Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 TEK KADEMELİ DİŞLİ KUTUSUNUN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Şeref ATAMER* Kadir ÇAVDAR** Özet: Bu yayında, tek kademeli düz silindirik dişli çark mekanizmasının tasarım aşamasında verilere dayalı güvenilirlik analizi çalışması açıklanmaktadır. Mekanizmanın güvenilirlik yapısını ortaya çıkarmak için basitleş- tirilmiş FMEA ve blok diyagram şemaları kullanılmıştır. Sistem elemanları için tecrübeye dayalı parametre ara- lıklarına sadık kalınarak rastgele hasar verisi üretilmiş ve bu verilerin işlenmesinde maksimum benzerlik yönte- mi ile yerleşik Matlab komutu “wblfit” kullanılmıştır. Anahtar Kelimeler: Güvenilirlik, dişli kutusu, Weibull, maksimum benzerlik yöntemi, wblfit. Reliability Analysis of a Single Stage Gearbox Abstract: In this paper, failure data based design stage reliability modeling on a single stage gearbox is applied. Simplified FMEA and block diagram schemes used for deducing system reliability structure. Random failure data generated from experienced parameter intervals and for processing this failure data maximum likelihood method and settled Matlab function “wblfit” are used. Key Words: Reliability, gearbox, Weibull, maximum likelihood estimation, wblfit. 1. GİRİŞ Ürünün kalite parametreleri arasındaki en önemli parametrelerden birisi olan güvenilirlik, ürü- nün tasarım aşamasından geri dönüşümüne kadar geçen sürede (ömür) meydana gelen değişimleri açıklar, ürünün oluşumu ve gelişimi hakkında bilgi verir. Güvenilirlik analizleri ile arıza mekanizma- ları, fiziksel süreçler, ürünün hizmeti sırasındaki davranışı, potansiyel risk içeren bileşenler, yedek parça planlaması ve ürün ömür döngüsü maliyet hesabı hakkında bilgi edinilebilir. Güvenilirlik tanımı Ebeling (1997) tarafından, “Herhangi bir parçanın, ürünün, sistemin veya alt sistemin belirli şartlar altında istenilen emniyet seviyesinde, belirlenen süre içinde fonksiyonunu hatasız olarak yerine getirebilme olasılığıdır” şeklinde yapılmaktadır. Güvenilirlikte kullanılan temel parametreler şunlardır:  Sistem veya alet  Olasılık (güvenilirlik)  Performans  Periyot (zaman)  Şartlar (çevre koşulları) Yukarıdaki parametrelerden birini hesaplayabilmek için diğer dördünün bilinmesi gerekir. Dört parametre ne kadar kesinlikle belirlenirse, hesaplanmak istenen parametre de o kesinlikte elde edilir. Yeni ürünler başlarda görece daha az güvenilirdirler, yapılan testler ve gözlemlerle güvenilirlik arttırılır. Test aşamaları güvenilirlik uygulamaları için bir sınırlama değildir, ürünün çalışması esna- sında da güvenilirlik sürekli gelişir. Güvenilirlik gelişimi, belirli bir maksimum seviyeye erişinceye kadar ürün güvenilirliğini arttırmayı amaçlayan bir süreç olarak tanımlanabilir. Güvenilirlik gelişimini takip etmek için güvenilirlik döngüsünden (Şekil 1) faydalanabiliriz. * Uludağ Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 16059, Görükle, Bursa. ** Uludağ Üniversitesi, Mühendislik Mimarlık Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 16059, Görükle, Bursa. 39 Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi Fiziksel arıza analizi Modeller Olasılıksal(Hipotezler) sonuç çıkarma X İstatistiksel anlam çıkarma Beklenen ürün güvenilrilrilkik Toplanan değerleri veriler Ürünü anlama ve hizmet ömrü Şekil 1: Güvenilirlik Gelişimi Döngüsü (Broggi ve Turconi, 1992) Güvenilirlik döngüsü süresince farklı tür yüklerin etkisi ve farklı şartlar altında bileşen davra- nışı incelenebilir ve bileşenlerin güvenilirlik değerlerinin dengelenmesi sağlanabilir. Elde edilen sayı- sal veriler işlenerek, gelecek nesil ürünlerin güvenilirliğini arttırmak için kullanılabilirler. Bu çalışmada, tek kademe dişli kutusunun toplanan veriler ile güvenirliğinin tekrar ele alınma- sı ve aynı ürün için güvenilirlik gelişimine, benzer veya gelecek nesil ürünlerin tasarım aşamasında güvenirliğe katkıda bulunması ele alınacaktır. 