ÇELİK KONSTRÜKSİYON RAF SİSTEMLERİNDE KULLANILAN DİKME (AYAK) BURKULMA DAVRANIŞININ İYİLEŞTİRİLMESİ Çağlar KAHYA T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇELİK KONSTRÜKSİYON RAF SİSTEMLERİNDE KULLANILAN DİKME (AYAK) BURKULMA DAVRANIŞININ İYİLEŞTİRİLMESİ Çağlar KAHYA Prof. Dr. Yaşar PALA (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2016 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Çağlar KAHYA tarafından hazırlanan “ÇELİK KONSTRÜKSİYON RAF SİSTEMLERİNDE KULLANILAN DİKME (AYAK) BURKULMA DAVRANIŞININ İYİLEŞTİRİLMESİ ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Yaşar PALA Başkan : Prof. Dr. Yaşar PALA Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yrd. Doç. Dr. Murat REİS Uludağ Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yrd. Doç. Dr. Hüseyin LEKESİZ Bursa Teknik Üniversitesi Doğa Bilimleri, Mimarlık ve Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Ali Osman DEMİR Enstitü Müdürü / / U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; - tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, - görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, - başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, - atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, - kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, - ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. ../../…. İmza Çağlar KAHYA ÖZET Yüksek Lisans Tezi ÇELİK KONSTRÜKSİYON RAF SİSTEMLERİNDE KULLANILAN DİKME (AYAK) BURKULMA DAVRANIŞININ İYİLEŞTİRİLMESİ Çağlar KAHYA Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yaşar PALA Bu tez çalışmasında taşıma ve depolama işlemleri için kullanılan çelik konstrüksiyon raf sistemlerinin burkulma davranışları incelenmiştir. Bu çalışmada, düzlemsel levhaların ve raf sistemlerinde kullanılan dikmelerin burkulma davranışları üzerine deliklerin ve güçlendiricilerin nasıl etkidiği üzerinde durulmuştur. Bu amaçla lineer ve non-lineer burkulma analizleri ANSYS sonlu elemanlar programı kullanılarak yapılmış ve sonuçları incelenmiştir. Delik şekillerinin, deliklerin birbirleri arasındaki mesafelerinin ve deliklerin yan ve üst kenarlardan olan uzaklıklarının burkulma davranışına etkisi incelenmiştir. İlaveten flanş ve veb güçlendiricilerin konumunun ve şeklinin etkisi de açıklanmıştır. Anahtar Kelimeler: Lokal (yerel) burkulma, burulmalı burkulma, eğilme burkulması, distorsiyonel burkulma, raf sistemleri, Dikme (ayak) 2016, xi + 91 sayfa i ABSTRACT MSc Thesis IMPROVING THE BUCKLING BEHAVIOUR OF COLUMNS USED IN STEEL RACK SYSTEMS Çağlar KAHYA Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mechanical Engineering Supervisor: Prof. Dr. Yaşar PALA In this thesis, buckling behaviour of the steel rack system which is used for transporting and storing, are investigated. In this study, how holes and stiffeners effect on buckling behaviour of plates and uprights which are used in rack system are focused on. For this purpose linear and non-linear buckling analyses have been performed using ANSYS finite element program and results are examined. The effects of hole shapes, space between holes and distance from holes to lateral and top faces on the buckling behaviour are studied. Furthermore, the effects of shape and location of flange and web stiffeners effects are also explained. Key words: Local buckling, torsional buckling, flexural buckling, distortional buckling, rack system, upright 2016, xi + 91 pages ii TEŞEKKÜR Tez çalışmam boyunca bana her konuda yardımcı olan, bilgi ve deneyimlerini her zaman paylaşan değerli danışman hocam Prof. Dr. Yaşar PALA’ya teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans öğrenimim boyunca görüşlerinden faydalandığım değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Murat REİS’e teşekkür ederim. Analizlerin kurgulanmasında bana yardımcı olan Safa ŞENAYSOY ve Oğuz DOĞAN’a, bu süreçte manevi desteklerinden ötürü Ahmet Serhan CANBOLAT, Burak TÜRKAN, Oğuz TUNÇEL ve Sezgin ESER’e teşekkür ederim. Bugünlere gelmemde bana her zaman destek olan aileme ve bu zamana kadar geçen sürede üzerimde emeği olan tüm hocalarıma teşekkürlerimi sunarım. Çağlar KAHYA / / iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.................................................................................................................................. i ABSTRACT ...................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ .................................................................... vi ŞEKİLLER DİZİNİ ........................................................................................................ viii ÇİZELGE DİZİNİ ............................................................................................................ xi 1.GİRİŞ ............................................................................................................................. 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ......................................................................................... 2 2.1. Literatür Çalışması ..................................................................................................... 2 2.2 Genel Bilgiler .............................................................................................................. 6 3. MATERYAL VE YÖNTEM ...................................................................................... 10 3.1 Kolonların Burkulması .............................................................................................. 10 3.1.1 Elastik Stabilite Sınırları ........................................................................................ 14 3.1.2 Orta Noktasından Yüklemeye Maruz Kalan Kolonun Burkulma Yükü Hesabı .... 16 3.1.3 Secant Bağıntısı ...................................................................................................... 17 3.1.4 Büyük sehime sahip çubuklar (Elastika) ................................................................ 20 3.1.5 Enerji Yöntemi ....................................................................................................... 22 3.2. Levhalarda Burkulma ............................................................................................... 24 3.2.1 Delikli Levhalarda Burkulma ................................................................................. 27 3.2.2 Efektif Genişlik Konsepti ....................................................................................... 29 3.3 Açık Kesitli Kolonların Burkulması ......................................................................... 31 3.3.1 Lokal Burkulma ..................................................................................................... 31 3.3.2 Distorsiyonel Burkulma ......................................................................................... 32 3.3.3 Global Burkulma .................................................................................................... 33 3.4 Delikli Kolonlarda Burkulma Davranışları ............................................................... 36 3.4.1 Lokal Burkulma ..................................................................................................... 36 3.4.2 Distorsiyonel Burkulma ......................................................................................... 37 3.4.3 Global Burkulma .................................................................................................... 38 3.5 Maksimum Taşıma Kapasitesi (Ultimate Load) ....................................................... 40 3.5.1 Global Burkulmaya Maruz Dikmelerde Taşıma Kapasitesi .................................. 40 3.5.2 Lokal Ve Global Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi ........................................................................................................................ 41 iv 3.5.3 Global Ve Distorsiyonel Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi ........................................................................................................................ 41 3.5.4 Distorsiyonel Burkulmaya Maruz Dikmelerde Taşıma Kapasitesi ........................ 42 3.6 Sonlu Elemanlar Analizi ........................................................................................... 43 3.6.1.Sonlu Elemanlar Analizinde Burkulma Çözümü ................................................... 44 3.6.2 Sonlu Elemanlar Analizinin Kurgulanması ........................................................... 45 3.6.3 Yapılan Analizlerin Doğrulanması ........................................................................ 47 4. BULGULAR VE TARTIŞMA ................................................................................... 49 4.1 Düzlemsel Levha Analizleri ...................................................................................... 49 4.1.1 Delik Şeklinin Burkulma Yüküne Etkisi ............................................................... 49 4.1.2 Deliğin Yan Kenarlardan Olan Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi .................. 51 4.1.3 Deliklerin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi ............... 54 4.2 Dikme Analizleri ....................................................................................................... 68 4.2.1 Dikmelerdeki Farklı Uzantı Açılarının Burkulma Yüküne Etkisi ......................... 69 4.2.2 Güçlendirici Etkisinin Burkulma Yüküne Etkisi ................................................... 71 4.2.3 Veb Eleman Üzerinde Bulunan Deliklerin Birbirlerine Yaklaşması İle Burkulma Yükündeki Değişimi ....................................................................................................... 81 5. SONUÇ VE ÖNERİLER ............................................................................................ 84 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 86 EKLER ............................................................................................................................ 89 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 91 v SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklamalar beff Efektif genişlik Cw Burulma kesitinin çarpılma sabiti E Elastisite modülü ECw Çarpılma rijitliği G Kayma modülü GJ Burulma rijitliği Ig ve Inet Sırasıyla deliksiz bölgedeki kesitin ve delikli bölgedeki kesitin atalet momentleridir J St. Venant burulma sabiti K Efektif uzunluk çarpanı Pcre Kritik global elastik burkulma yükü 𝑃𝑒 Elastik Eğilmeli burkulma yükü Pkrl Elastik lokal burkulma yükü 𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 Kritik eğilmeli-burulmalı burkulma yükü 𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏,𝑑 Delikli kolonlardaki kritik eğilmeli burulmalı burkulma yükü Pkr,ed Delikli yapının eğilmeli burkulma yükü Pnd Distorsiyonel burkulmaya maruz yapının taşıyabileceği maksimum yük Pnl Lokal-global burkulma etkileşimi olan yapının taşıyabileceği maksimum yük Pnde Distorsiyon-global burkulma etkileşimi olan yapının taşıyabileceği maksimum yük Pne Global burkulmaya maruz yapının taşıyabileceği maksimum yük Pnld Lokal-distorsiyonel burkulma etkileşimi olan yapının taşıyabileceği maksimum yük Pndl Distorsyonel-lokal burkulma etkileşimi olan yapının taşıyabileceği maksimum yük r Jirasyon yarıçapı t Levhanın et kalınlığı tr İndirgenmiş kalınlık vi 𝜐 Poisson oranı x0 ve y0 Kayma merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki mesafe 𝜎𝑒 Eğilme burkulması gerilmesi σkrd Elastik distorsiyonel burkulma gerilmesi σakma Akma gerilmesi 𝜎𝑘𝑟 Kritik burkulma gerilmesi σkrl Lokal burkulma gerilmesi σkrl-delikli Delikli yapının lokal burkulma gerilmesi λ Narinlik oranı Kısaltmalar Açıklamalar DSM Direct Strength Method vii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2. 1 Dikme elemanları.............................................................................................. 6 Şekil 2. 2 Soğuk şekillendirilmiş çeliklerde burkulma türleri .......................................... 7 Şekil 2. 3 Lokal burkulma örnekleri (Kulatunga ve Macdonald 2013) ............................ 7 Şekil 2. 4 Lokal burkulma modu (Gunalan ve ark 2015) ................................................. 8 Şekil 2. 5 Distorsiyonel burkulma modu (Ranawaka 2006) ............................................. 8 Şekil 2. 6 C kesitli dikmede eğilmeli-burulmalı burkulma (Kang ve ark 2013) ............... 9 Şekil 3. 1 (a) Alt ucu ankastre, üst ucu serbest kolon (b) Alt ve üst ucu basit mesnetlenmiş kolon ................................................................................................................................ 11 Şekil 3. 2 Euler hiperbolü ............................................................................................... 14 Şekil 3. 3 Orta Noktasından Yüklemeye Maruz Kalan Kolon ....................................... 16 Şekil 3. 4 Eksantrik yüklemeye maruz kolon ................................................................. 18 Şekil 3. 5 Kolonun eksenden kaçık yüklenme durumu .................................................. 19 Şekil 3. 6 Büyük yer değiştirmeye sahip çubuk (Timoshenko ve Gere 1961) ............... 21 Şekil 3. 7 (a) Kararsız hal (b) denge konumu (c) kararlı hal .......................................... 22 Şekil 3. 8 Mesnetlenmiş kolonun burkuluş şekli ............................................................ 23 Şekil 3. 9 Levha burkulma katsayısı (Yu ve Schafer 2007). ss basit mesnet, fix ankastre ve free serbest ucu temsil etmektedir. ............................................................................. 