcı elemanlar olup kesitlerinde kesme kuvveti ve moment taşırlar. Bazı durumlarda normal kuvvette taşıyabilirler. Fakat bu ihmal edilebilecek düzeydedir. Kirişlerin şekil değiştirmelerinde büyük ölçüde moment etkilidir. Fakat kiriş boyunun kiriş yüksekliğine oranı (L/h) küçüldükçe kesme kuvvetinin de şekil değiştirmeye etkisi artmaktadır. Kirişler ile ilgili mevcut geçerlikte olan ve üniversitelerin mühendislik fakültelerinde okutulan kiriş teorisi Euler Bernoulli kiriş teorisidir. Bu teoriye göre eğilmeden önce tarafsız eksene dik ve düzlem olan bir kesit eğilmeden sonrada tarafsız eksene dik ve düzlemdir. Buradan eğilmenin sadece moment etkisi ile oluştuğu söylenmektedir. Diğer taraftan Euler Bernoulli kiriş teorisinin genişletilmiş versiyonu olan Timoshenko kiriş teorisinde ise eğilmeden önce tarafsız eksene dik ve düzlem olan bir kesit eğilmeden sonra yine düzlem kalır fakat bu sefer tarafsız eksene dik kalmaz. Buradan çıkartılacak sonuç şudur; eğilmeye hem kesme kuvvetinin hem de momentin etkisi mevcuttur. Bilindiği üzere kayma gerilmeleri sabit değildir. Bunun için de Timoshenko kiriş teorisinde bu gerilme dağılışını düzeltmek için bir düzeltme katsayısı ( ) mevcuttur. Yukarıda belirtilmiş olan bilgiler doğrultusunda şu sonuçlara varılabilir: Timoshenko kiriş teorisi gerçeğe daha yakın biri kiriş teorisidir bu neden ile de Euler Bernoulli kiriş teorisine göre her zaman daha doğru sonuçlar verir. Bu iki teori L/h oranı büyüdükçe verdikleri sonuçlar birbirine yakınlaşmaktadır. Diğer yandan L/h oranı küçüldükçe verdikleri sonuçlar birbirlerinden uzaklaşmaktadır. 2.2. Yapılan Kabuller Bu çalışma için şu kabuller yapılmıştır: Malzeme homojen ve izotropiktir. Malzeme davranışı doğrusal elastiktir. İkinci mertebe etkiler ihmal edilmiştir. Sönüm etkisi ihmal edilmiştir. Eksenel deformasyon göz önüne alınmamıştır. 6 2.3. Timoshenko KiriĢ Teorisi Timoshenko kiriş teorisi kayma etkilerinin de elastik eğriye katan bir teori olup, Euler Bernoulli kiriş teorisinin genişletilmiş versiyonudur denilebilir. Euler Bernoulli kiriş teorisinde, kirişin eğilmeden önce tarafsız eksene dik ve düzlem olan kesiti eğilmeden sonra da yine tarafsız eksene dik ve düzlem kalır. Fakat Timoshenko kiriş teorisinde ise, eğilmeden sonra kirişin kesiti yine düzlem kalır fakat bu sefer tarafsız eksene dik değildir. Çünkü kayma etkilerinin de eğilmeye etkisi dikkate alınmıştır. Şekil 2.1’ de görüldüğü üzere basit mesnetli bir kirişi aldığımızda buna z yönünde düşey yükler etkidiğinde momentten dolayı σxx ve kesme kuvvetlerinden dolayı da σxz oluşacağı görülmektedir. ġekil 2.1. Basit kiriş örneği Şekil 2.2’ de görüldüğü üzere tarafsız eksene düşeyde z kadar uzaklıkta çok küçük bir parça aldığımızda ve düşey yüklerin etkisinde eğilmesini incelediğimizde; 7 ġekil 2.2. Timoshenko kiriş teorisine göre alınan kesitin durumu yer değiştirme fonksiyonları x ve z doğrultusu için şu şekilde yazılır; (2.1) (2.2) Burada U fonksiyonu x yönündeki şekil değiştirmeyi, W fonksiyonu ise z yönündeki