2. GÜVENİLİRLİK YAPISINI BELİRLEMEDE KULLANILAN YÖNTEMLER Analize başlamadan önce sistem üzerinde doğru fikirler edinebilmek, elemanlar arası bağları görebilmek için sistemi oluşturan elemanlar ortaya konmalıdır (Şekil 2). 2.1. Sistem Elemanları ve Arıza Modlarının Elde Edilmesi Yapıdaki arızalar eleman veya bileşenin kusurlu olması sonucunda meydana çıkar. Arıza modları Şekil 3’te gösterildiği gibi dört temel başlık altında incelenebilir; aşınma arızaları, korozyon arızaları, metal yorulma arızaları ve metal bozulma arızaları. Ortaya konan sistem elemanların bazıları birkaç farklı arıza moduna sahip olabilir. Örneğin bir dişli çarkta çatlak gelişimine veya yorulmaya bağlı diş kırılabilir, yan yüzeyde çukurlaşma veya yen- meye bağlı fonksiyon kayıpları oluşabilir. Şekil 4’te örnek sistem için sistem ve elemanları gösterilmiştir. Sistem elemanlarının ortaya konması. (Yapı bileşeni = Elemanlar ve bunların ara kesitleri) Hesaplanacak sistem elemanlarının kesinleştirilmesi. (Sistem elemanı = Her hasar türü için eleman) Sistem elemanlarının sınıflandırılması. (A, B, C sınıfı veya FMEA/FMECA analizleri) Şekil 2: Sistem güvenirliğinin belirlenmesi için akış diyagramı (Bertsche ve Lechner, 2004) 4 0 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 Arıza modları Aşınma arızaları Korozyon arızaları Metal yorulma Malzeme bozulma arızaları arızaları Adeziv (yapışkan) Galvanik korozyon Yüksek hız yorulması Termal bozulma aşınma Abrasiv (aşındırıcı) Düşük hız yorulması Radyasyon etkisi ile aşınma bozulma Yenme (sürtünme) Çatlak oluşumu aşınması Sıvı aşındırması Pitting (çukurlaşma ) aşınması Korozif aşınma Şekil 3: Arıza modlarının özeti 1 Gövde 15 Emniyet pulu 2 2 Gövde Kapağı 16 Mesafe Burcu 3 Gövde Cıvataları 17 Yatak Kapağı 1 4 Gövde Kapak Contası 18 Yatak Kapağı 2 5 Giriş Mili 19 Yatak Kapağı 3 6 Çıkış Mili 20 Yatak Kapağı 4 7 Dişli Çark 1 21 Yatak Kapak Contası 1 8 Dişli Çark 2 22 Yatak Kapak Contası 2 9 Uygu Kaması Bağı 23 Yatak Kapak Contası 3 10 Rulman 1 24 Yatak Kapak Contası 4 11 Rulman 2 25 Radyal Mil Contası 1 12 Rulman 3 26 Radyal Mil Contası 2 13 Rulman 4 27 Altıköşe Başlı Cıvata 1-12 14 Emniyet Pulu 1 a) b) Şekil 4: Örnek seçilen a) tek kademeli dişli çark mekanizması ve b) elemanları (Bertsche ve Lechner, 2004) 2.2. Sistem Elemanlarının Sınıflandırılması Farklı sistem elemanları farklı fonksiyonları yerine getirir ve bu şekilde sistem güvenilirliğine farklı büyüklüklerde katkıda bulunurlar. Tüm sistem elemanları için eşit değerler almak mantıklı de- ğildir. Bu nedenle sistem elemanlarını güvenilirlik açısından “baskın” ve “nötr” şeklinde sınıflandır- mak gerekir. Bunun ardından elemanın tanımlanabilir bir yükle mi zorlandığı yoksa gerilme değerleri- nin kabaca elde edilebildiği gibi durumlar göz önüne alınır. Bu bakış açısı kullanılarak yapılan ABC analizi sonucunda örnekler Tablo I’de gösterilmiştir. Burada gerçekleştirilen ABC analizi, FMEA analizinin basitleştirilmiş bir formudur ve küçük, basit sistemler için uygundur. Tablo II’de örnek sistem için ABC analizi gösterilmiştir. 41 Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi Tablo I. Sistem elemanlarının ABC sınıflaması (Bertsche ve Lechner, 2004) A-Eleman (Yüksek Rizikolu) B-Eleman (Yüksek Riziko) C-Eleman (Nötr) - Tanımlanabilir statik yük ile oluşan - Gerilmeler daha ziyade sürtünme, - Sürtünme, aşınma nedeniyle olu- gerilme, kolektif yük biliniyor, güç yöne- aşınma, çok yüksek/düşük sıcaklıklardan şan stokastik gerilmeler, tilebilir, dolayı oluşuyor, - Hesap sadece izafi olarak müm- - Ömür hesabı mümkün ve gerektiği - Ömür hesabı mümkün değil veya kün veya çok yaklaşık, kadar emin, emniyetli değil, - Sadece rastlantısal veya erken - Wöhler deneylerinden hasar dav- - Hasar davranışı tahmin ediliyor ve- hasar mümkün. Form parametresi ranışı biliniyor. Form parametresi ya deney ile elde ediliyor. Form paramet- 01,0. resi b1,0. Tablo II. Örnek sistem elemanlarının ABC sınıflaması A-Eleman B-Eleman C-Eleman Giriş mili