25 Şekil 3. 10 Farklı sınır şartlarına göre değişen k değeri (Ziemann 2010)....................... 26 Şekil 3. 11 Eğilme ve bası gerilmelerinin olması durumunda levha burkulma katsayısı (Ziemann 2010) ............................................................................................................... 27 Şekil 3. 12 Şerit metodu (Moen ve Schafer 2009) .......................................................... 28 Şekil 3. 13 Oluklu levha (Ma ve Wang 2013) ................................................................ 29 Şekil 3. 14 Düzlem levhada efektif genişlik (Davies 2000) ........................................... 30 Şekil 3. 15 Efektif genişlik konsepti (Ma ve Wang 2013) .............................................. 30 Şekil 3. 16 Dikme kesit geometrisi ................................................................................. 31 Şekil 3. 17 Flanş modeli (Schafer ve Peköz 1999) ......................................................... 32 Şekil 3. 18 Eğilmeli Burulmalı burkulma esnasındaki yer değiştirmeler (Yoo ve Lee 2011) ............................................................................................................................... 34 Şekil 3. 19 Veb elemanındaki delik yerleşimleri (Smith ve Moen 2014) ....................... 36 Şekil 3. 20 Düzlemsel levha analizlerinde ( (a)Lineer analiz ve (b) Non- Lineer analiz ) uygulanan sınır şartları .................................................................................................... 46 Şekil 3. 21 Dikme analizlerinde uygulanan sınır şartları ( (a)Lineer analiz ve (b) Non- Lineer analiz ) uygulanan sınır şartları............................................................................ 47 Şekil 4. 1 Levha genişliği 100 mm olan levhada delik şeklinin burkulma yüküne etkisi ......................................................................................................................................... 50 Şekil 4. 2 Levha genişliği 200 mm olan levhada delik şeklinin burkulma yüküne etkisi ......................................................................................................................................... 50 Şekil 4. 3 Delik şekillerinin burkulma şekillerine etkisi (Üst sıra lineer analiz, alt sıra non- lineer analiz sonucunda elde edilen şekil değişimlerini göstermektedir)........................ 51 Şekil 4. 4 Deliklerin levha üzerindeki konumları ........................................................... 52 Şekil 4. 5 Farklı delik sayılarına sahip levhalarda delik konumunun, kenardan levha merkezine doğru kayması ile burkulma yükündeki değişimi (Lineer Analiz Sonuçları) 53 Şekil 4. 6 Farklı delik sayılarına sahip levhalarda delik konumunun, kenardan levha merkezine doğru kayması ile burkulma yükündeki değişimi (Non-lineer Analiz Sonuçları) ........................................................................................................................ 53 Şekil 4. 7 Delik Konumları ............................................................................................. 54 viii Şekil 4. 8 Tek delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi ................................................................................. 55 Şekil 4. 9 (Lineer Analiz Sonucu)Tek delikli ve d/h oranı 0,1 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5............................................................. 56 Şekil 4. 10 (Non-Lineer Analiz Sonucu) Tek delikli ve d/h oranı 0,1 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 .............................................. 57 Şekil 4. 11 (Lineer Analiz Sonucu)Tek delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5............................................................. 58 Şekil 4. 12 (Non-Lineer Analiz Sonucu) Tek delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 .............................................. 59 Şekil 4. 13 2 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi ................................................................................. 60 Şekil 4. 14 (Lineer Analiz Sonucu) 2 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375........................................................................ 61 Şekil 4. 15 3 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi ................................................................................. 62 Şekil 4. 16 5 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi ................................................................................. 62 Şekil 4. 17 9 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi ................................................................................. 63 Şekil 4. 18 (Lineer Analiz Sonucu) 3 delikli ve d/h oranı 0,2 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375........................................................................ 64 Şekil 4. 19 (Lineer Analiz Sonucu) 3 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375........................................................................ 65 Şekil 4. 20 (Lineer Analiz Sonucu) 5 delikli ve d/h oranı 0,2 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375........................................................................ 66 Şekil 4. 21 (Lineer Analiz Sonucu) 9 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 ....................................................................................... 67 Şekil 4. 22 Dikmelerin kesit geometrisi .......................................................................... 68 Şekil 4. 23 Açılı uzantıya sahip dikmenin kesit geometrisi ............................................ 69 Şekil 4. 24 Uzantının Yatayda Yaptığı Açının Burkulma Yüküne Etkisi ...................... 70 Şekil 4. 25 1. dikmede uzantının açılı olması ile burkulma şekillerindeki değişim. (a) 0⁰ (b) 30⁰ (c)45⁰ (d)60⁰ (e)75⁰ ............................................................................................ 70 Şekil 4. 26 3. dikmede uzantının açılı olması ile burkulma modundaki değişim (a) 45⁰ (b) 60⁰ ................................................................................................................................... 71 Şekil 4. 27 Flanş bölgesinde üçgen güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü ..... 72 Şekil 4. 28 L=400 mm uzunluğundaki 1. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ......................................................................................... 73 ix Şekil 4. 29 L=800 mm uzunluğundaki 2. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ......................................................................................... 73 Şekil 4. 30 L=1000 mm uzunluğundaki 3. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ......................................................................................... 74 Şekil 4. 31 Flanş bölgesinde dikdörtgen güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü ......................................................................................................................................... 74 Şekil 4. 32 L=400 mm uzunluğundaki 1. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ................................................................ 75 Şekil 4. 33 L=800 mm uzunluğundaki 2. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ................................................................ 76 Şekil 4. 34 L=1000 mm uzunluğundaki 3. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi ................................................................ 76 Şekil 4. 35 Veb bölgesinde güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü .................. 77 Şekil 4. 36 Veb bölgesinde güçlendirici bulunan dikmelerin taşıma kapasitelerindeki değişimi ........................................................................................................................... 78 Şekil 4. 37 Veb bölgesindeki güçlendiricinin burkulma şekline etkisi (a) Güçlendirici bulunmadığı durum, (b) güçlendirici bulunan durum ..................................................... 79 Şekil 4. 38 Veb elemandaki güçlendiricinin burkulma şekline etkisi. (a) güçlendirici bulunmadığı durum, (b) güçlendirici bulunduğu durum ................................................. 80 Şekil 4. 39 α açı değişiminin burkulma yüküne etkisi .................................................... 80 Şekil 4. 40 Güçlendirici bulunması durumunda burkulma yükündeki değişim.............. 81 Şekil 4. 41 Veb eleman üzerindeki deliklerin konumlarının gösterimi .......................... 82 Şekil 4. 42 Veb eleman üzerinde bulunan deliklerin yan kenarlardan veb eleman ortasında doğru bulunması ile dikmenin taşıma kapasitesindeki eğişim ........................................ 83 x ÇİZELGE DİZİNİ Sayfa Çizelge 3. 1 Farklı sınır şartları için efektif uzunluk faktörü (Yu 1973) ........................ 13 Çizelge 3. 2 Tetmajer bağıntıları .................................................................................... 15 Çizelge 3. 3 𝐾 değerleri (Timoshenko ve Gere 1961) .................................................... 17 Çizelge 3. 4 Burkulan çubuklar için yükleme ve sehim çizelgesi (Timoshenko ve Gere 1961) ............................................................................................................................... 22 Çizelge 3. 5 Deneysel veriler ile analiz sonuçlarının kıyaslanması ................................ 48 Çizelge 4. 1 Delik şekillerinin numaralandırılması ....................................................... 49 Çizelge 4. 2 Dikmelerin Geometrik Özellikleri ............................................................. 68 Çizelge 4. 3 Dikmelerin kesit özellikleri ....................................................................... 72 Çizelge 4. 4 Dikmelerin kesit özellikleri ....................................................................... 75 Çizelge 4. 5 Dikme ve delik geometrisi ......................................................................... 82 xi 1.GİRİŞ Yük taşıma ve depolama amacı için kullanılan çelik konstrüksiyon raf sistemlerinde, hem taşınan veya depolanan malzemelerin güvenliği hem de aynı alanda daha fazla yük taşınması istenen bir durumdur. Bunu sağlamak için raf sistemlerinde kullanılan dikmelerin burkulma davranışı ve buna bağlı olarak da taşıma kapasitelerinde bir iyileştirme yapılması bu çalışmada amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda delik ve güçlendiricilerin burkulma davranışına etkisi incelenmiştir. Araştırmanın kaynak araştırması bölümünde daha önceki yıllarda yapılan benzer çalışmalardan ve kuramsal kavramlardan bahsedilmiştir. Materyal ve yöntem bölümünde önce levhalar ve sonra dikmelerin delik bulunan ve bulunmayan durumları için burkulma yüklerini ve taşıma kapasitelerini hesaplamada kullanılan formüller verilmiştir. Ayrıca ANSYS sonlu elemanlar programı ve lineer burkulma modülünün çözüm mantığından bahsedilmiştir. Bulgular ve tartışma bölümünde levhalar ve dikmeler için yapılan analiz sonuçları verilmiştir. Levha analizlerinde delik şeklinin, deliğin yan kenarlardan ve yükleme kenarından olan uzaklığının burkulma yüküne etkisi incelenir iken, dikme analizlerinde ise dikmenin veb ve flanş elemanlarında bulunan güçlendiricilerin konum ve şekillerinin burkulma davranışına etkisine bakılmıştır. İlaveten uzantının farklı açılarda bulunması durumunun ve veb eleman üzerinde bulunan çift sıra deliklerin konumunun yan kenarlardan veb elemanın ortasına doğru uzaklaşmasının burkulma yüküne etkisi de incelenmiştir. Sonuçlar bölümünde ise analiz sonuçlarından elde edilen bilgiler özetlenerek sunulmuştur. 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI 2.1. Literatür Çalışması Davies ve ark. (1997), makalelerinde basıya maruz kolonlar için genelleştirilmiş kiriş teorisi ve sonlu elemanlar analizi karşılaştırılmış ve genelleştirilmiş kiriş teorisinin sonlu elemanlar yöntemine göre daha kısa sürede daha iyi sonuçlar verdiği belirtilmiştir. Ayrıca tüm kolon uzunlukları göz önüne alındığında da daha güvenilir sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. İlaveten yapılacak geniş çaplı deneylerin gereksiz olduğu belirtilmiştir. El-Sawy ve Nazmy (2001), makalelerinde kenarları yuvarlaklaştırılmış dikdörtgen delik kullanımı, deliğin kısa kenarı levhanın uzun kenarı boyunca yerleşen konumlarda, yuvarlak delik kullanımına göre, levha kararlılığı bakımından daha iyi sonuçlar verdiğinden bahsetmişlerdir. Dikdörtgen delikli levhalarda yükleme kenarı ile delik arası mesafe xedge ve levhanın genişliği b olmak üzere, delik merkezinin xedge/b=0,25-0,5 arasındaki kritik bölgede bulunmaması tavsiye edilmekte ve bu bölgede bulunması durumunda ise deliğin limit çapı (delik genişliği/levha genişliği) 0,4’ten küçük veya eşit olması burkulma katsayısının en az 3 olması gerektiğinden bahsedilmiştir. Yuvarlak delikli levhalarda ise deliğin kenarı ile yüklenmemiş en yakın kenar arasındaki mesafenin 0,1b ’den az olmaması tavsiye edilmektedir. Bambach ve Rasmussen (2004), makalelerinde güçlendirici bulunmayan elemanlar için efektif genişlik üzerine çalışma yapmışlardır. Yaptıkları bu çalışmada dayanım eğrisi (strength curve) ve efektif genişlik denklemleri çıkartılmıştır, bununla birlikte kaynaklı ve kaynaksız levhalar incelenmiş, elastik ve plastik efektif genişlikler bulunmuştur. El-Sawy ve Martini (2007) levha üzerine yapılan çalışmalarında delik çapının arttıkça levha kararlılığının ve burkulma gerilmesinin düşeceği belirtilmiştir. Levha boy oranı (levha uzunluğu/genişliği) 0,6 ile 1,2 arası değerlerden kaçınılması, burkulma gerilmesinde büyük düşüşlere sebep olduğundan, istenmektedir. Burkulma gerilmesini arttırmak ve kararlılığı geliştirmek için delik yeri yüklenen kenardan mümkün oldukça uzak olmalıdır (yüklenen kenar ile delik arası mesafe ex ve levha genişliği b olmak üzere ex / b > 1). 