T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ E n DE FOKAL EĞRİLER VE FOKAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Burcum ÖZDEMİR DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA-2008 T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ E n DE FOKAL EĞRİLER VE FOKAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Burcum ÖZDEMİR Prof. Dr. Kadri ARSLAN (Danışman) DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA-2008 i ÖZET Bu çalışmanın amacı E n deki fokal eğriler ve yüzeylerin bir sınıflandırmasını vermektir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde temel tanım ve kavramlar tanıtılmıştır. Üçüncü ve dördüncü bölüm orijinal sonuçlar içermektedir. Üçüncü bölümde E n deki fokal eğriler ve bunların bir karakterizasyonu verilmiştir. Son bölümde E 3 fokal yüzeyler ve bunların bir karakterizasyonu ele alınmıştır. ii ABSTRACT The object of this thesis is to give a classification of focal curves and surfaces in E n . This thesis has four chapters. The chapter I is an introduction. The chapter II consists of some basic definitions which we will used in other chapters. The chapter III and Chapter IV contain original work. In chapter III we have considered the focal curves in E n . In the final chapter the focal surfaces has been studied in E 3 . iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET……………………………………………………………………………… i ABSTRACT………………………………………………………………………. ii İÇİNDEKİLER…………………………………………………………………… iii SİMGELER DİZİNİ..…………………………………………………………….. iv 1. GİRİŞ……………………………………………………………………….. 1 2. TEMEL KAVRAMLAR……………………………………………………. 2 3. FOKAL EĞRİLER…………………………………………….…………….. 5 3. 0. Giriş ..………………………………………………………………… 5 3. 1. Eğrilerin Darboux Vektörleri.………………………………………… 5 3. 2. Eğrilerin k.inci Mertebeden Değmesi ………………………………… 12 3. 3. Eğrilerin Genelleştirilmiş Evolütü …………………………………… 15 3. 4. Bir Eğrinin Fokal Eğrisi …………………………………………… 21 4. FOKAL YÜZEYLER…………………………….……………………..…. 35 4. 0. Giriş ..………………………………………………………………… 35 4. 1. Paralel Yüzeyler……………..………………………………………… 37 4. 2. Fokal Yüzeyler……………………...………………………………… 42 4. 3. Genelleştirilmiş Fokal Yüzeyler……………………………………… 48 4. 4. Maple Yardımıyla Uygulamalar... …………………………………… 54 EKLER……………………………………………………………...…………….. 60 KAYNAKLAR DİZİNİ…………………………………………………………… 65 ÖZGEÇMİŞ ………………………………………………………………………. 68 TEŞEKKÜR ……………………………………………………………………….. 69 iv SİMGELER DİZİNİ M , M~ Manifold g, g~ Metrik tensör χ (M ) M nin teğet vektör alanlarının uzayı D Normal koneksiyon ∇ M üzerinde afin koneksiyon ∇~ M~ üzerinde afin koneksiyon ∇ Van-der Waerden Bortolotti koneksiyonu , χ (M ) üzerinde iç çarpım fonksiyonu h İkinci temel form Aξ Şekil operatörü NM M nin normal demeti Tp M p noktasında teğet uzay T ⊥p M p noktasında normal uzay H = α Ortalama eğrilik H Ortalama eğrilik vektörü K Gauss eğriliği ∂ Kısmi türev γ Eğri E m m-boyutlu Öklid uzay E(p,X) Afin alt uzay , Norm κ Eğrinin 1.eğriliği v SİMGELER DİZİNİ (Devam) τ Eğrinin 2.eğriliği(torsiyonu) d~ γ eğrisinin Darboux vektörü C# (M ) M nin değme sayısı m(s) oskülatör kürenin merkezi r(s) oskülatör kürenin yarıçapı Cγ (s) γ eğrisinin fokal eğrisi γ (i) γ eğrisinin i-yinci türevi dγ Fonksiyon ailesi ci Fokal eğrinin eğrilikleri S Regüler yüzey S * S nin paralel yüzeyi ki Regüler yüzeyin asli eğrilikleri k *i Paralel yüzeyin asli eğrilikleri H * Paralel yüzeyin ortalama eğriliği K * Paralel yüzeyin Gauss eğriliği 1 1. GİRİŞ Bu çalışmanın amacı E n deki fokal eğriler ve yüzeylerin bir sınıflandırmasını vermektir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde Riemann manifoldu, izometrik immersiyon, ikinci temel form, ortalama eğrilik fonksiyonu ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde E n deki fokal eğriler ve bunların bir karakterizasyonu verilmiştir. İlk kısımda E n deki eğrilerin Darboux vektörleri ve bunlarla ilgili örnekler verilmiştir. İkinci kısımda E n deki bir eğrinin k-inci mertebeden değmesi tanıtılmıştır. Üçüncü kısımda eğrilerin genelleştirilmiş evolütleri verilmiştir. Son olarak bir eğrinin fokal eğrisi ele alınmıştır. Bu bölümde kısmen orijinal sonuçlar elde edilmiştir. Dördüncü bölümde E 3 deki fokal yüzeyler ve genelleştirilmiş fokal yüzeyler ele alınmış ve yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır. Ayrıca Maple programı yardımıyla öteleme yüzeylerinin fokal ve genelleştirilmiş fokal yüzeylerinin grafikleri çizdirilmiş ve bu yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır. Bu bölümde orijinal sonuçlar elde edilmiştir. 2 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan teorem ve tanımlarla bazı temel kavramlar tanıtılmıştır. Tanım 2. 1. M, n-boyutlu diferansiyellenebilir (C∞ sınıfından) bir manifold olsun. M üzerindeki C∞ vektör alanlarının uzayı χ(M) ve M den IR ye C∞ fonksiyonların uzayı C∞(M, IR) olmak üzere, M üzerinde g : χ(M) x χ(M) → C∞(M, IR) şeklinde bir metrik tanımlı ise M ye bir Riemann Manifoldu denir. Burada g ye Riemann metriği (veya metrik tensör) adı verilir (Chen 1973). M manifoldunun herhangi iki p ve q noktasını birleştiren bir α eğrisi bulunabilirse M ye bağlantılı manifold adı verilir. Tanım 2. 2. M diferansiyellenebilir manifold olsun. M üzerindeki C∞ vektör alanlarının uzayı χ(M) üzerinde tanımlanan, ∇ : χ(M) x χ(M) → χ(M) ; (X, Y) → ∇ (X, Y) = ∇XY dönüşümü ∀ f, g ∈ C∞(M, IR), ∀ X, Y, Z ∈ χ(M) için, i ) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ ii ) ∇fX + gYZ = f ∇XZ + g ∇YZ iii) ∇X(fY) = f ∇XY + X( f )Y lineerlik özeliklerini sağlarsa, ∇ ya M üzerinde bir Afin koneksiyon adı verilir (Hacısalihoğlu 1980). Burada ∇X operatörüne X e göre kovaryant türev denir. Tanım 2. 3. (M,g) bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir Afin koneksiyon olsun. O zaman ∀ X, Y∈ χ(M) için, ∇ dönüşümü i) ∇XY - ∇Y X = [X, Y], ii) Xg(Y, Z) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ), 3 şartlarını sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann koneksiyonu (veya M nin Levi-Civita koneksiyonu) adı verilir (Chen 1973 ve Hacısalihoğlu 1980). Bu koneksiyon kısaca M deki Riemann koneksiyonu olarak adlandırılır. Tanım 2.4. (M,g) ve ( M~ , g~ ) sırasıyla n ve (n+d)–boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar olmak üzere f: M → M~ diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. Her p ∈ M için dfp: Tp(M)→ T ~ f(p)( M ) dönüşümü birebir ise f ye bir immersiyon (daldırma) denir. Ayrıca, f: M → f(M) bir homeomorfizm ise f ye bir imbedding (gömme) denir. Eğer Mn ⊆ M~ n+d ve f: M → M~ dönüşümü bir gömme ise M ye M% nin n-boyutlu bir immersed (gömülen) alt manifoldu adı verilir. Bununla beraber f bir immersiyon olmak üzere ∀ X, Y ∈ TpM için, g~(df p (X ),df p (Y )) = g(X ,Y ) f ( p) p şartını sağlıyorsa f ye bir izometrik immersiyon adı verilir (Chen 1973). Tanım 2.5. (M,g) ve ( M~ , g~ ) sırasıyla n ve (n+d)–boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar olsun. Ayrıca Mn ⊆ M~ n+d bir alt manifold ve ∇~ da M~ de kovaryant türevi belirtsin. Böylece her X, Y ∈ χ(M) ve her p için (∇~ XY)p tanımlıdır. Ayrıca (∇XY)p ∈ TpM ve hp(X, Y) ∈ T ⊥p M olmak üzere, (∇~ XY)p = (∇XY)p + hp(X, Y) (2.1) biçiminde Gauss Denklemi elde edilir. Burada h, M nin ikinci temel formudur. Eğer h = 0 ise M ye total (toplam) geodezik denir (Chen 1973). Tanım 2.6. Mn ⊆ M~ n+d bir alt manifold olmak üzere M ye normal bir birim normal vektör alanı ξ olsun. Böylece∇% Xξ nın teğet bileşeni −Aξ(X) ve normal bileşeni DXξ olmak üzere; (∇% Xξ )p = −(Aξ(X))p + (DXξ)p , p∈ M (2. 2) şeklinde Weingarten Denklemi elde edilir. Burada Aξ ya şekil operatörü, D ye de M nin normal demetindeki (normal) koneksiyonu denir (Chen 1973). 4 Önerme 2.7. i) Aξ(X), ξ ve X üzerinde 2-lineerdir. ii) M nin her bir ξ normal vektörü ve X, Y tanjant vektörleri için g(Aξ(X), Y) = g~ (h(X,Y), ξ) (2. 3) dır (Chen 1973). Tanım 2.8. M ⊂ M~ alt manifoldunun bir birim normal vektör alanı ξ olsun. Eğer Aξ daima özdeşlik fonksiyonu ile orantılı ise yani bir ρ fonksiyonu için A= ρI, (2.4) oluyorsa ξ ya M nin umbilik kesiti (veya M, ξ ya göre umbiliktir) denir. Eğer M alt manifoldu M deki her birim normale göre umbilik ise M ye total(toplam) umbiliktir denir. Önerme 2.9. T⊥M üzerinde indirgenmiş metrikle M ⊂ M~ nin NM normal demetinde D : TM x T⊥M → T⊥M (X, ξ) → D(X, ξ) = DXξ biçiminde tanımlanan D dönüşümü bir metrik koneksiyondur. İkinci temel form h nın türevi ∇Xh ; ( ∇Xh )(Y,Z) = DX(h(Y,Z))- h(∇XY,Z)- h(Y, ∇XZ) (2. 5) şeklinde tanımlanır. Burada ∇ ya M nin Van-der Waerden-Bortolotti koneksiyonu adı verilir. Eğer ∇h = 0 ise M nin ikinci temel formu paraleldir denir. Tanım 2.10. M bir Riemann manifoldu ve ξ bir normal vektör alanı olsun. Eğer M ye teğet herhangi bir X vektör alanı için DXξ = 0 ise ξ ya paralel normal vektör alanı denir (Chen 1973). Tanım 2.11. M, M~ nin n-boyutlu bir alt manifoldu ve e1,e2,…..,en de TpM nin p ∈ M noktasındaki dik çatı alanları olsun. Böylece H = 1 n ∑h(ei , ei ) (2.6) n i=1 biçiminde tanımlanan H ∈ T ⊥p M vektörüne M nin ortalama eğrilik vektörü adı verilir. Eğer H = 0 ise M alt manifolduna minimal dir denir. Ayrıca H ya M nin ortalama eğriliği adı verilir (Chen 1973). 5 3. FOKAL EĞRİLER 3.0. Giriş Bu bölümde E n de eğrilerin bir karakterizasyonu ele alınmıştır. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda eğrilerin Darboux vektörleri, ikinci kısımda eğrilerin k-inci mertebeden değmeleri ve üçüncü kısımda da bir eğrinin fokal eğrisi incelenmiştir. 3.1. Eğrilerin Darboux Vektörleri Tanım 3.1.1. γ ⊂ E n+1 regüler bir eğrinin Frenet çatısı {T (s),K, Nn (s)} olsun Ayrıca {κ1(s),K,κn (s)}; bu çatıya karşılık gelen (rasyonel) eğrilik fonksiyonları ile γ nın Frenet formülleri; T ′(s) = κ1 (s)N1 (s) N1′(s) = −κ1 (s)T (s) + κ 2 (s)N 2 M Ni′(s) = −κ i (s)Ni−1 (s) + κ i+1 (s)Ni+1 (s) M Nn′ (s) = −κ n (s)N n−1 (s) dir (Hacısalihoğlu 1983). Tanım 3.1.2.