Radyal mil contası 1 Gövde Çıkış mili Radyal mil contası 2 Gövde kapağı Dişli çark 1 kırılma Gövde cıvataları Dişli çark 2 kırılma Gövde kapak contası Dişli çark 1,2 yan yüzey aşınması Emniyet pulu 1-2 Uygu kaması bağlantısı Mesafe burcu Rulman 1-4 Yatak kapağı 1-4 Yatak kapak contası 1-4 Altıköşe başlı cıvata 1-12 2.3. Sistem Yapısının Belirlenmesi Sistem güvenilirliğinde etkin rol oynayan A ve B tipi elemanlar için “güvenilirlik blok diyag- ramı” oluşturulur. Blok diyagram sistemin güvenilirliğini açığa çıkarmada belirleyici bir adımdır. Gü- venilirlik blok diyagramı bir elemanın hasarlı hale gelmesinin toplam sistemi nasıl etkileyeceğini gös- terir. Şekil 5’te görülen blok diyagramlardaki “Giriş G” ve “Çıkış Ç” arasındaki bağlantılar sistemin fonksiyon yeteneği hakkında bize bazı bilgileri verir. Şekil 6’da örnek sistem için oluşturulan güvenilirlik blok diyagramı görülmektedir. a) G Eleman 1 Eleman 2 Eleman n Ç Eleman 1 b) G Eleman 2 Ç Eleman n Eleman 2/1 c) G Eleman 1 Ç Eleman 2/2 Şekil 5: Güvenilirlik blok diyagramının temel yapıları a) Seri Yapı, b) Paralel Yapı, c) Seri-Paralel Kombinasyonu (Bertsche ve Lechner, 2004) 4 2 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 Giriş Mili Çıkış Mili Dişli Çark 1, kırılma Dişli Çark 2, kırılma G Rulman 1 Rulman 2 Uygu Kaması Dişli Ç. 1/2, aşınma Ç Rulman 3 Rulman 4 Radyal Mil Contası 1 Radyal Mil Contası 2 RSistem = RGirişMili . RÇıkışMili . RDÇ1, kırılma . RDÇ2, kırılma . RDÇ1/2, aşınma . RUyguK . RRul 1 . RRul 2 . RRul 3 . RRul 4 . RR Mil Co1 . RR Mil Co2 Şekil 6: Dişli çark mekanizması güvenilirlik blok diyagramı (Boole Seri Yapısı) 2.4. Güvenilirlik Analizinde Kullanılan Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları, aynı özelliğe sahip verilerin istatistiksel analizini kolaylaştırmak için ön- ceden geliştirilmiş modellerdir (Akdeniz, 2002). Bir araştırmacı elindeki verilerin hangi dağılıma uy- duğunu tespit ettikten sonra bu dağılımın karakteristik özelliklerini kullanarak analizi kolaylıkla yapa- bilir. Elektronik ve mekanik cihazlar gibi birimlerin, insanların, bilgi işleme sistemlerinin ve buna benzer diğer birçok sistemin ömür sürelerini gösteren veriler genellikle sürekli rassal değişken özelli- ğine sahiptir. Dolayısıyla bu tür verilerin ömür dağılımları da sürekli dağılımlardır. Bu verilerin yay- gın olarak uyum gösterdiği önemli sürekli dağılımlar; Normal, Log-normal, Üstel, Weibull, Erlang, Gamma ve Rayleigh dağılımlarıdır (Şentürk, 1998). Güvenilirlik çalışmalarında en yaygın kullanım alanına sahip olasılık dağılımı Weibull dağılı- mıdır (Ebeling, 1997). Weibull dağılımı klasik istatistik kapsamındadır, fakat bu dağılım genellikle temel istatistik kitaplarında yer almaz. Özellikle “Güvenilirlik” başta olmak üzere deneysel sonuçların değerlendirilmesinde kullanılmaktadır ve diğer yöntemlerin yaklaşımları Weibull’a göre daha tartış- maya açıktır. Bu bir “chameleon (bukalemun)” yani değişken ortamlara ayak uyduran bir dağılımdır. Özellikle seramiklerin, metallerin, polimerlerin ve kompozit malzemelerin statik ve dinamik mekanik özelliklerinin modellenmelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır (Birgören ve Dirikolu, 2004). Weibull dağılımı, faktörlerinin belirli değerleri almasıyla, normal dağılım ve üstel dağılım fonksiyon- larını da gerçekleştirmektedir (Tahralı ve Dikmen, 1995). Güvenilirlik katsayılarından birisi olan arıza hızı tsistemin hizmet ömrü boyunca karşıla- şacağı hasar türlerini açıklamak için kullanılır. Arıza hızı t , t süresine kadar hasara uğrayan ürün- lerin t süresinde çalışmaya devam eden ürünlere bölünmesiyle elde edilir. Arıza hızı t’nin zaman- la değişimini karakterize etmek için Weibull dağılımını kullanmak büyük avantaj sağlar. Weibull dağı- lımı, küvet karakteristik eğrisinin, alışma dönemi, kullanışlı ömür dönemi ve yıpranma dönemi olarak adlandırılan tüm dönemlerini ve eğrinin tüm davranışlarını karakterize edebilme yeteneğine sahiptir (Şekil 7(d) 1,2,3). 