2 Moen ve Schafer (2008) yaptıkları çalışmalarında soğuk şekillendirilmiş delikli çelik kolonlardaki elastik burkulma ve yapılan testler ile arasındaki bağ incelenmiştir. Sonlu elemanlar analizi kullanılmış olup, delik varlığının lokal ve distorsiyonel burkulmasına etkidiğinden bahsedilmiştir. Moen ve Schafer (2009)’da ince levhalarda kritik burkulma gerilmesine delik varlığının nasıl etkidiği incelenmiş ve delik varlığının levhanın kritik burkulma gerilmesini, delik şekli ve boyutu ile bağlantılı olmak üzere, arttırıcı veya azaltıcı etki gösterdiğinden bahsedilmiştir. Kwon ve ark. (2009) çalışmalarında, akma gerilmesi 560 MPa olan ve kalınlıkları 0,6 mm ile 0,8 mm olan soğuk şekillendirilmiş uzantılı kesitli ve veb ile flanşların ortasında güçlendirici bulunan çelik yapılar üzerine bası testi uygulanmıştır. Farklı burkulma modları arasındaki ilişki incelenmiş ve DSM ile kıyaslanmıştır. Chen ve ark. (2010), yaptıkları bu çalışmada bir dizi karmaşık kesitli kolonların test sonuçları sunulmuştur. Lokal burkulmaya, elemanın ortasında bulunan güçlendiricilerin iyileştirici yönde etkidiği gözlemlenmiştir. Elastik burkulma yükünü tahmin ederken sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Sonlu elemanlar analizinden elde edilen burkulma gerilmesi göz önüne alınarak hesaplanan DSM ile bulunan dayanım sonuçları, test sonuçları ile uyuştuğu görülmüştür. Zhou ve ark. (2011), çalışmalarında çelik piramit tabanlı kapalı kesitli soket bağlantısının düzgün bası yüklemesi altında sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak ve deneysel olarak incelenerek limit yüklemenin bulunulmasına çalışılmıştır. 3 tip olmak üzere lineer burkulma, non-lineer burkulma ve Modifiye Riks metotları kullanılmıştır. Non-lineer analizde malzeme non-lineerite özellikleri ile büyük yer değiştirmeler de analize katılmıştır. Analiz sonuçları, deneysel veriler ile karşılaştırılmış ve non-lineer burkulma ve modifye riks metodu analizlerinin, lineer burkulma analizine göre daha doğru sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir, bunun sebebi de non-lineer özellikler ve büyük yer değişimlerinin de hesaba katılmasıdır. İlaveten bası kuvveti altındaki çelik bağlantılarda modifiye riks metodunun çökme analizlerinde daha da etkili olduğu gözlemlenmiştir. Del Coz Diaz ve ark. (2011) makalelerinde sonlu elemanlar metodunu kullanarak, çelik raf sistemlerine forklift gibi araçların hareketi esnasında çarpması ile raf sisteminin 3 bütünlüğünü tehdit edecek olan hasarın engellenmesine yönelik çalışma yapılmış ve en iyi koruma aparatının belirlenmesine çalışılmıştır. Kulatunga ve Macdonald (2013), makalelerinde bası kuvvetine maruz kalan soğuk şekillendirilmiş çeliklerde sonlu elemanlar analizi kullanılarak delik pozisyonlarının kolonun taşıma kapasitesine etkisi incelenmiştir. Sonlu elemanlar analizinin delikli ve deliksiz her iki türde de yaklaşık tahminlerde bulunmaktadır. Lokal burkulma etkisindeki ince kesitli yapılarda, deliklerin sonlarda bulunmasının zayıflatıcı etki gösterdiği belirtilmiştir. Ma ve Wang (2013), makalelerinde delikli levhalarda burkulma yüklerinin ve efektif genişliğin bulunması için çalışılmıştır. Sonlu elemanlar analizi kullanılarak kritik burkulma yükünün bulunmasında bir düzeltme katsayısı bulunmuştur. Daha önceki çalışmalarda önerilen efektif genişlik faktörleri ile nümerik çalışmalar kıyaslanmıştır. Gilbert ve ark. (2014), çalışmalarında ince cidarlı ağaç yapıları ile soğuk şekillendirilmiş çelik ve alüminyum yapıların mukayesesi yapılmıştır. Özellikle çok uzun olmayan kompozit C kesitli (500mm uzunlukta) ince cidarlı ağaç yapıların kullanımının mümkün olduğu bahsedilmektedir. İki tip C kesit dikkate alınmıştır, birincisi veb kısmının ortasında bir destekleyici olması diğeri ise olmaması halidir. Yapılan inceleme sonucunda önerilen ürünün soğuk şekillendirilmiş çelik yapılar ile rekabet edebileceği belirtilmektedir. Guo ve ark. (2014) yaptıkları çalışmada C kesitli yapılarda delik ve flanş destekleyici etkisi incelenmiştir. Nastran programı kullanılarak farklı türde destek tipleri incelenmiş ve sonlu elemanlar analizi ile burkulma yükü lineer ve non-lineer olarak bulunmuştur. Non-lineer analizin lineer analize göre daha doğru sonuç verdiği belirtilerek delik varlığının kritik burkulma yükünde azalmaya sebebiyet verdiğinden L şekilli desteklerin flanş bölgesindeki takviyesi kritik çökme yükünü %20,9 iyileştirdiğinden bahsedilmiştir. He ve Zhou (2014), makalelerinde test sonuçları ve Hancock’ un dizayn eğrisinden yola çıkarak önerilen dizayn eğrisi DSM ve efektif genişlik metodu ile kıyaslanmıştır. Bazı durumlarda test sonuçları ile DSM ve efektif genişlik metodu farklılıklar gösterdiğinden yeni bir formül önerilmiştir. 4 Pastor ve ark. (2014) çalışmalarında non-lineer analizde kullanılacak olan başlangıçtaki geometrik kusurların etkisini incelemişlerdir. Bası yükü altındaki dikmeler üç farklı uzunlukta lokal, çarpılma ve global burkulma modlarının elde edilmesi amaçlanmıştır. Azami taşıma yükününün kapasitesini en doğru veren analizde başlangıç kusurlarının, lokal burkulma için w/200, distorsiyonel burkulması için f/50 ve global burkulma için L/1000 olduğu belirtilmiştir. Burada w veb genişliğini, f flanş derinliğini ve L ise dikmenin boyunu temsil etmektedir. Smith ve Moen (2014) yaptıkları bu çalışmada delikli ince cidarlı kolonlarda oluşan lokal, distorsiyonel, eğilmeli ve eğilmeli burulmalı burkulma modları için yaklaşık çözüm formülleri önerilmiş ve sonlu elemanlar yöntemi kullanarak önerilen bu formüllerin doğrulukları test edilmiştir. Lokal burkulma için Rayleigh – Ritz enerji çözümü ile deliğin varlığı sonucu yanal ve boyuna levhadaki eğilme katılığındaki düşüş indirgenmiş kalınlık ile bulunmuştur. Distorsiyonel burkulmada da keza indirgenmiş kalınlık ile deliğin eğilme katılığındaki düşüş göz önüne alınmıştır. Global burkulmada ise delik varlığı ağırlıklı ortalama yöntemi kullanılarak bulunan atalet momentleri ve burulma sabitleri ile formülüze edilmiştir. He ve ark. (2014) çalışmalarında ankastre mesnetli güçlendiricili veb elemana sahip uzantılı kesitli 1,5 mm kalınlığında düşük karbonlu soğuk şekillendirilmiş kolonlarda taşıma kapasitelerinin bulunması için deneysel veriler doğrultusunda bası testleri sunulmuştur. Yapılan deneylerde distorsiyonel ve lokal burkulma modlarının etkileşimde oldukları post-buckling davranışları gözlemlenmiştir. Burkulma modlarının etkileşimi taşıma kapasitelerinde düşüşe sebep olduğu ve lokal-distorsiyonel ile distorsiyonel-lokal burkulma etkileşimlerinin farklı mekanik davranışa sahip olduklarından bahsedilmiştir. Zhou ve ark. (2015), makalelerinde düzgün basıya maruz C kesitli kolonların, distorsiyonel burkulma gerilmelerinin Lau ve Hancock modeli temel alınarak oluşturulan modelde, veb eğilmesi ile birlikte veb kısmının dönme sınırlamasındaki düşüş için bir faktör tanımlanarak, formülasyonu yapılmıştır. Formülün sonuçları ile bilgisayar programları ve literatürdeki veriler kıyaslanmıştır. Anbarasu ve Murugapandian (2015) çalışmalarında veb elemanında güçlendirici bulunan uzantılı kesitli soğuk şekillendirilmiş çeliklerde, bası yükleri altında distorsiyonel ve global burkulma modlarının davranışları incelenmiştir. Deneysel sonuçlar DSM ile 5 kıyaslanarak azami taşıma yükünün bulunmasında distorsiyonel-global burkulma modlarının etkileşimi ile DSM’ nin uygulanabilirliği araştırılmıştır. 2.2 Genel Bilgiler Raf sistemlerinde kullanılan soğuk şekillendirilmiş çelik yapılardaki dikmelerde kullanılan uzantılı (dudaklı) C kesitli dikmelerin elemanları Şekil 2. 1’ de gösterilmektedir. Şekil 2. 1 Dikme elemanları Soğuk şekillendirilmiş çelik yapılarda en büyük sorunların başında burkulma problemi gelmektedir. Uygulanan yükler altında akma sınırına daha yaklaşamadan elemanlar burkulmaya başlamaktadır. Burkulmayı etkileyen birçok etken vardır. Narinlik oranı bu etkenlerin en başında gelmektedir. Sadece narinlik oranı değil, buna ilave olarak sınır şartları, yükün eksenden kaçıklığı ve malzemedeki kusurlar da burkulmayı etkileyen etkenlerden sayılabilir. Soğuk şekillendirilmiş çeliklerde burkulma sınıflandırılması Şekil 2. 2’ de görüldüğü üzere yapılabilmektedir (Kang ve ark 2013). 6 Şekil 2. 2 Soğuk şekillendirilmiş çeliklerde burkulma türleri Lokal Burkulma Basıya maruz kalan yapıda diğer elemanlar ile bağlantılı olan kenarlarında herhangi bir değişim olmadan oluşan burkulma modudur ve lokal burkulmada her bir eleman bireysel olarak burkulmaktadır. Şekil 2. 3 ve Şekil 2. 4’ te bazı lokal burkulma örnekleri gösterilmiştir. Şekil 2. 3 Lokal burkulma örnekleri (Kulatunga ve Macdonald 2013) 7 (a) Lokal Veb Burkulması (b) Lokal Flanş Burkulması Şekil 2. 4 Lokal burkulma modu (Gunalan ve ark 2015) Distorsiyonel Burkulma Güçlendirici burkulması (stiffener buckling) veya lokal-burulmalı burkulma olarak da bilinmekte olan distorsiyonel burkulmada, flanşların veb ve flanş elemanlarının birleşme yerlerinden dönmesiyle oluşan burkulma modudur ve distorsiyonel burkulmanın varlığı yapının daha çabuk çökmesine sebep olmaktadır (Ranawaka 2006). Şekil 2. 5 Distorsiyonel burkulma modu (Ranawaka 2006) 8 Global Burkulma Eğilmeli burkulma: Zayıf asal eksen dışına doğru burkularak yapı dönmeye uğramadan burkulur. Burulmalı burkulma: Eğilme olmaksızın yapı kayma merkezi etrafında sadece dönmesi ile çökmeye uğramaktadır. Eğilmeli-Burulmalı burkulma: Bu modda kayma merkezi ile ağırlık merkezi birbirinden uzaklaştıkça yapıda hem eğilme hem de burulma aynı anda gözlemlenir. Şekil 2. 6 C kesitli dikmede eğilmeli-burulmalı burkulma (Kang ve ark 2013) 9 3. MATERYAL VE YÖNTEM 3.1 Kolonların Burkulması Kolonların taşıyabileceği kritik yükün bulunmasında ideal kolon kabulü yapılmaktadır. Bu tanımdan kasıt başlangıçta hiçbir geometrik kusuru olmayan ve merkezlenmiş yüke maruz kolondur. Şekil 3. 1 (a)’ daki gibi ince ve alt kısmında ankastre kirişe sahip bir ideal kolon P bası kuvvetine maruz kalmaktadır. Uygulanan P kuvveti kritik değerden az ise kolon düzgün kalacak ve eksenel yönde basıya maruz kalacaktır. Kolonun bu şekilde düzgün kalabilmesi durumuna kararlı hal denilmektedir ve kararlı haldeki bir kolon, uygulanan yanal kuvvet sonucunda, yanal doğrultuda ufak yer değişimi oluşmakta ve uygulanan yanal yük kaldırıldığında tekrar eski haline dönmektedir. Kararsız durumda ise, P kuvveti kritik değere ulaştığında, uygulanacak yanal kuvvet sonucunda oluşacak olan yer değişimi, yanal yükün kaldırılması ile ortadan kalkmamaktadır. Kritik yük aynı zamanda Euler yükü olarak da bilinmektedir. Eğilme denklemi 𝑑2𝑦 𝐸𝐼 = −𝑀 (3.1) 𝑑𝑥2 olup, 𝑀 = −𝑃(𝛿 − 𝑦) (3.2) olduğuna dikkat edilerek 𝑑2𝑦 𝐸𝐼 = 𝑃(𝛿 − 𝑦) (3.3) 𝑑𝑥2 bulunur. Burada M ; x mesafesindeki kesitteki eğilme momentidir. 10 P δ 𝑙/2 δ 𝑙/2 P (a) (b) Şekil 3. 1 (a) Alt ucu ankastre, üst ucu serbest kolon (b) Alt ve üst ucu basit mesnetlenmiş kolon Burkulma en düşük eğilme rijitliğine (EI) sahip yüzeyde oluşacaktır. Yukarıdaki denklemde ufak bir düzenleme yapılarak elde edilen diferansiyel denklemin sınır şartlarına bağlı olarak çözülmesi ile kritik yük aşağıdaki denklemlerdeki gibi bulunabilmektedir: 𝑃 𝑘2 = (3.4) 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 + 𝑘2𝑦 = 𝑘2𝛿 (3.5) 𝑑𝑥2 3.5 denkleminin homojen kısmının çözümü ile özel kısmının toplamından ibaret genel çözümü yapılarak 𝑦 = 𝐴cos𝑘𝑥 + 𝐵sin𝑘𝑥 + 𝛿 (3.6) şeklinde verilir. Burada A ve B katsayıları Şekil 3. 1 (a)’ daki sınır şartlarına göre bulunmaktadır (Bir ucu ankastre, diğer ucu serbest çubuk): 𝑑𝑦 𝑥 = 0 𝑑𝑎 𝑦 = = 0 (3.7) 𝑑𝑥 11 𝑥 = 𝑙 𝑑𝑒 𝑦 = 𝛿 Bu sınır şartları altında çözüm yapıldığında A ve B katsayıları bulunur: 𝐴 = −𝛿 (x=0 da) (3.8) 𝐵 = 0 𝛿𝑘2 cos 𝑘𝑙 = 0 (x=l de M=0) (3.9) Yukarıdaki bulunan sonuçta ya δ=0 olmalı ya da coskl=0 olmalı ki denklem sağlansın. δ=0 olduğu farz edilir ise kolonun yanal doğrultuda hiç yer değiştirmediği anlamına gelir ki burkulma olmadığını gösterir. O halde coskl=0 olmalıdır. Bu şartın sağlanması için n pozitif tam sayılar olmak üzere 𝜋 𝑘𝑙 = (2𝑛 − 1) (3.10) 2 şartını sağlaması gerekmektedir. Kritik değer kl değerinin en ufak olduğu değerdir ve kritik burkulma yükü Pkr alt ucu ankastre üst ucu serbest kolon için denklem 3.12’ de gösterildiği şekilde hesap edilir. 𝑃 𝜋 √ 𝑙 = (3.11) 𝐸𝐼 2 𝜋2𝐸𝐼 𝑃 = (3.12) 𝑘𝑟 4𝑙2 Diğer sınır şartları altındaki kolonlar için de benzer uygulamalar yapılarak sonuçlar elde edilebilir. Şekil 3. 1 (b) ‘ de görüldüğü üzere alt ve üst kenarlarından basit mesnetlenmiş kolonun simetriden dolayı her bir parçasının Şekil 3. 1 (a) ‘ da gösterilen alt tarafı ankastre üst ucu serbest bırakılmış kolonun davranışının benzeri şekilde burkulduğu 12 görülmektedir. Bu sebepten denklem 3.12 de kolon uzunluğu için 𝑙/2 yazılarak alt ve üst ucundan basit mesnetlenmiş kolonun kritik yükü denklem 3.13’teki gibi ifade edilir. 𝜋2𝐸𝐼 𝑃 = (3.13) 𝑘𝑟 𝑙2 Benzer şekilde diğer sınır şartları altında kolonların davranışları için kritik yük hesabında efektif uzunluk metodu genelde kullanılmaktadır. Efektif uzunluk bir kolonun bir birini takip eden eğilme noktaları ya da sıfır moment noktaları arasında kalan uzunluktur. Bu kavrama göre Euler kritik yük denklem 3.14 ‘deki gibi olur. 𝜋2𝐸𝐼 𝑃𝑘𝑟 = (3.14) (𝐾𝐿)2 Burada K efektif uzunluk çarpanıdır. Farklı sınır şartları için efektif uzunluk çarpanı değerleri Çizelge 3. 