IE n DEKİ WİNTGEN İDEAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU ERTUĞRUL AKÇAY T. C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ IE n DEKİ WİNTGEN İDEAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Ertuğrul AKÇAY Prof. Dr. Kadri ARSLAN (Danışman) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI BURSA–2013 Her Hakkı Saklıdır TEZ ONAYI Ertuğrul AKÇAY tarafından hazırlanan “ IE n deki Wintgen İdeal Yüzeylerin Bir Karakterizasyonu” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSAN TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Kadri ARSLAN Üye: Prof. Dr. Kadri ARSLAN İmza Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Rıdvan EZENTAŞ İmza Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Üye: Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN İmza Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Ali Osman DEMİR Enstitü Müdürü U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;  tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,  görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,  başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,  atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,  kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,  ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. ../../…. İmza Ertuğrul AKÇAY ÖZET Yüksek Lisans Tezi IE n DEKİ WİNTGEN IDEAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU Ertuğrul AKÇAY Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Kadri ARSLAN Bu çalışmada E4 deki yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları yardımıyla bazı sınıflandırmaları verilmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde E 3 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Dördüncü bölümde E4 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K , ortalama eğriliği H ve normal eğriliği K N ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda K ve H ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve K N ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K , K N ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Son bölümde ise Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, Ortalama eğrilik, Normal eğrilik, Süper konformal yüzey, Wintgen ideal yüzey 2013, V + 39 sayfa. i ABSTRACT MSc Thesis A CHARACTERIZATION OF WINTGEN IDEAL SURFACES IN IE n Ertuğrul AKÇAY Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Kadri ARSLAN In this thesis, a characterizations of surfaces in E 4 with the help of coefficients of the first and second fundamental form are given. This thesis consist of five chapters. First chapter is introduction. In the second chapter it is given some basic definitions and theorems which will be use in the other chapters. In the third chapter Euler equation of a surfaces in E3 are considered. In the fourth chapter surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E 4 are considered. Some curvature equations of K , K N ve H are obtained. In the final chapter Chen surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E 4 are considered. It has been proved that every Chen surfaces are Wintgen ideal surface of E 4 . Key words: Gaussian curvature, Mean curvature, Normal curvature, Superconformal surface, Wintgen Ideal surface. 2013, V + 39 pages. ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Yüksek Lisans eğitimim boyunca sağlam bir bilgi birikimine sahip olmamı sağlayan, yüksek lisans eğitimin süresince matematiksel ufkumu genişlemesine ve bu tez çalışmasının ortaya çıkışından son haline gelene kadar gerek akademik bilgisiyle gerek de manevi desteğiyle yanımda olduğunu hep gösteren hocam Sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN’a teşekkürü bir borç bilirim. Bu alanda her anlamda doğru, kendinden emin ve bilgili olmamda en büyük pay saygıdeğer hocama aittir. Ayrıca bilgi birikimiyle bana birçok konuda yardımcı olan, her zaman fikirlerine başvurduğum Araştırma görevlisi Betül Bulca’ya teşekkür ederim. Bununla birlikte beni bugünlere getiren ve desteklerini üzerimden hiç esirgemeyen kıymetli anne ve babama ayrıca teşekkür ederim. Ertuğrul AKÇAY .. / .. / …. iii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET........................................................................................................... i ABSTRACT ................................................................................................ ii ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ............................................................................ iii İÇİNDEKİLER ........................................................................................... iv SİMGELER DİZİNİ ................................................................................... v 1. GİRİŞ ...................................................................................................... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................... 2 2.1. Giriş ...................................................................................................... 2 2.2. E n de Yüzeyler ..................................................................................... 2 3. E3 DEKİ YÜZEYLERİN EULER EŞİTLİĞİ....................................... 10 3.0. Giriş ...................................................................................................... 10 3.1. E3 de K ve H nın Arasındaki Eşitlikler ............................................ 10 4. E 4 DE WİNTGEN IDEAL YÜZEYLER .................................................... 16 4.0. Giriş ...................................................................................................... 16 4.1. E 4 de K ve H nın Arasındaki Eşitlikler ............................................ 16 4.2. E 4 de K ve K N nın Arasındaki Eşitlikler ........................................... 22 4.3. E 4 de K , K N ve H nın Arasındaki Eşitlikler ................................... 25 4.3.1. Süperkonformal Yüzeyler .................................................................... 25 4.3.2. Wintgen Ideal Yüzeyi ........................................................................ 30 5. E 4 DEKİ CHEN YÜZEYLERİ.................................................................. 