1. bölge erken hasarların meydana geldiği zamanı kapsar, hasarlar giderek azalır. Bu bölgede- ki arıza türleri montaj hataları, imalat hataları, malzeme hataları ve açık konstrüksiyon hataları olabi- lir(Şekil 7(d) 1. bölge). 2. bölge raslantısal hasarların meydana geldiği bölgedir, hasarlar sabit veya sabite çok yakın takip eder. Kullanım hatası veya bakım yetersizliği bu tür arızaya sebebiyet verebilir. (Şekil 7(d) 2. bölge). 3. bölge aşınma ve yorulma hasarlarının ortaya çıktığı bölgedir, hasarlar giderek artar. Yorul- ma kırılması, yaşlanma, karıncalanma gibi örnekler verilebilir. (Şekil 7(d) 3. bölge). 43 Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi (a) (b) (c) (d) Şekil 7: Farklı form parametreleri b (karakteristik ömür T  1 , hasarsız süre t0  0 ) için Weibull: a) Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu f t , b) Hasar Olasılığı “Birikimli Dağılım Fonk.” F t , c) Çalışmaya Devam olasılığı “Güvenilirlik Fonk.” Rt  1 F t, d) Hasar Oranı “Hasar hızı” t (Bertsche ve Lechner, 2004) Weibull dağılımı asimetriktir ve dağılımın eğrisi şekil veya form “ b ” ve ölçek veya karakte- ristik ömür “T ” olarak adlandırılan iki parametreye sahiptir. Bu dağılım aynı zamanda üstel dağılımı (Şekil 7 (d); b≤ 1) tam anlamıyla temsil edebildiği gibi normal dağılımı (Şekil 7 (d); b≈3.5) da büyük yaklaşıklıkla karakterize edebilmektedir. Weibull dağılımı şekil “ b ” ve ölçek “T ” gibi iki temel parametreye sahiptir ancak bunlara ek olarak hasarın olmadığı veya daha hizmete başlamadan hasarlı olabilme durumunu açıklamak için “ t0 ” konum parametresi kullanılır. Konum parametresi içeren 3 parametreli Weibull dağılımı bir zaman transformasyonu ile iki parametreli dağılımdan elde edilebilir, hasar zamanı t ve karakteristik ömür (ölçek parametresi) T yerlerini t  t0 ve T  t0 ile yer değiştirmelidir ( t  t  t0 ; T  T  t0 ). Detaylı bağıntılar Tablo III’te görülmektedir. 4 4 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 Tablo III. Weibull dağılımı için bağıntılar (Bertsche ve Lechner, 2004). 2 parametreli Weibull dağılımı:  t b    T  Yaşama olasılığı, Güvenilirlik R(t)  e (2.1)  t  b    T  Hasar Olasılığı (Birikimli Dağılım Fonk.) F(t)  1 e (2.2) b1  t  b   f (t) dF(t) b t      e  T  Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu dt T  T  (2.3) (t) f (t) b t b1       Hasar Oranı (Hasar Hızı) R(t) T  T  (2.4) 3 parametreli Weibull dağılımı:  b  tt 0   Tt  0  Yaşama olasılığı, Güvenilirlik R(t)  e (2.5) b  tt   0  Hasar Olasılığı (Birikimli Dağılım Fonk.) F (t)  1 e  T t  0  (2.6)  bb1 dF(t) b    tt0  f (t)    t  t 0  Tt0  dt T  t  T  t    e Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 0  0  (2.7) b1 f (t) b  t  t  (t)    0  Hasar Oranı (Hasar Hızı) R(t) T  t 0  T  t 0  (2.8) Parametreler: t statik değişken (yüklenme süresi, yük değişimi, …). T ölçek parametresi, “karakteristik ömür”. t  T ise F(t)  %63,2 veya R(t)  %36,8 . b şekil “form” parametresi veya hasarın meydana gelme hızlılığı. Eğrinin formunu belirler. t0 hasar olmayan süre. Bu parametre, ilk hasarın olduğu zaman noktasını belirler. Zaman ekseni boyunca bir hareket söz konusudur. 3. GÜVENİLİRLİĞİ HESAPLAMADA KULLANILAN YÖNTEMLER Bu çalışmada, Weibull uyumluluğunu belirlemek için Weibull Dağılımı Kağıdı yöntemi ve pa- rametrelerinin belirlenmesinde iki farklı yöntem kullanılmıştır. İlk yöntemde; Maksimum benzerlik yöntemi uygulamak için Matlab R2007a’da hazırlanan program, ikinci yöntemde de yine MATLAB R2007a programının içerdiği “wblfit” yerleşik komutu kullanılarak Weibull parametreleri tahmin edilmiştir. 