MONGE YAMASI İLE VERİLEN BAZI YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Emine Aydan PAM UK T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MONGE YAMASI İLE VERİLEN BAZI YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Emine Aydan PAMUK 0000-0001-9723-3983 Doç. Dr. Betül BULCA (DanıĢman) YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI BURSA – 2020 Her Hakkı Saklıdır. B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;  tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,  görsel, iĢitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,  baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,  atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,  kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,  ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya baĢka bir üniversitede baĢka bir tez çalıĢması olarak sunmadığımı beyan ederim. …/…/……… E.Aydan PAMUK ÖZET Yüksek Lisans Tezi MONGE YAMASI ĠLE VERĠLEN BAZI YÜZEYLERĠN BĠR KARAKTERĠZASYONU Emine Aydan PAMUK Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Betül BULCA Bu tez çalıĢmasında Öklid uzaylarında Monge yamasıyla verilen yüzeyler ele alınmıĢtır. Bu yüzeylerden öteleme yüzeyleri ve çarpanlara ayrılabilir yüzeylerle ilgili sonuçlara değinilmiĢ ve bunların ikisini birlikte düĢünerek ele alınan öteleme-çarpanlara ayrılabilir (translation-factorable) yüzeylerle ilgili orijinal sonuçlar elde edilmiĢtir. Bu tez beĢ bölümden oluĢmaktadır. Birinci bölüm giriĢ bölümüdür. Ġkinci bölümde Öklid uzayındaki yüzeylerin diferansiyel geometrisi hakkında genel bilgilere yer verilerek sonlu tipten koordinatlara sahip yüzeylerle ilgili bazı temel tanımlar ve kavramlar verilmiĢtir. Üçüncü bölümde 3 ve 4 boyutlu Öklid uzayındaki Monge yaması ile verilen yüzeyler, öteleme yüzeyleri ve çarpanlara ayrılabilir yüzeyler tanıtılmıĢtır. Bu yüzeylerin eğrilikleri verilip düz ve minimal olma koĢulları ile ilgili literatürde bulunan sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. Dördüncü bölümde öteleme ve çarpanlara ayrılabilir yüzeyler yardımıyla elde edilen TF (translation-factorable) tipindeki yüzeyler tanıtılmıĢtır. 3 ve 4 boyutlu Öklid uzayında bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanıp düz ve minimal olmaları ile ilgili sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. Bununla birlikte Monge yamasıyla verilen yüzeylerle birlikte TF tipindeki yüzeylerin 3-boyutlu Öklid uzayında Laplasları hesaplanıp sonlu tipten koordinatlara sahip olma Ģartları ele alınmıĢtır. BeĢinci bölüm çalıĢmanın sonuç kısmıdır. Anahtar Kelimeler: Çarpanlara ayrılabilir yüzey, Gauss eğriliği, Laplas operatörü, minimal yüzey, ortalama eğrilik, öteleme yüzeyi. 2020, vi + 71 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis A CHARACTERIZATION OF SOME SURFACES GIVEN WITH THE MONGE PATCH Emine Aydan PAMUK Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Betül BULCA In this thesis, the surfaces given with the Monge patch are considered. Conclusions about translation are mentioned and the original results are obtained for the translation- factorable surfaces which are considering by both of the translation and factorable surfaces. This thesis consists of five chapters. The first section is the introduction. In the second section, general information about the differential geometry of surfaces in Euclidean space is given. Further some basic definitions and concepts are concerned about surfaces having finite type coordinates. In the third section, surfaces in 3 and 4 dimensional Euclidean space given with the Monge patch, translation surfaces and factorable surfaces are introduced. The curvatures of these surfaces are obtained. Furthermore the classification theorems on the conditions of being flat and minimal are given. In the fourth section, TF (translation-factorable) surfaces, in 3 and 4 dimensional Euclidean space which are obtained with the help of translation and factorable surfaces, are introduced. The Gaussian and mean curvature of these surfaces is calculated. Also a classification theorems for become flat and minimal of these TF type surfaces are given. However, the Laplacian of the surfaces given with the Monge patch and TF type surfaces are calculated and the conditions of finite type coordinates are obtained in E3 . The fifth section is the conclusion of the thesis. Key words: Factorable surface, Gaussian curvature, Laplace operator, mean curvature, minimal surface, translation surface. 2020, vi + 71 pages. ii TEŞEKKÜR Tez çalıĢmam boyunca bilgi, birikim ve tecrübeleriyle bana yol gösteren tez konumun belirlenmesinden baĢlayarak çalıĢmalarımda gerekli yönlendirmeleri yapan, maddi manevi desteğini ve güler yüzünü esirgemeyen değerli danıĢman hocam Doç. Dr. Betül BULCA’ ya çok teĢekkür ederim. Yüksek lisans eğitimimde derslerini almıĢ olduğum bilgi ve tecrübeleri ile kendilerini tanımaktan onur duyduğum saygıdeğer hocalarım Prof. Dr. Kadri ARSLAN ve Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN’a teĢekkürlerimi sunarım. Tüm öğrenim hayatım boyunca benden maddi manevi hiçbir yardımı esirgemeyen, öğrettikleri değerlerle bugüne kadar var olmamı sağlayan ve ömrüm boyunca hep yanımda olan aileme, ilgi ve desteğini esirgemeyen baĢta Gökçe KILIÇ olmak üzere tüm arkadaĢlarıma sonsuz teĢekkürler. Emine Aydan PAMUK …/…/… iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii TEġEKKÜR ..................................................................................................................... iii SĠMGELER ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ ....................................................................... v ġEKĠLLER DĠZĠNĠ .......................................................................................................... vi 1. GĠRĠġ …………… ....................................................................................................... 1 2. KAYNAK ARAġTIRMASI ......................................................................................... 6 2.1. de Yüzeyler ........................................................................................................... 6 2.2. Sonlu Tipten Koordinatlara Sahip Yüzeyler .............................................................. 8 3. MATERYEL ve YÖNTEM ........................................................................................ 11 3.1. de Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler ............................................................. 11 3.2. de Öteleme Yüzeyleri ......................................................................................... 13 3.3. de Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler .................................................................... 14 3.4. de Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler ............................................................. 17 3.5. de Öteleme Yüzeyleri ......................................................................................... 19 3.6. de Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler .................................................................... 22 4. BULGULAR VE TARTIġMA ................................................................................... 26 4.1. Öklid Uzayında TF Tipindeki Yüzeyler .................................................................. 26 4.1.1. 3-boyutlu Öklid uzayında TF tipindeki yüzeyler .................................................. 26 4.1.2. 4-boyutlu Öklid uzayında TF tipindeki yüzeyler .................................................. 34 4.2. de Sonlu Tipten Koordinatlara Sahip Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler ...... 47 4.2.1. de sonlu tipten koordinatlara sahip öteleme yüzeyleri .................................... 52 4.2.2. de sonlu tipten koordinatlara sahip çarpanlara ayrılabilir yüzeyler ................. 54 4.2.3. de sonlu tipten koordinatlara sahip TF tipindeki yüzeyler .............................. 55 5. SONUÇLAR ............................................................................................................... 57 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 58 EKLER ............................................................................................................................ 62 ÖZGEÇMĠġ .................................................................................................................... 71 iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama g ij Birinci temel form katsayıları K Gauss eğriliği , Ġç çarpım h Ġkinci temel form c kij Ġkinci temel form katsayıları  ĠndirgenmiĢ Riemann konneksiyon  Laplas operatörü   (M ) M nin normal vektör alan uzayı (M ) M nin teğet vektör alan uzayı  Normal koneksiyon N i Normal vektörler E n n-boyutlu Öklid uzayı H Ortalama eğrilik H Ortalama eğrilik vektörü i Reel değerli sabitler k X Regüler yama ~  Riemann koneksiyon M Yüzey Kısaltmalar Açıklama TF Translation-Factorable v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa ġekil 4. 1. h(u)  cos u ve g(v)  sin v için TF yüzeyi .................................................. 27 ġekil 4. 2. h(u)  u2 ve g(v)  v2 için TF yüzeyi ......................................................... 28 ġekil 4. 3. Düz TF yüzeyleri ........................................................................................... 30 ġekil 4. 4. Minimal TF yüzeyi ........................................................................................ 34 ġekil 4. 5. h1(u)  h2 (u)  cos u ve g1(v)  cosv, g2 (v)  sinv için TF yüzeyi ............. 35 ġekil 4. 6. h1(u)  h u 2 (u)  e ve g1(v)  cosv, g2 (v)  sinv için TF yüzeyi .................. 35 ġekil 4. 7. E 4 de düz TF yüzeylerinin E 3 deki izdüĢümleri .......................................... 41 ġekil 4. 8. E 4 de minimal TF yüzeyinin E 3 deki izdüĢümü .......................................... 