33 5.0. Giriş ...................................................................................................... 33 5.1. E 4 DEKİ CHEN YÜZEYLERİ ............................................................... 33 KAYNAKLAR ............................................................................................ 37 ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................ 39 iv SİMGELER DİZİNİ Simgeler Açıklama E n n-boyutlu Öklit uzayı  Eğri  i Frenet eğrilikleri , Norm S 3 3-küre X Regüler yama M Yüzey C  Diferansiyellenebilme  (M ) M nin teğet vektör alanlarının uzayı   (M ) M nin normal vektör alanlarının uzayı C (M , R) M den R ye diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi  M üzerinde indirgenmiş Riemann koneksiyonu ~ M~ üzerinde Riemann koneksiyon   Normal koneksiyon  Van-der Waerden –Bortolotti koneksiyonu  ,  Lie parantez operatörü ,  (M ) üzerinde iç çarpım fonksiyonu A Şekil operatörü TpM p noktasında teğet uzay T p M p noktasında normal uzay  H Ortalama eğrilik vektörü H Ortalama eğrilik c kij M nin ikinci temel form katsayıları kij M nin Christoffel sembolleri hkij M nin ikinci temel form katsayıları N i Normal vektörleri K Gauss eğriliği K N Normal eğrilik R M nin eğrilik tensörü R~ M~ nin eğrilik tensörü R NM üzerindeki eğrilik tensörü v 1. GİRİŞ Bu çalışmanın amacı E 4 deki bazı yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları yardımıyla bazı sınıflandırmalarını vermektir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölüm temel kavramlardan oluşmaktadır. İkinci kısımda E4 deki yüzeylerin ikinci temel formu, ortalama eğrilik fonksiyonu, Gauss ve normal eğrilikleri tanımlanmış ve bunlarla ilgili bazı temel özelikler verilmiştir. Üçüncü bölümde E3 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K ve  ortalama eğriliği H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Dördüncü bölümde E4 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K ,  ortalama eğriliği H ve normal eğriliği K N ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda K ve H ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve K N ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K , K N ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Son bölümde ise Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır. 1 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Giriş Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar, teorem ve tanımlar verilmiştir. En de regüler bir yama ile verilen yüzeylerin ikinci temel formları, Gauss, ortalama ve normal eğrilikleri ile ilgili temel kavramlar ve bazı sonuçlar verilmiştir. 2.2. E n de Yüzeyler M yüzeyi X :U  E2  En yaması ile verilsin. M nin p  X (u, v) noktasındaki teğet uzayı Tp (M ) , X u ve X v ile gerilen bir vektör uzayıdır. Böylece M nin birinci temel formu I  Edu 2  2Fdudv  Gdv 2 (2.2.1) eşitliği ile hesaplanır. Burada E  X u , X u , F  X u , X v , (2.2.2) G  X v , X v olup , bir Öklid iç çarpımıdır. Bununla birlikte (2.2.2) yardımıyla X 2u  X v  EG  F 2 (2.2.3) elde edilir. Eğer X u  X v  0 ise X (u,v) yaması regülerdir denir. Şu andan itibaren aksi söylenmedikçe X (u,v) yaması regüler kabul edilecektir ve EG  F 2 W 2 (2.2.4) ile gösterilecektir. Tanım 2.2.1: M  E n yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. En de Riemann koneksiyonu ~ ile gösterilsin. Bu durumda her X ,Y   (M ) lokal vektör alanları için M yüzeyi üzerindeki indirgenmiş Riemann koneksiyonu  olmak üzere M nin ikinci temel form dönüşümü 2 h :  (M )  (M )    (M ) ; h(X ,Y )  ~ XY  XY , (2.2.5) biçiminde tanımlanır. Bu dönüşüm iyi tanımlı olup simetrik ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.5) eşitliği Gauss denklemi olarak bilinir (Chen 1973). Tanım 2.2.2: M  E n yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. X   (M ) ve     (M ) için M nin şekil operatörü dönüşümü A :   (M )  (M )   (M ); A ~  X  X  X (2.2.6) biçiminde tanımlanır. Burada A X ,  ya karşılık gelen şekil operatörü ve   ise   (M ) normal demete ait normal koneksiyondur. Herhangi X ,Y Tp (M ) için A X ,Y  h(X ,Y ), (2.2.7) dir. Bu operatör self-adjoint ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.6) eşitliği Weingarten denklemi olarak bilinir (Chen 1973). Ayrıca X ,Y , Z Tp (M ) için M yüzeyinin ikinci temel formu h nın kovaryant türevi ( X h)(Y , Z )    X h(Y , Z )  h( X Y , Z )  h(Y , X Z ) dir. Böylece Codazzi denklemi (X h)(Y , Z )  (Y h)( X , Z ) (2.2.8) dir (Chen 1973). Tanım 2.2.3: M  E n yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. X (u,v) yamasının 2. mertebeden kısmi türevleri X uu , X uv , X vv ve normal vektör alanları N1, N2 ,, Nn2 olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları ck11  X uu , Nk , ck12  X uv , Nk , 1 k  n  2 (2.2.9) ck22  X vv , Nk şeklinde tanımlanır (Mello 2003). Tanım 2.2.4: M yüzeyi X :U  R2  E n regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu durumda M nin Christoffel sembolleri kij (1  i, j, k  2 ) 3 1 GEu  2FFu  FEv 2 2EFu  EE  FE v u11   2(EG 11 F 2 ) 2(EG  F 2 ) 1 GEv  FGu 2 EGu  FE    v12 2 12 2 (2.2.10) 2(EG  F ) 2(EG  F ) 2GF GG  FG EG  2FF  FG 1  v u v 2  v v u22 22 2(EG  F 2 ) 2(EG  F 2 ) biçiminde tanımlanır. Burada 1 121  12 ve  2 21   2 12 dir (Gray 1993). Önerme 2.2.5: M yüzeyi X :U  R2  E n regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde X u , X v Tp (M ) ve N1, N2,..., Nn2T p (M ) için X uu   ~ X X u   1 11X u   2 11X  c 1 N 2v 11 1  c11N2  ...  c n2 11 Nu n2 X  ~uv X X v   1 2 12 X u  12 X v  c 1 N  c2 n212 1 12N2  ...  