1‘ de belirtilmiştir. Çizelge 3. 1 Farklı sınır şartları için efektif uzunluk faktörü (Yu 1973) 13 3.1.1 Elastik Stabilite Sınırları Bulunan Euler denklemi elastik bölgede kalındığı kabulü ile yeterince uzun kolonlar için elde edilmiştir. Euler denkleminin kullanılabildiği aralığı bulmak için kritik burkulma gerilmesi 𝑃 𝜋2𝑘𝑟 𝐸(𝐼/𝐴) 𝜎𝑘𝑟 = = (3.15) 𝐴 (𝐾𝐿)2 şeklinde bulunur. Burada A kesit alanı, I alan atalet momentidir. Şimdi 𝑟2 = 𝐼/𝐴 dönüşümü yapılırsa kritik gerilme değeri 𝜋2𝐸 𝜎𝑘𝑟 = (3.16) (𝐾𝐿/𝑟)2 olarak gösterilir. r jirasyon yarıçapıdır ve KL/r ifadesi narinlik oranı olarak adlandırılır. λ ile gösterilen bu oran büyüdükçe kolon uzun ve dar kesitli olur (Sayman ve ark. 2012). Narinlik oranı, burkulmanın elastik veya elastik olmayan bir burkulma olacağı hakkında fikir vermektedir. σkr Euler Hiperbolü σp 0 λ λ p Şekil 3. 2 Euler hiperbolü 14 3.1.1.1 Elastik Burkulma Şekil 3. 2 ‘de görülen λp elastik bölge sınırını temsil etmektedir. Eğer λ > λp ise kolon elastik olarak burkulacaktır ve denklem 3.16 bu bölge için kullanılabilmektedir. σp burada elastik sınırı temsil etmektedir ve akma sınırı ( σp= σakma) olarak alınabilmektedir (Sayman ve ark. 2012). 3.1.1.2 Elastik Olmayan Burkulmalar Elastik olmayan burkulmalar için Euler burkulma formülünün yerine Tetmajer bağıntıları kullanılabilir. Farklı malzemeler için farklı ampirik ifadeler vardır. Çizelge 3.2’de bazı Tetmajer bağıntıları için örnekler verilmiş olup 𝜎𝑘𝑟 birim olarak [N/cm2] dir (Omurtag 2012). Çizelge 3.2 Tetmajer bağıntıları 𝜎𝑘𝑟 = 31000 − 114𝜆 𝜆 < 𝜆𝑝 = 105 𝜎𝑘𝑟 = 28950 − 82,5𝜆 60 ≤ 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 = 100 Yapı Çeliği 𝜆2 𝜎𝑘𝑟 = 24000 − 0 ≤ 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 = 120 1,5 Ahşap 𝜎𝑘𝑟 = 2930 − 19,4𝜆 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 = 100 Dökme Demir 𝜎𝑘𝑟 = 77600 − 1200𝜆 + 5,3𝜆 2 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 = 80 15 3.1.2 Orta Noktasından Yüklemeye Maruz Kalan Kolonun Burkulma Yükü Hesabı P1 Q 𝑙1 P2 𝑙 C' C 𝑙2 Q P1+ P2 Şekil 3. 3 Orta Noktasından Yüklemeye Maruz Kalan Kolon Şekil 3. 3 ‘ de görüldüğü üzere kolonun ortasından ek bir yüke maruz kalan kolonların kritik yük hesabı Timoshenko ve Gere (1961) ‘de incelenmiştir. Genel bir çözüm elde edilmesi amacı ile orta yüklemenin altında ve üstünde kalan kısımlarının farklı atalet momentlerine (I1 , I2) sahip oldukları varsayılarak diferansiyel denklemlerin çözümü sonucunda, kritik yük aşağıdaki denklem gibi ifade edilebilmektedir. 𝜋2𝐸𝐼2 (𝑃1 + 𝑃2)𝑘𝑟 = (3.17) (𝐾𝐿)2 KL efektif uzunluktur ve uygulanan yükün kolonun tam ortasından uygulandığı durumlar için K değerleri Çizelge 3. 3’ de belirtildiği gibidir. 16 Çizelge 3. 3 𝐾 değerleri (Timoshenko ve Gere 1961) m 1 1,25 1,5 1,75 2 3 n 1 1 0,95 0,91 0,89 0,87 0,82 1,25 1,06 1,005 0,97 0,94 0,915 1,5 1,12 1,06 1,02 0,99 0,96 1,75 1,18 1,11 1,07 1,04 1,005 2 1,24 1,16 1,12 1,08 1,05 Burada 𝑚 = (𝑃1 + 𝑃2)/𝑃1 ve 𝑛 = 𝐼2/𝐼1’ dir. Farklı bir çözüm yöntemi olarak enerji metodu ile çözüm yapıldığında kritik yük aşağıdaki şekilde bulunmaktadır (Timoshenko ve Gere 1961) : (𝑃1 + 𝑃2)𝑘𝑟 (𝜋2𝐸𝐼 /𝑙22 )(𝑚 + 1) = (3.18) 𝑚 𝑚 − 1 2 8 1 𝑚 𝑚 − 1 2 8 𝑚 − 1 𝑚 + ( ) − 2 (𝑚 − 1)6 𝑚 + 𝑛 [𝑚 +𝜋 6 ( 2 ) + 𝜋2 𝑚 ] 3.1.3 Secant Bağıntısı Uygulanan yük kolon ağırlık merkezine tatbik edildiği durumlar için Euler formülü kullanılabilmektedir. Yük kolon ağırlık merkezinden e mesafesi kadar uzaklıktan uygulandığı durumlarda ise sadece bası kuvveti değil aynı zamanda yükleme kaçıklığından dolayı oluşacak moment kolonu eş zamanlı olarak eğmeye çalışacaktır. 17 x e P L y P Şekil 3. 4 Eksantrik yüklemeye maruz kolon Bu momenti de göz önünde bulundurarak yapılacak olan diferansiyel denklem çözümü sonucunda ufak yer değiştirmeler için kolonun elastik eğrisi Omurtag (2012)’de şu şekilde gösterilir. 1 𝑦(𝑥) = 𝑒 [𝑡𝑎𝑛 ( 𝑘𝐿) 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) − 1] (3.19) 2 Burada 𝑘 = √𝑃/𝐸𝐼 olup y(x) herhangi bir nokta için kolonun sapmasıdır. Kolonun maksimum yer değiştirmesi tam orta noktada gözükecektir. O halde denklem 3.19‘ da x yerine L/2 yazılarak maksimum yer değiştirme bulunabilir. 𝑘𝐿 (3.20) 𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝑒 [sec ( ) − 1] 2 18 𝑘𝐿 e sıfıra yaklaşırken sonucun da sıfır olmaması için 𝑠𝑒𝑐 ( ) sonsuza gitmesi 2 gerekmektedir. Böylece kritik yük denklem 3.23 ile bulunur. 𝑃 𝑘𝐿 √𝐸𝐼 𝐿 𝑠𝑒𝑐 ( ) = 𝑠𝑒𝑐 → ∞ (3.21) 2 2 ( ) √𝑃 𝐸𝐼 𝐿 𝜋 (3.22) = 2 2 𝜋2𝐸𝐼 𝑃 = (3.23) 𝑘𝑟 𝐿2 Görüldüğü üzere uygulanan yükün burkulma yüküne bir etkisi olmamaktadır. P x e c c y P e Şekil 3. 5 Kolonun eksenden kaçık yüklenme durumu Kolon üzerinde oluşacak olan maksimum moment kolonun tam ortasında oluşmaktadır ve 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑒 sec(𝑘𝐿/2) ile ifade edilir. Kolon üzerinde oluşacak olan bileşik gerilme ise denklem 3.24’ deki gibidir. 19 𝑃 𝑀 𝜎𝑦 = + 𝑦 (3.24) 𝐴 𝐼 Maksimum gerilme y=±c ‘ de oluşur. 𝑃 𝑃𝑒𝑐 𝑘𝐿 𝜎𝑚𝑎𝑘 = + sec ( ) (3.25) 𝐴 𝐼 2 Omurtag (2012) ‘de elastik bölgedeki ve elastik olmayan bölgedeki kolonlar için maksimum gerilmeyi ifade eden secant bağıntıları şu şekildedir. Elastik bölge için; 𝑃 𝑒𝑐 𝐿 𝑃 𝜎𝑚𝑎𝑘 = [1 + sec( √ )] (3.26) 𝐴 𝑟2 2𝑟 𝐸𝐴 Elastik olmayan bölgedeki kolonlar için; 𝑃𝐴 𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 = 𝐴 𝑒𝑐 𝐿 𝑃𝐴 (3.27) 1 + 2 sec ( √𝑟 2𝑟 𝐸𝐴 ) Burada 𝑟 = √𝐼/𝐴 , 𝑘 = √𝑃/𝐸𝐼 , 𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 akma gerilmesi, r jirasyon yarıçapı, A kesit alanı ve 2c kesit genişliğidir. 3.1.4 Büyük sehime sahip çubuklar (Elastika) Kritik burkulma yükünden daha fazla bir yüke maruz kalan kolonda büyük sehimler oluşacaktır. Şekil 3. 6’ da görüldüğü şekilde büyük sehime uğrayan bir çubukta hesaplamalar yapılır iken, önceki bölümlerdeki gibi eğrilik 𝑑2𝑦/𝑑𝑥2 ifadesindense çubuğun gerçek eğriliğini ifade eden 𝑑𝜃/𝑑𝑠 kullanılır. Gerçek diferansiyel denklemlerin çözümü ile elde edilen eğriliğin şekline elastika denilir. 20 s α P L xa θ ya Şekil 3. 6 Büyük yer değiştirmeye sahip çubuk (Timoshenko ve Gere 1961) 𝑝 = sin(𝛼/2) ve 𝑘2 = 𝑃/𝐸𝐼 olmak üzere diferansiyel denklemlerin çözülmesi sonucunda denklem 3.28 bulunur (Timoshenko ve Gere 1961). 𝜋/2 1 𝑑𝜙 1 𝐿 = ∫ = 𝐾(𝑝) (3.28) 𝑘 √1 − 𝑝2(sin𝜙)2 𝑘 0 Eğer sehim ufak olduğu varsayılır ise 𝑝2 sin(𝜙)2 ifadesi ihmal edilebilir. Denklem 3.28 çözümü sonucunda daha önceden bulunan kritik burkulma yükü ile eşdeğer olduğu görülmektedir. 𝜋/2 1 𝜋 𝐸𝐼 𝐿 = ∫ 𝑑𝜙 = √ 𝑘 2 𝑃 (3.29) 0 𝜋2𝐸𝐼 𝑃 = 𝑃𝑘𝑟 = 4𝐿2 (3.30) 2𝑝 𝑦𝑎 = (3.31) 𝑘 21 𝜋/2 2 𝑥𝑎 = ∫ √1 − 𝑝2(sin𝜙)2 𝑑𝜙 − 𝐿 𝑘 0 α açısı değişimi ile P/Pkr oranının değişimi Çizelge 3. 4‘te verilmektedir. Yine bu çizelgede çubuk boyunun, sehim ve xa uzaklıklarına oranının açı ile değişimi de verilmiştir. Çizelge 3. 4 Burkulan çubuklar için yükleme ve sehim çizelgesi (Timoshenko ve Gere 1961) α 0⁰ 20⁰ 40⁰ 60⁰ 80⁰ 100⁰ 120⁰ 140⁰ 160⁰ 176⁰ P/Pkr 1 1,015 1,063 1,152 1,293 1,518 1,884 2,541 4,029 9,116 xa/L 1 0,97 0,881 0,741 0,560 0,349 0,123 -0,107 -0,34 -0,577 ya/L 0 0,220 0,422 0,593 0,719 0,792 0,803 0,75 0,625 0,421 3.1.5 Enerji Yöntemi 3 farklı yüzey üzerindeki topların hareketleri incelendiği zaman, Şekil 3. 7 (a) ‘ da topun hareketi ile ağırlık merkezi aşağıya doğru inecek ve topun hareketi ile potansiyel enerjisi azalacaktır. Şekil 3. 7 (c)’de ise topun hareketi ile ağırlık merkezinin yükselmesi sebebiyle potansiyel enerjisi artacaktır. Şekil 3. 7 (b)’de ise topun hareketi potansiyel enerjisinde bir değişime sebebiyet vermez. (a) (b) (c) Şekil 3. 7 (a) Kararsız hal (b) denge konumu (c) kararlı hal Buradan yola çıkarak sistemin enerjisi minimumsa kararlılık durumunda, sistemin enerjisi maksimim olduğu durumda ise kararsız durumdadır. Enerji yöntemi ile çözümde dış yüklemeden kaynaklı iş ve sistemin şekil değiştirme enerjisini birbirine eşitleyerek kritik yük hesaplanabilir. 22 x P v y Şekil 3. 8 Mesnetlenmiş kolonun burkuluş şekli Toplam potansiyel enerji ifadesini aşağıdaki denklem ile göstermek mümkündür. 𝐿 1 1 Π = ∫[ 𝐸𝐼(𝑣′′)2 − 𝑃(𝑣′)2] 𝑑𝑥 (3.32) 2 2 0 Eğer sınır şartlarını sağlayan ν(x) biliniyor ise kritik yük hesabı şu şekilde yapılabilir. 𝐿 ∫ 𝐸𝐼(𝑣′′)2𝑑𝑥 𝑃𝑘𝑟 = 0 𝐿 (3.33) ∫ (𝑣′)2𝑑𝑥 0 Hesaplama yaparken genelde ν(x) tam olarak bilinmediği için yaklaşık bir ifade kullanılarak hesaplama yapılır ve bu hesap sonucunda bulunan kritik yük gerçek ν(x) kullanılarak bulunan kritik yükten daha büyüktür (Omurtag 2012). 23 3.2. Levhalarda Burkulma Dört tarafından basit mesnetlenmiş ve P bası kuvvetine maruz kalan düzlemsel levhalarda kritik burkulma yükü aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanabilir. 𝜋2𝐸 (3.34) 𝜎𝑘𝑟 = 𝑘 𝑏 2 12(1 − 𝜐2) (𝑡) Burada, 𝜎𝑘𝑟 levhanın kritik burkulma gerilmesi, E elastisite modülü, b levha genişliğini, 𝜐 poisson oranını ve t levhanın et kalınlığını belirtmektedir. k levha burkulma katsayısı olup levha geometrisi ve sınır şartlarına bağlı olarak değişmektedir. Dört tarafından mesnetlenmiş levhalar için 2 𝑚𝑏 𝑛2𝑎 (3.35) 𝑘 = ( + ) 𝑎 𝑚𝑏 denklemi ile ifade edilebilir (Venkatraman ve Patel 1970). a levha uzunluğu, m levhanın boyuna n ise levhanın enine oluşacak olan yarım dalga boylarının sayısını ifade etmektedir. n, burkulma katsayısının en düşük değeri göz önünde bulundurulduğundan ötürü 1 alınabilir ve m’nin tam sayı değerleri için levhanın burkulma katsayısı hesaplanabilir. 24 Şekil 3. 9 Levha burkulma katsayısı (Yu ve Schafer 2007). ss basit mesnet, fix ankastre ve free serbest ucu temsil etmektedir. Burkulma katsayısının sınır şartlarına ve oluşacak olan yarım dalgaların sayısına bağlı olarak değişimi Şekil 3. 9 ’ da gözükmektedir. Levha burkulma katsayısına bakıldığında mb/a’ nın bir fonksiyonu olduğu görülmektedir. Burkulma yükünün de burkulma katsayısı ile doğru orantılı olmasından ötürü k değerinin minimum olması burkulma yükünü de minimum yapacağından levha boyunca oluşacak yarım dalgaların sayısı şu şekilde ifade edilebilir (Venkatraman ve Patel 1970). 𝑑𝑘 𝑚𝑏 1 1 = 2 [(( ) + )] [1 − ] = 0 (3.36) 𝑑(𝑚𝑏/𝑎) 𝑎 2(𝑚𝑏⁄𝑎) (𝑚𝑏⁄𝑎) Bu denklem mb/a’ nın 1 değeri için sağlanacağından ötürü levha boyunca oluşacak yarım dalgaların sayısı 25 𝑎 𝑚 = (3.37) 𝑏 ile ifade edilebilir. Genelde levha burkulma katsayısı dört tarafından basit mesnetlenmiş ise k=4, bir uzun kenarı serbest diğer üç kenarı basit mesnetlenmiş levhalar için ise k=0,425 alınabilmektedir. Farklı sınır şartları ile mesnetlenmiş levhalar için burkulma katsayısı değerleri Şekil 3. 10’da görülebilmektedir. Şekil 3. 10 Farklı sınır şartlarına göre değişen k değeri (Ziemann 2010). Buna ilave olarak levha sadece basıya maruz kalmayıp aynı zamanda eğilmeye de maruz kalabilmektedir. Levhanın bası ve eğilme gerilmelerine maruz kalması durumunda ise burkulma katsayısı değerleri Şekil 3. 11’den bulunabilmektedir. 26 Şekil 3. 11 Eğilme ve bası gerilmelerinin olması durumunda levha burkulma katsayısı (Ziemann 2010) 3.2.1 Delikli Levhalarda Burkulma Levha üzerinde delik bulunması, levha üzerindeki gerilmeler değişir iken deformasyon şekilleri de değişebileceğinden levha kararlılığında değişikliklere sebep vermektedir. Bununla birlikte levha burkulması da delik etkisinden etkilenerek deliksiz levhalara göre farklılıklar göstermektedir. 27 Şekil 3. 12 Şerit metodu (Moen ve Schafer 2009) Levhada delik bulunması durumu göz önüne alındığında levha burkulma katsayısı şerit yaklaşımı ile bulunabilir. i=A veya B olmak üzere (Moen ve Schafer 2009) : 𝜋2𝐸 𝑡 2 (3.38) 𝜎𝑘𝑟,𝑖 = 𝑘𝑖 ( ) 12(1 − 𝑣2) ℎ𝑖 𝜎𝑐𝑟ℎ,𝑛𝑒𝑡 = min[𝜎𝑐𝑟,𝐴 , 𝜎𝑐𝑟,𝐵] (3.39) 0,2 (3.40) 𝐿𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘⁄ℎ𝑖 ≥ 1 ⇒ 𝑘𝑖 = 0,425 + (𝐿𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘⁄ℎ𝑖)0,95 − 0,6 𝐿𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘⁄ℎ𝑖 < 1 ⇒ 𝑘𝑖 = 0,925 (3.41) 𝜎𝑘𝑟,𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘𝑙𝑖 = 𝜎𝑐𝑟ℎ,𝑛𝑒𝑡(1 − ℎ𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘⁄ℎ) (3.42) Burada Ldelik ve hdelik sırasıyla deliğin boyunu ve genişliğini, h ise levha genişliğini temsil etmektedir. 28 Bir diğer çalışmada ise Ma ve Wang (2013) sonlu elemanlar analizi kullanılarak elde edilen kritik burkulma yükleri sonucunda oluklu levhalar için bir düzeltme katsayısı önermiştir. 𝑘𝜋2𝐸 𝜎𝑘𝑟,𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘𝑙𝑖 = 𝑘𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 ℎ 2 (3.43) 12(1 − 𝜐2) (𝑡) Burada tw olukların bulunduğu bölgenin genişliği, k levha burkulma katsayısı olup denklem 3.35’ den elde edilebilir. ℎ ℎ 2 ℎ 3 (3.44) 𝑘𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 = −0,091 + 0,362 − 0,074 ( ) + 0,005 ( ) 𝑡𝑤 𝑡𝑤 𝑡𝑤 Şekil 3. 13 Oluklu levha (Ma ve Wang 2013) 3.2.2 Efektif Genişlik Konsepti 1930’larda von Karman tarafından ilk kez sunulmuş ve daha sonra 1940’larda Winter tarafından soğuk şekillendirilmiş çelik yapılarda kullanılacak şekilde genişletmiştir (Ma ve Wang 2013). Efektif genişlik metodu ince levhanın taşıyabileceği maksimum yükün belirlenmesi için kullanılan yöntemlerden biridir. Dört tarafından basit mesnetlenmiş ve düzgün basıya 29 maruz kalan düzlemsel levhalarda burkulma başladıktan sonra, levha üzerindeki gerilme dağılımlarında tekrardan bir dağılım oluşmakta ve taşıması öngörülen kritik burkulma yükünden daha fazla yük taşıyabilmektedir. Kenarlarından mesnetlenmiş olan levhada Şekil 3. 14 ve Şekil 3. 15 den de görüleceği üzere asıl yükü genel bir dağılımdan ziyade kenar bölgelerin taşıdığı varsayılır ve bu taşıyabileceği yükler bazı durumlarda akma noktasına kadar gelmektedir. Şekil 3. 14 Düzlem levhada efektif genişlik (Davies 2000) Şekil 3. 15 Efektif genişlik konsepti (Ma ve Wang 2013) Efektif genişlik metodu yaklaşımı, ampirik ifadeler ile 3.45 denkleminde belirtildiği üzere ifade edilebilir (Davies 2000). 