DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇUBUKLARIN VE ÇATLAKLI KİRİŞLERİN TİTREŞİM ANALİZİ Çağlar KAHYA T.C. BURSA ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇUBUKLARIN VE ÇATLAKLI KİRİŞLERİN TİTREŞİM ANALİZİ Çağlar KAHYA 0000-0002-0722-7094 Prof. Dr. Yaşar PALA (Danışman) DOKTORA TEZİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI BURSA – 2023 Her Hakkı Saklıdır B.U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; − tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, − görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, − başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, − atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, − kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, − ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 27/03/2023 Çağlar KAHYA iv ÖZET Doktora Tezi DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇUBUKLARIN VE ÇATLAKLI KİRİŞLERİN TİTREŞİM ANALİZİ Çağlar KAHYA Bursa Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yaşar PALA Bu tez çalışmasında değişken kesitli çubukların boyuna titreşimi ve çatlaklı Timoshenko kirişlerin yanal titreşimleri üzerine çalışılmıştır. Değişken kesitli çubukların boyuna titreşimi için yeni bir analitik yöntem sunulmuştur. Bu yöntemde çubuk için yazılan diferansiyel denklem Riccati diferansiyel denklemine dönüştürülmüş ve son yıllarda bu tip diferansiyel denklemler için geliştirilen bir yöntem çözüm için uygulanmıştır. Çatlaklı Timoshenko kirişler için ise, genel şekil değiştirebilen sınır şartlarına sahip keyfi sayıda çatlak bulunan bir kirişin frekans ve mod şekilleri için denklemler elde edilmiştir. Kirişin doğal frekansları üzerine sınır şartları ve çatlak parametrelerinin etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Serbest Titreşim, değişken kesitli çubuk, Timoshenko kiriş, sönümlü titreşim 2023, xiii + 99 sayfa. vi ABSTRACT PhD Thesis VIBRATION ANALYSIS OF BARS OF VARIABLE CROSS-SECTIONS AND BEAMS WITH CRACKS Çağlar KAHYA Bursa Uludağ University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mechanical Engineering Supervisor: Prof. Dr. Yaşar PALA In this thesis, the longitudinal vibration of bars with variable cross-section and lateral vibration of cracked Timoshenko beams are studied. A new analytical method is presented for the longitudinal vibration of bars with variable cross sections. In this method, the differential equation written for the bar is transformed into the Riccati differential equation, and a method developed for these types of differential equations in recent years has been applied to the solution. For cracked Timoshenko beams, equations for the frequency and mode shapes are obtained with the general elastically restrained boundary conditions for a beam with an arbitrary number of cracks. The effects of the boundary conditions and crack parameters on the natural frequencies of the beam have been investigated. Key words: Free vibration, bar of variable cross-section, Timoshenko beam, damped vibration 2023, xiii + 99 pages. vii ÖNSÖZ ve/veya TEŞEKKÜR Lisansüstü öğrenimim boyunca bana her konuda yardımcı olan, bilgi ve deneyimlerini her zaman paylaşan değerli danışman hocam Prof. Dr. Yaşar PALA’ya teşekkürlerimi sunarım. Bugünlere gelmemde bana her zaman destek olan aileme ve bu zamana kadar geçen sürede üzerimde emeği olan tüm hocalarıma teşekkürlerimi sunarım. Çağlar KAHYA 27/03/2023 viii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET................................................................................................................................ vi ABSTRACT .................................................................................................................... vii ÖNSÖZ ve/veya TEŞEKKÜR ....................................................................................... viii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ ix SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ....................................................................... x ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................... xi ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................... xii 1. GİRİŞ ............................................................................................................................ 1 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI ....................................... 3 2.1. Kaynak Özetleri ......................................................................................................... 3 2.2. Çubukların Boyuna Titreşimi ..................................................................................... 7 2.3. Timoshenko Kiriş Teorisi .......................................................................................... 9 3. MATERYAL ve YÖNTEM ........................................................................................ 12 3.1. Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimi ....................................................... 12 3.1.1. Sabit kesitli bir çubuğun boyuna titreşimi ............................................................ 15 2 3.1.2. Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑥) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi ........................................................................................................................... 16 3.1.3. Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴 𝑒−𝑘0𝑥0 şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi ......................................................................................................................................... 17 3.1.4. Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴0sinh 2(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi ........................................................................................................................... 19 3.1.5. Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴0sin 2(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi ........................................................................................................................... 20 3.1.6. Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴 (1 − 𝑥)−20 şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi ........................................................................................................................... 21 3.1.7. 𝐴′′/𝐴 − 𝐴′2/(2𝐴2) ifadesinin sabit bir sayıya eşit olduğu durum ........................ 22 3.1.8. Değişken kesitli kademeli bir çubuğun frekans analizi......................................... 25 3.2. Timoshenko Kiriş Teorisi İçin Çözüm ..................................................................... 28 3.2.1. Timoshenko kirişleri için diklik (orthogonality) şartları ....................................... 32 3.3. Çatlaklı Kirişlerin Titreşimi ..................................................................................... 34 3.3.1. Çatlaklı kirişlerin doğal frekanslarının bulunması ................................................ 34 3.3.2. Çatlaklı kirişlerin mod şekillerinin bulunması ...................................................... 47 4. BULGULAR ve TARTIŞMA ..................................................................................... 54 4.1. Çubuklar İçin Sayısal Örnekler ve Parametrelerin Etkisi ........................................ 54 4.2. Kirişler İçin Sayısal Örnekler ve Parametrelerin Etkisi ........................................... 57 5. SONUÇ ....................................................................................................................... 77 KAYNAKLAR ............................................................................................................... 79 EKLER ............................................................................................................................ 82 EK 1. Riccati Diferansiyel Denklemi Çözümü İçin Özet Bilgi ...................................... 83 EK 2. Diklik Şartının Elde Edilmesi ............................................................................... 85 EK 3. Matlab Programları ............................................................................................... 90 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 99 ix SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama 𝐴 Kesit alanı 𝐸 Elastisite modülü 𝐺 Kayma modülü 𝐼 Alan atalet momenti 𝑘 Timoshenko kayma katsayısı 𝐿 Kiriş ve çubuk boyu 𝑀 Eğilme momenti 𝑀 Eğilme momenti fonksiyonu 𝑃 Eksenel kuvvet 𝑡 Zaman 𝑢 Eksenel yer değiştirme 𝑉 Kesme kuvveti 𝑉 Kesme kuvveti fonksiyonu 𝑦 Yanal yer değiştirme 𝑌 Yanal yer değiştirme fonksiyonu 𝛾 Kayma açısı 𝜀 Birim şekil değiştirme 𝜃 Kirişin eğilmeden dolayı oluşan dönme açısı 𝜌 Yoğunluk 𝜎 Gerilme 𝜙 Eksenel yer değiştirme fonksiyonu Ψ Dönme açısı fonksiyonu Kısaltmalar Açıklama DQM Diferansiyel kuadratür yöntemi FEM Sonlu elemanlar analizi DTM Diferansiyel dönüşüm yöntemi x ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1. Boyuna titreşen çubuk üzerinden seçilen sonsuz küçük eleman ....... 7 Şekil 2.2. Timoshenko kiriş diferansiyel elemanı. ............................................. 9 Şekil 3.1. Farklı 𝑘, 𝐴0 ve 𝑐1 için kesit alanı değişimleri. ................................... 24 Şekil 3.2. Çift kademeli değişken kesitli çubuk. ................................................ 25 Şekil 3.3. Çatlaklı kiriş. ...................................................................................... 35 Şekil 3.4. Çatlaklı kiriş modeli. .......................................................................... 35 Şekil 3.5. Çok sayıda çatlak içeren kiriş ............................................................ 38 Şekil 3.6. Parçalara ayrılmış kirişler .................................................................. 38 Şekil 3.7. Uçlarında yay-kütle-damper bulunan ve şekil değiştirebilen sınır şartlarına sahip kiriş modeli. .............................................................. 44 Şekil 4.1. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları için mod şekilleri. a) 𝑒 = 0,4 ve 𝛼 = 0,5 için mod şekilleri b) 𝑒 = 0,8 ve 𝛼 = 0,5 için mod şekilleri 75 Şekil 4.2. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları için mod şekilleri. a) 𝑒 = 0,2 ve 𝛼 = 0,3 için mod şekilleri b) 𝑒 = 0,2 ve 𝛼 = 0,7 için mod şekilleri 75 Şekil 4.3. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları, 𝑒 = 0,3, 𝛼 = 0,5 ve 𝑑01,1 = 𝑑02,1 = 100 için mod şekilleri. a) 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 30 için mod şekilleri b) 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 200 için mod şekilleri. ............................. 76 xi ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 4.1. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesit alanı 𝐴(𝑥) = (1 + 𝛼𝑥⁄𝐿)2 olan çubuk için boyutsuz doğal frekanslar. ........................................ 55 Çizelge 4.2. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴 𝑒−𝑘0𝑥0 olan çubuk için boyutsuz doğal frekanslar. ........................................ 55 Çizelge 4.3. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesiti 𝐴(𝑥) = 𝐴 20 sinh (𝑝𝑥 + 𝑟) olarak değişen bir çubuğun boyutsuz doğal frekansları. .................... 56 Çizelge 4.4. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesiti 𝐴(𝑥) = 𝐴0sin 2(𝑝𝑥 + 𝑟) olarak değişen bir çubuğun boyutsuz doğal frekansları. (𝑟 = 1 ve 𝐿 = 1) ................................................................................................. 56 Çizelge 4.5. Sabit-serbest sınır şartlarına sahip ve kesit alan değişimi her kademe 2 için 𝐴𝑖(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑖𝑥) olan çift kademeli çubuğun boyutsuz do- ğal frekansları ..................................................................................... 57 Çizelge 4.6. Lineer yayın çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi ................................. 58 Çizelge 4.7. Burulma yayının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi .......................... 58 Çizelge 4.8. Lineer sönüm elemanının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi ............. 59 Çizelge 4.9. Burulma sönüm elemanının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi ......... 59 Çizelge 4.10. Lineer yayın çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ................................... 60 Çizelge 4.11. Burulma yayının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ............................. 60 Çizelge 4.12. Lineer sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ............... 61 Çizelge 4.13. Burulma sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ........... 61 Çizelge 4.14. Uç kütlenin çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ..................................... 62 Çizelge 4.15. Kiriş uçlarındaki yay-kütle-damper sistemindeki yayın çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi.............................................................................. 63 Çizelge 4.16. Kiriş uçlarındaki yay-kütle-damper sistemindeki sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi ......................................................... 64 Çizelge 4.17. Simetrik sınır şartlarında, α = 0,3 - 0,5 - 0,7 ve e = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerleri için frekans değerleri ..................................................... 65 Çizelge 4.18. Simetrik sınır şartlarında, α = 0,3 - 0,5 - 0,7 ve e = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri.............................................. 66 Çizelge 4.19. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 de- ğerleri için frekans değerleri ............................................................... 67 Çizelge 4.20. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 de- ğerleri için frekans değerleri ............................................................... 67 Çizelge 4.21. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 de- ğerleri için frekans değerleri ............................................................... 68 Çizelge 4.22. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerle- ri için frekans değerleri ....................................................................... 68 Çizelge 4.23. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerle- ri için frekans değerleri ....................................................................... 69 Çizelge 4.24. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerle- ri için frekans değerleri ....................................................................... 69 Çizelge 4.25. Simetrik olmayan sınır şartlarında, α = 0,3 - 0,5 - 0,7 ve e = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerleri için frekans değerleri .......................................... 70 Çizelge 4.26. Simetrik olmayan sınır şartlarında, α = 0,3 - 0,5 - 0,7 ve e = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 değerleri için frekans değerleri .................................. 71 xii Çizelge 4.27. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 değerleri için frekans değerleri .................................................. 72 Çizelge 4.28. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 değerleri için frekans değerleri ................................................... 72 Çizelge 4.29. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,1 - 0,3 - 0,5 - 0,7 - 0,9 değerleri için frekans değerleri ................................................... 73 Çizelge 4.30. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerleri için frekans değerleri ........................................................... 73 Çizelge 4.31. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerleri için frekans değerleri ........................................................... 74 Çizelge 4.32. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 değerleri için frekans değerleri ........................................................... 74 xiii 1. GİRİŞ Sabit veya değişken kesitli çubukların boyuna titreşimi ile kirişlerin yanal titreşimleri birçok alanda kullanım olanaklarından dolayı uzun süredir ilgi görmektedir. Bu ilginin başlıca sebepleri arasında çalışma şartlarına göre yapının hasara uğrayıp uğrayamayacağını bilmek ya da yapı üzerinde herhangi bir kusur var mı sorusuna cevap verebilmek gelmektedir. Bir yapının doğal frekansı ile dışarıdan tahrik ile uyarılmış yapının frekansı aynı olursa, yapıda aşırı yer değiştirmeler ve hasar oluşur. Bu olaya rezonans denilmektedir. Bu olay yaşanması istenmeyen bir durum olduğundan, yapının tasarım ya da işletme durumunda değişiklikler yapılarak, çalışma esnasındaki frekanslarının yapının doğal frekansları ile çakışmaması için çeşitli önlemler alınması gerekebilmektedir. Bu sebeple yapıların hem doğal frekansları hem de zorlanmış frekanslarının hesabına yönelik birçok araştırmacı uzun yıllardır çalışmalar yapmaktadır. Birçok yapı basitleştirilmiş şekilde çubuk ve kiriş elemanlar ile modellenebilmektedir. Bu sebeple çubukların ve kirişlerin titreşim problemleri analitik veya sayısal olarak birçok çalışmada incelenmiştir. Doğrudan yapının frekanslarının elde edilmesi çalışmalarının yanında son yıllarda yine yapıların frekanslarına göre, o yapı üzerinde herhangi bir çatlak gibi yapıdaki sürekliliği bozan kusurların var olup olmadığı da çalışılmaktadır. Bunun için de yapının bilinen frekansları üzerinden analizler gerçekleştirilebilmektedir. Bu tez çalışması kapsamında değişken kesitli çubukların boyuna titreşimleri ile çatlaklı Timoshenko kirişlerin yanal titreşimleri incelenmiştir. Çubuklar için yapılan çalışmada, dış kuvvet etkisi olmadığı durum için bulunan diferansiyel denklem, bir dönüşüm denklemi kullanılarak Riccati diferansiyel denklem tipine dönüştürülmüş ve elde edilen bu denklemin çözümü için de daha önce bu tip diferansiyel denklemlerin çözümü için Pala ve Ertas (2017) tarafından geliştirilen bir yöntem temel alınmıştır. Bu yöntem kullanıldığında arada başka dönüşüm denklemleri kullanılmakta olup sonucunda ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemin çözülmesi gerekmektedir. Bu ikinci mertebeden 1 diferansiyel denklemin tipi çubuğun kesit alanına bağlı olarak sabit katsayılı veya değişken katsayılı olabilmekte, buna bağlı olarak da analitik olarak çözüm elde edilebilecek olan kesit tiplerinin belirlenebilmesinin imkânını sağlamaktadır. Bu düşünce ile çözümü rahatlıkla elde edilebilecek en basit formda olan sabit katsayılı ikinci mertebeden diferansiyel denklemi getirecek bazı değişken kesit alanlarına sahip çubukların serbest titreşimleri incelenmiştir. İlave olarak değişken katsayılı olduğu durum için de bir örnek verilmiştir. Önerilen bu yeni yöntem analitik veya sayısal olarak çözülebilecek kiriş tiplerinin belirlenebilmesine imkân sunarken, literatürdeki karmaşık çözüm yöntemlerine de bir alternatif oluşturmaktadır. Kiriş analizinde ise, daha bodur olarak tanımlanabilen, kesit alanı boyutlarının kirişin boyu ile kıyaslandığında küçük olmadığı kirişlerde kayma şekil değişimlerinin ve dönme ataletlerinin de ihmal edilmeden hesaplara dahil edilmesi gerekmektedir (Rao, 2011). Bu sebeple bu etkilerin de hesaba katıldığı Timoshenko kiriş teorisi bu çalışmada kullanılmıştır. Üzerinde keyfi sayıda tek taraflı çatlak bulunan elastik sınır şartlarına ve uçlarında yay kütle damper sistemine sahip Timoshenko kirişlerin doğal frekansları transfer matris yöntemi kullanılarak bulunmuş, daha sonra sınır şartları ile çatlak derinliği ve konumu gibi parametrelerin doğal frekanslar üzerine etkileri sayısal örnekler ile gösterilerek hakkında fikir sahibi olunulması istenilmiştir. 