c12 Nn2 (2.2.11) u X ~vv  X X v   1 X  2 1 2 n2 v 22 u 22 X v  c22 N1  c22N2  ... c22 Nn2 dir (Gray 1993). Böylece (2.2.11), (2.2.5) ve (2.2.6) denklemleri yardımıyla aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Sonuç 2.2.6: M yüzeyi X :U  R2  E n regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde h(X , X )  c1 N  c2 N  ... cn2u u 11 1 11 2 11 Nn2 h(X 1 2u , X v )  c12N1  c12N2  ... c n2 12 Nn2 (2.2.12) h(X v , X 1 2 n2 v )  c22N1  c22N2  ... c22 Nn2 dir. Sonuç 2.2.7: M yüzeyi X : D  R2  E n regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde h(X u , X u )  X 1 uu 11X u   2 11X v h(X , X )  X  1 2u v uv 12 Xu 12 X v (2.2.13) h(X v , X )  X 1 2 v vv 22 X u  22 X v dir. 4 Tanım 2.2.8: X (u,v) : (u,v)D  R2 regüler yaması ile verilen M  E n yüzeyinin Gauss eğriliği 1 n2K  2  (ci ci i 211 22  (c12 ) ) (2.2.14) W i1 dir (Mello 2009). Tanım 2.2.9: M  E n yüzeyi X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde her X1, X T 2 p (M ) ve N1, N2,..., Nn2Tp (M ) ortonormal bazları için M nin ortalama eğrilik vektörü n2 H Hi Ni (2.2.15) i1 dir. Burada 1 n2Hi  2 Gci11  2Fci i12  Ec22  (2.2.16) 2W i1 M nin i.nci ortalama eğriliğidir. Bununla birlikte M nin ortalama eğriliği H  H dir (Mello 2003). Önerme 2.2.10: M yüzeyi X :U  R 2  E n regüler yaması ile verilsin. Böylece X1, X 2 vektörleri Tp (M ) nin ortonormal bir bazı olmak üzere X X1  u ,X u   (2.2.17) X E  X X , X X2  v  u W  v u 2 ,   X u  dir. Burada W = EG  F 2 olarak daha önce tanımlanmıştır (Bulca 2012). Önerme 2.2.11: M  E n yüzeyi X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde Tp (M ) nin bir X1, X 2 ortonormal bazı için 5 h(X 11, X1)  h(X , X )E u u h(X1, X 2 ) 1  h(X u , X ) F v  h(X u , X u ) (2.2.18) W WE 2 h(X 2 , X 2) E 2F  2 h(X v , X v )  2 h(X u , X v ) F  h(X , X ) W W W 2E u u dir (Bulca 2012). Tanım 2.2.12: M  E n yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. Tp (M ) nin ortonormal bir bazı X1, X 2 olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları hkij  h(X i , X j ), Nk , (2.2.19) ile tanımlanır (Chen 1973). Önerme 2.2.13: M  E n yüzeyi X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde her X1, X 2Tp (M ) ve N1, N2 ,, N n2Tp (M ) ortonormal bazları olmak üzere AN şekil operatörü matrisi  h h  AN   11 12   , (1    n  2) (2.2.20)  h  21 h22  biçimindedir. Burada hij ler ikinci temel form katsayıları olup  h11  h(X , X c11 1 1), N  ,E h12  h(X1, X 1  2 ), N  c  F c 12 , (2.2.21) W  E 11   2  h22  h(X 2 , X ), N 1 2   2 Ec  F 22  2Fc  12  c   W E 11   dir. İspat. (Bulca 2012). Önerme 2.2.14: X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilen M  E n yüzeyinin Gauss eğriliği K  detAN  A1 N  AN  (2.2.22) 2 n2 6 dir. Önerme 2.2.15: X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilen M  E n yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü H 1 İzAN N1  İzAN N2  İzAN Nn2 (2.2.23) 2 1 2 n2 dir. Tanım 2.2.16: M  E n yüzeyi ile normal demeti T  (M ) nin eğrilik tensörleri sırasıyla R(X ,Y )Z   XY Z YX Z X ,Y Z (2.2.24) ve R (X ,Y )  h(X , AY )  h(Y , A X ),     (M ) (2.2.25) şeklinde tanımlanır. Böylece her X ,Y ,Z ,W   (M ) ve  ,   (M ) için M  E n yüzeyinin Gauss ve Ricci denklemleri sırasıyla R(X ,Y )Z,W  h(X ,W ),h(Y ,Z)  h(X ,Z ),h(Y ,W ) , (2.2.26) R (X ,Y ) ,  A , A X ,Y (2.2.27) dir (Chen 1973). Burada  ,  Lie parantez operatörü , :  (M ) (M )   (M ) (X ,Y ) X ,Y  XY YX X Y Y X biçiminde tanımlanır. Eğer R =0 ise M yüzeyi düz (flat) normal koneksiyonludur denir. Tanım 2.2.17: M  En yüzeyi X (u,v) : (u,v)D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde T (M ) ve T p p (M ) uzaylarının X1, X2 ve N, 1  n 2 ortonormal bazları için M nin normal eğriliği 1/ 2  n2  2KN    R (X 1, X 2 )N ,N  (2.2.28) 1  şeklinde tanımlanır (DeSmet ve ark. 1999). 7 Açıklama 2.2.18: M  En yüzeyi X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde Tp (M ) ve T  p (M ) uzaylarının X1, X 2 ve N1, N2 ortonormal bazları için M nin normal eğriliği K N  R (X 1 , X 2 )N 2 , N1 (2.2.29) şeklinde tanımlanır (Guadalupe ve Rodriguez 1983). Önerme 2.2.19: X (u, v) regüler yaması ile verilen bir M  E 4 yüzeyinin normal eğriliği K  h1N 12 h211  h2 2 1 122  h12 h22  h11 (2.2.30) dir . İspat. (Bulca 2012). Sonuç 2.2.20: M  E 4 yüzeyi X (u,v) : (u,v)D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde K N  0 olması için gerek ve yeter şart R   0 olmasıdır. Önerme 2.2.21: X (u, v) regüler yaması ile verilen bir M  E 4 yüzeyinin normal eğrilik fonksiyonu E(c1 c 2  c 2 c1 )  F (c1 c 2  c 2 c1 )  G(c1 2 2 1K  12 22 12 22 11 22 11 22 11c12  c11c12 )N (2.2.31) W 3 dir. İspat. (Bulca 2012). Sonuç 2.2.22: X (u, v) regüler yaması ile verilen bir M  E 4 yüzeyinin normal eğrilik fonksiyonu K 1 2   c1N 1ic 22 j  c1 22ic1 j g ij (2.2.32) g i, j1 dır. Burada g g  11 g12  , g ij 1  g  22  g12  ij     , g  det(g ij ) W 2 g21 g22  g  g 21 g11  dır (Aminov 2001). 8 Açıklama 2.2.23: Normal eğrilik fonksiyonu KN aynı zamanda Gauss torsiyonu olarak da bilinir. (Detaylı bilgi için bkz. Aminov 2001) K N ( p)  0 olması için gerek ve yeter şart p  M noktasının yarı-umbilik olmasıdır. Her p  M noktası yarı-umbilik olan yüzey yarı-umbilik yüzey denir (Gutierrez-Nunez ve ark. 2008). Tanım 2.2.24: X (u, v) regüler yaması ile verilen bir M  E 4 yüzeyinin Gauss, normal ve ortalama eğrilikleri H 2  K  KN  0 (2.2.33) eşitliğini sağlar ise M ye Wintgen ideal yüzey adı verilir (Wintgen 1979). Tanım 2.2.25: M  En yüzeyi X (u,v) : (u,v)D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde için   h(X ,Y ),H  2 X ,Y   H (2.2.34) şartı sağlanırsa M ye pseudo-umbilik yüzey denir (Chen 1972). Tanım 2.2.26: M  En yüzeyi X (u,v) : (u,v) D  R 2 regüler yaması ile verilsin. Bu taktirde M nin N ya göre şekil operatörü matrisi AN birim matrisin bir katı yani  AN  I oluyor ise M ye total umbilik yüzey adı verilir.  9 3. E3 DEKİ YÜZEYLERİN EULER EŞİTLİĞİ 3.0. Giriş Bu bölümde E3 de verilen yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri ile ilgili eşitlikler ele alınacaktır. 3.1. E3 de Verilen Yüzeylerin K ve H ile İlgili Eşitlikler M  E3 yüzeyi X(u,v) yaması ile verilsin. Bu takdirde M ye ait asli eğrilikler k1 ve k2 olmak üzere M nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K  k1k2 (3.1.1) H 1 (k1 k 2) (3.1.2) 2 dir. (3.1.1) ve (3.1.2) eşitlikleri yardımıyla 2 K  H (3.1.3) Euler eşitsizliği elde edilir (O’Neill 1997). Ayrıca eşitlik durumunda 2 K  H (3.1.4) Euler eşitliği olarak bilinir. Sabit Gauss ve ortalama eğrilikler ile ilgili sınıflandırma H. Liebmann, tarafından 1900 tarihinde aşağıdaki şekilde verilmiştir; Teorem 3.1.1: 1) M  E3 yüzeyi verilsin. K  0 ve Gauss eğrilikli sabit olsun. Bu takdirde M yüzeyi S 2 ( 1 ) küresidir. K 2) M  E3 yüzeyi verilsin. K  0 ve H sabit olsun. Bu takdirde M yüzeyi S 2 ( 1 ) küresidir (Liebmann 1900). H 10 Önerme 3.1.2: M  E3 yüzeyi X(u,v) yamasıyla verilsin. Bu takdirde M yüzeyinin 2 K  H eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart M yüzeyinin total umbilik olmasıdır. 