𝜎𝑒𝑓𝑓 1, √ 0 ≤ 0,673𝜎 𝑏 𝑐𝑟𝑒𝑓𝑓 𝜌 = = (3.45) 𝑏 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑒𝑓𝑓 (1 − 0,22√ )(√ ) , √ > 0,673𝜎 { 𝑒𝑓𝑓 𝜎𝑒𝑓𝑓 𝜎𝑐𝑟 30 Burada beff efektif genişlik, b levha genişliği, σeff levhadaki maksimum bası gerilmesi, σcr kritik burkulma gerilmesidir. Oluklu levhalar için Ma ve Wang (2013) önerilen efektif genişlik metodunu düzenleyerek aşağıdaki denklemi sunmuşlardır. 𝑏 − 𝑡 0,303𝑤 𝜌𝑚𝑜𝑑 = 0,95𝜌 0,697 ( ) (3.46) 𝑏 ρmod oluklu levha için modifiye efektif genişlik oranıdır. 3.3 Açık Kesitli Kolonların Burkulması 3.3.1 Lokal Burkulma Lokal burkulma hesabında kullanılabilen iki yöntem mevcuttur. İlki, eleman yaklaşımıdır ve bu yöntemde burkulma için klasik çözüm, yapının levha elemanlarının bireysel çözümüdür. Elemanların her birinin bireysel burkuldukları ve birbirleri ile etkileşimde bulunmadıkları varsayılır. Şekil 3. 16 Dikme kesit geometrisi Veb genişliği h, flanş genişliği b ve uzantı uzunluğu d olan uzantılı C kesitli bir dikmenin kritik lokal burkulması, eleman yönteminde yaklaşık olarak 3.47, 3.48 ve 3.49 denklemlerinden minimum olanına eşittir varsayımında bulunulur (Schafer 2002). 31 𝜋2𝐸 𝑡 2 𝜎𝑘𝑟𝑙,𝑣𝑒𝑏 = 𝑘 ( ) ; 𝑘 = 4 (3.47) 12(1 − 𝜐2) ℎ 𝜋2𝐸 𝑡 2 𝜎𝑘𝑟𝑙,𝑓𝑙𝑎𝑛ş = 𝑘 ( ) ; 𝑘 = 4 (3.48) 12(1 − 𝜐2) 𝑏 𝜋2𝐸 𝑡 2 𝜎𝑘𝑟𝑙,𝑙𝑖𝑝 = 𝑘 ( ) ; 𝑘 = 0,43 (3.49) 12(1 − 𝜐2) 𝑑 Diğer yöntem ise elemanların birbirleri ile etkileşimlerinin de göz önünde bulundurulduğu yarı ampirik etkileşim yöntemidir. Burkulma katsayısı olan k, hem flanş- uzantı lokal burkulması hem de flanş-veb lokal burkulması olarak sonlu şerit metodu ile ampirik olarak ifade edilmiştir (Schafer 2002). 𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑘𝑓𝑙𝑎𝑛ş−𝑙𝑖𝑝 = −11,07 ( ) + 3,95 ( ) + 4 ( < 0,6) (3.50) 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 2 𝑏 0,4 ℎ 4 ( ) [2 − ( ) ] , ≥ 1ℎ ℎ 𝑏 𝑘𝑓𝑙𝑎𝑛ş−𝑣𝑒𝑏 = ℎ 0,2 (3.51) ℎ 4 [2 − ( ) ] , < 1 { 𝑏 𝑏 Tüm dikmenin lokal burkulması 3.50 ve 3.51 denklemlerinden minimum olanının 3.48 denkleminde yazılması ile bulunur. 3.3.2 Distorsiyonel Burkulma Kritik distorsiyonel burkulma gerilmesi aşağıdaki denklemler yardımı ile bulunabilir (Schafer 2002). Şekil 3. 17 Flanş modeli (Schafer ve Peköz 1999) 32 𝑘𝜙𝑓𝑒 + 𝑘𝜙𝑤𝑒 𝜎𝑘𝑟𝑑 = (3.52) ?̃?𝜙𝑓𝑔 + ?̃?𝜙𝑤𝑔 𝜋 4 𝐼 2𝑥𝑦𝑓 𝜋 2 𝑘𝜙𝑓𝑒 = ( ) [𝐸𝐼𝑥𝑓(𝑥 − ℎ ) 2 0 𝑥 + 𝐸𝐶𝑤𝑓 − 𝐸 (𝑥0 − ℎ 2 𝐿 𝐼 𝑥 ) ] + ( ) 𝐺𝐽𝑓 (3.53) 𝑦𝑓 𝐿 2 𝜋 2 𝐼 2 𝑥𝑦𝑓 𝐼𝑥𝑦𝑓 ?̃? = ( ) {𝐴 [(𝑥 − ℎ ) ( ) − 2𝑦 (𝑥 2 2𝜙𝑓𝑔 𝐿 𝑓 0 𝑥 𝐼 0 0 − ℎ𝑥) ( ) + ℎ𝑥 + 𝑦0 ] 𝑦𝑓 𝐼𝑦𝑓 + 𝐼𝑥𝑓 + 𝐼𝑦𝑓} (3.54) 𝐸𝑡3 𝑘𝜙𝑤𝑒 = (3.55) 6ℎ(1 − 𝜐2) 𝜋 2 𝑡ℎ3 ?̃? = ( ) (3.56) 𝜙𝑤𝑔 𝐿 60 0,25 6𝜋4ℎ(1 − 𝜐2) 𝐼 2 𝐿 = { [𝐼 (𝑥 − ℎ )2 𝑥𝑦𝑓 2 𝑘𝑟 𝑥𝑓 0 𝑥 + 𝐶𝑤𝑓 − (𝑥0 − ℎ𝑥) ]} (3.57) 𝑡3 𝐼𝑦𝑓 Denklemlerdeki “f” indisi sadece flanşın kesit özellikleri kullanılarak elde edildiğini göstermek için kullanılmıştır. Burada x0 ve y0 kayma merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki mesafeyi, hx ve hy ağırlık merkezi ile flanş-veb bağlantı (yayların bağlandığı) noktası arası mesafeyi tanımlamaktadır. Kritik distorsiyonel burkulma gerilmesini hesaplamak için, denklem 3.57 kullanılarak distorsiyonel burkulmanın kritik uzunluğu hesaplanır, 3.53-3.56 arasındaki denklemlerde L yerine Lkr yazılır ve 3.52 denklemi kullanılarak burkulma gerilmesi hesaplanır (Schafer 2002). 3.3.3 Global Burkulma Basıya maruz uzun kolonlarda global burkulma sebebiyle farklı türde çökme gözlemlenebilir. Eksenel yüklenen kolonda kayma merkezi ve ağırlık merkezi arasındaki 33 mesafeye göre eğilmeli, burulmalı veya eğilmeli-burulmalı burkulma gözlemlenebilmektedir. 3.3.3.1 Eğilmeli Burkulma 𝜋2𝐸𝐼 𝑃𝑒 = (3.58) (𝐾𝐿)2 Burada Pe elastik eğilmeli burkulma değeri, K ise efektif uzunluk çarpanıdır. Denklem 3.58’ de I=Ar2 dönüşümü yapılır ise elastik kolon burkulması için eğilmeli burkulma (Euler) gerilmesi şu şekilde tanımlanır. 𝜋2𝐸 𝜎𝑒 = (3.59) (𝐾𝐿/𝑟)2 𝐾𝐿/𝑟 narinlik oranı, r jirasyon yarıçapını ifade etmektedir. 3.3.3.2 Eğilmeli Burulmalı Burkulma Açık kesitli kolonlar eğilmeli burulmalı burkulma modunda hem eğilir iken hem de burulmaya maruz kalmaktadır. Şekil 3. 18 Eğilmeli Burulmalı burkulma esnasındaki yer değiştirmeler (Yoo ve Lee 2011) 34 Kayma merkezi etrafında ϕ dönme açısı ile x ve y eksenlerindeki yer değiştirmeleri sırasıyla u ve v ise P yüküne maruz kalan bir kolonun denge şartı aşağıdaki diferansiyel denklemler ile ifade edilir (Yoo ve Lee 2011) : 𝐸𝐼 𝜐𝚤𝑣𝑥 + 𝑃𝜐 𝚤𝚤 + 𝑃𝑥 𝜙𝚤𝚤0 = 0 (3.60) 𝐸𝐼 𝚤𝑣𝑦𝑢 + 𝑃𝑢 𝚤𝚤 − 𝑃𝑦 𝜙𝚤𝚤0 = 0 (3.61) 𝐸𝐶 𝜙𝚤𝑣𝑤 − (𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2 0 )𝜙 𝚤𝚤 − 𝑃𝑦 𝑢𝚤𝚤 + 𝑃𝑥 𝜐𝚤𝚤0 0 = 0 (3.62) Cw burulma kesitinin çarpılma sabiti, J St. Venant burulma sabiti, G kayma modülü, x0 ve y0 kayma merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki mesafelerini, GJ burulma rijitliğini ve ECw‘ de çarpılma rijitliğini ifade etmektedir. 𝑟0 = √𝑟 2𝑥 + 𝑟 2𝑦 + 𝑥 20 + 𝑦 20 kayma merkezi etrafındaki jirasyon yarıçapı, rx ile ry de sırasıyla x ve y eksenlerindeki jirasyon yarıçaplarıdır. Sınır şartları: 𝑢 = 𝑣 = 𝜙 = 0 (z=0’da) (3.63) 𝑢′′ = 𝑣′′ = 𝜙′′ = 0 (z=L’de) şeklinde tanımlanacak olur ise aşağıdaki karakteristik denklem elde edilir. 2 2(𝑟0) (𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 − 𝑃𝑥)(𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 − 𝑃𝑦)(𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 − 𝑃𝑧) − (𝑃 2 𝑘𝑟,𝑒𝑏) (𝑦0) (𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 − 𝑃𝑥) 2 − (𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏) (𝑥 2 0) (𝑃 (3.64) 𝑘𝑟,𝑒𝑏 − 𝑃𝑦) = 0 𝜋2𝐸𝐼𝑥 𝑃𝑥 = (𝐾𝐿)2 𝜋2𝐸𝐼𝑦 𝑃𝑦 = (3.65) (𝐾𝐿)2 𝜋2𝐸𝐶𝑤 1 𝑃𝑧 = ( + 𝐺𝐽) ( ) (𝐾𝐿)2 𝑟 20 KL efektif uzunluktur ve Çizelge 3. 1’ den okunabilir. 3.64 denkleminin köklerinden bulunacak olan Pkr,eb yüklerinden en ufak olanı kritik eğilmeli-burulmalı burkulma 35 yükünü temsil etmektedir. Sadece burulmalı burkulma gözlemleniyor ise kritik burkulma yükü Pz ile hesaplanabilmektedir. 3.4 Delikli Kolonlarda Burkulma Davranışları Dikmelerin veb kısmında bulunan deliklerin burkulma yüklerine etkisinin araştırılması amacıyla yapılan literatürdeki çalışmalarda farklı burkulma modları için formüller elde edilmiştir. Şekil 3. 19 ‘da dikmenin veb kısmındaki deliklerin sayısı ve yerleşimi gösterilmektedir. Deliğin varlığı genel olarak burkulma dayanımını azaltıcı yönde etki etmektedir. Şekil 3. 19 Veb elemanındaki delik yerleşimleri (Smith ve Moen 2014) 3.4.1 Lokal Burkulma Kritik yükün hesaplanmasında deliğin etkisi indirgenmiş kalınlık hipotezi ile hesaplanabilir. Basit mesnetlenmiş levha için kritik lokal burkulma gerilmesi 3.66 denklemi ile hesaplanabilir (Smith ve Moen 2014). 𝜋2𝐸𝑡2 𝜋2𝐸𝑡 2𝑟 𝜎𝑘𝑟𝑙,𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘𝑙𝑖 = 𝑘 = 𝑘 12(1 − 𝜐2)ℎ2 12(1 − 𝜐2)ℎ2 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 1 (3.66) 𝑘𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 2 𝑡𝑟 = 𝑡 ( ) 𝑘 k deliksiz, kdelik ise delikli levha için burkulma katsayıları, tr indirgenmiş kalınlıktır. Rayleigh-Ritz yöntemi kullanılarak delikli levhanın burkulma katsayısı bulunabilir (Smith ve Moen 2014). 36 𝑛𝑡 𝑛 𝑚2 𝑙 𝑏2 𝑛4𝐿2 (𝐿ℎ − 𝛼𝑋𝑖)(𝑑ℎ − 𝛽𝑌𝑗) 𝑘𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 = ( + ) [1 −∑∑[ ]]𝐿2 𝑚2𝑏2 𝐿𝑏 𝑗=1 𝑖=1 + 2𝑛2 [1 (3.67) 𝑛𝑡 𝑛𝑙 (𝐿ℎ + 𝛼𝑋𝑖)(𝑑ℎ + 𝛽𝑌𝑗) − 2𝜐(𝐿ℎ𝛼𝑌𝑗 + 𝑑ℎ𝛽𝑋𝑖) −∑∑[ ]] 𝐿𝑏 𝑗=1 𝑖=1 Burada α ve β delik konumları, Xi ve Yj‘ de sırasıyla uzunlamasına ve enlemesine her bir deliğin konumlarının burkulma ile etkisini ifade etmektedir. 2𝜋𝑚 𝑋𝑖 = 𝑐𝑜𝑠 ( [𝑠𝑙(𝑖 − 1) + 𝑠𝑙𝑒]) 𝐿 (3.68) 2𝜋𝑛 𝑌𝑗 = 𝑐𝑜𝑠 ( [𝑠𝑡(𝑗 − 1) + 𝑠ℎ 𝑡𝑒 ]) 𝐿 𝜋𝐿ℎ𝑚 𝑎 = 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝜋𝑚 𝐿 (3.69) ℎ 𝜋𝑑ℎ𝑛 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝜋𝑛 ℎ m ve n boyuna ve enine oluşacak olan yarım dalgaların sayısıdır. 3.4.2 Distorsiyonel Burkulma Delik varlığı, özellikle delik bölgesinde levha üzerindeki eğilme katılığını azaltmaktadır. Yanal eğilme katılığındaki düşüş, delikli yapının dönme rijitliği ile deliksiz haldeki dönme rijitliğine oranı şeklinde tanımlanabilir ve bu dönme katılığı levha katılığı ile doğru orantılıdır (Smith ve Moen 2014). 𝐸𝑡 3𝑟 𝐾𝜃,𝑑 𝐷𝑑 12(1 − 𝜐2) 𝑡 3 𝑟 ∝ = (3.70) 𝐾 𝐷 𝐸𝑡3 = 𝑡3𝜃 12(1 − 𝜐2) 37 𝐾𝜃,𝑑 delikli levhanın ve 𝐾𝜃 deliksiz levhanın dönme katılığını, tr indirgenmiş veb kalınlığı ve t ise levha kalınlığını göstermektedir. Yukarıdaki denklemin tekrar düzenlenmesi ile indirgenmiş veb kalınlığı şu şekildedir. 𝐾 1/3𝜃,𝑑 𝑡𝑟 = 𝑡 ( ) (3.71) 𝐾𝜃 Delik varlığının dönme katılığına etkisi, veb net alanının, delik olmadığındaki alanına oranı ile orantılı olduğu hipotezi ile ifade edilmektedir. Delikli levhanın net alanı Aveb,net=Lh-nlntLhdh ve deliksiz levhanın alanı Aveb=Lh ise indirgenmiş kalınlık nihai şeklini alır (Smith ve Moen 2014). Bulunan indirgenmiş kalınlık ile tekrardan çözüm yapılarak delikli levhalarda distorsiyonel burkulma bulunabilmektedir. 𝐴 1/3𝑣𝑒𝑏,𝑛𝑒𝑡 𝑡𝑟 = 𝑡 ( ) (3.72) 𝐴𝑣𝑒𝑏 Moen ve Schafer 2009’da ise indirgenmiş kalınlık 𝐿 1/3ℎ 𝑡𝑟 = 𝑡 (1 − ) (3.73) 𝐿𝑘𝑟 ile gösterilmiştir. Delikli yapının distorsiyonel burkulma gerilmesini bulmak için önce deliksiz bölgenin kesit alanı özelliklerinden bulunacak olan Lkr ile indirgenmiş veb kalınlığı bulunur. Yeniden belirlenen veb kalınlığı ile distorsiyonel gerilme bölüm 3.3.2’deki formüller ile hesaplanır. 3.4.3 Global Burkulma 3.4.3.1 Eğilmeli Burkulma Delik bulunan dikmelerde eğilmeli burkulma söz konusu ise ağırlıklı ortalama (weighted average) metodu kullanılabilir. Bu yöntem dâhilinde deliksiz yapının Euler burkulmasına 38 deliğin etkisi aşağıdaki denklemlerde görüldüğü üzere etki etmektedir (Smith ve Moen 2014). 𝐼𝑜𝑟𝑡 𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑑 = 𝑃𝑒 (3.74) 𝐼𝑔 𝐼𝑔𝐿𝑔 + 𝐼𝑛𝑒𝑡𝐿𝑛𝑒𝑡 𝐼𝑜𝑟𝑡 = (3.75) 𝐿 Burada Pe deliksiz dikme için kritik Euler burkulması olup denklem 3.58’de I yerine Ig yazılarak hesap edilebilir. Ig ve Inet sırasıyla deliksiz bölgedeki kesitin ve delikli bölgedeki kesitin atalet momentleridir. 𝐿𝑛𝑒𝑡 = 𝑛𝑙𝐿ℎ (3.76) 𝐿𝑔 = 𝐿 − 𝐿𝑛𝑒𝑡 Pe ‘yi hesaplarken klasik formüllerdense sonlu şerit analizinin kullanılması, klasik formülün gerçek değerin üzerinde sonuçlar verdiğinden dolayı daha doğru sonuç vermektedir. İlaveten tahmini hesaplar ile sonlu elemanlar analizi arasında da farklılıklar olduğu gözlemlenmiştir (Smith ve Moen 2014). 3.4.3.2 Eğilmeli Burulmalı Burkulma Denklem 3.64 ve 3.65 kullanılarak deliksiz kolonlarda eğilmeli-burulmalı kritik burkulma yükü hesaplanabilir. Burada deliksiz dikmelerden farklı olarak atalet momentleri Ix ve Iy, St.Venant burulma sabiti J ile çarpılma burulma sabiti Cw delik etkisinden dolayı değişmektedir. Ix ve Iy denklem 3.75’de olduğu gibi ağırlıklı ortalama yöntemi ile bulunabilir. Bunlara ilave olarak St.Venant burulma sabitini de ağırlıklı ortalama yöntemi ile bulmak mümkündür (Moen ve Schafer 2009). 𝐽𝑔𝐿𝑔 + 𝐽𝑛𝑒𝑡𝐿𝑛𝑒𝑡 𝐽𝑜𝑟𝑡 = (3.77) 𝐿 39 Çarpılma sabitindeki değişim ise Moen ve Schafer (2009)’da delik etrafındaki bozulmayı da hesaba katarak, delik ve bozulmuş bölgeyi beraber d * h ile göstererek şu şekilde tanımlanmıştır. 1 𝑑 0,2ℎ 𝑑 ∗ = 𝑑 + (ℎ − 𝑑 ) ( ) (3.78) ℎ ℎ 2 ℎ ℎ Burada tanımlanan d * h ile tekrar hesaplanan Cw bulunarak denklem 3.65’ de kullanılabilir. Benzer şekilde deliğin etkisinin Cw üzerindeki etkisi, Smith ve Moen (2014)’te yanal delik sayısının 1 ve 1’den fazla olması durumuna göre ayrılmıştır. Eğer yanal delik sayısı 1’den fazla ise ağırlıklı ortalama yönteminin kullanılmasının, yanal delik sayısı 1 ise delikli kesitin çarpılma burulma sabitinin kullanılmasının (Cw,net) daha doğru sonuç verdiği belirtilmiştir. Kübik formdaki denklemden başka olarak delikli kolonlardaki eğilmeli burulmalı kritik burkulmayı denklem 3.79 ile de ifade edilebilmektedir. 𝐽𝑜𝑟𝑡 𝐶𝑤 𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏,𝑑 = 𝑃𝑘𝑟,𝑒𝑏 𝐽𝑔 𝐶𝑤𝑔 (3.79) 𝐶𝑤,𝑛𝑒𝑡, 𝑛𝑡 = 1 𝐶𝑤 = { 𝐶𝑤,𝑜𝑟𝑡, 𝑛𝑡 ≠ 1 Pkr,eb deliksiz kolon için kritik eğilmeli burulmalı burkulma yükü, nt yanal delik sayısı Jg ve Cwg sırasıyla delik olmayan bölgedeki kesitin St.Venant burulma sabiti ve delik olmayan bölgedeki kesitin çarpılma sabitidir. 3.5 Maksimum Taşıma Kapasitesi (Ultimate Load) Uzun yıllardır kullanılan efektif genişlik metoduna alternatif olarak ortaya konulan direct strength metodu (DSM), ince cidarlı soğuk şekillendirilmiş çelik kolonlarda oluşan lokal, distorsiyonel ve global burkulmaların birbirleri ile olan etkileşimlerini de göz önünde bulundurarak kolonun taşıyabileceği maksimum yükü belirlemede kullanılmaktadır. 3.5.1 Global Burkulmaya Maruz Dikmelerde Taşıma Kapasitesi Global kritik elastik burkulma yükü Pcre ile temsil edilir ise, global burkulmaya maruz dikmenin taşıma kapasitesi Pne aşağıdaki denklem ile ifade edilir (He ve ark. 2014). 40 0,877 ( 2 )𝑃𝑦, 𝜆𝑐 > 1,5 𝑃 𝜆𝑛𝑒 = { 𝑐 2 (0,658𝜆𝑐 )𝑃𝑦, 𝜆𝑐 ≤ 1,5 (3.80) 𝑃𝑦 𝜆𝑐 = √ 𝑃𝑐𝑟𝑒 𝑃𝑦 = 𝐴𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 3.5.2 Lokal Ve Global Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi Lokal ve global burkulmaların etkileşimde olduğu varsayımı için dayanım yükü, denklem 3.81’de gösterildiği üzere bulunabilir (He ve ark. 2014). 𝑃𝑛𝑒 , 𝜆𝑙 ≤ 0,776 𝑃𝑛𝑙 = { 𝑃 0,4 0,4 𝑘𝑟𝑙 𝑃𝑘𝑟𝑙 (3.81) 𝑃𝑛𝑒 [1 − 0,15 ( ) ] ( ) , 𝜆𝑙 > 0,776𝑃𝑛𝑒 𝑃𝑛𝑒 𝑃𝑛𝑒 𝜆𝑙 = √ (3.82) 𝑃𝑘𝑟𝑙 Burada Pkrl elastik lokal burkulma yükü, Pne ise global burkulmaya maruz dikmenin taşıma kapasitesini temsil etmektedir. 3.5.3 Global Ve Distorsiyonel Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi Kritik elastik distorsiyonel ve elastik global burkulma yükleri birbirine yakın olan kolonlarda bu iki burkulma yükü birbirleri ile etkileşimde bulunabilirler. Bu etkileşimi göz önünde bulundurarak önerilen formül Anbarasu ve Murugapandian (2015)’ de şu şekilde belirtilmiştir: 𝑃𝑛𝑒 , 𝜆𝑑𝑒 ≤ 0,561 0,6 0,6 𝑃𝑛𝑑𝑒 = { 𝑃𝑘𝑟𝑑 𝑃𝑘𝑟𝑑 (3.83) 𝑃𝑛𝑒 [1 − 0,25 ( ) ] ( ) , 𝜆𝑑𝑒 > 0,561𝑃𝑛𝑒 𝑃𝑛𝑒 41 𝑃𝑛𝑒 𝜆𝑑𝑒 = √ (3.84) 𝑃𝑘𝑟𝑑 Pkrd kritik distorsiyonel burkulma yükünü göstermektedir. 