47 vi 1. GİRİŞ Diferansiyel geometri 17. Yüzyıl boyunca Öklid düzlemindeki eğriler ve 3-boyutlu Öklid uzayındaki yüzeyler üzerindeki eğrilerin, diferansiyel hesabı anlamında incelenmesi olarak çalıĢılmaya baĢlanmıĢtır. Gauss ve Riemann 19. Yüzyılda diferansiyel geometrinin ayrı bir disiplin olarak ortaya çıkmasını sağlamıĢtır. Eğriler ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi ele alınacak olursa klasik diferansiyel geometri olarak adlandırılan kısmı, diferansiyel ve integral hesabın baĢlangıcıyla ortaya çıkmıĢtır. Yani bu anlamda diferansiyel geometri eğriler ve yüzeylerin yerel özelliklerini araĢtırır. Yerel özellikler eğri ve yüzeylerin bir nokta komĢuluğundaki davranıĢına bağlı özellikleridir. Diğer taraftan aynı zamanda eğri ve yüzeylerin tümünün davranıĢı üzerindeki etkileri de global diferansiyel geometri yardımıyla ele alınır. Klasik diferansiyel geometrinin en ilginç ve onu en iyi temsil eden parçası, yüzeylerle ilgili çalıĢmalardır. Bununla birlikte, yüzeylerle ilgili çalıĢmalarda eğrilerin kimi yerel özellikleri doğal olarak ortaya çıkar. Global diferansiyel geometri ise eğriler ve yüzeylerin yerel ve genelde topolojik özellikleri arasındaki bağıntılarla ilgilenir (Do Carmo 1976, Korkmaz 2012). Kapalı yüzeylerin eğriliğinin Gauss-Bonnet teoremi aracılığıyla bir topolojik değiĢmez, yani Euler karakteristiği ile iliĢkili olduğu bilinmektedir. Bunca zamandır, eğrilik değiĢmezlerinin integrallerinin Riemann geometride indeks teoremi, ısı denklemi, tüplerin ve geodezik topların hacmi, altmanifoldlar teorisi, spektral geometri gibi birçok farklı yönde çok önemli rol oynadığı anlaĢılmıĢtır. Yüzeyler üzerindeki eğrilik kavramı düĢünüldüğünde ilk akla gelen yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleridir. Bu eğriliklerin hesaplanmasında Ģekil operatörü ve yüzeylerin birinci ve ikinci temel form kavramları önem arz etmektedir. Yüzeyin birinci temel formu yardımıyla yüzey üzerindeki uzunluk, açı, alan vb. basit metrik kavramların nasıl kullanılacağı gösterilebilir. Bu kavramın önemi bu hesaplamaların yüzeyi terk etmeden yapılabilmesidir. Bu nedenle bu kavramlara yüzeyin içsel özellikleri denir. Bir yüzeyin 1 pek çok önemli yerel özelliği birinci temel form türünden ifade edilebildiği için bu tür özellikleri yüzeyin içsel geometrisini verir. YaklaĢık 200 yıl önce Gauss geometrinin ne olduğu hakkında yeni ve daha derin bir anlayıĢa yol açan bir soru sordu: 3 boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin geometrisi Ģeklinden ne kadar bağımsızdır? C. F. Gauss, 1827 yılındaki “Kavisli yüzeyler üzerindeki genel tartıĢmalar” isimli temel çalıĢmasında bu yüzeyler üzerindeki yayların uzunluğunun ölçülmesine dayanarak yüzeylerin bir içsel geometrisinin varlığını gösterdi (Gauss 1827). 3-boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin geometrisi incelenirken en önemli geometrik özelliklerinden bazılarının içinde bulunduğu uzaya değil de yüzeyin kendisine ait olduğu bulunmuĢtur. Yüzeylerin birinci ve ikinci temel formları, alandan bağımsız yüzey bilgilerini elde etmeyi sağlayan bir dizi diferansiyel geometrik özellik sağlar. Gauss eğriliği bir yüzeyin izometrik değiĢmezine atıfta bulunan doğal bir yüzey özelliğidir. Yani, Gauss eğriliği Ģekil operatörü yardımıyla tanımlanmıĢ olmasına rağmen izometrik değiĢmezlik Ģartlarını sağladığından yüzey için bir içsel geometriye ait olduğu söylenebilir. Bu ifadeyi Gauss meĢhur teoremi “Theorema Egregium” da bir yüzeyin Gauss eğriliği K yerel izometriler altında değiĢmezdir Ģeklinde ifade etmiĢtir. Bu teorem Reimann'ı, Gauss eğriliğinin keyfi Riemann manifoldlarına genelleĢtirilmesi olan Reimann geometrisinin icadına götürdü (Riemann 1854). Yüzeyler için önemli olan bir diğer eğrilik de ortalama eğrilik kavramı olup ilk olarak Marie-Sophie Germain tarafından ortaya atılmıĢtır (Germain 1831). Gauss eğriliğinin tersine ortalama eğrilik yüzeyin uzayda nasıl yattığını ölçen dıĢsal bir özelliktir. Ortalama eğrilik bir malzeme gövdesinin yüzeyinin karakteri ile iliĢkili olduğundan diğer bilimlerle de derinden bağlantılıdır. Ortalama eğrilik yüzey üzerindeki her bir noktadaki iki asli eğriliğin aritmetik ortalaması olarak ifade edilmektedir. Ortalama eğriliğin sıfır olması durumunda yüzey minimal yüzey olarak adlandırılır. Minimal yüzeyler günümüzde de aktif olarak çalıĢılmakta olan konular olup özellikle fonksiyonlar teorisi alanında analizle iliĢkilidirler. Ortalama eğriliği sıfıra eĢit olmayan 2 bir sabit olmak üzere verilen bir yüzey hacmini korurken yüzey alanını en aza indirgeyecek Ģekilde karĢımıza çıkar. Bu anlamda sabit ortalama eğriliğe sahip olan aĢikar örnek küre yüzeyidir. Ayrıca 1984 yılında H. Wente tarafından keĢfedilen sabit ortalama eğrilik toru geometricilere bu yüzeyleri incelemek için büyük bir motivasyon oluĢturmuĢtur (Wente 1984). Dolayısıyla hem Öklid uzayında hem de diğer uzaylarda sabit ortalama eğriliğe sahip yüzeyler popüler bir çalıĢma konusu haline gelmiĢtir (Kenmotsu 2000). 1800 lü yılların baĢlarında S. Germain ve S.D. Poisson, elastik kabukları tanımlamak için toplam ortalama eğriliği uygulamıĢtır (Poisson 1812, Germain 1831). 3 boyutlu Öklid uzayındaki yüzeyler için toplam ortalama eğrilik 1920’de Blaschke ve daha sonra 1960'ların ortalarında T.J. Willmore tarafından ortaya atılmıĢtır (Blaschke 1929, Willmore 1968). 1970’lerin sonunda B.Y. Chen Öklid altmanifoldlarının toplam ortalama eğriliğini ifade edebilmek adına altmanifoldlar için sıra ve tip kavramlarını tanıtmıĢtır. Ayrıca bu kavramlardan yola çıkarak sonlu tip altmanifoldlar ve sonlu tip dönüĢüm kavramlarını tanıtmıĢtır. Sonlu tip altmanifoldlar ve sonlu tip dönüĢümlerin incelenmesi, Riemann manifoldlarının geometrisini immersiyon yardımıyla Riemann manifoldlarının spektral davranıĢlarıyla iliĢkilendirmek için doğal bir yol sağlar. Bu nedenle Nash embeding teoremine göre her zaman Öklid uzayına izometrik olarak gömülebilen bir Riemann manifoldun özdeğerleri hakkında önemli bilgiler elde edilebilir (Chen 1979). Yüzeyler üzerinde ele alınmıĢ olan diferansiyel geometri kavramı genel olarak altmanifoldlar üzerinde düĢünülebilir. Altmanifoldların diferansiyel geometrisinin matematiğin dalları, fen ve mühendislik üzerindeki etkisi büyüktür. Örneğin geodezikler ve minimal yüzeylerin incelenmesi, dinamikler, karmaĢık değiĢkenli fonksiyonlar teorisi, varyasyon hesabı ve topoloji ile yakından ilgilidir. Son zamanlarda altmanifold teorisi bilgisayar tasarımı, görüntü iĢleme, ekonomik modelleme, sanat ve vizyonun yanı sıra matematiksel fizikte (Kaluza-Klein ve dizi teorileri dahil) ve matematiksel biyolojide önemli bir rol oynamaktadır (Chen 2015). 3 Son yıllarda sensör görüntü verileri olarak uzaklık ve derinlik haritalarının kullanılmasıyla bilgisayarlı görüntüleme çalıĢmalarında büyük artıĢ olmuĢtur. Uzaklık görüntüleme özelliklerinin algılanmasıyla ilgili yöntemler Gauss ve ortalama eğriliğin iĢaretlerine bağlıdır. Böylece bir görüntü yüzeyinin Monge yaması ile modellenebileceği varsayımları altında Gauss ve ortalama eğriliklerin iĢaretleri kullanılarak 3-boyutlu konveks yüzeyin varlığını tespit etmek için yöntemler geliĢtirilmiĢtir. Monge yaması olarak adlandırılan yüzeylerin grafik formu, yüzey üzerindeki derinlik fonksiyonlarını tanımlamak için kullanılır. Oyma (carved) yüzeylere düzlemde yatan asli eğrilik çizgileri yüzeye dik olan bir düzlem ailesini veren yüzeyler denir. Yüzey üzerindeki bu asli eğrilik çizgileri de geodezik çizgiler olarak adlandırılır. Bir oyma yüzeyi açılabilir yüzeylerin bir evolütü olmak üzere Monge yüzeyi olarak adlandırılır. Monge yüzeyleri 1807 de keĢfeden matematikçinin adına ithafen isimlendirilmiĢtir. Analizde de iki değiĢkenli yüzey grafiklerini elde etmede önemli rol oynayan Monge yüzeyleri 3-boyutlu Öklid uzayında X (u,v)  (u,v, f (u,v)) parametrelendirmesine sahip yüzeylerdir. Bu paramatrelendirmeyle verilen önemli yüzeylerden biri öteleme yüzeyleri olup f (u,v)  h(u)  g(v) fonksiyonu ile verilir. Burada h(u) ve g(v) üreteç eğrileri olup Darboux tarafından bu eğrilerin toplamı yardımıyla öteleme yüzeyleri tanımlanmıĢtır (Darboux 1972). Öteleme yüzeyleri iki eğri tarafından üretilen yüzeyler oldukları için dört kenarlı yapıdaki yüzeylerdir. Bu nedenle bu yüzeyler uygulama alanı olarak mimaride çokça kullanılmaktadır. Binaların çatı ve cam kaplamaları üçgensel cam yüzeyler olup öteleme yüzeyi olarak ele alındığında dörtgensel hale geleceğinden daha ekonomik ve daha kullanıĢlı bir hal alır (Glymp ve ark. 2004). Bu yüzeyler için önemli bir sınıflandırma olan minimallik durumunu Scherk 1835 yılında iki eğrinin toplamı olarak verilen bu tipte bir yüzeyin düzlemsel olmayan tek minimal yüzey olması için gerek ve yeter Ģartın 1 cos cv f (u,v)  log , cR, c  0 c cos cu olması gerektiğini ispatlamıĢtır (Scherk 1835). Öteleme yüzeylerinin minimalliği ile ilgili çalıĢmalar birçok matematikçi tarafından yapılmıĢtır (Verstrealen ve ark. 1994, Dillen ve ark. 1998, Lopez 2011, Munteanu ve ark. 2016, Lopez ve Perdomo 2017). 4 Bununla birlikte sabit Gauss eğriliğine sahip öteleme yüzeyleri ile ilgili problemler daha az bilinmektedir. Bunlarla ilgili yapılan çalıĢmalarda da sıfıra eĢit sabit Gauss eğriliğine sahip öteleme yüzeyleri silindirik yüzeyler olarak bulunmuĢtur. Ayrıca bunun dıĢında baĢka sabit Gauss eğriliğine sahip öteleme yüzeyi olmadığı gösterilmiĢtir (Liu 1999, Lopez ve Moruz 2015, Hasanis ve Lopez 2018). Ayrıca 4-boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında da öteleme yüzeyleri tanımlanmıĢ ve eğriliklerle ilgili özellikleri yardımıyla sınıflandırılmaları verilmiĢtir (Büyükkütük 2012, Arslan ve ark. 2016, Moruz ve Munteanu 2016). Monge yamasıyla verilen kullanıĢlı yüzeylerden bir diğeri de çarpanlara ayrılabilir yüzeylerdir. Bu yüzeyler için de f (u,v)  h(u)g(v) fonksiyonu iki eğrinin çarpımı Ģeklinde ifade edilir. Bu yüzeyler aynı zamanda homotetik yüzeyler olarak da adlandırılmak üzere ilk olarak 1995 yılında Woestyne tarafından helikoidlerin bir sınıflandırılması olarak verilmiĢtir (Woestyne 1995). 3-boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında minimal çarpanlara ayrılabilir yüzeyler Yu ve Lie tarafından sınıflandırılmıĢtır (Yu ve Lie 2007). Bu yüzeyler Öklid uzayı ile birlikte Minkowski ve Galilean uzaylarında da birçok geometrici tarafından çalıĢılmıĢ ve sınıflandırma teoremleri bulunan popüler bir konu olmuĢtur (Meng ve Liu 2009, Turhan ve Altay 2010, Bekkar ve Senoussi 2012, Aydın ve ark. 2015, 2018, Lopez ve Moruz 2015, Aydın ve ÖğrenmiĢ 2017, Aydın 2018). Ayrıca 4-boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerde S. Büyükkütük tarafından çeĢitli çalıĢmalarda verilmiĢtir (Büyükkütük ve Öztürk 2017, Büyükkütük ve Öztürk 2018, Büyükkütük 2018a,b). Bu tez çalıĢmasında da Ģimdiye kadar verilen kaynaklar yardımıyla literatür taraması yapılmıĢ olup ilk olarak Monge yamasıyla verilen yüzeyler üzerinden haraketle 3 ve 4 boyutlu Öklid uzayında yüzey sınıflandırılmaları verilmiĢtir. Monge yaması yardımıyla tanımlanan öteleme ve çarpanlara ayrılabilir yüzeyler incelenmiĢ ve bu iki yüzeyin bir genellemesi olarak ele alınan TF (translation-factorable) tipindeki yüzeyler çalıĢılmıĢtır. Bu yüzeylerle ilgili daha önceki kaynaklar da baz alınarak düz ve minimal olması ile ilgili sınıflandırma teoremleri elde edilmiĢtir. 5 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI Bu bölümde ilk olarak tezin ilerleyen bölümlerinde ihtiyaç duyulacak olan n-boyutlu Öklid uzayında yüzeylerle ilgili temel kavramlara değinilmiĢtir. Sonrasında ise sonlu tipten koordinatlara sahip yüzeylerin tanımı ve özellikleri verilmiĢtir. 