γ : R → E n birim hızlı eğri olsun. Eğer γ eğrisinin yüksek mertebeden türevleri γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (n−1) (s) lineer bağımsız ise γ ya cenerik eğri (yada (n-1) - oskülatör mertebeli eğri) denir (Shapiro 1998 ve Vargas 2005). Tanım 3.1.3. γ : R → E n birim hızlı eğri olsun. γ eğrisinin hız vektörü γ ′(s) = T yi E n nin başlangıç noktasına ötelediğimizde T vektörünün bitim noktası S n−1 ⊂ E n birim 6 küresi üzerinde bir eğri tanımlar bu eğriye γ nın teğetler göstergesi (tangent indicatrix) denir (Vargas 2001). Tanım 3.1.4. γ : R → E n birim hızlı eğri olsun. p =γ (s0 ) noktasında eğrinin yüksek mertebeden türevleri γ ′(s ),γ ′′(s ),K,γ (n−1)0 0 (s0 ) lineer bağımsız iken γ ′(s0 ),γ ′′(s0 ),K,γ (n) (s0 ) lineer bağımlı ise p noktasına γ nın düzleştirme noktası denir (Vargas 2001). Aşağıdaki örnekleri verebiliriz (Arnold 1998). Örnek 3.1.5. . E 3 de γ (t) = (sin 2t, cos 2t, cos 4t ) parametrelendirilmesi ile verilen eğri 8 düzleştirme noktasına sahiptir (Şekil 3.1.1). Çözüm: γ (t) eğrisinin düzleştirme noktalarına sahip olması için Tanım 3.1.4 gereği γ ′(s0 ),γ ′′(s0 ),γ ′′′(s0 ) vektörleri lineer bağımsız olmalıdır. Bu nedenle det(γ ′ ,γ ′′ ,γ ′′′ )=0 olmalıdır. Buradan det(γ ′ ,γ ′′ ,γ ′′′ ) = 384sin(4t) = 0 bulunur. Böylece bu denklemin çözüm olan kπ , 1 ≤ k ≤ 8 değerleri γ eğrisin düzleştirme noktalarıdır. 4 Örnek 3.1.6. E 3 de γ (t) = (cos t, sin t, cos3t) parametrelendirilmesi ile verilen eğri 6 düzleştirme noktasına sahiptir (Şekil 3.1.2). Çözüm: γ (t) eğrisinin düzleştirme noktalarına sahip olması için Tanım 3.1.4 gereği γ ′(s0 ),γ ′′(s0 ),γ ′′′(s0 ) vektörleri lineer bağımsız olmalıdır. Bu nedenle det(γ ′ ,γ ′′ ,γ ′′′ )=0 olmalıdır. Buradan det(γ ′ ,γ ′′ ,γ ′′′ ) = 24sin(3t) = 0 bulunur. Böylece bu denklemin çözüm olan kπ , 1 ≤ k ≤ 6 değerleri γ eğrisin düzleştirme noktalarıdır. 3 7 Şekil 3.1.1 Şekil 3.1.2 Tanım 3.1.7. γ : R → E n birim hızlı eğri olsun. Eğer γ eğrisinin teğetler göstergesi (tanjant indikatriksi) bir p ∈γ noktasında bir düzleştirmeye sahip ise p noktasına burulma noktası denir (Fuster ve Codesal 1999). Önerme 3.1.8. E 2n da γ : S 1 → E 2n ; α (t) = (cost, sint, cos(2t), sin(2t),…, cos(nt), sin(nt)) ile tanımlanan kapalı eğrinin burulma noktası yoktur (Vargas 2004). Önerme 3.1.9. γ : R → E 2n+1 de kapalı bir eğrinin burulma noktalarının sayısı en az düzleştirmelerinin sayısı kadardır (Vargas 2001). Tanım 3.1.10. Oskülatör mertebesi 2n olan γ ⊆ E 2n+1 eğrisinin κ1 ,κ 2 ,K,κ 2n−1 eğrilikleri her yerde pozitif ve κ 2n eğriliği izole edilmiş noktalar (düzleştirmeler) hariç sıfırdan farklı olsun. Böylece 8 a0 (s) = κ 2 (s)κ 4 (s)Kκ 2n (s) a (s) κ1 (s)1 = a0 (s), κ 2 (s) ≠ 0κ 2 (s) κ (s) a2 (s) = 3 a1 (s), κ 4 (s) ≠ 0κ 4 (s) M (3.1.1) κ a (s) = 2 j−1 (s) j a (s), κ (s) ≠ 0κ 2 j (s) j−1 2 j M κ (s) an (s) = 2n−1 an−1 (s) = κ1 (s)κ 3 (s)Kκ n−1 (s), κ (s) ≠ 0κ 2n (s) 2n fonksiyonları tanımlandığında d~(s) = a0 (s)T (s) + a1(s)N 2 (s) +K+ an (s)N 2n (s) (3.1.2) vektörüne γ nın Darboux vektörü adı verilir (Vargas 2004). Önerme 3.1.11. Oskülatör mertebesi 2n olan γ ⊆ E 2n+1 eğrisinin Darboux vektörü (3.1.2) ile verilsin. Bu eğrinin Frenet eğrilik matrisi M(s) olmak üzere ⎛ a ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0 κ1 0 L 0 0 ⎞⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜− κ1 0 κ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 L 0 0 ⎟⎜ a ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜0 ⎟ ~ 0 − κ 0 M ⎟ M(s).d = ⎜ 2 ⎟⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟ (3.1.3) ⎜ 0 0 O ⎟⎜ M ⎟ ⎜ ⎟⎜ M ⎜ M M M 0 κ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2n ⎟ ⎜ 0 0 0 L − κ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 2n ⎠⎜a ⎟ ⎜ ⎟⎝ n ⎠ ⎝0⎠ dir (Vargas 2001). Önerme 3.1.12. γ ⊆ E 2n+1 eğrisinin Darboux vektörünün türevi d~′(s) = a0′ (s)T (s) + a1′(s)N 2 (s) +K+ an′ (s)N 2n (s) (3.1.4) dir (Vargas 2004). 9 İspat. Darboux vektörünün türevi; d~′(s) = a0′ (s)T (s) + a1′(s)N 2 (s) +K (3.1.5) + an′ (s)N 2n (s) + (a0 (s)T ′(s) + a1(s)N 2′ (s) +K+ an (s)N 2′n (s)) dir. Bu denklemin sağ tarafındaki ikinci terime X diyelim. Böylece X ≡ 0 olduğunu göstermemiz ispat için yeterli olacaktır. Bunun için Frenet denklemlerini kullanalım; T ′(s) = κ1(s)N1(s) N2′ (s) = −κ2 (s)N1(s) + κ3(s)N3(s) M (3.1.6) N2′ j (s) = −κ2 j (s)N2 j−1(s) + κ2 j+1(s)N2 j+1(s) M N2′n (s) = −κ2n (s)N2n−1(s) Frenet denklemlerini X= a0 (s)T ′(s) + a1 (s)N 2′ (s) +K+ an (s)N 2′n (s) de yerine yazılırsa X = a0 (s)(κ1 (s)N1 (s)) + a1 (s)(−κ 2 (s)N1 (s) + κ 3 (s)N 3 (s)) +L + a j (s)(−κ 2 j (s)N 2 j−1 (s) + κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s)) +L+ an (s)(−κ 2n (s)N 2n−1 (s)) elde edilir. Ayrıca κ (s) a (s) = 2 j−1j a j−1 (s) , j = 1,2,K, n κ 2 j (s) yardımıyla I1 = a j (s)(−κ 2 j (s)N 2 j−1 (s) + κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s)) = a j (s)(−κ 2 j (s)N 2 j−1 (s)) + a j (s)(κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s)) κ (s) = 2 j−1 a j−1 (s)(−κ 2 j (s)N 2 j−1 (s)) + a j (s)(κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s)) (3.1.7) κ 2 j (s) κ = − 2 j−1 (s) a j−1 (s)κ 2 j (s)N (s) + a (s)κ (s)N (s)κ 2 j (s) 2 j−1 j 2 j+1 2 j+1 = −a j−1 (s)κ 2 j−1 (s)N 2 j−1 (s) + a j (s)κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s) bulunur. Şimdi de (3.1.7) denkleminin ardışık terimi olan aşağıdaki ifadeyi hesaplayalım. I 2 = a j+1 (s)(−κ 2( j+1) (s)N 2( j+1)−1 (s) + κ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s)) 10 κ olup burada a (s) = 2( j+1)−1 (s) j+1 a j (s) dir. Yerine yazarsak; κ 2( j +) (s) I 2 = a j+1 (s)(−κ 2( j+1) (s)N 2( j+1)−1 (s) + κ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s)) = −a j+1 (s)κ 2( j+1) (s)N 2( j+1)−1 (s) + a j+1 (s)κ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s) κ = − 2( j+1)−1 (s) (3.1.8) a j (s)κ 2( j+1) (s)N 2( j+1)−1 (s) + a j+1 (s)κκ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s) 2( j+1) (s) = −a j (s)κ 2( j+1)−1 (s)N 2( j+1)−1 (s) + a j+1 (s)κ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s) dir. Böylece (3.1.7) ve (3.1.8) yardımıyla; X in iki komşuluk teriminin toplamından; I1 + I 2 = (−a j−1 (s)κ 2 j−1 (s)N 2 j−1 (s) + a j (s)κ 2 j+1 (s)N 2 j+1 (s)) + (−a j (s)κ 2( j+1)−1 (s)N 2( j+1)−1 (s) + a j+1 (s)κ 2( j+1)+1 (s)N 2( j+1)+1 (s)) elde edilir. Buradan X ≡ 0 olduğu görülür. Böylece d~′(s) = a0′ (s)T (s) + a1′(s)N 2 (s) +K+ a′n (s)N 2n (s) dır. Tanım 3.1.13. (Darboux Köşe) γ ⊆ E 2n+1 eğrisi verilsin. d~′ nin d~ ye paralel olduğu noktalara γ eğrisinin Darboux köşesi denir. Teorem 3.1.14.γ ⊂ E 2n+1 ( n ≥ 1) türevlenebilir bir eğri ve κ1 ,κ 2 ,K,κ 2n ise γ nın eğrilikleri olsun. Böylece γ nın s = s0 da bir Darboux köşeye sahip olması için gerek ve yeter şart s = s0 da ′ ⎛ ⎞ ⎜⎜ κ 2 ⎟⎟ = 0 ⎝ κ1 ⎠ ′ ⎛ ⎜ κ 4 ⎞ ⎜ ⎟⎟ = 0⎝ κ ⎠ (3.1.9) 3 M ′ ⎛ ⎞ ⎜ κ 2n⎜ ⎟ = 0 ⎝ κ ⎟2n−1 ⎠ olmasıdır (Vargas 2001). 11 Örnek 3.1.15. E 5 de α (x) =(cosx, sinx, cos(2x), sin(2x), x) (3.1.10) parametrelendirilmesiyle verilen eğrinin Darboux vektörünü hesaplayalım. Çözüm. İlk önce α (x) eğrisinin Frenet çatısı Ek 1 deki Maple programı yardımıyla hesaplandığında 1 V1 := 6 [ −sin( x ), cos( x ), −2 sin( 2 x ), 2 cos( 2 x ), 1 ] 6 1 V2 := 17 [ −cos( x ), −sin( x ), −4 cos( 2 x ), −4 sin( 2 x ), 0 ] 17 1 ⎡ 11 11 7 7 17V3 := 101 ⎢⎢ − 6 sin( x ), 6 cos( x ), 3 sin( 2 x ), −3 cos( 2 x ), ⎤⎥ 606 ⎣ 6 ⎦ ⎥ 1 ⎡82 82 532 532V4 := 8522 ⎢⎢17 cos( x ), 17 sin( x ), cos( 2 x ), ⎤ ⎣ 17 17 sin( 2 x ), 0 ⎥⎥ 72437 ⎦ 1 V5 := 383666 ⎡5383 5383 6190 6190 -6997⎢⎢ 303 sin( x ), − 303 cos( x ), − 303 sin( 2 x ), 303 cos( 2 x ), ⎤ ⎣ 303 ⎥ ⎦⎥ 116250798 elde edilir. Ayrıca α (t) eğrisinin Frenet eğrilikleri Ek1 deki verilen Maple programı yardımıyla hesaplanırsa K1 := 17 6 K2 := 17 101 102 K3 := 6997 101 72437 43896822 K4 := 3072377 72437 19375133 8420859054726 12 bulunur. Bununla birlikte (3.1.1) denklemleri yardımıyla a0:=K2*K4; a0 := 3072377 17 101 72437 19375133858927623582052 a1:=(K1/K2)*a0; a1 := 3072377 17 72437 1937513350525154328356 a2:=(K3/K4)*a1; a2 := 6997 101 72437 17263380932 bulunur. Böylece α (x) eğrisinin Darboux vektörü d:=a0*V1+a1*V3+a2*V5; olduğundan, yukarıdaki değer denklemde yerine yazılırsa 1 d := 303150925970136 4261 191833 6 [ −244542109 sin( x ), 244542109 cos( x ), −625688738 sin( 2 x ), 625688738 cos( 2 x ), 365940877 ] elde edilir. 3.2. Eğrilerin k. ıncı Mertebeden Değmesi Tanım 3.2.1. E n in d-boyutlu bir alt manifoldu; M = {x ∈ R g1(x) =L = gn−d (x) = 0} biçiminde verilsin. Eğer her bir g1 o γ , g2 o γ ,K, gn−d o γ fonksiyonu en az bir k-katlı sıfıra (çakışık köke) sahipse ve bunlardan en az biri t = t0 da k-katlı bir sıfıra sahipse 13 γ (t0 ) ile bir noktanın kesişiminde γ ile M nin değme mertebesi k dır denir ya da γ ile M, k-değme noktaya sahiptir denir (Vargas 2001). Tanım 3.2.2.γ ⊂ E n eğrisinin s noktasında {T (s), N1 (s)K, N n−1 (s)} bazı ile gerilen E n nin alt uzayına γ nın γ (s) den geçen oskülatör hiperdüzlemi denir. Burada Nn (s) vektörü γ nın s noktasındaki binormal vektörüdür. Bununla birlikte γ nın s noktasındaki normal hiperdüzlemi {N1 (s),K, N n (s)} ile gerilen bir hiperdüzlemdir (Fuster ve Codesal 1999). Tanım 3.2.3. Bir γ : R → E n eğrisi verildiğinde γ eğrisi ile onun oskülatör hiperdüzleminin bir p düzleştirme noktasındaki değme mertebesi n+1 dir. Eğer bu nokta bir düzleştirme noktası olmayıp sıradan bir nokta ise bu takdirde değme mertebesi n dir denir. (Vargas 2004). Tanım 3.2.4. M bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde bir Riemann konneksiyonu olsun. Böylece; α: I ⊆ R → M eğrisi için, ∇α′(t)α′(t) = 0 (3.2.1) eşitliği sağlanıyorsa α ya M de bir geodezik eğri denir. Eğer∀ X ∈ χ(M) için α(0) = p ve α′(0) = Xp olacak şekilde tanımlanan , α geodeziğine Xp nin belirlediği geodezik adı verilir (Chen 1973). Tanım 3.2.5. M manifoldu (n + d ) -boyutlu E n+d Öklid uzayında n-boyutlu bağlantılı bir alt manifold M olsun. Böylece ∀p ∈ M ve M ye p noktasında teğet olan herhangi bir birim vektör X için X vektörü ve p noktasında M nin T ⊥p (M ) normal uzayı E n+d nin p den geçen (d+1)-boyutlu bir E(p,X) afin alt uzayını oluşturur. E(p,X) ve M nin arakesiti p nin komşuluğunda bir γ eğrisi belirler. Bu γ eğrisine X doğrultusunda p noktasında M nin normal kesiti denir. ((Arslan 1993), (Arslan ve West 1996), (Chen 1981) ve (Özgür, 1997)). 14 Tanım 3.2.6. M nin her bir γ (s) normal kesiti aynı zamanda M nin bir geodeziği (veya denk olarak M nin her bir geodeziği aynı zamanda M nin bir normal kesiti) ise M ye geodezik normal kesitlidir denir (Chen-Verhayen 1984). Tanım 3.2.7. γ (0) = p ∈ M ve u =∈U p (M ) birim vektör M nin γ u geodeziği ile βu normal kesiti için γ iu (0) = β iu (0) şartı sağlandığında 1 ≤ i ≤ k olmak üzere γ u ve βu eğrileri k-inci mertebeden değmeye sahiptir denir. Böylece ∀p ∈M ve u = γ ′(0) ∈U p (M ) için γ u ve βu eğrileri k-inci mertebeden değmeye sahip ise M ye eğrileri k-inci mertebeden değmeye sahip altmanifold denir. Eğer ∀k ∈ N sayısı için M altmanifoldu k-inci mertebeden değmeye sahip ise yani γ u′ (0) = βu′ (0) M γ ku (0) = β k u (0) ise M nin değme sayısı C# (M ) = ∞ ile gösterilir. Aksi halde M alt manifoldu k-inci mertebeden değmeye sahip fakat (k+1)-inci mertebeden değmeye sahip değil ise C# (M ) = k ile gösterilir (Chen ve Li 2004). Örnek 3.2.8. ψ : M → E m jj ( j = 1,K, s) geodezik normal kesitlere sahip bir izometrik immersiyon olsun. Ayrıca c21 + c 2 2 2 +L+ cn =1 şartını sağlayan herhangi c1 ,c2 ,K,cs reel sayısı için (c ψ ,K,c ψ ) : M → E m1 +m2 +K+ms1 1 s s : p a (c1ψ 1 ( p),K,csψ s ( p)) biçiminde tanımlanan köşegen immersiyonu içinC# (M ) = ∞ dır (Chen ve Li 2004). Teorem 3.2.9. Geodezik normal kesitlere sahip tüm alt manifoldlar için C# (M ) = ∞ dır (Chen ve Li 2004). Teorem 3.2.10. Her M ⊂ E n+k alt manifoldu için k-değme sayısı en az 2 dir (Chen ve Li 2004). 