şekil değiştirmeyi gösterir, u0 x yönündeki şekil değiştirme olup çok küçük bir değer olduğu için ihmal edilir. Bulmuş olduğumuz yer değiştirmelerden birim yer değiştirmelere geçilirse; (2.3) (2.4) yazılır. Buradaki exx ve exz, xx ve xz yönündeki birim yer değiştirme fonksiyonlarını gösterir. Buradan; (2.5) 8 (2.6) olarak elde edilir. Buradan xx ve xz yönündeki ( σxx ve σxz) gerilmelerine geçirilirse; (2.7) (2.8) bulunur. Burada E elastisite modülü, G kayma modülü ve değeri (Timoshenko kiriş teorisinde) kayma düzeltme katsayısıdır. (Kayma gerilmeleri kesit düzleminde sabit olmadığından bu katsayı ile çarpılır) Yukarıdaki denklemler (2.5) ve (2.6) denklemlerinde yerine yazılırsa; (2.9) (2.10) ( * bulunur. Gerilmelerden momente geçilirse; (2.11) ∫ (2.12) ∫ (2.13) ∫ (2.14) bulunur. I atalet momentidir. Diğer gerilmeden kesme kuvvetine geçilirse; (2.15) ∫ 9 (2.16) ( * ∫ (2.17) ( * bulunur. 2.3.1. Timoshenko KiriĢlerinin Dinamik Denklemleri Şekil 2.3’ de görülen ∂x kadar küçük bir parça için karakteristik dinamik denklemler aşağıdaki gibi moment ve kuvvet denge denklemleri yazılarak elde edilebilir. ġekil 2.3. Timoshenko kiriş teorisi için çiziliş kinematik detayı Burada J ve fj fonksiyonları Newton’un 2. Kanunundan gelmektedir. (2.18) (2.19) 10 (2.20) ∂V∂x değeri çok küçük olduğu için ihmal edilir. (2.21) eşitlik ∂x’ e bölünürse ve daha sonra moment ve kesme kuvveti fonksiyonları yerine yazılırsa ilk hareket denklemi aşağıdaki gibi sistematik halde elde edilir. (2.22) (2.23) ( * (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) eşitlik ∂x’ e bölünürse ve kesme kuvveti fonksiyonu yerine yazılırsa ikinci hareket denklemi aşağıdaki gibi elde edilir. (2.28) (2.29) 11 2.3.2. Timoshenko KiriĢ Teorisi ile Örnek Bir Problem Şekil 2.4’ de P yükü etkisindeki konsol kirişin aşağıda moment ve kesme kuvveti diyagramları verilmiştir. Bu doğrultuda Timoshenko kiriş teorisi kullanılarak, aşağıda P yükünün etkidiği B noktasındaki düşey yer değiştirme hesaplanmıştır. ġekil 2.4. Bir konsol kiriş örneği Timoshenko kirişleri için moment fonksiyonu sağıdaki formdadır. (2.30) Yukarıdaki denklemde yalnız bırakılırsa; (2.31) bulunur. ‘in x’ e bağlı bir defa integrali alınırsa; 12 (2.32) bulunur. Burada c1 integral sabitidir. Ankastre mesnette dönme olmayacağından; , (2.33) olarak bulunur. Timoshenko kirişlerinde kesme kuvveti fonksiyonu aşağıdaki gibidir. (2.34) ( * Yukarıdaki fonksiyona, daha önce hesaplanmış olan ve kesme kuvveti fonksiyonu Şekil 2.4’de verildiği üzere yazılıp eşitliği ile çarpıldığında; (2.35) ( ) elde edilir. yalnız bırakılırsa; (2.36) bulunur. ‘in x’ e bağlı bir defa integrali alınırsa; (2.37) bulunur. Burada a1 integral sabitidir. Ankastre mesnette dönme olmayacağından; , (2.38) bulunur. fonksiyonu için x=L yazılırsa konsol kirişin P yükünün etkidiği noktadaki düşey yer değiştirmesi aşağıdaki gibi elde edilir. (2.39) 13 (2.40) alındığında ve parantezine alınırsa; (2.41) ( ) bulunur. 