n-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HİPERYÜZEYLERİNİN BİR KARAKTERİZASYONU Alim SÜTVEREN T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ n-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDAHİPERYÜZEYLERİNİN BİR KARAKTERİZASYONU Alim SÜTVEREN 0000-0002-5902-9508 Prof. Dr. Kadri ARSLAN (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA – 2021 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Alim Sütveren tarafından hazırlanan "n-boyutlu Öklid Uzayında ,1 - hiperyüzeylerin Bir Karakterizasyonu" adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı'nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. Kadri ARSLAN Başkan: Prof. Dr. Kadri ARSLAN 0000-0002-1440-7050 Bursa Uludağ Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Günay ÖZTÜRK 0000-0002-1608-0354 İzmir Demokrasi Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Betül BULCA 0000-0002-2273-3243 İmza Bursa Uludağ Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım � Prof. Dr. Hüseyin Aksel EREN Y. Enstitü Müdürü 12/ 01/2021 ÖZET Yüksek Lisans Tezi n-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA 𝜆HİPERYÜZEYLERİNİN BİR KARAKTERİZASYONU Alim SÜTVEREN Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Kadri ARSLAN Bu tezin amacı Öklid uzaylarında rotasyonel 𝜆-hiperyüzeylerini ve Monge yaması ile verilen 𝜆-hiperyüzeylerini karakterize etmektir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde sonraki bölüm için gerekli olan kuramsal temeller verilmiştir. Üçüncü bölümde ℝ𝑛 deki hiperyüzeylerin kendine benzer ve 𝜆-hiperyüzeyi olması ile ilgili şu ana kadar yapılan hesaplamalar verilmiş ve soliton olma koşulları irdelenmiştir. Dördüncü bölüm bulgulardan ibaret olup iki alt bölümden oluşmaktadır. İlk olarak ℝ𝑛+1 deki rotasyonel hiperyüzeyleri ikinci olarak ise ℝ𝑛+1 deki Monge yaması ile verilen hiperyüzeyler ele alınmıştır. Bu hiperyüzeylerin kendine benzer ve 𝜆-hiperyüzeyi olma koşulları incelenmiş bazı orijinal sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca bu sonuçları destekleyici bazı örnekler verilmiştir. Beşinci bölümde diğer bölümlerde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Sonuç ve öneriler dile getirilmiştir. Anahtar Kelimeler: Ortalama eğrilik akısı, Kendine benzer hiperyüzey, Rotasyonel hiperyüzey, Graf hiperyüzeyi, Soliton. 2020, vi+ 42 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis A CHARACTERIZATION OF 𝜆HYPERSURFACES IN n-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACES Alim SÜTVEREN Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Kadri ARSLAN The aim of this thesis is to characterize the rotational λ-hypersurfaces in Euclidean spaces and the λ-hypersurfaces given by the Monge patch. This thesis consists of 5 chapters. The first section is the introduction. Second chapter consist of some basic definitions which will be use in the other chapters. In the third section, the calculations made so far regarding the hyper surfaces of ℝ𝑛+1 to be soliton, self-similar and λ-hypersurface are given. The fourth section consists of the findings and consists of two sub-sections. First, the rotational hypersurfaces with ℝ𝑛+1 are second, and the hypersurfaces given by the monge patch in ℝ𝑛+1 are discussed. The conditions for these hypersurfaces to be compact and λ-hypersurfaces were examined and some original results were obtained. In addition, some examples supporting these results are given. In the fifth section, the results obtained in other sections are discussed. The results and suggestions are expressed. Key Words: Mean curvature flow, self-similar hypersurface, Rotational hypersurface, Graph hypersurface, Soliton. 2020, vi+42 pages. ii TEŞEKKÜR Gerek lisans gerek yüksek lisans eğitimim boyunca engin bilgilerinden yararlandığım, desteğini benden hiç esirgemeyen, hoşgörüsü ve sabrıyla benim yanımda olduğunu her zaman hissettiren, matematiğe, öğretmenliğe ve hayata dair bana çok şey öğreten kıymetli hocam Prof. Dr. Kadri ARSLAN’ a çok teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca yardımlarını ve desteğini gördüğüm, bana çokça vaktini ayıran ve destek olan kıymetli hocam Doç. Dr. Betül BULCA’ ya ve üzerimde emeği olan, bana ışık olan bütün hocalarıma çok teşekkür ederim. Beni bugünlere getiren, bana gösterdikleri sevgi ve güvenle zorlukları aşmamda yardımcı olan, emeklerinin hakkını asla ödeyemeyeceğim elleri öpülesi anneme, babama ve ablama sonsuz teşekkürler. Bu çalışmamla bilim okyanusuna bir damla bırakabilmiş olacaksam eğer, bundan dolayı mutluluk duyacağım. Alim SÜTVEREN .../.../…. iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ....................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................... vi 1. GİRİŞ….. ..................................................................................................................... 1 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI ....................................... 4 3. MATERYAL ve YÖNTEM .......................................................................................... 8 4. BULGULAR .............................................................................................................. 13 4.1. ℝn+1 de Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri ...................................................................... 13 4.1.1. ℝ3 de Rotasyonel λ-Yüzeyleri .............................................................................. 13 4.1.2. ℝ4 de Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri ...................................................................... 20 4.1.3. ℝ4 de Bi-Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri ................................................................. 23 4.1.4. ℝn+1 de Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri .................................................................. 26 4.2. ℝn+1 de Monge Yamasıyla Verilen λ-Hiperyüzeyleri .............................................. 29 4.2.1. ℝ3 de Monge Yamasıyla Verilen λ-Yüzeyleri ..................................................... 29 4.2.2. ℝ4 de Monge Yamasıyla Verilen λ-Hiperyüzeyleri .............................................. 32 4.2.3. ℝ4 de Riemann Çarpımıyla Verilen λ-Hiperyüzeyleri ........................................ 34 4.2.4. ℝn+1 de Monge Yamasıyla Verilen λ-Hiperyüzeyleri .......................................... 36 5. TARTIŞMA ve SONUÇ …. ....................................................................................... 38 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 39 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 41 iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝑈𝛼 Açık alt küme 𝐴(𝑡) Ağırlıklı alan fonksiyoneli 𝑉(𝑡) Ağırlıklı hacim 𝑤 Ağırlık fonksiyonu 𝑑𝜇𝑡 Alan elemanı 𝑁 Birim normal vektör (𝑔𝑖𝑗) Birinci temel form matrisi (𝑔𝑖𝑗) Birinci temel form matrisinin tersi 𝑀, ?̃? Diferansiyellenebilir manifoldlar x Dönüşüm ∇𝑓 𝑓 nin gradienti , İç çarpım ℎ İkinci Temel form 𝐿𝑖𝑗 , 𝑔𝑖𝑗 İkinci temel form katsayıları 𝑥 İzometrik daldırma  Laplas operatörü [, ] Lie parantez operatörü ei Lokal çatı alanı ∇ M nin Levi-Civita koneksiyonu T M M nin tanjant demeti (M ) M nin tanjant vektör alanları uzayı TpM M nin tanjant vektör uzayı 𝛾 Meridyen eğrisi ‖. ‖ Norm 𝑥𝑁 Normal bileşen 𝐻 Ortalama eğrilik ?⃗? Ortalama eğrilik vektörü ∇̃ ℝn+1 in Levi-Civita koneksiyonu  Skaler 𝐴𝐻 Şekil operatörü 𝑥𝑇 Teğet bileşen 𝜒(𝑀) Tanjant vektör alanları uzayı v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 3.1. Azrail eğrisi ..................................................................................................... 12 Şekil 4.1. Catenary eğrisi ve Katenoid yüzeyi ................................................................ 15 1 Şekil 4.2. f(u) = 3u + 5, g(u) = parametrizasyonlu silindir .................................. 17 √2 Şekil 4.3. f(u) = 3, g(u) = 3u + 5 parametrizasyonlu düzlem ................................... 18 Şekil 4.4. f(u) = 3u, g(u) = 3u + 5 parametrizasyonlu koni..................................... 18 Şekil 4.5. r = 1 polar parametrizasyonlu küre .............................................................. 19 Şekil 4.6. f(u) = 3u + 1, g(v) = 3v + 4 parametrizasyonlu düzlem .......................... 31 vi 1. GİRİŞ 𝑀, n-boyutlu diferansiyellenebilir manifold olmak üzere 𝑥 ∶ 𝑀 ⟶ ℝ𝑛+1 bir izometrik daldırma olsun. Bu daldırma altında 𝑀 ye ℝ𝑛+1 içine daldırılan n-boyutlu hiperyüzey adı verilir. 𝑀 nin en önemli geometrik nesnelerinden biri 𝑥 pozisyon vektörüdür. Bu vektör 𝑝 ∈ 𝑀 noktasını 𝑜 ∈ ℝ𝑛+1 referans noktasına bağlayan 𝑥 = ⃗⃗𝑜⃗⃗𝑝 şeklinde tanımlı olan yer vektörü ya da yarıçap vektörüdür. 𝑀 nin önemli invaryantlarından biri de ortalama eğrilik vektör alanı ?⃗? dır. Fizikte ortalama eğrilik vektör alanı, hiperyüzey üzerine uygulanan burulma alanıdır. Malzeme biliminde yüzey gerilimi, yüzey stresi veya yüzey serbest enerjisi için kullanılır (Chen 2017). E. Beltrami’nin iyi bilinen formülü, pozisyon vektör alanı x ile 𝑀 nin ortalama eğrilik vektör alanı ?