2.1. de Yüzeyler Tanım 2.1. M yüzeyi X (u,v) : (u,v)D  E2  En yaması ile verilsin. M yüzeyinin keyfi seçilmiĢ bir pX (u,v) noktasındaki TP (M ) teğet uzayı X u , X v vektörleri tarafından gerilen bir vektör uzayıdır. Bu takdirde M yüzeyinin birinci temel formu; I  g11du 2  2g12dudv  g 2 22dv (2.1) eĢitliği ile hesaplanır. Burada g11  X u (u,v), X u (u,v) , g12  X u (u,v), X v (u,v) , (2.2) g22  X v (u,v), X v (u,v) olup , E n uzayında Öklid iç çarpımıdır. Bununla birlikte (2.2) yardımıyla 2 2 X u  X v  g11g22  g 2 12 W (2.3) elde edilir. Eğer Xu  X v  0 ise X (u,v) ile verilen yüzey yaması regülerdir. Ayrıca bir çok kaynakta birinci temel form katsayıları g  E , g ve olarak da 11 12  F g22  G ifade edilir. M  En yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. E n de Riemann ~ koneksiyonu  ile gösterilsin. Bu durumda her X ,Y (M ) lokal vektör alanları için M yüzeyi üzerindeki indirgenmiĢ Riemann koneksiyonu  ile verilmek üzere M yüzeyinin ikinci temel form dönüĢümü 6 h : (M ) (M )    (M ) ~ (2.4) h(X ,Y )  XY XY Ģeklinde tanımlanır ve aynı zamanda Gauss denklemi olarak da bilinir (Chen 1973). Bu dönüĢüm iyi tanımlı olup simetrik ve 2-lineerdir. M  En yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. X (M ) ve N  (M ) için M yüzeyinin Ģekil operatörü dönüĢümü  ~A :  (M ) (M ) (M ); AN X  X N   X N (2.5)  biçiminde tanımlanır. Burada AN X , N’ye karĢılık gelen Ģekil operatörü ve  ise   (M ) normal demete ait normal koneksiyonudur. Herhangi X ,Y (M ) için AN X ,Y  h(X ,Y ), N (2.6) dir ve bu denklem Weingarten denklemi olarak bilinir (Chen 1973). Bu operatör selfadjoint ve 2-lineerdir. Tanım 2.2. M yüzeyi X : D E2 En yaması ile verilsin. X (u,v) yamasının ikinci mertebeden kısmi türevleri Xuu, Xuv, X vv ve normal vektör alanları N1, N2 ,......., Nn2 olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları; ck11  X uu , Nk , ck12  X uv , Nk , (2.7) ck22  X vv , Nk Ģeklinde tanımlanır (Mello 2003). Teorem 2.3. X : D E 2 En regüler yaması ile verilen M  En yüzeyinin Gauss eğrilik fonksiyonu; 1 n2 K   ck ck k 211 22  (c12)  (2.8) W 2 k1 7 ve ortalama eğrilik vektör alanı;  1 n2 H   ck G  ck E  2ck F N (2.9) 2 11 22 12 k2W k1 dir. Burada 1 H kk  c11G  ck22E  2ck12F  (2.10) 2W 2 M nin k.ıncı ortalama eğrilik fonksiyonudur. Böylece M nin ortalama eğrilik fonksiyonu  H  H ’dir (Mello 2003, 2009). 2.2. Sonlu Tipten Koordinatlara Sahip Yüzeyler Sonlu tipten altmanifoldların tanımı 1970’li yılların sonlarına doğru B. Y. Chen tarafından Öklid uzayında kapalı bir altmanifoldun toplam ortalama eğriliğinin en iyi yaklaĢımını bulmak için ve altmanifolda bir derece kavramı katmak için ortaya atılmıĢtır (Chen 1984). Cebirsel geometride temel konu cebirsel değiĢmezlerdir. Dolayısıyla derece kavramı cebirsel geometride önemli rol oynamaktadır. Bununla birlikte Öklid uzayında altmanifoldlarda derece kavramı eksik kalmıĢtır. Buna dayanarak Chen tarafından bu altmanifoldlar için bir sınıflandırma ve tip kavramları ile ilgili çalıĢmalar sonlu tipten altmanifoldlar olarak elde edilmiĢtir. Cebirsel hiperyüzey ve sonlu tipli altmanifold kavramları birlikte ele alındığında, E m de bütün sonlu tip hiperyüzeyleri ile sınıflandırma problemi karĢımıza çıkmıĢtır. Bu problem çözümüyle ilgili çeĢitli çalıĢmalar yapılmıĢtır (Chen 1987, 1996, Garay 1988, Chen ve ark. 1990, Chen ve Dillen 1990, Dillen 1992). Sonlu tipten altmanifoldlar ailesi oldukça geniĢtir. Bunların içinde en önemli olan ve çokça bilinenler; Öklid uzayında minimal altmanifoldlar, hiperküreler üzerinde minimal altmanifoldlar ve tüm paralel altmanifoldlardır. 8 X : M n  N nk  EmTanım 2.4. dönüĢümü n-boyutlu Reimann manifoldu M den m- boyutlu Öklid uzayı E m ye bir izometrik immersiyon olsun. M manifoldunun lokal koordinatları u m1,u2 ,...,un olarak verildiğinde E den indirgenen metriği; x x gij  , ,1 i, j  n (2.11) ui u j 1 biçiminde tanımlansın. Böylece   ve g ijg  det g  g ij ij olmak üzere M manifoldunun E m den indirgenmiĢ metriğe göre Laplas operatörü; 1 m         g g ij   (2.12) g u i, j1 i  u  j  Ģeklinde tanımlanır. g g g  g Bununla birlikte ve g ij  11 12  1  22 12 g matrisleri, gij  ij ij   ve g    g21 g22 det g  g21 gij 11  olarak ifade edilir. g11 g12  1  g22  g12 Ayrıca g ij ve g ij matrisleri arasındaki iliĢki,      ile verilir. g 21 g 22 g  g21 g11  m Bununla birlikte M, n-boyutlu Reimann manifoldu için X : M  E bir izometrik immersiyon olsun. M manifoldunun Laplas operatörü  ve M nin ortalama eğrilik  vektörü H olmak üzere  x  nH Beltrami formülü sağlanır (Beltrami 1864). n nk m Tanım 2.5. M, E m uzayının n-boyutlu bir alt manifoldu ve X : M  N  E bir izometrik immersiyon olsun. M alt manifoldunun Öklid uzayındaki x pozisyon vektörü, xi  i xi , i R, i  ...  i , xi ( j = 1, … , k ) olmak üzere j j j j 1 k j x  x0  xi  xi  ... xi Ģeklinde ayrıĢtırılabilirse M alt manifolduna sonlu tipten alt 1 2 k 9 manifold denir (Chen 1996). Burada x0 sabit bir vektör, xi , xi ,...xi sabit olmayan 1 2 k vektör değerli Laplas özvektörleri ve i ,...,i reel değerli sabitler de bu özvektörlere 1 k karĢılık gelen özdeğerlerdir. Eğer xi özvektörlerine karĢılık gelen i ,..., öz k 1 ik değerlerinin hepsi birbirinden farklı ise M alt manifolduna k-tipinden altmanifold denir. Eğer i ,...,i öz değerlerinin biri sıfır ise M sıfırlı(null) k-tipinden altmanifold olarak 1 k adlandırılır. Takahashi, E m uzayının n-boyutlu bir altmanifoldunun 1-tipinde olması için gerek ve yeterli koĢulun ya Em uzayının minimal bir altmanifoldu ya da bazı hiperkürelerin minimal bir altmanifoldu olmasını gerektiğini ifade etmiĢtir (Takahashi 1966). BaĢka bir deyiĢle, x  x denkleminin çözümleri, E m uzayının ya minimal altmanifoldları ya da bazı hiperkürelerin minimal altmanifoldlarıdır. Takahashi’nin teoreminin genelleĢtirilmiĢi olarak, M alt manifoldunun koordinat fonksiyonları M nin Laplasyeninin öz fonksiyonları olarak düĢünülebilir. Yani M alt manifoldunun koordinat fonksiyonları xi (i 1,..., m)  ’nın öz fonksiyonlarıdır. BaĢka bir ifadeyle, xi  i xi koĢulunu sağlayan manifoldlara sonlu tipten koordinatları olan altmanifoldlar denir (Garay 1990). 10 3. MATERYEL ve YÖNTEM 3.1. de Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler Bu bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında Monge yamasıyla verilen yüzeyler ele alınmıĢtır. Bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanarak örnekler verilmiĢtir. Tanım 3.1. E 3 Öklid uzayında X : E 2  E 3 (3.1) M : X (u,v)  (u,v, f (u,v)) parametrelendirilmesine Monge yaması adı verilir. M yüzeyi de Monge yamasıyla verilen bir yüzeydir. Burada f (u,v) reel değerli türevlenebilir bir fonksiyondur (O’Neill 1997). Teorem 3.2. M, (3.1) parametrelendirilmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği, 2 f f  f K  uu vv uv (3.2) W 4 2 2 dir. Bu arada W  1 fu  fv dir (Gray 1997). İspat. M yüzeyinin tanjant uzayı X u  (1,0, fu ), (3.3) X v  (0,1, f v ) vektör alanları ile gerilir. Böylece, yüzeyin birinci temel form katsayıları, 11 2 g11  1 fu , g12  fu f v , (3.4) 2 g22  1 f v bulunur. Yüzey yamasının ikinci kısmi türevleri alınırsa; X uu  (0,0, fuu ), X  (0,0, f ), (3.5) uv uv X vv  (0,0, f vv ) elde edilir. Ayrıca, M nin birim normal vektörü, 1 N  ( fu , fv ,1) (3.6) 2 2 1 fu  fv dir. Buradan (2.7), (3.5) ve (3.6) eĢitlikleri yardımıyla yüzeyin ikinci temel form katsayıları; c1 f 11  uu , 2 2 1 fu  f v c1 f  uv12 , 2 2 1 fu  f v (3.7) f c1  vv22 2 2 1 fu  fv Ģeklinde bulunur. Sonuç olarak, (3.4) ve (3.7) eĢitliklerinin (2.8) de yerine yazılmasıyla (3.2) elde edilir. 12 Teorem 3.3. M, (3.1) parametrelendirmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. Bu takdirde M yüzeyinin ortalama eğriliği, 2 2 f H  uu (1 fv )  fvv (1 fu )  2 fu fv fuv (3.8) 2W 3 dir (Gray 1997). İspat. (2.9), (3.4) ve (3.7) deki eĢitlikler yardımıyla (3.8) denklemi bulunur. Böylece Teorem 3.2 ve Teorem 3.3 ün bir sonucu olarak aĢağıdaki önermeler verilebilir. Sonuç 3.4. M, (3.1) parametrelendirmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. 2 M yüzeyinin düz bir yüzey olması için gerek ve yeter koĢul fuu fvv  fuv olmasıdır (O’Neill 1997). Sonuç 3.5. M, (3.1) parametrelendirmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. M yüzeyinin minimal bir yüzey olması için gerek ve yeter koĢul 2 2 fuu(1 fv )  fvv (1 fu )  2 fu fv fuv olmasıdır (O’Neill 1997). 3.2. de Öteleme Yüzeyleri Bu bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında Monge yamasıyla verilen yüzeylerin özel bir hali olan öteleme yüzeyleri tanıtılmıĢ ve bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri ile ilgili bilinen sonuçlar verilmiĢtir. Tanım 3.6. (3.1) parametrelendirilmesiyle verilen M yüzeyinde f (u,v)  h(u)  g(v) Ģeklinde yüzey parametrelendirilmesi M : X (u,v)  (u,v,h(u)  g(v)) (3.9) olup bu yüzeyler öteleme yüzeyleri olarak adlandırılır (Dillen ve ark. 1991). 13 Teorem 3.7. M, (3.9) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss ve ortalama eğriliği sırasıyla; hg K  (3.10) W 4 ve h(1 (g)2 )  g(1 (h)2 ) H  (3.11) 2W 3 dır (Liu 1999). Teorem 3.8. M, (3.9) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. M yüzeyinin düz (flat) bir yüzey olması için gerek ve yeter koĢul yüzeyin düzlemin bir parçası ya da X (u,v)  (0,v,b g(v))u(1,0,a) ya da X (u,v)  (u,0,d h(u))v(0,1,c) parametrelendirmelerine sahip silindirin bir parçası olmasıdır (Liu 1999). Teorem 3.9. M, (3.9) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. M yüzeyinin minimal bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart yüzeyin düzlemin bir parçası ya da 1  cos(av)  f (u,v)  ln  a  cos(au)   olmak üzere bir Scherk yüzeyi olmasıdır (Dillen ve ark. 1998). 3.3. de Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler Bu bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında çarpanlara ayrılabilir yüzeylerle ilgili tanım ve bilinen bazı teoremler verilmiĢtir. 14 Tanım 3.10. (3.1) parametrelendirmesiyle verilen M yüzeyinde f (u,v)  h(u)g(v) Ģeklinde alınırsa yüzey parametrelendirmesi M : X (u,v)  (u,v,h(u)g(v)) (3.12) olup bu yüzeyler çarpanlara ayrılabilir yüzey olarak adlandırılır (Yu ve Liu 2007). Ayrıca bu yüzeyler bazı kaynaklarda homotetik yüzeyler olarak da adlandırılır (Nitsche 1989, Woestyne 1995, Jiu ve Sun 2007, Lopez ve Moruz 2015). Teorem 3.11. M yüzeyi (3.12) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği sırasıyla hhgg  (hg)2 K  (3.13) W 4 ve hg(1 h2 (g)2 )  hg(1 (h)2 g 2 )  2h(h)2 g(g)2 H  (3.14) 2W 3 dir (Bekkar ve Senoussi 2012). İspat. f (u,v)  h(u)g(v) fonksiyonunun kısmi türevleri alınıp (3.2) ve (3.8) denklemlerinde yerine yazılırsa istenilen sonuç elde edilir. Teorem 3.12. M yüzeyi (3.12) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. M yüzeyi düz (flat) ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; (1) X (u,v)  (u,v,c1g(v)), (2) X (u,v)  (u,v,c1h(u)), (3) X (u,v)  (u,v,exp(c1u  c2v  c3 )), 1 k (4) X (u,v)  (u,v, (c (u)  c )1k (c (u)  c ) k11 2 3 4 ). Burada k reel sabit, ci (i 1,2,3,4) integral sabitleridir (Lopez ve Moruz 2015). 