15 Teorem 3.2.11. γ eğrisi M nin p noktasındaki geodezik normal kesit eğrisi olsun. Bu taktirde helissel altmanifoldu helisseldir. Yani normal kesit eğrisinin tüm Frenet eğrilikleri sabittir (Verheyen 1985). Önerme 3.2.12. γ eğrisi M nin p noktasındaki geodezik normal kesit eğrisi ise p noktasıγ eğrisinin Darboux köşesidir. İspat. γ eğrisi M nin p noktasındaki geodezik normal kesiti ise Teorem 3.2.11 den M altmanifoldu helisseldir. Yani γ nın Frenet eğrilikleri sabittir. Buradan Teorem 3.1.10 yardımıyla p noktasının bir Darboux köşe olduğu görülür. 3.3 Eğrinin Genelleştirilmiş Evolütü Önerme 3.3.1. γ : R → E n+1 yay parametresi ile parametrelendirilmiş eğri olsun. d : R × Rn+1γ → R (s, x) → dγ (s, x) 1 = γ (s) − x 2 (3.3.1) 2 fonksiyon ailesi tanımlayalım. Ayrıca, a ∈ E n+1 merkezli ve r ∈ R + yarıçaplı bir küre S(a, r) olmak üzere S(a, r) küresi γ eğrisine s0 noktasında teğettir ancak ve ancak ∂d ∂ 2d d 2γ (s0 , a) = r ve γ (s, a) s=s = γ 2 (s, a) s=s = 0 (3.3.2) ∂s 0 ∂s 0 dır. Yani dγ (s0 ,a) 1 = γ (s 2 2 2 0 ) − a = r dir (Fuster ve ark. 1999). 16 Önerme 3.3.2. S (a, r) küresi γ eğrisi ile s0 noktasında k-mertebeden değmeye sahiptir ancak ve ancak dγ (s0 , a) = r 2 ∂d ∂ kγ d(s, a) = = γs=s L k (s, a)∂s 0 ∂s s=s = 0 0 ve ∂ k*1dγ k +1 (s, a)∂s s=s ≠ 0 0 dır (Fuster ve ark. 1999). Tanım 3.3.3. γ eğrisi ile s0 noktasında k-mertebeden değmeye sahip olan E n+1 in hiperküresine γ nın s0 noktasındaki oskülatör hiper küresi adı verilir. Tanım 3.3.4. γ eğrisinin s noktasındaki lifti (fibresi) N sγ (s) = γ (s) + Span {N1(s),K, Nn (s)} (3.3.3) ile tanımlanan bir hiper düzlemdir ( E n+1 in hiperdüzlemi) (Fuster ve ark. 1999). Teorem 3.3.5. Yukarıdaki tanım ışığında aşağıdakiler elde edilir; a) (s, x)∈ Nsγ (s) için n x = γ (s) + ∑λi Ni (s) ; λi ∈ R dir (3.3.4) i=1 b) Her noktasında γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (n+1) (s) nın lineer bağımsız olduğu γ (s) eğrisinin bir tek S(a,r) oskülatör hiper küresi vardır, c) γ nın oskülatör hiper kürelerinin merkezleri; türevlenebilir birC : R → E n+1γ eğrisini oluşturur, (Hacısalihoğlu 1980) ve (Fuster ve ark. 1999). İspat:.a) γ eğrisinin γ (s) noktasındaki lifti Nsγ (s) olsun. Böylece (s, x)∈ Nsγ (s) ise (γ (s) − x),γ ′(s) = 0 dır. Buradan x = γ (s) + v elde edilir. Bu değer yerine yazılırsa γ (s) −γ (s) − v,γ ′(s) = 0 bulunur. Bu da bize v,γ ′(s) = 0 olduğunu gösterir. Buradan n v = ∑λi Ni (s) elde edilir. Bu ifade yerine yazılırsa (3.3.4) eşitliği elde edilir. i=1 17 ∂ j d b) γj (s, x) = (γ (s) − x),γ ( j) (s) + F ( j−1) s j (γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (s)) ∂ olup burada Fj polinom fonksiyonlarıdır. Böylece, S(a,r); γ eğrisinin oskülatör hiper ∂ j d küresidir ancak ve ancak dγ (s, a) = r 2 ve γj (s, a) = 0, j = 1,n +1 dir. Bu nedenle ∂s bazı ai ∈ R, i = 0,K, n için; n a = γ (s) + a0T (s) + ∑ai Ni (s) i=1 elde edilir. Buradan n a − γ (s) = a0T (s) + ∑ai Ni (s) (3.3.5) i=1 denklemi ⎧ ∂dγ ⎪ (s,a) = 0 ⎪ ∂s ⎪ ∂ 2d ⎪ γ2 (s,a) = 0 ⎨ ∂s ⎪ M ⎪ ⎪∂ (n+1)dγ ⎪ (n 1) (s,a) = 0⎩ ∂s + denklem sisteminde kullanılırsa (n+1)-lineer denklem elde edilir. Bu denklemlerin değişkenleri a0 , a1,K, an katsayıları olup a = (a0 , a1,K,an ) S(a,r) küresinin merkezidir. Yukarıdaki sistemin çözümünün bir tek olmasıγ ′(s),γ ′′(s),K,γ (n+1) (s) nin lineer bağımsız olmasına bağlıdır. Böylece a0 , a1,K, an s ye bağlı fonksiyonları; κ1(s),K,κ n (s) ve bunların s ye göre türevlerinden oluşmaktadır. c) Daha önceden tanımlanan a0 = 0 a j = mi ; i = 1, n fonksiyonları; κ j (s), j =1, n ve bunların s ye göre türevleri olan rasyonel fonksiyonlardır. Böylece 18 n Cγ (s) = γ (s) + ∑mi Ni (s) (3.3.6) i=1 E n+1 de türevlenebilir bir eğridir (Fuster ve ark. 1999).■ Tanım 3.3.6. (3.3.6) parametrelendirilmesi ile tanımlananCγ (s) eğrisine γ nın genelleştirilmiş evolütü ya da γ nın küresel eğrilik merkezlerinin oluşturduğu eğri adı verilir (Fuster ve ark. 1999). Teorem 3.3.7. Cγ (s) eğrisinin hızı C ' γ (s) , γ nın s noktasında binormal vektörü Nn (s) ye paraleldir (Fuster ve ark. 1999). İspat. (3.3.1) eşitliğinden dγ (s, x) 1 = γ (s) − x,γ (s) − x (3.3.7) 2 elde edilir. Böylece ∂d ∂ (n+1)d X = Cγ (s) ⇔ γ (s, x) =L = γ ∂s ∂s (n+1) (s, x) = 0 olmalıdır. Böylece ; ∂d ∂ (n+1)γ d (s,C (s)) = = γL (s,C (s)) = 0 ∂s γ ∂s (n+1) γ dır. Ayrıca ∂ idγ i (s,Cγ (s)) = γ (s) − x,γ (i) (s) + Fi (γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (i−1) (s)) ∂s dir. Her iki tarafın türevini alırsak; ∂ ⎧ i ⎪∂ dγ ⎫ ⎨ (s, Cγ (s)) ⎪ ⎬ = γ (s) − Cγ (s),γ (i+1) (s) + γ (s) − C (i)γ ′ (s),γ (s)∂s ⎪ ∂s i⎩ ⎪⎭ + Fi′(γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (i−1) (s)) ∂ i+1d = γ (s, C (s)) − C (s),γ (i)γ γ ′ (s) ∂s i+1 dır. Fakat ∀i ≤ n için 19 ∂ i+1d γ ∂si 1 (s,Cγ (s)) = 0 + olduğundan C (i)γ ′ (s),γ (s) = 0 bulunur. Buradan oskülatör düzlem Span{γ ′(s),γ ′′(s),K,γ (n) (s)}= Span {T (s), N1(s),K, Nn−1(s)} ye dik olduğundan görülür. Bu nedenle Cγ ′ (s) ile Nn (s) aynı yöndedir. Teorem 3.3.8. {mi }i=1,n fonksiyonları aşağıdaki bağıntıyı sağlar: m 2 (s)k2 (s) = m1′(s) (3.3.8) mi (s)κ i (s) = mi′−1(s) + mi−2 (s)κ i−1(s) (Fuster ve ark. 1999). n İspat. Cγ (s) = γ (s) + ∑mi Ni (s) i=1 eşitliğinde her iki yanın s ye göre türevini alırsak n n Cγ′ (s) = γ ′(s) + ∑mi′(s)Ni (s) + ∑mi (s)Ni′(s) (3.3.9) i=1 i=1 dir. Frenet formülleri yardımıyla; Cγ′ (s) = (mi′(s) − m2 (s)κ 2 (s))N1 (s) + (m′n (s) − mn−1 (s)κ n (s))N n (s) n−1 + ∑(mi′(s) + mi−1 (s)κ i (s) − mi+1 (s)κ i+1 (s))Ni (s) i=2 elde edilir. Böylece Teorem 3.3.7 den Cγ′ (s) ile N n (s) paralel olduğundan mi′(s) − m2 (s)κ 2 (s) = 0 mi′(s) + mi−1 (s)κ i (s) − mi+1 (s)κ i+1 (s) = 0 2 ≤ i ≤ n −1 dir. 20 Açıklama 3.3.9 mi fonksiyonuna γ (I ) eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonları olarak adlandırılır (Hacısalihoğlu 1980). Bu fonksiyonlara bir sonraki bölümde fokal eğrilikler olarak adlandırılacak ve ci ile gösterilecektir. Teorem 3.3.10. Cγ (s) eğrisinin singüler noktalarında; γ nın oskülatör küresi S(a,r); s noktasında (n+2)-mertebeden değmeye sahiptir (Fuster ve ark. 1999). İspat. Teorem 3.3.7 dan; Cγ′ (s) = (mn′ (s) − mn−1(s)κn (s))Nn (s) dir. Böylece; C ′ (s) = 0 ⇔ C (s),γ (i)γ γ ′ (s) , ∀i ≤ n +1 elde edilir. Buradan; ∂ i+1d γi 1 (s,Cγ (s)) = 0 ∀i ≤ n +1 ∂s + olup tersi de doğrudur. Teorem 3.3.11. γ : R → E n+1 regüler eğrisi γ nın oskülatör küresi S(a,r) ile s0 noktasında (n+2)-mertebeden değmeye sahip ise < a − γ (s) , Ni (s0 ) > = mi, 1≤ i ≤ n. (3.3.10) dir (Hacısalihoğlu 1980). Örnek 3.3.12. Helis eğrisi x(s) = (r cos(ω s), r sin(ω s), h ω s) ; s ∈ R (3.3.11) ile verilsin. Burada r > 0, h ∈ R ve ω = 1 / (r2+h2)1/2 yay sabiti olmak üzere helis eğrisinin oskülatör küresin merkez ve yarıçapı aşağıdaki gibidir; m(s) = ( -h2/r cos(ωs), -h2/r sin(ωs), hωs ), (3.3.12) r(s) = (r2+h2)/r . (3.3.13) Böylece bir helisin oskülatör kürelerinin merkezlerinden geçen eğri yine bir helis üzerindedir (Malkowsky ve ark.2001). 21 3.4 Bir Eğrinin Fokal Eğrisi M ⊂ E n+1 alt manifoldunun normal çizgilerinin bir ailesinin zarfı o alt manifoldun fokal kümesi ya da kaustiği olarak adlandırılır. γ eğrisine bir noktada dik olan hiper düzlem bu noktada eğriye dik olan tüm doğruların bir birleşimi olarak görülebilir. Böylece γ eğrisine dik olan hiper düzlemlerin bir zarfı fokal kümenin bir bileşeni (esas bileşeni) dir, diğer bileşen ise eğrinin kendisidir (Vargas 2005). Tanım 3.4.1. γ : R → E n+1 , iyi eğri, F : E n+1 × R → R reel değerli fonksiyonlarının (n+1)-parametreli bir ailesi olup F (q,θ ) 1= q −γ (θ ) 2 (3.4.1) 2 ile verilsin. Böylece F ailesinin kaustiği {q ∈ R n+1 : ∃θ ∈ R : Fq′(θ ) = 0 ve Fq′′(θ ) = 0} ile verilir (Vargas 2005). Önerme 3.4.2. F (q,θ ) 1= q −γ (θ ) 2 ailesinin kaustiği γ : R → E n+1 eğrisinin fokal 2 kümesine karşılık gelir (Vargas 2005). İspat. F ailesinin kaustiği Fq′(θ ) = 0 ve Fq′′(θ ) = 0 denklem çifti ile tanımlanır. Böylece her θ sabit değeri için (3.4.1) denklemini sağlayan q ∈ E n+1 noktalar kümesi γ eğrisine γ (θ ) noktasında normal hiper düzlem oluşturur: Fq′(θ ) =< q − γ (θ ),γ ′(θ ) >= 0 (3.4.2) dır. Ayrıca her iki denklemi sağlayan bir θ sabit değeri için q ∈ E n+1 noktalar kümesiγ (s) noktasındaki normal hiperdüzlemi durağan (stationary) noktalarıdır. Bu noktalar E n+1 in (n-1)-boyutlu afin alt uzayını oluşturur; Fq′′(θ ) = − < q − γ (θ ),γ ′′(θ ) > + γ ′(θ ),γ ′(θ ) = 0 (3.4.2)* dır. Bu alt uzay γ eğrisinin γ (θ ) noktasında (n-1)- boyutlu fokal düzlem oluşturur. 