3.5.4 Distorsiyonel Burkulmaya Maruz Dikmelerde Taşıma Kapasitesi Distorsiyonel burkulmaya maruz kalan kolonların maksimum taşıma kapasiteleri denklem 3.85 ile ifade edilmektedir (Kwon ve ark. 2009). 𝐴𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 , 𝜆𝑑 ≤ 0,561 𝑃 = { 𝜎 0,6 0,6𝑛𝑑 𝑘𝑟𝑑 𝜎𝑘𝑟𝑑 (3.85) 𝐴𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 [1 − 0,25 ( ) ] ( ) , 𝜆𝜎 𝜎 𝑑 > 0,561 𝑎𝑘𝑚𝑎 𝑎𝑘𝑚𝑎 𝜎𝑎𝑘𝑚𝑎 𝜆𝑑 = √ (3.86) 𝜎𝑘𝑟𝑑 σkrd elastik distorsiyonel burkulma gerilmesini, σakma akma gerilmesini, A ise kesit alanını temsil etmektedir. 3.5.4.1 Lokal-Distorsiyonel Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi 3.87 denklemi, uzantı bulunan orta uzunluktaki dikmelerdeki lokal ve distorsiyonel burkulma arasındaki ilişkiyi göz önünde bulundurarak taşıma kapasitesini DSM (direct strength method) ile bulunmasını sağlamaktadır (He ve ark. 2014). 𝑃𝑛𝑑 , 𝜆𝑙𝑑 ≤ 0,776 0,4 0,4 𝑃𝑛𝑙𝑑 = { 𝑃𝑘𝑟𝑙 𝑃𝑘𝑟𝑙 (3.87) 𝑃𝑛𝑑 [1 − 0,15 ( ) ] ( ) , 𝜆𝑙𝑑 > 0,776𝑃𝑛𝑑 𝑃𝑛𝑑 𝑃𝑛𝑑 𝜆𝑙𝑑 = √ (3.88) 𝑃𝑘𝑟𝑙 Pnld lokal – distorsiyonel burkulma etkileşimi olduğu durumdaki dayanım yükü, Pnd denklem 3.85 ile hesaplanan distorsiyonel burkulma dayanımını göstermektedir. 42 Yüksek dayanıma sahip (akma gerilmesi 550 MPa) soğuk şekillendirilmiş çelik yapılar ve orta sertlikteki (akma gerilmesi 300 MPa) çelik yapıların denklem 3.87 ile mukayesesi yapılmıştır. Yüksek dayanıma sahip çelik yapıların maksimum dayanımının test sonuçları ile denklem 3.87’den elde edilen sonuçlar arasında farklılıklar mevcuttur ve bu farkın sebebi ise yüksek dayanımlı soğuk şekillendirilmiş çelik yapıların, orta dayanımlı yapılara göre daha fazla post-buckling özelliğine sahip olmasıdır (Kwon ve ark 2009). Aynı çalışmada belirtilen orta uzunluktaki kolonlarda makul sonuçlar veren düzeltilmiş dayanım formülü şu şekildedir: 𝑃𝑛𝑑 , 𝜆𝑙𝑑 ≤ 0,667 𝑃 0,4 0,4𝑃𝑛𝑙𝑑 = { 𝑘𝑟𝑙 𝑃𝑘𝑟𝑙 (3.89) 𝑃𝑛𝑑 [1 − 0,2 ( ) ] ( ) , 𝜆𝑙𝑑 > 0,667𝑃𝑛𝑑 𝑃𝑛𝑑 3.5.4.2 Distorsiyonel-Lokal Burkulma Modlarının Etkileşimindeki Dikmelerde Taşıma Kapasitesi Yapının burkulması esnasında önce distorsiyonel burkulma başlayıp devamında lokal burkulmanın da etkili olduğu durumlar için, He ve ark. (2014)’ de aşağıdaki formül ile azami taşınabilecek yükün hesaplanabileceği belirtilmiştir. 𝑃𝑛𝑙 , 𝜆𝑑𝑙 ≤ 0,561 0,6 0,6 𝑃𝑛𝑑𝑙 = { 𝑃𝑐𝑟𝑑 𝑃𝑐𝑟𝑑 𝑃𝑛𝑙 [1 − 0,25 ( ) ] ( ) , 𝜆𝑑𝑙 ≥ 0,561𝑃𝑛𝑙 𝑃𝑛𝑙 (3.90) 𝑃𝑛𝑙 𝜆𝑑𝑙 = √ 𝑃𝑐𝑟𝑑 3.6 Sonlu Elemanlar Analizi Gerçek durumdaki problemlerin analitik olarak çözümleri geometrik, çevresel şartlar gibi sebeplerden ötürü çok karışıktır. Bunlara ilaveten nonlineer özellikler ve dinamik etkiler de göz önünde bulundurulur ise analitik çözüm neredeyse imkansıza yakındır. Sonlu elemanlar analizinde, bu sebepten eleman adı verilen geometrik olarak daha basit birçok parçaya ayrılan cismin, bu elemanları için denge denklemlerinin eş zamanlı çözümü yapılır. Bu elemanlar kenarlarından ve köşelerinden düğüm noktaları ile birbirlerine 43 bağlıdırlar. Bu düğüm noktaları için yer değiştirmeler vektördür ve 3 bileşeni vardır (Lee 2012). Sonlu elemanlar analizinin ilk kullanımı 1900’lerin başında, bazı araştırmacıların elastik barları modellemesi ile başlamaktadır, buna rağmen Courant 1943 yılında sonlu elemanlar analizini kullanan ilk kişi olarak bilinmektedir. 1940’ların başlarında Courant yayımlanan bir makalede burulma probleminin araştırılmasında kullanmıştır. Daha sonra 1950’lerde Boeing uçak kanatlarını incelerken kullanmıştır. 1960’larda araştırmacılar sonlu elemanlar analizini mühendisliğin farklı alanlarında da kullanmaya başlamışlardır. 1967 yılında Cheung sadece sonlu elemanları anlatan ilk kitabı yazmıştır ve 1971 yılında ise ANSYS ilk defa piyasaya sürülmüştür (Moaveni 2003). Sonlu elemanlar analizi çözümünde, {D} yer değiştirme vektörü, {F} düğüm noktalarına etkiyen dış kuvvetler vektörü ve [K] ise katılık matrisi olmak üzere aralarındaki ilişki şu şekilde gösterilmektedir. [𝐾]{𝐷} = {𝐹} (3.91) Yapı, bir yay gibi düşünülecek olursa {F} dış kuvvet, {D} yayın deplasmanıdır. [K] bu yaklaşımda yay katılığını ifade etmektedir. Lineer yapıda [K] sabit bir matristir, buna ters olarak non-lineer durumlarda [K], {D}’nin bir fonksiyonu olmaktadır. 3.6.1.Sonlu Elemanlar Analizinde Burkulma Çözümü Sonlu elemanlar analizi çözümlerinde kullanılan 2 tip burkulma analizi mevcuttur. Bunlardan birincisi lineer (özdeğer) diğeri ise non-lineer burkulma analizleridir. Non-lineer burkulma analizinde yapının non-lineer malzeme özellikleri, başlangıçtaki kusurları ve büyük yer değişimleri göz önünde bulundurulmaktadır. Lineer burkulmada ise lineer elastik kusursuz bir yapının ne kadar yük taşıyabileceği belirlenebilmektedir. Bu analiz ile bulunan değerler teorik olarak bulunan sonuçlar ile benzeşmektedir. Örneğin bir kolonun burkulma yükü analiz sonucu ve Euler formülü kullanılarak bulunan sonuç birbirleri ile örtüşmektedir. Fakat gerçekte non-lineer malzeme özellikleri ve kusurlar göz ardı edilmediği için lineer analiz çok güvenilir sonuçlar vermemektedir (Tajdari ve ark. 2011). 44 Ansys lineer burkulma analizinde iki tane terim kullanılarak katılık matrisi oluşturulur. İlk terim K0, geleneksel katılık matrisini, ikinci terim Kσ ise başlangıç gerilme katılık matrisidir ve başlangıçta var olan gerilmelerin etkisini göz önünde bulundurur. {𝐹} = ([𝐾0] + [𝐾𝜎(𝜆𝜎0)]){𝐷} (3.92) λ skaler bir büyüklük olup {F} ve {D}’ ler sırasıyla dış yükleri ve ilgili düğüm noktaların yer değiştirme vektörleridir. Başlangıçta σ0 bilinmemektedir ve birim yük uygulayarak başlangıç gerilmesi λσ0 seviyesine ulaştırılır. Burkulma esnasında dış yükte bir artış olmamasına rağmen yer değişimi artmaktadır. Bu da şu şekilde ifade edilir. ([𝐾0] + 𝜆[𝐾𝜎(𝜎0)]){𝑑𝐷} = 0 (3.93) Burada {dD} düğüm noktalarının artan yer değiştirme vektörüdür ve sıfır olamaz. Bu sebepten aşağıdaki denklem sağlanmalıdır. det([𝐾0] + 𝜆[𝐾𝜎(𝜎0)]) (3.94) Determinant çözümü ile bulunan öz değerlerin λi en düşük olanı kritik yüke karşılık gelmektedir. İlgili öz vektörler karakteristik mod şekillerini temsil etmektedir (Komur ve Sonmez 2008). 3.6.2 Sonlu Elemanlar Analizinin Kurgulanması Non-lineer analizlerin gerçekleştirilmesi için lineer analiz sonucunda elde edilen şekil değişimleri belli bir geometrik kusur çarpanı (imperfection factor) kullanılarak, non- lineer burkulma analizlerinin başlangıç şekli olarak alınmıştır. Bu işlemin gerçekleştirilmesinde upgeom komutu aşağıdaki gösterildiği şekilde kullanılmıştır. /prep7 upgeom,X,1,1,file,rst cdwrite,db,file,cdb 45 X burada kusur çarpanıdır ve burkulma modu (lokal, distorsiyonel, global) ile şekil geometrisine bağlı olarak değişmektedir. Kusur çarpanı değerinin bulunmasında lokal burkulma için w/200, distorsiyonel burkulma için f/50 ve global burkulma için L/1000 ifadeleri geçerlidir (Pastor M.M. ve ark. 2014). Burada w web genişliğini, f flanş derinliğini ve L ise dikmenin uzunluk değerleridir. Eleman tipi olarak 3 serbestlik derecesine sahip (x,y ve z eksenlerinde yer değişimine izin veren) SOLID186 kullanılmıştır. Düzlemsel levha ve dikmeler için yapılan sonlu elemanlar analizlerindeki sınır şartları şu şekildedir: Düzlemsel Levha Analizlerinde Uygulanan Sınır Şartları Düzlemsel levha analizleri yapılırken uygulanan sınır şartları, lineer analizlerde; levhanın alt kenarı her üç eksende de ( x, y ve z eksenleri) sınırlandırılır iken, üst kenarda x ve z eksenlerinde kısıtlanıp y ekseninde hareket serbest bırakılmıştır. Yan kenarlarda ise z ekseninde hareket sınırlandırılmıştır. Bu sınırlandırılmalar displacement komutu ile sağlanmış olup üst kenardan force komutu kullanılarak 1 N büyüklüğünde bir kuvvet –y doğrultusunda uygulanmıştır. Şekil 3. 20 Düzlemsel levha analizlerinde ( (a)Lineer analiz ve (b) Non- Lineer analiz ) uygulanan sınır şartları 46 Non-lineer analizlerde ise benzer sınır şartları uygulanmıştır, tek farkı üst kenardan kuvvet etki etmemekte, onun yerine üst kenardan –y doğrultusunda belli bir deplasman uygulanmasıdır. Dikme Analizlerinde Uygulanan Sınır Şartları Dikme analizleri esnasında uygulanan sınır şartları, lineer analizde; displacement komutu vasıtasıyla, alt ucu her üç eksende de sınırlandırılır iken, üst ucu x ve y eksenlerinde sınırlı, z ekseninde harekete müsaade edecek şekildedir. Üst uca force komutu ile z ekseninde –z yönünde 1 N’luk bir yük tatbik edilmektedir. Non-lineer analizlerde ise benzer sınır şartları uygulanmıştır, tek fark dikmenin üst ucundan kuvvet etki etmemekte, onun yerine üst kenardan z ekseninde –z yönünde belli bir deplasman uygulanmasıdır. Şekil 3. 21 Dikme analizlerinde uygulanan sınır şartları ( (a)Lineer analiz ve (b) Non- Lineer analiz ) uygulanan sınır şartları 3.6.3 Yapılan Analizlerin Doğrulanması Literatürdeki daha önceden yapılan çalışmalarda (Moen ve Schafer 2008, Gunalan ve ark. 2015) verilen deneysel sonuçlar ile makalelerde verilen dikme geometrileri üzerinden yapılan analiz sonuçları, analizlerin kurgulanmasının doğrulanması amacı için mukayese 47 edilmiştir. Pdeney makalelerde verilen maksimum taşıma kapasitesini, Pansys sonlu elemanlar analizinden elde edilen dikmelerin maksimum taşıma kapasitesini temsil etmektedir. Çizelge 3. 5 Deneysel veriler ile analiz sonuçlarının kıyaslanması P' (Pdeney / Pansys) G550-0.95-20-Aa 0,9211 G250-0.95-20-Aa 1,0094 G450-1.90-20-Aa 0,9181 G250-1.95-20-Aa 0,9990 362-2-24-NH 1,0376 600-2-24-H 1,0318 48 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu bölümde önce düzlemsel levhalar daha sonra da dikmeler için yapılan analiz sonuçları verilerek, sonuçların yorumlanmasına çalışılmıştır. 4.1 Düzlemsel Levha Analizleri 4.1.1 Delik Şeklinin Burkulma Yüküne Etkisi Delik şeklinin burkulma yüküne etkisinin gözlemlenebilmesi açısından yapılan analizlerde sınır şartları kısım 3.6.2’ de belirtildiği üzeredir. Düzlemsel levha üzerinde 5 adet delik bulunan levhalar için burkulma yükleri, yapılan analizler sonucunda elde edilmiş ve delik şekline göre değişimleri belirtilmiştir. P delikli levhadaki, Pdeliksiz ise delik bulunmayan levhadaki kritik yükü temsil etmektedir. Delik şekilleri Çizelge 4. 1’ de numaralandırılmıştır. Çizelge 4. 1 Delik şekillerinin numaralandırılması DELİK TİPİ 1 Altıgen ucu yuvarlaklaştırılmış delik 2 Altıgen delik 3 Dairesel delik 4 Dikey dikdörtgen delik 5 Dikey dikdörtgen kenarları yuvarlaklaştırılmış delik 6 Dikey dikdörtgen üst kenarı yuvarlaklaştırılmış delik 7 Kare delik 8 Ongen delik 9 Sekizgen delik 10 Yatay dikdörtgen delik Dikey dikdörtgen açılı delik (Dik kenarlar 80 derece 11 yatayla açılı) Delik şeklinin etkisinin incelendiği tüm levha analizlerinde net alan yaklaşık olarak aynıdır. 49 Lineer analiz sonucunda delikler arasındaki alanda oluşan burkulma yarım dalgalarının boyunun uzunluğu en fazla tip 10’dadır. Buna bağlı olarak da burkulma yükü diğer tiplere göre daha fazladır. Non-lineer analizde ise levha yatay eksenindeki net alanın daralması ile taşıma kapasitesi azalmaktadır. Delik Geometrisi Etkisi (h=100 mm) Lineer Non lineer 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Delik tipi Şekil 4. 1 Levha genişliği 100 mm olan levhada delik şeklinin burkulma yüküne etkisi Delik Geometrisi Etkisi (h=200 mm) Lineer Non lineer 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Delik tipi Şekil 4. 2 Levha genişliği 200 mm olan levhada delik şeklinin burkulma yüküne etkisi 50 P/Pdeliksiz P/Pdeliksiz Şekil 4. 3 Delik şekillerinin burkulma şekillerine etkisi (Üst sıra lineer analiz, alt sıra non- lineer analiz sonucunda elde edilen şekil değişimlerini göstermektedir) Levha genişliği 100 mm ve 200 mm olan levhalarda yapılan analiz sonuçlarından elde edilen grafikler sunulmuştur. Her iki levha genişliğinde de lineer burkulma analizleri sonucunda delik şeklinin etkisi benzer eğilimde olmakla birlikte, non-lineer analiz sonuçları farklılık göstermektedir. Bunun sebebi ise levha genişliği 100 mm olan levhada, delik ve levha kenarı arasında kalan alanın, 200 mm’ye göre daha az olması ve buna bağlı olarak da taşıma kapasitesinde azalma veya artım daha fazla gözlemlenmektedir. Daha geniş levha için ise bu bölgelerdeki net alanın daha fazla olmasından dolayı taşıma kapasitesinde dar levhaya göre daha az değişim gözükmektedir. 4.1.2 Deliğin Yan Kenarlardan Olan Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi Farklı delik sayılarına sahip düzlemsel levhalarda deliklerin konumlarının, yan yüzeyden levha ortasına doğru ilerleyişi ile birlikte burkulma yüklerindeki değişimi, P delikli, Pkr0 ise deliksiz levhanın burkulma yükleri olmak üzere aşağıdaki grafiklerde sunulmuştur. 51 Burada x yan kenardan delik merkezinin uzaklığı, L levhanın boyu ve h ise levha genişliğini göstermektedir. Delik çapı 20 mm olarak analizler yapılmıştır. x L h Şekil 4. 4 Deliklerin levha üzerindeki konumları Levhanın yan kenarları ile delikler arasında kalan mesafe de göz önünde bulundurularak analizler sırasında mesh boyutu 4 mm olacak şekilde işlemler gerçekleştirilmiştir. Sınır şartları keza bölüm 3.6.2’ de belirtildiği üzeredir. 52 Yan Kenarlardan Olan Uzaklık Etkisi 3 delik 5 delik 7 delik 11 delik 15 delik 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 x/h Şekil 4. 5 Farklı delik sayılarına sahip levhalarda delik konumunun, kenardan levha merkezine doğru kayması ile burkulma yükündeki değişimi (Lineer Analiz Sonuçları) Yapılan lineer analiz sonucunda, farklı delik sayılarına sahip levhalar için elde edilen sonuçlar Şekil 4. 5’de belirtilmiştir. Delik konumlandırılmasının levhanın ortasına doğru yapılması levhanın burkulma yükünün artmasını sağlamaktadır. Yan Kenarlardan Olan Uzaklık Etkisi 3 delik 5 delik 7 delik 11 delik 15 delik 0,87 0,82 0,77 0,72 0,67 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 x/h Şekil 4. 