⃗? nın arasında ∆𝑥 = −𝑛?⃗? biçiminde basit bir ilişki sağlar. Burada ∆, 𝑀 nin indirgenmiş metriğe göre Laplasını ifade etmektedir. Bu eşitlikten 𝑀 nin minimal (yani ?⃗? = 0) olması için gerek ve yeter koşul ∆𝑥 = 0 olmasıdır. Diğer bir deyişle 𝑀 nin harmonik olmasıdır (Chen 1973). 𝑀 nin 𝑥 pozisyon vektör alanı, 𝑥 = 𝑥𝑇 + 𝑥𝑁 biçiminde doğal bir ayrışmaya sahiptir. Burada 𝑥𝑇 ve 𝑥𝑁, 𝑥 in sırasıyla teğet ve normal bileşenleridir. B.Y. Chen, 2017 yılında yapmış olduğu bir çalışmada Öklid altmanifoldlarının konum vektörü alanlarıyla ilişkili diferansiyel geometride çeşitli konuların bir araştırmasını sunmuştur. Ortalama eğrilik akısı, n-boyutlu M hiperyüzeyinin fonksiyonel alanın gradyant akısıdır. Analizin bakış açısından, bu akış doğrusal olmayan bir parabolik denklem ile üretilir. Her ne kadar analizin sınıflandırılmış sonuçları ortalama eğrilik akısının kısa süreli varlığını gösterse de uzun süreli davranışın anlaşılması, akı boyunca ortaya çıkabilecek olası tekilliklerin kontrol edilmesini gerektiren zor bir sorundur. Ortalama eğrilik akısı, hiperyüzeyinin varış uzayındaki alan fonksiyonelinin gradyant akısıdır. Kendine-benzer akılar, hiperyüzeyin şeklini koruyan ortalama eğrilik akısının özel bir çözümü olarak ortaya çıkar (Halldorsson 2013). 1 En önemli ortalama eğrilik akısı, değişimin bir homoteti haline geldiğinde elde edilen kendine-benzer akıdır. Bu tür kendine-benzer hiperyüzeyin ortalama eğrilik vektörü ?⃗? aşağıdaki doğrusal olmayan eliptik sistemi sağlar; ?⃗? + 𝜆𝑥𝑁 = 0. Burada 𝑥𝑁 vektörü x in normal bileşeni ve 𝜆 ∈ ℝ sabittir. Eğer 𝜆 bir pozitif sabitse, hiperyüzey, ortalama eğrilik akısının etkisi altında değişmeden kalan tek bir noktaya sonsuz olarak küçülür. Eğer 𝜆 bir negatif sabitse, hiperyüzey genişler fakat şekli aynı kalır; Bu durumda, hiperyüzey tıkız olmak zorunda değildir. Son olarak 𝜆 = 0 durumunda ise hiperyüzey akısın etkisi altında değişime uğramaz. Bu durumda hiperyüzey minimaldir (Halldorsson 2013). Özel olarak 𝜆 = 1 için daralan kendine- benzer, 𝜆 = −1 için genişleyen kendine-benzer akı söz konusudur (Ecker ve Huisken 1989). Bir 𝑀 hiperyüzeyinin ortalama eğrilik vektörü ?⃗? için 1 〈?⃗? , 𝑥〉 = − 𝑐 eşitliği sağlanırsa M ye homotetik soliton adı verilir. Burada 𝑐 sıfırdan farklı sabittir. Homotetik soliton ortalama eğrilik akısının kendine-benzer çözümüdür (Kim ve Pyo 2019). Kendine-benzer hiperyüzeylerin bir genellemesini Chang ve Wei tarafından tanımlamış olup bunlara 𝜆 −hiperyüzeyi adı verildi. Bu tür hiperyüzeyler Öklid uzayında ağırlıklı hacim koruyucu ortalama eğrilik akısını olarak ifade edilmiştir. Chang ve Wei’ye göre bir hiperyüzeyin λ-hiperyüzeyi olması için 𝐻+< 𝑥, ?⃗? >= 𝜆, eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada 𝐻 = ‖?⃗? ‖, 𝑀 nin ortalama eğriliği ve 𝜆 bir reel sabittir. Eğer 𝜆 = 0 ise 𝑀 kendisi-büzüşendir (Cheng and Wei 2015). Bu çalışmanın bulgular bölümü iki altbölümden oluşur. Birinci alt bölümde ℝ𝑛+1 deki rotasyonel hiperyüzeyler incelenmiştir. Sırasıyla ℝ3 deki rotasyonel yüzeyler ile bunların genellemeleri olan ℝ4 ve ℝ𝑛+1 deki rotasyonel hiperyüzeyler ele alınmıştır. İlk olarak ℝ3 deki rotasyonel yüzeylerin homotetik soliton ve 𝜆-yüzeyi olma koşulları elde edilmiştir. ℝ3 deki 𝑟-yarıçaplı kürenin 𝑐 = 1 için homotetik soliton olduğu gösterilmiştir. Bununla birlikte 𝛾 = (𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑑) meridyen eğrisi üzerine kurulan silindirin 𝑐 = 1 için homotetik soliton olduğu sonucuna varılmıştır. 2 Ayrıca ℝ3 deki tüm küre ve silindirlerin birer 𝜆-yüzeyi şartını sağladıkları konik yüzeylerin ise bu şartı sağlamadıkları sonucuna varılmıştır. Bununla birlikte ℝ4 deki rotasyonel hiperyüzeylerin homotetik soliton ve 𝜆-hiperyüzeyi olma koşulları ele edilmiştir. Benzer şekilde ℝ4 deki bi-rotasyonel hiperyüzeylerin kendine-büzüşen ve 𝜆- hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiş olup Clifford konisinin kendisi-büzüşen bir hiperyüzey olduğu örneği verilmiştir. Son olarak ℝ𝑛+1 deki rotasyonel hiperyüzeylerin homotetik soliton ve 𝜆-hiperyüzeyi olma koşulları elde edilmiş ve bazı örnekler verilmiştir. Graf yüzeyleri, ya da basit olarak graflar modern diferansiyel geometrinin önemli yüzeylerinden biridir. Analizde ise iki değişkenli bir fonksiyonun grafikleri olarak ifade edilirler. Mimaride bu yüzeyler çatı kaplama yüzeyleri olarak bilinir. Graflar parametrik olarak Monge yamasıyla verilen yüzeylerdir. Bu yüzeyler ayrıca bilgisayar destekli geometrik tasarım için önemli bir yere sahiptir. Ayrıca mimaride tasarım ve yüzey modellemelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bulgular bölümünün ikinci alt bölümde ℝ𝑛+1 deki Monge yaması ile verilen graf hiperyüzeylerin λ-hiperyüzey olması durumları incelenmiştir. Sırasıyla ℝ3, ℝ4 ve ℝn+1 deki Monge yaması ile verilen hiperyüzeylerin λ-hiperyüzey olması durumları incelenmiştir. ℝ3 deki graf yüzeylerin kendisi-büzüşen olma koşulları elde edilmiştir. Ayırıca ℝ3 deki öteleme yüzeylerin λ-hiperyüzey olması için gerek ve yeter koşullar irdelenmiştir. Benzer şekilde ℝ4 deki Aminov tipinde hiperyüzeylerin 𝜆-hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şartlar elde edilmiştir. Örnek olarak 𝑆1(𝑟0) × ℝ 2 biçiminde 3𝑟 2−1 küresel hipersilindirin 𝜆 = 0 değeri için bir 𝜆-hiperyüzeyi olduğu gösterilmiştir. 3𝑟0 1 −1 Eğer 𝑟0 = ± ise hiperyüzey kendisi-büzüşendir. Aslında bu yüzey hiperyüzey 𝐻 = √3 3𝑟0 sabit ortalama eğriliklidir. Ayrıca ℝ4 deki Riemann çarpımı olarak verilen hiperyüzeylerin kendisi-büzüşen ve 𝜆-hiperyüzeyi olma koşulları incelenmiştir. Son olarak ℝ𝑛+1 deki graf hiperyüzeylerin 𝜆-hiperyüzeyi olma koşulları elde edilmiş ve Cheng ve Wei’nin sonucu ile bağlantılı olarak bu hiperyüzeylerin düzlemin bir parçası olması gerektiği sonucuna varılmıştır. 3 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar, teoremler ve tanımlar verilmiştir. Özellikle diferansiyellenebilir dönüşümler, hiperyüzeyler ve bunların birinci ve ikinci temel formları, Gauss ve Weingarten eşitlikleri, ortalama eğriliği ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Ağırlıklı olarak (do Carmo 1976) ve (Chen 1973) çalışmalarından yararlanılmıştır. Tanım 2.1. M kümesi ve U ℝ 𝑛 açık alt kümesi için x :U M dönüşümlerinin bire bir (injective) bir ailesi tanımlansın. Aşağıdaki şartlar sağlanırsa M ye n-boyutlu diferansiyellenebilir manifold adı verilir; i) x (U ) ların sonlu birleşimleri M kümesini örtecektir. ii) x (U ) x (U ) W ∅ 1    şartını sağlayan herhangi  , çifti için x (W ) ve x 1  (W ) kümeleri ℝ𝑛 nin açık alt kümeleridir. Bununla birlikte x1  x koordinat değişimi fonksiyonları türevlenebilirdir. iii) (U , x ) ailesi (atlası) i) ve ii) şartlarıyla birlikte maksimaldir. (U , x ) çifti (ya da x dönüşümü) p x (U ) için 𝑀 nin 𝑝 noktasındaki bir parametrizasyonu (ya da koordinat sistemi) olarak bilinir. Burada x (U ) lara koordinat komşuluğu (ya da harita) adı verilir (do Carmo 1976). ~ Tanım 2.2. M ve M sırasıyla n ve m-boyutlu diferansiyellenebilir manifoldları için ~ x : M  M dönüşümü verilsin. Bu takdirde x( p) noktasında tanımlanan  :V ℝ𝑛 → ?̃? parametrizasyonu için x(U)(V ) ve  1  x  :U ℝ𝑛 → ℝ𝑚 dönüşümü diferansiyellenebilir olacak şekilde p noktasında bir  :U ℝ𝑛 → 𝑀 parametrizasyonu bulunabilirse 𝑥 e diferansiyellenebilir dönüşüm adı verilir (do Carmo 1976). Tanım 2.3. M bir diferansiyellenebilir manifold olmak üzere  :(M )(M )(M ) ;(X ,Y) XY biçiminde tanımlı  dönüşümü X ,Y ,Z (M ) ve f , gD(M ) için aşağıdaki şartları sağlar ise  ya M üzerinde bir afin koneksiyon denir (do Carmo 1976). 