Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 ARAŞTIRMA DOI: 10.17482/uumfd.715864 DÖNÜŞÜM TABANLI HARMONİK KESTİRİM YÖNTEMLERİNDE GÜRÜLTÜ DUYARLILIĞI Fahri VATANSEVER* Meltem KULU* Alınma: 07.04.2020 ; düzeltme: 25.05.2020 ; kabul: 01.06.2020 Öz: Harmoniklerin tespit edilmesi, ölçülmesi, kontrol edilmesi ve bastırılması son derece önemlidir. Bu amaçlarla harmonik analizi alanında birçok yöntem mevcuttur. Ancak bu yöntemler - diğer alanlara ait yöntemler gibi - örnekleme, pencereleme, gürültü gibi faktörlerden etkilenmektedirler. Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik analizi alanındaki yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin (hızlı Fourier dönüşümü, chirp z-dönüşümü, Hartley dönüşümü, Hilbert-Huang dönüşümü, dalgacık dönüşümü) gürültü duyarlılıkları incelenmiştir. Farklı gürültü seviyelerinde, ilgili yöntemlerin karşılaştırmalı analizleri yapılarak performans analizleri sunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Harmonik, harmonik kestirimi, gürültü duyarlılığı. The Noise Sensitivity in Transform based Harmonic Estimation Methods Abstract: The detecting, measuring, controlling and suppressing harmonics is extremely important. For these purposes, there are many methods in the field of harmonic analysis. However, like the methods of other fields, these methods are affected by factors such as sampling, windowing, and noise. In this study, noise sensitivities of five different transform based methods (fast Fourier transform, chirp z-transform, Hartley transform, Hilbert-Huang transform, wavelet transform) in the harmonic analysis were investigated. Performance analyzes are presented by making a comparative analysis of the related methods at different noise levels. Keywords: Harmonic, harmonic estimation, noise sensitivity. 1. GİRİŞ Teknolojinin gelişmesiyle birlikte sistemlerdeki elemanların/bileşenlerin ve yüklerin çeşitliliği de artmaktadır. Özellikle anahtarlama elemanlarının ve doğrusal olmayan yüklerin tür ve sayılarındaki artışlar, sistemlerde istenmeyen harmoniklerin oluşmasına neden olmaktadırlar. Güç kalitesini belirleyen parametrelerin başında da harmonikler gelmektedir. Bu nedenle harmonik analizi, işaret ve sistemler alanında son derece önemlidir. Güç kalitesini etkileyen başlıca parametrelerden olan harmoniklerin analiziyle ilgili literatürde birçok çalışma mevcuttur. Bunlar genellikle harmoniklerin ölçülmesi, modellenmesi, kestirimi konuları üzerinde yoğunlaşmakta olup çeşitli öneriler/yöntemler sunulmaktadır. Harmoniklerin ölçülmesi/kestiriminde genellikle sistemdeki akım veya gerilim işareti örneklendikten sonra içindeki bileşenlerin (harmoniklerin) genlik, frekans ve faz açılarının tespit edilmesi amaçlanmaktadır. Parametrik, parametrik olmayan ve hibrit olarak sınıflandırılabilen bu yöntemler arasında Fourier, chirp z, Hilbert-Huang, dalgacık, Hartley vb. dönüşümleri, Prony *Bursa Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği bölümü, 16059 Bursa/Türkiye İletişim yazarı: Fahri Vatansever (fahriv@uludag.edu.tr) 755 Vatansever F.,Kulu M.: Dönüşüm Tabanlı Harmonik Kestirim Yöntemlerinde Gürültü Duyarlılığı yöntemi, yapay sinir ağları (ANN), faz kilitlemeli döngü (PLL), genişletilmiş faz kilitlemeli döngü (EPLL), uyarlamalı doğrusal elemanlar (ADALINE), otoregresif hareketli ortalama (ARMA), en küçük kareler yaklaşımı, destek vektör makineleri (SVM), Pisarenko harmonik ayrıştırma (PHD), çoklu işaret sınıflandırma (MUSIC), işaret parametrelerinin rotasyonel değişmezlik tekniğiyle kestirimi (ESPRIT), Kalman filtreleme, adaptif filtreler, evrimsel algoritmalar, metasezgisel algoritmalar vb. yer almaktadırlar (Chen and Chen, 2014; Jain and Singh, 2011; Rodrigues et al., 2010; Singh, 2009; Vatansever ve diğ., 2009; Vatansever ve Çengelci, 2011; Vatansever ve Yalçın, 2016; Vatansever and Yalcin, 2018). Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik kestiriminde kullanılan yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin gürültü hassasiyetleri incelenmiştir. Orijinal işarete farklı seviyelerde gürültü ekleyerek hızlı Fourier, chirp z, Hartley, Hilbert-Huang ve dalgacık paket dönüşümü kullanılarak analizler yapılmış ve karşılaştırmalı sonuçlar sunulmuştur. 2. DÖNÜŞÜM TABANLI HARMONİK ANALİZ YÖNTEMLERİ Fonksiyonların (işaretlerin, sinyallerin), farklı genlik ve frekanslarda temel trigonometrik fonksiyonların toplamı (Şekil 1) şeklinde gösterilmesini ifade eden Fourier serileri, temel olarak Tablo 1'deki gibi üç şekilde yazılabilmektedir/oluşturulabilmektedir (Vatansever, 2018). Tablo 1'deki harmonik gösterimde görüldüğü gibi herhangi bir işaret (fonksiyon), farklı genlik ve frekanslardaki Cos veya Sin bileşenlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedirler. Harmonik olarak adlandırılan bu bileşenler; işaretin hangi frekanslarında ne büyüklükte değerler içerdiğini göstermektedirler. Genlik Zaman FS Zaman Fourier Fonksiyon Serisi Farklı genlik ve frekanslarda sinüsoidler Şekil 1: Fourier serileri Harmonik analizinde (ölçülmesi, kestirimi, modellenmesi vb.) farklı yöntemler mevcuttur. Bunlar içinde matematiksel dönüşümlere dayalı yöntemler, önemli bir yere sahiptir. Tablo 2'de bu çalışmada kullanılan yöntemlerin temelini oluşturan matematiksel dönüşümler özetlenmektedir (Poularikas, 2010; Bi and Zeng, 2004; Debnath and Bhatta, 2007). 3. GÜRÜLTÜ DUYARLILIĞI Bu çalışmada; hızlı Fourier dönüşümü, chirp z dönüşümü, Hartley dönüşümü, Hilbert-Huang dönüşümü ve dalgacık paket dönüşümü tabanlı harmonik ölçüm/kestirim yöntemlerinin işaretteki gürültüden ne ölçüde etkilendiklerini tespit etmek için farklı seviyelerde gürültüler eklenerek sonuçlar gözlemlenmiştir. MATLAB (MathWorks, 2019) kullanılarak gerçekleştirilen analizlerde farklı seviyelerdeki işaret-gürültü oranıyla (SNR) oluşturulan giriş işaretlerinden, bir periyot boyunca 1024 örnek alınmıştır. 756 Genlik Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 Tablo 1. Fourier serisi gösterimleri Fourier serisi İfade Açıklama 1 a0   x(t)dtT T0 0  2 x(t)  a a Cos(k t)  b Sin(k t) ak   x(t)Cos(k0t)dt 0 k 0 k 0 T T0 k1 0 2 bk  T  x(t)Sin(k0t)dt T 0 0  jk t 1  jk t x(t)  c e 0k ck  T  x(t)e 0 dt T0 k 0  R0 : Doğru (ortalama) bileşen x(t)  R0  RkCos(k0t k ) Rk : k . harmoniğin genliği k1 k : k . harmoniğin faz açısı  x(t)  R  R Sin(k t  ) RkCos(k0t k ) : k . harmonik bileşen 0 k 0 k k1 RkSin(k0t k ) : k . harmonik bileşen Tablo 2. Matematiksel dönüşümler Dönüşüm Ters dönüşüm   X ()  x(t)e jt 1 dt x(t)  X ()e jt d 2     n 1X (z)   x[n]z x[n]   X (z)z n1dz j2 C n   X ( f )   x(t)Cas(2ft)dt x(t)   X ( f )Cas(2ft)df   Cas() Cos()  Sin()   1 x( ) 1 1 xˆ( ) 1 xˆ(t)  PV  d  x(t) * x(t)  PV  d  xˆ(t) *  t  t  t  t   PV : İntegralin Cauchy prensip değeri    1 1 W (a,b)   x(t) a,b (t)dt x(t)    W (a,b) a,b (t)dadb C a2     2 1  t  b  ̂ (w)  a,b (t)     , C   dw   , a  a  w  a : Ölçekleme/yayılım parametresi , b : Dönüşüm/öteleme parametresi , C : Dalgacık sabiti Birinci uygulama olarak sadece temel bileşen/harmonik içeren x(t)  220 2Sin(250t) (1) 757 Harmonik (kutupsal) Karmaşık Trigonometrik (kompleks) üstel Dalgacık Hilbert Hartley z Fourier Vatansever F.,Kulu M.: Dönüşüm Tabanlı Harmonik Kestirim Yöntemlerinde Gürültü Duyarlılığı saf (harmoniksiz) işaretindeki farklı seviyelerdeki SNR değerleriyle elde edilmiş genlik ve bağıl hata değerleri, Tablo 3-6'da verilmektedir. Tablo 7'de gürültüsüz ve gürültülü bileşene göre bağıl hata değerlerinin değişim grafikleriyle ortalama bağıl hata değerlerinin karşılaştırması yer almaktadır. Tablo 7'den de görüldüğü gibi genel olarak gürültüsüz duruma göre bağıl hata değerlerinde Fourier dönüşümü, gürültülü duruma göre de Hilbert-Huang dönüşümü en iyi sonucu vermektedir. Buna