2.4. Euler Bernoulli KiriĢ Teorisi Şekil 2.5’ de görüldüğü üzere basit mesnetli bir kirişi aldığımızda buna z yönünde düşey yükler etkidiğinde momentten dolayı σxx ve kesme kuvvetlerinden dolayı da σxz oluşacağı görülmektedir. ġekil 2.5. Basit kiriş örneği Şekil 2.6’ de görüldüğü üzere tarafsız eksene düşeyde z kadar uzaklıkta çok küçük bir parça aldığımızda ve düşey yüklerin etkisinde eğilmesini incelediğimizde; 14 ġekil 2.6. Euler Bernoulli kiriş teorisine göre alınan kesitin durumu yer değiştirme fonksiyonları x ve z doğrultusu için şu şekilde yazılır; (2.42) (2.43) Burada U fonksiyonu x yönündeki şekil değiştirmeyi, W fonksiyonu ise z yönündeki şekil değiştirmeyi gösterir, u0 x yönündeki şekil değiştirme olup çok küçük bir değer olduğu için ihmal edilir. Bulmuş olduğumuz yer değiştirmelerden birim yer değiştirmelere geçilirse; (2.44) (2.45) yazılır. Buradaki exx ve exz, xx ve xz yönündeki birim yer değiştirme fonksiyonlarını gösterir. Buradan; 15 (2.46) (2.47) olarak elde edilir. xx ve xz yönündeki ( σxx ve σxz) gerilmelerine geçirilirse; (2.48) (2.49) gerilmeler elde edilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir. (2.50) Gerilmelerden momente geçilirse; (2.51) ∫ (2.52) ∫ (2.53) ∫ (2.54) ∫ (2.55) Bulunur. Burada I atalet momentidir. 2.4.1. Euler Bernoulli KiriĢlerinin Hareket Denklemleri Şekil 2.7 de görülen ∂x kadar küçük bir parça için karakteristik dinamik denklemler şu şekilde yazılabilir; 16 ġekil 2.7. Euler Bernoulli kiriş teorisi için çizilmiş kinematik detay (2.56) (2.57) (2.58) (2.59) (2.60) Aşağıdaki fj fonksiyonu Newton’un 2. Kanunundan gelmektedir. (2.60) (2.61) (2.62) (2.63) Yukarıdaki denklemdeki eşitlik ∂x’ e bölünürse ve kesme kuvveti yer değiştirme fonksiyonu olarak yazılırsa; 17 (2.64) (2.65) (2.66) bulunur. 2.4.2. Euler Bernoulli KiriĢ Teorisi ile Örnek Bir Problem Şekil 2.8’ de P yükü etkisindeki konsol kirişin aşağıda moment ve kesme kuvveti diyagramları verilmiştir. Bu doğrultuda Euler Bernoulli kiriş teorisi kullanılarak, aşağıda P yükünün etkidiği B noktasındaki düşey yer değiştirme hesaplanmıştır. ġekil 2.8. Bir konsol kiriş örneği 18 (2.67) Yukarıdaki denklemden değeri yalnız bırakılırsa; (2.68) elde edilir. Bulunan ‘in bir defa x’ e bağlı integrali alınırsa; (2.69) elde edilir. Burada c1 integral sabitidir. Ankastre mesnette dönme olmayacağından; (2.70) bulunur. ‘in x’ e göre integrali alınırsa; (2.71) elde edilir. Burada c2 integral sabiti olup, ankastre mesnette düşey yer değiştirme olmayacağından; (2.72) bulunur. fonksiyonunda x=L için hesap yapılırsa konsol kirişte P yükünün etkidiği noktadaki düşey yer değiştirme; (2.73) olarak bulunur. 19 Bulunan sonuçlar kıyaslandığında Timoshenko kiriş teorisi kesme kuvvetini de hesaba kattığı için Euler Bernoulli kiriş teorisine göre L/h oranına bağlı olarak kuvvet etkisiyle daha fazla yer değiştirme yapmıştır. 