2 İspat: : M yüzeyi pM noktasında K  H eşitliğini sağlasın. Böylece (3.1.1) ve (3.1.2) eşitlikleri yardımıyla k 2 k 22k k  (k 21 2 1 2 1  k2 )  0 (3.1.5) elde edilir. Buradan k1  k2 olduğu görülür. Böylece M  E 3 yüzeyi total umbiliktir. : İspat aşikardır. Önerme 3.1.3: M  E3 yüzeyi X (u,v)  (g(u), h(u) cos(v), h(u) sin(v)) (3.1.6) 2 yaması ile verilen bir dönel yüzey olsun. Bu taktirde K  H olması için gerek ve yeter şart M nin lokal olarak S2 küresinin bir parçası olmasıdır. İspat. X(u,v) regüler yamasının kısmi türevleri ; X u  (g(u),h(u)cos(v),h(u)sin(v)) X v  (0,h(u)sin(v),h(u)cos(v)) X uu  (g(u),h(u)cos(v),h(u)sin(v)) X uv  (0,h(u)sin(v),h(u)cos(v)) X vv  (0,h(u)cos(v),h(u)sin(v)) bulunur. Böylece M nin birim normal vektörü N X u  X v 1 (h(u),g(u)cos(v),g(u)sin(v)) X u  X v g(u)2  h(u)2 dır. Ayrıca M nin 1’inci ve 2’nci temel form katsayıları sırasıyla E  X u , X u   g(u) 2  h(u)2 F  X u , X v   0 G  X v , X v   h(u) 2 e  X uu , N   (g(u)h(u)  g(u)h(u)) 1 g(u)2  h(u)2 f  X uv , N   0  g  X N g (u)h(u)vv   g(u)2  h(u)2 11 bulunur. Böylece F = f = 0 olduğundan M dönel yüzeyi için A eN (X u )  XE u (3.1.7) AN (X v ) g  X G v dır. Buradan M nin asli eğrilikleri     k e g (u)h (u)  g (u)h (u)1  E (g(u)2  h(u)2 )3 2 k g g (u) 2   G h(u)(g(u)2  h(u)2)1 2 elde edilir (O’Neill 1997). Ayrıca k1  k2 olduğundan g(u)h(u)2  g(u)3  h(u)g(u)h(u)  h(u)h(u)g(u)  0 (3.1.8) bulunur. Farzedelimki  (u)  (g(u), h(u)) birim hızlı bir eğri olsun. Bu takdirde g(u)2  h(u)2 1 dir. Bu iki denklemin ortak çözümünden g(u)  cos(u), h(u)  sin(u) ya da g(u)  sin(u), h(u)  cos(u) elde edilir. Bu da bize dönel yüzeyin lokal olarak bir küre olduğunu gösterir. Tanım 3.1.4: M  E3 yüzeyi X (u,v) : D  R2  E3 regüler yaması ile verilsin.  N X u  X v yüzeyin normali olmak üzere X u  X v X c (u,v)  X (u,v)  cN (u,v) , cR (3.1.9) yaması ile tanımlanan yüzeye M nin paralel yüzeyi denir. Bu çalışmada M nin paralel yüzeyini Mc ile gösterilecektir (Görgülü 1989, Gray 1993). Teorem 3.1.5: M  E 3 regüler yüzeyinin paralel yüzeyi Mc olsun. M nin şekil operatörü A ve k1 , k 2 , ile k * 1 , k * 2 sırasıyla M ve Mc nin asli eğrilikleri olmak üzere det(I  cA)  0 ise k * k ii  i  1, 2 1 cki dir (Gray 1993). 12 Teorem 3.1.6: Mc yüzeyi M nin (3.1.9) eşitliği ile tanımlanan paralel yüzeyi olsun. K, H ve K  , H  sırasıyla M ve Mc yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri olmak üzere K   (3.1.10) 1 c H  c 2 2 H  H  c (3.1.11) 1 c H  c2 2 dır (Carmo 1983). Teorem 3.1.5 ve Teorem 3.1.6 yardımıyla aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem 3.1.7: Mc yüzeyi M nin paralel yüzeyi olsun. K, H ve K  , H  sırasıyla M ve Mc yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri olmak üzere K (H  cK)  KH   0 (3.1.12) dir (Özdemir 2008). Örnek 3.1.8: ( Helikoid ve paralel yüzeyi) M yüzeyi, X (u,v)  (u cosv,u sin v,bv); u,vR yaması ile verilen helikoid yüzeyi olmak üzere M nin paralel yüzeyi  Y (u,v)  X (u,v)  c N (u,v) yaması ile verilir. Burada  N(u,v) 1 (sin v,cosv,u) 1 u 2 dir. Böylece M nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırası ile b 2K   2 , H  0 b2  u 2  dir. (3.1.10) ve (3.1.11) eşitlikleri yardımıyla K   b 2 , H  cb 2   b2  u 2 2  c 2b2 b2  u 2 2  c 2b2 dir (Özdemir 2008). 13 Örnek 3.1.9: (Küre ve paralel yüzeyi) M yüzeyi, X (u,v)  (r cosu cosv,r cosusinv,r sinu); u,vR regüler yaması ile verilen küre yüzeyinin normal vektörü  N (u,v)  (cosu cos v,cosu sin v,sin u) dır. Böylece M ve Mc nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K 1 1 2 , H  r r K  1 , H  r  c  (r  c)2 (r  c)2 dir (Özdemir 2008). Örnek 3.1.10: (Ketanoid ve paralel yüzeyi) X (u,v)  (coshu cosv, coshu sinv,u); u,vR yaması ile verilen Ketanoid yüzeyi M ise paralel yüzeyi Mc Y (u,v)  ((u) cosv,(u)sinv, (u)) parametrelendirilmesine sahiptir. Burada (u)  coshu c , coshu ve  (u)  u  c tanhu dır (Malkowsky ve ark. 2001). Ayrıca uR ve c 1 için cosh2 u  c dır. Bununla beraber M ve Mc nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla K 1  , H  0 cosh2 u ve K  1 c  , H   cosh4 u  c2 cosh4 2 u  c 14 dır. Böylece son eşitliklerden (3.1.12) denkleminin sağlandığı görülür (Özdemir 2008). Sonuç 3.1.11: M  E 3 yüzeyi (3.1.6) yaması ile verilen bir dönel yüzey olsun. Bu takdirde i) K  H  0 ise M bir düzlemin bir parçasıdır. ii) H  0 , K  0 ve H  K  0 ise M yüzeyi kürenin bir parçasıdır. Sonuç 3.1.12: Mc yüzeyi M dönel yüzeyinin bir paralel yüzeyi olsun. Eğer M yüzeyi flat olmayan bir minimal yüzey (yani, ketonoid yüzeyi) ise Mc yüzeyinin eğrilikleri oranı sabittir, yani;  c H   (3.1.13) K dır. İspat. Eğer M minimal ise H =0 dır. Böylece (3.1.12) denklemi yardımıyla K cK  H  0 elde edilir. M yüzeyi flat olmadığından cK  H   0 dır. Böylece ispat tamamlanmış olur. 15 4. E 4 DE WİNTGEN İDEAL YÜZEYLER 4.0. Giriş Bu bölümde E4 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerin Gauss eğriliği K , ortalama eğriliği H ve normal eğriliği KN ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç  kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda K ve H ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K  ve KN ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K , KN ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. 4.1 K ve H ile İlgili Eşitlikler M  E4 yüzeyi X(u,v) regüler yamasıyla verilsin.pM noktasındaki TpM tanjant uzayı X1, X 2  ortonormal bazı ve Tp M normal uzayı ise N1, N2 ortonormal bazı ile gerilsin. Bu takdirde M nin şekil operatörü matrisleri Önerme (2.1.20) yardımıyla h 1A  11 h 1  h 2 h 212 11 12  N   1 1  AN   1 2  2 2  (4.1.1) h21 h22  h21 h22  olarak tanımlanır. Burada h kij , M nin ikinci temel form katsayıları olup h kij  h(X i , X j ), Nk   AN X i , X j , 1 i, j  2 (4.1.2) k şeklinde ifade edilir. Buradan M nin Gauss eğriliği K  det AN  det A1 N2 (4.1.3)  h 1h 1  (h 1)211 22 12  h 2h 2 2 211 22  (h12 ) dir. Ayrıca M nin Ortalama eğrilik vektörü H 1 izAN N1  izA2 1 N N 2 2 (4.1.4) 1  (h 1 1 2 2 2 11  h22 )N1  (h11  h22 )N 2 dir. Yardımcı Teorem 4.1.1: M  E4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M 2 yüzeyinin K  H şartını sağlaması için gerek ve yeter şart 16 h 1  h 111 22 , h 2 2 11  h22 , h 1 2 12  h12  0 (4.1.5) olmasıdır. 