karşın her iki durumda da Hartley dönüşümü, en yüksek ortalama bağıl hata değerine sahiptir. Tablo 3. SNR=10 dB için saf işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=10 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü Fourier 1 217.1038355429795 1.316438389554768 5.108481735423681 Chirp-z 1 217.1038355429767 1.316438389556047 5.108481735424911 Hartley 1 216.0176174802153 1.810173872629406 5.583244794695829 Hilbert-Huang 1 223.1289864040858 1.422266547311724 2.475015073936213 Dalgacık 1 217.5257366811796 1.124665144918360 4.924077625467574 Gürültüsüz 220.0000000000000 RMS değeri Gürültülü 228.7916133216997 Tablo 4. SNR=20 dB için saf işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=20 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü Fourier 1 219.8374759215951 0.073874581093143 0.490552102641752 Chirp-z 1 219.8374759215922 0.073874581094460 0.490552102643064 Hartley 1 219.6262551440937 0.169884025411952 0.586161201433941 Hilbert-Huang 1 220.3789397753146 0.172245352415724 0.245458453735318 Dalgacık 1 219.8706075723578 0.058814739837358 0.475555058750551 Gürültüsüz 220.0000000000000 RMS değeri Gürültülü 220.9212095602746 758 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 Tablo 5. SNR=30 dB için saf işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=30 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü Fourier 1 220.2366572119908 0.107571459995819 0.048823976244319 Chirp-z 1 220.2366572119880 0.107571459994540 0.048823976245596 Hartley 1 220.9612939266601 0.436951784845496 0.280041766353061 Hilbert-Huang 1 220.2977828204971 0.135355827498684 0.021083015530900 Dalgacık 1 220.2404471880226 0.109294176373915 0.047103951220888 Gürültüsüz 220.0000000000000 RMS değeri Gürültülü 220.3442380304225 Tablo 6. SNR=40 dB için saf işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=40 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan Gürültüsüz Gürültülü Fourier 1 219.9895727919419 0.004739640026411 0.005187761301247 Chirp-z 1 219.9895727919392 0.004739640027638 0.005187761302474 Hartley 1 220.6808465030139 0.309475683188135 0.309026153780846 Hilbert-Huang 1 219.9994217162951 0.000262856229497 0.005187761302474 Dalgacık 1 219.9902206185413 0.004445173390324 0.004893295984791 Gürültüsüz 220.0000000000000 RMS değeri Gürültülü 220.0009859179517 759 Vatansever F.,Kulu M.: Dönüşüm Tabanlı Harmonik Kestirim Yöntemlerinde Gürültü Duyarlılığı Tablo 7. Saf işaret için karşılaştırma sonuçları Gürültüsüz bileşene göre SNR-bağıl hata değişimi 2 1,5 1 0,5 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Gürültülü bileşene göre SNR-bağıl hata değişimi 6 4 2 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık 10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması 2 1,5 1 0,5 0 Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Yöntem Gürültüsüz Gürültülü İkinci uygulama olarak birinci (temel) ve üçüncü harmonik içeren x(t)  2220Sin(250t)  40Sin(2150t) (2) işareti için farklı seviyelerdeki SNR değerleriyle elde edilmiş genlik ve bağıl hata değerleri, Tablo 8-11'de verilmektedir. Tablo 12'de de gürültüsüz ve gürültülü bileşene göre bağıl hata değerlerinin değişim grafikleriyle ortalama bağıl hata değerlerinin karşılaştırması yer almaktadır. Tablo 12'den de görüldüğü gibi genel olarak temel harmonik kestiriminde her iki durumda da Hilbert-Huang dönüşümü en düşük ortalama bağıl hata değerine sahipken, Hartley dönüşümü en yüksek ortalama bağıl hata değeriyle dikkat çekmektedir. Üçüncü harmonik kestiriminde ise gürültüsüz durumda Fourier dönüşümü, gürültülü durumda ise Hilbert-Huang dönüşümü en düşük ortalama bağıl hata değerine sahiptir. 