4 1)  fXgYZ  fX  gY Z dir. 2) X ( fY  Z)  X ( f )Y  fXY X Z dir. Tanım 2.4. M diferansiyellenebilir manifold ve  da M nin bir afin koneksiyonu olsun. a) X ,Y ,Z (M ) içinXY XY  X ,Y  ise  simetriktir. b) X ,Y ,Z (M ) için X Y ,Z XY ,Z   Y ,X Z  ise  Riemann metriği ile uyumludur denir. Bu iki şartlarını sağlayan  afin konneksiyonuna M üzerinde bir Levi-Civita koneksiyonu adı verilir (do Carmo 1976). ~ Tanım 2.5. M ve M sırasıyla n ve m-boyutlu diferansiyellenebilir manifoldları için ~ x : M M diferansiyellenebilir bir dönüşüm olsun. Herhangi pM ve her vTpM tanjant vektörü için bir  : ( , )M eğrisi  (0)  p ,  (0)  p olacak şekilde ~ seçilsin. Böylece   x   eğrisi alındığında dx :T M T M dönüşümü p p x( p) dxp (v)  (0) biçiminde tanımlı olan lineer bir dönüşüm olup  eğrisi seçiminden bağımsızdır. Burada dxp dönüşümüne 𝑥 in türev dönüşümü olarak bilinir (Chen 1973). ~ Tanım 2.6. M ve M sırasıyla n ve m-boyutlu diferansiyellenebilir manifoldları için ~ 1 x : M M dönüşümü verilsin. Eğer 𝑥 dönüşümü diferansiyellenebilir, örten ve x de diferansiyellenebilir ise 𝑥 dönüşümüne bir difeomorfizm adı verilir. Benzer şekilde ~ pM ve x( p)M noktalarının komşulukları sırasıyla U ve V olmak üzere bunlar arasındaki x :U V dönüşümü bir difeomorfizm ise 𝑥 dönüşümüne bir lokal difeomorfizm adı verilir (do Carmo 1976). ~ ~ Tanım 2.7. M ve M Riemann manifoldları için x : M  M bir difeomorfizm olsun. Her pM ve X ,Y TpM tanjant vektörleri için  X ,Y p dxp (X ),dxp (Y) x( p) şartı sağlanırsa 𝑥 dönüşümüne bir izometri adı verilir (do Carmo 1976). ~ Tanım 2.8. M ve M sırasıyla n ve m-boyutlu diferansiyellenebilir manifoldları için ~ ~ x : M  M dönüşümü verilsin. Bu takdirde dx :T M T M dönüşümü her pMp p ( p) 5 ~ injektif ise 𝑥 e bir daldırma (immersion) adı verilir. Bununla birlikte x(M ) alt uzayı M ~ den indirgenen alt uzay topolojisi ile birlikte 𝑥 daldırması x(M )  M üzerinde bir homeomorfizm ise 𝑥 e bir gömme (embedding) adı verilir (do Carmo 1976). ~ Açıklama 2.9. Varış uzayı M ℝ𝑛+1 alınırsa 𝑀 diferansiyellenebilir manifolda n- ~ boyutlu bir hiperyüzey adı verilir. Şu andan itibaren aksi söylenmedikçe M ℝ𝑛+1 alınacaktır. Tanım 2.10. M hiperyüzeyi x : M ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilsin. ℝ𝑛+1 de ~ Levi-Civita koneksiyonu  ile gösterilsin. Bu durumda X , X (M ) lokal vektör i j alanları için M hiperyüzeyinin ℝ𝑛+1 dan indirgenmiş Levi-Civita koneksiyonu  olmak üzere M nin ikinci temel form dönüşümü ~ h : (M ) (M )   (M ) ;h(X , X )  X  X , (2.1) i j Xi j Xi j biçiminde tanımlanır. Bu dönüşüm iyi tanımlı olup simetrik ve 2-lineerdir. Literatürde (2.1) eşitliği Gauss denklemi olarak bilinir (Chen 1973). Tanım 2. 11. M hiperyüzeyi x : M ℝ𝑛+1 izometrik daldırması verilsin. M nin birim normal vektörü N olmak üzere M nin şekil operatörü dönüşümü ~ A : (M ) (M )(M ); A X   N (2.2) N i X i biçiminde tanımlanır. Burada A dönüşümü N ya karşılık gelen şekil operatörüdür. N (2.2) eşitliği Weingarten denklemi olarak bilinir (Chen 1973). Herhangi X i , X j Tp (M ) için  AN X i , X j  h(X i , X j ), N  , 1 i, j  n, (2.3) eşitliği sağlanır. M nin ortalama eğrilik vektör alanı 1 n H  h(X i , X j ) (2.4) n i1 biçiminde tanımlanır. Bununla birlikte M nin ortalama eğrilik fonksiyonu H  H ile hesaplanır. Eğer H  0 ise M ye minimaldir denir (Chen 1973). 6 ℝ4 de 𝛼 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥 4), 𝛽 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4), 𝛾 = (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4) biçiminde verilen lineer bağımsız vektörlerinin üçüne birden dik olan ?⃗? vektörü 𝑖 𝑗 ?⃗? 𝑙 ?⃗? = |𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥| 4|| 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4 determinantı yardımıyla hesaplanır. Burada {𝑖 , 𝑗 , ?⃗? , 𝑙 } vektörleri ℝ4 ün standart bazıdır. Basitliğin hatrına 𝑦𝑖 𝑦𝑗 (𝑦𝑧)𝑖𝑗 = |𝑧 𝑧 | = 𝑦𝑖𝑧𝑗 − 𝑦𝑗𝑧𝑖 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 4 𝑖 𝑗 alınarak ?⃗? = {𝑥2(𝑦𝑧)34 − 𝑥3(𝑦𝑧)24 + 𝑥4(𝑦𝑧)23}𝑖 + {−𝑥1(𝑦𝑧)34 + 𝑥3(𝑦𝑧)14 − 𝑥4(𝑦𝑧)13}𝑗 +{𝑥1(𝑦𝑧)24 − 𝑥2(𝑦𝑧)14 + 𝑥4(𝑦𝑧)12}?⃗? + {−𝑥1(𝑦𝑧)23 + 𝑥2(𝑦𝑧) − 𝑥 (𝑦𝑧) }𝑙 13 3 12 elde edilir (Güler ve ark. 2018). 7 3. MATERYAL ve YÖNTEM n-boyutlu hiperyüzeyi 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırma ile verilsin. Türevlenebilir daldırmaların bir ailesi 𝑥(𝑝, 𝑡):𝑀 → ℝ𝑛+1, 𝑥(𝑝, 0) = 𝑥(𝑝) biçiminde tanımlansın. Bu durumda 𝑀 𝑛𝑡 = 𝑥(𝑀 , 𝑡) hiperyüzeyinin 𝑥(𝑝, 𝑡) noktasındaki ortalama eğrilik vektörü ?⃗? (𝑡) = ?⃗? (𝑝, 𝑡) olmak üzere 𝜕𝑥(𝑝,𝑡) = ?⃗? (𝑝, 𝑡), 𝑥(𝑝, 0) = 𝑥(𝑝) (3.1) 𝜕𝑡 eşitliği sağlanırsa bu aileye ortalama eğrilik akısı (MCF) adı verilir (Brakke 1978). Ortalama eğrilik akısı detaylı olarak (Sigal 2014) ve (Schulze 2017) de çalışılmıştır. Yüksek mertebeden altmanifoldlar için bakınız (Cooper 2011) ve (Smoczyk 2012). Bununla birlikte, tüm grafların ortalama eğrilik akısı (Ecker ve Huisken 1989) de analiz edilmiştir. Ortalama eğrilik akısı ile ilgili detaylı bilgi için (Montegazza 2011) çalışması incelenebilir. Tanım. 3.1. 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilen M hiperyüzeyinin ortalama eğrilik vektörü ?⃗? ve M nin pozisyon vektörünün normal bileşeni 𝑥𝑁 olmak üzere ?⃗? + 𝜆𝑥𝑁 = 0 (3.2) eşitliği sağlanırsa M hiperyüzeyi (3.1) denkleminin kendine-benzer (self similar) bir çözümü olarak ifade edilir. Eğer, 𝜆 = 1 için daralan kendine-benzer (kendisi-büzüşen), 𝜆 = −1 için genişleyen kendine-benzer (kendisi-genişleyen) bir çözümüdür (Ecker ve Huisken 1989). Düşük indeksli ortalama eğrilik akısı ve otomatik büzüşmenin sınıflandırılması ve analizi (Hussey 2012) de ele alınmıştır. Kendisi-büzüşen tam yüzeyler için bakınız (Peng 2013). Son zamanlarda kendine-benzer yüzeylerin çözümleri (Etemoğlu ve ark. 2013) de incelenmiştir. Kendisi-büzüşen ve simetriyi içeren kapalı hiperyüzeyler ile ilgili bir inceleme makalesi (Drugan ve ark 2018) dikkate değerdir. Ortalama eğrilik akısının kendiliğinden büzülmesi ve singülerlik ile ilgili sonuçlar (Guo 2017) de görülebilir. M hiperyüzeyinin ortalama eğriliği 𝐻 = ‖?⃗? ‖ ve birim normal vektörü ?⃗? olsun. Bu takdirde (3.2) eşitliğinin her iki tarafı ?⃗? ile iç çarpılırsa 𝐻 + 𝜆〈?⃗? , 𝑥〉 = 0 (3.3) elde edilir. Ayrıca 𝜆 = 1 durumunda benzer bir tanım aşağıda verilmiştir. 8 Tanım 3.2. 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilen M hiperyüzeyinin ortalama eğriliği 𝐻 = ‖?⃗? ‖ ve birim normal vektörü ?⃗? olmak üzere 𝐻 + 〈?⃗? , 𝑥〉 = 0 (3.4) eşitliği sağlanırsa M ye kendisi-büzüşen (self shrinker) hiperyüzey adı verilir (Cheng ve Wei 2015). Burada 〈, 〉, ℝ𝑛+1 nin standart iç çarpımdır. Kendisi-büzüşen hiperyüzeyler ortalama eğrilik akısı ile ilgili çalışmalarda oldukça önemli bir yer teşkil etmektedir. Bunlar eğrilik akısının verilen bir singüler noktasındaki mümkün olan tüm kopmaları tanımlar (Cheng ve Wei 2015). 𝑛 = 1 durumunda Abresch ve Langer 1986 yılında ℝ2 deki tüm türevlenebilir ve kapalı kendisi-büzüşen eğrilerin çemberden ibaret olduğunu ispatlamışlardır. Tanım 3.3. Türevlenebilir daldırmaların bir ailesi 𝑥(. , 𝑡):𝑀 → ℝ𝑛+1, 𝑥(. ,0) = 𝑥(. ) biçiminde tanımlansın. 𝜕𝑥(𝑡) = −𝛼(𝑡)?⃗? (𝑡) + ?⃗? (𝑡), 𝑥(𝑡) = 𝑥(. , 𝑡) (3.5) 𝜕𝑡 biçiminde tanımlanan ortalama eğrilik akısına ağırlıklı hacmi koruyan ortalama eğrilik akısı denir. Burada 2 x  H (t)  N (t), N  e 2 d  (t)  M 2 (3.6) x   N (t), N  e 2 d M ve ?⃗? (𝑡) = ?⃗? (. , 𝑡) ve ?⃗? (𝑡) sırasıyla 𝑀𝑡 = 𝑥(𝑀 𝑛, 𝑡) nin ortalama eğrilik vektörü ve birim normal vektörü, ?⃗? ise 𝑀 nin birim normal vektörüdür. (3.5) eşitliği ile verilen ağırlıklı hacmi koruyan ortalama eğrilik akısı 2 x  V (t)   x(t), N  e 2 d (3.7) M şeklinde tanımlanan ağırlıklı hacmi korur (Cheng ve Wei 2015). 𝑑𝜇 hacim elamanı olup 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝜇 = √𝑑𝑒𝑡𝑔𝑖𝑗, 𝑔𝑖𝑗 = 〈 , 〉 (3.8) 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 şeklinde tanımlanır. Bununla birlikte ağırlıklı alan fonksiyoneli 2 x  A(t)   e 2 d (3.9) t M 9 biçiminde tanımlanır. Burada 𝑑𝜇𝑡 fonksiyonu M nin 𝑥(. , 𝑡) yardımıyla indirgenen metriğe göre alan elemanıdır. Böylece 𝑥(. , 𝑡):𝑀 → ℝ𝑛+1, 𝑥(. ,0) = 𝑥(. ) biçiminde tanımlanan türevlenebilir daldırmaların bir ailesi (varyasyonu) olmak üzere, her 𝑡 için 𝑉(𝑡) sabit oluyor ise 𝑥(. , 𝑡) ailesi 𝑥(. ) in ağırlıklı hacmi koruyan bir ailesidir denir. Ağırlıklı hacmi koruyan her bir 𝑥(. ) ailesi ağırlıklı alan fonksiyoneli A(t) nin bir kritik noktası olması için gerek ve yerer şart 𝐻+< 𝑥, ?⃗? >= 𝜆, (3.10) eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada 𝐻 = ‖?⃗? ‖, 𝑀 nin ortalama eğriliği ve 𝜆 bir reel sabittir. (3.3) şartı sağlanırsa 𝑀 ye λ-hiperyüzeyi adı verilir. Eğer 𝜆 = 0 ise 𝑀 kendisi-büzüşendir (Cheng and Wei 2015). λ-hiperyüzeylerin ile ilgili sonuçları (Ross 2015), (Shiho 2015), (Lejdfors 2003), (Cheng 2016) ve (Cheng ve ark. 2014) da verilmiştir. Literatürde aşağıdaki iyi bilinen örnekler (Cheng and Wei 2015) çalışmasında bulunabilir. 𝑛 Örnek 3.4. n-boyutlu, 𝑟-yarıçaplı küre 𝑆𝑛(𝑟) küresi ℝ𝑛+1 nin 𝜆 = − 𝑟 olacak şekilde 𝑟 kompakt bir λ-hiperyüzeyidir. Örnek 3.5. 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 için 𝑆𝑘(𝑟) × ℝ𝑛−𝑘 şeklinde verilen n-boyutlu hipersilindiri 𝑘 ℝ𝑛+1 nin 𝜆 = − 𝑟 olacak şekilde tam, kompakt olmayan bir λ-hiperyüzeyidir. 𝑟 Örnek 3.6. ℝ𝑛 n-boyutlu Öklid uzayı ℝ𝑛+1 nin 𝜆 = 0 olacak şekilde tam, kompakt olmayan bir λ-hiperyüzeyidir diğer bir deyişle kendisi-büzüşendir. Önerme 3.7. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 sabit ortalama eğrilikli bir hiperyüzey olsun. 𝑀 bir λ- hiperyüzeyi ise bu taktirde 𝑀 hiperyüzeyi √𝑛-yarıçaplı kürenin bir parçasına izometriktir. λ-hiperyüzeylerin bir genellemesini aşağıda tanımda verilmiştir. Tanım. 3.8. 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilen M hiperyüzeyinin ortalama eğriliği 𝐻 ve birim normal vektörü ?⃗? olmak üzere 𝐻 + 𝑤 < 𝑥, ?⃗? >= 𝜆, (3.11) 10 şartı sağlanırsa M ye 𝑤 ağırlık fonksiyonuna karşılık gelen bir λ-hiperyüzeyi adı verilir (Li ve Chang 2015). (3.11) eşitliğinde 𝑤 = 0 alındığında sabit eğrilikli hiperyüzeyler elde edilir. Fakat 1 𝑤 = sbt ve 𝜆 = 0 durumunda M hiperyüzeyi kendisi-büzüşendir. Sonuç olarak 𝑤 = − 2 ve 𝜆 = 0 durumunda (Huisken, 1990) çalışmasında 𝑛 ≥ 2 için negatif ortalama eğriliğe sahip olmayan kompakt kendisi-büzüşen hiperyüzeylerin 𝑥(𝑀) = 𝑆𝑛(√𝑛) olduğunu göstermiştir. Yine aynı çalışmada aşağıdaki sonuç ispatlanmıştır. Teorem 3.9. 