22 Cenerik bir eğrinin fokal kümesi tanımından, bir noktada γ nın oskülatör hiper küresinin merkezi, söz konusu noktada γ ya normal hiper düzlemde bulunur. Bu nedenle, Cγ = γ + c1N1 + c2 N2 +L+ cn Nn (3.4.3) dir. Burada c1 ,c2 ,K,cn ; γ eğrisinin türevlenebilir fonksiyonlar olup ci γ nın i-inci fokal eğrilik fonksiyonu olarak adlandırılır. Ayrıca c1 fonksiyonu sıfırdan farklı olup c 11 = dir (Vargas 2001). κ1 Açıklama 3.4.3. γ eğrisinin oskülatör kürelerinin merkezleri γ eğrisinin Cγ (s) fokal eğrisinin oluşturur ve Cγ (s) ile gösterilir. Bu eğriler (Fuster ve ark., 1999) tarafından (3.3.6) denklemi ile n Cγ (s) = γ (s) + ∑mi Ni (s) i=1 şeklinde bir parametrelendirme ile ifade edildi ve bunlara γ nin genelleştirilmiş evolutu adı verildi. Burada mi fonksiyonları ci lere karşılık gelir ve bunlar γ nın i-inci fokal eğrilik fonksiyonları olarak adlandırılır. Bu eğriler n = 2 hali için H.H. Hacısalihoğlu tarafından ele alınmıştır (Hacısalihoğlu 1980). Şu andan itibaren fokal eğri deyince genelleştirilmiş evolüt anlaşılacaktır. Örnek 3.4.4. E 4 de γ (x) = (cos x, sin x, cos 2x, sin 2x) (3.4.4) parametrelendirilmesi ile verilen elipsin fokal eğrisini bulalım. Öncelikle γ (x) eğrisinin Frenet çatısı Maple programı yardımıyla hesaplayalım. Bunun için EK 1 deki Maple programı kullanıldığında; 1 V1 := 5 [ −sin( x ), cos( x ), −2 sin( 2 x ), 2 cos( 2 x ) ] 5 1 V2 := 17 [ −cos( x ), −sin( x ), −4 cos( 2 x ), −4 sin( 2 x ) ] 17 1 V3 := ⎡ 12 12 6 6 6 ⎢⎢ − 5 sin( x ), 5 cos( x ), 5 sin( 2 x ), −5 cos( 2 x ) ⎥ ⎤ ⎣ ⎥ 5 ⎦ 23 1 ⎡82 82 532 532V4 := 8522 ⎢⎢17 cos( x ), 17 sin( x ), 17 cos( 2 x ), 17 sin( 2 x ) ⎤ ⎥⎥ 72437⎣ ⎦ Frennet çatısı elde edilir. Ayrıca γ (x) eğrisinin Frenet eğrilikleri Ek1 deki verilen Maple komutu yardımıyla hesaplanırsa K1 := 175 K2 := 6 1785 K3 := 90 7243772437 elde edilir. Böylece sırası ileγ (x) in fokal eğrisinin katsayıları; c1:=1/K1; c1 := 5 1717 c2:=diff(c1,x)/K1; c2 := 0 c3:=(diff(c2,x)+c1*K2)/K3; c3 := 72437255 bulunur. Böylece γ eğrisinin fokal eğrisi; C γ 5 17 N 72437γ = + 1 + N3 (3.4.5) 17 255 dir. Önerme 3.4.5. E n+1 de s-yay parametresi ile parametrelendirilmiş γ eğrisinin fokal eğrilikleri, cn ≠ 0 için aşağıdaki Frenet denklemlerini sağlar: 24 ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 0 κ1 0 K 0 0 0 ⎤⎡ 0 ⎤ ⎢ c1′ ⎥ ⎢ ⎢− κ ⎥⎢ ⎥ ⎢ c′ ⎥ 1 0 κ 2 K 0 0 0 ⎥⎢ c1 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 0 − κ 2 0 O ⎥⎢ c2 ⎥ ⎢ c3′ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 0 − κ 3 O M ⎥⎢ c3 ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ M M M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ cn′−2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ c ⎥ ⎢ 0 κ n−1 0 ⎥⎢cn−2 ⎥ ⎢ n ′−1 ⎥ ⎢ − κ 0 κ ⎥⎢c ⎥ ⎢ ′ (R 2 n )′ ⎢ n−1 n ⎥ ⎥⎢ n−1 ⎥ ⎢cn − 2c ⎥ ⎢⎣ 0 0 K 0 − κ n 0 ⎥⎦⎣⎢ cn ⎥⎦⎣ n ⎦ Eğer eğri küresel ise bu taktirde eşitliğin sol tarafının son bileşeni sadece c′n teriminden ibaret olur (Vargas 2001). İspat. γ nın fokal eğrisi; Cγ (s) = (γ + c1N1 + c2 N 2 +L+ cn N n )(s) olsun. γ nın yay uzunluğuna göre Cγ nın türevine Frenet denklemleri uygulanarak; Cγ′ = t + c1 (− κ1t + κ 2 N 2 ) + c′N142443 1 1 n1′ + c2 (− κ 2 N + κ N ) + c′ N +L14421 43433 2 2 n2′ + ci−1 (− κ i−1Ni−2 + κ i Ni ) + c′ N1442443 i−1 i−1 n′ i −1 + ci (− κ i Ni−1 + κ i+1N ) + c′N +L144424443i+1 i i ni′ + cn−1 (− κ14n−1Nn−2 + κ n N ) + c′ N4424443n n−1 n−1 nm′ −1 + cn (− κ14n−1Nn−1 ) + cn′ N243 n nn′ = (1− c1κ1 )t + (c1′ − κ 2c2 )N1 + (c2′ + c1κ 2 − c κ )N +L 3 3 2 + (ci′ + ci−1κ i − ci+1κ i+1 )Ni +L+ (cn′ + cn−1κ n )N n elde edilir. Böylece Cγ′ vektörü N n binormal vektörüne paralel olduğundan Cγ′ nin ilk n-1 bileşeni sıfır olur. Bu ise; 25 1 = κ1c1 c1′ = κ 2c2 c′ = −κ c + κ c . (3.4.6) 2 2 1 3 3 M cn′−1 = −cn−2κ n−1 + cnκ n olması demektir. Böylece Cγ′ = (cn′ + cn−1κ n )N n dir. Oskülatör hiper kürenin yarıçapı 2 Rn olmak üzere R 2 n = Cγ − γ dir. Buradan; 2 ′(Rn )′ = Cγ − γ , Cγ − γ = 2 Cγ′ − γ ′, Cγ − γ = 2 (cn′ + cn−1κ n )N n − t, c1N1 + c2 N 2 +L+ cn N n (3.4.7) = 2cn (cn′ + cn−1κ n ) elde edilir. Böylece cn ≠ 0 için; (R 2 )′ c nn′ − = −κ ncn−1 (3.4.8) 2cn dir. Bu denklemle birlikte (3.4.6) denklemlerinden ispat tamamlanır. Tanım 3.4.6. Cγ′ (s) = 0 için s noktası γ nın köşe noktasıdır (Fuster ve ark. 1999). Teorem 3.4.7. n ≥ 1 olmak üzere E n+1 de yay-parametresi ile parametrelendirilmiş cenerik bir eğrinin bir noktasının bir köşe olabilmesi için gerek ve yeter şart söz konusu noktada cn′ + cn−1κ n = 0 (3.4.9) olmasıdır (Vargas 2001). İspat. Teorem 3.3.7 nin ispatında Cγ′ = (cn′ + cn−1κ n )N n (3.4.10) olduğunu gördük. Tanım 3.4.6 yardımıyla γ nın bir noktasının köşe olabilmesi için gerek ve yeter şart Cγ′ = 0 olmasıdır. Buradan cn′ + cn−1κ n = 0 elde edilir (Vargas 2001). Sonuç 3.4.8. n ≥ 1 olmak üzere E n+1 de yay-parametresi ile parametrelendirilmiş daldırılmış türevlenebilir bir eğrinin küresel olması için gerek ve yeter şart; 26 cn′ + cn−1κ n = 0 olmasıdır (Vargas 2001). Sonuç 3.4.9. γ eğrisi M ⊂ E n alt manifoldundan p ∈ M noktasında γ ′(0) = X yönünde normal kesiti veγ bu eğrinin fokal eğrisi Cγ olsun. Cγ nın hız vektörü sıfıra eşit ise bu taktirde γ normal kesiti küresel eğrinin bir parçası olur. İspat: γ nın oskülatör hiper küresinin yarıçapı Rn olmak üzere R 2n = Cγ − γ ,Cγ − γ dır. Buradan (R 2n )′ = 2 Cγ′ − γ ′,Cγ − γ = 2(cn−1κ n + c′n )N n − X , c1N1 + c2 N 2 +L+ cn N n = 2cn (cn−1κ n + cn′ ) elde edilir. Böylece cd ≠ 0 olduğundan (R 2n )′ = cn−1κ n + cn′ (3.4.11) 2cn dir. Bununla birlikte (3.4.10) ve (3.4.11) den ′ (R 2 n )′Cγ = Nn (3.4.12) 2cn bulunur. Buradan eğer Cγ′ = 0 ise (R 2 n )′ sabittir ve γ eğrisi küresel bir eğridir. Önerme 3.4.10. γ eğrisi M ⊂ E n alt manifoldundan p ∈ M noktasında γ ′(0) = X yönünde normal kesiti veγ bu eğrinin fokal eğrisi Cγ olsun. Bu taktirde Cγ nın hız vektörü γ nın son Frenet vektörü ile orantılıdır. İspat. γ normal kesitinin genelleştirilmiş evolütü Cγ (s) = γ (s) + (c1N1 + c2 N 2 +L+ cn N n )(s) ile tanımlanır. Cγ nin s ye göre türevi alınırsa ve türevine Frenet denklemleri uygulanırsa; 27 Cγ′ = (1− κ1 )t + (c1′ − κ 2c2 )N1 +L d −1 + ∑ (ci−1κ i +ci′ − ci+1κ i+1 )Ni +L (3.4.13) i=2 + (cn−1κ n + cn′ )N n elde edilir. Böylece (3.4.6) eşitliklerinden; 1− κ1c1 = 0 (c1′ − κ 2 c2 ) = 0 M (ci−1κ i + ci′ − ci+1κ i+1 ) = 0 dir. BuradanCγ′ (s) = (cn−1κ n + c′n )Nn elde edilir. Teorem 3.4.11. γ ⊂ E n+1 regüler eğrisinin fokal eğrisi Cγ olsun. Eğer Cγ eğrisi 2- düzlemsel (yaniCγ′ ,Cγ′′ ,Cγ′′′ vektörleri lineer bağımlı) ise i) κ n−1 = 0 , ii) κ n = 0 , ya da iii) Cγ′ = 0 dır. Yani γ küreseldir ve p noktası da γ nın bir köşesidir. İspat. γ eğrisinin fokal eğrisi Cγ olsun. (3.4.10) eşitliğinden Cγ′ (s) = (cn−1κ n + c′n )Nn dır. Eğer A = (cnκ n−1 + cn′ ) alındığında Cγ′ = ANn Cγ′′ = −Aκ n Nn−1 + A′Nn Cγ′′′ = (A′′ + Aκ 2 n )N n + (−2κ A′ − κ ′ A)N14243 144n 244n3 n−1 − κ κ AN 14n−21 4n3 n−2 B C D bulunur. BuradanCγ düzlemsel olduğundan; A 0 0 A′ − Aκ 2 2 3n 0 = −DA κ n = κ n κ n−1 A = 0 B C D dır. Böylece κ 2n κn−1 (cnκn−1 + cn′ ) = 0 denkleminden ispat tamamlanmış olur. 28 Tanım 3.4.12. M ⊆ E n nin p ∈ M noktasında ve X p ∈Tp (M ) doğrultusunda 2 verilen normal kesitiγ olsun. γ nın eğriliği κ olmak üzere dκ = 0 ise p = γ (0) ds s=0 noktasına γ eğrisinin köşesi adı verilir (Chen 1981). Teorem 3.4.13. M ⊆ E n alt manifoldu noktasal 2-düzlemsel normal kesitlere sahip ve her bir p ∈ M noktası γ nın bir köşesidir ancak ve ancak M alt manifoldunun ikinci temel formu paraleldir (Chen 1981). İspat. (⇒) : M nin ikinci temel formu h nın paralel olduğunu kabul edelim. Bu taktirde tanım gereği M alt manifoldu noktasal 2-düzlemsel normal kesitlere sahiptir.Böylece γ ′(s) = T ∈Tp (M ) doğrultusunda verilen p noktasında M nin normal kesiti olsun. γ eğrisinin eğriliği κ (s) = γ ′′(s) olduğundan κ 2 (s) = γ ′′(s),γ ′′(s) (3.4.14) dir. Burada T = γ ′(s) dir. Ayrıca (2.1) Gauss denkleminden; κ 2 (s) = γ ′′(s),γ ′′(s) = ∇T T + h(T ,T ), ∇T T + h(T ,T ) = ∇T T ,∇T T + h(T ,T ),h(T ,T ) (3.4.15) (3.4.15) denkleminin s ye göre türevinden; dκ 2 (s) = ∇~ T ∇ ~ TT ,∇TT + ∇T h(T ,T ),h(T ,T ) ds = 2 ∇T (∇TT ),∇TT + 2 h(∇TT ),T ),∇TT 144424443 =0 − 2 Ah(T ,T )T , h(T ,T ) + 2 DT h(T ,T ), h(T ,T ) 144424443 =0 = 2 ∇T (∇TT ), ∇TT + 2 DT (h(T ,T )), h(T ,T ) dır. Ayrıca DT (h(T ,T )) = (∇T h)(T ,T ) + 2h(∇TT ,T ) olduğundan; 29 dκ 2 (s) = 2 ∇T (∇TT ), ∇TT + 2 (∇T h)(T ,T ), h(T ,T ) + 2< h(∇TT ,T ), h(T ,T ) > ds dir. p = γ (0) noktasında ∇ tT = 0 ; γ ′(s) = T , γ ′(0) = t dır. Ayrıca ikinci temel form paralel olduğundan (∇ t h)(T ,T ), h(t, t) = 0 dır. Bu eşitlikler yardımıyla dκ 2 (s) = 0 (3.4.16) ds s=0 dır. Böylece p, γ (s) normal kesitinin bir köşesidir. (⇐) :Tersi benzer şekilde gösterilebilir. Noktasal 2-düzlemsel normal kesitlere sahip M ⊆ E n alt manifoldunun küresel olması hali yani M nin S n−1 (r) = {x ∈ Rn ; x − c 2 = r} küresi içinde yatması hali B.Y. Chen tarafından incelenmiştir. Teorem 3.4.14. M ⊂ S n−1 (r) ⊂ E n küresel altmanifoldunun noktasal 2-düzlemlere sahip olması için gerek ve yeter şart M nin ikinci temel formunun paralel olmasıdır (Chen 1998 Açıklama 3.4.15. Teorem 3.4.14, Teorem 3.4.13 ve Sonuç 3.4.9 karşılaştırıldığında Chen’in köşe tanımı ile Vergas’ın köşe tanımlarının örtüştüğü anlaşılmaktadır. Önerme 3.4.16. γ :I ⊂ R → En+1 birim hızlı cenerik bir eğri olmak üzere κi ve ci sırasıyla γ nın Frenet ve fokal eğriliği olsun. Bu taktirde ′ ′ ′ c1c1 + c2c2 +L+ cκ i−1ci−1i = ;i ≥ 2 (3.4.17) ci−1ci dir ((Hacısalihoğlu 1980) ve (Vargas 2001)). İspat. Tümevarım yöntemi ile ispat yapılabilir. İspat için Önerme 3.4.5 in ‘ skalar Frenet denklemleri’ kullanılacaktır. 30 κ 11 = , (3.4.18) c1 c′ c c κ = 1 = 1 1 ′ 2 , (3.4.19) c2 c2c2′ c′ c c+ 1 ′ ′ 2 1 ′ ′ κ c2 + c1κ c= 2 = 2 c2c2 + c= 1c13 , (3.4.20) c2 c3 c2c3 c κ = i−1 ci′−1 +L+ c2c2′ + c1c1′ i (3.4.21) ci−1ci Denkleminin doğru olduğunu kabul edelim. Önerme 3.4.5 in Frenet denklemlerinden ci+1κ i+1 = ci′ + ci−1κ i (3.4.22) dır. Böylece κ i değerini yerine yazılırsa c c′ +L+ c c′ + c c′ c c′ +L+ c c′ + c c′ ci+1κ i+1 = ci′ + i−1 i−1 2 2 1 1 = i i 2 2 1 1 (3.4.23) ci ci elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Açıklama 3.4.17. Cenerik bir eğri için, ci yada ci−1 fonksiyonları izole edilmiş noktalarda yok edilebilir. Bu noktalarda c1c1′ + c2c′2 +L+ ci−1ci′−1 fonksiyonları da sıfır olur ve buna karşılık gelen κ i fonksiyonunun değeri L’Hospital kuralı ile elde edilebilir. l-oskülatör kürenin yarıçapı Rl olmak üzere, 2 2 2 2 2 2 Rl = c1 + c2 +L+ cl ve Rm = Cγ − γ (3.4.24) dir (Vargas 2001). Teorem 3.4.18. n ≥ 4 ve n-çift olmak üzere γ : R → E n+1 bir eğri olsun. {T (s), N1 (s)K, N n (s)} γ nın Frenet vektör alan sistemi olmak üzere γ nın oskülatör kürelerinin merkezlerinin koordinatları mi ; 1 ≤ i ≤ n +1 olsun. Bu taktirde i) det(c′2 ,c3′ ,K,cn′+1 ) = 0 ⇔ γ bir eğilim çizgisidir (ya da genel helis), n ii) det(c2′ ,c 23′ ,K,c′n+1 ) = 0 ⇔ ∑ci = sabittir. i=1 (Hacısalihoğlu 1980). 31 Teorem 3.4.19. n ≥ 1 olmak üzere E n+1 Öklid uzayında yay-parametresi ile parametrelendirilmiş cenerik bir eğrinin l-oskülatör küresinin Rl yarı çapının sabit olması için gerek ve yeter şart a) l = 1 için c2 = 0; b) 1 < l < n için ya c1 = 0 ya da ci+1 = 0; c) l = n için ya cn = 0 ya da cn′ + cn−1κ n = 0 ; olmasıdır. Yani, 1 ≤ l < n için; Rl Rl′ = cl cl+1κ l+1 dir (Vargas 2001). İspat. R 21 = c 2 1 +L+ c 2 l alalım. Böylece R lR′l = c1c1′ + c2c′2 +L+ clc′l dir. Önerme 3.4.16 deki κ i değerinin yerine yazılması ile Rl Rl′ = cl cl+1κ l+1 , 1 ≤ l < n elde edilir. E n+1 de cenerik bir eğri için ilk n-1 eğrilik hiçbir yerde sıfır değildir ve m-inci eğrilik izole edilmiş noktalarda sıfır olabilir ve bu noktalar Rn−1 de kritik noktalarla çakışmaz. Böylece n ≥ 1 olmak üzere E n+1 de cenerik bir eğri için Rl′ = 0 dır ancak ve ancak 1 ≤ l < n olmak üzere ya cl = 0 ya da cl+1 = 0 dır. Daldırılmış türevlenebilir bir eğri için R1 = c1 fonksiyonu asla sıfır olamaz. Bu a) ve b) şıklarını ispatlar. Önerme 3.4.5’in ispatında (R 2n )′ = 2 cn (cn′ + cn−1κ n ) = 0 olarak elde ettik. Bu da c) şıkkını ispatlar. Sonuç 3.4.20. Eğer bir noktada l-inci fokal eğrilik olan cl sıfır olursa bu taktirde söz konusu noktada Rl ve Rl+1 sabittir (Vargas 2001). Tanım 3.4.21. n > 2 γ : R → E n eğrisinin tanjant vektörü bir v ∈ E n vektörü ile sabit bir açı yapıyor ise γ eğrisine genel helis adı verilir (Fuster ve ark. 1999). 