BİHARMONİK DÖNÜŞÜMLER Aziz ATABAY T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİHARMONİK DÖNÜŞÜMLER Aziz ATABAY 0000-0002-1071-9831 Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA – 2019 ÖZET Yüksek Lisans Tezi BİHARMONİK DÖNÜŞÜMLER Aziz ATABAY Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN Yüksek lisans tezi olarak hazırlanan bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde bu çalışmanın sonraki bölümlerinde kullanılan tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde konneksiyonlar işlendi. Dördüncü bölüm iki Riemann manifold arasında tanımlı harmonik ve biharmonik dönüşümlere ayrılmıştır. Beşinci bölümde biharmonik olma denklemi kullanılarak pozitif Ricci eğriliğe sahip olmayan bir Riemann manifoldda ∫ ‖𝐻‖2𝑣𝑔 < ∞ olma koşulunu sağlayan biharmonik 𝑀 yüzeylerin minimal olduğu gösterildi. Daha sonra biharmonik Riemann dönüşümlerin bir özel çeşidi olan ve 3 boyutlu bir Riemann manifolddan bir yüzeye tanımlı biharmonik Riemann submersiyonlar çalışıldı. Anahtar Kelimeler: Alt Manifoldlar; Harmonik Dönüşümler; Biharmonik Dönüşümler; Submersiyon. 2019, vi+52 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis Biharmonic Maps. Aziz ATABAY Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN In this thesis, there are five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. Second chapter contains some well-known definitions and results which will be used in other chapters. Connections are studied in the third chapter. Harmonic and biharmonic maps between two Riemannian manifolds are introduced in section four. In section five, using the biharmonicity equation, it is found that a biharmonic hypersurface which has ∫ ‖𝐻‖2𝑣𝑔 < ∞ condition in a Riemannian manifold of non-𝑀 positive Ricci curvature is minimal, where 𝐻 is the mean curvature of hypersurface. Then, biharmonic submersions which are a kind of biharmonic Riemannian maps are studied from a three-dimensional Riemannian manifold onto a surface. Key Words: Submanifold; Harmonic map; Biharmonic map; Submersion. 2019, vi+52 pages. ii TEŞEKKÜR Yüksek lisans eğitimim boyunca derin bilgisinden ve ilminden çokça faydalandığım, maddi ve manevi desteğini asla benden esirgemeyen, hoşgörüsü, anlayışı ve sabrıyla yanımda olduğunu her zaman hissettiren değerli hocam Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN’ a çok teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca yardımlarını ve desteklerini gördüğüm, kendilerinden çok şey öğrendiğim sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN’a, Doç. Dr. Betül BULCA’ya ve Dr. Öğr. Üyesi İrem KÜPELİ ERKEN ’e ayrıca teşekkür ederim. Bana bu süreç boyunca desteğini hep hissettiren değerli aileme gösterdikleri sevgiyle ve güvenle birçok zorluğu aşmamda yardımcı olduklarından dolayı sonsuz teşekkürler. Aziz Atabay ...../..../..... iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...................................................................................................................... i ABSTRACT........................................................................................................... ii TEŞEKKÜR........................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER....................................................................................................... iv SİMGELER DİZİNİ............................................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ................................................................................................ vi 1. GİRİŞ.................................................................................................................. 1 2. KURAMSAL TEMELLER..…......................................................................... 6 2.1. Vektör Uzayları............................................................................................... 6 2.2. Tensör Çarpımları...................................................... ..................................... 10 2.3. Vektör Demetleri............................................................................................. 13 3. KONNEKSİYONLAR....................................................................................... 21 4. HARMONİK VE BİHARMONİK DÖNÜŞÜMLER …………………...….... 25 4.1. Birinci Varyasyon Hesabı................................................................................ 25 4.2. İkinci Varyasyon Hesabı.................................................................................. 30 5. RİEMANN MANİFOLDLARDA POZİTİF OLMAYAN RİCCİ EĞRİLİĞE SAHİP BİHARMONİK HİPERYÜZEYLER…………………………………… 33 5.1. Biharmonik Hiperyüzeyler............................................................................. 33 5.2. Pozitif Olmayan Ricci Eğriliğe Sahip Riemann Manifoldlarda Biharmonik Hiperyüzeyler……................................................................................................ 37 5.3. Biharmonik Submersiyonlar........................................................................... 41 6. SONUÇ.............................................................................................................. 48 KAYNAKLAR...................................................................................................... 49 ÖZGEÇMİŞ......................................................................................................... 52 iv SİMGELER DİZİNİ Simgeler Açıklama ℝ𝑛 n-boyutlu Öklid Uzayı 𝑀𝑛 n-boyutu manifold ⨂ Tensör ç-Çarpım ⨁ Direk Toplam ⨀ Simetrik Tensör Alanı 𝑀 Riemann Manifold 𝐶∞ Diferansiyellenebilme ∇ Levi-Civita Konneksiyonu, Riemann Konneksiyonu <,> İç Çarpım 𝑆2 Birim Küre 𝑝𝑟1 Doğal İzdüşüm Fonksiyonu 𝑉𝑜𝑙(𝑔) Hacim Elementi Γ(𝑀) M nin Vektör Alan Uzayı 𝑉𝐶 V Kümesinin Tümleyeni 𝜏2 2(Bi) Tensiyon Alanı 𝑑𝜙 𝜙 nin Türev Dönüşümü 𝑅𝑖𝑐𝑁 𝑁 Manifoldunun Türev Dönüşümü 𝐻𝜉 İzometrik İmmersiyon , Norm 𝐻 𝐻 nin Ortalama Eğriliği 𝑑𝑖𝑣 Divergens 𝑔𝑟𝑎𝑑 Gradient 𝜉 Hiper Yüzeyin Birim Normal Vektör Alanı 𝜙 Harmonik Dönüşüm 𝜑 Diferansiyellenebilir Dönüşüm 𝛿𝑖𝑗 Kronecker Deltası v ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1. Tensör Çarpımları……......................... 11 Şekil 2.2. Vektör Demeti…………………........... 13 Şekil 2.3. Vektör Demeti Kesiti…………............ 14 Şekil 2.4. Geçişli Diyagram……………… …….. 17 Şekil 4.1. Varyasyon Alanı……………………... 27 vi 1.GİRİŞ Varyasyonlar hesabı girdileri fonksiyon olan gerçek değerli fonksiyonları minimize veya maksimize etme ile ilgili bir matematik alanıdır. Varyasyonlar hesabı fizik, mühendislik, uygulamalı ve teorik matematikte geniş bir uygulama alanına sahiptir ve kısmi diferansiyel denklemlerle de yakından bir ilişki içindedir. Örneğin, varyasyonlar hesabındaki klasik bir problem iki nokta arasındaki en kısa yolu bulmaktır. ℝ2 de herhangi (𝑎, 𝐴) ve (𝑏, 𝐵) noktaları belirlensin. Doğal olarak bu iki noktadan geçen türevlenebilir eğriler arasında boyu en kısa hangi eğridir sorusunu sormak mümkündür. Bu iki noktadan geçen herhangi türevlenebilir eğri 𝑓:[ 𝑎, 𝑏] → ℝ, 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑦 fonksiyonu ile belli olsun. O zaman 𝑓 yardımıyla tanımlanan eğrinin uzunluğu 𝑏 √ 𝑑𝑓 2 𝑙(𝑓) = ∫ 1 + ( ) 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥 şeklinde olur. Ayrıca ℎ: [𝑎, 𝑏] → ℝ, 𝑥 → ℎ(𝑥) türevlenebilir bir ℎ fonksiyonu ℎ(𝑎) = 0 = ℎ(𝑏) olacak şekilde tanımlanır. Böylece 𝐹: [𝑎, 𝑏] × ℝ → ℝ , (𝑥, 𝑡) → 𝐹(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡ℎ(𝑥) iki değişkenli F fonksiyonu yardımıyla f nin 1-parametre değişimli 𝑓𝑡: [𝑎, 𝑏] → ℝ, 𝑥 → 𝑓𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑡ℎ(𝑥) fonksiyonu (eğrisi) tanımlansın (Walton ve ark. 2016) . Bu durumda 𝑓𝑡 varyasyon eğrisinin uzunluğu 𝑏 𝑑𝑓 2 𝑏 𝑑𝑓 𝑑ℎ 2 𝑙(𝑓 √𝑡) = ∫ 1 + ( 𝑡) 𝑑𝑥=∫ √1 + ( + 𝑡 ) 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑥 şeklinde hesaplanır. Şimdi 𝑓 fonksiyonu (a, A) ve (b, B) noktalarını birleştiren en kısa mesafeli eğri olduğu kabul edilirse 𝑙(𝑓𝑡) nin t = 0 noktasındaki kritik noktası istenilen minimum uzunluktaki eğri olacaktır. Buna göre, 𝑑 𝑑 𝑏 2 0 = 𝑙(𝑓𝑡)𝑡=0 = (∫ √ 𝑑𝑓 𝑑ℎ 1 + ( + 𝑡 ) ) 𝑑x 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑡=0 1 𝑏 𝑑 √ 𝑑𝑓 𝑑ℎ 2 = ∫ ( 1 + ( + 𝑡 ) ) 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑡=0 𝑏 (𝑓′(𝑥)+𝑡ℎ′(𝑥))ℎ′(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑎 √1+(𝑓′(𝑥)+𝑡ℎ′(𝑥))2𝑡=0 𝑏 𝑓′(𝑥)ℎ′(𝑥) =∫ 𝑑𝑥 𝑎 √1+(𝑓′(𝑥))2 dir. Bu son denkleme kısmi integrasyon uygulanır ise 𝑏 𝑓′(𝑥) 0 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 2√ ′ ( 1 + (𝑓 (𝑥)) ) eşitliği elde edilir. ℎ fonksiyonu ℎ(𝑎) = ℎ(𝑏) = 0 olacak şekilde keyfi türevlenebilir fonksiyon olduğundan ′ 𝑓′(𝑥) = 0 2 √1 + (𝑓′( (𝑥)) ) olmalıdır. Bu da 𝑓 nin 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 olması demektir (Walton ve ark. 2016). Böylece (𝑎, 𝐴) ve (𝑏, 𝐵) noktalarını birleştiren en kısa uzunluktaki eğri parçasının doğru parçası olduğunu gösterir. Bu tip eğri (parçaları) uzayın geodezikleri olarak adlandırılır. Akciğere bakıldığında alveollerin (bronşların) nefes aldığımızda genişleyen ve nefes verdiğimizde büzüşen küreler tarafından modellenir. Bunun nedeni ise sabit hacimli bir kapalı katı cismin yüzey alanını en aza indiren kapalı yüzey