2 İspat. () : 4 M  E yüzeyi K  H eşitliğini sağlasın. Bu takdirde (4.1.3) ve (4.1.4) eşitlikleri yardımıyla 2 4 H  (h 111  h 1 2 22 )  (h 2 2 2 11  h22 ) (4.1.6) K  h 1h 111 22  (h 1 2 2 12 )  h11 h 2  (h 2 222 12 ) elde edilir. Böylece (4.1.6) eşitliği düzenlenirse 2 4( H  K )  (h 1  h 1 2 2 2 2 1 2 211 22 )  (h11  h22 )  4(h12 )  4(h12 ) 2 (4.1.7) 2 bulunur. Ayrıca H  K  0 şartı sağlandığında (4.1.7) yardımıyla (4.1.5) eşitliği elde edilir. () :Aşikardır.  Teorem 4.1.2: M  E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyinin 2 K  H eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart M nin total umbilik olmasıdır. İspat. () : M  E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde AN ( X k )  AN ( X k ), X 1 X 1  AN ( X k ), X X   2 2  h( X k , X 1), N X 1  h( X k , X 2 ), N X 2 (4.1.8)  h 1k X 1  h2k X 2 ; 1   2. 2 dır. Ayrıca K  H eşitliği sağlandığından (4.1.5) ve (4.1.8) eşitliklerinden AN (X1)  h 1 11 X1 1 AN (X 2 )  h 1 1 11 X 2 A (X )  h 2N2 1 11 X1 AN (X 2 )  h 2 2 11 X 2 dır. Buradan AN   I olduğu görülür. Böylece tanım gereği M yüzeyi total umbiliktir. () :Aşikardır.  Örnek 4.1.3: ( E4 deki S 2 (a) standart küresi) X (u,v)  (a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u),0) 0  u   , 0  v  2 (4.1.9) 17 yamasıyla verilsin. Böylece birim teğet ve normal vektörleri X1  (cos(u) cos(v),cos(u)sin(v),sin(u),0) X 2  (sin(v),cos(v),0,0) (4.1.10) N1  (sin(u) cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),0) N2  (0,0,0,1) olmak üzere h 1 1 111  h22   a h 2 211  h22  0 h 1 212  h12  0 elde edilir. Buradan 2 K  H 1 2 (4.1.11) a dir (Bures 1975). Tanım 4.1.4: (G-M rotasyon yüzeyi) Birim hızlı uzay eğrisi  (u)  (x1(u), x2 (u), x3 (u)) ve  (v)  (cosv,sinv) birim çember olmak üzere  ve  eğrilerinin küresel çarpımı X (u,v)  (u) (v)  (x1(u), x2 (u), x3 (u)cosv, x3 (u)sinv), x3  0 (4.1.12) yüzey yaması ile ifade edilir. Burada uR, 0  v  2 ve  , birim hızlı yani ((x1) 2  (x2 ) 2  (x 23 ) )  1) dır (Ganchev ve Milousheva 2008b). (4.1.12) yamasıyla verilen yüzeyler Ganchev ve Milousheva rotasyon yüzeyleri olarak adlandırılır. Burada (u) eğrisi yüzeyin döngü eğrisi olarak adlandırılır. Bu eğrini Oe1e2 düzlemine izdüşümü ~(u)  (x1(u), x2 (u)) ve (u) ile ~(u) nun eğriliklerini sırasıyla k  (x1) 2  (x 22)  (x3) 2 ~  x1x2  x2 x1 biçimindedir. Önerme 4.1.5: M  E4 yüzeyi X(u,v) yamasıyla verilen Ganchev-Milousheva rotasyon 2 yüzeyi olsun. M yüzeyinin K  H şartını için gerek ve yeter şart ~  0, K  2 18 olmasıdır. İspat. X(u,v) regüler yamasının kısmi türevleri; X u  (x1, x2 , x3 cosv, x3 sin v) X v  (0,0,x3 sin v, x3 cosv) X uu  (x1, x2, x3cosv, x3sin v) X uv  (0,0,x3 sin v, x3 cosv) X vv  (0,0,x3 cosv,x3 sin v) dir. X(u,v) nin birinci form katsayıları; E  X u , X  (x) 2 u 1  (x2 ) 2  (x )23 F  X u , X v  0 G  X v , X  (x 2 v 3 ) dir. Bu yüzeyin normalleri N 11  (x1, x2, x3cosv, x3sinv)k N 12  (x2 x3  x2x3 , x3x1 x3x1,(x1x2  x1x2 )cosv,(x1x2  x1xk 2 )sinv) dir. Burada k  (x)2  (x)2  (x)21 2 3 türevlenebilir bir fonksiyondur. Böylece X(u,v) nin ikinci temel form katsayıları c 111  Xuu , N1  k c 112  X uv , N1  0 1 x3x3c22  X vv , N1   k c 211  X uu , N2  0 c 212  X uv , N2  0 c 2 X , N x (x x  xx ) 22  vv 2   3 1 2 1 2 k dır. Ayrıca (2.2.21) eşitliğinden 19 c 1h 1 11 k11  E (x 21)  (x2 ) 2  (x3) 2 h 1 112  c 1 12  0 w 1 x3h22   kx3 (4.1.13) 2 h 2 c1111   0E h 212  0 h 2  1  (Ec 2 )   x1x2   x1x2 22 w2 22 kx3 elde edilir (Bulca 2012). Burada W 2  EG  F 2 dir. 2 () :M yüzeyi K  H şartını sağlasın. Bu taktirde (4.1.5) ve (4.1.13) eşitliklerinden istenilen sonuç elde edilir. () : Aşikardır.  Örnek 4.1.6:  (u)  (0, x2 (u), x3 (u)) birim hızlı uzay eğrisi ile  (v)  (cosv,sinv) çemberinin çarpımını X (u,v)  (u)  (v)  (0, x2 (u), x3 (u)cosv, x3 (u)sin v), x3  0 küresel çarpım yüzeyi olarak bilinir. Burada uR, 0  v  2 ve  birim hızlı bir eğri olup ~  0 k 2 x    3  K x3 eşitlikleri sağlanır. Teorem 4.1.7: M  E4 yüzeyi X(u,v) regüler yamasıyla verilsin. Bu takdirde M yüzeyi total umbilik ise M nin ortalama eğriliği sabittir (Chen 1973 sayfa 50). İspat. N , (1   n  2) T M nin ortonormal bazı olsun. Bu takdirde herhangi X ,Y   (M ) için 20 AN X ,Y  h(X ,Y ), N  (4.1.14) dir. M yüzeyi total umbilik olsun. Bu takdirde bazı reel değerli  fonksiyonları için AN   I (4.1.15)  dir. Böylece (4.1.14) ve (4.1.15) den h(X ,Y ), N   X ,Y (4.1.16) elde edilir. Buradan izAN  2  (4.1.17) n2 h(X ,Y )  X ,Y N (4.1.18)  1 yardımı ile h(X ,Y )  X ,Y H (4.1.19) dır. En nin eğrilik tensörü R ~ sıfır olduğundan R~(X ,Y )Z ,W  R(X ,Y )Z ,W  h(X , Z ), h(Y ,W )  h(X ,W ), h(Y , Z ) (4.1.20) yardımıyla R(X ,Y )Z ,W  h(X ,W ),h(Y ,Z )  h(X ,Z ),h(Y ,W ) (4.1.21) elde edilir. Buradan (4.1.19) ve (4.1.21) eşitliklerinden  2 R(X ,Y )Z ,W  H ( X ,W Y , Z  X , Z Y ,W )  2 bulunur. Böylece Codazzi denklemlerinden H  c cR dir. Tanım 4.1.8: M  En yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin.    M birim normal vektör alanı olmak üzere S( )  X , (4.1.22) çarpımına M nin ya göre destek fonksiyonu denir (Chen 1793 sayfa 59-60). Önerme 4.1.9: M  En yüzeyinin birim vektör alanı  dejenere olmayan ve normal demet içinde paralel ayrıca M nin  ya göre destek fonksiyonu S ( ) sabit ise M yüzeyi En nin küçük küresinde yatan bir yüzeydir (Chen 1973). 21 İspat. M  En yüzeyinin birim vektör alanı  nın asli vektörleri E1,..., En ve de asli eğrilikleri k1,..., kn olsun. Eğer  vektör alanı non-dejenere ve normal demet içinde paralel ve M nin  ya göre destek fonksiyonu S ( ) sabit olsun. Bu takdirde A Ei  ki Ei (4.1.23) olup ~ E  AEi i dir. Buradan Ei X , ~  E X ,  X , ~  i E  i  E X ,  h(E , X ),  A E , X  X ,  i i  i E  i  h(Ei , X ),  AEi , X  0 ~ olduğundan E X normal bileşene sahip değildir. Böylece i X , E1  0,..., X ,En  0 ~ ~E X , X  2 E X , X  0i i elde edilir. Son eşitlikten M yüzeyi En nin küçük küresinde yatan bir yüzey olduğu sonucuna varılır. Önerme 4.1.10: M  En yüzeyi X(u,v) yaması ile verilen total umbilik yüzey olsun. Bu takdirde M yüzeyi lokal olarak düzlemin bir parçası ya da M  S 2  E3  E n dir. İspat. (B.Y Chen 1973 sayfa 50). 4.2 E 4 de K ve K N ile İlgili Eşitlikler Yardımcı Teorem 4.2.1: M  E4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyinin K  K N şartını sağlaması için gerek ve yeter şart (h 112  h 2 22 )(h 2  h 111 22 )  (h 2 12  h 1 22 )(h 1 11  h 2 12 )  0 (4.2.1) olmasıdır. 