20 3. MATERYAL VE YÖNTEM Bölüm 2.3.1. de elde edilen dinamik denklemler problemin çözümünde anahtar denklemler olarak kullanılmıştır. Bu denklemler aşağıdaki formda yazılabilir. (3.1) (3.2) Yukarıdaki denklemlerde; m kirişin yayılı kütlesini, A kirişin en kesit alanını, G kirişin yapıldığı malzemenin kayma modülünü, E kirişin yapıldığı malzemenin elastisite modülünü, I kirişin atalet momentini ve kw kesme düzeltme katsayısını göstermektedir. 3.1. Fourier Serileri Joseph Fourier (1768-1830) tarafında bulunan Fourier serileri bir metal çubuk veya levhadaki ısı denkleminin çözümü için kullanılmıştır. Fourier serileri periyodik bir fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir. Günümüzde Fourier serileri elektrik mühendisliğinde, titreşim analizlerinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi gibi pek çok alandaki çalışmalarda kullanılmaktadır. 3.1.1. Fourier Sinüs Serisi Aşağıdaki gibi bir sinüs serisi alıp, bunu f(x) fonksiyonunun tanım fonksiyonu olarak gösterebiliriz. Burada An Fourier katsayısıdır. (3.3) ∑ (3.4) ∑ ( ) Her iki tarafı ( ) ile çaptığımızda; 21 (3.5) ( ) ∑ ( ) elde edilir. Ve bu iki tarafı -L ≤ x ≤ L aralığında integralini aldığımızda; (3.6) ∫ ∫ ∑ ( ) elde ederiz. Bu eşitlikte toplam sembolü ve sabit değerler aşağıdaki gibi integralin dışına alınabilir. Çeşitli matematiksel işlemlerden sonra; (3.7) ∫ ∑ ∫ (3.8) ∫ ∑ ∫ (3.9) ∫ (3.10) ∫ (3.11) ∫ ( ) (3.12) ∫ ( ) (3.13) ∫ ( * (3.14) ∫ (3.15) ∫ (3.16) ∫ 22 bulunur. Denklem (3.9)’ daki fonksiyon yukarıda yapılan adımlar ile neden L ye eşit olduğu ispat edilmiştir. Yukarıda yapılan tüm işlemler An Fourier katsayısını f(x) fonksiyonu cinsinden elde etmek için yapılmıştır. 3.1.2. Fourier Kosinüs Serisi Aşağıdaki gibi bir kosinüs serisi alıp, bunu f(x) fonksiyonunun tanım fonksiyonu gösterebiliriz. Burada Bn Fourier katsayısıdır. (3.17) ∑ (3.18) ∑ Her iki tarafı ( ) ile çaptığımızda; (3.19) ∑ elde edilir. Her iki tarafın -L ≤ x ≤ L aralığında integralini aldığımızda; (3.20) ∫ ∫ ∑ ( ) elde ederiz. Bu eşitlikte toplam sembolü ve sabit değerler aşağıdaki gibi integralin dışına alınabilir. (3.21) ∫ ∑ ∫ n=m ve m≠0 olduğunda; (3.22) ∫ bulunur. Buradan Bn yalnız bırakılırsa; 23 (3.23) ∫ bulunur. n≠0 olduğundan; (3.24) ∫ bulunur. Yukarıdaki bu adımlar yine Bn fourier katsayısını f(x) fonksiyonu cinsinden elde etmek için yapılmıştır. 3.1.3. Yer DeğiĢtirme ve Dönme Fonksiyonları Ġçin Fourier Serilerinin Seçimi Basit harmonik hareket kabulü yapılırsa; yer değiştirme ve dönme fonksiyonları aşağıdaki gibi Fourier serileriyle gösterilebilir. (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) ∑ (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) ∑ Burada şu tanım geçerlidir. (3.33) 3.2. Stokes’ DönüĢümleri Stokes’ dönüşümü ismini her ne kadar Gabriel Stokes (1819-1903)den alsa da, aslında William Thomson (1824-1907) tarafından bulunmuştur. 