bir küredir. Bir sabun köpüğü sabit bir hacmi çevreleyen ve yüzey alanı minimum olanıdır. Fizik açısından ise her sabun köpüğü bir küredir sonucuna ulaşılır (Oprea 2016). Bu gerçeklik aşağıdaki teoremden kaynaklanmaktadır. Teorem 1.1 𝑀 bir kompakt Riemann manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 𝜂 ortalama eğrilik vektör alanlı bir izometrik immersiyon olmak üzere 𝜙𝑡, |𝑡| < 𝜀, 𝜙0 = 𝜙 nin 𝜙𝑡∥𝜕𝑀 = 𝜙∥𝜕𝑀 2 𝜕𝜙 özelliğinde bir 1-parametreli değişimi olsun. Bu durumda 𝑉 = 𝑡 ∥𝑡=0, 𝜙 boyunca 𝜕𝑡 değişim vektör alanı olmak üzere 𝑑 𝑣𝑜𝑙(𝜙𝑡𝑀)∥𝑡=0 −∫ < 𝑛𝜂, 𝑉 > 𝑑𝑣𝑜𝑙 𝑑𝑡 𝑀 dır (Xin 2003). Burada, 𝑓:𝑀 → ℝ diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere 𝑓 nin Laplace’ına göre ∆𝑓 = 0 ise 𝑓 harmonik fonksiyon olarak adlandırılır. Hopf maksimum prensibi bir Riemann manifold üzerinde tanımlı bir harmonik fonksiyon 𝑓 bir lokal maksimuma sahip ise f nin sabit bir fonksiyon olması gerekir. Ayrıca, 𝜙:M 𝑚 → ℝ𝑛 𝜂 ortalama eğrilik vektör alanlı bir izometrik immersiyon olsun. O zaman kolay bir hesaplama ile ∆𝜙 = −𝑚𝜂 Beltrami formülü elde edilir. Burada ∆𝜙 =(∆𝜙1, … , ∆𝜙𝑛) dir (Chen 1991). Böylece 𝜙 izometrik immersiyonun minimal olması için gerek ve yeter koşul 𝜙 nin her bileşeninin 𝑀 üzerinde harmonik fonksiyon olmasıdır (Chen 1991, Xin 2003). Bu teorem ℝ𝑛 Öklid uzayda altmanifoldların minimal olması için güzel bir karakterizasyondur. Bu karakterizasyonu kullanarak Hopf maksimum prensibi yardımıyla Öklid uzayında kompakt minimal altmanifold olamayacağı sonucuna ulaşılır. Diğer taraftan 𝑀 kompakt olmak üzere iki Riemann manifold arasında tanımlı 1 𝜙: (𝑀, 𝑔) → (𝑁, ℎ) Riemann dönüşümünün E(𝜙) = ∫ e(𝜙)𝑣 ile verilen enerji 2 𝑀 𝑔 fonksiyonelinin kritik noktası ise harmonik dönüşümü olarak adlandırılır. Bu da 𝜙 nin ikinci temel formunun izine karşılık gelen gerilim tensör alanının sıfır olması sonucunu doğurur (Eells ve Sampson 1964). 𝜙 nin izometrik immersiyon olması durumunda 𝜙 nin harmonik bir dönüşüm olması için gerek ve yeter koşul 𝜙 nin ortalama vektör alanının sıfır olması yani minimal olmasıdır sonucu izometrik immersiyonların minimal olması için immersiyonların ne tip şekilde belirleneceğinde bir yol gösterici olur. Bir 𝜙 dönüşümünün bienerjisi 1 𝐸2(𝜙;𝑀) = ∫ ‖τ(𝜙)‖ 2 𝑣 2 𝑔𝑀 3 eşitsizliği yardımıyla hesaplanır. Eğer 𝜙 bienerjinin kritik noktası ise 𝜙 biharmonik veya 2-harmonik dönüşüm olarak adlandırılır (Jiang 1986). Jiang (1986) 𝐸2 için aşağıda ifade edilen 𝑚 τ2(𝜙) = (−∆̃τ(𝜙) −∑ℎ(𝑅𝑁(𝑑𝜙(𝑒𝑖), τ(𝜙))𝑑𝜙(𝑒𝑖), 𝑉 )) 𝑖=1 Euler-Lagrange denklemini elde etmiştir. Ayrıca aynı çalışmada τ2(𝜙) = 0 olması 𝜙 nin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul olduğunu bir teoremle ifade etmiştir. Açıkça harmonik dönüşümler biharmoniktir. Biharmonik olup harmonik olmayan dönüşümler has biharmonik dönüşümler olarak adlandırılırlar. Jiang (1987), Chen ve Ishikawa (1998) 3-boyutlu Öklid uzayı ℝ3de biharmonik alt manifoldların minimal olduğunu, Dimitric (1992) n-boyutlu Öklid uzayı ℝ𝑛 de her biharmonik eğrinin bir doğru olduğunu ve en fazla iki farklı asli eğriliklere sahip biharmonik hiperyüzeylerin minimal olması gerektiğini ve Hasanis ve Vlachos (1995) 4- boyutlu Öklid uzayı ℝ4 biharmonik hiperyüzeylerin minmal olduğunu ispat ettiler. Chen (1991) de ispatı hala açık olan aşağıda ifade edilen önermeyi önerdi: Chen Önermesi: Öklid uzayında her biharmonik altmanifold minimaldir. Chen Önermesi Caddeo ve ark. (2002) tarafından hiperbolik 3 uzayı ℋ3(−1) de biharmonik altmanifoldların minimal olduğu ispat edildi. Balmus ve ark. (2008) n- boyutlu hiperbolik uzayı ℋ𝑛 nin en fazla farklı iki asli eğriliğe sahip hiperyüzeylerin minimal olduğunu gösterdiler. Böylece Caddeo ve ark. (2001) Chen Önermesini aşağıda verilen önermeye genişlettiler. Genişletilmiş Chen Önermesi: Pozitif olmayan Riemann eğriliğine sahip (𝑁, ℎ) Riemann manifoldun her biharmonik altmanifoldu minimaldir. Bu yüksek lisans tez çalışmasında iki Riemann manifold arasında tanımlanan dönüşümlerin biharmonik olma koşulunu veren denklem tanıtılıp Nakauchi ve Urakawa (2011) tarafından verilen (𝑁, ℎ) pozitif Ricci eğriliğe sahip olmayan bir Riemann manifold ve (𝑀, 𝑔) bu Riemann manifoldun bir biharmonik hiperyüzeyi için 𝐻,𝑀 nin ortalama eğrilik vektör alanı olmak üzere, ∫ ‖𝐻‖2𝑣𝑔 < ∞ olması durumunda (𝑀, 𝑔) 𝑀 minimal hiperyüzey olmasına gerektiğine dair teorem tartışılıp ve daha sonra bir 3- 4 boyutlu bir Riemann manifoldda 1-boyutlu liflere sahip Riemann submersiyonların biharmonik olabilme koşullarını veren Wang ve Ou (2011) nın çalışması tanıtılmıştır. 5 2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde bazı temel kavramlar tanıtılacaktır. 2.1 Vektör Uzayları Tanım 2.1. V ≠  bir küme,  = (  , +. ) bir cisim olsun. : V x V V (v,w) v  w iç işlem ve ⊙:x V  V ( , v) ⊙ v dış işlemi ile birlikte V1) Her v, wV için v  wV, V2) Her v, w, uV için (v  w) u = v  (w  u), V3) Her v, wV için v  w = w  v, V4) Her vV için 0v = v olacak şekilde bir tek sıfır vektörü olarak adlandırılan 0V var olsun, V5) Her vV için v(−v) = 0 olacak şekilde  işlemine göre v nin tersi olarak adlandırılacak (−v) vektörü var olsun, V6) Her  ve her vV için  ⊙ vV, V7) Her 1,2  ve her vV için (1. 2 ) ⊙ v = 1⊙ (2⊙ v), V8) Her 1,2  ve her vV için (1 + 2)  v = (1 v) (2  v), V9) Her  ve her v, wV için ⊙ ( v  w) = ( ⊙ v) ( ⊙ w), V10) Her vV için  cismindeki . işlemine göre birim elemanı 1 olmak üzere 1⊙ v = v 6 aksiyomlarını sağlayan (V, ( , +, . ),,⊙) dörtlüsüne  cismi üzerinde bir vektör uzayı denir (Hacısalihoğlu 1985). Eğer cisim, reel sayılar cismi ℝ ise reel vektör uzayı, kompleks sayılar cismi ℂ ise kompleks vektör uzayı olarak adlandırılır. Bundan sonra kısalığın hatırına (𝑉, ( , +, . ),,⊙) vektör uzayını aksini söylemedikçe sadece V ile gösterilecek ve  cisminin elemanları “skaler” olarak isimlendirilecektir. Her cisim kendisi üzerindeki tanımlanan iç işlem ve dış işleme göre bir vektör uzayı olduğu sonucu kolayca elde edilebilir. Tanım 2.2. S = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}, 𝑉 vektör uzayının sonlu alt kümesi olsun. Eğer her 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 skalerleri için 𝑠1𝑣1 + 𝑠1𝑣2 +⋯+ 𝑠𝑛𝑣𝑛 = 0 iken 𝑠1 = 𝑠2 = 𝑠3 = 0 ise S kümesine lineer bağımsız küme aksi halde lineer bağımlı küme denir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.3. 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}, V vektör uzayının sonlu alt kümesi olsun. Eğer V nin bütün elemanları 𝑆 kümesinin elemanları tarafından yazılabiliyor ise 𝑆, 𝑉 vektör uzayını üretiyor veya geriyor denir , 𝑆𝑝(𝑆) = 𝑉 şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.4. S = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}, 𝑉 vektör uzayının lineer bağımsız alt kümesi olsun. Eğer Sp(S) = V ise S kümesine V nin bir bazı denir ve S deki elemanların sayısına V nin boyutu denir ve bu boyutu boy(V) = n olarak ifade edilir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.5. 𝑉 = (𝑉, ( , +, . ),,⊙) bir vektör uzayı ve WV olsun. Eğer V vektör uzaydan indirgenmiş : W x W W (u,w) u  w iç işlem ve ⊙:x W  W 7 ( , w)⊙w dış işlem ile birlikte W bir vektör uzay ise W ya 𝑉 nin bir alt vektör uzayı denir (Hacısalihoğlu 1985). Teorem 2.6. 𝑉 bir vektör uzay ve W𝑉 olsun. Eğer A1) Her u, v ∈ W için u + v,  ∈ W, A2) Her  ∈  ve her u ∈ W için u ∈ W ise W, 𝑉 nin bir alt vektör uzayıdır (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.7. U ve W, V nin alt vektör uzayı olsunlar. Eğer V = U + W ve U ∩ W = {0} ise V, U ile W nın direkt toplam uzayıdır denir ve V = U ⊕ W şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu 1985). Teorem 2.8. U ve W, 𝑉 nin alt vektör uzayı olsunlar. O zaman 𝑉 = U ⊕ W ancak ve ancak her, v ∈ W için v = u + w olacak şekilde bir tek u, v ∈ W vektörleri vardır (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.9. W1, … ,W𝑘 V vektör uzayının alt vektör uzayı olsunlar. Eğer v ∈ V, v = w1 + · · · +w𝑘 olacak şekilde w1 ∈ W1, … ,w𝑘 ∈ W𝑘 vektörleri varsa V′ye W1, … ,W𝑘 alt uzaylarının direkt toplamı denir V = W1⊕ · · · ⊕W𝑘 şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.10. (𝑉, ( , +, . ),1,⊙1) ve (𝑊, ( , +, . ),2,⊙2) vektör uzayları için. 𝜙 ∶ V W bir dönüşüm olmak üzere her v, w ∈ W ve her 1,2  için 𝜙( (1⊙1 𝑣)1(2⊙1 𝑤)) = 1⊙2 𝜙(𝑣) 21⊙2 𝜙(𝑤) şartı sağlanıyorsa 𝜙 dönüşüme bir lineer dönüşüm denir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.11. 𝑉,  cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. 𝑉∗ = { 𝜙  𝜙: V , lineer dönüşüm } kümesi üzerinde 8  iç işlem ve ⊙ dış işlem sırasıyla : 𝑉∗x 𝑉∗ 𝑉∗ (𝜙,)(𝜙): V ;  (𝜙)() = 𝜙() + () , ⊙ x 𝑉∗ 𝑉∗ (,𝜙)⊙ 𝜙: V   ;  (⊙ 𝜙)() = .𝜙 () şeklinde tanımlanmak üzere 𝑉∗,  cismi üzerinde bir vektör uzayı olup bu vektör uzayına V nin dual uzayı denir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.12. V n-boyutlu bir vektör uzayının, bir bazı 𝑆 = {𝑒1, 𝑒2, … 𝑒𝑛} ve dual vektör uzayı 𝑉∗ olsun. 𝑒 ∗𝑖 : 𝑉 → Γ lineer dönüşümü 𝑒 ∗𝑖 (𝑒𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 olacak şekilde tanımlanmak üzere 𝑆⋇ = {𝑒 ⋇𝑒 ⋇1 2 … 𝑒 ⋇ 𝑛 } 𝑉∗ nin bir bazı olur, 𝑆∗ kümesine 𝑉 nin dual bazı denir (Hacısalihoğlu 1985). Teorem 2.13. 