15 Teorem 3.13. M yüzeyi (3.12) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. M yüzeyi minimal ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; (1) X (u,v)  (u,v,c1u  c2 ), (2) X (u,v)  (u,v,c1v  c2 ), (3) X (u,v)  (u,v,c1u tan(c2v)), (4) X (u,v)  (u,v,c1v tan(c2u)), (5) X (u,v)  (u,v,h(u)g(v)) buradan h(u) ve g(v) ; dh(u) dg(v) u   , v   2a ln h(u)  c1 bc 42g (v)  2 ya da dh(u) dg(u) u   , v   4 a 2b ln g(v)  cc 21h (u)  2 ya da dh(u) dg(v) u   , v  c h2(1k )  1 (u)  c c g 2(1k ) 2 3 (v)  c4 2 2 eĢitliklerini sağlar. Ayrıca a,b,k,c1,c2 ,c3,c4 reel sabitler a b  0 , k  1 dir (Yu ve Liu 2007). Sonuç 3.14. M yüzeyi (3.12) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. M yüzeyinin minimal olması için gerek ve yeter Ģart bir düzlemin parçası ya da bir helikoid yüzeyi olmasıdır (Lopez ve Moruz 2015). Buradaki helikoid yüzeyi standart anlamda bir helikoid yüzeyi olmayıp üreteç eğrisi bir helis olan regle yüzey olarak ele alınabilir. Yani, f (u,v)  (u b) tan(cv d) fonksiyonu için bir helikoid yüzeyidir. Burada a,b,cR ve c  0 dır (Nitsche 1989). 16 3.4. de Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler Bu bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında, Monge yamasıyla verilen yüzeyler ele alınmıĢtır. Bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanıp örnekler verilmiĢtir. Tanım 3.15. 4-boyutlu Öklid uzayında X : E 2  E4 (3.15) M : X (u,v)  (u,v, h(u,v), g(u,v)) parametrelendirilmesine sahip yüzeylere Monge yaması ile verilen yüzeyler denir (Aminov 1994). Teorem 3.16. M yüzeyi (3.15) parametrelendirmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği, Ch 2uuhvv  huv B(huugvv  guuhvv  2huvguv)  A(guugvv  g2K  uv) (3.16) W 4 dir. Burada A 1 (h )2  (h )2u v B  h g  h g (3.17) u u v v C 1 (g )2u  (g 2 v ) olarak alındığında EG  F 2  AC  B2 dir (Aminov 1994). İspat. Monge yamasıyla verilen M yüzeyinin tanjant uzayı X u  (1,0, hu , gu ), X v  (0,1, hv , gv ), vektör alanları ile gerilir. Böylece, yüzeyin birinci temel form katsayıları; 17 2 2 E  X u (u,v), X u (u,v) 1 hu  gu , F  X u (u,v), X v (u,v)  hu hv  gu gv , (3.18) 2 2 G  X v (u,v), X v (u,v) 1 hv  gv Ģeklindedir. M yüzeyi, X (u,v) parametrelendirilmesi ile verilmek üzere ikinci kısmi türevleri alınırsa; X uu (u,v)  (0,0,huu , guu ), X (u,v)  (0,0,h , g ), (3.19) uv uv uv X vv (u,v)  (0,0,hvv , gvv ) Ģeklinde elde edilir. Ayrıca, M nin birim normal vektörleri, 1 N1  (hu ,hv ,1,0) A (3.20) 1 N2  (Bhu  Agu , Bhv  Agv ,B, A) W A dir. (3.19) ve (3.20) eĢitlikleri yardımıyla ikinci temel form katsayıları; h c111  X uu (u,v), N uu 1  , A h c1  X (u,v), N   uv12 uv 1 , A c1 h 22  X vv (u,v), N vv 1  , A (3.21) 2  Bhc  X uu  Aguu 11 uu (u,v), N2   , W A 2  Bhc  X (u,v), N   uv  Aguv 12 uv 2 , W A 2  Bh  Agc22  X vv (u,v), N2   vv vv dir. W A Böylece (3.18) ve (3.21) eĢitliklerini (2.8) de yerine yazarsak (3.16) eĢitliği elde edilir. 18 Teorem 3.17. M yüzeyi (3.15) parametrelendirmesine sahip Monge yamasıyla verilen yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;  1 H  (g22huu  2g12huv  g2 11hvv )N12W A (3.22) 1  (g (Bh 3 22 uu  Ag uu )  2g12(Bhuv  Ag uv )  g11(Bhvv  gvv ))N 2 2W A dir. Burada A, B ve C fonksiyonları reel değerli diferansiyellenebilir fonksiyonlar olup (3.17) eĢitliğinde verilmiĢtir (Bulca ve Arslan 2013). İspat. (3.18) ve (3.21) eĢitlikleri (2.9) da yerine yazılırsa (3.22) eĢitliği elde edilir. 3.5. de Öteleme Yüzeyleri Tanım 3.18. (3.15) parametrelendirilmesiyle verilen M yüzeyinde h(u,v)  h1(u)  g1(v) ve g(u,v)  h2 (u)  g2 (v) Ģeklinde alınırsa yüzey parametrelendirmesi M : X (u,v)  (u,v, h1(u)  g1(v),h2 (u)  g2 (v)) (3.23) olup bu yüzeyler öteleme yüzeyleri olarak adlandırılır (Verstrealen ve ark.1994). Teorem 3.19. M yüzeyi (3.23) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği; hgC  (h1 1 1g2  h2g)B  hgAK  1 2 2 (3.24) W 4 dir. Burada A(u,v) 1 (h 2  21)  (g1) B(u,v)  hh  gg (3.25) 1 2 1 2 C(u,v) 1 (h )22  (g2 ) 2 türevlenebilir fonksiyonlardır (Arslan ve ark. 2016). 19 İspat. M yüzeyinin tanjant uzayı, X u  (1,0, h1, h2 ) X  v  (0,1, g1, g2 ) vektör alanları tarafından gerilmek üzere yüzeyin birinci temel form katsayıları; 2 2 E 1 h1   h2  , F  h   1g1  h2 g2 , (3.26) G 1  2 2g 1  g2  Ģeklindedir. Ayrıca yüzey yamasının ikinci kısmi türevleri alınırsa X uu (u,v)  (0,0,h,h1 2 ), X (u,v)  (0,0,0,0), (3.27) uv X (u,v)  (0,0, g  vv 1 , g2 ) elde edilir. Bununla birlikte, M nin birim normal vektörleri, 1 N1  (h 1,g1,1,0) A (3.28) 1 N2  (Bh1  Ah2 , Bg  Ag1 2 ,B, A) W A dir. Burada A ve B türevlenebilir fonksiyonlar olup (3.25) eĢitliğinde verilmiĢtir. (3.26) ve (3.27) eĢitlikleri yardımıyla ikinci temel form katsayıları; h g  c1  111 , c 1 1 22  , A A c112  c 2 12  0, (3.29) 2 Ah  Bh 2 Ag   Bg c 2 111  , c  2 1 22 W A W A olarak bulunur. Buradan (3.26) ve (3.29) eĢitliklerini (2.8) de yerine yazarsak (3.24) eĢitliği elde edilir (Arslan ve ark. 2016). 20 Teorem 3.20. M yüzeyi (3.23) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;  hG  gE G(h1 1 2 A hB)  E(gA gB)H  N1  1 2 1 N2 (3.30) 2 AW 2 2 AW 3 dir. Burada A ve B fonksiyonları reel değerli diferansiyellenebilir fonksiyonlar olup (3.25) eĢitliğinde verilmiĢtir. İspat. (3.26) ve (3.29) eĢitliklerini (2.9) da yerine yazarsak (3.30) eĢitliği elde edilir (Arslan ve ark. 2016). Teorem 3.21. M yüzeyi (3.23) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. Bu takdirde M yüzeyinin düz bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart yüzeyin düzlemin bir parçası veya X (u,v)  (0,v,b1  g1(v),b2  g2(v))u(1,0,a1,a2) ya da X (u,v)  (u,0,d1  h1(u),d2  h2(u)) v(0,1,c1,c2) parametrelendirilmesi ile verilen hipersilindirin bir parçası olmasıdır. Burada a1,a2 ,b1,b2 ,c1,c2 ,d1,d2 reel değerli sabitlerdir (Arslan ve ark. 2016). Teorem 3.22. M yüzeyi (3.23) parametrelendirmesine sahip öteleme yüzeyi olsun. Bu takdirde M yüzeyinin minimal bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart yüzeyin düzlemin bir parçası veya c hk (u)  k log cos( au  cu e u, 2 2 k c1  c2 c g (v)  kk  log cos( bv  dv pkv, k 1,22 2 c1  c2 dir. Burada a,b,c, d,ck ,ek , pk reel değerli sabitlerdir (Verstrealen ve ark. 1994). 21 3.6. de Çarpanlara Ayrılabilir Yüzeyler Tanım 3.23. (3.15) parametrelendirilmesiyle verilen M yüzeyinde h(u,v)  h1(u)g1(v) ve g(u,v)  h2(u)g2 (v) Ģeklinde alınırsa yüzey parametrelendirilmesi M : X (u,v)  (u,v,h1(u)g1(v),h2(u)g2(v)) (3.31) olup bu yüzeyler çarpanlara ayrılabilir yüzey olarak adlandırılır (Büyükkütük ve Öztürk 2018). Teorem 3.24. M yüzeyi (3.31) parametrelendirilmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği; 2 2 2 2 (hh gg  h g )C  (hh g g  hh          K  1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 g2g1  2h1h2g1g2 )B  (h2h2g2g2  h2 g2 )A W 4 (3.32) dir. Burada A(u,v) 1 (h1g1) 2  (h1g 2 1) B(u,v)  hhg g  h h gg (3.33) 1 2 1 2 1 2 1 2 C(u,v) 1 (hg )2  (h g 22 2 2 2 ) türevlenebilir fonksiyonlardır. İspat. M yüzeyinin tanjant uzayı, X u  (1,0, h 1g1, h2g2 ) X v  (0,1, h1g1, h2g2 ) vektör alanları tarafından gerilmek üzere yüzeyin birinci temel form katsayıları; 22 E 1 (h 2  21g1)  (h2 g2 ) F  h1h1g1g1  hh 2 2 g2 g2 (3.34) G 1 (h g)2  21 1  (h2 g2 ) Ģeklindedir. Ayrıca yüzey yamasının ikinci kısmi türevleri alınırsa X uu (u,v)  (0,0,h1g1 ,h2 g2 ), X     (3.35) uv (u,v)  (0,0,h1g1 ,h2 g2 ), X vv (u,v)  (0,0,h g 1 1 ,h g 2 2 ) elde edilir. Bununla birlikte, M nin birim normal vektörleri, 1 N1  (hg 1 1,h1g1,1,0) A (3.36) 1 N    2  (Bh1g1  Ah2 g2 , Bh1g1  Ah2 g2 ,B, A) W A dir. (3.35) ve (3.36) eĢitlikleri yardımıyla ikinci temel form katsayıları; 1 hg 1 h gc 1 111  , c22  1 1 , A A 1 hg 2 Ahg  Bhgc  1 1 ,c  2 2 1 1 , (3.37) 12 12 A W A 2 Ahg  Bhg Ah g  Bh gc11  2 2 1 1 , c2 2 2 1 122  W A W A olarak bulunur. Buradan (3.34) ve (3.37) eĢitliklerini (2.8) de yerine yazarsak (3.32) eĢitliği elde edilir (Büyükkütük ve Öztürk 2018). 23 Teorem 3.25. M yüzeyi (3.31) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir bir yüzey olsun. M yüzeyi düz bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) X (u,v)  (u,v,c1g1(v),c2g2(v)) , 2) X (u,v)  (u,v,c1h1(u),c2h2(u)) , 3) X (u,v)  (u,v,c1g1(v),c2h2(u)) , 4) X (u,v)  (u,v,c1,exp(c2u  c3v  c4 )), 1 k1 5) X (u,v)  (u,v,c1,c2u  c3 1k1 c v  c k 14 5 1 ), c 6) X (u,v)  (u,v,exp(c1u  c2v  c3 ),exp(c u  c 1 4 4 v  c 5 )), c2 c 7) X (u,v)  (u,v,exp(c1u  c2v  c3 ),exp(c u  c 2 v  c 4 4 5 )), c1 8) X (u,v)  (u,v,r(u)cos v,r(u)sin v) : c1r(u) 1 u   dr(u). r(u) 1 Burada ci , i 1,...,5 ve k1 1 reel sabitlerdir (Büyükkütük 2018). Teorem 3.26. M yüzeyi (3.31) parametrelendirilmesine sahip çarpanlara ayrılabilir yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin ortalama eğriliği; h1g1G  h  1g1E 2h1g1F A(h2 g2G  h gE  2hg )B(hg G  h g  H  N  2 2 2 2 1 1 1 1 E 2h1g1) N (3.38) 2 1 3 22 AW 2 AW dir. İspat. (3.34) ve (3.37) eĢitliklerini (2.9) da yerine yazarsak (3.38) eĢitliği elde edilir (Büyükkütük ve Öztürk 2018). 24 Teorem 3.27. M yüzeyi (3.31) parametrelendirmesine sahip çarpanlara ayrılabilir bir yüzey olsun. M yüzeyi minimal bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) X (u,v)  (u,v,c1u  c2 ,c3u  c4), 2) X (u,v)  (u,v,c1v  c2 ,c3v  c4 ), 3) X (u,v)  (u,v,c1u  c2 ,c1v  c2), 4) X (u,v)  (u,v,c1,c2u tan(c3v)), 5) X (u,v)  (u,v,c1,c2v tan(c3u)), 6) X (u,v)  (u,v,r(u)cos v,r(u)sin v) :  2(uc2 )  (uc2 )1   2 c 21 cr(u)  c1 e  c1 1 e 1 , 2c  1   7) X (u,v)  (u,v,c1u tan(c2v),c1u tan(c2v)), 8) X (u,v)  (u,v,c1u tan(c2v),c1v tan(c2u)), 9) X (u,v)  (u,v,c1,h2(u)g2(v)), 10) X (u,v)  (u,v,hi (u)gi (v),hi (u)gi (v)), Burada ci , i 1,...,4 reel sabitler olup hi (u), gi (v) fonksiyonları dhi (u) dh (u) dhi (u)u   , u  i  , u   , 2a ln hi (u) c 2(1k ) 1 4 ac h (u)  c1hi (u)  c21 i 2 dg (v) dg (v) dg (v) u  i , i u  i , u   2b ln gi (v)  c 2(1k ) 2 4 bc g (v)  c3 g i (v)  c42 i 2 denklemlerini sağlar (Büyükkütük 2018). 25 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu bölümde daha önceki bölümlerde ele aldığımız Monge yaması ile verilen yüzeylerden öteleme yüzeyleri ve çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin birlikte ele alınmasıyla elde edilmiĢ olan TF (translation-factorable) tipindeki yüzeyler üzerinde durulmuĢtur. 3-boyutlu Öklid uzayında tanımlanmıĢ olan bu yüzeyler bu çalıĢmada bizim tarafımızdan 4-boyutlu Öklid uzayında da verilmiĢtir. Ġlk kısımda 3 ve 4-boyutlu Öklid uzayında verilen bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanarak düz ve minimal olma Ģartları incelenmiĢtir. Bu tezin baĢlangıcında çalıĢmaya baĢladığımız 3- boyutlu Öklid uzayındaki TF tipindeki yüzeyler bağımsız olarak Bekkar ve Senoussi tarafından da 2019 yılı içinde çalıĢılmıĢtır (Bekkar ve Senoussi 2019). Bundan fazla olarak bu tez çalıĢmasında 4-boyutlu uzayda TF tipindeki yüzeylerin sınıflandırılması ile ilgili teoremler verilmiĢtir. Ġkinci kısımda ise 3-boyutlu Öklid uzayında Ģimdiye kadar tanımlanmıĢ olan tüm Monge yamasıyla verilen yüzeylerin sonlu tipten koordinatlara sahip olması ile ilgili sonuçlar incelenmiĢ ve bunlarla ilgili sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. 4.1. Öklid Uzayında TF Tipindeki Yüzeyler Bu bölümde Öklid uzaylarında TF (translation-factorable) tipindeki yüzeyler çalıĢılmıĢtır. Ġlk kısımda 3-boyutlu Öklid uzayında verilen TF tipindeki yüzey tanımıyla birlikte bu yüzeylerin eğrilikleri hesaplanmıĢ ve sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. Ġkinci kısımda ise bu yüzeyler 4-boyutlu Öklid uzayında tanıtılmıĢ ve düz ve minimal olması ile ilgili sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. 