2 2. KURAMSAL TEMELLER ve KAYNAK ARAŞTIRMASI 2.1. Kaynak Özetleri Çubukların boyuna titreşimi için literatürde analitik ve sonlu elemanlar (FEM), diferansiyel kuadratür (DQM), Pseudo-spectral yöntemi, diferansiyel transform yöntemi gibi sayısal çözümler mevcuttur. Raman (1983) kesiti eksenel yönde değişen çubukların analitik çözümlerini incelemiştir. Çubuk için yazılan hareket denklemi ile Schrödinger ve Sturm-Liouville denklemleri arasında ilişki kurmaya yardımcı dönüşümler kullanarak analizi gerçekleştirmiştir. Eisenberger (1991) değişken kesitli yapıların eksenel katılıklarının bulunması için bir yöntem sunmuş ve boyuna titreşen çubukların frekanslarının bulunması için çözüm yapmıştır. Bapat (1995) keyfi sayıda düzgün olarak değişen kirişlerden oluşan sistemin boyuna titreşimi için bir yaklaşım geliştirmiştir. Sabit kesitli, konik, üstel ve katenoidal değişen kesitleri incelemiştir. Abrate (1995) bazı değişken kesitli çubukların hareket denklemlerinin dalga denklemine dönüştürülebileceğini göstermiştir. Sabit-serbest ve sabit-sabit sınır koşullarına sahip çubukların en düşük frekans modları kesit değişiminden etkilenirken yüksek modların daha az etkilendiği belirtilmiştir. Kumar ve Sujith (1997) polinom alan varyasyonlu çubuk ve sinüzoidal çubuklar için trigonometrik ve Bessel fonksiyonları gibi özel fonksiyonlar cinsinden çözüm elde etmiştir. Yüksek modlar için, doğal frekansların üniform çubuğun frekanslarına yakın olduğunu belirtilmiştir. Arndt ve ark. (2010) da yaptıkları çalışmada kesit alanı sinüzoidal ve polinom şeklinde değişen çubukların serbest boyuna titreşimlerini genelleştirilmiş sonlu elemanlar yöntemini kullanarak incelemiştir. 3 Zeng ve Bert (2001) boyuna titreşen sabit-serbest mesnetli konik (tapered bar) çubukların serbest titreşiminin elde edilmesi için diferansiyel dönüşüm yöntemi (DTM) uygulamıştır. Al Kaisy ve ark. (2007) genel değişken kesitli çubukların boyutsuz doğal frekansları ve normalleştirilmiş mod şekillerini, serbest-sabit mesnetli sınır şartlarına sahip çubuk için diferansiyel kuadratür yöntemini (DQM) kullanarak elde etmiştir. Caliò ve Elishakoff (2008) sabit-sabit, sabit-serbest ve serbest-serbest sınır şartlarında homojen olmayan çubukların doğal frekansları için trigonometrik kapalı form (closed-form) çözümlerini incelemiştir. Pillutla ve ark. (2018) değişken kesit ve eksenel yönde değişen Elastisite modülü ve yoğunluk gibi malzeme özelliklerine sahip çubukların serbest boyuna titreşimlerini pseudospectral yöntemi kullanarak incelemiştir. Guo ve Yang (2011) değişken kesitli çubukların serbest titreşimini incelemiş ve önerdiği yöntem ile WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) yöntemini kıyaslamıştır. Değişken kesitli çubuklar için WKB yönteminin daha basit olduğunu ama önerilen yöntemdeki seri çözüm yakınsama hızlarının daha yüksek olduğunu belirtmiştir. Guo ve Yang (2015) seri çözümler ile değişken kesitli çubukların serbest ve zorlanmış titreşimlerini incelemiş, frekans denklemi ve serbest titreşimdeki mod fonksiyonunu elde etmiştir. Yardimoglu ve Aydin (2011) trigonometrik fonksiyonların n katları şeklinde değişen kesit alana sahip çubukların serbest titreşimlerini incelemiştir. Çalışmada dönüşüm fonksiyonu kullanılarak tam analitik çözümler elde edilmiş; sabit-sabit, sabit-serbest ve serbest-serbest sınır şartları için frekans denklemleri bulunmuştur. Li (2000) çok kademeli üniform olmayan çubukların serbest titreşimlerini incelemiştir. Tek kademeli çubukların kapalı form çözümleri ile transfer matris yöntemini kullanarak çok kademeli üniform olmayan çubuklar için tek bir frekans denklemi elde edilmiştir. 4 Xu ve ark. (2019) değişken kesitli ve elastik sınırlandırılmış (elastically restrained) çubuklara Fourier seri çözümünü uygulamıştır. Alan değişimi Fourier kosinüs serisi şeklinde ifade edilerek çözüm geliştirilmiştir. Çatlaklı kirişlerin analizinde, çatlak bölgelerinde oluşan süreksizliklerin tanımlanması için kütlesiz ve boyutsuz yaylar kullanılarak modellemeler yapılmaktadır. Literatürde çatlak bölgelerinde hem yer değiştirme hem de dönme açısındaki süreksizlikleri modellemek için çatlak noktasından ayrıldığı farz edilen kirişlerin birbirlerine hem burulma hem de lineer yay ile bağlı oldukları varsayımı ile çözümler yapıldığı gibi (Chen ve ark., 2019; Chouiyakh ve ark., 2017; Kim ve ark., 2018; Loya ve ark., 2006; Sarvestan ve ark., 2017), sadece dönme açısındaki süreksizliğin olacağı varsayımı ile de analizler gerçekleştirilmiştir (Khaji ve ark., 2009; Lin, 2004). Loya ve ark. (2006) basit mesnetli çatlaklı Timoshenko kirişlerin doğal frekanslarını doğrudan diferansiyel denklemlerin çözümü ve pertürbasyonlar teorisini kullanarak elde etmiş ve sonuçları karşılaştırmıştır. Kiriş iki parça ve aralarında hem lineer hem de burulma yayı varmış gibi modellenmiş olup kompatibilite şartları eğilmeden dolayı oluşan açı ile yanal yer değiştirmelerdeki süreksizlikleri içermektedir. Küçük çatlak derinliklerinde iki yöntem yakın sonuçlar verse de pertürbasyon teorisi ile elde edilen sonuçların daha sade ifadelerden oluştuğu için çözüm kolaylığı sağladığı belirtilmiştir. Loya ve ark. (2022) Winkler zemini üzerindeki çatlaklı Timoshenko kirişlerin serbest titreşim analizini incelemiştir. Kiriş çatlak bölgesinden ayrılmış iki kiriş gibi düşünülmüş ve birbirlerine dönme ve ötelenme yayları ile bağlı olduğu şeklinde modellenmiş olup daha önce yapılan daha basit çatlak modelleri kullanan çalışmalar ile sonuçlar karşılaştırılmıştır. Çatlağı sadece burulma yayı kullanarak modelleyen analizlerde kiriş katılığı daha yüksek olmakta ve iki model sonuçları arasındaki farklar çatlak derinliği ve mod sayısının artması ile artmaktadır. Çatlak tespitlerinde kullanılmak üzere, elastik zemin üzerindeki dikdörtgen kesitli kirişlerin yüksek doğal frekanslarının daha hassas tespiti için kesme etkisinin de göz önünde bulundurulması gerektiği belirtilmiştir. De Rosa ve Lippiello (2021) esnek sınır şartlarına sahip elastik zemin üzerindeki çatlaklı ve çatlaksız kirişlerin titreşimlerini incelemiştir. Çatlak sadece burulma yayı varmış gibi 5 modellenmiştir. Çalışmada Timoshenko ve Euler-Bernoulli kiriş teorileri arasında bir ilişki kurulması önerilmiştir. Yardımcı fonksiyon kullanarak, Winkler zemini üzerindeki Timoshenko kirişler için denklemler Pasternak zeminindeki Euler-Bernoulli kiriş modeli cinsinden elde edilmiştir. Aydın (2007) eksenel yüklemeli keyfi sayıda çatlaklı Timoshenko kirişlerin titreşim frekans ve mod şekillerinin bulunması için bir analitik yaklaşım sunmuştur. Yapılan çalışmada çatlak modelinde kütlesiz burulma yayı kullanılmış olup klasik sınır şartlarının yanında noktasal kütleli deforme olabilir sınır şartları da incelenmiştir. Shafiei ve Khaji (2011) keyfi sayıda çatlak bulunduran ve sabit hıza sahip hareketli noktasal yükleme ile uyarılan kirişin zorlanmış titreşimini analitik olarak incelemiştir. Timoshenko kiriş teorisi kullanılmış ve çatlak için sadece burulma yayı ile modelleme yapılmıştır. Çatlak parametrelerinin ve hareketli yükün etkisi incelenmiştir. Khaji ve ark. (2009) çatlak tespitinde (çatlak pozisyonu ve derinliği) kullanılmak üzere bir analitik yaklaşım geliştirmiştir. Altı farklı sınır şartı için incelemeler yapılmış olup, doğal frekansların bulunması için geliştirilen yöntemin sonuçları ile sonlu elemanlar sonuçları kıyaslanmış ve uyumlu olduğu gösterilmiştir. Önerilen tersine çözüm yönteminde ise doğal frekanslar bilindiği takdirde çatlak bilgilerinin ufak hatalar ile tahmin edilebileceği ve önerilen yöntem ile çatlak yerini, çatlak derinliğine göre daha az hata ile tahmin edildiği gösterilmiştir. Ghannadiasl ve Khodapanah Ajirlou (2022) çok çatlaklı Timoshenko kirişlerin dinamik cevabını araştırmıştır. Green fonksiyonu yöntemi hesaplarda kullanılmış olup çatlak parametrelerinin etkisi incelenmiştir. Timoshenko kirişlerin sönümlü titreşimleri üzerine de çalışmalar yapılmıştır. Sorrentino ve ark. (2007) genelleştirilmiş viskoz sönüm dağılımına sahip sürekli sistemlerin titreşim analizi için analitik bir yöntem geliştirmiş ve Timoshenko kirişlere uygulamıştır. 6 Zietsman ve ark. (2004) sönüm mesnetinin, serbest ucunda katı cisim bulunan konsol Timoshenko kirişlerine etkisini ele almıştır. Değişken kesitli kirişlerin titreşimi her zaman üzerine çalışılan konulardan olmakla birlikte son yıllarda değişken kesitli Timoshenko kirişlerin titreşimi üzerine çalışmalar devam etmektedir. Yuan ve ark. (2016) homojen olmayan ve değişken kesitli Timoshenko kirişlerin serbest titreşimi için yeni bir yöntem geliştirmiştir. Kesme kuvveti ile eğilme açısı arasında bir ilişki tanımlayarak birbirine bağımlı değişken katsayılı iki diferansiyel denklemi, Sturm–Liouville tipi birbirinden bağımsız iki farklı ikinci mertebeden diferansiyel denklem şeklinde ifade etmiş ve bazı uygulamalarını göstermiştir. 2.2. Çubukların Boyuna Titreşimi Birim uzunluk başına etkiyen dış kuvvet (𝑓(𝑥, 𝑡)) etkisi altında, 𝐿 uzunluğunda ve değişken kesitli (𝐴(𝑥)) boyuna titreşen bir çubuktan seçilen sonsuz küçük eleman üzerine etkiyen kuvvetler Şekil 2.1’de gösterilmiştir. 𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑃 𝑃 + 𝑑𝑃 𝑢 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 + 𝑑𝑢 𝐿 Şekil 2.1. Boyuna titreşen çubuk üzerinden seçilen sonsuz küçük eleman 7 𝜎 eksenel gerilme, 𝑢 eksenel yer değiştirme, 𝐸 elastisite modülü, 𝜌 yoğunluk ve 𝜀 birim şekil değiştirme olmak üzere, 𝑥 ekseni doğrultusunda hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir: 𝜕2𝑢 ∑𝐹 = 𝑚𝑎 → (𝑃 + 𝑑𝑃) − 𝑃 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (2.1) 𝑥 𝜕𝑡2 Gerekli sadeleştirmeler yapılarak 𝜕2𝑢 𝑑𝑃 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (2.2) 𝜕𝑡2 ve 𝜕𝑃 𝜕2𝑢 + 𝑓 = 𝜌𝐴(𝑥) (2.3) 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 olarak yazılabilir. Çubuk içerisinde oluşacak olan eksenel kuvvet (𝑃) gerilme cinsinden 𝑃 = 𝜎𝐴(𝑥) şeklinde ifade edilir. Bu denklemde, Hooke kanunu kullanılarak 𝜎 = 𝐸𝜀 ve 𝜀 = 𝜕𝑢/𝜕𝑥 ifadeleri yerlerine yazılır ise 𝜕𝑢 𝑃 = 𝐸𝐴(𝑥) (2.4) 𝜕𝑥 denklemi elde edilir. Elde edilen bu ifade denklem (2.3)’te yerine yazılır ise 𝜕 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 [𝐸𝐴(𝑥) ] + 𝑓 = 𝜌𝐴(𝑥) (2.5) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 şeklinde çubukların boyuna titreşimi için genel ifadesi bulunur. 8 2.3. Timoshenko Kiriş Teorisi Bir kiriş üzerinden alınan sonsuz küçük bir eleman üzerine etkiyen iç kuvvetler Şekil 2.2’de gösterildiği gibidir. Burada; 𝑉(𝑥, 𝑡) kesme kuvveti, 𝑀(𝑥, 𝑡) eğilme momenti, 𝑓(𝑥, 𝑡) kiriş üzerine etkiyen yayılı dış kuvvettir. 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑀𝑍 𝑀𝑍 + 𝑑𝑀𝑧 𝑦 𝛾 𝜕𝑦 𝜃𝑧 𝜕𝑥𝑥 𝑉 O 𝑧 𝑉 + 𝑑𝑉 Şekil 2.2. Timoshenko kiriş diferansiyel elemanı. Sonsuz küçük eleman üzerine etkiyen kuvvet ve momentler serbest cisim diyagramında gösterilmiş olup, bu elemanlar için 𝑦 doğrultusundaki kuvvet ve 𝑧 ekseni etrafındaki hareketin moment denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir: 𝜕2𝑦 ∑𝐹 = 𝑚𝑎 → (𝑉 + 𝑑𝑉) − 𝑉 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (2.6) 𝑦 𝜕𝑡2 𝜕2𝑦 𝑑𝑉 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (2.7) 𝜕𝑡2 𝑑𝑥 𝜕2𝜃z ∑𝑀𝑜 = 𝐼𝛼 → (𝑀z + 𝑑𝑀z) − 𝑀z + (𝑉 + 𝑑𝑉)𝑑𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐼(𝑥)𝑑𝑥 (2.8) 2 𝜕𝑡2 𝑑𝑥 𝜕2𝜃z 𝑑𝑀z + 𝑉𝑑𝑥 + 𝑑𝑉𝑑𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐼(𝑥)𝑑𝑥 (2.9) 2 𝜕𝑡2 Denklem (2.7) ve (2.9)’da 𝑑𝑉 ve 𝑑𝑀z ifadeleri yerine 𝜕𝑉 𝜕𝑀z 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 , 𝑑𝑀z = 𝑑𝑥 (2.10) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 9 eşitliklerini yazarak 𝜕𝑉 𝜕2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥 (2.11) 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 ve 𝜕𝑀𝑧 𝜕𝑉 𝑑𝑥 𝜕 2𝜃z 𝑑𝑥 + 𝑉𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = 𝜌𝐼(𝑥)𝑑𝑥 (2.12) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡2 denklemleri elde edilir. Bu eşitliklerde 𝑑𝑥’in ikinci dereceli ifadeleri ihmal edilir ve düzenlenirse 𝜕𝑉 𝜕2𝑦 + 𝑓 = 𝜌𝐴(𝑥) (2.13) 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 𝜕𝑀 2z 𝜕 𝜃𝑧 + 𝑉 = 𝜌𝐼(𝑥) (2.14) 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 olarak bulunur. 𝐺 kayma modülü, 𝐸 elastisite modülü ve 𝑘 Timoshenko kayma katsayısı olmak üzere, eğilme momenti 𝜕𝜃z(𝑥, 𝑡) 𝑀z(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐼(𝑥) (2.15) 𝜕𝑥 ve kesme kuvveti 𝑉 𝜏 = 𝑘𝐺𝛾 = → 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑘𝐴(𝑥)𝐺𝛾 (2.16) 𝐴 şeklinde yazılabilir. Şekil 2.2’den de görüleceği üzere kayma açısı 𝛾 = 𝜕𝑦/𝜕𝑥 − 𝜃z olarak ifade edilebilmekte olup, bu ifade kesme kuvveti denkleminde yerine yazılırsa kesme kuvveti için aşağıdaki denklem elde edilir: 10 𝜕𝑦 𝑉 = 𝑘𝐴(𝑥)𝐺 ( − 𝜃 ) (2.17) 𝜕𝑥 z (2.13) ve (2.14) denklemlerinde eğilme momenti ve kesme kuvveti ifadeleri yerlerine yazılırsa 𝜕 𝜕𝑦 𝜕2𝑦 [𝑘𝐴(𝑥)𝐺 ( − 𝜃 )] + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐴(𝑥) (2.18) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 z 𝜕𝑡2 𝜕 𝜕𝜃 2𝑧 𝜕𝑦 𝜕 𝜃𝑧 [𝐸𝐼(𝑥) ] + 𝑘𝐴(𝑥)𝐺 ( − 𝜃z) = 𝜌𝐼(𝑥) (2.19) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 denklemleri elde edilir. Üniform kiriş için bu denklemler 𝜕2𝑦 𝜕𝜃 𝜕2𝑧 𝑦 𝑘𝐴𝐺 ( − ) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐴 (2.20) 𝜕𝑥2 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 𝜕2𝜃z 𝜕𝑦 𝜕 2𝜃z 𝐸𝐼 + 𝑘𝐴𝐺 ( − 𝜃 𝜕𝑥2 𝜕𝑥 z ) = 𝜌𝐼 (2.21) 𝜕𝑡2 şeklinde yazılabilirler. Elde edilen bu iki denklemi tanımlanan sınır şartları için beraber çözerek 𝑦(𝑥, 𝑡) ve 𝜃z(𝑥, 𝑡) ifadeleri elde edilebilinir. 11 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimi Çubukların boyuna titreşimi için genel hareket denklemi önceki bölümde denklem (2.5) şeklinde elde edilmişti. Dışarıdan bir kuvvet etkisinde olmayan değişken kesitli bir çubuk için diferansiyel denklem 𝜕 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 [𝐸𝐴(𝑥) ] = 𝜌𝐴(𝑥) (3.1) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 olarak yazılabilir. Burada 𝑢, 𝐸, 𝐴(𝑥), 𝜌 sırasıyla; eksenel yer değiştirme, elastisite modülü, kesit alanı ve yoğunluğu ifade etmektedir. Çözüm için eksenel yer değiştirme ifadesi 𝑢 = 𝜙(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.2) olarak kabul edilirse, (3.1) denklemi 𝑑2𝜙 1 𝑑𝐴 𝑑𝜙 𝜌 + ( ) + 𝜔2𝜙 = 0 (3.3) 𝑑𝑥2 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐸 olarak elde edilir. Kesit alanının ifadesine bağlı olarak, kesit alanı ve türevini içeren eşitlikteki ikinci terimin varlığı diferansiyel denklemi çözümünü bildiğimiz denklem tiplerinden farklılaştırabilmekte ve bu sebepten çözümünü zorlaştırmaktadır. Bu sorunun üstesinden gelmek için, Pala ve Ertas (2017) tarafından geliştirilen Riccati diferansiyel denklem çözümü temel alınmak istenmiş ve bunun için 𝜙(𝑥) = 𝑒∫𝑣𝑑𝑥 (3.4) dönüşümü önerilmiştir. Bu dönüşüm ile (3.3) denkleminin Riccati diferansiyel denklem formuna indirgenmesi amaçlanmaktadır. Burada 𝑣 daha sonra bulunacak bir 12 fonksiyondur. (3.4) ifadesini ve 𝑥’e göre türevlerini (3.3) denkleminde yazar ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa 𝐴′ 𝑣′ + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑘1 = 0 (3.5) 𝐴 denklemi elde edilir. Burada 𝑘1 = 𝜌𝜔 2/𝐸 olarak tanımlanmıştır. Denklem (3.5) görüldüğü üzere Riccati diferansiyel denklemi formatında olup, bu tip denklemlerin analitik olarak çözümü için bazı yöntemler mevcut olsa da Pala ve Ertas (2017) tarafından geliştirilen ve daha genel bir çözüm elde etmek için önerilen yöntem bu bölümde (3.5) denkleminin çözümü için kullanılacaktır. Belirtilen çalışmada 2𝑓′ 𝑔′ 𝑓′′ 𝑣′ + [ + ] 𝑣 + 𝑔𝑣2 + = 𝑠(𝑥) (3.6) 𝑓 𝑔 𝑓𝑔 şeklindeki denklemler için bir dönüşüm denklemi önerilmiş (EK 1) ve bu dönüşüm denklemi kullanılarak ′′ 𝑦 − 𝑔𝑠𝑦 = 0 (3.7) denklemine dönüştürülmüş olur. Bu denklem, çözülmek istenen Riccati diferansiyel denkleminin önerilen yöntem ile çözülüp çözülemeyeceği hakkında fikir vermekle birlikte, bu denklemin çözümü ve devamında ters dönüşüm yapılarak 1 𝑑 𝑦 𝑣(𝑥) = [ln ] (3.8) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑓 olarak, (3.6) denklemi için bulunmak istenen sonuç elde edilir. (3.5) ve (3.6) denklemlerine bakılır ise aşağıdaki eşitliklerin sağlanması ile bu iki denklemin birbirinin aynısı olduğu görülmektedir. 