𝑀ℝ𝑛+1, 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilen 𝐻 ≥ 0 ortalama eğrilikli bir hiperyüzey olsun. Eğer 𝑀 hiperyüzeyi 1 𝐻 − < 𝑥, ?⃗? >= 0 2 şartını sağlarsa bu takdirde 𝑀 aşağıdakilerden birine eşittir: 1) 𝑆𝑛, 2) 𝑆𝑛−𝑚ℝ𝑚, 3) 𝛾ℝ𝑛−1. Burada 𝛾 eğrisi Abresch ve Langer tarafından ℝ2 de yatan homotetik olarak kendisi- büzüşen bir eğri olduğu gösterilmiştir. Bu eğri ℝ2 de yatan homotetik olarak kendisi- büzüşen bir eğri olup aşağıdaki şekilde yorumlanabilir; 𝛾 eğrisi 𝛾(𝜃) = (𝑟(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟(𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃) polar parametrelendirme ile verildiğinde 𝛾 nın eğriliği 1  = 𝑐𝑒− 𝑎 2𝑟2 2 dir. Böylece 𝛾 kendine-büzüşen olup eğrinin eğriliği bilindiğinden 1 1 ( ) − 𝑎 2𝑟2(𝛾 𝜃 = (∫𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑒 𝜃 ) 2 2( ) 2 ) 𝑑𝜃 + 𝑑,∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝑐𝑒− 𝑎 𝑟 𝜃2 ) 𝑑𝜃 + 𝑒) biçiminde birim hızlı parametrizasyona sahip olacaktır. Ayrıca ℝ2 de 𝛾(𝑥) = (𝑥, 𝑦(𝑥)) biçiminde graf olarak tanımlanan eğrinin kendine-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 𝑦 2𝑥𝑥 = 1 + (𝑦𝑥) 𝜋 denkleminin sağlanmasıdır. Bu diferansiyel denklemin çözümü 𝑦 = −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥), |𝑥| < 2 Azrail Eğrisi (Grim Reaper) dir. 11 Şekil 3.1. Azrail Eğrisi M. Mcgonagle ve J. Rose 2014 yılında yaptıkları çalışmada ℝ𝑛+1 deki λ-hiperyüzeyleri 1 ağırlık fonksiyonu 𝑤 = alarak hesaplamalar yapmışlardır. Yine aynı yıl Q.M. Chang 2 ve G. Wei 𝑤 = −1 durumunu incelemişlerdir. Bu çalışmada ağırlıklı hacim koruyan ortalama eğrilik akısının tam λ-hiperyüzeyleri ile ilgili sonuçlar elde etmişlerdir. Tanım 3.10. 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilen 𝑀 hiperyüzeyinin ortalama eğriliği 𝐻 = ‖?⃗? ‖ ve birim normal vektörü ?⃗? olmak üzere 1 〈?⃗? , 𝑥〉 = − (3.12) 𝑐 eşitliği sağlanırsa M ye homotetik soliton adı verilir. Burada 𝑐 sıfırdan farklı sabittir. Homotetik soliton ortalama eğrilik akısının kendine-benzer çözümüdür (Kim ve Pyo 2019). Tanım 3.11. 𝑀ℝ𝑛+1, 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilsin. M üzerindeki türevlenebilir bir 𝑍 ∈ 𝑇(𝑀) vektör alanı 𝑑𝑖𝑣(𝑍) = 0 ise Z e sıkıştırılamaz vektör alanı adı verilir (Chen ve Deshmukd 2014). Aşağıdaki teoremin ispatı için bakınız (Chen ve Deshmukd 2014). Teorem 3.12. 𝑀ℝ𝑛+1, 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilsin. 𝑥 nin teğet bileşeni 𝑥𝑇 nin sıkıştırılamaz olması için gerek ve yeter koşul 〈H⃗⃗ , x〉 = −1 (3.13) olmasıdır. Sonuç. 3.13. 𝑀ℝ𝑛+1, 𝑥:𝑀 → ℝ𝑛+1 izometrik daldırması ile verilsin. 𝑥 nin teğet bileşeni 𝑥𝑇 nin sıkıştırılamaz ise bu takdirde 𝑀 hiperyüzeyi 𝑐 = 1 olduğundan bir solitondur. 12 4. BULGULAR 4.1. ℝ𝐧+𝟏 de Rotasyonel λ-hiperyüzeyleri Rotasyonel hiperyüzeyleri modern diferansiyel geometrinin önemli konularından biridir. Bu hiperyüzeyler ℝ3 de özellikle bilgisayar destekli geometrik tasarım ve yüzey modellemelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu alt bölümde rotasyonel hiperyüzeylerin λ-hiperyüzey olması durumları incelenmiştir. Sırasıyla ℝ3, ℝ4 ve ℝn+1 deki rotasyonel hiperyüzeylerin λ-hiperyüzey olması durumları ile ilgili orijinal sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçları destekleyici örnekler verilmiştir. 4.1.1. ℝ𝟑 de Rotasyonel λ-Yüzeyleri ℝ3 de 𝑥(𝑢, 𝑣) = (𝑓(𝑢), 𝑔(𝑢)𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑔(𝑢)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.1) regüler yamasıyla verilen yüzey rotasyon yüzeyi olarak bilinir. Burada 𝛾(𝑢) = (𝑓(𝑢), 𝑔(𝑢)) 𝑀 nin meridyen eğrisidir (Gray 1993). 𝑀 nin ortonormal çatı alanı 1 𝜕𝑥 𝑒 1 = 𝜑 𝜕𝑢 1 𝜕𝑥 𝑒 2 = (4.2) 𝑔 𝜕𝑣 1 𝑒 3 = (𝑔 ′, −𝑓′𝑐𝑜𝑠𝑣,−𝑓′𝑠𝑖𝑛𝑣) 𝜑 vektörleri tarafından gerilir (Bulca ve ark. 2009). Burada 𝜑 = √(𝑓′)2 + (𝑔′)2 (4.3) 𝑀 üzerinde reel değerli türevlenebilir bir fonksiyondur. Bununla birlikte x in ikinci kısmi türevleri yardımıyla 𝑀 nin ikinci temel form katsayıları 𝑘 𝐿11 =< 𝑥𝑢𝑢, 𝑒 3 >= 𝜑 𝐿12 =< 𝑥𝑢𝑣, 𝑒 3 >= 0 (4.4) 𝑓′𝑔 𝐿22 =< 𝑥𝑣𝑣 , 𝑒 3 >= 𝜑 elde edilir. Burada 𝑘 = 𝑓′′𝑔′ − 𝑓′𝑔′′ (4.5) 13 M üzerinde türevlenebilir fonksiyondur. Bununla birlikte M nin ikinci temel form katsayıları ℎ(𝑥𝑢, 𝑥𝑢) = 𝐿11𝑒 3 ℎ(𝑥𝑢, 𝑥𝑣) = 𝐿12𝑒 3 ℎ(𝑥𝑣, 𝑥𝑣) = 𝐿22𝑒 3 (4.6) ve 𝑥 𝑥 𝐿 ℎ(𝑒 1, 𝑒 ) = ℎ ( 𝑢 , 𝑢 ) = 111 𝑒 ‖𝑥𝑢‖ ‖𝑥 ‖ 𝜑2 3𝑢 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝐿12 ℎ(𝑒 1, 𝑒 2) = ℎ ( , ) = 𝑒 3 = 0⃗ ‖𝑥𝑢‖ ‖𝑥𝑣‖ 𝜑𝑔 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒 2, 𝑒 2) = ℎ ( 𝑣 , 𝑣 ) = 𝑢 𝑢 = 22 𝑒 (4.7) ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 ‖ 𝑔2 𝑔2 3𝑣 𝑣 eşitlikleri karşılaştırılarak 𝑘 ℎ11 = 𝜑3 ℎ12 = ℎ21 = 0 (4.8) 𝑓′ ℎ22 = 𝑔𝜑 elde edilir. Böylece (4.8) yardımıyla 𝑀 nin şekil operatörü matrisi 𝑘 0 ℎ ℎ 𝜑3 𝐴 11 12𝑒 = ( ) = ( ′) (4.9) 3 ℎ 𝑓21 ℎ22 0 𝑔𝜑 olarak bulunur. Buradan (4.9) kullanılarak aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.1. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) pozisyon vektörü ile verilsin. 𝑀 nin ortalama eğriliği 𝑘𝑔+𝑓′𝜑2 𝐻 = (4.10) 2𝑔𝜑3 dir. Burada 𝑘 ve 𝜑 türevlenebilir fonksiyonlar olup sırasıyla (4.5) ve (4.3) de tanımlanmıştır. M nin minimal olması durumunu iki aşamalı inceleyebiliriz: 1) 𝑓 bileşeni sabit olsun bu takdirde (4.5) eşitliğinden 𝑘 = 0 dır. Bu yüzey düzlemin bir parçasıdır. 14 2) 𝑓(𝑢) = 𝑢 olsun, bu durumda (4.5) ve (4.10) eşitliklerinden 𝑔′′𝑔 − (𝑔′)2 = 1 𝑢 elde edilir. Bu denklemin aşikar olmayan bir reel çözümü 𝑔 = bcosh ( ) dir. Böylece 𝑎 meridyen eğrisi catenary eğrisidir ve rotasyonel yüzey de katenoiddir (Bkz. Şekil 4.1.). Şekil 4.1 Catenary eğrisi ve katenoid yüzeyi (Kenmotsu 2003) çalışmasında aşağıdaki sınıflandırma verilmiştir. Teorem 4.2. (Delaunay Teoremi) 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. M sabit eğrilikli ise M bir küre, bir katenoid ya da meridyen eğrisi 𝑠 1+𝑏𝑠𝑖𝑛2𝐻𝑡 1 𝛾(𝑠) = (∫ 𝑑𝑡, √1 + 𝑏2 + 2𝑏𝑠𝑖𝑛2𝐻𝑠) (4.11) 0 √1+𝑏2+2𝑏𝑠𝑖𝑛2𝐻𝑡 2𝐻 olan bir yüzeydir. Burada 𝑏 ∈ ℝ ve 𝐻 > 0 sabittir. Bununla birlikte, x pozisyon vektörü ile 𝑒 3 ün iç çarpımından 𝑓𝑔′−𝑓′𝑔 < 𝑥, 𝑒 3 >= (4.12) 𝜑 bulunur. Burada 𝜑 türevlenebilir fonksiyon olup sırasıyla (4.3) de tanımlanmıştır. Böylece aşağıdaki sonuçlar elde edilir: Teorem 4.3. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. M nin homotetik soliton olması için gerek ve yeter şart 𝑐(𝑘𝑔 + 𝑓′𝜑2)𝛿 + 2𝑔𝜑4 = 0 (4.13) eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada 𝛿 = 𝑓𝑔′ − 𝑓′𝑔 (4.14) türevlenebilir fonksiyon olup 𝜑, 𝑘 sırasıyla (4.3) ve (4.5) eşitliklerinde verilmiştir. 15 İspat: (⟹): 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi bir homotetik soliton olsun. Bu takdirde 1 〈?⃗? , 𝑥〉 = 𝐻〈𝑒 3, 𝑥〉 = − 𝑐 dir. Böylece (4.10) ve (4.12) eşitlikleri yardımıyla (𝑘𝑔 + 𝑓′𝜑2)(𝑓𝑔′ − 𝑓′𝑔) 1 = − 2𝑔𝜑4 𝑐 bulunur. Bu eşitlik düzenlenirse (4.13) elde edilir. (⟸): Aşikâr. □ Örnek 4.4. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi r-yarıçaplı küre olsun. Bu takdirde M yüzeyi 𝑐 = 1 için bir homotetik solitondur. Örnek 4.5. Meridyen eğrisi 𝛾(𝑢) = (𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑑) doğrusu olsun. Bu yüzey bir silindir belirtir (Şekil 4.2). Bu durumda 𝜑 = 𝑎, 𝛿 = −𝑎𝑑, 𝑘 = 0 bulunur. Böylece bu değerler (4.13) denkleminde yerine yazılırsa 𝑐 = 2 elde edilir. Diğer bir deyişle bu yüzey bir homotetik solitondur. (4.10) ve (4.12) ve (3.11) eşitlikleri yardımıyla aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.6. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. M nin 𝑤 ağırlık fonksiyonuna karşılık gelen bir λ-yüzeyi olması için gerek ve yeter şart −(𝑘𝑔+𝑓′𝜑2)+2λ𝑔𝜑3 𝑤 = 2 (4.15) 2𝑔𝛿𝜑 olmalısıdır. Sonuç 4.7. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. M nin 𝑤 ağırlık fonksiyonu 𝑤 = 0 olması durumunda −(𝑘𝑔 + 𝑓′𝜑2) + 2λ𝑔𝜑3 = 0 dır. Böylece 𝑀 rotasyonel yüzeyi sabit ortalama eğrilikli bir λ-yüzeyidir. Sonuç 4.8. Meridyen eğrisi 𝛾(𝑠) = (𝑠, 𝑔(𝑠)) parametrizasyonu ile verilen rotasyonel yüzey λ sabit eğrilikli ise 1 + (𝑔′)2 − 𝑔′′𝑔 λ = 2𝑔(1 + (𝑔′)2)3 dir. 16 Önerme 4.9. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ- yüzeyi (yani, 𝑤 = 1) olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑔 + 𝜑2𝑓′ + 2𝑔𝜑2𝛿 − 2𝜆𝑔𝜑3 = 0 (4.16) eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada 𝜑, 𝑘, 𝛿 sırasıyla (4.3), (4.5) ve (4.14) eşitliklerinde tanımlanmıştır. Böylece 𝜆 = 0 durumunda Önerme 4.9 un bir sonucu aşağıda verilmiştir. Sonuç 4.10. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi (4.1) parametrizasyonu ile verilsin. 𝑀 nin kendisi- büzüşen bir yüzey olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑔 + 𝜑2𝑓′ + 2𝑔𝜑2𝛿 = 0 (4.17) olmasıdır. Meridyen eğrisini birim hızlı olması durumunda Önerme 4.9 aşağıdaki şekilde yorumlanabilir: Sonuç 4.11. 𝑀 ⊂ ℝ3 meridyen eğrisi birim hızlı olan bir rotasyonel yüzey olsun. M nin bir λ-yüzeyi olması için gerek ve yeter şart 𝑔(2𝜆 − 2𝛿 − 𝑘) = 𝑓′ (4.18) eşitliğinin sağlanmasıdır. Örnek 4.12. 