45 Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi 3.1. Weibull Dağılımı Uyumluluk Testleri Güvenilirlik aralıklarını elde etmeden önce elde bulunan verilerin Weibull dağılımına uyumu- nu kontrol etmek gereklidir. Weibull dağılımı uyumluluğunun tespitinde en çok kullanılan yöntem Weibull olasılık kağıdıdır. Şekil 7(b)’de görülen hasar olasılığıF t , s formunda bir eğrisel değişim göstermektedir. Weibull olasılık kağıdı kullanılarak, iki parametreli Weibull dağılım fonksiyonu F t ’yi doğrusal bir çizgi ile göstermek mümkündür. Bu şekilde hasar davranışı çok basit formda grafiksel olarak ifade edilmiş olur. Oluşan çizginin bir doğrultudan sapması Weibull dağılımına uyum- suzluğu belirtir. Bu çalışmada MATLAB R2007a programının içerdiği “wblplot” yerleşik komutu ile Weibull olasılık kağıdı çizdirilerek Weibull dağılımına uyumluluk kontrol edilmiştir. 3.2. Weibull Parametreleri ve Yüzdeliklerinin Tahmini Weibull dağılım parametrelerinin tahmini için en yaygın kullanılan tahmin yöntemleri, mak- simum benzerlik, en küçük kareler, ağırlıklı en küçük kareler ve moment yöntemleridir (Fernandez- Saez ve diğ., 1993). Birgören B. (2003), tek yönlü güven aralıkları oluşturulmasında en iyi yöntemin, en küçük yanlış kapsama olasılığına (False Coverage Probability) sahip olan tahmin yöntemi olduğunu belirtmiş ve Maksimum Benzerlik, En Küçük Kareler Yöntemi ve Ağırlıklı En Küçük Kareler tahmin yöntemlerini, bu doğrultuda yapmış olduğu benzetim çalışması ile kıyaslayarak en iyi yöntemin Mak- simum Benzerlik Yöntemi olduğunu ispat etmiştir. 3.2.1. Maksimum Benzerlik Yöntemi Maksimum Benzerlik Yöntemi Gauss ve daha sonra R.A. Fisher tarafından geliştirilmiştir. Yöntemin amacı bilinmeyen kitle parametreleri için tahmin ediciler bulmaktır (Rüzgar, 1992). L   L 1 , 2 , 3 ,......, n ; ,  1 , 2 , 3 ,......, n rassal değişkenleri için benzerlik fonk- siyonu olsun. Eğer̂ ,  ’nın L  ’yı maksimum yapan değeriyse ̂ ’ya  ’nın maksimum benzerlik tahmincisi denir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f  ,  kullanılarak  1 , 2 , 31 ,......, n rassal de- ğişkenleri için benzerlik fonksiyonu; L   f  1 , , f  2 , , f  3 , ,......, f  ,  şeklinde üretilir. Maksimum benzerlik tahmin değerleri ise; dL   0 denkleminin çözümü ile bulu- d nur. Benzerlik fonksiyonunda k tane parametre varsa, n L   1 , 2 ,3 ,......, k   f  1;1 , 2 ,3 ,......, k  (2.9) i1 olur. Burada 1,2 ,3,......,k parametrelerinin maksimum benzerlik tahmincileri ˆ1  d1 1 , 2 , 3 ,......, n  , ˆ ˆ2  d 2  1 , 2 , 3 ,......, n ,……,  k  dk  1 , 2 , 3 ,......, n  rassal değişkenleridir. ˆ ,ˆ1 2 ,ˆ3 ,......,ˆk ; L1,2 ,3,......,k ’yı maksimum yapan değerlerdir. Mak- simum benzerlik k adet denklemin ortak çözümüdür (Meyer, 1970): dL1 , 2 ,3 ,......, k   0 d1 dL1,2 ,3 ,......, k   0 d2 …………………………. dL1,2 ,3 ,......, k   0 d k 4 6 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 3.2.2. Weibull Parametrelerinin Maksimum Benzerlik Yöntemi ile Tahmini Parametreleri b ve T0 olan n adet Weibull dağılımına uyumlu rassal değişken T1 ,T2 ,T3 ,......,Tn şeklinde olsun. Bu değişkenler için maksimum benzerlik fonksiyonu: n n bT T0i Lb,T   f T ;b;T   bn T n T T0 1 T T0 1      T T0 1 i10 i 0 0 1 2 n  e (2.10) i1 olur. Her iki tarafın logaritması alınırsa; n n b   Ti  Ti ln L  n  ln b  n  lnT0  n 1  ln  ln  (2.11) i1 T0 i1 T0  şeklinde olur. ln L ’nin, b ve T0 ’a göre türevi alınıp sıfıra eşitlenirse; dLb,T0  dLb,T  0 0  0 db dT0 buradan da; 1 nT b0  T bi (2.12) n i! ve b n n n n T T   T    ln i i b 0 Ti  ln   ln   0 (2.13) i1 i1 T0  T0  denklemleri elde edilir (Birgören ve Dirikolu, 2004). Eşitlik 2.12, Eşitlik 2.13’te yerine yazılırsa, bu iki eşitlikten şu iki denklem elde edilir.  n lnT T b ˆ  n  i i    lnT  n i1  ni  n    0 (2.14) i1 ˆ  lnT b mi   i1  1  n ˆ  mˆ T bi   T   i1 0̂   (2.15) n     Eşitlik 2.14 sayısal kök bulma yöntemlerinden biriyle yaklaşık olarak çözülebilir. Daha sonra eşitlik 2.15 T0̂ ’ı doğrudan verir (Birgören ve Dirikolu, 2004). Eşitlik 2.14’ün çözümü için köke en hızlı yaklaşım gösteren sayısal kök bulma yöntemi olan Newton-Raphson yöntemi tercih edilmiştir (Law ve Kelton, 1991). Buna göre Newton-Raphson yinelemeleri için genel döngü denklemi: A  1 bˆ C / B bˆk1  bˆ k k k k  ˆ (2.16) 1 b 2k  B 2 2k  H k Ck  Bk n n n n burada A   lnTi n , B T bˆ C T bˆ lnT H T bˆ k , k ki k  i  i , k  i  lnT 2i  ’dir. i1 i1 i1 i1 Yinelemeler için başlangıç noktası olarak; 47 Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi 1   n n 2  2 b0  6  2  n 1  lnT  2  i  lnTi  n (2.17)   i1  i1    eşitliği kullanılır (Thorman ve diğ., 1969) . Weibull parametrelerinin maksimum benzerlik yöntemiyle hesaplanması için kesin formüller yoktur ve hesaplamalar sayısal işlem gerektirir. Bu çalışmada Weibull parametrelerinin maksimum benzerlik yöntemi ile tahmini için eşitlik 2.14’ün Newton-Raphson Yöntemi ile çözüm algoritması (Şekil 8) Matlab R2007a ile programlanmıştır.  