13 2𝑓′ 𝑔′ 𝐴′ + = (3.9) 𝑓 𝑔 𝐴 𝑔 = 1 (3.10) 𝑓′′ − 𝑠 = 𝑘1 (3.11) 𝑓𝑔 (3.10) denklemi (3.9) denkleminde yerine yazılır ve çözülürse 𝑓(𝑥) = 𝑐√𝐴(𝑥) (3.12) olarak bulunabilir. Burada 𝑐 sabit bir sayıdır. Bulunan 𝑓(𝑥) ve ikinci türevini denklem (3.11)’de yerlerine yazarak 𝑠(𝑥) 2 1 𝐴′′ 1 𝐴′ 𝑠(𝑥) = [ − ( ) ] − 𝑘 (3.13) 2 𝐴 2 𝐴 1 şeklinde elde edilir. Elde edilen bu ifade (3.7) denkleminde yazılırsa 1 𝐴′′ 2 ′′ 1 𝐴 ′ 𝑦 − ( [ − ( ) ] − 𝑘1)𝑦 = 0 (3.14) 2 𝐴 2 𝐴 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümünden elde edilen 𝑦 ile 𝑓 ifadeleri, (3.8) denkleminde yazılarak çözülür ise 𝑣(𝑥) elde edilir. Elde edilen 𝑣(𝑥), denklem (3.4)’te tanımlanan dönüşüm denkleminde yerine yazılır ise 𝑦 𝜙(𝑥) = (3.15) 𝑓 olarak ve dolayısıyla eksenel yer değiştirme de 14 𝑦 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.16) 𝑓 şeklinde bulunmuş olur. 3.1.1. Sabit kesitli bir çubuğun boyuna titreşimi Önceki bölümde literatürdeki daha önce geliştirilen Riccati diferansiyel denklem çözümüne dayanarak değişken kesitli bir çubuğun titreşim analizi için gerekli denklem çıkarımları gerçekleştirilmişti. Yöntemin doğruluğunun ve kullanımının gösterilmesi açısından basit bir örnek olarak, sabit kesitli bir çubuğun titreşim analizi bu bölümde gösterilmek istenmiştir. Bir ucu sabit diğer ucu serbest olacak şekilde mafsallanmış ve kesit alanı 𝐴 = 𝐴0 olan bir çubuğun boyuna titreşim yaptığı varsayılsın. Bu durumda (3.14) denklemi ′′ 𝑦 + 𝑘1𝑦 = 0 (3.17) şeklinde elde edilir. Bu denklemin çözümü 𝑦(𝑥) = 𝐴1 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵1 sin√𝑘1𝑥 (3.18) olarak elde edilir ve (3.12) denklemi kullanılarak da 𝑓(𝑥) = 𝑐1√𝐴0 olarak bulunur. (3.16) denklemi kullanılarak eksenel yer değiştirme aşağıdaki şekilde elde edilir: 𝐴1 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵1 sin√𝑘1𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.19) √𝐴0 Bu çubuğun doğal frekanslarını bulmak için sınır şartları uygulanırsa; ilk sınır şartı (𝑢(0, 𝑡) = 0) 𝐴1 = 0 olmasını gerektirir. Serbest uç için yazılan ikinci sınır şartı (𝜕𝑢(𝐿, 𝑡)/𝜕𝑥 = 0) gereği 𝐵1√𝑘1 cos√𝑘1𝐿 = 0 eşitliği sağlanmalıdır. Daha önceki bölümde 𝑘1 = 𝜌𝜔 2/𝐸 olarak tanımlandığı hatırlatılarak çubuğun doğal frekansı 15 (2𝑛 + 1)𝜋 𝐸 𝜔𝑛 = √ , 𝑛 = 0,1,2… (3.20) 2𝐿 𝜌 olarak elde edilir. Bulunan bu sonuç literatürdeki (Rao, 2011) verilen sonuç ile aynıdır. 𝟐 3.1.2. Kesit alanı değişimi 𝑨(𝒙) = (√𝑨𝟎 + 𝒄𝒙) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi 2 Bu bölümde kesit alanı 𝐴(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑥) şeklinde değişen bir çubuğun boyuna titreşimi incelenmek istenmektedir. Kesit alanının bu şekilde seçilmesinin amacı denklem (3.14)’deki 𝐴′′/𝐴 − 𝐴′2/2𝐴2 ifadesinin sıfıra eşitlenmek istenmesidir. Bu ifadenin sıfıra eşit olması ile (3.14) denklemi aşağıdaki formunu alır: ′′ 𝑦 + 𝑘1𝑦 = 0 (3.21) Bu denklemin çözümünden 𝑦(𝑥) = 𝐴2 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵2 sin√𝑘1𝑥 (3.22) elde edilir. (3.12) denkleminde 𝑓(𝑥) = 𝑐√𝐴(𝑥) olarak belirtilmişti. Bu denklem kullanılarak 𝑓 = 𝑐1(√𝐴0 + 𝑐𝑥) (3.23) şeklinde bulunur. Böylelikle eksenel yer değiştirme 𝐴2 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵2 sin√𝑘1𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.24) √𝐴0 + 𝑐𝑥 olarak elde edilir. Bir önceki bölümde olduğu gibi çubuğun bir ucunun sabit, diğer ucunun serbest olduğu varsayılır ise sınır şartları aşağıdaki gibidir: 16 𝜕𝑢(𝐿, 𝑡) 𝑢(0, 𝑡) = 0 , = 0 (3.25) 𝜕𝑥 İlk sınır şartı gereği 𝐴2 = 0 olarak bulunur. İkinci sınır şartı gereği 𝜕𝑢(𝐿, 𝑡) (𝐵2√𝑘1 cos√𝑘𝑖𝜔𝑡 1𝐿)(√𝐴0 + 𝑐𝐿) − 𝐵2𝑐 sin√𝑘1𝐿= 𝑒 { 2 } = 0 (3.26) 𝜕𝑥 (√𝐴0 + 𝑐𝐿) ve 𝐵2√𝑘1 cos√𝑘1𝐿 (√𝐴0 + 𝑐𝐿) − 𝐵2𝑐 sin√𝑘1𝐿 = 0 (3.27) bulunur. Gerekli sadeleştirmeler yapılır ve 𝑘1 = 𝜌𝜔 2/𝐸 olduğu da göz önünde bulundurulursa, çubuğun bu sınır şartları altındaki doğal frekans denklemi 𝜌 𝐸 1 𝜔𝑛√𝐸 (√𝐴0 + 𝑐𝐿) 𝜔𝑛 = √ arctan (3.28) 𝜌 𝐿 𝑐 [ ] şeklinde elde edilir. 3.1.3. Kesit alanı değişimi 𝑨(𝒙) = 𝑨 𝒆−𝒌𝟎𝒙𝟎 şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi 𝑘0 sabit bir değer olmak üzere, kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴 𝑒 −𝑘0𝑥 0 şeklinde olan bir çubuk için 𝐴′′ 𝐴′2 𝑘20 − = (3.29) 𝐴 2𝐴2 2 olarak bulunur. Böylelikle (3.14) denklemi 17 2 ′′ 𝑘0 𝑦 + [𝑘1 − ]𝑦 = 0 (3.30) 4 şeklinde yazılabilir. İşlem takip kolaylığı sağlaması için 𝑦’nin katsayısı 𝑎1 olarak tanımlansın. Bu durumda çözülecek diferansiyel denklem ′′ 𝑦 + 𝑎1𝑦 = 0 (3.31) olur. Burada 𝑎 21 = 𝑘1 − 𝑘0/4 olarak tanımlanmıştı. Diferansiyel denklemin çözümünden 𝑦(𝑥) = 𝐴3 cos√𝑎1𝑥 + 𝐵3 sin√𝑎1𝑥 (3.32) olarak bulunur. (3.12) denklemi kullanılarak 𝑓(𝑥) aşağıdaki gibi elde edilir: 𝑘0𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐 −√𝐴 𝑒 2 (3.33) 0 (3.16) denkleminde bu ifadeler yerlerine yazılırsa eksenel yer değiştirme ifadesi (𝐴3 cos √𝑎1𝑥 + 𝐵3 sin√𝑎1𝑥) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘 𝑥 (3.34) 𝑒− 0 2 olarak bulunmuş olur. Burada 𝐴3 = 𝐴3/𝑐√𝐴0 ve 𝐵3 = 𝐵3/𝑐√𝐴0 şeklinde tanımlanmışlardır. Sınır şartları önceki bölümlerde olduğu gibi bir ucu sabit diğer ucu serbest olduğu durumda 𝐴3 = 0 ve 𝑘0 √𝑎1 cos√𝑎1𝐿 + sin√𝑎1𝐿 = 0 (3.35) 2 olarak bulunur. Bulunan bu denklem çubuk için frekans denklemi olup, 𝛽1 = √𝑎1𝐿 ve 𝜁1 = 𝑘0𝐿 tanımlamaları ile 18 𝜁1 𝛽1 + tan𝛽1 = 0 (3.36) 2 şeklinde düzenlenmiş olarak yazılabilir. 3.1.4. Kesit alanı değişimi 𝑨(𝒙) = 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟐(𝒑𝒙 + 𝒓) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi Kesit alanı değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴 sinh20 (𝑝𝑥 + 𝑟) olan bir çubuk için 𝐴′′ 𝐴′2 − = 2𝑝2 (3.37) 𝐴 2𝐴2 olarak bulunur. Burada 𝑝 ve 𝑟 sabit sayılardır. Bu ifade (3.14) denkleminde yerine yazılır ise ′′ 𝑦 + (𝑘1 − 𝑝 2)𝑦 = 0 (3.38) şeklinde bulunur. Bulunan bu diferansiyel denklemin çözümünden 𝑦(𝑥) = 𝐴4 cos√𝑎2𝑥 + 𝐵4 sin√𝑎2𝑥 (3.39) elde edilir. Burada 𝑎 22 = 𝑘1 − 𝑝 olup bu değerin pozitif olduğu varsayılmıştır. (3.12) denkleminden faydalanılarak 𝑓(𝑥) = 𝑐√𝐴0 sinh(𝑝𝑥 + 𝑟) olarak elde edilir. Bulunan 𝑦(𝑥) ve 𝑓(𝑥) ifadeleri (3.16) denkleminde yerlerine yazılarak (𝐴4 cos √𝑎2𝑥 + 𝐵4 sin√𝑎2𝑥) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.40) sinh(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde bulunur. Burada 𝐴4 = 𝐴4/𝑐√𝐴0 ve 𝐵4 = 𝐵4/𝑐√𝐴0 olarak tanımlanmıştır. Önceki bölümlerde kullanılan aynı sınır şartları altında 𝐴4 = 0 ve 19 √𝑎2 cos√𝑎2𝐿 sinh(𝑝𝐿 + 𝑟) − 𝑝 sin√𝑎2𝐿 cosh(𝑝𝐿 + 𝑟) = 0 (3.41) olarak bulunur. 𝛽2 = √𝑎2𝐿 ve 𝜁2 = 𝑝𝐿 tanımlamaları yapılırsa frekans denklemi 𝛽2 tanh(𝜁2 + 𝑟) tan(𝛽2) = (3.42) 𝜁2 şeklinde elde edilir. 3.1.5. Kesit alanı değişimi 𝑨(𝒙) = 𝑨𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟐(𝒑𝒙 + 𝒓) şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi Bir önceki bölümde hiperbolik fonksiyon cinsinden tanımlanabilen kesite sahip bir çubuk için inceleme yapılmıştı. Bu bölümde ise kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴0 sin 2(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde değişen bir çubuğun analizi gerçekleştirilecektir. Bu ifade kullanılarak 𝐴′′ 𝐴′2 − = −2𝑝2 (3.43) 𝐴 2𝐴2 olarak bulunur. Elde edilen bu ifade (3.14) denkleminde yerine yazılarak 𝑦′′ + (𝑝2 + 𝑘1)𝑦 = 0 (3.44) ve bu denklemin çözümü 𝑎 23 = 𝑝 + 𝑘1 tanımlaması yapılarak 𝑦(𝑥) = 𝐴5 cos√𝑎3𝑥 + 𝐵5 sin√𝑎3𝑥 (3.45) şeklinde elde edilir. Denklem (3.12) kullanılarak 𝑓(𝑥) = 𝑐√𝐴0 sin(𝑝𝑥 + 𝑟) (3.46) olarak bulunur ve elde edilen 𝑦(𝑥) ve 𝑓(𝑥) ifadeleri denklem (3.16)’da yazılırsa 20 𝐴5 cos√𝑎3𝑥 + 𝐵5 sin√𝑎3𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.47) 𝑐√𝐴0 sin(𝑝𝑥 + 𝑟) elde edilir. 𝐴5 = 𝐴5/𝑐√𝐴0 ve 𝐵5 = 𝐵5/𝑐√𝐴0 olarak tanımlanırsa eksenel yer değiştirme 𝐴5 cos√𝑎3𝑥 + 𝐵5 sin√𝑎3𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.48) sin(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde bulunur. Bir ucu sabit diğer ucu serbest çubuk için sınır şartları uygulanırsa 𝐴5 = 0 ve √𝑎3 cos√𝑎3𝐿 sin(𝑝𝐿 + 𝑟) − 𝑝 sin√𝑎3𝐿 cos(𝑝𝐿 + 𝑟) = 0 olarak bulunur. 𝛽3 = √𝑎3𝐿 ve 𝜁3 = 𝑝𝐿 tanımları ile frekans denklemi 𝛽3 tan(𝜁3 + 𝑟) tan𝛽3 = (3.49) 𝜁3 olarak elde edilir. 3.1.6. Kesit alanı değişimi 𝑨(𝒙) = 𝑨𝟎(𝟏 − 𝒙) −𝟐 şeklinde olan bir çubuğun boyuna titreşimi 𝑥 ≠ 1 olmak üzere alan değişimi 𝐴(𝑥) = 𝐴0(1 − 𝑥) −2 olan bir çubuğun eksenel yer değiştirmesinin bulunması istenilmiş olsun. Bu durumda (3.12) ve (3.14) denklemleri 𝑐√𝐴0 𝑓 = (3.50) 1 − 𝑥 ve ′′ 2 𝑦 + (𝑘1 − )𝑦 = 0 (3.51) (1 − 𝑥)2 şeklinde yazılabilirler. Elde edilen bu diferansiyel denklem çözümünün sonucunda 21 √𝑘1𝑥2 − 2𝑘1𝑥 + 𝑘1 + 1 𝑦(𝑥) = (𝐴 𝑒−𝜅 + 𝐵 𝑒𝜅) (3.52) 𝑥 − 1 6 6 olarak bulunur. Burada takip kolaylığı için arctan(√𝑘1𝑥 − √𝑘1) 𝜅 = √−𝑘1 (𝑥 − ) (3.53) √𝑘1 şeklinde tanımlanmıştır. Elde edilen 𝑓(𝑥) ve 𝑦(𝑥) ifadeleri (3.16) denkleminde yerlerine yazılırsa eksenel yer değiştirme 𝑢(𝑥, 𝑡) = √𝑘 𝑥21 − 2𝑘1𝑥 + 𝑘1 + 1 (𝐴 −𝜅 𝜅 6𝑒 + 𝐵6𝑒 )𝑒 𝑖𝜔𝑡 (3.54) olarak elde edilir. Burada 𝐴6 = −𝐴6/𝑐√𝐴0 ve 𝐵6 = −𝐵6/𝑐√𝐴0 olarak tanımlanmıştır. 3.1.7. 𝑨′′/𝑨 − 𝑨′𝟐/(𝟐𝑨𝟐) ifadesinin sabit bir sayıya eşit olduğu durum Bundan önceki bölümlerde çubuk kesitinin eksen boyunca değişiminin bilindiği bazı durumlar için çözümler gerçekleştirildi. Bu bölümde ise kesit değişimini doğrudan vermektense (3.14) denkleminin çözümünü bulabileceğimiz durumları düşünüp 𝐴′′ 𝐴′2 − = 𝑘 (3.55) 𝐴 2𝐴2 olduğu durumun incelenmesi istenilmiştir. Burada 𝑘 keyfi bir sabit sayıdır. Bu denklemin çözümü için (3.55) denklemini biraz düzenleyerek 𝐴′′ 𝐴′2 1𝐴′2 − + = 𝑘 (3.56) 𝐴 𝐴2 2 𝐴2 22 şeklinde yazmak mümkündür. Eşitliğin sol tarafındaki ilk iki terim (𝐴′⁄𝐴) nın 𝑥’e göre türevi olduğu görülmektedir. Bu durumda 𝜗 = (𝐴′⁄𝐴) tanımlaması yapılırsa (3.56) denklemi 𝑑𝜗 1 + 𝜗2 = 𝑘 (3.57) 𝑑𝑥 2 şeklinde yazılabilir. Elde edilen bu denklem Riccati diferansiyel denklemi olup çözümü (𝑒√2𝑘𝑥 − 𝑒2√2𝑘𝑐1) 𝜗 = √2𝑘 (3.58) (𝑒2√2𝑘𝑐1 + 𝑒√2𝑘𝑥) olarak elde edilir. 𝜗 = 𝐴′/𝐴 tanımlaması daha önce yapılmıştı. Buna göre 𝐴′ (𝑒 √2𝑘𝑥 − 𝑒2√2𝑘𝑐1) = √2𝑘 (3.59) 𝐴 (𝑒2√2𝑘𝑐1 + 𝑒√2𝑘𝑥) olup bu diferansiyel denklemin çözümünden de 𝐴(𝑥) aşağıdaki belirtildiği şekilde elde edilmiş olunur: 2 𝐴(𝑥) = 𝑐2 (𝑒 √2𝑘𝑥 + 𝑐 −√2𝑘𝑥1) 𝑒 (3.60) Elde edilen kesit alanı ifadesinin 𝑐1, 𝑐2 ve 𝑘’ya bağlı olduğu görülebileceği gibi, buna bağlı olarak da bu ifadelerin farklı değerleri için farklı kesit şekillerinin elde edilebileceği görülmektedir. 𝑐1’in seçilmesi ile 𝑥 = 0’daki kesit alanı 𝐴(0)’ın bilinmesi durumunda 𝑐2 elde edilebilmekte olup, örnek oluşturması için bu ifadelerin farklı değerleri için bazı kesit değişimleri Şekil 3.1’de gösterilmiştir. 23 Şekil 3.1. Farklı 𝑘, 𝐴0 ve 𝑐1 için kesit alanı değişimleri. (3.60) denkleminde belirtilen kesit değişimine sahip çubukların boyuna titreşim problemi incelenecek olursa (3.14) denklemi ′′ 𝑘 𝑦 − ( − 𝑘 ) 𝑦 = 0 (3.61) 2 1 olarak yazılır. Bu denklemin çözümünden de 𝑦(𝑥) = 𝐴7 cos√𝑎4𝑥 + 𝐵7 sin√𝑎4𝑥 (3.62) şeklinde elde edilir. Burada 𝑎4 = 𝑘1 − 𝑘/2 tanımlaması yapılmıştır. (3.12) denkleminden 2 𝑓 = √𝑐 (𝑒√2𝑘𝑥 + 𝑐 ) 𝑒−√2𝑘𝑥2 1 olarak bulunur ve (3.62) denkleminde elde edilen 𝑦 ile birlikte (3.16) denkleminde yazılarak 𝐴7 cos √𝑎4𝑥 + 𝐵7 sin√𝑎4𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.63) √𝑐 (𝑒√2𝑘𝑥 + 𝑐 )𝑒−√𝑘/2𝑥2 1 elde edilir. 𝑥 = 0 noktasından sabit diğer ucu serbest bir çubuk düşünülürse sabit uçtaki yazılan sınır şartından 𝐴7 = 0 bulunurken, serbest uç için yazılan şarttan 24 √𝑎 cos√𝑎 𝐿 (𝑒√2𝑘𝐿 + 𝑐 )𝑒−√𝑘/2𝐿4 4 1 ) − sin√𝑎4𝐿 ((√2𝑘𝑒 √2𝑘𝐿−√𝑘⁄2𝐿) − √𝑘⁄2 𝑒−√𝑘⁄2𝐿 (𝑒√2𝑘𝐿 + 𝑐 (3.64) 1)) = 0 elde edilir. 3.1.8. Değişken kesitli kademeli bir çubuğun frekans analizi Önceki kısımlarda bazı kesit tipleri belirtilen değişken kesitli çubukların analizi gerçekleştirilmişti. Bu analiz için önerilen yöntem çubukların kademeli olması durumunda da kullanılabilmektedir. Örnek olması açısından Şekil 3.2’de görülen çift kademeli çubuk bu bölümde ele alınmıştır. 𝑦 𝑘 𝐸 , 𝐴 𝐸 , 𝐴 𝑠 1 1 2 2 𝑥 𝐿1 𝐿2 Şekil 3.2. Çift kademeli değişken kesitli çubuk. Kesit değişiminin her kademe için bölüm 3.1.2’ de incelen kesit değişimine benzer olarak 2 2 𝐴1(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐1𝑥) ve 𝐴2(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐2𝑥) olduğu varsayılmıştır. Çubuğun sol ucu lineer yay ile duvara bağlı iken sağ ucunun serbest olduğu düşünülmüştür. Her bir kademe için hareket denklemleri yazılırsa 25 𝜕 𝜕𝑢 21 𝜕 𝑢1 [𝐸1𝐴1(𝑥) ] = 𝜌1𝐴1(𝑥) , 0 < 𝑥 < 𝐿𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 1 (3.65) 𝜕 𝜕𝑢 𝜕22 𝑢2 [𝐸2𝐴2(𝑥) ] = 𝜌2𝐴2(𝑥) , 𝐿 < 𝑥 < 𝐿𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡2 1 1 + 𝐿2 (3.66) şeklinde elde edilir. Çubuğun ilk kısmının boyu 𝐿1, ikinci kısmının uzunluğu ise 𝐿2’dir. Bu denklemlerde 𝐴1(𝑥) ve 𝐴2(𝑥) sırasıyla çubuğun 0 − 𝐿1 ve 𝐿1 − (𝐿1 + 𝐿2) arasındaki parçalarının kesit alan değişimlerini göstermekte olup yine 𝜌1, 𝐸1 ve 𝜌2, 𝐸2 de benzer olarak yoğunluklarını ve Elastisite modüllerini göstermektedir. Çubuğun sınır ve süreklilik şartları için yazılan eşitlikler aşağıdaki gibidir: 𝜕𝑢1 𝐸1𝐴1 (0, 𝑡) = 𝑘𝑠𝑢1(0, 𝑡) , 𝑥 = 0 (3.67) 𝜕𝑥 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝐸1𝐴1 (𝐿1, 𝑡) = 𝐸2𝐴2 (𝐿1, 𝑡) , 𝑥 = 𝐿1 (3.68) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑢1(𝐿1, 𝑡) = 𝑢2(𝐿1, 𝑡) , 𝑥 = 𝐿1 (3.69) 𝜕𝑢2 𝐸2𝐴2 (𝐿1 + 𝐿2, 𝑡) = 0 , 𝑥 = 𝐿1 + 𝐿2 (3.70) 𝜕𝑥 2 Kesit alan değişimi 𝐴(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑥) olan kirişler için çözüm bölüm 3.1.2’de yapılmıştı. Bu çözüm sonuçlarına göre çubuğun tamamının aynı malzemeden olduğu kabul edilerek çubuğun her bir kısmı için eksenel yer değiştirme ifadelerini 𝐴8 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵8 sin√𝑘1𝑥 𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝑖𝜔𝑡, 0 < 𝑥 < 𝐿1 (3.71) √𝐴0 + 𝑐1𝑥 𝐴9 cos√𝑘1𝑥 + 𝐵9 sin√𝑘1𝑥 𝑢 (𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡2 , 𝐿1 < 𝑥 < 𝐿1 + 𝐿2 (3.72) √𝐴0 + 𝑐2𝑥 26 şeklinde elde etmek mümkündür. (3.71) ve (3.72) denklemleri (3.67)-(3.70) denklemlerinde kullanılırsa 𝑧1 −1 0 0 𝐴8 0 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝐵 [ 1 2 3 4]{ 8 0 } = { } (3.73) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝐴9 0 0 0 𝑝1 𝑝2 𝐵9 0 matris formunda elde edilir. Burada ara işlemlerden sonra boyutsuz ifadeler 𝐿2 √𝐴0 1 𝑘𝑠𝐿1 𝑐1 𝜁4 = , 𝑔1 = , Ω = √𝑘1𝐿1, 𝑧1 = ( + ) , 𝐿1 𝐿1 Ω 𝐴1(0)𝐸 𝑔1 cos Ω sinΩ cosΩ sinΩ 𝑟1 = , 𝑟2 = , 𝑟3 = − , 𝑟4 = − 𝑔1 + 𝑐1 𝑔1 + 𝑐1 𝑔1 + 𝑐2 𝑔1 + 𝑐2 𝑝1 = Ωsin(Ω(1 + 𝜁4)) (𝑔1 + 𝑐2(1 + 𝜁4)) + 𝑐2 cos(Ω(1 + 𝜁4)) 𝑝2 = −Ωcos(Ω(1 + 𝜁4)) (𝑔1 + 𝑐2(1 + 𝜁4)) + 𝑐2 sin(Ω(1 + 𝜁4)) (3.74) 𝑠1 = −Ωsin(Ω) (𝑔1 + 𝑐1) − 𝑐1 cos(Ω) 𝑠2 = Ωcos(Ω) (𝑔1 + 𝑐1) − 𝑐1 sin(Ω) 𝑠3 = Ωsin(Ω) (𝑔1 + 𝑐2) + 𝑐2 cos(Ω) 𝑠4 = −Ωcos(Ω) (𝑔1 + 𝑐2) + 𝑐2 sin(Ω) olarak tanımlanmışlardır. (3.73) denklemi göz önüne alındığında frekans denklemi katsayılar matrisinin determinantının sıfıra eşitlenmesi ile 𝑧3[𝑠2(𝑟3𝑝2 − 𝑟4𝑝1) − 𝑠3𝑟2𝑝2 + 𝑠4𝑟2𝑝1] + [𝑠1(𝑟3𝑝2 − 𝑟4𝑝1) − 𝑠3𝑟1𝑝2 + 𝑠4𝑟1𝑝1] (3.75) = 0 27 formunda elde edilir. Sınır şartı olarak sol ucun doğrudan sabit alınması durumunda 𝑘𝑠 sonsuz büyük düşünüldüğünde frekans denklemi 𝑠2(𝑟3𝑝2 − 𝑟4𝑝1) − 𝑠3𝑟2𝑝2 + 𝑠4𝑟2𝑝1 = 0 (3.76) olarak bulunabilir. 3.2. Timoshenko Kiriş Teorisi İçin Çözüm Dışarıdan etkiyen bir kuvvet etkisinde olmayan kiriş için (2.20) ve (2.21) denklemlerinin çözümünde, 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐿𝑌(𝑥)𝑒(𝑖𝜔𝑡) ve 𝜃z(𝑥, 𝑡) = Ψ(x)𝑒 (𝑖𝜔𝑡) kabulü yapılır ve denklemler düzenlenir ise 𝑑2𝑌 𝑑Ψ 𝑘𝐴𝐺 (𝐿 − ) = −𝜌𝐴𝐿𝜔2𝑌 (3.77) 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 𝑑2Ψ 𝑑𝑌 𝐸𝐼 + 𝑘𝐴𝐺 (𝐿 − Ψ) = −𝜌𝐼𝜔2Ψ (3.78) 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 elde edilir. (3.77) ve (3.78) denklem çözümlerinin kullanım kolaylığı sağlaması bakımından bu denklemlerin boyutsuzlaştırılması ve boyutsuz parametreler üzerinden analizi gerçekleştirilmesi için 𝜉 = 𝑥/𝐿 kabulü yapılmaktadır. Bu kabul altında düzenlenen denklemler 𝑘𝐴𝐺 (𝑌′′(𝜉) − Ψ′(𝜉)) = −𝜌𝐴𝐿𝜔2𝑌(𝜉) (3.79) 𝐿 𝐸𝐼 Ψ′′(ξ) + 𝑘𝐴𝐺(𝑌′(𝜉) − Ψ(ξ)) = −𝜌𝐼𝜔2Ψ(ξ) (3.80) 𝐿2 olarak elde edilir. Burada “ ′ ” ve “ ′′ ” , ifadelerin 𝜉’ye göre türevlerini göstermektedir. 28 (3.79) ve (3.80) denklemlerindeki Ψ(𝜉) ve türevlerine bağlı ifadeleri yok ederek sadece 𝑌(𝜉) ve türevlerini içeren aşağıdaki gibi tek bir denklem elde edilebilir: 𝑌𝚤𝑣(𝜉) + 𝑃𝑌′′(𝜉) + 𝑄𝑌(𝜉) = 0 (3.81) Burada boyutsuz doğal frekans Ω = 𝜔𝐿√𝜌⁄𝐸 tanımlaması ile 𝐸 Ω2𝐸 𝐴𝐿2 𝑃 = Ω2 ( + 1) , 𝑄 = Ω2 ( − ) (3.82) 𝑘𝐺 𝑘𝐺 𝐼 olarak ifade edilmiştir. (3.81) denkleminin çözümünden 𝑌(𝜉) = 𝐶1 sin 𝛽1𝜉 + 𝐶2 cos 𝛽1𝜉 + 𝐶3 sinh 𝛽2𝜉 + 𝐶4 cosh 𝛽2𝜉 (3.83) elde edilir. Burada Δ = 𝑃2 − 4𝑄 olmak üzere 𝑃 + √Δ −𝑃 + √Δ 𝛽1 = √ , 𝛽 = √ (3.84) 2 2 2 şeklinde tanımlanmışlardır. Elde edilen 𝑌(𝜉) ifadesini ve iki kere türevini (3.79) denkleminde yerine yazarak Ψ′(𝜉) = 𝑚1𝐶1 sin 𝛽1𝜉 + 𝑚1𝐶2 cos 𝛽1𝜉 + 𝑚2𝐶3 sinh 𝛽2𝜉 + 𝑚2𝐶4 cosh𝛽2𝜉 (3.85) elde edilir. Burada 𝑚1 ve 𝑚2 aşağıdaki belirtildiği şekilde tanımlanmışlardır: Ω2𝐸 Ω2𝐸 𝑚 = − 𝛽21 1 , 𝑚 = + 𝛽 2 (3.86) 𝑘𝐺 2 𝑘𝐺 2 (3.85) denkleminin integrali alınarak 29 Ψ(𝜉) = −𝑚1𝐶1 cos 𝛽1𝜉 + 𝑚1𝐶2 sin 𝛽1𝜉 + 𝑚2𝐶3 cosh𝛽2𝜉 + 𝑚2𝐶4 sinh 𝛽2𝜉 (3.87) ifadesi elde edilebilir. Burada 𝑚1 = 𝑚1/𝛽1 ve 𝑚2 = 𝑚2/𝛽2 olarak tanımlanmışlardır. Elde edilen 𝑌(𝜉) ve Ψ(𝜉) ifadeleri kiriş için belirtilen sınır şartları ifadelerinde kullanılarak kirişin frekans ve mod şekilleri elde edilebilir. Kesme kuvveti ve eğilme momentinin de boyutsuz 𝜉 değişkeni cinsinden ifadeleri aşağıdaki gibi bulunabilir: 𝑉(𝜉, 𝑡) = 𝑘𝐴𝐺𝑉(𝜉)𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.88) 𝐸𝐼 𝑀(𝜉, 𝑡) = 𝑀(𝜉)𝑒𝑖𝜔𝑡 (3.89) 𝐿 Burada 𝑉(𝜉) = (𝑌′(𝜉) − Ψ(ξ)) ve 𝑀(𝜉) = Ψ′(𝜉) olarak ifade edilir. (3.83) ve (3.87) denklemlerinden faydalanılarak kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları 𝑉(𝜉) = 𝐶1(𝛽1 +𝑚1) cos 𝛽1𝜉 − 𝐶2(𝛽1 +𝑚1) sin 𝛽1𝜉 + 𝐶3(𝛽2 −𝑚2) cosh𝛽2𝜉 (3.90) + 𝐶4(𝛽2 −𝑚2) sinh𝛽2𝜉 𝑀(𝜉) = 𝐶1𝛽1𝑚1 sin 𝛽1 𝜉 + 𝐶2𝛽1𝑚1 cos 𝛽1 𝜉 + 𝐶3𝛽2𝑚2 sinh 𝛽2 𝜉 (3.91) + 𝐶4𝛽2𝑚2 cosh𝛽2 𝜉 olarak bulunurlar. Elde edilen yer değiştirme, dönme açısı, moment ve kesme kuvveti fonksiyonlarının ifadelerini matris formunda aşağıdaki gibi yazmak mümkündür: {𝐙(𝜉)} = [𝑩(𝝃)]{𝐂} (3.92) Burada {𝐙(𝜉)} durum vektörü, {𝐂} sabit katsayılar vektörü olup 30 𝑌(𝜉) 𝐶1 Ψ(𝜉) 𝐶 {𝐙(𝜉)} = , {𝐂} = { 2} (3.93) 𝑀(𝜉) 𝐶3 𝑉( 𝜉) 𝐶{ } 4 ve [𝑩(𝜉)] sin 𝛽1𝜉 cos𝛽1𝜉 sinh𝛽2𝜉 cosh𝛽2𝜉 −𝑚1 cos𝛽1𝜉 𝑚1 sin 𝛽 𝜉 𝑚 (3.94) = [ 1 2 cosh𝛽2𝜉 𝑚2 sinh𝛽2𝜉 ] 𝛽1𝑚1 sin 𝛽1 𝜉 𝛽1𝑚1 cos𝛽1 𝜉 𝛽2𝑚2 sinh𝛽2  𝜉 𝛽2𝑚2 cosh𝛽2 𝜉 (𝛽1 +𝑚1) cos𝛽1𝜉 −(𝛽1 +𝑚1) sin𝛽1𝜉 (𝛽2 −𝑚2) cosh𝛽2𝜉 (𝛽2 −𝑚2) sinh𝛽2𝜉 şeklinde belirtilmiştir. Kirişin 𝜉 = 0 noktası için (3.92) denklemi {𝐙(0)} = [𝑩(0)]{𝐂} (3.95) şeklinde yazılabilir. Bu denklemden {𝐂} sabit katsayılar vektörü aşağıdaki gibi elde edilebilir: {𝐂} = [𝑩(0)]−𝟏{𝐙(0)} (3.96) Benzer olarak kirişin 𝜉 = 1 noktası için {𝐙(1)} = [𝑩(1)]{𝐂} (3.97) yazılabilir ve bu denklemde {𝐂} yerine (3.96) denkleminde elde edilen ifade yazılırsa {𝐙(1)} = [𝑩(1)][𝑩(0)]−𝟏{𝐙(0)} (3.98) şeklinde kirişin sınır şartlarına bağlı olarak elde edilir. 