24 Stokes’ dönüşümleri, genel bir teoremdir. Yüzey tiplerine ve yüzey sınırlarına bağlıdır. Stokes’ dönüşümü yapabilmek için parçalı ve düzgün yüzeyler bulunması gerekir. Düzgün demek, sadece türevlerin sürekli olması demektir. Parçalı olması ise Stokes’ dönüşümlerinin birden fazla yüzeylerde kullanılabilmesi anlamına gelir. Stokes’ dönüşümünün uygulanabilmesi için, yüzey sınırı kendini kesmeyen, kapalı parçalı, düzgün bir eğri olması gerekmektedir. Stokes’ dönüşümleri, karmaşık yüzey integrallerini, basit eğrisel integrallere dönüştürme de kullanılır. Başka bir tanımda, açık bir yüzey üzerinden bir vektör alanının rotasyonelinin yüzey integrali, aynı yüzeyi çevreleyen kapalı çevre üzerinden alınan vektör alanının çizgisel integraline eşit olduğunu ifade eder. Bir ⃗ vektörünün rotasyonelinin bir S alanı üzerinde yüzey integrali, ⃗ ‘in bu alanı sınırlayan C=∂S kapalı yolu üzerinden çizgisel integraline eşittir. (3.34) ∬( ⃗ ) ∯ burada, ⃗ vektör, S alan C kapalı yol, ⃗ nabla operatörü, ⃗ ⃗ ⃗ vektör alanının rotasyoneli, nabla operatörü ile ⃗ vektör alanı arasındaki vektörel çarpım işlemidir. Bir karenin kenarları boyunca, çizgi integrali Şekil 3.1’ de Stokes’ dönüşümü, çizgisel kapalı alan ve ilgili yüzey modeli Şekil 3.2’ de gösterilmiştir. 25 ġekil 3.1. Bir karenin kenarları boyunca, çizgi integrali ġekil 3.2. Stokes’ dönüşümü, çizgisel kapalı alan ve ilgili yüzey modeli Stokes’ dönüşümleri, fizikte ve özellikle elektromanyetizma da çok sık kullanılmaktadır. 26 Bu çalışmada ise, kurulan modelden görüleceği gibi rijit olmayan sınır koşullarını, problem çözümüne dâhil etmek için matematiksel bir dönüşüm yapılması gereklidir. Bu çalışmada Fourier sinüs serisi, Stokes’ dönüşümü ile birlikte kullanılarak hareketli sınır şartları da probleme dâhil edilecektir. (3.35) ∫ yukarıda Fourier serileri bölümünde belirlenen yer değiştirme fonksiyonunun türevi alınırsa; (3.36) ∑ elde edilir. Üstteki bu fonksiyon Fourier kosinüs serisi ile gösterilebilir; (3.37) ∑ (3.37) denklemindeki (f0,fn) katsayıları aşağıdaki formdadır. Bu katsayılar Fourier serileri bölümünde yapılan benzer işlemler ile elde edilebilir. (3.38) ∫ ( ) (3.39) ∫ Son olarak kısmi integrasyon uygulanırsa; (3.40) [ [ ∫ (3.41) [ 27 bulunur. Yukarıda gerçekleştirilen işlemler Stokes’ dönüşümü olarak bilinmektedir. Daha yüksek mertebeli türevler benzer şekilde bulunabilir. Dördüncü mertebeden türeve kadar olan sonuçlar aşağıda sunulmuştur. (3.42) ∑ (3.43) ∑ (3.44) ∑ [ ( ) (3.45) ∑ [ ( ) Benzer dönüşümler dönme fonksiyonu için de tekrarlanır. Dönme fonksiyonunun türevi alınırsa; (3.46) ∑ bulunur. Bu fonksiyonu Fourier kosinüs serisi olarak gösterebilmek için bir kez daha türev alınırsa; (3.47) ∑ bulunur. Yukarıda yer değiştirme fonksiyonu için yapılan işlemlerin benzerleri yapıldığında dönme fonksiyonlarının üçüncü mertebeye kadar olan türevleri aşağıdaki gibi elde edilir. (3.48) ∑ 28 (3.49) ∑ (3.50) ∑ 3.3. Fourier Katsayılarının Bulunması (3.1) ve (3.2) denklemleri içindeki fonksiyonlar aşağıdaki gibi yerine yazılırsa; (3.51) (3.52) bulunur. Yukarıda bulunan denklemler ye bölünürse; (3.53) (3.54) elde edilir. Toplam sembolü dışındaki ifadeleri yok etmek için (3.54) denkleminin x’ e bağlı türevi alınırsa; (3.55) bulunur. (3.55) ve (3.53) denklemlerindeki fonksiyonlar yerine yazılırsa; (3.56) ( ) (3.57) ( ) ( ) elde edilir. Bu denklemlerden An ve Bn değerleri elde edilir. 