𝑉 ve W aynı  cismi üzerinde vektör uzayı ve dual uzayları sırasıyla 𝑉∗ ve 𝑊∗ olsun. Ψ: V  W bir lineer dönüşüm olmak üzere Ψ∗:𝑊∗ → 𝑉∗ TΨ∗( T)∶ V  W v  Ψ∗(T)(v) = T(Ψ(v)) bir lineer dönüşümdür. Bu lineer dönüşüme Ψ geri (pull-back) çekme dönüşümü denir (Hacısalihoğlu 1985). Tanım 2.14. 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑘 ve 𝑊 vektör uzayı olmak üzere 9 𝑇: 𝑉1 × 𝑉2 × …× 𝑉𝑘 W dönüşümü her bileşene göre lineer ise 𝑇 ye k-lineer dönüşüm denir (Hacısalihoğlu 1985). Bu k-lineer dönüşümlerin kümesi 𝐿𝑘 (𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑘 ; W) ile gösterilecektir. Özel olarak 𝑉 ve W vektör uzayların arasında tanımlanan lineer dönüşümlerin cümlesi literatürde fazlasıyla yer bulan 𝐻𝑜𝑚(𝑉,𝑊) gösterimi ile kullanılacaktır. Tanım 2.15. 𝑉 ve 𝑊 iki reel vektör uzayı ve T: 𝑉𝑊 bir lineer dönüşüm olsun. B:W × W ℝ bir 2-lineer(bilineer) dönüşüm olmak üzere 𝑇∗B: V × V  ℝ, (𝑇∗B)(𝑣1, 𝑣2) = B(T(𝑣1), T(𝑣2)) şeklinde tanımlı 2-liner dönüşüme T yardımıyla B nin geri dönüşümü denir (Mclnerney 2013). Önerme 2.16. U, V ve W birer vektör uzayları olsun ve 𝑇1: UV, 𝑇2: VW lineer dönüşümler tanımlansın. B:W ×W ℝ 2-lineer dönüşüm olmak üzere (𝑇 ∗2 ∘ 𝑇1) 𝐵 = 𝑇 ∗ 1 (𝑇 ∗ 2 𝐵) dir (Mclnerney 2013). 2.2 Tensör Çarpımları Tanım 2.17. 𝐸, 𝐹, 𝐺  cismi üzerinde üç vektör uzayı olsunlar. Bir 𝜑: 𝐸 x 𝐹 G, 2- lineer dönüşümü verilsin. Eğer 1) Eğer im𝜑 = {𝜑 (x, y)  (x, y)  E x F } = G ise ve 2) Eğer keyfi bir 𝐻 vektör uzayı için;  = ExFH bir 2-lineer dönüşümü verildiğinde en az bir 𝑓: 𝐺 → 𝐻 lineer dönüşümü  = f o 𝜑 olacak şekilde var ise (G,𝜑) ikilisine E ve F nin bir tensör çarpımı denir ve EF şeklinde gösterilir ve 𝜑(x, y) = x  y şeklinde yazılır (Greub 1967), (Bakınız Şekil 2.1.). 10 Şekil 2.1. 2 koşulu Örnek 2.18. 𝐹, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. 𝜙:x 𝐹 𝐹 ( , x) 𝜙 (, x) = . x Her 1,2,, her a, b ve her x, yF için 𝜙(a1 + b2), x) = ( a1 + b2). x = (a1 ). x + (b2). x = a (1 . x) + b (2 . x) = a𝜙 (1 , x) + b𝜙 (2, x) ,𝜙(, ax + by) = (ax + by) = (ax) + (by) = (a)x + (b)y = a(x) + b(y) = a 𝜙(1 , x) + b 𝜙 (1 , y) elde edilir. Sonuç olarak 𝜙 bir 2-lineer dönüşümdür. 1 ) im = Sp{ 𝜙(, x) = . x  ( , x)x F} = F dir. 2 ) :x F H, 2-lineer dönüşümü verildiğinde 𝑓: F H dönüşümünü (1, x) = 𝑓(x) olarak tanımlansın , ikinci adrese göre lineer olacağından 𝑓 nin bir lineer dönüşüm olduğu sonucuna varılır. Diğer taraftan; ( , x) = (. 1, x) = (1, x) = f(x) = f(x) = 𝑓((, x)) = (𝑓 ∘)( , x) eşitliği elde edilir. Böylece  = f o  olur ki bu da 2 koşulunun sağlanması demektir. Sonuç olarak  𝐹 = 𝐹 dir (Greub 1967). Örnek 2.18 in bir sonucu olarak   =  elde edilir. Yardımcı Önerme 2.19. E ve F iki vektör uzayı ve tensör çarpımları EF olsun. uv EF olmak üzere uv ≠ 0 olması için gerek ve yeter şart u ≠ 0 ve v ≠ 0 olmasıdır (Greub 1967). 11 Teorem 2.20. (𝐸 )∈I , (𝐹 ) ∈J vektör uzay aileleri için (𝐸 𝐹 )(,)∈I×J tensör çarpımı ve 𝐸 =   𝐸 ve 𝐹 =   𝐹 direkt toplam uzayı verilsin. Bu durumda tensör çarpımların direkt toplam uzayı, direkt toplamların tensör çarpımıdır. Bir başka deyişle; 𝐸F = (  𝐸 )(  𝐹 ) =  (,)∈I×J (𝐸 𝐹 ) dir (Greub 1967). Teorem 2.21. 𝐸 vektör uzayının bir bazı (𝑎 )∈I , 𝐹 vektör uzayının bir bazı (𝑏 ) ∈J olsun. Bu durumda EF nin bir bazı (𝐸 𝐹 )(,)∈I×J dir (Greub 1967). Örnek 2.22. 𝐸 vektör uzayının bir bazı {𝑒1, 𝑒2} ve 𝐹 vektör uzayının bir bazı {𝑓1, 𝑓2, 𝑓3} olsun. Bu durumda 𝐸𝐹 tensör çarpımının bir bazı {𝑒1𝑓2, 𝑒1𝑓2, 𝑒1𝑓3, 𝑒2𝑓1, 𝑒2𝑓2 , 𝑒2𝑓3} olur. Sonuç 2.23. 𝐸 ve 𝐹 sonlu vektör uzayı olsunlar. 𝐸F tensör çarpımını boyu, boy( 𝐸F) = boy(𝐸). boy(𝐹) dir (Greub 1967). Teorem 2.24. 𝐸, 𝐹 ve 𝐺 aynı  cismi üzerinde vektör uzayı ve 𝐸 ile 𝐹 nin tensör çarpım uzayı 𝐸F olsun. Bu durumda; L(EF, G) = {Φ: EF G, lineer}, L2(E, F; G) = {Φ Φ: E × F → 𝐺, 2 − lineer} vektör uzayları arasında tanımlanan : Hom(E 𝐹, 𝐺) L2(𝐸, 𝐹; 𝐺) 𝑓  (𝑓) = 𝑓 ᵒ  dönüşümü bir lineer izomorfizmdir (Greub 1967). Teorem 2.25. E ve F aynı  cismi üzerinde vektör uzayı ve E nin dual uzayı E∗ olsun. Bu durumda E∗ ⊗W ve Hom(V,W) uzayları lineer izomorfiktirler (Greub 1967). 12 2.3 Vektör Demetleri Tanım 2.26. 𝐸 ve 𝑀 diferensiyellenebilir manifoldlar olsunlar. 𝜋: 𝐸 𝑀 türevlenebilir ve türev dönüşümü örten olan bir dönüşüm olsun. Eğer; VD1) Her 𝑝𝑀 için 𝜋 −1(𝑝) = 𝐸𝑝𝐸 aynı k- boyutlu bir vektör uzay yapısına sahip, VD2) (Lokal aşikarlık) Her 𝑝𝑀 noktasının bir U koordinat komşuluğu için, 𝜑 ∶ 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × ℝ𝑘 diffeomorfizmi var öyle ki her q𝜋−1(𝑈) 𝑝𝑟 :𝑈 × ℝ𝑘1 → 𝑈; (𝑞, 𝑦) → 𝑞 kanonik izdüşüm olmak üzere 𝜑: 𝜋−1(𝑞) = 𝐸𝑞 → 𝑝𝑟 −1 1 (𝑞) = {𝑞} × ℝ 𝑘; bir lineer izomorfizm var ise (𝐸,𝑀, 𝜋) ye bir vektör demeti ve 𝐸 ye total uzayı, 𝑀 ye taban uzayı denir (Xin 1996). (𝐸,𝑀, 𝜋) vektör demeti gösterimi yerine literatürde π: E M gösterimi ya da 𝐸 = (𝐸,𝑀, 𝜋) gösterimi de kullanılır (Bakınız Şekil 2.2). Şekil 2.2. Vektör demeti Tanım 2.27. 𝐸 = (𝐸,𝑀, 𝜋), 𝑀 üzerinde bir vektör demeti olsun. 𝑠 ∶ 𝑀  𝐸 bir türevlenebilir dönüşümü 𝜋  𝑠 = i𝑑𝑀 olacak şekilde 𝑀 üzerinde tanımlı bir özdeşlik dönüşümü var ise 𝑠 ye 𝐸 vektör demetinin bir kesiti denir. Bir kesitin resmi 𝐸 de bir 13 eğridir. 𝐸 vektör demetinin bütün kesitleri (𝐸) = {𝑠𝑠: 𝑀  𝐸 kesit} şeklinde gösterilir (Xin 1996). Şekil 2.3. Vektör demetin kesiti (Siemssen 2015) 𝐸 nin her 𝐸𝑥 fibresi bir vektör uzay yapısına sahip olduğunda 0𝑥 ile temsil edilen bir sıfır vektörüne sahip olmalıdır. Böylece aşağıdaki tanım verilebilir. Tanım 2.28. Her fibre üzerinde değeri “0” olan kesite sıfır kesit denir (Xin 1996). Örnek 2.29. (Aşikar vektör demeti) ℝn, n boyutlu reel vektör uzayı, 𝑀 bir diferansiyellenebilir manifold ve 𝐸 = 𝑀 x ℝn çarpım manifoldu olsun. Bu durumda  = 𝑀 x ℝn → 𝑀 (𝑝, 𝑥) → 𝜋 (𝑝, 𝑥) = 𝑝 ve 𝜋−1 (𝑝): {𝑝} 𝑥 ℝn = 𝐸𝑃 olmak üzere; VD1)  ∶ 𝐸𝑃 x 𝐸𝑃 → 𝐸𝑃 ((𝑝, 𝑥), (𝑝, 𝑦)) → (𝑝, 𝑥 𝑦) = (𝑝, 𝑥 + 𝑦) 14 iç işlemi ve ⊙ ∶ 𝐸𝑃 x 𝐸𝑃 → 𝐸𝑃 (𝜆, (𝑝, 𝑥)) → (𝑝, 𝜆 ⊙ 𝑥) = (𝑝, 𝜆. 𝑥) dış işlemi ile birlikte (𝐸𝑝, ( ℝ, +, . ),,⊙) bir reel vektör uzay yapısına sahip olur. VD2) 𝑈, 𝑝 𝑀 nin bir koordinat komşuluğu olsun. Bu durumda idu = ϕu: π −1 (u) = U × ℝn → U × ℝn bir diffeomorfizmdir. Böylece 𝜋1: U × ℝ n → U; (p, x) → p kanonik izdüşüm ile birlikte, 𝜋−1(𝑝) = {𝑝} × ℝn = 𝐸 n𝑃 → {𝑝} × ℝ lineer izomorfiktirler. Sonuç olarak 𝐸 = (𝑀 ×ℝn, 𝑀, 𝜋),𝑀 üzerinde vektör demeti olur. Bu vektör demet 𝑀 üzerinde aşikar vektör demeti olarak adlandırılır (Xin 1996). Örnek 2.30. (Tanjant Demeti) 𝑀 diferansiyellenebilir manifold ve 𝑝 ∈ 𝑀 noktasındaki tanjant uzay 𝑇𝑝𝑀 olsun. 𝜋: 𝐸 = 𝑇𝑀 = ⋃𝑇𝑃𝑀𝑀 𝑝∈𝑀 (p, v) p B1) 𝜋−1(𝑝) = 𝑇𝑝𝑀 = 𝐸𝑝 olmak üzere +∶ 𝑇𝑝𝑀 × 𝑇𝑝𝑀𝑇𝑝𝑀 ((p, u), (p, v)) (p, u + v) . : ℝ × 𝑇𝑝𝑀  𝑇𝑝𝑀 15 (, (p, u)) (p,. u) işlemleri ile birlikte, (𝑇𝑝𝑀,( ℝ, +, . ),+, . ) bir reel vektör uzay yapısına sahip olur. B2) 𝑝  𝑀 noktasındaki bir harita (U,x) olsun . Bu durumda bir x ∶ 𝑈 ⊂ 𝑀  ℝ𝑛 p  x(p ) = (x1(p) , x2(p),… , xn(p)) 𝜕 koordinat fonksiyonu tanımlanabilir. = 𝜕𝑖, 𝑈 ⊂ 𝑀 nin i’ ninci koordinat eğrisinin 𝜕𝑥𝑖 tanjant vektörü olsun. Böylece 𝑇𝑝𝑀 de bir 𝑣 tanjant vektörü 𝑛 𝑣 =∑𝑣𝑖 𝜕𝑖  𝒑 𝑖=1 olarak yazılabilir. Buna göre her 𝑒 = ∑𝑛𝑖=1 𝑒𝑖 𝜕𝑖  𝒑 ∈ 𝑇𝑝𝑀 tanjant vektörü için 𝛷𝑈: 𝜋 −1(𝑈) → 𝑈 × ℝ𝑛 e → 𝛷𝑈(𝑒) = (π(𝑒), 𝑒1, … , 𝑒𝑛) bir diffeomorfizm olur ve de 𝛷: 𝜋−1(𝑝) = 𝐸𝑝 = 𝑇𝑝𝑀 → 𝜋 −1 1 (𝑝) = {𝑝} × ℝ 𝑛; 𝑣 → 𝛷(𝑣) = (𝑝, 𝑣1, … , 𝑣𝑛) dönüşümü bir lineer izomorfizmdir. Böylece 𝑇𝑀 = (𝑇𝑀,𝑀, 𝜋) tanjant demeti M üzerinde bir vektör demetidir. Daha fazlası 𝑠:𝑀 → 𝑇𝑀, 𝑝 → 𝑠(𝑝) = (𝑝, 𝑣) π ∶ 𝑇𝑀 → 𝑀, (𝑝, 𝑣) → π(𝑝, 𝑣) = 𝑝 olup 𝜋s = i𝑑𝑀 dir. Böylece 𝑇𝑀 tanjant demetinin kesiti (TM), 𝑀 nin bir vektör alanı olarak adlandırılır (Xin 1996). Örnek 2.31. (İndirgenmiş Vektör Demeti) 𝜋: 𝐸 → 𝑁 bir vektör demeti , 𝑀 türevlenebilir bir manifold ve 𝑓 ∶ 𝑀 → 𝑁 bir türevlenebilir dönüşüm olsun. Şimdi 𝑁 üzerine kurulan 𝐸 vektör demetinden f dönüşümü yardımıyla 𝑀 üzerine bir vektör demeti inşa edilmeye çalışılacaktır. a) π: E → N vektör demeti için 16 𝐸1 = 𝑓 ∗𝐸 = 𝑓−1(𝐸) = {(𝑝, 𝑒) 𝑀 × 𝐸  𝑓(𝑝) = 𝜋(𝑒)} şeklinde tanımlı bir çarpım manifoldu göz önüne alınsın. b) 𝜋1: 𝐸1 → 𝑀; (𝑝, 𝑒) → 𝑝 doğal izdüşüm dönüşümü yardımı ile, bir 𝑓 dönüşümü 𝑓: 𝐸1 → 𝐸; (𝑝, 𝑒) → 𝑒 olarak tanımlanırsa aşağıdaki diyagram geçişlidir (Bakınız Şekil 2.4.). Şekil 2.4. Geçişli Diyagram (Xin 1996) c) Öncelikle 𝜋 −11 (𝑝) = 𝐸1𝜋 −11 (𝑝) fibresinin bir vektör uzay yapısına sahip olduğu gösterilecektir. 𝜋 −11 (𝑝) fibresi üzerinde (𝑝, 𝑒1) 𝑣𝑒 (𝑝, 𝑒2) noktalarını seçilsin. O zaman +:𝐸1𝜋 −1(𝑝) × 𝐸1 1𝜋 −1 → 𝐸1 (𝑝) 1𝜋 −1 1 (𝑝) (+)((𝑝, 𝑒1), (𝑝, 𝑒2)) = (𝑝, 𝑒1 + 𝑒2) iç işlemi ve . ∶ ℝ × 𝐸1𝜋 −1 → 𝐸1 (𝑝) 1𝜋 −11 (𝑝) (. )(𝑡, (𝑝, 𝑒1)) = (𝑝, 𝑡𝑒1) dış işlemi ile birlikte ((𝐸1𝜋 −1(𝑝), (ℝ,+, . ), +, . ) bir reel vektör uzayına sahip olur. 1 Şimdi (𝑓−1(𝐸))𝑝 fibresi ile Ef(p) fibresinin lineer izomorfik olduğunu gösterilecektir. Tekrar 𝜋 −11 (𝑝) fibresi üzerinde keyfi (𝑝, 𝑒1) ve (𝑝, 𝑒2)noktaları seçilsin. Bu durumda 𝑡1(𝑝, 𝑒1) + 𝑡2(𝑝, 𝑒2) = (𝑝, 𝑡1𝑒1 + 𝑡2𝑒2) 𝜋 −1 1 (𝑝) 17 olması nedeniyle 𝜋(𝑡1𝑒1 + 𝑡2𝑒2) = 𝑓(𝑝) olur. Bu tespit yardımıyla 𝑓(𝑡1(𝑝, 𝑒1) + 𝑡2(𝑝, 𝑒2)) = 𝑓(𝑝, 𝑡1𝑒1 + 𝑡2𝑒2) = 𝑡1𝑒1 + 𝑡2𝑒2 = 𝑡1𝑓((𝑝, 𝑒1)) + 𝑡2𝑓((𝑝, 𝑒2)) eşitliği elde edilir. Böylece 𝑓: 𝐸1 → 𝐸; (𝑝, 𝑒) → 𝑒 dönüşümü bir lineer dönüşüm olur. Açıkça 𝑓 bir örten dönüşümdür. N üzerinde kurulan E vektör demeti üzerinde keyfi bir 𝑒 𝐸 vektör alanı seçilsin. 𝑒 nin ters resmi, 𝑓−1(𝑒) = (𝑝, 𝑒) ve (𝑞, 𝑒)  𝐸1 olsun. Fakat 𝜋 −1 1 (𝑝) fibresi üzerinde 𝑝 = 𝑞 olmak zorundadır. Bu da 𝑓 nin birebir olması demektir. Sonuç olarak 𝑓 bir lineer izomorfizm olur. d) 𝐸,𝑁 üzerinde bir vektör demeti olduğundan VD2) (lokal aşikarlık) nedeniyle verilen her 𝑝 ∈ 𝑀 için f(p) nin bir 𝑈 koordinat komşuluğu ℎ: 𝑈 × ℝ𝑛𝜋−1(𝑈); (𝑓(𝑝), 𝑣)ℎ(𝑓(𝑝), 𝑣) diffeomorfizm olacak şekilde vardır. 