31 3.2.1. Timoshenko kirişleri için diklik (orthogonality) şartları (3.79) ve (3.80) denklemleri kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları cinsinden ′ 𝑘𝐴𝐺𝑉 (𝜉) = −𝐴𝐸Ω2𝑌(𝜉) (3.99) 𝐸𝐼 ′ 𝐸𝐼 𝑀 (𝜉) + 𝑘𝐴𝐺𝑉(𝜉) = − Ω2Ψ(ξ) (3.100) 𝐿2 𝐿2 formunda yazılabilmektedir. Timoshenko kirişlerin diklik (orthogonality) şartlarının bulunabilmesi için (3.99) ve (3.100) denklemleri 𝑛. mod için aşağıdaki gibi yazılır: ′ 𝑘𝐴𝐺𝑉 = −𝐴𝐸Ω2𝑛 𝑛𝑌 (3.101) 𝑛 𝐸𝐼 ′ 𝐸𝐼 𝑀𝑛 + 𝑘𝐴𝐺𝑉 2 𝑛 = − Ω𝑛Ψ𝑛 (3.102) 𝐿2 𝐿2 𝑌𝑚 ve Ψ𝑚 𝑚. mod için ifadeleri göstermekte olup, (3.101) denklemini 𝑌𝑚, (3.102) denklemini de Ψ𝑚 ile çarpıp 0-1 aralığında integrali alınır ve taraf tarafa toplanırsa 1 ′ 𝐸𝐼 ′ ∫(𝑘𝐴𝐺𝑉𝑛𝑌𝑚 + 𝑀𝑛Ψ𝑚 + 𝑘𝐴𝐺𝑉𝑛Ψ𝑚) 𝑑𝜉𝐿2 0 (3.103) 1 𝐸𝐼 = −Ω2𝑛∫(𝐴𝐸𝑌𝑛𝑌𝑚 + Ψ𝑛Ψ𝑚) 𝑑𝜉 𝐿2 0 eşitliği elde edilir. Aynı işlemler önce ana denklemlerin 𝑚. mod için yazılıp 𝑛. mod ifadeleri ile genişletilmesi sonucunda 32 1 ′ 𝐸𝐼 ′ ∫(𝑘𝐴𝐺𝑉𝑚𝑌𝑛 + 𝑀𝑚Ψ𝑛 + 𝑘𝐴𝐺𝑉𝑚Ψ𝑛) 𝑑𝜉𝐿2 0 (3.104) 1 𝐸𝐼 = −Ω2𝑚∫(𝐴𝐸𝑌𝑚𝑌𝑛 + Ψ𝑚Ψ𝑛) 𝑑𝜉 𝐿2 0 şeklinde yazılabilir. Bu iki denklem birbirinden çıkartılır ve düzenlenerek aşağıdaki formda elde edilir: 1 𝐸𝐼 (Ω2𝑛 − Ω 2 𝑚)∫(𝐴𝐸𝑌𝑛𝑌𝑚 + Ψ𝐿2 𝑛 Ψ𝑚) 𝑑𝜉 0 1 ′ ′ = ∫(𝑘𝐴𝐺 (𝑉𝑚𝑌𝑛 − 𝑉𝑛𝑌 + 𝑉 Ψ − 𝑉 Ψ ) (3.105) 𝑚 𝑚 𝑛 𝑛 𝑚 0 𝐸𝐼 ′ ′ + (𝑀 Ψ 𝐿2 𝑚 𝑛 −𝑀𝑛Ψ𝑚))𝑑𝜉 ′ ′ ′ ′ 𝑉𝑚𝑌𝑛, 𝑉𝑛𝑌𝑚, 𝑀𝑚Ψ𝑛 ve 𝑀𝑛Ψ𝑚 çarpımlarının integralleri için kısmi integrasyon yöntemi kullanılır ve düzenlenirse 1 𝐸𝐼 (Ω2𝑛 − Ω 2 𝑚)∫(𝐴𝐸𝑌𝑛𝑌𝑚 + Ψ𝑛Ψ𝑚) 𝑑𝜉𝐿2 0 1 1 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 1 = 𝑘𝐴𝐺𝑉𝑚𝑌𝑛| − 𝑘𝐴𝐺𝑉 𝑌 | + 𝑀 Ψ | − 𝑀 Ψ |0 𝑛 𝑚 0 𝐿2 𝑚 𝑛 0 𝐿2 𝑛 𝑚 0 1 (3.106) +∫𝑘𝐴𝐺 (𝑉 (𝑌′𝑛 𝑚 −Ψ𝑚) − 𝑉𝑚(𝑌 ′ 𝑛 −Ψ𝑛)) 𝑑𝜉 0 1 𝐸𝐼 + ∫ (𝑀𝑛Ψ ′ ′ 𝐿2 𝑚 −𝑀𝑚Ψ𝑛) 𝑑𝜉 0 elde edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki integrallerin içerisindeki terimler de düzenlenir ise 33 1 𝐸𝐼 (Ω2𝑛 − Ω 2 𝑚)∫(𝐴𝐸𝑌𝑛𝑌𝑚 + Ψ Ψ )𝑑𝜉𝐿2 𝑛 𝑚 0 1 1 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 1 = 𝑘𝐴𝐺𝑉𝑚𝑌𝑛| − 𝑘𝐴𝐺𝑉0 𝑛𝑌𝑚| + 𝑀 Ψ | − 𝑀 Ψ | (3.107) 0 𝐿2 𝑚 𝑛 0 𝐿2 𝑛 𝑚 0 1 1 𝐸𝐼 + ∫𝑘𝐴𝐺(𝑉𝑛𝑉𝑚 − 𝑉𝑚𝑉𝑛) 𝑑𝜉 + ∫ (𝑀𝑛𝑀𝑚 −𝑀𝑚𝑀𝑛) 𝑑𝜉 𝐿2 0 0 olarak bulunur. Gerekli sadeleştirme işlemlerinden sonra 1 𝐸𝐼 (Ω2 − Ω2𝑛 𝑚)∫(𝐴𝐸𝑌𝑛𝑌𝑚 + Ψ𝑛Ψ𝑚) 𝑑𝜉𝐿2 0 = 𝑘𝐴𝐺 (𝑉𝑚(1)𝑌𝑛(1) − 𝑉𝑚(0)𝑌𝑛(0) − 𝑉𝑛(1)𝑌𝑚(1) (3.108) + 𝑉𝑛(0)𝑌𝑚(0)) 𝐸𝐼 + (𝑀𝑚(1)Ψ𝑛(1) − 𝑀𝑚(0)Ψ𝑛(0) − 𝑀𝑛(1)Ψ𝑚(1)𝐿2 +𝑀𝑛(0)Ψ𝑚(0)) eşitliği sınır şartlarına bağlı olarak bulunmuş olunur. 3.3. Çatlaklı Kirişlerin Titreşimi 3.3.1. Çatlaklı kirişlerin doğal frekanslarının bulunması Önceki bölümde Timoshenko kirişlerin yanal yer değiştirmesi, eğilme açısı, moment ve kesme kuvvetleri ifadeleri elde edilmiş olup bu bölümde Şekil 3.3’ de boyutları belirtilen çatlaklı kirişlerin analizleri gerçekleştirilecektir. 34 ℎ 𝑎 𝑏 𝑥c 𝐿 Şekil 3.3. Çatlaklı kiriş. Kirişin sol ucundan 𝑥c mesafesinde ve 𝑎 derinliğine sahip çatlak bulunan bir kirişi, üzerinde bulunan çatlağın öncesi ve sonrasındaki parçaları iki farklı kiriş ve bu kirişlerin Şekil 3.4’te görüldüğü gibi aralarında da bir burulma ve bir de uzama yayı olmak üzere iki yay ile birbirlerine bağlandığı varsayılarak modellemek mümkündür. ℎ 𝑏 𝑥c 𝐿 Şekil 3.4. Çatlaklı kiriş modeli. Çatlağın bu şekilde modellenmesi ile yanal yer değiştirmelerde ve eğilmeden kaynaklı oluşan açılarda süreksizlik oluşmakta iken çatlak bölgesinde moment ve kesme kuvvetlerinin sürekliliğinden bahsedilebilmektedir. Denklemlerde kullanılan alt indisler çatlağın öncesindeki kiriş için bir ve çatlağın sonrasındaki kiriş için ikinci kirişi göstermek üzere iki olup, bahsedilen bu şartlar aşağıdaki gibi ifade edilebilir (Loya ve ark., 2006): 𝑦2(𝑥c, 𝑡) − 𝑦1(𝑥c, 𝑡) = 𝐶𝑞𝑉2(𝑥c, 𝑡) (3.109) 𝜃2(𝑥c, 𝑡) − 𝜃1(𝑥c, 𝑡) = 𝐶𝑀𝑀2(𝑥c, 𝑡) (3.110) 35 𝑉1(𝑥c, 𝑡) = 𝑉2(𝑥c, 𝑡) (3.111) 𝑀1(𝑥c, 𝑡) = 𝑀2(𝑥c, 𝑡) (3.112) Burada 𝐶𝑀 ve 𝐶𝑞 yayların esneklik katsayıları olup çatlak derinliği ile kiriş yüksekliği oranına (𝛼 = 𝑎/ℎ) ve kesitin şekline bağlıdır. Dikdörtgensel kiriş için bu fonksiyonlar ℎ 𝛼 2 𝐶𝑞 = ( ) (−0,22 + 3,82𝛼 + 1,54𝛼 2 − 14,64𝛼3 + 9,6𝛼4) (3.113) 𝐸𝐴 1 − 𝛼 ℎ 𝛼 2 𝐶𝑀 = 2 ( ) (5,93 − 19,69𝛼 + 37,14𝛼 2 − 35,84𝛼3 + 13,12𝛼4) (3.114) 𝐸𝐼 1 − 𝛼 olarak belirtilmiştir (Loya ve ark., 2006). (3.109) – (3.112) denklemleri boyutsuz değişkenler cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilirler: 𝐶𝑞 𝑌2(𝑒) − 𝑌1(𝑒) = 𝑘𝐴𝐺𝑉2(𝑒) (3.115) 𝐿 𝐸𝐼 Ψ2(𝑒) − Ψ1(𝑒) = 𝐶𝑀 𝑀𝐿 2 (𝑒) (3.116) 𝑉1(𝑒) = 𝑉2(𝑒) (3.117) 𝑀1(𝑒) = 𝑀2(𝑒) (3.118) Burada 𝑒 = 𝑥𝑐/𝐿 olarak tanımlanmıştır. (3.115) – (3.118) denklemleri matris formunda 𝐶𝑞 𝑌1(𝑒) 1 0 0 − 𝑘𝐴𝐺 𝐿 𝑌2(𝑒) Ψ 1(𝑒) 𝐶𝑀𝐸𝐼 Ψ2(𝑒) = 𝑀 (𝑒) 0 1 − 0 (3.119) 1 𝐿 𝑀2(𝑒) {𝑉1(𝑒)} 0 0 1 0 {𝑉 (𝑒) 2 } [0 0 0 1 ] 36 veya {𝐙𝟏(𝑒)} = [𝑫]{𝐙𝟐(𝑒)} (3.120) şeklinde yazılabilir. Buradan {𝐙𝟐(𝑒)} aşağıda gösterildiği gibi yazılabilir: −𝟏 {𝐙 (𝑒)} = [𝑫] {𝐙 (𝑒)} (3.121) 𝟐 𝟏 Sabit kesitli bir kiriş için yanal yer değiştirme, dönme açısı, eğilme momenti ve kesme kuvveti fonksiyonları içeren durum vektörü (3.92) denklemindeki gibi ifade edilebileceği gösterilmişti. Bu eşitlik kullanılarak kirişin birinci parçası için {𝐙𝟏(𝜉)} = [𝑩𝟏(𝜉)]{𝐂𝟏} (3.122) şeklinde yazılabilir. Kirişin sol ucu (𝜉 = 0) ile çatlak bölgesi (𝜉 = 𝑒) arasında kalan birinci kiriş için daha önce gösterilen işlem adımları takip edilerek {𝐙 (𝑒)} = [𝑩 (𝑒)][𝑩 (0)]−𝟏𝟏 𝟏 𝟏 {𝐙𝟏(0)} (3.123) elde edilir. Benzer olarak, çatlak bölgesi (𝜉 = 𝑒) ile kirişin sağ ucu (𝜉 = 1) arasında kalan ikinci kiriş için {𝐙𝟐(1)} = [𝑩𝟐(1)][𝑩𝟐(𝑒)] −𝟏{𝐙𝟐(𝑒)} (3.124) denklemi yazılabilir. Bu denklemdeki {𝐙𝟐(𝑒)} ifadesi için (3.121), denklem (3.121) içindeki {𝐙𝟏(𝑒)} için de denklem (3.123) kullanılırsa −𝟏 {𝐙 −𝟏𝟐(1)} = [𝑩𝟐(1)][𝑩𝟐(𝑒)] [𝑫] [𝑩 (𝑒)][𝑩 (0)] −𝟏 𝟏 𝟏 {𝐙𝟏(0)} (3.125) 37 elde edilmiş olunur. Burada [𝑩𝟏(𝜉)] ifadesi için (3.94) denklemi kullanılabilinir iken [𝑩𝟐(𝜉)] ifadesi için (3.94) denklemindeki 𝜉 yerine (𝜉 − 𝑒) yazılarak elde edilen ifadeler kullanılır. Çatlak sayısının birden fazla olma durumu için benzer yöntem uygulanabilir. Şekil 3.5’de üzerinde çok sayıda çatlak bulunan kiriş boyutları gösterilmiştir. 𝑛 sayıda çatlak için her bir çatlağın çatlak derinliği 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 olarak gösterilmiştir. Çatlak konumları da her bir çatlak için 𝑥c,1, 𝑥c,2…𝑥c,𝑛 olarak ifade edilmiştir. ℎ 𝑎 𝑎2 1 𝑎𝑛 𝑏 𝑥c,1 𝑥c,2 𝑥c,𝑛 𝐿 Şekil 3.5. Çok sayıda çatlak içeren kiriş Kirişi çatlak bölgeleri arasında kalan kirişlerin birleşimi şeklinde düşünülebileceği ve bu parçaları aralarında kütlesiz iki yay ile birbirlerine bağlandığı şekilde modellenebileceği tek çatlaklı kiriş için gösterilmişti. Daha genel bir çözüm elde edilmesi açısından çok sayıda çatlak bulunduran kirişler için de benzer olarak çatlak bölgeleri arasında kalan kirişler ayrı kirişler gibi düşünülüp, Şekil 3.6’da gösterildiği gibi numaralandırılmıştır. 1 2 𝑛 𝑛 + 1 𝑒0 𝑒1 𝑒2 𝑒𝑛−1 𝑒𝑛 𝑒𝑛+1 Şekil 3.6. Parçalara ayrılmış kirişler Burada artık tek bir çatlak olmadığı için alt indisler ile boyutsuz çatlak konumları 𝑒1, 𝑒2…𝑒𝑛 şeklinde belirtilmiştir. 38 Çatlak bölgelerinden ayrılan her bir kiriş için (3.92) denklemini aşağıdaki gibi genel bir formatta yazmak mümkündür. {𝐙𝐢(𝜉)} = [𝑩𝒊(𝜉)]{𝐂𝐢} , 𝑖 = 1,2,3…𝑛 + 1 (3.126) Burada {𝐙𝐢(𝜉)} i. kirişin durum vektörünü, {𝐂𝐢} ise yine i. kirişin sabit katsayılar vektörlerini göstermektedir. 𝑌𝑖(𝜉) 𝐶𝑖,1 Ψi(𝜉) 𝐶 {𝐙𝐢(𝜉)} 𝑖,2 = , {𝐂 } = (3.127) 𝑀 𝐢 𝑖(𝜉) 𝐶𝑖,3 {𝑉 (𝜉)} {𝐶𝑖,4}𝑖 ve [𝑩𝒊(𝝃)] sin 𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) cos𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) sinh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑖−1) cosh𝛽2(𝜉 − 𝑒 ) 𝑖−1 −𝑚1 cos𝛽1 (𝜉 − 𝑒 (3.128) = 𝑖−1 ) 𝑚1 sin𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝑚2 cosh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝑚2 sinh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝛽1𝑚1 sin𝛽1 (𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝛽1𝑚1 cos𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝛽2𝑚2 sinh𝛽2  (𝜉 − 𝑒𝑖−1) 𝛽2𝑚2 cosh𝛽2  (𝜉 − 𝑒𝑖−1) [(𝛽1 +𝑚1) cos𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) −(𝛽1 +𝑚1) sin𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑖−1) (𝛽2 −𝑚2) cosh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑖−1) (𝛽2 −𝑚2) sinh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑖−1)] olarak yazılabilmektedir. Şekil 3.6’da da görüleceği üzere 𝑒0 ve 𝑒𝑛+1 sırasıyla 𝜉 = 0, ve 𝜉 = 1 konumlarını ifade etmektedir. Birinci ve ikinci çatlak konumundaki durum vektörleri (3.123) denklemine benzer olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: {𝐙𝟏(𝑒1)} = [𝑩𝟏(𝑒1)][𝑩𝟏(0)] −𝟏{𝐙𝟏(0)} (3.129) {𝐙𝟐(𝑒 −𝟏 2)} = [𝑩𝟐(𝑒2)][𝑩𝟐(𝑒1)] {𝐙𝟐(𝑒1)} (3.130) Birinci ve ikinci parça arasındaki 𝑒1 çatlak konumundaki şartlar 39 𝐶𝑞,1 𝑌1(𝑒1) 1 0 0 − 𝑘𝐴𝐺 𝐿 𝑌2(𝑒1) Ψ1(𝑒1) 𝐶 𝐸𝐼 Ψ2(𝑒1) = 𝑀,10 1 − 0 (3.131) 𝑀1(𝑒1) 𝐿 𝑀2(𝑒1) 𝑉 (𝑒 ) { 1 1 } 0 0 1 0 {𝑉2(𝑒1)} [0 0 0 1 ] veya {𝐙𝟏(𝑒1)} = [𝑫𝟏]{𝐙𝟐(𝑒1)} (3.132) matris formunda yazılabilir. (3.129), (3.130) ve (3.132) denklemleri kullanılarak −𝟏 {𝐙𝟐(𝑒2)} = [𝑩𝟐(𝑒2)][𝑩𝟐(𝑒 )] −𝟏 1 [𝑫𝟏] [𝑩𝟏(𝑒1)][𝑩𝟏(0)] −𝟏{𝐙𝟏(0)} (3.133) −𝟏 eşitliği elde edilir. Burada [𝑼𝟏] = [𝑫𝟏] [𝑩𝟏(𝑒 )][𝑩 (0)] −𝟏 1 𝟏 tanımlaması yapılır ise {𝐙𝟐(𝑒2)} = [𝑩𝟐(𝑒2)][𝑩𝟐(𝑒1)] −𝟏[𝑼𝟏]{𝐙𝟏(0)} (3.134) olarak yazılabilir. İkinci ve üçüncü çatlak arasında kalan üçüncü kiriş parçası için benzer olarak {𝐙𝟑(𝑒3)} = [𝑩𝟑(𝑒3)][𝑩𝟑(𝑒2)] −𝟏{𝐙𝟑(𝑒2)} (3.135) ve ikinci çatlaktaki şartlar da {𝐙𝟐(𝑒2)} = [𝑫𝟐]{𝐙𝟑(𝑒2)} (3.136) olarak elde edilir. (3.134), (3.135) ve (3.136) denklemleri kullanılarak {𝐙𝟑(𝑒3)} = [𝑩𝟑(𝑒3)][𝑩𝟑(𝑒2)] −𝟏[𝑼𝟐][𝑼𝟏]{𝐙𝟏(0)} (3.137) 40 −𝟏 elde edilir. Burada [𝑼𝟐] = [𝑫𝟐] [𝑩 −𝟏 𝟐(𝑒2)][𝑩𝟐(𝑒1)] olarak tanımlanmıştır. Bu işlem adımları tüm çatlak ve bölünen kiriş parçaları için tekrarlanır ise {𝐙𝐧+𝟏(1)} = [𝑻]{𝐙𝟏(0)} (3.138) şeklinde bulunur. Burada [𝑻] = [𝑩𝒏+𝟏(1)][𝑩𝒏+𝟏(𝑒𝑛)] −𝟏[𝑼𝒏][𝑼𝒏−𝟏] … [𝑼𝟐][𝑼𝟏] olarak −𝟏 tanımlanan transfer matrisi olup, [𝑼𝒊] matrisinin [𝑼𝒊] = [𝑫𝒊] [𝑩𝒊(𝑒𝑖)][𝑩𝒊(𝑒 −𝟏 𝑖−1)] (𝑖 = 1, 2, 3…𝑛) şeklinde genel ifadesi yazılabilir. Kirişin elastik sınır şartlarına sahip olduğu varsayılarak genel bir bakış açısı kazanılması istenebilir. Bunun için sınır şartları 𝑉(0, 𝑡) = 𝑘1𝑦(0, 𝑡) + 𝑐1 ?̇?(0, 𝑡) 𝑀(0, 𝑡) = 𝑘𝑅1𝜃(0, 𝑡) + 𝑐𝑅1?̇?(0, 𝑡) (3.139) 𝑉(𝐿, 𝑡) = −𝑘2𝑦(𝐿, 𝑡) − 𝑐2 ?̇?(𝐿, 𝑡) 𝑀(𝐿, 𝑡) = −𝑘𝑅2𝜃(𝐿, 𝑡) − 𝑐𝑅2?̇?(𝐿, 𝑡) olarak ifade edilebilir. Burada 𝑘1, 𝑐1 kirişin sol ucundaki düşey hareket ile ilişkili lineer yay ve sönüm elemanının katsayılarını, 𝑘𝑅1, 𝑐𝑅1 ise dönme hareketi ile ilişkili olarak burulma yayı ile sönüm elemanın katsayılarını göstermektedir. Benzer olarak kirişin sağ ucundaki yay ve sönüm elemanlarının katsayıları da 𝑘2, 𝑐2, 𝑘𝑅2 ve 𝑐𝑅2 olarak belirtilmiştir. Daha önce 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐿𝑌(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 ve 𝜃 = Ψ(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 tanımları yapılmıştı. Bu tanımlamalar (3.139) denkleminde yazılır ve düzenlenir ise boyutsuz parametreler cinsinden 41 𝑘1𝐿 𝑐1 𝐸 𝑑1,1 = , 𝑑𝑘𝐴𝐺 1,2 = √ 𝑘𝐴𝐺 𝜌 𝑘𝑅1𝐿 𝑐𝑅1 𝐸 𝑑𝑅1,1 = , 𝑑𝐸𝐼 𝑅1,2 = √ 𝐸𝐼 𝜌 (3.140) 𝑘2𝐿 𝑐2 𝐸 𝑑2,1 = , 𝑑2,2 = √ 𝑘𝐴𝐺 𝑘𝐴𝐺 𝜌 𝑘𝑅2𝐿 𝑐𝑅2 𝐸 𝑑𝑅2,1 = , 𝑑𝑅2,2 = √ 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝜌 olmak üzere 𝐹𝑅1 = 𝑑1,1 + 𝑖Ω𝑑1,2 , 𝐹𝑅2 = 𝑑2,1 + 𝑖Ω𝑑2,2 (3.141) 𝑀𝑅1 = 𝑑𝑅1,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅1,2 , 𝑀𝑅2 = 𝑑𝑅2,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅2,2 tanımlamaları yapılarak 𝑉(0) = 𝐹𝑅1𝑌(0) 𝑀(0) = 𝑀𝑅1Ψ(0) (3.142) 𝑉(1) = −𝐹𝑅2𝑌(1) 𝑀(1) = −𝑀𝑅2Ψ(1) şeklinde elde edilir ve (3.138) denkleminde ilgili ifadeler yerlerine yazılarak 42 𝑌𝑛+1(1) 𝑌1(0) Ψ𝑛+1(1) Ψ (0){ } = [𝑻] { 1 } (3.143) −𝑀𝑅2Ψ𝑛+1(1) 𝑀𝑅1Ψ1(0) −𝐹𝑅2𝑌𝑛+1(1) 𝐹𝑅1𝑌1(0) matris formundaki eşitliği yazılabilir. Elde edilen bu eşitlik biraz daha düzenlenerek aşağıdaki gibi yazılabilir: 1 0 𝑠11 𝑠12 0 1 𝑌 (1) 𝑠21 𝑠22 𝑌 (0) [ ] { 𝑛+1 } = [ 1𝑠 𝑠 ] { } (3.144) 0 −𝑀𝑅2 Ψ𝑛+1(1) 31 32 Ψ1(0) −𝐹𝑅2 0 𝑠41 𝑠42 Burada işlem takibinde kolaylık için 𝑠11 𝑠12 1 0 𝑠21 𝑠22 0 1 [𝑠 𝑠 ] = [𝑻] [ ] (3.145) 31 32 0 𝑀𝑅1 𝑠41 𝑠42 𝐹𝑅1 0 olarak tanımlanmıştır. (3.144) denklemini iki farklı eşitlik olarak aşağıdaki gibi yazmak mümkündür: 𝑌 (1) 𝑠11 𝑠12 𝑌 (0) { 𝑛+1 } = [𝑠 𝑠 ] { 1 } (3.146) Ψ𝑛+1(1) 21 22 Ψ1(0) 0 −𝑀𝑅2 𝑌𝑛+1(1) 𝑠31 𝑠32 𝑌 (0)[ ] { } = [ 1 −𝐹𝑅2 0 Ψ𝑛+1(1) 𝑠 𝑠 ] { } (3.147) 41 42 Ψ1(0) (3.146) denklemi (3.147) denkleminde yerine yazılırsa 𝑌 (0) 0 [𝚲] { 1 } = { } (3.148) Ψ1(0) 0 elde edilir. Burada 43 0 −𝑀𝑅2 𝑠[ ] 11 𝑠12 𝑠31 𝑠32 𝚲 = [ ] [𝑠 𝑠 ] − [𝑠 𝑠 ] (3.149) −𝐹𝑅2 0 21 22 41 42 olarak tanımlanmıştır. (3.148) denkleminde boş olmayan çözüm için, [𝚲] matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Bu şart kullanılarak sınır şartlarına da bağlı olarak sistemin frekans değerleri bulunabilir. 𝑦𝑀1 𝑦𝑀2 𝑀1 𝑀2 𝑘01 𝑐01 𝑘02 𝑐02 𝑐𝑅1 𝑐𝑅2 𝑘𝑅1 𝑘𝑅2 𝑘1 𝑐1 𝑘2 𝑐2 Şekil 3.7. Uçlarında yay-kütle-damper bulunan ve şekil değiştirebilen sınır şartlarına sahip kiriş modeli. Elastik sınır şartlarına sahip kiriş modeline ilave olarak, kirişin Şekil 3.7’de gösterildiği gibi iki ucunda kütle-yay-damper sistemi de bulunduğu varsayılmış olsun. Bu durumda sınır şartları 𝑉(0, 𝑡) = 𝑘1𝑦(0, 𝑡) + 𝑐1 ?̇?(0, 𝑡) + 𝑘01(𝑦(0, 𝑡) − 𝑦𝑀1(𝑡)) + 𝑐01(?̇?(0, 𝑡) − ?̇?𝑀1(𝑡)) 𝑀(0, 𝑡) = 𝑘𝑅1𝜃(0, 𝑡) + 𝑐𝑅1?̇?(0, 𝑡) (3.150) 𝑉(𝐿, 𝑡) = −𝑘2𝑦(𝐿, 𝑡) − 𝑐2 ?̇?(𝐿, 𝑡) − 𝑘02(𝑦(𝐿, 𝑡) − 𝑦𝑀2(𝑡)) − 𝑐02(?̇?(𝐿, 𝑡) − ?̇?𝑀2(𝑡)) 𝑀(𝐿, 𝑡) = −𝑘𝑅2𝜃(𝐿, 𝑡) − 𝑐𝑅2?̇?(𝐿, 𝑡) 44 olarak yazılabilir. Burada 𝑦𝑀1, 𝑦𝑀2 ve zamana göre türevlerinin bulunması gerekmektedir. Bu amaçla kiriş hesaplarında kullanılmak üzere yapılan kabule benzer olarak 𝑦 = 𝐿𝑁 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑀1 1 ve 𝑦 𝑖𝜔𝑡 𝑀2 = 𝐿𝑁2𝑒 formlarında olduğu varsayılsın. 𝑀1 kütleli maddesel nokta için hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir: 𝑘01(𝑦(0, 𝑡) − 𝑦𝑀1(𝑡)) + 𝑐01(?̇?(0, 𝑡) − ?̇?𝑀1(𝑡)) = 𝑀1?̈?𝑀1(𝑡) (3.151) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐿𝑌(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 olduğunu da hatırlatarak, bu ifadeler hareket denkleminde yazılır ve gerekli sadeleştirme işlemleri yapılırsa 𝑘01 + 𝑖𝜔𝑐01 𝑁1 = 𝑌(0) (3.152) (𝑘01 + 𝑖𝜔𝑐01 −𝑀1𝜔2) ve 𝑘01 + 𝑖𝜔𝑐01 𝑦𝑀1(𝑡) = 𝐿𝑌(0)𝑒 𝑖𝜔𝑡 (3.153) (𝑘01 + 𝑖𝜔𝑐 201 −𝑀1𝜔 ) olarak bulunur. Benzer işlemler 𝑀2 kütlesi için de yazılırsa 𝑘02 + 𝑖𝜔𝑐02 𝑦 𝑖𝜔𝑡𝑀2(𝑡) = 𝐿𝑌(𝐿)𝑒 (3.154) (𝑘 + 𝑖𝜔𝑐 −𝑀 𝜔202 02 2 ) elde edilir. (3.150) denkleminde ilgili ifadeler yazılır ve düzenlenir ise, boyutsuz ifadeler cinsinden 45 Ω2𝑑𝑀1(𝑑01,1 + 𝑖Ω𝑑01,2) 𝑉(0) = (𝑑1,1 + 𝑖Ω𝑑1,2 + )𝑌(0) Ω2𝑑𝑀1 − 𝑑01,1 − 𝑖Ω𝑑01,2 𝑀(0) = (𝑑𝑅1,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅1,2)Ψ(0) (3.155) Ω2𝑑𝑀2(𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑑02,2) 𝑉(1) = −(𝑑2,1 + 𝑖Ω𝑑2,2 + )𝑌(1) Ω2𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑑02,2 𝑀(1) = −(𝑑𝑅2,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅2,2)Ψ(1) olarak elde edilir. Burada boyutsuz ifadeler için daha önceki tanımlamalara ilave olarak 𝑀1𝐸 𝑀2𝐸 𝑑𝑀1 = , 𝑑𝑀2 = 𝐿𝑘𝐴𝐺𝜌 𝐿𝑘𝐴𝐺𝜌 𝑘01𝐿 𝑐01 𝐸 𝑑01,1 = , 𝑑𝑘𝐴𝐺 01,2 = √ 𝑘𝐴𝐺 𝜌 (3.156) 𝑘02𝐿 𝑐02 𝐸 𝑑02,1 = , 𝑑 = √ 𝑘𝐴𝐺 02,2 𝑘𝐴𝐺 𝜌 tanımlamaları yapılmıştır. (3.141) denklemindeki ifadeler, bu yeni sistem için yeniden tanımlanırsa Ω2𝑑𝑀1(𝑑01,1 + 𝑖Ω𝑑01,2) 𝐹𝑅1 = 𝑑1,1 + 𝑖Ω𝑑1,2 + Ω2𝑑𝑀1 − 𝑑01,1 − 𝑖Ω𝑑01,2 Ω2𝑑𝑀2(𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑑02,2) (3.157) 𝐹𝑅2 = 𝑑2,1 + 𝑖Ω𝑑2,2 + Ω2𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑑02,2 𝑀𝑅1 = 𝑑𝑅1,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅1,2 , 𝑀𝑅2 = 𝑑𝑅2,1 + 𝑖Ω𝑑𝑅2,2 46 olarak elde edilir. Bu tanımlamalar ile, (3.143) – (3.149) denklemleri kullanılarak sistemin doğal frekansları elde edilebilmektedir. Sistemde sönüm elemanının varlığı doğal frekans sonuçlarını kompleks kök cinsinden bulunmasına sebep olacaktır. Bu yüzden 𝜔 = 𝜔𝑅 + 𝑖𝜔𝐼 (3.158) olduğu düşünülür ise bu ifadede reel kısım salınım hareketinden sorumlu olurken sanal kısım sistemin sönümü ile ilişkilidir. 3.3.2. Çatlaklı kirişlerin mod şekillerinin bulunması Çatlaklı kirişlerin mod şekillerinin elde edilmesi için (3.126) denklemindeki {𝐂𝐢} katsayı vektörünün bulunması gerekmektedir. Çatlak bölgeleri ile ayrılan her bir kiriş için bu katsayıların {𝐂𝟏}, {𝐂𝟐}, {𝐂𝟑} … {𝐂𝐧+𝟏} şeklinde gösterildiğini belirterek bu katsayıların birbirleri ile olan ilişkileri elde edilmelidir. Bu aradaki ilişki için her bir kiriş parçası ve çatlak bölgelerinde durum vektörleri yazılarak bulunabilir. Birinci ve ikinci kiriş parçaları için durum vektörlerinin {𝐙𝟏(𝜉)} = [𝑩𝟏(𝜉)]{𝐂𝟏} (3.159) {𝐙𝟐(𝜉)} = [𝑩𝟐(𝝃)]{𝐂𝟐} (3.160) olarak ve birinci çatlak bölgesindeki şartları kullanarak, ilgili çatlak bölgesindeki eşitliğinin de −𝟏 {𝐙𝟐(𝑒 (3.161) 1)} = [𝑫𝟏] {𝐙𝟏(𝑒1)} şeklinde yazılabileceği önceki bölümlerde gösterilmişti. (3.159) ve (3.160) denklemlerinde 𝜉 = 𝑒1 yazılır ve bu eşitlikler de (3.161) denkleminde yerlerine yazılarak düzenlenir ise {𝐂𝟏} ve {𝐂𝟐} arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde edilir: 47 −𝟏 {𝐂𝟐} = [𝑩𝟐(𝑒 )] −𝟏 1 [𝑫𝟏] [𝑩𝟏(𝑒1)]{𝐂 } (3.162) 𝟏 Benzer işlemler diğer kiriş parçaları ve çatlak şartları için de yazılırsa, daha genel bir şekilde eşitliği 𝑖 = 1,2,3…𝑛 olmak üzere −𝟏 {𝐂 −𝟏𝐢+𝟏} = [𝑩𝒊+𝟏(𝑒𝑖)] [𝑫𝒊] [𝑩𝒊(𝑒𝑖)]{𝐂𝐢} (3.163) şeklinde yazılabilir. 