29 (3.58) ( ) (3.59) 3.4. Dönmeyi ve Çökmeyi Önleyici Yaylara Sahip KiriĢ için Çözüm Timoshenko kirişine ait eğilme momenti M(x) ve kesme kuvveti V(x) fonksiyonları aşağıdaki gibi yazılır. Şekil 3.3’ de bu bölümde hesabı yapılan kiriş modelinin gösterimi verilmiştir. Bozyiğit ve ark. (2015) aşağıdaki fonksiyonları kullanarak rijit sınır koşullarına sahip Timoshenko kirişlerinin serbest titreşimlerini incelemiştir. (3.60) (3.61) ġekil 3.3. Dönmeyi ve çökmeyi engelleyici yaylar ile mesnetlenmiş kiriş modeli (3.60) denklemindeki M(x) moment fonksiyonu şu şekilde yazılabilir. (3.62) Yukarıdaki eşitliği bir tarafta toplarsak; (3.63) elde edilir. (3.61) denklemindeki V(x) kesme kuvveti fonksiyonu şu şekilde yazılabilir. 30 (3.64) Yukarıdaki eşitliği bir tarafta toplarsak; (3.65) elde edilir. θ(x) fonksiyonu denklem (3.54)’ den elde edilirse; (3.66) bulunur. Denklem (3.66)’ nın içindeki fonksiyonlar yerine yazılırsa; (3.67) ∑ ∑ bulunur. φ0 ve φL değerleri mesnet şartları gereği bu bölümde sıfır alınamaz. (3.63) ve (3.65) denklemlerindeki fonksiyonlar yerine yazılırsa; x=0, x=L ve = durumları için sin0= sin( )=0 olduğundan dolayı sinüs değerleri bulunan aşağıdaki iki denkleme bu durumlar dahil edilmemiştir. 31 (3.68) ∑ ∑ ( ) , (3.69) ∑ ∑ ( ) elde edilir. 32 Yukarıdaki iki denklem için x=0 ; = ve x=L ; = yazılıp 4 ayrı denklem elde edilir. Bu denklemler katsayılar matrisi içerisinde gösterilebilir. Bu katsayılar matrisinin determinantı mathematica bilgisayar programı ile hesaplanıp ortaya çıkan karakteristik denklemin kökleri açısal frekansları verecektir. (3.70) [ ] [ ] (3.71) ( ) ∑ (3.72) ∑ (3.73) ( ) ∑ (3.74) ( ) ∑ (3.75) ( ) ∑ 33 (3.76) ( ) ∑ (3.77) ( ) ∑ (3.78) ( ) ∑ (3.79) ( * ∑ (3.80) ( * ∑ (3.81) ∑ (3.82) ∑ 34 (3.83) ( * ∑ (3.84) ( * ∑ (3.85) ∑ (3.86) ∑ 3.5. Dönmeyi Engelleyici Yay ve Sabit Mesnetli KiriĢ Ġçin Çözüm Şekil 3.4’ de bu bölüm için hesabı yapılan kiriş modelinin gösterimi verilmiştir. ġekil 3.4. Dönmeyi engelleyici yaylar ve sabit mesnetler ile mesnetlenmiş kiriş modeli 35 Bu bölüm içinde M(x) moment fonksiyonu benzer şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir. (3.87) Yukarıdaki eşitliği bir tarafta toplarsak; (3.88) elde edilir. θ(x) fonksiyonu daha önce bulunduğu gibi aşağıda tekrar verilmiştir. (3.89) ∑ ∑ φ0 ve φL değerleri mesnet şartları gereği sıfırdır. Yani (3.89) denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. (3.90) ∑ ∑ Moment fonksiyonunun içindeki fonksiyonlar yazılırsa ve x=0; = değerleri girilirse; 36 (3.91) ∑ ∑ bulunur. Benzer işlemler x=L; = için tekrarlanırsa; (3.92) ( ( ) ∑ ) ( ( ) ∑ ) bulunur. Bulunan bu iki denklem aşağıdaki gibi katsayılar matrisi formunda gösterilebilir. [ (3.93) ] [ ] (3.94) ∑ 37 (3.95) ( ) ∑ (3.96) ∑ (3.97) ( ) ∑ Yukarıdaki matrisin farklı rijitliklere göre determinantı alındığında açısal frekanslar elde edilir. 