22 İspat. () : M  E 4 yüzeyi K  K N eşitliğini sağlasın. Bu takdirde M nin Gauss ve normal eğrilikleri sırasıyla K  h 1h 1  (h 111 22 12 ) 2  h 211 h 2 22  (h 2 2 12 ) (4.2.2) K N h 1 12 (h 2 22  h 2 )  h 2 1 111 12 (h11 h22 ) dir. Böylece (4.2.2) eşitliği düzenlenirse h 1h 1  (h 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 111 22 12 )  h11 h22  (h12 )  h12 (h22  h11 )  h12 (h11  h22 )  0 bulunur. Böylece son eşitlik yeniden düzenlenirse (4.2.1) elde edilir. () :Aşikardır.  Örnek 4.2.2: (Tor Yüzeyi) M  E4 yüzeyi X (u,v)  (a1 cosu,a1 sin u,a2 cosv,a2 sin v) ; ai R (4.2.3) regüler yamasıyla verilsin. Tor yüzeyi için K  KN  0 olmak üzere (4.2.1) eşitliği sağlanır. Önerme 4.2.3: (4.1.12) regüler yaması ile verilen Ganchev-Milousheva rotasyon yüzeyinin K  K N eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart x3 =au+b olmasıdır. Yani M yüzeyinin düz olmasıdır. İspat. (4.1.13) deki değerler (4.2.1) eşitliğinde yerine yazılırsa x3=0 elde edilir. Örnek 4.2.4: M  E4 yüzeyi X (u,v)  ((v)cosu,(v)cosu,(v)sinu,(v)sinu) (4.2.4) regüler yamasıyla verilsin. Bu yüzey Tensör Çarpım yüzeyi olarak bilinip c1(u)  (cosu,sinu),c2(v)  ((v), (v)) dir (Mihai ve ark 1995). Bu yüzey için K K b(v)c(v) b(v) N  2 2 (4.2.5) ( )  ( ) dir. Burada 23 b(v)      ,  2   2 (4.2.6)      c(v)  ( )2  ( )2 , reel değerli türevlenebilir fonksiyonlardır (Bulca 2012 sayfa 42). Örnek 4.2.6: M  E4 yüzeyi X (u,v)  (r(v)cosvcosu,r(v)cosvsinu,r(v)sinvcosu,r(v)sinvsinu) (4.2.7) regüler yamasıyla verilen yüzey Vranceanu yüzeyi olarak bilinir (Vranceanu 1977). Bu yüzey için (r(u))2  r(u)rK K (u) N  2 2 2 (4.2.8) ((r(u))  (r(u)) ) dir. Çözüm: (Bulca, 2012 sayfa 29). Örnek 4.2.7: (Aminov Yüzeyi) M  E4 yüzeyi X (u,v)  (a cos v cos u, a cos v sin u,b sin v cos u,b sin v sin u) (4.2.9) yamasıyla verilen yüzeye Aminov yüzeyi denir. Bu yüzey için 16b2(b2  a2K )cos2v KN  2 2 (4.1.10) (4a b  (b2  a2 )2 sin 2 2v)2 dir. Çözüm: (Bulca, 2012 sayfa 25). 24 4.3 E 4 de K , K N ve H ile İlgili Eşitlikler 4.3.1. E 4 de Süperkonformal Yüzeyler M  E4 yüzeyi X (u,v) : (u,v)D  R2 regüler yaması ile verilsin. Bir pM noktasındaki T p (M ) teğet uzayında  [0,2 ] parametrizasyonu ile verilen bir çember alınsın. Ayrıca X1, X 2 vektörleri Tp (M ) nin ortonormal bir bazı olmak üzere  t  cosX 1  sinX 2  doğrultu vektörü seçilsin. Böylece T p (M ) normal düzlem ile t doğrultu vektörünün oluşturduğu doğru Lp nin direk toplamı pM noktasındaki hiperdüzlem oluşturur.  Bu hiperdüzlem E( p, t ) ile gösterilirse  E( p,t )  T p M  Lp  dir. Böylece E( p, t ) ile M nin arakesiti bir eğri oluşturur. Bu eğri  ile gösterilir ve  M nin p noktasında ve t yönünde normal kesit eğrisi denir. Ayrıca  nın normal eğrilik vektörü T p (M ) de yatan bir n vektörü olup    (s)  T p M (4.3.1.1) biçiminde tanımlanır. M yüzeyi regüler X (u, v) yaması ile verilsin. Bu taktirde  eğrisi M nin üzerinde olduğundan  (s)  X (u(s),v(s))  (s)  u(s)Xu  v(s)X v (s)  u(s) 2 Xuu u(s)Xu  v(s) 2 X vv  v(s)X v  2u(s)v(s)Xuv dir. Böylece normal bileşen;  (s)   u(s)2 X uu  v(s) 2 X vv  2u(s)v(s)X uv biçiminde M yüzeyinin normal eğrilik vektörünü verir. Eğer  (s(0)) noktasında     (s)  t alınırsa, yani normal kesit eğrisi birim hızlı ise t  cosX 1  sinX 2 olduğundan s(0) noktasında u(s(0))  cos v(s(o))  sin 25 dır. Böylece; (s(0))   cos2X uu  sin 2X vv  2sin cosX  uv 1 (Xuu ( p) X  1  vv ( p))  (Xuu ( p)  X  vv ( p))cos 2  X  uv ( p) sin 2 2 2  H  B cos 2 C sin 2 elde edilir. Burada  (s(0))  p böylece olup H 1 (X uu ( p) X  vv ( p)) 2 B 1 (X uu ( p)  X  2 vv ( p)) C  X uv ( p) yardımıyla  (s(0))   H  B cos 2 C sin 2 (4.3.1.2) bulunur. Benzer şekilde   h(t , t )  h(cosX1  sinX 2 ,cosX1  sinX 2 )  cos2h(X1, X1)  sin 2h(X 2 , X 2 )  2cos sinh(X1, X 2 ) H h(X1, X1)  h(X 2 , X 2 ) 2 B h(X , X )  h(X , X ) 1 1 2 2 2 C  h(X1, X 2) alınırsa   h(t , t )  H  B cos2 C sin 2 (4.3.1.3) dır. Böylece  açısı 0 dan 2 ye değiştiğinde bu vektör T p (M ) de bir elips oluşturur. Bu elipse M nin p noktasındaki eğrilik elipsi denir ve     E( p)  h(t , t ) t TpM ; t 1 (4.3.1.4) ile gösterilir.(Perdıgao 2011) Açıklama 4.3.1.1: E(p) eğrilik elipsi bir noktaya ya da bir doğruya dejenere olabilir. M yüzeyinin bir pM noktasında yarı umbilik olması için gerek ve yeter şart eğrilik elipsinin bir doğruya dejenere olmasıdır, buna eşdeğer olarak K N ( p)  0 dir. E 4 de M 26 immersiyon yüzeyi her noktasında yarı umbilik ise M yüzeyine yarı umbilik denir. Bu durumda M yüzeyinin normal eğriliğinin sıfır olması demektir. Önerme 4.3.1.2: M  E4 yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir: i) E(p) eğrilik elipsi bir doğru ya da bir noktaya dejenere olur.   ii) B ile C lineer bağımlıdır. iii) R  0 dır. iv) Eğer N i ortonormal normal çatı ise AN matrisleri (1 i  2 ) i köşegenleştirilebilirdir (Guadalupe ve Rodriguez 1983). Tanım 4.3.1.3: M  E4 yüzeyi X (u,v) regüler yaması ile verilsin. X (u,v) nin E(p)     eğrilik elipsi bir çember yani, B,C  0 ve B  C eşitlikleri sağlanırsa M ye süperkonformal yüzey adı verilir. (Godalupe ve Rodriguez 1983). Tanım 4.3.1.4: M nin p noktasındaki eğrilik elipsi E(p) T p (M ) düzleminde yatan bir eğri olduğundan (4.3.1.4) yardımıyla x h 1 11  h 1 22 h 1 1   11  h22 cos2  h 112 sin 22 2 (4.3.1.5) h 2 2 2 2y  11  h22 h 11  h22 cos2  h 212 sin 22 2 (4.3.1.5) eşitliğine eğrilik elipsinin parametresi denir. 1. Çeşit süperkonformal yüzeyleri: M  E4 yüzeyinin (4.3.1.5) parametrelendirmesi ile verilen eğrilik elipsi için h 211  h 2 22   h 1 111  h22  h 212   (4.3.1.6) 2 h 112  0 seçilirse (4.3.1.5) denkleminin parametrik hali 27 h 1 1x  11  h22   cos 2 2 (4.3.1.7) y     sin 2 bulunur. İşlemlerin kolaylığı adına h 111     , h 1 22     (4.3.1.8) olarak alınsın. Dolayısıyla (4.3.1.7) eşitliğindeki parametrizasyon x     cos 2 (4.3.1.9) y     sin 2 olacaktır. Burada  ,  ,ve türevlenebilir fonksiyonlardır. Önerme 4.3.1.5: M  E4 de türevlenebilir bir yüzey olsun. Eğer M birinci çeşit süperkonformal yüzey ise şekil operatörleri AN ile AN aşağıdaki gibi olacaktır. 1 2    0    AN    AN    (4.3.1.10) 1  0    2   Sonuç 4.3.1.6: M  E4 de türevlenebilir bir yüzey olsun. Eğer M birinci çeşit süperkonformal yüzey ise Gauss eğrilği K , Normal eğriliği KN , ve Ortalama eğriliğin karesi H 2 olmak üzere K  2  2  2 2 K  2 2N H 2  2  2 dir. Böylece H 2  K  K N  0 olduğu görülür. Sonuç 4.3.1.7: M  E4 de birinci çeşit süperkonformal yüzey olsun. Eğer ikinci temel form katsayıları   2 ,   0 olarak alınırsa M yüzeyi K  KN sağlayacaktır. M yüzeyinin eğrilik elipsinin parametrizasyonu x  2   sin 2 y   cos 2 şekilindedir. 