6 Farklı delik sayılarına sahip levhalarda delik konumunun, kenardan levha merkezine doğru kayması ile burkulma yükündeki değişimi (Non-lineer Analiz Sonuçları) 53 Pkr / Pkr0 Pkr / Pkr0 Yukarıdaki grafiklerden de görüleceği üzere deliğin yan kenarlardan uzaklaşması ile birlikte taşıma kapasitelerindeki düşüş azalmaktadır. Bunun sebebi olarak mesnetlenmiş yan kenarlar levhanın orta kısmından daha fazla yük taşımakta ve deliğin bu bölgede bulunması levha rijitliğini düşürmektedir. 4.1.3 Deliklerin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi Deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının etkisini belirlemek amacıyla düzlemsel levhalar için burkulma analizleri yapılarak, levhanın taşıyabileceği maksimum yükün deliklerin yükleme kenarından uzaklaşması ile nasıl değiştiğinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Şekil 4. 7 Delik Konumları Pkr0 deliksiz levha için kritik burkulma yükünü, Pkr delikli levhaların analizi sonunda elde edilen kritik burkulma yükü, y deliğin yükleme kenarından olan uzaklığı ve L’ de levha boyunu ifade etmektedir. d kare deliğin bir kenar uzunluğu ve h ise levha genişliğidir. 54 Deliğin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi (1 Delik) d/h=0,4 d/h=0,3 d/h=0,2 d/h=0,1 1,05 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 y/L Şekil 4. 8 Tek delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi Tek delikli levhanın burkulma şekilleri, Şekil 4. 9’ da lineer analizler, Şekil 4. 10‘ da da non-lineer analizlerin sonuçları doğrultusunda gösterilmiştir. d/h oranı 0,1 olan levha analizlerinde y/L=0,3 ve y/L=0,5 noktalarında bazı sapmalar gözlemlenmektedir. Bunun sebebi olarak, Şekil 4. 9’dan da görüleceği üzere deliğin burkulma sırasında oluşan yarım dalgaların üzerine denk gelmemesi belirtilebilir. Şekil 4. 11 ve Şekil 4. 12’ e bakıldığında burkulma yarım dalgalarının delik bölgesinde yoğunlaştığı gözükmektedir. Deliklerin konumları, burkulma yarım dalgalarının boyunu ve sayısını değiştirmektedir. İlaveten deliğin konumu keza yarım dalgaların sönümlenmesine de sebep olabilmektedir. Burkulma yarım dalgalarındaki bu tarz değişimler de dikmenin taşıma kapasitesini az da olsa etkilemektedir. 55 Pkr / Pkr0 Şekil 4. 9 (Lineer Analiz Sonucu)Tek delikli ve d/h oranı 0,1 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 56 Şekil 4. 10 (Non-Lineer Analiz Sonucu) Tek delikli ve d/h oranı 0,1 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 57 Şekil 4. 11 (Lineer Analiz Sonucu)Tek delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 58 Şekil 4. 12 (Non-Lineer Analiz Sonucu) Tek delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 (f) 0,5 59 Deliğin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi (2 Delik) d/h=0,4 d/h=0,3 d/h=0,2 d/h=0,1 1,05 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 y/L Şekil 4. 13 2 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi 60 Pkr / Pkr0 Şekil 4. 14 (Lineer Analiz Sonucu) 2 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 61 Deliğin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi (3 Delik) d/h=0,4 d/h=0,3 d/h=0,2 d/h=0,1 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 y/L Şekil 4. 15 3 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi Deliğin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi (5 Delik) d/h=0,4 d/h=0,3 d/h=0,2 d/h=0,1 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 y/L Şekil 4. 16 5 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi 62 Pkr / Pkr0 Pkr / Pkr0 Deliğin Yükleme Kenarından Uzaklığının Burkulma Yüküne Etkisi (9 Delik) d/h=0,4 d/h=0,3 d/h=0,2 d/h=0,1 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 y/L Şekil 4. 17 9 delikli levhada deliklerin yükleme kenarından olan uzaklığının ve delik boyutunun burkulma yüküne etkisi 63 Pkr / Pkr0 Şekil 4. 18 (Lineer Analiz Sonucu) 3 delikli ve d/h oranı 0,2 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 64 Şekil 4. 19 (Lineer Analiz Sonucu) 3 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 65 Şekil 4. 20 (Lineer Analiz Sonucu) 5 delikli ve d/h oranı 0,2 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 (e) 0,375 66 Şekil 4. 21 (Lineer Analiz Sonucu) 9 delikli ve d/h oranı 0,3 olan levhada deliklerin kenarlardan uzaklığının burkulma şekline etkisi, yükleme kenarı ile levha boyu oranı (a) 0,075 (b) 0,15 (c) 0,225 (d) 0,3 67 4.2 Dikme Analizleri Bu bölümde dikmelerin flanş ve veb bölgelerindeki güçlendiricilerin etkisi, uzantının flanşa dik olmayıp açılı olması durumunda burkulma yüküne nasıl etkidiği ve veb bölgesinde bulunan çift sıra deliklerin bir birlerine yaklaşması ile burkulma yükünün nasıl değişecekleri belirlenmeye çalışılmıştır. Üç farklı geometriye sahip dikmeler için yapılan bu analizlerde her bir dikme farklı burkulma moduna sahiptir. Dikmelerin kesit geometrileri ve uzunlukları Şekil 4. 22 ve Çizelge 4. 2‘de gösterildiği şekildedir. d f b Şekil 4. 22 Dikmelerin kesit geometrisi 1.dikme lokal burkulma, 2.dikme distorsiyonel ve 3.dikme ise global burkulmaya maruz kalmaktadır. Çizelge 4. 2 Dikmelerin Geometrik Özellikleri 1.dikme 2.dikme 3.dikme d 15 mm 15 mm 18 mm f 90 mm 70 mm 36 mm b 100 mm 90 mm 72 mm L 400 mm 800 mm 1000 mm 68 4.2.1 Dikmelerdeki Farklı Uzantı Açılarının Burkulma Yüküne Etkisi Kesit geometrisi Şekil 4. 23’ deki gibi olan dikmelerin kenar ölçüleri Çizelge 4. 2’deki belirtildiği şekildedir. d α f b Şekil 4. 23 Açılı uzantıya sahip dikmenin kesit geometrisi Uzantının yatay eksende yaptığı α açısı 30⁰ - 45⁰ - 60⁰ - 75⁰ olacak şekilde 4 farklı açı değeri için analizler yapılmış ve α açısının 0⁰ olduğu haldeki burkulma yükleri oranlanarak normalleştirilmiş burkulma yükü P* - α grafiği sunulmuştur. 𝑃𝛼 𝑃∗ = 𝑃𝛼=0 Genel olarak α açısının artması ile distorsiyonel burkulma yükünde bir düşüş gözlemlenmektedir. 1. ve 3. dikmelerde bu düşüş 45⁰ sonrasında olmaktadır. 1. dikme lokal burkulmaya girer iken uzantının açılı olması ile birlikte distorsiyonel burkulmaya girmektedir. Benzer olarak Şekil 4. 26’ da görüleceği gibi, 3. dikmede global burkulma gözlemlenir iken uzantının 45⁰ den sonraki açılarında burkulma modu değişmektedir. 69 Uzantının Yatayda Yaptığı Açının Burkulma Yüküne Etkisi 3. Dikme 2. Dikme 1. Dikme 1,05 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 25 35 45 55 65 75 85 α Şekil 4. 24 Uzantının Yatayda Yaptığı Açının Burkulma Yüküne Etkisi Şekil 4. 25 1. dikmede uzantının açılı olması ile burkulma şekillerindeki değişim. (a) 0⁰ (b) 30⁰ (c)45⁰ (d)60⁰ (e)75⁰ 70 P* Şekil 4. 26 3. dikmede uzantının açılı olması ile burkulma modundaki değişim (a) 45⁰ (b) 60⁰ 4.2.2 Güçlendirici Etkisinin Burkulma Yüküne Etkisi Flanş ve veb bölgesinde bulunan güçlendiricilerin burkulma yüküne nasıl etkidiklerinin incelenmesi amacıyla, üçgen ve dikdörtgen güçlendiricilere sahip dikmelerin analizleri gerçekleştirilmiştir. 4.2.2.1 Flanş Güçlendirmelerinin Burkulma Yüküne Etkisi Pu dikmenin taşıyabileceği azami yük, Pu-stiff güçlendirici bulunmayan dikmenin azami yük kapasitesini, L dikme boyunu, f flanş boyunu ve y ise uzantı ile güçlendirici arasındaki mesafeyi temsil etmektedir. 71 Üçgen güçlendirmenin burkulma yüküne etkisi d y s f b Şekil 4. 27 Flanş bölgesinde üçgen güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü Güçlendiriciler düşey eksen ile 60⁰ açılı ve bir kenarı s uzunluğundadır. Güçlendiricinin veb elemanına doğru yaklaşması ile taşıma kapasitesindeki değişimi Çizelge 4. 3’ deki geometrik uzunluklara sahip 3 farklı dikme için gösterilmiştir. s/f oranı her üç dikmede de sabit olup 1/9’dur. Çizelge 4. 3 Dikmelerin kesit özellikleri 1. dikme 2. dikme 3. dikme L[mm] 400 800 1000 f [mm] 90 70 36 s [mm] 10 7,78 4 b [mm] 100 90 72 d [mm] 15 15 18 72 1. Dikme 1,15 1,1495 1,149 1,1485 1,148 1,1475 1,147 1,1465 1,146 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 y/f Şekil 4. 28 L=400 mm uzunluğundaki 1. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi 2. Dikme 1,09 1,085 1,08 1,075 1,07 1,065 1,06 1,055 1,05 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 y/f Şekil 4. 29 L=800 mm uzunluğundaki 2. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi 73 Pu / Pu-stif Pu / Pu-stif 3.Dikme 1,058 1,0575 1,057 1,0565 1,056 1,0555 1,055 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 y/f Şekil 4. 30 L=1000 mm uzunluğundaki 3. dikmenin flanş bölgesindeki güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi Flanş bölgesinde bulunan güçlendiricilerin uzantıdan veb elemanına doğru kayması ile taşıma kapasitelerinde bir artış gözlemlenmiştir. Bu artışın lokal ve global burkulmaya nazaran distorsiyonel burkulmaya maruz dikmede daha fazla olduğu yukarıdaki grafiklerden görülmektedir. Dikdörtgen güçlendirmenin burkulma yüküne etkisi d y c x f b Şekil 4. 31 Flanş bölgesinde dikdörtgen güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü 74 Pu / Pu-stif Güçlendiriciler dikdörtgen şekilli olup geometrik uzunlukları Çizelge 4. 4 ‘de gösterildiği üzeredir. Çizelge 4. 4 Dikmelerin kesit özellikleri 1. dikme 2. dikme 3. dikme L[mm] 400 800 1000 f [mm] 90 70 36 x [mm] 5 3,69 2 c [mm] 8,66 6,737 3,464 b [mm] 100 90 72 d [mm] 15 15 18 Güçlendiricilerin veb elemana doğru yaklaşması ile burkulma yükündeki değişimleri aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir. 1. Dikme 1,1945 1,194 1,1935 1,193 1,1925 1,192 1,1915 1,191 1,1905 1,19 1,1895 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 y/f Şekil 4. 32 L=400 mm uzunluğundaki 1. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi 75 Pu / Pu-stif 2. Dikme 1,115 1,11 1,105 1,1 1,095 1,09 1,085 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 y/f Şekil 4. 33 L=800 mm uzunluğundaki 2. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi 3. Dikme 1,077 1,0765 1,076 1,0755 1,075 1,0745 1,074 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 y/f Şekil 4. 34 L=1000 mm uzunluğundaki 3. dikmenin flanş bölgesindeki dikdörtgen güçlendirici ile burkulma yükündeki değişimi 76 Pu / Pu-stif Pu / Pu-stif Üçgen güçlendiricilerdeki benzer yorumlar dikdörtgen güçlendiriciler için de yapılabilmektedir. Her iki tip güçlendirici için de lokal burkulma sırasında veb ile güçlendirici arasında kalan alanın daralması, o bölgede oluşacak olan burkulma yarım dalgalarını azaltmakta ve hatta yok etmektedir. Bu sebepten de lokal burkulmada bir artış gözlemlenmiştir. Global burkulmada güçlendiricilerin veb bölgesine doğru kayması atalet momentlerini değiştirmekte, ağırlık merkezine kadar azalırken bu noktadan sonra ağırlık merkezinden uzaklaştıkça ataleti artmaktadır. Buna ilaveten köşeler sebebiyle güçlendirici veb elemana doğru yaklaştıkça efektif genişlik etkilerinden ötürü de bir artış olmaktadır. Bu iki etki göz önüne alındığında taşıma kapasitesinde artış gözlemlenmiştir. 4.2.2.2 Veb Güçlendirmelerinin Burkulma Yüküne Etkisi Pu dikmenin taşıyabileceği azami yük, Pu-stiff güçlendirici bulunmayan dikmenin azami yük kapasitesini, L dikme boyunu, b veb genişliğini ve c ise güçlendiricinin bir kenar uzunluğunu temsil etmektedir. c’nin boyutunun artması ile taşıma kapasitesindeki değişim Şekil 4. 36’da görülmektedir. Flanşlar arasındaki mesafe (b) ve α açıları sabit tutularak analizler gerçekleştirilmiştir. Güçlendiricinin boyutlarının artması ile birlikte flanş ve güçlendirici arasında kalan mesafe (e) azalmaktadır. c e α e b Şekil 4. 35 Veb bölgesinde güçlendirici bulunan dikmenin kesit görüntüsü 77 Veb Bölgesinde Güçlendirici Bulunan Dikmenin Burkulma Yükündeki Değişimi 1. Dikme 2. Dikme 3. Dikme 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 1,03 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 c / b Şekil 4. 36 Veb bölgesinde güçlendirici bulunan dikmelerin taşıma kapasitelerindeki değişimi Veb kısmında bulunan güçlendiricinin dikmede taşıma kapasitesini arttırıcı bir etkisi olduğu söylenebilmektedir. 1.dikmede, veb elemanında güçlendirici bulunması durumunda, güçlendirici bulunmuyor iken lokal burkulmaya maruz kalan dikme, güçlendirici ile birlikte o bölgenin lokal burkulmaya girmesini engeller iken dikmenin distorsiyonel burkulmada burkulmasını sağlamaktadır. 78 Pu / Pu-stif Şekil 4. 37 Veb bölgesindeki güçlendiricinin burkulma şekline etkisi (a) Güçlendirici bulunmadığı durum, (b) güçlendirici bulunan durum Buna benzer bir durum olarak Şekil 4. 38’de görülen 3.dikmede, c/b oranı 0,3 olan bir güçlendirici bulunması halinde burkulma modunun değiştiği görülmektedir. Bunun sebebi olarak kayma merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki mesafenin güçlendirici varlığı ile azalması şeklinde yorumlanabilmektedir. 79 Şekil 4. 38 Veb elemandaki güçlendiricinin burkulma şekline etkisi. (a) güçlendirici bulunmadığı durum, (b) güçlendirici bulunduğu durum Veb elemandaki güçlendiricilerin açı ile değişiminin burkulma yüküne etkisi Veb elemandaki güçlendiricinin yatayla yaptığı α açısının değişimi ile taşıma kapasitesindeki değişimi görmek amacıyla 1.dikme geometrisi üzerinden α= 30⁰ - 45⁰ - 60⁰ - 75⁰ olacak şekilde analizler gerçekleştirilmiş ve bu bölümde sunulmuştur. Burada iki flanş arasındaki mesafe (b) ve güçlendiricinin kenar uzunluklarının boyutları (c) sabit tutularak analizler gerçekleştirilmiştir. α Açı Değişiminin Burkulma Yüküne Etkisi 1,1 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 25 35 45 55 65 75 85 Açı α Şekil 4. 39 α açı değişiminin burkulma yüküne etkisi 80 Pu / Pu-stif Güçlendiricinin dikleşmesi ile birlikte taşıyabileceği yük kapasitesi artmaktadır. 4.2.2.3 Hem Veb Hem De Flanş Elemanı Üzerindeki Güçlendiricilerin Burkulma Yüküne Etkisi Flanş veya veb eleman üzerindeki güçlendiricilerin etkisi önceki bölümlerde bahsedilmişti. Her iki eleman üzerinde güçlendirici bulunması durumunda taşıma kapasitesindeki değişim, Şekil 4. 