n: örnek büyüklüğü  T1 ,T2 ,T3 ,......,Tn : Örnek veriler örnekteki veri değerleri için maksimum b̂ ve T Bilgi 0 0̂ Newton-Raphson yöntemi benzerlik Girişi parametrelerinin için başlangıç değeri b tahmininin 0 yapılması. tahmini (veya dışarıdan girilecek bir başlangıç değeri) Şekil 8: Weibull parametrelerinin Maksimum Benzerlik yöntemi ile tahmini için akış şeması (Danacı, 2005) 4. ÖRNEK UYGULAMA Verilere Dayalı Güvenilirlik Modellenmesi Dişli çark mekanizmasının güvenilirliğini elde edebilmek için sistemin güvenilirlik yapısında- ki elemanların her birinin güvenilirliği elde edilmelidir. Eleman güvenilirlik değerlerini elde edebil- mek için de hasar olasılık dağılım grafiği parametrelerine (şekil “form” ve ölçek “karakteristik ömür” parametresi) ihtiyaç duyulur. Bu çalışmada, halen hizmet vermekte olan sistemlerden elde edilmiş hasar verilerine dayalı güvenilirlik analizi yapılacaktır. Hasar süresi verileri, elemanların gözlem ve tecrübelere dayalı elde edilmiş parametre aralıklarına sadık kalınarak rasgele üretilmiştir. Tablo IV. Sistem elemanlarının hasar verileri (Karakteristik ömür) Dişli Çark 1, kırılma Dişli Çark 2, kırılma Dişli Çark 1/2, aşınma Rulman 1 Rulman 4 Radyal Mil Contası 1/2 (x105) (x105) (x106) (x107) (x107) (x108) 1 0,5415 1,6590 4,7139 0,2254 0,3764 0,1770 2 0,4173 2,9847 0,8022 0,1170 0,1954 0,0854 3 1,0509 2,0222 0,8295 1,8055 3,0155 0,0390 4 0,6246 0,9747 2,8663 0,1081 0,1805 0,4393 5 1,0005 1,7826 3,2150 0,4654 0,7774 0,8783 6 0,5305 0,7061 2,7668 2,0121 3,3607 0,2573 7 2,1769 0,5247 0,7404 1,1728 1,9587 0,5611 8 1,7073 1,5589 1,2051 0,5964 0,9962 0,3563 9 0,6112 1,4949 1,3973 0,0557 0,0930 0,0116 10 1,1953 2,8446 0,7674 0,0467 0,0781 0,0602 11 1,1495 0,9348 4,5542 1,6342 0,0855 12 1,7245 2,4593 1,6498 0,0397 0,7189 13 0,8724 1,7150 0,0561 0,0256 14 1,1175 2,0087 0,7017 0,3948 15 0,9935 1,4246 0,2430 1,0597 16 2,8711 0,4344 1,7178 0,1126 17 1,2046 1,0601 0,3252 18 0,5547 1,0343 19 0,9129 0,7736 20 0,7274 0,9887 21 0,4959 0,4599 22 2,6129 4 8 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 Hasar verileri elde edilen dişli çark mekanizması elemanlarının hasar olasılık dağılımı f (t) ’yi görselleştirmek için Histogram diyagramı çizilmiştir (Şekil 9-10-11-12-13-14 (a)), Weibull dağılımı- na uyumu Weibull Olasılık Kağıdı ile kontrol edilmiştir (Şekil 9-10-11-12-13-14 (b)) ve uyumluluk gösterdiği tespit edilen dağılımlar için güven aralıklı (tecrübe ve gözlemlere dayalı) hasar olasılığı F (t) grafikleri (Şekil 9-10-11-12-13-14 (c,d)) çizilmiştir. Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 10 1 (a) 5 0.5 (c) b = 1.1202 T = 86425.8 b = 2.7684 T = 171663.8 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 Ömür t x105 Ömür t x105 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 00..9906 1 0.75 0.50 0.25 0.5 (d) (b) 0.10 0.05 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 1.2878 T = 89200.5 0.02 (N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 2.8947 T = 165615.2 0 0 10 0 1 2 3 x105Ömür t Ömür t x105 Şekil 9: Dişli Çark 1 kırılma için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Benzer- lik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 8 1 6 (a) 4 0.5 (c) 2 b = 1.2179 T = 125801.3 b = 3.451 T = 247393.3 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 Ömür t x105 Ömür t x105 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 