𝑓: M →𝑁 bir türevlenebilir ve dolayısıyla sürekli bir dönüşüm olacağından 𝑓−1(U)=𝑈1 , 𝑝 ∈ 𝑀 nin bir lokal koordinat komşuluğu olacaktır. Böylece, ℎ1: 𝑈 × ℝ 𝑛 1 𝜋 −1 1 (𝑈) (𝑝, 𝑣)ℎ1(𝑝, 𝑣) = (𝑝, ℎ(𝑓(𝑝), 𝑣))𝑀 × 𝜋 −1(𝑈) ⊂ 𝑀 × 𝐸 dönüşümü tanımlanabilir. Böylece ℎ ve 𝑓 diferensiyellenebilir dönüşüm olduklarından dolayı ℎ1 diferensiyellenebilir bir dönüşüm olur. ℎ1 in tersinin diferensiyellenebilir olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bir 𝑒1𝜋 −1 1 (𝑈1) noktası 𝑒1 = (𝑝, 𝑒)𝑀 × 𝐸, 𝑓(𝑝) = 𝜋(𝑒) 18 olacak şekilde belirlensin. O zaman 𝑣ℝ𝑛 olmak üzere 𝑓(𝑝) = (𝜋 ℎ)(𝑓(𝑝), 𝑣) ve 𝑓(𝑝) = 𝜋(𝑒) nedeniyle ℎ−1(𝑒) = (𝑓(𝑝), 𝑣) dir. Böylece ℎ1(𝑝, 𝑣) = (𝑝, ℎ(𝑓(𝑝), 𝑣)) = (𝑝, 𝑒) = 𝑒  𝜋−11 1 (𝑈1) ⊂ 𝐸1 dir. Böylece bir ℎ−1: 𝜋−11 1 (𝑈1) 𝑈 𝑛 1 × ℝ ℎ−11 (𝑒1) = (𝑝, 𝑣) şeklinde bir ℎ−11 dönüşümü tanımlanabilir. Açık olarak ( ℎ −11ℎ1 )(𝑒1) = ℎ (𝑝, 𝑣) = (𝑝, ℎ(𝑓(𝑝), 𝑣)) = (𝑝, (ℎ  ℎ −1 1 )(𝑒)) = (𝑝, 𝑒) = 𝑒1 ve ( ℎ−11  ℎ1)(𝑝, 𝑣) = ℎ −1 1 (𝑝, ℎ(𝑓(𝑝), 𝑣)) = (𝑝, 𝑣) dir. Sonuç olarak ℎ−11 , ℎ1 in tersi olan dönüşümdür. Böylece ℎ −1(𝑒 −11 1) = ℎ1 (𝑝, 𝑒) = (𝑝, 𝑣) = (𝑖𝑑𝑀(𝑝),𝛷(𝑒)) dir. Burada 𝛷: 𝜋−1(𝑞) = 𝐸 −1 𝑛𝑞 → 𝑝𝑟1 (𝑞) = {𝑞} × ℝ şeklinde tanımlı lineer dönüşümdür. Sonuç olarak ℎ−11 = (𝑖𝑑𝑀, 𝛷) şeklinde olup diferensiyellenebilir bir dönüşümdür. Böylece ℎ 𝑛 −11: 𝑈1 × ℝ 𝜋1 (𝑈) bir diffeomorfizmdir ve (𝑈1, ℎ1), 𝐸1 in bir lokal koordinat komşuluğu olur.𝐸 = (𝐸,𝑀, 𝜋) vektör demeti ve 𝑓:𝑀 → 𝑁 bir türevlenebilir dönüşüm yardımıyla 𝑀 baz uzayı üzerinde yeni bir 𝑓−1(𝐸) = 𝐸1 = (𝐸1, 𝑀, 𝜋1) vektör demeti elde edilir (Xin 1996). Tanım 2.32. 𝛷:𝑀 → 𝑁 bir türevlenebilir dönüşüm olsun. 𝐸, 𝑁 üzerinde tanımlı bir vektör demeti ve 𝐸 den 𝑀 üzerine indirgenmiş (pull-back) vektör demeti 𝐸1 olsun. 𝐸 vektör demetinin bir kesiti “s(E)” olmak üzere s nin indirgenmiş kesiti 𝑠1(𝑦) = (𝑦, 𝑠(𝛷(𝑦)) ∈ 𝐸1 ; her 𝑦 ∈ 𝑀 olarak tanımlanır (Friswell 2014). 19 Uyarı 2.33. s, E nin bir kesiti olsun. Bu durumda 𝜙(y) = 𝜋(𝑠(𝜙(𝑦)) olur. Böylece 𝑠1 (𝑦) ∈ (𝐸1)𝑦 dir. Bazen literatürde 𝑠1 = 𝜙 ∗(𝑠) = 𝜙−1(𝑠) gösterimi de kullanılır (Friswell 2014). 20 3. KONNEKSİYONLAR Vektör demetlerin temel özelliklerini tartışmak için konneksiyon teorisini inceleyeceğiz. 𝑀 bir Riemann manifoldu, (𝐸,𝑀, 𝜋) bir vektör demeti ve bu demetin bütün kesitleri cümlesi Γ(𝐸) olsun. Bu takdirde ∇: (TM) × (E) (E); ∇(X, 𝜙) = ∇𝑋𝜙 dönüşümü (1) Herhangi bir f  𝐶∞(𝑀 ), her 𝑋 ∈ Γ(𝑇𝑀) 𝑣𝑒 𝜙 ∈ Γ(E) ve 𝜙 (E) için  𝑓𝑋 = 𝑓 𝑋; Herhangi bir 𝑋, 𝑌 ∈ (TM) ve her 𝜙 (E) için 𝑋+𝑌 =  𝑋+  𝑌 ; (2) Herhangi bir ,  (E) için 𝑋(+ ) = 𝑋+  𝑋; (3) Herhangi bir 𝑓 ∈ Γ(𝑀 × ℝ), her X ∈ Γ(TM) ve  (E) için 𝑋𝑓 = X(𝑓) + 𝑓 𝑋 özelliklerini sağlıyor ise ∇ ya 𝐸 vektör demeti üzerinde bir lineer konneksiyonu ve 𝑋 ye 𝜙 nin 𝑋 yönündeki kovaryant türevi (değişimi) denir (Xin 1996). Tanım 3.1. (İndirgenmiş (pull-back) Konneksiyon) 𝜙:𝑀 → 𝑁 bir türevlenebilir dönüşüm ve 𝐸, 𝑁 üzerinde tanımlı bir vektör demeti ve 𝐸 den 𝑀 üzerine indirgenmiş (pull-back) vektör demeti 𝐸1 olsun. ∇, 𝐸 vektör demeti üzerinde bir lineer konneksiyon olmak üzere 𝐸1 üzerindeki indirgenmiş konneksiyon ∇ 1 ∇1𝑌𝑠1 = (𝑦, ∇𝑑(𝑌)𝑠);∀𝑠 ∈ (E) 𝑣𝑒 𝑌 ∈ 𝑇𝑦𝑀 şeklinde tanımlanır (Friswell 2014). 21 Bir başka deyişle 𝐸,𝑁 üzerinde tanımlı bir vektör demeti ve E den 𝑀 üzerine indirgenmiş (pull-back) vektör demeti 𝐸1 olmak üzere E1 üzerindeki indirgenmiş konneksiyon ∇ 1 ∇1: Γ(𝑇𝑀) × Γ(E1) → Γ(E1) (𝑋, 𝑠 ) → ∇11 𝑋(𝑠1) = ∇𝑑(𝑌)𝑠 olarak da tanımlanır (Baird ve Wood 2003). Uyarı 3.2. Genellikle, eğer 𝑋 ∈ Γ(𝑇𝑀) 𝑖𝑠𝑒 𝜙−1(𝑇𝑁) nin bir kesiti olan 𝑑𝜙(𝑋); 𝑑𝜙(𝑋)(𝑝) = (p, d(X(p))), ∀ p ∈ 𝑀, şeklinde de tanımlanabilir. Tanım 3.3. 𝑀 bir diferensiyellenebilir manifold olsun. 𝑀 üzerinde simetrik, pozitif tanımlı ve dejenere olmayan (0,2) tipinde bir tensör alanı 𝑔 ye 𝑀 üzerinde bir metrik tensör denir (O’Neill 1983). Tanım 3.4. 𝑀 bir diferensiyellenebilir manifold olsun Eğer 𝑀 nin her noktası bir 𝑔 metrik tensör ile donatılıyor ise (𝑀, 𝑔) 2-lisine Riemann manifoldu denir (O’Neill 1983). Teorem 3.5. (𝑀, 𝑔) bir Riemann manifold olsun. O zaman: (D4) [𝑉,𝑊] = ∇𝑉𝑊 − ∇𝑊𝑉 ; (∇-lineer konneksiyonu simetrik yada torsiyonsuz) (D5) 𝑋𝑔(𝑉,𝑊) = 𝑔(∇𝑋𝑉,𝑊) + 𝑔(𝑉, ∇𝑋𝑊), her 𝑉,𝑊 ∈ 𝛤(𝑇𝑀); (∇-lineer koneksiyonu g ile uyumlu) özelliklerini sağlayan bir tek konneksiyon vardır ve bu konneksiyona Levi-Civita konneksiyon denir ve daha fazlası 2𝑔(∇𝑉𝑊,𝑋) = 𝑉𝑔(𝑊, 𝑋) +𝑊𝑔(𝑋, 𝑉) − 𝑋𝑔(𝑉,𝑊) − 𝑔(𝑉, [𝑊, 𝑋]) + 𝑔(𝑊, [𝑋, 𝑉]) + 𝑔(𝑋, [𝑉,𝑊] Koszula formülü ile karakterize edilir (O’Neill 1983). Tanım 3.6. (𝑀, 𝑔) bir Riemann manifold ve ∇-Levi-Civita konneksiyonu olsun . 𝑅:  (𝑇𝑀) ×  (𝑇𝑀) × (𝑇𝑀) → (𝑇𝑀) (𝑋, 𝑌, 𝑍) → 𝑅(𝑋, 𝑌)𝑍 = ∇𝑋∇𝑌𝑍 − ∇𝑌∇𝑋𝑍 − ∇[𝑋,𝑌]𝑍; X, Y, Z ∈ (TM) 22 şeklinde tanımlı (1,3) tipindeki tensör alanına 𝑀 üzerinde Riemann eğrilik tensör alanı denir (O’Neill 1983). Önerme 3.7. (𝑀, 𝑔) Riemann manifoldu için, Riemann eğrilik tensörü aşağıdaki özellikleri sağlar: 1. 𝑅(𝑋, 𝑌) = −𝑅(𝑌, 𝑋), X, Y ∈ (𝑇𝑀), 2. 𝑔(𝑅(𝑋, 𝑌)𝑉,𝑊) = −𝑔(𝑅(𝑋, 𝑌)𝑊, 𝑉),  𝑋, 𝑌, 𝑉,𝑊 ∈ (𝑇𝑀), 3. 𝑅(𝑋, 𝑌)𝑍 + 𝑅(𝑍, 𝑋)𝑌 + 𝑅(𝑌, 𝑍)𝑋 = 0,  𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ (𝑇𝑀), 4. 𝑔(𝑅(𝑋, 𝑌)𝑉,𝑊) = 𝑔(𝑅(𝑉,𝑊)𝑋, 𝑌);  𝑋, 𝑌, 𝑉,𝑊 ∈ (𝑇𝑀) (O’Neill 1983). Önerme 3.8. (𝑀 , 𝑔) bir Riemann manifoldu, 𝑝 ∈ 𝑀 olmak üzere 𝜋 = 𝑆𝑝{𝑉,𝑊} ⊂ 𝑇𝑝𝑀 dejenere olmayan 2 boyutlu alt uzay olsun. Bu durumda 𝐾(𝑉,𝑊) = 𝑔(𝑅(𝑉,𝑊)𝑉,𝑊)/𝑄(𝑉,𝑊) değeri baz seçiminden bağımsızdır. Bu sayıya 𝜋 nin kesit eğriliği denir ve 𝐾(𝜋) şeklinde gösterilir. Burada 𝑄(𝑉,𝑊) = 𝑔(𝑉, 𝑉)𝑔(𝑊,𝑊) − 𝑔(𝑉,𝑊)2 ve bu değer {𝑉,𝑊} tarafından üretilen 2 boyutlu uzayın alan elementidir. (O’Neill 1983). Önerme 3.9. (M, g) ve (N, h) Riemannian manifold ve  ∶ 𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. ∇, 𝑇𝑁 üzerinde simetrik bir lineer konneksiyon ve 𝜙−1(𝑇𝑁) üzerindeki indirgenmiş (pull-back) konneksiyon ∇̃ olsun. O zaman ∇̃𝑋𝑑( (𝑌) − ∇̃𝑌𝑑( (𝑋)) = 𝑑 ([𝑋, 𝑌]); ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀 ) dir (Baird ve Wood 2003). Tanım 3.10. (𝑀 , 𝑔) ve (𝑁, ℎ) Riemannian manifold ve :𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun ∇ 𝑣𝑒 ∇𝑁 sırasıyla 𝑇𝑀 𝑣𝑒 𝑇𝑁 üzerindeki (Levi- Civita) konneksiyonlar, ∇̅ ve ∇̃ sırasıyla 𝜙−1(𝑇𝑁) , ve (𝑇∗𝑀⊗𝜙−1𝑇𝑁) üzerindeki indirgenmiş konneksiyonlar olmak üzere 𝐵(𝜙)(𝑋, 𝑌) = (∇̃ d𝜙)(X, Y) = (∇̃𝑋𝑑𝜙)(𝑌)= ∇ 𝑁 23 = ∇̅𝑋(𝑑𝜙(𝑌)) − 𝑑𝜙(∇𝑋Y) = ∇𝑁d(𝑋)d(𝑌) − d(∇𝑋𝑌))∀ 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀) şeklinde tanımlı 𝐵(𝜙) ye 𝜙 nin ikinci temel formu denir (Urakawa 2015). 24 4. HARMONİK VE BİHARMONİK DÖNÜŞÜMLER Bu bölümde, harmonik ve biharmonik dönüşümler tanıtılacaktır. 4.1 Birinci Varyasyon Hesapları Tanım 4.1. (𝑀𝑚, 𝑔) 𝑣𝑒 (𝑁𝑛, ℎ) diferensiyellenebilir iki manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝜙 nin enerji yoğunluk fonksiyonu 𝑒(𝜙) 1 e(𝜙) = ∑𝑚𝑖=1ℎ(𝑑 𝜙(𝑒𝑖), 𝑑𝜙(𝑒𝑖)) (4.1) 2 olarak tanımlanır (Baird ve Wood 2003). Tanım 4.2. (𝑀𝑚, 𝑔) 𝑣𝑒 (𝑁𝑛, ℎ)diferensiyellenebilir iki manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝐷, 𝑀 nin bir kompakt bölgesi olsun. Bu durumda 1 E(𝜙) = ∫ e(𝜙) 𝑣𝑔 (4.2) 2 𝐷 integraline D üzerinde 𝜙 nin enerjisi denir (Baird ve Wood 2003). Tanım 4.3. 𝐼 = (−𝜀, 𝜀) ⊂ ℝ ve her 𝑡 ϵ I için 𝜙𝑡:𝑀  𝑁, 𝐹(t, x) = 𝜙𝑡(x), 𝑥𝑀 , , 𝐹(0, 𝑥) = 𝜙(𝑥) = 𝜙0(𝑥) şeklinde tanımlı 𝐹: 𝐼 × 𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir dönüşümüne 𝜙:𝑀 → 𝑁 nin diferensiyellenebilir dönüşümünün bir 1-parametreli değişimi (varyasyonu) denir. 𝐷, 𝑀 nin bir kompakt bölgesi olsun. Eğer her 𝑥 (𝑀\𝑖ç𝐷) ve her t ∈ 𝐼 için 𝜙𝑡(𝑥) = 𝜙(𝑥) ise 𝐹, 𝐷 üzerinde destekli varyasyon olarak adlandırılır (Baird ve Wood 2003). Tanım 4.4. (𝑀 , 𝑔𝑀 ) ve (N, 𝑔𝑁) iki Riemann manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 dönüşümü bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝐷, 𝑀 nin bir kompakt bölgesi olsun. 𝐹, 𝐷 üzerinde destekli varyasyon olmak üzere kompakt bütün 𝐷 bölgeleri için 𝑑 E(𝜙 𝑑𝑡 𝑡 ; 𝐷)𝑡=0 = 0 ise 𝜙 ye bir harmonik dönüşüm denir (Baird ve Wood 2003). 25 Tanım 4.5. (𝑀, 𝑔𝑀 ) ve (N, 𝑔𝑁) iki Riemann manifold ve ?̃? = 𝑀 × 𝑁 çarpım manifoldu üzerinde tanımlı Riemann metrik <,> = 𝑔𝑀 ⨁ 𝑔𝑁 her ?̃?, ?̃? ∈ Γ(𝑇(𝑀 × 𝑁)) için < ?̃?, ?̃? >= 𝑔𝑀(𝑝𝑟1(?̃?), 𝑝𝑟1(?̃?)) + 𝑔𝑁(𝑝𝑟2(?̃?), 𝑝𝑟2(?̃?)) değeri ile bellidir (?̃?, <,>) bir Riemann manifolduna Riemann çarpım manifoldu olarak isimlendirilir (O’Neill 1983). (𝑡, 𝑥) ∈ ℝ ×𝑀 noktası için, 𝑇(𝑡,𝑥)(ℝ × 𝑀) tanjant uzayı 𝑇(𝑡,𝑥)(ℝ × 𝑥)⨁ 𝑇(𝑡,𝑥)(𝑡 × 𝑀) ≡ 𝑇𝑡ℝ ⨁ 𝑇𝑝𝑀 direkt toplam tanjant uzayına izomorfiktir (O’Neill 1983). Tanım 4.6. ?̃? = 𝐵 × 𝐹 çarpım manifoldu verilsin. 1- 𝑓 ∈ 𝐶∞(𝐵) ve 𝜋: 𝐵 × 𝐹 → 𝐵 doğal birinci izdüşüm dönüşümü olmak üzere 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝜋 ∈ 𝐶∞(𝐵 × 𝐹) dönüşümüne 𝑓 nin kaldırılmışı (lifti), 2- 𝑉 ∈ 𝑇𝑝𝐵, 𝑞 ∈ 𝐹 ve (𝑝, 𝑞) ∈ 𝐵 × 𝐹 noktasındaki tanjant uzay 𝑇(𝑝,𝑞)(𝐵 × 𝐹) olmak üzere 𝑑𝜋(?̃?) = 𝑉 olacak şekilde tanımlı bir tek tanjant vektörü ?̃? ∈ 𝑇(𝑝,𝑞)(𝐵 × 𝐹) ye 𝑉 nin 𝑇(𝑝,𝑞)(𝐵 × 𝐹) ye yatay kaldırılmışı, 3- 𝑋 ∈ Γ(𝑇𝐵) ve ?̃? ∈ Γ(𝑇(𝐵 × 𝐹) olmak üzere 𝑋 nin 𝑝 ∈ 𝐵 noktasındaki tanjant vektörününün 𝑇(𝑝,𝑞)(𝐵 × 𝐹) tanjant uzayına kaldırılmış tanjant vektörü ?̃?(𝑝,𝑞) ise ?̃? ya 𝑋 nin 𝐵 × 𝐹 ye yatay kaldırılmış vektör alanı denir (O’Neill 1983). Böylece 𝐿𝐻(𝐵) ile 𝐵 üzerindeki vektör alanlarının yatay kaldırılmış (lifti) vektör alanların cümlesi temsil edilirse ise ?