Bazı tek ton frekans kestirim algoritmalarının başarım analizi ve iyileştirilmesi

Abstract

Gürültü ekli bir kompleks sinüzoidin frekans kestirimi, geniş uygulama yelpazesi nedeniyle, işaret işleme alanında sıklıkla ele alınan temel bir problemdir. Kompleks beyaz Gauss gürültüsü durumunda, frekansın maksimum olabilirlik kestiricisinin, alınan verinin periodogramının tepe noktasının konumu olduğu bilinmektedir. Ancak, bu kestirim sürekli frekans aralığında bir arama gerektirdiğinden hesaplama açısından pratik değildir. Hesaplama süresini azaltmak için verinin iki veya üç ayrık Fourier dönüşümü (AFD) örneğinin (tepe ve komşularından bir veya ikisi) bazı enterpolasyonlarına dayanan basit ancak optimal olmayan çok sayıda tahmin edici literatürde önerilmiştir. Üç AFD örneğine dayanan ve Jacobsen kestiricisi olarak bilinen frekans kestiricisi, AFD boyutunu artırmaya gerek kalmadan, iyi bir yanlılık performansı sunmaktadır. Candan, kestiricinin yanlılığını daha da azaltmak için, yanlılık düzeltme faktörü adı verilen bir çarpım terimi ekleyerek Jacobsen kestiricisini güncellemiştir. Yanlılıkla ilgili değerlendirmelerin yanı sıra, Jacobsen ve Candan kestiricilerine ait bazı yaklaşık asimptotik varyans ifadeleri literatürde sunulmuştur. Ancak, bu ifadeler yalnızca sinyal frekanslarının bir AFD bin indisine çok yakın olduğu durumlar için geçerlidir. Bu tezde, basit bir varyans analiz tekniği kullanılarak, bütün frekans konumlarında geçerli olan bir kesin genel varyans ifadesi pencere uygulanmış veri durumu için türetilmiştir. Ayrıca, yanlılık düzeltme faktörünün hesaplanması için genel bir yöntem önerilmektedir. Varyans ifadesi, kosinüstoplamı pencere ailesi için incelenmiştir. Bu aileye ait pencereler için yeterince uzun veri kayıtları durumunda geçerli yaklaşık bir varyans formülü de verilmiştir. Teorik sonuçları doğrulamak amacıyla bilgisayar simülasyonları da dâhil edilmiştir. Bu tezde, her ne kadar Candan kestiricisine odaklanılmışsa da, tezde sunulan teorik sonuçlar üç AFD örneğine dayalı herhangi bir frekans kestiricisine kolaylıkla uygulanabilmektedir.

Frequency estimation of a complex sinusoid with added noise is a fundamental problem frequently addressed in the field of signal processing due to its wide range of applications. In the case of complex white Gaussian noise, the maximum likelihood estimator of the frequency is known to be the location of the peak of the periodogram of the received data. However, this estimation is computationally impractical because it requires a search over a continuous frequency range. A number of simple but suboptimal estimators based on some interpolation of two or three discrete Fourier transform (DFT) samples of the data (the peak and one or two of its neighbors) have been proposed in the literature to reduce the computational time. The frequency estimator, known as Jacobsen’s estimator, which is based on three DFT samples, offers good bias performance without the need to increase the DFT size. To further reduce the bias of the estimator, Candan updated the Jacobsen’s estimator by adding a multiplication term called the bias correction factor. In addition to bias considerations, some approximate asymptotic variance expressions for the Jacobsen and Candan estimators have been presented in the literature. However, these expressions are only valid for situations where the signal frequencies are very close to a DFT bin index. In this thesis, with the use of a simple variance analysis technique, an accurate general variance expression valid for arbitrary frequency locations is derived for the case of windowed data. Additionally, a general method for calculating the bias correction factor is proposed. The variance expression is examined for the cosine-sum window family. An approximate variance formula for sufficiently large data record lengths is also given for windows belonging to this family. Computer simulations are also included to validate the theoretical results. Although this thesis focuses on the Candan estimator, the theoretical results presented in the thesis can be easily applied to any frequency estimator based on the three DFT samples.