4.1.1. 3-boyutlu Öklid uzayında TF tipindeki yüzeyler Tanım 4.1. E3 de (3.1) parametrelendirilmesiyle verilen M yüzeyinde f (u,v) fonksiyonu f (u,v)  h(u)g(v)  h(u)  g(v) Ģeklinde alınırsa yüzey parametrelendirilmesi M : X (u,v)  (u,v,h(u)g(v)  h(u)  g(v)) (4.1) olup bu yüzey E3 de öteleme ve çarpanlara ayrılabilir (TF- tipinde) yüzeyler olarak adlandırılır (Difi ve ark. 2018). 26 Açıklama: Ayrıca (4.1) parametrelendirmesi daha genel olarak M : X (u,v)  (u,v,a(h(u)  g(v))bh(u)g(v)) Ģeklinde de ele alınmıĢtır (Senoussi ve Bekkar 2019). Burada a ve b reel sabitlerdir. Biz bu çalıĢmada a  b 1 durumunu ele alarak bu yüzeylerle ilgili sınıflandırma teoremi vermiĢ bulunmaktayız. Teorem 4.2. M  E3 yüzeyi (4.1) parametrelendirmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği sırasıyla; hg(h 1)(g 1)  (hg)2 K  W 4 (4.2) ve g(1 (h)2 (g 1)2 )(h 1)  h(1 (g)2 (h 1)2 )(g 1)  2(h)2 (g)2 (g 1)(h 1) H  2W 3 (4.3) dir. İspat. f (u,v)  h(u)g(v)  h(u)  g(v) fonksiyonu olmak üzere bu fonksiyonun kısmi türevleri alınıp (3.2) ve (3.8) denklemlerinde yerine yazılırsa istenilen sonuç elde edilir. Örnek 4.3. M yüzeyi (4.1) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere h(u)  cos u ve g(v)  sin v fonksiyonları için TF yüzeyinin grafiği ġekil 4.1 de verilmiĢ olup bir yumurta kutusuna benzemektedir. Şekil 4.1. h(u)  cos u ve g(v)  sin v için TF yüzeyi 27 Ayrıca h(u)  u2 ve g(v)  v 2 olarak verilen kuadratik polinomlar için TF yüzeyinin grafiği ġekil 4.2 de verilip bir masa modellemesi olarak kullanılabilir. Şekil 4.2. h(u)  u2 ve g(v)  v2 için TF yüzeyi Sonuç 4.4. M  E3 yüzeyi (4.1) parametrelendirmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyinin düz bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart hg(h 1)(g 1)  (hg)2 (4.4) olmasıdır. Sonuç 4.5. M  E3 yüzeyi (4.1) parametrelendirmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyinin minimal bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart g(1 (h)2(g 1)2)(h 1)  h(1 (g)2(h 1)2)(g 1)  2(h)2(g)2(g 1)(h 1) (4.5) olmasıdır. 28 Teorem 4.6. M  E3 yüzeyi (4.1) parametrelendirmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi düz bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) X (u,v)  (u,v,c1g(v)  c1  g(v)) , 2) X (u,v)  (u,v,c2h(u)  c2  h(u)) , c uc v 3) X (u,v)  (u,v,c1c e 2 4 3 1) , 1 1 k k 1 1  k1 1k k1 4) X (u,v)  (u,v,   (c1u  c2 ) (c3v  c4 ) 1), k  0,1. k  k  İspat. M yüzeyi E3 Öklid uzayında (4.1) parametrelendirilmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi düz bir yüzey olmak üzere (4.4) denklemini sağlar. Buradan, i. Eğer (4.4) eĢitliğinde h(u)  0 veya g(v)  0 alınırsa K  0 olur. Böylece (4.1) eĢitliğinden sırasıyla (1) ve (2) yüzeyleri elde edilir. ii. Eğer h(u)g(v)  0 alınırsa (4.4) eĢitliğini u ve v parametrelerine bağlı fonksiyonlara ayırarak; h(h 1) (g)2   k, (4.6) (h)2 g(g 1) bulunur. k reel bir sabittir. a) Eğer k 1 ise (4.6) eĢitliğinden h(h 1)  (h)2 ve g(g 1)  (g)2 diferansiyel c u denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden h(u)  c e 21 1 ve c v g(v)  c3e 4 1 olarak bulunur. Böylece (3) tipindeki yüzeyler elde edilir. b) k 1 olması durumunda ise (4.6) eĢitliğinden h(h 1)  k(h)2 ve kg(g 1)  (g)2 diferansiyel denklemleri bulunup bu denklemlerin çözümünden 29 1 k  1  k1  k 1k h(u)    1 ve g(v)    1 fonksiyonları  (1 k)(c1u  c )   2   (k 1)(c  3v  c4 )  bulunur. Buradan (4) tipindeki TF-yüzeyleri elde edilir (EK 1). Örnek 4.7. M yüzeyi (4.1) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere; (v 1)2 X (u,v)  (u,v,2e2uv 1) ve X (u,v)  (u,v, 1)4(u 1) parametrelendirmeleri ile verilen TF yüzeyleri düz yüzey örnekleridir (ġekil 4.3 a,b) a) b) Şekil 4.3 Düz TF yüzeyleri Teorem 4.8. M  E3 yüzeyi (4.1) parametrelendirmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi minimal bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) X (u,v)  (u,v,av b),  tan(c c v  c c )  2) X (u,v)  u,v, (c1u  c2 1) 1 2 1 3 1,  c1   tan(c1c2u  c c ) 3) X (u,v)  u,v, (c1v  c2 1) 1 3 1,  c1  4) X (u,v)  (u,v,h(u)g(v)  h(u)  g(v)) olup burada h(u) ve g(v) ; 30 dh(u) dg(v) u   , v   2a ln(h(u) 1)  2c a b 1 c2 (g(v) 1) 4  2 ya da dh(u) dg(v) u   , v   4 a 2b ln(g(v) 1)  2c bc1(h(u) 1)  2 2 ya da dh(u) dg(v) u   ve v   c (h(u) 1)2(k1)   c c3(g(v) 1) 2(1k )  c 1 2 4 2 2 eĢitliklerini sağlar. Ayrıca a,b,k,c1,c2 ,c3 ,c4 reel sabitler, a b  0 , k  1 dir. İspat. M yüzeyi E3 Öklid uzayında (4.1) parametrelendirilmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi minimal bir yüzey olmak üzere (4.5) denklemini sağlar. Buradan, i. Eğer (4.5) eĢitliğinde h  0 alınırsa yüzeyin minimal olması için g(h 1)  0 olmalıdır. Burada özel olarak ise h  1 olursa minimal olma Ģartı sağlanır. Ayrıca h  c  1 ve g  0 ise yüzey minimal bir yüzey olup g  c1v  c2 Ģeklinde elde edilir. Böyle (1) eĢitliği ile verilen TF-tipindeki yüzey bir düzlemdir. Yüzeyin minimal olması için gerek ve yeter Ģart (4.5) denkleminin sağlanması olup bu denklem tekrar düzenlendiğinde (h)2 g (h 1)(g 1)2  (g )2 (h 1)(g 1) (4.7)  (g )2 h(h 1)2 (g 1)  (h)2 (h 1)(g 1) h(g 1)  g (h 1)  0 bulunur. Bu eĢitlik (h1)(g 1) ile bölünürse, h g  (h)2 g (g 1)  (g )2  (g )2 h(h 1)  (h)2    0 (4.8) h 1 g 1 Ģeklinde düzenlenmiĢ olur. 31 ii. Eğer h(u)  0 ise, h(u)  c1u  c2 olup (4.8) eĢitliğinde yerine yazılırsa 2 2 g  c1 g(g 1) 2  2c 21 g (g 1)  0 diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin  c  tan(c c v  c c ) çözümünden g(v)  1 1 2 1 3 bulunur. Böylece aldığımızda (2) c1 parametrelendirilmesi ile verilen TF-tipindeki yüzey elde edilir.  c  tan(c c u  c c ) Benzer Ģekilde g(v)  0 ise, h(u)  1 1 2 1 3 bulunur. Buradan da (3) c1 tipindeki TF yüzeyi elde edilir (EK 2). iii. Eğer h(u)g(v)  0 alınırsa (4.8) denkleminden ilk olarak u ya göre türevi alındığında   h     (h 2 )(g(g 1)  g2 )  (g2 ) h(h 1)  h2   0 (4.9)  (h 1)  bulunur. (4.9) eĢitliğinin v ye göre türevi alınırsa (h2 )(g(g 1)  g2 )  (g2 )(h(h 1)  h2 )  0 (4.10) bulunur. (4.10) denklemi de u ve v ye göre tekrar düzenlenirse   h(h 1)  h2  g(g 1)  g2     k (4.11)  h2  g2  elde edilir. Burada k reel bir sabittir. (4.11) eĢitliğinin sırasıyla integrali alınarak düzenlenirse h(h 1)  (k 1)h2  a, (4.12) g(g 1)  (1 k)g2  b diferansiyel denklemleri elde edilir. Burada, a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılardır. 32 a) Eğer (4.12) eĢitliğinde k  1 alınırsa h(h 1)  a, g(g 1)  2g2  b diferansiyel denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin Maple ile çözümünden dh(u) dg(v) u   ve v   elde edilir. 2a ln(h(u) 1)  2c1a bc2 (g(v) 1) 4  2 b) Benzer Ģekilde eğer (4.12) eĢitliğinde k 1 alınırsa h(h 1)  2h2  a, g(g 1)  b dh(u) diferansiyel denklemleri bulunup bunların çözümünden de u   ve a c1(h(u) 1) 4  2 dg(v) v   bulunur. 2b ln(g(v) 1)  2c2b c) Ayrıca k  1 olmak üzere diferansiyel denklemlerin çözümüne bakılırsa dh(u) dg(v) u   ve v   bulunur (EK 3). c (h(u) 1)2(k1)1  c2 c3(g(v) 1) 2(1k )  c4 Böylece (4) eĢitliği ile verilen TF tipindeki minimal yüzeylerin sınıflandırılması verilmiĢ olur. Örnek 4.9. M yüzeyi (4.1) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere X (u,v)  (u,v, (v 1) tan(2u  2) 1) parametrelendirmesi ile verilen TF yüzeyi minimal yüzeydir (ġekil 4.4). 33 Şekil 4.4 Minimal TF yüzeyi 4.1.2. 4-boyutlu Öklid uzayında TF tipindeki yüzeyler Tanım 4.10. E 4 de (3.15) parametrelendirilmesiyle verilen M yüzeyinde h(u,v) ve g(u,v) fonksiyonları h(u,v)  a(h1(u) g1(v))bh1(u)g1(v) ve g(u,v)  c(h2 (u) g2 (v))dh2 (u)g2 (v) Ģeklinde alınırsa yüzey parametrelendirilmesi M : X (u,v)  (u,v, a(h1(u)  g1(v))  bh1(u)g1(v),c(h2 (u)  g2 (v))  dh2 (u)g2 (v)) (4.13) Ģeklinde olup E 4 de öteleme ve çarpanlara ayrılabilir (TF-tipindeki) yüzeyler olarak adlandırılır. Burada a,b,c ve d sıfırdan farklı gerçel sayılardır. Açıklama: Eğer (4.13) parametrelendirmesinde; a,c  0 ve b, d  0 ise yüzey öteleme yüzeyi, a,c  0 ve b,d  0 ise yüzey çarpanlara ayrılabilir yüzeydir. Bu bölümde (4.13) parametrelendirmesi ile verilen 4-boyutlu Öklid uzayında TF- tipindeki yüzeyler a,b,c, d 1 olmak üzere X (u,v)  (u,v,h1(u)  g1(v)  h1(u)g1(v),h2(u)  g2(v)  h2(u)g2(v)) (4.14) parametrelendirmesi ile ele alınmıĢtır. 34 Örnek 4.11. M yüzeyi (4.14) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere X (u,v)  (u,v,cosu cosvcosucosv,cosusinvcosusinv) parametrelendirmesine sahip TF yüzeyinin E 3 deki izdüĢümünün grafiği ġekil 4.5 de verilmiĢtir. Şekil 4.5. h1(u)  h2 (u)  cos u ve g1(v)  cosv, g2 (v)  sinv için TF yüzeyi Ayrıca X (u,v)  (u,v,eu  cosv eu cosv,eu  sinv eu sinv) parametrelendirmesi ile verilen yüzey de E 4 de bir TF yüzeyi örneği olup E 3 deki izdüĢümünün grafiği ġekil 4.6 da verilmiĢtir. Şekil 4.6. h1(u)  h2 (u)  e u ve g1(v)  cosv, g2 (v)  sinv için TF yüzeyi 35 Teorem 4.12. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirmesine sahip TF- tipindeki yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin Gauss eğriliği; 1 Ch1g1(h1 1)(g1 1) (h1g1)2  Ah 2 g2 (h2 1)(g2 1) (hg )2 K  2 2 4  W  Bhg2 1(h1 1)(g2 1) hg1 2 (h2 1)(g1 1) 2h 1g1h 2 g2   (4.15) dir. Burada A(u,v) 1 (hg  h)2   21 1 1  (h1g1  g1) B(u,v)  (hg  h)(hg  h ) (h g  g1 1 1 2 2 2 1 1 1)(h g  g ) (4.16) 2 2 2 C(u,v) 1 (hg  22 2  h2 )  (h   2 2 g2  g2 ) olup türevlenebilir fonksiyonlardır. Ayrıca burada birinci temel form katsayıları g11  E g  F ve g  G olarak ele alınmıĢtır. 12 22 İspat. M yüzeyinin tanjant uzayı X u  (1,0,h1g 1  h1, h2g2  h2 ), (4.17) X v  (0,1, h 1g1  g,h 1 2g2  g2 ), vektör alanları ile gerilir. Böylece, yüzeyin birinci temel form katsayıları, E 1 (h)21 (g1 1) 2  (h )22 (g2 1) 2 F  h   1g1(g1 1)(h1 1)  h2 g2 (h2 1)(g2 1) (4.18) G 1 (g1) 2 (h 2  21 1)  (g2 ) (h2 1) 2 bulunur. Yüzey yamasının ikinci kısmi türevleri alınırsa X  (0,0, hg   uu 1 1  h1, h2g2  h2 ) X  (0,0, hg, hg ) (4.19) uv 1 1 2 2 X vv  (0,0, h 1g1  g1, h2g2  g2 ) 36 elde edilir. Ayrıca, M nin birim normal vektörleri, 1 N1  (h1g1  h1,h g1 1  g1,1,0) A (4.20) 1 N  (B(h 2 1g1  h1) A(h2 g2  h2 ),B(h1g   1  g1) A(h2 g2  g2 ),B, A) W A olup A ve B türevlenebilir fonksiyonları (4.16) da verilmiĢtir. (4.19) ve (4.20) eĢitlikleri yardımıyla ikinci temel form katsayıları; hg  h hg    c1  1 1 1 ,c1 h g  g 11 12  1 1 ,c1 1 1 122  A A A 1 c 2  (A(h 11 2 g 2  h2 )  B(h 1g1  h1)) W A (4.21) c 2 1  (Ahg   Bhg 12 2 2 1 1) W A 1 c 222  (A(h 2 g 2  g 2 )  B(h g 1 1  g 1)) W A dir. Böylece (4.18) ve (4.21) eĢitliklerini (2.8) de yerine yazarsak (4.15) eĢitliği elde edilir. Sonuç 4.13. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipindeki yüzey olsun. M yüzeyinin düz bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart Chg1 1(h1 1)(g1 1) (hg 21 1)  Ahg(h 1)(g 1) (hg 22 2 2 2 2 2 )  (4.22) Bh 2 g1(h      1 1)(g2 1) h1g2 (h2 1)(g1 1) 2h1g1h2 g2  0 olmasıdır. 37 Teorem 4.14. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi düz bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) h(u,v)  c1  g1(v)  c1g1(v), g(u,v)  c2  g2(v)  c2g2(v) 2) h(u,v)  c1  h1(u)  c1h1(u), g(u,v)  c2  h2(u)  c2h2(u) 3) h(u,v)  c1  g1(v)  c1g1(v), g(u,v)  c2  h2(u)  c2h2(u) 4) h(u,v)  c1  h1(u)  c1h1(u), g(u,v)  c2  g2(v)  c2g2(v) 5) h(u,v)  c1, g(u,v)  c2  g2(v) c2g2(v) 6) h(u,v)  c1, g(u,v)  c2  h2(u)  c2h2(u) 7) h(u,v)  c, c u c v g(u,v)  de 1 e 2 1 8) h(u,v)  c, g(u,v)  h2(u)  g2(v)  h2(u)g2(v) 1 h2 (u)  ((1 k)(c u  c )) 1k 3 4 1, k  (k 1)(c v  c )  k1 g2 (v)  5 6   1  k  9) h(u,v)  c1  h1(u)  c1h1(u), g(u,v)  d 10) h(u,v)  c1  g1(v)  c1g1(v), g(u,v)  d c u c v 11) h(u,v)  ce 1 e 2 1, g(u,v)  d 12) h(u,v)  h1(u)g1(v)  h1(u)  g1(v), g(u,v)  d 1 h1(u)  ((1 k)(c 1k 3u  c4 )) 1, k  (k 1)(c5v  c )  k1g (v)  61   1  k  13) c u c vh(u,v)  c1c e 2 e 65 1, c g(u,v)  c c e 4 u c8v 3 7 e 1 c4c6  c2c8 14) ch(u,v)  c c e 2u c6v1 5 e 1, c4u c vg(u,v)  c 83c7e e 1 c2c4  c6c8 İspat. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF-tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi düz bir yüzey olmak üzere (4.22) denklemini sağlar. Buradan, 38 i. Eğer (4.22) eĢitliğinde h(u)  h (u)  0 veya g   1 2 1(v)  g2 (v)  0 veya h1(u)  g2 (v)  0 veya h2 (u)  g1(v)  0 alınırsa K  0 olur. Böylece (4.14) eĢitliğinden sırasıyla (1), (2), (3) ve (4) yüzeyleri elde edilir. ii. Eğer h1(u)  0, g1(v)  0 alınırsa (4.22) eĢitliğinden; hg2 2(g2 1)(h2 1)  (hg ) 2 2 2  0 (4.23) bulunur. Buradan sırasıyla h  0 veya g2 2  0 alınırsa (5) ve (6) tipindeki yüzeyler elde edilir. Ayrıca eğer h 2 (u)g2 (v)  0 alınırsa (4.23) eĢitliğinden u ve v parametrelerine bağlı fonksiyonları ayırarak; h2 (h2 1) (g ) 2  2  k, (4.24) (h )2 g2 2 (g2 1) elde edilir. Burada k reel bir sabittir. a) Eğer k 1 ise (4.24) eĢitliğinden h2 (h2 1)  (h 2  2  2 ) ve (g2 )  g2 (g2 1) diferansiyel denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden c4uh2 (u)  c3e 1 ve c6vg2 (v)  c5e 1 olarak bulunur. Böylece (7) TF-tipindeki yüzey parametrizasyonu elde edilir. b) Eğer k 1 ise (4.24) eĢitliğinden h(h 1)  k(h2 2 2 ) 2 ve (g )2  kg2 2 (g2 1) diferansiyel denklemleri elde edilir. Bu diferansiyel denklemlerin çözümünden k 1  (k 1)(c v  c )  k1 h2 (u)  ((1 k)(c3u  c4 )) 1k 1 ve g 5 62 (v)    1 olarak bulunur.  k  Böylece (8) TF-tipindeki yüzey parametrizasyonu elde edilir (EK 4). 39 iii. Benzer durum h 2(u)  0, g2 (v)  0 alınırsa da sağlanmıĢ olacaktır. Bu durumda da (4.22) eĢitliğinden; hg   21 1(g1 1)(h1 1)  (h1g1)  0 (4.25) elde edilip bir önceki kısımda verilen sonuçlar aynı Ģekilde h1(u) ve g1(v) fonksiyonları için sağlanmıĢ olur. Böylece (9)-(12) tipindeki yüzeyler de elde edilmiĢ olur. iv. EĢitlik (4.22) de h 1g1(g1 1)(h1 1)  (hg 2 1 1)  0, (4.26) h2g2 (g2 1)(h2 1)  (hg 2 2 2 )  0 ile birlikte hg(g 1)(h 1)  hg(g 1)(h 1)  2hg2 1 2 1 1 2 1 2 1 1h 2g2  0 (4.27) ya da B  hh (g 1)(g 1)  gg (h 1)(h 1)  0 (4.28) 1 2 1 2 1 2 1 2 olsun. Böylece eĢitlik (4.26) eĢitlik (4.23) ve (4.25) ile eĢdeğerdir. Buradan, (4.26) daki eĢitlikler u ve v ye bağlı düzenlenirse hi (hi 1) (g) 2  i  m i 1,2 (4.29) (h 2 i ) gi (gi 1) elde edilir. Burada m bir reel sabit sayıdır. O halde (4.29) diferansiyel denklemlerinin çözümünden; 40 c u c u h (u)  c e 21 1 1, h2 (u)  c 4 3e 1, (4.30) c6v c8vg1(v)  c5e 1, g2 (v)  c7e 1 fonksiyonları elde edilir. Eğer (4.29) diferansiyel denklem çözümünden bulunan (4.30) daki fonksiyonları (4.27) ve (4.28) eĢitliklerinde yerine yazıp birlikte çözersek sırasıyla c4c6  c2c8 ve c2c4  c6c8 elde edilir. Böylece (13) ve (14) deki TF-tipinde yüzeyler elde edilir. Örnek 4.15. M yüzeyi (4.14) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere; X (u,v)  (u,v,1 2cos v,1 2sin v) ve X (u,v)  (u,v,12cosv,12sinu) parametrelendirmeleri ile verilen TF yüzeyleri E 4 de düz yüzey örnekleri olup E 3 deki izdüĢümleri sırasıyla ġekil 4.7 de verilmiĢtir. a) b) 4 3 Şekil 4.7. E de düz TF yüzeylerinin E deki izdüĢümleri 41 Teorem 4.16. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipindeki yüzey olsun. Bu takdirde, M yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü;  1 H  Eg     2 1 (h1 1) Gh1(g1 1)  2Fh1g1 N1 (4.31) 2 AW 1  AEg (h 1) Gh(g 1)  2Fh 2 2 2 2 2 g2  BEg 1(h1 1) Gh1(g1 1)  2Fh1g 1 N2 2 AW 3 dir. İspat. (4.18) ve (4.21) eĢitliklerini (2.9) da yerine yazarsak (4.31) eĢitliği elde edilir. Sonuç 4.17. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipinde bir yüzey olsun. M yüzeyinin minimal olması için gerek ve yeter Ģart 2BEg(h 1) Gh(g 1)  2FhgEg 1 1 1 1 1 1 2 (h2 1) Gh2 (g2 1)  2Fh 2 g2  C 2Eg1(h1 1) Gh1(g1 1)  2Fh 1g1  (4.32)  A 2Eg2 (h2 1) Gh(g 1)  2Fhg2 2 2 2   0 olmasıdır. Sonuç 4.18. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipinde bir yüzey olsun. M yüzeyinin minimal bir yüzey olması için gerek ve yeter Ģart Eg(h 1) Gh(g 1)  2Fh i i i i i gi  0 , i 1,2 (4.33) olmasıdır. Teorem 4.19. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF- tipindeki yüzey olsun. M yüzeyi minimal bir yüzey ise aĢağıdaki yüzeylerin bir parçasıdır; 1) h(u,v)  c1v  c2 , g(u,v)  c3v  c4 2) h(u,v)  c1u  c2 , g(u,v)  c3u  c4 3) h(u,v)  c1u  c2 , g(u,v)  c3v  c4 42 4) h(u,v)  c1v  c2 , g(u,v)  c3u  c4 5) h(u,v)  c, g(u,v)  (u  d) tan(av b) 1 6) h(u,v)  c, g(u,v)  (v  d) tan(au  b) 1 7) h(u,v)  g(u,v)  (au b) tan(cv  d) 1, 8) h(u,v)  g(u,v)  (av b) tan(cu  d) 1, 9) h(u,v)  h1(u)g1(v)  h1(u)  g1(v), g(u,v)  h2(u)g2(v)  h2(u)  g2(v) i 1,2 olmak üzere hi ve g i fonksiyonları; dhi (u) dg (v)u   , v   i  (4.34) 2a ln(hi (u) 1)  2c a b 1 c (g 42 i (v) 1)  2 veya dhi (u) dg (v)u   , v   i  (4.35) a 2b ln(g (v) 1)  2c b c1(h (u) 1) 4  i 2i 2 veya dh (u) dg (v) u   i , v   i  (4.36) c 2(1k )1(hi (u) 1)  c2 c3(gi (v) 1) 2(1k )  c 4 eĢitliklerini sağlar. İspat. M yüzeyi E 4 Öklid uzayında (4.14) parametrelendirilmesine sahip TF-tipinde bir yüzey olsun. M yüzeyi minimal ise H  0 dır. EĢitlik (4.33) de (4.18) eĢitliği yani birinci temel form katsayıları yerine yazılarak; 0  g 1h1 11 (h)21 (g1 1)2  (h )22 (g2 1)2   h1g1 11 (g )2 (h 1)2  (g  21 1 2 ) (h2 1)2  (4.37)  2hg h 1 1 1g1(h1 1)(g1 1)  h2 g 2 (h2 1)(g2 1) ve 43 0  g   22 h2 11 (h1) (g1 1)2  (h )22 (g 22 1)   hg  2 2  2 22 2 11 (g1) (h1 1)  (g2 ) (h2 1)  (4.38)  2h     2 g2 h1g1(h1 1)(g1 1)  h2 g2 (h2 1)(g2 1) elde edilir. i. Eğer (4.37) ve (4.38) eĢitliklerinde h(u)  0,h1 2(u)  0 alınırsa yüzeyin minimal olması için g(h 1)  0 ve g(h 1)  0 olmalıdır. Burada özel olarak ise 1 1 2 2 h  h  1 olursa minimal olma Ģartı sağlanır. Ayrıca 1 2 h , 1  c  1 h2  d  1 ve g  g1 2  0 ise yüzey minimal bir yüzey olup h(u,v)  c1v  c2 ve g(u,v)  c3v  c4 Ģeklinde elde edilir. Böyle (1) eĢitliği ile verilen TF-tipindeki yüzey bir düzlemdir. Benzer iĢlemler (4.37) ve (4.38) eĢitliklerinde sırasıyla g1(v)  0, g2(v)  0 veya h 2(u)  0, g1(v)  0 veya h(u)  0, g1 2(v)  0 alınması durumunda tekrarlanırsa sırasıyla (2), (3) ve (4) yüzeylerini de elde ederiz. ii. Eğer h(u)  0, g1 1(v)  0 alınırsa (4.37) eĢitliği sağlanır. Ayrıca, (4.38) eĢitliğinden 2 2 g(h  2 2   2 2  2 2 1)(1 (h2 ) (g2 1) )  h2 (g2 1)(1 (g2 ) (h2 1) )  2h2  g2  (h2 1)(g2 1)  0 bulunur. Burada eĢitliğin iki tarafı (g2 1)(h2 1) ile bölünüp yeniden düzenlenirse g h2  2  (h 2   2  2   22 ) (g2 (g2 1)  (g2 ) )  (g2 ) (h2 (h2 1)  (h2 ) )  0 (4.39) (g2 1) (h2 1) tan(cv  d) elde edilir. Eğer (4.39) eĢitliğinde sırasıyla h2 (u)  0 alınırsa g2 (v)  1 c1 tan(cu  d) olarak veya g2 (v)  0 alınırsa h2 (u)  1 olarak bulunur. Böylece (5) ve (6) c2 yüzey parametrizasyonlarını elde edilir. Ayrıca h 2 (u)g2 (v)  0 olması durumunda (4.39) eĢitliğinin önce u ya göre kısmi türevi alınırsa   h   (4.40)  2   (h ) 2  (g 2 2 (g 1)  (g  )22 2 )  (g  )2 (h  2 2 2 (h2 1)  (h2 ) )  0  h2 1 44 eĢitliği elde edilir. Bulunan bu eĢitliğin de v ye bağlı kısmi türevi alınıp düzenlenirse (h2 (h2 1)  (h2 ) 2 ) (g2 (g2 1)  (g ) 2 )   2  k (4.41) ((h )2 ) ((g )2 2 2 ) olarak bulunur. Burada k reel bir sabittir. Böylece (h(h  2   2 2 2 1)  (h2 ) )  k((h2) ) ve (g(g 1)  (g )2 )  k((g 22 2 2 2) ) eĢitliklerinin her iki tarafının integralleri alınıp yeniden düzenlenirse h2 (h2 1)  (1 k)(h2 ) 2  a, (4.42) g2 (g2 1)  (1 k)(g 2 2 )  b olarak bulunur. Burada a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olup integral sabitleridir. a) Eğer (4.42) eĢitliğinde k  1 alınırsa h2 (h2 1)  a, (4.43) g2 (g 1)  2(g2 2 ) 2  b diferansiyel denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin Maple ile çözümünden dh u   2 (u) dg (v)  v   2  2a ln(h2 (u) 1)  2c1a bc2 (g2 (v) 1) 4  2 elde edilir. b) Benzer Ģekilde k 1 alınırsa h2 (h2 1)  2(h 2 2 )  a, (4.44) g2 (g2 1)  b olup bu diferansiyel denklemlerin çözümünden de 45 dh (u) dg (v) u   2 ve v   2  4 a 2b ln(g2 (v) 1)  2c bc 21(h2 (u) 1)  2 bulunur. c) Eğer k  1 durumuna bakıldığında (4.42) diferansiyel denklemlerinin çözümüne bakılırsa dh u   2 (u) dg ve v   2 (v)  c (h (u) 1)2(k1)   c c (g (v) 1)2(1k )1 2 2 3 2  c4 bulunur (EK 5). iii. Benzer durum h2(u)  0, g2 (v)  0 alınırsa da sağlanmıĢ olacaktır. Bu durumda da (4.38) eĢitliği sağlanır ve (4.37) eĢitliğinden 2 2 2 2 2g1(h   1 1)(1 (h1) (g1 1) )h1(g1 1)(1 (g1) (h1 1) 2 )2h 1 g1 (h1 1)(g1 1)  0 bulunur. Ġkinci durumda ki iĢlemler aynı Ģekilde h1(u) ve g1(v) fonksiyonları için uygulanırsa benzer sonuçlar bu fonksiyonlar için elde edilir. iv. Eğer h1(u)  h2 (u) ve g1(v)  g2 (v) ise eĢitlik (4.37) ve eĢitlik (4.38) birbirine denktir. Buradan g h1  1  2(h)2 (g(g 1)  (g)2 )  2(g)2 (h  21 1 1 1 1 1(h1 1)  (h1) )  0 (4.45) (g1 1) (h1 1) elde edilir. Burada sırasıyla h 0 veya g  0 alınırsa ve ikinci durumda ki iĢlemler 1 1 tekrarlanırsa (7) ve (8) parametrelendirmesine sahip TF tipindeki yüzeyler elde edilir. Ayrıca h 1g1  0 ise (4.45) eĢitliğinin önce u ya sonra da v ye göre kısmi türevi alınırsa (4.41) elde edilir. Böylece bu diferansiyel denklemin çözümünden de (9) tipindeki TF yüzeyleri bulunmuĢ olur. 46 Örnek 4.20. M yüzeyi (4.14) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olmak üzere X (u,v)  (u,v, (2u 1) tan(2v 1) 1,(2u 1) tan(2v 1) 1) parametrelendirmesi ile verilen TF yüzeyi E 4 de minimal yüzey olup E 3 deki izdüĢümü ġekil 4.8 de verilmiĢtir. Şekil 4.8. E 4 deki minimal TF yüzeyinin E 3 deki izdüĢümü 4.2. de Sonlu Tipten Koordinatlara Sahip Monge Yaması ile Verilen Yüzeyler Bu bölümde, ilk olarak 3-boyutlu Öklid uzayında koordinatları sonlu tipten olan yani, xi  i xi , 1 i  3 koĢulunu sağlayan Monge yaması ile verilen yüzeylerin sınıflandırılması yapılmıĢtır. Bu sınıflandırmaya bağlı olarak diğer alt bölümlerde bu yüzeylerin özel hali olarak karĢımıza çıkan öteleme yüzeyleri, çarpanlara ayrılabilir yüzeyler ve TF tipindeki yüzeylerin de sonlu tipten koordinatlara sahip olması incelenmiĢ ve bunlarla ilgili sınıflandırma teoremleri verilmiĢtir. M, yüzeyi X (u,v)  (u,v, f (u,v)) parametrelendirmesi ile verilen bir yüzey olsun. (3.4) eĢitliğiyle verilen yüzeyin birinci temel form katsayıları yardımıyla; 2 2 g  det g ij  1 fu  fv W (4.46) olduğundan 2 g11 g12  1 f f f  gij   u u v     g21 g 2 22  fu fv 1 fv  ve 47 2 ij 1  g22  g12 1 f  f f g  v u v     (4.47) g  g 2 21 g11   fu fv 1 fu  elde edilir. Böylece (2.12) ve (4.47) eĢitliği yardımıyla Laplas operatörü; 1 2         g g ij  g u  u i , j1 i  j  1           g g1 j     g g 2 j   (4.48) g  u 1  u  u    j  2  u j  1     1  1       1  1     g22  g12   g12  g      11g u  g u g v  v  g u g v    elde edilir. (3.4) ve (4.47) eĢitlikleri (4.48) de yerine yazılırsa ve (3.8) denklemi ile verilen ortalama eğrilik fonksiyonu göz önüne alınırsa Laplas operatörü; g 222 g  2 g 2    2 12  11  W u 2  1  W uv W v 2       W     g22    g12      g12    g11                  (4.49)   u  W  v  W  u  u  W  v  W  v 1  2 2 2  2H       g22  2g12  g11    f2 u  fv W  u 2 uv v2  W  u v olarak bulunur. Dolayısıyla M yüzeyinin Laplasyeni; 1  2 2 22 2  2H        (1 fv )  2 fu fv  (1 fu )  f  f (4.50) W 2 u2 uv v2   u v    W  u v dir. Buradan (3.1) ve (4.50) eĢitlikleri yardımıyla x dönüĢümünün Laplası olarak 48 1  2 2 22  (u)  (u) 2  (u) x1  u   2 (1 fv )  2 f2 u fv  (1 fu ) W  u uv v 2  2H  (u) (u)   fu  fv  (4.51) W  u v  2H  fu , W 1  2 (v) 22 (v) 2 2  (v) x2  v   (1 fv )  2 fu fv  (1 f ) W 2 u 2 u   uv v 2  2H  (v) (v)   fu  fv  (4.52) W  u v  2H  fv , W 1  22 ( f (u,v))  2 ( f (u,v)) 2  2 ( f (u,v)) x3  f (u,v)   (1 fv )  2 fu fv  (1 f2 2 u )W u uv v2    2H  ( f (u,v)) ( f (u,v))   fu  fv  W  u v  (4.53) 1  2 2 2H 2 2  (1 f ) f  2 f f f  (1 f ) f  f  f 2 v uu u v uv u vv u v  W W 2H   W denklemleri elde edilir. Buradan  2H 2H 2H  x   fu , fv ,  (4.54)  W W W  olarak yazılabilir.  