760 Ortalama Gürültülü Gürültüsüz Ortalama bağıl hata (%) Bağıl hata (%) Bağıl hata (%) Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 Tablo 8. SNR=10 dB için harmonikli işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=10 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü 1 221.7554791215339 0.797945055242686 0.787491605778401 Fourier 3 42.04124611828739 5.103115295718474 21.80526328640582 1 221.7554791215311 0.797945055241407 0.787491605779660 Chirp-z 3 42.04124611828578 5.103115295714442 21.80526328640882 1 221.8371016978680 0.835046226303640 0.750973993804239 Hartley 3 43.77442872030662 9.436071800766541 18.58162531763202 1 222.1071961810252 0.957816445920540 0.630134809655924 Hilbert-Huang 3 49.01065623401681 22.52664058504202 8.842488883497094 1 221.7694614667222 0.804300666691905 0.781235960845258 Dalgacık 3 41.96847500912376 4.921187522809394 21.94061412033202 1 220.0000000000000 Gürültüsüz RMS 3 40.00000000000000 değeri 1 223.5156460719519 Gürültülü 3 53.76480295889085 Tablo 9. SNR=20 dB için harmonikli işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=20 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü 1 219.3792392534403 0.282163975708959 0.241022165326835 Fourier 3 39.67421630975782 0.814459225605457 4.313098150464454 1 219.3792392534375 0.282163975710225 0.241022165328102 Chirp-z 3 39.67421630975628 0.814459225609294 4.313098150468156 1 220.1081621040403 0.049164592745593 0.090443103418066 Hartley 3 39.71321084750605 0.716972881234881 4.219050508110262 1 219.7642290036697 0.107168634695592 0.065954624339774 Hilbert-Huang 3 40.71111982881032 1.777799572025796 1.812277857497202 1 219.3844100513165 0.279813613037951 0.238670832937879 Dalgacık 3 39.55695421614760 1.107614459630994 4.595912720873298 1 220.0000000000000 Gürültüsüz RMS 3 40.00000000000000 değeri 1 219.9092693361487 Gürültülü 3 41.46253619136316 761 Vatansever F.,Kulu M.: Dönüşüm Tabanlı Harmonik Kestirim Yöntemlerinde Gürültü Duyarlılığı Tablo 10. SNR=30 dB için harmonikli işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=30 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü 1 220.2206248776176 0.100284035280732 0.068897350579239 Fourier 3 39.79658360411132 0.508540989721702 0.803212444974460 1 220.2206248776148 0.100284035279453 0.068897350577960 Chirp-z 3 39.79658360410981 0.508540989725468 0.803212444978215 1 220.9858002998402 0.448091045381912 0.416595304956270 Hartley 3 40.00171959165125 0.004298979128130 0.291891393441110 1 220.0540484086636 0.024567458483450 0.006795485103364 Hilbert-Huang 3 40.04092753701668 0.102318842541695 0.194161842945690 1 220.2197990242447 0.099908647383958 0.068522080386243 Dalgacık 3 39.70318951788733 0.742026205281672 1.036006129533342 1 220.0000000000000 Gürültüsüz RMS 3 40.00000000000000 değeri 1 220.0690031649908 Gürültülü 3 40.11882298308876 Tablo 11. SNR=40 dB için harmonikli işaret analiz sonuçları Orijinal işaret Gürültülü işaret (SNR=40 dB) Bağıl hata (%) Dönüşüm Harmonik Hesaplanan / kestirilen Gürültüsüz Gürültülü 1 220.0384205710936 0.017463895951641 0.038452750803178 Fourier 3 39.78089966864648 0.547750828383808 0.491468448624472 1 220.0384205710909 0.017463895950414 0.038452750801950 Chirp-z 3 39.78089966864497 0.547750828387574 0.491468448628240 1 220.7246649627627 0.329393164892131 0.350447478693482 Hartley 3 40.12370576781574 0.309264419539357 0.366031804495106 1 219.9561872134224 0.019914902989820 0.001066107849732 Hilbert-Huang 3 39.97065903197999 0.073352420050021 0.016801567012328 1 220.0376009642269 0.017091347375862 0.038080124047372 Dalgacık 3 39.69329446557310 0.766763836067241 0.710605400948407 1 220.0000000000000 Gürültüsüz RMS 3 40.00000000000000 değeri 1 219.9538422682442 Gürültülü 3 39.97737585757447 762 Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 Tablo 12. Harmonikli işaret için karşılaştırma sonuçları Birinci harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültüsüz) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Üçüncü harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültüsüz) 