𝜉 = 0 ve 𝜉 = 1 konumlarındaki sınır şartları (3.142) denkleminde belirtilmişti. Belirtilen bu sınır şartları matris formunda 𝜉 = 0 için {𝐡𝟏} = [(𝛽1 +𝑚1) 0 (𝛽2 −𝑚2) 0] − 𝐹𝑅1[0 1 0 1] (3.164) {𝐡𝟐} = [0 𝛽1𝑚1 0 𝛽2𝑚2] − 𝑀𝑅1[−𝑚1 0 𝑚2 0] olmak üzere {𝐡𝟏}[ ] {𝐂𝟏} 0 = { } (3.165) {𝐡𝟐} 0 ve 𝜉 = 1 için {𝐡𝟑} + {𝐡[ 𝟒 } ] { } 0 𝐂𝐧+𝟏 = { } (3.166) {𝐡𝟓} + {𝐡𝟔} 0 olarak yazılabilir. Burada 48 {𝐡𝟑} = [(𝛽1 +𝑚1) cos 𝛽1(1 − 𝑒𝑛) −(𝛽1 +𝑚1) sin𝛽1(1 − 𝑒𝑛) (𝛽2 −𝑚2) cosh𝛽2(1 − 𝑒𝑛) (𝛽2 −𝑚2) sinh𝛽2(1 − 𝑒𝑛)] {𝐡𝟒} = 𝐹𝑅2[sin 𝛽1(1 − 𝑒𝑛) cos 𝛽1(1 − 𝑒𝑛) sinh 𝛽2(1 − 𝑒𝑛) cosh𝛽2(1 − 𝑒𝑛)] (3.167) {𝐡𝟓} = [𝛽1𝑚1 sin 𝛽1 (1 − 𝑒𝑛) 𝛽1𝑚1 cos𝛽1(1 − 𝑒𝑛) 𝛽2𝑚2 sinh 𝛽2 (1 − 𝑒𝑛) 𝛽2𝑚2 cosh 𝛽2 (1 − 𝑒𝑛)] {𝐡𝟔} = 𝑀𝑅2[−𝑚1 cos 𝛽1(1 − 𝑒𝑛) 𝑚1 sin 𝛽1(1 − 𝑒𝑛) 𝑚2 cosh𝛽2(1 − 𝑒𝑛) 𝑚2 sinh 𝛽2(1 − 𝑒𝑛)] olarak tanımlanmışlardır. (3.138) ve (3.126) denklemleri göz önünde bulundurularak {𝐂 −1𝐧+𝟏} = [𝑩𝒏+𝟏(1)] [𝑻][𝑩𝟏(0)]{𝐂𝟏} (3.168) düzenlenmiş şekli ile yazmak mümkündür. (3.166) denkleminde {𝐂𝐧+𝟏} yerine (3.168) denkleminde elde edilen ifade yazılırsa {𝐡𝟕} {𝐡𝟑} + {𝐡 }[ ] = [ 𝟒 ] [𝑩 (1)]−1[𝑻][𝑩 (0)] (3.169) {𝐡𝟖} {𝐡𝟓} + {𝐡 𝒏+𝟏 𝟏 𝟔} olmak üzere aşağıdaki eşitlik elde edilir: {𝐡𝟕} 0[ ] {𝐂𝟏} = { } (3.170) {𝐡𝟖} 0 (3.165) ve (3.170) denklemleri birleştirilerek {𝐡𝟏} 0 { 𝐡𝟐 } 0{𝐂 } = { } (3.171) {𝐡𝟕} 𝟏 0 [{𝐡𝟖}] 0 T şeklinde elde edilir. {𝐂𝟏} = [𝐶1,1 𝐶1,2 𝐶1,3 𝐶1,4] olduğunu hatırlatarak, bu katsayılar vektörü 𝐶1,1 parantezine alınırsa aşağıdaki gibi yazılabilir: 49 {𝐡𝟏} 0 { 𝐡𝟐 } 0{𝐂 {𝐡 } 𝟏 }𝐶1,1 = { } (3.172) 𝟕 0 [{𝐡𝟖}] 0 T Burada {𝐂𝟏} = [1 𝐶1,2 𝐶1,3 𝐶1,4] = [1 𝐶 T 1,2/𝐶1,1 𝐶1,3/𝐶1,1 𝐶1,4/𝐶1,1] olarak tanımlanmıştır. Bu durumda (3.172) denklemi 𝐶1,1’in sıfırdan farklı bir değeri için {𝐡 } 𝟏 0 { 𝐡𝟐 } 0{𝐂𝟏} = { } (3.173) {𝐡𝟕} 0 [{𝐡𝟖}] 0 eşitliğini sağlamalıdır. Bu eşitlik için çözüm yapılarak {𝐂𝟏} vektörü bulunabilir. Elde edilen bu değerler ile halen {𝐂𝟏} vektörünün 𝐶1,1 bilinmeyen değerine bağlı olduğunu hatırlatmak gerekmektedir. (3.163) denkleminden de görüleceği üzere her bir bölünmüş kirişe ait katsayılar vektörü diğer katsayı vektörleri cinsinden yazılabileceği için tüm katsayılar 𝐶1,1’e bağlı olarak bulunabileceğinden, bu değerin elde edilmesi gerekmektedir. 𝐶1,1’in elde edilmesi için daha önceki bölümlerde elde edilen diklik şartı kullanılabilir. (3.142) denklemindeki ifadeler (3.108) denkleminde eşitliğin sağ tarafındaki ilgili yerlere yazılır ve EK 2’de gösterildiği gibi ara işlemler yapılarak, 50 1 𝐸𝐼 (Ω2𝑙 − Ω 2 𝑚)(∫(𝐴𝐸𝑌𝑙𝑌𝑚 + Ψ Ψ )𝑑𝜉𝐿2 𝑙 𝑚 0 𝑑2,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 − 𝑘𝐴𝐺 (𝑌𝑚(1)𝑌𝑙(1) (𝑖 ( −(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 Ω2Ω2 𝑑2𝑙 𝑚 𝑀2𝑑 2 2 2 02,2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 + − ) − (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 Γ2 Ω𝑙Ω𝑚𝑑 2 𝑀2𝑑02,2 + ) Γ2 𝑑1,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑01,2𝑑𝑀1𝑑01,1 + 𝑌𝑚(0)𝑌𝑙(0) (𝑖 ( −(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ (3.174) 1 Ω2 2 2𝑙Ω𝑚𝑑𝑀1𝑑 2 2 2 01,2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)𝑑𝑀1𝑑01,2𝑑01,1 𝑑𝑀1𝑑01,1 + − ) − (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 Γ1 Ω 2𝑙Ω𝑚𝑑𝑀1𝑑01,2 + )) Γ1 𝐸𝐼 𝑖𝑑𝑅2,2 − (Ψ𝑙(1)Ψ𝑚(1) ( )𝐿2 (Ω𝑙 + Ω𝑚) 𝑖𝑑𝑅1,2 +Ψ𝑙(0)Ψ𝑚(0) ( ))) = 0 (Ω𝑙 + Ω𝑚) olarak bulunur. 𝑙 ≠ 𝑚 durumunda bu denklemin sağlanması için (Ω2 2𝑙 − Ω𝑚) ifadesini çarpan parantez içerisindeki ifadelerin sonucu sıfır olmalı iken 𝑙 = 𝑚 durumunda ise parantez içerisindeki ifadenin bire eşit alınması ile normalleştirme yapılmış olunur. Bu şartlarda 51 1 𝐸𝐼 ∫(𝐴𝐸𝑌𝑙𝑌𝑚 + Ψ𝑙Ψ𝑚) 𝑑𝜉𝐿2 0 𝑑2,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 − 𝑘𝐴𝐺 (𝑌𝑚(1)𝑌𝑙(1) (𝑖 ( −(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 Ω2Ω2 2𝑙 𝑚𝑑𝑀2𝑑02,2 (Ω 2 + Ω2 2𝑙 𝑚)𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 + − ) − (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 Γ2 Ω𝑙Ω 𝑑 2 𝑚 𝑀2𝑑02,2 + ) Γ2 (3.175) 𝑑1,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑01,2𝑑𝑀1𝑑01,1 + 𝑌𝑚(0)𝑌𝑙(0) (𝑖 ( −(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 Ω2Ω2 𝑑2 𝑑 (Ω2 + Ω2 )𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑2𝑙 𝑚 𝑀1 01,2 𝑙 𝑚 𝑀1 01,2 01,1 𝑀1 01,1 + − ) − (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 Γ1 Ω Ω 𝑑 𝑑2𝑙 𝑚 𝑀1 01,2 + )) Γ1 𝐸𝐼 𝑖𝑑𝑅2,2 𝑖𝑑𝑅1,2 − (Ψ𝑙(1)Ψ𝑚(1) ( ) + Ψ𝑙(0)Ψ𝑚(0) ( ))𝐿2 (Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚) = 𝛿𝑙𝑚 olarak diklik şartını yazmak mümkündür. n adet çatlak bulunan kirişte, 𝑙 = 𝑚 olduğu durumda integral sınırları çatlak konumlarına uyacak şekilde ve takip kolaylığı için 𝑑 Ω32,2 𝑑 2 𝑀2𝑑02,2 2Ω𝑑𝑀2𝑑 2 02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 Υ = −𝑘𝐴𝐺 (𝑌2(1) (𝑖( + − ) − 2Ω 2Γ2 Γ2 Γ2 Ω2𝑑 2𝑀2𝑑02,2 + ) Γ2 (3.176) 𝑑 Ω3𝑑21,2 𝑀1𝑑01,2 2Ω𝑑 2 2 𝑀1 𝑑01,2𝑑01,1 𝑑𝑀1𝑑01,1 + 𝑌 (0) (𝑖( + − ) − 2Ω 2Γ1 Γ1 Γ1 Ω2𝑑𝑀1𝑑 2 01,2 𝐸𝐼 𝑖𝑑𝑅2,2 𝑖𝑑𝑅1,2 + )) − (Ψ2(1) ( ) + Ψ2(0) ( )) Γ 𝐿21 2Ω 2Ω tanımlaması yapılarak aşağıdaki gibi yazılabilir: 52 𝑒 𝑛+1 𝑗 𝐸𝐼 ∑ ∫ (𝐴𝐸𝑌2 2𝑗 (𝜉) + Ψ𝑗 (𝜉)) 𝑑𝜉 + Υ = 1 (3.177) 𝐿2 𝑗=1 𝑒𝑗−1 Burada 𝑌𝑗(𝜉) = 𝐶1,1𝑌𝑗(𝜉) ve Ψ𝑗(𝜉) = 𝐶1,1Ψ𝑗(𝜉) olarak tanımlanırsa ve 𝑌𝑗(𝜉) { } Ψ𝑗(𝜉) sin 𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑗−1) cos 𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑗−1) sinh 𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑗−1) cosh 𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑗−1) (3.178) = [ ] {𝑪𝒋} −𝑚1 cos 𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑗−1) 𝑚1 sin 𝛽1(𝜉 − 𝑒𝑗−1) 𝑚2 cosh𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑗−1) 𝑚2 sinh 𝛽2(𝜉 − 𝑒𝑗−1) olmak üzere 1 𝐶1,1 = √ 𝑒 2 𝐸𝐼 2 (3.179) ∑𝑛+1𝑗=1 ∫ 𝑗 (𝐴𝐸𝑌𝑗 (𝜉) + Ψ (𝜉)) 𝑑𝜉 + Υ𝑒𝑗−1 𝐿2 𝑗 şeklinde bulunabilir. Burada Υ aşağıdaki gibidir: 𝑑 3 2 22 2,2 Ω 𝑑𝑀2𝑑02,2 2Ω𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 Υ = −𝑘𝐴𝐺 (𝑌 (1) (𝑖( + − ) − 2Ω 2Γ2 Γ2 Γ2 Ω2𝑑 𝑑2𝑀2 02,2 + ) Γ2 (3.180) 2 𝑑 31,2 Ω 𝑑 2 𝑀1𝑑 2 01,2 2Ω𝑑𝑀1𝑑01,2𝑑01,1 𝑑𝑀1𝑑01,1 + 𝑌 (0) (𝑖( + − ) − 2Ω 2Γ1 Γ1 Γ1 Ω2𝑑𝑀1𝑑 2 01,2 𝐸𝐼 2 𝑖𝑑𝑅2,2 2 𝑖𝑑𝑅1,2 + )) − (Ψ (1) ( ) + Ψ (0) ( )) Γ 21 𝐿 2Ω 2Ω 53 4. BULGULAR ve TARTIŞMA Önceki bölümün ilk kısmında değişken kesit alanına sahip çubukların boyuna serbest titreşimlerinin analizi için bir yöntem önerilmiş ve bazı kesitler için bu yöntem kullanılarak incelemeler gerçekleştirilmiştir. Sonraki kısmında ise üzerinde tek taraflı ve keyfi sayıda çatlak bulunan esnek sınır şartlarına sahip Timoshenko kirişlerin yanal titreşimleri çalışılmıştır. Bu bölümde, önceki bölümde yapılan incelemeler sonucunda elde edilen ifadeler için sayısal örnekler gerçekleştirilmiş ve parametrelerin etkileri tartışılmıştır. Sayısal örnekler için MATLAB programı kullanılmış olup yazılan fonksiyon dosyalarının kodları EK 3’te belirtilmiştir. 4.1. Çubuklar İçin Sayısal Örnekler ve Parametrelerin Etkisi Kısım 3.1’de değişken kesitli çubukların bazı kesit durumları için frekans denklemleri elde edilmişti. Kesit değişimlerinin doğal frekanslar üzerine etkileri çizelgelerde gösterilmiş olup ayrıca elde edilen sonuçların doğruluklarını göstermek açısından bazı kesitler için elde edilen doğal frekanslar literatürdeki çalışmalar ile mukayese edilerek aşağıdaki çizelgelerde gösterilmişlerdir. 2 𝐴(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑥) kesit alanına sahip çubuk için çözüm kısım 3.1.2’de elde edilmişti. Bu ifade biraz düzenlenerek Abrate (1995)’te incelenen kesitlerden olan 𝐴(𝑥) = (1 + 𝛼𝑥/𝐿)2 ifadesi 𝛼 = 𝑐𝐿/√𝐴0 yazılarak elde edilebilir. (3.27) denklemi de düzenlenir ise 𝛼 tan√𝑘1𝐿 = (1 + 𝛼)√𝑘1𝐿 olarak bulunur. Bu frekans denklemi bahsedilen makaledeki elde edilen eşitlik ile aynı olmakla birlikte 𝛼’nın bazı değerleri için boyutsuz doğal frekanslar Çizelge 4.1’de sunulmuştur. 𝛼’nın artması ile boyutsuz frekanslarda düşüş görülürken, değişimin ilk modlarda daha fazla olduğu yüksek modlarda ise etkisinin azaldığı görülmüştür. 54 Çizelge 4.1. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesit alanı 𝐴(𝑥) = (1 + 𝛼𝑥/𝐿)2 olan çubuk için boyutsuz doğal frekanslar. Mod 𝛼 = 1 𝛼 = 2 1 1,165561 0,967403 2 4,604217 4,567452 3 7,789884 7,768373 4 10,949944 10,934682 5 14,101725 14,089887 Kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴0𝑒 −𝑘0𝑥 şeklinde değişen bir çubuk için sabit-serbest sınır şartları altındaki frekans denklemi kısım 3.1.3’te belirtilmişti. Farklı 𝜁1 (𝜁1 = 𝑘0𝐿)) değerlerine karşılık boyutsuz doğal frekanslardaki (√𝑘1𝐿) değişim Çizelge 4.2’de gösterilmiştir. 𝜁1’in artması ile frekanslarda bir artış olduğu ve düşük modlarda 𝜁1’in değişiminden daha fazla etkilendikleri görülmüştür. Çizelge 4.2. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴 𝑒−𝑘0𝑥0 olan çubuk için boyutsuz doğal frekanslar. Mod 𝜁1 = 1 𝜁1 = 2 𝜁1 = 3 1 1,903441432 2,261826334 2,641779394 2 4,841728744 5,013914841 5,223644878 3 7,932825676 8,041088642 8,177217343 4 11,05214563 11,13055083 11,23017083 5 14,18124927 14,24258608 14,32087492 𝐴(𝑥) = 𝐴0 sinh 2(𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde bir kesit değişimine sahip çubuğun sabit-serbest sınır şartları için frekans denklemi (3.42) denkleminde belirtilmişti. 𝜁2 (𝜁2 = 𝑝𝐿) değişiminin boyutsuz doğal frekanslar (√𝑘1𝐿) üzerine etkisi Çizelge 4.3’de gösterilmiştir. İlk modlardaki frekanslar 𝜁2 artışından daha fazla etkilenirken, yüksek modlarda bu etki azalmaktadır. 55 Çizelge 4.3. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesiti 𝐴(𝑥) = 𝐴0 sinh 2(𝑝𝑥 + 𝑟) olarak değişen bir çubuğun boyutsuz doğal frekansları. Mod 𝜁2 = 1 𝜁2 = 2 𝜁2 = 10 1 4,595233387 4,717611613 10,58695194 2 7,784915569 7,854190152 12,14167348 3 10,94647211 10,99519723 14,29933901 4 14,09904922 14,13670982 16,7999795 5 17,24760237 17,27831852 19,4996681 Kesit alanı 𝐴(𝑥) = 𝐴 sin20 (𝑝𝑥 + 𝑟) şeklinde değişen çubuklar için frekans denklemi (3.49) denkleminde elde edilmişti. Önceki çalışmalar ile karşılaştırmak için boyutsuz doğal frekanslar (√𝑘1𝐿) şeklinde bulunmuş ve Çizelge 4.4’te Kumar ve Sujith (1997)’in çalışmasındaki sonuçlar ile kıyaslanmıştır. Sonuçlara bakıldığında 𝑝’nin artmasının frekanslarda artışa sebep olduğu ayrıca düşük modlarda frekans değişimi üzerinde daha etkili olduğu görülmüştür. Çizelge 4.4. Sabit-serbest sınır şartları altında ve kesiti 𝐴(𝑥) = 𝐴0 sin 2(𝑝𝑥 + 𝑟) olarak değişen bir çubuğun boyutsuz doğal frekansları. (𝑟 = 1 ve 𝐿 = 1) 𝑝 = 1 𝑝 = 2 Kumar ve Sujith Kumar ve Sujith Mod Bu çalışma Bu çalışma (1997) (1997) 1 1,517638 1,517637303 2,148560 2,148559689 2 4,702145 4,702144829 5,535762 5,535762297 3 7,848311 7,848310973 8,632812 8,632811018 4 10,991620 10,99162079 11,694640 11,69464089 5 14,134120 14,13412338 14,757860 14,75785762 Çubukların boyuna titreşimi için önerilen çözüm yönteminin çubuğun kademeli olması durumundaki uygulanabilirliği kısım 3.1.8’de gösterilmişti. Çubuğun çift kademeli olması durumundaki frekans denklemi elde edilmiş ve bir ucu sabit diğer ucu serbest sınır şartları için (3.76) denkleminde belirtilmişti. 𝜁4 = 2, 𝑐1 = 0.1 ve 𝑐2 = 0.15 değerlerine 56 sahip çift kademeli bir çubuğun boyutsuz doğal frekanslarının (√𝑘1𝐿1) 𝑔1 ile değişimi Çizelge 4.5’te gösterilmiştir. Çizelge 4.5. Sabit-serbest sınır şartlarına sahip ve kesit alan değişimi her kademe için 2 𝐴𝑖(𝑥) = (√𝐴0 + 𝑐𝑖𝑥) olan çift kademeli çubuğun boyutsuz doğal frekansları Mod 𝑔1 = 0.1 𝑔1 = 0.5 𝑔1 = 1 1 0,221764 0,388152 0,442468 2 1,572508 1,555292 1,558453 3 2,665862 2,625285 2,61964 4 3,583836 3,629901 3,644073 5 4,712972 4,707242 4,708296 4.2. Kirişler İçin Sayısal Örnekler ve Parametrelerin Etkisi Çatlaklı ve esnek sınır şartlarına sahip Timoshenko kirişlerin doğal frekanslarının ve mod şekillerinin bulunması için kısım 3.3’te analizler gerçekleştirilmişti. Sınır şartlarının ve çatlak parametrelerinin doğal frekanslar üzerine etkilerinin anlaşılması için bu bölümde sayısal örnekler gerçekleştirilmiş ve çizelgelerde sunulmuştur. Kiriş sınır şartlarının etkilerini incelemeden önce kirişin uçlarında bulunan yay ve sönüm elemanlarının hangi değerlere kadar sonuçları etkilediğinin de bilinmesi gerekmektedir. Bunun için her bir elemanın (yay, damper) ayrı ayrı var oldukları varsayılmış olup çatlaksız ve bir çatlaklı kiriş için analizler gerçekleştirilmiştir. Malzeme özellikleri ve kiriş boyutları 𝐸 = 200 GPa, 𝜈 = 0.3, 𝜌 = 7850 kg/m3, 𝑘 = 5/6, 𝐿 = 0.2 m, ℎ = 0.03 m ve 𝑏 = 0.015 m için analiz sonuçları tablolaştırılmıştır. Çizelge 4.6 – Çizelge 4.9’da çatlaksız kirişler için sınır koşullarının doğal frekanslar üzerine olan etkileri gösterilmiştir. Lineer ve burulma yay katsayılarını içeren boyutsuz ifadeler 𝑑 61,1 = 𝑑2,1 = 10 ’dan ve 𝑑 6 𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 10 ’dan büyük değerleri için sonuçlarda çok az değişimler olduğu gözlemlenmiştir. Sönüm elemanlarının etkilerine bakıldığında ise 𝑑 81,2 = 𝑑2,2 = 10 ’den sonra ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 10 8’den itibaren 57 değişimler ihmal edilebilecek boyutlardadırlar. Bu ifadelerin daha büyük değerleri için elde edilen sonuçlarda sanal kısmın sıfıra çok yakın olduğu ve bu parametrelerin yüksek değerlerinin tamamında aynı sonuçların elde edildiği gözlemlenmiştir. Çizelge 4.6. Lineer yayın çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi 𝑑1,1, 𝑑2,1 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 10−6 0,00080064 0,0013714 0,89981 2,2202 3,8522 10−4 0,0080052 0,013714 0,89993 2,2203 3,8522 10−2 0,078875 0,13681 0,91262 2,2247 3,8544 1 0,37297 1,0801 1,7702 2,7018 4,0967 102 0,41171 1,499 2,9918 4,6919 6,4899 104 0,41214 1,504 3,0095 4,7307 6,557 106 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 108 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 1010 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 1012 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 Çizelge 4.7. Burulma yayının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi 𝑑𝑅1,1, 𝑑𝑅2,1 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 10−4 0,0020978 0,89982 2,2203 3,8522 5,6239 10−2 0,020952 0,90129 2,2216 3,8534 5,625 1 0,18724 1,0181 2,3377 3,9596 5,7247 102 0,40454 1,4801 2,9693 4,6777 6,4952 104 0,41206 1,5038 3,0093 4,7305 6,557 106 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 108 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 1010 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 1012 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 1014 0,41214 1,5041 3,0097 4,731 6,5577 58 Çizelge 4.8. Lineer sönüm elemanının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi 𝑑1,2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 𝑑2,2 0,88569 + 2,2115 + 3,8464 + 5,6197 + 7,448 + 0,1 0,11549i 0,09923i 0,085191i 0,072572i 0,060813i 0,74649 + 2,1378 + 3,7985 + 5,586 + 7,4238 + 0,3 0,34244i 0,29043i 0,25109i 0,21475i 0,18045i 0,42964 + 1,9748 + 3,698 + 5,5167 + 7,3747 + 0,5 0,28461i 0,43762i 0,39792i 0,34602i 0,29333i 0,4128 + 1,6123 + 3,3198 + 5,2168 + 7,1524 + 1 0,11157i 0,34661i 0,5022i 0,53137i 0,49491i 2 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,7311 + 6,5577 + 10 0,0010564i 0,0034058i 0,0059061i 0,0080985i 0,0099198i 6 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,056(10-7)i 3,406(10-7)i 5,906(10-7)i 8,099(10-7)i 9,92(10-7)i 8 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,056(10-9)i 3,406(10-9)i 5,906(10-9)i 8,099(10-9)i 9,92(10-9)i 10 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,056(10-11)i 3,406(10-11)i 5,906(10-11)i 8,099(10-11)i 9,92(10-11)i 12 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,056(10-13)i 3,406(10-13)i 5,906(10-13)i 8,099(10-13)i 9,92(10-13)i Çizelge 4.9. Burulma sönüm elemanının çatlaksız kiriş frekanslarına etkisi 𝑑𝑅1,2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 𝑑𝑅2,2 0,368205 + 1,47695 + 2,99326 + 4,72017 + 6,55034 + 10 0,192524i 0,165162i 0,140292i 0,118633i 0,100609i 102 0,411738 + 1,50382 + 3,00954 + 4,73094 + 6,55759 + 0,0189466i 0,0165936i 0,0140933i 0,011901i 0,0100798i 4 0,412141 + 1,50409 + 3,00971 + 4,73104 + 6,55766 + 10 0,0001894i 0,0001659i 0,00014094i 0,00011901i 0,0001008i 0,412141 + 1,50409 + 3,00971 + 4,73104 + 6,55766 + 106 0,0000019i 0,0000017i 0,00000141i 0,00000119i 0,000001i 8 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,8944(10-8)i 1,6594(10-8)i 1,4094(10-8)i 1,19(10-8)i 1,008(10-8)i 10 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,8944(10-10)i 1,6594(10-10)i 1,4094(10-10)i 1,19(10-10)i 1,008(10-10)i 12 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,8944(10-12)i 1,6594(10-12)i 1,4094(10-12)i 1,19(10-12)i 1,008(10-12)i 14 0,41214 + 1,5041 + 3,0097 + 4,731 + 6,5577 + 10 1,8944(10-14)i 1,6594(10-14)i 1,4094(10-14)i 1,19(10-14)i 1,008(10-14)i 59 Çatlaklı kirişler için yapılan analizlerde çatlaksız kirişlerdeki kiriş ve malzeme özellikleri kullanılmış olup, tek bir çatlak olduğu varsayılmış, çatlak özelliklerinin boyutsuz çatlak konumu 𝑒 = 0.3 ve boyutsuz çatlak derinliği 𝛼 = 0.5 kabul edilerek analizler gerçekleştirilmiş ve Çizelge 4.10-Çizelge 4.13’te gösterilmiştir. Çizelge 4.10. Lineer yayın çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑1,1, 𝑑2,1 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 10−6 0,00080064 0,00137141 0,696196 1,76626 3,62881 10−4 0,00800443 0,0137135 0,696366 1,76631 3,62882 10−2 0,0781285 0,136607 0,713356 1,77109 3,63076 1 0,300579 0,981227 1,73029 2,30948 3,84875 102 0,319241 1,23686 2,92087 4,38782 5,89363 104 0,31944 1,23961 2,93554 4,43075 5,95007 106 0,319442 1,23963 2,93568 4,43117 5,95062 108 0,319442 1,23964 2,93568 4,43117 5,95063 1010 0,319442 1,23964 2,93568 4,43117 5,95063 1012 0,319442 1,23964 2,93568 4,43117 5,95063 Çizelge 4.11. Burulma yayının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑𝑅1,1, 𝑑𝑅2,1 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 10−4 0,00209782 0,696216 1,76627 3,62882 5,45998 10−2 0,0209433 0,698379 1,76763 3,62987 5,46114 1 0,182031 0,863081 1,88418 3,72374 5,56636 102 0,366173 1,43024 2,51431 4,3466 6,35161 104 0,371907 1,45705 2,55449 4,39157 6,41274 106 0,371966 1,45732 2,55492 4,39204 6,41339 108 0,371966 1,45733 2,55492 4,39204 6,41339 1010 0,371966 1,45733 2,55492 4,39204 6,41339 1012 0,371966 1,45733 2,55492 4,39204 6,41339 1014 0,371966 1,45733 2,55492 4,39204 6,41339 60 Çizelge 4.12. Lineer sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑1,2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 𝑑2,2 −2 0,695988 + 1,76617 + 3,62875 + 5,45992 + 6,88666 + 10 0,0119517i 0,0085153i 0,00707837i 0,00789363i 0,00696074i 0,674979 + 1,75704 + 3,62375 + 5,45591 + 6,88305 + 0,1 0,118862i 0,0847102i 0,0706165i 0,0788647i 0,0695137i 0,452111 + 1,68023 + 3,58245 + 5,42286 + 6,85351 + 0,3 0,300084i 0,240627i 0,207256i 0,234641i 0,206127i 0,319964 + 1,30276 + 3,19712 + 5,02612 + 6,52092 + 1 0,0648124i 0,224014i 0,403536i 0,619766i 0,544949i 102 0,319442 + 1,23964 + 2,93571 + 4,43123 + 5,95069 + 0,0006281i 0,0022351i 0,00499814i 0,00961884i 0,00929724i 4 0,319442 + 1,23964 + 2,93568 + 4,43117 + 5,95063 + 10 0,0000063i 0,0000224i 0,00004998i 0,00009619i 0,00009297i 6 0,31944 + 1,2396 + 2,9357 + 4,4312 + 5,9506 + 10 6,281(10-8)i 2,235(10-7)i 4,998(10-7)i 9,619(10-7)i 9,2974(10-7)i 