28 2. Çeşit süperkonformal yüzeyleri: M  E4 yüzeyinin (4.3.1.5) parametrelendirmesi ile verilen eğrilik elipsi için h 211  h 2 22   h 1  h 111 22  h 212   (4.3.1.11) 2 h 112  0 olarak alınsın. Bu durumda eğrilik elipsin parametrizasyonu (4.3.1.5) eşitliğinden dolayı 1 1 x h11  h 22   cos 2 2 (4.3.1.12) y     sin 2 şeklinde olacaktır. İşlemlerin kolaylığı hatırına h 111   , h 1 22    2 olarak alınsın. (4.3.1.5) eşitliği x  (   )   cos 2 (4.3.1.13) y     sin 2 şeklinde olacaktır. (4.3.1.5) eşitliği düzenlenirse eğrilik elipsinin en son hali x  (   )   cos(  2 ) (4.3.1.14) y     sin(  2 ) şeklinde olacaktır. Önerme 4.3.1.8: M, E4 de türevlenebilir bir yüzey olsun. Eğer M ikinci çeşit süperkonformal yüzey ise şekil operatörleri AN ile AN aşağıdaki gibi olacaktır. 1 2  0      AN 1  A  (4.3.1.15) 0   2  N  2      Sonuç 4.3.1.9: M, E4 de türevlenebilir bir yüzey olsun. Eğer M ikinci çeşit süperkonformal yüzey ise Gauss eğrilği K , Normal eğriliği KN , ve Ortalama eğriliğin karesi H 2 olmak üzere 29 K  2  2   2  2 KN  2 2 H 2  (  )2  2 dır. Böylece H 2  K  K N  0 olduğu görülür. Sonuç 4.3.1.10: M , E4 de ikinci çeşit süperkonformal bir yüzey olsun. Eğer ikinci temel form katsayıları    ,   0 olarak alınırsa M yüzeyi K  KN eşitliğini sağlayacaktır. M yüzeyinin eğrilik elipsinin parametrizasyonu x   cos 2 y   sin 2 olacaktır. 4.3.2 Wintgen İdeal Yüzeyiler M , E4 de X (u,v) : (u,v)D  E 2 yamasıyla verilen türevlenebilir yüzey olsun. Eğrilik elipsi E( p) nin yarı eksenleri B 1 (h(X1, X1)  h(X2 2 , X 2 )) C  h(X1, X 2 ) olmak üzere p noktasındaki tanjant vektör alanı TpM nin ortonormal bazları X1, X2 olarak şeçilebilir. Burada ortonormal çatısı N~ B1  , N ~ C 2  (4.3.2.1) B C olarak seçilirse M nin normal eğriliği KN  R  (X1, X ~ ~ 2 )N2 , N1 (4.3.2.2)  h(X1, X1) h(X 2 , X 2 ) h(X1, X 2 ) olacaktır. (2.2.14) , (2.2.16) ve (4.3.2.2) eşitliklerini kullanarak 30 0  ( h(X1, X1)  h(X 2 , X 2 2 )  2 h(X1, X 2 ) ) 2 2  h(X1, X1)  h(X 2 , X 2 )  4 h(X1, X 2 )  4KN (4.3.2.3)  h(X , X 2 2 21 1)  h(X 2 , X 2 )  2 h(X1, X 2 )  2K  4K N elde edilir. Diğer taraftan 2 4 H  h(X 2 21, X1)  h(X 2 , X 2 )  2 h(X1 , X1), h(X 2 , X 2 ) (4.3.2.4) (4.3.2.2) ve (4.3.2.3) eşitliklerini kullanarak 2 0  K  K N  H (4.3.2.5) eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğe Wintgen eşitsizliği denir (Wintgen 1979). Tanım 4.3.2.1: Eğer Wintgen eşitsizliği eşitlik durumunda yani ; 2 K  K N  H (4.3.2.6) eşitliği sağlanırsa M yüzeyine Wintgen ideal yüzey denir. Teorem 4.3.2.2: M , E4 de yüzey olsun. M yüzeyi (4.3.2.5) eşitliğinde verilen Wintgen İdeal eşitsizliğini her noktasında sağlansın. a) Eğer p M noktasında KN  0 sağlanırsa bu takdirde M, p noktasında (4.3.2.6) eşitliğini sağlar ancak ve ancak p noktasında ortonormal çatıya göre ve şekil operatörü   2 0 0   AN    AN    (4.3.2.7) 1  0  2  0 b) Eğer p  M noktasında KN  0 sağlanırsa bu takdirde M, p noktasında (4.3.2.6) eşitliğini sağlar ancak ve ancak p noktasında ortonormal çatıya göre ve şekil operatörü   2 0 0   AN    AN    (4.3.2.8) 1  0  2  0 şekilindedir. Sonuç 4.3.2.3: Şekil operatörleri (4.3.2.7) ve (4.3.2.8) eşitliklerindeki gibi verilen yüzeyler sırasıyla birinci ve ikinci çeşit süperkonformal yüzeylerdir. 31 Yardımcı Teorem 4.3.2.4: M, E4 de Wintgen ideal yüzey olsun. Eğer M yüzeyi p  M noktasında K  KN sağlanırsa (4.3.2.7) , (4.3.2.8) eşitliklerindeki şekil operatörleri 3 0 0   AN    AN    (4.3.2.9) 1  0   2  0  0 0   AN    AN    (4.3.2.10) 1  0   2  0 biçimindedir (Chen 1973). Örnek 4.3.2.5: M yüzeyi (4.2.6) parametrelendirmesiyle verilen tensör çarpım yüzeyi olsun. Bu takdirde M nin (4.3.2.9) şekil operatörlerine sahip (2. çeşit) Wintgen ideal yüzey olması için gerek ve yeter şart (    )(( )2  ( )2)  ( 2   2 )(     )  0 (4.3.2.11) olmasıdır. Örnek 4.3.2.6: Vranceanu yüzeyi (4.3.2.10) şekil operatörlerine sahip (2. çeşit) Wintgen ideal yüzey olması gerek ve yeter şart (r(v))2  2(r(v))2  r(v)r(v)  0 (4.3.2.12) olmasıdır. 32 5. E 4 DE CHEN YÜZEYLERİ 5.0. Giriş Bu bölümde E 4 deki Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır. 5.1 E 4 CHEN YÜZEYLERİ M, m-boyutlu Reimann manifoldu olan N nin m boyutlu türevlenebilir altmanifoldu olsun.  , M yüzeyinin normal vektörü olmak üzere  x , M nin ortogonal birim normal vektörüdür. Burada    1 dir. B.Y.Chen, normal vektörünün komşu vektör uzayını  mn a(v)  tr(A1, A2 ) x n x2 ile tanımlanmıştır. Burada Ax  A şekil operatörüdür. Özellikle, ortalama eğrilik x vektörü H nın komşu ortalama eğrilik vektör uzayı a(H ) , H vektörü ile ortogonal olup iyi tanımlı bir normal vektör uzayıdır. Eğer a(H )  0 ise M altmanifoldu N nin bir Aaltmanifoldu denir. Dahası A altmanifoldu da bir Chen altmanifoldu olarak tanımlanır. H a(H )  tr(A , A )N 2 N1 N2 2 burada N1,N 2, N(M) nin ortonormal bazlarıdır. Tanım 5.1.1: Eğer a(H )  0 ise M yüzeyine E 4 de bir Chen yüzeyi denir (Rouxel 1980). Önerme 5.1.2: M  E4 de her bir birinci çeşit süperkonformal yüzeyler non-trivial Chen yüzeyidir. İspat. M  E4 yüzeyi 1. Çeşit süperkonformal bir yüzey olsun. Bu taktirde (4.3.1.10) eşitliğinden M nin şekil operatör matrisleri    0    AN   , A  1  0     N  2      33 dir. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği H N1 N2 şeklindedir. Görüldüğü üzere H normal vektörü N1 e paralel değildir. Dolayısıyla M nin (5.1.1) eşitliğindeki gibi yeni bir ortonormal çatı alanı tanımlayabiliriz. N~ 11  (N1  N )  2 2 2   (5.1.1) N~ 12  (N1 N2 )  2  2 olsun (4.1.2), (4.3.1.10) ve (5.1.1) eşitliklerini kullanarak ~ 2 2h 111  h(X1, X ), N ~    1 1   2 2 h~ 112  h(X1, X 2 ), N ~  1   2  2 h~ 2 2 1 h(X , X ), N~    22  2 2 1   2 2 (5.1.2) h~ 2 ~ 11  h(X1, X1), N2   2 2 h~ 2 h(X , X ), N~ 12  1 2 2   2  2 h~ 222  h(X 2, X ), N ~  2 2   2  2 elde edilir. (5.1.2) eşitliğindeki değerleri kullanılarak şekil operatörleri düzenlenirse  2  2           2 2 2 2        2 2 2 2 AN~   2 2 A         N     1         2      2  2  2  2  2 2 2 2          olacaktır. Dahası bu iki şekil operatörleri çarpımı   (  ) AN~ AN~    (5.1.3) 1 2 (  )   olup (5.1.3) eşitliğindeki matrisin izi tr(AN~ AN~ )  0 dir. Buda bize M nin Chen yüzeyi 1 2 olduğunu gösterir. Önerme 5.1.3: M  E4 de her bir ikinci çeşit süperkonformal yüzeyler non-trivial Chen yüzeyidir. 