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑔(𝑢) = 𝑐 olsun. Bu takdirde 𝜑 = 𝑎, 𝛿 = −𝑎𝑐, 𝑘 = 0 1−2𝑐2 1 bulunur. Böylece λ = elde edilir. Bu yüzey bir silindir belirtir ve 𝑐 = ± değeri 2𝑐 √2 için kendisi-büzüşendir (Bkz. Şekil 4.2.). 1 Şekil 4.2. 𝑓(𝑢) = 3𝑢 + 5, 𝑔(𝑢) = parametrizasyonlu silindir √2 17 Örnek 4.13. 𝑓(𝑢) = 𝑎, 𝑔(𝑢) = 𝑏𝑢 + 𝑐 olsun. Bu takdirde λ = a bulunur. Bu yüzey bir düzlem belirtir ve 𝑎 = 0 değeri için kendisi-büzüşendir (Bkz. Şekil 4.3.). Şekil 4.3. 𝑓(𝑢) = 3, 𝑔(𝑢) = 3𝑢 + 5 parametrizasyonlu düzlem Örnek 4.14. 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑔(𝑢) = 𝑐𝑢 + 𝑑 olsun. Bu takdirde (4.16) denklemi sağlanırsa 𝑎 + 2(𝑐𝑢 + 𝑑)(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) λ = 2(𝑐𝑢 + 𝑑)√𝑎2 + 𝑐2 bulunur. Böylece aşağıdaki durumlar söz konusudur: 1) 𝑎 = 0 ise Örnek 4.13 deki yüzey elde edilir. 2) 𝑐 = 0 ise Örnek 4.12 deki yüzey elde edilir. 3) 𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑐 ≠ 0 ise 𝑀 bir koni olup bu yüzey bir λ − yüzeyi değildir (Bkz. Şekil 4.4.). Şekil 4.4. 𝑓(𝑢) = 3𝑢, 𝑔(𝑢) = 3𝑢 + 5 parametrizasyonlu koni Tanım 4.15. 𝛾: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ2 eğrisi 𝛾(𝑢) = (𝑟(𝑢)𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑟(𝑢)𝑠𝑖𝑛𝑢) pozisyon vektörü ile verilsin. Bu eğriye polar parametrelendirme ile verilmiştir denir. 18 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyinin meridyen eğrisi polar parametrelendirmesiyle verilsin. Bu taktirde (4.12) deki fonksiyonlar 𝑘 = 𝑟′′𝑟 − 2(𝑟′)2 − 𝑟2, 𝜑 = √𝑟2 + (𝑟′)2, 𝛿 = 𝑟2 (4.19) biçimine dönüşür. Böylece aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem 4.16. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi polar parametrelendirme ile verilsin. 𝑀 nin λ- yüzeyi olması için gerek ve yeter şart, 𝜑2𝑟′𝑐𝑜𝑠𝑢 + (2𝜑2𝑟2 − 2λ𝜑3 + 𝑘−𝜑2)rsinu = 0 (4.20) olmasıdır. Burada 𝜑 ve 𝑘 fonksiyonları (4.3) ve (4.5) de verilmiştir. Sonuç 4.17. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi polar parametrelendirme ile verilsin. 𝑀 nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 𝜑2𝑟′𝑐𝑜𝑠𝑢 + (2𝜑2𝑟2 + 𝑘 − 𝜑2)rsinu = 0 (4.21) olmasıdır. Sonuç 4.18. 𝑀 ⊂ ℝ3 rotasyonel yüzeyi 𝑓(𝑢) = 𝑟0𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑔(𝑢) = 𝑟0𝑠𝑖𝑛𝑢; 𝑟0 = 𝑠𝑏𝑡. polar parametrelendirme ile verilsin. 𝑀 nin λ-yüzeyi olması için gerek ve yeter şart, 1 λ = 𝑟0 − (4.22) 𝑟0 olmasıdır. Bununla birlikte r = 1 için yüzey kendisi-büzüşendir. İspat. (4.19) denkleminde 𝑟(𝑢) = 𝑟0 yazılırsa 2𝑟 3 0 𝑠𝑖𝑛𝑢(−1 + 𝑟 2 0 − λ𝑟0) = 0 bulunur. Bununla birlikte 𝑔(𝑢) = 𝑟0𝑠𝑖𝑛𝑢 fonksiyonu sıfırdan farklı olduğundan 𝑟 2 0 − λ𝑟0 − 1 = 0 bulunur. Buradan (4.22) elde edilir. Dolayısıyla yüzey bir λ-hiperyüzeydir. Eğer 𝑀, λ+√λ2+4 𝑟0 > 0 yarıçaplı bir küre ise bu takdirde 𝑟0 = dır. Yani 𝑟0 yarıçaplı küre bir λ −2 yüzeyidir. Ayrıca 𝑀 kendisi-büzüşen bir yüzey ise 𝑟0 = 1 olmalıdır (Şekil 4.5). □ Şekil 4.5. 𝑟 = 1 polar parametrizasyonlu küre 19 4.1.2. ℝ𝟒 de Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi, 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑓(𝑠), 𝑔(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑔(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑔(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣) (4.23) regüler koordinat yamasıyla verilsin. Burada 𝛾(𝑠) = (𝑓(𝑠), 𝑔(𝑠)) regüler bir eğridir (Güler ve ark. 2018). 𝑀 nin tanjant uzayı 1 𝜕𝑥 𝑒 1 = 𝜑 𝜕𝑠 1 𝜕𝑥 𝑒 2 = (4.24) 𝑔 𝜕𝑢 1 𝜕𝑥 𝑒 3 = 𝑔𝑐𝑜𝑠𝑢 𝜕𝑣 ortonormal vektörleri tarafından gerilir. Böylece 𝑀 nin birim normali 1 𝑒 ′4 = (𝑔 ,−𝑓 ′𝑠𝑖𝑛𝑢,−𝑓′𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣,−𝑓′𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣) (4.25) 𝜑 olarak hesaplanır. Bununla birlikte x in ikinci kısmi türevleri yardımıyla 𝑀 nin ikinci temel form katsayıları 𝑘 𝐿11 = 〈 𝑥𝑠𝑠 , 𝑒 4 〉 = 𝜑 𝑓′𝑔 𝐿22 = 〈 𝑥𝑢𝑢, 𝑒 4〉 = (4.26) 𝜑 𝑓′𝑔cos2𝑢 𝐿33 = 〈 𝑥𝑣𝑣, 𝑒 4 〉 = 𝜑 dir. Burada 𝜑 ve 𝑘 fonksiyonları (4.3) ve (4.5) eşitliklerinde verilmiştir. Bununla birlikte Gauss denklemi yardımıyla 𝑥 𝑥 ℎ(𝑒 , 𝑒 ) = ℎ ( 𝑆 , 𝑠 𝐿 ) = 111 1 𝑒 ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 ‖ 𝜑2 4 𝑆 𝑠 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒 2, 𝑒 2) = ℎ ( 𝑢 , 𝑢 ) = 𝑢 𝑢 = 22 𝑒 4 (4.27) ‖𝑥𝑢‖ ‖𝑥𝑢‖ 𝑔2 𝑔2 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒 3, 𝑒 ) = ℎ ( 𝑣 , 𝑣 ) = 𝑣 𝑣3 = 33 𝑒 ‖𝑥𝑣‖ ‖𝑥𝑣‖ 𝑔2cos2𝑢 𝑔2cos2𝑢 4 elde edilir. Böylece 𝑀 nin ikinci temel form katsayıları 𝐿 𝑘 ℎ11 = 11 2 = 3 𝜑 𝜑 𝐿22 𝑓′ℎ22 = 2 = (4.28) 𝑔 𝜑𝑔 𝐿 ℎ = 33 𝑓′ 33 = 𝑔2cos2𝑢 𝜑𝑔 20 elde edilir. Burada 𝑖 ≠ 𝑗 için ℎ𝑖𝑗 = 0 dır. M nin şekil operatörü matrisi, (4.28) yardımıyla 𝑘 0 0 𝜑3 𝑓′ 𝐴𝑒 = 0 0 (4.29) 4 𝜑𝑔 𝑓′ 0 0 ( 𝜑𝑔) olarak bulunur. Buradan (4.29) kullanılarak aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.19. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel yüzeyi (4.23) pozisyon vektörü ile verilsin. 𝑀 nin ortama eğriliği 𝑘𝑔+2𝜑2𝑓′ 𝐻 = 3 (4.30) 3𝑔𝜑 dır. Burada 𝜑 ve 𝑘 fonksiyonları (4.3) ve (4.5) eşitliklerinde verilmiştir. Bununla birlikte 𝛿 〈 𝑥, 𝑒 4 〉 = (4.31) 𝜑 bulunur. Burada 𝛿 fonksiyonu (4.14) de tanımlanmıştır. Teorem 4.20. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel yüzeyi (4.23) parametrizasyonu ile verilsin. M nin homotetik soliton olması için gerek ve yeter şart 𝑐(𝑘𝑔 + 2𝑓′𝜑2)𝛿 + 3𝑔𝜑4 = 0 (4.32) eşitliğinin sağlanmasıdır. Örnek 4.21. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel yüzeyi r-yarıçaplı hiperküre olsun. Bu takdirde M yüzeyi 𝑐 = 1 için bir homotetik solitondur. Örnek 4.22. Meridyen eğrisi 𝛾(𝑢) = (𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑑) doğrusu olsun. Bu yüzey bir hipersilindir belirtir . Bu durumda 𝜑 = 𝑎, 𝛿 = −𝑎𝑑, 𝑘 = 0 bulunur. Böylece bu değerler 3 (4.32) denkleminde yerine yazılırsa 𝑐 = elde edilir. Diğer bir deyişle bu yüzey bir 2 homotetik solitondur. Teorem 4.23. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel yüzeyi (4.23) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ- hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart; 𝑘𝑔 + 3𝑔𝜑2𝛿 + 2𝜑2𝑓′ − 3𝜆𝑔𝜑3 = 0 (4.33) eşitliğinin sağlanmasıdır. 21 Sonuç 4.24. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi (4.23) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 3𝑔𝜑2𝛿 + 𝑘𝑔 + 2𝜑2𝑓′ = 0 (4.34) olmasıdır. Örnek 4.25. 𝑓(𝑠) = 𝑐𝑜𝑠𝑠 ve 𝑔(𝑠) = 𝑠𝑖𝑛𝑠 olsun. Bu takdirde (4.33) denkleminden 𝜆 = 0 bulunur. Bu durumda hiperyüzey kendisi-büzüşen olup 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑐𝑜𝑠𝑠, 𝑠𝑖𝑛𝑠𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑠𝑖𝑛𝑠𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑠𝑖𝑛𝑠𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣) parametrizasyona sahip olan 𝑆3(1) hiperküresidir. Örnek 4.26. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi 𝑓(𝑠) = 𝑎𝑠 + 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑟0 ve 𝑟0 ≠ 0 2−3𝑟 2 parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde (4.33) denkleminden 𝜆 = 0 bulunur. 3𝑟0 Böylece elde edilen 𝜆-hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑎𝑠 + 𝑏 , 𝑟0 𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑟0 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑟0𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣) parametrizasyona sahip olacaktır. Bu hiperyüzey 𝑆2(𝑟0) × ℝ dairesel hipersilindiridir. Bununla birlikte bu hiperyüzeyin kendisi-büzüşen (yani 𝜆 = 0) olması için gerek ve yeter 2 koşul 𝑟 20 = olmasıdır. 3 Örnek 4.27. 𝑓(𝑠) = 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑐𝑠 + 𝑑 olsun. Bu taktirde (4.33) denkleminden 𝜆 = 𝑏 elde edilir. Bu durumda hiperyüzey bir 𝜆-hiperyüzeydir. Böylece elde edilen 𝜆- hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑏, (𝑐𝑠 + 𝑑)𝑠𝑖𝑛𝑢, (𝑐𝑠 + 𝑑)𝑐𝑜𝑠𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣, (𝑐𝑠 + 𝑑)𝑐𝑜𝑠𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣) parametrizasyona sahip bir hiperdüzlemdir. Örnek 4.28. 𝑓(𝑠) = 𝑎𝑠 + 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑐𝑠 + 𝑑 olsun. Böylece (4.33) denkleminden 2𝑎 + 3(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)(𝑐𝑠 + 𝑑) 𝜆 = 3√𝑎2 + 𝑐2(𝑐𝑠 + 𝑑) olur. Böylece aşağıdaki durumlar söz konusudur: 1) 𝑐 = 0 ise Örnek 4.26 deki yüzey elde edilir. 2) 𝑎 = 0 ise Örnek 4.27 deki yüzey elde edilir. 3) 𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑐 ≠ 0 ise 𝑀 bir konik hiperyüzey olup bu yüzey bir λ − hiperyüzeyi değildir. 22 4.1.3. ℝ𝟒 de Bi-Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri ℝ4 de 𝑀: 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑓(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑓(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑔(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑔(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.35) parametrizasyonu ile verilen hiperyüzeye bi-rotasyonel hiperyüzey adı verilir (Drugan ve ark. 2018). 