8 0,31944 + 1,2396 + 2,9357 + 4,4312 + 5,9506 + 10 6,281(10-10)i 2,235(10-9)i 4,998(10-9)i 9,619(10-9)i 9,2974(10-9)i 10 0,31944 + 1,2396 + 2,9357 + 4,4312 + 5,9506 + 10 6,281(10-12)i 2,235(10-11)i 4,998(10-11)i 9,619(10-11)i 9,2974(10-11)i Çizelge 4.13. Burulma sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑𝑅1,2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 𝑑𝑅2,2 0,697745 + 1,8085 + 3,77143 + 5,77576 + 7,27342 + 1 0,159359i 0,247577i 0,363149i 0,54673i 0,570318i 2 0,371636 + 1,4571 + 2,5547 + 4,39194 + 6,41332 + 10 0,0159436i 0,0192694i 0,0166976i 0,0109111i 0,0101755i 0,371966 + 1,45733 + 2,55492 + 4,39204 + 6,41339 + 104 0,0001594i 0,0001927i 0,00016698i 0,00010912i 0,00010176i 6 0,371966 + 1,45733 + 2,55492 + 4,39204 + 6,41339 + 10 0,0000016i 0,0000019i 0,00000167i 0,00000109i 0,00000102i 8 0,37197 + 1,4573 + 2,5549 + 4,392 + 6,4134 + 10 1,594(10-8)i 1,927(10-8)i 1,67(10-8)i 1,091(10-8)i 1,0176(10-8)i 10 0,37197 + 1,4573 + 2,5549 + 4,392 + 6,4134 + 10 1,594(10-10)i 1,927(10-10)i 1,67(10-10)i 1,091(10-10)i 1,0176(10-10)i 12 0,37197 + 1,4573 + 2,5549 + 4,392 + 6,4134 + 10 1,594(10-12)i 1,927(10-12)i 1,67(10-12)i 1,091(10-12)i 1,0176(10-12)i 14 0,37197 + 1,4573 + 2,5549 + 4,392 + 6,4134 + 10 1,594(10-14)i 1,927(10-14)i 1,67(10-14)i 1,091(10-14)i 1,0176(10-14)i 61 Lineer ve burulma yay katsayılarını içeren boyutsuz ifadeler 𝑑 81,1 = 𝑑2,1 = 10 ’den ve 𝑑 6𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 10 ’dan büyük değerleri için çok az değişimler olduğu gözlemlenmiştir. Sönüm elemanlarının etkilerine bakıldığında ise 𝑑 81,2 = 𝑑2,2 = 10 ’den ve 𝑑 8𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 10 ’den itibaren değişimler ihmal edilebilecek boyutlardadırlar. Çatlaksız kirişlerdeki sonuçlara benzer olarak kirişin çatlaklı olması durumunda da bu parametrelerin büyük değerleri için sanal kısım sonuçlarının ihmal edilebilecek boyutta sıfıra yakın olduğu gözlemlenmiştir. Ayrıca düşey yer değiştirme ile çalışan elemanların yüksek değerlerinin sonuçları birbirleri ile aynı çıkarken dönme ile çalışan elemanlarda da büyük değerleri için aynı frekans sonuçları elde edilmiştir. Şekil 3.7’de gösterilen kirişin uçlarında bulunan yay-kütle-damper sistemindeki elemanların frekans üzerine etkileri Çizelge 4.14 - Çizelge 4.16’da tablolaştırılmıştır. Bu tablolarda da öncekilere benzer olarak her iki uçta da bu sisteme ait parametrelerin aynı değerlerde oldukları varsayılmıştır. Çizelge 4.14. Yay-kütle-damper sistemindeki kütlenin çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑𝑀1, 𝑑𝑀2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24237 + 0,50334 + 1,5004 + 2,5759 + 4,4025 + 10−8 0,030504i 0,061785i 0,082212i 0,072618i 0,058532i 0,24236 + 0,50331 + 1,5003 + 2,5758 + 4,4023 + 10−4 0,030502i 0,06178i 0,082203i 0,072607i 0,058523i 0,19387 + 0,34228 + 1,0882 + 2,0305 + 3,661 + 1 0,01954i 0,036528i 0,043688i 0,032357i 0,019954i 0,056236 + 0,078822 + 0,82455 + 1,7652 + 3,3884 + 30 0,0015873i 0,013543i 0,034161i 0,024014i 0,013885i 0,022262 + 0,024744 + 0,812 + 1,754 + 3,3782 + 200 0,0002477i 0,005735i 0,034312i 0,023973i 0,013847i 0,0099871 + 0,01019 + 0,81019 + 1,7524 + 3,3767 + 103 0,000049825i 0,0012068i 0,03434i 0,023969i 0,013843i 0,0031604 + 0,003170 + 0,80979 + 1,752 + 3,3764 + 104 4,9892(10-6)i 0,00012118i 0,034346i 0,023969i 0,013842i 62 Çizelge 4.14’te kirişin uçlarında bulunan yay-kütle damper sistemindeki kütlenin frekans üzerine etkisi gösterilmiştir. Kütlenin etkisini görebilmek için kiriş ile bağlantı elemanı olarak sadece yay elemanının olduğu varsayılmış ve değer olarak da 𝑑01,1 = 𝑑02,1 = 100 olduğu kabul edilerek analizler gerçekleştirilmiştir. Kütlenin artması ile genel olarak frekanslarda bir düşüş görülmüş fakat düşük modlardaki frekans değerleri yüksek modlardakilere göre çok daha fazla etkilenmişlerdir. Büyük kütleler için birinci ve ikinci mod sonuçlarının birbirlerine çok yaklaştıkları görülmüştür. Çizelge 4.15. Kiriş uçlarındaki yay-kütle-damper sistemindeki yayın çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑01,1, 𝑑02,1 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,014072 + 0,014083 + 0,24352 + 0,50446 + 1,5009 + 10−3 9,8625(10-7)i 0,000017014i 0,03049i 0,061703i 0,082208i 0,11959 + 0,17695 + 0,67645 + 1,121 + 1,9209 + 1 0,006884i 0,016671i 0,022778i 0,030899i 0,067226i 0,12287 + 0,19018 + 0,88777 + 1,8146 + 3,4063 + 50 0,007701i 0,020395i 0,034189i 0,024228i 0,013664i 0,12291 + 0,19033 + 0,89061 + 1,826 + 3,4456 + 102 0,0077098i 0,020439i 0,034457i 0,024731i 0,014374i 0,12294 + 0,19048 + 0,89344 + 1,8372 + 3,4839 + 104 0,0077185i 0,020482i 0,034727i 0,025256i 0,015277i 0,12294 + 0,19048 + 0,89347 + 1,8373 + 3,4843 + 106 0,0077186i 0,020483i 0,03473i 0,025262i 0,015287i 0,12294 + 0,19048 + 0,89347 + 1,8373 + 3,4843 + 108 0,0077186i 0,020483i 0,03473i 0,025262i 0,015287i Çizelge 4.15 ve Çizelge 4.16’da kütleyi kirişin ucuna bağlayan yay ve damperin etkileri gösterilmiş olup hesaplamalarda bu parametrelerin etkilerini görmek için 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 5 olduğu kabul edilmiştir. Her iki elemanın yüksek değerlerinde sonuçlar benzerlik göstermiştir. Boyutsuz yay katsayıların artması ile sonuçların reel kısımlarında da artış görülmüş ve bu ifadelerin büyük değerlerindeki değişim doğal frekanslar üzerinde 63 çok ufak değişimlere sebep olmuştur. Bunun nedeni olarak da yayın etkinliğini kaybederek neredeyse rijit bir elemanmış gibi davranması söylenebilmektedir. Çizelge 4.16. Kiriş uçlarındaki yay-kütle-damper sistemindeki sönüm elemanının çatlaklı kiriş frekanslarına etkisi 𝑑01,2, 𝑑02,2 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,11841 + 0,16604 + 0,96091 + 2,2048 + 4,208 + 1 0,036734i 0,10603i 0,41255i 0,54227i 0,55615i 0,1219 + 0,18728 + 0,89166 + 1,8433 + 3,5072 + 5 0,013346i 0,036259i 0,098871i 0,14823i 0,23386i 0,12241 + 0,18895 + 0,8921 + 1,8377 + 3,4887 + 10 0,010534i 0,028368i 0,06674i 0,086748i 0,12469i 0,12289 + 0,19033 + 0,89329 + 1,8371 + 3,4841 + 102 0,0080006i 0,021272i 0,037936i 0,031426i 0,026267i 0,12294 + 0,19046 + 0,89345 + 1,8373 + 3,4842 + 103 0,0077468i 0,020562i 0,03505i 0,025878i 0,016386i 0,12294 + 0,19048 + 0,89346 + 1,8373 + 3,4843 + 104 0,0077214i 0,020491i 0,034762i 0,025323i 0,015397i 0,12294 + 0,19048 + 0,89347 + 1,8373 + 3,4843 + 105 0,0077189i 0,020484i 0,034733i 0,025268i 0,015298i Çatlaklı kirişlerin doğal frekanslarına çatlak özelliklerinin etkisini incelemek için ise iki kategoride çalışmalar yapılmıştır. Birinci kategori simetrik sınır şartları olduğu durumda 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 olarak kabul edilmiş, ikinci durumda ise 𝑑1,1 = 0,1, 𝑑2,1 = 0,05, 𝑑𝑅1,1 = 0,01, 𝑑𝑅2,1 = 0,05, 𝑑1,2 = 0,1, 𝑑2,2 = 0,05, 𝑑𝑅1,2 = 100 ve 𝑑𝑅2,2 = 1000 olduğu kabul edilmiştir. Malzeme özellikleri ve kiriş boyutları 𝐸 = 200 GPa, 𝜈 = 0.3, 𝜌 = 7850 kg/m3, 𝑘 = 5/6, 𝐿 = 0.2 m, ℎ = 0.03 m ve 𝑏 = 0.015 m için analiz sonuçları tablolaştırılmıştır. Çizelge 4.17 ve Çizelge 4.18’de simetrik sınır şartlarına sahip kiriş durumunda, üç farklı çatlak derinliği için çatlak konumunun değişimi gösterilmiştir. Doğal frekans değerlerinin 64 çatlak konumu ile simetrik olarak değişiminden söz edilebilmektedir. Yani, çatlağın 𝑒 konumunda veya (1 − 𝑒) konumunda bulunması sonucunda elde edilen frekans değerleri benzerdir. Çatlak derinliği arttıkça da bu davranış değişmemektedir. Çizelge 4.17. Simetrik sınır şartlarında, α = 0,3-0,5-0,7 ve e = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝛼 𝑒 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,2431 + 0,5171 + 1,5297 + 3,0017 + 4,5324 + 0,2 0,030382i 0,064975i 0,074467i 0,078465i 0,076979i 0,24239 + 0,53651 + 1,4531 + 2,8888 + 4,7036 + 0,4 0,030333i 0,06724i 0,076752i 0,069833i 0,072716i 0,3 0,24239 + 0,53651 + 1,4531 + 2,8888 + 4,7036 + 0,6 0,030333i 0,06724i 0,076752i 0,069833i 0,072716i 0,2431 + 0,5171 + 1,5297 + 3,0017 + 4,5324 + 0,8 0,030382i 0,064975i 0,074467i 0,078465i 0,076979i 0,24307 + 0,48467 + 1,5066 + 2,937 + 4,2529 + 0,2 0,030319i 0,061336i 0,070916i 0,084636i 0,078887i 0,24114 + 0,52788 + 1,3212 + 2,733 + 4,6072 + 0,4 0,030242i 0,065533i 0,075944i 0,066633i 0,073461i 0,5 0,24114 + 0,52788 + 1,3212 + 2,733 + 4,6072 + 0,6 0,030242i 0,065533i 0,075944i 0,066633i 0,073461i 0,24307 + 0,48467 + 1,5066 + 2,937 + 4,2529 + 0,8 0,030319i 0,061336i 0,070916i 0,084636i 0,078887i 0,24295 + 0,45204 + 1,4765 + 2,8124 + 4,021 + 0,2 0,030195i 0,0587i 0,068299i 0,088451i 0,074206i 0,23929 + 0,51496 + 1,1838 + 2,6002 + 4,4047 + 0,4 0,030196i 0,063332i 0,076334i 0,06477i 0,0693i 0,7 0,23929 + 0,51496 + 1,1838 + 2,6002 + 4,4047 + 0,6 0,030196i 0,063332i 0,076334i 0,06477i 0,0693i 0,24295 + 0,45204 + 1,4765 + 2,8124 + 4,021 + 0,8 0,030195i 0,0587i 0,068299i 0,088451i 0,074206i 65 Çizelge 4.18. Simetrik sınır şartlarında, α = 0,3-0,5-0,7 ve e = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝛼 𝑒 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24255 + 0,51413 + 1,4687 + 2,9613 + 4,709 + 0,1 0,029866i 0,066917i 0,073525i 0,067304i 0,065714i 0,24283 + 0,52633 + 1,5298 + 2,8246 + 4,5709 + 0,3 0,03044i 0,06549i 0,079527i 0,073824i 0,063592i 0,2422 + 0,54102 + 1,4109 + 3,0232 + 4,4662 + 0,3 0,5 0,030273i 0,068208i 0,07368i 0,073675i 0,070357i 0,24283 + 0,52633 + 1,5298 + 2,8246 + 4,5709 + 0,7 0,03044i 0,06549i 0,079527i 0,073824i 0,063592i 0,24255 + 0,51413 + 1,4687 + 2,9613 + 4,709 + 0,9 0,029866i 0,066917i 0,073525i 0,067304i 0,065714i 0,24162 + 0,48121 + 1,3945 + 2,8933 + 4,64 + 0,1 0,029071i 0,066028i 0,07046i 0,063487i 0,064162i 0,24237 + 0,50334 + 1,5004 + 2,5759 + 4,4025 + 0,3 0,030504i 0,061785i 0,082212i 0,072618i 0,058532i 0,24059 + 0,54028 + 1,236 + 2,9923 + 4,181 + 0,5 0,5 0,030088i 0,068044i 0,069763i 0,072473i 0,071046i 0,24237 + 0,50334 + 1,5004 + 2,5759 + 4,4025 + 0,7 0,030504i 0,061785i 0,082212i 0,072618i 0,058532i 0,24162 + 0,48121 + 1,3945 + 2,8933 + 4,64 + 0,9 0,029071i 0,066028i 0,07046i 0,063487i 0,064162i 0,24035 + 0,45181 + 1,3393 + 2,8249 + 4,4804 + 0,1 0,028194i 0,066016i 0,06943i 0,063789i 0,069432i 0,24168 + 0,47609 + 1,4524 + 2,3709 + 4,2416 + 0,3 0,030608i 0,058314i 0,084621i 0,071265i 0,056066i 0,23821 + 0,53837 + 1,0663 + 2,9095 + 3,9761 + 0,7 0,5 0,029936i 0,067619i 0,067958i 0,069051i 0,072516i 0,24168 + 0,47609 + 1,4524 + 2,3709 + 4,2416 + 0,7 0,030608i 0,058314i 0,084621i 0,071265i 0,056066i 0,24035 + 0,45181 + 1,3393 + 2,8249 + 4,4804 + 0,9 0,028194i 0,066016i 0,06943i 0,063789i 0,069432i 66 Çizelge 4.19. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24309 + 0,53774 + 1,5424 + 3,026 + 4,7145 + 0,1 0,030403i 0,067748i 0,077188i 0,074536i 0,071884i 0,2431 + 0,5171 + 1,5297 + 3,0017 + 4,5324 + 0,3 0,030382i 0,064975i 0,074467i 0,078465i 0,076979i 0,24307 + 0,48467 + 1,5066 + 2,937 + 4,2529 + 0,2 0,5 0,030319i 0,061336i 0,070916i 0,084636i 0,078887i 0,24295 + 0,45204 + 1,4765 + 2,8124 + 4,021 + 0,7 0,030195i 0,0587i 0,068299i 0,088451i 0,074206i 0,24255 + 0,43208 + 1,43 + 2,5803 + 3,8958 + 0,9 0,029956i 0,057714i 0,067478i 0,079516i 0,06504i Çizelge 4.20. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24297 + 0,54117 + 1,5252 + 3,029 + 4,7003 + 0,1 0,030387i 0,068239i 0,077058i 0,073895i 0,070684i 0,2422 + 0,54102 + 1,4109 + 3,0232 + 4,4662 + 0,3 0,030273i 0,068208i 0,07368i 0,073675i 0,070357i 0,24059 + 0,54028 + 1,236 + 2,9923 + 4,181 + 0,5 0,5 0,030088i 0,068044i 0,069763i 0,072473i 0,071046i 0,23821 + 0,53837 + 1,0663 + 2,9095 + 3,9761 + 0,7 0,029936i 0,067619i 0,067958i 0,069051i 0,072516i 0,23611 + 0,53351 + 0,96502 + 2,6906 + 3,8803 + 0,9 0,029928i 0,066538i 0,068168i 0,059541i 0,073528i Çizelge 4.19-Çizelge 4.24’te simetrik sınır şartlarına sahip kiriş için, çatlak derinliğinin değişiminin etkisi incelenmiştir. Farklı çatlak konumları için, çatlak derinlikleri değiştirilerek analizler gerçekleştirilmiş ve tablolaştırılmıştır. Çatlak derinliğinin (𝛼) artması ile elde edilen frekans değerlerinin reel kısımlarının düştüğü gözlemlenmiştir. 67 Bunun sebebi, çatlak derinliğinin artması ile kiriş katılığının yerel olarak düşmesi olarak söylenebilir. Çizelge 4.21. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24309 + 0,53774 + 1,5424 + 3,026 + 4,7145 + 0,1 0,030403i 0,067748i 0,077188i 0,074536i 0,071884i 0,2431 + 0,5171 + 1,5297 + 3,0017 + 4,5324 + 0,3 0,030382i 0,064975i 0,074467i 0,078465i 0,076979i 0,24307 + 0,48467 + 1,5066 + 2,937 + 4,2529 + 0,8 0,5 0,030319i 0,061336i 0,070916i 0,084636i 0,078887i 0,24295 + 0,45204 + 1,4765 + 2,8124 + 4,021 + 0,7 0,030195i 0,0587i 0,068299i 0,088451i 0,074206i 0,24255 + 0,43208 + 1,43 + 2,5803 + 3,8958 + 0,9 0,029956i 0,057714i 0,067478i 0,079516i 0,06504i Çizelge 4.22. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,2431 + 0,52922 + 1,5373 + 3,0173 + 4,6408 + 0,2 0,030396i 0,066563i 0,076023i 0,076141i 0,074317i 0,24309 + 0,50193 + 1,5194 + 2,9761 + 4,3973 + 0,4 0,030358i 0,063158i 0,072694i 0,081402i 0,07879i 0,2 0,24303 + 0,46732 + 1,4921 + 2,8823 + 4,1225 + 0,6 0,030265i 0,059795i 0,069396i 0,087342i 0,077146i 0,24284 + 0,4401 + 1,46 + 2,7297 + 3,9493 + 0,8 0,030112i 0,058034i 0,067633i 0,087258i 0,070817i 68 Çizelge 4.23. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,24267 + 0,54114 + 1,4778 + 3,0277 + 4,5985 + 0,2 0,030341i 0,068233i 0,075592i 0,073848i 0,070464i 0,24152 + 0,54077 + 1,3283 + 3,0125 + 4,321 + 0,4 0,030186i 0,068151i 0,071613i 0,073265i 0,070532i 0,5 0,23945 + 0,5395 + 1,1451 + 2,9589 + 4,0636 + 0,6 0,029997i 0,06787i 0,068505i 0,071123i 0,071778i 0,23703 + 0,53686 + 1,0055 + 2,8423 + 3,9165 + 0,8 0,029917i 0,067286i 0,067945i 0,06614i 0,07312i Çizelge 4.24. Simetrik sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,2431 + 0,52922 + 1,5373 + 3,0173 + 4,6408 + 0,2 0,030396i 0,066563i 0,076023i 0,076141i 0,074317i 0,24309 + 0,50193 + 1,5194 + 2,9761 + 4,3973 + 0,4 0,030358i 0,063158i 0,072694i 0,081402i 0,07879i 0,8 0,24303 + 0,46732 + 1,4921 + 2,8823 + 4,1225 + 0,6 0,030265i 0,059795i 0,069396i 0,087342i 0,077146i 0,24284 + 0,4401 + 1,46 + 2,7297 + 3,9493 + 0,8 0,030112i 0,058034i 0,067633i 0,087258i 0,070817i Çizelge 4.25 – Çizelge 4.32’de sınır şartları simetrik olmayan kiriş için çatlak özelliklerinin doğal frekans üzerine etkileri gösterilmiştir. Çizelge 4.25 ve Çizelge 4.26’da çatlak konumunun etkileri gösterilmiştir. Belirli çatlak derinlikleri için farklı çatlak konumlarında elde edilen doğal frekans değerleri tablolaştırılmıştır. Simetrik sınır şartları için elde edilen frekans değerlerinde çatlak konumuna göre bir simetrik davranış olduğundan bahsedilmişti. Bu davranış simetrik olmayan sınır şartlarında gözlemlenmemiştir. 69 Çizelge 4.25. Simetrik olmayan sınır şartlarında, α = 0,3-0,5-0,7 ve e = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝛼 𝑒 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20716 + 0,48963 + 1,5191 + 2,9971 + 4,5294 + 0,2 0,022138i 0,048865i 0,051341i 0,058463i 0,058986i 0,20743 + 0,50818 + 1,4438 + 2,8829 + 4,7011 + 0,4 0,022595i 0,049464i 0,057913i 0,045558i 0,055052i 0,3 0,20683 + 0,51032 + 1,4411 + 2,885 + 4,7 + 0,6 0,022447i 0,051556i 0,051166i 0,053838i 0,049142i 0,2072 + 0,48934 + 1,5202 + 2,9957 + 4,5288 + 0,8 0,022524i 0,049777i 0,055075i 0,053074i 0,050575i 0,20633 + 0,45699 + 1,4955 + 2,933 + 4,2497 + 0,2 0,021446i 0,046382i 0,046954i 0,066701i 0,062066i 0,20711 + 0,49773 + 1,3134 + 2,7259 + 4,6051 + 0,4 0,022662i 0,046404i 0,061427i 0,039158i 0,058452i 0,5 0,20545 + 0,50366 + 1,3066 + 2,7303 + 4,6029 + 0,6 0,022278i 0,051972i 0,045925i 0,055542i 0,046784i 0,20651 + 0,4563 + 1,4979 + 2,9294 + 4,2492 + 0,8 0,022475i 0,047947i 0,054677i 0,053157i 0,049216i 0,20508 + 0,42419 + 1,4651 + 2,8088 + 4,0174 + 0,2 0,020564i 0,044966i 0,043973i 0,073018i 0,056415i 0,20659 + 0,48217 + 1,1773 + 2,5923 + 4,4028 + 0,4 0,022765i 0,042462i 0,065504i 0,035566i 0,055712i 0,7 0,20344 + 0,49352 + 1,1658 + 2,5982 + 4,4003 + 0,6 0,02209i 0,052464i 0,041657i 0,056354i 0,043475i 0,20555 + 0,42301 + 1,4683 + 2,8033 + 4,0179 + 0,8 0,022424i 0,046356i 0,054135i 0,051858i 0,047631i 70 Çizelge 4.26. Simetrik olmayan sınır şartlarında, α = 0,3-0,5-0,7 ve e = 0,1-0,3-0,5-0,7- 0,9 değerleri için frekans değerleri 𝛼 𝑒 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20559 + 0,48795 + 1,4578 + 2,9561 + 4,7059 + 0,1 0,02127i 0,051684i 0,051031i 0,045506i 0,045236i 0,20762 + 0,49797 + 1,5203 + 2,8195 + 4,5673 + 0,3 0,022528i 0,048249i 0,058652i 0,054258i 0,041128i 0,20706 + 0,51368 + 1,4004 + 3,0183 + 4,4629 + 0,3 0,5 0,02252i 0,051099i 0,052412i 0,052457i 0,050448i 0,20689 + 0,50024 + 1,5184 + 2,8193 + 4,5687 + 0,7 0,02245i 0,050714i 0,054397i 0,050551i 0,049747i 0,20755 + 0,48289 + 1,4588 + 2,957 + 4,7061 + 0,9 0,022576i 0,049961i 0,054845i 0,051085i 0,049303i 0,20235 + 0,45662 + 1,3826 + 2,888 + 4,6369 + 0,1 0,019519i 0,052842i 0,047532i 0,041352i 0,043811i 0,2076 + 0,47329 + 1,4922 + 2,5703 + 4,3986 + 0,3 0,022462i 0,044196i 0,063738i 0,053539i 0,034337i 0,20608 + 0,51289 + 1,2249 + 2,9876 + 4,1774 + 0,5 0,5 0,02247i 0,050685i 0,049463i 0,051528i 0,050994i 0,20563 + 0,47915 + 1,487 + 2,5706 + 4,4011 + 0,7 0,022286i 0,049896i 0,052588i 0,049015i 0,049092i 0,20742 + 0,44466 + 1,3849 + 2,8894 + 4,637 + 0,9 0,0226i 0,048504i 0,054672i 0,05021i 0,048868i 0,19836 + 0,42891 + 1,3266 + 2,8195 + 4,4776 + 0,1 0,017843i 0,054544i 0,046108i 0,041927i 0,050755i 0,20751 + 0,44389 + 1,4456 + 2,3643 + 4,2376 + 0,3 0,022341i 0,04045i 0,069147i 0,051035i 0,032228i 0,20461 + 0,5109 + 1,0542 + 2,9049 + 3,9722 + 0,7 0,5 0,022437i 0,049913i 0,048029i 0,049009i 0,052083i 0,20386 + 0,45415 + 1,4366 + 2,366 + 4,2403 + 0,7 0,0221i 0,049055i 0,049959i 0,049171i 0,047459i 0,20721 + 0,40987 + 1,3299 + 2,8207 + 4,4766 + 0,9 0,022611i 0,047364i 0,054917i 0,0504i 0,05i 71 Çizelge 4.27 – Çizelge 4.32’de simetrik olmayan sınır şartlarına sahip kiriş için, çatlak derinliğinin farklı konumlardaki etkileri gösterilmiştir. Simetrik sınır şartlarına benzer olarak bu durumda da çatlak derinliğinin artması ile frekans değerlerinin reel kısımlarında azalma olduğundan bahsedilebilmektedir. Çizelge 4.27. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20755 + 0,5104 + 1,5321 + 3,0211 + 4,7115 + 0,1 0,022501i 0,05091i 0,054752i 0,053463i 0,052138i 0,20716 + 0,48963 + 1,5191 + 2,9971 + 4,5294 + 0,3 0,022138i 0,048865i 0,051341i 0,058463i 0,058986i 0,20633 + 0,45699 + 1,4955 + 2,933 + 4,2497 + 0,2 0,5 0,021446i 0,046382i 0,046954i 0,066701i 0,062066i 0,20508 + 0,42419 + 1,4651 + 2,8088 + 4,0174 + 0,7 0,020564i 0,044966i 0,043973i 0,073018i 0,056415i 0,20375 + 0,40422 + 1,4189 + 2,5765 + 3,892 + 0,9 0,019833i 0,044754i 0,044324i 0,065463i 0,044895i Çizelge 4.28. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20754 + 0,51385 + 1,5149 + 3,024 + 4,6972 + 0,1 0,022551i 0,05126i 0,05491i 0,052655i 0,050648i 0,20706 + 0,51368 + 1,4004 + 3,0183 + 4,4629 + 0,3 0,02252i 0,051099i 0,052412i 0,052457i 0,050448i 0,20608 + 0,51289 + 1,2249 + 2,9876 + 4,1774 + 0,5 0,5 0,02247i 0,050685i 0,049463i 0,051528i 0,050994i 0,20461 + 0,5109 + 1,0542 + 2,9049 + 3,9722 + 0,7 0,022437i 0,049913i 0,048029i 0,049009i 0,052083i 0,20328 + 0,506 + 0,95192 + 2,6863 + 3,8763 + 0,9 0,022435i 0,048744i 0,048113i 0,042152i 0,052764i 72 Çizelge 4.29. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,1-0,3-0,5-0,7-0,9 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20755 + 0,51036 + 1,5323 + 3,0209 + 4,7113 + 0,1 0,022552i 0,05106i 0,055321i 0,052735i 0,050776i 0,2072 + 0,48934 + 1,5202 + 2,9957 + 4,5288 + 0,3 0,022524i 0,049777i 0,055075i 0,053074i 0,050575i 0,20651 + 0,4563 + 1,4979 + 2,9294 + 4,2492 + 0,8 0,5 0,022475i 0,047947i 0,054677i 0,053157i 0,049216i 0,20555 + 0,42301 + 1,4683 + 2,8033 + 4,0179 + 0,7 0,022424i 0,046356i 0,054135i 0,051858i 0,047631i 0,2047 + 0,40247 + 1,4212 + 2,5716 + 3,8931 + 0,9 0,02237i 0,045506i 0,052794i 0,047044i 0,046332i Çizelge 4.30. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,2 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,2074 + 0,50183 + 1,5269 + 3,0125 + 4,6378 + 0,2 0,022358i 0,050025i 0,053288i 0,055488i 0,055359i 0,20681 + 0,47436 + 1,5085 + 2,9718 + 4,3943 + 0,4 0,021834i 0,047584i 0,049135i 0,062308i 0,061623i 0,2 0,20573 + 0,43954 + 1,4808 + 2,8786 + 4,1191 + 0,6 0,021004i 0,045479i 0,045151i 0,070699i 0,060061i 0,20444 + 0,41221 + 1,4486 + 2,7262 + 3,9456 + 0,8 0,020177i 0,044767i 0,043479i 0,072757i 0,052134i 73 Çizelge 4.31. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,5 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20735 + 0,51381 + 1,4674 + 3,0228 + 4,5953 + 0,2 0,022539i 0,051202i 0,053829i 0,052605i 0,050505i 0,20665 + 0,5134 + 1,3175 + 3,0077 + 4,3175 + 0,4 0,022496i 0,050934i 0,050867i 0,052132i 0,050598i 0,5 0,20538 + 0,51207 + 1,1335 + 2,9543 + 4,0597 + 0,6 0,022449i 0,050341i 0,048482i 0,050525i 0,051542i 0,20388 + 0,50936 + 0,9928 + 2,8378 + 3,9125 + 0,8 0,022438i 0,049432i 0,047985i 0,0469i 0,052514i Çizelge 4.32. Simetrik olmayan sınır şartlarında, e = 0,8 ve α = 0,2-0,4-0,6-0,8 değerleri için frekans değerleri 𝑒 𝛼 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 0,20742 + 0,50168 + 1,5275 + 3,0118 + 4,6374 + 0,2 0,02254i 0,05052i 0,05522i 0,052894i 0,050789i 0,2069 + 0,47388 + 1,5103 + 2,9694 + 4,3936 + 0,4 0,022501i 0,048892i 0,054892i 0,053202i 0,050026i 0,8 0,20604 + 0,4386 + 1,4837 + 2,8738 + 4,1191 + 0,6 0,022448i 0,047068i 0,054431i 0,052761i 0,048362i 0,2051 + 0,4108 + 1,4518 + 2,7203 + 3,9464 + 0,8 0,022403i 0,04584i 0,053755i 0,050403i 0,04706i Çatlaklı kirişlerin mod şekillerinin bulunması için elde edilen denklemlerin uygulamaları Şekil 4.1 - Şekil 4.3’de gösterilmiştir. Çizelge 4.17’deki sınır şartları ve elde edilen frekans değerleri kullanılarak, 𝛼 = 0,5 ve 𝑒 = 0,4 − 0,8 ile 𝑒 = 0,2 ve 𝛼 = 0,3 − 0,7 için elde edilen mod şekilleri Şekil 4.1 ve Şekil 4.2’de gösterilmiştir. Çatlak derinliğinin artması ile çatlak konumundaki süreksizliğin arttığı görülmekte bu da çatlak için tanımlanan şartlar göz önüne alındığında (Denklem 3.86) normal karşılanabilmektedir. 74 (a) (b) Şekil 4.1. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları için mod şekilleri. a) 𝑒 = 0,4 ve 𝛼 = 0,5 için mod şekilleri b) 𝑒 = 0,8 ve 𝛼 = 0,5 için mod şekilleri. (a) (b) Şekil 4.2. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları için mod şekilleri. a) 𝑒 = 0,2 ve 𝛼 = 0,3 için mod şekilleri b) 𝑒 = 0,2 ve 𝛼 = 0,7 için mod şekilleri. Şu ana kadarki belirtilen mod şekilleri kiriş uçlarındaki yay-kütle-damper sisteminin olmadığı durumlar için çizdirilmiş olup bu sistemin de bulunması halinde oluşacak mod şekillerine örnek olarak bazı durumlar, Çizelge 4.14’teki frekansların elde edilmesi için kullanılan sınır şartları ve çatlak parametreleri ile 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 30, 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 200 olduğu durumlarda Şekil 4.3’te gösterilmiştir. 75 (a) (b) Şekil 4.3. 𝑑1,1 = 𝑑2,1 = 0,1 , 𝑑𝑅1,1 = 𝑑𝑅2,1 = 0,01, 𝑑1,2 = 𝑑2,2 = 0,1 ve 𝑑𝑅1,2 = 𝑑𝑅2,2 = 100 sınır şartları, 𝑒 = 0,3, 𝛼 = 0,5 ve 𝑑011 = 𝑑021 = 100 için mod şekilleri. a) 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 30 için mod şekilleri b) 𝑑𝑀1 = 𝑑𝑀2 = 200 için mod şekilleri. 76 5. SONUÇ Bu çalışmada çubukların boyuna ve kirişlerin yanal titreşimleri üzerine çalışılmıştır. Birinci kısımda çubukların boyuna titreşimleri incelenirken, ikinci kısım çalışması olarak çatlaklı Timoshenko kirişlerin yanal titreşimleri incelenmiştir. Çubukların boyuna titreşimleri için daha önceki yıllarda geliştirilen Riccati diferansiyel denkleminin çözümüne dayanan bir yöntem ortaya konulmuştur. Önerilen bu yöntemde değişken kesitli çubuklar için yazılan diferansiyel denklemin bir dönüşüm denklemi kullanılarak Riccati diferansiyel denklemi şeklinde ifade edilebildiği gösterilmiştir. Bu denklemin çözümü esnasında ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemin çözülmesi gerekmektedir. Kesit alanına bağlı olarak da bu denklem sabit katsayılı veya değişken katsayılı olabilmektedir. Elde edilen bu denklem, çözülebilen formları göz önüne alınırsa analitik veya sayısal olarak çözüm elde edilebilecek kesit tiplerinin de belirlenebilmesine imkân sağlamaktadır. Çözüm yönteminin uygulanabilirliğini göstermek için polinom, üstel, trigonometrik veya hiperbolik fonksiyonlar cinsinden yazılabilen bazı kesit tipleri için çözümler yapılmış ayrıca kademeli çubuklara uygulanabilirliği de çift kademeli bir çubuk örneğinde gösterilmiştir. Çalışmanın ikinci kısmında, uçlarında yay kütle damper sistemi bulunan ve şekil değiştirebilen sınır şartlarına sahip çatlaklı Timoshenko kirişlerin doğal frekans ve mod şekilleri için denklemler elde edilmiştir. Kirişin tek taraflı keyfi sayıda çatlak içerdiği ve çatlak noktalarından ayrılan kiriş parçaları kütlesiz ve boyutsuz yaylar ile birbirlerine bağlı olduğu varsayılarak modellenmiş ve transfer matris yöntemi kullanılarak kiriş için doğal frekanslar elde edilmiştir. Simetrik sınır şartlarına sahip kiriş için doğal frekansların kiriş üzerinde bulunan çatlağın konumu ile değiştiği, bu değişimin de simetrik olabildiği gözlemlenmiştir. Yani çatlağın 𝑒 veya (1 − 𝑒) konumunda bulunması durumlarında frekans değerleri benzerlik göstermektedir. Simetrik olmayan sınır şartları için ise böyle bir davranıştan söz edilememektedir. Çatlak derinliğinin artmasının elde edilen frekans değerlerinin reel kısımlarının azalmasına sebep olduğundan bahsedilebilmektedir. İlaveten kiriş uçlarında bulunan kütle yay sistemindeki kütlenin artmasının da 77 frekanslarda düşüşe sebep olduğu ve düşük modlardaki değerlerin daha fazla etkilendiği görülmüştür. 78 KAYNAKLAR Abrate, S. (1995). Vibration of non-uniform rods and beams. Journal of Sound and Vibration, 185(4), 703–716. https://doi.org/10.1006/JSVI.1995.0410 Al Kaisy, A. M. A., Esmaeel, R. A., & Nassar, M. M. (2007). Application of the differential quadrature method to the longitudinal vibration of non-uniform rods. Engineering Mechanics, 14(5), 303–310. Arndt, M., Machado, R. D., & Scremin, A. (2010). An adaptive generalized finite element method applied to free vibration analysis of straight bars and trusses. Journal of Sound and Vibration, 329(6), 659–672. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2009.09.036 Aydin, K. (2007). Vibratory Characteristics of Axially-Loaded Timoshenko Beams With Arbitrary Number of Cracks. Journal of Vibration and Acoustics, 129(3), 341–354. https://doi.org/10.1115/1.2731411 Bapat, C. N. (1995). Vibration of rods with uniformly tapered sections. Journal of Sound and Vibration, 185(1), 185–189. https://doi.org/10.1006/JSVI.1995.0371 Caliò, I., & Elishakoff, I. (2008). Vibration tailoring of inhomogeneous rod that possesses a trigonometric fundamental mode shape. Journal of Sound And Vıbratıon, 309, 838–842. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2007.06.079 Chen, B., Zhao, X., Li, Y. H., & Guo, Y. (2019). Forced vibration analysis of multi- cracked Timoshenko beam with the inclusion of damping by virtue of Green’s functions. Applied Acoustics, 155, 477–491. https://doi.org/10.1016/J.APACOUST.2019.06.016 Chouiyakh, H., Azrar, L., Alnefaie, K., & Akourri, O. (2017). Vibration and multi-crack identification of Timoshenko beams under moving mass using the differential quadrature method. International Journal of Mechanical Sciences, 120, 1–11. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.11.014 De Rosa, M. A., & Lippiello, M. (2021). Closed-form solutions for vibrations analysis of cracked Timoshenko beams on elastic medium: An analytically approach. Engineering Structures, 236, 111946. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.111946 Eisenberger, M. (1991). Exact longitudinal vibration frequencies of a variable cross- section rod. Applied Acoustics, 34(2), 123–130. https://doi.org/10.1016/0003- 682X(91)90027-C Ghannadiasl, A., & Khodapanah Ajirlou, S. (2022). Dynamic analysis of multiple cracked Timoshenko beam under moving load–analytical method. Journal of Vibration and Control, 28(3–4), 379–395. https://doi.org/10.1177/1077546320977596 Guo, S., & Yang, S. (2015). Longitudinal vibrations of arbitrary non-uniform rods. Acta Mechanica Solida Sinica, 28(2), 187–199. https://doi.org/10.1016/S0894- 79 9166(15)30007-0 Guo, S., & Yang, S. (2011). Free longitudinal vibrations of non-uniform rods. Science China Technological Sciences, 54(10), 2735–2745. https://doi.org/10.1007/s11431- 011-4534-6 Khaji, N., Shafiei, M., & Jalalpour, M. (2009). Closed-form solutions for crack detection problem of Timoshenko beams with various boundary conditions. International Journal of Mechanical Sciences, 51(9–10), 667–681. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2009.07.004 Kim, K., Kim, S., Sok, K., Pak, C., & Han, K. (2018). A modeling method for vibration analysis of cracked beam with arbitrary boundary condition. Journal of Ocean Engineering and Science, 3(4) , 367–381. https://doi.org/10.1016/j.joes.2018.11.003 Kumar, B. M., & Sujith, R. I. (1997). Exact solutions for the longitudinal vibration of non-uniform rods. Journal of Sound and Vibration, 207(5), 721–729. https://doi.org/10.1006/JSVI.1997.1146 Li, Q. S. (2000). Exact solutions for free longitudinal vibration of stepped non-uniform rods. Applied Acoustics, 60(1), 13–28. https://doi.org/10.1016/S0003- 682X(99)00048-1 Lin, H.-P. (2004). Direct and inverse methods on free vibration analysis of simply supported beams with a crack. Engineering Structures, 26(4), 427–436. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2003.10.014 Loya, J. A., Aranda-Ruiz, J., & Zaera, R. (2022). Natural frequencies of vibration in cracked Timoshenko beams within an elastic medium. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 118, 103257. https://doi.org/10.1016/J.TAFMEC.2022.103257 Loya, J. A., Rubio, L., & Fernández-Sáez, J. (2006). Natural frequencies for bending vibrations of Timoshenko cracked beams. Journal of Sound and Vibration, 290(3– 5), 640–653. https://doi.org/10.1016/J.JSV.2005.04.005 Pala, Y., & Ertas, O. (2017). A New Analytical Method for Solving General Riccati Equation. Universal Journal of Applied Mathematics, 5(2), 11–16. https://doi.org/10.13189/ujam.2017.050201 Pillutla, S. H., Gopinathan, S., & Yerikalapudy, V. R. (2018). Free longitudinal vibrations of functionally graded tapered axial bars by pseudospectral method. Journal of Vibroengineering, 20(5), 2137–2150. https://doi.org/10.21595/jve.2018.19373 Raman, V. M. (1983). On analytical solutions of vibrations of rods with variable cross sections. Applied Mathematical Modelling, 7(5), 356–361. https://doi.org/10.1016/0307-904X(83)90134-8 Rao, S. S. 2011. Mechanical Vibrations Fifth Edition. Pearson Education, Inc. 80 Sarvestan, V., Mirdamadi, H. R., & Ghayour, M. (2017). Vibration analysis of cracked Timoshenko beam under moving load with constant velocity and acceleration by spectral finite element method. International Journal of Mechanical Sciences, 122, 318–330. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2017.01.035 Shafiei, M., & Khaji, N. (2011). Analytical solutions for free and forced vibrations of a multiple cracked Timoshenko beam subject to a concentrated moving load. Acta Mechanica, 221(1–2), 79–97. https://doi.org/10.1007/s00707-011-0495-x Sorrentino, S., Fasana, A., & Marchesiello, S. (2007). Analysis of non-homogeneous Timoshenko beams with generalized damping distributions. Journal of Sound and Vibration, 304(3–5), 779–792. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2007.03.038 Xu, D., Du, J., & Liu, Z. (2019). An accurate and efficient series solution for the longitudinal vibration of elastically restrained rods with arbitrarily variable cross sections. Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control, 38(2), 403– 414. https://doi.org/10.1177/1461348419825913/FORMAT/EPUB Yardimoglu, B., & Aydin, L. (2011). Exact longitudinal vibration characteristics of rods with variable cross-sections. Shock and Vibration, 18, 555–562. https://doi.org/10.3233/SAV-2010-0561 Yuan, J., Pao, Y.-H., & Chen, W. (2016). Exact solutions for free vibrations of axially inhomogeneous Timoshenko beams with variable cross section. Acta Mechanica, 227(9), 2625–2643. https://doi.org/10.1007/s00707-016-1658-6 Zeng, H., & Bert, C. W. (2001). Vıbratıon analysis of a tapered bar by differential transformation. Journal of Sound and Vibration, 242(4), 737–739. https://doi.org/10.1006/jsvi.2000.3372 Zietsman, L., van Rensburg, N. F. J., & van der Merwe, A. J. (2004). A Timoshenko beam with tip body and boundary damping. Wave Motion, 39(3), 199–211. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2003.08.003 81 EKLER EK 1 Riccati Diferansiyel Denklemi Çözümü İçin Özet Bilgi EK 2 Diklik Şartının Elde Edilmesi EK 3 Matlab Programları 82 EK 1. Riccati Diferansiyel Denklemi Çözümü İçin Özet Bilgi Riccati tipindeki diferansiyel denklemlerin çözümü için Pala ve Ertas (2017) yeni bir yöntem sunmuştur. Çubukların boyuna titreşimi incelenirken bazı kesit tipleri için bu tip denklemlerin çözümlerinin bulunabilmesi açısından önemli olan bahsedilen çalışmanın özet bilgisi aşağıdaki gibidir: 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦2 − 𝑅(𝑥) = 0 𝑑𝑥 şeklinde olan genel Riccati denkleminin çözümü için 𝑦 = 𝑓𝑒∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 dönüşümü önerilir ve bu denklem iki kere türevi alınıp düzenlenirse 2𝑓′ 𝑔′ 𝑓′′ 1 ′ 2 ′′𝑦 + [ + ] 𝑦 + 𝑔𝑦 + = 𝑦 𝑒−∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 𝑓 𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 olarak bulunur. 1 ′′ 𝑠(𝑥) = 𝑦 𝑒−∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 𝑓𝑔 tanımlaması yapılırsa 2𝑓′ 𝑔′ 𝑓′′ 𝑦′ + [ + ] 𝑦 + 𝑔𝑦2 + = 𝑠(𝑥) 𝑓 𝑔 𝑓𝑔 olur. Bulunan bu denklem ile genel ifade kıyaslanırsa 2𝑓′ 𝑔′ [ + ] = 𝑃(𝑥) 𝑓 𝑔 83 𝑔(𝑥) = 𝑄(𝑥) 𝑓′′ 𝑠(𝑥) − = 𝑅(𝑥) 𝑓𝑔 olduğu görülebilir. Bu eşitliklerden 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) ve 𝑅(𝑥) ifadelerine göre 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ve 1 ′′ 𝑠(𝑥) bulunabilir. Daha önce 𝑠(𝑥) = 𝑦 𝑒−∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 tanımlaması yapılmıştı. Bu 𝑓𝑔 denklem 𝑦 = 𝑓𝑒∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 olduğu da hatırlanarak düzenlenirse ′′ 𝑦 − 𝑠(𝑥)𝑔(𝑥)𝑦 = 0 şeklinde bulunur. 𝑔 ve 𝑠’nin ifadelerine bağlı olarak, bu denklemin çözümü hakkında fikir sahibi olunabilir. Çözüm sonrası 𝑦 elde edilir. 𝑦 = 𝑓𝑒∫ 𝑔(𝑥)𝑦(𝑥)𝑑𝑥 tanımlaması kullanılarak, ters dönüşüm ile bulunmak istenen çözüm 1 𝑑 𝑦(𝑥) 𝑦(𝑥) = (ln ( )) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) şeklinde elde edilir. 84 EK 2. Diklik Şartının Elde Edilmesi (3.142) denklemindeki ifadeler (3.108) denkleminde eşitliğin sağ tarafındaki ilgili yerlere yazılırsa, 1 𝐸𝐼 (Ω2 2𝑙 − Ω𝑚)∫ (𝐴𝐸𝑌𝑙𝑌𝑚 + Ψ Ψ𝐿2 𝑙 𝑚 ) 𝑑𝜉 0 = 𝑘𝐴𝐺 (−𝐹𝑅2,𝑚𝑌𝑚(1)𝑌𝑙(1) − 𝐹𝑅1,𝑚𝑌𝑚(0)𝑌𝑙(0) + 𝐹𝑅2,𝑙𝑌𝑙(1)𝑌𝑚(1) + 𝐹𝑅1,𝑙𝑌𝑙(0)𝑌𝑚(0)) 𝐸𝐼 + (−𝑀𝑅2,𝑚Ψ𝑚(1)Ψ𝑙(1) − 𝑀𝑅1,𝑚Ψ𝑚(0)Ψ𝑙(0) + 𝑀𝐿2 𝑅2,𝑙 Ψ𝑙(1)Ψ𝑚(1) + 𝑀𝑅1,𝑙Ψ𝑙(0)Ψ𝑚(0)) eşitliği elde edilir. Düzenleme yapılarak 1 𝐸𝐼 (Ω2 2𝑙 − Ω𝑚)∫ (𝐴𝐸𝑌𝑙𝑌𝑚 + Ψ𝑙Ψ𝑚) 𝑑𝜉𝐿2 0 = 𝑘𝐴𝐺 (𝑌𝑚(1)𝑌𝑙(1)(𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚) + 𝑌𝑚(0)𝑌𝑙(0)(𝐹𝑅1,𝑙 − 𝐹𝑅1,𝑚)) 𝐸𝐼 + (Ψ𝑙(1)Ψ𝑚(1)(𝑀𝑅2,𝑙 −𝑀𝑅2,𝑚) + Ψ𝑙(0)Ψ𝑚(0)(𝑀𝑅1,𝑙 −𝑀𝑅1,𝑚)) 𝐿2 olarak yazılabilir. Takip kolaylığı için ara işlemler kısım kısım ele alınsın. Ω 2𝑙 𝑑𝑀2(𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑙𝑑02,2) 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = 𝑑2,1 + 𝑖Ω𝑙𝑑2,2 + 2 − 𝑑2,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑2,2Ω𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2 Ω 2𝑚 𝑑𝑀2(𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) − Ω 2𝑚 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2 85 Ω2𝑙 𝑑𝑀2𝑑02,1 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 − Ω𝑚)𝑖𝑑2,2 + Ω 2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2 Ω2𝑑 𝑖Ω 𝑑 Ω2𝑙 𝑀2 𝑙 02,2 𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1 + Ω2 − 2 𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2 Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2 Ω2𝑚𝑑𝑀2𝑖Ω𝑚𝑑02,2 − Ω2𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2 Ω2 2𝑙 Ω𝑚 𝑎1 = ( − ) Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω 𝑑 2 𝑙 02,2 Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2 Ω3 3𝑙 Ω𝑚 𝑎2 = ( 2 − ) Ω𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑 2 02,2 Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2 olmak üzere 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 − Ω𝑚)𝑖𝑑2,2 + 𝑎1𝑑𝑀2𝑑02,1 + 𝑖𝑎2𝑑𝑀2𝑑02,2 şeklinde yazılabilir. 