̃? ∈ 𝐿𝐻(𝐵) iken 𝑑𝜋(?̃?) = 𝑋 dir (O’Neill 1983). Böylece ℝ×𝑀 üzerinde keyfi bir 𝑋 ̃vektör alanı 𝜕𝑡 ∈ Γ(𝑇ℝ), 𝑋 ∈ Γ(𝑇𝑀) olmak üzere şeklinde ?̃? = 𝜕𝑡+ 𝑋 yazılabilir. Önerme 4.7. (?̃? = ℝ ×𝑀, 𝑑𝑡⨂𝑑𝑡 ⨁ 𝑔𝑀) bir Riemann çarpım manifoldu ve Riemann konneksiyonu ∇̃ , ℝ ve 𝑀 üzerindeki Riemann konneksiyonları sırasıyla ∇ℝ ve ∇ olsun. O zaman a) ∇̃ ℝ 𝜕 𝜕 = ∇ 𝜕 = 0, 𝑡 𝑡 𝜕𝑡 𝑡 26 b) ∇̃ 𝜕 𝑋 = ∇̃𝑡 𝑋 𝜕𝑡 = 0, c) ∇̃ 𝑋𝑌 = ∇𝑋𝑌 dir (O’Neill 1983). Tanım 4.8. (𝑀, 𝑔) bir Riemann manifold ve 𝑌, 𝑀 üzerinde bir vektör alanı olsun. 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑌 = ̅̅{𝑥̅̅ ∈̅̅ ̅̅𝑈̅̅⊂̅̅ ̅̅𝑀̅̅:̅̅𝑌̅̅ ̅̅𝑥 ≠̅̅0̅̅} kompakt ise 𝑌 vektör alanına 𝑀 üzerinde kompakt destekli vektör alanı denir (Baird ve Wood 2003). Teorem 4.9. (𝑀, 𝑔) bir Riemann manifold ve 𝑌, 𝑀 üzerinde kompakt destekli bir vektör alanı olsun. O zaman ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝑌)𝑣𝑜𝑙(𝑔) = 0 (4.3) 𝑀 dir (Baird ve Wood 2003). Tanım 4.10. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) diferensiyellenebilir iki manifold ve 𝜑:𝑀 → 𝑁 dönüşümü bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. O zaman her 𝑥 ∈ 𝑀 için 𝜑 nin 1-parametreli varyasyonu 𝜑𝑡 nin varyasyon alanı 𝑑 𝑉(𝑥) = ⃓ 𝜑 (𝑥)𝑇 ( )𝑁 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑡 𝜑 𝑥 olarak tanımlanır. Burada 𝜑−1(𝑇𝑁) = ⋃𝑥∈𝑀𝑇𝜑(𝑥)𝑁, 𝑣 ∈ (𝜑 −1(𝑇𝑁)) dir (Baird ve Wood 2003). Şekil 4.1. Varyasyon Alanı (Urakawa 1991) (−𝜀, 𝜀 ) × 𝑀 çarpım manifold ve bu çarpım manifold üzerinde Tanım 4.3 te tanımlı 𝐹: 𝐼 × 𝑀 → 𝑁 , (𝑡, 𝑥) → 𝐹(𝑡, 𝑥) = 𝜙𝑡(x), 27 (0, 𝑥) → 𝐹(0, 𝑥) = 𝜙0(𝑥) = 𝜙(𝑥) dönüşümü göz önüne alınsın. 𝜕 (− 𝜀 , 𝜀 ) ⊂ ℝ üzerinde tanımlı vektör alanının 𝐼 × 𝑀 çarpım manifoldu üzerine 𝜕𝑡 𝜕 kaldırılmış vektör alanı ( )(𝑡,𝑥) ve 𝑀 üzerinde bir vektör alanı 𝑋, 𝐼 × 𝑀 çarpım 𝜕𝑡 manifoldu üzerine kaldırılmış vektör alanı 𝑋(𝑡,𝑥) olsun (Urakawa 1991). Tanım 4.4 yardımıyla 𝜕 𝑑𝐹(( ) = 𝑉(𝑥), 𝑥𝑀 𝜕𝑡 (0,𝑥) eşitliği elde edilir. Şimdi, her 𝑡 𝐼 = (−𝜀, 𝜀 ) değeri için 𝑡 → 𝐸(𝜙𝑡) fonksiyonun türevi 𝑚 𝑑 1 𝑑 𝐸(𝜙𝑡) = ∫ ∑ ℎ(𝑑(𝜙𝑡)𝑒𝑖 , 𝑑(𝜙𝑡)𝑒𝑖)𝑣𝑔 𝑑𝑡 2 𝑀 𝑑𝑡𝑖=1 için 𝑑 ℎ(𝑑(𝜙 )𝑒 , 𝑑(𝜙 )𝑒 ) 𝑑𝑡 𝑡 𝑖 𝑡 𝑖 değeri aşağıdaki şekilde hesaplanırsa 𝑑 𝑑 ℎ(𝑑(𝜙𝑡)𝑒𝑖, 𝑑(𝜙𝑡)𝑒𝑖) = ℎ𝜙 (𝑑𝜙 (𝑒 ) , 𝑑𝜙 (𝑒 )) ; (𝜙 :𝑀 → 𝑁) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡(𝑥) t 𝑖𝑥 t 𝑖𝑥 𝑡 𝑑 = ℎ𝐹(𝑡,𝑥)(𝑑𝐹(𝑒𝑖(𝑡,𝑥) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖(𝑡,𝑥) ;( 𝐹: 𝐼 × 𝑀 → 𝑁) 𝑑𝑡 𝜕 𝜕 = ( )(𝑡,𝑥)ℎ(𝑑𝐹(𝑒𝑖) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖) ) ;( , 𝐼 × 𝑀 üzerinde bir vektör 𝜕𝑡 𝜕𝑡 alanı) = 2ℎ (∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑒𝑖), 𝑑𝐹(𝑒 ); ( ∇̅, 𝐹 −1 𝑖 (𝑇𝑁) üzerine indirgenmiş 𝜕𝑡 konneksiyon ve 𝑑𝐹(𝑒 −1𝑖) 𝜖 (𝐹 (𝑇𝑁)) dir (Urakawa 1991). Şimdi birinci varyasyon hesabı yapılacaktır. 𝐹: 𝐼 × 𝑀 → 𝑁 diferensiyellenebilir dönüşümü için Önerme 3.8 ve Önerme 4.7 kullanılacak olunursa ∇̅𝑋(𝑑𝐹(𝑌)) − ∇̅𝑌(𝑑𝐹(𝑋)) − 𝑑𝐹([𝑋, 𝑌]) = 0; ∀𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇(𝐼 × 𝑀)) 𝜕 denklemi bulunur. Eğer 𝑋 = , 𝑌 = 𝑒𝑖 olarak seçilirse ve 𝐼 × 𝑀 nin bir çarpım 𝜕𝑡 𝜕 manifoldu olmasından dolayı [ , 𝑒𝑖] = 0 elde edilir. Böylece 𝜕𝑡 28 𝜕 2ℎ (∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑒𝑖), 𝑑𝐹(𝑒𝑖)) = 2ℎ (∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖)) 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕 𝜕 = 2{𝑒𝑖. ℎ (𝑑𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖)) − ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑒 𝑑𝐹(𝑒𝑖)) 𝑖 eşitliği elde edilir. 𝑋𝑡 ∈ Γ(𝑇𝑀) kompakt destekli vektör alanını, her 𝑌 𝜖 (𝑇𝑀) olmak üzere 𝜕 𝑔(𝑋𝑡, 𝑌), 𝑌) = 2ℎ (𝑑𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑌)) 𝜕𝑡 olarak belirlenirse 𝜕 ∑𝑚 𝑚𝑖=1 𝑒𝑖. ℎ( 𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖)) = ∑𝑖=1 𝑒𝑖 . 𝑔(𝑋𝑡, 𝑌), 𝑌) 𝜕𝑡 = ∑𝑚𝑖=1{𝑔(∇𝑒 𝑋𝑡, 𝑒𝑖) + 𝑔(𝑋𝑡, ∇𝑒 𝑒 )} 𝑖 𝑖 𝑖 = 𝑑𝑖𝑣(𝑋𝑡) + ∑ 𝑚 𝑖=1𝑔(𝑋𝑡,𝑒 𝑒𝑖 𝑖) 𝑚 𝜕 = 𝑑𝑖𝑣(𝑋𝑡) + ∑𝑖=1ℎ( 𝑑𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑒 𝑒 )) 𝜕𝑡 𝑖 𝑖 eşitliği sahip olunur. Böylece, 𝑑 𝜕 𝑒(𝜑 ) = ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝑋 )𝑣 −∫ ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∑𝑚𝑡 𝑡 𝑔 𝑖=1{∇̅𝑒 𝑑𝐹(𝑒𝑖) − 𝑑𝐹(𝑑𝑡 𝑀 𝑀 𝜕𝑡 𝑖 𝑒 𝑒 )}) 𝑣 𝑖 𝑖 𝑔 denklemi elde edilir (Urakawa 1991). Teorem 4.9 gereğince ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝑋 )𝑣 = 0 dır. 𝑀 𝑡 𝑔 Böylece t=0 için 𝜕 𝑑𝐹 (0, 𝑥) = 𝑉(𝑥), 𝑑𝐹𝑒𝑖(0, 𝑥)= 𝑑𝜙𝑒𝑖(𝑥), 𝑑𝐹 ( 𝑒𝑖(0, 𝑥)) = 𝑑𝜙( 𝑒𝑖(𝑥)) 𝜕𝑡 𝑒𝑖 𝑒𝑖 olduğundan dolayı 𝑑 𝐸(𝜙𝑡) = −∫ ℎ(𝑉, ∑ 𝑚 𝑖=1{∇̅𝑒 𝑑𝜙(𝑒 ) − 𝑑𝜙( 𝑒 )}) 𝑣 𝑑𝑡 𝑀 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 𝑔 elde edilir. Son denklemin sol tarafı 𝑥𝜖𝑀 için τ(𝜙)(𝑥) = ∑𝑚𝑖=1{∇̅𝑒 𝑑𝜙(𝑒𝑖) − 𝑑𝜙(𝑒 𝑒𝑖)} (𝑥) 𝜖 (𝜙 −1(𝑇𝑁)) 𝑖 𝑖 {𝑒1, … , 𝑒𝑚} ortonormal baz seçiminde bağımsızdır. τ(𝜙) ye 𝜙 gerilim adı verilir (Urakawa 1991). 29 Sonuç olarak aşağıdaki teoreme ulaşılır. Teorem 4.11. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) diferensiyellenebilir iki manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝜑 nin harmonik olması için gerek ve yeter koşulu τ(𝜙) = 0 olmasıdır (Eells ve Sampson 1964). 4.2 İkinci varyasyon hesabı: Tanım 4.12. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) iki Riemann manifold, 𝜙:𝑀 → 𝑁bir diferensiyellenebilir dönüşüm ve 𝜙 nin gerilimi τ(𝜙)olsun. 1 𝐸2(𝜙;𝑀) = ∫ ‖τ(𝜙)‖ 2 𝑣 2 𝑔𝑀 fonksiyoneline 𝜙 nin bi-enerji fonksiyoneli denir (Baird ve Wood 2003). Tanım 4.13. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ)) iki Riemann manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 dönüşümü bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝐷, 𝑀 nin bir kompakt bölgesi olsun. 𝐹, 𝐷 üzerinde destekli varyasyon olmak üzere kompakt bütün 𝐷 bölgeler için 𝑑 𝐸2(𝜙𝑡; 𝐷)𝑡=0 = 0 𝑑𝑡 ise 𝜙 ye bir biharmonik dönüşüm denir (Baird ve Wood 2003). Şimdi, her 𝑡𝐼 = (−𝜀, 𝜀 ) değeri için 𝑡 → 𝐸2(𝜙𝑡) fonksiyonunun 𝑡 = 0 da türevi 𝑑 𝑑 𝐸2(𝜙𝑡)𝑡=0 = ∫ ℎ(τ(𝜙𝑡), τ(𝜙𝑡)) 𝑑𝑣𝑔 = ∫ ℎ(∇̅ 𝜕 τ(𝜙 ), τ(𝜙𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡=0 𝑡 𝑡 ))𝑡=0 𝑑𝑣𝑔 𝑀 𝑀 𝜕𝑡 =∫ ℎ( ∇̅ 𝜕 τ(𝜙𝑡)𝑡=0, τ(𝜙)) 𝑑𝑣𝑔 (4.4) 𝑀 𝜕𝑡 dir. {𝑒𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} 𝑥 ∈ 𝑀 noktasında ortonormal çatı alanı ∇𝑒 𝑒𝑗 = 0 ,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 𝑖 olacak şekilde seçilsin. O zaman 𝑥 ∈ 𝑀 noktasında 𝑚 𝑚 ∇̅ 𝜕 τ(𝜙𝑡) = ∇̃ 𝜕 𝑖𝑧𝑔(∇𝑑𝐹) = ∇̅ 𝜕 ∑∇𝑑𝐹 (𝑒𝑖, 𝑒𝑖) = ∇̅ 𝜕 ∑(∇̅𝑒 𝑑𝐹)(𝑒𝑖 𝑖) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑖=1 𝜕𝑡 𝑖=1 = ∑𝑚𝑖=1 ∇̅ 𝜕 ∇̅𝑒 𝑑𝐹(𝑒𝑖) − ∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(∇𝑒 𝑒𝑖) (4.5) 𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 30 𝜕 eşitliği elde edilir (Han ve Feng 2014, Jiang 2008). Verilen ∈ (Tℝ) ve 𝑋 ∈ (T𝑀) 𝜕𝑡 vektör alanları için 𝐼 × 𝑀 bir çarpım manifold olmasından dolayı Önerme 4.7 gereğince 𝜕 [ , 𝑋] = 0 olacaktır. Bu sonuç ile birlikte 𝜕𝑡 𝜕 𝜕 𝜕 ∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑋) = ∇̅𝑋𝑑𝐹 ( ) + 𝑑𝐹 ([ , 𝑋]) = ∇̅𝑋𝑑𝐹 ( ) , 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 eşitliğine sahip olunur. Böylece 𝑥 ∈ 𝑀 noktasında (4.5) denklemi 𝑚 𝑚 𝜕 ∇̅ 𝜕 τ(𝜙𝑡) =∑(∇̅ 𝜕 ∇̅𝑒 𝑑𝐹(𝑒𝑖) − ∇̅∇ 𝑒 𝑑𝐹 ( )) =∑(∇̅𝑖 𝑒 𝑖 𝜕 ∇̅𝑒 𝑑𝐹(𝑒𝑖) ∇̃ 𝜕 τ(𝜙 )𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑖 𝑡 𝑖=1 𝑖=1 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑚 𝜕 =∑(∇̅𝑒 ∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑒𝑖) − ∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑒𝑖) + ?̅?( , 𝑒𝑖)𝑑𝐹 𝑖 [ ,𝑒 ] 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑖 𝜕𝑡𝑖=1 𝜕 = ∑𝑚𝑖=1(∇̅𝑒 ∇̅ 𝜕 𝑑𝐹(𝑒𝑖) + 𝑅 𝑁(𝑑𝐹( ), 𝑑𝐹(𝑒𝑖))𝑑𝐹(𝑒𝑖)) 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕 𝜕 = ∑𝑚𝑖=1(∇̅𝑒 ∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) + 𝑅 𝑁(𝑑𝐹( ), 𝑑𝐹(𝑒𝑖))𝑑𝐹(𝑒 )) 𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑖 durumuna getirilir, 𝜕 𝜕 ∇̅ 𝜕 τ(𝜙𝑡) = ∑ 𝑚 𝑖=1(∇̅𝑒 ∇̅ 𝑚 𝑁 𝑒 𝑑𝐹 ( )) + ∑𝑖=1𝑅 (𝑑𝐹( ), 𝑑𝐹(𝑒𝑖))𝑑𝐹(𝑒𝑖)) (4.6) 𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 ve sonuç olarak denklemi elde edilir (Han ve Feng 2014, Jiang 2008). 𝑀 üzerinde 𝜕 𝜕 𝑔(𝑋𝑡, 𝑍) = ℎ(∇̅𝑍𝑑𝐹 ( ) , τ(𝜙𝑡)) ve 𝑔(𝑌𝑡, 𝑍) = ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝑍τ(𝜙𝑡)) (her 𝑍 ∈ (T𝑀)) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 şeklinde tanımlı 𝑋𝑡 ve 𝑌𝑡 , 𝑀 kompakt destekli vektör alanları olsun. Bu durumda 𝑋𝑡 ve 𝑌𝑡 nin divergensleri 𝑚 𝑚 𝑚 𝑑𝑖𝑣(𝑋𝑡) =∑𝑔(∇𝑒 𝑋𝑖 𝑡, 𝑒𝑖) =∑𝑒𝑖𝑔(𝑋𝑡 , 𝑒𝑖) −∑𝑔(𝑋𝑡, ∇𝑒 𝑒 ) 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑚 𝜕 𝑚 𝜕 = ∑𝑖=1 𝑒𝑖ℎ(∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) , τ(𝜙𝑡)) − ∑𝑖=1𝑔(∇̅∇ 𝑒 𝑑𝐹 ( ) τ(𝜙𝑡)) 𝑖 𝜕𝑡 𝑒𝑖 𝑖 𝜕𝑡 = ∑𝑚 𝜕 𝜕 𝜕 𝑖=1ℎ(∇̅𝑒 ∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) − ∇̅∇ 𝑒 𝑑𝐹 ( ) , τ(𝜙𝑡)) + ∑ 𝑚 𝑖=1ℎ(∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) ∇̅𝑒 τ(𝜙𝑡)) (4.7) 𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝑒𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝑖 𝜕𝑡 𝑖 ve 𝑑𝑖𝑣(𝑌𝑡) = ∑ 𝑚 𝑖=1𝑔(∇𝑒 𝑌𝑡, 𝑒𝑖) = ∑ 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑒𝑖𝑔(𝑌𝑡 , 𝑒𝑖) −∑𝑖=1𝑔(𝑌𝑡, ∇𝑖 𝑒 𝑒𝑖 𝑖) 𝑚 𝑚 𝜕 𝜕 = ∑𝑒𝑖ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝑒 τ(𝜙𝑡)) − ∑ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅ τ(𝜙 )) 𝜕𝑡 𝑖 𝜕𝑡 ∇𝑒 𝑒 𝑡𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 31 𝑚 𝜕 𝑚 𝜕= ∑𝑖=1ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝑒 ∇̅𝑒 τ(𝜙𝑡) − ∇̅∇ 𝑒 τ(𝜙𝑡)) + ∑𝑖=1ℎ(∇̅𝑒 𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝑒 τ(𝜙𝑡)) (4.8) 𝜕𝑡 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 𝑖 𝜕𝑡 𝑖 şeklinde olur (Han ve Feng 2014, Jiang 2008). Böylece (4.6), (4.7) ve (4.8) denklemleri yardımıyla 2 𝑚 𝜕 ‖τ(𝜙)‖ 𝜕 ( ) = 𝑑𝑖𝑣(𝑋𝑡) − 𝑑𝑖𝑣(𝑌𝑡) +∑ℎ(𝑅 𝑁 (𝑑𝐹 ( ) , 𝑑𝐹(𝑒𝑖))𝑑𝐹(𝑒𝑖), τ(𝜙𝑡)) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 𝑖=1 𝜕 +∑𝑚𝑖=1 ℎ(𝑑𝐹 ( ) , ∇̅𝜕𝑡 𝑒 ∇̅𝑖 𝑒 τ (𝜙𝑡) − ∇̅∇ 𝑒 τ(𝜙𝑡)) (4.9) 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 denklemi elde edilir. Diğer taraftan Green’s teoremi yardımıyla ∫ 𝑑𝑖𝑣(𝑋𝑡) − 𝑑𝑖𝑣(𝑌𝑡) 𝑑𝑣𝑔 = 0 (4.10) 𝑀 dir. Böylece (4.9) ve (4.10) denklemleri ile birlikte ‖ ( )‖2𝑑 𝜕 τ 𝜙 𝐸2(𝜙𝑡)𝑡=0 = ∫ ( ) 𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑀 𝜕𝑡 2 𝑡=0 𝑔 𝑚 =∫ ℎ(−∆̃τ(𝜙) −∑ℎ(𝑅𝑁(𝑑𝜙(𝑒𝑖), τ(𝜙))𝑑𝜙(𝑒𝑖), 𝑉) 𝑑𝑣𝑔 𝑀 𝑖=1 = ∫ ℎ(τ(𝜙)2 𝑉)𝑑𝑣𝑔 (4.11) 𝑀 sonucuna ulaşılır (Han ve Feng 2014, Jiang 2008). Burada ∆̃= −∑𝑚 −1𝑖=1 ∇̃𝑒 ∇̃𝑒 -∇̃ 𝑒 𝑓 Γ(𝑇𝑁) üzerinde adi Laplace operatörüdür. 