32 Önerme 3.4.22. γ : R → E n eğrisi genel helistir ancak ve ancak det(γ ′′(t),γ ′′′(t),K,γ (n+1) (t)) = 0 dır. Burada γ (i) vektörü γ nın t yay-parametresine göre i-inci türevi adı verilir (Fuster ve ark. 1999). Açıklama 3.4.23. Bu Önerme her ne kadar Romero-Fuster M.C., Sanabria-Codesal E. tarafından orijinal sonuç olarak (Fuster ve ark. 1999). çalışmasında verilmiş ise de aslında aynı Önermenin ispatı (Hacısalihoğlu 1980) da verilmiştir. Tanım 3.4.24. γ eğrisinin oskülatör hiperdüzlemi ile t0 da en azından m-inci mertebeden değmeye sahip ise t0 noktasına γ nın düzleştirme noktası denir (Fuster ve ark. 1999). Önerme 3.4.25. t0 ∈ R noktası γ ⊂ E n nın düzleştirme noktasıdır ancak ve ancak det(γ ′(t0 ),γ ′′(t0 ),K,γ (n) (t0 )) = 0 dır (Fuster ve ark. 1999). Tanım 3.4.26. Bir eğri t0 ∈ R noktasında oskülatör küresi ile en azından (n+1)-inci mertebeden değmeye sahip ise t0 noktasına konformal düzleştirme ya da köşe noktası adı verilir (Fuster ve ark. 1999). Tanım 3.4.27. γ : R → E n eğrisinin teğetler göstergesi (tanjant indikatriksi) γ n−1T : R → S ile tanımlanır. γ T nin düzleştirme noktaları γ nın burulma (twisting) noktalarıdır. Eğer γ eğrisi yay-uzunluğu ile verilen bir eğri ise t0 noktası γ nın burulma noktasıdır ancak ve ancak det(γ ′′(t (n+1)0 ),γ ′′′(t0 ),K,γ (t0 )) = 0 dır (Fuster ve ark. 1999). Önerme 3.4.25 ve Tanım 3.4.27 gereği aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Sonuç 3.4.28. Bir γ eğrisi burulma noktasında bir genel helis ile yüksek mertebeden bir değmeye sahiptir (Fuster ve ark. 1999). 33 Sonuç 3.4.29. E n de yay-parametresi ile verilen bir γ (t) eğrisi için γ (t0 ) = p noktasında γ T ( p) biçiminde bir genel helis vardır öyle ki bu eğri γ ile en azından m- inci mertebeden değmeye sahiptir. Eğer p noktası γ T nin bir düzleştirme noktası ise bu taktirde γ T genel helis eğrisi γ ile en azından (n+1)-inci mertebeden değmeye sahiptir (Fuster ve ark. 1999). Düzleştirme noktaları bulunmayan cenerik bir γ : s → γ (s) ∈ E n+1 eğrisinin κ1 ,K,κ n Frenet eğrilikleri ve {T , N1 ,K, N n } Frenet çatısı olsun. γ (s) noktasının köşe noktası olmasın. (cn′ + cn−1κ n )(s) nin işareti ε (s) ve 1 ≤ k ≤ n olmak üzere (−1)k ε (s)κ n (s) nin işareti δ (s) olsun. γ eğrisinin köşe olmayan γ (s) noktasında aşağıdaki ifadeler geçerlidir; a) Cγ nın Cγ (s) noktasındaki {T , N1 ,K, N n } Frenet çatısı iyi tanımlıdır ve (c′ + c κ ) T = n n−1 n N n = εN n cn′ + cn−1κ n N k = δ k N n−k ; 1 ≤ k ≤ n −1 N n = ±T dir. b) Cγ nın Öklid eğrilikleri K1 ,K, K n olmak üzere K 1 K 2 K n 1= =L = = (3.4.25) κ n κ n−1 κ1 cn′ + cn−1κ n burada K n nin işareti, ± T de seçilen işaretin δ n katıdır yani ya K n =+δ n ya da K n =-δ n dir. Böylece Cγ nın Cγ (s) noktasındaki Frenet matrisi 34 ⎡ 0 kn 0 K 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎢− kn 0 kn−1 K 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 − k 0 O ⎥ ⎢ n−1 ⎥ 1 ⎢ 0 0 O M ⎥ c′ + c k ⎢ M M M ⎥n n−1 n ⎢ ⎥ ⎢ 0 k2 0 ⎥ ⎢ ⎢ − k 0 m δ k ⎥ 2 n 1 ⎥ ⎣⎢ 0 0 K 0 ± δ nk1 0 ⎦⎥ dir (Vargas 2005). Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir; Teorem 3.4.30. γ : s → γ (s) ∈ E n+1 düzleştirme noktaları olmayan cenerik bir eğri olsun. γ eğrisi n-inci mertebeden genel helis ise Cγ eğrisi de aynı mertebeden genel bir helistir. İspat. γ ve Cγ eğrilikleri sırasıyla κ1 ,K,κ n ve K1 ,K, Kn olmak üzere (3.4.25) denklemi yardımıyla K1 κ n 1= = K 2 κ n−1 cn′ + cn−1κ n K3 κ= n−1 K 4 κ n−2 M Kn−1 κ= 2 Kn κ1 κ dir. Ayrıca 2i n K = sbt 1 ≤ i ≤ ise 2i−1 = sbt dir. ■ κ 2i−1 2 K 2i 35 4. FOKAL YÜZEYLER 4.0. Giriş Bu bölümde E 3 deki yüzeylerin paralel yüzeyleri, fokal yüzeyleri ve genelleştirilmiş fokal yüzeylerin bir karakterizasyonu verilmiştir. Ayrıca bu yüzeylerin Maple programı yardımıyla Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmış ve bazı örnekler verilmiştir. Tanım 4.0.1. U, E 2 de bir açık alt küme olmak üzere X :U → E 3 X (u,v) = (x1 (u,v), x2 (u,v), x3 (u,v)), (4.0.1) biçiminde tanımlanan diferensiyellenebilir dönüşümüne E 3 de bir yama denir. (Gray 1993). Sonuç 4.0.2. X :U → E 3 regüler yaması verilsin Bu taktirde aşağıdakiler birbirine denktir; i) X u (u0 ,v0 ) ve X v (u0 ,v0 ) lineer bağımsızdır. ⎛< X u , X u > < X u , X >⎞ii) det⎜ v⎜ ⎟⎟ her (u0 ,v0 ) noktasında sıfırdan farklıdır. ⎝< X v , X u > < X v , X v >⎠ iii) her (u0 ,v0 ) noktasında J(x) Jakobien matrisinin rankı 2 ye eşittir. (Gray 1993). Burada <,> ile E3 iç çarpım anlaşılacaktır. Tanım 4.0.3. ∀(u,v) ∈U için J(x)(u,v) Jakobien matrisinin rankı 2 ise X :U → E 3 yamasına regüler yama denir. X (u1 ,v1 ) = x(u2 ,v2 ) u1 = u2 v1 = v2 ise X yaması injektifdir (Gray 1993). Tanım 4.0.4. Bir X :U → E 3 injektif yaması için X u × X v sıfırdan farklı olacak biçimde (u,v) ∈U noktalarında birim normal vektör alanı veya yüzeyin normali; X N (u,v) = u × X v (u,v) (4.0.2) X u × X v eşitliği ile tanımlanır (Gray 1993). Burada × vektörel çarpımı belirtmektedir. X(u,v) regüler yaması ile verilen S yüzeyinin I.temel formun katsayıları 36 E = X ⎫u , Xu ⎪ ⎪ F = Xu , X v ⎬ (4.0.3) ⎪ G = X ⎪v , X v ⎭ ve II. temel formun katsayıları r r r e = Xuu , N (u,v) , f = Xuv , N (u,v) , g = X vv , N (u,v) (4.0.4) dir. Teorem 4.0.5. X :U → E 3 regüler bir yama olsun. X in Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; K eg − f 2 = 2 , (4.0.5) EG − F ve H eG − 2 fF + gE= 2 (4.0.6) 2(EG − F ) dır (Gray 1993). Sonuç 4.0.6. X :U → E 3 regüler bir yama olsun. X in asli eğrilikleri k1 ve k2 olmak üzere k = H + H 21 − K ve k2 = H − H 2 − K (4.0.7) dir (Hacısalihoğlu 1980 ve Gray 1993). Tanım 4.0.7. U ⊂ E³ bir açık ve h:U→R diferensiyallenebilir bir fonksiyon olmak üzere X : U → E³ Monge yaması X(u,v) = (u ,v ,h(u,v)) (4.0.8) parametrizasyonu ile verilir (Gray 1993). Teorem 4.0.8. X (u,v)=(u,v,h(u,v)) Monge yaması için Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; 37 h 2 K = uu hvv − (huv ) 2 2 2 , (4.0.9) (1+ (hu ) + (hv ) ) (1+ (h )2 )h − 2h h h + (1+ (h )2 )h H = v uu u v uv u vv3 , (4.0.10) (1+ (h )2u + (h 2 v ) ) 2 4.1 Paralel Yüzeyler Bu kısımda E 3 ün paralel yüzeyleri ele alındı. Bir S yüzeyi ile onun S ∗ paralel yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri ile ilgili bağıntılar elde edilmiştir. Paralel altmanifoldlar ile ilgili daha detaylı bilgi için (Görgülü ve ark. 1989) ve paralel hiperyüzeyler için ise bakınız (Görgülü 1989 ve Görgülü 1992). Tanım 4.1.1. S ⊂ E 3 bir regüler yüzey olsun. M yüzeyine ε uzaklıkta paralel olan yüzey S * = { q ∈ E 3 d (q, M ) = ε } biçiminde tanımlanır (Gray 1993). Tanım 4.1.2. S regüler yüzeyi (4.0.1) yaması ile verilsin. S nin birim normal r vektörü N (u,v) olmak üzere S nin paralel yüzeyi S * r r X * (u,v) = X (u,v) + ε N (u,v) (4.1.8) şeklinde bir parametrelendirmeye sahiptir, (Görgülü 1989, Gray 1993). Teorem 4.1.3. S ⊂ E 3 regüler yüzeyinin paralel yüzeyi S * olsun. S nin şekil operatörü A ve k , k ve k * , k *1 2 1 2 sırasıyla S ve S * nin asli eğrilikleri olmak üzere det(I − εA) > 0 ise k k *i = i i = 1, 2 (4.1.9) 1− εki dir (Gray 1993). Teorem 4.1.4. S ∗ yüzeyi S nin (4.1.8) eşitliği ile tanımlanan paralel yüzeyi olsun. Eğer K, H ve K ∗ , H ∗ sırasıyla S ve S ∗ yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri ise 38 K ∗ κ= (4.1.10) 1 ε− H + ε 2κ 2 H ∗ H − εκ= (4.1.11) 1 ε− H + ε 2κ 2 dır (Carmo 1983), (Hacısalihoğlu 1983) ve (Görgülü, 1989). Örnek 4.1.5. (Pseudo-Küre ve paralel yüzeyin eğrilikleri) X (u,v) = (r(u)cosv,r(u)sin v,h(u)); (u,v) ∈ I × (0,2π ) I üzerinde r(u) > 0 yaması ile verilen dönel yüzey denkleminde r(u) = e− u , h(u) = ∫ 1− e− 2u du, (u > 0) alındığında pseudo küre elde edilir. Böylece pseudo küre S ve S ∗ paralel yüzeyinin eğrilikleri sırasıyla K 1 = −1, H = (1− 2e− 2u ) 2e− u 1− e− 2u ve K ∗ 1= 2 , H ∗ H + ε= r − 2εH − ε 2 r 2 − 2εH − ε 2 dir (Malkowsky ve ark. 2001). Teorem 4.1.3 ve Teorem 4.1.4 yardımıyla aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem 4.1.6. S ∗ yüzeyi S nin paralel yüzeyi olsun. K, H ve K ∗ , H ∗ sırasıyla S ve S ∗ yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri olmak üzere K ∗ (H − εK ) − KH ∗ = 0 (4.1.12) dir. İspat. (4.1.10) ve (4.1.11) bağıntıları yardımıyla (4.1.12) eşitliği elde edilir. Sonuç 4.1.7. S ∗ yüzeyi S nin paralel yüzeyi olsun. Eğer S yüzeyi flat olmayan bir minimal yüzey ise S ∗ yüzeyi nin eğrilikleri oranı sabittir, yani; 39 ε H ∗ = − (4.1.13) K ∗ dır. İspat. Eğer S minimal ise H = 0 dır . Böylece (4.1.12) denklemi yardımıyla εKK ∗ + KH ∗ = 0 elde edilir. S yüzeyi flat olmadığından εK ∗ + H ∗ = 0 dır. Böylece ispat tamamlanmış olur. Örnek 4.1.8. (Dönel yüzeyin paralel yüzeyi) X (u,v) = (r(u)cosv,r(u)sin v,h(u)); (u,v) ∈ I × (0,2π ) I üzerinde r(u) > 0 (4.1.14) yaması ile verilen bir dönel yüzeyin S nin paralel yüzeyi S ∗ Y (u,v) = (ρ(u) cosv, ρ(u)sin v,ψ (u)) (4.1.15) parametrelendirmeye sahiptir. Burada ′ ρ(u) r(u) εh (u)= − , (4.1.16) φ(u) ve ′ ψ (u) = h(u) εr (u)− , (4.1.17) φ(u) olup φ(u) = (r′(u))2 + (h′(u))2 ve r(u)φ(u) > εh′(u) dır (Malkowsky ve ark. 2001). Örnek 4.1.9. (Ketanoid ve paralel yüzeyi) X (u,v) = (coshu cosv,cosh u sin v,u); ∀u,v ∈ R (4.1.18) yaması ile verilen Ketanoid yüzeyi S ise paralel yüzeyi S ∗ Y (u,v) = (ρ(u) cosv, ρ(u)sin v,ψ (u)) (4.1.19) parametrelendirilmesine sahiptir. Burada 40 ρ(u) = cosh u ε− , (4.1.20) cosh u ve ψ (u) = u + ε tanh u (4.1.21) dır (Malkowsky ve ark. 2001). Ayrıca ∀u ∈ R ve ε < 1 için cosh 2 u > ε dır. Bununla beraber S ve S ∗ ın Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K 1= − 2 , H = 0 (4.1.22) cosh u ve 1 ε K ∗ = − 4 2 , H ∗ = 4 2 (4.1.23) cosh u − ε cosh u − ε dır. Böylece son eşitliklerden (4.1.13) denkleminin sağlandığı görülür. Örnek 4.1.10. ( Helikoid ve paralel yüzeyi) X (u,v) = (u cosv,u sin v,bv); ∀u,v ∈ R yaması ile verilen helikoid yüzeyi S nin paralel yüzeyi r Y (u, v) = X (u, v) + ε N (u, v) olup burada r N (u,v) 1= 2 (sin v,cosv,u) 1+ u dir. Böylece S nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırası ile 2 K b= − 2 , H = 0 (4.1.24) (b 2 + u 2 ) dir. (4.1.10) ve (4.1.11) eşitlikleri yardımıyla 2 2 K ∗ − b ∗ εb= 2 , H = 2 (4.1.25) (b 2 + u 2 ) − ε 2b2 (b2 + u 2 ) − ε 2b2 dir. Böylece son eşitliklerden (4.1.13) denkleminin sağlandığı görülür. 