x  2H Beltrami eĢitliğinden x  0 ise H  0 dır. Teorem 4.21. M, yüzeyi Monge yaması ile verilen yüzey olsun. M yüzeyinin xi  i xi koĢulunu sağlaması için gerek ve yeter Ģart M nin aĢağıdaki gibi verilen yüzeylerin bir parçası olmasıdır; 49 i) M yüzeyi minimal bir yüzeydir. ii) M yüzeyi   v2  c  2 3  2  1u 3d X (u,v)  u,v, , veya X (u,v)  u,v, ,        3   3  parametrelendirmesine sahiptir. iii) M yüzeyi   u 2  (v)    v2  (u) 1 3 2 3 X (u,v)  u,v, , veya X (u,v)  u,v, ,        3   3  parametrelendirmesine sahiptir. İspat. M, yüzeyi (3.1) parametrelendirmesi ile verilen yüzey olmak üzere xi  i xi Ģartını sağlasın. Bu takdirde (4.51)-(4.53) denklemleri yardımıyla, 2Hf W u, (4.55) u 1 2Hfv W2v, (4.56) 2H  W3 f (u,v) (4.57) elde edilir. 1) 3  0 ise (4.57) denkleminden H  0 bulunur. Böylece     0 olur. Bu 1 2 takdirde M yüzeyi minimal bir yüzeydir. 2) 3  0 olsun. i) Eğer f (u,v)  0 ise (4.57) denkleminden H  0 olup yüzey minimal bir yüzey olur. ii) f (u,v)  0 olsun. Bu takdirde H  0 dır. Buradan dört durum karĢımıza çıkar. 50 a) 1  0 ve 2  0 olsun. Bu takdirde (4.55) ve (4.56) denklemlerinden fu  0, fv  0 f g olur. Ayrıca H  vv olur. Böylece f (u,v)  g(v), g(v)  0 olup H  Ģeklinde 2W 3 2W 3 yazılır. Buradan (4.56) ve (4.57) denklemleri tekrar düzenlenirse g g    v(1 g 2 )22   2 2 (4.58) g   3 g(1 g ) ( 22v 3c) denklemleri elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden g(v)   3 elde edilir. b) 1  0 ve 2  0 olsun. Bu takdirde (4.55) ve (4.56) denklemlerinden fu  0, fv  0 f h olur. Ayrıca H  uu olur. Böylece f (u,v)  h(u),h(u)  0 olup H  Ģeklinde 2W 3 2W 3 yazılır. Buradan (4.55) ve (4.56) denklemleri tekrar düzenlenirse hh  1u(1 h 2 )2   2 2 (4.59) h   3h(1 h ) ( 21u  3d) denklemleri elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden h(u)    3 elde edilir. c) 1  0 ve 2  0 olsun. Bu takdirde (4.55) ve (4.56) denklemlerinden fu  0, fv  0 olur. (4.55) denklemi fv ile (4.56) denklemi de fu ile çarpılırsa 2 fu fvH W1ufv , (4.60) 2 fu fvH W2vfu olup buradan 1ufv  2vfu (4.61) 51 elde edilir. Ayrıca (4.55) ve (4.57) ile (4.56) ve (4.57) tekrar düzenlenirse 1u  3 ffu (4.62) 2v  3 ff v (4.63)  bulunur. Buradan (4.61) ve (4.62) denklemlerinden  ff v  2 v diferansiyel denklemi 3 ( v22  3(u)) bulunur. Kısmi diferansiyel denklemin çözümünden f (u,v)  elde 3  edilir. Benzer Ģekilde (4.61) ve (4.63) denklemlerinden  ff  1u u diferansiyel 3 denklemi bulunur. Kısmi diferansiyel denklemin çözümünden (1u 2  3(v)) f (u, v)  elde edilir (EK 6). 3 d) 1  0 ve 2  0 olsun. Bu takdirde (4.55) ve (4.56) denklemlerinden fu  0, fv  0 olur. Böylece H  0 olur. Bu durumda 3  0 olacağından çeliĢki yaratır. Bu Ģartı sağlayan Monge yamasıyla verilen yüzey yoktur. 4.2.1. de sonlu tipten koordinatlara sahip öteleme yüzeyleri Bir önceki bölümde Monge yaması ile verilen yüzeylerin Laplas operatörü yardımıyla bu yüzeylerin özel bir hali olan öteleme yüzeylerinin de sonlu tipten koordinatlara sahip olması ele alınabilir. Bu takdirde M, yüzeyi f (u,v)  h(u) g(v) parametrelendirmesi ile verilen öteleme yüzeyi olsun. Buradan (4.54) eĢitliği yardımıyla;  2H 2H 2H  x   h, g,  (4.64)  W W W  elde edilir. Burada W  1 h2  g 2 dir. 52 Teorem 4.22. M, (3.9) parametrelendirmesi ile verilen öteleme yüzeyi olsun. M yüzeyinin xi  i xi koĢulunu sağlaması için gerek ve yeter Ģart M nin aĢağıdaki gibi verilen yüzeylerin bir parçası olmasıdır; i) M yüzeyi minimal bir yüzeydir. ii) M yüzeyi  2  3a 2v 2  2 c 2 1 X (u,v)  u,v, ,     3  parametrelendirmesine sahiptir. iii) M yüzeyi    2 2 3b 1u  2 c  1 2 X (u,v)  u,v, ,     3  parametrelendirmesine sahiptir. İspat. M, yüzeyi (3.9) parametrelendirmesi ile verilen öteleme yüzeyi olmak üzere xi  i xi Ģartını sağlasın. Böylece (4.51)-(4.53) denklemlerine benzer Ģekilde (4.64) deki eĢitliği düzenlersek; 2Hh W1u, (4.65) 2Hg W2v, (4.66) 2H  W3(h(u) g(v)) (4.67) elde edilir. Bu durumda Teorem 4.21 in ispatından faydalanacak olursak ilk olarak 3  0 olması durumunda minimal yüzey sonucu elde edilmiĢ olur. Ayrıca 1  0 ve 2  0 ,3  0 durumu için (4.58) denkleminin çözümü ele alınırsa  23a  2v 2  22c1 g(v)  a  elde edilir. 3 53 Benzer Ģekilde 1  0 ve 2  0 , 3  0 durumu için de (4.59) denkleminin çözümü  23b 1u 2  21c2 ele alınırsa h(u)  b elde edilir. 3 Diğer durumlar da çeliĢki yarattığından bu Ģartları sağlayan öteleme yüzeyi yoktur. 4.2.2. de sonlu tipten koordinatlara sahip çarpanlara ayrılabilir yüzeyler Benzer iĢlemler çarpanlara ayrılabilir yüzeyler için de uygulanacak olursa aĢağıdaki gibi sınıflandırma verilebilir. O halde M, yüzeyi (3.12) parametrelendirmesi ile verilen çarpanlara ayrılabilir yüzey olmak üzere yüzeyin Laplasyeni (4.50) eĢitliği yardımıyla 1  2 2 2  2H        (1 (hg) 2 )  2hhgg  (1 (hg)2 )   hg  hg  (4.68) W 2 2 u uv v 2  W  u v Ģeklinde hesaplanabilir. Buradan x dönüĢümünün Laplası da 2H x1  u  hg (4.69) W 2H x2  v  hg (4.70) W 2H x3  (h(u)g(v))   (4.71) W olarak bulunur. Bu eĢitlikten  2H 2H 2H  x   hg, hg,  (4.72)  W W W  olarak yazılabilir. Teorem 4.23. M, yüzeyi (3.12) parametrelendirmesi ile verilen çarpanlara ayrılabilir bir yüzey olmak üzere M yüzeyinin xi  i xi koĢulunu sağlaması için gerek ve yeter Ģart M nin aĢağıdaki gibi verilen yüzeylerin bir parçası olmasıdır; i) M yüzeyi minimal bir yüzeydir 54 ii) M yüzeyi   v  v2    X (u,v)  u,v, 2 2 , 1 2v 2    0   2   3 2v   1  parametrelendirmesine sahiptir. iii) M yüzeyi  2  X (u,v)    u  u   u,v, 1 1 , 1  u 21    0 3  u 2 1   1   parametrelendirmesine sahiptir (Bekkar ve Senoussi 2012). 4.2.3. de sonlu tipten koordinatlara sahip TF tipindeki yüzeyler Son olarak TF tipindeki yüzeyler ele alınırsa bu yüzeylerin de sonlu tipten koordinatlara sahip olması ile ilgili sınıflandırma teoremi aĢağıdaki gibi verilebilir. M, yüzeyi f (u,v)  h(u)g(v)  h(u)  g(v) parametrelendirmesi ile verilen TF tipindeki yüzey olsun. Böylece (4.54) denkleminden;  2H 2H 2H  x   h(g 1), (h 1)g,  (4.73)  W W W  2 2 elde edilir. Burada W  1 (hg  h)  (hg   g ) dir. Teorem 4.24. M, yüzeyi (4.1) parametrelendirmesi ile verilen TF tipinde bir yüzey olmak üzere M yüzeyinin xi  i xi koĢulunu sağlaması için gerek ve yeter Ģart M nin aĢağıdaki gibi verilen yüzeylerin bir parçası olmasıdır; i) M yüzeyi minimal bir yüzeydir. ii) M yüzeyi   v2  a2  X (u,v)  u,v, 2 3 , 1  v2  a2  0    2 3  3  parametrelendirmesine sahiptir. 55 iii) M yüzeyi  2 2  X (u,v)    u  a  u,v, 2 3 , 1  u 2  a22   3  0   3  parametrelendirmesine sahiptir (Difi ve ark. 2018). 56 5. SONUÇLAR Bu tez çalıĢmasında Öklid uzayında Monge yamasıyla verilen yüzeyler ele alınmıĢtır. Bu yüzeylerden öteleme yüzeyleri ile çarpanlara ayrılabilen yüzeyler incelenip bunlar yardımıyla yeniden tanımladığımız ve TF (translation-factorable) tipindeki yüzeyler olarak adlandırılan yüzey sınıfları çalıĢılmıĢtır. Bu yüzeyler 3-boyutlu Öklid uzayında tanımlanmıĢ olup 4-boyutlu Öklid uzayında bu tez çalıĢmasında ilk defa tanımlanmıĢtır. 3 ve 4-boyutlu Öklid uzayında TF tipindeki yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıĢ ve bu yüzeylerin düz ve minimal olma koĢulları verilerek yüzey sınıflandırılmaları elde edilmiĢtir. Sınıflandırılmaları verilen E 3 ve E 4 de TF tipindeki yüzeylerin bazıları ile ilgili örnekler verilmiĢtir. Bu örneklerin Maple programı yardımıyla çözümleri yapılarak grafikleri elde edilmiĢtir. Elde edilen bu yüzey Ģekilleri çalıĢma içerisinde belirtildiği gibi gösterilmiĢtir. Ayrıca 3-boyutlu Öklid uzayında sonlu tipten koordinatlara sahip Monge yamasıyla verilen yüzeylerin Laplasları hesaplanmıĢtır. Özet olarak bu çalıĢmada Öklid uzayında TF tipindeki yüzey sınıflandırılmaları ve E 3 de sonlu tipten koordinatlara sahip yüzeyler ile ilgili sonuçlar elde edilmiĢtir. Bu çalıĢma değerlendirilerek TF tipindeki yüzeylerin Lorentz-Minkowski gibi farklı uzaylardaki yüzey sınıflandırılmaları ile ilgili veya 4-boyutlu Öklid uzayında sonlu tipten koordinatlara sahip yüzeylerin Laplaslarının hesaplanması ile ilgili bir çalıĢmaya kaynak oluĢturulabilir. 57 KAYNAKLAR Aminov, Y. 1994. Surfaces in E 4 with a Gaussian curvature coinciding with a Gaussian torsion up to the sign, Math. Notes, 56: 1211-1215. Arslan, K., Bayram, B., Bulca, B., Öztürk, G. 2016. On Translation surfaces in 4- dimensional Euclidean space, Acta Comm. Univ. Tartuensis Math., 20(2): 123-133. Aydın, M.E. 2018. Constant curvature factorable surfaces in 3-dimensional isotropic space, J. Korean Math. Soc., 55(1): 59-71. Aydın, M.E., Öğrenmiş, A.O. 2017. Linear Weingarten factorable surfaces in isotropic spaces, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 62(2): 261-268. Aydın, M.E., Külahcı, M., Öğrenmiş, A.O. 2018. Non-zero constant curvature factorable surfaces in pseudo-Galilean space, Comm. Korean Math. Soc., 33(1): 247- 259. Aydın, M.E., Öğrenmiş, A.O., Ergüt, M. 2015. Classification of factorable surfaces in the Pseudo-Galilean 3 space, Glasnik Matematicki, 50 (70): 441-451. Baba-Hamed, C., Bekkar, M., Zoubir, H. 2010. Translation surfaces of revolution in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space satisfying ri  iri , Int. J. Math. Analysis, 4(17): 797-808. Bekkar, M., Zoubir, H. 2008. Surfaces of revolution in the 3-dimensional Lorentz- Minkowski spaces satisfying xi  i xi , Int. J. Contemp. Math. Sci., 3: 1173-1185. Bekkar, M., Senoussi, B. 2012. Factorable surfaces in three-dimensional Euclidean and Lorentzian spaces satisfying ri  iri , Int. J. Geom., 103: 17-29. Beltrami, E. 1864. Ricerche di analisi applicata alla geometria, Giornale di Math. II, 150-162. Blaschke, W. 1929. Vorlesungen über Differentialgeometrie III, Springer, Berlin. 