00..9906 1 0.75 0.50 0.25 (b) 0.5 (d) 0.10 0.05 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 1.4011 T = 132879.5 0.02 (N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 3.7745 T = 235557.4 0 100 0 1 2 3 Ömür t x105 Ömür t x10 5 Şekil 10: Dişli Çark 2 kırılma için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Benzer- lik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı 49 Güvenilirsizlik Güvenilirsizlik Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 8 1 6 (a) 4 0.5 (c) 2 b = 0.7131 T = 1286280 b = 2.5898 T = 4478549 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Ömür t x106 Ömür t x106 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 00..996 1 0 0.75 0.50 0.25 0.5 (b) (d) 0.10 0.05 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 0.90185 T = 1464292(N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 2.8719 T = 3898774 0 100 0 1 2 3 4 5 Ömür t x106 Ömür t x106 Şekil 11: Dişli Çark 1/2 aşınma için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Ben- zerlik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 10 1 (a) 5 0.5 (c) b = 0.54804 T = 3531256 b = 1.0792 T = 11077000 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ömür t x107 Ömür t x107 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 0.96 1 0.90 0.75 0.50 (b) 0.25 0.5 (d) 0.10 0.05 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 0.60056 T = 3719100 0.02 (N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 1.1618 T = 10528000 0 10-1 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ömür t x107 Ömür t x107 Şekil 12: Rulman 1 “giriş mili” için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Ben- zerlik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı 5 0 Güvenilirsizlik Güvenilirsizlik Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 6 1 4 (a) 0.5 (c) 2 b = 0.4853 T = 5145154 b = 1.1497 T = 21561404 0 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Ömür t x107 Ömür t x107 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 0.96 1 0.90 0.75 0.50 (b) 0.25 0.5 (d) 0.10 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 0.56218 T = 5274456 0.05 (N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 1.2774 T = 19375485 10-1 0 100 0 1 2 3 4 Ömür t x107 Ömür t x107 Şekil 13: Rulman 4 “çıkış mili” için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Ben- zerlik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı Hasar Yoğunluğu Grafiği (Maksimum Benzerlik Yöntemi) 15 1 10 (c) (a) 0.5 5 b = 0.64018 T =32243500 b = 1.137 T = 76760000 0 0 0 1 2 8 3 0 1 2 3Ömür t x10 8 Ömür t x10 Weibull Olasılık Grafiği Hasar Olasılığı ve Güven Aralığı (WBLFIT ile) 00..9960 1 0.75 0.50 0.25 (b) 0.5 (d) 0.10 0.05 MR%=((i-0.3)/(N+0.4))*100 b = 0.68973 T = 33090000 0.02 (N:Örnek boyutu,i:Sıra) b = 1.1948 T = 74706000 0 10-1 100 0 1 2 8 3 Ömür t x108 Ömür t x10 Şekil 14: Radyal mil contası için (a)Histogram Diyagramı, (b) Weibull Olasılık Kağıdı, (c) Maksimum Benzer- lik yöntemi ile elde edilen Hasar Olasılığı F t aralığı, (d) Yerleşik Matlab komutu “wblfit” ile elde edilen Hasar OlasılığıF t aralığı 51 Güvenilirsizlik Güvenilirsizlik Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Yoğunluğu f(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Hasar Olasılığı F(t) Atamer, Ş. ve Çavdar, K.: Tek Kademeli Dişli Kutusunun Güvenilirlik Analizi Yazılan program ve “wblfit” komutu ile elde edilen parametreler (Tablo V) yardımı ile siste- min güvenilirliğini temsil eden grafik (Şekil 15) çizilir. Sistem güvenilirliği incelendiğinde toplam sistemin güvenilirliğinin, sistem içindeki en gü- vensiz elemanın güvenilirliğine eşit veya bu değerden küçük olduğu görülür. Tablo V. Programla hesaplanan b “form” ve T “ölçek” parametre değerleri b (form parametresi) T (ölçek parametresi) Maks. Benz. Yönt. WBLFIT Maks. Benz. Yönt. WBLFIT Dişli Çark 1 kırılma 1,9307 1,9307 121541,3077 121544,0298 Dişli Çark 2 kırılma 2,2997 2,2997 176919,3645 176920,1281 Dişli