41 Sonuç 4.1.11. S ∗ yüzeyi S nin paralel yüzeyi olsun. Eğer S ∗ minimal ise S ∗ düzdür ya da S yüzeyi eğrilikleri oranı sabit olan bir yüzeydir. İspat. S ∗ paralel yüzeyi minimal ise K ∗ (H − εK ) = 0 elde edilir. Böylece ya K ∗ = 0 H yadaε = dır. K Sonuç 4.1.12. S ∗ yüzeyi S nin paralel yüzeyi olsun. Eğer S ∗ yüzeyi düz ise aşağıdaki durumlardan biri söz konusudur; i) S yüzeyi düzdür, veya ii) S ∗ paralel yüzeyi minimaldir. İspat. S ∗ yüzeyi minimal ise (4.1.12) denkleminden KH ∗ = 0 dır. Buradan ya K=0 dır yada H ∗ =0 dır. Önerme 4.1.13. X (u,v) = (r cosu cosv, r cosu sin v, r sin u); ∀u,v ∈ R regüler yaması ile verilen küre yüzeyi S ile paralel yüzeyi S ∗ nin Gauss eğrilikleri oranı H ∗ ∗ = r − ε (4.1.27) K dır. İspat. Küre yüzeyinin normal vektörü r N (u,v) = (−cosu cosv,−cosu sin v,−sin u) (4.1.28) dır. Böylece S ve S ∗ ın Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K 1 1= 2 , H = (4.1.29) r r ve K ∗ 1 ∗ r + ε= 2 2 , H = 2 2 (4.1.30) r − 2εr + ε r − 2εr + ε dir. Son eşitliklerden (4.1.27) elde edilir. 42 4.2 Fokal Yüzeyler Fokal yüzeyler doğruların kongrüasyonları olarak bilinen yüzeylerdir. Doğru kongrüasyonları ilk defa Hagen ve Pottman tarafından 1991 yılında görüntüleme alanında tanımlanmıştır (Hagen ve ark. 1991). E 3 de bir yüzeyi X (u,v) olmak üzere vektör değerli bir fonksiyon olarak tanımlayalım. Ayrıca N (u,v) vektörü de yüzey üzerinde birim normal vektör olsun. bununla birlikte E(u,v) birim vektörler kümesi olmak üzere doğru kongrüansı C(u,v, z) = X (u,v) + zE(u,v) (4.2.1) ile tanımlanır. Her bir (u,v) için (4.2.1) denklemi kongrüansın bir doğrusunu belirtir ve üreteç olarak adlandırılır. Burada z parametresi işaretli uzaklıktır. Ayrıca C nin üreteç üzerinde iki özel (reel, sanal ya da birim) nokta vardır. Bu noktalar fokal noktalar olarak adlandırılır. Bu noktalar üreteçli oskülatör noktalarıdır. Bu nedenle fokal yüzey fokal noktaların bir geometrik yeri olarak tanımlanır. Genel olarak iki adet fokal yüzey vardır. Eğer E(u,v)=N(u,v) ise C = CN birim normal kongrüansıdır. Böylece CN fokal yüzeyinin parametrik gösterimi; Yi (u,v) = X (u,v) + k −1 i (u,v)N (u,v), i = 1, 2 (4.2.2) dir. Burada k1 ve k2 fonksiyonları X(u,v) yüzeyinin asli eğrilik fonksiyonlarıdır (Hagen ve ark. 1992). X(u,v) yüzeyi üzerindeki bir X (u0 ,v0 ) noktasındaki normal kesit eğrisinin eğrilik merkezi bu noktadaki normal vektörünün belli bir katına karşılık gelir. Bu parçanın ekstrem değerleri iki asli doğrultunun eğriliklerinin merkezidir. Bu iki nokta fokal noktalara karşılık gelir. Bu nedenle doğru kongrüansı iki yüzeye değen doğruların kümesi olarak düşünülür. Bu iki yüzey ise doğru kongrüansının fokal yüzeyidir. Böylece normal kongrüansının fokal noktaları iki asli yönün eğrilik merkezleridir (Hoschek 1971). Küre yüzeyinin fokal yüzeyleri bir noktada dejenere olur. Dupin yüzeylerinin fokal yüzeyleri eğrilere dejenere olan yüzeylerdir (Hagen ve ark. 1992). 43 Önerme 4.2.1. Örnek 4.1.8 de verilen dönel yüzeyinin fokal yüzeyleri; Yi (u,v) = (ρ i (u) cosv, ρ i (u)sin v,ψ i (u)) (4.2.3) biçimindedir. Burada ′ ρ (u) h (u)i = r(u) − , (4.2.4) φ(u)ki (u) ′ ψ (u) h(u) r (u)i = − , (4.2.5) φ(u)ki (u) olup φ(u) = (r′(u))2 + (h′(u))2 (4.2.6) dır (Malkowsky ve ark. 2001). Örnek 4.2.2. (Tor yüzeyi) Tor yüzeyinin Fokal yüzeyleri doğru ve çembere dejenere olur. Şekil 4.2.1. Şekil 4.2.1. Tor yüzeyinin fokal yüzeyleri Örnek 4.2.3. Örnek 4.1.9 da verilen Ketanoid yüzeyi r(u) = coshu, h(u) = u (4.2.7) fonksiyonları ile tanımlı bir dönel yüzeydir. Böylece (4.2.3) - (4.2.6) yardımıyla Yi (u,v) = ((cosh u ±1)cosv, (cosh u ±1)sin v,u ± sinh u) elde edilir. Böylece aşağıdaki Maple komutları yardımıyla Ketanoid yüzeyi ve Fokal yüzeylerinin grafiğini çizdirebiliriz (Bkz. Şekil 4.2.2.). plot3d([cosh(x)*cos(y),cosh(x)*sin(y),x],x=-1..1,y=-Pi..Pi); 44 plot3d([(cosh(x)+1)*cos(y),(cosh(x)+1)*sin(y),x+sinh(x)],x=-1..1,y=-Pi..Pi); plot3d([(cosh(x)-1)*cos(y),(cosh(x)-1)*sin(y),x-sinh(x)],x=-1..1,y=-Pi..Pi); Şekil 4.2.2. Ketenoid ve Fokal yüzeyleri Örnek 4.2.4. (Lokal yüzey modeli) X (u,v) = (u,v,ϕ(u,v)); ϕ(u,v) 1= (au 2 + 2buv + cv2 ); a,b ∈ R (4.2.8) 2 Monge yaması ile verilen yüzey modeli için k 1i = ⎜⎛a + c m (a − c)2 + 4b 2 ⎟⎞ 1 ≤ i ≤ 2 2 ⎝ ⎠ dir. Bu yüzeyin fokal yüzeyleri; a + c ≠ (a − c)2 + 4b2 a + c ≠ (a − c)2 + 4b 2 a 2 + 2ac + c 2 ≠ a 2 − 2ac + c 2 + 4b2 4ac ≠ 4b2 ac ≠ b2 için tanımlıdır. Böylece Monge yamasının fokal yüzeyleri; 1 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 Y (u,v) X (u,v) ⎜ a + c + 2b ⎟ (− (au + 2bv),−(cv + 2bu),1)1 = + ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ (au + 2bv)2 + (cv + 2bu)2 +1 ⎛ ⎞ Y (u,v) X (u,v) 2 arctan⎜ a + c ⎟ (− (au + 2bv),−(cv + 2bu),1)2 = + − π ⎜⎝ (a − c)2 + 4b2 ⎟⎠ (au + 2bv)2 + (cv + 2bu)2 +1 dir. 45 Tanım 4.2.5. E n de X :U ⊂ R 2 → E n (u,v) → (u,v, h3 (u,v),K, hn (u,v)) hi (u,v) = fi (u) + gi (v) 3 ≤ i ≤ n (4.2.9) yaması ile verilen yüzey öteleme ( translation) yüzeyi olarak adlandırılır (Dillen ve ark. 1990). Tanımdan da anlaşılacağı üzere öteleme yüzeyleri iki eğrinin toplam yüzeyleridir. Yani α (u) → (u,0, f3 (u), f 4 (u)K, f n (u)) β (v) → (0,v, g3 (v), g 4 (v)K, gn (v)) için X (u,v) = α (u) + β (v) (4.2.10) dir (Dillen ve ark. 1990). Örnek 4.2.6. (Paraboloid) X (u,v) = (u,v,u 2 + v 2 ) yaması ile verilen paraboloid yüzeyi α(u) = (u, 0, u2) ve β(v) = (0, v, v2) eğrilerinin toplam yüzeyidir. Bu yüzeyinin fokal yüzeylerinin hesabı için EK 2 deki Maple programı kullanıldığında bu yüzeyler için Y1(u,v) = (0,0, ½ +u2+v2), ve Y (u,v) = (-4u(u2+v2), -4v(u2+v2), ½ +3u22 +3v2) yamaları elde edilir (Bkz. Şekil 4.2.3.). 46 Şekil 4.2.3. Paraboloid ve fokal yüzeyleri Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 4.2.7 E 3 ’de bir öteleme yüzeyi M X (u,v) = (u,v, f (u) + g (v)) (4.2.11) regüler yaması verilsin. Bu taktirde M nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla d 2 f (u) d 2 g(v) 2 K= du dv 2 2 (4.2.12) ⎛ ⎜1 ⎛ df (u) 2 ⎞ dg(v) 2 ⎞ ⎜ + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ du ⎠ ⎝ dv ⎠ ⎟⎠ ve ⎛ ⎜1 ⎛ dg(v) 2 ⎞ ⎞⎟ d 2 f (u) ⎛ 2 + ⎛ df (u) ⎞ ⎞ d 2 g(v) ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜1+ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ dv ⎠ ⎟⎠ du 2 ⎜ ⎝ ⎝ du ⎠ ⎟ dv 2 H = ⎠3 / 2 (4.2.13) ⎛ ⎜1 ⎛ df (u) 2 dg(v) 2 ⎞ ⎜ + ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ du ⎠ ⎝ dv ⎠ ⎟⎝ ⎠ dır. İspat. (4.0.9) ve (4.0.10) denklemlerimde h(u,v)=f(u) + g(v) alındığında istenilen sonuç elde edilir. H. Liu 1999 da yaptığı çalışmada aşağıdaki sonucu elde etmiştir. 47 Teorem 4.2.8. M, 3-boyutlu Öklid uzayda sabit Gauss eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun. Bu taktirde K = 0 ise M yüzeyi silindir yüzeyinin bir parçasıdır. Böylece aşağıdaki sonuçları elde ederiz. Sonuç 4.2.9. M, 3-boyutlu Öklid uzayda düz bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda M yüzeyi ya E² ⊂ E³ düzleminin bir parçasıdır ya da düzlemsel α(u) (veya α(v)) eğrisi üzerine kurulan silindirin bir parçasıdır. İspat. Eğer M düz bir yüzey ise bu durumda (4.2.12) denklemi yardımıyla 2 2 d f (u) d g(v)2 2 =0, du dv dır. Böylece iki durum söz konusudur; 2 Durum I: d f (u) 2 0 ve d g(v)2 = 2 = 0 dır. du dv d 2Durum II: f (u) 2 2 = 0 veya d g(v) 2 = 0 dır. du dv Birinci durum için α(u) ve α(v) düz doğrulardır ve sonuçta oluşan öteleme yüzeyi E² ⊂ E³ düzleminin bir parçası olur. İkinci durum için α(u) veya α(v) eğrilerinden biri düz bir doğru iken diğeri bir düzlem eğrisidir ve meydana gelen öteleme yüzeyi bu eğri üzerine kurulan silindirin bir parçasıdır. Sonuç 4.2.10. M yüzeyi (4.2.11) yaması ile verilen bir öteleme yüzeyi olsun. M yüzeyi minimal ise f (u) 1= log(cos(au)), a g(v) 1= log(cos(av)), a dır (Scherk 1935). Böylece minimal öteleme yüzeyleri aynı zamanda Scherk yüzeyleri olarak da adlandırılır. H.Liu 1999 yılında yaptığı çalışmada aşağıdaki sonucu ispatlamıştır. 48 Teorem 4.2.11. M, 3-boyutlu Öklid uzayda sabit ortalama eğrilikli (H ≠ 0) bir öteleme yüzeyi olsun. Bu taktirde M yüzeyi ya E³ ün bir parçasıdır yada 2 f (u) − 1+ a+ g(v) = 1− 4H 2a 2 − av, a ∈ R 2H ile verilen yüzeydir. Yüksek boyutlu hal için (Verstraelen 1994) e bakınız. 4.3 Genelleştirilmiş Fokal Yüzeyler Genelleştirilmiş fokal yüzeyler Hagen and Hahmann (1992) tarafından tanımlanmıştır. Verilen bir E(u,v) birim vektöri için C(u,v) = X (u,v) + D(u,v)E(u,v) (4.3.1) formunda bir doğru kongrüansı tanımlanır. Burada D(u,v); X(u,v) ile E(u,v) arasındaki uzaklıktır. Eğer E(u,v) = N(u,v) ise bu taktirde C bir normal kongrüanstır. Eğer D(u,v) = k −11 (u,v) veya D(u,v) = k −1 2 (u,v) alınırsa fokal yüzeyi elde edilir ve bu yüzey CF (u,v) parametrelendirilmesiyle ile verilen özel bir normal kongrüanstır. Böylece C −1F (u,v) = X (u,v) + ki (u,v)N (u,v), i = 1, 2 (4.3.2) dir. Fokal yüzeylerin genelleştirilmesi Y (u,v) = X (u,v) + f (k1 , k2 )(u,v)N (u,v) (4.3.3) parametrelendirilmesiyle ile tanımlanır. Burada N , X yamasının birim normal vektörüdür ve F ise k1 , k2 asli eğrilik fonksiyonlarına bağlı reel değerli bir fonksiyondur (Hahmann 1999). (4.3.3) parametrelendirilmesi ile tanımlanan y yamasının ofset fonksiyonu için aşağıdaki durumlar incelendi; 49 i) f = k1k2 Gauss eğrilik fonksiyonu, 1 ii) f = (k1 + .k2 ) ortalama eğrilik fonksiyonu, 2 iii) f = k 21 + k 2 2 enerji fonksiyonu, iv) f = k1 + k2 tamdeğer eğrilik fonkiyonu, v) f = ki asli eğrilik fonksiyonu, 1 vi) f = fokal noktalar, ki vii) f=sabit, ofset yüzeyler. Açıklama 4.3.1. (4.0.7) eşitliklerinin yardımıyla ofset fonksiyonlarını aşağıdaki gibi seçebiliriz; a) f = K, Gauss eğrilik, b) f = H, ortalama eğrilik, c) f = K - H, eğrilikler farkı, d) f = H + H 2 − K ,ya da e) f = H − H 2 − K asli eğrilik, f) f = 4H²-2K, enerji fonksiyonali, g) f = H + H 2 − K + H − H 2 − K , tam değer eğrilik, h) f = sabit, ofset yüzeyleri. Tanım 4.3.2 X (u,v) regüler bir yüzey olmak üzere Y (u,v) = x(u,v) + f (k1 , k2 )N (u,v) (4.3.4) biçimi tanımlanan yüzeye X(u,v) nin genelleştirilmiş fokal yüzeyi denir. Burada f (k1, k2 ) skalar fonksiyonu k1 ve k2 asli eğriliklerine bağlıdır (Hagen ve ark. 1992). k 2 + k 2 f (k , k 1 21 2 ) = , (4.3.4)* k1 + k2 olsun. Bu durumda X(u,v) nin genelleştirilmiş fokal yüzeyi k 2 + k 2 Y (u, v) = X (u, v) + 1 2 N (u, v) ; k1 ≠ k2 (4.3.5) k1 + k2 parametrelendirilmesine sahiptir (Hagen ve ark. 1992). 