34 İspat. M  E4 de ikinci çeşit süperkonformal yüzey olsun. Bu taktirde (4.3.1.15) eşitliğinden M nin şekil operatörleri matrisleri  0      AN 1   , A 0   2 N 2         dir. Bu taktirde M nin ortalama eğriliği H  (  )N1 N2 şeklindedir. Görüldüğü üzere H normal vektörü N1 e paralel değildir. Dolayısıyla M nin (5.1.4) eşitliğindeki gibi yeni bir ortonormal çatı alanı tanımlayabiliriz. N~ 11  ((  )N1  N ) (  )2 2 2 (5.1.4) N~ 12  (N1  (  )N2) (  )2  2 olsun (4.1.2), (4.3.1.15) ve (5.1.4) eşitliklerini kullanarak h~ 1 h(X , X ), N~ (  2)(  )   2 11  1 1 1  (  )2  2 h~ 1 h(X ~ 12  1, X 2 ), N1  (  )2 2 ~ 2h 122  h(X ~  (  )   2 , X 2 ), N1  (  )2  2 h~ 211  h(X1, X ), N ~  1 2  (  )2  2 h~ 212  h(X , X ), N ~  (  ) 1 2 2  (  )2 2 h~ 2 h(X , X ), N~ 22  2 2 2  (  )2  2 (5.1.5) elde edilir. (5.1.5) eşitliğindeki değerleri kullanarak şekil operatörlerini düzenlenirse (  2)(  )  2     A  (  ) 2  2 (  )2  2 N~   1    (  )  2     (  ) 2  2 (  )2  2  35    (  )   A  (  ) 2  2 (  )2  2   N2   (  )     (  ) 2  2 (  )2  2  olacaktır. Dahası bu iki şekil operatörleri çarpımı  (  2) AN~ AN~    (5.1.6) 1 2     olup (5.1.6) eşitliğindeki matrisin tr(AN~ AN~ )  0 dir. Buda bize M nin Chen yüzeyi 1 2 olduğunu gösterir. 36 KAYNAKLAR Amınov, Yu. A. 2001. The Geometry of Submanifolds. Gordon and Breach Science Publishers, Singapore, 12 pp. Basto-Gonçalvez, J. 2011. Local geometry of surfaces ın R4 . Fundaçao para Ciencia e Tecnologia Pestc/MAT, UI0144/2011: 1-29. Bulca, B. 2012. IE 4 deki Yüzeylerin bir Karakterizasyonu. Doktora Tezi, UÜ Fen Bilimleri, Bursa. Bures, J. 1975. Some remarks on surfaces in the 4-dimensional Euclidean space. Czechoslovak Mathematical Journal, Vol. 25(1975): 480-490. Burstall, F., Ferus, D., Leschke, K., Pedit F. and Pinkall, U. 2002 Conformal Geometry of Surfaces in the 4-Sphere and Quaternions, Lecture Notes in Mathematics. Springer- Verlag, Vol.1772. Carmo, M. P. DO. 1983. Differantial geometrıce Van Kurvenund Flachen ,Viweg Verlag, Weisbaden, Braunschweig Chen, B. Y. 1973. Geometry of Submanifols. Marcel Dekker, New York, 298. Chen, B.-Y. 2010. Classication of Wintgen ideal surfaces in Euclidean 4-space with equal Gauss and normal curvature. Ann.Global Anal. Geom., 38 (2010): 145-160. Chen, B.-Y. 2011. On Wintgen ideal surfaces, Riemannian Geometry and Applications. Proceedings RIGA., 2011: 59-74. Decu, S., Petrovi´c-Torga.ev, M., Sebekovic, A., Verstraelen, L. 2010. On the in- trinsic Deszcz symmetries and the extrinsic Chen character of Wintgen ideal submanifolds. Tamkang J. Math. 41(2) (2010): 109-116. Dajczer, M., Tojeiro, R. 2008. All superconformal surfaces in R4 in terms of minimal surfaces. Math.DG, Z. 261, 869.890 (2008): 1-17. DeSmet, P.J., Dillen, F., Verstraelen, L., Vrancken, L. 1999. A pointwise inequality in submanifold theory. Archivum Mathematicum, Vol. 35(1999), No. 2: 115-128. Friedrich, T. 1997. On superminimal surfaces. Arch.Math., (Brno)33(1997): 41-56. GANCHEV, G., MILOUSHEVA V. 2008. On the Theory of Surfaces in the Four Dimensional Euclidean Space. Kodai Math. J., 31: 183-198. Geysens, F., Verheyen, L., and Verstraelen, L. 1981. Sur les Surfaces A on les Surfaces de Chen. C.R. Acad. Sc. Paris, I 211(1981). Görgülü, A. 1989. Relatians Between The Mean Curvatures of The Paralel Submanifolds. Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A, Vol.38, Number 1-2: 87-93 Gray, A. 1993. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. CRC Pres Inc., USA, 398 pp. Guadalupe, I.V., Rodriguez, L. 1983. Normal curvature of surfaces in space forms. Paci.c J. Math. 106 (1983): 95-103. Gutierrez Nuñez, J.M., Romero Fuster, M.C. and Sanchez-Bringas, F. 2008. Codazzi Fields on Surfaces Immersed in Euclidean 4-space. Osaka J. Math., 45 (2008): 877-894. Iyigün, E., Arslan, K., Öztürk, G. 2008.A characterization of Chen Surfaces in E4. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2) 31(2) (2008): 209-215. Kim, Y. W., Koh, S. E., Shin, H., Yang S. D. 2007. Generalized surfaces with constant H/K in Euclidean three-space. Manuscripta Math, 124(2007): 343-361. Leibmann, H. 1900. Uber die Verbiegung der geschlassenen Flachen positiver Krummung. Math. Ann., 53(1900):81-122. Malkowsky, E., Velitkovic, V. 2001. Visauglization of Differential Geometry. Facto Universitatis, Mechanics, Automatic Control and Robotics., Vol.3, No 11:127-133. 37 Mello, L.F. 2003. Mean directionally curved lines on surfaces immersed in R4 . Publ. Math., 47: 415-440. Mello, L.F. 2009. Orthogonal asymptotic lines on surfaces immersed in R4 . Rocky Mountain Journal of Mathematics, 39(5): 1597-1612. Mıhaı, A., Rosca R., Verstraelen L.,Vrancken L. 1995. Tensor product surfaces of Euclidean planar curves. Rend. Sem. Mat. Messina, 3: 173-184. Mochida, D.K.H., Fuster, M.D.C.R., Ruas, M.A.S. 1995. The Geometry of Surfaces in 4-Space From a Contact Viewpoint. Geometriae Dedicata, 54(1995): 323-332 O’neill, B. 1997. Elementary Differential Geometry. Academic Pess, USA,1-475. Özdemir, B. 2008. “ de Focal eğriler ve Focal Yüzeylerin Bir Karakterizasyonu”, Doktora Tezi, UÜ Fen Bilimleri, Bursa. Perdıgao, T. R. 2011. Semiumbilicidade and umbilicidade on surfaces immersed in Rn , n ≥ 4. Brazil, Vıçosa Minas Geraıs, 85pp. Rouxel, B. 1980. Ruled A-submanifolds in Euclidean Space E4 , Soochow J. Math. 6(1980): 117-121. Vreanceanu, G. 1977. Surfaces de Rotation dans E4. Rev. Roum Math. Pures Appl., 22(1977): 857-862. Wong, Y. C. 1946. Contributions to the theory of surfaces in 4-space of constant cur- Vature. Trans. Amer. Math. Soc, 59 (1946): 467-507. Wintgen, P. 1979. Sur l.inégalité de Chen-Willmore. C. R. Acad. Sci, Paris 288 (1979): 993-995. Yoon, D. W. 2001. Rotation Surfaces with Finite Type Gauss Map in E4. Indian J. pura appl.Math., 32(2001), no.12: 1803-1808. 38 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ertuğrul AKÇAY Doğum Yeri ve Tarihi : Giresun, 05/01/1987 Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Bulancak Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi, 2001-2005 Lisans : Uludağ Üniversitesi, 2006-2011 Yüksek Lisans : Bursa Uludağ Üniversitesi, 2011-… Çalıştığı Kurum ve Yıl : Uludağ Üniversitesi 2011 – … İletişim (e–posta) : ertuak@gmail.com.tr Yayınları: : 39