Çark 1/2 aşınma 1,6093 1,6093 2389339,1993 2389339,996 Rulman 1 0,8354 0,8354 6257613,1695 6257613,1861 Rulman 4 0,8474 0,8474 10099661,1107 10099661,2383 Radyal Mil Contası 0,9078 0,9078 49720000 49720000 Sistem Güvenilirliği 1 Radyal Mil Contası 1 ve 2 0.8 0.6 Dişli 2, kırılma Dişli1/2 aşınma 0.4 Rulman 2 Dişli 1, kırılma >= Sistem Güvenilirliği 0.2 Rulman 1 0 0 5 10 15 20 25 30 Ömür t x105 Şekil 15: Sistem Güvenilirliğinin elde edilmesi 5. SONUÇ VE YORUMLAR Bu çalışmada tasarım aşamasında hasar verisine dayalı güvenilirliğin modellenmesi yapılmış- tır. Hasar verileri, eski ürün ve benzer sistemlerden elde edilmiş gibi rasgele üretilmiştir. Elde edilen sistem güvenilirlik grafiği yorumlanarak, sistemde yapılan konstrüktif değişiklik- ler, malzeme değişiklikleri ve olası birçok değişiklik ile güvenilirlik istenen seviyeye çekilebilir, böy- lece garanti, yedek parça, ürün ömür çevrim döngüsü maliyeti gibi konularda daha somut hesaplama- lar yapılabilir. Aşırı emniyetli tasarım nedeniyle bir sistemi oluşturan bileşenler arasında güvenilirlik açısın- dan aşırı farklar olabilir, bu farklar sistem güvenirliği ile ortaya çıkarılır ve aşırı tasarımın neden oldu- ğu maliyet, ağırlık ve benzeri alanlarda optimizasyona gidilebilir. Düşük yük altındaki dayanımı yük- sek parçalar değiştirilerek maliyet azaltılabilir, yüksek yük altındaki dayanımı düşük parçalar değiştiri- lerek sistem ömrü arttırılabilir. Burada yapılan çalışma Güvenilirlik Gelişim Döngüsünün (Şekil 1) her çevriminin fiziksel arıza analizi kısmında uygulanabilir, böylece önceki güvenilirlik analizinin ne kadar doğru yapıldığı 5 2 Güvenilirlik R(t) Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, Sayı 1, 2009 ve ne derece etkili olduğu karşılaştırmalar ile tespit edilir ve gelecek nesil ürünler için daha sağlıklı analizler yapılabilir. KAYNAKÇA 1. Akdeniz, F. (2002) Olasılık ve İstatistik, Baki Kitapevi, Adana. 2. Bertsche, B. ve Lechner, G. (2004) Zuverlässigkeit im Fahrzeug- und Maschinenbau, 3. Auf., Springer, 495 sayfa, ISBN: 3-540-20871-2 3. Birgören, B. (2003) Estimating Confidence Lower-Bounds for Weibull Percentiles, Journal of Materials Science Leters, 22,1121. 4. Birgören, B. ve Dirikolu, M.H. (2004) A Computer Simulation for Estimating Lower-Bound Fracture Strength of Composites using Weibull Distribution, Composites Part B: Engineering, 35,263. 5. Broggi, R. ve Turconi, G. (1992) Integrating Data Collection And Analysis Procedures: A Key Tool For Product Reliability Improvement, Safety and Reliability. 6. Danacı, M. A. (2005) Güvenilirlik Analizinde Tanımlanmış Veriler İçin Weibull Dağılımının Kullanılması, Yüksek Lisans Tezi. 7. Ebelign, C. E. (1997) Reliability and Maintainability Engineering, McGraw-Hill International Editions. 8. Fernandez-Saez, J., Chao, J., Duran, J., Amo, J. M. (1993) Estimating Lower-Bonud Fracture Parameters for Brittle Materials, Journal of Materials Science Leters, 12,1493. 9. Gren, A. E. ve Bourne, A. J. (1972) Conceptual Design for Engineers, Wiley Interscience, New York. 10. Law, A. M. ve Kelton, W. D. (1991) Simulation Modeling & Analysis, McGraw-Hill Inc. 11. Meyer, (1970) Introduction Probability And Statistical Applications, Addison Wesley, Washington. 12. Tahralı, N. ve Dikmen, F. (1995) Konstrüksiyon Elemanlarında Güvenirlik ve Ömür Hesapları, Yıldız Tek- nik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi, İstanbul 2004, ISBN: 975-461-379-6 13. Rüzgar, B. (1992) Sürekli Yapıda İki Parametreli Bir Model ve Uygulaması, Doktora Tezi, Marmara Üniver- sitesi, İstanbul. 14. Şentürk, A. (1998) Ömür Verileri Analizi ve Bir Uygulama, Doktora Tezi, Uludağ Üniversitesi. 15. Thorman, D. R. Bain, L. J. Antle, C.E. (1969) Interferences on the Parameters of the Weibull Distribution, Technometrics, 11, 445. Makale 05.08.2008 tarihinde alınmış, 03.11.2008 tarihinde düzeltilmiş, 17.11.2008 tarihinde kabul edilmiştir. İletişim Yazarı: K. Çavdar (cavdar@uludag.edu.tr) 53