40’ da görüleceği üzere, en fazladır. Pu güçlendirme bulunan dikmenin, Pu-stiff güçlendirme bulunmayan dikmenin taşıma kapasitelerini temsil etmektedir. Analizlerin kurgulanması aşamasında her üç tip dikmede de upgeom komutunda kullanılan çarpan 1,8 olarak alınmıştır. Güçlendirici Etkisi 1,2 1,18 1,16 1,14 1,12 1,1 1,08 1,06 1,04 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Şekil 4. 40 Güçlendirici bulunması durumunda burkulma yükündeki değişim Hem veb hem de flanş bölgesindeki güçlendirici bulunması taşıma kapasitesini arttırmaktadır. Bunun sebebi kesit alanındaki artış ve efektif alanların artması olarak yorumlanabilmektedir. 4.2.3 Veb Eleman Üzerinde Bulunan Deliklerin Birbirlerine Yaklaşması İle Burkulma Yükündeki Değişimi Dikmenin veb eleman üzerindeki deliklerin, yan kenarlardan veb elemanın ortasına doğru hareketi ile farklı tip burkulma modlarında, burkulma yüküne nasıl etkidiğini incelemek amacı ile bu bölümde gerçekleştirilen non-lineer analizlerin sonuçları sunulmuştur. 81 Pu / Pu-stif Lh dh x x b Şekil 4. 41 Veb eleman üzerindeki deliklerin konumlarının gösterimi Çizelge 4. 5’ te belirtilen geometrik özelliklere sahip 3 farklı dikme için analizler yapılmıştır. Lh deliğin boyunu temsil etmekte olup 20 mm’dir. dh delik genişliği olup veb genişliğinin beşte biridir (dh=b/5). x delikler ile yan kenar arasında kalan mesafedir. Çizelge 4. 5 Dikme ve delik geometrisi 1.dikme 2.dikme 3.dikme uzantı 15 mm 15 mm 18 mm flanş 90 mm 70 mm 36 mm veb 100 mm 90 mm 72 mm dikme boyu 400 mm 800 mm 1000 mm dh 20 mm 18 mm 14,4 mm Lh 20 mm 20 mm 20 mm Pu delikli dikmenin taşıyabileceği azami yük, Pu-deliksiz üzerinde delik bulunmayan dikmenin azami yük kapasitesini temsil etmektedir. 82 Diğer parametrelerin incelendiği analizlerin aksine, burada lineer analizden non-lineer analize geçişte yaşanan problemlerden ötürü mesh boyutu 4,5 mm olan üçgen mesh ağ (tetrahedrons mesh) yapısı oluşturularak analizler gerçekleştirilmiştir. Deliğin yan kenarlardan uzaklaşmasının etksisi 3. dikme 2. dikme 1.dikme 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0,86 0,84 0,82 0,8 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 x/b Şekil 4. 42 Veb eleman üzerinde bulunan deliklerin yan kenarlardan veb eleman ortasında doğru bulunması ile dikmenin taşıma kapasitesindeki eğişim Distorsiyonel ve global burkulmaya maruz 2. ve 3. dikmelerde bulunan delik konumlarının yan kenarlardan, orta bölgeye doğru ilerlemesi taşıma kapasitesinde lokal burkulmaya maruz 1. dikmeye nazaran daha düşük bir etki gösterdiği Şekil 4. 42’den görülmektedir. Lokal burkulmaya bu şekilde etkisi efektif genişlik ile açıklanabilmektedir. 83 Pu / Pu-deliksiz 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Levha üzerinde bulunan deliklerin burkulma yarım dalgalarının üzerinde bulunması burkulma yükünü azaltmaktadır. Ayrıca burkulma yarım dalgaları levha üzerinde bulunan delik bölgesine yakın yerlerde oluşmaktadır ve en yüksek gerilme bu delik bölgesindedir. İlaveten levha üzerindeki delikler oluşacak olan burkulma yarım dalgalarının sayısını da değiştirebilmekte, bazı bölgelerde sönümlemektedir. Ayrıca delik şekilleri de burkulma yükünü değiştirici yönde etki etmektedir. Dikmelerde bulunan uzantıların yatayda belli bir açı ile bulunması burkulma yükünü ve hatta bazı durumlarda burkulma modunu değiştirmektedir. Distorsiyonel burkulmada açının artması taşıma kapasitesinde azaltıcı yönde etki etmektedir. Lokal ve global burkulmada çok etki etmiyor iken, burkulma modundaki değişim ile o noktadan sonra bir düşüş gözükmektedir. Flanş üzerinde bulunan güçlendiriciler taşıma kapasitesinde her üç tip burkulma modunda da bir artışa sebep olmaktadır. İlaveten güçlendirici geometrisi üçgen ve dikdörtgen olan güçlendiriciler kıyaslandığında, üçgen güçlendiricinin daha az taşıma kapasitesine sahip olduğu gözlemlenmiştir. Flanş üzerindeki güçlendiricilerin konumunun, uzantıdan veb elemana doğru kayması ile global ve lokal burkulmaya maruz dikmelerde taşıma kapasitesinde artış gözlemlenmiştir. Distorsiyonel burkulmaya maruz dikmede ise bir noktaya kadar keza artım gözlemlenmiştir. Veb elemanın üzerinde bulunan güçlendiriciler taşıma kapasitesini arttırmaktadır ve bu güçlendiricilerin veb elemana dik eksende flanş doğrultusunda boyunun uzaması da taşıma kapasitesini olumlu yönde etkilemektedir. İlaveten veb eleman üzerinde bulunan güçlendiriciler dikmenin burkulma modunu değiştirebilmektedir. Hem flanş hem de veb eleman üzerinde güçlendirici bulunması sadece flanş ve sadece veb eleman üzerinde güçlendirici bulunması durumuna göre daha fazla taşıma kapasitesine sahiptir. Dikmelerin veb eleman üzerinde çift sıra delik bulunması durumunda taşıma kapasitesindeki en fazla düşüş, distorsiyonel ve global burkulmaya maruz dikmelerde 84 görülmüştür. Ancak deliklerin yan kenardan uzaklaşarak dikmenin ortasına doğru yoğunlaşması ile lokal burkulmaya maruz dikmede değişime sebep olur iken diğer distorsiyonel ve global burkulmaya maruz dikmelerde çok da etkili olmadığı gözlemlenmiştir. 85 KAYNAKLAR Anbarasu, M., Murugapandian, G. 2015. Experimental study on cold formed steel web stiffened lipped channel columns undergoing distortional-global interaction. Materials and Structures, 10.1617/s11527-015-0586-6 Bambach, M.R., Rasmussen, K.J.R. 2004. Effective widths of unstiffened elements with stress gradient. Journal Of Structural Engineering, 130(10) 1611-1619 Chen, J., He, Y., Jin, W.L.2010. Stub column tests of thin-walled complex section with intermediate stiffeners. Thin-Walled Structures, 48 (2010) 423-429 Davies, J.M. , Leach, P. , Taylor, A. 1997. The design of perforated cold-formed steel sections subject to axial load and bending. Thin-Walled Structures, 29 (1997) 141-157 Davies, J.M. 2000. Recent research advances in cold-formed steel structures. Journal of Constructional Research. 55 (2000) 267-288 Del Coz Diaz, J.J., Garcia Nieto, P.J., Vilan Vilan, J.A., Suarez Sierra, J.L.2011. Non-linear analysis and calculation of the performance of a shelving protection system by FEM. Applied Mathematics and Computation, 218 (2011) 2365-2376 El-Sawy, K.M., Nazmy A.S. 2001. Effect of aspect ratio on the elastic buckling of uniaxially loaded plates with eccentric holes. Thin-Walled Structures, 39 (2001) 983–998 El-Sawy, K.M., Martini, M.I. 2007. Elastic stability of bi-axially loaded rectangular plates with a single circular hole. Thin-Walled Structures, 45 (2007) 122–133 Gilbert, B.P. , Hancock, S.B., Bailleres, H., Hijaj,M. 2014. Thin-walled timber structures An investigation. Construction and Building Materials, 73 (2014) 311–319 Gunalan, S., Heva, Y.B., Mahendran, M. 2015. Local buckling studies of cold-formed steel compression members at elevated temperatures. Journal of Constructional Steel Research. 108 (2015) 31–45 Guo, S., Li, D., Zhang, X., Xiang, J. 2014. Buckling and post-buckling of a composite C-section with cutout and flange reinforcement. Composites, 60 (2014) 119–124 He, Z., Zhou, X. 2014. Strength design curves and an effective width formula for cold- formed steel columns with distortional buckling. Thin-Walled Structures, 79 (2014) 62- 70 He, Z., Zhou, X., Liu, Z., Chen, M. 2014. Post-buckling behaviour and DSM design of web-stiffened lipped channel columns with distortional and local mode interaction. Thin- WalledStructures, 84(2014)189-203 Kang, T.H.K., Biggs, K.A., Ramseyer C. 2013. Buckling Modes of Cold-Formed Steel Columns. IACSIT International Journal of Engineering and Technology, Vol. 5, No. 4, August 2013 86 Komur, M.A., Sonmez, M. 2008. Elastic buckling of rectangular plates under linearly varying in-plane normal load with a circular cutout. Mechanics Research Communications. 35 (2008) 361–371 Kulatunga, M.P., Macdonald, M. 2013. Investigation of cold-formed steel structural members with perforations of different arrangements subjected to compression loading. Thin-Walled Structures, 67 (2013) 78-87 Kwon, Y.B., Kim, B.S., Hancock, G.J.2009. Compression tests of high strength cold- formed steel channels with buckling interaction. Journal Of Constructional Steel Research, 65 (2009) 278-289 Lee, H. 2012. Finite element simulations with ANSYS workbench 14. SDC Publications. USA,602pp Ma, Q., Wang, P. 2013. Simplified stability design method for he stiffened plate with slotted holes under uniform compression. Thin-WalledStructures, 68(2013)35–41 Moaveni, S. 2003. Finite Element Analysis Theory and Application with ANSYS. Pearson Education Inc., USA, 822pp Moen, C.D., Schafer, B.W. 2008. Experiments on cold-formed steel columns with holes. Thin-Walled Structures, 46 (2008) 1164-1182 Moen, C.D. , Schafer, B.W. (2009). Elastic buckling of thin plates with holes in compression or bending , Thin-Walled Structures , 47 (2009) 1597–1607 Omurtag, M.H. 2012. Mukavemet Cilt 2. Birsen Yayınevi, İstanbul, 480 s. Pastor, M.M., Casafont, M., Bonada, J., Roure, F. 2014. Imperfection amplitudes for nonlinear analysis of open thin-walled steel cross-section used in rack column uprights. Thin-Walled Structures, 76 (2014) 28-41 Ranawaka, T. 2006. Distortional buckling behaviour of cold-formed steel compression members at elevated temperatures. Ph.D. Thesis, School of Urban Developments Queensland University of Technology Sayman, O., Karakuzu, R., Aktaş, A. 2012. Mukavemet 2. Sürat Üniversite Yayınları, İstanbul, 301 s. Schafer, B.W., Peköz, T. 1999. Laterally braced cold-formed steel flexural members wıth edge stıffened flanges. Journal Of Structural Engineering. 10.1061/(ASCE)0733- 9445(1999)125:2(118), 118-127 Schafer, B.W. (2002). Local, Distortional, and Euler Buckling in Thin-walled Columns. ASCE, Journal of Structural Engineering. 128 (3) 289-299. Smith, H. S., Moen, C.D. 2014. Finite strip elastic buckling solutions for thin-walled metal columns with perforation patterns. Thin-WalledStructures. 79 (2014) 187–201 Tajdari, M., Nezamabadi, A.R., Naeemi, M., Pirali, P. 2011. The Effects of Plate- Support Condition on Buckling Strength of Rectangular Perforated Plates under Linearly Varying In-Plane Normal Load. International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. Vol:5, No:6, 2011 87 Timoshenko, S.P., Gere, J.M. 1961. Theory of elastic stability. McGraw-Hill Inc., New York, 541pp. Venkatraman, B., Patel, S.A. 1970. Structural mechanics with introductions to elasticity and plasticity. McGraw-Hill Inc., USA, 647 pp. Yoo, C.H., Lee, S.C. 2011. Stability of structures: principles and applications. Elsevier Inc., UK, 523pp Yu, C., Schafer, B.W.2007. Effect of Longitudinal stress gradients on elastic buckling of thin plates. Journal Of Engineering Mechanics, 133(4), 452–463 Yu, W. 1973. Cold-formed steel structures. McGraw-Hill Inc., New York, 463pp. Zhou, Z., Nishida, A., Kuwamura, H. 2011. Applicability of Finite Element Method to Collapse Analysis of Steel Connection under Compression. Progress in Nuclear Science And Technology, Vol. 2, pp.481-485 (2011) Zhou, X., Liu, Z., He, Z. 2015. General distortional buckling formulae for both fixed- ended and pinned-ended C section columns. Thin-WalledStructures, 94(2015)603-611 Ziemian, R.D. 2010. Guide to stability design criteria for metal structures. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 1078pp 88 EKLER EK 1 Eğilmeli Burulmalı Burkulma Denkleminin Çıkarılması 𝐸𝐼 𝜐𝚤𝑣𝑥 + 𝑃𝜐 𝚤𝚤 + 𝑃𝑥0𝜙 𝚤𝚤 = 0 (1) 𝐸𝐼 𝑢𝚤𝑣 + 𝑃𝑢𝚤𝚤 − 𝑃𝑦 𝜙𝚤𝚤𝑦 0 = 0 (2) 𝐸𝐶 𝜙𝚤𝑣𝑤 − (𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2)𝜙𝚤𝚤 − 𝑃𝑦 𝚤𝚤 𝚤𝚤0 0𝑢 + 𝑃𝑥0𝜐 = 0 (3) Burada sınır şartlarını sağlayacak şekilde bir u, v ve ϕ tanımlamaları yapılırsa ve ilgili denklemlerde yazılırsa 𝜋𝑧 𝑢 = 𝐴 sin ( ) 𝐿 𝜋𝑧 𝑣 = 𝐵 sin ( ) (4) 𝐿 𝜋𝑧 𝜙 = 𝐶 sin ( ) 𝐿 𝜋 4 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝐸𝐼𝑥𝐵 ( ) sin ( ) − 𝑃𝐵 ( ) sin ( ) − 𝑃𝑥0𝐶 ( ) sin ( ) = 0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝜋 4 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝐸𝐼𝑦𝐴 ( ) sin ( ) − 𝑃𝐴 ( ) sin ( ) + 𝑃𝑦0𝐶 ( ) sin ( ) = 0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 (5) 𝜋 4 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝜋 2 𝜋𝑧 𝐸𝐶𝑤𝐶 ( ) sin ( ) + (𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2 0 )𝐶 ( ) sin ( ) + 𝑃𝑦𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 0 𝐴 ( ) sin ( ) 𝐿 𝐿 𝜋 2 𝜋𝑧 − 𝑃𝑥0𝐵 ( ) sin ( ) = 0 𝐿 𝐿 𝑘 = 𝜋/𝐿 dönüşümü yapılarak 𝐸𝐼 𝐵𝑘2𝑥 − 𝑃𝐵 − 𝑃𝑥0𝐶 = 0 (6) 𝐸𝐼 2𝑦𝐴𝑘 − 𝑃𝐴 + 𝑃𝑦0𝐶 = 0 (7) 𝐸𝐶 𝐶𝑘2 + (𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2𝑤 0 )𝐶 + 𝑃𝑦0𝐴 − 𝑃𝑥0𝐵 = 0 (8) 89 (𝐸𝐼 2𝑦𝑘 − 𝑃)𝐴 + 𝑃𝑦0𝐶 = 0 (𝐸𝐼 𝑘2𝑥 − 𝑃)𝐵 − 𝑃𝑥0𝐶 = 0 (9) (𝐸𝐶 𝑘2 + 𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2𝑤 0 )𝐶 + 𝑃𝑦0𝐴 − 𝑃𝑥0𝐵 = 0 Denklem 9 matris formatında yazılır ve çözüm şu şekilde yapılır. 𝐸𝐼 𝑘2𝑦 − 𝑃 0 𝑃𝑦0 𝐴 [ 0 𝐸𝐼𝑥𝑘 2 − 𝑃 −𝑃𝑥0 ] [𝐵] = 0 (10) 𝑃𝑦0 −𝑃𝑥0 𝐸𝐶 𝑘 2 + 𝐺𝐽 − 𝑃𝑟 2 𝐶𝑤 0 𝑃𝑦 = 𝐸𝐼 𝑘 2 𝑦 𝑃𝑥 = 𝐸𝐼 𝑘 2 𝑥 (11) 1 𝑃𝜙 = (𝐸𝐶 2 𝑤𝑘 + 𝐺𝐽) 𝑟 20 𝑃𝑦 − 𝑃 0 𝑃𝑦0 | 0 𝑃𝑥 − 𝑃 −𝑃𝑥0 | = 0 (12) 𝑃𝑦0 −𝑃𝑥 2 0 𝑟0 (𝑃𝜙 − 𝑃) 𝑃2𝑥 20 𝑃 2𝑦 20 (𝑃𝑦 − 𝑃)(𝑃𝑥 − 𝑃)(𝑃𝜙 − 𝑃) − (𝑃𝑦 − 𝑃) − (𝑃𝑥 − 𝑃) = 0 (13) 𝑟 2 20 𝑟0 90 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Çağlar KAHYA Doğum Yeri ve Tarihi : Yıldırım / 1990 Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Milli Piyango Anadolu Lisesi / 2008 Lisans : Uludağ Üniversitesi – Makine Mühendisliği / 2012 Yüksek Lisans : Uludağ Üniversitesi – Makine Mühendisliği / 2016 Çalıştığı Kurum : Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü – (2013- Devam) İletişim : ckahya@uludag.edu.tr Yayınları : - 91