25 20 15 10 5 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Birinci harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültülü) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Üçüncü harmoniğe göre SNR-bağıl hata değişimi (gürültülü) 25 20 15 10 5 0 10 20 30 40 SNR (dB) Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık 763 Gürültülü Gürültüsüz Bağıl hata (%) Bağıl hata (%) Bağıl hata (%) Bağıl hata (%) Vatansever F.,Kulu M.: Dönüşüm Tabanlı Harmonik Kestirim Yöntemlerinde Gürültü Duyarlılığı 10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması (1. harmonik) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Yöntem Gürültüsüz Gürültülü 10-40 dB SNR değişimi için bağıl hataların ortalaması (3. harmonik) 8 6 4 2 0 Fourier Chirp-z Hartley Hilbert-Huang Dalgacık Yöntem Gürültüsüz Gürültülü 4. SONUÇLAR Harmonik kestirimi, güç sistemleri ve işaret işleme alanındaki temel işlemlerdendir. Bu amaçla birçok yöntem ve teknik geliştirilmiştir. Gerçekleştirilen çalışmada; harmonik kestiriminde kullanılan yaygın beş farklı dönüşüm tabanlı yöntemin (Fourier dönüşümü hesaplamak için hızlı Fourier dönüşümü algoritması, z dönüşümünün genelleştirilmiş yaklaşımı olan chirp z-dönüşümü, Hartley dönüşümü hesaplamak için ayrık Hartley dönüşümü algoritması, görgül kip ayrışımı ve Hilbert dönüşümüne dayanan Hilbert-Huang dönüşümü, dalgacık paket dönüşümü) gürültü hassasiyetleri incelenmiştir. Saf ve harmonikli işaretlere, belirli oranlarda gürültüler eklenerek yöntemlerin etkilenme durumları ortaya konulmuştur. KAYNAKLAR 1. Bi, G., Zeng, Y. (2004) Transforms and Fast Algorithms for Signal Analysis and Representations, Birkhäuser, USA. 2. Chen, C., Chen, Y. (2014) Comparative study of harmonic and interharmonic estimation methods for stationary and time-varying signals, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 61 (1), 397-404. doi: 10.1109/TIE.2013.2242419 3. Debnath, L., Bhatta, D. (2007) Integral Transforms and Their Applications, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC, USA. 4. Jain, S.K., Singh, S.N. (2011) Harmonics estimation in emerging power system: Key issues and challenges, Electric Power Systems Research, 81, 1754-1766. doi: https://doi.org/10.1016/j.epsr.2011.05.004 5. MathWorks (2019). MATLAB. https://www.mathworks.com/. 764 Ortalama Ortalama bağıl hata (%) Ortalama bağıl hata (%) Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt 25, Sayı 2, 2020 6. Poularikas, A.D. (Ed.) (2010) Transforms and Applications Handbook, 3rd ed., CRC Press, USA. 7. Rodrigues, R.P., Silveira, P.M., Ribeiro, P.F. (2010) A survey of techniques applied to non- stationary waveforms in electrical power systems, 14th International Conference on Harmonics and Quality of Power (ICHQP 2010), Bergamo, 1-8. doi: 10.1109/ICHQP.2010.5625503 8. Singh, G.K. (2009) Power system harmonics research: a survey, European Transactions on Electrical Power, 19, 151-172. doi: https://doi.org/10.1002/etep.201 9. Vatansever, F. (2018) Sayısal Hesaplama ve Programlama, Seçkin Yayıncılık, Ankara. 10. Vatansever, F., Çengelci, B. (2011) Prony yöntemiyle harmonik analizi, 6th International Advanced Technologies Symposium (IATS'11), Elazığ/Turkey, 16-18 May. 134-137. 11. Vatansever, F., Uyaroğlu, Y., Özdemir, A. (2009) Dalgacık paket tabanlı harmonik analizi, 5th International Advanced Technologies Symposium (IATS'09), Karabuk/Turkey, 13-15 May. 432-437. 12. Vatansever, F., Yalçın, N.A. (2016) Çevrimiçi harmonik simülatörü tasarımı, 4th International Symposium on Innovative Technologies in Engineering and Science (ISITES2016), Alanya/Antalya/Turkey, 3-5 November, 618-624. 13. Vatansever, F., Yalcin, N.A. (2018) The design of harmonic simulator based on Hartley transform, Academic Perspective Procedia, 1(1), 21-24. doi: 10.33793/acperpro.01.01.7 765 766