3.6. Stokes’ DönüĢümleri ile Yapılabilecek Benzer Bir Uygulama Stokes’ dönüşümleri ve Fourier serileri kullanılarak benzer bir uygulama bu bölümde yerel olmayan Timoshenko kirişlerinin burkulması için yapılmıştır. Aşağıda Wang ve ark. (2007) yaptıkları çalışmada elde ettikleri anahtar denklemler verilmiştir. (3.98) ( * (3.99) ( ) Burada E elastisite modülü, I eylemsizlik momenti, G kayma modülü, P kritik burkulma yükü, γ küçük ölçek katsayısı, kayma düzeltme katsayısıdır. Yukarıdaki bu denklemleri Wang ve ark. (2007) rijit sınır koşullarında kullanmıştır. Bu bölümde ise rijit olmayan sınır koşullarında probleme dâhil edilecektir. Dönme ve çökme fonksiyonları için Fourier serileri bir önceki bölümde seçildiği gibi alınmıştır. Yapılan Stokes’ dönüşümleri bu bölüm içinde aynen geçerlidir. 38 Denklem (3.98)’deki toplam sembolü dışındaki ifadeleri yok etmek için x’ e bağlı türevi alınırsa; (3.100) ( ) elde edilir. Denklem (3.99) ve (3.100) deki fonksiyonlar yerine yazılırsa; (3.101) [ (3.102) bulunur. Buradan An ve Bn değerleri elde edilir. ( ) (3.103) ( ) (3.104) Yerel olmayan Timoshenko kirişi için moment fonksiyonu Wang ve ark. (2007) aşağıdaki gibi elde etmiştir. (3.105) Yukarıdaki moment fonksiyonu denklem (3.103) ve (3.104) de yerine yazılırsa; (3.106) (3.107) bulunur. Şekil 3.5’ de bu bölüm için kullanılan kiriş modeli verilmiştir. 39 ġekil 3.5. Normal kuvvet etkisi altında dönmeyi engelleyici yaylar ve sabit mesnetler ile mesnetlenmiş kiriş modeli Şekil 3.5’ de R1 ve R2 rijitlikleri Pcr ise kritik burkulma yükünü göstermektedir. Yukarıdaki moment fonksiyonu aşağıdaki formda gösterilebilir. (3.108) Denklem (3.108)’ deki değerler yerine yazılırsa ve x=0, değerleri kullanırlarsa; (3.109) ∑ ( ) elde edilir. Denklem (3.108)’ deki değerler yerine yazılırsa ve x=L; değerleri kullanırlarsa; (3.110) ∑ ( ) bulunur. Elde edilen (3.109) ve (3.110) denklemlerinden M0 ve ML’ e bağlı bir öz değer problem oluşturulabilir. (3.111) [ ] [ ] (3.112) ∑ ( ) 40 (3.113) ∑ (3.114) ∑ ( ) (3.115) ∑ 41 4. BULGULAR Bu bölümde farklı mesnetlenme koşullarındaki kirişlerin açısal frekans değerleri çizelgeler ve şekiller ile gösterilmiştir. İlk olarak rijit sınır koşullarına sahip kirişlerin açısal frekanslarının kiriş boyuna bağlı değişimi incelenmiştir. Daha sonra rijitliklerin değişimine bağlı olarak açısal frekansların nasıl değiştiği incelenmiş ve değerlendirilmiştir. Elde edilen bulgular sırasıyla bu bölümde belirtilmiştir. Diğer taraftan yöntemler bölümün son alt başlığında incelenen burkulma analizi için de yukarıda belirtilen işlemler benzer şekilde bu bölüm için de uygulanmıştır. 4.1. Açısal Frekanslar Açısal frekansları bulmak için yöntemler kısmında bulunan öz değer problemine gerekli değerler girilerek Çizelge 4.1’ deki değerler elde edilebilir. Burada R (rijitlik) değeri çok küçük alınması durumunda basit mesnet ve çok büyük alınması durumunda ankastre mesnet davranışı olacağı bilinmelidir. Ayrıca bu kiriş modeli için L değişken, 2 2 4 2 A=0,15 m , m=0,382263 kN.sn /m, I=0,003125 m , E=30000000kN/m , 2 G=11538461,54kN/m , kw=1,2 alınmış ve değerler öz değer probleminde girilerek 6