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 Sonuç olarak aşağıdaki teoreme ulaşılır. Teorem 4.14. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) diferensiyellenebilir iki manifold ve 𝜙:𝑀 → 𝑁 bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. 𝜙 nin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul τ2(𝜙) = olmasıdır (Jiang 1986). 32 5. RIEMANN MANİFOLDLARDA POZİTİF OLMAYAN RİCCİ EĞRİLİĞE SAHİP BİHARMONİK HİPERYÜZEYLER Nakauchi ve Urakawa (2011) tarafından ispatlanan (𝑁, ℎ) pozitif Ricci eğriliğe sahip olmayan bir Riemann manifold ve (𝑀, 𝑔)bu Riemann manifoldun bir biharmonik hiperyüzeyi, 𝐻 𝑀 nin ortalama eğrilik vektör alanı olmak üzere, eğer ∫ ‖𝐻‖2𝑣𝑔 < ∞ ise 𝑀 (𝑀, 𝑔) minimal hiperyüzey olduğuna dair teoremin bir yorumu verilmiştir. Bu tartışmadan önce Ou (2010) da verilen ve bölüm içerinde kullanılacak bir Riemann manifoldun hiperyüzeylerin biharmonik olma koşulları incelenmiştir. Daha sonra 3-boyutlu bir Riemann manifolddan 2-boyutlu Rieamann manifolda tanımlı bir Riemann submersiyonun biharmonik olması için gerek ve yeter koşullar verildikten sonra biharmonik submersiyonlarla ilgili bir örnek verilmiştir (Wang ve Ou 2011). 5.1. Biharmonik Hiperyüzeyler Jiang (1987), Chen ve Ishikawa (1998) 3-boyutlu Öklid uzayı ℝ3de biharmonik alt manifoldların minimal olduğunu, Dimitric (1992) n-boyutlu Öklid uzayı ℝ𝑛 de her biharmonik eğrinin bir doğru olduğunu ve en fazla iki farklı asli eğriliklere sahip biharmonik hiperyüzeylerin minimal olması gerektiğini ve Hasanis ve Vlachos (1995) 4- boyutlu Öklid uzayı ℝ4 biharmonik hiperyüzeylerin minimal olduğunu ispat ettiler. Chen (1991) de ispatı hala açık olan aşağıda ifade edilen aşağıdaki önermeyi önerdi: Chen Önermesi: Öklid uzayında her biharmonik altmanifold minimaldir. Chen Önermesi Caddeo ve ark. (2002) tarafından hiperbolik 3 uzayı ℋ3(−1) de biharmonik altmanifoldların minimal olduğu ispat edildi. Balmuş ve ark. (2008) n- boyutlu hiperbolik uzayı ℋ𝑛 nin enfazla farklı iki asli eğriliğe sahip hiperyüzeylerin minimal olduğunu gösterdiler. Böylece Caddeo ve ark. (2001) Chen Önermesini aşağıda verilen önermeye genişlettiler. Genişletilmiş Chen Önermesi: Pozitif olmayan Riemann eğriliğine sahip (𝑁, ℎ) Riemann manifoldun her biharmonik altmanifoldu minimaldir. 𝑆𝑛 Öklid küresi durumunda ise Balmuş ve ark. (2008) de aşağıdaki teoremi ispat ettiler. 33 Teorem 5.1. 𝑀𝑚, 𝑆𝑚+1 hiperküresinin en fazla iki farklı asli eğriliğe sahip harmonik 1 1 1 olmayan biharmonik hiperyüzey olsun. O zaman 𝑀, 𝑆𝑚( ) veya 𝑆𝑘( ) × 𝑆𝑙( ), √2 √2 √2 𝑘 + 𝑙 = 𝑚, k≠ 𝑙, nın bir parçasıdır. Daha sonraları Balmuş ve ark. (2010) isimli çalışmalarında 4-boyutlu 𝑆4 Öklid küresinin 1 1 harmonik olmayan biharmonik kompakt hiperyüzeylerin sadece 𝑆3( ) ve 𝑆1( ) × √2 √2 2 1𝑆 ( ) torus olduğunu göstermişlerdir. √2 Aynı çalışmada ℝ4(𝑐) uzay formunda 3 boyutlu biharmonik hiperyüzeyin sabit ortalama eğrilikli manifolda sahip olduğunun sonucunu elde etmişlerdir. 𝜙:𝑀 → (𝑁, ℎ) bir izometrik immersiyon olsun. O zaman 𝜙−1𝑇𝑁 tanjant demeti 𝜙−1𝑇𝑁 = 𝑡𝑎𝑛( 𝑇𝑀)⨁𝑛𝑜𝑟(𝑇𝑀) ayrışımına sahiptir. O zaman her 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(𝑇𝑀) için ∇ ve ∇𝑁 sırasıyla 𝑇𝑀 𝑣𝑒 𝑇𝑁 üzerindeki (Levi-Civita) konneksiyonlar, ∇̅ ve ∇̃ sırasıyla 𝜙−1𝑇𝑁, ve (𝑇∗𝑀⊗𝜙−1𝑇𝑁) üzerindeki indirgenmiş konneksiyonlar olmak üzere izometrik immersiyonun ikinci temel formu 𝐵(𝜙)(𝑋, 𝑌) = ( ?̃?𝑑𝜙)(𝑋, 𝑌) = (∇̃𝑋𝑑) (𝑌) = ∇̅𝑋(𝑑𝜙(𝑌)) − 𝑑𝜙(∇𝑋Y) = ∇Nd(X)d(Y) − d(∇XY) şeklinde olur. Burada 𝐵(𝜙)(𝑋, 𝑌) yerine kısalığın hatırına 𝐵(𝑋, 𝑌) gösterimi kullanılacaktır. Böylece 𝜙 izometrik immersiyona karşılık gelen gerilim vektör alanı τ() = ∑𝑚𝑖=1{∇̅𝑒 𝑑(𝑒𝑖) − 𝑑(𝑒 𝑒𝑖)} 𝑖 𝑖 = ∑𝑚𝑖=1{∇ 𝑁 𝑑(𝑒 𝑑(𝑒 ) − 𝑑( 𝑒 )} 𝑖) 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 = ∑𝑚𝑖=1𝐵( 𝑒𝑖, 𝑒𝑖) = 𝑚𝐻𝜉 dir. Burada 𝜉 hiperyüzeyin birim normal vektör alanı ve 𝐻 hiperyüzeyin ortalama değeridir. Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir. 34 Teorem 5.2. 𝜙:𝑀𝑚 → 𝑁𝑚+1 ortalama vektör alanı 𝜇 = 𝐻𝜉 bir izometrik immersiyon olsun. O zaman 𝜙 nin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul ∆𝐻 − 𝐻‖𝐴‖2 + 𝑅𝑖𝑐𝑁(𝜉, 𝜉) = 0, [ 𝑚 2 𝑁 ⊺ (5.1) 2𝐴(𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻) + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻 − 𝐻((𝑅𝑖𝑐 (𝜉)) = 0, 2 dir. Burada 𝑅𝑖𝑐𝑁, 𝑁 nin Ricci operatörü; 𝑅𝑖𝑐𝑁(. , . ), 𝑁 nin skaler eğriliği; 𝐴,𝑀 hiperyüzeyin normal vektör alanı 𝜉 ya göre şekil operatörüdür (Ou 2010). İspat: 𝑀 hiperyüzeyinin bir lokal ortonormal çatı alanı {𝑒1, … , 𝑒𝑚} olsun. ∇ 𝑣𝑒 ∇ 𝑁 −1 sırasıyla 𝑇𝑀 𝑣𝑒 𝑇𝑁 üzerindeki (Levi-Civita) konneksiyonlar olsun. ∇,̅  (𝑇𝑁) üzerindeki indirgenmiş konneksiyon olmak üzere her X, Y(TM) için (𝑑𝜙(𝑌))= ∇𝑁d(𝑋)d(𝑌)= ∇ 𝑁 X𝑌 dir. Burada d(𝑋) = 𝑋 ile özdeşletilmiştir.  nin gerilim (tensiyon) alanı τ() = 𝑚𝐻𝜉 olup bigerilimi τ2() aşağıdaki şekilde hesaplanır 𝑚 τ2() = −∆τ() −∑𝑅𝑁(𝑒𝑖, τ())(𝑒𝑖) 𝑖=1 = ∑𝑚𝑖=1 ∇̅𝑒 ∇̅ 𝑁 𝑖 𝑒 (𝑚 𝐻𝜉) − ∇̅∇ 𝑒 (𝑚 𝐻𝜉) − 𝑅 (𝑒𝑖,𝑚 𝐻𝜉)𝑒𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 = 𝑚∑𝑚 𝑁𝑖=1 ∇̅𝑒 ( 𝑒𝑖(𝐻)𝜉 + 𝐻∇̅𝑒 𝜉) − ∇̅∇ 𝑒 ( 𝐻𝜉) − 𝑅 (𝑒𝑖 𝑖 𝑒 𝑖 𝑖, 𝐻𝜉)𝑒𝑖 𝑖 = 𝑚∑𝑚𝑖=1 (𝑒𝑖𝑒𝑖(𝐻)𝜉 + 𝑒 (𝐻)∇ 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑖 𝑒 𝜉 + 𝑒𝑖 𝑖(𝐻)∇𝑒 𝜉 + 𝐻∇𝑖 𝑒 ∇ 𝜉 𝑖 𝑒𝑖 −(∇𝑒 𝑒𝑖)(𝐻)𝜉 − 𝐻∇ 𝑁 ∇ 𝑒 𝜉) −𝑚𝐻∑ 𝑚 𝑁 𝑖 𝑒 𝑖 𝑖=1 𝑅 (𝑒𝑖, 𝜉)𝑒𝑖 𝑖 =𝑚∑𝑚 𝑁 𝑁 𝑁𝑖=1 𝑒𝑖𝑒𝑖(𝐻)𝜉 − (∇𝑒 𝑒 )(𝐻)𝜉 + 2𝑒 (𝐻)∇ 𝜉 + 𝐻∇ ∇ 𝜉 𝑖 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑖 − 𝐻∇𝑁∇ 𝑒 𝜉 −𝑚𝐻∑ 𝑚 𝑁 𝑒 𝑖 𝑖=1 𝑅 (𝑒𝑖, 𝜉)𝑒𝑖 𝑖 = 𝑚(∆𝐻)𝜉 − 𝑚𝐻∆̃𝜉+ 2𝑚∑𝑚𝑖=1ℎ(𝑑(𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻), d(𝑒𝑖))(−𝐴𝑒𝑖) −𝑚𝐻∑𝑚𝑖=1 𝑅 𝑁(𝑒𝑖, 𝜉)𝑒𝑖 = 𝑚(∆𝐻)𝜉 − 𝑚𝐻∆̃𝜉 − 2𝑚∑𝑚𝑖=1𝐴( ℎ(𝑑(𝑒𝑖), 𝑑(𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻))𝑒𝑖) −𝑚𝐻∑𝑚𝑖=1 𝑅 𝑁(𝑒𝑖, 𝜉)𝑒𝑖 Böylece τ2() = 𝑚(∆𝐻)𝜉 − 𝑚𝐻∆̃𝜉 − 2𝑚𝐴(𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻) − 𝑚𝐻∑𝑚𝑖=1 𝑅 𝑁(𝑒𝑖, 𝜉)𝑒𝑖 (5.2) eşitliği elde edilir. Şimdi (5.2) denklemindeki eğrilik tensör alanının teğet ve normal bileşenleri bulunursa 35 𝑚 ⊺ ∑ ℎ(𝑅𝑁(𝑑(𝑒𝑖), 𝜉)𝑑(𝑒𝑖), 𝑑(𝑒 𝑁 𝑘))𝑒𝑘 = −(𝑅𝑖𝑐 ( 𝜉, 𝑑(𝑒𝑘)))𝑒𝑘 = −(𝑅𝑖𝑐(𝜉)) 𝑖,𝑘=1 ve 𝑚 ∑ ℎ(𝑅𝑁(𝑑(𝑒 ), τ())𝑑(𝑒 ), 𝜉) = −𝑚𝐻𝑅𝑖𝑐𝑁𝑖 𝑖 (𝜉, 𝜉) 𝑖,𝑘=1 eşitliklerine elde edilir. Diğer taraftan 𝜉 birim normal vektör alanı olduğundan her X,Y∈ Γ(𝑇𝑀) için ℎ(∇𝑁𝑋𝜉, 𝜉) = 0 (5.3) ve dolayısıyla ℎ(∇𝑁𝑌∇ 𝑁 𝑋𝜉, 𝜉) + ℎ(∇ 𝑁 𝑋𝜉, ∇ 𝑁 𝑌 𝜉) = 0 (5.4) dır. Böylece (5.3) ve (5.4) denklemlerinin yardımıyla ℎ(∆̃𝜉, 𝜉) = ∑𝑚 ℎ(−∇𝑁∇𝑁𝜉 + ∇𝑁 𝑚𝑖=1 𝑒 𝑒 ∇ 𝑒 𝜉, 𝜉) = ∑𝑖=1ℎ(∇ 𝑁 𝑁 𝑒 𝜉, ∇𝑒 𝜉) (5.5) 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 eşitliği bulunur. Diğer taraftan g hiperyüzey üzerine h dan indirgenmiş Riemann metriği olmak üzere bir hiperyüzeyin birim normal vektör alanı 𝜉 ya göre şekil operatörü A ve ikinci temel formu B arasında aşağıda verilen denklemleri kullanarak 𝐵(𝑋, 𝑌) = ℎ(∇𝑁𝑋𝑌, 𝜉)𝜉 = −ℎ(𝑌, ∇ 𝑁 𝑋 𝜉)𝜉 = 𝑔(𝐴𝑋, 𝑌)𝜉 ve 𝑔(𝐴𝑋, 𝑌) = ℎ(𝐵(𝑋, 𝑌), 𝜉)𝜉 = ℎ(𝑏(𝑋, 𝑌)𝜉, 𝜉) = 𝑏(𝑋, 𝑌) 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ‖𝐴‖2 = ∑ 𝑔(𝐴𝑒𝑖, 𝑒𝑗) 2 = ∑ ℎ(∇𝑁 2𝑒 𝜉, 𝑒𝑗) =∑ℎ(∇ 𝑁 𝑒 𝜉,∑ℎ(∇ 𝑁 𝑒 𝜉, 𝑒𝑗), 𝑒𝑖 𝑖 𝑖 𝑗) 𝑖,𝑗=1 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 = ∑𝑚𝑖=1ℎ( ∇ 𝑁 𝑒 𝜉, ∇ 𝑁 𝑒 𝜉) (5.6) 𝑖 𝑖 eşitlikleri bulunur. (5.5) ve (5.6) denklemlerini kullanarak ∆̃𝜉 nin normal bileşeni 𝑚 (∆̃𝜉)⊥ = ℎ(∆̃𝜉, 𝜉)𝜉 =∑ℎ( ∇𝑁𝑒 𝜉, ∇ 𝑁 2 𝑖 𝑒 𝜉)𝜉 = ‖𝐴‖ 𝜉 𝑖 𝑖=1 olarak bulunur. Ayrıca ∆̃𝜉 tanjant bileşeni ise 𝑚 𝑚 ⊺ (∆̃𝜉) = ∑ ℎ(−∇𝑁𝑒 ∇ 𝑁 𝑁 𝑒 𝜉 + ∇∇ 𝑒 𝜉, 𝑒 ) 𝑒 = ∑ ℎ(∇ 𝑁𝐴𝑒 − 𝐴(∇ 𝑒 ), 𝑒 ) 𝑒 𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 𝑘 𝑘 𝑒𝑖 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 𝑘 𝑘 𝑖,𝑘=1 𝑖,𝑘=1 36 = ∑𝑚𝑖,𝑘=1(∇𝑒 𝑏)(𝑒𝑖, 𝑒𝑘) 𝑒𝑘 (5.7) 𝑖 olarak elde edilir. Hiperyüzeyler için (∇𝑒 𝑏)(𝑒𝑘, 𝑒𝑖) − (∇𝑘𝑏)(𝑒𝑖, 𝑒𝑖) = ℎ(𝑅 𝑁(𝑒𝑖, 𝑒𝑘)𝑒𝑖, 𝜉) 𝑖 şeklinde ifade edilen Codazz-Mainardi denklemini (5.7) de kullanılacak olunursa ∆̃𝜉 nin tanjant bileşeni 𝑚 ⊺ (∆̃𝜉) = ∑ (∇𝑒 𝑏)(𝑒 , 𝑒 ) 𝑒 𝑖 𝑖 𝑘 𝑘 𝑖,𝑘=1 = ∑𝑚𝑘=1(∑ 𝑚 𝑖=1(∇𝑒 𝑏)(𝑒𝑖, 𝑒𝑖) − 𝑅𝑖𝑐( 𝜉, 𝑒𝑘))𝑒𝑘 𝑘 = 𝑚 ∑𝑚 𝑚𝑘=1 𝑒𝑘(𝐻) 𝑒𝑘 − ∑𝑘=1𝑅𝑖𝑐(𝜉, 𝑒𝑘) 𝑒𝑘 = 𝑚𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐻) − ∑𝑚𝑘=1𝑅𝑖𝑐(𝜉, 𝑒𝑘) 𝑒𝑘 (5.8) şeklinde olur. Böylece τ2() normal ve tanjant bileşenleri sırasıyla (τ2())⊥ = h(τ2(), 𝜉)𝜉 = 𝑚( ∆𝐻 − 𝐻‖𝐴‖2 +𝐻𝑅𝑖𝑐𝑁(𝜉, 𝜉)) 𝜉 𝑚 ⊺ 𝑚 (τ2()) = ∑ℎ(τ2(), 𝑒𝑘)𝑒𝑘 = −𝑚(2𝐴(𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻) + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐻 2 − 𝐻((𝑅𝑖𝑐𝑁(𝜉))⊺ 2 𝑘=1 olup bu da teoremin ispatını tamamlar. 5.2. Pozitif Olmayan Ricci Eğriliğe Sahip Riemann Manifoldlarda Biharmonik Hiperyüzeyler Öncelikle aşağıdaki tanım verilecektir. Tanım 5.3. (℘, 𝑑) bir lokal kompakt metrik uzay olsun. 𝑈 𝑣𝑒 𝑉 , ℘ üzerinde 𝑈 ⊂ ?