𝑀 nin tanjant uzayı 𝑥 𝑥 𝑒1 = 𝑠 = 𝑠 ‖𝑥𝑠‖ 𝜑 𝑥 𝑒 = 𝑢 𝑥 2 = 𝑢 (4.36) ‖𝑥𝑢‖ 𝑓 𝑥𝑣 𝑥𝑒 𝑣3 = = ‖𝑥𝑣‖ 𝑔 ortonormal vektörleri tarafından gerilir. Böylece 𝑀 nin birim normali 1 𝑒 4 = (𝑔′(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑔′(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑢, −𝑓′(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑣,−𝑓′(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.37) 𝜑 olarak hesaplanır. Burada 𝜑 fonksiyonu (4.3) de tanımlanmıştır. İkinci kısmı türevler yardımıyla 𝑘 𝐿11 = 〈 𝑥𝑠𝑠 , 𝑒 4 〉 = 𝜑 −𝑓𝑔′ 𝐿22 = 〈 𝑥𝑢𝑢, 𝑒 4〉 = (4.38) 𝜑 𝑔𝑓′ 𝐿33 = 〈 𝑥𝑣𝑣, 𝑒 4 〉 = 𝜑 elde edilir. Ayrıca 𝑖 ≠ 𝑗 için 𝐿𝑖𝑗 = 0 dır. Burada 𝑘 fonksiyonu (4.5) da verilmiştir. Böylece (4.36) eşitlikleri yardımıyla 𝑥 𝑥 𝐿 ℎ(𝑒 , 𝑒 ) = ℎ ( 𝑆1 1 , 𝑠 ) = 11 𝑒 ‖𝑥𝑆‖ ‖𝑥 2 4 𝑠‖ 𝜑 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒 , 𝑒 ) = ℎ ( 𝑢 , 𝑢 ) = 𝑢 𝑢 = 222 2 2 2 𝑒 ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 ‖ 𝑓 𝑓 4 (4.39) 𝑢 𝑢 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒3, 𝑒3) = ℎ ( 𝑣 , 𝑣 ) = 𝑣 𝑣 = 33 𝑒 ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 2 2 4𝑣 𝑣‖ 𝑔 𝑔 dir. Buradan 𝐿 ℎ = 11 𝑘 11 = 𝜑2 𝜑3 𝐿 −𝑔′ ℎ22 = 22 2 = (4.40) 𝑔 𝑓𝜑 𝐿 𝑓′ ℎ 3333 = 𝑔2 = 𝑔𝜑 𝑖 ≠ 𝑗 için ℎ𝑖𝑗 = 0 dır. Böylece (4.40) yardımıyla M nin şekil operatörü matrisi 23 𝑘 3 0 0  −𝑔′ 𝐴 𝑒 = 0 0  (4.41) 4 𝑓 𝑓′ 0 0 ( 𝑔 ) olarak bulunur. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.29. 𝑀 ⊂ ℝ4 bi-rotasyonel hiperyüzeyi (4.35) parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği 𝑘𝑓𝑔+𝜑2𝜇 𝐻 = 3 (4.42) 3𝑓𝑔𝜑 dır. Burada 𝜇 reel değerli türevlenebilir fonksiyon olup 𝜇 = 𝑓𝑓′ − 𝑔𝑔′ (4.43) biçiminde tanımlanır. Örnek 4.30. Meridyen eğrisi 𝑟 yarıçaplı bir çember olsun. Bu takdirde 𝑀 bi-rotasyonel hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑠𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑠𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑠𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑠𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.44) 1 parametrizasyona sahip 𝐻 = − sabit eğrilikli hiperküredir (Drugan ve ark. 2018). 3𝑟 Bununla birlikte 𝛿 〈 𝑥, 𝑒 4 〉 = (4.45) 𝜑 dir. Burada 𝛿 reel değerli fonksiyon olup (4.14) eşitliği ile verilmiştir. Teorem 4.31. 𝑀 ⊂ ℝ4 bi-rotasyonel yüzeyi (4.35) parametrizasyonu ile verilsin. M nin homotetik soliton olması için gerek ve yeter şart 𝑐(𝑘𝑓𝑔 + 𝜇𝜑2)𝛿 + 3𝑓𝑔𝜑4 = 0 (4.46) eşitliğinin sağlanmasıdır. (4.42) ve (4.45) eşitlikleri (3.10) da yerine yazılırsa aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.32. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi (4.35) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ-hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑓𝑔 + 𝜑2(𝜇 + 3𝑓𝑔𝛿 − 3𝜆𝑓𝑔𝜑) = 0 (4.47) 24 eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada, 𝑘, 𝜑, 𝛿, ve 𝜇 reel değerli fonksiyonlar olup sırasıyla (4.5), (4.3), (4.14) ve (4.43) de tanımlanmıştır. Bu teoremin bir sonucu aşağıda verilmiştir. Sonuç 4.33. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi (4.35) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑓𝑔 + 𝜑2(𝜇 + 3𝑓𝑔𝛿) = 0 (4.48) 𝑜lmasıdır. Örnek 4.34. ℝ4 de 𝑀: 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑔(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑔(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.49) parametrizasyonu ile verilen bi-rotasyonel hiperyüzeyi için 𝑘 = 0, 𝜑 = 𝑔′, 𝜇 = −𝑔𝑔′, 𝛿 = 𝑎𝑔′ (4.50) dir. Böylece (4.42) ve (4.50) eşitlikleri yardımıyla 𝑀 nin ortalama eğriliği 1 𝐻 = − 3𝑎 olarak bulunur, bu da bize M hiperyüzeyinin sabit ortalama eğrilikli olduğunu gösterir. Bununla birlikte (4.50) eşitlikleri (4.46) de yerine yazılırsa 𝑐 = 3 elde edilir. Böylece M hiperyüzeyi bir homotetik solitondur. Benzer şekilde (4.50) eşitlikleri (4.47) de yerine yazılırsa 3𝑎2 − 1 𝜆 = − 3𝑎 1 reel sabiti elde edilir. Böylece, M bir λ-hiperyüzey olup 𝑎 = ∓ değeri için kendisi- √3 büzüşendir. Örnek 4.35. Meridyen eğrisi 𝑓(𝑠) = 𝑔(𝑠) şeklinde orijinden geçen bir doğru olsun. Bu takdirde bi-rotasyonel hiperyüzeyi 𝑀 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑠)(𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.51) parametrizasyona sahip bir minimal yüzeydir. Özel olarak 𝛾(𝑠) = (𝑠, 𝑠) alındığında 𝑀: 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑠𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑠𝑠𝑖𝑛𝑢, 𝑠𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑠𝑠𝑖𝑛𝑣) hiperyüzeyi elde edilir. Bu hiperyüzey kendisi-büzüşen olup minimal Clifford konisidir (Drugan ve ark. 2018). 25 4.1.4. ℝ𝐧+𝟏 de Rotasyonel λ-Hiperyüzeyleri 𝛾(𝑠) = (𝑓(𝑠), 𝑔(𝑠)) , 𝑠 ∈ (𝑎, 𝑏) birim hızlı bir eğri ve 𝑆𝑛−1(1) birim küresi 𝜌 = 𝜌(𝑡1, … , 𝑡𝑛−1) = (𝜌1(𝑡1, … , 𝑡𝑛−1), 𝜌2(𝑡1, … , 𝑡𝑛−1), … , 𝜌𝑛(𝑡1, … , 𝑡𝑛−1)) (4.52) parametrizasyonu ile verilsin. Bu takdirde 𝛾(𝑠) eğrisinin 𝜌 etrafında döndürülmesiyle elde edilen ℝ𝑛+1 deki rotasyonel hiperyüzeyi 𝑀, 𝑥 ∶ (𝑎, 𝑏) 𝑥 𝑆𝑛−1 → ℝ𝑛+1; 𝑥(𝑠, 𝜌) = (𝑓(𝑠), 𝑔(𝑠)𝜌) ∈ ℝ𝑛+1 (4.53) parametrizasyonu ile tanımlanır (do Carmo ve Dajczer 1993). 𝛾 eğrisi ℋ = { (𝑓, 𝑔) ∈ ℝ2 ∶ 𝑔 > 0 } yarı düzleminde yatan bir eğridir. Böylece 𝑀 nin ortonormal çatı alanı 1 𝜕𝑥 𝑒 1 = 𝜑 𝜕𝑠 1 𝜕𝑥 𝑒 𝑗 = , 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (4.54) 𝑔 𝜕𝑡𝑗 1 𝑒 = (𝑔′, −𝑓′𝜌 ,−𝑓′ ′𝑛+1 1 𝜌2, … , −𝑓 𝜌𝑛) 𝜑 vektörleri tarafından gerilir. Burada 𝜑 fonksiyonu (4.4) de tanımlanmıştır. Böylece (4.53) ün s ve 𝑡𝑗 ye göre ikinci mertebeden kısmi türevlerinden 𝑥𝑠𝑠 = (𝑓′′(𝑠), 𝑔′′(𝑠)𝜌), 𝑥𝑖𝑖 = (0, 𝑔(𝑠)𝜌𝑖𝑖), 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 (4.55) 𝜕2𝑥 𝜕2𝑥 𝜕2𝜌 elde edilir. Burada 𝑥𝑠𝑠 = 2 , 𝑥𝑖𝑖 = 2 ve 𝜌𝑖𝑖 = 2 dir. Böylece M nin ikinci temel form 𝜕𝑠 𝜕𝑡𝑖 𝜕𝑡𝑖 katsayıları 𝑘 𝑓′ ℎ11 = , ℎ𝑖𝑖 = , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 (4.56) 𝜑3 𝜑𝑔 dır. Bununla birlikte 𝑖 ≠ 𝑗 için ℎ𝑖𝑗 = 0 dır. Böylece M nin şekil operatörü matrisi (4.56) yardımıyla 𝑘 ⋯ 0 𝜑3 𝑓′ 0 0 𝐴𝑒 = 𝜑𝑔 (4.57) 𝑛+1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑓′ (0 … 𝜑𝑔) olarak bulunur. Bu durumda (4.57) de elde edilen şekil operatörü bize (4.52) parametrizasyonu ile verilen rotasyonel hiperyüzeyin en çok iki farklı asli eğriliklere sahip olduğu sonucunu verir. Buradan (4.57) kullanılarak aşağıdaki sonuç elde edilir. 26 Teorem 4.36. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 rotasyonel yüzeyi (4.53) pozisyon vektörü ile verilsin. 𝑀 nin ortama eğriliği 𝑘𝑔+(𝑛−1)𝜑2𝑓′ 𝐻 = 3 (4.58) 𝑛𝑔𝜑 dır. Burada 𝜑 ve 𝑘 fonksiyonları (4.3) ve (4.5) eşitliklerinde verilmiştir. Bununla birlikte 𝛿 〈 𝑥, 𝑒 𝑛+1 〉 = (4.59) 𝜑 bulunur. Burada 𝛿 fonksiyonu (4.14) de tanımlanmıştır. Teorem 4.37. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 rotasyonel yüzeyi (4.53) parametrizasyonu ile verilsin. M nin homotetik soliton olması için gerek ve yeter şart 𝑐(𝑘𝑔 + (𝑛 − 1)𝑓′𝜑2)𝛿 + 𝑛𝑔𝜑4 = 0 (4.60) eşitliğinin sağlanmasıdır. Örnek 4.38. 𝛾(𝑠) meridyen eğrisi r-yarıçaplı çember olsun. Bu durumda 𝑐 = 1 için bir homotetik solitondur. Örnek 4.39. Meridyen eğrisi 𝛾(𝑢) = (𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑑) doğrusu olsun. Bu yüzey bir hipersilindir belirtir. Bu durumda 𝜑 = 𝑎, 𝛿 = −𝑎𝑑, 𝑘 = 0 bulunur. Böylece bu değerler 𝑛−1 (4.60) denkleminde yerine yazılırsa 𝑐 = elde edilir. Diğer bir deyişle bu yüzey bir 𝑛 homotetik solitondur. Böylece (4.58) ve (4.59) eşitlikleri yardımıyla aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.40. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 rotasyonel yüzeyi (4.53) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ-hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑔 + 𝑛𝑔𝜑2𝛿 + (𝑛 − 1)𝜑2𝑓′ − 𝑛𝜆𝑔𝜑3 = 0 (4.61) eşitliğinin sağlanmasıdır. Sonuç 4.41. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 rotasyonel hiperyüzeyi (4.53) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 𝑘𝑔 + 𝑛𝑔𝜑2𝛿 + (𝑛 − 1)𝜑2𝑓′ = 0 (4.62) olmasıdır. 27 Örnek 4.42. 𝑓(𝑠) = 𝑐𝑜𝑠𝑠 ve 𝑔(𝑠) = 𝑠𝑖𝑛𝑠 olsun. Bu taktirde (4.61) denkleminden 𝜆 = 0 bulunur. Bu durumda 𝑥(𝑠, 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛−1) = (𝑐𝑜𝑠𝑠, 𝑠𝑖𝑛𝑠𝜌1, 𝑠𝑖𝑛𝑠𝜌2, … , 𝑠𝑖𝑛𝑠𝜌𝑛) (4.63) hiperyüzeyi 𝑆𝑛(1) hiperküresi kendisi-büzüşedir. Örnek 4.43. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 rotasyonel hiperyüzeyi 𝑓(𝑠) = 𝑎𝑠 + 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑟0 ve 𝑟0 ≠ 0 parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde (4.61) denkleminden 𝑛 − 1 − 𝑛𝑟 20 𝜆 = 𝑛𝑟0 bulunur. Böylece elde edilen 𝜆-hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛−1) = (𝑎𝑠 + 𝑏 , 𝑟0𝜌1, 𝑟0𝜌2, … , 𝑟0𝜌𝑛) parametrizasyona sahip olacaktır. Bu hiperyüzey 𝑆𝑛−1(𝑟0) × ℝ dairesel hipersilidiridir. Bununla birlikte bu hiperyüzeyin kendisi-büzüşen (yani, 𝜆 = 0) olması için gerek ve yeter şart 𝑛 − 1 𝑟 20 = 𝑛 olmasıdır. Örnek 4.44. 𝑓(𝑠) = 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑐𝑠 + 𝑑 olsun. Bu taktirde (4.56) denkleminden 𝜆 = 𝑏 elde edilir. Bu durumda hiperyüzey bir 𝜆-hiperyüzeydir. Böylece elde edilen 𝜆- hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛−1) = (𝑏 , (𝑐𝑠 + 𝑑)𝜌1, (𝑐𝑠 + 𝑑)𝜌2, … , (𝑐𝑠 + 𝑑)𝜌𝑛) parametrizasyona sahip bir hiperdüzlemdir. Örnek 4.45. 𝑓(𝑠) = 𝑎𝑠 + 𝑏 ve 𝑔(𝑠) = 𝑐𝑠 + 𝑑 olsun. Böylece (4.61) denkleminden (𝑛 − 1)𝑎 + 𝑛(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)(𝑐𝑠 + 𝑑) 𝜆 = 𝑛√𝑎2 + 𝑐2(𝑐𝑠 + 𝑑) olur. Böylece aşağıdaki durumlar söz konusudur: 1) 𝑐 = 0 ise Örnek 4.43 deki yüzey elde edilir. 