𝑎1 ve 𝑎2 ifadeleri biraz daha düzenlenirse Ω2 2𝑙Ω𝑚𝑑 − Ω 2 𝑀2 𝑙 𝑑 2 2 2 2 2 02,1 − 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑02,2 − Ω𝑚Ω𝑙 𝑑𝑀2 + Ω𝑚𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑02,2 𝑎1 = (Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑 2 02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) −(Ω2𝑙 − Ω 2 𝑚)𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑02,2(Ω𝑙 − Ω𝑚) 𝑎1 = (Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω 𝑑 2 𝑙 02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) ve benzer olarak Ω3 2 3 3 3 2 3 3𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2 − Ω𝑙 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑02,2 − Ω𝑚Ω𝑙 𝑑𝑀2 + Ω𝑚𝑑02,1 + 𝑖Ω𝑚Ω𝑙𝑑02,2 𝑎2 = (Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑 2 02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) Ω2Ω2 𝑑 (Ω − Ω ) − (Ω3 3𝑙 𝑚 𝑀2 𝑙 𝑚 𝑙 − Ω𝑚)𝑑 2 2 02,1 − (Ω𝑙 −Ω𝑚)𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑02,2 𝑎2 = (Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2)(Ω 2 𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) 86 bulunur. Bu ifadeler yerlerine yazılarak 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 −(Ω2𝑙 − Ω 2 𝑚)𝑑 𝑑 2 𝑀2 02,1 − 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2(Ω𝑙 − Ω𝑚) = (Ω𝑙 − Ω𝑚)𝑖𝑑2,2 + (Ω2𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑 2 02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) 𝑖Ω2Ω2 𝑑2 𝑑 (Ω − Ω ) − (Ω3 3𝑙 𝑚 𝑀2 02,2 𝑙 𝑚 𝑙 − Ω𝑚)𝑖𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 + (Ω 2 𝑙 − Ω 2 𝑚)Ω𝑙Ω 𝑑 2 𝑚 𝑀2𝑑02,2 + (Ω2𝑙 𝑑 2 𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) (Ω𝑙 + Ω𝑚)𝑑 2 𝑀2𝑑02,1 𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 − Ω𝑚) (𝑖𝑑2,2 − −Γ2 Γ2 𝑖Ω2Ω2 𝑑2 𝑑 (Ω2 + Ω Ω + Ω2𝑙 𝑚 𝑀2 02,2 𝑙 𝑙 𝑚 𝑚)𝑖𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 + − Γ2 Γ2 (Ω + Ω )Ω Ω 𝑑 𝑑2𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝑀2 02,2 + ) Γ2 (Ω 2𝑙 + Ω𝑚)𝑑𝑀2𝑑02,1 2𝑖Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 𝐹𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 − Ω𝑚) (𝑖𝑑2,2 − −Γ2 Γ2 𝑖Ω2 2 2 2 2𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)𝑖𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 + − Γ2 Γ2 (Ω 2𝑙 + Ω𝑚)Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,2 + ) Γ2 𝐹 2𝑅2,𝑙 − 𝐹𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 𝑑 2Ω Ω 2 2 2 2 2,2 𝑙 𝑚 𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 Ω𝑙 Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,2 − Ω𝑚) (𝑖 ( − +(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 (Ω2 2𝑙 + Ω𝑚)𝑑 2 2 𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,2 − )− + ) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 Γ2 Γ2 elde edilir. Burada Γ2 = (Ω 2 2 𝑙 𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑02,2)(Ω𝑚𝑑𝑀2 − 𝑑02,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑02,2) olarak tanımlanmıştır. Benzer işlem adımları ile 𝐹𝑅1,𝑙 − 𝐹𝑅1,𝑚 eşitliği 87 𝐹𝑅1,𝑙 − 𝐹 2 𝑅1,𝑚 = (Ω𝑙 𝑑 2Ω Ω 𝑑 𝑑 𝑑 Ω2 2 2 2 1,2 𝑙 𝑚 01,2 𝑀1 01,1 𝑙 Ω𝑚𝑑𝑀1𝑑01,2 − Ω𝑚) (𝑖 ( − +(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω2𝑙 + Ω 2 𝑚)𝑑 2 2 𝑀1𝑑01,2𝑑01,1 𝑑𝑀1𝑑01,1 Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀1𝑑01,2 − )− + ) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 Γ1 Γ1 olarak bulunabilir. Burada Γ = (Ω21 𝑙 𝑑 2 𝑀1 − 𝑑01,1 − 𝑖Ω𝑙𝑑01,2)(Ω𝑚𝑑𝑀1 − 𝑑01,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑01,2) olarak tanımlanmıştır. 𝑀𝑅2,𝑙 −𝑀𝑅2,𝑚 = 𝑑𝑅2,1 + 𝑖Ω𝑙𝑑𝑅2,2 − 𝑑𝑅2,1 − 𝑖Ω𝑚𝑑𝑅2,2 𝑖𝑑𝑅2,2 𝑀 2 2𝑅2,𝑙 −𝑀𝑅2,𝑚 = (Ω𝑙 −Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚) ve yine benzer olarak 𝑖𝑑𝑅1,2 𝑀𝑅1,𝑙 −𝑀𝑅1,𝑚 = (Ω 2 2 𝑙 −Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚) elde edilir. Bulunan ifadeler ana denklemde yerlerine yazılırsa aşağıdaki eşitlik elde edilir: 88 1 𝐸𝐼 (Ω2 − Ω2𝑙 𝑚)(∫(𝐴𝐸𝑌𝑙𝑌𝑚 + Ψ𝐿2 𝑙 Ψ𝑚) 𝑑𝜉 0 𝑑2,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑02,1𝑑02,2 − 𝑘𝐴𝐺 (𝑌𝑚(1)𝑌𝑙(1) (𝑖( −(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 2 2Ω 2 2 2 2𝑙 Ω 𝑑𝑚 𝑀2𝑑02,2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)𝑑𝑀2𝑑02,2𝑑02,1 𝑑𝑀2𝑑02,1 + − ) − (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ2 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ Γ2 2 Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀2𝑑 2 02,2 + ) Γ2 2 2 2 𝑑1,2 2Ω𝑙Ω𝑚𝑑01,2𝑑𝑀1𝑑01,1 Ω𝑙 Ω 𝑑𝑚 𝑀1𝑑01,2+ 𝑌𝑚(0)𝑌𝑙(0) (𝑖( − +(Ω𝑙 + Ω𝑚) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ1 (Ω2 + Ω2𝑙 𝑚)𝑑 2 2 𝑀1𝑑01,2𝑑01,1 𝑑𝑀1𝑑01,1 Ω𝑙Ω𝑚𝑑𝑀1𝑑01,2 − ) − + )) (Ω𝑙 + Ω𝑚)Γ Γ1 1 Γ1 𝐸𝐼 𝑖𝑑𝑅2,2 𝑖𝑑𝑅1,2 − (Ψ𝑙(1)Ψ𝑚(1) ( ) + Ψ (0)Ψ (0) ( )))𝐿2 (Ω𝑙 + Ω𝑚) 𝑙 𝑚 (Ω𝑙 + Ω𝑚) = 0 89 EK 3. Matlab Programları function [dogal_frekans,T,fonk] = esnekBCs_catlakli(kiris_yukseklik,kiris_derinlik,L,e,E,nu,yay_kutle_da mper,k,alpha,BCs,frekans_ust_sinir,artis_miktari) % BCs=[d_11 d_12 d_R11 d_R12;d_21 d_22 d_R21 d_R22] şeklinde girilmeli. % yay_kutle_damper=[d_M1 d_o11 d_o12;d_M2 d_o21 d_o22] şeklinde girilmeli. syms Omega xi % ####################### SINIR ŞARTLARI ###################### d_11=BCs(1,1); d_12=BCs(1,2); d_R11=BCs(1,3); d_R12=BCs(1,4); d_21=BCs(2,1); d_22=BCs(2,2); d_R21=BCs(2,3); d_R22=BCs(2,4); if numel(yay_kutle_damper)==0 d_M1=0; d_o11=1e-9; d_o21=1e-10; d_M2=0; d_o12=1e-9; d_o22=1e-10; else d_M1=yay_kutle_damper(1,1); d_o11=yay_kutle_damper(1,2); d_o12=yay_kutle_damper(1,3); d_M2=yay_kutle_damper(2,1); d_o21=yay_kutle_damper(2,2); d_o22=yay_kutle_damper(2,3); end % ####################### ************** ###################### catlak_sayisi=length(e); if length(alpha)==catlak_sayisi I=kiris_derinlik*(kiris_yukseklik^3)/12; A=kiris_yukseklik*kiris_derinlik; G=E/((2*(1+nu))); P=Omega^2*(E/(k*G)+1); Q=Omega^2*(Omega^2*E/(k*G)-A*L^2/I); Delta=P^2-4*Q; beta_1=sqrt((P+sqrt(Delta))/2); beta_2=sqrt((-P+sqrt(Delta))/2); 90 m1_c=Omega^2*E/(k*G)-beta_1^2; m2_c=Omega^2*E/(k*G)+beta_2^2; m_1=m1_c/beta_1; m_2=m2_c/beta_2; q=(alpha./(1-alpha)).^2.*(-0.22+3.82*alpha+1.54*alpha.^2- 14.64*alpha.^3+9.6*alpha.^4); theta=2*(alpha./(1-alpha)).^2.*(5.93-19.69.*alpha+37.14.*alpha.^2- 35.84*alpha.^3+13.12*alpha.^4); C_q=kiris_yukseklik*q/(E*A); C_m=kiris_yukseklik*theta/(E*I); segment_sayisi=catlak_sayisi+1; segment_nok=[0 e 1]; C_qn=[C_q 0]; C_mn=[C_m 0]; T=eye(4); for sayac=1:segment_sayisi YPsi=[sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) cos(beta_1*(xi- segment_nok(sayac))) sinh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac)));-m_1*cos(beta_1*(xi- segment_nok(sayac))) m_1*sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) m_2*cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) m_2*sinh(beta_2*(xi- segment_nok(sayac)))]; M=[beta_1*m_1*sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) beta_1*m_1*cos(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) beta_2*m_2*sinh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) beta_2*m_2*cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac)))]; V=[(beta_1+m_1)*cos(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) - (beta_1+m_1)*sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) (beta_2- m_2)*cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) (beta_2- m_2)*sinh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac)))]; B=[YPsi;M;V]; D=inv([1 0 0 -k*A*G*C_qn(sayac)/L;0 1 -E*I*C_mn(sayac)/L 0;0 0 1 0;0 0 0 1]); T1=D*subs(B,xi,segment_nok(sayac+1)); Un=T1*inv(subs(B,xi,segment_nok(sayac))); T=Un*T; end % ###################### MESNETLER ########################### F_R1=d_11+1i*Omega*d_12+(Omega^2*d_M1*(d_o11+1i*Omega*d_o12)/(Omega^2* d_M1-d_o11-1i*Omega*d_o12)); F_R2=d_21+1i*Omega*d_22+(Omega^2*d_M2*(d_o21+1i*Omega*d_o22)/(Omega^2* d_M2-d_o21-1i*Omega*d_o22)); 91 M_R1=(d_R11+1i*Omega*d_R12); M_R2=(d_R21+1i*Omega*d_R22); S=T*[1 0;0 1;0 M_R1;F_R1 0]; % S matrisinin bulunması Lambda=[0 -M_R2;-F_R2 0]*[S(1,1) S(1,2);S(2,1) S(2,2)]-[S(3,1) S(3,2);S(4,1) S(4,2)]; % \Lambda matrisinin bulunması fonk=Lambda(1,1)*Lambda(2,2)-Lambda(1,2)*Lambda(2,1); % ###################### ********* ########################### fprintf('Frekanslar için çözülecek denklem elde edildi...\n') dogal_frekans=imajiner_beam_kokler(fonk, frekans_ust_sinir, artis_miktari); else fprintf('çatlak derinliği için verilen değerler çatlak sayısı ile uyumsuz.') end end 92 function boyutsuz_dogal_frekans = imajiner_beam_kokler(fonk, ust_sinir_Omega, artis_miktari) syms omegacizgi fonk_y=subs(fonk,symvar(fonk),omegacizgi); anonymous_fonk=matlabFunction(fonk_y); if isempty(artis_miktari)==1 artis_miktari=0.0002; end Rekok=0:artis_miktari:ust_sinir_Omega(1); Imkok=0:artis_miktari:ust_sinir_Omega(2); [X,Y]=meshgrid(Rekok,Imkok); kok=X+1i*Y; fprintf('çözüm öneri noktaları oluşturuldu...\n') fonk_sonuclar=anonymous_fonk(kok); fprintf('Çözüm öneri noktalarının fonksiyon karşılıkları bulundu.\n Sıfırı kesen noktalar elde ediliyor...\n') aranacak_degerler=abs(fonk_sonuclar); TF_1=islocalmin(aranacak_degerler,1); % kolonlardaki lokal minimumları buluyor TF_2=islocalmin(aranacak_degerler,2); % satırlardaki lokal minimumları buluyor. kok_ilkkolon=kok(:,1); kok_ilksatir=kok(1,:); muhtemel_kokler=sort([kok(TF_1.*TF_2==1);kok_ilkkolon(TF_1(:,1)==1);co mplex(kok_ilksatir(TF_2(1,:)==1))'],'ComparisonMethod','real'); fprintf('Muhtemel %d kök bulundu.\n Doğruluğu kontrol ediliyor ve kesin sonuçlar bulunuyor.\n',length(muhtemel_kokler)) if isempty(muhtemel_kokler)==0 kok_sonuc=zeros(1,length(muhtemel_kokler)); for say=1:length(muhtemel_kokler) kok_sonuc(say)=vpasolve(fonk_y,muhtemel_kokler(say)); fprintf('*** %d. kök bulundu.\n',say) end boyutsuz_dogal_frekans=kok_sonuc; % boyutsuz doğal frekanslar: \Omega else fprintf('bu aralıklarda çözüm bulunamadı. \n 1) Sınırlar genişletilebilir\n 2) Çözüm noktaları sıklaştırılabilir ( şu an sınırlar %4.4f+%4.4fi artış miktarı %4.2f )...\n',[ust_sinir_Omega(1),ust_sinir_Omega(2),artis_miktari]) end end 93 function [Y_sonuc,C_matris] = mod_sekilleri(T, BCs, Omega_al, kiris_yukseklik, kiris_derinlik, L, e, E, nu, yay_kutle_damper, k, alpha) fgr=figure('DefaultAxesFontSize',20); for syc=1:length(Omega_al) Omega=Omega_al(syc) clc fprintf('\n########### Mod şekilleri hesaplanıyor ###############\n------------------------------------------------\n') syms xi % ####################### SINIR ŞARTLARI ###################### d_11=BCs(1,1); d_12=BCs(1,2); d_R11=BCs(1,3); d_R12=BCs(1,4); d_21=BCs(2,1); d_22=BCs(2,2); d_R21=BCs(2,3); d_R22=BCs(2,4); if numel(yay_kutle_damper)==0 d_M1=0; d_o11=1e-9; d_o21=1e-10; d_M2=0; d_o12=1e-9; d_o22=1e-10; else d_M1=yay_kutle_damper(1,1) d_o11=yay_kutle_damper(1,2); d_o12=yay_kutle_damper(1,3); d_M2=yay_kutle_damper(2,1); d_o21=yay_kutle_damper(2,2); d_o22=yay_kutle_damper(2,3); end % ####################### ************** ###################### % Çatlak ve parça sayısı catlak_sayisi=length(e); segment_sayisi=catlak_sayisi+1; I=kiris_derinlik*(kiris_yukseklik^3)/12; A=kiris_yukseklik*kiris_derinlik; G=E/((2*(1+nu))); % Boyutsuz Parametrelerin Hesabı P=Omega^2*(E/(k*G)+1); Q=Omega^2*(Omega^2*E/(k*G)-A*L^2/I); Delta=P^2-4*Q; beta_1=sqrt((P+sqrt(Delta))/2); beta_2=sqrt((-P+sqrt(Delta))/2); m1_c=Omega^2*E/(k*G)-beta_1^2; m2_c=Omega^2*E/(k*G)+beta_2^2; 94 m_1=m1_c/beta_1; m_2=m2_c/beta_2; % Çatlak bölgesi için hesaplar : q=(alpha./(1-alpha)).^2.*(-0.22+3.82*alpha+1.54*alpha.^2- 14.64*alpha.^3+9.6*alpha.^4); theta=2*(alpha./(1-alpha)).^2.*(5.93-19.69.*alpha+37.14.*alpha.^2- 35.84*alpha.^3+13.12*alpha.^4); C_q=kiris_yukseklik*q/(E*A); C_m=kiris_yukseklik*theta/(E*I); segment_nok=[0 e 1]; % bölünmüş parçaların noktaları. C_qn=[C_q 0]; C_mn=[C_m 0]; % Segmentlerdeki B ve D matrislerinin elde edilmesi syms xi B=cell(segment_sayisi,1); D=cell(catlak_sayisi,1); for sayac=1:segment_sayisi YPsi=[sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) cos(beta_1*(xi- segment_nok(sayac))) sinh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac)));-m_1*cos(beta_1*(xi- segment_nok(sayac))) m_1*sin(beta_1*(xi-segment_nok(sayac))) m_2*cosh(beta_2*(xi-segment_nok(sayac))) m_2*sinh(beta_2*(xi- segment_nok(sayac)))]; M=diff(YPsi(2,:),xi); V=(diff(YPsi(1,:),xi)-YPsi(2,:)); B{sayac,1}=[YPsi;M;V]; D{sayac,1}=inv([1 0 0 -k*A*G*C_qn(sayac)/L;0 1 - E*I*C_mn(sayac)/L 0;0 0 1 0;0 0 0 1]); end clear sayac F_R1=d_11+1i*Omega*d_12+(Omega^2*d_M1*(d_o11+1i*Omega*d_o12)/(Omega^2* d_M1-d_o11-1i*Omega*d_o12)); F_R2=d_21+1i*Omega*d_22+(Omega^2*d_M2*(d_o21+1i*Omega*d_o22)/(Omega^2* d_M2-d_o21-1i*Omega*d_o22)); M_R1=(d_R11+1i*Omega*d_R12); M_R2=(d_R21+1i*Omega*d_R22); e_n=e(length(e)); h1=[(beta_1+m_1) 0 (beta_2-m_2) 0]-F_R1*[0 1 0 1]; h2=[0 beta_1*m_1 0 beta_2*m_2]-M_R1*[-m_1 0 m_2 0]; h3=[(beta_1+m_1)*cos(beta_1*(1-e_n)) -(beta_1+m_1)*sin(beta_1*(1- e_n)) (beta_2-m_2)*cosh(beta_2*(1-e_n)) (beta_2-m_2)*sinh(beta_2*(1- e_n))]; h4=F_R2*[sin(beta_1*(1-e_n)) cos(beta_1*(1-e_n)) sinh(beta_2*(1- e_n)) cosh(beta_2*(1-e_n))]; h5=[beta_1*m_1*sin(beta_1*(1-e_n)) beta_1*m_1*cos(beta_1*(1-e_n)) beta_2*m_2*sinh(beta_2*(1-e_n)) beta_2*m_2*cosh(beta_2*(1-e_n))]; 95 h6=M_R2*[-m_1*cos(beta_1*(1-e_n)) m_1*sin(beta_1*(1-e_n)) m_2*cosh(beta_2*(1-e_n)) m_2*sinh(beta_2*(1-e_n))]; h7_8=[h3+h4;h5+h6]*inv(subs(B{segment_sayisi,1},xi,1))*subs(T,symvar(T ),Omega)*subs(B{1,1},xi,0); katsayi_matris=double([h1;h2;h7_8]); % Katsayılar Matrisinin Oluşturulması. ( {C}={C_cizgi}*C_1,1 ) C_cizgi=sym('C', [segment_sayisi 4]); C12_14=mldivide(katsayi_matris(:,2:4),-katsayi_matris(:,1)); C_cizgi(1,:)=round([1 transpose(C12_14)],7); for sayacc=1:catlak_sayisi C_cizgi(sayacc+1,:)=transpose(inv(subs(B{sayacc+1,1},xi,e(sayacc)))*D{ sayacc,1}*subs(B{sayacc,1},xi,e(sayacc))*transpose(C_cizgi(sayacc,:))) ; end C_cizgi=double(C_cizgi); clear sayacc % Ortogonalite şartlarının uygulanarak C_1 katsayısının bulunması Gamma_1=(Omega^2*d_M1-d_o11-1i*Omega*d_o12)^2; Gamma_2=(Omega^2*d_M2-d_o21-1i*Omega*d_o22)^2; Upsilon=- k*A*G*((subs(B{segment_sayisi,1}(1,:),xi,1)*transpose(C_cizgi(segment_ sayisi,:)))^2*(1i*(d_22/(2*Omega)+Omega^3*d_M2^2*d_o22/(2*Gamma_2)- 2*Omega*d_M2*d_o22*d_o21/Gamma_2)- d_M2*d_o21^2/Gamma_2+Omega^2*d_M2*d_o22^2/Gamma_2)... +(subs(B{1,1}(1,:),xi,0)*transpose(C_cizgi(1,:)))^2*(1i*(d_12/(2*Omega )+Omega^3*d_M1^2*d_o12/(2*Gamma_1)-2*Omega*d_M1*d_o12*d_o11/Gamma_1)- d_M1*d_o11^2/Gamma_1+Omega^2*d_M1*d_o12^2/Gamma_1))... - E*I/(L^2)*((subs(B{segment_sayisi,1}(2,:),xi,1)*transpose(C_cizgi(segm ent_sayisi,:)))^2*1i*d_R22/(2*Omega)+(subs(B{1,1}(2,:),xi,0)*transpose (C_cizgi(1,:)))^2*1i*d_R12/(2*Omega)); integral_toplamlar_Y=0; integral_toplamlar_Psi=0; fprintf('\n normalleştirme işlemi yapılıyor....\n C_1 katsayısı hesaplanmaya başladı\n') for sayac=1:segment_sayisi integral_toplamlar_Y=integral_toplamlar_Y+int((B{sayac,1}(1,:)*transpo se(C_cizgi(sayac,:)))^2,xi,segment_nok(sayac),segment_nok(sayac+1)); fprintf('%d / %d . segment için Y_integral toplamı hesaplandı\n',[sayac,segment_sayisi]) integral_toplamlar_Psi=integral_toplamlar_Psi+int((B{sayac,1}(2,:)*tra nspose(C_cizgi(sayac,:)))^2,xi,segment_nok(sayac),segment_nok(sayac+1) ); fprintf('%d / %d . segment için Psi_integral toplamı hesaplandı\n',[sayac,segment_sayisi]) end fprintf('integral toplamı bulundu\n') 96 C1=double(sqrt(1/(A*E*integral_toplamlar_Y+E*I/(L^2)*integral_toplamla r_Psi+Upsilon))); fprintf('C_1 bulundu') C_matris=C1*C_cizgi; Y_sonuc=cell(segment_sayisi,1); for sayacc=1:segment_sayisi Y_sonuc{sayacc,:}=matlabFunction(B{sayacc,1}(1,:)*transpose(C_matris(s ayacc,:))); xi_y(sayacc,:)=linspace(segment_nok(sayacc),segment_nok(sayacc+1),1000 0); Y(sayacc,:)=real(Y_sonuc{sayacc,:}(xi_y(sayacc,:))); end cizgiKalinligi=1; markerBoyut=10; if syc==1 pl1=plot(xi_y(1,:),Y(1,:),'- ','MarkerIndices',1:1000:length(Y(1,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Colo r','k','LineWidth',cizgiKalinligi) hold on plot(xi_y(2,:),Y(2,:),'- ','MarkerIndices',1:1000:length(Y(2,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Colo r','k','LineWidth',cizgiKalinligi) elseif syc==2 pl2=plot(xi_y(1,:),Y(1,:),'- *','MarkerIndices',1:1000:length(Y(1,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Col or','k','LineWidth',cizgiKalinligi) plot(xi_y(2,:),Y(2,:),'- *','MarkerIndices',1:1000:length(Y(2,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Col or','k','LineWidth',cizgiKalinligi) elseif syc==3 pl3=plot(xi_y(1,:),Y(1,:),'- square','MarkerIndices',1:1000:length(Y(1,:)),'MarkerSize',markerBoyut ,'Color','k','LineWidth',cizgiKalinligi) plot(xi_y(2,:),Y(2,:),'- square','MarkerIndices',1:1000:length(Y(2,:)),'MarkerSize',markerBoyut ,'Color','k','LineWidth',cizgiKalinligi) elseif syc==4 pl4=plot(xi_y(1,:),Y(1,:),'- o','MarkerIndices',1:1000:length(Y(1,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Col or','k','LineWidth',cizgiKalinligi) plot(xi_y(2,:),Y(2,:),'- o','MarkerIndices',1:1000:length(Y(2,:)),'MarkerSize',markerBoyut,'Col or','k','LineWidth',cizgiKalinligi) elseif syc==5 pl5=plot(xi_y(1,:),Y(1,:),'- diamond','MarkerIndices',1:1000:length(Y(1,:)),'MarkerSize',markerBoyu t,'Color','k','LineWidth',cizgiKalinligi) plot(xi_y(2,:),Y(2,:),'- diamond','MarkerIndices',1:1000:length(Y(2,:)),'MarkerSize',markerBoyu t,'Color','k','LineWidth',cizgiKalinligi) end end 97 hold off xlabel('$\xi$',"Interpreter","latex",'FontSize',20) ylabel('Re($Y(\xi)$)',"Interpreter","latex",'FontSize',20) legend([pl1 pl2 pl3 pl4 pl5],{'1. Mod','2. Mod','3. Mod','4. Mod','5. Mod'},'Orientation','horizontal','Location','north','FontSize',18) fgr.Position=[0 0 900 620]; legend('boxoff') end 98