50 Önerme 4.3.3. X(u,v) yüzeyi minimal olmayan bir regüler yüzey olsun. X(u,v) in Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K ve H ≠ 0 olmak üzere X(u,v) nin (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyi 2 Y (u,v) X (u,v) 2H − K= + N (u,v) (4.3.6) H biçiminde bir parametrelendirilmeye sahiptir. İspat. K = k1k2 ve H 1 = (k1 + k2 ) yardımıyla (4.3.4)* denklemi kullanılarak istenilen 2 sonuç elde edilir. Örnek 4.3.4. X (u,v) = (r cosu cosv, r cosu sin v, r sin u); ∀u,v ∈ R yaması ile verilen küre yüzeyini göz önüne alalım. Kürenin normali (4.1.28) denkleminden r N (u,v) = (− cosu cosv,−cosu sin v,−sin u) dir. Gauss ve ortalama eğrilikleri ise (4.1.29) eşitliğinden K 1= 2 , H 1 = r r elde edilir. Bu durumda kürenin genelleştirilmiş fokal yüzeyi; Y (u,v) = (r cosu cos v, r cosu sin v, r sin u) 1+ (− cosu cos v,− cosu sin v,− sin u) r dir. Önerme 4.3.5. Eğer X(u,v) regüler yüzeyi minimal olmayan düz bir yüzey ise X(u,v) nin (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyi Y (u,v) = X (u,v) + 2H N (u,v) (4.3.7) parametrelendirmeye sahiptir. İspat. X yüzeyi flat ise K = 0 dır. Böylece (4.3.6) denkleminden istenilen sonuç elde edilir. Örnek 4.3.6. (Silindir yüzeyinin genelleştirilmiş fokal yüzeyi) Silindir yüzeyi 51 X (u,v) = (bcosv,bsin v,u) ;b ∈ R (4.3.8) yaması ile verilsin. Bu yama ile verilen silindir yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; K = 0, H 1= 2b dır. Birim normal vektörü ise; N (u,v) = (−cosv,−sin v, 0) dır. Böylece (4.3.7) denkleminden Y (u,v) = (bcosv,bsin v,u) 1+ (−cosv,−sin v, 0) (4.3.9) b elde edilir. Örnek 4.3.7. X (u,v) = (u cosv,u sin v,a~u) ; a~ ∈ R yaması ile verilen koni yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; ~ K 0 , H a= = − (4.3.10) 2u a~ 2 +1 dır. Yüzeyin birim normal vektörü ise; N (u,v) 1= ~ ~ a~ (−a cosv,−a sin v,1) (4.3.11) 2 +1 dır. Bu nedenle koni yüzeyinin (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyi; ⎛ ~ 2 ~ 2 ~ ⎞ Y (u,v) = ⎜⎜ (u a + ~ 2 )cos v, (u a )sin v,u a+ − ⎟ (4.3.12) ⎝ u(a +1) u(a~ 2 +1) u(a~ 2 +1) ⎟⎠ parametrelendirmeye sahiptir. Böylece a~ = 1 için (4.3.12) denklemi Y (u,v) 1= ⎛⎜ (u + ) cosv, (u 1 1 + )sin v,u − ⎞⎟ ⎝ 2u 2u 2u ⎠ biçimine dönüşür. Teorem 4.3.9. (4.3.5) denklemi ile verilen X yüzeyinin genelleştirilmiş fokal yüzeyi Y olsun. Eğer X ve Y yüzeyleri regüler ise Y nin Gauss eğriliği K~ 52 K~ (nl − m 2 ) + ϕ(u,v) = 2 (4.3.13) (EG − F ) +ψ (u,v) dir. Burada ϕ(u,v) = lf vv − lfk 2 2 + fuu n + fuu fvv − ffuu k 2 2 (4.3.14) − fk 2 2 2 21 n − ff vvk1 + f k1 k 2 2 2 − 2mfuv − fuu ve ψ (u,v) = −2Efn + Ef 2v + Ef 2k 22 − 2 flG + 4 f 2l.n − 2 ff 2v l − 2 f 3k 22 + f 2u G − 2 ff 2n + f 2 2 2u fu k2 (4.3.15) + f 2k 21 G − 2 f 3k 2n + f 2 f 2k 2 4 21 v 1 + f k1 k 2 1 + 4Fm − 4m2 − 2Ffu f v + 4mfu fv dir. İspat. X(u,v) yüzeyinin genelleştirilmiş fokal yüzeyi Y(u,v) parameterelendirilnesi (4.3.5) denklemi ile verilsin. Böylece F nin I.temel form katsayıları E~ , F~ ,G~ ve ikinci temel form katsayıları ise ~l , m~ , n~ olsun. Bu durumda; E~ = Fu , Fu = (X u + fu N + fNu ), (X u + fu N + fNu ) = X u , X u + 2 f Nu , X 2 u + fu N , N + f 2 Nu , Nu ⇒ E~ = E − 2 fl + f 2 + f 2k 2u 1 (4.3.16) F~ = Fu , Fv = (X u + fu N + fNu ), X v + f v N + fNv = X u , X v − 2 N , X uv + fu f v ⇒ F~ = F − 2m + fu f v (4.3.17) G~ = Fv , Fv = (X v + f v N + fN v ), (X v + f v N + fN v ) = X v , X v + 2 f N v , X v + f 2 v N , N + f 2 N v , N v ~ ⇒ G = G − 2 fn + f 2 + f 2k 2v 2 (4.3.18) olarak F nin I. temel form katsayıları hesaplanmış olur. II. temel form katsayılarını hesaplamadan önce Fuu , Fuv , Fvv değerlerini hesaplayalım. 53 Fuu = X uu + fuu N + 2 fu Nu + fNuu Fvv = X vv + f vv N + 2 f v Nv + fNvv Fuv = X uv + fuv N + fu Nv + f v Nu + fNuv Böylece F nin II. temel form katsayıları; ~l = N , Fuu = N , (X uu + fuu N + 2 fu Nu + fNuu ) ~ ⇒ l = l + f 2uu − fk1 (4.3.19) m~ = N , Fuv = N , (X uv + fuv N + fu Nv + f v Nu + fNuv ) ⇒ m~ = m + fuv (4.3.20) n~ = N , Fvv = N , (X vv + f vv N + 2 f v Nv + fNvv ) ⇒ n~ = n + f 2vv − fk2 (4.3.21) olarak hesaplanmış olur. Böylece F nin K~ Gauss eğriliği; ~ ~ K~ l .n − m ~ 2 = E~G~ − F~ 2 olmak üzere değerler yerine yazılırsa; ~ (l + fuu − fk 2 1 ).(n + f vv − fk 2 2 ) − (m + f ) 2 K = uv (E − 2 fl + f 2 + f 2k 2 )(G − 2 fn + f 2 + f 2k 2 (4.3.22) u 1 v 2 ) − (F − 2m + fu f ) 2 v olarak elde edilir. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa (4.3.13) eşitliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Sonuç 4.3.10. Eğer (4.3.5) denklemi ile verilen X yüzeyinin genelleştirilmiş fokal yüzeyi düz ise (4.3.15) eşitliğinde verilen ϕ(u,v) için aşağıdaki eşitlik söz konusudur; ϕ(u,v) = −(nl − m2 ) (4.3.23) dir. Burada l, n ve m X yüzeyinin II. temel form katsayılarıdır. Sonuç 4.3.11. Eğerϕ(u,v) = 0 veψ (u,v) = 0 ise K~ = K dır. 54 4.4. Maple Yardımıyla Uygulamalar E 3 de X(u,v) = (a(u,v), b(u,v) ,c(u,v)) yaması ile verilen yüzeylerin Gauss eğriliği K, ortalama eğrilik H ve asli eğrilikleri k1, k2 yi hesaplamak için EK 4 deki Maple programını geliştirdik. Önerme 4.4.1. (Dönel yüzey) > a:=r(u)*cos(v): > b:=r(u)*sin(v): > c:=h(u): yaması ile verilen dönel yüzeyin Gauss ve ortalama eğrilikleri Ek 4 de verilen Maple programı yardımıyla ⎜⎛ ⎛⎜ d 2 2 ⎜ ⎜ 2 r( u ) ⎟ ⎞ ⎛ d ⎛ d ⎞ d ⎞ d ⎟ ⎜⎜ du h( u ) ⎟ ⎞ ⎟ − ⎜⎜ 2 h( u ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ du du ⎟ ⎟ ⎜⎜ du r( u ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜du h( u ) ⎟⎟ K := − ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 2 2 d d ⎞ r( u ) ⎜⎜ ⎛⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎝ ⎜⎝du r( u ) ⎟⎟ + ⎜⎜du h( u ) ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎟⎠ ⎠⎟ ve ⎛ H := 1 ⎜ r( u ) ⎜⎛ d 2 2 − ⎜ r( u ) ⎟ ⎞ ⎛ d 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜⎜du h( u ) ⎞ d⎟⎟ − r( u ) ⎜ ⎛ ⎜ 2 h( u ) ⎞⎟ ⎛ d⎜ r( u ) ⎞⎟ ⎜ ⎟du ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝du ⎠ ⎝du ⎠ 2 3 ⎛ d d d ⎞ ⎛ − ⎜⎜ du h( u ) ⎞⎟ ⎛⎜ r( u ) ⎟⎞ − ⎜⎛ h( u ) ⎟⎞ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝du ⎟⎠ ⎜⎝du ⎠⎟ ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎛ 2 2 2 2 ⎜ ⎛ d dr( u ) ⎜ ⎜ r( u ) ⎟⎞ + ⎛⎜ h( u ) ⎟⎞ ⎟ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ d d ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎛⎜ r( u ) ⎟⎞ + ⎜⎛ h( u ) ⎟⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎝ ⎝⎜du ⎠⎟ ⎝⎜du ⎠⎟ ⎟⎠ ⎝⎜ ⎝⎜du ⎠⎟ ⎝⎜du ⎟⎠ ⎠⎟ ⎟⎠ olarak hesaplanır. 55 Örnek 4.4.2. (Helikoid) > a:=u*cos(v): > b:=u*sin(v): > c:=v: yaması ile verilen dönel yüzeyin Gauss ve ortalama eğrilikleri Ek 4 de verilen Maple programı yardımıyla K 1= − 2 2 , H = 0, (1+ u ) olarak hesaplanır. Böylece aşağıdaki Maple komutları yardımıyla Helikoid ve Fokal yüzeylerinin grafiğini çizdirebiliriz (Bkz. Şekil 4.4.1.). > plot3d([a, b, c], u=-2..2, v=-Pi..Pi); > plot3d([a+(1/k1)*n1, b+(1/k1)*n2, c+(1/k1)*n3], u=-1.7..1.7, v=-5..5); > plot3d([a+(1/k2)*n1, b+(1/k2)*n2, c+(1/k2)*n3], u=-1.7..1.7, v=-5..5); Şekil 4.4.1. Helikoid ve Fokal yüzeyleri Helikoid yüzeyi minimal olduğundan (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyi tanımlı değildir. 56 Örnek 4.4.3. Tor Yüzeyi > a:=(3+cos(v))*cos(u): > b:=(3+cos(v))*sin(u): > c:=sin(v): yaması ile verilen tor yüzeyinin ile (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyinin grafikleri Şekil 4.4.2. ve fokal yüzeyleri ise Şekil 4.4.3. de verilmiştir. Şekil 4.4.2. Tor yüzeyi ve genelleştirilmiş fokal yüzeyi Şekil 4.4.3 Tor yüzeyinin fokal yüzeyleri 57 Örnek 4.4.4. (lokal yüzey modeli) > a:=u: > b:=v: > c:=(1/2)*(u^2+5*v^2): yaması ile verilen lokal yüzey modeli ve (4.3.4)* ofset fonksiyonu ile verilen genelleştirilmiş fokal yüzeyinin grafikleri Şekil 4.4.4 de ve fokal yüzeyleri ise Şekil 4.4.5. de verilmiştir. Şekil 4.4.4. Lokal yüzey modeli ve genelleştirilmiş fokal yüzeyi Şekil 4.4.5. Lokal yüzey modelinin fokal yüzeyleri 58 Örnek 4.4.5. (lokal yüzey modeli I) > a:=u: > b:=v: > c:=u^2+v^2: yaması ile verilen lokal yüzey modelinin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; K 4 2(1+ 2v 2 + 2u 2 ) = ; H = (4u 4 + 4v 4 +1)2 3(4u 4 + 4v 4 +1) 2 dır. Böylece bu yüzeyin Açıklama 4.3.0 da verilen genelleştirilmiş fokal yüzeylerinin Maple komutları yardımıyla grafikleri Şekil 4.4.6. h(u,v)= u 2 + v 2 yüzeyi ve bunun Genelleştirilmiş fokal Yüzeyleri 59 Örnek 4.4.6. (lokal yüzey modeli II) > a:=u: > b:=v: > c:=u^3+v^3: yaması ile verilen lokal yüzey modelinin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla; 36uv 3(u + 9uv 4 + 9vu 4K )= 4 4 2 ; H = 3 (9u + 9v +1) (9u 4 + 9v 4 +1) 2 dır. Böylece h(u,v)= u³+v³ öteleme yüzeyi ve bu yüzeyin Açıklama 4.3.1 de verilen genelleştirilmiş fokal yüzeylerinin Maple komutları yardımıyla grafikleri Şekil 4.4.7. h(u,v)= u³+v³ yüzeyi ve bunun Genelleştirilmiş focal Yüzeyleri 60 EKLER EK 1 > restart:with(linalg): > r:=x->[cos(x),sin(x),cos(2*x),sin(2*x),x]: > E1:=diff(r(x),x): > norm(E1,2): > normE1:=simplify((1+(sin(x))^2+(cos(x))^2+4*(sin(2*x))^2+4*(cos(2*x))^2)^(1/2)): > V1:=E1/normE1; > E2:=diff(E1,x): > norm(E2,2); > normE2:=simplify(((cos(x))^2+(sin(x))^2+16*(cos(2*x))^2+16*(sin(2*x))^2)^(1/2)); > V2:=E2/normE2; > diff(E2,x)-(dotprod(diff(E2,x),E1)/dotprod(E1,E1))*E1: >E3:=simplify([sin(x), -cos(x), 8*sin(2*x), -8*cos(2*x), 0]-(-sin(x)*sin(x)- cos(x)*cos(x)-16*sin(2*x)*sin(2*x)- 16*cos(2*x)*cos(2*x))/(1+sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)+4*sin(2*x)*sin(2*x)+4*cos(2* x)*cos(2*x))*[-sin(x), cos(x), -2*sin(2*x), 2*cos(2*x), 1]): > evalm(norm(E3,2)): >normE3:=simplify(1/6*(289+121*(sin(x))^2+121*(cos(x))^2+196*(sin(2*x))^2+196* (cos(2*x))^2)^(1/2)): > V3:=E3/normE3; > T3:=diff(E2,x):T4:=diff(T3,x):T4+(dotprod(T4,E2)/dotprod(E2,E2))*E2: > E4:=simplify([cos(x), sin(x), 16*cos(2*x), 16*sin(2*x), 0]+(-cos(x)*cos(x)- sin(x)*sin(x)-64*cos(2*x)*cos(2*x)- 64*sin(2*x)*sin(2*x))/(cos(x)*cos(x)+sin(x)*sin(x)+16*cos(2*x)*cos(2*x)+16*sin(2* x)*sin(2*x))*[-cos(x), -sin(x), -4*cos(2*x), -4*sin(2*x), 0]): > norm(E4,2): >normE4:=simplify(2/17*(1681*(cos(x))^2+1681*(sin(x))^2+70756*(cos(2*x))^2+707 56*(sin(2*x))^2)^(1/2)). 