2) 𝑎 = 0 ise Örnek 4.44 deki yüzey elde edilir. 3) 𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑐 ≠ 0 ise 𝑀 bir konik hiperyüzey olup bu yüzey bir λ − hiperyüzeyi değildir. 28 4.2. ℝ𝐧+𝟏 de Monge Yamasıyla Verilen 𝛌 –Hiperyüzeyleri Bu alt bölümde Monge yaması ile verilen hiperyüzeylerin λ-hiperyüzey olması durumları incelenmiştir. Sırasıyla ℝ3 ve ℝ4 deki Monge yaması ile verilen hiperyüzeylerin λ- hiperyüzey olması durumları ile ilgili orijinal sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçları destekleyici örnekler verilmiştir. 4.2.1. ℝ𝟑 de Monge Yamasıyla Verilen 𝛌 -Yüzeyleri ℝ3 de 𝑥(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, ℎ(𝑢, 𝑣)) (4.64) parametrelendirilmesiyle verilen yüzey Monge yüzeyi olarak adlandırılır (Gray 1993). 𝑀 nin tanjant uzayı 𝑥𝑢 = (1,0, ℎ𝑢(𝑢, 𝑣)) 𝑥𝑣 = (0,1, ℎ𝑣(𝑢, 𝑣)) vektörleri tarafından gerilir. 𝑀 nin birim normali 𝑥  𝑥 1 𝑒 3 = 𝑢 𝑣 = (−ℎ𝑢, −ℎ𝑣, 1) (4.65) ‖𝑥𝑢𝑥𝑣‖ 𝑤 vektörleri tarafından gerilir. Burada 𝑤 = √1 + (ℎ𝑢)2 + (ℎ𝑣)2 (4.66) 𝑀 üzerinde reel değerli türevlenebilir bir fonksiyondur. Bununla birlikte x in ikinci kısmi türevleri yardımıyla 𝑀 nin ikinci temel form katsayıları 𝐿 ℎ 11 = 〈 𝑥𝑢𝑢, ?⃗? 〉 = 𝑢𝑢 𝑤 ℎ 𝐿22 = 〈 𝑥 𝑢𝑣 𝑢𝑣, ?⃗? 〉 = (4.67) 𝑤 ℎ 𝐿33 = 〈 𝑥𝑣𝑣, ?⃗? 〉 = 𝑣𝑣 𝑤 olarak bulunur. Buradan 𝐿11 ℎ11 = 𝑔11 1 𝑔 ℎ12 = (𝐿 12 12 − 𝐿11) (4.68) 𝑤 𝑔11 1 𝑔 2 ℎ22 = 2 (𝑔11𝐿 12 𝑤 22 − 2𝑔12𝐿12 + 𝐿 ) 𝑔 1111 eşitlikleri yardımıyla 29 ℎ ℎ 𝑢𝑢11 = 2 𝑤(1+(ℎ𝑢) ) ℎ ℎ 𝑢𝑣 ℎ ℎ ℎ 12 = − 𝑢 𝑣 𝑢𝑢 (4.69) 𝑤2 𝑤2(1+(ℎ𝑢)2) (1+(ℎ 2𝑢) ) ℎ𝑢 ℎ𝑣 ℎ𝑢𝑣 (ℎ𝑢 ℎ𝑣) 2 ℎ ℎ22 = ℎ − 2 + 𝑢𝑢 𝑤3 𝑣𝑣 𝑤3 𝑤3(1+(ℎ )2𝑢 ) bulunur. Böylece (4.69) yardımıyla şekil operatörü matrisi ℎ𝑢𝑢 ℎ𝑢𝑣 ℎ𝑢 ℎ− 𝑣 ℎ𝑢𝑢 𝑤(1+(ℎ )2) 𝑤2 𝑤2(1+(ℎ )2𝑢 𝑢 ) 𝐴𝑒 = ( 2 2 ) (4.70) 3 ℎ𝑢𝑣 ℎ𝑢 ℎ𝑣 ℎ𝑢𝑢 (1+(ℎ𝑢) ) ℎ𝑢 ℎ𝑣 ℎ𝑢𝑣 (ℎ𝑢 ℎ𝑣) ℎ− ℎ − 2 + 𝑢𝑢 𝑤2 𝑤2(1+(ℎ )2) 𝑤3 𝑣𝑣 𝑤3𝑢 𝑤3(1+(ℎ )2𝑢 ) dir. Buradan (4.70) kullanılarak aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.46. 𝑀 ⊂ ℝ3 yüzeyi (4.64) pozisyon vektörü ile verilsin. 𝑀 nin ortama eğriliği ℎ 2𝑢𝑢(1+(ℎ𝑣) )+(1+(ℎ 2 𝑢) )ℎ𝑣𝑣−2ℎ𝑢ℎ𝑣ℎ𝐻 = 𝑢𝑣3 (4.71) 2(1+(ℎ )2𝑢 +(ℎ𝑣)2)2 dir. Bununla birlikte (4.64) ve (4.65) yardımıyla −𝑢ℎ −𝑣ℎ +ℎ 〈 𝑥, 𝑒 〉 = 𝑢 𝑣3 1 (4.72) (1+(ℎ𝑢)2+(ℎ )2𝑣 )2 elde edilir. Böylece (4.71), (4.72) ve (3.10) eşitliklerinden aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem 4.47. 𝑀 ⊂ ℝ3 yüzeyi (4.64) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ-yüzeyi olması için gerek ve yeter şart 2(−𝑢ℎ𝑢−𝑣ℎ𝑣+ℎ)(1+(ℎ 2 2 𝑢) +(ℎ𝑣) )+ℎ𝑢𝑢(1+(ℎ ) 2 𝑣 )+(1+(ℎ𝑢) 2)ℎ𝑣𝑣−2ℎ𝑢ℎ𝑣ℎ𝑢𝑣 3 = 𝜆 (4.73) 2(1+(ℎ 2𝑢) +(ℎ𝑣)2)2 eşitliğinin sağlanmasıdır. Sonuç 4.48. 𝑀 ⊂ ℝ3 yüzeyi (4.64) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 2(−𝑢ℎ − 𝑣ℎ + ℎ)(1 + (ℎ )2 + (ℎ )2𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 ) + ℎ 2 𝑢𝑢(1 + (ℎ𝑣) ) + (1 + (ℎ 2 𝑢) )ℎ𝑣𝑣 − 2ℎ𝑢ℎ𝑣ℎ𝑢𝑣 = 0, (4.74) olmasıdır. Tanım 4.49. Eğer ℎ(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑣) (4.75) 30 alınırsa 𝑀 ⊂ ℝ3 öteleme yüzeyi olarak bilinir (Gray 1993). Böylece (4.75) eşitliği (4.73) de yerine yazılırsa aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Sonuç 4.50. 𝑀 ⊂ ℝ3 yüzeyi (4.74) parametrizasyonu ile verilen bir öteleme yüzeyi olsun. M nin λ-yüzeyi olması için gerek ve yeter şart 2(−𝑢𝑓𝑢−𝑣𝑔𝑣+𝑓+𝑔)(1+(𝑓 ) 2 𝑢 +(𝑓 2 𝑣) )+𝑓𝑢𝑢(1+(𝑔 2 𝑣) )+(1+(𝑓 2 𝑢) )𝑓𝑣𝑣 3 = 𝜆 (4.76) 2(1+(𝑓 )2+(𝑔 )2𝑢 𝑣 )2 olmasıdır. Sonuç 4.51. 𝑀 ⊂ ℝ3 yüzeyi (4.75) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 2(−𝑢𝑓𝑢 − 𝑣𝑔𝑣 + 𝑓 + 𝑔)(1 + (𝑓 2 2 𝑢) + (𝑓𝑣) ) + 𝑓𝑢𝑢(1 + (𝑔𝑣) 2) + (1 + (𝑓 2𝑢) )𝑓𝑣𝑣 = 0 (4.77) halini alır. Örnek 4.52. 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 + 𝑏 ve 𝑔(𝑣) = 𝑐𝑣 + 𝑑 olsun. (4.76) denkleminde yerine 𝑏+𝑑 yazarsak = 𝜆 elde edilir. Bu yüzey düzlemin bir parçası olup bir 𝜆 − √1+𝑎2+𝑐2 hiperyüzeydir (Bkz. Şekil 4.6.). Şekil 4.6. 𝑓(𝑢) = 3𝑢 + 1 ve 𝑔(𝑣) = 3𝑣 + 4 parametrizasyonlu düzlem Eğer 𝑏 = −𝑑 seçilirse yüzey kendisi-büzüşendir. Bu durumda yüzey, 𝑥(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, 𝑎𝑢 + 𝑐𝑣) şeklindedir. Bu ise orijinden geçen düzlem belirtir. 31 4.2.2. ℝ𝟒 de Monge Yamasıyla Verilen 𝛌 –Hiperyüzeyleri 𝑀 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑠, 𝑢, 𝑟(𝑠)𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑟(𝑠)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.78) parametrelendirilmesiyle verilsin. Bu yüzey Aminov tipinde hiperyüzeyi olarak adlandırılacaktır. 𝑀 nin ortonormal çatı alanı 𝑥 1 𝑒 𝑠1 = = 2 (1,0, 𝑟′𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑟′𝑠𝑖𝑛𝑣) ‖𝑥𝑠‖ 1+(𝑟′) 𝑥 𝑒 = 𝑢2 = (0,1,0,0) (4.79) ‖𝑥𝑢‖ 𝑥 𝑒 = 𝑣3 = (0,0,−𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑐𝑜𝑠𝑣) ‖𝑥𝑣‖ ortonormal vektörleri tarafından gerilir. Böylece 𝑀 nin birim normalı 1 𝑒 4 = (−𝑟 ′, 0, 𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.80) √1+(𝑟′)2 olarak hesaplanır. İkinci kısmı türevler yardımıyla 𝐿11 = 〈 𝑥𝑠𝑠 , 𝑒 4 〉 = 𝑟𝑟′′ 𝐿22 = 〈 𝑥𝑢𝑢, 𝑒 4〉 = 0 (4.81) 𝐿33 = 〈 𝑥𝑣𝑣, 𝑒 4 〉 = −𝑟 elde edilir. Ayrıca 𝑖 ≠ 𝑗 için 𝐿𝑖𝑗 = 0 dır. Bununla birlikte 𝑥 𝑥 1 𝐿 ℎ(𝑒1, 𝑒 ) = ℎ ( 𝑆 , 𝑠 ) = ℎ(𝑥 , 𝑥 111 ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 ‖ 1+(𝑟′)2 𝑆 𝑆 ) = 2 𝑒 4 𝑆 𝑠 1+(𝑟′) 𝑥 𝑥 ℎ(𝑒2, 𝑒2) = ℎ ( 𝑢 , 𝑢 ) = ℎ(𝑥𝑢, 𝑥𝑢) = 𝐿22𝑒 4 (4.82) ‖𝑥𝑢‖ ‖𝑥𝑢‖ 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥 ,𝑥 ) 𝐿 ℎ(𝑒3, 𝑒 ) = ℎ ( 𝑣 , 𝑣) = 𝑣 𝑣 = 333 𝑒 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟2 4 dır. Böylece (4.81) ve (4.82) eşitlikleri kıyaslanırsa 𝑟𝑟′′ ℎ11 = 1+(𝑟′)2 ℎ22 = 0 (4.83) −1 ℎ33 = 𝑟 bulunur. 𝑖 ≠ 𝑗 için ℎ𝑖𝑗 = 0 dır. Buradan (4.83) yardımıyla şekil operatörü matrisi 𝑟𝑟′′ 0 0 1+(𝑟′)2 𝐴𝑒 = (4 0 0 0 ) (4.84) −1 0 0 𝑟 dir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. 32 Teorem 4.53. 𝑀 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi (4.78) parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği 𝑟2𝑟′′−1−(𝑟′)2 𝐻 = ′ 2 (4.85) 3𝑟(1+(𝑟 ) ) olarak bulunur. Sonuç 4.54. 𝑀 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi (4.78) parametrizasyonu ile verilsin. M nin minimal olması için gerek ve yeter şart 𝑎𝑠−1 𝑟′(𝑠) = tan ( ) (4.86) 𝑠 olmasıdır. İspat. Maple komutunda > 𝑜𝑑𝑒 ≔ 𝑑𝑖𝑓𝑓(𝑦(𝑥), 𝑥, 𝑥) ∗ 𝑥2 − 𝑑𝑖𝑓𝑓(𝑦(𝑥), 𝑥)2 = 1; 2 𝑑2 𝑑 𝑜𝑑𝑒:= ( 𝑦(𝑥))𝑥2 − ( 𝑦(𝑥)) = 1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 ile verilen diferansiyel denklemin aşikar olmayan bir çözümü > 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝑜𝑑𝑒); −1 + 𝑐1𝑥 𝑦(𝑥) = ∫ 𝑡𝑎𝑛 ( ) 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑥 2 olarak hesaplanır. Bu da bize istenilen sonucu verir. □ Bununla birlikte −𝑠𝑟′+𝑟 〈 𝑥, ?⃗? 〉 = (4.87) √1+(𝑟′)2 dır. Böylece (4.85), (4.87) ve (3.10) eiştlikleri yardımıyla aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem 4.55. 𝑀3 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi (4.74) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ- hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart 𝑟2𝑟′′ − 1 − (𝑟′)2 + 3𝑟√1 + (𝑟′)2(𝑟 − 𝑠𝑟′) − 3𝜆𝑟(1 + (𝑟′)2) = 0 (4.88) olmasıdır. 𝜆 = 0 olması halinde Teorem 4.55 in bir sonucu aşağıdaki verilmiştir. Sonuç 4.56. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi (4.78) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 33 𝑟2𝑟′′ − 1 − (𝑟′)2 + 3𝑟√1 + (𝑟′)2(𝑟 − 𝑠𝑟′) = 0 (4.89) eşitliğinin sağlanmasıdır. Örnek 4.57. 𝑟(𝑠) = 𝑟0 sıfırdan farklı reel sabit olsun. Bu taktirde hiperyüzey 𝑆 1(𝑟0) × ℝ2 biçiminde küresel hipersilindir belirtir ((Chen ve Deshmukh 2014), Örnek 5.1). 3𝑟 2−1 Bununla birlikte (4.88) denkleminden 𝜆 = 0 bulunur. Bu nedenle 𝜆-hiperyüzeydir. 3𝑟0 1 Eğer 𝑟0 = ± ise yüzey kendisi-büzüşendir. Aslında bu hiperyüzey √3 −1 𝐻 = sabit ortalama eğriliklidir. 3𝑟0 4.2.3. ℝ𝟒 de Riemann Çarpımıyla Verilen 𝛌 –Hiperyüzeyleri 𝑀 ⊂ ℝ4 yüzeyi 𝑥(𝑠, 𝑢, 𝑣) = (𝑠, 𝑢, 𝑟(𝑣)𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑟(𝑣)𝑠𝑖𝑛𝑣) (4.90) parametrelendirilmesiyle verilsin. 𝑀 nin ortonormal çatı alanı 𝑥 𝑒 𝑠1 = = (1,0,0,0) ‖𝑥𝑠‖ 𝑥 𝑒 = 𝑢2 = (0,1,0,0) (4.91) ‖𝑥𝑢‖ 𝑥 1 𝑒 𝑣3 = = (0,0, 𝑟 ′𝑐𝑜𝑠𝑣 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑟′𝑠𝑖𝑛𝑣 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑣) ‖𝑥𝑣‖ 𝜇(𝑣) ortonormal vektörleri tarafından gerilir. Böylece 𝑀 nin birim normali 1 𝑒 ′4 = (0,0, 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑣 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑣 − 𝑟 ′𝑐𝑜𝑠𝑣) (4.92) 𝜇(𝑣) olarak hesaplanır (Ek 3). Burada 𝜇(𝑣) = √𝑟2 + (𝑟′)2 (4.93) dır. Böylece ikinci mertebeden kısmi türevler yardımıyla 𝐿11 = 〈 𝑥𝑠𝑠 , 𝑒 4 〉 = 0 𝐿22 = 〈 𝑥𝑢𝑢, 𝑒 4〉 = 0 (4.94) 𝑟𝑟′′ 2 −2(𝑟′) −𝑟2 𝐿33 = 〈 𝑥𝑣𝑣, 𝑒 4 〉 = 𝜇(𝑣) dır. Ayrıca 𝑖 ≠ 𝑗 için 𝐿𝑖𝑗 = 0 dır. Böylece 𝑥 𝑥 ℎ(𝑒 1, 𝑒 1) = ℎ ( 𝑆 , 𝑠 ) = ℎ(𝑥 , 𝑥 ) = 𝐿 ‖𝑥 ‖ ‖𝑥 ‖ 𝑆 𝑆 11 𝑒 4 𝑆 𝑠 𝑥 ℎ(𝑒 𝑢 𝑥𝑢 2, 𝑒 2) = ℎ ( , ) = ℎ(𝑥𝑢, 𝑥𝑢) = 𝐿22𝑒 4 (4.95) ‖𝑥𝑢‖ ‖𝑥𝑢‖ 34 𝑥𝑣 𝑥𝑣 ℎ(𝑥ℎ(𝑒 , 𝑒 ) = ℎ ( , ) = 𝑣 ,𝑥𝑣) 𝐿33 3 3 = 𝑒 ‖𝑥𝑣‖ ‖𝑥 2𝑣‖ 𝜇 (𝑣) 𝜇2(𝑣) 4 elde edilir. Buradan (4.94) ve (4.95) eşitlikleri kıyaslanırsa ℎ11 = 0 ℎ22 = 0 (4.96) 2 𝑟𝑟′′−2(𝑟′) −𝑟2 ℎ33 = 3 𝜇 (𝑣) bulunur. 𝑖 ≠ 𝑗 için ℎ𝑖𝑗 = 0 dır. Buradan (4.96) yardımıyla şekil operatörü matrisi 0 0 0 0 0 0 𝐴𝑒 = ( 2 ) (4.97) 4 𝑟𝑟′′−2(𝑟′) −𝑟2 0 0 𝜇3(𝑣) dir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.58. 