474 pp. Bulca, B., Arslan, K. 2013. Surfaces given with the Monge patch in E 4 , Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry, 9(4): 435-447. Büyükkütük, S. 2012. Öklid uzaylarında öteleme yüzeylerinin bir karakterizasyonu. Yüksek Lisans Tezi, Kocaeli Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Kocaeli. Büyükkütük, S. 2018a. Çarpanlara ayrılabilir yüzeylerin bir karakterizasyonu. Doktora Tezi, Kocaeli Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Kocaeli. Büyükkütük, S. 2018b. Timelike factorable surfaces in Minkowski space-time, Sakarya Uni. J. Sci., 22(6): 1939-1946. Büyükkütük, S., Öztürk, G. 2017. Spacelike factorable surfaces in four dimensional Minkowski space, Bull. Math. An. App., 9(4): 12-20. Büyükkütük, S., Öztürk, G. 2018. A Characterization of factorable surfaces in Euclidean 4-space E 4 , Koc. J. Sci. Eng., 1(1): 15-20. Chen, B.Y. 1973. Geometry of submanifolds, Dekker, New York, USA, 192 pp. Chen, B.Y. 1979. On submanifolds of finite type, Soochow J. Math., 9: 65-81. 58 Chen, B.Y. 1984. Total mean curvature and submanifolds of finite type, World Scientific, Singapore, 352 pp. Chen, B.Y. 1987. Surfaces of finite type in Euclidean 3-space, Bull. Soc. Math. Belg. Sér. B., 39: 243-254. Chen, B.Y. 1996. A Report on submanifolds of finite type, Soochow Journal of Mathematics, 22(2): 117-337. Chen, B.Y. 2015. Total mean curvature and submanifolds of finite type: Second Edition, Michigan State University, USA, 488 pp. Chen, B.Y., Dillen F. 1990. Quadrics of finite type, J.Geo., 38: 16-22. Chen, B.Y., Dillen F., Verstraelen L., Vrancken L. 1990. Ruled surfaces of finite type, Bull. Austral. Math. Soc., 42: 447–453. Darboux G. 1972. Leçons sur la theorie generale des surfaces et ses applications geometriques du calcul ınfinitesimal, Chelsea Publ. Co., 524 pp. Do Carmo, M.P. 1976. Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall Inc, New Jersey, 503 pp. Difi, S.A., Ali, H., Zoubir, H. 2018. Translation-Factorable surfaces in the 3- dimensional Euclidean and Lorentzian spaces satisfying r   r , EJMAA, 6(2): 227-i i i 236. Dillen, F. 1992. Ruled submanifolds of finite type, Proc. Amer. Math. Soc., 114: 795- 798. Dillen, F., Verstraelen, L., Zafindratafa, G. 1991. A generalization of the translation surfaces of Scherk differential geometry in honor of Radu Rosca: Meeting on pure and applied differential geometry, Leuven, Belgium. 1989, KU Leuven, Department Wiskunde: 107-109. Dillen, F., Van de Woestyne, I., Verstraelen, L., Walrave, J.T. 1998. The surface of Scherk in E 3 : A special case in the class of minimal surfaces defined as the sum of two curves, Bull. Inst. Math. Acad. Sin., 26: 257–267. Erdur, A. 2016. 3-boyutlu Galilean uzayında Factorable yüzeyler. Yüksek Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Elazığ. Gauss, C.F. 1827. Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comment. Soc. Sci. Gotting. Recent. Classis Math., 6. Garay, O.J. 1988. Finite type cones shaped on spherical submanifolds, ibid, 104: 868- 870. Garay, O.J. 1990. An extension of Takahashi’s theorem, Gem. Dedicata, 34: 105-112. Germain, S. 1831. Memoire sur la theories des surfaces, J. Reine Angrew. Math., 7: 1- 29. Glymph J., Schelden D., Ceccato C., Mussel J., Schober H. 2004. A Parametric strategy for free-from glass structures using quadrilateral planar facets, Automation in Construction, 13: 187-202. Gray, A. 1997. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, Second Edition, CCR Press, USA, 1016 pp. 59 Hasanis, T. Lopez, R. 2018. Translation surfaces in Euclidean space with constant Gaussian curvature, arXiv:1809.02758v1. Jiu, L., Sun, H. 2007. On minimal homothetical hypersurfaces, Colloq. Math., 109: 239– 249. Kenmotsu, K. 1942. Surfaces with constant mean curvature, American Mathematical Society, 142 pp. Korkmaz, B. 2012. Diferansiyel Geometri: Eğriler ve Yüzeyler, TÜBA Ders Kitapları, Ankara, 553 s. Liu, H. 1993. Translation surfaces with dependent Gaussian and mean curvature in 3- dimensional spaces, J. Northeast Univ. Tech., 14(1): 88-93. Liu, H. 1999. Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional spaces, J. Geom., 64: 141-149. Lopez, R. 2011. Minimal translation surfaces in hyperbolic space, Beitrage Algebra Geom., 52(1): 105-112. Lopez, R., Moruz, M. 2015. Translation and homothetical surfaces in Euclidean spaces with constant curvature, J.Korean Math. Soc., 52: 523-535. Lopez, R., Perdomo, O. 2017. Minimal translation surfaces in Euclidean space, J. Geom. Anal., 27: 2926–2937. Mello, L.F. 2003. Mean directionally curved lines on surfaces immersed in R4 , Publ. Math., 47: 415-440. Mello, L.F. 2009. Orthogonal asymptotic lines on surfaces immersed in R4 , Rocky Mountain J. Math., 39(5): 1597-1612. Meng, H., Liu, H. 2009. Factorable surfaces in 3-Minkowski space, Bull. Korean Math. Soc., 46(1): 155-169. Moruz, M., Munteanu, M. 2016. Minimal translation hypersurfaces in E 4 . J. Math. Anal. Appl., 439: 798–812. Munteanu, M., Nistor, A.I. 2011. On the geometry of the second fundamental form of translation surfaces in E 3 . Houston J. Math., 37: 1087-1102. Munteanu, M., Palmas, O., Ruiz-Hernandez, G. 2016. Minimal translation hypersurfaces in Euclidean space. Mediterr. J. Math. 13: 2659-2676. Nitsche, J.C.C. 1989. Lectures on minimal surfaces, Cambridge University Press, Cambridge, 563 pp. O’Neill, B. 1997. Elementary differential geometry, Academic Press, USA, 520 pp. Poisson, S.D. 1812. Memoire sur les surfaces Elastiques, Mem. Cl. Sci. Math. Phys. Riemann, B. 1854. Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, Habili. Abhand. Königlichen Ges. Wissen. Göttingen, 13: 133-152. Scherk H. F. 1835. Bemerkungen ber die Kleinste fläche ınnerhalb Gegebener Grenzen, J. R. Angew. Math., 13: 185-208. Senoussi, B., Bekkar, M. 2019. Translation and homothetical TH- surfaces in the 3- dimensional Euclidean space E 3 and Lorentzian-Minkowski space E 31 . Open J. Math. Sci., 3: 234-244. 60 Şasi, G. 2018. Üç boyutlu Galile uzayında öteleme ve factorable yüzeylerin sınıflandırılması. Yüksek Lisans Tezi, Ġstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Mühendisliği Anabilim Dalı, Ġstanbul. Takahashi, T. 1966. Minimal immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan, 18: 380-385. Turhan, E., Altay, G. 2010. Maximal and minimal surfaces of factorable surfaces in Heis3, Int. J. Open Problems Compt. Math., 3(2): 200-212. Van de Woestyne, I. 1995. Minimal homothetical hypersurfaces of a semi-Euclidean space, Results Math., 27: 333–342. Verstraelen, L., Walrave, J., Yaprak, S. 1994. The minimal translation surface in Euclidean space, Soochow J. Math., 20: 77-82. Yu, Y., Liu, H. 2007. The factorable minimal surfaces, Proceedings of the Eleventh International Workshop on Diff. Geom., 11: 33-39. Willmore, T.J. 1968. Mean curvature of Reimannian immersion, J. London Math. Soc., 3: 307-310. 61 EKLER EK 1 E 3 de (4) tipindeki düz TF yüzeyi EK 2 E 3 de (3) tipindeki minimal TF yüzeyi EK 3 E 3 de (4) tipindeki minimal TF yüzeyleri EK 4 E 4 de (8) tipindeki düz TF yüzeyi EK 5 E 4 de (9) tipindeki minimal TF yüzeyleri EK 6 E 3 de xi  i xi Ģartını sağlayan Monge yamasıyla verilen yüzey 62 EK 1 E 3 de (4) tipindeki düz TF yüzeyi > ode2:=diff(h(u),u,u)*(h(u)+1)=k*diff(h(u),u)^2; d2 2   d ode2 :=  h(u) (h(u)1)k  h(u)     du2  du  > dsolve(ode2);  1   k1   1 h(u)   1  (k1) (_C1 u_C2)   > ode4:=k*diff(g(v),v,v)*(g(v)+1)=diff(g(v),v)^2; 2 2  d  d ode4 := k  g(v) (g(v)1) g(v)   dv2     dv  > dsolve(ode4); 1 g(v) 1  k     k1   k     (k1) (_C1 v_C2)   63 EK 2 E 3 de (3) tipindeki minimal TF yüzeyi > ode5:=diff(g(v),v,v)+c^2*diff(g(v),v,v)*(g(v)+1)^2- 2*c^2*diff(g(v),v)^2*(g(v)+1)=0; d2 d2 2     d ode5 :=  g(v)c2  g(v) (g(v)1)22 c2  g(v) (g(v)1)0 dv2   2      dv  dv  > dsolve(ode5); ctan(_C1 v c_C2 c) g(v) c 64 EK 3 E 3 de (4) tipindeki minimal TF yüzeyleri > ode6:=diff(x(u),u,u)*(x(u)+1)=c; 2  d  ode6 :=  x(u)  (x(u)1)c du 2  > dsolve(ode6); x(u )   1  d_au_C20,  2 c ln(_a1)2 _C1 c  x(u )   1   d_au_C20  2 c ln(_a1)2 _C1 c  > ode7:=diff(y(v),v,v)*(y(v)+1)-2*diff(y(v),v)^2=b; 2  d 2  d ode7 :=  y(v) (y(v)1)2   y(v) bdv2    dv  > dsolve(ode7); y(v)   2   d_av_C20,   2 b2 _C1 _a 48 _C1 _a312 _C1 _a28 _C1 _a2 _C1  y(v)   2  d_av_C2   2 b2 _C1 _a 48 _C1 _a312 _C1 _a28 _C1 _a2 _C1  0 > ode8:=diff(x(u),u,u)*(x(u)+1)-(k+1)*diff(x(u),u)^2=c; d2 2   d ode8 :=  x(u) (x(u)1)(k1)  x(u)  c  2 du  du  65 > dsolve(ode8); x(u )  (2 k2)   (_a1) (k1)  d_au_C20,  (2 k2) (2 k2)  (_a1) (k1) ((_a1) c_C1)  x(u )  (2 k2)   (_a1) (k1)   d_au_C20  (2 k2) (2 k2)  (_a1) (k1) ( (_a1) c_C1)  > ode9:=diff(y(v),v,v)*(y(v)+1)-(1-k)*diff(y(v),v)^2=b; 2  d 2  d ode9 :=  y(v) (y(v)1)(k1)  y(v)  2   dv dv  b     > dsolve(ode9); y(v)  (2 k2)   (_a1) (k1)  d_av_C20,  (2 k2) (2 k2)  (_a1) (k1) ((_a1) b_C1)  y(v)  (2 k2)   (_a1) (k1)   d_av_C20  (2 k2) (2 k2)  (_a1) (k1) ((_a1) b_C1)  66 EK 4 E 4 de (8) tipindeki düz TF yüzeyi > ode:=diff(h2(u),u,u)*(h2(u)+1)=k*diff(h2(u),u)^2; d2 2   d ode :=  h2(u) (h2(u)1)k    2   h2(u) du  du   > dsolve(ode);  1   k1   1 h2(u)   1  (k1) (_C1 u_C2)   > ode2:=k*diff(g2(v),v,v)*(g2(v)+1)=diff(g2(v),v)^2; 2 2  d  d ode2 := k  g2(v) (g2(v)1)   dv2   g2(v)   dv  > dsolve(ode2); 1 g2(v) 1  k     k1   k     (k1) (_C1 v_C2)   67 4 EK 5 E de (9) tipindeki minimal TF yüzeyleri > ode:=diff(h2(u),u,u)*(h2(u)+1)=a; d2  ode :=  h2(u)   (h2(u)1)a du2  > dsolve(ode); h2(u )   1  d_au_C20,  2 a ln(_a1)2 _C1 a  h2(u )   1   d_au_C20  2 a ln(_a1)2 _C1 a  > ode2:=diff(g2(v),v,v)*(g2(v)+1)-2*diff(g2(v),v)^2=b; 2  d 2  d ode2 :=  g2(v) (g2(v)1)2  g2(v) b dv2      dv  > dsolve(ode2); g2(v)   2   d_av_C20,  2 b2 _C1 _a4 8 _C1 _a 312 _C1 _a28 _C1 _a2 _C1  g2(v)   2  d_av_C2   2 b2 _C1 _a 48 _C1 _a312 _C1 _a28 _C1 _a2 _C1  0 > ode3:=diff(h2(u),u,u)*(h2(u)+1)-(1+k)*diff(h2(u),u)^2=a; 2  d 2  d ode3 :=  h2(u) (h2(u)1)(1k)  h2(u)  a du 2     du  > dsolve(ode3); 68 h2(u )  (22 k)   (_a1) (1k)  d_au_C20,  (22 k) (22 k)  (_a1) (1k) ( (_a1) a_C1)  h2(u )  (22 k)   (_a1) (1k)   d_au_C20  (22 k) (22 k)  (_a1) (1k) ( (_a1) a_C1)  > ode4:=diff(g2(v),v,v)*(g2(v)+1)-(1-k)*diff(g2(v),v)^2=b; 2 2  d  d ode4 :=  g2(v) (g2(v)1)(1k)   g2(v) b 2  dv  dv  > dsolve(ode4); g2(v)  (22 k)   (_a1) (1k)  d_av_C20,  (22 k) (22 k)  (_a1) (1k) ( (_a1) b_C1)  g2(v)  (22 k)   (_a1) (1k)   d_av_C20  (22 k) (22 k)  (_a1) (1k) ( (_a1) b_C1)  69 EK 6 E 3 de xi  i xi şartını sağlayan Monge yamasıyla verilen yüzey > PDE := -l3*f(u,v)*diff(f(u,v),u)=l1*u; PDE := l3 f(u, v)    f(u, v)  l1 u u  > pdsolve(PDE); l3 (l1 u2_F1(v) l3 ) f(u, v) l3 70 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Emine Aydan PAMUK Doğum Yeri ve Tarihi : BURSA / 06.01.1991 Yabancı Dil : Ġngilizce Eğitim Durumu Lise : Bursa Anadolu Erkek Lisesi Lisans : Anadolu Üniversitesi Yüksek Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi ÇalıĢtığı Kurum/Kurumlar : Bursa Anadolu Erkek Lisesi (2017-2018) : Özel AltınĢehir Okulları (2018-2019) ĠletiĢim (e-posta) : aydanpamuk91@hotmail.com Yayınları : Pamuk, A.E., Bulca, B. 2019. Translation–Factorable Surfaces in 4-Dimensional nd Euclidean Space. 2 International Conference on Mathematical Advances and Applications, Yıldız Technical University, Istanbul, Turkey, May 3-5, ICOMAA 2019. 71