̅? ⊂ 𝑉 özelliğinde açık cümleler olsun. ℘ üzerinde tanımlı reel değerli bir Ω fonksiyonu 𝑈 üzerinde Ω = 1 ve 𝑉 nin tümleyeni 𝑉𝐶 üzerinde Ω = 0 ise Ω fonksiyonuna eşik değer (cut-off) fonksiyonu denir (Andres ve Barlow 2015). Yardımcı Önerme 5.4. (𝑀, 𝑔) kompakt olmayan bir tam Riemann manifold ve 𝐿,𝑀 üzerinde tanımlı negatif değerli olmayan bir diferensiyellenebilir fonksiyon ve 𝑓,𝑀 üzerinde ∆𝑔𝑓 = 𝐿𝑓 (5.9) 37 Schrödringer tipi denklemini sağlayan, karesi integrallenebilir differensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman 𝑓,𝑀 üzerinde sabit bir fonksiyondur (Nakauchi ve Urukawa 2011). İspat: M üzerinde herhangi bir 𝑥0 noktası ve her r > 0 reel sayısı için 0≤ 𝜏(𝑥) ≤ 1 (𝑥 ∈ 𝑀), 𝜏(𝑥) = 1 (𝑥 ∈ 𝐵𝑟(𝑥0)), 𝜏(𝑥) = 0 (𝑥 ∉ 𝐵2𝑟(𝑥0)), 2 |∇𝜏| ≤ (𝑀 ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒) (5.10) 𝑟 şeklinde tanımlı 𝜏:𝑀 → ℝ eşik değer fonksiyonu tanımlansın. Burada 𝐵𝑟(𝑥0) = {𝑥 ∈ 𝑀: 𝑑(𝑥0, 𝑥) < 𝑟} ve d, (M,g) üzerinde tanımlı uzaklık fonksiyonudur. (5.9) denklemin her iki tarafını 𝜏2𝑓 ile çarpılıp 𝑀 üzerinden integre edilirse ∫ ((𝜏2 𝑓)∆𝑔𝑓)𝜗 2 2 𝑔 = ∫𝐿𝜏 𝑓 𝜗𝑔 (5.11) 𝑀 denklemine ulaşılır. Diğer taraftan 1954 de Gaffney, ünlü Stokes Teoremini tam Riemann manifoldlara genişletmiştir. Bir başka deyişle eğer M tam bir Riemann manifold ve 𝑋,𝑀 üzerinde bir vektör alanı ise ∫ 𝑑𝑖𝑣𝑋 𝜗𝑔 = 0 dır (Gaffney 1954). 𝑀 Böylece ƒ 𝐶∞(𝑀) diferensiyellenebilir ve 𝑋(𝑇𝑀) olmak üzere 𝑑𝑖𝑣(ƒ 𝑋) = ƒ 𝑑𝑖𝑣𝑋 + 𝑔(𝑔𝑟𝑎𝑑 ƒ, 𝑋) dir. Eğer h 𝐶∞(M) diferensiyellenebilir olarak seçilirse 𝑑𝑖𝑣(ƒ 𝑔𝑟𝑎𝑑ℎ) = 𝑓∆ℎ + 𝑔(𝑔𝑟𝑎𝑑 ℎ, 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓) 38 denklemi elde edilir. M tam olmayan bir Riemann manifold için Stokes Teoremi kullanılırsa 0 = ∫ 𝑑𝑖𝑣(ƒ 𝑔𝑟𝑎𝑑ℎ) 𝜗𝑔 =∫ f∆ℎ 𝜗𝑔 + ∫ g(grad h, grad ƒ)𝜗𝑔 (5.12) 𝑀 𝑀 𝑀 denklemine ulaşılır. (5.11) denklemi (5.12) denklemi için uyarlanırsa ∫ ((𝜏2𝑓)∆𝑔𝑓)𝜗𝑔 = −∫(𝑔(𝑔𝑟𝑎𝑑(𝜏 2𝑓), 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓))𝜗𝑔 = −∫𝑔(∇( 𝜏 2𝑓), ∇𝑓) 𝜗𝑔 (5.13) 𝑀 denklemi elde edilir. Basit bir hesaplama ile 𝑔(𝛻(𝜏2𝑓), 𝛻𝑓)=2𝜏𝑓. 𝑔(𝛻𝜏, 𝛻𝑓) + 𝜏2. 𝑔(𝛻𝑓, 𝛻𝑓)=2𝜏𝑓. 𝑔(𝛻𝜏, 𝛻𝑓) + 𝜏2‖𝛻𝑓‖2 (5.14) Eşitliği elde edilir. Ayrıca (5.14) denklemi (5.13) denkleminde kullanılır ise ∫(𝜏2𝑓(∆𝑔𝑓))𝜗𝑔 = − ∫(2𝜏𝑓𝑔(∇𝜏, ∇𝑓))𝜗𝑔 − ∫ 𝜏 2‖∇𝑓‖2 𝜗𝑔 𝑀 𝑀 𝑀 = −2 ∫ (𝑔(𝑓∇𝜏, 𝜏∇𝑓))𝜗 2 2𝑔 ∫ 𝜏 |∇𝑓| 𝜗𝑔. (5.15) 𝑀 denklemi elde edilir. 𝑋 𝑣𝑒 𝑌 𝑀 üzerinde vektör alanları olmak üzere her 𝜀 > 0 reel sayısı için 1 ±2𝑔(𝑋, 𝑌) ≤ 𝜀‖X‖2 + ‖Y‖2 (5.16) 𝜖 olarak ifade edilen Young eşitsizliğini (5.15) denkleminin ilk terimi için uygulanacak olunursa 1 −2∫ (𝑔(𝑓∇𝜏, 𝜏∇𝑓)) 𝜗𝑔 ≤ 𝜀 ∫ |𝜏∇𝑓| 2 𝜗𝑔 + ∫ |𝑓∇𝜏| 2𝜗𝑔 (5.17) 𝑀 𝜀 𝑀 denklemine sahip olunur. (5.17) denklemi (5.15) denkleminde kullanılır ise 1 ∫(𝜏2𝑓(∆ 2 2 2 2𝑔𝑓))𝜗𝑔 ≤ 𝜀 ∫|𝜏∇𝑓| 𝜗𝑔 + ∫|𝑓∇𝜏| 𝜗𝑔 − ∫ 𝜏 |∇𝑓| 𝜗𝜀 𝑔 𝑀 𝑀 𝑀 𝑀 1 = −(1 − 𝜀) ∫ 𝜏2|∇𝑓|2 𝜗𝑔 + ∫ 𝑓 2|∇𝑓|2 𝜗𝑔 (5.18) 𝑀 𝜀 𝑀 39 denklemine ulaşılır. (5.9) denkleminin her iki tarafı 𝑀 üzerinde integre edilirse ∫ ((𝜏2𝑓)∆𝑔𝑓) 𝜗𝑔 = ∫ 𝐿𝜏 2𝑓2𝜗𝑔 (5.19) 𝑀 𝑀 denklemi elde edilir. Böylece (5.18) ve (5.19) dan 1 ∫ 𝐿𝜏2𝑓2 𝜗𝑔 ≤ −(1 − 𝜀) ∫ 𝜏 2|∇𝑓|2𝜗 2𝑔 + ∫ 𝑓 |∇𝜏| 2 𝜗𝑔 𝜀 𝑀 𝑀 𝑀 denklemi elde edilir. Bir başka deyişle 1 ∫ 𝐿𝜏2𝑓2 𝜗𝑔 + (1 − 𝜀) ∫ 𝜏 2|∇𝑓|2𝜗𝑔 ≤ ∫ 𝑓 2|∇𝜏|2 𝜗𝑔 (5.20) 𝑀 𝑀 𝜀 𝑀 1 eşitsizliğine ulaşılır. Şimdi 𝜀 = seçilirse (5.20) denklemi 2 2 2 1∫ 𝐿𝜏 𝑓 𝜗𝑔 + ∫ 𝜏 2|∇𝑓|2𝜗𝑔 ≤ 2 . ∫ 𝑓 2|∇𝜏|2𝜗𝑔 (5.21) 𝑀 2 𝑀 𝑀 eşitsizliği elde edilir. (5.20) yardımıyla; 2 Br(x0) üzerinde τ = 1 , L ≥ 0 ve |∇τ| ≤ olması nedeniyle (5.21) denkleminden r 0 ≤ ∫ 𝐿𝑓2 1 8 𝜗𝑔 + ∫ |∇𝑓| 2 𝜗 ≤ ∫ 𝑓2𝑔 2 𝜗𝑔 (5.22) 𝐵𝑟(𝑥0) 2 𝐵𝑟(𝑥0) 𝑟 𝑀 eşitsizliğine ulaşılır. (𝑀, 𝑔) kompakt olmayan ve tam manifold olduğundan r sonsuza giderken 𝐵𝑟(𝑥0) 𝑀 ye gider. O zaman 1 0 ≤ ∫ 𝐿𝑓2𝜗𝑔 + ∫ |∇𝑓| 2 𝜗𝑔 ≤ 0 (5.23) 𝑀 2 𝑀 eşitsizliği elde edilir. 𝑓 karesi integrallenebilir diferensiyellenebilir bir fonksiyon olduğundan ∫ 𝑓2 𝜗 < ∞ dir. Bu özelliği (5.23) kullanılacak olunur ise 𝐿𝑓2 = 0 ve 𝑀 𝑔 |∇𝑓|2 = 0 dir. 𝐿,𝑀 üzerinde tanımlı negatif değerli olmayan bir diferensiyellenebilir fonksiyon olduğundan ∇𝑓 = 0 veya 𝑓 = 0 dır. Her iki durumda da 𝑓 bir sabit fonksiyon olur, bu da ispatı tamamlar. Teorem 5.5. 𝜙: (𝑀𝑚, 𝑔) → (𝑁𝑚+1, ℎ) ortalama vektör alanı 𝜇 = 𝐻𝜉 bir izometrik immersiyon olsun. (𝑀, 𝑔) tam ve (𝑁, ℎ) nın Ricci tensörü 𝑅𝑖𝑐𝑁 40 𝑅𝑖𝑐𝑁(𝜉, 𝜉) ≤ ‖𝐴‖2 (5.24) eşitsizliği sağlansın. Eğer 𝜙 biharmonik ve ∫ 𝐻2 𝜗𝑔 < ∞ (5.25) 𝑀 eşitsizliği sağlanıyor ise 𝑀 sabit 𝐻 ortalama eğriliğe sahiptir (Nakauchi ve Urukawa 2011). İspat: (5.24) denklemi yardımı ile 𝐿 = ‖𝐴‖2 − 𝑅𝑖𝑐𝑁(𝜉, 𝜉) ≥ 0 dir. (5.1) denklemi 𝜙 nin biharmonik izometrik immersiyon olması nedeniyle Schröndinger tipi ∆𝑔𝐻 = 𝐿𝐻 denklemine indirgenir. M nin kompakt olduğu farz edilsin. O zaman Green’s teoremi gereğince ∆𝑔𝐻 = 𝐿𝐻 eşitliğinin her iki tarafı integre edilirse 0 ≤ ∫ 𝐿𝐻2𝜗𝑔 = ∫ 𝐻(∆𝑔𝐻) 𝜗𝑔 = −∫ 𝑔(∇𝐻, ∇𝐻)𝜗𝑀 𝑀 𝑀 𝑔 ≤ 0 (5.26) denkleminden ∫ 𝑔(∇𝐻, ∇𝐻)𝜗𝑔 = 0 elde edilir. Bu da ∇𝐻 = 0 sonucunu verir ve 𝑀 böylece H sabit olur. Eğer 𝑀 kompakt değil ise Yardımcı Önerme 5.4 yardımıyla 𝐻 tekrar sabit olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar. 5.3 Biharmonik Submersiyonlar Bu bölümde (Wang ve Ou 2011) çalışmasında ifade edilen submersiyonların biharmonik olma koşulu tanıtılacaktır. Tanım 5.6. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) sırasıyla m ve n boyutlu iki diferensiyellenebilir Riemann manifold olsunlar. 𝐹:𝑀 → 𝑁 bir örten diferensiyellenebilir bir dönüşüm olmak üzere 𝑀 nin her noktasında maksimal ranka sahipse yani 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐹) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑑 𝐹) = 𝑏𝑜𝑦 𝑁 = 𝑛 ise 𝐹 ye bir submersiyon denir (Falcitelli ve ark. 2004). Kapalı fonksiyon teoremi gereğince her x∈ 𝑁 için 𝐹−1(𝑥) fibresi 𝑀 nin 𝑟 = 𝑚 − 𝑛 boyutlu bir kapalı alt manifoldu olur. 𝑀 nin bu 𝑟 boyutlu altmanifoldunun 𝑝 ∈ 𝐹−1(𝑥) 41 noktasındaki tanjant uzayı 𝑇 −1𝑝𝐹 (𝑥) = ç𝑒𝑘(𝑑𝐹(𝑝)) = 𝒱𝑝 dir ve 𝒱𝑝 uzayına p ∈ 𝐹 −1(𝑥) noktasındaki dikey olarak adlandırılır (Falcitelli ve ark. 2004). Dikey uzayın 𝑝 ∈ 𝐹−1(𝑥) dik tümleyeni, yatay uzay olarak adlandırılır ve (𝒱 )⊥𝑝 = ℋ𝑝 ile temsil edilir (Falcitelli ve ark. 2004). Böylece 𝑝 ∈ 𝑀 noktasındaki tanjant uzay 𝑇𝑝𝑀 = 𝒱𝑝⨁ℋ𝑝 şeklinde bir parçalanmaya sahip olur. Tanım 5.7. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldu ve 𝐹:𝑀 → 𝑁 bir submersiyon olsun. Eğer her 𝑢, 𝑣 ∈ ℋ𝑝için 𝑔𝑝(𝑢, 𝑣) = ℎ𝐹(𝑝)(𝑑𝐹(𝑢), 𝑑𝐹(𝑣)) (5.27) koşulu sağlanıyor, bir başka şekilde 𝐹 nin türev dönüşümü 𝑑𝐹 altında yatay uzaydaki tanjant vektörlerin uzaklığını koruyor ise 𝐹 ye bir Riemann submersiyon denir (Falcitelli ve ark. 2004). Eğer bir vektör alanı daima fibrelere teğet ise dikey vektör alanı ve daima dikey vektör alanlar dik oluyorsa yatay vektör alanı olarak adlandırılır. Böylece M nin vektör alanları için Γ(𝑇𝑀) = Γ(𝒱)⨁Γ(ℋ) ise dikey parçalanma söz konusu olur. Böylece 𝑀 nin bir 𝐸 ∈ Γ(𝑇𝑀) vektör alanı için 𝐸 = 𝑑𝑖𝑘(𝐸)⨁𝑦𝑎𝑡(𝐸) = 𝐸𝑣⨁𝐸ℎ yazılımı mümkün olur (Falcitelli ve ark. 2004). Tanım 5.8. (𝑀, 𝑔) ve (𝑁, ℎ) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldu ve 𝐹:𝑀 → 𝑁 bir Riemann submersiyon olsun. 𝑋 ∈ Γ(ℋ), 𝑋′ ∈ Γ(𝑇𝑁) olmak üzere 𝑑𝐹(𝑋) = 𝑋′ ise 𝑋 vektör alanına temel vektör alanı denir (Falcitelli ve ark. 2004). Yardımcı Önerme 5.9. 𝐹: (𝑀, 𝑔) → (𝑁, ℎ) bir Riemann submersiyon olsun . Eğer 𝑋 𝑣𝑒 𝑌 𝑀 üzerinde temel vektör alanları ise i) 𝑔(𝑋, 𝑌) = ℎ(𝑋′, 𝑌′) ∘ 𝐹, 42 ii) 𝑦𝑎𝑡[𝑋, 𝑌] temel vektör alanı [𝑋′, 𝑌′] vektör alanına 𝐹 bağlıdır, iii) 𝑦𝑎𝑡(∇𝑋𝑌) vektör alanı ∇ 𝑁 𝑋′𝑌′ ye 𝐹 bağlıdır, iv) Her dikey vektör alanı 𝑉 için [𝑋, 𝑉] Lie braketi dikeydir (Falcitelli ve ark. 2004). O’Neill (1966) da bir submersiyon aşağıda ifade edilen (1,2)-tipindeki tensör alanları tanıtıldı. Her 𝐸, 𝐺 ∈ Γ(𝑇𝑀) için 𝑇(𝐸, 𝐺) = 𝑇𝐸𝐺 = 𝑦𝑎𝑡(∇𝑣𝑒𝑟𝐸𝑣𝑒𝑟𝐺) + 𝑣𝑒𝑟(∇𝑣𝑒𝑟𝐸𝑦𝑎𝑡𝐹) (5.28) 𝐴(𝐸, 𝐺) = 𝐴𝐸𝐺 = 𝑣𝑒𝑟(∇𝑦𝑎𝑡𝐸𝑦𝑎𝑡𝐺) + 𝑦𝑎𝑡(∇𝑦𝑎𝑡𝐸𝑣𝑒𝑟𝐺) (5.29) (O’Neill 1966). Yardımcı Önerme 5.10. 𝐹: (𝑀, 𝑔) → (𝑁, ℎ) bir Riemann submersiyon olsun. 𝑈, 𝑉 ∈ Γ(𝒱) vektör alanları ve 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(ℋ) için 𝑖)𝑇𝑈𝑉 = 𝑇𝑉𝑈 (5.30) 1 𝑖𝑖)𝐴𝑋𝑌 = −𝐴𝑌𝑋 = 𝑣𝑒𝑟[𝑋, 𝑌] (5.31) 2 dir (O’Neill 1966). Yardımcı Önerme 5.11. 𝐹(𝑀, 𝑔) → (𝑁, ℎ) bir Riemann submersiyon olsun. ∇, 𝑀 üzerinde Riemann konneksiyon olmak üzere 𝑈, 𝑉 ∈ Γ(𝒱) vektör alanları ve 𝑋, 𝑌 ∈ Γ(ℋ) için i) ∇𝑈𝑉 = 𝑇𝑈𝑉 + ∇̂𝑈𝑉, (5.32) ii) ∇𝑈𝑋 = 𝑦𝑎𝑡(∇𝑈𝑋) + 𝑇𝑈𝑋, (5.33) iii) ∇𝑋𝑈 = 𝐴𝑋𝑈 + 𝑣𝑒𝑟(∇𝑋𝑈), (5.34) iv) ∇𝑋𝑌 = 𝑦𝑎𝑡(∇𝑋𝑌) + 𝐴𝑋𝑌 (5.35) ve daha fazlası eğer 𝑋 temel vektör alanı ise [𝑋, 𝑈] dikey olacağından 𝑦𝑎𝑡(∇𝑈𝑋) = 𝑦𝑎𝑡(∇𝑋𝑈) = 𝐴𝑋𝑈 (5.36) 43 dir (O’Neill 1966). 𝐹: (𝑀3, 𝑔) → (𝑁2, ℎ) bir Riemann submersiyon olsun. 𝑀3 ün bir yerel ortonormal çatı alanı {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3}, 𝑒1, 𝑒2 temel ve 𝑒3 dikey olacak şekilde belli olsun. Bu durumda Yardımcı Önerme 5.9 iii) gereğince [𝑒1, 𝑒3] ve [𝑒2, 𝑒3] dikey olurlar ve ii) gereğince {𝜀1, 𝜀2} 𝑁 2 nin lokal ortonormal çatı alanı olmak üzere 𝑑𝐹([𝑒1, 𝑒2]) = [𝜀1, 𝜀2] dir. 𝑁2 2-boyutlu olduğundan [𝜀1, 𝜀2]=𝐿1𝜀1 + 𝐿2𝜀2 olur. Burada 𝐿 21, 𝐿2 𝑁 üzerinde türevlenebilir fonksiyonlardır. Böylece [𝑒1, 𝑒2], [𝜀1, 𝜀2] ile 𝐹 bağlantılı olduğundan 𝑖 = 1,2 için 𝑙𝑖 = 𝐿𝑖 ∘ 𝐹 olarak belirlenirse [𝑒1, 𝑒3] = 𝜆𝑒3, (5.37) [𝑒2, 𝑒3]= 𝜇𝑒3, (5.38) [𝑒1, 𝑒2] = 𝑙1𝑒1 + 𝑙2𝑒2 − 2𝜎𝑒3 (5.39) eşitlikleri elde edilir. Burada 𝑙1, 𝑙2, 𝜆, 𝜇 ve 𝜎 𝑀 üzerinde diferensiyellenebilir fonksiyonlardır. Kolaylık açısından {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} yerel çatı alanı uyumlu çatı alanı olarak isimlendirilecektir (Wang ve Ou 2011). (5.37), (5.38) ve (5.39) denklemleri ve 2𝑔(∇𝐸𝐺, 𝐵) = 𝐸𝑔(𝐺, 𝐵) + 𝐺𝑔(𝐵, 𝐸) − 𝐵𝑔(𝐸, 𝐺) −𝑔(𝐸, [𝐺, 𝐵]) + 𝑔(𝐺, [𝐵, 𝐸]) + 𝑔(𝐵, [𝐸, 𝐺]), Koszul formülü yardımıyla, ∇𝑒 𝑒1 = −𝑙1𝑒2, ∇𝑒 𝑒2 = 𝑙1𝑒1-𝜎𝑒3, ∇𝑒 𝑒3 = 𝜎𝑒2, (5.40) 1 1 1 ∇𝑒 𝑒1 = −𝑙2𝑒2 + 𝜎𝑒3, ∇𝑒 𝑒2 = 𝑙2𝑒1, ∇𝑒 𝑒3 = −𝜎𝑒1, (5.41) 2 2 2 ∇𝑒 𝑒1 = 𝜎𝑒2 − 𝜆𝑒3, ∇𝑒 𝑒2 = −𝜎𝑒1 − 𝜇𝑒3, ∇𝑒 𝑒3 = 𝜆𝑒1 + 𝜇𝑒2 (5.42) 3 3 3 44 denklemleri elde edilir (Wang ve Ou 2011). 