𝑀 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi (4.90) parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği 𝑟𝑟′′ 2 −2(𝑟′) −𝑟2 𝐻 = 3 (4.98) 3𝜇 dir. Bununla birlikte 𝑟2 〈 𝑥, 𝑒 4 〉 = (4.99) 𝜇 dir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.59. 𝑀3 ⊂ ℝ4 hiperyüzeyi (4.90) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ- hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart 𝑟𝑟′′ − 2(𝑟′)2 − 𝑟2 + 3𝑟2𝜇2 − 3𝜆𝜇3 = 0 (4.100) olmasıdır. 𝜆 = 0 olması halinde Teorem 4.59 un bir sonucu aşağıdaki verilmiştir. Sonuç 4.60. 𝑀 ⊂ ℝ4 rotasyonel hiperyüzeyi (4.90) parametrizasyonu ile verilsin. M nin kendisi-büzüşen olması için gerek ve yeter şart 𝑟𝑟′′ − 2(𝑟′)2 − 𝑟2 + 3𝑟2𝜇2 = 0 (4.101) 35 eşitliğinin sağlanmasıdır. Örnek 4.61. 𝑟(𝑠) = 𝑟0 sıfırdan farklı reel sabit olsun. Bu taktirde (4.100) denkleminden 3𝑟 20 − 1 𝜆 = 3𝑟0 ±1 bulunur. Bu durumda yüzey bir 𝜆-hiperyüzeydir. Eğer 𝑟0 = ise yüzey kendisi-√3 −1 büzüşendir. Bu hiperyüzey 𝐻 = sabit ortalama eğriliklidir. 3𝑟0 4.2.4. ℝ𝐧+𝟏 de Monge Yamasıyla Verilen 𝛌 –Hiperyüzeyleri 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 hiperyüzeyi 𝑥(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛) = (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛, 𝑓(𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛)) (4.102) parametrelendirilmesiyle verilen hiperyüzey graf olarak bilinir (Cheng ve Wei 2014). ℝ𝑛+1 nin ortonormal bazı {?⃗? 1, … , ?⃗? 𝑛+1} olmak üzere M nin tanjant vektörleri 𝑒 𝑖 = ?⃗? 𝑖 + 𝑓𝑖 (4.103) şeklinde tanımlanır. Burada 𝜕𝑓 𝑓𝑖 = , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 (4.104) 𝜕𝑡𝑖 dır. Böylece M nin ℝ𝑛+1 den indirgenmiş metriği 𝑔𝑖𝑗 = 〈𝑒 𝑖, 𝑒 𝑖〉 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑓𝑖𝑓𝑗 (4.105) dir. Burada 〈, 〉 ℝ𝑛+1 nin kanonik iç çarpımıdır. Bununla birlikte (𝑔𝑖𝑗) matrisinin tersi (𝑔𝑖𝑗) olmak üzere 𝑔𝑖𝑗 𝑓 𝑓 = 𝛿 − 𝑖 𝑗𝑖𝑗 2 (4.106) 1+‖∇𝑓‖ Böylece (4.103) yardımıyla M nin birim normal vektör alanı 1 𝑒 𝑛+1 = (−∑𝑖 𝑓𝑖 ?⃗?√ ‖ ‖2 𝑖 + ?⃗?𝑛+1) (4.107) 1+ ∇𝑓 olarak bulunur (Cheng ve Wei 2014). Burada ∇𝑓 = (𝑓1, … , 𝑓𝑛) dir. Bu durumda M nin ikinci temel form katsayıları 𝜕2𝑓 𝑓𝑖𝑗 𝐿 𝑖𝑗 = 〈 , 𝑒 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑛+1 〉 = 〈𝑓𝑖𝑗?⃗?𝑛+1, 𝑒 𝑛+1〉 = (4.108) 𝑖 𝑗 √1+‖∇𝑓‖2 dir. Burada 36 𝜕2𝑓 𝑓𝑖𝑗 = 𝜕𝑡𝑖𝜕𝑡𝑗 dir. Cheng ve Wei nin 2014 de hasapladıkları aşağıdaki sonuç ile yorumlanabilir. Teorem 4.62. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 hiperyüzeyi (4.102) parametrizasyonu ile verilsin. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği 1 𝑓 𝐻 = ∑ 𝑖𝑗 𝑖𝑗𝑖,𝑗 𝑔 (4.109) 𝑛 √1+‖∇𝑓‖2 dir. Bununla birlikte 𝑓−∑ 𝑡 𝑓 〈 𝑥, 𝑒 𝑛+1 〉 = 𝑖 𝑖 𝑖 (4.110) √1+‖∇𝑓‖2 dir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.63. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 hiperyüzeyi (4.102) parametrizasyonu ile verilsin. M nin λ- hiperyüzeyi olması için gerek ve yeter şart 1 𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (𝑓−∑∑ 𝑔 + 𝑖 𝑡𝑖𝑓𝑖) 𝑖,𝑗 = 𝜆 (4.111) 𝑛 √1+‖∇𝑓‖2 √1+‖∇𝑓‖2 olmasıdır. Cheng ve Wei 2014 yılında (4.96) parametrizasyonu ile verilen hiperyüzeylerin λ- hiperyüzey olma durumunu aşağıdaki sonuçla vermişlerdir. Teorem 4.64. 𝑀 ⊂ ℝ𝑛+1 hiperyüzeyi (4.102) parametrizasyonu ile verilsin. Eğer M bir λ-hiperyüzeyi ise bu takdirde M hiperyüzeyi ℝ𝑛 nin bir parçasıdır. 37 5. TARTIŞMA ve SONUÇ Ortalama eğrilik akısı ve solitonlar fiziğin önemli çalışma alanlarını oluşturur. Bu çalışmada hiperyüzeylerin ortalama eğrilik akısı ile ilgili daha önceden çalışmalar incelenerek bu tür hiperyüzeylerin kendine-benzer ve 𝜆-hiperyüzeyi olması ile ilgili özellikler ele alınmıştır. Özel olarak uygulama alanları geniş olan rotasyonel hiperyüzeyler ile Monge yaması ile verilen hiperyüzleri ele alınmıştır. Bu tür hiperyüzeylerin soliton olma özellikleri ile kendine-benzer ve 𝜆-hiperyüzeyi olması ile ilgili gerek ve yeter şartlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçları destekleyici örnekler verilmiştir. Yapılan çalışmayı hiperyüzeylerin bir genellemesi olan altmanifoldlara da uygulamak ileriki tarihlerde mümkün olacağı kanısını taşımaktayız. 38 KAYNAKLAR Arslan, K., Sütveren, A., Bulca, B. 2020. Rotational λ-hypersurfaces in Euclidean Spaces,Preprint. Abresch, U., Langer, J. 1986. The normalized curve shortening flow and homothetic solutions, J. Differential Geom., 23: 175-196. Brakke, K. A. 1978. The Motion of a Surface by Its Mean Curvature, Princeton University Press, Princeton, 239 pp. Bulca, B., Arslan, K., Bayram, B.K., Öztürk, G., Ugail, H. 2009. Spherical product surfaces in E3, International Conference on CyberWorlds, Bradford, UK. Chen, B. Y. 1973. Geometry of Submanifols. Dekker, New York, 184 pp. Chen, B.Y. 2017.Topics in Differential Geometry Associated with Position Vector Fields on Euclidean Submanifolds, Arab J. Math. Sci., 23: 1-17. Chen, B.Y. Deshmukd, S., 2014. Classification of Ricci solitons on Euclidean hypersurfaces, Int. J. Math. 25(11): 1-22. Cheng, Q.M. 2016. Geometry of λ-hypersurfaces ot the weighted volume-preserving mean curvature flow, Fukuaka University. Cheng, Q.M., Ogata, S., Wei, G. 2014. Rigidity Theorems of λ hypersurfaces, arXiv:1403.4123v3. Cheng, Q.M., Wei, G. 2014. The Gauss Image of Hypersurfaces and a Bernstein Type Problem, arXiv:1410.5302v1. Cheng, Q.M., Wei, G. 2015. Compact Embedded λ-Torus in Euclidean Spaces arXiv:1512.04752v1. Cooper, A.A. 2011. Mean Curvature Flow in Higher Codimension, Ph.D. Thesis, Michigan State University, Graduate Program in Mathematics, USA. Do Carmo, M. 1976. Riemannian Geometry, Boston, Basel Berllin, 300 pp. Do Carmo M., Dajczer, M. 1993. Rotational hypersurfaces in spaces of constant curvature, Trans. Amer. Math. Soc., 277 (1983), 685-709. Drugan, G., Lee, H., Nguyen, X.H. 2018. A Survey of Closed Self-Shrinkers with Symmetry, Results in Math. 32: 73-32. Ecker K., Huisken, G. 1989. Mean Curvature Evolution of Entire Graphs, Annals of Mathematics,130(3): 453-471. Etemoğlu, E., Arslan, K. Bulca, B. 2013. Self Similar Surfaces in Euclidean Spaces, Selçuk J. Appl. Math. 14(1) 71-81. 39 Gray, A. 1993. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRS Press, Inc. 664 pp. Guo, S. H. 2017. Self Shrinkers and Singularity Models of the Main Curvature Flow. Ph.D. Thesis, The State University of New Jersey, Graduate Program in Mathematics, USA. Güler, E, Hacısalihoğlu, H. H., Kim, Y.H. 2018. The Gauss Map and the Third Laplace- Beltrami Operator of the Rotational Hypersurface in 4-Space, Symmetry, 10: 1-11. Halldorsson, P.H. 2013. Self-Similar Solutions to the Mean Curvature Flow in Euclidean and Minkowski Space, Ph.D. Thesis, Masschusetts Institute of Technology, Department of Mathematics, USA. Hussey, C. 2012. Classification and Analysis of Low index Mean Curvature Flow Self- shrinkers, Ph.D. Thesis, The Johns Hopkins University, Department of Mathematics, USA. Huisken, G. 1990. Asymptotic behavior for singularities of the mean curvature flow. J. Differential Geom. 31: 285-299. Kenmotsu, K. 2003, Surfaces with constant mean Curvature, American Mathematical Society, 142 pp. Kim, D., Pyo, J. 2019. Translating Solitons for the Inverse Mean Curvature Flow, Results Math. 64: 1-28. Lejdfors, C. J. 2003. Surfaces of Constant Mean Curvature, Msc Thesis, Lund University, Centre for Mathematical Sciences, Sweden. Li, X., Chang, X. 2015. Rigidity Theorems of the Space-like λ-hypersuurfaces in the Lorentzian Space Rn+1 arXiv:1511.02984v1. Montegazza, C. 2011. Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Birkhauser, 179 pp. Peng, Y. 2013. Complete self-shrinkers of mean curvature flow, Ph.D. Thesis, Saga University, Graduate School of Science and Engineering,Department of Science and Advanced Technology, Japan. Ross, J. 2015. Rigidity Results of Lambda-Hypersurfaces, Ph.D. Thesis, The Johns Hopkins University, Department of Mathematics, USA. Schulze, F. 2017. Introduction to Mean Curvature Flow,Lecture Notes, University College London. 79 pp. Shiho, O. 2015. A Global Pinching Theorem of Complete λ-hypersurfaces, arXiv:1504.00789v2. Sigal, I. M. 2014. Lectures on Mean Curvature Flow and Stability, Lecture Notes, Dept of Mathematics, Univ of Toronto, 81 pp. 40 Smoczyk, K. 2012. Mean Curvature Flow in Higher Codimension: Inttroduction and Survey, Global Differential Geometry, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 520 pp. 41 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Alim SÜTVEREN Doğum Yeri ve Tarihi : İSTANBUL / 07.08.1995 Yabancı Dil : İngilizce Eğitim Durumu Lise : Osmangazi Lisesi / Bursa Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi Yüksek Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi Çalıştığı Kurum/Kurumlar : Özel Sayısal Modül Özel Eğitim Kursu (2015-2016) Özel Sayısal Modül Özel Eğitim Kursu (2018-2019) İletişim (e-posta) : 501811002@ogr.uludag.edu.tr alimsutveren1@gmail.com Akademik Çalışmalar : 42