61 > V4:=E4/normE4; >T5:=diff(T4,x):T5- (dotprod(T5,E1)/dotprod(E1,E1))*E1+(dotprod(T5,E3)/dotprod(E3,E3))*E3: >E5:=simplify([-sin(x), cos(x), -32*sin(2*x), 32*cos(2*x), 0]- (sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)+64*sin(2*x)*sin(2*x)+64*cos(2*x)*cos(2*x))/(1+sin(x)* sin(x)+cos(x)*cos(x)+4*sin(2*x)*sin(2*x)+4*cos(2*x)*cos(2*x))*[-sin(x), cos(x), - 2*sin(2*x), 2*cos(2*x), 1]+(11/6*sin(x)*sin(x)+11/6*cos(x)*cos(x)- 224/3*sin(2*x)*sin(2*x)- 224/3*cos(2*x)*cos(2*x))/(289/36+121/36*sin(x)*sin(x)+121/36*cos(x)*cos(x)+49/9* sin(2*x)*sin(2*x)+49/9*cos(2*x)*cos(2*x))*[-11/6*sin(x), 11/6*cos(x), 7/3*sin(2*x), - 7/3*cos(2*x), 17/6]): > norm(E5,2): > evalm(norm(E5,2)): >normE5:=simplify(1/303*(48958009+28976689*(sin(x))^2+28976689*(cos(x))^2+38 316100*(sin(2*x))^2+38316100*(cos(2*x))^2)^(1/2)): >V5:=E5/normE5; çatısı elde edilir. Ayrıca α (t) eğrisinin Frenet eğrilikleri aşağıda verilen Maple komutu yardımıyla hesaplanır > K1:=dotprod(diff(V1,x),V2)/normE1: >K1:=simplify(1/6*(1/102*6^(1/2)*cos(x)*17^(1/2)*cos(x)+1/102*6^(1/2)*sin(x)*17^( 1/2)*sin(x)+8/51*6^(1/2)*cos(2*x)*17^(1/2)*cos(2*x)+8/51*6^(1/2)*sin(2*x)*17^(1/2 )*sin(2*x))*6^(1/2)); > K2:=dotprod(diff(V2,x),V3)/normE1: >K2:=simplify(1/6*(11/10302*17^(1/2)*sin(x)*606^(1/2)*sin(x)11/10302*17^(1/2)*co s(x)*606^(1/2)*cos(x)+56/5151*17^(1/2)*sin(2*x)*606^(1/2)*sin(2*x)+56/5151*17^( 1/2)*cos(2*x)*606^(1/2)*cos(2*x))*6^(1/2)); > K3:=dotprod(diff(V3,x),V4)/normE1; > K3:=simplify(1/6*(-451/43896822*606^(1/2)*cos(x)*72437^(1/2)*cos(x)- 451/43896822*606^(1/2)*sin(x)*72437^(1/2)*sin(x)+3724/21948411*606^(1/2)*cos(2 *x)*7 62 EK 2 > a:=u: > b:=v: > c:=u^2+v^2: > L:=(x1-a)^2+(x2-b)^2+(x3-c)^2: > A:=simplify(diff(L,u)): > B:=simplify(diff(L,v)): > C:=simplify(diff(A,u)): > DD:=simplify(diff(B,v)): > EE:=simplify(diff(diff(L,u),v)): > H:=simplify(C*DD-EE^2): > SON:=[A=0,B=0,H=0]: > sols:=solve(SON,{x1,x2,x3}): > Y1:=factor(sols[1]): > Y2:=factor(sols[2]): EK 3 > restsrt:with(linalg): > r:=x->[cos(x),sin(x),cos(2*x),sin(2*x)]; > E1:=diff(r(x),x); > E1 := [-sin(x), cos(x), -2*sin(2*x), 2*cos(2*x)]; > norm(E1,2); >normE1:=simplify(((sin(x))^2+(cos(x))^2+4*(sin(2*x))^2+4*(cos(2*x))^2)^(1/2)); > V1:=E1/normE1; > E2:=diff(E1,x); > norm(E2,2); >normE2:=simplify(((cos(x))^2+(sin(x))^2+16*(cos(2*x))^2+16*(sin(2*x))^2)^(1/2)); > V2:=E2/normE2; > diff(E2,x)-(dotprod(diff(E2,x),E1)/dotprod(E1,E1))*E1; 63 >[sin(x), -cos(x), 8*sin(2*x), -8*cos(2*x)]-(-sin(x)*sin(conjugate(x))- cos(x)*cos(conjugate(x))-16*sin(2*x)*sin(2*conjugate(x))- 16*cos(2*x)*cos(2*conjugate(x)))/(sin(x)*sin(conjugate(x))+cos(x)*cos(conjugate(x))+ 4*sin(2*x)*sin(2*conjugate(x))+4*cos(2*x)*cos(2*conjugate(x)))*[-sin(x), cos(x), - 2*sin(2*x), 2*cos(2*x)]; > E3:=simplify([sin(x), -cos(x), 8*sin(2*x), -8*cos(2*x)]-(-sin(x)*sin(x)-cos(x)*cos(x)- 16*sin(2*x)*sin(2*x)- 16*cos(2*x)*cos(2*x))/(sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)+4*sin(2*x)*sin(2*x)+4*cos(2*x) *cos(2*x))*[-sin(x), cos(x), -2*sin(2*x), 2*cos(2*x)]); > evalm(norm(E3,2)); > normE3:=simplify(6/5*(4*(sin(x))^2+4*(cos(x))^2+(sin(2*x))^2+(cos(2*x))^2)^(1/2)); > V3:=E3/normE3; > T3:=diff(E2,x):T4:=diff(T3,x):T4+(dotprod(T4,E2)/dotprod(E2,E2))*E2; > E4:=simplify([cos(x), sin(x), 16*cos(2*x), 16*sin(2*x)]+(-cos(x)*cos(x)- sin(x)*sin(x)-64*cos(2*x)*cos(2*x)- 64*sin(2*x)*sin(2*x))/(cos(x)*cos(x)+sin(x)*sin(x)+16*cos(2*x)*cos(2*x)+16*sin(2* x)*sin(2*x))*[-cos(x), -sin(x), -4*cos(2*x), -4*sin(2*x)]); > norm(E4,2); >normE4:=simplify(2/17*(1681*(cos(x))^2+1681*(sin(x))^2+70756*(cos(2*x))^2+707 56*(sin(2*x))^2)^(1/2)); > V4:=E4/normE4; > dotprod(diff(V1,x),V2)/normE1; >K1:=simplify(1/5*(1/85*5^(1/2)*cos(x)*17^(1/2)*cos(x)+1/85*5^(1/2)*sin(x)*17^(1/ 2)*sin(x)+16/85*5^(1/2)*cos(2*x)*17^(1/2)*cos(2*(x))+16/85*5^(1/2)*sin(2*x)*17^(1 /2)*sin(2*(x)))*5^(1/2)); > dotprod(diff(V2,x),V3)/normE1; > K2:=simplify(1/5*(-2/85*5^(1/2)*sin(x)*17^(1/2)*sin(x)- 2/85*5^(1/2)*cos(x)*17^(1/2)*cos(x)+8/85*5^(1/2)*sin(2*x)*17^(1/2)*sin(2*(x))+8/8 5*5^(1/2)*cos(2*x)*17^(1/2)*cos(2*(x)))*5^(1/2)); > dotprod(diff(V3,x),V4)/normE1; 64 >K3:=simplify(1/5*(-82/362185*5^(1/2)*cos(x)*72437^(1/2)*cos(x)- 82/362185*5^(1/2)*sin(x)*72437^(1/2)*sin(x)+532/362185*5^(1/2)*cos(2*x)*72437^( 1/2)*cos(2*(x))+532/362185*5^(1/2)*sin(2*x)*72437^(1/2)*sin(2*(x)))*5^(1/2)); > c1:=1/K1; > c2:=diff(c1,x)/K1; > c3:=(diff(c2,x)+c1*K2)/K3; EK. 4. > xu1:=diff(a,u); xu2:=diff(b,u); xu3:=diff(c,u); > xv1:=diff(a,v); xv2:=diff(b,v); xv3:=diff(c,v); > E:=simplify(xu1*xu1+xu2*xu2+xu3*xu3); > F:=simplify(xu1*xv1+xu2*xv2+xu3*xv3); > G:=simplify(xv1*xv1+xv2*xv2+xv3*xv3); > u1:=simplify(xu2*xv3-xv2*xu3);u2:=simplify(-(xu1*xv3- xv1*xu3));u3:=simplify(xu1*xv2-xv1*xu2); > U:=[u1,u2,u3]; > W:=simplify(sqrt(u1^2+u2^2+u3^2)); > n1:=u1/W; > n2:=u2/W; > n3:=u3/W; > xuu1:=diff(xu1,u);xuu2:=diff(xu2,u);xuu3:=diff(xu3,u); > xuv1:=diff(xu1,v);xuv2:=diff(xu2,v);xuv3:=diff(xu3,v); > xvv1:=diff(xv1,v);xvv2:=diff(xv2,v);xvv3:=diff(xv3,v); > e:=simplify(xuu1*n1+xuu2*n2+xuu3*n3); > f:=simplify(xuv1*n1+xuv2*n2+xuv3*n3); > g:=simplify(xvv1*n1+xvv2*n2+xvv3*n3); > K:=simplify((e*g-f^2)/(E*G-F^2)); > H:=simplify((e*G+E*g-2*F*f)/(2*(E*G-F^2))); > k1:=(H+sqrt(H^2-K)): k2:=(H-sqrt(H^2-K)): 65 KAYNAKLAR Arnold V.I., 1995. On The Number of Flattenings Points of Space Curves, Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 171, p.11-12. Arnold V.I., 1998. Towards the Legendrian Sturm Theory of Space Curves, Funct. Anal. and Appl. Vol. 32 No.2. p.78-80. Arslan, K., 1993. Isoparametric Submanifolds with Pk-PNS. Phd. Thesis, Leeds University. Arslan, K. And West, A., 1996. Non Spherical Submanifolds with 2-Planar Normal Sections, Bull.Londan. Math. Soc.Vol 28, p.88-92. Bang-Yen Chen and Shi-Jie Li, 2004. The Contact Number of Euclidean Submanifold, Proceedings of the Edinburg Mathematical Society , 47, p.69-100. Carmo, M. P. Do, 1983. Differentialgeometrie von Kurven und Flachen, Vieweg Verlag, Wiesbaden, Braunschweig. Chen, B. Y., 1973. Geometry of Submanifolds. Newyork, M. Dekker. Chen, B. Y., 1981. Submanifolds with Planar Normal Sections. Soochow. J.Math. Vol 7, p.19-27. Chen, B. Y. and Verhayen, P., 1984. Submanifolds with Geodesic Normal Sections. Vol 269, p. 417-429. Dillen, F., Pas, J., and Verstralen, 1990. L., On the Gauss Map of Surface of Revolution, Bull. Inst. Math. Acod. Sinica 18, p.239-246. Elber, G., Kim, M. S., 1997. Geometric Shape Recognition of Freeform Curves and Surfaces CVGIP:Graphical Model and Image Processing 59(6):p.417-433. Gray, A., 1993. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRS Press, Inc. Görgülü, A., 1989. Relations Between The Mean Curvatures of the Parallel Submanifolds. Commun. Fac.Sci.Univ.Ank.Ser.A, V.38, Number 1-2, p. 87-93. 66 Görgülü, A., 1992. On The Curvatures of The Parallel Hypersurfaces. Commun. Fac. Sci. Univ. Ank.Series.A,V.41,p.85-91. Görgülü, A. and Özdamar E., 1989. Parallel Submanifolds Journal of Mathematics And Stastics of the Faculty of Arts and Science, Gazi Ünv.V.2, p.55-63. Hacısalihoğlu, H.H., 1983. Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları, No 2. Hagen, H., Pottman, H., Divivier, A., 1991. Visualization Functions on a Surface, Journal of Visualization and Animation, Vol. 2, p.52-58. Hoschek, J., 1971. Liniengeometrie,BI Zürich. Hagen,H., Hahmann, S. 1992. Generalized Focal Surfaces: A New Method for Surface Interrogation IEEE. Klingenberg, W., 1978. A Course in Differential Geometry, Springer Verlag. Liu., 1999. Translation Surfaces With Constant Mean Curvature in 3-Dimensional Spaces, Journal of Geometry, p.141-149. Looijenga, E.J.N., 1974. Structural Stability of Smooth Families of C ∞ -Functions, Doctoral Thesis, University of Amsterdam. Malkowsky,E., 2001. Velitkovic,V.,Visualization of Differential Geometry, Facta Universitatis, Mechanics, Automatic Control and Robotics, Vol.3, No.11, p.127-133. Malkowsky, E., 2001. Velickovic, V., Some geometric properties of screw surfaces and exponential cones, Proceedings of 10th Congres of Yugoslav Mathematicians, Belgrade, p.395-399. Monterde, J., 2004. Curves With Constant Curvature Ratios. Özgür, C., 1997, Noktasal k-Düzlemsel Normal Kesitlere Sahip Altmanifoldlar, Yüksek Lisans Tezi, Kocaeli Üniv. 67 Porteous, J.R., 1971. The Normal Singularities of Submanifols. J.Diff.Geom. 5, p.543- 564. Romero-Fuster M.C., 1999. Sanabria-Codesal E., Generalized evolutes, vertices and Conformal Invariants of Curves in Rn+1 , Indoy. Mathem., N. S.,10(2), p.297-305. Romero-Fuster M.C., Sanabria-Codesal E., 1999. Generalized Helices, Twistings and Flattenings of Curves in n-Space, Mat. Contemp. 17, Brasil. p.267-280. Shapiro, B., 1998. Discriminants of Convex Curves are Homeomorphic, Proceedings of the American Mat. Soc. Vol.126. No.7, p.1923-1930. Uribe-Vargas R., 2004. 4-Vertex Theorems, Sturm Theory and Lagrangian Singularities, Mathematical Physics, Geometry and Analysis, 7, p.223-237. Uribe-Vargas R., 2005. On Vertices, Focal Curvatures and Differential Geometry of Space Curves, Bull Braz. Math Soc, Vol.36, N.3. Uribe-Vargas R., 2004. On Singularities, ‘Perestroikas’ and Differential Geometry of Space Curves, L’Enseigement Mathématique, 50, p.69-101. Uribe-Vargas R., 2001. Singularities symplectiques et de contact en geometrie differentielle des courbes et des surfaces, P.H.D. Thesis. Verhayen, P., 1985. Submanifolds with Geodesic Normal Sections are Helical, Rend. Sem. Mat. Univ. Polit. Torino.43, p.511-527. Verstraelen, L., Walrave, J. and Yaprak, 1994. S., The Minimal Translation Surfaces in Euclidean Space. Sochow J. Math. 20, p.77-82. Zafındratafa, G., 1996. Hypersurface Whose Mean Curvature Function is of Finite Type, Journal of Geometry, Mathematics and Statistics, Vol.55, No 1-2. 68 ÖZ GEÇMİŞ Burcum ÖZDEMİR 05.12.1976 tarihinde Kütahya’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Kütahya’da tamamladıktan sonra 1995 yılında Dumlupınar Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünü kazandı ve 1999 yılında bu bölümden mezun oldu. Aynı yıl Dumlupınar Üniversitesinde Matematik Bölümüne Araştırma Görevlisi olarak atandı. 2003 yılında Dumlupınar Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsünde Yüksek Lisansını tamamladı. Aynı yılda 35. madde gereğince Bursa Uludağ Üniversitesine Araştırma Görevlisi olarak Doktora eğitimi görmek üzere görevlendirilmiştir. 69 TEŞEKKÜR Doktora çalışmam boyunca her zaman yanımda olan, maddi manevi desteğini asla benden esirgemeyen, hoşgörüsü, anlayışı ve sabrıyla benim yanımda olduğunu her zaman hissettiren, engin bilgi ve fikirleriyle beni aydınlatan ve yönlendiren değerli hocam Prof. Dr. Kadri ARSLAN’ a yürekten teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca yardımlarını ve desteğini çok gördüğüm, kendisinden çok şey öğrendiğim sayın Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN’a teşekkürü bir borç bilirim. Bu günlere gelmemde madden ve manen çok emeği geçen, bana verdikleri değer ve sevgiyle her problemi aşmama yardımcı olan sevgili babama, anneme ve ağabeyime sonsuz teşekkürler. Tüm bunların yanı sıra sevgili arkadaşım Hacer’e ve bu uzun ve zorlu sürecin son aşamalarında tanıştığım, bana değer veren, güvenen, sabır ve desteğini hiçbir zaman eksik etmeyen sözlüm Yusuf’a sonsuz teşekkürler…