𝐹 nin gerilim alanı 𝜏(𝐹) = ∑3𝑖=1{∇̅𝑒 𝑑F(𝑒𝑖) − 𝑑F(𝑒 𝑒𝑖)} 𝑖 𝑖 =∇̅𝑒 𝑑F(𝑒1) + ∇̅1 𝑒 𝑑F(𝑒 ) + ∇̅2 2 𝑒 𝑑F(𝑒3) −𝑑F(𝑒 𝑒1) − 𝑑F(𝑒 𝑒2) − 𝑑F(3 1 2 𝑒 𝑒 ) 3 3 =∇𝑁𝑑𝐹(𝑒 )𝑑F(𝑒1) + ∇ 𝑁 𝑁 𝑑𝐹(𝑒 )𝑑F(𝑒2) + ∇𝑑𝐹(𝑒 )𝑑F(𝑒3) 1 2 3 −𝑑F(𝑒 𝑒1) − 𝑑F(𝑒 𝑒2) − 𝑑F(𝑒 𝑒3) (5.43) 1 2 3 dür. Diğer taraftan [𝜀1, 𝜀2]=𝐿1𝜀1 + 𝐿2𝜀2 yardımıyla ∇𝑁𝜀 𝜀1 = −𝐿1𝜀2, ∇ 𝑁 𝜀 𝜀2 = 𝐿1𝜀1 (5.44) 1 1 ∇𝑁𝜀 𝜀1 = −𝐿2𝜀2, ∇ 𝑁 𝜀 𝜀2 = 𝐿2𝜀1 (5.45) 2 2 denklemleri elde edilir. (5.44) ve (5.45) denklemlerini (5.43) de kullanılırsa 𝜏(𝐹) =−𝑙1𝜀2 + 𝑙2𝜀1 +𝑙1𝜀2 − 𝑙2𝜀1 − 𝜆𝜀1 − 𝜇𝜀2 = −𝜆𝜀1 − 𝜇𝜀2 (5.46) denklemine ulaşılır. Şimdi bigerilim hesaplanırsa, τ2(F) = ∑3 ∇̅ ∇̅ 𝜏(𝐹) − ∇̅ 𝜏(𝐹) − 𝑅𝑁𝑖=1 𝑒 (𝑑F(𝑒 ), 𝜏(𝐹))𝑑F(𝑒 ) (5.47) 𝑖 𝑒𝑖 𝑒 𝑒𝑖 𝑖 𝑖𝑖 (5.46) denkleminde (5.39), (5.40), (5.41) ve (5.42) denklemleri kullanılırsa τ2(F) = [−∆𝑀𝜆−𝑙1𝑒1( 𝜇) − 𝑒1(𝑙1 𝜇) − 𝑙2𝑒2(𝜇) − 𝑒2(𝑙2𝜇) + 𝜆𝜇𝑙 2 1 + 𝜇 𝑙2 + 𝜆(−𝐾𝑁 + 𝑙 21 + 𝑙 2 𝑀 2 )]𝜀1+[−∆ 𝜇 + 𝑙1𝑒1( 𝜆) + 𝑒1(𝑙1 𝜆) + 𝑙2𝑒2(𝜆) + 𝑒2(𝑙2𝜆) − 𝜆𝜇𝑙2 − 𝜆2𝑙1 + 𝜇(−𝐾 𝑁 + 𝑙 21 + 𝑙 2 2 )]𝜀2 denklemi elde edilir. Böylece aşağıdaki sonuca ulaşılır. Sonuç 5.12. 𝐹: (𝑀3, 𝑔) → (𝑁2, ℎ) bir Riemann submersiyon olsun. 𝑀3 ün uyumlu yerel ortonormal çatı alanı {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} olmak üzere 𝐹 nin biharmonik olması için gerek ve yeter koşul −∆𝑀𝜆−𝑙1𝑒1( 𝜇) − 𝑒1(𝑙1 𝜇) − 𝑙2𝑒2(𝜇) − 𝑒2(𝑙2𝜇) + 𝜆𝜇𝑙 2 𝑁 2 2 1 + 𝜇 𝑙2 + 𝜆(−𝐾 + 𝑙1 + 𝑙2 ) = 0 ve 45 −∆𝑀𝜇 + 𝑙1𝑒1( 𝜆) + 𝑒1(𝑙1 𝜆) + 𝑙2𝑒2(𝜆) + 𝑒2(𝑙2𝜆) − 𝜆𝜇𝑙 2 2 − 𝜆 𝑙1 + 𝜇(−𝐾𝑁 + 𝑙 2 + 𝑙 21 2 ) = 0 olmasıdır (Wang ve Ou 2011). Şimdi Wang ve Ou (2011) tarafından verilen örneği aşağıdaki şekilde tanıtalım. Örnek 5.13. ℝ2 ×ℝ üzerindeki Riemann metriği 𝑔 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝛽(𝑥, 𝑦)−2𝑑𝑧2, ℝ2 üzerindeki Riemann metriği ℎ = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 olmak üzere, F:(ℝ2 ×ℝ, 𝑔) → (ℝ2, ℎ); 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦) örten diferensiyellenebilir bir dönüşümü olur. ℝ2 × ℝ ve ℝ2 nin bir yerel ortonormal 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 çatı alanları sırasıyla {𝑒1 = , 𝑒2 = , 𝑒3 = 𝛽 } ve {𝜀 = , 𝜀 = , } dır. F nin 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 türev dönüşüm matrisi 1 0 0 𝑑𝐹 = ( ) 0 1 0 dir. Böylece rank F=rankdF=2=boyℝ2 olup F bir submersiyon olur. 𝑑𝐹(𝑒1) = 𝜀1, 𝑑𝐹(𝑒2) = 𝜀2, 𝑑𝐹(𝑒3) = 0 olduğundan ℝ 2 × ℝ nin tanjant uzayının bir F submersiyona göre parçalanışı Γ(ℝ2 × ℝ) = Γ(𝒱)⨁Γ(ℋ) = 𝑠𝑝{𝑒3}⨁𝑠𝑝{𝑒1, 𝑒2} şeklinde olur. 𝑔(𝑒1, 𝑒1) = ℎ(𝑑𝐹(𝑒1), 𝑑𝐹(𝑒1)) = 1, 𝑔(𝑒1, 𝑒2) = ℎ(𝑑𝐹(𝑒1), 𝑑𝐹(𝑒2)) = 0, 𝑔(𝑒2, 𝑒2) = ℎ(𝑑𝐹(𝑒2), 𝑑𝐹(𝑒2)) = 1 olmasından dolayı da F bir Riemann submersiyon olur. 𝜕 𝜕 [ , ] = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕 𝜕𝛽 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝛽 𝜕 1 𝜕𝛽 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 [ , 𝛽 ] = − 𝛽 [ , ]= = 𝛽 = ( (𝑙𝑛𝛽))𝛽 = (𝑙𝑛𝛽)𝑒 , 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝛽 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 3 ve benzer şekilde 46 𝜕 𝜕 𝜕 [ , 𝛽 ] = (𝑙𝑛𝛽)𝑒 , 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 3 eşitlikleri elde edilir. Koszul formülü yardımıyla, ∇𝑒 𝑒1 = 0, ∇𝑒 𝑒2 = 0, ∇𝑒 𝑒3 = 0, 1 1 1 ∇𝑒 𝑒1 = 0, ∇𝑒 𝑒2 = 0, ∇𝑒 𝑒3 = 0, 2 2 2 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 ∇𝑒 𝑒1 = − (𝑙𝑛𝛽)𝑒3, ∇𝑒 𝑒2 = − (𝑙𝑛𝛽)𝑒3, ∇𝑒 𝑒3 = (𝑙𝑛𝛽)𝑒 + (𝑙𝑛𝛽)𝑒 3 𝜕𝑥 3 𝜕𝑦 3 𝜕𝑥 1 𝜕𝑦 2 denklemleri elde edilir (Wang ve Ou. 2011). Böylece 2 2 ∇ℝ ℝ𝜀 𝜀1 = 0, ∇𝜀 𝜀2 = 0 1 1 2 2 ∇ℝ𝜀 𝜀1 = 0, ∇ ℝ 2 𝜀 𝜀 = 0 2 2 2 olduğundan ℝ2 düzlemsel, bir başka deyişle 𝐾ℝ = 0 olur. Yukarıda ifade edilen denklemleri Sonuç 5.12 de kullanılırsa, F submersiyonun biharmonik olması için gerek ve yeter koşullar 𝜕 Δ( (𝑙𝑛𝛽))=0 𝜕𝑥 𝜕 Δ( (𝑙𝑛𝛽))=0 𝜕𝑦 denklemlerinin sağlanması olacaktır. Özel olarak 𝑙𝑛𝛽 = ∫𝜘(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ℓ(𝑦)𝑑𝑦 olarak seçilirse (5.54) ve (5.55) denklemlerinden 𝑑 𝑑2 𝜘(𝑥) 𝜘(𝑥) − 𝜘(𝑥) = 0, 𝑑𝑥 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑2 ℓ(𝑦) ℓ(𝑦) − ℓ(𝑦) = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑦2 diferensiyel denklemleri elde edilir. Diferansiyel denklemlerin çözümünden sırasıyla 𝜘(𝑥) ve ℓ(𝑦) 𝑐 (1+𝑒𝑥) 𝑏 (1+𝑒𝑦) 𝜘(𝑥) = 1 , ℓ(𝑦) = 1 1−𝑒𝑐1𝑥 1−𝑒𝑐 𝑦 1 şeklinde bulunur (Wang ve Ou 2011). 47 6. SONUÇ Bu yüksek lisans tezinde birinci varyasyon ve ikinci varyasyon hesaplamaları yapılarak bir Riemann dönüşümünün harmonik ve biharmonik olma koşulları verildi. Daha sonra pozitif Ricci eğriliğine sahip olmayan bir Riemann manifoldunun, bir biharmonik hiperyüzeyinin ortalama eğriliğinin ∫ ‖𝐻‖2𝑣𝑔 < ∞ olma koşulu altında minimal olması 𝑀 gerektiği elde edildi. Daha sonra ise 3 boyutlu bir Riemann manifolddan bir Riemann yüzeye tanımlı biharmonik submersiyonlar örnekle tanıtılmışdı. 48 KAYNAKLAR Andres, S., Barlow, M.T. 2015. Energy inequalities for cutoff functions and some applications. J.reine angew Math. 699: 183-215. Baird, P.,Wood, J. C. 2003. Harmonic Morphisms Between Riemannian Manifolds. Clarendon Press, Oxford, 520 pp. Balmus, A.,Montaldo, S., Oniciuc, C. 2008. Classification results for biharmonic submanifolds in spheres. Israel J. Math, 168: 201–220. Balmus, A., Montaldo, S., Oniciuc, C. 2010. Biharmonic hypersurfaces in 4- dimensional space forms. Math. Nachr. 283 , no. 12, 1696–1705. Caddeo, R.,Montaldo, S., Oniciuc, C. 2001. Biharmonic submanifolds of S3. Internat. J. Math. 12(8): 867–876 . Caddeo, R., Montaldo, S., Oniciuc ,C. 2002. Biharmonic submanifolds in spheres. Israel J.Math.130: 109-123. Chen, B.Y. 1991. Some open problems and conjectures on submanifolds of finite type. Soochow J. Math., 17: 169–188. Chen, B.Y., Ishikawa, S. 1998. Biharmonic pseudo-Riemannian submanifolds in pseudo-Euclidean spaces. Kyushu J. Math. 52: 167-185. Dimitric, I. 1992. Submanifolds of Em with harmonic mean curvature vector. Bull,Inst. Math. Acad. Sinica, 20: 53-65. Eells, J., Sampson, J. H. 1964. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer.J. Math. 86: 109-160. Falcitelli, M.,Ianus, S., Pastore, A. M. 2004. Riemannian Submersions and Related Topics.World Scientific, Singapore, 277 pp. Friswell, R.M. 2014. Harmonic Vector Fields on Pseudo-Riemannian Manifolds. PhD thesis, University of York, Mathematics, England. Gaffney, M. P. 1954. A special stokes’s theorem for complete Riemannian manifolds. Ann. of Math. 60: 140-145. Greub, W.H. 1967. Multilinear Algebra. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 224 pp. Hacısalihoğlu, H. H. 1985. Lineer Cebir. Gazi Üniversitesi, Ankara, 765 s. Han, Y., Feng, S. 2014. Some results of F-biharmonic maps. Acta Math. Univ. Comenian. (N.S). no.1: 47-66. 49 Hasanis, T. Vlachos, T. 1995. Hypersurfaces in E4 with harmonic mean curvature vector field. Math. Nachr., 172: 145-169. Jiang, G. 2008. 2-harmonic maps and their first and second variational formulas. Note di Matematica., n.1: 209-232. Jiang, G. Y. 1986. 2-harmonic maps and their first and second variational formulas, Chinese Ann. Math. Ser., A 7: 389-402. Jiang, G. Y. 1987. Some non-existence theorems of 2-harmonic isometric immersions into Euclidean spaces. Chin. Ann. Math. Ser. 8A: 376-383. Mclerney, A. 2013. Firt steps in differential geometry: Riemannian, contact symplectic. Springer, New York, 407 pp. Nakauchi, N., Urakawa, H. 2011. Biharmonic hypersurfaces in a Riemannian manifold with non-positive Ricci curvature. Ann. Global Anal. Geom. 40: 125-131. O’Neill, B. 1983. Semi-Riemannian geometry. Accademic Press, Inc. New York, USA. 468 pp. O’Neill, B. 1966. The Fundamental Equations of a Submersions. Michigan Math. J., 13: 458-469. Ou, Y.L. 2010. Biharmonic hypersurfaces in Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 248(1): 217-232. Oprea, J. 2016. Mathematics and Soap Films, Cleveland State University https://academic.csuohio.edu/oprea_j/soap/Soap%20Films%20and%20Mathematics.pdf - (Erişim tarihi: 26.07.2019). Siemssen, D. 2015. The semiclassical Einstein equation on cosmological spacetimes. Ph.D.Thesis, Dipartimento di Matematica Universita degli Studi di Genova, Genova. Urakawa, H. 2015. Harmonic Maps and Biharmonic Maps. Symmetry 7: 651-674. Urakawa, H. 1991. Calculus of Variations and Harmonic Map. Translations of Mathematical Monographs, The American Mathematical Society, Rhode Island, USA. 249 pp. Xin, Y. 1996. Geometry of Harmonic Maps (Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications). Birkhäuser; Publishers, Boston, 246 pp. Xin, Y., 2003. Minimal Submanifolds and Related Works. World Scientific, https://doi.org/10.1142/5417, 272 pp. 50 Walton, H., Keynes, M. 2016. Introduction to the calculus of variations. Open University module https://www.open.edu/openlearn/ocw/pluginfile.php/1118521/mod_resource/content/3/I ntroduction%20to%20the%20calculus%20of%20variations_ms327.pdf- (Erişim tarihi: 26.07.2019). Wang, Z. P. , Ou Y. L. 2011. Biharmonic Riemannian submersions from 3-manifolds. Math Z. 269, 917-925. 51